Ч^зс^аннъье главы,
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
для инт/сенеугов и студентов втузов
П.И. РОМАНОВСКИЙ
РЯДЫ ФУРЬЕ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
П. И. РОМАНОВСКИМ
РЯДЫ ФУРЬЕ. ТЕОРИЯ поля.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957
Scan AAW
11-5-2
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой учебное пособие для
студентов высших технических учебных заведений
по некоторым разделам высшей математики, вы-
ходящим за пределы основного курса.
Книга написана очень сжато, в конспективной
форме. Она представляет интерес не только для
студентов старших курсов, но также для аспи-
рантов, инженеров и преподавателей.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................................................................   5
глава I
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Периодические функции................................................................................... 7
• §	2. Ряды Фурье для функций с периодом 2я ................................................................ 8
§ 3.	Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2я 18
§ 4.	Четные и нечетные функции . . . ...................................................................... 20
§ 5.	Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2я 22
§ 6.	Ряды Фурье для функций с любым периодом............................................................... 25
§ 7.	Уравнение свободных малых колебаний струны и его
решение методом Фурье................................   32
§ 8.	Интеграл Фурье......................................................................................... 36
§ 9.	Комплексная форма интеграла Фурье...................................................................... 43
§ 10.	Интеграл Фурье для четных и нечетных	функций ....	45
§ 11.	Ортогональные системы функций......................................................................... 48
§ 12.	Минимальное свойство коэффициентов	Фурье.............................................................. 52
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§	1.	Основные сведения из векторной алгебры..................... 56
§	2.	Векторные функции скалярного	переменного. 58
§	3.	Сопровождающий трехгранник	пространственной кривой 60
§	4.	Скалярное поле. Градиент скалярного поля ..................... 63
§	5.	Криволинейные интегралы..................... 66
§	6.	Векторное поле............................................... 74
§	7.	Поверхностные интегралы..................... 77
§	8.	Формула Остроградского........................................................... 83
§ 9.	Векторная запись формулы Остроградского. Дивергенция
векторного поля........................................ 85
§ 10.	Формула Стокса........................................................................................ 90
§11.	Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторного поля 93
§ 12.	Операции второго порядка.............................................................................. 96
§ 13.	Символика Гамильтона.................................................................................. 97
§ 1|.	-Векторные операции в криволинейных координатах ...	98
ГЛАВА III
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
§	1.	Комплексные числа.................................................108
§	2.	Ряды с комплексными	членами .	.*.111
§	3.	Степенные ряды.......................................................114
§	4.	Показательные, гиперболические	и тригонометрические
функции комплексного	переменного.................................................  12Q
1*
4
СОДЕРЖАНИЕ
§ 5.	Некоторые многозначные функции комплексного пере-
менного ...............................................124
§ 6.	Производная функции комплексного переменного .... 129
§ 7.	Аналитические и гармонические функции.................................................................136
§ 8.	Интеграл функции комплексного переменного.............................................................138
§ 9.	Основная теорема Коши.................................................................................143
§ 10.	Интегральная формула Коши.............................................................................148
§ 11.	Интеграл типа Коши....................................................................................150
§ 12.	Производные высших порядков от аналитической функции 152
§ 13.	Последовательности и ряды аналитических функций . . . 153
§ 14.	Ряд Тейлора...........................................................................................156
§ 15.	Ряд Лорана............................................................................................161
§ 16.	Изолированные особые точки аналитической функции . . 164 .
§17.	Вычеты................................................................................................168
§ 18.	Принцип аргумента.....................................................................................178
§ 19.	Дифференцируемые отображения..........................................................................181
§ 20.	Конформные отображения областей.......................................................................191
ГЛАВА IV
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
§	1.	Гамма-функция...................................................................206
§	2.	Бесселевы функции	с	любым индексом....................................................214
§	3.	Формулы приведения	для бесселевых функций............................................220
§	4.	Бесселевы функции	с	полуцелым индексом................................................222
§ 5.	Интегральное представление бесселевых функций с це-
лым индексом...........................................225
§ 6.	Асимптотическое представление бесселевых функций с
целым индексом для больших значений аргумента . . . 229
§ 7.	Интегральный логарифм, интегральный синус, интеграль-
ный косинус............................................235
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1.	Вспомогательные сведения об интегралах, зависящих от
параметра..............................................242
§	2.	Преобразование Лапласа...................................247
§	3.	Простейшие свойства преобразования	Лапласа...........................251
§	4.	Свертка функций.............................................255
§	5.	Оригиналы с рациональными изображениями.258
§	6.	Приложения к решению линейных	дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и систем ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.....................................................................262
§	7.	Оригиналы с изображениями, регулярными в	беско-
нечности 	266
§	8.	Изображения некоторых специальных функций.276
§	9.	Формулы обращения...281
§	10.	Достаточное условие для того, чтобы аналитическая
функция была изображением............................................................. 285
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современное развитие техники предъявляет повышенные
требования к математической подготовке инженера. Тради-
ционный втузовский курс математики оказывается явно не-
достаточным при подготовке инженеров ряда специально-
стей. На некоторых факультетах многих высших техниче-
ских учебных заведений в обязательную программу ныне
включаются специальные (дополнительные) главы курса
математики. Однако подходящей для студентов втузов
учебной литературы по этим вопросам еще не хватает.
Использование же только одних больших курсов и моно-
графий затруднительно для студентов.
Практика показывает, что имеется большая потребность
в небольших по объему, сжато написанных учебных посо-
биях, где в доступной для студентов форме и в опреде-
ленной логической последовательности излагалось бы основ-
ное содержание дополнительных глав курса математики,
ныне’преподаваемых .во втузах.
Настоящая книга имеет целью в сжатой, конспектив-
ной форме изложить некоторые из этих глав. Она возникла
из книги' «Дополнительные главы курса математики для
радиотехнических факультетов» (Оборонгиз, 1954), явив-
шейся конспектом лекций, читанных автором на радиотех-
ническом факультете Московского авиационного института.
Предлагаемую книгу следует рассматривать? как краткое
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
учебное пособие для студентов высших технических учеб-
ных заведений по следующим разделам:
ряды Фурье и интеграл Фурье;
теория поля;
теория аналитических функций;
некоторые специальные функции;
операционное исчисление.
В книге не приводятся физические и технические при-
ложения излагаемых теорий. Такие приложения можно найти
в более подробных руководствах, например: в книге
М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата «Методы теории функ-
ций комплексного переменного» (по аналитическим функ-
циям, специальным функциям и операционному исчислению),
в книге Г. П. Толстова «Ряды Фурье» (по рядам и интег-
ралу Фурье).
В отдельных (немногих) местах книги, в целях большей
стройности, изложены некоторые не обязательные для сту-
дентов факты, тесно примыкающие к излагаемым теориям.
Автор
ГЛАВА 1
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть /(х)— функция, определенная на всей числовой
прямой. Число Т называется периодом этой функции, если
от прибавления его к аргументу величина функции не ме-
няется, т. е. если для всех х имеем
/(х+Т) = /(х).
Если Т есть период функции, то пТ, где п— любое
целое число, есть тоже период рассматриваемой функции.
Таким образом, всякое кратное периода есть период. Функ-
ция, имеющая период, отличный от нуля, называется перио-
дической.
Легко видеть, что всякая периодическая функция, отличная от
постоянной, имеющая хотя бы одну точку непрерывности, имеет
среди своих положительных периодов наименьший. Тогда все про-
чие периоды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функ-
ции, понимают под словом «период», наименьший из положительных
периодов.
Если функция /(х) имеет период 7\ то с?(х) = /(ях)
Т
имеет период —. В самом деле,
-F -jf)] =	T)=f (ах) = <? (x).
Если /(x) имеет период Г, то интеграл этой функции,
взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от вы-
бора нижнего предела интегрирования, т. е.
с+т	т
J f(x)dx — J* f(x)dx
с	о
8	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[гл. t
при всяком с. Действительно, пусть, например, 0 < с < Т.
Тогда
с+Т Т с+Т Т с Т
f -f+f -f+f-f-
с с Т с О О
с+Т с
учитывая, что вследствие периодичности, J* ~ f'
т о
§ 2. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2л
Поставим задачу: разложить сложную периодическую
функцию на простые периодические функции. Под «про-
стыми периодическими функциями» естественно понимать
простые гармоники, т. е. функции вида
A sin (сох -|- а)
или, что равносильно, функции вида
a cos шаг —|— b sin сох.
Эта простая гармоника имеет период —.
Если мы хотим разложить функцию с периодом 2л на
простые гармоники, то их частоты следует выбирать так,
чтобы каждая из этих гармоник имела 2л в качестве
одного из своих периодов. Таким образом, частоты со сле-
2л
дует брать так, чтобы п —- = 2л (п— целое) или со = я,
т. е. в качестве составляющих следует брать гармоники
с целыми частотами.
Допуская в качестве составляющей еще постоянную,
для которой всякое число служит периодом, приходим
к такой задаче: разложить функцию /(х) с периодом 2л
в ряд вида
~ + (4icos х + sin х) + (а2cos %х + ^2 sin %х) +* • • •>
... 4" (ап cos пх 4- bn sin пх) 4~ • • -
или, короче, в ряд вида
+ оо
V (ап cos пх 4~ bn sin пх),
п = 1
§ 2]	РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ	9
где а0,	bv а2, Ь2, . . ., ап, bn, ... —некоторые постоян-
ные (свободный член удобно записывать в виде по при-
чине, которая выяснится ниже).
Вычисление вспомогательных интегралов
Нам потребуются интегралы
тс
J* cos мх dx,
— тс
тс
J* sin nxdx,
— тс
п— целое;
тс
J cos тх cos их dx,
— тс
тс
J* sin znxsin пх dx,
— тс
т, п— целые положительные.
J* sin тх cos пх dx,
— тс
Имеем:
тс
[ cos/zx dx = <
— к
К
sin nxdx~*
— 7С
sin пх Г А ,	, АЧ
—— = 0 (я =# 0),
I — к
х = (лг = 0);
— р = 0 (Я =£ 0),
OIL-о (я = 0);
(1.1)
(1-2)
тс	тс
J cos тх cosnx dx — J cos(m — n)xdx-j-
— тс	— тс
If	( о (т 4= п),
+ Т I cos(/n + »)xdx = |7; (от^я).	(1.3)
10
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
к	тс
J sin тх sin пх dx — -i- J cos (/л — ri)xdx—
— тс	— тс
if	( 0 (т =£ п),
— cos (т -4- п) х dx = { z ч (1.4)
2 J \	। /	[ к (П1 _ пу
-тс
тс	тс
J sin nix cos пх dx= [ sin (т — ti)xdx-^
— тс	—тс
тс
+ у | sin(m-[-ri)xdx = 0,	(1.5)
— тс
причем при выводе формул (1.3) и (1.4) использовалась
формула (1.1), при выводе (1.5) использовалась (1.2).
Предположим теперь, что функция /(х) оказалась такой,
что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся
ряд указанного выше вида:
f (*) = у + (aicos х + sin х) -|- (а2 cos 2х + b2 sin 2х)-[-...
. . . -\-(ап cos nx-\-bns\x\nx')~\- ...	(1.6)
Почленное интегрирование в пределах от —it до к
(законное в силу предположенной равномерной сходимости)
с учетом (1.1) и (1.2) дает:
§ 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2тс	И
Умножая (1.6) на cosnx и интегрируя почленно от —it
до тс, с учетом (1.1), (1.3) и (1.5) получим:
ТС	ТС
[ /(x)COS ПХб/х= у J cosnxtfx-p
— тс	—тс
(тс	тс	»
ar j cos xcos br J sin x cos nx dx j 4“
— TC	—TC	'
(TC	TC	\
a2 | cos 2xcos nx dx-{- b2 J sin 2xcos nx dx j + . . .
— TC	— TC	/
(TC	TC	i
an cos2 nxdx-\~ bn j sin nx cos nxdx )-]-•••
— TC	— TC	'
Аналогично, умножая (1.6) на sinnx и интегрируя по-
членно от —тс до тс и учитывая (1.2), (1.4), (1.5), по-
лучим:
тс
J/(х) sinnx dx=Kbn.
— тс
Таким образом,
тс
«о =4 I f(x)dx,
71 Л/
— ТС
ТС
ап = — [ f(x) cos nxdx (n=l, 2, 3, . ..),
тс ы
тс
bn — -i- /(x)sinnxtfx (п = 1, 2, 3, . ..).
— тс
(1-7)
Определение. Пусть /(х)— функция с периодом 2тс,
имеющая на сегменте [—тс, тс] не более конечного числа
точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте
12
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[гл. 1
(тогда она будет абсолютно интегрируема на всяком сег-
менте). Рядом Фурье этой функции называется ряд
+ оо
~ (ап cos пх + bn sin пх),
п = 1
коэффициенты которого определяются по формулам (1.7).
При этом пишут:
+ оо
Я*)'-'-'7 +J] (aracosnx4-f»Msinnx). (1.8)
п = 1
Примечание. Вместо функций с периодом 2л можно рас-
сматривать функции, определенные лишь на сегменте [— л, л] и
удовлетворяющие отмеченным требованиям. Определение ряда
Фурье для такой функции будет то же самое.
Необходимо отметить, что из определения ряда Фурье
отнюдь не следует, что функция должна разлагаться в свой
ряд Фурье. Из сказанного выше следует только, что если
некоторая функция допускает разложение в равномерно
сходящийся ряд вида (1.8), то этот ряд будет ее рядом
Фурье.
Доказательство разложимости функции
в свой ряд Фурье в точках дифференцируемости
Имеем для любого хс:
ancosnx0 + #nSinnx0 = -i- | f(x)cosnxdx • cosnx0 +
— тс
TC
+ “• | f(x) sln nx dx • sin nx$ =
TC
= Y J f (x) (cos nx cos nxQ	sin nx sin nx0) dx =
— тс
= ~ J f(x)cosn(x — xQ)dx;
§ 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЙ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ	13
N
Sn (х0) = + 2 (fln cos пх0 + bn sin пх0) ==
п = 1
•j+2 cos«(x —*о)
п = 1
dx.
N
Заметим далее, что у+2 cos па является действительной
п =1
частью выражения
1	^+1)а
1—
± _1_ (1-г(У+1)<х)(1-?-й) =з
2	|1— ?Я|3
поэтому
_1_	1—+	—gi(W+1)<x
2 *	(1 — cos а)1 2-|-sin2 а
N
^cosna = —у +
/1=1
1 — cos а cos Na — cos (N + 1) a
2(1 — cos a)
COS Na — cos (2V -p 1) a
2(1 — COS a)
Следовательно, при любом x0 имеем:
. p Sin (n 4- (x — x0)
5„(x0) = - f(x) —--------------------------dx =
J	2 sin (x — xv)
— 7C	2
1 f sin (n + 4)x
= ~	Ж + *)—2-----------r^-dx (1.8')
J	2sin-ix
— тс	2
14
РЯДЫ ФУРЬЕ Й ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. 1
(второй интеграл получен из первого заменой х на х0-|-х
с учетом периодичности /). Применяя эту формулу к слу-
чаю /(х)=1, получим:
Умножая (1.8") на /(х0) и вычитая из (1.8х), найдем при
любом х0:
1 С	sin^+-^)x
Sn (х0) — f (х0) = —	[/ (х0 + х) — f (х0)] —--j—dx.
” J	2sin4-х
— it	2
(1.8"')
Для дальнейшего нам потребуется
Лемма Римана. Если ср (х) непрерывна на сегменте
[а, &], за исключением, быть может, конечного числа
точек и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то
ъ
J* ср (х) sinvx dx 0 при
а
Доказательство. Так как
ь
| sin vx dx
а
Ъ
f x sin vx dx
a
cos va — cos vb | . 2
a cos va — b cos vb
sin vb — sin va
при v—> + oo, то лемма Римана верна для /(х)==1 и
/(х)==х и поэтому верна для любой линейной функции
f(x) = Ax-]-B. Отсюда следует, что лемма верна для
любой кусочно-линейной функции (т. е. функции, график
которой есть ломаная линия), ибо если f(x) кусочно-ли-
§ 2]
РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ
15
нейна на [а, />], то найдутся такие числа ск: а—с0<^с1<^
< с2 < ... < сп = Ь, что / (х) линейна на каждом
Q1; а тогда
Ъ	Ci с2	Ъ
j* f(x) sin vx dx = J + J + .. . + j*	0 при v ,
a	a cx
ибо по доказанному каждое слагаемое правой части стре-
мится к нулю. Далее заметим, что любая непрерывная
функция на [а, может быть как угодно хорошо аппроксимиро-
вана кусочно-линейной функцией. Действительно, если /(х)
непрерывна на [а, &], то она равномерно непрерывна на
[а, /?], т. е. для любого е>0 найдется такое т] > 0, что
при любых х' и х" на [а, /?] из | х" — х' | < т] следует
|/(х")—	<е. Возьмем числа с$ = а < q < ...
• •. < cn__r < сп =b так, что все ск—ск_1 < т], и пусть
ср (х) обозначает функцию, график которой есть вписанная
в график функции /(х) ломаная, вершины которой имеют
абсциссы ск; тогда для любого х на [а, будет
| ср (х) — f (х) | < е, так как если число х попадает на частич-
ный сегмент [Q_1} сД, то ср (х) лежит между ср(с^_1) и
ср (сД (ибо ср линейна и, следовательно, монотонна на
kfc-i, Ql)> поэтому число ср (х) — /(х) лежит между
?(Q_1)—	f(X) И	— f(x)=f(ck)—f(x),
модули которых < e, и поэтому тоже будет иметь мо-
дуль < S.
Теперь легко показать, что лемма Римана справедлива
для любой непрерывной функции /(х) на [а, &]. В самом
деле,. по доказанному для любого s > 0 найдется такая
кусочно-линейная функция ср (х), что | ср (х)—/(х) | <
< у,,	. на [а, &]. Так как для кусочно-линейной функ-
ции лемма- Римана справедлива, то при достаточно боль-
шом v будем иметь:
&
| ср (х) sin yxdx
ci
£
< 2~’
16
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
но тогда
ъ
J /(х) sin vx dx
а
ь
[ ср (х) sin vxdx
а
Ъ
J [/(*)—(х)] sin vx dx
а
< 2 (Ь — а)	2 —'8
и, следовательно,
/(х) sin vx dx 0 при v	-1- оо .
Пусть теперь /(х) имеет одну точку разрыва с,
а < с < Ь. Так как /(х) абсолютно интегрируема на [а, &],
то для любого е > 0 найдется такое 8>0, что
с+ 3
J \f(x)\dx < у.
с-6
Так как лемма Римана для непрерывной функции справед-
лива, то при достаточно большом v будем иметь:
sinvx dx
sinvx dx
но тогда
ь
sinvx dx
c-8
j* /(x) sinvx
a
b
J /(x)sinvxdx
b
следовательно, J*/(x) sin vx dx 0 при v->-|-oo. Анало-
a
гичное рассуждение проводится в случае, когда /(х) имеет
несколько точек разрыва на \at Ь]. Лемма Римана доказана.
§ 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2тг	17
Предположим теперь, что /(х) дифференцируема в точке
xQ и /(хо) = О. Тогда из (1.8"') находим:
к
Sn(x0) = 1- Г (х° + Л) sin (w -ф- у) х dx,
t/ 2 sin « x
— тс	2
а так как
№+л) =	л------->/(«»).!-/'w
2 sin -- х	2 sin -g- х
при х 0, то после надлежащего доопределения в точке
л <	/ \ У («^л Ч- х)	„
х = 0 функция ср (х) = 7	—- становится непрерывной
2 sin -£ х
в этой точке и, очевидно, находится в условиях примени-
мости леммы Римана на [—к, к]. Поэтому
тс
SN(x0) = ~ ср (х) sin -]-^х dx ^>0 при +
— тс
Пусть теперь /(х) дифференцируема в точке х0, имея
в ней какое угодно значение. Положим /(х)=/(х)—/(х0).
Тогда частичные суммы ряда Фурье этой функции будут
(х) = SN (х) — /(х0).
Так как /(х) дифференцируема в точке х0 и/(х0)= О,
то по доказанному
Sn (Ло) “*• О ПРИ W -> + оо,
т. е.
Sn(x0) — /(х0) ->0 при N->4-oo,
и, следовательно,
/(х0) — lim (х0) = + У (atl cos пх0 -|- bn sin пх0).
N -> + со	z
п =1
Итак^ доказана
Теорема. Если функция /(х) с периодом имеет на
сегменте [—к, к] не более конечного числа точек разрыву
2 Зак. 1944. П. И. Романовский
18	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то эта фун-
кция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в ко-
торой она дифференцируема.
Примечание. Доказанное достаточное условие представи-
мости функции своим рядом Фурье отнюдь не является необходи-
мым. Представление функции своим рядом Фурье будет иметь
место и при значительно более общих предположениях. Отметим,
например, без доказательства, что если f(x) удовлетворяет усло-
вию Дирихле на [—л, к] *), то f(x) разлагается в свой ряд Фурье
в каждой точке непрерывности, а в точках разрыва х ряд Фурье
/(х —0)+/(х + 0) ~
сходится к —----	’. Отсюда следует, что разложение
рассматриваемой функции в ряд Фурье имеет место во всех пра-
вильных точках, т. е. в точках х, где
f = /(х-0) + /(х + 0).
§ 3. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2л
Пусть f(x)—функция, удовлетворяющая условиям опре-
деления § 2, и пусть ряд
+ оо
J 2 cos пх+bnsin
п = 1
является ее рядом Фурье. Преобразуем общий член этого
ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус и
синус через показательную функцию). Имеем:
ginx _1_ g — inx	ginx — g — inx
cos пх 4- bn sin пх = ап---------|- Ьп-----ft--—
ginx g — inx	. ginx g — inx
= clh	ibn 2
—	~	ginx _|_	g-inx —— g^ginx | C-ne~^njcy
где
r __an' ^n . r ______
n— 2	’	2
*) Говорят, что функция удовлетворяет условию Дирихле на
некотором сегменте, если этот сегмент можно разбить на конечное
число частей так, что внутри каждой части функция монотонна и
ограничена.
§ 3]
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ
19
Полагая еще с0 = ~, получим для частичных сумм ряда
Фурье выражение
N
у + (ап cos пх -4- bn sin пх) =
п = 1
N	N
=	(сп^ + с_„-^)= £ спе™.
п =1	n--N
Для новых коэффициентов сп получаем формулы (учи-
тывая формулы для ап и Ьп)
г __ ап
^п—~	2
ТС	тс
j /(x)(cosnx—t sin пх) dx=^~ [ f(x)e~inxdx (n > 0).
— TC	— TC
Непосредственно видно, что эта формула верна для
п = 0 и для п < 0 (последнее видно, например, из того,
что с_п = сп, где с обозначает число, сопряженное с).
По доказанному имеем в точках дифференцируемости:
Г	N	-1
f(x) = lim	V' (ап cos пх-]-bn sin пх) =
оо	2	“
L	n=i	J
N	+оо
~ lim	У cneinx = У cnein*
N -> оо	~
п^= —N	— оо
2*
20	РЯДЫ ФУРЬЕ И ЙНТЁГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. t
Итак, в точках дифференцируемости
+ оо
=	(1.9)
— оо
где
тс
сп = Д | f(x)e~inxdx (п = О, ±1, ±2,
— те
Правая часть формулы (1.9) представляет собой комплекс-
ную форму ряда Фурье для функции с периодом 2л.
§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть f(x) — функция, определенная на всей числовой
прямой (или на каком-нибудь интервале с симметричными
концами).
Функция f(x) называется четной, если для всех рас-
сматриваемых значений х имеем /(—х) =/(х). Функция
/(х) называется нечетной, если имеем /(—х) = —f(x).
График четной функции симметричен относительно оси
ординат. График нечетной функции симметричен относи-
тельно начала координат.
Линейная комбинация четных функций есть четная функ-
ция, линейная комбинация нечетных функций есть нечетная
функция (мы называем линейной комбинацией нескольких
функций всякую сумму произведений этих функций на
какие-нибудь постоянные).
Произведение нескольких функций, каждая из которых
является четной или нечетной, будет четной или нечетной
функцией в зависимости от четности или нечетности числа
нечетных множителей. В частности, произведение двух чет-
ных или двух нечетных функций есть четная функция, про-
изведение четной и нечетной функций есть нечетная функ-
ция.
Если функция /(х) интегрируема на сегменте [—с, с], то
с	Ос
J* f(x)dx— J/(х) dx-\- J* f(x)dx.
-с	-с	О
У /(—x)dx,
С
У f(x)dx =
-С
§ 4]	Четные й нечётные функций	21
Но (при замене х на —х)
о	с
J f(x)dx —
— С	О
следовательно,
j'f(x)dx = j' [/(х)+/(— х)] dx,
-С	о
откуда
с
2 J f(x)dx, если /(х)— четная,
О, если /(х)— нечетная.
Четные и нечетные функции являются узкими частными
случаями функций, но тем не менее всякая функция /(х)
может быть представлена в виде суммы четной и нечетной
функций. В самом деле, имеем:
/(х) = /(*)+/(~*) _|_ /(*),-/(-*). = т (X) + ф (X),
где
/ \	/(х)+/(—х) ,/ \	/(х)—/(—х)
? (х) = -	; ф (х) =
и, очевидно, ср(х) — четная функция, ф(х) — нечетная функ-
ция. Если /(х) имеет период, то ср(х), ф(х) имеют такой
же период.
Если функция /(х) оказалась одновременно четной и нечет-
ной, то /(—х) = ±/(х), откуда /(х) =—/(х) и, следовательно,
/(х) тождественно равна нулю. Тождественный нуль есть един-
ственная функция, которая является одновременно четной и не-
четной.
Отсюда легко заключить, что любая функция не может быть
двумя разными способами представлена в виде суммы четной и не-
четной функций. Действительно, если
f (*) = <Р1 (*) + Ф1 (X) =	(X) + |2 (.X)
22	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[гл. I
(где ср2—четные, ф2~нечетные), то (х)—? 2 (х) = ^2 (х)—(*);
но левая часть этого равенства есть четная функция, правая же
часть — нечетная, откуда
?1 (х) — ?2 (х) = ?2 (х) — Ф1 (х) = °,
следовательно,
(х) = ?2 U); Ф1 (*) = Ф2 (*)•
Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция
единственным способом может быть представлена в виде' суммы
четной и нечетной функций.
§ 5. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
С ПЕРИОДОМ 2л
Пусть./(х)— четная функция с периодом 2тс, удовлет-
воряющая условиям определения § 2.
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
ТС
if	2 f
«0 = — J /(x)dx = — I f(x)dx;
— те	О
те	тс
ап = ±- /(x)cosnxdx = -|- j f(x)cosnxdx,
— те	%	О
те
bn = ~ j f(x) sin пх dx = О
(n= 1, 2, 3, . . .).
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции
отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной
функции с периодом 2ти выглядит так:
+ со
/(*) — у + ancosnx,	(1.11)
п= 1
где
те
^о = '“ f f(x)dx,
о
тс
2 f
ап = —	/(х) cos nxdx (n=l, 2, 3, ...).
о
§ 5] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 23
Пусть теперь /(х)— нечетная функция с периодом 2ти,
удовлетворяющая условиям определения § 2. Для коэффи-
циентов ее ряда Фурье находим формулы
ТС
=	/(х)^х = 0;
— тс
тс
1 f
ап — — f(x)cosnxdx = Q (п=1, 2, 3, ...);
— тс
тс
bn=^ | /(x)sinnx^x =
— тс
тс
— ~ [ f(x) sin nxdx (n=l, 2, 3, ...).
о
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции
отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд
Фурье для нечетной функции с периодом 2к выглядит
так:
+ оо
/(х)—'2 ^sinnx,	(1.12)
п= 1
где
тс
2 Т
bn = — f(x)sinnxdx (п=1, 2, 3,
о
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
/(*) =
— на (—л, 0),
-j- на (0, л),
имеющую период 2г (в точках иг, где п — целое, полагаем
/(х)--0).
24
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[гл. I
Очевидно, /(х)— нечетная функция (рис. 1), поэтому в силу
(1.12) имеем:
к	тс
2 f тс	if
bn = — -г sin пх dx = -77 stinxdx
п п J 4	2 J
о	о
 cos 0 — cos и тс __ 1 — (— 1)п
cos пх 1тс
2п о
2и
2п
_1_
п
О
при
п нечетном,
значит, ^1=1, b2~Q, 63 = 4г ,	= 0, ... и
о
есть
при
п четном;
искомое разложение
f (х) = sin х 4- sin Зх -j- 4- sin 5х -|- ...
о	о
_	тс
Отсюда при jr = — получим:
2L = 1 —	J-.1----- + ...
4	3'5	7
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (х) — | х ] на
[— тс, тс], имеющую период 2я.

