/
Автор: Пенфилд П. Спенс Р. Дюинкер С.
Теги: электротехника физика электроника теория электрических цепей
Год: 1974
Текст
П. ПЕНФИЛД
Р. СПЕНС
С. ДЮИЧКЕР
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
П. ПЕНФИЛД,
Р. СПЕНС,
С. ДЮИНКЕР
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Перевод с английского В. К. Андреолетти
Под редакцией проф. В. А. Говоркова
«Э Н Е Р Г И Я»
МОСКВА 1974
6П2.1
П 25
УДК 621.372.2
Пенфилд П. „ др.
П 25 Энергетическая теория электрических цепей. Пер.
с англ, под ред. проф. В. А. Говоркова. М., «Эпер
гия», 1974
152 с. с ил.
Перед загл. авт.: П. Пенфилд, Р. Спенс, С. Дюинкер.
В книге изложены вопросы применения теоремы Тслледжена,
объединяющей в единое целое несколько десятков новейших теорем
теории электрических цепей Простота п общноечь теоремы делают ос
привлекательной, а способность обобщать известные результаты и при
водить к новым указывает па ее научно-исследовательскую ценность
Книга прелна п(.1'к,н.1 для научных рябо чинков. аспирантов и пре
подана гелей вузов.
0338-041
11 051(01 )-74 14fi’74
6П2Л
Paul Penfield
Robert Spence
Simon Duinker
Tellegen’s theorem and electrical networks
The M. 1. T. Press, Cambridge, London, 1970
© Перевод на русский язык, издатглыто < >ncpi пи*, 1974 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В этой небольшой, лаконично написанной книге
предложена новая для теоретической электротехники
концепция квазимощности и базирующаяся на ней тео-
рема Телледжена, объединяющая в единое целое не-
сколько десятков теорем теории электрических цепей,
опубликованных во многих книгах и журналах, в основ-
ном после второй мировой войны.
В книге широко использованы линейные операторы
Кирхгофа, позволяющие ряд важных и полезных допу-
щений и обобщений. Кинга рассчитана на подготовлен-
ного читателя — научного работника, преподавателя ву-
ы, аспиранта.
Краткость изложения привела в отдельных местах
к ne'ioci, точной строгости описаний и доказательств.
>то возмещается обширной библиографией, имеющей
шапп юльпую ценность.
В А. Говорков
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Теорема Телледжена необычна тем, что она бази-
руется исключительно на законах Кирхгофа и топологии
цепи. Эта теорема применима ко всем электрическим
цепям, которые подчиняются законам Кирхгофа, неза-
висимо от того, линейные они или нелинейные, незави-
симые от времени 'или зависимые, обратимые или необ-
ратимые, пассивные или активные, гистерезисные или
негистерезисные, однозначные или многозначные. Пита-
ние цепей может быть произвольным — синусоидальным,
экспонентным, периодическим, в переходном режиме
или случайным по форме. Начальные условия также
произвольны. Если принять специфические предположе-
ния об элементах цепи, ее питании и начальных услови-
ях, то теорема Телледжена сводится или приводится ко
многим другим полезным теоремам теории цепей. Доказа-
тельства посредством этой теоремы часто относительно
просты и почти всегда указывают путь к обобщениям.
Начиная с Оливера Хевисайда [Л. 67, 69, 70] многие
знали о смысле того, что называется теперь теоремой
Телледжена. Профессор Б Д. X Телледжен из науч-
но-исследовательской лаборатории Филипса в Эйндхове-
не (Нидерланды) был первым, .кто посвятит этой идее
полный научный доклад |[Л 154] и указал на ее полез-
ность и общность. С того времени на теорему еще
не обращали должного внимания. Едва ли найдется ка-
кая-либо базисная теорема в теории цепей, которая не
могла бы быть доказана с помощью теоремы Телледже-
на. Простота и общность теоремы делают ее педагоги-
чески привлекательной, а способность обобщать извест-
ные результаты и приветить к новым указывает на ее
научно-исследовательскую ценность. Поэтому теорема
Телледжена должна быть на вооружении всех работаю-
щих в областях проектирования и теории электрических
цепей.
4
\в1оры данной книги давно заинтересовались тсоре-
Mnii Телледжена Дюпнкер, будучи студентом Телледже
на, очень давно научился применять эту теорему. Спенс
tii.i.1 заинтересован ее педагогической ценностью, а Пен
|>п |д ее полезностью в научно-исследовательских рабо-
те. В последние годы Дюпнкер дал много примеров при-
менения теоремы Телледжена для получения уже извест-
ные и новых результатов (в действительности данная
книга должна рассматриваться как обобщение статьи
Дюинкера, опубликованной в 1968 г.) В то же время
Пенфилд заинтересовался ее применением к теории
электронных лучей, приведшим к другим полезным тео-
ремам.
В 1966 г. Пенфилд взял отпуск в Массачусетском
технологическом институте и провел 1966/1967-й акаде
мический год в Имперском иаучио-технологическом кол-
ледже в Лондоне (Англия). Там он встретил Спенса,
который только что раскрыл важность теоремы Теллед
жена п знал о работе Дюинкера и его заинтересован-
ности этой теоремой. В течение этого года в Имперском
колледже было выполнено много исследований, которые
привели к созданию данной книги.
Авторы работали совместно над деталями исследо
рання и вырабатывали содержание и стиль настоящей
книги. Первоначально авторы надеялись уложиться
и научную статью, но большое количество других тео
рем, полученных из теоремы Телледжена, привело их
к объему, выходящему за рамки научной статьи.
Большое количество людей сделало вклад в описы
паемое здесь понимание теории цепей вообще и особен-
но теоремы Телледжена [Л. 7- 9, 14, 31—33, 40—42, 48,
19, 120—122, 131, 133, 157, 168, 170]. Авторы благодарны
профессору Телледжену за теорему, которую он дал
инженерам Без его высказываний о полезности теоремы
она бы до сих пор оставалась затерянной без .примене-
ния в трудах Хевисайда или — в ее высших математи-
ческих формах — где-нибудь в другом месте.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
В каждой области науки появляется время от вре-
мени теорема исключительного значения и многосто
ропнего применения, которая проста, имеет общин ха-
рактер и помогает выводу уже известных результатов,
а также указывает пути к новым результатам. В теории
цепей к этому типу принадлежит теорема Телледжена.
Мы надеемся, что данная книга, носящая прежде всего
учебный характер, но все же содержащая и некоторые
новые результаты, будет стимулировать более широкое
применение этой теоремы.
В анализе цепей обычно применяются три типа урав
нений: одно из них вытекает из первого закона Кирх
гофа, который гласит, что в каждый момент времени
ток, втекающий в каждый узел цепи, равен нулю. Дру-
гие вытекают из второго закона Кирхгофа, который гла-
сит, что в любой момент времени сумма напряжений
любого контура равна пулю. Третьи возникли па основе
конститутивных законов элементов; примерами могут
служить закон Ома для сопротивлений и соотношение
между зарядом п напряжением для конденсаторов.
В общем случае решение задач теории цепей требует
одновременного применения уравнений всех трех типов
совместно с ограничениями, налагаемыми начальными
условиями и подачей питания на входы или выходы це-
пи. Каждый из законов Кирхгофа сам по себе нужен,
но не достаточен для установления поведения цепи. Ре-
шение соответствует действительному положению вещей
только тогда, когда оба комплекта законов Кирхгофа
применены к конститутивным законам, начальным усло-
виям и питанию на входах.
б
С другой стороны, теорема Телледжена рассматри-
пает напряжения, которые удовлетворяют второму зако-
ну Кирхгофа, и токи, которые удовляетворяют первому
икону Кирхгофа, но не обязательно связанные с кон-
ститутивными зонами цепи. Таким образом, напря-
жения и токи, которые появляются в теореме Теллед-
жена, не обязательно должны существовать в данной
цепи.
Необычность теоремы Телледжена заключается
в том, что для ее доказательства применяются только
оба закона Кирхгофа. Теорема сохраняет силу незави-
симо от рода элементов нлц питания цепи.
Современный интерес к нелинейным и зависящим от
времени цепям придал теореме Телледжена большое
значение, так как она является одной из основных тео-
рем, которые применяются к ц^пям таких видов.
Много самостоятельных выводов и дискуссий насчет
теоремы Телледжена появилось до и после публикации
им своей теоремы в 1952 г. Киши и Кида дали «теорему
консервации» (1967—1968 гг.), которая имеет много ха-
рактерных черт теоремы Телледжена, применяется ана-
логичным образом для всех практических целей и явля-
ется как бы ей равноценной |[Л. 81, 82]. Они использо-
вали свою теорему для получения некоторых результа-
тов, приведенных в данной книге. Еще раньше теорема
была предложена Боттани и Сартори (Л. 17, 18 и 137].
1а 2 года до публикации трудов Телледжена Кон
(1950 г.) применил в своих доказательствах теорему, из-
вестную с тех пор как «теорема Кона», равноценную
теореме Телледжена. На год раньше Ботт (1949 г.), а
также Ботт и Даффип (1953 г.) формулировали теорему
в строгой математической форме, в сущности так, как
ио было выполнено ранее Вейлем [Л. 15, 16, 168]. При-
мерно на 15 лет раньше Постумус и Дума (1936 г.) при-
меняли некоторые специальные случаи теоремы Теллед-
жена в исследовании устойчивости частоты вибраторов
[Л. 128], а в начале столетия Донати, Вильберфорс, Ска-
лпцкий и Валлот использовали многие аналогичные
концепции при изучении свойства обратимости [Л. 43—
—47, 147, 164, 169.].
Первые выводы и утверждения, сходные с теоремой
Телледжена, были сделаны неправильно понятым ге-
нием— Оливером Хевисайдом в 1883 г. Его изложение
и доказательство заняли только один параграф, и он
7
использовал эту теорему только ия одной цели (выво.
теоремы о минимуме тепла |[Л. 67]
Никто из ранних авторов не указал на миогосторон
ность и общность теоремы, они ее использовали или дл»
специфической цели, или же давали ей математическую
формулировку, не изучая применений. Б. Д. X. Теллед
жен (1952—1953 гг.) был первым, кто отстаивал теоре
му как полезную саму по себе и посвятил полный науч
ный доклад ее доказательству и применимости [Л. 154,
155]. С этого времени она стала известна как теорема
Телледжена, и современные авторы рассматривают этот
факт как подтверждение признания значимости теоре-
мы, несмотря на то, что он не был первым, кто вывел
теорему или использовал ее для специальной цели.
Теорема Телледжена дискутируется по крайней ме-
ре в семи учебниках (руководствах): Боттани и Сарто-
ри (1956 г.) [Л. 17]; Ньюстеда (1959 г.) [Л. 115]; Бозе и
Стевенса (1965 г.) ]Л. 14]; Круца и Ван Валкенбурга
(1967 г.) [Л. 28]; Дезоер и Ку (1969 г.) [Л. 38]; Рорера
(1970 г.) [Л. 133]; Спенса (1970 г.) [Л. 150]; однако опа
редко применялась для доказательства новых результа-
тов. Надеемся, что эта книга будет содействовать боль-
шему ее применению. В последних обсуждениях теоремы
участвовали Бордевнк (1956 г.) [Л. 13], Вольта (1962 г.)
[Л. 161], Брентон и Мозер (1964 г.) [Л. 20], Вейнбер
(1965 г.) |[Л. 167], Дюипкер (1968 г.) [Л. 56], Дюинкер и
Пенфилд (1970 г.) {Л. 126] п др.
1 Он писал (в обозначениях данной книги): „Хотя мы н получаем
Xp'ipip = Xat/a ia благодаря законам Джоуля и Ома и закону сохранения
энергии, тем не менее это уравнение вполне независимо от закона
Ома и справедливо для любого случая распределения токов в про-
водниках, согласующегося с тем же питанием (токами) па зажимах.
Это справедливо, когда ц (на первом входе) делится любым спо-
собом между проводниками, присоединенными к первому зажиму;
<2 (на втором входе) делится любым способом между своими про-
водниками, конечно, за исключением того, что в проводе (сопро-
тивлении), соединяющем второй и первый зажимы, мы не изменяем
уже фиксированного тока н так далее до конца. Каждый) провод
имеет два зажима, следовательно, для взятого в отдельности соеди-
нения проводом, скажем входа 1 с входом 2, мы имеем u16s+“2'2i =
= («1—(здесь u12 и in — Напряжение п ток в ветви).
Распространяя на все проводники, мы получаем: %pupip 1а.
При надлежащем распределении в соответствию) с законом Ома мы
будем иметь также: %p'ipip = SaPB <в согласно закону сохранения энер-
гии, имея в виду, что тепловые потери (рассеивание) дтя любого
проводника равны
8
В гл. 2 данной книги дается наиболее общая форма
1< |>ремы Телледжена н доказывается с помощью зако-
нов Кирхгофа. В дополнение представлены две слабые
формы теоремы Телледжена, которые обладают полез-
ными свойствами. В слабых формах теорема .применима
к напряжениям, токам н волновым переменным (пере-
менным рассеивания). Применение волновых перемен-
ных в теореме Теледжепа рассматривается как новость1.
В гл. 3- 7 теорема Телледжена применяется для
получения и развития известных теорем теории цепей.
В большинстве случаев доказательство с помощью тео-
ремы Телледжена проще других, и практически во всех
случаях она более ясно обрисовывает виды цепей, к ко-
юрым применимы различные теоремы. Несмотря на то,
что мы случайно расширили область обоснованности из-
вестных теорем, мы не преследовали этой цели; лишь
подчеркивалось, каким образом используется теорема
Телледжена. Различные теоремы мало или совсем не
шскуссируются сами по себе. Нет необходимости чи-
тать гл. 3—7 в приведенном порядке; читатель, если он
хочет, может пропустить какую-либо из них без потери
связи. В гл. 8 мы сжато показываем распространение
теоремы Телледжена на другие физические системы.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
2-1. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Топология цепи устанавливает расположение узлов
и ветвей. Топология может быть задана без ссылки на то,
из каких элементов (сопротивлений, конденсаторов
нт.д.) состоит цепь. Каждый двухзажнмнып элемент за-
нимает одну ветвь, а миогозажимные элементы, как-то
транзисторы, идеальные трансформаторы, гираторы и
взаимные индуктивности, занимают более одной ветви.
Для примера на рис. 2-1 показано топологическое изо-
бражение транзистора с тремя узлами и двумя ветвями.
Всегда имеется соответствие между ветвями и элемента-
1 Киши и Кида (1967 г), формулируя некоторые свои резуль-
таты в функциях волновых переменных, в ?е?оеме Телледжена их
не применяли [Л 81]
9
ми, по для многозажимных элементов оно не является
соответствием «один к одному».
Правило знаков для напряжения и тока каждой вет-
ви взято так, что произведение напряжения и тока равно
мощности, поступающей в элемент этой ветви. Па
рис. 2-2 приведено рекомендуемое положительное на-
Рис. 2-1. Топологиче-
ское изображение
транзистора.
Рис. 2-2. Правило знаков
для внутренних ветвей
цепи.
правление для тока в элементе ветви, напряжение на за-
жимах которого положительно.
Вход цепи состоит из пары зажимов, выведенных на-
ружу, к которым могут быть приложены напряжение и
ток. Правило знаков для напряжения и тока на входе
показано на рис. 2-3.
Для обозначения внутренних ветвей цепи будем при-
менять греческие буквы, а для обозначения входов —
латинские (рис. 2 4). Для тока и напряжения будем
Рис. 2-4. Цепь с внутренни-
ми ветвями, обозначенными
греческими буквами, и вхо-
дами, обозначенными ла-
тинскими буквами.
Рис. 2-3. Правило зна-
ков для входов цепи.
использовать строчные буквы i и и, чтоб обозначить пе-
ременные во временной области; для обозначения частот-
ных переменных применим прописные буквы 1 и U.
10
1-1. ЗАКОНЫ КИРХГОФА
Рассмотрим цепь без входов, имеющую b ветвей, nt
узлов и s отдельных частей. Первый закон Кирхгофа
устанавливает для токов nt—s ограничений, так что толь-
ко b nL+s токов могут быть заданы независимо, после
чего все оставшиеся токи ветвей могут быть найдены из
линейных зависимостей вида
ia = 2₽^pa/₽, (2-1)
где jp —независимые токи в количестве b — /ч-f-s; В$а—
элементы прямоугольной матрицы порядка [(6 — «t +
4-s)X&], известной под названием контурной матрицы
или указателя связок в цепи1.
Второй закон Кирхгофа может быть выражен в функ-
ции от В$а. Для каждого произвольно выбранного тока
существует один замкнутый путь в пределах остальной
части цепи, не включающий другой из независимых то-
ков. Таким образом, имеются b—nt+s таких контуров,
для каждого из которых может быть написан второй за-
кон Кирхгофа. В результате
(2-2)
Данная форма законов Кирхгофа удобна для доказа-
тельства теоремы Телледжена. Так как конститутивные
законы элементов не были использованы, то цепь может
содержать в себе мпогозажимные элементы. Можно на-
писать законы Кирхгофа и для цепей с входами в форме
(2-1) и (2-2) при условии, что каждый вход временно
рассматривается как ветвь, и приняв в расчет, что услов-
ное направление тока входа противоположно направле-
нию тока ветви (сравните рис. 2-2 и 2-3).
2-3. ТЕОРЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ
Из (2-1) н (2-2) можно вывести простую теорему
мощности. Приводится она здесь потому, что ее вывод
сходен с выводом теоремы Телледжена. Умножим (2-1)
иа , тогда получим:
ia ил = /₽ В$а ua . (2-3)
1 Читатели, которые недостаточно хорошо знакомы с этими вы-
ражениями законов Кирхгофа, могут справиться в стандартных
учебниках, таких, как Гиллемпна (1953 г.), Сешу и Балабаниана
(1959 г.) [Л. §3, |43].
II
Если просуммировать такие выражения для всех вет-
вей а, то по уравнению (2-2) правая сторона исчезнет ц
получится:
Sx«aUa=O. (2-4
Это выражение может быть физически объяснена
отождествлением произведения ia иа для каждого а мгно-
венной мощностью в элементе, расположенном в ветви
а. Таким образом, (2 4) констатирует, что сумма мгно-
венных мощностей во всех элементах равна нулю, — ре-
зультат, согласующийся с принципом сохранения энер-
гии. Приведенное здесь доказательство имеет силу неза-
висимо от природы элементов или питания цепи.
Если цепь будет иметь входы, подобный вывод при-
водит к следующему выражению:
SpipWp.— Еа иа . (2-5)
Следовательно, в каждый момент времени мощность,
которая вводится в цепь через ее входы, распределяется
среди элементов цепи без потерь.
2-4. ТЕОРЕМА КВАЗИМОЩНОСТИ
Обобщение (2-5) может быть выполнено для цепей
в двух состояниях. Под разными состояниями цепи име-
ются в виду токи и напряжения, соответствующие раз-
ным условиям питания, разным по составу элементам
или разным величинам элементов или же разным началь-
ным условиям, но при одной и той же топологии. Под
двумя состояниями цепи могут подразумеваться действу-
ющие состояния двух разных цепей, которые имеют оди-
наковую топологию. Законы Кирхгофа применимы
к каждому состоянию. Таким образом, (2-1) и (2-2) по-
кажут, что
ia = Ер h; (2-6)
Ea B^a ua = 0, (2-7)
где один штрих и два штриха относятся к двум состоя-
ниям.
Тот же прием, который привел (2-1) и (2-2) к (2-5),
теперь приводит (2-6) и (2-7) к
^pi pH р —- Sa ia иа. (2-8)
12
Обратим внимание, что токи i'p и 1а подчиняются пер-
вому закону Кирхгофа, но не обязательно соответствуют
любой системе действующих токов в сети, потому что
соответствующие напряжения могут не подчиняться вто-
рому закону Кирхгофа Аналогично напряжения и"р и
и" подчиняются второму закону Кирхгофа, но в общем
случае не соответствуют какой-либо системе токов, кото-
рые подчиняются первому закону Кирхгофа. Таким об-
разом, теорема Телледжена рассматривает токи и напря-
жения, которые не обязателвно существуют в цепи, по
крайней мере в одно и то же время. Такие произведения,
как Гри"р, не являются мощностью и называются квази-
мощностыо.
Теорема квазпмощпости [уравнение (2-8)] является
формой, первоначально данной Телледженом (1952—
1953 гг.) и известной с тех пор под его именем. Она мо-
жет быть использована для вывода многих теорем тео-
рии цепей. Она является специальным случаем более об-
щей формы, приведенной ниже (2-20).
2-5. ПРИМЕР
Теорема квазимощности [уравнение (2-8)] примеча-
тельна тем, что оба состояния цепи не должны быть обя-
зательно связаны друг с другом. Рассмотрим для приме-
Рис. 2-5. К теореме о квазимощности. Типовая цепь с четырь-
мя внутренними ветвями и двумя входами.
а—схема цепи с иеспецифированными элементами и пронумерованны-
ми ветвями и входами; б — топология этой сети с пронумерованным»
ветвями и входами.
ра цепь на рис. 2-5. Эта цепь имеет два входа и четыре
внутренние ветви. Два возможных состояния этой цепи
показаны на рис. 2-6 и 2-7. Оба состояния имеют разные
1 По этой причине они могут пониматься как «виртуальные
токи» и аналогично и"Р и и"а — как виртуальные напряжения.
13
элементы и разные условия питания. В одном состоянии
имеются только активные сопротивления, а в другом име-
ются один идеальный диод и одна разомкнутая ветвь.
В обоих состояниях цепь питается по-разному, как пока-
зано на рисунках.
Напряжения и токи в обоих состояниях показаны
в табл. 2-1. По ней можно легко проверить закон со-
хранения энергии в состоянии 1. Мы видим, что через
Рис. 2-6. К теореме о квази- Рис. 2-7. К теореме о квазимощ-
мощпости. Состояние цепи 1. ности. Состояние цепи 2.
вход 1 (рис. 2-5) поступило в цепь 20 Вт и также 20 Bi
было рассеяно в четырех ветвях. Аналогично можно
проверить закон сохранения энергии в состоянии 2. Че-
рез вход 1 в цепь поступило 37,5 Вт, из которых 20 Вт
ушло из цепи через вход 2.
Поступающая через оба входа чистая мощность рав-
на 17,5 Вт. Рассеивание в ветви 1 равно 12,5 Вт и в вет-
ви 4 — 5 Вт, составляя общее рассеивание— 17,5 Вт.
Таблица 2-1
Напряжения и токи для всех состояний цепи по рис. 2-5
С<стояние 1 (рис. 2-6) Сост->янс 2 (рис. 2-7)
м. В ». А п, В «. А
Вход 1 5 4 25 1,5
. 2 2 0 20 —1.0
Ветвь 1 5 1 25 0,5
, 2 2 1 20 0
, 3 2 2 20 0
, 4 3 3 5 1
Таблица 2-1 может быть также использована для
проверки сохранения квазимощности; это значит прове-
рить, имеет ли силу (2-8). Если умножить напряжения
14
состояния 1 на соответствующие токи состояния 2, мы
найдем, что сумма произведений на входах 1 и 2 будет
равна сумме произведений в ветвях. Действительно, из
табл. 2-1 видно, что каждая из них равна 5,5 Вт. Эта
ьвазимощность в 5,5 Вт не может быть истолкована как
действительная мощность или как мощность рассеяния,
тем не менее опа подчиняется теореме консервации по
(2-8). Подобным же путем мы можем умножить токи
состояния 1 на напряжения состояния 2. Суммы на вхо-
дах и на ветвях составят по 100 Вт.
Доказать теорему квазимощиости для данной спе-
цифической топологии легко. Первый закон Кирхгофа
заключает в себе условие, что для любого состояния
(здесь обозначенного штрихом)
(2-9)
i'p2—i'z+i'3—i\, (2-Ю)
а второй закон Кирхгофа заключает в себе условие, что
для любого состояния (здесь обозначенного двумя штри-
хами)
и^=и'\=и"2+и\-, (2-11)
и"р2^и"2=и"3. (2-12)
Токи в (2-9) и (2-10) и напряжения в (2-11) и (2-12)
lie относятся обязательно к одному и тому же состоянию
цепи. Действительно, они не нуждаются в каких-либо
других соотношениях, кроме факта, что каждый подчи-
няется соответствующему закону Кирхгофа для цепи той
нщ топологии. Запись теоремы квазимощности {уравне-
ние (2-8)] для этой топологии получается в виде
i/piU//pi+i,p2W//p2— i' iii" ir-ju" 2~\г зч" 2-\-i'tji"(2-13)
Легко подтвердить, что (2-9) — (2-12) включают в себя
(2-13) без каких-либо суждений о конститутивных зако-
нах элементов. Просто (2-9) умножается на u"Pi,
а (2-10) на и"Р2, и результаты складываются. Затем
используются для упрощения (2-11) и (2-12).
2-6. ДРУГИЕ ВЫВОДЫ ТЕОРЕМЫ КВАЗИМОЩНОСТИ
Полезно рассмотреть более чем одни вывод приве-
денного результата; многие могут предпочесть приведен-
ные ниже два вывода теоремы квазимощиости, потому
что они менее математичпы и более интуитивны.
15
Для первого вывода рассматриваем одну систему то'
ков i’x и другую систему напряжений и.',' цепи без вхо-
дов. Не требуется их соответствия одному и тому же
режиму питания цепи, и нет необходимости в какой-либо
связи между ними, за исключением того, чтобы каждая
подчинялась закону Кирхгофа для цепи одной и той же
топологии. Выберем какой-либо узел цепи как базис-
ный1 и найдем потенциалы е"х всех других узлов отно-
сительно базисного. Здесь у есть индекс для 1Ц узлов
сети. Эти потенциалы могут быть найдены однозначно,
если и только если первоначальная система напряжений
ветвей и"аподчиняется второму закону Кирхгофа. Затем
для каждого узла у определяем, какие из ветвей к нему
присоединены, и составляем сумму всех токов i'a, про-
текающих в этих ветвях (в сумме проставляется знак
плюс для тех токов, принятое положительное направле-
ние которых от узла у, и знак минус для тех, у которых
принято направление к узлу). Эта сумма представляет
полный ток, вытекающий из узла, и в соответствии с пер-
вым законом Кирхгофа равна нулю. Теперь умножим эту
сумму на потенциал узла е’’ и прибавим к ней подоб-
ные произведения для всех других узлов цепи; обозна-
чим этот результат через 5.
В сумме S каждая ветвь представлена дважды, по
одному разу для каждого из узлов, между которыми
ветвь расположена. В одном из случаев ток ветви по-
является со знаком плюс, в другом — со знаком минус.
Два выражения комбинируются, чтобы дать ток ветви,
умноженный на разность потенциалов двух узлов, т. е.
на напряжение ветви.
Таким образом, мы находим: 5 = Ц Но S по сво-
ему строению есть сумма членов, каждый из которых
равен нулю; следовательно, 5=0, и мы доказали теорему
квазимощности. Таким же путем проводится доказатель-
ство для цепей с входами.
Из доказательства ясно, почему две системы i'a и
и 'а' не обязательно должны присутствовать в цепи од-
1 Если цепь имеет более чем одну отдельную часть, выбор про-
изводится по одному базисному узлу для каждой части
16
повременно. В самом деле, это доказательствоисохранйТ
силу, если вместо потенциалов ег мы будем приписывать
узлам какие-либо другие количества, например ежегод-
ное количество осадков в различных частях света или
цены на фондовой бирже.
Трудность с такими произ-
вольными заданиями, без-
условно, в том, что разность
между количествами, при-
писываемыми смежным уз-
лам, не может быть легко
объяснена как напряжение
ветви, так что значение и
полезность таких результа-
тов не могут быть явными
Тем не менее в некоторых
применениях такие произ-
вольные назначения могут
быть полезны; для примера
можно установить потенци-
ал одного узла равным 1 В,
а потенциалы всех осталь-
ных узлов — равными О В.
Второй вывод теоремы
квази'мощности был предло-
жен Г. Тимсом (1969 г.)
[Л. 157]. В соответствии с
первоначальной целью W по-
строим добавочную цепь N'.
Дадим N' ту л^е топологию,
как и у N, т. е. те же коли-
чества узлов, ветвей, входов
и т. д., соответствующим об-
разом расположенных и так
же пронумерованных. Вы-
берем какое-либо дерево це-
пи N'. Поместим источник
Рис. 2-8. Последовательность
вывода теоремы квазимощ-
ности.
а — цепь N с пронумерованными
ветвями; б — топология цепи N'\
в — дерево цепи N'; г — источники
напряжения и" а t размещенные
в ветвях дерева и однозначно опре-
деляющие все напряжения ветвей;
д — источники тока Го , размещен-
ные в оставшихся ветвях и одно-
значно определяющие все токи
в ветвях.
напряжения в каждую ветвь дерева с напряжением, рав-
ным и" а‘ это значит, что мы сделаем напряжения вет-
вей дерева в N' равными соответствующим напряжени-
ям в состоянии, обозначенном двумя штрихами в сети N.
Эти источники напряжения посредством второго закона
Кирхгофа определяют напряжения между зажимами всех
других ветвей как и"а.
2— 364
17
Теперь подобным же образом поместим источник тока
в каждую оставшуюся ветвь цепи /V' с током, равным
I а- Таким образом, все токи и напряжения ветвей в цепи
N определяются как иа' и i'a. Теперь применим закон
сохранения энергии к цепи N'; в результате получим:
Soi'u''=0, (2-14)
что и является формулировкой теоремы квазимощностп.
Второй вывод теоремы иллюстрируется рис. 2 8.
2-7. ОПЕРАТОРЫ КИРХГОФА
Теорема Телледжена может быть обобщена при
помощи операторов. Они вводятся так, что несколько
теорем могут быть записаны одновременно. При выборе
того или другого оператора общая форма приводит к бо-
лее специализированным уравнениям. Мы рассмотрим
образование комплектов токов в ветвях посредством
оператора Л, действующего на действительные или вир-
туальные токи ветвей цепи. Если результат есть ряд то-
ков, которые подчиняются первому закону Кирхгофа,
тогда мы назовем Л токовым оператором Кирхгофа. На-
пример, если комплект токов в ветвях {»а (/)} подчиня-
ется первому закону Кирхгофа, то тогда и их производ-
ные по времени тоже ему подчиняются. Таким образом,
одним примером токового оператора Кирхгофа является
производная по времени; другим примером будут преоб-
разования Фурье; если {ia (/)} подчиняется первому за-
кону Кирхгофа, то ему также подчиняется и комплект
преобразований Фурье {/ (<о)}.
Аналогично мы будем называть оператор Л опера-
тором напряжения Кирхгофа, если он дает комплект на-
пряжений ветвей, которые подчиняются второму закону
Кирхгофа, когда действует на систему напряжений, под-
чиняющихся этому закону Мы будем применять термин
оператор Кирхгофа, имея в виду или оператор напряже-
ний Кирхгофа или токовый оператор Кирхгофа в зави-
симости от того, какой оказался подходящим в контексте.
Многие операторы Кирхгофа (включая примеры, приве-
денные выше) являются и токовыми операторами и опе-
раторами напряжений, по это не всегда так.
18
В примерах, упомянутых выше, оператор Кирхгофа
(чтобы быть конкретней, рассмотрим оператор напряже-
ний Кирхгофа) применяется отдельно к каждому (дей-
ствительному или виртуальному) напряжению ветвей.
Но вообще операторы применяются ко всей системе па
пряжений ветвей. Подходя, скажем, к Лиг, можно при-
нять в расчет напряжения в других ветвях с учетом того,
как ветви взаимосоедипепы (т. е. с учетом топологии).
Примером оператора напряжений Кирхгофа, который
зависит от топологии, является тот, который выбирает
разности между квадратами узловых потенциалов для
образования напряжений ветвей, которые подчиняются
второму закону Кирхгофа. В данном случае этот опера-
тор не является токовым оператором Кирхгофа.
Тем не менее многие из операторов, применяемых ла
практике, обладают тем свойством, что при подходе, ска-
жем, к другие токи ветвей (действительные пли
виртуальные) й, й, й и т. д. игнорируются. Эти опера-
торы могут, однако, зависеть от других параметров, как-
то от частоты, температуры и т. д. Докажем, что такие
операторы должны быть линейными1. Из обратного
утверждения легко видеть, что все линейные операторы,
которые действуют на напряжения или токи ветвей раз-
дельно, являются операторами токов и напряжений Кирх-
гофа. Большинство операторов, применяемых в этой кни-
ге, являются линейными
Чтобы доказать только что высказанное утверждение,
полагаем, что {й } есть система токов ветвей, которые
подчиняются первому закону Кирхгофа:
й = В$а ip (2-15)
Так как Л не зависит от топологии и игнорирует все
токи, за исключением того, на который он действует, его
можно таким же образом применить к независимым то-
кам /р. Если Л является токовым оператором Кирхго
фа, то, значит, первый закон Кирхгофа имеет силу, и мы
получим:
Лй = 2Р Д₽о(Л/₽). (2-16)
При подстановке (2-15) в (2-16) мы получаем требую-
щееся условие:
Л (Sp Вра jp ) = Sp Вра (Ajp). (2-17)
* Применение линейных операторов не ограничивает теорему
линейными цепями.
Г 19
Это условие имеет силу для произвольного , таи
что необходимо, чтобы оператор Л был линейным. Так
как элемент В₽х — вещественное число, то нет необхсЛ
димостп, чтобы \ действовал линейно на комплексны^
числа; действительно, в пределах нашего понимания тер-
мина сопряженный комплекс есть линейная операция.
Хотя линейные операторы находят частое использо-
вание в применении обобщенной формы теоремы Теллед-
жепа, следует подчеркнуть, что имеется много полезных
операторов Кирхгофа, которые не являются линейными.
Если А действует на полную систему токов {К}, л
не на каждый ia индивидуально, то (2-16) бессмысленно,
потому что действие А на независимые токи /р не было
определено. Тем не менее, если А является токовым
оператором Кирхгофа, тогда комплект токов {Aia} под-
чиняется первому закону Кирхгофа и может быть запи-
сан как произведение матрицы Вра па ее собственный
ряд независимых токов. Это значит, что формула, по-
добная (2-16), действительна при замене Ajp некоторыми
соответствующими величинами.
Некоторые примеры операторов Кирхгофа, из числа
которых многие являются линейными операторами, при-
водятся ниже, в приложении I.
2-8. ОБЩАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
Пусть А' и \" будут два (возможно разные) опе-
ратора Кирхгофа *. Если Л' линейный оператор, тогда
эффект действия его па уравнение (2-1) будет:
A'ie=£₽B₽n(A'/₽). (2-18)
Если А' не является линейным оператором, факт, что
он — токовый оператор Кирхгофа, показывает, что ряд
токов (A'ta) подчиняется первому закону Кирхгофа и,
следовательно, подчиняется уравнению, подобному
(2-18), но с A'jp, замененными на соответствующие ве-
личины. Аналогично, если А" является оператором на-
1 Здесь будем называть Л' и Л" операторами Кирхгофа, предо-
ставляя читателям установить, что Л' явпяется токовым оператором
Кирхгофа, однако ему не обязательно быть оператором напряже-
ния Кирхгофа; в отношении Л" — наоборот.
20
пряжений Кирхгофа, то Л" иа подчиняется уравнению,
подобному (2-2):
Вра (Л''на) —0. (2-19)
Если Л" является линейным оператором, то (2-19)
может быть найдено из (2-2). Точно таким же путем,
который ведет от (2-1) и (2-2) к (2-5) и от (2-6) и (2-7)
к (2-8), мы получим:
SpA'tpA"up = £„ A'z'a Л"ыа. (2-20)
Это и является наиболее общей формулировкой тео-
ремы Телледжена, на которую мы будем ссылаться. Она
имеет силу для любых операторов Кирхгофа А' и А",
для любых конститутивных законов элементов, для лю-
бых типов питания и для любых начальных условий.
Если А' и Л" принимаются как операторы тождествен-
ности, (2-20) приводится к (2-5). С другой стороны, если
А' и А" избирают различные состояния цепи, (2-20)
сводится к теореме квазимощиости, т. е. к (2-8).
Некоторые читатели могут предпочесть одни из вы-
водов теоремы квазимощиости, приведенных в § 2-6.
Каждый из этих выводов может быть обобщен с при-
менением операторов Кирхгофа для получения (2-20).
Чтобы отличить (2-20) от двух других форм теоремы
Телледжена, назовем уравнение (2-20) «сильной формой».
2-9. СЛАБЫЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
Переменим роли А' и А" в (2-20) теоремы Теллед-
жепа, тогда получим’:
ЕрЛ''«рЛ'Цр = Еа A"ta A'ua . (2-21)
Вычтем (2-21) из (2-20):
£p(A'ipA'Tzp—A''4,A'Up)=Sa(A'zaA'' ua—A"iah'ua) (2-22)
Это уравнение мы будем называть «разностной фор-
мой» теоремы Телледжена. Оно может быть выведено из
сильной формы, но обратное невозможно.
Сумма (2-20) и (2-21) приводит нас к иногда приме-
няющемуся другому виду теоремы Телледжена:
Sp (A'ipA''iZp + A"ipA'up) = Sa (A'ia A"u7+ Л'и«).
(2-23)
* Предполагается, что операторы Л' и Л" одновременно являют-
ся токовыми операторами и операторами напряжений Кирхгофа.
В частности, пригодны линейные операторы.
