» 1
1

о
И. Л. БАБИНСКАЯ
Подарок Швошш
библиотеке ИК НМУ
ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ОЛИМПИАД
bfiDiiitOL
Математического
Колледжа НМУ
издательство «наука»
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1975

512
Б 12
УДК 510@23)
20202 — 128	© Главная редакция
пс	¦ 86-75	физико-математической литературы
UCM (LUJ-75	издательства «Наука», 1975.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 		4
Глава I. Арифметика		5
§ I. Арифметические задачи A—88)		5
§ 2. Логические задачи (89—105)		13
§ 3. Принцип Дирихле A06—128)		16
§ 4. Задачи на делимость и неопределенные урав'ге-
ния A29—193) 		18
Глава И. Алгебра		24
§ 5. Преобразования, функции, уравнения и неравен-
неравенства A94—247)		24
§ 6. Математическая индукция и комбинаторика
B48—265) 		29
§ 7. Разные задачи B66—281)		31
Глава III. Геометрия		33
§ 8. Построение и исследование геометрических фи-
фигур B82—300) 		33
§ 9. Геометрические задачи на максимум и минимум
C01—307) 		34
§ 10. Разные геометрические задачи C08—334) ....	35
Глава IV. Из задач Всесоюзных математических олимпиад
школьников C35—350)		33
Глава V. Задачи для самостоятельного решения C51—419)	41
Глава VI. Ответы, указания, решения		48
Список рекомендованной литературы . . .	Ш

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник составлен в основном из за-
задач, рекомендованных для областных олимпиад, за-
задач самих олимпиад и подготовительных к ним. Ис-
Использованы главным образом задачи смоленских
олимпиад, а также московских и саратовских, неко-
некоторые задачи сборника «Всероссийские математиче-
математические олимпиады» и заочной математической школы
при МГУ.
У каждой задачи (в скобках) указаны классы, для
учеников которых она предназначена. Более трудные
задачи отмечены одной звездочкой, наиболее труд-
трудные— двумя. Задачи снабжены решениями или отве-
ответами и указаниями.
В сборник включено несколько задач Всесоюзных
математических олимпиад и приведены их решения,
предложенные участниками этих олимпиад — учени-
учениками математических классов средней школы № 7
города Смоленска Виктором Будаевым, Сергеем
Ахулковым, Александром Кочерыгиным, Алексеем
Бабинским.
Использованные сборники задач для жюри обла-
областных олимпиад подготавливались жюри Всесоюзных
математических олимпиад. В этой работе постоянно
принимали участие Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер
и Ю. И. Ионин.
Выражаю искреннюю признательность В. Л. Гу-
тенмахеру, внимательно прочитавшему рукопись, за
важные и ценные советы, Р. С. Гутеру за полезные
замечания и А. Н. Андреевой, любезно предоставив-
предоставившей мне задачи Саратовской области.

ГЛАВА I
АРИФМЕТИКА
§ 1. Арифметические задачи
1	D—5). У мальчика столько же сестер, сколько
и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем
братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько
сестер?
2	D—5). В двух пачках всего 30 тетрадей. Если
бы из первой пачки переложили во вторую 2 тет-
тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетра-
тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой
пачке?
3	D—6). Тане не хватало 7 коп., а Гале — 2 коп.,
чтобы купить по коробке цветных карандашей. Когда
они сложили свои деньги, их не хватило даже на по-
покупку одной коробки. Сколько стоит коробка ка-
карандашей?
4	D—6). В коробке лежат карандаши: 7 красных
и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо
взять карандашей, чтобы среди них было не меньше
двух красных и не меньше трех синих?
5	D—6). В темной кладовой лежат ботинки од-
одного размера: 10 пар черных и 10 пар коричневых.
Найти наименьшее число ботинок, которое нужно
взять из кладовой, чтобы среди них оказалась хотя
бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета
(считать, что в темноте нельзя отличить не только
цвет ботинка, но и левый от правого).
6	D—6). Как от куска материи в 2/3 метра отре-
отрезать полметра, не имея под руками метра?
7	D—6). Колхозник привез на базар огурцы. Ко-
Когда он стал считать их десятками, то не хватило двух
огурцов до полного числа десятков. Когда он стал

считать огурцы дюжинами, то оставалось 8 огурцов.
Сколько огурцов привез колхозник, если их было
больше 300, но меньше 400?
8	D—5). Алеша задумал число. Он прибавил
к нему 5, потом разделил сумму на три, умножил на
4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое
число задумал Алеша?
9	D—6). Мать положила на стол сливы и ска-
сказала своим трем сыновьям, чтобы они, вернувшись
из школы, разделили их поровну. Первым пришел
Миша, он взял треть слив и ушел. Потом вернулся
из школы Петя, взял треть от лежавших на столе
слив и тоже ушел. Затем пришел Коля и тоже взял
треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив
оставила мать, если Коля взял 4 сливы?
10	D—6). Колхозница принесла на базар для про-
продажи корзину яблок. Первому покупателю она про-
продала половину всех своих яблок и еще пол-яблока,
второму — половину остатка и еще пол-яблока и так
далее. Последнему — шестому покупателю — она
также продала половину оставшихся яблок и еще
пол-яблока, причем оказалось, что она продала все
свои яблоки. Сколько яблок принесла для продажи
колхозница?
11	D—5). Некоторое число уменьшили на 7, по-
потом уменьшили в 10 раз и получили число, ко-
которое на 34 меньше исходного. Найти исходное
число.
12	D—5). Найти такое число, что если его умно-
умножить на 52, затем произведение уменьшить в 5 раз,
то получим число, которое на 1974 больше ис-
искомого.
13	D—5). В классе число отсутствующих учени-
учеников составляет 1/6 часть от числа присутствующих.
После того, как из класса вышел один ученик, число
отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствую-
присутствующих. Сколько учеников в классе?
14	D—6). Четверо товарищей купили вместе
лодку. Первый внес половину суммы, вносимой ос-
остальными; второй — треть суммы, вносимой осталь-
остальными; третий — четверть суммы, вносимой осталь-
остальными, а четвертый внес 130 р. Сколько стоит лодка
и сколько внес каждый?
б

15	D—6). Найти два таких числа, что их сумма
втрое больше их разности и вдвое меньше их про-
произведения.
16	D—6). Сумма двух чисел равна 180, частное
от деления большего числа на меньшее равно 5. Найти
эти числа.
17	E—7). Найти частное двух чисел, если оно
в два раза меньше одного из них и в шесть раз
больше другого.
18	D—7). В некотором месяце три воскресенья
пришлись на четные числа. Какой день недели был
20 числа этого месяца?
19	E—6). Часы показывают час дня. Найги бли-
ближайший момент времени, когда часовая и минутная
стрелки совпадут.
20	E—7). Найти ближайший после 12 часов мо*
мент времени, при котором стрелки часов взаимно
перпендикулярны.
21	E—7). Сколько раз в течение суток часовая
и минутная стрелки а) совпадают? б) составляют
развернутый угол? в) составляют прямой угол?
22	D—6). В бочке не менее 10 литров бензина.
Как отлить из нее 6 литров с помощью девятилитро-
девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
23	D—6). Из восьмилитрового ведра, наполнен-
наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пус-
пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
24	D—6). Двенадцативедерная бочка наполнена
керосином. Разлить его на две равные части, поль-
пользуясь пустыми пятиведерной и восьмиведериой боч-
бочками.
25	D—6). В бочке находится не менее 13 ведер
бензина. Как отлить из нее 8 ведер с помощью девя-
тиведерной и пятиведерной бочек?
26	D—6). Отцу столько лет, сколько сыну и до-
дочери вместе; сын вдвое старше сестры и на 20 лет
моложе отца. Сколько лет каждому?
27	D—5). Сейчас Сереже 11 лет, а Вове 1 год.
Сколько лет будет Сереже и Вове, когда Сережа
станет втрое старше Вовы?
28	D—6). Отец старше сына в 4 раза. Через
20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько сейчас
лет отцу?

29	E—7). Отец старше сына в 4 раза, а сумма их
возрастов составляет 50 лет. Через сколько лет отец
станет втрое старше сына?
30	E—7). Нам обоим вместе 63. Сейчас мне
вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне
было столько лет, сколько Вам сейчас. Сколько сей-
сейчас лет мне и сколько Вам?
31	E—7). Сестре втрое больше лет, чем было
брату тогда, когда сестре было столько лет, сколько
брату теперь. Когда брату будет столько лет, сколько
сестре сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько
сейчас лет сестре и сколько брату?
32	E—7). Когда Коля был молод, как Оля,
много лет было тетушке Поле — годом меньше, чем
Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле,
когда тетушка Поля была в возрасте Коли?
33	E—6). На конечной остановке в трамвай сели
пассажиры и половина их заняла места для сидения.
Сколько человек сели на конечной остановке в трам-
трамвай, если после первой остановки число пассажиров
увеличилось на 8% и известно, что трамвай вмещает
не больше 70 человек?
34	E—6). Морская вода содержит 5% соли (по
весу). Сколько килограммов пресной воды нужно при-
прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание
соли в смеси составляло 2%?
35	E—6). Рыночная цена картофеля в связи
с ненастной погодой повысилась на 20%. Через
некоторое время цена картофеля на рынке пони-
понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле:
до повышения или после снижения цены и на сколько
процентов?
36	E—7). Двое учащихся — высокий и малень-
маленький — вышли одновременно из одного и того же дома
в одну школу. У одного из них шаг был на 20% ко-
короче, чем у другого, но зато он успевал за то же
время делать на 20% больше шагов, чем другой. Кто
из них раньше пришел в школу?
37	E—6). Влажность свежескошенной травы 60%,
сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны
свежескошенной травы?
38	E—7). Цена входного билета на стадион со-
составляла 20 коп. После снижения входной платы
ь

число зрителей увеличилось на 25%, а выручка воз-
возросла на 12,5%. Сколько стал стоить входной билет
после снижения цены?
39	E—7). Автомобиль из Л в В ехал со средней
скоростью 50 км/час, а обратно возвращался со ско-
скоростью 30 км/час. Какова его средняя скорость?
40	F—7). Два грузовика одновременно вышли из
Л в В. Первый половину времени, затраченного им
на весь путь, шел со скоростью 50 км/час, а осталь-
остальную часть времени шел со скоростью 40 км/час. Вто-
Второй грузовик первую половину пути шел со скоростью
40 км/час, а вторую — со скоростью 50 км/час. Какой
из этих грузовиков раньше прибыл в В?
41	E—7). Поезд проходит мост длиной в 450 м за
45 секунд и 15 секунд идет мимо телеграфного
столба. Вычислить длину поезда и его скорость.
42	E—6). Пароход идет от Горького до Астра-
Астрахани 5 суток, а обратно — 7 суток. Сколько времени
плывут плоты от Горького до Астрахани?
43	E—7). Велосипедист проехал 5/7 пути и еще
40 км и ему осталось 0,75 пути без 118 км. Как велик
его путь?
44	F—7). Пловец плывет вверх против течения
Невы. Возле Республиканского моста ои потерял
пустую флягу. Проплыв еще 20 минут против течения,
он заметил свою потерю и вернулся догонять флягу;
догнал он ее возле моста лейтенанта Шмидта. Ка-
Какова скорость течения Невы, если расстояние между
мостами равно 2 км?
45	E—7). Инженер ежедневно приезжал на стан-
станцию в одно и то же время, и в это же время за ним
подъезжала машина, на которой он ехал на завод.
Однажды инженер приехал на станцию на 55 минут
раньше обычного, сразу пошел навстречу машине
и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во
сколько раз скорость инженера меньше скорости
машины?
46* G—9). На участке трамвайного пути длиной
в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение
12 секунд, ежедневно подсчитывал число трамваев,
его обгоняющих и встречных. В течение года первых
оказалось 225, вторых — 600. Определить скорость
трамвая.
2 И Л Сабинская	9

47* F—8). Турист отправляется в поход из А в В
и обратно и проходит весь путь за 3 часа 41 минуту.
Дорога из Л в В идет сначала в гору, потом по ров-
ровному месту и затем под гору. На каком протяжении
дорога проходит по ровному месту, если скорость ту-
туриста составляет при подъеме в гору 4 км/час, на
ровном месте 5 км/час и при спуске с горы 6 км/час,
а расстояние АВ равно 9 км?
48	D—6). а) Записать с помощью четырех цифр —
двоек, знаков действий и, быть может, скобок, числа
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.
б) F—7). Можно ли так записать число 7?
49	F—7). Написать число 100: а) шестью одина-
одинаковыми цифрами, б) девятью разными значащими
цифрами.
50	F—7). Написать число 9 десятью различными
цифрами.
51	D—5). Сумма цифр двузначного числа равна
наибольшему из однозначных чисел, а число десят-
десятков на 2 меньше этой суммы. Какое это число?
52	D—5). Сумма цифр двузначного числа равна
наименьшему из двузначных чисел, а цифра десятков
в четыре раза меньше цифры единиц. Найти число.
53	E—6). Написать наибольшее целое число,
а)	в котором все цифры различны, б) в котором все
цифры различны и которое делится на 4.
54	E—6). Написать наименьшее целое число, со-
составленное из всех цифр, которое делится а) на 5,
б)	на 20.
55	E—7). Расставьте в записи
4- 12+18:6 + 3
скобки так; чтобы получилось а) число 50, б) наимень-
наименьшее возможное число, в) наибольшее возможное число.
56	D—6). В записи 88888888 поставьте между
некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы по-
получилось выражение, значение которого равно 1000.
57	D—6). Записаны подряд двадцать пятерок
5 5 5 ... 5 5. Поставьте между некоторыми цифрами
знак сложения так, чтобы сумма равнялась 1000.
58	D—7). В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9
расставить скобки так, чтобы результат был а) мини-
минимальным, б) максимальным.
10

59	D—6). Найти целое число, которое в семь раз
больше цифры его единиц.
60	E—7). Трехзначное число начинается цифрой 4.
Если эту цифру перенести в конец числа, то полу-
получим число, составляющее 3/4 исходного. Найти ис-
исходное трехзначное число.
61	E—7). Найти двухзначное число, которое от
перестановки его цифр увеличивается в 4,5 раза.
62	E—8). Некоторое число оканчивается на 2.
Если эту цифру перенести в начало числа, то число
удвоится. Найти наименьшее такое число.
63	F—7). Найти цифры сотен и единиц числа
42 « 4 «¦, если известно, что оно делится на 72.
64	G—9). Найти два трехзначных числа, зная,
что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.
65	F—8). Все двузначные числа, не оканчиваю-
оканчивающиеся нулем, выписывают одно за другим так, что
каждое следующее начинается с той же цифры, кото-
которой оканчивается предыдущее. Получается некоторое
многозначное число. Из всех многозначных чисел, ко-
которые можно получить таким образом, выбирают
наименьшее и наибольшее. Найти их сумму.
66	E—8). Из числа 1234567 ... 5657585960 вы-
вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было:
а)	наименьшим;
б)	наибольшим.
67	E—8). Доказать, что число 11 ... 11 (восемь-
(восемьдесят одна единица) делится на 81.
68	E—8). Двое А и В играют в такую игру: по-
поочередно называют целые положительные числа, при-
причем игрок А называет число не большее 10, игрок В
называет число, превышающее число, названное иг-
игроком А, но не более чем на 10 и т. д. Выигрывает
тот, кто назовет число 100. Как должен играть А,
чтобы заведомо выиграть?
69	F—8). Квадрат числа состоит из цифр 0; 2;
3; 5. Найти его.
70	F—8). Сумма нескольких чисел равна еди-
единице. Может ли сумма их квадратов быть меньше
0,01?
71	F—9). Доказать, что любую сумму, не мень-
меньшую чем 8 коп., можно выплатить лишь монетами,
достоинством в 3 коп. и 5 коп.
2*	11

72* F—8). Сколькими способами монету в 20 коп.
можно разменять монетами, достоинством в 10, 5, 3
и 2 коп.?
73* G—10). В городской автобус без кондуктора
вошли 20 человек. Оказалось, что ни у одного из ни .
нет медных монет, а есть лишь серебряные. Тем г~
мгнее им удалось рассчитаться друг с другом и оп-т
слить в кассу монеты на сумму в один рубль. Какг
наименьшее число монет у них было, когда они с
дились в автобус?
74	E—7). Сколько имеется двузначных чис
^ которых а) среди цифр есть хоть одна пятерк^:1
б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра
десятков больше цифры единиц?
75	E—7). Подряд выписаны все целые числа от
1 до 100. Сколько раз в этой записи встречаются
1фры: а) нуль? б) единица? в) три?
76	F—9). Сколько среди целых чисел от 10 до
1000 таких, а) в записи которых встречаются ровно
три одинаковые цифры? б) у которых каждая после
мующая цифра больше предыдущей? в) у которых
сумма цифр равна 9?
77	G—10). Сколько среди целых чисел от 100 до
10000 таких, в записи которых встречаются ровно 3
одинаковые цифры?
78	F—8). Каково наибольшее число квартир
в стоквартирном доме, у которых сумма цифр номера
одинакова?
79	F—8). Четыре последовательных целых чиста
являются цифрами тысяч, сотен, десятков и единиц
некоторого четырехзначного числа. На сколько уве-
увеличится это число, если его цифры написать в обрат-
обратном порядке?
80	E—7). При сложении двух целых чисел уче-
ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лиш-
лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо
2411. Определить слагаемые.
81	G—10). Доказать, что являются точными квад-
квадратами все числа вида а) 16; 1156; 111556 и т. д.
(в середину предыдущего числа вставляется число
15), б) 49; 4489; 444 889 и т. д. (в середину предыду-
предыдущего числа вставляется число 48),
12

82	G—10). Докажите, что число 11 ... 1122 ... 22
(состоящее из 100 единиц и 100 двоек) есть произве-
произведение двух последовательных целых чисел.
83	G—10). Что больше: а) 5300 или 3s00? б) 2™
или 5300? в) 2300 или З200?
84	F—8). Числа 21971 и 51971 выписаны одно за
другим. Сколько всего цифр выписано?
85** G—10). Можно ли все десятизначные числа,
записываемые при помощи цифр 1 и 2, разбить на
две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из
одной группы содержала в своей десятичной записи
не менее двух троек?
8,6** (8—10). Даны две группы подряд располо-
расположенных натуральных чисел, в каждой по k чисел. При
каких k эти группы чисел можно, изменив порядок,
подписать одну под другой так, что, сложив стоящие
друг под другом числа, мы получим снова k нату-
натуральных чисел, идущих подряд?
87* G—10). В таблицу 9X9 расставлены числа
1, 2, 3, 4, ..., 81. Доказать, что при любой расста-
расстановке найдутся две соседние клетки такие, что раз-
разность между числами, стоящими в этих клетках, не
меньше 6 (соседними называются клетки, имеющие
общую сторону).
88** G—10). В некотором десятичном числе
aia2a3 ... сю первая цифра а\ равна числу нулей в за-
записи этого числа, вторая цифра а2 — числу единиц,
третья — числу двоек и т. д., последняя йю— числу
девяток в записи этого числа. Найти число.
§ 2. Логические задачи
89	G—8). Несколько команд разыграли первен-
первенство по волейболу, сыграв каждая с каждой по од-
одному разу. Доказать, что если какие-нибудь две
команды одержали одинаковое число побед, то най-
найдутся такие три команды А, В и С, что А выиграла
у В, В у С и С у А (заметим, что при игре в волей-
волейбол нет ничьих).
90	G—8). Предположим, что справедливы сле-
следующие утверждения:
а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие,
которые не являются малярами,
13

