А.Г.ВИТУШКИН
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ
Учебное пособие для студентов механико-математического
факультета шсковского государственного университета

Оглавление
Глава 1. Комплексная плоскость. Понятие функции комплексной переменной 1
# 1 Комплексные числа и действия над ними 1
1. Поле комплексных чисел 1
2. Комплексная плоскость, декартовы координаты 3
3. Комплексная координата 3
4. Модуль и аргумент, экспонента, полярная форма записи чисел 5
5. Действия над комплексными числами 6
6. Пример использования комплексных чисел для расчета электрических схем..8
7. Упражнения 9
# 2 Числовые последовательности и ряды. Теория пределов 12
1. Расширенная плоскость 12
2. Предел последовательности, сходимость последовательности 12
3. Упражнения 15
# 3 Множества на комплексной плоскости 17
1. Топология комплексной плоскости 17
2. Пути и кривые на плоскости 18
3. Гомотопия путей. Односвязные области 19
4. Гладкая кривая. Длина кривой 20
5. Стереографическая проекция. Сфера Римана 22
6. Конформность стереографической проекции 23
7. Упражнения 24
# 4 Понятие функции комплексной переменной. Функциональные
последовательности и ряды 26
1. Что мы будем называть функцией? 26
2. Действительная и мнимая части функции 26
3. Непрерывность. Модуль непрерывности 26
4. Предел функции в точке 28
5. Непрерывные ветви многозначных функций 29
6. Функции нескольких переменных 30
7. Функциональные последовательности и ряды 31
8. Упражнения 34
# 5 Элементарные функции 36
1. Дробно-линейные функции 36
2. Преобразование круга и полуплоскости. Модель геометрии Лобачевского .. .41
3. Степенная функция и корень 45
4. Функция Жуковского 46
5. Экспонента и логарифм 48
6. Упражнения 50
Глава 2. Аналитические методы исследования функций 51
# 1 Комплексная дифференцируемость функций. Понятие голоморфной функции 51
1. Определение производной 51
2. Вещественная дифференцируемость и комплексная дифференцируемость
функций 53
3. Критерий комплексной дифференцируемости (условия Коши-Римана) 55
4. Производные элементарных функций 56

5. Геометрическая интерпретация дифференцируемости. Геометрический смысл
модуля и аргумента производной 58
6. Конформность дифференцируемого отображения 59
7. Понятие голоморфной функции 60
8. Упражнения 63
# 2 Интегрирование функций. Формула Ньютона-Лейбница 66
1. Определение интеграла по пути 66
2. Свойства интеграла 68
3. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница 69
4. Примеры 70
5. Ориентированная граница области. Определение регулярной области 71
6. Построение первообразной для функции голоморфной в круге 74
7. Определение интеграла от голоморфной функции по непрерывному пути.
Теорема об интегралах по гомотопным путям 76
8. Криволинейные интегралы I и II рода. Формула Грина 80
9. Дифференцирование интеграла по параметру 82
10. Упражнения 84
# 3 Степенные ряды 86
1. Формула Тейлора и степенной ряд 86
2. Теорема Абеля 88
3. Круг сходимости, радиус сходимости 88
4. Формула Коши-Адамара 89
5. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда 90
6. Переразложение ряда 91
7. Упражнения 96
# 4 Теория вычетов и интегральная формула Коши 99
1. Формула Коши 99
2. Теорема Коши 101
3. Понятие изолированной особой точки функции. Теорема о вычетах 106
4. Вывод формулы Коши 111
5. Доказательство основной теоремы алгебры 113
6. Теорема Вейерштрасса 114
7. Аппроксимация голоморфных функций многочленами 117
8. Упражнения 123
# 5 Аналитичность голоморфной функции. Ряд Тейлора 125
1. Понятие аналитической функции. Ряд Тейлора 125
2. Доказательство аналитичности голоморфной функции 127
3. Действительная и мнимая части голоморфной функции 128
4. Неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора 131
5. Теорема Лиувилля 131
6. Теорема единственности 133
7. Эквивалентность различных определений голоморфности 136
8. Упражнения 138
# 6 Изолированные особые точки функции. Ряд Лорана 140
1. Обобщенные степенные ряды. Теорема Лорана 140
2. Устранимые особые точки функции 145
3. Особые точки типа полюс. Понятие мероморфной функции 147
4. Существенные особые точки 150
5. Описание особых точек в терминах ряда Лорана 152
6. Использование лорановских разложений для вычисления вычетов 155
7. Упражнения 161

Глава 3. Основы геометрической теории 164
# 1 Геометрические свойства голоморфных функций 164
1. Индекс пути. Изменение аргумента 164
2. Логарифмический вычет 167
3. Теорема Руше 169
4. Принцип сохранения области 171
5. Принцип максимума 174
6. Однолистные функции 175
7. Принцип аргумента 178
8. Принцип соответствия границ 179
9. Упражнения 184
# 2 Аналитическое продолжение функций. Выделение голоморфных ветвей 186
1. Понятие аналитического продолжения 186
2. Принцип симметрии 188
3. Аналитический элемент. Продолжение вдоль пути 190
4. Лемма о продолжении по гомотопным путям 195
5. Теорема о монодромии 196
6. Построение ветвей многозначной функции 198
7. Построение ветвей композиции функций 199
8. Упражнения 202
# 3 Основные результаты геометрической теории 204
1. Автоморфизм круга 204
2. Теорема Римана 206
3. Принцип компактности 208
4. Построение биголоморфного отображения односвязной области на круг210
5. Формула Кристоффеля-Шварца. Эллиптические интегралы 213
6. Модулярная функция 217
7. Малая теорема Пикара 219
8. Упражнения 222
# 4 Многозначные аналитические функции 224
1. Понятие многозначной аналитической функции 224
2. Росток функции. Канонический элемент 226
3. Многозначные ветви функций 227
4. Изолированные особые точки многозначных функций 229
5. Теорема о точке ветвления 230
6. Ряды Пюизо 231
7. Теорема о неявной функции 232
8. Алгебраические функции 235
9. Понятие римановой поверхности функции 236
10. Упражнения 239

I.I.
ГЛАВА I. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§ I. Комплексные числа и действия над ними
I. Поле комплексных чисел
По определению, комплексные числа - это упорядоченные пары
А( и) , где X и Ч - вещественные числа. Комплексные числа
можно интерпретировать как формальные символы, точки плоскости,
векторы и т.п. Компоненты X и J/ называются действительной
частью и мнимой частью числа ^да (*?<?<} и обозначаются
так: Rsl 2. vilm Z (соответственно).
Комплексные числа "Z. и W объявляются равными в том и только
том случае, если одновременно выполнены равенства
Операции сложения и умножения задаются формулами:
(<L,4)+(ctjL) - (<ы-с, 4> + ?) и
Для упрощения записи условимся некоторые пары писать короче.
А именно, (Х,о) = х , (О, ?)= г. ,в частности,
(ofo)-О D <9,) = 4. • Заметим, что т. = ii-» -d. .
Из тождества
получаем, что всякое комплексное число представимо в виде
Эта форма записи удачна тем, что сумму и произведение двух

1.1. - 2 -
чисел можно вычислить по "привычным" правилам раскрытия
скобок и приведения подобных членов. Действительно, учитывая, что
•2. __^ , имеем
Определяя вычитание и деление как операции, обратные сложению
и умножению, нетрудно проверить, что комплексные числа образуют
поле, т.е. они обладают следующими свойствами:
1) сложение и умножение коммутативны:
2) сложение и умножение ассоциативны:
3) умножение дистрибутивно относительно сложения:
4) вычитание определено всегда, деление - при условии, что
делитель не равен нулю.
Это означает, что при выполнении арифметических операций над
комплексными числами остаются в силе все правила действия над
вещественными числами (раскрытие скобок, приведение подобных
членов, приведение к общему знаменателю, сокращение дробей и т.п.).
Появилось лишь одно дополнительное условие г2" =•- i.
Отметим два важных результата о комплексных числах, которые
доказываются в курсе алгебры.
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Иными
словами, всякий многочлен степени Vv с комплексными коэффициентами
имеет Уь корней и, следовательно представим в виде
произведения линейных многочленов с комплексными коэффициентами.

I.I. -3-
2. Комплексная плоскость, декартовы координаты.
Множество комплексных чисел обозначим знаком С и будем
называть его комплексной плоскостью. Этим названием
подчеркивается, что (L рассматривается одновременно и как множество точек
плоскости и как поле комплексных чисел. Изображая комплексные
числа точками плоскости, можно иллюстрировать геометрически
различного рода формулировки и рассуждения.
Компоненты X и Ч числа 2s(x;v) будем называть
декартовыми (или действительными) координатами точки ? .
Действительные числа изображаются на комплексной плоскости точками,
лежащими на первой координатной оси, а мнимые числа, т.е. числа
вида 1У , где У - вещественно, изображаются точками второй
координатной оси. Поэтому координатные оси называют
действительной осью и мнимой осью. Для того, чтобы фиксировать ориентацию
комплексной плоскости, условимся располагать базисные векторы
J.«(±, О) и {. = @,1) следующим образом: первый вектор
направлен горизонтально слева направо, второй - вертикально снизу
вверх. В соответствие с этим полуплоскости, задаваемыми
неравенствами У><? , vzc? , х>о , хZ. о , будем называть
верхней, нижней, правой, левой соответственно.
3. Комплексная координата.
Комплексная плоскость является двумерным линейным пространством
над полем вещественных чисел. Векторы Ц,о) и С^З-) образуют базис,

I.I. -4-
a компоненты X и ч пары ( *,ч) являются координатами
относительно этого базиса. Комплексную плоскость можно
рассматривать также как одномерное линейное пространство над полем
комплексных чисел. Вектор A} о) является базисом, а число Ъ = х+*-?
является комплексной координатой пары (yty) • ? - линейно
выражается через X и У , а именно, ?- x+tl * . Однако ни х;
ни Ч нельзя записать в виде линейного выражения от 2. . Вве-
дем сопряженную координату "Z = &<ьъ - "*• -Lv*^ . Число 2
будем называть сопряженным к Ъ . Т.к. 2 = Z , то -z
сопряжено к Ъ и тем самым Ъ и Z. сопряжены друг другу. Их
называют взаимно сопряженными. На комплексной плоскости "Z. и Z"
изображаются точками, симметричными относительно вещественной оси.
Нетрудно проверить, что 2 +W — н +v/, 2«W = ZV/ (J?.\= -?-
Пара 2, Z и пара действительных координат х, w точки ч.
линейно выражаются друг через друга: : = х + г у 7
Всякую функцию -f(xtff) можно рассматривать как функцию от Z
и 2. » записав её в виде -f fe, §")=/*( 2^ + ^Х il^2^/-
Например, всякий многочлен РС*^,)-2l Л*и, У «^с комплексными
коэффициентами после выполнения указанной замены переменных и
привидения подобных членов приобретет вид: р (%ъУ= JZ Sk^^Z*'
(ik(Vw - комплексные числа). Особый интерес представляет класс
функций, которые выражаются только через =2. , т.е. "не
зависят" от f .На примере многочленов это функции вида
27^со 2^ , т.е. многочлены от Ъ . Именно этот класс
функций составляет основной предмет курса.

I.I. - 5 -
4. Модуль и аргумент, экспонента, полярная форма записи чисел.
При выполнении операций возведения в степень и извлечения
корня оказывается удобным записывать числа не в декартовых или
комплексных координатах, а в полярных координатах. Полярные
координаты точки 2г=х+?.^ - это пара 1"?1 и Arc z.
По определению, |^1 =- У*2* иг' — ^1' » а А/*с% 2 ~
- множество всех значений полярного угла между векторами j.- (Ж о)
и ^-(^^ч)^ т.е. множество всех значений ^ , удовлетворяющих
равенствам тт. —?&$<? , -&- = 4^^^ . Выражение
/2/ называетая модулем числа Ъ , а А/ъ&2 - аргументом
числа 2 . Модуль определен для всех чисел, аргумент - при
условии ЪФО . Обозначим через а/ХуЯ2 значение 5Р<?"/#?^2^
удовлетворяющее неравенству -Жг: у^ /Г . Это значение
аргумента мы будем называть главным значением аргумента.
Например, согласно определению, CU<^ А. = О , ^Т^ f--i) = /Г
GSco'L- 2. ¦> ®StJ0 (-ч.)^--- . Отметим, что множество
значений /»^ 2 - это числа вида as^> Z *- 2/7" at ( к & Ж/
Обозначая (как всегда) через е. основание натурального
логарифма, положим
В частности, для всякого вещественного \р получаем
равенство, называемое формулой Эйлера,
Фиксируем ^г х+И ^° . Для всякого &<? /1"*? 2

I.I. - 6 -
Итак, всякое комплексное число 2 представимо в виде
-? = /2/е1^ . А т.к. это верно для всякого jft? /^?2;
мы вправе написать Ъ-1Ъ1е.х о . Отметим, что если
число Ъ представлено в виде = ^е ( *L?0 и JP
вещественны), то \ = /2/ , a i^<? А^Ъ . Представление ?
в виде  = /?в > гДе 'fcX? » а ^? ^ГЧ^ ^ называется
полярной формой записи числа 2-
Возвращаясь к определению экспоненты, докажем равенство
eiew = ei . Действительно, записывая Ъ и W в
декартовых координатах, получаем:
Утверждение доказано.
5. Действия над комплексными числами.
Если числа записаны в виде х -t г.* , то их сумма и
произведение могут быть получены раскрытием скобок и приведением
подобных членов. Деление сводится к умножению и делению на вещественное
число: — = = , *• w
Формулы для выполнения умножения, деления и некоторых других
операций (возведение в степень, извлечение корня) оказываются
проще, если перейти к полярным координатам и воспользоваться
следующим утверждением.
ТЕОРЕМА о модуле и аргументе.
| •? Wl - /ZMWl и ПРИ ^W^O
Jjyfzw) - Ау*ъ + J?y>w

1.1. - 7 -
(правая часть равенства понимается как совокупность всех чисел
вида </^/Ь , где о(ё- /^ 2 , fi ?. Л"<? w)
Теорема является непосредственным следствием
вышедоказанного равенства 6 Q ~ e2*W • Из этои теоремы получаем, что
для чисел 2= ^ е^ и \*/ = joec^ zw-ty3^'^^
-г; P и Для всякого натурального >v Z. =-x e Л
VV ,/ i j
Будем обозначать знаком у Z ( u^ 6. /у / множество
всех корней п-оы степени числа Z , т.е. множество всех чисел,
к-we степени которых равны ? .
Докажем, что если Ъ^О , то число различных значений
равно И/ и они записываются так: "у/'?( .•» е *• ^ Qy^ Ъ-t-Zttk^)
V^*^-j . Запишем это число в полярных координатах ^r/?e^
Тогда X е — /2/е <? . Следовательно, t= YTaf^
a rncp ~ сисО Ъ -f 277" ? , где с^* Ж . Итак, всякий
корень имеет вид ^Ti? е ^ (а/^* + 27г?) (?<? Z'J
Все указанные значения 4j удовлетворяют уравнению ^h = Z» т»е«
являются корнями ^"^степени из 2 , при этом число различных
значений равно к. и они выписываются, например, так
Утверждение доказано.
Значение будем называть главным
значением корня и-л* степени числа ^ . Отметим, что для веще-

ственных Z. уО это значение совпадает с арифметическим
значением корня. Поэтому в дальнейшем в качестве обозначения главного
значения корня и степени из комплексного числа ~Ъ. примем знак
арифметического значения корня, т.е. символ ^Г
В заключение отметим, что значения суммы и произведения
комплексных чисел на комплексной плоскости изображаются так: сумма
может быть построена по правилу геометрического сложения векторов;
значение произведения - это точка пересечения окружности (с цент-
ррм в нуле), радиус которой равен произведению модулей сомножителей,
с выходящим из нуля лучом, составляющим с положительным
направлением вещественной оси угол, равный сумме аргументов сомножителей.
б. Пример использования комплексных чисел для расчета электрических
схем.
Рассмотрим электрическую схему, имеющую два вывода (два полюса).
Пусть схема такова, что при подключении её выводов к источнику
питания, Э2)С которого изменяется по закону Ы- -*>ьи оо ?^
возникающий ток изменяется по закону О'=• t -S^h (<*>? +!Р)
Здесь ? - время, VO- частота, а и у- функцииаоО . Будем
далее считать сО фиксированным. Число 2=Т€ называется
импедансом или полным сопротивлением схемы на данной частоте.
t, характеризует отношение 3D С к току, а У* - разность
фаз между Э7)С и током. Для резистора импеданс равен
сопротивлению, т.е. выражается вещественным числом, а для конденсаторов и
индуктивных катушек импедансы выражаются мнимыми числами.
Известно, что импеданс схемы, полученной последовательным
соединением каких-то других схем, равен сумме импбдансов
составляющих частей; при параллельном соединении - складываются обратные
величины импедансов. Таким образом, используя правила действий с
комплексными числами, можно работать импеданс схемы, которая является

- 9 -
I.I.
композицией параллельных и последовательных соединений схем, импе-
дансы которых известны.
Упражнения I.I (Комплексные числа и действия над ними)
I. Выразить в виде X+*-tf числа, задаваемые выражениями:
a) t , где Vv целое число
б)
B^) C + ^0
2. Записать в экспоненциальной форме значения i"S + fex,
3. Вычислить выражение / е ?-<** I 9 где
1 1-х iotl^i <^ ~ Be^ecT:B6HH0Q число.
4. Указать 4 различных пары вещественных чисел ( ^*с, У^)
таких, что ^е4" * <? / V1T Г 4- + 1г ) )
5. Доказать tiro для всякого натурального к, ^ 2. сумма
к./ 7
всех значений у ? равна О «
6. Доказать неравенства:
a) /2i+22/ 4 /Zj -H'ZzI,
7. Докажите утверждение; если 1т**.|- /^г./ —'^з!~ 4.
И Zi. + ^z."»" 2ъ —О , то эта тройка точек делит окружность
на три равные дуги.
8. Укажите связь между функциями &*& (х* ty ) и ал^-^?.
9. Покажите, что при условии 1^1=1 cut*? ( г"^ \ -t- тг
О г+ч /"" ~ г. '

I.I.
- 10 -
10. Укажите ошибку в рассуждении
=г^/у (-*)-> ^2 =Sy(-z) -=>Myi.'=/^//последнее
неверно.
11. Решить уравнение
^ V = - J. -+ V3* t ,
12. Охарактеризуйте множества:
а) 1 2 +1/- I ^-4.1 ¦= О,
б) I ? -Hi * 1г-4.1 *= 5 ,
в) t : V- ^= Хил ^ ,
г) | *г-4.1 ^ 6. ;
д) 1 -?ч±1 = 2.1^-zV .
13. Если точки 2i_; Zz,..., ^.4. лежат по одну сторону от
прямой, проходящей через О , то У ^ д? О ,
Ас
/о»
14. Если 2— ^Г ~° » то ^^«*i не могУт лежать по
одну сторону от прямой, проходящей через О . ^
15. Для всякого многочлена PCz)= &0 /' (Ъ-^*.)
все корни производной этого многочлена Р(Ъ)- &о Z_ I I С^-о^^Л
принадлежат выпуклой оболочке корней многочлена PC'S)
16. Докажите, что множество не равных L значений у±
задается уравнением zb~1+'Zb" ¦+»..-«• ? + 1 -о

I.I. - II -
17. Доказать, что в правильном hv -угольнике, для которого
радиус описанной окружности равен I, произведение длин отрезков,
соединяющих фиксированную вершину со всеми остальными вершинами
равно 1л/ .
18. Пусть функция -f-Ш определена и непрерывна на всей
вещественной оси и такова, что при всяком "?
?(?) ? Л^(^" ) • Тогда -Р№) линейна и имеет вид i.+Z7rt?
где к <? 2Г

1.2. - 12 -
§ 2. Числовые последовательности и ряды.
Теория пределов
1. Расширенная плоскость.
Пополним комплексную плоскость, вводя новый элемент, который
мы будем называть бесконечно удаленной точкой плоскости С или
бесконечностью и будем обозначать его знаком «^ . Объединение С и
бесконечности будем называть расширенной комплексной плоскостью и
будем обозначать ее знаком С . Определим правила действия с симвояо.
лом ***> . Для всех комплексных чисел 2 и 4J Ф о положим
Выражения "о > ° * ^ , J? , /^е •*» , Т/* <^v Л^
объявляются лишенными смысла.
Для того, чтобы ввести понятие предела последовательности
комплексных чисел, определим прежде всего понятие ? -окрестности
точки. ? - окрестностью (?>о) точки ^ € €. будем называть
множество 0? (^ - /?-4j^? » если ^^"^ , и множество
О С&) ,' /?/> — » 9СЛИ i = ** • Поясним, что если^/^
то &('?) - это круг радиуса ? с центром в точке ? , если
\ г=. «<» , то Л ^ ) - это внешность круга радиуса g- .
Отметим, что^в соответствии с определением, О ('<**) содержит
точку ©*> .
2. Предел последовательности, сходимость последовательности.
Будем говорить, что последовательность точек ^я, ^ ЁГ
(k-L, 2,... } имеет предел, если существует а. <?. С такое что,
для всякого ? > О можно увазать натуральное число А/(б.)
такое, что из условия ^ > /VTO следует, что СЬ^ ?- С? (oS)

1.2. - IS -
Указанное числоё Ct будем называть пределом последовательности.
Если последовательность имеет предел, равный <%* , то мы будем
записывать это так: &>" ^*~ = ^ •
Последовательность X CL*, \ называется сходящейся, если она
имеет предел и этот предел конечен (Ф^=>). Если предел
последовательности равен бесконечности или эта последовательность вообще
не имеет предела, то мы будем говорить, что эта последовательность
расходится (не сходится).
Рассмотрим пример «? (-L) v*>J . Эта последовательность
расходится, но она имеет предел. Отметим, что в курсах анализа
вещественная прямая компактифицируестя обычно введением двух
несобственных элементов +о° > —<*** и, в соответствии с этим, понятие
предела вводится так, что последовательность ?(~±) *У
оказывается не имеющей предела. Однако, эта несогласованность в
определениях предела не затрагивает вопросов сходимости, и потому все
основные результаты теории пределов, доказанные в вещественном случав,
без каких-либо затруднений переносятся на комплексные числа.
Более того, они являются непосредственным обобщением
соответствующих результатов вещественного анализа, если принять во внимание
следующее очевидное утверждение: последовательность комплексных
чисел {^СЬ^у сходится в том и только том случае, если
одновременно сходятся последовательности ?ke.CL^ 7 -{.X^a^J
Таким образом остается в силе критерий Коши: последователь-
ноояь комплексных чисел {&^^ сходится в том и только том
случае, если для всякого ? > О можно указать А/($.)такое,
что из условия !*• > А/(&) следует, что / CLW- СЬд, л/^?
Далее из того, что ?см* ct^-O^ и ^^, ^ _ jf ,
следует что /- ,~ ^ . л ^ v

1.2. - 14 -
и при S^O &>>" ~7Г ~ ^" • Заметим, что эти равенства
верны для произвольных последовательностей, имеющих пределы (а
не только для сходящихся), если только имеют смысл все
используемые в этих равенствах выражения. (Правила действий с числами
приведены в пункте I этого параграфа).
3. Ряды. Абсолютная, условная сходимость.
Суммой бесконечного ряда комплексных чисел <2М ? Cl^^---
называется число Cl , равное пределу последовательности
частичных сумм этого ряда S^ = 2? СЬк (ь, *!,?.,.„. ) • Если
последовательность частичных сумм не имеет предела, то сумма ряда
объявляется лишенной смысла. Ряд ^t(i^v.. называется
сходящимся, если его сумма конечна; расходящимся (несходящимся) -
- если его сумма равна - ©о или не определена;абсолютно сходящим-
««=. условно смолящимся, GrC.Au ряд сходите?.
ся - если ZI l&bsl Ф <**=>Г\/^~* но не абсолютно.
Непосредственно из определения следует, что ряд сходится (абсолютно сходится)
в том и только в том случае, если сходится (абсолютно сходится) одно
временно ряды из его мнимых и действительных частей. Ряд сходится
условно в том, и только в том случае, если одновременно сходятся
ряды из его действительных и мнимых частей и при этом хотя бы один
из этих двух рядов сходится условно. Поэтому исследование ряда
на сходимость сводится к исследованию на сходимость рядов из его
действительных и мнимых частей. Сходимость может быть получена с
помощью критерия Коши, который формулируется для рядов из
комплексных чисел точно также, как в вещественном случае.
легко доказывается, что при любой перестановке мест слагаемых
абсолютно сходящегося ряда значение его суммы не меняется. Более
того^если перенумеровать члены абсолютно сходящегося ряда несколь-

I.Z. - 15 -
кими индексами, то результат суммирования не зависит от того в
каком порядке производится суммирование. Так, например,
если, конечно, Z—j I (Х*.,*,/ конечна. По теореме Римана для
всякого условно сходящегося ряда вещественных чисел и всякого
вещественного числа можно указать такую перестановку ряда, после
выполнения которой сумма ряда окажется равной заданному числу.
Для рядов комплексных чисел аналогичное утверждение формулируется
иначе. Фиксируем условно сходящийся ряд из комплексных чисел и
рассмотрим множество сходящихся рядов, являющихся перестановками
данного ряда. Тогда множество сумм всех этих рядов - или вся
плоскость (С, , или прямая из (С и при этом, как показывают
пример ,ы,любой из этих вариантов (вся плоскость, или наперед
заданная прямая) реализуется. Доказательство этой теоремы весьма
трудоемко, и мы его опускаем.
Упражнения 1.2 (Числовые последовательности и ряды. Теория
пределов).
Докажите следующие утверждения:
1. Если l?l<li , то сумма прогрессии
т. Л
2. Последовательность ^ еЛ ^ "V расходится.
3. Если ряд 2П <2**ъ, сходится и ( OS"? <^^\^ <^< ~
( u.= i,2,... ) , то этот ряд абсолютно сходится.

1.2. - 16 -
5. Если последовательность положительных чисел 1^-и.^
такова, что ?ги* ~H+l — ^ , то -&*7 у^Г - Z .
6. -се*** е? ___ ^
7. Существует сходящийся ряд 21 Cb*v, такой, что /2. ®~и,
расходится. в4в с7Л=>
8. Пусть ряды ЛГ <2-»~ и 2Г ^L абсолютно сходятся. Тог-
да формальное произведение этих рядов (сумма всевозможных попарных
произведений dp' &n ) сходится при любом порядке суммирования
и его сумма равна произведению сумм.
9. Доказать, что ряд Z— w *= сходится во всех точках
единичной окружности за исключением точки "Z. -=4- .
10. На каких отрезках вещественной оси равномерно сходится
ряд *Г .^_CuL^x ?

1.3.
- 17 -
§ 3. Множества на комплексной плоскости.
I. Топология комплексной плоскости.
Задать в том или ином пространстве топологию, или, что то
же самое, ввести понятие близости множеств из этого пространства,
- это значит указать все множества, которые будут называться
окрестностями точек, иными словами, охарактеризовать все множества,
которые мы будем называть открытыми.
Точка ^ множества М^^ называется внутренней точкой fAt
если какая-либо ? -окретность (см. I.2.I) точки 2-
принадлежит М . Множество М С С называется открытым, если всякая
точка этого множества является его внутренней точкой.
Напомним теперь определения некоторых необходимых для
дальнейшего изложения понятий. Будем говорить о точках и множествах
из (С • Окрестностью точки называется открытое множество,
содержащее эту точку; точка Ъ называется предельной точкой
множества Д/ , если во всякой окрестности ;?• можно указать хотя бы
одну точку из М , отличную от Z , множество называется
замкнутым, если всякая его предельная точка ему принадлежит; замыканием
множества называется объединение этого множества с множеством его
предельных точек (замыкание множества М будем обозначать знаком
М ); система множеств называется покрытием множества /V\ ,
если всякий элемент этой системы является открытым множеством и
объединение всех множеств этой системы содержит А/ ; множество М
называется компактом, если из всякого его покрытия можно выделить
конечное число множеств, которые также образуют покрытие /W ,
множество М называется связным, если для всяких двух его непустых
подмножеств Mi и М^, таких, что M^VjM^.^ M ,
выполняется хотя бы одно из двух: или \AL (ЛЬА^фф или М^ОН-^
ф , областью называется связное окрытое множество.

1.3. - 18 -
Отметим (без доказательства), что для произвольной области
из С верно следующее. Всякие две точки области можно соединить
конечяозвенной ломаной, состоящей из точек этой области.
?• Пути и кривые на плоскости.
В нашем курсе мы будем часто использовать термины "путь" и
"ориентированная кривая". Путь, или, что то же самое,
параметрическая кривая, - это, по определению, непрерывное отображение
)f("t)La ?-1 , переводящее отрезок С<^,?] , где в-4ь,
вещественной оси в комплексную плоскость С • Непрерывность
отображения понимается так: действительная часть Ке. )f(?) и
мнимая часть Хгп )?(?) непрерывны на отрезке L в-} €] . Точки
dL~l?(oJ) и Jb —J (v) называются, соответственно,
началом и концом пути. Путь У?^)/?<ц€1 ^Yccb^-t)!^^
называется обратным к пути )f(?)|ta,4'J • Множество топ всех
значений oft) на отрезке ?d, с J будем называть траекторией
пути о . Путь называется замкнутым, если с? — /э .
Пути j \{fi,til и 0 \го* 0*1 называются эквивалентными,
если можно указать непрерывную, строго возрастающую на отрезке?оь,13
функцию переводящую отрезок
(№-)-а", ШL*), такую, чю jf*a Wi) = ХЮ • эю
отношение разбивает множество путей на классы (классы
эквивалентности). Каждый класс - это совокупность всех путей, эквивалентных
одному и тому же пути. Всякий такой класс называется
ориентированной кривой, а пути, входящие в этот класс, называются
параметризациями этой кривой.
Геометрически кривая - это "траектория" движения точки о(?)
при изменении ТГ в направлении от Си к Ь • Эта траектория

1.3. -19 -
одна и та же при различных параметризациях кривой. Точки плоскости,
накрываемые траекторией более, чем один раз, называются кратными
точками кривой. Остальные точки, т.е. точки, накрываемые
траекторией один раз, называются простыми. Начало и конец кривой - это,
соответственно, начало и конец любой её параметризации. Если кривая
не имеет кратных точек (в частности, ее начало и конец не
совпадают), то такую кривую мы будем называть дугой; если начало и конец
кривой совпадают и если эта двойная точка является единственной
кратной точкой кривой, то такую кривую будем называть контуром.
При изображении кривой на рисунке ее ориентация, т.е. направление
движения от начала к концу, указывается стрелкой.
3. Гомотопия путей. Односвязные области.
Пусть j(|ra i-j ^ Q \Га, Ц ~ два непрерывных пути,
соединяющих точки о^ и]3) т.е. ff(cL) = ^(оО^с/ и
Ш=ГИ)*Р> • Сбудем говорить, что семейство путей
^vmLclIJ {O^U-u^j соединяет пути о и[ , если
выполнены следующие условия: j0 = 5 »К^а2Г* I функция 0 w НО
по совокупности переменных и и t непрерывна на прямоугольнике
OLU.&L <Х й ~L ? -о ; при всех значениях параметра hjU
t\jS°^-^> УиЛ^) =fi г,6# при всяком HLпуть У^ имеет
начало в точке о( , а конец - в точке /3 .
Пусть теперь ^ и д - два замкнутых пути. В таких случаях
мы будем говорить, что семейство замкнутых путей Ого (otlt-c.^
соединяет пути Т и 0 , если q0- X и Il~ if и при этом
функция Jw(?) по совокупности переменных непрерывна на
прямоугольнике 0<^^i.,O.^?^.^ .В данном случае не
накладывается никаких условий на концевые точки путей. Говоря о
том, что семейство ()<w соединяет о и 6 , мы будем предпола-
гать всегда одно из двух: или 0 и Ц замкнуты, или они имеют
общее начало и общий конец.

1.3. - 20 -
Пути о и ]f называются гомотопными внутри области 1)??,
если существует семейство лежащих в D путей, соединяющее пути
if и if . Замкнутый путь О называется стягиваемым внутри
области "D , или гомотопным нулю в!) , если он гомотопен внутри
D одноточечному пути (пути, траектория которого состоит из
одной точки).
Отметим, что всякий замкнутый путь стягиваем в С
.Действительно, если 0 |?<х4! " замкнутый путь, то соответствующее
соединяющее семейство можно задать, например, так:
О vu("t) ~ Ci-^/O vw . При <и" равном О и 'А- получаем
t (h)"* У(?) и $± ("^ "= О * Если из К0МШ16КСН0Й
плоскости удалить какую-либо точку, например, точку Z.-о ,то
в полученной проколотой плоскости не всякий замкнутый путь
стягиваем. Так, например, окружность /1"= А. не стягиваема в (л{рУ
Пусть D - область из С . Область U называется П,
-связной, если С\Т) имеет **• компонент связности. В частностиэоб-
ласть J>dC называется односвязной, если С\?> связно.
Отметим без доказательства следующий топологический факт. Пусть
D С С , т.е. 2^ не содержит бесконечно удаленную точку,
тогда D односвязнй. в том и только том случав, если для всех точек
всякие два пути, соединяющие </ иув и
лежащие в]) , гомотопны внутри и , или, что то же самое, 2)
односвязна в том и только том случав, если всякий замкнутый путь,
лежащий в J) , стягиваем внутри D . Вся комплексная плоскость,
всякий круг из (С односвязны. Плоскость с проколом, кольцо из С
двусвязны.
4. Гладкая кривая. Длина кривой.
Путь J |?а,^3 называется гладким, если задающая его
функция $(?) является гладкой, т.е. ~п Ke-tfli) и ~у\-?т 0 ft)

1.3. - 21 -
определены и непрерывны на отрезке ?&, 4 J и производная
Y (i.) — 3%. ^Oi^H^"u^uyHe равна нулю ни в какой точке
отрезка ?&•, 41 • Путь У\(л 11 называется кусочно-гладким,
если он состоит из конечного числа переходящих друг в друга гладких
путей, т.е. если отрезок Lo-,4l можно разбить на конечное число
отрезков, таких, что, ограничивая \ на каждый из этих отрезков,
мы получаем гладкий путь. Можно показать, что если два гладких
пути эквивалентны/ то функция X (?), реализующая их эквивалент-
ность, -ч^ гладкой. Ориентированная кривая называется гладкой
(кусочно-гладкой), если какая-либо из ее параметризаций является
гладкой (кусочно-гладкой).
Вектор j (-ко) будем называть касательным вектором кривой
в точке, соответствующей значению ?0 параметра С . Если $F)
- две гладкие параметризации
ориентированной кривой 0 , то касательные векторы, соответствующие
этим параметридациям, связаны соотношениемм4 у -q (Л(?))Л №),
Из этого равенства видно, что направление ваоательного вектора
ориентированной кривой не зависит от выбора параметризации. Поэтому и
угол между касательными qx (са) и у' (i.2.) ориентированных
кривых в точке их пересечения JfA F± )= f^ (?*.)
не зависит от выбора параметризаций этих кривых, и мы можем
называть его углом между кривыми 0 ± и о г. в точке пересечения. Ясна,
что множество значений этого угла совпадает с А^(^ f-^) —
- rl(U)).
Всякому кусочно гладкому пути. Oj?o-,^J сопоставим число
б(^) равное, по определению, J/tf'fc)/с/? , которое
будем называть длиной этого пути. Если о (i) задана в виде
Xfa+L Yfc)> где X и ± - вещественные функции, то длина вычис-

1.3. л - 22 -
ляется по
формуле \\Х ¦* Y ^"^ • Из теоремы о замене
переменной под знаком интеграла нетрудно вывести, что для
эквивалентных путей У^ и Уг idfi)^ i(tfz) • Это позволяет
дать определение длины ориентированной кривой: длина кусочно
гладкой ориентированной кривой - это длина какой-либо ее
параметризации. Бели параметризация О V'b))^л^л кривой 0 такова,
что при всяком значении 60^?о, -?"Д длина кривой У(Щ[0* i
равна ^Ьо , то эта параметризация называется нормальной
параметризацией кривой о , а соответствующий параметр ? - натуральным
параметром этой кривой. Нетрудно убедиться, что для натуральной
параметризации f/o)|?0 j?j всякой гладкой кривой выполняется
равенство / jf Y<S) / = А. .
5* Стереографическая проекция. Сфера Римана.
Некоторые свойства расширенной комплексной плоскости будут
поняты лучше, если представить себе С как сферу. Соответствие
между точками С и сферы зададим следующим образом. Будем
рассматривать С как плоскость трехмерного.пространства с
координатами У, w, k , задаваемую равенством К-О . Будем считать,
что у и - это декартовы координаты в С , а ось переменного ы
перпендикулярна (С и направлена, например, снизу вверх.
Рассмотрим сферу о , определяемую равенством X +$ +L =±
Обозначим через р точку с координатами (OfO,±) . Поставим в
соответствие точке j?^? точку р(^ , являющуюся пересечением
сферы S и прямой р ? . Бесконечно удаленной точке плоскости
поставим в соответствие точку р . Это соответствие
взаимнооднозначно, и при этом обратное отображение, называемое стереографи-

1.3. - 23 -
ческой проекцией сферы на плоскость, определено для всех точек
сферы. Более того, нетрудно проверить, что и прямое и обратное
отображения непрерывны (сфера рассматривается в естественной
топологии), т.е. С гомеоморфна сфере. Имея в виду эту
интерпретации^ расширенную комплексную плоскость называют иногда
сферой Римана.
Построенное соответствие позволяет ввести в С метрику,
согласованную с топологией (? • Расстояние между точками Z
и W из С зададим формулой j^C^,4*/) — jpC^-p^^l
функция j^C^w) является метрикой, поскольку выражение в
правой части ( |__ | - это расстояние между точками в \К )
является метрикой на сфере. Подсчет показывает, что
2_
PBr,~°) = ; _ / при ^ ^ €.
б. Конформность стереографической проекции.
Отметим одно интересное свойство стереографической проекции,
а именно, свойство сохранения углов. Если через какую-либо точку
сферы провести две "линии", то угол между образами этих линий
равен углу между исходными линиями. Поэтому при таком
проектировании рисунков со сферы на плоскость плоское изображение дает
хорошее представление о рисунке на сфере. Это обстоятельство
используется в картографии дри изготовлении географических карт. Карта
получается как стереографическая проекция рисунка с глобуса на
плоскость.
Свойство отображения сохранять углы называется свойством кон-

1.3.
- Zk -
формности. "Конформный" ** сохраняющий форму" от позднелатинского
COHrforxn-i-** - подобный. Стереографическая проекция сохраняет
углы, и в этом смысле мы можем сказать, что это отображение
конформно .
Упражнения 1.8 (Множества на комплексной плоскости).
1. Всякая бесконечная последовательность комплексных чисел
имеет в С хотя бы одну предельную точку.
2. Всякое замкнутое подмножество в С является компактом.
3. Множество предельных точек последовательности
и.
. _ . . - • , образует окружность.
2v = П(±+-еО(и--1Л-)
4. Пусть множество J) открыто, а множество Е замкнуто,
ЕсТ) , C^D ? 0 • Тогда расстояние J^(E 5Г\^>) между
множествами ? и С\*5) не равно нулю.
Здесь р ~ bxjf \ 2: - W \
5» Если множество из ? линейно связно, т.е. всякие две точки
этого множества можно соединить ломаной, состоящей из точек этого
множества, то это множество связно.
6. Какие из путей а) вг7Г L
б) pttrU J
г) e4/7v 4iw.± .
1 Со, tyfe]
эквивалентны друг другу?
7. Если два гладких пути эквивалентны, то замена переменной,

1.3. - 25 -
реализующая эквивалентность, \^^ гладкой функцией.
8. При стереографической проекции сферы на плоскость всякая
окружность переходит в окружность или прямую.
9. пути е^|с0J1П и и+ге^со^яч
гомотопны внутри
10. Всякие два замкнутые пути гомотопны внутри С .
11. Всякий замкнутый путь, лежащий внутри C\{,Oj гомотопен
внутри Сл^О^ некоторому пути вида вх IpQoft-j
где К <? ^
12. Доказать, что всякая звездная область односвязна. Область
называется звездной, если существует точка Z0 ^ L)
такая что для всякой точки Z<? J) отрезок С-?0 Ъ~Ь С Т)в
13. Если односвязная область из С содержит какую-либо
окружность, то она содержит и круг, ограниченный этой окружностью.

1.4. - 26 -
§ 4. Понятие функции комплексной переменной.
Функциональные последовательности и ряды.
1. Что мы будем называть функцией?
По мере накодления материала содержание термина "функция"
будет расширяться. Чаще всего термин "функция" мы будем понимать
в следующем смысле: функция - это однозначное отображение из <С
в С t иными словами, мы будем считать, что область определения
и множество значений функции принадлежат комплексной плоскости.
Иногда этот термин будет пониматься шире, и это будет специально
оговариваться (если, конечно, это не ясно из контекста). Так,
например, говоря о функции, мы будем иногда использовать такие
выражения, как ¦+(а*>)-=<1> или -//^9 — о*=> , включая тем
самым символ с^ в область определения и множество значений
функции. Еще один пример: выражения типа J?^ ^ или мы
будем называть многозначными функциями, понимая термин
"многозначная функция" как соответствие, сопоставляющее точкам из области
определения, вообще говоря не по одному, а по несколько значений.
2. Действительная, мнимая части функции.
Пусть т - функция, определенная на множестве 2) • Полагая
при всяком Ъ<?Т> ffe)=/?e/Y2) и ХГ(%)~ Тъ{(ъ\
мы можем записать функцию так: -/"= Ic+i-'O' и рассматривать
ее как пару вещественных функций Z*. и Хг , определенных на том
же множестве J) . Эти функции мы будем называть соответственно
действительной частью и мнимой частью функции У* .
3. Непрерывность» Моауль учелрерыйиости.
функция -р называется непрерывной в точке ?0 €?) , если
для всякого ? -уо можно указать о >© такое, что из условия
% ?&rft?0)fl Т) следует, что соответствующая точка -г/%.)

1.4. - 27 -
принадлежит (^(т'^о)) • Здесь 6^(^е) - о -окрестность
точки Z0 , a Oc(f{4:^)) " 6. -окрестность точки -Р/%Л
(см. § 2, п.1).
В числовой форме определение непрерывности функции в точке
выглядит так: функция -Р(ъ)называется непрерывной в точке Zo^-D
если для всякого <?>0 можно указать о > О такое,что из
условия /?-20/^^ и 2г<? D следует, что
Эти два определения эквивалентны. Второе проще по форме,
первое удобнее тем, что его можно рассматривать как определение
непрерывности отображения из <L в (? .
Функция называется непрерывной на множестве Т) (в
области Т) ), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Модулем непрерывности функции г; заданной на некотором
множестве называется функция
$ ? М
Если М компактно, a f- непрерывна на А/ , то -р
равномерно непрерывна на М и потому tOf (о)-=? О при о -^О
Легко показать, что функция непрерывна (в точке или на
множестве) в том и только том случае, если одновременно
непрерывны и действительная и мнимая части этой функции. Поэтому все
теоремы, доказанные в курсе анализа для функций вещественной
переменной, без труда переносятся на функции комплексной
переменной. А именно, для пары функций их сумма, прризведениб,
частное и композиция непрерывны, если исходные функции непрерывны
в соответствующих точках (в случае деления требуется, чтобы
делитель не обращался в нуль). Эти теоремы можно доказать и для
отображений из (С в (С , если формулируя их, исключить ситуации,

1Л. - 28 -
в которых операции над символами О и «^ лишены смысла.
Правила действия с этими символами приведены в § 2, п.1.
4. Предел функции в точке.
Пусть Т) - множество из (С , а 20 - точка, принадлежащая
замыканию 2) множества X) . Если существует точка <Ъ&(Е}
удовлетворяющая условию: для всякого <? У О можно указать <3>0
такое, что из условия Ъ ?lC/gfe0)/l T) следует, что
соответствующая точка •f('b) с. &с (си) , то мы будем говорить,
что функция -fft^) имеет предел в точке ~?0 и будем
записывать это так: ?,»> ^^2)=^ ( 6 - n^*.r*A -^.«watj .
Нетрудно показать, что функция /¦* имеет предел в точке
2е>^ Х> в том и только в том случае, если для всякой
последовательности Я^**"} » имеющей предел^равный ^© ,
соответствующая последовательность значений функции ^//20 J* также
имеет предел. А это позволяет перенести на случай функций ранее
сформулированные теоремы о пределах последовательностей
(например, о пределе суммы, произведения и т.п.).
Рассмотрим пример: -/?%)— "=г • Эта функция определена
и непрерывна всюду в (Г. , кроме точки ~?=о • Ясно, что
¦few* "Г~ = «^ и -&/* •— = О .Мы можем доопре-

1.4. - 29 -
делить эту функцию, полагая 4- @)=<*=> , •/ /в^=у= о . Отметим,
что учитывая правила действия над О и <*& , мы могли бы сразу,
не производя доопределения, рассматривать ^ как
отображение всей плоскости (С на себя.
Аналогично всякая дробно-линейная функция, т.е. функция вида
Съ-+о? I ^ V 1 / > доопределяется по непрерывности
до отображения (С- на себя. Это отображение взаимно-однозначно
и непрерывно.
5. Непрерывные ветви многозначных функций.
Пусть заданы множество Af и правило, сопоставляющее всякой
точке 2^ М непустое подмножество r*fe) плоскости (С .
В таком случае мы будем говорить, что задана многозначная
функция Р , определенная на множестве М . Термин "многозначная
функция" возникает сам по себе при рассмотрении обратных
функций. Так;мы можем сказать, что многозначная функция \Ъ являет-
ся обратной для функции ± . Аналогично, многозначная функция
WV ^ = -&|>/*2/+ **- ^^^ является обратной для в5 .

