Г. С. БАРАНЕНКОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, В. А. ЕФИМЕНКО,
е. м. коган, г. л. лунц, е. ф. поршнева, е. п. сычева,
С. В. ФРОЛОВ, Р. Я. ШОСТАК, А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. П. ДЕМИДОВИЧ А
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВ А 1968

517.2
Б 24
УДК 510@76.1)
Задачи и упражнения по математическому анализу
для втузов
Под редакцией Б. П. Демидовича.
М., 1968 г., 472 стр. с илл.
Редактор А. Я. Баева.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор А. С. Баку лова.
Печать с матриц. Подписано к печати 8/1У 1968 г. Бумага бОхЭО1/™- Физ. печ. л. 29,5.
Условн. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 30,98. Тираж 150 000 экз.
Цена книги 97 коп. Заказ № 2605
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Могква, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-3
2-68

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 7
Предисловие к четвертому изданию 8
Предисловие к пятому изданию • • . 8
Глава I. Введение в анализ 9
§ 1. Понятие функции 9
§ 2. Графики элементарных функций 14
§ 3. Пределы 20
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие 31
§ 5. Непрерывность функций 34
Глава II. Дифференцирование функций 40
§ 1. Непосредственное вычисление производных 40
§ 2. Табличное дифференцирование 44
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными ... 54
§ 4. Геометрические и механические приложения производной ... 58
§ 5. Производные высших порядков 64
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков 68
§ 7. Теоремы о среднем 72
§ 8. Формула Тейлора 73
§ 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей . 75
Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения
производной 79
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента 79
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба 87
§ 3. Асимптоты 89
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам .... 91
§ 5. Дифференциал дуги, кривизна 97
Глава IV. Неопределенный интеграл 102
§ 1. Непосредственное интегрирование 102
§ 2. Метод подстановки 108
§ 3. Интегрирование по частям 111
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . ИЗ
§ 5. Интегрирование рациональных 4)ункцнй 116
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций 120
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций 123
§ 8. Интегрирование гиперболических функций 128
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических подстано-
подстановок для нахождения интегралов вида \ /? {х^ ахг-{- Ъх -\- с ) Ах,
где /? — рациональная функция 129
§ 10. Интегрирование различных трансцендентных функций 130
§11. Применение формул приведения 131
§ 12. Интегрирование разных функций 131
Глава V. Определенный интеграл 133
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы 133
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопреде-
неопределенных 135
§ 3. Несобственные интегралы 138
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле 141
§ 5. Интегрирование по частям 144
§ 6. Теорема о среднем значении 145
§ 7. Площади плоских фигур 147
§ 8. Длина дуги кривой 153
§ 9. Объемы тел 155
§ 10. Площадь поверхности вращения 160
§11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена 162
§ 12. Приложения определенных интегралов к решению физических
задач 166
Глава VI. Функции нескольких переменных 172
§ 1. Основные понятия 172
§ 2. Непрерывность 175
§ 3. Частные производные 177
§ 4. Полный дифференциал функции 179
§ 5. Дифференцирование сложных функций 182
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции . . . /185
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков 188
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов 193
§ 9. Дифференцирование неявных функций 195
§ 10. Замена переменных 202
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 207
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных .... 210
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных 212
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
функций 216
§ 15. Особые точки плоских кривых 219
§ 16. Огибающая 221
§ 17. Длина дуги пространственной кривой 222

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента 223
§ 19. Естественный трехгранник пространственно"! кривой 226
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой 230
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы . 233
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах 233
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле 239
§ 3. Вычисление площадей фигур 242
§ 4. Вычисление объемов тел 244
§ 5. Вычисление площадей поверхностей 246
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике 247
§ 7. Тройные интегралы 248
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобст-
Несобственные кратные интегралы 255
§ 9. Криволинейные интегралы , 259
§ 10. Поверхностные интегралы 269
§11. Формула Остроградского — Гаусса 271
§ 12. Элементы теории поля 273
Глава VIII. Ряды 277
§ 1. Числовые ряды 277
§ 2. Функциональные ряды -. 288
§ 3. Ряд Тейлора 295
§ 4. Ряды Фурье 301
Глава IX. Дифференциальные уравнения 306
§ 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравне-
уравнений семейств кривых. Начальные условия 306
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 308
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории 310
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка .... 314
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравне-
Уравнения Бернулли 315
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
множитель 318
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные.
относительно производной 320
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро * .... 322
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 324
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков 329
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения . 332
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с посто-
постоянными коэффициентами 334

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами порядка выше 2-го 340
§ 14. Уравнения Эйлера 341
§ 15. Системы дифференциальных уравнений ............ 342
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов 344
§ 17. Задачи на метод Фурье 346
Глава X. Приближенные вычисления . . . . . 350
§ 1. Действия с приближенными числами 350
§ 2. Интерполирование функций 355
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений . у 359
§ 4. Численное интегрирование функций ....... 365
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений 368
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье 376
Ответы 378
Приложения 460
I. Греческий алфавит 460
II. Некоторые постоянные 460
III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы 461
IV. Тригонометрические функции 463
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции 464
VI. Некоторые кривые 465

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому
анализу применительно к максимальной программе общего курса
высшей математики высших технических учебных заведений. Сбор-
Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в
главах (I — X), и охватывает все разделы втузовского курса выс-
высшей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое
внимание обращено на важнейшие разделы курса, требующие проч-
прочных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования,
построение графиков функций, техника интегрирования, приложения
определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных урав-
уравнений).
Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных глав
курса математики, авторы включили задачи на теорию поля, метод
Фурье и приближенные вычисления. Приведенное количество задач,
как показывает практика преподавания, не только с избытком удов-
удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению
соответствующих разделов курса, но и дает возможность препо-
преподавателю разнообразить выбор задач в пределах данного раздела
и подбирать задачи для итоговых заданий и контрольных работ.
В основном задачник предназначен для студентов-заочников и
студентов вечерних факультетов технических вузов машиностроитель-
машиностроительных специальностей, а также лиц, занимающихся самообразованием.
В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и
приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соот-
соответствующему разделу курса. Здесь же показаны образцы решений
особо важных типовых задач. Это обстоятельство, но нашему мне-
мнению, в значительной мере4облегчит студенту-заочнику пользование
задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задачи
даны ответы; в задачах, отмеченных звездочкой (*) или двумя
звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие
указания к решениям или решения. Для наглядности часть задач
иллюстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания
авторами высшей математики в технических учебных заведениях

8 • предисловие к пятому изданию
г. Москвы. В нем, кроме оригинальных задач и примеров, поме-
помещены многочисленные общеизвестные задачи, а также ряд задач
и примеров из существующих руководств. В частности, был широко
использован изданный на правах рукописи «Задачник цо высшей
математике» (Москва, изд. МВТУ, 1944 г.) — коллективный труд
преподавателей кафедры высшей математики МВТУ, в числе
которых, кроме некоторых авторов настоящего сборника, были
также ныне скончавшиеся И. П. Ветчинкин и С. Ф. Шурлапов.
Хотя работа между авторами в основном была распределена
по главам, каждый автор, как член авторского коллектива, несет
полную ответственность за весь сборник в целом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Четвертое издание сборника незначительно отличается от пре-
предыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и ответах.
В некоторых местах несущественно изменены формулировки. До-
Добавлено несколько новых задач, номера которых, с целью сохра-
сохранения старой нумерации, оформлены с помощью дробной десятич-
десятичной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно
после № 2016, имеют номера 2016.1, 2016.2 и т. п.
О всех замечаниях и пожеланиях но поводу сборника авторы
просят сообщить по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы. х
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Пятое издание сборника напечатано с матриц четвертого и
отличается от него лишь некоторыми исправлениями опечаток
в тексте и ответах.
Большая часть замеченных опечаток сообщена В. В. Третья-
Третьяковым, которому авторы выражают свою благодарность.
Москва, 1965 г. Авторы

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1°. Действительные числа. Числа рациональные и иррацио-
иррациональные носят название действительных, или вещественных, чисел. Под аб-
абсолютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное
число |а| , определяемое условиями: \а\=а, если а^О, и \а\ =— а, если
а < 0. Для любых вещественных чисел а и Ь справедливо неравенство
2°. Определение функции. Если каждому значению *) перемен-
переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е9
соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у на-
называется функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной, опреде-
определенной на множестве Е; х называется аргументом, или независимой пере-
переменной. То обстоятельство, что у есть функция от х% кратко выражают
записью: у~}{х) или у = р(х) и т. п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е,
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.
В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать только одно-
однозначные функции, если явно не оговорено противное.
3°. Область существования функции. Совокупность значе-
значений х, для которых данная* функция определена, называется областью суще-
существования, или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет
собой: или отрезок (сегмент) [а, Ь], т. е. множество вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а^л:^6; или промежуток (интервал) (а, Ь)%
т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
я < х < Ь. Но возможна и более сложная структура области существования
функции (см., например, задачу 21).
Пример 1. Определить область существования функции
Решение. Функция определена, если
х2 — 1 > 0,
*) В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предпо
лагаться вещественными, если явно не оговорено противное.

10
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. Г
т. е. если |х|> 1. Таким образом, область существования функции представ-
представляет собой совокупность двух интервалов: — оо < я < — 1 и 1 < # < -у- оо.
4°. Обратные функции. Если уравнение у = [(х) может быть одно-
однозначно разрешено относительно переменного х, т. е. существует функция
х — ц(у) такая, что */ = /[&(*/)]> то функция х = §(у), или в стандартных
обозначениях У:=§(х), называется обратной по отношению к у = [(х). Оче-
Очевидно, что # [/(*)]=*> т. е. функции / (х) и §(х) являются взаимно обрат-
обратными.
В общем случае уравнение # = /(дс) определяет многозначную обратную
функцию х = [~г(у) такую, что у = } (/"* (у)) для всех у, являющихся значе-
значениями функции /(*).
Пример 2. Для функции
0=1-2"* A)
определить обратную.
Решение. Решив уравнение A) относительно х, будем иметь:
2"* = 1-у .,
и
лт ^^^ш^т
1*A-У)*)
18 2
B)
Область определения функции B), очевидно, следующая: — оо< у < 1.
5°. Сложные и неявные функции. Функция у от лс, заданная
цепью равенств у = }(и), где и = у(х) и т. п., называется сложной, или
функцией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой
переменной, называется неявней. Например, уравнение х3~\-у*=1 опреде-
определяет у как неявную функцию от х.
6°. Графическое изображение функции. Множество точек
(х, у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением # = /(*),
называется графиком данной функции.
1.** Доказать, что если а и Ь — действительные числа, то
а —
2. Доказать следующие равенства:
а
,2.
а) аЬ
б)
3. Решить неравенства:
а) \х— 1|<3;
б) |*4-Ч>2;
4. Найти /(-1), /@),
-6.
а
Т
а
в)
г)
в) |2х+1|<1;
г) \х— 1|<|
/A), /B), /C),
/D),
5. Найти /@), /(-!■), /(-х),
У ^ X
если
если
х\
6. Пусть
агссоз (!§*). Найти /(тх), /A),
*
1°§ю*> как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.

1] понятие функции 11
7. Функция /(х) — линейная. Найти эту функцию, если
-1) = 2 и /B) = —3.
8. Найти целую рациональную функцию /(х) второй степени, если
= 0 и/C) = 5.
9. Известно, что /D) = —2, /E) = 6. Найти приближенное зна-
значение /D, 3), считая функцию /(х) на участке 4 ^ х ^ 5 линейной
(линейная интерполяция функции).
10. Функцию
0, если х
д> • если д>
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной
величины.
Определить области существования функций:
И. а) у = УТ+\\ б)
13. а) у = Ух2 — 2; б) у = х]/х2 — 2. 19.
14.** у = У2-\-х — х\ 20. у = атЫ
15. у = У~хА—7^=-- 2\. у=
16. у = Ух — л:3.
22. Пусть /(л;) = 2л;4 —З*3— 5л:2 + 6а:— 10. Найти
23. Функция /{х), определенная в симметричной области
— /<С*<С^> называется четной, если /(—х)=/{х), и нечетной,
если /(—л;) = —/(х).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие
нечетными:
а) /{х) = ±
б) /{Х) =
в) /(*) = У(х+\)* + У{х-\Г,

12
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
24*. Доказать, что всякую функцию /(х), определенную в интер-
интервале— /<^х<^/, можно представить в виде суммы четной и нечет-
нечетной функций.
25. Доказать, что произведение двух четных функций или двух
нечетных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
26. Функция /(х) называется пери-
периодической, если существует положи-
положительное число Т (период функции)
такое, что /(* + Т)=/(х) для всех
значений х, принадлежащих области
существования функции /(х).
х
Рис. 1.
Рис. 2.
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и для периодических функций найти наименьший
период их Т:
а) / (х) = 10 31П Зх;
б) /(х) = а 51п_Ъ; -{- Ь соз Л х;
в) /И=К«В^;
27. Выразить длину отрезка у МЫ и площадь 5 фигуры ЛМ
как функции от л:=:ЛЖ (рис. 1). Построить графики этих функций.
28. Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня
АВ=:1 (рис. 2) на участках АС=1Х, Сп = 12 и ОВ 1
Ч~ ^2-"Мз — 0 равна соответственно #1? #2 и #3. Выразить массу
АМ
г) / (*) = зш2 х;
д) /(х) = з1п (|/л;).
и площадь 5 фигуры ЛММ
^ Ч 2Мз 0 р о #1? #2 и #3. Выразить массу т
переменного отрезка АМ = х этого стержня как функцию от х
Построить график этой функции.
29. Найти ф[я|)(л:)] и ^[ф^)], если <р(х)=х2 и
30. Найти /{/[/(х)]}, если /(*) ^^ .
31. Найти /(д:-(-1), если
32 П
/((), /(л)л.
32. Пусть /(/г) есть сумма /г членов арифметической прогрессии.
Показать, что
/(л + 3) —3/(л + 2) + 3/(л+1)—/(л) = 0.
33. Показать, что если
/ (х) = кх + Ь
и числа хг, хг, х3 образуют арифметическую прогрессию, то числа
/С*!)» /(х2) и /(х*) также образуют арифметическую прогрессию.

§ 1] понятие функции 13
34. Доказать, что если /(х) есть показательная функция, т. е.
^(х) = а* (а^>9), и числа х1У х2, хъ образуют арифметическую
прогрессию, то числа /(л^), /\х2) и /(х3) образуют геометрическую
прогрессию.
35. Пусть
/(х) = \ёт±-.
Показать, что
36. Пусть ф(*) = ^(а* + а"*) и ^(х) = ~ (ах— а'х). Пока-
Показать, что
ФI* + .У) = Ф (*) ф 00 + * И "Ф О')
и
37. Найти /(—1), /@), /A), если
агсзтл; при—
^1С^Х при
38. Определить корни (нули) области положительности и области
отрицательности функции у, если:
а) у = 1 -|-л;; г) у = х3 — Зх;
б) у = 2 + х-х>; д)
в) у=\ —х-\-х2;
39. Для функции у найти обратную, если:
б) у = х2—\; д) у =
в) у =
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40. Для функции
х, если л:^ 0,
~1 л:2, если
найти обратную.
41. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено
которой содержит простейшую элементарную функцию (степенную,
показательную, тригонометрическую и т. п.):
а) у = Bх — 5I0; в) у = \%{%^;
б) у = 2СО5Х; г) у = агсзш C - *2).

14
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
42. Сложные функции, заданные цепью равенств,, записать в виде
одного равенства:
а) у =
б) у —
( 2и, если и
в) У = \ 0, ' если и>0;
43. Записать в явном виде функции у, заданные уравнениями:
а) х2 — агссо$^ = л;
б) 10*+10?= 10;
в) х-\-\у\ = 2у.
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2. Графики элементарных функций
Построение графиков фу.нкций */ = /(*) в основном производится путем
наметки достаточно густой сети точек М( (хь у(), где у{ = / (х{) A = 0,1,2,...),
и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает по-
положение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется пользоваться
логарифмической линейкой,
»
■"••---....
V
\
\
■•-••■-е
Рис. 3.
Построение графиков облегчает знакомство с графиками основных эле-
элементарных функций (см. приложение VI). Исходя из графика
(Г)

§ 2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
15
с помощью простых геометрических построений получаем графики функций:
1) #1 = •—/(*) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОХ;
2) У Нх) зеркальн б ф Г ОУ
) # /() р р рф относительно оси ОХ;
2) Уг = Н—х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОУ;
о) #» = /(* — <*) — график Г, смещенный вдоль оси ОХ на величину а;
^ + /() рф Г й ОУ Ь ( 3)
#» рф , щ д Х на величиу а;
4) #4 = ^ + /(*) — график Г, смещенный вдоль оси ОУ на величину Ь (рис. 3).
Пример. Построить график функции
Решение. Искомая линия есть синусоида у = $\пх, сдвинутая вдоль
зт
оси ОХ вправо на величину -— (рис. 4).
■(*■$)
Рис. 4.
Построить графики линейных функций (прямые линии):
1
если /е = 0, 1, 2, ~,— 1,-2.
44. у =
45. у = х-{-Ь, если # = 0, 1, 2,-1,
46. у=\,5х + 2.
2.
Построить графики целых рациональных функций 2-й степени
(параболы):
47. у = ах\ если а=1, 2,~,—1, —2, 0.
48.
— х2-{-с, если г = 0, 1, 2,-1.
49. у = (х — хо)\ если л:0 = 0, 1, 2,-1.
50. у=уо-\-(х— IJ, еслИ<уо = 0, 1, 2,-1.
51*. у = ах2-\-Ьх-\-с, если: 1) а= 1,й = —2, с = 3; 2) а = —2,
6, ^ = 0.
52. ^ = 2-[-л; — л:2. Найти точки пересечения этой параболы
с осью ОХ.
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй:
53*. у = х* (кубическая парабола).
54. у = 2-{-(х— IK.
55. у = х* — За:-}-2.
56. у = л;4.
— л:4.
57. ^ =

16 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
58*. у = -.
59- У = Т^~х-
во. г~~9
61*. у=уо-\--^— , если *0=1, у =—\, т = 6.
Оу Я
62 ' ^ —
X2
Построить графики дробных рациональных функций:
63.
65*. у =
66. у =
67*. д; = 2 . 1 (локон Лньези).
68. д; = 2 ■ (серпентин Ньютона).
69. ;, = л; + ^.
70. у = х2-] (трезубец Ньютона).
Построить графики иррациональных функций:
71*. у=\Гх.
72. у = Ух.
73*. у = / х2 (парабола Нейля).
74. у = -\-хУ~х (полукубическая парабола).
75*. ^=-4-2/25 — х2 (эллипс).
76. ^ = Чг Vх2 — ! (гипербола).
77. ^=1
л:
78*. У = ±х у ~-- (циссоида Диоклеса).
79. у = ±хУЖ — х2.

2] ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 17
Построить графики тригонометрических функций:
80*. у = ыпх. 83*. у = с\%х.
81*. у = соз л:. 84*. у — $есх.
82*. _у=1§л;. 85*. у =со$есх.
86. у = Лзтл:, если /4=1, 10, — , — 2.
87*. ^ = 31Пял:, если /2=1, 2,3,-^-.
ол • / \ Л я Зя я
88. >> = з1п(л: —ф), если ср = О, - , — , л, — ^ .
89*. у = 5 31П Bа: — 3).
90*. ^у = аз1пл:-}-^со$л:, если а = 6, # = —8.
91. у = 31П л: -}- соз л:. 96. >^=1 — 2соз.г.
92*. ^ = соз2 х. 97. >г == З1п х — у 51П
93*. у=х-\-$1пх. 98. >г = соз х -{- -^ соз 2л:.
94*. ^ = л: З1п х. 99*. ^ = соз — .
95. у = 1%2 х. 100.^ = 4: Кзш л:.
Построить графики показательных и логарифмических функций*
101. >^ = ^, если а = 2,~, в (в=2, 718...)*).
102*. ^ = 1о^ал:, если а =10, 2, -^ , е.
103*. ^ = $11 л:, где $\1Х==-^(ех—е~х).
104*. >; ===== сЬл:, где сЪх==-^ (е
х
105*. у = п1Х1 где Шх = тш
у сп л:
106. у
107*. у
108. у
109. у
ПО. у
111. у
112. ^
= 10*.
= е~х2 (кривая вероятностей).
_2~*2 -ч ИЗ. у =
= \%х\ 114.^ =
= №*• 115.^==
= 1^A^ х). 116. у =
= \&хш 117" ^ =
О числе е подробнее см. стр. 21.

18
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118*. у =
119*. у = агссозл;.
120*. у =
121*. у =
122.
123.
124. у=
X
агссоз—.
х
Построить графики функций:
126. д; = |д:|.
126. у = ±(х-\-\х\).
127. а)у = х\х\; б) у = 1о%у
128. а) у = 8\пх~\-\зтх |; б) у =
г 3 — х2 при | а; | <: 1;
129.^ = ^ 2 при * >1.
т\х\.
130. а) <у = [л:], б) у = х — [х], где [х] — целая часть числа л:,
т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат (/*, ф)
(г ^ 0):
131. г=1 (окружность).
132*. /■==-? (спираль Архимеда).
133*. г=е^ (логарифмическая спираль).
134*. г = — (гиперболическая спираль).
135. г = 2созф (окружность).
136. г = -г— (прямая линия).
137. г=5ес2-т^ (парабола).
138*. г=10з1пЗф (трехлепестковая роза).
139*. г==аA-{-созф) (а^>0) (кардиоида).
140*. г2 = а2 соз 2ф (а ^> 0) (лемниската).
Построить графики функций, заданных параметрическим способом:
141*. л: = /3, <у = ^2 (полукубическая парабола).
142*. л;=10соз/, з/ = зт/ (эллипс).
143*. лг=10со53^, >>=
т3* (астроида).
144*. д; = а (соз ^ -|- ^ зт 1),у=а (вт I — I соз /) (развертка круга).

§ 2]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
146*. х==
146. х =
а1
У === ГХ7» (РекаРтов лист).
у= -г== (полуокружность).
г2"х (ветвь гиперболы).
= 2$\пгг (отрезок прямой линии).
147. х = Т
148. х = 2
149. * = * —
150. л: == аB соз I — соз 21), у — аB $\п I — з!п 2г) (кардиоида).
Построить графики функций, заданных неявно:
151*. хг -\-у* = 25 (окружность).
152. ху=\2 (гипербола).
163*. у2 = 2х (парабола).
154.
100 I 64
155. /=л;2A00 — л:2).
2 2^
156*. х8 -\-у8 =а3 (астроида).
157*. л:+>
158. х2 =
159*. У^х2-\-у2~ еАтс1ёХ (логарифмическая спираль)*
160*. л;3-}-У—Зху = 0 (декартов лист).
161. Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (С) к шкале
Фаренгейта (Р), если известно, что 0°С соответствует 32°Р и 100°С
соответствуют 212°Р.
Построить график полученной функции.
162. В треугольник, основание которого #=10 и высота А = 6,
вписан прямоугольник (рис. 5). Выразить площадь этого прямоуголь-
прямоугольника у как функцию от основания его х.
Рис. 5.
Рис. 6.
Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.
163. В треугольнике АСВ сторона ВС=а, сторона АС=Ь и пе-
переменный угол $:АСВ=х (рис. 6).
Выразить ^ = пл. /\АВС как функцию ог х. Построить график
этой функции и найти наибольшее ее значение.

20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
164. Решить графически уравнения:
а) 2л;2 —5*+ 2 = 0; г) 10-* = *;
+
б) хъ-{-х — 1=0; д) л;= 1+0,5
в) \%х = 0,\х; е) с1%х = х
165, Решить графически системы уравнений:
б) *у = 6, х2 -+-/=13;
в) хг — х-\-у = А, у2 —
г) л;2 -Ку= 10, х
д) ^у = зш х, у — сов л; @ < а; <] 2я).
§ 3. Пределы
1°. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности хг, х2, ... , хПУ ... :
Нт хп = а,
П->ОО
если для любого 8>0 существует число N = NF) такое, что
\хп — а\ < е при п > N.
Пример 1. Показать, что
11111
Решение. Составим разность
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь:
1
/1 + 1
< е, B)
если
я > —— 1=# (8).
8
Таким образом, для каждого положительного числа 8 найдется число
N = 1 такое, что при я > N будет иметь место неравенство B). Следо-
ва»гельно, число 2 является пределом последовательности #„ = Bя + 1)/(я + 1),
т. е. справедлива формула A).
2°. Предел функции. Говорят, что^функция / {х) —> А при х —► а
(А и а — числа), или
если для любого 8>'О существует б = б(е)>0 такое, что
при 0<|а:— а |< 6.

§ 3] ПРЕДЕЛЫ 21
Аналогично
Пт [(х) —
оо
если | / (а:) — А |< 8 при / х | > N (е).
Употребляется также условная запись
Пт / (х) = оо,
х->а
которая обозначает, что | / (х) | > Е при 0 < | х — а | < б (Е), где Е — произ-
произвольное положительное число.
3°. Односторонние пределы. Если х < а и я —>. а, то условно
пишут х—>а — 0; аналогично, если лс > а и лс—>а, то это записывается
так: лс—► а + О. Числа
/(а —0)= Нт /(х) и /(а + 0)= Нт /(*)
х-* а — о ле ~> а -|- о
называются соответственно пределом слева функции / (я) в точке а и
делом справа функции / (х) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции /(я) при х:—>а необходимо и до-
достаточно, чтобы имело место равенство
Если существуют Нт ^(х) и Нт /2(х:), то имеют место следующие тео
ремы:
1) Нт [Л (*)+/,(*)]= Ит Д (*) + Нт /,
2) Нт [П (х) /2 (л:)] = Пт Л (х) • Нт /2 (а:);
а
3) Нт [Л (*)//, (х)] = Нт /х (л:)/ Нт /2 (х) (Нт /2 (х) Ф 0).
х-*а х-*а х->а х-*а
Частое применение находят следующие пределы:
,. втх л
\т -—=1;
д:->0 Л
Нт A+-!)= Нт
Х-> СО V ^ У а-» О
Пример 2. Найти пределы справа и слева функции
= агс!§
при л: —^0.
Решение. Имеем: ^
= Нт
и
/(-0)= Н
—о
Предела же функции / (х) при х —* 0 в этом случае, очевидно, не суще-
существует.

22 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. 1
166. Доказать, что при п—юо предел последовательности
111 1
4 ' 9 ' * * * ' пг ' " " *
равен нулю. Для каких значений п будет выполнено неравенство
1
(е — произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) 8 = 0,1; б) е = 0,01;
в) 8 = 0,001.
167. Доказать, что предел последовательности
при п—>-оо равен 1. При каких значениях п^>Ы будет выполнено
неравенство
п
(е — произвольное положительное число)?
Найти Л/, если: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
168. Доказать, что
Как подобрать для заданного положительного числа 8 какое-ни-
какое-нибудь положительное число б, чтобы из неравенства
\х — 2|<б
следовало неравенство
\х2 — 4|<е?
Вычислить б, если: а) 8 = 0,1; б) е = 0,01; в) 8 = 0,001.
169. Выяснить точный смысл условных записей:
а) Нт \§х = —оо; б) Пт 2* = -{-оо; в) Ит /(л:)
я-»-}-0 * х -^ -{-со д;->оо
170. Найти пределы последовательностей:
1 1 1 /]\п~г
' ' 9 ' 3 ' 4 ' * * * '
9 ' 3 ' 4 ' * * * ' и » • • • >
— 1 —
1 ' 3 ' 5 ' ' ' ' ' 2п - 1
' ' " '
г) 0,2; 0,23; 0,233; 0, 2333; ...

§ 3] пределы 28
Найти пределы:
172. Ит
173. Нт .-+3 + 5+7_+
П
Ит
П->00
175. Цт
176. 1(ш D + | + 4 ^)
178*. Пт
И->00
179. Ит
180. Ьт
При отыскании предела отношения двух целых многочленов относи»
тельно х при х —► оо оба члена отношения полезно предварительно разделить
на хпу где п — наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей,
содержащих иррациональности.
Пример 1.
Ит
г X9
Хг X9
Пример 2. Нш ■„ г= Пт
^/3 + Ю
10
• 11т у2 , . 183. Пт
2а:2-х+ 3

24
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
185. Пт * !^
х
I
. Пт
187. Ит
188. 11т
189. Ит
190. Нт
У
у
Если Р {х) и ^ (х) — целые многочлены и Р {а) Ф- 0 или ф (а) ?ь 0, то пре-
предел рациональной дроби
х->а (I (х)
находится непосредственно.
Р (х)
Р ()
Если же Р (а) = B (а) = 0, то дробь ^ ^ рекомендуется сократить один
или несколько раз на бином х — а.
Пример 3.
191. Ит
^ -»2 л:2 — Зх -|-2
= 11т
ш х±2
^ — 2) (л: — 1)
195. Ит
192.
х-*ь
193. Ит
194. Ит
. х2 — 5* 4-10
,. х2 — (а 4-1) х 4- а
. Ит ^!'^
х —а
Г2Х
197. Пт
198. Нт
/г
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному
виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Пример 4. Найти
Решение. Полагая
имеем:
1ш
. Нт
200. Пт
= цт
-[-а;
2
2
201. Ит И—
х-\
202. Пт
л: -> 1

§ 3] ПРЕДЕЛЫ 25
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения яв-
является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот,
из знаменателя в числитель.
Пример 5.
Нш У±=У±- 11т
х—а х-+а (х-а) (у к-\-уа)
= Ига 1 =__* (о>0)
ух + Уа ЧУ а
203. Ит х2_49 . 209. Ит
х ~*7 Н -> о п
204. Ит ,*Г8 . „,0 Aш /я2 - 2х + 6 -
л:2 — 4л: -[-3
205. 11т ^ДГ] . 211. 11т
^-» 1 у х — 1
3-/5+^ Нт [/х (х + а) — *].
20о. ит +
X -> 4 А г О # п<л ,. /1 /" 2 с I/-»
213. 11т У л: —5л: 4- Ь
А\|7« 11111 ——' ■ " _ у ;
х->о х 214. Ит х(У* +1— х).
208. Ит =П_= . 215. Пт (х+2/1— х3).
При вычислении пределов во многих случаях используется формула
л; -»о X
и предполагается известным, что Пт зтх —зша и Нт созх —соза.
Примерб. 11т !!И^= Ит ('!1!1^.5^| = 1-5 = 5.
216. а) Нт ^; 220. Пт ("л з!п —
б) Нт .
^с -* со Л
О1Т !• 811) Зх ЛЛ„ 1 — СОЯ*:
217. Пт —— . 221. Пт -—р^.
218. Нт^. 222. Нт 8
у _. Л 81П АХ у п
х -> о х -> а и
шш- 223- пш С08 ^ -С05
х 51П с^ял:

26
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ.
к
8Ш X — С05 X
224. Нт
225. Ит
226. Нт
ТС
X -* —
4
227. а) Пт х $ш —;
х->о х
6) Нт ЛГ81П —.
X -> 00 Х
232.
X -> О
~ 5"' *
233. Цщ
пол 1-
234. 11т
агсзтл:
х -> о
л:
235.
д: -> о
зтЗл:
236. Ит ^
Д?-*- 1
ял:
228. Ит A— х)\%-% .
237. 11т
зтдл:
л: — зш 2х
229. Нт
X ->0
230. Нт
231. Нт
—
ял:
х
1 — 8Й1
ТС
—~
3
я — х
1 — 2 С05 л:
я — Зл:
238. Ит
239.
X -> О
л:2
240. Пт
X -> О
1 4-зтл: — У1 — зтл:
При нахождении пределов вида
Нт [у (х)]* {Х) = С
л: -» а
C)
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
Пт ф (л:) = А и Нт ур (х) = В,
х -*• а х -> а
то С=Л^;
2) если Нт ф (л:) = А Ф 1 и Нт г|? (л;) = ± оо, то вопрос о нахождении
х -*■ а х -> а
предела C) решается непосредственно;
3) если Нт ф (л:) = 1 и Пт ф (х) = оо, то полагают ф (л:) == 1 + а (л:), где
х -> а х -> а
а (х) —* 0 при х —► а и, следовательно,
Пт
Нт [у (х) -1} $ (х)
С= Нт
х ->
где*е = 2,718. . . — неперово число.
Пример 7. Найти
Нт
Решение. Здесь
Нт
х
31П 2л:
л:
х
2 и Нт A-(-л:)=1;
X ~»0

§ 3]
ПРЕДЕЛЫ
27
следовательно,
Пример 8. Найти
Нт
х + \ \*
Решение. Имеем:
Нт
Нт
X
и
Нт л:2
л: -> со
2+-
X
оо.
Поэтому
->■ сю
Пример 9. Найти
Решение. Имеем:
11т х~~ 1
; -> оо Д^ -{- 1
Нт
л: -» оо
^ ■ 1
1
X
Произведя указанное выше преобразование, получим:
1п„
= 11т
Нт
лг -> со
Нт -
1 +
= е
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел
проще:
Нт
х -» со
х —
Нт
; -> со
1
X
— I
х -» оо
X
Вообще, полезно помнить, что
Нт
ж->оо

28
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
241. Пт
X -» О
242. Пт
X -> 1
243. Пт
248. Пт
л: ->• оо
249. Пт
х—
00
Л
. Пт
51п* 251. Нт A-|~8тл;) * .
252**. а) Пт (соз х)т ;
/ 1 \и
246. Пт 1 — - ) .
1
б) Пт (созл:)^2.
247. Пт
со
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если
существует и положителен 11т / (х), то
л: -» а
Ит [1п/(*)]=1п [Нт / (х)].
х -*■ а х -> а
Пример 10. Доказать, что
Решение. Имеем:
Нт
X -> О
== Ит [1п A +л:I = 1п [Нт A +х)Т] =1пе= 1
Формула (*) часто используется при решении задач.
253. Пт [1пBлг+1)—
X -> 00
254. Пт
260*. Нт п{^а—
255. Нт ^ 1п
261. Нт
X -> О
256. Пт а;[1п(а:+1) — 1плг]. 262. Пт
ос- .. 1п(со5л:)
257. Нт —Ц;—-.
1 -е"
* -+ °
258*. Пт
259*.
263. а) Нт
б) Пт
и 104).

§ 3] пределы 29
Найти следующие односторонние пределы:
264. а) Пт
х2 4-
б) Нт
#->4-°° у х2
265. а) Ит
е
где 1Ь л: = -г
б) Нт Ш х,
X -> + 00
|Л л ит Л
266. а) Нт
Ц
270.
б)
а)
б)
а)
111X1
Нт 1
х-»-|-о
Ит
Пт
Ит
X *
| 81П X |
а 1 х М
у 1
X
йх — 2'
X
б) Нт
_1_ '
1п П -4- ех)
267. а) Пт 1ЩД ^е >;
Х-> —00 Х
б) Нт ^ '.
Построить графики функций:
271**. у= Пт
п -» ос
272*. у= Ит
П -» 00
273. .у= Нт
а -> о
274. ^= Нт
Л -» 00
275. ;;= Нт
П -*> 00
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную перио-
периодическую дробь
а=0,13555...,
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби.
277. Что делается с корнями квадратного уравнения
ах2 -\-Ьх -\-с — Оу
если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты Ь п с посто-
постоянны, причем Ь=^0?
278. Найти предел внутреннего угла правильного я-угольника при
/2—>ОО.

30
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
279. Найти предел периметров правильных я-угольников, вписан-
вписанных в окружность радиуса /? и описанных вокруг нее, при п—юо.
280. Найти предел суммы длин ординат кривой
е * соз юс,
проведенных в точках # = 0, 1, 2, ... , л, при п—► оо.
281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на
ординатах кривой
как на основаниях, где х= 1, 2, 3, ... , л, при условии, что п—►оо.
282. Найти предел при п—юо периметра ломаной линии
п, вписанной в логарифмическую спираль
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
п
Т
283. Отрезок АВ=а (рис. 7) разделен на п равных частей, и
на каждой получившейся части, как на основании, построен равно-
равнобедренный треугольник, с углами при основании, равными а = 45°.
Показать, что предел периметра образовав-
образовавшейся ломаной линии отличен от длины от- у/ Т
резка АВУ несмотря на то, что в пределе У/№% I
ломаная линия «геометрически сливается с
отрезком АВ».
а
Рис. 7.
Рис. 8.
284. Точка Сх делит отрезок АВ=1 пополам; точка С2 делит от-
отрезок АСХ пополам; точка С8 делит отрезок С2СХ пополам, точка С4
делит отрезок С2С8 пополам и т. д. Определить предельное положе-
положение точки С„, когда п—> оо.
285. Катет а прямоугольного треугольника разделен на п равных
частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоуголь-
прямоугольники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступен-
ступенчатой фигуры, если п—>оо.
286. Найти постоянные к и Ъ из уравнения
A)
111X1 I гСХ [ О 2 [ 1 ) '-'•
х->оо^ • х ~т~ * /
Выяснить геометрический смысл равенства A)

§ 4] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ 31
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост
количества вещества за каждый промежуток времени т из бесконечной
последовательности промежутков (/т, (*-|-'1)т) (/ = 0, 1,2, ...) про-
пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале
этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в началь-
начальный момент времени количество вещества составляло (?0, определить
количество вещества 0^ через промежуток времени ^^ если прирост
количества вещества происходит каждую п-ю часть промежутка вре-
мени т==-— .
Найти (?,= Нт
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие
1°. Бесконечно малые. Если
Нт а (х) = О,
х -> а
т. е. если | а (х) | < е, при 0 < | х — а | < б (е), то функция а (х) называется
бесконечно малой при х -*■ а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х)
при х -> оо.
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х-*-а
есть также бесконечно малые при х ~+ а.
Если а (х) и р (л:) — бесконечно малые при х -+ а и
= С,
где С — некоторое число, отличное от нуля, то функции а (х) и р (х) называ-
называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С —0, то гово-
говорят, что функция а (х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению
с Р (х). Функция а (х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению
с функцией р (х), если
где 0<|С|< + оо.
Если
то функции а(х) и р (я) называются равносильными (эквивалентными) бес-
бесконечно малыми при х -*■ а:
а(х) —
Например, при х -»► 0 имеем:
8Н1 х — я; 1§ л: — я; 1п
и т. п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из
слагаемых, порядок которого ниже.

32 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. (
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены от-
отношения заменить равносильными им величинами. В силу этой теоремы при
нахождении предела дроби
11ГП
где а (х) -► 0 и р (х) -> 0 при х -*■ а, в числителе и знаменателе дроби можно
откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные
так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним.
Пример 1.
]/1? 1
1п A -[-2л;) *->0 2х 2
2°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно боль-
большого числа N существует такое б (Ы), что при 0 < | х — а ] < 6 (М) выполнено
неравенство
|/(*)|>Л.
то функция / (^) называется бесконечно большой при * -*- а.
Аналогично определяется бесконечно большая } (х) при х-+оо. Подобно
тому как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно
больших различных порядков.
д
различных порядков.
288. Доказать, что функция
х
является бесконечно малой при х—> сх>. Для каких значений х вы-
выполнено неравенство
если е — произвольное число?
Произвести расчет для: а) е=0,1; б) е = 0,01; в) 8 = 0,00Ь
289. Доказать, что функция
/(х)=1-х*
является бесконечно малой при х—*1. Для каких значений л: выпол-
выполнено неравенство
если е — произвольное положительное число? Произвести численный
расчет для: а) 8 = 0,1; б) 8 = 0,01; в) 8 = 0,001.
290. Доказать, что функция
является бесконечно большой при х—*2. В каких окрестностях
\х — 2|<^б выполнено неравенство
если N—произвольное положительное число?
Найти б, если: а) Л^= 10; б) Л/= 100; в) ЛЛ= 1000.

§ 4]
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
33
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара, б) объ-
объема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая 1-го порядка.
Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема шара по от-
отношению к поверхности этого шара?
292. Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9)
радиуса /? стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых от-
относительно бесконечно малой а: а) хорды АВ\
б) «стрелки» СВ\ в) площади /\АВВ.
293. Определить при х—>-0 порядки
малости относительно х функций: А
2х
1+*'
г) 1 — соз х;
д) {%х—8\пх.
б)
В) |/р_
294. Доказать, что длича бесконечно малой дуги окружности по-
постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.
295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бес-
бесконечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке, как на
диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти;
296.
297.
Нт
X -> 0
Нт
X -> 0
(х - х3)
3J
298. Нт
X -> 1
\пх
У 1-
299. Нт
X -> 0
соз х — соз 2х
1 — соз х
300. Доказать, что при х—^0 величины ■=- и |/1-|-л:—1
рав-
равносильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать, что
при | х I малом имеет место приближенное равенство
Применяя формулу A), приближенно найти:
а) КГ06; б) Т/"О797; в) УТО; г) У120
и сравнить полученные значения с табличными данными.
A)
Г. С. Бараненков и др.

34 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ [ГЛ. I
301. Доказать, что при х—*0 с точностью до членов порядка л;1
имеют место приближенные равенства:
«О
б)
в) A Ц-х)" = I -\-пх (п — натуральное);
г) 1еA+*)=*М*,
где М=\§е = 0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
^ Ш; 2) Ш'"8) Т55; 4> ^Ть> 5> 1'04'; 6> °'934;
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302. Показать, что при х—► оо целая рациональная функция
есть бесконечно большая^еличина, равносильная старшему члену аохп.
303. Пусть х—юо. Принимая х за бесконечно большую вели-
величину 1-го порядка, определить порядок роста функций:
а) х2— 100л:— 1000; в) ]/" * + ]/"*;
б) ~г~2; г) у/х — 2х2.
§ 5. Непрерывность функций
1°. Определение непрерывности. Функция {(х) называется
непрерывной при х==^ (или «в точке ^»), если: 1) эта функция определена
в точке ^, т. е. существует число /(|); 2) существует конечный предел
Нш / (х)\ 3) этот предел равен значению функции в точке 5, т. е.
Нт/(*) = /(&). A)
Полагая
где Д5-+-0, можно переписать условие A) так:
11т Л/ Ц)= Шп [/(Б+ Д1)-?$)] = <>. B)
^ -*■ о Д^ -> о
т. е. функция /(а;) непрерывна в точке \ тогда и только тогда, когда в этой
точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интер-
(интервала, сегмента и т. п.), то она называется непрерывной в этой области.

§ 51
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
35
Пример 1. Доказать, что функция
у = $1п х
непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение. Имеем:
= 31П (х + А*) — $т х
2зт — со5
Ал:
Ал:
Т
• С05 X
А
• А*.
Так как
$ш
Ал;
12т
Ад:
Т
= 1 и
С08
1,
то при любом х имеем:
Ит
Длг->о
Следовательно, функция $1пл: непрерывна при — оо < х < -\- оо.
2°. Точки разрыва функции. Говорят, что функция /(*) терпит
разрыв непрерывности при значении х = х0 (или в точке х0), принадлежащем
области определения функции или являющемся граничным для этой области,
если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
Пример 2. Функция / (х) = ^ ^ (рис. 10, а) разрывна при х = 1. Эта
A х)
функция не определена в точке лг= 1, и как бы мы ни выбрали число /A),
пополненная функция Нх) не будет непрерывной при *=1.
Если для функции /(х) существуют конечные пределы:
X ->• Хо — 0
Нт
X -* #о + 0
причем не все три числа [(х^), /(*0 — 0)» /(*о + О) равны между собой, то
называется точкой разрыва 1-го рода, В частности, если
то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции /(*) в точке х0 необходимо и достаточно,
чтобы
^ 81П. X
Пример 3. Функция р(х) = -.—- имеет разрыв 1-го рода при
\х\
В самом деле, здесь
= 1ш
X
_0)= Ит
— о
2*

36
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
Пример 4. Функция у = Е(х), где Е (х) обозначает целую часть числа х
(т. е. Е (х) есть целое число, удовлетворяющее равенству х = Е (#) + <7> гДе
рг^<7<1), разрывна (рис. 10,6) в каждой целочисленной точке: х = 0, ± 1,
±2, ... , причем все точки разрыва 1-го рода.
В самом деле, если п — целое, то Е (п — 0) = п — 1 и Е (п -\- 0) = я.
Во всех остальных точках эта функция,, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода,
называются точками разрыва 2-го рода.
К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного раз-
разрыва, т. е. такие точки х0, для которых хотя бы один из односторонних
пределов /(*0 — 0) или [(х0-{-0) равен оо (см. пример 2).
О
а)
0
2
3
Рис. 10.
п
Пример 5. Функция у = сов— (рис. 10, в) в точке * = 0 имеет раз-
X
рыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
,. я .. п
Ьт сов — и Ьт со5 —.
3°. Свойства непрерывных функций. При исследовании
функции на непрерывное^ нужно иметь в виду следующие теоремы:
1) сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных
в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области,
не обращающих делителя в нуль;

5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 37
3) если функция /(*) непрерывна в интервале (а, Ь)> причем множество
ее значений содержится в интервале (Л, В), и функция ер (х) непрерывна
в интервале (Л, В), то сложная функция ер [/ (х)] непрерывна в интервале (а, Ь).
Функция /(*), непрерывная на отрезке [а, Ь], обладает следующими свой-
свойствами'.
1) / (х) ограничена на [а, Ь], т. е. существует некоторое число М такое,
что \1{х)\^М при а^лс^б;
2) /(х) имеет на [а, Ь\ наименьшее и наибольшее значения;
3) }(х) принимает все промежуточные значения между двумя данными,
т. е. если / (а) = А и / (р) = В (а ^ а < р ^ Ь) и А Ф Ву то, каково бы ни было
число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно
значение лс^уС^ < V < Р) такое, что /(у)=гС. -*
В частности, если / (а) / (Р) < 0, то уравнение
/(*)=0
имеет в интервале (а, р) по меньшей мере один вещественный корень.
304. Показать, что функция у=х2 непрерывна при любом зна-
значении аргумента х.
305. Доказать, что целая рациональная функция
Р(х) = а9хп + агхп'1 + . .. -\-ап
непрерывна при любом значении х.
305. Доказать, что дробная рациональная функция
непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обра-
обращают знаменатель ее в нуль.
307*. Доказать, что функция у = Ух непрерывна при х^О.
308. Доказать, что если функция /(х) непрерывна и неотрица-
неотрицательна в интервале (а, Ь), то функция
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция _у = со5л; непрерывна при любом дг.
310. Для каких значений х непрерывны функции: а) ^х и б) с^х?
311*. Показать, что функция ^ = |д;| непрерывна. Построить гра-
график этой функции.
312. Доказать, что абсолютная величина непрерывной функции
есть функция непрерывная^
313. Функция задана формулами
\ А при х = 2.
Как следует выбрать значение функции А =/B), чтобы пополненная
таким образом функция /(х) была непрерывна при # = 2? Построить
график функции у=/(х).

38
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
[ГЛ. I
314. Правая часть равенства
Ш
теряет смысл при л; = 0. Как следует выбрать значение/@) для того,
чтобы функция /(х) была непрерывна при л; = 0?
316. Функция
—2
теряет смысл прил: = 2. Можно ли так определить значение/B),
чтобы пополненная функция была непрерывной тфи х = 27
316. Функция /(х) не определена при л: = 0. Определить /@)
так, чтобы /(х) была непрерывна при л: = 0, если:
а)
л
(п — натуральное);
"~ X
е) / (х) =
1п —
х.
Исследовать на непрерывность функции:
317. у==
х-2'
318. у =
324. ^ =
х
/.
у —
2_
320.
321. а) з;==з1
я
б) .у=л;51п-.
х
326. ^ = A +х)
327.
328. у =
329. у =
X
322. V = —: •
330. У==| о I 1
* \ 2х-^-1
ПрИ
при
1 -\-е -
Построить график этой функции.

5] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 39
331. Доказать, что функция Дирихле %(х), равная нулю при х
иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каждо-
каждого значения х.
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332. у = Н
л->оо
333. у = Ига (х агс!§ пх).
334. а) у — 5&пх, б)у — х$%пх, в)у = 3511 (з!пл;), где функция
х определяется формулами:
( -|- 1, если
л:=-{ 0, если дс =
( — 1, если л:
335. а) у = х — Е(х)у б) у = хЕ(х), где Е(х) есть целая часть
числа х.
336. Привести пример, показывающий, что сумма двух разрыв-
разрывных функций может быть функцией непрерывной.
337*. Пусть а — правильная положительная дробь, стремящаяся
к нулю @<^а<М). Можно ли в равенство
справедливое для всех значений а, подставить предел величины а?
338. Показать, что уравнение
л:8 —
имеет в интервале A, 2) действительный корень. Вычислить прибли-
приближенно этот корень.
339. Доказать, что любой многочлен Р{х) нечетной степени
имеет по меньшей мере ©дин действительный корень.
340. Доказать, что уравнение
имеет бесконечное множество действительных корней.

ГЛАВА II
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1. Непосредственное вычисление производных
1°. Приращение аргумента и приращение функции. Если
х и хх — значения аргумента х, а у = 1(х) и г/, =/ {хх) — соответствующие
значения функции # = /(*), то
Ал: = хг — х
называется приращением аргумента х на отрезке [л:, хх], а
ИЛИ
= 1 (х
- {(х) A)
— приращением функции у па том же
отрезке [х, хг] (рис. И, где &х =
и &у = АЫ). Отношение
Ал:
Рис. 11.
представляет собой угловой коэффици-
коэффициент секущей МЫ графика функции
у -/ (х) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на
отрезке [дс, лс-(-Ал:].
Пример 1. Для функции
у = х2 — 5л: -(- 6
вычислить Дя и Д#, соответствующие изменению аргумента:
а) от х =1 до х = 1,1;
б) от л: = 3 до л: = 2.
Решение. Имеем:
а) Ал:=1,1 — 1—0,1,
Лг/ = A,12 — 51,1 +6) — (I2 — 5-1 +6) = — 0,29;
б) Ад: = 2-3=г~1,
Аг/ = B2-5-2 + 6) — C2-5-3 + 6) = 0.
Пример 2. Для гиперболы у = — найти угловой коэффициент
секущей, проходящей через точки с абсциссами х = 3 и хх = 10.

§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 41
Решение. Здесь Д* = 10-3 = 7 # = у, Уг=^'* Ау==Т5"~Т =
- -зв- След°вательно' *=еН -§5-
2°. Производная. Производной у' = -р от функции # = / (лс) по аргу-
Д^ А
менту а: называется предел отношения ~-, когда Ал: стремится к нулю, т. е.
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к графи-
графику функции у — }(х) в точке х (рис. 11):
У' = *8 Ф-
Нахождение производной у' называют дифференцированием функции»
Производная у' = /' (л:) представляет собой скорость изменения функции в
точке х.
Пример 3. Найти производную функции
Решение. По формуле A) получаем:
Д# = (л: -(- Ал:J — х* = 2*Алс -\- (Д#J
и
Следовательно,
у' = 11т ^ = Ит Bл: + Д^) = 2х.
Ал: о
3°. Односторонние производные. Выражения
дл:->-о Ал:
и
Ал:
называют соответственно левой или правой производной функции /(х) в
точке я. Для существования /' (л:) необходимо и достаточно, чтобы
С (х) = 4 (л:).
Пример 4. Найти /1@) и 4@) для функции
Решение. Имеем по определению
1 @) = Иш 1^1 = _ 1, Л@) = Нт

42
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
4°. Бесконечная производная. Если в некоторой точке имеем
11га
А*
то говорят, что непрерывная функция /(лс) имеет бесконечную производную
в точке х. В этом случае касательная к графику функции у = [(х) перпен-
перпендикулярна к оси ОХ.
Пример 5. Найти /'@) для функции
Решение. Имеем:
= Нт
Ит
341. Найти приращение функции
ходу аргумента:
а) от х = 1 до хх = 2;
б) от х = 1 до хг = 1,1;
в) от х — 1 до хг =
х2, соответствующее пере-
пере\/
/ х, если:
342. Найти Д^/ для функции у
а) х = 0, Дд; = 0,001;
б) л: = 8, Дл;= — 9;
в) х = а, Ах = к.
343. Почему для функции _у = 2д;-|-3 можно определить прира-
приращение Ду, зная только, что соответствующее приращение Дл:==5, а
для функции у = х2 этого сделать нельзя?
344. Найтих приращение Ду и отношение -— для функций:
б) у=]/"^с при л: = 0 и Дл; = 0,0001;
в) у = \%х прил:= 100000 и Ах = — 90000.
345. Найти Ду и ~ , соответствующие изменению аргумента от
х до х-\-Ах для функций:
а) у = ах-\-Ь; г) у =
б) у=х3; д) у =

§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 43
346. Найти угловой коэффициент секущей к параболе
если абсциссы точек пересечения равны:
а) л^1=1, х2 =
б) ^=1, *2 =
в) ^=1, х2 =
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в послед-
последнем случае, если к—► ()?
347. Какоза средняя скорость изменения функции у =х8 в про-
промежутке 1 <: х <: 4?
348. Закон движения точки есть $ = 2^2-|-3^-|-5, где расстоя-
расстояние 5 дается в сантиметрах и время г — в секундах. Чему равна сред-
средняя скорость точки за промежуток времени от г=\ до /=
349. Найти средний подъем кривой ^ = 2* на отрезке 1^
350. Найти средний подъем кривойз/=/(л;) на отрезке [х, х-\- Ах].
351. Что понимают под подъемом кривой у=/(х) в данной точ-
точке х?
352. Дать определение: а) средней скорости вращения; б) мгно-
мгновенной скорости вращения.
353. Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой тем-
температурой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней
скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный мо-
момент?
354. Что следует понимать под скоростью реагирования вещества
в химической реакции?
355. Пусть т=/(х) — масса неоднородного стержня на отрез-
отрезке [0, х]. Что следует понимать под: а) средней линейной плот-
плотностью стержня на отрезке [х, х-\-Ах]\ б) линейной плотностью
стержня в точке х?
356. Найти отношение ~ для функции у = — в точке л: = 2,
1л X X
если: а) Ах= 1; б) Дл; = 0,1; в) Дл; = 0,01. Чему равна производная у'
при л: = 2?
357**. Найти производную от функции у=
358. Найти у'= 1шГ ~ для функций:
а) у=хг\ ъ)
б) У=^^ г) У =
359. Вычислить /(8), если /(х)=У!с.
360. Найти /'@), /A), /'B), если/(*)=*(я— IJ(* — 2K.

44 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
361. В каких точках производная от функции /(х) = х* численно
совпадает со значением самой функции, т. е. /(х)=/' (х)?
362. Закон движения точки есть 8 = Ыг, где расстояние 5 дано в
метрах, а время / — в секундах. Найти скорость движения в момент
времени ^ = 3.
363. Найти угловой коэффициент касательной к кривой ^ = 0,1 л:8,
проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = $1П х
в точке (я; 0).
365. Найти значение производной от функции/(х) ==— в точке
о(оф)
366*. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кривым
— и у = х2 в точке их пересечения? Найти угол между этими
касательными.
367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных про-
производных в указанных точках:
а) у = ^/х2 в точке х = 0;
б) у = %/х— 1 в точке х = 1;
2&4 1
в) у = \со$х\ в точках * — —3-я (& = 0, -4-1, -4-2, .. .).
§ 2. Табличное дифференцирование
1°. Основные правила нахождения производной. Если
с—постоянная и и = ф(;с), V = \|) (*) — функции, имеющие производные, то
= 0; 5)
2) <*)' = !;
(С \'
4) (с«)/=см/;
2°. Таблица производных основных функций
-гл V. ^
II. (У^)'=—^ (Л>0). VI.
III. (з1п *)'= сое *. VII. (агсзш ^/=
—==
У 1 —х2
IV.

§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 45
VIII. (агссоз х)' = _ * (\х|< 1).
У 1 —х2
IX. (^)/
=1 , х2 .
X. (агсс1§ х)' = —
1.
XI. (а*)'= а* 1п а.
XII. (**)'= е*.
XIII. Aп *)' = — (*>0).
XIV. Aобв ж)' = -^- = ^^ (д: > 0, а > 0).
XV. EЬ л:)' = сЬ х.
XVI. (сЬ^)/ = зЬ^.
XVII. ({\1хУ=
сЬ2л:
XVIII.
XIX. (АгзЬ х)' =
XX. (АгсЬ хУ = ! (| х | > 1).
У х2 — 1
XXI. ^
XXII. (Агс1Ь*)' = -
3°. Правило дифференцирования сложной функции.
Если у = }(и) и и = ф(;с), т. е. # = /[ф(я)], где функции у и а имеют произ-
производные, то
йу йу Ли
их йи и'
или в других обозначениях
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диф-
дифференцируемых функций.
Пример 1. Найти производную функции
</ = (** - 2*+ 3M.
Решение. Полагая у = и5, где и= хг — 2х + 3, согласно формуле A)
будем иметь:
у' = (и% (х2 - 2х + 3)'х = 5м4 Bх — 2) = 10 (* — 1) (х2 - 2х + ЗL.
Пример 2. Найти производную функции
у = 8Ш8 4*.

46 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Решение. Полагая
находим:
у' = Зм2»со5гМ= 12 8Ш2 4х сов Ах.
Найти производные следующих функций (в №№ 368—408 пра
вило дифференцирования сложной функции не используется):
А. Алгебраические функции
375. >; = Зл;3 — 2л;2
369. у=~~ х-\-х*—0,5Х*. 376*. ^ = х2 Ух2.
370. у = ах2-{-Ьх4-с. а Ь
371. ^= —
а 378. у =
372. у =
380. ^=^г ^-.
ном»
Б. Функции тригонометрические и обратные круговые
382. у == 5 $И1 х + 3 сое л;. 386. ;; = агс^ л; + агсс^ а:.
383. у = *ел: — с!§л:. 387. ^у^х
384. V =81п ^ + С05 х 388. у = х агсзш л:.
(+) 2-а:
38Б. у=2г 31П ^ — (Р—2) соз Л ^ьу У
. Функции показательные и логарифмические
390. з/ = л;7-е*. 394. /(л:)=еА:со5 х.
391. ^==(х— 1)Л 395. у = {х2— 2х-\-2)е*.
6х
392. >> = -~г . 396. ^ = ех агс$1П л?.
а:5
393. у = ^. 397.

§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 47
398. у = хг\пх— ~.
о
ооо „ 1 I о1п у 1пх
* х ' а:
400. д^ = 1п л: 1^"л: — 1п а 1о^а л;.
Г. Гиперболические и обратные гиперболические функции
401. у = х $п х. 405. ^ = агс!^ х — АгШ х.
402. у= х* ^®^# шу = агс51пл: Агзпл:.
403. у = йкх — х. 407# ^ =
404. у = -л . 408. у=-1 г.
•^ 1пл: -* \ —хг
Д. Сложные функции
Найти производные следующих функций (в №№ 409—466
необходимо использовать правило дифференцирования сложной функ-
функции с одним промежуточным аргументом):
409**. у =
Решение. Обозначим 1 -\- Зх — Ъх2 = и; тогда у = и90. Имеем:
у'х = Ш29-C - 10а:) = 30 A + 3* - 5а:2J9.C - 10*).
4,0. ,-
411.
412. у =
х _ {у
414. у = У
415. у =
416. у = (а2/з _ ^
417. ^ = C — 2 з!п
Решение. у'= 5 C — 2 51П а:L• C — 2 31П х)' = 5 C — 2 з!п *)* (—- 2 соз *)
= — 10 сов х C — 2 81П л:L.
418. у=ъх — ±^
419. ^ = У^х — Ус\& а. 421.* * =
420. у = 2л; + 5 соз3 л:. 422. / (л:) = — ^—^
•^ 1 ^ ч ' 6A —3 соз

48 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
1 1
3 СО53 X СОЗ X '
лпл 1 /~3 51П ДС — 2 СО5 X
424. у = у 5
425.
СОЗ8*
426. у = У\ -[-агсзицс.
427. )> = |/агс1§; л; — (агсзтл:K.
428. ^
§ а:
429. У
430.
431. 1З + С
Решение, у' = соз За:-(За:)' — 31П -^ ( -%- ) -}-
О 1 1 Х
= 3 соз За: — •=■ з!п -=-
с! О
432. у = з1п(д:г —" а
433.
434. /()
.о- 1 4-соз
436. /(х) = а
437. у = — ^ соз Eл:2) — -^ соз х2.
438. д; =
соз2 у х
1 2
Решение, у'= ■ . -. • Bх)' =
/1 BJ
. Bх)
- Bа:J /1 - 4а:2
439. у = агс81п -^ . 445. у = х2\ 02А\
1 446.«
440. /(л;) = ^
1 447. у = агссоз е*.
441. _у = агс!е—.
у х 448. ^ =
442. .у = агсс!§ ]-±^. 449. у = 1& §1П л:.
443. У = Х
! 461. у = 1п*х —
444. ^=

§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 49
452. у = 1п(е*-\-5*1Пх — 4агсзшл;).
453.
454. у = У1пх-\-1-\-\п(У х-{-\).
Е. Разные функции
455.** у — З1п8 Ъх соз2 4.
о
456. У = -^ 4
15 10 1
4(*-3L 3(лг —З)8 2(дг-3)8*
458' У=^
459.
460. у =
461.
X
X
X3
462. у==1
463. д, = |
465. <у = л:4(а—2л:3J.
I
(л; + 2L^(а: + 2)8
468. ^ = (а + ^) |/а — х.
469.
470. ^=
471. /(^)==
472. г= ! -■
У 2аг/ -г/2
473.
474. шу=-г^соз8л: C соз2л: — 5).

60
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 11
476. у = 1%*
477. у =
478. у =
479. у = 3 зт х соз2* -{- зш'л:.
480. у = 1ъ'х —
481.
482.
483.
484.
492. у = ( х — 4г
агсзт л;2 + агссоз л;2
агссозх
493. ^ = 111 (агсз1п 5л:)
494. у = агсзт Aп л;).
495. у =
496. >> = -|
497. у =
Г'
485. .у = агсзт
486. д;== агсзт
X
У 1+х2
агссоз а:
У*\—х2'
=—-= агсзт (л;!/ —
489. у == "К^2 — х2 4- а агсзт—
. уг^гдгХЛг2—д;2-4-а2агс81П —
498. .у = —1/~2 агсс^ ^4 — х.
499. ^ =
500. у =
501.
502.
503.
(а зш Э^ — Э с°5 Р*)
504. у = Л
4-
31П Зл: — соз Зл:).
-=агсз1п
— х\
2х) УЬх — х2
505. у
506.
хпа
507. _,
508. ^ = 1п (ал;2 + *л: -{- с).

§ 2]
ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
51
509.
510. у
511.
512. ,
513. у = 1псоз
517.
514*. у = 1п
х— 2У~х + 2\п(\-\-У1). 5\5.у = Ы
X "~~ О
Х-1
516^=-2Й + 1п^*
= т1/>-*2-тИ* + 1/*2-я2).
518. .у = 1п 1п C — 2л:8).
519. у =
520. У
522. у =
Ппл:
524. /(х)=Ух'
1 , *а-2* + 1
л
526. у = 2агс8|П8лг + A — агссоз Зл:J.
яш ах * . »
527. -у==ЗСО8^ + "
СО5
528. ^=-^
529. <у =
530. у = 1п агс81пл: -}- у 1п2 л: + агс81п 1п л:.
531. у = аг^1п *
532. у =
533. V == 1п
534. у = 4

52 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
535. /(х) =з-1пA +*)-"Вп (*2-
536. /(х)=хагсшх
637. ^ = зЬ3 2х. 542. ^ = АгсЬ 1п х.
538. .у = е°х <± рл:. 543. у = АгШ D8 л).
539. у = Ш1 2х. 544. >г = АгсШ (зес л:).
2х
540. у = 1п зЬ 2х. 545. у = АгШ т^—-2.
541. <у = Аг8Ь^. 546. >г=~-(л:2—
547.
548. Найти у\ если:
а)
б)
Построить графики функций у и у\
649. Найти ^у', если
= \п\х
550. Найти /'(л:), если
651. Вычислить /'@), если
/(л;) = е""*соз Зл:.
Решение, у' (л:) = е"х ( — 3 зш 3^) — е~х соз 3*;
/' @) = е° ( — 3 31П 0) — в0 сое 0 = — 1.
652. /(л;)==1пA+*) + агс5ш-|. Найти/'A)
553. у = 1%>^. Найти №
о \йх
554. Найти Д @) и /1 @) для функций:
а) /(д:) = 1/"зт(л:2); г) /(л:) = д:231п ~
б) /(дг)=агс8Шу^; д) /(*) = лйп-1
в) /(*) = —2Ц-,
1 +ех
655. Для функции /(х) = е~* найти

§ 2] ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 53
556. Для функции /(х) = У\-\-х найти /C) + (* — 3)/C).
557. Даны функции /(х) — ^х и ф(лг) = 1пA—л:), найти ^-г~ •
558. Для функций/(лг) =1 —х и ф (х) = 1 — зш Щ найти %
559. Доказать, что производная четной функции — функция нечет-
нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
560. Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
561. Показать, что функция у = хе~х удовлетворяет уравнению
' 1)
562. Показать, что функция у = хе 2 удовлетворяет уравнению
563. Показать, что функция у = ^—ц—-т—:— удовлетворяет уравне-
уравнению ху' =у (у 1п х — 1).
Ж. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции у = {(х) называется производная
от логарифма этой функции, т. е.
=и=
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает
нахождение ее производной.
Пример. Найти производную сложно-показательной функции
Решение. Логарифмируя, получим:
\пу~V\пи.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х
Aп у)' = V' 1п и -\- V Aп и)',
или
— у' =1/ \п и4-V — и',
У ^ и
отсюда
или
у'=и°(у'\п и+^-иЛ .

54 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
664. Найти у\ если
У— У X , , г 51П8 X СОЗ2 X.
1 "г" X
2
Решение. 1п г/ = -^- 1пд: ■+- 1пA —х) — 1пA +а:2)-г-31п8!п^4-21п соз*;
—0 2л: , о 1 2зй1*
/ 2
откуда »' = ,^__
665. Найти >;', если ^ = (з1п
Решение. 1п г/ = х 1п 8Ш лс; — у' = 1п з1п лс -(- х
у' = (зш лс)^ Aп 51П х + а;
Найти ^у', применяя предварительно логарифмирование функции
566. .у = (л:+1)Bл:+1)Cл:+ 1). 574. у =
568. ^ = У^^Т^ • 576- У = х** •
669. у = л:^^г^П • 577- > = *81п *-
570. V = (*-2)9 __ 5?8в _ о$ 1п
671. У = ту У*~\ =. 579. у =
672. у = хх. 580. у = (агс*8
573. ^ = х**.
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
1°. Производная обратной функции. Если для функции
у — [(х) производная ухфЪ, то производная обратной функции дс = /~1 (у)
есть
1
У Ух
или
их

§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 55
Пример 1. Найти преизводную х , если
у = х —[— 1п ^с-
Решение. Имеем у' = 1 -] = х "*" ; следовательно, *' = :-— •
*х х х х У #4-1
2°. Производные функций, заданных параметрически.
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра г
то
г •
или в других обозначениях
Пример 2. Найти -—, если
= а соз /,
= а 5Н1 Л
Решение. Находим ^т =—азш^и ~ = асо5*. Отсюда
а соз
— а 51П г
3°. Производная неявной функции. Если зависимость между
х и у задана в неявной форме
то для нахождения производной ух — у' в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по х от левой части уравнения A), считая у функ*
цией от х; 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
1
B)
и 3) решить полученное уравнение относительно у\
Пример 3. Найти пр<*изводную ух% если
*8 + #8-Зш# = 0. C)
Решение. Составляя производную левой части равенства C) и прирав-
приравнивая ее нулю, получим:
Зл2 + Ъугу* - За {у + ху') = О,
отсюда
, х2 — ау
у' = \.
* ах — уг

56
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
581. Найти производную ху> если
а) у = Зх-\-х8;
1
2
б) у=х — т 81П д;;
Определить производную У'=~т Для функций у,
параметрически:
582.
589.
( х = а соз2*,
) у=Ь$тЧ.
583. \
х
590.
.'+1
зш
584.
ЛЛ .р,^^^^
л;
СО58
591.
Усов 21'
у =
31П
2/
585.
^» .,,.
За*
агссоз
592.
В
| у = агсзш
V
586.
587.
588.
593.
х
е*\
- 1
594. \
V 1г + 1 '
== Л 151П I 1 СОо
^
595. Вычислить -т- при ^ = —, если
— 51П
а(\ — соз г).
заданных
Решение. -г-г=.
1
их' аA —соз О
___ §ш* /^\ 2
~" 1 — соз г И \йх) ъ ~~~ . п
4 *=— 1—соз—

§ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, НЕ ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЯВНО ЗАДАННЫМИ 67
596. Найти ]г- при I — 1, если
-Л- „ « ад . л (х=е соз г,
597. Найти ^ при 1 = -^-, если { , * . '
598. Доказать, что функция у, заданная параметрически уравне-
уравнениями
удовлетворяет уравнению
599. При х = 2 справедливо равенство
х2 = 2х.
Следует ли отсюда, что
{х2)' = BхУ
при # = 2?
600. Пусть ^у^г^а2 — л:2. Можно ли почленно дифференцировать
равенство
Найти производную у'=~ от неявных функций у:
601. 2х — Ьу-{-10 = 0. 610. ^^ =
602. ^- + -^ = 1. 611.
603. д:84-^8 = ^8. 612.
604. х*-\-х2у-{-у2 = 0. 613.
605. У*-\-УУ =Уа- 614.
606. К^2 + ^/7 = ^/^ 615.
607. / =^=|• 616.
608. у — 0,Ззту=х. 617.
609. а соз2 (л: -\-у) = ^. 618. ху=ух.

58
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
619. Найти у9 в точке М(\; 1), если
Решение. Дифференцируя, имеем 2у' =у3 -\-Зху*у'. Полагая
=1, получим 2*/' = 1+3|/', откуда у'=— 1.
и
620. Найти производные У заданных функций у в указанных
точках:
а) (х-\-у)*
б)
в) у2 = х-\-\п~ при л:
(х—у) при х = 2 иу = 1]
при х = 0 и ,у = 1;
л»
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
1°. Уравнения касательной и нормали. Из геометрического
смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой у =
или р(х, у)=0 в точке М (х0, у9) будет
где у'оестъ значение производной у' в точке М (ха$ у0). Прямая, проходящая
У
через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью
к кривой. Для нормали получаем уравнение
— Уо) =0.
2°. Угол между кривыми. Под углом между кривыми
И
в их общей точке М9(х0, у0) (рис. 12) понимается угол ©между касательными
М0А и МйВ к этим кривым в точке М9.
По известной формуле аналитической геометрии получаем;

§ 4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
59
3. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая прямоугольной системыкоординат. Касательная
и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис. 13):
I =ТМ—так называемый отрезок касательной,
5* = ТК — подкасательная,
п = ЛШ —отрезок нормали,
5„ = КЫ — поднормаль.
Так как КМ = \уо\н{%у = уо9 то
1 = ТМ =
С - Т1 V ■
О^ 1 [\ =
11
к
Уо
К1+<»:;
г о
!2
•
9
УаУл
V
4°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью,
для случая полярной системы координат. Если кривая задана
О
Рис. 14.
Рис. 15.
в полярных координатах уравнением г = /(ф), то угол \х, образованный каса-
тельной МТ и полярным радиусом г~ОМ (рис. 14), определяется следующей
формулой:
ф
г —- —
'
йг г
Касательная МТ и нормаль ЛШ в точке М вместе с полярным радиусом
точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через
полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
^ = МТ — отрезок полярной касательной,
п = МN — отрезок полярной нормали,
5*= ОТ — полярная подкасательная,
$п = ОМ — полярная поднормаль,.
Эти отрезки выражаются Следующими формулами:
621. Какие углы ф образуют с осью ОХ касательные к кривой
У — х — х2 в точках с абсциссами: а) х = 0; б) х=~; в) л:=1?
а) 18 ф=' ■ф=45О; б) *ф=0>
Л] шв)е

60 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
622. Под какими углами синусоиды у = $'тх и _у = 8т2л; пере-
пересекают ось абсцисс в начале координат?
623. Под каким углом тангенсоида^ = {%х пересекает ось абсцисс
в начале координат?
624. Под каким углом кривая у = е°**х пересекает прямую х = 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой
-\-4х3—12л:2-[0 параллельны оси абсцисс.
626. В какой точке касательная к параболе
х2
параллельна прямой 5х-\-у — 3 = 0?
627. Найти уравнение параболы у = х2 -\-Ьх-\-с, касающейся
прямой х=у в точке A; 1).
628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой
.Г+У— ху — 7 = 0 в точке A; 2).
629. В какой точке кривому2 = 2л:5 касательная перпендикулярна
к прямой 4-х — 3^-]-2 —0?
630. Написать уравнение касательной и нормали к параболе
в точке с абсциссой х = 4.
Решение. Имеем у' = ——— ; отсюда угловой коэффициент касатель-
Т\ х
ной & = №/']*—4 =-т- • Так как точка касания имеет координаты х = 4, у = 2,
то уравнение касательной есть у — 2 = —- (х — 4), или х — Ау + 4 = 0.
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
«! = 4,
откуда уравнение нормали у — 2 = — 4 (х — 4), или 4х-\-у— 18 = 0.
631. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у = хг -{- 2л:2 — Ах — 3 в точке (—2; 5).
632. Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в точке A; 0).
633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в ука-
указанных точках:
а) у=1$*2х в начале координат;
б) _у = агс$ш—о— в точке пересечения с осью ОХ;
в) з/ = агссо5 3.х; в точке пересечения с осью ОУ;
г) у = \пх в точке пересечения с осью ОХ;
д) у = е1~*2 в точках пересечения с прямой у=1.

§ 4] ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 61
634. Написать уравнения касательной и нормали в точке B;2)
к кривой ( 1 -М
3 , 1
^ 2/2 • 21 '
635. Написать уравнения касательной к кривой
в начале координат и в точке * = —.
636. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
л:3 -\-у2 -\- 2х — 6 = 0 в точке с ординатой у — 3.
6^37. Написать уравнение касательной к кривой а;5 -\-у5— 2ду=0
в точке A; 1).
638. Написать уравнения касательных и нормалей к кривой
= (х—1)(а;— 2) (а: — 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у* = 4х*-\-бху в точке A;2).
640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе
заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
641. Показать, что у астроиды хг1* -\-у*1г=а213 отрезок касательной,
содержащийся между координатными осями, имеет постоянную вели-
величину, равную а.
642. Показать, что нормали к развертке окружности
х = а (соз ^-\-^$т^), у = а (зш г — г со$ г)
являются касательными к окружности х2-{-у2 = а2.
643. Найти угол, под которым пересекаются параболы у — (а; —
и у = — 4-[-6а; — х2
[
644. Под каким углом пересекаются параболы у = х2 и у
645. Показать, что кривые у = 4а:2 -\- 2х — 8 и_у = а;1 — а:-|-10
касаются друг друга в точке C;34). Будет ли то же самое в точке
(—2; 4)?
646. Показать, что гиперболы
1
ху = а* и х2—у2 — Ь2
пересекаются под прямым углом.
647. Дана парабола _у2 = 4а;. Вычислить в точке A;2) длины от-
отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
648. Найти подкасательную кривой _у = 2*в любой ее точке.
649. Показать, что у равносторонней гиперболы а:2 —у2 = а2 длина
отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки.
650. Показать, что поднормаль гиперболы а;2—у2 = а2 в любой
ее точке равна абсциссе этой точки.

62 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
651. Показать, что подкасательные эллипса ~ + ~= 1 и ок-
ружности х2 -\-у2 — а2 в точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны
между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда
вытекает?
652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасател ьной
и поднормали у циклоиды
у = а A — соз г)
в произвольной точке * = ?0.
653. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у логарифмической спирали
654. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки
касания у лемнискаты г2 = а2соз2ф.
655. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, под-
касательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом точки касания у спирали Архимеда
в точке с полярным углом ф =
656. Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднормали,
касательной и нормали, а также угол между касательной и полярным
радиусом у гиперболической спирали г = — в произвольной точке
о о
657. Закон движения точки по оси ОХ есть
X = 01 I ,
Найти скорость движения точки для моментов времени: {0 = ,
/г=1 и ^2 = 2 (х дается в сантиметрах, I—в секундах).
658. По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения
х= 100 + 5/
и
X— 2 I ,
где г ^ 0. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи (х дается в сантиметрах, I — в секундах)?
659. Концы отрезка АВ=5 м скользят по перпендикулярным пря-
прямым ОХ и ОУ (рис. 16). Скорость перемещения конца А равна 2 м\секш
Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А
находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 м?

§4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
63
66Л*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикаль-
вертикальной плоскости ХОУ (рис. 17) под углом а к горизонту с начальной
скоростью VI, дается формулами (без учета сопротивления воздуха)
х = ю^ соз а, у = г/0/ зт а — ^~,
где I — время, §—ускорение силы тяжести. Найти траекторию дви-
движения и дальность полета. Определить также величину скорости дви-
движения и ее направление.
О
А
Рис. 16.
Рис. 17.
661. Точка движется по гиперболе у = — так, что ее абсцис-
х
са х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С ка-
какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положе-
положение E; 2)?
662. В какой точке параболы у*= \8х ордината возрастает вдвое
скорее, чем абсцисса?
663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину
а = 10 см, а другая Ь изменяется, возрастая с постоянной скоростью
Ьсм\сек. С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его
площадь в тот момент, когда # = 30 см?
664. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см\сек.
С какой скоростью растут Площадь поверхности шара и объем шара
в момент, когда радиус его становится равным 50 см?
665. Точка движется по архимедовой спирали
(а=10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса
постоянна и равна 6° в секунду. Определить скорость удлинения по-
полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см.

64 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части
АМ растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от
конца А и равна Юг при АМ = 2см. Найти массу всего стержня
АВ и линейную плотность в любой его точке М. Чему равна линей-
линейная плотность стержня в точках А и
§ 5. Производные высших порядков
1°. Определение высших производных. Производной вто-
второго порядка или второй производной функции у = [(х) называется производ
ная от ее производной, т. е.
(у1)'.
Обозначается вторая производная так:
й2и
у", или -т-т » или /" (*).
Если х = /(/) — закон прямолинейного движения точки, то ^тг" есть уско-
ускорение этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции у = [(х) называют про-
производную от производной порядка (п — 1). Дляя-й производной употребляются
обозначения
*/<">, или 0 , или /<»> (х).
Пример 1. Найти производную 2-го порядка от функции
у==\п A —х).
Решение. * = {=±1 ^
2°. Формула Лейбница. Если функции и = ер (х) и V = г|) (х) имеют
производные до /1-го порядка включительно, то для вычисления п-и производ-
производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
V
3°. Производные высших порядков функций, задан-
заданных параметрически. Если
/
Ф(
> йц и Л2у л
то производные ух=-^, ухх = -г^2, ... последовательно могут быть вычис-
вычислены по формулам:
» , / у V У*Ь и'1' V У**Ъ и ч ,
Для производной 2-го порядка имеет место формула
» _хгУ'и-хцУь
Ухх

§ 5] производные высших порядков 65
Пример 2. Найти у", если
{х = а со5 1%
у = Ь з!п ^.
Решение. Имеем:
_____ ь_
Г"" а
И
Ь . Л/ 6-1
а ъ Iх а зт2^ Ь
Л. Производные высших порядков явных функций
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
667. у = х*-\-7х' — 5л: + 4. 671. у = 1п [х-\-Уа2-\-х2).
668. у = ех\ 672. / (х) = A + ^
669. у = $т2х. ■> >. 673. у = (агсзш л:J.
670. у = \пУ\-\-х\ 674.
675. Показать, что функция у=— 9 удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению 1 -\-у'2 = 2уу\
676. Показать, что функция У'=~кх2ех удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению У — 2у' -\-у=ех.
677. Показать, что функция у =Схе~х -\-С2е~2х при любых по-
постоянных Сг и С2 удовлетворяет уравнению у"-\-%у' -\-2у = 0.
678. Показать, что функция у = е2х зтбх удовлетворяет урав-
уравнению у" — 4/ + 29у = 0.
679. Найти у"\ ест у — х* — 5х2-\-7х — 2.
680. Найти/" C), если /(*) = Bх — ЗM.
681. Найти уу от функции у = \п A -\-х).
682. Найти >;У1 от функции у = зш 2л:.
683. Показать, что функция у = е"х соз х удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению У1у^~4у = 0.
684. Найти /@), /'@), /@) и /'"@), если
= ех 51П л:.
685. Уравнение движения точки по оси ОХ есть
*= 100 + 5/ — 0,00 М\
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени /=0,
Г. С. Бараненков и др.

66
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. И
м
686. По окружности х2 -\-у2 = а* движется точка Ж с постоянной
угловой скоростью со. Найти закон движения ее проекции Мх на ось
ОХ, если в момент / = 0 точка занимает по-
положение Мо (а, 0) (рис. 18). Найти скорость
и ускорение движения точки Мг.
Чему равны скорость и ускорение точки
Мх в начальный момент и в момент прохож-
прохождения начала координат?
Каковы максимальные значения абсолют-
абсолютной величины скорости и абсолютной вели-
величины ускорения точки Жх?
687. Найти производную я-го. порядка
от функции у = [ах -\- Ь)п (п — натуральное
число).
Рис. 18.
688. Найти производные я-го порядка от функций:
6) у =
689. Найти п-ю производную от функций:
а) у = ыпх; д) ^, = ^
б) у = соз 2х;
в) у = е" *х; ж) у — 81
г) у = 1п(\ -\-х); з) у = \п(ах-{-Ь).
690. Применяя формулу Лейбница, найти у{п\ если:
а) у
б) у
в)
X.
хе
х2е~2Х:
г)у =
к д) у=л:31пл;.
л:2) соз л:; А; '
691. Найти/и)@), если /(х) = 1п^-~.
Б. Производные высших порядков функций, заданных парамет-
параметрически, а неявных функций
Найти -Л от следующих функций:
х ——
х = \пг,
692. а) {
У = 1 ,
693. а)
б)
У
X
б)
' в)
а 81й /;
а соз* /,
азш8/; \
в)
х = агс8Ш /,
— /соз/),

§ 5] ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 67
694.
4 *
в * б)
{
х = агс*& /,
1
.У =
д; =
У
= 1п /,
1
1 ~/
еле и л &*
696. Найти ф, если
697. Найти 0 при <=0, если
698. Показать, что _у, как функция от х, определяемая уравнени-
х = &\пг,у = ае*^г -\-Ье~1^г^ При любых постоянных а и Ь
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Найти лу///=^ от следующих функций:
70Ь
700. {у^е-Ны 702- Найти 2?. если
703. Зная функцию у=/(х), найти производные д^, лс;// обратной
функции х=/~1 (у).
704. Найти у\ если *1+<уа=1.
Решение. На основании правила дифференцирования сложной функ-
функции имеем 2х + 2уу' = 0; отсюда у' = — ~ и |Г=—(~) =—-У ~]лУ •
Подставляя вместо у' его значение, окончательно получим:
^/8 у3
Определить производные у" от следующих функций у=/(х),
заданных неявно:
705. у* = 2рх.
706. -.
а4
707. у
708. Имея уравнение у±=х-{-\пу, найти т^ и т4*
709. Найти У в точке A;1), если
х2 -\-Ьху -\-у2 — 2х -\-у — 6 = 0.
710. Найти у" в точке @;1), если

68
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
711. а) Функция у задана неявно уравнением
л:
2 =
Найти
в точке A;1).
б) Найти
если
§ 6. Дифференциалы первого и высших порядков
1°. Дифференциал первого порядка. Дифференциалом (пер-
(первого порядка) функции у = [(х) называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения Ах = Ах независимой переменной х. Диффе-
Дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал независимой
переменной
йу = у'их.
Отсюда
, у
У ~~Тх
Если МЫ—дуга графика функции у={(х)
(рис. 19), М Г — касательная в точке
М (х9у) и
Рф = Ах = 'Ох,
X то приращение ординаты касательной
АТ = йу
и отрезок Л# = Ау.
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у = 3х2 — х.
Решение. 1-й способ:
или
Следовательно,
2-й способ:
Ау = 3 (х + АхJ — (х + Ах) — За:2 + х
Ау = F* — 1) Ах + 3 (АхJ.
= у' их = (бх —-
и ф функции у — 2>х2 — х при л:=1 и
Пример 2. Вычислить
= 0,01.
Решение. Аг/ = Fа:~ 1). Ах + 3(Ад:J = 5- 0,01 +3@,01J = 0,0503
и
йу=Fх— \)Ах = 5-0,01 = 0,0500.
2°. Основные свойства дифференциалов:
1) ^с=0, где с=сопз1.
2) с?а: = Ах, где х — независимая переменная.
3) й(си) = с йи.
4) ^(а±: Ь) — д,и±№.
5) й (м) = и (IV-}-V Ли.
( и \ ^
6) Л17;=
7) ЛЦи) = Г

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69
3°. Применение дифференциала к приближенным вы-
вычислениям. Если приращение Ах аргумента х мало по абсолютной вели-
величине, то дифференциал йу функции у = [(х) и приращение Ау функции при-
приближенно равны между собой
т. е.
/ (х + Ах) — / (х)^/' (х) Ах,
откуда
. /(* +А*) ^/(*)+/'(*) А*. A)
Пример 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
если площадь его увеличилась от 9 ж2 до 9,1 м2?
Решение. Если х — площадь квадрата и у — сторона его, то
По условию задачи: х = 9; Ах = 0,1«
Приращение Ау стороны квадрата вычисляем приближенно:
— . 0,1 =0,016 м.
9
2 /9
4°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка' называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
Аналогично определяются дифференциалы третьего и т. д. порядков^
Если у — [(х) и х — независимая переменная, то
у" (йх)\
Если же у = [(и), где и = у(х), то
й*у = у'" (аиJ 4-Ъ^йи• й2и + у' йъи
и т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
712. Найти приращение Ау и дифференциал йу функции у = 5х -{-
х2 при х = 2 и Да: = 0,001.
713. Не вычисляя производной, найти
аA— х8)
при а:=1 и Ах = — у.
714. Площадь квадрата 5 со стороной, равной х, выражается по
формуле 5 = х2. Найти приращение и дифференциал этой функции и
выяснить геометрическое значение последнего.
715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифферен-
дифференциала следующих функций:
а) площадь круга 5 = лх2; б) объем куба ъ — х*.

70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
716. Показать, что при Ах—>»0 приращение функции у = 2х,
соответствующее приращению х на величину Ах9 при всяком х экви-
эквивалентно выражению 2х Ах 1п 2.
717. При каком значении х дифференциал функции у = хг не эк-
эквивалентен приращению этой функции при Дд:—>»0?
718. Имеет ли функция ^ = |л:| дифференциал при д: = 0?
719. Пользуясь производной, найти дифференциал функции у = созд:
я А я
А
я А
при х=~х- и Ах=-
о
720. Найти дифференциал функции
2
при х=9 и Ах = — 0,01.
721. Вычислить дифференциал функции
и А
1 Ш
Найти дифференциалы следующих функций для произвольных
значений аргумента и его приращения:
„ * 727. у — х\пх — х.
х 728. у = \^
723. у = г^— .
1~~х 729. г =
724. у^= агсзш— . 730. 8=
725. у = агс!§ — .
726. у = е~х\
731. Найти йу, если хг-\-2ху—у* = а*.
Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим:
2х их + 2 (у их -\- х йу) — 2ус1у = 0. Отсюда
= -2-2- их.
х — у
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732. (х-{-у)*Bх-{-у)*—1.
X
733. у = е~Т.
734. 1п
735. Найти йу в точке A; 2), если у%—у=

§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 71
736. Найти приближенное значение зт31°.
Решение. Полагая я = агс 30° = — и Ад: = агс 1о = 7о^ , из форму-
Ь 1оО
лы A) (см. 3°) имеем"зШ ЗГ^= зт 30° + ^-соз 30°=0,500 + 0,017 . Хг~ = 0,515.
737. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно
вычислить:
а) созбГ; г) 1^0,9;
б) 1§44°; д) агс!§ 1,05.
в) е0-2;
738. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус /?=15сл* удлинится на 2мм?
739. Вывести приближенную формулу (для | Ад; |, малых по сравне-
сравнению с х)
]/х-{-Ах =5=
2У х
и с ее помощью найти приближенные значения для |/5; 1^17;
/640.
740. Вывести приближенную формулу
и найти приближенные значения для у 10, /70, ^/200.
741. Найти приближенные значения функций:
а) д> = л;3 — 4х2 + 5* + 3 при д:= 1,03;
б) /(х) = ]/г\-\-х при
з Г\ __х
в) /И= у у^ при
г) у = ег-** при д:=1,05.
742. Найти приближенное значение 1§45°3'20".
743. Найти приближенно агсзтО,54.
А г-
744. Найти приближенно т/17.
745. Показать, основываясь на формуле закона Ома 1=-^ , что
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротив-
сопротивления, может быть найдено приближенно по формуле
д/=—-4 д/г.
746. Показать, что относительная погрешность в 1 % при определе-
определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность при-
приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
747. Вычислить й2у, если у = соз Ъх.
Решение. Л2у = у"(ихJ = — 25сез5#(йх)г.

72 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
748. и = У\ — х\ найти а2 и.
749. д; = агссоз х, найти с!2у.
760. у = 5Ш х 1п х, найти йгу.
751. * = —, найти йг
х
752. г = х2е~ху найти
753. г = -ъ , найти
2 — х '
754. а = 381пBд: + 5), найти <*"«•
755, <у==^хсоза51п(х51'па), найти <Гу.
§ 7. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролля. Если функция /(х) непрерывна на отрезке
а ^ х ^ Ь, имеет производную /' (х) в каждой внутренней точке этого отрезка и
то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение 6, где
а < 5 < Ь, такое, что
Г (I) = 0.
2е. Теорема Лагранжа. Если функция / (я) непрерывна на отрезке
а ^ х^ Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
где а<?< Ь.
3°. Теорема Кош и. Если функции / (х) и Р {х) непрерывны на отрезке
а«^л;*^Ь и при а<х<Ь имеют производные, не обращающиеся в нуль
одновременно, причем р (Ь)фР (а), то
Р(Ь)-Р(а) —Р
756. Показать, что функция ?(х)—х — х* на отрезках — 1^*5^0
и 0^д:^1 удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие
значения |.
Решение. Функция / (х) непрерывна и дифференцируема для всех
значений а:; кроме того, /( — 1) = /@) = /A) = 0.Следовательно, теорема Ролля
применима на отрезках — 1^д:^0 и 0^х^1. Для нахождения числа |
составляем уравнение: /' (я) = 1 — Зх2 = 0. Отсюда ^ = — 1/ — ; 52 = 1/ ~ ,
причем - 1 < Б, < 0; 0 < 12 < 1.
757. Функция /(х)=\/(х — 2J на концах отрезка [0, 4] прини-
принимает равные значения
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758. Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции
на отрезке [0, я]?