21
Это уравнение будем называть «суммовой формой*
теоремы Телледжена. Две слабые формы теоремы полез-^
ны по двум причинам. Во-первых, они используются во
многих применениях теоремы Телледжена, и было бы
неудобным обращаться дважды к сильной форме. Вто-
рая причина — слабые формы особенно хорошо подхо-
дят при волновых переменных.
2-10. ИДЕАЛЬНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ
Не обсуждая конститутивные законы элементов
в целом, можно сделать исключение в части трехполюс-
пого рис. 2-9 или четырехполюспого рис. 2-10 идеальных
Рис. 2-9. Идеальный
трансформатор; опре-
деление напряжений
и токов.
трансформаторов, для
выражаются так:
Рис. 2-10. Идеальный
трансформатор с че-
тырьмя зажимами.
которых конститутивные законы
iii=Nu2;
i2——Nit,
(2 24)
(2-25)
где А есть вещественная постоянная — коэффициент
трансформации.
Из определения видно, что для любых операторов
Кирхгофа А' и Л"1
A'iiA//Ui+A'i2A//U2=0. (2-26)
Следовательно, всякий раз при применении теоремы
Телледжена (в любой из ее форм) к цепи, в которой
1 Допускается, что операторы Кирхгофа определяют «напряже-
ния» и «токи», согласующиеся с (2-24) и (2-25) Это справедливо
для линейных операторов, которые не изменяют коэффициента
трансформации, но может быть несправедливым по отношению
к другим операторам Кирхгофа
। меются идеальные трансформаторы, часть суммы, име-
ющая отношение к ветвям трансформатора, автомати-
чески ставится нулем и потому может быть исключена.
Эго же самое правило относится и к многозажимным
идеальным трансформаторам, по не к трансформаторам
( комплексным или зависящим от времени коэффпцпеп-
юм трансформации. Насколько известно авторам, други-
ми элементами, действие которых в теореме Теллед-
жена всегда равно нулю для всех операторов Кирхгофа,
являются лишь короткозамкнутые ветви (п=0) и разо-
мкнутые ветви (/=0).
Идеальный трансформатор обладает свойством пе-
шергетпчности в том смысле, что мгновенная мощность
в нем всегда равна нулю. Тем не менее имеется и дру-
гое свойство, что он ничего не вносит в теорему Теллед-
жена в отличие от многих других пеэнергетичпых эле-
ментов, как-то гираторов, идеальных диодов, конъюпкто-
ров (Дюннкср, 1962 г. [Л. 55]) п традиторов (Дюинкер,
1959 г. [Л. 52]).
Если ясно не сформулировано противоположное, все
теоремы в этой книге остаются в силе, когда в цепи име-
ются идеальные трансформаторы.
2-11. ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА ДЛЯ ДВУХ ЦЕПЕЙ
Теорема Телледжена была выведена для одиночной
цепи и для операторов Кирхгофа, действующих на па
пряжение и ток в этой цепи. Если возьмем две цепи
с идентичной топологией, то доказательство теоремы не
изменится, если рассматривать токи одной цепи, а на-
пряжения— другой. Обе цепи должны, конечно, иметь
одинаковую индексацию ветвей и входов. Как пример
двух цепей с одинаковыми топологиями см. рис. 2-6 и
2-7.
Теорема Телледжена для двух цепей может быть рас-
смотрена как специальный случай уравнений (2-20) при
условии свободной интерпретации операторов Кирхгофа,
позволяющей им, в частности, как выбирать цепь, так и
выполнять другие операции. Теорема Телледжена для
случая двух цепей была доказана и применена Бордеви-
ком (1956 г.) (Л. 13].
Одно из возможных применений теоремы Телледжена
для двух цепей относится к симметричным цепям. Пред-
положим, чго цепь симметрична в том смысле, что ее
23
юйология остается инвариантной в группе преобразова-
ний (нет, одпако, необходимости, чтобы система токов и
напряжений, конститутивные законы, питание или на-
чальные условия были бы инвариантными). В таком слу-
чае система токов или напряжений в теореме Телледже-
на или обе системы вместе могут быть отнесены к цепи
после одного или более преобразований этой группы. Не-
известно, насколько теорема Телледжена может быть по-
лезна в этом отношении.
2-12. ДУАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
Рассмотрим вторую цепь, которая является дуаль-
ной к первоначальной цепи. Дадим входам и ветвям двух
цепей индексы, согласующиеся с дуальностью. Тогда
второй закон Кирхгофа для первоначальной цепи иден-
тичен по форме с первым законом Кирхгофа для второй
цепи. Можно поэтому установить ряд зависимостей меж-
ду токами двух цепей, аналогичных теореме Телледжена:
АТО Л"Д — 0, (2-27)
где ia — токи второй цепи.
Насколько известно авторам данной книги, такая
форма теоремы Телледжена никогда еще не применя-
лась.
2-13. ВОЛНОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Приведенные здесь определения сделаны по образцу
определений Карлина (1956 г.) [,Л. 22]. Рассмотрим ка-
кую-либо ветвь цепи с напряжением и током io (ана-
логичные аргументы относятся и к входам). Используя
любую вещественную положительную величину с
размерностью сопротивления и известную как нормали- |
зованное полное сопротивление, определим входящую вол-
ну ая и исходящую волну Ьа следующим образом:
--- /-----------
2 J Z"
г а
« — z'i ‘
t, ___ а а ।
С1 а —— .----
21 Z”
(2-28)
(2-29)
24
Эти полны являются функциями времени, хотя, ко-
нечно, применив к ним преобразования Фурье, можно
определить функции в частотной области. Ток и иапря
жение могут быть найдены как функции волновых пере-
менных:
(2-30)
На % a (da + ba );
(2-31)
Мощность в элементе данной ветви будет:
ia Ua = fl, — ba . ( 2-32)
Волновые переменные имеют размерность квадрат
ного корпя из мощности. Волновые переменные могут
быть определены в каждой ветви п в каждом входе; пет
необходимости иметь все нормализованные полные со-
противления Z" равными; все они вообще могут быть
разными. Часто отдается предпочтение применению ком-
плексного, а не вещественного нормализованного полно-
го сопротивления. Это описывается в приложении 2.
2-14. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА, ВЫРАЖЕННАЯ
В ВОЛНОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теорема Телледжена может быть выражена в вол-
новых переменных. В этом случае (2-20) превращается
в зависимость
EpATpA''/tp = Ep(A7z|JA'T7p4-A'rtpA',6p — А'6рЛ''Лр —
A'fepA"6p) — Л'/а Л"г/а = Еа (А'яа \"аа + Л’«„ Л"Ьа —
- К'Ьа A"da - Л'/?о Х"Ьа); (2-33)
здесь принято, что операторы Л' и А" не влияют на нор-
мализованные полные сопротивления *.
Эта форма теоремы Телледжена в некоторой степени
усложнена, хотя ее и легко доказать путем подстановки
(2-30) и (2-31) в (2-20)
1 Оба эти оператора должны быть как операторами напряжений
Кирхгофа, так п операторами токов Кирхгофа.
25
Можно паппсать две менее сложные формы уравне-
ний. Первая форма получается из разностной формы тео
ремы Телледжена, распространенной на волновые пере-
менные:
2Р (A'ipA"up — Л"/рЛ'»р) = 2Lp (A'apA"bp — А"арА'Ьр) =
—а (Л'‘«Л'Ч - Л,,/аЛ'“а)=2Ч ~ A"aaA'baY
(2-34)
Вторая форма получается из суммовой формы, рас-
пространенной па волновые переменные:
Sp (A'tpA'Ttp 4- A'T’pA'Up) = 2SP (ArapA"ap - A'bpA"bp) =
—Ea (A'ia A"ua + A"ia A'ua )=2Ea (A'rttt A"aa —A'ba A"ba).
(2-35)
Эти формы могут быть выведены либо с помощью
(2-33) и другого подобного же уравнения, в котором Л'
и Л" переменены местами, либо посредством подстанов-
ки (2-30) п (2-31) в (2-22) и (2 23). Заметим, что вол-
новые переменные появляются в (2-34) так же, как на-
пряжение и ток, благодаря чему многие результаты, по-
лучаемые для матриц полного сопротивления, имеют си-
лу для матриц рассеивания. Обратим также внимание па
то, что действие на входах в (2-33) и (2-35) может оце-
ниваться либо посредством токов и напряжений, либо
посредством волновых переменных. Такого же рода дей-
ствие будет и в ветвях. Для примера можно приравнять
второе и третье выражения в (2-34) так, что сумма чле-
нов, содержащих волновые переменные на входах, будет
равна сумме членов с токами и напряжениями в ветвях.
Такая гибкость полезна в применениях теоремы Теллед-
жена.
В более широком смысле можно сказать, что дейст-
вие от каждого входа или каждой ветви может быть
написано или в форме ток — напряжение или в форме
волновых переменных. Таким образом, мы можем исполь-
зовать ток и напряжение на одном входе и волновые пе-
ременные на другом. Это допускается непосредственным
обобщением уравнений (2-33) — (2-35); действие каждого
входа или каждой ветви имеет или указанную форму
ток — напряжение или же указанную форму волновых
переменных (но не обе).
26
2-15. ВЕКТОРНО-ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
Пожалуй, нанлучшим изложением теоремы Теллед-
жена является формулировка в функциях ортогопалыю-
сш подпространств векторного пространства. По суще-
ству эта форма дана Вейлом
(1923 г.) {Л. 168], Боттом (1949 г.)
[Л. 15] и Боттом и Даффином
(1953 г.) (Л. 16]. Одну из лучших
формулировок с этой точки зрения
предложил Брайтон (1965 г.) [Л. 19].
Выражали теорему Телледжена в
згой форме Бердж и Гулия-Хури
(1962 1965 гг.) (Л. 5 и 6], Дезо и
Ку (1969 г.) [Л. 38]. Другое пред-
О Ьг
Рис. 2 11. Просты
цепь с двумя ветвя
мп (/, 2).
сгавлсние цепей в функциях ортого-
нальных подпространств было сде-
лано Кровом (1939 г.) (Л. 85].
Рассмотрим цепь с b ветвями.
Напряжения ветвей образуют век-
гор 6-го измерения, который подчи-
няется второму закону Кирхгофа.
Подобным же образом токи ветвей
также образуют вектор b-ro измере-
ния, который подчиняется первому
закону Кирхгофа. Пусть V будет
комплектом всех векторов b-ro изме-
рения, которые подчиняются второ-
му закону Кирхгофа, и Г — комп-
лектом всех векторов 6-го измере-
ния, которые подчиняются первому
закону Кирхгофа. Заметим, что по
определению оператор напряжения
Кирхгофа преобразует V самого
в себя (V) и подобно этому токовый
оператор Кирхгофа преобразует Г
самого в себя (Г). Тогда из теоремы
что V и Г являются ортогональными
Рис. 2-12. Двухмер-
ное векторное про-
странство с подпро-
странством векторов
V, которые удовле-
творяют второму за-
кону Кирхгофа, и
с подпространством
векторов Г, которые
удовлетворяют пер-
вому закону Кирх-
гофа.
Телледжена имеем,
подпространствамн
векторного пространства 6-го измерения, т. е. любой век-
тор комплекта V ортогонален любому вектору комплек-
та Г.
В качестве примера этой формулировки рассмотрим
тривиальную цепь на рис. 2-11. Выбранная цепь имеет
только две ветви, так что векторное пространство 6-го
27
измерения может быть легко изображено. Второй закон
Кирхгофа tii = U2 ограничивает подчиняющиеся ему век-
торы расположением вдоль линии, помеченной знаком b
на рис. 2-12. Аналогично линия, помеченная у, есть ком-
плект всех векторов, которые подчиняются первому за-
кону Кирхгофа ti + /2=0. Очевидно, что оба подпрост-
ранства b и у ортогональны и, значит, hUi + »2U’=0.
2-16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНОВ КИРХГОФА
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА
В данной главе теорема Телледжена доказывает-
ся при помощи законов Кирхгофа. Возникает вопрос,
нужны ли законы Кирхгофа для того, чтобы теорема
Телледжена имела силу? В этом параграфе будет пока-
зано, что второй закон Кирхгофа вместе с теоремой Тел-
леджена заключают в себе первый закон Кирхгофа и что
первый закон Кирхгофа вместе с теоремой Телледжена
заключают в себе второй закон Кирхгофа. Более точно
покажем, что любая система токов, для которой
= (2-36)
для всех распределений напряжения, согласующихся со
вторым законом Кирхгофа, автоматически удовлетворяет
первому закону Кирхгофа. Доказать это не трудно.
Возьмем разрез цепи (к примеру, узел в ней), в кото-
ром суммарный ток не равен пулю; это значит, система
токов не подчиняется первому закону Кирхгофа. Одним
из распределений напряжения, согласующихся со вторым
законом Кирхгофа, является то, в котором при потенциа-
ле всех узлов по одну сторону разреза, равном пулю,
потенциал всех узлов по другую сторону равен единице.
Тогда взятая в отдельности ветвь имеет напряжение, не
равное нулю, только в том случае, если она разрывается
при разрезе цепи, а следовательно, (2-36) сводится
к утверждению, что суммарный ток разреза равен нулю.
Это противоречие и доказывает теорему.
Доказательство дуальной теоремы подобно приведен-
ному. Покажем, что любая система напряжений, при ко-
торой (2-36) сохраняет силу для всех распределений то-
ка, которые подчиняются первому закону Кирхгофа, авто-
матически удовлетворяет второму закону Кирхгофа. До-
28
। лзагельство не сложно. Возьмем в цепи контур, для
которого сумма напряжении в ветвях не равна нулю.
Рассмотрим распределение токов, состоящее из тока,
равного 1 А, циркулирующего в этом контуре; других
iokob в цепи нет. Это распределение подчиняется перво-
му закону Кирхгофа; тогда (2-36) приводит к формули-
ровке, что сумма напряжений ветвей в контуре равна
нулю. Противоречие обосновывает теорему.
Мы показали, что распределение тока ортогонально
ко всем распределениям напряжения, которые удовлет-
воряют второму закону Кирхгофа только при условии,
если оно само удовлетворяет первому закону Кирхгофа,
п наоборот. Однако не было показано (и это не всегда
правильно), что система токов должна удовлетворять
первому закону Кирхгофа просто потому, что она орто-
гональпа некоторым распределениям напряжений, кото-
рые подчиняются второму закону Кирхгофа.
2-17. СВОДКА
В этой главе было доказано несколько форм теоре-
мы Телледжена, перечисленных в табл. 2-2. Все эти фор-
мы записаны в функциях операторов Кирхгофа.
Таблица 2-2
Формы теоремы Телледжена
Сильная Разностная Суммовая
Применение напряжения н тока Применение также и волновых (2-20) (2-22) (2-23)
переменных (2-33) (2-34) (2-35)
Было показано, как обобщить эти шесть форм теоре-
мы для случая двух цепей, топология которых пли иден-
тична, или дуальна. Распространение на конститутивные
зависимости в неопределенной форме будет рассмотрено
в приложении 3.
Главы 3—7 включительно посвящены показу полез-
ных результатов применения теоремы Телледжена в спе-
цифических случаях.
29
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕПЯМ
Теорема Телледжена была получена без принятия
но внимание разновидностей включенных в цепь элемен-
тов. Обычно эта теорема применяется к цепи определен-
ного вида, например к цепи с нелинейным активным
сопротивлением или к линейной цепи RLC. В этой главе
из теоремы Телледжена выводится несколько общих тео-
рем, которые применимы ко всем видам цепей.
3-1. ТЕОРЕМА МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ
Если Д' и А" являются операторами тождественно-'
сти, то теорема Телледжена [уравнение (2-20)] приво-
дится к виду
Epip(/)Mp(0 = SJx(0««(0- (3-1)
Сумма в левой части уравнения относится к входам;!
каждый член ее является мгновенной мощностью, по-
ступающей в цепь. Сумма в правой части относится
к ветвям, и каждый член ее является мгновенной мощ-
ностью, поставляемой элементу ветви а.
Уравнение показывает, что в каждый момент време-
ни мощность, поглощаемая цепью иа ее входах, полно-
стью распределяется между элементами цепи. Этот ре-
зультат хотя и не тривиален, по настолько общепринят,
что пнкто из читателей не будет им удивлен.
Некоторые виды элементов цепи (например, пассив-
ные, без потерь или неэнергетичные) могут быть охарак-
теризованы в соответствии с их способностью поглощать
энергию. Уравнение (3-1) может быть использовано для
показа того, что цепи, состоящие из элементов опреде-
ленного класса, сами относятся к тому же классу, на-
пример цепи из пассивных элементов являются сами по
себе пассивными.
3-2. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ МАЛОГО СИГНАЛА
Часто случается, что цепь подвергнута смещению
в некоторых рабочих точках для элементов цепи *; в та-
1 Имеется в виду сеточное смещение (в электронных прибо-
рах), смещение базы или эмиттера (в полупроводниковых прибо-
рах), поляризация, «преобладание» (в регулировке электромагнит-
ного механизма) и т и. (Прим, род.)
30
кпх случаях внимание фокусируется на возмущениях из
этого «невозмущенпого» состояния. Это состояние может
быть постоянным или зависимым от времени Возникает
вопрос, подчиняются ли возмущения какой-либо теореме
сохранения энергии. Теорема Телледжена частично обес-
печивает ответ.
Предположим, что токи и напряжения на входах п
в элементах разложены на невозмущенные части и воз-
мущения-
= + (3-2)
Выражение для напряжений аналогично. Еслп Л' п
А" используются для выбора невозмущениой части или
возмущений, то теорема Телледжена (2-20) сводится
к четырем отдельным теоремам:
у ;(0), .(0) р р р = 2, •(О) № (3-3)
1УО)Н(|) р р р = 2« i(0) и'1'; (3-4)
у ;() ,.(0) р Р Р £-(1) 40); • (3-5)
у 7(I) п(1) Р Р Р •'а. (3-6)
Первая из них может быть объяснена как соотноше-
ние сохранения энергии для невозмущенпого состояния.
Четвертая есть зависимость, включающая только возму-
щения. Она формулирует, чго некоторый своеобразный
вид «мощности» распределен по элементам цепи. Эта
«мощность малого сигнала» может быть часто объяснена
физически, например, в обычной ситуации, когда воз-
мущения отличаются по частоте от невозмущенных на-
пряжении и токов. Объяснения второй и третьей теорем
менее просты, однако они помогают показать механизм
взаимодействия между ударным возбуждением и пере-
менными малого сигнала.
Опп приводятся здесь как указание на тот факт, что
теорема Телледжена часто приводит к результатам, кото-
рые хотя и правильны, по трудно объяснимы.
Элементы цепи могут быть классифицированы со-
гласно их способностям принимать или генерировать
мощность малого сигнала. Так, элементы, которые могут
генерировать мощность малого сигнала для малых из-
менений около точки равновесия при постоянном токе,
называются «местноактивными»; примерами служат тун-
31
цельный диод и транзистор. Элементы, которые могут
генерировать мощность малого сигнала для малых воз-
мущений около зависимого от времени невозмущенпого
состояния, могут быть названы «параметрически актив-
ными»; примером может служить нелинейный конден-
сатор. В таком случае (3-6) может быть применено, что-
бы показать, например, что усиление возмущений не-
возможно при независящем от времени невозмущенпом
состоянии, если по крайней мере один элемент в цепи
не является местпоактивным.
Обычно расчеты свойств малого сигнала элементов
ограничены возмущениями первого порядка, а компонен-
тами высшего порядка пренебрегают. В других случаях,
однако, необходимо выделить часть возмущения первого
порядка, часть второго порядка, часть третьего порядка
и т. д. Теорема Телледжена может быть применена для
доказательства большого количества результатов, подоб-
ных (3-3) — (3-6), но с величинами пулевого и первого
порядка, замененными величинами нулевого, первого,
второго, третьего порядка и т. д. Производим дальней-
шее обобщение. Допустим, что каждый из операторов
Кирхгофа в теореме Телледжена состоит последователь-
но из двух операторов Кирхгофа, один из которых из-
бирает порядок отклика, а другой остается произволь-
ным. Таким образом, обобщенная форма (3-6) будет
иметь вид:
SpA'iJ’ Л'Т/1’ = L, A'i(al,A"u<al). (3-7)
Обобщения трех других теорем аналогичны. Уравне-
ние (3-7) может привести к многочисленным другим тео-
ремам точно таким же путем, как это получается из
теоремы Телледжена (2-20).
3-3. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО
ТОКОВ
Взятие среднего по времени напряжения или тока—
линейная операция, так же как и взятие остатка пере-
менной после того, как вычислена средняя по времени.
Это дает части переменной, относящиеся соответственно
как бы к режиму постоянного тока (de) и к переменно-
му по времени режиму (ас):
«а(0 = ^С) + и<х(иС)- (3 8)
з?
Если эти операторы отождествить с Л' и А", то тео-
рема Телледжена (2-20) приводит пас к зависимостям:
у ;(dc) uldc) = р :2с ;(dc с ьа ) (de>. 14 а
у Adc) Ър1р и{пс) = р 2а ;(^с) «Г’;
у ;(«с) LP1P tz,dc> = р 2а
V ;<цс) ^Jnl р р и1ас) = р 2а .(ос) и™.
(3-9)
(3-10)
(3-11)
(3-12)
Первое уравнение может быть объяснено как теоре-
ма мощности постоянного тока, а последнее уравнение
есть теорема мощности переменного тока. Два средних
уравнения — более неясного смысла, но они показывают
взаимодействие между источниками и стоками перемен-
ного и постоянного токов.
3-4. ТЕОРЕМЫ ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Обычно временная область более применима для
нелинейных цепей, чем частотная область. Однако не об-
ращая внимания на то, является ли цепь линейной или
нелинейной, можно применять преобразования Фурье для
переменных, например:
ОС
wa(0 = -2“ Ua(w)eia,tdw, (3-13)
—оо
со
Да(«’)= j ua(t)e-i^dt. (3-14)
—оо
Если какая-нибудь из переменных периодична или
имеет периодическую часть, то частотные переменные
имеют импульсы па определенных частотах.
Операция применения преобразований Фурье линей-
на, даже если она и применяется здесь для переменных
в цепях, которые могут быть нелинейными. Если обозна-
чим через \" преобразование Фурье, а через Л' — его
сопряженный комплекс, то теорема Телледжена (2-20)
превращается в выражение
ърГир=ъГаиа. (3-15)
Этот результат может быть рассмотрен как закон
сохранения активной и реактивной мощностей; при этом
активная мощность является активной составляющей
<—364
зз
Г'U, а реактивная мощность есть мнимая составляю,
щая 1 Возможно, что более интересным случаем будщ
тот, в котором напряжения и токи являются суммами
синусоид с частотами ощ
и,Д/)=Е/7‘ае. (3-16)
Типичными примерами являются состояния с частота
мп формы пш(, или формы Hcoi + псйо- Если Л" избирает
составляющую со,-, а Л' избирает ее сопряженный ком-
плекс, то теорема Телледжена (2 20) сводится к следу
ющему уравнению:
(3-17)
Это есть выражение закона сохранения активной и
реактивной мощности па каждой частоте.
Преобразователи частоты можно класснфпцпрова гя
в соответствии с тем, подчиняются они пли пет каким
либо из различных ограничений между активной и ре-
активной мощностями при различных частотах. Типичны!
мп из таких «формул связи частот с мощностью» явля-|
ются формулы Манли — Роу [Л. 50, 51, 54. 103, 123, 121].
ограничения преобразования активной мощности в нелп4
ценных сопротивлениях (Пэйдж, 1956 г.; Паителл, 1958 г.|
Пенфилд, 1960 г.) (Л. 116, 117, 123], ограничения в от!
ношении реактивной мощности в нелинейных сопротив
линиях (Манли и Роу, 1956 г.; Пенфилд, 1960 г.) [Л. 103,
123], ограничения в отношении реактивной мощности
в нелинейных конденсаторах и катушках индуктивности
(Пенфилд, 1960 г.) [Л. 123] н формулы Блэка для актив!
пой н реактивной мощностей в гармонических генерато
рах с нелинейными конденсаторами [Л 9]. Все ограпиче
пия имеют общую форму, такую, что взвешенная сумм I
но частотам
ReSift/fl/a. (3-18)
может быть либо нулем, либо неотрицательной, либо не-
положительной. Здесь Re означает вещественную часть,
и gt является вещественной, мнимой или комплексной!
функцией (о,- и ее связи с другими частотами.
1 Так как частотные переменные определяются посредством
интегральных преобразований Фурье, а не из рядов Фурье, эта
интерпретация не совсем прямая.
34
Из (3-17) можно вынести, что цепь, состоящая толь-
ко из устройств определенного типа, сама того же типа.
Гак, цепь из элементов, которые подчиняются формулам
Манли и Роу1, сама подчиняется формулам Маили и
Роу, если мощности при различных частотах рассчитаны
па входах цепи. Эти результаты были приведены раньше
Пенфилдом (1900 г.) [Л. 123].
3-5. ТЕОРЕМЫ О СТОХАСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если напряжения и токи в цени по своей природе
стохастические, то тогда операция взятия средних значе-
нии (обозначенных здесь горизонтальной чертой) есть
операция линейная. Если Д' и А" берут средние значения
переменных1 2, то теорема Телледжена (2-20) превра-
щается в соотношение
пр — i i Чц (3-19)
которое выражает зависимость между средними значе-
ниями напряжения п тока.
До некоторой степени более полезный результат воз-
никает из допущения, что Д' выражает в числах пере-
менные в момент времени /+т и А"—в момент времени
/. Среднее значение предпочтительнее брать после при-
менения (2-20); тогда получается:
Ергр {t 4- т) Up (/) = Еа ia (/ + т) Ыа (/). (3-20)
Это является зависимостью между перекрестными
корреляциями напряжения п тока, измеренных па раз-
личных входах и ветвях.
3-6. ТЕОРЕМА РАМО
Рамо (1939 г.) вывел основную теорему, которая
полезна при проектировании и анализах электронных
устройств [Л. 129]. Эта теорема дает токи, индуктирован-
ные на электроде зарядами, движущимися поблизости.
Индуктированный ток, характерный для одиночно заря-
1 Напомним, что линейные реактивные элементы подчиняются
формулам Манли—Роу тривиальным образом.
2 Принято, что операция взятия средних—линейная Это спра-
ведливо по крайней мере для эргодпчных процессов.
35
женпого носителя с зарядом е и со скоростью v, бутст
равняться:
i=ev-E', (3-21)
где Е' — электрическое поле, которое существовало бы
в месте нахождения частицы, если бы частица была уда-
лена, а данный электрод имел бы потенциал, равный
1 В, причем все другие электроды были бы с потенциа-
лом, равным пулю.
Аналогичная цепь может быть легко показана с по-
мощью теоремы Телледжена. Допустим, что мы знаем
распределение токов ia внутри цени и хотим вычислить
входные токи ip. Пусть обозначенная штрихом операция
относится к случаю, когда напряжение U' приложено
к исследуемому входу, а все другие входы находятся под
напряжениями, равными нулю. Теорема Телледжена
(2-20) приводит к следующему выражению:
ip = ZaiaU'a/U’. (3-22)
Испытательное напряжение U' может быть любой ча-
стоты или амплитуды и может быть даже напряжением,
которое существовало бы, если бы некоторые из элемен-
тов цепи были различными. В действительности распре-]
деление напряжений U’a может быть любой системой
напряжений, которая подчиняется второму закону Кирх-
гофа и согласуется с пулевым напряжением иа других
входах, кроме исследуемого. Также возможна дуальная
теорема для нахождения входных напряжений, возник-
ших при некотором заданном распределении напряжений
ветвей.
3-7. ТЕОРЕМА ЧЕТЫРЕХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА
Волэвер (1970 г.) доказал замечательную теорему
общего характера, которую применяют при нахождении
основных границ действия преобразователей постоянного
тока из одного вида в другой [Л. 170]. Эта теорема на-
звана теоремой «четырех корзин», потому что каждая
из ветвей или входов1 цепи причислена к одной из четы-
рех систем, а это значит, что каждая ветвь как бы «бро-
шена в одну из четырех корзин». Это назначение полпо-
1 Прежде чем обратиться к теореме, заменим направление на-
пряжения (или тока) каждого входа на обратное из-за разных пра-
вил знаков для ветвей и входов, как это рассматривалось в § 2-1.
36
чью произвольно, за исключением того, что ни одна
ветвь в корзине 4 не может иметь мощности, вытекаю-
щей из нее, это значит, что все ветви в корзине 4 имеют
ia ua^0. Другие корзины могут иметь или не иметь
какие-либо ветви, а эти ветви могут иметь пли не иметь
I. «а > 0.
Теорема будет гласить:
Ем (з-23)
(И Ь2 1>1 ЬЛ
|де суммы относятся к корзинам 1, 2 и 3.
Ветви в корзине 4 не суммированы. Эта теорема заме-
чательна тем, что назначение ветвей в корзинах 1, 2 и 3
полностью произвольно. Так, при разумных назначениях
угу теорему можно применить для получения разпооб
разных основных ограничений. Теорема может быть до-
ка sana с помощью теоремы Телледжена.
Прибавим к цепи nt—1 новых ветвей (где /7/ есть
число узлов цепи) в нижеследующем порядке. Располо-
жим узлы по порядку в зависимости от величины их по
leimiia.noB, идя от низшего к наивысшему*. Затем при
бавляем новую ветвь между узлом с низким потенциа-
лом и узлом со следующим по величине потенциалом,
затем новую ветвь между этим последним узлом и сле-
дующим узлом и т. д., пока не пройдем все узлы. Каж-
дая новая ветвь является разомкнутой, так что распре-
деление напряжений и токов в цепи не изменилось. Но-
вые ветви образуют дерево сети, и все иа могут быть
выражены через напряжения ветвей дерева при помощи
второго закона Кирхгофа.
Теперь предположим, что каждая первоначальная
ветвь предназначена для одной из четырех корзин при
одном условии, что у всех ветвей в корзине 4 ia иа ^0.
Теперь представим себе предположительное распределе-
ние напряжений в цепи, построенное следующим обра-
зом.
Начнем с первоначального распределения напряже-
ний. Затем приведем к пулю сколько возможно напря-
1 Для цепей с постоянными напряжениями (например, для це-
нен с нелинейными резисторами) это осуществимо непосредственно
для цепей же с напряжениями, изменяющимися по времени, это
делается для определенного момента времени
37
женин ветвей дерева (дерево состоит из новых ветвей)
без изменения напряжения любой ветви в корзине 2 Эго
значит, что если в выражении напряжений ветвей через
напряжения ветвей дерева (по второму закону Кирхго-
фа) какое-то из напряжений ветви дерева не появляется
в любом из выражений для напряжений ветвей, находя-
щихся в корзине 2, то напряжение этой ветви дерева
приведено к нулю. Теперь, когда напряжения ветвей де-
рева фиксированы, по второму закону Кирхгофа опре-
деляются напряжения всех других ветвей. Назовем ре-
зультирующее распределение напряжений и'а. Отметим
следующие факты.
Во-первых, для каждой ветви в корзине 2
На — ««• (3 24)
Затем для каждой ветви в корзинах 1, 3, и 4 иа не
больше иг1 и имеет тот же знак. Таким образом, иа ле-
жит между 0 и иа (или оно может быть равно 0 или
иа); в частности, для ветвей в корзине 4
(3-25)
и для ветвей в корзинах 1 и 3
| В. иа | > — i иа . (3 26)
Наконец, ни одно из напряжений ветвей и'а не мо-
жет быть больше, чем сумма всех напряжений ветвей
дерева, в свою очередь эта сумма не больше, чем сум-
ма напряжений всех ветвей в корзине 2.
Таким образом,
| «а 1 < 5^ | | • (3 27)
Ь2
Теперь мы можем доказать теорему четырех корзин.
Обратимся к теореме Телледжена, используя первона-
чальные токи ia и новые напряжения и'а:
— S ix иа — U i.x иа — S ia ua=Yi ia иа ф- S ia и”. (3-28)
1Л Ь2 £3 Ь4 tree
Символ Х| означает суммирование по ветвям дерева; символы
tree
I, и т. д.—суммирование соответственно по всем ветвям, вхо-
Ы Ь2
ДЯ1ЦИМ в корзину 1, 2 и т. д.
38
Сумма по ветвям дерева равна 0, так как каждый
ia=0. Сумма для корзины 4 не отрицательна. Приме-
нив (3-24) — (3 27), получим желаемый результат —
(3-23). Аналогичное доказательство сохранит силу, если
вместо того, чтобы начать с фактических токов и напря-
жений, мы начали бы с любыми системами веществен-
ных токов и напряжений, которые подчиняются законам
Кирхгофа.
В частности, можно начать с любого оператора Кирх-
гофа, действующего на токи и напряжения. Необходимо
удовлетворить лишь одно требование, чтобы применяе-
мые токи и напряжения были вещественными (что позво-
ляет располагать узлы в порядке восходящего потенциа-
ла). Таким образом, теорема не имеет силы, например,
для комплексных коэффициентов Фурье, хотя ее и мож-
но применить по отдельности к вещественной и мнимой
частям. Необходимо обращать внимание иа то, чтобы,
когда оператор Кирхгофа вводит новый параметр, напри-
мер температуру или частоту, было обеспечено неравен-
ство Л' <оЛ"иа^ 0 по ветвям в корзине 4 для всех вели-
чин параметров, интересующих расчетчика.
Волэвер (1970 г.) также применил и доказал1 (по-
средством теоремы Телледжена) теорему, дуальную вы-
ражению (3-23) {Л. 170]:
X|ia| S|wa| — S la ua-|-SI ia ua I >0. (3-29)
62 61 b> b3
3-8. ТЕОРЕМА ТРЕХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА
Волэвер (1970 г.) доказал теорему, подобную тео-
реме четырех корзин, но используя только три системы,
или «корзины», ветвей (Л. 170]. Приписывают ветви
к трем корзинам в произвольном порядке, за исключе-
нием того, чтобы ни одна ветвь в корзине 3 не имела
мощности, выходящей из нее; это значит, что для всех
ветвей в корзине 3 ia иа^0.
Две другие корзины могут иметь или не иметь ветви,
и эти ветви могут иметь или не иметь i« «а 0. Отберем
1 Доказательство (3-29) дается на основе «теоремы положи-
тельного разложения» Бержа [Л 6].
39
какую-либо ветвь из корзины 3; пусть ее напряжение и
ток будут «р и ip ; тогда теорема гласит, что два урав-
нения
I «31 > S I /в I ;
ы
I «₽ I > - I "а I
Ь2
(3-30)
(3-31)
не могут иметь силу одновременно; это значит, что если
одно из них верно, то другое нет, пли оба они не верпы.
Таким образом, если случится, что напряжение вет-
ви больше, чем сумма напря?кений ветвей в корзине
2, то ток ip должен быть меньше, чем сумма токов вет-
вей в корзине 1. Это правильно независимо от того, ка-
ким образом активные элементы приписаны к корзинам
1 и 2. Эга теорема может быть доказана теоремой Тел-
леджена. Так же, как в доказательстве теоремы Волэ-
вера для четырех корзин, прибавляем 1 добавочных
ветвей с токами, равными нулю, чтобы получить возмож-
ность определить характер новой системы напряжений
и’а при использовании новых ветвей как дерева.
Во-первых, составим распределение напряжения при
приведении к нулю как можно большего количества на-
пряжений ветвей дерева без изменения какого-либо на-
пряжения на ветвях корзины 2 (точно так же, как мы
поступали в § 3-7). Затем спрашивается, имеется ли на
рассматриваемой ветви полное напряжение или нет?
Если да, тогда не может превышать суммы напря-
жений ветвей дерева, а оно в свою очередь не может
быть более чем сумма всех напряжений на ветвях в кор-
зине 2; таким образом, по крайней мере одно из двух
условий: (3-30) и (3-31), в данном случае именно по-
следнее, не верно. Если (3-31) было бы верным, тогда
должна быть по крайней мере одна не возбуждаемая
ветвь дерева, которая при получении возбуждения увс
личила бы и? в сторону его первоначального значения.
Определим следующее распределение напряжений
и'а: пусть данная ветвь дерева имеет напряжение 1 В,
а все остальные ветви дерева 0 В. В частности, имеем
| ы' | = 1 и н'а = 0 для всех ветвей в корзине 2. Кро-
40
ме того, каждое и а равно О, 1 пли 1 и имеет тот
же знак, что и иа. Таким образом, для ветвей в корзине 3
0. (3-32)
так что
V
__।
М
I 'з I
(3-33)
Обратимся к теореме Телледжена, используя перво-
начальное распределение токов и новое распределение
напряжений, и находим:
S /а«'а + Е inu'a + I 1>'а = 0. (3-34)
61 62 63 tree
Сумма по ветвям дерева равна нулю, так как i= 0,
а сумма по корзине 2 исчезнет, так как н'а = 0. Таким
образом, подставляя (3-33) в (3-34), находим:
I i. I < X i'.и' =— X! I и' < V | i | I и' _| < S I i I .
* р 1 а а а а 1 а 1 1 а 1 ^== 1 а 1
63 61 61 61
(3-35)
Это уравнение завершает доказательство.
3-9. ТЕОРЕМА ДВУХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА
Волэвер доказал теорему, подобную теоремам, при-
веденным в двух предыдущих параграфах, но только
с двумя системами, или «корзинами», ветвей [Л. 170].
Припишем ветви к двум корзинам так, что все ветви
в корзине 2 имеют поступающую в них мощность; это
значит, что все они имеют I и 2^0.