б)	люди, каждый день купающиеся в бассейне,
но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.
Следует ли отсюда, что справедливо утверждение:
в)	не все владельцы телевизоров каждый день ку-
купаются в бассейне?
91	G—10). Каково наибольшее число утвержде-
утверждений из приводимых ниже, которые одновременно мо-
могут быть истинными:
а)	Джо ловкач,
б)	Джо не везет,
в)	Джо везет, но он не ловкач,
г)	если Джо ловкач, то ему не везет,
д)	Джо является ловкачом тогда и только тогда,
если ему везет,
е)	либо Джо ловкач, либо ему везет, но не то
и другое одновременно.
92	G—10). а и b — целые положительные числа.
Известно, что из следующих четырех утверждении:
1)	а + 1 делится на Ь,
2)	а равно 2Ь -\- 5,
3)	а + Ъ делится на 3,
4)	а-\-1Ъ — простое число,
три верных, а одно неверное. Найдите все возможные
пары а, Ь.
93	F—8). Найти натуральное число А, если из
трех следующих утверждений два верны, а одно — не-
неверно:
1)	А + 51 есть точный квадрат,
2)	последняя цифра числа А есть единица,
3)	А — 38 есть точный квадрат.
94	G—10). Найти все такие двузначные числа А,
для каждого из которых два из следующих четырех
утверждений верны, а два — неверны:
1)	А делится на 5,
2)	А делится на 23,
3)	А -\- 7 есть точный квадрат,
4)	А — 10 есть точный квадрат.
95	G—10). Найдите, какую цифру обозначает
каждая буква в следующем равенстве:
а)	АХА = БАХ,
б)	ПИП = ИЛИ,
в)	А
г)
И

96	(8—10). В пруд пустили 30 щук, которые по-
постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой,
если она съела трех щук (сытых или голодных). Ка-
Каково наибольшее число щук, которые могут насы-
насытиться?
97	G—10). Можно ли выложить в цепь, следуя
правилам игры, все 28 костей домино так, чтобы
а) на одном конце оказалась шестерка, а на другом
пятерка? б) на обоих концах была шестерка?
98	G—10). Можно ли расставить по окружности
20 красных и несколько синих фишек так, чтобы
в каждой точке, диаметрально противоположной
красной фишке, стояла синяя и никакие две синие
фишки не стояли рядом?
99	F—10). Какое наименьшее количество взвеши-
взвешиваний потребуется, чтобы на весах с двумя чашками
без гирь из п монет выделить фальшивую — более
легкую?
100	G—10). Из четырех деталей одна отличается
по весу от остальных, имеющих одинаковый вес. Как
выделить ее двумя взвешиваниями на весах с двумя
чашками без гирь? Можно ли при этом выяснить,
легче ли она остальных?
101	(8—10). Среди 12 монет имеется одна фаль-
фальшивая. Найти ее четырьмя взвешиваниями на весах
с двумя чашками без гирь, если неизвестно, легче она
или тяжелее остальных.
102	F—10). Имеются 4 пакета и весы с двумя
чашками без гирь. С помощью 5 взвешиваний рас-
расположить пакеты по весу.
103* G—10). На шашечной 16-клеточной доске
произвольно расставлены шесть шашек. Доказать, что
всегда можно указать два таких горизонтальных
и два вертикальных ряда, что все шесть шашек стоят
в этих рядах.
104** (9—10). Доказать, что среди любых 6 чело-
человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое
незнакомых друг с другом. (Задача Рамсея.)
105** (9—10). Собрались п человек. Некоторые из
них знакомы, причем каждые двое незнакомых имеют
ровно двух общих знакомых, а у двух знакомых нет
общих знакомых. Докажите, что каждый из них зна-
знаком с одинаковым числом присутствующих.
15

§ 3. Принцип Дирихле
106	D—6). В магазин привезли 25 ящиков с яб-
яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали
яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти
9	ящиков с яблоками одного сорта?
107	D—6). В ящике лежат цветные карандаши:
10	красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. В темноте
берем из ящика карандаши. Какое наименьшее число
карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо
а)	было не меньше 4-х карандашей одного цвета?
б)	был хотя бы один карандаш каждого цвета? в) бы-
было не меньше 6 синих карандашей?
108	F—8).Доказать,что среди шести любых целых
чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
109	G—10). Имеются п целых чисел. Доказать, что
среди них найдутся несколько (или, быть может,
одно), сумма которых делится на п.
110	(8—10). Доказать, что найдется число вида
19711971 ... 19710... 0,
которое делится на 1972.
111	(8—10). Доказать, что для каждого натураль-
натурального числа п найдется натуральное число, все цифры
которого пятерки и нули, которое делится на п.
112	D—6). Сколько можно взять разных натураль*
ных чисел, не больших 10, чтобы среди них не наш-
нашлось двух, одно из которых точно вдвое больше дру-
другого?
113	G—10). Верно ли, что среди любых 30 разных
натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда мо-
можно выбрать два, одно из которых точно вдвое боль-
больше другого?
114	F—7). В классе 40 учеников. Найдется ли та-
такой месяц в году, в котором отмечают свой день рож-
рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
115	F—7). В школе 30 классов и 1000 учащихся.
Доказать, что есть класс, в котором не менее 34 уче-
учеников.
116	F—8). В классе 33 ученика, а сумма их воз-
возрастов составляет 430 лет. Справедливо ли утвержде-
утверждение, что найдутся в классе 20 учащихся, сумма воз-
возрастов которых больше 260?
16

117 D—6). Доказать, что из любых трех целых чи-
чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.
118* (8—10). Доказать, что из совокупности лю-
любых 2n+I — 1 целых чисел можно найти 2П чисел, сум-
сумма которых делится на 2".
119* (8—10). Даны п-\- 1 различных натуральных
чисел, меньших 2п. Доказать, что из них можно вы-
выбрать три таких числа, что одно из них равно сумме
двух других.
120* (8—10). Доказать, что существует натураль-
натуральное число, последние четыре цифры которого 1972 и
которое делится на 1971.
121 G—10). Можно ли найти такие две (разные)'
степени числа 4, у которых а) последняя цифра оди-
одинакова? б) две последние цифры одинаковы? в) три
последние цифры одинаковы?
122* (8—10). Можно ли найти такую натуральную
степень числа 3, которая оканчивается на 0001?
123	G—10). Шестеро друзей решили в воскресенье
побывать в 7 кинотеатрах, сеансы в которых начи-
начинаются в 9, 10, II, .... 17, 18, 19 часов. На каждый
сеанс двое из них шли в один кинотеатр, остальные —•
в другой. Вечером выяснилось, что каждый из них по-
побывал в этот день во всех семи кинотеатрах. Дока-
Доказать, что в каждом из семи кинотеатров хотя бы на
одном сеансе в этот день не был никто из друзей.
124	G—10). В розыгрыше кубка по футболу (в
один круг) участвует 30 команд. Доказать, что в лю-
любой момент найдутся две команды, сыгравшие одина-
одинаковое число игр.
125* (8—10). Дано 51 различных однозначных или
двузначных чисел. Доказать, что из них можно вы-
выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из выбранных не
имею г одинаковых цифр ни в одном разряде.
126* (8—10). Доказать теорему: если целые чис-
числа т и п взаимно просты, то найдется такое натураль-
натуральное к, что mh — 1 делится иа п.
127** (9—10). В единичный квадрат бросили 51 точ-
точку. Доказать, что некоторые три из них обязательно
лежат внутри круга радиуса 1/7.
128** (9—10). Сосновый лес растет на участке,
имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Зная, что
весь этот лес состоит из 4500 деревьев диаметра 50 см,
17

доказать, что в лесу можно выбрать прямоугольную
площадку 10 м X 20 м, на которой не растет ни одно
дерево.
§ 4. Задачи на делимость
и неопределенные уравнения
129	D—6). Коля и Петя купили одинаковые бего-
беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя
уплатил стоимость лыж трехрублевыми билетами.
Коля — пятирублевыми, а всего они дали в кассу
меньше 10 кредитных билетов.
130	D—6).Сколько имеется четырехзначных чисел,
которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?
131	D—6). К числу 15 припишите слева и справа
по одной цифре так, чтобы полученное число делилось
на 15.
132	E—6). Найти последнюю цифру следующих
чисел: а) б1971, б) 91971, в) З1971, г) 21971.
133	E—6). Найти наименьшее натуральное число,
делящееся на 36, в записи которого встречаются все
10 цифр.
134	F). Доказать, что разность 91972—71972 делится
на 10.
135	F). Какой цифрой оканчивается число
136	D—6). Сколькими нулями оканчивается произ-
произведение
1 • 2 • 3 • 4 ... 98 • 99 • 100?
137	F—7). Доказать, что число
7l9681970 _ д687Г
10
— целое.
138	E—8). Доказать, что из любых 5 целых чисел
можно найти 3, сумма которых делится на 3.
139	F—10). Доказать, что если р — простое число
и р >• 3, то число р2 — 1 делится на 24.
140	F—10). Если х2-\-у2 делится на 3 и х, у це-
целые, то х и у делятся на 3. Доказать.
18

141 F—8). Доказать, что сумма квадратов трех
целых чисел не может при делении на 8 дать в
остатке 7.
142	E—7). Найти такие четыре натуральных чис-
числа, что произведение любых трех из них, сложенное
с единицей, делится на четвертое.
143	F—8). Найти такие четыре разных целых чис-
ла, что сумма любых трех из них делится на четвертое.
144	G—10). Найти п таких разных целых чисел,
что произведение любых п — 1 из них делится на
оставшееся число.
145	F—7). Верна ли теорема: если записать в об-
обратном порядке цифры любого целого числа, то раз-
разность исходного и нового числа разделится на 9?
146	F—8). Найти все такие натуральные числа,
которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой
единиц и цифрой десятков вставить нуль.
147	E—7). Пять участников олимпиады стали ее
победителями, набрав по 15, 14 и 13 баллов и заняв
соответственно первое, второе и третье места. Сколько
участников завоевали каждое призовое место, если
вместе они набрали 69 баллов?
148	F—10). Найти наибольший общий делитель
чисел 2п + 3 и п + 7.
149	F—10). Доказать, что дробь 30га + 2 ~ нес0*
кратима.
150	G—10). Найти все целые п, при которых
19га+ 7
¦=—7—г-.	целое число.
/п + 11
151	F—7). Можно ли число 1974 представить как
разность квадратов двух натуральных чисел?
152	F—10). Выяснить, при каких натуральных зна-
значениях п число п5 — п делится на 120.
153	F—10). Доказать, что произведение четырех
последовательных натуральных чисел, сложенное с
единицей, есть точный квадрат.
154	G—10). Ни одно из чисел р— 1 и р+ 1, где
р — произведение первых п простых чисел (п > 1), не
является полным квадратом. Доказать.
155	F—10). Доказать, что если каждое из двух
чисел есть сумма квадратов двух целых чисел, то их
произведение также есть сумма двух квадратов,
19

156	F—10). Может ли сумма квадратов двух не-
нечетных чисел быть квадратом целого числа?
157	G—10). Доказать, что сумма квадратов пяти
последовательных целых чисел не является полным
квадратом.
158	G—10). Некоторое двузначное число кратно
трем. Если между его цифрами вставить нуль и к по-
полученному трехзначному числу прибавить удвоенную
цифру его сотен, то получится число, в 9 раз большее
первоначального. Найти исходное двузначное число.
159* G—10). Сумма цифр трехзначного числа рав-
равна 7. Доказать, что число делится на 7 тогда и только
тогда, когда равны его цифры десятков и единиц.
160	G—10). Доказать, что выражение х -\— не
является целым числом ни при каком рациональном х,
отличном от ±1.
161	(8—10). Может ли квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = 0
с целыми коэффициентами иметь дискриминант, рав-
равный 23?
162	G—10). Числа р и 2/7+1 простые и р > 3.
Доказать, что число 4р + 1 составное.
163	G—10). Может ли сумма цифр точного квад-
квадрата равняться 1970?
164	(8—10). Если квадрат натурального числа со-
содержит нечетное число десятков, то цифра единиц
квадрата всегда равна 6. Доказать.
165. В турнире принимает участие 15 шахматистов.
Может ли быть, чтобы в некоторый момент каждый из
них сыграл ровно 7 партий?
166	F—10). Можно ли 1973 телефона соединить
между собой так, чтобы каждый был соединен с 1971
телефоном?
167	(9—10). Существует ли многогранник с нечет-
нечетным числом граней, все грани которого — многоуголь-
многоугольники с нечетным числом сторон?
168	F—10). В школе 953 ученика. Одни из них
знакомы, другие не знакомы друг с другом. Дока-
Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых
среди учеников этой школы четно.
20

169** (8—10). Каждая из 10 цифр 0, 1, 2, 3, ...
..., 9 написана на двух карточках. Доказать, что эти
двадцать карточек нельзя выложить в ряд так, чтобы
между двумя карточками с одинаковой цифрой k ле-
лежало ровно k карточек (для k = 0, Г, 2, 3	9).
170* G—10). Улитка ползет из точки А по плоско-
плоскости, поворачивая на 90° через каждые 15 минут. Дока-
Докажите, что она может вернуться в точку А только
через целое число часов (скорость улитки считается
постоянной).
171* (8—10). Даны п чисел аи аг, .«,, а,„ каждое
из которых равно +1 или —1, и
а1а2 + а2а3+ ... + ап-хап + апах = 0.
Доказать, что п делится на 4.
172* (8—10). Найти все такие двузначные числа,
что сумма каждого такого числа и числа с теми же
цифрами, записанными в обратном порядке, есть пол-
полный квадрат.
173	G—10). Чтобы узнать, является ли число 1601
простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5
и т. д. На каком простом числе можно прекратить ис-
испытания?
174	G—10). Число р простое. Сколько существует
чисел, взаимно простых с числом р3 и меньших его?
175* (8—10). Два двузначных числа, записанных
одно за другим, образуют четырехзначное число,
которое делится на их произведение. Найти эти
числа.
176* (8—10). Из трехзначного числа вычли сумму
его цифр. С полученным числом проделали то же са-
самое н так далее, 100 раз. Доказать, что в результате
получится нуль.
177* A0). Сколькими способами число 1971 можно
представить как сумму нескольких последовательных
натуральных чисел?
178* (8—10). Доказать, что общее наименьшее
кратное чисел 1, 2, 3, ,,,, 2п равно общему наимень-
наименьшему кратному чисел п+1,п + 2, ...,2п.
179* (9—10). Доказать, что если s — число всех де-
делителей натурального числа п, то произведение всех
делителей равно ^Jns.
22

180	G—10). а и b — взаимно простые натуральные
числа. Доказать, что уравнение ах-{-by = ab не имеет
решений в натуральных числах.
181	(8—10). Решить в целых числах уравнение
182	(8—10). Решить в целых числах уравнение
6л;2 + 5у2 = 74.
183	(8—10). Решить в целых числах уравнение
184* (8—10). Решить в целых числах уравнение
ху . xz , уг _о
z	у ' х
185* (8—10). Решить в целых числах уравнение
186* (8—10). Решить в целых числах уравнение
1! + 2! + ... +х\ = у\
187 (8—10). Решить в натуральных числах урав-
уравнение
, 1	10
V+-
188* (8—10). Решить в натуральных числах урав-
уравнение
189	(8—10). Решить в простых числах уравнение
190	(8—10). Сколько решений в целых числах
имеет уравнение
V* + Vy = Vl960?
191	(8—10). Найти целые решения системы
х + у =2,
ху — 22=1.
22

192	G—10). Три купчихи: Олимпиада, Сосипатра и
Поликсена пили чай. Если бы Олимпиада выпила на
5 чашек чая больше, то она выпила бы столько, сколь-
сколько Сосипатра и Поликсена вместе. Если бы Сосипатра
выпила на 9 чашек чая больше, то она выпила бы
столько, сколько Олимпиада и Поликсена вместе. Их
отчества: Титовна, Уваровна и Карповна. Определить,
сколько выпила чашек каждая из них и у какой ка-
какое отчество, если известно, что Титовна выпила чис-
число чашек, кратное трем, а Карповна выпила 11 чашек.
193	(8—10). Три колхозника: Петр, Павел и Андрей
и их жены Екатерина, Мария и Валентина отправи-
отправились в кооператив. Каждый из этих шести лиц купил
столько вещей, сколько рублей заплатил за каждую
вещь. Петр купил 23 вещами более, чем Мария, а Па-
Павел — 11 вещами более, чем Екатерина. Известно,
кроме того, что каждый муж издержал на 63 рубля
больше, чем его жеиа.
Определить имя жены каждого колхозника.

ГЛАВА II
АЛГЕБРА
§ 5. Преобразования, функции,
уравнения и неравенства
194 G—8). Разложить на множители:
б) х84-х74-1, г) х8 4-З*4 4-4.
195	G—8). Разложить на множители:
а)	(a-bf + (b-
б)	(а-х)у3-(а-
в)	х{у*-г>) + у
Г) (x + tj + zf — X3 — у3 — Z3.
196	(8). Доказать, что многочлен
xS5 + *fl4 + *93+ ... + л:2 + д;
делится на многочлен
197	G—8). Доказать, что если а4-Ь4-с = 0, то
а)	а3 4- Ь3 4- с3 = ЗаЬс,
б)	а3 4- а2с — abc 4- Ь2с 4- Ь3 — 0.
198	F—7). Доказать, что если Ь = а — 1, то
(а + Ь) (а2 4- б2) (а4 4- б4)... (с32 4- б32) = а64 - б64.
199	G—10). Доказать, что если -? + -| 4- -|- = 1 и
+ 7 + Т = 0'то
Г2	М2	72
24

200	(8). Найти произведение
101 • 10001 • 100000001 • ... • 100_... 001.
2п-1 нуль
201	(8—10). Найти такие а и Ь, чтобы многочлен
+ х3 + 2*2 + ах + Ь был полным квадратом.
202	(8—10). Найти сумму
1 ,	1	.	,	1
' "Г гт: ¦ гг. "г • • * "Г /.-.„а
1+V2 V2 + V3 "* V1970 + V1971 *
203 (8—10). Найти сумму
1 , » ¦	.	1
"Г О . Я . А . S "Г ••• "Г
1-2-3-4 ^ 2-3-4-5 ^ '•" ^ n(n+l)(n
204	(8—10). Найти сумму
S = 1 + 2х + Зл;2 + 4л? + ... +
205	(8—10). Найти сумму
Ы!+ 2-2!+ 3-3!+ ... +п-п\.
206
G-10).
1
15
Доказать
^ 1 з
< 2" ' Т *
5
6
99
••• юо <
„ 1
- 10
207	(8—10). Доказать, что при любых действитель-
действительных а и Ь, не равных одновременно нулю, уравнение
имеет действительные корни.
208	(8—10). а, Ь, с — различные числа, причем
сфО. Доказать, что если уравнения х2 + ах + be = 0
и х2 + Ь* -f- са = 0 имеют ровно один общин корень,
то другие корни этих уравнений удовлетворяют урав-
уравнению х2 + сх + ab = 0.
209	(9—10). Известно, что а + 6 + с< 0 и что урав-
уравнение ал;2 -f- Ьх + с = 0 не имеет действительных кор-
корней. Определить знак коэффициента с.
210	(9—10). Даны п положительных чисел аь а2,
Оз, ..-, ап, произведение которых равно 1. Доказать,
что
3 И. Л. Сабинская	25

211 (8—10). Доказать неравенство
- ас + 2bc.
212 (8—10). Доказать, что
213 (8—10). Доказать, что
а2 + Ь2 + 1 > ab + а + Ь.
214* (8—10). Доказать, что если abc = 1 и а3боль-
с2
ше 36, то -д- + 6- + с2 > аЬ + 6с + га.
215 (8—10). Доказать, что *2 + у2 + z2^zxy +.*z-f
216	(9—10). Доказать, что если а2 + 62<2, то
а + 6 ^ 2.
217	(9—10). Если а, 6, с — стороны треугольника,
то
аЬ + be + са < а2 + б2 + с2 < 2 (аб + Ьс + га).
Доказа гь.
218	(9—10). Доказать
J-4-J-4-	4--L/1
22 "Г д2 "Г ¦ • • "Г п2 ^ 1-
219	(9—10). Доказать, что для любого натураль-
натурального п >> 1 справедливы неравенства
Я ^ - . 1 j^ 1 |^	|	1	-
"'^-1"Т"'2"~Г"з'"Т ••• "Г 2п	1 *^ п'
220 (9—10). Доказать, что если x-\-y-\-z= 1, то
2 + 2l/3
y
221	(8—10). Найти действительные решения урав-
уравнения
(х— 1)(х- 3)(х + 5) (х + 7) = 297.
222	(8—10). Решить уравнение
1	18	18
jc2 + 2х — 3 ~ х2 + 2х + 2 jc2 + 2д:
223 (8—10). Решить уравнение
3 ,_J	,441	,
26