§ 8] * ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 73
769. Пусть
/(х)=х (х-\- \) (х-\-2) (х-\- 3).
Показать, что уравнение
/' (х) = О
имеет три действительных корня.
760. Уравнение
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не может
иметь другого действительного корня.
761. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функ-
функции
— х*
на отрезке [— 2, 1] и найти соответствующее промежуточное значение |.
Решение. Функция [(х) — х— х* непрерывна и дифференцируема для
всех значений х, причем /' (х) = 1 —За:2. Отсюда по формуле Лагранжа име-
имеем /A) - /( - 2)г=0 - 6 = [1 - ( -2)] /' (I), т. е. /' (§) = —2. Следовательно,
1 — 3|2=:—2и| — ±1; годится только, значение § = —1, для которого спра-
справедливо неравенство — 2<6'
762. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти
соответствующую промежуточную точку ^ для функции /(х) = х*^ на
отрезке [— 1, 1].
763. Для отрезка параболы у = хг, заключенного между точками
А(\; 1) и БC; 9), найти4 точку, касательная в которой параллельна
хорде ЛВ.
764. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу
81П (X -{- к) — 5И1 X = Н СО5 ^,
где ^.\
766. а) Для функций /(х) = х2-{-2 и р(х) = х*—1 проверить
выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти
б) то же для /(х) = зтх и ^(д^^созд; на отрезке
о -
' 2
§ 8. Формула Тейлора
Если функция /(*) непрерывна и имеет непрерывные производные до
(п — 1)-го порядка включительно на отрезке а ^ х ^Ь (или б^х^а), причем
в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная
/(и) (х), то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
, (х — а)" мп-1) /_ч . (х — а)" (п) »
•••"Г („_!)! Г М Г „, Г F).
где 1 = а-{-Ъ(х — а) и 0<в < 1.

74 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ,Ц
В частности, при а = 0 имеем (формула Маклорена):
где & = вл:, 0<б< 1.
766. Многочлен /(х) = хг— 2х2 -[- Зх -|- 5 разложить по целым по-
положительным степеням бинома д: — 2.
Решение. /' (*) = Зх2 - 4а: + 3; /" (х) = 6х - 4; /"(*) = 6; /<»)(д:)==0
для л ^4. Отсюда:
/B) = 11; /'B) = 7; Г B) = 8; Г B) = 6.
Следовательно,
+ + +() + Ц^ + ^ ' 6
или
х8 - 2х2 + 3* + 5 = 11 + 7 (а: - 2) + 4 (* - 2J + (^ - 2)8.
767. Функцию /(х) = ех разложить по степеням бинома л: —|— 1 до
члена, содержащего (х-\- I)8.
Решение. [{п)(х) — ех для всех пу /(и)( —1) = — . Следовательно,
где Б = —
768. Функцию /(х) = \пх разложить по степеням х— 1 до члена
с (х— IJ.
769. Функцию /(х) = $тх разложить по степеням х до члена с хг
и до члена с х5.
770. Функцию /(х) = ех разложить по степеням х до члена с л?".
771. Показать, что 5т(а-|-/г) отличается от
51П а -\- Н сов а
ие более чем на -к к2*
772. Выяснить происхождение приближенных формул:
\
а) Уп\ГХ^\ +1*—Iх\
б) 1/Г^+^
и оценить их погрешность.
773. Оценить погрешность формулы
774. Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по
цепной линии у = асЬ —. Показать, что для малых |л:| форма нити
приближенно выражается параболой

§ 91 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 75
X
77Б*. Показать, что при | х | <^ а с точностью до ( — ) имеет место
приближенное равенство
х
а — х
§ 9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей
1°. Раскрытие неопределенностей типа- и —. Пусть од-
0 оо
нозначные функции ((х) и ср (я) дифференцируемы при 0 < | х — а | < А,
причем производная ср (х) не обращается в нуль.
Если / (я) и ф (а:) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при
Их)
к—>-а, т. е. если частное /■ представляет в точке х = а неопределенность
Ф (*)
О оо
типа -^- или —, то
х -* а ф' (X)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Ло*
питаля—Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а=оо.
Если частное , * вновь дает неопределенность в точке х = а одного
Ф {%)
из двух упомянутых типов и I (х) и ф' (а:) удовлетворяют всем требованиям,
ранее сформулированным для ((х) и ф (х), то можно перейти к отношению
вторых производных и т. д.
гл Нх)
Однако следует помнить, что предел отношения • может существо-
Ф \Х)
вать в то время, как отношения производных" не стремятся ни к какому пре-
пределу (см. № 809).
2°. Прочие неопределенности. Для раскрытия неопределенно-
неопределенностей типа 0 »оо преобразуем соответствующее произведение Т\(х)'[г(х)$ где
Нт/1(д:) = 0 и Нт }2(х)= оо, в частное^! (тйп-^Л или Ц(тип
1 \ 0 ) \ \ оо
х -> а х->а
(*) Г г (X)
В случае неопределенности типа оо — оо следует преобразовать соответ-
соответствующую разность ^ (х) — /2 (х) в произведение /х (а:) 1 —<^у-^ и раскрыть
сначала неопределенность '/ ; если Пт ~у-( = 1, то приводим выражение
/1 (х) х -> а /1 \х)
к виду
1
( О
тип <—
1 V О
Неопределенности типов Iе0, 0°, оо° раскрывают с помощью предваритель-
предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени [/, (х)У2 ^
(что потребует раскрытия неопределенности типа 0-оо).
В некоторых случаях правило Лопиталя —Бернулли полезно комбинировать
с нахождением пределов элементарными средствами.

76 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Пример 1. Вычислить
1- \п х ( оо
Пт _ неопределенность типа —
х -» о с!§ х \ г оо
Решение. Применяя правило Лопиталя — Бернулли, имеем:
11т <1п*> = -11
х -» о сХ% * х -> о (с!§ *)' а? -» о
Получили неопределенность типа ^г- , однако применять правило Лопиталя
Бернулли нет надобности, так как
8Ш2Х у 8'ШХ
х -> о X х -» о
Таким образом, окончательно находим:
11т 1М-= 0.
л; -» о с!§ х
Пример 2. Вычислить
\ш ( -_ ] (неопределенность типа оо — оо).
х -» о\ЗШ X X2) к * '
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
11т —2~^~^— неопределенность типа -^ .
22 \ ^ 0 у
Прежде чем применить правило Лопиталя — Бернулли, заменим знаменатель
последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. I, § 4) д:231П2д: ~ я4.
Получим:
1 1 \ ,. х2 -зш2*/ 0\
^-^ _ == 11П1 неопределенность типа -^ •
По правилу Лопиталя — Бернулли
Шп (-1 1^ = Пт 2х - 5!|12х = Ит 2-2с°$2х .
лг-»о\31п2д: х2 у х->0 4а:3 х-» о 12л:2
Далее, элементарным путем находим:
,. ( \ 1 \ ,. 1 — соз 2х ,. 2 31П2 а: 1
х -» о \8Ш ^ ^ У * -»о 6х2 л; -»о ох2 3
Пример 3. Вычислить
3
Нт (соз 2х)*2 (неопределенность типа I00).
Х-* О
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя — Бернулли, получим:
о
Пт 1п (соз 2х)& = Пт 3 1п С05 2х = — 6 Пт 1-§-^ = — 6.
а:2 2л:
а:2
Следовательно, Пт (соз 2х) х* = е ~6.

§ 9] РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 77
Найти указанные пределы функций:
776. Нт
X* — IX -\- 6
-.Я О..2 .... I Г»
— Нт
Зх2 - 7 2 *
777 и™ хсозх — 8тх ех
777. пт з . 783. 11т -у-.
X -> О * д:
1п х
778. Нт ——±—. 784. Нт
1т
1
сЬ
1 -
5 ее
1
с8 — 7х
х* — Ъ
05Х-!
— X
. пх
- 8П1 —
х—1
- соз х'
V С1 П
\ ' ' " 0111
— 31П X
.2 у. О
-(-СОЗ
+6
С2 — X
-7х +
•
•
>
1д х
-
•
+ 2
6
779. Нт : . -о- .. х
х _^ 01 — соз х 785. 11т
780. Нт
^ 81П х 1п(зттд:)
781. Нт "Г*-**' "^^^^ *
1 -4— соз 4х
^ 787. ПтA
х -» о
782. Ит *8Х
^ ,. ,. A — созх) соза:
Решение. Нт A — соз х) с(§ х= Пт х
ЛГ-»О д: -» о
Ит ЁИ*. 1 = 0.
д; -»о 81П X х -» 0 д: -> О С08 X
788. ИтA —л:)^^. 791. Птхзт —.
789. Пт агез'т д; с!:§ х.
х -> о
790. Ит (Л"*), я>0.
X -» 1
794. И
Решение,
Х->1\Х— 1 \ПХ) х->1 (Х—\)\ПХ
1 I 1 1
х • 1- 1п х — 1
= Ит
х * х*
1 5
795. Ит , - Л 2 с } •
хг — х — 6 )
796. Пт [ Х——т \ ,_ 1
ж->1 12A-^) 3A-,3/х) ^•

78 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
797. Нт
с18* 2созд:у
2
798. Ит Xх.
X -*■ О
Решение. Имеем хх = у; \пу = х\пх\ Шп 1п # = 1нп л; 1п * =
Х-* О
\пх
*_ = о, откуда 11т ^= 1, т. е. Нт х*=1.
1 X ->0 ^-> О
-» 0 1 д:->0 1 X
х
799. 11т х*. 8^4. Н
800. Нт*4+1п* , 805. Н
х -> о
801. Шп*»1п*. 806; Н
х -> о
1СС
С08 —
*
802. 11шA-х) *. 807. НтШ
803# х^о 1 "^ ^ " 808# Ит (С^ ^81П *•
809. Доказать, что пределы;
^> , . 1
Хг 8Ш —
а) нт——- = 0;
б) И
Рис. 20. не МОГУТ быть найдены по правилу Лопиталя —
Бернулли. Найти эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь кругового сегмента с малым централь-
центральным углом а, имеющего хорду АВ = & и стрелку СО = Н (рис. 20),
приближенно равна
о 2
3
со сколь угодно малой относительной погрешностью при а—»

ГЛАВА III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
1°. В озрастание и убывание функций. Функция у = ?(х) на-
называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если
для любых точек хх и х2, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из
неравенства хх < хг следует неравенство /(*!></(*в) (рис. 21, а)
(/ (*1) > / (**) (рис. 21, б)). Если функция /(*) непрерывна на отрезке [а, Ь\
и /'(*)>() (Г(*)<0) при а<*<*>, то /(*) возрастает (убывает) на
отрезке [а, Ь].
В простейших случаях, область существования функции / (х) можно раз-
разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (про*
О
О
а)
\
0)
о
Рис. 21.
Рис. 22.
межутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точ
ками х (где /' (х) = 0 или же /' (#) не существует).
Пример 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
г 2{
Решение. Находим производную
Отсюда #' = 0 при х=\. На числовой оси получаем два промежутка моно-
монотонности: (—оо, 1) и A, + оо). Из формулы A) имеем: 1) если —■ оо < х < 1, то
г/'<0 и, следовательно, функция {(х) убывает в промежутке (—оо, 1); 2) если
1<*< + °°» то у' > 0 и, следовательно, функция ( (х) возрастает в проме-
промежутке A, + оо) (рис. 22).

80
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. Ш
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
1
У = "
Решен и е. Здесь х^= — 2 —- точка разрыва функции и/= —
1
<0
( + )
при х Ф — 2. Следовательно, функция г/ убывает в промежутках — оо< х <—2
и — 2< х < 4- °о.
Пример 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию
Решение. Здесь
==— 1,
х,=
B)
в кото-
кото((х0)
Рис. 23.
Решив уравнение х4 — х2 = 0, найдем точки
рых производная у' обращается в нуль. Так как у' может изменять знак
только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или
терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у' отсутст-
отсутствуют), то в каждом из интервалов (— оо,— 1),
(—1, 0), @, 1) и A,+оо) производ-
производная сохраняет постоянный знак, поэтому в
каждом из этих интервалов исследуемая
функция монотонна. Чтобы выяснить, в ка-
каких из указанных интервалов функция воз-
возрастает, а в каких — убывает, нужно уз-
узнать, каков знак производной в каждом из
этих интервалов. Для того чтобы выяснить,
каков знак у' в интервале (—оо, —1), до-
достаточно узнать знак у' в какой-нибудь
7* однэй точке этого интервала; взяв, например,
х = — 2, получим из B) у' = 12 > 0, следо-
следовательно, у' > 0 в интервале (—оо, — 1) и
функция в этом интервале возрастает. Ана-
Аналогично найдем, что у' < 0 в интервале (—1, 0) ( для проверки можно,
например, взять х = —- ) , у' < 0 в интервале @, 1) ( здесь
1\
пользовать х = -к ) и у' > 0 в интервале A, -[~ °°)-
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке (—оо, — 1),
убывает в промежутке (—1, 1) и опять возрастает в промежутке A, -{- оо).
2°. Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя
окрестность точки х0, что для всякой точки х Ф х0 этой окрестности имеет
место неравенство / (х) > / (х0), то точка х0 называется точкой минимума
функции у = / (х), а число / (х0) — минимумом функции у = / (х). Аналогично,
если для всякой точки х Ф хх некоторой окрестности точки х, выполняется
неравенство / (х) < / (х^, то хх называется точкой максимума функции
/(х), а ! (хх) — максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или макси-
максимума функции называется ее точкой экстремума, а минимум или максимум
функции — экстремумом функции. Если х0 — точка экстремума функции / (х),
то /' (х0) = 0 (стационарная точка), или же /' (х0) не существует (необходи-
(необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно:
точки, в которых [' (х) = 0 или же /' (х) не существует (критические точки),
не обязательно являются точками экстремума функции / (х). Достаточные
признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции / (х)
даются следующими правилами:
можно ис-

§ 11
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
81
1. Если существует такая окрестность (х0 — б, хо + д) критической точ-
точки х0, что /' (х) > 0 при х0 — б < х < х0 и /' (х)< 0 при х0 < х < х0 + б, то
х0 — точка максимума функции / (х)\ если же /' (х) < 0 при х0 — б < х < х0
и /' (х) > 0 при х0 < а: < х0 + б, то х0 — точка минимума функции /(х).
Если, наконец, найдется такое положительное число б, что /'(х) сохра-
сохраняет неизменный знак при 0< \х — х0 | < б, то точка х0 не является точкой
экстремума функции / (х).
2. Если /'(хо) = 0 и /"(*о)<°> то х0 —точка максимума функции /(х);
если /' (хо) = О и /" (х0) > 0, то х0 — точка минимума функции /(х); если же
/'(хо) = 0, /"(хо) = О, а /'" (хо)^0, то точка х0 не является точкой экстремума
функции /(*).
В более общем виде: пусть первая из не равных
ке х0 производных функции /(х) имеет порядок к,
нулю в точ-
Тогда, если
к — четное, то точка х0 является точкой
экстремума, а именно точкой максимума,
если /(А) (х0) < 0, и точкой минимума, если
/(А) (*о) ^> 0- Если же к — нечетное, то точка
х0 не является точкой экстремума.
П р и м е р 4. Найти экстремумы функции
Решение. Находим производную
2 2
C)
Приравнивая производную у' нулю, по-
получаем:
У7+1=0.
Отсюда находим стационарную точку хг=.—1. Рис. 24.
Из формулы C) имеем: если х — —1 — к,
где к — любое достаточно малое положительное число, то у' > 0; если же
х—— I +к, то у' < 0 *). Следовательно, хг = —1 есть точка максимума
функции у, причем утах — 1.
Приравнивая нулю знаменатель выражения у' из C), получаем
з /-__ 0.
V
х
отсюда находим критическую точку функции х2 —0, где производная у'
не существует. При х = —Д, очевидно, имеем у' < 0; при х = к имеем
у' > 0. Следовательно, х2 = 0 есть точка минимума функции г/, причем
ут[п = 0 (рис. 24). Исследование поведения функции в точке хх = — 1 можно
также провести с помощью второй производной
„_ 2
у ~-~зх~]7^'
Здесь г/"<0 при хх = —1 и, следовательно, хх =—1 есть точка максимума
функции.
3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наи-
(наибольшее) значение непрерывной функции / (х) на данном отрезке [а, Ь] дости-
достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, Ь].
*) Если определение знака производной у' затруднительно, то можно
произвести арифметический расчет, взяв в качестве Н достаточно малое поло-
положительное число.

82
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке —1 — ^ * ^
Решение. Так как
2 —.
то критическими точками функции у являются х1<=—1 и *2 = 1. Сравнивая
значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного
отрезка
1-1.) =4-1-; у{2) П
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции т = 1 достигается
в точке х = 1 (в точке минимума), а наибольшее М = 11 ~ достигается в точке
о
# = 2-д« (на правом конце отрезка).
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
О 1 1| \г ■ 1 ^"™™ тЛ *""""" Л .
О1О «■ (к 9\2
О 1 ш* у —— ^Л ^^ ^ ^ .
813. у = (х-\-4)\
814. у = х2(х — 3).
815. 1г = —
Л'
816. ^= 1
(х
а:
Рис. 25.
818.
819.
820.
821.
822.
823.
824.
825.
~
= л; 1п л:.
Исследовать на экстремум следующие функции:
826.
Решение. Находим производную данной функции у' = 2х + 4. При-
Приравняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х = —2. Так
как у' < 0 при #< — 2 и #'>0 при л: > — 2, то я = — 2 является точкой

§ 1] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 88
минимума данной функции, причем ^да1П:=?2. Тот же результат мы получим,
используя знак второй производной в критической точке: #"=:2>0,
827. у =
828. у = ,
829. з> = 2л;8 + Зл;2 — 12л:+ 5.
Решение. Находим производную
#'=6х2 + 6л:-- 12 = 6(д^ + д: —2).
Приравнивая производную */' нулю, получаем критические точки л:я ===== — 2
и #2 = 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую производ-
производную у" = 6 Bх + 1). Так как у" (—2) < 0, то х1=— 2 есть точка макси-
максимума функций у+ причем ^тах:=25. Аналогично имеем #" A) >0; поэтому
Х2=1 есть точка минимума функции у и ут\л = —2.
830. у = л;2(л;—12J. ОАЛ *
831. 5и*(х-1)«1*-2)\ 84°- ^ = 2со.т
^- 841. у = х —
833. » = *-т2* + 2. 842. ^ =
834. у = (Х~2J(8~*}'■ 843. у = х\п*х
X
835. У = х{41&хгу 844. у =
836. у = -. 4 . 845. х = хех.
* Ухг + 8
837. У=3/-^ -'♦ 846- У = х*е~
838. у = У(х2—\)\ 847. у = ^.
839. з; = 2 5Ш 2л;-{-31П 4л:. 848. ^ = л; — агс!§лг.
Определить наименьшие и наибольшие значения функций на ука-
указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить
наименьшее и наибольшее значения функции во всей области суще-
существования):
849. у= х ^^' У — х* на отрезке [—1,3]
* 1 ~4~ х^
850. у = Ух(Ю-х). 854' У = 2х* + Зх*~ 12х+ и
851. ^ = 81п4а: + сое4^. а) на отрезке [—1, 5];
852. <у = агссо5л;. б) на отрезке [—10, 12]#

84 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
855. Показать, что при положительных значениях х имеет место
неравенство
х
856. Определить коэффициенты /? и # квадратного трехчлена
= х2 -\-рх -|-<7 так, чтобы этот трехчлен имел минимум ^ =
х=\. Объяснить полученный результат геометрически.
857. Доказать неравенство
при
Решение. Рассмотрим функцию
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум
/@) = 0. Следовательно,
т е /(*)>/@) при х 9*0,
ех>\-\-х при х Ф 0,
что и требовалось доказать.
Доказать неравенства:
хг
858. х х-<^51пх<^х при
х2
859. созд;^>1—-^ при х
860. х — -|<1пA-{-*)<* при
86Ь Данное положительное число а разложить на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
862. Кусок проволоки данной длины / согнуть в виде прямоуголь-
прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
863. Какой из прямоугольных треугольников с заданным перимет-
периметром 2р имеет наибольшую площадь?
864. Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой
стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая
(в смысле площади) форма площадки, если имеется / погонных метров
сетки?
865. Из квадратного листа картона со стороной а требуется сде-
сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вы-
вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся кресто-
крестообразной фигуры.
866. Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен
вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потре-
потребуется наименьшее количество- жести?
867. Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую
полную поверхность?

§ 1] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА 85
868. В данный шар вписать цилиндр с наибольшим объемом.
869. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой по-
поверхностью.
870. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
871. В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей
боковой поверхностью.
872. Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего
объема (плоскости и центры их круговых ос-
оснований совпадают).
873. Какой из конусов, описанных около
данного шара, имеет наименьший объем?
874. Полоса жести шириной а должна быть ^
согнута в виде открытого цилиндрического же-
желоба (рис. 26). Каков должен быть централь-
центральный угол ф, чтобы вместимость желоба была
наибольшей?
875. Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить воронку наибольшей вместимости.
876. Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося
снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной вмести-
** с мости на него пошло минимум материала?
877. Определить наименьшую высоту
Н=ОВ двери вертикальной башни АВСО,
чтобы через эту дверь в башню можно
было внести жесткий стержень ММ дли-
длины /, конец которого М скользит вдоль
горизонтальной прямой АВ. Ширина баш-
ни а<^1 (рис. 27).
А В м 378. На координатной плоскости дана
рис 27. точка М0(х0, у0), лежащая в первой чет-
четверти. Провести через эту точку прямую
так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными полу-
полуосями координат, имел наименьшую площадь.
879. В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади
со сторонами, параллельными осям эллипса.
880. В сегмент параболы у2 = 2рх, отсекаемый прямой х = 2а,
вписать прямоугольник наибольшей площади.
881. На кривой у =. , 2 найти точку, в которой касатель-
1 I л/
ная составляет с осью ОХ наибольший по абсолютной величине угол.
882. Гонцу нужно добраться из пункта Л, находящегося на одном
берегу реки, в пункт #, находящийся на другом. Зная, что скорость
движения на берегу в к раз больше скорости движения по воде, опре-
определить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы

86 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки — /г, расстояние
между пунктами А и В (вдоль берега) — й.
883. На прямолинейном отрезке АВ= ау соединяющем два источ-
источника света А (силы р) и В (силы д)у найти точку М, освещаемую
слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату рас-
расстояния от источника света).
884. Лампа висит над центром круглого стола радиуса г. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на
краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квад-
квадрату расстояния от источника света.)
885. Из круглого бревна диаметра й требуется вырезать балку
прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина х и высота у
этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:
а) на сжатие, б) на изгиб?
Примечание. Сопротивление балки на сжатие пропорционально пло-
площади ее поперечного сечения, а на изгиб — произведению ширины этого се-
сечения на квадрат его высоты.
886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около
точки А (рис. 28), несет груз С} кг на расстоянии а см от точки Л
и удерживается в равновесии вертикальной
^ силой Р, приложенной к свободнбму кон-
^ цу # стержня. Погонный сантиметр стержня
^ _ весит # кг. Определить длину стержня х
1
так, чтобы сила Р была наименьшей,
и найти Р
ПИП*
0 887*. Центры трех вполне упругих ша-
шаров Л, 5, С расположены на одной пря-
прямой. Шар А массы М со скоростью V
ударяет в шар В, который, получая извест-
Рис. 28. ную скорость, ударяет в шар С массы т.
Какова должна быть масса шара В, чтобы
скорость шара С оказалась наибольшей?
888. Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем раз-
различными способами составить из них батарею, соединяя по п элементов
/ #\
яоследовательно, а затем полученные группы числом — ) — парал-
параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
где $ — электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее
сопротивление, /?—внешнее сопротивление.
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток.

§ 2]
НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
87
889. Определить, при каком диаметре у круглого отверстия
в плотине секундный расход воды B будет иметь наибольшее значе-
значеглубина низшей точки отверстия
ние, если С1=су^к — у, где к
(к и эмпирический коэффициент с — постоянны).
890. Если х1У х2,...,хп— результаты равноточных измерений
величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при
котором сумма квадратов погрешностей \
п
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов).
Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть сред-
среднее арифметическое результатов измерений.
§ 2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график диффе-
дифференцируемой функции */ = /(*) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут
вверх на интервале (аг, Ь^), если при а < х < Ь дуга кривой расположена
ниже (или соответственно при аг < х < Ьх выше) касательной, проведенной в
любой точке интервала (а, Ь) (или интервала (а1э Ь^)) (рис. 29). Достаточ-
Достаточным условием вогнутости вниз (вверх)
графика у = [(х) является выполне-
выполнение на соответствующем интервале
неравенства
/" (х) < 0 (/" (х) > 0).
Вместо того чтобы сказать, что гра-
график вогнут вниз, говорят также, что
он направлен выпуклостью вверх.
Аналогично график, вогнутый вверх,
называют также направленным выпук-
выпуклостью вниз.
2°. Точки перегиба. Точка
(#0»/(*о))»вкотоР°й изменяется направ-
направление вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 29).
Для абсциссы точки перегиба х0 графика функции у = [(х) вторая произ-
производная ["(хо) = О или Г (хо) не существует. Точки, в которых р"(х)=6 или
I" (х) не существует, называются критическими точками 2-го рода. Крити-
Критическая точка 2-го рода х0 является абсциссой точки перегиба, если I" (х) со-
сохраняет постоянные знаки в интервалах х0 — 6 < а: < х0 и х0 < х < х0 + б,
где б — некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны,
и не является точкой перегиба, если знаки /" (х) в указанных выше интервалах
одинаковы.
Пример. 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также
точки перегиба кривой Гаусса
У = е х.
Решение. Имеем:
и
—D** — 2)е
~х\

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
Приравняв
2-го рода
вторую производную */" нулю, находим критические точки
1
т^г; И Ха
/2
/2
Эти точки разбивают числовую ось — оо < х < -[- °° на три интервала: I (—
II (*1» х2) и П1 (х2> -\- оо). Знаки у" соответственно будут -\-, —, -(- (в этом
можйо убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом из указан-
указанных интервалов и подставив соот-
соответствующие значения х в у").
Поэтому: 1) кривая вогнута
вверх при — оо < х < ^= и
V *•
—^ < х < -[- оо; 2) вогнута вниз
при ^— —==. < х < -т= . Точки
X /2 /2
Рис. 30. (у=> уА -точки перегиба
(рис. 30).
Заметим, что ввиду симметрии относительно оси ОУ кривой Гаусса иссле-
исследование знака вогнутости этой кривой достаточно было производить лишь на
полуоси 0 < х < -|- оо. у
Пример 2. Найти точки перегиба гра-
графика функции
Решение. Имеем:
2
5
3
— 2
• 0)
Очевидно, у" в нуль нигде не обращается.
Приравнивая нулю знаменатель дро- Рис. 31.
би в правой части равенства A), получаем,
что у" не существует при х = — 2. Так как у" > 0 при х < — 2 и у" < 0 при
#> — 2, то (—2, 0) есть точка перегиба (рис. 31). Касательная в этой точке
параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х = —2 бес-
бесконечна.
Найти интервалы вогнутости и точки перегиба графиков функций:
ОУ &. у ' X ™~~"~ \)Х I 1 &Х I *. ОУО. У ■■ С>\_)о •С» а
892. з; = (л;+ М*. 897« у = х — 8'и
893. ^ = -4-*. 898. у =
894. у = 2 , 1О.
899. з; —агс^л; —
895. у=^/4л;8— 12*.
900. ^ =

§ 3] асимптоты 89
§ 3. Асимптоты
1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по
кривой у = }(х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бес-
бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится
к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.
2е. Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое,
что
л;-» а
то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
Ьт -^-1 = кх
и
Пт [/ (*) — кхх\ = Ь19
то прямая у^=к1х-\-Ъ1 будет асимптотой (правая наклонная или, в случае
&! = (), правая горизонтальная асимптота).
Если существуют пределы
\\т ±-±-+ = к2
х-* -оо ^
и
Нт [/ (х) — кгх\ == Ьг,
х-* ~сю
то прямая у = к2х-^ Ь2 — асимптота ^левая наклонная или, в случае к2 = 0}
левая горизонтальная асимптота). График функции у=.((х) (функция
предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной
или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной)
асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты кривой
__ х2
Решение. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикальные
асимптоты:
х = — 1 и я= 1.
Ищем наклонные асимптоты. При х—^-["О0 получаем:
кх= Пт ^= 11т —/2 :=1Г
{х X у X2 — 1
у у|/у
Ъх = Ьт (у — х) = Ьт - — = О,
4 оо ух2 — 1
следовательно, правой асимптотой является прямая у = х. Аналогично при
х —>-— оо имеем:
к2= Пт ^- = —1,
2
X -*- —00
= Нт
ЛГ-> —00

90
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
Таким образом, левая асимптота есть г/ =— х (рис. 32). Исследование на
асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
Пример 2. Найти асимптоты кривой
у = х -\- 1п х.
Решение. Так как
\\т у = — оо,
то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кри-
кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0).
Имеем:
Ит
= Ит 1пл:—ос.
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = (р((); у = у
сперва исследуют, нет ли таких значений параметра I, при которых одна из
функций ф (г) или я|) (?) обращается
в бесконечность, а другая остается
конечной. При ф (/0) = оо, а г|э (*0) =
=с кривая имеет горизонтальную
о
N1
N
А
м
N
асимптоту у = с. При
а ф (/0) = с кривая имеет вертикаль-
вертикальную асимптоту х — с.
Если ф (/0) = г|) (^0) = оо и при
том
Рис. 32.
/ ^ то кривая имеет наклонную асимп-
асимптоту у = кх-\- Ь.
Если кривая задана полярным
уравнением г = / (ф), то можно най-
найти ее асимптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к
параметрическому виду по формулам: х = г соз ф = / (ф) соз ф; у = г з!п Ф =
= / (ф) зш ф.
Найти асимптоты кривых:
901.
902.
903.
904.
У
«1 —
У
У =
У =
(X
X2
~х2
X
1
—
1
X2
—
хъ
2 1
2)"
X
4х + г
4'
905. у =
906. у =
907. у =
908. у =
909. у =
910. у =
1 1/\г _

§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ 91
1
911. у = ех.
912. Д> =
913. у =
914. х = {; у =
915. Найти асимптоту гиперболической спирали г = —-.
§ 4. Построение графиков функций
по характерным точкам
При построении графика функции следует, прежде всего, найти область
определения этой функции и выяснить поведение функции на границе ее об-
области определения, Полезно также предварительно отметить некоторые осо-
особенности функции (если они имеются), как-то; симметрия, периодичность, по-
постоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции,
точки перегиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить
общий характер графика функции и получить математически правильный
эскиз его.
Пример 1. Построить график функции
х
У —
Решение, а) Функция существует всюду, кроме точек *= ± 1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно
точки О @; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика.
б) Точками разрыва являются точки х = — 1 и * = 1, причем Нпт_ у = Т оо
Х~>1 +0
и 1\т у—^оо, следовательно, прямые х=±\ являются вертикальными
асимптотами графика.
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем:
Ъ1-= Нт у =оо,
следовательно, правой наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика сле-
следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т. е. точки, в которых
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции.

92
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
Имеем:
V
V
1х (9 — хг)
9 6/(х* - 1)'
B)
Производные у' и у" не существуют только при #=±1, т. е. только в тех
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у' или у" обращаются в нуль.
Из A) и B) следует:
у'=0 при х—±У§,
у" —0 при х — 0кх=±3.
Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
(-оо, - УЗ), (- УЗ, - 1), (— 1, 1), A, УЗ) и (УЗ, + оо), а */" - в каждом
из интервалов (—оо, —3), (—3,-1), (—1, 0), @, 1), A, 3) и C, + оо).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно у")
в каждом из указанных интервалов, достагочно определить знак у' (или у )
в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (таблица I),
вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при
х^Ь\ левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной сим-
симметрии.
Таблица I
X
У
У'
У"
Выво-
Выводы
0
0
—
0
Точка
пере-
перегиба
@, 1)
Функция
убывает;
график
вогнут
вниз
1
±оо
не
сущ.
не
сущ.
Точка
раз-
разрыва
A. /3)
+
+
Функция
убывает;
график
вогнут
вверх
/3=^1,73
У% -1 37
V 1
0
+
Точка
минимума
(/3, 3)
+
4-
+
Функция
возра-
возрастает;
график
вогнут
вверх
3
1,5
+
0
Точка
пере-
перегиба
C, + оо)
+
Функция
возра-
возрастает;
график
вогнут
вниз
Т '

§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
93
д) Пользуясь
(рис. 33).
результатами исследования, строим график функции
у
-/ о
Рис. 33.
Пример 2. Построить график функции
1п х
—
Решение, а) Область существования функции: 0<*<-|-оо.
б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении
к граничной точке (# = 0) области существования имеем:
,. ,. \г\х
\\т у = 1ип =
00,
Х
Следовательно, прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асим-
асимптотой.
в) Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая на-
наклонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х—+— оо):
Ь=
— = 0,
00*
Ь— Ит у = 0.
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс: # = 0.

94
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[гл. ш
со
а
03
?
«к
>^
О*
й
1—1
«—1
A'0)
о
со
СО
о
1{п
со
+
о
1!
+
О
8
1
1
1
1
о
. +
+
а
0)
К
о
1
1
1
1
1
не сущ.
Функция
убывает; гра-
график вогнут
вверх
ю
н §*
с
нкция
зет; гра-
вогнут
низ
^> П к> •*•
0 3 я
чка макси-
га функции
н ^
1 1
со я
О о. Н
м и >»
а н § а
Я" <1> Д} Я
йс м м
пере-
гра-
осью
о? о ^
2 я я °
О л>
Н о "в*
Функция воз-
возрастает; гра-
график вогнут
вниз
Граничная точ-
точка области оп-
определения
функции. Вер-
Вертикальная
асимптота
2
о
3
СО

4] ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ
95
г) Находим критические точки. Имеем:
, 1 — 1п х
У =-
л
21плг — 3
х8
у' и \Г существуют во всех точках области существования данной функции и
у'= О при 1п дг = 1, т. е. при х = е\
я Л , 3 а/
/ = 0 при 1п дг==— , т. е. при * = е/а.
Составляем таблицу, включая характерные точки (таблица II). При этом,
кроме найденных характерных точек, полезно найти также точки пересечения
графика с осями координат. Положив у = 0г находим х = 1 (точка пересече-
пересечения кривой с осью абсцисс); с у
осью ординат график не пересе-
пересекается.
д) Пользуясь результатами ис-
исследования, строим график функции
(рис. 34). О
Построить графики указан-
указанных ниже функций, определив
для каждой функции область ее
существования, точки разрыва, рис 34.
точки экстремума, интервалы
возрастания и убывания, точки Перегиба ее графика, направление
вогнутости, а также асимптоты графика.
4х
916. у = х* — Зх\
917. у =
918. у = (х —
919. у =
927, у= . . ..
* 4-\- х2
4^
928' У =
929. у =
у
921. у=
922.
—(*2 — 5K
16
X
923. ^ =
931. у==
932. у =
933. у =
934. у =
— /8 — х.
924. у = хг-\-±.
. X
925. у =
926. у =
935. у = Ух9 — Зх.
936. у=У\— х\
8
4 "
937. у=ъ/\—х\
938. ^==2^ + 2 —

96
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
939. у
940. у
941. у
942. у
943. у
944.
= У{х—2)* -\- У(х—4)\
946.
947.
948.
949.
950.
951.
953.
954.
956.
957.
958.
959.
960.
961.
962.
963.
/4 - х2 '
8
=(а+ —) е*
ух
х2 . л;
—1п —.
2 а
г.
1 / 2 1Ч ,
= 1п(д;2— 1)+
У 1
964. у =
965. у
966. у
967"
5[пх
51*11 Х'ВШ 2Х.
сов д: • соз 2х.
968. х = агсзшA —
969.
970. у =
971. дг =
972.
и
агсзт х
а;
*
при
при
974.
975.
976.
977
979.
980.
981.
982#
983.
985.
986.
987.
агсзт
1п соз х.
1)

§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА 97
Рекомендуется также построить графики функций, указанных в
№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988. х = ^ 2
989. л; = а
990. х =
991. * =
992. х =
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
1°. Дифференциал дуги. Дифференциал дуги 5 плоской кривой,
заданной уравнением в декартовых координатах х и */, выражается формулой
= У(йхJ + @у)*;
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
" а) у = [(х), то 0з = 1/ 1+ (-^) их при их > 0;
( д,х\
1+ \йи) йу ПрИ
в) х = ф(/), у = *@. то <Ь=^^у + ^у01 при Л>0;
= 0, то
У\
Обозначая через а угол, образованный положительным направлением
касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой 5) с
положительным направлением оси ОХ, получим:
их
соза
0$
В полярных координатах
Ар)» =
Обозначая через р угол между полярным радиусом точки кривой и ка-
касательной к кривой в этой точке, имеем:
2°. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М назы-
называется предел отношения угла между положительными направлениями
^ Г. С. Бараненков и др.

98
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
[ГЛ. III
касательных в точках М и N кривой (угол смежности) к длине дуги МЫ = Д$,
когда N—>М (рис. 35), т. е.
.. Ла йа
== ПШ — = -г-,
о Д5 аз
где а — угол между положительными направлениями касательной в точке М
и оси ОХ.
Радиусом кривизны Я называется величина, обратная абсолютной величи-
величине кривизны, т. е.
Линиями постоянной кривизны являются окружность [/С==—, где а —- ра-
радиус окружности) и прямая (/С = 0).
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах сле-
следующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме */ = /(*), то
К
\Г
з/„ '
A + У'*L*
2) если кривая задана урав-
уравнением в неявной форме
Р( ) = 0, то
Р" Р" Р'
Р" Р" Р'
гух Гуу гу
Рх Ру 0
/2\3/2
Рис. 35.
3) если кривая задана уравнениями в параметрической форме х =
, то
х' у'
где
ТГ
, их , Aу
' —377» У — Л»
х" у"
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением г = /(ф), имеем:
г»-{-2]г'ж — /-/-^
(ф
где
3°. Окружность кривизны. Окружностью кривизны (соприкасаю-
(соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение
окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и ф
когда Р—>М и М

§ 5]
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА
99
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окруж-
окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведен-
проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и У центра кривизны кривой вычисляются по формулам
- у-
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассмат-
рассматривать X и У как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают
параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же /, если
сама кривая задана уравнениями в параметрической
форме). д.
Пример 1. Найти уравнение эволюты пара-
параболы у — х2.
\ _|_ 6#2
Решение. X = —- 4х8, У = —^—. Исклю-
Исключив параметр я, найдем уравнение эволюты в явном у
виде К= —
Рис. 36.
Эвольвентой (инволютой) кривой называется
такая кривая, для которой данная кривая является
эволютой.
Нормаль МС эвольвенты Г2 является касатель-
касательной к эволюте 1\; длина дуги ССХ эволюты равна
соответствующему приращению радиуса кривизны ССг =\М1С1 — МС\, поэтому
эвольвенту Г2 называют также разверткой кривой Г\, получающейся разма-
разматыванием натянутой нити, намотанной на 1\ (рис. 36). Каждой эволюте соот-
соответствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным перво-
первоначальным длинам нити.
4°. Вершины к р"и в о й. Вершиной кривой называется точка кривой,
в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин
кривой составляется выражение кривизны К и находятся ее точки экстремума.
Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны К. = —— и искать его точ-
I К I
ки экстремума, если в этом случае вычисления проще.
х
Пример 2. Найти вершину цепной линии у = асЬ— (а > 0).
х 1 х
Решение. Так как у' = зЬ — , а у" = — сп — , то К
с* а о,
1
и, еле-
довательно, /? =
а сп2 —
а
х а к 2х м-*
— . Имеем -т- = 5п — . Приравнивая производную—-^
С1 {XX/ С1 С1Х
нулю, получим зп — = 0, откуда находим единственную критическую точку
I. Вычисляя вторую производную
2
= 0, получим 1-2*
и подставляя в нее значение
— > 0. Следовательно,
: = 0 а а
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной линии.
X
Вершиной цепной линии # = асп — , таким образом, является тачка А @, а).

100 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ш
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, обра-
образованного с положительным направлением оси ОХ касательной к каж-
каждой из следующих кривых:
993. х2-\-у2 = а2 (окружность).
994. ~-|-|2=1 (эллипс).
995. у2 = 2рх (парабола).
996. х2/з -\-у2!* = а21* (астроида).
997. у = асЪ— (цепная линия).
998. х = а(г— зш^); у = а(\ — сов/) (циклоида).
999. д;==асо532, у = а$т*г (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус или синус угла,
образованного полярным радиусом и касательной к каждой из сле-
следующих кривых:
1000. г = аф (архимедова спираль).
1001. г==— (гиперболическая спираль).
1002. г = а5ес2-у (парабола).
1003. г=асо52-у (кардиоида).
1004. г=аУ (логарифмическая спираль).
1005. г2 = а2соз2ф (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006* у = х*—4л:8—18л;2 в начале координат.
1007. хг-\-ху-\-у2 = Ъ в точке A; 1).
1908. ~ + С=1 в вершинах А (а, 0) и Я@, Ь).
1009. л? = /2, у = 1ъ в точке A; 1).
1010. г2=2а2соз2ф в вершинах с полярными углами ф = 0 и
1011. В какой точке параболы у2 = 8х кривизна равна 0,128?
1012. Найти вершину кривой у = ех.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий:
1013. у — х3 (кубическая парабола).
1014. —г -{- ^2-= * (эллипс).
х—у2 1пу

§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ. КРИВИЗНА 101
1016. х = асоз8/; у = а$\п91 (астроида).
1017. х = а (соз 1-\-1§т1); у = а (зш / — / соз /) (эвольвента круга).
1018. г = аек^ (логарифмическая спираль).
1019. г = аA-[-со5ф) (кардиоида).
1020. Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы
1021. Доказать, что радиус кривизны цепной линии у = асЪ.—
и
равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в ука-
указанных точках:
1022. ху=1 в точке A; 1).
1023. ау2 = х* в точке (а, а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в ука-
указанных точках:
1024. у = х2 — бх+Ю в точке C; 1).
1025. у=ех в точке @; 1).
Найти эволюты кривых:
1026. у2 = 2рх (парабола).
1027. ^ + |-2=1 (эллипс).
1028. Доказать, что эволютой циклоиды
= аA — соз/)
является смещенная циклоида.
1029. Доказать, что эволютой логарифмической спирали
является также логарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030. Показать, что кривая (развертка окружности)
х = а (соз г -\- г 51п ^); у = а (зш г — /соз
является эвольвентой окружности х = а соз/; д> = аз

ГЛАВА IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Непосредственное интегрирование
1°. Основные правила интегрирования.
1) Если Р' (х) = / (х), то
где С—произвольная постоянная.
Л/ (х) их = А \ / (х) йху где А — постоянная величина.
= \ А (х)
2)
3)
4) Если \ / (х) их = Р (х) -\- С и и = <р (х), то
\ / (и) аи = р («) -}- С.
их.
-те
В частности,
Г *
О а
2°. Таблица простейших интегралов.
С хп + 1
Т V гпг1у -_ Л- С г) з^: 1
II. Г^=1г
III.
IV
1
12=о
а2 — а:2 2а
С (а
V.
VI.
VII. \ ажй^ =
1п
(а Ф 0).
агссоз \-Сг (а > 0).

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
103
VIII. \ зш х их = — соз х + С.
IX. \ соз х их = 51п а: -(- С.
X.
XI.
XII
XIII.
их
81 и2 а:
Г» Л*
' 3 81П а:
= — с1§ дс
х
X
т
= 1п
= 1п
^ соз х
XIV. \ зЬ хAх =
XV. \ сЬ х их = зЬ а: + С.
-}- С = 1п | созес дс — с1е[ л:
Т
= 1п 11§ х -|- ьес дс! + С.
XVII.
Пример 1. V (аде2 -\-Ъх-\-с)их = [ ахЧх-\- [
Г
л:
Применяя основные правила 1), 2), 3) и формулы интегрирования,
найти следующие интегралы:
1031.
1032.
1033.
1034.
1035.
,036.
Г
1037. ] (пх)~ах.
С 2 ~
. ] (а»" — д;3)' их.
1039.
1040.
1041.
1042.
1043.
1044.
1045.
— У~х+\)ах.
а
ах.
йх
1038

104 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Ю47. [У^-Уъ^л*. Ю49. а)
) /4 - х*
1048*. а) ^1%2хйх\ б)
б) ^ № хйх. 1050. \
3°. Интегрирование путем подведения под знак диф-
дифференциала. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших ин-
интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается
справедливой независимо от того, является переменная интегрирования
независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 2. Г /._^_ = 4- Г Eл:-2)
^ УЪх - 2 5 3
1 1
2J , ^ 2
2 2
где было положено и = 5д: — 2. Использовалось правило 4) и табличный
интеграл I.
Пример 3. Г-7^==1Г /(*2) =4-1п(х» + /Г+?)+С.
Неявно подразумевалось а = л;2, причем применялось правило 4) и таб-
табличный интеграл V.
Пример 4.
в силу правила 4) и табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный
интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
^ / (ф (х)) <р' (х) йх=\т (и) 4и> где и = <р (*).
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифферен-
дифференциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов,
которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
а) Aх=: — A(ах+Ь) (а Ф 0); б) хйх~-7гд,{х*) и т. п.
и ^
Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти
следующие интегралы:

§ 1] НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 105
1063*. Г .. х ах.
Г
^
1055. Г^±|йд:. 1076.
Ю56. Г1-±1йа:. Ю77. [^-=.
*) х — 1 о х1 — 5
1ГК7 I х~~г ох~г I л„ .л_о р хйх
шо/. \ г-^— ах. 1078. \
2а:2 + 3 *
1058. \ "*"* 7" их. Ю79 Г а*~^& их
^ и л -\-и
1059. Ма-\-г+-Уах. 1П8П Г х^
а* — х*
1060*- .\ оГГТР ^^ 1081.
106Ь УТ=^' Ю82. Г-^=.
*) У 1 У ] 1/ ув 1
г г ^ к * — 1
1062. \ у а— Ьхйх.
1083. \ 1/ -1 ^-^л;.
I агс!§ —
Ю64. \ * х~гтхдх 1084. \ -гт-4
Ю65. \я^. Ю85. \х-^Гхах.
1066. 4^5 ?. 108б>
1иО/. \ 1—\ Г^ ; ГТ~о л С тV
2 1087. \ ае-тхах.
1068. • х' ■' 1088. \4-«^.
1089. \ (*' —в-
1069.
^-бИ-б,^ 1090. \(вл4-в аJ^л:.
ЮЙ1 Г (аХ ~ ЬХУ
1071 1 """ ш«11« \ —..*•! V—
1092.
1072.
1073. л^|1. 1093-
1074. ^3"-2-' 1094'
1075. 1.Г7Г ;.</<. Ю95.

106
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
1096. 1 5
1097.
УН йх
1098. $ е* Уа — Ьех
г» х
1099. )(еа
Г аЧх
3 1+а**'
1102.
1103.
1104. V зт (а -]- Ьх) их.
1105. соз
х
йх.
1106. \ (соз ах -|- здп ах)
1107.
1108.
1109*.
1110*.
1111. \ зес2 (ах + Ь) йх.
1112.
1113.
йх
. х
51П —
а
1114.
1115. Г — . м.
^ зш (ах -\- Ь)
1116. Г-^а.
^ соз2х2
1117.
1118.
1119.
1120.
к—
I \ сщ у
1—,
У 2
1 ) йх.
1122.
1123.
1124.
йх
х
5"
у ^
И25. С-^—.
^ 8Ша:со5а:
1126. \ соз — зт — йх.
О а а
1127. V 31П8 6х соз 6л: йх.
соз ах
1129
•I
ал:
51п За:
й?Х.
йх.
3 -|- соз За:
ПГ)Л С §тх соз а: ,
1130. \ , =йх.
^ у соз2 а: — з1п2а:
1131. ^ У\-\-Зсо8гх.$т2хах.
1132.
ПЗЗ.
^
1134.
зт2 л;
1135'
соз2 Ъх
С (соз а^ + 31П ахJ
- 3
1137.
йх.
1138, ^ B зЬ 5х — 3 сЬ 5л)
1139.

§ 11 НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 107
1140. Г^. 1143. 5
1141. Г-^-. 1144« $
1142.
^ зЬ х сЬ а: *
Найти неопределенные интегралы:
1145. \ хУ5 — к2йх. 1162.
1163
1147. Л
1154.
1155.
1 СО8—
О а
1148. 5 хе~*г их. П64- ] —~х ах
^2 <1х% 1165. I
За:2 ^
1166.
11.1 Г Л 1167
1151. I -7==. 110/#
1 т/1* ^
^1 11ЯЯ С81ПА:
Г 1 — 81П X , * 10О. 1 —
. \ —т-г— йх. Ъ 8Ш ^
,) X —г- СО8 ^ /
— СО8 X -
1152,
1Ш- I 81пЗх" "*' Н69.
11 &7
0 " П73.
1158. [ о/ их.
^ /*3+1 1174.
1159. Г -х^ .
^ /1 -л:4
1160. ^\%гахйх.
1161. (*в!п* —//V 1176.

108 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
агс51пх4- х
1177. \ -—— . 1184. . ,.
1178. 81П [-^Г+Цо)а1. П85.
„ "^зес2 х + 1
пп'\^Ш1у — Г С05
4-)- СО5
X
агссоз -»- Г* с?х
1180' \ут=фах- Ш7')г+^-х
1181 С е- *е*«:ес2 х г1х 1188
1182. I ^^11 «/*. 1189. 5 ;с2 сЬ {х> + 3) </х.
П83. \ . 2 2 . 1190. 14Т-ЙАГ.
^ 5НГ X СО52 X Л СП X
§ 2. Метод подстановки
1°. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая
где / — новая переменная и ф — непрерывно дифференцируемая функция, бу-
будем иметь:
Функцию ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы
A) приобрела более удобный для интегрирования вид.
Пример 1. Найти
1 их.
Решение. Естественно положить г=Ух— 1, отсюда х = /2-{-1, и
их = 21 сН. Следовательно,
Иногда применяются подстановки вида
и = ф (х).
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение [(х)йх преобра-
преобразовать к такому виду:
$(I (I, где

§ 2] МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 109
Если \ц(и)Aп известен, т. е.
то
$ / (х) Же = I7 [ф
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3°.
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
Пример 2. и = 5* — 2; йа = 5^ ^
1
- 2
Пример 3. и = х2\ Ли = 2х йх\ х их = -= .
хйх 1
~~ 2
= 11п (х* + УТТ?) + С.
Пример 4. и = х9; йи = Зх2йх\ х2 их = -=-.
о
Г
2°. Тригонометрические подстановки.
1) Если интеграл содержит радикал ]Лх2 — х2, то обычно полагают ^ =
а 51П /; отсюда
2 — я2 = а соз г.
2) Если интеграл содержит радикал Ух2 — а2, то полагают х = а
отсюда
]Лс2 — а2 = а 12 *.
* 3) Если интеграл содержит радикал У~х2-\-а2, то полагают х = а
отсюда
У*2-}-а2 = а зес *.
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными. г
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться
гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер
(см. пример 1209).
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно
см. в § 9.
# Пример 5. Найти

ПО НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Решение. Полагаем х = 1д /. Следовательно, их = ■
СО52 *
соз2/ ^/
Г^*>+1&с=Гт/'*8"+1 аг = Г8ес/
^ X2 ^ 1§2 / СО52 / ^ 311
31П2 г СОЗ2
3 зш2/-со$/ Зсоз/'
зт2/
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
их 1
в) ^ х Eхг — ЗO их, 5хг — 3==^;
г)
Д
> 2
31П2
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192. [хBх-\-5I0Aх. 1197.
1193.
1198. I—1—<**.
1194.
Г '
3 /е* + 1
,,„ г их 1199.
И95 )
119в. Г[п|Е^. 1200*.
^ 1п 4л: дс
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1202.
1203.
С хгйх с
. 1206*.
^ У2~х ^
«*
[ 1207. $П=
1204*. Г ЙЛ
I
- 1

§ 3] , ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 111
1208. Вычислить интеграл
их
с помощью подстановки л: =
1209. Найти
$ У а
применяя гиперболическую подстановку х = а
С
Решение. Имеем: У а2 + х2 = Уа2 + а2 зЬ81 = а сЬ ^ и
Отсюда
= С асЬ
Так как
$Ь I = — , сп
а а
и
а
то окончательно получаем:
а2
где СХ^=С—~ 1па — новая произвольная постоянная.
1210. Найти
полагая
Г х2<*х
§ 3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям. Если и = ф(л:) и V
= г|)(д;) — дифференцируемые функции, то
\ и ди = им — \ V йи.
Пример 1. Найти
\ х\пхйх.
с1х х2
Полагая и = 1п х; дю=.х их, имеем йи = — ; V = — . Отсюда
Л 4*

112 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять
формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с
помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого опре-
определяется искомый интеграл.
Пример 2. Найти
\ ех соз х их.
Имеем \ ех соз х их = \ еРй (зШ х) = ех зШ х — \ ех вт хйх^е* зШ х +
-)- \ ё*& (соз а:) = ех зт х -}- ех соз х — \ ех соз х их.
Следовательно,
\ ех соз х их = ё* зш х -[- ех соз х — \ ех соз х их,
откуда
С ех
\ ех соз х их = -^- C1П д; -)- соз а:) -}- С.
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
1211. ^ \пхах. 1224.
1212. С агс!^ х ах. * 1225.
1213. С агсзт х ах. 1226. Г {п^_ах
с # 3 У~*~
1214. ххзтхах. .лехтт с
•) «1227. \ д; агс!& д; б?д;.
1215. ^ хсоьЗхах.
I 1228. V л: агсз1п х
1216. \ рйд:.
1^1/. \ л • ^ ил,
^* ^ ^* ^
•1218**. ^хгеъх ах. 1230# ] Й5?1с
1219*. ^ (х2— 2х-\-5)е-*ах. 1231.
1220*. I х8^ Мх. % 1232г
• 1221. \ х 31П д: соз л: ах. 1233.
1222*. \ (д:2 + 5д;+6)соз2л:^лг. 1234. \еа**тЬхах.
♦ 1223. [х2\пх ахщ 1235. ^ з1п Aп х)

§ 4] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 113
Применяя различные методы, найти интегралы:
1236. $*•*-*■<**. 1246. Г агсзшТЛ!
1237. \ еУхйх. - .
*[ 1247. V х1§22х<1х:.
1238. V (хг 2х + 3)\пх<1х ^
Г 1-х 1248*
1239. \ х 1п \г~- их.
>,_._ +Х 1249. С соз2 Aп х) ах.
1240. \ ^ их. ■>
ПпМпг1» 1250**. \ , , , ,.- их
1241. \™Ш ЗР+1Г
х
Г
' 3
19
1242. ^ х* агс18 Зх ах. ' 3 (*г + «2)г'
1243. 5 х (агс18 х)! их. 1252*«
5
1244. 5 (агс51П х)г </х. 1253*. ^ УА-\-хг ах.
1245. ^ ^^ Ас. 1254*.
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1°. Интегралы вида \ —» . '—;—ах. Основной прием вычисле-
г ^ ах2 -\-Ъх-\-с г
ния — приведение квадратного трехчлена к виду:
ах2 + Ьх + с = а(х + кJ + /, A)
где к и / — постоянные. Для выполнения преобразования A) удобнее всего
из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользо-
пользоваться подстановкой
2ах -4- Ь = Л
Если т = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду A), получаем таб-
табличные интегралы III или IV (см. § 1, 2°, таблицу простейших интегралов).
Пример 1.
л их 1 р их
и**-5* + 7- \ / 5 2
=т Ртагс1§

Н4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Если т ф 0, то из числителя выделяется производная 2ах-\-Ь квадрат-
квадратного трехчлена
Ьх + с Л ах2
т . 2 | 1_ ^ тЬ \ Г
2а "*" ~*~ ' \ 2а УЗ ад:2 + 6л; + с'
и таким образом, мы приходим к интегралу, разобранному выше.
Пример 2.
*-1 . \ 2
1
2/5
= 1п
2л: — 1 —
2х - 1 + /5
2°. Интегралы вида I ' их.
) Уах2 + Ьх + с
Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интег-
интеграл приводится к табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < 0.
Пример 3.
их 1 г их 1 . 4# — 3 . _
= —т= агсзш —= \- С.
-./25 /
К 7б~Д
Пример 4.
1
= Ух2 + 2х + 2 + 21п(л; + 1+ Ух2 + 2х + 2) + С.
3°. Интегралы вида I :— ^Г . С помощью обрат-
(тд: + /г) У ад:2 4- ^л: + с
ной подстановки
1
эти интегралы приводятся к интегралам вида 2°.
Пример 5. Найти
их
1
Решение. Полагаем
1
х+\ =
отсюда
(И

§ 4]
ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
115
Имеем:
й1
г2
61
У\
21*
/2
1п
4°. Интегралы вида \ "^а*2 -(- ## -{- с их. Путем выделения из квад-
квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из
следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
Г
Ах =
у
(а > 0);
2)
Пример 6.
У\ - 2х - х2 их = ^ У2 - A + хJ й A +х) =
Найти интегралы:
1255* \ -о—гт5—г~е •
3 х2 + 2х + 5
1256. Г
1257.
х2 4- 2х '
1259
1260
1261.
1262.
1263.
Зх-2
х2 — \х + 5
- IJ
йх.
их.
х2 бх
Зд: —
С их
) ут^
1264.
1265.
1266.
1267.
1268.
1269.
1270.
1271.
1272.
(
У1
х У
х\/
(х-
2 + рх +
О Л —^ V-!
X
^2 Оу 1
4-Х2
б(х
— 1) )Лс2
+-1)/^
— .
Я
их
г1Х-

116 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1273. \Ух — х2йх. 1277. Г
* ^
в1пхAх
1274. \У2 — х — х2йх. 1278. , г
У СО52 X -\- 4 С05 X
1275. Г 4__*/* , о* 1279.
1276. '
51Г12 Л: — 6 51ПХ+
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирова
ние рациональной функции после выделения целой части сводится к интегри
рованию правильной рациональной дроби
где Р (х) и (} (х) — целые многочлены, причем степень числителя Р (х) ниже
степени знаменателя B (х). Если
(Х) = (х - а)*. . . (х - 1)\
где а, . . . , / — различные действительные корни многочлена (}(х)иа, . . . , %—
натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби A)
на простейшие' дроби:
(а:) х — а "" (х — аJ~*~ ' ' ' (х — а)а ■"' '"
•••т"х-./-Г(х-/)«-г---г(х-/)х"
Для вычисления неопределенных коэффициентов Л1Э Л2, . . ., 1Х обе части тож-
тождества B) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при
одинаковых степенях переменной х (первый способ). Можно также
определять эти коэффициенты, полагая в равенстве B), или ему эквивалент-
эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 1. Найти
хйх
Решение. Имеем:
х А , Вх . В2
(х - 1) (х + IJ ~~х - 1 ~т~х + 1 ^ (х + IJ '
Отсюда
х^ А (х + IJ +Вг (х - 1) (х + 1) + Вж(х- 1). C)
а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество C)
& виде

§ 5]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
11/
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
Отсюда
-1- в - -Ь
— ^ > й\ — — , »
1
2'
б) Второй способ определения коэффициентов. Полагая х — 1 в тожде-
тождестве C), будем иметь:
1 = Л-4, т. е. Л=~-.
Полагая х — —1, получим:
— \= — В2>2, т. е. Я2 = тг«
Далее, полагая х = 0, будем иметь:
т. е. Вг — А — В2-
Следовательно,
их 1
г 1 Г
г* •
их
их
2(х+\) 1 4
а:-1
Пример 2. Найти
их
Решение. Имеем:
1
1
х(х—1)
_Л ,_В С
г — т "Т" т;^ т ~г
х
(х—\)
и
\)*-{-Вх(х—
D)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа
определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем х = 0 в тож-
тождестве D); получим 1 = А. Затем, полагая *=1, получим 1=С. Далее, при-
применяя первый способ, приравняем в тождестве D) коэффициенты при я2.
Будем иметь:
0 = А + В, т. е. В = — 1.
Таким образом,
Следовательно,
их Г* Ах
3
1, В = — 1 и С ^^ 1.
их

118
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Если многочлен ($ (х) имеет комплексные корни а±гЬ кратности к> то
в разложение B) дополнительно войдут простейшие дроби вида
х
+ рх
где
Я — [х —
[х —
и М19 Л^!, ... , Мк, ^^ — неопределенные коэффициенты, определяемые
способами, указанными выше. При к= 1 дробь E) интегрируется непо-
непосредственно; при к > 1 применяется метод понижения, причем предвари-
предварительно квадратный трехчлен х2-\-рх-\-я рекомендуется представить в виде
Я "~ т ) и сДелать подстановку х-\-~ = г.
(*~т"'тг)
Пример 3. Найти
[х2
+ 5)
Решение. Так как
то, полагая х-{-2 = г, получим:
- I агс18 г + С = -
2°. Метод Остроградского. Если
агс12 (х + 2) + С.
имеет кратные корни, то
где рх (х) — общий наибольший делитель многочлена (} (х) и его производной
(а:) = <2 (х): С, (х);
X (х) и У (х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени ко-
которых соответственно на единицу меньше степеней ($! (х) и ф2 (х).
Неопределенные коэффициенты многочленов X (х) и V (х) вычисляются
при помощи дифференцирования тождества F).
Пример 4. Найти
их
(х8-1J'
Решение.
с1х
х

§ 5] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 119
Дифференцируя это тождество, получим:
1 __BАх + В)(х*- 1) — Зх2 (Ах2 + Вх + С) рх2+Ех
или
1 = B Ах + В) (х3 - 1) — Зх2 (Ах2 + Вх + С) + (Ох2 + Ех + Р) (х* - 1).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях я, будем иметь:
отсюда
и, следовательно,
3 (х3- \J~"^~Зхт^Л~ ) хГ^Т'
Для вычисления интеграла в правой части равенства G) разлагаем дробь
—г на элементарные дроби:
1 Ь Мх
х3- I""*-
т. е.
Мх {х - \) + N (х - 1). (8)
Полагая *=1, получим ^=—.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и ле
вой частях равенства (8), находим:
т. е. ^
м !_и _ —
/и — з ' 3 '
Поэтому
Г» ^ __ 1 Р ^ 1 Р х + 2 __
О х3 — 1 — 3 «Ь-1 3 3^+^ + 1
II
Г» Ну у 1 у2 -4- у 4- 1 9
Найти интегралы:
12оО« \ ; ; г~т ;—Гч • 1283. \ ; ' < \ / Т о\ / 71
^ (д; + а) (х + Ь) 3 (х — 1) (х + 3) (х — 4)
1281. [х2~1Х~^1Aх. 1284. С , 5х,^*А ах.
^ х2 Ъх + 6 0 х3 5х2 4 4^
21^1Aх. 1284. С , ,^
х2 — Ъх + 6 0 х3 — 5х2 4-

120
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
С х9 — 1
1286. \ 4Хз _ х йх-
1ОО7 Гх4-6х34-12х24-6
1288. [^
х3 — 6х2 + 12х -8
5х2 4- 6х 4- 9
1290.
1291.
1292.
— Зх — 10)
^Х ~~~~ о
2р
1294.
1295.
1296. Г
1297.
1298.
1299. С
1300.
их
A+*2J*
Зх
2х + 2)
Г
3 (х
их.
Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы:
^ (Х-}-!,; (X -\-I) ^
1ои^« \ та г^5 . - ЮИчг. \ т-щ ?:—, „„мл,
IJ ^ (х2 — 2х4-2J
Применяя различные приемы, найти интегралы:
Ах
1305
•I
1310*
С—
1)'
1306.
1307.
1308.
1309. Г
Л/ I Л/
йх.
(х - 4K (х - 2)
1311.
1312. Г
с?х
1J'
1313
•I
(х- II0'
3 - 4х2 4- 5х - 2 '
1314.
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°. Интегралы вида
6?Х,
где # —рациональная функция и рг цх, р2» ^2» •.. — целые
числа.
Интегралы вида A) находятся с помощью подстановки
сх-\-а
где /г — общее наименьшее кратное чисел дх, д2, ...

§ 6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 121
Пример 1. Найти I г 4 .
^ У2х- 1 - /2л;-1
Решение. Подстановка 2х—1=24 приводит интеграл к виду
их Г2гЧг С г2йг
= 0 + У 4.x - О2 +4п ( Учх-\ - О2 + С.
Найти интегралы:
1315. Г гх1_йх.
1316. [.,*** . 1322.
1317.
1318-
Г
)
г/
•I
1320
2°. Интегралы вида
B)
где Р„(л:) — многочлен степени /г.
Полагают
, C)
где (?„_! (а:) — многочлен степени (п — 1) с неопределенными коэффициентами
и А, — число.
Коэффициенты многочлена Bп_г (х) и число А, находятся при помощи
дифференцирования тождества C).
Пример 2. Гх2 УхГ+А&х = Г^^Жтих
^

122 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Отсюда
Умножая на Ух2-\-4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х, получим:
_ 1 __ ___ 1 _
Л=т; Д = 0; С--; Я = 0; % = -2.
Следовательно,
х2 УхГ+Аих = Х ~^2хУх2~+4-2\п (х + Ух*^) + С.
3°. Интегралы вида
Ну
D)
-а)"
Приводятся к интегралам вида B) с помощью подстановки
1 и
х — а
Найти интегралы:
1326. Г . хЧк , , 1329.
1327. ■г йх- 133°-
я) V * Л
1328. Г - *' ^лг. 1331.
] а:/х2-а:+
4°. Интегралы от дифференциальных биномов
Г хт (а + Ъхп)Р Ах, E)
где т, пи р — рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл E) выражается через конечную
комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если р — целое число;
2) если —~ целое число. Здесь применяется подстановка а 4- Ьхп =25,
I V
где 5 — знаменатель дроби р;
3) если ———(-р —целое число. В этом случае используется подста-
новка ах"п + Ь = г6.
Пример 3. Найти
I
/5Г
1 1 1 т + 1 " о
Решени е. Здесь т = ^; /г = ---; р=г—; —-— = ^ = _.
Т
Следовательно, имее! место случай 2) интегрируемости»

§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 123
Подстановка
= г»
дает: д: = B8— IL; йх = 1222B8 — \у йг. Поэтому
41
= т/
где
Найти интегралы:
1332. ] х*A-\-2х*)~ тах. *335>
1333. Г . /* . 1336
1334.
• Г-—^х-
Г—йх - 1337. {-]=—==
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы вида
С 81пт х соз" д; их = /т>„, A)
где тип—целые числа.
1) Если т = 2к -{-1 — нечетное положительное число, то полагают
1тп = — Г 81П2* а: соз" а: ^ (соз х) = — \ (I — соз2 х)к соз" х 6, (соз #).
Аналогично поступают, если п — нечетное положительное число.
Пример 1. [ в\п10 х со$9 х их = \ 8т10 х (I — вт2 х) с1 (зт х) ==
втпх зш18 х
2) Если тип — четные положительные числа, то подынтегральное вы-
выражение A) преобразуют с помощью формул:
1 1
= -<г A — соз 2а:), соз2л; = — A + соз 2а:),
31П X СОЗ X = -% 31П 2х.

124
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. IV
Пример 2. \ со52Зх5Ш4Зл:</л: = С (соз Зл: зш ЗхJ зШ2 Зх Же =
Г зт2 6х 1 - соз 6х 1 Г.,,,
= \ —г 2 "Я" \ ^
-1С71
4 2
— соз
6х — 31П2 6л; соз 6х) их =
— 51П2 6х СОЗ
1 / а: зш 12л:
3) Если т
четности, то
24
и п = — V — целые отрицательные числа одинаковой
'п ^ зш^ х со5V х ^
V —2
2
— I
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
1 п.
2
Пример 3.
Пример 4.
их 1
-8 А оЛ/*в ^
1
8
х
х
зес2 — & = у
2
х
х
21п
а:
2"
4) Интегралы вида Г12ЛхЛс (или С с\%тх0х) , где т
жительное число, вычисляются с помощью формулы
1§2 х = зес2 х — 1
(или соответственно с!^2 # = созес2 х — 1).
целое пойо-

§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 125
Пример 5. \ 1§4 х их = \ 1§2 х (зес2 х — 1) их = -^ I 1§2 х их =
5) В общем случае интегралы 1щп вида A) вычисляются с помощью фор*
мул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием
по частям.
г, г> С Лх С ып2х4-соз2х , С . §тх , , С йх
Пример 6. \—=— = \ ^ йх = \81пх =— йхЛ- \ =
г ^со53л: ^ соз8 л: ^ соз3д: ^ соз л:
. 1 1 Г* созд: , , Г* йх 81П* \^ \ \\ \ \ г
2 соз2 х 2 3 соз2 д: ' 3 соз л: 2 соз2 л: 2 ^ '
Найти интегралы:
1338. Ссоз'х^л:. 1352. ' Л
1339. Гзт5д
1340. Г 31П2 х соз8 л: их. 135а- .1 ,ы . ,^\' а*-
1341. Г зт8 -|- соз5 у йа:. 135*.
1342. \^~^.
1343. 5 зт4 х ах. 1356- \ № Ъх йх-
1344. \ 31П2 х соз2 х йх. 1357.
1345. С зт2 х соз4 х их. 1358-
1346. 5со563д;^л:. 1359. Ц^т + ^Ч)^
1347. Г^-. 1360.
1348. 1 ^ •1361#
1349. С^ах. 1362- ? 81п' хУ™**ах-
ф] МП X
С & 1363. Г
' $ з!п2 х соз4 д; * )

126 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ« IV
2°. Интегралы вида V $Й1 тх соз пх йх> Г зт тх зш пх их и
\ соз тх соз пх их.
В этих случаях применяются формулы:
1) зт тх соз пх = — [зт (т + п) х + зш (т — л) *];
2) зш тл: зш шс = — [соз (т — п) х — соз (т -(- л) *];
3) соз тх соз шс = ~ [соз (т — п)х-\- соз (т + и) х].
Пример 7. \ 31П 9а: зт х их = I у [соз 8х — соз 10а:]
= г^ зш 8а: — ^г 31П 10а: + С.
Найти интегралы:
1365. \ 81п Зл: со$ 5л; их. 1369. ^ соз {ах -\-Ь) соз {ах—Ь)йх.
1366. \%\п\0х*\п\Ьхйх. 1370. $81п<о*8
1367. ^ соз -5- соз |- ^лг. 1371. ^ СОз х соз2
С х 2х г*
1368. I зт у соз -^ ах. \ 372. V 51п х зт 2х 51п Зл: их.
3°. Интегралы вида
^ (зт х9 соз х) д,х9 B)
где /? — рациональная функция.
1) С помощью подстановки
откуда
81п х = г-г-о, соза:=
интегралы вида B) приводятся к интегралам от рациональных функций новой
переменной I.
Пример 8. Найти
их
I
зШ л: -+- соз х
X
Решение. Полагая 1§ ~ = /, будем иметь:
иг
\ т
21 , 1 -/2

§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 127
2) Если имеет место тождество
/? ( — зтх, — соз х) г= Л (з!п х, созх),
то для приведения интеграла B) к рациональному виду можно применить
подстановку 1§ х = г.
Здесь
I 1
/Г
* = агс18* *х = -Л*
Пример 9. Найти
1 -(- 51П2 X
Решение. Полагая
= /. C)
/2 »
1 —у* Ь 1 ~[— I
будем иметь:
(!+*")■
( а (г
=атс1а (I У 2) +С 3=
Заметим, что интеграл C) вычисляется более быстро, если предварительно
числитель и знаменатель дроби разделить на соз2я.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см
например, № 1379).
•9
Найти интегралы:
1373. Стгхтт—• ^382*. С^-г-т-
^ 3 4- 5 соз х ^ 3 зт2 х
-\- 5 соз2 х '
1374. Г-:—х • 1383*- Г-^г-
^ 81П X + СОЗ X ^ 31П2 X
-(- 3 31П X СОЗ X — СО52 X *
1384*. Г-т- йх
1376. \ , Дл?, 1385.
- 5 зт х соз х '
— соз ху
1377. \ 5 , . , 7 . 1386.
V 4*7 соз а:
1378. Г- -г^-.—т-^. 1387. Г 4СО'2х 4 ^.
VI 1 I/ I
2 зШ х 4- о соз х ^ зт2 х — 6 зт х-\-Ь
1380 V А "Г" '*л А г 1ЧМ* Г йх
- 31П X) C — 31П X) *
1ОО1А С Лх «оллл Г 1 — ЗИ1Х 4~ СОЗ ;<
15»1*. \ т-у-5 г-« 1390*. .-г* ! <**•
0 14-3 соз2 ар 0 1 4- 31П х — соз х

128 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегриро-
интегрированию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
х — $Ъ2 х= 1;
2) $Ъ2х= -^-(сЬ2л;- 1);
3) сЬ2х= -^-
4) зЬ х сЬ х = -^- зЬ 2х.
Пример 1. Найти
Решение. Имеем:
СсЬ2 х йх= Су (сЬ 2х
Пример 2. Найти
\ сЬ3 х их.
Решение. Имеем:
^ х
Найти интегралы:
1391. ^вЬ3*^. 1397.
1392. ^ с1г* ^ ^- 1398-
зЬ'лгсЬхах. 1399.
1394. 1*Ь'хсЬ*хах. 1400. 12 зЬ, ^3 сЬ ^'
1396- 1жж- 1402-

§ 9] ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ^ /? (X, ]/ пХ* -\- Ьх -\- с) А* 129
§ 9. Применение тригонометрических и гиперболических
подстановок для нахождения интегралов вида
С # (х, У ах2 + Ьх + с) их, A)
где /^-рациональная функция.
Преобразуя квадратный трехчлен ах2-\-Ьх-\-с в сумму или разность
квадратов, сводим интеграл A) к одному из интегралов следующих типов;
(г,
2) ^ /г B,
3) ^ Я B, /г2 - т2) Ог.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок!
1) г = тзт I или г = т 1Ь /,
2) 2 = т1§/ или 2 = /тгзЬ/,
3) г = т зес / или 2 = т сЬ /.
Пример 1. Найти
Г Aх
Решение. Имеем:
Положим х-\-1=1$*1, тогда их = зес2 г йг ъ
С зес2 / ^ Гсоз ^ ,,
/ = I -— _ _,- _ ■ = | г~Г/ Г:= \' • 2 ^ =:
1 ^ ** ^
Пример 2. Найти
Решение. Имеем:
Полагая
и их = •—— сЬ
получим:
8
3 |/~3 сЪЧ 3
~" 8 ' 3 8
Г. С. Бараненков и др.

130 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
Так как |
и
2
то окончательно имеем:
Найти интегралы:
1403. ^ КЗ — 2х — х8 </х. 1409. $ Ухх — 6л; — 7 Ас.
1404.
1405. \ , %г йх. 1411.
С
1406. \Ухг — 2х-\-2йх. 1412. I
1407. С Ух2 — 4 4х. 1413. Г-
Ох
1408. ^1/^М^^л:. 1414.
§10. Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
1415. $(*1+1I*1*<1*. 1421.
1416. ^ х2 соз2 Зл: их. 1422. Г йх
1417. \ х 51П д; соз 2х йх. 1423. \ х21п , ^х йх.
1418. $ е%**\гГхйх. 1424. $
1419. ^ е* в\пх $\п Зх йх. 1425. ^ х агссоз (Ъх — 2) йх.
1420. ^ хе* соз д; йх. 1426. ^ З1п л: 8*1 х йх.

§12] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ 131
§ 11. Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов;
1427. /в = ^(д,2+*а2),,; найти /2 и /,.
1428. 1п = ^$\ппхйх; найти /4 и /5.
1429. /„= С -^- ; найти /8 и /4.
п 3 соз" а: 3 4
1430. 1п = \ хпе"х йх\ найти /10.
§ 12. Интегрирование разных функций
1431. \тг1 -л—гл. 1445. \ г их.
}2х2-4х + $ 1**1*°* } УDх2-2х+\K
. С
«3 *
1433. I - р ах. 1447. Г
2 1448.
1434
^ х(х-^-ь) ^^ , хйх
1437- 3 (х» + 2J * 1451* ГЛх
> «4-1
14б°- 1 "^' их.
3
1451*.
1452. )Ухг~ 9 ах.
1439. \ ... * *. — . 1453# С ух_4х* йХщ
1440. I ——%= ах. ' •-' С йх
1441.
1455.
л л..
1442.
1443. . .
У\ - х'
1444. I т^__. . 1458.
Г1 ~ У^х йх 1457. Г -
5*

132 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. IV
1459. г ах. 1480.
х
/1
1460. ^соз'хйлг. 1481. Гзт'-^-соз —
1461. \ ^г-г- . 1482
^ СОЗ X 31П5 X 1**ОЛ.
C1Г1 X -[- СОЗ XJ '
1462. [\+1^Мах. 1483. С ^
5Ш2 X
81П3Х
1463. ,;И_^х. 1484. \
^ |/ СО53 X •>
1464. ^ созес! 5х ах- 1485< 3
1465. [^-^-ах. 1486. Г , ,зЬ *,сЬ х, . ^л:.
1466. Гзт(^ —лгM!п^ + ^)^- 1487.
1467. \ЬМ^ + ^Ых. 1488. ' Лх
1468« Ь^х+Гссх-Б- 1489'
1469- Ь-ттж- 149°-
П Г с[х
3 СО82 Х+2 ЗШ X СО8 Х
:_|_2з1П2х* Г 2х
п а„ 14У1. \ -л т? йх.
1471. . ах о .
1472. ' Х
B + соз х) C + соз х) • 1493.
1473. ^ 5ес8^ ==дх,
[ 1494.
Ч Л *7 Л I СОЗ сХХ * Г* 1
^+зт2ах »495. ^ л1 агсзт ^ йж.
1475. \ -^р . 1496. \ соз Aп
' СОЗ2 ^ 1 у
1476. ^х$1п2хйх. 1497. ^
1477. \хге*9йх. 1498. ^
1478. \ хе2Х йх. 1499. \ агсз1п |/д; йх.
1479. ? л:21п УТ^х йх. 1500. ? | х \ йх.

ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
Iе. Интегральная сумма. Пусть функция /(*) определена на от-
отрезке ае^,х*^Ь и а = я0 <*,<...<*„ = 6 — произвольное разбиение этого
отрезка на п частей (рис. 37). Сумма
вида
/г —
2 / E/)
A)
1=0
где
= 0, 1, 2, ...(я-1),
называется интегральной суммой
функции / (х) на [а, Ь]. Геометричес-
Геометрически 5„ представляет собой алгебраи-
алгебраическую сумму площадей соответству-
соответствующих прямоугольников (см. рис. 37).
2°. Определенный интег-
интеграл. Предел суммы 5„ при условии,
что число разбиений п стремится к
бесконечности, а наибольшая из раз-
разностей Д#/ — к нулю, называется определенным интегралом функции }(х)
в пределах от х —а до х=Ь, т. е.
Рис. 37.
ь
п — \
Пш
тах АХг -> о
(?,)
г»
Ах.
B)
— О
а
Если функция / (х) непрерывна на [а, Ь], то она интегрируема на [а, Ь], т. е.
предел B) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интег-
интегрирования [а, Ь] на частичные отрезки и от выбора точек |г- на этих отрез-
отрезках. Геометрически определенный интеграл B) представляет собой алгебраи-
алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ,
в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком
плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус
(см. рис. 37).
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно
обобщаются на случай отрезка [а, 6], где а > Ъ.
Пример 1. Составить интегральную сумму 5„ для функции
/(*) = !

134
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
на отрезке [1, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки
совпадающими с левыми концами частичных отрезков [Х[9 Х1+1]. Чему ра-
равен Пт 5„?
п -> оо
о А 10-19. 9/ Л
ш е н и е. Здесь Ах,- = —-— = — и §/ = */ = ха + 1&Щ = 1 Н— • От-
п
§1 до-
досюда / (|/) = 1 -}- 1 Н— = 2 -|— . Следовательно (рис. 38),
2
2/г
Нт
л -► оо
Пример 2. Найти площадь криволинейного треугольника, ограничен
ного дугой параболы у = хг, осью ОХ и вертикалью х = а (а>0).
Рис. 38,
Рис. 39.
Решение. Разобьем основание а на п равных частей Дх=—. Выбирая
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого у& на
основание Ах = — (рис. 39). Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135
находим: —
*л — 6л8
отсюда, переходя к пределу, получим:
1т ~
5= 1нп 5л = 11т ~~з — Т"
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы
соответствующих интегральных сумм.
Ъ . 1
1501. ^йх. 1503. $ х*йх.
а — 2
Т ю
1502. $(«>, + $*)<«, 1504. $
О О
^о и ^—постоянны. 5
1505*. ]
1
1506*. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной ги-
гиперболой
осью ОХ и двумя ординатами: х = а и х = Ь
1507*. Найти
л:
/(д:)== 1 З
31П
о
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных
Г. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Если функция / (!) непрерывна на отрезке [а, Ь), то функция
X
а
есть первообразная для функции /(*), т. е.
р'(х)={(х) при а^д:
2°. Формула Ньютона — Лейбница. Если р' (х) = /(*), то
ь 6 ■
а а

136 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Первообразная р (х) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
з
Пример 1. Найти интеграл \ х4с1х.
— 1
3 3
Решение. \ х*йх=
Х1 __35 (— !)*___ Ар 4
5 ~ 5 5 5
1 — 1
1508. Пусть
\пх
а
Найти:
Найти производные следующих функций:
1509. Г(х) = \Ы(Н (х>0). 1511. Р(х)
1
0 У~Х
.V2
1510. /?и)==5т/Т+?:Л. 1512. /= $ соз (**
1513. Найти точки экстремума функции
=\—— аг в области
о
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти интегралы:
1 X
1514. \-Лгх- 1516. $ *
0 ~Х
У х
1515. §?*. 1517. $
— 2 0
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
1518**. 11т ( 1+ 4"+ • ..
1520.
п -> оо

§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137
Вычислить интегралы:
1523. $1±^ «у.
3,5
1521. \(х2 — 2х-\-3)ах. 1534. Г
Ах — хг
8
1
1522. $ (/2л: + 1/7) их. 1б35
Г
' 3
О
4
тс
4
* 1 СОЛ V „~~2
1536. \ соз2ай?а.
$г О
I/ х — а ах» _
* 1С
2 Т
,-о- . ^ 1537. \зт3фй?ф.
1525. \ - *
О /25 + 3* * °
О О1
1526.
а 1 чча Г 81'п Aп х>
1827. \ -,-^^с. 1539- 3 ~^~
1С
1528. | ^. 1540.
— I
Г*
* ) х* 4- 4х + Ь Р
0 1541. \ с!§4фй?ф.
4
1530. С ^ _ ^
1542. [-А—^йх
О 1
г»
1С
1543. ^ а\\хйх.
о
1532. ^ зесай?а. 1п 3
*елл С Лх
1п 2
1533. \ УТ=П?% 1545. \
о о

138 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
§ 3. Несобственные интегралы
1°. Интегралы от неограниченных функций. Если функция
У (х) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна
при а<Ксис<^<^. то по определению полагают:
Ъ с-е Ь
п г* г*
О)
^ 1) -> О
а с
Если пределы в правой части равенства A) существуют и конечны, то несоб-
несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходя-
расходящимся. При с = а или с=Ь определение соответствующим образом упро-
упрощается.
Если существует непрерывная на [а, Ь] функция Р (х) такая, что Р' (#)=
при х Ф с (обобщенная первообразная), то
B)
а
ъ
Если | / (х) |<: Р (х) при а <;*<:& и \ Р(х)йх сходится, то интеграл A)
а
также сходится (признак сравнения).
Если !(х)^0 иПт \1(х)\с — х\т} = А Ф оо, А фО, т. е.
с г *1
при х-+с, то: 1) при т< 1 интеграл A) сходится, 2) при /п^1 интеграл A)
расходится.
2°. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция
/ (х) непрерывна при а^х < <» , то полагают
оо ь
п Г*
C)
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела
в правой части равенства C) соответствующий интеграл называется сходя-
щимся или расходящимся.
Аналогично
ь ь оо ъ
Нх)йх= Пш \ / (х) их и \ / (х) Ах = Пт \ / (х) ах.
— со 0 —оо 5->-|-оо а
00
Если (/(а:)!^/7^) и интеграл \ Р(х)Лх сходится, то интеграл C) тоже
а
СХОДИТСЯ.
Если Цх)^О и Нт \{(х)хт) = А ф с», А ФО, т. е. /(х) <ч,_
X -> 00 *
то: 1) при т> 1 интеграл C) сходится, 2)при т<1 интеграл C) расходится.

§ 3] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 139
Пример 1.
1 —в
— 1 — 1 6
— интеграл расходится.
Пример 2.
00 Ь
__ Пт (г\гг\сг А ягг^лг Ги — ^
2 #
1+ хг ь -* оо <) 1 + * ь->о
о о
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла Эйлера — Пуассона
00
\е-хш0х. ^ D)
Решение. Положим
СО 1 СО
С е-**йх= \е-^йх+ \ е-
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным, а
второй сходится, так как е-*г*^.е~х при х^1 и
оо Ъ
111 \О 1ЛЛг '■ 1 1111 I
Ь —>■ оо « Ь —► оо
1
следовательно, интеграл D)* сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
Ух* +1
Решение. При х -»►-)- °° имеем:
1 1
Так как интеграл
00
сходится, то наш интеграл E) также сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
1
F)

140 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Решение. Точка разрыва подынтегральной функции: *=1. Применив
формулу Лагранжа к разности 1—#4 = A—х) A -\-х) A + х2), получим:
1 1 1
— х4 у A— х)-4х1 }гA—х)(\+х)A+х2)
Следовательно, при х —>» 1 будем иметь
1
Так как интеграл
1
2 их
о
сходится, то данный интеграл F) также сходится.
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас
ходимость):
1546. \ -^=. 1547. Г -.
О — 1
3 1
1549. [-п^т- 1550. Г ^х 1551. ^.
О 0 1
00 00 00
1552. Г-^. 1553. С^. 1554.
1 1 —»
оо со 2
1555. Г х2 **х , 9 . 1556. ГзшдгйГх 1557.
— оо О О
• 1559- ]ш-^а> ъ-1б60-
о а
я
2 оо
1561. С с^хйх. 1562. 5 е~кх Лх (А>0)

§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 141
Г йх
о о
00 1
15бб< I
2 О
Исследовать сходимость интегралов:
100 1
1567' I у:,!^,/ 1571'1
О л/ X ~~| ^> л/ X ~т~ X «/
0 У ' У ' 0
-|-00 2
1568. ^ . . , ,- —. 1572.
1
00 00
1569. Г ?*, 1573.
—1 У тс
00 2
1570.
О
1574*. Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода {бэта-функция)
о
сходится при р^>0 и <7^>0.
1575*. Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода {гамма-функция)
00
сходится при
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция /(л:) непрерывна на отрезке а^х^б и х = у (() — функ-
функция, непрерывная вместе со своей производной ф' A)у на отрезке а^^з^р,
где а = ф(а) и 6=ф(р), причем /[ф@] определена и непрерывна на отрезке
В, то
ь р
а а
Пример 1. Найти
а
" (а > 0).

142 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Решение. Положим
х = а 81П 1\
= а соз
х
Тогда ? = агсзт-— и, следовательно, можно принять а = агсзтО =
Л
= агсзш 1 = — . Поэтому будем иметь:
тс
2
х2 Уа'г — х2 их = С а2 31П2 / /а2 — а2 зш2 I а соз М^ =з
о
тс тс тс
2 2 2
Г* п* С* пл С*
О 4 0 8 )
2
8
4
16
1576. Можно ли интеграл
вычислить с помощью подстановки х =
_ Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных
подстановок:
4
3 3
1677. )Ух-\-1Aх, х =
1
4
П
2
\580. \/{х)йх, x =
1
2
1581. Для интеграла
ъ
(Ь>а)
а
указать целую линейную подстановку
в результате которой пределы интегрирования сделались бы соот-
соответственно равными 0 и 1.

§ 4] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 143
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы;
1582.
о
20
1583. Г {х ~%%
^ (х-2)/з+
3
1п 2
1584. $ Уе* — 1 йж, е* — 1 = гг
1585
и.
3+2соз* '
о
С помощью подходящих подстановок вычислить интегральц
I 1п 5
. у \ х ах. 1589.
Т
1587. у \ х ах. 1589. ^ \е. » 1 их.
2
2 5
1588. Г V* - » йх% 1590. Г
1 О
Вычислить интегралы:
8 А п
ах
1591. =. 1593. [Уах — х2ах.
1 °
1 271
1592-
> — 3 СО5 X *
о
1595. Доказать, что если /(х) — четная функция, то
а а
5 г»
— о, о
Если же /(х) — нечетная функция, то
а
5 /(Х)ах=о.
-—а

144 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1596. Показать, что
00 00 СО
Г
— 00
^ у
1597, Показать, что
1С
Т
Г их Г* зш х .
3 агссоз х ) х
о о
1598. Показать, что
тс те
"г" 2
т х) их = \ /(соз л:) их.
О О
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции и (х) и V (х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, 6],то
ь ъ ъ
\ и (х) V' (х) Лх = и (х) ь(х) — V V (х) и' (х) их. A)
а а а
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы:
71
Т" 00
хюъхйх. 1603. ^ хе~хих.
о о
е оо
1600. ^Хпхйх. 1604. ^ е~ах соъЪх их (а>0).
1 О
1 ОО
Г* Г*
-ах „;,
1601. \хге2ХAх. 1605. \е~ах$[п1?х
о о
1602. ^ ех8\п х их.
о
1606**, Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) справед-
справедлива формула понижения:
Г(р-\- \) = рГ (р) (Р^>0).
Отсюда вывести, что Г (п-\- 1) = /г!, если п — натуральное.

§ 6] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 145
1607, Показать, что для интеграла
тс
мм
2
1п = ^ З1п" х их = ^ со$" л:
справедлива формула понижения
П
Найти /п, если п — натуральное. Пользуясь полученной формулой,
вычислить /9 и /10.
1608. Применяя многократное интегрирование по частям, вычи-
вычислить интеграл (см. № 1574)
где р и ^ — целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бэта-функцию) интеграл
тс
2
Г»
.П
==\ 51П"* X С05 X пХу
о
если т и л — целые неотрицательные числа.
§ 6. Теорема о среднем значении
1°. Оценки интегралов. Если [(х)^Р(х) при а^х^б, то
ь ь
\ / (х) их ^ \ Р (х) их. . A)
а а
Если /(я) и ф (х) непрерывны при а^:%<:& и, кроме того, ф(х)^0, то
ь ь ъ
с с с
т \ ф (х) их ^ \ / (х) ф (х) <2х < М \ ф (х) <!*;, B)
а а а
где т — наименьшее, а М — наибольшее значение функции / (х) на от-
отрезке [а, 6].
В частности, если ф (*)=!, то
- а). C)
а

146 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Неравенства B) и C) можно соответственно заменить эквивалентными им
равенствами:
ъ ъ
(х) Ф {х)йх = I (с\Я Ф (х) ах
а
И
ь
а
где с и 5 — некоторые числа, лежащие между а и Ъ.
Пример 1. Оценить интеграл
1С
2
О
Решение. Так как 0 ^ зш2 х <, 1, то имеем:
71 <Г 1<^ —|/1
Т^ ^ 2 Г 2 '
т. е.
1,57 </< 1,91.
2°. Среднее значение функции. Число
ь
а
называется средним значением функции /(я) на отрезке а
1610*. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2 27С
а)
\ X (ХХ\ В) \ иХ0
-1 О
ТС
б) ^ х со$ л: йх\
о
1611. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1 1
а) \ у 1 -)- х2 йх или \ х йх;
о о
1 1
х2 51П* х йх или \ л:з1П2л:^л:;
о
2
в) ^ ех% йх или \ ех йх.
1 1

§ 7] площади плоских фигур 147
Найти средние значения функций на указанных промежутках;
1612 ?(х\ — х1 О <^ у <^ 1
1613. /(х) = а-]-Ь созлг, —зх^л:^я.
■ И] Л Г11*1 ——• С1П У II <г*^ V <^ Т1*
1Д1С ?1*г\ С1П4 V О <Г* V <^ ТГ
Ж V Ж *-г. / \ Л I ■ 011 * Л/ ш V/ ^^~ «V ~^5 * V •
1
1616. Доказать, что I ■ , = заключен между -^ =^= 0,67 и
1 т/ 2 —1_ д: х2 "
о
=1 =^ 0,70. Найти точное значение этого интеграла.
Оценить интегралы:
тс
4
1617. \ Г •* —гл ил. л
о*1 1620*. \
+ 1 •
1618. Г ^-,. Л
I* 1621.
1619.
АС 71
10 + 3 соз х ' «
1622. Интегрируя по частям, доказать, что
20071
Г*
СО5 X
ЮОя
§ 7. Площади плоских фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Если непре-
непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением у = [(х)
[/(#)^0], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой,
двумя вертикалями в точках х = а и я = Ь и отрезком оси абсцисс а ^ х ^ Ь
(рис. 40), определяется формулой
$ A)
а
X2
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = -п-, пря-
мыми я=1 и х = 3 и осью абсцисс (рис. 41).