Обычно выгодно включать в корзину 1 только ветви,
которые генерируют мощность, т. е. ветви, у которых
jat<a<^0, хотя это и не обязательно. Затем отберем лю-
бую ветвь из корзины 2 и обозначим ее напряжение и
ток через и₽ и i?. Тогда теорема двух корзин гласит,
что при 0
I ip I < S | ia | , (3-36)
41
а при i -f- (J
|u₽|<2|«a|- (3-37)
л i
Таким образом, и ток, и напряжение в ветви с пас-
сивным элементом ограничены имеющимися активными
элементами. Эта теорема может быть доказана при по-
мощи теоремы Телледжена; доказательство подобно
двум предыдущим доказательствам, поэтому пе приво-
дится. Альтернативно теорема может быть рассмотрена
как теорема трех корзин при условии, что одна из актив-
ных корзин пуста.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПРИМЕНЕНИЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ ЦЕПЯМ
Одним из достоинств теоремы Телледжена является
достаточно общин ее характер, допускающий примене-
ние к нелинейным цепям. Мы даем далеко не все приме-
ры того, как эта теорема в специальных случаях при
водит к интересным результатам. В этой главе отобраны
примеры, наиболее подходящие для цепей, содержащих
нелинейные сопротивления, катушки индуктивности и
конденсаторы.
4-1. ОДНОЗНАЧНОСТЬ
Когда решаются дифференциальные уравнения, по-
лезно знать, что эти решения однозначны и дают закон
ную возможность применять любые технические приемы
с уверенностью, что если какое-либо решение найдено,
то оно должно быть правильным. Доказательство свой-
ства однозначности показывает, какие должны устанав-
ливаться граничные и начальные условия.
Теорема Теледжепа может быть использована для
изучения однозначности в электрических цепях Теорема
однозначности в частотной области приводится в § 5-18;
здесь выведена теорема для временной области.
Рассмотрим цепь из нелинейных (или линейных) ре-
зисторов (сопротивления которых изменяются во време-
ни или не зависят от времени), линейных (с положитель-
ными параметрами) конденсаторов, катушек нндуктнв-
42
пости, действительных гираторов и идеальных трансфор-
маторов. Принимаем, что наклон кривой напряжение —
ток для каждого резистора положителен *, так что для
каких-либо двух разных состояний с разностью напря
женин Диц н разностью токов Д/а будем иметь в лю-
бое время:
Чд''«>°- (4-1)
Полагаем, что в некоторое начальное время t0 мы
установили напряжение (или заряд) в каждом конден-
саторе и ток (или потокосцепление) в каждой катушке
индуктивности. Это паши начальные условия. Зададим
также напряжение или ток на каждом входе цепи после
/о- Это будут паши граничные условия.
Теорема однозначности констатирует, что в цепи су-
ществует только одна система напряжении и токов после
to, которая совместима с этими начальными н граничны-
ми условиями, а также с конститутивными зависимостя-
ми элементов.
Эта теорема может быть доказана с помощью тео-
ремы Телледжена. Предположим, 'что существуют две
такие системы напряжений и токов, одна с и'а и i’ , а
другая с и"а и i"a, все они функции времени. Обозна-
чим разности между этими решениями Дпа(/) и Дга(/).
Если применить операторы Кирхгофа Л' и Л" к разно-
стям между двумя решениями, то тогда теорема Тел-
леджена (2-20) будет иметь вид:
’ ЕрД/рДир = 2аД/аДна. (4-2)
Левая часть уравнения исчезает, так как оба решения
должны быть совместимы с одними н теми же граничны-
ми условиями. Сумма в правой части может быть раз-
ложена на суммы для резисторов, конденсаторов, кату-
шек индуктивности и гираторов. Члены для гираторов
исчезают. Члены для резисторов (4-1) все не отрица-
тельны. Члены конденсаторов имеют вид:
Д1аД“а = ^[4-Са(Д“а)г]’ <4’3)
1 Диоды, подчиняющиеся экспоненциальному закону, допусти-
мы, однако не подходят, например, туннельные диоды или
копъюнкторы [Л. 55]. Возможно распространить теорему иа включе-
ние в некоторых случаях идеальных диодов, но обсуждение таких
усовершенствований в объем этой книги не включено.
43
члены для катушек индуктивности подобны; таким обра-
зом, (4-2) примет следующий вид:
(4-4)
где Р — сумма по резисторам не отрицательна, a W есть
по природе неотрицательная сумма по конденсаторам и
катушкам индуктивности.
По начальным условиям Ц7(/о)=О. Если мы проинте-
грируем (4-4) в пределах от до t, найдем, что сумма
двух неотрицательных членов равна нулю. Это можег
произойти, лишь когда оба члена равны нулю; поэтому
все Дпа и Afa исчезают1. Таким образом, оба решения
идентичны, и, следовательно, решение однозначно. До-
казательство этой теоремы однозначности посредством
теоремы Телледжена было дано Бозе и Стевепсом
(1965 г.) для линейных цепей RLC и Дезо и Кацнельсо-
ном (1965 г.) для цепей с нелинейными активными со-
противлениями [Л. 14, 37].
4-2. ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ДАФФИНА
Даффни показал несколько общих условий, при ко-
торых электрическая цепь не в состоянии преобразовать
энергию постоянного тока в энергию переменного тока.
Он дал определение «первичного» резистору, присоеди-
ненному к источнику постоянного тока так, что не бло-
кируется постоянный ток (цепь без последовательно
включенных конденсаторов или параллельных катушек
индуктивности). Говорят, что резистор квазилинейный,
если его напряжение и ток монотонно связаны однознач-
ной зависимостью с cluldi'^Q. Тогда теорема констатиру-
ет, что изотермическая электромеханическая система,
первичные резисторы которой являются квазилинейны-
ми, не может преобразовать энергию постоянного тока
в энергию переменного тока.
Первоначальное доказательство Даффипа использо-
вало теорему Телледжена и здесь не повторяется
[Л. 48, 49].
1 Мы пренебрегли такими патологическими случаями, как не-
опретеленное значение тока, протекающего в двух короткозамкну-
тых цепях, соед шенных параллельно. Конечно, такие случаи отнюдь
не вносят вклада ни в Р, ни в W.
44
4-3. ТЕОРЕМА ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА ХЕВИСАЙДА
Теорему о питании электроэнергией нелинейной
цепи во время переходного режима первоначально сфор-
мулировал и доказал Хевисайд {Л. 68—-70] для линейно-
го случая, позже это же доказал Лоренц [Л. 92, 94],
а Дюпнкер [Л. 54] распространил доказательство иа не-
линейный случай. Рассматриваем цепь с резисторами,
конденсаторами и катушками индуктивности, часть из
которых или все они могут быть отрицательными. Пола-
гаем, что к их входам подведено постоянное напряжение
в течение времени от до /2 и что к моменту /2 цепь
находится в установившемся режиме, так что все токи и
напряжения постоянны '. В частности, в момент времени
/2 все токи конденсаторов и напряжения на катушках
индуктивности равны нулю. Режим цепи до момента t\
не принимается во внимание, за исключением зарядов
конденсаторов и потокосцеплений катушек индуктивно-
сти в момент ti, появляющихся в окончательном резуль-
тате.
Если до момента ti цепь находилась в состоянии по-
коя (этот случай трактуется Хевисайдом, Лоренцем и
Дюиикером), то заряды конденсаторов и потокосцепле-
ния катушек индуктивности в момент времени ft будут
равны нулю. Ввиду того, что напряжение на каждом
входе в течение времени между t\ и /2 будет постоянным,
то при мы будем иметь up(t) = н,,(/2) и тогда
ip (t) Up (/) ip(t2)iip (/2) =
= iP (t) Up (t2) — ip (t2) Up (/). (4-5)
Левая часть этого уравнения является разностью
мгновенной мощности на входе и мощности на входе
в установившемся режиме. Если мы просуммируем это
уравнение по всем входам, можно применить к правой
части уравнение (2-22), т. е. разностную форму теоремы
Телледжена, приняв операторы А' для момента времени
t и А" для момента времени tt, найдем:
Ер Рр (0 иР (0 *'р Pa) ир Рг)1 =
^a[ia(t)ua(t2)-ia(t2)ua(t)]. (4-6)
1 Авторы, таким образом, приближенно принимают, что рас-
сматриваемый отрезок времени от /, до t2 достаточно продолжи-
тельный. (Прим, ред.)
45
Сумма по ветвям может быть разбита иа суммы для
резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности.
Сумма по резисторам будет:
(4'S * 7)
res
В ряде важных случаев эта сумма стремится к пулю.
Во-первых, все члены, принадлежащие линейным рези-
сторам, автоматически равны пулю. Во-вторых, для лю-
бого резистора, соединенного последовательно с емко-
стью, za (А)=0, потому что ток конденсатора к момен-
ту /г исчезает. Если вольт-амперная характеристика ре-
зистора проходит через начало координат, как это обыч-
но бывает, тогда иа (/2) тоже исчезает; вклад от таких
резисторов в (4-7) равен нулю. Аналогичную картину
имеем для случаев параллельного соединения резисторов
с катушками индуктивности. Эти резисторы также не
вносят вклада в (4-7), даже если они нелинейные и их
сопротивления зависят от времени.
Кроме того, резисторы, присоединенные параллельно
к источникам напряжения (а значит, параллельно тому
или иному входу), имеют иа (t) = иа (t); отсюда (на осно-
вании конститутивного закона для сопротивлений) ia (/)—
= ia(f2); следовательно, такие резисторы также не вно-
сят вклада в (4-7). Это справедливо, даже если эти ре-
зисторы нелинейные (хотя их сопротивления не могут
быть зависимыми от времени). Таким образом, мы при-
нимаем, что все резисторы соединены или последователь-
но с конденсатором, или параллельно с катушкой индук-
тивности, а также что их сопротивления не зависят от
времени или они линейные или подключены параллельно
зажимам входа. В результате этого предположения (4-7)
сводится к пулю.
Вклад от конденсаторов в (4-6) выразится в форме
S ia(t)ua(t2), (4-8)
cap
так как для конденсаторов ia(Z2) = 0; интеграл от /, Д(Т
<2 раВ' н:
S «а (О К (U-?„(/.)], (4-9)
cap
46
i де qn есть заряд а-го конденсатора. Аналогично полу-
чается интеграл суммы для катушек индуктивности:
(4-10)
ini
г те Aa есть потокосцепление a-й катушки индуктивности
Выражения (4-9) и (4-10) имеют силу для независя-
щих от времени линейных или нелинейных конденсато-
ров и катушек индуктивности даже при наличии взаим
ной емкости и взаимной индуктивности. Интеграл левой
части уравнения (4-6) в промежутке времени от А до /2
может быть объяснен как разность фактической энергии
.1, поступающей в цепь в этот промежуток времени, и
энергии W, поступающей в цепь в такой же промежуток
времени в установившемся режиме. Таким образом,
Л = IF + S [ua (A) qa (t) - иа (t2) qa (/.)] -
cap
(4-11)
ind
Если вначале цепь находилась в покое, то ?а(/,) и
Яа(£,) исчезают и мы будем иметь:
A = W+We+W'e-Wm-W'm, (4-12)
где последние четыре члена выражают величины эиер
inn и коэнергни в конечном состоянии1.
Уравнения (4-11) и (4-12) являются желаемой теорс
мой.
4-4. НЕЛИНЕЙНАЯ МОЩНОСТЬ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
МОЩНОСТЬ
Нелинейный резистор является двухзажнмным эле-
ментом с напряжением и и током i, связанными кривой
в координатной системе вольт ампер, как это показано
иа рис. 4-1 и 4-2 (класс нелинейных резисторов содер-
жит в себе линейные резисторы как специальные слу-
чаи) Обычно эта кривая проходит через начало коорди-
нат; однако иногда полезно рассматривать источники на-
пряжения пли тока как специальные случаи нелинейных
1 Определение коэнергни дано в § 4-8 п 4 9
47
резисторов, тогда кривая не проходит через начало Ro-
ординат. Говорят, что сопротивление нелинейного рези-
стора положительно, если для любых двух точек 1 и 2
на кривой
[uP)—iW]>0. (4-13)
Заметим, что сопротивление резистора на рис. 4-1 не
положительно, а па рис 4-2 положительно. Эти опреде-
ления могут быть распространены па мпогозажимпые ре-
зисторы, для которых все иа являются функциями раз-
личных i . Определение «положительное» распростраин-
мо просто путем суммирования по парам зажимов
в (4-13). Обратим внимание, что теорема Телледжена
Рис. 4-1. Характери-
стика нелинейного
резистора в системе
координат i и и.
Рис. 4-2. Идеальный
диод как пример не-
линейного активного
сопротивления
может быть использована для показа того, что цепь, со-
стоящая из положительных сопротивлений, сама поло-
жительна.
Миллар [Л. 109] дал определение понятия нелинейной
мощности G(i) и дополнительной мощности J (и) нели-
нейного резистора следующим образом’:
i
G(i)— 1 u{i)di; (4-14)
/(«)= j i'[u)du. (4-15)
Нет необходимости устанавливать нижний предел ин-
тегрирования до тех пор, пока функции не выражены,
в действительных числах. Обычно они принимаются как
1 «Нелинейная мощность» — русский эквивалент английского
термина content, «дополнительная мощность» — термина cocontent.
(При и. ред )
48
точка 1 = 0 для нелинейной мощности н и—0 для допол
пительной мощности. В большинстве случаев нелинейная
мощность и дополнительная мощность имеют геометри-
ческую интерпретацию (рис. 4-3). Эти определения могут
распространяться на многозажимные резисторы при
условии, что конститутивные зависимости являются «ме-
стпоспмметричными». в том смысле, что
d‘p ~~dia
(4-16)
Функции находятся просто путем суммирования по
парам зажимов в определениях (4-14) и (4-15). Условие
местной симметрии (4-16) необходимо и достаточно для
того, чтобы G и / зависели только от конечных точек,
а не от пути интегрирования,
а значит, и для того, чтобы
G и / стали функциями со-
стояния.
Условие местной симмет-
рии очень сходно с условием
обратимости в линейных це-
пях. В действительности эк-
вивалентная линеаризован-
ная цепь с малыми возмуще-
ниями относительно некото-
Рис. 4-3. Нелинейная мощность
G н дополнительная мощ-
ность J равны площадям, по-
казанным выше п ниже кри-
вой.
рой точки смещения обрати-
ма, если первоначальная нелинейная цепь местносиммет-
рична. В § 5-5 мы докажемори помощи теоремы Теллед
жена, что цепь,состоящая изюбратимых элементов, сама
обратима. Подобным же образом при помощи теоремы
Телледжена можно показать, что цепь, состоящая из ме-
стносимметричных нелинейных резисторов, сама тоже
местносимметрична.
На основании последнего результата можно опреде-
лить для цепей с местносимметричными резисторами не-
линейную мощность и дополнительную мощность через
напряжения и токи на входах и их соотношения. С по-
мощью теоремы Телледжена можно показать, что нели-
нейная мощность цепи, как она была определена выше,
равна сумме нелинейных мощностей всех элементов цепи.
Если А"— оператор тождественности, а А' обозначает
малые изменения тока, то теорема Телледжена (2-20)
выразится так:
(4-17)
4-3G4
49
Левая часть есть нелинейная мощность цепи. Правая
часть есть сумма нелинейных мощностей элементов цепи.
Подобным же образом можно показать с помощью тео-
ремы Телледжена, что дополнительная мощность цепи
равна сумме дополнительных мощностей элементов цепи.
Эти теоремы доказал Миллар в 1951 г. [Л. 109].
Миллар обобщил понятия нелинейной мощности и
дополнительной мощности па элементы, отличающиеся от
местпоспмметричных сопротивлении. Обобщенная нели-
нейная мощность G(Z) определяется из фактического то-
ка п напряжения элемента следующим образом:
t
(t )=J (4-18)
В общем случае G(Z) зависит от характера предыду-
щего питания и не является функцией состояния, хотя
для местпоспмметричных резисторов она служит функ-
цией состояния и равняется нелинейной мощности, опре-
деляемой (4-14). Теорема Телледжена может быть
использована для того, чтобы показать, что обобщенная
нелинейная мощность цепи, вычисленная па входах, рав-
на сумме обобщенных нелинейных мощностей элементов
цепи. Концепция дополнительной мощности может быть
обобщена подобным же образом [Л. 109].
4-S. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
МОЩНОСТИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ
Вариационные принципы не так широко применя-
ются в электротехнике, как в механике, хотя основные
принципы практически идентичны. Вообще говоря, это
потому, что результат применения таких принципов
обычно сводится к нахождению одного комплекта зако-
нов Кирхгофа, который легче найти другими путями. Тем
не менее вариационные принципы представляют некото-
рый педагогический п эстетический интерес. Здесь мы
описываем, как теорема Телледжена может не только
привести к величине, которая является стационарной,
а также и показать, что эта величина максимальна пли
минимальна.
Предположим, что имеется цепь из нелинейных рези-
сторов (в случае многозажимных они должны быть мест-
носимметричными) с действительным распределением то-
50
ка i” и z° п действительным распределением напряже-
ния zz1’ н и°. Затем мы полагаем, что существует неко-
торое другое распределение тока ia и z'p, которое невер-
но для этой цепи, хотя оно н подчиняется первому зако-
ну Кирхгофа. При этом имеется в виду, что неверные
значения напряжений и ир, вычисленные исходя из
этих токов посредством конститутивных законов (а для
входов посредством входных зависимостей между тока-
ми в напряжениями), не подчиняются второму закону
Кирхгофа.
Возможно подсчитать нелинейную мощность отдель-
ные элементов Ga, соответствующую неверным значениям
токов Ga (ia), используя конститутивные законы для эле-
ментов; аналогично можно рассчитать нелинейную мощ-
ность цепи, рассматривая ее с зажимов G(zP) и исходя
из неверных значений токов па входе zp. Нет уверенности
в том, что G(zp) равна сумме неверных значений нели-
нейных мощностей для элементов G(z’a) или даже
зависит от нее, хотя такая зависимость существует при
верных значениях токов. Действительно, в предыдущем
параграфе мы доказали:
G(Q=SGa(O- (4-19)
Теперь докажем, что для малых отклонений zo от вер-
ных значений z° нелинейная мощность G(zp) равна
EGa(zJ с точностью до первого порядка. Таким образом,
LaGa(z‘a) стационарна в отношении вариаций токов ветвей,
которые, во-первых, подчиняются первому закону Кирх-
гофа и, во-вторых, совместимы с известными токами
входов. Покажем так-ке, что при конечных отклонениях
EGa(ia) минимальна для верных токов при условиях, ко-
торые будут сформулированы более точно.
Чтобы доказать первый результат, допустим, что опе-
ратор А' есть разность между неверными и верными зна-
чениями токов, а Л" представляет верные значения на-
пряжений; тогда теорема Телледжена (2-20) примет вид:
Epz/° (zp - z°) = Е zz° (i - - z° ). (4- 20)
P p x P p' a a x a a / \
4*
51
При отклонениях первого порядка /р — i” левая часть
уравнения является изменением нелинейной мощности
G(ip) — G(t“), определенным на входах. Подобно этому
каждый член суммы в правой части до первого порядка в
.о
ia — ia есть изменение нелинейной мощности элемента
Ga (ij — Ga(ia ). Таким образом, найдем (ограничиваясь
первым порядком): •
G (ip) - G (ty = Е GJO - EG„ (i" ). (4-21)
Будет особым случай, если отклонения в токах та-
ковы, что токи входов поддерживаются неизменными;
тогда левая часть уравнения исчезает, и мы найдем, что
изменение первого порядка в EaGa исчезает при равно-
весных значениях тока. Итак, \Ga стационарна в отно-
шении вариаций тока, совместимых с первым законом
Кирхгофа и согласуемых с граничными условиями, когда
все iP остаются неизменными. Иная интерпретация (4-21)
может быть дана в других случаях.
Уравнение (4-21) имеет силу для сопротивлений как
с положительным, так и с отрицательным наклоном (кри-
вой), но ограничено вариациями первого порядка. Если
мы рассмотрим только положительные сопротивления,
по допустим конечные вариации, то правая часть урав-
нения будет не меньше, чем левая. Этот результат те-
перь доказан вместе с некоторыми обобщениями.
Так как каждый элемент положителен в смысле со-
блюдения (4-13), то напряжение иа не превосходит ,
если ia не больше, чем . Таким образом,
J («°-W,)dia 0. (4-22)
‘a
Интеграл от и°а дает иа ((” — ia), а интеграл от—иа,
дает Ga(ia) — Ga ), таким образом,
(4-23)
Теперь суммируем по ветвям. Теорема Телледжена
используется для замены суммы левой части подобной
52
суммой па входах. Тогда мы находим.
Евн°(/в - «")<£ G (i )— S G (i° ). (4-24)
Из (4-24) мы можем заключить, что если токи «а вы-
браны так, чтобы быть совместимыми с первым законом
Кирхгофа и с граничными условиями цепи, причем ре-
зультирующие токи на зажимах имеют верные значения
(это значит, что левая часть неравенства исчезает), то
сумма SaGa(ia), подсчитанная по этим токам, не менее,
чем сумма 44(0* подсчитанная по верному распреде-
лению токов. Таким образом, эта сумма минимальна для
верного распределения токов. Уравнение (4-24) также
полезно, если вместо того, чтобы иметь на некоторых вхо-
дах цепи ограниченные токи, питать эти входы извест-
ными напряжениями и°Р. Тогда неравенство подразуме-
вает, что
44(к)-44 ‘>444) -4> <4'25)
Таким образом, если токи ia варьируются, то правая
часть уравнения есть минимум при верном распределе-
нии значений токов. Этот результат является обобщени-
ем теоремы минимального нагрева Максвелла (1891 г.)
[Л. 107] па нелинейные цепи (Миллар, Райдер) [Л. 107,
109, 135]. Дополнительная мощность цепи подчиняется
теоремам, которые дуальны приведенным в § 4-5
4-6. ТЕОРЕМА МИНИМУМА И МАКСИМУМА НАПРЯЖЕНИЯ
Талбот (1955 г.) доказал и применил теорему, кото-
рая может быть обобщена для цепей из нелинейных ре-
зисторов [Л 153] Идея заключается в том, что макси-
мальные и минимальные потенциалы в таких цепях на-
ходятся на внешних узлах; это значит, что невозможно
найти внутренний узел с потенциалом, который нахо-
дится вне пределов диапазона, ограниченного внешними
экстремальными потенциалами. Теорема не верна для
цепей с идеальными трансформаторами.
Эта теорема может быть доказана при помощи тео-
ремы Телледжена Рассмотрим цепь, представленную на
53
рис. 4-4. Пусть s имеет папннз-
шпй потенциал; его потенциал
меньше потенциала любого
другого внешнего узла. Пола-
гаем, что каждая внутренняя
ветвь имеет активное сопротив-
ление (идеальных трансформа-
торов нет), возможно даже не-
линейное и которое пассивно
в том смысле, что положитель-
Рпс. 4-1. Цепь пт печи- т(), соответствует и поло-
ненных резисторе». J ,
жительпому напряжению (это
не исключает местноактивных,
нелинейных резисторов вида туннельного диола или
устройства с характеристикой, показанной на рис. 4-1
и 4-3).
Будем обозначать символы первоначального действия
цепи без штрихов, отметим штрихами распределение на-
пряжения, соответствующего 1 В па узле s и 0 па всех
других узлах. Это распределение напряжения подчиняет-
ся второму закону Кирхгофа при предположении, что
узел s не у входа, все н'р=0. По теореме Телледжена
SpipW'p — Еа
(4-26)
Каждый член в
части исчезают все
левой части равен нулю, а в правой
члены, кроме тех, сопротивления ко-
торых присоединены к узлу s. Для каждого из них
= 1 и 1а положителен, так как в начальном действии
предположено, что узел s имел наинпзшип потенциал.
Таким образом, сумма положительных членов оказалась
равна нулю. Это противоречие показывает, что первона-
чальное предположение не обосновано.
Эта теорема может быть использована для показа,
что коэффициент передачи по напряжению у таких цепей
находится между 1 н —1 {Л. 38, 142] и что величины
входных резисторов трехполюеппка /?12, R23 и /?;!1 подчн-.
няются «треугольнику неравенства». Обобщение этой
теоремы на изменяющиеся во времени сопротивления не-
линейных резисторов — прямое следствие, потому что
в доказательстве не была использована независимость
сопротивлений резисторов от времени.
54
Л-7. ТЕОРЕМА МИНИМУМА И МАКСИМУМА ТОКА
К теореме минимума и максимума напряжения
(§ 4-6) дуальной теоремы вообще не существует, так как
нет величины, дуальной потенциалу1. Тем не менее суще-
ствуют два родственных результата, которые верны.
Первый: если цепь планарная, так что опа имеет дуал,
то наибольший контурный ток будет на одном нз входов.
Это утверждение есть дуал теоремы минимума н макси-
мума напряжения, причем собственно дуалами являются
контурные токи и потенциалы1 2. Второй: если цепь имеет
только одни вход (или более точно, только один источ-
ник ее питания), то ин один ток ветви нс может превы-
шать ток источника питания3. Этот факт, который мы
сейчас докажем с помощью теоремы Гелледжспа, озна-
чает, что коэффициент передачи по току резистивного
двухполюсника (пли n-полюспнка) находится между — 1
и 1 [Л. 38].
Чтобы доказать этот результат, примем, что сущест
вует ветвь с током большим, чем ток источника пи-
тания. Обозначим напряжение на этой ветви символом
и и наивысший на ее двух зажимах потенциал через U.
Определим распределение напряжений, обозначаемое
штрихом, следующим образом.
Зададим потенциал 0 всем узлам с потенциалом, мень-
шим, чем U, и потенциал 1 В всем другим узлам. Затем
замечаем, что все и'а и и'р равны — 1,0, пли 1 В и что
произведение /ап'а для всех внутренних ветвей больше
пуля или равно пулю. Обратимся к теореме Телледжена,
используя действительное распределение токов и повое,
только что определенное распределение напряжений:
E„t’ и' ==S I и' . (4-27)
Р Р Р а а а ' /
1 Необходимо различать узловые потенциалы и напряжения вет-
вей. Таким образом, теорема минимума и максимума напряжений не
утверждает, что каждое напряжение ветви должно быть меньше или
равно некоторым входным напряжениям; это утверждение вообще
неправильно, хотя схожий результат — теорема двух корзин Волэве-
ра (§ 3-9) — правилен Аналогично в общем случае неправильно
утверждение, что наибольший и наименьший токи в сети суще-
ствуют на входах.
2 Точнее: потенциалы узлов. (Прим, ред.}
3 Имеются в виду цепи, состоящие из резисторов. (Прим, рсд.)
55
Правая часть (4-27) больше или равна и так как
имеется только один источник питания, то левая часть I
меньше или равна току источника питания, что и требо-
валось доказать.
В случае наличия нескольких источников питания 1
обобщением теоремы минимума и максимума тока явля-
ется теорема двух корзин Волэвера (§ 3 9).
4-8. ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КОНДЕНСАТОРАМИ
Черри (1951 г.) определил понятия энергии и ко- 1
энергии для нелинейных конденсаторов (Л. 24]. Энергия
как функция заряда равна:
We (q) == J и (q) dq, (4-28)
а коэнергия (функция напряжения)
W'e (u)= jq(и)du — qu — We (q). (4-29)
Нижние пределы интегрирования не требуют точного
определения, пока функции ие выражены в денствитель
ных числах; обычно они берутся как точки, в которых
или заряд, или напряжение равно нулю. Энергия и ко
энергия цепи из нелинейных конденсаторов могут быть
определены из соотношений между зарядами и напря-
жениями на зажимах конденсаторов1:
НМ<7р)=У!Р1[ “р(<7р)^р; (4-30)
"р
W'e(llp)= J ?p(Up)duP- (4-31)
С помощью теоремы Телледжена можно доказать, что
энергия (или коэнергия) цепи из нелинейных конденса-
торов равна сумме энергий (или коэнергий) отдельных
элементов. Доказательство аналогично соответствующей
теореме для нелинейной мощности § 4-4, за исключением
того, что в А' должен также входить интеграл по вре-
мени.
Теорема Телледжена может быть использована для *
нахождения вариационных принципов для цепей с нели-
нейными конденсаторами (по Черри). Найдено, что энер-
1 В определении принято, что duPldqr=durldqp.
56
гия стационарна для малых вариаций заряда, совмести-
мых с законом сохранения заряда, когда пет изменений
в зарядах на входах Кроме того, для больших измене-
ний в распределении зарядов найдено, что энергия долж-
на быть больше, чем энергия, подсчитанная при исполь-
зовании верных зарядов. Детали этих правил здесь не
приводятся, потому что они в сущности идентичны соот-
ветствующим правилам для цепей с нелинейными рези
сторами. Необходимо только заменить токи зарядами н
нелинейную мощность энергией. Теорема Телледжена
может также привести нас к вариационным принципам
для коэнергии (Черри, 1951 г), подобным существую-
щим для дополнительной мощности в цепях с нелиней-
ными резисторами.
4-9. ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КАТУШКАМИ
ИНДУКТИВНОСТИ
Черри (1951 г) дал определения понятий энергии
и коэнергии для нелинейных катушек индуктивности
[Л. 24]. Энергия как функция полного потокосцепления
равна:
Wm (Л) = J i (Л) dX, (4-32)
а коэнергия как функция тока
W'm(i)=\x(i)di. (4 33)
Энергия и коэнергия цепей с нелинейными катушками
индуктивности (с линейной или нелинейной взаимоин-
дукцией) могут быть определены путем логического
обобщения (4-32) и (4-33). Можно затем доказать при
помощи теоремы Телледжена, что энергия (или коэнер-
гня) цепи, состоящей из нелинейных катушек индуктив-
ности, равна сумме энергий (пли коэнергии) отдельных
элементов Теорема Телледжена может быть также
использована (по Черри) для нахождения вариационных
принципов для цепей с нелинейными катушками индук-
тивности (с взаимоиндукцией). Найдено, что энергия
(пли коэнергия) стационарна для малых вариаций пол-
ных потокосцеплений (или токов), совместимых со вто-
рым (или первым) законом Хнрхгофа, когда нет измене
пий в полных гютокосцепленнях (или токах) иа входах
Следовательно, при этих условиях энергия (или коэнер-
гия) должна быть минимальной.
Эти результаты вместе с обобщениями могут быть
доказаны с применением тех же приемов, какие были
использованы для ценен с нелинейными резисторами.
4-10. ЗАДЕРЖКА РАССЕЯНИЯ
Карлин (1967 г.) доказал интересную теорему, ко-
торая гласит, что, когда линейная цепь возбуждается
в переходном режиме, рассеяние не может появиться по
времени ранее приложения этого режима [Л. 23]. Здесь
эта теорема обобщена па цепи с рассеивающими элемен-
тами, включая нелинейные резисторы и элементы, не
имеющие потерь, которыми могут быть, например, нели-
нейные конденсаторы, катушки индуктивности, гираторы,
традпторы и конъюпкторы (Л. 53, 55]. Рассмотрим цепь
в состоянии покоя (i. е. с накопленной энергией, равной
нулю, VJ/=O) в момент времени Л. К цепи приложено
возбуждение в переходном режиме; в некоторый более
поздний момент /2 этот режим заканчивается, и цепь
опять переходит в состояние покоя с VKz(/2) =0. «Время
рассеяния» определяется как центр тяжести рассеяния,
рассматриваемого как функция времени:
j МО dt
. (4-34)
J S ‘a <0 "a (0 ‘It
/, res
оно может быть объяснено как «среднее» время,'в тече-
ние которого имеет место рассеяние. Подобным же обра-
зом определяется «время поступления энергии»:
[ Sp t‘p (0 Up (0 dt
. (4-35)
I S M0«p(0 dt
i.
Затем теорема констатирует:
(4 36)
58
или в сущности, что рассеяние нс может появиться
прежде» поступления энергии. Чтобы доказать этот ре-
«ультат, мы используем теорему Телледжена дважды.
Первый раз мы допустим, что А' и операторы тож-
дественности. Интегрируя в пределах от до {>, иахо-
шм:
G t,
f V /д/) ua(t)dl, (4-37)
/| 7, FlS
где все члены для элементов, не имеющих потерь, исчез-
ли, потому что цепь находится в покое в моменты /(
I' /г-
Этот результат констатирует, что суммарная энергия,
поступившая в цепь, равна суммарной энергии, рассеян-
ной в активных резисторах. Далее допустим, что X'опять
есть оператор тождественности, и Л" умножим на I.
Проинтегрируем от Л до /2 и найдем:
Ь ti t?
\'£j>tip(t)up(t)dt = ^W(t)dt. (4-38)
ti it res • /J
Здесь использован факт, что мощность в элементах
без потерь есть скорость изменения накопленной энер-
гии, так что сумма по элементам без потерь равна:
G t-2
j' £ tia(/) иа (/) dt = р (^dt =L\V(Л)
71 l OS ?!
ti
— — ^W(t)dt. (4-39)
h
Последнему члену в (4-38) не свойственно быть от-
рицательным, так как №'(/) принята неотрицательной.
Если каждую часть этого уравнения разделить на соот-
ветствующую часть (4 37), результатом будет желаемое
неравенство (4-36).
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПРИМЕНЕНИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ЦЕПЯМ
В гл. 5 рассматриваются линейные цепи, нс зави-
сящие от времени (если пет иного указания). В основном
здесь формулируются теоремы, полученные в частотной
области. Напряжения, токи (и волновые переменные)
59
принимаются в следующем виде:
иа (t) = 2Re Ue« = е* (Uae^ + if e~iu>t), (5-1)
где s = o+/w — комплексная частота, a Re — обозначение
вещественной части.
Во многих случаях результаты или ограничены, пли
проще объяснимы для установившегося синусоидального
режима, для которого о- 0.
Зависящие от времени, переключающие и изменяю-
щиеся линейные цепи обсуждаются в гл. 6.
5-1 СОХРАНЕНИЕ АКТИВНОЙ И РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТЕЙ
Комплексная мощность P + jQ обычно определяется
в величинах полуамплнтуд напряжения и тока, в виде
P+jQ=2Ul*, (5-2)
хотя определение 2U*I применяется некоторыми автора-
ми, например Гиллемином [Л. 63]
Если оператор А" относится к половинным амплиту-
дам Фурье, а Л'—к удвоенным сопряженным комплек-
сам половинных амплитуд Фурье, теорема Телледжена
(2-20) принимает вид:
Sp2U/*p = Sa2t//a, (5-3)
который можно понимать как закон сохранения актив
пой и реактивной мощностей.
Некоторые виды элементов (например, элементы без
потерь, пассивные, инертные и иереактивные) могут быть
определены исходя из возможных величии комплексной
мощности. Тогда (5-3) показывает, что цепи, состоящие
из элементов определенного вида, сами относятся к этому
же виду. Например, цепь из переактпвпых элементов
(Q—0) сама нереактпвна. Цепь, составленная полностью
из элементов с заданным фазным углом комплексной
мощности, сама обладает таким же свойством. Цепи, со-
ставленные из элементов с углом реактивной мощности,
ограниченным некоторым диапазоном, являются сами
объектом такого же ограничения, когда комплексная
мощность оценивается па входах.
60
5-2. ТЕОРЕМА ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЦЕПЕЙ RLC
Для цепей RLC в синусоидальном режиме (s=jo,)
уравнение (5-3) можно записать в виде
\ 2Ср/*р = ^2|/а|=/?а +
res
+ /2ш
V
A-J
ind
(5-4)
Левая часть уравнения есть комплексная мощность
цепи. Действительная мощность равна первому члену
в правой части, который выражает рассеяние мощности
в активных сопротивлениях. Реактивная мощность равна
удвоенной частоте, умноженной на величины, заключен-
ие в скобках, которые явпяются средней энергией, на-
капливаемой в катушках индуктивности минус средняя
энергия, накапливаемая в конденсаторах. Эта теорема
хорошо известна (Боде, 1945 г., Гнллемин, 1953 г)
[Л 12, 63]. Опа имеет силу и для случая, когда в цепи
имеются идеальные трансформаторы и взаимные индук-
тивности.
5-3. ОГРАНИЧЕНИЕ ДИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩЕЙ МОЩНОСТИ
Дике (1948 г.) показал связь между поступающей
в электрическую систему мощностью и разностью между
накопленными электрической и магнитной энергиями,
если питание синусоидальное (Л. 39]. Его доказательство
было приведено для системы с распределенными посто-
янными. Соответствующие результаты для цепи RLC
с сосредоточенными постоянными могут быть получены
при помощи теоремы Телледжена.
Рассмотрим линейный двухполюсник RLC; пусть А"
обозначает преобразования Фурье для переменных,
а А' — их сопряженные комплексы Тогда уравнение
(2-34) разностной формы теоремы Телледжена в волно-
вых переменных на входе и для внутренних напряжений
н токов имеет вид:
2(Д*5 - В*А) = \{Гаиа - Ijr (5.5)
Левую часть можно выразить через коэффициент
отражения Г=В/А\ члены правой части, соответствую-
щие резисторам, исчезают, остаются только члены, соот-
61
ветствующие катушкам индуктивности и конденсаторам;
| U | гС
' а 1 ।
2 | А | 2 (Г — Г*) = 2/ш
(5-6)
Так как для пассивной цепи |Л|^1, то его мнимая
часть не может превышать по величине единицу. Посту-
пающая мощность равна Р = 2|А|2, таким образом, (5-6)
показывает, что по абсолютной величине
| Wm-Wc\^P/v,
(5 7)
где Wm и П7е являются средними по времени значения-
ми магнитной и электрической энергий; это и есть жела-
емый результат.