О
2л\ Зл\
Рис. 1.
Очевидно, /(х) — четная функция (рис. 2), поэтому в силу (1.11)
имеем:
2 f	,	2 (х sin пх . cos пх\ 2 cos птс—cos 0
— х cos пх dx = —----------------------о— I =-----------5------=
тс J	тс \ п п2 / о тс п2
2 (—1)п—1	— при п нечетном,
п2 ~~	'
0 при п четно^.
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЁ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 25
Следовательно,
4	4
~ > а2 0’ а3~ gZ ’ ^4 = 0, . . .
и искомое разложение есть
f(x) = £ — — ( cos х + 4- cos Зх + ят cos 5х 4- ... V
к \	1 У	1 20	/
Отсюда, между прочим, при х = 0 получим:
О = — — — (1 4- — Д- — -С — 4-
2	7:1/^32^52^72^ Г
откуда
7Г2	111
8'=1+^ + '^+72+---
Зная сумму этого ряда, легко найти
+ + + •••
Имеем:
S'=(1+i+i + •••)+(i+i+A+---)=j+ts’
7t2
следовательно, S = — , т. e.
6
+ oo
• V 1
6" *” n2 •
n =1
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ
ПЕРИОДОМ
Пусть /(х)— функция с произвольным периодом 2/
(где I есть полупериод). Полагая x = at, получим функцию
f(at) с периодом —. Выберем а так, чтобы — =2к, т. е.
Z _	It	,
6Z = —. Тогда подстановка -^=— приводит нас к функции
с периодом 2к.
Предположим, что /(х) имеет на сегменте [—Z, Z] не
более конечного числа точек разрыва и абсолютно инте-
26
РЯДЫ ФУРЬЁ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[гл. i
грируема на этом сегменте. В силу § 2 имеем в точках
дифференцируемости:
+ оо
f = у + 2 cos nt + bn sin
n-1
где
TC	TC
«o = | J	= i J ^(t)cos nt dt
— TC	—TC
(/i = l, 2, 3, ...);
TC
bn — ~	sin я/ dt (п — \, 2, 3, ...).
Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэф-
фициентов, от нового переменного t к старому перемен-
ному х и замечая, что	dt = у dx, получаем в точках
дифференцируемости:
л / ч ДО I W niZX I R • ппх\
Л*)=у+2Д^СО5 —+А sin “J’
где
i
«0 = 7- f f(x)dx;
-I
1
an=±- J /(x) cos dx (ft — 1, 2, 3, ...);
-1
1
^n~T [ /(x) sin “7“ dx (ft = 1,2, 3, ...).
-i
(1.13)
(1.14)
Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми формулами
(1.14), называется рядом Фурье для функции /(х) с перио-
дом 2/.
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ
27
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
с любым периодом
В случае четной функции с периодом 2/ все bn=Q
и, следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами.
Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости:
+ <И5)
п=1
где
г
ао = Т \ f^dx’
О
Z
ап— J- /(x)cos^^dx (п = 1, 2, 3, . . .).
о
В случае нечетной функции с периодом 2Z все ап = 0
и, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и
членов с косинусами. Тогда получим (как в § 5) в точках
дифференцируемости:
/(x) = 2^sin^,	(1.16)
п-1
где
i
= T J f(x)sin^dx (л—1, 2, 3, ...).
О
Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функ-
ции с периодом 1. Здесь 2/ = 1, и на основании (1.16) получаем:
£
Н-со	2
/ (х) = bn sin 2ятсх, где Ьп — 4 J f(x) sin 2пъх dx.
n=i	о
Пример 2. Разложить в ряд Фурье | sin х |. Очевидно, | sin х [
есть четная функция с периодом тс. Здесь *?/=тс, и на основании
(1.15) получаем:
| sin х | = ~ -J- ац cos 2пх,
п-1
28
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
где
ГС	к
4
aQ — ~
О
4	Г ___ 4 .
sin х dx = — (— cos х) “ V ’
ТС	7	0
ТС	тс
7	Т
4 Г	2 f
an = — sin х cos 2пх dx = — — sin (2я—1) х dx-j-
6	о
тс
*2	2L
, 2 Г 1 /о I л 2 cos (2и—1)х 2
+ — sin(2n+ l)xdx = ~-------------------р7-	—
ТС J	ТС Ztl ---- 1 Q
тс
2 cos	(2п 4-1) лг |2" _	2 / — 1	1	\	4	1
тс	2п + 1	|0	тс \2п — 1	+ 2л +	тс	4и2 —-1	*
Следовательно,
cos 2пх
4лг2 — 1
=------------Hr COS 2х + TV COS 4x + XTC COS 6x + ...
тс тс \ 3	15	35
Отсюда при x == 0 получаем:
+ оо
0= 2--1V . 1
тс тс 4и2 — 1 ’
п-1
следовательно,
1=У —L_ = l.l . 1+2
2 Z4 4«2 — 1	3	15	35	63
п=-1
Комплексная форма ряда Фурье для функции
с любым периодом
Пусть /(х) — функция с периодом 2/, удовлетворяющая
условиям, указанным в начале параграфа. Тогда подстановку
х=— приводит нас к функции /( —) с периодом
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 29
В силу § 3 имеем в точках дифференцируемости:
— со	—к
Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффи-
, пх
циентов к старому переменному х и замечая, что г =
dt = ^-dx, получим в точках дифференцируемости:
+ °° гппх
/(х)=^спе~,	(1.17)
— ОО
где
i
*	гппх
сп = ~ I f(x)e~~dx (rt = 0, ±1, ±2, ...). (1.18)
-Z
Правая часть формулы (1.17), где коэффициенты опре-
деляются равенствами (1.18), называется комплексной фор-
мой ряда Фурье для функции с периодом 2Z.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной
на сегменте [—Z, I]
Если на полуоткрытом интервале длины 2Z, т. е. на
интервале вида [а, а —|— 2Z) или (а, a-|-2Z], определена какая-
нибудь функция,- то она может быть (единственным спосо-
бом) продолжена на всю числовую прямую так, что полу-
чится функция с периодом 2Z. В самом деле, возьмем график
заданной функции на- упомянутом полуоткрытом интервале
и присоединим к нему все его горизонтальные смещения на
расстояния, кратные 2Z (т. е. на расстояния 2/zZ, где п—про-
извольное .целое число). Тогда получится график функции
с периодом 2Z, совпадающей с заданной функцией на том
интервале, где она была определена.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении периоди-
ческих функций в ряды Фурье следует, что если /(х) имеет
на [— Z, 1\ не более конечного числа точек разрыва ц
30
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого
сегмента в точках дифференцируемости имеем:
+ оо
f w=y + 2j(ancos— +^»sin —(l.l9)
n = l
где
z	z
c0=y | f(x)dx\ an = j j /(x)cos^dx
- z	-i
(n = I, 2, 3, ...);
z
bn = y j /Wsin	(/£=1,2,3, ...).
-z
(1.20)
Разложение в ряд косинусов функции,
заданной на сегменте [0, /]
Если на сегменте [0, I] определена какая-нибудь функ-
ция, то она может быть (единственным способом) продол-
жена на всю числовую прямую так, что получится четная
функция с периодом 2/. В самом деле, возьмем график за-
данной функции на этом сегменте, присоединим к нему
фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат.
Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее гори-
зонтальные смещения на расстояния, кратные 2/. Тогда по-
лучится график четной функции с периодом 2/, совпадаю-
щей с заданной функцией на сегменте [0, /].
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных
периодических функций в ряды Фурье следует, что если
f(x) имеет на [0, I] не более конечного числа точек раз-
рыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри
этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разло-
жение в ряд косинусов:
Г СО
/(х) = ^ + ^й«С03Т’	(L2l)
П = 1
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ
31
где
? г
а° = Т I	ап = Т f f(x)cos^dx (1.22)
О	о
(п = 1, 2, 3, . . .).
Разложение в ряд синусов функции,
заданной на сегменте [О, I]
Если на интервале (О, Z) определена какая-нибудь функ-
ция, то она может быть (единственным способом) продолжена
на всю числовую прямую так, что получится нечетная функ-
ция с периодом 2Z. В самом деле, возьмем график заданной
функции на упомянутом интервале, присоединим к нему
фигуру, симметричную с ним относительно начала координат,
затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее гори-
зонтальные смещения на расстояния, кратные 2Z, и, кроме
того, добавим все точки с координатами nZ, 0 (где п — любое
целое число). Тогда получится график нечетной функции
с периодом 2Z, совпадающей с заданной функцией на ин-
тервале (О, Z).
Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных
периодических функций в ряды Фурье следует, что если
f(x) имеет на [О, Z] не более конечного числа точек раз-
рыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри
этого сегмента в точках дифференцируемости имеем раз-
ложение в ряд синусов:
•Г со
/W = pBsin^,	(1.23)
п- 1
где
г
bn = T j /(x)sin^dx (» = 1, 2, 3, ...). (1.24)
О
На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следо-
вательно, если дополнительно потребовать, чтобы f(x) обращалась
в нуль на концах сегмента [О, Z], то разложение (1.23) будет иметь
место еще на концах сегмента (б, ZJ.
32	РЯДЫ ФУРЬЕ и йнтеграл фурьё	[гл. I
§ 7. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
И ЕГО РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль оси
абсцисс. Если струна совершает малые поперечные колеба-
ния (т. е. каждая точка струны может смещаться только
в вертикальном направлении и, следовательно, сохраняет
величину своей абсциссы) без воздействия внешних сил, то
можно показать (отбрасывая малые величины высших по-
рядков), что если и (х, t) обозначает ординату точки струны
с абсциссой х в момент t, то функция и (х, t) будет удо-
влетворять линейному однородному уравнению с частными
производными второго порядка
д2и 9 д2и
dt2 дх2 ’
(1.25)
где а — постоянное положительное число.
Если струна имеет конечную длину Z и ее концы с абсцис-
сами 0 и Z закреплены, то мы получаем следующие гранич-
ные условия:
4/(0, Z) = 0; и (I, 0 = 0.	(1.26)
Будем сперва искать те решения уравнения (1.25)
в области
O^x^Z, — оо < Z <оо,
удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые имеют
специальный вид: Ar(x)71(Z), где X—дважды непрерывно
дифференцируемая функция от х на [О, Z], не равная тожде-
ственно нулю, Т — дважды непрерывно дифференцируемая
функция от Z, не равная тождественно нулю.
Вставляя и = ХТ в (1.25), получим:
ХТ" — а2Х"Т,	(1.27)
откуда после разделения переменных найдем:
X' Т"
X &1"
(1.28)
§ 7] УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 33
Так как левая часть не зависит от t, а правая часть не
зависит от х, то общая величина этих отношений есть не-
которая постоянная X; поэтому
X" — ХХ=0; Г' — 'Ка2Т = 0.	(1.29)
Строго говоря, формула (1.28) и, следовательно, формула (1.29)
справедливы для тех х, где Х(х)^0, и тех Z, где /'(Z)^O. Но
там, где Х(х) = 0, имеем в силу (1.27) Х"(х) = 0 (ибо Т не исче-
зает тождественно), и там, где Т (t) = 0, имеем в силу (1.27)
Т" (t) = 0 (ибо X не исчезает тождественно); поэтому равенства
(1.29) справедливы для всех рассматриваемых х и t.
Граничные условия (1.26) дают:
X(V)T(f) = fy Jf(Z)7(Z) = O
и, следовательно (так как Т не исчезает тождественно),
Х(0) = 0;	Х(/) = 0.	(1.30)
Покажем теперь, что при Х^О первое из уравне-
ний (1.29) не может иметь на [0, 1} решений, не исчезающих
тождественно и удовлетворяющих граничным условиям (1.30).
В самом деле, если бы при X > 0 нашлось такое реше-
ние, то в некоторой точке между 0 и Z оно было бы отлично
от нуля, например положительно (в противном -случае сле-
довало бы заменить X на —X); тогда наибольшее значе-
ние X на [0, I] должно было бы быть положительно и до-
стигаться в некоторой точке $ внутри этого сегмента. Но
тогда
Х(£)>0; Х'(£) = 0; %"($) = ХХ($) > 0
и, следовательно, в точке £ функция X должна иметь мини-
мум, что нелепо. В случае X — 0 первое из уравнений (1.29)
превращается в	следовательно, X линейна и при
условиях (1.30) может быть только тождественным нулем.
Итак, мы доказали, что X < 0, поэтому можно положить
Х= — k2, где k > 0.
Уравнения (1.29) принимают вид
‘ X"-\-k2X=^	T"-±k2a2T==Q.	(1.29')
Составляя и решая соответствующие характеристические
уравнения этих однородных дифференциальных уравнений
3 Зак. 1944. П. И. Романовский
34
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
с постоянными коэффициентами, найдем:
X = С± cos kx -|- С2 sin kx\	Т — Dr cos akt D2 sin akt,
где Ct, C2, Dv D2— постоянные.
Граничные условия (1.30) налагают требования:
= 0; cos kl 4- C2 sin kl = 0,
откуда (так как C2=£0, если Сх = 0) sin&/ = 0; kl = nit
/	ч , nn
(п — целое); k = —; следовательно,
• nizx 'г гл annt . ~ . amzt
Х=С2 sin — ; Т = D± cos --------------------|- D2 sin —,
откуда (полагая С2/)1 = Д, C2D2~B)
•KT'Tt ( Л flTidt IO*	• TlTZX	z , O/~VZ\
u = XT = ( 4cos —------|-Bsin -у—I sin — .	(1.30')
Обратно, непосредственно проверяется, что выражение
(1.30') при любых постоянных А и В удовлетворяет урав-
нению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом,
общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяющих
граничным условиям (1.26) и имеющих специальный вид
и — Х(х) Т (/), дается формулой (1.30').
Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26)
линейны и однородны, всякая линейная комбинация решений
уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также решение
уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой линейной
комбинации может участвовать не только конечное, но и
бесконечное число функций, однако в последнем случае по-
стоянные коэффициенты следует брать так, чтобы получаю-
щийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных
и двукратных почленных дифференцирований по рассматри-
ваемым переменным, были бы равномерно сходящимися [тогда
законны однократные и двукратные почленные дифференци-
рования, с которыми придется встретиться при проверке
выполнимости (1.25)]. Таким образом, выражения вида
+ оо
и (х, 0 = 2j (Ап cos —
п = 1
I г-*	•	, 1TTZX	z «
j- Bn sin — \ sin -j-	(1.31)
§ 7] УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 35
(при надлежащем осторожном выборе коэффициентов Ап, Вп)
будут решениями уравнения (1.25) с условиями (1.26).
Предположим теперь, что для каждой точки струны
известно ее начальное положение и начальная скорость.
Тогда на u(x,f) должны быть наложены дополнительные
ограничения вида
и(х, 0) = cp(jv); ut' (х, 0) = ^(х),	(1.32)
где ср(х), ф(х) — заданные функции [причем ср(О)=ср(/) =
= ф(О) = ф(/) = О].
Условия (1.32) называются начальными условиями. Будем
искать среди решений вида (1.31) такие, которые удовле-
творяют начальным условиям (1.32), т. е. подчиним функции
z .. Vi / . nr.at , о . плаА . п.ъх
и(х, = 2j ^Ancos—г------t-Bn sin— pin — ;
n = l
' z ,ч V1 / пъа л . nnat । nna n mzat\ . mzx
Ut(x, t)= 2j (----T xnsin—H—T-5nc°s—pin —
n = l
условиям (1.32). Тогда получим (полагая / = 0):
4-00
/ Ч V? л ПЪХ
<р (X) = Ап sm — ;
П=1
+ оо
1 / ч X? пка D . mzx
= ~rBnSin~T’
п-1
и, следовательно [см. формулы (1.24) для коэффициентов
разложения функции на сегменте [О, I] в ряд синусов],
I
л 2 I’ z ч . mtx j
Ап = ^- ] ?(x)sin-j- dx;
О
I
пка о 2 Г , . . . пъх j
— Вп=-—\ '^{X)sin — dx.
О
Итак, решение рассматриваемой задачи о свободных
малых колебаниях струны с закрепленными концами и
3*
36
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
заданными начальными положениями и начальными скоростями
ее точек дается формулой
+ ОО
z	X? / л rrnat . о . miat\ . nitx
и (X, 0 = 2j COS— + Вп sin — \ sin -р,
п = 1
где
г
Ап = ~ | ср (х) sin dx (п — 1, 2, 3, . ..);
о
i
Вп = — f Ф (х) sin ^dx (n= 1, 2, 3, .. .).
п nita J т 7 I	’
о
(1.33)
Разумеется, предыдущие выкладки законны лишь при
достаточно осторожном задании функций ср (х) и ф(х), но
на этом вопросе мы не будем останавливаться.
§ 8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Отметим сперва некоторые вспомогательные факты.
4- оо
Вычисление интеграла [ dx
о
Преобразуя двойной интеграл от e r^sinx по квадрату
двумя способами в двукратные инте-
гралы и сравнивая результаты, получим: .
а	а	а а
J sinxdx J e~xydy= J*dy J* e~^sinxdx.
0	0	0	0
Элементарное интегрирование дает:
a
II ____________p—ax
e—Jdy=l--ex ;
0
a
,	1 — е~аУ (cos a 4- у sin a)
е"хУ sin x dx =------V-—t
l+y2
0
§ 8]
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
37
Следовательно,
а	а
Г sin х , f sin х	„ .
~~x~dx— -—e~axdx =
о	о
а	а
f dy Г е~аУ (cos а 4- у sin а) ,
J г+7~ J г+5^ л
о	О
Так как *) модуль второго слагаемого левой части
меньше , модуль второго	слагаемого правой части
2
меньше — , то в пределе при а—>~р-оо получим:
(1.34)
Поскольку — четная функция, из последней фор-
мулы следует:
+ оо
I ^dx=K.	(1.34')
Лемма Римана для бесконечного промежутка
Если /(х) имеет на каждом конечном интервале не более
конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема
на (—оо, 4“°°)» то
J* f(x) sin axdx —> О
при а -> + оо.
Доказательство. Возьмем end настолько близ-
кими к —оо и 4~оо, чтобы сумма интегралов от |/(х)|
л) Учитывая, что
а	+ со
e~a’vdx<i j dx ~ ~ ,
о	о
38
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
при
по интервалам (—оо, г] и [d, -l-00) была меньше . Так
d
как в силу леммы Римана (§ 2) J*/ (х) sin ах dx -»О
с
то при любом е > 0 найдется
d
такое К > 0, что
у при а > К. Тогда
при а > К будем
с
иметь:
J* /(x)sin^xJx
с
J |/(х)| dx +
d
е;
d
с
следовательно,
J* /(x)sinaxdx—> О
Достаточное условие представимости
функции интегралом Фурье
Пусть /(х) — функция, определенная на всей числовой
прямой, имеющая на каждом конечном сегменте не более
конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на
(—оо, -|-оо). Последнее означает, что несобственный интеграл
J* |/(x)|dx
есть конечная величина (интеграл сходится).
Согласно сказанному в § 6 в каждой точке дифферен-
цируемости х0 функции /(х) имеем (при / > | х01):
4-оо
/(«»>=4+2 (»• “s 4s+#»sin 44 
П=1
§ 8]	ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	39
где коэффициенты определяются формулами (1.20). Следо-
вательно,
i	00 /	*
/(xo)=2Z J	(т | /(x)cos^rfx • cos ^4-
-I	п=1 ' -1
I	\
। 1 f 4Г/ \ • nnx ,	. тгклг0|
+ y /(x) sin-y- dx • sin I —
г ~l	г
= 2? J f(x)dx-\-	7- J /(x)cos nK<x~xo> ax.
-I	n-1 -I
Полагая un — ^- (тогда Az/n=-^; y =	получим:
7	CO LA	I
f(.xo) = ^ J /(XW + 4S "nJ /(*)cos«„(x —x0)dx.
-I	n = 1 -I
При I—>4-00, очевидно,
i	+00
j /(x)tfx->0- [ f(x)dx = O.
-I	-So
Естественно предположить, что при I—>-400
00	i
Ди„ J/(x)cos«„(x—x0)dx->
n = l	-I
4-00	4-00
-> J du J* /(x)coszz(x — x^)dx
0	—00
(но это не очевидно!). Если это так, то полученное для
/(х0) выражение даст в пределе:
4-оо 4-оо
/(х0) = ^- du j /(x)cosrz(x — x^)dx.
О	—оо
Покажем, что это действительно так.
40
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Положим
a -J-oo
1(а) = ~ | du j /(x)coszz(x— x^dx.
О —оо
4- со
Так как |/(х) cos и (х— -^о) I I / (х) I и J* \f(x)\dx схо"
— оо
дится, то можно изменить последовательность интегрирова-
ния и мы получим:
+ оо	а
= J f(x)dx j cos и (х — x^)du =
— оо	О
4-оо	-Poo
(последний интеграл получен из предыдущего заменой х на
хо + х)- Если /(хо) = О> то	—>f'(х0) при х->0,
и, следовательно, функция у (х) — -—--------- после надле-
жащего доопределения в точке х = 0 становится непрерыв-
ной в окрестности нуля и будет абсолютно интегрируема
на (—со, -ф- оо), ибо при достаточно малом е она непре-
/	\	।	/ ч г . | f (Хо + X) |
рывна на интервале (—s, е) и вне его | (х)[<,	.
Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечного про-
межутка имеем:
4- со
j ср (х) sin ах dx —> 0 при
В общем случае [когда значение /(х0) может быть
любым] положим:
Ф(Х) =
/(х0) при х0—1 <х<х0+1;
О для других значений х;
7(х) = /(х)-ф(х).
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
41
§ 8]
Тогда
4-00	4-00
z/ \	1 f 7/	। ч sin ах ,	.if,, I ч sin ах
/(а) = -7 f(Xo + x)——-dx-i--	-i(x04-x)——-dx.
д	е	д
По доказанному первое слагаемое правой части стремится
к нулю при а->-|-оо, ибо /(хо) = О. Второе слагаемое
правой части равно
/Uo) f ах dx
к J X
а
_ f(x0) f sin X
п J X
-а
M\^dx=f{x}
Я J х	-'КО/
при а —> -j-00
(интеграл в средней части получен из предшествующего
заменой ах на х). Таким образом, в точках дифференци-
руемости х0 функции /(х) имеем:
4-оо 4-оо
/(х0) = lim/(а) = -7 j du J /(x)cosrz(x — x0)dx.
0	— oo
Заменяя x0 на x и x на t, доказанное предложение
можно формулировать так:
Теорема. Если /(х) имеет на каждом конечном интер-
вале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно
интегрируема на (—оо, -[-оо), то в каждой точке х,
в которой /(х) дифференцируема, имеем:
4-оо 4-со
/(x) = -L J du f(t)o.Qsu(t — x)dt.
О —оо
(1.35)
Правая часть формулы (1.35) называется двойным инте-
гралом Фурье функции /(х).
Так как cosu(t— х) = cos z//*cos z/x-|-sinz^-sin z/x, то
^после внесения множителя внутренний интеграл в
42
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
формуле (1.35) можно преобразовать так:
Ч-оо	Ч-оо
J f(t)cosu(t— x)dt = ~ J f(t) cos utdt • cosz/x-|-
— co	— oo
Ч-оо
+ “ f /(0 sin at dt • sin ux=a {a) cos ux-\-b (a) sin ax,
J
— co
где
Ч-оо
#(£/) = A f(t) sin utdt (z/^>0).
— oo
(1.36)
Тогда (1.35) принимает вид
Ч-оо
/(х) = J* \а (ji) cos ихb (и) s\x\ их] du. (1-37)
о
Выражение, стоящее в правой части формулы (1.37),
называется интегралом Фурье для функции /(х). Таким
образом, функция /(х) представляется своим интегралом
Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что
это достаточное условие представимости функции своим
интегралом Фурье не является необходимым, представимость
интегралом Фурье будет иметь место и при более общих
условиях.
Формула (1.37) показывает, что интеграл Фурье можно
рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо
суммирования по индексу п, пробегающему целые значения,
мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся
переменному и\ вместо коэффициентов Фурье, зависящих
от целого индекса п, мы имеем функции а (и), Ь(и) от
непрерывно изменяющегося переменного и, определяемые
формулами (1.36).
§ 9]
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
43
§ 9. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Преобразуем подынтегральное выражение формулы (1.37)
с помощью формулы Эйлера. Имеем:
а (и) cos их b (и) sin их —
piux _J_ р - iux	piux_р—iux
= а(и)е—^-------~-------------=
pi их _Ц_ р- iux	piux р- iux
= ° (и)---------ib -------2---=
_ а (“) — ib	piuxA_a+ ib <“) e-iux —
“	2	6	2 е ~
= с (a) eiux + с (— и) e~iltv,
где’ положено
с(ц)=а(ц)-г*(“); с(-_и)=а(ц)+гиц\
Тогда
к
J* [#(w)cos ux-[-b(u) sinrzx] du =
о
к
= J [с (и) eiux -\-с(—и) e'iux\ du =
о
к	к
= J* с (и) eiux du-\- J* с(— и) e~ilix du =
о	о
к	0	к
= J с (и) eiuv du-\- J c(u)eiuxdu= c(u)eiuxdu,
о	-к	-к
к
так как после замены и на —и интеграл § с(—и) e~iux du
о
о
переходит в с (и) eiux du.
-А
44
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
Для с (и) получим выражение
с(й)=^ц^) =
(4-со	+оо	'	\
— f (t) cos at dt— i~ f(t)smut dt] =
+ -O	4-oo
ту- | f(t) (cos ut— i sin ut) dt = f f(t)e~iutdt (z/^>0).
xw TC	TC
Непосредственно видно, что эти формулы верны и при
и < 0, например, из того, что с(—и) = с(и).
Из формулы (1.37) получаем теперь:
х
/(х) = lim \ {а (и) cos их -|- b (и) sin их] du =
X ->4-00 q
X	4-00
= lim f с (и) eiux du = f с (и) eiux du
Х->4-оо	J
— X	—оо
+ оо	X
^понимая J* как lim
Итак, в точках дифференцируемости функции -/(х)
Ч-оо
/(х) = J* с (и) eiux du,	(1.38)
— оо
где
4-оо
С(И) = Д- ( f(t)e~iutdt.	(1.38')
— ОО
Выражение для /(х) в форме (1.38) является комплекс-
ной формой интеграла Фурье для функции /(х).
Если в формуле (1.38) заменить с (и) его выражением,
то получим в точках дифференцируемости функции /(х):
4-оо	4-оо
1	Г
/(х) = -4- I e^dtt I f(t)e-iutdt (1.39)
§10] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 45
или, после внесения eiux под знак внутреннего интеграла,
4-оо Ч-оо
/(х) = -^- f du J /(/) dt.
— ОО	—оо
(1.39')
Правая часть формулы (1.39') называется двойным инте-
гралом Фурье в комплексной форме.
§ 10. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ
И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть /(х)— четная функция, удовлетворяющая усло-
виям § 8. Тогда
4-оо	4-оо
if	2 Г
a(zz)==—-	/(£)cos^tft = ~ ( f (0cos atdt;
— oo	0
-boo
^(rz) = 2-J f(t) sin at dt = 0,
— oo
следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид
где
4-оо
/(%)= J* а(и) cos их du,
о
4-оо
а{и) = ~ j* f(t)cosutdt.
о
(1.40)
(1.40')
Это—7 интеграл Фурье для четной функции f(x).
Заменяя здесь а (и) его выражением, получим двойной инте-
грал Фурье для четной функции*.
4-оо	4-оо
2 Г	Г
/(х)= — cos их du f(t) cos utdt.
о	о
(1.41)
46	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
Пусть теперь f(x)— нечетная функция, удовлетворяю-
щая условиям § 8. Тогда
+ оо
a(zz) = -J- f (t) cos ut dt — 0;
— oo
4~ oo	4-co
if	2 Г
^(^) = ~J f (t) sin ut dt— —	f (t) sin ut dt\
— co	0
следовательно, интеграл Фурье (1.37) принимает вид
4~ оо
/(х) = J* Ь (и) sin их du,	(1-42)
о
где
+ оо
2 Г
ь (и) = I /(0 sin ut dt.	(1.42 )
о
Это — интеграл Фурье для нечетной функции f(x). Заме-
няя здесь Ь(и) его выражением, получим двойной интеграл
Фурье для нечетной функции:
+ оо	Ч-оо
2 Г	Г
/(х) = — sin их du f (t) sin utdt.
о	о
(1.43)
Формулы (1.41) и (1.43) можно перефразировать сле-
дующим образом.
Положим
__4-оо
^(x) — 'j/r’~j f(t)cosxtdt.	(1-41')
0
Тогда из (1.41) следует [если /(х)— четная функция,
удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках
дифференцируемости функции /(х)
/ 2 (
/(х) = |/ — I cp(/)cosx/d£.
о
§ 10] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 47
Называя выражение, стоящее в правой части (1.41'),
косинус-трансформацией функции /(х), приходим к закону
взаимности: если ср (х) есть косинус-трансформация четной
функции /(х), то /(х) есть косинус-трансформация от ср(х).
Положим
_+ оо
Г 9 Г
ф(х) = |/ _£ I /(Z)sinx/^.	(1-43')
о
Тогда из (1.43) следует [если /(х) — нечетная функция,
удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках
дифференцируемости функции /
__+оо
f (х)	Y [ Ф (0 4 S*n xt dt.
О
Называя выражение, стоящее в правой части (1.43'),
синус-трансформацией функции /(х), приходим к закону
взаимности: если ф(х) есть синус-трансформация нечетной
функции /(х), то /(х) есть синус-трансформация от ф(х).
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
Г 1 при I X I < 1,
/(Х) = { у при I Х| = 1,
[ 0 при | х | > 1.
Функция /(х) — четная, следовательно, на основании (1.40) имеем:
/(х) = J* а (и) cos их du;
о
4-00	1
2 Г	2 Г
а (и) = — f(t) cos ut dt = — cos ut dt
TC J	TC J
о	0
 2 sin ut I* 1 2 sin и
“ b=o
поэтому
4- oo
. 4	2 C sin и ,
f (x) = —	—— cos их du.
о
48
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Таким образом,
+оо	| 1, если | х | < 1,
— [ Sln cos ux'du = I если | х | = 1,	(1.44)
тс J и	|
0	I 0, если | х | > 1.
Выражение (1.44) называется разрывным множителем
Дирихле.
§11. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Будем рассматривать функции на каком-нибудь сег-
менте [а, #] (для простоты будем предполагать их непре-
рывными).
Определение. Функции ср (х) и ф (х) называются орто-
гональными на [а, Ь], если
ъ
J* ср (х) ф (х) dx = 0.
а
(1-45)
Ортогональность функций не нарушается при умножении
функций на постоянные множители.
Определение. Функция ср(х) называется нормированной
на [а, #], если
ь
f [<?(x)]2dx = l.	(1.45')
а
Всякая не исчезающая тождественно непрерывная функ-
ция ср(х) может быть сделана нормированной при умноже-
нии на подходящий постоянный множитель (нормирующий
множитель). В самом деле, постоянный множитель X нужно
взять так, чтобы
ъ
J* [Хер (х)]2 dx = 1.
а
§ 11]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
49
откуда получаем формулу для нормирующего множителя
функции ср(х):
к =------ '	.......	(1.46)
±1/ f I? (%)12 dx
f а
Например, для х на [0, 1]
Рассмотрим бесконечную систему функций на [а, #]:
<Fi (*). <р2(х), ....	(S)
Назовем систему (S) ортогональной, если все функции
этой системы не исчезают тождественно и попарно орто-
ft
гональны, т. е. J* (х)	(х) dx = 0 при I =£ k. Назовем
а
систему (S) ортонормированной, если она ортогональная
и все ее функции нормированы, т. е. если
;Ь	(0 при I Ф k,
( 1 при I = k.
Предположим, что некоторая функция /(х) разлагается
относительно ортогональной системы (S) в равномерно
сходящийся ряд* вида
/(х) = а1ср1(х) + а2ср2(х)+ . .. +зд»(х)+ •• •
Умножая на ?п(х) и интегрируя почленно в пределах
от а до Ь, получим:
6	ь	ь
ff(x)'fn(x)dx=a1 j\1(x)<?n(x)dx-}-a2j'<[>2(x)<f>n(x)dx-j-. ..
а	а	а
Ь	Ъ
• •. + О» f [?„ о)]2 dx + ... = ап J [<?„ (х)]2 dx,
а	а
4 Зак. 1944. П. И. Романовский
50
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
откуда
ь
f f <pn (х) dx
ап=а—------------ («=1,2,3,...).	(1.47)
j* [?n U)]3 dx
a
Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции /(х)
на сегменте [а, относительно ортогональной системы (S)
назовем ряд
(*) + О2?2 (*)+•••+	(X) + . . .,
коэффициенты которого определены по формулам (1.47).
Будем писать
/(x)~ai<pi(x)4-«2cp2(x)+ . .. +«„<f>»O)+ • • •
или, короче,
+ ОО
f(x)~2<Wn(4	(1-48)
п = 1
Из этого определения отнюдь не следует, что функция
непременно должна разлагаться в свой ряд Фурье относи-
тельно системы (S), а следует лишь то, что если функция
Ь оо
разложилась в равномерно сходящийся ряд вида 2#п?п(х)’
п = 1
то этот ряд будет ее рядом Фурье относительно системы (S)
(но такого разложения может и не существовать!).
Пример. На сегменте [— к, я] система функций
-i-	, cos х, sin х, cos 2x, sin 2x, ... cos их, sin их, ...	(T)
ортогональная (см. вычисление вспомогательных интегралов § 2).
Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции /(х)
на [— я, я] относительно системы (Т) через
Л0,	^2> ^2> • • •>	• • •,
§ 11]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	51
найдем по формулам (1.47):
тс
J /(x)rfx;
— тс
J* /(х) cos пх dx
ап — —— -----------------= "7 f / (х) cos пх dx>
J* cos2 nxdx
— тс
(72= 1, 2, 3 ...),
j / (х) sin пх dx
— тс	1 f
Ьп = —----------------------= — I / (х) sin пх dx
тс J
| sin272X2/x
которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2.
Тригонометрические ряды Фурье являются частным слу-
чаем рядов Фурье относительно ортогональных систем
функций.
Если функций, составляющие какую-нибудь ортогональ-
ную систему (S), умножить на какие-нибудь постоянные Хп^0,
то получим снова ортогональную систему. Коэффициенты
Фурье какой-нибудь' функции при этом разделятся на Хп
[как видно из формул (1.47)], члены же ряда Фурье не
изменятся (-р- Х^ср№ = апуп^. В случае ортонормированной
системы (S) формулы (1.47) принимают вид
ь
ап— Jf(x)<pn(x)dx (п= 1, 2, 3, ...).	(1.47')
а
4*
52	РЯДЫ ФУРЛЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
§ 12. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
Пусть /(х)— интегрируемая функция на сегменте [а, />].
Средним значением этой функции на [а, />] называется число
ь
Jf(x)dx
а_______
b — а
Определение. Пусть /(х) и <р(х)— две функции на [а, />]
(для простоты будем предполагать их непрерывными). Сред-
ним квадратическим уклонением /(х) от <р(х) называется
квадратный корень из среднего значения квадрата разности
этих функций, т. е. число
// [/(*) — <р(х)Р dx
Ь — а
Отбрасывая постоянный множитель - , * - —у не зависящий
Vb—a
от функций /(х) и ср(х), иногда называют средним квадра-
тическим уклонением /(х) от <р(х) число
J [/(*) — ytxffdx.
а
Пусть имеем какую-нибудь ортогональную систему (S)
функций
(Х)> <?2 (Х)’ • • • > (*)> • ’ •
на сегменте [а, Ь]. Линейные комбинации из п первых функ-
ций системы (S), т. е. выражения вида
С1?1 (•*) + С2?2 (*)+••• Ч" СП?» (*)•
где clt с2, сп — любые постоянные числа, назовем для
сокращения обобщенными полиномами n-го порядка.
Экстремальная задача. Из всех обобщенных полино-
мов n-го порядка найти тот, который имеет наименьшее
среднее квадратическое уклонение от данной функции /(х).
§ 12] МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
53
Вопрос
которых
сводится к отысканию таких clt с2, ...» сп, для
ъ	п	2
а	к = 1
dx
будет наименьшим.
Не нарушая общности, можем считать систему ортонор-
мированной (в противном случае умножением на нормирую-
щие множители мы достигнем этого).
Имеем:
b	п	2
/[/(*)— dx =
а	к-1
Ь	п	п
= f +	+
al	1
+ 2	(.x) (.x)} dx =
к < I
b	n b
= f	+ f {n(x)]2dx —
a	1 a
n b	b
—-2^Q f/(x) <f>A(x)dx-i-2	f <?й(*)?г (x)dx =
la	к < I a
b	n	n
= J' I/(*)12 dx +	c2k — 2 У] ckak =
a	1	1
b	n	n
= J[/(x)]2dx —	+	(1.49)
a	k = l	k=-l .
b
учитывая, что J* [cp/£(x)]2dx= 1 [так как ¥к(х) — нормиро-
a
b
ванные], j (x) (x) dx = 0 при k^l [так как rf&(x),
54
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
ъ
?z(x) ортогональны], J*f{x)^k{x)dx = ak в силу (1.47х).
а
Мы видим, что интеграл будет минимальным, когда
п
^(ск — ак)2
Л = 1
будет минимальна, т. е. при с^—а^ с2 — а2, . .., сп = ап.
Итак, из всех обобщенных полиномов n-го порядка вида
Ci?i (*) + Сг'Рг (•*)+•••+	(х)
наименьшее среднее квадратическое уклонение от данной
функции f(x) имеет n-я частичная сумма ряда Фурье отно-
сительно ортогональной системы (S), т. е. тот обобщенный
полином n-го порядка, коэффициенты которого суть коэф-
фициенты Фурье функции /(х) относительно системы (S).
Из формулы (1.49) находим:
Ъ	п	_ 2	&	п	2
min J [/(%)— У скч?к (х)] dx— J	(х) — 2 ак<?к (x)j dx =
а	к = 1	а	к-1
Ъ	п
= f [/(x)Nx-^4;	(1.50)
а	к = 1
так как средняя часть (1.50) неотрицательна, то
п ь
J [f(x)]zdx,
к-1 а
откуда следует, что ряд 2^- сходится и имеет место не-
1
равенство Бесселя'.
г оО	Ъ
2а* < J[/(x)]2dx.	(1.51)
к = 1	а
§ 12] МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
55
Если система (S) ортогональная (но не обязательно орто-
нормированная), то (1.51) следует заменить неравенством
+ °°	2	%
к-1 к а
где \к— нормирующий множитель для <?&(х) (ибо, беря
вместо ук, мы должны взять вместо ак).
Называя тригонометрическим полиномом n-й степени
функцию вида
п
~ 4~ (ск cos kx 4- dk sin kx),
к-1
(1.51')
получим как частный случай решенной экстремальной задачи
[когда в качестве системы (S) берется тригонометрическая
система (Т)] следующий результат.
Из всех тригонометрических полиномов n-й степени
наименьшее среднее квадратическое уклонение на [—ти, т:]
от заданной на этом сегменте функции /(х) имеет тригоно-
метрический полином
п
-у- + (ак cos kx Ьк sin kx),
&=i
коэффициенты которого определяются по формулам Фурье
(1.7) из § 2.
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Вектором называется направленный отрезок прямой. Два
вектора считаются равными, если они имеют одинаковую
длину, параллельны и одинаково направлены.
В печати векторы часто обозначают полужирными бук-
вами. Например, буква а обозначает вектор в отличие от
скаляра (числа) *).
Длину вектора а будем обозначать |а|.
Угол между векторами а и b обозначим (а, Ь). Угол
между векторами берется в границах от 0 до к. Угол между
а и b теряет определенность, если хотя бы один из векто-
ров нулевой.
Проекцию вектора а на ненулевой вектор b обозначим аь.
Имеем
аь= | а | cos (а, Ь).
Суммой векторов а и b называется вектор — диагональ
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, и обо-
значается а-\-Ь. Сложение векторов подчиняется переста-
новочному закону a-\-b = bа и сочетательному закону
(# + #) + £= « + (^ + г). Из этих законов следует, что
при сложении векторов допустимы изменение порядка сла-
гаемых и любая группировка слагаемых. Вычитание векто-
ров есть действие, обратное сложению.
*) Иногда вектор записывается символом АВ, если А есть начало
вектора, а В — конец его.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
57
§ 1]
Произведение вектора а на скаляр X, обозначаемое аХ
или Ха, определяется как вектор, параллельный а, одинаково
или противоположно направленный, смотря по тому, будет ли
Х>0 или <0, имеющий длину | ак | = | а 11 X |. Произведе-
ние вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону
аХ-рь=а-Х{1 (а—вектор, X и рь— скаляры) и двум рас-
пределительным законам; (а Д-6) X = аХ&Х; а(Х4-рь) =
= ак-\-а^ (а, b — векторы; X, рь— скаляры).
Скалярное произведение двух векторов а и b есть ска-
ляр, обозначаемый ab и определяемый формулой
ab = | а 11 b | cos (а, Ь).
Очевидно, ab = аь\Ь\. Скалярное произведение векторов
подчиняется перестановочному закону ab~ba и распреде-
лительному закону (а-\~Ь)с= ас-\-Ьс.
Векторное произведение двух векторов а и b есть век-
тор, обозначаемый [ад], имеющий длину, равную площади
параллелограмма, построенного на а и д, ортогональный
плоскости этого параллелограмма и направленный так, что
видимый из конца вектора [ад] переход от а к д происхо-
дит в положительном направлении (в случае правой ориен-
тировки). Векторное произведение двух векторов подчинено
антикоммутативному закону [а#] = — [да] и распредели-
тельному закону [(а+ д') с] = [ас] + [#г].
Произведение трех векторов а, д и с, обозначаемое (аде),
есть скаляр, равный ±V, где V—объем параллелепипеда,
построенного на векторах а, д и с, причем знак ± берется
в зависимости оД положительной или отрицательной ориен-
тировки системы рассматриваемых векторов. При круговой
перестановке множителей оно не меняется: (адс)= (дса)\
при перестановке двух множителей меняется знак: (адс) =
— — (дас). Произведение трех векторов равно смешанному
векторно-скалярному произведению (ад'с) = [ад] с= а [#г].
Рассмотрим прямоугольную систему координат в про-
странстве (правую). Пусть /,/, k—единичные векторы (орты),
направленные по осям Ох, Оу, Oz, Пусть а — какой-нибудь
вектор. Проекции его на Ох, Оу, Oz (или, что то же, на
i, j, k) называются его координатами. Координаты а обозна-
чим ах, ау, аг. Два вектора равны тогда и только тогда,
58
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
когда их координаты соответственно равны. Поэтому для
доказательства равенства двух векторов достаточно уста-
новить равенство соответствующих координат.
Всякий вектор а может быть разложен по ортам:
При сложении векторов координаты их складываются
(при вычитании вычитаются), при умножении вектора на
скаляр координаты умножаются на этот скаляр.
Выражение скалярного произведения векторов а и b через
их координаты имеет вид
ab = axbx-\- uJk.A- azbzi	(2.1)
U/ <4/ I С/ £/ I £ £'	X /
что непосредственно получается, если а и b разложить по
ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять
во внимание, что i2 = j2 = k2 = 1, ij = jk=ki=Q.
Выражение векторного произведения векторов а и b через
их координаты имеет вид
[ab\ = i
ay az
by bz
az А
bz b,
ax ay
bx by
(2.2)
что непосредственно получается, если а и b разложить по
ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять
во внимание, что [if] = [jj] = [kk] = 0 (нулевой вектор);
[(/] = *;	=	\ki\=j\	[kj] = — i\
Выражение произведения трех векторов а, Ъ, с через
координаты на основании сказанного имеет вид
аЬс = [ab} с = [ab\x сх + [ab]y су + [ab}z cz =
az
by bz
az ax	ax
bz bx	bx
ay
by
cz —
ax ay az
bx by bz .
CX Cy CZ
(2.3)
c x +
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть a(t)—вектор, зависящий от скалярного перемен-
ного t. Производная векторной функции a(t) определяется
как вектор
z ч	Да(/)	.. а (/-[-Д/) — а (О
а'(0 = hm —гт2= hm
§ 2] ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО 59
если этот векторный предел существует (предел перемен-
ного вектора есть такой вектор, что длина разности между
ним и переменным вектором стремится к нулю). Если век-
тор-функция a(t) имеет производную (дифференцируема),
то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е.
— a(t) стремится к нулевому вектору при AZ—>0.
Правила дифференцирования векторных функций выво-
дятся как правила дифференцирования скалярных функций
в дифференциальном исчислении. Если a(Z), 6(0— диффе-
ренцируемые векторные функции, ср (0 — дифференцируемая
скалярная функция, то
(« (0 + b (О Y = а' (0 + b' (t);	(2.4)
(а (О? (О)' = а' (0 ? (О + a (t) / (0;	(2.5)
(а (0 b (f))' = а' (О b (0 4- a (t) b' (ty	(2.6)
[а (О Ь (01' = [а' (О Ь (01 + [а (О Ь' (/)],	(2.7)
причем в левых частях (2.4), (2,5), (2.7) фигурируют произ-
водные векторных функций; в левой части (2.6) — произ-
водная скалярной функции; в правых частях (2.4), (2.5),
(2.7) знак + обозначает сложение векторов; в правой части
(2.6) знак-4-обозначает сложение скаляров.
Если а0 — постоянный вектор, ср0 — постоянный ска-
ляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного
множителя за знак производной» в произведениях трех
типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов,
векторное произведение векторов):
(а (О ?о)'= «'(О ?0;	(2.5')
(«o?<z))'=«o?'(z);	(2.5")
(а0&(О/ = а0&'(О;	(2-6')
= [aQb'(t)].	(27')
Эти формулы получаются из (2.5), (2.6), (2.7), если учесть,
что производная векторной постоянной есть нулевой вектор.
Производные высших порядков от вектор-функций
определяются как результат последовательного дифферен-
цирования.
Рассмотрим систему прямоугольных координат в про-
странстве. Каждой точке Л4 (х, у, г) отнесем вектор
Г — ix -4- jy + kz с такими же координатами. Такое
60
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
соответствие между точками и векторами будет взаимно одно-
значным. Таким образом, каждой точке соответствует вектор,
каждому вектору соответствует точка.
Векторное параметрическое уравнение г = г(0 [г(0 —
векторная функция одного скалярного переменного] после
перевода на координатный язык дает три координатных
параметрических уравнения
x = x(t), 1
y—y(t)> >
2=2(0 ]
и изображает некоторую кривую в пространстве. Производ-
ная г'(t) будет касательным вектором к этой кривой.
Векторное параметрическое уравнение r=r (и, v) [г (и, v)—
векторная функция двух скалярных переменных] после пере-
вода на координатный язык дает три координатных пара-
метрических уравнения
х = х (zz, г’),
у=у(и, 77), >
z — z(u, v)
и изображает некоторую поверхность в пространстве.
§ 3. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАН-
СТВЕННОЙ КРИВОЙ
Рассмотрим пространственную кривую, заданную вектор-
ным параметрическим уравнением
Г = Г ($),
где за параметр взята длина дуги $, отсчитываемая от не-
которой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении
вектор-функция предполагается трижды непрерывно диф-
ференцируемой).
Касательный вектор x=rz(s) при таком выборе пара-
метра будет единичным для всех точек кривой (ибо отноше-
ние хорды к дуге при стягивании последней в точку стре-
мится к единице). Дифференцируя равенство г'2 — 1, полу-
чим r'r" = Q, следовательно, вектор г” ортогонален т.
§ 3] СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕН. КРИВОЙ 61
Единичный вектор у = ур-р — (если г" — ненулевой век-
тор) определяет направление главной нормали кривой
(в рассматриваемой точке); единичный вектор [3 = [ту] опре-
деляет направление бинормали кривой (в рассматриваемой
точке). Три попарно ортогональных единичных вектора т,
у, р образуют сопровождающий трехгранник кривой (в рас-
сматриваемой точке). Плоскости, проходящие через рас-
сматриваемую точку кривой и перпендикулярные к т, у, [3,
называются соответственно нормальной, спрямляющей и
соприкасающейся плоскостями кривой (в рассматриваемой
точке).
Заметим, что если е2, е3 — три попарно ортогональ-
ных единичных вектора и вектор а разложен по ним:
а = с1е1 + С2е2 + сз^з (Q — скаляры), то, умножая это равен-
ство скалярно на eit получим =	(/ = 1, 2, 3).
Разложим теперь производные векторов, образующих
сопровождающий трехгранник, по векторам, его образующим;
-c' = CiiT + c12v + ci3p;
'*'=<;21'' + С22^+С23₽;
₽' = с31т + с32у-|-Сзз₽.
Дифференцирование равенств т2=1; у2 = 1; (З2 — 1 показы-
вает, что сй = 0 (/=1,2,3); дифференцирование равенств
ту = 0; у{3 = 0; (Зт = 0 показывает, что с^-\- с^= Ь (/, j =
= 1,2,3); наконец, из определения у видно, что с13 = 0;
с12 > 0; следовательно, если обозначить с12 = &, г23 = х,
то вышенаписанные разложения примут вид
V =	&У,	)
у' = —+хр, ’	(2.8)
₽'=	—XV.	)
Формулы (2.8) называются формулами Серре — Френе,
величины k и х называются соответственно кривизной и
кручением пространственной кривой (в рассматриваемой
точке). Рбратные величины 4~ и — называются соответ-
k %
ственно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой
(в рассматриваемой точке).
62
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
С помощью (2.8) находим:
г' = т;
г" = т' = £у;
г'" — k'v -(- kv' = krv-\-k (-ЙТ-Нф) = — k2x-]-k'v-\-kvfr,
(г'г"г'"} = [r'r"\ г'" =	(— k2z + k'v + kv$) = k2^
следовательно, для кривизны и кручения пространственной
кривой получаем формулы
I
(r'r"r'")	'[	<2-9)
j
Пусть теперь пространственная кривая задана вектор-
ным параметрическим уравнением
при любом выборе параметра t (фигурирующая в этом
уравнении вектор-функция предполагается трижды непре-
рывно дифференцируемой). Пользуясь для обозначения произ-
водных по t точками и сохраняя для обозначения дифферен-
цирования по s штрихи, будем иметь (учитывая 'Правила
замены переменных при дифференцировании, формулы
Серре — Френе и свойства определителей):
r=r's=ST, r2=s2\
г = rfrs2~Y' г's = ks2v-\- st;
[г г] = ks^\ [г г]2 — k2SQ\
г = r'"s3 + 3r"s s + r's;
(г г г) = (r'r"r"z) s6 = £2xs6;
отсюда вытекают формулы для кривизны и кручения про-
странственной кривой при любом выборе параметра (в точ-
ках, где г — ненулевой вектор):
k2 = И2 Г2 — (Г Г)2 ,
[Г Г2 г2- (г Г)2'
§ 4]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
63
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Если каждой точке Л1 некоторой области пространства
отнесен скаляр ср(А4), то образуется скалярное поле. Если
задать систему прямоугольных координат (например, правую),
то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х,
у, z и функция точки ср (Л4) станет функцией трех пере-
менных ср(х, у, z).
Определение. Пусть п — какое-нибудь «направление»
(п обозначает единичный вектор). Производной по направ-
лению п в точке М от скалярной функции ср называется
предел (если он существует) отношения приращения ср при
смещении точки М по направлению п к величине смещения
точки 7И, когда последнее стремится к нулю. Производная
д1^
по направлению п обозначается . Таким образом, по опре-
делению

(2.Ю)
где Мг лежит на луче, выходящем из М по направлению п-
После введения координат ср (214) становится функцией
трех переменных ср(х, у, z). Предположим, что эта функция
имеет непрерывные частные производные первого порядка.
Пусть а, р, у — углы направления п с Ox, Оу, Oz. Полагая
МЛ^^р, перепишем формулу (2.10) в виде
д^_ цт ? (х + р cos «, у р cos р, г + р cos у) — ср (х, у, г)
дп р->0	Р
(2.10х)
или
0?	Ф(Р)--- Ф(0)	|А/Л\
где
Ф (р) = ? (х + Р cos а, у р cos р, ‘ z -|- р cos у).
Формула полной производной дает
ф,(р) = ?^(л:+рсо5а, у4“ pcosp, ^4-pcosy)cosa4-
+ ?^(- • .)cos3-pcp'(.. .)cos у;
64
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
следовательно,
Ф' (0) =	(X, у, Z) cos а -|-	(х, у, z) cos 3 + <f>' (х, у, z) cos у
ИЛИ
cos а + cos + cos 7.	(2.10")
on дх 1 ду ‘ 1 dz ‘	4	7
Определение. Градиентом скалярной функции ср в точке
44 называется вектор
Возьмем какое-нибудь направление п (п— единичный
вектор); пусть а, р, у — его углы с координатными осями;
тогда п = i cos a-]- jcos р fecos 7. На основании формулы
(2.1), выражающей скалярное произведение векторов через
координаты, имеем:
grad ср и cosa-]-^ cos P + cos 7.
т дх 1 ду ‘ 1 dz 1
Следовательно, учитывая (2.10"), получим:
= grad <р п = (grad ?)„,	(2.12)
т. е. производная по какому-нибудь направлению п равна
проекции градиента на это направление. Отсюда получаем
следующую инвариантную характеристику градиента: напра-
вление градиента характеризуется тем, что производная по
этому направлению будет наибольшей (среди производных от
ср в данной точке по всевозможным направлениям); длина гра-
диента есть наибольшая из производных по направлениям
в данной точке. Имеем
<2-13>
Поверхности уровня скалярного поля
Геометрическое место точек, в которых ср (44) имеет
постоянное . значение, называется поверхностью уровня.
После задания системы координат уравнение поверхности
уровня принимает вид:
<Р(Х, у, z) = C.
§ 4] СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ	65
Уравнения нормали к этой поверхности в точке х, у, z
будут:
Х—х __У — У_ Z — z
д'з ду ду '
дх ду dz
Отсюда видно, что направление нормали совпадает с на-
правлением градиента в рассматриваемой точке.
Формальные свойства градиента
Пусть ср и ф— два скалярных поля, имеющих градиенты;
/—дифференцируемая скалярная функция одной или не-
скольких скалярных переменных (с надлежащей областью
определения). Тогда
grad (ср ф) — grad ср-(-grad ф,	(2.14)
grad (срф) = ср grad ф —{— ф grad ср,	(2.15)
grad/(ср) =/" (ср) grad ср,	(2.16)
grad/(cp, ф) = grad ср+ grad ф, (2.17)
причем в правых частях (2.14), (2.15), (2.17) знак-[-обо-
значает сложение векторов и встречающиеся в правых ча-
стях (2.15), (2.16), (2.17) произведения суть произведения
вектора на скаляр. В самом деле,
grad (<р 4- ф) = t д (? + *>..	... =
=4’Й + •••) + (/Й+ • • • ) = g^d ср + grad ф;
grad (срф) = i + ... = /(£ф + <р^) + ... =
=='Й/Й+	.. . j = ф grad срср grad ф;
grad/(cp) = Z^^+ ... ==//(ср)^+ ... =
= (с?) (‘ Й + • • •) = (ср) grad
grad/(cp^)=f	•••	••• =
=	\ +	..	grad ср + grad ф.
ду \ дх '	/ ~ дф \ дх —	/ d'f s T 1 дф ‘
5 Зак. 1944. П. И. Романовский
66
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(гл. II
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать вто-
рое и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся
из него в результате замены i на j и k, а х на у и z.
§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Дугу кривой называют гладкой, если функции, фигу-
рирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно
дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если ее
можно разбить на конечное число гладких дуг.
Пусть Р(х, у, z)— непрерывная функция на кусочно-
гладкой дуге АВ (рис. 3). Разобьем дугу АВ на ча-
& сти с помощью точек деления
у„ Zi). На каждой части
возьмем какую-нибудь точку
S'	Ni^,	Q; значение рассматривае-
муюмой функции в этой точке умножим
УХ	на Ах; = xi+1 — Xi и составим сумму
/	таких произведений
Г’	S7’(5i,rli>QAxi.
А	I
Рис. 3.	Если наибольшая из длин частей
дуги АВ стремится к нулю, то
эта сумма стремится к определенному пределу, который
называется криволинейным интегралом от Р(х, у, z)
вдоль дуги АВ по переменному х и обозначается знаком
§P(x,y,z)dx. Аналогично определяются криволинейные
АВ
интегралы по переменным у и z. Таким образом,
j* Р(х, у, z)dx— lim	(2.18)
ав	1
J* Q(x, у, z)dy= iim 2 Qfe vti, -л) \Vi> (2.19)
ав	*
j* R(x, у, z)dz = lim 2	(2.20)
ав	1
где P, Q, R — непрерывные функции на дуге АВ.
§ 5]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
67
Далее вводим понятие комбинированного криволинейного
интеграла
f Pdx-^Qdy-^Rdz^ fPdx-^- f Qdy+ f Rdz. (2.21)
AB	AB	AB	AB
Из определения криволинейного интеграла непосред-
ственно следует, что при перемене напра-
вления дуги интеграл лишь меняет свой
знак
f--f-	<2-22> /
ВА АВ
Рис. 4.
Далее, если дугу разбить на части, то
интеграл вдоль всей дуги равен сумме интегралов вдоль
ее частей, например (рис. 4),
/= /+ /
АВС АВ ВС
(2.23)
Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не
зависит от выбора начальной точки, а зависит лишь от
направления обхода кривой. В самом
деле (рис. 5),
LJ
I = /+ л /=/+/•
АтВпА АтВ ВпА ВпАтВ ВпА АтВ
откуда (так как правые части этих ра-
венств одинаковы)
Рис. 5.	f = f •
АтВпА ВпАтВ
Из определения криволинейного интеграла сразу следует,
что постоянные множители выносятся за знак интеграла,
интеграл суммы равен сумме интегралов. Из (2.18) видно,
что J* Pdx—Q, если дуга АВ расположена в плоскости
АВ
х= const. Аналогично из (2-19) и (2.20) следует, что
5*
68
ОСНОВЫ ТЕОРИИ поля
[гл. и
J Qdy=Q, когда АВ расположена в плоскости у — const,
АВ
и § Rdz= 0, когда АВ расположена в плоскости z — const.
ab
Преобразование криволинейного интеграла
в простой интеграл
Пусть даны параметрические уравнения дуги АВ\
х = х (Z),
У — У У),
z— z(t)t