148
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
3
Xй
2
1
3
1
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой х
и осью ординат (рис. 42).
= 2 — г/
О
У
V
а
Рис. 40.
Рис. 41.
Решение. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая
площадь выражается интегралом
1
«. 1
-4 2 ,
где пределы интегрирования у1= — 2 и у2 = 1 найдены как ординаты точек
пересечения данной кривой с осью ординат.
х
Рис. 42.
Рис. 43.
В более общем случае, если площадь 5 ограничена двумя непрерывными
кривыми */ — /,(.*;) и */ = /2(#) и двумя вертикалями х~а и х~Ь, где
А (*)</»(*) ПРИ а<*<& (рис. 43), то будем иметь:
ь
B)
5 = $ [/, (х) - Д (х)\ их.
а

§ 7]
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
149
Пример 3. Вычислить площадь 5, заключенную между кривыми
у==2-х2 и у*~хг C)
(рис. 44).
Решение. Решая совместно систему уравнений C), находим пределы
интегрирования: хг = —1 и х2=1. В силу формулы B) получим:
— 1
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме # = ф
(, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя
7
Рис 44.
0
а
Рис. 45.
вертикалями, соответствующими х = а и х — Ь, и отрезком оси ОХ, выра-
выражается интегралом
где (г и /2 определяются из уравнений
а —ф(^) и Ь — у(B) [фA)^0 на отрезке [^, ?2]].
Пример 4. Найти площадь эллипса 5 (рис. 45), используя его парамет-
параметрические уравнения
Г/ = & 5И1 I,
Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной чет-
четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении ^ = асоз^ сначала
х = 0, затем х = а, получим пределы интегрирования ^ —
тс
и
. Поэтому
1п а (— з!п
2
зш2 Ы^ =
7С
2
и, следовательно, 5 =

150
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ТЛ^ V
2°. Площадь в полярных координатах. Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах уравнением г ==/ (ф), то площадь сектора
АОВ (рис. 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА
и ОБ, соответствующими значениям ф,=а и ф2 = р, выразится интегралом
П^р и мер 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли
(рис. 47).
С
Рис. 46.
Рис. 47.
. Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть
искомой площади
1
о]
Отсюда 3 = а2.
1623. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 4х — х2
и осью абсцисс.
1624. Вычислить площадь, ограниченную кривой у=:\пх> осью
ОХ и прямой х = е.
1625*. Найти площадь, ограниченную кривой^ = х (х— 1)(л: — 2)
и осью ОХ.
1626. Найти площадь, ограниченную кривой уг = ху прямой у= 1
и вертикалью д: = 8.
1627. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной сину-
синусоиды у=:8\ПХ И ОСЬЮ ОХ.
1628. Вычислить площадь, заключенную между кривой
осью ОХ и прямой л; =
1629. Найти площадь, заключенную между гиперболой
вертикалями х = а и х = 3а (#]^>0) и осью ОХ.
1630. Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньези
у — -——- и осью абсцисс.
^ х2 -\- а2
1631. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у—х\
прямой I = 8 и осью ОУ.

§ 7] площади плоских фигур 151
1632. Найти площадь, ограниченную параболами у2 = 2рх и
*
1633. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 2х— х2
и прямой у — — х.
1634. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у —
= 3 — 2х от параболы у = х*.
1635. Вычислить площадь, заключенную между параболами у = х*,
хг
=-х и прямой у = 2х.
1636. Вычислить площадь, заключенную между параболами
V2 9
А ^2
о >
1637. Вычислить площадь, заключенную между локоном Аньези
1 х2
=. . 2 и параболой у = -х •
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = еху
и прямой х= 1.
1639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой -$ — ^
и прямой х = 2а.
1640*. Найти площадь, ограниченную астроидой
2 2 2
# * -\-у « =а 8.
1641. Найти площадь между цепной линией
у = а сп — ,
осью ОУ и прямой у = --(е* -\-\).
1642. Найти площадь, ограниченную кривой а2у2=х2 (а2—х2).
1643. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
2
1644. Найти площадь между равнобочной гиперболой х2 — у5 = 9,
осью ОХ и диаметром, проходящим через точку E; 4).
1645. Найти площадь между кривой у = —г} осью ОХ и орди-
натой х==1 (х^>1).
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой У = о и ее
асимптотой х = 2а ^
1647*. Найти площадь между строфоидой зг = -~ ^- ^ ее
~~ /С
асимптотой (а^>0).
1648, Вычислить площади двух частей, на которые кругл:2-|~<у2 = 8
разделен параболой у2 = 2

152
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
1649. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью
*"-}-/= 16 и параболой хг=\2(у—\).
1650. Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
= асоз8/; у = Ъ$\п*г.
х~
1651. Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой
Циклоиды
@ < Ь < а)
— соз
1652. Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
= а — Ъ соз I
и касательной к ней в низших ее точках.
1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
х= а B соз I — соз 2^),
у = а B зш I — зш 2г).
1654*. Найти площадь петли декартова листа
За/ За г12
1655*. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
Г = а A -}-со5ф).
1656*. Найти площадь, содержащуюся между первым и вторым
витками спирали Архимеда г = смр
(рис. 48).
1657. Найти площадь одного ле-
лепестка кривой г = асоз2ф.
1658. Найти площадь, ограничен-
ограниченную кривой г2 = а2 51П 4ф.
1659*. Найти площадь, ограничен-
ограниченную кривой г = аз1пЗф.
1660. Найти площадь, ограничен-
ограниченную улиткой Паскаля
г = 2
Рис. 48.
соз ф.
^
1661. Найти площадь, ограниченную параболой г = азес2-^- и
я
полупрямыми ф = — и
площадь фигуры, ограниченной
Р
1662. Найти
эллипсом
^» |
соз ф
+ ф
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г = 2асозЗф и ле-
лежащую вне круга г = а.
1664*. Найти площадь, ограниченную кривой х*-\-у* = х*т-{-у1.

§ 8]
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
153
§ 8. Длина дуги кривой
Iе. Длина дуги в прямоугольных к о орд и н ат а х. Длина 5
дуги гладкой кривой у = / (я), содержащейся между двумя точками с абсциссами
х = а и х=:Ь, равна ь
и'г Ах.
а
Пример 1. Найти длину астроиды *2/3 + #2/3 = а2/3 (рис. 49),
Рис. 49. Рис. 50.
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:
а а
'* 3
1 Г, А . У*1*; Га1'
4 } V Xх* ) х1
а.
Отсюда 8 = 6а.
2°. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если
кривая задана уравнениями в параметрической форме * —ф(/) иу = ^(() (<р@
()
рр фр ф ^( (р
и я|)(/)—непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги 5 кривой равна
где гх и 1г — значения параметра, соответствующие концам дуги
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
х = а (( — 31а 0»
у~а A — соз 0-
Решение. Имеем *'— ~ = а(\ — соз 0 и 0'=-^ = а81п ^. Поэтому
I А А
2^ 2ТС
= Г У а2 A - соз IJ 4- а2 З1п2 {сК = 2а Г з!п у 4* = 8а.
Пределы интегрирования ^ = 0 и
арки циклоиды.
соответствуют крайним точкам

154
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Г ГЛ. V
Если гладкая кривая задана уравнением г = /(<р) в полярных коор-
координатах г и ф, то длина дуги 5 равна
Р
а
где а и Р — значения полярного угла в крайних точках дуги.
Рис. 51.
Пример 3. Найти длину всей кривой г = авт* —• (рис. 51). Вся кри-
о
вая описывается точкой(г, <р) при изменении ф от 0 до Зя.
Ф Ф
Решение. Имеем г' = а зш2 — со§ — , поэтому длина всей дуги кривой
о о
8*
31Г
|- сое
2
Г . 2 ф
3 з
О О
1666. Вычислить длину дуги полукубической параболы у
начала координат до точки с координатами х = 4, у = 8.
х
Зяа
л:8 от
а
от вершины А@;а)
1666*. Найти длину цепной линии у = а
до точки В(Ь] к).
1667. Вычислить длину дуги параболы у = 2 \Пс от х == 0 до л:=1.
1668. Найти длину дуги кривой у = ех> содержащейся между точ-
точками @; 1) и A; е).
1669. Найти длину дуги кривой ^;==1пл: от # = 1/3 до # = 1/8.
1670. Найти длину дуги у = агс8Ш {е~х) от х = 0 до х=\.
1671. Вычислить длину дуги кривой х = \пвесу, содержащейся
между у = 0 и У = -гГ •
1672. Найти длину дуги кривой х = -уу2 к 1п>
до у = е.
1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы
от
у=\
= Уаг —у2 -\- а 1л
У
от у
а

§ 9] ОБЪЕМЫ ТЕЛ 156
1674. Найти длину замкнутой части кривой 9ау* = х(х— ЗаJ,
1675. Найти длину дуги кривой у = 1п ( сШ ~ ] от х — а до
Ь @<<>)
1676*. Найти длину дуги развертки окружности
* = а(со8* + <81пО, I от , = 0 до {=
у = а (зш г — / соз /) I +
1677. Найти длину эволюты эллипса
1678. Найти длину кривой
х = а B соз I — соз 2г) ,
у = п B 51П г 51П
1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г =
1680. Найти всю длину кардиоиды г=а(\ -(- созср).
1681. Найти длину дуги части параболы г=азес2 |-, отсекаемой
от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс.
1682. Найти длину дуги гиперболической спирали гф= 1 от точки
2; — ) до точки (-^-;2 ).
1683. Найти длину дуги логарифмической спирали /
, находящейся внутри круга г = а.
1684. Найти длину дуги кривой ф^-^-(г-|- — ) от г=1 дог = 3.
§ 9. Объемы тел
1°. Объем тела вращения. Объемы тел, образованных вращением
Криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = [(х), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и х = Ь, вокруг осей ОХ и ОУ, выражаются соответ-
соответственно формулами:
ь ь
1) Ух = я С уЧх\ 2) Уу = 2п\ ху их •).
а а
*) Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволинейной трапе-
трапеции, ограниченной кривой у = / (х) и прямыми х = а, х = Ь и у = 0. За элемент
объема этого тела принимают объем части тела, образованного вращением
около оси ОУ прямоугольника со сторонами у и их, отстоящего от оси ОУ на
ь
расстоянии х. Тогда элемент объема &Уу — 2пху их, откуда Уу=2п\ ху<1х.
а

156 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды */ = 8шл; и отрезком О^я^я
оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси ОУ»
Решение.
п
Г я2
о
X
б) Уу = 2я \ х з!п х ах = 2я ( — х соз х 4- з!п л;)* — 2я2.
о
Объем тела, образованного вращением около оси ОУ фигуры, ограничен-
ограниченной кривой х = ц(у), осью ОУ и двумя параллелями у = с и у = A, можно
определять по формуле:
а
= л; V х2 йу,
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки коор-
координат х и у.
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных коорди-
координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую
замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривыми уг = Д (х) и уг = /2 (х) (причем Д (х) ^ /2 (х)) и пря-
прямыми х = а, х = Ь, вокруг координатных осей ОХ и ОУ, соответственно
равны
ь
а
И
Ь
Уу=2п \ х (у2 — у.) (Хх.
а
Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением круга
у — ЪJ*^а2 (Ь^а) вокруг оси ОХ (рис. 52).
Решение. Имеем:
а2 — х2 и у2 — Ъ
Поэтому
а
=л [ [(Ь +Уа2 - х2J -(Ь-У~а2- х2J] Ах
— а
а
Уа2 - х2 Aх = 2п2 а2Ь
а
(последний интеграл берется подстановкой х = а$т{).

§ 9]
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
157
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой
кривой г = /7(ф) и двумя полярными радиусами ф = а, ф = р, вокруг полярной
оси, может быть вычислен по формуле
Г8 31П ф
а
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, по-
полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой
замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
У
Рис 53.
Пример 3. Определить объем, образованный вращением
Д8ш2ф вокруг полярной оси.
Решение.
кривой
71
2
2 Г 4 Г
1/р = 2 • — Я \ Г* $\П(р С1(р ~ — Ш* \ 31П3 2ф 5Ш ф ^ф =
о
7С
2
32 Р
— Ли* \ 51П* ф СО53 ф
105
яа$.
2°. Вычисление объемов тел по известным поперечным
сечениям. Если 5 = 5 (х) — площадь сечения тела плоскостью, перпенди-
перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ОХ), в точке с
абсциссой х, то объем этого тела равен
V = Л 5 (х) их,
где хх и хг — абсциссы крайних сечений тела.
Пример 4. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основа-
основанию под углом а. Радиус основания равен # (рис. 53).

158 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Решение. Примем за ось ОХ диаметр основания, по которому се-
секущая плоскость пересекает основание, и за ось ОУ диаметр основания, ему
перпендикулярный. Уравнение окружности основания будет х2 -\-у2 = К2-
Площадь сечения ЛВС, отстоящего на расстоянии х от начала коорди-
координат О, равна
Поэтому искомый объем клина есть
1685. Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси
ОХ площади, ограниченной осью ОХ и параболой у = ах — х*(а^>0).
1686. Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса
^{—-=1 вокруг оси ОХ.
1687. Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг
оси ОХ площади, ограниченной цепной линией у = а сЬ — , осью ОХ и
прямыми х= ± а.
1688. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси ОХ кривой у = §\п2 х в промежутке х = 0 до х = п.
1689. Найти объем тела, образованного вращением площади, огра-
ограниченной полукубической параболой у2 = х8, осью ОХ и прямой
х=\, вокруг оси ОХ.
1690. Найти объем тела, образованного вращением той же пло-
площади, что в задаче 1689, вокруг оси ОУ.
1691. Найти объемы тел, образуемых вращением площади, огра-
ограниченной линиями у = ех, х — 0,у — 0, вокруг: а) оси ОХ и б) оси ОУ.
1692. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ
той части параболы <у2 = 4ал:, которая отсекается прямой х = а.
1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
х = а той части параболы у2 = 4ах, которая этой прямой отсекается.
1694. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой
У= — р фигуры, ограниченной параболой у2 = 2рх и прямой х = -^- .
1695. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
площади, содержащейся между параболами у = х2 и у = угх.
1696. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
петли кривой (л: — 4а)у2 = ах(х — За)(а^>0).
1697. Найти объем тела, производимого вращением циссоиды
У2 = п _ вокруг ее асимптоты х==2а.
1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания ко-
которого /?, а высота Н,

§ 9] ОБЪЕМЫ ТЕЛ 159
1699. Прямой параболический сегмент, основание которого 2а и
высота И, вращается вокруг основания. Определить объем тела вра-
вращения, которое при этом получается («лимон» Кавальери).
1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х=-2а
от тела, образованного вращением равнобочной гиперболы л:2—у2 = а2
вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а.
1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, огра-
ограниченной одной аркой циклоиды х-=а{г — зт^), у = а(\—соз^) и
осью ОХ, вокруг: а) оси ОХ, б) оси О К и в) оси симметрии фи-
фигуры.
1702. Найти~ объем тела, образованного вращением астроиды
лг = асо582, ус=а§\п*1 вокруг оси ОК.
1703. Найти объем тела, которое получается от вращения кар-
кардиоиды г = аA-^созф) вокруг полярной оси.
1704. Найти объем тела, образованного вращением кривой
г = асо5гср вокруг полярной оси.
1705. Найти объем обелиска, параллельные основания которого —
прямоугольники со сторонами А, Б и а, Ъ, а высота равна Н..
1706. Найти объем прямого эллиптического конуса, основание ко-
которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна И.
1707. На хордах астроиды х2Ь-\-у21* = а21*, параллельных оси ОХ,
построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд и плоскости
которых перпендикулярны к плоскости ХОУ. Найти объем тела, обра-
образованного этими квадратами.
1708. Деформирующийся круг перемещается так, что одна из то-
точек его окружности лежит на оси ОУ, центр описывает эллипс
У 11
1—Ь*1г—1> а плоскость круга перпендикулярна к плоскости ХОУ.
Найти объем тела, образованного кругом.
1709. Плоскость движущегося треугольника остается перпендику-
перпендикулярной к неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием тре-
треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой
параллельно неподвижному диаметру на расстоянии к от плоскости
круга. Найти объем тела (называемого коноидом), образованного дви-
движением этого треугольника от одного -конца диаметра до другого.
1710. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х2 -\-г2 = а*
и уг -1-22 ==а2.
1711. Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического па-
раболоида ~т-\-сг^х плоскостью х = а.
1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гипер-
V 1] У
болоидом —г~Ьтз 2—1 и плоскостями 2 = 0 и г =
X М 2
1713. Найти объем эллипсоида —^ —|— "^в —I—г—1-

160
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
§ 10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги глад-
гладкой кривой у = 1(х) между точками х = а и х = Ь, выражается формулой
8х=2п
= 2п С у У\ + у'2
ах
A)
а
а
(Л$ — дифференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности
чается из формулы A} путем соответствующей замены переменных.
полу-
полуРис. 54.
Рис. 55.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ петли кривой 9у* = х C — хJ (рис. 54).
Решение. Для верхней части кривой при О^х^З имеем:
у = -5- C — х) У х» Отсюда дифференциал дуги Дз = —^=г
^ 2у х
вании формулы A) площадь поверхности
На осно-
- х + 1 .
X ;„: ' ил ОЛт
чУ х
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды х = а {I — зш /); у = а(\— соз 0 вокруг ее оси сим-
симметрии (рис. 55).
Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги ОЛ вокруг
прямой АВ, уравнение которой х = яа. Принимая у за независимую перемен-
переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной
оси ОУ на расстояние Яа, будем иметь:
упа-х)~йу.

§
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
161
Переходя к переменной 1> получим:
о
тс
=4
(яа — аг -}-а зш 0 2а зш
/
= 4яа2 \ ( язшу —
-~
[
2Я СО8 у
СО5 у — 4 5П1
у 5Н18 у =8Я ( Я—у ) Л\
1714. Размеры параболического зеркала ЛОБ указаны на рис. 56.
Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.
1716. Найти площадь поверхности «веретена», кото-
которое получается в результате вращения одной полу-
полуволны синусоиды у^=8\пх вокруг оси ОХ.
1716. Найти площадь поверхности, образованной
вращением части тангенсоиды у = 1%х от х = 0 до х =
= — вокруг оси ОХ.
1717. Найти площадь поверхности, образованной вра-
вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у = е~х, от х = 0
до д: = -|-оо.
1718. Найти площадь поверхности (называемой ка-
катеноидом), образованной вращением цепной линии у =
— а сп— вокруг оси ОХ, в пределах от х = 0 до х = а.
1719. Найти площадь поверхности вращения астроиды
д:2/з-|-у/з = а2/з вокруг оси ОУ.
1720. Найти площадь поверхности вращения кривой х=
вокруг оси ОХ, от у=\ до
\пу
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением окруж-
окружности х2-\-{у— ЬJ = а2 вокруг оси ОХ(Ь^>а).
1722. Найти площадь поверхности, образованной вращением эллипса
-т + |г=1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси ОУ(а^>Ь).
1723. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной
арки циклоиды х=аA — зш/), у = а(\—соз/) вокруг: а) оси ОХ;
6) оси ОУ; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-
вокруг оси ОХ кардиоиды
х = аB соз г — соз2/),
у = аB 31п г — 31П

962 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1725. Определить площадь поверхности, образованной вращением
лемнискаты г2=а2соз2ф вокруг полярной оси.
1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды г = 2а(\ -^со$ ф) вокруг полярной оси.
§ 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
1°. Статический момент. Статическим моментом относительно
оси / материальной точки А, имеющей массу ти отстоящей от оси / на рас-
расстоянии с/, называется величина М/ = /тм/.
Статическим моментом относительно оси / системы п материальных
точек с массами т1У т2, ... , т„, лежащих в одной плоскости с осью и
удаленных от нее на расстояния йх, &г йп, называется сумма
п
«А A)
причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси /, берутся со знаком
плюс ( + )> а по Другую — со знаком минус ( — ). Аналогично определяется
статический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости ХОУ, то
статические моменты М% и Му относительно координатных осей ОХ и ОУ
вместо сумм A) выражаются соответствующими интегралами. Для случая гео-
геометрических фигур плотность считается равной единице.
В частности: 1) для кривой х = х (&); у = у(8)} где параметр 5 есть длина
дуги, имеем:
I I
,— ^Х (8H*5 B)
О
= у (ихJ -\-$фу)г — дифференциал дуги);
2) для плоской фигуры, ограниченной «р«вой#=:#(#), осью ОХ и двумя
вертикалями х = а и у = Ь, получаема
ь ь
C)
а а
Пример 1, Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ
х и
треугольника, ограниченного прямыми: ~-|-"Т"=:=Ь х = 0, у = 0 (рис. 57).
(X \
1 ). Применяя формулы C), получаем:
а )
О
и
а
Мг~
* о
рис 57. 2°» Момент инерции. Моментом
инерции относительно оси / материальной точки
массы т, отстоящей от оси / на расстоянии й, называется число 7^ =

§ И]
МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА
163
Моментом инерции относительно оси / системы п материальных точек
с массами тг* тг% . ••, тп называется сумма
/='1
где йи с?2» • • •» йп — расстояния точек от оси /. В случае сплошной массы вместо
суммы получаем соответствующий интеграл.
Пример 2. Найти момент инерции треугольника с основанием Ь и вы-
высотой к относительно его основания.
Решение. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту —
за ось ОУ (рис. 58).
Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски
толщины йу, играющие роль элементарных масс йт. Используя подобие тре-
треугольников, получаем:
йт =
к
йу
И
Отсюда
3°. Центр тяжести- Ко*
ординаты центра тяжести пло-
плоской фигуры (дуги или площади)
массы М вычисляются по формулам
- Му -
х ~~ м • у "
Рис. 58.
М '
где Мх и Му — статические моменты массы. В случае геометрических фигур
масса М численно равна соответствующей дуге или площади.
Для координат центра тяжести (х, у) дуги плоской кривой у~
соединяющей точки А (а\ /(а)) и В (Ь\ /(&)), имеем:
в ь в ь
X
а
— А
у=*-
Ах.
а в
Координаты центра тяжести (х, у) криволинейной трапеции
, могут быт вычислены по формулам
ь ь
ь,
где 5 = С у их — площадь фигуры*
6*

164
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. V
Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела.
Пример 3. Найти центр тяжести дуги полуокружности х2-(-г/г —а2
(рис. 59).
Решение. Имеем
Ук г
у = у а2 — х2\ у'
— х
и
У аг-х2
а с1х
—— х
-о
О
Рис. 59.
а
а
а*7 Отсюда
Мк= Г хс1з= Г , ах 41 = 0,
^ ^ У а2 - х2
— а
а
а
а
С
— а
—а —а
Следовательно,
— 2
31
а.
4°. Теоремы Гульдена.
Теорема 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги пло-
плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности,
описываемой центром тяжести дуги кривой.
Теорема 2. Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры
вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей,
равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описывае-
описываемой центром тяжести фигуры.
1727. Найти статические моменты относительно осей координат
отрезка прямой линии
заключенного между осями координат.
1728. Найти статические моменты прямоугольника со сторо-
сторонами а и Ъ относительно его сторон.
1729. Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и
координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми:
у = а, х = 0 и ^ = 0.
1730. Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и
координаты центра тяжести дуги астроиды
лежащей в первом квадранте.
1731. Найти статический момент окружности
относительно полярной оси.

§ 11] МОМЕНТЫ. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ. ТЕОРЕМЫ ГУЛЬДЕНА 165
1732. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
X '
у =
* а
от х = —а до х = а.
1733. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стяги-
стягивающей угол 2а.
1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки циклоиды
х == а (/ — 31П г)\ у = а A — сов
1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
2
х2 и2
х и
эллипсом —г-|-^== 1 и осями координат ОХ и ОУ
1736. Найти координаты центра тяжести фигуры, Ограниченной
кривыми У„д.2; у у~
1737. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды
х=:аA — 31П/у, у=а(\ — соз г)
и осью ОХ.
1738**. Найти центр тяжести полусферы радиуса а с центром в
начале координат, расположенной над плоскостью ХОУ.
1739**. Найти центр тяжести однородного прямого кругового ко-
конуса с радиусом основания г и высотой Н.
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с
центром в начале координат, расположенного над плоскостью ХОУ.
1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно
ее диаметра.
1742. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а, и Ь
относительно его сторон.
1743. Найти момент инерции прямого параболического сегмента с
основанием 2Ъ и высотой к относительно его оси симметрии.
1744. Найти моменты инерции площади эллипса -^.
относительно его главных осей.
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца с
радиусами /?1 и /?2(/?1<СЯ2)> т* е* момент инерции относительно
оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его пло-
плоскости.
1746**. Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса с радиусом основания /? и высотой Н относительно его оси.
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и
массы М относительно его диаметра.
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от вра-
вращения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга
и отстоящей от центра его на расстоянии

166 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
1749. а) Определить положение центра тяжести дуги астроиды
х*1*-\-у*1* = а*1*, лежащей в первой четверти.
б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми у2 = 2рх
и х2 = 2ру.
1750**. а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой
Гульдена.
б) Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести
треугольника отстоит от его основания на одну треть высоты.
§ 12. Приложения определенных интегралов
к решению физических задач
1°. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой
кривой и абсолютная величина скорости ее у = /(^) есть известная функция
времени I, то путьУ пройденный точкой за промежуток времени \1Х, ^2], равен
и
Пример 1. Скорость точки равна
0 = 0,И8 м/сек*
Найти путь 5, пройденный точкой за промежуток времени Т =10 сек, про-
протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот
промежуток?
Решение. Имеем:
10
о
И
0ср = уг=25 м/сек.
2°. Р а б о т а силы. Если переменная сила X = / (х) действует в направ-
направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [хи х%] равна
А = [[(х)йх.
Пример 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см!
Решение. Согласно закону Гука.сила X кГ, растягивающая пружину
на хм, равна Х = кх, где & —коэффициент пропорциональности.
Полагая х = 0,01 миХ = \ кГ, получим к = 100 и, следовательно, Х=100*.
Отсюда искомая работа есть
0,06
0,06
С
х
%
0,18 кГм.
О
о
3°. Кинетическая энергия. Кинетической энергией материальной
точки, имеющей массу т и обладающей скоростью #, называется выражение

§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 167
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами
т2, ..., тш обладающих соответственно скоростями яп я2, ..., Vп, равна
1 = 1
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом раз-
разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а за-
затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы A)
получают интеграл.
Пример 3. Найти кинетическую энергию однородного кругового цилинд-
цилиндра плотности 6 с радиусом основа-
ния # и высотой Н, вращающегося
с угловой скоростью (о вокруг
своей оси.
Решение. За элементарную массу Ат принимаем массу полого цилиндра
высоты /г, с внутренним радиусом г и толщиной стенок йг (рис. 60). Имеем:
Так как линейная скорость массы йт равна о=ггсо, то элементарная кинети-
кинетическая энергия есть
и2йт
йК:= —л—:= кг (о Но йг.
2
Отсюда
■
— ЯШ У Г— 4
о
4°. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости
используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на
площадку 5 с глубиной погружения к равна
Р=ук8,
где у — удельный вес жидкости.
Пример 4. Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса г9
погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверх-
поверхностью воды (рис. 61).
Решение. Разбиваем площадь полукруга на элементы — полоски, парал-
параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (отбрасывая <>. м.
высшего порядка), находящегося на расстоянии к от поверхности, равна
= 2хйк = 2 У г2 - к2 4к.

168 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна
йР = ук с1з = 2ук \ гг *—к2
где у — удельный вес воды, равный единице.
Отсюда вся сила давления есть
г
г 2
о 6
Р = 2 Г к У г2 - к2 йк = — -| (г2 - /г2)
о
1751. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью г^, без учета сопротивления воздуха, дается формулой
где I — протекшее время и %—ускорение силы тяжести. На каком
расстоянии от начального положения будет находиться тело через
\ сек от момента бросания?
1752. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной
скоростью V^у с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
где I — протекшее время, %— ускорение силы тяжести и с — постоян-
постоянная. Найти высоту поднятия тела.
1753. Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг
начала координат, причем скорость ее дается формулой
V = V(^ СО$ ,
где г — время и г/0, со — постоянные.
Найти закон колебаний точки, если при ^ = 0 она имела абсциссу
#=0. Чему равно среднее значение абсолютной величины скорости
точки за период колебаний?
1754. Скорость движения точки V = ^е~0^0^Г л/се/с. Найти путь,
пройденный точкой от начала движения до полной остановки.
1755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая,
что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьше-
уменьшения ее веса растет по закону у = -г—— (а — ^^>0), найти ско-
скорость ракеты в любой момент времени /, если начальная скорость ее
равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту
времени / = ^.
1756*. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выка-
выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус
основания /? и высоту //.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз,
радиус основания которого равен /? и высота И.
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус /?= 10

§12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
169
г
1759. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму
цилиндра с горизонтальной осью, если удельный вес масла у, длина
цистерны Н и радиус основания /?.
1760**. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т под-
поднять с поверхности Земли, радиус которой /?, на высоту /г? Чему
равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761**. Два электрических заряда ео= 100СО8Е и ^х = 200СО8Е
находятся на оси ОХ соответственно в точках хо = 0 и х, = 1 см.
Какая работа будет произведена, если второй
заряд переместится в точку л:2 = 10 см!
1762**. Цилиндр с подвижным поршнем
диаметра 0 = 20 см и длины /=80 см запол-
заполнен паром при давлении р= 10 кГ\смг. Какую
работу надо затратить, чтобы при неизменной
температуре {изотермический процесс) объем
пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную
при адиабатическом расширении воздуха, имею-
имеющего начальные объем Ко=1 мъ и давление
ро=1 кГ\см%, до объема К1==10 м*1 Рис* ЬЛ
1764**. Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на под-
подпятник АВ (рис.1 62). Сила трения между небольшой частью а осно-
основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна /г = |лра,
где /? = сопз1; есть давление вала на поверхность опоры, отнесенное
к единице площади опоры, а |Л— коэффициент трения. Найти работу
силы трения при рднрм обороте вала.
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и ра-
радиуса /?, вращающегося с угловой скоростью о> около оси, проходя-
проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости.
1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса
массы Ж, вращающегося с угловой скоростью со около своей оси,
если радиус основания конуса /?, а высота И.
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный
шар радиуса К=2м, вращающийся с угловой скоростью т=\000об\мин
вокруг своего диаметра? (Удельный вес железа у = 7,8 Г/см*.)
1768. Вертикальный треугольник с основанием Ь и высотой Н по-
погружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на
поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить
силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее осно-
основание плотины а =70 м, нижнее основание # = 50 м, а высота плотины
Н = 20 м.
1770. Найти силу давления жидкости, удельный вес которой V» на
вертикальный эллипс с осями 2а и 2ЬУ центр которого погружен

170 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [ГЛ. V
в жидкость на уровень Ь, причем большая ось 2а эллипса параллельна
уровню жидкости (Н^Ь).
1771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус
с радиусом основания /? и высотой Я, погруженный в воду вершиной
вниз таьс, что его основание находится на поверхности воды.
Разные задачи
1772. Найти массу стержня длины /== 100 см, если линейная плот-
плотность стержня на расстоянии х см от одного из его концов равна
6=2 + 0,001 хх
см
1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды
при температуре 1° С @^2=^ 100°) равна
с = 0,9983 — 5,184. Ю"*/+ 6,912- Ю*2.
Какое количество тепла нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от
температуры 0°Сдо температуры 100° С?
1774. Ветер производит равномерное давление рГ\см* на дверь,
ширина которой Ь см и высота Н см. Найти момент силы давления
ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях.
1775. С какой силой притяжения действует материальный стержень
длины / и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на
одной прямой со стержнем на: расстоянии а от одного из его концов?
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость течения V
в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой
где р — разность давлений жидкости на концах трубы, |и — коэффи-
коэффициент вязкости, /—длина трубы. Определить расход жидкости ф,
т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное сечение
трубы в единицу времени.
1777*. Условие то же, что и в задаче 1776, но труба имеет прямо-
прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь.
В этом случае скорость течения V в точке М(х, у) определяется
формулой
Определить расход жидкости
1778**. При изучении динамических свойств' автовюбияя часто
используется построение диаграмм специального вида: на оси абсцисс

§ 12] ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 171
откладываются скорости V, на оси ординат — величины, обратные
соответствующим ускорениям а. Показать, что площадь 5, ограниченная
дугой этого графика, двумя ординатами у = ух и V = V2 и осью абс-
абсцисс, численно равна времени, необходимому для того, чтобы увели-
увеличить скорость движения автомобиля от V1 до г>2 (время разгона).
1779. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно рас-
распределенной по длине балки, и опорных реакций А и В ( А = В= ~-) ,
ч 2, }
направленных вертикально вверх. Найти изгибающий момент Мх
в поперечном сечении х, т. е. момент относительно точки Р с абсциссой х
всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины / находится в равновесии под
действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки
нагрузки с интенсивностью д = кх, где х — расстояние от левой опоры и
к — постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент Мх в сечении х.
Примечание. Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины.
1781*. Найти количество тепла, выделяемое переменным сину-
синусоидальным током
2я ,
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением /?.

[ Г Л А В А VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1°. Понятие функции нескольких переменных. Обо-
Обозначения фун к ц и й. Переменная величина г называется однозначной
функцией двух переменных я, у, если каждой совокупности их зна-
значений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное
значение г. Переменные х, у называются аргументами или независимыми
переменными. Функциональная зависимость обозначается так:
* = / (х, у), или г = р (ху у) ;й ;т, п.
Аналогично определяются функции трех и большёгр числа аргументов.
Пример!. Выразить объем конуса V
г
как функцию его образующей х и радиуса
основания у. \о
Решение. Из геометрии известно, что
объем конуса равен
V = 1 л у%
где Н — вцсота конуса. Но Н = ух2 — у** Сле-
довательно, , \.
1^
3
Это и есть искомая функциональная зависи-
зависимость.
» У) в точке Р (йу Ь), т. е. при х = а и
Рис. 63.
Значение функции 2 =
у=Ь, обозначается /(а, &) или / (Р). Геометрическим изображением функ-
функции г — [(х, у) в прямоугольной системе координат X, У, 2, вообще говоря,
является некоторая поверхность (рис. 63).
Пример 2. Найти /B,
3) и /( Ь |-
если
Решение. Подставляя х = 2 и # = —- 3, находим:
/B, -3) =
2.2.(-3)
12'

§1]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
173
Подставляя х
1 и заменяя у на ~, будем иметь:
И*
/ 1. - =
т. е.
1. !")=
2°. Область существования функции. Под областью суще-
существования (определения) функции г = /(х, у) понимается совокупность точек
(х, у) плоскости ХОУу в которых данная функция определена (т. е. принимает
определенные действительные значения). В простейших случаях область суще-
существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть
координатной плоскости ХОУ, ограниченную одной или несколькими кривыми
(граница области).
Ч
Ук
О
2 Т
Рис. 64.
Рис. 65.
Аналогично для функции трех переменных и = [(х, у, г) областью суще-
существования функции служит некоторое тело в пространстве 0ХУ1.
Пример 3. Найти область существования функции
1
У4 - х2 - у2
Решение. Функция имеет действительные значения, если 4 — х* — у2 > О
у у >
или #*-{-#8 < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек,
лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область
существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64).
Пример 4. Найти область существования функции
г = агсзн! -^- -{- Уху.
х
2
или
Решение. Первое слагаемое функции определено при — 1 а
— 2^х ^2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если
С^л' или при < ^л1. Область суще-
ствования всей функции изображена на рис. 65 и включает границы области,
3°. Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня
функции г — [(х, у) называется такая линия /(*, у) = С на плоскости Х0У9

174
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
в точках которой функция принимает одно и то же значение г — С (обычно
проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргументов м=г/(х, у, г) называется
такая поверхность /(#, у, г) = С, в точках которой функция принимает по-
постоянное значение и = С,
Пример 5. Построить линии уровня функции г = х2у.
Решение. Уравнение линий уровня имеет вид хгу = С или #=-^. По-
лагая С = 0, ±1, ± 2, ... , получим семейство линий уровня (рис. 66).
1782. Выразить объем V правильной
четырехугольной пирамиды как функцию ее
высоты х и бокового ребра у.
1783. Выразить площадь 5 боковой по-
поверхности правильной шестиугольной усе-
усеченной пирамиды как функцию сторон х и
^ у оснований и высоты г.
1784. Найти /Ц-, з) , /A, — 1), если
1785. Найти /(у, х), /(—х, —у),
рис. ее. -^(т'!)' ику)у если/^^)=—-^
1786. Найти значения, принимаемые функцией
/(х,у)=\^х—у
в точках параболы у = х2, и построить график функции
/ \^} ' у \ I *^ /•
1787. Найти значение функции
в точках окружности х2-\-у* — Я2>
1788*, Определить /(х)у если
{ху>0).
х / У
1789*. Найти /(хуу), если
/(Х+.У, х— у) =
1790*. Пусть г — УуАг/{У~х—1)- Определить функции /и г,
если 2 = х при-у=1.
1791**. Пусть 2 = х/(— \. Определить функции / и я, если
V х /
при х= 1.

§ 2] непрерывность 175
1792, Найти и изобразить области существования следующих
функций:
V а) г==У\—х2—у2; и) х = Уу*\пх\
б) г=1+У — (х— уJ; к) г = \п(х*+у);
в) г = 1п(х-\-у); л) г — ^^
г) 2 = л;4-агссо$ у; м) % = -=—.—=
у
Д) г = уГ^2+УТ=У2; н) г=
V у-У*
е) * = |
Ж) Х = Ухг — 4 +]/Ч —/; П) 2 = 1/8*11 (*'+/)•
з) ^ = |/(лг24--у2 — а2) Bа2 — д:2— .у2)
1793. Найти области существования следующих функций трех
аргументов:
а) и =
б) и = 1п(хуг); г) « = |/ 1 — х2 —у2 — гг.
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить ха-
характер изображаемых этими функциями поверхностей:
а) г = х-\-у\ г) г=Уху\ ж) ^=Л;
б) г = х*-\-у*; д) г=* ^
ВI <2> Л у у с ^ «с- ■■ I *~~~* I л I —— I у I у кк] & ——— ""■«■
1796. Найти линии уровня следующих функций:
а) г = \п{х%-\-у)\ г) г=/(у-
*'\ * «• • \ ^ I У
1796. Найти поверхности уровня функций трех независимых пе-
переменных:
а) и — х -4-
б) « = д;1+в
в) «===== л:2 —|—^у2 — ^2.
§ 2. Непрерывность
1°, Предел функции. Число А называется пределом функции
г ==/(*, у) при стремлении точки Р* (х, у) к точке Р (а, 6), если для любого
8 > 0 существует такое д > 0, что при 0 < (> < 5, где $ = У(х — аJ 4- (у — бJ—

176 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
расстояние между точками Р и Р', имеет место неравенство
\Цх,у)-А\<е. '
В этом случае пишут:
Нт {(х,у) = А.
х -> а
у -» Ъ
2°. Непрерывность и точки разрыва. Функция г =/(х,
называется непрерывной в точке Р (а, Ь), если
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции/(х, у) может происходить
как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках,
образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более
сложные геометрические образы.
Пример 1. Найти точки разрыва функции
г-хЛ+1
х2 — у
Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль.
Но х2 — # = 0 или у = х2 — уравнение параболы. Следовательно, данная функ-
функция имеет линией разрыва параболу у = х2.
1797*. Найти следующие пределы функций:
а) Ит (хг -\-у2) 51п - ; в) Нт 51^; д) Нт -4-- ;
у-*0 У -*■ 2 у -> О
б) Нт 4-Й1 г)Нт
у->оо у -> А у -> о
1798. Исследовать на непрерывность функцию
-х2-У при
0
1799. Найти точки разрыва следующих функций:
а) г = \г\Ух2-\-у2\ в) д?=1де
б) 2 = т то ; Г) 2'=СО5— .
(* — УJ ' ху
1800*. Показать, что функция
при
О при х=у =
непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не
является непрерывной в точке @, 0) по совокупности этих переменных.

3] ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 177
§ 3. Частные производные
1°. Определение частных производных. Если г = /(#, у),
то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
которая называется частной производной функции г по переменной х. Ана-
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции г по
переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно
пользоваться обычными формулами дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные функции
1 X Х
г = 1 п 1р — .
У
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим:
дг_ 1 1 1 _ 2
дх , х „ х у . 2х'
Щ — СО5^ — У 51П ■—
* у у у
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметы
дг
I 1_(_*Л= 2±-
Л 2 \ ^/ 2*
У У У
Пример 2. Найти частные производные функции трех аргументов
х*у2г
Решение. ~ = Зд: 2г/2^ + 2,
2°. Теорема Эйлера. Функция /(дс, (/) называется однородной функ-
функцией измерения л, если для любого действительного множителя к имеет место
равенство
Г(кх, ку)^кп}(*> У)-
Целая рациональная функция будет однородной,# если все члены ее одного и
того же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо
соотношение (теорема Эйлера):
(х> У) + У/у (х> У) = п/ Vе»

178
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Найти частные производные функций:
1801. г — х*-\-у9 — Заху. 1808.
1802. г — ——. 1809#
1810.
1811.
х
1803. г—^-.
х
х".
з!п —
е *
1804. г = Ух2— у1.
1805. г =
хг-\-у
1806. г =
1807. г =
1812. и = (ху)г.
1813. и=
х
1814. Найти /'х{2; 1) и /^B; 1), если /(х,у)=
1815. Найти /'х(\; 2; 0), /^A; 2; 0), /^A; 2; 0), если
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№М
1816—1819):
1816. /{х,у) = Ах* + 2Вху-\-Су*. 1818.
1817.
1820. Найти ~ -
дх
1821. Вычислить
1819.
где
дх
д1 _
дг <?ф
, если
гсо$ф и<у =
1822. Показать, что х ^- -\-у г- = 2, если
1823. Показать, что
= 1п (х
1824. Показать, что
1825, Показать, что
1
ди
дг ,
ду = ХУ-Г** если
= лу -|- ле *.
= 0, если .
—\У) (*—*)(*—*).
дх
^-4^= 1, если
ду * дг '

4] ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 179
1826» Найти г = г(х,у), если
дг х
ду *
1827. Найти г = г{х, у), зная, что
при х=\.
дх х
* 1828. Через точку М(\; 2; 6) поверхности 2 = 2х*-\-у2 проведены
плоскости, параллельные координатным плоскостям Х02. и УО2.
Определить, какие углы образуют с осями координат касательные
к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке М.
1829. Площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой Н равна
5=-тг {а-\-Ъ)К. Найти ^-, ^т, ^г и, пользуясь чертежом, выяснить
их геометрический смысл.
1830*« Показать, что функция
, если
О, если х—у = О,
имеет частные производные /х(хгу) и /'(х,у) в точке @; 0), хотя
и разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой
функции вблизи точки @; 0).
§ 4. Полный дифференциал функции
1°. Полное приращение функции. Полным приращением
функции г = /(х* у) называется разность
Аг = А/ (х, у) = }(х + Ах, у + Ау) — / (х, у).
2°. Полный дифференциал функции. Полным дифференциалом
функции 2 = /(#, у) называется главная часть полного приращения Агу ли-
линейная относительно приращений аргументов Ах и Ау,
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ-
функции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с (>= ^Ах* \ ^
Функция заведомо имеет полны» дифференциал в случае непрерывности
ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она
называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых ггеременных,
по определению, совпадают с их приращениями^ т. е. &х — Ах и 4
Полный дифференциал функции г = /(х, у) вычисляется по формуле
. дг , , дг ,
й2 = гах4-г аи.
дх ду 3
Аналогично, полный дифференциал функций трех аргументов- и=^1 (х, у, г)
вычисляется по формуле
, ди . , ди , . ди ,
аи = -к- ах + -$- Ау + -ч- аг.
Пример 1. Для функвдн*
найти полное приращение и полный дифференциал.

180 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Р е ш е н и е. / (х + Дх, у + Ау) = (х + АхJ + (х + Ах) (у + Ау) — (у + Ьу)*1
Д/ (х,у) = \(х + АхJ + (х + Ах) (у + Ау) -(у + АуJ] - (х2 +ху- у2) =
— 2х-Ая -\-Ах2 -\-х • Ау -{-у • Ах-{- Ах-Ау — 2у-Ау —
= [{2х + у)Ах + (х- 2у) Ау] + (Дх2 + Ах-Ау- Ау2).
Здесь выражение А[ = Bх -\-у) кх-\-(х — 2у) Д«/ есть полный дифференциал
функции, а (Дх2 -)-Д^'Д^ — Д#2) есть бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с бесконечно малой д = "^Дх2 -\- Дг/2.
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
г = Ух2 + у\
~ дг х дг у
Решение. -«-= * —
дх
хс1х4-ус1у
3°. Применение полного дифференциала функции к
приближенным вычислениям. При достаточно малых | Ах | и | Д# |,
а значит, при достаточно малом д = У~Ах2-\-Ау2 для дифференцируемой
функции г = }(х,у) имеет место приближенное равенство кг^йг или
дг А , ^2 А
дх %
Пример 3. Высота конуса Н = 30 еле, радиус основания /? = 10 ел*.
Как изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить /?
на 1 л*л«?
Решение. Объем конуса равен V =-~-тсЯ2//. Изменение объема заме-
ним приближенно дифференциалом
АК =5= ЛУ = 4- я B/?Я <*Я + ^2 ^Ю =
= у я ( - 2-10-30-0,1 + 100-0,3) =— 10 я =*г — 31,4 еж8.
Пример 4. Вычислить приближенно 1,02е»01.
Решение. Рассмотрим функцию г = ху. Искомое число можно считать
наращенным значением этой функции при# = 1, у — 3, Ддс = 0,02, Ду = 0
Первоначальное значение функции г==1* = 1,
Аг ^ 6,г = ух?"! Д^ + х* 1п х Ау = 3-1 -0,02 + 1. 1п 1 -0,01 = 0,06.
Следовательно, 1,028'01 ^= 1 + 0,06 = 1,06.
1831. Для функции /(л:, у)=х2у найти полное приращение и пол
ный дифференциал в точке A; 2); сравнить их, если:
а) Ах=1, &у = 2; 6) Дд; = 0,1,
1832. Показать, что для функций а и V нескольких (например,
двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования:
а) й (и -\~ V) = йа -\- с1у\ б) й {№) = V йи -\- и (IV;
х . ( и\ ьАи — иАу
В) йМ — ) = 5 •

§ 4] ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ' 181
Найти полные дифференциалы следующих функций:
1833. г = хь-\-уг — Злу/. 1841. *=1п1е~.
1834. г = хгу\ 1842. Найти а/(\; 1),
1835. г = $=^ ■ если /( У)
1836. г = апях + соз*у. 1843< и =
1837. г=уХУ. 1844' « =
1845. и=
1838. г=1п(л;2+.У2).
^ 1846. и — гтс\&^.
1839. ^)
X ^г
1840. г =
«1 V
{ агс!§
У х2 -{-у2
1848. Одна сторона прямоугольника а= 10 сл^, а другая Ь= 24с
Как изменится диагональ / прямоугольника, если сторону а удлинить
на 4 мм, а сторону # укоротить на 1 мм! Найти приближенную ве-
величину изменения и сравнить с точной.
1849. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см,
8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить при-
приближенно объем затраченного на ящик материала.
1860*. Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают
уменьшить на 1°. На сколько надо удлинить радиус сектора» чтобы
площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина
радиуса равна 20 см!
1851. Вычислить приближенно:
а) A,02)8.@,97J; б) /D,05J+ B,93J;
в) 31П 32°-со$ 59° (при переводе градусов в радианы и При вы-
вычислении 81П 60° брать три значащие цифры; последний знак округ-
округлить). , .-.
1852. Показать, что относительная ошибка произведения при-
приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1853. При измерении на местности треугольника ЛВС получены
следующие данные: сторона а=\00 м±2 м, сторона Ь — 200м±3 м,
угол С=60°±1°. С какой степенью точности может быть вычислена
сторона с?
1854. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
где /—длина маятника и $—ускорение силы тяжести. Найти по-
погрешность в определении Г, получаемую в результате небольших
ошибок А/ = аи Д#=р при измерении / и

182 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1866. Расстояние между точками Яо(#о, у0) и Р(х, у) равно
а угол, образованный вектором Р0Р с осью ОХУ равен а. На сколько
изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Ро, займет
положение Рх(х-\-йх, ^
§ 5. Дифференцирование сложных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Если г = / (х, у)
есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь
являются дифференцируемыми функциями независимой переменной I:
то производная сложной функции г = / [ф (/), ч|? (/)] может быть вычислена по
формуле
Лгдгдх . дгЛу п\
В частности, если I совпадает с одним из аргументов, например х, то
«полная» производная функции г по х будет:
B)
Пример 1. Найти -т., если
где *
Решение. По формуле A) имеем:
51П 0 = б8 С°8 ^+2<2D^ - 3 81П 0.
Пример 2. Найти частную производную =- и полную производную
•т-, если
их
где у =
^2
Решение. ^- = ^^. На основании формулы B) получаем
2°. Случай нескольких независимых переменных. Если
2 есть сложная функция нескольких независимых переменных, например
2 = /(а:, у), где х = у(и, у), у = Ц(и9 V) (и и V — независимые переменные; /,
Ф, \|) — дифференцируемые функции), то частные производные г по и и V вы-
выражаются так:
дг дг дх ' дг^ ду ,о\
Ш Ъхдп дуди
и
^_^^.^ D)
дх дV^ дудV^

§ 5] дифференцирование сложных функций 183
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
. дг . . дг ,
аг = -—ахЛ- - - Аи
дх ' ду ')
(свойство инвариантности полного дифференциала).
__. о и „ дг дг
Пример 3. Найти ^- и -^ , если
^ ^ ди о\)
г = 1(х,у), где х — ш, У = —•
Решение. Применяя формулы C) и D), получим:
и
дг .' , . / . . и
Пример 4. Показать, что функция г = <р (х2 + У2) удовлетворяет урав-
дг дг л
нению у з х-к- = 0.
*дх ди
Решение. Функция <р зависит от х и у через промежуточный аргу-
аргумент х2-{-у2 — /, поэтому
дг йгд1 ,
л" = -Г* Т = Ф
и
йг дг
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:
= 2ху ф' (х2 + у2) — 2ху ф' (х2 + У*) ^ О
т. е. функция 2 удовлетворяет данному уравнению.
1856. Найти -гт» если
2: = —, где
1857. Найти -тт, если
аг 7
=г, где х = 3*\ у =
1858. Найти -п , если
—л:^, где
1859. Найти -тт, если
У
, где # =
1860. Найти д-, если
, где а =

184 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1861. Найти ^- и -г- , если
дх их'
У- и
1862. Найти *- и -у-, если
ох ах
= ху, где ^ =
1863. Найти 5~ и з-, если
дх ду'
=/{и^), где и = л:2—
1864. Найти з- и з~
х
— , где л: =
1865. Найти ^- и ■=- , если
, где и =
1866. Показать, что если
2), где л: = /?соз ф
у == /? СОЗ ф 31П 1(), г=/?31Пф,
то
^ и
ф
1867. Найти -^, если
2г = ф(х, .у).
1868. Показать, что если
где /—дифференцируемая функция, то
1869. Показать, что функция
где и = х-\-а(, V=у-\-Ы> удовлетворяет уравнению
дм дт ! и дхю
д1 дх [ ду ,

§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 185
1870. Показать, что функция
г=уу{х* — у2)
удовлетворяет уравнению
1 дг , 1 дг г^
х дх ' у ду уг '
1871. Показать, что функция
*=*.у+*ф (■■■■
удовлетворяет уравнению
дг , дг
1872. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1873. Сторона прямоугольника х = 20 м возрастает со скоро-
скоростью 5 м/се/с, другая сторона у = 30 м убывает со скоростью 4 м\сек.
С какой скоростью изменяются периметр и площадь прямоуголь-
прямоугольника?
1874. Уравнения движения материальной точки
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала
координат?
1875. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта Л, дви-
движутся один на север, другой на северо-восток. Скорости движения
пароходов: 20 км\час и 40 км\час. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними?
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции
1°. Пр о и з во д ная функции в данном направлении.
Производной функции г = 1(х, у) в данном направлении 1 — РРг называется
= иш ШШ,
д1 р,р->о РХР
где /(Р) и }(Р^ — значения функции в точках Р и Р1# Если функция г диф-
дифференцируема, то справедлива формула
дг дг . дг . /1ч
37 = 5- с08 а + 5~ 8Ш а> A)
д1 дх ' ду * ч '
где а — угол, образованный вектором / с осью ОХ (рис, 67).

186 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Аналогично определяется производная в данном направлении / для функ-
функции трех аргументов и = [(х, у, г). В этом случае
ди ди . ди о . ди /ОЧ
-57 = " С08 а + -*- С08 Р + -з- с°5 V» B)
д1 дх ' ду г ' дг г ч 7
где а, р, V — углы между направлением / и соответствующими координатными
осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения
функции в этом направлении.
Пример 1. Найти производную функции г = 2х2 — Зу2 в точке Р A; 0)
в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.
Решение.- Найдем частные производные
данной функции и их значения в точке Р:
дг л (дг\ .
4;
= — 6у; ч- =■- 0.
*% \ду)р
Здесь
сов а = со» 120°'= ^ ,
О
Рис- б7- 8Ша = 81п120о =
Применяя формулу A), получим:
1
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении
убывает.
2°. Градиент функции. Градиентом функции г = /(;с, у) назы-
называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответ-
соответствующие частные производные данной функции:
Производная данной функции в направлении / связана с градиентом функ-
функции следующей формулой:
щ — пр/
т. е. производная в данном направлении равна гароекщги градагента функции
на направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствую-
соответствующей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке
есть направление наибольшей скорости возрастания функций в это* точке,
дг
т. е. при 1 = %гадг производная ^-- принимает наибольшее значение, равное
/(«

§ 6] ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ И ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ 187
Аналогично определяется градиент функции трех переменных м = /(дг, у, г):
ди . . ди . . ди и
дг
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 2. Найти и построить градиент функции г = х2у в точке Р A; 1).
Решение. Вычислим частные производные и их значения в точке Р.
дх *' \дх]р
дг2 (дг\
Следовательно, §гас1 г = 2/ -(-у (рис. 68).
1876. Найти производную функции 2=--«
х2 — ху — 2у2 в точке Р(\; 2) в направлении,
/ 2 3 X
составляющем с осью ОХ угол в 60°. - Рис. 68.
1877. Найти производную функции 2 =
= х* — 2хгу-\-ху*\-\ в точке М(\; 2) в направлении, идущем от
этой точки к точке ND; 6). _____
1878. Найти производную функции г—1п}/гх2-\-у2 в точке Р(\; 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
1879. Найти производную функции и = х2 — Зуг-\-5 в точке
М(\; 2; —1) в направлении, составляющем одинаковые углы со
всеми координатными осями.
1880. Найти производную функции и = ху А^уг-\-гх в точке
Ж B; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке NE; 5; 15).
1881. Найти производную функции а = 1п(ех-^~ еУ -\-е?) в начале
координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, ОУЧ
02. углы, соответственно, а, {$, ^
1882. Точка, в которой производная функции в любом направле-
направлении равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.
Найти стационарные точки следующих функций:
а) г = х2-\-ху-{-у2 — 4х — 2у;
б) г = хг-\-уг — Ъху\
в) и = 2у2-\-г2 — ху—уг-\-2х.
1883. Показать, что производная функции г—— , взятая в любой
Лг
точке эллипса 2х2-\-у2=С2 вдоль нормали к эллипсу, равна нулю.
1884. Найти ^гайя в точке B; 1), если
г — Зху.
1885. Найти ^гайя в точке E; 3), если
1886. Найти %га<1и в точке A; 2; 3), если и =

188 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1887. Найти величину и направление &гас!и в точке B; —2; 1),
если
1888. Найти угол между градиентами функции 2 = 1л —в точках
и*
|; -1) и В(\; 1).
)
1889. Найти величину наибольшего подъема поверхности
в точке B; 1; 8).
1890. Построить векторное поле градиента следующих функций:
а) г = х-\-у; в) г = хг-\-у2;
б) г = ху; г) и—
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
1°. Частные производные высших порядков. Частными
производными второго порядка функции г = /(х, у) называются частные про-
производные от ее частных производных первого порядка.
Для производных второго порядка употребляются обозначения
дх\дх)~дх2~'хх{Х'
_ дЧ __ „
-Шу-Г*у{х' У)И т'
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка
выше второго.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то
результат многократного дифференцирования не зависит от порядка, диффе-
дифференцирования. ., . ,
Пример 1. Найти частные производные второго порядка от функции
* х
г = агсщ — .
у
Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:
дг _ 1 ^ 1 __ у
дх~ х2' у ~~х2+у2 '
1  2
у2
дг1 / х \х
[ )
дГу~7Т1
1+
2
Теперь дифференцируем вторично:
д2г _ д / у \_ 2ху
дх2~~дх\х2+у2)~ (х2 + у
_ д ( х \ 2ху
[ )
ду2~ду[ х2 + у2) "" (х2 ■+ у2J'
у
( :==
дхду~ду\х2 + у2)-~ (х2+у2J (х2 + у*)

§ 7] ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 189
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно
найти и иначе, а именно:
д2г __ д2г __ д / х \__ \>(х2+у2) — 2х-х __ х2 — у2
дх ду ду дх дх \ х2 -(- У2) (х2 + у2J ~
2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом
второго порядка функции 2 = Ц(я, у) называется дифференциал от дифферен-
дифференциала (первого порядка) этой функции
Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше вто-
второго, например:
с1*г =
и, вообще,
Если г ==/(*, у), где х и у — независимые переменные и функция / имеет
непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал 2-го по-
порядка функции г вычисляется по формуле
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символиче-
символическая формула
I д д\п
апг = с1х ^- -±-с1у г?- г,
V дх ' ду)
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если г = [(х, у), где аргументы х и у суть функции одного или несколь-
нескольких независимых переменных, то
дг ..
Если х и у — независимые переменные, то Л = 0, й2у = 0 и формула B)
становится тождественной формуле A).
Пример 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции
г = 2х2 — Зл:# — у2.
Решение. 1-й способ. Имеем:
•л Л
— = 4х — Зг/, 5- = — За; — 2г/.
(?л: ду у
Поэтому
(^2 ^2
<Ь = ^ах + щ}4у = Dх ~ Зу) ^ - (Зх + 2у) йу.
Далее,
дл:2"" ' дхду"" ' ду2~~ '
откуда следует, что
йхЛу + ^ Л,» = 4^х2 - 6 их <(9 - 2
2-й способ. Дифференцированием находим:
6,у) — 2уа'у = D# — Ъу) их — (За; + 2у) йу.

190 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Дифференцируя еще раз и помня, что их и б!у не зависят от х и у, получим:
й2г = (Ых - Ыу) дх — {Ых + 2йу) Ау = Ых* — Ых йу — 2йу2.
д2г д2г д2г
1891. Найти ■=—., ^~з~» 5-2 > если
дх2' дхду' ду2 *
С / 
<?г (?г ^г
1892. Найти -г-*, ^—л-» лг если
дх2' дхду* ду2 т
1893. Найти тг-т-, если
г=У2ху-\-у\
д2х
1894. Найти ^~з~, если
дх ду *
1 — ху
д2г
1895. Найти ^-2, если
1896. Найти все частные производные 2-го порядка функции
д*и
1897. Найти ш^% если
дг
1898. Найти ч ^ 2) если
51П
Д@ 0) Д @ 0) /^
1899. Найти Д@, 0), Д @, 0), /^@, 0), если
д^2 д2х
1900, Показать, что-г—з-=зг-з-, если
1 дх ду ду дх '
»
х
д2г д2г
1901. Показать, что тт-^г — тг-*-> если
' дх ду ду дх '
1902*. Показать, что для функции
С добавочным условием /@, ©) = 0 имеем
, 0) = - 1, /уяф, 0) = + 1.

§ 71 производные и дифференциалы высших порядков 191
д2г д2г дгг
1903. Найти ^~,, -г—з- , ;п, если
дхг • дхду ду%'
где I
1904. Найти ^, если
;, у, г), где г =
<?г (?г (?г
1905. Найти ^-2, 3—3- » зп» если
<?^2' дхду* ду2'
г=/(и, V), где м^
1906. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа
О
1907. Показать, что функция
где г = У (х — аJ -{- (у — ^J, удовлетворяет уравнению Лапласа
1908. Показать, что функция
и(л;, /) = Л зш (а М -\- ф) З1п Кх
удовлетворяет уравнению колебаний струны
дЧ_ 2д2и
~п дх2 #
1909. Показать, что функция
1
и (^» У у г* 0 =
Bа
(х0, <у0, ^0, а — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 2 / д2а , д2и , <52а \
1910. Показать, что функция
д = ф (л; — а/) -[- \|? (д:

192 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
ь
где ф и г|) — произвольные дважды дифференцируемые функции, удо-
удовлетворяет уравнению колебаний струны
дги 2 д2и
1911. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
1912. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
2
х
1913. Показать, что функция г=/\х-\-у{у)] удовлетворяет
уравнению
дг д2г дг д2г
дхдхду дудх2 *
1914. Найти и = и(х,у), если
1915. Определить вид функции и = и(ху у), удовлетворяющей
уравнению
дх"
1916. Найти й?2^, если
1917. Найти й?2и, если
1918. Найти й?2^, если
г=(р(*), где
1919. Найти их и й?2<г, если
у где и = —
*7
1920. Найти й2г, если
), где

§ 8] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 193
1921. Найти йгг, если
2=/(и,у)у где и=хеуу V=уеx.
1922. Найти йгг, если
2= в* СОВ у.
1923. Найдя дифференциал 3-го порядка функции
г = х соз у -\- У 31П а:,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924. Найти й/A, 2) и й"/A, 2), если
/(а;, д/) = л;2 -{- *у +.У2 — 4 1п л: — 10
1925. Найти й?2/@, 0, 0), если
, у, г) = х2 + 2/ + З*2 — 2ху
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы выра-
выражение Р (х, у)с1х-{-С1(х, у)с1у, где функции Р (х> у) и (} (х, у) непрерывны
в односвязной области Ь вместе со своими частными производными первого
порядка, представляло собой в области # полный дифференциал некоторой
функции и (х, у), необходимо и достаточно выполнение условия
дх^ду '
Пример 1. Убедиться в том, что выражение
Bх + у) их + (х + 2у) 4у
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Решение. В данном случае Р = 2х-{-у, (}=1х-\-2у. Поэтому
дР ,
= -г— =: 1 и, следовательно,
Bх + у)Лх+(х + 2у) с1у = с1и = ^ах + ~ йу,
где и — искомая функция.
По условию ^- = 2х + у, следовательно,
и= ^ Bх + у) Лх = х2 + ху-{- у (у).
Но, с другой стороны, щ = х-\-^ (у) = х+2у, откуда
и
Окончательно,
2°. Случай трех переменных. Аналогично выражение
Р(х, у, г)<1х + (}(х, у, г)йу-{-К(х, у, г)йг,
7 Г. С. Бараненков и др.

194 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
где Р(х, у, г), (?(х, </, г), К (*, у, г) — непрерывные, вместе со своими част-
частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и г, тогда и
только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции
и (х, У» 2) в пространственно односвязнои области Д когда в Ь выполнены
условия
дх ду ' ду дг ' дг дх #
Пример 2. Убедиться в том, что выражение
\)с1г
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.
Решение. Здесь Р = 3х2 + 3у—1, (} = г2 + 3х, К = 2уг+\. Уста
навливаем, что
ду ду дг дг дх
и, следовательно,
йу+ {2уг+ \)дг = йи =
(?а , . ди . . ди
= з- ^ + з- ^ +
дд: 1 ду
ду
где м — искомая функция.
Имеем:
значит,
о=^(Зд;2 + Зу-1)Лс=:х8+3^-^+ф((/, г).
С другой стороны,
ди
откуда ~^ = гг и ^- = 2^2 4-1. Задача сводится к отысканию функции двух
переменных ф (у, г), частные производные которой известны и выполнено
условие полного дифференциала.
Находим ф:
ф {у> г) = ^ гЧу = угг + ф (г),
т. е. ф(у, г) = уг*+г + С Окончательно получаем:
и = ж8 + Зх# — х
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными диф-
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1926. уйх-\-хйу.
1927. (соз х + Зл:2^) их -\- {х* —у2) йу.

§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 195
«ллл х 4- %У 1 %х — у
1930.
1931. - х йхА-
+
1932. Определить постоянные а и Ь так, чтобы выражение
2ху + у2) <*х - (х2 + 2ху + Ьуг) йу
(х* + У2J
было полным дифференциалом некоторой функции гу и найти послед-
последнюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными диф-
дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. {2х^у^х)йхАг{х-\-2уАгг)йу-\-{х-\-уАг
1934. (Зх2 + 2у24-Зг)ах + D^\-2у — г)йу-\-(Зх —у — 2)их.
1935. Bл:^ — 3/г: + 8л:/ + 2) их +
+ 2 + *2 + *"У — Зху2 + 3)
1936. A-*ах+(^
\У * ) "Ч2 У2
1937 х
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
х у у Ьх
(*+</)*' (х + УJ'
где X — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент А»,
чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять функция /(дг, у)>
чтобы выражение
/{х, у) {их + йу)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если
аи =/(ху) {у йх-\-х йу).
§ 9. Дифференцирование неявных функций
1°. Случай одной независимой переменной. Если уравне-
уравнение /(*, у) = 0% где /(*, #) — дифференцируемая функция переменных х и у,
определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функ-
функции при условии, что /' (х, у) Ф 0, может быть найдена по формуле
1'(*> У)

196 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Производные высших порядков находятся последовательным дифференциро-
дифференцированием формулы A).
п - 1 тт « йч Л2у
Пример 1. Найти ~ и -~ , если
г г их их2
(х2 + у2)8 - 3 (х2 + у') + 1 = 0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через [(х, у),
найдем частные производные
(*. у) = 3 (х2 + У2J-2х -3>2х=:6х [(х2 + у2J - 1],
1'у(х9 у) = 3(х
Отсюда, применяя формулу A), получим:
йу _ Г'х (х. У) _ 6л: [(л:2 + У2J - 1] __ *
Г'у(х. У) 6г/[(** + ^J-1] у
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер-
первую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
х
ах2 йх\ у ) у2 у9- у3
2°. Случай нескольких независимых переменных. Ана-
Аналогично, если уравнение р (х, у, г) = 0, где Р (х, у, г) — дифференцируемая
функция переменных х, у и г, определяет г как функцию независимых пере-
переменных х и у и Рг (х, у, г) Ф 0. то частные производные этой неявно задан-
заданной функции могут быть найдены по формулам:
дг Рх(х, У, г) дг М*- у, ,
Э* Р'г (х, у, г) ду Р'г (х< у< г)
Другой способ нахождения производных функции г следующий: дифферен-
дифференцируя уравнение р (х, у, г) — 0, получим:
дР , . дР . , дР А
з- их + ^- йу + ^- йг — 0.
^л: 1 ду * дг
лл , дг дг
Отсюда можно определить йг, а следовательно, ^- и ^-.
п п и « дг дг
Пример 2. Найти =- и ■=- . если
дх ду
Решение. 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения
через р(х, у, г), найдем частные производные
Р*х(х, У, г) — 2х, р'у(х, у, г) = —4у—г + \, р'г(х, у, г) = 6г — у.
Применив формулы B), получим:
У, *) 2х дг ?'у (^> У» г) \ — 4у - г
Тх~~ ?'г(х> У, г)" 62-V Ту— Р'г(х,у,г)~~
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х их — Ау &у -(- 6г йг — у &г — г йу + &У' = 0.