1.4. - 30 -
Попытки определения операций над многозначными функциями
наталкиваются на значительные затруднения. Поэтому при изучении
многозначных функций имеется практически единственный подход -
- рассмотрение их однозначных "ветвей".
Пусть Р - многозначная функция, определенная на М . Если
функция 4 определена и непрерывна в области X) и во всякой
точке ? ^ J) ее значение совпадает с одним из значений Р ,то
мы будем называть эту функцию непрерывной ветвью, или просто
ветвью многозначной функции г над областью х) . Мы будем
говорить, что К распадается над областью Р на ветви, если
для всякой точки Ъ <?. J} и всякого значения -f ? Ff^}
можно указать непрерывную ветвь многозначной функции G над
областью J) , значение которой в точке  совпадает с -f
Нетрудно убедиться, что над плоскостью с разрезом вдоль
отрицательной части вещественной оси многозначная функция A*<#Z
распадается на ветви вида &№ Z ¦+ 2ЖК ( к ?. "Ж)
Аналогично над указанной областью J-J-&& ? распадается на ветви
вида Ux, ? -+ T-<Xf<% 2 Ч- 2lTt\c (\<^ Ж)* Точно также
в этой области у 2 распадается на ветви вида с? 7 2 » ГД6
\вк J - корни К-оШ степени из 4. . Подробнее о ветвях
указанных многозначных функций будет рассказано в следующем параграф
фе.
б. Функции нескольких комплексных переменных.
Наряду с функциями от одной комплексной переменной мы будем
говорить иногда и о функциях нескольких комплексных переменных.
Область определения функции от 1л/ комплексных переменных
Х -Z..J. 2к/ *" это множество из И' -мерного комплексного
пространства С , а область значений - множество из <С .
Пространство С W - это пространство векторов Z= (^л з \

1.4. - 31 -
где 2-i. Z.z 2iv " комплексные числа. Полагая Zfe = у -f
чг#к , где **« Р«.^ ^и^Гуи^ц,, к^г,...,^
мы можем рассматривать элемент Ъ этого пространства как набор
из 2и/ вещественных чисел *±, Itfi, Хг, #ъ ___ X»*, «д,
т.е. мы можем рассматривать (С** как вещественное векторное
пространство 1R . Таким образом мы можем рассматривать функцию от
комплексных переменных как отображение из /К в fR .
Введем в С метрику, принимая в качестве расстояния между
точками l=(Hj.>22>...t^K,) и W- (Wa,x/»_уЛвеличину
I'Z-vA* Г ^- »^k.~wu\ . в курсе анализа для множеств из
метрического пространства были введены понятия открытости,
замкнутости, компактности, связности и т.п., а для отображений из одного
метрического пространства в другое - понятия непрерывности, предела-
в точке, равномерной непрерывности и т.п. Все эти понятия
обсуждались выше на примере функции одной комплексной переменной, и нет
необходимости повторять эти определения для функций нескольких
переменных.
В качестве примера рассмотрим функцию двух комплексных
переменных /Yjl,,?) ~ -^— • Эта функция определена в <С^
всюду вне множества, определяемого равенством ?%~Ъ = о J*
Всюду вне этого множества функция непрерывна.
7» функциональные последовательности и ряды.
Если последовательность функций -/X (ъ) (^~?,2,_,_ )
определенных на множестве X), сходится во всякой точке -2^7^
то мы будем говорить, что последовательность ^/^J* сходится
будем называть пределом пос-

1.4. - 32 -
ледовательности или предельной функцией этой последовательности.
Будем говорить, что последовательность {-Рь, )* равномерно
сходится на множестве J) (или - сходится равномерно на J) ),
если эта последовательность сходится, и при этом выполнено следующее
"условие равномерности": для всякого ? >0 можно указать номер
/WO такой, что для всякой точки Ъ & J) и всякого номера
1ъ-р- /\f(c\ выполняется неравенство //72}--/Lfe)/ ^?
Если последовательность пункций ?/L7 сходится на J)
равномерно и все эти функции непрерывны на J} , то предельная
функция -f непрерывна на J) . Это утверждение проще доказать,
чем объяснять, что оно легко доказывается. Действительно:
фиксируем ^0^ /) и ? > о , пользуясь равномерной сходимостью
4{-и,(ъ)\ * выбираем номер Им(~g-) такой, что при
1^ > /VDt) /тГ?)-^ (ъ) 1^ "з ; фиксируем
К "> fv(-g-) ; используя непрерывность -//v в точке 20
выбираем о > о так, чтобы для всякой точки ? <?~D DCW^)
выполнялось неравенство l-fife )--&,& о) I ^ "^ ; тогда
для всякой точки 2 & Т)П Otff^o) /¦ffri)--PD.v)\ С
для всякого <? ><? мы подобрали нужное о и тем самым
непрерывность т в точке -Zo доказана.
функциональный ряд 22 ~fw , составленный из функций,
определенных на множестве ~ ^называется сходящимся на Т) ,
если последовательность его частичных сумм оь = ^~ч ^
(b-i.,2,.., ) сходится на Т) . функция -f= -tiv^ <S'

1.4. -33 -
называется суммой ряда. Будем говорить, что ряд ^ .~CW
абсолютно сходится на ]J , если для всякого 2^:1) соответсвую-
щий числовой ряд 224-и, (ъ) сходится абсолютно. Будем
H = i.
говорить, что ряд равномерно сходится на V) , если
последовательность его частичных сумм сходится на Т) и притом
равномерно. ^
Если ряд равномерно сходится на Т) , и все
члены этого ряда непрерывны на X) , то сумма ряда
тоже непрерывна на D
Чаще всего нам придется обсуждать функции и
последовательности функций, определенные на открытых множествах или областях.
При этом часто будет так, что интересующая нас последовательность
сходится на всяком компакте из области определения, но на всей
области сходится, вообще говоря, неравномерно. В таких случаях
мы будем пользоваться для краткости выражением
"последовательность равномерно сходится внутри области .D ", или проще
"последовательность равномерно сходится в D ". Точнее,
последовательность называется равномерно-сходящейся внутри области J) ,
если она равномерно сходится на всяком компакте из этой области;
аналогично, ряд называется равномерно сходящимся внутри области,
если он равномерно сходится на всяком компакте из этой области.
Отметим, что если последовательность равномерно сходится
внутри области и все члены этой последовательности непрерывны на
этой области, то и предельная функция непрерывна в этой области;
аналогично, сумма равномерно сходящегося внутри области ряда из
непрерывных функций непрерывна в этой области.

IA. - 34 -
Упражнения IA (Понятие функции комплексной переменной,
функциональные последовательности).
Докажите следующие утверждения:
I. Если - многочлен от  » то
2. Если Р(г) . <?Га) - многочлены от ± .
то при всяком Z0 <?" (Z? voAn / ' г/ существует,
X
3. Множество предельных значений функции в г в т,^-0
совпадает с (С , т.е. для всякого w^ С можно указать после-
довательность ^?w]f такую, что -?гж e""*w -^ w,
4. Доказать, что 27 К/ ^^ непрерывна в круге i"?l<d
W
5. При \ "? IС d. ряд 21 \ -=? ) равномерно сходится
на окружности i ^> I - d. . Здесь ~Ъ фиксировано.
6. Если -р непрерывна на отрезке Lq±2 » то Функция
(Pfe)- J ; °*~i непрерывна всюду вне отрезка [ог 4Д v
У. Если функциональный ряд равномерно сходится на всяком
замкнутом круге, принадлежащем области ?) , то он сходится
равномерно внутри области Jj .
8. Последовательность ?^ J- ^ -i 2, на круге/2/^4
сходится, но неравномерно, а внутри этого круга - равномерно.

1Л. - 35 -
>
9. Ряд ZL ~~;— Z равномерно сходится на отрезке [oil
10. Уравнение •?>?к,? = 2 ,где ^lh,?^ -ег -e~L^
имеет бесконечное число решений.
11. На области С\ L , где L - луч с началом в нуле,
многозначная пункция ^^ 2 распадается на непрерывные ветви.
12. над С распадается на две ветви.
13. В плоскости (С с разрезом вдоль отрицательной части
вещественной оси всякая ветвь имеет вид G± Yi"' > где{^,}
- корни h" -ой степени из d>.
14. В C\LO^L Lw/^ не имеет непрерывных ветвей.
15. Пусть {jf\S$ определены в круге (*?l? 4_ и при всяком
Vv -fw удовлетворяет условию Липшица с константой и , т.е. для
всяких "? и W из указанного круга (-/Lfe) --fLCW) I ^-^ '^ -
— уу( . Тогда, если последовательность ^*,Ч
сходится, то она сходится равномерно на круге /2/^L± ,
16. Пусть функции ^-/l^y удовлетворяют на круге /2/^4
условию Липшица с константой d. и при всех *v и 1Ъ14*4
выполняется \4^(ъ^\ ^ ± . Тогда из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на
указанном круге.
17. Пусть т - функция, определенная и непрерывная на
замкнутом круге К С С* . Тогда функция {РС^- Г Т-%1 p/b^Jxr
(здесь и^кеД , -0- = 1*^ ) непрерывна всюду в С .

1.5. - 36 -
§ 5. Элементарные функции.
В этом параграфе мы рассмотрим свойства простейших функций
комплексной переменной - степенной, дробно-линейной, экспоненты,
тригонометрических функций и функций, обратных к перечисленным.
В случае функции от вещественной переменной для того, чтобы
составить общее представление о поведении функции, рисуют график этой
функции, функция комплексной переменной - это отображение из (С
в (L , т.е. график функции - это поверхность в четырехмерном
пространстве. Даже в простейших случаях представить себе такой
график трудно. Поэтому в случае комплексной переменной для того,
чтобы охарактеризовать функцию, её область определения делят на
части, и о каждой из этих частей говорится, в какую область она
переводится рассматриваемой функцией. При этом, как правило,
рассматриваются области, в которых отображение, задаваемое функцией,
взаимно однозначно, или, как принято говорить в комплексном
анализе, однолистно. Для того, чтобы разобраться в том, как
устроена многозначная функция, изучают ветви этой функции.
I. Дробно-линейные функции.
Напомним, что дробно-линбйной функцией называется функция
вида О'*-*"* t где <** , Л , & , <*- - комплексные числа.
Мы будем всегда предполагать, что \ \ ФО . Если I J =0
то функция, очевидно, постоянна.
Сформулируем основные свойства дробно-линейных отображений.
I) Композиция двух дробно-линейных отображений является
дробно-линейным отображением. При этом матрица ( °* , ) композиции
преобразований ^ ^ ^L? •+ *± и ? > CL-t.4. + -е-г. вычисля-

1.5. - 37 -
ется по формуле
а, 4\ (°-г.
с oL
Доказательство получается непосредственной проверкой. Из этого
следует, что дробно-линейные преобразования образуют группу
относительно операции взятия композиции преобразований.
2) Всякое дробно-линейное преобразование может быть
представлено в виде композиции не более, чем четырех простейших
преобразований вида ^-9-2.4</ ;2r-^4- J "%: ~? fi Ъ. •
Действительно, если отображение линейно, т.е. имеет вид 2-^<a,-g-f-^
то оно является композицией двух преобразований "Zr—*CL^
и - "^ Ъ-+-ъ .Если преобразование имеет общий вид т.е.
Ъ-*7 в и Сфо , то,производя деление, мы можем запи-
сать его так *Е -*-<* "^ ~ • В этом случав преобразование яв
ляется композицией вида: ^ -v ?+<f ?- -* — ТЬ-^/ЗЪ €-^2+о(
3) Всякая дробно^линейная функция задает однолистное
отображение (С на себя. Используя свойство 2, представим отображение
композицией простейших и проверим, что для каждого из них свойство
3 выполнено.
4) Для всяких двух троек точек Al , В, , С± и Аг , ^ , Сг
из С (ДА, Bi. , Cj, попарно различны и А. вг Сг попарно
различны) можно указать дробно-линейное преобразование, переводящее
Л± В At. , Ol Б В2 И С^ В Сг .

1.5. - 38 -
Преобразование 2~^^~" * переводит А± ъ О , Сх в »о
a Oj. в какую-то точку ?> , отличную от о и »° . Переводя далее
преобразованием вида Ъ^ ~^т Ъ точку В>± в 4. , получаем,
что композицией двух преобразований точки /**., Bj. d. переводятся
в ОД со . Аналогично, можно указать преобразование,
переводящее /4, Д-> С» в С>, 4 сэс> . Срставляя композиций первого отображе-
ния и обратного но второму, получаем искомое отображение.
5) Круговое свойство. Обобщенной окружностью в ? будем
называть множество из (С , являющееся прямой или окружностью. Если
к прямой присоединить бесконечно удаленную точку, то полученное
множество топологически эквивалентно окружности, и потому
обобщенную окружность можно называть окружностью из С . Круговое свойство
формулируется так: дробно-линейное преобразование переводит всякую
окружность из (С в окружность из С .
Линейное преобразование переводит обобщенную окружность в
обобщенную окружность и потому, учитывая свойство 2, круговое
свойство нужно доказывать лишь для отображения Z- -^ "S"
В декартовых координатах обобщенная окружность записывается так:
Си( Уг+^г^ ~\r?x + C<f + ос = О , где 0L,с9с1 вещественны.
Перейдем к комплексным координатам, а именно, произведем замену
X" ^г~ •> j - ~2L~ * УРавН6ние приобретет вид CL2H+-
+ ~~?~ ¦? + ~~~z— 2 -+OL-0, Выполнив преобразование 2-^— >
& . 4-i.c У Лг> / /
получаем _ =- т _ ~ -f Е_ = + а=с> . Умножая
z 2 2 гг Z. 2
уравнение на Z 2~ и переходя к декартовым координатам ^= x+l<f
?*=X-l# , получаем а(хг^г>1-/х-уч^ = о
Такое уравнение задает или окружность, или прямую, или точку, или

1.5. - В9 -
пустое множество. Два последних случая в рассматриваемой
ситуации невозможны, поскольку преобразование Z-^ -^ взаимно
однозначно и потому переводит обобщенную окружность в множество
состоящее более, чем из одной точки. Таким образом множество,
полученное после преобразования, - это окружность или прямая. Круговое
свойство доказано.
б) Свойство симметрии. Если точки Z и Е симметричны
относительно прямой j , т.е. лежат на прямой, перпендикулярной
к У , равноудалены от $ и расположены по разные стороны
от j( , то всякая окружность д , проходящая через точки 2
и  v пересекает о под прямым углом. Используя это
свойство, введем понятие симметрии точек относительно произвольной
окружности из (С , а именно, точки ^ и 2 * будем называть
симметричными относительно окружности Т из С , если всякая
окружность $ из d2 , проходящая через эти точки, пересекает
3 под прямым углом (если ? = ? , то эти точки объявляются
симметричными относительно Y ь том и только том случав, если
они лежат на J ).
Свойство симметрии формулируется так: всякое дробно-линейное
преобразование переводит точки, симметричные относительно
окружности из (С , в точки, симметричные относительно образа этой
окружности. Справедливость этого утверждения очевидна, поскольку
дробно-линейное преобразование будучи конформным (см., свойство 3)
сохраняет углы и в силу свойства 5 переводит всякую окружность
из С в окружность из С •
Пусть о - окружность из (С радиуса ? с центром в^0.
Точки т*0 и <?° симметричны относительно )f , поскольку всякая

1.5. - 40 -
окружность из С , проходящая через 2© и«^ - это прямая,
проходящая через 20 и потому пересекающая У П°Д прямым углом.
Для того, чтобы лучше представить себе взаимное расположение точек,
симметричных относительно окружности, докажем следующее: точки2
и ?* из (?, симметричны относительно окружности Jf в том
и только том случае, если они лежат на одном луче, выходящем из 0
Пусть 2 и  лежат на луче, выходящем из Нс , и
указанное равенство выполнено. Проведем через  и 2* какую-либо
окружность У из С • #сли ^ - это прямая, то она проходит
через 2© и потому пересекает о под прямым углом. Коли Jf1 -
это окружность из С ,то, обозначая через ^ точку окружности
X такую^что луч 2© ^ касается у1 * , из теоремы о
касательной и секущей получаем 1 X ~- Зс^2* = К--20 /12 *- € /
следовательно, /^—^ lz~RZ ; поэтому ^ лежат на Jf^ ,
а это означает, что ?* пересекает J* под прямым углом.
Пусть теперь ^ и "? симметричны относительно q • Покажем,
что эти точки лежат на одном луче, выходящем из^20 , и
\Z~"?o\ IlL*-^©! — R . Прямая ?,Ъ* является окружностью
из С и потому пересекает ^ под врямым углом. Это означает,
что она проходит через 2о • Пусть о - окружность из С t
проходящая через ^ и * , а ^ и ^г ¦ точки
пересечения Т и )f . Т.к. jf и У пересекаются под прямым углом,
* „ v\*
лежит
то лучи ^с^д и ^с ?х касаются ^* , и потому J4
внутри угла, ограниченного этими лучами. Это означает, что ? и?
на прямой Ъ 2* лежат по одну сторону от точки 0 , т.е. при'
надлежат одному и тому же лучу, выходящему из "^0 • Так как ©Ч,
касается )f , то по теореме о касательной и секущей 1^4р-з01г»
= \г-ы 1г-г"| • а м. х fif , то l*t-4ol = g
V

1.5. - 41 -
и, следовательно |?-^о| 1^*— ^Zoi-R • Утверждение доказано.
V) глнваоиантность двойного отношения..
Фиксируем четыре числа &} Л}<1^ JL и рассмотрим выражение
( СЬ & С Л) ~ 2— • ~~Т * ^Т0 отношение двух дробей принято
называть двойным отношением, составленным по точкам ее М С d ,
Двойное отношение инвариантно в следующем смысле: если
дробно-линейное преобразование переводит точки CLt &, с <JL B точки Сь', ?'
с' с/ (соответственно), то двойное отношение (CL, 4, с'с/J
равняется двойному отношению ( CL, &t C} of) • Это равенство
доказывается непосредственной проверкой. При этом полезно
воспользоваться свойством Z и доказывать равенство лишь для простейших
преобразований.
Если дробно-линейное преобразование переводит точки 4± В± С
в точки Ах Вт. С г. обозначая через \А/ образ произвольной
точки "? , в силу инвариантности двойного отношения получаем
(А±} fbi, Cl, ^) - (A-l} B^.C^^w) • Это равенство в неявном
виде задает отображение, переводящее первую тройку точеквэ вторую.
2. Преобразования круга и полуплоскости.
Модель геометрии Лобачевского.
Подробно о преобразованиях круга будет рассказано в Ш.3.1.
Здесь же мы докажем, что преобразование ^-=?^"v** ^Z^z
где \cb\c i ^ CL oC - вещественно, однолистно переводит
единичный круг felt 1 на себя, и обратно, всякое дробно-линей-
преобразоваяие единичного круга на себя имеет указанный вид.

1.5. - 42 -
* к
Заметим прежде всего, что точки CU и Си -=¦ :=г симмет-
Ои
ричны относительно окружности ]^ \ = d. . Выписанное
преобразование переводит точки &" и ct* во и <^> . В силу свойства
симметрии окружность I^ I -4 переходит в окружность,
относительно которой О и -° симметричны. Такая окружность имеет
центр в О . Следовательно, рассматриваемое преобразование
переводит окружность | ¦?!-=!. в окружность \^2:V= R .
Так как |ег<* I - L , ^то при ^ = i \ ег^ %z3i. \ ~ A
Следовательно, R^4. . Итак, окружность \^\^=<1
рассматриваемое преобразование переводит в себя. А так как i Оь \ С 4.
и CL переходит в О, то круг | "? I С ± отображается на себя.
Пусть теперь Ъ~>f fe) - какое-то дробно-линейное
преобразование, переводящее круг \ ^ I с ?. на себя. Положим CL--P~L(o)
В силу свойства симметрии -^"±fC7°)= <Z* = 4г • Так как,
^ Л
по определению, ©„переходит в О } а ~ — в
бесконечность, то -тГъ) = Qy -—=г= , где Q, - какое-то число.
В частности, при ^ = ^ имеем (-f (ЛI = I 9, * ^z; 1
А так как преобразование переводит окружность i ^ | ==4 в сббя
I 1 -<*- |
и / - ~ — ^ , то / 6 | ^s d. , и мы можем представить
J.-6L- ' к
#, в в^де <? =-е , где о( - вещественно. Таким образом^
//2)=е ?Ш— . Утверждение доказано.
Всякое преобразование вида \$j = е^ ?~^г , где оС -
- вещественно, а мнимая часть J^ &, >о > переводит верхнюю

1.5. - 43 -
полуплоскость lhi"?-7CP на единичный круг /wl^-d. . Это
следует из того, что при Xw>^r=o |e1^ "^~з~ / ___
^-С 1 ""^
т.е. вещественная ось переходит в окружность \ w\ -=-4_
а точка Ъ - сь переходит в точку \*/ — о . По аналогии с тем,
как это делалось для круга, нетрудно показать, что всякое дробно-
-линейное преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость на
единичный круг, имеет указанный вид.
Всякое дробно-линейное преобразование верхней полуплоскости
на себя может быть записано в виде ^у =. —ь-i— f Гце
(L ? <L J ~ веЩественны и определитель / ^ / I "> о
Пусть V/¦z.\(rh) - дробно-линейное преобразование,
переводящее верхнюю полуплоскость на себя. Фиксируем три различные
точки Си± ?± с д. » лежащие на вещественной оси, и положим
aL»/fei) , L = -Pf&\ I*- -/V'O . Тогда ¦/?
задается равенством ^г А,Сг^) = ГЛ±. Л.С-*.,^0 • Так как-^
переводит вещественную ось в себя, то, выражая в этом равенстве
V/ через ^ , получим w =. ^"*" , , где a -^ t с/
вещественны. 4 переводит точку -С в верхнюю полуплоскость,
Т ctb + -? w ЦТ а±±А- Г foz+M-cC-tof)
и потому _/^и г >° По ±^ ТГ:—7—-^^и " г =
~cw- *>с •=/ у/ . Поэтому определитель I j I >C
Утверждение доказано. п
а, ъ-+ -ь
Обратно, преобразование Ч/ =¦ -г- , где CL ,
? С d вещественны и I **) I > о ' переводит верхнюю
полуплоскость на себя. Действительно, поскольку коэффициенты

1.5.
- 44 -
веществен ы, то вещественная ось переходит в себя, а так как
определитель / / J > о , то ч. переводится в точку,
А
мнимая координата которой вычисляется так %, Ту^ ~1—_ -zr
— I J \ (<?*-<$ ) <^^т»е» v. переходит в точку верхней
полуплоскости. Это означает, что преобразование переводит верхнюю
полуплоскость на себя.
Рассмотрим один пример использования дробно-линейных
преобразований, а именно, предложенную А.Пуанкаре модель геометрии
Лобачевского. "Точнами" пространства Лобачевского объявляются
точки единичного круга I % I с ± «В качестве "прямых"
принимаются дуги обобщенных окружностей, пересекающих окружность \^\^1
под прямым углом. Расстояние J3 между "точками" ^^ и "Z.-^
задается равенством pi^*. ^.О - -vtvf^r,^* <^4. oU.")i где
( ^->^А,<^4.; <*т-) - это двойное отношение (см. 1.5.1/,ъ. о^
и с*-^ - это точки пересечения "прямой", проходящей через
"точки" 2± и ^2. с окружностью 1^1-= 4. , пронумерованные таким
образом, чтобы точки 1c/>lj Я.±) ^г^ о(г ^j при монотонном
движении по "прямой" ("^-4., За.) следовали друг за другом. Можно
проверить, что дробно-линейные преобразования круга i"?:l^?
и только они сохраняют введенную метрику, т.е. группа этих
преобразований является группой движений плоскости Лобачевского.
В этом модели оказываются выполненными все аксиомы евклидовой
геометрии за исключением аксиомы параллельности. Через ванкую
"точку", лежащую вне "прямой" можно провести "прямую",
параллельную заданной (т.е. её не пересекающую), но эта прямая не
единственна. Указанные "прямые" заметают целый "сектор". Сумма углов
треугольника в рассматриваемой модели зависит от выбора
треугольника и всегда строго меньше, чем jp .

1.5. - 45 -
3. Степенная функция и корень.
Рассмотрим сначала преобразование Ъ-^~^ , где Wv -
натуральное число. Обозначим через L (о) луч Гу* Ъ «о, Qe^>o
а через L (<Р) - луч, получаемый в результате поворота луча
L(o) против часовой стрелки на угол <Р . Параметр <р может
принимать произвольные значения от -«^ до <*° . Записав 2-
в полярной форме, а именно, в виде Z = r-e^^ t из теоремы
о модуле и аргументе получаем, что преобразование Ъ -^  К
переводит точку "Z- =гех^ в точку 4. = г^е^^ • Поэтому
луч L (У) переходит в луч L» Ск,(р) , а дуга -О (OL, <^, /О
определяемая равенствами l^l-t и </? </> <? ft *
переходит в дугу X) (t^^hsd h/О • 0<3означим через 5К/^Л)
сектор, ограниченный лучами L(Ji) и L(fi) и дугой &(<1^В)
Преобразование - *¦*> ?w переводит сектор ?>("*-,<?,?>)
(U-pl*!? ) в сектор <S ft*^ Ак/ >v/3j ; б частности, угол
5 1°°;"" — ¦) ~ ) переходит в плоскость G_ с разрезом вдоль
отрицательной части вещественной оси. Так, например, ^ -у Е "**
переводит четверть круга (с центром в нуле), ограниченную двумя
радиусами, в нолкруга, а всякие полкруга - в круг с вырезанным
радиусом. >
Рассмотрим теперь обратное преобразование ^- \ ?.
Это отображение многозначно.Оно сопоставляет всякой точке
-? _. /?eVSP.^0 к/ различных точек ^ = лРъГе кЛУ + гя"к-'
(fc-q*.,..., >>-!.) . Луч L(<p) это преобразование
переводит в К/ лучей L ( ^±JL!!> \ ^ b~ci 1 .. и-д.) • Поворачивая
непрерывно луч
мы получим, что каждый из w указанных лучей будет вращаться
в том же направлении со скоростью в w раз меньшей, чем скорость

1.5. - 46 -
вращения . Сектор
переводится в Vu секторов о («^ > ' )
(к-ЦА^^-О . При этом, если фиксировать к. , то
соответствие между точками сектора Sf**» с?, р>) и S(-*$ °?±2?^
)
\*s у будет взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно,
и мы можем рассматривать это соответствие как непрерывную ветвь
над областью
/lllEJfr
ем рассматрш
многозначной функции
Таким образом распадается над ? («>°, о*, р ) н& V
ветвей. В частности, над областью С. функция *>["? распадается
на W ветвей ^ в ^Г е^ С<:Р +<г1Ги^ = tk^ (^o,
где
±%ьЛ - корни *t-©y степени из 1 , a Y5" - главное значе-
k/f—?
ние ^ ^
4. Функция Жуковского.
Рассмотрим функцию Жуковского \М- ^(^+4:) • Выпишем
условия, позволяющие судить об однолистности этой функции в тех
или иных областях. Пусть Л и ft (о/^Д/ переводятся
рассматриваемым преобразованием в одну и ту же точку, т.е.
2. '*^"*оГ/ ~ .A * ~Р> у .Из этого равенства получаем,
что </' /^ = 4. . Это означает, что функция Чуковского однолистна,
например, в следующих областях: внутри круга \!:\ ? I , в
области I ^ I > ± , в верхней полуплоскости, в нижней
полуплоскости.
Фиксируем ЪФД и выясним в какую кривую переводит
функция Жуковского окружность \Ъ\^*Ъ . Записывая
произвольную точку этой окружности в виде ^- ^.г^ , получаем

I.§. - 47 -
- I C"'% ? e-^)= | <t* 4)<*!Г-У*->*.
A / A \
Полагая w-it-t^^" , получаем *vc = — V/b + ^J^iP
o-»^ct- 4)^u^ • п°лагая ^ - i(^f ^)
и Р)л^ - 2*^" ) и исключая из предыдущей системы^ ,
получаем ( ]Г У^ + ( тзг ^ ~ 4. • ^то есть Уравнение эллипса
с полуосями А* и В-г. и с фокусами в точках ± ? (поскольку
4г - Bt. —^ ). Окружность \^\^=:d переводится
функцией Жуковского в дважды пройденный отрезок f-l{]
По аналогии с предыдущим, исключая из равенств
U-- 4(*+ ЗО6**^' ^= ^(г> 4. )^\^ параметр ^
получаем(^)г- (^рУ=* • т-е- луч ^^
функция Жуковского переводит в ветвь гиперболы
IteSP/ ~~ \X-~ip/ ^ » имеЮ1Чеи Фокусы в точках ^ti . Итак,
функция Чуковского переводит семейство окружностей ^ /?/ — R ^
в семейотво эллипсов* а семейство лучей - в семейство
гипербол.
Обратное преобразование ^-w^ "\iwz-4- двузначно
всюду в <Ь , кроме точек ± 1 , и распадается над областью
С. \ L~i, 43 на две ветви. Одна из этих ветвей переводит
область (C,\L~11"I на КРУГ \^\?1 » а вторая - на
область \ГЬ\~?4* с присоединенной к ней бесконечно
удаленной точкой.
Функция Жуковского имеет важные приложения. В задаче
обтекания тел, используя эту функцию, можно получить формулы для

1.5. - 48 -
расчета некоторых физических величин. Задаау обтекания длинного
кругового цилиндра можно свести к плоской задаче - задаче
обтекания круга. Будем считать, что обтекаемый круг задается
неравенством \*Ъ\ 4 4. , а поток жидкости движется
горизонтально. Оказывается, что линии тока, т.е. линии по которым движутся
частицы жидкости, - это те линии, которые функция Жуковского
переводит в горизонтальные прямые (линии обтекания отрезка?-1 ij),
Таким образом линии тока можно построить как прообразы указанных
прямых.
Если нарисовать кривую, которая является образом при
преобразовании окружности, проходящей через одну из точек "± 1. и
охватывающей вторую из этих точек, мы убедимся, что эта кривая
похожа на профиль крыла самолета (см. рис. I). Построенная
Жуковским и Чаплыгиным, теория дает формулы расчета крыла с профилем
указанного типа.
5. Экспонента и логарифм.
Тригонометрические функции.
Рассмотрим отображение ?-* ?. . Представив € в виде
^ =в в ^ , где * и Н - действительная и мнимая
части : » нетрудно проверить, что рассматриваемое отображение
переводит горизонтальные прямые Ч - с&иЛ>?? в лучи,
выходящие из О , вертикальные прямые наматывает на окружности с
центром в О , а именно, прямая Ч ~ У переходит в луч ?(<р)
прямая Х.~=.Ъ переходит в окружность радиуса ее центром ъТ.О
При этом вдоль прямой К - ^ отображение 2/Г-периодично. Всякий
полуинтервал этой прямой длины 2#~ накрывает всю окружность. При
всяком целом /< полоса — Я~ч- zfTic <lg ? /П-2.7ТК
переходит на плоскость с разрезом вдоль отрицательной части ве-

1.5. - 49 -
щественной оси. На каждой из указанных полос отображение Z-^-e^
обратимо. Ограничив это отображение на К -тую полосу, мы
получаем, что обратное отображение является непрерывной ветвью
многозначной функции Lw Ъ над областью С \ ь(ТГ) , и эта
ветвь записывется так: -1^^ = ^/^l -t- \ {&л*?Ъ+ ЪТГК.)
Таким образом над (LA L (П") L w ? ра-епа^А-г-кХ^ Аналогично можно
показать, что L* над всякой областью вида (С \L(^)
распадается на ветви. s •* »э
Напомним, что по определению -^О^Ъ. — ;— , а
<-^* -?: - —- - в функции tf ? и ^чЗ" "^ есте-
~ ^ . пункции t ¦ ~t и C'ty
ственно определить по формулам "с?
Аг* *Ск*
oU-*w+e
/ Ce*s S / р ^ _ л —*
Ctf ? = . Далее, по определению, <SA, ^ = -
¦j и.т.п. Из определения основных
тригонометрических функций видно, что каждая из них является композицией
экспоненты, функции Жуковского и дробно-линейных функций. Поэтому
отображения, задаваемые тригонометрическими функциями, можно
представить композициями трех указанных функций. Эти три функции были
подробно рассмотрены выше, и потому всякое конкретное отображение,
задаваемое тригонометрическими функциями, может быть изучено на
основе свойств трех указанных функций.

1.5. - 50 -
Упражнения 1.5 (элементарные функции).
1. Найти дробно-линейное отображение wC^ :
2. Точка 'Zo называется неподвижной точкой отображения \к/(^
если \</(Ъо} - Ъ0 л
Доказать, что у любого дробно-линейного отображения
существует неподвижная точка в С , и у любого дробно-линейного
отображения, кроме тождественного, не более двух неподвижных точек в<С„
3. Построить однолистное отображение (используя композиции
элементарных функций: 2 , дробно-лин.) полукруга ?j2rl^d.
X v* Ъ > О ^ на полуплоскость Xv^ W > О ,
4. Найти однолистное отображение (при помощи композиции
элементарных функций: др.-лин.) области "D^Xu^XD
Ъ ^L LO} il } на полуплоскость ?\и W>Q ,
5. Найти однолистное отображение (используя композиции
элементарных функций: Ъ , Y2: » др.-лин.) области \)\ {,Ты^ >о
6. Пустъи^ДЛ* если^? допускает в области ^ выделение
однозначной непрерывной ветви, то эта ветвь однолистна в J} .
7. Доказать, что w = ^jf "?: отображает полосу
- -q * '<* * с -у на круг /ц(// -с 1 ,
8. На какую область отображает функция Руновского верхнюю
полуплоскостью

П.I. - 51 -
ГЛАВА П.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
§ I. Комплексная дифференцируемость функций. Понятие
голоморфной функции.
функция комплексной переменной - это отображение
подмножества числового поля (поля комплексных чисел) в себя. Поэтому для
функций комплексной переменной так же, как и для функций
вещественной переменной, можно ввести понятие производной.
I. Определение производной
Пусть §{ъ) - функция, определенная в области ])<с С и ? -
- точка из ~\) . Составим разностное отношение
А^ Аъ
, где (Z+ &Ъ)?Ъ
Пусть это разностное отношение имеет предел при Д?->о . В
таком случае мы будем говорить, что т имеет производную в
точке "г , а число f'(^}— -tivn =^- будем называть
производной функции 4 в точке Z. • Иногда приходится говорить
о производной функции, заданной на отрезке, кривой или каком-либо
другом множестве. В этих случаях понятие производной вводится
аналогичным образом.
Нетрудно убедиться, что если функция Jf имеет в точке Z0
производную и производная конечна, то приращение функции предста-
вимо в виде Д-р- -f &Ъ -ю^д^) . Здесь о(Д)
-обозначение беснонбчно малой величины, т.е. ZL\y\ ^) _ 0
Верно и обратное, если приращение функции может быть записано
в виде Af=Ak~Z-to(AZ) , то ~Р имеет производную в

П.1. - 52 -
точке 2d и *f (Zo) — ^
Все правила дифференцирования, доказанные в курсе анализа
для функций вещественной переменной, без труда переносятся и
на комплексный случай, а именно, если •/ и Я имеют производные
в соответствующих точках, то
( })' - - il •
№))' = f'#>/.
^\ ллкх^е,^ еслй z=ffw) есть функция обратная к w= -Pfe)
и при этом f имеет производную в точке Z0 -/* (Z0)-фо
и <? - непрерывна в точке Wo =-Р С^о) , то 9 имеет
производную в точке W0 и #'(W ) ¦= -i— .
Из этих формул получаем, что производная многочлена /3fe) =
= 2_^ &-*"?* имеет вид Р(Ъ) - 22 ^^^^ • в частности,
функция  ( н,<? Д// дифференцируема во всех точках
плоскости (? и всюду в <Са<.о} её производная не обращается в нуль.
Поэтому, выбрав в С\^о} какую-либо область Т) и какую-либо
непрерывную ветвь /Y?) (в этой области) многозначной функции у?
мы можем утверждать, что -ffe) дифференцируема в 7) и её
производная имеет вид . Действительно,
дифференцируя тождество (ffe))*'- -з. » получаем w (/^))K"V^?)-1

П.1. - 53 -
л// ^ Р(ъ) c(^\
т.6. + (Ъ) ~ , / л, vn^L ~ ——- • Равенство доказано. Необходимо
продумать, каким образом в приведённом рассуждении использовано
свойство непрерывности ветви.
2. Вещественная дифференцируемость и комплексная
дифференцируемостъ функций.
Рассмотрим пример, функция -Р(ъ~) -= W не имеет производной
ни в какой точке плоскости. Действительно, в этом случав Д+= АЪ
и разностное отношение имеет вид —¦=• . При вещественных лг
это отношение равно 1, при чисто мнимых, - ровно -± , т.е. отно-
шение -г— не имеет предела при Л .^ о » т,е»
рассматриваемая функция не имеет производной. В то же время эта функция
задаёт линейное отображение плоскости на себя (линейное по
вещественным переменным). Этот пример показывает, что
дифференцируемость по комплексной переменной и дифференцируемость по
совокупности вещественных переменных - это не одно и то же. Для того,
чтобы выяснить взаимосвязь этих понятий дадим прежде необходимые
определения.
Пусть -f определена в окрестности точки z . функция ~Г
называется дифференцируемой в точке 2 по комплексной
переменной (дифференцируемой в комплексном смысле или С -дифференцирумой),
если Р имеет производную в точке 2 и эта производная конечная,
или, что то же самое, если приращение функции представимо в виде
Л-f = АкЪ + о(д^) ( Д?. С) .'функция f= Ъс+-ivr (vu^xr-
действительная и мнимая части р ) называется дифференцируемой
в точке "Ъ по вещественным переменным (дифференцируемой в
вещественном смысле, или IK,- дифференцируемой), если tc и "О-
дифференцируемы в точке 2 по совокупности вещественных
переменных, т.е. если их приращения могут быть записаны в виде

ПД. - 54 -
Л "О" = vT* &х + УУу Д# ¦+ о ( Д^О
В дальнейшем, как правило, мы будем говорить о функциях,
дифференцируемых по комплексной переменной. Поэтому ради краткости
изложения условимся в следующем: если не оговорено противно, дифферен-
цируемость функции комплексной переменной будем понимать как диф-
ференцируемость в комплексном смысле.
Из соответствующих теорем анализа следует, что если **• и "О-
имеют в некоторой окрестности точки z = x+-l^ непрерывные
частные производные по х и Ч , то гс и о- дифференцируемы в этой
точке по вещественным переменным. В этом случав f= tc+ т-О-
R. -дифференцируема в точке ^ .
Заметим, что система двух вещественных равенств
kv = хг'у лх + xrL /±% -*-v_
эквивалентна одному комплексному равенству
Поэтому, полагая ,U.x+'lUx - + ,< и ^ + i\y = X ^мы
можем записать исходную систему равенств так *
А{~К лх -t-f' Л?+..
Далее, делая замену ДХ" -—-—— и ДЧ = - A"Z
полагая "** "" "*" '# __ -^ и /^ -/• г -f~
и
г г —г— -• г
у _/" ' » получаем
д-Г- -fg д**-^ д* -к.

П.1. - 55 -
Таким образом получаем, 4Tof ]Ц -дифференцирума в точке ?
в том и только в том случае, если её приращение представимо в виде
д-fV-f Л-г -Р^ Д^ +о(&ъ) . Подчеркнем, что знаки -Ръ и ^
следует понимать как сокращенное обозначение для выражений
jf = г* г1~у и т= ~ Л 2. • Эти формальные обозначения
2 2. * 2.
удобны тем, что в тех случаях, когда f задана в виде явного
выражения от 2 и "ЁГ. выражения -/* и -?-_ вычисляются формальным
дифференцированием функции по ^ и 2" соответственно. Так,
например, можно показать, что для всякого многочлена Р(ъ,ъ) -
~Z_ «-^й,21 = выполняется Г я »=/*•/ f—» ^
K.W * ' W,Vw
i ; 12 a i - / rvu.,.. z_
И
Pt (^/2) - ^-^ ^ "-te^ 2- Z # отметим, что если -С <L~
- дифференцируема в точке -Z© , то ^JL(^^ = -f С^0)
3. Критерий комплексной дифференцируемости (условия Коши-
-Римана).
Теорема (Коши-Римана). Пусть /= U-+VO- определена в
окрестности точки "Z и дифференцируема в точке ^ по вещественным
переменным, функция г дифференцируема в точке 2 по
комплексной переменной в том и только в том случае, если значения частных
производных 1* и V в точке Z. связаны соотношениями ^x~^v
и 1б.у= -tf"y или что то же самое -г=- "^
Доказательство. Т.к./ 1R -дифференцируема в точке Z , то
её приращение имеет вид Д-Г--/ А? ~^-/^г ^^ -юСД^^
Разделив это равенство на Л? , имеем
дг г г дг л г •

П.1. - 56 -
Т.к. covv^ —rzr~ -о и =-?- не имеет предела при &г->о
то предел =2. существует в том и только в том случав, если
1^~0 . Тем самым теорема будет доказана, после того, как
мы проверим, что равенство т^ =• о эквивалентно системе "-х -
~-Ъ^у1у-К • Действительно, ^/?' » | f/x' +<^)^±[^
¦+ г. 17^ ) -t г- (T^jr "+ t ^/J . Приравнивая к E действительную
J-' >
и мнимую части Т^т , получаем систему равенств to^-V» =o
^' -tc' — о • Теорема доказана.
4. Производные элементрных функций.
Теорема Коши-Римана позволяет сформулировать простое
правило проверки дифференцируемости функции и вычисления ее
производной. Если-f R -дифференцируема в точке ^ и
удовлетворяет условию Коши-Римана, то эта функция С -дифференцируема
и её производная т = 4- L — "гх ~ ~ *• *?у
Напомним, что по определению ег- g х ( Ce*sjf-ti^>i^}f) }
т.е. в данном случае действительная и мнимая части функции имеют
X X
вид: Хс=е c^jr , 1>"^е -d<^ у . Проверяем, что
Ik* - О"^ и ^v =-1)"^ . Следовательно, экспонента
f-дифференцируема всюду в (С и ^е2J = (^* (ом//•+ ^^tf))* =бг
т.е. производная экспоненты равна ей самой.
Используя правило дифференцирования обратной функции,
получаем, что всякая непрерывная ветвь т многозначной функции •?*• ^
имеет производную, и эта производная находится дифференцирова-
нием тождества в — Ъ . Имеем е ^ ^2-) = i
А так как е = Z , то -/" (ъ) - -g . Итак, производная
всякой ветви логарифма имеет вид -С = i- .
х 2

П.1. - 57 -
Выпишем производные простейших тригонометрических функций
и им обратных. Полагая
оА.<кЪ- ~ ' , нетрудно проверить, что Сос^г) -^i^
Определяя далее A^Cw, Д/еее^з 7 Д/"^ , Д W^
как соответствующие обратные функции и используя правило
вычисления производной обратной функции, убедитесь в следующем:
если •+ КЪ) - ветвь многозначной функции A/tc^6g Е - в какой-
аналогично (Аъе&Ц?:) =¦ - ~"^_ ; если <ffe) - это
ветвь многозначной функции A^tc-Sch^ , то у -
дифференцируема всюду в Т) и её производная является ветвью функции 7 74-г2
аналогично (Аъссе*,^) ~ - Фу1-г^
В качестве примера вычислим производную ветви /4^^^ ч.
Фиксируя ветвь -/fa) , имеем: '??-/'/?) = ¦? . Дифферен-
цируя это тождество по ? , получаем —— -Р = d. те
- ^ с о* V
С' •= О* V = Л

П.I. - 58 -
5» Геометрическая интерпретация дифференцируемости.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной»
¦ Пусть функция -г имеет производную в точке ? и
^'fx ^фо * ^ы М0Ж6М рассматривать -rfe) как отображение
2.*- Х(-зЛ • Используя дифшеренцируемость •+ , запишем
это отображение так *Г * -=+(Ъо) -+ -f (Ъ - ZQ) + о ГS-z0>)
Запишем -/" в полярной форме, а именно, -/* /^2©)~ ^б*-^
где 'Т. = ,а yejt'tp'f (Ъо) • Обозначая
через ТЛ- и^ действительную и мнимую части -f , перепишем
отображение в декартовых координатах: X = ZcC^^-t
+ /с&съуСх-Хъ) -t К Се4<Р/У-у0)+^. мы получили, что линейная
часть отображения, т.е. касательное отображение, задается
матрицей
Таким образом, касательное отображение является композицией
растяжения (с коэффициентом |4 \) и поворота плоскости на yronJjr-f,
То же самое можно увидеть, если записать касательное
отображение через комплексные координаты 2 = •/* (тЕо) (Ъ~Ъ>)
Вектор ?-?о касательным отображением растягивается в \4 feo)/
ряз и поворачивается против часовой стрелки на угол fl'ty-f ^o)
Подводя итог, скажем так: геометрический смысл дифференци-
руемости по комплексной переменной в том, что в рассматриваемой
точке касательное отображение оказывается композицией поворота и
растяжения. Коэффициент растяжения - это модуль производной, а угол
поворота - это аргумент производной.