224 (8—10). Найти действительные решения урав-
уравнения
225 (8—10). Решить уравнение
226 (8—10). Решить уравнение
* + 8 — 6<yfx— 1 = 1.
i — 4 У х — ]
227 (9—10). Найти целые положительные решения
уравнения
1 " ' +..-+ '	"~
1-2 " 2-3 ' " п(п+1)
228 (9—10). Решить уравнение
^п + 5
229	(9—10). Решить уравнение
V*2 — Р + 2 V*2 — I =х.
230	(9—10). Решить уравнение
= У*4-16 — г/+5.
231 (8—10). Решить систему уравнений
232 (8—10). Решить систему уравнений
С + 11 , XV	| 1
л: —
233 (9—10). Решить систему уравнений
ху=1,
х + у -\- cos2 z = 2.
27

234 (8—10). Решить систему уравнений
235	(8—10). Решить систему уравнений
a (yz — zx — xy) = xyz,
b (zx — xy — yz) = xyz,
с (xy — yz — zx) = xyz.
236	(8—10). Решить систему уравнений
237 (8—10). Решить систему уравнений
238 (9—10). Решить систему уравнений
У*2 + У2 — л/х2 — У1 = У,
239	G—10). Р(х) —многочлен четвертой степени
такой, что ЯA)=Р(—1) и РB) = Р(—2). Дока-
Доказать, что Р(х) = Р(—х) для любого х.
240	(8—9). Найти, при каком целом а многочлен
(л: — а) (х—10)+ 1 можно разложить в произведение
двух многочленов (ненулевой степени) с целыми ко-
коэффициентами.
241	(8—10). Найти наименьшее значение функции
242 (8—10). Найти наименьшее значение функции
х2- 1
243	(9—10). Найти максимум ab, если а + 2Ь= 1.
244	(8—10). Найти значения а и Ь, при которых
значение многочлена а3 + Ьъ -f ab наименьшее, если
+ b h
28

245	G—10). Найти сумму коэффициентов много-
многочлена, получающегося после раскрытия скобок и при-
приведения подобных членов в выражении
B - 3v + *2I969 • B + 3v + *Т7С.
246	(9—10). Доказать, что при любом натураль-
натуральном п
247 (9—10). Доказать, что при любом натураль-
натуральном п
§ 6. Математическая индукция
и комбинаторика
248	(9—10). Доказать, что (п3 +5п) делится на 6.
249	(9—10). Доказать, что для любого натураль-
натурального п ;> 1 справедливо неравенство
^_JL_ + _i_+ +JL >1
250	(8—10). Указать все денежные суммы в целое
число рублей, которые можно уплатить с помощью как
четного, так и нечетного числа купюр (в обращении
имеются купюры достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и
.100 рублей).
251	(8—10). Доказать:
252	(9—10). Известно, что * + —— Целое число.
Доказать, что х11 -)—д- — также целое число при лю-
бом целом п.
253	(9—10). Доказать, что при любом натураль-
натуральном п число 23" + 1 делится на 3n+1 и не делится на
3п+2
254	G—10). Гайка имеет форму правильной шести-
шестиугольной призмы. Каждая боковая грань гайки по-
покрашена в один из трех цветов: белый, красный или
29

синий, причем соседние грани выкрашены в разные
цвета. Сколько существует различных по раскраске
гаек? (Для раскраски гайки не обязательно исполь-
использовать все три краски.)
255	(8—10). Сколькими способами можно раскра-
раскрасить круг, разбитый на р равных секторов с помощью п
красок, если р — простое число и каждый сектор рас-
раскрашиваем одной краской? Две раскраски, совпадаю-
совпадающие при повороте круга, считаем одинаковыми.
256	(9—10). Доказать малую теорему Ферма. Если
р — простое число, то при любом натуральном п чис-
число пр — п делится на р.
257	(8—10). Имеется много белых, красных и си-
синих квадратов со стороной 10 см каждый. Сколько из
них можно составить различных по раскраске квад-
квадратов со стороной 20 см, если каждый большой квад-
квадрат составлять из четырех малых?
258* (8—10). Имеются 2т одинаковых белых и Зп
одинаковых черных шаров. Сколькими способами из
них можно взять т-\- п шаров?
259	G—10). На олимпиаду пришли 10 учащихся из
одного класса. Сколькими способами их можно рас-
распределить по четырем аудиториям, в которых они бу-
будут писать работу?
260	G—10). Сколько делителей у числа: а) 36-96?
б) 24-35? в) 2"-3™-5ft?
261	G—10). Сколько существует разных пятизнач-
пятизначных чисел, все цифры которых четны?
262	G—10). Каких чисел больше среди целых чи-
чисел первой тысячи, включая и 1000: в записи которых
есть хоть одна единица, или среди цифр которых еди-
единиц нет?
263	(8—10). Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют
всевозможные семизначные числа, в записи которых
каждая цифра участвует только один раз. Доказать,
что сумма всех этих чисел делится на 9.
264	(9—10). На окружности отмечены 10 точек.
Сколько можно провести незамкнутых несамопересе-
кающихся ломаных с вершинами во всех этих точках?
265* (9—10). Даны три положительных числа
а, Ь, с таких, что при любом натуральном k из отрез-
отрезков длины ак, Ьк, ск можно составить треугольник. До-
Доказать, что среди чисел а, Ь, с есть два равных.
30

§ 7. Разные задачи
266	(8—10). Какое число больше
VT969 + V197T или 2
267	(9—10). Какое число больше
sin (cos х) или cos (sin x)?
268	E—10). Сто разных фишек положены в один
ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно
менять местами. Удастся ли переставить фишки в об-
обратном порядке?
269	(9—10). Найти сумму
6 + 66 + 666 + ... + 666 ... 6.
п шестерок
270	(9—10). Найти сумму
271	A0). Составлены выражения 1; 3 + 5; 7 + 9+'
+ 11; 13+15+17+19 и т. д. Доказать, что каждое
из них — куб некоторого целого числа.
272	A0). Найти сумму всех попарных произведе-
произведений чисел 1, 2, 3, ..., п.
273* (8—10). Произведение 10 натуральных чисел
равно 1010. Какое наибольшее значение может прини-
принимать их сумма, если числа не обязательно различны?
274* G—10). На листе клетчатой бумаги размером
50 X 50 клеток в каждой клетке написано число. Из-
Известно, что в каждых четырех клетках, которые мо-
можно покрыть фигурой вида
сумма чисел равна 4. Докажите, что каждое число
равно 1.
275* (8—10). В каждой клетке квадратной табли-
таблицы 25 X 25 написано число +1 или —1. Обозначим че-
через ai произведение всех чисел t'-й строки, через 6j—«
произведение всех чисел /-го столбца. Показать, что
81

276 A0). Найти арифметическую прогрессию, у ко-
которой при любом п ^ 1 сумма п первых членов рав-
равна п2.
277* A0). Доказать, что среднее арифметическое
всех делителей числа п (включая 1 и п) заключено
между У я и —g—•
278	E—10). Имеются 552 гири весом 1 г,2г,3г, ...
..., 552 г. Разложить их на три равные по весу кучки.
279	F—10). Имеются 555 гирь весом 1 г, 2 г, ..,
..., 555 г. Разложить их на три равные по весу кучки.
280* (8—10). В шахматном турнире каждый шах-
шахматист половину своих очков набрал во встрече
с участниками, занявшими три последних места.
Сколько человек принимало участие в турнире?
281* (8—10). В шахматном турнире участвовало
8 человек и все они набрали разное количество очков.
Шахматист, занявший второе место, набрал столько
же очков, сколько четыре последних. Как сыграли ме-
между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое
места?

ГЛАВА III
ГЕОМЕТРИЯ
§ 8. Построение и исследование
геометрических фигур
282	F—8). Дан угол и точка М внутри него. Про-
Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отре-
отрезок между сторонами угла делился данной точкой
пополам.
283	F—8). Построить параллелограмм, у которого
середины трех сторон лежат в заданных точках.
284	F—8). Построить квадрат, три вершины кото-
которого лежат на трех данных параллельных прямых.
285	G—8). Построить треугольник по трем ме-
медианам.
286	G—8). Даны точки М, N, К — середины трех
равных сторон выпуклого четырехугольника. По-
Построить четырехугольник.
287	G—10). Дан угол в 19°. Построить циркулем
угол в 1°.
288	G—8). Построить окружность данного радиу-
радиуса, а) касающуюся двух данных прямых, б) касаю-
касающуюся данной прямой и данной окружности.
289	G—8). Вписать окружность в данный угол так,
чтобы она проходила через заданную точку А, лежа-
лежащую на одной стороне угла.
290	G—10). Точки А и В лежат внутри острого
угла. Построить точки L и М на сторонах этого
угла так, чтобы длина ломаной ALMB была наи-
наименьшей.
291	G—10). Дан угол АОВ и две точки М и N вну-
внутри него. Как направить луч света из точки М, чтобы
он, отразившись сначала в стороне АО, а затем — в
стороне ВО, попал в точку N?
33

292	G—10). Построить треугольник по серединам
двух его сторон и прямой, на которой лежит биссект-
биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.
293	(8—10). Дан круг и точка внутри него. Прове-
Провести через данную точку хорду заданной длины а.
294	G—10). Дана окружность, ее диаметр АВ и
точка С вне окружности. С помощью одной лишь
линейки опустить перпендикуляр на прямую АВ из
точки С.
295	G—8). Найти множество точек — середины
хорд данной окружности, проходящих через данную
точку А, лежащую а) на окружности, б) внутри окру-
окружности, в) вне окружности, если продолжения хорд
проходят через точку А.
296	G—8). Найти множество точек плоскости, от-
отстоящих от контура квадрата со стороной 2 см на рас-
расстоянии 1 см.
297	G—10). Найти множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых до прямых,
проходящих через стороны единичного квадрата,
равна 4.
298* (8—10). Дана окружность и хорда АВ. Найти
множество середин ломаных АМВ, где М— любая
точка окружности.
299* (8—10). Дан равносторонний треугольник
ABC. Найти на плоскости множество точек М таких,
что треугольники АМВ и ВМС а) равнобедренные,
б) прямоугольные.
300	G—10). Дан треугольник. Найти множество
центров прямоугольников, вписанных в этот треуголь-
треугольник так, что основания прямоугольников лежат на ос-
основании треугольника, а две другие вершины — на бо-
боковых сторонах.
§ 9. Геометрические задачи
на максимум и минимум
301	F—8). Среди точек данной прямой / найти та-
такую, что сумма расстояний от нее до двух данных то-
точек А, В — наименьшая.
302	F—8). Из всех треугольников с данным осно-
основанием а и данной высотой h, опущенной на нее, най-
найти треугольник минимального периметра.
84

303	F—8). Внутри выпуклого четырехугольника
найти точку, сумма расстояний от которой до вершин
имеет наименьшую длину.
304	G—8). Через точку, лежащую внутри данного
угла, провести прямую, отсекающую от него треуголь-
треугольник наименьшей площади.
305	G—9). Дан острый угол и точка А внутри него.
Построить ААВС минимального периметра, вершины
В и С которого лежат на сторонах данного угла.
306	(8—10). Через вершину А треугольника ABC
провести прямую / так, чтобы сумма расстояний до
нее от вершин В я С была наименьшей.
307	(8—10). Через вершину А треугольника ABC
провести прямую / так, чтобы сумма расстояний до
нее от вершин В я С была наибольшей.
§ 10. Разные геометрические задачи
308	G—10). Можно ли разрезать выпуклый сем-
надцатиугольник на 14 треугольников?
309	G—10). Доказать, что число треугольников, на
которые можно разбить выпуклый n-угольник всеми
диагоналями, не пересекающимися внутри п-уголь-
ника, а также число диагоналей, участвующих в раз-
разбиении, не зависят от способа разбиения.
310	G—10). В плоскости расположены п одинако-
одинаковых зубчатых колес так, что первое сцеплено зубцами
со вторым, второе — с третьим и так далее, наконец,
последнее n-е колесо сцеплено с первым. Могут ли
вращаться колеса такой системы?
311	(8—10). В четырехугольнике три тупых угла.
Доказать, что из двух его диагоналей большей яв-
является та, которая проведена из вершины острого
угла.
312	(8—10). Через середину гипотенузы прямо-
прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр. От-
Отрезок этого перпендикуляра, заключенный внутри тре-
треугольника, равен 3 см, а вне треугольника (до пере-
пересечения с продолжением другого катета) 9 см. Найти
длину гипотенузы.
313	G—10). Доказать, что сумма медиан треуголь-
треугольника больше его полупериметра и меньше его пери-
периметра.
35

314 G—10). Сколько осей симметрии может иметь
семиугольник?
315	G—9). Длины сторон треугольника — последо-
последовательные целые числа, не меньшие 3. Доказать, что
высота, опущенная на среднюю по величине сторону,
делит ее на отрезки, разность которых равна 4.
316	(8—9). Квадрат со стороной а прямыми, парал-
параллельными его сторонами, разбит на п2 равных квад-
квадратов. В каждый из полученных квадратов вписан
круг. Доказать, что площадь части исходного квад-
квадрата, не покрытой кругами, не зависит от п.
317	(8—10). Доказать, что круги, построенные на
сторонах выпуклого четырехугольника, как на диа-
диаметрах, покроют весь четырехугольник.
318	(8—10). В трапеции ABCD AD и ВС —основа-
—основания, О — точка пересечения диагоналей. Даны пло-
площади Si = S&aod и S2 — Saboc- Найти площадь тра-
трапеции.
319	G—10). В треугольнике центр вписанной и опи-
описанной окружностей совпадают. Доказать, что тре-
треугольник равносторонний.
320	G—10). Доказать, что выпуклый четырех-
четырехугольник, имеющий ось симметрии, является либо впи-
вписанным, либо описанным.
321* (8—10). Пять отрезков таковы, что из любых
трех можно составить треугольник. Доказать, что хотя
бы один из этих треугольников остроугольный.
322	G—10). Существует ли треугольник, у кото-
которого а) все высоты меньше 1 см, а площадь больше
100 см2? б) две высоты больше 100 см, а площадь
меньше 1 см2?
323	(8—10). Доказать, что расстояние от любой
точки М окружности, описанной около правильного
треугольника ABC, до одной из его вершин равно сум-
сумме расстояний от точки М до двух других вершин.
324	G—10). Для каких п существует выпуклый п-
угольник, у которого одна сторона имеет длину 1,
а длины всех диагоналей — целые числа?
325	(8—10). Площадь треугольника равна 5, пе-
периметр— Р. Прямые, на которых расположены его
стороны, отодвигаются (во внешнюю сторону) на рас-
расстояние h. Найти площадь и периметр треугольника,
образованного тремя полученными прямыми.
36

326 G—10). Из точки В квадратного биллиарда
пускаем шарик параллельно диагонали. Найти мно-
множество таких точек на биллиарде, что если из них пу-
пустить одновременно с первым с той же скоростью и в
том же направлении второй шарик, то они столкнутся.
327* G—10). В четырехугольнике ABCD точка ?—¦
середина АВ, F — середина CD. Доказать, что сере-
середины отрезков AF, СЕ, BF и DE являются вершинами
параллелограмма.
328* G—10). В шестиугольнике ABCDEF сторо-
стороны АВ и DE, ВС и EF, CD и FA соответственно па-
параллельны и AD = BE жз= CF. Доказать, что около
этого шестиугольника можно описать окружность.
329* (8—10). Доказать, что в круге радиуса 1 нель-
нельзя выбрать более пяти точек, попарные расстояния
между которыми больше 1.
330	(8—10). п точек на плоскости расположены так,
что любой треугольник с вершинами в этих точках
имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти
точки можно поместить в треугольник площади 4.
331	(9—10). Можно ли составить пирамиду из че-
четырех равных тупоугольных треугольников.
332* (8—10). В прямоугольник размером 20X25
бросают 120 квадратов размером 1 X 1- Доказать, что
при любом расположении квадратов внутри прямо-
прямоугольника останется свободное место для размеще-
размещения круга диаметра 1.
333* (9—10). В городе п домов. Какое максималь-
максимальное число непересекающихся заборов можно построить
в этом городе, если каждый забор огораживает хотя
бы один дом и никакие два забора не огораживают
одну и ту же совокупность домов?
334** (8—10). Дано несколько пересекающихся
кругов, занимающих на плоскости площадь, равную
единице. Доказать, что из них можно выбрать один
или несколько попарно непересекающихся кругов, об-
общая площадь которых не менее 1/9.

ГЛАВА IV
ИЗ ЗАДАЧ ВСЕСОЮЗНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
ШКОЛЬНИКОВ
335	(8—10). Среди студентов, поступивших в Уни-
Университет дружбы народов, ровно 50 человек знают
английский язык, ровно 50 человек знают француз-
французский язык и ровно 50 человек знают испанский язык.
Доказать, что студентов можно разбить на 5 (не обя-
обязательно равных) групп так, чтобы в каждой группе
было ровно 10 человек, знающих английский язык,
ровно 10 человек, знающих французский язык, и ров-
ровно 10 человек, знающих испанский язык. (Предпола-
(Предполагается, что некоторые из студентов могут либо не знать
ни один из этих языков, либо знать любое количество
из них.) (II, 1968 г.) ').
336	(8). В центре поля, имеющего форму квадрата,
находится волк, а в вершинах квадрата — 4 собаки.
Волк может бегать по всему полю, а собаки только по
сторонам квадрата. Известно, что волк задирает со-
собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная
скорость каждой собаки в 1,5 раза больше максималь-
максимальной скорости волка. Доказать, что собаки имеют воз-
возможность не выпустить волка из квадрата. (III, 1969 г.)
337	(8). Доказать, что если произведение трех по-
положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел стро-
строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно
из этих чисел больше 1. (IV, 1970 г.)
338	(8). Цифры некоторого семнадцатизначного
числа записываются в обратном порядке. Полученное
число складывается с первоначальным. Доказать, что
хотя бы одна из цифр их суммы будет четной. (IV,
1970 г.)
*) Римская цифра означает номер Всесоюзной математнче-
я олимпня пы
ской олимпиады
38

339	(8). Доказать, что существует стозначное чис-
число, делящееся на 2100, в десятичной записи которого
участвуют только цифры 1 и 2. (V, 1971 г.)
340	(8). Двое играют в такую игру. Первый запи-
записывает один под другим два ряда по 10 чисел так,
чтобы выполнялось следующее правило: если число Ь
записано под числом а, а число d под числом с, то
а + d = Ъ -\- с. Второй игрок, зная это правило, хочег
определить все написанные числа. Ему разрешается
задавать первому вопросы типа: «Какое число стоит
в первой строке на третьем месте?» или «Какое число
стоит во второй строке на девятом месте?» и т. п. За
какое наименьшее число таких вопросов второй игрок
сможет узнать все числа? (V, 1971 г.)
341	(8). а) Доказать, что прямая, разбивающая
данный треугольник на два многоугольника равной
площади и равного периметра, проходит через центр
окружности, вписанной в треугольник, б) Доказать
аналогичное утверждение для произвольного много-
многоугольника, в который можно вписать окружность. (V,
1971 г.)
342	(8). Доказать, что из 25 различных положи-
положительных чисел можно выбрать два таких числа, что
ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности
(между большим и меньшим) выбранных чисел. (V,
1971 г.)
343	(8). а) В вершине А\ правильного двенадца-
двенадцатиугольника АгА2Аз ... Л12 стоит знак минус, а в ос-
остальных — плюсы. Разрешается одновременно менять
знак на противоположный в любых шести последова-
последовательных вершинах многоугольника. Доказать, что за
несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы
в вершине Ач оказался знак минус, а в остальных вер-
вершинах — плюсы, б) Доказать то же утверждение, если
разрешается менять знаки не в шести, а в четырех по-
последовательных вершинах многоугольника, в) Дока-
Доказать то же утверждение, если разрешается одновре-
одновременно менять знак в трех последовательных вершинах
многоугольника. (V, 1971 г.)
344	(9). Пусть с, т, п — натуральные числа, а > 1.
Доказать, что если ат+ 1 делится на а"_+ 1, то m де-
делится на п. (VI, 1972 г.)
39

345	(9). Треугольная таблица строится по следую-
следующему принципу, в верхней строке написано число а>1,
а далее под каждым числом k слева пишется k2, a
справа число k-\-\. Доказать, что в каждой строке
такой таблицы все числа различны. (VI, 1972 г.)
346	(8—9). На прямой даны 50 отрезков. Дока-
Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утвержде
ний: а) некоторые 8 отрезков имеют общую точку,
б) найдутся 8 отрезков, никакие два из которых не
имеют общей точки. (VI, 1972 г.)
347	(9). Пусть х, у — положительные числа, S —
наименьшее из чисел х, у -\—, —. Найти наиболь-
* У
шее возможное значение S. При каких х и у оно до-
достигается? (VI, 1972 г.)
348	A0). На бесконечном клетчатом листе белой
бумаги п клеток закрашены в черный цвет. В момен-
моменты времени t = 1, 2, ... происходит одновременное
перекрашивание всех клеток листа по следующему пра-
правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который
имело в предыдущий момент большинство из трех кле-
клеток: самой клетки k и ее соседей справа и сверху. До-
Доказать, что а) через конечное время на листке не оста-
останется черных клеток, б) черные клетки исчезнут не
позднее, чем в момент времени t = п. (VII, 1973 г.)
349	A0). В пространстве заданы 4 точки, не лежа-
лежащие в одной плоскости. Сколько существует различ-
различных параллелепипедов, для которых эти точки служат
вершинами? (VII, 1973 г.)
350	A0). Король обошел шахматную доску 8X8,
побывав на каждом поле ровно один раз и вернув-
вернувшись последним ходом на исходное поле. Когда на-
нарисовали его путь, последовательно соединив центры
полей, которые он проходил, получилась замкнутая
ломаная, без самопересечений. Какую наименьшую и
какую наибольшую длину может она иметь, если сто-
сторона клетки равна 1? (VII, 1973 г.)