§ 91
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
197
Отсюда определяем йг, т. е. полный дифференциал неявной функции:
2х их + A — 4у — г) Ау
иХ ——
——————
У — 6г
Сравнивая с формулой б.г-=: — йх-\--^-6,у, видим, что
дг
2х
дг 1 — Ау — г
дх у — 6г* ду у — 6г
3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений
Р(х, У, и, V) = 0,
О(х, у, и, V) — 0
определяет и и V как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
дР <№
ди дV
дО сЮ
ди дV
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные)
могут быть найдены из системы уравнений
дР <дРИ \дрл \дри _о
дх ду ди дь
дО..дО..дО..дО. Л C)
д?ах + дуау + ^аи + ~ах> = 0'
Р(Р, О)_
О (и, V) ~~
ди
Пример 3. Уравнения
и
определяют и и V как функции от х и у; найти
ди ди
и
дь
ду
чим:
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения поя, полу-
ди .дV
дх + дх~~ '
дх ' дх
отсюда
_ и-\- у дь и-\-х
~~~~х — у* ~д~х~х — у'
Аналогичным образом найдем:
ди V 4- У дV V
' ду~~ ~~
х-У
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связываю-
связывающие дифференциалы всех четырех переменных:
йи + (IV = их 4- ^#,
йи 4- м ^д; 4- у й\)
0.

198
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. V!
Решив эту систему относительно дифференциалов йи и йь, получим:
Отсюда
*-
ди
дх'
дь
-у
и
и
X
4-
+
X
>
У
-у9
дх
ди
ду
') V
дх х — у* ду х — у '
4°. Параметрическое задание функции. Если дифферен-
дифференцируемая функция г от переменных х и у задана параметрически уравнениями
х = х(и9 V), у—у (и, а), г —г (и, V)
и
Р{х, У)
О (и, V)
дх
ди
ду
ди
дх
дV
ду
дV
5*0,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
, дх , . дх
ах = г- Ли 4-
ди
д* . , &.
= -г- йи + -г- аи.
ди ' ^
D)
Зная дифференциал
дг дг
= р и ■=-== а.
~р йх-{-р
находим частные производные
Пример 4. Функция г аргументов # и у задана уравнениями
и „ дг дг
Найти ^- и —.
дх ду
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения,
связывающие дифференциалы Есех пяти переменных:
йу = 2ийи-\- 2V
йг = Зи2 йи -(- Зу2 йо.
^
Из первых двух уравнений определим йи и <&>:
2%) их — йу А " ^г/ — 2м ^/л;
^"— 2@-н) ' ЙУ~" 2 (о-и) *
Подставим в третье уравнение найденные выражения йи и
— йу , л щйи — 2и
2 (V — Ц
З

§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 199
Отсюда
дг « дг 3 ,
Зи ■*- = -и- (и
' д# 2
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти.
дг о 2 ди , о , до дг о - ди . о 2 до -.
~ = Зи2 ^- 4- Зо2 з-; з- = Зи2 з- + Зу2 ^-. E)
ад; дх * дх ду ду 1 ду '
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у:
. ди ^дV 0 ди
О = 2и ^- + 2у -г- , ^ 1 = 2и ч- + 2о ^- .
д ' д ду х ду
Из первой системы найдем:
о до и
— и' дх и — о"
Из второй системы найдем:
ди 1 до 1
Подставляя выражения -г- и ^- в формулу E), получим:
^ = за2—— + Зо2 —— = — Зио,
дх о — и ' и — о
+ 3* = ~ (и-}-о).
2 ' '
^^Зи;— + 3о .~=
ду 2(и — V) 1 2 (о — и) 2
1941. Пусть ^у есть функция л:, определяемая ур-авнением
1
а2 "Г б1
ПаЙТИ ^ • ^ И Лс« '
1942. Пусть у есть функция, определяемая уравнением
х* -}-/ + 2аху = 0 (а > 1).
Показать, что -т-| = 0 и объяснить полученный результат
1943. Найти ^, если
1944. Найти ^ и ^, если
1945. Найти ($Л « (Й) . если
х2 — 2ху-{-у*-{-х-\-у — 2 = 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить
график данной кривой в окрестности точки х==1.

200 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1946. Функция у определяется уравнением
1п У*2+У2 = а агс^ & (а ф 0).
X
Найти — и -т\.
их йхг
1947. Найти -У и -Д, если
— 1п (**■" + *-**) = 0.
1948. Функция % переменных хну задана уравнением
* • + 2/ + *' — Зл:^ — 2^ + 3 = 0.
Найти з- и б- .
ох ду
1949. Найти з- и х-, если
дх ду
хсо$у-\-усо$г-\-гсо$х=\.
1950. Функция г задана уравнением
Найти -к- и -д- для системы значений л: = —1, у = 0, г=\.
1ЛР1 „ и дг дг д2г д2г д2г хг . уг , г2 -
1951. Найти ^-, ^-, ^-г, ч—т-, ^-т , если -0 + Х2 + -2- —1.
дх' 0^' ох2 ' дхду' ду2 ? а2 ' б2 ' с2
1952. /(*, ^ 2?) = 0. Показать, что
1953. 2 = ф(л;, ^у), где ^у есть функция хл определяемая уравне-
уравнением \р(х,у) = 0. Найти -т- .
1954. Найти йг и й?2^, если
1955. Пусть г есть функция переменных х и у, определяемая
уравнением
2л;2 + 2/
Найти й?2 и Л: для системы значений л: = 2, ^ = 0, 2==1.
1956. Найти ^ и й?2г, если 1п,гг = л:-|-^'Ь'г:—*• Чему равны
производные 1-го и 2-го порядков функции ^?
1957. Пусть функция г определяется уравнением
х* +/ + ** = Ф (ал: + ^ + **)»
где ф — произвольная дифференцируемая функция и а, Ь> с — посто-
постоянные. Показать, что

§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 201
1958. Показать, что функция г, определяемая уравнением
Р(х— ах, у— Ьг) = 0,
где Р—произвольная дифференцируемая функция своих аргументов,
удовлетворяет уравнению
дх > ду
дх > ' ду
1960. Показать, что функция г, определяемая уравнением
= д;ф(B:)-|-1|)((г), удовлетворяет уравнению
1959. Р[ — , — )=0. Показать, что х
\ г ' г ) '
д2г Гдг\* ^дгдг д2г , д2г
2 ) д*~2
дх2 \ду) дхдудхду*~ду2 \дх)
1961. Функции у и % независимой переменной х заданы системой
уравнений *2+/ — г2 = 0, *2+ 2/ + 3*2 = 4. Найти ^ , %,%>
~г при х=\, у = 0, г=\.
1962. Функции у VI г независимой переменной х заданы системой
уравнений
Найти йу, их, йгу, й2г.
1963. Функции и VI V независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
ПрИ Х~~ ' У~
Вычислить
ди ди д2и д2и д2и
дх' ду' дх2' дхдуу ду2 ' дх у ду' дх2 ' дхду у ду*
1964. Функции и и V независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
и-\-V = x, и—уV = 0.
Найти йи, (IV, йги, Л.
1965. Функции и и V переменных х и у заданы неявно системой
уравнений
Няй
дх' ду' дху ду'
1966. а) Найти ^ и ~ , если л; = асо5г/, у — и$^пV, % —
б) Найти ^ и г» если л; = и+г/, у = и — г;,
' дх ду ' I » ^
в) Найти йг, если л;—е

202 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.VI
1967* 2=р(г, ф), где г и <р — функции переменных х и у,
определяемые системой уравнений
и„ дг дг
Найти а- и з-.
дх ду
1968. Рассматривая г как функцию х и у, найти ^- и ^-, если
= а соз ф соз г|э, у =
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие
в них производные следует выразить через производные по новым перемен-
переменным, используя правила дифференцирования сложных функций.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащих
обыкновенные производные.
Пример 1. Преобразовать уравнение
1
полагая х = -— .
Решение. Выразим производные от у по х через производные от у
по /. Имеем:
(И
й2у = ± (*У\ —
йхг йх\йх)
= ^2^
с1х \ 6,1
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заме-
заменяя х через — , получим:
ИЛИ
Пример 2. Преобразовать уравнение
уа2у
Х
приняв у за аргумент, а х за функцию.

§ Ю1
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
203
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х
по у
^=1
6.x Ах1
А2х
А)
Ах2 Ах1 Ах 1 Ау{Ах)Ах ( Ах_\ Ах
\Ау/ \ Ау) Ау \Ау
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
АН
1 1
Ау"
Ах\*
Ау) -
(Ах\* Ах
\Ау) Ау
= 0,
или, окончательно,
АН %
Пример. 3. Преобразовать уравнение
Ах х — у 9
перейдя к полярным координатам
Х=ГСО8ф, # = Г81Пф. A)
Решение. Рассматривая г как функцию ф, из формул A) получим:
Ах = СО8 ф Аг — Г 81П ф ^ф, Ау = 81П ф Аг + Г СО8 ф б2ф,
отсюда
Аг
. , 8^ ф
8 П? ^
Аг .
ф -з Ь Г СО8 ф
^^ф '*
СОЗ ф -; Г 81П Ш
Т^ф т
Ах соз ф Аг — г з!п ф
Подставляя в данное уравнение выражения для а:, у и ^ , будем иметь:
н л соз ф
соз ф -2 г
т ^ф
Г СОЗ ф -|- г 8^, Ф
Г СОЗ ф — Г 31П ф '
или, после упрощений,
= г.
2е* Замена переменных в выражениях, содержащих
частные производные.
Пример 4. Уравнение колебаний струны
дх

204 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
преобразовать к новым независимым переменным а и Р, где а = х — а19
Р +
Решение. Выразим частные производные от и по х и / через частные
производные от и по а и р. Применяя формулы дифференцирования сложной
функции
ди ди да . ди д$ ди ди да ди
получим:
ди ди . ч , ди (ди ди\
д1 да ' дб \д& да!
ди ди . , ди ди .ди
Тх~~да' +Щ ^
Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:
\д1) д1 ~~
д2и дЧ\ , х . (&и дЧ \
(дЧ дЧ д*и
[д2
{да2
дЧ д (ди\ д (ди\ да , д (ди\ д§
дх2 дх \дх) да \дх) дх~*~ д$ \дх] дх
да
I / 1
дЧ
Подставив в данное уравнение, будем иметь:
д2и дЧ дЧ\_ (дЧ дЧ дЧ\
или
дЧ
= 0.
Пример 5. Преобразовать уравнение х2 -т- + уг ^ + г2, приняв за
1 1
новые независимые переменные и = х, у = и за новую функцию
— ±__1
г х
о дг дг
Решение. Выразим частные производные -г- и •=- через частные про-
дии дхю „ . ,
изводные V— и -г—. Для этого продифференцируем данные соотношения
между старыми и новыми переменными
их йу , Ах йг

§ Ю1
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
205
С другой стороны,
Поэтому
. дхю . , дхю
дт = •Б— аи + -^~
ди ' до
дхю
дхю
их йг
х2 г2
или
Отсюда
и, следовательно,
и
дхю
дп
, 1
= г2 -г- —
\ х2
дхю (их &у
Ъ 7л
дхю
ди
1
их йг
хг г2 '
г2 дхю
дхю ,
-^- ау
д V 2 ди х2
дг г2 дхю
ду~~'у* до '
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим:
, 2 / 1 дхю \ дхю\ . „ дхю 2
\хг ди х2 до у т до
или
дхю
ди
= 0.
1969. Преобразовать уравнение
~ их"
полагая х = ег.
1970. Преобразовать уравнение
йх*
О,
полагая л;=С05 I.
1971. Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент у*
а) Тл~т гУ \ ~л ) —у»
1972. Тангенс угла (ш, образованного ка-
касательной МТ и радиусом-вектором ОМ
точки касания (рис. 69), выражается сле-
следующим образом:
1+ — У'
X
Г
Рис. 69.
Преобразовать это выражение, перейдя к полярным координатам:
х ==г сов ф, у==г з!пф.

206 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
1973. Формулу кривизны линии
(У')г\Ч*
выразить в полярных координатах х = гсо5ф, у = г$1П(р.
1974. Преобразовать к новым независимым переменным и и V
уравнение
дг дг
х
если и = х, у — х2-{-у2.
1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и V
уравнение
дг , дг
дх ! * ду
если и = х, V = ~.
1976. Уравнение Лапласа
= 0
ду*
преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая
1977. Преобразовать уравнение
О
%
у
полагая и = ху и г> = —.
1978. Преобразовать уравнение
дг дг
введя новые независимые переменные
/ +
И НОВуЮ фуНКЦИЮ \
1979. Преобразовать уравнение
а»? . аг_0
приняв за новые независимые переменные и = х-\-у% ^ = — и за но-
вую функцию «;=—.

§11] КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 207
1980. Преобразовать уравнение
г |о д*г I д** — о
2 I дхду* дуг~ *
полагая а = л;-{-.^, V = x — у, т = ху — я, где те> = та
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Iе. Уравнения касательной плоскости и нормали
для случая явного задания поверхности. Касательной
плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость,
в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведен-
проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной пло-
плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано
в явной форме г = /(л:, «/), где У(х, #) — дифференцируемая функция, то
уравнение касательной плоскости в точке М (х0, </„, г0). поверхности есть
1 - г0 = !'х(х„ у0) (X - х0) + /у (*о. Уо) (У - #о)- A >
Здесь «го = /(хо, у0), а X, У, Ъ — текущие координаты точки касательной
плоскости.
Уравнения нормали имеют вид
Тх №о* Уо*
12.
»
где X, У, 2 —текущие координаты точки нормали.
Пример 1, Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности « = -9 —#* в ее точке ^ <2; — 1; 1).
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значе-
значения в точке М
дг
ду
Отсюда, применяя формулы A) и B), будем иметь: г — 1 = 2(х — 2L-2A
или 2х 4- 2(/ — г — 1 = 0—уравнение касательной плоскости и —~~г== X ^
2- 1
==~1 уравнения нормали,
2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для
случая неявного задания поверхности. В том случае, когда
уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
Р(х, у, г) = 0
и Р (х0, у0, го) = 0, соответствующие уравнения будут иметь вид
- Уо) + Г'г (хв, у0. го)B-г0) = 0 C)

208 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ' [ГЛ. VI
— уравнение касательной плсскости и
— уравнения нормали.
Пример 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности Ъхуг — г1 = а* в точке, для которой х = 0, у = а.
Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив х = 0, # = л
в уравнение поверхности: —е<==а<, откуда г = —а. Таким образом, точка
касания есть М @, а, — а).
Обозначив через Г (я, г/, г) левую часть уравнения, найдем частные про-
производные и их значения в точке М\
^)^ = — За8.
Применяя формулы C) и D), получим:
— За2 (х — 0) + 0 {у - а) — За2 (г + а) = 0
или я-т-г + аггО—уравнение касательной плоскости,
х — 0 у — о г -}- °
х у— а V 4-а
или -у-гг2-^—-=т—| уравнения нормали.
1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения
нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения г = х2-\-у2 в точке A; — 2; 5);
х2 и2 г2
б) к конусу у5"Ь^~ я""** в точке <4» 3; 4);
у5^
в) к сфере х2 -\-у2 -\-г2 = 2Кг в точке (/?соза; Квта; /?).
1982. В каких точках эллипсоида
2! 4-
а2 »
а
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
1983. Через точку ЖC; 4; 12) сферы х2-\~ у2-\-г*= 169 про-
проведены плоскости, перпендикулярные к осям ОХ и ОК. Написать
уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся
сечениям в их общей точке М.
1984. Показать, что уравнение касательной плоскости к централь-
центральной поверхности 2-го порядка
ах1 + Ьу% + сг2 = к
в ее точке М(х0, у0, г0) имеет вид
ахох

§ 111 касательная плоскость и нормаль к поверхности 209
1985. К поверхности хг -{- 2уг -|-322 = 21 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости х-|- 4у-|- 6* = 0.
1986. К эллипсоиду ^р-}-^-!-—= 1 провести касательные плос-
плоскости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки.
1987. На поверхности х%-\-у%~г% — 2дс = 0 найти точки,
в которых касательные плоскости параллельны координатным плоско-
плоскостям.
1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг=т9
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности
V х -|- VУ -Ь Vг = V а отсекают на осях координат отрезки, сумма
которых постоянна.
хг и% г*
1990. Показать, что конус -з-}--^ = — и сфера
касаются друг друга в точках (О, ±Ь, с).
1991. Углом между двумя поверхностями в точке их пересече-
пересечения называется угол между касательными плоскостями, проведенными
к данным поверхностям, в рассматриваемой точке.
Под каким углом пересекаются цилиндр х1 -|-уг = /?* и сфера
в точке
1992. Поверхности называются ортогональными, если они пе-
пересекаются под прямым углом в каждой точке линии их пересе-
пересечения.
Показать, что поверхности х*-\-уг-^-2* = гг(сфераI у = х\%у
(плоскость) и 2* = (л;2-|-УI§2г|> (конус), являющиеся координатны-
координатными поверхностями сферических координат г, ф, г|), взаимно ортого-
ортогональны.
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической
поверхности г = х/( — \ в ее точке М(хоУ уоУ г0), где Д^^О, про-
проходят через начало координат.
1994*. Найти проекции эллипсоида
на координатные плоскости.
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности враще-
вращения г=/(]/^х* -\-у2) (/'^=0) пересекает ось вращения.

210 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. V
§ 12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция {(х, у) имеет в окрестности точки (а, Ъ) непрерывные
частные производные всех порядков до (п + 1)-го включительно. Тогда в рас-
рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
> у, Ь)(у-Ь))
\1
Ь)(х-а)(у-Ь) + Т„(а, Ь)(у- Ь)*] +...
A)
где
- а), Ь+ в (у - Ь)}
В других обозначениях:
/ (х + А, у + *) = / (х, у) +1 \Щ"Х (х, у) + */; (х, у)] -\- ^ \Н%Я (х, у) +
или
с, у)=ацх, ^Н
й/ (х, у) + (;г:рщ <»/ (х + 9Н; у + Щ. C)
Частный случай формулы A) при а = 6=0 называется формулой Мак-
лпрена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа
переменных.
Пример. Найти приращение, получаемое 4Унк^иеи Нх> У) —
= х* — 2у% + %ху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям х, = 14-Л,
Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу B).
Рычислим предварительно последовательные частные производные и их зна-
значения в данной точке A, 2):
Г'у(х. у) = -6у* + 3х, /;A; 2) = —64+-31
= 6-1=6.
у
%хх(х, У) = 6, ГхххA: 2) = 6.
г;" (х, у)=о, СхуA> 2)=°.
(«.»)=-12, /;;; а-. 2)=-12.

§ 12] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 211
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю* Подставляя
найденные результаты в формулу B), получим:
[^.6 + 2^-3 + кг(— 24)] + 1 [й'-б + гНгк-0 + 3/1*г2.0 + Л» (—12)] =
= 9Л - 21* + ЗЛ» + ЗЛДг — №* + Нг -
1996. Разложить /{х-\-Ну у-\-к) по целым положительным сте-
степеням к и к, если
/(*, ^) = ах2-\-2Ьху-\-су2.
1997. Функцию /(х, у) = — хг-^Г2ху-\-Ъу2 — &х — 2у — 4 раз-
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (—2; 1),
1998. Найти приращение, получаемое функцией /(х, у)=х2у
при переходе от значений д:=1, у=\ к значениям
1999. Функцию /{х, у, г) = х2-\-у2-\-г2-^\-2ху — ух — 4л: —
— Зу — 2-|-4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A; 1; 1).
2Э00. Разложить /(д:-|-А, у-\-к, г-\-1) по целым положитель-
положительным степеням Л, к и /, если
/(^, з>, я) = х2 + / + *2 — 2лгу — 2д:2: — 2уг.
2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию
2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка
включительно функцию
/(х, у) = соз х соз у.
2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки A; I)
до членов 2-го порядка включительно функцию
/{х, у)=у*.
2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A; —1) до членов 3-го порядка включительно функцию
/(х, у) = ех+У.
2005. Вывести приближенные формулы с точностью до членов
2-го порядка относительно величин аир для выражений
если |а| и |р| малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулы Тейлора до членов 2-го порядка, вы-
вычислить приближенно
а) УпШ, у/О$Ъ; б) @, 95I-01.

212 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.
2007. Пусть г есть та неявная функция от х и у, определяемая
уравнением гг — 2x2-1-^ = 0, которая принимает значение г= 1
при х = 1 и у=\. Написать несколько членов разложения функции г
по возрастающим степеням разностей х—1 ну—1.
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума функции. Говорят, что функ-
функция /(х, у) имеет максимум (минимум) / (а, Ь) в точке Р (а, 6), если для всех
отличных от Р точек Р' (х; у) в достаточно малой окрестности точки Р выпол-
выполнено неравенство /(а, Ь) > /(х, у) (или соответственно /(а, 6) < /(х, #)). Мак-
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично
определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
2°. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых
дифференцируемая функция /(х, у) может достигать экстремума (так называ-
называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
Г'х(х, у) = 0, /у(х, у) = 0 A)
(необходимые условия экстремума). Система A) эквивалентна одному уравне-
уравнению <*/(х, у)~0. В общем случае в точке экстремума Р (а, Ь) функции /(х, у)
или ^/(а, Ь) — 0, или а*? (а, Ь) не существует.
3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р (а, Ь) — ста-
стационарная точка функции /(х, у), т. е. с(/ (а, Ь) = 0. Тогда: а) если
&г\(а, &)< 0 при йхг -\- йу2 > 0, то {(а, Ъ) есть максимум функции {(х, #);
б) если *зB/(я» 6) > 0 при д.хг ~\-д.уг > 0, то /(а, 6) есть минимум функции
/(я, у); в) если йг((а, Ь) меняет знак, то /(а, Ь) не является экстремумом
функции /(*, у). ^
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть !х(ау Ь) — / (а, 6)=
= 0 и А = [хх(а, Ь), В = ?х (а, Ь), С = ?' (а, Ь). Составим дискриминант
Ь=АС-В2.
Тогда: 1) если А > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а, Ь),
а именно максимум, если Л<0 (или С < 0), и минимум, если Л>0 (или
С > 0); 2) если А < 0, то экстремума в точке Р (а, Ь) нет; 3) если А —0,
то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р (а, Ь) остается открытым
(требуется дальнейшее исследование).
4°. Случай функции многих переменных. Для функции
трех и большего числа переменных необходимые условия существования
экстремума аналогичны условиям 1°, A), а достаточные условия аналогичны
условиям 3°, а), б), в).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравне-
уравнений A):
дх ду~~
или
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
2); Р,^,!); Р,(-1;-2); Р4(-2, -1).

§ 13] ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 213
Найдем производные 2-го порядка
и составим дискриминант Д = ЛС — Вг для каждой стационарной точки.
1) Для точки Рг: А~(р2) = 6, В = (~) = 12,С=(?|Л =
= 6, А=ЛС —Вг = 36—-144 < 0. Значит, в точке Я, экстремума нет.
2) Для точки Р2: А = 12, В = 6, С=12; Д = 144-36>0, Л > 0.
В точке Рг функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции
при * = 2, #=1:
-30- 12 = — 28.
3) Для точки Р8: Л=—6, Я=-~12, С== —6; Д=36 — 144 < 0.
Экстремума нет.
4) Для точки Р4: А =—12, Б =—6, С = —12; А = 144 — 36 > О, А < 0.
В точке Р4 функция имеет максимум, равный гтах = — 8 — 6 -|- 30 -(- 12 = 28.
5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экст-
экстремумом функции /(я, у) называется максимум или минимум этой функции,
достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением ф(я, у) = 0
(уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции /(*, у) при нали-
наличии соотношения ф(я, #) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа
(*. У),
где к — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум
этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся
к системе трех уравнений
дР д/ , . дф
дх дх* дх '
ду ду* ду
с тремя неизвестными х} у, X, из которой можно, вообще говоря, определить
эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается
на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
2Р д2Р
4 У
дх2 ' дхду * ' дуг
для испытуемой системы значений х, у, X, полученной из B) при условии,
что 6.x и йу связаны уравнением
дх ду
А именно, функция /(я, у) имеет условный максимум, если йгр < 0, и условный
минимум, если 6}р > 0. В частности, если дискриминант А для функции
Р (я, у) в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный
максимум функции / (х, у), если А < 0 (или С < 0), и условный минимум,
если А > 0 (или С > 0).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число
которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится
вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько
имеется уравнений связи.

214 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Пример 2. Найти экстремум функции
г = 6 — 4х — Ъу
при условии, что переменные хну удовлетворяют уравнению (
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего
и наименьшего значений аппликаты г плоскости 2 = 6 — 4х — Зу для точек
пересечения ее с цилиндром хг + У2 = 1 •
Составляем функцию Лагранжа
Р(х, 0 = 6 - 4х -Ъу + Х(х2 + у* - 1).
Имеем ^— = — 4 + 2%х, •%- = — 3 + 2Я,у. Необходимые условия дают систему
с/л У
уравнений
решая которую, найдем:
И
— 4
^2 "И"» У2
Так как
дх2 дхду дуг
то
й*Р = 2%
Р» А "^
Если ^ = -г5-,^ = -ё-и^ = -=-, то йгр > 0, и, следовательно, в этой точке
& о о
5 4 3
функция имеет условный минимум. Если % = — ~, дс= =- и у= г~,то
!• и О
й2р < 0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.
Таким образом,
1б I 9 11
6е. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или
в точке границы области.
Пример 3. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
г = х*-\-у2~ ху + х
в области

§ 13]
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
215
Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 70).
1) Найдем стационарные точки:
отсюда х = —1, у = —1; получаем точку М (—1; —1).
В точке М значение функции 2^ = —1. Исследование на экстремум —
не обязательно.
2) Исследуем функцию на границах области.
При * = 0 имеем г = у2 -{- у, и задача сводится к отысканию наиболь-
наибольшего и наименьшего значений этой функции од-
одного аргумента на отрезке —3^^/^0. Проведя
исследование, найдем, что (гтаб)х=о = 6 в точке
@; —3); Bнаим)*=0= — -г- в точке
При у —
найдем, что
получаем г = х2-\~х. Аналогично
_0 = 6 в точке (— 3; 0);
(*наим)у=о = — " В Т0Чке (~Т; )
При х -\- у = — 3 или у = — 3-х будем иметь
г~3хг-{-9x4-6. Аналогичным образом найдем, что
, ___ 3 / 3 . 3
(гнаим/л;+у=-з— 7* в точке I —; —
с (гНанб)*=в
б
(Л А)
12 ' Г
?0;-3)
Рис. 70.
Bнаиб)*+.у=-з = 6 совпадает с ^наиб^=0 и
(?наиб)у=о- На прямой х-|~# = — 3 можно было бы
исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного
аргумента.
3) Сопоставляя все полученные значения функции 2, заключаем, что
гнаиб —6 в точках @; — 3) и (—3; 0); гнаим = —1 в стационарной точке М»
Исследовать на экстремум следующие функции двух перемен-
переменных:
2008. г =
2009. х =
2010. 2 =
2011. г =
2012. г =
2013. г =
2014. 2=1— (ха _+/)''».
2015. г= ' ' '
2916. г =
— \)г — 2/.
— х — у)
>
— 2/.
2016Л. +
2016.2. г = ех~у(х2 — 2/).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017. и = х2-{-у2-\-2а — ху-{-х — 2г.
2018. и + Ё + +

216 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
Найти экстремумы функций 2, заданных неявно:
2019*. х2 + /+22 — 2х + 4у — 6*— 11 = 0.
2020. х8 — / — Зх-\-4у-{-г2-{-г — 8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021. г — ху при х-\-у—\.
2022. г = х-\-2у при х24-/ = 5.
2023. 2 = х2-{-у2 при ±+±=1.
2024. ,г = со52х4-со52^ при у — х== — .
2025. и=л: —2^ + 2^ при х
2026. и = х*+/-{-2* при ^ + ^+-?-=
2027. и = ху*г* при х + >у-|-<г
2028. и = ху2 при условиях: я
2029. Доказать неравенство
3
если х^О, у ^ О, 2^0.
Указание. Искать максимум функции и=хуг при условии х -{- у -|- 2=5.
2030. Определить наибольшее значение функции 2=\-\-х-\-2у
в областях: а) х^0, у ^0, х-[-^ ^ 1; б) х^0, _у ^0, х
2031. Определить наибольшие и наименьшие значения функций
а) 2—х*у и б) 2-х*—уг в области х% -\-уг <^.\.
2032. Опрэделить наибольшее и наименьшее значения функции
2 = $[пх-\-$и\у-\-$1п (х-\-у) в области О^х^-^-, 0^у ^ — .
2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
в области
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций
Пример 1. Положительное число а требуется разбить на три неотри-
неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищем
максимум функции / (х, у) = ху(а — х — у).
По смыслу задачи функция /(х, у) рассматривается внутри замкнутого
треугольника х^О, у^О, х-\-у^а (рис. 71).
Решая систему

ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
217
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
(—-; — ) .Для нее проверяем выполнение достаточных условий. Имеем
^ 3 3/
(х, у)=а — 2х—2у, !"уу(х, у) = —2х.
а_\ 2
3
» У) = — 2У>
Следовательно, А ~?"хх ("т
У
\
з' зу- за й
Л = АС - В2 > О, А < 0.
Итак, в точке I "о"'» "г
функция достигает мак-
максимума. Так как на контуре треугольника функция
/ (ху у) = 0, то этот максимум будет . наибольшим
значением функции; т. е. произведение будет на-
наибольшим, если х = у — а— х — у = — \ причем
0
ш
Рис. 71.
наибольшее значение произведения равно ^=.
Примечание. Задачу можно было решать методами условного экстре-
экстремума, отыскивая максимум функции и=хуг при условии х-\-у -\-г =■ а.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
объем К, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот,
который имеет наибольшую площадь.
2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью
поверхности 5, имеющий наибольший объем.
2038. Представить положительное число а в виде произведения
четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была
наименьшей.
2039. На плоскости ХОУ найти точку М{ху у), сумма квадратов
расстояний которой от трех прямых: л; = 0, у = 0, х—у-^-\=09
была бы наименьшей.
2040. Найти треугольник данного периметра 2р, который при вра-
вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
2041. На плоскости даны три материальные точки Р1(х1, уг),
Рг (х2, у2), Ръ(хъ,у9) с массами /я1Э т2, т9. При каком положении
точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы
точек относительно точки Р (т. е. сумма тхРхРг -\~мгРгР*-\-тгРгР2)
будет наименьшим?
2042. Через точку М (а, Ь, с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наи-
наибольшего объема.

218
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2044. Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящи-
ящика с заданной толщиной стенок 6 и емкостью (внутренней) Утак, чтобы
на его изготовление была затрачено наименьшее количество материала.
2045. В какой точке эллипса
касательная к нему образует с осями координат треугольник наимень-
наименьшей площади?
2046*. Найти оси эллипса
бд;1+ 8^ + 5/ = 9.
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной по-
поверхностью.
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно
представляют параболу у = х* и прямую х—у — 2 = 0. Требуется
соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины.
Через какие точки его провести?
2049. Найти кратчайшее расстояние от точки ЖA, 2, 3) до прямой
*_ у ^_
1 —3 2 "
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических средах,
отделенных одна от другой прямой линией (рис. 72). Скорость рас-
распространения света в первой среде равна г\, во второй — Vг. Пользуясь
«принципом Ферма», согласно которому световой луч распространяется
А
В
Рис. 72.
Рис. 73.
вдоль той линии ЛЛШ, для прохождения которой требуется минимум
времени, вывести закон преломления светового луча.
2051. Пользуясь «принципом Ферма», вывести закон отражения
светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73).
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление /?,
течет ток /, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени,
пропорционально /2/?. Определить, как следует разветвить ток / на
токи 11У /2, /8 при помощи трех проводов, сопротивления которых /?1Э
, /?,. чтобы выделение тепла было наименьшим?

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
219
§ 15. Особые точки плоских кривых
1°. Определение особой точки. Точка М (х0, у0) плоской кривой
, у) = 0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно
удовлетворяют трем уравнениям:
/ (*0. У*) = °» /* <*о> й>) = 0. Ту (*<>• Уо) = 0.
2°. Основные типы особых точек. Пусть в особой
(х0, у0) производные 2-го порядка
точке
=:: 1
хх
И
не все равны нулю и
Рис. 74.
Рис. 75.
тогда:
а) если Д > 0, то М — изолированная
точка (рис. 74);
б) если Д < О, то М — #зел {двойная
точка) (рис. 75);
в) если Д = 0, то М — или точка воз-
возврата 1-го рода (рис. 76) или 2-го
рода (рис. 77), или изолированная точка, или точка самоприкосновения
(рис. 78).
При решении задач этого раздела предполагается обязательным построе-
построение кривых.
Пример 1. Показать, что кривая г/2 = ахг -(- х* имеет: узел, если а > 0;
изолированную точку, если а < 0; точку возврата 1-го рода, если а = 0.
Рис. 76.
Рис. 77.
Рис. 78.
Решение. Здесь /(х, «/) = ах2-4-х8 — у1. Найдем частные производные
и приравняем их нулю
Эта система имеет два решения: 0@; 0) и ы( —г-а; 0], но коорди-
координаты точки N не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется
единственная особая точка О @; 0).

220
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
Найдем вторые производные и их значения в точке О:
, А = 2а,
— О с — 9
Следовательно,
если а > 0, то А < 0 и точка О — узел (рис. 79);
если а < 0, то А >0 и точка О — изолированная точка (рис. 80);
если а = 0, то А=0. Уравнение кривой в этом случае будет у2 =
У\
Рис. 79.
Рис. 80.
Рис. 81.
у=±У1с*9 где х^О; кривая симметрична относительно оси ОХ, являю-
являющейся касательной. Следовательно, точка М — точка возврата 1-го рода
(рис. 81).
Выяснить характер особых точек кривых:
2053. / = — х2 + х4.
2054.. (у— хУ = хъ.
2055. аУ = а*х* — х\
2056. хУ — хг—у* = 0.
2057. х*-\-у* — Заху = 0 (декартов лист).
2058. у2 (а — х) = х* (циссоида).
2059. (х2-\-у2)* = аг (хг—у2) (лемниската).
2060. (а-]-х)у2 = (а — х)хг (строфоида).
2061. (х2-\-у2)(х — аJ = Ь2х2 (а>0, ^>0) (конхоида). Рас-
Рассмотреть три случая:
1) а>Ь, 2) а = Ь, 3) а<*.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой
2 = (х — а)(х — Ь)(х — с) в зависимости от значений а, Ь, с
вещественны).

ОГИБАЮЩАЯ
221
§ 16. Огибающая
1°. Определение огибающей. Огибающей семейства плоских
кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая
касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке ка-
касается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства.
2°. Уравнения огибающей. Если зависящее от одного перемен-
переменного параметра а семейство кривых
/(х, у, а) = 0
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из
системы уравнений
> У>
Исключая из системы A) параметр а, получим уравнение вида
^(у г А — 0 (9}
Следует отметить, что формально получаемая кривая B) (так называемая
адискриминантная кривая») наряду с огибающей, если таковая имеется, может
содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входя-
входящее в состав огибающей этого семейства.
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пример. Найти огибающую семейства
прямых $
хсо$а-(-#5т а — р = 0 (р = соп${, р > 0).
Решение. Данное семейство прямых
зависит от параметра а. Составим систему
уравнений A)
х соз а + у З1п а — р = 0,
—■ х 5Н1 а -{- у со5 а = 0.
Решив систему относительно х и у} по-
получим параметрические уравнения огибаю-
огибающей
х = рсо$а, у^=р&та.
Возводя оба уравнения в квадрат и склады-
складывая, исключим параметр а: рис 32.
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность
радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть
семейство касательных к этой окружности (рис. 82).
2063. Найти огибающую семейства окружностей
2064. Найти огибающую семейства прямых
(к — параметр,

222
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового ра-
радиуса /?, центры которых находятся на оси ОХ.
2066. Найти кривую, которую огибает отрезок длины /, когда его
концы скользят по осям координат.
2067. Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями
координат треугольник постоянной площади 5.
2068. Найти огибающую эллипсов постоянной площади 5, оси
симметрии которых совпадают.
2069. Исследовать характер «дискриминантных кривых» семейств
следующих линий (€—параметр):,
а) кубических парабол у — (х — С)8;
б) полукубических парабол у2 = (х
в) парабол Нейля у* = (х— СJ;
г) строфоид (а-\-х)(у— СJ = х2(а
8;
С)8;
х).
2070. Уравнение траектррии дви-
жения снаряда, выпущенного из точ-
точки О с начальной скоростью т>0под
углом ос к горизонту (без учета со-
сопротивления воздуха), будет
2и\ соз2 а
рис зз. Принимая угол а за параметр, найти
огибающую всех траекторий сна-
снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости
{«парабола безопасности») (рис. 83).
§ 17. Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декарто-
декартовых координатах равен
с1з = У&х2 + йу2 + йг2,
где х, у, г — текущие координаты точки кривой.
Если
дуги
— параметрические уравнения пространственной кривой, то длина
участка ее от г = гх до ^=^^ равна
IV [$
$)'«■
В задачах 2071—2076 найти длину дуги кривой:
2071. х = и У
от * = 0 до 1 = 2.
2072. х = 2 соз /, у = 2 З1п г, г
от * = 0 до г

§ 18} бектор-функцйи скалярного аргумента 223
2073. х=е*сов(, у = е*$х\1щ г = ег от * = 0 до произвольного /.
2074. У = ^> * = ^ от х = 0 до * = 6.
2075. х*=3у, 2ху = 9г от точки О@; 0; 0) до точки
ЖC; 3; 2).
2076, у = а агс$1п -~, г = ~ 1п ^~ от точки О @; 0; 0) до точки
2077. Положение точки для любого момента *(/^>0) определяется
уравнениями
Найти среднюю скорость движения между моментами ? = 1 и/=10,
§ 18. Вектор-функции скалярного аргумента
1°. Производная вектор-функции скалярного аргу-
аргумента. Вектор-функция а = аЦ) может быть определена путем задания
трех скалярных функций ах @, ау@ и аг (/) — ее проекций на координат-
координатные оси:
а = а
Производная вектор-функции а = а (() по скалярному аргументу X есть
новая вектор-функция, определяемая равенством
Модуль производной вектор-функции равен
йа
Конец переменного радиуса-вектора г = г (/) описывает в пространстве кривую
называемую годографом вектора г.
Производная ^ представляет собой вектор, касательный к годографу в
соответствующей точке, причем
Аг
A8
где 5 — длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точки.
В частности, -т- =1.
аз
Если параметр X есть время, то ~гг = *> — еектор скорости конца век-
тора г, а т^- = -г. = «у — вектор ускорения конца вектора г.

224 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ, VI
' * *
2°. Основные правила дифференцирования вектор-
функции скалярного аргумента.
й . . - . йа , йЬ Ас
_(в + „_с)==_ + ___:
2) —г (та) = т —гг , где т — постоянный скаляр;
3) 7 (Фа)= зт а + Ф-37 ■ где ф (О — скалярная функция от /;
4,
. + .:
7) а -гг = 0, если | а | = соп$1.
Пример 1. Радиус-вектор движущейся точки в любой момент времени
задан уравнением
/2 2 A)
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Решение. Из уравнения A) имеем:
Исключая время /, находим, что траектория движения есть прямая линия
О " —4"" 3 '
Из уравнения A), дифференцируя, находим скорость движения
% = — Ы]-\-Ык
и ускорение движения
Величина скорости равна
Отметим, что ускорение постоянно и имеет величину
2078. Показать, что векторное уравнение г — гг = (г2 — г^/,
где гх и г2 — радиусы-векторы двух данных точек, является уравне-
уравнением прямой.
2079. Определить, какие линии являются годографами следующих
вектор-функций:
а) г = аг-\-с\ в) г = а
б) г = а*г-{-Ы; г) г = а

§ 18] ВЕКТОР-ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 225
где а, Ь и с — постоянные векторы, причем векторы а и Ь перпен-
перпендикулярны друг другу.
2080. Найти производную вектор-функцию от функции а(^) =
= а (/) а° (/), где а (/) — скалярная функция, а а° (/) — единичный век-
вектор, в случаях, когда вектор а(г) изменяется: 1) только по длине,,
2) только по направлению, 3) по длине и по направлению (общий
случай). Выяснить геометрический смысл полученных результатов.
2081. Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функции
по скалярному аргументу, вывести формулу для дифференцирования
смешанного произведения трех вектор-функций а, Ь и с.
2082. Найти производную по параметру / объема параллелепипеда,
построенного на трех векторах:
2083. Уравнение движения
Г = 3/ СО5 г -|- 4/ 81П I,
где I — время. Определить траекторию движения, скорость и ускоре-
ускорение движения. Построить траекторию движения и векторы скорости
и ускорения для моментов * = 0, ^=-т- и * = —.
2084. Уравнение движения
г = 2/ СО5 I + 2/ зт I + Ш.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
Чему равны величины скорости и ускорения движения и каковы их
направления для моментов г=Ъ и / = —?
2085. Уравнение движения
Г = 1 СО5 а СО5 @^ -|- ] 31П а СО5 (О/ -|- к 31П (й/,
где а и со — постоянные и / — время. Определить траекторию движе-
движения, величины и направления скорости и ускорения движения.
2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воз-
воздуха)
где фо{уох> Уоуу Уог} — начальная скорость. Найти скорость и уско-
ускорение в любой момент времени.
2087. Доказать, что если точка движется по параболе 3; = —,
г = 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается
постоянной (зт= сопз* ], то и ускорение остается постоянным.
б С. Г. Бараненков и др.

226
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2088. Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого в балку,
описывает винтовую линию
где в — угол поворота винта, а — радиус винта, аи — высота подъема
при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки.
2089* Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а}
вращающегося с постоянной угловой скоростью (о так, что его центр
при этом движется прямолинейно с постоянной скоростью ъ0.
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
Во всякой неособой точке М (х% у, г) пространственной кривой г = г((}
можно построить естественный трехгранник (триэдр), состоящий из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 84):
1) соприкасающейся плоскости ММгМг — сю держа щей векторы ~г-. и -ггг ;
2) нормальной плоскости ММгМ8 — перпендикулярной к вектору -^ и
3) спрямляющей плоскости
ЛШ^з-—перпендикулярной к двум
первым плоскостям.
В пересечении получаются три
прямые: 1) касательная ММг\
2) главная нормаль ММг; 3) би-
бинормаль ММг, определяемые соот-
соответственно векторами:
1) Т=-г. (вектор касатель-
нормальная
плоскость
ной);
-^г (вектор би-
(вектор главной
Рис 84.
иогут быть вычислены по формулам
2) В=
'соприкасающаяся нормали);
плоскость 3) 7У =
нормали).
Соответствующие единичные
векторы
Т
\т\
В
\вг
ах
^ л„» V
ОТ
Если X, К, I — текущие координаты точки касательной, то уравнения ка-
касательной в точке М (х, у, г) имеют вид
г

§ 19} ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 227
где Тх =
йу ___йг.
-г-.9 Ту = ~% Тг = -г:; из условия перпендикулярности прямой и
плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
Тх(Х-х)+Ту(У-у) + ТгB-г) = 0. B)
Заменяя в уравнениях A) и B) Тх, Ту% Тгпа Вх, Ву%Вг~и Мх, Ыу$ Ыг, полу-
получим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно, соприка-
соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости.
Пример 1. Найти основные единичные векторы т, V и § кривой
в точке / = 1.
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой
точке.
Р е ш е н и е. Имеем:
Отсюда при / = 1 получим:
У *
1 2 3
0 2 6
I У к
6—6 2
1 2 3
= 6/-
-22/- 16У-Ы8Л.
Следовательно,
Так как при ( = 1 имеем *==1, (/ = 1, 2=г1, то
х — 1у — 1Д? — 1
/266
1
уравнения касательной,
— уравнения бинормали и
х— 1 у — 1 г — 1
— 1 г
-11
8
— уравнения главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
Р(х, у, 2) = 0, О(х, у, 2>=0,
то вместо векторов ^ и -^ можно брать векторы <2г {<2х, 4#, йг\ й

22& ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
\A2х,A2у, й2г\, причем одну из переменных х, у, г можно считать незави-
независимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности
= 0 C)
в точке ее М A; 1; — 2).
Решение. Дифференцируя систему C), считая х независимой перемен-
переменной, будем иметь:
х их -(- у йу -(- г йг = О,
и
ах* + ау2 + уа2у +
= 0.
Полагая #=1, # = 1, г = —2, получим:
йу=. — йх\ йг = 0;
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
,-ах> о} и
или
{1, -1, 0} и |0, -1, 1}.
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
I 3 к
В= 1-1 0
0-1 1
и» следовательно, ее уравнение
- 1 (х — 1) — (у — 1) — (г + 2) = 0,
т. е.
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости.
2090. Найти основные единичные векторы т, V, $ кривой
д:==1—соз*, у = $т(, х = 1
в точке *=-о- •
2091. Найти единичные векторы касательной и главной нормали
конической спирали
Г = е* (| СО5 г -\- / 51П ( -|- *)
в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими прямыми
с осью 021.
2092. Найти основные единичные векторы т, V, $ кривой
в точке х = 2.
2093. Для винтовой линии
$ = а сое 1} у = а З1'п *, г =

•§19] ЕСТЕСТВЕННЫЙ ТРЕХГРАННИК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 229
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного трех-
трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляющие коси-
косинусы касательной и главной нормали.
2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный
трехгранник кривой
в точке ее ЖA; 1; 2).
2095. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и
соприкасающейся плоскости кривой
= ?, г = ? в точке М B; 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, главной нормали и бинор-
бинормали в произвольной точке кривой
—*- —11 —11
х 4, у 3, х 2.
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна
плоскости х -\- Зу -{- 2г— 10 = 0.
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоско-
плоскости, главной нормали и бинормали кривой
в точке / = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали, в этой
точке.
2098. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости
к следующим кривым:
а) л:=/?соз2/, у = /?5ш/со5 /, 2=/?5т/ при /
= ;
б) г = х2-\-уг, х=у в точке A; 1; 2);
в) хг-\-у%-\-гж = 2Ь, х + г = 5 в точке B; 2 ]/з"; 3).
2099. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой 2=*хг—у2,
= х в начале координат.
2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
\ е~*, г = гУ~2 в точке / =
2101. Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым^
а) х2-\-у2+г2 = 9у х2—у2 = 3 в точке B; 1; 2);
б) х* = 4у, х* = 24г в точке F; 9; 9);
в) х2 -\- г2 = а2, у2-\-г* = Ь2 в любой точке кривой (х0, у0, г0).
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к кривой
= х, хг — г в точке A; 1; 1).

230
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. VI
2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной
нормали и бинормали к конической винтовой линии х — 1сов*,у —
п=/5н1*,;г==#/ в начале координат. Найти единичные векторы каса-
касательной, главной нормали и бинормали в начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1°. Кривизна. Под кривизной кривой в точке М понимается число
Я ал->о Аз*
где ф — угол поворота касательной (угол смежности) на участке кривой МЫУ
Дз — длина дуги этого участка кривой. /? называется радиусом кривизны*
Если кривая задана уравнением г —гE), где 5 — длина дуги, то
1
Для случая общего параметрического задания кривой имеем:
Я
0г
0)
2°. Кручение. Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М
понимается число
где 0 — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке
кривой МЫ. Величина $ называется радиусом кручения или радиусом второй
кривизны. Если г = г(ь), то
бга^г^г
где знак минус берется в том случае, когда векторы -& и V имеют одинаковое
направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если г = гA), где * —произвольный параметр, то
B)
йг
61 Шг
Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии

§ 20]
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИБ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
2*1
Решение. Имеем:
Отсюда
и
йг
%=~
— а 31П /
— а соз г —
г а зщ 1 -\
-/а соз/
1а соз/ —уазЙ1Л
/ а зШ г —
У «
а соз/ 6
азтё 0
— а зш 1
— а еоз /
а зш /
-]а соз Л
= 1аЬ з
а соз
— азт
— а соз
+ *&,
-
6
0
0
а*Ь.
Следовательно, на основании формул A) и B) получим:
а
и
агЬ
•* >
т. е. для винтовой линии кривизна и кручение постоянны.
3°. Формулы Френе.
их V с1у т ,
2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна
нулю, то линия — прямая.
2105. Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно
нулю, то кривая — плоская.
2106. Показать, что кривая
плоская; найти плоскость, в которой она лежит.
2107. Вычислить кривизну линий:
а) л;=со5*, #у = 51п/, 2 = с11* при * = 0;
б) хг—у*-\-гг=\, у2 — 2л: + ^=0 в точке A; 1; 1).
2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых:
а) л; = е*со5*, у = е*$т1, г = ех\
б) х = а сН I, у = а зЬ /, х — аг (гиперболическая винтовая линия).
2109. Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке
* У* я) линий:
а) х2 =
б) ** =

232 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. VI
2110, Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие
вектора ускорения ад выражаются формулами
где V — скорость, /?—радиус кривизны траектории, т и V — единич-
единичные векторы касательной и главной нормали к кривой.
2111. По винтовой линии г = 1а соз г-\-]а$\пг-\-Ык движется
равномерно точка со скоростью V. Вычислить ее ускорение
2112. Уравнение движения есть
Определить в моменты времени * —0 и /=1: 1) кривизну траекто-
траектории и 2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускск
рения движения.

ГЛАВА VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1°. Непосредственное вычисление двойных инт е г р а-
лов. Двойным интегралом от непрерывной функции 1{х,у), распространен-
распространенным на ограниченную замкнутую область 5 плоскости ХОУ', называется предел
соответствующей двумерной интегральной суммы
= Нт
тах
тах
??*('
(О
->о
где &Х{ =
— Х
[у
{ {+1 [ Аук = ук+1 — ук и сумма распространена на те значения
/ и к, для которых точки (*/; ук) принадлежат области 5.
2°. Расстановка пределов интегрирования в двой-
двойном интеграле. Различают два основных вида области интегриро-
интегрирования.
1) Область интегрирования 5 (рис. 85) ограничена слева и справа пря-
прямыми х±=хх и х = х2 (х2 > хх), а снизу и сверху непрерывными кривыми
О
Рис. 85.
У\
У2
В
О
т
Рис. 86.
и У = Ъ(Х) (с^) [Ф2(^)^Ф1 (х)], каждая из которых пересе-
пересекается с вертикалью х = Х (х1 <Х <хг) только в одной точке (см. рис. 85).
В области 5 переменная х меняется от хх до хг, а переменная у при постоян-
постоянном х меняется от у1 = у1(х) до ^2 = Ф2(^)« Вычисление интеграла A) может

234
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле
Х2 ф2 (х)
^!(х> у)йхйу — ^йх ^ /(*, у)йу%
(8) X, ф! (X)
где при вычислении \ /(*, у)йу величину х полагают постоянной.
91
2) Область интегрирования 5 снизу и сверху ограничена прямыми у = __
и У = у2(у2> У\)> а слева и справа непрерывными кривыми х = '^1(у) (АВ) и
х = ^(у) (СЮ) рфг (у)^^1 (у)], каждая из которых пересекается с горизон-
горизонталью у = У (уг < У < у2) только в одной точке (рис. 86).
Аналогично предыдущему имеем:
У2 Фа (У)
= \ йу \ / (х, у) их,
Ух Ф1 (У)
Фа (У)
где при вычислении интеграла \ / (х, у) их величина у считается постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобран-
разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых отно-
относится к одному из этих двух видов.
Пример 1. Вычислить интеграл
1 1
Решение.
Пример 2. Определить пределы интегрирования интеграла
С П О сг
) ) I (х> У) Лх Лу,
E)
если область интегрирования 5 (рис. 87)
ограничена Гиперболой у2 — х2= 1 и двумя
- прямыми *==2 и х = — 2 (имеется в виду
область, содержащая начало координат).
Решение. Область интегрирования
АВСО (рис. 87) ограничена прямыми х=:
= — 2 и # = 2 и двумя ветвями гиперболы:
Рис. 87. *
т. е. принадлежит к первому виду. Имеем:
= ^ Ох

§ 1] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 235
Вычислить следующие повторные интегралы:
г
2113. $ а
" 0
4
2114. Га
8
1
2115 Г Н
т 1 1С»» 1 и.
О
2
2116. \й.
1
1
У \ (х* 4~ ?у)
О
2
1
1
о
X
( х йу
1 /7* "
1
й?д:. 2117.
2118.
О1 1О
2120.
8
— 9
2%
0 а
к
1 V
\ ах
0
б
$ (
У7— 4
а
5 г
31*11 <р
8 СО8
Г
0
1-Х2
§ 1
0
9
|/*1 у2 ..2
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые
распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти
области:
2 г—у г 2х
2121. $ йу 5 /(х,у)Лх. 2124. $ ах $/(*, у)йу.
4
з х-{-* з Уа—х2
2122. ^ах ^ /(х,у)ау. 2125. \ <1х $ /{х,у)ау.
IX2 0 0
4 10— у 2 ЛГ+*
2123. $ ау ^ /{х,у)йх. 2126. $ их \ /(х, у)йу.
О у —IX2
Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке
в двойном интеграле
для указанных областей 5.
2127. 5—прямоугольник с вершинами 0@; 0), ЛB;0), 3B; 1),
С@; 1).
2128. 5 — треугольник с вершинами 0@; 0), ЛA;0), 8A; 1).
2129. 5—трапеция с вершинами 0@; 0), ЛB;0), 8A; 1),
С@; 1).
2130. 5 — параллелограмм с вершинами Л A; 2), 8B; 4), СB; 7),
2131. 5 — круговой сектор 0А8 с центром в точке 0@; 0), у
которого концы дуги ЛA; 1) и В(— 1; 1) (рис.

236
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2132.5 — прямой параболический сегмент ЛОБ, ограниченный пара-
параболой БОА и отрезком прямой БА, соединяющим точки Б(—1; 2)
и А(\; 2) (рис. 89).
2133. 5 — круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов
/•=1 и /? = 2, с общим центром О@; 0).
2134. 5 ограничена гиперболой у2— л;2=1 и окружностью х
=:9 (имеется в виду область, содержащая начало координат).
2135. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
если область 5 определяется неравенствами
а) х^О; у^О; х-\-у^\; г)
б) л;2+/<а2; д)
в) д:24-/<л:;
Переменить порядок интегрирования в следующих двойных инте-
интегралах:
12 *
V\ах
2136. ] их \ /(х, у)йу. 2140. ] с1х ] /(х, у)йу.
0 Угах -х2
о з#2
1 ЗХ
2137. ) ах\^ /(л:, у)с1у.
О 2Х
а У а2 - "
2138. ]ах ^ /(х,у)ау. 2141. \ йу \_/(х, у)Ох.
п а* — х* ° — У\ — V2
2139.
2Д
а Угах — х2
а
1
1 Т^з -у2
2142. з ау з /(л:, у)ах.
о у2
2

§
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
237
2143.
НУТ
2
5
5 ах
НУТ
/(х,у)ау.
2144. I ах I /(х, у)йу.
о о
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145. \\хахау, где 5 — треугольник с вершинами О@; 0),
ЛA; 1) и 5@; 1).
2146. \\ хахауу где область интегрирования 5 ограничена пря-
E
()
мой, проходящей через точки А B; 0), В@; 2), и дугой окруж-
окружности с центром в точке С@; 1), радиуса 1 (рис. 90).
тор
Рис. 90.
Рис. 91.
2147. \ \ ■ г х у=:, где 5 — часть круга радиуса а с центром
E) У"* " х* ""у2
в точке 0@; 0), лежащая в первой четверти.
2148. ^ Ух2—у2йхйу, где 5 — треугольник с вершинами
0@; 0), ЛA; — 1) и В(\; 1).
2149. м Уху — у2ахау> где 5 — треугольник с вершинами
0@; 0), ЛA0; 1) и В(\; 1).
X
2150. \ \ еу ахау, где 5 — криволинейный треугольник ОАВ,
ограниченный параболой уг = х и прямыми л: = 0, у=1 (рис. 91).

238 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Их их йи
2 , з, где 5 — параболический сегмент, ограниченный
% "т~ У
X
параболой У=-к и прямой
2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они
распространены:
1С
71 1 + СОЗ X 2 8 СО8у
а) ^ их ^ у*$1пхАу; в)
1С
б) 5 ах
создг
При решении задач 2153—2157 рекомендуется предварительно
делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл
хуг Ах йу%
если «51 есть область, ограниченная параболой у2 = 2рх и прямой
х = р.
2154*. Вычислить двойной интеграл
йхйу,
распространенный на область 5, ограниченную осью ОХ и верхней
полуокружностью (л: — 2)*-\-у2—\.
2155. Вычислить двойной интеграл
Яйхйу
У 2а — х '
где 5 — круг радиуса ал касающийся осей координат и лежащий в
первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеграл
\\уйхйу%.
где область 5 ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
у = К A _ соз /) @ < I ^ 2л).

§ 2] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
2167. Вычислить двойной интеграл
ихйу,
в котором область интегрирования 5 ограничена осями координат и
дугой астроиды
2158. Найти среднее значение функции /(я,у) = ху* в области
}
Указание. Средним значением функции / (х, у) в области 5 называется
число
=пл. -д- II 1{х,
E)
2159. Найти среднее значение квадрата расстояния точки М (л;, у)
круга (х — а)г-\-у*^К* от начала координат.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Двойной интеграл в полярных координатах. При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х, у к поляр-
полярным г, ф, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
X = Г СО5 ф, у = Г 81П ф,
имеет йесто формула
С08 Ф» г 81П Ф) гйгйу. A)
Если область интегрирования 5 ограничена лучами г = аи г = Р(а<Р) и
кривыми г = г, (ф) и г = г2(ф), где Мф^ г2(ф) (г, (ф)<г8 (ф)) —однознач-
—однозначные функции на отрезке а^ф^Р, то двойной интеграл может быть вы-
вычислен по формуле
Р Мф)
С С Р (Ф, г) г Аг йф = С ^ф С 5 (ф, г) г йг%
(8) « гх (ф)
/•2 (ф)
где /Чф, г) = /(гсозф, гзШф). При вычислении интеграла С Р(ф9г)гс1г
величину ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то
ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2°. Двойной интеграл в криволинейных координатах.
В более общем случае, если в двойном интеграле
> У)

240
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
требуется от переменных х, у перейти к переменным и, V, связанным с х, у
непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
*=<р (и, V), #=
устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соот-
соответствие между точками области 5 плоскости ХОУ и точками некоторой обла-
области 5' плоскости 1/0'V, и при этом якобиан
дх ду
ди ди
дх ду
(и, V)
Ъ
сохраняет постоянный знак в области 5, то
справедлива формула
Рис. 92.
Пределы нового интеграла определяются
по общим правилам на основании вида обла-
области 5'.
Пример 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
где область 5 — круг радиуса # = 1 с центром в начале координат (рис. 92).
Решение. Полагая х = г соз <р, у = г $Ш <р, получаем:
V] - х2 - у*= У\ - (г соз фJ - (г 81п фJ = У 1 - г1.
Так как в области 5 координата г при любом ф изменяется от 0 до 1, а ф
изменяется от 0 до 2я, то
о
о
Перейти к полярным координатам г, <р и расставить пределы
интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
2160. \(гх[/(х,у)йу. 2161. 5 их $/(К*
0 0 0 0
2162.
E)
где 5 — треугольник, ограниченный прямыми
1 1
2163. $0х$
= х, у
х,у=\.

§ 21
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
241
2164. УЗ/(л;, у)йхйу, где область 5 ограничена лемнискатой
2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
()
где 5 — полукруг диаметра а с центром в точке С (у; 0) (рис.93).
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин-
интеграл
II ш)
распространенный на область, ограниченную окружностью х2-\-у*—2ах.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
л
где область интегрирования 5 — полу-
полукруг радиуса а с центром в начале ко-
координат, лежащий выше оси ОХ.
2168. Вычислить двойной интеграл
от функции /(г, ф) = г по области, ог- рис# д&
раниченной кардиоидой г=а A-{- соз ф)
и окружностью г = а. (Имеется в виду область, не содержащая
полюса.)
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить
а Уа* - х2
йх 5
о о
а
5
2170. Переходя к полярным координатам, вычислить
где область 5 ограничена лепестком лемнискаты
(х1 -\- уг)г х= аг (хг — уг) (х ^ 0).
2171*. Вычислить двойной интеграл
Я/1-!-!

242 КРАТНЫЕ И 1ЙРИВ0ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
х* иг
распространенный на область «5, ограниченную эллипсом -| -}--—- = 1,
переходя к обобщенным полярным координатам г и ф по формулам:
^ = гсо © ~
а "^' Ь
2172**, Преобразовать
с $х
О
^ и с^>0), введя новые переменные и = х-\-у, иV = у.
2173*. Выполнить замену переменных и = х-\-у% V = x — у в
интеграле
О О
2174**э Вычислить двойной интеграл
где «5—область, ограниченная кривой
Указание. Произвести замену переменных
соз ф, у = Ьг з1п ф.
§ 3* Вычисление площадей фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь
плоской области 8 равна
пл. 5 = \ \ их йу.
5
Если область 5 определена неравенствами а «^ х «^ Ь, ф (х) ^ у ^ 1|з (я), то
ь <к*>
пл. 5 = \ &х \ йу.
\ Площадь в полярных координатах. Если область 5 в
полярных координатах г и ф определена неравенствами а «^ ф <; р, I (ф) ^ г
* 5 = С С г ^ф <Хг = С <^ф V г й/"

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР 243
2175. Построить области, площади которых выражаются интегра-
интегралами:
2 #-{-2 а Уа2 —уг
а) 3 йх ] йу\ б) ^ йу \ йх.
— 1 ха о а—у
Вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования.
2176. Построить области, площади которых выражаются интегра-
интегралами:
3 5СС ф л
г гаг, б) $
*4 2
Вычислить эти площади.
2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х=у, х =
у , \у (^)
2178. Вычислить площадь* лежащую над осью ОХ и ограничен
ную этой осью, параболой уг = 4ах и прямой х-\-у=За.
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
Су—*)'+*'= к
2180. Найти площадь, ограниченную параболами
и
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограни
ченную линиями
2182. Найти площадь, ограниченную прямой г созф= 1 и окруж-
окружностью г = 2. (Имеется в виду площадь, не содержащая полюса.)
2183. Найти площадь, ограниченную кривыми
2184. Найти площадь, ограниченную линией
У2 ,.2 \2 У2 /72
I т/ I т/
2185*. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(х — 2ву + 3J-}-(Зл; + 4)'— 1J== 100.
2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни-
ограниченного дугами парабол х*=ау, х2 = Ьуу уг = ах, уг = бх@ <Га<" Ь%
0<а<р). ^
Указание. Ввести новые переменные и и V, полагая

244
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни-
ограниченного дугами кривых у* = ах, у2 = Ьху ху — а, ху =
0<а<Р).
Указание. Ввести новые переменные и и V, полагая ху = и, у2 = VX.
§ 4. Вычисление объемов тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
г = [(х, у), снизу плоскостью 2 = 0 и с боков прямой цилиндрической по-
поверхностью, вырезывающей на плоскости ХОУ область 5 (рис. 94), равен
у=
2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды
с вершинами О@; 0; 0), ЛA; 0; 0), В(\; 1; 0) и С@; 0; 1)
(рис. 95). Расставить пределы интегрирования.
Рис. 94.
Рис. 95.
В задачах 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых выра-
выражаются данными двойными интегралами:
11-* 2 У\—Х*
2189. \ их \ (\—х—у)йу. 2191. \ их \ (\—х)йу.
о о
2 2— X
0
2
2190. [их ^ D — х — у)йу. 2192. [
0 0 0 2—X
2193. Нарисовать тело, объем которого выражается интегралом
5 их \ |Лг* — х2 — уг йуу и из геометрических соображений,
о о
найти величину этого интеграла.

§ 4] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ 245
2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболои-
параболоидом 2 = 2х2 -\- у2 -|- 1, плоскостью х-\-у=\ и координатными пло-
плоскостями.
2195. Тело ограничено гиперболическим параболоидом 2 = х2—у1
и плоскостями ^ = 0, 2 = 0, х=\. Вычислить его объем.
2196. Тело ограничено цилиндром х*-\-г* = а* и плоскостями
= 0, 2 = 0, у = х. Вычислить его объем.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2197. аг = у\ х2-\-у2 = г2, 2 = 0.
2198. у = У~х, у = 2У~х, х+г = 6> 2 = 0.
2199. 2 = х2-\-у2, у = х2, у=\, 2 = 0.
2200. х
2201. 4- + 4=1, У = — х> У =
а2 ' с2 ' 7 а ^
2202. х2-\-у2 = 2ах, 2 = ах, 2 =
В задачах 2203—2211 использовать полярные и обобщенные по-
полярные координаты.
2203. Найти весь объем, заключенный между цилиндром
х2-\-у2 = а2 и гиперболоидом х2-\-у2 — 22 = — а2.
2204. Найти весь объем, заключенный между конусом 2 (х2 -\- уг) —
— 22 = 0 и гиперболоидом х2-\-у2 — 22 = —а2.
2205. Найти объем, ограниченный поверхностями 2а2 = х
х2-\-у2 — 22=а2, 2 = 0.
2206. Определить объем эллипсоида
*_\ _у!_ I _!! 1
а2 ' Ь2 I с2 *
2207. Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2#2 =
= х2-\-у2 и шаром х2-\-у2 -\-22 = За2. (Подразумевается объем,
лежащий внутри параболоида.)
2208. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ,
цилиндром х2 -\-у2 = 2ах и конусом х2-\-у2 = 22.
2209. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУГ
поверхностью 2 = ае~(х*+У2) и цилиндром х2 ~\-у2 = Я2.
2210. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ%
х2 и2 х^ и^1 х
параболоидом 2 = —г-г-^г и цилиндром —г-^-|г==2 —.
2211. В каком отношении гиперболоид хг-\-у* — 22 = аг делит
объем шара х2 -{- у1 -\- 2г ^ За2?
2212*. Найти объем тела,ограниченного поверхностями 2 = х
\ 2 2 = 0 (> >

246 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
§ 5. Вычисление площадей поверхностей
Площадь а гладкой однозначной поверхности г = 1(х,у), имеющей своей
проекцией на плоскость ХОУ область 5, равна
а =
V а &
2213. Найти площадь части плоскости —I—^—I— = 1 заклю-
а { Ь ' с
ченной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х2-\-у2 =
= /?2 (г ^ 0), содержащуюся между плоскостями % = тх и
г = пх (т ^> п ^> 0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2—у2 = 221
расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостью у-^-я = а.
2216. Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 -\-у2 = ах,
вырезанную из него сферой х* ~{-уж-\-г1 = а1.
2217. Вычислить площадь части поверхности шара хг -\- уг-\-%г = а*\
х^ и^
вырезанную поверхностью —т-{" тг === * •
2218. Вычислить площадь части поверхности параболоида
у* -\-2г = 2аху содержащуюся между цилиндром у2 = ах и плоско-
плоскостью х = а.
2219. Вычислить площадь части поверхности цилиндра хг-\-у2=2ах,
содержащуюся между плоскостью ХОУ и конусом х*-\-у* = г2.
2220*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2—уг = г2у
лежащую внутри цилиндра хг -\-у2 = 2ах.
2220.1*. Найти площадь части цилиндра у2 — 4х, вырезанную
сферой х2 -|- у2 4- г2 = 5х.
2220.2. Найти площадь части конуса г=Ух2-{-у2, вырезанную
цилиндром (х2-{-у2J = а2 (х2—у2).
2221*. Доказать, что площади частей поверхностей параболоидов
х2-\-у2 — 2аг и х2—у2==2аг, вырезаемых цилиндром хш-\-уж = Кг,
равновелики.
2222*. Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами, диа-
диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые касаются
друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и пло-
площадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основа-
основанием, сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с
диаметром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной про-
просветом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности
~, лежащей в первом октанте и заключенной между ци*
линдрами &-\-у*1=а% и

§ 6]
ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К МЕХАНИКЕ
247
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике
1°. Масса и статические моменты пластинки. Если
5 — область плоскости ХОУУ занятая пластинкой, и (> (х, у) — поверхностная
плотность пластинки в точке (х\ у), то масса М пластинки и ее статические
моменты Мх и Му относительно осей ОХ и ОУ выражаются двойными инте-
интегралами
М =
C)
Му = ЭД x^ (х, у) ах йу.
Если пластинка однородна, то (>(х> у) =
2°. Координаты центра тяжести
С(х, у) — центр тяжести пластинки, то
A)
и пластинки. Если
' "-Ж9
где М — масса пластинки и М%, Му—ее статические моменты относительно
осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах A) можно
положить (>= 1.
3°. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции пластинки
относительно осей ОХ и ОУ соответственно равны
, у)йхйу.
B)
E)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
Ук
C)
Полагая ()(х, у) = 1 в формулах B) и C), получаем геометрические моменты
инерции плоской фигуры.
2225. Найти массу круглой пластинки радиуса /?, если плотность
ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна б на краю
пластинки.
2226. Пластинка имеет фор-
форму прямоугольного треугольника
с катетами ОВ= а и О А = Ь, при-
причем плотность ее в любой точке
равна расстоянию точки от катета
О А. Найти статические моменты
пластинки относительно катетов
О А и ОБ.
2227. Вычислить координаты Рис. 96.
центра тяжести фигуры ОтАпО
(рис. 96), ограниченной кривой лу==5шл; и прямой О А, проходящей
через начала координат и вершину А ( ~; П синусоиды,
О

248 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2228. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
кардиоидой г = а(\ -}-со5ф).
2229. Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиу-
радиуса а с углом при вершине 2а (рис. 97).
2230. Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ограниченной параболами у2 = 4х-\-4: и у2 =—2л;-|-4.
2231. Вычислить момент инерции тре-
треугольника, ограниченного прямыми х -}- у = 2,
х = 2у у = 2, относительно оси ОХ.
2232. Найти момент инерции кругового
кольца с диаметрами й иО(й<^О): а) отно-
относительно его центра и б) относительно его
диаметра.
2233. Вычислить момент инерции квад-
квадрата со стороной а относительно оси, про-
Рис. 97. ходящей через его вершину перпендикуляр-
перпендикулярно к плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от пара-
параболы у* — ах прямой х = а, относительно прямой у== — а.
2235*. Вычислить момент инерции площади, ограниченной гипер-
гиперболой ду; = 4 и прямой х-\-у = 5, относительно прямой х=у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропор-
пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент
инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вер-
вершину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды г = а A -{-соз ф) относи-
относительно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г2 = 2а2 соз 2ф
относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости в полюсе.
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограни-
ограниченной одной аркой циклоиды х = а ((— зш 1), у = а A — соз /) и осью
ОХу относительно оси ОХ.
§ 7. Тройные интегралы
1°. Тройной интеграл в прямоугольных координатах.
Тройным интегралом от функции / (х, у, г), распространенным на область V,
называется предел соответствующей трехкратной суммы:
Ш
\*1
(х, у, г) их &уйг= Хш 222/ (*/» У/» гк)
тах Ьх% -> о I к
тах &у] -*- о
тах Дяа -» о
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению
трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного
двойного и одного однократного.

§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 249
Пример 1. Вычислить
ш
V
х*у*г
где область V определяется неравенствами
Решение. Имеем:
1 X ХУ IX Ху
0 0 0 0 0
1 X 1 XI
*ъ У*
0 0 0 0 0
Пример 2. Вычислить
2?
(V)
х^ и 2?
распространенный на объем эллипсоида —■^-\~ ~ +~~г
Реш е н и е.
а а
ххйх йуйг = \ хгйх\\ йуйг= \ х*ЗугАх,
(V) -в З
где 8уг есть площадь эллипса 2^-\-—=.\ г , дс = сопз1, равная
* оса
Поэтому окончательно имеем:
\ \ \ хгAхЛу Лг = лЬс \ дс2 ( 1 г ) ^л:=— ла*Ьс.
V)
V)
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если
в тройном интеграле
(V)
от переменных ху у, г требуется перейти к переменным и, V, о;, связанным с
х, у, г соотношениями х = ф (и, у, ш), у = ^) (и, V, ш), 2 = х (", у» йУ), где функ-
функции ф, ф, х-*
1) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2) устанавливают взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соот-
соответствие между точками области интегрирования V пространства 0ХУ2и точ-
точками некоторой области V пространства О'С/УУР;

250
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ.
3) функциональный определитель (якобиан) этих функций
дх дх дх
ди ди дгю
ду ду ду
И (и, и, до) ди ди ды>
дг дг дг
ди ди ддо
сохраняет в области V постоянный знак, то справедлива формула
У>
(V)
(V)
Рис. 98.
Рис. 99.
В частности,
1) для цилиндрических координат г, <р, к (рис. 98), где
получаем, что / = г;
2) для сферических координат ф, г|?, г (ф —долгота, -ф — широта, г —ра-
—радиус-вектор) (рис. 99), где
х = г со5 г|? СО5 ф, у = г со5 г|? з!п ф, г = г $ш г|?,
имеем / = г2соз1|).
Пример 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
Щ Ух2 + у2 + гг Ах йу йг,

(V)
где V — шар радиуса ^.
Решение, для шара пределы изменения сферических координат ф (дол-
(долготы), г|? (широты) и г (радиуса-вектора) будут:
п
~2
2 '
Поэтому будем иметь:
2Я
Ш Ух*

§7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 251
3°. Приложения тройных интегралов. Объем области трех-
трехмерного пространства 0ХУ2, равен т
У=\\\ йхйуйг.
(Ю
Масса тела, занимающего область V,
М = П \ у (х, У, г) ах йуйг,
(V)
где V (х, у, г) — плотность тела в точке (х\ у\ г).
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей
МХу— ^ ^ ^ V (х, у, г) г их йу йг\
(V)
= ^ ^ V (*» У* г) х ах йуйг\
(V)
= \ ) ^ V (х> У* г) У ах йу йг.
(V)
Координаты центра тяжести
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести мож
но положить у (х, у, г)= 1.
Моменты инерции относительно осей координат
г2) V (х, у\ г) их йу йг\
(V)
*) у (а:, у, 2) ах йуйг;
(V)
Н ^{х*+^у {х*у*г) йх йу йг'
(V)
Полагая в этих формулах у (х, у, г) = 1, получаем геометрические мо-
моменты инерции тела.
А. Вычисление тройных интегралов
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
для указанных областей V.
2240* V — тетраэдр, ограниченный плоскостями
= 0, 2 — 0.
2241, V —цилиндр, ограниченный поверхностями
=:/?Ё, 2 = 0, г = Н.

252 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2242*. V—конус, ограниченный поверхностями
х2 , у2 г2
а2 1 Ь2 с2
2243. К — объем, ограниченный поверхностями
х=\—хг—у
Вычислить следующие интегралы:
1 1 1
2244. [ах[Aу[-Г.
) ) ) У
0 0
л
2 г \Пс у 2
2245. \Лх ^ йу \ х&х.
0 0 О
а
2246. [их
Г йу [
0 0 О
1 1 —Д? 1 — Х—у
2247. ]с1х ] йу ]
0 0 0
2248. Вычислить
их йу йг
(У)
где I/ — область интегрирования, ограниченная координатными плос-
плоскостями и плоскостью х-\-у-\-г=\.
2249. Вычислить
5И (х ~\-У Л"*J ах <*У йг,
(У)
где V—общая часть параболоида 2ах ^ хг-\~У* и шара хг-\-у2-{-
2
2250. Вычислить
(У)
где у—общая часть шаров х*-\-у2-\-22*^К* и хг-\-у2-\-г
2251. Вычислить
(У)
где V—объем, ограниченный плоскостью х==0 и верхней полови-
ной эллипсоида -^

§ 7] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 253
2252* Вычислить
Я
(У)
нь»2 *»2 «2
где V—внутренность эллипсоида —г-{--|г-{--^г= 1.
2253. Вычислить
^я их йу й%,
где V—область, ограниченная конусом я2 =—${хг-\-уг) и плоскостью
2 = к.
2254* Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
^ ^ их йу й%,
(V)
где V — область, ограниченная поверхностями хг-\-у2 -\-22 =
х2-\-у2 — 22 и содержащая точку @,0,/?).
2255. Вычислить
У2Х — X2 а
Г
0 0 0
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2256. Вычислить
гг Уггх — х*
г* Г
\ йу
о _ уих _ Х2 о
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2257. Вычислить
ах 5 йу
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл

(V) '
где V — внутренность шара хг-\-уг -\-2
Б. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела,
ограниченного поверхностями
г — Зах, у* = ах, 2

254
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. V»
2260**. Вычислить объем части цилиндра хг-\-уг = 2ахг содер-
содержащейся между параболоидом х2 -\-у2 = 2аг и плоскостью ХОУ.
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой хг-\-уг-\-
?* = а2 и конусом 22=.хг -\-у2 (внешнего по отношению к конусу).
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2-\-у2-\-г*=Ь
и параболоидом х2 -\-у* = Зг (внутреннего по отношению к парабо-
параболоиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ9
цилиндром х2-\-у2 = ах и сферой х2-\-у2-\-г2 = а2 (внутреннего по
отношению к цилиндру).
2264. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
и2 г1 х
т*--\--ш- = 2—' и плоскостью л; = а.
2264.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
г^у _^*__1__^ *
с2 """
а2 ' Ьг
ал • Ь2
2264.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
а2 ^ Ь2 ' с2 * а2 ' б2 с2 "^*"
В. Приложения тройных интегралов к механике и физике
2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда
у у
, если плотность в точке {х^у, г) есть (* (х, у, ;гг}
\у\
2266. Из октанта шара х*-\-у*-\-г*
вырезано тело ОАВС, ограниченное координатными плоскостями и
Рис. 100.
плоскостью 1-^==1 (а^с,
а 1 о х
(рис. 100). Найти массу этого тела,
если плотность его в каждой точке
У>г) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму
полушара хг -\-уг -\- гг <,аг, г^*0,
плотность изменяется пропорционально
расстоянию точки от центра. Найти
центр тяжести этого тела.
2268. Найти центр тяжести тела,
ограниченного параболоидом у2 -{- 2а:1=
===4лс и плоскостью х = 2.
2269*. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота кото-
которого Н и радиус основания а, относительно оси, служащей диамет-
диаметром основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота которо-
которого Л, радиус основания а и плотность е, относительно диаметра
основания.

§ 8] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 255
2271**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным конусом
с высотой к углом а при вершине (в осевом сечении) на материальную
точку, содержащую единицу массы и расположенную в его вершине.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны
однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если
всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8* Несобственные интегралы, зависящие от параметра*
Несобственные кратные интегралы
Iе, Дифференцирование по параметру. При некоторых
ограничениях*), налагаемых на функции $(х, а), ^(я, а) и на соответ-
соответствующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
00 00
;, а) их = \ /й (х, а) их.
а а
Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
00
- их (а > О, Р > 0).
О
Решение. Пусть
оо
I
Тогда
00 00
дР (а, р) С -ахг . 1 »
—ч, г/ = —\ хе ^йх — гг-е
да ^ 2а
2а *
Отсюда Р (а, р) = —- 1п а + С (Р). Чтобы найти С (Р), полагаем в последнем
о о
1п а
равенстве а = р. Имеем 0 = —^-1пР+С(Р).
Отсюда С (Р) = -«■ *п Р* Следовательно,
2е. Несобственные двойные интегралы, а) Случай
бесконечной области. Если функция /(х, у) непрерывна в неогра-
неограниченной области 5, то полагают:
. У)й**У= Ип1 ^^ Цх, УLхйу, A)
•) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, т. II, гл, XIV, § 3, п. 520, Физматгиз, 1962.

256
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
где а—конечная область, целиком лежащая в 5, причем а -*5 означает, что']
мы расширяем область а по произвольному закону, так чтобы в нее вошла и!
осталась в ней любая точка области 5. Если предел в правой части существует:
и не зависит от выбора области а, то соответствующий несобственный инте-:
грал называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. л
Если подынтегральная функция / (х, у) неотрицательна (/ (я, у)^ 0), то для*
сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел
в правой части равенства A) существовал хотя бы для одной системы
областей а, исчерпывающих область 5.
б) Случай разрывной функции. Если функция /(х, у) непре-
непрерывна в ограниченной замкнутой области 5 всюду, за исключением точки
Р (а; Ь), то полагают:
^ ]\ B)
где 56 — область, получаемая из 5 путем удаления малой области диаметра е,л
содержащей точку Р. В случае существования предела B), не зависящего от
вида удаляемых из области 5 малых областей, рассматриваемый несобственный
интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся.
Если /(я, у)^0, то предел в правой части равенства B) не зависит от
вида удаляемых из области 5 областей; в частности, в качестве таких областей
о
можно брать круги радиуса ~ с центром в точке Р.
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай
тройных интегралов.
Пример 2. Исследовать на сходимость
йхйу
где 5 — вся плоскость ХОУ.
Решение. Пусть а—круг радиуса @ с центром в начале координат.
Переходя к полярным координатам, при р ф\ имеем:
27С
(а)
2'к
Г1
3 2
гйг
A+гУ
\-р
1
Если р<1, то Ит I (о)= Ит 1(о) = оо и интеграл расходится. Если же
о -> 5 р -» оо
ГГГ
р>1, то Ит I (о) — и интеграл сходится. При р=\ имеем /(а) =
р -> оо р — 1
2Я р
= \ **ф\ /» Г9 = л 1пA +92); Ь'т /(а) = оо, т. е. интеграл расходится.
о