П.I. - 59 -
Предполагая, что т непрерывно дифференцируема в
окрестности точки 2о » мы М0Ж6М переформулировать последнее
высказывание так: всякую гладкую ориентированную кривую (см. 1.3.4),
проходящую через точку 20 , отображение -р переводит в кривую,
имеющую касательную в точке W0"=-fio) . Угол между
касательными в прообразе л образе равен , и при
этом в точке Zo кривая растягивается преобразованием в
\if(Z^\ раз.
б» Конформность дифференцируемого отображения.
Пусть -f (Zo^)?c> . Из оказанного в предыдущем
разделе следует, что отображение 2 = -Р Гг) обладает двумя
следующими свойствами: это отображение сохраняет ориентацию,
т.е. определитель матрицы касательного отображения положителен;
отображение сохраняет углы, т.е. касательное отображение
переводит всякую пару прямых в пару прямых, пересекающихся под тем
же углом. Если отображение обладает двумя указанными свойствами,
то о нем говорят, что оно конформно в рассматриваемой точке
(см. 1.3.6).
Таким образом, если функция в некоторой точке
дифференцируема и производная функции не равна нулю, то задаваемое ею
отображение конформно в этой точке. Верно и обратное, если функция,
определенная в окрестности точки 2"о , 'К - дифференцируема
в этой точке и задаваемое ею отображение конформно в -20 , то
в этой точке т дифференцируема и -/" (Ъо) "ФО
Если -/- непрерывно дифференцируема в окрестности точки
то утверждение о конформности отображения W--M*g) в точке ^
эквивалентно следующему: для всякой пары гладких ориентированных

П.I. - 60 -
кривых tf± и i ^ , проходящих через ?0 (?(?д) = Уг (iz)*
"= 2о) > Угол между кривыми -f(f^) и-|-(У ) в т°чке
V/ -~ffeo) Равбн углу между |^ й jf в точке -Z0 . Мы не
говорим здесь о сохранении ориентации, поскольку из условия
сохранения углов между ориентированными кривыми следует, что -f
сохраняет ориентацию.
7. Понятиб голоморфной функции.
Дифференцируемую функцию вещественной переменной называют
иногда гдадкой функцией, имея при этом в виду геометрическую
гладкость графика функции - отсутствие изломов на графике. Условие
дифференцируемости функции комплексной переменной - это не только
признак геометрической гладкости. В этом случав из
дифференцируемости следует также, что действительная и мнимая части функции
удовлетворяют некоторым специальным уравнениям (см. теорему Коши-
-Римана). Из этого условия, как мы увидим далее, следует, что
комплексно дифференцируемая функция может быть задана
посредством формул, позволяющих вычислять значение пункции через
значение переменной. Благодаря этому свойству комплексно дифференцируе
мыв функции получили специальное название. Такие функции называют
голоморфными."Голоморфный" - подобный целому, от греческих слов
ОАО& - весь, целый и ^ор<роб~ - форма вид. Эти
функции называют также ••аналитическими" функциями. Такое название
подчеркивает, что значение функции может быть получено
аналитически, т.е. посредством конкретных вычислений. В брлее ранних
пособиях по комплексному анализу, говоря о функциях этого класса, их
называли "моногенными", "регулярными" и т.п.
Пояснив смысл терминов, перейдем теперь к определениям.
Пусть Т) - область или какое-либо открытое множество в
комплексной плоскости. Мы будем говорить, что функция ~f голоморфна

П. I. -61-
в ])^(С , если она определена всюду в _D и во всех точках
из J) дифференцируема по комплексной переменной. Класс всех
функций, голоморфных в V) , будем обозначать через
а утверждение о голоморфности/ в Т) будем записывать так'
4*? МО)/ • Функция называется целой, если она
голоморфна во всей плоскости ^- .
Мы будем говорить, что "функция -/* голоморфна на компакте
К ", если она голоморфна в какой-либо окрестности этого
компакта. Записывать это будем аналогично . В част-
ности, выражение "функция f голоморфна в точке ^о^С будем
понимать так: ~f голоморфна в некоторой окрестности этой точки.
Иногда нам придется говорить о голоморфности функции в бесконечно
удаленной точке. Функция называется голоморфной в бесконечно
удаленной точке* если она определена в окрестности бесконечности
и т(~? ) голоморфна в нуле. Таким образом мы можем использовать
термин "Функция, голоморфная в Т) " для областей из С .
Согласно данным определениям многочлены от 2., е ^ ^^~^,
С&*> Ъ и т.п. - это функции, голоморфные во всей плоскости, т.е.
целые функции i , в голоморфны в <С \<toj* ^ ;
)Сг + ^7' - функции, не голоморфные ни в какой точке
плоскости (О .
Определим теперь понятия дифференцируемости и голоморфности
для функций нескольких комплексных переменных. Функция -fft)
от W комплексных переменных ^j. ^н, , определенная в
окрестности точки Ъ - Bц. э ^Z) * называется дифферен-
цируемои в точке х. , если ее приращение представимо в виде

П. I. - 62 -
где Ctit.^-^ , ^ = 4,,..., к . Как. и в случае функций одной
переменной, мы будем говорить, что функция -f голоморфна в
области, если она дифференцируема во всех точках этой области.
Можно показать (по аналогии с тем, как это делалось в вещественном
анализе), что если функция в некоторой окрестности точки имеет
непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой
точке. Например, функция имеет всюду вне
комплексной прямой 5 — Н. =о непрерывные частные производные
и потому голоморфна в дополнении к этой прямой.

П. I.
- 63 -
Упражнения П.I.
(Комплексная дифференцируемость функций. Понятие
голоморфной функции).
I. Какие из функций дифференцируемы всюду в С ?
а) Р(*)= X5-3X^_x+i C*^-?*-?);
в
) ры e z^.iff-x^J;
г) />л?) - ^ ¦? ;
д) /V*) = е ,
Докажите следующие утверждения:
2. Композиция дифференцируемых функций дифференцируема, т.е.
если -ff'b) дифференцируема в И© и 3 C\hs) дифференцируема
в Ц/0 - -Р(ъ0*) , то <l(>ffe)) дифференцируема в 2
3. Если -р есть непрерывная ветвь "у^ , определенная в
окрестности точки -1 и +(-¦&¦) - г , то -/* Л%0 "= —
и А, /40 = - 1 .
4. Если дифференцируема в точке СЬ и
то Р(ъ) дифференцируема в G^ и ее производная в оГ
равна ^ .
5. Если т определена в окрестности Ч.0 и ¦/ /¦ёо/^о,
то множество всех значений -f не может лежать по одну сторону
какой-то прямой, проходящей через точку \(/0 =
6. Если -f определена в окрестности точки ^о и такова,
что JГ&-~ffeo) - А(Ъ-Ъь) ~h SfzH^)*

П. I. - 64 -
7. Если т дифференцируема по вещественным переменным в
точке ^0 , то множество предельных значений разностного
отношения ^ °^ при Е-^0 образует окружность радиуса
jr_f^0)j с центром в точке т {Я.0) .
8. Если Vu ъ \У~ непрерывно дифференцируемы по вещественным
переменным в точке ч.0 и -//2у — tt+ i-O- дифференцируема
(по комплексной переменной) в 2 и "г <20/^ О у
то линия уровня uY-2P= ьс(ч.оу и линия уровня 1>Г-?) =
^'O'feo) пересекаются в 20 под прямым углом.
9. Если -ffe)- гс + \. 'О- дифференцируема в 20 и
-л С^-о) ?0 , то пара векторов ( &гггг/гс и Q^ca^/v- )
ориентирована так же, как и пара векторов (Лу ь)*
10. Найти все целые функции ¦/'^tc+xV- » для которых
11. Не существует целой функции -f '=¦ г^ч-СО" , для
которой tt-CX;^)^ Х^ + ^\
12. Если ¦/" дифференцируема всюду в и- и имеет вид
/Уг) = Wx) + <-^(^) » то -//"г^ линейна.
13. Если /* - целая функция м (Zwf - се*г*?
то Ту* -Р тоже постоянна.
14. Теорема Лагранжа для комплекснозначных функций неверна:
существует непрерывно дифференцируемая на отрезке ?of d1
функция, такая, что при всяком
Укажите такую функцию,
15. Если непрерывно дифференцируема на отрезке
L&}41 » то выпуклая оболочка множества ?/7%/ т?<??& ?J "I
содержит точку //^У- -ffaj

П. I. - 65 -
16. Для всякого многочлена /Yz;l") = 21! О,^ K/"Z:k:z ^
'ЭР 9Р
значения ^TZ~ и т-=г получаются формальным дифференциро-
ванным многочлена /Су? ?") по символам . и ^г.
соответственно // / 'Э ' 'З \
но. Напомним, что, по определению, -~ = — /г- — i. г— )
й ^? z fey ^/
17. Пусть Р(?.,Ъ) = Z7<2.*h. -2^?^
и хотя бы один из коэффициентов ^кк, (^>/d)
не равен О .Тогда
множество точек плоскости, в которых многочлен дифференцируем по
комплексной переменной нигде не плотно.

П.2. - 66 -
§ 2. Интегрирование функций. Формула Ньютона-Лейбница.
В теории функций комплексной переменной изучаются различные
виды интегрирования функции. Иногда мы будем говорить об интегралах
от функции по области, однако, чаще всего будет рассматриваться
интеграл от функции по границе области или по каким -либо другим
гладким кривым, i. Определение интеграла по пути.
Пусть заданы путь Y4 д и функция -f , определенная
на TU) . По определению,
Си
Говоря об интеграле по пути о » мы будем всегда предполагать, что
путь о кусочно гладок (см. глава I п.ЗЛ), а т непрерывна
на / fо ) , если, разумеется не будет оговорено противное.
Это формальное определение интеграла допускает естественную
геометрическую интерпретацию. Кривую о точками 2cj 24,_..,"?^
разобьем на малые дуги о u. (^ -*-, 2->-~i ^) И выбрем точки ^^
таким образом, чтобы выполнялись следующие условия: 20 - начало
кривой $ , 2^- конец этой кривой; точки ?Z.^ перенумерованы
в направлении положительного движения вдоль кривой; \,^? I ^и.)
Обозначим через -6к длину дуги Ju (определение длины приведено
в § 3 главы I) и положим с>_ — У*?*л \ и С- /? -Р^ (
%\с ) ^w ~*t-i/ . Докажем, что при неограниченном измельчении
разбиения, т.е. при ?^~* с? вне зависимости выбора точек l^u.'}
и ?~%^ значение интегральной суммы 6Z стремится к
значению С-^С^сг^
Доказательство. Пусть {<2и"} и ??*.'% таковы, что

П.2. - 67 -
(к = <9Д,2,_..?кГ) .Положим 6t = rvuoy/ |&^-a«c-J
. со(n = w p|tf №'»- -Р'*о|. таккак4(m)
lt-t"Ub
непрерывна на \_0l ?J , то она равномерно непрерывна на этом отрезке,
т.е. -ьо*» io(b)^.o . А так как
ut" a'-' a*.»
= \2l\ (#№) -№J))y'(t)cfilс /± ооф (^ -
при 0± ^"C* . Так как J кусочно гладка, то можно указать v*"rO
такое, что / Т (~?)\ > *>"> . Поэтому из равенств
4к - j / У '^>/ ^ f fc-i, *,-, К^ следует, что 4 - ^ 4
Выше было показано, что у**" I J '?/<*? ~b^y-t9 ,следовательно,
Утверждение доказано.

П.2. - 68 -
2. Свойства интеграла
Отметим простейшие свойства интеграла #
и для всякого ком-
плексного числа С \ c4V: - ^ ) +«2
г г
2) Если путь У* составлен из путей Ук (k-iz к)
то l-M*^^ - /L, j fuJtf? . Говоря здесь, что путь и L /7
составлен из путей § ^ w^l, 2,_~, ^) » мы имеем
ввиду следующее: отрезок Е^ i 1 , на котором задана функция )?(~^',
каким-то набором точек #-= <2_0 ^ ^м^ --_ й О-*, ~~ъ
разбит на отрезки LCL^^ <^-u.J ( ^ ^ ^ г,.--, **0 , и
при всяком к путь ^к - это ограничение jf1 на отрезок Г^^^Щ
3) ( [&/*| С Мб ,Где М=У^^ It fo)
а -Ь =1|У^?1^ "^инапути у J
4) Если последовательность /tCj равномерно сходится на 7/0*)
то |^:w, /ц, с/г = -а»*, Г^с/^
5) Если пути j и J эквивалентны, то
6) Если Jf - путь, обратный к о , то Г ?<*% =* - \fofz
7) Замена переменной: если функция N^-^f-g.*) голоморфна
на траектории Т С Y") пути о ¦ то
Свойство 7) легко получается из правила замены переменной в
интеграле от функции по отрезку. Свойства 1)-б) проще получить из

П.2. - 69 -
геометрического определения интеграла. Свойство 5) дает нам
возможность определить интеграл от функции по кривой, а именно,
интеграл от функции по кривой положим равным интегралу от этой функции
по какому-либо пути, задающему параметризацию этой кривой.
3. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть + определена в области V . Функция -f называется
первообразной функции + в области X) , если она голоморфна
в этой области, т.е. дифференцируема во всех точках этой области,
и f L=-f .В дальнейшем (см. ИЛ, I) будет показано,
что если -f имеет в О первообразную, то -f голоморфна в J)
г*
Формула Ньютона-Лейбница: если / является первообразной
функции г в области L) и путь У го,/?1 лежит в области 7}
то \4(гнъ = -F (?)--? U) , Где с/ и а , начал0 и ко_
нец пути
Действительно, по определению интеграла
Формула доказана.
Из этой формулы следует, в частности, что если /о есть
какая-то первообразная •/ в области Т) , то общий вид
первообразной записывается так: г =¦-/© -f С , где С -
произвольная константа. Действительно, -fl -+ С является
первообразной, поскольку (~f0 +CJ = -р , и с другой стороны, если/**
- первообразная для -f , то, фиксировав две точки 2© и 5Е изТ}
и соединив их ломаной J , лежащей в ixsj$/te—ee«?V72:>-f*(-z ) те.
-р (Ъ)—Р0 Сг) -/г^-/0Г?^,Это равенство верно для всех -Z<?*T>
и потому ^*(ъ)--Р0*(ъ)-<*«**• ,т.е. /%J-,? V?>a**

П.2. - 70 -
Утверждение доказано.
4. Примеры.
Если -f имеет в области первообразную, а путь у лежит в
области и замкнут, то по формуле Ньютона-Лейбница [?(?)Jtsz — о.
Так всякий многочлен р(ъ)~ 27^-^^ имеет первообразную
того пути Y* \ 4(ъ)(Лъ^а,
Функция / ) ( а^ <С , РиФ А - натуральное чис
™"°*' \ f _i_ \W'L
ло) имеет в (Г \ си первообразную, равную ( г2-ей)
Поэтому для всякого замкнутого пути q , не проходящего через
точку О. J [ ^)^?*° .
Сс*, _k.ti
и, следовательно, для всякого замкну-
Вычислим f 2-ct, ^ , где У Га, <> => СЬ+'Ъ-е/
(? gLo^zfil, x->o ) , иными словами, /Y&, О - это
окружность радиуса t с центром в CL 9 ориентированная против
г — <^ = Т— *-*с(чл-
часовой стрелки, Имеем J _~<ъ J /^е**
- Udfc = 2*4 Итак
Это равенство необходимо запомнить, поскольку оно в
дальнейшем будет часто использоваться. Из него, в частности, следует,
что функция —: не имеет первообразной в ?-Чр} . Однако, в
плоскости с разрезом, выходящим из нуля, она имеет первообразную.

П.2. - 71 -
Например, если плоскость разрезана вдоль отрицательной части
вещественной оси, то первообразная от "Г имеет вид г^2 -h С
5. Ориентированная граница области» Определение регулярной
области.
Мы будем говорить, что набор контуров (см. 1.3.2) / Т*\
составляет ориентированную границу области \j , если этот набор
конечен; все контуры кусочно гладки (см. 1.3.4) и попарно не
пересекаются, объединение траекторий этих контуров совпадает с
топологической границей области Т) (множеством граничных точек), и
ориентация этих контуров в следующем смысле согласована с
ориентацией области ~J) при движении по контуру в положительном
направлении (в направлении возрастания параметра) область остается
слева, иначе говоря, точки, близкие к контуру, лежащие слева от
него, принадлежат области D , а близкие точки, лежащие справа
от контура, принадлежат дополнению области. В дальнейшем мы будем,
как правило, рассматривать области, границы которых состоят из
контуров, удовлетворяющих перечисленным условиям. Такие области
мы будем называть для краткости регулярными областями.
Ориентированную границу регулярной области _J) (указанный
набор контуров j^: !•) будем обозначать знаком QI)
Выражение ( ?(ъ) d~b будем понимать так: f-ffz)aZ ~
= ZZ \-f Cz)J"Z. ' rzie 10a j " на<3°Р контуров, составляющих
ориентированную границу Q~?y области D .
Рассмотрим несколько примеров. Ориентированная граница
круга I 2-а,| <? R - это окружность 13-(Ы — R ,
ориентированная против часовой стрелки (это означает, что движение в
положительном направлении противоположно движению часовой стрелки)^

П.2. - 72 -
ориентированная граница кольца *L< (Z. -сь\ ?. R состоит из двух
окружностей - первая 1?-<Ь| - ? ориентирована против часовой
стрелки, вторая \Ъ-ви\^/х. - по часовой стрелке. Если из
открытого круга удалить какой-либо отрезок, то получится область,
топологическая граница которой неориентируема, в смысле данного
выше определения. Круг и кольцо - это примеры регулярных областей,
круг без отрезка - пример нерегулярной области.
Отметим на примере одно свойство ориентированной границы.
Если замыкание I) области 1} представлено как объединение конечного
числа треугольников I v< и эти треугольники попарно не имеют
внутренних точек, то . Например, четы-
рехугольник А ВСЛ)А можно рассматривать как объединение двух
треугольников Т^ = ABC и (^= ACT) (см. рис. П.2.З.).
Отрезок ДС входит вОТ^ и ^ЭТг с противоположными ориентация-
ми, а именно, в QТ^ с ориентацией от С к А и ориентацией от
А к С в ЭТ^ . Поэтому из равенства {f(^ Jilt - - \?fe)cfe
СА Ac
получаем )-ffe)o("?» j-fCz)cfe-+ Г ?0г)оЬ * С {(ъ)<Аъ -+
^D A 6» fed cX>
рд >fc> е>с с а
V d> т>А ^ ^
Общий случай сформулированного утверждения доказывается
аналогично.

П.2.
- 73 -
Рис. П.2.3.

П.2. - 74 -
б. Построение первообразной для функции,голоморфной в круге
Лемма Гурсы. Пусть -f голоморфна в некоторой окрестности
треугольника 1 (здесь треугольник понимается не как ломаная, а
как замкнутая область). Тогда
Доказательство. Обозначим через ^ периметр треугольника Т
и положим J1* = / \ffl)Jz / . Построим последовательность тре-
угольников Т, t и: ~ о ± Л » обладающую следующими свойствами:
при всех к Т*+1^ГП< ; | $4Y^)</z|^ {j;)Jt и периметр ?к k-ro
треугольника равен f]r)<S • Примем в качестве Т0 треугольник Т*
^ui+i. строится из Т^ следующим образом. Средние линии
треугольника Тк делят его на If треугольника t \c С "*•- ^,2,3,4)
Заметим, что каждая из средних линий принадлежит границе двух
треугольников из /ТУ" j . В границу одного из этих треугольников
она входит с одной ориентацией, а в границу другого - с
противоположной ориентацией. Поэтому
В качестве П"*^.. выберем один из такой, что
. Легко проверяется, что так
построенные треугольники удовлетворяют вышеуказанным требованиям.
Обозначим через 5Г0 общую точку треугольников /71 У
Оценим теперь сверху / {?{?)</-?/ . Так как -f дифферен-
цируема в 2^ » то
•&ки Эк fe) ~ О • Функция / /2о) + Z4 ^) fe" S*)

П.2. - 75 -
имеет первообразную и, следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница
-о .А так как при ? ^ГГ^
^ •*¦ ^^ , где Еь^ууьоЛ Ufe)l
Но ?*.-("?'? . Следовательно, / J//z)e/z/ uZ^ff)^2-
итак, {{Ту 4: / f ^г;Л/^ ?fc /-?;* 5/г ,т'е*
J4^ ?^3 .А так как ^•>*7 ?* =<9 и J" по определению
неотрицательно, то J1*-о . Лемма доказана.
Лемма Мореры. Пусть К - открытый круг с центром в точке о.
и т - функция, непрерывная на этом круге такая, что для всякого
треугольника I , лежащего внутри
Тогда -/* имеет в круге К первообразную, при этом первообразная
имеет вид Jff^.)-
Следствие. Если /* голоморфна в круге Af , то для всякого
пути j , лежащего в К и соединяющего точки д-<?/< и &<?/^
/¦
Действительно, из леммы Гурсы и леммы Мореры следует, что
если -fgL //№) , то ~f имеет в К первообразную SPfe)
Поэтому из теоремы Ньютона-Лейбница получаем §-ffe)S& - У/?)-у%ъ)^
W3 y U,G

П.2. - 76 -
Доказательство леммы Мореры. Фиксируем 2. и AZ такие, что
Z&K и ?+&Z?iK • Т.к. п0 условию леммы C-f Os)d^-t-
, J /?;</* -/^л/z + J ?п*)-/Г*))Л:ь
Положим yn (AZr)= mc^ l + teV-fY-^! • Так как f
непрерывна, то -г<^ Ml ( Д "? ) = О . ПОЭТОМУ | [ {#$>#&) J$ \<
? \л(ЬЪ)\ЬЪ\ ^о(ьъ) t DP ~-СС-г)ЬЪ -k о(дг;
. Это означает, что <f
дифференцируема в точке  и У (ъ) - -/Y"Z) , т.е. У* есть
первообразная от ¦/ . Лемма доказана.
7. Определение интеграла от голоморфной функции по непрерывному
пути. Теорема об интегралах по гомотопным путям.
Будем говорить, что пути ПЩ. и *"V«»
- близки, если при всех значениях параметра ^ €?&,?3
выполнено неравенство
Лемма об интегралах по близким путям. Пусть У'^Угл s-r
и 0 (~^\га. 1\ " ^ва ? -близких кусочно-гладких пути,
такие, что выполнено одно из двух; или оба эти пути замкнуты,
или они имеют общее начало и общий конец. Пусть далее/" -функция,
голоморфная в 2.S. -окрестности траектории i AС) пути Y* .
Тогда ${(ъ)с1ъ - $*(ъЯъ
О Q r S1 -/
Доказательство. Отрезок L&, *Л точками T?0~<2-Zt;1 ^ »»-
С-к •= ^> разобьем на vv равных отрезков. Так как пути Y и J4

П.2. - 77 -
непрерывны, то выбрав И* достаточно большим, мы можем сказать,
что при всяком К-4,2,__ к дуга f,.=e У/w ± -,
принадлежит кругу радиуса ? с центром в точке ^ ^ffe*.)
И аналогично, дуга о^, -== ///•/ ± принадлежит кругу
радиуса <? с центром в точке ,/*" =Г **/? ) * А так как
пути )f и Т ?. -близки, то мы можем утверждать, что дуги о\
и U^ лежат внутри круга Т)^ радиуса <2? с центром в точке </к
Фиксируем к. и рассмотрим путь Y^ , получаемый
последовательным прохождением отрезка С</и_х </^_L J , дуги Ук и
отрезка ?</к </te ] • Этот путь так же, как и путь ^ ,
соединяет точки ^к.^ и о1ь и лежит внутри круга х>к . По условию
леммы функция т голоморфна в каждом из кругов ^D*}, и потому
в силу следствия леммы Мореры получаем \ /УгЛ/"г =
= \?(ъ)с*~г: . Суммируя эти равенства, имеем
к^ . к*
Если пути ")f и У замкнуты, то отрезок совпадает
с отрезком CJ'k. о4*-3 ,и потомУ

П.2. - 78 -
Если пути 0 и Q имеют общее начало и общий конец, т.е. если
с/0=с/0* И Л.-сС , ТО ? /7z)c/z-0 и
у .В обоих случаях получаем
}-?Тг)сгг~ J/feJarz. . Лемма доказана.
Пусть теперь У(с//^ /7 - произвольный непрерывный
путь, a -f -голоморфна на T/j^) . В силу только что доказанной
леммы об интегралах по близким путям для всяких двух достаточно
близких к \ кусочно-гладких путей $ и J1* , имеющих
начало в КУсь) и конец в , выполняется равенство
\ Н2)иН = )-г{Ъ)а~ъ ^ в этом смысле ш можем сказать,
что для всякого кусочно-гладко го пути q Ю\га ?1 * Д°ста~
точно близкого к о , имеющего начало в VYftO и конец в YD)
значение интеграла J/^zJa? не зависит от выбора У*
и мы можем называть значение этого интеграла интегралом от
функции -f по непрерывному пути 0 . Аналогично, если путь О
замкнут, а т голоморфна на III) , то для всякого
замкнутого пути Q , достаточно близкого к 0 , значение интеграла
не зависит от выбора Jf , и мы будем называть
это значение интегралом от т по пути О
Таким образом, выражение \т(ъ)аъ оказывается
определенным для произвольного непрерывного пути о и функции +
голоморфной на траектории пути 0 . Отметим, что ранее
доказанные свойства интеграла (см. 2) переносятся на случай интегралов
по непрерывным путям. В частности, и доказанная здесь (для
случая кусочно-гладких путей) лемма об интегралах по близким
путям без труда переносится на случай интегрирования
голоморфной функции по непрерывным путям.

П.2. - 79 -
Теорема об интегралах по гомотопным путям. Пусть J} - область
из (С , ~f голоморфна в 1) , и Q и $ - два непрерывных
пути, лежащих в -О и гомотопных внутри S) (см. A.3.3). Тогда
Действительно, если пути о и 0 гомотопны в V , т.е.
существует семейство лежащих в Jj путей 0w(?)|/» e~i
(oZVll^O » соединяющее пути У и ^ * , то при всяком
значении XfQ ? [о 13 можно указать окрестность точки ^о
внутри которой функции У^СЪи) = J-^(Ъ^Ы^ё: постоянна. Это
означает, что ^PfZc) постоянна на* всем отрезке и,
следовательно, ,#%)-у/Чо) , т.е.
Л1* Л1
Теорема доказана. ^ и
Теорема об интегралах по гомотопным путям дает возможность
выписать естественную формулу вычисления первообразной. Пусть
"?) с. (С - односвязаая область, a -f - голоморфная в _Z)
функция. Покажем, что -f имеет в JJ первообразную, которая задается
формулой р'(%) — [-fC%)c**%+ ьо*'^ • Здесь ^о
-фиксированная точка области J^ ; символ f понимается как
интеграл по лежащему в X) пути, соединяющему точки ?« и ^ •
Так как J) односвязна, то всякие две пути, лежащие в -Z) и
соединяющие две заданные точки, гомотопны внутри _0 (см. 1.3.3).
По теореме об интегралах по гомотопным путям интеграл не зависит
от выбора этого пути, и поэтому в рассматриваемом интеграле
указывается лишь начало и конец пути. Покажем, что рf2:) = o^gj
Зафиксировав точку ?*<? ?} и какой-либо круг к^ с центром в s *
лежащий в JJ » для точек ^ е К мы можем переписать
рассматриваемый интеграл так: ^(\) <А\ - J-#W\ •+ J^XWj

П.2. - 80 -
Первое слагаемое не зависит от 2 , а второе в силу леммы Море-
ры задает первообразную функции f в круге fc . Поэтому при
Ъ<? К имеем г (Z) =+(Ъг) и, в частности,
— fife*} • Таким образом г - это первообразная для т".
Если область Т) многосвязна, то аналогичная функция
J ? С I
(Г=. J ^'?)«3 » Г2*е "ft(^) ~ лежащий в путь, соединяю-
щий фиксированную точку 2о с произвольной точкой 2 ,
оказывается, вообще говоря, многозначной. Повторяя рассуждения,
проведенные выше для односвязных областей, в данном случае можно показать,
что над всяким кругом, лежащим в 1) , функция Р* распадается
на ветви, и каждая из этих ветвей является первообразной функции
-Г в области i) . Таким образом, всякая голоморфная функция
имеет первообразную, и первообразная задается неопределенным инте-
гралом. Например, функция ± , о которой мы знаем, что она не
имеет в С \?cfy однозначной первообразной, имеет в С^'Соу
многозначную первообразную. Вычисляя соответствующий неопределен-
ный интеграл, нетрудно убедиться, что первообразная функции g
в С \/о\ имеет вид ?bt+Co*u/?
8. Криволинейные интегралы I и П рода. Формула Грина.
Наряду с интегралами вида мы будем рассматри-
вать криволинейные интегралы I рода, т.е. выражения вида
fff&cfib
, и криволинейные интегралы П рода, т.е.
выражения вида ) (гах+ ч<яу) , Здесь /fL *~. - кусочно-
гладкий путь, а 4- % г и Q - непрерывные функции,
определенные на траектории этого пути. Эти интегралы вводятся равенствами

П.2. - 81 -
1
Интеграл можно рассматривать как криволинейный
Г
интеграл Jf рода, а именно, легко проверяется, что
t t
Теория криволинейных интегралов изучается в курсе
математического анализа и потому мы ограничимся здесь формулировкой
некоторых фактов, относящихся к таким интегралам. В частности, эти
интегралы обладают свойствами 1)-5), сформулированными в пункте 2
для . Различие возникает лишь при переформу-
лировке свойства б для интеграла I рода. А именно, его следует
формулировать так: если Jf - путь, обратный о , то
Приведем без доказательства формулу Грина^ Если Р и Q
имеют на замыкании области D непрерывные частные производные
по * и по Ч , то j (PJx-t Q<fy)'= f(Qx-fj)<tx€fr
Нетрудно проверить, что из этой формулы следует, в частности, что
для всякой непрерывно дифференцируемой на замыкании области
функции -?(ъ.) выполняется равенство
1Х> ЪЪ

П.2. - 82 -
9. Дифференцирование интеграла по параметру
Пусть о - конечный набор кусочно гладких путей, а -р -
- функция, непрерывная на объединении Т(Г) траекторий этих
путей. Фиксируем далее область X) ^ ^- и обозначим через
W)*J) множество пар (Х^) , где ^Т7^), ^ ^ Ь
Рассмотрим , где 5^ - функция двух
переменных ^ и -^ , определенная на Т (Y) * D
Теорема. Пусть при всяком ^ В TCV) функция 5^J z)
(как функция от г ) голоморфна в ? и функции Л-j г;
и —— ^ 2) непрерывны на TT^J x ^J> • Тогда функция
голоморфна в ±> , и при всяком ^«^Х*
производная / /2; — J —- (|/ 2 J <яГ|
Например, если jpf^ ^) = <?. , где Я(%) - функция,
непрерывная на Т(Т) , то, принимая в качестве открытое
множество (СХ^СТ) » ш можем проверить, что эта функция
удовлетворяет условиям теоремы и потому -?(ъ) •=> J ?_ii J\
голоморфна в . Повторяя это
рассуждение для второй производной от •/• , её третьей
производной, мы получаем, что т бесконечно дифференцируема и при всяком
натуральном к* ~f ** ^) — h* ] ^ ci.4^
Доказательство теоремы. Фиксируем г<? Т) и замкнутый круг
К<^-Т> с центром в ? • Фиксируем д^ такое, что
B. -/• Л^^- kC • Составим отношение
А : д-z - **
if
J(s^^^^-m^5

где, - ^
П.2. - 83 -
Фиксируем j> ? Т (Т) • Так как У(\ г) голоморфна в I)
то она является первообразной от своей производной и,
следовательно, по формуле Ньютона-Лейбница
Пусть СОСП Ы S4? 1*'(\^)-<Р'A^1 Uufi
берется по всевозможным парам точек
fi = /?*, ? J ^ W) х /? , для которых /</-/*/* <?,)
- модуль непрерывности функции ^ (|^ ^) . Т.к. по условию
теоремы У (\ч.) непрерывна на компакте
то она равномерно непрерывна, т.е. со{д)^> О при о~*>о
Из определения cofS) при всех ^ ? получаем, что
/ Ы?2/- / / t&bgll^/^uo
при ?^> о . Поэтому ?? а JV'^ ?)/| * |^^Ь
( f f \ J X* f
—¦>?• J ^ (?;?/я ^ # Теорема доказана.

П.2. - 8* -
Упражнения П.2. (Интегрирование функции. Формула Ньютона-
-Лейбница).
1. Вычислить интегралы
а) [ ^ ^* , где 8*ftJ=<fc*wi -t-C <*&*-, °4^4ZF
B) Jte-0<ta • r*e f^^^t^-i^^
д) Чему равнй. j "(о) ¦ если , где
2. Как изменится значение \ "? » если ПРИ 3ЭДании
ориентации комплексной плоскости направить мнимую ось сверху
вниз, сохранив все последующие определения?
3. Почему в зеркале правая и левая руки меняются местами,
а голова и ноги остаются на месте?
4. Вычислить первообразную главного значения i ^~
5. Для всяких комплексных °-, 4} С
6. Для всякой Ъ Ф о и всякого значения
укажите путь о , соединяющий 1 с 1 , такой что
7. Если + непрерывна в окрестности нуля, то функция
имеет производную в нуле.

П.2. - 85 -
8. Если ~f дифференцируема по вещественным переменным в
окрестности нуля, то &"" р- ) ~rfe)cr~z. - 2.T-L4 — fOJ
?->0 Г (о, О
9. Если т непрерывно дифференцируема по вещественным
переменным в окрестности круга гС \ \ЪL, 1. ? то
10. Если j - непрерывная вещественно значная функция и
11. Если -|Г непрерывна на замкнутом круге К , го функция
?№)- ) ^ГТ^!"*) (здесь ?=r-|-«-tv) ) голоморфна в ?л К
12. Если -f ГО непрерывно дифференцируема на отрезке л* ^4
^ jj , то во всякой точке ~с.о из интервала (&ti) функция
г№ ,, r., )
tffe) ~2.fTi J IZT имеет скачок, равный У-(со/ , т.е.
существуют пределы ™* У(^-у ш -*?tL и
разность между этими пределами равна Ztri-?{?0)
13. Если X - это замкнутый путь, лежащий в С\{о}, то
,~7 \ "?" ^ - это целое число.
(j i
И. Если функция -/У^)«п — имеет в области 1)с€
первообразную, то эта первообразная записывается так; ,$<??/+?*>**?
где 5Y?^ " это непрерывная ветвь многозначной функции ^-Z
в области Х>
15. Пусть Т^с С - односвязная область, а Р(к,#) и Qfru)
- функции, непрерывно-дифференцируемые по вещественным переменным
в области ~?>, и тэ^ие., что Qx~ Р^ - о. тогда для ВСЯкого
лежащего в D замкнутого пути о выполняется равенство
1f

П.8. - 86 -
§ 3. Степенные ряды.
I» Формула Тейлора и степенной ряд.
Пусть - функция, определенная на интервале (&,¦&)
вещественной оси, принимающая вещественные значения, и имеющая на
этом интервале непрерывную производную порядка гъ . Фиксируем
точку X© ? (cl}4) . Тогда по формуле Тейлора для всякой
ТОЧ КИ X <?. (CL, ё)
4(*У= Z_ kf "T <Xo) 0<-*o) + ^ 4 (•?) (X-X0)
где "с. - ~?Cx) - какая-то точка отрезка ?х0 xj • Если
функция бесконечно дифференцируема и её производные °? т
(и-1,2, ) с ростом к, возрастают не слишком быстро, то в
формуле Тейлора можно перейти к пределу, и таким образом функция
окажется представленной бесконечным рядом по степеням ( х- х0)
Такое представление функции называется рядом Тейлора, или разложе-
нием Тейлора функции в точке Х0 . Так, например, е - ^Ц i7i* *
"'"in в х*" , где ?. <S Z <?, *J л Если фиксировать * и
устремить л» к бесконечности, то остаточный член будет
стремиться к нулю, и потому экспонента может быть записана так:
в - Z-* >77 ^ * ¦Ряд для эксп°нбнты сходится при всех веще-
h-o *
ственных X • Покажем, что это равенство верно и при всех
комплексных значениях переменной.
Напомним, что мы определили экспоненту (см. § I главы I)

П.З. - 87 -
равенством е\е (t&>?+ ? Zi^^) , где х- /&z^
y--Zi?*g . Используя формулу Тейлора, по аналогии с экспонен-
J J J
той получаем соьч^* ^? "J} У* *v Г)' X*-~ -
Поэтому выражение ce&w + г^ьки мы можем записать так
C&Z4 + ?. оььу -=. х . уйк JJ * Перемножая ряды е * ^-» #• л
и q^J = JL» ^7 ^(j' » получаем
Положим 6ъъ-?- —: и c^Z- ^
Используя разложение экспоненты, убеждаемся, что «вы^е-- — с. -
-*,г3.иг.
¦I -/_2 . • .,<
з?2*Лг--.« «^г-^-Д/г *^z-
Эти примеры показывают, что степенные ряды являются
естественным средством задания функций. Более того, в дальнейшем стенет
ясно, что степенные ряды являются одним из наиболее Эффективных
методов исследования функций.
Сформулируем основные теоремы о степенных рядах. Мы будем
рассматривать ряды вида /х (Х^ (^-о^) . Коэффициенты {.&-ъ\

П.З. - 88 -
и число CL , называемое центром разложения, - это комплексные числа.
г. /\ем*А. Абеля \
Если ряд 2-j Лм,Сг-оь') сходится в точке 20 ^ а, ,то
этот ряд и ряд 2П /бЬй,е%-сь">к'( сходятся равномерно на всяком
круге с центром в сь , радиус которого 0? строго меньше,чем
Доказательство. Так как числовой ряд .2L ^*v(Z0*~t*-) Cxo-
ЬгО
дится по условию теоремы, то можно указать /7 такое, что
J^i^CZo-cb) DAf при всех к»=1,2,_. .Если /г-аЛ«* ^
то
|аах-^| = la,. №«,-<•?/ 1§^| *"* А/ ( 1^ц)~М%*
где Q г.1 . Т.е. члены ряда 23 /&н, ( Ъ-ou^l мажорируются
членами ряда сходящейся числовой последовательности. Поэтому оба
я.
ряда X i Я-яЛй-**) И / j /^'^"^V сходятся на круге
/?-оЛ^ Ъ и притом равномерно. Теорема доказана,
3. Круг сходимости, радиус сходимости.
к,B~?о) называется открытый
Кругом сходимости ряда 2L* бЬц^Г 2-^сЛ назьшается о^
круг с центром в ^0 максимального радиуса^во всех точках которого
ряд сходится. Если ряд сходится на всяком круге с центром & "^о
то кругом сходимости является вся плоскость <С . Радиус круга
сходимости называется радиусом сходимости ряда.
По теореме Абеля всякий степенной ряд равномерно сходится на
всяком замкнутом круге, принадлежащем кругу сходимости. Это означает,
что всякий ряд равномерно сходится внутри круга сходимости. Поэтому

П.З. - 89 -
сумма ряда непрерывна в круге сходимости. Более того, ниже, в
разделе 5, мы покажем, что сумма ряда голоморфна внутри круга
сходимости. В граничных точках круга сходимости ряд не
обязательно сходится. В точках, лежащих вне замыкания круга сходимости,
ряд расходится. Действительно, если предположить, что ряд
сходится в какой-либо такой точке, то по теореме Абеля можно
построить круг с центром в Z© » радиус которого больше, чем радиус
сходимости, и такой, что на этом круге ряд сходится. А это
противоречит определению круга сходимости.
4, Формула Коши-Адамара. ^^
Радиус аходимости "?. степенного ряда
вычисляется по формуле 4~- - >^**4 "Vl^-J .
Доказательство. Для краткости записи положим ^^ « (Я-и.1 -</.
Пусть "Ъ таково, что о( I Ъ-olI С 1 . Фиксируем ^ ,
удовлетворяющее неравенству оA %-сь1 <? f. ^ ± .В силу
определения верхнего предела при достаточно больших /о. имеем
ICL^fz-cf) /-( l/lCLyJ /Ъ-сь/) ?<^ , т.е. ряд
мажорируется геометрической прогрессией и потому сходится. Итак, при
\i?-Cul ?• т ряд сходится, и, следовательно, 2. ^ ?
Пусть теперь  таково, что c^/z-o-/>_i .в этом
случае можно указать сколь угодно большое h* такое, что
| <Lw(t-<?>~\-= ( Y7fi^7l2-a/)% ± ' т'е- общий член рща
не стремится к нулю, и, следовательно, ряд расходится. Поэтому
^ ^ ьС • to доказали два неравенства: ^ ^ ^ и Ъ 4- -г
Тем самым равенство Коши-Адамара доказано.