ГЛАВА V
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
351.	Доказать, что если некоторый четырехуголь-
четырехугольник можно разбить на два подобных между собой че-
четырехугольника, то этот четырехугольник — трапеция.
352.	Середины сторон АВ, ВС, CD выпуклого че-
четырехугольника ABCD лежат в данных точках К, L,
М. Где может лежать вершина Л?
353.	Найти множество центров прямоугольников,
образованных четырьмя прямыми, проходящи\ш соот-
соответственно через четыре данные точки.
354.	Точки А и В движутся по дв^ м пересекаю-
пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью.
Доказать, что на плоскости существует неподвижная
точка Р, которая в любой момент времени одинаково
удалена от точки А и В.
355.	Доказать, что площадь квадрата, лежащего
внутри треугольника, не превосходит половины пло-
площади этого треугольника.
356.	Прямоугольник прямыми, параллельными его
сторонам, разбит на равные квадраты. Центр каж-
каждого квадрата отмечен красным или синим каранда-
карандашом. Если у двух соседних (т. е. имеющих общую сто-
сторону) квадратов центры одного цвета, то эти центры
соединяются отрезком того же цвета. Известно, что
на каждой горизонтали и на каждой вертикали число
красных точек равно числу синих точек. Будет ли в
этом случае красных отрезков столько же, сколько
синих?
357.	Существует ли в сутках момент, когда три
стрелки — часовая, минутная и секундная — правиль-
правильно идущих часов образуют попарно углы в 120°?
358.	Замок имеет в плане форму равностороннего
треугольника со стороной 100 м. Он разделен на
4 И. Л. Бабинская	41

100 треугольных залов. Все стены залов имеют оди-
одинаковую длину—10 м. В середине каждой стены ме-
между залами сделана дверь. Доказать, что если чело-
человек захочет пройти по замку, побывав в каждом зале
не более одного раза, то он сможет осмотреть не бо-
более 91 зала.
359.	В городе всего 20 улиц: 10 параллельных и
10 других, которые пересекают первые под прямым
утлом. Какое наименьшее число поворотов может
иметь замкнутый маршрут, проходящий через все пе-
перекрестки?
360.	В квадрате со стороною 1 нарисовано не-
несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Доказать, что можно провести прямую так, что она
пересечет не менее четырех окружностей.
361.	В окружности диаметра 1 проведено несколь-
несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересе-
пересекает не более k хорд, то сумма длин всех хорд мень-
меньше 3,15k.
362.	Решить в целых числах уравнение
±_i_J__JL
х ^ у — 14 '
363.	Решить в целых числах уравнение
ху , хг . у г _ „
364.	Найдите а и Ъ такие, что каждый из квадрат-
квадратных трехчленов х2 — ах -(- Ъ и х2 — Ъх -\- а имеет pa i-
личные целые положительные корни.
365.	Функция f(x) определена для всех действи-
действительных чисел х, за исключением 0 и 1. Для каждого
х выполняется равенство f(x) + f (^_xj — х. Найти
все такие функции.
366.	Найти две последние цифры числа 2!000.
367.	Найти 8 простых чисел, сумма квадратов ко-
которых на 992 меньше, чем учетверенное произведение.
368.	Докажите, что ни одно из чисел р -f-1 up— 1,
где р — произведение первых п простых чисел, не яв-
является полным квадратом.
369.	Доказать, что если между цифрами числа 1331
написать по равному количеству нулей, то получится
точный куб.
42

370.	Найти число, если для записи его шестой сте-
степени в десятичной системе использовались по одному
разу цифры 2, 4, 5 и по два раза цифры 8 и 9.
371.	Из двух чисел 1 и 2 составлено шесть шести-
шестизначных чисел. Доказать, что среди них найдутся
два числа, отличающихся не более чем в двух раз-
разрядах.
372.	Все целые числа произвольным образом раз-
разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной
из групп найдутся три числа, одно из которых есть
среднее арифметическое двух других.
373.	Можно ли выбрать миллион натуральных чи-
чисел так, чтобы никакая сумма нескольких из этих чи-
чисел не являлась полным квадратом?
374.	Можно ли на окружности расположить числа
0,	1,2, ..., 9 так, чтобы любые два соседних отлича-
отличались на 3, 4 или на 5?
375.	Можно ли на окружности расположить числа
1,	2, 3, ...,13 так, чтобы любые два соседних отли-
отличались на 3, 4 или 5?
376.	Доказать, что существуют числа, делящиеся
на 51000 и не содержащие в своей записи ни одного
нуля.
377.	Доказать, что из (и+1) натуральных чисел,
меньших 2п, всегда можно выбрать два, отношение ко-
которых есть степень числа 2.
378.	Три ученика К, Е, Н сдают последовательно
экзамены. На каждом экзамене сдавший лучше всех
получает А очков, второй — В очков, а отвечавший
хуже всех — С очков (А, В, С — натуральные). После
всех экзаменов К набрал 22 очка, Е и Н — по 9 очков,
причем Е был первым по алгебре. Кто был вторым по
литературе?
379.	На некоторой планете 20 государств, причем
среди любых трех некоторые два еще не установили
между собой дипломатических отношений (не обменя-
обменялись посольствами). Доказать, что на этой планете
не больше 200 посольств.
380.	На конгресс собрались ученые, среди которых
есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, име-
имеющих на конгрессе равное число друзей, не имеют об-
общих друзей. Доказать, что найдется ученый, который
имеет ровно одного друга.
4*	43

381. Решить в действительных числах:
382. Пусть ху = 1 и х> У- Докажите неравенство
х — у
383.	Докажите неравенства:
ач1_1.1_1>		« ¦ 1 < 2
; 2 3 ~ 4 5 ^ - - * 999 ^ 1000 ^ 5 *
б) Iog45 + log56 + log67 + log78>4,4.
384.	Для каких натуральных п неравенство
справедливо при любых положительных х\,х^, ...
. . . , Хп-1, >п?
385.	Пусть п< D4+V1975) шо<л+1. где п—
целое. Докажите, что п нечетно.
386.	Стрелки часов закреплены, а циферблат мож-
можно вращать. Доказать, что можно так повернуть ци-
циферблат, что расположение стрелок будет соответство-
соответствовать некоторому моменту времени. Сколько суще-
существует таких положений циферблата?
387.	На кружке школьникам предложили две за-
задачи. 17 ребят решили хотя бы одну из них. Только
первую задачу решило вдвое больше кружковцев, чем
только вторую. Утроенное число ребят, решивших
лишь вторую задачу, на 2 больше числа остальных
кружковцев.
Сколько кружковцев решили только вторую задачу?
388.	В футбольном турнире принимают участие
т команд. Каждая команда встречается с каждой по
одному разу, при этом выигравшей команде присуж-
присуждается 2 очка, сыгравшей вничью—1 очко, проиграв-
проигравшей— 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках
может быть между командами, занявшими соседние
места?
389.	Из цифр 1,2, ..., 9 выбираются 4 цифры и из
них составляются два наиболее близких друг к другу

числа. Обозначим через d разность этнч чисел. Тогда
каждой четверке цифр соответствует некоторая раз-
разность d. Какое наибольшее значение может иметь эта
разность?
390.	Двое пишут 2^-значное число, употребляя
только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет пер-
первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Может
ли второй добиться того, чтобы получен..ое число раз-
разделилось на 9, если первый стремится "му помешать?
а)	/г= 10;
б)	/г = 15.
391.	Найти все целые я, для которых ¦" _ —целое.
392.	Найти все действительные значения а, Ь, с га
кие, что выражение ах2 -\- Ъх + с принимает целые
значения тогда и только тогда, если х — целое.
393.	Найдите двузначное число, для которого отно-
отношение суммы квадратов цифр к самому этому числу
наибольшее.
394.	Любому девятизначному числу, в написании
которого участвуют только три цифры 1, 2, 3, сопо-
сопоставляется одна из этих трех цифр, причем известно:
1)	числу 111 111 111 сопоставляется цифра 1,
2)	числу 222 222 222 сопоставляется цифра 2,
3)	числу 333 333 333 сопоставляется цифра 3,
4)	числу 122 222222 сопоставляется цифра 1;
5)	если два числа различаются во всех разрядах,
то им сопоставляются разные цифры.
Какая цифра сопоставляется числу 123 123 123?
395.	Обозначим через е(а) сумму цифр числа а.
Имеется последовательность всех таких чисел, для
каждого из которых е(а) делится на 7, т. е. ai = 7,
а2 = 16, аз = 25 и т. д. Найти max(ai+i— at).
396.	По окружности выписаны 1973 цифры. Дока-
Доказать, что если, начав читать с некоторой цифры по
часовой стрелке, получим число, кратное 27, то, начав
читать с любой другой цифры по часовой стрелке,
также получим число, кратное 27.
397.	По окружности произвольным образом рас-
расставлены + 1 и —1 общим числом 2ft. Затем между
каждыми двумя соседними числами ставится их npo-
шведение, а сами числа стираются. Потом такая же
операция проделывается еще раз и т. д.
45

Дока зать, что не более чем через 2k таких опера-
операций останутся только единицы.
398.	Доказать, что для произвольного целого чис-
числа А и любого целого р существует бесконечно много
таких целых чисел х, что Ах-\- 1 делится на (А + 1)р.
399.	Имеется последовательность {ап}, где ап —
последняя цифра числа пп. Выяснить, не периодична
ли она.
400.	Сумма 100 натуральных чисел, каждое из ко-
которых не больше 100, равна 200. Доказать, что из них
можно выбрать несколько чисел, сумма которых раи-
раина 100.
401.	Подряд выписано 99 девяток. Доказать, что
можно приписать к ним справа еще ровно 100 цифр
так, что получившееся 199-значное число будет пол-
полным квадратом.
402.	В таблицу k X k вписаны попарно неравные
натуральные числа. Доказать, что найдутся два числа,
стоящих рядом, разность между которыми больше k/2.
403.	Доказать, что среди 16 последовательных на-
натуральных чисел всегда существует число, взаимно
простое с остальными, а среди 17 — не всегда.
404.	В треугольнике радиус вписанной окружности
равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что
треугольник правильный.
405.	Указать все значения k, для которых а) ква-
квадрат нельзя разбить на k меньших квадратов, б) пра-
правильный треугольник нельзя разбить на k меньших
правильных треугольников.
406.	На шахматной доске размером 8X8 отмечены
64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить
каждую из этих точек от любой другой из них, про-
проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?
407.	Можно ли четырьмя свинцовыми шарами пол-
полностью загородить точечный источник света? (Оче-
i идно, источник находится вне каждого из этих ша-
шаров.)
408.	В пространстве расположено 20 точек, попар-
попарные расстояния между которыми не больше 1. Можно
ли утверждать, что найдутся 6 из них, попарные рас-
расстояния между которыми не больше 0,99?
409.	Доказать, что у любого выпуклого многогран-
многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
46

410.	Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя пс з-
стнть без наложений два треугольника, площадь тж-
дого нз которых больше 1.
411.	Доказать, что в произвольном выпуклом 2ч-
угольнике найдется диагональ, не параллельная пи
одной из сторон.
412.	На кубе отмечены вершины и центры граней,
а также проведены диагонали всех граней. Можно л i
по отрезкам диагоналей обойти все отмеченные точки,
побывав в каждой из них ровно по одному разу?
413.	Дан равносторонний треугольник ABC и неко-
некоторая точка Р в плоскости треугольника такая, что
РА = 2, РВ = 3. Каковы наименьшее и наибольшее
значения PC?
414.	Можно ли выбрать внутри квадрата две раз-
различные точки так, что если соединить их со всеми вер-
вершинами квадрата, то квадрат разобьется на 9 равно-
равновеликих частей?
415.	а) На прямой расположены 100 точек. Отме-
Отметим середины всевозможных отрезков с концами в
этих точках. Какое наименьшее число отмеченных то-
точек может получиться?
б) На плоскости расположены k точек. Найти наи-
наименьшее число середин всевозможных отрезков с кон-
концами в этих точках.
416.	Учитель танцев хочет расставить по кругу
10 мальчиков и несколько девочек так, чтобы рядом
с каждым мальчиком стояли мальчик и девочка и что-
чтобы через одного человека от каждой девочки также
стояли бы мальчик и девочка. Сколько девочек он
может пригласить?
417.	На плоскости лежат п точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Сколько можно
построить замкнутых (возможно, самопересекающнх-
ся) ломаных с вершинами в этих точках?
418.	Сколько различных дробей можно получить,
расставляя скобки в выражении х\ : х2 '¦ Хг '• ¦ ¦ ¦ ' хп?
419.	На каждой из 5 карточек написана одна из
5 букв а, б, в, г, д. Из всех карточек составляют все-
всевозможные слова. Каких слов будет больше: у кото-
которых хотя бы одна нз этих букв окажется на своем ме-
месте, или у которых ни одна буква не будет стоять на
своем месте?

ГЛАВА VI
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1.	Ответ. 3 сестры и 4 брата.
2.	Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетра-
тетради, то во второй пачке стало бы 30:3 = 10 тетрадей, з ачит,
было в ней 8 тетрадей, а в первой пачке 22 тетради.
3.	Таня добавила Гале меньше 2 коп. (общих денег не хва-
хватило на покупку), значит, она добавила 1 коп., а ей не хватало
7 коп., следовательно, коробка стоит 8 коп.
4.	Ответ. 10 карандашей.
5.	Если взять 20 или меньше ботинок, то они могут оказаться
все на одну ногу. Значит, надо брать не меньше 21 ботинка.
Если же возьмем 21 ботинок, то среди них обязательно найдутся
два ботинка из одной пары (ибо пар лишь 20).
Ответ. 21 ботинок.
6.	Сложим кусок пополам и еще раз пополам, получим кусок
длиной —: 4 = -_- метра, который и надо отрезать, чтобы оста-
\ (	2 1 1
ток равнялся ^-м1так как -=¦—ff =
7.	При счете десятками не хватало 2 огурцов до полного де-
десятка. Значит, оставалось 8 огурцов, как и при счете дюжина-
дюжинами. Поэтому если отложить 8 огурцов, то число оставшихся
разделится как на 10, так и на 12, т. е. на 60. Среди чисел боль-
больших 300 и меньших 400 лишь 360 делится на 60, значит, огур-
огурцов было 368.
8.	Ответ. 10.
9.	Коля съел 4 сливы, значит, увидел он 4-3 = 12 слив. Петя
съел треть от увиденного им количества слив, значит, оставил
2	2
-;, поэтому Миша оставил 12: -г- =18 слив, а мать оставила
о	о
2
детям 18: -д- = 27 слив.
о
10.	Каждому покупателю колхозница продавала половину от
имеющихся яблок и еще пол-яблока, значит, каждый раз оста-
оставалось на одно яблоко меньше, чем она продавала. Итак, ше-
<той покупатель купил I яблоко, пятый — 2 яблока, четвер-
четвертый — 4, третий — 8, второй — 16 и первый 32 яблока, значит,
колхозница принесла для продажи 63 яблока.
11.	Ответ. 37.
12.	Ответ. 210.
13.	Вначале число отсутствующих составляло '/б часть от
числа присутствующих, значит, присутствующих в 6 раз бол/-ше
48

чем отсутствующих, или отсутствующие составляли '/7 часть от
всего числа учащихся. После выхода одного ученика из класса
отсутствующие составили уже Чв часть от общего числа уча-
учащихся. Итак, одчн ученик составляет -р—Y==~A2 часть клас'
са, значит, в классе 42 ученика.
14.	Ответ. Лодка стоит 600 р., товарищи внесли 200 р., 150 р.,
120 р., 130 р.
15.	Примем разность за одну часть, тогда сумма составит три
части, большее число — 2 части, меньшее — 1 часть. Итак, мень-
меньшее число втрое меньше суммы, а сумма — по условию — вдвое
меньше произведения, значит, меньшее число в 6 раз меньше
произведения, т. е. второй сомножитель равен шести B части),
откуда первое число A часть) равно 3.
Ответ. 3 и 6.
16.	Примем меньшее число за одну часть, тогда большее со-
составит 5 частей, откуда 6 частей равно 180. Значит, меньшее
число 30, большее 150.
Ответ. 30 и 150.
17.	Алгебраическое решение. Если одно из чисел
обозначить через а, другое через Ь, то частное равно а/2 и Gb,
т. е. а/2 = 6Ь, откуда частное равно а/Ь = 12 или Ь/а = 1/12.
Арифметическое решение. Одно из двух чисел при-
примем за 1 часть, тогда частное равно 6 частям, а второе число
(вдвое больше частного) составит 12 частей, поэтому частное
либо 12, либо 1/12.
Ответ. 12; Чп (два ответа).
18.	Воскресенья в одном месяце, чередуясь, выпадают на
четные и нечетные числа; так как 3 из них выпадали па четное
число, то всего в этом месяце было пять воскресений, поэтому
первое из них могло быть только второго числа, откуда 20 чис-
число — четверг.
Ответ. Четверг.
19.	За 60 минут часовая стрелка проходит '/и круга, а ми-
нутпан — полный крут, значит, за минуту (после часа) угол между
часовой и минутной стрелками сокращается на -ртг	,... „ =
= ——р-г часть полного круга. В час дня угол между стрел-
стрелками составляет 'Аг часть круга, поэтому совпадут (впервые
1	11	60	•
мосле часа) они через —-: . „ =-ту минуты, т. е. в 13 ча-
3
сов 5 минут 27-ту секунды.
20.	За одну минуту минутная стрелка проходят '/во часть
полной окружности, а часовая -гк—^- часть. Значит, минутная
стрелка обгоняет часовую за одну минуту (после 12) на-тп^—
I	11	,
тттг-г часть окружности, поэтому впервые (после 12)
49