5-4. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
За исключением необычных случаев (например, ра-
зомкнутая цепь), двухзажнмный элемент имеет полное
сопротивление Z^c), определяемое из уравнения =
= Z^J*\ где индексом а отмечается напряжение, ток
или полное сопротивление одиночного элемента. Много
зажимные линейные элементы (опять-таки за исключе-
нием необычного случая, такою, как идеальный транс-
форматор) имеют матрицы полною сопротивления
Комбинируя все такие конститутивные связи для всех
элементов, можно записать матрицу полного сопротив-
ления ветвей для всех ветвей цепи:
U = S„Z Ja, (5-9)
а £ ар р’ ' /
которая для цепи с двухзажимными элементами дна го-
нальна; эта матрица имеет порядок bxb, где b— число
внутренних ветвей.
Аналогично напряжения и токи на входах связаны
матрицей полных сопротивлений Zpq
Up = 'LqZp4I4, (5-10)
которая даже для цепи из двухзажпмпых элементов
в общем случае не диагоиальна, это матрица порядка
тХт, где т—количество входов.
62
Эгп матрицы могут быть определены или для сину-
соидального или экспоненциального питания. Для си-
нусоидального 'питания цепей RLC теорема энергии мо-
жет быть переформулирована в выражениях полного
сопротивления. Если цепь имеет только один вход с то-
ком / и полным сопротивлением Z, то (5-4) имеет вид:
2Z | / | 2 | /а | =/?и +
res
(5 11)
Таким образом, вещественная часть Z связана с рас-
сеиваемой мощностью, а мнимая часть —с разностью
между накопленными магнитной и электрической энер-
I ними.
Обобщением уравнения (5-11) для миогополюсиых
испей RLC будет выражение
2 /*р/92р9 = £2|/и Г2/< +
N res
(5-12)
5-5. СВОЙСТВО ОБРАТИМОСТИ
Использование теоремы Телледжена для доказа-
тельства теоремы обратимости было, пожалуй, наиболее
распространенным ее применением (Донатп, 1899 г.;
Впльберфорс, 1903 г.; Телледжен, 1952—1953 гг.; Ботта-
ни п Сартори, 1956 г.; Бозе и Стевепс, 1965 г.; Дезо и Ку,
1969 г. '[Л. 14, 17, 38, 43, 154, 155, 169].
Используются два равноценных, но разных опреде-
ления свойства обратимости. В одном определении ре-
акция четырехполюсника с данной нагрузкой и источ-
ником наблюдается и сравнивается с реакцией, получа-
* Обозначение /. относится к суммированию по резисторам
ГсЗ
S—к суммированию по катушкам индуктивности; V, — к суммиро-
intl cap
ванпю по конденсаторам.
63
ющенся при обмене местами источника с нагрузкой.
Если обе реакции одинаковы, то цепь обратима. В дру-
гом определении, которое применяли Максвелл (1891 г.),
Рэлей (1894 г.) и Лоренц (1936 г.) [Л. 94, 104, 130], рас-
сматривается свойство обратимости n-полюсников. За-
тем из этого определения можно показать свойство че-
тырехполюсника, упомянутого выше Мы используем по-
следнее определение.
Линейный, не зависящий от времени /i-полюсник или
же элемент с (/г+1) зажимами считается обратимым,
есл и
V /(2)у(|)] = 0. (5-13)
a L а а а а 1 • ' '
Обозначения в этом уравнении относятся к элемен-
там, для цепи индекс а заменяется на р. Верхний индекс
(в скобках) соответствует различным экспериментам,
в которых цепь или элемент питаются различными спо-
собами, например, на разных входах. Частоты питания
в обоих случаях одинаковы. Говорят, что цепь или эле-
мент обратимы, если уравнение имеет силу для всех
экспоненциальных по форме питаний, а иногда, если оно
сохраняет силу для всех синусоидальных питаний. Столь
же приемлемым будет решение, охватывающее волно-
вые переменные:
(5-14)
Если элемент (или цепь) имеет матрицу полных со-
противлений Za{1, тогда по определению обратимости
— это значит, что матрица полных сопротивле-
ний симметрична только тогда, когда элемент пли цепь
обладает свойством обратимости Подобно этому сим-
метрична и матрица рассеивания
Теория обратимости гласит, что цепь, выполненная
из обратимых элементов, сама обратима. Эта теорема
может быть легко доказана посредством теоремы Тел-
леджепа. Пусть Д' относится к коэффициенту Фурье
в эксперименте 1 и А" — к коэффициенту Фурье
в эксперименте 2. Тогда разностная форма теоремы
Телледжена (2-22) примет вид:
7t2,(7(,’] = S 1/(,,(/(?) /1,,(/(|)]. (5-15)
' 1 р р Р р л a L а и. {х а 1 ' /
64
Если цепь содержит только обратимые элементы, тог-
т.а сумма в .правой части исчезает и, как это видно, цепь
в целом обратима.
Не все физические устройства являются обратимыми
и не все элементы цепи обратимы. В частности, микро-
волновые циркуляторы и изоляторы необратимы. Гира-
тор является необратимым элементом цепи. Кроме того,
понятия пассивности и обратимости являются независи-
мыми п не должны быть смешиваемы. Можно показать
из довода о пассивности, что многозажимпые элементы,
запасающие энергию, такие, как элементы с взаимоин-
дукцией, должны быть обратимыми, но это доказатель-
ство не имеет силы для резистивных элементов, таких,
как проводящие тела с присоединенными к ним зажи-
мами.
$-6. НЕОБРАТИМОСТЬ
Про элемент говорят, что он необратим, если
salzr,(7l2)+/«)f7a)l = °- (5-16)
Обозначение взято так же, как в § 5-5, с той только
разницей, что здесь мы имеем знак плюс вместо знака
минус, как это имело место в (5 13) Гиратор является
примером необратимого устройства Идеальные транс-
форматоры необратимы, хотя они также и обратимы.
Если необратимое устройство имеет матрицу пол-
ных сопротивлений Za₽, то эта матрица несимметрична,
и если она имеет матрицу рассеивания Sa₽, то эта мат-
рица равна (S“’)pa. То, что называется «теоремой необ-
ратимости», может быть доказано при помощи теоремы
Телледжена. Она гласит, что цепь, состоящая из необра-
тимых элементов, сама необратима. Доказательство,
в котором используется суммовая форма теоремы Тел-
леджепа (2-23), подобно доказательству теоремы обра-
тимости.
5-7. ВЗАИМНАЯ ОБРАТИМОСТЬ
Бордвнк (1956 г.) дал общее определение понятия
взаимной обратимости [Л. 13]. Рассмотрим две цепи
с одинаковой топологической структурой, но, возможно,
с разными конститутивными законами элементов. Будем
5—3G4 65
одинаково нумеровать ветви и входы. Тогда можно ска.'
зать, эти две цепи будут взаимно-обратимы, если
/<2Vnl=0, (5-17)
где верхние индексы относятся соответственно к произ-
вольным (экспоненциальным) условиям питания первой
п второй цепей.
То же определение относится к элементам. Любая
обратимая цепь является взаимно-обратимой сама
с собой. Бродвик показал, что цепь с матрицей полных
сопротивлений Zpq имеет взаимную обратимость с дру-
гой цепью с матрицей полных сопротивлений Zpq толь,
ко при условии, если Zpq—Zqp.
В этой книге часто будет полезно рассматривать па-
ры взаимно-обратимых цепей. Удобно называть цепь N,
имеющую взаимную обратимость с данной цепью N, как-
«присоединенную» к цепи N. В приложении 4 приведено'
определение присоединенной цепи и дана процедура ее.
синтеза.
Теорема взаимной обратимости констатирует, что две
цепи, скомпонованные из элементов с взаимной обра-
тимостью, размещенных в соответствующих участках,
сами взаимно-обратимы. В доказательстве Бордвик
использовал теорему Телледжена для двух цепей
(§ 2-11), что подобно доказательству теоремы обрати-1
мости (5-5).
5-8. СВОЙСТВА ВХОДНЫХ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Теорема Телледжена может привести к определе-
нию соотношения между входным полным сопротивле-
нием двухполюсника и полными сопротивлениями эле-
ментов. Рассмотрим сначала двухполюсник с полным
сопротивлением Z, состоящий из двухзажимных элемен-1
тов с полными сопротивлениями Za. Теорема Теллед-
жена приводит к следующему соотношению:
= (5-18)
a ct а’ ' 1 >
где для простоты переменные входов даны без индексов.
Подстановка конститутивных зависимостей в это урав-
нение приводит к формуле
Z = \Za\IJI\\ (5-19)
66
Как видно, входное полное сопротивление является
линейной суммой полных сопротивлений ветвей; коэф-
фициенты в сумме — вещественные неотрицательные чис-
ла. Эта форма полного сопротивления цепи показывает
зависимость между полными сопротивлениями ветвей и
входными сопротивлениями. Например, если все Za
мнимые, тогда таким же является и Z. Если все эле-
менты имеют полные сопротивления с определенным
фазным углом или в пределах определенной области
фазных углов, то Z обладает тем же свойством.
5-9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ПОЛНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ ВХОДОВ И ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим две цепи с .однородной топологией и
индексацией ветвей и входов. В некоторых случаях обе
эти цепи могут быть физически одинаковы. Примем,
цепи имеют матрицы полных сопротивлений ветвей
и и матрицы полных сопротивлений входов ZP4 и
что
zp«-
Пока нет зависимости между Z ,, и Z • однако можно
найти полезные результаты, когда ^ajj получается из Za?
посредством транспозиции матрицы или составления
комплексно сопряженной матрицы, либо умножением на
постоянную, либо комбинацией этих операций.
Используем разностную форму теоремы Телледжена
(2-22), примененную к двум цепям с одинаковой тополо-
гией, примем А' как коэффициент Фурье первой цепи
(не обозначенной тильдами над буквами) и А" как ко-
эффициент Фурье для второй цепи (обозначенной тиль-
дами); тогда найдем:
^P4lp/4{ZP4 Z.4P\—Z^). (5-20)
Подобным же способом, еще раз используя разност-
ную форму теоремы Телледжена, получим:
- Zgp)=^IaTf (Z*a₽ - z₽a). (5-21)
До сих пор мы ничего не предполагали относительно
зависимости между Z й и 2 Если, однако, / . = Z„ ,
* ар ар • ' ар ра *
так что при транспонировании матрицы полных сопро-
а* 67
пилений элементы второй цепи получаются из соответ
ственно расположенных элементов первой цепи *, то пра
вая часть уравнения (5-20) исчезает, и мы получим, что
Zj,q=ZqP. Следовательно, если матрицы полных сопро
тивлений ветвей обеих цепей! являются транспонирован
ными по отношению друг к другу, то таким же свойст
вом обладают и матрицы входных полных сопротивле
иий.
Подобным же образом (5-21) приводит к заключению
что если Za₽ = Z*a> то ZP9 = Z*9P. Комбинация этих ре
зультатов показывает, что если Za₽ — Z^, то Zpq=Z*p4
Эти результаты базируются па разностной форме
теоремы Телледжена и поэтому в .равной мере примени
мы к матрице рассеивания при условии, что нормализа
ционные полные сопротивления матрицы рассеивания
вещественны. Последующий результат вовлекает силы
ную форму теоремы Телледжена и поэтому в общем слу
чае неприменим к матрице рассеивания.
Используем сильную форму теоремы Телледжена
(2-20) в применении к двум цепям с идентичными гопо
логиями; пусть А' относится к коэффициенту Фурье
первой цепи и А" — к коэффициенту Фурье для второй
цепи. Вычтем из результата произведение некоторого
числа А на результат, полученный при
пе местами А' и А", получим:
взаимном обме-
Sp9/p/9(Zp9 -^Zgp) — (^ар AZya). (5-22)
Z . и Z одна
ар ар’
Результат действителен для любых
ко полезен случай, когда Za₽ получается из Za₽ посред-
ством транспонирования и последующего умножения па
А. Тогда правая часть уравнения исчезает, и ® резуль-
тате Zpq=AZqp. Таким образом, доказано, что если пол-
ные сопротивления ветвей во второй цепи получены из
полных сопротивлений ветвей первой цепи путем транс,
локирования матрицы полных сопротивлений и измене-
ния уровня полного сопротивления (умножения на А),
то соответствующие матрицы входных полных сопротив-
1 Это значит, что вторая цепь является присоединенной к первой
(см. приложение 4).
68
Ленин связаны такой же зависимостью. Здесь А может
быть постоянной (действительной, мнимой или комплекс-
ной) или может быть сложной функцией частоты.
Операции: перестановка строчек и столбцов (транс-
понирование), замена комплексов сопряженными, умно-
жение на постоянную пли функцию частоты, любые две
или более из этих операций в последовательном порядке,
например транспозиция и замена комплексов сопряжен-
ными,— будучи выполненными над матрицей полных
сопротивлений ветвей, представят новую цепь с новыми
входными сопротивлениями, связанную с прежней цепью
посредством той же самой операции.
Важные следствия этих результатов относятся к це-
пям с матрицами полных сопротивлений, которые имеют
специальные свойства. Например, если цепь имеет сим-
метричную матрицу полных сопротивлений ветвей, зна-
чит, она не изменяется при замене матрицы полных со-
противлений ветвей ее транспонированной матрицей:
7 — Z
ар ,3а'
Следовательно, матрица входных полных сопротив-
лений не изменилась: ZP7 = ZPQ. Только что доказанные
результаты дают нам, что ZP,J=Z(?P и, следовательно,
ZPQ = Z9P; это значит, что матрица входных полных со-
противлений! симметрична. Это одно из нескольких
свойств, которым должна также обладать матрица
входных полных сопротивлений, если им обладают мат-
рицы полных сопротивлений ветвей. Другие свойства,
которыми должна обладать матрица входных полных
сопротивлений Zvq, если ими обладает матрица полных
сопротивлений ветвей Za₽:
Симметричность 1........................Zap — Z^
Антисимметричность (кососимметричность) . ZafJ =—Z^a
Свойство Эрмита1........................Z а — Z*a
ap pa
Антисимметричное свойство Эрмита .... Zag=— Z*^a
Изоклииность по мощности................Z D —с2/®^*о
ар ра
Вещественность 1........................Z о =Z* а
ар ар
Мнимость........................... Z^ =—Z*a?
Изоклинность по полному сопротивлению . . Zap =c2/®Z*ag
1 Применимо также к матрице рассеивания.
69
5-10. ТЕОРЕМА ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
Ван-дер-Поль (1937 г.), Боде (1938 г.), Гаспарини
(1960 г.) изложили и доказали теорему об избытке элек-
трической энергии над магнитной, накопленном в двух-
полюснике RLC, питаемом на входе напряжением посто-
янного тока [Л. 11, 61, 158]. У|равпение теоремы
<5’23)
где (производная полной проводимости Y принята при
/о)=О.
Эта теорема может быть значительно обобщена; не-
которые обобщения могут быть очевидны из доказатель-
ства посредством теоремы Телледжена Рассмотрим два
способа питания сети: один — постоянным током, а дру-
гой— при низкой частоте со. Теорема Телледжена в раз-
ностной форме (2-22) утверждает, что
I (W) U (0) -1 (0) и (СО) = [/о (со) иа (0) - 1а (0) иа (со)].
(5-24)
Разббьем это выражение на отдельные суммы для
катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов так,
что правая часть уравнения примет вид:
s На (•») «А (0) - L (0) Rja Н1+ s 1/соС иа (со) иа (0)1-
res спр
-Sf/<oLX(“)^(0)]. (5-25)
ind
Сумма по резисторам исчезает. Если разделить
оставшиеся члены на /со и перейти к пределу при /со—>
—>0, то найдем, что
(0) dYUco) V С U2 - У L I2 . (5-26)
Это и есть искомый результат. Уравнение может
быть легко распространено па цепи с взаимоиндукцией
и на многополюсники; оно может также быть написано
в волновых переменных.
70
5-11. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТЕЛЛЕДЖЕНА
Рассмотрим цепь RLC с матрицей входных полных
сопротивлений Zpq(a). Теперь рассмотрим другую цепь
RLC с тем же режимом на зажимах, т. е. с той же са-
мой ZPQ(®). Эти две цепи не должны быть непременно
идентичными внутри, однако теорема эквивалентности
Телледжена [Л. 154, 155] конста-
тирует, что если эти две цепи
имеют идентичное, но произволь-
Юм
О
о
ное по виду и формам питание, то
разность между накопленной
электрической и магнитной энер-
гиями остается в любой момент
времени одной и той же. Теорема
вытекает из (5 12) для 'синусои-
дального питания и из (5-23) для
питания постоянным током и из
(4-12) для некоторых видов пе-
реходных (неустановившихся)
режимов. Кроме того, теорема
Юм Юм
-с=1—II—
Юм ,Он
Рис. 5-1. Две цепи
с одинаковым режимом
па зажимах. Каждая
имеет входное полное
сопротивление Z, равное
при всех частотах 1 Ом.
имеет силу и для других видов
питания. Примером может быть случай, когда одна из
цепей не имеет катушек индуктивности; тогда другая
должна иметь большую запасенную емкостную энергию,
и разность будет точно равна запасенной во второй цепи
магнитной энергии. Пример двух цепей с одинаковым ре-
жимом на зажимах дан на рис. 5-1.
Эта теорема может быть доказана посредством тео-
ремы Телледжена. Доказательство, приводимое ниже,
до некоторой степени отличается от данного самим Тел-
леджепом
Произведение двух напряжений во временной области
ua(t) и «р(0 может быть выражено через напряжения в
частотной области (7а(ш), ЦДФ):
СО оо
«в (0 «₽ (0 = i f У U°. (“) U9 (ф) <&- (5-27)
—оо —оо
Подобные выражения пригодны и для токов. Можно
написать выражения для магнитной и электрической
71
энергии в частотных -переменных:
L °° 00
^(0 = 42^1 I /^)/ДФ)Л'Ф'^1>; (5-26)
in I —со —оо
со со
J (5-29)
cap —00 —co
Если Л' и А" являются соответственно оценками пре-
образований Фурье по со и Ф, то уравнение (2-22) раз-
ностной формы теоремы Телледжена приводит к зависи-
мости
2Р[/Р(<о)1/р(Ф)-/р(Ф)Пр(<о)) =
= ЧК»£4(Ф) - Л(ф)£4(“)1- (5-зо)
С^мма по резисторам в правой части уравнения исче-
зает. Сумма по катушкам индуктивности и конденсате
рам становится равной:
Е /(ф-о))£Л(ш)Л(ф) +
Ind
+ S / (Ш - Ф)СаUa (W)i[Ja (Ф). (5-31)
cap
Сумма по входам может быть записана в функции
матрицы полных сопротивлений Zv<1, рассчитанной при
частоте со и при частоте Ф. Разделив (5-30) на /(со—Ф),
получим:
ф;-- Д(»)шн=
=S с.е (М2)
cap Ind
Умножим (5-32) на е,Ф*/4тс. Правая часть
уравнения после интегрирования по со и Ф становится
разностью энергий Wc(t)—В левой части урав-
нения получается сложный интеграл, который может
в принципе быть вычислен из Zpq(d)) и условия питания
ip(t). В этом результате важно то, что мы имеем в прин-
ципе способ расчета разности We—Wm в зависимости от
Zpq и ip. Нет необходимости знать топологию цепи или
72
иметь какие-либо сведения о распределении токов и на-
пряжений внутри цепи. Таким образом, разность We—
—Wm есть функция свойств, измеренных на зажимах це-
пи, и ее питания.
Таким образом, две или более цепей с одинаковыми
свойствами, измеренными на зажимах, и с однородным
пиканием имеют в любой момент времени идентичные
значения разности We—Wm. Настоящее доказательство
приводит к некоторым обобщениям. Могут быть в нали-
чии симметричная взаимная индуктивность, емкость и
активное сопротивление. Подобная же теорема, включа-
ющая в себя автокорреляцию напряжений конденсато-
ров и токов в катушках индуктивности, найдена умно-
жением (5-32) на — eluit е'Ф (/+т)/4^2-
5-12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ ПОЛНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО
ЗАМЫКАНИЯ
Нижеследующий результат (Паркер и др., 1965 г.;
Крозер и Фетт, 1966 г.; Моад, 1966 г.; Ван Лоок, 1967 г.;
Андерсен и Ку, 1967 г.) доказывается значительно про-
ще непосредственно, чем
через теорему Телледже-
на, однако доказатель-
ство, приведенное здесь,
служит иллюстрацией
применения теоремы Тел-
леджепа [Л. 1, 27, НО,
121, 160]. Рассмотрим
линейный четырехполюс-
ник, который может быть
активным и необратимым,
как показано на рис. 5-2.
Когда вход 1 замкнут,
входное полное сопротив-
ление при испытании со
стороны входа 2 имеет
Рис. 5-2. Цепь с двумя входами
и четыре способа ее испытания
для определения Z3, Z*, Zo и Zp.
величину Zs; когда вход / разомкнут, входное .полное
сопротивление со стороны входа 2 будет Zo. Подобно
этому, когда вход 2 замкнут, входное полное сопротив-
ление со стороны входа 1 есть Zh, а когда вход 2 разо-
мкнут, входное полное сопротивление со стороны входа
73
1 — Z.p. Теорема, подлежащая доказательству (Паркер
и др.)> [Л. 121] гласит:
Z0IZs=ZPIZh. (5-33)
Здесь включены четыре разных эксперимента, так
что мы имеем четыре разных распределения тока и на-
пряжения, отмеченных индексами з, /г, о и р*. Однако
при измерениях ZB и Zp следует использовать цепь, при-
соединенную к первоначальной (см. приложение 4).
Таким образом, матрица полных сопротивлений вет-
вей будет Z^—Z^, а не Za₽. Результирующие входные
полные сопротивления ZB и Zp не изменяются при этой
замене элементов, как показано в § 5-9. Тильда над бук-
вой будет указывать соответствующие распределения
токов.
Подлежащее доказательству уравнение (5-33) запи-
шем в виде
Т21^20 7 1/16*
бгоРи TipUih
Разностная форма теоремы Телледжена (2-22) при-
водится к следующему выражению:
~ ~ 1и ~ —
IЧ" 1гтп I |1П^|П 72т(7гп —
= S (7 и — 7 и ), (5-35)
где индексы tn и п могут заменить з, h, о или р.
Однако правая часть уравнения эквивалентна
£ „(/ 7/z о — I JnmZRri) и стремится к пулю, так как
Z „=ZD . Следовательно, левая часть исчезает. Обра-
ар ра 1
тим внимание на то, что П^в, V^h, /0 и hP все равны ну-
лю. Если индекс т подставим вместо индексов s и р и
п — вместо о и h, тогда мы придем к четырем уравне-
(5-34)
ниям, полученным из (5-35):
TiBUlh=r2hU2B, (5-36)
TiPhio=IttXJ2P', (5-37)
TiPU\h=hiffiP+IziiU2P‘, (5-38)
rlsl/lo4-72sl/2o=/2ot72s. (5-39)
* Индексы s, h, о и p выбраны по первым двум буквам слов
«short» и «ореп».
74
Произведение первых двух выражений после пере-
группировки членов дает:
Т _________ I ZhtJ2р
/гоР*2а 7>plAfc
(5-40)
Постановка двух последних уравнений в (5-40) дает:
—7g,t/go __ llhUyy
IzoUss TjptJlh
(5-41)
это выражение включает в себя (5-34).
Этим завершается доказательство результата и де-
монстрируются некоторые приемы, которые можно ис-
пользовать при применении теоремы Телледжена.
5-13. ОГРАНИЧЕНИЕ ПОЛНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПО ХУАНГУ И ЛИ
Хуанг и Ли (1965 г.) показали наличие и исполь-
зование ограничения полного сопротивления линейного
двухполюсника [Л. 75, 76]. Предполагается, что цепь со-
держит в себе резисторы с не-
отрицательным активным со-
противлением и другие элемен-
ты, такие, как катушки индук-
тивности и конденсаторы с по-
ложительными или отрицатель-
ными параметрами, веществен-
ная часть мощности которых
никогда не бывает отрицатель-
на. Бели эти «другие» элемен-
ты замкнуть накоротко, но
оставить резисторы неизмен-
ными, то полное сопротивление
Рис. 5-3. Возможный диа-
пазон изменений Z.
цепи будет Zs, если же их заменить разомкнутыми ветвя-
ми, а резисторы также оставить неизменными, то полное
сопротивление цепи будет Zo: если, наконец, «другие»
элементы оставить на месте без замены, то полное со-
противление цепи при частоте, о которой идет речь, бу-
дет Z.
Необходимо доказать, что Zs и Zo вещественны при
0<Zs<Zo и что возможное геометрическое место кон-
цов отрезков, изображающее Z на плоскости полных со-
противлений, есть внутренняя часть окружности
(рис. 5-3). В алгебраических обозначениях это условие
будет таково:
7 _1_ 7 2 / / __ 7 \ 2
z ~~ I " ° 9 ) ' (5-42)
что эквивалентно неравенству
0<i(Zo+ZS) Rc (Z) — IZ12—Zozs. (5-43)
Итак, имеются для цепи три условия: «другие» эле-
менты па месте; «другие» элементы заменены коротко-
замкнутыми цепями и «другие» элементы заменены
разомкнутыми ветвями. Обозначим соответственно ин-
дексами s и о распределения тока и напряжения при
двух последних условиях и без индексов — при первом
условии. Заметим, что равенства и /°=0 дей-
ствительны для «других» элементов, но не обязательны
для резисторов.
Если обозначим через Л" выбор одного из этих трех
условий, а через Л' выбор одного и взятие сопряженного
комплекса, то получаются девять уравнении, предска-
занных теоремой Телледжена (2-20), из которых полез-
ны шесть:
/*и = У. /* U -4-У /* U ;*
а а 1 а а’
res oth
J»*U=y.ln’U ;
а а’
res
r'us
a a ’
res
I*U“ = 7.1* Us ;
a. a 9
res
l°*U‘= У Г1Г ;
а а ’
res
i°*u°=y.r'u°.
a a
res
(5-44)
(5-45)
(5-46)
(5-47)
♦
(5-48)
(5-49)
* Символом z । обозначено суммирование по „другим* эчемен-
oth
там. (Прим., ред.)
76
Заметим, что сумма для «других» элементов в по-
следних пяти уравнениях исчезла. Разделив первое из
этих уравнений на |/|2, а другие на соответствующие
произведения токов, найдем:
res oth
res
z-=SR- э
res
res
res
(5-50)
(5-51)
(5-52)
(5-53)
(5-54)
(5-55)
res
Прежде всего из (5-52) и (5-55) замечаем, что так
как все Ra не отрицательны, следовательно, Zo и Zs ве-
щественны и не отрицательны. Затем складываем (5-52)
и (5-55) и вычитаем удвоенную вещественную часть
(5-54); получим выражение
(5-56)
res
которое завершает доказательство того, что 0^Zs^Zo.
Чтобы доказать главный результат (5-43), заметим,
что так как все Ra не отрицательны, то
res
-° — а 1
Zo — Z, \ /° )
(5-57)
77
Раскрытие этого выражения приводит к уравнении^
вещественная часть которого будет равна:
0<КсХ2.|-гГ+'?е2-
oth
_ZA+JZF-2Z.RCZ (558)
Сумма по «другим» элементам не отрицательна, так
что оставшиеся члены должны быть тоже не отрица-
тельны. При умножении на неотрицательную величину
Zo—Z* находим желаемый результат (5-43). Это доказа-
тельство вызывает много обобщений, таких, как вклю-
чающие многозажимные элементы, взаимоиндукцию, ги-
раторы, нелинейные элементы и элементы, зависящие
от времени. Теорема в зависимости от «других» элемен-
тов может быть действительной или вдоль оси /со или
в более обширной области на плоскости s. Эти обобще-
ния не будут продолжены в данной книге.
5-14. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ЛЮНЕЛЛИ
Рассмотрим двухполюсник RLC. Лтонелли доказал
и применил [Л. 97—100] две теоремы о разложении пол-
ного сопротивления Z(s):
Z (s) = ВД- fS, (s)]3 + sS, \1<г\ [Д- (s)P; (5-59)
(«)]’, (5-60)
где сумма дана по ряду членов (покажем, чгоэто можно
считать как сумму по элементам) с Я,-, неотрицатель-
ными и вещественными, Ki, вещественными, но возмож-
но отрицательными, и S» и Ft как функции от s; заме-
тим, что одни и те же К{ и F, появляются в обоих выра-
жениях.
Докажем эти теоремы. Найдем Я,-, S,-, Ki и F, как
функции параметров цепи. Пусть Д' избирает коэффи-
циент Фурье, а А" избирает производную от этих коэф-
фициентов по s. Тогда разностная форма теоремы Тел-
леджена (2-22) приводит к следующему равенству:
# " У = Е (г
ds ds a ds ds ®
(5-61)
78
Применим выражение U=ZI, так что левая часть
уравнения примет вид:
(5-62)
Члены, соответствующие резисторам и катушкам ин-
дуктнцрости, в правой части уравнения обрабатываются
аналогично; для резисторов О, тогда как для кату-
щек индуктивности -^-=Ла. Над выражениями для кон-
денсаторов выполняется дуальная операция. В результа-
те (5-61) приводится к виду
</Z(s) Vz Vr f^^Y
ds — Zj Zj
Ind, cap
(5-63)
По форме это уравнение совпадает с (5 60), если Л'г
рассматривается пли как La, пли как — С °. и если F(s)
рассматривается или как коэффициент передачи по току
IJI, или как полное передаточное сопротивление UJI.
Если оба оператора Л' и Л" принимают коэффициенты
Фурье, то теорема Теллед кена (2-20) приводит к сле-
дующему выра кепию:
res
ind
(5-64)
По форме это уравнение совпадает с (5-59), если /7г
понимать как Ra, a S/ как коэффициент передачи по то-
ку для резисторов IJI. Аналогичные выражения приме-
нимы для Ki и Ft.
5-15. ТЕОРЕМА РЕАКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Хорошо известная теорема, связывающая скорость
изменения реактивного сопротивления в цепи LC с за-
пасенной энергией, может быть доказана с помощью
теоремы Телледжена. Эту теорему (приводили много раз,
79
например, Маа (1943 г.), Боде (1945 г.), Гиллемин
(1957 г.), Киши и Наказава (1963 г.) [Л. 12, 64, 83, 102].
Реактивный двухполюсник имеет мнимое полное со-
противление Z(co) =/Х(со). Если А' принять за сопря-
женный комплекс коэффициентов Фурье и А" принять за
ча'стотные производные коэффициентов Фурье, то суммо-
вая формг! теоремы Телледжена (2-23) приводит к вы-
ражению
. dU (со) . . , d! (со)
/* (со)--и* (w) —г—~ —
' > с/со 1 ' ’ </со --
= Е
а
(ц)
с/со
(5-65)
Это уравнение становится затем таким:
|'|2 w+S c.w=r"+(5‘66)
ind сир
Заметим, что в отличие от многих предыдущих тео-
рем здесь появилась сумма двух энергий, а не разность.
Доказательство с помощью теоремы Телледжена вызы-
вает несколько обобщении. Первое из них: может быть
включена взаимоиндукция. Второе: могут быть включе-
ны гираторы, их действие па правую часть (5 66) равно
нулю1. Могут быть включены конденсаторы с потерями
или катушки индуктивности с потерями, после чего вы-
вод приведет к выражениям, которые могут быть объяс-
нены как энергия в таких элементах.
Другая основная теорема, затрагивающая более X,
чем clXjdw, может быть получена для цепей LC сразу
же из (5-4):
|/|2Х(со)=Ю(11/т— We). (5-67)
Как указал Смит (1967 г.), (5-66) в отличие от (5-67)
имеет силу для необратимых цепей [Л. 148]. Эти два ре-
зультата могут быть интересно скомбинированы. Так
как Wm п We не отрицательны, то
Wm+We^\Wm— 1ЕС|; (5-68)
1 Когда в наличии гираторы, природа и не ясна, хотя
нх сумма все еще существенна. Вспомним для примера, что гиратор
и конденсатор вместе могут походить па катушку индуктивности;
цепь ведет себя, как будто имеется магнитная энергия, несмотря иа
то, что энергия считается как часть lV't..
80
делаем вывод:
dX (ы)
</ю
4| °
(5-69)
Этот хорошо известный результат может быть также
доказан с помощью теоремы реактивных сопротивлений
Фостера [Л. 57].
$-16. ЧАСТОТНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
Для иллюстрации того, как теорема Телледжена
может быть использована для нахождения полезных тео-
рем при довольно специализированных обстоятельствах,
выведем выражение для частотных изменений элемента
матрицы рассеивания S21, согласованного с нагрузкой
четырехполюсника без потерь (Slt = 0) (Л. 39]. Использу-
ем суммовую форму теоремы Телледжена (2-35), выра-
жая переменные на входах четырехполюсника через вол-
новые переменные, а переменные внутренних ветвей через
напряжения и токи Пусть А' избирает сопряженные
комплексы переменных в установившемся синусоидаль-
ном состоянии при питании только с входа 1 рис. 5-2
(А'А2 = 0), а А"-—производные переменных по частоте
to опять-таки в случае /12=0:
-
- I =2 (5-70)
31 ” (1ы I a у a I a J X J
Первый член левой части печезат, так как цепь без
потерь (вспомним, что цепь без потерь имеет унитарную
матрицу рассеивания). Второй член исчезает, потому
что цепь согласована на входе. Правая часть может
быть интерпретирована для цепи LC, возможно с гира-
торами, в выражениях накопленной энергии (гиратор-
ные члены исчезают). В результате имеем:
+ (5-71)
где Р — поступающая мощность.
Это и есть результат, данный Дике.
6—364 81
5-17. ГРУППОВАЯ ЗАДЕРЖКА И ЗАПАСЕННАЯ
ЭНЕРГИЯ
Выражение (5-71) может быть некоторым образом
упрощено, если обозначить буквой т групповую задержку
цепи:
М
du '
(5-72)
где —U — фазный угол параметра S21.
В предыдущем примере § 5-16 цепь была согласова-
на с |S2i|2= 1 и d|S2t|2/dco=0; тогда (5-71) примет вид:
(5-73)
Аналогичный результат был описан Боде (1945 г.)
[Л. 12]. Этот результат есть частный случай более общей
формулы, данной Киши и Наказава (1963 г.), которая
относится к многополюсникам без потерь [Л. 83]. Этот
результат может быть получен для цепи LC (возможно,
с гираторами) из суммовой формы теоремы Телледжена.
Пусть Л' берет производную по частоте от коэффициен-
тов Фурье и Л" — сопряженный комплекс преобразова-
ний Фурье. Тогда суммовая форма теоремы Телледжена
(2-35) утверждает:
__оу д* д <?* —
р, —
f dU di \
=4 + <5-74)
Это результат, к которому пришли Дике (1948 г.) и
Карлин (1967 г.) [Л. 23, 39].
Теперь запишем каждое Spq в виде
Sp, = |Sp,|e-/^ (5-75)
и используем следующее свойство Spq, которое получа-
ется за счет отсутствия потерь:
2p|SP5|2=l. (5-76)
Если цепь возбуждается только с входа 1 (рис. 5-2),
уравнение (5-74) приведет к формуле
P^PM^-=We + Wm. (5-77)
82
Этот результат был дан Киши и Наказава. Из него
можно установить взаимоотношение между групповой
задержкой и накопленной энергией в четырехполюсни-
ках без потерь, не обязательно согласованных. Выведем
формулу, сходную с (5-77), но при питании той же мощ-
ностью Р, поступающей на выход, а не на вход. Тогда
две формулы будут иметь вид:
(^ + ^1. (5.78)
|S.=|2-^r+ISJ2 (5-79)
То обстоятельство, что Spr] унитарна, подразумевает
свойства:
I s„ 12= 1 ^22] 2=1-1SI212= 1 -1S2112; (5-80)
SilSi2*+S2lS22* = 0. (5 81)
Таким образом, сумма (5-78) и (5-79) равна:
rf612 I ____ (У, + + ^т)г /Е ОО\
Ао ' Ао Р '
Сумма групповых задержек в двух направлениях,
которая может быть рассмотрена как задержка «туда
и обратно» (Карлин, 19G7 г.), равна сумме энергий, за-
пасенных па ватт поступающей мощности, когда цепь
питается с каждого входа. Этот результат был получен
и рассмотрен Карлином (1967 г.), а для цепей LS —
Киши и Наказава (1963 г.).
5-18 ОДНОЗНАЧНОСТЬ
Для линейных цепей мы можем доказать посред-
ством теоремы Телледжена теорему однозначности в ча-
стотных переменных (Дике, 1948 г.) [Л. 39]. Теорема
однозначности во временной области была доказана
с помощью теоремы Телледжена в § 4 1. Рассмотрим
цепь, состоящую из резисторов, конденсаторов, катушек
индуктивности, действительных гираторов и идеальных
трансформаторов. Полагаем, что сопротивления резисто-
ров. конденсаторов и катушек индуктивности не отрица-
тельны. Цепь возбуждается с входов в установившемся
синусоидальном режиме. На каждом входе точно заданы
6* 83
или напряжение, пли ток. Тогда теорема однозначности
констатирует, что существует только один комплект на-
пряжений и токов в цепи, который совместим с этим воз-
буждением (в зависимости от резонансных условий, об-
суждаемых ниже).