Таким образом, интеграл C) сходится при р > 1.
2273. Найти /' (*), если
00
«/у (*>0).

§ 8] НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 257
2274. Доказать, что функция
4-оо
*/(*)
— оо
удовлетворяет уравнению Лапласа
* ду*~~
2275. Преобразование Лапласа Г(р) для функции /(/) опреде
ляется формулой
00
Найти Р(р), если: а) /(/)=1; б)/(/) = Л в)
Г) /(/) = С05^.
2276. Пользуясь формулой
п
О
вычислить интеграл
1
\ х" \пх их.
о
2277*. Пользуясь формулой
оо
вычислить интеграл
00
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие
интегралы:
00
2278. Г~
о
00
2279. Г* **-* ^ вттхйх (а>0, р>0).
о

258 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
оо
2280. С '1^8а* их.
О
1
ооо1 МпA--а2*2) , ,.
о
00
2282. [е-**°-^рйх (а>0).
О
Вычислить следующие несобственные интегралы:
00 00
^2^оо. \ ах \ е
о о
2284. \йу\
о о
2285. \ \ Лу2, где 5 — область, определяемая неравенствами
*) *) х ~г У
СО 00
о о
2287. Интеграл Эйлера — Пуассона, определяемый формулой
оо оо
е~*г их, может быть записан также в виде /= \ е~У2 йу. Пере-
о о
множая эти формулы и переходя затем к полярным координатам,
вычислить /.
оо оо оо
2288. Вычислить \йх[йу[, , , /,г а , 1Ч8.
д Од {хг+Уг + гг + 1)*
0 0 0
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы:
2289**. \\\пУхг-\-угйхйу, где 5 —круг х2-\-уг^\.
I ^^ 1
2290. \ \ 1 I 2\«» где ^ — область, определяемая неравенством
(«внешность» круга).
2291*. (Т *хйу :, где 5 —квадрат 1х|<1# |.у|<1.
C)

§ 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
25Ф
2292
. \ \ \
* ^г
2 ^,2)<х,
венством хг-\-у%
где V — область, определяемая нера-
нера(«внешность» шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейные интегралы первого типа. Пусть
» У) — непрерывная функция и у = ср (х) [а ^ х «^ Ь] — уравнение некоторой
гладкой кривой С.
Построим систему точек М;(х;, у() (/ = 0, 1, 2, ..., л), разбивающих кри-
кривую С на элементарные дуги Мг^\М;= Д5,, и составим интегральную сум-
п
му 5^=2/(л/» Уд&8г Предел этой суммы при п -+ оо и тах А54- -+ 0
1 = 1
называется криволинейным интегралом первого типа
Г
• У)
дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
ах.
а
У
в
В случае параметрического задания кривой С: х==
имеем: —-
Р
[}(х, у)й8=[г (Ф @, * @) /ф'2 @ + Ф'2 @ли
С а
Рассматривают также криволинейные интегралы
первого типа от функции трех переменных /(я, у, г),
взятые по пространственной кривой, которые вы- О
числяются аналогично. Криволинейный интеграл 1-го
типа не зависит от направления пути интегриро-
интегрирования; если подынтегральную функцию / интерпрети-
интерпретировать как линейную плотность кривой интеграции С, то этот интеграл
представляет собой массу кривой С.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
Рис. 101.
где С — контур треугольника АВО с вершинами А A; 0), В @; 1) и О (ф 0)
(рис. 101).
Решение. Здесь уравнение АВ\ у = \—х, уравнение ОВ: х = 0,
уравнение ОА: у = 0.

260 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Поэтому будем иметь:
АЗ ВО ОА
1 11
о
2°. Криволинейный интеграл второго типа. Если Р (х, у)
и С (*> У) — непрерывные функции и у = у(х) — гладкая кривая С, пробегаемая
при изменении х от а до 6, то соответствующий криволинейный интеграл
второго типа выражается следующим образом:
\ Р (х* У)йх-\-(Их> У)Ау=\ [Р (х, ф (л:)) + ф' М 0 (*» Ф (*))] их.
С а
В более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х =
где г изменяется от а до 6, то имеем:
Р
<? (х, у) 4? = 5 [Р (ф @. * @) ф' @ + О (Ф @. * @) Ф' @1
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго
типа, взятого по пространственной кривой.
Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на об-
обратный при- изменении направления пути интегрирова-
интегрирования. Механически этот интеграл можно интерпретировать как работу со-
соответствующей переменной силы \Р(х, у), ф (х, у)\ вдоль кривой интегра-
интеграции С.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
\ у2с1х -\~х2а*у,
с
где С—верхняя половина эллипса х = а соз 1У у = Ь з!п 1> пробегаемая по ча-
часовой стрелке.
Решение. Имеем:
о
5 и2 их 4- хг а*и= \ \Ь2 §\пъ (•(— а $т г) 4-а2 соз* 1-Ь соз Л Ш =
о о
— аЪ2 Г 51П8 / <Ы + агЪ Г соз8 *<Н = \ <*Ь*.
1С 7Г
3°. Случай полного дифференциала. Если подынтегральное
выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный дифферен-
дифференциал некоторой однозначной функции II = 11 (х, у), т. е. Р (х, у) их +• <?(*» уУ^У^
= а'и (х, у), то этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирова-

§ 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
261
ния и имеет место формула Ньютона — Лейбница
; у*)
р (*, у) ах + с? (х, уLу = и
0)
где (хг\ ух) — начальная и (#2; у2) — конечная течки пути. В частности, если
контур интеграции С замкнут, то
Р(х,
(х,у)ау = О. B)
Если 1) контур интеграции С содер-
содержится целиком внутри некоторой односвяз-
ной области «5 и 2) функции Р (х, у) и
ф (л:, у) вместе со своими частными произ-
производными 1-го порядка непрерывны в об-
области 5, то необходимым и достаточным
условием для существования функции V яв-
является тождественное выполнение в облас-
области 5 равенства
Уо
о
л
дх ~~ ду
Рис. 102.
(см. интегрирование полных дифференциалов). При невыполнении условий
1) и 2) наличие условия C) не гарантирует существования однозначной
функции и и формулы A) и B) могут оказаться неверными (см. задачу 2332).
Укажем способ нахождения функции V (х, у) по ее полному дифференциалу,
основанный на использовании криволинейных интегралов (т. е. еще один
способ интегрирования полного дифференциала). За контур интегрирования С
возьмем ломаную Р0РгМ (рис. 102), где Р0(х0; у0) — фиксированная точка,
М (х; у) — переменная точка. Тогда вдоль РЬРЛ имеем у = у0 и йу — Оу а вдоль
РХМ имеем йх = 0. Получаем:
(х, у) —и (х0, уо)= ^ Р (х, у)Aх+С} (л:, у) йу =
; у0)
У)
*о Уо
Аналогично, интегрируя по ломаной Р0Р2М, имеем:
У х
V (*, у)— и (х0, уо)=^ (х0, у)йу+^Р
Уо Хо
у)
Пример 3. Dх + 2у) 4х-\-Bх — 6у) Aу = <Ш. Найти и.
Решение. Здесь Р (х, у)—4х -\-2у и <)(х,у) = 2х — 6у;
вие C), очевидно, выполнено. Пусть #0 = 0, уо = 0. Тогда
причем усло-
услоЦ(х, у)=

262 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. УИ
ИЛИ
У *
V (х, 0 = 5 -^
где С = 17@; 0) —- произвольная постоянная.
4°. Формула Грина для плоскости. Если С — граница области
5 и функции Р(х, у), 0.(х, у) непрерывны, вместе со своими частными про-
производными 1-го порядка, в замкнутой области 5-{-С, То справедлива формула
Грина
С E)
где обход контура С выбирается так, чтобы область 5 оставалась слева.
5°. Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь,
ограниченная замкнутым контуром С, равна
5 = — Ф у их = ф х йу
с с
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
Более удобна для приложений следующая формула площади:
2) Работа силы, имеющей проекции Х = Х(х, у, г), У = 7 (х, у, г),
2 = 2, (х, у, г) (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С вы-
выражается интегралом
Если сила имеет потенциал, т.е.если существует функция 11 = 11 (х, у,г)
(потенциальная или силовая функция) такая, что
дх ~~ ' ду^~~ ' дг
то работа, независимо от вида пути С, равна
А= 5 хах + Уйу + 20г= ^ <Ш = V (хш, уш, гж) - Ц (х19 у19 г&
где (хи уи гх) — начальная и (х2; у2; г2) — конечная точки пути.
А. Криволинейные интегралы первого типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2293. }хуйз, где С—контур квадрата |хЦ-|.у|==а
С A$
2294. I . где С—отрезок прямой, соединяющей
3/^ + ^ + 4 *
с
точки О@; 0) и ЛA; 2).

§ 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 263
С х2 и*
2295. Ххуйз, где С—четверть эллипса —т-}~НЬ" = ^» лвж3^^
с
в первом квадранте
2296. ^ у%йз, где С — первая арка циклоиды х = а(г
с
= а(\ — соз/).
2297. \Ухг-\-угйзу где С—дуга развертки окружности
2298. ^ (*2-|-.у2J^> где С—дуга логарифмической спирали
с
г = аетч (т^> 0) от точки Л@; а) до точки О(—оо; 0).
2299. ^ (х-{-у)A8} где С—правый лепесток лемнискаты
с
С 32*
2300. \(д:-|-^)^) где С—дуга кривой х = 1, у——~%
У 2
с
С из
2301. \ л , д ,—;, где С—первый виток винтовой линии
с
2302. ^1^2/+?^, где С—окружность л:2 +.У2 -|-2г2 = а*,
с
х ===у»
2303*. Найти площадь боковой поверхности параболического ци-
линдра у=—х2, ограниченной плоскостями 2 = 0, л; = 0, г=х%
2304. Найти длину дуги конической винтовой линии х = аег соз ^,
у=аег$т{у г = аег от точки О@; 0; 0) до точки А (а; 0; а).
2305. Определить массу контура эллипса -ъ-\-^= 1, если линей-
линейная плотность его в каждой точке М(х, у) равна 1^].
2306. Найти массу первого витка винтовой линии х = асо${,
у = а$т^ г = Ы, если плотность в каждой точке равна радиусу-
вектору этой точки.
2307. Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды
х — а (* — 5ш/), у = а(\ — соз^) [0^^^ я].
2308. Найти момент инерции относительно оси 02. первого витка
винтовой линии л; = а соз/,

264
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. VII
2309. С какой силой масса М, распределенная с постоянной плот-
плотностью на окружности х2-\-у2 = а2, 2 = 0, воздействует на массу т,
помещенную в точке А @; 0; Ь)?
Б. Криволинейные интегралы второго типа
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310. ^ (л:2 — 2ху) их-\-Bху-\-у2) йу, где АВ—дуга параболы
АВ
у — х2 от точки А(\; 1) до точки 8B; 4).
2311. \ Bа—у)йх-\-х йу, где С—дуга первой арки циклоиды
еж /), у = а(\ — соз
пробегаемая в направлении возрастания параметра I.
2312. \ 2ху их — х*йу, взятый вдоль различных путей, выходящих
из начала координат О @; 0) и закан-
заканчивающихся в точке А B; 1) (рис. 103):
а) прямой ОтА;
б) параболы ОпА, осью симметрии
которой является ось ОУ;
в) параболы ОрА, осью симметрии
которой является ось ОХ;
г) ломаной линии ОБА;
д) ломаной линии ОСА.
У
ОА
Л
Рис. 103.
2313. V 2ху ах + х2 йу в условиях задачи 2312
2314*. (р
(х + У) Ах — (х — у) йу
, взятый вдоль окружности х •-[-
х2+У2
-^-у2 = а2 против хода часовой стрелки.
2315. \ у2 йх-\-х2 йу, где С есть верхняя половина эллипса
с
д: = асо5/, у=Ь$тг, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
2316. ^соъуйх— зтхйу, взятый вдоль отрезка АВ биссектри-
АВ
сы второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и
ордината точки В равна 2.
2317. фХУ(УЛ*-*Лу) ^ где с_ПрзВЫй лепесток лемнискаты г2~
с
==а2соз2ф, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318. Вычислить криволинейные интегралы от выражений, являю-
являющихся полными дифференциалами:
(«;») (»; 4) О; 1)
хйу-\-ус1х, б) ^ хйх-\-уйу, в) ^ (х-\-у) (Ах-{-ау)9
(-112) (о; 1) (о; о)

§ 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 265
B; 1)
ч Г у их — хау . ~ -~
г) \ -—-г - (по пути, не пересекающему ось ОХ)%
О;
(*; у)
у)
I х^" у (по пути, не пересекающему прямую х-\-у = 0)9
)
е)
2319. Найдя первообразные функции подынтегральных выражений,
вычислить интегралы:
(»; о)
а) ^ (х4+4л;/)^л; + F.гУ — Ьу*)йу,
A>0) ^ - ^
\ * (х_У>*Х (ПУТЬ интегрирования не пересекает прямой у?= х),
(о; - о
ч Г (х + 2у) их + у Аи г
в) V ^— /V \2 (путь интегрирования не пересекает прямой
(и I) ^— — х)>
О; 1)
(о; о)
2320. Вычислить
/ — Г хйх+уйу
)у1+2+2>
X2
взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса —
лежащей в первом квадранте.
2321. Показать, что если /(и) есть непрерывная функция и С
замкнутый кусочно-гладкий контур, то
$/(х2 4-у2) (х ах -\-у ау) = 0.
с
2322. Найти первообразную функцию 17, если:
б) аи = Cх2 — 2ху-\-у2)ах — (х2 — 2ху + 3у2)
в) аи = е*-У[(\-\-х-{-у)ах-{-(\—х—у)ау];
. их * йу
г) ^ = —| ^

266 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространствен-
пространственных кривых:
2323. ^ (У — г)йх-\-{х — х)йу-\-{х—у)йг> где С—виток вин-
с
товой линии
х = а сов /,
у = а 8111 /,
х = Ыг
соответствующий изменению параметра / от 0 до 2я.
2324. у у их -\- г йу -{- х их, где С— окружность
с
х = /?соз асоз /,
у = /? с©5 а зш /,
2 = /?8та (а==соп81),
пробегаемая в направлении возрастания параметра.
2325. ^ ху йх-\-ухйу-\-хх(Хх% где О А — дуга окружности
ОА
расположенная по ту сторону от плоскости ХО%, где
2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных дифферен-
дифференциалов:
(в; 4; в)
а) ^ хйх-\-уйу — гйг%
О;*. —»)
(а; Ь\ с)
б) ^ ухйх-\- хх йу -\- ху йх>
A; 1; I)
(з;4; 5)
х их-\-у йу -\-г йг
■> I
(о; о; 9)
уг их -(- гх йу -\- ху йг
A; I; 1)
ч * уг их{гх йу-\-ху йг .
г) Г ^ ! 2^!—ч.— (путь интегрирования расположен в
^ первом октанте).
В. Формула Грана
. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл
с
где контур С ограничивает область 5.

9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 267
2328. Применяя формулу Грина, вычислить
1=<1J(хг-\-у')ах-\-(х+у)Ыу,
С
где С—пробегаемый в положительном направлении контур треуголь-
треугольника с вершинами в точках А(\; 1), 3B; 2) и СA; 3). Проверить
найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
2329. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
у — х2у йх-\- ху2 йу,
с
где С—окружность х2-\-у2 = /?2, пробегаемая против хода часовой
стрелки.
2330. Через точки А(\; 0) и ВB; 3) проведены парабола АтВ,
осью которой является ось О К, и хорда ее АпБ. Найти
ф (х-\-у) их — (х—у) йу непосредственно и применяя формулу
АтВпА
Грина.
2331. Найти ^ е*у[у2 йх-\-(\ -\-ху) йу], если точки Л и Б лежат
АтВ
на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции АтВ и от-
отрезком АВ, равна 5.
2332*. Вычислить ф 2 , 2 . Рассмотреть два случая;
с х ' ^
а) когда начало координат находится вне контура С,
в) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С—замкнутая кривая, то
где $—длина дуги и п — внешняя нормаль.
2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл
1=Ш [ХСО5(Х, П)-\-у 81П (X, П)]й8,
с
где из — дифференциал дуги и п — внешняя нормаль к контуру С.
2335*. Вычислить интеграл
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках А(\; 0), В@; 1),
С(— 1; 0) и 0@; — 1), при условии обхода контура против хода ча-
часовой стрелки.

268 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Г. Приложения криволинейного интеграла
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми!
2336. Эллипсом лг = асоз/, у = Ь $т1.
2337. Астроидой х = асозЧ, у — а$\п8 г.
2338. Кардиоидой х = а B соз / — соз 2/), у = а B зт г — зт 2^).
2339*. Петлей декартова листа хъ-\-уъ— Заху = О (а^>0).
2340. Кривой (х-{-у)8 = аху.
2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по непод-
неподвижной окружности радиуса /?, оставаясь вне нее. Предполагая, что
целое число, найти площадь, ограниченную кривой (эпициклои-
(эпициклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности. Разо-
Разобрать частный случай г = К (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по непод-
неподвижной окружности радиуса /?, оставаясь внутри нее. Предполагая,
о
что целое число, найти площадь, ограниченную кривой (гипоци-
(гипоциклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности.
Разобрать частный случай, когда г = -г- (астроида).
2343. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину Р и
направление положительной полуоси ОХ. Найти работу поля, когда
материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть ок-
окружности х2-\-у2 = К2, лежащую в первом квадранте.
2344. Найти работу, производимую силой тяжести при перемеще-
перемещении материальной точки массы т из положения Л(х1; ух\ гх) в поло-
положение В(х2; уг\ %2) (ось 021 направлена вертикально вверх).
2345. Найти работу упругой силы, направленной к началу коор-
координат, величина которой пропорциональна удалению точки от начала
координат, если точка приложения силы описывает против часо-
2п
вой стрелки четверть эллипса —г-^-Лр=* 1, лежащую в первом квад-
квадранте.
2346. Найти потенциальную функцию силы Н{ХУ У, 2} и опреде-
определить работу силы на данном участке пути, если:
а) ^=0, К=0, 2 = — т& (сила тяжести) и материальная точка
перемещается из положения А(х19 ух, 2Х) в положение В(хг, уг> гг);
—т?, где ^ = соп8< и
хг -\-у1 -\- хг (сила ньютоновского притяжения) и материальная
точка из положения Л (а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
в) ЛГ= — кгх, У= — к2у, 2=: — кгг, где к=*соп$1 (упругая
сила), причем начальная точка пути находится на сфере х2 -\-у% -\-
, а конечная —на сфере хг-\-уг-\-22 = г2 (/?> г).

§ 10] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 269
§ 10. Поверхностные интегралы
1#, Поверхностный интеграл первоготипа. Пусть /(*, у, г)—
непрерывная функция и г = (р(х, #) — гладкая поверхность 5.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел ин-
интегральной - суммы
п
/(*, у, г) A8= Игл У\НХ1> Уь гд
+1 —±. ГГ\4**В
п -* ооГ
где А5/ — площадь /-го элемента поверхности 5, точка (х/, у^ Х() принадлежит
этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стре-
стремится к нулю.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности 5,
по которой производится интегрирование.
Если проекция а поверхности 5 на плоскость ХОУ однозначна, т. е. вся-
всякая прямая, параллельная оси 02 пересекает поверхность 5 лишь в одной
точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть
вычислен по формуле
У. *)<*5=^/[*, У
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл
где 5 — поверхность куба # ^
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (г= 1)
и по нижней грани куба (г = )
11 11 11
0 0 0 0 0 0
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и равен
2е. Поверхностный интеграл второго типа. Если
Р = Р (х, у, г), ($ = (} (х, у, г), # = /? (х, у, г) — непрерывные функции и 5+ —
сторона гладкой поверхности 5, характеризуемая направлением нормали
п \ соза, созр, соз у (, то соответствующий поверхностный интеграл второго
типа выражается следующим образом:
8
Р йу йг + ф йг 6.x + # их д.у = С ^ (Р соз а + С соз Р + ^ соз у)
8+ 3
При переходе на другую сторону 5" поверхности этот интеграл меняет
свой знак на обратный.
Если поверхность 5 задана в неявном виде Р (ху у, г) = 0, то направляю-
направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 дР а 1 дР \ дР
СОЗ а = — — , СО8 р = тс- ^-- , СОЗ V = 7Г л" »
О дх и ду ! Б дг

270 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
где
дх
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной поверх-
поверхности 5.
3°. Формула Стоке а. Если функции Р = Р (х, у, г), () = (} (х, у* г),
К = #(х, у, г) — непрерывно дифференцируемы и С —замкнутый контур,
ограничивающий двустороннюю поверхность 5, то имеет место формула
Стокса
где соза, соз р, соз-у — направляющие косинусы нормали к поверхности 5,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали
обход контура С совершался бы против хода часовой стрелки (в правой си-
системе координат).
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
2347. $ $ (х* +У) <13, где 5 — сфера х* -\-у
2348. ^ Ухг -\-у2 A3, где 5 — боковая поверхность конуса
5
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349. \)У2с1у йг-\-хгАгйх-\-ху йхйу, где 5 — внешняя сторона
5
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями л; = 0, ^ = 0,
г=0, х
Г Г* х2 Ф
2350. \ \ г йхйу, где 5 — внешняя сторона эллипсоида -*—|--т
2351. \\ хгйу йг-\-уг йхйх-\-г*йхйу, где 5 — внешняя сторона
поверхности полусферы хг-\-у*-\-2г = а*
2352. Найти массу поверхности куба
О ^ г ^ 1, если поверхностная плотность в точке М (х; у; г) равна хуг.
2353. Определить координаты центра тяжести однородной пара-
параболической оболочки ах = хгАсУг @*^2^ я).
2354. Найти момент инерции части боковой поверхности конуса
-=1^хг -\-уг [О^х^Н] относительно оси

§11} ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО—ГАУССА 71
2355. Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
а) § (х* —ух) их + (/ — хх) йу + (х1 — ху) йг\
с
б) у у йх-\-хйуА^хйх.
с
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить
результаты непосредственным вычислением:
2356. у(у-\-х)йх-\-(х-\-х)Aу-\-(х-\-у)Aх, где С—окружность
2367. у (у — х) их + (г — л:) йу -\-(х —у) йгу где С— эллипс
2358. ^ х их -\- {х -\-у) йу ~\- (х -(-у -]- г) йг> где С — кривая х
с
у — асоз/, ,г = аE1П/-(-С05
2359. ^ угйх -\- ггйу + хгйхл где Л5СЛ — контур Д
вершинами А (а; 0; 0), 5@; а; 0), С@; 0; а).
2360. В каком случае криволинейный интеграл
с
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§ 11. Формула Остроградского — Гаусса
Если 5 —замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем К, и
Р = Р (х,у,г), (} = A(х, у, г), # = 7? (х,#, г) — функции, непрерывные вместе
со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то
имеет место формула Остроградского — Гаусса
где соза, созр, соз у — направляющие косинусы внешней нормали к по-
поверхности 5.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать следую-
следующие поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям 5, ограни-
ограничивающим объем V (соз а, соз р, соз у — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности 5).

272 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2361. ^ хуйхйу-\- ух йу их -\- гх их их.
8
2362. ЭД х2йуйх-{-у2 их йх-\-х2 йхйу.
8
2363.
С помощью формулы Остроградского — Гаусса вычислить следую-
следующие поверхностные интегралы:
2365. ^ х2 йуйх-\- у2 йхйх-\-х2 их йу, где 5 — внешняя сторона
поверхности куба О^х^а, О^у^а, О^х^а.
2366. у^хйу йх-\-у йхйх-\-хйх йу, где 5 — наружная сторона
пирамиды, ограниченной поверхностями х
2367. ^ х8 йу их -|- у8 йг их -\- г8 их йу, где 5 — внешняя сторона
сферы хг-\-уг -\-г2 = а2.
2368. ^ (л:2 сов а-|" У С05 Р + ^2 С05 V) ^5» гДе 5 — внешняя пол-
ная поверхность конуса
х2 и2 г2
2369. Доказать, что если 5—замкнутая поверхность и / — любое
постоянное направление, то
, 1)й8 = 0,
где п — внешняя нормаль к поверхности 5.
2370. Доказать, что объем тела V, ограниченного поверхностью 5,
равен
= -^ \ \ (х сов а -\- у сов р -]- х соз
8
где соз а, созр, соз у — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности 5.

§ 12] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 273
§ 12. Элементы теории поля
1°. Скалярное и векторное поля. Скалярное поле определяется
скалярной функцией точки и = 1(Р) = ^(х, у, г), где Р (х, у, г) — точка про-
пространства. Поверхности / (х, у, г) = С, где С = соп$1, называются поверхно-
поверхностями уровня скалярного поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а = а (Р) = а (г),
где Р —точка пространства и г = х{-{-у]-\-гк — радиус-вектор точки Р.
В координатной форме а = ах1 -\- а^'-{-агк, где ах = ах (х, у, г), пу=ау (х, у, г),
аг = аг (х, у, г) — проекции вектора а на координатные оси. Векторные линии
(силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы диффе-
дифференциальных уравнений
их а1 у йг
ах~~ ау~~ аг'
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени г, называется
стационарным, а зависящее от времени — нестационарным.
2°. Градиент. Вектор
•> "Ч г\
где \/ = 1-—ру__|-/г- оператор Гамильтона (набла), называется гра*
диентом поля (/=/-(Р) в данной точке Р (ср. гл. VI, § 6). Градиент направ-
направлен по нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания
функции 0 и имеет длину, равную
дп — У \дх ) л \ду) ! \дг ) '
Если направление задано единичным вектором /{соза, созР,
(производная функции V по направлению /).
3°. Дивергенция и вихрь. Дивергенцией векторного поля а(Р)
« ,. ^а^. . дау , да
г^ называется скаляр с!1У а = ^ +^+^
Вихрем векторного поля а(Р) = а^-\-ау]-\-агк называется вектор
дау
4°. Поток вектора. Потоком векторного поля а (Р) через по-
поверхность 5 в сторону, определяемую единичным вектором нормали
л {соза, соз Р, соз-у} к поверхности 5, называется интеграл
\ \ ап A8 = \ \ ап й8 = \ \ (ах соз а + а^ соз Р -\- аг соз у) йЗ.
8 3
Если 5 —замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п — единич-
единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, то справедлива формула

274 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
Остроградского — Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
(П) ап АЗ = \ \ V <Л V а их йу а*г.
У (У)
5*. Циркуляция вектора; работа поля. Линейный интеграл
от вектора а по кривой С определяется формулой
V а йг = \ а3 й$ = \ ахйх -\~ пуйу -\~ а2д,г A)
и представляет собой работу поля а вдоль кривой С {а$ — проекция вектора
а на касательную к С).
Если кривая С — замкнутая, то линейный интеграл A) называется цирку-
ляцией векторного поля а вдоль контура С.
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность 5, то
справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид
а йг = С С п го! а а18 = Г Г (го! а)п 63,
где л — вектор нормали к поверхности 5, направление которого должно быть
выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению л, обход
контура С совершался в правой системе координат против хода часовой
стрелки. *
6°. Потенциальное и соленоидальное поля. Векторное
поле а (г) называется потенциальным, если
а = &гас! V,
Где V = / (г) — скалярная функция {потенциал поля).
Для потенциальности поля <*, заданного в односвязной области, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы го1а = 0.
В этом случае существует потенциал Ц, определяемый из уравнения
6Х] = ахйх -\- ауйу -(- а
Если потенциал V — однозначная функция, то \ айг = 1/(В) — V (А); в
АВ
частности, циркуляция вектора а равна нулю: ф айг =0.
с
Векторное поле а (г) называется соленоидальным, если в каждой точке
поля A1у а = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх-
поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то
<Цу(бга(Ш)=0 и потенциальная функция I/ является гармонической, т. е. удов-
аетворяет уравнению Лапласа ^ "Ьл~т -ЬлТ^^» или А^ = 0> где Д =
_--|-_-_оператор Лаплаеа.
2371. Определить поверхности уровня скалярного поля 17=/(г),
где г=У"хг-\-уг-{-2*. Каковы будут поверхности уровня поля
=Г(б), где в =

121 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 273
г
2372. Определить поверхности уровня скалярного поля
С/= агсзш
2373. Показать, что векторными линиями векторного поля а{Р)=С,
где с — постоянный вектору являются прямые, параллельные автору <\
2374. Найти векторные линии поля а== — (оу1-\-(охУ, Где со —
постоянная.
2375. Вывести формулы:
а) ^гаA(С1(/+С2^) = С1егаAС/+С2&гаA^ где С1 и ^—по-
^—постоянные;
б)
в)
д)
2376* Найти величину и направление градиента поля С/=
4"У*Л? — $хуг в точке Л B; 1; 1). Определить, в каких точках гра-
градиент поля перпендикулярен к оси 02 и в каких точках равен нулю.
2377. Вычислить ^гас1 С/, если Ц равно соответственно: а) г, 6) г2,
в) у , г) /(г) (г = /*•+/ + *■).
2378. Найти градиент скалярного поля 11=сг, где с — постоян-
постоянный вектор. Каковы будут поверхности уровня этого поля и как они
расположены относительно вектора с? г г %
2379. Найти производную функции {/=—2"~Ь~!?~1~~г в Данной
точке Я(дг, уу г) в направлении радиуса-вектора г этой точки. В ка-
каком случае эта производная будет равна величине градиента?
2380. Найти производную функции G=— в направлении
/{сова, созр, сову}. В каком случае эта производная равна нулю?
2381. Вывести формулы:
а) (Ну (С^ + СА) = С1с11уа1 + Са(Нуа1> где С4 и С2 —посто-
—постоянные;
б) &\у (Цс) = %таб. С/-с} где с — постоянный вектор;
2382. Вычислить у
2383. Найти <Ну а для центрального векторного поля а (Р)=/(г)— ,
где г^
2384. Вывести формулы:
а) го! (С^! -}- С2а2) = Сх го!ах + С2 го!а2, где С4 и С2 — постоянные;
б) го1F^) = ^гаA(УХ^» где с — постоянный вектор;
в) го! (С/в) = ^гай С/ X в + V го! в.
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора в, если в равно
соответственно: а) г; б) ге и в) /(г) с, где г — постоянный вектор.

276 КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. VII
2386. Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей то-
точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью (о вокруг
оси 02. в направлении против хода часовой стрелки.
2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей #™<оХг точек
тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг неко-
некоторой оси, проходящей через начало координат.
2388. Вычислить дивергенцию и вихрь градиента скалярного поля V.
2389. Доказать, что (Пу(го1а) = 0.
2390. Пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, доказать,
что поток вектора а = г через замкнутую поверхность, ограничиваю-
ограничивающую произвольный объем г/, равен утроенному объему.
2391. Найти поток вектора г через полную поверхность цилин-
цилиндра л;2+У</?2, 0<*<#.
2392. Найти поток вектора а = х%1-\-у%]-\-г%к через: а) боковую
2 I 2 2
поверхность конуса —^~ ^ -^ , 0 ^ г ^ Н; б) через полную поверх-
ность конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения
/7= г точки массы т, помещенной в начале координат, через
произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного вит-
витка ВИНТОВОЙ ЛИНИИ X = К СО5 г] у = /? 31П /,' X = Ы ОТ I = 0 ДО I = 2Л.
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора
а = х1уг1-\-]-\-гк вдоль окружности хг-]~у2 — К2; г —0, приняв
в качестве поверхности полусферу г==уК2 — х2—у2,
2396. Показать, что если сила Г—центральная, т. е. направлена к
неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г до этой точки:
Р=:/(г)гу где /(г) — однозначная непрерывная функция, то поле —
потенциальное. Найти потенциал V поля.
2397. Найти потенциал V гравитационного поля, создаваемого ма-
материальной точкой массы т, помещенной в начале координат:
а=== гг. Показать, что потенциал V удовлетворяет уравнению
Лапласа Д^/=0.
2398. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал Ц, и
найти Цу если потенциал существует:
а) а=E<у —4*у)' + C*" —2у)У;
б) а=уг1-\-гх]-\-хук\
в) а = {уАГгI-\-{х-\-)]г{\у)
2399. Доказать, что пространственное центральное поле а=/(г)г
к
будет соленоидальным только при /(г) = ^-, где & = сопз1.
2400. Будет ли соленоидальным векторное поле а = г(^Хг)» где
с — постоянный вектор?

ГЛАВА VIII
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Iе. Основные понятия. Числовой ряд
00
..- + ««
П=1
называется сходящимся^ если его частичная сумма
$п = а1 + а2 + • • • + ап
имеет предел при п—>-оо. Величина 5= 11т 8п называется при ©том суммой
п -»со
ряда, а число
Кп = 8 — 8п — ап+1 +#л+2 + . . .
— остатком ряда. Если предел 11т 5П не существует, то ряд называется
п -> со
расходящимся.
Если ряд сходится, то Ит ал = 0 (необходимый признак сходимости),
п -> ф
Обратное утверждение неверно.
Для сходимости ряда A) необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного числа е можно было подобрать такое N, что при п > N и
любом положительном р выполнялось неравенство
\ап+1 + ап+2+. . .+ап+р\<е
(критерий Коши).
. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или
отбросить конечное число его членов.
2°. Признаки сходимости и расходимости знакополо-
знакоположительных рядов.
а) Признак сравнения I. Если 0 <; ап <; Ьп, начиная с некоторого
п~щ, и ряд
со
Ьх + Ьг + . .. + &„ + ...= ^ Ьп B)
72 = 1
сходится, то ряд A) также сходится. Если ряд A) расходится, то расходится
и ряд B).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометри-
геометрическую прогрессию
2 аяп (а ф 0),
л=о

278 РЯДЫ [ГЛ. VIII
которая сходится при | ц | < 1 и расходится при [ ц | ^ 1, и гармонический ряд
21
п '
являющийся рядом расходящимся.
Пример 1. Ряд
сходится, так как здесь
а —±-<1
"~/г-2л^ 2" '
причем геометрическая прогрессия
2-. 2»'
1
знаменатель которой <7 = ~, сходится
Пример 2. Ряд
1п 2 . 1п 3
2 ^"Т
^ 1пм .
расходится, так как его общий член. больше соответствующего члена
— гармонического ряда (который расходится).
б) Признак сравнения II. Если существует конечный и отличный
от нуля предел Нт Ъ} (в частности, если ап ~ Ьп), то ряды A) и B) сходятся
п -> со Ьп
или расходятся одновременно.
Пример .3. Ряд
расходится, так как
,!га
п ->оо
а ряд с общим членом — расходится
Пример 4. Ряд
21 + 2*—
сходится, так как
а ряд с общим членом — сходится.
в) Признак Даламбера. Пусть ап > 0 (начиная с некоторого п=*п0)
и существует предел
Нт а

§ 1] числовые ряды 279
Тогда ряд A) сходится, если <?< 1, и расходится, если ц > 1. Если 9=1, то
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
1 4- 34- 54- I 2п ~ 1 1
" "г2 "Г ? "Г • • • п 2« г*"
Решение. Здесь
и
п
Следовательно, данный ряд сходится.
г) Признак Кош и. Пусть ап^0 (начиная с некоторого п = п0) и
существует предел
11т у~ап = д.
п -> со г
Тогда ряд A) сходится, если <7<1, и расходится, если <?>1. В случае,
когда 9=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
д) Интегральный признак Кош и. Если ап = / (л), где функция
/(*) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х^а^1, та ряд
A) и интеграл
сю
сходятся или расходятся одновременно.
СГ помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихм
сходится, если р > 1, и расходится, если р<\. Сходимость многих рядов
можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле C).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
1 • 2 * 3 • 4 -* 5 • 6 -1" " * "^ Bя - 1) 2л
Решение. Имеем:
, 1 1 11
л- 1Jя" 4я2 ^^_ 4л2'
2л
Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится, то на основании признака сравне-
сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.
3°. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
Если ряд
1 D)
составленный из абсолютных величин членов ряда A), сходится, то ряд A)
также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд A)

280 РЯДЫ [ГЛ. VIII
сходится, а ряд D) расходится, то ряд A) называется условно (неабсолютно)
сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда A) можно использовать
Для ряда D) известные признаки сходимости знакоположительных рядов.
В частности, ряд A) сходится абсолютно, если
\\т (^±1 < 1 или Ь'т {/КГ<1.
п -»• оо пп и -> со
В общем случае из расходимости ряда D) не следует расходимость ряда A).
> 1 или \\т У\ап\ > 1, то расходится не только
Но если Нт
п -> со
а
ап
п -* со
ряд D), но и ряд A).
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
E)
выполнены условия: 1) Ь1^ Ь2^ Ь3^ ...; 2) Ит Ьп = 0, то ряд E) сходитсяк
п -* оо
Для остатка ряда #п в этом случае справедлива оценка
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
Так как
п /~7 « \~п „ 1 1
11т 1/ = г-- = Ьт г -= 11т —
2-1~2 '
п
то данный ряд сходится абсолютно.
Пример 8. Ряд
1
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Этот ряд сходится
неабсолютно (условно), так как ряд
1.1. .1
расходится (гармонический ряд).
Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно,
чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает
лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина
общего члена ряда стремится к нулю монотонно. Так, например, ряд
+ +  "~~ • •' + Т -~

§ 1] числовые ряды 281
расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю (монотон-
(монотонность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нарушена).
Действительно, здесь 82к = 5^ + $1* гДе
1 ■ 1' . • 1 ~и ( 1 . 1 • .1
причем Ит 8к=оо(8к—частная сумма гармонического ряда), в то время
к -» оо
как предел Нт 8"к существует и конечен (8к — частная сумма сходящейся гео-
к -» со
метрической прогрессии), следовательно, Пт 52^ = оо.
к -*- со
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение
признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться,
если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.
Так, ряд
2
сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсо-
абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.
- 4°. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом
сп = ап-\-1ЬпAг — —1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
со со
сходятся ряды с действительными членами 2 а« и 2 ^п> пРичем в этом
случае
СО 00 00
2 с„=2 «»+' 2
Ряд F) заведомо сходится и называется абсолютно сходящимся, если схо-
сходится ряд
00 СО
2» | Чу!
членами которого являются модули членов ряда F).
5°. Действия над рядами.
а) Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число к, т. с.
если
то
шУ >Су I п /*} I \ П /У I ■■■"■"■ шУ ^
1х и л т^ 1\ \л о I . • . I пи и I • • • ' г\ь2»
II Л I I 1*1
б) Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
... +ап+ •••=51» G)
О "г" * 1 О —] — 4.3 л С о I
понимается соответствующий ряд
(ах-±: Ь1) + (а2^:Ь2)+ ... +(а„±: Ь„) +... =5, ±:5к.
в) Произведением рядов G) и (8) называется ряд
*! + *.+ •.. +сп + --- * (9)
где сп = а1Ьп -\-сг2Ьп_1 -\- ...-(- #п^1 (л=г 1» 2, ...).
Если ряды G) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также абсо-
абсолютно и имеет сумму, равную З^.

282 РЯДЫ [ГЛ. У11Г
г) Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при пере-
перестановке членов ряда. Это свойство не имеет места в случае, если ряд
сходится неабсолютно.
Написать простейшую формулу /2-го члена ряда по указанным членам:
2401. 1 + 1 + 1 + 1+... 2404. 1+ -1+-^ + ^
...
2402. -+4- + 1Г + 1Г+••• 2405ф Т + + +
2403. 1+1+1 + 1 + ... 2406. •§■ + •!•' 6 ' 8
2407. 1+1+1+1+1+1 +
2 I 6 * 12~ 20 ' 30 ' 42 ~ '' '
2408. * ' '
1-4 ' 1-4-7 • 1 -4-7-10
2409. 1
2410. 1
В №№ 2411 — 2415 требуется написать 4—5 первых членов
ряда по известному общему члену ап.
2411. а=^=Л. 2414. а =
2412. а„ = '—^ . ( 2 4- 8ш '-^ ) соз пп
2413. а_ = '
п2
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения
(или необходимый признак):
2416. 1 — 1 + 1 — 1 -{-...+(— I)" +...
2419 — 1_4-—^ 4- ( ' I-
У\0 {/10 Г \/Ъ ' " + ^/10 1
2420. 2" + -4- + -б"+ • • • +2Й
+ + + +
2421.
2422.
/2-3 ' /3-4 ' ' /л(л+1)

§ 1] числовые ряды 283
2423.
2424. 1+_к+ *+...+ *+..
' У 2 ' У% ' * Уп '
2425. 2 + + + +
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов!
2Я—
2428. 2 1 2'5 1 2'5'8 1 ... 1 2-5-8---C?1-1) | ...
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431.  + 1
2432. -3 + 8-+15
2433.
2434. •з' + -д" + 19+ +
_ 1
+ + + +
я-2)Cп
***
.1
3
п
/3\2 . 5 , /7\* ,
2439. ~^~\"&~\ ё*~"г • • • ~Г"ё" "т • • •
2440. 1+1+1+...+2!!'+...

284 РЯДЫ [ГЛ. VIII
0/1/11 1! 1 2! , 3! , . п\
АЪЪ1. Л , « -|- 92 II Т" 9» 4-1 I •"То»
1 , 1-3 , 1-3-5 , , 1-3-5...B/г- 1) ,
• 4 "+" 4-8 "Г 4- 8-12 ~Г ' ' * I 4-8-12.. .4л "" * ' *
2 й!1!4-^4- 4-(п!J
4! » 6! •""••> BлI
1000-1002 . 1000-1002-1004
1-4 "I Ь4^7
, 1000-1002-1004...1юо-г-^/|
•• ' "Г 1-4-7...(Зм-2) "Г •••
2-б.8_1_ , 2.5-8-1Ы4...F/г-7)Fм-4) ,
^ " ' в ' * 1-5.9.13-17...(8л- И) (8л-7)"+"
, 1-5-9... D/2-3) ,
2-4-6 ' в •' "Г 2-4-6-8-10...Dл — 4) Dл — 2) ' ' * '
1 , 1-11 ^ 1-11-21 , , 1 -11-21.. .(Юл - 9) ,
' 1! " 3! ' 51 Г • • • П Bл - 1)! Г " '
1 . 1-4 , 1-4-9 , ■ 1-4-9...к2 ,
* "Г" 1 .Я.К"Т" 1 ..Ч.я;.7.0~Г • • • ~Г 1 .Я.к.7.0 (Ап — 9Л\ ' '
ЬЗ-5-7-9...Dм -3)
сх> со
2450. У агс8ш-Д=г. 2457. V —.—^п—•
^-* Уп ***** п-\пп-\п\пп
со сю
2451. !>;!. 2458.
2452. Х1п('1+-')- 2459. У
СО СО
2453. Ц1пЧ^-- 246°-
~1Уп(п-{-1)(п + 2)
со со
1
2454. ХтЛ- 2461. У
ш т #;"Г2 п 1п л + У 1п8 л
со со
2455. У -у!— . 2462. У ч .-1 ==.
^^ л 1 п п +-* п з/ „ _ лГ „
/1=2 Л=2 ^ К " ^ '*
00 00
2456. У -Л- . 2463.

§ 1]
числовые ряды
285
2464.
2467.
00
СО
2466. 2=1.
2468*.
00
2466.
00
2469. Доказать, что ряд
пР
П —2
1) сходится при произвольном #, если
, и при
, если
2) расходится при произвольном #, если р<М, и при ^^ 1, если
Р=\.
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов.
В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходи-
сходимость.
2470. 1— у+  — ••• + 2п-
ОД71 1
3 > 5
+
9
2п-1
I (~ ^ I
• • • I 1 I • • •
Уп '
2472. 1 — ~ ~г "дГ •••"!"
(-1)
+ ...
2 з
2473. 1— у^(-^
ОД74 -^ ^
^ ^" Ь2 2-3
( \)пп
3-4
2475.
4
т + Т + Ш— •••+(—!)
Г-+---
2/2
1 ' 3/3
1 4/4 -1 !
• . —г~ I— 1)
94Я0
7 ~~
8'п ст
1п 10
1-4-7
„-13-5-7...Bп + 1) |
2.Б-8...(Зя-1)~Г"
„_, 1.4-7...(8я-2)
7-9-11...B/1 + 5)
"Г
8'п 2а
па
«~1 • ' •

236
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
оо
2481. X (-
\пп
п
со
2482.
(
1
/1=1
п
2483. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не
00
решает вопроса о сходимости ряда 2 ап> где
/1 = 1
^1 > й5«Л=="~з>Г 1^=1, 2, ...),
агк-г
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что
этот ряд сходится.
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к зна-
знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов рас-
расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
1111 11
а)
/3-1 /3+1 /1-1
З8 ^ 2
1
З5
а
2к-1
в\ 1 1—
5
•••
, а.
гк
\ Л_1 Л-.1 — -1-4-А —.1-4-
Г) 3 "I 7 5 » И 9 »
а
1 \
2к-1
Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:
00
00
2485.
2486.
9А&7
Е
оо
00
V
пB +
2п
п B* -
Зп
1
0я
2489. У -^ .
оо
2490.
00
ОО
ОО
2488.
2492.
п B — I)
> C - 2/) - 3/
п

§ 1] числовые ряды 287
2493. Между кривыми у——9 и у=-1, справа от точки их пе-
X X
ресечения, построены отрезки, параллельные оси ОУ и отстоящие
один от Другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин
этих отрезков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла
речь в предыдущей задаче, если кривую у = -ъ заменить кривой
х
00 СО
2495. Составить сумму рядов У^ -йг^ и 52 1п .
Зп
дится ли эта сумма?
00 СО
2496. Составить разность расходящихся рядов ^ __ .- и У„ ?г
и исследовать ее сходимость.
00
2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда
00
из ряда У ~
2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а
разность расходилась.
СО 00
2499. Составить произведение рядов У]^ ——=. и У! тш=\. Схо-
ГТ, пуп Т-.1
дится ли это произведение?
2500. Составить ряд (^Ч"'4"'4"~Ь •••"!"^^~Ь • • • ) •
дится ли этот ряд?
2501. Дан ряд —1 +^]—^+...+^р~-+... Оценить
ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых
его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать
о знаках этих ошибок?
2502*. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
()
Т + М"*) +31 () +""+Нг(т)
суммой его первых п членов.
2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 +2Т+ЗТ+ •••+пТ+ "•'

288 ряды [гл.
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при /2= 10.
2504**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой его первых п членов. В частности, оценить точность такого
приближения при п =1000.
2505**. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
4 / 1 \ 2Л - 2
()
со
"
A \ 2 / 1 \
т) +3(т)
суммой его первых п членов.
2506. Сколько членов ряда V — нужно взять, чтобы вы-
и = 1
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
00
2507. Сколько членов ряда V. -^—гтгкя нужно взять, чтобы
вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001?
2508*. Найти сумму ряда ^ + ± + ±+ ... + п(п1+1)
2509. Найти сумму ряда
§ 2. Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Множество значений аргумента х,
для которых функциональный ряд
М*) + /2(*) + ...+/«(*) + ... 0)
сходится, называется областью сходимости этого ряда. Функция
8(х)= Ит 8п (х),
п -» со
где $и (я) = Д (л:) + /2 (л:) + ... + /п (х), а х принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, а #„ (*) = 5 (л:) — Зп (х) — остатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда A) до-
достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
+ -=*^Г + — +*1?*+ — B)
Решение. Обозначив через ип общий член ряда, будем иметы
11т
в-1-00 |и„|

§ 2] функциональные ряды 289
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и
притом абсолютно), если |* + !| < 1, т. е. при -3< х< 1; ряд расходится,
если - > 1, т. е. если — оо < * < — 3 или 1< * < оо (рис. 104). При
*=1 получаем гармонический ряд 1 +~ + 4-+ ... , который расходится, а
при х = — 3 — ряд — 1 -}--^—у+..., который (в соответствии с призна-
признаком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при — 3<*< 1.
2°. Степенные ряды. Для всякого степенного ряда
+ ох (х - а) + с2 (х - аJ + ... + сп (х - а)п + ... C)
(сп и а -- действительные числа) существует такой интервал (интервал схо-
сходимости) \х — а|<# с центром в точке х = а, внутри которого ряд C)
сходится абсолютно; при | х - а \ > К - ряд расходится. Радиус сходимости
у//у//М92?/Ж?
Рис. 104.
Я может быть в частных случаях равен также 0 и оо. В концевых точках
интервала сходимости х = а±:К возможна как сходимость, так и расходимость
степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью при-
знаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются
абсолютные величины членов данного ряда C).
Применив к ряду абсолютных величин
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости
степенного ряда C) соответственно формулы
п -* оо
и *=
сп + \
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоя-
щие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например
если бесконечное множество коэффициентов сп обращается в нуль (это, в част!
ности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только
с нечетными степенями (х - а)), то пользоваться указанными формулами нельзя.
ь связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять
признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при
исследовании^ряда B), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости,
ьсли г — х -[- 1у — комплексное переменное, то для степенного ряда
(г - г0J + ... + с„ (* - г0)" + ... D)
(сп = Я/1 + *Ьп> *о = *о + '#о) существует некоторый круг (круг сходимости)
|г--го1<^ с центром в точке г = г0, внутри которого ряд сходится абсо-
абсолютно; при | г — 20 | > # ряд расходится. В '.'очках, лежащих на самой окруж-
окружности- круга сходимости, ряд D) может как сходиться, так и расходиться.

290 РЯДЫ [ГЛ. VIII
Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или
Коши, примененных к ряду
- *.| +\сш\'\2 -г
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с по-
помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда
1)"
Ь2 "* 2-22 * 3-28 "^•••"г п-2п
определяется неравенством | г -\- 1 | < 2 (достаточно повторить приведенные
на стр. 288 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда
B), заменив лишь х на г). Центр круга сходимости" находится в точке г = — 1,
а радиус Я. этого круга (радиус сходимости) равен 2.
3°. Равномерная сходимость. Функциональный ряд A) сходится
На некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было 8 > 0, можнв
цайти такое /V, не зависящее от х, что при п > N для всех х из данного про-
промежутка имеет место неравенство | Нп (х) | < е, где Цп (х) — остаток данного ряда.
со
Если 1 [п (х) \ ^ сп (п = 1, 2,...) при а <;* ^ Ъ и числовой ряд 2 сп схо"
/2 = 1
дится, то функциональный ряд A) сходится на отрезке [а, Ь] абсолютно
и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд C) сходится абсолютно и равномерно на всяком, отрезке,
лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд C) можно почленно
дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при
|я —а|< #), т. е. если
Со + сг (х — а) + с2 (х - аJ + ... + сп (х - а)п + ... = / (х), E)
то для любого х из интервала сходимости ряда C) имеем:
с1+2ег(х-а)+... +псп (х - а)" + ...=/' (х), F)
XXX X
\ сойх + \ сг (х — а) их + С с2 (х — аJ их + ... + \ сп (х — а)п их
Х0 Хо Х0
и=о х0
(число х0 также принадлежит интервалу сходимости ряда C)). При этом ряды
F) и G) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд C).
Найти область сходимости ряда:
2510 У 1 2513 У 81пBп")Х
^ОШ. 2^ п* # М6в *-л Bл —IJ "
/1 = 1 П = 1
оо оо
2511. 2(—1)"+1;р. 2514.
00 00
СОЬПХ
2512. 2(-»Г+14з • 2515**.!;
еп*

§ 2] функциональные ряды 291
00 00
2516. 2,(-\)"*1е-"«°*. 2521.
л=о л=о
2522. У\-4=#
00 00
2518. 2др. 2523.
Л=1 Л=1
СО 00
00
252°- X сйу» • 2525- Е *"•
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать схо-
сходимость на концах интервала сходимости:
00 00
2526. X *"• 2535> Е %■'
Л — О Л=1
СО 00
Л=1 Л=1
оо ею
Е ^1ГТ' 2537' Е
2530. Х1^1^. 2539-
И = 1
+ п.3».1пп
00 00
2532. 2 I—■1П2л+1I*"- 2541. Е лг-
Л=0 Л = 1
00 00
2533. ^ Ц . 2542**.
00 00
2534. 2 п1х"- 2543*- Е у^ЧГ* •

292 РЯДЫ [ГЛ. VIII
5"
2544*. 2 5". 2554.
2545.
(*
- 2^ (я +1) 1п'(я +1) •
00 00
(х - ЗJ"
V (* ~3)"
«=.1 П=]
00 СО
2П щ-^щ /„ п\П
00 00
2548. Х^!)"-'^^- 2558.
2549. 2 ^^ ' 2б59*
/1 = 1 ^
00 'СО
2550. 2 «"^ + 3>"- 2560- 2 ^
00
= 1 П==0
562 У (Зп
°'!- Ал (п
Bп -1J"*
00 00
9«Ч У < п
2553. ^(-1) (Зп-2Г
Определить круг сходимости:
ОО 00
2564. 2'"- 2б66-
00 00
2565. 2A+я^*"« 2567* ^
2568. (Г+ 2/) + (!+ 2') C + 20 2+ .""'
...-|-A-4-2/)C + 20
2569. 1+
A - 0 A - 2/) ... A - ш)

§ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 293
2571. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать,
что ряд
не сходится равномерно в интервале (— 1, 1), но сходится равно-
равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии,
получим при |х|< 1
1 •
I Л?
л. '" А*
Возьмем лежащий внутри интервала (—1, 1) отрезок [—1+ос, 1 — а], где
а — сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке |х1^1 —а,
и, следовательно,
а
Для того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке
[— 1+а, 1 —а], нужно показать, что к любому е>0 можно подобрать та-
такое М, зависящее только от 8^ что при всяком п^> N будет иметь место не-
неравенство | Цп (х) | < 8 для всех х из рассматриваемого отрезка.
A п1
A __ а)+
Взяв любое е > 0, потребуем, чтобы —ч -— < е; отсюда
ос
A - а)я+1 < еа, (п + 1) 1п A - а)< \п (еа), т. е. п + 1 > ^"^ (так как
1
1/1 ч ^ л\ V. 1п(еа) , т-. л 1п (еа)
1пA—а)<0) и п>~.— . _7 —1.Положив, таким образом, Л^ = |—т^—^-г—
— 1, мы убеждаемся, что при м>М, действительно, |#п(*)|<е Для
всех х из отрезка [— 1+а, 1 — а] и равномерная сходимость данного ряда
на любом отрезке, лежащем внутри интервала (— 1, 1), тем самым дока-
доказана.
Что же касается всего интервала (— 1, 1), то он содержит точки, сколь
П1
«+1
угодно близкие к точке х=\9 а так как Нт ^п(л:) = 11т - = оо, то
X -+ 1 #->11 — X
как велико бы ни было я, найдутся точки х, для которых Кп (х) больше
любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое
N. чтобы при п > N неравенство \Кп(х)\<Се имело место во всех точках
интервала (— 1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (—1, 1)
не является равномерной.
2572. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что;
а) ряд
1-4--4- — 4- 4--4-
^ 1М 2! ' * # # ^ п\ * * * #
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд
?& ^ ( \)п-*х2п .
"Г • • •
1 2 • 3 •••+ п
сходится равномерно во всем интервале сходимости (—1,

294 ряды [гл.
в) ряд
сходится равномерно в интервале A-|-6, оо), где б — любое поло-
положительное число;-
г) ряд
(л;2 — х4) + (х* — х*) + (х* — х8) + ... + (х2п — х*п+2) + ...
сходится не только внутри интервала (— 1, 1), но и на концах этого
интервала, однако сходимость ряда в интервале (—1, 1) — неравно-
неравномерная.
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в ука-
указанных промежутках:
со
2573. Х(^2 на отрезке [—1; 1].
ОО
2574. > . пп на всей числовой оси.
ОО
2575. ^(—^)пу^ на отрезке [0, 1].
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти
суммы рядов:
2576. х 4—~—|— -о—р .. . 4 ' 4~~ • • •
-Iх
х х х
2577. х 2 I з * * * « ^— ^ ~п » ' ' '
«3 «5 У2П — 1
2578. + «+^+^
•••
2579.
2580.
2581. 1 — Ъхг 4-5х4 — . . . 4~ (— I)" Bл — 1)х2п~2 -]-..
2582.
Найти суммы рядов:
2583.
2584. * + ^+*.+ +&
2585* 1 !--I ! ! и -и (—I)" ,
^ооо . 1 з-З '5-32 7-38 » •••П-Bл- 1K"~1 '
2586. ^т^т^т*'1 ~\—~уп г

§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
295
§ 3. Ряд Тейлора
1°. Разложение функции в степенной ряд. Если функция
/ (х) допускает в некоторой окрестности | х — а | < # точки а разложение
в степенной ряд по степеням х — а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
(а) (х- а)
- а)
A)
При о = 0 ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство A)
справедливо, если при | х — а | < К остаточный член ряда Тейлора
'С
т С*-«>•]-о
при п—► оо.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
^
Iе
-«)!• где 0 < 8
B)
(форма Лагранжа).
Пример 1. Разложить функцию }(х)~сЪх в ряд по степеням дг.
Решение. Находим производные данной функции р(х) = сЪх, /' (х) =*
= зЬ х, /" (л:) = сЬ х, /'" (л:) = зЬ х, ...; вообще /гл) (х) = сЬ л;, если п — четное,
и /(п) (*) = зп ^, если п — нечетное. Полагая а = 0, получим / @) = 1 /' @) = О,
/"@) = 1, /"'@) = 0, ...; вообще /<п>@):=1, если /г — четное, и /<п>@) == 0,
если п — нечетное. Отсюда на основании A) имеем:
*4
C)
Для определения интервала сходимости ряда C) применим признак Даламбера.
Имеем:
11т
лп
Bп + 2)! * Bм)!
Ит
при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале — оо <
точный член в соответствии с формулой B) имеет вид
оо. Оста-
Остап (х) =
сЬ Ьх, если п — нечетное, и
п (х) = ^ , 1Л( $Ь Ьх% если п — четное.
Так как 0>§> 1, то
1 сЬ Од: \
+ е-
е!*1,
\х\п
сходится при
и поэтому 1 Кп(х) 1^/ 1 1\| ^1^1* РЯД с общим членом .
любом х (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера),
поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости

296
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
при любом х. Это означает, что сумма
а следовательно, и 11т #п(х)
ряда C) для любого х действительно равна сЬ х.
2°. Приемы, применяемые при разложении в степен-
степенные ряды. „
Пользуясь основными разложениями
X X* Хп
I. ех=1 + |у + -2| + ... +~
X X9 X*
II. 8{пх = Т1-- + --...
X*
X
III. со$х=\- —
—
*
оо<х< оо),
... (-к*
V.
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многих
случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, при-
причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при
разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегри-
интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций реко-
рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.
Пример 2. Разложить по степеням х **) функцию
-х)(\+2х) '
Решение. Разложив функцию на простейшие дроби, будем иметь:
Так как
\-х | \-\-2х '
00
D)
И
со
1+2*
= 1 _ 2*
то окончательно
ОО 00
00
— \)п2п+1]хп.
F)
*) На границах интервала сходимости (т. е. при х = —1 и при #=)
разложение IV ведет себя следующим образом: при т^О абсолютно схо-
сходится на обеих границах; при 0 > пг > —■ 1 расходится при х = —1 и услов-
условно сходится при * = 1; при т^— 1 расходится на обеих границах.
**) Здесь и в дальнейшем подразумевается «по целым и положительным
степеням».

§ 3]
РЯД ТЕЙЛОРА
297
Геометрические прогрессии D) и E) сходятся соответственно при [х|< 1 и
ф F)
; следовательно, формула F) справедлива при
2
т. е. при
1
1
3°. Ряд Тейлора для функции двух переменных. Разложе-
Разложение функции двух переменных /(*, у) в ряд Тейлора в окрестности точ-
точки (а; Ь) имеет вид
±
(х-а)Шс + (у-Ь)^
±
^ + (у- Ь) щ
... G)
Если а = Ь = 0, ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Здесь
приняты следующие обозначения:
Нп М — Ш&-Й
(х-а)
У)
ха
у=Ь
д
дх '
_]
п
(У Ь)д
2
о 07 С*, у)
(х
у=Ъ
д2! (х,
дх2
~а)(у-
У)
(х - а? +
(у — Ь)г и т. д.
Разложение G) имеет место, если остаточный член ряда
п
Я„{х,у)=!(х,у)-Ыа,
7 («.*)}
О
при п >- оо. Остаточный член может быть представлен в виде
1
Яп(х> У) — (Л4-1)!
где 0<6< 1.
Разложить по целым положительным степеням х указанные функ-
функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать
поведение их остаточных членов:
2587. а*(а>0). 2589. соз (лг+а).
лр.ло . / . л \ 2590. 311 "
2588. зп:

298 РЯДЫ [ГЛ. VIII
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической про-
прогрессией, написать разложение по степеням х следующих функций и
указать интервалы сходимости рядов:
2592. |^| . 2598. соз2 х.
у с
2593- хг2Ах + Ъ # 25"" 8Ш ЗХ + Х
2594. хе~2Х. 2600. х
9 + х2
2595. ех\ 2601. *
2
/4 -х
2596. $Ьх. 2602. 1п]Ь*
1-лг*
2597. соз2л\ 2603. 1п A + х — 2х%
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следующие
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место1
2604. A -\-х) 1п A +аг). 2606. агсзтл:.
2605. агс^Аг. 2607. 1п [х-\-У\ -\-х%
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные
функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2608. зш2л:со52л:. * .
Г 81Г1 X
2609. A-\-х)е~х. 2616. ^ —^—йл:.
2610. A+«*)*. *х
2611. 1/& + Х. 2617. 1е-**ах.
2612. *'~3* + ' . •,.
2613. сЬ'лг. 2618.
0
26Н. ^ ' 2619. ( -7= .
2615. 1п(д;' + Зд: + 2). ^ V 1 - *4
Написать три первых отличных от нуля члена разложения в ряд
по степеням х функций:
2620. 1%х. 2623. зесл:.
2621. Шл:. 2624. 1псозлг.
2622. еС03*. 2625. ех8'тх.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно поль-
пользоваться приближенной формулой
е2
5 55г 2яа 1 .
V 4
где е — эксцентриситет и 2а — большая ось эллипса.

§ 3] ряд тейлора 299
2627. Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по
цепной линии у = асЬ — , причем а== — , где И—горизонтальное на-
натяжение нити, а ^ — вес единицы длины. Показать, что при малых х,
с точностью до величин порядка л:4, можно принять, что нить про-
х2
висает по параболе ^
2628. Разложить функцию хь — 2х2 — 5л: — 2 в ряд по степеням
4
2629. /(л:)==5л:8 — 4-х2 — Злг + 2. Разложить ?{х-\-к) в ряд по
степеням к.
2630. Разложить \пх в ряд по степеням х—1.
2631. Разложить — в ряд по степеням х—1.
2632. Разложить —г в ряд по степеням а: —|— 1.
2633. Разложить , ,' —г—^ в ряд по степеням #4-4.
х -|— ох -[- л '
2634. Разложить а , , 17 в ряд п0 степеням х-\-2.
2635. Разложить ех в ряд по степеням х-\-2.
2636— Разложить Ух в ряд по степеням х — 4.
2637. Разложить созл: в ряд по степеням х — -д-.
2638. Разложить соз2л: в ряд по степеням х—^ .
2639*. Разложить \пх в ряд по степеням г^- .
1 —г~ X
X X
2640. Разложить -. в ряд по степеням гп— •
V*+* 1+х
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
— -4- — 4--?
2М 3! 1 4Г
2642. С какой точностью будет вычислено число -^-, если вос-
воспользоваться рядом
х* и
взяв сумму его первых пяти членов при х= 1?
2643*. Вычислить число -«- с точностью до 0,001 при помощи
разложения в ряд по степеням х функции агсзшл; (см. пример 2606),

300 РЯДЫ [ГЛ. VIII
2644. Сколько нужно взять членов ряда
X2
СО8 X ■ ■" 1 —— ■р— г— . . . ,
чтобы вычислить сов 18° с точностью до 0,001?
2645. Сколько нужно взять членов ряда
У9
Л |
51П X - X " тгг г~ . . . ,
о!
ЧТОбы ВЫЧИСЛИТЬ 5Ш 15$ С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,0001?
2646. Сколько нужно взять членов ряда
Рх — 1 4- ~ 4- ~ -4-
1 1! 1 21 » ' ' •'
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647. Сколько нужно взять членов ряда
X2
чтобы вычислить 1п2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648. Вычислить \/1 с точностью до 0,01 с помощью разложе
ния функции \/%-\-х в ряд по степеням х.
2649. Выяснить происхождение приближенной формулы
25= а -\- ^- (а ^> 0), вычислить с ее помощью у 23, положив а == 5, и оце
нить допущенную при этом ошибку.
2650. Вычислить ^/19 с точностью до 0,001.
2651. При каких значениях х приближенная формула
х2
соз х =^= 1 га-
гадает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652. При каких значениях х приближенная формула
81*П X =5г X
дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?
1/2
Г* 81Г1 X
2653. Вычислить \ их с точностью до 0,0001.
о
2654. Вычислить \ е~х*их с точностью до 0,0001.
о
1
2665, Вычислить ^ \/ хсоъхйх с точностью до 0,001.

§ 4] ряды фурье 301
1
2656. Вычислить I ^-^ их с точностью до 0,001.
о
1/4
2657. Вычислить \^У\-\-хгйх с точностью до 0,0001.
о
1/9 ^
2658. Вычислить ^ ]/хехих с точностью до 0,001.
о
2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию соз (л:—у), найти
область^сходимости полученного ряда и исследовать остаточный член.
Написать разложения по степеням х и у следующих функций и
указать области сходимости рядов:
2660. ыпх-зту. 2663*. 1пA —х — у -\- ху).
2661. йп ■ + / +
2662*. \^±± Х - ху
2665. /(х, у) = ахг ~\-2Ьху-\-суг. Разложить /\х-\-Н, у-{-к)
по степеням Ник.
2666. /(л:, у)=х* — 2у*-{-Зху. Найти приращение этой функции
при переходе от значений х=\, у=х2 к значениям х— \-\-Н, у = 2-\-к.
2667. Разложить функцию ех+у по степеням х—2 и у-\-2.
2668. Разложить функцию 8'т(х-\-у) по степеням х и у ^ .
Написать три-четыре первых члена разложения в ряд по степеням
хну функций:
2669. *
2670. (+)
§ 4. Ряды Фурье
Iе. Теорема Дирихле. Говорят, что функция /(х) удовлетворяет
условиям Дирихле в интервале (а, Ь), если в этом интервале функция
1) равномерно ограничена, т. е. |/(*)|^Л4 при а<*<6, где М — по-
постоянная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода
(т. е. в каждой точке разрыва Ъ> функция / (х) имеет конечный левый
предел / (I — 0) = Ит /(^ — е) и конечный правый предел /(^ + 0) = Мт / A+е)
(е > 0));
3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию /(*), удовлетворяющую
в интервале (—п, я) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала,
в которой /(*) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
^\ соз х -)- Ь1 81п х -)- а2 соз 2х -у- Ьг $\п 2х -)-..•+ ап С08 пх
A)

302 РЯДЫ [ГЛ. VIII
где коэффициенты Фурье ап и Ъп вычисляются по формулам
1С 1С
ап = — \ }(х)со$пхс1х(п = 0, 1,2, ...); Ьп = — \ [ (х) вт пх Ах (п = 1, 2, ...).
— К —1С
Если х — принадлежащая интервалу (— я, я) точка разрыва функции / (#), то
сумма ряда Фурье 5 (х) равна среднему арифметическому левого и правого
пределов функции:
В концах интервала * = — я и * = я
2е. Неполные ряды Фурье. Если функция /(х) — четная (т. е.
/(—*) = /(*)), то в формуле A)
Ьп = 0 (п= 1, 2, ...)
и
2 С
сп = —\ /(х) созпхих (и = 0, 1, 2, ...).
Я с/
О
Если функция / (х)— нечетная (т. е. / (— д:)=— / (*)), то ап = 0 (п = 0, 1, 2,...) и
11
= 1, 2, ...).
о
Функция, заданная в интервале @, я), может быть по нашему усмотрению
продолжена в интервал (— я, 0) либо как четная, либо как нечетная; следо-
следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале @, я) в неполный ряд
Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
3е. Ряды Фурье периода 2/. Если функция /(х) удовлетворяет
условиям Дирихле в некотором интервале (— /, /) длины 2/, то в точках непре-
непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение
Па0 , пх . . . пх . 2пх , , . 2я* ,
з^ ■ л^и^^м ^^^Г™ ^^Г^ ^1?\ ^^^^О *^^^^^ ^^1^^ ^^1 ^41* ^^—^— - I Ь^л ^^^^1^ ^^Т^^ ^^в ^Д»* . I вес
. ляд: . , . мял;
... + ап со8 ~]—г °п зш —у-
где
г
/■ 0 19
ап = -т \
„ = т \ }(Х)$т^Aх (п=\% 2, ...).
B)
В точках разрыва функции / (х). и в концах х = ± / интервала сумма ряда
Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении
в интервале (—я, я).
В случае разложения функции / (я) в ряд Фурье в произвольном интервале
(а, а -\- 21) длины 21 пределы интегрирования в формулах B) следует заменить
соответственно через а и а -{- 2/.

§ 4] ряды фурье 303
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале
(—я, я), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интер-
интервала (х =— я, л; = я), построить график самой функции и суммы
соответствующего ряда (также и вне интервала (—я, я)):
[ с. при
2671. /(*) = {
' [ с2 при
Рассмотреть частный случай, когда сг=—1, с2 = 1.
( ах при —
2672. /(*) <
Ьх при
Рассмотреть частные случаи: а) а = Ь=\; б) а==
в) я=0, Ь=\\ г) а=1, Ь = 0.
2673. /(х)=х2. 2676.
2674. /(л;) = еа*. 2677.
2675. /(х) = в\пах. 2678.
2679. Функцию /(л;) = —^— разложить в ряд Фурье в интервале
@, 2я).
2680. Разложить в интервале @, я) по синусам кратных дуг
функцию /(я) = -т-. Полученное разложение использовать для сумми-
суммирования числовых рядов:
!_4-~ ^-4- • 6} 1-4-^ - -4- — 4--
3^5 7 ' •'" ' » 5 7 11^13 г" 17 ""
\ 1 1 _1_ 1 1 Л_1
В) 1— у "Г у— и "Г 13
Указанные ниже функции разложить в интервале @, я) в неполные
ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг.
Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов
в области их существования.
2681. /(лг) = л\ Найти с помощью полученного разложения сумму
ряда
11
52
2682. /(х)=-хг. Найти с помощью полученного разложения суммы
числовых рядов
п 1 + 1+1+ . 2I-1 + 1-1+ .
2683. /(х) = еах.
1 при
2684. /(х) =
О при -~-

304
РЯДЫ
[ГЛ. VIII
2685. /(*) = <
х при
я — х при
я
Разложить в интервале @, я) по синусам кратных дуг функции:
я
2686. /(*) = <
х при
0 при ~
2687. /(х) = х(п — х).
2688. /(х) = 8\п^ .
Разложить в интервале @, я) по косинусам кратных дуг функции:
Г 1 при
< Л
0 при
2689. /(*)
2690. /(*) =
0 при
2691. /(л:) =
2692. /(>;)==
соз я при 0 <* л;
я
СОЗ X При -тг
2693. Используя разложение функций х и х2 в интервале @, я)
по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), доказать равенство
со
СО5 лл: Зх2 — бял: 4- 2я2
""гс2^"" 12
@
X
Я).
2694**. Доказать, что если функция /(х) — четная и при этом
х ) — —/( "? х) ' т0 ее ряд фУРье в "«тервале (—я, я)
представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг,
а если функция /(х) — нечетная и / ( у-}- х)=?\~~2—х )> то она
разлагается в интервале (— я, я) по синусам нечетных кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции:
2695.
2696.
2697. / (х) = ех (— / < х < /).
2698. /(х) =10 — х E<х<15).

§ 4] ряды фурье 305
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по
синусам кратных дуг ^и б) по косинусам кратных дуг следующие
функции:
2699. /(х)=\ @<х<1).
2700. /(*) = * @ <*</).
2701. /{х) = хг @<л;<2л).
( х при 0 <Г х <: 1,
2702. /(*) = < п 1 ^ ^о
у у ; \ 2-х при \<^х<^2.
2703. Разложить по косинусам кратных дуг в интервале (^-, 3]
функцию
3-х при 2<л:<3.

ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ ЫТроверка решений. Составление дифференциальных уравнений
семейств кривых. Начальные условия
1°» Основные понятия. Уравнение вида
Р(х, у, у', ... , */<">) = О, A)
где у = у(х) ■— искомая функция, называется дифференциальным уравнением
п-го порядка. Любая функция у — У (х), обращающая уравнение A) в тождество,
называется решением этого уравнения, а график этой функции — интегральной
кривой. Если решение задано в неявном виде Ф (х, у) = 0, то оно обычно
называется интегралом.
Пример 1. Проверить, что функция у = $'тх является решением урав-
уравнения
У" +У = 0.
Решение. Имеем:
и, следовательно,
Интеграл
Ф(х, у, С1г ... , Си)=0 B)
дифференциального уравнения A), содержащий п независимых произвольных
постоянных С19 ..., Сп и эквивалентный (в данной области) уравнению A),
называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей области).
Придавая в соотношении B) постоянным С19 ..., Сп определенные значения,
получаем частный интеграл уравнения A).
Обратно, имея семейство кривых B) и исключая параметры С,, ..., Сп
из системы уравнений
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида A), общим инте-
интегралом которого в соответствующей области является соотношение B).
Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол
у = С1[х-С^. C)
Решение. Дифференцируя два раза уравнение C), будем иметь:
у' = 2С, (х - С2) и у" = 2СГ D)
Исключая из уравнений C) и D) параметры С, и С2> получим искомое диффе-
дифференциальное уравнение
Легко проверить, что функция C) обращает это уравнение в тождество.

§ 1] СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ 307
2°. Начальные условия. Если для искомого частного решения
у = у(х) дифференциального уравнения
у™ = Г(х, у, у\ ... , #"-4) E)
заданы начальные условия (задача Коши)
и известно общее решение уравнения E)
то произвольные постоянные Си ... , Сп определяются, если это возможно,
из системы уравнений
и — т \-*о» *-*1» • • • » ^п)*
„(»-)=Ф(»-0(х„ С, С„).
Пример 3. Найти кривую семейства
для которой у@)=:\, г/'@)= —2.
Реше н и е. Имеем:
Полагая в формулах F) и G) х = 0, получим:
1 = СА -|- С2, — 2 = СА
откуда
и, следовательно,
Выяснить, являются.ли решениями данных дифференциальных урав
нений указанные функции:
2704. ху' = 2у, у = 5х*.
2705. ±
2706.
2707. у" -\-у = 0, у — 3$тх — 4созл:.
2708. ~| + со2л; —0, Аг = С1со8ю/ + С1
2709. /—2/ + ^ — °» а) У = хе*, б) у=х2ех.
2710.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указан-
указанные соотношения являются интегралами:
2711. (х — 2у)у'=2х — у, х2 — ху^-у2 \
2712. (х—у-\-1)у'=\, у=х-\-Се?.
2713. (ху—х)у"-\-ху'2-\-уу'—2у' = 0)

308 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых
(С, С1? С2, С3 — произвольные постоянные):
2714. у =
2715. у = Сх\ У ~ У
у
2716. у2 = 2Сх. (а — параметр).
2717. х2-\-у2 = С2. 2722« (У—У*У = 2РХ
2718. у = Се*. 0\>» Р — параметры).
2719. х* = С(х*-у*). 2723.
1 _у1 2724.
2720. У2-\-7 = 2-\-Се «. 2725. ^ =
2726. Составить дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости ХОУ.
2727. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с
вертикальной' осью на плоскости ХОУ.
2728. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей
на плоскости ХОУ.
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
2729. х2— у2 =
2780.
2731. у =
2732.
/@)=—2.
§ 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у, раз-
разрешенное относительно производной у\ имеет вид
*' = /(*. У). A)
где /(*, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую
функцию считать переменную х и записывать уравнение A) в виде
х' = 8(х, у), (Г)
Учитывая, чтоу'=-~ и дг'=—, дифференциальные уравнения A) и
A') можно записать в симметрической форме
Р(х, У) Ах + <2 (х, у)йу = О, ' B)
где Р {х, у) и B (х, у) — известные функции.
Под решениями уравнения B) понимаются функции вида у = (р(х) или
х = 'ф(#), удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений A)

§ 2]
УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
309
и (Г), или уравнения B), имеет вид
Ф(х, у, 0 = 0,
где С — произвольная постоянная.
2°. Поле направлений. Совокупность направлений
т с% Г*§ " ж ё ^ //1
& " / \ ' Юг
называется полем направлений дифференциального уравнения A) и обычно
изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона а.
Кривые /(я, у) —к, в точках которых наклон поля имеет постоянное зна-
значение, равное к, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направ-
направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интеграль-
интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей
точке имеют заданное направление поля.
Пример 1. Методом изоклин построить поле интегральных кривых
уравнения
Решение. Построив изоклины х = к (прямые линии) и поле направлений
приближенно получаем поле интегральных кривых (рис. 105). Общим реше-
решением является семейство парабол
х2
Методом изоклин построить приближенно
поле интегральных кривых для указанных
ниже дифференциальных уравнений:
2733. у' = — х.
У
2734. у' =
2735. у'=\
2736. у9 =:
2737. у' = :
3°. Теорема Кош и. Если функция
, у) непрерывна в некоторой области
VI а < х < А, Ь<#<#|и имеет в этой области ограниченную производную
/' (х, у), то через каждую точку (х0, у0), принадлежащую (У, проходит одна
и только одна интегральная кривая у=у(х) уравнения A) (ф (д:0) гг у0).
4°. Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построения ин-
интегральной кривой уравнения A), проходящей через заданную точку Мо (х0, уо)9
эту кривую заменяют ломаной с вершинами М^Х;, (/(), где
Рис. 105.
( = к (шаг процесса),
==Н[(х[г уг) Ц = 0, 1, 2, ...).
Пример 2. Методом Эйлера для уравнения
,/ __ ХУ
найти
, если у@)=:1 (Л==0, 1).

310
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Составляем таблицу:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
У1
1
1
1,005
1,015
1,030
1,051
1,077
1,109
1,148
1,194
1,248
^<~" 20
0
0,005
0,010
0,015
0,021
0,026
0,032
0,039
0,046
0,054
Итак, у A) = 1,248. Для сравнения приводим точное значение у(\)=:
1
4
= е- =5=1,284.
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных
уравнений для указанных значений х:
2738. у'=у, у@)=1; найти у(\) (Л=0,1).
2439. у' — х-\-уу .уA)=1; найти УB) (А=0,1).
2740. у' = — т-цГ , у@) = 2; найти у (\) (/г = 0,1).
2741. у'=у — — % ^@)=1; найти ^A) (А = 0,2).
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
1% Уравнения 1-го порядка с разделяющимися пере-
переменными. Уравнением с разделяющимися переменными называется урав-
уравнение 1-го порядка вида
или
A)
Х(х)У(у)йх+Х1(х)У1(у)аУ = 0. . (Г)
Разделив обе части уравнения A) на §(у) и умножив на их, будем иметь
{(х) их. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (I)
в виде
Аналогично, разделив обе части уравнения (Г) на Х1(х)У(у) и проинтегри-
проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (Г) в виде
= С.
B')

§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 311
Если для некоторого значения у = у0 мы имеем § (у0) = 0, то функция
У = Уо является также, как непосредственно легко убедиться, решением урав-
уравнения A). Аналогично прямые х = а и у=Ь будут интегральными кривыми
уравнения (Г), если а и Ь являются соответственно корнями уравнений
Х1(х) = 0 и У(#) = 0, на левые части которых приходилось делить исходное
уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
У'=—~. C)
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному у ело вики
Решение. Уравнение C) можно записать в виде
И = — 1.
их х
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь:
йу их
и, следовательно,
1п | ^ | = — 1п | х 1 + 1п
где произвольная постоянная 1п Сх взята в логарифмическом виде. После
потенцирования получим общее решение
где €=±0^
При делении на у мы могли потерять решение # = 0, но последнее содер-
содержится в формуле D) при С = 0.
Используя заданное начальное условие, получим С = 2, и следовательно,
искомое частное решение есть
2
У-
х
2°. Некоторые дифференциальные уравнения, приво-
приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения вида
приводятся к уравнениям вида A) при помощи замены и = ах 4- Ьу + с, где
и — новая искомая функция.
3°. Ортогональные траектории — кривые, пересекающие линии
данного семейства Ф(х, у, а) = 0 (а — параметр) под прямым углом. Если
р (х, у, у') = 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то
дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
2у2 = а\ (б)

312
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
Решение. Дифференцируя обе части уравнения (б), находим дифферент
циальное уравнение семейства
х + 2уу'=0.
Отсюда, заменяя у' на г, получим дифференциальное уравнение ортого-
У
У
2У_
Ж""т' —•
У
0 или у'
X
2и
х ?- =
нальных траекторий
Интегрируя, будем иметь у = Сх2 (семейство парабол) (рис. 106).
4°. Составление дифференциальных уравнений. При со-
составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто мо-
может быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла,
Рис. 106.
образованного касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ;
это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между орди-
ординатой у искомой кривой, ее абсциссой хну', т. е. получить дифференци-
дифференциальное уравнение. В других случаях (см. №№ 2783, 2890, 2895) используется
геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной
трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из условия задачи полу-
получается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция содер-
содержится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих его
частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
Пример 3. Найти кривую, проходящую через точку C; 2), для кото-
которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями,
делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть М (х, у) есть середина касательной АВ, по условию
являющаяся точкой касания (точки А и В — это точки пересечения касатель-
касательной с осями ОУ и ОХ). В силу условия О А = 2у и ОВ = 2х. Угловой коэф-
коэффициент касательной к кривой в точке М (х, у) равен
их
ОА_
ОВ
л
х

§ 3] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 313
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав,
получим:
0
у
и, следовательно,
\пх-\-\пу = \пС или ху =
Используя начальное условие, определим С = 3-2 = 6. Итак, искомая кривая
есть гипербола ху = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742. 1& х 5Ш2 у их -\- соз2 х с1& у йу — 0.
2743. ху'—у = у\
2744. хуу'=\ — х\
2745. у — ху' = а{\-\-х2у').
2746. \х
2747.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным
начальным условиям: *
2748. A-\-е*)-у-у' = е*; у=\ при д: = 0.
2749. (ху2-\-х)Aх-\-(х2у — у)ау=0;у=\ при х=0.
2750. у'§\пх = у1пу; у=\ при х = -^.
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену пере-
переменных:
2751. / = (х-\-уJ.
2752. / ==(Ъх-\-2у -|- IJ.
2753. Bх + Зу — 1) их \
2754. Bа: — у) их + Dа: — 2у
В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам:
2755.
У
л § эо. [х —г~* у ) ах •
2757*. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен рас-
расстоянию точки касания от начала координат.
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке
кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой
точке.
2759. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную
длину а.
2760. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более
абсциссы точки касания.
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести пло-
плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой
любой ее точки, равна 8/4 абсциссы этой точки.

314 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2762. Найти уравнение кривой, проходящей через точку C; 1),
для которой отрезок касательной'между точкой касания и осью ОX
делится пополам в точке пересечения с осью ОК.
2763. Найти уравнение кривой, проходящей через точку B; 0),
если отрезок касательной к кривой между точкой касания и осью ОУ
имеет постоянную длину 2.
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а —
параметр), построить семейства и их ортогональные траектории.
2764. хг-\-у% = а\ 2766. ху=а.
2765. / = ах. 2767. (х — аJ -\-у2 = аг.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1°. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение
Р(х, уHх + Я(х9у)ау = 0 - A)
называется однородным, если Р (х, у) и (} (х, */) —однородные функции оди-
одинакового измерения. Уравнение A) может быть приведено к виду
У =/ —
Ч*.
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция,
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также
применять подстановку х = уи.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Полагаем у = их\ тогда и + хи' = е?-{-и или
х
Интегрируя, получим и = — 1п 1п— , откуда
X
у = — х \п 1п —.
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
и 6 =
а
22
О, то, полагая в уравнении B) х = и-{-а, # = а-{-"Р» где по-
постоянные а и Р определяются из системы уравнений
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменны^