стрелки станут перпендикулярны (т е. угол между ними
,,	,	1 II 18Э 1R4
буд составлять '/i окружности) через Т •'720"= ~ТГ = ^1
минуты, значит, стрелки впервые после 12 будут перпендикуляр-
g
ны в 12 часов 16 минут 21 -уу секунд.
21.	За 12 часов минутная стрелка делает 12 оборотов, а ча-
часовая— 1 оборот, значит, скорость минутной стрелки в 12 раз
больше скорости часовой.
а)	Если за время между двумя ближайшими момечтами
совпадений стрелок часовая пройдет 1/а часть круга, то минут-
минутная стрелка 12/а часть круга, которая составит один полный
12	1
оборот плюс 1/а. Итак, — = 1Н	, откуда а= 11, т. е. за
время между двумя совпадениями часовая стрелка пройдет '/н
часть круга. За сутки часовая стрелка делает два полных обо-
оборота, и за это время (не считая первого совпадения) произойдет
2: -уг- = 22 совпадения, а всего за сутки (считая и первое сов-
совпадение в 24 часа) стрелки совпадут 22+1 =23 раза.
б)	За время между двумя совпадениями угол между ми-
минутной и часовой стрелками сначала увеличивается от нулевого
до развернутого, а потом уменьшается от развернутого до нуле-
нулевого, т. е. только один раз становится развернутым. Совпадений
за сутки бывает 23, значит, развернутым угол бывает 22 раза.
в)	За время между двумя совпадениями стрелок угол ме-
между ними дважды бывает прямым. За сутки стрелки совпадут
23 раза (см. задачу а), значит, будет 22 промежутка между мо-
моментами совпадений, следовательно, 44 раза за сутки часовая и
ми утная стрелки образуют прямой угол.
22.	Бэчка Девятилитровое	Пятмлитровый
водро	бидон
а	—	—
а-5	-	5
а-5	5	-
а—10	5	5
а—10	9	I
а-1	-	1
а-1	1	-
а —6	1	5
а—6	6	—
23.	Вссьмилитровое Пятилитровый Трехлитровый
ведро	бидон	бидон
8	—	—
3	5	—
3	2	3
6	2	—
6	—	2
I	5	2
1	4	3
4	4	—
50

а
а-9
а —9
а —4
а —4
а- 13
а-13
а-8
9
4
4
9
8
8
24.	Двенадцативедерная	Восьмиведерпая	Пятлведсрлая
бочка	бочка	бочка
12	—	_
4	8	—
4	3	5
9	з	—
9	—	3
1	8	3
1	6	5
6	6	—
25.	Бочка Девятиведерная Пятиведерпая
бочка	бочка
26.	Если возраст дочери примем за 1 часть, то возраст сына
составит 2 части, а возраст отца 3 части. Сын моложе отца на
возраст дочери и — по условию — на 20 лет, значит, дочери
20 лет, сыну 40 лет, а отцу 60 лет.
27.	Раз Сережа будет втрое старше Вовы, то разность их
возрастов будет равна удвоенному возрасту Вовы. Разность воз-
возрастов не меняется со временем, значит, она равна 11 — 1 =
= 10 лет, т. е. Вове будет 5 лет, а Сереже 15 лет.
28.	Разность возрастов отца и сына не меняется со време-
временем. Сейчас она составляет 3 возраста сына, а через 20 лет —
один новый возраст сына. Но новый возраст — это старый воз-
возраст плюс 20 лет. Итак, три возраста сына есть возраст сына и
20 лет, откуда 20 лет составляет 2 возраста сына.
Ответ. Сыну 10 лет, отцу 40 лет.
29.	Легко видеть, что сейчас сыну 10 лет, а отцу 40 лет.
Разность их возрастов 30 лет станет удвоенным новым воз-
возрастом сына, так что сыну станет 15 лет, значит, это произойдет
через 5 лет.
Ответ. Через 5 лет.
30.	Обозначим Ваш настоящий возраст через у, а прежний
через х. Тогда мне сейчас 2х лет, а раньше было у лет. По усло-
условию 2х ¦+- у = 63. Разность возрастов не меняется со временем,
поэтому 2х — у = у — х, т. е. Зх = 2у и -^ у + у = 63, откуда
у = 27, х = 18.
Ответ. 36 и 27.
31.	Ответ. Сестре 12 лет, брату 8 лет.
32.	Ответ. 1 год.
33.	Искомое число пассажиров делится на два и, кроме того,
8/100 или 2/25 от этого числа есть число целое. Следовательно,
искомое число делится на 2 и на 25, т. е. на 50, а так как оно
не превосходит 70, то равно 50.
Б1

Ответ 50.
34.	В 40 кг морской воды содержится 40 • -rg—• = 2 кг соли,
что будет составлять 2% от нового количества воды, значит,
2
нявый раствор составит 2: -гтгтг = 100 кг, поэтому следует до-
добавить 100 — 40 = 60 кг пресной воды.
Ответ. 60 кг.
35.	Если цену картофеля до повышения принять за 100 ча-
частей, то после повышения она составила 120 частей, а после
20
снижения на 20% цена уменьшилась на 120 : -гг-г- = 24 части и
стала равна 120 — 24 = 96 частей, т. е. составит 96% от исход-
исходной цены, т. е. после снижения картофель стал стоить на 4%
дешевле.
36.	Примем шаг высокого за 1 часть, тогда шаг низкого со-
составит 4/б части; на каждые 100 шагов высокого приходится
120 шагов низкого, поэтому за то время, когда высокий пройдет
гуть в 100-1 = 100 частей, низкий пройдет путь в 120-—=96
частей, т. е низкий идет медленнее, значит, придет в школу позднее.
37.	В 1 тонне свежескошенной травы 60% влаги, т. е. — 600 кг,
поэтому сухой массы 1000 — 600 = 400 кг. Эта масса в сене со-
составит 85%, откуда вес сена составит 400 : -г^г-= 470-ту кг.
38.	Примем первоначальную выручку за 1 часть, тогда новая
выручка составит 9/в частей и получена от количества зрителей,
составившего 5U от исходного количества. Если бы билеты
продавали по повой цене прежнему количеству зрителей, то
9 5 9
выручили бы : -г = -rzr частей, т. е. выручка составила бы 9/и
от первоначальной (при том же числе зрителей), значит, новая
g
стоимость равна 20--rjr=18 коп.
Ответ. 18 коп.
39.	Ответ 37,5 км/час.
40.	Обозначим путь через а км. Тогда второй грузовик на
а	а
весь путь затратил о 40 "^ ~2~5Т часов' а пеРвыи —х часов,
X	X
тле х находится из уравнения -^-i0 + — ¦ 40 = а, откуда х =
а	а	9а 9а 9а	а
= я/45 часов. Так как ж + -— = ш и Ж>Ж - -^,
то первый грузовик затратил на путь меньше времени, значит,
прибыл в В раньше.
41.	15 секунд поезд движется мимо столба, значит, 15 се-
секунд поезд «съезжает» с моста, т. е. с момента, когда паровоз
начал въезжать на мост до момента, когда он начал съезжать
с него прошло 30 секунд D5—15). Итак, за 30 секунд паровоз
проехал 450 м, откуда скорость паровоза 453:-^- = 900 метров
52

в минуту, или 54 км/час. За 15 секунд (или •/* милуты) паровоз
пройдет путь, равный длине поезда, значит, длина поезда равна
9H -4- = 225 м.
4
Ответ. 54 км/час; 225 метров.
42.	Ответ. 35%суток.
43.	Ответ. 168. км.
44.	Нева с одинаковой скоростью несет и пловца и флягу.
Поэтому раз пловец 20 минут удаляется от фляги (за счет соб-
собственной скорости), то 20 минут он будет догонять ее. Итак,
расстояние между мостами, равное 2 км, фляга плывет (со ско-
скоростью течения реки) 40 минут, следовательно, скорость Невы
2
2: -тг = 3 км/час.
о
45.	За 10 минут машина проходит путь, равный двойному
расстоянию от станции до места встречи инженера с машиной.
Значит, путь от станции до места встречи машина проходит ча
5 минут. На месте встречи машина была за 5 минут до времени
обычного приезда инженера на станцию, значит, путь от станции
до места встречи инженер шел 55 мин — 5 мин = 50 мин. Сле-
Следовательно, скорость инженера в 50:5 = 10 раз меньше ско-
скорости машины.
46.	Предполагаем, что трамваи идут через равные проме-
п '	юоо ,
жутки и с одинаковой скоростью. Скорость пешехода—г„—м/мии.
Пусть х м/мнн — скорость трамвая, тогда скорость (относи-
телыю пешехода) обгоняющих его трамваев равна х	т^—,
а встречных х + .2 ¦ Будем считать каждый трамвай концом
«отрезка» длиной у метров, другой конец которого — в следую-
следующем трамвае; трамваи мыслить равномерно распределенными
(с интервалами у м) на двух лентах, проходящих мимо «непо-
«неподвижного» пешехода ежедневно в течение 12 минут в двух про-
противоположных направлениях с найденными ранее скоростями.
Длина обгоняющей ленты 225 метров, длина встречной ленты
600 метров, время их движения мимо пешехода (за год)
12-365 минут, откуда
225,= 12-365 (,- Ш).
600^ = 12.365
I
12-305 ( 1000\ _ 12-365 / , 1000 \
2У5 V П~)-~ШЮ~\Х+ 12 )•
x x _ 1000
3 8 12
550-1
100J'
553 ,	550-60 ,	., ,
х = -д- м/миа = 1(j0J 3 км/час = 11 км/час.

47.	Пусть х км пути проходят по ровному месту; тогда
9 — х км пути (в гору и под гору) турист проходит дважды,
один раз (каждый из участков подъема или спуска) со ско-
скоростью 4 км/час, другой со скоростью 6 км/час и затратит на
9 — х , 9 — х	„
этот путь —	1	ё— часов. Так как по ровному месту ту-
2х
рист идет -=- часов, а путь в оба конца проходит за 3 часа
о
41 минуту, то
2х 9 — х 9 — х _ 41
~5~+Т~+ 6 ~ W
откуда х = 4 км.
Ответ. 4 км.
48.	а) Ответ. Это можно сделать многими способами На-
Например,
2 + 2-2 — 2 = 0,	2-2 + 2:2 = 5,
B + 2):B + 2) = 1,	2-2-2-2 = 6,
B:2) + B:2) = 2,	2 + 2 + 2+2 = 8,
B + 2 + 2): 2 = 3,	22: 2 — 2 = 9,
2-2+ B —2) = 4,	2-2-2 + 2=10.
49.	а) 99 + -^-. б)91+5/42
99 • ' ' Ь38 -
50.	Например, ^^ .
51.	Ответ. 72.
52.	Ответ. 28.
53.	Ответ, а) 9876543210, б) 9876543120.
54.	Ответ, а) 1023467895. б) 1234567980.
55.	Ответ, а) 4 12+18 :F +3) =50,
б)	D-12+18):F + 3) =22/3,
в)	4-A2+ 18:6 + 3)= 72.
56.	Ответ. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
57.	Ответ. 555 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 5.
И.яI:2:3:4:5:6;7;8:9-2.3.4.Б.16.7.8.9-
минимальное число. Действительно, частное будет минимальным,
если наименьшее количество из заданных чисел окажется в чис-
числителе дроби и наибольшим будет знаменатель дроби. В данном
случае, не расставляя скобок, получим выражение, в котором
число 1 делится на каждое из остальных чисел (последователь-
(последовательно), т. е. на их произведение — это и будет минимальным ре-
результатом.
= 3-2-5-6-7-8-9.
54

59.	Обозначим искомое число \Oa-\-b. Тогда 10о + Ь = 7Ь,
отсюда 10а = 66 или 5а = ЗЬ; значит, Ь делится на 5, но b —
ненулевая цифра, т. е. Ь = 5, тогда 5а = 15, откуда а = 3,
а само число 35.
Ответ. 35.
60.	Исходное число: 400+10a+fc. Новое число: 100а+106+4.
По условию D00 + 10а + Ь) ¦ -|- = 100а + 10fc + 4, откуда 10а +
-+- Ь = 32, а значит, искомое число 400 + 10a + b = 432.
Ответ. 432.
61.	Ответ. 18.
62.	Ответ. 105263157894736842.
63.	У к а з а н и е. Из делимости искомого числа на 72 сле-
следует, что сумма его цифр кратна 9 и число, составленное из
трех последних цифр, делится на 8.
Ответ. Два решения: 42048; 42840.
64.	Пусть a — меньшее, b — большее из искомых трехзнач-
трехзначных чисел, т. е. 100 < a < 6 < 1000 и a + Ь = 498ft, Ъ = 5а,
или 6а = 498ft, а = 83ft, тогда b = 415ft. Из первого получаем,
что ft ^ 2, а из второго k ^ 2, отсюда ft = 2 и a = 166, Ь = 830.
Ответ. 166 и 830.
65.	Ответ. Наименьшее число
11122113... 199222... 899991;
наибольшее число
9998899779 ... 911888 ... 211119;
их сумма
111 ... 1111 ... 1110
(число из 162 единиц и одного нуля).
66.	Указание, а) Чтобы оставшееся число было наимень-
наименьшим, надо вычеркнуть 100 ббльших цифр так, чтобы оставшее-
оставшееся число состояло из меньших цифр и начиналось с наименьших
из них.
б) Наибольшее число должно начинаться с наибольшего чис-
числа девяток (их может быть не больше пяти), это девятки из
первых пяти десятков; шестая цифра должна быть наибольшей
из тех, сзади которых остается еще 5 цифр. Такой является
лишь цифра 7.
Ответ, а) Наименьшее число: 00000123450. б) Наибольшее
число: 99999785960
67.	Действительно,
iii...nj,= пп пи ыо72 + и. .^1 • ювз + ...
81 единица 9 единиц	9 единиц
... + 11 ..._П = 111111111-A0000000010...01).
9 единиц
55

Первый сомножитель есть число из 9 едпипц, он имеет сумму
цифр 9, значит, делится па 9. Второй сомножитель состоит из
девяти единиц и пулей, значит, тоже делится на 9. Следова-
Следовательно, произведение делится на 81.
68.	Игрок А заведомо выиграет, если назовет число 89, так
как игрок В затем назовет число, не меньшее 90 и не большее
99, поэтому игрок А затем назовет число 100. Отсюда следует,
что к выигрышу игрока А ведет такая последовательность чисел:
1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100, называемых им, независимо
ст того, какие числа будет называть игрок В.
69.	Квадрат числа не может оканчиваться цифрами 2 или 3
или одним нулем. Значит, последняя цифра равна 5, тогда циф-
цифра десятков обязательно равна 2, ибо A0а + 5J = 100а2 +
+ 100о + 25. Итак, искомый квадрат 3025 C025 = 552).
70.	Если, например, каждое из п чисел равно 1/л, то сумма
этих чисел равна 1, а сумма их квадратов равна 1/л и при
л > 100 сумма квадратов будет меньше 0,01.
Ответ. Может.
71.	Рассмотрим остаток г от деления любой данной суммы а
га 3. Если г = 0. то сумму выплачиваем трехкопеечными мо-
монетами. Если г = 1, то а Зг 10 и а = 10 + k, где k делится на 3,
. оэтому 10 коп. выплатим двумя пятаками, а оставшуюся сум-
пу — трехкопеечными монетами. Если г = 2, то а — 5 делит я
на 3 поэтому а выплатим одним пятаком и трехкопеечными мо-
монетами.
72.	Указание. 4 способа, когда в размене участвует одни
щи два гривенника; 6 способов размена пятикопеечными моне-
монетами или пятикопеечными монетами и монетами низшего до-
достоинства; 3 способа размена с помощью трех- и двухкопеечных
г..онет и 1 способ — только двухкопеечными монетами.
Ответ. 14 способов.
73.	В кассу опустили серебряные монеты на сумму 1 рубль,
значит, не меньше 5 монет. Каждый получил сдачу мелочью,
з 'ачит, у них осталось не меньше 20 монет, итак, было у них
не меньше 25 монет. Покажем, что возможен набор в 25 монет,
удовлетворяющий условиям задачи. Имели до входа в автобус:
5 человек по одной 20-копеечной монете каждый;
10 человек по одной 15-копеечной монете каждый,
5 человек по две 10-копеечные монеты каждый.
Имели после уплаты и взаимных расчетов:
5 человек по одной 15-копеечной монете
10 человек по одной 10-копеечной монете
5 человек по одной 15-копеечной монете.
74.	Ответ, а) 18, б) 36, в) 45.
75.	Ответ, а) 11, б) 21, в) 20.
76.	У к а з а н и е. в) В каждой сотне имеются 11 чисел, крат-
кратных девяти, но сумму цифр, равную девяти, имеют в первой
сотне лишь 10, так как одно из них — 9 не рассматривается в
данной задаче, во второй — 9, в третьей — 8 и т. д., наконец,
в десятой сотне — одно число (900).
Ответ, а) 10, б) 120, в) 54.
77.	Указание. Если повторяющаяся три раза цифра есть
нуль, то, добавляя впереди одну из 9 других цифр, получим
56

9 чисел. Если повторяется в чисте цифра а ф 0, то чисел с раз-
разными Ъ, Ь Ф а, будет 9-4-9. Итак, всего 333 чис а.
Ответ. 333 числа.
78.	Номера квартир в доме принимают значения от 1 до
100, значит, сумма цифр номера квартиры изменяется от 1 до 18.
В каждом десятке номеров сумма цифр различна (ибо у номе-
номеров одинакова цифра десятков, а цифра единиц изменяется о г
О до 9), значит, одинаковые суммы цифр могут иметь лишь т-
мера квартир с разными цифрами десятков; поэтому паибольшс
количество квартир с одинаковой суммой цифр номера получим,
если в каждом десятке квартир найдется одна из таких квартир.
В последнем десятке сумма цифр не меньше 9 (так как номера
90, 91 и т. д.), в первом десятке — не больше 9, значит, 9 — эт
та сумма цифр, которая встречается наибольшее число раз, а
именно—10 раз (в квартирах с номерами 9, 18, 27, 36, 45, 51,
63, 72, 81, 90).
79.	Пусть о, о+1, а + 2, а + 3 — цифры четырехзначною
числа; исходное число 1000а + 100(о + 1) + 10(о + 2) + (о + 3);
новое число 1000(о + 3) + 100(о + 2) + 10(о + 1) + о, их г '3-
ность: 3000 + 100 — 10 — 3 = 3087.
Ответ. На 3087.
80.	Ответ. 1941; 470.
81.
а) 33 ... 342 = C • 11 ... 1 + lJ = f-i.99...9+lV =
п—1 тройка
п единиц
= ^-^99 ... 9 + 4¦ 99 ...
2п девяток п девяток
= 11... 1 55... 53.
л единиц п— I пятерка
Ответ, а) 11 ... 155 ... 56
п единиц п—1
пятерок
б) 44 ... 488 ... 89 = 66 ... 672.
п четверок л—1
восьмерка
82. Действительно,
11 ... 1122... 22=11 ...J^
100 ци1ф
л-1
шестерка
• 10100 +
f 2- И ... 11
100 цифр
= 11 .
¦
юо
.. 11.A0
цифр
00 1 9)
57