(мы предполагаем, что все три функции непрерывно диф-
ференцируемы). По теореме Ла-
z : с гранжа (рис. 6)
tn" Г Дх(/<) = х(^+1)-х(^) =
Рис. 6.	= Х (Tj) (^+1	— X
где лежит между и ti+1.
Пусть M(xityiizi)—точка кривой, соответствующая
значению параметра А^г(^, У — точка кривой, соот-
ветствующая значению параметра т/, тогда
5 р Gi. Vi, ^i) ^Xi = ^P [x (т;), у (Tj), z (т{)] x' (тг) Д^,
i	i
откуда в пределе при стремлении к нулю наибольшей из
разностей
т
J* Р(х, у, z)dx= J* P[x(t), y(t\ z (Z)] xr (0 dt =
AB	t0
T
= fpix(t), y(t), z(t)]dx(t).
to
Заметим, что эти выкладки не только дают выражение криво-
линейного интеграла через простой, но и доказывают существование
криволинейного интеграла [в случае непрерывно дифференцируемых.
х У (0> 2 (0]> если считать существование простого интеграла
от непрерывной функции известным.
§ 5]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
69
Аналогичные формулы имеют место для j Qdy, J Rdz.
AB	AB
Мы видим, что для преобразования криволинейного инте-
грала в простой интеграл следует взять параметрические
уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком
криволинейного интеграла заменить х, у, z их выражениями
через параметр и после этого рассматривать интеграл как
простой по параметру, взятый в пределах изменения пара-
метра.
Если, например, имеем дугу
z = z(x),
то (беря х за параметр) получим:
а?2
J* Р (х, у, z)dx — J Р [х, у (х), z (х)] dx.
АВ	а?!
Условие независимости криволинейного интеграла
от формы пути
Будем говорить, что криволинейный интеграл
Pdx-^Qdy~\-Rdz	(2.24)
не зависит от формы пути в некоторой области (в кото-
рой Р, Q, R предполагаются непрерывными), если этот инте-
грал, вдоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих
в рассматриваемой области) с общим началом и общим кон-
цом, имеет одинаковую величину. В этом’случае при обо-
значении интеграла достаточно лишь указывать начальную
и конечную точку пути (не называя своего пути) и упо-
М2	ха, i/a, za
треблять запись J* или J* (где выписаны координаты
<	Ml	г/р Z!
точек и М2).
Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный
дифференциал некоторой функции a(x,y,z), то для какой*
70
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. IT
нибудь гладкой дуги М1М2 с параметрическими уравнениями
Х = х(0,
y=y(f)>
z-=z{t),
t ^2>
нолучим (учитывая свойство инвариантности дифференциаль-
ного обозначения):
#2
J du (х, у, z) — J du [х (Z), у (t), z (Z)] =
ВД	tx
t2
== и [X (0, у (/), Z (£)] | = и (х2, у2, z2) — и (Хр у^ ^).
ъ
То же будет для кусочно-гладкой дуги М±М2, и следо-
вательно, криволинейный интеграл не зависит от формы пути.
Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24)
не зависит от формы пути и положим
х, у, Z
u(x,y,z) = J* Pdx-]-Qdy-]-Rdz.
Хс> Ус> Зо
Тогда
ггЧ-Дж, у, z
и (х -ф- Дх, у, z) — и(х, yt z)= J*	Р dx -ф- Q dy -f- R dz.
X, yt z
Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямо-
линейный отрезок и преобразуя криволинейный интеграл
в простой, получим:
х+^х
ц(х-\-Ь.х, у, z) — u(x,y,z)— J P(t, у, z)dt —
= Р(хЧ~0Дх, у, z)kx (0 < 0 < 1).
Так как
“(л + ДЛ'У’дг>~°(*>'^ = Р(х+0Лх,	у, 2)
§ 5]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
71
при Дх -> О,
ди
то, следовательно, существует и
„	ди ди
найдем, что существуют
= R. Отсюда видно, что
Аналогично
ди ___п ди
du (х, у, z) — Р dx + Q dy + R dz,
^L — P
дх
причем
т. е. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный диф-
ференциал.
Итак, для независимости криволинейного интеграла от
формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно,
чтобы подынтегральное выражение было полным дифферен-
циалом некоторой функции (в упомянутой области).
Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24)
от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю
этого интеграла вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в рас-
Рис. 7.	Рис. 8.
сматриваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от
формы пути и АтВпА — какой-нибудь замкнутый путь; тогда (рис. 7)
J - /+ у- у- у=«-
АтВпА АтВ ВпА АтВ АпВ
Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкну-
тых путей, и пусть АтВ и АпВ — два пути с общим началом и
общим концом; тогда (рис. 8)
f- f У + f= У =»< f- У-
АтВ АпВ АтВ ВпА АтВпА	АтВ АпВ
Условия, при которых выражение Pdx-\- Qdy -^Rdz
есть полный дифференциал
Если это выражение (предполагается, что Р, Q, R имеют
непрерывные частные производные первого порядка) есть
полный дифференциал некоторой функции и (х, у, z)
72
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. п
(в рассматриваемой области), то
_ р	ди —п
дх~ 1 '	ду
__р.
dz
следовательно,
d2u 		dP .	d2u 		dQ .	d2u 		dR
dx dy	dy '	dy d2	dz ’	dz dx	dx
d2u	dQ ,	d2u 			d2u 		dP
dydx	dx ’	dz dy	dy ’	dx dz	dz
откуда, учитывая независимость частных производных от
последовательности дифферен-
цирования, получаем:
dP dQ
dy dx ’
dQ .
dz dy '
dR dP
dx dz *
(2.25)
Обратно, предположим, что
равенства (2.25) выполнены
(в рассматриваемой области).
Пусть А10(х0, yQ, Zq)—фикси-
рованная точка (рис. 9),
М(х, у, z)— переменная точ-
ка, М0КЬМ — трехзвенная ломаная, стороны которой по-
следовательно параллельны осям Ox. Oyt Oz. Положим
и(х, у, г)= J Р dx-^Qdy-^Rdz.
mqklm
Применяя правило преобразования криволинейного интеграла
в простой, находим:
и (х, у, z) —
х	у	2
= / Уо’ ^о)^+ / Q(x> t> J R(x, у, t)dt,
Xq	Уо	z>
§ 5]	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	73
откуда с помощью правила дифференцирования интеграла
с переменным верхним пределом и правила дифференциро-
вания под знаком интеграла с учетом (2,25) получаем;
(х, у, Z) =
= Р(х, у0, z0)~y f Q^.(x, t, j" Rx(x,y, t)dt =
V)	Z0
= P (x, y0, z0) + j Py (x, t, z0) dt-}- j" p' (x, y, f) dt =
?/)	So
= P (x, yG, zJ+P(x,t, z0)	+ P (X, y, t) =
= P (X, y0, z0) + [P (X, y, zQ) — P (X, y0, z0)] +
+ [P (X, y, z) — P (x, y, z0)] = P (x, y, zy,
z
u'y (x, y, z) = Q (x, y, zG) f Ry (x, y, t) dt =
z
= Q(x, y, z0)4- J Q'(x, y, t) dt—
= Q (x, y, z0) + Q (x, y, t) =
= Q (x, y, z0)+[Q (x, y, z) — Q (x, v, z0)] = Q (x, y, z\
^z (-^5 y, z) = R (x, y, z)
и, следовательно^
du (x, y, z) = P dx Q dy R dz.
Итак, для того чтобы выражение Р dx -\-Qdy-[- R dz
было полным дифференциалом (в рассматриваемой области),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
дР _ dQ . dQ _ dR t dR _ dP
dy	dx ’ dz dy ’ dx ’ dz
(в рассматриваемой области).
В доказательстве теоремы о том, что если выполнены усло-
вия (2.25), то выражение Р dx + Q dy + R dz есть полный диф-
ференциал некоторой функции, молчаливо предполагалось, что
74
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
в рассматриваемой области найдется такая точка Л40, что для любой
точки М рассматриваемой области трехзвенная ломаная MqKLM
лежит в этой же области. С помощью дополнительных рассуждений
можно показать, что теорема останется верной для всякой области,
в которой любые два пути с общим началом и общим концом могут
быть непрерывно деформированы один в другой, не выходя из
области.
§ 6. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
Если каждой точке М некоторой области пространства
отнесен вектор а(7И), то образуется векторное поле.
Если задать систему координат (например, правую), то
каждая точка Л4 будет иметь некоторые координаты х, у, z
и вектор-функция точки М становится вектор-функцией
трех переменных а(х, у, z).
Криволинейный интеграл от вектор-функции
Пусть а(М) — непрерывная вектор-функция на кусочно-
гладкой дуге АВ (рис. 10). Разобьем дугу АВ на части
с помощью точек деления на каждой части возьмем
какую-нибудь точку Nit значение
рассматриваемой вектор-функции
в этой точке скалярно умножим на
вектор	и составим сумму
этих скалярных произведений
А	I
Рис. 10.	Если наибольшая из длин ча-
стей дуги АВ стремится к нулю,
то эта сумма стремится к определенному пределу, кото-
рый называется криволинейным интегралом от а(М)
вдоль дуги АВ и обозначается знаком J* a(M)dr (здесь
АВ
dr есть «ориентированный элемент дуги»).
Криволинейный интеграл от вектор-функции легко выра-
жается через обыкновенный криволинейный интеграл.
§ 51
Векторное поле
75
Зададим систему координат. Пусть — радиус-вектор
иХр — координаты точки 714/,	Ц—координаты
точки /V/ тогда
S a (Ni) MiMi+i = 5 a	чц, Q Д^ =
i	i
(^i>	^i) “H &y (£{>	C^) ^У{ ~H (£{> 'Лг» Cj) ,
i
откуда в пределе получаем:
J* a(M)dr =
AB
— J* ax(x> У> z) dx~^-ay(xt y, z) dy-]~as(x, y, z)dz. (2.26)
AB
Это рассуждение не только дает выражение криволинейного
интеграла от вектор-функции через обыкновенный криволинейный
интеграл, но дает доказательство существования его, если суще-
ствование обыкновенного криволинейного интеграла считается изве-
стным.
Если L—какой-нибудь путь в заданном векторном
поле, то, рассматривая векторы а(Л4) как силы (тогда
векторное поле становится силовым полем), найдем, что
скалярное произведение а (714^) • 7И^714{+1 будет (с точностью
до бесконечно малых высшего порядка) работой силового
поля при перемещении точки от положения 714$ в положе-
ние TI4i+1. Складывая эти элементарные работы и переходя
к пределу, найдем, что J*a{M)dr будет работой силового
L
поля при перемещении точки по пути L. По этой причине
криволинейный интеграл § а (714) dr называется работой
L
векторного поля вдоль пути L. Работа векторного поля
вдоль замкнутого пути называется еще циркуляцией век-
торного поля вдоль этого замкнутого пути.
Определение. Векторное поле называется потенциальным,
если работа этого поля не зависит от формы пути или, что
равносильно, если циркуляция векторного поля вдоль каж-
дого замкнутого пути равна нулю.
7б	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	1ГЛ. II
Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности
векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криво-
линейный интеграл
J* ах dx 4- ау dy + az dz
не зависел от формы пути. Из § 5 следует, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы выражение
ах dx 4- cl у dy	clz dz
было полным дифференциалом некоторой функции rz(x, у, z)
(силовая функция), иначе говоря, чтобы выполнялись равенства
daz	да.,	да-	daz	да.,	да^
—	= -Л —-^ = 0;	"г~==0.	(2.27)
ду	dz	dz	дх	дх	ду	v
В этом случае работа поля вдоль пути ЛДЛ4 равна
J du (х, у, z) = и (ТИ2) — и (7WJ = v (Л^) — v (ТИ2),
>^2
где v —— и называется потенциалом векторного поля.
Таким образом, работа потенциального векторного поля
равна приращению силовой функции или уменьшению по-
тенциала.
Следствие. Для потенциальности векторного поля необ-
ходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов
некоторого скалярного поля.
В самом деле, если а = grad ср, то
<4	ду	ду
х дх' у ду z dz
и, следовательно,
+	+	у, z)
есть полный дифференциал, причем ср играет роль силовой
функции.
Обратно, если
ахdx4- ау dy 4- azdz — dy (x, y, z),
TO
a — dX- a —a —
x dx' u~dy' -~dz
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
77
§ л
и, следовательно,
a	+ £ тг =grad ср,
дх 1 J ду 1 dz ь т
что и требовалось доказать.
Пример. Пусть имеем какое-нибудь центрированное векторное
поле (с центром О); это значит, что каждый вектор а(М) лежит
на луче ОМ, причем длина и направление вектора а (М) зависят
только от расстояния р = ОМ. Тогда
а(М) = ^р г,
где/(р) — скалярная функция положительного аргумента (| а (АП| =
= 1/(р)1).
Имеем
ах dx aydy as dz —
= x dx 4- у dy +	z dz = /(P) rfp = dF (p),
Г	г	г
где /7(р)= j* /(р)^р, учитывая, что
р2 = х2 _L г2; р дГр — х dx у dy г dZ.
Таким образом, центрированные векторные поля потенциальны.
Векторными линиями векторного поля а (Л4) называются такие
кривые, которые в каждой своей точке М имеют направление век-
тора a (Af). Эти линии определяются из системы дифференциальных
уравнений
dx _dy _ dz
ах ay а%
Если С — какой-нибудь замкнутый контур в пространстве, то
векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют
поверхность, называемую векторной трубкой,
§ 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим двусторонний кусок поверхности S, кото-
рый можно разбить на конечное число частей, каждая из
которых либо изобразима уравнением вида z=f(x, у), либо
является' частью цилиндрической поверхности с образую-
щими, параллельными оси Oz.
Выберем на S определенную сторону.
78
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. It
Заметим, что не всякий кусок поверхности является двусторон-
ним. Легко дать пример односторонней поверхности. Взяв прямо-
угольник abed (рис. 11) и склеив стороны ab и cd так, чтобы d
совпало с Ь, с совпало с а, получим
поверхность с одной стороной.
Пусть /?(х, у, z)—непре-
рывная функция на куске по-
с
ь
Рис. 11.
d
а
верхности S. Разобьем его (рис. 12) на части Sit каждая из
которых либо изобразима уравнением вида z — f(x, у), либо
принадлежит цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Oz. Возьмем на каждой части точку
Gi> -»ii, Q-
Значение рассматриваемой функции в этой точке умно-
жим на взятую с определенным знаком площадь проекции
кусочка Si на плоскость Оху, причем берем знак если
выбранная сторона поверхности на кусочке Si обращена
в сторону возрастания z, и знак —, если выбранная сто-
рона поверхности на кусочке обращена в сторону
убывания z. Если Si принадлежит цилиндрической поверх-
ности с образующими, параллельными оси Oz, то вопрос
о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна нулю.
Эту площадь проекции Si на Оху с выбранным знаком
обозначим (Si)Xy. Теперь составим сумму упомянутых про-
изведений
2 R (?$» Тг> Q ($i)xy-
г
Если наибольший из диаметров кусочков Si стремится
к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу,
который называется поверхностным интегралом от R (х, у, z)
по выбранной стороне поверхности S по переменным х, у
и обозначается знаком J* £ R(x, у, z)dxdy. Аналогично
определяются поверхностные интегралы по другим парам
§ 7]	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	79
переменных (при аналогичных ограничениях, налагаемых на
S). Таким образом,
f f Р(х, у, z)dy dz — !im	(2.28)
8	г
ffQ(x, у, z)dzdx = lim	QGi- 'По Q(Si)sx, (2.29)
S	i
ff R(x,y,z) dxdy = lim £/?&, ^(S^. (2.30)
8	i
Далее вводим понятие комбинированного поверхностного
интеграла
J У Р dy dz-\-Qdz dx-\- R dx dy —
s
= f fPdydz^ I'fQdzdx-j- f f Rdxdy. (2.31)
8	8	8
Из определения поверхностного интеграла следует, что
при перемене стороны поверхности интеграл лишь меняет
свой знак; если кусок поверхности разбит на части, то
интеграл по всему куску поверхности равен сумме интег-
ралов по его частям; постоянные множители выносятся за
знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов.
Из (2.30) видно, что J*J*Rdxdy— 0, если S есть кусок
8
цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz (в этом случае проекции на плоскость Оху -выро-
ждаются в линии). Аналогично, из (2.28) и (2.29) видно, что
J*J* Pdydz = 0, если S есть кусок цилиндрической поверхности
8
с образующими, параллельными оси Ох\ J'j'Qdzdx = 0,
8
если S есть кусок цилиндрической поверхности с образую-
щими, параллельными оси Оу.
80
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
Преобразование поверхностного интеграла
в обыкновенный двойной интеграл (частные случаи)
Пусть имеем поверхность z=z(x, у). Пусть S—кусок
рассматриваемой поверхности, А—его проекция на пло-
скость Оху (рис. 13). Если на S выбрана сторона, обра-
щенная в сторону возрастания г, то (рис. 13)
S	Q) = S R Ui>	z (£j> ти)1 °г>
i	i
откуда после перехода к пределу получаем:
J* J* R(x, yt z)dx dy = J*J R [х, у, z (х, j)] dx dy.
S	A
Аналогичные формулы получаются для поверхностных
интегралов по другим парам переменных. Итак,
f f Р(х, у, z)dydz = J* J Р [x(j, г), у, z] dydz (2.32)
s	А
[где S—кусок поверхности х = х(у, z) и А—его про-
екция на Oyz];
f f Q (^, J, z) dz dx = f f Q [x, у (z, x), z] dz dx (2.33)
3	A
§ 7]	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	81
[где S — кусок поверхности y^=y(z, х) и А — его проекция
на Ozx];
J* J R(x, у, z)dx dy — J J R [х, у, z (х, у)] dx dy (2.34)
s	А
[где 5—кусок поверхности z—z(x,y) и А—его проекция
на Оху].
Заметим, что вывод формул, выражающих поверхностный ин-
теграл через обыкновенный двойной интеграл, дает одновременно
доказательство существования поверхностного интеграла, если
существование обыкновенного двойного интеграла считать известным
Преобразование поверхностного интеграла
в обыкновенный двойной интеграл (общий прием)
Пусть 5—кусок поверхности, заданный параметриче-
скими уравнениями
х — х (и, v) j
у=у(и, V) У
Z = z (и, v) J
где (и, *и) пробегает область Д на плоскости Ouv (функции,
стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными
вместе с их частными производными первого порядка).
Предположим сперва, что кусок 5 может быть пред-
ставлен уравнением z—f(x, у), где f—однозначная не-
прерывная функция, и пусть А — проекция 5 на плоскость
Оху. Тогда
z(u, v) — f[x(u, Tf), у (и, -и)].
В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном
интеграле (если соответствие между Д и А прямое, т. е.
сохраняющее направления- обходов)
[ J /?(х, у, z)dx dy = f [ R\x, у, f(x, y)]dxdy —
8	V
= [ ( R lx(u, v), y(u, v), z(u, v)]	dv. (2.34')
Эта же формула верна, если 5 окажется куском цилин-
дрической поверхности с образующими, параллельными
6 Зак. 1914 П И. Романовский
82
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
оси Oz, так как тогда обе части формулы равны нулю.
Правая часть равна нулю вследствие того, что
(*, У) — л
д (и, v)
Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например,
уравнение названной цилиндрической поверхности есть
j?—ср(х), тогда
у (и, v) =ср[x(zz, -и)],
откуда
ду f , Хдх ду f, \дх
ди У (х) ~дй’ ~ди ' dv ’
и, следовательно, в якобиане
нальны.
д U, у)
д (и, v)
строки
пропорцио-
В общем случае S можно разбить на части, подходящие
под один из рассмотренных двух типов (мы ограничиваемся
такими поверхностями S). Тогда Д разобьется на соответ-
ствующие части. Применив к каждой из частей формулу
(2.34') и складывая полученные равенства, получим фор-
мулу (2.34') для всего куска S.
Аналогичные формулы получаются для поверхностных
интегралов по другим парам переменных. Итак,
f I Р(х, у, z)dydz = [ [* Р(х, у, z)^-^dudv,
"s'	Т
( | Q(x, у, z)dzdx = [ J Q(x, у, z)^^dudv,
У	&
J J R(x, y, z')dxdy — J J R(x, y, z) j*’ du dv,
S	Д
Р Q R
дх dy dz
ди ди ди
дх ду dz
dv dv dv
откуда
| f Pdydz-\-Qdzdx-\-Rdxdy — J | [p j +
У	Д
г г
. д (г, x) . o d (x, y) I , ,
+ Q У 4 + R У ; \ dll dv =
1 d{u, v) 1 d(u, v) J
J
Д
при надлежащем выборе стороны поверхности S.
du dv
§ 8]
ФОРМУЛА ОбТРОГРАДСКОГО
S3
Пусть, в частности, имеем кусок поверхности z =/(х, у),
где х, у пробегают область А плоскости Оху. Тогда фор-
мула (2.35) дает (здесь х, у играют роль и, v)\
J Jp dydz-\-Qdzdx Rdxdy —
s
р Р Q
J о 1
А
= f f (— рР — qQ-\-R) dx dy,
A
(2.36)
где p = — , q-=.-~ и поверхностный интеграл берется по
верхней стороне поверхности.
§ 8. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл
по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области,
ограниченной этой поверхностью.
Пусть D — замкнутая область, ограниченная замкнутой
поверхностью S, а Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) — не-
прерывные функции с непрерывными частными производными
первого порядка на D.
Сперва предположим, что D ограничена снизу поверх-
ностью z =z1(x, у), сверху — поверхностью z—z2(x,y),
с боков — цилиндрической поверхностью с образующими,
параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости Оху
площадку А (рис. 14). Тогда 5 будет состоять из куска
поверхности z =zr (х, у), куска S2 поверхности z = z2 (х, у),
куска 53 цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными оси Oz. Имеем:
6*
84	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. II
где интегрирование происходит по нижней стороне Sj и по
верхней стороне S2.
Добавляя J* J* Rdxdy к правой части последнего равен-
s3
ства, мы не нарушим его, так как § § R dx dy =0; следо-
вательно,
dxdy dz — [ Rdxdy,
d	s
(2.37)
где в правой части интегрирование происходит по внешней
стороне замкнутой поверхности S.
В общем случае D можно разбить на конечное число
частей рассмотренного выше типа (мы ограничиваемся рас-
смотрением областей D, которые допускают такое раз-
биение). Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и
складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет
справедлива для рассматриваемой области (так как интегралы
по перегородкам взаимно уничтожаются).
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО	85
Меняя формулы:	роли переменных, получим еще две аналогичные [ |	\d£dxdydz =	[ \pdydz-,	(2.37') D	*	8 [ J	^~dxdydz =	f ^Qdzdx.	(2.37") D	'	8
Почленное сложение формул (2.37'), (2.37"), (2.37) дает
нам искомую формулу Остроград-
ского
j Р dy dz + Q dz dx -ф- P dx dy =
s
dP . dQ . dR\ , , ,
л—। ”5——ъ—) dx dy dz,
dx 1 dy 1 dz)	’
(2.38)
где D — ограниченная замкнутая	Рис- 15.
область в пространстве (рис. 15),
5—замкнутая поверхность, ограничивающая D, и Р, Q,
Р— функции, непрерывные вместе с их частными про-
изводными первого порядка на D, причем в лёвой части
формулы интегрирование происходит по внешней стороне
поверхности S.
§ 9. ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Поверхностный интеграл от вектор-функции
Пусть а (М)— непрерывная вектор-функция на двусто-
роннем куске поверхности S. При этом предполагается,
что S имеет в каждой точке касательную плоскость, на-
правление которой непрерывно зависит от точки поверхности
(или же кусок 5 может быть разбит на конечное число
таких частей). Выберем на S какую-нибудь сторону (рис. 16).
Разобьем S на части; пусть площади этих частей будут
На каждой части возьмем точку и построим вектор
направленный по нормали в точке к выбранной
86
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЙОЛЙ
[ГЛ. Н
стороне поверхности и имеющий длину =S$. Затем зна-
чение вектор-функции в точке скалярно умножим на щ
и составим сумму таких скалярных произведений
2a(N{)«i.
Если наибольший из диаметров частей рассматриваемого
куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стре-
мится к определенному пределу, кото-
Z77/ рый называется поверхностным инте-
/ гралом от а(М) по выбранной сто-
р	роне поверхности S и обозначается
\	знаком JJa(M)dm (здесь dm есть
«ориентированный элемент поверх-
ности»).
Рис. 16.	Поверхностный интеграл от век-
тор-функции легко выражается через
обыкновенный поверхностный интеграл. Зададим систему
координат. Пусть Q — координаты тогда
zEj # (А^г) S Gi» ^г) (^г)я? Н“
i	i
~~F &у	'Пг» Q) (^г)г/ 4“ &Z Gi» *Лг» ^i) (^i)zl •
Но («;)ж,	(щ)2 с точностью до бесконечно малых
высшего порядка равны соответственно (Sj)^, (ЗДЖ, (ЗД^;
поэтому
lim 5 a (Ni) 1Ц = lim S [ах (^, 7)i( Q (5{)уг +
г	г
“F &у Gi>	($i)zx “Т~ &z (^»	^г) (*^г)ггг/1
ИЛИ
J J* а(7И)бйо= j* J* axdy dz-\- aydz dx~\~azdx dy.	(2.39)
s	's
Одновременно мы получаем доказательство существования по-
верхностного интеграла от вектор-функции, считая, что существо-
вание обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано.
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО 87
Пусть а(М) — векторное поле и S — кусок поверхности.
Если это векторное поле рассматривать как поле скоростей
потока жидкости, то через элементарную площадку
(рис. 17) в единицу времени выте-
чет столб жидкости, объем кото-	/ГЛ
рого есть	/
S^a (N i)ni =	/*	—~~
= | tii 11 a (Ni) | cos [п^а = Vs'
= а(Л^)в4.	\	\
Следовательно, I I а (М) d<$ есть
JSJ	Рис. 17.
количество жидкости, протекающей
через поверхность S в единицу времени. По этой причине
поверхностный интеграл J* j* a(7W)d<o называется потоком
s
векторного поля через поверхность S.
Дивергенция векторного поля и векторная запись
формулы Остроградского
Если S есть замкнутая поверхность, ограничивающая
область D, то в силу (2.39) и (2.38) (интегрируя по внеш-
ней стороне поверхности) получим:
J [а (Л4) du | axdy dz-\- aydzdx~\~azdxdy =
8	8 ’
Г Г Г tdax да„ daz\
= J I J Ы + эу + -я)^^'гг- <2'39 >
D
Определение. Дивергенцией векторного поля а (Л4)
дах . &ау . ^az
в точке (х, у, z) называется скаляр -ч---Е’а—г	» обо“
(У •Л'	у	\J £
значаемый символом diva. Таким образом,
dlva=^
дау да2
ду ’ дг
(2.40)
88
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
Вставляя этот символ в формулу (2.39')> получим:
J J = J j* J divad-u. (2.41)
s	D
Эта формула, являющаяся векторной записью формулы
Остроградского, показывает, что поток векторного поля
через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от
дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверх-
ностью.
Точки, в которых дивергенция положительна, называются
источниками (в этом случае поток векторного поля через
малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку,
положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна,
называются стоками (в этом случае поток векторного поля
через малую замкнутую поверхность, окружающую такую
точку, отрицателен).
Инвариантное определение дивергенции
Формула Остроградского позволяет дать инвариантное
(независимое от системы координат) определение дивергенции
векторного поля. С помощью теоремы о среднем для трой-
ных интегралов находим:
Р Р а (М) dt)
div а = lim —----------,	(2.42)
где S — бесконечно малая поверхность, окружающая данную
точку, V—объем области, ограниченной этой поверх-
ностью.
Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-
нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку
векторного поля через бесконечно малую замкнутую по-
верхность, окружающую данную точку.
Формальные свойства дивергенции
Пусть а и b — векторные поля, ср — скалярное поле.
Тогда
div (а 4~ b)= div а-\- div 6;	(2.43)
div (сра) = ср div а 4~ grad ера.	(2.44)
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО	89
В самом деле,
d iv«, + го _	+... =	.
•=(??+•) + (??+ •Hiva + divZ,;
+(jj».+ ...) = ? div о-J-grades.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать
второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получаю-
щиеся из него заменой х на у и z.
Соленоидальные векторные поля
Векторное поле а, для которого тождественно div а = О,
называется соленоидальным.
Из (2.41) следует, что в случае соленоидального век-
торного поля, поток векторного поля через всякую замкну-
тую поверхность равен нулю.
Если взять векторную трубку
(рис. 18), провести два сечения ее
и S2 и принять во внимание, что
поток через боковую стенку всегда
равен нулю, то приходим к такому
заключению:
Если векторное поле соленои-
дально, то потоки -векторного поля
через различные сечения векторной
трубки равны между собой.
Пример. Рассмотрим какое-нибудь
пример в конце § 6) а (Л4) = ср (р) г, где
div (<f (р) г) = Д (V (р) г)х + ... = Д (<р (?) х) + ... =
= [?' (Р) у + 9 (р)] + • • • = Р'/ (р) + 3? (Р).
Отсюда заключаем, что центрированное поле ср (р) г соленои-
дально только тогда, когда функция ср (р) удовлетворяет дифферен-
Рис. 18.
центрированное поле (см.
? (р) =	• Тогда
90
обновы ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
циальному уравнению
р/ (р) + з? (Р) = о.
п	ч' (р)	3
Разделив переменные, получим	,
откуда In ср (р) =
= — 3 In р + In с; ? (р) =	, следовательно, /(р) =	• Таким обра-
Р	Р
зом, центрированное векторное поле будет соленоидально только
в том случае, когда длины векторов этого поля обратно пропорцио-
нальны квадратам расстояний точек приложения от центра.
§ 10. ФОРМУЛА СТОКСА
Эта формула преобразовывает криволинейный интеграл
вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный
интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую.
Пусть 5—кусок поверхности, имеющий в каждой точке
касательную плоскость, направление которой непрерывно
зависит от точки поверхности, или могущий быть разбитым
на конечное число таких частей. Замкнутая кривая С, огра-
ничивающая S, предполагается имеющей в к-аждой точке
касательную, направление которой непрерывно зависит от
точки кривой (или же С состоит из конечного числа дуг,
удовлетворяющих этому требованию). Пусть Р(х, у, г),
Q(x, у, z), R(x, у, z)— непрерывные функции, имеющие
непрерывные частные производные во всех точках поверх-
ности 5 (и точках, достаточно близких к S).
Пусть сперва кусок поверхности 5 может быть пред-
ставлен уравнением z =f(x, у). Пусть А — проекция S на
плоскость Оху, Г—проекция С на плоскость Оху (рис. 19).
Если
х = x(t)t 1
у =>(<). /
— параметрические уравнения Г (пусть возрастанию t отве-
чает обход Г в положительном направлении), то
х — x(t), |
J tv
z = z(t), J
§ 10]
ФОРМУЛА СТОКСА
91
где z(t) =/[x(Z), j/(Z)] будут параметрическими урав-
нениями С.
Полагая ~=р, = q и используя правило преобразо-
вания криволинейного интеграла в простой интеграл, можем
написать:
р	*а
§Pdx+Qdy+Rdz = [	+
С	ii
- J [p^+(?s+/?^+^)k==
tl
tz
= J [(P+^)g+(Q+^)^]^ =
= j(P + pR)dx+ (Q+qR)dy,	(2.45')
Г
причем в последнем интеграле Р, Q, R следует понимать как
Р\х, у, f(x, у)\, Q[X, у, f(x, у)}, R[x, у, f(x, >)],
е. как функции двух переменных х, у.
92
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
Формула Грина, преобразовывающая криволинейный ин-
теграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по об-
ласти, ограниченной этим контуром, дает:
$(P-+pR)dx + (Q + qR)dy =
= f / l(Q + ^);~(P + pfyldxdy, (2.45")
A
но (используем формулу полной производной и полагаем
дх ду '
/г> i nV dP I др I n I (dR I dR Л
(P + pR)y =	q 4- sfl + p	qj,
откуда
(Q + qR)'x -(P + p/?); =
- -йу-й>-(я -£)''+(я -£)
Из равенств (2.45z), (2.45"), (2.45"') и формулы (2.36) (см.
конец § 7) получаем искомую формулу Стокса:
$ Pdx-[-Qdy-]-Rdz =
С
(2.45)
где направление обхода контура С берется положительным
для выбранной стороны поверхности. Но эта формула до-
казана пока лишь для куска поверхности специального вида.
Меняя роли переменных, получим формулу (2.45) также
для поверхностей S, изобразимых уравнением вида х = f(y, z)
или уравнением вида у = /(г, х). В общем случае разобьем S
на конечное число частей, каждая из которых изобразима
либо уравнением вида x = f(y, г), либо уравнением вида
у = f(z, х), либо уравнением вида z~ f(x, у) (мы ограни-
чиваемся поверхностями S, которые могут быть разбиты та-
ким образом). Применяя к каждой части формулу (2.45) и
складывая полученные равенства (при этом интегралы по
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА
93
§ И]
перегородкам взаимно уничтожатся), докажем справедли-
вость формулы (2.45) для рассматриваемого куска поверх-
ности. Теперь формула Стокса (2.45) доказана в общем виде.
§11. ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА.
ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть а (Л4)—векторное поле, S—кусок поверхности,
С—контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26) и
(2.45):
$ a (Al) dr = $ ах dx 4- ау dy -\-azdz =
s
+&-^)dxdy]- (2-46/)
Определение. Вихрем векторного поля а(М) в точке
х, j, z называется вектор
. tdaz	&ау\	. l^ax	daz\ .	(дау	д&х\
1 \ ду	дх )	\ дх	дх )'	\ дх	ду / ’
обозначаемый знаком rot а (а также символом curl а).
Из формулы (2.39) находим:
f Г	дау\ . . . (дах ^az\ . . .
J .1	~dz')dydz + \d7~ dx)dzdx~^~
s
— (rot a)x dy dz + (rot a)y dz dx 4~ (rot a)z dx dy =
* s’
== f f rot a dts). (2.46zz)
s
Из (2.46z) и (2.46zz) находим:
£ a(M)dr= f f rotaJto,	(2.46)
94
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
причем направление обхода контура С берется положитель-
ным для выбранной стороны поверхности S. Формула (2.46)
является векторной записью формулы Стокса и показывает,
что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура
равна потоку вихря через поверхность, натянутую на этот
контур.
Инвариантное определение вихря
Применяя формулу Стокса к бесконечно малой площадке,
содержащей рассматриваемую точку, получим следующую
инвариантную (независимую от координатной системы) хаг
рактеристику вихря.
Проекция вихря на какое-нибудь направление равна от-
несенной к единице площади циркуляции векторного поля
вдоль контура бесконечно малой площадки, содержащей
рассматриваемую точку и перпендикулярной к выбранному
направлению.
Безвихревые векторные поля
Векторное поле а(М) называется безвихревым, если
имеем тождественно rota=0.
Из определения вихря видно, что для этого необходимо
и достаточно, чтобы
даг дау	дах das	дау дах
ду dz ’ dz дх ’ дх ду
Но эти условия [см. формулы (2.27) в § 6], как мы знаем, необ-
ходимы и достаточны для потенциальности векторного поля.
Итак, для того чтобы векторное поле было безвихревым,
необходимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным.
Таким образом, понятие безвихревого векторного поля
эквивалентно понятию потенциального векторного поля.
Так как поле градиентов какого-нибудь скалярного поля ср
потенциально, то получаем тождество
rot grad ср =0.	(2-47)
Соленоидальность поля вихрей
Пусть а(М)— какое-нибудь векторное поле; тогда его
вихри образуют некоторое векторное поле rota. Это есть
поле вихрей данного векторного поля. Поле вихрей всегда
§ 11]	ВЕКТОРНАЯ запись формулы стокса	95
соленоидально. В самом деле,
div rot а = (rot а}х + ~ (rot a)v + (rot a)z =
d (dag дау\ । д (dax dag\ f д (дау dax\
дх\ду dz dy\ dz dx )' dz\ dx dy )
_ d'K dx dy Итак,	dudy	d^cix	d2ag	d^dy	d-Wa* dx dz ' dy dz dx dy * dx dz dy dz div rot a =0.	(2.48)
Формальные свойства вихря
Пусть а и b — векторные поля, ср — скалярное поле.
Тогда
rot («-)-&) = rot а + rot ft;	(2.49)
rot(cpa) = ср rot a + [grad cpa],	(2.50)
В самом деле,
х/ ।	./<Иа + &Ь d(a + b)y\
rot(a + 6) = z(-^--------57—J+--'
__./д(аг + &г) d (ay + by)\	r./de* dav'
~1 \ dy	dz )	I/ \ dy dz,
= ср rot a -j- [grad cpa].
Многоточия всюду обозначают, что следует выписать
второе и третье слагаемые, получающиеся из' первого кру-
говой перестановкой по схеме
96
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. п
§ 12. ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотренные выше три операции первого порядка
grad <р, diva, rota,
переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в ска-
ляр, вектор в вектор, порождают пять операций второго
порядка:
div grad ср, rot grad ср, grad div a, div rot a, rot rot а,
из которых две тождественно нулевые [см. формулы (2.47)
и (2.48)]:
rot grad ср = 0, div rot а = 0.
Введем еще операцию второго порядка, называемую one*
ратором Лапласа, для скалярного поля ср и векторного
поля а:
d2? .
. д2а . д2а
‘"ду2дгз
1
л
Да
дх2
(2.51)
(Дер есть скаляр, Да есть вектор). Очевидно,
Да = i Даж 4" J	+ * ^az-
Имеем:
div grad <р = (grad ?)a; + (grad	(grad <р)г =
— д (^1\ । д /Д? \ I Д ... d3? I д3? । d*f _ .
дх \дх) ’ ду \ду)' dz \dz) дх2 * ду2 * dz2
Следовательно,
div grad ср = Дер.	(2.52)
Имеем:
grad div а = I (div а)+j ~(div а) + k (div а) =
. / j д*ау ( №аг \	/ д^ах ] &ау f д^аг \
— I\ dx‘* dxdy "г" дх dz) \dxdy dy3 ' ду dz)
I д2ах , d2alf d2az \
(2-53)
1 dz 1 dy dz 1 dz2 )	v
§ 13]	СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА	97
rot rot а = i	(rot а)3 — (rot a) J + ... =
, / d2^  д^ау д2аг	d^CLg»	д2ах	д*ах \ ।
1 \ дх* *” дхду ' dxdz	дх*	ду*	dz2/~*
= i div а —	+ . .. = grad div а — ка.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать вто-
рое и третье слагаемые, получающиеся из первого круго-
вой передвижкой по схеме, показанной в конце § 11. Сле-
довательно,
rot rot а = grad div а — ка.	(2.54)
§ 13. СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА
Введем символический вектор (набла)
г? • d . . д . - д
v==I^+-/dy+*dP
и при выполнении действий по правилам, установленным для
реальных скаляров и векторов, будем понимать под «произ-
д д д	z ч
ведениями» символов ду, gj на скаляр ср (.г, yt z) соот-
ветственно скаляры
dy dy dy
дх * ду * dz *
*Гогда
г7 7 • д . . д , < д X . dy , . dy . , dy ,
Vcp = [l — -U r —--X- k— Up = f_L_l_r_L|£T__. grad CP
T \ dx 1 J dy 1 dz)T dx 1 J dy 1 dz b T
(здесь в левой части стоит произведение символического
вектора на реальный скаляр);
Vo = о Й+j ъ + k	+ka^
дах дау даг
= ^+^r+77 = dlvo
7 Зак. 1944. П. И. Романовский
98
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
(здесь в левой части стоит скалярное произведение симво-
лического вектора на реальный вектор);
[—1^(/ А у А	А) (/аа; 4- jay 4- kaz)\ =
.(дая
— 1\ду
дх / 1	\дх
да^\
——) = rot а
ду)
(здесь в левой части стоит векторное произведение симво-
лического вектора на реальный вектор).
Таким образом, три операции первого порядка, grad ср,
div a, rota, могут быть единообразно записаны с помощью
символического вектора набла:
Vcp = grad ср;
Va = diva;
[Va] = rot a.
(2.55)
Тогда для операций второго порядка получим следующие
равенства:
VVcp = div grad ср = Дер;
[Wcp] = rot grad ср;
VVa — grad div a\
(2.56)
V [Va] = div rot a;
[V [Va]] = rot rot a.
§ 14. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Если каждой точке некоторой области пространства от-
несена система трех чисел (zz, v, ‘w) так, что разным точкам
отвечают разные системы (zz, v, w), то мы скажем, что в рас-
сматриваемой области пространства введены криволинейные
координаты (и, v, <w). Геометрические места точек, где
и— const, или v = const, или w = const, назовем коорди-
натными поверхностями, пересечения двух координатных
поверхностей — координатными линиями.
Введем, далее, в рассматриваемой области пространства
прямоугольные координаты х, у, z.
§14] ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 99
Тогда между прямоугольными координатами х, у, z и
криволинейными координатами и, v, точек рассматривае-
мой области пространства устанавливается взаимно одно-
значное соответствие, описываемое формулами вида
х = x(zz, v,
y=z y(ut v,
Z —Z(u, V, “W),
(2.57)
где функции, стоящие в правых частях, однозначны, а также
формулами вида
и — и (х, у, z);
v = v(x, у, z);
(2.58)
= <w (x, у, z),
где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.
Будем предполагать, что функции, стоящие в правых ча-
стях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные про-
zr д (х, У, г) *
изводные первого порядка и якобиан	не обра-
щается в нуль (тогда он сохраняет постоянный знак, будем
предполагать его положительным). При этих условиях функ-
ции, стоящие в правых частях (2.58), будут обладать та-
кими же свойствами. В случае надобности можно дополни-
тельно потребовать, чтобы функции, стоящие в правых
частях (2.57), имели частные производные порядка выше
первого.
Дифференцируя по и тождество
и [x(zz, v, w), у (и,	^), z(u, v, w)] — zz,
получим:
ди дх .. ди ду . ди dz .	/п
и +	+	<2’59)
Аналогичные формулы справедливы для v и w.
Пусть г = ix-\-jy-\- kz (i, j, k—орты). Векторы
dr dr dr	.	_ . d (x, y, z) ,
Эй’ SF’.dw’ очевиД"°- будут ненулевыми [ибо ^у¥=0].
Длины этих векторов
=	=	^ = 1^1
и I ди I v j dv | w | dw I
7*
100	ОСНОВЫ ТЕОРИИ поля	[гл. и
называются коэффициентами Ламе\ каждый из них является
функцией от и, v, <w.
Единичные векторы
__________1 dr е ______1 dr .	__ 1 дг
Си~~.Ни ди ’ ТЦ Л? ’	~ Нт dw
также являются вектор-функциями от и, v, w.
Определение. Система криволинейных координат назы-
вается ортогональной, если в каждой точке координатные
линии попарно ортогональны.
Таким образом, ортогональность системы криволинейных
координат обозначает, что в каждой точке векторы еи, ev, ew
попарно ортогональны или, что равносильно, в каждой точке
дг дг дг
попарно ортогональны векторы -г-, 3—, 3—.
r r	г ди dv dw
Если криволинейные координаты введены лишь в неко-
торой части рассматриваемой области пространства, напри-
мер в окрестности некоторой точки, то говорят о локаль-
ной системе криволинейных координат.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
Пусть — скалярное поле. Если ввести криволинейные
координаты и, v, w, то ср станет функцией переменных и,
V, ‘W.
Введем прямоугольные координаты х, у, z. Известно
(см. § 4), что
,	. ди . . ди , , ди
grad u=tT--\-j^--4-k-r-
ь	дх 1 J ду 1 dz
направлен по нормали к поверхности zz=const, и поэтому в слу -
чае ортогональных криволинейных координат grad и = hue^
где hu—некоторый скаляр; затем
дг___• dy 1 h dz_______И
ди 1 ди ди ' ди и&и'
Скалярное перемножение равенств
.ди . .ди . , ди ,
1 дх~$~ Jdy^~ kdz~hu6u'
.dx..dy]tdz rr
1 du du~^~ kdu~ ИиСи
§14] ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 101
дает [если учесть формулу (2.59)]:
1
откуда hu=-rr, следовательно, grad и . Аналогично
riv	nw
Формула градиента сложной функции (2.17) дает:
grad <р (и, v, w) = grad « + ^ grad v Ц- grad w.
Изложенное показывает, что градиент скалярного поля
в ортогональных криволинейных координатах определяется
формулой
ду ду ду
,	ди . dv . dw	/п
grad = б>„-у.—(2.60)
1Ли	nv	riw
Дивергенция в ортогональных криволинейных
координатах
Пусть а—векторное поле. Если ввести криволинейные
координаты zz, v, w, то а станет вектор-функцией перемен-
ных zz, v, м. Систему криволинейных координат будем пред-
полагать ортогональной.
Воспользуемся инвариантно-
стью определения дивергенции
(2.42) в произвольно взятой точ-
ке (zz0, vQ, -ier0), беря в качестве
замкнутой поверхности S обо-
лочку криволинейного паралле-
лепипеда D (рис. 20), ограничен-
ного поверхностями
и = zz0, v — vQ> <w = -ier0;
к = «оЧ-д«о- '" = '%+ A^o-
Aw0,
Рис. 20.
где Azz0, Дя70, Дге/0 стремятся к нулю.
Введем прямоугольные координаты, поместив начало О
в точке (zz0, vQi -ier0) и направив координатные оси по еи,
ev, ew для этой точки. Тогда (если Hv(),	—значения
102
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
коэффициентов Ламе для этой точки) имеем:
д[х, у, г)\
д (и, v, w)/0
НиО
0
о
о о
Яго о
О ^и>0

Uj+Au0 Vj + Av0 w0+&w0
У = J J J dx dj/ dz = j	j	J	du dv dw —
D	Uo	v0	w0
= Hu(sHvQHwQ Az/0 A^o Aw0 + e Azz0 At/0 AwOi
где e стремится к нулю вместе с Azz0, Дт/0, A-ier0. Затем (учи-
тывая формулу 2.35),
a do)
Vo+AVo W0 + Aw0
Vo Wo
—)
/(щ+&и0, V, w)
= (Г-Д- (a, , 4^-^l	Ди0 Дг»0 Aw0-|-
!Ld«\ dv ^J(Wo,ro>Wo)^ /oo o-r
+ e' ДиоД^Д^о,
где e' стремится к нулю вместе с Azz0, Дг/0, Aw0.
Многоточие обозначает; что следует написать еще два
слагаемых, получающихся из первого путем круговой пе-
рестановки букв по схеме
Следовательно, при стремлении Azz0, Дг/0, Aw0 к нулю
Jim
Sfad,°
s
V
Г Э / dr dr\"l
Wo)
§ 14] ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ ЮЗ
НО
\ dv dw /
Hv 0
0 Hw

и, таким образом,
(div a)0

Изложенное показывает, что дивергенция векторного поля
в ортогональных криволинейных координатах определяется
формулой
(аиН'оН‘и>) “Ь fl-.	“Н
div а =----------------------. (2.61)
liU11VliW
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах
Пусть а — векторное поле. Если ввести криволинейные
координаты zz, v, ю, то а станет вектор-функцией перемен-
ных zz, v, ‘w. Систему криволиней-
ных координат будем предполагать
ортогональной.
Воспользуемся инвариантным оп-
ределением вихря (см. § 11) в произ-
вольно взятой точке (zz0, v0, -ier0).
Пусть S— криволинейный четырех-
угольный кусок координатной по-
верхности	-ограниченный
линиями
и = UQf	V =
и = и0-^-^и0, v = vosr^vo-,
и пусть С — контур S (рис. 21).
Введем прямоугольные координаты, поместив начало О
в точке (zz0, vQ, w0) и направив координатные оси по еи,
ev, ew для этой точки.
104
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. it
Имеем:
щ+^Uq	Й)+Д^о
&adr = I (а	du-\- f	^+
g	J \ °U /('U'VvWj	J \ dv/(uQ+buQ,v,w0)
“О
Uj	Vj
+ f (a	du-}- I (a 4^-) dv—
«0+L?	pu+JVo\ ^/(u0,«,w0)
Vj + AVj
= f	—(a 4^) Idt»—
J L\ W/(M(1+4Mo, v, Wo) \	/(U, », w0)J
V(J
Wd + Aw0
f	[7	dr\	I	dr\ 1	,
— a a-)	—\a 7Г') \du=i
J	L\	Ou/(U, vQ + bvQ,	w0)	\	Ou/(U, v0, w0)J
Uj
= hs (“ £) - w(“ О,...А“» 4l,«+‘ 4“«4”»'
где e стремится к нулю вместе с Д&0, Дг/0.
Затем, если А—проекция S на плоскость Оху и у—угол
нормали с Oz, то
UQ + A Wo vo + Av0 д(х, у)
пл. s== f f^Z= f f
J J cos 7 J	J cos 7
A	wd
= HMHv0 Hu0 Дг>0 + ®'Ди0 Дг>0,
где s' стремится к нулю вместе с Azz0, Дт/0, ибо
/д (х, у)\ _I Huq О |__г, гг
\d(uf v) k — I О	м0 *0’
(cos т)0=1.
Следовательно, при стремлении Дг/0, Дг/0 к нулю
f adr	— fo—)]
1im? MM av Pa, Wii)
Ho
®	== (.^u^u ~I-	I вуНу ==
§ 14] ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 105
и аналогично а-^ = сьиНи. Таким образом (см. § 11), имеем:
[(rot а)0]г
[ ди	dv ]