П.З. - 90 -
5. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
Теорема. Сумма степенного ряда /Уг)~27 Q~w(?--(?)
Иго
на круге сходимости этого ряда дифференцируема и имеет
первообразную; производная и первообразная функции
задаются рядами
= ? Ям'
и круги сходимости этих рядов совпадают
с кругом сходимости ряда f- .
Иными словами, производная и первообразная степенного ряда
получаются почленным дифференцированием и интегрированием
исходного ряда.
Доказательство. Рассмотрим ряд ^f?) =-ZJ^c&h./•?-*)
Из формулы Коши-Адамара следует, что круг сходимости К ряда j?
с<?аПдц43».е.Т округом оходиmootw ряд* -С 4
По лемме Гурсы для всякого треугольника *\ , который вместе со
своей границей лежит внутри К , имеем }И»а*Д?-аО с?ъ = 0
(^-1,2,... ) . Так как в силу теоремы Абеля на I
ряд <р сходится равномерно, то используя правило перестановки
J и 27 » получаем § (ffe)c/z * f 22 **&*, ^2-а,) **"%»? ,
~Ц ) ^^^^По лемме Мореры ?? (ъ) =* „ ^
является первообразной для ^ в круге /\ . В силу
равномерной сходимости ряда У? получаем
&,*] &>*3
*/>,зз
ь-J. Л»/
Так как <?к - это первообразная (р , то по определению
первообразной #*?. н(к) и у*'{?) - мъ)
Но

П.З. - 91 -
и потому -Ре. //Г/с) и f'fe) =
« х, bsCLb,(-?-GL) . Тем самым первая часть теоремы,
дифферентах
цируемость ряда, доказана. <^э
Далее дифференцированием убеждаемся, что л~—> h . ,йЧ**
является первообразной функции ~г , т.е. получаем, что
первообразная -f имеет вид J- /р.)^= ^ ' —^ /г-сц) и'+* . Из формулы
Коши-Адамара следует, что радиуз сходимости ряда -г совпадает с
рядом сходимости ряда / . Теорема доказана.
6. Переразложение ряда
Пусть задан ряд 2Z» С^^С^-^) и точка & ,
прилгу
надлежащая кругу сходимости этого ряда. Переразложением ряда
^ д^ (yL~<0W В РЗД по степеням {Ъ~4) будем называть ряд
, получаемый следующим образом:
h so и-о
Покажем, что ряды, задающие ? ^к.\ сходятся, и радиус
сходимости i\& ряда удовлетворяет неравен-
ству ^ ^ ^о,-/^-^/ » гЧе ^о, - радиус сходимости
исходного ряда.
Лемма о переразложении. Пусть радиус сходимости ряда
равен г^си и числа удовлетворяют нера-
венству /</1+1р>14 J°^- К си . Тогда
И^о fc**^o

П.З. - 92 -
не зависит от выбора с/ и у5 .
Действительно, из теоремы Абеля получаем, что ряд
^> ^ Д-иД^""*^) абсолютно сходится в точке "Z^o-v-j^
т?е°. eOfjo) ^ ja^icL+f -atf \ = I&JР* +
но ^ ? \ ct^c!: /• >*"" ( = Z \а>ы1 (Uhl(bi)w^
^S'A-'/>,"'e,"&*^I.-t «оказана.
Фиксируем 2" » удовлетворяющее неравенству /Z-^/**
\4-сь\?- &•<*•• • в силу леммы промежуточный ряд
абсолютно сходится. Из этого
получаем, что, во-первых, при всяком к=-о, ±,,.. ряд
/ CI^Ck, («б-чь) сходится, так как сходится ряд
s <?^С^ (, ?~eS) ~*~(Ъ'%)» являющийся частью промежуточ-
ного ряда; во-вторых, ряд -2 -&^( -?-g) сходится, по-
скольку он получается из промежуточного ряда перегруппировкой его
слагаемых. Итак, при всяком It , удовлетворяющем неравенству
\%~?\? К<х~ |«-aw ряд сходится, и следовательно,
Р^ ^ i^a.^ I в***! . Утверждение доказано.
Приведем пример использования схемы переразложения
степенного ряда. А именно, используя эту схему, дадим еще одно
доказательство возможности почленного дифференцирования и интегрирования
степенного ряда (это было доказано выше в разделе 5). Пусть ft. -
- радиус сходимости. Фиксируем zT из круга сходимости, jo ,
удовлетворяющее неравенству /^/^.J°<i R , и приращение А 2
такое, что /"?/ + /Л^bl^jo

П.З. - 93 -
te-Z=o
Итак, \У^\^Р
Ь>~7.
и*,
¦?- - uv~ YTo^T .
Так как ^ы V^(и-±)\0^у,\ — ^л* г '«¦**/ , то
радикс
ус сходимости ряда ^ ^(ь-За.^ W1*" равен /? . Следова-
г
тельно, по теореме Абеля ряд 2?Vu(n-i.) ^-^J0 ~*"
абсолютно сходится. Так как |^v~I^J° » то, полагая J^fP)'
•=.22 W(^-^I^JP, получаем, что ряд 2-><^-ОКХ к $<(р)
при любом |Д?/удовлетворяет неравенству /%/+lA^I^J^
Аналогично, из формулы Коши-Адамара получаем сходимость „•L.^'k^
Так как
Из* 2.
/ //€*Д*>-./Уг) ^ л _л-д , то есть
*•* й„

П.З. - 94 -
Дифференцированием убеждаемся, что ряд
-f'fe^ZT и,еь^-2.
есть первообразная ряда У . СЬ^(ъ-Ь')
7. П Теорема Абеля
В курсе анализа обсуждаются две теоремы Абеля о степенных
рядах, которые обычно называют I теоремой Абеля и П теоремой Абеля.
Сформулированная выше (см. раздел 2) теорема о степенных рядах -
- это I теорема Абеля.
П теорема Абеля формулируется так:
Если ряд 21 ^и^(ъ- я-0 сходится в точке Zo-^o. , то
этот ряд равномерно сходится на отрезке L&, ^оЦ , и,
следовательно, его сумма -f-fe)^ ^EZ' в-ь*(ъ-е?)^ непрерывна на
*i so
этом отрезке.
Рассмотрим один пример использования этой теоремы. Вычислим
значение суммы ряда Лейбница 4. ~ 1. ~* ^> ~ ~Ц ~*— . При
| у| *. ± функция &*, (?¦+ х) задается степенным рядом
utsfS+X) = -2-i ^w * . В точке Х0-=Л этот ряд схо-
дится, поэтому из П теоремы Абеля получаем, что функция
, X непрерывна на отрезке Lo,l Л . А так как при
1 у/ ^ ± ?Сх) ^ -6L f±+x) , то по непрерывности
ffl) = &Z , т.е. сумма ряда Лейбница равна
Докажем теперь П теорему Абеля. Ради краткости изложения
будем считать, что Л--=о , "?«?=.! . Общий случай сводится к
этому заменой —^ ^ . Докажем, что ряд 22. Q~uX

П.З. - 95 -
на отрезке fol3 сходится равномерно. Воспользуемся критерием
Коши. Фиксируем ?>о . Так как ряд «2Z ^^ ) | у ~
"=^_. #•*• сходится, то можно указать А/ такое, что при J*^A/
*-° О
и 9>J4 I 2-a*,*'l ^ ^ . Фиксируем p>/V и
<L>P и рассмотрим отрезок ряда JZT Л,^**" . Полагая
?• м^р ' —¦> г г мы можем сказать, что
/Sy I ^ е. • и П0ЭТ0МУ I ZL <^^ XU/ ^
-уР'^1 .+ IX/*}
р+? р+4+1-
Но на отрезке ?* ? *4 4 выражение <¦* у У к
X неотрицательны, и потому в правой части неравенства
знаки модуля можно опустить. Получаем
т.е. при XgCqll J 22^t^XKi<? ?
Итак, по заданному ? -у О указано /у такое, что при р~> №
и <1,у-р выполняется неравенство I <2^ CL^x^l^ ?
Asp
Поэтому, в силу критерия Коши, ряд JET ?^Х равномерно сходит-
ая на отрезке ?% 13 . Следовательно, сумма ряда непрерывна на
указанном отрезке. Теорема доказана.

П.З. - 96 -
Упражнения П.З
(Степенные ряды)
I. Указать круг сходимости рядов ,!
а) ? С Z" (**A/)
б)
_ v Кг
в*
) 2L w/Nzz-t)
K-s-o /
2. Показать, что функция 21 ^ ^ непрерывна в круге |й<{
3. Ряды JZT 0^*" и 2_, 1^,0^"^ (k?/V)
имеют одинаковый радиус сходимости.
4. Если радиус сходимости ряда ^~] <Э-*,1? равен ?^о°
то для всякого <?>о , но €. ^: R можно указать $*(&>) такое,
что при всяком к, >? /V / С1и I г! ^ - С <*• -±, г> _ ) .
5. Если -т(к) бесконечно дифференцируема на интервале
висит от к и X ),то 7-(Х/ '— -^— ^, / Л ,
Ь а О
6. Функция G бесконечно дифференцируема на
вещественной оси, но ни в каком интервале вещественной оси, содержащем О,

П.З. - 97 -
не может быть представлена степенным рядом вида ^ . &и.Х ,
где {,&*/$ -комплексные числа.
7. На интервале (-1, d) можно определить набор дифференцируе
мых функций ?/L6r) J такой, что J27 -А^М^- &
сие»
Н^1
но
8. Ряд ^—• ^^ равномерно сходится в
полуплоскости
-Lhx^^-o и расходится во всех точках Хыг-^0
9. Если ряд J? #^ ц, X ^ абсолютно сходится-
к., h =тэ
в точке 6k Чо) , то внутри прямоугольника /х/^/Хо/
tcl^fyol РЯЧ 2^'^Vw^W равномерно
сходится, и частные производные суммы вычисляются почленным
дифференцированием исходного ряда по соответствующим переменным.
10. Для всякой \f-r (X/ , определенной на вещественной
оси, можно указать набор коэффициентов <?а,ь,'\ такой, что
о*»
ряд / . du."^ сходится во всей плоскости и при всяком ве-
щественном < I 2L CLw X / >> //75о)/
11. Если двойной ряд ^~ Cl^ ^^Z. абсолютно
сходится в точке "Но , то в круге /^ \?. ( 2©/
b-t И ¦* ь *- j
(
2 и^г'г-)' -2Гч.а^а*Е^

П.З. - 98 -
12. Можно построить ряд (Luys"? , сходящийся на
круге 1^1^-1. , расходящийся во всех точках вне этого круга и
/^; = 2^^
такой, что ^~'zr/~/iZT' бесконечно дифференцируема
на окружности 121^4. , т.е. -rY-е. ^ ( ?- пробегает все
вещественные значения) бесконечно дифференцируема по ? .
13. Показать, что ряд ^^ сходится во всех
h -i ^
точках единичного круга, кроме ^ — ±_

ПЛ. - 99 -
§ 4. Теория вычетов и интегральная формула Коши
I. Формула Коши
Коши обратил внимание на одно интересное свойство
голоморфных функций: функция, голоморфная в области, определяется своими
значениями на границе области. Он выписал формулу, связывающую
значение функции в произвольной точке области с ее значениями на
границе области. Эта формула получила название интегральной
формулы Коши. Формула Коши имеет многочисленные применения. В конце
параграфа, используя одно из следствий этой формулы, мы докажем
основную теорему алгебры - теорему о существовании корней
многочлена.
Теорема. Пусть J) - ограниченная регулярная область (см.
П.2.5), a -f голоморфна на замыкании D области"!) . Тог-
да при 5L?LD 4(?> $ i??±J±u
. Подчеркнем, что функция -(* задается формулой Коши лишь
внутри Ъ . Если же 2^ (СЧХ> , то \ t_*2. ЫЧ — О
(это следует из теоремы Коши, которая будет сформулирована
ниже в ПЛ.2). Теорема сформулирована для регулярных областей.
Однако интегральной формуле можно придать определенный смысл и
в том случае, когда X) является произвольной ограниченной
областью. Поскольку по условию теоремы -Р^АУ(Ъ) , т.е. -f
голоморфна на J) , можно указать регулярную область 1) такую,
что . Поэтому утверждение
теоремы можно понимать так: при : ?•]])
ш- Ь S. *& * ¦
21Гг J + 4-2
7>Ъ *

ил. - юо -
Условие ограниченности области Т) существенно. ЕслиЬсС
содержит бесконечно удаленную точку и f е. Н(Ъ) , то f
внутри 1) представима в виде
Следствие I. Функция, голоморфная в области I) ,
бесконечно дифференцируема в X) •
Ранее (в П.2.3) указывалось без доказательства, что функция,
имеющая в какой-либо области первообразную, голоморфна в этой
области. Это легко получается из сформулированного следствия I. По
определению первообразной она голоморфна и, следовательно,
бесконечно дифференцируема, поэтому её производная, т.е. исходная
функция, должна быть голоморфна.
Следствие 2. Если -f ? Н(^) , то при zE dz. X>
Действительно, если т голоморфна в J) , то внутри
всякого замкнутого круга К » лежащего в D , она представима
формулой Коши т(^)-^Г- j — cr X> • Дифференцированием
ЭК *~z
этого равенства по параметру ^ (см. П.2.8) убеждаемся, что ~р
бесконечно дифференцируема внутри К . Следовательно, -f
бесконечно дифференцируема в ±) . Если т на всей области J}
задана формулой Коши, то есть *rfe) = , I -—¦— d~% , то
используя правила дифференцирования интеграла по параметру, убеж-
даемся, что ф (Е) имеет вид

П.4. - Ш
Теперь мы сформулируем и докажем несколько
предварительных утверждений, необходимых для вывода формулы Коши.
2. Теорема Коши
Теорема (Коши). Пусть 1} - ограниченная регулярная область,
a ~f голоморфна на 2) . Тогда j -Pfe)cr'Z =0
Выделим одно следствие этой теоремы, которое в дальнейшем
будет часто использоваться. Покажем, что если -/-fe) голоморфна
в кольце "t^lZ-^oi^R {.O^t^Ru^),
а }0 и оi. " Чве окружности с центром в "Z-o , лежащие в
этом кольце (обе окружности ориентированы одинаково, например,
против часовой стрелки), то
Это следствие столь же просто получается и из теоремы об
интегралах по гомотопным путям. Пусть для определенности
Эти два пути гомотопны внутри рассматриваемого кольца. В
качестве семейства путей, соединяющих пути У0 и *?± , может служить,
например, семейство о^,
•+¦ 'Xj. w-V 1С О, ZTT1 .По теореме об интегралах по
гомотопным путям в данном случае получаем, что интегралы по окружностям
Yo и «1 равны.
Доказательство теоремы Коши. Цусть ^ _ ^ -
контуры, составляющие ориентированную границу области 1> . Так как
-f голоморфна на Т> , то можно указать область Ъ ^ Ъ,
внутри которой т голоморфна. Для того, чтобы вычислить
интеграл от ¦+ по границе ?> , построим вспомогательный контур 1?*

ИЛ. - 102 -
такой, что 21 з-f(^)о*"Ь ~ \ (-(Ъ^аъ . Если h=.d
Г1 У/ Г
т.е. в случае, когда I) ограничена одним контуром j± , мы
примем в качестве )f этот контур Х± • Пусть V\>d. . На
контурах J. и о, выберем по точке Ct± €. Tf У^)
О. <?. 'Т7^ SV) Проведем ломаную ^4 , обладающую
следующими свойствами: ц± не имеет самопересечений, точки G±
и &г являются соответственно началом и концом этой ломаной,
все точки ломаной, кроме 0,± и Q-г. » лежат в I) . Рассмотрим
замкнутый составной путь о^ » получаемый последовательным
прохождением следующих путей - пути $\ (началом и концом пути Т±
считаем точку ^а ), ломаной ь^ в направлении от ^м к CL-^
пути о г. (началом и концом этого пути считаем точку CL^ ) и
ломаной L± в направлении от &z K ^ • Нетрудно проверить,
что $?(ъ)Лъ = Г* (*)<Лъ Н- j?fa)ofe. .На
контуре JfL фиксируем точку ^з » в -b^W проведем ломаную
Lz , соединяющую точку <?г с точкой О-^ , и по аналогии с тем,
как строился путь Jf^ , используя пути у1 , у и ломаную L^
построим путь 5г » такойэ что [-А^в)с/г = f ?Съ~)о(ъ +
-f \-f(t) лпй - ^- Jt-'2/<4H # Продолжая эту конструкцию далее,
мы построим путь 0^ такой, что J т-'Ъ/аЪ =¦
Д Г j Ci. ,
- ^ J тСОо'З. . Именно этот контур 0И принимается в
качестве ^ . Можно показать, что контур ^ гомотопен нулю
внутри всякой области D ?11) . Доказательство этого
геометрического факта весьма трудоемко, и мы его опускаем. Т.к. контур
^ гомотопен внутри "Ь одноточечному пути, a -f голо-
морфна внутри ±) , то по теореме об интегралах по гомотопным

П. 4. - 103 -
путям J f f2)ol Ъ = О . Следовательно, J -fB)J^ *
к. О .
^ ^ Г ?(-*.} J-l ^fa • И тем самым, можно считать, что теорема
Коши доказана.
Приведём ещё одно, быть может, менее наглядное, но более
полное, доказательство этой теоремы.
Покажем, что каждый из контуров $? можно приблизить замк-
нутой ломаной j• , не имеющей самопересечений, так, чтобы были
о
выполнены следующие условия;
а) набор контуров ? )fj T является ориентированной границей
некоторой области X) , замыкание которой V лежит внутри -*^ Л
б) J m)</* = ]>г*;</г
Контур У1' набором точек &¦;,*. С^-- 1, 2,--, 0* ) разобьем на
гладкие дуги У;>к. . Точки Я-^ пронумерованы в порядке
возрастания параметра на У- и при этом B.- % -= а~; L у ^\,и. . ^-/.к-ц.
- соответственно, начало и конец дуги Yr fc . Число точек <2-ribt
и их расположение выбираем таким образом, чтобы сказалось
выполненным следующее условие:
в) при всяких^ и te. дуга 0?к лежит внутри круга Ю
'J,l* -н^ытл. -uuj iyw nyjrxc*. ',16
с центром в точке &у>ч
В качестве искомого контура ([• примем ломаную GL*L , Я-г,-*. , А-?
При этом, выбирая точки CL>^ , мы должны позаботиться о том,
чтобы каждая из ломаных Д\* не имела самопересечений. Для этого
вблизи "точек излома" (точек разрыва касательной) контура $:
вершины ломаной $*. следует выбирать так, как это сделано
на рисунке П.ЗЛ, а именно, если в точке излома изменение угла
касательной равно ТТ , то начало и конец дуги 0Д,и.~(^\ь, ^>+а)
содержащей эту точку излома следует выбирать, например,так, чтобы

ил.
- 104 -
они лежали на одной и той же окружности малого радиуса.
Если, далее, звенья построенных ломаных достаточно малы, то эти
ломаные попарно не пересекаются, и потому все вместе составляют
ориентированную границу некоторой области Т) . Тем самым условие
а) оказывается выполненным.
Покажем теперь, что из утверждений а) и в) следует б).
Фиксируем i и к . В силу условия в) круг К^ц. принадлежит IX
и потому ~г голоморфна в этом круге. Из лемм Гурсы и Мореры
следует, что -f имеет в Кгк первообразную, а т.к. отрезок
имеют общее начало и общий конец и лежат в круге l^r^ » то по
формуле Коши-Лейбница
Последнее верно при всех а и к и поэтому условие б)
выполнено.
Докажем теперь, что J -рГ^осХ ~=о . Через вся-
кие две различные точки набора l/^jk проведем прямую. Т.к.
область ху ограничена, то указанный набор прямых разрезает
область ?> на выпуклые ограниченные многоугольники. Каждый из
этих многоугольников разрежем на треугольники, проводя разрезы,
соединяющие одну из его вершин со всеми остальными его вершинами.

ИЛ. __ - 105 -
Таким образом JD оказывается покрытой системой построенных
треугольников и эти треугольники попарно не имеют общих внутренних
точек.
Рассмотрим 22 J -pfeH"^ • ^сли сторона треугольника
? ЭТ,
? не является отрезком границы 1) , то можно указать другой
(при этом один и только один) треугольник Тр , пересекающийся
с Т/ по этой стороне. Ориентация этого отрезка в границе
противоположна его ориентации в границе ФТ^ э и потому общий
вклад в рассматриваемую сумму интегралов от т- по этому отрезку
равен нулю. Если сторона треугольника 7^ является частью
границы J) , то она не входит в границу никакого другого
треугольника и ориентирована так же, как содержащая ее компонента Э!Ь
Объединение этих сторон совпадает с QI> , и потому
С другой стороны, в силу леммы Гурсы, при всяком L ) ^ *
7>Tt
= О » и потому = О . Следовательно,
+-(^а^-=,о , и из условия б) мы получаем \ /fe)aг »
— О . Теорема доказана.
i
В дальнейшем мы покажем, что функция, голоморфная в какой-либо
окрестности области, бесконечно дифференцируема в этой области.
Поэтому, вводя понятие голоморфности, можно было бы условиться, что
функция, голоморфная в области, - это, по определению, функция,
обладающая в 7) непрерывной производной по комплексной переменной,

П. 4. - 106 -
При таком определении голоморфности теорема Коши оказывается
простым следствием формулы Грина. Действительно, по формуле Грина
(см. П.2.6)
OB ъЪ Т>
15 2. а Ъ
Так как -^^ Н (Т>) ¦ то по теореме Коши-Римана (см. П. 1.3)
&т_ s 0 всюду в _?) . Следовательно, (jCfeyc/z - о
3. Понятие изолированной особой точки функции. Теорема о вычетах.
Теорема Коши дает возможность сформулировать простое правило
вычисления интегралов. Пусть функция т голоморфна всюду в С
за исключением конечного числа точек &± аг;..., CL^ .
Фиксируем замкнутый контур О , лежащий в #-; , и обоз-
начим через D область, ограниченную этим контуром. Будем
считать, что контур ориентирован против часовой стрелки, Обозначая
через К; замкнутый круг радиуса <? с центром в точке ct - ,
положим J) =в Т) \ \) '^" - ? >о выберем малым настолько,
чтобы круги / }?{\ попарно не пересекались и их объединение не
имело общих точек с траекторией контура Jf . Построенная область
X) регулярна, и потому, применяя теорему Коши, получаем
. Интеграл по^^г включен в правую часть
со знаком минус, поскольку окружность, ограничивающая круг fcT,-

П. 4. - 107 -
входит в $1^7 и 9J) с противоположными ориентациями. Из этих
равенств получаем f-Pfe)^ — ^ ) -Р-Съшъ
Итак, задача вычисления интеграла функции по замкнутому
контуру сводится к вычислению интегралов по малым окружностям, центры
которых находятся в "особых" точках функции. Эти интегралы называют
вычетами. Для того, чтобы точнее сформулировать обсуждаемое правило,
дадим необходимые определения.
Пусть функция -f определена и голоморфна в проколотой
окрестности точки d g (С , но не голоморфна в самой точке сь
(последнее означает, что -р или не определена в точке &. , или, если
определена, не голоморфна). В таких случаях мы будем говорить, что
точка Я- является изолированной особой точкой функции + ,или,
короче, особой точкой функции ~г . О функции ~? в этих случаях
мы будем говорить, что она имеет особенность в точке ^2- .
Например, функция /7У= 2 имеет особенность лишь в точке »о .
Функция -^Уг}»-,—. (здесь -РСоо) "* с> )имеет лишь одну осо-
буЮ ТОЧКУ, а ИМеННО, ТОЧКУ "? ^±. %н*Ч,М е € й/veeT Две особы* -то.,*,
Пусть CL? С - изолированная особая точка функции т^З*)
Выберем <?>о таким, чтобы -/VzO была голоморфной в
проколотой окрестности точки ?2. , Обозначим через о(&, °0
окружность радиуса t ^ ? с центром в точке Л. f ориентированную
против часовой стрелки.
Вычетом функции -//%,? в точке #- называется число
К&3 -*B0 "=¦ 2Tti J • Обозначение К&*> - это
сокращение французского /2eAL(Lue-. , что в переводе означает
остаток, осадок,...вычет. Из теоремы Коши следует, что
не зависит от . . Поэтому вычет однозначно определяется
функцией -Н%0 и точкой О* и, в частности^ме зависит от выбора ?_

П. 4. - 108 -
и t . При определении вычета в бесконечно удаленной точке
окружности )f(<***) t) ориентируется по часовой стрелке, а именно, в этом
случае вычет определяется так: если f голоморфна в проколотой
окрестности бесконечности, задаваемой неравенством /2/>^
то &*-ffe)=f ±? J tf&ct-z. , где jf1^ ^)_
- ориентированная по часовой стрелке окружность радиуса Ъ > ^
с центром в точке = г?
В силу теоремы Коши, если -f- голоморфна в точке а, ^ (Р ,то
— а . Если ияеет особенность в точке <х..
то вычет функции может быть отличным от нуля, но может быть и равен
нулю. Например, >&* 2 ~ ^ 7 2 » н0 ПРИ
целом к^.1 Олл Тк — ^ . Вычисление соответствующего инте-
Г L с/г
грала -> 2к приведено в П.2.4.
Понятие вычета было введено Коши. Он определил вычет как
разность интегралов по двум путям, создиняющим фиксированные точки,
которые обходят исследуемую точку с разных сторон (также, как две
полуокружности обходят центр окружности).
Связанные с этим понятием методы исследования функций, в
частности, техника вычисления интегралов, получили название теории
вычетов. 0 теории вычетов и ее применении будет рассказано в конце
этой главы, а здесь мы сформулируем два утверждения, составляющих
основу этой теории, и, опираясь на них, докажем формулу Коши.
Теорема о вычетах. Пусть J) - регулярная ограниченная область
a "f - функция, голоморфная во всех точках из X) , за исключением,
быть может, конечного числа точек &>.¦ &J} / - 4, 2 _ к.
Тогда { ?(ъ)Лъ =? 2.7Ti 21 &* fC^) .

П.4. - 109 -
Частный случай теоремы о вычетах был разобран в начале
этого раздела. В общем случае утверждение теоремы доказывается
вналогично. Действительно; обозначая через \?: замкнутый круг
с центром в &J и полагая . из теоремы
Коши получаем . По определению
вычета fii fo) , ,7- 1 -СС&Аъ / =r i, z,.-, k. и сдедова-
2-л- 2.TTV -> ) 6 ^ '
тельно ±. \ rr->\J- ¦*&
Следствие 1.Г^ель область 1> регулярна и содержит
бесконечно удаленную точку, a ~f голоморфна во всех точках из Ъ П1;
за исключением конечного числа точек &у ?D Л (L ,
тогда JVf*:>/z = 277^21 й*/Ъ)-е 9**-Р(ъ))
Следствие 2. Если -ffi) голоморфна во всех точках из (С
за исключением конечного числа точек CLjg ? , /Ч I г _ ь.
то
р> г*а4-
<**>
Докажем эти два следствия. Выбрав К большим настолько,
чтобы круг Ач(/?Л'/2/^ R содержал все точки ?^*3"
и границу области Т) мы можем сказать, что —т \ #"?") ct& =•
= 22 ft*-f^) . но ЭфлкГС^О^иЭкГО и
потому J ^^ в рГг;Уг + J //a;^
По определению вычета в бесконечно удаленной точке

вычета в точке <^
2
11.4. - ПО -
_ —. \ ?(?) с/г =• У&Ь -f(z) и потому из приведенных равенств
получаем утверждение следствия I. Далее в предположениях
следствия 2 при больших R из теоремы о вычетах имеем
гт- \ f (Н)сг2 -= ZZ &ь>> ffe) . С другой стороны, по определению
Из двух последних равенств получаем утверждение следствия 2.
Основное правило вычисления вычетов формулируется следующим
образом:
Лемма. Бели <Р(\) =* , где ~г(%) голоморфна
в точке CL & С , то /?*. ^1^ ¦= -ffhj
Фиксируем ? >^р такое, что в ^ -окрестности точки гг,
-fif\ ) голоморфна, и обозначим через $(&, "О окружность
радиуса Ъ л ? с центром в точке <2, f ориентированную
против часовой стрелки. Имеем #t? У(\) ¦= 4:. Г - ^/> .^
Но \ ? сл5 "= 2.77"^ , и потому
Докажем, что ) ~~ а~^ -» С7 . Используя правило
оценки интеграла (см. П.2.2, свойство 3), получаем

n.t. - ш -
Так как -f голоморфна в о. , а, следовательно, непрерывна в
точке си , то -?•»? >г?^ — о «И поэтому
Ъ"*о
I \ ^ill_dl^ <Л.|~>о прИ Ъ~>0 • А так как ^V--fCa,)
голоморфна в проколотой окрестности точки сь , то
\ — Ы\ не зависит от х Сем. теорему Коши).
Поэтому J ~— d\ —о • Лемма доказана.
jCte,z) ^ " ^
4. Вывод формулы Коши
Фиксируем точку ^^ 7} и рассмотрим функцию /д, , /^|)
Эта функция голоморфна во всех точках из tJ" , кроме одной точки
^ - ? .По теореме о вычетах ^ J ЛИ J-^ - ^ ^ <ftyo/* =
— Р^ ^(ЧЛ • '¦Гак как 7^^) голоморфна в точке -^ , то
по лемме из предыдущего раздела /?^ S^IJ ^ /7г^ •
Следовательно. — [fillл _г,э/ = г . Формула Коши доказана.
Пусть теперь]^ - регулярная область и с^о^ 7) • Напомним,
что в этом случае формула Коши записывается так: при ^ ^ >>
Докажем эту формулу.

П.4. - 112 -
Фиксируем точку Z<? J) , -^e?^ t и достаточно большое
число (( , такое, что круг «RI- j "| - 2 I ^ R содержит границу
области J) . Доложим Т)л "=• ])П К^ • для случая
ограниченных областей формула Коши уже доказана, и потому
Покажем, что —: \ .—l2.JI^% "=• -р ?<*°) • Так как -f
голоморфна в бесконечно удаленной точке, то по определению
у
(см. П. 1.7) //1*/ как Функция переменной ^
дифференцируема в точке 5~° и» следовательно, по определению дифферен-
цируемости Ti ^ ) ~= -гС***)-t A ^ -t °^*0 А?-? * Полагая
4*4 , получаем -?(-%)=&*) + А. * о (тУ^>ХХ)
где функция ДС^Л такова, что -Zlw\ ^\(\)=0 • Имеем
(см. П.2.2, свойство 3), где \Y\~ ~ У^си< i «Аф|-»?>при #-*«*=>
f Л(г> / о
Из теоремы Коши следует, что J ~г^- Ы\ при больших t(
О ЪКь
не зависит от 1\ (см. П.4.3, следствие теоремы Коши) и,
следовательно J ^?5? <Л ^-о • Получили 4"- 1 ^~J"\--flA
^** /V 1 гг Л А СЯК ^R * 2
и, следовательно, -f 12.) ~-{(<*=у 1- -?— \'н V j
эр * *

пл. - из -
Формула Коши доказана.
5. Теорема о среднем» Доказательство основной теоремы алгебры
Теорема о среднем. Если ~f голоморфна на замкнутом круге
(<_' с центром в точке CL радиуса R , то
^п JT4 |)<4S — -rf&y • Иными словами, значение -f в цент-
ре круга равно среднему значению т на границе круга.
Действительно, по формуле Коши
ы^. Ш^ Но ^- г-^ - i^v<o.
э^
l-o. '* *Э? \^-аД R
Следовательно, /VkJ ^~ j -—^ ?- (V*^ -^ jf^Vi
С помощью теоремы о среднем легко доказывается основная теорема
алгебры:
Всякий многочлен р(^) с комплексными коэффициентами
степени Wy, 4. имеет хотя бы один корень.
Так как Р(Ъ~)-~>«^* при ^-^с^ , то ¦ffz)'*^ ~* °
при 2"^*^ • Если ^"^ не имеет корней, т.е. не обращается
в нуль, то -ffe) голоморфна в (С .
По теореме о среднем для всяких ?Ь<? С и &>о
¦ffc) - i^e J ^?)</б ->о при /?-5>с^ , т.е. /й;ао
W
*
и РB:) — О . Пришли к противоречию. Теорема доказана. Ниже,
в П.5.5 мы приведем другое доказательство этой теоремы.

ИЛ. - 114 -
б. Теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса. Если функции -h^(z) f^-^,2,^.)
голоморфны в области T)cL<C и последовательность этих функций
равномерно сходится внутри области D , то предельная функция-f
голоморфна в 2) и последовательность
равномерно сходится внутри D к функции ~f (ъ.)
Переформулируем теорему Вейерштрасса в терминах функциональ-
ных рядов; если ряд 2Z ^L(-Z) > составленный из годоморф-
ных в области D функций ¦?У^(ъ)} > равномерно сходится
внутри области D , то сумма ряда голоморфна в I) и ряд
Z- -З^а. f-g^) равномерно сходится внутри 1) к производной от
суммы исходного ряда. Иными словами, сумма ряда голоморфна, и
производная вычисляется почленным дифференцированием этого ряда.
В частности, в качестве следствия этой теоремы получаем ранее
доказанное (см. П.3.5) утверждение о степенных рядах: сумма
степенного ряда голоморфна на круге сходимости ряда и производная суммы
получается почленным дифференцированием ряда.
Подчеркнем, что для функции вещественной переменной
утверждение о дифференцируемости предела равномерно сходящейся
последовательности, вообще говоря, неверно. Напомним - соответствующее
утверждение о дифференцируемости формулируется так: если
последовательность непрерывно дифференцируемых на интервале (а.л 4J
функций {.-&(*) j сходится на этом интервале и
последовательность ? /^(*)У равномерно сходится внутри этого интервала,
то функция /*= &h* vCL Сх) дифференцируема и ^Ьс)^
— ^LiWi -t-ь, (х) . Ясно, что для степенного ряда от вещеетвен-
ной переменной правило дифференцирования суммы ряда формулируется

П.4. - 115 -
также, как для степенных рядов от комплексной переменной,
поскольку, заменив вещественную переменную X на комплексную переменную
i , этот ряд можно рассматривать как ряд от комплексной
переменной.
Докажем теперь теорему Вейерштрасса. Фиксируем открытый круг
К такой, что его замыкание iC<C X) . Докажем, что -/VzJ
голоморфна на К и что последовательность
равномерно сходится внутри этого круга к -/* fa)
По формуле Коши при Ъ ? К -f^f*) - ~. j ~^_НД
" эк *-*
Так как по условию теоремы последовательность ^Va^J сходится
равномерно внутри D , то она равномерно сходится на К .
Поэтому, зафиксировав 2 <=¦ /<? , мы можем сказать, что последовательность
j •——zd 1 равномерно сходится на окружности Э^С к ~. \J .
L 1-г J j-г
следовательно, в выражении можно поменять
местами знаки "u^i и J (см. свойство 4) интеграла II.2.2.
Получаем при -2. ^- /< -Р(ъ)= ¦&>>* -&/*)•= ^** «и J ~tL}>^/
= 4 f ^*ЛУО / -?• f #Ъ> J*
внутри круга К -HZ./ задается равенством -г(Ъ) = ^жС j T-i
ЭК
Из теоремы о дифференцировании интеграла по параметру (см. П.2.9)
следует, что-? голоморфна в К и -f (Ъ.) "» —, f "^ * j__ c/^

П.4. - 116 -
Из этой теоремы имеем также, что при Z. & К
Покажем теперь, что последовательность
равномерно внутри сходится к . Пусть - компакт
из К , aj5 - расстояние от Е до границы круга К. Имеем
2lT P l&k: v|«"^ где к - радиус круга К . Так как
последовательность {S%^ на окружности Э < равномерно сходится
к /• , то выражение, стоящее в правой части неравенства,
стремится к нулю при А--^с*-=» . это означает, что последовательность
//!,_/ сходится к ~f равномерно на Е. А т.к. Е - это
произвольно выбранный компакт из К , то последовательность ?~пь j
сходится к т равномерно внутри
Итак, доказано, что/ голоморфна внутри всякого круга &сЪ
и потому т голоморфна в О .
Докажем теперь, что последовательность z^a.J равномерно
сходится внутри J) . Зафиксировав компакт Etll> , мы можем
указать конечный набор замкнутых кругов К.* таких, что U^.' ^ Е
Для всякого из кругов ^ можно указать содержащий его открытый
круг, лежащий в Jj . Из вышедоказанного утверждения о
равномерной сходимости последовательности {f^ j внутри открытого круга
из х) следует, что последовательность {jf^, J сходится
равномерно на каждом из К • . А т.к. этот набор конечен, то последова-

ПЛ. - 117 -
тельностьv/^ \ равномерно сходится на компакте ? . Компакт
Ес.~& выбирался произвольным образом, и поэтому
последовательность ?^ J равномерно сходится внутри
Теорема доказана.
7. Аппроксимация голоморфных функций многочленами.
В курсе анализа доказывается, что функция одной или
нескольких вещественных переменных, определенная и непрерывная на кыком-
-либо компакте, может быть равномерно приближена на этом компакте
с любой наперед заданной точностью многочленом от вещественных
переменных (Теорема Стоуна-Вейерштрасса). Так на комплексной
плоскости на всяком компакте К всякую непрерывную функцию ^
можно с любой точностью равномерно аппроксимировать многочленом
от вещественных переменных. Точнее^для всякой •/* , непрерывной
па К , и всякого ? >0 можно указать многочлен/^ от
вещественных переменных (коэффициенты многочлена, вообще говоря,
комплексные), такой, что для всех точек компакта выполняется
неравенство /-/Ух,(/)~- Р{х,у)\^~ ? ; иными словами, всякая
непрерывная на К функция может быть представлена равномерно
сходящейся на К последовательностью многочленов от
вещественных переменных. Из теоремы Вейерштрасса (см. ИЛ.б) следует, что,
если функция -? представима на компакте К равномерно сходящейся
последовательностью многочленов от комплексной переменной, то ~р
голоморфна на внутренности компакта /<" (на множестве внутренних
точек компакта К ). Таким образом, не всякая непрерывная функция
может быть с любой точностью приближена многочленом от
комплексной переменной. Даже если компакт К нигде не плотен, т.е.
не имеет внутренних точек, то и в этом случае не все непрерывные
функции допускают сколь угодно точные равномерные аппроксимации

ил. - us -
многочленами от с . Например, функцию •=- на окружности /г/ »i.
нельзя сколь угодно точно приблизить многочленом от Z. ,
поскольку интеграл от этой функции по единичной окружности равен
ZfC , а интеграл от всякого многочлена по окружности в силу
теоремы Коши равен нулю. Более того, можно показать, что если
компакт К разделяет плоскость, т.е. С\ К несвязно, то можно
указать функцию, еолимо^ф-ч^к? на К (голоморфную в окрестности
/\ ) функцию, не представимую на этом компакте в виде равномерно
сходящейся последовательности многочленов от 2 . Теперь, вняснив
некоторые необходимые условия приближаемости функций, сформулируем
теорему об аппроксимации голоморфных функций.
Теорема (Рунге). Пусть К - компакт из ? } такой, что ?\К
-связно. Тогда всякая функция,голоморфная на К , может быть
представлена как предел равномерно сходящейся на К
последовательности многочленов от комплексном переменной.
Лемма I. Пусть К - компакт из С. , a -f - функция,
голоморфная на К . Тогда для всякого ? >0 можно указать натуральное
К и функцию вида Kfe) = ZI Q/ х -.->" > гДе /С/ }
и ^ | « J - какие-то комплексные числа, такую, что при всех
г?-^!^ выполняется неравенство
Доказательство леммы. Пусть ?) - какая-либо окрестность /<f ,
на которой ~г голоморфна, а Т) - регулярная область, содержащая
компакт /<( и лежащая вместе со своей границей внутри области 1) .
По формуле Коши при всех -2 ^ К
т>-± J ЙУ л
?2> с

ИЛ. - 119 -
Так как граница области J) имеет конечную длину, то для всякого
дУО границу области D можно разбить на малые дуги
У* (А =4 2 - иЛ и ВЬ1бРать на этих ДУгах точки ?>&.ТСУЛ
таким образом, чтобы при всяком / и ^^ TV*1.
C-d, Z}___, к) выполнялось неравенство /5~?-1^о
В дальнейшем мы укажем, как выбирается число а , а пока будем
считать, что $ фиксировано, и соответствующее разбиение на дуги
и выбор точек выполнены. Положим С- = ~г'^)^:Л е/ъ и
Rf^)— ^- ^г-г • Фиксируем 2<^/^ и оценим ///&)-?{%)/
Для этого введем ряд обозначений: J3 - расстояние от компакта /<"
до границы I) ;  - длина границы области -D ; 4.' - длина
Дуги У- ;
- модуль непрерывности функции 4- на границе области ^Ъ . Имеем
, J f,-3
*i h \
'6

П.4.
- 120 -
получаем
"**^fj=i • jjj ^-"г)?|.-5у^ ' * Далее' полагая
константа, не зависящая ни от выбора точки "Z , ни от выбора
разбиения границы на дуги. Так как f непрерывна на Э22
то она равномерно непрерывна, и потому
Поэтому для всякого <?"><Э может быть указано число о >о
такое, что <С ? . Это означает, что если
при построении функции число О было выбрано достаточно
малым, то при всех -? ^/<^ выполняется неравенство
ffle)- /?f?? I^-?. • Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть /^ - компакт из <? , такой, что 4Г^1**
связно, vlCL- точка из ?\К . Тогда для всякого ? > О можно
указать многочлен RCl) , такой, что при всех 2<? ^ выполняется

UA. - 121 -
равенство /г~~ —• М?) / ^ ?
Доказательство. Фиксируем замкнутый круг К с центром в
нуле, содержащий внутри себя компакт К , и какую-либо точку -d
комплексной плоскости, лежащую вне круга К . Так как С \ К
связно, то точки CL ъ ? можно соединить ломаной -<? , лежащей
. Обозначим через О расстояние от Z до кГ и
Фиксируем на 1л конечную цепочку точек C^i^CL^,... &~^ >
обладающую следующими свойствами: CLL -=^cl Р #~и--^ и при всех f -
-J., 2,— , h-i. выполняется неравенство / ^-*i ~ ^ I ^ з « •
А __
функцию -2,^^ разложим по степеням функции 2-?-,_ . Используя
формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем
г-си 2-€Lx Z-(L^ i-eb2Ht± -z-a^z> ^-o^-^J
Так как \Ct-i_-CL^\ ^- ~g О , то ряд, стоящий в правой части
равенства, равномерно сходится на области, определяемой неравенством
/ Ъ-Я-^Л > "g" о # в частности, это означает, что указанный
ряд равномерно сходится на компакте К , и потому для всякого
? . >с9 мы можем указать номер Ръ± , такой, что многочлен
I -^ l^-o. ) ~~?_& ^--» ( [приближает функцию V^J__ на
компакте К с точностью не хуже, чем ?.± , иными словами, при всех
-?<? /<^ выполняется неравенство 1~ — /^ Сл!к Л |^€ <
Повторяя проведенные рассуждения мы можем получить следующее: для
всякого te. .г J. 2,._ /i-x и всякого положительного <f\ можно

П.*. - 122 -
указать многочлен /i [л-сй. / » такой, что при всех ¦?&/<(
выполняется неравенство J^— — г ( ^_^ } ( **
Аналогичным образом доказывается, что функция ——•¦ - —¦
на всем круге К. , а, следовательно, и на компакте К может быть
равномерно приближена с любой наперед заданной точностью ?^
многочленом г\,(Ъ) • Рассмотрим многочлен г(?)^/%(Р^ ^_
--« fit-if/hfe)) ~ ) • ^сли зафиксировать какое- либо ?>о
то, выбирая числа ?х; >?*• достаточно малыми, мы можем
утверждать, что при всех -?<?:К выполнено неравенство
/ { — ?(~fc) l^. й. • Лемма^доказана.
Теперь мы можем легко завершить доказательство теоремы Рунге.
Действительно, пользуясь леммой I, приближаем функцию -f-
выражением вида 22. с* "i г- с точностью ~ , далее, исполь*
/--, J ?Г* / _l_ -,
зуя лемму 2, приближаем каждую из Функций 2 ?д ?. -?. Л мно-
- g_ **
гочленом от с с точностью -^- ; получаем, что сумма по-
^* *v' /»
строенных многочленов приближает + на компакте /С с точностью

Т1Л. - 123 -
Упражнения П. 4. (Теория вычетов и интегральная формула Коши)
1. Найдите ошибку в рассуждении: функция -/7-2J~  **
дифференцируема во всей плоскости ^ и ее производная -? f?)^
~=.~>Ъ ; следовательно, -f бесконечно дифференцируема в (L
Но *?"-=. J^. ,?~ '2 стремится к бесконечности при ^-^ о
г{ т
т.е. -у- нешифференцируема в нуле. Получено противоречие.
2. Вычислить a) f , °и —- см 2 _
ада у/^;
3. Если т голоморфна на кольце 4. й i ? I ^ 2. , то на
этом кольце -jT представима в виде -Р~+± + т-г. , где /1
голоморфна в области /27 ^J. , а -/г_ голоморфна в области
1Ъ1±г. . _
4. Если /) выпукла, а /^ непрерывна на Z) и голоморфна
в 7) , то /-^fej/fc-o ,
ЭХ)
5. Если •/" голоморфна внутри открытого круга ^ и
непрерывна на его замыкании, то функция <Pf~?) ¦=¦ ~-Ц \ JlL§^ <У>
во всякой точке \&гдк. имеет скачок, равный -//jj » т.е.
6. Если -f голоморфна в области ?) и всюду в
? 1 , то при Ъ*?Ъ ^'feM^j^fe) ' ГЧе ^^ " Ра°"
стояние от точки -2 до границы области 22 •
7. Если т^ голоморфна на замкнутом круге радиуса с
центром в точке л. , то J- j^fac/xc/g ^-?Г<0 .
4:

П.4. - 124 -
8. Если -f голоморфна в <?*> , то -&*и r? /z) = о
9. Если ^ голоморфна вне вещественной оси и непрерывна на
всей плоскости, то она оказывается голоморфной и на вещественной оси.
10. Если -f -целая функция и -С^^ /-'&; — &*> , то мно-
жество ?•/'?/=?> у непусто.
11. Для всякого многочлена Pfe) выполняется
12. Функция ~ffe)- J ^~У ^f-iz. - целая.
13. Пусть пути Ц^ и ?/^ ^1,^_)
таковы, что последовательность zT^l^fi на отрезкеД/j
Равномерно сходится к о (и) , a f - функция, голоморфная в окрестности
T[f) . тогда ^и ///гл/2 =- ///zVz ,
14. Если т" непрерывно дифференцируема го вещественным
переменным в окрестности замыкания ограниченной области JD » то при
ъ±т> Ste) = J-
- j t!AL j * f<oo,
(здесь ^ - tl^ )•
15. Если ~р голоморфна в круге |<^ ' \ ^\^ d. , то при

П.5 - 125 -
§ 5. Аналитичность голоморфной функции. Ряд Тейлора
I, Понятие аналитической функции. Ряд Тейлора.
Первоначальный смысл термина "аналитическая функция" состоит
в том, что функция задается аналитически, т.е. посредством
конкретной формулы, позволяющей вычислять значение функции через
значение переменной.
Напомним, что функция т вещественной переменной,
определенная на интервале вещественной оси, называется аналитической, если
вблизи всякой точки Vo из этого интервала функция представима
степенным рядом ?(/)•- 7~*. &*~ (*~ ХсЛ . Понятие ана-
литичности функции комплекшюй переменной вводится аналогично.
Определение. Функция т , определенная в окрестности точки
q^?. (?, , называется аналитической (аналитической по комплексной
переменной) в точке CL , если в какой-либо окрестности этой точки
она представима в виде суммы степенного ряда ~гп2? =
— /\ &*•(-?~^-) > гЧе ^- комплексные числа. Функция ^
определенная в области V?L (С , называется аналитической в J^
если она аналогична во всех точках -?) .
Если функция задана степенным рядом, то на его круге
сходимости эта функция аналитична. Это следует из леммы о
переразложении степенного ряда (см. П.З.б). Поэтому всякий многочлен от ^
в"*, "i^ ? и т.п. - это функции, аналитические всюду в С .
Пусть функция ~р бесконечно дифференцируема в окрестности
точки СЬ . Сопоставим этой функции степенной ряд 7~] ~ С^у(^^
— О") . Этот ряд называется рядом Тейлора функции .-?с
центром в СЬ или разложением Тейлора по степеням {^,-си) . В част-

П.5. - 126 -
ности, если + аналитична в точке Я- , то она бесконечно
дифференцируема в окрестности <?• , и потому ее ряд Тейлора по степеням
(?-<*-) определен. Бесконечная дифференцируемость аналитической
функции следует из того, что сумма степенного ряда на круге сходимости
бесконечно дифференцируема (см. П.3.5).
Теорема. Пусть К - открытый круг с центром в точке CL и -f*
- функция, голоморфная в f< . Тогда в этом круге -Р представима
степенным рядом f = ^С^-к-Л?-^ . Разложение функции в ряд
Ms©
по степеням (Ъ-<*^) единственно, и этот ряд совпадает с рядом
Тейлора, т.е. коэффициенты CL^ вычисляются по формулам
Из теоремы следует, что если функция голоморфна в какой-либо
области, то вблизи всякой точки из этой области функция представима
степенным рядом. Это означает, что функция аналитична в этой
области. С другой стороны, из теоремы Вейерштрасса (см. предыдущий
параграф) следует, что сумма степенного ряда дифференцируема, т.е.
голоморфна. Таким образом, мы получаем, что утверждения "функция
голоморфна в области D ", и "функция аналитична по комплексной
переменной в области J} " эквивалентны. Говоря об этих функциях,
мы будем, как правило, использовать термин "голоморфная функция".
Поясним почему. Наряду с термином "аналитическая функция" часто
приходится пользоваться выражениями: вещественно,аналитическая
функция (функция, аналитическая по вещественным переменным),
комплексно аналитическая функция (функция, аналитическая по комплексной
переменной), многозначная аналитическая функция, полная
аналитическая функция и т.п. Термин "голоморфная функция" в литературе всегда
связывают с понятием аналитичности по комплексной переменной, и
потому этот термин не требует никаких уточнений.