и и V. Если 6 = 0, то, полагая в уравнении B) а1*-т-&1# = и> получим урав«
нение с разделяющимися переменными.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 315
Проинтегрировать дифференциальные уравнения;
2768. /=А_1. 2770. (х — у) у ах — хЧу — 0.
2769. / = —
2771. Для уравнения (хг -)- у2) их — 2хуйу = § найти семейство
интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие соот-
соответственно через точки D; 0) и A; 1).
2772. уйх-{-
2773. хЛу —
277'4. Dл:2 + %*У + /) <*х + D/ + 3*У + х*) аУ =
2775. Найти частное решение уравнения (л:2—Зуа) йх-\-2ху<1у=*Ъ
из условия, что д>=1 при л: = 2.
Решить уравнения:
2776. Bх —
0777 у' — 1 - 3* - 3# 0778
2777« ^ — Т+Г+Г" 2778-
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A;0)и
обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОУУ равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора,
чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным
пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна
среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый
на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию
этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная
между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых
постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной
ординаты к соответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсе-
отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ б. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли
1°. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение вида
У'+Р(х) У = (}(х) A)
1-й степени относительно у и у' называется линейным.
Если функция B (л:) 5= 0, то уравнение A) принимает вид
у = 0 B)

316 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IX
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом
случае переменные разделяются и общее решение уравнения B) есть
У = С е * C)
Для решения неоднородного линейного уравнения A) применяем так
называемый метод вариации произвольной постоянной; этот метод состоит
в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного
линейного уравнения, т. е. соотношение C). Затем, полагая в этом соотно-
соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравне-
уравнения A) в виде C). Для этого подставляем в уравнение A) у и у\
определяемые из C), и из полученного дифференциального уравнения опреде-
определяем функцию С (х). Таким образом, общее решение неоднородного уравне-
уравнения A) получаем в виде
у = С(х)е *
Пример 1. Решить уравнение
у' = 1%Х'У-{-со&х. D)
Решение. Соответствующее однородное уравнение- есть
Решая его, получим:
созл:
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим:
1 АС . $тх ~
и — . . с
СО8 X йХ СО52 X
Подставляя у и у' в уравнение D), получим:
1 ас . з!п х п С , с1С
СО5 X С1х 1 СО52 X ** СОЗ X ' ах
откуда
Г 1 1
С (х) = \ СО52 х ах = — х 4- -г зи1 2х 4- С1#
Следовательно, общее решение уравнения D) имеет вид
1
. или «ж»» I ^«# II ■
4 у С05 л:
Для решения линейного уравнения A) можно также применить подстановку
У-ш>, E)
где и и а — функции от х. Тогда уравнение A) примет вид
[и' 4- Р (х) и] V 4- а'« = 0 (*). F)
Если потребовать, чтобы
и' -\-Р(х)и = 0, G)
то из G) найдем и, затем из F) найдем у, а следовательно, из E) найдем у.

§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 317
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида
где а^Оиа^ 1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линей-
линейному с помощью подстановки г — у1~*. Можно также непосредственно при-
применять подстановку у^=ию% или метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Это — уравнение Бернулли ( а = — ). Полагая
получим:
и'и-\- и'и— — ш)-\-хУш) или см а' и ] -\-и'и-=х Уш>. (8)
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
— и = 0,
х
откуда
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим!
\)'х* = х
отсюда находим V.
и, следовательно, общее решение получим в виде
Найти общие интегралы уравнений:
2785. а/-^
Ах х
2786. а/ +
а х
2787*. A -}-/)</* = ( V ! +Уг *1пу — ху) йу.
2788. угах —
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2789. ху'-\-у — ех = 0; у=*Ь при х=а.
2790. / — г-^-т— * — х=0; у=*0 при х = 0.
2791. /— у^Х = ;±-; у = 0 при х=

318 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Найти общие решения уравнений:
2793. 2ху^ —
2794. уйх-\-(х — ~х8
2795. Зхс1у = у(\ -\-х§'тх — Зу8 зт л:) их.
2796. Даны три частных решения у, уг, у2 линейного уравнения.
Доказать, что выражение ■ сохраняет постоянное значение при
У — У\
любом х. Каков геометрический смысл этого результата?
2797. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образо-
образованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки касания,
постоянна.
2798. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.
2799. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый
касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной
равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ
от точки Ж@, а).
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
1°. Уравнения в полных дифференциалах. Если для диф-
дифференциального уравнения
Р(х, у)Лх + <2(х, у)йу = О A)
ЭР Й? /14
выполнено равенство -^- е== ^- , то уравнение A) может быть записано в виде
(х, у) = 0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий
интеграл уравнения A) есть Ц (х, у) = С. Функция V (х, у) определяется
способом, указанным в гл. VI, § 8, или по формуле
Ц= \ Р(х, у)а*х+\<2 (х0, у) йу
^о Уо
(см. гл. VII, § 9).
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(Зх2 + Ьху2) их + Fх2у + 4у9) йу = 0.

§ б] УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 319
Решение. Это — уравнение в полных дифференциалах, так как
' Г» ху'= (ХУ~*~ ^1==12хи и, следовательно, уравнение имеет вид
ду дх *
= 0.
Здесь
дУ л в . л в сК/__
отсюда
{/ = С (Зх2 + 6я*/2) ^д: + ф (у) = х9 + Зя2#2 + ф (г/).
Дифференцируя У по у, найдем ^— = 6х2у + ф' (I/) = 6х2у + 41/8 (по условию);
отсюда у'(у) = 4у* и ф(^/) = г/4 + С0. Окончательно получим У (х, у) = х3-\-
+ Зх2(/8 + ^* + ^о» следовательно, х* + Зх21/2 + у* = С есть искомый общий
интеграл данного уравнения.
2°. Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения A)
не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши,
то существует функция [л = ^л (х, у) (интегрирующий множитель) такая, что
\1 (Р йх + <2Aу) = с1У. B)
Отсюда получаем, что функция р, удовлетворяет уравнению
Интегрирующий множитель р, легко находится в двух случаях:
т 1 (дР д(}\ _ 7 ч
При м е р 2. Решить уравнение ( 2ху -{- х2у -(- ~ ) ^л: + (^2 + ^/2) ^=0.
Решение. Здесь Р = 2ху + х2у + ^, С}=:х*+у* и ~
-2х ,
= 1, следовательно \1 = |
,. а(иР) д(\1<2) дР д<2 , ^ф
Так как у ;= ^; или \л^-=\л^ + Я-г 9 то
% дх ^ ду ^ дх х их
=** и 1п|Л:=:=^ "*'=
Умножая уравнение на |л="е^, получим:
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь
общий интеграл
~г =С.

320 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Найти общие интегралы уравнений:
2802* (х -{-у) 4х-{-(х ~{-2у)Aу = 0.
2803. (х*-\-у2-\-2х)ах-\-2хуау=:0.
2804. (л:8 — Зху2-\-2)йх — (Зх2у — /)йу = 0.
лолг ^ I л ХAу — У д,Х
2805. хах\уау= * у
2806.
У —
У"
2807. Найти частный интеграл уравнения
X . X ,
+ \ 1 I I Л Л
рУ 1 /ту. лУ I 1 —— —
) ~ V у
удовлетворяющий начальному условию д>@) = 2.
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида
= \1(х) или \х = \х(у):
2808.
2809.
2810. ■^
2811. (л: соз у — у $ш у) йу -\- (х $ш у -\- у со$
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
1°. Дифференциальные уравнения 1-го порядка выс-
высших степеней. Если уравнение
Р(х, У, У') = О9 A)
например, второй степени относительно у', то, разрешая уравнение A) отно-
относительно у'у получим два уравнения:
У' = Ъ(х, У), У'=Ы(х, У). B)
Таким образом, через каждую точйу Мо (х0, у0) некоторой области
плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл
уравнения A) в этом случае имеет вид
Ф(*. у9 ОяФ^*, у, С)Ф2(х, у, С) = 0, C)
где Ф, и Ф2 — общие интегралы уравнений B).
Кроме того, для уравнения A) может существовать особый интеграл.
Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства
кривых C) и может быть получен в результате исключгния С из системы
уравнений
Ф(х, уу С) = 0, Ф'с{х, у, С) = 0 D)
или в результате исключения р~у' из системы уравнений
, У, Р) = 0, Рр (х, У, Р) = 0. E)

§ 7] УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА 321
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями D) или E), не всегда
являются решениями уравнения A); поэтому в каждом отдельном случае
необходима проверка.
Пример 1. Найти общий и особый интегралы уравнения
Решение. Решая относительно у'} имеем два однородных уравнения!
определенных в области
*(* + </)> 0,
общие интегралы которых
или
B* + у - С) - 2 Ух2 + ху = 0, Bх + у- С)+ 2
Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения
Bх +у - СJ - 4 (х2 + ху) ^=0
или
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл
(Проверка показывает, что у-{-х = 0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр2 -\- 2хр — ^=«0
по р и исключая р.
2°. Решение дифференциального уравнения методом
введения параметра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка
имеет вид
* = ФО/, У'),
то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений
1 дф , дер
где р = у' играет роль параметра.
Аналогично, если г/ = -ф (л:, #'), то х и у определяются из системы уравнений
Пример 2. Найти общий и особый интегралы уравнения
Решение. Делая подстановку у'=р, перепишем уравнение в виде
х2

322 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
или -р- B/7 — х) = B/7 — х), или -р= 1. Интегрируя, получим р = х + С Под-
Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение:
^ или у = ^
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-
х2 ( х2
ние: у — --. (Проверка показывает, что У = -т- есть решение данного урав-
уравнения. )
Если приравнять нулю множитель 2/7 — х, на который было произведено
X
сокращение, то получим /7 = ~ и, подставив р в данное уравнение, получим
х2
у = —т — то же самое особое решение.
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812 —
2813 построить поле интегральных кривых):
2812. /* — ^/4-1 = 0-
2813. 4/г — 9л; =0.
2814.
2815. Уу'* — _^ , „
2816. Найти интегральные кривые уравнения у'1 -\-у*г= 1, прохо-
проходящие через точку Л/@; -г-).
Вводя параметр у'=р, решить уравнения:
2817. х=*зту'-{-1пу'. 2820. 4у =
2818. у=у'1еУ. 2821. еж= ,
2819.
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Уравнение Лагранжа. Уравнение вида
*/ = хФ(/7) + г|ф), A)
где р = у'} называется уравнением Лагранжа. При помощи дифференцирова-
дифференцирования, учитывая, что а'у = ра'х, уравнение A) сводится к линейному относи-
относительно х:
= ц> (р) их + [ху' (р) +У (Р)] Лр. B)
Если /7^ф(р), то из уравнений A) и B) получаем общее решение

§ 8] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 823
в параметрическом виде:
где р — параметр и / (/?), # (/?) — некоторые известные функции. Кроме того,
может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.
2°. Уравнение Клер о. Если в уравнении A) ф(р)=з/?, то получаем
уравнение Клеро
Общее решение его имеет вид у = Сх + г|? (С) (семейство прямых). Кроме того,
существует особое решение (огибающая), получающееся в результате исклю-
исключения параметра р из системы уравнений
Пример. Решить уравнение
1
. C)
У
Решение. Полагаем у' =р} тогда у = 2рх-\ ; дифференцируя и за-
заменяя йу через рб.х% получим:
§
г
или
Ар р р* '
Решив это линейное уравнение, будем иметь:
Следовательно, общий интеграл будет:
г
Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем систему
г
Отсюда
и, следовательно,
Подставляя у в уравнение C), убеждаемся, что полученная функция не
является решением и, следовательно^уравнение C) не имеет особого интеграла.
11

324 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решить уравнения Лагранжа:
2822. у = ±х(у'-{-±У 2824. у = A+у')х-\-у'\
2823. у = у'ЛгуГ\— у\ 2825*. у——^у'
Найти общий и особый и интегралы уравнений Клеро и построить
поле интегральных кривых:
2826. у = х/-{-уж.
2827. у = ху'-\-у'.
2828. ^
2829. у = Ху + г.
2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника, образо-
образованного касательной в любой точке и осями координат, постоянна.
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой
касательной к этой кривой постоянно.
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину /.
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения
1-го порядка
2833. Определить типы дифференциальных уравнений и указать
методы их решения:
а) ^
б) (л: — у)у' = у2; к) х созу'-\-уз\пу'= 1;
в) у' = 2ху-{-х*; л) (х2— ху)у' = у*\
г) у' — 2ху -\-у2; м) (х2 -\-2ху3)с1х-\- ч
д) ^(у/-|-#у = з1п#у; -^"(^*"ЬЗ:"
е) (^у — л:^'J^^^'3; н) (л:3—Зху)с1х-\-(х
ж) у=:хе?"\ о)
Решить уравнения:
2834. а) [х—у соз — ^йх-^-х соз— ау = 0;
\ X ) X
6) х\п — йу—ус1х = 0.
2835. хйх(
2836. Bху% — у)
2837. ху' -{-у — у
2838. у — ху'-\-у'1пу'

§ 9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 325
2839. у = ху'-\-У— ау1.
2840. х2(у^г\)а
2841. A +/)(е2Хах — е>йу) — \\-\-у)йу = 0.
2842./ — у2-р±=\. 2845. A — х*) у'+ ху = а.
2843. уеу = {уг + 2хе>)у'. 2846. ху' *
х -(-1
2844. ^'-["".У008*—^п*005*- 2847. у'[х <ю$у-\-
2848. (л:2^ — х2-\-у ■+-\)ах-{-(ху-^2х — 3у— 6)
2849. /=
2850. л;/^л; == (л;2>> + 2) </у.
2852.
+ т/^4 ^ — л/ У- их = 0.
2855. хйу+уйх=у*йх. 2863. У=-A +1п V — 1п
2856. /(* + зтуI *
2857. ^—
2865. / = 2
* ах 4- „ а» 2866> ху {хуг +1 ] ау ~ йх
2860. *«Х + УДУ^_ =0.
У1 Г*^-У^_А\ 2867> «(*/ + 2^) = ^/.
п ^ —У. \ 2868. хйу—уйх—угйх.
2869. (*2 — I)'/2<«у + (**+ Здгу/л;2— 1)йл; = 0.
2870.
2871. 1/"а2 + л;г </у + (хт^У — V аг + х*) йх = 0.
2872. )
2873. ^ =
2874. (Зд;2 + 2^ — /) <** + (-«2 — 2^ — Ву*) ау = 0.
2875. 2^р^=
2853. / == ^ + (е ^ • 2861> еУ йх + (*^ — 2>04У = 0.
2864. уу' +/ = сок х. 2862. у = 2ху'+ У\ +/*.

326 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях:
2876. /=^Ы; у = 0 при а: ===== 1.
2877. ех-уу'=\; у=\ при х=\.
2878. у' с\%х-\-у — 2\ у=?2 при л; =
2879. еУ(у'-\-\)=1; у = 0 при д: = 0.
2880. у' -}-у = соз х; У = -к ПРИ *"=0.
2881. у' — 2у = — хг\ У = \ при * = 0.
2882. /4-); = 2л;; ^ = —1 при л; =
2883. ху'=у; а) ^=1 при х=\; б) д> = 0 при # = 0.
2884. 2ху'=у; а) д>= 1 при х=1; б) ^ = 0 при л; = 0.
2885. 2л:ву/ + л:2—/ = °5 а) ^ = ° пРи л: = 0; 6)^*=! при
#=0, в) д> = 0 при х=1.
2886. Найти кривую, проходящую через точку @; 1), у которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887. Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых каса-
касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а,
2888. Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти
уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало
координат.
2889*. Найти кривую, у которой угол, образованный касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
2890. Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между
осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней,
равна кубу этой ординаты.
2891. Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного
полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки,
пропорциональна кубу этого радиуса.
2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной
на оси ОХУ равен длине этой касательной.
2893. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключен-
заключенный между осями координат, делится пополам параболой у2 = 2х.
2894. Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна
расстоянию этой: точки от начала координат.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и
ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствующей
дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она
проходит через точку @; 1).
2896. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образо-
образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки каса-
касания, постоянна и равна а2.

§ 9] СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 327
2897. Найти кривую, если известно, что середина отрезка,
отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, ееть
постоянная точка (а; 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно
в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый
метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные соотноше-
соотношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые
с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются соответст-
соответствующими соотношениями между их дифференциалами, что не отражается на
результате.
Задача. В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержа-
содержащего 10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и
смесь вытекает из него со скоростью 2 л в 1 мин, причем концентрация
поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет
содержать резервуар по истечении 1 часа?
Решение. Концентрацией с данного вещества называется количество
его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то коли-
количество вещества в объеме V равно сУ,
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении I мин9
есть х кг. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет A00 +О л и,
Х 1
следовательно, концентрация с = п . , кг на 1 л.
В течение промежутка времени <И из резервуара вытекает 2Ш л смеси,
содержащих 2с A1 кг соли. Поэтому изменение их количества соли в резервуаре
характеризуется соотношением '
2х
— а*х = 2саЧ% или — ^ = <—— 6.1.
Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и
интегрируя, получим: х
1Ь
или
Х —A00
Постоянное С определится из условия, что при * = 0, #=10, т. е»
С =2400 000. По истечений часа в резервуаре будет содержаться соли
2898*. Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет фоэдму параболоида
вращения.
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если
известно, что это давление равно 1 кГ на Г см2 на уровне моря и
0,92 кГ на 1 см2 на высоте 500 м.
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины / под дейт
ствием растягивающей силы Г получает приращение длины ЫР(к=
= соп$1). На сколько увеличится длина шнура под действием его
веса №, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина
шнура /.)

328 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2901. Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура
подвешен груз Р.
При решении задач 2902—2903 использовать закон Ньютона, по
которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности тем-
температур тела и окружающей его среды.
2902. Найти зависимость температуры Т от времени /, если
тело, нагретое до То градусов, внесено в помещение, температура
которого постоянна и равна а градусов.
2903. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100°, понизится до 30°, если температура помещения равна 20° и
за первые 20 мин тело охладилось до 60°?
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 100 об\мин, по истечении
1 мин вращается со скоростью 60 об\мпн.
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному коли-
количеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина
первоначального запаса радия. Найти, какой процент радия окажется
распавшимся по истечении 100 лет.
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии к
по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
где с =^ 0,6 и §•—ускорение силы тяжести.
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диамет-
диаметра 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне рад/иуса 0,1 м.
2907*. Количество света, поглощаемого при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и
толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м по-
поглощается половина первоначального количества света, то какая
часть этого количества дойдет до глубины 30 м? \^
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашю-
парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти пределы^
ную скорость падения.
2909*. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто
смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость
растворения соли пропорциональна разности между концентрацией
в данный момент и концентрацией насыщенного раствора A кг соли
на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет */8 кг
соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по
истечении 1 часа.
2910*. Электродвижущая сила е в цепи с током /, имеющей со-
сопротивление /? и индуктивность Ь, складывается из падения напря-

§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 329
жения Ш и электродвижущей силы самоиндукции Ь -^. Определить
ток / в момент времени /, если е = Еъ№(&1 (Е и со—постоянные) и
1 = 0 при * = 0
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1°. Случай непосредственного интегрирования. Если
то
п раз
2°. Случаи понижения порядка. 1) Если дифференциальное
уравнение явно не содержит у, например
Р(х, */',*/") = 0,
то, полагая у' = р, получим уравнение порядка на единицу ниже
Р(х, р, /0 = 0.
Пример 1. Найти частное решение уравнения
удовлетворяющее условиям
у = 0, у'=0 при * —0.
Решение. Полагая у' = р, имеем у" = р', откуда
хр' -\-р ~{-х = 0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р,
получим:
Из условия у'=р~О при х = 0 имеем 0 = Сг—0, т. е. С^^О. Следовательно,
. х
или
йу__ _х_
йх~" 2 '
откуда, интегрируя еще раз, получим:
Полагая у — 0 при х = 0> находим С2 = 0. Следовательно, искомое частное
решение есть

330 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например,
то, полагая у' = р, у"=:р~% получим уравнение порядка на единицу ниже
Пример 2. Найти частное решение уравнения
при условии у=\у у' = 0 при * = 0.
Решение. Полагаем у' = р, тогда у" = р~ и наше уравнение преоб-
преобразуется в следующее:
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем аргу-
аргументом). Решая его, найдем:
р = =ь У УС, + у\
Из условия у' = р=:0 при у = 1 имеем Сг = —1. Следовательно,
или
Интегрируя, имеем:
агссов —±: х =
У
Полагая */=1 и х = 0, получим С2 = 0, откуда —
у
Решить уравнения:
или
2911 У = ! 292°-
х' 2921. уу"
2912./=-^. 2922./
2914. ху -\-у =0.
2915. ^'=д»'1. 2924# ху'=у-\аУ:
2916. -^у+У =0. Г *
2917. A-|-л;2)/+/1+1=0- 2925.
2918. уA4-У*) = в/. 2926. /+/
2919. л*У + ху' = 1. 2927. /'* 4 У

§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 331
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928. A+л:2)/ — 2ху'=0; у = 0, у' = 3 при х = 0.
2929. 1+Уё = 2^/; у=1, у'= \ при х=\.
2930. уу+у'л=у'9; у=\, у' = \ при х = 0.
2931. ху"=у'\ у = 0, у' = 0 при х = 0.
Найти общие интегралы уравнений:
2932. уУ =УУ+У2 У — у'у".
2933. у/=у'* + уУул+'у'\
2934. у%—уу=уул
2935. уу*-\-у*—у'*1пу = 0.
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у"У=и у = 1, у' = \ при * = у>
2937. уу^-у2=\; у=1, у'=\ при х =
2938. хУ = У\-\-у'2; у = 0 при х=1; ^ ===== 1 при х==Л
2939. Л1+1^+^ 2 + 1 ^
2940. / = ^A+1п^); у=1, /==1 при *=
2941. У— <у/2+^'C' — ») = 0; ^ = 2» З''^2 при
2942. 3//'=:<у+/3+1; ^ = —2» З''^0 ПРИ ^
2943. У+/2 — 2>ру = 0; >^==1, /=1 при х = 0.
2944. ву<у'"^-<у'24->гУ/:::=^» ,у=1 при х — 0 и у = 0 при л
2945. 2У + (У2 — 6х).у = 0; у = 0, у = 2 при х = 2.
2946. ^У+.уУ—У* = 0; ^=1, у'= 2 при аг==О.
2947. 2^У — ЗУ1==4У; ^ = 1, у = 0 при х = 0.
2948. 2^у+^2—^/2 = 0; ^ = 1, ^'=1 при х =
2949. У=уа—<у;^ = —1, У = у при х==
2950. У4--П>еУ*у' — 2уу =0; у=1, у =<? при л; = —^
2951.
2952.
2953. (л;+1)У + *У2==У; У = —2> У = 4 при
Решить уравнения:
2954. ^Г = ху1+У1.
2955. у'=.ху-\-У — у"\

332 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2956. / /
2957. уу'у" —у'8 -\-у. Выделить интегральную кривую, прохо-
проходящую через точку @; 0) и касающуюся в ней прямой ^
2958. Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
2959. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорциона-
пропорционален кубу нормали.
2960. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали.
2961. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше
нормали.
2962. Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на
ось ОУ постоянна.
2963. Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая,
что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на гори-
горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити,
укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нагрузку
ц (включая вес нити) на единицу длины.
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклон-
наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а,
а коэффициент трения \х.
Указание. Сила трения равна |хМ, где N — сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно
считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движе-
движения, если начальная скорость равна нулю.
2967*. Моторная лодка весом 300 кГ движется прямолинейно
с начальной скоростью 66 м\сек. Сопротивление воды пропорцио-
пропорционально скорости и равно 10 кГ при скорости 1 м\сек. Через
сколько времени скорость будет равна 8 м\сек!
§ П. Линейные дифференциальные уравнения
..,
Г. Однородные уравнения. Функции у1 = у1
и = фп(*) называются линейно зависимыми, если существуют постоян-
постоянные Си С2, ..., Сп, не все равные нулю, такие, что
СхУг + С2у2 + ... + Спуп ^ 0;
в противном случае данные функции называются линейно независимыми.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
Ут + Рг (*) У{п~1) + ...+РпЫУ = 0 @
с непрерывными коэффициентами Р{(х) A = 1, 2, . . ., п) имеет вид
где у19 у2) ..., Уп — линейно независимые решения уравнения A) (фундамен-
(фундаментальная система решений).
2°. Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
B)

§ И]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
333
с непрерывными коэффициентами Р/(*) и правой частью ? (х) имеет вид
где у0 — общее решение соответствующего однородного уравнения A) и У —
частное решение данного неоднородного уравнения B).
Если известна фундаментальная система решений у19 у29 ...9уп однород-
однородного уравнения A), то общее решение соответствующего неоднородного урав-
уравнения B) может быть найдено по формуле
У = СХ (х) У1+С2(х)у2+...+ Сп (х) уп9
где функции С((х) (*=1, 2, ..., п) определяются из системы уравнений
С[(х) У, + ^ (х) уг
...+С'п(х)у'п = 0,
C)
(метод вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение
D)
Решение. Решая однородное уравнение
получим:
E)
Следовательно, можно принять
у1==\пх и #2 = 1
и решение уравнения D) искать в виде
у = С1 (х) \пх-\-С2 {х).
Составляя систему C) и учитывая, что приведенный вид уравнения D) есть
» , У'
у
~х, получим
Отсюда
и
и, следовательно,
где А и В — произвольные постоянные.

834 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
2968. Исследовать на линейную зависимость следующие системы
функций:
а) х> х-\-1; д) х, х2, х*;
б) х\ —2а:2; е) ех, е2Х, е*х;
в) 0, 1, х\ ж) $тх, созя, 1;
г) х, х-\-1, х-\-2; з) $ш2л;, соз2л;, 1.
2969. Составить линейное однородное дифференциальное урав-
уравнение, зная его фундаментальную систему решений;
а)
б) Л
в) Уг = х, Уг
г) уг = ех, уг = ехвтх, у9 = ех соз х.
2970. Зная фундаментальную систему решений линейного одно-
однородного дифференциального уравнения
найти его частное решение у> удовлетворяющее начальным условиям
2971*. Решить уравнение
/+4/4-^=0,
зная его частное решение ух-=
2972. Решить уравнение
х2 (\пх— \)уп — ху' -\-у = 0,
зная его частное решение
Методом вариации произвольных постоянных решить неоднород
ные линейные уравнения:
2973. х2уп — ху' = *
2974*. хУ-\-ху'—
2975. у'"-\-у' = весх.
§ 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Iе. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами р и д без правой части имеет вид
*Г + РУ'+ЧУ = О. 0)
Если кг и к2 — корни характеристического уравнения
= О, B)

§ 12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 335
то общее решение уравнения A) записывается в одном из следующих трех
видов:
1) у = С1е^* + С#к*х9 если кх и к2 вещественны и кх Ф к2;
2) у = еЬ* (Сх + Сгх), если кх = к2;
3) у = е"х(Схсо5Рх + С28т$х), если кх=а + $1 и к2 = а — 0* ф ф 0).
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неод-
неоднородного дифференциального уравнения
(Г+ру' + чу=1(х) (8)
можно записать в виде суммы
где у0 — общее решение соответствующего уравнения A) без правой части,
определяемое по формулам 1) — 3), и У — частное решение данного уравне*
ния C).
Функция У может быть найдена методом неопределенных коэффициентов
в следующих простейших случаях:
1. [(х) = е**хРп(х)> где Рп (х) — многочлен степени п.
Если а не является корнем характеристического уравнения B), т. е?
ф(а) 5*0, то полагают У=еах0,п(х), где BП(х) — многочлен степени я с не-
неопределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения B), т. е. ф(а)=зО,
то У = хгеах (}п(х), где г — кратность корня а (г = 1 или г = 2).
2. / (*) = еах [Рп (х) соз Ьх + <2/я (х) з!п &*].
Если ф (а ±: Ьг) ф 0, то полагают
У = еа* [5дг (а:) соз Ьх + 7^ (д:) з!п Ьх],
где 5дг(д:) и Гдг (л:) — многочлены степени М = тах|п, т|.
Если же ф(а^:б1) = 0, то
соз Ьх
где г —кратность корней а-±.Ы (для уравнений 2-го порядка г = \).
В общем случае для решения уравнения C) применяется метод вариации
произвольных постоянных (см. §11)-
Пример 1. Найти общее решение уравнения 2у" — у' — У = 4хе2Х.
Решение. Характеристическое уравнение 2к2 — # — 1=0 имеет корни
кх = \ и к2 = —— . Общее решение соответствующего однородного уравне-
X
ния (первый вид) уо = С1ех + С2е 2. Правая часть заданного уравнения
}(х) = 4хе2Х = еах Рп(х). Следовательно, У = е2Х (Ах + В), так как п = \
и г = 0. Дифференцируя У два раза и подставляя производные в данное
уравнение, получим:
2е2Х {А Ах + 4В + А А) - е2Х BАх + 2В + А) - е2" (Ах + В) = Ахегх.
Сокращая на егх и приравнивая друг другу коэффициенты при первых
степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
4 28
= 4 и 7А + 5В = 0, откуда Л = -^ и В=— ^.

336 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ТХ
Таким образом, У = е2Х(-^-х — «н) > а общее решение данного урав-
уравнения есть
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" ■— 2у' -(-У =
Решение. Характеристическое уравнение б2 — 2& -{- 1 = 0 имеет дву-
двукратный корень &=1. Правая часть уравнения имеет вид [(х) = хех; здесь
й=1 и /1=1. Частное решение У = х*ех (Ах-\~В), так как а совпадает
с двукратным корнем Л? = 1 и, следовательно, г = 2.
Дифференцируя У два раза, подставляя в уравнение и приравнивая
коэффициенты, получим Л=~, В = 0. Следовательно, общее решение дан-
6
ного уравнения запишется в виде
Пример 3. Найти общее решение уравнения ур -{- у = х з1п х.
Решение. Характеристическое уравнение к* -\-\=0 имеет корни
кг = 1 и кг = —I. Общее решение соответствующего однородного уравнения
будет [см. 3), где а = 0 и Р = 1]
у0 = С, СО8 X + Сг 51П X,
Правая часть вида
/ (Х) = еах [Рп (х) сов Ьх + (}т (х) $!п Ьх],
где а = 0, Ь=1, Рп(д:) = 0, Aт(х) = хлЕ& соответствует частное решение
У = х [(Ах + В) соз * + (С* + #)
(здесь # = 1, а = 0, Ь=1, г=1).
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэф-
коэффициенты в обеих частях равенства при соз*, *со5*, $1пх и хвтх. В ре-
результате получатся четыре уравнения 2А -|-2Л = О, 4С = 0, — 2# + 2С = 0,
4Л = 1, из которых и определяются Л=—^4» ^3 = 0» С = 0, 1) = 1
Поэтому У = т соз х + -г 8*п *•
4 '4
Общее решение
А^шл АА
у = С, соз х 4- С2 31П л; г соз л; + — з1п д;.
4 4
3°. Принцип наложения решений. Если правая часть уравне-
уравнения C) есть сумма нескольких функций
и У(-A = 1, 2, ..., м) — соответствующие решения уравнений
то сумма
является решением уравнения C).

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
337
5/ + 6у = 0.
9^ =
Найти общие решения уравнений:
2976. у
2977.
2978.
2979.
2980.
2981.
2982.
2983. у" — 4/ 4- 2у
2984. /' —
2986. ^у =/'+/•
0.
— 2у'-\-2у=0.
2986.
о.
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2987. /' —
2988. у" + 3/
2989.
2990.
Ь
0;
при х=0.
. У=—1 при л:==0.
2 при л:=0.
0 при х =
2991. /' =
2992.
2993.
= 0 при
ПРИ л:
при л;
и
и
= 0 прил:
=0 прил:
3.
1.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных
уравнений:
а) /' —
б) / + ^
в) У — 4/ 4- ±У=51П 2л: +
г) у"-\-2у'\ х
У /
д) У — 5/+.+ +
е) у" — 2/ 4-5^ = хех соз 2л: — л:2^* зш 2л:.
Найти общие решения уравнений:
2995.
2996.
2997.
2998.
2999.
ч3000.
3001. /'--
3002. у 4-/ — бу=
3003. У — 2/ + >>=5тл; + з11л:.
3004. У+ "
3005. у —2/4-
3006. Найти решение уравнения у" -\-^у
ющее условиям у= 1, /=1 при л:===0.
удовлетворя-

удовлетворя338 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Решить уравнения:
3007. -^-{-со8д: = А 51п/>/. Рассмотреть случаи: 1)
2) я = о).
3008. у" — 7у'-\-\2у= — е*х.
3009. /' —2/ = *Ё—1.
ЗОЮ. /' — 2/ -4-^=2**.
ЗОН. у" — 2у' = елх-\-5.
3012. /' —2/ —8^ = ^ — 8 СО5 2Х.1
3013. /'-}-/ = 5л;+ 2<?*.
3014. у"— у' = 2х— 1— Зе*.
3015. /' +
8016. /' —
3017. /' —
3018. .у" — 3/==АГ +
3019. Найти решение уравнения у" — 2у'= еш*-\-х* — 1, удов
летворяющее условиям: ^ = о-> у'=1 при # = 0,
Решить уравнения:
3020. у"— у =
3021. у" — 4у =
3022. /' + 4у —25ш2л; — Зсо$2д:-)-1.
3023. у" — 2у' + 2у = 4ех зт х.
3024. /' =
3025. /' +
3026. у" — 2у' — Зу —
3027. у" — 2у' =
3028. д^" —
3029.
3030*.
3031. у" — 2у =
Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032. /'+)>:= *2*- 3036. у"+у=ж—.
3033. у-У = сЬл:. 3037. " ' 1
х
3034. у" — 2/ +.у=^ . 3038. а) /' — ^ == Ш д:;
3035 у" + 2у' + У = 1:^. б) У —2у=»4а;1

§ 12] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА 839
I
/
3039. Два одинаковых груза подвешены к /концу пружины.
Найти уравнение движения, которое будет совершать один из
этих грузов, если другой оборвется.
Решение. Пусть увеличение длины пружины под действием одного
груза в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х коор1-
динату груза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при
наличии одного груза. Тогда
где, очевидно, к = —^- и, следовательно, ■■ , а = — «- х. Общее решение есть
/а — /я. &х Л
х = С1со$у -^ + С281п|/ -Л Начальные условия дают л = а и -ттяО
при г = 0; отсюда (^ = а и С2 = 0, следовательно,
# = асоз 1/ &-1.
V а
3040*. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличе-
увеличению ее длины и равна 1 кГу когда длина увеличивается на 1 см.
К пружине подвешен груз весом 2 кГ. Найти период колебатель-
колебательного движения, которое получит этот груз, если его слегка оття-
оттянуть книзу и затем отпустить.
3041*. Груз весом Р =4 кГ подвешен на пружине и увеличи-
увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если верх-
верхний конец пружины совершает вертикальное гармоническое колеба-
колебание з> = 2 5П130/ см и в начальный момент груз находился в покое
(сопротивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы т притягивается каждым из
двух центров с силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент
пропорциональности равен к). Найти закон движения точки, зная,
что расстояние между центрами 2#, в начальный момент точка нахо-
находилась, на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от сере-
середины его, и имела скорость, равную нулю.
3043. Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения.
Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во
сколько времени соскользнет вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со около перпендикулярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти законы движения шарика относительно трубки, считая, что:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси
вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел
начальную скорость г>0.

340
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. IX
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами порядка выше 2-го
1°. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений
У и #2>«»*> Уп однородного линейного уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами
пу = 0 A)
строится на основе характера корней характеристического уравнения
кп + а1кп^1 + ...+ а„_1к+ап = 0. B)
А именно: 1) если к есть вещественный корень уравнения B) кратности т,
то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения A):
— хт'1екх\
2) если а ± Р* — пара комплексных корней уравнения B) кратности т,
то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения A):
уг = е*х со5
*х
у2 = е*х зш
у% = хе*х соз
хе*х зш
2°. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного
уравнения
C)
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3°.
Найти общие решения уравнений:
= 0. 3057.
3058.
3059.
3045. /"—
3046. /" —
3047.
3048.
3049. /"—
3050.
3051.
3052.
3053.
3060.
= 0. 3061.
3062.
0. 3063.
3064.
3055. "у™ — 6у"-\-9у = 0. 3065. у"
3056. у1Ч-\-а*у" = 0. 3066. у"
3067. Найти частное решение уравнения
—2/"
удовлетворяющее начальным условиям
у'@)=у"@)

§ 14] УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 341
§ 14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ах + Ъ)пУ™+А1(ах + Ь)п-*у<п-»+...+Ап_1(ах + Ь)у + Апу==1(х), A)
где а, Ьу Ац ..., Лл-1, Ап — постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ах-\- Ь > 0 вводим новую независимую переменную 1> полагая;
ах -{- Ь = е1.
Тогда
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными
коэффиц иентами.
Пример 1. Решить уравнение х2у" -{- ху' -(- у = 1.
Решение. Полагая х =е*, получим:
61*
Следовательно, данное уравнение примет вид
откуда
или
у = Сг соз Aп х) + С2 зт Aп х)
Для однородного уравнения Эйлера
^(п) + Л^-у"-1> + ...+Л^1х1/'+Л/2г/=:0 B)
при х > 0 решение можно искать в виде
*/ = **. C)
Подставляя в B) у, у'> ..., у{п), определяемые из соотношения C), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель к.
Если к — действительный корень характеристического уравнения кратно-
кратности т, то ему соответствуют т линейно независимых решений
ух = хк, у2 = хк\пх, уг = хк(\пх)*> ..., ут = хк(\пх)т~1.
Если а ± (М — пара комплексных корней кратности т, то ей соответствует 2т
линейно независимых решений
уг=хасо$($ 1пх), у2 = х*в'тф 1пх), у3 = ха \пх соз (р 1пх),
= х* 1п х зт (Р 1п х), ..., ^2т-1 = ^а (\пх)тсо$ (Р 1п х),
- зт (Р 1п х).
Пример 2. Решить уравнение
х2у" — Ъху' + 4^ = 0.
Решение. Полагаем

342 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на хк получим характери-
характеристическое уравнение
Л;2 — 4Л? + 4 = 0.
Решая его, находим!
и —и —о
следовательно, общее решение будет:
Решить уравнения:
3068. х
3069. х2у" —
3070/а:2/ + х/ +
3071. хУ" — За:2/ + 6*/ — 6^ = 0.
3072. /
3073. У = Щ.
* х2
3074.
3075. л:2/ — 4а:/ + 6У = х-
3076. A+л:J/ — 3A+*)
3077. Найти частное решение уравнения
а;2/' — ху' -\- у = 2х,
удовлетворяющее начальным условиям: ^ = 0, у'=\ при х=1.
§ 16. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормальт
ной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е. системы
вида
йу . . . йг
^ = ?(х, у,г), л = 8
разрешенной относительно производных от искомых функций у и г, диффе-
дифференцируем по х одно из них. Имеем, например:
Определяя г из первого уравнения системы A) и подставляя найденное вы-
выражение
в уравнение B), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функ-
функцией у. Решая его, находим:
D)

§ Д5]
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
343
где Сг и Са — произвольные постоянные. Подставляя функцию D) в формулу C),
определяем функцию г без новых интеграции. Совокупность формул C) и D),
где у заменено на г|?, дает общее решение системы A).
Пример. Решить систему
Аг
Решение. Дифференцируем первое уравнение по х\
^
ах
Из первого уравнения определяется г = — (\ -\-4х — ~ — 2у) и тогда
& 3
из второго будем иметь: 2- = —х
3
— —у — —
1 йу
Подставляя г
и -г в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к урав»
нению 2-го порядка с одной неизвестной у:
3? + Тх ~~6у -"■"" 6а;2 "" 4х
Решая его, найдем:
и тогда
Аналогично можно поступать и в случае системы с большим числом урав-
уравнении.
Решить системы:
3078.
их '
ах
3081.
3079.
3080. 1
(Ох
Оу
аг
3082. |
г,
\0х_
аь~
ау
йг
2,

344
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ IX
3083.
3085.
3086.
3087.
3088*-
6.1
х — у
3084. -
в)
йу йг
6г . о
_ 4у — 2г = сов х.
У — г 2-х х — у
выделить интегральную кривую,
проходящую через точку
A; 1; —2).
0 при
3089.
1
з-+тг у = 1пХш
6х ' х2 •*
1 при / =
их г
~~ 2
3090.
V их
X
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью г^0 под
углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая
сопротивление воздуха пропорциональным скорости.
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с силой,
пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на
расстоянии а от центра с начальной скоростью г>0, перпендикулярной
к отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи элемен-
элементарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно
искать в виде степенного ряда
00
У=
Неопределенные коэффициенты сп(п = 0, 1,2, ...) находятся путем подстанов-
подстановки ряда A) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях бинома х — х0 в левой и правой частях полученного равенства.
Можно также искать решение уравнения
У' = 1 (*> У)\ гДе У (*о) = Уо> B)

§ 16]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
845
в виде ряда Тейлора
C)
где у (х0) = г/0, у' (х0) = / (х0, у0) и дальнейшие производные у<п) (х0) (п = 2, 3,...)
последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения B) и
подстановки вместо х числа х0.
Пример 1. Найти решение уравнения
если у = у0, У' = у'о при х =
Решение. Полагаем
отсюда, дифференцируя, получим:
л (л -
(л
Подставляя у и у" в данное уравнение, приходим к тождеству
[2- 1с, + 3-2с3х + ... + п (п — 1) спхп"г + (п + 1) /гсл
л + 2) (/г + 1) сп+2хп 4-...] — х [с0 + схх + ... + спхп + ...] в 0.
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степе-
степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
Вообще,
2.3.5-6....
Следовательно,
где
и
1) ЗЛ:
д.
~ 3-4.6.7.... -ЗЛ C* + 1)'
2, 3, ...).
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд D) сходится при
— оо < х < + оо.
Пример 2. Найти решение уравнения
Решение. Полагаем
п
У
У

346 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Имеем #0=1, #0 = 0 + 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у* = х + у%
последовательно находим у" = 1 -|- у', у" = 1 -|- 1 = 2, у'" = у", #0" = 2,
и т. д. Следовательно, о
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном
виде *=1+* + 2(е*-1--*) или
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений
высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще гово-
говоря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не предпола-
предполагается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при ука-
указанных начальных условиях.
В №№ 3097, 3098, 3099, 3101 исследовать сходимость по-
полученных решений.
3093х. у'=у-\-хл; у = —2 при х = 0.
3094. у' — 2у-\-х—1; у = у0 при х=\.
3095. /=у*-\-х9; у = ~ ПРИ * = <>-
3096. у' = х*—уж; у=0 при х=0.
3097. A— х)/=1-{-х — у; у — 0 при х = 0.
3098*. ^/ + ^ = 0; у=0, у' = \ при х = 0.
3099. уГ-\-ху = 0; у=\, / = 0 при д; =
\ у /
8100*./+уУ + > = °; ^=1> У = 0 при
3101*. / + ~У + ^ = 0; ^=1, У = 0 при х = 0.
3102. ^-{"•ГС08^ = ^> л: = а; ^ = ^ ПРИ ^ =
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного дифференциального
уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают
частные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых
представляет собой произведение функций, зависящих только от одного аргу-
аргумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких ре-
решений ип(п = 1, 2, ...), линейно
О
независимых в любом конечном
числе между собой и удовле-
удовлетворяющих заданным граничным
условиям. Искомое решение и
представляется в виде ряда, рас-
расположенного по этим частным
1 Ь X решениям:
с
00
2 Спии. A)
Рис. 107. "=1
Остающиеся неопределенными коэффициенты Сп находятся из начальных
условий.

§17] ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ 347
Задача. Поперечное смещение и = и (х, *) точек струны с абсциссой х
в момент времени I удовлетворяет уравнению
Т
где а* = —~(Т0— сила натяжения, д — линейная плотность струны). Найти
форму струны в момент времени /, если концы ее х = 0 и # = / закреплены
и в начальный момент / = 0 струна имела форму параболы а = ■=-*(/—х)
(рис. 107) и точки ее имели скорость, равную нулю.
Решение. Согласно условию задачи требуется найти решение и = и (х, I)
уравнения B), удовлетворяющее граничным условиям:
и@, 0 = 0, иA, 0 = 0 C)
и начальным условиям:
и(х, 0) = ^хA-х)9 и\(х9 0) = 0. D)
Ищем ненулевые решения уравнения B) специального вида
и = Х(х)Т @.
Подставив это выражение в уравнение B) и разделив переменные, получим!
Г(р __Х
а*Т{1) ~~ Х(х) '
Так как переменные х и I являются независимыми, то тождество E) воз-
возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения E) будет посто-
постоянной. Обозначая эту постоянную через — X2, найдем два обыкновенных диф-
дифференциальных уравнения:
Г @ + (а^J-Г@ = 0 и Хп (х) + %2Х (х) = 0.
Решая эти уравнения, получим:
Т (Г) = А соз а М + В §1п а М,
Х(х) = С соз Хх
где Л, Б, С, Э — произвольные постоянные. Из условия C) имеем: Х@)=0
и X (/) = 0, следовательно, С = 0 и зш Ы = 0 (так как В не может одновремен-
к
но с С равняться нулю). Поэтому Хк = — ,где к — целое число. Легко убе-
убедиться, что мы не потеряем общности, взяв для к лишь положительные зна-
значения F = 1, 2, 3,"...). Каждому значению %& соответствует частное ре-
решение
кал Л , клх
/ л кал . , п , ка
= 1 Аксо$ —^-\-Вк$^п
удовлетворяющее граничным условиям C).
Составим ряд
со
кал1 . . кал(\ . клх
— + 5* яп—рЧ зш-у-
СОЗ

348 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ТХ
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению B) и граничным усло-
условиям C).
Подберем постоянные А% и В^ так, чтобы сумма ряда удовлетворяла на-
начальным условиям D). Так как
00
ди \7 кал ( А . кал1 , п кап1\ . кпх
=2— (" Ак 8Ш ~Г+Вк С08 ~г)8Ш ~ •
*=1
то, полагая * = 0, получим:
00
. кпх АН
к=1
и
со
ди (х, 0) ^ кал „ . кпх
Следовательно, для определения коэффициентов А& и Вь надо разложить в
АН
ряд Фурье по одним синусам функцию и (х, 0) = -^- хA — х) и функцию
,0)
По известным формулам (гл. VIII, § 4, 3е) имеем:
2 САН п х . /гя* . 32/г
] 5"х (/""х) 81П ПГ^
если Л — нечетное, и Л# = 0, если ^ — четное;
Искомое решение будет:
B/г +1) апЬ
31П Ч ' '
Bл + 1)" "" /
3103*. В начальный момент /-=0 струна, закрепленная на кон-
Л 1 Л- Л . ПХ
цах л; = 0 и х=;1} имела форму синусоиды и = Л$т —, причем
скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент
времени г.
3104*. В начальный момент ^=0 точкам прямолинейной струны
0<^х<^1 сообщена скорость -г-= 1. Найти форму струны в момент
времени /, если концы ее х = 0 и х = 1 закреплены (см. задачу 3103).

§ 17] ЗАДАЧИ НА МЕТОД ФУРЬЕ 349
3105*. Струна длиной /= 100 см, закрепленная на концах л; = 0
и х = 1, в начальный момент оттянута в точке л; = 50 см на расстоя-
расстояние к = 2 см, а затем опущена без толчка. Определить форму
струны для любого момента времени I.
3106*. При продольных колебаниях тонкого однородного прямо-
прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смеиХение
и = и(х, г) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент
времени г удовлетворяет уравнению
д2и 2 д2и
а
где а2 = — (Е— модуль Юнга, д — плотность стержня). Определить
продольные колебания упругого горизонтального стержня длины
/==100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце
лгп=Ю0 на длину Д/=1 см, а затем отпущенного без толчка.
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого
совпадает с осью ОХ, температура и = и(х, г) в сечении с абсцис-
абсциссой х в момент времени г при отсутствии источников тепла удовле-
удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 2 д2и
д1~~а дх*>
где а — постоянная. Определить распределение температуры для
любого момента времени / в стержне длины /=100 см, если изве-
известно начальное распределение температуры
и(х, 0) = 0,01л;A00 — х).

ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Действия с приближенными числами
1°. Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью
(абсолютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число А,
называется абсолютная величина разности между ними. Число А, удовлетво-
удовлетворяющее неравенству
|Л-а]<А, A)
называется предельной абсолютной погрешностью. Точное число А нахо-
находится в границах а —-Д<;Л<:а-{-А или, короче, А=а ± А.
2°. Относительная погрешность. Под относительной погреш-
погрешностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точ-
точное число А (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а
к точному числу А, Число б, удовлетворяющее неравенству
]А~п1 < 6, B)
называется предельной относительной погрешностью приближенного числа а.
Так как на практике Л^а, то за предельную относительную погрешность
часто принимают число о = — .
3°. Число верных десятичных знаков. Говорят, что положи-
положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения,
имеет п верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает — единицы п-то разряда. В этом слу-
чае при п > 1 за предельную относительную погрешность можно принять
число
26\10
где к — первая значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что
то число а имеет п верных десятичных знаков
р
1 / 1 V1
( Т)
г (
в узком смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в уз-
узком смысле, если о«^-~- I
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает еди-
единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении
с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные
знаки этого приближенного числа верные в широком смысле. При наличии

§ 1] действия с приближенными числами 351
большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно
является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так, что-
чтобы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле.
В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все
цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что касается
результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две
запасные цифры.
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой
результат окончательных вычислений, и поэтому ответы к ним даются при-
приближенными числами, содержащими лишь верные десятичные знаки.
В дальнейших вводных статьях приводятся лишь краткие указания; за под-
подробностями следует обращаться к литературе (например, Дж. Скарборо,
Численные методы математического анализа, ГТТИ, М.— Л., 1934).
4й. Сложение и вычитание приближенных чисел. Пре-
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел
равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому,
чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все деся-
десятичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широ-
широком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого,
десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из
них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные и округ-
округлить сумму на один знак.
Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их
следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных знака,
а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удержи-
удерживая соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
Пример 1. 215,21 + 14,182 + 21,4 = 215,2 A) + 14,1 (8) + 21,4 = 250,8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает
наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету. Осо-
Особенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
Пример 2. При вычитании приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя
верными десятичными знаками, получаем разность 0,004. Предельная относи-
10,001+у 0,001 1
тельная погрешность ее равна 6 = гшп = Т = ^'^' следова-
следовательно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому следует
по возможности избегать вычитания близких между собой приближенных
чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы эта
нежелательная операция отсутствовала.
5°. Умножение и деление приближенных чисел. Предель-
Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел
равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел. Исходя из
этого и применяя правило числа верных знаков C°), мы сохраняем в ответе
лишь определенное количество знаков.
Пример 8. Произведение приближенных чисел 25,3*4,12 = 104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что пре*
дельная относительная погрешность произведения
4=^0,01+^0,01^,088.

352
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ Г Л . X
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он
является окончательным, следует писать так: 25,3.4,12=104 или точнее
25,3-4,12 = 104,2 ±0,3.
6°. Возведение в степень и извлечение корня из при-
приближенных чисел. Предельная относительная погрешность т-й сте-
степени приближенного числа а равна т-кратной предельной относительной
погрешности этого числа.
Предельная относительная погрешность корня т-й степени из прибли-
приближенного числа а составляет ю часть предельной относительной погреш-
погрешности числа а.
7°. Вычисление погрешности результата различных
действий над приближенными числами. Если Да,, ...,Да
предельные абсолютные погрешности приближенных чисел а,, ...,
предельная абсолютная погрешность Д5 результата
1п
ат то
..., ап)
приближенно может быть оценена по формуле
Д5
да,
Да, -)-•••
да„
п
Да,
Предельная относительная погрешность 5 тогда равна
д?
дап
д1п/
л.
да,
Да,
'77Т
д1п/
да,
Да,
...
да
п
I/
Да
Пример 4. Вычислить 5 = 1п A0,3 + У 4,4); приближенные числа 10,3
и 4,4 верны в написанных знаках.
Р е ш е н и е. Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность Д5
— [ Да + тг—— V Имеем Да =
а + УЬ \ 2
в общем виде:5 = 1п (а-{-УТ), Д5
^9П; 1^4,4 = 2,0976...; мы оставляем 2,1, так как относительная по-
грешность приближенного числа У^А равна =5: — • -^ == ^г; абсолютная по-
погрешность тогда равна ^2»-^ = тк; за десятые доли можно поручиться,
Следовательно,
80 ~~ 40'
/1,1 _1_Л _
,1 N,20"^" 2 ' 20-2,1/
"Г42;
13
2604
0,005.
10,3 + 2,1Л20п 2 " 20-2ДУ 12,4- 20 V ' ' 4,2
Значит, сотые доли будут верны.
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
1б (Ю,3 + У~4А) ^ 1§ 12,4 = 1,093; 1п A0,3 + У*А) ^ 1,093-2,303 = 2,517.
Получаем ответ: 2,52.
8°. Установление допустимых погрешностей прибли-
приближенных чисел при заданной погрешности результата
действий над ними. Применяя формулы пункта 7 при заданных нам
величинах Д5 или 65, считая при этом равными друг другу все частные диф-
дифференциалы -~- Аак или величины -^— -тут-» мы вычисляем допустимые

§ 1] ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ 353
абсолютные погрешности Да,, ..., Да„, ... приближенных чисел а,, ...,
аю .... входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей
аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так
как последний может предъявить практически невыполнимые требования.
В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если
это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не превы-
превышала заданной величины. Таким образом, поставленная задача, строго говоря,
неопределенна.
Пример 5. Объем «цилиндрического отрезка», т. е. тела, отсеченного
от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
2
равный 2/?, под углом а к основанию, вычисляется по формуле У = -~- В.* Х&а.
о
С какой точностью следует измерять радиус /? =^ 60 см и угол наклона а,
чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Решение. Если ДУ, Д/? и Да — предельные абсолютные погрешности
величин V, Я. и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого
объема V есть
2Да 1
<100'
„ ЗАД 1 2Да ^ 1 _
Полагаем ^-<— и 8_<_. Отсюда
60 см __ 1
2а
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем изме-
измерять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108. В результате измерения получены верные в широком смысле
в написанных знаках приближенные числа:
а) 12°07'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 кг.
Вычислить их абсолютные и относительные погрешности.
3109. Вычислить абсолютные и относительные погрешности при-
приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках:
а) 241,7; б) 0,035; в) 3,14.
3110. Определить число верных знаков*) и дать соответствую-
соответствующую запись приближенных чисел:
а) 48 361 при точности в 1°/0; в) 592,8 при точности в 2°/0,
б) 14,9360 при точности в 1°/0;
3111. Произвести сложение приближенных чисел, верных в на-
написанных знаках:
а) 25,386 + 0,49 + 3,Ю + °.5; в) 38,1+2,0 + 3,124.
б) 1,2-102 4-41,72 + 0,09;
*) Верные знаки понимаются в узком смысле.
12 Г. О. Дараненков и др.

354 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
3112. Произвести вычитание приближенных чисел, верных в напи-
написанных знаках:
а) 148,1—63,871; б) 29,72—11,25; в) 34,22 — 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны
которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью
до 0,05 мм).
3114. Вычислить произведение приближенных чисел, верных в на-
написанных знаках:
а) 3,49-8,6; б) 25,Ы,743; в) 0,02-16,5.
Указать возможные границы результатов.
3115. Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точ-
точностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116. Вычислить частное приближенных чисел, верных в напи-
написанных знаках:
а) 5,684:5,032; б) 0,144:1,2; в) 216:4.
3117. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см
и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла, про-
противолежащего первому катету»
3118. Вычислить указанные степени приближенных чисел (осно-
(основания степеней верны в написанных знаках):
а) 0,41582; б) 65,28; в) 1,52.
3119. Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм).
Найти площадь квадрата.
3120. Вычислить значения корней (подкоренные числа верны
в написанных знаках):
а) У^Ш; б) УЖ$\ в)
3121. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса равны
= 23,64 си + 0,01 см; /-=17,31 с^ + 0,01 см; /=10,21 см-Л^
+ 0,01 см; число зх = 3,14. Вычислить по этим данным полную
поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относитель-
относительную погрешности результата.
3122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
15,4 см±0,1 см; один из катетов равен 6,8 см + 0,1 см. Как
точно могут быть определены по этим данным второй катет и при-
прилежащий к нему острый угол? Найти рх значения.
3123. Вычислить удельный вес алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 см и высотой 11 см весит 93,4 г. Относитель-
Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погреш-
погрешность взвешивания равна 0,001.
3124. Вычислить ток, если электродвижущая сила равна
221 вольт + 1 вольт, а сопротивление равно 809 ом-\-\ ом.

§ 2] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 855
3126. Период колебания маятника длины / равен
Г=2я ]/"-,
где &—ускорение силы тяжести. С какой точностью следует изме-
измерить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 сек,
чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью
в 0,5°/0? Как точно должны быть взяты числа я и #?
3126. Требуется измерить с точностью в 1°/0 площадь боко-
боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого
2 м и 1 л^, а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью
следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками
следует взять число я?
3127. Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямо-
прямоугольного сечения применяется формула
где /—длина стержня, Ь и й — основание и высота поперечного се-
сечения стержня, $— стрела лрогиба, Р—нагрузка. С какой точностью
следует измерить длину / и стрелу 5, чтобы погрешность Е не пре-
превышала 5,5°^0 при условии, что Р известна с точностью до 0,1°/0,
величины й и Ь известны с точностью до 1°/0, /^=50 см, $^=2,5 см?
§ 2. Интерполирование функций
1°. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть
*1> • ••> *п — табличные значения аргумента, разность которых Н = ;
(Ах1 = Х(+1 — Х(\ / = 0,1, .--,/г — 1) постоянна (шаг таблицы) и у0, у1г ..., уп —
соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для проме-
промежуточного значения аргумента х приближенно дается интерполяционной
формулой Ньютона
о>
V V
где <7 ="—т—- и Ау0 = у1 — у6, А2у0 = Аух — Д*/о, ... — последовательные
конечные разности функции у. При х = Х{ р = 0, 1, ..., п) полином A) при-
принимает соответственно табличные значения у-х (/ = 0, 1, ..., п). Как частные
случаи формулы Ньютона получаем: прид=1—линейное интерполирование;
при п = 2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования
формулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конеч-
конечных разностей.
Если у=[(х) — многочлен п-й степени, то
и
и, следовательно, формула A) является точной.

356
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
В общем случае, если } (х) имеет непрерывную производную рп+1) (х) на
отрезке [а, 6], включающем точки х0, хг, ..., хп и х, то погрешность фор-
формулы A) равна
п
где | — некоторое промежуточное значение между Х{ (»= 0, 1,
На практике пользуются более удобной приближенной формулой
B)
.., п) и х.
(л+1)!
Если число я можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы
разность Д"+1#0^0 в пределах данной точности; иными словами, разности
&пу0 должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
Пример 1. Найти 5т26°15\ пользуясь табличными данными
81п 26° = 0,43837, з!п 27° = 0,45399, з!п 28° = 0,46947.
Решение. Составляем таблицу
•
0
1
2
*{
26°
27°
28°
У1
0,43837
0,45399
0,46947
1562
1548
-14
' — 26°
Здесь к = 60', дг = —-60, — 4 .
Применяя формулу A), используя первую горизонтальную строку таб-
таблицы, имеем:
8к126°15' = 0,43837 + ~ 0,01562 +
2!
(-0,00014) = 0,44229.
Оценим погрешность #2. Используя формулу B) и учитывая, что если
= §тя, то \у{п)\^1, будем иметь:
1
31
128 57,338
Таким образом, все приведенные знаки 8ш26°15/— верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточ-
промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х
(обратное интерполирование). Для этого сначала определяем соответствую-
соответствующее значение ц методом последовательных приближений, полагая:
_<п\ У Уь

§ 2]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
357
и
4 ^ 2! ку0 п\
За ц принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последователь-
последовательных приближений ^(/я)==(у(/я+1)# Отсюда х = хс
Пример 2. Пользуясь таблицей
X
2,
2,
2,
2
4
6
4
5
6
,457
,466
,695
1
1
ьу
,009
,229
0,
220
приближенно вычислить корень уравнения зпх = 5.
Решение. Принимая у0 =± 4,457, имеем
5-4,457 0,543
,@)
1,009
= 0,538 +
1,009^°'538;
0,538-0,462 0,220
= 0,538 +
°'565°'435
1,009""
0,538+0,027 = 0,565;
г= 0,538 + 0,027 = 0,565.
Таким образом, можно принять
х = 2,2 + 0,565-0,2 = 2,2 + 0,113 = 2,313.
2°. Интерполяционная формула Лагранжа. В общем слу-
случае полином степени я, принимающий при х = #/ заданные значения
У;A = 0, 1, ..., /г), дается интерполяционной формулой Лагранжа
у (х
^) (х х2)»». (х хп) . [х х0) [х х2)»»»(х хп) |
(х х) (х х)(х х)
хх) (х0 х2)... (х0 хп)
I
(хх х0) (х1 х2)... (х1 хп)
Хп)
— хо) (Ч ~^)... (хк -хк_г) (хк — хк+1)... (хк- хп)
I (х ^о) \х ^1)• • »(Х хп-\) у
\Хп Хо) \Хп Хх) . . . \Хп Хп-1/
3128. Дана таблица значений величин х и у:
X
У
1
3
2
10
3
15
4
12
5
9
6
5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3129. Составить таблицу разностей функции у = хг — 5л:2 + х — 1
для значений х=\, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все ко-
конечные разности 3-го порядка равны между собой.

858
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[гл. х
1
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить
таблицу разностей функции у==х*—\0х*-\-2хг-\-Зх для целых
значений л;, заключенных в промежутке 1<:л;^10.
3131. Дана таблица
0,000,
0,301,
0,477,
0,602,
0,699.
Вычислить с помощью линейного интерполирования числа: 1§-1,7,
13 2,5, 1зЗ,1 и 1^4,6.
3132. Дана таблица
51П
31П
81П
10° =
1 10
12° =
0,
0,
0,
1736,
1908,
2079,
81П
51П
51П
13°
14°
15°
= 0
= 0
= 0
,2250,
,2419,
,2588.
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2) зна-
значения синуса через полградуса.
3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функ-
функции, заданной таблицей
X
У
0
1
1
4
2
15
3
40
4
85
3134*. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функ-
функции, заданной таблицей
X
У
2
3
4
11
6
27
8
50
10
83
Найти у при х = 5,5. При каком х величина д;=20?
3135. Функция задана таблицей
X
У
2
25
1
— 8
2
— 15
4
— 23
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение
у при х = 0

§ 3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
359
3136. Из опыта найдены величины укорочения пружины (л; мм)
в зависимости от нагрузки (Р кГ) на эту пружину:
X
р
5
49
10
105
15
172
20
253
25
352
30
473
35
619
40
793
Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм.
3137. Дана таблица величин х и у
X
У
0
1
1
з
3
25
4
129
5
381
Вычислить значения у для # = 0,5 и для х = 2: а) с помощью ли«
нейного интерполирования; б) по формуле Лагранжа.
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
1°, Установление начальных приближений
Приближенное нахождение корней данного уравнения
корней.
О)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т. е. установления про-
промежутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только
один корень уравнения A)} 2) вычисления корней с заданной степенью
точности.
Если функция /(х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] и
[(а)-}(Ь) < 0, то на отрезке [а, Ь] находится по меньшей мере один корень 5
уравнения A). Этот корень будет заведомо единственным, если /'(*)> 0 или
{' (х) < 0 при а < х < Ь.
Для приближенного нахождения корня ^ рекомендуется на миллиметро-
миллиметровой бумаге построить график функции у = }(х). Абсциссы точек пересечения
графика с осью ОХ и являются корнями уравнения }(х) = 0. Иногда удобно
данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф (#) = я|) (
б ф
р | ()
Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения графиков
() и у = ()
у у() у у()
2°. Правило пропорциональных частей (метод хорд).
Если на отрезке [а, Ь] находится единственный корень 6 уравнения / (х) = 0,
где функция /(*) непрерывна на отрезке [а, 6], то, заменив кривую }()
й й ( /()) F /F))
фу /() рр р [ ] ру }()
хордой, проходящей через точки (а; /(а)) и F; /F)), получим первое при-
приближение корня
Пп) (Ь-а). B)
с, =
/(*)-/ («)
Для получения второго приближения с2 формулу B) применяем к тому из
[ \ [ Ь] ф / ()
Д у р р 2 фруу () р у
отрезков [а, с^\ или [с1У Ь]> на концах которого функция / (х) имеет значе-

360 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
ния противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближения.
Последовательность чисел сп(п=\, 2, ...) сходится к корню 5, т. е.
Вычисления приближений сг, с2, ..., вообще говоря, следует производить
до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе деся-
десятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для промежу-
промежуточных выкладок надлежит брать одян-два запасных знака. Это замечание
имеет общий характер.
Если функция [ (х) имеет отличную от нуля непрерывную производную
/' (х) на отрезке [а, Ь], то для оценки абсолютной погрешности приближен-
приближенного корня сп можно воспользоваться формулой
где р,= тт
3°. Способ Ньютона (метод касательных). Если /' (я) Ф О
и {"(х)фО при а<#<&, причем /(а)/(&)<0, /(а) /"(а)> 0, то последова-
последовательные приближения *„(« —0, 1, 2, ...) корня % уравнения [(х) = 0 вы-
вычисляются по формулам
л0 — и, лп — ля-1 „ . уп—I, -й, ...;. \д)
I \лп-\)
При данных предположениях последовательность хп (п = 1, 2, ...) — мо-
монотонная, и
1пп хп = ?.
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой
ГДе 11= ГП1П
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
хо = а, хп = хп_1 — а1(хп_1) (п=\, 2, ...), C')
где «=.,.., дающими примерно ту же точность, что и формулы C).
Если {(Ь) Г(^)>0, то в формулах C) и C') следует положить хо=Ь.
4°. Способ итерации. Пусть данное уравнение приведено к виду
х — ф (*), D)
где |ф'(лг)|^^*<1 (г *- постояннаяI.при а^д;^&. Исходя из начального
значения х0, принадлежащего отрезку [а, Ь], построим последовательность
чисел *!, х±> ... по следующему закону:
Если а^д;Л^& (л = 1, 2, ...), то предел
Шхп
является единственным корнем уравнения D) на отрезке [а, Ь], т, е.
хп суть последовательные приближения корня ?

§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ 361
Оценка абсолютной погрешности п-го приближения хп дается формулой
Поэтому, если хп и хп+1 совпадают с точностью до е, то предельная абсо-
лютная погрешность для хп будет •= .
1 — Т
Для преобразования уравнения [(х) — 0 к виду D) заменяем последнее
эквивалентным уравнением
Х — Х —
где число X ф 0 выбирается так, чтобы функция -т-[х — ХНх)] = I — XI'
их
была малой по абсблютной величине в окрестности точки х0 (например,
можно положить 1 — Х[' (д;0) —0).
Пример 1. Привести уравнение 2л; — 1п л; — 4 = 0 при начальном при-
приближении корня я0 —2,5 к виду D).
Решение. Здесь [(х) = 2х — 1пх — 4; 1'(х)=:2 -.Пишем эквива-
эквивалентное уравнение х = х — ХBх — 1п х — 4) и в качестве одного из под-
подходящих значений X берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения
— и, т. е» к ■=—-х *-^ 11,13.
1,0
Исходное уравнение приводится к виду
х = х — 0,5 Bх — 1п х — 4)
или
2 ПДС*
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень ^ предыдущего
уравнения, заключенный между 2 и 3.
Вычисление корня по способу итерации. Используем ре-
результат примера 1, полагая #О = 2,5. Вычисление ведем по формулам E)
с одним запасным знаком.
^ = 2 -{- -^ 1п 2,5 ^ 2,458,
х2 = 2 + ~ 1п 2,458 ^ 2,450,
хь= 2 + 4 1п 2,450 ^=2,448,
х^= 2 + -^- 1п 2,448 ^ 2,448.
Итак, 5:^2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить»
так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
1 'М —2*Г

362 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
Считая, что все приближения хп лежат на отрезке [2,4; 2,5], получим:
Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения хг в силу
приведенного выше замечания есть
= 0,0012^0,001.
Таким образом, точный корень ^ уравнения содержится в границах
2,447 < & < 2,449;
можно принять 5=5=2,45» причем все знаки этого приближенного числа будут
верными в узком смысле,
Вычисление корня по способу Ньютона. Здесь
= 2—~,
На отрезке 2< х < 3 имеем: Л (х) > 0 и р (х) > 0; / B) [ C) < 0; IC) Г C) > 0.
Следовательно, условия пункта 3° при хй = 3 выполнены*
Принимаем
ос=B — -^-) =0,6.
Вычисления ведем по формулам C') с двумя запасными знаками
^ = 3-0,6B.3 — 1п 3 — 4) = 2,4592;
хг = 2,4592 — 0,6 B-2,4592 - 1п 2,4592 — 4) = 2,4481;
*8 = 2,4481 — 0,6B.2,4481 — 1п 2,4481 - 4) = 2,4477;
х4 = 2,4477 — 0,6 B.2,4477 - \п 2,4477 — 4) = 2,4475.
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше
не изменяется. Даем ответ: корень ^ = 2,45. Оценку погрешности мы опу-
опускаем.
5°. Случай системы двух уравнений. Пусть требуется вы-
вычислить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух
уравнений с двумя неизвестными
I Ф (#. У) = О»
и пусть имеется начальное приближение одного из решений ({•, г]) этой си-
системы х = л;0, у = у0.
Это начальное приближение можно получить, например, графически,
построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые [ (х, у)~0
и ф(я, У) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а) Способ Ньютона. Предположим, что функциональный опреде-
определитель
р, Ф)
д(х, у)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = х0, у = у0. Тогда,
по способу Ньютона, первое приближение решения системы F) имеет вид
*, = х0 + а0, у1 = у0 + Ро» где а0, Ро — решение системы двух линейных
уравнений
Ус
'в. Уо)

3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ
363
Второе приближение получается тем же приемом:
где ах, Рх — решение системы линейных уравнений
Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б) Способ итерации. К решению системы уравнений F) можно при-
применить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
Р(х9 у),
Ф9 у)
G)
и предполагая, что
\К(Х>
1 (8)
в некоторой двумерной окрестности Ц начального приближения (х0% */0), со»
держащей и точное решение (^, г\) системы.
Последовательность приближений (хп, уп) (/1 = 1, 2, ...), сходящаяся к
решению системы G), или, что то же, к решению системы F), строится по
следующему закону:
х1 = Р(х09 уо)9 у1 = Ф(*0, г/0),
хг = Р(х1У у,), ул = Ф(х19 ух),
х9 = Р (хЯ9 уг)9 У3 = Ф (хг, уж),
Если все (хп, уп) принадлежат V, то Пт хп = %9 Нт уп = г\.
Для преобразования системы уравнений F) к виду G) с соблюдением
условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
эквивалентную системе F) при условии, что
а, Р
0. Перепишем ее так:
=аР(х9 у),
х, у).
Выберем параметры а, ($, у, б такими, чтобы частные производные функций
^(х, у) и Ф(ху у) были равны или близки к нулю при начальном приближе-
приближении, т. е. находим а, р, у9 б как приближенные решения системы уравнений
Уо
+ У!у (хо* У о) + Ь<р'у (хо> Уо)
(хо> Уо) = °>
При таком выборе параметров а, Р, у, ^, в предположении, что частные
производные функций /(х, у) и ф(#, у) изменяются не очень быстро в
окрестности начального приближения (л:0, у0), условие (8) будет соблюдено.

364
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Пример 3. Привести систему уравнений
х3 — х = О
при начальном приближении корня хо = О,8, г/0 = 0,55 к виду G).
Решение. Здесь /(*, у) = х2-\-у2 — 1, ф(^, г/) = хг — г/; /' (^0, г/0) = 1,6,
Записываем систему, эквивалентную исходной,
а,
в виде
Выбираем в качестве подходящих числовых значений а, ($, у и 6 решение
системы уравнений
' - ' 1,6а+1,92Р = 0,
0,3,
1,926
-0,5, 6^=0,4.
т. е. полагаем а^г — 0,3, Р
Тогда система уравнений
х = х - 0,3 (хг + у2 - 1) - 0,3 (а:3 - у),
у = у - 0,5 (х2 + у2 - 1) + 0,4 (а:3 - #),
{
©квивалентная исходной, имеет вид G), причем в достаточно малой окрестно-
окрестности точки (хо\ у0) условие (8) будет выполнено.
Методом проб отделить действительные корни уравнений и с по-
помощью правила пропорциональных частей вычислить их с точностью
до 0,01.
3138. а:3 — х-\- 1=0..
3139. а:4 + 0,5*— 1,55 = 0.
3140. а:8 —4а:—1=0.
Исходя из графически найденных начальных приближений, спосо-
способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни
уравнений:
3141. д:3 —2а: —5 = 0. 3143, 2* = 4*.
3142. 2х— 1пх — 4 = 0. 3144. 1^а: = —.
Используя найденные графическим путем начальные приближения,
способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные
корни уравнений:
3145. л;3 — 5а: + 0,1=0. 3147; х*^-х — 2 = 0.
3146. 4а: =

§ 4] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 365
Найти графически начальные приближения и вычислить с точно-
точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148. а:3 — За;+1=0. 3154. хх + 2х — 6 = 0.
3149. а:3 — 2аг2 + За; — 5 = 0. 3155. ех-\-е-гх — 4 = 0.
3150. х*-{-хг — 2х — 2 = 0. -1КА /*■+/ —1=0,
3151. хЛпх— 14 = 0. *1(>|>' )*• —^ = 0.
3152. а:8 + Зх~015 = 0. „ - ] х2 4-^ — 4 = 0,
3153. 4а: — 7зша: = 0. *10/' \дг — 1^^— 1=0.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положитель-
положительный корень уравнения {%х = х.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения х* \\\х—\.
§ 4. Численное интегрирование функций
1°. Формула трапеций. Для приближенного вычисления интеграла
ъ
а
(Кх) — непрерывная на [а, Ь] функция) делим промежуток интегрирования
[а, Ь] на п равных частей и выбираем шаг вычислений Н = . Пусть
Х[ = хо-{- Иг (хо = а> хп = Ьу I — 0, 1, 2, ..., п) — абсциссы точек деления и
У1 = I(х() — соответствующие значения подынтегральной функции у = [(х).
Тогда по формуле трапеций имеем:
а
с абсолютной погрешностью
где М2 = тах ]Ъ"(х) | при
Для достижения заданной точности е при вычислении интеграла шаг
вычислений к определяется из неравенства
12е
т. е. к должен иметь порядок У г. Полученное значение к округляется б
сторону уменьшения так, чтобы
а
к —
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив к и п по
формуле A), вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции
с одним или двумя запасными десятичными знаками.

366
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
п
ь
2°. Формула Симпсона (параболическая формула). Если
четное число, то в обозначениях 1° справедлива формула Симпсона
к
С абсолютной погрешностью
^1
180
(Ь - а)
C)
D)
где М4 = тах | /1У(#) | при
Для обеспечения заданной точности 8 при вычислении интеграла шаг
вычислений к определяется из неравенства
180
(Ь — а
E)
т. е. шаг к имеет порядок ^/е. Число к округляется в сторону уменьшения
а Ъ — а
так, чтобы п =
г
было целым четным числом.
Замечание. Так как определение шага вычислений к и связанного с
ним числа п из неравенств B) и E), вообще говоря, затруднительно, то на
практике к определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, удваивают
число л, т. е. половинят шаг к. Если новый результат совпадает с прежним
в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается. В про-
противном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности # квадратурной
формулы Симпсона C) можно также использовать принцип Рунге, согласно
которому
15
где 2 и 2 "" РезУльтаты вычислений по формуле C), соответственно с ша-
шагом ли //== 2Л.
3160. Под действием переменной силы /7, направленной вдоль
оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения
# = 0 в положение д:=4. Вычислить приближенно работу Л силы
если дана таблица значений ее модуля
X
р
0,0
1,50
0,5
0,75
1,0
0,50
1,5
0,75
2,0
1,50
2,5
2,75
3,0
4,50
3,5
6,75
4,0
10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсона.