и аналогичные формулы получаются для [(rot я)0]ж, [(rot а)^.
Изложенное показывает, что вихрь векторного поля
в ортогональных криволинейных координатах определяется
формулой.
(aw^w)
dw (ЯиНи) ~дй (Ли}Н^ ди	dv
ТЦнГи	HjTv
(2.62)
Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных
координатах
Пусть ср — скалярное поле. Если ввести криволинейные
координаты zz, v, w, то ср станет функцией переменных zz,
v, w. Систему криволинейных координат будем предпола-
гать ортогональной.
Согласно формуле (2.52) имеем:
Дер = div grad ср,
где Дер — оператор Лапласа, поэтому, пользуясь формулами
(2.60) и (2.61), найдем, что оператор Лапласа в ортогональ-
ных криволинейных координатах определяется формулой
д /HvHwdy\ д (HwHudy\ . д (HUHV д<?\
Дср = ди\ Ии duj'dvy Hv dv)^~dw\ Hw dw )
HUHVHW
которую, очевидно, можно переписать в виде
d2cp • d2cp d2cp
A du2 . dv2 . dw2 । dep 1 d . HVHW .
1'=T?+tf+y+»iln-V+
и	llw	и	a
+	+	(2.63х)
Hv H^ dw	* v 7
106
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. II
Векторные операции в цилиндрических координатах
Перейдем от прямоугольных координат х, у, z к ци-
линдрическим г, ср, z по формулам
z
x = rcoscp,
у = г sin ср,
z = z
Рис. 22.
(здесь г, ср, z выполняют роль zz,
v, w).
Координатными линиями будут
лучи с начальными точками на оси
Oz и перпендикулярные к Oz, ок-
ружности, лежащие в плоскостях,
перпендикулярных к Oz, с цен-
трами на оси Oz, прямые, парал-
лельные оси Oz (рис. 22).
Цилиндрическая система коор-
динат, очевидно, ортогональная.
Коэффициентами Ламе в рассматри-
ваемом случае будут:
Hr=\; H^=r; Hz=\.
Пусть f—скалярное поле, а — векторное поле. Из фор-
мул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63х) получим выражения для
градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в ци-
линдрических координатах:
df
grad/ = er^-H-eT-^- + es^-;	(2.64)
да>/р 1	dcig
diva =----|--т—------ч---ь-д -;
г 1 дг 1 г ду 1 дг
/ 1 даг да<?\ /даг дая\
rot а = ег — -з----з~+ еи-з--------s- +
г \ г ду	dz) 1 4\dg	dr / 1
/л<р ।	1 dar\
~4~ 22 I-—ч--------x— I,
1 z\r 1 dr r dy /
дГ=^ i
dr2 ' r2 d<p2 ' dz2 ' r dr*
(2.65)
(2.66)
(2.67)
§14] ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 107
Векторные операции в сферических координатах
Перейдем от прямоугольных координат х, у, z к сфе-
рическим г, ср, 6 по формулам
х —г cos 6 cos ср,
у = г cos 6 sin ср, ►
z = г sin 6
(здесь г, ср, 0 выполняют роль и,
v, w).
Координатными линиями будут
лучи, выходящие из начала, окруж-
ности, лежащие в плоскостях, пер-
пендикулярных к Oz, с центрами
на оси Oz, полуокружности с цен-
трами в начале и диаметрами на оси
Oz (рис. 23).
Сферическая система координат,
очевидно, ортогональная. Коэффи-
циентами Ламе в рассматриваемом
случае будут:
Hr=l; H?=rcosO; Н0=г.
Рис. 23.
Пусть f—скалярное поле, а — векторное поле. Из фор-
мул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63) получим выражения для
градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в сфе-
рических координатах:
К
grad/=^-W?7^ + ee —,
HiV/, _ 1 д№г) |	1 дач ,	1	d(«9cos0)
uiva—r2 дг "Г rcos e	-Г r cos 0	()9
_	/ 1 дд9 1 d(«Tcos6)^ t
ro a er cos j r cos g (Эд J i
I « f1 dar 1 d I /1 d(ra^_________
' * \ Г 00 r 0r/‘9\r dr r COS 6 0?/’
|	1 <*/ |__!_±fcos0^.
' r2dr\ dr)' r2 cos2 6 d<p3 ' r2 cos 0 d0 \	<50/
(2.68)
(2.69)
(2.70)
(2.71)
ГЛАВА III
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЯХ
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Если комплексному числу z = x-\-iy отнести точку на
плоскости с прямоугольными координатами (х, у), то между
комплексными числами и точками плоскости (назовем ее пло-
скостью комплексного переменного) установится взаимно
однозначное соответствие.
Если комплексное число z — действительное (т. е. д/ = 0,
тогда z—x), то соответствующая точка лежит на оси
абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют дей-
ствительной осью. Если комплексное число z— мнимое
(т. е. у Ф 0), то соответствующая точка лежит вне оси
абсцисс, и наоборот. Если комплексное число Z — чисто
мнимое (т. е. х = 0, у Ф 0, тогда z—iy}, то соответст-
вующая точка лежит на оси ординат, и наоборот (за ис-
ключением начала координат). Поэтому ось ординат назы-
вают мнимой осью.
Полярные координаты (г, ср) точки, изображающей рас-
сматриваемое комплексное число z (если взять полюс в на-
чале координат и направить полярную ось по оси абсцисс),
называются соответственно модулем и аргументом ком-
плексного числа z и обозначаются соответственно \z\ и
Kxgz. Очевидно, | z |	0, причем равно нулю только при
г = 0. При z Ф 0 Argz имеет бесконечно много значе-
ний, получающихся из какого-нибудь одного argz по формуле
Arg£= argz-|- 2kn (k— произвольное целое число).
При z=Q Kxgz не определен.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
109
< 1]
Формулы, связывающие прямоугольные координаты с
полярными, показывают, что
1^1 =]/х2+у,	Arg z = Arctg
,(причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все
значения арктангенса). Из х — г cos ср, у = г sin ср находим:
z = г (cos фЦ-г sin ср).	(3.1)
Выражение (3.1) называют тригонометрической формой
комплексного числа z. Обратно, если комплексное число z
записано в форме (3.1), где г, ср действительны, причем г
неотрицательно, то г будет модулем, а ср — одним из аргу-
ментов числа z.
Если каждой точке М плоскости комплексного перемен-
—►
ного отнести вектор ОМ, то появится возможность пред-
ставлять комплексные числа векторами.
Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к
сложению и вычитанию соответствующих векторов. Отсюда
следует, что для любых комплексных чисел zt и z2
I ^1 + ^2 I I Z1 1 + I Z2 Ь	(3 • 2)
откуда, по индукции, для любых комплексных чисел zv
^2> • • • , %п
I Zl~\~ Z2~\~ * • * + Zn I I Z1 1+ | Z2 14“ • • • + I Zn I* (3-2')
Из (3.2) следует, что
-l^i —	— \Z2\*	(3-3)
ибо из ,г1 = (<г1— z^)-\-z2 по (3.2) находим \zx |	— z2| +
+ |z2|,. откуда следует (3.3). Заметим, что модуль разности
двух комплексных чисел равен расстоянию между точками,
изображающими эти числа.
При умножении комплексных чисел модули перемно-
жаются, аргументы складываются. В самом деле, пользуясь
тригонометрической формой комплексных чисел, найдем:
zx =rx (cos срх -|- I sin cpj; z2 = r2 (cos cp2 -|- i sin ТгУ»
= rtr2 [(cos cpx cos cp2 — sin cpxsin cp2) J- i (cos cpt sin cp2 -|-
+ sin cp, cos cp2)] = r,r2 [cos (<рt + <p2) + i sin (<P1 + <p2)[.
110
Аналитические фУнКЦйи
(гл. ni
Отсюда следует, что при делении комплексных чисел мо-
дули делятся, аргументы вычитаются.
Из правила умножения комплексных чисел следует, что
при возведении в степень с целым положительным показа-
телем п модуль возводится в n-ю степень, аргумент умно-
жается на п. Это приводит к формуле Муавра
(cos ср + / sin cp)n =cos nep -|- / sin пер. (3.4)
Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Нью-
тона и отделяя действительную часть от мнимой, получим
формулы для косинуса и синуса кратных углов:
COS пер = COSnep — "-"j cosn-2ep sin2 ер 4~ . . .,
sin пер =ncosn“1 ер sin ср — п(п~ 2) cQgn-3^ sin3 # е в
(3.4')
Тригонометрическая форма комплексных чисел приводит
к простому правилу извлечения корней из комплексных чи-
сел. Корень n-й степени из комплексного числа z 0 имеет
п значений. Пусть
Z = г (cos ер 4- / sin ер)
есть рассматриваемое комплексное число и
w — р (cos 6 —|— Z sin 0)
есть какой-нибудь корень n-й степени из него (т. е. число,
удовлетворяющее равенству wn = ^). Тогда
pn (cos пб + i sin пб) = г (cos ер —Z sin ер),
откуда рп = г, пб = ер 4- где k — некоторое целое число.
Следовательно,
W — Г п (cos -------Р I Sin L_--\ .
Обратно, при всяком целом k последнее выражение является
корнем n-й степени из z (ибо n-я степень его равна z). Но
упомянутые выражения для двух значений k будут различ-
ными комплексными числами лишь в случае, когда эти зна-
чения k отличаются на число, не кратное п. Отсюда еле-
§ 2]	РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ	1 1 1
дует, что, давая k значения 0, 1, 2, ...» п—1, мы полу-
п___________________
чим все значения у z и, таким образом, видим, что число
п __________________________________
этих значений равно п. Все значения у z определяются фор-
мулой
У z — гп\со^^—^-----j-zsin-^—1	(3.5)
(£ = 0, 1, 2, ..., п — 1).
Соответствующие им точки лежат на одной окружности
с центром в точке 0 и делят ее на п равных частей. Сле-
довательно, точки, изображающие значения корня n-й сте-
пени из комплексного числа, являются вершинами правиль-
ного n-угольника с центром 0.
В частности, при z—1 (тогда г = 1, ср — 0) получим:
prr=cos?^-]-isin^ (Л = 0, 1, 2, n—1).	(3.5')
Пусть z = х-|-iy\ тогда комплексное число z=x— ly
называется сопряженным для z. Точки, соответствующие z
и z, симметричны относительно действительной оси. Оче-
видно, что комплексное число совпадает со своим сопря-
женным только тогда, когда оно действительное. Непосред-
ственно проверяется, что сопряженные суммы, разности,
произведения, частного равны соответственно сумме, раз-
ности, произведению, частному сопряженных, т. е.
' 2Г1 + ^2 = 2'1 + 2'2’ z± —z2 = zr —z2\ ^2 = ^2;
W г2
Заметим еще, что zz — | z |2.
§ 2. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Пусть имеем бесконечную последовательность комплекс-
ных чисел
zlt z2, zn........	(3.6)
где zn = xn-\-iyn. Число z — x-{-iy называется пределом
§?ой последовательности, если для всякого в > 0 найдется
112
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
такой номер N, что при n> N будем иметь |	- г | < е.
В этом случае пишут: zn-^z или lim zn — z. Геометрически
это означает, что для всякого круга с центром z все члены
последовательности, начиная с некоторого, лежат внутри
этого круга. Последовательность комплексных чисел не мо-
жет иметь двух пределов, следовательно, либо имеет один
предел (тогда называется сходящейся), либо не имеет пре-
дела (тогда называется расходящейся).
Для сходимости последовательности чисел zn = хп-|- iyn
необходимо и достаточно, чтобы сходились последователь-
ность чисел хп и покследовательность чисел уп.
В самом деле, если последовательность zn — xn-\-iyn схо-
дится к z = х-\-1у, то при n^>N имеем \zn—z | < е; но
тогда подавно | хп — х | < е, \уп—у\ < s и, следовательно,
хп—>х, уп—>У- Обратно, если хп->х, уп—>у, то при
п > N± имеем \хп — х | <	,
при n > N2 имеем |уп—у | <
<^=, поэтому при п^> N (где N~ наибольшее из
и N2)	__________________
I zn—z I = Y(xn — x)2 + (yn — y)2 < S,
следовательно, zn —> z.
Критерий Коши. Для сходимости последовательности
комплексных чисел zn необходимо и достаточно, чтобы для
всякого s > 0 нашелся такой номер N, что при п > N и
р > 0 имели бы
I %п+р ~	I < s*
Этот критерий может быть доказан прямым путем, но
его можно получить из критерия Коши для последователь-
ностей действительных чисел (считая, что для них он был
уже доказан). В самом деле, если для zn выполнено требо-
вание критерия Коши, то оно выполнено и для хп и уп,
так как
%п+р %п I I %п±р %п I’ I Уп+р Уп I I %п+р %п
Обратно, если требование критерия Коши выполнено для хп
и для уп, то из I zn+p — I = /(xn+jt) — хп)2 + (уп+р—ун)2
сразу усматриваем его выполнимость для z4„
§ 2]	РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ	113
Пусть имеем ряд с комплексными членами
+ оо
^ + ^2+• • •-г • • • или 5 «’я.	(3.7)
п-1
где =
Ряд (3.7) называется сходящимся, если последователь-
ность частичных сумм Sn —	. 4- wn сходится. Тогда
+ оо
ее предел S называют суммой ряда (3.7) и пишут S = 2 Чг
п — 1
В противном случае ряд (3.7) называется расходящимся.
Из доказанного выше предложения для последовательно-
стей непосредственно следует: для сходимости ряда с ком-
плексными членами 2 где = ип -|- ivn, необходимо и
достаточно, чтобы ряды с действительными членами 2 ип
И 2 Vn были сходящимися.
Из критерия Коши для последовательностей комплексных
чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов
с комплексными членами: для сходимости ряда 2 необ-
ходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 нашелся та-
кой номер N, что при n > N и р > 0 имели бы
И«+1 + ^п+2 + +^п+р\<г-
В самом деле, достаточно лишь заметить, что
$п+р $п ^п+1 Ч” ^п+2 Ч” • • • 4“ ^п+р*
Ряд с комплексными членами 2 называется абсолютно
сходящимся, если ряд 2 |	| сходится. Из критерия Коши
сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд сходится.
ДЛЯ абСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ 2 гДе ~ ип~\~ ZXz’ оче-
видно- необходима и достаточна абсолютная сходимость ря-
дов 2 ип и S vn> ибо
!Un |< 1 «’п к । «и i+1 vn I-
I I J
Если ряд 2 абсолютно сходится, то при любой пере-
становке членов факт абсолютной сходимости и величина
суммы не меняются. Это следует из последнего замечания,
8 Зак- 1944. П. И. Романовски#
114
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
если считать, что для рядов с действительными членами
теорема уже известна.
В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами
разрешается любая группировка членов- (в одну группу мо-
жет попадать как конечное, так и бесконечное число членов).
Этот факт можно установить прямым путем, но он полу-
чается как следствие, если для абсолютно сходящихся рядов
с действительными членами его считать известным.
Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами
можно почленно перемножать. Это можно доказать прямым
путем, но этот факт получается сразу, если считать его
уже установленным для рядов с действительными членами.
В самом деле, пусть 2 и S W абсолютно сходятся,
4-/^; w'n^= и'п-\-iv'n. Тогда 5 ип, ^vn, ^и’п,
2 Vrn абсолютно сходятся и затем
2 S	= (2 «* + z 5	(S «г +1S v'i) =
к l	к	к I	I
= 2«л5иг —+	«^ + 2^2»!) =
к l	к l	к l	к I
== 2 ВД — S vkv'i 4- i (2 ukvt 4- 2 Vi) =
к, l	к, l	к, l	к, I
= S [uku'i — vkv'i 4- i (ukvi + vkui)] = 2	.
к, l	к, I
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенным рядом называется ряд вида
4 со
ао+а1-г+а2г24- • • • 4-v”4- • • • или Sv”, (3-8)
п = 0
где ап — любые комплексные числа, z—комплексное пере-
менное.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для неко-
торого значения переменного, то он абсолютно сходится
для всех значений переменного с меньшим модулем.
Это значит, что если 2 anz™ сходится, | z | < | z^ |, то
2 ац2п абсолютно сходится,
бТЁПЁННЫЁ РЯДЫ
115
§ 3]
Доказательство. Так как ряд 2anzo сходится, то
его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены,
т. е. найдется такое число /С, что для всех п
\anz%\<K.
I z I
Если [ z | < | Zq |, то число q =	< 1 и
I anzn | = | anz% (^п | = |	1 (М)” < Kqn.
Но числа Kqn образуют убывающую геометрическую про-
грессию, значит, ряд ^Kqn сходится, но тогда на основа-
нии принципа сравнения рядов с неотрицательными членами
ряд 2lan2'wl сходится, следовательно, ряд ^anzn абсо-
лютно сходится, что и требовалось доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится (или неабсо-
лютно сходится) для некоторого значения переменного, то
он расходится для всех значений переменного с большим
модулем.
Это значит, что если 5 anzo расходится или неабсо-
лютно сходится, |г|>|г01> то расходится.
В самом деле, если бы ряд 2 ап?п сходился, то по тео-
реме Абеля (так как | zQ | < | z |) ряд 2 anz™ был бы абсо-
лютно сходящимся, что противоречит условию.
Область сходимости степенного ряда
Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят
от z. Те значения z, для которых рассматриваемый ряд
сходится, называются точками сходимости его; те значе-
ния г, для которых рассматриваемый ряд расходится, назы-
ваются точками расходимости его. Совокупность всех
точек сходимости называется областью .сходимости рас-
сматриваемого ряда.
Теорема Абеля позволит решить вопрос об области схо-
димости степенного ряда.
Пусть ^anzn— какой-нибудь степенной ряд. Логически
возможны следующие три случая:
1)	все положительные числа суть точки сходимости;
3*
116
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. Ш
2)	все положительные числа суть точки расходимости;
3)	существуют положительные точки сходимости и поло-
жительные точки расходимости.
В первом случае в силу теоремы Абеля данный степен-
ной ряд сходится (абсолютно) для всех значений z (так
как для любого комплексного числа z найдется положитель-
ное число большее, чем |г|). Следовательно, область схо-
димости есть вся плоскость комплексного переменного.
Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля
данный степенной ряд расходится для всех значений z=^
(так как для любого комплексного числа найдется
положительное число меньшее, чем | z |). Следовательно,
область сходимости состоит из одной точки 0.
В третьем случае найдется положительная точка сходи-
мости и положительная точка расходимости R±. Если
г 1Ч- Ri	г 1	R\
—1 есть точка сходимости, то положим r2=-J——L,
= если же 1 есть точка расходимости, то по-
ложим r2=r15 /?2 — Гх . Таким же образом, исходя
из r2, R2 введем числа г3, R3 и т. д. В результате полу-
чим неубывающую последовательность положительных точек
сходимости
'ТОгОзС--
и невозрастающую последовательность положительных точек
расходимости
/?2 ’
причем Rn — rn —	~> О* Следовательно, обе назван-
ные последовательности имеют общий предел
lim rn = lim Rn— R.
Если | z | < R, то при достаточно большом n \z\<rn
и, следовательно, в силу теоремы Абеля z есть точка схо-
димости. Если | z | > R, то при достаточно большом п
И>ЯП и, следовательно, в силу следствия из теоремы
Абеля, z есть точка расходимости. Таким образом, внутри
круга радиуса R с центром 0 ряд сходится (абсолютно),
§ 3]
Степенные ряды
117
вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих
на окружности, остается открытым. Область сходимости
степенного ряда есть, таким образом, круг радиуса /?
с центром 0 (точнее, внутренность этого круга плюс, быть
может, некоторое множество точек окружности). Этот круг
называется кругом сходимости. Радиус его называется
радиусом сходимости.
В первом и втором случаях следует считать соответ-
ственно R— оо и /3=0 (круг сходимости соответственно
обращается во всю плоскость или вырождается в точку).
Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд
абсолютно сходится.
Если в некоторой точке на окружности круга сходи-
мости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится
абсолютно во всех точках окружности круга сходимости
(ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой
окружности соответственно одинаковы).
Если в некоторой точке на окружности круга сходи-
мости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо рас-
ходится, то в каждой точке этой окружности он либо неаб-
солютно сходится, либо расходится.
Рассмотрим теперь ряд
+оо
*о+4+^+.	или 2^.	(3.8')
П-0
в степенной ряд
ri	г 1
Полагая , превратим этот ряд
оо
с некоторым радиусом сходимости р. Тогда при
о
|С| < р ряд сходится, при | £| > р расходится. Следовательно,
ряд (3.8') при | z | > у сходится, при | z | < у расходится.
Полагая г=-Ь, найдем, что область сходимости ряда (3.8')
есть «внешность» круга (рис. 24) радиуса г с центром 0
(точнее, внешность этого круга, плюс, быть может, неко-
торое множество точек окружности). Сходимость ряда (3.8')
во всех точках вне упомянутого круга —абсолютная.
118
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. П1
Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны,
• • • + ^ + •. •	+ + + + ... +
+ anz»4-...	(3.8")
ИЛИ
+ оо
— оо
Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся,
если сходится ряд, составленный из членов, лежащих пра-
вее некоторого члена, и ряд, составленный из членов, ле-
жащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности
указывать номер этого некоторого члена, так как при дру-
гом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное
число членов и, следовательно, их поведение не изменится).
Таким образом, ряд (3.8") сходится тогда и только тогда,
когда одновременно сходятся оба ряда
+ оо
а^-[-axza2z2.. 4~ апгПЛ~ • • • или 2 anzn'>
п=о
CL — \	I ^ — 2
z г2
zn
a n 4- . . . или У ( или У anzn
n=l	—oo
Область сходимости первого из этих рядов есть вну-
тренность некоторого круга радиуса /? с центром 0. Область
сходимости второго ряда есть внешность некоторого круга
радиуса г с центром 0. Если г < R, то общая часть упо-
мянутых областей сходимости есть кольцо с центром 0
(рис. 25). В этом случае область сходимости ряда (3.8")
§ 3]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
119
есть кольцо, ограниченное двумя окружностями с центром О
(плюс, быть может, некоторое множество точек, лежащих
на ограничивающих окружностях). Это кольцо называется
кольцом сходимости ряда (3.8"). Внутри кольца сходимости
сходимость ряда (3.8") — абсолютная. Если г > R, то ряд
(3.8") не имеет точек сходимости, если r = R, то ряд (3.8")
может иметь точки сходимости только на окружности ра-
диуса r= R.
Рассмотрим степенной ряд
А+А(г—«)+А(г—а)2 + • • • +
+ оо
4-Л„(г— а)и+ . .. или An(z — a)n. (3.8W)
П = 0
Полагая С = — а, превратим этот ряд в ряд	с не"
о
R. Возвращаясь к перемен-
сходимости
которым радиусом
ному z, найдем, что область
сходимости ряда (3.8"') есть
круг (рис. 26) радиуса R
с центром а (точнее, вну-
тренность этого круга плюс,
быть может, некоторое мно-
жество точек окружности).
Этот круг называется кру-
гом сходимости ряда
(3.8"'), его радиус—радиусом сходимости (при /? = 4“ оо
получаем всю плоскость, при R = 0 круг вырождается в точ-
ку а). Внутри круга сходимость ряда (3.8"')—абсолютная.
Рассмотрим ряд
Рис. 27.
Рис. 26.
+ (АнГ»+•   + А, + ',» + л><2-°>+  •
+ оо
• • • + А(2 —а)”+. • • или ^An(z — а)п. (3.8"")
— ОО
+ оо
Полагая £==z— а, превратим этот ряд в ряд ^AnZn. Если
— оо
он имеет кольцо сходимости г < | С| < R, то область
сходимости ряда (3.8"") будет кольцом, ограниченным
120
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
окружностями радиусов г и R с центром а (рис. 27). Это
кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.8""). Вну-
три этого кольца сходимость ряда (3.8'"') — абсолютная.
§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Для любого комплексного числа z определим функции
ez, chzf shzf cos г, sin г
как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти
функции, когда переменное z было действительным. Так как
соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей
числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут
сходиться на всей плоскости комплексного переменного.
Таким образом, полагаем по определению для любого ком-
плексного z\
+ оо
<’’=1+z+S+J+<3-9>
с^=‘+я+г+--- = 2(й;	<3-10>
п = 0
+ оо
,	, г3 , z5 ।	\? z2n+l	,о
shz — z-|-3! +5, -I--Х(2/г + 1)!;
п = О
2*2	ЖГ'Ч	э'Зм
со5г=1_|г + |г_...==2(-1)»^; (3.12)
п = 0
г3 г5	22П4-1
sin г зг + §г	!)п (2„ i)i • (3-13)
п = 0
Из этого определения видно, что для действительных зна-
чений z эти функции получают уже известные значения.
Затем видно, что chz, cos г — четные [т. е. обладающие
свойством /(— z)—f(z)], shz, sinz — нечетные [т. е. обла-
гающие свойством /(— г) = —/(г)].
§ 4] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 121
Формулы Эйлера
При любом комплексном z в силу (3.9), (3.12), (3.13) имеем
= 1 +/г + ^ + ¥ + ¥ + ¥+ • • • =
= 1 + ^-2Т-4 + 47 + ^-...=
1 —
Z---
(3.14)
= cos z-{- i sin z,
учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима
любая группировка членов.
Таким образом, получаем формулу Эйлера
eiz — cos z-\-i sin z.
Заменяя z на —z, получим:
e~iz = cos z— i sin 2.
Почленное сложение и вычитание двух последних ра-.
венств дает:
eiz-\- e~iz — 2 cos «г;
откуда
г’г	gig__e~ils
cos z =----; sin z =----------— .
2	’	2i
Эти формулы также называются формулами Эйлера.
С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрическая
форма комплексного числа (3.1) принимает вид
z = ге^,
где г — модуль Z, ср— аргумент z.
Выражение (3.15) называется показательной формой
комплексного числа z.
eiz--e~iz= Zisinz,
(3.14';
(3.15)
Связь между показательной и гиперболическими
функциями
Имеем при любом комплексном z в силу (3.9), (3.10), (3.11):
„ if । z* । г3 । г4 । г5 ,
^ = 14-2 4-—4-—4-—. __
s=(1 + ff + lr+ •••)+(г+зт+1г+ • • •) = ch^4-sh^.
122
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Заменяя z на —z, получим:
=	—sh^.
Почленное сложение и вычитание двух последних ра-
венств дает:
ez-\- е~г = 2 ch Z', ez— e~z =2 sh z,
откуда
, ez-\-e~z . ez— e~z
ch z = —; sh£ = —£—.	(3.16)
Связь между тригонометрическими и гиперболическими
функциями
Из (3.10), (3.12) следует:
. .	. . Z2z2 . Z4z4 .	1 г2 . г4 .
chL?= 1 + “2p + -4f 4" • • • — 1 —2Г~1“4Г“Ь * * * — cosz
и аналогично
cos/г = ch z.
Из (3.11), (3.13) следует:
shiz^=iz + ^-i-~--]- ... = i(z—+	••• .) = /sinz
О! О!	\ О! О!	/
и аналогично
sin iz = i sh z.
Таким образом,
chZz=cos£, cosz\z = ch£; ]
u...................................u	(3.17)
shz^=zsin^, sin iz = i sh z. J
Формулы (3.17) также непосредственно получаются из
(3.149 и (3.16).
Теорема сложения для показательной функции
Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходя-
щихся рядов:
к = 0	1=0
к I +°°	к 1	+°°
2л k\l\ — Za Za kill ~ ZAn\ Za k\l\ 12-
к, I	n=0 fc+Z=n	n-0 k+l=n
§ 4] ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 123
Но
п	п
?к	ъкъ>п — Тс .	(''ТсрТс/чП—к —
kill *1г2— Z4k\{n—k)\ 1 2	— ^ П12	~
к + 1=п	к = 0	к = О
= (*l + *2)”
(формула бинома Ньютона).
Следовательно,
4-оо
ег, ега —	2.	4- Z2)n ~ esi+«».
П = 0
Таким образом, доказана теорема сложения для показатель-
ной функции:
— ег1ега	(3.18)
Отсюда видно, что показательная функция е* нигде
в нуль не обращается. В самом деле, если бы = 0, то
для любого z ez — eZiez~z* = 0^"г1 = 0, но это нелепо, так
как eQ — 1.
Теоремы сложения для тригонометрических функций
Учитывая (3.14х), (3.18), (3.14), получаем:
/(^4-^) I р-И^ + га)	eis>eiz* 4-
cos (гх 4- z2) --------4----------=-----—4------------=
(cos z^i sin2i) (cos 224-/sinz2)+(cos Zi— / sin2i)(cos22—/sin2^,)
= cos 2t cos z2 — sin 2t sin 22;
J (31+?S)_p-i (244-22)	-iz.,
sin + z2) =------------------------------------------=
__ (cos 214-/ sin г1) (cos 224-/ sin 22)—(COS 2±—I Sin 21) (COS 22—/ Sin 22)
—	21	‘	—
= sin 2t cos z2 -j- cos z± sin z2.
Таким образом, доказаны теоремы сложения для косинуса
и синуса:
cos (2i -4- z9) == cos z. cos z9 — sin zA sin z9\ 1
• / 1 \	,	•	(зд9)
Sin(2i4-Zg)t==^n^1C0S224-C0S21Sin22. J
124
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
Теоремы сложения для гиперболических функций
Из (3.17) и (3.19) находим:
ch (^ -f- z2) = cos i (^ -j- z2) = cos iz± cos lz2 —
— sin iz± sin iz2 = ch zt ch z2 — i sh zt i sh z2 =
= ch zA ch z9 + sh zA sh z9\
sh (г -\~Z ) = 8|п/(г1 + г2)  sm tzx cos гга+cos sin iz2 = v
i sh zx ch Z2 + ch Zi Z sh z2 .	,	.	,	.
= ——1i---------------- = sh zt ch z2 + ch zx sh z2.
Периодичность
Показательная функция ег имеет период 2^/. В самом деле,
^г+2тсг — ^^2тсг _ ez (cOS 2к / sin 2к) = ez.
Отсюда следует, что ch г, sh^ (как выражающиеся че-
рез ez) имеют также период 2тп.
Далее, функция eiz имеет период 2к, так как
(s-J-2tc) -	+ 2тс1 —.
следовательно, cos г, sin z (как выражающиеся через eiz)
имеют также период 2к.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Логарифмы комплексных чисел
Число w называется логарифмом комплексного числа z
(по основанию е), если ew — z. Всякое значение логарифма
числа z обозначим знаком Ln z. Пусть z=^§ (нуль, оче-
видно, не имеет логарифма, так как показательная функ-
ция в нуль не обращается). Пользуясь показательной фор-
мой данного числа z, z = re^ (г — модуль, у — аргумент)
и алгебраической формой искомого числа w, w = zz-|-Zv,
получим требование
eu+iv rev? или eueiv — ге*ч,
§ 5]	НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	125
откуда eu — r, v = у (k— целое число) й, следова-
тельно,
w = In г —Z (ср —2/етт).
Обратно, при всяком целом k последнее выражение, как
непосредственно видно, есть значение логарифма числа z.
Таким образом, Ln z, где z=f=^ имеет бесконечно много
значений, причем все они получаются по формуле
Ln z — In г + I (?+ 2feir)	(3.21)
(k— произвольное целое число) или
Ln z = In | z | -\-l krgz.	(3.2Г)
Отсюда видно, что все значения Ln г получаются из какого-
нибудь одного (Ln z)Q по формуле
Ln z = (Ln ,г)0+ 2kiu	(3.21")
(k— произвольное целое число).
Легко видеть, что обычные правила логарифмирования
остаются в силе.
Степени с комплексными основаниями и комплексными
показателями
Пусть А и В — любые комплексные числа (где А Ф 0).
Полагают по определению
Аъ == ев Ln
Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бес-
конечно много значений (так как Ln А имеет бесконечно
много значений). В случае-, когда В есть действительное
целое число, значения показателя В Ln И правой части отли-
чаются между собой на кратные от 2ш, и,‘ следовательно,
А имеет в этом случае одно значение.
Пример,
ё = ? Ln i = е'* (i+2Z”t) = О
(k— любое целое).
126
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Обратные тригонометрические функции
Пусть z — какое-нибудь комплексное число. По опре-
делению Arcsine есть любое комплексное число w такое,
что sinw=^. Следовательно, приходим к уравнению
eiw — (>—iw
2l~~ ~ Z
или
e2iw— 2izeiw— 1=0,
решая которое, получим:
eiw = lz У1 — z2\
w = у Ln (iz + У1 — z2).
Таким образом, все значения арксинуса даются формулой
Arcsine = у Ln (z^ + У 1 —<г2).	(3.22)
Многозначность этой функции происходит от двух причин:
двузначности квадратного корня, бесконечнозначности лога-
рифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех значений z,
ибо выражение, стоящее под знаком логарифма, всегда от-
лично от нуля.
Далее, Arccosz есть любое комплексное число w такое,
что cosw = £, следовательно, получаем уравнение
giw q—iw
2 =Z
ИЛИ
e2iw— 2zeiw-\- 1=0,
откуда
eiw — z	у z2  1.
w = y Ln (z-\-Y z2— 1).
Таким образом, все значения арккосинуса даются формулой
Arccosz = у Ln (z-J-Уz2— 1).	(3.23)
Многозначность этой функции происходит от двух при-
чин: двузначности квадратного корня и бесконечнозначности
некоторый многозначные функции
127
§ 5]
логарифма. Равенство (3.23) имеет смысл для всех значе-
ний z, так как выражение, стоящее под знаком логарифма,
имеет смысл для всех значений z и так как это выражение
всегда отлично от нуля.
Рассмотрим еще Arctg^, определяемый как любое такое
число w, что tgw=<z. Имеем:
giw__g—iw
-------------Z
I -j- e~iw)
или
filW _ 1
flw + 1 = iZi
следовательно,
e2iw — JLiJf — 1 z -
1 — iz I -\-z'
1 T i — z
W==2/Ln7+^-
Таким образом,
Arctgz=^Ln^.	(3.24)
Многозначность этой функции происходит от многознач-
ности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при z =zt z.
Обратные гиперболические функции
По определению Arsh z есть любое такое комплексное
число w, что shw = z. Имеем:
ew_—e-w ___
-	- — z
или
— 2zew— 1 =-0,
откуда
ew —	z2-\- Г,
w = Ln(^-|~yr^2+ 1)-
Таким образом,
Arsh z =Ln (г-)-]/\г2-|- 1).	(3.25)
128
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ц1
Далее, Arch г есть любое такое w, что chw = ^. Тогда
—т—
e2w — 2zew+ 1 =0;
ew ~ z-\~yz2 — 1;
w = Ln (z + У z2— 1),
следовательно,
Arch z = Ln + У z2— 0*	(3.26)
Затем, Arthz есть по определению любое такое w, что
th w =z. Тогда
ew — e-w
-------= z\
e2w _ 1 __
^2W + 1 — Z"'
e “1-г’
Следовательно,
Arth£ = 4-Ln|-±£.	(3.27)
2	1 —г	'
Это выражение теряет смысл при z — dzl.
В теории аналитических функций многозначные функции целе-
сообразно рассматривать как однозначные на некоторых многолистных
поверхностях (так называемых римановых поверхностях). Не имея
возможности привести здесь какое бы то ни было общее определение
этих поверхностей, ограничимся примерами наглядного построения
п
этих поверхностей для простейших многозначных функций У г, Ln z.
Рассмотрим п экземпляров плоскости комплексного перемен-
ного z (которые занумеруем числами 1,2, ... п), разрезанных по
положительной части действительной оси, и склеим их следующим
образом: нижний край разреза первого экземпляра склеивается
с верхним краем разреза второго экземпляра, нижний край разреза
второго экземпляра — с верхним краем разреза третьего экземпляра
и т. д., нижний край разреза (п— 1)-го экземпляра — с верхним
краем разреза тг-го экземпляра, наконец, нижний край разреза тг-го
экземпляра — с верхним краем разреза первого экземпляра (послед-
нее склеивание невозможно сделать без пересечений). В результате
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 129
получится zz-листная поверхность с точкой разветвления над 0. Опи-
сывая простой замкнутый контур, охватывающий точку 0, мы после
каждого обхода будем попадать на следующий лист и после п
обходов придем в первоначальное положение, п-значную функ-
цию У z на обычной плоскости комплексного переменного можно
рассматривать как однозначную на построенной n-листной поверх-
п
ности. Это будет риманова поверхность для У г.
Рассмотрим теперь бесконечное множество экземпляров плос-
кости комплексного переменного (пронумерованных с помощью
всех целых чисел =0) с разрезами по положительной части действи-
тельной оси. Для каждого целого п склеим нижний край n-го экзем-
пляра с верхним краем (п Д- 1)-го экземпляра. В результате полу-
чим бесконечнолистную поверхность. Обходя замкнутый контур,
охватывающий точку 0, в любом направлении любое число раз, мы
будем всякий раз попадать на новые листы и никогда не вернемся
в первоначальное положение. Бесконечнозначную функцию Arg z
на обычной плоскости комплексного переменного можно рассматри-
вать как однозначную на построенной бесконечнолистной поверх-
ности. Тогда на этой же поверхности Ln z можно рассматривать
как однозначную функцию (эта поверхность является римановой
поверхностью для Ln г).
§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Производная комплексной функции действительного
переменного
Пусть z(0 =х(0 + ^у (0 — комплексная функция дей-
ствительного переменного t.
Эта функция называется непрерывной в точке /, если
для всякого s > 0 найдется такое т] > 0, что при | А/1 < т]
имеем \z(t kt) — z (t) | < г. Для непрерывности z (t)
в точке t необходима . и -достаточна непрерывность функ-
ций х(0 и y(t) в точке t.
Производная от z(t) в точке t есть .по определению
.. Дг
lim -т-г,
дг->о
если он существует, и обозначается — или zr (t). Из опре-
деления следует, что для существования необходимо и
9 Зак. 1944. П. И. Романовский
130
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. ш
dx dy
достаточно существование — и , причем
dz___dx i . dy
~di~~~di\ l~dt'
Определение производной функции комплексного
переменного
Пусть w=/(z)— функция комплексного переменного «г.
Эта функция называется непрерывной в точке z, если
для всякого е>0 найдется такое т] > 0, что при | Kz | < т]
(если z-\-Lz входит в область определения функции) имеем
| Aw | < е.
Производная от w = f(z) в точке z (функция предпо-
лагается определенной в окрестности этой точки) есть по
определению
lim
Дг -> 0
= !im
Дг дг>о Дг
если он существует, и обозначается или f (г).
Для существования производной в точке z необходима
непрерывность функции в этой точке.
Далее, будем говорить, что функция дифференцируема
в точке z, если из приращения функции в этой точке
/(г + Дг) — j\z)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая
часть вида С &z (где С — некоторое комплексное число), что
оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка
относительно Az. Таким образом. f(z) дифференцируема
в точке z, если существует представление
f(z 4- kz) — f(z) — С Az 4~ у (Az) Az,
где у (Az) -> 0 при Az -> 0.
• Отсюда следует, что
/(г + АДг)'~/(г) = С + Т	С’
а это значит, что в рассматриваемой точке /(z) имеет
производную f'(z)=C.
§ б] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 131
Обратно, если функция /(г) имеет производную в рас-
сматриваемой точке, то
где у (Дг) 0 при А^-^0, откуда
/ (г + Дг) — /(г) = f (г) Дг + у (Аг) Аг,
и, следовательно, в рассматриваемой точке функция /(г)
дифференцируема.
Таким образом, существование производной и дифферен-
цируемость в точке — явления эквивалентные.
Напоминание о полном дифференциале функции двух
действительных переменных
Функция и (х, у) называется дифференцируемой, или имеющей
полный дифференциал в данной точке х, у (функция предпола-
гается определенной в окрестности этой точки), если из полного
приращения функции в этой точке
и (х + Дх, у 4- Ду) — и (х, у)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть
вида А кх -|- В ку (где А и В — некоторые числа), что оставшаяся
часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно
У Дх2 4~ Ду2- Таким образом, и (х, у) дифференцируема в точке (х, у)»
если существует представление
« (х ф Дх, у 4- Ду) — и (х, у) =
= Л Дх 4- В Ду 4- т (Д*, Ду) V Д*2 + Ду2,
где
у (Дх, Ду) -> 0 при
Тогда (беря Ду = 0)
и (х 4- Дх, у) — и (х, у) = Л Дх 4" Y (Д-^» 0) | Дл; |;
«(х4- Дх, у) — и (х, у) . ,	..	_
-------------------- = Л ± 7 (Дх, 0) -^А при Дх -> 0,
откуда видно, что в рассматриваемой точке функция и (х, у) имеет
частную производную по х, причем — = Л. Аналогично обнаружи-
вается существование частной производной по у и равенство
Ду j"*0’
9*
132
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
Таким образом, главная линейная часть полного приращения
функции и \х, у) равна — Дх-(-^уДу. Она называется полным
дифференциалом функции и (х, у) в данной точке. Обозначая пол-
ный дифференциал знаком du, а приращения независимых перемен-
ных знаками dx и dy, получим формулу du — ^dx + dy.
Мы видим, что из существования полного дифференциала выте-
кает существование частных производных. Обратное неверно, т. е.
может случиться, что частные производные в точке существуют,
а полного дифференциала в этой точке не существует. Тем не менее,
если частные производные существуют в окрестности рассматривае-
мой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то в данной
точке существует полный дифференциал.
В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим:
и (х -|- Дх, У + Ду) — и (х, у) =
= [«(* + Ьх, у + Ду) — и (х, у + Ду)] + [и (х, у + Ду) — и (х, у)] =
= и'х (х + 6 Дх> У + ДУ) Д* + и'у (х, у + 0Х Ду) Ду =
= [и'х (х> у) + 3]+ \и'у (х> У) + Ду =
= и'х (х> у) ^х + (х> у) Ду +3 Д* + Р Ду;
О	а 1	Дх 1
0<п < 1; У-> 0 при }->0.
01	И	Ду )
Но
а Дх 4- ₽ Д?
У Дх2 + Ду2
при
Дх
Ду
<|а|+1₽|->0
следовательно, и.л (х, у) Дх + иу (х, у) Ду является главной линей-
ной частью полного приращения и, таким образом, полный диф-
ференциал существует.
Необходимые условия дифференцируемости функции
комплексного переменного
Пусть
w =f(z)= u(xt у) + ^(Х, у)
есть функция комплексного переменного z = х -[-1у, диффе-
ренцируемая в данной точке z.
§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 133
Так как в данной точке /(г) дифференцируема, то в этой
точке и(х, у) и v(x, у) тоже дифференцируемы. В самом
деле, если из приращения Aw = /(г 4"^)— /(X) может быть
выделена главная линейная часть, то действительная часть
и коэффициент при I в ней суть соответственно главные
линейные части полных приращений
ки~ и(х-\-Ьх, у -1- Ду/)—w(x, у)
и
&v = v(x-\-кх, у-{-by)— v(x, у).
Если смещенная точка z-\-bz будет стремиться к z по го-
ризонтальному пути, то в выражении
Аг = Дх -|- /А у
следует положить Ду/=О; тогда
Aw __ Aw +	___ Aw . . Аг/ ди . dv
kz ' kx kx * 1 kx ~> dx 1 dx ’
Если смещенная точка стремится к г по вертикальному
пути, то в выражении
Аг = Дх 4~ ^У
следует положить Дх = 0. Тогда
Aw Aw 4- ikv kv . ku dv . du
___—______1	—-______i______>------1 —
kz iky ky ky dy dy ’
Следовательно,, -для существующей по условию произ-
водной f (г) получим выражения:
г/, х du . dv dv
f +	=
откуда
ди ________________________ dv	_
дх	ду	’
dv __ ди
дх	ду ' .
(3.28)
Уравнения (3.28) называются условиями Kouiu — Римана.
134
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Достаточное условие дифференцируемости функции
комплексного переменного
Пусть и(х, у) -и v(x, у) дифференцируемы и удовле-
творяют условиям Коши — Римана в данной точке. Тогда
а )
(ниже j —> 0 при
Aw__ Aw -|-	_
bz bx 1 by
“ /Дх3++ I	д*+^дУ+₽ VAx2 + V2)
=_____ _
= SДх - £д>+1 (S'Дх+S Ч + (“ +z?) ^Да'2 + ^2
bx i by
(S-+1 S)(дх+1 Ду)+(а+/₽)
Дх -Ь l Ду
0) имеем:
ди , .dv
(а + /р) у Ьх* + Ау2
Но
| (а + Zp) V+ Ду2 ,/ . , n A-П n
I Дх + /Д<-- ' =P2 + ^2->0 прИд^|—>0,
следовательно,
lim ^_=du_ .dv_
дг->о Аг дх ' дх ’
т. е. f (z) существует.
Итак, для дифференцируемости функции комплексного
переменного w = f (z) = и(х, у) -j-lv(x, у) в данной точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке и(х, у) и
v(x, у) были дифференцируемы и удовлетворяли бы усло-
виям Коши — Римана (3.28).
Для f7(z) имеем формулы
/,/ х ди .	dv	dv	. ди	ди	*	. ди dv	.dv
Т (г)— -т--= ------------z = з-Ч-=	+	• (3.29)
J v дх 1	дх	Оу	ду	дх	I	ду ду	г	дх	v	7
Пример.	Пусть	/ (z) = ez —	ех	cos	у	-|- iex sin у.	Все условия,
очевидно, выполнены, и из	(3.29)	получим f(z) — ez.
§ б] ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 135
Производная сложной функции
Пусть w — /(г), г = у (С); тогда w = /[? (С)]. Из равенства
Aw Aw Дг
ДС
при Д£->0 находим в пределе
dw
(3.30')
Дг ДГ
dw dz
(3.39)
dt dz dt ’
предполагая, что у дифференцируема в точке С, / дифференцируема
в точке г = ? (С).
Вывод формулы (3.39) является законным, когда 4= 0, так
как тогда при ДС достаточно малом будем иметь Дг	0, и запись
(3.30') имеет смысл. Если в данной точке = 0, то доказательство
dt
нуждается в поправках. Если существуют как угодно малые ДС,
для которых Дг Ф 0, то из (3.33') следует, что при стремлении ДС
Дш
к нулю по таким значениям отношение стремится к
dw dz _________________________ dw _
~dz dt ~ dz
Для тех значений Д£, для которых Дг = 0, очевидно, Aw = 0,
поэтому, если существуют как угодно малые ДС, для которых Дг — 0,
то при стремлении ДС к нулю по таким значениям отноше-
Aw	. Aw
ние -гтг тоже стремится к нулю. Таким образом, -ту стремится
Ы*	dw
к нулю при ДС-> 0, поэтому существует и равно нулю, а так
как в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.39) тоже
равна нулю, то формула (3.30) справедлива и в случае = 0.
Формально техника дифференцирования функций ком-
плексного переменного не отличается от таковой для функ-
ций действительного переменного, и мы не будем останав-
ливаться-на ней. Заметим еще, что если z (£) — комплексная
функция действительного переменного, /(г) — комплексная
функция комплексного переменного, то /[г(/)] будет ком-
плексной функцией действительного переменного. Рассуждая,
как при выводе формулы (3.30), получим
{/[^(01}'=/[^(01^(0	(3.31)
в предположении существования ^производных, фигурирую-
щих в правой части.
136
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. III
§ 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Множество точек на плоскости называется открытым,
если вокруг каждой его точки можно описать круг, целиком
лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое множество
называется областью, если всякие две его точки можно
соединить непрерывной дугой, лежащей в рассматриваемом
множестве. Граничной точкой области называется точка,
не принадлежащая области и такая, что в любой близости
к ней имеются точки рассматриваемой области. Совокуп-
ность всех граничных точек области называется границей
области. Если к области присоединить ее границу, то полу-
ченное множество точек называется замкнутой областью.
Множество точек на плоскости называется ограниченным,
если его можно поместить на некотором круге достаточно
большого радиуса.
Примеры. Внутренность простого замкнутого контура есть
ограниченная область. Внутренность простого замкнутого контура
вместе с точками самого контура образуют ограниченную замкну-
тую область.
Если С — простой замкнутый контур, Сь С2, ..., Сп — простые
замкнутые контуры, лежащие внутри С, но вне друг друга, то мно-
жество точек, лежащих внутри С, но вне всех С2 ..., Сп, есть
ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса между
параллельными прямыми, внутренность угла дают примеры неогра-
ниченных областей.
Функция комплексного переменного f(z), определенная
в области D и дифференцируемая в каждой точке этой
области, называется аналитической в области D.
Функция двух действительных переменных и (ус, у), опре-
деленная в области D, имеющая в этой области непрерыв-
ные частные производные до второго порядка включительно
и удовлетворяющая уравнению Лапласа
=	(3.32)
дх* 1 ду*	v 7
называется гармонической в области D.
Между аналитическими и гармоническими функциями
имеется простая связь.
Действительная часть всякой аналитической функции есть
гармоническая функция.
§ 7] АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	137
В самом деле, пусть
/(z) = w(x, y)-\-iv(x, у)
есть аналитическая функция в области D. Будем предпола-
гать, что и(х, у), v(x, у) имеют непрерывные частные про-
изводные до второго порядка включительно в области D
(заметим, что это предположение не является ограничением,
ибо так всегда будет, но из самого определения аналити-
ческой функции этого непосредственно не видно). Дифферен-
цируя уравнения Коши — Римана
ди dv ди	dv
дх ду ’ ду	дх
соответственно по х и по у и учитывая независимость част-
ных производных от последовательности дифференцирований,
получим:
д2и . д2и __ д /ди \	 д / ди\____ д /dv\	. д /	__
дх2 * ду2	дх wx /	' ду \ ду /	дх \ду)	' ду \	дх)
__ d2v d2v ______
дх ду дхду ’
следовательно, и(х, у) есть гармоническая функция в обла-
сти D.
Очевидно си(х, у) будет тоже гармонической, ибо является
действительной частью для —//(г) = <и(х, у) — 1и(х, у),
В случае односвязной области D (область называется
односвязной, если всякий непрерывный замкнутый путь, ле-
жащий в этой области, можно непрерывной деформацией
стянуть в точку, не выходя из области) справедливо обрат-
ное предложение.
Всякая гармоническая функция в односвязной области D
является действительной частью некоторой (однозначной)
аналитической функции.
В самом • деле, если zz(x, у) — гармоническая функция
в области D, то можно найти такую функцию v (х, у), кото-
рая связана с и(х, у) уравнениями Коши — Римана
dv	ди .	dv ~ ди
~дх	ду" ’	ду дх ’
138
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
если заметить, что выражения Р —— и Q = — удов-
dQ дР А
летворяют условию-^ — _ — 0, так как
dQ	дР____* д / ди \	д /	ди \___д* 2и	 д2у _ ~
дх	ду	дх \ дх /	ду \	ду /	дх2	' ду2
Следовательно, и(х, y)-\-iv(x, у) есть аналитическая функ-
ция комплексного переменного z — x-{-iy в области D.
Гармоническая функция v(x, у) называется сопряженной
для гармонической функции и(х, у). Мы видим, что если
и(х, У)— гармоническая, то выражение — i ~дхУ
является полным дифференциалом и задача отыскания со-
пряженной гармонической функции есть задача интегрирова-
ния этого полного дифференциала. Сопряженная гармони-
ческая функция определена с точностью до произвольного
постоянного слагаемого.
§ 8. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Простой интеграл от комплексной функции действитель-
ного переменного
Пусть / (/) = ср (Z) 4~ I б (t) — непрерывная комплексная
функция действительного переменного t на сегменте
(рис. 28).
Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления
< • • • < h < ^+i < • • • < tn-i) и взяв на каждой
части какую-нибудь точку тл,
______। т составим сумму
to t,	tM t„_,	n-1
2 жт,
Рис..28.	= 0
где Mk = tk+l — tk.
Тогда предел этой суммы при стремлении к нулю наи-
большей из разностей Д^ есть по определению интеграл
т
J Из равенства
2 / (тй) мк = ^ ? (^)	12 Ф (^)
к	к	к
§ 8] ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 139
в пределе получим формулу
т	т	т
У f(t) dt = J <f> (0 dt + i J <!> (0 dt.
^0
Определение интеграла функции комплексного
переменного; его выражение через
криволинейные интегралы и простейшие
свойства
Пусть /(г) — непрерывная функция комплексного пере-
менного на некоторой кусочно-гладкой дуге АВ (рис. 29).
Разобьем дугу АВ на части;
пусть комплексные числа, соот-
ветствующие точкам деления,
будут zk. На каждой части возь-
мем точку, соответствующую
числу Ск (в качестве в част-
ности, можно взять zk), и обра-
зуем сумму
п-1
Il
Л=0
где ^zk — zk+1 — zk.
Предел этой суммы (при стремлении к нулю длины наи-
большей из частных дуг) называется интегралом от /(г)
вдоль дуги АВ и обозначается знаком
/ /О) dz.
АВ
(3.33)
Легко выразить этот интеграл через обыкновенные криво-
линейные интегралы [отсюда будет вытекать и факт суще-
ствования интеграла (3.33), если существование криволиней-
ных интегралов считать известным].
140
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. Ill
Полагая /(г) = г/(х,	у); zk = xk-\-lyki будем
иметь:
f f (z) dz = lim 2 /(zft) bzk = lim^[«(xk, yk) Ц-
J	7-	b
AB	k
+ ™ (xk, Jfc)l	+1 byk) =
= lim 2 [u(xk,yk)^xk—v(xk,yk)byk} +
к
+ i lim 2h (*k> Ук) ^k + «(хь У к) Д>1 =
к
= С udx— vdy-[-i С v dx-\- udy.
AB	AB
Таким образом,
J f(z)dz= J udx — vdy~\~i j* v dx -\-udy. (3.34)
AB	AB	AB
Из непосредственного определения интеграла (3.33), а
также из формулы (3.34) вытекает, что при перемене нап-
равления пути интегрирования интеграл заменяется противо-
положным числом: f~—если путь разбит на части,
ВА АВ
то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по его
частям; интеграл по замкнутому пути не зависит от выбора
начальной точки, а зависит только от направления обхода
(в случае простого замкнутого контура можно употреблять
обозначения (у и (у, причем (у = — (yj; постоянные мно-
жители выносятся за знак интеграла; интеграл суммы равен
сумме интегралов.
Преобразование интеграла функции комплексного пере-
менного в простой интеграл от комплексной функции
действительного переменного
Если
X = X (t), 1
pi < * < А
? = )1 
§ 8] ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 141
суть параметрические уравнения дуги АВ, то z — z(t), где
=	+ есть комплексное параметрическое урав-
нение дуги АВ. Тогда интеграл от функции комплексного
переменного (3.33) может быть преобразован в простой
интеграл от комплексной функции действительного перемен-
ного по формуле
#2
J f(z)dz = § f{z(t)\z'(t)dt	(3.35)
АВ	tl
[предполагаем z(f) непрерывно дифференцируемой функцией
от t\.
Формулу (3.35) можно вывести непосредственно, а также
получить ее из аналогичного правила для обыкновенных
криволинейных интегралов следующим образом:
| f(z)dz-= J udx — vdy-\-i \vdx-\-udy —
АВ	АВ	АВ
J \ dt dt /	1 J \ dt 1 dt /
t2	^2	^2
= j	+	j /(z)g dt= j f[z(t)}zf(t)dt.
tl	ti	ti
c dz
Пример. Найти (у z'_^a ’ где — КРУГ РаДиУса В с центром
*с
а — а /р. Параметрические уравнения этого круга суть
x = a + Rcos% \
? О < ср < 2тс,
У = ₽ ~г В sin <р, J
следовательно, комплексное параметрическое уравнение будет
z = а zp + В (cos ср I sin ср) или z = а 4- Re™*, Поэтому
2к
С dz = Г (Re^y dy
J Re^
с	о
2тс
i j б/ср = 2тЛ.
о
(3.36)
Л2
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
£сли целое число п=/= — 1, то
2тс	2к
(5>(г — а)п dz = ( (Rel*)n (fie1'?)' dy = Rn+i I ( e kn+i) i<?	=
Co	Q
(3.36')
Таким образом, при целом п
_L.($> ,	.п (0п#= —1,
2nl J (* —л) dz — <
С	(1 л = — 1-
Оценка модуля интеграла
Если на кусочно-гладкой дуге АВ, имеющей
имеем |/(г)	714, где f(z)— непрерывная функция
ного переменного на дуге АВ, то
12Ж)	। < 21 f(?k) 11	| < м21 д^ |.
к	к	к
(3.36")
длину L*
комплекс-
Но | &zk | есть расстояние между точками zk и zA+1 и,
следовательно, 2|^а1 есть длина ломаной линии, вписанной
к
в дугу АВ, поэтому 2 L.
к
Следовательно, | 2 /С2^) ^zk I	откуда в пределе
к
/ f(z)dz
АВ
(3.37)
^ML.
Таким образом, модуль интеграла от непрерывной функции
комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги
не превосходит произведения длины дуги на максимум мо-
дуля подынтегральной функции на этой дуге.
§ 9]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
143
Предельный переход под знаком интеграла
Пусть
• • •> fn(z),   •
есть последовательность непрерывных функций комплексного
переменного z на кусочно-гладкой дуге АВ (длины Л), рав-
номерно сходящаяся к /(г) на этой дуге (это значит, что
для всякого s > 0 найдется такой номер N, что при n>N
для всех z на АВ будем иметь \fn(z)—/(^)| < ©)• Функ-
ция f (z) будет непрерывна на АВ (это доказывается так же,
как в случае действительного переменного). Тогда
lim / fnk^dz = ( f(z)dz.
^^АВ	АВ
(3.38)
В самом деле, взяв s > 0, найдем такое AZ, что при
п > N будет \fn(z) — f(z)\<Zs для всех z на АВ. Тогда
по (3.37) получим:
[fn(z)dz— ff(z)dzl= f[fn(z) — f(z)]dzl<eL
AB	AB	| AB	I
при П > AZ,
что и доказывает (3.38).
§ 9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
Пусть функция
W = f(z) — и (х, у) -4" ™ (*» у)
аналитична в односвязной области D. Предположим, что
частные производные первого порядка от и(х, у), v(x, у),
существование которых вытекает из аналитичности f{z\
непрерывны в области D (заметим, что это предположение
не является ограничением, ибо так всегда будет, но из
определения аналитической функции этого непосредственно
не видно). Пусть С — какой-нибудь кусочно-гладкий зам-
кнутый путь, лежащий в D; тогда в силу (3.34)
$f(z)dz =~ j) и dx — v dy + i§vdx-^u dy\
an	q
144
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
но в силу условий Коши — Римана имеем &	=	’
да dv	,	,	, ,	,
; следовательно, выражения и ах — v dy, v dx-]-tt dy
являются полными дифференциалами в односвязной обла-
сти D, поэтому интегралы по замкнутому контуру С от
них равны нулю и, следовательно, (£ f(z) dz = 0. Таким об-
с
разом, справедлива следующая теорема.
Основная теорема Коши. Если функция f(z) аналитична
в односвязной области D, то интеграл от этой функции
вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежа-
щего в области D, равен нулю.
В частности, если С — простой замкнутый контур и f(z)
аналитична внутри него и на нем, то
(^/0) dz = Q.
(3.39)
Теорема Коши для сложного контура
Пусть С — простой замкнутый контур и С1? С2, . . ., Сп —
простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и вне
труг друга. Пусть f(z) аналитична в области, заклю-
ченной между контуром С и
Рис. 30.	В самом деле, пусть, на-
пример, внутри контура С
(рис. 30) лежат два контура С' и С" и /(г) аналитична
между контуром С и контурами Cz, Czz, а также на всех
этих контурах. Проведя простые гладкие дуги kl, тп,
pq, соединяющие С -и С', С' и С"\ С" и С, получим в
§ 9]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
145
силу основной теоремы Коши:
У f(z)dz = 0,
qgklrmntpq
J f(z)dz = Q.
khqpunmslk
Складывая эти равенства почленно и замечая, что по
каждой из дуг kl, тп, pq интегрирование происходит два
раза в различных направлениях,
получим:
f(z) dz-\-^ f(z) dz-\- §f(z)dz = Q
h	(J'	(УГГ
ИЛИ
f{z)dz = ^f(z)dz-\- (^f(z)dz.
о	O'	a"
В частности, если f(z) ана-	Рис> 31.
литична в окрестности точки а,
кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно
малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взя-
тым в одинаковом направлении, например положительном),
равны между собой. В самом деле, пусть Ct и С2 (рис. 31) —
достаточно малые контуры, окружающие а, и С3 — контур,
окружающий а и лежащий одновременно внутри С± и вну-
три С2. По доказанному
f(z)dz= f(z)dz\ f(z)dz = (^ f(z)dz,
сх	Ьз	са	Оз
откуда
f(z) dz = ^ f(z) dz.
cx	(\
Формулу (3.39') можно переписать еще так:
§f(z)dz f (z) dz. +^/(г)йг = 0
О	d	сп
10 Зак. 1944. П. И. Романовский
146
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
ИЛИ
(^/(г)сГг = О,	(3.39")
Г
где Г есть сложный контур, составленный из наружного
контура С и внутренних контуров С±, . .., Сп, причем по-
ложительное направление обхода Г обозначает, что ограничи-
ваемая область должна оставаться слева (следовательно,
обход наружного контура происходит в положительном
направлении, а обходы внутренних контуров происходят
в отрицательном направлении).
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f(z) аналитична в односвязной области D. Из
того факта, что интегралы этой функции по замкнутым
путям, лежащим в D, равны нулю, следует, что интеграл
от f(z) не зависит от формы пути, а зависит лишь от на-
чальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении
интеграла нет надобности указывать путь, а достаточно
лишь называть начало zr и конец z2 пути, употребляя обо-
значение
z >
f f(z)dz.
Z1
Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним
пределом)
z
F(^) = f
z,,
Тогда
z+h	z+h
F (z + h)— p(z) = J /(Qdl; 1=± J
z	z
z+h	z+h
F{z + h^ F(z}- = 1 | /(С) rfC; f(z) = 1- f f(z)dC;
IL	[L
z	z
z \-h
F (z + fi) —F (z) f(z) _ J [/(д_/(г)]
Iv	lb J
9
§ 9]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШЙ
147
Так как в точке z функция / непрерывна, то для всякого
е>0 найдется такое т) > О, что при — г | < т] будем
иметь |/(Q—f (z)\ < е. Беря в качестве пути, соединяющего
z с z-\-h, прямолинейный отрезок и пользуясь оценкой
(3.37), получим при |Л|<т]:
Л(г + Л) —Л(г)
h
/»|< рНи--’.
откуда следует, что
..	/г)—- Л(г) -z ч	ч
>И11----3_z-----5_2_ = /(2) или p'(z)=f(z).
Таким образом, аналитическая функция всегда имеет перво-
образную. В качестве таковой может быть взят интеграл
с переменным верхним пределом.
Лемма. Если Ф' (z) = О в некоторой области, то в этой
области Ф (z) ~ const.
Полагая Ф (z) ~ и (л;,	+ iv (х, у), найдем из условия
/ь/ / \	л du	du	dv	dv	~	.
Ф (z) = 0, что —	— = — = — =0; но тогда и = const,
4 7	dx	dy	dx	dy
v — const и, следовательно, Ф (г) — const.
Из этой леммы следует, что всякие две первообразные
от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле,
если F[(z) = F2(z), то (F2(^)—(z)}' = F2 (z)—f[(z)=0,
и поэтому на основании леммы F2(z)—F± (г) = const.
Обозначая знаком J f(z)dz любую первообразную для
аналитической функции f(z~), найдем на основании сказан-
ного:
Z
ff(z)dz = f f (Г) л+ С,
^0
где С — произвольное комплексное число.
Примечание. Техника отыскания первообразных (техника
интегрирования) для аналитических функций формально не отли-
чается от техники интегрирования элементарных функций действи-
тельного переменного, и мы не будем останавливаться на ней.
10*
148
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
§ 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть f(z)— аналитическая функция в области, ограни-
ченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис. 32),
и на этом контуре. Фиксируем точку z внутри С и соста-
вим функцию
Эта функция аналитична во всех точках внутри кон-
за исключением точки z. Однако при
тура С и на нем,
L->z имеем <р (С)->/'(г), по-
этому если доопределить функ-
цию ср в точке z требованием
ср (z) = f' (z), то ср (С) станет не-
прерывной функцией в огра-
ниченной замкнутой области,
ограниченной контуром С, и,
следовательно, будет ограни-
ченной.
Таким образом, в рассматри-
ваемой области | ср (Q | < К, где
К — некоторое положительное
число.
Пусть у—-круг
три С. По теореме
радиуса р с центром z, лежащий вну-
Коши для сложного контура имеем:
С	-Г
но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37) имеем:
<2^рК,
Y
следовательно, переходя к пределу при р—> 0 в последнем
равенстве, получим:
<Р (Q = о,
с
149
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
§ 10]
или
/ л=о,
с
или
с	д
Но согласно теореме Коши для сложного контура и в силу
(3.36)
е . т
поэтому предыдущее равенство принимает вид:
§	~~2^/(г) = 0,
откуда
с
(3.40)
Формула (3.40) называется интегральной формулой
Коши и является центральной формулой теории аналитиче-
ских функций. Из формулы
(3.40) видно, что значения ана-
литической функции внутри С
•вполне определяются значе-
ниями этой функции на С.
Правая часть формулы (3.40)
называется интегралом Коши.
Вместо простого замкну-
того контура С можно брать
сложный контур Г, состоя-
Рис. 33.
щий из наружного контура и
нескольких внутренних контуров (рис. 33). Тогда в резуль-
тате такого же рассуждения найдем, что если f(z)—ана-
литическая функция в области, ограниченной сложным кон-
туром Г, и на нем, то для всякой точки z в этой области
150
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
справедливо равенство
<3-40'>
Г
Это — интегральная формула Коши для сложного контура.
§11. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ
Пусть Г — кусочно-гладкая дуга (замкнутая или незамк-
нутая). Пусть ср (С) — непрерывная функция на дуге Г (рис. 34).
Тогда выражение
(3.41)
I'
имеющее смысл для всех z, не лежащих на Г (ибо тогда
подынтегральное выражение будет непрерывной функцией
от С), называется интегралом типа
Коши. То же можно сказать о выра-
жении более общего вида
Ф(г)= f ? (С) v d'„	(3.41')
[	где k—натуральное число.
рис. 34	Покажем, что выражение (3.41х) яв-
ляется аналитической функцией для
всех значений z, не лежащих на дуге Г. Учитывая формулу
ак frk = (a (ак-1	ак-2	. -j-/^-1),
получаем:
Ф(гт) —Ф(г) =
—г
[	? (С) (&	f
J G — *i)*	J
? (С) cP,
&-г)к
G-^-G-zt)*