П.5. - 127 -
Выше (см. П.3.1) было доказано, чтое , -ixM"^ f c^sZ.
представимы степенными рядами, сходящимися во всей плоскости.
Используя полученные здесь формулы для коэффициентов ряда Тейлора
выпишем разложения Тейлора для элементарных функций:
2r-
**- j
И '
2. Доказательство аналитичности голоморфной функции
Фиксируем Ъ.&К и круг К с центром в Л. , содержащий
точку 2: и такой, что ограничивающая его окружность 3>^ лежит
внутри К . По формуле КоШи при ^ <? К
Разложим функцию \ по степеням выражения -г— . Так как
при /^Ri ^ =72г и при ^э*: /—:/<
^J°*4. , то ^ ,
и при этом ряд / /¦> л*- на окружности О***

П.5. - 128 -
^-ZP"
мажорируется геометрической прогрессией /\_> j** и
потому равномерно сходится на этой окружности. Из равномерной
сходимости этого ряда следует, что и рдд /* т(\) Ls—L.
равномерно сходится на окружности*Э ^ . Поэтому в выражении
знаки \ и Т" можно поменять местами и потому
<_ у ^- . Если функция -f на круге /«С
представлена суммой степенного ряда •/""=¦ <ZL' &ь- fz-ciI** » т0 п0 те0~
реме Абеля этот ряд сходится равномерно внутри К и по теореме
Вейерштрасса производные г получаются почленным
дифференцированием этого ряда, -г v2U-= h,/ ^ , т.е. ^= j^j -f /сц)
Это означает, что представление функции / на круге К степенным
рядом единственно. Это означает также, что
коэффициенты построенного ряда х . &w (zb-&) вычисляются
по тем же формулам ??*, ~ul -f l^(cc) • Теорема доказана.
3. Действительная и мнимая части голоморфной функции
Покажем, что если -^-le**ьЛУ голоморфна в точке
Zc^Ko, </©} , то действительная и мнимая части этой функции
аналитичны в этой точке по вещественным переменным, а именно, они

П.5. - 129 -
представимы вблизи (Хо^Хо) абсолютно сходящимися рядами
^ Л
и
где i.d^xJSr и 2.ъь.*^ ~ вещественные числа.
Так как f- голоморфна, а следовательно, аналитична (П.5.2) в
точке Но , то она представима вблизи ^ в виде -^7-?) -=
= 2Г Ow^ . Пусть ^ - радиус сходимости этого ряда. Фикси-
руем х и^ » удовлетворяющие неравенству /)(-Хо I r'$~d°' <
г!_ R . Представим "WX #3 в виде
Ряд, стоящий в правой части равенства абсолютно сходится в точке
(у у,Л в силу леммы о переразложении (см. П.3.6). Поэтому
Аналогично выписывается ряд, представляющий ХГ^Х^) . Таким
образом доказано, что если ряд, задающий ~f , сходится в круге
1Ъ~ Ъо\^- R ,то^ и О" представимы внутри квадрата
/ Y-Xol ^ ^ ¦} }%~cfvt ^ абсолютно сходящимися двойными
рядами по степеням (х- Уо) и ty'Jf*)
Из доказанного следует далее, что "^ и ^ дифференцируемы
внутри указанного квадрата по X и Ч ; частные производные
представимы рядами, которые получаются почленным дифференцированием ря-

П.5. - 130 -
дов для !t и О* ряды частных производных абсолютно сходятся
внутри того же квадрата, и т.д. Таким образом получаем, что ^ иСГ
бесконечно дифференцируемы внутри указанного квадрата по
переменным * и 4j .
Покажем теперь, что действительная и мнимая части
голоморфной функции удовлетворяют некоторому специальному уравнению,
называемому уравнением Лащаса:
— +_?— -о ъхг ^ Э V ~
^г V1 и ^ ^р7
Дважды^ифференцируемые по X ж% функции, удовлетворяющие
уравнению Лапласа, называются гармоническими. Иными словами, мы покажем,
что действительная и . маимая части голоморфной функции являются
гармоническими функциями.
Так как -? голоморфна, то она дифференцируема по комплексной
переменной . По теореме Коши-Римана (см. П.1.3) %ju и V
удовлетворяют системе t^y - Uy , 1^*у = -~х . Дифференцируя
первое равенство по)< , а второе - по Ч и складывая результаты,
получаем
Аналогично получается, что
Итак, *U. и "О" гармоничны. Это означает, что не всякая
вещественно аналитическая функция может служить вещественной или мнимой
частью комплексно аналитической, т.е. гололэрфной функции. А
именно, всякий вещественнозначный многочлен от у и Н , не
удовлетворяющий уравнению Лапласа, не может быть вещественной частью никакой
голоморфной функции.

П.5. - 131 -
4. Неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора
Пусть К - открытый круг радиуса R >0 с центром в <2-
. Тогда коэффициенты ?&и*У ряда
Тейлора -f (Ъ) "= ^~- 6-ы (Z-aS) удовлетворяют неравенствам
Id U К ._ , , W //=<W '^
Доказательство. Фиксируем <? >0 и обозначим через у^ круг
радиуса]^— ^ с центром в #- . По формуле Коши (см. П.4.1) внутри
/<Гс -Ffe^^ynk 1 "Ч ^" • Дифференцируя это равенство по 2
Vv раз и подставляя ?. — #- , получаем •/¦ Y&-J -=•
" J ГЧ- )Л+| > vCM. П.4.1). По определению ряда Тейло-
ра
&ь -= *? /&) , и поэтому Дг^/ = /"t—L&Jl^
^ 29Г (?-?)hiL У '^Arlly* * УстР6МЛЯЕ ? к нулю, полу-
/if
чаем ICL^l 4z уГк> • Утверждение доказано.
fr. Теорема Лиувиддя
Теорема (Лиувилль). Если целая функция ~г ограничена, т.е.
при всех 2: *? (С /-ffe)!^. /V где М У о
не зависит от '2 , то -р постоянна.
Доказательство. Представим -f рядом Тейлора t^Vz?.?^
._- 21 <2«к ^ • Так как ' -целая функция, то при всяком
fo=o

П.5. - 132 -
R>0 она голоморфна на круге радиуса Я с центром в нуле.
Поэтому из вышеприведенных неравенств Коши (см. П.5.4) имеем
м
1&кЛ^'оТи . Устремляя К к бесконечности при К^о*
получаем 1&у^\ ^О • Следовательно, -f fe)~Q-& ^Ь0**?
Теорема доказана. in/-* л
Следствие. Если •/ - целая функция и ъ&ги / ^ l ^
-=г М^**^ (Здесь 1с -целое неотрицательное число), то -С
является многочленом степени не выше к .
Докажем это утверждение индукцией по к . При fe.= o это
утверждение легко следует из теоремы Лиувилля. Сделав
соответствующее индуктивное предположение, представим функцию -С рядом
Тейлора -f- — ^2_ C^v^ z* *" и рассмотрим функцию
^*о //г;-а.0 ^ix**
При ЪфО ~*~( ° "гг^^к'с , поэтому, доопределив
 ц-|
функцию^7 в точке^2: —с?, положив JP/Ь)- &± , мы можем
сказать, что ^ определена всюду, в ?- и задается степенным
рядом j#)^2r a-u.2*t~4 • Так как ряд Тейлора ^
сходится всюду в <С , то из формулы Коши-Адамара следует, что
iffe)—/-*^-^^. ~ тоже сходится всюду в (С , т.е. SP- это
целая функция. А так как <^и^ / г^ J ' ^

П.5. - IS8 -
- ^фсо , т.е. •?*•*'» / -g?Zi J 7=^^ • Поэтому, ис-
пользуя индуктивное предположение, мы можем сказать, что ^/20
- это многочлен, степени не выше \с-л . Следовательно, /^ &0+
~^~ У'СЮ Ъ. является также многочленом, и его степень не выше^
Утверждение доказано.
В П.4.5.используя теорему о среднем, мы доказали основную
теорему алгебры: всякий многочлен с комплексными коэффициентами
имеет хотя бы один корень. Зто утверждение столь же просто следует
из теоремы Лиувилля. Действительно, если многочлен гт?) ^О
не имеет корней, то функция -f-fe} -* J- является целой
функцией, и эта функция ограничена. По теореме Лиувилля //2)^
- Соку?. , следовательно, и РСъд— cs*t*»zr . Поэтому
всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корежь.
б. Тборема единственности
Теорема. Если т голоморфна в области и в какой-
-либо точке CL&T> при всех /^ :=^?л 2,._. -р^^/Ти) •=¦ О
т.е. функция и все ее производные в точке GL равны нулю, то
^— о всюду в D ,
Следствие I. Если область 2) содержит интервал fa^^)
вещественной оси {&-?<#) а функции ¦/* и 4 голоморфны в Ъ
и равны во всех точках интервала /Ц /J , то ^Ц^ всюду
Действительно, если/5 и Q равны на интервале/fc. gjy то
во всех точках этого интервала функция '^-j) — о ,
следовательно, все производные от ff~?) в точках этого интервала равны
нулю, и по теореме единственности мы получаем ~^-</ = G
т.е. У^/.

П.5. - 134 -
Из следствия I вытекает, что если две целые функции равны при
вещественных значениях переменной, то эти суункции равны и при всех
комплексных значениях переменной. Например, при всех вещественных
? ^слС~^ + €&&*"?. — d , следовательно, это равенство верно
при всех комплексных .
Пусть -f голоморфна в точке &*& <С и •/?/&*') =rO.
Мы будем говорить, что -f имеет в точке Л- нуль порядка /О
если ряд Тейлора с центром в CL функции -f имеет вид
Xfe)='Z2 в>и,(Ъ-&>) , гДе СЬр-Фо . Если /jfco
то в силу теоремы единственности не все ?&ь% равны нулю и такое
О существует. Мы будем говорить, что т- имеет в точке S-<=*<=»
нуль порядка р , если •? голоморфна в <*** и ^/U/) =%?/—)
имеет в точке W^o нуль порядкар
Следствие 2. Если -Р-? & голоморфна в области D^l ?~
то множество точек, в которых -р равно нулю, дискретно в 25
т.е. никакая точка области Z) не может быть предельной для
множества нулей пункции -f
Это утверждение можно переформулировать так: если -f
голоморфно в 2) и равно1 нулю на некоторой последовательности точек
Ъ^?Т> (S-*>?,--') , сходящейся к г0<^7> (при
всех / j?- ф ^0 ), то функция /" равна нулю всюду в Z)s
Докажем следствие 2. Фиксируем точку 2» а*» области Z>
и представим функцию У ее рядом Тейлора. Так как т^^ о
то в силу теоремы единственности не все коэффициенты ряда Тейлора
равны нулю, и мы можем записать его так: -?fe) = 2LГ^./г-H.г>),,^'
, где &p~fio • Вынося (=?-^) за знак

11.5. - 135 -
к/>
получим -Р{%) — B.~Ъ^) $(Ъ) , ГД6 ЯСЪ.")-^
гг/^Л-и/г-Н^функция, голоморфная в точке 2о и 9 feo) =сьрф(^
Так как Я(Ъ) голоморфна в точке 20 , то она непрерывна в20
и потому в достаточно малой окрестности ^о ^^В^не
обращается в нуль. Это означает, что в достаточно малой проколотой
окрестности точки 20 функция *?("?:) не обращается в нуль, т.е. точка
2-0 не может быть предельной точкой множества нулей функции -r-fe)
Если <='0<? J) , то, повторяя проведенные рассуждения для
функции <f(w)^=~p( ^~ ) » мы получим» что нули SPfw)
не могут накапливаться к точке W=-0 , и потому точка "Z:= o<=*
не может быть предельной точкой нулей функции -?fe) .
Докажем теперь теорему единственности. Фиксируем точку "г^ 2)
и докажем, что -/Y^ ^~с> • Т.к. JD - это область, то
существует ломаная А , соединяющая точки &> и  и лежащая в области
?) . Обозначим черезJ^ расстояние от /л до границы области 2)
Фиксируем на *~* цепочку точек ?&= н*> "Е.±,-.., Н*~"Н* таких,
что /^,А - 2.Г-4. I ^ J^J3 > j-d., 2,,.,К. Каждый из кругов
к!,-'. j"^-^,-/ <1J° принадлежит Т) и потому на эвих кругах /*
голоморфна. Представим -р на круге 1<?0 рядом Тейлора (см. П.5.1)
V-, a. N** «ПО УСЛОВИЮ ТбОрбМЫ
/ /^2o}=o > и-^ о, ± .. и потому на круге /<f0 функция
"М^ *= о * Точка 2д ^ лежит внутри А<в _» и потому У ^}~.
ь-st? i 2. * ПеРех°Дя по цепочке ^?;"}от точки к
точке и повторяя проведенное рассуждение, получим, что на каждом из
кругов fcj функция -fi равна нулю. Таким образом, в точке
-?¦*?. К функция •/¦ равна нулю. Теорема доказана.

П.5. - 136 -
7. Эквивалентность различных определений голоморфности
Пусть К - открытый круг радиуса R. с центром в точке ее
и ¦+?. /"/{/?,) • Тогда т обладает следующими свойствами:
1. г представима формулой Коши rffe)=fr* \ —г—= Л •*
Это равенство верно для всякого круга \? С i^ , содержащего
точку 2. (см. П.4.1).
2. -Р представима на К степенным рядом -/Y^O "=•
= ZT^^^-лЗ (см. П.5.1).
3. Во всех точках круга }С -/дифференцируема по
комплексной переменной (см. 11.2.1).
4. "г имеет в круге /^ первообразную (см. П.2.б).
5. Действительная и мнимая части -f связаны условиями
Коши-Римана, или, что то же самое -f~ —i С? (см. П.1.3).
гг
6. -f удовлетворяет в круге /^ условию Мореры, т.е. /^
непрерывна на К и для всякого треугольника Т , лежащего внутри
f //gOtfTZ: =о (см. П.2.6. лемма Гурсы).
7. На всяком замкнутом круге \^с К функция -Г может
быть с любой точностью равномерно приближена многочленом от "Z.
(см. П.4.7).
Каждое из этих свойств может быть принято в качестве опреде-
*) г
лбния функции, голоморфной в круге: если т определена в круге
и обладает хотя бы одним из этих свойств, то -р голоморфна в АС
В качестве примера докажем, что из свойства б следует, что
Теорема (Мореры). Если ~f удовлетворяет в круге условию

П.5. - 137 -
Мореры, то она голоморфна в этом круге.
Доказательство. По лемме Мореры / /2) = 1 -Л*У)я^
?*,гз
является первообразной для -f . Это означает, что -/* **
дифференцируема в К и, следовательно, бесконечно дифференцируема.
Поэтому ? -=. (?*") дифференцируема и, следовательно,
голоморфна в К. •

П.5. - 138 -
Упражнения П.5 (Аналитичность голоморфной функции.
Ряд Тейлора)
«^ w
1. Переразложить ряд у] =— по степеням (^-1.) .
2. Пусть р(Ъ^) - многочлен и Уим^ I Р'^м^ A.
Тогда каждый из коэффициентов этого многочлена по модулю не больше I
3. Целая функция f , удовлетворяющая уравнениям -ffe+i)-^
=.?(Ъ). «?fe-t-0 "=4YO для всех "Z постоянна.
4. Можно ли указать функцию -fi^Q , аналитическую в круге
/?-Jz.d, , равную нулю в бесконечном числе точек этого круга?
5. Бели -Р вещественно аналитична на интервале
вещественной оси, то она является ограничением функции, комплексно
аналитической в окрестности этого интервала.
6. Пусть функции ~Д^ м-4., г.>. . . голоморфны в круге
\Ъ\?4. и Iruslt-L Au = i -у • Тогда из последовательнос-
ти ^-/т~3 можно выделить подпоследовательность, равномерно
сходящуюся внутри указанного круга.
7. Найдите общий вид четной целой функции.
8. Если •? - целая функция, то существует натуральное гъ >
такое, что -//"?) -? f~*-\
9. Если функция непрерывна на замкнутом круге /^ и
голоморфна внутри круга, то ее с любой точностью можно приблизить на /<?
многочленом от "Z:
10. Если целая функция г на вещественной оси принимает,
вещественные значения, то -//?") "= ^//%J
11. Если -/ вещественно аналитична в области J^ и равна

П.5. - 139 -
нулю на некоторой подобласти, то она равна нулю на всей области.
12. Если •+¦ - целая функция и
/кё-С )&-?-?- > то •/* линейна.
13. Пусть-/* - целая функция, такая^что при всяком 2
УуЛ>У*{1?(Ъ)\ //fe|}4i .Тогда/ линейна.
14. Если 'Ьи гармонична в открытом круге /<Г , то для любого
треугольника 7 , лежащего в К выполняется
/
15. Если 1L гармонична в круге К , то существует "Ъ-
гармоническая в f( такая, что tt+dv голоморфна в К .
16. Если ~г голоморфна на круге |^/^4_ , то найдется
натуральное Vv такое, что -уС /* ¦?, ") -Ф —^
17. Если -f непрерывна в С. и голоморфна вне вещественной
оси, то она целая.
18. Если -? непрерывна на круге /?/?? , голоморфна внутрь
этого круга и на какой-либо дуге окружности |^/^А равна нулю,
то -/¦— о
19. Пусть -f-(^) принимает вещественные значения тогда и
только тогда, когда ^ вещественна. Тогда -г имеет по крайней
мере один нуль.

П.б. - 140 -
§ б. Изолированные особые точки функции^ Ряд Лорана.
I. Обобщенные степенные ряды. Теорема Лорана.
Наряду с разложением Тейлора для записи функций используется
так называемые обобщенные степенные ряды, а именно, ряды вида
/ . С^(т?-<ъ) . Коэффициенты ?CtJ^ и центр разложения
- это комплексные числа. Мы будем говорить, что обобщенный
Си
ряд / > Wf с ?-*ъ) сходится в точке 2. t если в этой
точке сходится каждый из двух рядов ^~г, С^(Ъ.-си) и
. Обозначим через г\ радиус сходимости ряда
у ? ("Pz-olS^ ' а чеР63 ;^* ~ PaWc сходимости ряда
у^ л \^/к' ' ^3 те°Р6МЫ Абеля следует, что первый из этих
рядов равномерно сходится внутри круга 12-<М< К ^ а второй
ряд равномерно сходится в области \Ъ-о^[ > t .Ив этом
смысле мы можем сказать, что обобщенный степенной ряд равномерно
сходится внутри кольца 'й^/Я-аУ^/З . Это кольцо будем
называть кольцом сходимости обобщенного степенного ряда.Ясно, что
во всякой точке, лежащей вне замыкания этого кольца,ряд расходится.
Теорема (Лоран). Если функция f голоморфна на кольце К.'
T^li-CbKR , где О^Ъ^Йб»*^
то +• представима на К обобщенным степенным рядом
-ССО-2^» С*,(Ъ-сь) • Представление функции ~р на заданном

П.б. - 141 -
кольце К обобщенным степенным рядом по степеням (?--<*-)
единственно, и коэффициенты ?C^,j вычисляются по формуле
окружность радиуса J° ( t^J°*-Rj с центром в СЬ ,
ориентированная против часовой стрелки.
Обобщенный степенной ряд ^ С^С^-а) , задающий функцию
-? на кольце К \ /t<^/^-ai< R, , называется рядом Лорана
функции f на кольце К • Коэффициенты ряда Лорана функции -f*
вообще говоря, зависят от выбора кольца. Однако, если функция и
кольцо фиксированы, то представление в силу теоремы Лорана
оказывается единственным. В частности, если функция ? голоморфна в
проколотой окрестности точки CL , то в такой окрестности •/*
задается обобщенным степенным рядом. Этот ряд мы будем называть
разложением Лорана функции f в точке Со . Отметим, что этот ряд
не зависит от выбора ? . Из теоремы Лорана следует, что если f
голоморфна в точке CL , то разложение Лорана -р в точке CL
совпадает с разложением Тейлора функции т по степеням (Ъ.-<*^
По аналогии, с тем, как это делалось для коэффициентов ряда
Тейлора, можно оценить и коэффициенты ряда Лорана, а именно,
используя формулу для коэффициентов, нетрудно получить следующие
оценки, называемые неравенствами Коши: если t^J0*- R , а
функция f на окружности YBc j°) ограничена по модулю кон-
стантой ДУ , то коэффициенты ^С^} ряда Лорана ^~] Си.(ё.^Н^)
функции-f на кольце Ю. ^ 4 I "Ь - "?•©{ ? R , удовлетворяют
неравенствам \Cw\ 4 — ( ^ <? 2г/ • Действительно,

П.6. - Ш -
1-1Ы ?Ь**\<Ь$««г-?
Доказательство теоремы Лорана. Фиксируем пару чисел 2 и ?
удовлетворяющих неравенству 'fc. ^. t* г^. R ^ R .На кольце
К 1 t. ^ /2 -2» /^ ^ функция -/* голоморфна, и потому во
внутренних точках этого кольца она может быть задана формулой Коши
-г * 2«i J V-
По аналогии с тем, как это делалось в доказательстве теоремы об
аналитичности голоморфной функции, запишем интегралы, стоящие в
правой части последнего равенства степенными рядами. Фиксируем
и преобразуем подинтегральные выражения. Если ^ принадлежит
окружности )(YZo, К. ) , яо ^ ° I =• <? ^. 4
( Q, не зависит от fc ). и поэтому -— ¦=
mj {
Ряд 7^ / ^—lu° \ на окружности /? - 2©/ — R
мажорируется геометрической прогрессией ^ ¦ *у и потому
равнее
номерно сходится на этой окружности. Следовательно, и ряд

П.б. - 143 -
/ —— —- равномерно сходится на этой окруж-
ности, и.используя правило перестановки 21 и j , мы получаем
,ГД6
это J (*-г.)М«
Аналогично, для точек ^, из окружности УB0 Т.*) выполняется
_ j ч - *Л i /
и 2
неравенство [1—52 I ^ <7 ^ ^L И
_ _ f^ ffsM-*«>k'A
2ffC «1г*; ' И1ак> „-

П.б. ~ 144 -
+ 21 C_^("Z~?o) = Z-~ ?и.(Ъ-'г.о) . Мы доказали, что 4-
представима на К обобщенным степенным рядом.
Выпишем формулу для коэффициентов. Пусть ? представлено
на N обобщенным степенным рядом т ^ zl &и.(Ъ- 2с)
Зафиксируем целое w и J° , удовлетворяющее неравенству
7*^ Р ?* * ^азДелим °бе части равенства ? =?
/У (т*--*.\ на I «~ со J и проинтегрируем обе
части равенства по окружности У (^ fj . Получаем
J С ^ ~^э)^1 *,>.» «чк'*~<^ • Из сходимости ряда
на ]< и теоремы Абеля следует его равномерная сходимость внутри
кольца К и, в частности, равномерная сходимость ряда на
окружности YBo; Sy . Поэтому, переставляя 2, и J , получаем
^-ifc/v , то 3 <**=-° , и, слвдова-
тельно, г j ft) /^ , \ -^гЛ=2^\
т.е. О-к, - зш J С*-^)^1

П.б. - 145 -
Так как -f голоморфна на кольце К , а, следовательно, и
^2~ZTv»+i голоморфна на К , то в силу следствия
теоремы Коши \ ~ '. с|=ь при всех значениях р от ^с,
до R имеет одно и то же значение. Последнее верно при всех
ha (-.*»,__ <^>") . Это означает, что на всяком кольце )<? <С К,
функция f- задается одним и тем же обобщенным степенным рядом по
степеням (Ъ-^о) , и мы можем сказать, что этот ряд задает -f
на всем кольце К , и коэффициенты этого ряда вычисляются по
вышеуказанным формулам. Теорема доказана.
2. Устранимые особые точки функции
Понятие изолированной особой точки было введено в начале этой
главы в § 1.3. Напомним, что точка CLC (С называется
изолированной особой точкой функции /Г t если -f голоморфна в какой-нибудь
проколотой окрестности точки CL , но не голоморфна в этой точке.
Изолированные особые точки делятся на три класса: устранимые особые
точки, особые точки типа полюса и существенно особые точки.
Изолированная особая точка си?<Е функции ? называется
устранимой, если можно указать функцию -Р , голоморфную в ^2-
и равную функции *р в какой-либо проколотой окрестности точки &~
Иными словами.особая точка называется устранимой, если пункцию -fi
можно доопределить в точке G* (или переопределить, если -р была
определена в CL ) таким образом, чтобы полученная функция
оказалась голоморфной в этой точке. Например, функция *ffe)~
в нуле не определена и, следовательно, не голоморфна. Однако,
полагая Jp-(o) -4. и записывая ~Р в виде -f~ d - -г-] 2Z-*U
+ JL. g-*— *-- ъ мы можем сказать, что Jf(%)= Ю$ =а
djf j i-^+J. -^ч_ч голоморфна в нуле.

П.б. - 146 -
Лемма об устранимой особой точке. Если функция -?(ъ)
голоморфна и ограничена какой-нибудь проколотой окрестности точки
&<? С ' то можно Указать число С© , такое, что функция
Я-/ ч ^f I ^fZ) ПРИ ^^^
f(Ъ) — ^
? Со ПРИ ^ "сг-
будет голоморфна в точке ^ .
Доказательство. Пусть (L&C . По условию леммы можно указать
^ <5 , такое, что в проколотой Е~ окрестности ^i точки
О. функция ?(ъ) голоморфна и ограничена. Запишем + в С^
ее рядом Лорана лагая
М - Ь^ / 1т^I , из неравенств Коши для коэффициентов
ряда Лорана получаем | С^| ^г т^?, -> v^ ^. ^ . эти
неравенства выполняются при всех положительных J°^-? . Переходя к
пределу при j9^v>o , получаем, что при отрицательных W С-и-^о^
т.е. / представима в Cg степенным рядом ^fe)-^Z2 Су%,(т*~а-)К
Сумма степенного ряда голоморфна на круге сходимости, в частности,
она голоморфна в точке <**. Поэтому мы можем сказать, что
- л М* J •?& при "В * *-
/B-) •=• У „, голоморфна
т г! л/Vq при -^ — д^.
в точке 6^ . Таким образом в случав G* €. dZ лемма доказана.
А
Пусть &. — *¦*» . Выполняя замену W- ^" , замечаем, что
1Р(ч/)~?(ъ)
голоморфна и ограничена в проколотой
окрестности точки V*o . Следовательно, можно указать С0 такое,
что

П.б. - 147 -
I С0 при \W^O
будет голоморфна в точке \)(/"=-о . Поэтому
If ^J { ^ ПРИ "* *
^"' 7 ^ при г»
оказывается голоморфной в точке  -с**» . Лемма доказана.
3. Особые точки типа полюс. Понятие мероморфной функции
Точка CL g (С называется полюсом функции •? , если f
голоморфна в проколотой окрестности этой точки и -&** -гЛ2/=•<*•=>
Пусть CL - полюс функции / . Тогда -&Ьи ~*7\ — ev,
и, следовательно в достаточно малой проколотой окрестности точки
/
СЬ функция 7Т^\ ограничена. По лемме об устранимой особой
точке функция / cf*f f j^- при '?Ф<2-
голоморфна в точке *• , и мы можем говорить о порядке нуля этой
функции в точке о- . Определение порядка нуля (дм. в § 2.6 J
Мы будем говорить, что функция {- имеет в точке <2. «?Г<с*
полюс порядка р , если Я/ч.; имеет в Си нуль порядка /э
Если точка СЬ?<С является полюсом порядка^ функции -/*
то из определения порядка нуля получаем, что ряд Тейлора функции
2ТЪ\ имеет вид ф?^ - ?^ €ь,(ъ-ои)~ , где ?р^°.
Поэтому при '2-^Л- функция -Pfe) записывается в виде
JLfe)^ ~? fife' * гДеJ?/y~ функция, голоморфнаяв точнее

П.б. - U8 -
и при этом Я^0^ ^*° • И обратно, функция fY?) такого вида
имеет в &> полюс порядка р . Таким образом получается, что
точка СЬ является полюсом порядка р функции / в том и
только том случае, когда -ff1^ (при ^.фвь ) представима в
виде ~ffe) = Cz^ff}^ , где p~?i , ъЯ(Ъ)-*
голоморфна в точке Ои и в{сь)фО . Аналогично, /~ имеет
вТг,,-*5 полюс порядка р в том и только том случае, если т(ъ)
представима в виде /Yil^-Z ?("& , где р~^±>'Ъ» Ч (It)-
- функция, голоморфная в бесконечности и Q (<?*>)¦& о.
Например, -/Y"?)~ "€ имеет в нуле полюс, и его
порядок равен I. Функция тт—_, имеет полюсы первого порядка
в точках 2.= /С7Г ., и ^ ^ ^ Х- ФО • Многочлен степени и^1
имеет в бесконечности полюс порядка Vv* .
Функция -?* называется мероморфной в точке &, <^<? э если
выполнено одно из двух: или ~f голоморфна в CL , или -/* имеет
в CL полюс. Функция называется мероморфной в области ъ . если
она мероморфна в каждой точке области JD . "мероморфный" означает
"задаваемый дробью" (от греческих J^EpoO" - часть, дробь и
tfojPiPoGT - (форма, вид).
Если точка CL является нулем функции -/Ут2)?о > то
по теореме единственности в некоторой проколотой окрестности точки
О, /не обращается в нуль и в силу непрерывности в доста-
точномалой окрестности точки &> она не имеет полюсов.
Аналогично, если -f имеет в точке с&. полюс, то в некоторой
окрестности точки Со т не имеет ни нулей ни полюсов. Таким образом
множество нулей и полюсов функции, мероморфной в какой-либо области?
дискретно в этой области. Иными словами, нули и полюсы могут накап-

П.6. - 149 -
ливаться только к границе области, или, что то же самое, на всяком
компакте, лежащем в области D , -f(^) имеет конечное число
нулей и полюсов.
Рассмотрим один пример. Пусть ¦+ мероморфна во всей
расширенной плоскости. Покажем, что в этом случав -f является рациональ-
ной Функцией, т.е. представимыв виде +(.Ъ) ¦=¦ "Т^ТТ: , где
- многочлены. В рассматриваемом случав мероморфная
функция записывается явно заданной дробью и в этом смысле
оправдывает название "мероморфная".
Множество нулей и полюсов мвроморфной функции дискретно и
потому в данном случае оно конечно. Пусть Ct± CLz,... ct^ ~ BCQ
нули функции -ffe) , лежащие в С , Эь iitit. 4'/ъ " все
полюсы •? , лежащие ъ С-\ hLt /vi,.n Y\± и pi.j ^ __^ р^
- порядки нулей и полюсов соответственно. Положим R(^)= PC'fej
где ?С^ П (*-*})' и <$>(*ЬП(*-<-)*
Г' ^ ^
Функции т и R. имеют в <L одинаковые множества нулей и
полюсов, точнее, вблизи всякой точки С -?4 L/ CLr
в проколотой окрестности этой точки функции -/ и /< представимы
ввив -РЮ^Гъ-с^УГ*) , КЮ-(ъ-сТрЪ\
где У и J° голоморфны в С и не обращаются в этой точке в нуль.
Следовательно, в проколотой окрестности точки С выполняется
равенство "??1? = ^ - голоморфна в С и - ¦ т*- О
Поэтому особенность — в каждой из точек ^^'3 U ? ъ{_^
является устранимой и потому, доопределив должным образом это
отношение, мы можем сказать, что ~- голоморфна всюду в (С . Ясно

П.б. - 150 -
также, что jt всюду в С- не имеет нулей. Кроме того, из
мероморфности У%0 и R(b) следует, что функция ~^7^л имеет
на бесконечности конечный порядок роста, т.е. можно указать
натуральное 6 такое, что «^** ——iL -^o . Следова-
тельно, по теореме Лиувилля, __iB: является многочленом (см.
следствие теоремы Лиувилля). А так как ?_Х_Ё/ не имеет в (€
нулей, то
¦= к-~ C&te'z, . Таким образом, т( 2^"="
Я/'г)
rlil^a , , .— =• , где rl ^ и С*т?/ - многочлены.
Q(& QC?>
Утверждение доказано.
4. Существенные особые точки.
Если CL является устранимой особой точкой функции -T~fe)
или ее полюсом, то существует. Действитель-
но, если точка <Х является устранимой особой точкой, то в
некоторой проколотой окрестности этой точки -rfej является
ограничением функции -f , голоморфной в Си t и потому ^** /г ^
существует и равен w*7 /-/zJ^cto . 6СЛИ ТОчка ^2.

^-появляется полюсом функциит^%Р , то по определению «W -/Vg)
существует и равен бесконечности.
Если изолированная особая точка <2- функции -fife) такова, что
?(?) не имеет предела при г^^- ,-^ е. , то такую точку мы
будем называть существенно особой точкой функции ^т^) . Например,

П.б. - 151 -
для функции S точка Z*-»*» является существенно особой
4
точкой. Функция 3ini не имеет предела при г-*-»*» , однако,
нельзя сказать, что бесконечность является существенно особой
точкой этой функции, поскольку «^ в данном случае не является
изолированной особой точкой функции.
Теперь необходимые определения даны, и мы можем сказать, что
всякая изолированная особая точка Q- функции -fife)
принадлежит одному и " голько одному из трех классов - она является или
устранимой особой точкой, или полюсом, или существенно особой
точкой. Если e&j^7 -ff^^L&o - это устранимая особая точка,
если ¦&>* -PC^.)=-c^= - это полюс, если -*?•*** H'S)
не существует - это существенно особая точка.
О том, как устроена функция вблиди существенно особой точки,
можно сказать следующее;
Теорема (Сохоцкий). Если точка а~ является существенно
особой точкой функции -ffe) , то множество предельных значений
этой функции в точке а, совпадает с 42 .
Напомним, что число ©<?:<? называется предельным
значением функции ~ffe) в точке ^ , если можно указать
последовательность точек ^^ Ф а Л*=-?, 2,__ ) , сходящуюся к О-
таких, что &*ъ -hf^.ij)^4> • Утверждение о том, что мно-
жество предельных значений функции в точке <2- совпадает с <С
эквивалентно тому, что для всякого б& ? можно указать
последовательность точек ^h^a такую, что

П.б. - 152 -
Доказательство теоремы. Переформулируем теорему Сохоцкого так:
если -fife") голоморфна в проколотой окрестности точки О- и
множество М её предельных значений в точке <2- не совпадает с С
то -fft) имеет предел при "gr-^a. , "S^CL. Докажем это утверждение.
Так как ?. \ М не пусто и открыто в (С , то можно указать точку
? у ^^ , принадлежащую С- \ М . Если предположить, что для всяких
? >о и о у-О можно указать "Z- Ф <2- такое, что /^-сь/^.0
, то можно было бы выбрать
последовательность ~?b,-=?GL ( Ъъ.'&бО, hs&,2.t_. .. такую, что
?/^ь,)-*> -4 . Последнее невозможно, поскольку *& не
принадлежит М • Это означает, что можно указать ? >о и о >0
такие, что для всех Ч.-^сь- , лежащих в круге /^.~сь(?.?
выполняется неравенство t-P('b)— ^\>S. • Из этого
следует, что функция <рГ?.}*2:— г в проколотой <э - окрест-
ности точки СХ> ограничена по модулю константой ^ . Тогда по
лемме об устранимой особой точке функция г <Р(ъ') при ^Ф^.
<Р(Ъ> - 2 Со при "b-*-
голоморфна. b)-2~u\<W, следовательно, функция /V^)-» -1_-ь-6
имеет предел при
?^^>cl, 1^Фс?) . Теорема доказана,
5. Описание особых точек в терминах ряда Лорана.
Пусть <х* ?. (С- - изолированная особая точка функции ~Р .
По теореме Лорана в проколотой круговой окрестности точки Q- ,
внутри которой функция голоморфна, мы можем записать т^ ее рядом
Лорана Зная коэффициенты ряда, можно
судить о характере особенности пункции в этой точке, а именно,
верно следующее

П.б. - 153 -
I) точка CL является устранимой особой точкой функции
в том и только в том случае, если при всех отрицательных значениях
h, Cvu -О \
с) функция ?(Ъ) имеет в точке ее полюс порядка /о в
том и только том случае, если С-рФо и С^ ^ о при
всех к^.-р
3) точка съ является существенно особой точкой функции
в том и только том случае, если С^Ф& для бесконечного числа
отрицательных значений индекса к> .
Если функция + имеет изолированную особенность в
бесконечности, то, аналогично, зная"коэффициенты Лорановского разложения
функции в бесконечности -ffe) — JS с^ ^ , можно судить о
характере этой особенности. Однако, необходимо обратить внимание, что в
этом случае тип особенности определяется числом отличных от нуля
коэффициентов при положительных степенях . .
Докажем утверждения 1)-3).
Если точка ci- является устранимой особом точкой функции т
то, по определению, соответствующая функция <~ (?(ъ) при*!***
(Со ПРИ г=а-
голоморфна в CL и потому может быть задана рядом Тейлора
ХB:)~= 2Z ^*** (Ъг<*>¦> . По теореме Лорана представление функ-
' *ч = ©
ции ~? обобщенным степенным рядом единственно, и потому лоранов-
ское разложение совпадает с рядом
Тейлора -ffe) =¦"? - &~^(ъ~а'/ , т.е. эти обобщенные степен-
ные ряды имеют одинавовыв коэффициенты. Следовательно, при всех
отрицательных w С^~=-& . Обратно, если при всех отрицательных
w c^~>& , то вблизи точки <2- функция т~ задается рядом

П.б. - 154 -
^*)»SCh,(*^ -Поэтому ?.^{** ПР" Z*°-
с~° при г=-о_
голоморфна в точке ^, т.е. CU является устранимой особой точкой.
Если функция ¦?(%) имеет в точке ^ полюс порядка /^>
то, как показано в разделе 3, /° представима в виде
~ fo^o5f$ * ГД6 п^~ функция, голоморфная в ^ , такая,
что 9 fa) ^® • Представляя Q рядом Тейлора
^2- )= Z->ab-( Ъ-а*) t по лучаем -/-(ъ)-= ^ _^ Р Z_i
-^-г л ( ?-о>) , т.е. разложение лорана имеет вид
.v.
?(ъ)~ 21 С'К.^-сО , где Ср*° . Обратно, если
лорановское разложение имеет указанный вид, то -ffel ^
где 4(aJ ±°
Утверждение 3) является непосредственным следствием уже
доказанных утверждений I) и 2). Действительно, если точка л- является
существенно особой точкой, то она не является ни устранимой особой
точкой.ни полюсом. Поэтому в разложении Лорана содержится
бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (^.-аО . Обратно,
если ряд Лорана обладает указанным свойством, то точка а^ не может
быть ни полюсом, ни устранимой особой точкой, и потому является

П.б. - 155 -
существенно особой точкой.
6. Использование лорановских разложений для вычисления вычетов
В четвертом параграфе этой главы было рассказано о теории
вычетов** Основной факт этой теории - теорема о вычетах - состоит
в том, что интеграл от пункции по замкнутому контуру равен сумме
вычетов в особых точках, лежащих внутри этого контура. Эта теорема
имеет многочисленные применения. В частности, мы использовали
ее при выводе формулы Коши; в следующем разделе будет рассказано,
как с помощью этой теоремы вычисляется несобственные интегралы
функций от вещественной переменной. Здесь мы сформулируем несколько
правил для вычисления вычетов.
1) Пусть {(ъ) —2lL CwC^-^ - разложение Лорана
функции 4- в точке <Х*Ф<*=> . Тогда вычет &^~f- С-<
си
Действительно, выбрав окружность о с центром в точке си .
лежащую в достаточно малой окрестности этой точки, и ориентировов
эту окружность против часовой стрелки, мы можем написать Йл^ р(ъ)~
си
•= т~. \\(\)d\ . По теореме Лорана заданный ряд сходит-
ся на окружности )f равномерно, и поэтому, переставляя знаки
интеграла и суммы, получаем
поскольку \ (^~о-Г) d^^o при всяком К^-4 и
2) Если вблизи бесконечно удаленной точки -И2) задана рядом
Лорана вида -ffe)- jjEL?*"^'*^ , *о вычет
Йол А-Сд. • В данном случае знак перед С_± отрицательный

П.б. - 156 -
поскольку, по определению, вычет в точке «^ - это интеграл по
окружности, ориентированной по часовой стрелке.
Это утверждение доказывается так же, как и предыдущее.
Подчеркнем, что представление -f вблизи бесконечно удаленной точки
обобщенным степенным рядом указанного вида, вообще говоря, не
единственно. Оно зависит от выбора cl . Но коэффициент: с_д от выбора
CL не зависит.
3) Если т вблизи точки СЬФ**** может быть представлена
в виде /г?/- WI) * где & и ^ Г0Л0М0Рфны в Ol и при
этом }А имеет в о^ нуль первого порядка, то /^е^ /*» . ^
л^ ^?&)
Действительно, представив ^ в виде ^/дО- ГЪ-л^СТк)^
vRs^fe) голоморфна в а- и ?#**)+ о , мы можем сказать, что
tyn голоморфна в точке A* и потому, используя ранее доказанное
правило вычисления вычетов (см. лемму а«3> §А ), получаем
fef, fo * = Г^\ Но 9 & - №
Р г - ?*Ъ>
Следовательно, Кл*>-г - "ГТТ \
4. Если -р имеет в з?очке сьФа^ полюс п&рядка ?> , то
•.'•«из. «^^"
Действительно, записав -/- рядом Лорана
умножая обе части равенства на ( Ъ-Ц и дифференцируя полученное
тождество (f-C) раз, получаем, что
~=.(р-?)\ С-д. . Но в силу утверждения I Яая -г — С-д и тем
самым утверждение 4- доказано.