Теорема однозначности может быть доказана посред-
ством теоремы Телледжена. Предположим, что имеются
два комплекта синусоидальных напряжений и токов,
{/\} и {/"а} и {U"a}, которые подчиняются кон-
ститутивным законам элементов, законам Кирхгофа и
совместимы с заданными входными переменными.
Пусть разность между величинами этих комплектов
будет {Д/J и {ДПа}. Теорема Телледжена в сильной
форме (2-20) приводит к следующему:
EpA/pAt/*p = SaA/aA[7*tt. (5-83)
Левая часть (5-83) исчезает, потому что оба решения
совместимы с заданными входными напряжениями или
токами. Сумма в правой части уравнения может быть
разбита на вещественную сумму по резисторам и мни-
мую сумму по катушкам индуктивности, конденсаторам
и гираторам Обе суммы должны исчезать независимо
Так как все сопротивления резисторов не отрицательны,
все &1а равны нулю для все резисторных ветвей. Это
значит, что все ДПа для резисторных ветвей также
равны нулю; результаты как будто бы говорят о том,
что многие из других напряжений и токов также одно-
значно определены. Тем не менее возможно, что сущест-
вует комплект напряжений и токов, которые не опреде-
лимы однозначно. Такой комплект может сущствовать
только в таких частях системы, где нет потерь. Это —
явление резонанса, и при установлении мпппмой части
уравнения (5-83), равной нулю, мы найдем, чю опреде-
ленные суммы по конденсаторам, катушкам индуктивно-
сти п гираторам равны пулю. Это является обычным
условием резонанса, рассматриваемым в § 5-20. Однако
если не принимать во внимание эти резонансы, то напря-
жения и токи устанавливаются однозначно .при заданном
возбуждении с входов. Если мы зададим также и на-
чальные условия, то даже и эти резонансы будут опреде-
лены однозначно.
84
5-19. РЕЗОНАНС
Собственная частота s=n + /w есть частота, при
которой в цепи могут возникать свободные колебания
при отсутствии внешнего возбуждения. Теоремы о резо-
нансе в последующих параграфах данной главы доказы-
выются с помощью теоремы Телледжена для цепи без
входов
0=2Л'1Л"ы (5-84)
пли с помощью соответствующей разностной пли суммо-
вой формы.
Вообще цепь может быть одновременно в резонансе
па нескольких собственных частотах; однако в § 5 20,
5-21 и 5-23 рассматривается случай одной резонансной
частоты и связанной с пси системы токов или напряже-
ний.
5-20. УСЛОВИЯ РЕЗОНАНСА
Ряд важных условий резонанса в линейных цепях
связан с комплексной мощностью различных элементов.
Расмотрим цепь в резонансе с одной собственной часто-
той s. Пусть А" избирает коэффициенты Фурье перемен-
ных и А' — сопряженные комплексы коэффициентов
Фурье. Тогда теорема Телледжена (5-84) приводит к вы-
ражению
0 = 2 /* U = 2 J* LZ н = 2 I/ |2Z . (5-85)
a a a apapap ala1 a ' '
Последняя запись относится только к цепям с двухза-
жимпыми элементами. Опа удобна, например, для цепей
RLC. Обе части суммы, вещественная и мнимая, должны
обратиться в нуль. Это ведет к ограничению зон плоско-
сти s, где может возникнуть резонанс.
Так, в цепях с положительными R, L и S резонанс
не может возникнуть при положительной величине о,
а в цепях RC он может возникнуть только, если часто-
та го равна нулю. Возможны многие другие объяснения
уравнения (5-85); обычно они ведут к зонам в плоскости
s, где резонанс может или не может возникнуть (см.,
например, заметку Ли и Даниэле, 1966 г.) [Л 89].Такие
результаты особенно полезны для цепей только с двумя
видами элементов.
Случаи цепей RLGG (обозначение G — поставлено
для гираторов) довольно важен, чтобы оправдать неко-
85
торос обсуждение. В этом случае (5-85) принимает вид:
Ind сор
+ S|/J/?n + S /V₽V- (5-86)
res gyr
Каждая из сумм вещественна, за исключением по-
следней, которая является мнимой. Вещественная и мни-
мая части:
0=оГЕ I'J’i. +'S иен V|ZJ*R_;
\ Ind cap I res
о=“(Е1'.1’ь.-ЕЩ’с iS
yind cap J gijr
(5-87)
(5-88)
Если активные сопротивления отсутствуют, то <т
равна нулю, и суммы могут быть объяснены как запасен-
ная индуктивная и емкостная энергии. Если имеются
в наличии гираторы, тогда обе энергии отличаются па
величину, равную полной мнимой мощности, связанной
с гираторами* 2, как указано в (5-88). Эти результаты
могут быть легко распространены на случаи с взаимоин-
дукцией и емкостью.
5-21. ФОРМУЛЫ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ
Если форма токов, связанная с некоторой резо-
нансной частотой, известна, то частоту можно вычислить.
Могут быть получены две формулы из теоремы Теллед-
жена. Упрощения ради ограничиваем наше внимание
цепями RLCG, хотя взаимная индуктивность, емкость и
активное сопротивление могут быть непосредственно до-
бавлены. Сначала допустим, что А" и А' —коэффициен-
ты Фурье для переменных, и найдем:
o=s=S/;La+sE/X + S':/c.. (5-89)
Ind res cap
’ Символ 71 относится к суммированию по гираторам (Прим. рсд.)
gW
2 Этот результат приемлем, если вспомнить, что гиратор н кон-
денсатор вместе могут походить на катушку индуктивности и на-
оборот.
86
Таким образом, если распределение тока /а извест-
но, то s может быть вычислена решением квадратного
уравнения
0=4s2+Bs+C, (5-90)
где А, В и С являются суммами, которые появились
в (5-89).
Заметим, что члены, относящиеся к гираторам, авто-
матически суммируются в нуль, даже если постоянные
гиратора являются комплексными (случай, который мы
обычно не рассматриваем) и поэтому не появляются
в (5-89); тем не менее фазы токов должны быть извест-
ны, если нужно применить (5-89). Формула, которая тре-
бует только знания величин, может быть тоже получена
из теоремы Телледжена, если допускать, что один из
операторов Кирхгофа берет сопряженный комплекс.
Тогда получим:
o=s!E|/.ri.+s(S|/.IX +
Ind \res
+ S + (5-91)
gyr J cap
Данное выражение имеет преимущество в том (по
крайней мере если гираторы отсутствуют), что только
величины токов должны быть известны. Для определе-
ния s надо будет опять-таки решать квадратное уравне-
ние. При применении таких формул важно знать, как
критично в окончательном ответе малое отклонение
в принятой форме токов. Покажем, что рассчитанная
резонансная частота независима от любых отклонений
до первого порядка в форме токов при одном условии,
что применяемые токи подчиняются первому закону Кирх-
гофа. Этот результат имеет силу, когда применяется
(5-89) и если пет в наличии гираторов. Чтоб доказать
это свойство, предположим, что действительное распре-
деление тока /° точно не известно, но наш подсчет /в
отличается от него на малую величину. Затем, если s°
является действительной резонансной частотой, (5-89)
превратится в выражение
0= (So)= S (Ло )* La + s0Z (Г У Ra + S (/°яУ1Са. (5-92)
Ind res cap
87
Теорема Телледжена приводит нас также к следую-
щему (так как /о—/° подчиняется первому закону
Кирхгофа):
о- (S°)2 £ (/„ - Г) г La + £ (/„ - /° ) /° Ra +
in i res
+ E (5-93)
cup
Сумма (5-92) и удвоенного уравнения (5-93) с учетом
токовых отклонении до первого порядка /а— /” дает:
0=(s°)2 £ fa La + s" £ Ra + £7; /Сп. (5-94)
"*J res сир
Заметим, что неверными значениями токов будут те,
которые появились в последнем уравнении. Это в точно-
сти та формула, которая применяется для нахождения
резонансной частоты, однако в этом квадратном уравне-
нии появляется s°. Следовательно, результат, достигну-
тый при применении неверных значений токов, является
точным значением частоты. Таким образом, этот метод
нечувствителен к отклонениям первого порядка в приня-
той форме токов.
Для цепей с элементами только двух видов подобные
результаты могут быть показаны для другой формулы
(5-91). Так как цепь LC особо важна, то мы сконцентри-
руем внимание па этом и определим, получается ли вы-
численная собственная частота s выше пли ниже дейст-
вительной собственной частоты s°. Теорема Телледжена
дает: ,
+ (5-95)
ind cap
o=W £ (/„ - г )* Г La + £ (4 - /: )* /Са. (5-96)
in f cap
Расчет собственной частоты s производим решением
уравнения
0-s2E|/JLa + ElWCa. (5-97)
Ind cap
где Ia — принятая неверная система токов, которая под-
чиняется первому закону Кирхгофа.
88
Собственная частота s° является мнимой; пусть
s=/ra п s°—jcu°. Теперь вычтем (5-97) из суммы (5-95),
(5-96) и сопряженного комплекса уравнения (5-96).
В результате получим:
ш2 _(шо)г = -^-------------(5-98)
ind
В этом выражении, которое пе ограничено отклоне-
ниями тока первого порядка, обращают на себя внима-
ние два примечательных обстоятельства. Первое: откло-
нение в рассчитанной резонансной частоте — второго
порядка в отклонениях принятых токов, так что точный
расчет собственных частот может быть выполнен из рас-
пределения токов средней точности. Второе: со может
быть или выше или ниже правильной величины со°. Если,
однако, все принятые токи в конденсаторах правильны,
го со не может превышать <о°. Другой случай, в котором
токи катушек индуктивности имеют правильные значе-
ния, а токи в конденсаторах неправильные, приводит
к тому, что рассчитанная со будет или больше или рав-
на со°.
5-22. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ В РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМАХ
Применение теоремы Телледжена для получения
соотношений ортогональности в резонансных системах
(Дезо, I960 г.) может быть показано на цепях RLCG
[Л. 36]. Положим, что цепь имеет по крайней мере две
резонансные частоты s' н s" с частотными 'переменными
распределения тока и напряжения /'к, Д'к, I" а, U''к .
Пусть А' и А" попеременно избирают одно или другое
резонансное распределение тока, напряжения пли обоих
вместе пли соответствующие сопряженные комплексы.
Среди уравнений, получающихся при применении
сильной формы теоремы Телледжена (5-84), будут сле-
дующие:
О = л'У Г I" L +s"S Д' Д" С 4-
а а а 1 а а. а. •
ind cap
+ SSr J" л.; (М9)
res gyr
69
0 = s" S /'/" L +$' X U' U” c +
a a a 1 a a^a 1
ind cap
+ 2''.'"Л + 2''.'"Л; (5-1<Ю)
res gyr
0 = s' У /' /"* L + $"* У U' U"* C +
a a a I ^-1 a a a I
ind cap
+ S/'X"R.+ S''Z4.; (5-101>
res gyr
0 = s"*y/' l"’L +s'X U"’c +
a a a 1 a a a 1
Ind cap
+S''.<'x+S''.';'4- <5-io2>
res gyr
Условия ортогональности для цепей с элементами I
только двух типов могут 'быть получены из этих уравне-
ний. Например, для цепей LC, если s' не равно ±s", i
(5-99) и (5-100) могут быть удовлетворены лишь при f
условиях, если
o=X/'Z'A; (5-юз)|
Ind
0=%U'aU"Ca, (5-104) J
cap
а (5-101) и (5-102) будут удовлетворены лишь, если I
о=М'\; (5-Ю5) I
Ind
0 = Xt/'X"Ctt. (5-106) I
cap
Подобный же вывод (5-103) и (5-104), сделанный при
помощи теоремы Телледжена, представлен Ли (1963 г.) I
[Л. 87]. Уравнения с (5-103) до (5-106) выражают орто-
гональность между распределениями тока на двух собст-
венных частотах и между распределениями напряжения.
Другой пример заключается в следующем: для цепей
с конденсаторами и гираторами, если s" не равна —s', j
90
сумма уравнений (5-99) и (5-100) утверждает:
0 = 2 U'U''Ca. (5-107)
CQ р
Многие другие ортогональные зависимости могут
быть получены при помощи теоремы Телледжена. На-
пример, Паркер (1969 г.) показал, как теорема Теллед-
жена приводит к ортогональным зависимостям, которые
в свою очередь могут быть применены, чтобы развить
идею нормальных модов в цепях RLC [Л. 120]. Его под-
ход заключается в применении (5-99) и (5-ГОО) без
гираторных членов. Для цепей без гираторов, если s'
не равна s", (5-99) и (5-100) заключают в себе, чго
«взаимная магнитная энергия» равна «взаимной элск-
|рпческой энергии» в течение переходного режима, в ко-
тором существуют обе частоты. Вагнер обсуждал это и
другие условия ортогональности в 1974 г. [Л. 163].
5-23. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ
Хотя основная тема чувствительности относится
к гл. 6, мы сейчас обсудим наиболее специфическую
проблему, заключающуюся в том, как изменяется резо-
нансная частота цепи, когда изменяются величины ком-
понентов либо па бесконечно малые, либо на большие
величины. Этот подход может быть сопоставлен с другим
приемом, примененным Папулисом (1955—1956 гг.)
[Л. 118, 119].
Изменения первого порядка в собственной частоте
обратимой ципи RLC могут быть рассчитаны как пример
применения теоремы Телледжена в такого рода проблемах.
Допустим, что &La и 8Ctt являются изменениями
соответствующих величин элементов, и Ша и 6/а явля-
ются результативными изменениями напряжения и тока.
Тогда, например, для ветви с катушкой индуктивности
имеем:
Wa = ^s) ILa + sla (8LJ + sLa (87 J. (5-108)
Пусть А' избирает коэффициенты Фурье, а А" —
малые изменения в них. Тогда разностная форма теоре-
91
Мы Телледжена (2-22) будет иметь вид:
0 = 8s/^f Lb-£
Kind cup
-Уи~ъс\+У'.Г-ък.
a a I 1 —-J a 'a
(5-109)
Это уравнение может быть решено относительно 6s.
но оно не так полезно, как могло бы быть, потому что
должны быть известны фазы токов п напряжения. Оно
может быть легко распространено па включение взаим-
ной индуктивности, емкости и активного сопротивления.
В качестве другого примера применения теоремы Тел-
леджена рассмотрим изменение первого порядка в резо-
нансной частоте цепи LCG без потерь и без активных
сопротивлений. Здесь резонансная частота s мнимая:
s=jto. Допустим, что -V избирает сопряженные коэффи-
циенты Фурье и Л" —малые изменения в них. Исполь-
зуя суммовую форму теоремы Телледжена (2-23), нахо-
дим:
o=/«/s \+/8«>/s ma+
\jnd cup J Kind
+ SW4US гь-ио)
cap J gyr
Таким образом, изменение резонансной частоты мо-
жет быть найдено, если известна форма токов. Некото-
рые из членов могут быть объяснены как выражения
энергии. Интересно заметить, что увеличение энергии
в каком-либо конденсаторе или катушке индуктивности
не может увеличить собственную частоту даже при нали-
чии гираторов в цепи. Этот факт (по крайней мере для
случая без гираторов) хорошо известен (Калахап, 1962 г.,
Хербст, 1937 г.); например, применил его Ли (1966 г.)
[Л. 21, 71, 88]. Тот или иной элемент представляется
важным в определении собственной частоты, поскольку
он запасает энергию. Аналогичные выражения можно
вывести для цепей RL и RC.
Теорема Телледжена также может привести нас к по-
лезным выражениям для конечных изменений в резо-
нансной частоте. Пусть цепь после случившихся в ней
изменений будет обозначена штрихом, тогда s' будет
повой собственной частотой. Если А' избирает коэффи-
циенты Фурье до изменения, а А" —после изменения,
92
тб разностная форма теоремы Телледжена (2-22) приве-
дет для цепей RLCG к уравнению
О- S IJ'a(s'L'a - sLa) + У UaU’a(sCa - s'C'J +
ind cap
+ E Ю + S fj'? (Я'в? + (5-n i)
res у yr
• которое может быть решено относительно конечной раз-
ности s' s:
s' — s= —-----------J—-----— I sS/ /' (£' - L ) -
У UJJ' C' — У IJ'L' a “
a a a a a a |
cup ind
’ S UJJ'. (C. - Cj + £ lj‘, (R\ - «,) +
cap res
+ S +M- <5 112)
ЕЦГ J
Подобным же образом может быть получено выра-
жение, включающее в себя сопряженные комплексы. Из
сильной формы теоремы Телледжена (5-84) найдем:
0 = s'xV//"L' -\-sy.UU’'C +£//"/?' +
a a al a a a 1 a a a 1
ind cap res
+ E (5113)
BUr
Q=sY1 l"L 4-s'* У и u''c + У I l”R —
a a al a a al a a a
ind cap res
<5-114)
Сумма ii разность этп\ двух выражении дают выра-
жения для s'*+s и s'*—s.
5-24. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ФОСТЕРА
Фостер (1949 г.) привел правило для линейных це-
пей с двухполюсными элементами без трансформаторов
(для простоты мы не рассматриваем цепи с более чем
одной отдельной частью) (Л. 58] Если полное сопротив-
ление каждой ветви цепи обозначим через za, а входное
сопротивление цепи при возбуждении с зажимов этой
93
I
ветви через Z^, то правило Фостера гласит:
= (5-115)
где nt обозначает количество узлов в цепи.
Этот результат может быть доказан с помощью тео-
ремы Телледжена, хотя имеются и другие доказательст-
ва (Фостер, Вайнберг) [Л. 58, 59, 165, 166]. Возьмем
какой-либо узел и назовем его «земля». Другие —1
узлов выведем к зажимам; таким образом, цепь имеет
теперь —1 входов. Определим два типа питания этой
цепи. В первом, обозначенном индексом s, единичный
ток введен во вход s, а остальные входы имеют токи,
равные нулю. Во втором, обозначенном значком s и
тильдой над буквой, все напряжения удерживаются на
нуле, за исключением единичного напряжения, прило-
женного к входу s. Эти два режима питания возможны,
если цепь не содержит идеальных трансформаторов,
разомкнутых или короткозамкнутых ветвей. При этих
определениях мы имеем №р=0 и £7(3)Р=0 для всех вхо-
дов, за исключением входа s.
Заметим, что U^=0, если a-я ветвь не подключе-
на к узлу s; в этом последнем случае оно равно ± 1. Также
заметим, что поскольку Za является полным сопротивле-
нием цепи, измеренным с зажимов ц-й ветви, оно нахо-
дится путем |рассмотрения напряжения Дц, когда еди-
ничный ток вводится в один из ее узлов и отводится
с другого. При применении принципа наложения
= (5-Н6)
где q и г — узлы, между которыми расположена а-я
ветвь.
Если допустить, что Л' избирает один из режимов
питания, а А" —другой, оба с одного и того же входа s,
то уравнение (2-20) сильной формы теоремы Телледже-
па примет вид:
S_/(s,{/(s, = S I<S)U{S} . (5-117)
Ppp а а а V '
Левая часть уравнения равна единице, потому что
сумма по входам исключает все члены, за исключением
одного для входа s. Теперь суммируем по $ и находим:
rtl-l=£aS4S)^S)- (5-118)
94
Для каждой ветви а суммирование по s даст члены,
которые большей частью равны нулю. Не равны нулю
только члены, соответствующие узлам, между которыми
расположена a-я ветвь.
Таким образом, для каждой ветви а суммирование
по s приводит к зависимости
М'’ = -I? =(иу-U? )/za = ZJza. (5-119)
Для .получения последнего выражения использовано
уравнение (5-116). Комбинируя (5-118) и (5-119),
найдем желаемый результат — уравнение (5-115). Обоб-
щение этого результата для цепей, включающих много-
зажимные элементы и идеальные трансформаторы, воз-
можно, и его доказательство теоремой Телледжена явля-
ется, вероятно, наиболее подходящим.
5-25. КВАЗИОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ГИЛЛЕМИНА
Следующая теорема была дана Гиллемнном (1963 г).
[Л. 65]. Рассмотрим цепь с линейными резисторами, неко-
торые входы которой питаются источниками напряже-
ния, а другие — источниками тока. Необходимо подсчи-
Рис. 5-4. Цепь с липейпьпми резисторами.
а — первоначальная цепь с источниками напряжения и источниками
тока; б — цепь только с источниками напряжения; в —цепь только
с источниками тока.
тать мгновенную мощность Р, поступающую в цепь.
Определим два типа дополнительных операций. В пер-
вом— источники тока заменены разомкнутыми ветвями,
но источники напряжения остаются; эта операция обоз-
начается штрихом. Во втором — обозначаемом двумя
штрихами — действуют источники тока, а источники на-
пряжения замыкаются накоротко. Эти операции показа-
ны на рис. 5-4.
95
По принципу наложения (суперпозиции) действитель-
ные напряжения и токи па входе являются суммой ре-
зультатов действия двух способов питания. Таким обра-
зом, мощность Р будет равна:
Р— Lp (i'p + i"p) (и'р-\-и"р). (5-120)
Результат, который должен быть доказан, заключает-
ся в том, что оба питания «ортогональны» в том смысле,
что мощность Р есть сумма мощностей обеих операций:
Р=^pi'pu'p pit" р. (5-121)
Получить доказательство посредством теоремы Тел-
леджена нетрудно. Остается только доказать:
+Ypi' ри" р = 0. (5-122)
Теперь па каждом входе равно нулю или i'p или и"р,
так чго Xpi'pi/"p=0. Таким образом, условие, которое
необходимо доказать, может быть написано и так:
pit р—ipi'pii"p — 0. (5-123)
Применим теорему Телледжена. Позволяем оператору
Л' избирать операцию, обозначенную штрихом, и Л" —
обозначенную двумя штрихами. Теперь разностная фор-
ма теоремы Телледжена (2-22) превратится в выражение
£р(РР«”Р - i"pH'p)=:Sa (5-124)
Чтобы увидеть, что левая часть этого уравнения
равна нулю, заметим, что правая часть исчезает, так
как каждый член в сумме равен пулю:
i' и" —i" и' = i' R i" — i" R i' . (5-125)
a a a a a xa a a 'a a v i
Бесспорно, доказательство, полученное посредством
теоремы Телледжена, может привести ко многим обоб-
щениям условий, для которых эта теорема имеет силу.
Теорему недавно заново вывел Намбпар (1969 г.) [Л. 111].
5-26. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ШУМОВ
ДВУХПОЛЮСНИКА
Рассмотрим линейный двухполюсник RLC, внутри
которого имеются разные элементы с различными тем-
пературами. Желательно найти выражение для эквива-
лентной температуры шумов в цепи в величинах темпера-
тур элементов. Предположено, что к каждому резистору
9G
подключей последовательно эквивалентный источник на-
пряжения по Тевепнну Е, не коррелированный с други-
ми источниками питания и который имеет среднеквадра-
тичное значение напряжения в интервале частоты Af;
|£ Г = (5-126)
где 7'а есть температура этого резистора.
Паша цель найти эквивалентный источник Тевеиппа
£ для всей цепи и выразить его в величинах «эквивалент-
ной температуры шума» Теч при помощи уравнения
| £|2--4A7'P4Re(Z) Af, (5 127)
где Z — входное полное сопротивление цепи.
Пусть Л'— оператор Кирхгофа, который избирает
действие в отсутствие источников шума, когда цепь
питается током Г, а — оператор Кирхгофа, который
избирает действия при разомкнутых зажимах, по в при-
сутствии источников шума, когда /"=0; уравнение (2-22)
разностной формы теоремы Телледжена приводит нас
к записи
ЕГ = £ Е Г.
а а
(5-128)
Возьмем среднее значение квадрата уравнения
(5-128). Так как источники шума в различных резисто-
рах являются по предположению не коррелированными,
все перекрестные члены в правой части уравнения исче-
зают и получается:
res
ИЛИ
(5-129)
Г - у Т R* / «9 — “ Re (Z) res 2 (5-130)
г
Используя вещественную часть (5-19), найдем:
1 TR | /' /' |г
res
ie4 =
res
(5-131)
Из этого результата видим, что Теч находится меж-
ду наинизшим Т и наивысшим Т .
J а а
Этот результат был доказан А. А. М. Сале (частное
сообщение) и Холтом и Ли (1969 г.) [Л. 73]. При исполь-
7—364 97
зоваппи теоремы Копа {уравнение (6-4)J результат мож-
но выразить в функции от dZ/dZa как и было сделано
Сале, Холтом и Ли. Возможны обобщения, например
на необратимые цепи, и теорема Телледжена использу-
ется для выполнения таких обобщений.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПРИМЕНЕНИЕ К ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
И ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ЦЕПЯМ
Теорема Телледжена применима к цепям с элементами, кото-
рые изменяются (умышленно или не умышленно), так как в ее до-
казательстве конститутивные законы элементов игнорируются. При-
водимые здесь теоремы избраны для демонстрации широкой приме-
нимости и общности теоремы Телледжена. При этом, если не
сформулировано иначе, все токи, напряжения и волновые переменные
являются частотными переменными.
Мы полагаем, что теорема Телледжена окажется весьма полез-
ной в анализах чувствительности В большинстве дискуссий о чув-
ствительности (например, Тимс, 1962 г.; Шеффлер, 1964 г.; Блостейп,
1967 г.) теорема Телледжена не применялась, за исключением Киши
и Кида (1967 к) [Л. 10, 82, 140, 156].
6-1. ТЕОРЕМА КОНА
Важный результат, связывающий изменения во входном пол-
ном сопротивлении двухполюсника с изменениями в полных сопро-
тивлениях внутренних ветвей, доказали независимо друг от друга
Рис. 6-1. Двухполюсник с из-
меняющимися дву.хзажи ины-
ми элементами.
Старр (1938 (г.), Коч (1950 г.),
де Буда i(195i г.) и Вратзашос
(1957 г.) ]Л. 30, 151, 162] *. Все
четверо рассматривали цепи с двух-
зажи'М'НЫ'Ми элементами вида, по-
казаиного на рис. 6-1. Альтернатив-
ные доказательства и обобщения
этой теоремы были даны многими
другими (Ботт, 1959 г.; Люнелли,
1951 г., Ботт и Даффни, 1953 г.;
Пезарис, 1956 г.; Апзелл, 1958 г.;
Дирдс, 1958 г.; Хоу, 1958 г.; Джан-
сон н Валделнус, 1958 г.; Луис,
1958 г.; Бар-Давид, 1958 г.; Гаопа-
рнни, 1960 г.; Люнелли, I960 г.;
де Буда, 1961 —1962 ,гт.; 1965 г.;
Чиваллери, 1965 г.; Кити и Кида, 1967 г.) [Л. 2, 3, 15, 16, 25, 29,
31—33, 61, 74, 77, 81, 95, 96, 101, 127]. Для доказательства своей
1 В конце 20 х годов X. В. Боде из Телефонных лабораторий
Белла тоже вывел и применил эту теорему, однако в печати она им
никогда не опубликовывалась и никаких сведений об ее применении
не сообщалось (частное сообщение Боде).
98
теоремы Кон за два гола раньше Тсчлсджспа (1952—1953 гг) уста-
новил п применил то, что равносильно теореме Телледжена.
В данном параграфе докажем теорему Кона для простого слу-
чая; ее обобщения приводятся в последующих параграфах. Рассмо-
трим двухполюсник с входным полным сопротивлением Z, выполнен-
ный из двухзажимпых элементов с полными сопротивлениями Za .
Положим, что каждое Za может изменяться на малую величину
6Za. Паша цель подсчитать до первого порядка результирующее из-
менение в полном сопротивлении В/. Вообще изменения 8Z и 6Za
сопровождаются изменениями во всех токах п напряжениях. Заметим:
Z-'SZ ZS (ZZ) — 6ZZZ -= /BU — BfU. (6-1)
Подобное соотношение имеет силу для каждой ветви. Если до-
пустим, чго Л' избирает преобразования Фурье для изменяющихся
величин, а V'-—малые изменения в них, то разностная форма тео-
ремы Телледжена (2-22) выразится так:
Z8{Z-8Z^Sa(ZaWa-8Zat7a). Z (6-2)
Вследствие уравнения (6-1) и подобных соотношений для каж-
дой ветви (6-2) превратится в выражение
Z=3Z = ZiZX. (6-3)
Это и есть основная форма теоремы Копа.
Полагая Z функцией всех Za, Коп написал теорему в следую-
щем виде
— - = (Г-^\ *. (6-4)
Теорема Копа носит весьма общий характер. Вариации возмож-
ны по любой причине. Теорему можно применить для установления
чувствительности цепи к вариациям температуры или частоты пере-
менного аттенюатора пли установления эффекта допусков в пара-
метрах.
Левая часть (6 3) может быть написана в функции проводимо-
сти пли коэффициента отражения
Z26Z=— (7’6У=2/12дГ. (6-5)
Аналогично каж тый член в правой части (6-3) может быть или
написан в показанной выше форме полного сопротивления, или же
выражен через полную проводимость или коэффициент отражения
Таким обратом например, изменение в коэффициенте отражения
двухполюсника, со тержащего одну переменную проводимость Уа
будет:
t/2a
8Г в-"2Л^8У«- (6-°)
6-2. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ОБРАТИМЫХ ЦЕПЕЙ
Теорему Копа можно обобщить па обратимые двухполюсники,
не обязательно состоящие из двухзажимных элементов. Снова из
разностной формы теоремы Телледжена (2-22) найдем:
ГёН SIU (6-7)
7* 99
Объяснение левой части уравнения остаётся прежним, однако
теперь находим в правой части:
W - 8Гаи = [/„« (/„₽/₽) - й/^^/рЬ (6-8)
где Zop — матрица полных сопротивлений ветвей.
Таким образом,
/-'8Z =lfi/„/„aZ„4 . (6-9)
ар а р ар» ' •
Для получения этого уравнения мы суммировали (G-8) по всем
элементам а и подставили результаты в (6 7). Затем в одном из
членов поменяли местами индексы а и р. Так как цепь обратима, то
Zrep Zpa и, следовательно, члены с 8/^ исчезнут. Остаток — выра-
жение для 8Z в функции aZag является обобщением теоремы Кона.
Члены уравнения могут быть опять выражены в изменениях полной
проводимости или коэффициента отражения. Заметим что мы не
дела in допущения, что изменения 6Zag обратимы; попросту цепь
была обратимой до того, как произошли изменения.
6-3. теорема кона для необратимых цепей
Можно доказать результат, аналогичный теореме Кона и для
необратимых цепей (ограничение обратимыми цепями теперь снято).
Более точно это распространено па двухполюсники, содержащие не-
обратимые элементы. Обобщение на необратимые многополюсники
приводится в § 6-4.
Кроме первоначальной цепи, рассмотрим цепь, присоединенную
к ней (см. приложение 4). Обозначим изменения в присоединенной
цепи тильдой. Таким образом,
?„,=Z. (6-10)
dip pa* ' I
Как мы доказали с помощью теоремы Телледжена в § 5 9 здесь
подразумевается, что матрицы входных полных сопротивлений свя-
заны следующим образом.
ZP9-Z9/). (6-11)
При изучении одного двухполюсника подразумевается что
Z=Z.
Пусть А' избирает присоединенную цепь, а А" — изменения пер-
воначальной цепи. Тогда уравнение (2-22) разностной формы теоре-
мы Телледжена получится в виде
ни — = (7^SU — 6/U). (6-12)
Применение (6-10) и факт, что 2 равно Z, приводит (6-12)
к следующему виду:
ez^s^-y-^-ez^. (6-13)
Ести первоначальная цепь обратима, то обе формы тока Za и Та
идентичны и (6 13) приводится к (6-9).
100
6-4. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ МНОГОПОЛЮСНИКОВ
Теорема Кона может быть распространена па обратимые и
необратимые многополюсники (ограничение двухполюсниками теперь
снято). Доказательство идентично с приведенным в предыдущем па-
раграфе, за исключением того, что требуется суммирование по
входам:
Ер?/fl'qtiZj/q = Ial'— SpqUpU'qtlYjiq —
= - S«₽ = 2^qApA'q5Spq = (6 14)
Заметим, что два распределения напряжении н токов, одно обо
зпаченное со штрихом а гругос без штриха, нс обязательно едина
ковы. Например, одно питание может быть таким, что все ГР равны
нулю, за исключением Гг, а другое такое что все исчезнут, за
исключением Гз- Тогда из (6-14) |мы находим:
или
8Za3 _ Sap „ SZ^
h 3
dZZ3 f p ,
^a[i J’*
(6-15)
(6-1G)
где /a есть внутреннее распределение токов, которое получается при
размыкании всех входов прпсоелппетюй цепи, за исключением вхо-
да 2, а Z'p —распре деление токов, которое получается при питании
только входа 3 первоначальной цепи
Таким образом, чтоб найти первый порядок зависимости Z23 от
полных сопротивлении всех элементов ветвей Zap , необходимы толь-
ко два анализа цепи Интересно умножить (6-16) на Za$ и затем
просуммировать по а и |3. Получится результат:
- 7
'»₽ dZa? Тз l\ ’
(6-17)
Для выражения правой части уравнения как суммы по входам,
из которой только очин член не равен нулю, используем сильную
форму теоремы Телледжена п находим интересный результат:
_ _ dZ13
Z“? dZ я = Zs” 18>
“Р
который является специальным случаем формулы, представленной
Белавом (1964 г) [Л. 4].
Формулы вида (6-14) полезны при анализах чувствительности.
Существует несколько определений «чувствительности», включая одно,
предложенное Боде (1945 г.) [Л 12]; (см. также Шульке, 1954 г
[Л 141]). Другое применили Лидс и Агрон (1966 г., 1967 г.) их тех-
ника расчета чувствительиостей приводится по существу к использо-
ванию уравнения (6 14) (Л 90, 91] Мартинелли (1963 г.) [Л. 104]
101
определил, например, чувствительность У21 по отношению к изменяю-
щемуся внутреннему полному сопротивлению Z,n( как
Zinl / dy2, X
У21 \dZint j
(6-19)
и дал решение для S в выражениях для токов и напряжений входов
в ветвей, которое является специальном случаем уравнения (6-14).
Киши и Кида (1967 г.) обсуждали вопросы чувствительности цепей
RLC в выражениях запасенной энергии, используя уравнения, сход-
ные с уравнением (6-14) [Л. 81].
6-5. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА
Предшествующие варианты теоремы Кона включают в себя
произведения комплексных токов. Более полезной была бы форма,
которая содержит величины токов. Эта форма возможна для опре-
деления цепей и может быть доказана применением суммовой формы
теоремы Телледжена. Теорема может быть показана путем вывода
ее для двухполюсников LC.
Пусть А' принимает сопряженные комплексы преобразований
Фурье и А" принимает малые изменения в преобразованиях Фурье.
Суммовая форма теоремы Телледжена (2-23) превращается в урав-
нение
|/|=8Z + /* (Z 4- Z*) а/ = |/a|aaza+ у*Я+ z*a) а/а. (6-2oj
Для цепей LC полное сопротивление Z и каждое Za мнимые
(так как s=/<o); следовательно, члены, включающие в себя измене-
ния токов, исчезают. В результате получим:
82=Sa|4-| 8Z«-
(6-21)
Если вариации рассматриваются как следствие изменений часто-
ты, ю этот результат превращается в (5-66). При желании оно мо-
жет быть написано в волновых переменных, если применить теорему
Телледжена (2-35). Например, изменение коэффициента отражения
6Г, происходящее вследствие изменений в некоторых внутренних
полных сопротивлениях 8ZO, равно:
I I2
8Г=~Г2рГр8/“’ (6’22)
где использован факт, что для цепей без потерь Г=1.
6-6. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ
ИЗОКЛИННОЙ МОЩНОСТИ
Предыдущий результат теперь обобщается для любого двух-
полюсника, составленного исключительно из элементов, которые
имеют один и тот же фазный угол по комплексной мощности (при-
мером такой цепи может служить цепь LC с гираторами и с взаимо-
индукцией при s—jto-, другим примером будет цепь RLC при s=a).
Пусть этот угол будет О
102
Матрица полных сопротивлений ветией обладает теперь свойством
= e2^6Z*pa; в § 5-9 было доказано, что в таком случае матрица
входных сопротивлений Zqf имеет то же свойство.
Пусть Л' принимает сопряженные комплексы преобразований
Фурье, а Л" — их малые вариации. Затем обменяем местами Л' и
Л". Тогда сильная форма теоремы Телледжена (2 20) предсказы-
вает два уравнения. Если второе умножить па и вычесть, то
найдем:
11 р az + г (Z - е2‘6 Z*) ы = V*« VZap + sa₽/*a х
X(/a₽-^ez*₽a)a/p. (6-23)
Так как имеем цепь нзоклииной мощности, то члены, включаю-
щие в себя изменения тока, исчезают и у нас остается:
|/paz = sa₽ /*a/₽sza3. (6-24)
Заметим, что мы пе предполагали, что 6 Zap являются измене-
ниями нзоклииной мощности, а просто считали, что Zap само по
себе таково. Например, уравнение (6-24) может быть использовано
для подсчета результатов первого порядка убыли в цепях без
потерь.