В числе 10100 + 2 одна единица, одна двойка, остальные — нули,
значит, 10100 + 2 делится на 3:
1О!оо _|_ 2 = 99 ... 99 + 3 = 3- C3 ... 34),
100 цифр	100 цифр
значит,
11 ... 1122 ... 22 = 11 ... 11 • 3 • 33 ... 34 = 33 ... 33 • 33 ... 34.
100 цифр	100 цифр	100 цифр 100 цифр
83.	а) 5300 = 125|00<243100 = 3500, итак, 5300 < З500.
б)	27°° = 12810° > I25100 = 5300, итак, 2700 > 5300.
в)	З200 = 9100 > 8J0° = 2300, итак, З200 > 2300.
84.	Пусть 21871 имеет k цифр, a 5i87i имеет т цифр, тогда, в
искомом числе будет k + т цифр. Так как
,oft-l < 2i97i < j0ft ,om-l < 5l97i ,
ТО
10ft+m-2 < ,01971
откуда
k + т — 1 = 1971
и k + т = 1972.
Ответ. Всего выписано 1972 цифры.
85.	Поместим в одну группу числа, в записи которых четное
число единиц, в другую — числа с нечетным числом единиц. Если
а,а2...а10 и Ьфг... fcm— два числа из одной группы, то, по-
поскольку это разные числа, в некотором разряде у них стоят
разные цифры — 1 и 2 (сумма которых дает одну тройку). Но
количество единиц в обоих числах имеет одинаковую четность,
поэтому не могут совпадать цифры в остальных разрядах, т. е.
найдется еще разряд с разными цифрами (сумма которых даст
вторую тройку).
Ответ. Можно.
86.	Пусть
и+1, и + 2	л + k; m + 1, m + 2	m-\-k —
две группы чисел. При сложении получим числа
р+\, р + 2	p + k,
сумма которых равна сумме всех чисел заданных двух групп
чисел:
или
т. е. 2(р — п — m)= A+ 1, итак, k + 1 четно, значит, k нечетно;
следовательно, если задача имеет решение, то лишь при нечет-
58

ном k. Покажем, что задача имеет решение при любом нечет-
нечетном k:
первый ряд чисел:
п + 1, п + 3	п + 2<7 — 1; п + 2, п + 4, ..., п + 2q — 2
второй ряд чисел:
т + q, m + q — 1	т + 1; m + 2? — 1, .... т +q + 1;
ряд сумм:
n+m + ? + l, n + m + ff + 2	п + т + 2q;
п + m + 2g + 1	л + m + 3q — 1
(здесь k = 2<? — 1).
87. Рассмотрим две клетки, в которых стоят числа 1 и 81,
и соединим их цепочкой из соседних клеток.
1) Если хотя бы одна из этих клеток — не угловая, то це-
цепочка содержит не больше 16 клеток, в которых стоят числа
fli = l, а2, а3, .... а„ = 81 (л<16).
Тогда а„ —fli= (ап — an_i) + (on_i — а„_2)+ ... + (а2 — fli),
паи 81 — 1 = (On— а„_,) + ... +(л2— °i), т. е. 80= (а„— an-i) +
+ ...+((Яг — <Ji) (число 80 есть сумма разностей). Разностей
(в данном случае) не больше 15, и если бы каждая разность
была меньше 6, то их сумма была бы меньше 15-5 = 75. Итак,
среди разностей есть не меньшие 6.
2) Оба числа 1 и 81 стоят в угловых клетках, лежащих на
одной диагонали; соединим их двумя цепочками длиной в ^кле-
^клеток каждая и составим суммы 16 разностей. Имеем 80 =
.= (81— flie) + (flie — als)+...+(a2— 1) и 80 = (81—fci6) +
+ (fcie — bis)+ . ..+(Ьг—1); поэтому, если в первой цепочке нет
разностей, больших 5, то, поскольку сумма 16 разностей равна 80,
каждая разность равна 5, значит, в клетках этой цепочки стоят
числа 1, 6, 11, 16, .... 76, 81, поэтому этих чисел (кроме 1, 81)
нет во второй цепочке, т. е. не могут все разности второй це-
цепочки равняться 5, а если какая-то из ннх меньше 5, то найдег-
ся разность, большая 5 (ибо их сумма 80).
88. Число десятизначно, а из условия следует, что сумма
его цифр равна числу его знаков: ai + аг + ... + Ою = 10; кро-
кроме того, fli ф 0, т. е. fli :э= I. Обозначим fli = k; по условию,
среди цифр числа ровно k нулей, значит, эти нули и цифра k
занимают k + 1 разряд в числе, а сумма этих цифр равна k
(на 1 меньше их количества). Поэтому оставшиеся 10—(k + 1)==
=9 — k цифр (заведомо не нули) в сумме дают 10 — k, т. е.
сумма этих цифр на единицу больше их количества, что воз-
возможно лишь, если одна из этих цифр есть 2, а остальные 8 — k
цифр — единицы.
Итак, fli = k, a2 = 8 — k, a3 = 1, откуда at + а2 + а3 = 9,
значит, о4 + is + fle + a-i + as + as -\- oi0 = 1, т. е. среди семи по-
последних цифр одна единица, остальные шесть — нули. Итак,
среди цифр числа 6 нулей, одна двойка, одна шестерка (количе-
(количество нулей) и несколько единиц, которых, таким образом, ока-
оказалось две, т. е. искомое число 6210001000.
Ответ. 6210001000.
59

89.	Так как в волейбте пет ничьих, то каждая игра лля
ьоманды заканчивается ее выигрышем или проигрышем. Рас-
Рассмотрим две команды, имеющие равное число побед. Обозна-
Обозначим через А ту из них, которая выиграла у второй (из двух
рассматриваемых команд), а вторую команду — через В. Так
как В имеет столько же побед, сколько А, а команде А она
проиграла, то найдется команда С, у которой команда В вы-
выиграла, но которой А проиграла (иначе у В было бы меньше
выигрышей, чем у А). Итак, искомые три команды найдены.
90.	По условию а) среди владельцев телевизоров заведомо
есть не маляры. По условию б) нн один из них не может еже-
ежедневно купаться в бассейне (ибо немаляры, ежедневно купаю-
купающиеся в бассейне, не имеют телевизоров), значит, утверждение
в)	справедливо (не все владельцы телевизоров ежедневно ку-
купаются в бассейне).
91.	Ответ. 4 утверждения а), б), г), е).
92.	Заметим, что из утверждения 3), что а-\-b делится на 3,
следует о + 76 = (а + 6)+ 6fc делится на 3, значит, о + 7Ь не
простое, т. е. одно из утверждений 3) и 4)—ложно, и, следо-
следовательно, утверждения 1) и 2) истинны. Тогда а = 26 + 5, от-
откуда о -+- 6 = 26 + 5 + 6 = Cft + 5), т. е. о + ft не делится на 3,
значит, утверждение 3) ложно и. следовательно, истинны утвер-
утверждения:
\)a+\=k-b, 2)a = 2ft+ 5, 4) о + 7ft — простое число,
откуда 26 + 6 = kb, т. е. b(k — 2) = 6.
Таким образом, возможные значения b = 1, 2, 3, 6 и соот-
соответственно а = 26 + 5 = 7; 9; 11; 17. Так как о + 76 — простое
и больше двух, то а + 76 нечетное, значит (так как а — нечетно),
6 четно, отсюда
ft = 2, о==9;
Ь = 6, о = 17.
93.	Ответ. 1974.
94.	У к а з а и и е. Свойство 4) совместно с любым из трех
остальных, а свойства 2) и 3) совместны лишь со свойством 4).
Ответ. А, = ЗЪ; А2 = 46; /Ь = 74.
95.	Ответы, а) 252 = 625, б) 263 = 676, в) IIs =1331,
г)	343 = 73.
96.	Если, например, 7 щук насытятся (съев каждая по 3 го-
голодные щуки), то останутся еще 2 голодные, которые насытятся
(съев каждая по 3 ранее насытившиеся щуки); итак, общее ко-
количество насытившихся щук равно 9. Покажем, что 9 — наи-
наибольшее количество насытившихся щук.
Пусть k — число оставшихся щук, п — число насытившихся,
тогда Зл — число проглоченных щук, поэтому (если каждая щука
или насытится, или не съест ни одной щуки) k + Зл = 30, зна-
значит, k = Зга и m -\- п = 10. Так как заведомо останутся не-
съеденные щуки, то m ^ 1. значит, наибольшее значение п — 9.
Ответ. 9 щук.
97.	Если на одном конце цепи, в которой лежат все 28 ко-
костей домино, шестерка, то и иа другом конце — тоже шестерка.
В самом деле, всего костей с «шестеркой» имеется 7, если дубль
СО

лежит в середине цепи, то к нему примыкают еще две кости с
«шестеркой», остальные «шестерки», не лежащие с краю, встре-
встречаются обязательно парами, так что с краю находятся либо две
шестерки, либо ни одной.
Есчн же шестерка дубль лежит на конце цепи, то перед ней
тоже шестерка, а из остальных 5 костей с шестерками те, что
лежат не с краю цепи, встречаются лишь парами, значит, заве-
заведомо остается одна кость с «шестеркой», лежащая на друтм
конце цепи, итак, в этом случае на обоих концах — «шестерки
Ответ, а) нельзя, б) можно.
98.	По условию красные и синие фишки должны чередовать-
чередоваться (на окружности), значит, всего их 40. На полуокружности
между красной и противоположной ей синей фишкой стоят
19 фишек, гчачит, крайние из этих 19 фишек — одноцветны, а они
должны быть разноцветными, как соседние — одна — с красной,
другая — с синей. Следовательно, указанная в задаче расстанов-
расстановка фишек не возможна.
99.	Ответ. Если 3* < п ^ 3ft+i, то нужно к + 1 взвешивание.
100.	Положим на чашки по одной монете. Если весы оста-
останутся в равновесии, то на чашках лежали хорошие монеты. За-
Заменим одну из этих монет одной из оставшихся, произведем
второе взвешивание. Если весы останутся в равновесии, то фаль-
фальшивая монета — четвертая (оставшаяся; только в этом случае
мы не будем знать, легче ли она остальных или тяжелееу
Если же опустится одна из чашек, то фальшивая — та монет,
которую положили на чашку при втором взвешивании. Если прч
первом взвешивании весы не будут в равновесии, то хорошим.i
будут две оставшиеся; при втором взвешивачии заменим одну'
из paHej взвешивавшихся монет одной из хороших оставшихся.
101.	При первом взвешивании положим на чашки по 4 moi
ты. Если весы будут в равновесии, то дву 1Я в вшиваниями из
4-х оставшихся монет выделим фальшивую (см. задачу 100)
Если же одна из чашек опустится, то обозначим монеты буквом
«л» или «т» в зависимости от того, на «боле" легкой» или «бо
лее тяжелой» чашке они лежат. Вторым взвешиванием сравним
иес «легкой» четверки монет с оставшейся четверкой. Если весы
останутся в равновесии, то фальшивая молета среди четырех
«тяжелых» и ее выделим оставшимися двумя взвешиваниями
(см. задачу 100). Если при втором взвешивании одна чашка
опустится, то, значит, фальшивая монета — одна из четырех
«легких».
102.	С помощью трех взвешиваний расположим по весу три
пакета (взвешивая каждую пару), потом положим иа одну чаш-
чашку весов оставшийся (четвертый) пакет, а иа другую тот из трех,
который имеет средний вес. Пятым взвешиванием сравним вес
четвертого пакета либо с самым тяжелым, либо с самым легким
из трех.
103.	Указан ие. Возможны случаи: а) в одном из рядов
стоит не меньше трех шашек, б) есть два ряда, в каждом из
которых по две шашки. Тогда в случае а) возьмем ряд с наи-
наибольшим числом шашек (три или более), а оставшиеся B или 3
шашки) заведомо лежат не более чем в 3-х рядах; в случае б)
укажем два ряда, в каждом из которых по 2 шашки, а для
оставшихся двух шашек — укажем для каждой из них свой ряд.
61

104.	Пусть А — один из шести человек. Тогда среди осталь-
остальных пяти найдутся либо трое с ним знакомых, либо — тро с
ним незнакомых. Пусть, например, В, С, D знакомы с А. Если
среди них найдутся двое знакомых друг с другом, то вместе
с А они образуют тройку попарно знакомых. Если же все трое
незнакомы друг с другом, то они дадут искомую тройку попарно
незнакомых людей. Аналогично разбирается случай, когда В, С,
D не знакомы с А.
105.	Заметим, что знакомые А не знакомы между собой
(иначе они имели бы А своим общим знакомым). Пусть А и В
знакомы и В, Ai, ..., Ait ..., Ап — совокупность всех знако-
знакомых А. Тогда каждый из At не знаком с В, поэтому у At и В
есть ровно два общих знакомых, один из них — это А, другой —
какой-то Bj—один из знакомых В. Таким образом, каждому At
сопоставляется некоторый Bj. Если i ф j, т. е. Ai, Aj — разные
люди, то различны и их знакомые В< и В, (иначе у А и Dt
были бы три общих знакомых: В, Л;, А,). По соображе-
соображениям симметрии ясно, что разным Bj и Bj также соответствуют
разные Ai и А}, значит, соответствие между знакомыми А
и В взаимно однозначно, поэтому число знакомых у А и В оди-
одинаково.
Если D — любой из присутствующих, то либо ои знаком с А
и тогда (по доказанному) у А и D одинаковое число знакомых.
Либо он не знаком с А, тогда имеется у них общий знакомый С;
у него столько же знакомых, как у А, и столько же, как у D,
т. е. у А и D одинаковое число знакомых. Итак, у любого из
присутствующих столько же знакомых, как у А, значит, каждый
знаком с одинаковым числом присутствующих.
106.	Так как сортов имеется 3, а ящиков 25, то хотя бы
одного сорта имеем не меньше 9 ящиков.
Ответ. Можно.
107.	Ответы, а) 13. б) 27. в) 28.
108.	При делении иа 5 возможных 5 разных остатков: 0; 1;
2; 3; 4. Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми
остатками; их разность разделится иа 5.
109.	Пусть fli. 02, аз, ..., ап — данные числа. Составим п
сумм:
аи
ai + аг,
+ а3,
а3 + ... +ап.
Либо одна из этих сумм делится на п (значит, является иско-
искомой), либо ни одна не делится на п, тогда найдутся две суммы
с одинаковым остатком (так как сумм п, а ненулевых остатков
только п — 1). Разность этих сумм
(Я1+°2+ ••• +ak + ak+l+ ¦•• +am)~
— тоже сумма и делится на п.
62

ПО. Запишем 1972 числа
1971, 19711971	 1971 ... 1971
число 1971, повторенн 1972 раза
и рассмотрим остатки от деления каждого из этих чисел на 1972.
Очевидно, ни одно из записанных чисел не делится на 1972 (ибо
1972 четно, а числа — нечетные), значит, имеет ненулевой оста-
остаток. Так как чисел больше, чем ненулевых остатков (чисел 1972,
а остатков 1971), то найдутся два из записанных чисел с оди-
одинаковым остатком, разность их делится на 1972 и имеет тре-
требуемый вид.
111.	Доказательство аналогично доказательству предыдущей
задачи: надо рассмотреть п чисел вида 50, 5050 и т. д.
112.	Ответ. Не больше 6 чисел.
113.	Ответ. Неверно. Можно найти даже 33 числа, ни одно
из которых не является удвоенным другим числом, хотя все
они ие превосходят 50.
114.	Так как 40 > 36 = 12-3, то найдется месяц, в котором
родились не менее четырех одноклассников.
115.	Если бы в каждом классе было меньше, чем по 34 уче-
ученика, то в 30 классах школы училось бы не более 33-30 = 990
учащихся, а не 1000.
116.	Если бы сумма возрастов 20 старших учащихся класса
была не больше 260, то среди них были бы ученики в возрасте
ие больше 13 лет, значит, каждый из 13 младших школьников
не старше 13 лет, откуда сумма их возрастов ие превышает
13-13= 169 лет, ио тогда сумма возрастов всех одноклассников
не превышала бы 260 + 169 = 429 лет, что противоречит усло-
условию задачи. Итак, от противного доказано, что сумма возрастов
20 старших школьников больше 260.
117.	Среди трех целых чисел обязательно найдутся два числа
одинаковой четности (так как чисел 3, а классов — четных и
нечетных чисел — лишь два). Сумма их, очевидно, делится на 9.
118.	Доказательство аналогично доказательству задачи 117,
но следует провести его методом математической индукции.
119.	Пусть Oi < аг < ... < an+i — данные числа. Рассмот-
Рассмотрим п разностей: аг — Oi; аз— ас, ...; an+i — Oi; они положи-
положительны, различны и меньше 2п. Таким образом, у нас теперь
Bп+1) натуральных чисел (аи аг, ..., an+i и разности аг — а,,...
.... an+i — Oi), каждое из которых меньше 2п. Поэтому среп.и
чисел есть равные; но так как различны исходные числа и раз-
различны их разности, то некоторое число а* совпадает с одной из
разностей а* = ат — ai, откуда ai + ал = ат, что и требова-
требовалось доказать.
120.	Рассмотрим 1971 число вида: 1972, 19721972 и т. д., по-
последнее из чисел состоит из 1971 группы из четырех цифр 1, 9,
7, 2. Либо одно из этих чисел делится на 1971 и, таким образом,
является искомым, либо найдутся два числа с одинаковым
остатком при делении на 1971. Тогда их разность имеет вид
197219721972. ..1972- 104га и делится на 1971. Так как 10"" и
1971 взгимно просты, то на 1971 делится пег~ый множитель, т. е.
число 1972.. .1972, что и требовалось доказать.
63

121.	Указание. Доказать существование двух разных сте-
степеней "Исла 4. которые дают одинаковые остатки при делении
на 10, 100 или 1000.
Ответ. Можно.
122.	Рассмотрим Ю4 разных степеней числа 3: 3, З2, З3, ...
.... З'О4 и остатки при делении каждой степени на 104. Каждое
из чисел дает ненулевой остаток при делении на 10*; разных не-
ненулевых остатков Ю4—1, а чисел 10\ значит, найдутся две
разные степени З и Зп с одинаковым остатком. Их разность
Зт _ 3" делится на I04, т. е. Зт — 3" = ЮЧ или 3" (Зт"п — 1) =
= 104. Так как 3" и 10' взаимно просты, а произведение
3"Cm-n— 1) делится на 10*. то (З1"-" — 1) делится на 104 или
3m-n — 1 _ ю»-ft, откуда 3m-ft = Ю'-ft+l, что и требовалось
доказать.
Ответ. Можно.
123.	Всего шестеро друзей смогут посетить 22 киносеанса.
Если хотя бы в одном кинотеатре они побывали на всех сеансах
(т. е. на 11), то в остальных 6 кинотеатрах посетили тоже
11 сеансов, значит, хотя бы в одном кинотеатре побывали толь-
только на одном сеансе, следовательно, кто-то из них в этом кино-
кинотеатре не был
124.	Возможны два случая. Первый случай — хотя бы одна
из команд не сыграла еще ни одной игры. Тогда количество игр
у любой команды ие больше 28, т. е. возможное число игр у лю-
любой команды принимает одно из 29 значений: 0, 1, 2, ..., 28.
Разбив 30 команд на 29 классов по числу сыгранных игр, мы
заведомо найдем класс, в котором ие меньше двух команд.
Егором случай — каждая команда сыграла хотя бы одну игру;
количество игр принимает одно из 29 значений: 1, 2, 3, ..., 29.
Итак, опять число команд больше числа игр, поэтому найдутся
две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.
125.	Так как чисел 51, то найдутся такие 6 десятков, что
в один из них попадет группа не менее чем из 6 чисел, в дру-
другой— не менее чем из Бит. д., наконец, в какой-то десяток
попадет хотя бы одно из заданных чисел. (Таким образом, всего
различных десятков не менее 6.) Цифры единиц у чисел одной
группы (одного десятка) различны; поэтому, взяв число из
последней группы, затем — из предпоследней (с другой циф-
цифрой единиц) и т. д., получим искомые 6 чисел с разными
цифрами.
126.	Среди п + I чисел т, тг	mn+l найдутся два,
имеющих одинаковый остаток при делении иа я, тогда их раз-
разность делится на п. Пусть, например, т) — т'= а-п или
т'(т1~* — 1)=а-п. Так как (т,п)= 1, то (т',п)= I, значит,
ш'-' — 1 делится на п, т. е. /и'-' — 1 и есть искомое число.
127.	Разобьем квадрат на 25 равных квадратиков со сторо-
стороной 1/5. Тогда найдется один из этих квачратиков, в который
попадает не меньше трех точек (ибо 51 >2-25). Круг, описан-
описанный около этого квадратика, содержит не менее трех точек
и имеет радиус г — ^f2/\Q — д/1/50 < -\f\/A9 = 1/7.
128.	Разобьем участок на прямоугольчнки размером 10 м X
X 20 м и на полосы между ними, а именно: на одной стороне
участка отложим 48 отрезков длиной в 20 м каждый, причем
64