(С — z^G — z)k
§ И]
ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ
151
Фиксируя z и полагая
w z > = С-г)*~1 + (С-г)*~2(С-г1)+...+(С--гг)й-1
1	(С-г^СС — zf
можем написать:
_Ф(,О-Ф И „ |\р)у
Г
Очевидно, Ф гх) есть непрерывная функция своих аргу-
ментов, когда С лежит на Г и не лежит на Г.
Она будет равномерно непрерывной функцией переменных С, zlt
когда С находится на Г, Zi — на круге с центром г, не имеющем
общих точек с Г (по теореме о равномерной непрерывности функ-
ции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве). Отсюда
следует, что при -> г имеем Т (С, гх) -> Т (С, г) равномерно отно-
сительно С на Г. Вследствие этого излагаемый ниже предельный
переход под знаком интеграла является законным.
Переходя к пределу при z± —получим:
lim ф(г0~Ф<г)  <р(дчг(С, г)Л.
Учитывая, что Ф z) =------, и замечая, что
*• ’ 7	(С-г)/с + 1
k'f (С)	= д Г у (С) 1
(С —+ 1	dz L (С — z)k J ’
приходим к формуле
Ф-И = *	f -l^kk
Таким образом, Ф(£) имеет производную в каждой точке z,
не лежащей на Г.
Итак, если ср(1) — непрерывная функция на кусочно-
гладкой дуге Г, то функция
Ф(г) = f -
J &~z)k
152
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
является аналитической для всех значений г, не лежащих
на Г, причем производная этой функции получается по пра-
вилу дифференцирования под знаком интеграла:
Ф'М=
V J дг [ (С — г)к]
г
k ( -----(Cl (3.42)
Выражение для Ф'(г) имеет снова тип (3.41'), поэтому
к нему применимо все сказанное о Ф (г). Отсюда заключаем,
что функция, определяемая формулой
ф(г)= [ -у U) 6?:
J (С-г)*
для всех значений г, не лежащих на Г, имеет производные
всех порядков, причем выражения для них получаются
в результате последовательных дифференцирований под
знаком интеграла:
ф(п) (z) =.
= *(*+!)•.
(3.43)
§ 12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Пусть /(г) — аналитическая функция в какой-нибудь
области О. Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе
со своей внутренностью в этой области. Для всех точек z,
лежащих внутри этого контура, имеем на основании инте-
гральной формулы Коши:
/(2)=
J 4 7	2?u j С — г
С
Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является част-
ным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на осно-
вании изложенного в § 11, /(г) имеет внутри С произвол-
§13]	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ	153
ные всех порядков, получающиеся на основании (3.43) по
формуле
р-44>
Так как любую точку области D можно окружить зам-
кнутым контуром, лежащим (вместе с внутренностью)
в области D, то приходим к следующему выводу: всякая
аналитическая функция в какой-нибудь области имеет в этой
области производные всех порядков, причем все они
являются аналитическими функциями в этой области.
Следует заметить, что функции действительного пере-
менного таким свойством не обладают. Функция действитель-
ного переменного может иметь первую производную, но
не иметь второй производной.
§ 13. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Будем говорить, что последовательность функций
/1(2), /2(2), .... fn(Z), ...,
определенных в некоторой области D, сходится равно-
мерно внутри области D, если она сходится равномерно
на каждой ограниченной замкнутой области, лежащей в D.
Теорема. Если последовательность аналитических функ-
ций в области D
fi(z), f2(z).../„(г),	. . .
сходится равномерно внутри области D к функции f(z), то
/(г) — функция, аналитическая в области D, причем последо-
вательность производных
/1(2), /г(2)...fn(z), ...
равномерно сходится внутри области D к производной пре-
дельной функции, т. е. к /'(г).
Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе с вну-
тренностью в D, и z—точка внутри С. Тогда по формуле
Коши
а
154
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Но /W(Q—>/(Q равномерно на С, следовательно,
A(Q	/(О
С — Z	— Z
равномерно на С (при фиксированном поэтому на осно-
вании правила предельного перехода (3.38)
о
Таким образом, внутри С предельная функция /(г) вы-
ражается интегралом типа Коши, следовательно, является
аналитической. Но любую
\ точку области D можно
/	окружить таким контуром С,
/	\ следовательно, предельная
.у /	\ функция f(z) аналитична во
I I всей области D. Пусть те-
(	/ / пеРь А — какая-нибудь огра-
\	/	/ ниченная замкнутая область
\	/ (рис. 35), лежащая в D, и
27 у С — замкнутый контур дли-
ны А, лежащий вместе с
Рис. 35.	внутренностью в D и та-
кой, что А лежит внутри С.
Пусть 8 — расстояние между С и А (т. е. наименьшее из
расстояний точек на С от точек в А). Имеем при г, лежа-
щем в А [в силу формул (3.44) для п = 1]:
fn W - -	= -jL	_ _L -ffiL „
С	с
~2тЛ (С-г)2
с
Но /w(C)->/(Q на С равномерно, следовательно, для
всякого е > 0 найдется такой номер N, что при п > N
будем иметь | fn (Q — /(') | < s при всех С на С. Тогда из
последней формулы найдем (по правилу оценки модуля ин-
теграла):
I f п (z)~ f (^) I X 2к р!
§ 13]
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
155
при п > N и любом z на Д. Этим доказано, что/п (г)—>/(£)
равномерно на любой ограниченной замкнутой области Д,
лежащей в D.
Замечание. Мы видим, что последовательность про-
изводных fn(z) находится в таких же условиях, как после-
довательность функций /w(z), поэтому к ней также приме-
нима доказанная теорема.
Таким образом, если последовательность аналитических
функций fn(z) в области D равномерно сходится внутри D
к f(z), то последовательность производных любого порядка
от fn(z) равномерно сходится внутри D к производной
такого же порядка от /(г).
Пусть теперь имеем функциональный ряд
S ?»О),
члены которого суть аналитические функции в области D.
Из доказанного следует, что если этот ряд равномерно схо-
дится внутри D, то его сумма аналитична в D и ряд можно
сколько угодно раз почленно дифференцировать, причем
все получающиеся ряды равномерно сходятся внутри D.
Аналитичность суммы степенного ряда
Пусть ^Anzn — степенной ряд и R— его радиус схо-
о
димости. Пусть 0 < г < R. Точка г, как лежащая внутри
круга сходимости (рис. 36), есть точка
абсолютной сходимости степенного ряда,
т. е. ряд	сходится. Но при
| z | г имеем \ Atlzn\ \ Апгп\, поэтому
степенной ряд 2 Anzn равномерно схо-
дится на круге | z | г. Так как любая
замкнутая область, лежащая внутри круга
сходимости, может быть заключена вкруг
| z | г при надлежащем выборе числа
г < R, то приходим к следующему заключению: всякий сте-
пенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
Примечание. На внутренности круга сходимости сходимость
может быть неравномерной.
156
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Так как члены степенного ряда Anzn являются аналити-
ческими функциями, то из доказанной теоремы следует, что
сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри
круга сходимости и что степенной ряд можно любое число
раз почленно дифференцировать внутри круга сходимости.
Следовательно, получающиеся в результате этого степен-
ные ряды имеют не меньший радиус сходимости (на самом
деле — тот же радиус сходимости).
+ ОО
Аналогично, степенной ряд 2 Аг —а)п равномерно схо-
о
дится внутри круга с центром в точке а (рис. 37),
а его сумма есть аналитическая функция внутри этого кру-
+ оо
га; ряд 2 а)п> имеющий кольцо сходимости (рис. 38),
— оо
равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть анали-
тическая функция внутри этого кольца. При этом законно
почленное дифференцирование любое число раз.
§ 14. РЯД ТЕЙЛОРА
Пусть /(г)—аналитическая функция внутри круга с цен-
тром а (радиус которого может быть, в частности, равен
-|-оо — тогда это будет вся плоскость).
Пусть z—точка внутри данного круга и С—концен-
трическая окружность меньшего радиуса такая, что z лежит
внутри нее (рис. 39). Пусть r = \z—а\, р—радиус круга С.
По формуле Коши
с
§ И]
РЯД ТЕЙЛОРА
157
При С на С имеем:
1 __ 1 __ 1
£ —	—	— (г — а)~~	( г -а\
С — а)
г — а г . ,
и так как —-| = —< 1, то последнее выражение можно
рассматривать как сумму убывающей геометрической про-
1
грессии с первым членом и знамена-
телем . Таким образом,
—1_ = —!_____L -------L
С —г С —д' (С —
(z~a)n
S(z — а)п
(С —а)п+1‘
п-0	7
Сходимость этого ряда равномерна по С на С (при фикси-
рованном z), так как этот ряд мажорируется числовой убываю-
Sf-П
pn+i *
Умножая предыдущее равенство на /(Q, интегрируя
почленно по С и деля на 2ш, получим:
1	1 е /(С)^_
У С - z “ 2j (2 а) 2kZ ? (С - а)ге+1
(7	п~°	с
или
/(*) = 2 Дге(г—а)”,
?2-0
где
А - * 1 A
Г
причем Г есть произвольно фиксированная окружность
с центром а, лежащая внутри первоначально заданного
круга (замена С на Г законна, так как	аналитична
между С и Г, включая их).
Итак доказана следующая теорема.
158
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Теорема. Всякая аналитическая функция /(г) внутри
круга с центром а может быть разложена внутри этого
круга в степенной ряд
+ оо
/(z)=S4,(z-tty,	(3.45)
О
коэффициенты которого определяются формулой
2. ...), (3.46)
где Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая
внутри данного круга.
Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для /(^)
в рассматриваемом круге.
Пусть функция /(г) разложена в круге с центром а
+ оо
в какой-нибудь степенной ряд	Пусть Г—кон-
о
центрическая окружность меньшего радиуса. Тогда на Г
этот ряд равномерно сходится. Умножая равенство =
=	на
вдоль Г и умножая
1
-----Jn+i’ интегРиРУя затем почленно
еще на , получим:
г	к-i) р
учитывая, что в силу (3.36"),
1 U /-V \k-n-l	( 0 k tlt
г	v
Этим доказана единственность разложения аналитической
функции в круге с центром а в степенной ряд по степе-
ням z—а.
Лемма. Пусть /(г)— аналитическая функция в области D,
равная нулю в некоторой области d, содержащейся в D, Тогда f(z)
тождественно равна нулю в D.
Сделаем предварительное замечание. Из формулы (3.46) видно,
что если функция аналитична внутри некоторого круга К и равна
§ 14]	ряд тейлора	159
нулю в концентрическом круге k меньшего радиуса (рис. 40), то
она равна нулю внутри круга К. В самом деле, взяв Г лежащим
внутри меньшего круга k, найдем по формулам (3.46), что все
Ап = 0, но тогда по формуле (3.45) f (г) = 0 внутри К-
Рассмотрим теперь конечную цепочку лежащих в D кругов
Kt, к2,Кп,
обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внутри
предыдущего круга, центр первого круга лежит в d, центр послед-
него круга лежит в произвольно выбранной точке z области D
Рис. 40.
Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим
способом (рис. 41). Соединим точку г0, принадлежащую области d,
спрямляемой дугой Г с точкой z. Пусть положительное число 6
меньше расстояния дуги Г до границы области D. Разобьем Г на
конечное число частей с длинами, меньшими б. Тогда цепочка кругов
радиуса б с центрами в точках деления удовлетворяет всем нуж-
ным требованиям.
С помощью сделанного выше замечания найдем последовательно,
что f (г) равна нулю внутри Ki, внутри К>, ••>, внутри Кп* Таким
образом, для любой точки г области D получим / (г) — 0.
Легко видеть, что если /(г) — аналитическая функция
в области D, не равная тождественно нулю, то вокруг
всякой точки а области D можно описать такой круг,
лежащий в D, что внутри этого круга, кроме, может
быть, точки а, функция f(z) отлична от нуля.
В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий
в D. Согласно лемме в этом круге /(г) не может быть
тождественно, равна нулю. Следовательно, в разложении
функции /(г) в этом круге в ряд по степеням z — а не
может случиться, что все коэффициенты равны нулю. Пусть
Ч-оо
в упомянутом разложении f (г) = 2 А*(г—а}к первый из
о
160	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. 1П
коэффициентов, отличных от нуля, есть Дп(/г^>0), тогда
/(г) = Ап (z — а)п + Лп+1 (z - a)n+1 + ... = (г — а)п ? (г),
где <p(z) = Л„+Лй+1(2 — а)+ . ..
Функция y(z) непрерывна в точке а и у(а) = Ап^=0,
следовательно, в достаточно малом концентрическом круге
меньшего радиуса <f(z)	0, а поэтому, за исключением, быть
может, точки а, имеем в этом круге f(z) #= 0.
Точка а называется нулем функции f(z)t если /(«)~0.
Из последнего предложения следует, что если анали-
тическая в области D, не равна тождественно нулю, то все
ее нули в области D изолированные (т. е. вокруг каждого
из них можно описать такой круг, что других нулей в этом
круге не будет). Кратностью нуля аналитической функ-
ции (не равной тождественно нулю) называется такое п,
что разложение в степенной ряд в окрестности рассматри-
ваемого нуля а начинается с /г-й степени, иначе говоря,
если в окрестности а имеем f(z) — (г — и)пср(г), где ана-
литическая функция ср (г) такая, что ср(а)^=О. Нули крат-
ности 1 называются простыми, нули кратности 2 — двой-
ными, нули кратности 3 — тройными.
Теорема единственности. Если в области D даны две анали-
тические функции, совпадающие на множестве точек, имеющем
хотя бы одну предельную точку, лежащую в D, то эти две функ-
ции тождественно равны.
В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка. Тогда
разность рассматриваемых функций обращается в нуль в точках,
находящихся как угодно близко к а и отличных от а, но по дока-
занному этого не может быть, если рассматриваемые функции не
совпадают тождественно.
Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора может
быть переписана на основании формулы (3.44) в виде
=	(« = 0,1,2,...).	(3.47)
Оценка модулей коэффициентов ряда Тейлора
Если на окружности Г модуль функции f(z) не превы-
шает 7И, то, обозначая через R радиус окружности Г и
оценивая интеграл в формуле (3.46) по правилу оценки
§ 15]
РЯД ЛОРАНА
161
модуля интеграла (3.37), получим:
/И
(г — а)п+1
dz
2л Rn+l	R"
Таким образом, получаем неравенства
(« = 0, 1, 2, ...).	(3.48)
Из (3.48) непосредственно вытекает теорема Лиувилля: целая
функция (т. е. аналитическая на всей плоскости), ограниченная на
всей плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть на всей
плоскости
о
Тогда при любом R имеем | Ап |	, откуда в пределе при 7?->оо
найдем (при п > 0) | О, т. е. Ап — 0. Следовательно, f (г) —
= Ло = const.
Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей
алгебры: всякий полином, отличный от постоянной, имеет по край-
ней мере один нуль. В самом деле, если бы полином Р (z) не
имел нулей, то р^ была бы целой функцией. Так
что Р (г) -> оо при z -> оо, то р -> 0 при г -> оо,
что р (г) будет ограниченной на всей плоскости. Но
реме Лиувилля p~^j = const и, следовательно, Р (г) = const, что
противоречит предположению.
как известно,
откуда видно,
тогда по тео-
§ 15. РЯД ЛОРАНА
Пусть /(г)—аналитическая функция внутри кольца
(рис. 42) между двумя окружностями с центром а (если
радиус внутренней окружности равен 0, то кольцо стано-
вится кругом с «выколотым» центром; если радиус внешней
окружности равен оо, то кольцо становится внешностью
круга; если упомянутое происходит одновременно, то кольцо
становится плоскостью с выколотой точкой). Пусть z—точка
внутри этого кольца, С и Сг—концентрические окруж-
Ц Зак. 1944. П. И. Романовский
162
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. ш
ности, лежащие внутри кольца и такие, что z лежит
внутри С и вне С'. По формуле Коши для сложного контура
/(*) =
1 £/(И
2л/	С — z
с
1
2kZ С —г —
С1
_ 1 1/(0^
2к/ у С — г
с
2KZy г —С •
с1
Первое слагаемое правой части на основании выкла-
док § 14 представляется рядом
+ оо
2iz	= ^An(z а)п,
с	0
где
А 1 I
п 2п/J G —л)пь1’
Г
причем Г — какая-нибудь фиксирован-
ная концентрическая окружность внутри
кольца.
Остается преобразовать второе слагаемое
С’
Положим \z — а\ = г и радиус круга С' обозначим через р.
Тогда при С на Сг имеем:
г —С ’
1 = 1 _____________________1______
г —С z — a — ^ — d)	.	( С —а\’
I С — а I р , .
и так как Н—— =*7 < 1, то последнее выражение можно
рассматривать как сумму убывающей геометрической про-
грессии с первым членом —-— и знаменателем -—Таким
r	z — a	z — а
образом,
1	1____. С —а .	.
z — С	z — я ' (г — а)2’’’’'
“Г" (г — а)п “Г---—(г — а}п '
п= 1
§ 15]
РЯД ЛОРАНА
163
Сходимость этого ряда — равномерная по С на С' (при фик-
сированном г), так как этот ряд мажорируется числовой
Spn-i
. Умножая
на /(С), интегрируя почленно по Сг и деля на 2тг£, получим:
sU =2	2-В	® -
О'	п=1	(У
4-оо
= 2 A_n{z — d)~n,
п = 1
где
А_п = — /Q (С — а)п~1 сГ, = — & /(С)^+1
п 2^4	’	2^4 (C-a)-n+1
Г	г
[замена С' на Г законна, так как /(С) (С— а)пЛ аналитична
между Сг и Г, включая их].
Складывая разложения
1 £ и ЖЖА
2к/у С —г 2п/У г —С ’
с	с
получим разложение /(г) в ряд по целым степеням z—а
с показателями = 0. Этим доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая внутри
кольца с центром а, может быть разложена внутри этого
кольца в ряд
+ оо
/(г) = 3 An(z — а)п,	(3.49)
— ОО
коэффициенты которого определяются формулой
(~ = 0, ±1, ±2. ...),	(3.50)
г
где Г — кдкая-нибудь окружность с центром а, лежащая
внутри данного кольца.
Этот ряд называется рядом Лорана для /(г) в рассма-
триваемом кольце.
11*
164
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Если функция /(г) разложена в кольце с центром а
в какой-нибудь ряд вида
2 Я„(2г — а)п,
то, рассуждая дословно, как в соответствующем месте § 14,
получим:
1 С
2те/ (г — а)п+1
г

где Г — окружность с центром а, лежащая внутри кольца.
Этим доказана единственность разложения аналитической
функции в кольце с центром а в ряд по целым (==0) сте-
пеням z — а.
Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана
Если на окружности Г, лежащей внутри кольца, модуль
функции /(г) не превышает 7И, то, обозначая через ра-
диус окружности, получим как при выводе неравенств (3.48)
аналогичные неравенства


(п = 0, ±1, ±2, ...).
(3.51)
§ 16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ
Точки, в которых нарушается аналитичность функции,
называются особыми. Если в достаточной близости к особой
точке а нет других особых точек, то особая точка а
называется изолированной особой точкой. Если а есть изо-
лированная особая точка функции f(z), то в достаточно
малом круге с выколотым центром а функция /(г) будет
аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд Лорана
/(z) = S Ak(z — a/.
(3.52)
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
165
§ 16]
Логически возможны и исключают друг друга следую-
щие три случая:
1)	в разложении (3.52) нет членов с отрицательными по-
казателями;
2)	в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов
с отрицательными показателями;
3)	в разложении (3.52) есть бесконечно много членов
с отрицательными показателями.
В этих случаях особая точка а называется соответственно
1) устранимой} 2) полюсом} 3) существенно особой.
Члены разложения с отрицательными показателями п
составляют главную часть f{z} в окрестности особой точки а.
Если а — устранимая, то в окрестности точки а
+ оо
/(4=^4 (z — а)к;
О
следовательно, после надлежащего доопределения функции
в точке a [f(a)—A0] функция /(г) становится аналитиче-
ской в точке а и «особенность устраняется». В достаточно
малой окрестности устранимой особой точки функция /(г)
ограничена. Обратно, если /(г) ограничена в некоторой
окрестности изолированной особой точки а, |/(г)| М, то
эта точка есть устранимая особая. В самом деле, при п>0
и достаточно малом R имеем в силу (3.51) | А_п | MRn,
откуда при /?->0 в пределе получим | А~п |	0, и, следо-
вательно, Л_п=0.
Если а — полюс, то в окрестности а имеем:
4-оо
= О —a)fc,
-п
А_п ¥= 0, откуда
где
ср (г) = А_п-{- А_п+± (z — а)-ф- . . . -|-Л0(г — ^)w+ • • •
есть аналитическая функция в окрестности точки а, причем
ср («) = л_й 4= о. Обратно, если /(2) = ^-^-, где <р(г)
аналитична в окрестности а и ср (а) =/= 0, то а есть полюс
166
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
п-го порядка для /(г) (/г называется порядком полюса а,
полюсы кратности 1 называются простыми, полюсы крат-
ности 2 — двойными, полюсы кратности 3 — тройными).
Из такого выражения для /(г) следует, что при z —> а
имеем /(г)->оо. Таким образом, при стремлении независи-
мого переменного z к полюсу аналитической функции функ-
ция стремится к бесконечности. Легко видеть, что если а
есть n-кратный нуль для f(z), то а будет n-кратным полю-
сом для-т^--, так как из равенства f(z)—(z— a)ny(z)
j к?)
[где v(z) аналитическая в окрестности а, отличная от нуля
в #] следует:
1 ___ 1 1
/ (г) — (г — а)п ср (г)
(но аналитическая в окрестности а и отличается от
нуля в а).
Если а — существенно особая точка, то в любой окрест-
ности а значения функции f(z) как угодно близко подходят
к любому комплексному числу (теорема Сохоцкого). В са-
мом деле, если бы в некоторой окрестности точки а имели
/(г) — А | > 8, где 8^ п ~~	1
вблизи а и,
бой точкой
О, то —-д- была бы ограничена
следовательно, а являлась бы устранимой осо-
для ~Дг)—А ’ П0ЭТ0МУ у (-.уз, / =сР(г)> где?О)
аналитична
/(*)=Я
в окрестности а, но тогда вокруг а имеем
1
? (?) ’
откуда следует, что а является для f(z)
либо устранимой особой точкой [если ср (я) =# 0], либо полю-
сом [если ср (а) = 0], что противоречит условию.
Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно которой
в любой окрестности существенно особой точки аналитическая функ-
ция не только как угодно близко подходит к любому комплексному
числу, но принимает все комплексные значения, кроме, быть может,
одного.
Если в области D функция f(z) может иметь в качестве
особых точек только полюсы, то /(г) называется мероморф-
ной в области D. Пусть /(г) мероморфна в области D и
§ 16]
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
167
а — какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрестности
точки а имеем:
/(г)=(г —л)”?(г),
где ср (г) аналитична в окрестности а и ср (а) =/= 0. Число п
назовем порядком функции /(г) в точке а. Если п > 0, то
а есть нуль п-ro порядка для/(г); если п =0, то/(г) не равна
нулю в точке а\ если п =—т < 0, то а есть полюс /п-го
порядка для f(z). При умножении (делении) мероморфных
функций порядки их в каждой точке складываются (вычи-
таются).
Бесконечно удаленная точка
Если к плоскости комплексного переменного добавить
один несобственный элемент, называемый бесконечно уда-
ленной точкой оо, то получим полную плоскость комплекс-
ного переменного. Полная плоскость комплексного пере-
менного в известном смысле слова
подобна сфере. Это можно видеть с	________
помощью стереографической проек- /у '	7
ции. Пусть имеем сферу (рис. 43),	/	7/\	/
касающуюся плоскости комплекс-	/	0 \z /
ного переменного в точке 0 (южный [________________/
полюс). Соединив отрезком пря-
мой северный полюс с точкой z,	Рис. 43.
обозначим через 714 точку пере-
сечения отрезка со сферой. Если каждому комплекс-
ному числу z отнести соответствующую точку 714, то
между всеми комплексными числами и точками 7И сферы
(кроме северного полюса) будет установлено взаимно одно-
значное соответствие. Добавляя несобственный элемент оо
и ставя его в соответствие северному полюсу, получим взаимно
однозначное соответствие между точками полной плоскости
комплексного' переменного и точками сферы.
Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внеш-
ность какого-нибудь круга с центром 0 (чем больше радиус
этого круга, тем «меньше» окрестность точки сю).
Пусть /(г) аналитична в окрестности бесконечно удален-
ной точки. Тогда вне некоторого круга с центром 0 она
168
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 111
изобразится рядом Лорана
/(г) = 2д^.
— оо
(3.53)
Логически возможны и исключают друг друга следующие
три случая:
1)	в разложении (3.53) нет членов с положительными
показателями;
2)	в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов
с положительными показателями;
3)	в разложении (3.53) есть бесконечно много членов
с положительными показателями.
В этих случаях оо называется соответственно: 1) устра-
нимой особой точкой} 2) полюсом} 3) существенно особой
точкой. Подстановка z — у приводит изучение функции /(г)
в окрестности точки оо к изучению функции /(у) в окрест-
ности точки 0. Поэтому в случае устранимой особой точки оо
функция f (г) стремится к конечному пределу при z -> оо
(после надлежащего доопределения функции в оо функцию
следует считать аналитической в окрестности оо); в случае
полюса в оо функция /(г) стремится к оо при г—>оо;
в случае существенно особой точки в оо функция /(г)
в любой окрестности оо как угодно близко подходит к лю-
бому комплексному числу.
Если в окрестности оо
— п
f (г) =	= 4^ + 4^1 + ...,
причем А_п 4 0, то оо называется нулем п-го порядка
для /(г).
§ 17. ВЫЧЕТЫ
Пусть а — конечная изолированная особая точка анали-
тической функции f (z)} тогда в окрестности точки а эта
функция изобразится рядом Лорана
+ ОО
/(z) = 2 An(z — a)n.
— СЮ
§ 17]
ВЫЧЕТЫ
169
Коэффициент при (—1)-й степени в этом разложении, т. е.
число называется вычетом функции /(г) относительно
особой точки а. Вычет /(г) относительно а можно обозна-
чать знаком Res f(z).
а
Из формулы (3.50) при п——1 найдем:
=	(3-54)
т
где у — достаточно малая окружность с центром а.
Основная теорема о вычетах
Если функция /(г) аналитична
внутри замкнутого кон-
тура С и на нем, за исключением конечного числа точек
внутри С, то ^f(z)dz равен
с
произведению на сумму
вычетов относительно особых
точек/(г), лежащих внутри С.
Пусть	ат
(рис. 44) — особые точки/(г),
лежащие внутри С, и а15
а2, . .	— вычеты/(^отно-
сительно них. Пусть Тр
у2, • • • ’ Тш — окружности вок-
руг этих точек, лежащие вну-
три С и вне друг друга. Тогда по теореме Коши для
сложного контура и в силу формулы (3.54) получим:
^f(z)dz =§f(z)dz +
• • +	—2ш(а1+* .-+^ш),
О*	Ti
что и требовалось доказать.
Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замкну-
того контура С достаточно знать вычеты функции относи-
тельно особых точек, лежащих внутри С.
170
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
Вычисление вычета относительно простого полюса
Пусть	где ср(г), ф(г) аналитичны в окрест-
ности а и точка а есть простой нуль для ф(г). Тогда а
будет простым полюсом для /(г) [если ср(а)=£О]. Имеем
ф(г)=(г — а) ф± (г), где фх (г) аналитична в окрестности а
и ф1(й)^=0. Тогда в окрестности точки а функция
аналитична и
следовательно, вблизи точки а
<?(Д)
/(г) = —= 2^- + ^1 + 52(г —а)+ ..
v	z —	z — а 1 11	71
откуда
Res/(z)=4^-
а 4 ’	4’1(«)
(3.55х)
Но ф' (г) = (г) 4- (z — а) ф^ (г); ф' (а) = ф! (а)\
тельно,
следова-
Res/(г)
а
?(л)
ф'(л)
(3.55)
Примеры.
Res ctg z = Res C2UL
к sin г
Res—----=
cos z 1
sin zy
1 —
]г = а 2a
= 1;
Вычеты логарифмической производной мероморфной
функции
Пусть /(г) — мероморфная функция. Тогда логарифмиче-
ская производная ’ будет также мероморфной, причем
j \z)
f (z)
нули и полюсы /(г) будут простыми полюсами для
§ 17]	вычеты	171
В самом деле, имеем в окрестности точки а:
f(z)=(z — a)n'f(z);
y(z) аналитична, ср (я) =/= 0;
f (г) = п (z — а)п~г ср (г) + (г — а)п у' (г);
/ (г) _ п  ?' (г)
/ (г) z — а ' ср (z) *
Следовательно (учитывая аналитичность второго слагаемого
правой части в окрестности а),
Таким образом, вычет логарифмической производной ра-
вен порядку данной функции в этой точке. Из этого заме-
чания и из основной теоремы о вычетах вытекает (учитывая,
что порядок в нуле zz-ro порядка равен /г, порядок в по-
люсе rn-го порядка равен — т) следующая теорема.
Теорема о логарифмических вычетах. Если /(г) меро-
морфна внутри замкнутого контура и на нем, причем на
контуре не имеет нулей и полюсов, то интеграл
о
равен произведению 2~/ на разность между числом нулей
функции /(г), лежащих внутри С (считая каждый нуль
столько раз, какова его кратность), и числом полюсов
функции f(z), лежащих внутри С (считая каждый полюс
столько раз, какова его кратность).
Таким образом,
(3-56)
с 
где N — сумма кратностей нулей функции f(z), лежащих
внутри С; Р — сумма кратностей полюсов функции f(z), ле-
жащих внутри С.
Формула (3.56) легко обобщается. Заметим сперва, что
если а — простой полюс для ф(г) и ср (г) аналитична в окре-
стности точки а, то
Res [ср (z) ф (г)] = ср (a) Res ф (г).	(3.55")
а	а
172
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 111
В самом деле, в окрестности точки а имеем:
где ^(z) аналитична в окрестности а,
ср^ф^)^^^1^; Res ф (г) = фх (а);
Res [ср (г) ф (z)] = ср (а) фх (а);
а
следовательно, равенство (3.55") справедливо.
Пусть /(г) удовлетворяет отмеченным выше условиям и
— какая-нибудь аналитическая функция в области, огра-
ниченной контуром С, и на нем. Так как каждая особая
точка логарифмической производной мероморфной функции
есть простой полюс, то для всякой точки а, являющейся
нулем или полюсом f(z), имеем:
Res [ V О)	= <? (a) Res = nep (а),
где п — порядок /(г) в точке а. Поэтому из основной тео-
ремы о вычетах следует, что если ак— нули f(z), лежащие
внутри С, тк—кратности их, Ьг — полюсы f(z), лежащие
внутри'С, пг—кратности их, то
=	(3.56')
с	к	i
При ср(£)=1 эта формула обращается в (3.56).
Вычисление вычета относительно кратного полюса
Пусть а есть n-кратный полюс для /(г). Тогда в окрест-
ности точки а имеем
f&=	• • • +—+?(*)
(г — а)п	z — а
[где ср (г) аналитична в окрестности точки а\\ отсюда
(г — a) f (г) = А__п-\-	А__± (z — а)п -|- (z а) ср (z)
§ 17]
ВЫЧЕТЫ
173
в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство
п—1 раз; получаем:
1(Z — a)nf(z)](n^ 1} = (п— 1)! А_г + [(Z — а)> (г)]*”"1).
Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так
как для (г — d)ny(z) точка а является нулем кратности не
ниже п (при каждом дифференцировании кратность нуля
понижается на единицу), следовательно, в пределе при
z —>а получим:
lim [(г —а)п/(2)](и-1) = (п— 1)!A_V
z-> а
откуда
4-z->a
Таким образом, если а есть /г-кратный полюс для /(г), то
Res Л2) = lim & — «)”/(2)]<и'°.	(3.57)
a	Ч г->а
Из
ранее
простого полюса.
Пример.
1
этой формулы при п = 1 легко получить выведенную
формулу (3.55) для вычисления вычета относительно
п(п-1)
<z-t)n
1
Res
i (z'2 + l)n
lim
(72-1)! z->iL(^+l)n J
(n-l)
- lim
(тг-1)! z -> i
L(?+z)«
i lim	.
(л—1)!г->г	(z	*
1
(-1)” 4(n+l)...(2n-2) = _1_	(2л-2)!	(3 5Г)
(л — l)!(2z)2n l '	i 22”1 [(я — l)'j^ 'V'	’
Приложение вычетов к вычислению несобственных
интегралов
Пусть /(г) — функция, имеющая выше действительной
оси лишь конечное число особых точек я, , k (рис. 45)
и не имеющая особых точек на действительной оси. При /?,
достаточно большом, точки а, Ь, . . ., k будут лежать внутри
174
Айалйтйчёскйе ФУНКЦИИ
[гл. Ill
верхнего полукруга радиуса /? с центром 0. Имеем (С обо-
значает контур полукруга):
& f(z)dz — 2irz [Res/(z) 4~ Res/(z) 4~ . . . 4-Res/(z)]; (3.58')
J	а	Ь	к
С
НО
§f(z)dz= J f(x)dx-\- f f(z)dz
X	~R	t
где — верхняя полуокружность радиуса R с центром 0.
Если при z —> оо (в верхней
р	полуплоскости) /(X) стремится к
1
нулю быстрее, чем — , т. е. если
/ о и	х.	z
/	\	/С2) = —— > где а (г) —> 0 при z —> оо
Д_________।_______У- (в верхней полуплоскости), то
lim f f(z) dz — 0.
Рис. 45.	я->оо J J v
4
В самом деле, для всякого е найдется такое Л > 0, что
при |г|>Л, j/^0 (z = x-\-iy) имеем |а(г)| < е. Тогда
| f(z)dz
kR = ire,
К
что и требовалось доказать.
Следовательно, из (3.58') в пределе при /?->-[- оо по-
(+оо	R	V
понимая I как lim f I:
J я -> oo 4 /
-oo	-R	/
+ oo
f /(x) dx = 2kZ [Res f(z)-\- . . . -[-Res/(г)].	(3.58)
J	а	к
Итак, если /(г) аналитична в верхней полуплоскости
за исключением конечного числа особых точек, лежа-
щих выше действительной оси, и если при z —> оо (в верх-
§ 17]
ВЫЧЕТЫ
175
ней полуплоскости) f(z) стремится к нулю быстрее, чем — ,
+ оо
то J* f(x)dx существует и равен произведению 2к/ на сумму
— оо
вычетов f(z) относительно особых точек, лежащих в верх-
ней полуплоскости.
В частности, если /(г) имеет в оо нуль кратности ^2,
не имеет особых точек на действительной оси и имеет только
конечное число особых точек выше действительной оси, то
формула (3.58) применима.
В частности, (3.58) применима, если /(г) есть рацио-
нальная дробь, в которой знаменатель не имеет действи-
тельных корней и степень знаменателя превышает степень
числителя более чем на единицу.
Пример 1. Найти J* —
Следовательно,
Корни знаменателя суть ± 1 + L
I dx
Пример 2. Найти |	2 _j_ । п ' Корни знаменателя суть ± I
(кратности п), следовательно, учитывая (3.57'), получаем:
dx о . D 1
-------= 2к/ Res-------
г (г2+1)п
(2п - 2)!
22"~2 [(« — 1)!J2
1 - 3  (2п—3)
Л2-4 ... (2« —2) ‘
176
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Приложение основной теоремы Коши
к вычислению несобственных интегралов
Не останавливаясь на общих соображениях, вычислим
в качестве примера такого приложения интегралы Френеля
{-со	4-оо
J* cos (х2) dx\ J* sin (х2) dx.
о	о
Рассмотрим целую функцию elz. По теореме Коши инте-
грал по всякому спрямляемому замкнутому контуру от этой
функции равен нулю; в
Рис. 46.
частности, равен нулю интеграл
по контуру сектора ДОВ(рис. 46).
Следовательно,
f e^dz — f + /+ J = 0-
О ABO	О A	AB BO
Имеем
R
J* eiz<idz= J* eix* dx.
oa	о
Комплексное параметрическое уравнение дуги АВ есть
z =	следовательно,
7С	К
т	т
I’ eiz2 dz= § e^^lRe^ d<? = iR j* е~я’sin 2?+i <Д2 008 2<p+'p>iZcp,
AB	О	0
2	тс
откуда (учитывая неравенство sin 0 > — 0 при 0<В<-2-)
eiz" dz
АВ
г	7°
• e-R* sin 2о	Д £ гс _ _L
О*	О
и поэтому j eiz*dz->§ при R —> оо.
4#
§ 17]	вычеты	177
Комплексное параметрическое уравнение отрезка ОВ
есть
г = ре 4 , 0 р	R;
следовательно,
eiz2dz = е4 j* е~Р2dp,
ов	о
откуда [считая известной формулу (4.10) главы IV]
eiz* dz j* е~ р2 dp = при R —> оо.
ов	о
Из сказанного заключаем, что, переходя в равенстве
J е** dz = Q
ОАВО
к пределу при R -> сю, получим:
4" оо
J	AeT==|^/|(i+z).	(3.59)
О
причем попутно устанавливается сходимость этого несоб-
ственного интеграла.
Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдем:
+ оо	_ ____________
J e-^dx = ^-e~^=^yrу(1-0.	(3.59')
О*
Отделяя действительную и мнимую части в (3.59), по-
лучим: •
+ оо	+ оо	- 
j cos(x2) dx = J sin (x2) dx = у J/ y, (3.60)
o' .	о
откуда (вследствие четности подынтегральных функций)
<4 оо	+ оо	_
j cos(x2)dx = J sin (x2) dx = у.	(3.60')
J2 Зак. 1944. П. И. Романовский
178	АНАЛИТИЧЕСКИЕ функции	[гл. ш
§ 18. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Пусть /(г) — мероморфная функция в области, ограни-
ченной простым замкнутым контуром С, и на нем, не имею-
щая нулей и полюсов на С. Так как
ТО
^у^-^ = [Ьп/(г)]с>
С
где правая часть обозначает приращение, которое получает
Ln/(г), когда точка z описывает контур С в положитель-
ном направлении. Но
Ln f(z) = In | f(z) | + i krgffz)
и 1п|/(г)|, как непрерывная однозначная функция, после
обхода С возвращается к своему первоначальному значе-
нию, поэтому
[Ln/(£)]c = i[Arg/(/)]c
И
2лГ/(?) dZ = 2^
с
С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах
С
где N — число нулей и Р — число полюсов функции f(z),
лежащих внутри С (с учетом их кратностей). Таким обра-
зом, получается правило, известное под названием принципа
аргумента.
Если /(г) мероморфна в области, ограниченной простым
замкнутым контуром С, и на нем и если /(г) не имеет на
этом контуре нулей и полюсов, то разность между числом
нулей и числом полюсов (с учетом их кратностей) функ-
ции /(г), лежащих внутри С, равна полному числу оборо-
тов вокруг нуля, совершаемых вектором точки f(z), когда
§ 18]
ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
179
точка z описывает контур С в положительном направле-
нии, т. е.
N-Jp = J-[Arg/(^)]c.	(3.61)
С помощью, принципа аргумента легко доказывается
Теорема Руше. Если /(г) и ср (г)— аналитические функ-
ции в области, ограниченной контуром С, и на нем и во
всех точках контура С выполняется неравенство |/(г)| >
>|ср(г)|, то f (г) и /(г)-|-ср (г) имеют внутри С одинако-
вое число нулей (считая каждый нуль столько раз, какова
его кратность).
Доказательство. Из условия теоремы видно, что
f (г) и / (г)-|-ср (г) не имеют нулей на С, ибо при z на С
имеем |/(г)|>|?(г)|>0; |/(О + ?(О1>|/(О| —|?(О1 >0.
Пусть N — число нулей функции /(г), лежащих внутри С,
N— число нулей функции f(z) ? (Х)> лежащих внутри С.
По принципу аргумента имеем:
<V = ^|Argl/« + ?Wl|c = i|A,g[/W(l+|g)])c-
- i । А« «<+ i [АЧ + тМ=i 1Arg/<* “
ибо, когда точка z
учитывая, что ^Arg	= 0,
описывает С, точка 1 4- описы-
1 /U)
вает путь, лежащий внутри круга ра-
диуса 1 с центром 1 (рис. 47), так
как на С j < 1» что и требова-
лось доказать.
Отметим некоторые . следствия из
теоремы Руше.
Пусть f(z) — аналитическая функ-
ция в области, ограниченной замкнутым
контуром С, и на нем, не имеющая
нулей на С. Тогда, если (п = 1
,2,3,...) аналити-
ческие функции в области, ограниченной контуром С, и на
нем и fn(z)-+ f(z) равномерно на С, то при п, достаточно
большом, число нулей (с учетом их кратностей) функции
12*
180	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
fn(z) внутри С равно числу нулей (с учетом их кратно-
стей) функции /(г) внутри С (теорема Гурвица).
В самом деле, очевидно, т = min |/(г) | > 0, ибо /(г)
с
не имеет нулей на С, поэтому найдется такой номер А/,
что при п > N и z на С будем иметь |/п(г) — /(г)|<т,
но тогда в разложении fn (г) = f(z) + [fn (z)—f(z)] модуль
второго слагаемого правой части будет меньше модуля
первого для всех z на С, и, следовательно, по теореме
Руше число нулей fn(z) внутри С будет равно числу нулей
f (z) внутри С, что и требовалось доказать.
Пусть а — какое-нибудь комплексное число, ^-точками
функции /(г) называются такие значения z, для которых
знамение /(г) равно а. Иначе говоря, я-точки функции f(z)
суть нули функции f(z)^-a. Так как нули аналитической
функции, не равной тождественно нулю, изолированы, то
я-точки аналитической функции, не равной тождественно а,
изолированы. Говорят еще, что я-точка функции f(z) имеет
кратность п, если она есть n-кратный нуль для /(г) — а.
Пусть /(г) — непостоянная аналитическая функция и
zQ — /г-кратная я-точка этой функции. Так как я-точки
изолированы, то на окружности у достаточно малого ради-
уса с центром Zq и внутри нее не будет находиться других
я-точек. Тогда m = min(/(z) — а | > 0. Если | b—
г
то внутри у будет находиться (с учетом их кратностей)
ровно п /7-точек функции /(г). Действительно, f(z)— b =
= \f(z)—Ь), причем на у имеем \ а—/?|<|/(г)—а\,
следовательно, по теореме Руше число нулей (с учетом их
кратностей) функции f(z) — b внутри у совпадает с таковым
для /(г) — а и, следовательно, равно п (внутри у функция
f(z)— а имеет только один нуль, г0, и его кратность
равна п). Заметим еще, что если, кроме того, радиус р
окружности у достаточно мал (чтобы /'(г)^0 при
0 < |г — z0| < р), то /(г) обращается внутри у ровно п раз
в b и все эти /7-точки — простые (однократные).
Непостоянная аналитическая функция f(г) переводит
открытые множества в открытые. В самом деле, если
f (го) = W то в силу вышеизложенного уравнение f(z) = tw1
имеет внутри как угодно малого круга с центром zQ реше-
ние, если только достаточно близко к w0.
§ 19]	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	181
Из последнего замечания следует, что если /(г) — не-
постоянная аналитическая функция в некоторой области,
то в любой близости к каждой точке zQ этой области най-
дется такая точка что > |/(г0)|. Отсюда вытекает
принцип максимума модуля', если /(г) непрерывна в огра-
ниченной замкнутой области и аналитична внутри этой
области, то | f (г) | достигает своего наибольшего значения
на границе области.
Из принципа максимума модуля непосредственно выте-
кает теорема: если последовательность функций fn(z), не-
прерывных в ограниченной замкнутой области и аналити-
ческих внутри этой области, равномерно сходится на границе
области, то она равномерно сходится на всей области.
В самом деле, так как сходимость на границе — равномер-
ная, то для всякого в > 0 найдется такой номер N, что
при n^N, р > 0 будем иметь \fn+p(z)—	Для
всех z на границе области, но тогда по принципу макси-
мума модуля это неравенство справедливо на всей области
и, следовательно, в силу критерия Коши последователь-
ность fn(z) равномерно сходится на всей области.
§ 19. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Соответствие, по которому каждому элементу а множе-
ства А относится некоторый элемент b множества В (при-
рода элементов множеств А и В безразлична), называется
отображением множества А в множество В. Элемент Ь,
соответствующий а, называется образом элемента а (тогда
а называют прообразом элемента 0.
Отображение, дифференцируемое в данной точке
Мы будем рассматривать отображение области D пло-
скости комплексного переменного в плоскость комплексного
переменного. Такое отображение можно записать формулой
w=/(^), где f (г) — комплекснозначная функция комплекс-
ного переменного г, определенная в области D. Его можно
также записать формулами
и = и (х, у),
v = v(x, у),
182
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
где и (х, у) и v(x, у) — действительная и мнимая части
/(X-j-ty).
Г U = и(х, у),
Определение. Отображение < z ч называется
[ v = v(x, у)
дифференцируемым в данной точке рассматриваемой об-
ласти, если и (х, у) и v(x, у) дифференцируемы в этой
точке.
Таким образом, дифференцируемость отображения в точке
(х, у) означает возможность представлений (о полном диф-
ференциале функций двух действительных переменных см.
§ 6):	’________
Аи = А Ах + В Ау (Дх, Ау) )/*Ах2 Ay2, j
Д^ = СДх + ОДд/Ч-г2(Дх, Ду)/Дх2+Д/, j <'3'62'>
где и е2 стремятся к нулю при |	0 И Где
С, D — некоторые действительные числа (эти числа одно-
. ди ~ ди „ ди
значно определены, причем	, В =	, ^ = ~дх}
р=>£-).
ду '
Дифференцируемое в точке (х, у) отображение
А В
С D
назы-
вается не вырождающимся в этой точке, если
¥= 0.
Лемма. Если отображение, дифференцируемое и невы-
рождающееся в точке Л4, переводит точку Л1 в точку 7V,
то точки, достаточно близкие к М и отличные от Л4,
перейдут в точки, отличные от N.
Доказательство. Правило Крамера показывает, что
если $, т] определить как функции от а, р из линейной
системы
+	+ а =
( а—>0,
то при Ь->0
такое число а >