Теорема Кона может быть распространена па цепи с изоклин-
нон мощностью и с количеством входов больше одного. Доказатель-
ство в сущности идентично с доказательством (6 24). В результате
получаем
Spg/^/'^Zp, -= /*OZ' ₽8Za-, (6-25)
где режимы питания цепей, обозначенные штрихом или без штриха,
не должны быть обязательно одинаковыми
6-7. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ
БЕЗ ПОТЕРЬ
Возможно, наиболее важным типом многополюсников с изо-
клннной мощностью являются цепи без потерь, для которых s=/ta.
В этом специальном случае применяем суммовую форму теоремы
Телледжена [уравнения (2-23) или (2-35)], допускаем, что Л' при
ннмает малое изменение в коэффициентах Фурье при одном режиме
питания цепи (обозначенном штрихом) и Л"— сопряженные ком-
плексы коэффициентов Фурье в другом режиме питания цепи, не
обозначенном штрихом. Результат для многополюсников без потерь
(не обязательно обратимых) будет:
WP/'t8Zpq = Ea₽ /*а/' ₽8Za₽ = SMU*pU'q6Yp4 =
= \6SPr =
-=-2W*a₽/Z/VS<4- <6-26)
Режимы питания цепи, отмеченные штрихом и без штриха, не
должны быть обязательно одинаковыми; они могут быть установле-
ны различными для того, чтобы выделить специфические входные па-
103
раметры Например, если мы назначим Л'2 равным единице, но все
остальные А'г равными пулю и назначим каждое -1У равным S3Q, то
(6-26) превращается в запись:
«^=4-,
(6-27)
где /'а и /а являются результирующими распределениями тока.
Эта формула полезна для установления чувствительности S12
к изменениям элементов матрицы полных сопротивлений ветвей
6-8. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ИЗОКЛИННЫМ
ПОЛНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Цепью с Н30КЛННПЫМ полным сопротивлением называется та-
кая цепь, в которой все элементы матрицы полного сопротивления
ветвей имеют одни и тот же фазный угол 0, так что мы имеем
Zap=e2/BZ*ofJ .
Примером цепи с изоклииным полным сопротивлением может
служить цепь, содержащая резисторы и гираторы. В § 5-9 теоремой
Телледжена было доказано, что для таких цепей матрица входных
полных сопротивлении подчиняется зависимости Zp4 = e2^eZ*fq.
Рассмотрим многополюсник изоклинного полного сопротивления,
а также присоединенный многополюсник (см. приложение 4). Обо-
значим переменные присоединенного многополюсника тильдами.
В § 5-9 посредством теоремы Телледжена доказано, что так как
Zap — Zpat то ZPq = Zgp. Пусть Л' избирает сопряженные ком-
плексы преобразований Фурье величин присоединенного и Л" — изме-
нения в преобразованиях Фурье первоначального многополюсника.
Затем переменим роли Л' н Л". Результатом сильной формы теоре-
мы Телледжена будут два уравнения. Если второе умножить иа
е2/В и вычесть из первого, то получим:
= Saf)T*a/'?8Zap< (6-28)
где режимы питания цепи, обозначенные штрихом или без штриха,
ие должны быть обязательно одинаковыми (для получения этого урав-
нения были использованы зависимости Zpq — е2,в2*5р и Z~ = «2/6Х
Х^*₽а. Это выражение и является формой теоремы Кона для цепи
изоклинного полного сопротивления. Примечательно, что здесь не тре-
буется, чтобы изменения iZa? имели тот же фазный угол, что и Za^_
Для двухполюсника изоклинного полного сопротивления (6-28)
превращается в запись:
7* /
8Z = Sap у.» — (6-29)
Интересно сравнить это уравнение, которое относится к цепям
изоклинного полного сопротивления, с уравнением (6-13), которое
относится к любому двухполюснику; разница только в сопряженных
104
комплексах, появившихся в (6-29). Если мы вычтем (6-29) из (6-13),
то найдем:
(6-30)
Это уравнение действительно для двухполюсников с изоклинным
полным сопротивлением. Оно может остаться в силе для произволь-
ного , но только когда отношение ‘Та Т вещественно, для чего
требуется, чтобы все токи в присоединенной цепи совпадали по фазе
(или отличались по фазе на 180). Фактически этот результат имеет
силу и для первоначальной цепи, так как роли цепей мы можем
переменить местами без воздействия на вывод. Таким образом, по-
казано, что все токи в двухполюснике с изоклинным полным сопро-
тивлением совпадают по фазе. Это есть обобщение хорошо известно-
го факта, что все токи в двухполюснике LC совпадают по фазе.
6-9. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Теорема Телледжена может быть также использована для по-
лучения полезных формул по чувствительности высшего порядка.
Рассмотрим, например, двухполюсник, показанный на рис. 6-2,
Рис. 6-2. Двухполюсник
с изменяющимися внут-
ренними элементами
Рис. 6-3. Цепь, показанная
на рис. 6-2, с дополнитель-
ным входом, включенным
последовательно в ветвь Р
с входным полным сопротивлением Z, выполненный из двухзажим-
пых элементов с полными сопротивлениями Zo, Затем Z можно рас-
сматривать как функцию всех Za, и разложение Z по возмущениям
в Za будет:
dZ „ 1 d2Z
8Z = dZa 8Z<* + 2 (>ZadZ? eZ«eZ₽ +
1 d3Z
+ 6 S«?T <)ZadZ₽dZT SZaSZ^Zy + (631)
105
Из (6-4) можно подсчитать 5Z/dZa. Производные высшего по-
рядка в (6-31) относятся к тому, что может быть названо чувстви-
тельностью высшего порядка. В частности, матрицу d2Z/5Za<)Zp
иногда называют «хессианская матрица». Эту матрицу можно вы-
числить, используя теорему Телледжена. Для этого просто диффе-
ренцируем (6-4):
d*Z д ( 'а V Й f / \
= (С-32)
Так как хессианская матрица по ее определению симметрична,
то другие формулы, подобные (6-32), будут:
Эти формулы представил Г. А. Ричардс из компании Маркони
(частное сообщение).
Для эффективного использования (6-33) необходимо рассчитать
производные отношений токов. Это может быть сделано посредством
теоремы Телледжена. Увеличиваем первоначальную цепь рис. 6-2
прибавлением к пен нового входа, включенного последовательно
в ветвь р, как показано на рис. 6-3. Полагаем, что ветвь а подвер-
гается возмущениям и тем вызывает возмущение всех токов в цепи.
Уравнение (2-22) разностной формы теоремы Телледжена приводит
пас к следующему:
Л8(/-8/У' 8/^=2^/'^-а/тУ'т), (6-34)
где есть напряжение на новом входе.
В одном из режимов питания первоначальный вход не возбуж-
дается, /'=0, по па новый вход подается заданное напряжение
=А0; в другом режиме, из которого берется вариация первого
порядка, первоначальный вход питается заданным током /=/=0, но
б/=0 и новый вход не получает питания U$x =0. Тогда (6-34) ста-
новится таким:
— 8/вУ' =/' / 3Z,
Р Рх а в •
(6-35)
так что
I)~ ’ J (6'36)
Таким образом, уравнения, подобные (6-32) и (6-33), могут быть
рассчитаны, если известны системы токов, вызванные гипотетически-
ми источниками напряжения, присоединенными последовательно
в каждую ветвь. Теорема Телледжена привела к технике определе-
106
пня чувствительностей второго порядка. Этот процесс может быть
продолжен до чувствительностей третьего и высшего порядков.
Эта техника может быть обобщена па необратимые многополюс-
ники Например, пусть рассматривается определенный элемент Zr,
матрицы входных полных сопротивлений Zpg. Интересно узнать, как
Zrs зависит от матрицы полных проводимостей ветвей которая
пе обязательно днагопальпа или симметрична, потому что цепь мо-
Рис. 6-4. Многопо-
люсник.
Рис. 6-5. Многополюсник, по-
казанный на рис. 6-4, с добав-
ленными -новыми входами,
включенными параллельно
каждой ветви
жет быть необратимой. Первоначальную цепь, изображенную на
рис. 6-4, увеличим размещением добавочных пар зажимов парал-
лельно каждой ветви, показанной иа рис. 6-5.
Токи в этих новых парах зажимов обозначим через /аХ, 1-.х и
т. д. Если все Iах равны нулю, то распределения тока и напряже-
ния в цепи будут теми же, что и в первоначальной цепи. Рассмотрим
также присоединенную к первоначальной цепь (см. приложение 4)
и подобным же образом увеличим ее. Тогда разностная форма тео-
ремы Телледжена (2-22) приводит к соотношению
Хр(Гр8^р-8/'Л) + 2а(4хй{7'а-8/'ах1/а) = Za(TaSL!'a- 8/'aUa).
(6-37)
Режимы шпация выбираем следующим образом. В одном режиме
питания, обозначенном штрихом, все 1'%х равны нулю и все Гр
равны пулю, за исключением того, который на входе s (обозначен
индексом s); в другом режиме все 1ЛХ равны нулю и все Тр равны
нулю, за исключением того, который па входе г (обозначен индек-
сом г). Тогда, допуская, что каждый элемент матрицы полных про-
водимостей ветвей может изменяться, найдем, что (6-37) превратит-
ся в следующее выражение:
Trf'.tiZr. = -^UaU'?8Ya?.
(6-38)
107
Если Zrs рассмотрим как функцию от всех Уар , то это уравнение
приводит нас к соотношению
dZ™ — — ( Г^‘ Е_?_, (6-39)
drT. - I lr J I'.
каждое из отношении есть напряжение холостого хода, вызванное
током одиночного входа и деленное па этот ток.
Таким образом, отношения являются элементами матрицы пол-
ных сопротивлении Z' цепи с новыми и первоначальными входами.
Далее заметим, что так как матрица полных сопротивлений присо-
единенной цепи является транспонированной матрицей полных со-
противлений первоначальной цепи
Щ lr=U’r
то
<)Zr,
____—_____yr yr
(6-40)
(6-11)
С этого момента производные высшего порядка легко подсчиты-
ваются. Мы просто дифференцируем (6-41) по некоторому другому
У>и и применяем тот же подход в правой части:'
= - W- (2П z'^ = Zn Z^ ZV +Z'rr 4т C- (6-42)
Производные третьего и высших порядков рассчитываются ана-
логичным образом. Во всех случаях знания увеличенной матрицы
полных сопротивлений Z' достаточно, чтобы предсказать производ-
ные всех порядков. Различные формулы второго порядка дали Лю-
иелли (1960 г); Хапп (1967 г); Нейлл (1969 г.); Ричардс (1969 г.)
и Годдард и Спенс (1969 г.) (Л. 62, 66, 101, 112—114].
6-10. ТЕОРЕМА ПЕЗАРИСА
Теорема Кона и ее обобщения относятся только к бесконечно
малым изменениям полного сопротивления. Конечные изменения не-
посредственно не охватываются. Результат, данный Пезарисом
(1956 г.), действителен для конечных изменений н поэтому может
быть применен для цепей с двумя состояниями или для переключаю-
щихся цепей [Л. 127]. Эту теорему самостоятельно обсуждали Рич-
монд (1961 г.) и де Буда и Хайнс (1967 г.) (Л. 34, 132].
Рассмотрим двухполюсник из двухзажимпых элементов в двух
состояниях, обозначенных одним и двумя штрихами В этих двух
состояниях полные сопротивления ветвей Z' а и Z"а могут быть раз-
личными; такими же могут быть и входные полные сопротивления
Z' и Z". Если примем операторы Кирхгофа Л' и Л" для двух состоя-
ний. то уравнение (2-22) разностной формы теоремы Телледжена
превращается в выражение
W” - I"U'= \ (l'aU‘; - iya). (6-43)
108
Левая часть уравнения есть 1'1" (Z"—Z')-, может быть записана
подобным же обра юм и правая часть:
(6-44)
Это уравнение в свою очередь аналогично основной теореме Ко-
па (6 3). Так как была использована разностная форма теоремы
Телледжена, го при желании чюбая часть уравнения (6-44) может
бьиь написана в выражениях полной проводимости или коэффициен-
та отражения.
6-11. ТЕОРЕМА ПЕЗАРИСА ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ЦЕПЕЙ
Для необратимых двухполюсников теорема Пезариса обоб-
щается двумя способами. В первом способе мы пойдем по пути,
описанном в § 6 10, но видоизменим объяснение правой части (6-44),
учитывая тот факт, что матрица Zap теперь не диагопальпа. Тогда
получим:
(<hz₽«)- (С-45>
Заметим, что если цепь обратима в любом состоянии (не обяза-
тельно в обоих), тогда правая часть несколько упрощается. Например,
положим, что цепь обратима в одном из состояний: Zap = Z$a , тогда
(6-45) станет таким:
г--2' (<; - ) (с-4с)
Подобным образом теорема Пезариса может быть распростране-
на на обратимые и необратимые многополюсники. Выводы посред-
ством теоремы Телледжена подобны показанным, и так как эти
обобщения не иллюстрируют теорему Телледжена более подробно,
то в данной книге они не приводятся.
По второму способу теорема Пезариса может быть распростра-
нена и па необратимые цепи, если рассматривать первоначальную
цепь и присоединенную к пей цепь, которая имеет тоже два состоя-
ния (см. приложение 4) *. Примем, что А' избирает присоединенную
цепь в состоянии, обошачениом штрихом, и А" — первоначальную
цепь в состоянии, обозначенном двумя штрихами. Тогда разностная
форма теоремы Телледжена (2-22) сведется к следующему выраже-
нию (для двухпо. юсинка):
Z" -Z' = ^^^ (Z^ - Z^), (6-47)
этот результат действителен для обратимых и необратимых цепей.
1 Матрица полных сопротивлений присоединенной цепи в каж-
дом состоянии (со штрихом или без штриха) является транспониро-
ванной матрицей полных сонротиплеппй первоначальной цепи в соот-
ветствующем состоянии.
109
Обобщение па многополюсники получается непосредственно. Так
как была применена разностная форма теоремы Телледжена. то мо-
гут быть получены подобные же результаты, включающие в себя
полные проводимости или параметры рассеяния.
6-12. ТЕОРЕМА ХАЙНСА
Хайнс дал основную теорему персключе шя для диодов [Л. 72]
(см также Гарвер и Хайнс, 1964 г. [Л. 60]; Ван Лоок, 1966 г.
[Л. 159]. де Буда и Хайнс, 1967 г. [Л. 34]). Диодный выключатель
Рис. 6-6. Диодный выключатель,
встроенный в обратимый двухпо-
люсник, чтобы получить коммути-
руемый коэффициент отраже-
ния Г.
d— ПЮ.111ЫИ выключатель.
предполагается переходящим из состояния разомкнутой ветви в со-
стояние короткого замыкания и встроен в обратимый двухполюсник,
как показано па рис. 6-6.
Если мы обозначим эти два состояния индексами s и 0 и при-
мем, что А' и А" — коэффициенты Фурье для этих двух состояний,
то из разностной формы теоремы Телледжена для волновых пере-
менных (2-34) найдем следующее:
2 (Л’В° - А°В') = Sa ( lsaU° - /°U*). (6-48)
Если обозначим коэффициенты отражения двух состояний через
Г‘ и Г°, то левая часть уравнения будет такой:
2.4'71" (Г°—Г'),
(6-49)
тогта как правая часть будет иметь вид:
т - т = п '₽ (z«₽ -zp • (б-™)
Так как цепь обратимая, мы имеем = Zpx, за исключением
одного элемента* который изменяется. Если обозначим ток и напря-
жение диода индексом dt то (6-48) примет вид:
2Л°Л'- (Г° - Г) = l'd Ud -r°Usd (6-51)
Это выражение имеет много применений. Оно действительно
даже тогда, когда ток диода в «разомкнутом» состоянии не равен
пулю и когда напряжение в состоянии «короткого» не равно пулю.
Если они равны пулю, второй член правой части уравнения исчезает.
Для встречающихся в практике диодов максимальное напряжение
разомкнутой цепи (холостого хода) и ток короткого замыкания
ограничены во избежание разрушения диода. Величина уравнения
(6-51) указывает па ограничение выключаемой мощности и размера
измерений коэффициента отражения в функции от максимально до-
пустимых напряжений н тока диода (7Макс и /макс- Рассматривае-
мая здесь цепь считается получающей питание от одного и того же
НО
(согласованного) Источника в обоих Состояниях, так что поступаю-
щая мощность будет: /\„с = |4"|2/2; тогда ограничение можно пред-
ставить в форме
Ргпс I Г° — Г5 i < .^ма1<°/ма1<с, (6-52)
где t/макс и /макс (как и другие коэффициенты Фурье в этой книге)
рав 1ы половинам амплитуд.
Теорема Хайнса (6-52) может быть легко обобщена па необра-
тимые цепи. В этом случае ток в правой части (6-51) будет током
в присоединенной цепи, а не в первоначальной (см. приложение 4).
Эю объяснение менее ясно.
6-13. ПОСЛЕДУЮЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ
Удивительно много теорем о переключающихся цепях может
быть доказано посредством теоремы Телледжена. Они относятся как
к обратимым, так и необратимым цепям. Чтоб показать вывод неко-
торых из них, мы рассмотрим двухполюсник и обозначим два со-
стояния цени соответственно одним и двумя штрихами. При соответ-
ствующем выборе Д' и А" сильная форма теоремы Телледжена при-
водит к нескольким нижеследующим формулам. В некоторых форму-
лах появляются переменные цепи, присоединенной к первоначальной
цепи (см. приложение 4), которые обозначаются тильдой:
Z' = S„B Ll. ар // 1 1' (6-53)
/'' Z’ = S в А /' (6-54)
Z' — ар А /' Zap* (6-55)
Z' = S в 1а 1' Za₽ ’ (6-56)
Та z'-^~- zp Zaf ; (6-57)
~Г' z'-^~r, А /' Zap ’ (6-58)
Z' Еар ~а р [Г* /' Zap (6-59)
V, v Z - /' Zap (6-60)
существуют для Z", Z'*, Z"*, 2", Z'*
Подобные формулы
и Z"* Вообще существуют 64 формулы этого вида, включая пиже-
111
следующие, которые мы будем специально применить
Z" - r A (6-61)
Z" II £ тг (6-62)
Z'* 7" • у 7 » ~ 7" /'* a₽ (6-63)
Z" = = 77 777-’ z«₽ » (6-64)
Z" - - 777 777- м (6-65)
Эти формулы могут комбинироваться всевозможными способами
для различных цепей. Например, разность уравнении (6-64) и (6-54)
дает уже полученный ранее результат — уравнение (6-45) Комбнни
руя (6-5.3), (6-55) и удвоенное (6-54), найдем
Z" — Z'= £а₽ (Z"—Z^) 2^.21 +
+ -4J 4 + (Д-7^ )•
(6-G6)
Подобным же образом найдем из комбинирования уравнений
(6-53) и (6 55) и удвоенного уравнения (6-64):
Z" - Z' - (Z” - z;₽) Z“- А + (z- - z'j А-
(6-67)
Эти уравнения упрощаются для обратимых цепей (Za$ — Z^x ).
Они легко могут быть объяснены для цепей с резисторами. Если со-
противления резисторов неотрицательны, то последний член в (6-66)
неотрицательный, и мы видим, что увеличение сопротивления любого
резистора в цепи или вызывает увеличение входного полного сопро-
тивления входа или оставляет его без изменения. Аналогично из
(6-67) заключаем, что уменьшение сопротивления любого резистора
не может вызвать увеличения Z.
Как результат применения этих уравнений может быть рассмо-
трено другое использование этих выражений Из (6-58), (6-62) и
112
(fi-63) мы находим:
Z"-Z'=Sufj (z;₽ - Za₽ ) —
v'+z-=sa₽ (z:₽+<;) ^ Д.
(6-68)
(6-69)
Рассмотрим цепь, в которой один из элементов изменяется, а все
другие имеют мнимые полные сопротивления. Тогда все Zap ~Zay —
—— z'g, за исключением одного элемента матрицы полных сопротив-
лении ветвей Zap. Это случаи, например, переключателя с потерями,
встроенного в обратимую цепь без потерь. В этом случае суммы
в уравнениях (6-68) и (6-69) сводятся к одному члену, и значение
отношения двух уравнений имеет вид:
Z" — Z'
Z" + Z'*
z'4~+^
(6-70)
Этот результат может быть также выражен в волновых пере-
менных. Каваками (1965—1966 гг.) детально исследовал инвариант-
ность этой величины, по крайней мере для Случая обратимой цепи
без потерь, и доказал много обобщений уравнений (6-70) [Л 78—80]
Сходный инвариант исследовали Шау-Петерсеи и Тоннинг (1969 г)
[Л. 138].
Шестьдесят четыре уравнения, упомянутые выше, приводят к мно-
гим другим полезным комбинациям. В добавлении можно сказать,
что подобные результаты могут быть получены для цепей, имеющих
три и более состояний, если использовать теорему Телледжена по-
добным же образом.
6-14. ТЕОРЕМА ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ШЕННОНА—
ХАГЕЛЬБАРГЕРА
Одним из свойств активного сопротивления резисторного двух-
полюсника как функции активных сопротивлений ветвей Ra являет-
ся свойство «вогнутости», которое может быть доказано теоремой
Телледжена Положим, что активное сопротивление кагкдой ветви
может принять одно из двух возможных значений R'a и R''a (ко-
торые могут быть в некоторых ветвях одинаковыми), что приводит
к входным активным сопротивлениям двухполюсника R' и R" Вы-
водимая теорема относится к активному сопротивлению R, которое
измеряется па входе, в то время когда каждое из активных сопро-
тивлений ветвей имеет величину Ra «па полпути» между их двумя
возможными значениями:
Ra = Ra^^a. (6-71)
8—364
НЗ
Можно предположить, что величина R лежит между /?' п R", и
нам необходимо доказать, что
R' + R"
(6-72)
Эту теорему вывели Шеннон и Хагельбаргер (1956 г.); Мельвип
(1956 г.) и Шнейдер (1969 г.) [Л. 108, 139, I44J.
Обозначим токи в трех состояниях цепи (с Ra R'^ или Ra ) соответ-
ствующим количеством штрихов. На основе сильной формы теоремы
Телледжена (2-20) находим: ’
f I \э
= Ra '' (G‘73)
/а l’a
R'a> (6-74)
(6-75)
Так как все сопротивления по предположению неотрицательны,
то будем иметь:
(6-7G)
Раскрытие выражения (6-76) с применением (6-74) и (6-75)
приносит следующий результат:
R'<ta R'a{—) •
(6-77)
Подобным же образом можно показать, что
/ V
R"<En RnA —) •
а а \ / J
(6-78)
Еще не была использована зависимость между Ra , Ra и Ra .
Сделаем это после сложения (6-77) п (6-78). При использовании
(6-73) найдем желаемый результат — выражение (6-72). Возможны
обобщения этого результата, п доказательство с помощью теоремы
Телледжена указывает пути к некоторым из них.
6-15. ТЕОРЕМА АТТЕНЮАТОРА БЛЭКА
Блэк (1964 г.) применил теорему Телледжена, чтоб показать
невозможность создания обратимого четырехполюспого переменного
аттенюатора, содержащего один переменный элемент, если требует-
ся, чтобы выходное полное сопротивление поддерживалось постоян-
ным при изменении коэффициента передачи по напряжению при
холостом ходе [Л. 8].
114
Одно состояние цепи, обозначенное штрихом, имеет отношение
к определению выходного полного сопротивления при короткоза-
мкнутом входе. Таким образом, U't равно нулю, и теорема Копа
(6-3) показывает, что выходное полное сопротивление независимо
от переменного элемента только в случае, если 1'и равен пулю
(индекс и обозначает переменный элемент). Другое состояние цепи,
обозначенное двумя штрихами, описывает действие цепи в качестве
Ряс. 6-7. Четырехполюсный
аттенюатор
а — четырехполюсник с одиночным
переменным элементом ZM (не
обязательно резистором): б—атте-
нюатор, полученный пз этого че-
тырехполюсника: в — схема для из-
мерения выходного полного сопро-
тивления.
переменного аттенюатора. В этом случае /"г равен пулю и U"t по-
стоянно. Необходимое условие заключается в том, чтобы U"2 было
функцией от переменного элемента Z,,. Аттенюатор п оба его со-
стояния показаны па рис. 6-7.
Если, допустим, А' принимает переменные в состоянии, обозна-
ченном штрихом, и А" избирает малые изменения в переменных
в состоянии, обозначенном двумя штрихами, тогда разностная фор-
ми теоремы Телледжена (2-22) приводит к следующему:
+ (6-79)
Суммы по непеременным элементам цепи выпали, потому что
эти элементы нс изменяются. Первый, третий и четвертый члены ле-
вой части этого уравнения исчезают, так же как п член в правой
частя, так как /',< равен нулю. Следовательно, и второй член равен
нулю, если подразумевать, что U"2 должно быть независимым от Z3.
Теорема доказана.
Доказательство с помощью теоремы Телледжена указывает путь
обобщения результатов Блэка. Может быть получена форма, вклю-
чающая волновые переменные, и есть возможность расширения клас-
са цепей, для которых результат действителен, хотя мы не рассма-
триваем этого здесь.
8* 115
6-16. ТЕОРЕМА БИЛИНЕЙНОСТИ
Теорему билинейности обсуждали де Кларис (1956 г.). Паркер
и др. (1965 г.) и Соренсен (1967 г.), опа может быть доказана с по- I
мощью теоремы Телледжена [Л 35, 122. 149] Эта теорема билиней- 1
пости описывает изменения в любой функции отклика цепи (в пол- 1
ном сопротивлении, полной проводимости или параметре рассенва- '
пня), вызываемые конечными изменениями в одном элементе, нахо-
дящемся внутри цепи. Теорема констатирует, что отклик является
билинейной функцией величины элемента, находящегося внутри цепи
(элемента матрицы полных сопротивлений ветвей или матрицы пол- I
пых проводимостей пли матрицы рассеивания). Например, зависи-
мость элемента входной матрицы рассеивания S23 or У57— элемента
матрицы полных проводимостей ветвей Уар равна:
s» = ^- <.-«>
где 71, В п С зависят от того какой отклик рассматривается и какой
элемент изменяется от остальных элементов матрицы Уар по не
зависят от У3,7.
Предполагается, что цепь линейная, по не обязательно обрати-Д
мая Доказательство с помощью теоремы Телледжена проводится
в два этапа. Для упрощения докажем уравнение (6-80); доказатель-
ства билинейности других зависимостей (таких, как полного сопро- (
тивления) подобны. Сначала пусть У57 имеет три значения Y, У' и
У". Это приводит нас к трем значениям S?3, которые назовем S, S'
н S". Тогда (6-80) может быть легко получено из соотношения
S — S' Y — У'
- = I (У'. У") y~Y" ’ (Г”81 ’
где f независимо от У; здесь У' и У" приняты фиксированными, по
допускаются изменения величины У.
Вторым этапом доказательства является наглядный показ урав-
нения (6 81). Рассмотрим первоначальную цепь и ее присоединенную
цепь (см приложение 4). Как обычно, обозначим переменные при- j
соединенной цепи тильдами. Пусть А' избирает присоединенную цепь, I
питаемую только иа входе 2, с У57 = У (и отсюда У75=У). Пусть А"
избирает первоначальную цепь, питаемую только па входе 3, с Уз? — I
=5*75 = У'; разностная форма теоремы Телледжена (2-34) приводит I
нас к выражению
2 Sp (A'fBp-ApB'p) = Sa (/'а <7a - 7a У'а ) = 2 SpqA'pAqX
X(Sq₽-S'M)=SaSUaU^(y'a?-ya?). (6-82)
Теперь исчезают все А'р, кроме А'з, и все 7Гд, кроме /Т2. Кроме i
того, так как предположено, что Уз? есть единственный изменяющий- I
ся элемент, все другие Угор—Уар также исчезают. Таким образом. I
(6-82) превращается в соотношение
2Я2Л'з («гз - £'?з) -= (У'6, - У) (6-83)
116
НЛП
1 U'l
S —S'=—77-------- (У' У) (6-84)
2 Ai А'3
и аналогично
5 — S”= - ~ (у" — }') (6-85)
2 Az А"з
Отношение уравнений (6-84) и (6-85) является искомым уравне-
нием (6-81). Заметим, что V* и Л2 выпадают из отношения, так что
f не зависит от У.
6-17. ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ ШЕКЕЛЯ
Шекель (1967 г) доказал теорему об одновременных эффек-
тах одиночного переменного элемента Z„(fe) па аналогичные параме-
тры многополюсника [Л 146] Физическая причина изменений k не
нуждается в точном определении или известности. Примерами двух
сходных параметров являются два элемента матрицы входных пол-
ных проводимостей пли два коэффициента отражения. Результат по-
чучается следующий: как функции от k оба они имеют сходные за-
висимости. Например, Z)3 и Zi2 зависят от k таким образом:
Zls(A)=Co+CbZ12(fe), (6-86)
где Си и Ci, независимы от /г.
Таким образом, невозможно представить себе цепь, в которой k
при малых значениях влияет па Zi< и при больших значениях влияет
па Z,2 ио не наоборот. Этот результат может быть доказан с по-
мощью теоремы Телле 1жена. Рассмотрим два значения k т е. k и
k\ и соответственно обозначим токи и напряжения для этих двух
значений /? с таким же числом штрихов. Рассмотрим также присо-
единенную (см. приложение 1) к первоначальной цепь.
Матрица полных сопротивлений ветвей этой цепи Za$ (обозначен-
ная тильдой над буквой) равна транспонированной матрице Za$ перво-
начальной цени, т. е. Za|. Z^a . Пусть Л' избирает присоединенную
цепь при значении Л=/г и Л" избирает первоначальную цепь при
k = k'. Тогда рашостпая форма теоремы Телледжена (2-34) превра-
тится в соотношение
S₽ (V/'p -/'₽'“₽) = ’J'a - l'a Ua ) (6-87)
Так как была применена разностная форма теоремы Телледже-
па, можно рассматривать уравнение (6-87) в выражениях полного
сопротивления, полной проводимости или параметров рассеивания
в этой же форме В частности, для полных сопротивлений уравнение
примет вид:
Ир7 (/-•') - (*)] /р/\ = [Zv(k') - Z„P)J Tvl'v. (6-88)
где большая часть членов в сумме по ветвям отпадает, потому что
чти элементы нс изменяются
Н7
Чтоб добиться результата, который получил Шекель [уравнение
(6-86)], уточним режимы питания токами Тг и Гр. Во-первых, уста-
новим все токи па входах Тр равными нулю, кроме тока на входе /,
п все токи /'р также равными нулю, кроме тока па входе 3. Теперь
(6-88) становится вида
Zl3(k')-ZI3(k) \Zv{k')-Zv(k)}^-!-^. (6-89)
11 Iй %
Строго говоря, нам следовало бы применить обозначение, ука-
зывающее, что эти токи соответствуют равенству пулю всех токов
иа входах, кроме входа 1 и входа <?; однако такое обозначение обре-
менительно.
Затем положим равными нулю все токи иа входах, кроме Л и
/'2, н найдем, что
Z1S (k’) - Z12 (k) - \ZV (k') - Zv (*)] -4 (6-96)
/. /'2
Отношение уравнений (6-89) и (6-90) будет равно:
Z,3 (^') ^13 Ц;) f и ... (...
Z12(/e') -ZIE(fe) 7\/'а’
где в каждом из отношений в правой части токи на входах, кроме
указанных, равны пулю (так что два символа /'„ фактически обо-
значают разные случаи). Важно заметить в этом уравнении, что
правая часть независима от k, хотя она н зависит от k' и от того,
на какие входы подавалось питание. Следовательно, зависимость Zl3
и Z|2 по отношению к k имеет специфическую форму, показанную
в уравнении (6-86), и мы доказали теорему подобия для Zri и Z12.
Повторные доказательства такого же рода приводят к сходным ре-
зультатам относительно других элементов матриц. Доказательство
действительно для матриц полных сопротивлений проводимостей и
матриц рассеивания.
6-18. ТЕОРЕМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ АТТЕНЮАТОРА
САИТО И ИКЕДА
Рассмотрим обратимую резисторную цепь с одним изменяю-
щимся резистором /?, действующую как переменный аттенюатор
с активным сопротивлением нагрузки г и источником питания с вну-
тренним сопротивлением г. Коэффициент усиления аттенюатора есть
функция от R, определенная как G=e3le\, где et и е2 определены,
как показано на рис. 6-8.
Чувствительность S установлена как S=\{R/G)dG/dR\-, Санто
н Икеда (1960 г.) [Л. 136] показали, что
8|G|
(6-92)
и в добавление при 0,25< | G | <0,5
O^S^l— 2|G|.
(6-93)
118
Первый .результат может
быть получен из теоремы Тел-
леджена (.вероятно, и второй
тоже). Назовем ток и напря-
жение на .переменном резисто-
ре lit И Ur, и .пусть сумма .по
о включает .все ветви, за
исключением R. Если V изби-
рает изменения, вызванные из-
менениями активного сопротив-
ления 6R и Л" избирает сами
переменные, то разностная фор-
ма теоремы Телленджена (2-22)
примет вид:
Рис G8 Обратимый четырехпо-
люсник с переменным резистором,
используемый как переменный
аттенюатор.
f>I,Ui—l^Ui =—In*bR, (6-94)
где сумма по нагрузке и другим
внутренним ветвям выпадает,
так как цепь по иредположешпо обратима и неизменяема. Таким
образом,
(6-95)
ei6/i=—/2пб/?.
Теперь применим теорему Телледжена снова допуская, чго оба
оператора А' и А" избирают вариации. В результате найдем выра-
жение
й/.йп, + а/28Е/г = з/л иик + sa a/a sua, (G-9G>
которое превратится в
-г(8/,)г (Se^'r -R(6lK )* + /А, 8/fi 8/?+^ Ra (8Ia )2. (6-97)
В этом уравнении исключаем f>l, посредством уравнения (6-95);
из определения S находим: SG= | (R/e\)f>e2lf>R\, так что бе2 может
быть исключено. После перегруппировки получим
С7 (6R)2 / 1
___1 1. ( _ — S2G2
rR2 \G4
4(W fl
rR? \ 8
, 1 Г 1Р 8R V
+ к (-4г- + ™'») RaWar-
(6-98)
Так как правой части присуще быть неотрицательной, то нахо-
дим, что
1
^|G| -•
(6-99)
Это является результатом, который мы должны были доказать.
Хотя это неравенство имеет силу для всех возможных значений G,
точный предел уравнения (6 93) применим лини, к случаям когда
0,25< ] G | <0,5.
119
6-19. ТЕОРЕМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МАРТИНЕЛЛИ
И РОВЕРИ
Теорема чувствительности Мартинелли и Ровери (19b7 г.)
относится к усилителю с отрицательным активным сопротивлением,
выполненным путем включения резистора R с отрицательным сопро-
тивлением в состав обратимого четырехполюсника без потерь, как
Рис. 6-9. Усилитель с отри-
цательным сопротивлением,
выполненный путем включе-
ния резистора с отрицатель-
ным активным сопротивле-
нием в обратимый четырех-
показано на рис. 6-9. Чувствитель-
ность па нулевой частоте опреде-
ляется как
tl(it
dR
'G-10O)
где Gi — усиление преобразователя
Sz)2; Stj — матрица рассеивания на
нулевой частоте.
Вследствие ограничения задачи
низкими частотами ток, напряжение
полюеннк без потерь. и волновые переменные считаются ве-
щественными. Результат подлежа-
щий доказательству, приведен ниже в уравнении (6-405); он легко
получается благодаря теореме Телледжена.
Мартинелли и Ровери применили теорему Телледжена в своем
первоначальном доказательстве один раз, но мы ее применим дваж-
ды. Сначала пусть А' избирает случай, в котором цепь питается
с выходных зажимов (o'i=0), а А" избирает случай, в котором цепь
питается только через входные зажимы (о"2=0). Тогда сильная
форма теоремы Телледжена для волновых переменных (2-33) пре-
вратится в соотношение
s -4
' — Gt
n\b"2-a"1b'i-b'lb"l-b’2b"^\i'a 4"a + i'Ru"R, (6-101)
где сумма по а не включает переменный элемент. Так как цепь обра-
тима, величины чувствителыюстей S12 и Sz, равны Si2=S2i; посколь-
ку цепь без потерь, за исключением резистора R, сумма по а исче-
зает и уравнение примет вид:
—Si2(Sn+S22)cffiC/2=i,KUz,H. (6 102)
Теперь обращаемся к теореме Телледжена вторично. Пусть А'
избирает случай, в котором цепь питается, как и ранее, с входных
зажимов, по теперь А" избирает вариацию, причиненную изменения-
ми 6R в переменном отрицательном активном сопротивлении, когда
питание цепи осуществляется только через вход. Используя разност-
ную форму теоремы Телледжена (2-34), получаем:
a'2Sb”2 — Sa"ib't —
у Iе» (С "«) +‘я 8"я — 8'я "я !• <6'1ПЗ)
120
Ввиту свойства обратимости сумма ио и исчезает, и мы на-
ходим:
1 , „
a"ta'2SS2l= гд 87? (6-104)
Комбинируя уравнения (6-100), (6-102) и (6-104), приходим
к уравнению
Se=—(5ц4-522), (6-105)
которое и является желаемым результатом — теоремой, предложен-
ной Мартинелли и Ровери.
6-20. ТЕОРЕМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МАРТИНЕЛЛИ
И ПОДЖЕЛЛИ
Чтобы показать, как теорема Телледжена может быть приме-
нена в довольно специфических условиях, выведем теорему Марти-
нелли и Поджелли (1968 г.) [Л. 105] Рассмотрим обратимый четы-
рехполюсник без потерь, состоящий из двухзажимных элементов, т. е.