между соседними отрезками оставим промежуток в 0,6 м, и
два крайних отрезка по 5.9 м каждый. На втором стороче квад-
квадрата отложим 95 отрезков длины 10 м каждый, разделенных
промежутками длины, большей 0,5 м каждый. Тогда на участке
окажется 48-95 = 4560 прямоугольников, разделенных поло-
полосами, шириной, большей 0,3. Так как деревьев всего 4500 и ни
одно нз деревьев не может попасть больше, чем в один прямо-
прямоугольник, то найдутся прямоугольники (даже не меньше 60),
на которых нет деревьев.
129.	Стоимость лыж делится на 3 и на 5, значит, на 15.
Каждые 15 рублей Петя уплатил пятью, а Коля — тремя би-
билетами, значит, количество кредитных билетов, которые оба дали
в кассу, кратно 8, а так как оно меньше 10, то оно равно 8,
значит, лыж» стоят 15 рублей.
130.	Ответ. 2970 и 6975.
131.	Ответ. 1155; 3150; 4155; 6150; 7155; 9150.
132.	Ответ, а) 6, б) 9, в) 7, г) 8.
133.	Ответ. 1023457896.
134.	Указание. Показать, что последние цифры степеней
равны.
135.	Ответ. 9, ибо 9 в нечетной степени оканчивается на 9.
136.	Среди сомножителей числа А = 1-2-3 ... 100 на 5 де-
делятся 100 : 5 = 20, из них па 25 делятся 20 : 5 = 4 числа, зна-
значит, А делится на 524. Среди множителей А имеется 50 четных,
поэтому А заведомо делится на 224, откуда А делится и на
524.224 = ю24, значит, произведение оканчивается 24 нулями.
137.	Последняя цифра числа 7П зависит от показателя сте-
степени п и принимает значения: 7, 9, 3, 1, причем, если показатель
степени п делится на 4, то последняя цифра числа 7" есть
единица. Число Зп оканчивается на одну из цифр 3, 9, 7, 1, при-
причем, если п делится на 4, то последняя цифра равна 1. Так как
68 делится на 4, то 1968 делится на 4, откуда 19681970 делится
на 4 и 68™ делится на 4. Значит, заданное число — целое (ибо
в числителе дроби уменьшаемое и вычитаемое оканчиваются той
же цифрой 1, поэтому числитель делится на 10).
138.	Возможны два случая.
I.	Среди 5 данных целых чисел найдутся 3 с одинако-
одинаковыми остатками при делении па 3. Их сумма, очевидно, де-
делится па 3.
II.	Нет трех чисел с одинаковыми остатками, значит, 5 чисел
попадают во все три класса остатков, поэтому есть три числа
с остатками 0, 1 и 2, эти числа и являются искомыми.
139.	Очевидно, (р — 1)р(р+1) делится на 3, но р простое
и р > 3, значит, р не делится па 3, т. е. (р — l)-(p-f-l) Де-
Делится на 3. Кроме того, р нечетно (как простое, большее двух),
значит четны р — 1 и р + 1, поэтому одно из них заведомо де-
делится на 2, другое — на 4, т. е. (р — 1)(р + 1) делится иа 8.
140.	Пусть х = За + п и у — ЗЬ + г2, где ги г2 — остатки
от деления на 3, т. е. какие-то из чисел 0, +1, —1. Тогда
хг + у2 = 3 (За2 + 3fc2 + 2ar, + 2Ъг2) +г\ + т\. Так как ж2 + у2
делится на 3, то г\ + т\ делится на 3, т. е. т\ + т\ = 0, откуда
65

141.	Любое целое число при делении на 8 имеет остатком
одно а "едующих восьми чисел 0, +1, ±2, ±3, 4, поэтому
квадрат целого числа имеет остатком при делении на 8 одно
из трех чисел 0, 1, 4. Чтобы при делении на 8 сумма квадратов
трех чисел имела остаток 7, необходимо, чтобы этот остаток
был нечетным, а это возможно лишь в двух случаях: либо один
из квадратов, либо все три при делении на 8 имеют нечетные
остатки В первом случае нечетный остаток есть 1, а сумма двух
четных остатков равна 0, 2, 4, т. е. сумма всех остатков равна
1, 3, 5, т. е. остатка 7 в этом случае получить нельзя. Во вто-
втором случае остаток всей суммы равен 3. Итак, 7 не может быть
остатком при делении на 8 суммы квадратов трех целых чисел.
142.	Ответ. Например, 1, 2, 3, 7.
143.	Ответ. Например, — 1, 1, —2, 2.
144.	Ответ. Например, 2, 2J	2П.
145.	Ответ. Теорема верна.
146.	Пусть исходное число 107V + 6, где 6 — цифра единиц.
Тогда по условию девятикратное число равно 100.V + 6. Итак,
9A(W + 6) = 100Л/ + 6, откуда 10.V = 86 или 5N = 46, т. е.
6 делится на 5, но b — цифра, значит. 6 = 0 или 6 = 5.
Если бы 6 = 0, то N = 0 и число было бы нулем, т. е. число
10W + 6 не натурально; значит, 6 = 5, откуда 5-N = 4-5 и
TV = 4. Итак, единственное искомое число 45.
147.	Три участника заняли три первых места, значит, на-
набрали 42 балла. Поэтому два других участника набрали 69 —
—	42 = 27 баллов, т. е. один из них набрал 14, а другой 13 бал-
баллов, и таким образом, заняли второе и третье места.
148.	Н. о. д. двух чисел совпадает с н. о. д. одного из них
и их разности: н. о. д. чисел 2п + 3 и п + 7 равен н. о. д. чисел
п + 7 и п — 4, равен и. о. д. чисел 11 и п — 4. Но 11 — простое
число, значит, искомый н.о. д. равен 1 либо 11. Если п — 4 =
= \\-k, т. е. п = llft + 4, то н.о. д. равен 11. Если же п Ф
=??= \\k + 4, то и. о. д. равен 1.
149.	Решение аналогично задаче 148. Указание. Заме-
Заменяем н. о. д. данных чисел равным ему и. о. д. чисел 12п + 1
и 6п, но эти числа — взаимно просты.
150.	Указание. Выделить из дроби целую часть 3 и най-
«- 2п + 1б в
ти целые п, при которых Дробь ——, . будет по модулю мень-
меньше 1, т. е. не будет целым числом. Такими значениями будут
п < —3 и п > 1. Затем проверить дробь при п = —3; —2;
—	1; 0; 1.
Ответ, п = —3; —2; 1.
151.	Указание. 1974 делится на 2, но не делится на 4,
в то время как если разность а2 — Ьг четна, то четны и а — 6
и а + о, следовательно, а2 — Ь2 делится на 4.
Ответ. Нельзя.
152.	Ответ, п = 8k или п = Чк—\.
153.	Действительно,
= п" + 2п" -п1 — 2п+\= {п- -г п — IJ.
66

154. Очевидно, р четно, »Д5 p не делится на 4.
I.	Если бы р + \ = Ь\ то p = fc2-l =(fc-)(+);
р четно, значит, р + 1 = Ь2 нечетно, т. е. Ь нечетно, откуда
Ь — 1 и Ъ + I четны и fc2 — 1 = р делится на 4.
II.	Если бы р— 1 = fc2, то, так как р делится на 3, имеем
р — 1 — 3k + 2 или fc2 = 3ft + 2, что невозможно.
I.".). Если х = а2 + Ь2, у = с2 + d2. то
Xj	+ Ь2) (с2 + d2) = aV + fcV + a2d2 + ЬЧг =
= (ас + fcrfJ + Fс - ad)\
156.	Пусть а = 2я + 1, Ь = 2т + 1. Тогда а2 + Ь2 =
= 4 (п2 + т2 + п + т) + 2. Значит, fl2 + fc2 делится иа 2 и не
делится на 4, т. е. а2 -\- Ь2 — число четное, но иа 4 не делится,
Если бы а2 + Ьг было квадратом целого числа, то оно было бы
квадратом четного числа (ибо само — четно) и делилось бы
на 4, что не выполнено. Следовательно, сумма квадратов двух
нечетных чисел быть квадратом целого числа не может.
157.	Действительно,
(п - 2J + (л - IJ + п2 + (п + IJ + (п + 2J =
Итак, сумма делится на 5, поэтому, если бы она была квадра-
квадратом, то делилась бы на 25, т. е. (п2 + 2) делилась бы на 5, что
невозможно, ибо квадрат числа при делении иа 5 имеет оста-
остаток 0, 1, 4, откуда остаток п2 + 2 равен 2, 3 или 1, т. е. я2 + 2
не делится на 5, следовательно, сумма квадратов пяти последо-
последовательных целых чисел ие есть квадрат.
158.	Число 10а + Ь делится на 3, значит, а + b делится иа 3.
Число 100a + b имеет ту же сумму цифр, поэтому тоже делится
на 3. Новое число 100а + b + 2а = 102а + Ь по условию де-
делится на 9, значит, и на 3, но 102 делится на 3, поэтому b
делится на 3, а так как a + b делится на 3, то а делится иа 3.
По условию I02a + b = 9A0a + b) или За = 2b, откуда а де-
делится на 2, но а делится и на 3, следовательно, а делится иа 6;
так как а однозначно и не нуль, то a = 6, откуда 26 = 18 и
6 = 9.
Ответ. 69.
159.	Пусть N = 100* + Юу + г, где х > 1 и х + у + г = 7,
откуда х = 7 — у — г Тогда
N = 700 — 100{/ — ЮОг + \0у + г = 700 — 90у — 992 =
= G00 - 91«/ - 982) + (у - г) = 7А + (у - г).
N делится на 7 тогда и только тогда, когда (у — г) делится
на 7. Так как у, г — цифры десятков и единиц трехзначного
числа, то 0^1/ + 2<лс+У + 2 = 7 (ибо х — цифра сотен—~
не меньше I). Значит, у + г ^ 6. Так как 0^2^6 и 0^
sg {/ s? 6, то — 6 sg 2 — у sg 6, поэтому (г — у) делится на 7
тогда и только тогда, когда г — у = 0 или у = г, что и т. д.
67

160.	Запишем х как несократимую дробь лс=—. Еслп
—	+ — = п, где п — целое, то р2 + q2 — npq, откуда следует,
что р2 делится на q, но (р, q) = 1, следовательно, q = ±1; ана-
аналогично покажем, что р = ±1, откуда х = ±1.
161.	Если бы Ь2 — 4ас = 23, то Ь2 — 25 = 4ос — 2 шп
F —5)(fc+5) = 2Bас—1). Но 6 — 5 и Ь +5 —числа оди-
одинаковой четности, поэтому их произведение, если оно четно,
делится на 4; правая же часть есть четное число, ие деля-
делящееся па 4.
162.	Ч\\гло р — простое п р > 3, значит, р = 3* ± 1, тогда
2р + 1 = 6k ± 2 + 1, но 2р + 1 — простое и 2р + 1 > 6, откуда
Bр + 1) не делится на 3, поэтому 2р + 1 ф 6k + 3, т. е. р ф
ФЗк+l, значит, р = 3k — 1; следовательно, 4p+l = 12fe —
—	4 + 1 = 3D* — 1) — число составное.
163.	Квадрат целого числа при делении на 3 имеет остаток 0
или 1 (см. задачу 140), поэтому и сумма цифр квадрата имеет
при делении на 3 остаток 0 или 1. Число 1970 = 3-656 + 2 и,
следовательно, суммой цифр точного квадрата быть не может.
164.	Пусть 10а + Ь — число, тогда 100а2 +20ofc + Ь2 =
= A0а2 + 2ofc)-I0 + b2 — квадрат числа. Число Юо2 + 2оЬ —
четно, а цифра десятков нечетна, следовательно, Ь2 =
= 10B*+l)+d (т. е. Ъг имеет нечетное число десятков), что
возможно лишь при b = 4 или b — 6, но и в том, и в другом
случае Ь2 оканчивается цифрой 6, значит, и A0а+ fcJ оканчи-
оканчивается цифрой 6.
165.	Не может. Действите. но, если бы каждый сыграл
7 партий, то 15-7 равнялось бы удвоенному числу партий (ибо
каждую партию считаем дважды), т. е. 15-7 равняюсь бы чет-
четному числу, что неверно.
166.	Ответ. Нельзя. (См. решение задачи 165.)
167.	Ответ. Не существует. (См. решение задачи 165.)
168.	Если А и В знакомы, то назовем пару (А, В) «знаком-
«знакомством». Тогда, если I — число знакомств и jci, х2, ..., хВ5з —чис"
ло знакомых первого, второго и т. д., последнего ученика, то
х\ + хг + хз + ... + *ss3 == 2'. ибо в сумму каждое «знакомство»
входит дважды. Итак, сумма Xi + Хг + ... + Х953 целых чисел
четна, значит, количество нечетных слагаемых в этой сумме за-
заведомо четно. А так как всего слагаемых — нечетное количество
(953), то среди слагаемых есть четное число, т. е. имеется среди
собравшихся хотя бы один, число знакомых xt которого четно.
169.	Предположим, что карточки удалось выложить в ряд.
Занумеруем их и обозначим через аь номер первой, через bh —
номер второй карточки с цифрой *. Тогда по условию bk — а* =
= * + 1 (к = 0, 1	9) и
9
Еэ(Ь*-°*)=1+2 + 3+ •" +Ю = 55.
или
9	9
|. — > flt = 55.
68

9	9
С другой стороны, ]JT ak + ^Г bk — сумма всех номеров кар-
точек, значит,
9
•" +20 = 211',
9
отсюда 2 • ^ bk = 265, что невозможно, ибо слева стоит четное,
fe=o
а справа — нечетное число.
170.	Улитка может ползти лишь по двум взаимно перпен-
перпендикулярным направлениям, которые условно назовем горизон-
горизонтальным (движение налево или направо) н вертикальным (вверх
и вниз). Если улитка вернется в точку А, то она направо от А
проползет такой же путь, какой потом налево, т. е. если ki раз
по 15 минут будет ползти направо, то потом ki раз будет возвра-
возвращаться; аналогично, если k2 раза будет двигаться налево, то
столько же раз будет возвращаться направо. Таким образом,
по горизонтали она перемещается 2(k; + k-2) • \Ъ минут. Анало-
Аналогично покажем, что на движение по вертикали она затратит
2(^3 + ^)-15 мннут. Через каждые 15 минут улитка поворачи-
поворачивает на 90°, значит, чередуются вертикальные и горизонтальные
перемещения, т. е. по вертикали пройдено столько же отрезков,
сколько по горизонтали или k3 + kt = ky + k% откуда время
движения равно 30(?i + k2 + k3 + ki) = 60(ki + кг) минут ичн
k, + k2 часов.
171.	Так как о< = ±1 (i = 1, 2	п), то о,оА = ±1
(i, k = I, 2	п). Рассмотрим произведение
... (anat).
Очевидно, (а,Ог)(а2аз)...(а„а,)= ±1, по (а,а2) (а2а3).. .(апа1) =
= (ata? ... а„J^0, значит, (а|О2) ... (OnO[) = 1, поэтому
число т отрицательных множителей среди п сомножителей
((flio2) и т. д.)—есть число четное. Итак, т — 2к. Но ауаг +
-f а2а3+ ... +Qnfli = 0, значит, число положительных слагае-
слагаемых равно числу отрицательных, откуда п = 2т = Ak, т. е. п
делится на 4.
172.	Указание. Если о, b — цифры числа, то а + b = II,
т. е. искомые числа 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
173.	Если число N разлагается в произведение двух множи-
множителей, то меньший из них не превосходит -\]N, т. е. при N =
= 1601 меньший сомножитель меньше 40, следовательно, простой
делитель меньшего числа не превосходит 37. Поэтому следует
проверить делимость 1601 на простые числа 2, 3, 5, ..., 37.
174.	Числа, меньшие р3 и взаимно простые с ним, это те,
которые взаимно просты с простым числом р, т. е. те, которые
не кратны р. Чисел, кратных р и не превосходящих р3, будет
р3: р = р2. Поэтому среди чисел, меньших р', имеется
(р3—1) — (р2—1)==р3 — р2 чисел, взаимно простых с р3.
175.	Пусть а и b — два двузначных числа, тогда I00n + fc —
четырехзначное число. По условию 100а + b = k-ab, отсюда
b = a(kb — 100), т. е. Ь делится на а. Итак, b = та, но а и b
С9

двузначны, поэтому т однозначно. Так как 100а + b = 100а +'
+ та = а(\С0 + т) и \00a + b = kab, то а A00 + т) = kab,
т. е. 100 + т = kb или 100 + т = ?та, откуда 100 = m(/fea — 1).
Итак, ги — делитель числа 100, кроме того, т однозначно, зна-
значит, т = 1, 2, 4, 5.
т	, , 100	, 100 , ,
Так как ka — 1 =	, или ka =	(-1, причем а дву-
значно, то отпадают для m значения 1 и 5, ибо —=—\-1 не де-
100 , , о1
лится ни на какое двузначное число а; при -g- +1=21 имеем
а = 21 и тогда Ь = гп-а = 5-21 трехзначно. При m = 2
/fea==51, a =17, Ь=34;
при m = 4
ka = 26, a = 13, Ь = 52.
Ответ. 17_и 34; 13 и 52.
176. abc- (a + fc + c) = A00a+ 106 + c)-(a + Ь + с) =
= 99a + 9Ь = 9A la + b), т. е. первая разность — это трехзнач-
трехзначное или двузначное число, которое делится на 9. Поэтому сумма
цифр первой разности делится на 9, следовательно, все по-
последующие разности делятся на 9. Так как сумма цифр трех-
трехзначных чисел, Делящихся на 9, равна 9 или 18 или 27, то ка-
каждая последующая разность меньше предыдущей на одно из
этих трех чисел, т. е. разности образуют убывающую последо-
последовательность {ап}, причем ап — an+i ^ 9.
Заметим, что в каждой сотне есть числа, сумма цифр кото-
которых равна 18. В первой сотне одно такое число (99), во вто-
второй сотне —два A89 и 198), в третьей —три B79, 288, 297)
и т. д., в десятой сотне таких чисел уже 10 (909	990) (кро-
(кроме того, в десятой сотне есть число, сумма цифр которого равна
27 (число 999)). При переходе через такие числа мы уменьшаем
предыдущее число уже на 18.
Итак, если исходное число 999, то мы уменьшаем его вна-
вначале на 27, затем 4 раза — на 18, потом — при переходе от чис-
числа 900 к меньшему — на 9 и в дальнейшем при переходе через
каждую сотню уменьшаем на 9, а в пределах одной сотни — на
9 или 18. Итак, за 13 рассмотренных переходов от числа к раз-
разности исходное число 999 уменьшено на 27 + 10-18 + 2-9 = 225.
Очевидно, что 774 можно уменьшить до 0 не больше, чем за
86 перехода, значит, потребуется даже меньше 100 шагов,
чтобы получить нуль.
Если же исходное число abc < 999, то построенная после-
последовательность чисел а0 = abc, О| = abc— (а + b + с) и т. д.,
по доказанному, задается двумя рекуррентными формулами
1)	ак = aft_i —9 или
2)	ап = am_t — 18, где k, m ^ 2,
причем после перехода через каждую сотню обязательно встре-
встречаются два соседних члена последовательности, связанных фор-
формулой 2). Так как at делится на 9 и последовательность уби-
убивающая, то найдется номер п такой, что (впервые) an = 0. То-
70