будем иметь $2 + т12->0, поэтому найдется
венство В2 + т]2 < 1.
0, что при < . , . выполняется нера-
I I И < °
§ 19]	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	183
Выберем теперь о>0 так, чтобы при У”Дх2 + ду <8
выполнялись неравенства
Тогда при О < /Дх2 + Ду2 < 8 числа Azz, одновременно
не обращаются в нуль. Действительно, в противном случае
кх	Ду
числа £ = —г -	 — , ri = ——	....- удовлетворяли бы
У Дх2 + Ду2	V Дх2 + Ду2
системе
се+07) + е2 = 0, )
где
Ы<°> ls2|<°> £2-W = i>
что противоречит определению числа а.
Пусть отображение <w = f(z) дифференцируемо и не
вырождается в точке z. Тогда в силу леммы найдется такое
В > 0, что при 0 < | kz | < В будем иметь | Aw | #= 0. По-
ложим
Дд = гТ (г>0; у = аН-/?; |у| = 1),
Дw = рХ (р > 0; Х = |л-|-/у: | X | = 1).
Из (3.62) следует:
рц = Дга4-Вг?-|-г81> |
}	(о.Оо)
р\ = Cra-\- Drfi re2, J
где
в1 = е1(га, г?),
е2 = г2 (га, г?).
Возводя в квадрат и складывая, получим:
Р2 = г2 [(Да + В,3 + sx)2 + (Са + D? + е2)2],
у = V(Ла 4- В,3 + $1)2 + (Са + D? + е2)2.
Пусть С = 5-|-/7]; [£|= 1. Тогда
нт 4=у(де+вт^+са+^т))2 = Р <д,	(з.64)
r-»'O г
причем стремление у к /?(Q равномерное относительно
184
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Эту непрерывную положительную функцию p(Q от ком-
плексного числа С с единичным модулем назовем индикат-
рисой растяжений рассматриваемого отображения в точке z.
Далее, умножая второе из равенств (3.63) на i и скла-
дывая с первым, получим:
РЛ = г [(Д + 1С) а + (S + /£)) ? + + /г2Ь
Отсюда, учитывая (3.64), найдем:
lim . = U + ^S + tB + .-OH ? (01	(3 65)
r->0	Р
причем стремление К к #(С) — равномерное относительно С
Эту непрерывную функцию q(Q) от комплексного числа С
с единичным модулем, значения которой суть комплексные
числа с единичным модулем, назовем индикатрисой враще-
ний рассматриваемого отображения в точке z.
Пусть S — произвольное отображение области D пло-
скости комплексного переменного в плоскость комплексного
переменного, переводящее точку М в точку N. Обозначим
через переменную точку области D, отличную от М,
и через ту точку, в которую переходит М± при ото-
бражении S.
Пусть т — «направление», выходящее из точки М.
Будем говорить, что отображение S имеет в точке М по
«направлению» т коэффициент иска-
/ жения масштаба х, если (рис. 48)
% NN
X°м' I (MMV т) -+ О
РХ
В частности, если функция, осущест-
Рис. 48. вляющая отображение S, непрерывна в
окрестности точки М и если S имеет
в точке М по «направлению» т коэффициент искажения
масштаба х, то всякая дуга, выходящая из М и касающаяся
в этой точке луча т, переходит в некоторую дугу, выхо-
N7	MV1
дящую из N, причем отношение хорд стремится к х,
когда длина хорды стремится к нулю (рис. 49)»
§ 191
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
185
Если S таково, что при Л/11, достаточно близкой к 7И,
точка отлична от точки N, то будем говорить, что
отображение S переводит, «направление» т, выходящее
из М, в «направление» п, выходящее из N, если (рис. 50)
f -> М,
при {	имеем (ЛШ1} п)—> 0.
( (МЖР /п) —> 0
В частности, если функция, осуществляющая отображе-
ние S, непрерывна в окрестности точки М и если S пере-
водит «направление» /п, выходящее из точки 7И, в «напра-
вление» п, выходящее из то
дуга, выходящая из М и ка-
сающаяся в этой точке луча т,
переходит в некоторую дугу,
выходящую из N и касаю-
щуюся в этой точке луча п.
Изложенное выше показы-
вает, что если отображение S
дифференцируемо и не вырож-
N, то (рис. 51) всякая
дается в дочке М, то S имеет
в точке М по каждому «направлению» т положительный
коэффициент искажения масштаба и каждое «направле-
ние» т, выходящее из М, переводится в некоторое «на-
правление» п-, выходящее из N. Именно, по «направле-
нию» /п, образующему с действительной осью угол а,
коэффициент искажения масштаба равен p(eia) и «направ-
ление» т переводится в «направление» п, образующее
с действительной осью угол Ь, определяемый из равенства
eib = q (eia).
186
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
Отображение, конформное в данной точке
Теорема. Чтобы дифференцируемое и невырождающееся
в данной точке отображение имело в этой точке постоян-
ную индикатрису растяжений, необходимо и достаточно,
( A = D,	{ A = — Df
чтобы в = _с или
Доказательство. Если р (С) = const = р, то
(А? + Вт;)2 + (С$ + Вт;)2 = р2 = р2 (S;2 + т;2)
при В2 -Н т;2 = 1. Умножая это равенство на любое 4 О
и полагая X=Rz, Y — Ry, получим тождество
(АХ 4 BY)2 -j- (СХ+ DY)2 = р2 (X2 + У2)
или
(А2 + С2 — р2) X2 + 2 (АВ Н- CD) XY+
+ (В2 + D2 — р2) Y2 = 0;
следовательно, все коэффициенты этой квадратичной формы
должны быть равны нулю, откуда А2-\-С2 = В2D2,
AB~\-CD = 0 или
A2^_B2 = D2 — С2,
AB = — CD.
Умножая второе получим:	равенство на 21 и складывая с первым, (A4-tB)2 = (D — iC)2, AAriB = ±{D — iC). [A = D,	(A =—D,
Следовательно,	“б0 1b = -c, “6o (b = c.
Обратно, пусть	( A = ±£>, \b=^c- тогда
(A$+B7;)2 + (Ce+£»7i)2 =
= (АВ Ст;)2 4- (СЧ ± Ari)2 = A2 -j- С2
при
$24.4 = 1.
§ 19]	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Следовательно,
187
р (Q = Ул2 + С2 = const = р,
что и требовалось доказать.
Замечание. Если индикатриса растяжений постоянна,
то индикатриса вращений имеет вид kZ или kC (k постоянно;
|&|= 1). Обратно, если индикатриса вращений имеет вид kZ
или kZ (k постоянно), то индикатриса растяжений постоянна.
В самом деле, если р (Q = const = р, то по предыдущей
теореме имеем
( B=q=C,
и поэтому
(Л + /С)^ + (В + /О)71=(Л + /С)^ + (-рС±/Л)т] =
следовательно, q(^) = kZ или 7(С) = &', где k =—,
]£|=1. Обратно, если q(Q = k^ или 7(C) = где
k = const =	то, сравнивая действительные и мни-
мые части в равенстве
(А + iC) 1 + (В+Ю)^р (0 (k, + ik2) (В ± iri)
и рассматривая получающиеся соотношения как линейную
однородную систему относительно £, т] (которые одновре-
менно не обращаются в нуль), заключаем, что ее опреде-
литель равен нулю. Это значит, что F [p(Q] = 0, где
В(р)*=
А — kxp B±k2p
С — k2p Dz^.k1p
и таким образом значениями непрерывной функции р(С) могут
быть лишь корни полинома второй степени F (/?); следова-
тельно, р(С) тождественно равно одному из этих корней.
Определение. Дифференцируемое и невырождающееся
в данной точке отображение называется конформным в дан-
ной точке, если в этой точке индикатриса растяжений по-
стоянна (эта постоянная называется коэффициентом иска-
жения масштаба в данной точке).
В силу предыдущего замечания индикатриса вращения
конформного в данной точке отображения либо имеет
188
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
вид (тогда отображение называется конформным 1-го рода
в рассматриваемой точке), либо имеет вид k\ (тогда ото-
бражение называется конформным 2-го рода в рассматри-
ваемой точке).
М	N
N,
Остановимся на геометрическом смысле введенных по-
нятий. Пусть отображение w= /(<г), конформное в точке Л4,
переводит точку 7И в точку N.
Тогда (учитывая, что предельный
переход в (3.64) равномерен отно-
сительно Q	—*Р при	—> Л4
(рис. 52), где р — коэффициент
искажения масштаба в точке М.
Пусть т1 и т2— какие-ни-
будь «направления», выходящие
из М под углами и а2 к
действительной оси. Им соот-
гь± и zz2, выходящие из N под
некоторыми углами и Ь2 к действительной оси. В слу-
чае = получаем (по.
k — eic):
— ei (c+ao
.. gi (c
поэтому (при надлежащем
боре b2)
b2 — Ь1=-а2 —
или (рис. 53)
(«к «2) = (/П1, т2).
Рис. 52.
ветствуют «направления»
Рис. 53.
Это показывает, что при конформном отображении 1-го
рода углы между «направлениями,» сохраняют величину и
ориентацию. В случае = получим (полагая k = eic):
eibi — (c-cij)
gibi — ei (c-aa)
ei (b^ -bi) —
§ 19]	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
189
поэтому (при надлежащем выборе /?2)
#2 — b± = а± — а2
или (рис. 54)
(zzi, zz2) = (/n2, mt).
Это показывает, что при конформном отображении 2-го рода
углы между «направлениями» сохраняют величину, но ме-
няют ориентацию. Наконец (учитывая, что предельный пере-
ход в (3.65) равномерен относительно Q, находим, что
(рис. 55)
(AWP TVTV2) —> z±z ср
при
М2 -> Л4,
(maQwm2) ->’ср
(верхний знак — для конформ-
ного отображения 1-го рода,
нижний — для конформного
отображения 2-го рода).
В частности, если не-
прерывна в некоторой окрест-
ности точки 7И, то в случае конформного отображения
1-го рода (2-го рода) в точке М две дуги, выходящие из М
(рис. 56) и пересекающиеся в этой точке под углом ср,
переходят в две дуги, выходящие из N и пересекающиеся
в этой точке под углом ср(—ср).
м±^м,
190
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Заметим теперь, что условия
[ A = Dt [ A= -D,
<	и \
1 в =—с	[ в = с
являются условиями Коши — Римана соответственно для f(z)
Г A =
и /(г) и что при
условие невырождения ото-
бражения состоит в том, чтобы А и С одновременно не
обращались в нуль, так как
А В
С D
Л^С
С±А
= ±(Д2 + С2).
Поэтому из предыдущей теоремы и результатов § 6 непо-
средственно вытекает
Теорема. Для того чтобы отображение w=/(2) было
конформным 1-го рода (2-го рода) в данной точке, необ-
ходимо и достаточно, чтобы f(z) (/(г)) была дифференци-
руема в этой точке и имела в ней производную, отличную
от нуля
Пусть /(г) дифференцируема в данной точке г и в этой
точке fr (г)^0, тогда отображение <w = f(z) будет кон-
формным 1-го рода в точке г, причем
р =	= | А + iC | = \f' (z) |;
Ь — -A -j- iC — f' (O — gi Arg/” (г)
P ~\f&\
Таким образом выявляются:
1) r e о м e т p и ч e с к и й смысл модуля произ-
водной:
Если в данной точке /'(г)^0, то |/' (г)| есть коэф-
фициент искажения масштаба в этой точке отображения
w = /(z);
2) геометрический смысл аргумента про-
изводной:
Если в данной точке fr (г)О, то kxgf'(z) есть угол,
на который поворачиваются все «направления», выходящие
из этой точки при отображении ^ =/(,?).
§20]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
191
В дальнейшем конформное отображение 1-го рода будем
просто называть конформным.
Примечание. Если рассматривать отображение
<w=f(z) области D полной плоскости комплексного пере-
менного в полную плоскость комплексного переменного,
переводящее точку в точку w0, то данное ранее опре-
деление конформности отображения в точке г0 теряет смысл,
если хотя бы одна из точек г0, w0 есть оо. Если z0 ко-
нечно, w0 = oo, то отображение w = /(z) называется кон-
формным в точке г0, когда отображение w = конформно
в точке г0. Если zQ = оо, то отображение w=f(z) назы-
вается конформным в точке z0, когда отображение w =
конформно в точке 0. Пользуясь отображением ш =
можно говорить о «направлениях», выходящих из точки
z = оо при помощи соответствующих «направлениий», вы-
ходящих из точки w = 0. Заметим еще, что с помощью
стереографической проекции (см. § 16) точку оо можно
сделать равноправной с конечными точками.
§ 20. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
Общие замечания о действиях над отображениями
Пусть S— отображение множества А в множество В,
Т — отображение множества В в множество С (природа эле-
ментов всех этих множеств безразлична). Тогда произведе-
ние TS отображений’ 5 и Т определяется как такое ото-
бражение множества А в множество С, которое является
результатом последовательного выполнения S нТ. Это зна-
чит, что (ТS) (а) == Т [S (а)] для всякого а из А. Произве-
дение отображений обладает сочетательным свойством
и (TS) = (UT) S.
Если 5 — взаимно однозначное отображение множества А
на множество, В (это значит, что каждый элемент из В имеет
ровно один прообраз в А), то можно говорить об обрат-
ном отображении S"1 множества В на множество А (если
каждому элементу из В отнести его прообраз в А).
192
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Если каждому элементу из А отнести этот же элемент,
то получим тождественное отображение Е множества А
на себя. Очевидно, = Аналогично, = E (здесь
Е— тождественное отображение В на себя).
Если 5 и — взаимно однозначные отображения А на В,
Т — взаимно однозначное отображение В на С, то из ТS—TSA
следует 5 = ^. В самом деле, последовательно находим:
T~l (TS) = T~l (TSJ,
St,
ES = ESi,
S = SV
Аналогично из = найдем T = TV
Однолистные функции
Функция f(z), определенная в некоторой области, назы-
вается унивалентной на некотором множестве (входящем
в область определения), если разным точкам этого множе-
ства отвечают разные значения функции.
Мероморфная (в частности, аналитическая) функция /(г)
в некоторой области D называется однолистной в £), если
она унивалентна на D.
Если мероморфная функция /(г) однолистна в области D,
то в каждой регулярной точке этой области производная
отлична от нуля. В самом деле, если в некоторой точке z0
/' (zo)“O, то z0 будет ^-точкой кратности выше
первой, а тогда в силу одного из следствий из теоремы
Руше (см. § 18) при Ь, достаточно близких к a, f(z) более
одного раза принимает значение Ь, что противоречит уни-
валентности.
Однолистная функция /(г) в области D может иметь
не более одного полюса, причем этот полюс может быть
только простым. В самом деле, если г0—полюс для f(z),
1 1
то z(}— нуль для тт-т, а так как тоже однолистна, то
0 J	/(г)’	/(г) j
по доказанному zQ—простой нуль для и, следовательно,
простой полюс для f(z).
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	193
Всякая аналитическая функция f(z) однолистна в доста-
точно малой окрестности каждой точки, в которой произ-
водная отлична от нуля.
В самом деле, пусть /'(г0)	0> тогда если бы ни в ка-
кой окрестности zQ f(z) не была однолистна, то нашлись бы
такие последовательности точек ап и Ьп, что an->zQi bn-*zQi
ап=/=Ьп, f(arb)=f(Pn)- Пусть тогда у — окружность с цен-
тром Zq и радиусом р, где р таково, что f(z) =/= /(г0) ПРИ
0<|г — z0|<:p. Очевидно, f(z)—f(z^) имеет внутри у
только один нуль (с учетом кратности) и не имеет нулей
на у. Но f(z)——/(^о) равномерно на у, сле-
довательно,— по теореме Гурвица — при п, достаточно боль-
шом, f(z)—ftttri) имеет внутри у тоже лишь один нуль
(с учетом кратности), и мы получаем противоречие, ибо при
достаточно большом п эта функция имеет внутри у нули ап
И Ъп.
Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно
малой окрестности каждого простого полюса. В самом деле,
если z§—простой полюс для f(z)9 то z$—простой нуль
ДЛЯ /(*)
По доказанному
1
/(*)
однолистна в некоторой
окрестности точки г0, следовательно, f(z) однолистна в этой
же окрестности.
Замечание 1. Если f{z) мероморфна в полной плоско-
сти, то f(z) есть рациональная функция.
В самом деле, пусть zt, ..., zn—полюсы f(z) (число
их ^0 и, конечно, среди них может быть сю). Вычитая
цз f(z) сумму главных частей f(z) в полюсах zv ..., zn,
получим функцию, 'аналитическую в полной плоскости, но
таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Сле-
довательно, f(z) равна сумме постоянной и своих главных
частей в полюсах zt, .. .-, zn.
Таким образом, f(z) рациональна.
Замечание 2. Если f(z) мероморфна и однолистна в пол-
ной плоскости, то f(z) есть линейная функция (т. е. вида
az -|- д\
cz + d)'
В самом деле, f(z) может иметь не более одного полюса
и таковой может быть лишь простым. Как мы видели в пре-
13 Зак, 1944. П, И. Романовский
194
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
дыдущем замечании, /(г) равна сумме постоянной и главных
частей f(z) в ее полюсах; следовательно, в рассматриваемом
случае f(z) может лишь иметь вид с -ф- - k - (если есть
конечный полюс a), c-{-kz (если оо есть полюс). Случай
отсутствия полюсов не может представиться, ибо в этом
случае f(z) была бы постоянной.
Итак, /(г) линейна. Заметим, что значениями f(z)
будут все точки полной плоскости.
Отметим еще один факт, относящийся к однолистным
функциям. Если f(z) однолистна в области, полученной
выбрасыванием из D некоторого множества точек, не имею-
щего предельной точки внутри £), то после надлежащего
доопределения в точках этого множества f(z) станет одно-
листной в области D.
Действительно, точки упомянутого множества являются
изолированными особыми для /(z). Учитывая одноли-
стность f(z) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти
особые точки не могут быть существенно особыми, следо-
вательно, в них f(z) естественным образом доопределяется
и становится мероморфной в D. Если бы она в двух точ-
ках D принимала одинаковое значение at то в любой бли-
зости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно
близкие к а значения, что противоречит однолистности f(z)
в ее первоначальной области определения.
Конформное отображение области на область
Определение. Взаимно однозначное отображение w == f(z)
области D на область А, конформное в каждой точке обла-
сти D, называется конформным отображением области D
на область А (речь идет об областях на полной плоскости).
Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) одно-
листная функция f(z) в области D дает конформное отобра-
жение w = f(z) области D на соответствующую ей область
значений функции f(z).
Это следует из того, что производная однолистной функ-
ции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и воз-
можный полюс — простой), и из того, что отображение
конформно в точке, если выполняющая отображение функ-
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	195
ция имеет в этой точке отличную от нуля производную
(или простой полюс).
Для практического построения конформных отображений
областей полезна
Теорема. Если f(z) аналитична в области, ограниченной
простым замкнутым контуром С, и на нем и если f(z) уни-
валентна на С, то w=f(z) будет конформным отображе-
нием области, ограниченной простым замкнутым контуром С,
на область, ограниченную простым замкнутым контуром Г,
который описывает точка /(г), когда точка z описывает С.
Доказательство. Пусть а — точка внутри (вне) Г.
По принципу аргумента число корней уравнения f(z)—я=0,
лежащих внутри С, равно
^{Arg[/(z) — а]}с,
а это число (из геометрических соображений) равно z+z 1 (0).
Это показывает, что внутри С f(z) принимает ровно один
раз каждое значение, лежащее внутри Г, и не принимает
значений, лежащих вне Г. Так как множество значений f(z),
когда z принимает всевозможные значения внутри С,— от-
крытое, то значениями f(z) не могут быть точки контура Г
(ибо в противном случае некоторые точки вне Г оказа-
лись бы значениями f(z), что невозможно). Итак, когда z
пробегает все точки, лежащие внутри контура С, f(z) по
одному разу пробегает все точки, лежащие внутри кон-
тура Г, что и требовалось доказать.
Линейные преобразования
Линейные преобразования
&Z "4“ Ь I # & I / л	/о сс\
™ =. ¥= о	(3.66)
cz 4- d I с d I
являются единственными конформными отображениями пол-
ной плоскости на полную плоскость. Преобразование,
обратное линейному, также линейно, произведение линей-
ных преобразований также является линейным преоб-
разованием. Всякое линейное преобразование (3.66) опре-
13*
196
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
(а
с отличным от нуля определителем, причем матрицы
d)
а Ь\	/ ai
,) И	,
С <4	V1 “1.
только тогда определяют одно линейное преобразование,
когда их элементы пропорциональны. Если L определяется
fa	-1	(—с а\
матрицей (	), то L определяется матрицей (	).
\ с cl j	\ а о j
Линейное преобразование (3.66) называется целым, если
с = 0, дробным, если с #= 0.
Заметим, что если w = az-\- b = a(z-\-^\, где а Ф 0,
\ л /
i b
to w можно получить, исходя из z, так: zi = z\~^^
w = azt.
Заметим, что если
az + b__ a j be — ad
cz-^-d с ’ 9/ । d\ ’
с2(г+т)
где с Ф 0,
то w можно получить, исходя из z, так:
. d	1	be — ad	, а
zi = z~\—;	^2 = —; z^ =-----------z2>	=	•
1	1 с ’	4 zx ’	3 c2 4	6 1 c
Из этих замечаний следует, чта всякое линейное преобра-
зование можно разложить в произведение линейных преоб-
разований частных видов
•w = z + а\ w — az (а =£ 0); w = у.
Еще заметим, что если число а =# 0 представить в показа-
тельной форме а = Re^, то !w = az можно получить, исходя
из z, так: zr = e^z\ w = Rz. Наконец, w — — можно полу-
1 —
чить, исходя из z, так: zx= —, w~zx.
§ 20]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
197
Из сказанного следует, что всякое линейное преобра-
зование можно разложить в произведение преобразований,
каждое из которых относится к одному из пяти видов:
<w = z-\-a\ <w = eiiz\ w = Rz; w = w = z, (3.66z)
z
где a =	— комплексное число, у — действительное
число, R—положительное число. Эти преобразования могут
быть переписаны так (полагая z — x-{-iy, w = и-\- iv):
и = х-]-а, Г zz^xcosy—у sin у,
I v — xsin y + jcos y;
f __ x
и = Rx,	I a x2 + y2 ’	f и = x,
v = Ry,	j  У .	| v = — V
I *3 + y3’
и называются соответственно: параллельным переносом,
поворотом, подобием, инверсией, симметрией.
Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости
будем называть окружности и прямые. Через каждые три
различные точки полной плоскости проходит единственная
окружность (в широком смысле).
Теорема. Всякое линейное преобразование переводит
каждую окружность (в широком смысле) в некоторую окруж-
ность (в широком-смысле).
Доказательство. Так как всякое линейное преобра-
зование разлагается в произведение преобразований, отно-
сящихся к упомянутым выше пяти видам, то достаточно
показать, что преобразования этих пяти видов переводят
окружности (в широком смысле) в окружности (в широком
смысле). Это очевидно для параллельного переноса, поворота,
подобия, симметрии. Остается проверить это для инверсии.
Уравнение, какой-нибудь окружности (в широком смысле)
можно записать в виде
А (х2 + /)4- Вх-\- Су 4- D = 0
198
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
(Л, В, С, D — действительные числа; при А Ф 0 — это окруж-
ность, при 4 = 0—это прямая). Из соотношений
Л	V2 >
___ V
У U2 -j- V2
(преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия)
найдем, что образ этой окружности (в широком смысле) имеет
уравнение
D(u2 + v2)4-Bu-i-Cv-i-A = 0
и, следовательно, тоже является окружностью (в широком
смысле), что и требовалось доказать.
Всякое нетождественное линейное
либо одну, либо две неподвижные
переходящие в себя).
В самом деле, в случае дробного
az 4- Ь
вания w—------1
преобразование имеет
точки (т. е. точки,
линейного преобразо-
----i—- его полюс и точка оо не являются не-
cz а
подвижными точками, а отличная от них точка будет
az + b
неподвижной, если удовлетворяет уравнению z — 'C2^d
(квадратное уравнение); в случае целого линейного преобра-
зования <w = az-\-b точка оо является неподвижной точкой,
а конечная точка будет неподвижной, если удовлетворяет
уравнению z = az-\rb (уравнение степени не выше первой).
Таким образом, нетождественное линейное преобразова-
ние в обоих случаях имеет либо одну, либо две неподвижные
точки.
Теорема. Если zlt z2, z3— какие-нибудь три различные
точки полной плоскости и w2, w3 — тоже какие-нибудь
три различные точки полной плоскости, то существует
единственное линейное преобразование, переводящее zv z2,z3
соответственно в w2, ^3-
Доказательство. Сперва заметим, что не суще-
ствует различных линейных преобразований L и /И, пере-
водящих zlt г2, z3 соответственно в w2, w3, так как
в противном случае MVL было бы нетождественным
линейным преобразованием с тремя неподвижными точ-
ками zv z2, z3, что невозможно.
§ 20] конформные отображения областей	199
Непосредственно проверяется,
вание AZ1,za,s3, где
что линейное преобразо-
1	ем тЧ 1 1 ел ел	* —*1 z — z^	если	zv zs конечны,	
Lzlf zv z3 (^) = 4	N	»	ft»	N 05	М	05 1	1	1	1 Л*	£		если если	zt = oo, z2 = сю,	(3.67)
	Z —		если	Z3 = СЮ,	
переводит zlt z2i z3 соответственно в 0, оо, 1. Отсюда
следует, что w„ wLZv za, z3 будет линейным преобразова-
нием, переводящим zv z2, z3 соответственно в w2, w3,
что и требовалось доказать.
Понятие симметрии относительно прямой хорошо известно.
Введем теперь понятие симметрии относительно окружности.
Определение. Пусть С — окружность с центром О и
радиусом R. Точкой, симметричной какой-нибудь точке Р
относительно окружности С, называется точка Р\ обла-
дающая свойствами: 1) Р и Р* лежат на одном луче, выхо-
дящем из центра окружности С; 2) OP-OP* = R2.
Если Р совпадает с центром окружности С, то пола-
гают оо, и обратно. Если Р* симметрична Р, то Р
симметрична Р*.
Лемма. Если Р и Р* — симметричные точки относительно
окружности (в широком смысле) С, то всякая окружность
(в широком смысле), проходящая че-
рез Р и Р*, ортогональна С. Обратно,
всякая окружность (в широком смы- С f
еле), проходящая через Р и ортого- I	1
нальная С, проходит через Р*.	\	\у J
Доказательство. Пусть х.
(рис. 57) Г — окружность, прохо-
дящая через- Р и Р*, и ОМ — каса-	Рис- 57.
тельная к Г, проведенная из центра
О окружности С. По известной теореме элементарной
геометрии ОМ2 = ОР • ОР*. Но ОР • OP* = R2, откуда
OM = R. Следовательно, точка М лежит на С и Г орто-
гональна С.
200
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Пусть (см. рис. 57) теперь Г — окружность, проходящая
через Р и ортогональная С, М— точка пересечения С и Г,
Р* — вторая точка пересечения Г с прямой ОР. Тогда ОМ
будет касательной к Г и, следовательно, R2=OM2—OP-ОР*,
откуда следует, что Р* есть точка, симметричная Р отно-
сительно С. Теорема становится тривиальной, если либо С,
либо Г есть прямая, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть точки Р и Р* симметричны относи-
тельно окружности (в широком смысле) С; точки Q и Q*
симметричны относительно окружности (в широком смысле) Г.
Тогда линейное преобразование, переводящее С в Г и
точку Р в точку Q, переведет точку Р* в точку Q*.
В самом деле, в силу консерватизма углов окружности
(в широком смысле), проходящие через Р и ортогональные С,
перейдут в окружности (в широком смысле), проходящие
через Q и ортогональные Г, следовательно, точка пересече-
ния первых Р* перейдет в точку пересечения вторых Q*.
Положим для всяких двух разных точек а, £
г — а
если а, ₽ конечны,
^а, р (^) —
1
----77 , если а = со,
Z —₽
г — а, если р = оо.
(3.68)
Очевидно будет одним из линейных преобразований, перево-
дящих а, р соответственно в 0, оо.
Положим еще для всякого К (отличного от 0 и оо)
LK (z) = Kz.
(3.69)
Очевидно Zg есть линейное преобразование с неподвижными
точками 0 и оо, и обратно, всякое линейное преобразование с не-
подвижными точками 0 и оо есть при некотором К (это видно
из выражения Zo> , где f отлично от 0 и оо). Следовательно,
всякое линейное преобразование, сохраняющее точку 0 и переводя-
щее единичную окружность в себя, должно иметь вид Zg- (ибо оо,
как симметричная с точкой 0 относительно единичной окружности,
сохраняется), причем, очевидно, |/<| = 1.
Следовательно, линейное преобразование, переводящее единич-
ную окружность в себя, сохраняющее центр и направление дей-
ствительной оси, есть тождественное преобразование.
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	201
Замечание. Всякое линейное преобразование с двумя непо-
движными точками а, р можно записать в виде
L = L'\LELa>?,	(3.70)
где К отлично от 0 и оо. Обратно, всякое преобразование (3.70)
есть линейное преобразование с неподвижными точками 0 и оо.
В самом деле, если L имеет неподвижные точки а и р
то La^LL~^ будет линейным преобразованием с неподвижными
точками 0, оо, следовательно	= LK, откуда умножением
слева на и умножением справа на получим искомое ра-
венство (3.70).
Обратно,	р при всяком /С, отличном от 0 и оо, будет
линейным преобразованием с неподвижными точками а, ₽.
Для каждого нетождественного линейного преобразования
с двумя неподвижными точками К ¥= 1 и определено с точностью
до замены обратным числом (ибо при перестановке неподвижных
точек К заменяется на -77).
А /
Нетождественное линейное-','преобразование с двумя неподвиж-
ными точками называется гиперболическим, если К положительно
эллиптическим, если |	| = 1, локсодромическим в прочих случаях’
Нетождественное линейное преобразование с одной неподвижной
точкой называется параболическим.
Теорема. Пусть D — одна из двух областей, на которые окруж-
ность (в широком смысле) С делит полную плоскость, Р—точка
в D, т — «направление», выходящее из Р; пусть А — одна из двух
областей, на которые окружность (в широком смысле) Г делит
полную плоскость, Q — точка в А, п — «направление», выходящее
из Q. Тогда существует единственное линейное преобразование
переводящее область D в область А, точку Р в точку Q, «направ-
ление» т в «направление» п.
Доказательство. Сперва заметим, что внутренность или
внешность окружности можно линейным преобразованием перевести
в некоторую полуплоскость (для этого достаточно взять линейное
преобразование, переводящее три разные точки окружности в какие-
нибудь три разные точки, из которых одна оо). Заметим еще, что
в частном случае, когда С й Г, упоминаемые в теореме, являются
прямыми, найдется линейное преобразование, переводящее D в А
и Р в Q, ибо легко получить линейное преобразование L, составлен-
ное из вращения, параллельного переноса и подобия, переводящее D
в полуплоскость у>0 и точку Р в точку I, и аналогичное М,
переводящее А в полуплоскость у>0и точку Q в точку I, а тогда
M~1L переведет D в А и Р в Q.
После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы.
Пусть (Afj) — линейное преобразование, переводящее D (А) в не-
которую полуплоскость £>1(А1); оно переводит точку P(Q) и
202
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
«направление» т(п) в некоторые точку Pi(Qi) и «направление»
тх (/21). Пусть N — линейное преобразование, переводящее внутрен-
ность единичного круга в некоторую полуплоскость Ь; оно переведет
точку О в некоторую точку R, Пусть (Л42) — линейное преобразо-
вание, переводящее (At) вой (Qt) в R', оно переведет
«направление»	выходящее из Рх (Qt), в некоторое «направ-
ление» т2(/22), выходящее из R. Преобразование A3 = N~1A2Z,1
(Л43 =	переводит D (А) во внутренность единичного
круга, Р (Q) в его центр, «направление» т (п) в некоторое направле-
ние т3(/?3), выходящее из центра. Пусть Т—вращение, переводящее
«направление» т3 в «направление» л3; тогда S = M31TL3 будет
искомым линейным преобразованием, переводящим D в А, Р в Q,
т в /г. Остается показать, что не существует двух таких преобра-
зований S и St. Пусть N — линейное преобразование, переводящее
внутренность единичного круга в D, его центр в Р, «направление»
действительной оси в «направление» т. Тогда	переводит
внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направле-
ние действительной оси, следовательно, будет тождественным пре-
образованием Е. Но из	= Е (умножаем слева на А,
справа на А^”1 и, наконец, слева на найдем, что 3 = 3^
Замечание. Если линейное преобразование L переводит окруж-
ность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле) Г
и точку а, не лежащую на С, в точку р, то
L =
при надлежащем выборе К, где а* (р*)— точка, симметричная а (р)
относительно С(Г).
В самом деле,	сохраняет точки 0 и оо, следовательно,
имеет вид LK. Из L^*LL~al = умножением слева на и умно-
жением справа на Ааа* получим искомое выражение для L.
В частности, если Г есть единичная окружность и р = 0, то
р* = оо; но Zo> qq есть тождественное преобразование, следовательно,
в рассматриваемом случае L = LKLaa* при некотором К. Заметим
что тогда при произвольном R это преобразование переведет а в 0
и С в некоторую окружность с центром 0. Поэтому достаточно
потребовать, чтобы некоторое г0 на С переходило в точку с еди-
ничным модулем. Таким образом, общий вид всех линейных преобра-
зований, переводящих С в единичную окружность и точку а, не
лежащую на С, в 0, есть
£ = z^«a«; IKI= |ZJ(^)| -
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	203
где г0— какая-нибудь фиксированная точка на С. Иначе говоря
общий вид таких преобразований есть
7 * (-S’)
= Д где IKI = L	(3-71)
Ча*
Пример 1, Найти всевозможные линейные преобразования,
переводящие единичную окружность в себя и точку а в 0.
Здесь а* = —, следовательно, искомые линейные преобразова-
а
ния будут:
W	, где I к| = 1	(3.72)
az — 1
(ибо если а = ге\ то -i = — ег(? и можно взять г0 = е^).
а Г
Пример 2, Найти все линейные преобразования, переводящие
действительную ось в единичную окружность и точку а в 0.
Здесь а* = а, следовательно, искомые линейные преобразования
будут:
w = К -—= , где | К\ = 1	(3.73)
z— а
Конформные отображения односвязных областей
Формулировка теоремы Римана —Каратеодори. Всякая
односвязная область на полной плоскости, кроме полной плоскости
и полной плоскости с выколотой точкой, может быть конформно
отображена на внутренность единичного круга.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Из теоремы
Римана — Каратеодори следует, что всякие две односвязные обла-
сти D и Д, отличные от полной плоскости и полной плоскости
с выколотой точкой, могут быть конформно отображены одна на
другую. В самом деле, если S и Т — конформные отображения D
и Д на внутренность единичного круга, то T'~1S будет конформным
отображением D на Д. Вопрос о том, насколько многообразны
конформные отображения D на Д, легко решается, если будет
доказана
Лемма Шварца. Если f(z) внутри единичного круга аналитична,
по модулю не превышает 1 и имеет нуль в точке О, то | / (г) |	| z |
при |г|<1, причем либо |/(^)|<|-2'| при 0<|г|<1, либо
у (г) — kz, где- k постоянно и | k | = 1.
у (z)
Доказательство. Так как /(0) = 0, то -- аналитична
при | z | < 1. При | z | = г, где 0 < г < 1 имеем I I •< у, следо-
204
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
вательно, по принципу максимума модуля
|^-|<1при|г|<г.
Переход к пределу при г->1 показывает, что при |г|<1 имеем
| f |^<1. Если в некоторой точке г0|	|=1, то — const =k,
где, очевидно,	В противном случае (а также в предыдущем
случае, когда [Л|<1) имеем
| < 1 при | z К 1. Таким
образом, либо f(z) = kzt где #| = 1, либо | j(z) | < | z | при
что и требовалось доказать.
Следствие. Конформное отображение внутренности единичного
круга на себя, сохраняющее точку О и направление действительной
оси, есть тождественное преобразование.
В самом деле, если w = f(z) есть такое конформное отображе-
ние, то f(z) удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому
| f(z) | < | z | при | z | < 1. Но обратное отображение z = ? (w) также
удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому | ср (w) w при
| w |< 1. Полагая здесь w — f (z), получим | z | < | f (z) | при | z |< 1.
Сравнение полученных неравенств показывает, что | f (z) | = | z |
при |z|<l. Следовательно, по лемме Шварца \f(z)\=kz, где
| &| = 1. Учитывая, что направление действительной оси сохраняется,
находим k — 1 и, следовательно, f (z) = z.
Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия
из леммы Шварца вытекает
Теорема. Пусть D (А) — односвязная область, отличная от пол-
ной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, Р (Q) —
точка в D (А), т (п) — «направление», выходящее из P(Q). Тогда
существует единственное конформное отображение D на А, пере-
водящее точку Р в точку Q и «направление» т в «направление» п.
Доказательство. Пусть S (Т) — конформное отображение
области D (А) на внутренность единичного круга, существующее
в силу теоремы Римана — Каратеодори. Тогда точка Р (Q) и
«направление» т (и) перейдут при этом в некоторую точку Р± (Qt)
и некоторое «направление» тх
Пусть L — линейное преобразование, переводящее единичную
окружность в себя, точку Рх в точку Qx, «направление» т1 в «на-
правление» пг. Тогда T~1LS будет искомым конформным отобра-
жением D на А, переводящим точку Р в точку Q и «направление» т
в «направление» и. Остается доказать единственность такого ото-
бражения.
Пусть S (Т)— конформное отображение D (А) на внутренность
единичного круга, переводящее точку Р (Q) в точку О, «направле-
ние» т (п) в «направление» действительной оси (существование
отображения 5 (7) доказано). Если теперь U — какое-нибудь
конформное отображение D на А, переводящее Р в О и т в и,
то TUS-1 будет конформным отображением внутренности единичного
круга на себя, сохраняющим точку О-и направление действительной
оси. По следствию из леммы Шварца TUS~1 = Е (тождественное
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	205
преобразование), следовательно, t7 = 7~1S, что доказывает един-
ственность U.
Замечание. Если области D и А ограничены окружностями
(в широком смысле), то всякое конформное отображение D на А
будет линейным.
В самом деле, пусть S — конформное отображение D на А.
Какая-нибудь точка М области D и выходящее из нее «направле-
ние» т перейдут в некоторую точку N области А и выходящее
из нее «направление» п. Но мы видели, что существует линейное
преобразование А, которое, как и S, переводит D в А, М в 7V,
т в и, а так как такое конформное отображение единственно,
то S = L.
Формулировка теоремы о соответствии границ при кон-
формном отображении. Если w = f(z) есть конформное отобра-
жение области D, ограниченной простым замкнутым контуром С,
на область А, ограниченную простым замкнутым контуром Г, то
функцию / (г) можно так доопределить в точках контура С, что/(г)
станет непрерывной функцией в замкнутой области, ограниченной
контуром С, и соответствие w = f (г) окажется взаимно однозначным
отображением замкнутой области, ограниченной контуром С, на
замкнутую область, ограниченную контуром Г.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Таким обра-
зом, всякое конформное отображение области, ограниченной простым
замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым конту-
ром Г, индуцирует определенное взаимно однозначное соответствие
между точками самих контуров С и Г.
ГЛАВА IV
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Гамма-функция, или эйлеров интеграл 2-го рода, опре-
деляется (для положительных значений независимого пере-
менного s) формулой
+ оо
Г(«)= f е-^-Чх (s > 0).	(4.1)
О
Интеграл в правой части является несобственным при верхнем
пределе и, кроме того, в случае s < 1 несобственным при нижнем
пределе. Сходимость интеграла (4.1) при всех s > 0 обеспечена,
так как при + показательная функция ех растет быстрее
любой степенной функции и так как интеграл с нижним пределом
О от х~* при а < 1 сходится.
Формула приведения для гамма-функции
(первая основная формула)
Интегрирование по частям дает:
4-оо
Г($—(-1)= У е~хх*(1х~
о
Таким образом, получаем формулу приведения
Г($-Н) = $Г($)	($>0).	(4.2)
§ 1]
ГАММА-ФУНКЦИЯ
207
Отсюда заключаем, что
Г ($) = ($— 1) Г (s— 1) = ($— 1)($— 2) Г (5 — 2) = ...
и вообще
Г($) = (у— 1)(у — 2)...(у — £)Г($ — k) (k<s\ (4.3)
а тогда при натуральном п
Г(п+1) = п(п —1) ... 2- 1 Г(1);
но
Г(1) = I e~xdx = — е~х\ =1,
о	'°
следовательно,
Г (п+1) =1-2.3 . ..п = п!.	(4.4)
Формула приведения (4.2) позволяет выразить значения
гамма-функции для любого положительного $ через ее зна-
чения для у, лежащего между 0 и 1.
Второе выражение гамма-функции
Делая подстановку х = t2, получим:
Г (s) = J* e-xxs~i dx = 2 J* e-Vf^-i-dt
о	о
или, заменяя t на х,
+ со
Г($) = 2 J* e~^x2«^dx	($>()),	(4.5)
о
откуда, в частности,
+ оо
г(у)= 2 J e-v'dx.
о
Ниже будет показано, что Г0^ = У‘7Г (см- СТР- 209),
откуда с помощью (4.3) найдем для любого натурального п:
jr(±) =
1 • 3.5 ... (2п — 1) лг—	t
=--------уг------- V	(4-6)
208	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
Бета-функция
Бета-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода, определяется
(для положительных значений независимыхчпеременных р, q) фор-
мулой
1
B(p,?) = pJ1-1(l- x)q~ldx	(р>0,^>0). (4.7)
О
Этот интеграл является несобственным при нижнем пределе
в случае р < 1 и несобственным при верхнем пределе в случае
?<1.
Делая подстановку х = cos2 ср, получим второе выражение для
бета-функции:
2
В (р, q) = 2 J* cos2/*-1 ср sin2#-1 с? dy (р>0, 7^>0)- (4-8)
о
Бета-функция может быть легко выражена через Г-функцию
посредством формулы
Г (р)Г (^)
Действительно, перемножая равенства
(4.9)
Г(/>)=2 j е-^х2^1 dx; Y (q) =2 j е~^ yZq~' dy
О	о
и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным коор-
динатам
х = г cos ср, гд (х, у) __ 1
у = г sin ср, L д (г, ср) "" J ’
получим (рис. 58 и 59):
Г(р)Г(^) = 4 J У x2p~1y2q~1 dx dy =
У е r*r2p+2<l 1 cos22? 1 ср sin2? 1 ср dr dy =
д J
У е r*r2p+2q 1 dr 2 У cos21? 1 ср sin2g 1 ydy = Г(р+?)в (A
о	о
откуда и вытекает формула (4.9).
§ 1]
ГАММА-ФУНКЦИЯ
209
Из формулы (4.9) видно, что бета-функция симметрична:
в (р, ?) = В (q, р).
В случае натуральных т, п из (4.9) и (4.4) следует:
(тп — 1)! (тг — 1)!
В (т, п) =	.
7	(т-\-п — 1)!
Затем в силу (4.8)
7С
~2
но по (4.9)
! dy = тс,
о
|2
1
2
Г(1)	’
получим равенство Г
Рис. 59.
7С,
которое было использовано при выводе формулы (4.6). Так как
из (4.5), как уже отмечалось, следует, что
+ оо
г (т) = 2 J в"3? dx>
о
то отсюда находим:
+ ОО	_
J e-^dx^^-	(4.10)
о
или (учитывая четность функции е~х\
+ ОО
$ e-x,dx=Vn.	(4.10')
— ОО
14 Зак, 1944. П. И. Романовский
210	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
Интеграл, фигурирующий в формулах (4.10) или (4,10х), называется
интегралом Гаусса,
Если р — любое положительное, п — натуральное, то из (4.9),
(4.4), (4.3) находим:
х^Г(р)Г(72)_Г(р)1.2...(п-1) _	1.2... (n —1)
Р’ ’ Шр + п> (р+«—0---Рг(Р) Р(р + О- ..(р+п — !)
Делая в формуле (4.7) подстановку
(и меняя затем у на х), получим третье выражение для бета-функции:
+ оо
Г
В (?,?) =	,P+idX (Р>°' f>0)-	(4Л1)
о (1 +
откуда
+ оо
B(s, 1—s) = [	(0<$<1)	(4.11')
О
или, учитывая (4.9),
+ оо
Г($)Г(1—s) = J -~^dx (0<s<l).	(4.12)
О
Вычисление интеграла
dx,
где 0<$<1.
Пусть сперва s — рациональное число вида —, где п — четное,
т — нечетное, т<п. Подстановка x=-zn даст:
+ оо	+ оо 1	+°°	+ оо
f	Г хп Г г™"1 п Г гт~1
-7—i— dx =	-j—----dx = n \ -7—.—= dz	-j——n
J 1 + x J 1 + x J 1 + zn 2 J 1 + zn
0	0	0	— oo
Используя правило вычисления несобственных интегралов с помощью
вычетов (см. гл. III, § 17), получим:
+оо
J l+^ndz = 21zl 2 RaS 1+7* ’
-оо	а
§ 1]
ГАММА-ФУНКЦИЯ
где а — полюсы рациональной дроби
2-ш—1
лежащие в верхней полуплоскости, т. е. корни уравнения 1 4- ?п — О,
имеющие положительный коэффициент при Z. Имеем:
k +	.	(2ZC + 1) кг
п ____ п г___	_____г ---------—
у — 1=уе^=е п =е п (6 = 0,1....................п — 1).
п ____
Из этих п значений у — 1 положительный коэффициент при I
имеют значения, соответствующие k = 0, 1,	— 1. Следова-
тельно, все значения а суть
(2fc +1) тсг «
л = е «	(6 = 0, 1... ~ — 1).
С помощью правила вычисления вычета относительно простого
полюса находим:
gm-l г 1 ат~п
Raes = L^lLa = ““•
Таким образом, имеем при s — — (используя в процессе преобра-
зований суммирование геометрической прогрессии и выражение
синуса через показательную функцию по формуле Эйлера):
, П
о
2-m-l	zm~ 1
+^^ = mtZlRoesr+^
a

а
-IL-i
2	(2А + 1)тсг
У
. е
— К1 ---
(”+1)4 (wt_n)
-e n
2кг .	.
— (w»-n)
1 —e n
кг ,	. кг .	.
— (n-ш)	(n-m)
e2 —e 2	=
Ki , v	Ki .
— (n-m)-------(n-m)
en -e n
кг .	.
— (m-n)
(m-n) eny
= itl ---------------
• Л = 0
) £ (I”-”)
е
— Ttl
en
'' Л	\ тс
-+1) —(m-n) sin —(Л_ОТ)	*	*
	= V -- = V -------
тс ,-------------------------------------------1 кт sin тс5 ’
— (rn-n) Sjn —	— m\ sjn —
en	n J	n
14*
212
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. IV
где
АТ + 1)^(Й,-П’
7 = i-----~i----------sin у (n — т),
еп^'п)
и, следовательно, | 7 | — 1. Но левая часть нашей цепочки равенств
и коэффициент при у положительны, поэтому ? = 1. Таким образом,
т
имеем при 5 = — равенство
dx
7С
sin 7us ’
но левая и правая части этого равенства суть непрерывные функции
от s на интервале 0<s<4 (мы не останавливаемся здесь на обо-
сновании непрерывности левой части), а так как каждое действи-
тельное число этого интервала можно представить как предел
. о	т
последовательности правильных рациональных дробей вида — , где
п — четное, т — нечетное, для которых упомянутое равенство дока-
зано, то в пределе найдем справедливость его для всех $, 0 < s < 1.
Итак,
7U
sin 7us
(O<S<1).
(4.13)
Вторая основная формула для гамма-функции
Из (4.12) и (4.13) находим:
Г(«)Г(1 — s) = ^	(0<s<l).	(4.14)
Формула (4.14) позволяет выразить значение гамма-функции
для s, лежащих между х/2 и 1, через ее значения для $,
лежащих между 0 и
Гамма-функция как предел произведения
Учитывая, что
при п—>оо, найдем:
+оо
Г($) = J e~xx8~l dx —
о
п
lim Г (1—x8~rdx
П-> 4-00 J N П /
§ 1]
ГАММА-ФУНКЦИЯ
213
(законность этого предельного перехода легко установить,
но на этом мы не останавливаемся). Положим:
О
Xs"1dx
(Q^k^tr, s > 0).
Интегрирование по частям дает:
xs
S
п п к_г
। £ 1/1	х \ о л
4-----1--------- xs dx =
1 ns J \ п )
о о