П.б. - 157 -
5. Если функция -f голоморфна в бесконечно удаленной точке,
то &*-f(« - -&*¦ ^№)~-РС<*-)).
Это утверждение легко получить из утверждения 2, представив -f*
вблизи точки «*=» рядом Лорана.
б. Если т голоморфна всюду в С за исключением конечного
числа точек Ct^ ^ CLW , то в силу следствия 2 теоремы
и. ,
о вычетах у^ ft^-f- Л- R*^-f ~о • Это равенство позволяет
a-» s °°
вычислить вычет в любой из точек CL* через вычеты функции в дру-
6
гих особых точках и ее вычет на бесконечности.
7. Вычисление несобственных интегралов
Пусть +(ъ) - рациональная пункция, т.е. пункция вида
г^' /55)» где г и Q - многочлены. Вычислим несобственный
интеграл . Для того, чтобы этот интеграл сходился,
будем предполагать Q(t) ?0 на вещественной оси и степенир
многочлена Р@ и Q, многочлена связаны неравенством
<^> Р+2 • Пусть (Хл>__ <ZW - корни многочлена QB~)
лежащие в верхней полуплоскости. Обозначим через fl (X)
полуокружность радиуса %, с центром в начале координат, лежащую в
верхней полуплоскости. Эта полуокружность ориентируется против часовой
стрелки. Обозначим через МЮ ^4° 1#^' . Так
как б ^ р+г , то М(%)-= ОС^г.) при t -^^ и,
следовательно, """^ О при х.-*>о*=> • Будем счи-
тать, что "? велико настолько, что все корни ?a-jj лежат внутри
контура f-7*., ^3 U V(^ • По теореме о вычетах

П.б. - 158 -
^аЛхч \*Шч. ~zri? Я^-Р
Устремляя ^ к с^= , получаем } -их)**-— 2ЯЧ 4^ f
Такова формула для вычисления несобственного интеграла от
рациональной функции.
Теория вычетов позволяет также вычислять интегралы типа
преобразования $урье . Формула для вычисления
интеграла такая же, как и в случав рациональных функций:
J О J
где <Zs - особые точки функции -/Vz/e ^ лежащие в верхней
полуплоскости. Однако, в этом случае оказывается более трудной
оценка интеграла по )f(t>) . В ряде случаев оценка этого интеграла
получается с помощью следующей леммы.
Лемма (Жордан). Пусть -pfe) - функция,определенная на верхней
полуплоскости: IL^^-^O такая, что
- верхняя грань на полуокружности . Тогда при
всяком О^У О выполняется равенство
Доказательство. Полуокружность ff(o^) разобьем на две дуги,
а именно, j!f - это четверть окружности, соответствующая изменению
Affl от о до T/<i , а ЗС - часть окружности с изменением
Аъв от Ж. до JT •

П.б. - 159 -
Оценим интеграл j~rl*/t=- . Перепишем ^
в виде ei>a~ е.ур( i\ ъ (C&<fr I 4**\!Р)) >r*6 j?=^2
- главное значение аргумента  . Имеем /е /^
4 e^(p(~y/,C'ii^)p) * Но на отрезке от с? до —• ^С^^-^ —<р
и, следовательно, в силу положительности Л получаем, что при
¦Z <S Ky 1"^ 1 <- е ^ • Поэтому
I ttfe)eiA* J* I = IIV^.) ****** е^>Л| 4
If Г ^ ?А
= ^ г-? е"* *^/.*="^л ^- «"^ ^ *
при t.-^> <?*=*, поскольку <^hn *7(Ъ*)^о
Итак
Интеграл по о_ оценивается аналогично. А именно,
I (f^*uV«l 4 мы l^r-з^^, потому
из равенства j 4#/>(-^'t-4^#}rt.Jf, = С е^»/-Л'*-&^)*Л
получаем -&)/** J -к^/"^ ^ ^ -=с>
Тем самым лемма доказана.

П.б. - 160 -
В качестве примера использования леммы Жордана вычислим ин-
теграл J л . v"*- * СШ1^ Н6Ч6ТН0СТИ Функции —
интеграл f xCg5X / . поэтому t х>^х А, =
Для функции J7i^ соответствующая величина г\(*С) стремится
к нулю при /^,-»>о*> . Следовательно, по лемме Жордана
\ <я^-^ О при t, -^ •* . Поэтому — L \ оГх^
. n Ъ<?* - z/7^ — -^ ^=_F
Ответ: J* i±li_ </x ~JT

П.б. - 161 -
Упражнения П.6
(Изолированные особые точки функции. Ряд Лорана).
1. Существует ли голоморфная в С ч \р} функция ?(ъ)
такая, что |?(^)|>^'^ ?
2. Если -f голоморфна в ?\?о) и \-f (^1^ ^ГГЙ" ^ ^f >
i_
3. Показать, что в круге i'S.I^-l. функция €1 * принимает
все значения из С^о"}
4. Пусть f и 9 имеют в точке Zc^^ полюсы порядков
Ho и и, соответственно. Охарактеризовать особенности функций
5. Охарактеризовать особенности функций
Л , 4
а) ^ г2- , ь) с^ г. , с) —ъ , Д)
е
Ь
2-1
б. Выписать ряд Лорана для
J е^2-
а) j*4jb вблизи Ъ -О , в) ~ вблизи Z —о ,
J
с) 2_л вблизи ^Z .
V. Множество значений функции -f-=e. ?$ "з" всюду плотно в?
8. Подсчитать вычеты в особых точках функций
J j ± ±_ . _i
9. Вычислить интегралы \ &*-$ 2 ^^

П.6. - 162 -
10. При всяком натуральном Vv &.ьъ (i.-e*~y =4.
11. Если -f голоморфна на замыкании ограниченной области Ъ
и не имеет нулей на границе области ~?) , то
¦~v 1 Т7~^Г ® ™" ?-> ^ *=¦«*-/ (сумма берется по
всем нулям j из D с учетом их кратности).
12. Пусть -Р(ъ.) имеет в верхней полуплоскости -Zi,"E>0
конечное число особых точек #*,__, , &|^ , а также голоморфна во
всех точках действительной оси кроме точек х^ *-*.,-- -, *<с
являющихся простыми полюсами. Пусть -f^z)^>0 при ?^о
Доказать, что при 1Л>0
j^ wax i ^ &, ^ г, х.
13. Если 4 голоморфна в С\{(Р$ и при всяком a. <s C\i.O^
ряд Тейлора f по степеням (ъ.-с?) сходится в точке "Н -= о?
то эта точка является устранимой особой точкой функции -/* .
14. Доказать следующие равенства:
о,; \ _ dx — fT^s.
л -
^хг
Dfli^^x» |

П.б. - 163
*. \ ?
, где и ?.
г
** > ля- ^-i)! (
) j <U*% Ух = 2Г
fz*)/ !
Z.
<*а* <и^/с*л<?0 ^l/4-a/ ей/ &с>мал~М-оъо ^t^c^uCL. **»o**a*„, <&ол^>о„

Ш. 1.1. - 164 -
ГЛАВА Ш.
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ I. Геометрические свойства голоморфных функций
Мы рассмотрим здесь некоторые геометрические свойства
отображений, задаваемых голоморфными функциями.
I. Индекс пути. Изменение аргумента.
Фиксируем точку си? (С. и замкнутый- путь $ , лежащий в
? \{<х\ . Индексом пути Т относительно точки се будем называть
число ivvot {^{\Ои>) -?*±§ — • Говоря об
индексе пути относительно точки ^ = о » мы будем говорить короче - "
"индекс пути 0 ", не напоминая, что речь идет об индексе пути
относительно начала координат.
Изменением аргумента на пути 2f (вдоль пути & ) будем называть
число л Ач X J^ z \] — ¦= гтгсьЛТ
Ясно, что если Y - это rt. раз пройденная окружность
У7Л -^Z?rt I W6.7 » то iKdlf = Vv -число
О /С/ -<= | ^0> 2.1ГЛ '
обходов окружности. И в общем случае геометрически индекс пути
- это число витков, которое совершает точка о (^)
А
CMJ J. ?
двигаясь по траектории пути при изменении параметра t от а. до 6 ,
Аналогично изменение аргумента - это угол, который заметается
радиусом-вектором 0 (?) лри изменении параметра ~L от сь~ до 'о .
Докажем, что всякий замкнутый путь, лежащий в С ^ч-0} ,
гомотопен внутри Сл?о J Vv раз пройденной окружности
Ovu'^* |r 0 г<77 о ^ &~Ж • Из ЭТ0Г0 будет следовать, в
частности, что индекс замкнутого пути является целым числом, а изменение

Ш. I. - 165 -
аргумента кратно ZW,
Докажем сначала, что на всяком замкнутом пути Х(^-)\Га.Л1
лежащем в ?n \^0\ > можно выделить непрерывную ветвь
многозначной функции /1^4. . А именно, покажем, что существует непрерывная
функция ^(-Ь) такац, что при всяком i.?-L&-, ~?] значение .Aft)
совпадает с одним из значений Attf ("f(-L)j . Отрезок ?а, 4 J
точками Cl^ 0o ^Q±i^., ? CLn~ 4 разобьем на <^ равных
отрезков и выберем Q, столь большим, чтобы траекторию каждого из
путей JJ. = У/Га a.-j ^-А.2,...,^) можно было
заключить в какой-либо круг К ' , не содержащий начала координат
Такое разбиение возможно, поскольку q лежит в Cst®J
Над всяким кругом, не содержащим начало координат, Дъ# 2.
распадается на ветви, и при этом все ветви могут быть получены из
одной прибавлением к ней констант вида 2/ТК (см. 1Л.5). Пусть
(/* - это ветвь функции /1ъ? 2 над кругом Kf . Ветви ?j«
выберем таким образом, чтобы при всяком </-¦!, 2,..., ь было
выполнено условие Уг+х()С(йи)) =y?'flf{&'j)) • Этого можно добиться,
прибавляя к ветвям константы вида 27Гк , где К - целое. Функцию
У на отрезке ?сЬрл.; CLj J положим равной if: ^Jffw/ •
Из построения видно, что функция Л непрерывна на отрезке?#,?3
и при всяком ¦L&UJ3 b№& Aijftttti,
т.е. Л является непрерывной ветвью функции /I't&Z. на пути О
Искомую гомотопию пути У в Уу раз пройденную окружность о Vv
зададим в два этапа. Будем для определенности считать, что функция
Ш) задана на отрезке Со тЯ2 и 1§(о)-А- . Первый этап
задается семейством лежащих в С\/сО" путей flw(w =*[ jy»/jL)i "**
+ (l~U^) X\t)\ rl • Ясно, что при tc=C> соответствую-

III. I. -166-
щий путь д0 совпадает с путем $ . При tt=i соответствующая
функция $L(-L) имеет вид ^(?) = /уу2)Г ^Ф • и»
следовательно, \o±(ib)\ -4. . Последнее означает, что траектория
пути q,(?) лежит на окружности /2/=. . Пусть л(?) -
непрерывная ветвь функции Azf Z на пути фА ^4/ такая, что 0^о)-О
Так как ^ B?г) = J^(о) , то ^(ZV) =¦ 2?гь< ,где^<^^,
Второй этап гомотопии зададим семейством путей д^ ~ ^^Р\
iK>t + ^ («ЛСъу-кД.^ (i-Lc.)^) # при w» О соответствующая
функция имеет вид }f0 (h} *=¦ ^^^^^ ^=-
__ /» /,\ , поскольку 1)^FI =d. «Т.е.
путь У0 ("?/ совпадает с J^ (и) .При U^-4. соответствующая
функция имеет вид q± (i) •= •б?1' , т.е. путь о. - это К/ раз
пройденная окружность. При всяком 1*^ 6. С®, ±] путь #! яв-
ляется замкнутым, поскольку, как легко видеть,
(к± + а^) - ^)и -^))it=2F = г^
Таким образом, семейства путей Jf^^) и ft (iz) соединяют
заданный путь q и W раз пройденную окружность, и при этом
все пути этих семейств лежат в C'N^OJ' . Это означает, что
путь 0 гомотопен в ?а-(.о^т к» раз пройденной окружности
Y* - &^Цп . Так как W >* =а- , то из
теоремы об интегралах по гомотопным путям следует, что указанное
число К совпадает с индексом пути О
Лемма о "даме с собачкой".
Пусть ГШ\^ и (Г(ф+У(?))\ -замкнутые

Ш.1. -167-
пути, такие, что при всех tl??<l /J выполнено неравенство
| #(¦?)] i. | T(t) | . Тогда ' i.vj ( №*№)) = b*t fte)
Отметим, что из условия |(Y?)\? I Г (?) | следует, что
, и потому -Ся^ПЙ)
определены.
Содержание леммы можно интерпретировать так. Дама, гуляя по
парку, ведет на поводке собачку. Проходя мимо цветочной клумбы,
дама ограничивает длину поводка таким образом, чтобы собачка не
могла дотянуться до клумбы. Утверждается, что за время прогулки
собачка совершит вокруг клумбы такое же число витков, как и ее
хозяйка.
Доказательство. Рассмотрим семейство путей ГиД«) iCft. €j ~~
. При всяком значения
функции »иЛ?/ как функции от "^ принадлежат отрезку
lfft\f№+№3; так как / JffOU l Г(?>1
при всяком t указанный отрезок не содержит точку ^ =. о
Это означает, что все пути семейства /%*,(?) лежат в С ^{.о^
Следовательно, по теореме об интегралах по гомотопным путям
ал=ну* ..... $ И^Н*>
а это означает, что . Лемма доказана.
2. Логарифмический вычет
Пусть f мероморфна в точке cl , т.е. выполняется одно
из двух: или -? голоморфна в точке и. , или -f имеет в
точке CL полюс. Логарифмическим вычетом функции -/- в точке^

Ш. I. -168- /
называется число
Название "логарифмический" оправдывается тем, что
¦?-« Т~ uVu-rfe/ . Ясно, что логарифмический вычет -Г
-(: <*^ '
в точке CL равен индексу пути, который проходит точка ^^т(ъ)
при однократном обходе точки ^ по малой окружности с центром
в CL , ориентированной против часовой стрелки.
В силу мероморфности функция вблизи точки <2-
может быть записана в виде -//^)-=(^~о-.)р « f^) » где^/У -
- функция, голоморфная в СЬ ж -PfCL) -?0 . Если •? голоморфна
в си и -fifa^^o » то р — О . Если -/* имеет в О- нуль
порядка Уь^± , то /э — К, , и если /" имеет в <2, полюс
порядка Ь*^± , то p-=~l*s.
Покажем, что LdXLb f-C^t) -=p . Если Р — О , то
т ^/р(>л\ голоморфна в Со и потому Zt*^ ~гСъ) ~^
- йи^ j[ - о • Если P-to ¦ т0 ^'^
2=*, ^— ?— -s &^, -*— ¦+ ъ* <и&
Но йч> j^- rP и &^ <HL!r =o . Следова-
тельно, ^ге*
ё-а.
Итак, логарифмический вычет - это целое число, и это число в
следующей смысле характеризует функцию -t- в точке а. :
I) если Zt?-5 -рСё) = с? , то /* голоморфна в а. я{(бдфр'

Ш. I. -169-
2) если Zx*4 ><э , то -f имеет в сь нуль
порядка /v ;
3) если 1*%*Л -?(ъ.)-\л*?- о , то / имеет в а, полюс
порядка р = - к*
Лемма о логарифмическом вычете. Пусть I) - ограниченная
регулярная область, а т - функция, мероморфная в окрестности
замыкания этой области, не имеющая на ее границе ни нулей, ни полюсов.
Тогда 2jf? J 7v7T~ ~ ** ' » гДе Л' и Р - это
соответственно число нулей и полюсов (с учетом их кратности)
функции -f , лежащих в области Z) .
Доказательство. Пусть &±,—, ^ - нули -г в Т) ,
¦&,..- , »/» - полюсы •/ , лежащие в X) , a *Ч^ , У)^
и Д,..., Р^ - порядки этих нулей и полюсов. Функция ¦//Jr
голоморфна во всех точках I) , за исключением точек ?^\}
и L *t\ • Следовательно, по теореме о вычетах --• \ ?-а? »
= Т^ /X^S — "'"Zl ^* л . Из сказанного выше перед форму-
лировкой леммы следует, что /**4 /> ~ **у * <1 * '~~7 ->
а /Ц*> *-~ — -А ( ? ~i, г, __,/*>> . Суммируя эти равенства,
получаем 2/Fl J ^ * /г/ ^ ^Г
Лемма доказана.
3. Теорема Руше
Теорема. Пусть J) - ограниченная регулярная область, а г и
Г- функции, голоморфные на J) , удовлетворяющие во всех граничных
точках области 2> неравенству . Тогда функция

Ш.1. -170-
(F + -P) имеет в области 7) столько же нулей, сколько функция
Р Отметим, что говоря здесь о числе нулей функции, мы имеем
ввиду опять же число нулей с учетом их кратности, т.е. сумму
порядков этих нулей.
Доказательство теоремы. По условию теоремы в граничных
точках области 1> i-TLi. IF"! . Это означает, что Р и
т "= F~*-f на границе области Х> не имеют нулей. Поэтому,
учитывая, что F и Ф голоморфны на 1) и, следовательно, не
имеют на D полюсов, из принципа аргумента получаем, что число
М(Р) нулей функции F , лежащих в J) , равно \.wd F(d^)^
~~ л* Oj/ » где ^(Tj'J ~ набор контуров,
составляющих ориентированную границу области Т) . Аналогично, число
М(ф} нулей функции г , лежащих в , вычисляется по
формуле . По лемме о "даме с
собачкой" при всяком ^ выполняется равенство iiu/t(J\-)s
-=. uVu/ Р(У>) • Суммируя эти равенства, получаем
%Л9(ЪЪ) = uJFG>b) и» следовательно, А/(<р)^ А/(р)
Теорема доказана.
Рассмотрим пример. Сколько корней имеет многочлен 3? +
•+? + Л. в круге \Ъ \ *L ± ? Полагая РB") °~^ ? Ъ^
?(%} -=. 2 -f J. , убеждаемся, что во всех точках окружности
te/-=J- выполнено неравенство .
Следовательно, по теореме Руше искомое число корней равно числу нулей
функции 3?ъ , лежащих в рассматриваемом круге, т.е. равно пяти.
*> С*. ^т}~ i^b

Ш.1. -I?I-
Из теоремы Руше легко следует основная теорема алгебры:
многочлен степени w рОг^ •= ^w -+<^. ^.^""^ -*•... + <*-»
имеет Vv корней в С. • Действительно, полагая F(?) =? "g1^
и -р(%)^= tfi/Z^-r^.-tGLi^. , убеждаемся, что при всяком
достаточно большом R. на окружности 1Л=? выполнено
неравенство 1-flz.lFl , и потому в соответствующем круге
J2:l^>? многочлен Р(ъ) имеет столько же корней, сколько
функция ?(ъ) , т.е. w «Тем самым число корней многочлена
равно vv •
4. Принцип сохранения области
Некоторые теоремы комплексного анализа, характеризующие
геометрические свойства функций, называют геометрическими принципами.
Одна из теорем этого типа получила название "принцип сохранения
области". Если -р голоморфна в области X) и непостоянна в J)
то отображение ^/-.f('fc) является открытым отображением, т.е.
оно переводит всякое открытое подмножество J) в открытое
множество. В частности, оно переводит всякую область в область.
Фиксируем функцию -f и число о( .Точка -?0 называется с/~
- точкой функции ? , если значение ~f в точке ^0 равно о^ .
Будем говорить, что tLo является к-кратной ^-точкой функции
•f ( -f имеет в ILo значение кратности к ), если функция
4(ъ)~-<? имеет в точке *?0 нуль порядка К , иными словами,
если разложение Тейлора функции -тО) в точке ~&о имеет вид
/&> = </*бчЛЪ-Ъ0)*-К^ , где СЬ^ФО
Будем говорить, что точка ^о является простой U -точкой функции
4- , если она является однократной (А -точкой функции т , т.е.
если /teoW и ? (Ъ>)±0 m

Ш.1. -172-
Лемма о числе прообразов. Если функция ? голоморфна в точке
, то для всякой окрестности IL
точки ^о можно указать пару положительных чисел о и ? таких,
что о -окрестность ^s(^o) точки 20 принадлежит "Ц. и для
всякого оС , удовлетворяющего неравенству o<zlPfe0) — oCl<?&.
число <х -точек функции -г , лежащих в Су^(^о) равно кратности
значения функции ~г в точке ^о . При этом кратность всякой из
указанных о( -точек равна 4.. Иными словами, если точка оС близка
, то число прообразов точки оС при отображении
\ц/= ?(ъ) , лежащих в заданной малой окрестности точки Н'©
постоянно и равно кратности значения -г в точке ?0.
Доказательство. Зафиксируем какую-либо окрестность U. точки 20
Число о выберем малым настолько, чтобы, во-первых, на замйкании
Os \^-я) значение -ffeo) принималось лишь в точке ^0
и, во-вторых, чтобы в проколотой окрестности &? feo) точки Z0
производная функции -р не обращалась в нуль. Это возможно,
поскольку -ffe)-?-ffe0) и, следовательно, по теореме
единственности ?точки, в которых -?{ъ)~=4-№о) , не могут накапливаться
к точке ~?0 , и аналогично, точки, в которых •/" <&) — & , также
не могут накапливаться к точке Z0 • Обозначим через ?. нижнюю
грань значений /*ffe) -/>/2о>)/ на окружности /2-2<э/=#
Фиксируем </. такое, что / /(Во)-о^/ <? ?. . Рассмотрим
функцию ^УвР-о/ . Представим ее в виде //^р-^-
yfg)--}-iZo)—*? • По определению ?. на окружности /^""So/ -о
выполнено неравенство У> fc .A т.к.
l<f(%o)—dCl ? ?- , то на указанной окружности оказывается
выполненным условие /(р(Ъ)\ С J*P(*Zl)i . Следовательно,

Iil.I. -174 -
по теореме Руше число нулей функции ^(ъ) — о? , лежащих в
0{(%о) , равно числу нулей функции -/Уг^ —/Уг© J^
лежащих в Су$(Ъо) . Это означает, что число с\ -точек функции
f , лежащих в , равняется кратности значения /°
в точке 2о • Каждая из этих °С -точек является простой, поскольку
по определению о внутри производная не обращается
в нуль. Лемма доказана.
Доказательство принципа сохранения области. Открытость
отображения следует непосредственно из доказанной выше леммы о числе
прообразов. Действительно, если U С~Ъ - открытое множество и
отображение W- гУ*) переводит ?0 ^ 2) Б точку W0
то всякая точка, достаточно близкая к W0 , имеег в Ц. хотя бы
один прообраз, т.е. всякая точка W0 ^ -ffU) является
внутренней точкой множества /(УJ , это означает, что Ут^2/ открыто.
Если множество и связно, то так же будет связно
в силу непрерывности т • Это означает, что отображение 4/=-^^
переводит область в область. Теорема доказана.
5. Принцип максимума.
Непосредственным следствием доказанной теоремы является
следующее утверждение.
Принцип максимума: если функция /* голоморфна в области Ъ
и непостоянна в D , то для всякой точки ^?0 &J} выполняется
неравенство \{feo)l ?- 4"J> /~ffe)/
Доказательство. Положим ?"=• &**Ф /-/fe)/ . Ясно, что
отображение v(/—-rfe) переводит область 7) в множество,
принадлежащее замкнутому кругу 1С \ iw\ ^ Z. ¦ Предположим,
что существует точка 2© такая, что
_ гг. . Соответствующая точка Wo - -Р(Ъ^) лежит на границе

HI.I. -175 -
круга \С и, следовательно, не может быть внутренней точкой
множества -f Q>) » поскольку -f(T))c. К , а <С\К CL€\i(J>)
. Таким образом, оказалось, что -?(Ъ) не является
открытым множеством, что противоречит принципу сохранения области.
Теорема доказана.
Если функция {• определена и непрерывна на замыкании
ограниченной области 2^ , то из принципа максимума следует, что на
границе области ?> можно указать точку ^ , такую, что
\?{п )/ _ Пки^х- /4^/1У/ ' Эго дабТ возможность легко по-
нять, например, такое утверждение. Если последовательность функций
4?.*\ и-»? > непрерывных на замыкании JD области
7) и голоморфных в J) , равномерно сходится на границе области
J) , то последовательность ^-/м-У равномерно сходится на -25
к функции, которая непрерывна на __?> и голоморфна в 2) •
Действительно, в силу принципа максимума при всяких Р и о
уиш* \??(??)-Сс,(ъ)\ = *~ь*/{р(ъ)--&A4> Поэтому из равномерной
сходимости последовательности ^/^3" на границе -^ следует ее
равномерная сходимость на J) . Предельная функция непрерывна
на Д> . В силу теоремы Вейерштрасса о голоморфности предела
равномерно сходящейся последовательности голоморфных функций наша
предельная функция оказывается голоморфной в J) ,
б. Однолистные функции
Напомним, что функция /* называется однолистной, в области.^)
если она определена в 2) и задаваемое ею отображение w^-fte)
взаимнооднозначно в J?) . функция называется локально однолистной

Щ.1. 176 "
в точке Zo , если она однолистна в какой-нибудь окрестности
точки ~&о • Отображение 4J-+fe) называется биголоморфным в ?>л
у
если функция -?(ъ) голоморфна и однолистна в J) .
Сформулируем несколько утверждений об однолистных функциях,
являющихся следствиями доказанных выше геометрических фактов.
1) Критерий локальной однолистности: если •? голоморфна в
точке Яо , то она локальной однолистна в точке тЕГ0 тогда и
только тогда, когда ~f (Ъе>) '^а
Докажем этот критерий. Если -fi f^0)^o , то в силу леммы
о числе прообразов можно указать положительные о} е. • такие, что
функция J- определена в о -окрестности ?/§(Zo) точки ~?0
и из условия /o/~-ffeo?l-?? следует, что в ^р(^о)
Функция -f принимает значение о( один раз, т.е. в этой окрестности
имеется одна оС -точка функции -р и эта точка - простая. Из
непрерывности т- в точке 2 0 следует, что можно указать о 3
О ? $*/ S такое, что -ffC/g*feo)s принадлежит
О fffeo)) • Я круге C??(Zo) функция -f принимает всякое
значение не больше, чем один раз, т.е. ~? однолистна в этом
круге, и тем самым локально однолистна в точке 5?г> • Если
-f f-?ol=o , то кратность значения •/* в точке ^0 не меньше
чем 2, и потому, в силу леммы о числе прообразов, внутри всякой
проколотой окрестности точки 20 всякое значение, близкое к -ffej
принимается функцией по крайней мере в двух различных точках. Это
означает, что /* не однолистна ни в какой окрестности точки S
Критерий доказан.
2) Теорема об обратной функции: если / голоморфна в точке г0
и р fz0) 3*& , то существует функция <?{\Х/) , голоморф-

Ш.1. -177-
ная в точке \V0 - -t(^o) , обратная к -f , т.е. такая, что
a fffe)) •= "Z вблизи "Zo
Эта теорема столь же прост©, как и критерий локальной
однолистности, следует из леммы о числе прообразов.
3) Теорема о биголоморфности конформного отображения:
отображение w^-Pfs) является конформным в .?> тогда и только тогда,
когда оно биголоморфно в *]) .
В П.1.6 было доказано, что из конформности отображения в
заданной точке следует его дифференцируемость в этой точке. Конформное
в Т> преобразование, по определению, однолистно в Ъ , и потому
получается, что конформное отображение области _2> голоморфно и
однолистно в ?> , т.е. биноломорфно. С другой стороны, если
отображение биголоморфно в 5> , то оно, по определению, однолистно в Д>
и потому в силу критерия локальной однолистности
всюду в I) .В П.1.6. доказывалось, что если -/'Y&o^O ,*о
отображение W s ffe) конформно в точке -Zo • Таким образом,
получается, что биголоморфное отображение конформно. Теорема доказана.
4) Теорема о пределе последовательности однолистных функций:
если последовательность ?тъ,У ( Ь*9-*,?л„.) голоморфных и
однолистных в области Х> функций равномерно сходится внутри О к
непостоянной функции ¦/* , то эта функция •/* однолистна в 2> .
Доказательство. Так как -? непостоянна b_Z) , то по теореме
единственности для всякой точки ^ ?"Т> можно указать замкнутый
круг гС с центром в "Z"* , лежащий в D , такой, что на нем
функция принимает значение нуль лишь в точке с ^
Положим <? "= ^2^?- '^^)~~^$У/ • Так как по условию
теоремы
последовательность ?/L*} равномерно сходится внутри 7) , то

Ш.1. 178 ~
она равномерно сходится на К , и поэтому можно указать номер //(g)
такой, что во всех граничных точках круга К при Я< > /Vfej)
будет выполнено неравенство 14ь,B) — -ffe)/ ^ ?- • Поэтому,
полагая #2 Wfe) - <AV) и &(-&=?*(& —fty
из теоремы Руше получаем, что число нулей функции
<р+а> — -/hsfe) — -fife*) , лежащих внутри круга Af , равно числу
нулей /*(Р) функции ф в том же круге /^ . Это означает, что
при больших К* функция -?^(Ъ) — -ffe^J принимает в круге /<^
нулевое значение, т.е. функция /^ принимает на /^ значение 7^2"^)
Таким образом, получается, что если последовательность голоморфных
функций {_-f*S\равномерно сходится внутри 2) к непостоянной
функции, то во всякой окрестности точки Н при достаточно больших
К/ функция-/к, принимает значение -?fe*J . Из этого легко
следует обсуждаемая теорема. Действительно, если предположить, что /"
не однолистна в D , можно указать пару различных точек 2./ и t^
из таких, что . В таком случав оказалось бы,
что при достаточно больших ?и функция ть, вблизи каждой из этих
точек принимает значение . т.е. оказалось
бы, что -riv не однолистна в _Z) • Теорема доказана.
7. Принцип аргумента
Принцип аргумента - это правило вычисления индекса пути, или
изменения аргумента пути, который совершает точка -ffe) при обходе
точки Ъ по некоторому контуру Q . Условимся: ti^of4- f&b)-?:**
: г^Щ) и A hg -f№) tL" 22 Д А^\, где Ъ -
область, a ifjj - набор контуров, составляющих ориентированную
границу этой области.
Принцип аргумента. Пусть 2) - ограниченная регулярная область,
а -г -функция, мероморфная в окрестности замыкания области, не име-

Iil.I. -179 -
ющая на ее границе ни нулей, ни полюсов. Тогда
и А Аы-fOT))^ zfrftf-P) , где А/ и Р - это,
соответственно, число нулей и полюсов (с учетом кратности) функции
-f , лежащих в D .
Доказательство. Пусть ^ у1-У - набор контуров, составляющих
ориентированную границу области J) . По определению индекса пути
tha т(ц/ ~= 2дч J ~VV • Выполняя замену W- + fe) , по-
Щ) f
лучаем ъЬ-d f(l?A ¦= — [ ^^Ja- Суммируя по i получаем
, „, -^\ -=- ± ( Д*> j A- ( ill? Л*
Но по лемме о логарифмическом вычете rz- ) ?fe)
Следовательно,
8. Принцип соответствия границ
Область \)с<? будем называть жордановой, если эта область
ограничена, и её граница состоит из конечного числа попарно не
пересекающихся контуров. Напомним, что контур - это замкнутый путь
без самопересечений. Ясно, что всякая регулярная область является
жордановой. Отметим без доказательства одно характеристическое
свойство жордановых областей. Всякая точка ^ границы
жордановой области D в следующем смысле достижима изнутри области:
для всякой точки 2© ^ D можно указать дугу (незамкнутый
путь без самопересечений), соединяющую ^© ш \ такую, что все
точки этой дуги, за исключением % , принадлежат области v
Принцип соответствия границ формулируется так: Пусть!) и 1?
- две жордановы. области. Тогда всякое биголоморфное отображение

Ш.1. -I8'0-
\ц-=.?(Ъ) области "J) на ?> продолжается по непрерывности на
границу области ~Ь и при этом продолженное отображение
голоморфно переводит границу области "Ь на границу области *3)
Доказательство. Докажем, что и прямое и обратное отображения
областей равномерно непрерывны. Из этого будет следовать
возможность непрерывного продолжения рассматриваемого отображения на
границу области и взаимная однозначность соответствия между
точками границ. Предположим, что отображение Wafl^) не является
равномерно непрерывным в «D , й покажем, что это приводит к
противоречию.
Предположив, что биголоморфное отображение ]) на ?>* не
является равномерно непрерывным, мы можем указать две
последовательности точек {_СЬ^ и 3l ^*vj из области "J> , сходящиеся
к некоторой точке р , лежащей на границе области J) , и такие,
что соответствующие им последовательности ?-ffa*J)y и
^ ?{o>J)^ сходятся к граничным точкам области 3> , но при
этом пределы <5j = ??**, ?fctpj) и (ръ- -^^ ^-/г^)
не совпадают. Расстояние между точками Q± и й\ обозначим через
г оС .
Фиксируем какую-либо точку рс <? 2> и, используя жорда-
новость области D , внутри области З4» проведем дугу ^ ,
имеющую начало в Р0 и выходящую на границу в точке Р .
Фиксируем "t- ^ IРо -/У и проведём окружность радиуса ъ
с центром в точке Р . Дуга J имеет с этой окружностью
непустое пересечение. Двигаясь по дуге о от Рс к Р^
зафиксируем последнюю точку пересечения этой дуги с iJiPi'O . Обозначим

Ш.1. -181-
червз j компоненту связности множества If (Р;Ъ)ПТ) ,
содержащую указанную точку пересечения \ и jffR'w . Концы
интервала 0«ъ обозначим через CL и Л . Если Ъ достаточно мало,
то CL* и ^ принадлежат одной комюнеите границы области
и дуги и* р) ш IP О. являющиеся частями этой компоненты
границы, ограничивают вместе с интервалом '$\ односвязную область,
лежащую в 2) . Эту область мы обозначим через Т)ъ . Отметим,
что всякий путь, лежащий в D , имеющий начало в .D N J^t-,
а конец в Рт , непременно пересекает интервал (сь*} &*)
Будем считать, что ?CL*S^ и ? &*J^ выбраны таким образом, что
| #0*,)- Q*\ * 4 и I #*^ '-^^ i при всех
к/ . Т.к. область D жорданова, то мы можем также считать, что
при всяком К/ можно провести Ледащие в 1) дуги (/%*9 ^^>-))
, соединяющие соответственно
с /-V^Z*,) и -pf&) с //&*) и такие, что для всяких точек
У1 ? f/УЙ*.) ^fe«j) и Wt <? 6^0 ^^^ выполняется
неравенство l\tfi -Wzi>°? • Указанные дуги будут
удовлетворять этому условию, если они лежат в ^ - окрестностях точек 6^
и Уг. • Пусть lOLdJ) - прообраз дуги (-ffif^ ?(&*,))
и /rj. SiS) ~~ прообраз дуги . Будем далее
считать Ъ малым настолько, чтобы <2± и р^ лежали вне 7),,
a W большим настолько, чтобы 0^ и ?*, лежали в Т)^
При сделанных предположениях мы можем утверждать, что дуги
IOl QyS) и I *s- $J) пересекаются с ft1^ . Пусть
По построению / rY2,) - ? ^2,0/ ^<^ и» следовательно, из
формулы Ньютона-Лейбница получаем, что f ffr(%) I <#•*>></ ,

Ifl.I. -18*-
Перепишем интеграл ) \f (&]<*<*> в полярных координатах,
принимая в качестве полюса^точку Р . Имеем,
(fa
. Из неравенства Коши-Буняковского получаем,
Jo.
вательно
что С If'foUJf ? ^2Г { //fe?/ Z * Ъ</*) и, следо-
, sL 4 zrflf'f&i^icfa . но
-J ' J равен площади области tiJ^J и потому
он конечен. А из предыдущего неравенства, интегрируя по t от &
до любого &-?0 , получается, что
^ ) Т ~ . Получено противоречие. Тем самым, теоре-
ма доказана.
Сформулируем утверждение, которое в известном смысле
является обратным для принципа соответствия границ.
ПустьД) и !D - две жордановы области, a Y/--fYO -
непрерывное на 2> отображение, которое голоморфно в ]) и гомео-
морфно переводит границу области ?> на границу области "Т>
Тогда это отображение однолистно в области
Мы расскажем о том, нак доказывается эта теорема,
предположив дополнительно, что области регулярны, а функция-г
голоморфна на^) . Пусть ?)f:J и ? J* ^ - наборы конту-
ров, составляющих ориентированные границы 1> и D
соответственно. Можно показать, что для всякой точки o(€i?> ^1^кс^Ч: —
-</) » 4, cl для всякой точки с/ <?Г ?ЧЪ JP udCX?-.of)~ о

1H.I.
-183 -
Ho bj? (lTj*-et) -«.i/t \ >N-cL ^ ~
В силу принципа аргумента число нулей функции
лежащих в
=r <*2-« ^'^ v ( (// . Поэтому при </<? "?>V число с/ -
- точек функции /• , лежащих в D , равно I, и при с/<?<?41>
функция / не имеет <х -точек ъ13 • Это означает, в частности,
что при отображении sf/ =¦ никакая точка из области ъ
не может перейти в дополнение к 2> . Никакая точка из ТЗ
не может перейти также и в граничную точку области 1) , поскольку
в противном случае оказалось бы, что в силу принципа сохранения
области какая-то точка из J> перешла бы в ? \1> . Таким
образом, рассматриваемое отображение однолистно переводит ^>
на Х> .

Упражнения Ш.1 (Геометрические свойства голоморфных функций)
1. Если хли^\-=1с , то ^h^l(t) (где У\й.~Ж )
равен *> к.
2. Придумать функцию, голоморфную в круге /Z/^-i,
локально однолистную во всех точках этого круга, но не однолистную
в целом.
3. Если -f задает открытое отображение, то для f выполнен
принцип максимума, т.е.
не имеет нулей в круге \~ъ\?- Е.
5. Если ~Р целая VI
6. Пусть ^ голоморфна на кольце 4-^ /^ 1^- 2. и такова,
что при 1^1 -= d Xw4 * - <? ? при 1 г i - "Z. ?^Р — о
(Рогда ./^ о
7» Если ?f-?) принимает вещественные значения тогда и только
тогда, когда ^/J , то •/ имеет по крайней мере один нуль.
8. Если-/* и? голоморфны в _?) , то для функции /?/+(#/
в Т) выполняется принцип максимума.
9. Если-/* - целая и ///L ~ 4- ,то //2J-C2
где С =• С9**?
10. Пусть -компакт положительной площади, а
= ) ТГ^ , где г = х+С? • Тогда ¦fflO^-f/'d?)
II. Укажите непрерывное отображение верхней полуплоскости
Twt^^O на себя, голоморфное на внутренности и гомео-
морфное на границе, но не биголоморфное на J.^ Z^O

вы.
-185-
12. Для всякого ?>о Ъ*мЛ \ ^'^ C^tl) I г-.
13. Используя теорему Руше, докажите, что если т непрерывна на
круге \^[С^ и голоморфна внутри этого круга и i<-fl?±
на этом круге, то отображение W= -Р(ъ) имеет неподвижную
точку.
14. Пусть ri,Vtf/ - многочлен от- hW , p(CjO)^o
и Гу?/@/О)Фо . Тогда можно указать <?>о,?>о
такие, что множество всех пар /^ у</) , удовлетворяющих системе
/pf?:>w):=0 /т/^-? lWl^-О у , является графиком функции,
определенной и голоморфной на круге /?/*!?.
15. Укажите односвязную ограниченную область такую, что не всякая
её граничная точка достижима изнутри области.

Ш.2. - 186 -
§ 2. Аналитическое продолжение функций.
Выделение голоморфных ветвей многозначной функции.
I. Понятие аналитического продолжения
Пусть Р и 1) - две области из ? , такие,что пересечение
- функция, голоморфная в JJ . Если
существует функция/' , голоморфная в JJ и совпадающая в
с функцией т , то мы будем говорить, что 7^ аналитически
продолжается в *Т) , а функцию т" будем называть аналитическим
продолжением функции -f из ?) в ?* .По теореме единственности (см.
§ I) аналитическое продолжение (если оно возможно) единственно.
Иными словами, если +± и 4 г. являются аналитическими продолжениями
функции -f из Х> в 2) , то всюду в 2O. :¦ /:~А
Рассмотрим теперь более общую конструкцию продолжения. Пусть
Ts *к >> - области (например, круги) такие, что ЪылрЪ\+&
{ к - d,\~- , >w) * а ^A-v^- - функции,
такие что -/^ ?.///2^) (к.^± 2.,..-, ь~) , и при всяком
U. -гк_+± является аналитическим продолжением -/*. из 2)^
в 2^+д . В таком случае можно говорить, что "/L является
аналитическим продолжением -/j. .
Укажем один конкретный, идущий от Вейерштрасса способ
построения таких цепочек кругов и соответствующих им функций. Если функция
tj. задана своим рядом Тейлора, а Т). - круг сходимости этого ряда,
то, зафиксировав какую-либо точку с?л ^ 2>± и пере разложив ряд,
задающий /j , по степеням D.-01*^) (см. П.3.7), мы можем
принять в качестве -Н. функцию, задаваемую этим новым степенным рядом,
а в качестве 3\ - круг сходимости ряда ~/z. . Круг -^ может
содержать точки, лежащие вне круга JJ± . Повторяя далее эту
конструкцию, мы получим цепочку кругов J) и функций ~/^ , за-

Ш.2. - 187 -
дающих продолжение исходной функции. Отметим, что при
аналитическом продолжении по цепочке областей результат продолжения,
вообще говоря, зависит от выбора этой цепочки. Так, например, ьи? Ъ
из окрестности точки 4> по цепочке кругов можно продолжить в
окрестность точки -i. , но результат продолжения будет зависеть
от выбора цепочки, а именно, если цепочка обходит нуль сверху, то
значение полученной функции в точке -Л будет равно г.ТГ , при
обходе нуля снизу значение продолженной функции в точке -± будет
равно -ч,7Г . Таким образом, продолжая функцию по всевозможным
цепочкам (по которым она продолжается), мы получим, вообще говоря,
многозначную функцию. Так, например, можно показать, что,
продолжая cfa~? , мы получим многозначную функцию ?к,ъ
Наряду с термином аналитическое продолжение иногда
используется термин голоморфное продолжение. Необходимость продолжать
функции возникает, как правило, при изучении многозначных
функций. Понятие "голоморфная функция" связано с однозначными
функциями. Поэтому, говоря о продолжении функций, мы буцаи использовать
термин "аналитическое продолжение", подчеркивая тем самым, что
результат продолжения в общем случае может оказаться
"многозначной аналитической функцией".
Метод аналитического продолжения позволяет получить ряд
интересных фактов. Техника аналитического продолжения используется
для построения ветвей многозначных функций, она применяется при
вычислении интегралов и т.д. В частности, этими методами будет
доказана теорема Пикара: всякая целая непостоянная функция
принимает все комплексные значения, за исключением, быть может, одного
(также, как ^ принимает все значения, кроме нуля).