1
3161. Вычислить приближенно ^ (За:2 — 4х)Дх по формуле тра-
о
пеций, полагая п =10. Вычислить этот интеграл точно и найти абсо-

§ 4} ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 367
лютную и относительную погрешности результата. Установить верхнюю
границу Д абсолютной погрешности вычисления при п= 10, используя
формулу погрешности, приведенную в тексте.
3162. Вычислить с точностью до 10 по формуле Симпсона
1
хйх
С* X (XX
\ —-Ц-Г-, принимая л = 10. Установить верхнюю границу А абсолют-
0
ной погрешности, используя формулу погрешности, приведенную в
тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интег-
интегралы:
1 е
3168.
о 0
1 тс
3164- $Т$7- 3169'
о о
1
3165. У г-^Р-т. 3170. \-^_Лс.
0 1
1С
2 2
3166. \х\%хAх. 3171. \-=—:—их.
2 1 *
ОЮ/. \ • пХ, о\1А, \ е иХ.
3173. Вычислить с точностью до 0,01 несобственный интеграл
00
\ * 2, применив подстановку л: = -7* Проверить вычисление, при-
1
Ъ
менив формулу Симпсона к интегралу \ . * г, где Ь выбрано так,
1
+ 00
чтобы 1 <
3174. Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды ^=
и осью ОХ, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить по формуле Симп-
Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения.
3176*. Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 длину
дуги эллипса -у--\- 5222J==^> РасположеннУю в первой коорди-
координатной четверти.

368 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
1°. Метод последовательных приближений (метод Пи-
жара). Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
У' = Н*,У) A)
/при начальном условии у=у0 при х = х0.
Решение у (х) уравнения A), удовлетворяющее заданному начальному
условию, вообще говоря, может быть представлено в виде
у{х) = Нш у((х), B)
где последовательные приближения У((х) определяются по формулам
Уо (*) = У о*
X
У((х) = Уо + 5 / (*. У иг М) их
A=0, 1, 2, ...).
Если правая часть Цх, у) определена и непрерывна в окрестности
\ а, \у — г/0|<6}
и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица
I / (х, Ух) — У (*, У*) I < Ь | Ух — У%\
(Ь — постоянная), то процесс последовательных приближений B) заведомо
сходится в промежутке
где
к = т
ш(а, -_ )
и
М = тах | / (х, у)\.
При этом погрешность
если только
х — х0 \ < к.
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначитель-
незначительными видоизменениями применим также к нормальным системам дифферен-
дифференциальных уравнений. Что касается дифференциальных уравнений высших
порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных урав-
уравнений.

§ 5] ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 369
2°. Метод Рунге —Кутта. Пусть требуется на данном промежутке
Х найти решение у (х) задачи A) с заданной степенью точности 8.
Для этого сначала выбираем к = ? (шаг вычислений), деля отрезок
п
[0, X] на п равных частей так, чтобы &4<е. Точки деления я,-определяются
по формуле
= 0, 1, 2, ,..,
Соответствующие значения у1 = у(Х() искомой функции по методу Рунге
Кутта последовательно вычисляются по формулам
= -I- ( *</> + 2к? + 2к? + *<<>).
где
/ = 0,1 1, 2, ♦.., ть
и
Ч|) л C)
Метод Рунге — Кутта имеет порядок точности /I4. Грубую оценку погреш-
погрешности метода Рунге — Кутта на данном промежутке [#0, X] можно получить*
исходя из принципа Рунге:
I Угт Ут \
~ 15
где п = 2т, угт и ут — результаты вычислений по схеме C) с шагом к и шагом 2к.
Метод Рунге — Кутта применим также для решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений
</'=?(*> У, г). 2/==ф(д;, у, г) D)
с заданными начальными условиями: у = у0, г = 20 при # = х0.
3°. Метод Милна. Для решения задачи A) по методу Милна, исходя
из начальных данных у = у9 при х = х0, находим каким-нибудь способом по-
последовательные значения
искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением реше-
решения у(х) в ряд (гл. IX, § 17) или найти эти значения методом последователь-
последовательных приближений, или применить метод Рунге — Кутта и т. п.). Приближения
У1 и I// для следующих значений у( (г = 4, 5, ..., п) последовательно нахо-
находятся по формулам
4/1
(*/7-8-Г/-,-»-^/_1),
E)
О B//_, - Ь-х + 2/,.,),

370 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. X
где
// = / (*/. Уд И 7/ = / (*/. Л().
Для контроля вычисляем величину
в 1»
Если Ъ{ не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе
десятичного разряда 10~т для у(х), то в качестве у; берем #/ и переходим
к вычислению следующего значения У;+1У повторяя процесс. Если же е,- > 10 ""т,
то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений. Величина на-
начального шага приближенно определяется из неравенства Л4< 10~т.
Для случая решения системы D) формулы Милна отдельно пишутся для
функций у(х) и г(х). Порядок вычислений остается прежним.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение у' = # — х с начальным
условием #@) = 1,5. Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого
уравнения при значении аргумента я =1,5. Вычисления провести по комби-
комбинированному методу Рунге — Кутта и Милна.
Решение. Выбираем начальный шаг вычислений к из условия Н* < 0,01.
Избегая сложной записи к, остановимся на к = 0,25. Тогда весь участок ин-
интегрирования от х = 0 до л; = 1,5 разобьем на шесть равных частей, дли-
длиной 0,25, с помощью точек Х[ (*=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие зна-
значения решения у и производной у' обозначим через У( и у(.
Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу
Рунге — Кутта (по формулам C)); остальные три значения — #4, #5> Уь "~ по
методу Милна (по формулам E)).
Значение у9 будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схеме,
состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2. В конце таблицы 2 мы
получаем ответ.
Вычисление значения ух. Здесь
/(*, */) = - х + у, *0 = 0, уо= 1,5,/1 = 0,25.
Имеем
= 4- @,3750 + 2-0,3906 +2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920;
о
*<•> = / (д;0, у0) к = (— 0 + 1,5000) 0,25 = 0,3750;
^9 Уо + -\-) Ъ. = (-0,125 + 1,5000 + 0,1875H,25 = 0,3906;
к, у0 + к[0)) к = (— 0,25 + 1,5000 + 0,3926) 0,25 = 0,4106;
у1 = у0-\-Аг/0 = 1,5000+ 0,3920 = 1,8920 (первые три знака в этом при-
приближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляются значения уг и у9. Результаты вычислений при-
приведены в таблице 1,

§ 5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
371
Таблица 1. Вычисление у1% у2, у9 по методу Рунге— Кутта.
/1 = 0,25
Зна-
Значение
1
0
1
2
3
Зна-
Значение
1
0
1
2
3
'(■
У Г
1
1
1
2
х-
0
0,25
0,50
0,75
*~~)
,5703
,7323
,9402
,2073
У(
1,5000
1,8920
2,3243
2,8084
к. '
8
0,3926
0,4331
0,4850
0,5518
«■/(*/. Уд
1,5000
1,6420
1,8243
2,0584
Г (*/ + л.
1,6426
1,8251
2,0593
2,3602
к^
0,3750
0,4105
0,4561
0,5146
4
0,4106
0,4562
0,5148
0,5900
/(*
1,
1,
к
0
0
0
0
,+4.
2"/
5625
7223
9273
1907
Л0/
,3920
,4323
,4841 .
,5506
0,
0,
0
0
1
2
2
3
3906
4306
,4818
,5477
Ю + 1
,8920
,3243
,8084
,3590
Вычисление значения г/4. Имеем: / (х, у)
00=1,5000, ^=1,8920, у2 = 2,3243,
у'о = 1,5000, у[ = 1,6420, ^ = 1,8243,
Применяя формулы E), находим:
—х + У, /г=0,25, х4
г/3 = 2,8084;
у\ = 2,0584.
1;
^
= 1,5000 + ^^ B-1,6420 - 1,8243 + 2-2,0584) = 3,3588;
= _ 1 +3,3588 = 2,3588;
= 01 + " ^1
= 2,3243
0,25
B,3588 + 4-2,0584 +1,8243)= 3,3590;
104-^1 _ 13,3588-3,3590) _0,0002 - 10-.^1 л 001-
— 29 "~ ^ 2 ' •
29
29
следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
Получаем уА = рА=:3,3590 (первые три знака в этом приближении
гарантированы).

372
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
Аналогично производим вычисления значений г/б и #в. Результаты вычис-
вычислений даны в таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем:
у A,5) = 4,74.
4°. Метод Адаме а. Для решения задачи A) по методу Адамса, ис-
исходя из начальных данных у (х0) = у0 мы находим каким-нибудь способом
следующие три значения искомой функции у(х):
= У (*о + н)> У 2 = У (х2) = у{хо + 2/г), у9 =
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения у (х)
в степенной ряд (гл. IX, § 16), или найти их методом последовательных при-
приближений (п. 1°), или применяя метод Рунге — Кутта (п. 2°) и т. п.).
С помощью чисел лг0, х1У л:2, хь и #0, г/,, #2, уг мы вычисляем величины
Яо> Ях> Я2» Яь> гДе
' Ях — Ьу[ = А/ (х19 ух)9
'о = н! (х
Яо =
Яг =
Составляем, далее, диагональную таблицу конечных разностей величины
X
Ч
хх
Х2
Ч
ч
ч
ч
У
Уо
Ух
У2
Уз
У4
Уь
Уь
~Уп
Аг/0
АЛ
А^/2
Аг/3
А Уц
Д&
У' =
Пх и \
/(*!. Ух)
Их и \
1 \Л2> У г)
Г (ч, Уз)
/(*4» Уд
1 (х» Уь)
=У'Ь
Яо
Ях
Я2
Яг
Ях
Яь
Д«?о
д9,
Д?2
д«?,
Д?4
Д2«?о
Д29г
А2^2
А2<7з
^ Яп + 1 ^ */п
Д39о
Д'9,
дч -
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы раз-
разностей с помощью формулы Адамса
15 3
д + Д2 + у ДЧ-1- G)
= Яп + у
Так, используя числа цъ, А^21 А2^, А3^о» расположенные в таблице раз-
разностей по диагонали, мы с помощью формулы G), полагая в ней л = 3,
15 3
вычисляем Аг/3 = <73 + ~о~ А^г+То ^Ях +"о" А8^о. Найдя значение А#„ мы вы-
вычисляем Уь = У9 + &У3. Зная же д;4 и г/4, мы вычисляем ^4п=/1/(а;4, г/4), вносим
#4, А«/3 и ^4 в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными разно-
разностями А<78, А2<72, Л2^, расположенными вместе с ^4 по новой диагонали, па-
параллельно прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы (8),
полагая в ней я = 4, вычисляем А#4, у6 и д6 и получаем следующую диагональ:

Таблица 2. Вычисление^, у5, у9 по методу Милна. /(*, у) =— х-\-у\ Л = 0,25.
(Курсивом обозначены входные данные)
ел
Зна-
Значение
X
0
1
2
3
4
5
6
хг Уг Уг — У г У г — У г
= /(*/. Уд =/(*/.&•)
0 1,5Ш .7,5000
П 9% 1 Я09П 1 64^0
7 7 7
0,502,3243 1,8243
0,75 2,8084 2,0584
1,00 3,3588 2,3588 3,3590 :
1,25 3,9947 2,7447 3,9950
1,50. 4,7402 3,2402 4,7406 ^
Пересмотр шага
&1 У1 У;— вычислений (сле-
— Их- и) ДУЯ показаниям
1 к р *и формулы F))
л
р
1ЕННОЕ
ас
н

Я
о
> 5
ас
^7-10 3,3590 2,3590 не требуется и
=^10-5 3,9950 2,7450 не требуется
:1,4-10~5 4-7406 не требуется
Ответ: у A,5) = 4,74

374
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. X
^^^ Л^41 А24з> Ая<72. С помощью этой диагонали мы вычисляем значение у%
искомого решения у(х) и т. д.
Формула Адамса G) для вычисления Ау исходит из предположения, что
третьи конечные разности А3^ являются постоянными. В соответствии с этим
величина к начального шага вычислений определяется из неравенства
Л4< 10~т (если мы желаем получить значение у(х) с точностью до 10~т).
В этом смысле формула Адамса G) эквивалентна формулам Милна E) и
формулам Рунге — Кутта C).
Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически беспо-
бесполезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты (см.,
например, Л. К. Коллатц, Численные методы решений дифференциальных
уравнений, гл. I, 4-8—4-9). На практике следят за ходом третьих конечных
разностей, выбирай шаг к столь малым, чтобы соседние разности А3^,- и
А8б//+1 отличались между собой не более чем на одну-две единицы заданного
разряда (не считая запасных знаков).
Для повышения точности результата формула Адамса может быть
пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины ц.
При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для на-
начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы не
будем здесь приводить.
Пример 2. Вычислить при # = 1,5 с точностью до 0,01 по комбиниро-
комбинированному методу Рунге — Кутта и Адамса значение решения дифференциального
уравнения у'=у — х с начальным условием #@) = 1,5 (см. пример 1).
Решение, Используем значения у1У у2У */8, полученные нами при ре-
решении примера 1. Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения уА, у^, у9 мы вычисляем по методу Адамса (см.
таблицы 3 и 4).
Таблица 3. Основная таблица для вычисления^, у5,у6 по методу Адамса.
/(а;, у) = — х + у; к = 0,25
(Курсивом обозначены входные данные)
Значение * |
0
1
2
3
4
5
6
*1
0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
У1 А
1,5000 |
1,8920
2,3243 ||
2,8084 0,1
3,3588 0,(
3,9944 0,'
4,7394
У( У; =
=/ (*/. Уд
1,5000
1,6420
1,8243
>504 2,0584
K56 2,3588
Г450 2,7444
с
0
0
0
0
0
0
%
,3750
,4105
,4561
,5146
,5897
,6861
0,0355
0,0456
0,0585
0,0751
0,0964
о,
о,
0,
о,
0101
0129
0166
0213
1
0
0
0
^ч
,0028
,0037
,0047
Ответ: 4,74

§ 5]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
375
Таблица 4. Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса.
15 3
Значение 1
3
4
5
0
0,
0
,5146
5897
,6861
1
о,
о,
о,
0293
0376
0482 ]
5
12
0
0
0
,0054
,0069
,0089
0,0011
0,0014
0,0018
0
0
0
л,
,5504
,6356
,7450
Значение «/в = 4,74 будет ответом задачи.
Для случая решения системы D) формула Адамса G) и схема вычислений,
показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у(х)
и г (х).
Найти три последовательных приближения решений указанных
ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. /=*"+/; ^@) = 0.
3177. у' = х-\-у-{-г, г'=у — г\ >>@)=1, *@) = —2.
8178. / =—>; <у@) = 0> /@)=1.
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг /г= 0,2, вычислить прибли-
приближенно для указанных промежутков решения данных дифференциаль-
дифференциальных уравнений и систем: -■"
3179. у' = у — х\ ^@)=1,
3180. /=4 —
х
3181. / = 2г+1," г'=у — х9 у@)=\, г@)=1
Применяя комбинированный метод Рунге — Кутта и Милна или
Рунге — Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения
решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при
указанных значениях аргумента:
3182. у' = х-\-у; у=\ при х = 0. Вычислить у при л; = 0,5.
3183. у' = х2-\-у\ у=\ при л; = 0. Вычислить у при лг?=1.
3184. у'=2у — 3; у=\ при х=0. Вычислить у при л; = 0,5.
/ = — х-\-2у-\-г,
г'= х-{-2у-\-Зг\ у = 2, г = — 2 при х =
Вычислить у и 2 при а: = 0,5.
при
3185.
8186. < , о
Вычислить ^у и х при л: = 0,5.

376
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
[гл. х
3187. /' = 2— у\
Вычислить у при х
3188. //+1=0;
Вычислить у при х
3189.
= 2у /= — 1 при * =
\.
у=\,у'=0 при*=1.
1,5.
х
0, х'=1 при /==0.
Найти х(п) и л;'(я).
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Схема 12 ординат. Пусть уп — [(хп) (п —0, 1, ..., 12) — значения
ЗТ/2
функции у — }(х) в равноотстоящих точках х„ = —«— отрезка [0, 2я], причем
уо = у12. Составим таблицы:
Уо Уг У г У г Ух 05 09
У и У ю У 9 У в У 7
Суммы B)
Разности (А)
и0 их иг
и0 их иг и3 а
Суммы
Разности
"
50 5,
Суммы
Разности
а2 08
Коэффициенты Фурье а„, &„ (л==0, 1, 2, 3) функции # = /(л;) прибли-
приближенно могут быть определены по формулам:
, = 0,5^ + 0,866а2 + а3,
0866 ( + )
-- 5
г = *о + 0,866/,
3»
»,5E,-
-2»
^ +
= 0,866 (Т! +
—а! —а
3,
A)
где 0,866 =
Имеем:
Уз
1_
10
*• ~~~ 4 /->
30*
До
2
(ап С05
/2 =
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений исполь-
используются шаблоны (см., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
т. И, 1962, гл. VI, 424—430).
Пример. Найти полином Фурье для функции у = [(х)
заданной таблицей
Уо
38
Ух
38
Уг
12
Уг
4
14
4
— 18
У1
-23
-27
У9
-24
8
011
32

§ 6]
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
377
Решение. Составляем таблицы:
У
и
V
38
38
38
32
70
6
12
8
20
4
4
-24
-20
28
14
-27
-13
41
4 -
-23
-19 -
27
-18
-18
и
з
г
38 70 20
18 -19 -13
-20
20
56
51 7-20
89 33
V
а
т
6
27
33
— 21
4
41
45
— 37
28
28
По формулам A) имеем:
^ = 24,9; а2=10,3; а8 = 3,8;
&2 = — 8,4; &8 = 0,8.
Следовательно,
[ (х) ^ 4,8 + B4,9 СО8 х + 13,9 зш х) + A0,3 соз 2х — 8,4 зш 2х) +
+ C,8 соз Зх + 0,8 з!п Зх).
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следую-
следующих функций, заданных на отрезке [0, 2я] таблицами своих значений,
соответствующих равноотстоящим значениям аргумента {у9*=у1я):
3190. у9—— 7200 ^8 = 4300 з;в== 7400 ^=7600
= 250
3191. уо=,О
= 6,68
= 9,68
3192. ^ = 2,714
г = 3,042
5200 у%= 3850
= 7,42
• 10
Ун
, =5,60
Л, = 3,67
,= 1,273 Уь = 0,370
4 = 0,788 ^, = 0,540 Л,
0,357
0,437
0,495 у8 = 0,
, = 0,767
3193. Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по
схеме 12 ординат для следующих функций:
@
2я),
б) /(х) = ~(х-яУ
@<д:<2я).

ОТВЕТЫ
Глава I
1. Решение. Так как а = (а — Ъ) + 6, то | а | <; | а — Ь \ -{- \ Ь |. Отсюда
\а — Ь\^\а\ — \Ь\ и \а— Ь \ = \Ь — а\^\Ь\ — \а\. Следовательно,
\а-Ь\^\\а\-\Ь\\. Кроме того, \а—Ь\ = \а + (—Ь) \<\а\ + \ — Ь\ =
= \а\+'\Ь\. 3. а) - 2 < х < 4; б) х < — 3, х > 1; в) - 1 < * < 0; г) х > 0.
4. — 24; - 6; 0; 0; 0; 6. 5. 1; 1 -I; УГ+х^; \ х \~1У\ +х2\ 1//Г+О?;- 6. л;
И.а)-1<д:< + оо; б_)_-оо < а: < + оо. 12. (-со, - 2),^- 2, 2), B, + оо).
13. а)- оо<л;<--]/ ,/2 <*< +оо; б) д: = 0, |*|^У .14.-1 <л:<2.
Решение. Должно быть 2-{~х — х2^0, или а;2-—лс —2=^0, т. е.
(х-\-\)(х — 2)<0. Отсюда или х+1^0, а: — 2<0, т. е. — 1<#<2;
или же х -|- 1 ^ 0, х — 2 ^ 0, т. е. л; =^ — 1, д; ^ 2, — что невозможно. Таким
образом, —1^л;^2. 15. — 2<л;^0. 16. — оо < х^— 1, О^д;^ 1.
17. — 2 < лг < 2. 18. — 1 < х< 1, 2<л:< + оо. 19. — -1
о
20. 1<л;<100. 21. кп^х<кп + -% (к = 0, + 1,±2, ...). 22. ф(х) =
— 5л:2— 10, 1|5(л:)= — Зл:34-6а:. 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) не-
нечетная; д) нечетная. 24. У к а з а н и е. Использовать тождество / (х)=— [/ (х) -}-
1 2
+ /(— х)] + у [/(*)—/( — х)]. 26. а) Периодическая, Т = •— я; б) периоди-
2я
ческая, Т= ~т-; в) периодическая, Г = я; г) периодическая, Г = я; д) непери-
одическая. 27. у= —х, если 0<;л;^с; у=Ь, если с < х^а; 5= ^-х2, если
6С
; 8=Ьх —^г-, если с<х^а. 28. /п = цхх при 0 ^ х ^ 1Х\ гп = ^^
*( 1) ПРИ /1<*<Л + '*; т = д111 + д212 + д8(х — 11 — 12) при
/а < дг </, + /я + /, = /. 29. ф (-ф (л:)) = 22А?; ф (ф (л:)) = 2^8. 30. х. 31. (х+2J.
37. ; 0; — . 38. а) у = 0 при л; =—1, у > 0 при * > — 1, г/ < 0 при
/л 4
—1; б) г/ —0 при л: =—1 и х±=2, г/>0 при— 1 < х < 2, г/< 0 при
— оо < #<— 1 и 2<х< + оо; в) г/>0 при — оо < л: < + оо; г) у = 0 при
и д; = 1/""^//>0при-Уз~<А:<0 и У~~3

ответы 379
при — оо <#< — У3н 0<х<Т/; д) у = 0 при х = \, у>0 при
— оо <х<~1 и 1 <л:< + оо, у < 0 при 0'< х < 1. 39. а) х = ~ (у— 3)
б) х^
Г —~
в) х=у\-у* (-оо <г/< + оо); г) * = 2.1(У ( - оо < у < + оо);
<г/<~\ 40. х = ^ при —оо <г/<0; * = ]Л^ при
а) г/ = м10, « = 2* —5; б) # = 2а, м =
х
и = 1§ о, у = -^-; г) г/ = агсзш м, м = З17, V = —х2. 42. а) г/ = зШ2 я;
б) г/ = агс1§"К1&л:; в) г/= 2(л;1 — 1), если|*|^1, и г/ = 0, если|х|>1.
43. а) 0 = — соз*2, УТс <| х |^Узх; б) г/ = 1б(Ю — 10*), — оо <х
х
в) у = -х- при — оо < ^ < 0 и у = х при 0^х< + оо. 46. Указание. См.
о
приложение VI, черт. 1. 51. У к а з а н и е. Дополнив квадратный трехчлен до
полного квадрата, будем иметь у = уо-\-а(х — х0J, где хо = —Ь\2а и
уо=:Dас — Ь2I4а. Отсюда искомый график есть парабола у=ах*, сдвинутая
вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси ОУ на величину у0. 53. Указа-
Указание. См. приложение VI, черт. 2. 58. У к а з а н и е. См. приложение VI,
черт. 3. 61. Указание. График представляет собой гиперболу у = — , сдви-
X
нутую вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси ОУ на величину у0. 62. У к а-
2 13 / ( 2 \
зание. Выделив целую часть, будем иметь у = -^—-щ- ( ^ + -т )(ср.№ 61).
65. Указание. См. приложение VI, черт. 4. 67. Указание. См. прило-
приложение VI, черт. 5. 71. Указание. См. приложение VI, черт. 6. 72. Ука-
Указание. См. приложение VI, черт. 7. 73. Указание. См. приложение VI,
черт. 8. 75. Указание. См. приложение VI, черт. 19. 78. Указание.
См. приложение VI, черт. 23. 80. Указание. См. приложение VI, черт. 9.
81. Указание. См. приложение VI, черт. 9. 82. Указание. См. прило-
приложение VI, черт. 10. 83. Указание. См. приложение VI, черт. 10. 84. У к а-
зание. См. приложение VI, черт. 11. 85. Указание. См. приложение VI,
черт. 11. 87. Указание. Период функции Т = 2я/л. 89. Указание.
Искомый график есть синусоида у = 5 зШ 2х с амплитудой 5 и периодом я,
сдвинутая вправо вдоль оси ОХ на величину 1 —. 90. Указание. Полагая
а = А созф и & = — А зшф, будем иметь у = А зШ(д: — ф), где А = У а2 -{- Ьг
и ф = Агс{§( ). В нашем случае А = 10, ф = 0,927. 92. Указание.
соз2дг = —A+соз 2а:). 93. Указание. Искомый график есть сумма гра-
фиков У1 = х и ^2=8ша;. 94. Указание. Искомый график есть произве-
произведение графиков уг = х и у2 = з1п х. 99. Указание. Функция — четная.
Для #>0 определяем точки, в которых 1) */ = 0; 2) у = 1 и 3) # = —1.
При х—^-{-оо у—► 1. 101. Указание. См. приложение VI, черт. 14.
102. Указание. См. приложение VI, черт. 15. 103. У к а з а н ие. См. при-
приложение VI, черт. 17. 104. Указание. См. приложение VI, черт. 17.
105. Указание. См. приложение VI, черт. 18. 107. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 18. 118. Указание. См. приложение VI, черт. 12.

380
ОТВЕТЫ
119. Указание. См. приложение VI, черт. 12.
ложение VI, черт. 13. 121. Указание. См.
132. Указание. См. приложение VI, черт. 30.
ложение VI, черт. 32. 134. Указание. См.
138. Указание. См. приложение VI, черт. 33.
ложение VI, черт. 28. 140. Указание. См.
141. Указание. Составим таблицу значений
120. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 13.
133. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 31.
139. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 25.
1
X
У
0
0
0
1
1
1
2
8
4
3
27
9
•. •
. • •
•. •
—1
—1
1
—2
—8
4
—3
—27
9
Построив полученные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложе-
приложение VI, черт. 7). (Параметр г при этом геометрически не откладывается!)
142. См. приложение VI, черт. 19. 143. См. приложение VI, черт. 27. 144. См.
приложение VI, черт. 29. 145. См. приложение VI, черт. 22. 150. См. приложе-
приложение VI, черт. 28. 151. У к а з а н и е. Разрешив уравнение относительно у, по-
получим у = +У^25 — а;2. Теперь искомую кривую легко построить по точкам.
153. См. приложение VI, черт. 21. 156. См. приложение VI, черт. 27. Достаточ-
Достаточно построить точки (хУ г/), соответствующие абсциссам х = 0, ±:—, 1+га. 157. У к а-
з а н и е. Разрешая уравнение относительно х, будем иметь х = 10 1& у — у{*\
Отсюда получаем точки (#, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные
значения (#>0) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду,
что 1§у —> — со при у —► 0. 159. Указание. Переходя к полярным коор-
У * гТ..Л~, ^ — лф (см^ приложение VI,
динатам
г=^хг-\-у2 и 1^ф = ~, будем иметь
черт. 32). 160. Указание. Переходя к полярным координатам х =
и # = г5Шф, будем иметь г = —8ДШ ^С°5 ^ (см. приложение VI, черт. 32).
, будем иметь г =
. 162.
= 0,6х A0
^
х);
= 15 при х = 5. 163, у =
=у при
%. 164. а) х1 =
г) х = 0,40; д)х=1,50; е) х = 0,86. 165. а) х1 =
3 2 2 3 2
; ) )
б) х,= — 3, ух= — 2; х2= — 2, у2= — 3;
в) хх = % Уъ—% х2=^3,1, у2^ —2,5; г)
3,
2,9,
5я
Х2 — ~4~
. 166. п >
= 3,4,
1
а)
А
167. п>А--\=N. а)
6
Г1 Р. и -^ О 1 . у-ч- О7
•"'I"! У\ ~%%— ^^ '-'I А I ^2 ^*""* ' '
1,6; д) х,^, У,=
б) п > 10; в) п
168. 6 = 5.
^=9; б) N = 99; в) Л^ = ^
а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002. 169. а) 1§ х< —N при 0<#<6(ЛГ); б) 2х >N

ОТВЕТЫ
381
при *>Х(Л0; в) |/(х)|>Л' при \х\>Х(М). 170. а) 0; б) 1; в) 2; г) ^ .
171. -1. 172. 1. 173.
/л
30
. 174.1. 175.3.176. 1. 177. ~. 178. 1 Указа-
22+...+/г2 = ~/г (/г-[-1) Bл-{-1). 179.0.
ние. Использовать формулу 1
180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. оо. 184. 0. 185. 72. 186. 2. 187. 2. 188. оо. 189. 0.
190. 1. 191.0. 192. оо. 193.—2.194. оо. 195. 4". 196. а ~ * . 197. За;2. 198.—1.
2 да
199. 4- . 200. 3. 201. -1 . 202. 4-. 203. —-^ . 204. 12. 205. 4 ■ 206. — 4" •
2 о У оо 2 6
4
6
4
207. 1.208. —^=-.209. ,.*. 210. ^ . 211. 0. 212. ~ 213. — А 214. 4
2У х Зр^х2 3 2 2 2
215. 0. 216. а) — зш 2; б) 0. 217. 3. 218. ~. 219. \. 220. я. 221. -^ •
2 2 о 2
1 2
222. соза. 223. — з1п а. 224. я. 225. соз#. 226. — . 227. а) 0; б) 1. 228. — .
229.
4"-
2
- т=- 232« 4-
. 4" •
2
. 236.
4-.
3
4
236. —. 237.— 4". 238. я. 239. 4- 240.1.241. 1. 242. 4- 2*3. 0. 244.4-.
я 4 4 4 2
245. 0. 246. е'. 247. е2. 248. е~\ 249. е~\ 250. еЛ. 251. е. 252. а) 1. Ре-
1
шение.
Нт
^ = 1ип[1 -A -
2
X
2
==Нт
д: -» о
1 - 2 зт2
л;
2
1
Нт
Так как
Нт
= —211т
1
51П
2 П
X
4л:
2. 1 .Нт 4 = 0,
л:-»о 4
ТО
Нт (соз х)х = е° = 1. б) —^. Решение. Аналогично предыдущему
х-ю У е
_1_
(см. а)), Нт(созх)ха =
Нт
л;
2
. Так как Нт
л:-»о
X \
л:2
-2Нт
4л;2
1
= ^, то Нт(созх)
1
1
Т
. 1п2.
264. 101ев. 255. 1. 256. 1. 257.
.258.1. Указание. Положить

382 ответы ч
.1
в* — 1 = а, где а —► 0. 269. 1п а. Указание. Использовать тождества
а = е]п а. 260. 1па. Указание. Положить — = а, где а —*0 (см. № 259I
261. а-6. 262. 1. 263. а) 1); б) -I . 264. а) - 1; б) 1. 265. а) -1;
б) 1. 266. а) 1; б) 0. 267. а) 0; б) 1. 268. а) — 1; б) 1. 269. а) — 1; б) 1.
270. а) — оо; б) +оо. 271. Решение. Если хфкп F = 0, ±1, ±2, ...),
то С052л:< 1 и */ = 0; если же х = кп, то соз2х = 1 и г/=1. 272. у = х при
0^х<и у = ^при х=\\ у = 0 при *> 1.273. у = \х\. 274. */ = — ■—
при х<0; «/ = 0 при * = 0; */ = •—при х> 0.275. у=\ при 0<л:^ 1; у = х
61 с
при 1<х< + оо. 276. ^д-. 277. х4—* — -г\ х2—> оо. 278. я. 279. 2я#.
р 1 Т/гб7Г _}- 1 / пЪ
280. —Ц- .281. 14- 282. ^^ . 284- 1т АСп = ^. 285. ^- . 286. к = 1,
б — 1 о _ н-»оо о -6
е2 -1
6 = 0; прямая у = х является асимптотой кривой у= г ~\ .
ш л ( к( \п
287. 5р = ^0[1-| ) , где /г — коэффициент пропорциональности («закон
сложных процентов»); 0^ = 0^. 288. |х|> —; а) |*1>10; б) | х \ > 100;
в) |*|>1000. 289. |л;~1|<4- ПРИ 0<е<1; а) \х— 1 |< 0,05;
б) \х— 1 I < 0,005; в)|дт—1|<0,0005. 290. и —2|< ~ = 6; а) 6 = 0,1;
б) 6 = 0,01; в) 6 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий. ~> -|. 292. а) 1; 6J;
в) 3. 293. а) 1; б) ~; в) |-; г) 2; д) 3. 295. Нет. 596. 15. 297. — 1. 298. — 1. 299. 3.
300. а) 1,03 A,0296); б) 0,985 @,9849); в) 3,167 C,1623). Указание. УТо=
=г у Ц~; г) 10,954A0,954). 301. 1H,98@,9804); 2) 1,03A,0309);
3) 0,0095 @,00952); 4) 3,875 C,8730); 5) 1,12 A,125); 6) 0,72 @,7480); 7) 0,043
1 2
@,04139). 303. а) 2; б) 4; в) —; г) т . 307. Указание. Если х > 0, то
2 о
при | Л* |< х имеем | Ух-\-&х — У"х \ = | Ад: | [(Ух + Ах + У1с)^ \ Ах \ 1У"х.
309. Указание. Воспользоваться неравенством | соз (х -|- Ах) — соз х \ ^ |Лд:|.
310. а) х Ф ~-\-кп, где к — целое число; б) хфкп, где к — целое число.
311. Указание. Воспользоваться неравенством | ] х ~\- Ах \ — | х \ \ «^ | Ах |.
313. Л = 4. 314. /@) = 1.315. Нет. 316. а) /@) = л; б) /@) = ^ ; в)/@) = 2;
г) /@) = 2; д) /@) = 0; е)/@) = 1. 317. * = 2 — точка разрыва 2-го рода.
318. х==—1 — устранимая точка разрыва. 319. # = — 2 — точка разрыва
2-го рода; я = 2 — устранимая точка разрыва. 320. ^ = 0 —точка разрыва

ответы 383
1-го рода. 321. а) х = О — точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 — устранимая
точка разрыва. 322. х = 0 — устранимая точка разрыва, х = кп (к=±1,
л
±2, ...) —точки бесконечного разрыва. 323. х = 2лк±-^- (& = 0, ±1,
±2, ...) —точки бесконечного разрыва. 324. х = кп F = 0, ±1, ±2, ...)—
точки бесконечного разрыва. 325. х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
326. # = —1—устранимая точка разрыва; л; = 1—точка разрыва 1-го рода.
327. х = —1 —точка разрыва 2-го рода. 328. # = 0 — устранимая точка раз-
разрыва. 329. лг=1-~ точка разрыва 1-го рода. 330. х = 3 — точка разрыва
1-го рода. 332. х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 333. Функция непрерывна.
334. а) х = 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) х = кл
(к — целое) — точки разрыва 1-го рода. 335. а) х = к (к — целое) — точки раз-
разрыва 1-го рода; б) х — к (кфО — целое) — точки разрыва 1-го рода. 337. Нет,
так как функция у = Е(х) разрывна при х = \. 338. 1,53. 339. Указание.
Показать, что при х0 достаточно большом имеем Р ( — х0) Р (х0) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; вJН + И*. 342. а) 0,1; б) — 3; в) уТ+к- ^/а. 344. а) 624;
1560; б) 0,01; 100; в) — 1; 0,000011. 345. а) аДл;; а; б) Зх2Ах + Ъх (А*J
г /а ч2 % 2л;Дя 4-(Ал;J 2л;4-Дл;
+ (Л*J; в) - хЦх^Ах){ : -\
! '; дJ*B4*-1);
х
; А-\п(\+—). 346. а) - 1; б) 0,1; в) - к; 0. 347. 21.
IX X \ X у
X
348. 15 см1сек. 349. 7,5. 8боГ Г(* + А*)-П*). 351. Г'(х) = Ига ^ + А/>
Ах дх-*о Ах
,. Аф
-гг= 11т гг гд
аг
А
ОХ
о
Аш ^ф ,. Аф
352. а) тг \ б) -гг= 11т гг, где ф —величина угла поворота в момент и
А1 аг дг>о Аг
353. а) тт *» б) ^Г= 11т ТТ » где т — температура в момент г. 354. -—==
ДГ ОХ А^>о /лГ ДГ
==Цт Л Где О —количество вещества в момент г. 355. а) -т-^; б) Нт
д^>о А^ Ах '
356. а) —1^-0,16; б) —-^-0,238; в) -.
= — 025. 357. вес2*. Решение. у/ = Ит *&(*
Ах»о
- Ит ****. Ига
Ах соз х соз (я + А^) д*->о Д^ д^-^о созл; соз (л; -(- Ал:) со§2 х
2 1 1 I
= 8ес2л;. 358. а) З*2; б) — ^; в) ^г^; г) —--. 359. 1~. Ре-
шение.
Ал;
Нт у
\х

384
ответы
= 1 360. /'@)=—8, Г
0,
/'B) = 0. 361. ^ = 0; *2 = 3. Указание. Уравнение }' (х) = }(х) для дан-
данной функции имеет вид Зх2 = х*. 362. 30 ж/се/с. 363. 1, 2. 364. — 1.
\
365. /'(*(,):=:—--. 366. — 1; 2; 1^ ф = 3. Указание. Использовать резуль-
х
х
таты примера 3 и задачи 365. 367. Решение, а) /' @) = Н
б)
, УТ+Лх - 1
*х->о АХ длг-^о
370.
373.
С0
= Ит
Ал;
= ь 368.
Нт
2. 369. -1
3
371.
-
372.
. 374.
4
л:
- 375- 2л;
(т + п)
5
4
Н И б. У = Х X —X . о//.
4Ь
- 5л:^ -ЗлГ4. 376.4 *Т - Указа-
3
Ье- аи
Ъхг\/
(с
379.
-5*+5)
380.
381.
4 — 2
382. 5 СО5 х — 3 5Н1 л;. 383. . 2о . 384. Г1 ^ . 385. /2 з!п I. 386. г/' = 0.
51П2 2л; (81п х — соз л;J у
387.
х г4~ • 388. агсзтл:+
8Ш X
391. хе*. 392. е*
395. х2е*. 396.
401. зЬлг+^сЬл;.
404.
407.
2
393.
389. лгагс^л;. 390. л;6^(л;4-7).
у \ — х2
5л;4 хъ
#
с
399.
-а;2 /
394. ех (соз х — зт л;).
397.
400.
1п2а;
402.
2л; сЬ л; — л;2зЬл:
тт~х
— 3 (х 1пл;-4-зЬл;сЬ х) ллг. — 2л;2 ._л
V ~ .405. -л г. 406.
х 1—л;4
403 —
агсз!П х.
Зв
с
1 _ 408>
х2у х* — \ (*
+2*2K, 413. ^ 1 . 414.- * . 415.
Bх-1)8 /1-х*

ответы 385
416.-1/ 1/^ — 1. 418. ** V ^ ~ . 419.
г Г X2 СО52Х
420. 2 — 15 соз2 х зтх. 421. г-гг-—■. Указание. х = зт~2/ 4-соз"~2Л
51П32/ '
499 8[ПХ 49Я 8{П*Х 494 ЗСОЗХ+2зтх
A — 3соз л;K со54х 2^15 зтл;—10 созж
425. 2™^=- + **!™ 426.
/ '4
^=- + ! 426.
3^/зтд; 'соз4* 2/1 - х2/1+агсз1п*
427. 1 3 (аГС5'П Х?. 428.
нс1дх у\ — х2
429. *+^ + 1 .430. о/^2М + 5-1^ . 432. B, - 5) X
2У*+ 3 УBех -2х + \J х
Хсоз(х2 — 5дг + 1) . 433. — азт(а* + Р). 434. зт B1 + ф).
9 9 ^
д;2 сов2 —
X
435. — 2 ^=±.. 436. —г-^г- . 437. х соз 2*2 зт Зх\
51П3 X 51П2 X
а
439. ~2 Т 440. ~1 . 441. "=Ц
442. , , , . 443. — \0хе~х\ 444. —2x5"^ 1п 5.
1 -\-х2
445. 2хЮ2д;A+х1п10). 446. 81п2* + 2'/ соз 2Мп 2. 447.
448. г—--=- . 449. с*2*1&е. 450. -^ г . 451. ^—>.
2л: -\~ 7 & & 1 — д;2 х х\пх
452
(е* +
454. _ 1 -] -^ .455. Решение. ^ = (зт3 Ьх)' соз2 |-
2/1 + 1 2(/+) 3
453 __^
* + 5 зт л; - 4 агсзш *) }М - д;2' ' A+1п2 х) д: ^ A + д:2)
-+- 31П3 5д: ( соз2 -^ \ =Г2 3 зт2 5* соз 5д:-5соз2 — + зт8 5д;-2соз -^( — 8т Т ) Т ^
= 15 31П2 5д: соз 5* соз2 -^- — -о"8ш3 &х С08 ~о"8Ш 4" • 456
о"8ш &х С08 ~о"8Ш 4" • 456- ол'д •
о о о (д: — 2)
у2 -1~Ау в у1 у 1 I
457. * / * . 458. п Х 2,5. 459. х [ . 460. Д
(х-3M Aх2M У
Х2 П ! 1/д;K 1
* 1/-/1 ■ 245 ' 462* 3>~ ' 463- Х* ]/ A +*3J- 464.4/7 ГГЗ/ , ОЧ5 •
УA+х2M ух у \ \ / у (х—1)(х-\-2)*
465. 4*' (а - 2*«) (а - Б*'). 466. ^;"у+. - • 7.
468 а~3* 469.
2 У(х + а)(х-\-Ь) (х-\-с)
13 Г. С. Бярапенков в др.

886 ответы
У ~Д
470. — 1+2УУ _я 471. 2G1+4)Уы + 2. 472.

473. * 474. зт8хсо82х. 475. -т-^—т-. 476. 101^5x8ее2 5х.
у^ех I ^ зш4х соз4х
СО8
477. хсозх2. 478. 3*2зт2/3. 479. 3 СО8 х соз 2х. 480. ^х. 481.
482.
31П X
- Р) зт 2х ш 0 484 1 агсз!п х B агссо5 х — агсз!п х)
^ ш 0 484 __
2У» зт2х + р СО52х ' 2.
2 !хагссозх-У! — х2
. 488.
г • 48Ь. 1 ! ~г . 487. 57 . 488. •
-- 1 1 + * A -^^/а уд _
/а __х _х
И—- (п^с\) 4ао. 9]/д2-1гг(д^П). 491. 492. агсзт
493. 5 . 494. — * 495.
. У1 — 25х2 агсзт 5х х У1 - 1п2 х
496. -е , ] . . 497. 4х Т/ г-^— . 498. ^^ *2 . 499. 4"
5+4 81ПХ Г 6 — X 1+ СО82 X 2
БОО. 8Н12хез1п2*. 501. 2т2рBтатх-{-Ь)?'1 атх 1п а. 502. еа'(асоз р/ — Р зт
БОЗ. еал; зт Рх. 504. е~х соз Зх. 505. х" а""^2 (/г — 2х21п а).
1 . 114
506. -Т|г«в*A+Гсо.*1па).. 507. ^ < 508.
609. - * .■. 510. ■ Т ~ . 511. . 512. -т-Д
513. г*&—— • 514- Тг—=^—о"- Указание. у =
X X Х^ "~~ X ~~ 2л
515. 3^ 16* + 19 . 516. -гт-^ . 517.
(х —■ 1)(х — 2) (х—3) 81п8 х соз х
C — 2х8) 1пC — 2х8) ах + Ь ухг ^ аг х2—а
522. УИйпЫх. 523. -т-1—. 524. 1_1+^ . 525.
Е 318
т1
31П8 X X
(з!п
а соз ах соз Ъх-\-Ъ зШ ах зт 6х - я 1 1
соз26х 1 + 2 зт х х A -{- 1п2 х)
530. , ^ +!^+_»==.. 531. - !
хA+1п2х)
532. —г-т-4 ^-. 533. 2 534. ^т11^. 535. : !
636. ■ ^' 587- &*Ь*2*с112*. 638.

ответы
387
539.
543.
— \Ъ*2х). 540. 2с*Ь2*. 541.
. 542.
544.
—!д-.
со$2л;
548. а) I/' я 1 при х > 0;
549. <,< = !. 550. Г<*
554. а)
= 0; г) Ц@)=
545.
546. хАг1пдс. 547. *Агзпж.
= —1 при я < 0; */' @) не существует; б) у' =» | 2* (.
552.
553.
556.
| + = ^; в)
+ ; д) ^1@) и ^+@) не существуют. 555. 1—д;.
. 557. —1. 558. 0. 561. Решение. Имеем у'=*е-* A— х).
Так как е~" * = -^,
X
— A — X) ИЛИ
X
' = 1/A— х). 566. A+2х)Х
. 567. -
— 1)(х—3)
572. хх(\+\пх).
575. а:
577.
573.
574.
576.
578.
579.
X
10
х
х
\+х]
580. (агс^ а:)х X
2
^): б) х»=2=
созх
у
йог
582.
Р. 583.
. 584.
585.
586. в2 . 587. ^
. 588.
. 589. — ~-. 590. — ~-^ ^. 591. —
592. г/' =| ""! При г<^ 593. — 2е8*. 594. ^^^. 596. 1. 597. оо. 599. Нет.
* [ 1 при { > 0.
2 Л;
600. Да, так как равенство является тождеством. 601. —-. 602. ^-.
5 а2у
кпч х
603. ~^.
«04
604.
607-
/7
— у2У-\-2ху 1
605. -у7.
608.
——^ .
10—-Зсоз г/
609. — 1.
6П. ^
612.
13*

388 ответы
«5.
в17. */+*/*Ч^. 618. Х|ПУ-У • 1. 620. а) 0; б) ±; в) 0.
у> (• ^ у\пх-х х ' 2
(
622. 45°; агс122=г63°26'. 623. 45°. 624. агс1д — =а= 36°2Г. 625. @; 20); A; 15);
(—2; -12). 626.A; — 3). 627. # = л:2 - л; + 1. 628. /г = -=^ . 629.
11 ^ о
—--). 631. #-5=^0; л:-|-2 = 0. 632. д; — 1=0; у = 0. 633. а) у = 2л:;
16/
у^ — ул;; б) л; — 2# — 1— 0; 2х + у — 2 = 0; в) 6л;+ 2# - я = 0;
= 0; г) у = *—1; у = 1 - л:; д) +
х — 2у-\-\—0 для точки A; 1); 2* — #-{-3 = 0; х-\-2у — 1=0 для
точки (—1; 1). 634. 7л; — 10^ + 6 = 0, 10л: + 1у — 34 = 0. 635. # = 0;
= 0. 636. 5л: + 6*/ - 13 = 0, 6л: - 5# + 21 =0.
1 — х
637. * + */ — 2 = 0. 638. В точке A; 0): у = 2л: — 2; у = —^г—; в точке B; 0):
3 я
г/ — — л: + 2; у = х — 2; в точке C; 0): */ = 2л; — 6; ^ = ——. 639. 14л: —
— 13*/-(- 12 = 0; 1 Зл:-(- 14^/ — 41 = 0. 640. Указание. Уравнение каса-
х у
тельной д [-—=1. Следовательно, касательная пересекает ось ОХ в точке
^Л: 1у
А Bл:0, 0) и ось ОУ в точке 5 @, 2у0). Находя середину отрезка АВ, получимточку
(*о»#о)-643. 40°36'. 644. В точке @, 0) параболы касаются; в точке A,1) — пе-
1
ресекаются под углом агс!§ — ^=8°8'. 647. 5^ = 5„ = 2
648. г^ . 652. Т = 2а ъ\п ~ {о— ; Л^ = 2а з!п -4"» $* = 2а 51П24"
1П ^ /1/1 /, 2,
1 —
653. агс(^ тг • 654. -^ + 2ф. 655. 5* = 4я2а; 5„ = а; / = 2яа У" 1 + 4я2;
656. 5^ =
а2, »;
I ^0
п ==— У а2 -\- р^ ; *§ \1 = — ф0. 657. 3 см\сек\ 0; —- 9 см/сек. 658. 15 см\сек.
3 @ 9
659.—— м/сек. 660. Уравнение траектории # = л;1§а л:2.
л )\ соз2 а
2 •
Дальность полета равна . Величина скорости V V* — 2V0^^5та-{-
угловой коэффициент вектора скорости — ^-. Указание.
1)^ С 05 СС
Для определения траектории нужно исключить параметр г из данной системы.
Дальность полета — абсцисса точки А (черт. 17). Проекции скорости
их йу _ т//^\2 I (&Ч\г
на оси: -тт и -т-. Величина скорости I/ 1 ^ ) Н~ ( "Т/ ) » вект0Р скорости
направлен по касательной к траектории. 661. Убывает со скоростью 0,4.

ответы 389
/9 9 \
662. ( -«■ , -п ) • 663. Диагональ растет со скоростью ^ 3,8 см}сек> площадь —
со скоростью 40 см2\сек. 664. Площадь поверхности растет со скоростью
л
0,2пм*1сек, объем — со скоростью 0,0Ьпмь\сек. 665. — см/сек. 666. Масса
о
всего стержня составляет 360 г, плотность в точке М равна Бх г\см> плот-
плотность в точке А равна 0, плотность в точке В есть 60 г\см. 667. 56#в -[- 210л;4.
668. в*1 Dл;2 + 2). 669. 2 соз 2л:. 670. -2*1 ~ *\ . 671. ""'*
672. 2агс48дг+ГТТ2. 673. -—?+ 674. -сЬ-.679.у'"=6.
94
680. /'"C) = 4320. 681. ^= ^* 682. уЧ1 = _ 64 зт 2х. 684. 0; 1;
2; 2, 685. Скорость у = 5; 4,997; 4,7. Ускорение а —0; —0,006; —0,06.
686. Закон движения точки М1 есть л; = а соз со?; скорость в момент г равна
— аса зт со*; ускорение в момент и — асо2 соз Ы. Начальная скорость 0; начальное
ускорение: —асо2; скорость прил; = 0: =р асо; ускорение при х = 0: 0. Макси-
Максимальное значение абсолютной величины скорости асо. Максимальное значение
абсолютной величины ускорения асо2. 687. у(п) — п\ап. 688. а) п\ A —х)~{п+1),
13B3) Л Л ^\
б) (_1)»1+113...Bя3)> Шв а) 81П Л, + я .5Л . б) 2» соз [2х+ п ^
ж) 2"~1
б) 2""^"** Г2 ( - 1)^2 + 2/1 ( - 1)"-^ + Д (П~ Х) ( - I)"! ; в) A - хг) X
^ I пя\ о ( , (я-1)я\ 7 1Ч / . (л —2)яЧ
оз ( Х + -1Г ) —2пхсо5 1х-{-± 2~) —п(п — 0 соз ( д:+- ;—— ) ;
_ 1)»->.1.3... Bя — 3)
г /о 1Ч1 ч (- 1N(л-^4)!
691. 0<»>(О) = (л- 1I 692. а) 9^8; б) 2/2 + 2; в) - УГ^К 693. а)
б) 1__; в) —=^—; г) ~* . 694. а) 0; б) 2е*аК
' За соз41 зт V ' . *1 <И зш3 / '
4а зт4 -у
ей. а)
^
702 т»<- 703 ^ -
706 --Ь— 707 -М+2 708
/VII. "~^ а % • / V * . < • * \^О.
24 г5
708 ^1
г/5 ^д:2 A — г/K Ауг у2
111 1 1 Ча^Х
709. ^. 710.-^. 711. а)-^; б) —^ . 712. &у = 0,009001; ^ = 0,009.
713. ^A — лг8) = 1 при х = \ и Ал: = — ~. 714. Л5 — 2л: Ах,

390 ответы
л:J. 717. При х = 0. 718. Нет. 719. ^ = — |^— 0,0436
720. ^ = 2Щ=* 0,00037. 721.^ = ^-^0,0698.
723- ^- 724. -^-. 725.^. 726. -
727. 1п*4с. 728. ^?. 729. -
1 2
^ р 730.^
8Ш2 Ф 14-е
х
732. -^±°*&/ 733. -^"*=-1^&. 734.
7х + Бу -Л У
Уг-~хе У
735. -Цйс. 737. а) 0,485; б) 0,965; в) 1, 2; г) -0,045; д) -—- + 0,025=^0,81,
738. 565_сж8. 739. УТ=5= 2,25; уТ7>4,13; У7б=5г8,38; /640^25,3,
740. 5/10=5=2,16; ^/70=^4,13; ^200^5,85. 741. а) 5; 6I, 1; в) 0,93; г) 0,9.
^1 №?
742. 1,0019. 743. 0,57. 744. 2,03. 748. У-Цг • 749- «г
A—^8/« . A-л;2)/а
750. [ -зтх\пх + ^^-^)(Лх)*. 751. 21пл;-
752.-е-*(л;2-6х-{-6)(<к)8. 753. .3^ (ЛхЦ . 754. 3-2" зШ
B X)
755. ех со* * $т (х зт а + па) (их)". 757. Нет, так как /'B) не суще-
л
ствует. 758. Нет. Точка х = ~с) точка разрыва функции. 762. | = 0.763. B, 4).
765. а) $ = —*; б) ! = —-. 768. 1пх = (х- 1) - -^{х - 1J+ ^ , м ' , где
— 1 Д_ й/у П (\ <^ Ъ <^ \ 7йй <«^п у — х
0<в1<1;81пх = дс—^Н-^ — ^-совЬ, где !2 = 9гх, 0<92<1.
770. в*=1+х + ^ + ^ + .,.+^11г + ^в«. где 1 =
| д 5 X
772. Погрешность: а) -гг тг ; б) Ьт гг '» в обоих случаях | = 6а:;
16A+1)/з 81A+?)/з
+) +
3 1
0<9<1. 773. Погрешность меньше -Е7 = 7К* 7^* Решение. Имеем
I 1
/' =A-4 ] A ) . Разлагая оба множителя по степеням х,
а — х \ я/\ а)
\ х 1дг» /. х\ г^л ,\ х
Перемножая, будем иметь: / ' =^ 1 -[ + о~«' Далее» разлагая е по
х — х х^ 1
степеням — , получаем тот же многочлен еа ?а\4 (-нп • 777. —— .
а а 2аж 3

ответы 391
778. оо. 779. 1. 780.3. 781. 4" • 782. 5. 783. оо. 784. 0. 785. — . 786.1.788.^.
2 2 л
789. 1. 790. 0. 791. а. 792. оо для п > 1; а для л=1; 0 для /г< 1. 793. 0.
795. 4-- 796. ^. 797. — 1. 799. 1. 800. е\ 801. 1 802. 1. 803. 1. 804. — .
805. —. 806. —. 807. 1. 808. 1. 810. Указание. Найти Ига -^—.
где 5 = — (а — зт а) — точное выражение площади сегмента (/? —радиус
соответствующей окружности).
Глава III
811. \ — оо, — 2) — возрастает; (— 2, оо) — убывает. 812. ( — оо, 2) — убывает;
B, оо) —возрастает. 813. (— оо, оо) — возрастает. 814. (— оо, 0) и B, оо^—
возрастает; @, 2) — убывает. 815. (—оо, 2) и B, оо) — убывает. 816. ( — оо, 1) —
возрастает; A, оо) — убывает. 817. ( — оо, — 2), ( — 2, 8) и (8, оо) — убывает.
818. @,1) — убывает; A, оо) — возрастает. 819. ( — оо, — 1) и A, оо) — возрас-
возрастает; (—1, 1) —убывает. 820. (— оо, оо) — возрастает. 821. (О, —- )— у&л-
вает; I —, оо \ — возрастает. 822. ( — 2,0) — возрастает. 823. ( — оо, 2) — уби-
убивает; B, оо) —возрастает. 824. (— оо, а) и (а, со) —убывает. 825. (— ©х^ 0)
9 1
и @,1) — убывает; A,оо) — возрастает. 827. ^тах = — при х = — . 828. Экстре-
Те А/
мума нет. 830. Ут{а = 0 при х = 0; Ут{п~0 при х=12; #тах=1296 р
дг = 6. 831. утЫ =^= — 0,76 при *=^0,23; */тах = 0 при х— 1; ут\п^ — 0,05 при
х=5г 1,43. При л: = 2 экстремума нет. 832. Экстремума нет. 833. утак = — 2
9
при х = 0; ут{п = 2 при # = 2. 834. #тах=у§пРи*= 3,2. 835.утах = — 3У 3
при х = — у=; г/т1п = 3)/*3'при х = -у=- 836. утах = /2 при х = 0.
837. 1/тах = — /З'при д:=:-2У"з; Утъ = Уъ при х = 2Уъ.Ш. Уты = Ъ
при х— ±1; г/тах=1 ПРИ * = 0. 839. #т|п = — — У"з при * = (* — -^ ) л;
"^3 (/+ ) ^ 0 ± ! ±2) 840 5 при
при
(к ±-~^ я; #т1п=1 при л: = 6B^+1)я (Л = 0, ±1, ±2,...).
I 1 4
х=\2кп; */тах = 5 соз -^ при х= 12 Г А; ± у \ я; |/ш1п = — 5соз —
^г; ^т1п = ^при л;=1. 844. ^п=1 при * = 0. 845. уЯ1,п=— — при
4 ' " ' ' '
— 1. 846. ут-т = 0 при л: = 0; г/тах = р- при л: = 2. 847. ут1П = е при
=1. 848. Экстремума нет. 849. Наименьшее значение /п = .—-^- при

392 ответы
#==—1; наибольшее значение М = -^ при х = \. 850. т — 0 при # = 0 и
1 я
л: = 10; М=5 при # = 5. 851. т — ^ при х = Bк + 1) -г-; . М = 1 при
ь 2 4
л: = —F = 0, ± 1, ±2, .. .). 852. т = 0 при х = 1; Л1 = я при * = ■—1.
<6
853. т = —1 при дс ==— 1; М = 27 при лг = 3. 854. а) т = —-6 прих=1;
= 266 при * = 5; б) т = —1579 при л: = — 10; М = 3745 при # = 12.
а
856. р =—2, 67 = 4. 861. Каждое из слагаемых должно быть равно — .
862. Прямоугольник должен быть квадратом со стороной —. 863. Равнобед-
Равнобедренный. 864. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое
больше другой стороны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть
равна -г. 866. Высота должна быть вдвое меньше стороны основания.
867. Тот, высота которого равна диаметру основания. 868. Высота ци-
линдра -^=., радиус его основания Я 1/ -тг» где /? — радиус данного шара.
уз У 3
869. Высота цилиндра /? У°2, где /? —радиус данного шара. 870. Высота
4 4 ^
конуса -^-Я, где #—-радиус данного шара. 871. Высота конуса -«"/?, где
з
/? — радиус данного шара. 872. Радиус основания конуса ~г, где г — ра-
л»
диус основания данного цилиндра. 873. Тот, высота которого вдвое больше
диаметра шара. 874. ф = л, т. е. сечение желоба — полукруг. 875. Централь-
Центральный угол сектора 2я |/ —. 876. Высота цилиндрической части должна
г о
быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь форму полусферы.
2_ 2 8
877. /г = (/8 —с?8J. 878. ^--\-~-=\. 879. Стороны прямоугольника
а У2 и Ь У2, где а и Ъ — соответствующие полуоси эллипса. 880. Коорди-
наты вершин прямоугольника, лежащих на параболе (-»- а, ±2 1/^г
881. ( ±——=, т } . 882. Угол равен наибольшей из величин агссоз-т- и
V УЪ 4 у ' к
883. АМ=а ъ У \ . 884. -^= . 885. а) * = г/ = -~= ;
у йу
886. х= |/ ^ ; Рт1п = У2^$. 887.
Указание. При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую при-
приобретает неподвижный шар массы т1 после удара о него шара массы т2,
2^ лло 1 /Ш. ,
двигавшегося со скоростью у, равна ———. 888. п = I/ — (если это
число не целое или не является делителем числа N. берут ближайшее к най-
найденному значению целое число, являющееся делителем числа М). Так как
п*г
внутреннее сопротивление батареи равно -тт-, то физический смысл найден-
найденного решения таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть воз-

ответы 393
2
можно ближе к внешнему сопротивлению. 889. у=-—к. 891. (—оо, 2) —
о
вогнут вниз, B, оо) — вогнут вверх; М B; 12) — точка перегиба. 892. (— оо, оо)—
вогнут вверх. 893. ( — оо, — 3) — вогнут вниз, (— 3, оо) — вогнут вверх; точек
перегиба нет. 894. ( — оо, — 6) и @,6) — вогнут вверх, ( — 6, 0) и F, оо) —
— 6; — у ] , О @; 0), М2 I 6; — ) .
895. ( — оо, — УТ) и (О, УТ) — вогнут вверх; ( — Уз, 0) и (Уз, оо) — вогнут
вниз; точки перегиба Л*1|2(± Уй 0) и 0@; 0). 896. (D/г +1) 4- э
D6 + 3) ~ \ — вогнут вверх, (D6 + 3) -— , D6 + 5) у 1 — вогнут
вниз
0, ±1, ±2, ...); точки перегиба —(B6+1)-|-; о). 897. B6я,B6-Н)я) —
вогнут вверх, (Bк — 1) я, 26я) — вогнут вниз F = 0, ±1, ±2, .. .); абсциссы
точек перегиба равны х = кя. 898. [О, —т= 1 —вогнут вниз, [—==., оо
\ У7 \У>
A 3 \
-7= I — сгт ) ~" точка перегиба. 899. ( — оо, 0) —- вогнут
у ег 1е )
вверх, @, оо) —вогнут вниз; 0@, 0) — точка перегиба. 900. ( — оо, — 3) и
( — 1, оо) — вогнут вверх, ( — 3, — 1) — вогнут вниз; точки перегиба —
(~~3; ?)и МЛ~~1; т)• 901ш х:==2'' у^==0' 902ш х=х* х~3> у=0'
903. дг = ± 2; у = \. 904. у = л:. 905. (/== — л: (левая), г/ = л: (пра-
(правая). 906. # — —1 (левая), у=\ (правая). 907. х=±\, у = — ^(ле-
^(левая), у~х (правая). 908. у = —2 (левая), у = 2х~ 2 (правая). 909. у = 2.
910. х~0, у—1 (левая), у = 0 (правая). 911. х — 9, у—\. 912. у — О.
913. х = —1. 914. у = х — л (левая); у = х-\-л (правая). 915. у —а.
916. г/тах=г0 при ^ = 0; Ут\а~ — 4 при х = 2; точка перегиба ^A, —2).
917. г/тах=1 при х—±У~3; ут1п = 0 при Л' = 0; точки перегиба
± 1;-р- ). 918. #тах —4 при х = —1; ^„ = 0 при #=1; точка
перегиба Мх @; 2). 919. #тах —8 при х = — 2; ут1п = 0 при х = 2; точка пе-
перегиба М @; 4). 920. #т1п — —1 при # = 0; точки перегиба М1>2(±У5;0)
и М3L( ± 1; "25)- 921< ^тах —— 2 при* —0; ут1П = 2 при х~2; асимп-
асимптоты х = 1, у = х — \. 922. Точки перегиба М1>2(± 1, Т 2); асимптота л; = 0.
923. Им** = — 4 при л: = —1; */т1-п=4 при #=1; асимптота х = 0.
»/ [ПСЖХ *■ ш %* 111111. 1 *
924. ^^ = 3 при л:=1; точка перегиба — М ( — ^/2\ 0); асимптота х = 0.
1 / 1 \
925. утьК = -7г при л: = 0; точки перегиба Л41>2 ( ± 1; —); асимптота у = 0.
926. Уты = — 2 при # —0; асимптоты х=±2 и у = 0. 927. //т1П = —1 при
л:=г—2; ^так1^1 ПРИ ^=2; точки перегиба — О @; 0) и
/ ' Уз~\
М1>2( ± 2 УЗ; ± ■—— ) ; асимптота г/ = 0. 928. г/тах=:1 при л: = 4; точка
перегиба — М E; -^ ) ; асимптоты х = 2 и у = 0. 929. Точка перегиба —
\ у У 27 8
О@; 0); асимптоты х~±2 и г/ = 0. 930. #тах = — ТН ПРИ х =~5"»асимптоты
И (/ = 0. 931. «/тах:^ — 4 ПрИ X =— 1; Утт —4 при
тах р т!п
асимптоты л: =.0 и у = 3х. 932. Л @; 2) и В D; 2) — концевые точки

394 ответы
#тах=2 У^при ж = 2. 933. А (—8; —4) и В (8; 4) —концевые точкич Точка
перегиба О@; 0). 934. Концевая^ точка Л(—-3; 0); ут\п=^~2 при * = —2.
935. Концевые точки Л(— У3\ 0), О@; 0) и В (КЗ"; 0); */тах УТ
при х = — 1; точка перегиба — Л* (Кз + гуТ, |/ 6 1/ 1 + -р
936. #тах=1 при х = 0; точки перегиба —Л^я(± 1; 0). 937. Точки пере
гиба — Мг@\ 1) и Л12A; 0); асимптота у = —'х. 938. 1/шх = 0 при х = — 1;
«/ш!п=~ 1 (прих = 0). 939. утах = 2 при х==0; точки перегиба М1>2(± 1; \/)\
асимптота у = 0. 940. ут\п~—4 при % = — 4; */,рах==4 при х = 4; точка пе-
перегиба—О^; 0); асимптота г/ = 0. 941. */т1П=» ^/Г при х = 2, /Т
при ^ = 4; #тах = 2 при л = 3. 942. г/т1П = 2 при х = 0; асимптоты
943. Асимптоты х=±2 и у = 0. 944. ут1п = -^у^ при дг=
= ПРИ х = — ]/*3; точки перегиба — ^ (—3; —-?г)» ° (®;
C \ 3
3; -~- ] ; асимптоты *=±1. 945. |/т1а = "зГ^^ п^и х~^> Точка пе-
перегиба —-М A2; -^ 1 | ; асимптота х = 2. 946. #тах = — при др = 1; точка
перегиба —М[2;-2-); асимптота ^/ = 0. 947. Точки перегиба —
Мх ( — За; —^ ) и М2 ( —а> — ] ; асимптота у — 0. 948. ^тах=б2 при х = 4;
} г- 3\
I 8 + 2 V2 Т 1
точки перегиба —М1У 21 ^ >е у! асимптота ^ = 0, 949. ^юах = 2 при
х = 0; точки перегиба—М1>2 ( ± 1; ~) • 950-!/тах:=1 при х=±1; г/пцп = 0
при х = 0. 951. 1/тах==0,74 при х = е2=^7,39; точка перегиба —
о?
14,39; 0,70); асимптоты х = 0 и |/ = 0. 952. утт = — -т- при
а .- / а За2 \
= -т?=; точка перегиба—М ( —~= ; —тт/• 9^3. ^т1-п=е при х = е; точка
К \ У е3 ™ /
перегиба — М (е2;-^- ; асимптота *=1; у—►0 при х—► 0.
уот. ушах — "т *^ "»э^ при х — ^ 1 ~>- — \у,оо, ^/п11п—*■" при л — и, точка
перегиба—М ( 1=^—0,63; —=5=0,37\ ; ц.—*0 при х.—► —1+0 (пре-
(предельная концевая точка). 955. г/т,-п=1 при х—± У^2\ точки перегиба
А^1 а(± 1>&9; 1,33); асимптоты х— ± \. 95$. Аеймшоты ху = 0. 957. Асимптоты
у = 0 (при х—> + оо) и у = — х (при а;—> — оо)>. 958. Асимптоты
х = ; х — 0; у=1\ функция ие определена на отрезке ? ,
959. Периодическая функция с периодом 2я. г/т1п = — У 2 при х = -^-я + 2/гя;
#тах=уг:Г при др = —+ 2/гя (/г = 0, ±1, ±2, ...); точки перегиба —

ответы 898
Мк[-т-п-\-кп\ 0). 960. Периодическая функция с периодом 2я.
^ при х = -^п + 2кп\ г/тах = ~/3 при х = у + 2кп (к = 0,
±: 1, ±: 2, ...); точки перегиба — Мк (кп\ 0) и Ык I агссоз ( — — )
-гг. У 15 ) . 961* Периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [ — я, я]
Утж = -4 ПРИ * = =*=-тр Уга1п = - 2 при л; = г*=я; #т!п = 0 при л; = 0; точки
перегиба —Мм (±: 0,57; 0,13) и М5L (± 2,20; —0,95). 962. Нечетная периоди-
периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [0, 2я]: г/тах=1 при х~0;
при ДС = -5.; #тах=1 при ^==у; г/т1п = —1 при х
5 3
при х = -^ я; г/т!п = — 1 при л; —— я; г/тах=1 при д; =
точки перегиба — М, @,36; 0,86); Мг A,21; 0,86); М3 B,36; 0); М4C,51; —0,86);
М D,35; -- 0,86); УИв E,50; 0). 963. Периодическая функция с периодом 2я.
= при х==^ + 2кя\ */ =при л; = —я
у при х==^ + 2кя\ */тах = —при л; = —
3
1, 1^:2, ...); асимптоты л;==:--я+^я. 964. Периодическая функция с пе-
периодом я; точки перегиба — М% ( -г-\-кп\ -^~ ) (к = 0, -±. 1, ± 2,...); асимп-
3
тоты л; = — я 4~ &п;. 965. Четная периодическая функция с периодом 2я. На
4 1
отрезке [0, я]: утах = при х^агссоз —:; Утах = 0 при л:~я;
4 / 1 \
^ = ^ ;
при л; = агссо5^ — -= ^ ; г/тт = 0 при х = 0\ точки перс-
я \ / у 2 4 У \ / у 2 4 у 7 \
гиба — МЛ-<г\0};М2[ агсзш —— ; —г=— ) ; МЪI я— агсзш —^— ; х=— у
\ / ^ / \ /
966. Четная периодическая функция с периодом 2я. На отрезке [0, я]: #тах = 1
2 / 1 Л 2
при х = 0; утах — —— при х = агссоз ( — —= ; х/т1П = — —— при
= агссоз —г=г; #т1п — —1 ПРИ а; = я; точки перегиба — Мх [-$ \ 0 } ;
(

агссоз ^Ц; ± ]/}|) ; Л!3 (агссо5

967. Функция нечетная. Точки перегиба —- Мк (кп\ кп) (/г == 0, г±= 1, ±: 2, ...).
968. Функция четная. Концевые точки — А1г(-±: 2,83, — 1,57); #тах^ 1,57 при
х = 0 (точка возврата); точки перегиба — М1у2(-±. 1,54; —0,34). 969. Функция
нечетная. Область существования —1<х<1. Точка перегиба О@; 0);
я
асимптоты х = :*г1. 970. Функция нечетная. 1/тах = — —1+2/гяпри
_ о о
+^я; ^=: —я +1+ ^^ при д: = -г-я+ Ля; точки перегиба —
А 4
2Л 4- 1
асимптоты х=—^—~я(^ = 0, ±: 1, ±:2, ...)• 97*• Функция

396 ОТВЕТЫ
я
четная; #т5п=:0 при # = 0; асимптоты у = ^ х — 1 (при х—*— оо) и
= —* — 1 (при л;—►-)-00)' 972. г/т1п = 0 при л; = 0 (угловая точка); асимп-
тг Зя
тота у=1. 973. г/тт^+у ПРИ *=1; ^тах1^-^ * "РИ А; = ~' точка
перегиба (центр симметрии) @, я); асимптоты у = х -\- 2я (левая) и г/ = х (пра-
(правая). 974. 974. Утт^ 1,285 при * = 1; */тах^ 1,85бпри л; — — 1;
точка
перегиба — Л4 ( 0, -^ ]; асимптоты г/=г —-[-я (при х—►—оо) и
х
У = -п (ПРИ х—^+°о). 975. Асимптоты х = 0 и г/ = л: — 1п 2. 976. #т1п^ 1,32
при х= 1; асимптота х = 0. 977. Периодическая функция с периодом 2я.
13 я
+ 2^
13 я
\п = ^ при л; = —я + 2^я; Утах = е при л; г= —-{-2#я; F = 0, ±: 1,
У5 !
ГИ2, ...); точки перегиба —- Мк ( агсзш -—^ (■- 2^я; е 2 ) и
/
— агсзт-^—^-+Bй+1)я;е 2 ). 978. Концевые точки Л @; 1)
и В (\; 4,81). Точка перегиба — М @,28; 1,74). 979. Точки пере-
перегиба — М @,5; 1,59); асимптоты г/^=0,21 (при х—^—оо)-и г/^4,81
(при х—*+оо). 980. Область определения функции — совокупность интерва-
интервалов Bкл,2кя-(~п)у где к = 0, :+: 1, ±2, ... Функция периодическая с перио-
я
дом 2я; утах = 0 при х = -~--\-2кя (к = 0,±\, +2, ...); асимптоты х = кя.
981. Область определения — совокупность интервалов ( ( 2к — -~- ) я,
( 2к-\--~ )л ], где к — целое число. Функция периодическая с периодом 2я.
Т М2# 0) & 0 1 2 )
Точки перегиба — МкBкп; 0) (к = 0> ±: 1, ±2, ...); асимптоты
я
х^гн^ —-{-2^я. 982. Область определения х > 0; функция монотонно воз-
возрастающая; асимптота х = 0. 983. Область определения | я — 2#я | < —
(& = 0, 1»г1, :±:2, ...). Функция периодическая с периодом 2я; ут-1п=\ при
я .
х = 2кл (& = 0, 1*11, ±:2, ...); асимптоты д; = -—--{-^я. 984. Асимптота
я
г/ =52 1,57; г/—> ^~ при х—> 0 (предельная концевая точка). 985. Концевые
I 1 \"^"
точки — Л112(±: 1,31; 1,57); г/т1п = 0 при х = 0. 986. г/т|п=г( — V ^0,69 при
х = — ^= 0,37| у—>-1 при х—►-{"О. 987. Предельная концевая точка —
1
Л(+0;0); г/тах = ее ^ 1,44 при д; = е=^2,72; асимптота у=-\\ точка пере-
перегиба — Мл @,58; 0,12) и М2D,35; 1,40). 988. хтхп = —\ при / = 1 (у = 3);
ут-1п = — 1 при ( = — 1 (л: = 3). 989. Для получения графика достаточно изме-
изменять / в пределах от 0 до 2я; хт\п = —а при ( = п(у=0); л:тах = а при
Зя
1 = 0 (у = 0)\ ут{п = — а (точка возврата) при г = + -^ (х = 0); г/тах =

ОТВЕТЫ
397
(точка возврата) при 1 — -ъ (* = 0); точки перегиба при * = — , — , —-, ~
х= * 2?Т'у= * Ц)' "°**га'№=~ тпри'=~ "
при *=1(л;
и " "
; точки перегиба! — _
\ /г
при 1 = —У 2
при
У~2 ; асимптоты л; = 0 и г/ = 0. 991. л;т111 = 1
и
п=1 при
992. г/т1п =
994.
(точка возврата); асимптота у = 2х при г—>-+оо.
при ( = 0. 993. 0*5
1 -, /"а4 — с2х2 . а /а2 — л:2 . &л;
— 1/ —5 *-"**> сов а = ; ;5та = ,
а V а2-*2 У>-с2*2 /а2-Л2
996.
. 995.
а
У
а
Ус
— ; зт а =
где
, \Гх .
йх\ соз а = I/ — ; зт а
л; га
Ур2 +!?
— Л/ —. 997.
г а
л;
а
сЬ —
а
_
2 '
1 х
-тг ; зт а = {Ь —. 998.
и
г
1000.
999. а*5 = За зт I соз I а7;
1
г
2а 31п — а7; соз а =
—соз 1\
; зт а =:
. 1002.
; созР =
а
Ф
. 1001. ^5 = ^
ф2
СОЗ3
ф
-~. 1003. Лз = а соз~
2 2
_ Ф
р = соз ~ .
1004.
= г У\ + Aп аJ ^ф; зт Р =
1005.
1008.
шинах.
1013. Ь
а'
а
1011.
1007. К
-^- 1009.
1006.
т^г. 1010. /е = —~= в обеих вер-
13/13 а У 2
; 3 } и
1014.
_9_
8 '
1016. /? =
1019. ^~
а зт 21
4 ф
~5- а соз —-
II 1 (\
1023. ( —-тга; ^-а
1017.
1012.
2
1015.
1018.
1п2.
2"
(у2 + \У
4У
1022. B; 2).
1024. (х-
1025. (х+2J+(у — 3J = 8. 1026.
2 2 4
1027. (аХK +(&КK =с3 , где
8
;г=(Х—рK (полукубическая парабола).

398
ОТВЕТЫ
Глава IV
В ответах этого отдела ради краткости произвольная аддитивная постоян
ная С опущена.
1031. %-агх\ 1032. 2хг + 4*2 + Зх. 1033. ^г + о + Г"« ^34«
7 4 о 2
п— 1
пх п „,— 9 — -
, Л* V . „ . /» 3 V •
ть
. 1037. {/п*. 1038
«7,Т * 1039.
1040.
3^з/7
13
1041.
4т + 1
5/ол:*
1043.
/7
1044,
д^ —
1045. 1п (х + У 4
1046.
—7=--
2/2
1047. агсзт —■==. —
/2
— 1п (х + У ^2 + 2). 1048*. а) 1§ х — х. Указание. Положить {%* х = зес** — 1;
1
б) х — 1Ь х. Указание. Положить *Ь2 х = 1 г^— . 1049. а) — с\% х — х\
б) х — с1Ьх. 1050.
х)
1пЗ+Г
1051. а\п
г. Решение. \ ах =
а — х\ ^ а — х
— х
а1п|а — х\ ~{-а\пС=а\п
а — х
. 1052.Х
п п 2х±Ъ % , 2
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим * 1 = 1 + 9 , . .
Отсюда
1053. —-|
- 1054' Т-"Т1
а;4
1058. 4-
4
1060.
-1|. 1057.
Л + З1п|дг— 1 I. 1059. а2х + 2аЬ 1п I а: — аI .
•/V С*
- 1
1063. Ух2-\-1. Решение.
Указание.
108!. — 2Ь /1 —у. 1062.
/(а — Ьх)*.
I. 1066.
1067.
2 "[Л*2 -
1п
УТ+Ь-{-х Уа^
Уа + Ь —
4/14
1068.
1п

ОТВЕТЫ
399
1069. _^
1071. ~=. 1п B VIх
2/2
1073. ~ 1п | Зхг - 2
1- 1п Eд:2
о
8л;2).
Ю70. *--|-
2/6
1072.-^=1 агсзШ
. 1074.
(*/!)•
У35
1075. -|
1076.
4 + 3 1п 1 х + /л;2 - 4
1
/5л;2 + 1 + -1= 1п (хУб + У 5х* + 1).
1077. -^ 1п 1л;2 — 5|. 1078. \ 1п B*2 + 3).
^. 1080. -^атсзт^. 1081. 4
1082. 4-
1085.4-
1088. —
1091.
1083.
4 /(агсзш д;)8.
«3
1084.
(агс1з 4)
. 1086. 2 Т^1п (ж
31п4
1089.
1090. ~
±1
|. Ю87.—.—е"
з 1
1п
1п 6 V 6х аж
— 2л:.
1093.
1- 1094-
1па \3
2
а +а
1098. -^
Указание.
1102. — ~1
. 1099.
1092.
~еХ . Ю96.—^ 5г л. 1097.1п |^
у 1
П00. ~-^ 1пB*
2х
2*+3
\+е~Ьх
1101.
гг. 1106. л;—^-
1103. агсз!пЛ
. 1107.
1104.
СО8 (а + Ьх).
;. 1108. — 1п 10-соз
х 8Щ 2л; ■ 1 х
1109. — —. Указание. Положить 8т*х = -?-A — со$2х). 1110.-7Г
4 2 2
2
2*
. Указание. См. указание к задаче 1109. 1111. —\%(ах-\-Ь).
„12. -С-^-х.
а
1113. а\п
1114. ^1п
15
'5л;
1115. -Мп
а
1118. ж— -^=
ах-\- Ь
1116. 4
л:
1
1П7. ^.со8A— л:2).
. 1119. — 1п ^ созл: I. 1120.1п | в1пх\.

400
ОТВЕТЫ
1121. (а- Ь)\п
51П -
а —
1122. 51п
1124. ~1п|зш(л:2
1125. 1п
х
о
1126.
1123. — 21п|созУ*|.
П
1128. —
1
-=—^з— . 1129. — — 1п C + соз Ъх).
4азт4ал: 3 ч ' '
1131. — —
2_
9
соз2*)
2*K
1132.
У
~-. П27.
ИЗО. —- — У соз 2*.
1133.
3
1134.
1137. ^~
|. 1138. -| сЬ 5л: ~ |"
- 1139- — 7Г + Т
1140. 1п
. 1141.
. 1п | ±Ь дг |. 1143. 1псЬд;. 1144. 1п
1145.
А
5/E
. 1146.
1148. -™<Г
а:8 г2
1150. 4" — 4
о 2
1153. 4
1155.
1157.
а
1п а
д:
Т
1164.
1167.
1169. У1п
. 1Н9.
1158.
2Т/Т
1162.
- 4х
1147.
4/5 /5
1161. —
1152.
созд:
1154. —
\пх
1156. У2 агс1§ (х /2) —
1
4B*2+1)
1159.
а
1163.
пд:L. 1165. - 2 1п | соз /д;- 1 |. 1166. у 1п
п
1 . . *2
1168. — 1п | з!п л* + соз д:
— 2д:
соз -—=.
1171.
1173.
1170.
5
агсзш
1
/2
л: —
- Зд:2.

ОТВЕТЫ
401
1174. дг_ 1пA +ех). 1175.
у О?- —
. 1176. 1п (е*
1177. 1
1180. —
1178. *- ^
1179. -Мп
2 —
( агссоз
V
■)'
1181. — е"** 1182.
1183. -
1186.
1184.
. 1П (8ес *
1п
+ 81П 2л:
Г-
^ 1
- 81П
их
1187.
их
/2
1).
=\ . Указание.
+ СО82 X
1189. 1§Ь(д;3 + 3). 1190. -гЦ;31Ь*. 1191. а)
*5 1П о
б) _ 1п A -+- е "*); в) 1 Eх* - З)8; г)
-1= агссоз ^ при д: >
Т/ 2 X
Д) 1п (8Ш д; + У 1 + 81П2 х). 1192.
1193.
1195.
1198. ^(е*-
3
Bх + 5I2 5 Bх + 5I1'
12
11
. 1194. 1п
У2
х + 1 —
=1. 1196. 1пх - 1п 2 1п
1п 2 |. 1197.
х~. 1200. 1п
Указание. Положить х = --. 1201. — ~ У\ — д;2 _|-1. агсзш д;.
1202. — 4" V — ^ ^-
=^. 1203.
аагссов—. 1204. агссоз—,
Л: А:
если *>0, и агссозГ—— V если х<0*). Указание. Положить х = ~-.
1205. Угхг+1 - 1п
х
1206.
4х
. Примеч ание.
*) В дальнейшем, в аналогичных случаях, иногда будет указываться
ответ, годный лишь для какой-нибудь части области существования подын-
тегральной функции.

402
ответы
1
Вместо тригонометрической можно применить подстановку х=~ •
с. 1208. 2 агсзт "^ 1210. ~
1207.
— а*-{-
1211. х\пх — х. 1212. ха
1213. х агсзт х + У  — *2- 1214- 81п* —*со$х. 1215.
--^1пA+х2).
1
со$3*
1216.
. 1217. ~
. 1218. ^(9л:2-бл: + 2). Решение. Вмес-
Вместо многократного интегрирования по частям можно применять следующий
способ неопределенных коэффициентов:
С х2еь4х = (Ах2 + Вх + С) егх
или* после дифференцирования,
х*е*х = (Ах2 + Вх + С) Зе*х + BАх + В) егх.
Сокращая на е*х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х, шэлучим:
1
откуда Л=4-; Д = — ~; Сггг — . В общем виде С Рп(хI?>хд.х~§п(х)еа*%
где Р„ (д;) — данный многочлен степени ли (}п (х) — многочлен степени п с не-
неопределенными коэффициентами. 1219. — е~х (*2 + 5), Указание. См, зада-
задачу 1218*. 1220. — Зе * (х8 + 9д:2 + 54д:+162). У к а з а н ие. См. задачу 1218*.
,221. _
8
,222.
4
со52х.
Указание. Рекомендуется также применить способ неопределенных коэф-
коэффициентов в виде
С Рп (X) СО5 Р* их — (}п (X) СО5 рХ + Кп (X) 31П РДГ,
где Р„ (д:) — данный многочлен степени я, <2п (х) и 7?„ (д:) — многочлены сте-
степени п с неопределенными коэффициентами (см. задачу 1218*).
1223.
1226.
- -1 агсзШ* + 4
4 4
1230.
1224. х 1п2 х - 2д: 1п х + 2х.
1225.
1227.
г» 4-1
а; а:2
д: — ^. 1228. -^-
1229. х\п(х
х
X
8*(«1п х + соех 1п3)
* (а$1п &дг — » соа »■>:)

ответы
403
м*|
1238. (~
пх) - сое Aп х)]. 1236. — ^ (х2 + 1). 1237.
- х
\ х9 Хг
2 + ЗхПпх--~+у-Зх.
х2 — 1
1239. ^г-5 1п
1 -х
1+х
1240. —
1242. ~
—
4-1п О + *")• 1244«
1241. [1пAпх)
1243.
- х
1246. -
а: - 2*. 1245. —
. 1247.
[
сов B1п дг
х*
/
^
B \пх)
. 1250.
1
+ ~агс*§х. Решение. По-
лагая а==х и
Г*
хАх
получим
и 0 = —
1
2(*»-И)'
х 1
,^_
1251. -^ ( — згс!2 Ь 2_1 г /• Указание. Использовать
ство 1 &а ^ [(х2 + а2) - х2].
шен не. Положим и = "^а2 — х2 и йяз = Лс; отсюда
1252. -| У а2 — х2 + ~ агсвш -^-. Ре-
У а2 - х*
Г* , . (* V* А* .■■
= х; имеем I V а2 — х2 ^х = х у а2 — х2 — \ - = х у а2 — х* —>
Т I т/я2 —- *:2
а2 /■ = Г г
ал — л у и л 1гь* *
. Следо-
вательно, 2 ГУ"а2 — х24х = х"/а2 — х2 + а2агс81П —. 1253.
~
л
2. Указание. См. задачу 1252*. 1254. — -^ /9 — х
9 х 1 х -4-1
-|--=• агс$1п-«-. Указание. См. задачу 1252*. 1255. -^ агс1§ ~Г
1256. ^
х + 2
-7
<л.. ^ ОХ —~ 1
. 1257. —^= агс!§
1
-^ . 1258. -~ 1п(х2 - 7х
УТТ 2
1259. |-

404
' ОТВЕТЫ
1260. х - 4- 1п
8 агс!§ (х — 3).
х + 4) + -^=
У 7
1262. ~—= агсзт—-—
/2 5
? . 1261. л: + 31п (хг - 6л: + Ю)+
7
1264. 1п
1266. — 2 уГ-7-^л72 - 9агсзт±ЦП^ . 1267.
Уь
1263. агсзт Bл: —1).
1265. 3 1/"дг2 — 4л:+ 5.
1
/бл:2 - 2л: + 1 +
1268. 1п
л:
1269. —агсзт—~. 1270. агсзт—- ^=г (л: > У). 1271. —агсзт
л; 4-1
1272. -
4--о-агсзт Bл: — 1). 1274.
о
2л: + 5 4" 2 1п (х + 1 4" /^2 + 2* 4" 5). 1273.
! /2—*—^
4
8
. 1275..у1п
Г2 О
1276.
1
3 — 51П X
1278. — 1п|созл:4-2 4-
2
— 2 агсзт
, 1280.
а — Ь
1277. \п(е*
х 4- 4 соз х + 1 |. 1279. — У\—А \пх — \г\г х
1п
х -\-а
(а ф Ъ). 1281.чл:
3 1п | л: — 2 |. 1282. — 1п
1284.
1 161
хТ(х -
(х + 2)* ["
1285.
1283. 1п
(л: - 1 L (х - 4M
л:4-3O
\+х
\п
1286. 4-
4
16
х
18
Bх- IO Bл:
. 1287. 4^—, П^, ^. 1288.
9
2 (л: — 2J л: — 2
1 . 1289. 8
27
_30
49 (х — 5) ~ 49 (х + 2) "^ 343
л о
. 1290. —
О (у С>\
1
2(л:2—Зл:4-2)г
1291.
/л:2 4-1
. 1292. л:4"х1п
л:- 1
1293- ^ 1п1л:—3|—
IM
/3
2л:-1
1295.
= 1п
4/2" х2 - х У2 + 1 4 &1-^2*

ОТВЕТЫ
405
1296. — 1п -гр^
4 л:2 - л: + 1
— агс!д—^=.
2 У 3 х /3
1297.
2A+ л:2)
1298.
2дг— 1
2 (л;2 + 2л: + 2)
1299.
4=
3/3
/3
Д - 4- 1п (л:2 + х
3 2
1300.
Зл: — 17
1302.
+ 1) 2
к 3
-1
,303.
48A + *2K
-1). 1305. 1
. 1301*-
х2 — 2х
. 1306. у 1п|л:4— 11 —
1_
4
1
* —4
** о
л: —2
х-1
2У 5
1308. 4
1п
2л;* +1 -
. 1307.
13
2 (д;—4J ' л;—4
1309. —^-т
1
1310. 1п|л;|—=- 1п| х1 -\-11. Указание. Положить
. 1312.
— х\ 1311. 1п|*|— 4-1п|а;54-1|4-р-г^
о о \<л<
1 . х4-\ __ 1 1 1
Ф.1313.- 1
11
(л:-1)9 4(х — I)8 7(л:-1O*
1315. \
1314. ~
1316. |^ [2 У {ах 4- &M — 56 у (ах 4г
1318. 6 ух+Ъ У^с + 2Ух~— 61пA
1317.
1319. у
1320. 1п
1321. 2 У* - 2 У2*агс1§ ]/ у.
УР^^Т, л. . 1
1322. — 2агс1§У1 - х.
1323.
1324. у
Уз
2г
2е- Г
где г
к
х±\
%-у
1325. —
У 2*4-3

406
ОТВЕТЫ
1326.
1
о
,«7. _
1329.
3 . 1
8 х
2(х
1п 1-
1333. -т-
где
1 + 1
1 -— 1
10ое 1
1335. ^
10
1336. — -д-
1339. —
1 . B—I
. 22 + 1
У^З
л;+1. 1332.
1384.
где
4+3хВ
1344,
~. 1342.
X 51П
"8" 32~"'
1
зш2л:
1337. —2
■^соз5*. 1340.
1
1338.
лг
г -• 1341. ~
5 4
2 2 51П2 х
X 81П 4х . 31П3
Тб
. 1343.
8
32
5 1
1346. ^ х+ у2 зтбл;
64
1349. —
3
х 4
. 1352.
. 1347. —
. 1350.
1
1348.
~
х
"
1п
х
. 1351. ~
1353.
х п
+
1п
«_.,- 51п4л; , 3 51п4л;
1355. ~ т-г-4
1354.
созд; Зсозх , 3
+
4 31П4 X 8 31П2 X 8
1357. —
16 соз4 Ах ' 32с0524л; ' 32
1п / з!пх | . 1358. —
1356.
. 1359.
1
— л;.
л;
У
1360.
1361.
1362. — I-
4
5
1368. 2

ОТВЕТЫ
407
1364.
,365. _
1п
- г
16
1368. — соз 4—
,371.
1
. 1366.
;. 1369.
50
11) 5
.
где
5л:
X
зт 7х
1372. — СО8 6* — т^ сое 4* —^ соз 2л*.
^4 10
1373.
1374.
/2
—
8
о
1375. х-!84
1376. —
. 1377. 1п
12 5
1379. уз* — та 1п |281лх
1378.
сов^ |.
Решение. Положим 3 з!п дг
2 соз х шл а B ЯП х + 3 соз х) + р B зт х + 3 соз х)'. Отсюда 2а — Зр = 3,
1 О Г^ С*^К ^\т\ у{ О РО1^ У
= 2 и, следовательно, а = -^, р=—~. Имеем \^-:—Т^ &х-=.
12
12
1з
. — 1п | соз # — 31П д^ |. 1381. -^ агс1^ ( \- ). Указание. Числи-
V У'ъ )
тель и знаменатель дроби разделить на соз2*. 1382.
Указание. См. задачу 1381. 1383.
ние. См. задачу 1381. 1384. -=- 1п
о
2 1^ х + 3 —
1385. —
1
2A- соз хJ
1386. 1п
Указа-
Указа. Указание. См. задачу 1381.
х). 1387. Л—\пУХ+В{
2 /2
. 1389. ~^г
1388. ~ 1п |^
4 1 — зт х
з а н и е. Использовать тождество
Уъ У2
1
2/2
1 1
гг . «У К а"
1390. —
12 т
«в 1
B — зт х) C — зт х)с== 2 — зт х 3 —
Указан ие. Использовать тождество

408
ОТВЕТЫ
1 — 81П*АТ -\- СО8 X
X
2х
СОЗ X
4х
1391.
х — соз х 3
х . зЬ4л:
1392. ~
8
. 1395. 1п
1
сЬ х
1396. — 2сШ2*. 1397.1п(сЬ
1Ь2 х
— ~ . 1398. а:— с1Ьл;
2
. 1399.агс10AЬл;).
1400. Г7=
У 5
зЬ2а: х
4  е
у
(
V
или ~гп=
У 5
(е
1401.
Указание. Использовать тождество
1
зЬ х — сЬ х
зЬ х + сЬ а:. 1402. -^ 1п
у 2
2 сЬ а: + /сЬ 2а:) . 1403.
+2
У2 + х2). 1405. ~
а:2
1п (х + /9 + а:2) . 1406. ^-^ /а:2 - 2а: + 2+ у 1п (х - 1 + /а:2—2а:+2).
1407. у У л:2
1
— 8 1п I ж —
- 4 - 21п | а: + У ^2 - 4 |.
1409.
1408.
л:-3
/л;2-6л:-7 (.1410. ^-Bх
п B*4-1+2
1411
Г Л» 1.
1412.
х- 1
2х+Ь
1413
1415.
1414.
= 1п
-[- -г- соз 6а: — -^ з*п 6а: ] .
о оо ]
2/2
1416.
х соз Зл; , 31П Зл; , л; соз л; 31п л;
1417. — ^ ^Н - —
2Х
1418. %- B — зш 2а: — соз 2л;).
о
,419. _
1п 2л; 4- соз 2л;
4 51п 4л; -(- соз 4л;
17
)■
1420. у [л; (зт л: + соз л;) — зтл:]. 1421,—
1422. х — 1п B + е* + 2
+ х + 1)
1423.
^^ + 1п A - х°) + л:2] . 1424. х 1п2 (л: + УТ+~х~2)
1 -~ л; _|

ОТВЕТЫ
409
— 2 VI + л:21п
2л\
100
_ з. 1426.
Т — Тпп ) агссо« E* - 2) -
п 2 (л—1)а2^
1
1
х
__1_ Г
8~~4а2 [
л:Cл:г+5а2) 3
аГ 2
2а2 (л:2 + а2J ^ 2а3
Зл: соз л: з1п8 л: 3 зт 2л:
_*1
а]
1428. /„= —
соз л: 81п" ~ * л:
п
/,
/л • ~^Г~ "~~
4
8
16
1429. /„ =
— 1) соз'
-2 .
соз л:
л: 4 . „ 8
= 71= соз л: зт* л: — т= соз
5 15 15
зтл:
2 соз2 х
ю-9л:8
. ИЗО. /л = -Л-*
9-8...2л:+ 10.9... 1).
1431.
1432.
1
1). 1433.
/14
2 1 ,
т1г
VI #
. 1434.
л:2+5
. 1435. 21п
1
1
1436. ~ ( 1п
1 / л:
1437' 4 ^
л:+ 2 л: + 3"
1 х
1
1438. ~
2л:
4 \ 1 - л:2
п
2х— 1
л:- 1
1440.
1439.
л: —2 1 2л: — 1
1 с ..2 .. I 1 I*
6 (л:2 — х + IJ г 6"х2 — х+ 1
1441 - '
'
1442.
1445.
1447.
2
2л:— 1
. 1443.
Зл:
;. 1444.—
7 2л:2'
3
2л: + 1
1446.
х
^/х+Г
2 ({/5~ - IJ - 4 1пA + УЬ~=~х\
1
1448. -4-
I .
. -тг агсзш
2
— агсзш —
8/3
1452. -|
1450. * ! . 1451. -1-1п
/л:2 + 1 8
1
Указание. —
с2-2
4х
-у1п |л: + Ул:2-9|.
1453. — (8х — \)Ух — 4х2 + ~ агсзш (8л: — 1).

410
ОТВЕТЫ
1454. 1п
1455.
Злг
1457. 4-1п
о
У 1 — л:8 — 1
1458.
1456.
1
22
где г=
1459. 4
1461. 1п
л: | —
4
л:.
1463. ~ (соз2 х - 6) ]/соз2 х. 1464.
' 8
1462. — с*2*--
соз Ьх 3 соз Бх
$\п 4х
20 §1П
21п
соз (т
1466.
. 1468.—-т=
/3
40зт25*п 40
1467.
5*
1470.
1). 1471.
х | — -1 С05ес х-
2
|472- "Р= X
]/ 3
X
х

' » Л ^
у з
=у. 1473.
1474. —
%А « л: 31П 2х соз 2л: . 1
Н76. ? д ^.14//.-
1475. 4-*
о
1478.
I-
Зл:|,
1479.
. 1481.
18 12 6 '
1 . Зх 1.5* 1 . х
1480.
4. 1482.
с^у 1
1483. 1п | 1 + с*§ х \ — с!§ х. 1484. -^ . 1485. — 2 сЬ|/ 1 - х. 1486.'-^- 1п сЬ 2лг.
1487.
1490. 1
х+\п
. 1488.
ех - 2 |. 1489.
И91.
к.
. 1492. -

1494. 4п
ответы 411
—/. 1495.^- лг4агсзт~
х 4 V х
х 1 / '2
1496. -~ (соз 1п х Ч- зт 1п *)• 1497. -=- ( —хг соз 5х Ч- -р- х зт 5дс-(-
2 3 х 1 Г
+ Зд:соз5л:Ч-^ с0§5л: — -г з!п 5х ) . 1498- у • С^2 — 2) аг^8 B^ + 3) +
-|- 1п Bх* + 6х+5)-'~\ . Н99.у /7=П?
Глава V
1501. Ь -а. 1502. у0Г-^~. 1503. 3. 1504. . 1505. 156. Указа-
н и е. Отрезок оси ОХ от х = 1 до а: = 5 разбиваем на части так, чтобы абс-
абсциссы точек деления _ образовали геометрическую прогрессию: хо=19
•••! ^и==^о^п* *506. 1п—. Указание. См. зада-
чу 1505. 1507. 1 — соз х. Указание. Использовать формулу зш а + з!п 2а-(-.-.
1
созу-
1508. 1) ^ = —
а9
- 1509- 1пх- 1510.--У 1+л:4. 1511. 2хе~х* - е~х\ 1512.
2 У
1 соз 4- ^513. лг = шт (л=1, 2, 3, ...). 1514. 1п2. 1515. - ~
х2 х1 8 •
1516. ех ~-е~х~2ъЪ,х. 1517. з!пд;. 1518. -^-. Р еше н ие. Сумму 5Л =
1,2, . /г— 1 1/1.2. , л— 1\
= —= Ч—• + • • • Ч г- = — ( — Н г- • • • Н можно рассматривать
как интегральную для функции [(х) = х на отрезке [0,1]. Поэтому Нт 5П =
1
Г*
= \
1 11
хс1х = . 1519. 1п2. Решение. Сумму 8п — п л \ +п4-2"^ "*
о
= — / г- -| Ч- ... Ч
-] = — / г- -| Ч- ... Ч \ можно рассматривать как ия-
тегральную для функции / (дс) = т—р- на отрезке [0, 1], где точки деления
1 —р~ Л
1
к С их
= 1Ч-~(& = 1, 2, .•., л). Поэтому Мт зп= \ г^—= 1п2.
имеют вид
о
1520. —!-■• 1521.-1-. 1522. ^ = 3з4". 1523. -!•• 1524-
^ Ч~ 1 " о о 4
1525. —~. 1526. 4-1п4*-1527. 1п~. 1528. 35^—321п 3.
1. 1530. 1пу. 1531. ^. 1532. ^

412 ответы
1534. ~. 1535. ~ 1п * + ];* . 1536. ^-+ 4~• 1537. ~. 1538. 1п2.
о 3 2 о 4 3
1539. 1 — соз1. 1540. 0. 1541. —§=.-1-* 1542. агс^е —~. 1543. 5Ь 1 =
9/3 6 С\
——V 1544. 1ЬAпЗ) —1ЬAп2) = ~. 1545. - ~
1547. Расходится. 1548. —:—, если р < 1; расходится, если р^ 1. 1549. Рас-
1 ^ Р
я 1
ходится. 1550. -^-. 1551. Расходится. 1552. 1. 1553. -, если р>1; рас-
Л р 1
Я
ходится, если р<Л. 1554. я. 1555. —гг=:. 1556. Расходится. 1557. Расходится.
У 5
1 1 1 я2
1558. т—х. 1559. Расходится. 1560.,— .1561. Расходится. 1562. — .1563.-=-
1п 2 1п а А; 8 *
1564. -7Г4--Т 1пЗ. 1565. —^— . 1566. Расходится. 1567.Сходится. 1568. Рас-
3 ' 4 з/З
ходится. 1569. Сходится. 1570. Сходится. 1571. Сходится. 1572. Расходится.
1
2 1
1573. Сходится. 1574. Указание. В (р, </) = \ / (х) их -{- \ / (а:) с?л:, где
0 1
2
/(л:) = л:^~1A — лг)^-1; так как Ит }(х)х1~Р=\ и Нт A — хI~^1(х) — 1, то
оба интеграла сходятся при 1 — р < 1 и 1 — ^ < 1, т, е. при р > 0 и д > 0.
оо
1575. Указание. Г (р) = \ / (л;) их -\- \ / (л:) их, где / (л;) = х?~х е *. Первый
0 1 ^ '
интеграл сходится при р > 0, второй — при р произвольном. 1576. Нет.
тс
г 1п з оо
1577. 21^2 I У % (И. 1578. , . 1579. I Л. 1580. I 7 \ Л2 &1.
1 ТС 1п 2 О
6
1581. х—(Ь — а)г + а. 1582. 4 — 2 1п 3. 1583. 8 —_п. 1584. 2 —~
2/3 2 '
1585. -^г. 1586. —# П 1587. 1-4- 158«- /3—4 . 1589. 4-я.
/5 2У\+а2 4 3
м. . . , *- ш . 1 . я яд я
1590. -ИпП2. 1591. 1п ' Г ' . 1592. 4- + —.1593. -^-. 1594. 4т-
1599. -^ — 1. 1600. 1. 1601. ^4^-1602. -1(^ + 0. 1603.1. 1604.
8 2 а2
00
1605. а2 I ^2 . 1606. Решение. Г (р-(- 1)= \ хРе~хих. Применяя формулу
о
интегрирования по частям, полагаем хр = и, е~хйх = йь. Отсюда
/4 у 71 ■ 0 ~" **

ответы 413
и
00
О
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и учи-
учитывая, что
00
получим:
^лт 1 1-3-5...B6— 1) я о.
1607. /2& = п —кг— тг , если п = 2к — число четное;
2•4•о...2к 2
* , если /1 = 26 4-1 —число нечетное.
9 315; 10 512 *
1608. (Р(^)!(^I|)! . 1609. ± В (^±± , 51±1) .Указание. Положить
: = ^. 1610. а) Плюс; б).минус; в) плюс. Указание. Начертить график
подынтегральной функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.
1 1 3
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612. ~. 1613. а. 1614. —-. 1615. -^- в
1616. 2агсзш4-. 1617. 2 < / < УК 1618. -| < / < ~ • 1619. ^ я< / <^-П.
1620. 0</<^-. Указание. Подынтегральная функция монотонно растет.
1 "|/" Я9 1
. —</<1^-. 1623 : 1624 1 16254
1 |/2 Я9 1
1621. —</<1^-. 1623. 5=:тг. 1624. 1. 1625.4- Указание. Учесть
А 2, о 2
знак функции. 1626. 4 — . 1627. 2. 1628. 1п2. 1629. т21п 3. 1630. яа2. 1631. 12.
4 1 9 Я9 Я 1
1632. Трг. 1633. 4-^. 1634. 104. 1635. 4. 1636. -=•. 1637. 1^ —-т
о ^ о о 2 о
1638. е-т- —— 2 = 2 (сЫ - 1). 1639. аЬ [2 УТ— 1пB+ УЗ)]. 1640.-|ла
4
Указание. См. приложение VI, черт. 27. 1641. 2Л". 1642. -^ а2. 1643. 15я.
о
9
1644. — 1п 3. 1645. 1. 1646. Зяа2. Указание. См. приложение VI, черт. 23.
/ я \ 4
1647. а2 ( 2 -)- у ) • Указание. См. приложение VI, черт. 24. 1648. 2я + -о
4 1В 4 Т/Ч 49 4 Л/ 4 4
ибя — -1. 1649. -^я— 1^" и^я+^-4^-- 1650. 4 паЬ. 1651.
о о о о о о
3
1652. п(Ь2 -\-2аЪ). 1653. бяа2. 1654. -—а2.У к а з а ни е. Для петли параметр*
* > 2
3
меняется в пределах 0 ^ ^^+ оо« См. приложение VI, черт. 22.1655. — яа2.

414 ответы
Указание. См. приложение VI, черт. 28.1656. 8я*а*. Указание. См. при-
приложение VI, черт. 30. 1657. ~. 1658. а*. 1659. ^-. Указание. См. при-
о 4
ложение VI, черт. 33. 1660.-я. 1661. 14~~ц 2аК 1662.
2 о
2. о A __ е*Ла
1663. о8 ( — + -~- ). 1664. л У2. Указание. Перейти к полярным коор-
динатам. 1665. ^A0у10—1). 1666. у Л2 —а2. Указание. Использовать
формулу сЬ2а-5Ь2а=1. 1667. У~2 -\- 1п (I -{- УТ). 1668. У1 + е» - У2+
1671. 1пB+У1). 1672 -1- (в2-+-1). 1673. а\п~. 1674.
4 В
& ] зЬ Ь 1
1675. 1п -15 -{- а — ^ = 1п-г— . 1676. -н- аТ*. Указание. См. приложе-
нне VI, черт. 29. 1677. 4^^Ь^ ■ ^78. 16а. 1679.
-|- 1п Bл + V 1 + 4я2). 1680. 8а. 168К 2а [|/~24- 1п (У^+ Щ- 1682.
+ 1п Ш^. 1683. °^ 1684.1 [4 + 1п 3]. 1685. ^ . 1686. ^
1687. -г- (е* + 4 — е~*). 1688. ~яг. 1689. ож = 4- 1в9°- »» = -=• я.
4 ' 8 л 4 у 7
1691. »л = -^; уу = 2я. 1692. 2**^. 1693. ^яа8. 1694. ~пр\ 1695.
2 О 1о о
1696. ^1A5-161п2). 1697. гя2^. 1698.^-^ . 1699. ~лН2а. 1701. а) 5я2а8;
2, 2 \о
б) 6я8а8; в) 22-(9я*-16). 1702. ^| яа8. 1703. ^ па\ 1704.
1705. А^+^Ц^ + ^).17О6. ^. 1707. щЛ 1708.
1709. у яа2/!. 1710. у а8. 1711. яа2)/^. 1712. яа^Л ^1+^^. 1713. ~
1714. ^(У*173-1); ^яа2Eуг5-8). 1715. 2я
1716. я (УЬ- У 2) + я 1 п -2 (^? + *}. 1717. я [/2+1п A + /2)].
У 5 \ \
1718. 5^(в2^е-2+4)=^B+8Ь2). 1719. ^яа2. 1720. -| (в -
4 ^? й с!
1721. 4я2аЬ. Указание. Здесь у = Ь± У а2 — х2т Взлв знак плюс, получим
внешнюю поверхность тора, а знак минус — получим внутреннюю поверх-
поверхность тора. 1722. 1) 2яЬ2+ ^^ ахсзт г; 2) 2я^ + 5^1й1±1. где

ответы 415
64яа* 32
(эксцентриситет эллипса). 1723. а)—^—; б) 16я2а*; в)-г-яа*.
<3 3
1724. ^па\ 1Й5. 2яа'<2-У 2). 1726.-^яа2. 1727. Мх=-~
1728. Ма = ^; Мь = ^-. 1729. Мх=Му=^
_ _ д 3 2
х=г^ =2^-. 1730. %=А1к = -го2; д: = # =-е-Я- 1731« 2яа1- 1732.ж=0;
и 0 0
У=^- \ГЬ 1 «1733. х =——; г/ =0. 1734. х =яа; у =-^-л. 1735.^=
— 46 — — 9 — — 5
I/ =3"~"- 1736' х ==у 0* 1737' ^ =па'*У =="б"а-
ш е н и е. Разбиваем полусферу на элементарные шаровые пояса площади йо го-
горизонтальными плоскостями. Имеем йо = 2яа йг, где йг — высота пояса. От-
а
— X а — —
сюда г =—-—1—2=-р'. В силу симметрии х —у =0. 1739. На расстоянии
3
- высоты от вершины конуса. Решение, Разбиваем конус на элементы
плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного слоя ^%=з
2^ где у — плотность, г — расстояние секущей плоскости от вершины
н
г2
г — 3 /
конуса, @=^г. Отсюда Г=—^ = ~- Н. 1740. @; 0;
и 1 ,, 4 V
-г- яг2А ч
о
Решение. В силу симметрии 1с =у =0. Для определения 2 разбиваем
полушар на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной
плоскости. Масса такого элементарного слоя с1т = улг2 йг, где -у — плотность,
г — расстояние секущей плоскости от основания полушара, г — Уаг — гг —
радиус сечения. Имеем:
а
я \ (а2 — г2) г йг
7 = ° ' =|а. 1741. / = яаМ742. /а = 1а68; /^ = ~
1743. / = ~ йб8. 1744. /в = ^-яа&»; /6 = -^-яа86. 1745. /== ~ я (^*-
Решение. Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Мас-
са такого элемента йт = у2пг йг и момент инерции / = 2я \ г1 йг =
Л,
= -^ я (К\ — Я^); (у = 1). 1746. / = щ л#*Ну. Решение. Разбиваем конус
иа элементарные цидиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем такой
элементарной трубки аУ~2пгЪ.йг% где г — радиус трубки (расстояние

416 ответы
до оси конуса), к = Н ( 1 — ) — высота трубки; тогда момент инерции
* г я 'Я
/ = у \ 2пН ( 1 —\ г* йг =У —, где у — плотность конуса. 1747. / =
О
2
= -г-Ма2. Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические
о
трубки, осью которых Является данный диаметр. Элементарный объем &У •=.
г2"
1 з — ее высота. Тогда момент
а ,
С / г2 8
инерции/ = 4л;ау \ 1/ 1 ^г3Aг=:у=па5уу где у — плотность шара, а так
о
4 2 —
как масса М=-1Гла3у, то1~~Маг. 1748. V = 2л2а2Ь; 8 = 4я2а6; 1749. а)х =
о О
— 2 — — 9 — — 4 г
= # = -=- а; б) х = у = ~ р. 1750. а) л: =0 ,#= — — . Указание. Оси ко-
ординат выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат —
/^
в центре круга; б) лг = ~. Решение. Объем тела — двойного конуса, по-
о
лученного от вращения треугольника вокруг его основания, равен У =
= -5- пЫг2, где Ь — основание, к — высота треугольника. По теореме Гульдена
о
— 1 —
тот же объем У = 2лх~~- Ьк, где х —расстояние центра тяжести от основа-
ния. Отсюда ^ = 4*- 1751. г;0/ — ^. 1752. ^-\п(\+~). 1753. х =
^ = —V0. 1754. 5=104л(. 1755. ъ = — \(^А ^
X \Ьи—(а — ЫЛ\п—2— . 1756. Л = ~/?2Я2. Указание. Элемен-
1_ а — Ыг\ 2
тарная сила (сила тяжести) равна весу воды в объеме слоя толщиной их, т. е.
йр — уп^йх, где у — вес единицы объема воды. Следовательно, эле-
элементарная работа силы йА = ул/?2 (Н — х) их, где х — уровень воды. 1757. А =
^уНН. 1758. Л = ^^4ГуИ^0,79.104 = 0,79.107 /сГ^. 1759. Л =
12 4
= улК9Н. 1760. Л=—^Г» А» = /и##. Решение. Сила, действующая
1 -4-_
на тело массы т, равна Р = к—^~, где /" — расстояние от центра земли.
Так как при г = % имеемфР = т§у то кМ =д%2. Искомая работа будет иметь
А Р итМ , . яж ( 1 1 \ тя/г ^ .
вид Л= \ Ь—Гс1г = ктМ[-ъ ■ , и ==—^-у— . При /1=оо имеем
. 1761. 1,8-104 эрг. Решение. Сила взаимодействия зарядов
|~ дин. Следовательно, работа при перемещении заряда ех из точки х, в

х2
С их ( 1 1 \
хг будет: Л = еоех \ -% = еое, ( 1=1,8-10* эрг. 1762.Л = 800я1п2 /рГл*.
^ х \х1 х2}
Решение. Для изотермического процесса ри = роио. Работа при расширении
VI
газа от объема о0 до объема у, равна Л= \ р^ = р0г01п—^-. 1763. Л^г
^15000/сГлс.Реше н ие.Дляадиабатическогопроцесса справедлив законПуассо-
на ря* = р0*^, где & ^ 1,4. Отсюда Л = \ -~ Лу = « °1 1 -— ( —— 1
4
1764. А = -^-п\1Ра. Решение. Если а — радиус основания вала, то давле-
о
р
ние на единицу площади опоры р = —^ • Сила трения от кольца шириной^/-,
удаленного от центра на /", равна -~-г&г. Работа силы трения на кольце при
полном обороте есть AА — —*—г2йг. Поэтому полная работа Л = —у—X
Г 4 1
X \ гг йг =-^- пцРа. 1765. — МН2ы*. Решение. Кинетическая энергия
О ■ • о 4
о
,„ У2^т ог*(д* , ,
элемента диска ад =—~- ==. ^— «сг, где аа = 2пгаг — элемент площади, г —
расстояние его от оси вращения, р.—поверхностная плотность, д=—^. Таким
Л А
' 2я/?2Г ' ТС1°Да А К* ) Г Г 4 '
о
М
Х^^а^«> • 1767./С =-=-/?2о)а=2,3- 103/сГж.У Казани е.Количество необходимой
о
работы равно запасу кинетической энергии. 1768. р=>-х- . 1769.Р— _ =^г
о о
я/?2//
^= 11,ЗЛО8 Г. 1770. Р = аЬупН. 1771. Р = —^— (вертикальная составляющая
направлена снизу вверх). 1772. 533—г. 1773. 99,8 кал. 1774. М = -~Гсм.
О 4
а
.__„ ЛА1т ,. ., яра* ^
1775.—т—гтч(«—постоянная тяготения). 1776. -тг-г. Решен ие. 0=
а (а + 0 у 8|х/ ч
о
о о
Указание. Ось абсцисс направить по большой нижней стороне прямоуголь-
прямоугольника, ось ординат — перпендикулярно к ней, в середине. 1778. Решение.
5=\ —А;; с другой стороны, -тт = а, откуда сМ = — ^1>, а следовательно,
14 Г. С. Бараненков и др.

418 ответы
2
С дю СО
время разгона ?= \ — = 5. 1779. Мх = — \ -у(* — О
= -г(/2 —л:2). 1781. (} = 0,12 Г#/2 кал. Указание. Использо-
Использовать закон Джоуля — Ленца.
Глава VI
1782. У = |- О/2-*2)*. 1783. 5 = -| (* + </) /4г2 + 3 (х - г/J.
1784. /Г4; 3^=4; /A; -1) = -2. 178Б.
1786. /(а:, *2) = 1+л;-л;2. 1787. * = -!?— .1788. /(л:) =
х У I
Указание. Представить данную функцию в виде / ( — ) = 1/ 1"~
и х* —— хи
и заменить— через х. 1789. /(*, г/)=г—-—-. Решение. Обозначим
х 1 - •
= и, х — у = ь. Тогда аг
(
^ста€тся переименовать аргументы и и о в х и
о) = 9
1790. / (и) ==ы2 -|- 2м; г = х —_1 + У^"» Указание. В тождестве
д; = 1 -\-{{}/~х —1) положим У^ — 1 =и; тогда л: = (м +1J и,следовательно,
1791. ((у) = >^1 +^2; г =Г[ У^Ч7/- Решение. Прил: =
/(и) = и + 2м. 1791. ((у) = >1 +^; г =Г[ У^Ч/- Решение. Прил: = 1
имеем тождество У"Г+~у2= 1 -/(у ) , т. е. /(^/) = У1 -{-г/2. Тогда / ( — )=
*
1 + (^\ = Ух* +у*. 1792. а) Единичный
круг с центром в начале координат, включая окружность (х2 -|-г/2«^ 1);
б) биссектриса г/ = л: I и III координатных углов; в) полуплоскость, расположен-
расположенная над прямой х + У = 0 (* + г/ > 0); г) полоса, заключенная между прямыми