значит, применяя последовательно эту формулу и учи-
тывая, что
п
С	Xs п ns
Ш=]
о
найдем:
1(S)=—In ,($+1)=— ”~\ч 4 ,($4-2)==
7 ns П“1 V 1 7 ns 72 (.$ 4~ 1) n-2V 1 7
_ П П~~ 1	72—2 j zQ | o\ ___
nS 72(5 4-1) 72 (S 4- 2) n“3^ ‘ 7
__ 72	72 — 1	______1__________ ,	. x _
‘ ’ ns 72 (S 4~ 1) * * ’ 72 (s 4~ 72 — 1) 0	' ^7
1 • 2. . .72	72 s+ n	1 • 2. . .72	_
—--------------------------— —------------------------ fts.
72ns(s4-l)« • .(s4-n—1) ^ 4-72	5 (S 4“ 1) • • • (^ 4~ 72)
Таким образом,
<4'15>
Можно показать, что предел, стоящий в правой части
формулы (4.15), существует для всех комплексных чисел $
(конечный для всех s, отличных от нуля и отрицательных
целых чисел). Выражение (4.15) может служить определе-
нием гамма-функции для любого комплексного значения $.
214	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
Если формула (4.15) принята за определение гамма-
функции, то формулу приведения (4.2) можно доказать
следующим образом:
Ss<s+1). ..<» + »)“* s + »-|-l I = sr(s)'
Гамма-функция является аналитической на всей плоскости
комплексного переменного, за исключением точек 0, —1,
— 2,—3, ..., являющихся для нее простыми полюсами.
Гамма-функция, как это можно установить, нигде в нуль
не обращается.
§ 2. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций,
рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
+	+	= 0	(4.16)
дх* 1 ду* 1 дх*	4
(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются
гармоническими).
Если перейти к цилиндрическим координатам по фор-
мулам
X — Г COS ср,
у = г sin ср,
Z—Z,
то, согласно формуле (2.67),. уравнение (4.16) принимает
вид
д*и . 1 ди .	1 д*и . д*и __~	~
дг* * г dr г* ду* ‘ дх* ’	'
Поставим задачу: найти все такие решения уравне-
ния (4.17), которые могут быть представлены в виде про-
§ 2]	БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ	215
изведения трех функций, каждая из которых зависит только
от одного аргумента, т. е. найти все решения вида
и = R (г) Ф (ср) Z (z)
(R, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифференци-
руемыми).
Пусть и есть решение упомянутого вида. Вставляя его
в (4.17), получим:
R"$Z +1 R'$Z + i R&'Z + R$Z" = 0,
откуда (после деления на ROZ)
R"	,	1	R'	।	1	Ф"	,	Z"	_	n
R	r	R	г2	Ф	Z
Записав это в виде
R"	i	i	ф//	___	z"
R	г	R	г2	Ф	Z	’
найдем, что левая часть не зависит от z, правая не зависит
от г, ср; следовательно, общая величина этих выражений
есть некоторая постоянная а. Отсюда
= Z" — aZ = 0;
R" 1 R' 1 Ф" _ . R" । 1 R' 	_	1 Ф".
 ~ r r р	R । г R ~т~а— Г2 ф !
r?R" 4- rR' + ar*R Ф"
R ~ Ф •
В последнем равенстве левая часть не зависит от ср, пра-
вая не зависит от г; следовательно, общая величина этих
выражений есть некоторая постоянная Ь. Отсюда
=	ф"4-^ф = 0;
W" + rR' + ar*R =ь, rzR"-\-rR' + (ar2 — b)R = 0.
R
216	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
Таким образом, R, Ф, Z должны удовлетворять линей-
ным дифференциальным уравнениям второго порядка
r2R"	+ (ar2 — b)R = Q, Ф" + ЬФ = 0, Z" — aZ = 0,
(4.18)
из которых второе и третье суть простейшие линейные
уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является
линейным уравнением с переменными коэффициентами
нового вида.
Обратно, если /?, Ф, Z удовлетворяют уравнениям (4.18),
то u = RФZ есть решение уравнения (4.17). В самом деле,
вставляя RФZ в левую часть (4.17) и деля затем на RФZ,
получим:
Я" ! 1 R' \ 1 ф" . Z"	1 /?'	b .	=
К ' г R ' ' г- Ф “г" 7. ~ R г R	& ~Т~а
_ r*R" + rR' + (аг2 — b) R _ п
“	r*R	~
Таким образом, общий вид всех трех решений уравне-
ния (4.17), которые являются произведением трех функций,
каждая из которых зависит от одного аргумента, есть
u = RФZ, где R, Ф, Z суть любые решения уравнений (4.18)
при любом выборе чисел а, Ь.
Первое из уравнений (4.18) в случае а= 1, Ь^Ъ
называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае
Ь = ч2, обозначая независимое переменное буквой х
(вместо г), а неизвестную функцию — буквой у (вместо /?),
найдем, что уравнение Бесселя имеет вид
х2у" + ХУ' + (х2 — ^2) У = 0.	(4.19)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с переменными коэффициентами играет большую роль
в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие,
называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции 1-го рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4.19) в виде
ряда
4-00
§ 2]	БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ	217
Тогда
+ оо
ху'= 5 (y + k)akx->+k-,
к- О
4-оо
x2v" = S (ч4-&)04-/г—l)<zfcxv+*;
к-О
4-оо	4-оо
(Х2--v2)j/= 2 Clkxv + k+2---V2 2 акх^к =
к-0	к-О
4-со	4-оо
= S	—v22 <Vv+fc;
к=2	Л = 0
X2/' 4~ Ху' + (X2--V2) у =
4-со	4-со
= S [04-/02 —v2]a^+*+ 5 ак_2х->+к =
к=0	к=2
= 5 k(2v-Jrk)akx',+,i-\- 5 ак-2х',+к-
Л: = 0	Л=2
Следовательно, приходим к требованию
4-оо
(2v+ I)otx’+14- 2 [k (2чk) ак-{-ак_^] xv+k =0
к=2
или к бесконечной системе уравнений
(2v 4- 1) а± = 0,	|
k (2\ —|— lz)ак —J— ак—2	0 (k = 2,3,4,...), J
которая распадается на две системы:
(2>+1)а1= 0, '
3(2^+3)^ + ^= О,
5(2v4-5)«54-a3= О,
2 (2v —2)	Н—	=z= 0;
4 (2\ 4~ 4) 4~ cl2 = О
6 (2*; -j- 6) й6 4“ ^4 = О'
Первая из них удовлетворится, если взять а± = 0, а5 = 0,
= 0, ... Во второй системе а0 можно взять произвольно;
тогда а2, aQl ... однозначно определяются (если v не
218	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
является целым отрицательным числом). Взяв
1
ап =---------
0	2vr (^ —j-1) ’
найдем последовательно:
___________aQ ________________1_____________________1_____.
й2~	4(v-|-l)—	2’+2(ч + 1) Г (ч 4- 1) “”	2’+21!Г(^ + 2) ’
___ а% ___________	1	________1____.
— 4.2(^ + 2) “ 2v+42!(v4-2)rO4-2) “ 2v+42! Г (v -|— 3) ’
4-30 + 3)	2v+63! (ч-+-3)Г О-+-3)	2v+63!rO + 4)
и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд
—. _____:_______________-________X-1 Ч-
2Т (ч4-1)	2V+21! Г (ч 4~ 2)
/П’ (clV+2
_______!______xv к___	__	\* 2 /	\2 ________|_
2v+42! Г О + 3)_"	Г(7+-1)	1! Г О 4-2)
/ х V+4	+со	/ х \v+2*
+ 2! Г (V 4- 3) — • • • = 2 й!Г (-7 4-^ 4-1) •
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4.19),
сходится для всех положительных значений х и, следова-
тельно, является решением уравнения (4.19) в области
О < х <—|—оо (в случае целого v в области —оо < х <-(-оо).
Функция
+ оо	/ х
ЛМ=^(-1>‘-J(T4+i)	(4.20)
Zc = O '
называется бесселевой функцией 1-го рода с индексом у.
Она является одним из решений уравнения Бесселя (4.19).
§ 2]	БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ	219
В случае целого неотрицательного индекса п, учитывая (4.4),
получим:
+ оо	/ х \П+2к
(4'20'>
& = 0
и, в частности,
+оо	, х \2к
(4-2(у/)
к = 0
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса v функции Л(х) и J_v(x)
являются решениями уравнения (4.19). Эти решения линейно
независимы, так как начальные члены рядов, изображающих
эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и
содержат разные степени х. Таким образом, в случае неце-
лого индекса общее решение уравнения Бесселя (4.19) есть
у = С^(х) + С2}_^х).	(4.21)
что Г ($)
вид
Если v = — п (целое отрицательное число), то функ-
ция, определяемая формулой (4.20) (учитывая,
равно нулю для $ = 0, — 1,—2,...), принимает
(4.20"')
или, после замены индекса суммирования k на / + п,
+ оо	/ х \ П+21
= (- ir 1)? (/2+л)!7Г =(-	<4,22)
220	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
откуда видно, что J_n(x) удовлетворяет вместе с Jn(x)
уравнению Бесселя
х2У ху'	(х2 — п2)у = 0.
Но формула (4.21) в случае целого v уже не дает общего
решения уравнения (4.19).
Полагая
У, (х) = (х) со*™ ~ J~‘ (х) 0 —не целое) (4.23)
и дополняя это определение для ч — п (целое число) фор-
мулой
Yn(x) = lim Kv(x),	(4.23')
v-> n
получим функцию У\(х), удовлетворяющую уравнению Бес-
селя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от (х)
(в случае v = п, где п — целое, этот факт, как и само
определение Yni нуждается в обоснованиях, но это мы
оставляем в стороне). Функция Yv (х) называется бесселевой
функцией 2-го рода с индексом у. Общее решение урав-
нения Бесселя (4.19) можно записать во всех случаях в виде
3/ = С1Л(х)4-С2ГДх).	(4.24)
§ 3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Имеем:
+ оо (_	/44
J = V ' 2 *	•
vw fli’HHi) ’
k =0
2k
1 v 42/
x* 2^^!Г(НН1)
fc = 0
d (х)
dx
tZ Л(х)_ 1 у V 4 2/	Ь — Z _1_ 1 •
dx x* “2^ (k — 1)! Г (^4-^4-l) ’	Я —
k = l
(-1)г+1«+1_
/!Г(, + / + 2) —
7 = 0
+oo / 14/44
______x у v 42/	_ ул+1(х)
2v+1	/!Г (v4/4-2) — xv+* '
7=0
§ 3] ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 221
Следовательно,
d (х)Л+1(х)
х dx х'	х^+1
(4.25)
Таким образом, операция (состоящая в дифферен-
1 \
цировании с последующим умножением на —1, применен-
Л (х)
ная к , повышает в этом выражении индекс v на еди-
ницу и меняет знак. Применяя эту операцию тп раз, где
т — любое натуральное число, получаем:
( d \т (х)/  1	Jy + m (х)
Имеем:
х'*
(-1)
(4.25')
2v + 2&
&! Г (v-|-£ + 1)
л=о
Akl(y-\-k)T^ + k} ’
л=о
х 2v + 2/c-1
/с = 0
.	.	. к! г Х2^-1^
k\ Г + k)
= X •	(%).
2v + 2fc

Следовательно,
~х\х^(х)]^х^Ч^{х).	(4.26)
Таким образом, операция , примененная к xVv(x),
понижает в этом выражении индекс v на единицу. Приме-
няя эту операцию т раз, получаем:
= x^mJ^m (X).	(4.26')
Из выведенных формул можно получить некоторые
следствия. Используя (4.25), получим:
({д' ____А+1. А ’'А _________Л+1. f____2_/—______/
\х')/ хч ’ х'1	х’'+i	А х J'>	''’+!•
222	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ функциях [гл. IV
Отсюда, в частности, следует, что JQ = — Jv Используя
(4.26), получим:
(хч Jj =	х’Х + vx’"1/, = х* J,_x; Z + 4 Jv = J,_v
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
2Х = Л-!-Л+1;	(4-27)
^Л = Л-1 + Л+1.	(4-28)
Формула (4.28) позволяет выразить все бесселевы функ-
ции с целыми, индексами через Jo, Jt. Действительно, из
(4.28) находим (полагая \ = п—1):
А = ^2А-1—4-2.	(4.28')
откуда последовательно получаем:
J1 =(^2— 0 A—^-4
=	1)Л—т~4>] —
§ 4. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми
трансцендентными функциями, не выражающимися через
элементарные функции. Исключение составляют бесселевы
функции с индексом п-|-у, где п— целое. Эти функции
могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
§ 4] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 223
но в силу (4.6)
следовательно,
—- + 2Л
» <-.фГ
J1(X)— 21 6! 1 • 3 • 5 ... (26 + 1) У гс
2	Л-0
+ оо	4" + 2А:
=	_______(—l)fex2___________
*=0 2 Т 6! 1 • 3 • 5 ... (26 + 1) У гс
Но 2к kl 1 • 3 • 5 ... (2k-|- 1) = (2&-|- 1)!, следовательно,
, , ч _/~2” V (—l)ftx2S+1 -.Г~2 • ,л ОП\
— у rx 2j (26+1)1 “У rcxSltlX- t4,29)
2	Л = 0
Далее, имеем:
следовательно,
2 +2S 2ft
2
611.3-5...(26-1) Угс
, -4-+2Л
(—l)ftX 2
Л=0
ft—о-	r-
2	2 6! 1 -3-5 ... (26 — 1) У rc
224
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. IV
Но 2ftfe! 1 • 3 • 5 ... (2/fe — 1) = (2ife)!» поэтому
(— 1)л х2к
(2^)!
(4.30)
С помощью (4.25') находим:
J j (x)
П ~9~
I -^-=(-1)”
v- 2
< t U)
П+Т
п+Т
но в силу (4.29)
2
1
v2
2 sin x
те x
следовательно, при целом положительном п
^W=(-D"/ Ъ'Ч
& sin х
(4.29Э
<1
2
С помощью (4.26') находим:
п\ -Г 1
I X 2 J ! (х) = X 2
L “Т J
но в силу (4.30)
—Г т	/ \ Г 2 COS X
X 2 J_OX) = V ~ —
следовательно, при целом положительном п
_1__ (X),
2 П
/ \	i/"2 w+4
(4.30')
<п cos х
§ 5] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 225
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему S функций fn(x) (с любой общей
областью определения), пронумерованных с помощью всех
целых чисел:
..., /_2 (*),	(*), /о (*)> A (*)> A W’ • • ♦
Составим ряд
4-оо
— оо
где z— комплексное переменное. Предположим, что при
каждом х (принадлежащем области определения рассматри-
ваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содер-
жащее внутри себя единичную окружность С (т. е. окруж-
ность с центром 0 и радиусом 1,
рис. 60). В частности, это кольцо
может представлять собой полную
плоскость комплексного переменного
без точек 0 и оо.
Функция
Г(Х, z) = S fn(x)zn (4.31)
— ОО
(где х лежит в области определения рис> go.
функций системы S, z— внутри кольца
сходимости, соответствующего рассматриваемому значе-
нию х) называется производящей функцией системы S.
Обратно, пусть задана функция F(x, г), где х пробе-
гает некоторое множество, z находится внутри некоторого
кольца, зависящего от х, с центром 0 и содержащего
внутри себя единичную окружность (в частности, эти кольца
могут быть полной плоскостью комплексного переменного
без точек 0 и оо). Тогда, если F (х, z) при каждом х ана-
литична относительно z внутри соответствующего кольца,
то F (х, г) есть производящая функция некоторой системы
15 Зак. 1944. П. И. Романовский
226
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гЛ. IV
S функций. В самом деле, разложив при каждом х функ-
цию F(x, г) в ряд Лорана по степеням z
Р(х, =
найдем, что система коэффициентов fn(x) этого ряда будет
искомой системой S.
Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. III,
§ 15) позволяют выразить функции fn(x) рассматриваемой
системы через производящую функцию. Применяя эти фор-
мулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной
окружности С (комплексное параметрическое уравнение
которой есть z = eif?, —к ср к) в простой интеграл,
получим:
=	j F(x'	(4.32)
Производящая функция системы бесселевых функций
с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций 1-го
рода с целыми индексами J?i(x) (п = 0, z±zl, z±z2, ...)
производящая функция есть:

F (х, z) = е2 ' z '
Имеем
откуда после почленного перемножения этих равенств
(умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой
части, и соединяем в одну группу члены, содержащие
§ 5] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 227
одинаковые степени z) найдем:
1~ к-п
(так как в предпоследней внутренней сумме k и I были
связаны зависимостью I — k = n, то мы могли положить
l = n-\-k, получив суммирование по одному индексу k).
В последней внутренней сумме суммирование производится
( /г>0
по всем тем целым k, для которых 1	, ,	, следо-
[ п +& > 0
Ч-со
вательно, при я ^>0 это будет 2 5 ПРИ п = — т < 0 это
& = 0
+ оо
будет 2 • Таким образом, во всех случаях внутренняя
к~т
сумма есть Jn(x) в силу формул (4.20') и (4.20//z). Итак,
х /	1 \ +оо
е~2'	= 2 Jn(x)zn,
—оо
(4.33)
но это и доказывает, что е2 '	2' есть производящая
функция для системы Jw(x).
Выведем некоторые следствия из формулы (4.33). Пола-
гая в ней z = eir?> получим:
eix sin <р = 2° Jn (%) einf ,
15*
228
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. IV
откуда после разделения действительной и мнимой части
[учитывая, что /_п(х) = (—1)ПЛ(*)]
4-00
cos (х sin ср) = 2 Jn (х)cos =
—оо
+ оо
= 4 О) + S 14 (*) + Лп (x)l cos п<р =
4-оо
= /0(х) + 25 Лга(х)с°з (4.33')
т~ 1
4-оо	4-оо
sin (х sin ср) = 2 Лг (Х) sin П(? = S 1Лг (Х) — J-n (*)] 8^п	=
—оо	п- 1
4-оо
= 2S 4m+i(x)sin(2/w-4- 1)ср.	(4.33")
m = 0
Заменяя в (4.33х) и (4.33") ср на ~—ср, найдем:
4-оо
cos(xcoscp)== J0(x)4-2 2 (— V2m(x)cos 2/пср; (4.33'")
1
sin (xcos ср) = 2 2 (—	Лт4-1 (х)cos (2^ + О ?•	(4.33"")
т = 0
Интегральное представление Jn (х)
Так как, по доказанному, при fn(x) = Jn(x) имеем
F(x, z) = e2 v г/, то по формуле (4.32) получаем
используя в преобразованиях формулы Эйлера):
7С	71
— 7С	—7t
ТС	TC
= 4- ег sin 4-n*)dq = J_ cos(xsincp —
^7C
— 7t	—7t
7C	7t
+ ij sin (x sin cp — nep) d(f = j cos (x sin cp — nep) dep,
— тс	о
§ 6] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 229
где принято во внимание, что cos (х sin ср — пер) есть четная
функция от ср, sin (х sin ср— пер) есть нечетная функция от ср.
Итак, доказано, что для любого целого числа п oj
71
Лг(х)=7~ f COS (х sin ср-пср)^ср. (4.34)
о
Формула (4.34) дает представление бесселевых функций
с целым индексом в виде определенного интеграла, завися-
щего от параметра х. Эта формула называется интеграль-
ным представлением Бесселя для Jn(x), правая часть фор-
мулы называется интегралом Бесселя. В частности, при
п = 0 найдем:
Jo (Л) = “ f cos sin
о
(4.34х)
§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА
Пусть ср (х)— положительная функция и /(х)—какая-
нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные
для достаточно больших значений х. Запись
/(х) = О [ср (х)] при х—> + оо
означает, что найдутся такие числа х0 и /Л, что при
х > х0 имеем | /(х) | < ТИср (х).
Подобная запись употребляется и в других аналогичных
случаях. Например, если Ф(^) — положительная функция и
F(f)—какая-нибудь функция, определенные для доста-
точно малых-положительных значений Z, то запись
F (t) = О [Ф (Z)] при t -> О
означает, что найдутся такие числа
< А4Ф (Z) на (0, г).
е И Я что \F(t) | <
230
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. IV
Вспомогательная лемма
Если f (/) дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1], то
для функции
1
1 f pixt
Л "
имеет место асимптотическое представление

при
Докажем эту лемму. Заменяя t на 1 — получим:
Г /Ц-J)	f +
» J у t *	’ J yt
О	о
+ — [	— 0—/(!> dt.	(4.35)
• J Y!
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом пра-
вой части формулы (4.35). Заменяя xt на /, найдем:
1	X	+оо	+оо
Г e-ixt 1 f e~if 1 f e~if 1 f e~if
J Vt /xJ Vt /xJ Vt Vx.[ Vt
но, заменив t на /2 [учитывая формулу (3.59') гл. Ill], получим:
^dt = 2
J Vt
0 F
Ч-оо
J e-^dt = У ice
о
7ti
T
Если ф (-*) положительна, убывает и стремится к нулю при
4 со	4-00
x^-j"00»10 f ^(f)cosfd^ и J* ф (0 sin t dtt а следовательно, и
X	X
+oo
J*	суть О [ф (*)] При л->-Ь°° (9Т9 видно из выкладок
§ 6] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 231
соответствующего пункта следующего параграфа), поэтому
со
10—it	/ 1 \
—— dt = О(-^ \ при х->-р о°,
х *	*Х
откуда
+ оо
1 I e~it / 1 \
ysJ	пр"
Итак, получаем асимптотическое представление:
1	.	__тс г
\^7f~dt=V 1се 4 +°(xj при х-> + 00- <4-36)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагае-
мом правой части формулы (4.35). Имеем:
1 1
j e-ixt	Je-ixty ц) y~tdt,
0	0
где
Очевидно ср (/) дважды непрерывно дифференцируема на (0, 1], но,
как легко видеть, существуют lim ср (t) и lim cpz (/), поэтому ср (/)
t -> о t -> о
(после доопределения в точке t = 0) становится непрерывно диффе-
ренцируемой на сегменте [0, 1]. Интегрирование по частям дает:
1 1 1
J (t) Y~tdt =	(t)	+-Х j g-ixt [Т (z) /z? di
0	0	0
g—гх	/ 1 \
где первое слагаемое правой части, ——?(1), есть О I ~ 1 ПРИ
х -> + °°> а интеграл во втором слагаемом (несобственный при
нижнем пределе) мажорируется интегралом
1
J II? (О V~i]'\dt,
О
232	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
который сходится, так как
/ (о t+4- ? (t)	.
(О у t f =----------------= о () при * °;
Vt	W t)
следовательно, второе слагаемое есть тоже —I ПРИ х-> + оо.
Итак, имеем:
Г e-ixt [Ц--dt — О (—при х->-1-оо.	(4.37)
J	/t	\х)
о
Из (4.35), (4.36), (4.37) получаем искомое асимптотическое пред-
ставление:
*
1 ( рлх^	р '	4 '	'	/ 1 \
~ ^==/(0^=—-7=-/(1) + 0(-) при х-> + сю. (4.38)
к J У 1 — t	у пх	\х/
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
1 Г е~<°*	4^) и
— f-------/(0 dt =----=-----/(1)4-0( — ) при х-> +со. (4.38')
к J У 1 — t	У пх	\ х/
Формулы (4.38), (4.38z) верны и для компл'екснозначных функ-
ций f(t) =/i(0 + //2(0 [ибо они верны для Д (t) и /2 (/)].
Вывод асимптотической формулы для Jn (х)
В конце § 5 мы видели, что
я:
Заменяя ср на — ср, получим:
_iniz
Jn(x)=iL^~ | eiX°°S ?+in'd4 =
— гс
_ ^птс	_ зпгс j,.
--- f ^гхсоя ?(cos /гср 4- i sin/2Cp)^cp =--- I ^XC0S COS ncpflfcp
J	тс J
-гс	о
§ 6] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 233
(учитывая, что егх cos ? cos пу есть четная функция от ср, а
егх 008 ф sin пу есть нечетная функция от ср). Подстановка cos ср — t
дает:
_ щтс !	_ inn 1
eixt
' "J /1-/2	л J /1-/2
где Tn (/) = cos (n arccos /) есть, очевидно, полином n-й степени
(полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что cos пу
есть полином п-й степени относительно cos ср. Но
и, заменяя в первом
из этих интегралов / на — /, получим:
I eixt (<) - dt =
Vi-fl
о
p — ixt ?п(	^4 I 1
е гх1 —_ at ч-------------------
/ 1 — /2 г. ..
г	о

1 1
1 f e~iXt Тч < - О Hi _L 1 f elXt T" (z) St
T ( __ A T (t}
Так как ->v 7 и —77 7- на [0, 1] имеют производные всех
/l+t -/1+<
порядков, то к двум последним интегралам применимы фор-
мулы (4.38') и (4.38) и мы получаем:
_ imt
Jn (-Г) = е 2

у Т.х 	V 2
НО
Т( — 1) == cos птг =z ( — 1)™ = eiilK; Г(1) = cos 0 = 1,
следовательно,.
234	о НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл. IV
Итак, имеем искомое асимптотическое представление
бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для боль-
ших значений аргумента:
(4.39)
при X—>-]-00.
Эта формула показывает, что Jn(x) с точностью до сла-
гаемого порядка ~ является затухающей гармоникой с вол-
ной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратнс
пропорционально квадратному корню из абсциссы.
§ 7]. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, СЙНУС, КОСИНУС
235
В частности,
Л О) = у ^cos(x—т)+ °(^) при +	(4.39')
AW = -l/"-^cos(x + t)+ °(т) при	+	(4.39")
Графики этих функций изображены на рис. 61 и 62.
§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС,
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС
гл	\ dx sin х . cos х ,
Известно, что интегралы --------,	-----dx, ------dx
in X	X	J X
не выражаются через элементарные функции и являются
новыми трансцендентными функциями. Эти функции (опреде-
ленные пока с точностью до произвольного постоянного сла-
гаемого) обозначаются соответственно знаками lix, six, cix.
Разложения в ряды
Делая в равенстве lix— j подстановку х = по-
лучим:
Ие<= |-уЛ= J(y+ 1 +4 + 4г+ '	=
= 1 n t -f- С -|-1 -1- 2Т2Г	3 • 3!	• • •	(^ > 0),
откуда (после возвращения к старому аргументу х)
lix = lnl-nx+C+lnx+^^+(-^+... (х > 1). (4.40)
Далее,
откуда после почленного интегрирования находим:
si х = С-[- х
х3
3-3!
5-5!
(4.41)
236
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[1гл. IV
Наконец,
f cos х ,	f/1 х . х* \ ,
cix =	-----dx =----------_ _i__^-----. .. \dx,
J х	J \х 2! 1 4	/
Откуда после почленного интегрирования получаем:
X2 . X4
2 • 2! Т- 4!
(х > 0). (4.42)
Добавления к технике интегрирования
Подстановка х — a = t дает:
— dx ~- еа £_ dt —. еа li et — еа ]j ev~a.
J x — a	J t
Интегрирование по частям дает формулу приведения:
f ех	____	ех ।	1 f еХ d-
J (х — а)п	— —	1)(х — а) + п — 1 J (Х — а)п-1а:
Подстановка х — a=^t дает:
sin х j
-------dx =
dt = cos a si t -ф- sin a ci t =
= cos a si (x — а) -ф- sin a ci (x — a\,
f cos x , f cos (t + a) ,.	. ,	.	. .
-------dx =	-----’ dt = cos a ci t — sin я si £ =
J x — a J t
= cos a ci (x — a) — sin a si (x — d).
Интегрирование по частям дает формулы приведения
1
COS X
sin x , ___	sin x	.	1 I cos x ,
J (x — a)n dx — '~ (и —l)(x —J (x —’
I’ cos x , ___	cos x	1 f sin x ,
J (x _ a)n ax — -—	— ayn-\ “	(x — a)n-tax‘
Учитывая, что всякая рациональная функция есть сумма
^4
полинома и простейших элементов вида	заключаем
на основании установленных формул, что интегралы вида
J* R (х) ev dx, J R(x)sinxdx, J R (x)cos x dx
§ 7] ЙНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, СИНУС, косинуб	^37
станут «берущимися», если к элементарным функциям доба-
вить интегральный логарифм, интегральный синус и инте-
гральный косинус [если мы хотим оставаться полностью
в действительной области, то ограничимся такими рацио-
нальными дробями /?(х), знаменатели которых имеют только
действительные корни].
О сходимости некоторых несобственных интегралов
Пусть /(х)— положительная непрерывная убывающая
функция при а^-х<-|-схз, стремящаяся к нулю при
+ оо
+ Тогда несобственные интегралы J /(x)sinxtZx;
а
4 оо
У /(x)cosxdfx сходятся.
а
Не нарушая общности доказательства, можем положить
а == 0 (в случае я>0 можно /(х) доопределить на участке
0^х<я так, что при 0 х < -ф- со будут выполнены
все поставленные условия), при Z? > 0 имеем:
&	п—1	+	&
J* /(х) sin х dx = 2 J* /(х) sin х dx-]- J /(x) sin x dx,
0	° Лк	n~
где n — наибольшее целое число такое, что пк^Ь. Оче-
видно, п + со при b —оо. Подстановка х = t-]-kn дает:
(7t + l)n
J* /(x)sinxJx = (—
Лк
l)fe f	sin tdt = (—l)fe ck,
0
где
к
ck = j* f(t -|- kiz) sin t dt > 0.
о
Из убывания функции /(x) следует, что при k < I имеем:
238	О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. IV
Умножая это неравенство на sin t и интегрируя от 0 до тс,
найдем ск > сг. Из того, что /(х) -> 0 при х —> + оо следует,
что ск-+0 при k оо, ибо
Далее,
тс
t?* < /(^тс) J* sin t dt — 2/(^ir).
о
k(^)| =
b
J* /(x) sin x dx
mt
2f(tlK)
и, следовательно, r(/?)->0 при Z?-»--|-oo. Таким образом,
&	n-1
f/(x)sinxr/x = s (—l)fccft + r(Z?)>
0	*=°
где
c0 > c, > c2 > ..cn^0; r(#)->0.
Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочере-
дующихся рядах, заключаем, что
&	оо
lim I /(х) sin х dx = 2 (—ск
о
и, следовательно, несобственный интеграл
4-оо
J" /(x)sinxfifx
о
сходится, что и требовалось доказать.
Интеграл
4 оо
J* /(x)cosxdx
а
после подстановки x = t-]-~ приводится к предыдущему.
§ 7]	ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, СИНУС, КОСИНУС	239
Нормировка интегрального синуса
и интегрального косинуса
Из сказанного следует, что
4 оо	со
Г sin х , f cos х ,	/
| —— ах И |	(<? > 0)
а	а
суть сходящиеся интегралы. Поэтому six и ci х прих-»-|-оо
стремятся к конечным пределам. Нормировку six и cix
(напомним, что эти функции определены пока с точностью
до произвольного постоянного слагаемого) можно, напри-
мер, определить требованиями si (-|- оо) = 0; ci (-|-оо) = 0.
Тогда (при а > 0)
Г sin t ,, , ~	. I’ cos t
si x — j —— dt —J— Cp	ci x —• j —— dt —j— j
a	a
si(4-oo)= /	+ G =
a
Ci (4 00)= [ -£^I^4C, = 0;
a
H 00	4 00
n	f sin/ ,,	~	I cos/ ,,
Ci = — I —j-dt-,	C2 = — I — dt-,
a-	a
-J-00	H co
f sin/ ,L .	J cos/
.six =— I ——dt\	cix = '— I ——dt.
X	X
Укажем еще другую нормировку six, определяя ее тре-
бованием si0 = 0 (для cix подобная нормировка не имеет
смысла, так как ci хоо при х —> 0). Тогда
si х =
(4.43)
о
240
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[гл. IV
Рис. 64.
§ 7]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМ, СИНУС, КОСИНУС	241
Учитывая, что (siх)' =	, найдем, что six возра-
стает на (0, it), убывает на (тг, 2тг), возрастает на (2тг, Зтг),
убывает на (Зтс, 4тг), ... в точках it, 2it, Зтс, 4тс, .. . имеет
экстремумы. Учитывая, что
Г sin t ,.
J ~Tdt==2
0
(см. гл. I, § 8), заключаем что, six—при x—
Кривая у = six имеет горизонтальную асимптоту
при х—бесконечно много раз пересекает эту асимп-
тоту, находясь то выше, то ниже ее.
На рис. 63 и 64 изображены графики интегрального
синуса и интегрального косинуса при нормировках
si (+ оо) — 0; ci (-j-оо) = 0.
В случае нормировки si 0=0 изображенный на фиг. 63
график интегрального синуса следует сдвинуть вверх на у.
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечания о несобственных интегралах
Если /(0 — комплекснозначная функция, непрерывная
на сегменте [а, #], за исключением точки а (в которой она
может быть не определена и вблизи которой может быть
ь	ь
не ограничена), то по определению I f(t)dt = lim I f (/) dt,
e> 0
a	e_>o a + e
если этот предел существует и конечен. Аналогично, если
f(t) непрерывна на [а, #], за исключением точки Ь, то по
ъ	Ь-ъ
определению J f(f)dt = lim J* f (0 dt, если
a	e > 9 ~
существует и конечен.
Если /(0 непрерывна
и Ь, то по определению § f(f)dt = J* f(t)dt-\- J* f (t) dt,
a	a
где a < c < b, если оба слагаемых в
смысл (очевидно, это определение не
числа с).
Если f(t) непрерывна на [а, #], за исключением конеч-
ного числа точек clf с2>. . ., cpi где а сх < с2 < . . .
Ь	Ci с2	Ь
то по определению J f (t) dt = J + J*-|-• • • + если все
a	a cY	cp
слагаемые правой частй имеют смысл,
этот предел
на [а, #], за исключением точек а
Ь	с	Ь
с
правой части имеют
зависит от выбора

§ 1] СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА 243
Пусть теперь f (t) непрерывна на [а, + оо), за исклю-
чением, быть может, изолированных точек*). Тогда по
+ оо	I
определению
I
f f (/) dt = lim f f(f)dt, если
Z-> + oo
a	a
I
все инте-
гралы J*, где
а
I > а, существуют и если lim ( существует
Z->+oo
а
и конечен. В этом случае несобственный интеграл J f (/) dt
а
называется сходящимся.
4-со
Если интеграл J* \f(f)\dt сходится, то несобственный
а
+ оо
интеграл J f(f) dt называется абсолютно сходящимся,
а
Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда схо-
+ оо
дится. Очевидно, f (t) dt абсолютно сходится, если
а
1/(01^?(О (при t^a, за исключением, быть может, изо-
лированных точек), где. ср (0 — такая действительная неотри-
+ ОО
цательная функция, что J ср (f) dt сходится. В этом случае
а
+ оо
говорят, что несобственный интеграл J f (t) dt мажори-
а
4-оо
руется несобственным интегралом J* y(f)dt.
а
Пусть f(t, р) при каждом значении параметра р в не-
которой области D является непрерывной функцией от t
*) Мы говорим, что некоторый факт имеет место на некотором
данном интервале, за исключением, быть может, изолированных
точек, если на каждом сегменте, лежащем на данном интервале,
может находиться не более конечного числа точек, в которых рас-
сматриваемый факт не имеет места.
16*
244	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
на [а, оо), за исключением, быть может, изолированных
4-оо
точек. Если при каждом значении р в D интеграл J /(/, р) dt
а
I
сходится и J"/(/, p)dt при /->-|-оо стремится к своему
а
пределу равномерно относительно р в D, то несобственный
4-оо
интеграл j f(t, p^dt, зависящий от параметра р, называется
а
равномерно сходящимся в области D. Достаточным условием
равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра,
является мажорируемость его сходящимся интегралом от
некоторой неотрицательной функции. Если D — область
4- оо
на плоскости комплексного переменного р, то J /(/, p)dt
а
будем называть равномерно сходящимся внутри области D,
если он равномерно сходится на каждой ограниченной замк-
нутой области Д, лежащей в D (см. гл. III, § 13).
Аналитическая зависимость от параметра
Лемма. Пусть /(/, р) — непрерывная комплекснозначная функция
двух переменных /, р: действительного переменного t на сегменте [а, Ь]
и комплексного переменного р в области D. Пусть эта функция
при каждом значении t на [а, Ь} является аналитической функцией
от р в области D. Тогда (t, р) обладает такими же свойствами
и функция
Ъ
F (Р) — f fV,P)dt
а
будет аналитической функцией от р в D, причем
ъ
F'(P)= J f'pV,P) dt.
а
Доказательство. Тот факт, что j (t, р) есть непрерывная
функция от t, р, проверяется так: при tn->t имеем j (tn, p)-+f (t, p)
равномерно внутри D (ибо	равномерно непрерывна при/
§ 1] сведения об Интегралах, зависящих от параметра 245
на [а, Ь] и р на Д, где Д — какая-либо ограниченная замкнутая
область в D), следовательно, в силу теоремы § 13 главы III имеем
fp(tn,p)-+fp(t,p) разномерно внутри Z), откуда видно, что при
I tn -> t	г	г
{	будем иметь f (tn, рп) -> f (t, р).
\Рп->Р
п-1
Далее, имеем F(p) — lim 2/(4, Р^ ПРИ тах Мк~>® (рис. 65),
к = 0
причем сходимость — равномерная внутри области D. Действительно,
п-1	п-1 tk+1	п-1 tk+1
Р{Р)-^Шк,Р)^к=^ J f{t,p)dt-^ J f(tk,p)dt =
k=0 tk	4 = 0 tk
n~1 fk+l
= J [f(t,P)—f (tk, P)] dt,
A = 0 ^k
но f(t,p) равномерно непрерывна при t на [a, b] и p на Д, где
Д — какая-либо ограниченная замкнутая область в Z), поэтому для
всякого £>0 найдется такое
7)>0, что если | Д4 | < т), то
\t{t, p)—f{tk, Р)\<г при
ltk^t^tk + Mk,
\Р на Д,
।—I—I—I—й-ч—I—।—।—I
а 4г 4/ tn-I
Рис. 65.
следовательно, при тахД/^^т] и любом р на Д будем иметь:
I	П-1
\F(P')- ^f(tk,p)^k
I	к—О
<4 £ (b — a),
n-1
что и доказывает равномерную сходимость 2/(4,/0^4 к Р(р)
л=о
внутри области D.
Наконец, в силу теоремы § 13 главы III F (р) будет аналити-
ческой функцией от р в области D, причем
F'(P) = Hni
^/(tk, Р) Ык
~к-0
Ъ
= j fp(t’p')dt>
а
что и требовалось доказать.
п-1
к = 0
24б
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[1лЛ. V
Теорема. Пусть /(/, р) — непрерывная комплекснозначная
функция двух переменных t, р\ действительного переменного t
на [а, + °°)> кроме, быть может, изолированных точек, и комплекс-
ного переменного р в области D. Пусть, кроме того, эта функция
при каждом упомянутом значении t будет аналитической от р
в области D. Предположим еще, что несобственный интеграл
4-00
J* p)dt на каждой ограниченной замкнутой области Д, лежащей
а
в £), мажорируется некоторым сходящимся интегралом от действи-
тельной неотрицательной функции. Тогда
+ оо
F(p) = f М,р)М
а
будет аналитической функцией от р в области £), причем
+ оо
Р (/>) = / f'p U,P) dt.
а
Доказательство. Если сегмент [с, d], лежащий на [а, -ф- оо),
не содержит упоминавшихся в тексте теоремы изолированных точек,
а
то в силу леммы j* f(t,p)dt будет аналитической функцией от р
с
d
в D, производная которой равна J* (f, р) dt. Если с (или d) стре-
с
мится к одной из названных изолированных точек с0 (или dQ), то
d	±d	I	dQ\
в	силу	условий	теоремы	J* / (6 р) dt -> J* f(t,p)dt	I или	к	J 1
с	с0	\	с /
равномерно	внутри	D,	поэтому	в	силу	теоремы	§	13	главы III
d	f	dQ\	d
производная от f(t,p)dt	I или	J I	будет равна	J fp(ttp)dt
Cj	\	c /	Co
/ d>
I или J*
\ с
I	I
ная от J* f(t,p)dt будет равна J*
а	а
этого заключаем, что при любом произвол-
§ 2]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	247
I	+ оо
Наконец, в силу условий теоремы J* f (/, р) dt-> J* f(t,p)dt
а	а
равномерно внутри D, следовательно, в силу теоремы § 13 главы III
+ оо	+оо
производная от J f (t, р) dt будет равна f fp 7’) чт0 11 тРе’
а	а
бовалось доказать.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Пусть /(0 — комплекснозначная функция, непрерывная
на [0, -|-оо), за исключением, быть может, изолированных
точек. Если действительное число s обладает тем свойством,
4-оо
что несобственный интеграл J* \f(t)\e~stdt сходится, то
о
числа, большие s, также им обладают. Отсюда следует
(рассуждая, как в § 3 главы III при введении понятия
радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется
такое действительное число s0, что при s > s0 упомянутый
несобственный интеграл сходится, а при s < s0 расходится
[число s0 назовем показателем роста функции f(f)], либо
для всех действительных s упомянутый несобственный инте-
грал сходится (тогда показатель роста функции f(f) считаем
равным — оо), либо для всех действительных s он расхо-
дится [тогда показатель роста функции f(t) считаем
равным оо].
Если показатель роста f(t) меньше 4“°° [будем говорить
в этом случае, что f(t) имеет ограниченный рост], то f(f)
абсолютно интегрируема на каждом сегменте [0, а], где а > 0.
В качестве примера отметим, что если f(t) на [0, -]-оо)
удовлетворяет неравенству | f(t) | Mest, то f (f) имеет
ограниченный рост и показатель роста s. В самом деле,
4- оо
тогда интеграл J* | /(/) | ^-(s+e) * dt при всяком е>0 схо-
о
дится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом
4-оо
Q
248	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
Если f(f) имеет ограниченный рост, то
О
является аналитической функцией комплексного перемен-
ного р в полуплоскости Re р > $0, где s0—показатель
роста f (/) (числа s0 называют еще абсциссой абсолютной
+ оо
сходимости интеграла Лапласа	В самом
о
деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каждой
полуплоскости Rep^^, где > s0, ибо на ней он мажо-
рируется сходящимся интегралом \f(t)\e~s^dt\ значит,
6
рассматриваемый интеграл подавно равномерно сходится
внутри области Re р > s0 и, следовательно, по теореме § 1
является аналитической функцией в этой области.
Определение. Комплекснозначную функцию f(f)9 непре-
рывную на [0, +оо), за исключением, быть может, изоли-
рованных точек, и имеющую ограниченный рост, назовем
оригиналом. Аналитическую функцию F (р) комплексного
переменного p = s—|—/а, определенную формулой F(p) =
— |*f(t)e~ptdt при Reр > $0, где s0—показатель роста /(/),
6
назовем изображением оригинала /(0- Преобразование,
относящее оригиналу /(Z) его изображение F (р),
+ схэ
F(P) = f	(5.1)
О
называется преобразованием Лапласа. При этом пишут:
/(O^F(p).	(5.2)
Употребляется еще обозначение
= Jf(tye-ptdt	(5.3)
О
(Д— знак преобразования Лапласа).
§ 2]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	249
Мы дали здесь более узкое определение оригинала, чем
это принято в общей теории преобразования Лапласа,
чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими
понятиями интеграла, которые даются в элементарных общих
курсах математического анализа. Такие оригиналы доста-
точны для практических надобностей.
Замечания. Если встречается надобность продолжить
оригинал /(Z) на отрицательные значения /, то полагают
f(f) —0 при t < 0.
Если lim /(Z) существует и конечен, то обозначим
t ->+о
его /(Д-0), если lim f(f) существует и конечен, то обо-
it -> + оо
значим его /(+оо).
Если /(/)— оригинал, то, очевидно, |/(0| будет ориги-
налом с тем же показателем роста.
Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть ориги-
нал. Если /(0 — оригинал, то, очевидно, /(«0 (а — поло-
жительное число), tf (/), f(t — т) (т — действительное число,
— комплексное число) то же будут оригиналами.
t
Покажем еще, что если/(/)—оригинал, то	f(ti)du
о
будет непрерывным на [0, Д-оо) оригиналом.
Непрерывность ср (/) следует из абсолютной интегрируе-
мости f на каждом сегменте [0, а], где а > 0. Далее,
если s0—показатель роста /,	— положительное число,
большее $0, $ > то в случае /(/)^>0 имеем:
£-(«-«!) t J e-sxu
о
+ oo
откуда в 1дно, что интеграл J* ytfye-^dt сходится и ср есть
о
оригинал.
250
Преобразование лапласА
[гл. v
Если теперь f—комплекснозначная функция, то
t
\f(u)\du,
О
но правая часть по доказанному есть оригинал, следова-
тельно, ср (0 подавно оригинал, что и требовалось доказать.
Теорема. Если F (р) есть изображение, то
при Re р -> + оо.
Доказательство. Пусть е > 0. Возьмем ?] > 0 на-
столько малым, чтобы
j 1/(01 л <
о
Тогда при s > 0 имеем:
г?
J |/(О|е-^<4 .
О
Пусть Rep = s>s1, где — число, большее показателя
роста /(/). Тогда
j* \f(t)\e~stdt = j* \f(f)\e~3d 	dt <
+ OO
<>-(8-81)4 J |/(/)|e-S'^O
0
E
что < -j- при s достаточно большом.
Следовательно, при достаточно большом Reр = s имеем:
+ СО	7]	4-00
\F(P)\< j |/(0|е~^ = J + J <|+^ = з,
О	0 т]
что и требовалось доказать.
Примечание. Можно показать, что оригинал вполне
определяется своим изображением (если функции, отличаю-
§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 251
щиеся лишь в изолированных точках, считать эквивалент-
ными). Если ограничиться оригиналами, дифференцируемыми
всюду, за исключением, быть может, изолированных точек,
то этот факт будет следовать из теоремы обращения пре-
образования Лапласа, доказываемой в § 9.
§ 3.	ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1.	Однородность. Если f (t)^ F (р), то
— любое комплексное число).
В самом деле,
L[k/(O] = J \f(t)e~ptdt=\J f(f)e-0dt = XL[/(/)].
0	0
2.	Аддитивность. Если /(/)-=F(p), ?(0^Ф(р)» то
Ж + ?(0^(р) + Ф(р)«
В самом деле,
4- со
L \f(f)4- ¥ (01 = j* 1/(0 + ¥ (01 dt =
о
= J* + j = £[/(/)] + £[¥(01-
о	о
3.	Подобие. Если	то
/(aO-=-^-F^^ (а — любое положительное число).
В самом деле,
4-со	4-со
О	о
4.	Дифференцирование оригинала. Если /(/)
непрерывно дифференцируема на (0, -|-оо) и если f'(t) есть
оригинал [тогда /(/) тоже оригинал и /(+0) существует],
то из f(t)r^F(j)) следует:
/'(O = pF(p)—/(+0).
252	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
В самом деле, интегрирование по частям дает при
0<а<#<Ц-оо
ъ	ь
f (f)e~Ptdt = f(f)e~Pt^’a-\- р f{t)e~Ptdt.
а	а
Если Rep больше показателя роста /(/), то модуль
f(t')e-Pt не может для всех достаточно больших t оста-
ваться больше некоторого положительного числа, поэтому
найдется такая последовательность положительных tn, что
^"^4"°°»	е~Р*п 0* Беря теперь а = -^-, b = tn и
переходя к пределу в вышенаписанном равенстве, получим
при Rep, большем показателей роста /(/) и f (f):
— /(+0)+pF(p).
5.	Обобщение. Если /(/) п раз непрерывно диффе-
ренцируема на (0, + со) и если /л) (0 есть оригинал [тогда
/(0, f (0, • • •’	-1) (0— тоже оригиналы и/(-ф-0), f (+0),. . .
.	/(zi-1)(+0) существуют], то из /(0.= F(p) следует:
/(га) (/) = pnF (р) — /(+ 0) рп-х —
—/(+0)рп-2—... -/(и'1)<+0).
В самом деле, это получается из свойства 4 по индук-
ции. При п = 1 утверждение справедливо по свойству 4.
Если утверждение справедливо для п — 1, то
/(п-1)(0^Рге’1/7(Р)—/(+0)рге^2—... — /п-2)(+0).
Отсюда по свойству 4
f(n\t)=p^F^py-/(+0)р’г-2— . . . —/^2)(+0)] —
—/('i-1)(+0) = /f’(p)—/(ЦО)^’1— .. . —/'г-1>(+0).
6.	Умножение оригинала на минус аргумент
(дифференцирование изображения). Если f(t) =’
= Е(р), то
~tf(f) = F'(py
§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 253
В самом деле,
+ оо	+ оо
L [—	= [ — tf(t) e-ptdt = -^\ f(f) e-pt dt = F' (p).
6	0
7.	Обобщение. Если f(t)r^-F(p), то
(— \)n tnf(t)=^F(n}(p).
В самом деле, это получается из свойства 6 по индук-
ции. При п=1 утверждение справедливо по свойству 6.
Если утверждение справедливо для п—1, то
(— V)n~ltn~lf(t)	(р),
откуда по свойству 6
(— \)ntnf(t) = [F(n-1) (/?)]' = F(re) (р).
8.	Интегрирование оригинала. Если f(t) не-
прерывна на (0,-|-оо) и /(^)=F(p), то
t
V	г
о
t
В самом деле, пусть y(t) = j*/(&) du .= Ф (р), тогда
о
?(+0) = 0 и по свойству 4 имеем /(/) = рФ (р); следова-
тельно, рФ(р) = ^(р); Ф (р) = ?.
9.	Деление оригинала на аргумент (и н т е г
грирование изображения). Если есть оригинал
[тогда f(t) тоже оригинал], то из f(t) = F(p) следует:
?	/	00 р \
.= Г F (q) dq I где f = lim f .
f J	\	Re P->+oo J /
p	x P	P '
В самом деле, пусть ^-^ = Ф (р), тогда по свойству 6
f(f) =-- Фх (рУ, следовательно, —Ф' (р) = F (р). Интегрируя
254	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
это равенство в пределах от р до Р, найдем:
р
Ф(р) — Ф(Р)= f F (q)dq',
р
следовательно, в пределе при ReP —>-|-оо [учитывая, что
тогда Ф (Р) -> 0] получим:
оо
Ф (Р) = f F (q) dq .
о
10.	Запаздывание. Если ftt^^Ffji), то
f(t— т) = e~PxF (р) (т — любое положительное число).
В самом деле,
— “01 = J fit— t)e i>tdt=f f(t — x)e p*dt =
0	х
+ оо	+ оо
= j* f(t)e'P^+^dt = e^Px Р f(f)e~Ptdt=e PxF{p).
о	о
11.	Умножение оригинала на показательную
функцию (смещение изображения). Если /(0^
= F(p)t то
— Р) (X—любое комплексное число).
В самом деле,
Z.= J	J /(()е-(Р^^<И = Р(р — X).
О	о
§ 4]
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
255
§ 4.	СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
Формула Дирихле
Пусть f(x,y) непрерывна в треугольнике D: а^.у^
х b (рис. 66).
Преобразуя двойной интеграл § J/(х, у) dx dy двумя
D
способами в двукратный и сравнивая результаты, получим
искомую формулу Дирихле:
Свертка функций
Пусть /(/) и ср (0 — непрерыв-
ные, комплекснозначные функции на
[О, +оо). Сверткой функций f и ср называется функция,
обозначаемая f %- ср и определяемая равенством
t
(J * ?) (О = J* f («) <? (t — и) du.
О
Это будет непрерывная функция на [0,-|-оо). Очевидно,
I/* ?К1/| * 1?1-
При а > 0 с помощью формулы Дирихле находим:
J (/ * ср) (0 e-vt dt = J'е-^ dt J f(u) cp — u)du —
о	oo
= J* f(u)du J cp (t — a) e-ptdt — J f(u)du J cp(f)e-^+w) dt=
On	0	0
a	a-u
= J” f(u)e~Pudu J* dt\
о	о
256
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. V
а-и
следовательно, если записать внутренний интеграл J
о.
а а
в виде J* — J*, получим формулу
0 а-и
J* (/* ?) (f) e-ptdt = J* f(t)e~Ptdt • j* dt —
о	oo
a	a
— J* f(u)e~Pudu у ср (/) е-Р*dt. (5.5)
о	a-u
Из (5.5) следует, что	при	/^0, ср 0 и действитель-
ном 5
J (/*	J f(t)e~stdt J y(t)e~stdt;
О	0	0
следовательно, при комплекснозначных / и ср и действитель-
ном 5
J | (/ * ср) (О I e~st dt < J| f(f) I e~st dt J | <p (t) | e~st dt,
0	0	0
откуда видно, что если /и ср—-оригиналы, то f * ср — тоже
оригинал, причем показатель роста /*ср не более наиболь-
шего из показателей роста / и ср.
Свертка оригиналов
Теорема. При свертывании оригиналов изображения
перемножаются, т. е. если /(О^^(Р) и ср(О^Ф(Р)» то
(/*
Доказательство. Для простоты мы имеем в виду
лишь непрерывные на [0, +©о] оригиналы. Учитывая фор-
мулу (5.5), достаточно показать, что
а	а
У f (и) е~Рн du у ср(/)е	при я—>Ц-оо.
О	а-и
§ 4]	свертка функций	257
Пусть \f(t)\^F1(p) и | ср (/) | = Фх (р), тогда, если Rep = s
больше показателей роста f и ср, то
а	а
J* f (и) е~з)и du J* ср(Л)£-РМ£
О	а-и
а
а	а	~2 а
< J I/(«)l e~su du f \<?(t)\ e~stdt — j" + J* <
0	a-u	0 a
2
+ CO	-f-OO
<^(5)/ |?(/)|е-^Л+Ф1(5) j* \ f (u)\e-su du,
a	a
2	2~
что —> 0 при a—>-|-oo, что и требовалось доказать.
Пример. Найти свертку /а и t$, где а^>0, р^-0. Имеем
[делая в интеграле подстановку и—tv и учитывая фор-
мулы (4.7) и (4.9)]:
ta % fi
i
и)$ du — /а+?+1 f -иа(1 —v)^ dv =
о
= В(а+1, ? +!)/’+₽+> =
и, в частности, при целых неотрицательных т, и
-х- fn = - • •	рп+п+1.
(тп+/?+ 1)!
Формула Дюамеля
Пусть f(f)— непрерывный на [0, -f-оо) оригинал,
ср(/) — непрерывно дифференцируемый на [0, Ч-оо) ори-
гинал. Из	и ср(/) = Ф(р) следует:
t
f f(u)^(t — u)du = F (p) Ф (p).
о
17 Зак. 1944. П. И. Романовский
258
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Из правила дифференцирования интегралов, зависящих
от параметра, следует, что левая часть непрерывно диф-
ференцируема на [0, +оо), причем
t	t
J/(«)?(*— u)du = J /(«)<?'(^—
о
О
Отсюда в силу свойства 4 § 3 получаем искомую формулу
Дюамеля
t
+f f(u)y'(t — u)du = pF(p)$(p).	(5.6)
О
§ 5. ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
Изображения некоторых элементарных функций
1. Изображения степенных и показатель-
ных функций. При а> — 1 степенная функция ta
является оригиналом с нулевым показателем роста, причем
Ч-оо
А(/«) = У tae~Ptdt,
О
что при
pt на /)
положительных значениях р равно (после замены
1
/?а+1
+ оо
j* dt
б
Г (а + 1)
^7 4-1
Но как изображение /а, так и правая часть последнего
равенства аналитичны в полуплоскости Rep > 0, следова-
тельно, совпадая в положительных точках, они (в силу
теоремы единственности, см. гл. III, § 14) совпадают на
всей полуплоскости Re р > 0 (заметим, что степенные
функции рт = eyLnp комплексного переменного р многозначны
при не целых у, но, рассматривая их на полуплоскости
Re р > 0, мы всякий раз имеем в виду те их ветви,
§ 5] ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 25 9
которые происходят от ветвейЬп р, совпадающих для положи-
тельных р с In р). Итак,
(а> —1).	(5.7)
Так, при а = т (т = ®, 1,2, .. .)
(5-8)
и, в частности, при /п = 0
1Д.	(5-9)
Из (5.8) по правилу смещения изображений (§ 3, свой-
ство 11) находим при любом целом неотрицательном т и
любом комплексном X
и, в частности, при /п = 0
ext=_l ,	(5Л1)
р — \	v 7
2. Изображения тригонометрических и ги-
перболических функций. Имеем в силу (5.11):
cosZ	q—it	1 1	f 1	j	L?	>	p .	(5.12)
	2	2 \p — i		1 p + b	>~P2+V	
sinZ	^it g~it		< 1		i_)	. 1	(5.13)
	21	2i \p— i		P + 0	'“P2+1;	
ch t		ef	.	.1 /	1 ,		= _p__.	(5-14)
	~	2	*	2 \p— 1	1		p+4	p2 — 1 ’	
sh t		.	1 (	1	1 '	\	L_	(5.15)
	2 *	2 \p-l		p + 1 >	l~p2— г	
Из (5.12) и (5.13) по правилу подобия (§ 3, свойство 3)
находим:
COS 3t г=^ 9	; sin	9	,
г	r pi +
17*
260	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
откуда по правилу смещения изображений (§ 3, свой-
ство 11)
eatcos pz = 7—Р~а, Qo; eat sin 3Z =	•
r {p — a)2 + ?2’	r	{p — a)2 + ₽2
Необходимое и достаточное условие
рациональности изображения
Теорема. Для того чтобы изображение было рациональ-
ной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал
являлся линейной комбинацией функций вида tmeu (nt— целое
неотрицательное, X — комплексное).
Доказательство достаточности. Если оригинал
есть линейная комбинация функций tmeu, то в силу (5.10)
изображение будет линейной комбинацией функций
и, следовательно, будет рациональной функцией.
Доказательство необходимости. Пусть изо-
бражение F (р) рационально. Так как по теореме § 2
F(p)—>0 при Rep—>-[-00, то F (р) будет правильной
рациональной дробью. Пусть рк—ее полюсы, пк— их крат-
ности. Тогда, разлагая F (р) на простейшие
получим:
элементы,
пк
F^==^i^(p-lpk)l’
к Z=1
где Mki— некоторые комплексные числа. Но
видно, что
из (5.10)
Отсюда
а так как
нием, то1
=£_____!___
(Z-1)!	•	(р-рк)1‘
пк
к 1=1
оригинал вполне определяется своим
изображе-
пк
к 1=1
и, следовательно, является линейной комбинацией функций
вида что и требовалось доказать.
§ 5] ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 261
Заметим, что всякая правильная рациональная дробь
является изображением некоторого оригинала. Таким обра-
зом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается
взаимно однозначное соответствие между всеми функциями,
являющимися линейными комбинациями выражений tmelt и
всеми правильными рациональными дробями.
Заметим, что класс функций, являющихся линейными
комбинациями выражений вида обладает следующими
свойствами: операции линейного комбинирования, умножения
на аргумент, умножения на показательную функцию, линей-
ного преобразования аргумента, дифференцирования и инте-
грирования, примененные к функциям этого класса, приво-
дят снова к функциям этого класса.
Нахождение оригинала по заданному изображению
(когда оно рационально)
Предыдущие выкладки показывают, что если F (р)— ка-
кая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение
которой на простейшие дроби есть
пк
к 1=1
ТО
пк
fv)=%tnr=^epkt (5Л6)
к 1=1
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
В частности, если все полюсы F(p)— простые, то
=	Mk~ResF(p),
крРк
и для оригинала, имеющего изображение F (р), получим
формулу
=	(5.17)
Таким «образом, нахождение оригинала по заданному
изображению (когда оно рационально) сводится к разло-
жению правильной рациональной дроби на простейшие
дроби.
18 Зак. 1944. П. И. Романовский
262	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
Пример. Найти оригинал f(t), имеющий изображение
2^ + Р2 + 2р + 2
2/24^2^	’
Разложение на простейшие дроби даст:
F	+ р + 1 + z ’
следовательно,
/(0==^- — ге<-1+*)г	= -J-|-2c-*sint
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Из общего курса математического анализа известно, что
все решения линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами, правая часть которых есть ли-
нейная комбинация функций вида являются функциями
такого же вида. То же относится и к системам линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами, правые части которых являются линейными комби-
нациями функций вида	Но линейные комбинации
выражений t™ext, если их рассматривать на [0, +оо),
являются оригиналами с рациональными изображениями. Это
подсказывает нижеследующий прием отыскания решения
названных линейных уравнений и систем линейных уравне-
ний, удовлетворяющих заданным начальным условиям Коши.
Линейные дифференциальные уравнения
Требуется найти решение линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
®йУ(и)+«1Уп-1>+ ••• +«пУ=/(0>
удовлетворяющее начальным условиям Коши
У (0) = Со; у' (0) = q; ...;	(0) = cn_v
когда /(/) есть линейная комбинация функций вида
§ 6] ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 263
Пусть у (t) = Y(р), /(/) =F (р). Тогда из рассматриваемого
дифференциального уравнения и начальных условий Коши
следует (в силу свойств 1, 2, 5 § 3):
a0(j)nY— copn~i— . .. — c„_i) + ax (рп *У—сорп-2 — ...
• • • — сп-г)-F • • • ~Ь ап-1 (р¥— со)Ч~ апУ = ?
ИЛИ
+	... +а„)Г =
= Co(«o/’n"1 + «i/’n'2+ ••• + «л-1) +
H-Ci(a0Pn-2 + aiPn-3+ ••• +а»-2)+ ••• +cn-i«o + ^>
откуда
Г(Р)-^+.1..+а№1^о(^Ри~1+ • • • +«„-? +
+ с1(аорп-аЧ- . .. +ап_2)+ . • • +cn_lflo + F(p)]. (5.18)
Итак, изображение Y (р) искомого решения y(t) нахо-
дится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональную
дробь Y(р) на простейшие элементы, найдем с помощью
формулы (5.16) искомое решение y(t). В случае однородного
уравнения имеем /(/) = 0 и, следовательно, F(p)'=0.
Таким образом, решение линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью,
являющейся линейной комбинацией функций вида tm еи, сво-
дится к разложению некоторой правильной рациональной
дроби на простейшие дроби.
Пример 1. Решить уравнение ут— у" — 6д/= О при
начальных условиях у/(0)= 15; у/(0) = 2; у'(0) = 56.
Здесь
у . . = 15(р2-р-6).+ 2(р-1) + 56__ 15р? —13р —36 =
W	Р3 —р2 —6р	р(р4-2)(р — 3)
=Л+-5________I___4—
Р- Р + 2 Р-3 ’
следовательно,
j;(0 = 6 + 5^-^+4^.
Пример 2, Решить уравнение yfr + = const при началь-
ных условиях у (0) = 0; у' (0) = 0.
18*
264
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Здесь
р
(р2+1)'3
±Г 1.....
4/ L(p-Z)2
(р + 03];
Р