Ш.2. - 188 -
Рассмотрим одну из конструкций аналитического продолжения,
называемую принципом симметрии.
2. Принцип симметрии
Пусть I и Т - две окружности из <й , i_ - интервал
окружности X » а 1) и]) ~ области из <С , симметричные
относительно окружности 5 , не имеющие общих точек с jf и такие, что
множество ]Х/Г иЪ является областью в <*- . Тогда всякая
непрерывная на ]) иХ функция, голоморфная в Т) , переводящая
J_ в ^ , может быть аналитически продолжена на область
I)l/Iu"D* » и ПРИ этом множества значений -?(Ъ) Ш^П^)
продолженной функции -f симметричны относительно окружности ^ .
Доказательство. Будем сначала предполагать, что \ - это
вещественная ось и д ~ jj . Пусть j^ - функция, непрерывная на
I) V^I , аналитическая т~\) , принимающая в точках интервала
X вещественные значения. Обозначим через -f функцию равную^
на!)иТ и равную ^(ъ) в точках '2г<^1!>
Докажем, что ~? голоморфна в J>uHul^> • Так как D иХ)
на пересекаются с У , то одна из этих областей лежит в верхней,
а другая - в нижней полуплоскости. Это означает, что Т^ЛТ)"
пусто, и потому ~Р является однозначной функцией. Так как
преобразование^-** ? оставляет точки вещественной оси на месте,
а функция ~f- по условию теоремы непрерывна aaj){/I , то для
всякой ^об-Х получаем <&>>" ~r(i) — -p(:^o^ . А так
как т- вещественно на 7 » то ^fe0)- -Рfeo) » и
потому ^^fe~ ?&^Ъ) = -&**> . Это означает,
что у? непрерывна в точках, принадлежащих интервалу^ , и тем
самым непрерывна на всей области

Ш.2. - 189 -
Фиксируем точку CL ?.Ъ . Так как JP голоморфна в 7) , то
вблизи точки <яГ функция *Р(%) представима рядом ?(%) -=»
= 5j ^*uf€'-S.) (здесь "Z - это точка из Т) )» а так как
в области 1) , по определению, -f fe) — ^ ^ ) » т0 вблизи
а -р представима в виде -/Уг) = B1 ct (^Г-оЛцЛ ~
= 2] <2-^ (ъ~°ь) • Эт0 0значает» чт0 *f голоморфна в точке а_ .
Итак, /* голоморфна на 7) \j"I> и непрерывна на 1) Ul uT)x
Покажем, что она голоморфна в области J)vjX иТ)* • Фиксируем
треугольник IcX)uIuT) • Интервал X разрезает, вообще
говоря, Т на две яфигуры. Соединяя точки пересечения интервала
— тут
J_ и сторон треугольника ' с вершинами этих фигур, разрежем
каждую из этих фигур на треугольники. Итак, ' разбит на
треугольники / 7} г таким образом, что
Так как •/* непрерывна на треугольнике 7^ и голоморфна на его
внутренности, то с помощью надлежащего предельного перехода из
теоремы Коши нетрудно вывести, что
{ X.(^?)J _D при всех /* , и , следовательно у-pfe") о/ъ -О
Таким образом j- удовлетворяет вЗ^ириЗ) условиям Мореры и
потому, в силу теоремы Морера, она голоморфна в этой области. По
построению -f(Cb) и (-/оО симметричны относительно вещественной
оси.
Докажем теперь принцип симметрии в общем случае. Пусть
"? - ^X(w) - дробно-линейнав преобразование, переводящее
вещественную ось плоскости V/ в окружность Д плоскости переменной
2 (см. 1.5.1), а \А/ — ^А (^) - дробно-линейное преобразова-

Ш.2. - 190 -
ние, переводящее У в вещественную ось плоскости переменной W
Положим G- - ^К^{Т)^) , L*= ^ (I) и обозначим через G-*
область, симметричную Q- относительно вещественной оси. Положим
далее ^(w) — СМУГЗСУХ/У)) • Прослеживая построенную
цепочку преобразований, убеждаемся, что ^(w^) голоморфна в Сг ,
непрерывна на G \j[j и переводит интервал Z вещественной
оси в вещественную ось. Поэтому в силу доказанного выше частного
случая принципа вимметрии получаем, что */* аналитически продолже-
ется на & UL U & , и при этом множества значений
продолженной функции на областях Q- и (г сопряжены относительно
вещественной оси. Продолженную функцию будем обозначать также знаком Ц* .
Функция -р*= ^(Х (Ъ)) определена HaD^^-D , ана-
литична на этой области и при этом <р (ТУ) и & С??) симметричны
относительно вещественной оси. функция у>* = СА~" (iP )
голоморфна в 2) UHuT5* и совпадает на J} с функцией </^
т.е. У? является аналитическим продолжением У? иа^иТ^Ъ*
При этом <f* TlX) и & (Ъ*) симметричны относительно
окружен- _
ности У (см. I.b.I, свойство симметрии). Теорема доказана.
3. Аналитический элемент. Продолжение вдоль пути.
Рассмотрим теперь более подробно уже обсуждавшуюся в разделе I
схему построения функций, заданных их элементами, т.е. функциями,
определенными на каких-то специальных областях, например, на кругах.
Такого рода конструкции используются в различных разделах анализа.
- например, при построении ветвей многозначных пункций, построении
первообразной, при интегрировании дифференциальных форм и т.п. Мы
рассмотрим эту конструкцию, имея в виду задачу построения
голоморфных ветвей многозначных функций.

III.2. - 191 -
Дадим необходимые определения. Всякую узункцшо, определенную и
голоморфную в открытом круге, мы будем называть аналитическим
элементов, или, короче - элементом. Круг, на котором задан элемент^
будем обозначать через 2)(-Р) ; центр этого круга будем называть
центром элемента и обозначать его через с (~f) . В дальнейшем,
говоря о той или иной многозначной функцииjее элементом будем
называть всякую голоморфную ветвь этой функции над каким-либо кругом.
Если элементы -f и / таковы, что
и на Т)(-Р)ГJ)(?*) функции / и/4 равны, то мы будем
говорить, что каждый из этих элементов является непосредственным
продолжением другого, или что они эквивалентны, и будем записывать
это так: /*<?-^> -Р
г *
Мы будем говорить, что элемент ч- является аналитическим
продолжением (или короче - продолжением) аявмента -р по пути
О \га *-, , если путь о имеет начало в точке С С-Р)^
а конец - в точке С Cf ) } и существует семейство элементов
jf±\ (G-u^^-tf/, обладающее следующими свойствами;
I) С (f±) •= Y(l) при всяком -? ё. ?а~, €J
3) при всяком ~L <??&, &3 можно указать ^ >0 такое, что
из условия l?~~t' l^-S^ , следует, что т^'^5* Л<
Если -г является продолжением -г по пути У , то мы будем
записывать это так: / ^т . Будем говорить, что -Г аналитически
продолжается по пути X , если существует-/" такой, что"^^-^"^
Докажем теперь несколько лемм об аналитическом продолжении
элементов.
Лемма о продолжении по цепочке элементов. Элемент -/ является

Ш.2. - 192 -
продолжением -f по пути У|лд ^j в том и только в том случае,
если можно указать набор точек CL=d^^.CL^,.. ^CL*, - ¦?
и цепочку элементов {.-ГиУ к-= ±,2,..., к , такие, что
1/4[<?~>? и -f^^-f* и при этом
2/тСх^"^-/к При ВСЯКОМ * -S.,Z,.. . ^ ^ -1 J
3/ при всяком e=i, 2,---, и* траектория пути
#V ~ <Пгл ои 1 принадлежит кругу]) (А.)
Доказательство. Пусть элемент f является продолжением
элемента /* по пути о , a ?-r?j - семейство элементов,
реализующее это продолжение. Укажем набор точек /?2-* J и цепочку
элементов /VI 7 > удовлетворяющих перечисленным в лемме условиям.
Система интервалов
образует покрытие отрезка L^-,^1
Используя лемму Гейне-Бореля, выделим конечное покрытие
отрезка ?&, ^J интервалами семейства ? It)* С помощью этого покрытия
выберем цепочку точек Л = а©^й*^.. <? <2-^-? ^ разбивающую ?a,<J
на равные отрезки, и будем считать К. столь большим, чтобы каждый
из отрезков {[CLu.^ ci^i \ оказывался лежащим внутри одного
из интервалов выбранного конечного покрытия. Каждому отрезку
I&u.-i ^«-З сопоставим содержащий его интервал Х^
рассматриваемого покрытия. В качестве 4-^ примем элемент -^ . Так как
функция lit) непрерывна на отрезке Са,€1 и, следовательно,
равномерно непрерывна, то, зафиксировав /v достаточно большим,
мы можем считать интервалы zJ.^,J\ подобранными так, чтобы при
всяком к траектория пути У <~г VL лежала
внутри круга 3> (+ь.У Нетрудно проверить, что построенное разбиение

Ш.2. - 193 -
пути У на подпути! о А и цепочка элементов {Ри.^ удовлетворяют и
другим условиям, перечисленным в лемме.
Пусть набор точек/^.^Я и цепочка элементов ^V23-
удовлетворяют перечисленном в лемме условиям. Покажем, что -Р "лТ" ^
Семейство элементов ^-/^У , реализующее искомое продолжение,
зададим так: при CL^^ с zf <^ &* - в качестве элемента yQ
принимается ограничение функции -/? на круг максимального радиуса,
содержащийся в Mhf^y и имеющий центр в точке о(^-) . При
? s. 4 в качестве т? принимается элемент -/j^ . Легко
проверяется, что семейство ?-f^ T задает искомое продолжение. Лемма
доказана.
Лемма о единственности продолжения вдоль пути. Пусть oL^ *-,
путь; Р ,т t 9 , Я - аналитические элементы,
* -*
такие, что Р^^>^ , -Р *гу*^ , Я**)Г $ * Тогда ~^ ^*&
В частности, если два элемента являются продолжениями одного и того
же элемента по заданному пути, то эти элементы эквивалентны.
Доказательство. Пусть i/^J и So. J - семейства,
реализующие продолжения элементов/* и 9 по пути У . Обозначим
через У^ функцию, определенную на круге 2)/9Q) П J)(f?.)
и равную т? -9± . Так как -/1*° т t -P*^g и Я^^^а. , то
J2 =¦ О • Покажем, что и <fy s о
Обозначим через z?o максимальное значение параметра т? ,
такое, что при всяком^'< ef соответствующая функция^'
тождественно равна нулю. Покажем, что^р so и, более лто го, при'всяком
значении г? , близком к ?G , выполняется 9%. = О* По определению
семейства^yQJ из условия /^.-т?о/^?^. следует, что
-? ^> -р . Поэтому, выбрав какое-либо •? '^ т*0 , удовлетворяю^

Ш.2. - 19* -
щбе неравенству /с —zf/< ?^0 ( из условия -t?' ^^ ^?0
получаем, что при Н <? L>?Q ) p J^f^'y оказывается
выполненным равенство ??ofz) = c/g fe) —о . Следовательно, по
теореме единственности S%G =0 • Аналогично, из того, что S^^S%
при /-?-?0jV ?^ , получается JQ^-O . Из сказанного
следует, что ?0-б и ^=0« Это означает, что 7^^/^^
и поэтому из того, что -Z3*^*-^ и Q* <±=> &^ , получаем, что
?*<*=*>& . Лемма доказана.
Пу^ти $lc(i?\ и У 1Са,ет ЗД6М называть ?_
-близкими, если для всех ?.?i&,42 выполнено неравенство
Лемма о продолжении по близким путям. Пусть -г - элемент,
являющийся продолжением у по пути (Г\?а ?j . Тогда можно
указать ?> о такое, что для всякого пути У |?Q ^,
? - близкого к о , имеющего начало В ^(а) и конец в Х^ ',
выполняется + г=^ т
Г
Доказательство. В силу леммы о продолжении по цепочке
элементов можно указать разбиение пути 0 на подпути 0и ~и\С&, , cl i
и цепочку элементов/-/^.} » реализующие продолжение -f по
пути У . Обозначим через ?i< расстояние от траектории /^Лу
до границы круга 2V/L/H положим ? ~ h^j^ ? ^ # уак как
?T>C~fk.Jj - это открытые круги, а ?7*fffuYb " э^о компакты,
лежащие в этих кругах, :то ? Фо . Фиксируем путь }f , <? -
близкий к У , имеющий начало в q(cl) и конец в )f(^) • Ясно, что
при всяком k--i,2,_,., fv траектория пути Т\с ~ У/?о.? а
принадлежит кругу 1) (У^') , и можно сказать, что разбиение

III.2. - 195 -
пути ff на подпути ? У^. J и цепочка элементов??ъ\
удовлетворяют условиям 1)-3) леммы о продолжении по цепочке элементов.
И потому, в силу этой леммы, -Р <^> г- . Лемма доказана.
4. Лемма о продолжении по гомотопным путям
Пусть задана область Т) и элемент ~f такой, что центр
c(-f) этого элемента принадлежит области ?) . Элементе будем
называть неограниченно продолжаемым в области 2) , если он
аналитически продолжается по любому пути, лежащему в X) и имеющему
начало в cfifj
Лемма. Пусть_J) - область из С\т - элемент, неограниченно
продолжаемый bJ) ; о и j - два непрерывных пути, соединяющие
точки гомотопных внутри .2) ; /? и-/J -
элементы, являющиеся продолжениями элемента -/^ по путям У и о
соответственно. Тогда -?c*==?>+s
Доказательство. Пусть #^, - семейство путей, лежащих в
области!^) , соединяющих jf и f* . Таксе семейство существует,
поскольку У и 0 по условию теоремы гомотопны внутри -Ь .Так
как /* неограниченно продолжаем в О , то он продолжаем, в
частности, по каждому из путей ^ . Обозначим через-tL.
какой-либо элемент, являющийся продолжением элемента ¦/* по пути 0ъ<.
В качестве -го и -/^ принимаем здесь элементы, упоминаемые в
формулировке теоремы.
Докажем, что все элементы У^ (ой и ^ j,) попарно
эквивалентны. Отметим, что точка /* является общим центром всех
кругов ?Z>6/IS)^ у и потому их попарные пересечения не
пусты. Фиксируем ^ . В силу леммы о продолжении по близким путям

Ш.2. - 196 -
существует б^уо такое, что из условия (и, -и, I^ s^
следует, что -/L^ ^-^ ~Р • Из этого и леммы о единственнос-
ти продолжения по пути следует, что -/1^^^-^и. • Итак, при всяком
фиксированном и, •/L/**4»"^- , если только и/ достаточно
близко к и- . Это означает, что множество всех значений параметра ЬЬ
таких, что fw эквивалентно одному и тому же элементу, например,
элементу -Го , одновременно и замкнуто и открыто на отрезке о*.
4=^^. L » и Г6М самш множество всех таких значений - это весь
указанный отрезок. В частности получаем, что -/^ <*==> -?> • Лемма
доказана.
5. Теорема о монодромии
Пусть ~f - элемент, a Jf - путь, имеющий начало в точке с&)
а конец в точке 2: • В силу леммы о единственности продолжения
вдоль пути все элементы, являющиеся продолжениями т по пути X ,
имеют в точке 2 одно и то же значение, которое мы будем
обозначать через У/f-f 2 Т) и называть значением, получаемым
продолжением элемента-/* по пути <Г . Из леммы о продолжении по
гомотопным путям следует, что если элемент неограниченно
продолжаем в заданной области, то значение, получаемое продолжением
элемента в какую-либо точку этой области по всем гомотопным путям,
оказывается одним и тем же. В частности, если область односвязна,
то это значение зависит лишь от конечной точки пути, т.е.
оказывается однозначной функцией, определенной во всей области.
Развернутую формулировку результата проведенного рассуждения
дает следующая теорема, называемая теоремой о монодромии.
Пусть]!) - односвязная область из <С ,&-/!>- аналитический
элемент, неограниченно продолжаемый в _Z) и такой, что 2)/^tCJ^-J^>

Ш.2. - 194 -
Тогда 4о продолжается до функции, голоморфной в Т> , т.е. можно
указать функцию, голоморфную в 2) , ограничение которой на !>/%>)
совпадает с ~f0 .
Термин "монодромия" складывается из греческих слов "
- один и „ Sp©J4o<3" - бег.
Доказательство теоремы. Положим -/'/г) •= Y/№, ^,Ю,
где "^ - путь, лежащий в области J) , имеющий начало в ^Z0 (Zo-
- это центр круга ~])(-/о) ) и конец в точке 2 . Как уже
указывалось перед формулировкой теоремы, wf/o, Я, )f) зависит лишь
от 2. (не зависит от выбора У* ) и потому -//zj - это
однозначная функция.
Покажем, что -//2/ голоморфна в 2) • Фиксируем точку*Е^2^
какой-нибудь путь q * , лежащий в I) , с началом в И© и
концом в "Z."* , и элемент / , являющийся продолжением -/о по пути
t-gk . Элемент / мы можем выбрать так, чтобы весь круг
принадлежал области X) .
Пусть j4t\ ~ семейство элементов, задающее продолжение
элемента +0 по пути Y-,* . Обозначим через j путь, получаемый
последовательным прохождением пути (?_* и отрезка /.Е-*, ?.7
Всякой точке пути (L сопоставим аналитический элемент: точке
пути J^* сопоставляется соответствующий элемент семейства ^yQ. J"j
точке 'Щ <?f??* ^J (~\1?<:0 сопоставляется элемент,
получаемый ограничением функции ~f* на круг максимального радиуса с
центром в точке ^» , лежащий внутри круга 2)/Ру . Построенное
семейство элементов задает продолжение элемента -^ по пути J4
и значение, получаемое продолжением по этому пути^равно значению
функции г в точке 2 . Т.е. на круге D/Vy выполняется
равенство . Это означает, в силу голоморфности

III.2. - 198 -
?* , что -f голоморфна в 2* . Таким образом, -? голоморфна
в Х> • Ограничение функции /* на круг совпадает с т^о.
поскольку 2)/^С)^. Т) и, следовательно, во всякой точке
2 <? ~D/7c>) значение элемента у? в точке ^ можно опять же
рассматривать как значение, получаемое продолжением этого элемента
по отрезку/^ 2J • Теорема доказана.
б. Построение ветвей многозначной функции
Рассмотрим в качестве примера функцию у г • Мы уже знаем, что
над всяким кругом, не содержащем нуля, "у 2 распадается на /^
ветвей (см. 1.4.6), и что эти ветви голоморфны (см. il.I.I), т.е.
мы знаем, что для всякого круга из(С\?о^ можно указать /о.
элементов функции у 2. , заданных на этом круге.
Пусть + 0 - элемент функции |2 , a)f//a/j - ПУТЬ,
имеющий начало в точке с (-?>) и не проходящий через точку И= о
Покажем, что -го аналитически продолжается вдоль такого пути.
Разобьем путь % на подпути о к. ^ 1?аь~л.,в~и.1 (^ = 4У2,_.., а^
СЬо-Оь ; 0^ь_-4) • Будем для определенности считать, что <?&*. 3
делят Let-,/J на равные отрезки, a W велико настолько, что при
всяком /< траектория / ( У^.) может быть заключена в открытый
ВДГ ТХ , не содержащий нули. Цепочку аналитических элементов у?
реализующих продолжение VQ по пути У , наберем из элементов корня.
В качестве -fx , примем /о . Считая, что ^,... j-^L-s определены,
элемент -/?_ определим так: /^ - ветвь функции над кругом
совпадающая на . Такая ветвь существует,
поскольку над ZX-* /^Д: функция "у ^ распадается на ветви,
получаемые друг из друга умножением на константы <% <? ? ~у *- J
и потому, выбрав ветвь корня над Z? , совпадающую в какой-либо од-

Ш.2. - 199 -
ной точке из ТХ.-лП'&ь. ° -Ръ.-± , мы можем утверждать,
что эта ветвь всюду на Т) ПТ)^ совпадает с ~Рь.-± • Элемент-/^
выбирается так, чтобы его центр совпадал с концом пути о
Цепочка элементов, задающая продолжение, построена, и потому
из леммы о продолжении по цепочке элементов получается, что /о
продолжается по пути q . Из этого и теоремы о монодромии следует,
что во всякой односвязной области, не содержащей нуля, всякий
аналитический элемент корня аналитически продолжается на всю область.
Так как (v? fej) —H , то из терремы единственности
получаем, что и для продолженной функции ее hs -ая степень совпадает с
~2 , т.е. продолженная функция является ветвью функции v^
^ г~—*
Таким образом получается, что многозначная функция Y ^ над
односвязной областью из С ч?о^ распадается на к, голоморфных
ветвей. Эти ветви получаются друг из друга умножением на константу.
Аналогично доказывается, что всякий элемент функции ц^ ч.
неограниченно продолжаем в C^l^j и, следовательно, над всякой
односвязной областью из C-N^o) функция Zk/2. распадается
на голоморфные ветви, отличающиеся друг от друга на слагаемые вида
ZTTki , где ЪС^.'Ж
У. Построение ветвбй композиции функций, лемма о композиции
элементов
Пусть -f иг - два элемента с центрами в С и С*
соответственно, и такие, что //с/ = ? . Элементом композиции
-р (т/ будем называть всякий аналитический элемент <р с
центром в С и такой, что в некоторой окрестности его центра
выполняется равенство У?~

Ы.2. - 200 -
Лемма о композиции элементов. Пусть А иг- элементы с
центрами в точках С и С*— /То) соответственно; i^ -
элемент композиции a_y-^J - путь с началом
в точке С *; f ? У (CL?.-?? 4) - семейство элементов,
задающее аналитическое продолжение элемента -/" по пути
- значение, получаемое продолжением элемента -г по пути
- семейство,
задающее аналитическое продолжение элемента 7^ по пути
JT №'{?0,11 ' ^6. " элемент композиции yQ и "?• Тогда
семейство ^^ J задает аналитическое продолжение элемента
по пути у
Эта лемма вместе с теоремой о монодромии используется при
построении ветвей композиции функций.
Рассмотрим пример. Покажем, что функция
где fit?.) - целая функция, не принимающая значения нуль,
распадается над (С, на голоморфные ветви, действительно, всякий
элемент (f композиции элемента функции^ и элемента функцииZa,%
в силу этой леммы неограниченно продолжаем в С . По теореме о
монодромии всякий такой элемент продолжается до функции,
голоморфной во всей плоскости С- . Так как на круге T)fjf) выполняется
We) / л
равенство <=^ -Я{."Ъ) , то в силу теоремы единственности
для продолженной функции это равенство выполняется на всей
плоскости, т.е. продолженная функция является ветвью функции
Таким образом, получается, что эта функция распадается над <С
на голоморфные ветви.
Доказательство леммы. Докажем, что для всякого значения
параметра zf можно указать ?•>о такое, что из условия
следует, что^/^*^ . По определению элемента композиции при

Ш.2Л - 201 -
некотором дуо во - окрестности центра С± элемента -г^
лежащей в круге Х>1@%) , выполняется равенство ?-? fe)=?
. из равномерной непрерывности функции
У(?/1?а. ?1 и непрерывности функции ^.f^) в точке ^
следует, что можно указать <?" ^ с? такое, что из условия /? _Z^C
^. ?/ будет следовать, что /С^/ ~С±/^о и )f(? J^-D/tQJ
По определению семейств * можем указать с~& ' ^
такое, что из условия /z^ — ?/^-?4 следует, что 7^/ ^"~*zL
и ¦*?*** У?* , т.е. iQ'fe)= ?Q fe> при
•zePfe) п3>&) * iC*f& = *? УгР при
^^
7NQ')fiD6Q. / . Положим <? ^ W* /^ ^^
/
и фиксируем Z. такое, что . Опять же по
определению элемента композиции, в малой окрестности точки С&'
выполняется равенство i§' )¦=•*?'( 4'*&/ . Заменяя в правой
части равенства -f^t на -/-? и^/ на -Р± , из равенства
?&fe))~%fe) получаемо ^,/У »'?*'?'*#-
^ S&fe') • Итак, в малой окрестности точ-ки ?",/
имеем равенство ^ = ^ .По теореме единственности это
равенство выполняется и на X>fS%±')fl3}fSQJ , т.е.
^/^-^ 5^ . Легко проверяется, что семейство^fA^
удовлетворяет и остальным условиям, перечисленным в определении
аналитического продолжения. Лемма доказана.

ш.2. - гог -
Упражнения 111.2 (Аналитическое продолжение функций)
1. Если целая функция -f вещественна на вещественной оси и
минимая на мнимой оси, то -ffz^ нечетна.
2. flit? "Z распадается над всякой односвязной областью, не
содержащей нуля, на непрерывные ветви.
3. Если-/* голоморфна внутри квадрата -J. +. ^eZ^-d^
-4.^Тил^^^- и Н6 продолжается аналитически ни в какую большую
область, то радиус сходимости ряда Тейлора -f с центром в нуле
равен 1 .
распадается над <L на ветви ^ ч-2тг1(с(^?Ж)
5. Ветвь "у? под верхней полуплоскостью не может быть
аналитически продолжена ни в какую проколотую окрестность точки О,
6. Если -f голоморфна в кольце -i-^ /2'^3 и
имеет в этом кольце однозначную
первообразную.
7. Если ~Р непрерывна на замкнутом круге, голоморфна внутри
круга и обращается в нуль на некоторой дуге, лежащей на границе
круга, то •/= О
8. Если многочлен таков, что при /2/ ="-*
и при Г?1 = 2. |РС€I=г , то РС^^<гЫ1* , где <^
вещественно.
^^ Укажите односвязну§ область jD^C С и аналитический элемент
+0 , такие, что -/о продолжается вдоль любого пути, лежащего
в J) и имеющего начало в 2>/2о) > но для всякой функции-/" ,
голоморфной в2) з существует точка ^ ? 2) О2>/^ezJ такая,
что

Ш.2. - 203 -
10. всякое конформное отображение кольца 1^/^.1 <2.
на себя имеет вид W~^ *2 , где ос вещественно.
11. Пусть -г- голоморфна в области 4Г_ = <Е \ (^<^°, oj
^о . Вычислить значение
12. Если элемент ~? , 25/^/^" <?^^0У , неограниченно
продолжаем в <С\'Со/у и для всякого пути )f ? (С \<<0
значение Wf^?, У/ , получаемое продолжением элементарно пути У}
удовлетворяет неравенству
IS. Пусть то - аналитический элемент, задаваемый рядом
Р _ 22 (~<0 C^^/t^ CL^^o> Если радиус сходимости этого ряда
конечен, то можно указать отрицательное число х0 , такое, что
элемент -/о не может быть аналитически продолжен вдоль отрезка?с> х^д
14. Если область .D^l ? односвязна, a W гармонична в 2),
то существует гармоническая в J) функция V , сопряженная к "U.^
т.е. такая, что i^c + V»- голоморфна в D .
15. Если функция у~ непрерывна в области <и , а
У Х^К^ & Дйя всякой ломаной У , лежащей в 2) , то
функция у- имеет в области & однозначную первообразную.
Докажите это утверждение с помощью теоремы о монодромши.
16. Если область О односвязна, а функция и гармонична в Sc)
то существует гармоническая в области rZ) функция V , сопряженная
к U. , т.е. такая, что и 4 с V голоморфна в <Ы) «
16 Пусть j? - односвязная область, a PfejZj и (р/к,Ж)
- функции, непрерывно дифференцируемые ( в вещественном смысле) в
области и такие, что форма Pc/z + Ср^/^Г замкнута в
т.е. ^^ ^— ¦= О . Тогда эта форма точна в области^),
т.е. существует непрерывно дифференцируемая (в вещественном смысле)
в области J) функция г , такая, что Рс/& + &^2 ^&? ^ъt^= ^

Ш.З. - 204 -
§ 3. Основные результаты геометрической теории
(Теорема Римана, теорема Пикара)
I. Автоморфизм круга
Автоморфизмом области называется биголоморфное отображение
этой области на себя. Иными словами, автоморфлзм - это голоморфное
однолистное отображение области на себя. В 1.2.5 было дон-азано,
что общий вид дробно-л инейного преобразования, переводящего круг
f/ ¦ |^?\Z_i_ на себя.записывается так: W—&~ g~
где оС вещественно и /Cu/^CJ- . одесь мы докажем, что
всякий автоморфизм круга К. является дробно-линейным
преобразованием и, следовательно, имеет указанный вид.
Лемма Шварца. Пусть -р голоморфна в круге ?С\ /?/*С±
//*;= О и 4*? /^/гУ ^ ± . тогда /Г/ЪУ 1 /%/
при всех "Е-^К и при этом, если в какой-либо точке ^О^о
из круга К. указанное неравенство обращается в равенство, т.е.
l-ffeo)! —/^о/ , то Уу^Р имеет вид -/?Н^—G*4*^
где о?ё-&
Доказательство. Положим 9fe) ~ ^-^ . Так как ~//Ь)^о
то -ft имеет в нуле устранимую особенность, и, устранив эту
особенность, мы можем считать, что 0 голоморфна в /^ . В силу
принципа максимума
±±
поскольку . Устремляя <?. к нулю, пояу-

Ш.З. - 205 -
чаем, что -&^ /?/ё)/ 4=? rL • Следовательно,
/ Z^^)/^/z/k4 и потому /^7b)/u/z/
Если в какой-либо точке ^0 =? о из круга /4^ выполнено
равенство ///?e)/-/2ff/ , го ^/2о)/~^ . Получается,
что Iffe)/ достигает максимального значения во внутренней точке
круга. Следовательно, по принципу максимума, ^V^ — ?*a^**f
А так как l#f^o)l=Л. , то эта константа есть ^Cc*
где о^ /? . Получили, что ~/°/а}& f^)^ = <^ **°^н
Лемма доказана.
Выведем теперь общий вид автоморфизма круга. Пусть W=-/?g/) —
- это автоморфизм круга К . Рассмотрим сначала случай, когда
-Р{(?)—<? • В силу леммы Шварца, ///??/^/z?/.
Поскольку ¦/ задает автоморфизм круга, то и обратное отображение
переводит круг на себя, и потому, опять же в силу леммы Шварца
//*"" (W)l?/W/ при всех /й/Л^-f . Выбрав в /^ какую-
-либо точку ^т^с? и положив Wo--T^c>) , из приведенных
выше неравенств получаем [Wo/u l^o/ и /Zo/^/ft/^/
т.е. IW0l~= l^ol • Применяя второе утверждение леммы
Шварца, получаем, что -? имеет вид
Пусть теперь •/- - это произвольный автоморфизм круга /^ .
Функция у(Ъ) •= —. =^7^- л/ ^ является композицией пункции
л. - 4-10) НЮ
-/Yzb) и I—7ГРГ » задающих автоморфизмы , и потому
L-4-M^. .у
у, -=. ср( -2-'>) является автоморфизмом круга /ч . Проверяем,
что Cf?fo)^=- о • $ля этого случая уже доказано, что
ср/^.-) г ^<^ ^. , где о/<?$1 . Выражая из равенства
У(^ ~ 2-^l//4j> ^Чбр63 ^^) получаем
//%) - УШ+Фй . Полагая далее У®се^г

Ш.З. - 206 -
имеем -ffe) -&к Щ—1 , где CZ. = --f/o)&~K' и потому удов-
летворяет равенству 1а,/г1± • Утверждение доказано.
2. Теорема Римана:
Если область 2) из (L односвязна и то для всякой
точки 26^7> существует и притом единственное биголоморфное
отображение области на круг ??: /^/^.d такое, что
? fe0) ¦= о , а производная У* ^0/) вещественна и
положительна.
Из этой теоремы следует, что всякие две односвязные области
из С , отличные от С , биголоморфно эквивалентны, т.е.
существует биголоморфное отображение одной области на другую. Условие
~?) ?? С существенно - комплексная плоскость и круг
биголоморфно не эквивалентны, поскольку, в силу теоремы Лиувнлля, всякое
голоморфное отображение комплексной плоскости в круг постоянно.
Задача биголоморфной классификации областей в случае многосвязных
областей не имеет столь же простого решения. Это видно из
следующего примера. Используя принцип симметрии и принцип соответствия
границ, можно показать, что кольцо ^.i^/z?/^ R^ и
кольцо ^2_ г: /г/ ^- &г. биголоморфно эквивалентны в том и
только в том случав, когда /ъ^ =s ^V^-г.
Пусть J) - односвязная регулярная область, т.е. область,
ограниченная одним кусочно-гладким контуром. В этом случае, в силу
принципа соответствия границ, всякое биголоморфное отображение 2>
на К, непрерывно продолжается на границу 2> , и мы можем
говорить об отображении замыкания области на замкнутый круг. Для таких
областей теорему Римана можно переформулировать следующим образом.
Теорема Римана-Каратеодори. Пусть_2) - односвязная регулярная

Ш.З. - 207-
область • ct± cl О,-^ ~ тройка попарно различных точек,
принадлежащих границей ;, ^ ?г ^^ - тройка попарно
различных точек границы круга К. (каждая из троек пронумерована в
"естественном порядке'у Тогда существует, и притом единственное,
гомеоморфное отображение Х> на К. , биголоморфное в -2) ,
переводящее точки CL±i <&г., <^ъ б точки ^ -^^ &ъ >
соответственно.
Естественная нумерация точек границы области понимается так:
точки нумеруются в порядке возрастания параметра, задающего на
границе области ориентацию, согласованную с ориентацией области.
Для случая, когда область -D является кругом, утверждение Римана-
-Каратеодори легко получить непосредственно из формулы, задающей
автоморфизм круга (см. раздел I). В общем случае искомое
отображение может быть задано как композиция какого-либо биголоморфного
отображения _2^ на К. и подходящего автоморфизма круга.
Существование указанного в формулировке теоремы Римана
отображения будет доказано ниже. Зйесь мы докажем, что такое отображение
единственно.
Пусть \C-472r) и W- tPfey - два б и голоморфных
отображения X) на /^, переводящих i?0 в нуль и таких, что
-f'fZol^o и J^/2o) >о. Докажем, что У/^s Wz}
Рассмотрим отображение V/-^Рf-P'1 (w)) • Это отображение
является автоморфизмом единичного круга и потому, как бьшо доказано
в предыдущем разделе, имеет вид tfC-P^^Cw)) =¦
= <е^ w-cl
±~oLW > ГД6 °^Л и Ю*/*-* • Т-к.
-Pfeo^-o и ^^о)-=0 , то у/^Г-у0))^0
Следовательно, ^2, —о и потому крf^~±^)) =r€*^ sU
Продифференцируем это равенство и положим W=o . Имеем

ш.з. - ао8 -
и потому . По предположению,
т^*/f-Zo) ~^с> и У* /2о)^?о и, следовательно, о^*^о .
Таким образом получается, что -== W . Т.е./? ^
является функцией, обратной к У и, следовательно, }/>¦=. -f
Единственность отображения доказана.
3. Принцип компактности
Если последовательность голоморфных в Z)*r <? функций
•ft f-^") с к — с$4..- ) равномерно ограничена, т.е.
1(и_("?)\^М BCiOAy в 2} ПРЙ всех ^ = ©,i, ... , то из
этой последовательности можно выделить подпоследовательность,
равномерно сходящуюся внутри х> .
Лемма. Если /* голоморфна в 12) и ограничена в 2^> по
модулю константой М , то во всякой точке г<^^ выполняется
неравенство /т /ъУ ^j^y , где J^C^) - расстояние
от точки Z до границы области X) .
Действительно, на круге ^V^g.^) ; /f - ^ / «<:,/Уг-е)
(Р?? ^ J°(&) m формуле Коши ?ffe)/= ^-. Г "§^е/>
Дифференцируя по ^ и подставляя ^г?, получаем
Т i2 znt J 6-5*- ^# Из ЭТ0Г0 получаем /-г {?)/<?
тремляя «? к нулю, получаем
/-г ixry/ — р/?\ лемма доказана.

Ш.З. - 209 -
Докажем теперь принцип компактности. Пусть ^,й.г>...
- последовательность точек из Z) , образующих в 2Э всюду
плотное множество. Выделим из последовательности /-/ij"
подпоследовательность, сходящуюся во всех точках ?&/У • Делается это так:
из последовательности //^3" выделяется подпоследовательность,
сходящаяся в точке &± , и первый элемент этой
подпоследовательности объявляется первым членом искомой последовательности, из
указанной подпоследовательности выб-ирается подпоследовательность,
сходящаяся в точке (Z^ , и второй член последней объявляется
вторым членом искомой последовательности ', Повторяя этот процесс
бесконечное число раз, мы наберем для искомой последовательности
бесконечное число членов. Для того, чтобы не мешать обозначений,
будем считать, что исходная последовательность ?-/W\ сходится
в каждой из точек &у*
докажем, что из сходимости последовательности /V? } в
точках ?&г1~У следует равномерная сходимость этой
последовательности внутри X) • Для этого фиксируем какой-либо компакт ?tz2>
и докажем, что последовательность /VLJ- равномерно сходится на
этом компакте. Обозначим через J& расстояние от этого компакта
до границы области -D . Фиксируем ?-?о и покажем, что
существует номер /|/ такой, что при всяких ^>У и f>~?//
во всех точках компакта Е выполняется неравенство
. Фиксируем -^ большим настолько чтобы множество
n^-W ^' образовало о -сеть в области , т.е. обладало
бы следующим свойством: для всякого Zr&?> можно указать точку
"Z ^ Аь такую, что /Н -2'/^ & . Будем предполагать,
что S мало настолько, что ? <?- >*^*~ / —- ~l±L У
Так как последовательность /V/^)}сходится в точках <2-- , то мож-

ы.з. - 2io -
но указать // такое, что при рТ^Л/ , «/>/К и 4.^-/^ -*>
выполняется неравенство /т?> /zj — /1 ^)/ ^ ^ .
Фиксируем z?^ /< и оценим величину /у? /^ — -РрСъ')! ПРИ
условии, что р~?Л/ и ^, •>/1/ • Пусть точка а- ^ /1 ^ такова,
что /2--^/^ с? . Т.к. S ^ *? , то всякая точка отрезкаСв-,^
отстоит от границы _Z> не менее, чем на </Vz. • Имеем
-j- f/L (сь) — -Po, (ъI . В силу леммы во всякой точке ^ из
отрезка Lol^"J f-/pfe)/ 4: ~? й П0ЭТ0МУ
\fp(^--Fr(^>l- tJfr^Jlji ?^ | .Аналогично,
|? (ел - ^ (&I < -§ . но А? <^о - ^ /^;/ по
определению /? и ? также не превосходит —- и, следовательно,
l-fpfit) —-fa ("&) \ ^-?_ . Равномерная сходимость на ^-"
доказана, и это завершает доказательство принципа компактности.
4. построение б и го до мореного отображения односвязной области
на круг.
Продолжим доказательство теоремы Римана, а именно, докажем
существование биголоморфного отображения области_Z) на круг АС •
Это отображение мы определим как композицию трех отображений
VYz>= ¦& СА. Шъ»).
Так как.2>7^^ > т° существует точка "SB^^T^vb. Положим
Jj.fe')- Z-2.* и Z^. =-?/2)) . Ясно, что2^сС??
и точка 2 = о лежит в дополнении к области 2^ . Определим

Ш.З. - 211 -
далее биголоморфное отображение W=-/z.C-2) * переводящее Х^
в ограниченную область ±)^_ . В Ш.2.6 было доказано, что
многозначная функция Y 2. над всякой односвязной областью из &- , не
содержащей нуля, распадается на fa, голоморфных ветвей. ПриН^г.
число ветвей равно двум. В этом случае ветви отличаются друг от друга
знаком. Пусть <f и ~<Р - это ветви функции V^ • Отображение
^ -а>~^ /IX/) , обратное к ур/~ ^Съ') , имеет вид H'-ik/z-
и потому однозначно. Из этого следует, что J^/2^) принимает
всякое значение не более, чем в одной точке. И потому функция S^Se)
однолистна в 2^ . Так кан
— ~j(J\j не имеют общих точек, то ;выбрав какую-либо точку
C*~<?l)— ^ мы можем сказать, что пункция ~/\. fe) ¦=• сёу~л
ограничена по модулю на области 7^ • Таким образом, отображение
V*/ ¦=. 4-^ (ъ~) биголоморфно переводит 2^ в ограниченную
область 2>2_ •= т-г. ( ^± )
Пусть теперьX).- ограниченная область из <? . Фиксируем точку
о? ^. 7Э и обозначим через /? семейство всех однолистных
голоморфных в области _Z^_ функций, ограниченных по модулю единицей и
равных нулю в точкео? . Семейство^ непусто, поскольку в силу
ограниченности области 2^_ при всяком достаточно малом значении ?
функция ?. ^2 - <??) <^. /Г
Лемма. Существует функция ?г <? /^ такая, что для всякой
функции -f?' /^ выполняется неравенство /-f'z&J/^//** /&)/
Доказательство леммы. Положим Ли = <^^> /^Yo^)/ • Как
указывалось перед формулировкой леммы, существуют линейные функции,

Ш.З. - 212 -
принадлежащие семейству /^ и потому уи^ о • Фиксируем
последовательность функций ^-/i. У (к -±J 2 .. ) такую, что
. В силу принципа компактности из
этой последовательности можно выделить подпоследовательность,
равномерно сходящуюся внутри D . Обозначим через ^и. предел
этой подпоследовательности. По теореме нейерштрасса -/^
голоморфна в и, следовательно,
\+ Ь^Я^ЫфО. Из этого, в частности, следует, что непостоянна
в J) .И, следовательно, по теореме о пределе последовательности
однолистных функций функция -t однолистна в М> . Таким образом,
/* g- /f\ и имеет в точке о? максимально возможную (по
модулю) производную. Лемма доказана.
Примем в качестве о? точку ^г /?.fZo)j , а в качестве
-/->> - экстремальную функцию -г <g /^ , указанную в
формулировке леммы. Покажем, что тз> /2\ ) - ^ > и Т6М самым теорема Ри-
мана будет доказана. Идея доказательства равенства ^/2Х )хг/^
состоит в том, что если функция^ ^ /? такова, что 0/&^)^^
то можно указать функцию, имеющую в точке оС большую по модулю
производную , чем функция^ .
Нусть^^ /^ и о {Р-г^^А^ • Укажем функцию Л/гЛг/^
такую, что /? /С^)У'^>/о'/^)/ . Функцию >С определим как
композицию Z/2 )= /.?, /%^ /^ ^±(ъ")))) • Положим /,л -* &
Пусть &• ^ /<Г \ $ (~?>ъ\ • Будем для определенности
предполагать, что CL вещественно и положительно. Положим Л » ?~а~_
Это преобразование переводит /^± CDz. ) в односвязную область
Т) С К ' aGno> что 2^ Н6 содержит точку Н = о и
/?•2. f^j.{ot)) ^ - cl • В качестве Хг примем ветвь функции 73

Ш.З. - 213 -
над областью 1> , принимающую в точке —-cl, значение iV~2
Положим Т>4 = Ьъ(~& ") • Отметим, что h% однолистна в Ъ .
поскольку ветвь корня, как уже указывалось, принимает всякое
значение не более, чем в одной точке. Положим d-^{z)~= 2rj-W_o-
Отображение V- А.,, (^Л переводит к^ на себя, и при этом точка
-с. yf^ переходит в нуль. Функции /их /^ Д, ]^ч голоморфны
и однолистны в соответствующих областях и Ld^^ с /<
и bf</)—o • Следовательно, L?. /^ . Оценим произвол-
н^ / tiu) I = / Ц а ^) л[ г».-) JJL г*)*.* &)/*
-te.Ut^^f'^-4
ои
\8'Ы\
. На
CLt±-
интервале t> <lol <l ± выражение ^ ¦ строго монотонно
убывает ot<=^=» до 4- t и потому во всех точках этого интервала оно
строго больше единицы. Поэтому
Итак, предположение о том, что 7Н/2\. ) ^/кГ, приводит к
тому, что тъ — ' Н6 является экстремальной, т.е., что
существует функция X <? /Q такая, что />? &) J >/^ /^Jf
Это противоречит определению функции У* • Теорема Римана доказана.
5. Формула Крис то цхце ля-Шварца. Эллиптические интегралы
Пусть2)^: <?• - область, ограниченная замкнутой ломаной, не
имеющей самопересечений. Биголоморфные отображения таких областей
на простейшие области, например, на круг или полуплоскость, могут
быть заданы явными формулами. Приведем формулу Кристоффеля-Шварца,
задающую отображение верхней полуплоскости на многоугольник.
Перенумеруем вершины многоугольника J^ в порядке движения в положи-

Ш.З - 214 -
тельном направлении по границе этого многоугольника и запишем
величины внутренних углов многоугольника в виде "ч^о^Я^ <*vL/T
Отображение верхней полуплоскости на заданный многоугольник
задается формулой:
Lo,-?3 ^ ГД6
0.1_?-в--г_?..-- гСО-i^ - ТОЧКИ В6Щ6СТВ6ННОЙ ОСИ (пербХОДЯЩИб
в вершины многоугольника), а С±_ и С-и - какие-то комплексные числа.
Обратно, всякое отображение указанного вида, взаимно-однозначно
переводящее вещественную ось в замкнутую ломаную без самопересечений,
переводит верхнюю полуплскость в многоугольник с углами (/±тг,— ,
c/w П и при этом С? - переходят в вершины этого многоугольника.
Пояаним, как сябдувт понимать выражение С] (^~^j) J
Условимся, что каждый из сомножителей ц-^р мы понимаем как
одну какую-либо из ветвей многозначной пункции <t/> (fot? ~J-)^k, (\ __
— О-О) • Функция ^а* f\-a.r) а, следовательно, и
^/Yf>f&f~sy.^(X-<x^> распадается над верхней полуплоскостью на
однозначные ветви, и потому мы вправе говорить о ветвях
*yffUj ~S)Z /. fi -а,- )) • Выражение Д ^ _ ^.fs -*
понимается как произведение каких-то фиксированных ветвей
сомножителей.
Мы докажем Формулу КристофсГ;еля-Шварца лишь для одного частного
случая, расчитывая, что по той же схеме читатель сможет
самостоятельно воспроизвести доказательство и в общем случае. Фиксируем к.
Io^-Ul^l) й РассМ0ТРим двузначную функцию

Ш.З. - 215 -
Y &-1и~) (l-K1~ 2*0 • Над верхней полуплоскостью эта пункция
распадается на две ветви, которые отличаются друг от друга знаком.
Пусть V f± - 2. *¦) СЛ-кТ-^т.)' - та из ветвей этой функции,
которая положительна на интервале (о, ±) . Покажем, что вак называемый
эллиптический интеграл, т.е. выражение вида -/7^^=-
-I
/ гл/ГГГГ1—?~? задает отображение w^-ff-g.'), которое
биголоморфно переводит верхнюю полуплоскость на прямоугольник со
сторонами, параллельными координатным осям, с вершинами в точках
/ /-^^ - Z-f-c/. t —Z , где Z >о и А >а.
Отметим, что выражение 5^/2) - fJ.-g'2-) (± -kr- г\)
положительно на интервалах (-°°п-"?ч, (-*>*)>) (•?., <-*°) и
отрицательно на интервалах {^\_, -±) и (?, ^ ) . Из этого
следует, что отображение W^-Pfe) гомеоморфно переводит отрезок
?~i, d.] на отрезок L~-L} ^1 , где А - \ **х —
Представим У*fa) произведением четырех линейных множителей
S^&J-^--sJU+^fl-Vc-zO fjL+^zO • ПРИ Движении точки
по малой полуокружности (в направлении часовой стрелки), лежащей
в верхней полуплоскости и имеющей центр в точке ~Е=^± , аргумент
произведения трех сомножителей (i+^Kl-t ^2:) (±-\с :}
имеет нулевое приращение, а аргумент множителя (-L-2i) изменяется
от О до ^^Г . Поэтому на этой полуокружности аргумент функции
у^^Гч изменяется от О до -? .А так как на интервале
функция i непрерывна и принимает чисто мнимые значения,
то отображение yfi/ = _ffe\ переводит отрезок L 4, -%. 7
в отрезок /^ ? + cL'Z > гДе Z '= Г __^

Ш.З. - 216 -
Аналогично доказывается, что отрезок L~ ~Ц_ ,4-3 переходит
в отрезок [-If i ? ,-?] , а отрезок ? ? ? ^°; ~ Ъ.1
переходит в отрезок LC-t^^, — L-t^L J л
итак, отображение W--/T2:) голоморфно на верхней
полуплоскости, переводит полуплоскость в ограниченную область и гоиеоморфно
на границе (на вещественной прямой и в бесконечно удаленной точке).
Следовательно, в силу принципа соответствия границ оно биголоморф-
но переводит верхнюю полуплоскость на указанный прямоугольник.
При изменении параметра К от 0 до й отношение сторон у~
изменяется от с^= до О . Это означает, что при подходящем выборе
\l биголоморфным преобразованием полуплоскости мы можем получить
прямоугольник с произвольным наперед заданным отношением сторон.
А из этого следует, что любой прямоугольник может быть получен
из полуплоскости преобразованием вида
Рассмотрим функцию Jjl~l , обратную к функции -РСЪ) ^
\
- J vl T • С помощью принципа симметрии она продолжа-
ется до функции, мероморфной на всей плоскости (?, . Эта
(продолженная) функция называется эллиптическим синусом и обозначается
так: ^ (Ь) . Это функция двоякопериодична, а именно,
^ A ±4?) - &^ Z. И J^^dz -Z-L/L')^ &-hs-?
Эллиптический синус является простейшим примером так называемых
автоморфных функций (автоморфная функция - это функция,
инвариантная относительно какой-нибудь подгруппы группы движений).
Эллиптический синус инвариантен относительно сдвигов на величины, кратные
его периодам.