четырехполюсник LC. Входная матрица рассеивания SPq является
симметричной и унитарной, так что, в частности,
S)2S*u+S22S*21=0; (6-106)
|Sn| = |Sn|; (6-107)
S21=SI2. (6-108)
Если изменяется какое-либо взятое в отдельности полное сопро-
тивление ветви Z(l, то все параметры рассеивания Spq вообще также
изменяются и. следовательно, могут быть рассматриваемы как функ-
ции Z(l. Результат, который мы должны доказать:
Z„ г)А| 2
А] 2
IS„I
zh as,.
5ц 0Zh
' I -$22 I
Zh ciS22 Zh 0Sl2
622 dZh S12 dZft
(6-109)
Zh c)S121
$12 |
Это i результат вытекает из трех применений теоремы Теллед-
жена, в которых исиоль |уются два различных режима питания.
В одном режиме, обозначенном штрихом, вход (вход 7) получает
питание, по выход (вход 2) не получает (Л'2=0). В другом режиме,
обозначенном двумя штрихами, питание подается иа выход, но вход
не получает питания (/1"|=0). В первом применении теоремы Тел-
леджеиа допустим, что А' принимает коэффициенты Фурье режима
питания, обозначенного штрихом, а А" принимает вариации первого
порядка режима питания, обозначенного двумя штрихами. Тогда
разностная форма теоремы Телледжена (2-34) будет иметь вид-
2 (Л'РПВ"Р - 6А"РВ'Р) = - t/’a'u’a ), (6-110)
после преобразования
9^36-J
2A'1A"26Si2=/'i./"»6Z(>
(6-111)
121
Поэтому
Zr f^12 _ 1 Zh I'h f'h
*$12 dZh 2 S12 H'l j4,Z2
(6-112)
Во втором применении теоремы Телледжена допустим, что Л'
принимает сопряженные комплексы коэффициентов Фурье режима
питания со штрихом н Л" принимает вариации первого порядка ре-
жима питания с двумя штрихами. Тогда суммовая форма теоремы
Телледжена (2-35) будет такой:
2\ (<М' + (6-113)
Это выражение после преобразования
2Д'*1Д"2(5*11б512+5*21б522) =-/'**/"h6Zh, (6-114)
и тогда
Zh dS22 Zh 1 Zh /'% ,Г,,ГХ
22 S22 dZh 522 S12 dZK 2 S*„ A'*t А"г’
Здесь были использованы (6-106) и (6-108). Третье применение
теоремы Телледжена подобно второму; допустим, что Л' принимает
сопряженные комплексы коэффициентов Фурье режима питания
с двумя штрихами и Л" принимает вариации первого порядка в ре-
жиме питания с одним штрихом. Тогда суммовая форма теоремы
Телледжена (2-35) приводит к следующему:
Z„ dSn п Z„ dS12 1 Z„ /'„ /"*„
S„ dZh ~S" S12 dZh 2 S*I2 A\ A”\- (C ’16)
Правые части уравнений (6-112), (6-115) и (6-116) имеют оди-
наковые величины; приравнивание величин левых частей этих урав-
нений приводит к желательному результату, т. е. к уравнению
(6-109). Другой подобный результат, который может быть доказан
аналогичным путем:
I Z„ dS,, I Zh dS,, I Sis 2 Z„ dSt21
I S„ dZk |d" I | S„ dZk S„ S12 0Zk I’
(6-117)
Zh dS22 i r. i Zh ^^22 , | ^12 |2 Zh dS,2 | ,, lirl,
S!2 dZh s2. dZh s22 I S12 dZ„ |-
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРИМЕНЕНИЕ К СИНТЕЗУ ЦЕПЕЙ
В синтезе цепи могут помочь многие теоремы, до-
казанные в предыдущих главах, так же как и результа-
ты, выведенные в этой главе
122
7-1. АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦЕПИ
Директор и Рорер (1969 г.) базировали иа теореме
Телледжена алгоритм авгомазированного проектирова-
ния цепи [Л. 40—42].
Предположим, что необходимо рассчитать цепь
с предписанной матрицей рассеяния S°pg па входах
(Директор и Рорер фактически рассматривали предпи-
санную матрицу полных проводимостей, ио так как была
применена разностная форма теоремы Телледжена, то
процедура также действительна для матрицы полных
сопротивлений и для матрицы рассеяния). Считается,
что анализ предписанной цепи на вычислительной маши-
не— рутинная работа новостью является автоматиче-
ская модификация цепи в цепях уменьшения функции
ошибок Последняя рассматривается как взвешенная
сумма квадратов погрешностей в элементах результи-
рующей матрицы рассеяния.
6 =I-Sp? Spg I" И рч> (7-1)
где Wгп является весовым фактором, который определя-
ет различную относительную важность погрешностей
в различных элементах матрицы рассеяния.
Если требуется, определение может содержать в
себе интегрирование по диапазону частот. Если цепь
незначительно вн юизмепяется путем изменений полных
сопротивлений ветвей от Za3 до (Za^-j- 8Za?), то это вы-
зовет изменен 1я в SP4 и поэтому в е. Было бы прямым
решением рассчитать эфЬект каждого 6Zt₽ на е посред-
ством ряда решений цепи, но это будет вообще слиш-
ком дорого стоить, так как имеется слишком много
Za?. Поэтому Директор и Рорер вывели алгоритм
для вычисления производных de/dZ^, в котором
использовано только 2а решении, где а есть число вхо-
дов. Алгоритм найдем путем вычисления вариации пер-
вого порядка в уравнении (7-1):
бе = Re Ирч (SP4~S°q)* Wpq8Spq, (7-2)
где Re символизирует вещественную часть.
Рассмотрим теперь режим питания с входной волно-
вой мощностью на входе г, равной 1 Вт. Таким образом,
9* 123
/Нг,= 1, если q есть г, иначе оно равно плую. Рассмот-
рим также присоединенную к первоначальной цепи (см.
приложение 4) с матрицей полных сопротивлений ветвей
Zop=Z?a. Эта присоединенная цепь возбуждается вхо-
дящими волнами Д^г>=(5рг—S0 )* W рг (с физической точки
зрении это питание можно рассматривать как произведе-
ние погрешности в волне рассеяния, когда цепь получает
питание только на входе г, на весовой фактор). Тогда
уравнение (7-2) принимает вид:
8e = ReErSP3‘rM‘r)gSp,. (7-3)
В данном случае применяется разностная форма тео-
ремы Телледжена (2-34). Вывод желаемого уравнения
сходен с выводом теоремы Кона (6-14), результат будет
таков:
2SP,= Sjf /<'>6Za3, (7-4)
так что
(7-5)
здесь ток в первоначальной цепи, когда на вход г
подается питание; /* ’ — ток в присоединенной цепи,
когда она возбуждается волнами А?г) — (Spr — S" J* Wpr.
Этот результат используется следующим образом.
Принимается без доказательства приближенная цепь, на-
ходят вместе со всеми /<г из а решений цепи,
причем каждое решение соответствует подаче питания
с различного входа. Вычисляется погрешность s, а также
каждое Далее решается присоединенная цепь и
находится Рг) . Затем по (7-5) рассчитывается градиент
s в пространстве Zni, и каждое Za₽ получает прираще-
ние в таких относительных количествах, чтобы как мож-
но быстрее уменьшить е. Таким образом, погрешность е
автоматически доводится до минимума и, возможно, до
пуля.
124
Гсхннка, описанная здесь и общих чертах, разработа-
на для линейных не зависящих от времени необратимых
цепей, чтобы синтезировать предписанный режим па вхо-
де при определенной частоте. Подобный подход может
быть использован для нелинейных цепей с питанием
постоянным током и нелинейных цепей с синусоидальным
пли периодическим питанием. Если цепь обратимая, то
присоединенная и первоначальная цепи ппдентпчны и
процедура в некоторой мере упрощается.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА ДРУГИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
Ценная особенность теоремы Телледжена заключа-
ется в том, что она связывает токи и напряжения на вхо-
дах цепи с токами и напряжениями повсюду внутри цепи.
Другие физические системы с входами и внутренними
устройствами, вероятно, извлекли бы выгоду из анало-
гичных теорем. В этом смысле интересно попытаться
сформулировать для других систем, как сосредоточен-
ных, так и распределенных, общие теоремы мощности
наподобие теоремы Телледжена, который отдавал себе
отчет о связи между его теоремой и похожей теоремой
в теории поля. Он констатировал (1952—1953 гг.), что
его теорема была ... «эквивалентом в теории цепей хоро-
шо известной теоремы, что объемный интеграл скалярно-
го произведения соленоидального вектора (сравнимого
с i) с безвихревым вектором (сравниваемым с и) равен
нулю» {Л. 154, 155]. Теорема появилась во многих учеб-
никах по электромагнетизму, например у Страттона
(1941 г.) [Л. 152].
8-1. ДРУГИЕ СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Обобщение теоремы Телледжена является прямым
для других сосредоточенных систем, которые подчиняют-
ся основным законам, подобным законам Кирхгофа. Сле-
дуя Берге п Гоуиля-Хуори (1962 г., 1965 г.), можно наз-
вать «потоком» любую похожую на ток переменную,
которая подчиняется закону, сходному с первым зако-
ном Кирхгофа и «разностью потенциалов»,—любую пере-
125
менную, похожую па напряжение, которая подчиняется
закону, сходному со вторым законом Кирхгофа [Л. 5, 6].
Другие авторы (например, Ширер, Мэрфи и Ричард-
сон, 1967 г.; Кёниг, Токад и Кесаван, 1967 г.) применяли
термины «сквозные переменные» и «поперечные перемен-
ные» [Л. 84, 145]. Примерами являются скорость течения
жидкости и падение давления в гидростатике, вращаю-
щий момент и угловая скорость в системах механизмов,
поток тепла п падение температуры в термодинамике,
сила и линейная скорость в механике твердых тел. Для
каждой из этих систем можно получить теорему Теллед-
жена и другие теоремы данной книги, хотя индивидуаль-
ные теоремы не всегда полезны в новом контексте. Мно-
гие из приведенных в этой книге стационарных теорем
прекрасно известны в механике, например принцип вир-
туальной работы и теорема Кастильяно (Райдер, 1952 г.)
[Л. 35].
8-2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Хорошо известно, что два закона Кирхгофа для
электрических цепей являются в действительности при-
ближенными формами двух уравнений Максвелла. Ана-
логичный аргумент приводит пас от законов Кирхгофа
к теореме Телледжена для сосредоточенных цепей и мо-
жет привести от уравнений Максвелла к общей теореме
мощности для распределенных электромагнитных систем.
Приводим два уравнения Максвелла в наиболее извест-
ной форме:
VXH = J+-^-; (81)
vXE = --f-. (8-2)
Рассмотрим линейные операторы *А' и Л", которые
независимы от пространства, так что они совместимы
в поочередном действии с оператором V. Оперируем
в (8-2) сА' и в (8-1) с А"; комбинируем результирую-
щие уравнения так же, как при выводе теоремы Пойн-
* Понятие операторов Кирхгофа при желании может быть со-
ответствующим образом расширено.
126
тнига. В результате имеем:
V (Л' ЕХЛ''Н) = -Л' Е • Л" J - Л' ЕЛ" —
- Л"НЛ' 0“-). (8-3)
Интегрируем это уравнение по объему рассматривае-
мой системы и применим теорему дивергенции. Левая
часть может быть написана в виде поверхностного инте-
грала. Допустим, что система имеет некоторое число вхо-
дов и что поверхность, не занятая входами, является «от-
ражающей» в том смысле, что или Е, или Н имеет пуле-
вой тангенциальный компонент на поверхности. Тогда
поверхностный интеграл исчезает, за исключением сла-
гаемых по входам. Таким образом, мы находим:
dS(A'EXA"H)=-
ШЛ'ЕЛ"МИ-
V
ВДЛ'Е Л" (тг)л,~Шл"н л’ (т)лм-
’ V V
(8-4)
Сходство между этой обобщенной теоремой мощности
и теоремой Телледжена (2-20) очевидно. Уравнение (8-4)
применимо к среде, которая является обратимой или не-
обратимой, линейной, не зависящей от времени или зави-
сящей от времени.
Конститутивные законы среды, вид питания энергией
и начальные условия в выводе не были использованы.
Для электромагнитных систем можно с помощью теоре-
мы (8-4) вывести много таких же теорем, которые здесь
были доказаны для цепей. Например, многие из них до-
казал Дике (1948 г.), а Стрэттон (1941 г.) обсудил раз-
личные теоремы о станционарных свойствах электриче-
ской или магнитной энергии [Л. 39, 152].
Концепция «реакций», введенная Рамзеем (1954 г.),
вполне аналогична теореме Телледжена для электромаг-
нитных полей и может быть использована для многих
однотипных целей [Л. 134].
• Символ J означает интеграл по участкам ограничивающей
ports
систему замкнутой поверхности, занятым входами в систему и выхо-
дамп из нее. (Прим реи.)
127
8-3. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛУЧИ И ПЛАЗМЫ
Обобщение уравнения (8-4) для плазмы и реляти-
вистских электронных лучей известно (Берс и Пенфилд,
1962 г. (Л. 7]) и здесь не повторяется.
8-4. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Уравнение Шрёдингера в квантовой механике имеет
пространственные производные на одной стороне, и
производные по времени-—на другой. Теорема, сход-
ная с теоремой Телледжена, может быть получена для
квантовых волновых функций. Вывод подобен выводу
(8 4), за исключением того, что здесь используется вме-
сто теоремы дивергенции теорема Грина.
8-5. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
Уравнение (8-4) может быть обобщено с применени-
ем линейных операторов того же рода иа любую распре-
деленную систему, которая подчиняется принципу Га-
мильтона. Из-за его сложности обобщение здесь не при-
водится
8-6. ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Теорема Телледжена и соответствующие теоремы
для распределенных систем могут быть рассмотрены как
обобщение закона сохранения энергии Принцип вирту-
альной работы является хорошо известным способом вы-
вода из положения о сохранении энергии теорем, относя-
щихся к -сохранению количества движения. Действитель-
но, этот принцип приведен Пенфилдом и Хаусом
(1967 г.) к форме, хорошо подходящей к распределен-
ным системам, и был использован среди других для вы-
вода теоремы -количества движения малого сигнала из
известной теоремы энергии малого сигнала для электрон-
ных лучей [Л. 125]. Несомненно, могут быть выведены
теоремы, которые станут обобщениями закона сохране-
ния количества движения в том же смысле, как теорема
Телледжена является обобщением закона сохранения
энергии. Однако еще неизвестно, насколько могут быть
полезными такие теоремы
ПРИЛОЖЕНИЙ I
ОПЕРАТОРЫ КИРХГОФА
Токовые операторы (и операторы напряжения) Кирхгофа при-
водят от ряда токов (напряжений), которые подчиняются первому
(и второму) законам Кирхгофа, к ряду чисел или функций, которые
тоже подчиняются первому (н второму) законам Кирхгофа. Резуль-
тирующие величины не нуждаются в том, чтобы иметь размерность
тока (напряжения), и могут зависеть от других параметров или
переменных (например, от частоты или температуры), введенных
операторами.
Все линейные операторы (которые действуют одинаковым обра-
зом на все ветви и входы электрической цепи) явллются оператора-
ми Кирхгофа. Ботыпинство операторов Кирхгофа, примененных
в настоящей книге, являются линейными операторами.
Ниже приводим несколько примеров линейных операторов (все
они — операторы Кирхгофа):
1 Тождество: А!=((/).
2. Умножение иа постоянную или иа заданную функцию време-
ни l(t): Ai = f (t)i(t).
3. Сдвиг но времени на t0: \i = i(t—to).
4. Дифференцирование по времени: Ai=di(i)/dt.
5. Интегрирование по времени: Ai = Ji(T)dt.
6. Теорема свертки с заданной функцией времени /(/):
ос
Ai — § i (t — t) f (т) i/т.
•оо
7. Оценка величины i в заданный момент времени tn: Ai=i(to).
8 Изменение отсчета времени Ai=i(—t)
9. Выбор четной (или нечетной) части 1(f):
ы у!'(/) +1 (-Ol-
io. Средняя по времени (пли стохастическая средняя эргодиче-
ского процесса): Ai=i(t).
11. Выбор возмущений первого порядка или, более широко, воз-
мущений « го порядка.
12. Выбор одного частного эксперимента: различные эксперимен-
ты могут затрагивать различные величины элементов или различные
режимы питания, однако они всегда затрагивают одну и ту же то-
пологию.
13. Выбор одной цепи из нескольких с одной и той же топо-
логией.
14. Выбор одного комплекта значений элементов.
15. Выбор одной величины некоторого параметра, такого, как
температура или позиция ползунка потенциометра.
16. Дифференцирование но некоторому параметру, такому, как
температура или величина некоторого из элементов.
17. Принятие преобразований Фурье или Лапласа (или для пе-
риодических сигналов выбор коэффициентов Фурье).
18. Сопряженный комплекс.
129
19. Оценка преобразований Фурье н Лапласа при определенной
частоте пли дифференцирование, пли интегрирование по частоте, или
развертывание, или свертывание при помощи особых функций ча-
стоты.
20. Некоторая последовательность или комбинация двух или бо-
лее линейных операторов в любом порядке, имеющем смысл.
Ниже приводим некоторые примеры нелинейных токовых опера-
торов н операторов напряжения Кирхгофа:
1. Дадим номер каждому узлу в сети. Напряжения ветвей нахо-
дятся для каждой ветви путем взятия разности между двумя назна-
ченными числами двух концов ветви Назначенные числа могут быть
или не быть линейными функциями первоначальных напряжений п
токоп ветвей или потенциалов узлов; тем не менее «результирующее
распределение напряжения» подчиняется второму закону Кирхгофа.
Этот оператор есть оператор напряжения Кирхгофа, но не токовый
оператор Кирхгофа.
2. Интересным специальным случаем является назначение каж-
дому узлу нового потенциала, который является функцией первона-
чального потенциала. Если эта функция линейная и не зависит от
того, к какому узлу опа относится, тогда каждый результат А«а
будет такой же функцией первоначальных напряжений ветвей. Одна-
ко если она нелинейная, то результат получается таким, как будто
был использован нелинейный оператор, а результирующее распреде-
ление напряжения все-таки подчиняется второму закону Кирхгофа.
Если примененная функция есть квадрат первоначального потенциа-
ла, то результирующая теорема Телледжена имеет вид;
чХпи). (ПЫ)
где и являются средними потенциалами ветвей и входов
т. е. средними двух потенциалов на двух концах ветви.
3. Выберем какое-нибудь дерево и назначим ветвям дерева но-
вые напряжения любым способом. Назначение может зависеть или
не зависеть от первоначальных напряжений ветвей дерева, и даже
если оно зависит от них, то зависимость может быть линейная или
нелинейная. Новые напряжения связок находятся потом с помощью
второго закона Кирхгофа, так что общее распределение напряжений
подчиняется второму закону Кирхгофа. Этот оператор есть специ-
альный случай только что описанного. Это оператор напряжения
Кирхгофа, по не токовый оператор.
4. Подобным же образом в планарной цепи обозначим номером
каждый контур и выразим новые токи ветвей как разности между
числами, назначенными двум контурам по обе стороны ветви Опять
результирующие токи могут быть линейными или нелинейными функ-
циями первоначальных токов ветвей или контуров; тем не менее
повое распределение токов подчиняется первому закону Кирхгофа.
Этот оператор является токовым оператором Кирхгофа, но не явля-
ется оператором напряжения Кирхгофа.
5. Выберем какое-либо дерево и назначим новые токи связок,
которые могут зависеть любым образом или не зависеть от первона-
чальных токов связок. Токи ветвей дерева потом находятся по пер-
вому закону Кирхгофа, и результирующее распреюление подчи-
няется первому закону Кирхгофа. Этот оператор является токовым
оператором Кирхгофа, по не оператором напряжения Кирхгофа.
130
Ниже приводим несколько примеров операторов, которые не
являются операторами Кирхгофа:
,1. Возведение в квадрат: Ai=i2(/).
2. Принятие абсолютной величины: Л<=|<(0|.
3. Определение максимального значения в определенном диапа-
зоне времени
4. Выбор действующего или эффективного значения.
5. Выбор составляющих амплитудной модуляции или частотной
модуляции.
6. Умножение па постоянные или функции времени, которые
различны для разных ветвей.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ВОЛНОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
При изучении линейных цепей часто удобно применять преобразо-
вания Фурье или Лапласа Ua и /а для напряжения и тока, иа (/)
11 г« (О-
Волновые переменные аа и Ьа , определенные в § 2-13, являют-
ся переменными во временной области, однако могут применяться,
когда удобны их изображения по Фурье или Лапласу и Ва . Од-
нако возможно обобщение в том, что комплексные нормализованные
полные сопротивления Z” с положительными вещественными частями
могут быть применены вместо вещественных нормализованных полных
сопротивлений (Курокава, 1965 г. [Л. 86]). Определяем:
л va+zna/a И = г ; “ 2}/xeZ” и —Zn'l а а а (П2-1) (П2-2)
Таким образом, Л z?+Ba Z” (Г12-3)
/ReZ-
(П2-4)
Если операторы Кирхгофа А' и А" не воздействуют на Z”, то
различные формы теоремы Телледжена в виде (2-33)—(2-35) могут
быть написаны при применении комплексной нормализации. Однако
необходима осторожность Было допущено, что операторы Кирхгофа
131
п Л" пс воздействуют па Z" , и, следовательно, некоторые дей-
ствия, как-то нахождение сопряженного комплекса, не должны при-
меняться, когда нормализованные полные сопротивления комплексны,
даже несмотря па то, что они могут быть допущены, когда все Z'£
вещественны.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
СРАВНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФОРМ
При описании мпогозажимпых элементов (или многополюсни-
ков) иногда бывает удобно написать конститутивные зависимости
для количества зажимов (или входов) на один больше, чем необхо-
димо. Эта пеопределе шая форма часто полезна аналитически по
причине ее симметрии. Если желательно, то члены в теореме Теллед-
жена, относящиеся к многозажимиым элементам (или многополюс-
нику), могут быть написаны в неопределенной форме. Покажем
этот факт на примере.
Если трехзажимный элемент описывается обычным образом, не-
обходимы две зависимости. Отин зажим используется как опорный,
а напряжения по отношению к этому зажиму могут быть даны как
функции токов в двух оставшихся зажимах.
В неопределенной форме описания существуют три зависимости,
все три тока иа зажимах выражаются через три напряжения па за-
жимах, однако конститутивные законы развертываются таким обра-
зом, что сумма трех токов равна нулю, так что первый закон Кирх-
гофа не нарушается.
Вкладом в теорему Телледжена в определенной форме является
запись:
A'i|A"(u1—Из) —п.з). (ПЗ-1)
В неопределенной форме вклад в теорему Телледжена может
быть иаписаи так:
AT'iA"Ui -J-ATaA^Uj-)- Л//зЛ//Из, (ПЗ-2)
что равно выражению (ПЗ-1), потому что сумма й-Н’г-Н’з равна
нулю.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ЦЕПИ
Часто желательно предвидеть для каждой линейной цепи N,
не зависящей от времени, другую соответствующую ей цепь
известную под названием присоединенной 1 к цепи N и построенную
1 Термин «присоединенная» иногда применяется для матрицы
алгебраических дополнений к данной матрице; эта терминология
здесь не применяется. Применяемый в книге термин ближе к теории
линейных векторных пространств пли к теории дифференциальных
уравнений.
132
так, чтобы матрица полных сопротивлений ветвей присоединенной
цепи Zap была связана с матрицей полных сопротивлений ветвей
Zap цепи N следующим равенством:
= • (П4-1)
Вообще говоря, присоединенная цепь является полезной концеп-
цией всякий раз, когда хотят вывести теоремы для необратимых
цепей, которые были бы сходны с известными теоремами для обра-
тимых цепей Присоединенные цепи использовались в § 5-9, 5-12, 6-3,
6-4, 6 8, 6 9 6-11, 6-13, 6-16 6 17 и 7-1 настоящей книги
Цепь V и ее присоединенная цепь Л* являются взаимно-обрати-
мыми (см. § 5-7). С помощью теоремы Телледжена легко доказать
(см. § 5-9). что матрицы входных полных сопротивлений двух цепей
связаны равенством
Zpg = Zgp. (П4-2)
Процедуры построения цепи, присоединенной к данной, приводят
Бордвик (1956 г). Директор и Рорер (1969 г.) [Л. 13, 40]. Сначала
изображается точная копия первоначальной цепи, затем, проходя
ее пункт за пунктом, заменяют элементы согласно следующим пра-
вилам. Резистор, сопротивление которого положительно пли отрица-
тельно, оставляется па месте, это значит, он заменяет сам себя. По-
добно этому все конденсаторы, катушки индуктивности, взаимные
индуктивности, идеальные трансформаторы и другие обратимые эле-
менты оставляются па месте. Каждый гиратор замещается другим
гиратором, ориентация которого противоположная; это значит, что
постоянная гиратора умножена па —1. Каждый циркулятор также
заметается другим, с противоположной ориентацией Каждый изо-
лятор заменяется другим направленным в противоположную сторо-
ну. Нуля гор заменяется поратором, и наоборот: нуллор заменяет-
ся другим нуллором. только с взапмозамеиепиыми входами
Модели для активных устройств являются немного более ослож-
ненным!; однако цель в том, чтоб заменить данную модель с матри-
цей полных сопротивлений Za^ па другую модель с матрицей полных
сопротивлений Zpa. С управляемыми источникам i поступают следую-
щим образоп Источник помещается в управляющую ветвь- источ-
ник напряжения, если управляющая переменная является током, и
источник тока, если управляющая переменная является напряже-
нием.
Первоначальный источник убирается и заменяется коротким за-
мыканием. если он был источником напряжения, цепью или разо-
мкнутой ветвью, если он был источником тока. Результирующее
короткое замыкание или разомкнутая ветвь определяют новую управ-
ляющую переменную в зависимости от того или иного случая: или
напряжение па зажимах разомкнутой ветви, или ток в коротком
замыкании. Новый коэффициент регулирования находится путем
умножения старого коэффициента на —1, если он безразмерная ве-
личина, или па +1, если он полное сопротивление или полная про-
водимость.
Присоединенные цепи для нелинейных, изменяющихся во вре-
мени цепей могут быть также определены (Директор и Рорер).
133
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Andersen J., Ku W. H. A General Invariance of the Ratio of
Open and Short-Circuit Impedances for Linear п-Port Networks.—
«Proc. IEEE», July 1967, v. 55, p. 1223—1224.
2. Ansell H. G. Vratsanos Theorem.— «IRE Trans. Circuit
Theory», June 4958, v. CT-5, p. 143.
3. Bar-David 1. Current Distribution and Power Considerations
in Linear Networks.— «Archiv Elektrischen Obertragung», October
1958 v 12, p. 480.
4 Belove C. Sensitivity Sums for Homogeneous Functions —
«IEEE Trans. Circuit Theory», March 1964 v CT 11, p. 171
5. Berge C., Chouila-Houri A. Programmes, Jeux et Reseaux de
Transport Paris, Dunod, 1962
6. Berge C., Chouila-Houri A. Programming, Games and Tran-
sportation Networks. London, Methuen and Co., Ltd., New York,
John Wiley and Sons, Inc., 4965.
7 Bers A., Penfield P. Conservation Principles for Plasmas and
Relativistic Electron Beams.— «IRE Trans Electron Devices», January
1962 v ED-9, p. 12—26
8. Black W. L. Constant Impedance Attenuators.— IEEE Trans.
Circuit Theory», June 1964, v. CT-lll, p 283
9 Black W. L. Some New Power Frequency Inequalities for Non-
linear Capacitive Harmonic Multipliers.— «Proc. IEEE», December
1966, v. 54, p. 1995—1996.
10. Blostein M. L. Sensitivity Analysis of Parasitic Effects in
Resistance-Terminated LC Two-Ports — «IEEE Trans. Circuit
Theory», March 1967, v. CT-44, p. 21—25.
11 Bode H. W. Impedance and Energy Relations in Electrical
Networks.— «Phvsica», March 1938. v. 5, p. 143—'144
12 Bode H. W. Network Analysis and Feedback Amplifier
Design New York. D Van Nostrand Co., Inc., 1945. (Русским 'пере-
вод: Боде Г. Теория цепей н проектирование усилителей с обратной
связью. М., Изд-во иностр, лит., 1948).
13. Bordewijk J. L. Inter-reciprocitv Applied to Electrical Net-
works. — «Appl. Sci. Res.», 1956, В 6, p. 1—74.
14 Bose A. G., Stevens K. N. Introductory Network Theory. New
York, Harper and Row 1965.
15. Bott R. Electrical Network Theory.— In Sc. D. Thesis, De
partment of Mathematics, Carnegie Institute of Technology, Pitt-
sburgh Pennsylvania June 1949.
16 Bott R., Duffin R. J. On the Algebra of Networks.— «Trans.
Am. Math. Soc.», January 1953, v. 74, p. 99—>109.
17. Bottanl E., Sartori R. Elettrotechnica. Libreria Editrice Poli-
technico Cesare Tamburini. Milan, 1956, v. 1.
134
i8, Botlani E., Sartori R. Tensioni e Correnii in una Rete di
Resistori Contenente tin Solo Generatore. - «Atti della Accademia
delle Scienze di Torino», 1958—1959. v. 93, p. 408—505.
il9. Brayton R. K. A Canonical Form for Nonlinear RLC Net-
works. — «Proc. Symp. System Theory», Polytechnic Press of the
Polytechnic Institute of Brooklyn, Brooklyn, New York, April 1965,
v. 15, p. 57—67.
20. Brayton R. K., Moser J. K. A Theory of Nonlinear Net-
works-1!.— «Quart. Appl. Math.», April 1964, v. 22, p 1—33.
21. Calalian D. A. Notes on the Natural Frequencies of Two —
Element Kind Networks.— «IRE Trans. Circuit Theory», Atarch 1962,
v. CT 9, p. 97—98.
22, Carlin H J. The Scattering Matrix in Network Theory.—
«IRE Trans. Circuit Theory», June 1956, v. CT-3, p. 88—97.
23. Carlin H. J. Network Theory Without Circuit Elements.—
«Proc. IEEE», April >1967, v. 55, p. 482—497.
24. Cherry C. Some General Theorems for Non-Linear-Systems
possessing Reactance. — «Phil. Mag.», October 1951, ser. 7, v. 42,
p. 1161—1177
25. Civalleri P. P. Cohn’s Generalized Theorem.— «Alta Frequen
za», November 1965, v. 34, p. 797—806.
2G. Cohn R. M. The Resistance of an Electrical of the Ratio
Proc. Am. Math. Soc.», June 1950, v. I, p. 316—324.
27. Crothers M. H., Fett G. H. On the Invariance of the Ratio
of Open and Short-Circiut Impedances in Linear Networks.— «Proc.
IEEE», February 1966, v. 54, p. 318—319.
28. Cruz J. B., Van Valkenburg M. E. Introductory Signals and
Circuits Blaisdell Publishing Co., Waltham, Massachusetts, 1967.
29. Deards S. R. Vratsanos’ Theorem.— «IRE Trans. Circuit The-
ory», June 1958, v. CT-5, p. 143—144.
30 de Buda R. C. Zur Frage der Entzerrung eines kmpulsver-
starkers — Osterr. Ing Archiv», il951, Bd 5, S. 74—80.
31 de Buda R. G. Zuschrift zum Beitrag J. Vratsanos, Zur Bere-
chnung der Stromverteilung in einem Linearen Netzwerk.— «Archiv
Elektrischen Obertragung», December 1961, Bd 15, S. 599.
32. de Buda R. G. Vratsanos’ Theorem and Twoport Recipro-
city.— «IRE Trans. Circuit Theory», March 1962, v. CT-9, p. 87.
33. de Buda R. G. A New Proof of the Reciprocity Theorem.—
«IEEE Trans. Circuit Theory», March 1965, v. CT 12, p. 133—135.
34. de Buda R. G., Hines M. E. The Switching Power of Diode
Swifshes.— «Proc. I FEE», March 1967, v. 55, p. 472—473.
35. DeClaris. Driving — Point Impedance Functions of Active
Networks. — «IRE Conv. Record», March 1956, v. 4, pt. 19—22,
26—37
36. Desoer C. A. Modes in Linear Circuits.— «IRE Trans. Circuit
Theory*. September 1960, v. CT-7, p. 2M—223.
37. Desoer C. A., Katzenelson J. Nonlinear RLC Networks.— Bell
System Tech. J., January 1965, v 44, p. 161—198.
38 Desoer C. A., Kuh E. S. Basic Cirsuit Theory. New York.
McGraw —Hili Book Company, Inc., 1969.
39 Dicke R. H. General AVicrowave Circuit Theorems.— Chapter
5 in Principles of Alicrowave Circuits, C G Montgomery, R. H. Di-
cke and E. At Purcell (Eds), vol. 8 of the M. I. T. Radiation Labo-
ratory Series, McGraw — Hill Book Company, Inc., New York, 1948,
p. 130—161.
135
40 Director S. W., Rohrer R. A. The Generalized A Ijoint Net-
Work and Network Sensitivities.— «IEEE Trans. Circuit Theory»,
\ugust 1969, v. CT-16, p 318—323.
44. Director S. W., Rohrer R. A. Automated Network—'Design —
The Frequency — Domain Case.— «IEEE Trans. Circu t Theory»,
August 1969, v. CT-16, p. 330—337.
42. Director S. W., Rohrer R. A. On the Design of Resistance
n — Port Networks by Digital Computer.— «IEEE Trans. Circuit
Theory», August 19691, v. CT-16, p. 337—346.
43. Donati L. R lazione Generate fra le Correnti in una Reie di
Fili Conduttori. — «Rend. Accademia delle Scienze di Bologna»,.
26 November 1899, v. 4, p. 29!—33.
44. Donati L. Teorema Generate Relative alia Distribuzione del
Potenziate in una Rele di Fili Conduttori, con Alcune Applicazioni.—
«Rend. Accademia delle Scienze di Bologna», 11 February 1900, v. 4,
p. 65—68.
46. Donati L. Sulla Distribuzione del Potenziale delle Reti dii
Fili Conduttori.— «Rend. Accademia delle Scienze di Bologna»,,
22 May 1910, v. 14, p. 136—J44.
46. Donati L. Le Correnti Alternative e la Legge di Reciprocita.—
«Rend. Accademia delle Scienze di Bologna», March 1917, v. 21,.
p. 55—61.
47. Donati L. Memorie e Note Scientifiche. Nicola Zanichclli,.
Bologna, 1925.
4' 8. Duffin R. J. Impossible Behavior of Nonlinear Networks.—
«Proc. Symp. Nonlinear Circuit Analysis», Polytechnic Institute
of Brooklyn, Brooklun, New York, April 23—24 1953, v. 2,.
p. 124—128.
49. Duffin R. J. Impossible Behaviour of Nonlinear Networks.—
«,1. Appl. Phys.», May 1955, v. 26, p. 603—605.
50. Duinker S. General Properties of Frequency — Converting.
Networks.— In: Dr. Thesis, Technische Flogeschool te Delft, Delft.
Netl erlands, June 1957.
51. Duinker S. General Properties of Frequency — Convert ng
Networks.— «Philips Res. Rept», February 19o8 v. 13, p. 37—78;
April 1958, v. 13, p. 101—148.
52. Duinker S. Traditors, A New Class of Non — Energie Non —
Linear Network Elements.— «Philips Res. Rept.», February 1959, v. 14,
p. 29- 51
53. Duinker S. Generalization to Non — Linear Networks of
a Theorem due to Heaviside.— «Philips Res. Rept», October 1959, v. 14,
p. 421-426.
54. Duinker S. General Energy Relations for Parametric Ampli-
fying Devices.— «Tijdschr. Ned. Radiogenootschap», 1959, v. 24,
p. 287—310.
55. Duinker S. Conjunctors, Another New Class of Non — Ener-
gie Non — Linear Network Elements.— «Phillips Res. Rept.», Feb-
ruary 1962, v. 17, p. 1—19.
56. Duinker S. The Relationship between Various Energy Distri-
bution Theorems.— In: Network -and Switching Theory. G. Biorci
(Ed.). New York, Academic Press, 1968, p. 1—20.
57. Foster R. M. A Reactance Theorem.— «Bell System Techn.
J.», April 1924, v. 3, p. 259—267.
58. Foster R. M. The Average 1 npedance of an Electrical Net-
work.— In: Reissner Anniversary Volume, Contributions to Applied.
13G
Meohanicn. .1 W Edwards Publishing Co., Ann. Arhor, Michigan,
1949, p. .433 HO
59. Foster R. M. \n Extension of a Network Theorem.—-«IRE
Trails. Circini I henry», March 1961, v. CT-8, ip. 75—76.
60. Garver R. V., Hines M. E. Fundamental Limitations in RF
Switching Using Semiconductor Diodes.— «Proc. IEEE», November
1964, v. 52, p. 1382—4384.
61. Gasparini F. Osservazioni su Alcuni Teoremi delle Reti
Lineari Passive.— «Alta Freaquenza», February 1960, v. 29, p. 90—95.
62. Goddard P. J., Spence R. Efficient Method for the Calcula-
tion of First- and Second-Order Network Sensitivities.—«Electron.