следовательно,
y(t) = ^(1еи— te-tt) — -у t sin t.
Системы линейных дифференциальных уравнений
Требуется найти решение системы линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами
Ух + апУ1 + • • • + атУп = Л (О»
аиУ1 + • • • “4 а2пУп = A (0>
Уп ~Ь 4“ • • • “Н аппУп ~ fn (0»
удовлетворяющее начальным условиям Коши
«У1(°) = с1’’ Л(°) = с2; •••; Уп(®) = сп>
когда А(0 (&=1, 2, п) являются линейными комбина-
циями функций вида
Пусть yk(t)=Yk(p), fk(f)^Fk(p) (&=1, 2, .ri),
тогда из рассматриваемой системы дифференциальных уравне-
ний и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1,
2, 4 § 3):
pYх ci~h^n^i~b • • • Ч- атYn —	’
pY2 — С2“Ьа21^1 Ч“ • • • Ч-a2nYn = ^2»
РYn	сп —Y£ { . . . —р сьппYlt	Fn, t
или
(an Ч~ P) Yx -|- #12 Y2 + . . . + am Yn = c±-{- Fv
а21Л 4“ (a22~\~ p) Y2 + • • • + ^2nYn = C2 4“ ^2»
........................ • >.................
anl ^14“ an2 ^2 ~h • • • 4“ {ann 4“ p) Yn = Cn~\~ Fn- -
§ 6] ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 265
Пусть
4“ Р
а21
Л(/7) =
а12	• • •	ат
а22~\~ Р - • *	а2п
ап1
&П2	• • • ^пп ~Н Р
и Ajk(p) обозначает алгебраическое дополнение элемента
у-й строки и £-го столбца матрицы этого определителя.
Тогда с помощью правила Крамера находим:
ГНР) = —------------------- (*=1. 2........п).	(5.19)
Итак, изображения Yk(p) функций ук(Р), составляющих
искомое решение рассматриваемой системы дифференциаль-
ных уравнений, находятся по формуле (5.19). Разлагая пра-
вильные рациональные дроби Yk(p) на простейшие дроби,
найдем с помощью формул (5.16) искомые функции yk(t).
В случае однородной системы все fk(t) = Q и, следовательно,
все ^(^ = 0.
Таким образом, решение системы линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами и пра-
выми частями, являющимися линейными комбинациями выраже-
ний вида 1теи, сводится к разложению нескольких правиль-
ных рациональных дробей на простейшие дроби.
Пример. Решить систему
у' + 4у+ ^z = 0, 1
zr 4- 2у 4- 6z = 0 /
при начальных условиях у (0) = 3; <?(())= 15.
Здесь
г = 3 (/? + 6) + 15 (—4)	3/? —42	____8____П_
УР) ра+юр+16 (р + 2)(/2 + 8)—	;, + 2^> + 8’
3(-2) + 15(j94-4)__	15/7 + 54	_ 4	11 .
^2+10^+1б	(^ + 2)^4-8) “> + 2“^ +8’
следовательно,
j/(/) = — 8е~2*4- \\е~ы,
г(/) = 4е-^4- 11^-^.
266
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
§ 7. ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ,
РЕГУЛЯРНЫМИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
О предельном переходе
под знаком несобственного интеграла
Теорема. Пусть fn(t) (п=1, 2, . . .) — комплекснознач-
ные непрерывные функции на [0, сю), причем | fn (t) | ср (/),
где ср (/•)— такая действительная неотрицательная непрерыв-
4 оо
ная функция на [0, + оо), что J* y(f)dt сходится. Пусть
о
затем	f(t) на [0, Н~оо), и притом равномерно на
каждом сегменте [0, а], где а > 0. Тогда
4-оо	4-оо
jf fn(t)dt^ J
о	о
Доказательство. Из условий теоремы видно, что
/(/) непрерывна и | f(t) | ср (/) на [0, +оо). Пусть е—
произвольное положительное число. Так как несобственный
4-оо
интеграл J ср (t) dt сходится, то найдется такое а > 0, что
о
Ч-оо
J* cp(/)c?Z<-|-. Так как fn(t) -> f(t) на [0, а} равномерно,
а
а	а
ТО f fn(t)dt^ f f(f)dt и, следовательно, найдется такой
о	о
номер Д/\ что при N будем иметь:
а	а
f fn(t)dt - f f(t)dt
о	о
е
< з"‘
§ 71
ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
267
Следовательно, при п > М
+ со	+ ОО
f fn(t)dt~f f(f)dt
о	о
+ f fn(t)dt + f f(t)dt
а
J /п(0 dt~
о
а
f f(f)dt +
О
что и требовалось доказать.
Примечание. Теорема остается в силе, если fn(t) и
ср (0 предполагать непрерывными на [0, + оо), за исключе-
нием изолированных точек, и требовать равномерной схо-
димости fn(t) к /(/) лишь на каждом сегменте, лежащем
на [0, —|—схэ) и не содержащем упомянутых изолированных
точек.
Для этого в предыдущее доказательство нужно внести
следующие изменения. Выберем а настолько большим и
окружим попадающие на [0, а] точки разрыва настолько
малыми сегментами, чтобы сумма интегралов от ср(0 по этим
сегментам и по [я, +оо) была меньше После этого
и
используем тот факт, что на оставшихся сегментах fn (/) -> f(t)
равномерно.
В качестве приложения доказанной теоремы сделаем два
замечания о свойствах изображений (когда оригинал удовле-
творяет некоторым требованиям).
Замечание 1. Пусть f(t) непрерывна на (0, Д-оо),
/(+0) существует, • |/(0 |-^ (0, гле ?(0 — неотрицатель-
ный непрерывный неубывающий на (0, + °о) оригинал.
Тогда, если /(0^^(Р)> то pF (р) “►/(+ 0), если р > 0 и
В самом деле, пусть s — положительное число, большее
показателя роста ср(О, и пусть p>s. Тогда
Ч-оо	Ч-оо
О	о
268
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
интеграл
4-со	4-оо
[	J y(f)e~stdt
S	о
сходится;	при	р->4-оо равномерно
на каждом сегменте [а, р], где 0 < а < р < -|~сю. Следова-
тельно, в силу доказанной теоремы
4-00	4-00
pF(p)=\	J /(4-0)е-«Л=/(4-0),
О	о
что и требовалось доказать.
Замечание 2. Пусть /(/) непрерывна на (0, +оо),
/(-{-оо) существует,	гДе ?(0 — неотрицатель-
ный, непрерывный, невозрастающий на (0, +оо) оригинал.
Тогда, если /(0-=^(р), то Р? (р) ~*/(+ °°)> если Р > О
и р -> 0.
Сперва заметим, чтр показатель роста ср (0, и подавно
показатель роста /(Z), не более нуля и потому F (р) имеет
смысл при всех р > 0. Пусть 0 < р < е, где е >0. Тогда
4-оо	4-оо
pF(p) = P^ f(t)e~Ptdt=^ f^e-tdt-,
О	о
4-со	4-оо
/ Т	= 8 [ <?(t)e~&tdt сходится; /(у) е~г —>
о	о
—>/(-Роо)£-* при р->0 равномерно на каждом сегменте
[а, i3], где 0<а<р<-|-оо. Следовательно, в силу дока-
занной теоремы
4-со	4-оо
pF(p) = [ f^e-tdt-* J /(4-сю)е-г Л=/(4-оо),
О	о
что и требовалось доказать.
§ 7]	ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ	269
Целые функции экспоненциального типа
Определение. Целая функция f(z) комплексного пере-
менного z называется целой функцией экспоненциального
типа, если можно найти такие положительные числа С, о,
что для всех комплексных значений г выполняется неравенство
\f(z)\
Ч-оо
Лемма. Для того чтобы степенной ряд 2 Akzk изобра-
о
жал целую функцию экспоненциального типа, необходимо
и достаточно, чтобы для некоторых положительных чисел С,
S выполнялись неравенства
|Л|<С^	(£ = 0,1,2,...).
Доказательство необходимости. Пусть f(z) =
+ оо
= S Akzk — целая функция экспоненциального типа. Тогда
о
|/(г) | < Се° Iг 1 при всех z, где С и о — некоторые положи-
тельные числа. В силу неравенства (3.48) для модулей коэф-
фициентов ряда Тейлора (гл. III, § 14) находим при всех R > 0
(£ = 0,1,2,...).
k
. Беря R =у (k = 1, 2, .. .), получим:
(*—1.2,...),
поэтому, полагая S = еа, будем иметь:
(£ = 0,1,2,...).
Доказательство достаточности. Пусть | Ак | <
< С где С и S — некоторые положительные числа. Тогда,
очевидно, степенной ряд 2 Aftzk сходится для всех z и
270	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
изображает целую функцию f(z), причем для всех z имеем:
+ оо	+ оо
|/(z)|<2|A||2p<	=
о	о
что и требовалось доказать.
Заметим, что операции линейного комбинирования,
умножения на независимое переменное, умножения на пока-
зательную функцию, линейного преобразования независи-
мого переменного, дифференцирования и интегрирования,
примененные к целым функциям экспоненциального типа,
приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.
Необходимое и достаточное условие регулярности
изображения в бесконечности
Теорема. Для того чтобы изображение было регулярным
в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно,
чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального
типа.
Доказательство достаточности. Пусть ориги-
нал f(t) есть целая функция экспоненциального типа [точ-
нее, /(/), заданная на [0, +оо), продолжаема до целой
функции экспоненциального типа]. Тогда, в частности,
при /^>0 будем иметь:
/(0 = 2 I ^ | < eg (С > 0; S > 0).
О
Очевидно, при 0,' Re р = s > S имеем:
п
О
+ оо	+оо
< У | ли	e-st==Ce-<8-s)f:
К\
о	о
+ о°	п
интеграл Се~^~^1(И=—*—г, сходится; V Aktk • е~^ —>
J	S — о
О	О
-+f(t')e~Pt равномерно на каждом [0, а\, где а > 0. Сле-
довательно, на основании теоремы о предельном переходе
271
§ 7]	ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
под знаком несобственного интеграла
+°° п
f
А О
+ оо
e-Ptdt-^ J fitle-Ptdt
О
или
п
- О
при Re р > S,
но
следовательно,
+ оо
О р
при Re р > S,
причем ряд в правой части сходится при | р | > S и изобра-
жает аналитическую функцию в окрестности бесконечно
удаленной точки. Это доказывает, • что изображение F (р)
после аналитического продолжения на окрестность бес-
конечно удаленной точки становится регулярным в ней и
+ со
А‘ —О
k\Ak
pk + 1
при |р| >s.
Таким образом,* если f(f)—целая функция экспонен-
циального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть
со
^Aktk, то изображение /(/) определяется формулой
о
й = 0
(5.20)
Доказательство-необходимости. Пусть изо-
бражение F (р) оригинала f(t) после аналитического про-
должения оказалось регулярным в бесконечно удаленной
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
точке. Лорановское разложение F (р) в окрестности оо [учи-
тывается, что F (р) —> О при Rep—>-|-оо] имеет вид
+ оо
&=1
Пусть положительное число S лежит в области сходимости
этого ряда. Тогда ряд	сходится; следовательно, схо-
дится и ряд	(ибо = Sgktf) поэтому его чле-
ны ограничены, т. е. |	< С, где С — некоторое поло-
жительное число, откуда —<С —; следовательно,
оо
— целая функция экспоненциального типа. По
о
доказанному
+ оо	+оо	+оо
О	0	1
отсюда (так как оригинал вполне определяется своим изо-
бражением) заключаем, что
о
что и требовалось доказать.
Заметим, что всякая регулярная в бесконечности анали-
тическая функция, равная нулю в бесконечности, является
изображением некоторой целой функции экспоненциального
типа.
Таким образом, с помощью преобразования Лапласа
устанавливается взаимно однозначное соответствие между
всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми
аналитическими функциями, регулярными в бесконечно уда-
ленной точке и равными в ней нулю.
§ 7]
ОРЙГЙНДЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
2ГЗ
Нахождение оригинала по его изображению
(когда оно регулярно в бесконечности)
Предыдущие выкладки показывают, что если F (р)—
какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в беско-
нечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее
лорановское разложение в окрестности оо есть
4-оо
ТО
4-оо
Й = 1
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
Изображения бесселевых функций
При [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20)] функция
+ ОО	lL\2k
J'* * (О_V (_1 \к \ /_____
} &1Г0 + & +1)
л=о
будет целой функцией экспоненциального типа.
В самом деле, модуль коэффициента при t2k в правой
части равен
1 _ 1
22А&! Г (v + k + 1) — 22ВД (v + k) (у + k— 1) ... (v + 1) Г + 1)
. 1 1
* ^Г(Н1) 22/с(^|)2’
но-, 22А: (&!)2	(2&)! [Это неравенство проверяется методом
индукции: при k = Q оно верно; если оно верно для неко-
торого k, то переход к &-|-1 сводится к умножению левой
и правой частей соответственно на 4(&-|-1)2 и (2&-|-1)Х
X (2£ + 2), но 4 (£ 4~ I)2 > (2k	1) (2£ + 2), следовательно,
неравенство-будет верно и для	Таким образом, при
всех комплексных t
4-оо
й = 0
/£\2Ь
\2)
k\ г О 4- А 4-1)
1 у И2Й в’*1
Г (V 4- 1) 2d (2й)! Г О 4- 1)
й = 0
274
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. V
Л (О
и, следовательно,-2— — целая функция экспоненциального
типа.
В силу (5.20)
+ оо
A V (_____________1)*____________(2^2!___________(5 22)
t> • Lr *' 2‘^едг(ч 1)рзл4-1’
/i-О
где v — любое действительное неотрицательное число.
При v г= 0 отсюда находим:
^о(О-	l)fe 2^(^!)2^/c+i’
7i = 0
но биномиальное разложение показывает, что
+ оо
(26)!	.
22Л(А!)Зр2Л ’
к = 0
следовательно,
. 1
__1__
У тчт ’

(5.23)
Покажем методом индукции, что
=	(« = 0,1,2,...).	(5.24)
У Р*+ 1
При п — 0 это следует из (5.23). Далее, в силу
ства 4 § 3
свой-
Л (0 = — Л (0 ------г—____
14	0 ’ Ур2 +1
। _ Ур2+ i —р
/р2 + 1
и, след(}вательно, при п = 1 доказываемая формула также
верна. Пусть теперь эта формула верна для всех неотри-
цательных целых индексов, меньших п (где п^2); тогда
§ 7]	ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ	275
[см. гл. IV, § 3, формулу (4.27)], учитывая, что Jn_i(0)=0,
находим:
D (0 = Л»-2 (0 — 2 Л _ 1 (0 =	-
Ур2+ 1
2р(У/>2+1—р)"^1	(/р2+1—Р)п
/?+!
Таким образом, формула (5.24) доказана.
Рассмотрим теперь функцию
^(P) = ~~ie~ (« = 0,1,2,...).
Эта функция регулярна в бесконечно удаленной точке и
F (оо) = 0, следовательно, она является изображением неко-
торой целой функции экспоненциального типа f(t).
Так как
j	4- оо	4- со
F („) e _Lе~ = д_ у (=1)^в у (-1)fc........,
w	pn+i 2л k\p* £иг\рп+к+1
k - 0	к = 0
то в силу (5.21)
4-00
. Р-1^ /п+1-
J 1 ’	2л k\ (п + k)\
к — 0
но [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20')]
П 7
+ оо	——F к
j. (2/т>=5044-,^.
п. 4 г 7	k\ (п -р &)!
к = 0
следовательно,
/а)=Д/„(2/7).
Таким образом,
/bre(2/7) = ^_DF (п = 0, 1, 2, ...)	(5.25)
и, в частности, при п = 0
У0(2/Г) = 1Г^.	(5.26)
7
276	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
§ 8. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
1. Изображения логарифма и интегрального логарифма
Очевидно, 1п/ есть оригинал с нулевым показателем
роста. Пусть ln^=F(p); тогда (принимая во внимание
свойства 6 и 4 § 3 и учитывая, что t\nt —	>0 при
Z->0)
HnZ = —F'(p);
t\nt—1=— F'(p)—1;
(Hn/ —/)' = —pF'(p) —1;
но (HnZ —	= In/, следовательно,
_pF'(p) —l = F(p),
Г
pF'(p) + F(p)=-l,
[pF (/>)]' = - j-,
C-hpF (p) = —Ln p,
F(p) = —
'	P P
Полагая p=l, найдем:
+oo
C = — F(l)= — J In/• e-*dt = Q,577 ...
0
Это число называется постоянной Эйлера, Можно пока-
зать, что
С= iim (1 4-1+...4-1 —Inn).
n + 4-oo \ z	'*	/
Итак,
1п/ = — !LL_£,	(5.27)
Р Р	4
где С—постоянная Эйлера,
§ 8] ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 277
Рассмотрим теперь lie* (см. гл. IV, § 7). Имеем:
lie*= j ~dt= fg	=
J ► J г
t
0
где c — произвольная постоянная. Но (учитывая свойство
9 и 8 § 3)
(^-|)d?=LnP-Ln(p-D,
р
t
еи — 1 du _ Ln (р— 1)
и ' р	р '
о
Следовательно, пользуясь (5.27), получим:
1 j et = Ln Р Ln (Р— О I с_Ln р С   Ln (р— 1)
Р	Р ' Р Р Р~~~ Р
С —с
Р ’
и при надлежащей нормировке интегрального логарифма
будем иметь:
li et ==• _ Ln^~1)..	(5.28)
2. Изображения функций, связанных с интегралом
вероятностей
Положим:
t
erf (t) = -Дх | е~и* du\ Erf (0=1 — erf (0.
у те J
о
19 Зак. 1944. П. И. Романдвский
278
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Очевидно, erf(0 есть непрерывная возрастающая функция
на [0, -|-оо); erf (0) = 0, erf (-|- оо) = 1, Erf (0 есть непре-
рывная убывающая функция на [0, +оо), Erf (0) = 1,
Erf (+ оо) = 0. Рассмотрим функцию /(/) = ^ erf (]А ) (оче-
видно, это оригинал), и пусть f (t)r=^ F (/). Учитывая, что
[erf (£)]' = —найдем:
у тс
f (0 = erf (/7| +	J - — = ef erf ЩГ) +
+Vs=/W+T5;
следовательно, после перехода к изображению (пользуясь
свойством 4 § 3 и учитывая, что /(0) = 0), получим:
. о
pF <j» = г (й +	= F w + „,
о2
откуда
F(p-) = --^=.
(р— ОУ р
Таким образом,
^erf(/7)^	1--7=,	(5.29)
(р — О V р
откуда по правилу смещения изображения (свойство 11 § 3)
erf(/7)^-J=.	(5.30)
р Ур + 1
Затем
е* Erf (У t ) = е* — е* erf (V t ) ?=' ——г--—7= =
V	7 p-1	(р-1)Гр
— 1
p +V7
и, таким образом,
e«Erf(/T) =-----------------Ц=,	(5.31)
v 7 p + V p
откуда по правилу смещения изображений
Erf (/7) =------1 r__,	(5,32)
7 р + 1 + Гр+1
§ 8] ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 279
3. Изображения интегрального синуса
и интегрального косинуса
Имеем (на основании свойств 9 и 8 § 3):
. ,	1 sin t . \ dq	тс ,
sin'^?+T; ?b=2-arctg";
p
t
f sin a ,	. 1 / тс .	\
J—^7(-2~агсМ;
0
следовательно (при нормировке si 0 = 0),
si/ = 2L-?^.	(5.33)
2р р
Далее (учитывая свойства 9 и 8 § 3),
,	. р	j. \	* Р 1
cos	; cos— 1 г- ------
Ра +1	ра +1 р
cos / — 1
t
COS t— 1
t
dt-\-\nt =
t
f COS U — 1 ,	.	112.
-------du-\-
о
где c—произвольная постоянная; следовательно [принимая
во внимание (5.27)],
Г i / = LnP__Ln(p»+ 1) , с__Lnp_____С__
Р	2р	р р р
__ Ln (/>2 + 1) С — с
~ ^Р	~Р~ ’
19*
280	ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
поэтому при надлежащей нормировке интегрального коси-
нуса будем иметь:
ci Л— — Ln(^+1).	(5.34)
4. Изображения интегралов Френеля
Имеем (пользуясь свойствами 11 и 8 § 3):
гШ
1	\ 2 / _ У я .
уг 2. ~У7’
р _
sin / _ 1	— e-tt . у- тс /	1	1
/7~У7 2Z ’	2/ \У р — 1	Vp + i.
t	_
Г sin и ,	. У л /	1	1	\
-7= du у=1 ( -7=---7= ;
J у и 2ip \Ур — I	+
следовательно, полагая
S (/) = -.J_- |	(синус Френеля), (5.35)
У 2к J у и
получим':
S (/) = —Х— ^р+^Хр~.	(5.36)
2 У 21 У + 1
Далее (учитывая свойства 11 и 8 § 3),
1 __. У и
у7‘ у?’
cos t _	1	-f- е~^ . У п / 1	.	1	\
УТ“у7 2	’	2 \УР —Z-*- уp + i)'
t	_
Г cos и ,	. У U /	1	.	1	\
j У“ 2p \Ур — i Vp + i/
§ 9]
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
281
(5.37)
(5.38)
следовательно, полагая
t
C(t)=—)= I -C-^.SJf du (косинус Френеля),
V 2* J у и
получим:
с = 1 VFH+ Yp-i
U‘ 2/2 pYp*+i
§ 9. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
Преобразование Фурье и его обращение
Определение. Пусть /(/) — комплекснозначная функция
на (— оо, -)-00)» непрерывная всюду, за исключением,
быть может, изолированных точек, и абсолютно интегри-
руемая на ( — оо, -/оо).
Преобразованием Фурье функции /(/) называется функция
+ оо
F(ti) — J	(5.39)
— ОО
Преобразование Фурье функции /(/) называют еще спек-
тральной характеристикой функции /(/). Легко видеть,
что F (и) непрерывна на (—оо, -/оо) и
+ оо
— сю
Теорема обращения преобразования Фурье
Если /(/) удовлетворяет упомянутым в предыдущем
определении условиям, то в каждой точке /, в которой f
дифференцируема, имеет место формула обращения (обрат-
ное преобразование Фурье)
+ оо
/(/) = J F («) eiut dt,	(5.40)
282	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
Доказательство непосредственно следует из формулы
(1.39), доказанной в § 10 главы I.
Преобразование Меллина и его обращение
Пусть g(x) — комплекснозначная функция, непрерывная
на (0, -роо) всюду, за исключением, быть может, изоли-
-1-00
рованных точек. Если £ xs~l1 g(x) | dx (здесь 5—действи-
о
тельное число) сходится при 5 = ^ и s = s2, то он схо-
дится при всяком s, лежащем между и s2 (это следует
из того, что если < 5 < s2, то х8 < х81 при х<1,
Xs < х8* при х > 1). Отсюда легко заключить, что либо
упомянутый интеграл при всех 5 расходится, либо найдутся
такие а и b (—оо а b °°)> что ПРИ a<Zs<Zb
упомянутый интеграл сходится, а при 5 < а и при s > b
расходится. В последнем случае (если а < Ь) интеграл
+ оо
Меллина J* xv~lg(x)dx имеет полосу абсолютной сходи-
о
мости а < Re р < Ь, причем в каждой полосе а± < Re р Ь±
(где а < а± < Ьг < Ь) его сходимость—равномерная. Из
теоремы § 1 вытекает, что он изображает аналитическую
функцию G(p) комплексного переменного p = s-|-zcj в полосе
а < Re р < Ь.
Определение. Пусть g(x) — комплекснозначная функция
на (0, -|-оо), непрерывная, за исключением, быть может,
изолированных точек, и такая, что -соответствующий инте-
грал Меллина имеет полосу абсолютной сходимости
а < Re р < Ь. Преобразованием Меллина функции g(x) на-
зывается функция
4-оо
G (р) = J* xP~l g(x) dx,	(5.41)
о
аналитическая в полосе #<Rep<Z>.
Замечание. Если преобразование Меллина функции g(x)
есть G(p), то при а < с < b преобразованием Фурье функ-
ции e-ctg^e-t) будет G(c-\-iu).
§ 9]
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
283
В самом деле, с помощью подстановки х = e~f находим:
+ оо
G(c-\-iu) = J* e~(c+iu>) tg(e~t) dt =
4-00
_ J* e~ctg(et') e~iutdt.
Теорема обращения преобразования Меллина
Если g(x) удовлетворяет отмеченным в предыдущем
определении условиям, то в каждой точке х, в которой g
дифференцируема, имеет место формула обращения (обрат-
ное преобразование Меллина)
с4-гоо
S(x)=24z [ О (/?) х-р dp,	(5.42)
С — гоо
с4-гоо	с + гк
где I = lim I , причем с — любое действительное
! к ->4-оо <7
с —гоо	с — гк
число, удовлетворяющее неравенствам а < с < Ь.
Доказательство. Если g (х) дифференцируема
в точке х, то после подстановки х = е1 функция e~ctg(e~t)
будет дифференцируема в соответствующей точке /, но
тогда в силу предыдущего замечания и теоремы обра-
щения преобразования Фурье найдем в упомянутой точке t
e~ctg(e~t) — G(c-j-tu)eiutdu,
— оо
4-оо
— J G(c-^-iu)e(c+iu^du;
— оо
следовательно, в рассматриваемой точке х
C + ioo
g^==='^i ( О (р) х-Р dp,
с—гео
что и требовалось доказать,
284
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Обращение преобразования Лапласа
Замечание. Если преобразование Лапласа функции /(/)
есть F (р), т. е.
F(p)=f f(t) е-Р* dt,	(5.43)
О
то преобразованием Фурье функции e~atf(t) будет F (а-\-1и),
если а — действительное число, большее показателя роста
Ж
В самом деле,
4-оо	+оо
F(a + lu)= J*	J e-atf(t)> e~iutdt.
О	— эо
Теорема обращения преобразования Лапласа
Если /(/) — оригинал и F (р)—его изображение, то
в каждой точке I, в которой f дифференцируема, имеет
место формула обращения (обратное преобразование Лап-
ласа)
a+ico
f F(p)eptdp,	(5.44)
a-ico
a+i<x>	a+ik
1де С = lim I , причем a — любое действительное
/	&-> + oo J
а-г<^>	а—гк
число, большее показателя роста /(/).
Доказательство. Если f(t) дифференцируема
в точке Z, то e~atf(t) тоже; следовательно, в силу преды-
дущего замечания и теоремы обращения преобразования
Фурье найдем в рассматриваемой точке t
+ оо
=	F(a-\-iu) eiutda.
§ 10]
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
285
+ от
/(/)=! | F (а +/«) *(а Нм)
— ОО
a+ioo
= J F(P)ePtdp,
a-ioo
что и требовалось доказать.
§ 10. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО,
ЧТОБЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ БЫЛА ИЗОБРАЖЕНИЕМ
Теорема. Пусть F (р)— аналитическая функция в полосе
Re р > $0 и при всяком а > $:
+ оо
1)	| F (а -ф- /о) | da сходится,
—оо
2) F(jp)-+0 при Rep^>a, |р| —оо.
Тогда F (р) является изображением, причем оригиналом
будет:
а+гоо
/(0=^7 J F(p)e?tdp,
a—ioo
где а — какое-нибудь действительное число, большее $0.
Доказательство. Сперва заметим, что определе-
ние /(/) не зависит от выбора числа а.
Действительно, интеграл от F (р) ePf по прямоугольнику,
ограниченному прямыми s=a, s = a±i a = ±b, где а и а±
больше 50, равен нулю по теореме Коши, но интегралы по
горизонтальным сторонам стремятся к нулю в силу усло-
вия 2) при b -> + оо. Следовательно, в пределе найдем, что
a+ioo ai+ioo
J - / •
а - ioo аг — ioo
Из выражения для /(/) находим:
+ оо
—ОО
286
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[гл. V
при всяком а > 50; следовательно, /(/) есть оригинал с по-
казателем роста $0. Пусть Re pQ > s0 и s0 < а < Re р0.
Имеем:
+ оо	4-оо	a + ioo
| /(/)e-^dZ==2^.| e~P«fdt j F(/?)^fd/ =
0	0	(7 — 100
4-oo	+oo
e(a^Po) t dt j F (a -j- fc) eiat da =
0	— co
H-oo	4-co
j F(a4-Za)rf<3 | е<а+*°~РЛ* dt,
— оо	0
причем изменение порядка интегрирования законно, так как
при —оо<с<4-0°> O^ZC-]-00 имеем:
| F (а4- га) е<а+”-Р)f | = | F (а 4~ га) | ^-(Re^-a) г,
4-оо	4-со
а интегралы J*	и J* ^-(Re^0-a) t dt сходятся.
— оо	О
Но
4-оо
e(a+w_p0)«^--------------}----
J	Ро — а — к
о
следовательно,
4-оо
J ftt^e-P^
о
4-оо
1 Г ,f<a + i.)
2гс J р^ — a — ia
— оо
a+ioo
da
а-гсо
Ро—Р
dp.
Пусть R > |РоI и Cr—Дуга окружности \р\ = R, ле-
жащая в полуплоскости Rep^a, a±ib — точки пересе-
чения окружности |p|=R с прямой Rep=a (рис. 67).
§ 10]	ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ	287
Внутри сегмента, ограниченного дугой Cr и прямой Re р=а,
аналитическая функция	имеет только одну особую
точку р0 (простой полюс); следовательно, по теореме о вы-
четах и правилу вычисления вычетов относительно простого
полюса (см. гл. III, § 17) находим:
йЦ — dp — Res = F (р0),
2л/ у р— pQ r р p — pQ
с
где С — контур сегмента. Левая часть равна сумме инте-
грала вдоль хорды и интеграла вдоль
Первое слагаемое равно
а-1Ь
1 f F(P)dp
J р— р0
a+ib
a+ib
1 Г F(p)dp
J А— Р
a-ib
и при /?—>-|-оо будет стремиться к
а+гоо
1	| F (р) dp _
2tzI J р0 —р
а—гоо
+ ОО
[ f(t)e~Pt dt,
6
дуги окружности.
Покажем, что второе слагаемое	при +
будет стремиться к нулю. В самом деле, пусть M(R)—мак-
симум модуля F (р) на Cr, тогда
И [Fjpydp^l M(R)
I 2m J р — ро	|р0|
R
R-\Po\
M(R)-+b
при /?->-|-оо, ибо по условию теоремы Л4(/?)->0.
Таким образом, равенство
с
оо
в пределе при	дает J* f(t) e~P^dt= F (pQ). Этим
о
288
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Ч-оо
доказано, что при Re р > s0 имеем F(p)= J f(t')e~Ptdt и,
о
следовательно, f(t) = F(p), что и требовалось доказать.
Лемма Жордана. Пусть Сп (п=\, 2, .. .) — бесконеч-
ная система окружностей с центром О и неограничено воз-
растающими радиусами, а — какое-нибудь действительное
число, Гп—часть окружности Сп, расположенная в полу-
плоскости Rep^fl (рис. 68). Тогда, если F (р) непрерывна
на совокупности дуг Гп и F(p)->0 при р на Гп, р->оо,
то lim I Г(р)^с?р = 0 при каждом t > 0.
П->оо
1 п
Доказательство. Оценим модуль интеграла
J* F (р) ePf dp,
г (В, а)
где Г(/?, а)— часть окружности радиуса 7?>|а| с цен-
тром О, расположенная в полуплоскости Rep<^#, и
F (р) — непрерывная функция на Г(/?> а), если t > 0 и
\F(p)\^.e> на Г(/?, а). Имеем (рис. 69):
2 л —а
J Р(р)е?*<1р = J* FtRe^e'
tRe^Riei9 d<)
Г (В, а)
2тс —а
Г gtR cos 9
л —а	л—а
= $/? J cos f dtp = 2s/? J e~tB cos<?rfcf.
а -«	0
§ 10]	ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ	289
Пусть сперва а > 0. Тогда
о
e — tR sin ср^ _|_ j* etR sin ср
О
(в первом и втором интегралах правой части ср заменено
соответственно на — ср и -^--|-ср).
Но
sin ср <> — ср, sin ср ср при О^ср^-^-,
следовательно,
тс ” ос	оо 2
J e-tflCOS<p	е~~
О	О
arcsin —
<B<₽d<p + j* etBf d<? —
— oo
. a
arcsin
учитывая, что R arcsin—a------------
R
Таким образом, 'При я > О
| j* F{p)ePtdp | < у (тс-j-2г2
г (Я, а)
Если а 0, то
тс
тс —а	2
У e-tR cos ср	J* ? и ТОГдд
О	О
j J Р(р)еР*йр I < -^-К.
г (Я, а)
290
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Итак, во всех случаях, если. | F(p) [ < е на Г(/?, а), то
J* F (p)ePtdt | < еХ(/, а),	(5.45)
г (R, а)
где	1 (	. о	о ~ \к-р2^2	/ при а > 0, t
Х(/, а) — *	71	(X —	при а 0.
Доказываемая лемма непосредственно вытекает из нера-
венства (5.45), ибо если Мп есть максимум | F (р) | на Гп,
то в силу (5.45)
|У F(p')ePidt\<Mnk(,t, а),
но Мп -> 0, следовательно,
F (р) ePf dt -> 0 при
что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть F (р) — мероморфная функция на всей
плоскости комплексного переменного р, обладающая свой-
ствами:
1) при Re р > 50 она удовлетворяет условиям теоремы
данного параграфа;
2) существует система окружностей Сп с неограниченно
возрастающими радиусами, не проходящих через полюсы
и таких, что F(p>) —>0 при р на Сп, р—>оо.
Тогда F (р) является изображением, причем оригиналом
будет:
Vn	+оо	'п
£Res[F(p)^] = S	2 Res[f (/>)	(/>0).
п->ооЛ = 1р	= v .-fl
п — I
(5.46)
§ 10]
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
291
где pv р2, ...,— полюсы F(р), расположенные в порядке
неубывания модулей, vn—число полюсов, лежащих внутри Сп,
vo=0. В частности, когда все полюсы простые, имеем:
vn	4- оо	V
/(0 = lim 2^fResF(p) = 5	5 e^Res F (p) (t > 0).
n->co &=1 pk	»=lfc = vn_1+l pk
(5-47)
Доказательство. В силу теоремы, доказанной
в настоящем параграфе, F (р) является изображением, при-
чем оригиналом будет:
а+гоо
J F(p)eptdp (z>°)-
a-ioo
где а — какое-нибудь число, большее $0. Пусть Гп — часть
окружности Сп, пробегающая в полуплоскости Rep^a,
и пусть a±ibn— концы Гп. По теореме о вычетах (гл. III,
§ И)
a+ibn
Я j Ftji^dp+^F^'dp^
a~ibn	rn
= У Res[F(p)^].
/£1
Если t > 0, то при fi —> oo первое слагаемое левой части
стремится к /(/), а. второе слагаемое в силу леммы Жор-
дана стремится к нулю, следовательно, в пределе получим
искомую формулу (5.46).
Если полюс рк—простой, то
Res [F (р) ept] = e^Res F(p),
рк	vk
поэтому в случае, когда все полюсы рк—простые, фор-
мула (5.46) переходит в формулу (5.47), что и требовалось
доказать.
Романовский Павел Игнатьевич
Ряды Фурье. Теория поля.
Аналитические и специальные функции.
Преобразование Лапласа.
Редактор В. А. Солодков
Технический редактор С. Н. Ахламов
Корректор С. Н. Емельянова
*
Сдано в набор П/Ш 1957 г.
Подписано к печати 4/IX 1957 г.
Бумага 84хЮ87за.
Физ. печ. л. 9,13. Условн. печ. л. 14,97.
Уч.-изд. л. 14,80. Т-08356.
Тираж 12 000 экз.
Цена книги 5 руб. 45 коп. Заказ № 1944.
*
Государственное издательство
технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
*
Министерство культуры СССР.
Главное управление
полиграфической промышленности.
4-я тип. им. Евг. Соколовой
Ленинград, Измайловский пр., 29.
Цена 5 р. 45 к.