Ш.З. - 217 -
б. Модулярная огзункция
На окружности /?/ = 1. фиксируем три точки cl., <g q
которые делят эту окружность на три равные части. Обозначение
точек выбираем таким образом, чтобы движение в направлении(с,?уо,)
соответствовало движению часовой стрелки. Внутри единичного круга
К '. B:1 С А. проведем три дуги \^> оЛ 1 ^ le. и ^> со_
окружностей, пересекающих окружность l~Z=(^±_ в точках *> ^ с_
и образующих с этой окружностью в каждой из указанных точек прямой
угол (см. рисунок Ш.З.6).
из теоремы Римана-Каратеодори следует, что криволинейный
треугольник ( <Ъ о с ) t ограниченный этими тремя дугами, можно
отобразить на верхнюю полуплоскость так, чтобы точки «я. ^ с_ перешли,
соответственно, в О, I и <=*=> (исходное отображение можно задать
как композицию биголоморфного отображения рассматриваемого
треугольника на круг и дробно-линейного отображения круга на
полуплоскость). Функцию, задающую это отображение, обозначим через
Jm "Z:/ . используя принцип симметрии, аналитически продолжим эту

Ш.З. - 218 -
функцию через дугучу^'Ь на криволинейный треугольник (cLt е1у?)
где Сх - точка, симметричная точке (L относительно дуги ^ <ъ4>
т.е. в данном случае Cj. - -С, . Дуги ^ o^cL и ^ сх ?
симметричны дугам v_> CL с и оСб относительно той же дуги^ай
Поскольку всякое биголоморфное отображение, в частности, и
симметрия, сохраняет углы, то эти дуги так же перпендикулярны исходной
онружности /2/"=d . аналогичным образом продолжим пункцию
J^f'Zr') с треугольника (cl?c) через, две его другие стороны
на криволинейные треугольники 14cl±cS) и (с€±<х.) • Таким
образом, функция &<(Ъ) определена и голоморфна в криволинейном
треугольнике ((ZtCi. ._ 4d ) • По принципу симметрии Ц^Лг-J
продолжается через каждую из сторон полученного многоугольника.
Используя эту конструкцию продолжения басконечное число раз, мы
получаем, что <А(ъ) определена и голоморфна на всем круге АС .
Эта функция JV (ъ) называется модулярной пункцией. Она появилась
впервые в теории эллиптических интегралов, и ее название
"модулярная" происходит от того, что она связывает модуль эллиптического
интеграла с соответствующим отношением периодов.
Отметим три нужные для дальнейшего свойства функции j^(^)>
эта функция голоморфна в круге 1С[ /'Z.tCL , она не принимает
в К значений 0 и I и не может быть продолжена ни в какую точку
окружности 13.1 ^i . Невозможность непрерывного продолжения
на границу круга следует из того, что каждое из значений 0 и I
принимается пункцией ^(ъ") на множестве, которое всюду плотно
на границе круга /^ .
Рассмотрим функциюс/1^4" , обратную к модулярной функции. Эта
функция многозначна. По построению, функция J4 однолистно
переводит криволинейный треугольник (& ^cl.) на верхнюю полуплоскость.

Ш.З. - 219 -
—А.
ОтображениеJo , обратное к этому, переводящее полуплоскость
на указанный треугольник, является голоморфной ветвью функции J4_J-
над верхней полуплоскостью. По принципу симметрии JV0~
голоморфно продолжается через интервал @,1) на нижнюю полуплоскость.
Аналогично, всякая голоморфная ветвь функции J1*""* над верхней
(над нижней) полуплоскостью голоморфно продолжается через всякий
из трех интервалов (о,±) (l^^ca) (-^^^o*) на нижнюю (на
верхнюю) полуплоскость. Из сказанного следует, что над всяким
другом, не содержащем 0 и I, функция^ распадается на
голоморфные ветви, и определяемые этими ветвями аналитические элементы
неограниченно продолжаемы в С^^О. ^ % .
Отметим, что функцияJ^ ограничена. Действительно, так как
^ не может быть голоморфно продолжена ни в какую точку окруж-
ности 1^1 = 1 , то все значения функции^ принадлежат кругу
К \ \Ъ\*- i- » т,е* U1*" 1^-^- • Впрочем, это ясно и так,
непосредственно из построения функций ju и <j^ .
У. Малая теорема Пикара:
Всякая цьлая непостоянная пункция принимает любое конечное
комплексное значение, за исключением, быть может, одного.
Имеет место более сильное утверждение, которое принято
называть большой теоремой Пикара: если функция -f в точке ?0 <?:<?"
имеет существенную особенность, то в любой проколотой окрестности
точки "Z.c функция -р принимает все конечные комплексные
значения, за исключением, быть может одного.
Всякая целая непостоянная функция имеет на бесконеыности
существенную особенность, И'потому малая теорема является очевидным
следствием большой.
Доказательство малой теоремы Пикара. Пусть целая функция

ш.з. - гго -
-fй cexJ>? не принимает два значения л иъ . Тогда
JL-P
функция J?^2) = -?(ъ)-°^ t которая, очевидно, является
целой, не принимает значений О и 1 . Рассмотрим композицию
^p(:t) = J^^L (tff^V • ^3 свойств функции сЯ и леммы о
композиции элементов следует, что всякий элемент, являющийся
композицией элементов функции Я и функции J^" , неограниченно прог
должаем во всей плоскости С , и, следовательно, функция Ф
распадается над С на голоморфные ветви. Пусть <P(-z) ~
какая-либо из этих ветвей. Так как IJLt~J'l^ -1 } то /fzPCz^l^i.
Следовательно, по теореме лнувнлля ±Р == Се*ь&? . А так как
никакой элемент пункции J1' не может быть постоянной функцией,
то fffe) = с&к*?? • По условию теоремы -р не постоянна,
и потому она может выпускать не более, чем одно значение. Теорема
доказана.
Для функций, мероморфных в С , имеет место аналогичное
утверждение, и оно формулируется так: всякая мероморфная в С
непостоянная функция -f* принимает все значения из <С , за
исключением, быть может, двух.
доказательство. Условимся, говоря о мероморфных функциях,
считать, что во всякой точке, являющейся полюсом функции, эта
функция определена, и ее значение равно «=>*° . Пусть -f не
принимает три значения си , -о и С из <С . Если предположить, что
одно из этих значений, например, с равно*^^ , то получилось бы,
что г не имеет полюсов, а, следовательно, целая, и потому,
в силу теоремы Пикара, она не могла бы выпускать оба значения
и^й/. Таким образом, мы можем считать, что ^ , ¦& и с ко-
нечны. Функция Sfe) ~j?fe\ ~ является целой, поскольку _?

Ш.З. - 221 -
не принимает значения С . Функция Я* fe) не принимает значений
CL^C- и €-С~ и> следовательно, ^V2) s е&*ы>? . Поэтому
и -f = Cof<<bs? . Получено противоречие. Утверждение доказано.
Значение, не принимаемое целой или мероморфной функцией,
называется исключительным (чши пикаровским) значением этой функции. По
теореме Динара всякая мероморфная пункция имеет не более, чем два
исключительных значения. Если функция целая, то она имеет не более,
чем одно конечное пикаровское значение. Для функции <Э пикаров-
ские значения - это 0 и <=>^> . Для функции Т& Z пикаровские
значения - это ¦+¦ -L и - ^ .

ш.з. - ггг -
Упражнения Ш.З (Основные результаты геометрической теории.
Теорема Римана. Теорема Пикара).
1. Если область 1)^: <?. односвязна и такова, что множество
С ч *Т> содержит по крайней мере две различных точки, то
область Т) можно голоморфно и однолистно отобразить на круг.
2. функция -f голоморфна в круге \Ъ\<^± , 1-Pl^.i.
?'к)/Ъ)=о fc-0,A_,__.,W . Тогда \4С^(Ъ)\?\Ъ\(Ы&\
1 ч»
3. Пусть D - односвязная область и ^а ^ ?} . Обозначим
через Gr множество голоморфных функций /*.'!> —> /<
/<??/:1 ^-iO таких, что г <20)>о . Показать, что
а) j^^'/goj^//^ —
б) если для tf>? Q Lp'fZc) -z= Af > то 5^ взаимно однозначно.
4. Отображение, задаваемое функцией
= \ №-№ *
^(.Ъ) ~ J (\( Х2--!)^^3, переводит верхнюю полуплоскость
в равносторонний треугольник.
5. Если целые функции -f и Q удовлетворяют уравнению
"^ 2^ ~ ^ , где И ^> 3» - натуральное, то -/s со*^
6. Если целые ^С и # таковы, что 3 +-Qj° ~4. , то
7. Функции ^<з*% t5^^=- Ь^_ ^
cLt- —"^-е не имеют пикаровских значений.
8. Показать, что всякое конформное отображение области
на дополнение к интервалу вещественной оси такое, что i-& ^^d.
при 2 -^«*» , имеет вид -f С^.) - 2^-—"<-^ ? где </-л>^?

lh.з. - ггз -
9. Всякое конформное отображение прямоугольника на
прямоугольник, переводящее вершины в вершины, линейно.
10. Если ~f дробно-линейное преобразование круга на себя,
то существует точка -20 , лежащая на границе этого круга, такая,
что l-f'VzcOU 1-fWUi
11. Всякую область _D d <?-, ±)?C2 можно голоморфно
отобразить на единичный круг
12. Пусть функции -fb, fh> = dtZ^ ) голоморфны в
области /^ , все эти функции не принимают значений ^ и -^
ICL^t-tf) и последовательность -^-^/J" сходится в точке г <^_7)
Тогда из этой последовательности можно выделить
подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри Т)
13. Если целая функция принимает всякое свое значение только
один раз, то она линейна.
14. Если функция -/YgO непрерывна на круге /g-/^ J
голоморфна внутри этого круга и равна по модулю единице на его
границе, то эта функция задается конечным произведением Бляшке:
к*
^f^-z^- f] ^~f^ , где °^ - вещественное число,
15. Аналитической емкостью компакта ?^ называется члсло
(вернная грань берется по всем
функциям f , которые голоморфны в <С \ Н. , ограничены по
модулю единицей и равны нулю в бесконечно удаленной точке). Докажите,
что аналитическая емкость окружности равна $@ радиусу, а емкость
отрезка равна четверти его длины.

- 224 -
§ 4. Многозначные аналитические функции
Читатель уже знает несколько таких ситуаций, в которых
возникает необходимость разобраться в строении многозначной функции.
Основной метод решения таких задач - это аналитическое продолжение
функций. Этот метод использовался в приведенных выше доказательствах
теорем Римана и Пикара. В доказательстве теоремы Римана мы
воспользовались тем, что над произвольной односвязной областью, не
содержащей нуля, корень распадается на голоморфные ветви. В связи с
теоремой Пикара нужно было выделить ветвь композиции функций.
Здесь мы продолжим изложение теории аналитического продолжения,
начатое в § 2.
I. Понятие многозначной аналитической функции
Если аналитический элемент -f является продолжением
элемента ( , т.е. является аналитическим продолжением этого элемента по
какому-то пути, то естественно считать, что оба эти элемента
являются частями одной и той же аналитической функции. Исходя из этого
соображения, аналитической функцией называют всякое семейство
элементов, являющихся продолжениями одного и того же элемента. Мы
будем использовать два термина, связанных с понятием аналитической
функции, - "полная аналитическая функция" и "функция (многозначная
функция), аналитическая в области". Эти понятия, как мы увидим
ниже, являются в известном смысле обобщением понятия аналитичности
по комплексной переменной (см. П.5.1).
При продолжении функции может случиться так, что она
продолжается в окрестность бесконечно удаленной точки. Поэтому необходимо
пополнить совокупность аналитических элементов элементами,
определенными в бесконечно удаленной точке.
Аналитическим элементом, определенным в бесконечно
удаленной точке, будем называть всякую функцию f , определенную и голо-

ШЛ - 225 -
морфную в области - ^оида -замкнутый
круг из (С . Аналитический элемент ¦? , определенный в бесконечно
удаленной точке, будем называть аналитическим продолжением элемента
?0 , если существует элемент 4 , являющийся продолжением
элемента -fo » такой, что и \-Р)Пх> №)***'& и на
Di'f^nl^i'f) функции-/** и 4 равны.
Фиксируем аналитический элемент 4о • Совокупность Р всех
аналитических элементов (включая элементы, определенные в
бесконечно удаленной точке), которые являются аналитическими
продолжениями элемента то , называется полной аналитической функцией (по
Вейерштрассу), порожденной элементом . Область, являющуюся
объединением областей определения всех элементов совокупности f}
принято называть областью существования полной аналитической функции
F .
Иногда возникает необходимость говорить об аналитичности
многозначной функции в той или иной заданной области. Функция,
аналитическая в области Т) (порожденная элементом - это, по
определению, совокупность всех элементов, являющихся продолжениями
одного и того же элемента -fo по всевозможным путям, лежащим в 7)
При этом предполагается, что элемент 4о неограниченно продолжаем
в области J) .
Часто, говоря об аналитической функции, мы будем рассматривать
ее не как совокупность элементов, а как многозначную функцию, -
соответствие, сопоставляющее точкам из области определения какие-то
множества значений. Например, сопоставляя точке из области
существования полной аналитической функции множество значений всех
элементов данной функции, определенных в этой точке, мы можем данную
полную аналитическую функцию рассматривать как многозначную функцию.
Аналогично, функцию, аналитическую в области "Ъ , можно
рассматривать как многозначную функцию, определенную на Т) , сопоставляющую

W/
ШЛ - 226-
точке Ъ g:T> множество всех значений, получаемых продолжением
порождающего элемента в точку г (см. 1,2.5) по всевозможным
путям, лежащим в D . Многозначную функцию, которая может быть
получена таким способом, мы будем также, как и в случае, когда
говорилось о совокпуности элементов, называть функцией
(многозначной функцией), аналитической в данной области. В частности, всякая
функция, голоморфная в области -/-) , в смысле этого определения
является функцией, аналитической в L) .
Примерами многозначных аналитических функций являются Za-iz
*">(•? р*2 М~А (функция, обратная к модулярной), —т=,
Первые три из этих функций аналитичны в d ч^о^- t а две
последние -в С\{,0,1^
2. Росток функции. Канонический элемент
Все голоморфные функции, имеющие в данной точке одинаковое
тейлоровское разложение, будучи максимально продолженными, задают
одну и ту же полную аналитическую функцию. В частности,. все
попарно эквивалентные элементы с общим центром порождают одну и ту
же полную аналитическую функцию. Поэтому вснкую такую совокудность
голоморфных функций, или такую систему элементов, обозначают одним
термином, а именно, такую совокупность называют ростком
аналитической функции, или короче, ростком функции. Иными словами, росток
функции - это степенной ряд вида х; CLy^C'E.-G-i , сходя-
щийся в какой-нибудь окрестности центра разложения. Все
аналитические элементы, принадлежащие данному ростку, будем называть
элементами этого ростка.
Среди всех элементов ростка с заданным рядом обособим один,
а именно тот, который определен на круге сходимости этого ряда.
Всякий такой элемент мы будем называть каноническим элементом,

ШЛ - 227 -
Иначе говоря, канонический элемент - это всякий аналитический
элемент -+ » такой, что соответствующий ему круг ±}(-f)
совпадает с кругом сходимости тейлоровского разложения этого элемента
по степеням (ъ - с С-И") , где с f-f) - центр круга
Между ростками и каноническими элементами имеется естественное
соответствие, и в этом смысле мы можем сказать, что росток и
канонический элемент - это одно и то же.
Все определения и факты, касающиеся аналитического
продолжения, можно переформулировать в терминах ростков. Например, если
два ростка состоят из элементов, которые получаются попарно друг
из друга аналитическим продолжением, что естественно сказать, что
эти ростки являются продолжениями друг друга; полная
аналитическая функция - это совокупность всех ростков, являющихся
продолжениями одного и того же ростка; ... и т.п.
3. Многозначные ветви функций
Ветвью полной аналитической функции (над областью Т) ) будем
называть всякую аналитическую в области D функцию, порожденную
каким-либо элементом функции F . Будем говорить, что функция
распадается над областью J) на ветви, если всякий аналитический
элемент этой функции, центр которого принадлежит J3 ,
неограниченно продолжаем в области^ , т.е. он порождает в этой области
аналитическую функцию.
Если функция распадается на ветви над какой-нибудь односвяз-
ной областью, то, в силу теоремы о монодромии, каждая из этих
ветвей голоморфна. Нетрудно убедиться, что если над всяким кругом,
лежащим в области Jj , функция г распадается на ветви, то эща
функция распадается на ветви и над всей областью Т> даже в том
случае, если область У) многосвязна. Как показывает простые
примеры, ветви функции над многосвязной областью, вообще говоря, мно-
многозначны.

Ш.4. - 228 -
Фиксируем в области Т) две точки о? и /3> и соединяющий
эти точки путь о , лежащий в JJ . Пусть-^ и 4г - канонические
элементы с центром в точке о( , a -fi. и -С* ~ канонические
элементы, являющиеся продолжениями элементов+х и -+г по пути J* • в
силу леммы о единственности продолжения вдоль пути элементы 4^. и
4г эквивалентны (т.е. равны в данном случае) тогда и только
тогда, когда равны 4х и 4г .Из этого следует, что для всякой
аналитической в области Т) функции F число её различных
канонических элементов, имеющих центр в одной и той же точке Е-^-^
не зависит от выбора "Z: . Это число мы будем обозначать через ??.(F")
Аналитическую функцию V будем называть w-значной, если
^6-(Р)~К^ .Ив соответствии с этим ветвь функции будем
называть У^ -значной, если для этой ветвий& = К. . Ясно, что число
различных значений W-значной аналитической функции во всякой точке
области аналитичности не превосходит Yv . На примере нетрудно
убедиться, что число различных значений Yv-значной функции в некоторых
точках может быть меньше, чем Vv . Однако можно показать, что
почти во всех точках области определения (исключение составляет
не более, чем счетное множество точек) число различных значений рь-
-значной аналитической функции равно ^ . Это обстоятельство
оправдывает выбор термина "h,- значная функция".
Получилось так, что мы имеем теперь два определения
однозначной ветви функции. Первое, определение непрерывной ветви
многозначной функции, было дано в разделе 1.4.5. Второе, определение
однозначной ветви аналитической функции (Определение К-значной ветви для
случая Ъ~1), дано в этом разделе. Для случая ветвей
аналитических функций эти определения эквивалентны. Ясно, что всякая
однозначная ветвь (в смысле второго определения) голоморфна и потому является
ветвью в смысле первого определения. С другой стороны, можно
доказать, что всякая непрерывная ветвь аналитической функции F (даже

ШЛ. - 229 -
в том случае, когда функция г многозначна) голоморфна, и она
является ветвью функции F в смысле второго определения.
4. Изолированные особые точки многозначных функций
Точку Z0 будем называть изолированной особой точкой полной
аналитической функции р , если эта функция распадается на ветви
над какой-нибудь проколотой окрестностью точки 5Е0 и не
распадается на ветви ни над какой непроколотой окрестностью этой точки.
Для многозначной функции не существует столь же простой (как в
случае однозначных функций) классификации особых точек. Поэтому
тип особенности функции в точке характеризуется так: дается
описание всех ветвей этой функции над какой-либо проколотой круговой
окрестностью точки.
Пусть Ео - изолированная особая точка функции Р , а
\Г-= С? f^o) - проколотая круговая окрестность точки-
над которой функция р распадается на ветви. Характеризуя тип
особенности, мы будем различать три вида ветвей:
1) неособая однозначная ветвь над \J , т.е. ветвь,
являющаяся ограничением на U функции, голоморфной в непроколотой ? -
-окрестности точки "?© ;
2) особая однозначная ветвь, т.е. ветвь, голоморфная в ~\Jf
имеющая в точке Z0 неустранимую особенность;
3) многозначная ветвь над I/ , т.е. и^-значная ветвь (vu^z)
Если особая точка HQ такова, что хотя бы одна из ее ветвей
над указанной окрестностью многозначна, то мы будем говорить, что
точка ~2о является точкой ветвления рассматриваемой функции.
Рассмотрим в качестве примера функцию F(?) —, ?=-
Эта функция аналитична в ?-N{o, 1} I она двузначна; её
особые точки - это точки ~? = о » ~Е^~^=^ и "Z- = ±. . Первые

ш.а. - 230 -
две точки являются точками ветвления - над малой проколотой
окрестностью каждой из этих точек функция F* имеет одну ветвь, и эта
ветвь двузначна. Над малой проколотой окрестностью точки ^ = ±
функция распадается на две ветви ~Г (ъ) — —v ¦— и -f fe)^
J
- . <— . Первая из этих ветвей - это однозначная неособая ветвь,
вторая - однозначная особая ветвь. Ветвь -?_ (^.^ имеет в точке
полюс первого порядка.
5. Теорема о точке ветвления ;
Пусть -? - К* -значная ветвь полной аналитической функции
над проколотой окрестностью X/ = С^ ^?0) точки ^0 ;-?? —
- канонический элемент этой ветви с центром в точке о?g? jy ^
- замкнутый путь, лежащий в [/ , имеющий начало (и конец) в точке©/
% - канонический элемент с центром в </ , являющийся продолжением
4о по пути У . Элементы -/^ и г равны в том и только том случае,
когда vKof CV~^o)~ Ovv » где ^^. ~2Г . В частности,
если И> ¦=. ^= , то элементы ~F и -/о равны лишь при условии
-LwJ(X~ Ъо) •=¦ о
Теорема о точке ветвления дает вполне определенное представление
о геометрическом строении ветви вблизи точки ветвления. Локально
Уъ -значная ветвь устроена так же, как функция Yz , если и,
конечно, и как функция Lw"? , '
если К- бесконечно. Если зафиксировать какой-либо элемент ветви
и продолжать его, двигаясь по замкнутому контуру вокруг точки
ветвления, то получаемые элементы оказываются попарно различными, пока
число обходов меньше, чем ^-CF ) , и эти элементы циклически
повторяются с периодом, равным ^?-(Fj.
Доказательство теоремы. Для простоты будем считать, что
Ъ ~о U= <Сч^о^ о?-А. • Пусть у - окружность с центром

Ш.4. - 231 -
в точке О радиуса 1 , ориентированная против часовой стрелки.
Обозначим через ^ ( \с ?. ~%') путь, полученный к -кратным
обходом окружности )С , а через-/],. - канонический элемент с
центром в точке d. , являющийся продолжением элемента^© по
пути о и. . Путы о гомотопен в I/ пути $ , где ^ = *-1*&о
(доказательство гомотопности Т и 0 ^ приведено в Ш.I.I). Так
как начальная точка пути о лежит на окружности п , то все
путиутгеТдейства, реализующего гомоторию О ^ Ти (см. Ш. 1.1)
имеют начало в одной и той же точке, а именно, в точке </=*! . Это
позволяет воспользоваться леммой о продолжении по гомотопным путям.
В силу этой леммы f - -Р^ . Поэтому теорема о точке ветвления
Лоив-Зкем что
будер доказана, если мы докажем ее для случая У^=. JU
минимальное натуральное р такое, что 4-р-4о г
. Действительно, если
?, ^ Д , то число различных элементов из ?-f± } не
превосходит р , и, следовательно, из определения &(F)полхчл*м, что
К^Р .С другой стороны, по определению Z3 , элементы -fo -P
попарно различны и, следовательно, Av^/>
Итак, элементы ¦?,. ~,-^L-± попарно различны и -/и, = ^
Из этого следует, что-ZvL - -/о в том и только том случае, когда
Ul ¦=. \) w » Г2*е \)^ ^"» Тем самым теорема доказана.
б. Ряды Пюизо
Аналитическое описание ветвей функций дает следующая теорема
Пюизо:
Пусть р -V-^-BerBb (к конечно) функции над проколотой ? -
-окрестностью \J = ^ fZo) точки "?© . Тогда в указанной
окрестности f (^) = 21 с*, Сн- 2о')и''//е

ШЛ. - 231сь-
Выражение г (г") -= ^Z С^Сг-Ео"} называется пред-
ставлением Пюизо (или рядом Пюизо) данной ветви. Это равенство
понимается так: если подставить в правую часть вместо (?-2©)
какой-либо элемент*? функции ~у t^-^^) (!D ($ ) ^ "U" /
то на круге X) D J этот ряд окажется сходящимся и его сумма задает
элемент ветви Р . И обратно, всякий элемент -f ветви F такой,
что T^>(-f)^ 1У может быть получен указанным способом.
Представление ветви рядом Пюизо единственно в следующем смысле: если
то С- к, - © С^ при всех ^ <? ~Ж , где ?Р - корень ^ -ой
степени из 1. , один и тот же при всех значениях К* .
Доказательство теоремы Пюизо. Произведем замену переменной
Ъ -г0 - \ и рассмотрим функцию Чч"|J)= F(% ^J)
Покажем, что эта функция над проколотой окрестностью -SZ \ °^^\\<
Ч—-
?у& точки 1 -о распадается на i<. голоморфных ветвей.
Пусть -?0 - какой-нибудь элемент функции Р" , a ?Ро ^1) - 4L (% )
- соответствующий элемент функции Ф . Так как элемент -^
неограниченно продолжаем ъ U , а функция ^ голоморфна в iT?.
то по лемме о композиции элементов элемент SPQ продолжается по
всякому пути 0 , лежащему в .?2 и имеющему начало в о ГЗ^Д,
т.е. элемент i^, неограниченно продолжаем в _?2_ . Элементы
семейства /^g 3" » задающего продолжение элемента УЪ по пути, в
силу той же леммы можно записать так: 9^_ (\) — -Г^. С~% J
где 17'2/ - семейство, задающее продолжение элемента -/? по
пути ($) . Если путь У замкнут, то путь (}f) тоже замкнут,
и при этом индекс ък^(чУ) - "So) — t<- iwely . По теореме

ШЛ. - 232 -
Г*
о точке ветвления элемент -/- , являющийся продолжением элемента
-f0 по пути q , эквивалентен (в случае замкнутости пути )
элементу ?0 и, следовательно, элемент, получаемый продолжением
5f0 по пути 0 , эквивалентен j??> . Из сказанного вытекает, что
всякий элемент функции у порождает в S~l однозначную и,
следовательно, голоморфную ветвь. Т.е. функция г распадается над.$2.
на голоморфные ветви. Число этих ветвей равно т.е. равно к. .
Пусть iP - одна из ветвей функции *Р . Так как JP
голоморфна в SL , то мы можем представить ее рядом Лорана:
(pfz^— 2Г С-^\ . Полагая в этом равенстве ^-^f^-'^o)
где Q - это элемент функции "V 2 -ъ.а такой, что
получаем ty С#) "=¦ ^ с^ . Но ?fe) - это элемент
функции р » и поэтому мы вправе переписать равенство так:
|С^)-_ У^. Ck-T^-'So) . Теорема доказана.
7. Теорема о неявной функции
Рассмотрим уравнение f/^2;w) —о , где -f - функция,
определенная и голоморфная в какой-нибудь области двумерного
комплексного пространства. Такое уравнение задает многозначную, .функций
- точке 2- сопоставляются все значения переменной W такие,
что соответствующие пары (z, w) удовлетворяют данному уравнению.
Один из способов построения элементов таких неявно заданных
функций дает теорема о неявной функции.
Теорема формулируется так:
Пусть функция <(-(Ъ,№) равна нулю в точке (?Ь0у/о) ¦
голоморфна в этой точке u 2^1 (¦*- иуа^ ° • Тогда можно указать
окрестность точки (~Zo Wo*) вида C^S,?. С^о, W/?>) * \^-^o\^-S
I W ~ W 1 ^ ?_ ( <э и <?_ -какие-то положи-

Ш.4. - 233 -
тельные числа) и функцию W — tPf'B? » голоморфную в круге
0§[ъ?)\ \~&-Ъо\<?~® , и такую, что множество всех решений
уравнения ?(ъ VoO —о » принадлежащих C/g ? cZo, \Ыл
совпадает с множеством всех пар вида (^; tffe')) , где 2 - это
произвольная точка круга &<$ (дх>) . Иными словами, в некоторой
окрестности заданной точки решение уравнения является графиком
голоморфной функции.
Функция двух комплексных переменных - это отображение из области
двумерного комплексного пространства в комплексную плоскость.
Уравнение можно рассматривать как систему двух
вещественных уравнений относительно четырех вещественных переменных.
Поэтому сформулированный вариант теоремы о неявной функции можно
было бы свести к теореме о неявном отображении. Мы приведем
непосредственное и более естественное доказательство, основанное на методах
комплексного анализа.
Функция -/Yen w) как функция от W в силу условий
теоремы голоморфна в точке V/- v<yto и -f fZo Wo)^o .
Следовательно, мы можем указать ?~у о такое, что на круге (W~Wc\<
й. ?- функция голоморфна, обращается в нуль (на этом
круге) лишь в точке Bо \л/0) и имеет в этой точке нуль первого
порядка. Кроме того, мы будем считать число ?- столь малым, что
круг ?(w-Wol^ ? -^ — Но> принадлежит той области
двумерного комплексного пространства, в которой функция /?2; w)
голоморфна. Фиксируем S>o такое, чтобы при /2*-2г/^сГ
соответствующий круг ^ /w—Wol^^j "S — "Z j принадлежал
области, в которой функция -f- (^ w) голоморфна и на окружности
/lv- Wo I — ?- выполнялось неравенство /~ff%*y/) _
— -РB.о\*/I <i-и^сьх (~Pf^°,w)l • По теореме Руше при

ШЛ. - 23* -
\Ъ* - 2о| ? S на круге |W-Wo1^-? функция -ffe*, w)
так же, как и функция 4- С?о w/) » обращается в нуль лишь в
одной точке. Значение координаты w этой точки обозначим через
</(^у) . Итак, мы получили, что множество решений равнения
^f^.w)^o , принадлежащих области &S, & С~?о к/о )
совпадает с множеством пар B^ уУгУ) , где y>fe) -
однозначная функция, определенная на круге С% fZc)
Докажем голоморфность функции УГъ) . Так как при
фиксированном Ъ функция -?¦ f~?j w) как функция от У/ в точке , *
W~ ^pf^g 3 ИМ96Т нУль первого порядка, то, полагая /^ №)•=>
- г— и используя соответствующее правило вычисления
вычетов, получаем, что
А так как точка Uy-yf-z) является единственным нулем
функции -/Yz, к/) на круге ? /w-Wol^s.^ ^ - c^&^tZJ-
и, следовательно, единственной возможной особой точкой функции
^ (w) в этом круге, то по теореме о вычетах
Из двух последних равенств получаем:
*w. ± j ^Да^„
2./Д-
ik-Wq] 4(ъ,уы^

ШЛ. - 235 -
Используя правило дифференцирования интеграла по параметру под
знаком интеграла, убеждаемся, что функция У* голоморфна. Теорема
доказана.
8. Алгебраические функции
Рассмотрим в качестве примера неявно заданных функций класс
алгебраических функций. Алгебраической функцией называется функция
, задаваемая уравнением Pf^ w) ~o
где Pf^,w) - неприводимый многочлен от переменных "Z и *V
Напомним, что многочлен называется неприводимым, если его нельзя
представить произведением многочленов ненулевой степени. Степень
многочлена Р(^, w) по переменной "w называется порядком
алгебраической функции . Простейший пример алгебраической
функции - это л/ Ъ . Эта функция задается уравнением W^-'Z: =o
При фиксированном значении переменной : уравнение
р("?, w") "=¦ о превращается в обычное алгебраическое уравнение
Vv -ой степени, и оно имеет W решений ( W- это порядок
функции 4- ). Существует лишь конечное число значений переменной
(критических значений), при которых это уравнение имеет нратные
корни. Эти значения в паре с соответствующими значениями кратных
корней являются решениями системы / P^2.yw)-o
Из теоремы о неявной функции следует, что дйя всякого
некритического значения переменной 2- можно указать малую окрестность
этого значения, над которой функция -Pfe') распадается на К*
голоморфных ветвей. Из этого следует, что функция -fife)
распадается на ветви над областью некритических значений. Более того,
алгебраическая функция состоит из одной ветви, поскольку задающий эту
функцию многочлен неприводим.

Ш.4. - 236 -
Так как алгебраическая функция конечнозначна, то в достаточно
малой проколотой окрестности критической точки всякая ветвь этой
функции представима рядом Шоизо. Можно показать, что этот ряд (в
случае алгебраических функций) содержит лишь конечное число членов
с отрицательными степенями.
Итак, алгебраическая функция - это конечнозначная
аналитическая функция , имеющая во всей плоскости ? лишь конечное число
особых точек, и при этом разложение Шоизо ветвей функции вблизи
особых точек содержит лишь конечное число членов с отрицательными
степенями. Справедливо и обратное: всякая функция, обладающая
перечисленными свойствами, является алгебраической.
9. Понятие римановой поверхности функции
Пусть F - полная аналитическая функция. Римановой
поверхностью функции F называется пространство классов
эквивалентности пар (-(,Ъ) , где -р - элемент функции /-", а ^ -
- какая-либо точка круга Т) (-F) . Пары C/t в) и //**, н^
объявляются принадлежащими одному и тому же классу в том и только
том случае, если -f <*^-Р и 2* = -Z <^: ^/^"V/lXXPJ
Топология на римановой поверхности задается так: множество из к ff)
объявляется открытым, если оно является объединением какого-либо
набора проекций кругов Т)#) , где -Р - это элемент функции F
Проекция круга 3)№/ - это, по определению, совокупность классов,
соответствующих парам /^2^, где ^ - это заданный элемент, а г
пробегает все значения из 2^/^J
Рассмотрим в качестве примера риманову поверхность функцииVi~
Поскольку над всяким кругом, принадлежащим <С \<СсГ^ , эта
функция распадается на ^ голоморфных ветвей, то всякий круг из
С \{_о\ должен быть представлен в римановой поверхности

шл.
- 237 -
в >v экземплярах. Продолжая набор всех канонических элементов
корня, имеющих общий центр, по замкнутому пути, охватывающему
точку н-е? , убеждаемся, что они в результате продолжения
подсказывают, что в данном случае риманову поверхность функции можно
представлять себе так: расположим над комплексной плоскостью г\,
экземпляров плоскостей, разрезанных вдоль отрицательной части
вещественной оси, и обозначим их через С±> зС^ . Верхний
край разреза плоскости С^ подклеим к нижнему краю разреза
плоскости Ck.+i (^-^-^у.---, bs-i.) t а верхний край
разреза плоскости Cw подклеим к нижнему краю разреза плоскости
(La . Склеивание двух краев состоит в том, что на этих краях
отождествляются точки, имеющие одинаковые координаты.
Построенная поверхность К, над всяким открытым кругом из
?¦ \?°3| распадается на К листов. Всякое множество в Q
которое является объединением таких листов, мы называем открытым
множеством. Задав таким образом в R топологию, мы можем
проверить, что пространство К является многообразием, гомеоморфным
плоскости с проколом, т.е. области <Lx\.ol; . Более того,
принимая в качестве локальной комплексной координаты координату проекции
точки из R в (С , мы можем сказать, что поверхность
является одномерным комплексным многообразием.
Над всяким кругом из С \ ?о^ функция 1 ? задает гь
аналитических элементов. Будем считать, что элементы определены на
различных листах поверхности /5 • Соответствие между листами и
элементами можно установить таким образом, чтобы совокупность всех
элементов рассматриваемой функции задавала на fi рднозначную и,

Ш.4. - 238 -
Ъ
следовательно, голоморфную функцию. Получается, что функция
на своей римановой поверхности голоморфна.
В том же смысле мы можем сказать, что риманова поверхность
всякой полной аналитической функции является одномерным комплексным
многообразием, а сама функция на своей римановой поверхности
однозначна и голоморфна.
Риманова поверхность алгебраической функции допускает простую
и естественную компактификацию - пополняя поверхность конечным
числом точек, ее можно превратить в компактное комплексное
многообразие. Всякая локальная ветвь алгебраической функции (ветвь над
малой проколотой окрестностью точки) записывается рядом Пюизо, и мы
можем рассматривать такую функцию как совокупность рядов Пюизо ее
локальных ветвей. Сходящийся ряд Пюизо -S C^(^.-z0)
можно воспринимать как элемент вида -/• f"О "=" ^ С^~\ где
у — v^-^o ^ сопоставляя при этом такому эвементу какой-нибуд!
круг с центром в точке ~\ - о такой, что на 1>#А<о^
ряд ?(\) сходится. Склеивая носителем этих элементов (круги 1)Ш )
мы получаем компактную поверхность. Компактифицированный вариант
отличается от первоначального на конечное число точек, вносимых
особыми ветвями. Алгебраическая функция на пополненной поверхности
мероморфяа - в точках, соответствующих особым ветвям, она имеет
полюсы. Например, риманова поверхность функции "v^ после ком-
пактификации превращается в риманову сферу, а сама функция (в
соответствующих координатах) становится линейной.

ШЛ. - 239 -
Упражнения ШЛ (Многозначные аналитические
функции)
1. Если-/' - это канонический элемент с центром в точке d
то на границе круга D М можно указать точку С * , через
которую функция -Р не может быть аналитически продолжена, т.е.
не существует элемента +¦ , который являлся бы аналитическим
продолжением элемента /* по отрезку ^CJCXJ
2. Пусть -fj. и -А. - канонические элементы функции (i + i^)'1
с центром в точке ^-z . Чему равны радиусы кругов Х> (¦&)
и 2>fO ?
3. Пусть F - к-значная, аналитическая в области Ъ
функция ()v^-«0 . Тогда число ее различных значений почти во всех
точках области (за исключением не более, чем счетного множества)
равно W .
4. Число канонических элементов всякой полной аналитической
функции, имеющих один и тот же центр, не более, чем счетно.
5. Если область 1) односвязна, а Ч- голоморфна в 1)
и нигде в XJ не равна нулю, то *) распадается над Ъ
на К/ голоморфных ветвей.
6. Найдите вычеты ветвей функции Л*** (' р=- ^ в точке
^+\Jz J
2 -L •
7. В области С \ < к ??2Г ( ^ <^ ^? функция "Не к -^
аналитична.
8. Охарактеризуйте особые точки многозначных функций
а)
ль* , б) У ^~~7р , в) /?^ 21
9. фикция d-f-^) fl-'z) распадается над
?. \L~l, *¦ 1 на голоморфные ветви в том и только том случав,
когда JL -ь р> ё-'Ж ,

Ш.4. - 240 -
10. Не существует полной аналитической функции, имеющей в
качестве своих канонических элементов функции ^ и — "Н
11. Бели -f аналитична в {2\<{.о^ и ограничена, то
она постоянна.
12. Пусть функция -f fe} w) голоморфна в точке (h.Oj\c/0)
равна нулю в этой точке и Z—3L {jZx> wc) ~о при всех
ki^iZ к-1 , а к -ая частная производная Bо vO
не равна нулю. Тогда можно указать w -значную функцию ч/- tflfe)
аналитическую в проколотой окрестности точки Нго и такую, что
во всякой достаточно малой проколотой окрестности точки (^и/о)
множество решений уравнения -ff^jW)^o совпадает с
множеством всех точек ("^^(г) , принадлежащих этой проколотой
окрестности.
13. Укажите точку ?0 , принадлежащую области
(С^ - ? \ <^су=> о1 , и два неэквивалентных элемента -/с и -/^
одной и той же ветви (над?Г_ ) функции -J^g. такие, что
содержит точку г0 .
14. Риманова поверхность функции -/j_ - г- гомеоморфна
сфере, из которой выколоты две точки, а риманова поверхность
/ , -?.?-) гомеоморфна тору, из которого выколоты 4 точки.