у= ± I, включая эти прямые ( — 1 <;#<; 1); д) квадрат, образованный отрез-
отрезками прямых х=±\ и у=±1, включая его стороны ( — !*^д:<;1,
— 1<;^<Л); е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная
между прямыми у=±х, включая эти прямые и исключая начало координат
( — х^^/^л; при х>0, *«^#^ — х при х < 0); ж) две полосы х ^2,
— 2^#=^2 и *<; — 2, — 2^у «^2; з) кольцо, заключенное между окружно-
окружностями х2-{~у2 = а2 и х2 -(- у2 = 2а2, включая границы; и) полосы 2/ш^л;^
^Bл-|-1)я, #^0 и B/г -4- 1)я <;*<:Bя -{-2) я, у*^>0, где гх — целое число;
к) часть плоскости, расположенная выше параболы У — — хг(х*-\-у > 0);
л) вся плоскость ХОУ\ м) вся плоскость ХОУ', за исключением начала коор-
координат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у1 = х и вправо от
оси ОУ, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (дс^О, у^>Ух)\
о) вся плоскость, за исключением точек прямых х = \ и # = 0; п) семейство
концентрических колец 2я6 «^ х2 -|- у2 ^ я B^ -(- 1) (* = ^» Ь 2, ...).
1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключая

ответы 419
границу); в) куб, ограниченный плоскостями *= ± 1, у= ±\ и 2= ± 1,
включая его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, вклю-
включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня —- прямые, параллель-
параллельные прямой л:-|-# = 0; б) параболоид вращения; линии уровня — концентри-
концентрические окружности с центром в начале координат; в) гиперболический пара-
параболоид; линии уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка;
линии уровня — равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, обра-
образующие которого параллельны прямой х-\-у-\-\ = 0; линии уровня —парал-
—параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии
уровня — контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх2; з) линии
уровня — параболы у— С Ух; и) линии уровня — окружности С (х2 -\-у1) = 2х.
1795. а) Параболы у = С — х2 (С > 0); б) гиперболы ху = С (| С | «^ 1); в) окруж-
окружности х2 4- У2 = С2\ г) прямые у = ах-\-С\ д) прямые у = Сх (х Ф 0). 1796. а) Пло-
Плоскости, параллельные плоскости х -р- У + 2 == 0; б) концентрические сферы
с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды
вращения вокруг оси О2.\ при и < 0 — двуполостные гиперболоиды вращения
вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус хг -{- уг — г2 = 0
(И1=О). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) ек\ д) предел не существует; е) предел не
существует. Указание. В пункте б) перейти к полярным координатам.
В пунктах д) и е) рассмотреть изменение хну вдоль прямых у = кх и по-
показать, что данное выражение может стремиться к различным пределам
б зависимости от выбранного к. 1798. Непрерывна. 1799. а) Точка разрыва
при #=:0, у = 0', б) все точки прямой х = у (линия разрыва); в) линия раз-
разрыва—окружность лг2-|-г/2=1; г) линии разрыва — координатные оси.
2хц
1800. Указание. Положив у = ух = сопз!, получим функцию ух (х) =
которая непрерывна всюду, так как при у1 Ф 0 знаменатель хг-\- у\ Ф 0, а при
2х и
уг = 0 ф, (я) 2=5 0. Аналогично при х = л:1 = соп51 функция ф2(г/)= — не-
\+2
прерывна всюду. По совокупности переменных х, у функция г имеет разрыв
в точке @,0), так как не существует Ит г. Действительно, перейдя к поляр-
X -* 0
у -*- о
ным координатам (лг = гсо5ф, у = г8Шф), получим г = зт2ф, откуда видно,
что если х -*~ 0 и у -»- 0 так, что ф = сопз! @ ^ф^2л), то г -*- зШ 2ф. Так как
эти предельные значения функции г зависят от направления ф, то г не имеет
предела при ж-^0 и у -*■ 0. 1801. ^- = 3 (х* — ау), ^- = 3 (У — ах).
дг— 2У дг— 2х 1804 дг—-±
,804. $ = -^=> д* = - У ,805.
з/ »
Ух2 -У2' ^У Ух2 -у2' ' дх (Х2±у2K12
ху 18Обв дг__ 1 &.._ У
у1)'1'' ' дх ухг +у*' ду ухг + у*^ + ух* ^- у2)
1807. ^ = Л-т Р-=-тт—г- «808. ^- = ухУ\ ^
дх х' + У ду х* + У дх ду
1809 * — Ае"п1С05± ^_1е"п^С05^ ,810 ^-
дх гд д
— еС05± ^1еС05^ ,810 ^^МЕ
дх ^г х ду х х дх \ у \ (х* — <т)
^ дг
18,3. %

420 ответы
Л 1814. М2,1) = ~-, Г B, 1) = 0.
■* 2 у
1815. /'A; 2; 0)=1, /уA; 2; 0) = ~» /*A; 2; 0) = ~-182°- —
++)
1821. г. 1826. г = агс^^- + фМ. 1827. г= ~ + уЧпх + зАпу — ~ .
X А 2,
1828. 1I806 = 4, *вР = ». ^ V = 4"; 2> *8«=«>. *8 Р = 4. ^у = -у •
1829. -г- = —й, 31—у^» дЛ=~2"^а~^~^" *830' У К а 3 а Н И е# ПРовеРить»
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и воспользоваться
определением частных производных. Убедиться в том, что {х @, 0)=Д, @, 0) = 0.
1831. Д/ = 4Дх + Д*/ +2Д*2 + 2Д* Д г/+ Дх2Д */;<// — 4йх + йу;а) Д/ - <2/=8;
б) 1±{-й}=: 0,062. 1833. Лг = 3 (х2 - */) Лс + 3 (у2 - х) йу. 1834. йг = 2хуЧх +
. 1835. Лг = 2 ^ 2 (уйх — х йу). 1836. <& == зШ 2д: их —
ух -\~ у )
1837, йг = ужхУ-1Ох+хУA+у1пх)йу. 1838. аг =-~—г (хёх + у0у)9
х */
1839. с?/ = —^— (йх-~йу\ . 1840.^2 = 0. 1841. Лг — —*
~йу\ .
х
йи = уг 0х + гх йу-\-ху йг.
У)
1847. й/ C, 4, 5) =
= к= (Ыг — Ъйх — Ыу). 1848. Л/= 0,062 см\ Д/ = 0,065 еж. 1849. 75
(относительно внутренних размеров). 1850. -3- еж. Указание. Положить
о
дифференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал
радиуса. 1851. а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 ж (точнее
4,25 м). 1854. п ё ~~г~--. -1855. йа — — (йу со$ а — их зш а).
8 У 1& ®
1856. йг = е1(Пп* ~ Ц , 1857. **" = * с!е * ( 6
1ооо. —-тт- = ^* «П I Щ I -\ 1 —5-7 . 1о5У. —г, =
1860. ^ = (8Ш я)С08 * (соз я с1§ я — з1пх 1п зШх). 1861. ~ = —
1862. 45-=^-и; 4^
1863. ^ = 2^/'(м, V)-{-уё*у['(и, V); -*- = — 2«//я(м, V) •{-хе*у/'(и% V).
ох и оу
дг ^ дг л

ответы 421
*(*» У. *)№*(*% У) + *|>у (*, #) ф' (х)]. 1873. Периметр возрастает соскоро-
стью 2 л/се/с, площадь возрастает со скоростью 70 м%1сек. 1874. ~ ' ~--
1875. 20 1^5 - 2 УТ /ое/чос. 1876. - Ц^ . 1877. 1. 1878.^ . 1879. -
1880. ?|. 1881. СО5а + со5 р +соз у ^
1884. 9/ —3/ 1885. -1 E/ - 3/). 1886. 6/ + 3/ + 2*- *887. |§гаси|=6;
2 2 1 3
= —~, созуггг-тг-. 1888. со5 ф = -7^=:. 1889.
б 6 у ю
1891.
2 (г/~л:2) ^2 __ 2л:
+ у? ; ^ду ~
г2 —
д22 л: у а2? д2г
1т- ТГ!Г = /о , 2чз; > ^94. ^4- = 0. 1895. |4=
дхду Bху-{-у2У1* дхду дхг
-^-0- -*1 —^!1.—^- —1 1897 д3" в
дг2 дхду дудг дгдх дхдудг
1898. ^-^-2 — — х2усо$(ху) — 2х5{п(ху). 1899. /^@, 0) = т(т —1);
Су @» 0) — тп\ I" (О, 0) = п (п — 1). 1902. Указание. Проверить, поль-
пользуясь правилами дифференцирования и определением частной производной,
/ Г х2 — и2 Ах2и2 ~\ »
— «. /.. .а .. * у , ■** у I ^при х*-^.уЛфЪ)9 ^@, 0) = 0 и, сле-
следовательно, /^ @, у) = — у при х = 0 и при любом у. Отсюда (' @, у) = — 1,
в частности, /^@, 0) = —1. Аналогично находим, что ^ @, 0) = 1
1903. ^ = 2/; (а, о) + 4^2/';и (и, V) + 4xу^"аV (и, V
= /„(«, ») + 4^/вв(а, у) + 2
= 2/; (и, г) + 4^ (и, о) + 4х«С (и, о) + *гС (". «)•
1904. 5?=/ + 2/ + ^
1905 • д*= [ (<) + У ^ + ' (^} + ' Ф + '
х Ф + / (% + * Р + * У % + /
= /яя (Фу)' + 2/ш7 Фу ^У + /^ (V
1914. м(х, у) = ф (л:) + \|? (у). 1915. и(х, У) — х<р (у) + $ (у).
1916. й2г = е^[(г/^+д;^J+2^^]. 1917. Фи = 2(х&удл+уйхдл+гйхйу).
14* Г. С. Бараненков и др.

422
ОТВЕТЫ
1918. й2г = 4ф" (/) (хйх + у йуJ + 2ф' @ (й*2 + йу2).
х
~У~
1919. йг =
х
т
ху
X
X
йх-{-х\п —
\п — \п — + 1п —
У еу х у
й2г =
у2 1гг
ех
У
У_
х
йу + ( х2 \п2
1920. й2г = а2?' (и, V) йх2 + 2аЩ" (и, V) йх йу +
(и, о)
= (г/е*/; + е2'/
'^
+
(\+ху)
= е^ (соз ус1х3 — 3 $[п у их2 йу — 3 соз у их йуг + з!п г/
^3 3 Ж2 ? ? й
= — у соз х ах9 — 3 §ш х
— 4й* йу -\- 8йх йг
1928.
у
— 3 соз г/ с?д: йуг + у / (
й2 1925* <*7@, 0, 0) = 2с?д:2 + Ыу2
1922. й*г~
1923. й3г =
й(/8. 1924. й/A; 2) = 0;
1930.
1931.
1926. ху-\-С. 1927.
1929. ~-1г
. 1932. а = —1, 6=—1, г =
л:
ЬС 31 /л + ^ + С 1932. а 1, 6 1, « ^ ,
1933. л:2 + г/2 + г2 + ^ + ^ + уг + С. 1934. х* + 2хуъ + Зхл +у2- уг—2г + С
1935. х2уг - Зху2г + 4х2у
У
+ С.
1936.
1937.
—
У
-^+ —+ С.
2 X
г/2 + г2
. 1938. А, = — 1. Указание. Написать'условие пол-
ного дифференциала для выражения X их -{-У йу, 1939. /^ = /' 1940. а =
=Г
____ ь
а2г/' йх2
агуг' йх
^== — ^-4. 1942. Урав-
а
йу
нение, определяющее г/, есть уравнение пары прямых. 1943. ^=тз—х^=
У &У= У ,945 (йу\
у — \ йх2 (\ —у)*' \
8 или —8. 1946. -^ =
,944. ^ =
й*у___2у
йхг~~
йу х + ау й*у (а
йх ах — у йх2 \ах —
. 1947. Л=11,
,2 •
дг х2 — уг дг 6у2 — 3#з — 2
ху
2'
ду
3 (**/ - г2)
г
д; — соз
Л: 51П Г/ — СОЗ 2 дЛ , ^ _*_
ду соз х — у 31П г " # дл: д# 2
дх2
дл: соз л: — у зш г '
с2я дг с2у #
4 (аг — х2)
дх а2г
алог*
1953.
йу\
1954.
1955. йг
—
й*г = -^(йх2 + йу2)
1961. Ч-
1956.
= р—.(йдс + йг/);
1 й2г 4

ОТВЕТЫ
423
1962. йу —
х(у — г)
Ах;
б.г
дх ' ду ' дхг
(У-г)
1963. ^ = ^
ду
д2и
х* (у - гI
дхду
(IV —
1
ду
1+У
A+УJ *'
1965.
Фя
1966. а) ^ =
дх
С31ПУ
и
ссо5V
дг 1
дг
в) йг =
>-а)#1. 1967. 2=
1970.^=0. 1971. а)
1*
_2 = 0. 1976.
дг
. 1974. * = 0. 1975. «*-
&г _ 1 32 дт
ди дх) 2а ду оу
1979. ^ = 0. 1980. ^ = ~.
= 2-^/; б)
= 0. ,977.
. а) 2х- 4у- з-5 = 0;^— =
-4 у-3 2-4 .
— = —7— = —г-: в) *
/? сов а у — /? 31П а г —
соз а
с2
О
1982.
/а2 + б2 + с2' /а2 + Ь2 + с2
1985. * + 4у + 6г=±21. 1986. х±
1983.
а2 + Ь2 + с*'
- 169=0.
+ + 1 + 4- 1987. В точках
(| гЬ 1; 0) касательные плоскости параллельны плоскости Х02\ в точках
@; 0; 0) и B; 0; 0) — плоскости У02,. Точек, в которых касательная плоскость
я
была бы параллельна плоскости ХОК, на поверхности нет. 1991. -=■ .
{2 = 0
, , ' 1 л Проекция на пло-
х2 + у* -— ху — 1 = 0. *
скость УОгА^
-|- +22 — 1 =0. Проекция на плоскость ХЭ1: \ — +22—1=0.
Указание. Линия касания поверхности с цилиндром, проектирующим эту
поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое
место точек, в которых касательная плоскость к.данной поверхности перпен-
перпендикулярна к плоскости проекции. 1996. Дя+Л> у + к) = ах* + 2Ьху + су2 -{-
^4**

424 ответы
(Ьх+ су)к + аНг + 2Ькк + ск2. 1997. /(х,у) = 1 -(х + 2)*+
\( + )(у) + 3(у1)г 1998. Д/ 2Н + Ь4к* + кк + кгк
1999. 1(,у,) () + (уУ + A) + ()(у
2000. Нх + Н, у + к, г + 1) = Г(х, у, е)-{-2[к(х-у-
, к, I). 2001. у + ху + 3*гуз7 У>• 2002-' ~
> 2008. ]+©-]) + №-1)(у-1). 2004. 1+ [(х-
1(-^+^-Ц)]'+[(:-1)+(г/+11'. а)
->-^ 6,
4> [(Зт* — 4т) а2 — Зтясф + C«8 — Щ Р2]. 2006. а) 1,0081; б) 0,902. Указа-
о 2
н и е. Применить формулу Тейлора для функций: а) / (*, г/) = У х у у в окре-
окрестности точки A; 1); б) / (х, у) = у* в окрестности точки B; 1). 2007. 2 =
= 1 -Ь 2 (■« — 1) — СУ — 1) -8(х-1J+10(*-1)(</-1) - 3 0/ - IJ + ...
2008. гт1П=0при х = 1, # = 0. 2009. Экстремумов нет. 2010. гт\п = — 1
при *=1, ^/=0. 2011.^ гтах= 108 при _х = 3, г/^2. 2012. 2т1п = — 8
при ж=>/~2, (/=-/2 к при # = — У*2, й|=уг2- При х = г/= 0экст-
ремумов нет. 2013. етах = —— в точках х = -^=., у=—=^ и * =
3 / 3 Т^З 1^3
#=--рг=. 2014. ?гоах=1 при « = у = 0. 2015. гт1п = 0 при х — у = 0-,
У з
нестрогий максимум % = — в точках окружности хг-\-уг=\. 2016. 2шах =
;-=1, г/ = — 1. 2016.1. гт1п = 6 при д: = 4, ^ = 2.
2016.2. гтах = 8е~2при л;==^.4, у==—2; экстремума нет при * = 0,
4 2 1
0 = 0. 2017. «т,п = —~ при * = — -^-, у== —~, г=1. 2018. итШ = 4
при « = -^- , #=1, г=1. 2019. Уравнение определяет две функции, из ко-
которых одна имеет максимум (гтах = 8) при лг=1, у = — 2, другая —
минимум Bт7П = — 2) при *=1, «/ = —2; в точках окружности (л;--1J-{-
4-(^ + 2J = 25 каждая из этих функций имеет краевой экстремум г = 3.
У к а з_а н и е. Упомянутые в ответе функции определяются явно равенствами
2 = 3 ± 1^25 — (х — IJ — (у + 2J и существуют, следовательно, только вцутри
и на границе окружности (х — 1 J + (^/ 4" 2)* = 25, в точках которой обе
функции принимают значение г = 3. Это значение является наименьшим для
первой функции и наибольшим для второй. 2020. Одна из функций, определяе-
определяемых уравнением, имеет максимум(гтах = — 2) при# = —1, у = 2, другая— ми-
минимум (гт1п=1) при #==—1, г/ = 2; обе функции имеют краевой экстремум
в точках кривой 4л:а — 4^а — 12* + 16# —33 = 0. 2021. гтах=-т- при х =
~у—Ц>- 2022' Етах = 5 при *=1, у = 2\ гт1п = —5 при
Ц
лллл 36 18 12
= — 1, «/ = —2. 2023. етШ = ^ при ^= ^

ответы 425
9я
,^ +кЩ 2т{п = ^— при
Зя
-з" + Ля. 2025. ат|п = —9 при х = —1, */ = 2, г = —2;
"тах = 9 при х = 1, г/ = —2, г = 2. 2026. ытах = а при х=±а, г/ = г ;
аш1п = ^ при х = # = 0, г=±с. 2027. ытах = 2-4-68 при * = 2, г/ = 4.
г = 6. 2028. итах = 44/27 в точках (-1; 1; 1); [1; -*-, -*.
7 4 ' 4 \ '
Т ; "; ТУ'1 ат*п~4 в точках <2' * *) B; 1; 2) A; 2; 2). 2030. а) Наи-
Наибольшее значение г = 3 при лг = О, у=1, б) наибольшее значение г = 2 при
х=1, г/ = 0. 2031. а) Наибольшее значение г=-Дт= ПРИ х=± "I/ А.
ЗУ 3 ^_ 3
/*— 1/ _1_; наименьшее значение г = т=. при д:=± 1/ ^ „
у"~ V 3 3/3 Г 3 ' у~"
= — Т/ -о-; б) наибольшее значение г = 1 при я=±1, {/ = 0; наименьшее
3
значение г = —1 при х = 0, г/=±1. 2032. Наибольшее значение г = —
л
л
при х = «/ = -х- (внутренний максимум); наименьшее значение 2 = 0 при *■=
о
= [/ = 0 (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г = 13 при х = 2,
у = —1 (краевой максимум); наименьшее значение г = —1 при* = # = 1
(внутренний минимум) и при х = 0, # = —1 (краевой минимум). 2034. Куб.
2035. $/27, 1/2У, -^ 1/2У. 2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб.
2038. а= у~а. */И . */"а • $/"а. 2039. М Г—~; —^.2040. Стороны тре-
угольника: тР.тРи^-. 2041. х = ■ '—:1-~—— , у =
4 4 г 2 Щ+Щ + Щ
2042. Г~7гН ==3. 2043. Измерения параллелепипеда: —= , -7=. -7= »
где а, 6 и с — полуоси эллипсоида. 2044. х = у = 26 -(- ^/2К, 2 =— #
2045. х=±-?=1, г/=± -т=г. 2046. Большая ось 2а = 6, малая ось 26=2.
У 2 у 2
Указание. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от его центра (начала
координат) равен хг-\-уг. Задача сводится к отысканию экстремума функции
242 при условии 5х* + &ху + 5/ = 9. 2047. Радиус основания цилиндра
_ __
Т У ^ Т^1» высота Я \/ 2 — » гДе ^ "" РаДиУс шара. 2048; Канал
^ г у 5 г у 5
Т^1» высота Я \/ 2 —
у 5 г у 5
должен соединять точку параболы [ ~; -^] с точкой прямой 1
его длина -^— . 2049. ^ /2730. 2050. —-?= -^. Указание. Оче-
8 14 $1п р VI
видно, точка М, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна нахо-
находиться между А! и В19 причем АМ =—?^-, БМ = 5» АМ=а\&а.% ВгМ
соз а со$ р 1 * *

426 ответы
г=61§р. Продолжительность движения луча равна [ «.Задача
"V* СОЗ ОС и2 СОЬ р
сводится к отысканию минимума функции /(а, Р) = 1 « при ус-
и-1 СОЗ СС и2 СО5 р
Ловии, Ч7оа{%а~\-Ы%$=с. 2051. а = р. 2052. /,:/2:/8 = — :— :—т.У к а за-
" ^ "
I 2 3
йие. Найти минимум функции /(/„ /2, /8) = 1\%х + 1\%г + ^з^« ПРИ Усло"
вии, что 1г-\-12 + /, = /. 2053. Изолированная точка @; 0). 2054. Точка возврата
2-го рода @; 0). 2055. Точка самоприкосновения @; 0). 2056. Изолированная
точка @; 0). 2057. Узел @, 0). 2058. Точка возврата 1-го рода @; 0). 2059. Узел
@; 0). 2060. Узел @; 0). 2061. Начало координат — изолированная точка, если
а > Ьу— точка возврата 1-го рода, если а = Ь, и — узел, если а < Ь. 2062. Если
среди величин а, Ь и с, нет равных между собой, то кривая не имеет особых
точек. Если а = Ъ < с, то А (а, 0) — изолированная точка; если а < Ь = с, то
В(Ь, 0) — узел; если а = 6 = с, то Л (а, 0) — точка возврата 1-го рода.
2063. у=±х. 2064. у2 = 2рх. 2065. у= ±/?. 2066. //з +//з =/2/з.
2067. #г/ = — 5. 2068. Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравнения
которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид
ху=±1т-. 2069. а) Дискриминантная кривая у — 0 является геометрическим
местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная
кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения и огибающей
семейства; в) дискриминантная кривая у — 0 есть геометрическое место точек
заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается
на прямые: х — 0 (геометрическое место узловых точек) и х = а (огибающая).
2070. у = -±—*^-. 2071. 7~. 2072. /9 + 4л2. 2073. /3(е*—1). 2074. 42.
1§ 2*^ «3
2075. 5. 2076. хо-\-го. 2077. 11 -| ц-. 2079. а) прямая; б) парабола; в) эллипс;
г) гипербола. 2080. 1) ^а°; 2) а^-; 3) ^«° + я^- 2081-
2083. х =
^ + ^в^^ +
о т/~~о
= 4 5Й1/ (эллипс); ^ = 4у, «; = —3/ при г = 0; V — у^—1
3 т/~~9 тг тг
^—* —2 / 2/при/ = —;*=;—3/,в>== — 4(/ при ^ = т. 2084.^=
= 2 со5_^ г/ = 2 81п /, 2 = 3/ (винтовая линия); я = — 2/ зш г + 2/соз / + Зк;
V = 1^13 при любом /; %о = —2/соз / — 2/31п/; до = 2 при любом /;
ю — 2] + Ък, п> = — 2/ при/=0; ^ = —2^ + ЗА?, » = —2у при /=-^-.
2085. д: = соз а соз о/; # = з1п а соз со/; г = зт со/ (окружность); я =
=—со/ соз а зт со/ — соу зт а зт со/-)-^ С05 ©^ 0=1 ю |; та> = —со2/ соз а соз со/ —
— ©2у зт а соз со/ — со2# 31п со/; ку = со2. 2086. V = У ь20х -(- ^
. 2088. соТЛг2 + /г2, где со = -т- — угловая ско
г- . "|/9
рссть вращения винта. 2089. К ЛJ + и20 — 2асо1>о зт со/. 2090. х = ^- (/ + к);

ответы 427
V = — У; Р = ~A - к). 2091. т = ~4= [(соз /—з!п 0 / + (з!п /+СО5 *) у+*1;
^= — [(зЫ -}-соз *)* + №/ — соз 0 Ук соз(х, г)=-?-^-; соз(|Сг)=0.
й
/105 У 5 — азш*
г/ — а зт * г — Ы , ч л:—а соз * г/—а зт * 2—&* .^
= (касательная); —;—т-т— = —т г == (бинормаль);
г г(касательная); ;тт т
а соз / Ь Ь 5Ш / —Ь соз
л: — а соз 2 # — а зт г г — Ы
.— ==^—.— — ==—«
(главная нормаль). Направляющие косинусы
а зт ^ о а соз * Ь Т.
касательной: соза= -.; гп^р == ■; соя у= ■ . Ня-
^2 + ^2 ^ У2 + Ь2 У2+Ь*
правляющие косинусы главной нормали: соз а, = соз г\ соз (^ = з1п г\ соз уг = 0.
2094. 2й;~ 2 = 0 (нормальная плоскость); ^ — 1 = 0 (соприкасающаяся пло-
% 2 о 4 2 8
скость); х -\- 2г — 5 = 0 (спрямляющая плоскость). 2095, —-— = ^— = *
(касательная); дс -{- 4# -]- 122 — 114 = 0 (нормальная плоскость); \2х — 6^ -(- 2 —
** /3 ^2
^ — " ^~"Т 2~ "
— 8 = 0 (соприкасающаяся плоскость). 2098. —та— = —:—=—-} (ка-
* * 1
сательная); ^ , ^ = уз7* ^ — 21* 1 (главная нормаль);
1 (|
= __1 (бинормаль); ^(|; -у; -§■); М2 ^4; -1;
= ' . =—х— (касательная); #-}-# = 0 (соприкасающаяся плоскость);
д: —2 г/ + 2 2 — 2. д: —2 ^/ + 2 2 —2_
= ^—^-г—= р (главная нормаль)} . ■ = ^—==т~7;—(бинормаль)}
Я Я /2"о
1 2^22
= °- 2098. а)
= -?=, СО5 72 = °- 2098. а) —— =——= _ ,-
у. 1 ц тштт 1 у
(касательная); х у2 — 2 = 0 (нормальная плоскость); б)
= .= г
х — 2
(касательная); лг + #-|-42 — 10 = 0 (нормальная плоскость); в) —7^=:=2
Л, у о
= ^'"" — = ""*/-— (касательная)} 2"^^ + ^/— 2>^"з = 0 (нормаль-
ная плоскость). 2099. х-\-у = 0. 2100. л: — г/ — 2 |/"= 0. 2101. а) Ах — у —
— г — 9 = 0, б) 9* — 6# + 2г — 18 = 0; в) Ь2х\х - аУ0# + (а2 — Ьг) г\г =
= а26г (а2 — Ь2). 2102. 6л: — 8у •— г4-3 = 0 (соприкасающаяся плоскость),
_— = ^—=—^ (главная нормаль); -—^-=^— = -у~(бинормаль).

428 ответы
ЯОЗ Ъх— г =г О (соприкасающаяся плоскость); '> (главная нормаль);
*-О. \ №ормаль);х = 7^^==?!=^г: ,=^2106.2*
+ 19? - 27= 0. 2107. а) УТ; б) ^ . 2108. а) К = * ^2 ^
111 -—-—, гиг. К.
22 ш _ о ч/га
х тЛн' я г 14
22 л , /19
Глава VII
2 25 тг О
2113. 4-д-. 2114. 1п^. 2115. ^. 2116. ±. 2117. 50,4. 2118. ^-. 2119. 2,4.
2120. ^ .2121.^ = ^—15 ^ = 2 — у\ ^ = — 6; «/ = 2. 2122. ^/ = Л у =
; д:г=3. 2123, р = л:; ^ == 10 — дг; # = 0; г/=4. 2124. у=^-\
о
— ]. % -—. ^ 2125 # 2=г 0' г/ =^ у 25 — дг2# х = 0* лг = 3 2126 I/ =
12 2 1
■= — 1: * = 2. ?127. С
0 0 0 0
11 1 Л 1 2— V
2128. ^ йу^1{х, у)йх—\. Ах^Цх, у)йу. 2129.
0 у 0 0 0 0
1 2 2-Х 2 |
11 1 ^ , УLу. 2130. ^ Лх ^ /(а:,
0 0 10 1
4 2 5 2 7 2
= 5 ^1 ?{х, у)Ах+^ау^?(х9 у)ах+$4у § /(*, у)Ох.
2 1 4 1 Ъ У—8
2 «__
1 у VI Уъ - у* о Уг -
2131. ^ф ^ /(л, ^)б/л:+ ^ йу ^ Цх, у)йх~ ^ их $ {(х,у)йу-\-
/
18 2 Г 2
2132. ^ йх^1(х, у)йу*=\йу ^ Цх, у)их.
о /"у
-1 гх
2133. ^ ^ ^ /(д;, у)|Г0+$ ^ ^ У(ж. у)*+ $ йх
-2 -УГ^

2 Ул-х*
ответы
— у*
429
у2
- Уа
йу
Их, У)**
— 2
2134.
5
— V» — *а
2
\
"" 2
—1 —
2 -
УТ -
V"! '—
\
— VI + Ж»
Цх,
у2 — 1
—1 V» — у»
V»
у
, У)Ох.
11 —X
2135. а) ^йх ^ Цх%
оо
о
— у в
^ Цх, у)От, б) ^
о — а „
Цх, у)йу =
ух
; в)
- у3
° - V^с - л:2
5 йу
-х I-
х* у)с1х' г)
, у)Ох:
у-\-2а
ах
га а
га а
Их, у)йх=
о у
о о
а о
2а х— 2а
1/
48 У 3 2 2 3 1
2136. $ * ^ / (*. У) Лх. 2137. ^ ^ ^ / (л:, «/) ^л: + $ йу ^ / (л;,
0 21 ° Л. 2 2.
12 8 8
а
2138.
У) ^ +
0 У а2—
,2 л
2139.
/(д:, у)ёх.
о
2
д У7 а~ У а*-у*

430 ответы
а а-У а*-у* а га ъУ1а га
2140. ^йу $ ^ 5 ^ $
0 У1
КГТ _
О Г 1 1-Х 2 У
3 /(д,
2141. ^ Же 3 /(д, */)<**/ + ^ ^ /(д:, *,) Л*,. 2142. ^ ^ ^ /(*, уLу +
—1 0 0 0 0
УТ 1 У1 У*-*3 —т~ у
1<1х^Г(х9у)ау+ ^ Ох ) Пх,У)Лу. 2143. { # $ К* У)йх.
Л о -/^ ° о у
г '
1 те —агсз1пу
2144. [ау С ?(*. Й^«- 2145- ■§". 2146- -| • 2147. у а. 2148. | . 2149.6.
агс$1п у
2150. 1. 2151. 1п2. 2152. а) 1; б) ^~^; в) 2 ~. 2153. Н^ р5
, У, _(*-!)« 4 8 ^
2154. С л?а: Г хуау=^. 2155. -^-аУТа. 2156. ~ я^8. Указа-
1 О
2К/? У=/(Л) 2Я /?A-С05<)
н и е. \ С у их йу = V й* \ г/ с?у = V ^ A — со$ 0 й1 С у йу, где по-
о о о о
следний интеграл получается из предыдущего в результате замены
* =«(/- з1п *)• 2157. ^. 2158. ~. 2159. аг+^.
Т СО5 ф 2 $Ш ф
2160. С сГф С г/ (г соз ф, г 31П Ф) йт + С с(ф ^ г/ (г со$ ф, г 31П ф) .^г;
2161.
0 0 те_ 0
4
ТС 2
Т СОЗ СР
С ^ф С г!(г)йг. 2162. ^ ^Ф ^ г/ (г соз ф, гз!пф)йг.
О
1С О
4
те з!п ф «и 1 81 п ср
Т СОЗа ф 4 $\пу 1С СОЗа<р
2163.
О* 0 « О 8Я О
Г 7
11 в«
Т а ^"соз 2ф л а У соз 2<р
2164. С ^ф ^ гДгсозф, Г з!п ф) От + ^ ^Ф ? ГЦ' соз ф, г зт ф) йг.
1С О «Я О

ответы 431
я
Т а соз
2165. \ с?ф \ г2з1пф^/' = 7^- 2166« т^яа4. 2167, -^,
2
2171. -х-паЪ. Указание. Якобиан 1 = аЬг. Пределы интегрирования:
о
5 г»
^ \ / (м — а^, аг) и йи. Решение.
а о
Имеем д;=аA— V) и у = ш)\ якобиан / = а. Определяем пределы и как
от функции у: а A — г) = 0 при # = 0, откуда и = 0 (так как 1—г^О);
а = -| при # = с. Пределы изменения а: так как у = ах, то
= <хиA—и), откуда о=. , ■■; для г/= рл? находим р= р. .»
1 Я 2 2 — Я
2173, /=1 Г^
^ ^^
О — Я 1 И—2
О 2-4-Р 1 2—'
I —V О V
Указание. После замены переменных уравнения сторон квадрата будут?
Л--,- . Г/ а2 Ь2 \ , ак , а&1
\_\Н2 кг ) ЬН Нк\
Iаг Ь2 \
Решение. Уравнение кривой г* = г2 1-г^- соз2ф — -гг 51П2 ф ), откуда ниж-
\Л « у
ний предел для г есть 0 и верхний г= 1/ -г^ соз2ф —-р-зт2 ф. Так как г
должно быть вещественным, то -р-соз2ф —-р-31п2ф ^0; отсюда для первого
координатного угла имеем *§Ф<^гт. Вследствие симметрии области интер-
С/ ГЬ
рирования относительно осей можно вычислить — всего интеграла, ограни-

чиваясь первым квадрантом: \\с1хс1у = 4 \ с?ф \ аЬгдт%
(8) о о
1 У~у « У~у а
2175. а) 4~; ^йу ^ а*+[*У § ^ б) ^ —у*
О _ |^~^ 1 у — 2 0 а—36

432
ОТВЕТЫ
2176. а) у; б) \2 + ~)а\ 2177. 12.. 2178. ^ а1. 2179. я. У к а*
за ние. -1<лг <1. 2180. ^УТб. 2181. з/^ + ^Л. 2182. ^ —
2183. -^-па*. 2184. 6. 2185. 10я. Указание. Сделать замену
переменных х — 2у = «, 3* + 4г/ = у. 2186. — (Ь — а) (р — а).
3
11 IX
2187. -1
Ъ С С С С паг
— аIп — . 2188. о= \ йу \ A — х) их = \ их \ A — х)Лу. 2193. -т->
о у
2194. 1. 2195. 1. 2196. ^. 2197. ^. 2198. ^Х 2199. ^.
4 6 3 4а 5 105
2200.^. 2201.2^. 2202. яа3 (а - 0). 2203. 4 ла8 B У 2-1).
2204. -^ яа3 (У - 1). 2205. ^-. 2206. 4-яа^. 2207. ^ (б УТ- 5).
О О О О
2208. —а8. 2209. яа A - е~*\ 2210. ^2^. 2211. -
2212. 1-^— B1Л2— 1). Указание. Сделать замену переменных ху = и,
2- = ь. 2213. ~Уа2Ь2 + Ь2с2+с2а2. 2214. 4(т~п)^2. 2215.
х 2 ' 1 х 7 ^
Указание. Интегрировать в плоскости У'02. 2216. 4а2. 2217. 8а2 агс$1п — .
- а
2218. у яа2 C УТ—1). 2219.8а*. 2220. Зяа2. Указание. Перейти
к полярным координатам. 2220.1. Указание. Спроектировать поверхность на
3
координатную плоскость ХОУ. 2220.2. а2 У~2. 2221. <у=~яа2 ^ *
о
Указание. Перейти к полярным координатам. 2222. -^ а8 и 8а2. Указа-
УТ
ние. Перейти к полярным координатам. 2223. 8а2агс1й -Ц- . Указание.
5
а ^-. а
"Та г
С Г айу С а
о= \ их \ г ' г = 8а д агезш .-/-.■ 9йх. Интегрировать по ча-
^ ^ У а2 — х2 — уг ^ 2 У а2 — х2
0 0 0
стям, а загем сделать подстановку * = —^г—зШ?; ответ преобразовать.
2224. ^FУ62 + с2-аУа2+с2 + аМп^-^-Ц^==^^]. Указание.
Перейти к полярным координатам. 2225. -^-—. 2226. ^ %
О

ответы 433
9997 7 — 12-Я . 7Г— П 999Й 7— Л П' Ы — П 9990 7—
2227' *-3D-я)' У "" 6 D - я) • *2228в "ба>у"-2229" *
# = 0. 2230. 1 = -|; 1/:=0. 2231. /*=4. 2232. а) /0 = ~
б) ^=-бтФ4-А 2233. / = -|-а4. 2234. ~ а\ Указание.
Ь4 о о
о ТаЗс
/=\с?д: С (у-\-а)*с1у. 2235. 161п 2 — 9-*-. Указание. Расстояние
о -У ах
точки (^, ^) от прямой х = у, равное й = ■ ■ _^, находится с помощью нор-
нормального уравнения прямой. 2236. / = --/га5 [7|/"~2 + 3 1п {\Г2-\- 1)],
где Л — коэффициент пропорциональности. Указание. Поместив начало
координат в ту вершину, расстояние от которой, пропорционально плотности
пластинки, направим оси координат по сторонам квадрата. Момент инерции
определяется относительно оси ОХ. Переходя к полярным координатам, имеем!
4 а зес <р 2 а созес <р
1Х = С Жр С Аг (г зШ фJ г йг -(- ? <2ф ? */■(/■ 31П фJ г Дг. 2237. /0=т^
0 0 те о
4
- 2239
1 I — X 1 — ДГ — у
грирования / и ^ (см. задачу 2156). 2240. \ их \ йу \ /(л:, у, г)<Хг%
2238. /0 = ---. 2239. т^ яа4. Указание. Принять за переменные инте-
-х* И
2241. \ их ^ ^ ^ / (*, у, г) Л.
~ V а* - х*
2242. \
а
У а^Ъ*
I Уг— х2 Уг—х* —у*
2243. Г их \ йу \ 1(х, у, г)йг.
2244. ^C1 +12 УТ-271/7). 2245. ^р . 2246. ~> 2247.
^C1 +12 УТ-271/7). 2245. ^р . 2246. ~>
2248. {1п2-^, 2249. ^!A8УТ-^). 2250. ^ я^. 2251,
2252. 4-^«^- 2253. 2^!^!, 2254. я^8. 2255. ~а2. 2256. 4
О 4 У О

434 ответы
2257 ^я#*. 2258. -5- 2259. Щ-агк. 2260. ^г па9. Решение.
15 10 У 4
— х% 2а 2 га соз
= 2 С ЛВ ^ ^ С Д?2 = 2 С б(ф С
0 0 О 0 0
тс тс
оо о
19
зание. Перейти к сферическим координатам. 2262. -^-я. Указание.
а8
Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. -^ (Зя — 4). 2264. паЬс.
У
2264.1, ^~. 2264.2. ~-(/Т-1)аЬл 2265.
2266. ^ Fсг - аг - б2). 2267. Г= 0; 7= 0; 7= -| а. У к а з а н и е.
1\ О
• — 4 — —
Ввести сферические координаты. 2268. * = —, # = 0# г = 0.
о
2269. - (За2 4* 4^2). Указание. Ось цилиндра принимается за ось 02,
плоскость основания цилиндра — за плоскость ХОУ. Момент инерции вы-
вычисляется относительно оси ОХ. После перехода к цилиндрическим коорди-
координатам квадрат расстояния элемента гйуйгйг от оси ОХ равен г2 зт* ф -[" г2«
2270. -^ B/12 -(- За2). Указание. Основание конуса принимается за пло-
плоскость ХОУ, ось конуса — за ось 01. Момент инерции вычисляется отно-
относительно оси ОХ.Переходя к цилиндрическим координатам, для точек поверхно-
поверхности конуса имеем: г = —- (к—г), причем квадрат расстояния элемента г скр йг йг
от оси ОХ равен г2 зт2 ф -{- г2. 2271. 2л&д/г A — соза), где & —ко-
—коэффициент пропорциональности и д — плотность. Решение. Вершина ко-
конуса принимается за начало координат, а его ось — за ось 02. Если ввести
сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет
я к
яЬ = -7: а, а уравнение плоскости основания — г = ——-. Из сим-
метрни следует, что результирующее напряжение направлено по оси 02.
Масса элемента объема с1т = дг2 сов \р йцй^йг, где @ — плотность. Компо-
Компонента по оси 07, притяжения этим элементом единицы массы, находящейся
в точке 0, равна —~з1п я)? = кд зт я|? соз я)? й^ й(р йг. Результирующее притя-
2те Т Лсозесф
жение равно \ с?ф \ й\р \ ^д з!п я|? соз я|? ^/-. 2272. Решение. Вве-
0 0 О
дем цилиндрические координаты (@, ф, г) с началом в центре шара и
осью ОЪУ проходящей через материальную точку, массу которой полагаем
равной т. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через \% Пусть
г = }^д2 -|- E — гJ — расстояние от элементарного объема дм до массы т.

ответы 435
Сила притяжения элементарного объема дп шара и материальной точ-
, (IV М
ки т направлена вдоль г и численно равна —кут-?, где У = "-т
плотность шара и (IV = @ о*ф с1д Лг — элементарный объем. Проекция этой силы
на ось Л2. будет:
кту (IV ,^4 , Е — г ...
==: 1— со5 \гч == — кту —т— р «ф ад аг.
.
Отсюда Р = — ^ту \ шр \ (| — г) аз \ -^-~ = «ту ~ л;/?8 -^^
^ ^_ и г 6 1*
о —/< о
00
4 кА\п% С* 9
но так как -«-у я#8 = Л1, то р = %2 . 2273. — \ у2е~~ху йу — е
00
Г
1 1 О
2275. а) — (р > 0); б) при р > а; в) -гпГйз (Р > 0); г) -г^-, (р>0).
1 2
2276. 1-. 2277. -5-. Указание. Продифференцировать два раза
00
е~Р1Ш=—. 2278. 1п-2-. 2279. агс1& — — агс!д—. 2280. ~-1пA+а).
р ос т т 2
о
2281. я (]Л — аг — 1). 2282. агсс^-^-. 2283. 1. 2284. ~. 2285. ~.
р 2 4
2286. —2. Указание. Перейти к полярным координатам. 2287. !-—- .
2288. 2г-. 2289. Сходится. Решение. Исключим из 5 начало координат
вместе с его в-окрестностью, т. е. рассмотрим /в = \ V 1п Ухг -\- уг их йу9
I гД I
где удаляемая область — крур радиуса в с центром в начале коорди-
2* 1
нат. Перейдя к- полярным координатам, имеем /в= \ йу Г г 1п г йг =
о <•
2ТС X
1 Р 1 /в* в2 1\
"~ТУ^| С?Ф==2Я \,Т"~Т1П8""Т;' Отсюда
в
тс
1ип /в = г-. 2290. Сходится при а>1. 2291. Сходится. Указа-
ние. Окружаем прямую у=х узенькой полоской и полагаем
2292. Сходится при а > -|- . 2293. 0. 2294. 1п
2295. а6(а;+16+б). ^296. 2^а». 2297. * [A
о (а о; 15 о [
. * [(

436 ОТВЕТЫ
2298. '1^т - 2299. а*У2- 2300. 1E6^7-1).
2301. 1^^ агс!§ ^ . 2302. 2яа2. 2303. ~ A0 УТ5 - 1). Указание.
^ , у)&$ можно геометрически интерпретировать как площадь цилиндри-
с
ческой поверхности с образующей, параллельной оси 02, основанием — кон-
контуром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной функ-
С 3
ции. Поэтому 5= \ х Лз, где С — дуга О А параболы у = -—х2, соединяющая
с
точки @;0) и D; 6). 2304. а"^3. 2305. 2( Ь2 -I— яггя!п ±-± -) .
\ Уаг - Ь2 а /
2306. У^Т^(пУ^Т^^'+^\п2пЬ + Га
(л. л \ й ЪМтЪ
■1 а, 4 а) . 2308. 2ла* /а2 + Ь2. 2309. /
(л. л \ й
■1 а, 4 а) . 2308. 2ла* /а2
о о /
)
у (а2 -+-
2310. 40^. 2311. - 2ла\ 2312. а) 4? 6H; в) ^; г) - 4;
д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. — 2я. Указание. Использовать
параметрические уравнения окружности. 2315. -5- аЬ2. 2316. — 2 8Ш 2. 2317. 0.
^2318. а) 8; б) 12; в) 2; г) ^-; дIп (* + */); е) \ <р (*)<**+ Н (у)
*1 У1
2319. а) 62; 6I; в) -~ + 1п2; г) 1+У2Г 2320. /Г+72 - |Л + Ь\
2322. а) х2 + Зху - 2у2 + С; б) х* - х2у + дгг/2 - у8 + С; в) вх "У (х + у) + С;
/ \
) + у у + ) у + / у + ; ) ( + ) +
A я Т/2 \
2326. а) - 2; б) абс - 1; в) 5 Уъ г) 0. 2327. / = ЭД у2 их йу.
2328. — ~. 2329. -~^-. 2330. — ~-. 2331. 0. 2332. аH; б) 2пя. Указа-
о 2, о
ние. В случае б) формула Грина применяется в области, заключенной ме
жду контуром С и кругом достаточно малого радиуса с центром в на-
начале координат. 2333. Решение. Если считать, что направление касатель-
касательной совпадает с направлением положительного обхода контура, то
со$ (X, п) = СО5 (У, $ = ~, следовательно, ^) со$ (X, п) й$ = ф ~ <& =
5 с с
= ф йу~ 0. 2334. 25, где 5 — площадь, ограниченная контуром С. 2335. — 4.
с
3
Указание. Формулу Грина применять нельзя. 2336. паЪ. 2337. -^- яа2.
3
2338. бяа2. 2839. -^-а2. Указание. Положить #=г&, где I —параметр.

ответы 437
2340. ^г. 2341. я (Я + г) (Я + 2г); 6лЯ* при Я = л Указание. Уравнение
Г)
эпициклоиды имеет вид х = (# -{- г) соз < — г соз —^- ^ у = (/? -{- О з!п * —
— /• з!п —^~ *, где г — угол поворота радиуса неподвижного круга, про-
3 /?
веденного в точку касания. 2342. я (/? — /") (# — 2г); — пЯ2 при г = -т-.
о 4
Указание. Уравнение гипоциклоиды получается из уравнения соответствую-
соответствующей эпициклоиды (см. задачу 2341) заменой г на — г. 2343. РЦ.
к
2344. /725 (*1 — *2). 2345. — (а8 — Ь2), где к — коэффициент пропорционально-
пропорциональности. 2346. а) Потенциал (/ = — тдг, работа /п^ (гх —• гг)\ б) потенциал
^ = ^1, работа ^ — ; в) потенциал {/ = (л:2 + Уг + ^2)»
г У а2 -|- б2 + с2 2
работа ^(^2--г2). 2347. ^ па\ 2348. ^ла * а Г ° . 2349. 0.
2350. -1яаЬс. 2351. — . 2352. — . 2353. ^ >^ + 1 а# 2354. 2^1-1 Л*.
3 2 4 10E/5-1) 2
2355. а) 0; б)— ^С (соз а + соз Р + соз у) й8. 2356. 0. 2357. 4я. 2358. — па\
2359. -Л 2360. « «и. » = «, ?2 = ^. 2361. 0.
^г/ дг дг дх дх ду
2362. 2[[(х + у + г)ахйу0г. 2363.
(й? + Ш + ^?) ^ йу йг' 2365# За*# 2366# Т'2367# У
(V)
2368. —^— . 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы. 2373. Окружности
2 = с2. 2376. §га(И7(Л) = 9/ — Зу —ЗЛ; | ^гай (У (А) \ = /99=
л://; х^у^г. 2377. а) у • б) 2г; в) - р-; г) Г П-у .
2378. §гай (сг) = ^; поверхности уровня — плоскости, перпендикулярные к
вектору с. 2379. |^ = Е^, ^=|вгасШ1 при а = Ь=с. 2380. ~^ =
-С05^' Г); ^ = 0 при /1г. 2382. у. 2383. A!уа = у
у
2385. а) <Нуг = 3, го!г = 0; б) с! IV (гс) = ™ , го! (гс) = ^^;в) (Ну (/(/■)<?)=
(), (/(г)с) р^Хг. 2386. й1у«» = 0; ГО1ФГГГ2Ш, где <о =
<оА. 2387. 2сол°, где п° — единичный вектор, параллельный оси вращения.
2388. (Ну &Хд V = —^ + ?х + ^ 5 го18гай (У = 0. 2391.

438 ответы
2392. а) 1я#*ЯC#2+2#*);. б) ^ яК*Н (К2 + 2#*). 2393. (Ну
всех точках, кроме начала координат. Поток равен — 4лт. Указание.
При вычислении потока использовать теорему Остроградского — Гаусса.
г
2394. 2я2/12. 2395. ~" "^ . 2396. /7= ^/-/(г)**/-. 2397. ~-. 2398. а) Не имеет;
'"о
б) (/= *г/г + С; в) Ц = ху + хг + уг + С. 2400. Да.
Глава VIII
2402 —- 2403 • П 2404 -— 2405 п "т~ 2
"^ 2л' 2й-|# ЛМ# я2' ЛиЬ'
2407 * 2408 ... Bя — 1) 240(. /_1чп+1 9410 /г**")"
2407- п(/г + 1)# 1.4.7...(Зл-2)# '{ 1) * '
2416. Расходится. 2417. Сходится. 2418. Расходится. 2419. Расходится.
2420. Расходится. 2421. Расходится. 2422. Расходится. 2423. Расходится.
2424. Расходится. 2425. Сходится. 2426. Сходится. 2427. Сходится. 2428. Схо-
Сходится. 2429. Сходится. 2430. Сходится. 2431. Сходится. 2432. Сходится.
2433. Сходится. 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Рас-
Расходится. 2438. Сходится. 2439. Сходится. 2440. Сходится. 2441. Расходятся.
2442. Сходится. 2443. Сходится. 2444. Сходится. 2445. Сходится. 2446. Сходится.
2447. Сходится. 2448. Сходится. 2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Схо-
Сходится. 2452. Расходится. 2453. Сходится. 2454. Расходится. 2455. Расходится.
2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Схо-
Сходится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464. Сходится.
2465. Сходится. 2466. Сходится. 2467. Расходится. 2468. Расходится. Указа-
н и е. -2±!> 1. 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Схо-
Сходится абсолютно. 2473. Расходится. 2474. Сходится условно. 2475. Сходится
абсолютно. 2476. Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится
абсолютно. 2479. Расходится. 2480. Сходится абсолютно. 2481.Сходится условно.
2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходится; б) сходится абсолютно; в) рас-
расходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рассмотреть
сю
ряд 51 (агк-\~\тагк)* а в примерах б) и в) исследовать отдельно ряды
Л 1
а2*-1 и 2 а*ъ- 24&>- Расходится. 2486. Сходится абсолютно. 2487. Схо-
дится абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489. Расходится. 2490. Сходится
абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно. 2493. Да.
2494. Нет. 2495. ^ я*» ; сходится. 2496. У ,о<| . ; сходится.
2497. Расходится. 2499. Сходится. 2500. Сходится. 2501. |/?4| < щ , ^К
2502. ^п<2^П=2пBп + 1)Г Указание- Остаток
ряда можно оценить с помощью суммы геометрической прогрессии, пре-
Г 1 1 /IV 1
вышающей этот ОС1 аток: Нп = ап — г-т 4- I -тг 1 ■;—т—гг,—гтг: + • • •
|_2п-|-1 1 V 2 / (п -[- 1) (п -|- 2)

ответы 439
2503'
(я+2)(л+3)
„-{-г ■ч<^я(л + 1)^(я + 1)(п + 2I п
2505. Для данного ряда легко можно найти точное значение остатка:
гп
Решение. Кп = (п 4-1) ( 4-) +(/1 + 2)D-) +...
Умножим на
2П + 2 / 1 \2«+4
Вычитая, получим:
гп
1 16
Отсюда находим приведенное выше значение Нп. Полагая п = 0, находим
сумму ряда 5=(~] . 2506. 99; 999. 2507. 2; 3; 5. 2508. 5 = 1. Указа
ние. ап = —г. 2509. 5 = 1 при *>0, 5 = — 1 при х < 0; 5 = 0
при # = 0. 25Ю. При ^>1 сходится абсолютно, при #«^1 расходится.
2511. При #>1 сходится абсолютно, при 0<#«^1 сходится неабсолютно,
при х<; 0 расходится. 2512. При х > е сходится абсолютно, при \<^х^е
сходится неабсолютно, при #«^1 расходится. 2513. — оо<#<оо.
2514. — оо<л:<оо. 2515. Сходится абсолютно при х > 0, расходится при
х^©. Решение. 1) |ап|^-^, а при л:>0 ряд с общим членом -^
сходится; 2) -^.^1 при *^0, а сов пх не стремится к нулю при п—► оо,
так как из созлл;—»-0 следовало бы, что со$2пх—►—1; таким образом,
при #<:0 нарушен необходимый признак сходимости. 2516. Сходится
абсолютно при 26л < х < Bк + 1) л (/г = 0, ± 1, ±2,...); в остальных
точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно
при х 5*0. 2519. *> 1, *<— 1. 2520. х > 3, х < 1. 2521. х^\, *<- 1.
2522. х^ 5 ~ , *<4~. 2523. д: > 1, * < — 1. 2524. — 1 < х < — -1-,
1 °°
<^<1. Указание. При Э1их значениях х сходится как ряд \^хл, так

440 ответы
00
V-, 1 ,1
и ряд у ,—п,* ^Ри 1*1^* и ПРИ |*|<-у общий член ряда не стремится
к нулю. ^2525. — 1 < а: < 0, 0 < а: < 1. 2526. — 1 < х < 1. 2527. — 2<х < 2.
2528. -1<л;<1. 2529. -^г<*<~ . 2530. — 1 <х<1. 2531. —1<ж< 1,.
У 2 У 2
2532. — 1 <*< 1. 2533. — оо<*<оо. 2534. х = 0. 2535. — соО<оо.
' 1 1
2536. — 4 < х < 4. 2537. — у < х < -~ . 2538. — 2 < х < 2. 2539. — е <х<е.
2540. — 3<*<3. 2541. — 1 < *< 1. 2542. — 1 < х < 1. Ре ш е н ие. Рас-
Расходимость ряда при | х | ^ 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что рас-
расходимость ряда на концах интервала сходимости х= ± 1 обнаруживается не
только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью при-
признака Даламбера). При | х \ < 1 имеем:
(/I _1_ IV V(га-ИI
п-*<х>
. л+1
1)*п1п|<Ит(л+1)|*|я = Цт
п\ X
X
(последнее равенство легко получить с помощью правила Лопиталя).
2543. — 1^*^1.. Указание. С помощью признака Даламбера можно не
только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда
на концах интервала сходимости. 2544. — 1<;*<;1. Указание. С помощью
признака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и исследо-
исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 2545. 2<д:^8.
2546. — 2<х<8. 2547. — 2 < х < 4. 2548. 1<д:<3. 2549. -4<*< — 2.
2550. * = —3. 2551. - 7 < х < - 3. 2552. 0<д: < 4. 2553. —1^<: л: < — .
2554. —е~ 3<*<е — 3. 2555. — 2 <* <0. 2556. 2 < х < 4. 2557* 1 < *<3.
2558. — 3<*<— 1.2559. 1 < х < \-) . Указание. Прих = \±1-
1 \«а
1+7Г 1
ряд расходится, так как Шп п■ ' = -у= Ф 0. 2560. — 2<лг<0.
«-►оо ^ )^ е
2561. 1< л; <3. 2562. 1<д:<5. 2563. 2<*<4. 2564. | г \ < 1. 2565. \г |< 1.
2566. | 2 — 2* |< 3. 2567. | г \ ОПТ. 2568. 2 = 0. 2569. | г |< оо. 2570. \г |<~ .
2576. — 1пA —л:) (— 1<д:<1). 2577. 1
2578. 1|п[±^(|д:|<1). 2579. агс18*(|*|<1). 2580. —1^. (
2581. (З^гр^ПяК1). 2582. -А_(|х|<1). 2583.
2584. у(агс18^-^-1п|-=^^(|д:|<1). 2585. —^ . У к а з а н и е. Рас-
смотреть сумму ряда х—о~ + ^ ••• (см. задачу 2579) при х = ~
2586. 3. 2587. а* = 1 + V * " а- ( — оо < х < оо). 2588. 81п [ х +~
X9 . X* , X*

25$9. сов (х + а) = С08 а — л: 5ш а —
;ш I а
... +(-1Г~1
С08а + -^ 81па + -— С08а + ...
5^_2^
2! 4! ' 6!
+.. .(-со < а:<со). 2590. йп«хН=- - ЧН ^
Bл)!
...(- оо <*< оо). 2591.
I. Указание. При
исследовании остаточного члена воспользоваться теоремой об интегрирова-
3
00
нии
степенного ряда. 2592. *_ = — V (п + 3) д:" (| * |< 1).
2593.
За: —5
00
_ 4а;
2594-
00
^ ^ _±_ ( _ 00< д; <00). 2595. е^2 = 1 + У^(- оо<д:<оо).
«1=1
00
2596.
00
/1=0
Bл + 0^
— оо < л:<оо).
00
2599. 2 >;(-!)» (П+/О1}Г;Г + 1 (~ со <>< сю).
Bл+ 1I
00
260%.
2-4-6 2
00
2602. 2 "
/2 =
2604.
2606.
2607.
! 4-
7 Г. •• '
ЬЗ-5...Bп-1)
2-4.6...
2601. 4-
1 I * ' *
^
00
" — 1
А
п
1
2
00
П
00

2п
2608.
15 г. С. Баранеиков и др.
2-4-6...2п
(-сс<д;<сс).

442
ответы
00
2609.
2610.
11 (— со<*<оо).
«-. 1 4-9" -Д- V1"
*^ | *" (-

2-5*»
я._12-5.8...C/г-4)л;"
00
(-оо<*<оо).
2612. 1-
00
2613. 1 + т
2615.
2616.
00
00
-й)~
п
—К * < 1)
00
= 0
00
2617. х
Л=1
2619. * + ;Д=.
- 1)"
00
Bп
2618.
2620.
2622.
г3
2624
. -^+^ + ^+.. V
И
2621. *-±.
2623.1+^
±-
2625.
~-
2626. У к а з а-
н и е. Исходя из параметрических уравнений эллипса # = асо$*, у=
вычислить длину эллипса и полученное выражение разложить в ряд по степе-
степеням е. 2628. *8 — 2*2 — 5х — 2= — 78+59(д: + 4)— 14(х + 4J +
+ (д: + 4)8 (— оо<д:<оо). 2629. /(* + Л) = 5а:8 — 4д:2 — Зх + 2 +
+ A5л:2 - 8* - 3) Н + A5* - 4) Л1 + 5Л8 (— оо< х <оо; - оо < Л < оо).
00 00
(- \)п-Л*-х) (о < ^ <2). 2631.
2630.
(— 1)п (^ - 1)" @ < х < 2).
И=1
И=0
2632.
2633.
(—2<*<0).
/2 = 0
00
— 2).
00
2634. 2-(")'1
л=о

ответы 443
2635. .-[1+
Л=1
ЬЗ (х-4У 1-3-5 (х-4? , , „,., 1-3-5...Bп -3) (л:-4)" |
4-6 2- 4-6-8 ' 28 т*—"Т '' 4-6-8... 2л 2*»~~"*"'**
2637. ][] (- 1)»1_12__ (| * [<со). 2638. 1 +
2Л-1
ОО 4П~* ' X -- 1 00
Bп- 1).
П=0
1 ^
Указание. Сделать замену = / и разложить
\их по степеням*. 2640. г4- + 4" ("гт-У + ^4 Ггт-У + • ••
1-3-5...BЛ-3)/ х \» , / 1
1; +^
2641. |Я|<^<^. 2642.
| О \ О /
-}- г—- . ^ 0,523. Указание. Чтобы доказать, что ошибка не превы-
превышает 0,001, нужно оценить остаток с помощью геометрической прогрессии, пре-
хг
вышающей этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1 =- • 2645. Два члена,
7
т. е. х — ^. 2646. Восемь членов, т. е. 1 + V -\. 2647. 99; 999. 2648. 1,92.
2649. |Д|< 0,0003. 2650. 2,087. 2651. | л: | <0^69; |д:|<0,39; |д:|<0,22.
2652. | х |< 0,39; |х|<0,18. 2653. у — ^ ^гО,493Ь. 2654. 0,7468.
2655. 0,608. 2656. 0,621. 2657, 0,2505. 2658. 0,026.
оо
ж-1 (х — и\гп
2659. 1+ 2,1. (-1) BяI (-оо < л: < оо; -оо<у<оо).
2660. ^(-1)"(дгг/J^ + у) (_оо<*<оо; -оо<у<ео)

2661. ]Г (-1)»-'1 B;_1I (-оо<дс<ос;
ОО
2662. 1 + 2 V («/ - *)»; \х-у\<\. Указание. ?
2
. Воспользоваться геометрической прогрессией.
\-(у-х)
15*

444
ОТВЕТЫ.
оо
п \ 1,п
2663. •— V * ~^У ■ (—
п=.\
1; —
00
2664.
. Указание. агс!§
1
1). Указание. 1 — х —
2п + \
= агс!§х -\-
(при
2665. {(х + к, у-\-к) — ахг-\-2Ьху-{-су2-\-2(ах-\-Ъу)к-\-
+ су) к + аН2 + 2ЬН + сА;2. 2666. / A + Л, 2 + Л) - / A, 2) = 9Л -
00
2667.
К*-
+ 2I*
2668. 1
V
Bл)!
2!
3!
2670.
00
1+^2 2(с1—с2)\?\8тBп-{-
^^—2 я 2а 2п+1
2 '
Ь —а
Я=-0
00
2F — а) ^1 соз Bя -|- ^)х
Я я~ 2-1 Bл 4-1 )■
5 (± п) =±: я2. 2674. —
я
2 , о
аг-\-пг
(а соз л* — гх зш пх)
;
2зт
СО
л „„ 2 31П ЙЯ \^ , , чИ АХ 5И1 ПХ
я) = сЬ ая. 2675. > (— 1) —г г » еслиа—не целое; з1п ах, если
СО
а - целое; 5 (± я) = 0. 2676.
(- 1)"
, если а — не
целое; соз ах, если а — целое; 5 (± я) = соз ап.
ао
2677/ 2&ЬйП
2678.
ая
я
00
1 I
2а '
1 чи
а2 4- л
ОО
= сЬдаг. 2679,
00
оо
я я я
-г»б) ^-; в);
;

ответы
445
4
00
л*
00
2я
8
я B/5— I)8'
Я1 п. Я*
2)
2683. а)
я
я
2684. а)
2 \11""С
— /.
л Ш п
зтпх; б)
Л = 1
пп
т
а2 + л
4 +
2 1 я
п
С08
4
-
П=\
€О
2686.
B/г -
где 6гЛ =
2
Bя - IJ *
!
И=:1
2687. —
л
8
Г,. ' • 2688. -^У (
Bп — I)8 я ^^
Я». =1± +
00
С08
)•
2690.
2А
я
00
Л=1
г—
пк )
соз пх
]
2691. 1-^ + 2 V (-
2 ' ^--^
.2692.1
И = 2
1+ У (-1)»-С^
2 ' *-* 4п*—
И
1С
2694. Решение. 1) а2
2 Г
я ,;
2
— 1. Г / (х) сое 2пх их +
я ^
те
я
я
С08 %пх их. Если сделать замену ^ = -п—х в первом интеграле
"К
2
и * = х — -тг- во втором интеграле, то, воспользовавшись предположен-
тождеством /(—--|-М=— / (--— ^\ 9 легко обнаружить, что ам = 0
0 1 2 )
ным
= 0, 1, 2, ...);
те
2
2 Г* 9 р О Р
2) Ьт = — \ / (*) 81п 2пх ^д:= — \ / (х) 8'т 2пх их + — \ / (х) згп 2пх их.
те
т

445
ОТВЕТЫ
Та же замена, что и в случае 1), с учетом предположенного тождества
("о"+М!=/ (-о—Ч приводит к равенствам 62л=0(/г = 1, 2, ...).
2695. 4- -Д
00
оо
2 VI 31П
2697. зЬ/
/соз
ЯП 51П
ППХ
П
2698.
оо
. ляле
51П—=—
оо
00
2699. а) —
2700. а) — 71 ( —
: + 1
. ЛЯ*
51П —
оо
Bп-
со
б) 2 &
Bп—
2701. а) ^ Ьн$т-^, где
П=1
оо
_ 8 Г я
я [2^+1 B6+1K] *
.15; б) 1«!_16 7| (-!)«-
пх
СОЗ -тг-
00
Л=1
<2702. а) ^7, (-1)»
б)__
С05B/1+1)ях
Л = 0
00
?703.
3 2яа
п
а
соз
2лядс . 1
со
V* СОЗ 2П
2~к 7?
Глава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да;
б) нет. 2710. Да. 2714. у—ху'=0. 2715. ху'— 2у=0.
2716. г/—2лг!/' =0. 2717. хс1х+уAу = 0. 2718. у'=у. 2719. 3#2—л;2 =
= 1. 2721. ц = ху'\п— . 2722.
= 2хуу*. 2720. хуу' ^
2723. уп—у'— 2у=0. 2724. / + 4*/ = 0. 2725. I/'" — 2г/"+ ^' = 0. 2726. у"=0.
2727. /'=0. 2728. A+г/'2)«/'"-Зг//^2 = 0. 2729.
2730. г/ = д:е2Ж. 2731. */=— созх. 2732. г/ = -^-( —
2738. 2,593 (точное значение # = е). 2739. 4,780 (точное значение
^ — 3(е—1)). 2740. 0,946 (точное значение у=1). 2741. 1,826 (точное
Л
значение 1/=
= 0. 2744.
2742.
2743.
= 0. 2747. у =
2750. 1/ = 1.
2745. у =
у
с. 2748. 2е2
2751.
2746.
2749.

ответы 447
2753. х + 2у + г\п \2х + Ъу- 7|=гС. 2754.
2755. 0,=^^ или у* =
1 V*
2756. 1пд = - ъ 1п | созф | + С или 1п | х | — кл= С. 2757. Прямая у=Сх
Л СОЗ ф л/Х^"
или гипербола у = —. Указание. Отрезок касательной равен
Л). 2758. у*-х* = С. 2759.
х
С
о
= шс2. Указание. По условию — = —*. Дифференцируя дважды по х,
х 4
[уйх
о
получим дифференциальное уравнение. 2762. у2 = -^х. 2763. у=>г4 — л:*4"
2 тЛф хъ
. 2764. Пучок прямых у = кх. 2765. Семейство подобных
х
эллипсов 2х2 + У* = С2. 2766. Семейство гипербол х* — у2 = С. 2767. Семей-
С С х '
ство окружностей *2-{-(#— бJ = б2. 2768. у = х\п—. 2769. г/= — ,'
Л X /л
2770. х = Се У . 2771. (* — СJ - у* = С2; (д: - 2J - е/3 = 4; у= ±х.
2772. ]/ — + 1п|у| = С. 2773. у = Ях^-^; х = о. 2774.
♦
= С. 2775. у = ху\-^х. 2776. (* + */- 1)8 = С (д: -
2777. Ъх + у + 2\п\х + у-1\?=С. 2778. 1п 14л: + ^ + +
2779. х2 = 1 — 2г/. 2780. Параболоид вращения. Решение. В силу сишлет-
рии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат
помещается в источнике света; ось ОХ — направление пучка лучей. Если
касательная в любой точке М (х, у) кривой сечения искомой поверхности
плоскостью ХОУ образует с осью ОХ угол ф, а отрезок, соединяющий начало
координат с точкой М (х, у),— угол а, то !<* а — ^ 2ф = ^ Щп- . Но 1§ а=— ,
1 1§ ф X
1^ф = ^'. Искомое дифференциальное уравнение у — уу'г — 2хуг и его реше-
решение у2 = 2Сх -(- С2. Плоское сечение — парабола. Искомая поверхность —
параболоид вращения. 2781. (х — уJ — Су = О. 2782. х2 = С Bу + С).
X
2783. Bуг — х2)8 = Схг. Указание. Использовать, что площадь равна \ у их,
а
у * +
2784. у=Сх —*!п|*1. 278«. у=С^ + ^- ^7«е. у = ~ж + ~.
=С. Указание. Уравнение линейно относительно
278». * = |у—I. 278^.
~. 278». * = |у—I. 278^. ^ = ^ + 2^=

448 ответы
2790. у = 1(*У1-* + агс81п*) ]/ [^. 2791.
с
2792. у(х24-Сх) = \. 2793. у2 = х\п—. 2794. х2 =
х
2795. I/8 C + Сбсоз л) = х. 2797. ху = С^ + а^. 2798. г/2 + * + ау = 0.
2799. * = 1/1п^. 2800. — -}- —=1. 2801. *2 + #2 - Су + а2 = 0.
2802. ^ + ху + у2 = С. 2803. ^ + *^ + *" = С. 2804. ~ —А*г
+ 2лг + ^- = С. 2805. х2 + у2 - 2 агс1§ ~ = С. 2806. х2-
о X
2807. "— + ^7 = 2. 2808. 1п / л: I — ^-== С. 2809. ~ + ^.—С.
2810. —\пх-\гу2 = С. 2811. (* зш у + У соз г/ — 81п г/) в* = С.
2812. (л^С* + 1 — 2Сг/) (д:2 + С2 — 2С«/) = 0; особый интеграл х2 — у2 — 0.
2813. Общий интеграл (# + СJ = я8; особого интеграла нет. 2814. Общий
(х2 \ / V2 \
интеграл!— — г/ + С 1 ( х — ~- + С ) =0; особого интеграла нет.
2815. Общий интеграл_ у*-\-С2=±2Сх\ особый интеграл я2 — у2=±0.
У" \\\
1 Уз
2816. , = 1сов,±1^8.„х 2817. { ^^шр+созр
2818. / * = ^ + ^ + С' 28.9.
У Р
Особое решение у = 0.
2Ъ20. 4у = х2 + р\ 1п|р—*| = 41Г
р х
2 1 2
2821. 1пУр2 + Уг + агс!§Л = С, д: = 1п у Г^^ . Особое решение у = е^.
2822. У-С + ^;у-±2х. 2824. , {,_С(,+р),-,_р1 + 2#
л; = 1п|р / — агсзшр+ С, ооог 1
2823. ^ V 2825.
у"~ 6
Указание. Дифференциальное уравнение, из которого определяется х как
х2
х
функция от р, однородно. 826. у = Сх-{-Сг\ у — —-г. 2827. г/ = Сл:-(-С;
особого решения нет. 2828. у = Сх + У\ +С2; х2-{-у2 = \. 2329. у =
^-; г/2 = 4л:. 2830. ху = С. 2831. Окружность и семейство ее
с»
касательных. 2832. Астроида хг1* -(- г/2/8 = а2/з. 2833. а) Однородное;
# = л;#; б) линейное относительно л:; л: = му; в) линейное относительно у\
у=.ш)\ г) уравнение Бернулли; # = и1г, д) с разделяющимися пе-
переменными; е) уравнение Клеро; привести к виду У = ху'±У~у'3\
ж) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х\ з) уравнение Бернулли;
\ и) приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными

ответы , 449
и = х-\-у\ к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х\ л) уравне-
уравнение Бернулли относительно х\ х-=.шз\ м) уравнение в полных дифферен-
дифференциалах; н) линейное; у = ио\ о) уравнение Бернулли; у = ш.
2834, а) з1п -^- = — 1п | л: | + С; б) х = у-е<У+1. 2835. х2 + У* = Су2.
2836. у — хг\г' 2837- *#(с — -^ \ъ%х\ = \. 2838. */ = Сл;+ С 1п С;
особое решение у = —е*~{х+1\ 2839. у=Bх-\-У—аС; особое решение
а \ х3 — 1 1 1 1
У ^= -—. <2оЯМ. бу -+- Ш
4х
1
2842. */ = л;2A+Се*). 2843. * = #2(С - е^)- 2844. */ = Се-81п * + зш л:
2845. у^ах + СУТ^х1. 2846. # = —^-- (л; + 1п \ х\ +С).
X -\- I
2847. л: = Се81П У — 2а A + 8Ш ^). 2848. ^ + Зх + у + 1п 1(лг-т—3>101 у — 1 |8]==С.
2849. гагс^^^^ЬСл:. 2850. х*= 1 — — + Се~Т. 2851. дг'^Сб^ — у—2.
2852. 1/ ^- + 1п | х | = С. 2853. г/ = х агсз1п (Сд:). 2854. у*~Се~2Х +1-
4 1
-=- соз х. 2855. л:у==С(«/ — 1). 2856. х = СеУ — — (зш ^
о - ' ■ ^
2857. рУ = С(р-\). 2858. л:* = Св4^ — 1/» —|- г/2 —|" ^ "~ ^ •
2859. {ху + С)(х*у + С) = 0. 2860. Ух2 + #* - — = С. 2861. лг^-^^С.
2862. I х = ^ - ^'2+ р + ^ 1п (Р + УТТ?). 2863.
2864. 2ех-у* = Су*. 2865. 1п
х —
у2 у
2866. У2+Се~т + - 2 = 0. 2867. х2-у = Се~а. 2868.
С^ ^2870. , = С8т,-а. 2871. ^^ 1
4(*2-1)з/2
2872. (^-С^)(^2-^2 + С) = 0. 2873. С+
2874. д:8 + #У — У2х — У* = С 2875. р2 + 4{/2 = Сг/8. 2876. у = л: — 1.
2877. # = л;. 2878. ^/ = 2. 2879. у = 0. 2880. # = у (зЫ л: + соз х).
4
б) у = Сх, где С — произвольно; точка @; 0) — особая точка дифференци-
дифференциального уравнения. 2884. а) У2 = х, б) у2 = 2рх; @, 0) —особая точка.
2885. а) (х — СJ + у2 = С2; б) нет решения; в) хг-\-у2 = х\ @, 0) — особая
х
точка. 2886. у = е У . 2887. у = (У~2а ± у ^J 2888. #2 - 1 - г ~*.
2889. г = СбасР. Указание. Перейти к полярным координатам.

450 ответы
2890. 3*/*-2х = 0. 2891. г = *ф. 2892. х* + (у - Ъ)* = ЬК
2893. */*+16х = 0. 2894. Гиперболы у2 — х* = С или окружности хг +1/* = С8.
2895. # = -~-(е* + е~*). Указание. Использовать, что площадь равна
2
С УГ+у^йх. 2896. * = — + Су. 2897. |^=4С(С+Л—л:).
2
, а длина дуги С УГ+^й 2896
о о
2898. Указание. Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести
.и центробежной силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за
ось ОУ и обозначая через со угловую скорость вращения, получаем для
плоского осевого сечения искомой поверхности дифференциальное уравнение
#/з^ = ю1** 2899. р = е-°»еоо1в7Л. Указание. Давление на каждом уров-
уровне вертикального воздушного столба можно считать обусловленным только
давлением вышележащих слоев. Использовать закон Бойля — Мариотта, по
которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное
уравнение йр = — кр йк. 2900. 5 = — Ыхю. Указание. Уравнение ^5 =
. 2901. 8=(р + -^и>\к1. 2902. Т = а + (Т0 - а)е'м. 2903. Че-
(з V
-=-} об\мин. 2905. За 100 лет распадется 4,2*/0
начального количества С}^ Указание. Уравнение — =^= к(}; () =
I
1600
Г 1 \1600
= дв( — \ . 2906. /^=35,2 сек. Указание. Уравнение я (Л* — 2/г) АН =
1
Тгш * Указание» Уравнение
== ^° ("о") # ^^®' ° "*" 1/ X" ПРИ ' "*" °° (^ "~ коэффициент пропорциональ-
пропорциональности). Указание. Уравнение т -г-== т§ — /гу2; V = |/ ~г- 1Ь И Т/ — ) .
2909. 18,1 кг. Указание. Уравнение -п=^[-^- — о?^ ] •
ах \ о О\)\)I
Е —<
2910. / = р, . , 2 а [(^? 81п Ш — Ьа со$ «о/) -|- ^-«>^ х' ]• Указание. Урав-
нение Щ + Ь^2 = Е^пШ. 2911. у = л 1п |х 1 + 0^ + 0,. 2912.
^\. 291а У=1п|в1* + С1|-* + С1. 2914. у=С, + С2 \п\х\.
2916. у — Сгв0**. 2916. # = гЬ/С^ + Са. 2917. у = A +С*) 1п
2918. (х- С^ггга^
2919. У = ^Aп \х
1
2922. у=±—\ху С?-ха+С>С5*п~| + С* 292Э. у =
« I

ответы 451
2924. у = (Схх - С2) ес« * + С,; у = |- хг-\- С (особое решение). 2925. у=Сх хХ
Х(х—С1)+С1; У=А}+С (особое решение). 2926. У=*^+^ + С1х\п\х\-{-Сгх+С3.
2927. у=81п(С,4-ДР) + С,д:+С,. 2928. у=х* + 3х. 2929. у=~ (х*+\). 2930. у =
У—С,
= * + 1. 2931. у = Сх\ 2932. ^ = ^1^^^ ; ^=с. 2933. *=С,
1 С^
2934. зс=С,-4-1п
с
2
2935. а: = С,#» + у 1п У + С2.
2.
2936. 2*/2 - 4*2 = 1 2937. у = х+\. 2938. у= *^ —е1=±\п \х\
ИЛИ У =='2(в^+1) ^ е~4Г 1п\*\- 2939- у==ТхК 294°* у==\хК
2941. у = 2б*. 2942. д? = — -$-(у + 2)*. 2943. у = в*. 2944. ^ =
- 1
21/~2~ ~~~ 8 Зв9Х
9СкЛ^{ II —— . у 2 9СLА // — 9047 11 — «1РГ* у
2948. |/ = 81п х + 1. 2949, у —?- — -!-. 2950. д: = — 4-«"у* 2951. Решения
о
нет. 2952. у = ех. 2953. ^ = 21п|д:| — —. 2954. у=
X
4 — хъ
С(|1J +С2. Особое решение у — С. 2955. у = Сх у+
Особое решение у = ^Х^^ -{-С. 2956. I/ == -^(^ + л:L + С2л: + С,.
2957. у = С, + Сгв^!^; г/ = 1 — в^; у = — 1 -(- е "л;; особое решение
А. 2958. Окружности. 2959. (х — С,J — С2#2 + кС\ = 0. 2960. Цеп-
У = тА. 2958. Окружности. 2959. (х С,) С2# + кС\
С* — #
V %
ная линия 1/ = асН——- . Окружность (л: — ^0J -(- I/2 = а*.
2961. Парабола (л: — ^0J = 2аг/ — а2. Циклоида # — х0 = а A — зш (), у
= а A — соз 0- ^962. еаУ + са — зес (ад: + Сх). 2963. Парабола. 2964. у =
1, где Я-постоян
и
ное горизонтальное натяжение, а — г=а. Указание. Дифференциальное
е ^~ =^- у 1 + (^)- ^б5- Уравнение движения -^^
а — рсо$а). Закон движения 5 = ~- (»1п.а — }Х соз а). 2966. 5 =
уравнение
а — рсо$а). Закон движения 5 = ~- (»1п.а — }Х соз а). 2966. 5 =
= ~ 1п сЬ и у & — ) * Указание. Уравнение движения т -^==.

452 ответы
1
(Л \ 2
-г- ) . 2967. Через 6,45 сек. Указание. Уравнение движения
30(Ы*к
•—~тгг =— 10р. 2968. а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) нет; з) да.
2969. а) у" + у = О\ б) уГ - 2у' + у = 0\ в) х2у" - 2ху' +2*/ = 0; г) уГ' - Зу" +
' —2у = 0. 2070. у = Ъх — 5х*-{-2х\ 2971. у= —(С^&х+ С2со$х).
Указание. Применить подстановку у = ухи. 2972. у = С^ + С21п л:. 2973. г/ =
= Л 4- Я*2 + **• 2974. г/ = -о" -}- Л * -| . Указание. Ч астные решения од-
о Д:
нородного уравнения у1 = х, у2 = —. Методом вариации произвольных по-
х
X Х^
стоянных находим: С1 = -7г-\-А\ С2 = ^-\-В. 2975. у = А + В $тх-\-
+ + 1 {%\ |1п |созл:| — ^созл:. 2976. у=С1е2Х-\-С2е8х.
2977. у=С1е~** + С#*х. 2978. у~С1+С2ех. 2979. у — Сх соз д: + С2 зш д:.
2980. ^/ = е* (С! соз д: + С2 31П д:). 2981. у — е ~2Х (С1 соз Зх + С2 З1п Зл:). 2982. у =
= (с,+с^) е~х- 29?_3' ^=е2" <с1е* /г+ С2е ~х уг)- 2984* Если л > °' у—
+С2е ~ж КАг ; если А; < 0, у ~ С, соз У""^1д:+С2 зт'уг~^~кх. 2985. у=
. 2986. у=е« ( С, соз
2987. г/ = 4^ + е4*. 2988. «/ = ^"Л. 2989. у = зы2х. 2990. г/=1.
2991. у~асЪ — .2992. г/==0. 2993. у = С8'тпх. 2994. а) д:е2^ (Лл^ + Вх + С);
б) Л соз 2х-\-В зт 2д:; в) Л соз 2* -(- В 31П 2л: 4- Сд:2е2^; г) ех (Л соз д: 4- В зт д:);
д) е* (Ах2 4- Бд: 4- С) 4" хе2х (Эх -\- Е); е) хе* [(Ах2 + Вх-{-С) соз 2х 4
4- (Ох2 + Ех + Р) зт 2д:]. 2995. у = (С, 4~ С2д:) е2д? 4" Bл:2 4* 4л: + 3). 2996. у=
о
= еТ (С, соз ^
4- С2 з!п ^-^-) 4~*8 4~ Зл:2. 2997. I/ = (С, 4~ С2х) е~х
4- -^ в2^. 2998. ^/== С,е* + С2е7* 4~2. 2999. у=С1ех + С2е'х +-^хех. 3000. г/ =
1 _ 2
= С, СОЗ X 4~ С2 зт X 4- -тг а: 31П л:. 3001. # = С^* 4" Сге ** Г C 8Ш 2л: 4~ СОЗ 2л:).
2 о
3002. «/ = С1е2*4-С^"8х4-д:( Д:—-—] е2Х. 3003. и —
~созл: + \ех — ~$е~х- 3004- ^ = С14-С2е~* + -^д:4-^Bсоз2л;—81п2д:).
3005. у = е* (С! соз 2* + С2 8^п 2л:) + ^ех зт 2л:. 3006. у = сое 2л: 4-
1 А
-5- (з!п х 4- 8ш 2х), 3007. 1) х = С, соз со* 4" сз зт со^ 4" -* гв1пр/;2)д:=
= С, соз со* 4- С2 8«« ы — 4~г С08 ^^ 3008- У = С1*8* + С^4*"" лге**- 3009- У —
г= С,-{-С2е«*4--^ — ^ — ^-. ЗОЮ. у == е^ (С, + С2л: + х2). ЗОН.
-^л:^— ~х. 3012. у = 0,6-»
2 2

ОТВЕТЫ
453
3013. У=
3015. у =
1
^х2 -5*. 3014. у = С1 +С2е* - Зхе* - х - *2.
?*. 3016. */ = (С,
ъъ E1П 3* 4- 6 соз Зд:) + -7Г- 3017.
о/ 9
'""То
' 3018# У
-~~. 3019. у = ±е2Х Dх + 1) - ^-
д:2 , л:
3020.
* — — (з1п 2х -\- 2 соз 2#).
3022. # = ^ соз 2д: + Сг зш 2д:
д: 1
— -д C зш 2* + 2 соз 2*) + ~. 3023. у = е* (^ соз л; + С2 з!п х — 2* соз *).
3024. у = С,е*
" *
+ -г- (д:2 — х) ех. 3025. у = Сг соз Зд: + Съ з!п Зд:
^г (Зд: — 1) е8*. 3026. у = С,е8;
3028.
""Т
_1_
16
Bа:2 - х) е%х. 3027. у = С,
- 2^е* - А х - -|-
3029.
У '
"у~ (-<9^
д:) в"« + -1 Bд:2 + За:) ех. 3030.
г
<^ д:г ^ 3
+ — соз х + — з^ х ^- соз За: + — 8^п 3*.
Указание. Произведение
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. у = С1е~х *
хех 81п х-\-ех соз х. 3032. у = С, соз л: + С2 зШ л: + соз д: 1п
х
3033.
С1 соз д: + Сг зШ д: + з!п х • 1п
к . я
+
3034. у = (С,
х) ех
-~хех\п\х\. 3035. г/ = (С1+С2д:)е"АГ + д:е*"^1п|А:|. 3036. у = С1совх
— С28'тх-\-х$1пх^-с08х\п\С08х\. 3037. у = ^ соз а: + Сг зш д: — х соз д:
--зшд: 1п / 81п л: [. 3038. а) у = С1ех-\-С2е~х -{-(ех-\-е~х)агс{%ех; б) у==
= Схех УТ
+С*-*УТ-{-ех\ 3040. Уравнение движения 1
2 плЛ4 2&8тЗО(—
— сек. 3041. х = ~
900
- см.
Указание. Если я отсчитывать от положения покоя груза, то — х" = 4 —
— ^ (*о "т~ *■-"" # ■-0» гДе *о ~ расстояние точки покоя груза от начальной
точки подвеса пружины, / — длина пружины в состоянии покоя; поэтому
4 дРх
к (х0 — I) = 4, следовательно, — -т-^ = ■— к(х — у), где к = 4, ^ = 981 см {сек2.
3042. т-г4 — к(Ь -х)—к(Ь+х): х = ссо$1( Л/ — ) . 3043.
1=
. 3044. а) г = -5-
4и
; б) г = ^-(в^-

454 ответы
Указание. Дифференциальное уравнение движения -*-* =
3045. у = С, + С2ех + Сге1гх. 3046. у = С, + С2е-* + Сге*.
*
( Уз /з
3047. у = С1е~* + е* ( С2соз ^ х + С3$1п^- х
\
3048. у = С1+С2х + Сгех УГ + С^"хУТ. 3049. у = ех (С,
3050. у = ех (С! С08 х + С2 зш х) + е~х (С, соз д: + С4 31П д:).
3051. у = (Сл + С**) соз 2д: 4- (Сл 4* сах) з1
3052. у = Сх + С2е~х + ет (с9 соз
3053. у = (Сх + С2х) е -* + (С, 4" С.*) в*.
3054. у = Схеах + С2е~ЛЛ 4" С9 соз ад: 4* С4 з!п ах.
3055. ^ = (С, 4- С^с) еУГх 4* (С, + С4д:) в ~ УТх . 3056. у—С, 4- С2х
4-С, сов ах + С4 з!п ах. 3057. у = ^ +р1^ + (С1 + С4^)в"*« 3058. ^ = (^
С2х) сов д: + {С9 4"^4^)з1п *• 3059- У — е"х (С, + С2д: 4-... + Спхп)
3060. У — Сх
3062. у=С,
3063. у = С, + С,х + С,х* + С.е " * + -^ D соз 4х - Лп Ах)
3064. у = С,
3065. у = С1е"Л + С2
3066. у = Сх 4-С2 со§ д: 4- Св 81П л: 4- ^ес х -|- соз д: 1п | соз л: | —1§ х-з1п л: + л: зт х.
3067. ^===в~л + ^
3068. у = (€1+С2\пх) -I. 3069. ^ = С,х8
). у = Сх соз B1п д:) 4- С2 «т B1п х).
3071. у = С,х 4- С2х2 + С3х8. 3072. у = Сг+С2 (Зх + 2)- %.
С
3073. у = Слх» 4" ~ • 3074. у = Са соз Aп х) 4- С, 31П Aп х).
3075. угггС.х' + С.х^у^. 3076. у=
3077. у = х(\пх-\-\п*х). 3078. у = Сасовх4*Сж$]пх, 2 = С2созх —С,з1пх.
3079. 0=е~* (С, СОЗХ4-С, з!п х), г =4" *"

ответы 455
3081. х =
П ,
3082. х = С1е~* + С2е*г, у = Сае~* + С#2К г = — (Сх
3083. у = С, + С2е2* - -1 (*2 + л:), 2 = С2е2* — С4 +-^ (л:2 — л: — 1).
3084. у = С1 + Сшх+ 281пх, г = — 2С1 — С2Bх + 1) — 3$1пх — 2со$х*
3085. у = (С, — 2^ - 2С2*) е~х - 6х + 14, г = (С, + Сгх) е~х + 5* — 9;
у= 14 A - в"*) - 2* C + 4<г*), г = — 9 A - в"*) +* E
3086. х = * < *
3087. У = {С"^Х4.> г=СС-х' 3088*# а) ^а"^У>)У = С1» — =с«5
б) 1п у л:2 -(- #2 = агс1& (- С1? г = С2. в) Указание. Интегрируй од-
^ у д;2-}-^2
их их ч
нородное уравнение • __ -=• , , находим первый интеграл
У
+ !. Далее, пользуясь свойствами производных пропорций, имеем
йг хйх уйу хйх-\-уйу ^ . I, .
= = / ==. Отсюда 1пг = -г-1п л:
Л 2 к
— = — г= / , ==8 а . Отсюда 1пг = г
2 х(х — у) У(х+у) х* + у2 Л 2
следовательно, Л, = С2; в) х + # + г = 0, х2 -(- ^2 -{- г2 = 6.
У2+/
Указание. Применяя свойства производных пропорций, имеем:
их Аи йг д,х-\-<1у-\-&г , . . . . л
= —^-г=г. = ■——-! ; отсюда ах-\-йу-)-аг = 0 и, следова-
(у — 2 X X X У у)
тельно, х-\-у-\-г = О1. Аналогично
= Ус1у
х(у-г) у (г — х) г (х-у) 0
и х2 -(-У2 + 22 = ^2- Таким образом, интегральные кривые — окружности
х _|1^ _!_? = (?!, х* -{-у* -{-г* = С2. Из начальных условий *г=1, у=1,
г = — 2 будем иметь (^=0, С2 = 6.
3089. г/ = С1^ + ^-^C
X 1о
2=1- 2Схх + ^ + ~ C 1п2 х + Ь х - 1).
3090. у = Сг
Л_
3091. л =-*- — -( !_е «г
_и^1. Решение. т-г? = — Ь^.; т -т™ =д — ^ — т^ при начальных

456 ответы
условиях: хо = уо = 0, аХо = о0со5а, Vуо = Vо$юа при / = 0. Интегрируя по-
лучим: ох = о0со8ае т , коу + т#— (/га0 5к1 а Л
ЛЛЛЛ Л , 0О У*п . 6 . х2 . к2у2 , ..
3092. # = асо§ -==. I, # = -2-г—зш -— <, -=■ -\ — = 1. Указание.
Ут к Ут а то\
\
й2х йгц
Дифференциальные уравнения движения: т-г^ = —кгх\ т-~- = —кгу.
3093. у = —2-
111 1 9 21
3095.
1 1
з 7-9 '
7-9 '7-11-27
3097* ^==^+Т72 + 97з + з^4 + • • •'» Ряд сходится при — 1 <Ж 1.
у2 ^3 у1
3098. у = х— 2 ^ + щг^ — C|)Г4 ~^* -; ряД сходится ПРИ "~°° <х< +00 •
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
1 1-4 1-4-7
3099. у= 1 — -=тх3 -(--рг~х9 ^—х9 -(-...; ряд сходится при—оо< х < -{- оо.
3100. ^= . Указание. Использовать метод неопределенных коэффи-
циентов. 3101. у—\ — — + -—% —-—— + „. ;ряд сходится при | х |<+оо.
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов.
3103. и = Л соз —г- &\п — . Указание. Использовать условия: и @, 0 = 0,
я* ди(х, 0)„о
2/ V* 1 . Bк4-\)па( . B/г -4-1) лх ,. „
3104. ы = ~5-> 9, . 2 5ш !-т-^ 31П- -т-1 . Указание. Ис-
/ Лч Л ди(х, 0)
пользовать условия: м@, 0 = 0, и (/, 0 = 0, м(#, 0)=:0, —Чт—/=1.
со
3105. « = —1 У -т«1п — соз —^— 8ш^-7—. Указание. Использовать
л* МшЛпг 2 11
условия: :
=0, и @,/) ==0,11 (/, о = о. «(*. 0)==^
\ 2Л^1--у^ для ^
2Нх
Т" для

ОТВЕТЫ
457
00
3106. и= у Апсо&
I
2/
8!п^ + 1>
2/
условия:
3107. и =
400
—Т
71
2/
и@, 0 = 0,
оо
2я2*
л+1Jя
~
где коэффициенты Ап =
Указание. Использовать
=0.
зт
П
^A — С05пя)зт-т-ггг • ^ 10°2 . Указание. Использо-
1иУ
вать условия: ы (О, 0 = °» и A00, 0 = 0» и(х, 0) = 0,01д: A00 — х).
Глава X
3108. а)<1"; <0,0023%; б) < 1 мм\ <0,26°/0; в)< 1 г\ <0,0016°/0*
3109. а)<0,05; <0,021°/0; 6)^:0,0005; <1,45%; в) <0,005; <0,160/0.
3110. а) 2 знака; 48- 10е или 49-Ю3, так как число заключено между 47 877 и
48 845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6-Ю2. Практически результат следует
писать в виде E,9±0,1)-10*. 3111. а) 29,5; б) 1,6-102; в) 43,2. 3112. а) 84,2;
б) 18,5 или 18,47 ±0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаков, так
как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной погреш-
погрешности в одну сотую. 3113*. 1,8±0,3 см2. Указание. Воспользоваться фор-
формулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0±0,2; б) 43,7±0,1;
в) 0,3±0,1. 3115. 19,9±0,1 м%. 3116. а) 1,1295±0,0002; б) 0,120±0,006;
в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи част-
частного нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117. 0,480.
Последняя цифра может колебаться на 1.- 3118. а) 0,1729; б) 277-108; в) 2.
3119. B,05±0,01)-103 см2. 3120. а) 1,648; б) 4,025±0,001; в) 9,006±0,003.
3121. 4,01-108 см1. Абсолютная погрешность 6,5 см2. Относительная по-
погрешность 0,16°/0. 3122. Катет равен 13,8 + 0,2 см\ зша = 0,44±0,01;
а = 26° 15'±35'. 3123. 2,7±0,1. 3124. 0,27 ампер. 3125. Длину маятника
следует измерить с точностью до 0,3 см\ числа я и <7 взять с тремя знаками
(по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с от-
относительной погрешностью 1/300. Число я взять с тремя знаками (по принципу
равных влияний). 3127. Величину / измерить с точностью 0,2%, а 5 измерить
с точностью 0,7% (по принципу равных влияний).
3128.
X
1
2
3 ,.
4
5
6
У
3
10
15.
12
9
5
7
5
3
з
4
-2
— 8
0
— 1
А9У
-6
8
1
-
А4У
14
— 9
А5у
-23
■ ■
: •
■ :$ ! ; . -

458
3129.
ОТВЕТЫ
X
1
3
5
7
9
11
У
—4
—16
4
104
332
736
Ьу
—12
' 20
100
228
404
А2*/
32
80
128
176
Д8У
48
48
48
3130.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8 ,
9
10
У
0
4
—50
—162
—340
—560
—774
—910
—872
—540
230
&У
4
—46
—112
— 178
—220
—214
—136
38
332
770
&*у
—42
—6в
—66
—42
6
78
174
294
438
Д8</
—24
0
24
48
72
96
120
144
А4//
24
24
24
24
24
24
24
Указание. Вычислить первые пять значений у и, получив А4#0=24,
повторить число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этого
остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения (дви-
(двигаясь справа налево).
3131. а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; б) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132. 0,1822;
0,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133. 1 +х-{-хг+х*. З134.# = ^** —^ х*

ответы 459
/»Г ОС
при * = 5,5; # = 20 при* =5= 5,2. Указание. При
вычислении х для у — 20 принять #0=11. 3135. Интерполирующий много*
член у = х2— ЮдГ+1; #=1 при * = 0. 3136. 158 кГ (приближенно).
3137. а) у @,5)= - 1, у B)= 11; б) у @,5)= —-[| , #B) = — 3. 3138. -1,325.
3139. 1,01. 3140. —1,86; -0,25; 2,11.3141.2,09.3142.2,45; 0,019.3143. 0,31;
4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. - 1,88; 0,35; 1,53.
3149. 1,84. 3150. 1,31; —0,67. 3151. 7,13. 3152. 0,165. 3153. ^1,73 и 0.
3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. * = 0,83; # = 0,56; *= — 0,83; # = — 0,56.
3157. л: = 1,67; #=1,22. 3158. 4,493. 3159. :± 1,1997. 3160. По формуле тра-
трапеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417.3161. —0,995; — 1; 0,005; 0,5%;
А = 0,005. 3162. 0,3068; А = 1,3-10"*. 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84.
3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09.3171.0,67.3172.0,75.
3173. 0,79, 3174. 4,93. 3175. 1,29. Указание. Воспользоваться параметри-
параметрическими уравнениями эллипса х = соз г, #=0,6222 з!п / и преобразовать формулу
я
2
длины дуги к виду \ ~У\ — е2 соз2/»^*, где е — эксцентриситет эллипса.
о
3176. #,(*) = у, &(*) = -з- + &Г ^(*' = Т + ^ + ЭД79 +59535"
л:2
о 177 и (*\ — - 1
. у 1 1 « <» / ^\ ^ V _ О 9 I У\ "— — — *2 У^ I ^ V — *) 9 (У\ — __
"~~ Л. —р" 1, С| \Л] ил А>9 «2 \л/ —~ /% -вл \^ "■* л» *3 \л/ о^ ^^
о|7й и (у\ у и (г\—V —— и (у\ — у — I 4170 /
3180. #B) = 0,80. 3181. #A) = 3,72; г A) = 2,72. 3182. #=1,80. 3183. 3,15.
3184. 0,14. 3185. #@,5) = 3,15; г @,5)= - 3,15. .3186. #@,5) = 0,55;
г @,5)= —0,18. 3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. х (я) = 3,58; х' (я) = 0,79.
3190. 429 + 1739 соз х — 1037 зт х — 6321 соз 2а: + 1263 зт 2а: — 1242 соз За: —
— ЗЗзшЗа:. 3191. 6,49— 1,96 соз л:+ 2,14 зш х — 1,68 соз 2лг + 0,53 зт 2х —
— 1,13 соз За: + 0,04 81п За:. 3192. 0,960 + 0,851 соз х + 0,915 з1п х + 0,542 соз2л:+
1 0,620 зт 2а:+ 0,271 соз За:+ 0,100 з1пЗх. 3193. а) 0,608 зт х + 0,076 зш 2х 1
0,022зтЗА:; б) 0,338 + 0,414созх + 0,111 соз2х + 0,056созЗх.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Греческий алфавит
Аа
вр
Дд
Бе
Ч
— альфа
— бэта
— гамма
— дельта
— эпсилон
— дзета
Нг)
ео
II
Кк
Ак
Ми,
— эта
— тэта
— йота
— каппа
— ламбда
— мю
зб
Оо
Пя
Ре
— ню
— кси
— омикрон
— пи
-ро
— сигма
Тт — тау
Го — ипсилон
Фф — фи
Х% — хи
Уф — пси
йоо — омега
П. Некоторые постоянные
Величина
я
2я
я
~2~
я
т
1
я
я2
е
3,14159
6,28318
1,57080
0,78540
0,31831
9,86960
1,77245
1,46459
2,71828
0,49715
0,79818
0,19612
1,89509
1,50285
0,99430
0,24857
0,16572
0,43429
Величина
1
р
ут
ш=шо
1 радиан
агс 1°
X
0,36788
7,38906
1,64872
1,39561
0,43429
2,30258
57° 17'45"
0,01745
9,81
1,56571
0,86859
0,21715
0,14476
Т,63778
0,36222
2,24188
0,99167

ПРИЛОЖЕНИЯ
461
X
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1.7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3.7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
III.
1
X
1,000
0,909
0,833
0,769
0,714
0,667
0,625
0,588
0,556
0,526
0,500
0,476
0,454
0,435
0,417
0,400
0,385
0,370
0,357
0,345
0,333
0,323
0,312
0,303
0,294
0,286
0,278
0,270
0,263
0,256
0,250
0,244
0,238
0,233
0,227
0,222
0,217
0,213
0,208
0,204
0,200
0,196
0,192
0,189
0,185
Обратные величины, степени,
X2
1,000
1,210
1,440
1,690
1 ,"960
2,250
2,560
2,890
3,240
3,610
4,000
4,410
4,840
5,290
5,760
6,250
6,760
7,290
7,840
8,410
9,000
9,610
10,24
10,89
11,56
12,25
12,96
13,69
14,44
15,21
16,00
16,81
17,64
18,49
19,36
20,25
21,16
22,09
23,04
24,01
25,00
26,01
27,04
28,09
29,16
X3
1,000
1,331
1,728
2,197
2,744
3,375
4,096
4,913
5,832
6,859
8,000
9,261
10,65
12,17
13,82
15,62
17,58
19,68
21,95
24,39
27,00
29,79
32,77
35,94
39,30
42,88
46,66
50,65
54,87
59,32
64,00
68,92
74,09
79,51
85,18
91,12
97,34
103,8
110,6
117,6
125,0
132,7
140,6
148,9
157,5
Ух ■
1,000
1,049
1,095
1,140
1,183
1,225
1,265
1,304
1,342
1,378
1,414
1,449
1,483
1,517
1,549
1,581
1,612
1,643
1,673
1,703
1,732
1,761
1,789
1,817
1,844
1,871
1,897
1,924
1,949
1,975
2,000
2,025
2,049
2,074
2,098
2,121
2,145
2,168
2,191
2,214
2,236
2,258
2,280
2,302
2,324
у^о*
3,162
3,317
3,464
3,606
3,742
3,873
4,000
4,123
4,243
4,359
4,472
4,583
4,690
4,796
4,899
5,000
5,099
5,196
5,292
5,385
5,477
5,568
5,657
5,745
5,831
5,916
6,000
6,083
6,164
6,245
6,325
6,403
6,481
6,557
6,633
6,708
6,782
6,856
6,928
7,000
7,071
7,141
7,211
7,280
7,348
ут
1,000
1,032
1,063
1,091
1,119
1,145
1,170
1,193
1,216
1,239
1,260
1,281
1,301
1,320
1,339
1,357
1,375
1,392
1,409
1,426
1,442
1,458
1,474
1,489
1,504
1,518
1,533
1,547
1,560
1,574
1,587
1,601
1,613
1,626
1,639
1,651
1,663
1,675
1,687
1,698
1,710
1,721
1,732
1,744
1,754
корни, логарифмы
■/10*
2,154
2,224
2,289
2,351
2,410
2,466
2,520
2,571
2,621
2,668
2,714
2,759
2,802
2,844
2,-884
2*924
2,962
3,000
3,037
3,072
3,107
3,141
3,175
3,208
3,240
3,271
3,302
3,332
3,362
3,391
3,420
3,448
3,476
3,503
3,530
3,557
3,583
3,609
3,634
3,659
3,684
3,708
3,733
3,756
3,780
1/ЮОх
4,642
4,791
4,932
5,066
5,192
5,313
5,429
5,540
5,646
5,749
5,848
5,944
6,037
6,127
6,214
6,300
6,383
6,463
6,542
6,619
6,694
6,768
6,840
6,910
6,980
7,047
7,114
7,179
7,243
7,306
7,368
7,429
7,489
7,548
7,606
7,663
7,719
7,775
7,830
7,884
7,937
7,990
8,041
8,093
8,143
(ман-
(мантиссы)
о:оо
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
ЗОЮ
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
6990
7076
7160
7243
7324
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
1
1
1
:
:
1
1п х
,0000
,0953
,1823
,2624
,3365
,4055
,4700
,5306
,5878
,6419
,6931
,7419
,7885
,8329
,8755
,9163
,9555
• ,9933
,0296
,0647
,0986
,1314
,1632
,1939
,2238
,2528
,2809
,3083
,3350
,3610
,3863
,4110
1,4351
,4586
[,4816
,5041
1,5261
1,5476
1,5686
1,5892
1,6094
1,6292
1,6487
1,6677
1,6864

462
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение
X
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
^Л
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
1
Ля
X
0,182
0,179
0,175
0,172
0,169
0,167
0,164
0,161
0,159
0,156
0,154
0,151
0,149
0,147
0,145
0,143
0,141
0,139
0,137
0,135
0,133
0,132
0,130
0,128
0,127
0,125
0,123
0,122
0,120
0,119
0,118
0,116
0,115
0,114
0,112
0,111
0,110
0,109
0,108
0,106
0,105
0,104
0,103
0,102
0,101
0,100
X2
30,25
31,36
32,49
33,64
34,81
36,00
37,21
38,44
39,69
40,96
42,25
43,56
44,89
46,24
47,61
49,00
50,41
51,84
53,29
54,76
56,25
57,76
59,29
60,84
62,41
64,00
65,61
67,24
68,89
70,56
72,25
73,96
75,69
77,44
79,21
81,00
82,81
84,64
86,49
88,36
90,25
92,16
94,09
96,04
98,01
100,00
X*
166,4
175,6
185,2
195,1
205,4
216,0
227,0
238,3
250,0
262,1
274,6
287,5
300,8
314,4
328,5
343,0
357,9
373,2
389,0
405,2
421,9
439,0
456,5
474,6
493,0
512,0
531,4
551,4
571,8
592,7
614,1
636,1
658,5
681,5
705,0
729,0
753,6
778,7
804,4
830,6
857,4
884,7
912,7
941,2
970,3
1000,0
ут
2,345
2,366
2,387
2,408
2,429
2,449
2,470
2,490
2,510
2,530
2,550
2,569
2,588
2,608
2,627
2,646
2,665
2,683
2,702
2,720
2,739
2,757
2,775
2,793
2,811
2,828
2,846
2,864
2,881
2,898
2,915
2,933
2,950
2,966
2,983
3,000
3,017
3,033
3,050
3,066
3,082
3,098
3,114
3,130
3,146
3,162
У\0х
7,416
7,483
7,550
7,616
7,681
7,746
7,810
7,874
7,937
8,000
8,062
8,124
8,185
8,246
8,307
8,367
8,426
8,485
8,544
8,602
8,660
8,718
8,775
8,832
8,888
8,944
9,000
9,055
9,110
9,165
9,220
9,274
9,327
9,381
9,434
9,487
9,539
9,592
9,644
9,695
9,747
9,798
9,849
9,899
9,950
10,000
1,765
1,776
1,786
1,797
1,807
1,817
1,827
1,837
1,847
1,857
1,866
1
1
1
1
:
:
:
1,876
1,885
1,895
1,904
1,913
1,922
1,931
1,940
[,949
[,957
[,966
1,975
[,983
1,992
2,000
2,008
2,017
2,025
2,033
2,041
2,049
2,057
2,065
2,072
2,080
2,088
2,095
2,103
2,110
2,118
2,125
2,133
2,140
2,147
2
М54
2Ла*
3,803
3,826
3,849
3,871
3,893
3,915
3,936
3,958
3,979
4,000
4,021
4,041
4,062
4,082
4,102
4,121
4,141
4,160
4,179
4,198
4,217
4,236
4,254
4,273
4,291
4,309
4,327
4,344
4,362
4,380
4,397
4,414
4,431
4,448
4,465
4,481
4,498
4,514
4,531
4,547
4,563-
4,579
4,595
4,610
4,626
4,642
1/Ю0х
8,193
8,243
8,291
8,340
8,387
8,434
8,481
8,527
8,573
8,618
8,662
8,707
8,750
8,794
8,837
8,879
8,921
8,963
9,004
9,045
9,086
9,126
9,166*
9,205
9,244
9,283
9,322
9,360
9,398
9,435
9,473
9,510
9,546
9,583
9,619
9,655
9,691
9,726
9,761
9,796
9,830
9,865
9,899
9,933
9,967
10,000
Ы х
(ман-
(мантиссы)
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
0000
1п х
1,7047
1,7228
1,7405
9 ^*
1,7579
9 '
1,7750
1,7918
1,8083
1,8245
1,8405
1,8563
1,8718
1,8871
1,9021
1,9169
1,9315
1,9459
1,9601
1,9741
1,9879
2,0015
2,0149
2,0281
2,0412
2,0541
2,0669
2,0794
2,0919
2,1041
2,1163
2,1282
2,1401
2,1518
2,1633
2,1748
2,1861
2,1972
2,2083
2,2192
2,2300
2,2407
2,2513
2,2618
2,2721
2,2824
2,2925
2,3026

о
О
сл
о
(ГО
ста
•о
СО
6
Я
Е
оооооооооооооооооооооооооооооосрооооооооооооооо
_Й ^_^ *^^№ ^_№ ^_) ^_) ^_) ^_) ^_) ^_) 4__ ^_ь ^_) ^__ ^_ь ц^ ^а ^а ^а ^а ^а ^_1 ^_> ^_1 ^_) ^Ф ^_) ^_Р ^_) ^Л ^^ ^—' ^Л ^_) ^—' ^_) ^_) ^А ^л ^вР ^_ь ^_г ^_г ^л ^а ^^ь
О5 О^ СУ) О5 О5 СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ
ОСЛ СО >—
^©сосл
оеосг
>— со о. оо ►—
СО»— 0 00
то
030ЮЬ0ЮЮЮ(^ООООО
СО и— <о ^ О 4-> N5 О СО "-*. СЛ СО ЬО О 00 СЛ СЛ СО »—
>— 4ь.<_Ъ СО *— ^ОСОЮ^^ОЮ^^СОЮ^^
©оооооооооооооооо©оооооооооооооооо©ооооооооооо
^ЛЬ ^ ^^Ь ^^ •— >а ^ _ ^_ ^^к ^^ ^_ _ ^_ ^_ ^а ^_ __ ^_ ^ л ^_ 41^ ^_ ^_ ^А ^_ ^л ^А ^л ^А ^А ^А ^А ^А ^А %^ ^А ^^ ^^ ^А ^А ^А ^л ^А ^А ^_ ^л ^^Л
^3 С7^ ^7^ С7Э О^ (?^ О^ ^^ О^ Сл О"( О СЛ СЛ СЛ СЛ ^** *4^ ^^* Л*> *4^ *4^ 00 00 00 00 00 00 ^^_) гО ЬО Ю ^*О ^О **ш * *** *** ^тл ^»* н*^ С12* ^^ _^_ ^^ _^^ _^^
1^^ ^[) и^ _**^ 00 СУЪ СЛ 00 ^^ ^_^ ^О ^^ СЛ *^^ ^О ^Г^ ^шк) ^**Л СЛ •'(^ (^_) сГи^ СО ^^ СЛ 00 ^О ^Г_!^ ОО СТ} СЛ СЮ р^* С___5
1р^ сф фг| б***»(___ -^ 4^ оо Ю О^ ^^ ^р4^ 00 1О СХ1 ^О N0 СЛ 00 ►^^
О^ СО С5 СЭ 00 СЛ С5 *$^ О^ ***4 ■^ СГ) *$^ ^5 СГ) ^_5 *^ -- —
^-ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо
^^к ^л ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^_ ^_ ^^ ^^ ^а ^^ ^^ ^_) ^—^ ^А ^_№ ^_№ ^—^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^—^ ^_№ ^—^ ^^ ^_№ ^^ ^—^ ^в ^^ь ^_№
О^ СО <^5 СТ. СО <^> 00 Сл Ю ^Т*^ —^1 4^ Ю ^^ —^5 СЛ СО ^** 00 СП 4^> ЬО <*"^ 00 СГ5 4/*1 -О <***^ 00 О^ 4^ СО ►—— СО —^5 СЛ 4—* ЬО ^^ 00 О^ СЛ СО *™* ^^
О СЛ ^5 СО ^Э СО (О ■*"•! "**^ СО СО СО СТ) 4^«» СО 4*» СЛ 00 ►"-— СЛ СО 4>^ СО СЛ ^5
»— »-- и—КЭ СЛ
^5 ^__) •■•* |"-1* •"■* Ю N5 СО СО 4^
СО-^^СЛСОСО-чЛчЭ-^ЮООСоО
СЛ (О ^Э '^ *™— 4^ СО *"*4 О. 00 Ю СО ^Т** 4**
СЛ4--ф4-»ООСОСОО*-*— С7>ФСОСО
8
*— ►— 4-.»—00О004--СО
ООООООООООООООООО ОО 0000000000000 0,000000000000»—'
~с©~со~
44
О»—
4СО
ООО
»— юсо
Р
ООООООООООООСОСОСОСОСО
сло^-^рососрог-ьоьэсо
с_Э с_Э
сл сл
о
с_Э СО С_Э СО СО со СО
-ч| -4 3 оо оо оо со
04>оо«-4ч-но
4->
СЛЙ)О5
4-00
О О О О О О О О О О »—►»-*»—*-*>— ММИ Ь-»|и_-И__>-_. Н— ММ1-*1-'К-|— МН-И-Н- Н-И- •— И— »-* И— »—. ►-— •—_ I—»
ОО 00 00
СР СЛ "**1
^СЛ1ЧЭ
сос©
са
©©ооо©>— I— •— I—
— Ю4^050осо — сосла»
СЛСЛО1СЛ
- - - - ,- - -
00
за
я
я
с*
ОХ)
о
о
о *«
5 1
•_ §
а га
ас
00

464
ПРИЛОЖЕНИЯ
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Ь0
1,1
1.2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
1,0000
1,1052
1,2214
1,3499
1,4918
1,6487
1,8221
2,0138
2,2255
2,4596
2,7183
3,0042
3,3201
3,6693
4,0552
4,4817
4,9530
5,4739
6,0496
6,6859
7,3891
8,1662
9,0250
9,9742
11,0232
12,1825
13,4637
14,8797
16,4446
18,1741
20, 0855
22,1979
24,5325
27,1126
29,9641
33,1154
1,0000
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,2466
0,2231
0,2019
0. 1827
0,1653
0,1496
0,1353
0,1225
0,1108
0,1003
0,0907
0,0821
0,0743
0,0672
0,0608
0,0550
0,0498
0,0450
0,0408
0,0369
0,0334
0,0302
зЬ х
0,0000
0,1002
0,2013
0,3045
0,4108
0,5211
0,6367
0,7586
0,8881
1,0265
1,1752
1,3356
1,5095
1,6984
1,9043
2,1293
2,3756
2,6456
2,9422
3,2682
3,6269
4,0219
4,4571
4,9370
5,4662
6,0502
6,6947
7,4063
8,1919
9,0596
10,0179
11,0764
12,2459
13,5379
14,9654
16,5426
сЬ х
1,0000
1,0050
1,0201
1,0453
1,0811
1,1276
1,1855
1,2552
1,3374
1,4331
1,5431
1,6685
1,8107
1,9709
2,1509
2,3524
2,5775
2,8283
3,1075
3,4177
3,7622
4,1443
4,5679
5,0372
5,5569
6,1323
6,7690
7,4735
8,2527
9,1146
10,0677
11,1215
12,2366
13,5748
14,9987
16,5728
(Ь х
0,0000
0,0997
0,1974
0,2913
0,3799
0,4621
0,5370
0,6044
0,6640
0,7163
0,7616
0,8005
0,8337
0,8617
0,8854
0,9051
0,9217
0,9354
0,9468
0,9562
0,9640
0,9704
0,9757
0,9801
0,9837
0,9866
0,9890
0,9910
0,9926
0,9940
0,9950
0,9959
0,9967
0,9973
0,9978
0,9982
ЗШ X
0,0000
0,0998
0,1987
0,2955
0,3894
0,4794
0,5646
0,6442
0,7174
0,7833
0,8415
0,8912
0,9320
0,9636
0,9854
0,9975
0,9996
0,9917
0,9738
0,9463
0,9093
0 8632
0,8085
0,7457
0,6755
0,5985
0,5155
0,4274
0,3350
0,2392
0,1411
0,0416
—0,0584
—0,1577
—0,2555
—0,3508
СОЗ X
1,0000
0,9950
0,9801
0,9553
0,9211
0,8776
0,8253
0,7648
0,6967
0,6216
0,5403
0,4536
0,3624
0,2675
0,1700
0,0707
—0,0292
—0,1288
—0,2272
—0,3233
—0,4161
—0,5048
—0,5885
—0,6663
—0,7374
—0,8011
—0,8569
—0,9041
—0,9422
—0,9710
—0,9900
—0,9991
—0,9983
—0,9875
—0,9668
—0,9365

ПРИЛОЖЕНИЯ
465
VI. Некоторые кривые (для справок)
У
О
О
1. Парабола 2. Кубическая парабола 3. Равноосная гипербола
и = *2. ц = х*. ,. 1
-/ О
4. График дробной функции
5. Локон Аньези
1
6. Парабола (верхняя ветвь)
У
7. Кубическая_парабола

466
ПРИЛОЖЕНИЯ
8а. Парабола Ней ля
Т или { '
86. Полукубическая
парабола
у
г
0
\
/
9. Синусоида и косинусоида
[ и у = д$
-2
Ш. Тангенсоида и котаигсйсоида
и У =

ПРИЛОЖЕНИЯ
467
Зл
г
л
О
т
Л
Зл
2
2л
5л
2
Зл
-3
I
П. Графики функций
— зесх и у = со$есх.
Агссозл
12. Графики обратных триговюмегрических функций
у = Агс81п х и у = Агссоз #.

468
ПРИЛОЖЕНИЯ
13. Графики обратных тригонометрических функций
Ал; и ^/ = А
14. Графики показательных функций
х и у = е~х.

ПРИЛОЖЕНИЯ
469
X
15. Логарифмическая кривая
\
16. Кривая Гаусса
17. Графики гиперболических функций
рХ ___ р ~ X
== - и
в"*
сЬ х
(цепная линия).
18. Графики гиперболических
функций
рХ __ о ~~ X
—=г=. И
у —
е
__ е-х

470
ПРИЛОЖЕНИЯ
У"
19. Эллипс
х
У
пик.
а СО8
6 51П
20. Гипербола
у2
или
а сЬ /, . „ ч
ь (для правой ветви).
21. Паргбола
2 2
ОМ'АВ
22. Декартов лист 23. Циссоида Диоклеса
— Здад = 0 или
За/
У1 =
у—,
а — х
а(*
или
а(*

ПРИЛОЖЕНИЯ
471
А(-а,О)
24. Строфоида
= х* '
а — х
0
26. Циклоида
х = а (г — зи1 *),
у = а(\ —соз О
28. Кардиоида
= аA 4-созф).
25. Лемниската Бернулли
или г2 = а2 соз 2ф.
У
27. Гипоциклоида (астроида)
или а: 3 -|- У 3 = а * .
29. Эвольвента (развертка) окружности
х==а (соз г-\-1 зШ О»
Ъ^а (з1п ^ — / соз /).
ни
{

472
ПРИЛОЖЕНИЯ
30. Спираль Архимеда
31. Гиперболическяя спираль
а
32. Логарифмическая спираль
33. Трех лепестковая роза
З@)
34. Четырехлепестковая роза
|2