1 otters», August 1969, v. 5, p. 35*1—352.
63. Guillemin E. A. Introductory Circuit Theory, John Wiley and
Sons Inc., New York, 1953.
64. Guillemin E. A. Synthesis of Passive Networks. John Wiley
and Sons, Inc., New York, 1957. (Русский перевод: Гиллемин E. A.
Ci нтез пассивных цепей. M., «Связь», 1970.)
65. Guillemin Е. A, Theory of Linear Physical Systems. John
Wiley and Sons, Inc., New York, 1963.
66. Happ W. W. NASAP: Present Capabilities of a Maintained
Program.— «IEEE Intern. Conv. Record», 20—23 March 1967, v. 15,
pt 5, p. 64—88.
67. Heaviside O. Current-Energy. Vll.— «The Electrician», 25 Au-
gust 1883, v. 1'1, p. 342—344.
68. Heaviside O. Electromagnetic Induction and its Propagation.
Work done by Impressed Forces during Transient States. — «The
Electrician», 25 .April 1885, v. 14, p. 490—494.
69. Heaviside O.— «Electrical Papers» Atacmiilan and Co., Lon-
don, 1892, v. I.
70. Heaviside O.— «Electrical Papers», Macmillan and Co., Lon-
don, 4892, v. 11.
71. Herbst N. M. Lossless Networks Containing a Single Variab-
le Element.— «IEEE Trans. Circuit Theory», March 1963, v. CT-10,
p. 118.
72. Hines M. E. Fundamental Limitations in RF Switching and
Phase Stuffing Using Semiconductor Diodes.— «Proc. IEEE», June
1961, v. 52, p. 697—708.
71 Holt A. G. J., Lee M. R. A Relationship between Sensitivity
ami Noise — «hit. J.’Electronics», June 4969, v. 26, p. 591—594.
74. Howe С. M. Extension of a Theorem of Vratsanos.— «IRE
Trans. Circuit Theory», September 1958, v. CT-5, p. 229—230.
75. Huang T. S. Bounds on Two-Element-Kind Impedance Fun-
ctions— (Electron Letters», April 1965, v. 1, p. 29.
76. Huang T. S., Lee H. B. Bounds on Impedance Functions of
R, ±L, ±C, Г Networks.— «J. Franklin Inst.», February 1965, v. 279,
p. 83—94.
77. Jm ison S., Waldelius E. Zuschrift zum Beitrag J. Vratsanos,
Zur Birulnung der Stromverteilung in einem Linearen Netzwerk.—
Archiv I lektrischen LJbertragung», October 958, Bd 12, S, 478.
78 Kawakami S. Theory of Lossless Reciprocal Transformation
of a Reciprocal 2-State Network.—-«Electron. Letters», April 1965,
v. 1, p. 39—10.
79. Kawakami S. Figure of Merit Associated with a Variable
Parameter One Port for RF Switching and Modulation.— «IEEE
Trans. Circuit Theory», September 1965, v. CT-12, p. 321—328.
10—364
137
80 Kawakami S. Lossless Reciprocal Transformation and Syn-
thesis of a Two-State Network.—«I EE Trans. Circuit Theory», June
1966, v. CT-13, p. 128—136.
81. Kishi G., Kida T. Energy Theory of Sensitivity in LCR Net-
works.— «IEEE Trans. Circuit Theory», December 1967, v. CT-14,
p. 380—387.
82. Kishi G., Kida T. Edge-Port Conservation in Networks.—
«IEEE Trans. Circuit Theory», September 1968, v. CT-15, p. 274'—276.
83. Kashi G., Nakazawa K. Relations between React ve Energy
and Group Delay in Lumped Constant Networks.— «IEEE Trans.
Circuit Theory», March 1963, v. CT-10, p. 67—71.
81. Koenig H. E., Tokad Y., Kesavan H. K. Analysis of Discrete
Physical Systems. McGraw-Hill Book Co., New York, 1967.
85. Kron G. Tensor Analysis on Networks. John Wiley and Sons,
Inc. New York, 1939. (Русский перевод: Крон Г. Применение
тензорного анализа в электротехнике. !М. — Л., Госэнергоидат,
1955).
86. Kurokawa К. Power Waves and the Scattering Matrix.—
«IEEE Trans. Microwave Theory Teoh.», March 1965, v. MTT-I3,
p. '194—202.
87. Lee H. B. The Physical Meaning of Compactness.— «IEEE
Trans. Circuit Theory», June 1963, v. CT-10, p. 255—261.
88. Lee H. B. An Alternate Derivation of the Fujisawa
Condition. — «IEEE Trans. Circuit Theory», June 4966, v. CT-13,
p. 218.
89. Lee H. B., Daniels R. W. A Nonreciprocity Figure of Merit
for Passive Resistive Devices.— «IEEE Trans. Circuit Theory», June
1966, v. CT-13, p. 206—207.
90. Leeds J. V. Transient and Steady-State Sensitivity Analysis.—
IFEE Trans. Circuit Theory», September 1966, v. CT-13, p. 288—289.
91. Leeds J. V., Ugron G. 1. Simplified Multiple Parameter Sen-
sitivity Galcula ion and Continuously Equivalent Networks.— «IEEE
Trans. Circuit Theory», June 1967, v. CT-44, ,p. 188—494.
92. Lorentz H. A. Proof of a Theorem due to Heaviside.— «Proc.
Natl. Acad. Sci.», 15 Nevember 1922, v. 8, p. 333—338.
93. Lorentz H. A. The Theorem of Poynting Concerning the
Energy in the Electromagnetic Field and Two General Propositions
Concerning the Propagation of L ght.— «In: Collected Papers. Mar-
tinus Nijhoff. The Hague Netherlands, 1936, v. Ill, p. 1—14.
94. Lorentz H. A. Proof of a Theorem due to Heaviside.— In.
Collected Papers. Martinus Nijhoff, The Hague, Netherlands, 1936,
p. 334 —337.
95. Louis S. Verallgemeinerung des Vratsanosschen S'atzes.—
«Archiv Elektrischen Ubertragung», Oktober 1958, Bd 12, S. 478—479.
96. Lunelli L. Su di un Teorema Relat vo alle Reti Eletriche.—
«L’Elettrotecnica», December 1931, v. 38, p. 569.
97. Lunelli L. Teorema di Scomposizione per la Derivata dell’
Impedenza Operatoriale di un Bipolo Elettrico.— «Alta Frequenza»,
April 4955, v. 24, p. 140—138.
98. Lunelli L. Teorema sulle Energie Reattive per un Bipolo Elet-
trico in Regime Variable.— «Alta Frequenza», June 1955, v. 24,
p. 246—267.
99. Lunelli L. Sulla Scomposizione della Derivata dell’ Impeden-
za per un Bipolo Elettrico.— «Alta Frequenza», April 1956, v. 25,
p. 152—159.
138
100 I iiiK-lli L. Scomposizione Energelica dell’ Impedenza Opera-
tor ale di un Bipolo Elettrico.—«Alta frequenza», October 1956, v. 25,
p. 391 110.
101 Lunelli L. Estensione di un Teorema per i Bipoli Elettrici
Normali I’assivi in Regime Stazionario.— «Alta Frequenza», June —
August 19Г0, v. 29, p. 377—388.
'102 . Maa D. Y. A General Reactance Theorem for Electrical
Mechanical and Acoustic Systems.— «Proc IRE», July 1943, v. 31,
p. .'Ж -371
103. Manley J. M., Rowe H. E. Some General Properties of Non-
linear Elements Part I. General Energy Relations.— «Proc. IRE»,
July 1956, v. 44, p. 904—913.
104 Martinelli G. Sensitivity Measurement of a Passive Network
Function as Dependent upon the Variations of the Components.—
«IEEE Trans. Circuit Theory», September '1963, v. CT-10, p. 456—457.
105. Martinelli G., Pogelli M. Bounds on Magnitude of Sensiti-
vity to Variations of Component Values of Passive Transfer-Voltage
Rations.— «Electron. Letlers», 22 Marell 1968, v. 4, p. 98—99.
106. Martinelli G., Roveri A. The Relationship Between Impe-
dance Matching and Gain Sensitivity to the Active Component
Variations in a Low-Pass Negative Resistance Amplifier.— «Proc.
IEEE», May 1967, v. 55, p. 709.
107. Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism,
3rd ed., Dover Publications, Inc., New York, '1954, v. 1, first pub-
lished 489'1 (Русский перевод (частичный!: Максвелл Д. К. Из-
бранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.. Гостех-
издат, 1954.)
108. Melvin Н. М. On Concavity of Resistance Functions.— «J.
Appt. Phys», June 1956, v. 27, p. 658—659.
109 Miliar W. Some General Theorems for Non-Linear Systems
Possessing Resistance. — «Phil. Mag.». October 1951, ser. 7, v. 42,
p. 1150- 1160.
110. Moad M. F. On the Invariance of the Ratio of Open —
and Short-Circuit Impedances in Linear Networks.— «Proc. IEEE».
May 1966, v. 54, p. 817.
111. Naiubiar К. K. A Note on the Superposition Principle.—
«Proc. I'FF'E», August 1969, v. 57, p. 1426—'1427.
'112 . Neill T. В. M. Second-Order Sensitivity Analysis of a Linear
System.— «Electron. Letters», May 15, 1969. v. 5, p. 21'i—212.
113 Neill T. В. M. Second-Order Sensitivity Analysis of a Non-
linear System.— «Electron. Letters», 15 May 1969, v. 5,
p. 212—213
114 Neill T. В. M. Comment on Efficient Method for the Calcu-
lation of First- and Second-Order Network Sensitivities. — «Electron.
Letters», 2 October I960, v. 5, p. 483—484.
115 Newstead G. General Circuit Treorp. Methuen and Co. Ltd.
London. 1959
116 Page С, II. Freq lency Conversion with Positive Nonlinear
Resistors— J. Res. Natl. Bur. Std.», April 1956, v. 56, p. 179—182.
117 Panlcll R. H General Power Relationships for Positive and
Negative Nonlinear Resistive Elements. — «Proc. IRE», December 1958,
v. 46, p. 1910-1913.
118 . Papoulis A. Displacement of the Zeros of the Impedance
Z(p) Due to Incremental Variations in the Network Elements.—
«Proc IRE», January 1955, v. 43, p. 79—82.
10'
139
f
119 . Papoulis A. Perturbations of the Natural Frequencies ami
Eigenvectors of a Network.—«IEEE Trans. Circuit Theory», June
1966, v. CT-13, p. 188—195.
120 Parker R. R. Normal Modes in RLG Networks.— «Proc.
IEEE», January 1969, y. 57, p. 39—44.
1121 Parker S. R., Peskin E., Chirlian P. M. On the Invariance
of the Ratio of Open and Short Circuit Impedances in Linear Net-
works.— «Proc. IiEEE», July 1965, v. 53, p 760—761
122. Parker S. R., Peskin E., Chirlian P. M. Application of
a Bilinear Theorem to Network Sensitivity.—«IEEE Trans. Circud
Theory», September 1965, v. CT-12, p. 448—450.
123 Penfield P. Frequency-Power Formilas, Technology Press of
the Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts
and John Wiley and Sons, Inc., New York, 1960.
124. Penfield P. Thermodynamics and the Manley-Rowe Equa-
tions.— «J. Appl. Phys.», December 1966, v. 37, p. 4629 —4630.
125. Penfield P., Haus H. A. Electrodynamics of Moving Media,
The M. I. T. Press, Cambridge. Massachusetts, 1967.
126. Penfield P., Spence R., Duinker S. A Generalized Form of
Tellegen’s Theorem.— «IEEE Trans. Circuit Theory», in press.
127. Pezaris S. D. Analysis of Linear Networks Through Use of
the State Concept, Sc. D. Thesis, Department of Electrical Enginee-
ring, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachu-
setts, February 1956.
128 Poslhumus K., Kouma Tj. Some Considerations on the Fre-
quency Stability of t'ltra Shortwave Driving—Oscillators.— «Philips
Transmitting News», 1936, v. 3, № 4, p. 1—41.
129. Ramo S. Currents Induced bj Electron Motion.— «Proc.
IRE», September 1939, v 27. p. 584—585.
130 Rayleigh, Lord (J. W. Strutt) The Theory of Sound, 2nd ed.,
Dover Publications, New York, 1915, v. 1, first published 1894.
(Русский перевод: Рэлей Д. В Теория звука М., Гостехиздат. 1955.)
431. Richards G. A. Second-Derivative Sensitivity using the Con-
cept of the Adjoint Network.— «Electron. Letters», 21 August 1969,
v. 5, p. 398—399.
132. Richmond J. H. A Reaction Theorem and Its Application to
Antenna Impedance Calculations.— «IRE Trans. Antennas Propaga
lion», November 196-1, v. AP-9, p. 515—520.
133. Rohrer R. A. Circuit Theory: an Introduction to the State
Variable Approach. McGraw Hill Book Co., New York, 1970
134 Rumsey V. H. Reaction Concept in Electromagnetic The-
ory.— «Phys. Rev.», June 15, 1954, v. 94, p. 1483—1491.
135. Ryder F. L. Network Analysis by Least Power Theorems.—
«J. Franklin Inst.», July 1952, v. 254, p. 47—60.
136. Saito M., Ikeda K. Gain and Sensitivity in Resistance Net-
works.— «IEEE Trans. Circuit Theory», December 1966, v. CT-13,
p. 447—449.
137. Sartori R. La Conservazione delle Potenze nelle Re-ti in
Regime Sinusiodala— «L'Elettrotechnica», June 1966, v. 53, p. 435.
438 Schaug-Uettersen T„ Tonning A. On the Optimum Perfor-
in a ce of Variable and Nonreciprocal Networks.— «IRE Trans. Cir-
cuit Theory», June 1959, v CT-6, p 150—158.
139. Schneider A. J. Concavity of Resistance Functions.— «IEEE
Trans. Circuit Theory», May 1969, v. CT-46, p. 253—254.
140
110. Schoeffler J. D. The Synthesis of Minimum Sensitivity Net-
works.— «IEEE Trans. Circuit Theory», June 1964, v. CT-11, p. 271—
276.
141. Schulke H. A. On the Definition of Sensitivity.— «IRE
Trans.», December 1954, v. CT-1, p. 42.
142. Schwarz R. J. A Note on the Transfer Voltage Ratio of
Resistive Networks with Positive Elements.— «Proc. IRE», November
1955, v. 43, p. 1670.
140. Seshu S., Balabanian N. Linear Network Analysis. John Wiley
and Sons, Inc., New York, 1959. (Русский перевод: Сешу С.,
Балабаняи Н. Анализ линейных цепей. М.— Л., Госэнергоиздат,
1963)
144. Shannon С. Е., Hagelbarger D. W. Concavity of Resistance
Functions.— «J. Appl. Phys.», January 1956, v. 27, p. 42—40.
145 Shearer J. L., Murphy A. T., Richardson H. H. Introduction
to System Dynamics. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mas-
sachussets, 1967
146. Shekel J. S'ome Properties of Networks with One Variable
Element.— «IEEE Trans. Circuit Theory», March 1967, v. CT-14,
p. 89—92.
147. Skalicky M. Netzwerks- und Vierpolberechnungen mit den
Gleichungen von Wilberforce.— «Archiv fur Elektrotechnik», Mav 1943,
Bd 37, S. 263—266.
148 Smith W E. Electric- and Magnetic-Energy Storage in Pas.
sive Nonreciprocal Networks.— «Electron. Letters», August 1967, v. 3,
p. 389—391
149. Sorensen E. V General Relations Governing the Exact Sen-
sitivity of Linear Networsk.—«Proc. 1ЕЕ», September 1967, v. 114,
p 1209—1912.
150. Spence R. Linear Active Networks . Wiley-Interscience a di-
vision of John Wiley and Sons, Ltd., London. 1970.
151. Starr A. T Electric Circuits and Wave Filters, 2nd ed. Sir
Isaac Pitman and Sons, Ltd., London, 1938.
152. Stratton J. A. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill Book
Company, Inc., New York, 1941 (Русский перевод: Стрэттон Дж. А.
Теория электромагнетизма М . Гостехиздат, 1948.)
153. Talbot A. Some Fundamental Properties of Networks wit-
hout Mutual Inductance.— «Proc. IEEE», September 1955, v. 102,
pt C, 168—175
154. Tellegen B. D. H. A General Network Theorem, with Appli-
cations.— «Philips Res. Rept», August 1952, v. 7, p. 259—269
155. Tellegen B. D. H. A General Network Theorem, with Appli.
cationss.— «Proc. Inst. Radio Engrs. Australia», November 1953, v. 14,
p. 265—270.
156. Temes G, C First-Order Estimation and Precorrection of
Parasitic Loss Effects in Ladder Filters—«IRE Trans. Circuit The-
ory», December 1962, v. CT-9, p. 385—399.
157. Temes G. C. A Physical Proof of Tellegen’s Theorem.—
«Proc. IEEE», June 1969, v. 57, p. 1183—1184.
1'58 . Van der Pol B. A New Theorem on Electrical Networks.—
«Physica», July 1937, v. 4. p. 585—589.
159. Van Loock W. M. The Fundamental Switching Theorem for
Diodes.— «Proc. IEEE», October 1966, v. 54, p. 1468.
160. Van Loock W. M. The Invariance of the Ratio of Open-
and Short-Circuit Impedance in Linear Networks and a Relation for
141
the Reflection Coefficient.— «Proc. IEEE», February 1967, v. 55,
p. 232 -233.
161. Volta E. Il Metodo delle Potenze Virtual! per il Calcolo dei
Circuit Elettrici Complessi. — «L’Elettrotecnica», April 1962, v. 49,
p. 255—261.
162. Vratsanos J. Zur Berechnung der Stromverteilung in einem
linearen Netzwerk. — «Archiv Elektrischen Dbertragung», February
1957, Bd 11, S. 76—80.
163. Wagner K. W. Einfiihrung in die Lehrc von den Schwingun-
gen und Wcllen. Dieterich’sche Verlagsbuohhandlung, Wiesbaden, 1947.
164. Wallot J. Einfiihrung in die Theorie der Schwachstromtechnik,
1th ed. Springer-Vcrlag, Berlin, 1944.
165. Weinberg L. Kirchhoff’s Thrid and Fourth Laws.— «IRE
Trans. Circuit Theory», March 1958, v. CT-5, p. 8—30.
166. Weinberg L. Network Analysis and Synthesis. McGraw —
Hill Book Company, Inc., New York, 1962.
167. Weinberg L. Reciprocal and Non reci procal Systems, Chara-
cteristic Polynomials and Driving-Point Functions.— «IEEE Trans.
Circuit Theory», June 1965, v. CT-12, p. 294—296.
168. Weyi H. Reparticion on Corriente en una Red Conductora.—
«Rev. Mat. Hispano-Americana», June 1923, v. 5, p. 153—164.
169. Wilberforce L. R. Note on an Elementary Treatment of Con-
ducting Networks.— «Phil. Mag.», April 1903, ser. 6, v. 5, p. 4|89—490.
170. Wolaver D. H Some Applications in Electrical Network
Theory of a Linear Graph Theorem by Berge and Ghouila — Houri.—
«Proc. Symp. Aippl. Math.», 1970, p. 22.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вариационный принцип для до-
полнительной мощности 57
-------нелинейной мощности
49
------- коэнергии 56
------- резонансной частоты
87, 91
—------цепей с емкостью 56
----------— индукционными
катушками 57
-------------резисторами 50
------- энергии 56
Весовой фактор 123
Виртуальные (действующие)
токи 13
-----напряжения 13
Возмущения 13
Волна входящая 24, 124
— исходящая 24
Волновые переменные 24,25,61,
64, 81, 102, ПО, 120, 124, 131
Вращающий момент 126
Время поступления энергии 58
— рассеяния 58
Двухполюсник 61, 66, 70, 75,
78, 80, 96, 98, 99, 101, 102,
105, НО, 111, ИЗ
Дерево цепи 17, 37, 40, 130
Диодный выключатель ПО
Диод идеальный 22, 43, 48
— трубчатый 43
Закон Кирхгофа первый (тока)
6, 11, 12, 16, 28, 51, 130
Закон Кирхгофа второй (на-
пряжения) 6, 11, 12, 16, 28,
29, 130
— Ома 6
Идентичность режимов на за-
жимах 71
Изменяющиеся цепи 91, 92, 98—
123
-----без потерь 91, 103, 113,
120 .
-----двухполюсника 98, 100,
102, 105, 108, ПО, 113
-----многополюсников 101,
106, 117
-----необратимые 100, 107,
109, 110—111, 116
-----обратимые 99, 100, 109,
111, 112, 113—115, 118—120
-----С ИЗОКЛИННОЙ (МОЩНОСТЬЮ
102, 103
-------изоклинным полным
сопротивлением 104
-----LC 104
-----LCG 92
-----RC 104
Изолятор микроволновый 63—
65
Изотермическая электромехани-
ческая система 44
Инвариантность отношения пол-
ных сопротивлений холосто-
го хода и короткого замы-
кания 73
Катушки индуктивности нели-
нейные 42, 44
143
Квазпортогональность 95
Комплексная мощность GO, 85,
102
Комплексные волновые пере-
менные 131
— нормализованные полные со-
противления 24, 131
Конденсатор нелинейный 32, 42,
44, 56
Конечные вариации 92, ПО—
118
— изменения полного сопротив-
ления ПО—118
----- резонансной частоты 92
— — собственной частоты 92
----- функции отклика цепи
116
Коэнергни 47, 56, 57
Коэффициент отражения 61,99,
102, НО
— передачи по напряжению 55,
79
--------току 55, 79
— трансформации трансфор-
матора 22
Максимальное напряжение хо-
лостого хода (разомкнутой
цепи) ПО
Матрица антисимметричная 69
— антисимметричного свойства
Эрмита 69
— вещественная 69
— диагональная 62
— изоклинности полного со-
противления 69
-----по мощности 69
— полного сопротивления вет-
ви 62, 67
--------на входе 26, 62, 66,
67, 82, 132
-----— элемента 62, 67
— рассеяния 26, 64, 67—69, 81,
116, 120, 123
— симметричная 64
144
Матрица хессианская 106
Местиоспмметричная зависи-
мость 49
Многоугольник 63, 82, 100, 104,
107—109, 117, 123, 124
— с нзоклннной мощностью
без потерь 103
— — пзоклипным полным со-
противлением 104
Моды нормальные для цепей
RLC 91
Мощность активная 10
— действительная 11. 30
— дополнительная 47—53
— квази 12, 15
— квазиортогональная 95
— комплексная 60, 61
— малого сигнала 30, 128
— мгновенная и принцип со-
хранения энергии 12, 30
— невозмущенного состояния
31
— нелинейная 47—53
— поступающая реактивная 61
— распределенных электромаг-
нитных систем 126
— частотной области 33, 34
Напряжение диода НО
Невозмущенное состояние 31
Необратимость 65
Обозначение переменных во
временной области 10
Обратимость 63
— взаимная 65, 66
Ограничение полного сопротив-
ления 75
Оператор Кирхгофа 18, 20, 22,
126, 129—131
-----для напряжения 18, 19,
126, 129—131
-------тока 18, 19, 126, 129—
131
Оператор производной по вре-
мени 18, 126
Определенная и неопределен-
ная формы конститутивных
законов 132
Ортогональность в резонансных
системах 89
— мощности 95
— подпространств 27
— систем токов н напряжений
27, 29
Относительная важность по-
грешности 123
Падение температуры 126
Передаточное сопротивление 79
Переключатель с потерями 113
Полная проводимость 69
Полное сопротивление всгвей
и входов 49, 66, 68
-----в конечных изменениях
108
-----изменяющееся на беско-
нечно малую величину 99
----норма шзованное 24 69,
131
Понятие пассивности и обрати-
мости 65
Потенциал узла 15—17, 36, 53,
130
Поток 126
Правила знаков 10
Преобразователь постоянного
тока 35
— частоты 34
Принцип виртуальной работы
126, 128
Присоединенные цепи 65, 73,
77, 100, 107-112, 116, 117,
124, 133
Разрез цепи 28
Резонанс 84—93
Сопротивление, изменяющееся
во времени 45, 54
— квазилинейное 44
— местноактпвиое 54
— местносимметричное 49
— многозажимное 49
— нелинейное 42, 45, 47—55, 58
----изменяющееся во време-
ни 43, 44
— первичное 44
— положительное 48, 54
Состояние цепи 12
Сохранение энергии 12, 56, 57
Сила 126
Симметричность матрицы пол-
ного сопротивления и мат-
рицы рассеяния 64, 69
Синтез цепи 123
Системы переменные малого
сигнала 30
---- поперечные 126
---- сквозные 126
----случайные 35
----стохастические 35, 96, 97
Температхра шумов 96
Теорема Бержа о положитель-
ном разложении 39, 78
— билинейности изменения
функций отклика цепи 116
— Блэка об аттенюаторе 114
— Ван дер Поля о переходном
режиме 70
— взаимной обратимости 65
— временной области 30—59,
71
— Гизлемина о квазиортого
налыюстп 95
— групповой задержки 82
----— «туда н обратно» 83
— Даффнна о невозможности
44
— действительной мощности Ц
30
— двухполюсника 61, 66, 70,
72, 75, 78, 79, 97, 98, 100. 102,
105, 110—113
(45
Теорема Дике об ограничении
для поступающей мощности
61
— задержки рассеяния 58
— инвариантности отношения
полного сопротивления 73
— Кастильяно 126
— квазимощиости 12, 15
— Киши н Кида 7
— комплексной мощности 60
— Кона 98—106, 109, 115
-----комплексная 102, 103
-----для многополюсника 101
-------• обратимых цепей 99
-----— необратимых цепей
100
------- цепей изоклнпной
мощности 102
----------с изоклинным пол-
ным сопротивлением 104
— корзин Волэвера 36
------- для двух корзин 41
----------трех корзин 39
•--------- четырех корзин 36
— Люнелли 78
— Максвелла о минимальном
нагреве 53
— малого сигнала 30, 128, 129
— Манли - Роу 34
— Мартинелли и Поджелли 21
— Мартинелли и Ровери 120
— минимума и максимума
53—56
— многополюсника 63, 82, 100,
ЮЗ, 104, 106, 109, 117, 123
— мощности переменного тока
32
•----постоянного тока 32
— независимости резонансной
частоты 87
— необратимых цепей 73, 100,
107, 109, ПО, 116, 117, 123,
132
— обратимости 63
H'i
Теорема ограничения посту-
пающей мощности 60
— однозначности временной
области 30—59
----- частотной области 83
-----частотных переменных 42,
83
— ортогональности мощности
96
— отношения полного сопро-
тивления 73
— Пантеля о связи частоты с
мощностью 34
— Пезариса для необратимых
ветвей 108, 109
— переключений цепей 108—
111, 116. 117
— переходного режима 45
— положительного разложения
39
— Пойнтинга 126
— производной полного сопро-
тивления 78
—• разложения полного сопро-
тивления 78
— Рамо об индуктированных
токах 35
— реактивных сопротивлений
79
— Санто и Икеда 118
— случайного питания 35, 97
— сохранения активной мощ-
ности 60
-----действительной мощно-
сти 12
-----дополнительной мощно-
сти 51
— — количества движения 128
-----комплексной мощности
60
----- коэнергии 56
-----мгновенной мощности 12,
30
Теорема сохранения мощности
малого сигнала 30
-------- постояного тока 32
-----нелинейной мощности 50
-----реактивной мощности 60
-----энергии 12, 56, 57, 128
— ------иево <м\щепного со-
стояния 31
— Телледжена 6, 7, 9 29
— — вскторно пространствен-
ная формулировка 27
-----в волновых переменных
25
-----дуальная 24
для двух цепей 24, 65
-------- квантовой механики
128
-------- плазм 127
— ------ релятивистских элек-
тронных лучей 127
-------- цепей без входов 85
-----неопределенной формы
132
-----общей формы 20
— — об эквивалентности 71
-----разностной формы 21
— —-------в волновых пере-
менных 25
-----сосредоточенных систем
125
— — суммовой формы в вол-
новых переменных 26
— Фостера для реактивных со-
противлений 81
— Хайнса о переключении для
диодов 110
— Хуанга и Ли об ограничении
полного сопротивления 75
— частотной области 33. 59,
92, 98—122
— частотных изменений пере-
дачи 81
— четырехполюсника 13, 81,82,
114, 119, 120
Icopexia чувствительности 91,
98, 121
— — аттенюатора 114, 118
--- резонансной частоты 91
— Шекеля о подобии 117
— Шеннона—Хагельбаргера о
вогнутой поверхности 1I3
экспонентного питания 62—
98
Теоремы для применения к чув-
ствительности н изменяю-
щимся цепям 92—122
Топологическая структура цепи
9, 65
Транзистор 9, 32
Треугольник 130
— неравенства 54
Узел 9
Указатель связок цепи 11
Условия местной симметрии и
обратимости 49
— резонанса 85
Усиление преобразователя 120
Усилитель с отрицательным ак-
тивным сопротивлением 120
Устойчивость частоты вибрато-
ров 92
Формулы Блэка о связи часто-
ты с мощностью 34
— Пантелла о связи частоты
с мощностью 34
Пэйджа о связи частоты с
мощностью 34
— резонансной частоты 86
Функция отклика цепи 116
Цепи активные 73
— без входов 85—94
— взаимообратимые 66, 133
— двухполюсника (см. двухпо-
люсник)
— дуальные 24
имеющие много состояний
114
147
— нелинейные 42
— необратимые 65, 73, 100 101,
106, 109, ПО, 116, 123, 133
Цепи нереактивные 60
— обратимые 63, 99, 101, 102,
108, ПО, 112, 114, 118, 119,
120
— произвольные 30 42
— присоединенные 66, 67, 74,
100 104, 107, 108, 111, 112,
116, 117, 124, 133
— с нзоклииной мощностью 101
-----ИЗОКЛИННЫМ ПОЛНЫМ со
противлением 69
-----нелинейными катушками
индуктивности 57
------- конденсаторами 56
-------резисторами 48-53
— симметричные 23
— топологической структуры 9,
66
— трехзажпмныс 54
— четырехполюсника 73, 81,
114, 119, 120
Циркулятор 65
Частота комплексная 60
Чувствительность 91, 98—122
— высшего порядка 105—108
Элементы 9
— без потерь 30, 31
— двухзажимныс 9
— линейные 62, 132
— адестноактивные 31
— многозажимные 9
— необратимые 65
— нереактивные 60
— неэпергетичные 23, 30
— параметрически активные 32
— трехзажпмныс 132
Эквивалент температуры шу-
мов 96
Эквивалентная теорема 71
Энергия 47, 56
— взаимная 91
— магнитная 47, 57, 62, 70, 80,
83, 91, 127
— связанная с групповой за-
держкой 82
-------чувствительностью це-
пей 101
---со скоростью измене-
ния реактивного сопротив-
ления 79
— электрическая 47, 56, 62, 70,
80, 82, 91, 127
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 3
11з предисловия авторов . . 4
Глава первая Введение . 6
Глава вторая. Доказательство теоремы Телледжена 9
2-1. Условные обозначения . 9
2-2. Законы Кирхгофа . . И
2-3. Теорема действительной мощности 11
2-4. Теорема квазпмощностп . . 12
2-5. Пример.......................................... 13
2-6. Другие выводы теоремы квазпмощностп . 15
2-7. Операторы Кирхгофа 18
2-8. Общая форма теоремы Телледжена . 20
2-9. Слабые формы теоремы Телледжена . . 21
2 10. Идеальные трансформаторы ... 22
2-11 Форма теоремы Телледжена для двух цепей 23
2 12. Дуальная форма теоремы Телледжена ... 24
2 13. Волновые переменные..............................24
2-14 Теорема Телледжена, выраженная в волновых пере-
менных ...........................................25
2-15. Векторно-пространственная формулировка теоремы
Телледжена........................................27
2-16. Доказательство законов Кирхгофа с помощью тео-
ремы Телледжена . ..... 28
2-17. Сводка . . .......................29
Глава третья. Применение к произвольным цепям 30
3 1 Теорема мгновенной мощности . . . 30
3-2. Теорема мощности малого сигнала..................30
3-3. Теорема мощности постоянного и переменного токов 32
3-4. Теоремы частотной области . 33
3-5. Теоремы о стохастических переменных . . 35
3-6. Теорема Рамо............................. . . 35
3 7. Теорема четырех корзин Волэвера . 36
3-8. Теорема трех корзин Волэвера 39
3 9 Теорема двух корзин Волэвера 41
Глава четвертая. Применение к нелинейным цепям 42
4-1. Однозначность................................... 42
4-2. Теорема невозможности Даффппа....................44
149
4-3. Теорема переходного режима Хевисайда 45
4-4. Нелинейная мощность н дополнительная мощность 47
4 5. Вариационные принципы для нелинейной мощности
и дополнительной мощности..........................50
4-6. Теорема минимума и максимума напряжения . 53
4-7. Теорема минимума и максимума тока .... 55
-4-8. Цепи с нелинейными конденсаторами . . 56
4-9. Цепи с нелинейными катушками индуктивности 57
4-10. Задержка рассеяния .... ... 58
Глава пятая. Применение к линейным цепям . 59
5-1. Сохранение активной и реактивной мощностей . 60
5 2. Теорема энергии для цепей RLC.....................61
5-3. Ограничение Дике для поступающей мощности 61
5-4. Полное сопротивление..............................62
5-5. Свойство обратимости..............................63
5-6. Необратимость.....................................65
5-7. Взаимная обратимость..............................65
5-8. Свойства входных полных сопротивлений ... 66
59. Соотношения между матрицами полных сопротив-
лений входов и элементов.......................... 67
5-10. Теорема переходного режима Ван-дер-Поля 70
5-11. Теорема эквивалентности Телледжена .... 71
5-12. Инвариантность отношения полных сопротивлений
холостого хода и короткого замыкания .... 73
5-13. Ограничение полного сопротивления по Хуангу и Ли 75
5 14. Теорема разложения Люнеллн ... 78
5-15. Теорема реактивных сопротивлений..................79
5-16. Частотные изменения передачи......................81
5 17. Групповая задержка н запасенная энергия ... 82
5-18. Однозначность . . . .... 83
5-19. Резонанс .... ... 85
5 20. Условия резонанса ... ... 85
5 21. Формулы резонансной частоты ... . 86
5-22. Ортогональность в резонансных системах ... 89
5-23. Чувствительность резонансной частоты . 91
5-24. Топологическая теорема Фостера . . 93
5-25. Квазиортогоналыюсть Гнллемина.....................95
5-26. Эквивалентная температура шумов двухполюсника 96
Глава шестая. Применение к чувствительности и изме-
няющимся цепям . 98
6 1. Теорема Кона .... . ... 98
6-2. Теорема Копа для обратимых цепей . 99
6-3. Теорема Кона для необратимых цепей 100
6-4. Теорема Кона для многополюсников 101
6-5. Комплексная теорема Кона.........................102
6-6. Комплексная теорема Кона для цепей изоклинпоп
мощности........................................ .102
6-7. Комплексная теорема Кона для цепей без потерь ЮЗ
6-8. Теорема Копа для цепей с нзоклинпым полным со-
противлением ... 104
6 9. Чувствительность высшего порядка 105
6 10 Теорема Пезарнса...................................Ю8
150
6 II Гсорсма Пезариса для необратимых цепей 109
6 12. Гсорсма Хайнса 110
6-13. Последующие георемы переключения . . Ill
6 14 Георемп вогну 1 ой понерхности Шеннона—Хагель
бартера , 113
6-15 Теорема аттенюатора Ьлэка 114
6 16 Теорема билинейности . 116
6 17. Теорема подобия Шекеля .........................117
6-18 Теорема чувствительности аттенюатора Санто и
Икеда ... . 118
6 19 Теорема чувствительности Мартинелли и Роверп 120
6 20. Теорема чувствительности Мартинелли й Поджеллп 121
Глава седьмая Применение к синтезу цепей . 122
7-1. Автоматизированное проектирование цепи 123
Г пава восьмая. Распространение на другие физические
системы . .... 125
8-1 Другие сосредоточенные системы 125
8-2 Электромагнитные поля . .126
8-3 Электронные лучи и плазмы 127
8-4 Квантовая механика 128
8-5. Принцип Гамильтона 128
8 6 Теорема количества движения 128
Приложение I. Операторы Кирхгофа ... 129
Приложение 2. Волновые переменные в комплексной форме . 131
Приложение 3. Сравнение неопределенных и определенных
форм................................ .132
Приложение 4. Присоединенные цепи 132
Список литературы 134
Алфавитный указатель 143
II ЗУЛЬ ПЕНФИЛД
РОБЕРТ СПЕНС
СИМОН ДЮПНКЕР
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Редактор В. /1. Говорков
Редактор издательства Л. /1. Рвшлшна
Обложка художника П. П. Перевалова
Художественный редактор Д И. Чернышев
Технический редактор Т. .1. Маслова
Корректор Е. X. Горбунова
Сдано, в набор 30/VIII 19Z3 г. Подччсано к печати 12/III 1974 г
Формат 84х108'/за Бумага типографская № 2
Усл. печ л. 7,98 Уч.-нзд. л. 8,65
Тираж 5 001 экз. Зак. 464 [Дена 68 коп
Издательство „Энергия”, Москва. М-114, Шлюзовая паб., 10
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и кпнжноИ торговлц.
Москва, М-П4. Шлюзовая наб., 10.
Цена 68 коп.