ГДЭ Ot = Oi —On =@l —O2) + (O2 —Оз)+...+(Оп-1 —On) ИЛИ
Oi = 9a -\- 18b, где а— число разностей, равных 9, и b— число
разностей, равных 18, и n = a-J-b + l. Если 100 (f—1)^
^ ai < 100/, то (по ранее доказанному) b ^ t — 1, откуда
а, = 9о + 186 = 9(о + Ь) + 9Ь = 9(я + Ъ — 1).
Итак, 100/>9(п + 6-1Jг9(п + /-2) или 9« < 911 +
+ 18*^9(91 + 2) (ибо <^9), т. е. п < 93; итак, разности об-
обратятся в нуль не позднее чем на 93-м шаге.
177. Пусть (k + \) + (k + 2)+ ... + (fe + n) = 1971 или
n = 197] ^ т е Bfe + n + 1)п = 2-33-73. Очевидно,
+l^n+l>n и 73 > 2-33, то 73 заведомо не яв-
является делителем п, отсюда для п находим следующие значе-
значения: п = 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54, т. е. число 1971 можно пред-
представить как сумму нескольких последовательных натуральных
чисел восемью способами.
178.	Среди п последовательных натуральных чисел п + 1,
п + 2, .... 2и заведомо есть числа, кратные каждому к, где
1 ^ k ^ п, поэтому наименьшее общее кратное чисел п + 1,
и -J- 2	2и есть наименьшее общее кратное всех чисел
1, 2, 3	2п.
179.	Если qt — какой-то делитель числа и, то п — qipt (по
определению делителя числа), где pt — тоже делитель, причем,
если <7i Ф qu то и pt ф р,. Пусть qi < q2 < q3 < -.. < q, —
все делители числа п. Тогда Р\ > Рг > Ръ > ¦ • • > Ре — те же са-
самые делители, но записанные в обратном порядке. Из равенства
п = qiPi (t = 1, 2, ..., s) получаем пя ¦= q\P\ • q2p2 ¦ ... -q^Ps
или пя = (<7i<72 ... qt) (р\Рг ¦¦¦ Pt); следовательно, ns =
= (qiQz ••• Я'J и Qi ••• <7n = V"s. что и требовалось до-
доказать.
180.	Доказательство проведем от противного. Пусть (х, у) —
натуральное решение, тогда ab — ах = by, или a(b — x)=by,
следовательно, by делится на о, но о и 6 взаимно просты, значит,
у делится на а, т. е. у = ka. Аналогично можно показать, что х
делится на Ь, т. е. х = mb. Подставив в исходное уравнение,
получим amb + bka = ab, откуда т-\- k = 1, что невозможно
при натуральных т и к.
181.	Данное уравнение можно записать в виде ху — х —
—	«/+1 = 1, или (х— 1) (у— 1)= 1. Произведение двух це-
целых чисел равно 1, значит, оба равны +1 или —1; следова-
следовательно, или х— 1 = /у — 1 = 1 и #=/у = 2, или х — 1 =
—	у— 1 = — 1 и х — у = 0.
182.	Перепишем данное уравнение так: 6х2 — 24 = 50 — 5у2,
т. е. 6(х2 — 4)= 5A0 — у2), откуда имеем х2 — 4 = 5и,
10 — у2 = 6v и, следовательно, u = v. Итак, x2 = 4 + 5«, т. е.
4 + 5«^гО, откуда и~^—4/5; аналогично 10 — у2 = 6«, т. е.
10 — 6« ^ 0, откуда и ^ 5/3. Целое число и удовлетворяет двой-
двойному неравенству: —4/5 =^ и =?С 5/3, значит, и = 0 или к = I.
При u = v = 0 получим 10 = у2, где у — целое, что неверно.
Пусть и = v = 1, тогда х2 = 9, у2 = 4.
71

Ответ.
Ui = 2.
183.	Так как A8«2 + 27j/2) + (*2 + Уг) = 729, то х* -f i/2 де-
делится на 3, поэтому х = 3«, у = Зо и 19«2 + 28сг = 81. Повто-
Повторяя рассуждения, получим и = 3t, v = 3s и 19f2 + 28s2 = 9. По-
Последнее уравнение, очевидно, не имеет решений в целых числах,
а значит, и исходное уравнение решений не имеет.
184.	Преобразуем исходное уравнение так: 2х2у2 -\- 2хгг2 -\-
+ 2у2гг = fjxyz. Заметим, что здесь хуг > 0. Далее,
(х-'у2 - 2х2уг + x2z2) + (x2z2 - 2xz2y + y"z2) +
— 2xylz + x2y") = бхуг — 2x2yz — 2xz2y — 2xy"z,
(xy - xzJ + (xz - угJ
(уг - xyf =
= 2xyz [A -
+ A - y) + A - г)].
которое в натуральных числах имеет единственное решение
а = у = 2 = 1. Так как хуг > 0, то из натурального можно по-
получить соответствующие ему целые решения, заменив значе 1я
двух пере .„шых па против', "оложные.
Oiuei.
. __ 1	f I' =23 	 1
185. Исходное уравнение запишем так: A + х) A + х2) =
— 2". Следовательно, 1 -+- х и 1 + хг суть делителя числа 2",
т. е. степени числа 2, поэтому 1 + *: = 2т, 1+х2 = 2«-т, от-
откуда	_
Из первого равенства имеем х2 = 22т — 2+l + 1, поэтому
22т — 2m+l + 1 = 2»-m — 1 или
I	случай. Пусть m = 0 Тогда 2" + 2 — 1 =2, или 2» = 1,
откуда у = 0. Далее из уравнения 1 + х = 2т найдем х = 0..
Итак, х = у = 0.
II	случай. Пусть т > 0. Из уравнения 2"-m+2m+1 —
_ 2-!... = 2 следует 2»-1"-1 + 2'" — 22т~1 = 1. Так как 2т и
22'" J целые (ибо т >0 и т целое), то 2»--1 целое, поэтому
из 2»~т-'A +22т~>'+1 — 23т-!')= 1 следует 2»-1"-1 = 1, 1+
^. 22т-»+1 — 23m"" = 1, или
у — т — 1 == 0, 2т — у -\- 1 = 3/и — у.
откуда т = 1 и у = 2; следовательно, х = 2т — 1=2—1 = 1.
72

Ответ.
f x, = 0,
14fi = o,
, = 2.
186. Очевидно, что при х = 1 уг = 1 и при х = 3 0г = 9,
т. е. находим следующие решения:
*i=1, f*2 =
= 1, f *з = 3, f
= -l. l 0з = 3. I
04 = -3.
Заметим, что при х = 2 имеем 1'+ 2! = 3 # 02 и при
х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 ф у2.
Если же * ^s 5, то (так как 5! + 6! + ... -J- х\ = ION)
1! + 2! + 31 + 4! + 5! + ... + *! = 33 + Ш — число, оканчиваю-
оканчивающееся цифрой 3, значит, оно не является квадратом целого
числа.
Ответ.
? 	 I	f v — 1	€ v — ^ € v —— Ч
101 = 1,	I 02 = -1, 103 = 3, I 04 = — 3.
187. Первое решение. Разложим 10/7 в цепную дробь:
1
Из уравнения х +
и из единственности разложения рационального числа в цепную
дробь следует х = 1, у = 2, z = 3.
Второе решение. Преобразуем уравнение
Тогда * — целая, -г—	дробная часть, поэтому
(	*=1,
y 7 *
Из второго уравнения следует
1 + уг _ 7
z	3
или 0 Н	= 2 + ¦=-, откуда 0 = 2, 2 = 3.
Z	о
73

188.	Пусть х ^ у ^ z, тогда х + у -\- г ^ Зг, а так как
+ у + z = хуг, то xyz < 3z или ху < 3. Если бы х — у — z,
то z3 = Зг или z2 = 3, что невозможно при целом г. Значит,
хотя бы два из чисел х, у, г неравные, поэтому ху < 3, т. е.
ху = 2, либо ху = 1.
Если ху = 2, то х = 1, # — 2, и из исходного уравнения
найдем z = 3.
Если бы ху = 1, то # = у = 1, и из исходного уравнения
получим 2 + 2==z, что невозможно.
Из найденного решения х = \, у = 2, z = 3 найдем осталь-
остальные перестановками.
Ответ. A, 2, 3); A, 3, 2); B, 1, 3); B, 3, 1); C, 1, 2);
C, 2, 1).
189.	По условию х ^ 2, у ^ 2, откуда #" ^= 4 и г =
= х* -\-1 ^ 5; кроме того, я* + 1 простое, значит, нечетное, по-
поэтому xv — четное, откуда х — четное (и простое!), т. е. х = 2.
Если бы y = 2k+\, то z = 22fc+' + l = B+l)B2fc —
—22ь-1 -J- ... -J- 1), т. е. делится на 3, но z ^ 5, значит, z не
простое. Итак, у четное и простое, т. е. у = 2, откуда z = 5.
Ответ, х = 2, у = 2, z = 5.
190.	Из уравнения х = 1960 + у — 28 -\fWy_,	где х, у — це-
целые, следует, что 28 V 10«/ целое, поэтому V Юг/ рационально,
а тогда это число то же целое (так как квадрат несократимой
дроби не может быть целым). Итак, Wy = k2, следовательно,
10(/ — квадрат некоторого целого числа и у = Wt2. Аналогично
покажем, что х = 10s2. Тогда из исходного уравнения получим
|f|-J-|s|= 14; следовательно, для целого |/| возможны 15 раз-
разных значений: t = 0, 1, 2, 3, ..., 14, а значит, уравнение в целых
числах имеет 15 решений.
191.	ху = 1 + г2, т. е. ху ^ 1, значит, х и у — одного знака,
а так как х + у = 2, то х > 0 и у > 0. Но х, у целые, поэтому
х ^ 1, у ё> J. откуда х -\- у ^ 2, но по условию х -\~ у = 2.
Значит, д; = (/ = 1, тогда z = 0.
Другое решение. Так как х + У = 2, #(/ = 1 + ¦г2, то
хну являются корнями уравнения t2 — 2t -\-1 + z2 = 0, откуда
<i, 2= 1 ±V—¦г2. Так как t действительны, то это возможно
лишь при z = 0, тогда U = х = 1, fj = у = 1.
192.	Пусть х чашек чая выпила Олимпиада, у чашек чая вы-
выпила Сосипатра, z чашек чая выпила Поликсена, тогда
откуда 2z = 14 и z = 7. Итак, Поликсена выпила 7 чашек чая.
Так как х — у = 2, то х > у. Если бы «/=11, то х = 13,
а одно из этих чисел, х, у, г, должно быть кратно 3. Значит,
д; =11, тогда у = х — 2 = 9, поэтому 11 чашек выпила Олим-
Олимпиада, а ее отчество по условию — Карповна; 9 чашек выпила
Сосипатра Титовна, значит, отчество Поликсены, которая выпила
7 чашек, — Уваровна.
193. Пусть один из колхозников купил х вещей, а его жена
а вещей; тогда оии заплатили соответственно х2 рублей и а2 рублей.
74

По условию х2 — а2 = 63 или (х — а) (х + а) = 3-3-7. По-
Получаем три системы
Г х + о = 9, Г х + о = 21, ( х+а
1 х — о = 7, \ х — а = 3, 1 х-а
и три пары решений
= 8, Г х= 12, Г х = 32,
=1, \ о = 9, I o = 31.
= 63,
0
Так как Петр купил 23 вещами более, чем Мария, то Петр ку-
купил 32, а Марня 9 вещей. Аналогично заключаем, что Павел
ьупил 12 вещей, а Екатерина 1.
Отсюда: Мария жена Павла, Екатерина жена Андрея, Ва-
Валентина жена Петра.
194.	Ответы.
а)	(х4 + х2 + 1) (х4 — х2 + 1).
б)	(Х* + Х + 1)(*6 — Х4 + Х3 — X+l)
в)	(х2 + х -f 1) (х6 — х5 + х3 — х2 + 1).
г)	(х4 + х2 + 2) (х4 — х2 + 2).
195.	а) Многочлен обращается в нуль, если о = b или
b = с, или с = о, поэтому он делится на каждую из трех раз-
разностей а — Ь, Ь — с, с — о, значит, и на их произведение.
Так как многочлен имеет степень 3, то от произведения
(а — b) (b — с) (с — а) (также многочлена степени 3) он отличается
лишь числовым множителем • k. Итак, (а — bK-f-(b — сK+
+ (с — аK = k(a — b)(b~c)(c — a). При а = 1, Ь = 0, с = — 1
получим 1 + 1— 8 = ft-1 -1 • (—2), откуда k = 3, значит,
(а — ЬK+(Ь — сK+(с — йK = 3(а — Ь)(Ь — с) (с — а).
б)	Ответ, (о — х)(о — у)(х — у)(а + х + у).
в)	Ответ, (х — у) (у — г) (г — х).
г)	Ответ. 3(х + у)(у + z) (z + x).
196.	Действительно, х55 + х94 + ... + 1 = A+х + ... + л:31) +
+ х32A +х + „. . + х31) +хмA +х + ... + х") =
= A + х + х2 +... + х31) A + хзг + х").
197.	Если а + Ь + с = 0, то с = —(а + Ь). Тогда
а)	с3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс = а3 + Ь3 — (а + бK + За* (о + 6) =
= (о + Ь) (о2 — cb + Ь2 — а2 — 2а* — Ь2 + За*) = О,
б)	а3 + а2с — аЬс + ЬЧ + Ь3 = (а + Ь) (а2 — аЪ + Ь2) +
+ с(а2 — оЬ + Ь2) = (а^ — ob + Ь2) (а + b + с) =0.
198.	Указание. Так как b = а — 1, то а — 6=1, по-
поэтому можно произведение умножить нас — Ь, а затем последо-
последовательно заменять произведение разности на сумму разностью
квадратов.
199. Так как	Ь"г-+ —=1. то (— + ^-+ —
или
Но
ху
75

откуда
ay + bx
yz
*У . xz yz = лгу
cb T oc T be ob
+ bx \ а "*" b
значит,
y2	„2	Z2
„2 + fc2 + C2
200. Пусть Л = 101 ¦ 10001 •... • 100...01. Тогда
A = (Юа + 1) • A01 + 1) • A08 + 1)... (lO2" + l) =
= -~ A02"+1 — 1) = -^ ¦ 9 . „jj = 101010 ... 101.
2"+' девятки
20t. Указание, а и b можно найти, например, методом
неопределенных коэффициентов из тождества
х* + х3 + 2хг + ах + Ь =з (х2 + Ах + ВJ.
Ответ, а = 7/8, b = 49/64.
202. Заметим, что
1	V" + 1 ~ л/я
V" + Vй + 1
поэтому
1+V2"
=(V2-i:
203. Разложим общий член суммы в сумму простейших
дробей
2 L3 V, fe
fl
6 \k k+3
76

Сумма примет вид
2V2 3j+6V2 5
л. ' Г'	' ^ ! ( '	'
••' + 6"V*~ fe + 3j~ 2 IT+T fe
6 к 2 "*" 3
1C, 1 1
6 к 2 "*" 3 n+l n + 2
±	LJUJ	!
2 12 n + 2) 18 3(n+l)(n + 2)(n+3) *
204. Сумма
при x = 1 равна S = " —-. В дальнейшем будем считать
хф\, тогда
Sx = х + 2х2 + Зх3 + ... +я*п,
- пхп,
если х =г*= I,
Л~ п(Я+1)
¦	„ ,	если л — i.
205. Имеем
1-11+2-21+3-31+ ... +n-nl =
^B _ 1). 1! + C - I) • 21 + D — I) • 3! + ... + [(я + 1) - 1] n\=
(« + 1I-1.
77

206. Покажем вначале, что —-ц-=- < " ¦ (при натураль-
натуральном и). Рассмотрим разность
« + 1	п	(п + 1J
'
п + 1п_	„135 99 „
значит, -^ > -—. Обозначим А = - • т • -g-... -^-. Так
как
_1_ _2_ _3_ _?	99 100
2<3> 4 *^ 5	 100 К 101 '
л ^ 2 4 6
то, перемножив все эти неравенства, получим Л <-g-•-g-•-=-•••
... -ттуГ- Умножим обе части иеравенства на А:
2 ' 4 "• 100 JA3 " 5 ' 7 •" 101/ ЮГ
Итак, А* < -щ- < —, откуда Л < -^ .
Чтобы доказать второе неравенство, заметим, что 	<
п
< ——у. Отсюда
л — J_ А _??_ — A A J?_ _J_ 1_ 6_ J00_ _1_
~2 ' Т "'" 100 ~ 2 * 4 ""' "98 " 100 Т'  "' 99 " 100
2 " 4 ' 6 '"" 98 " 100 ) Л 3 ' 5 *-' 99 " 100 )'
и
или
11	Л-^_1_
" ^ ппл ^ оос » значит, л >¦ «с •
Итак,
\5<А< 10 *
207. Приведем исходное уравнение к виду
х2 — х — а2х + а2 — Ь2х = 0,
или
х*-хA+а2 + Ь2) + а2 = 0.	A)
78

Найдем дискриминант
D = {\ +02+b2J— 4o2 = A +o2 +
= [Ьг + A + оJ] • [Ь2 + A - яJ] >0,
значит, у нового квадратного уравнения при любых а и Ь корни
действительные.
I	случай 6 = 0, аф 0. Тогда уравнение примет вид
а2
¦—= 1, откуда х = а2— корень этого уравнения.
Ь2
II	случай о = 0, ЬФО. Тогда имеем —ZTT=='' от"
куда х = 1 + Ь2.
III	случай а ф 0, ЬфО. Уравнение сводится к квад-
квадратному, причем D > 0, поэтому корни квадратного уравнения
действительны и различны и не могут одновременно быть недо-
недопустимыми для исходного уравнения, ибо из xi = 0, х2 = 1 сле-
следует а2 = 0.
Итак, при любых допустимых а, Ь уравнение A) имеет раз-
разные действительные корни, хотя бы один из которых есть ко-
корень исходного уравнения.
208.	Пусть Хв — общий корень, Х\, хг — другие корни урав-
уравнений, причем х\ ф х% тогда
х\ + ах0 + be = 0, xl + Ьх0 + са = 0,
откуда хв(а — b)-\-c(b — а) = 0 или (а — Ь) (хв — с) = 0. Ко
аф Ь, значит, хо = с. Кроме того,
х0Х! = be, хвх2 = са,
или сх\ = be, сх2 = са, следовательно, х\ = Ь, х% = а (так как
с ф 0), отсюда хх + х2 = а + Ь. Но по условию хв, хх и х0, хг —
кории квадратных уравнений, поэтому хв + Х\ = —а, хв + хг =
= —6, откуда 2хо + *i + *2 = —о — Ь, учитывая, что хв = с,
Х\ + хг = а + Ъ, получим
2с+о + Ь = — о — Ь или с = — а — Ь.
Итак, #| + ¦** = —с, Х\ • Х2 = йЬ, значит, *ь д;2 — корни уравне-
уравнения х2 -^- ex -\- ab = 0, что и требовалось доказать.
209.	Квадратный трехчлеи f(x) = ах2 + Ьх + с не имеет дей-
действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак
для всех х. Так как f(l) =a-\-b-\-c<.0, то и f@) = с < 0.
210.	Так_как при а, Ъ ^ 0 всегда имеет место неравенство
a-\-b^s2iJab, то 1 + аг:>2 д/аг (/=1,2,..., п), откуда
A + а,) A + а2)... A + ап) > 2" V^ • ¦ • в„ = 2".
211. Действительно,
-^- + Ь2 + с2 - а& + ас - 26с = (-Ц- - 6 + cV
79

212.	Имеем
+ jf1 + z2 + I -2х2у2 + 2х2 — 2хг~2х =
= (х2 - у2? + (х - гJ + (х - IJ
213.	Действительно,
Ь2+1 —аЬ — а — Ь = у [(о2 - 2аЬ + Ь2) + (о2 — 2а + \) +
+ (Ь* - 26 + 1)] =i- [(а - ЬJ + (о - 1 J + (Ь - IJ] >0.
214.	Имеем
~ + Ьг + с2 — аЪ — be — са =
О
2 о3-3
+
(так как по условию о3 > 36).
215. Так как (с —ЬJ^=0, то 02 + b2^2ab при любых а,
Ъ. Поэтому
х2 + у2 > 2ху,
z2 + х2 > Ixz,
откуда
+ xz.
216.	По условию 02 + b2^2, откуда —а2 — b2 ^ —2. Из
+ 62^2йЬ (см. задачу 215) и — а2 — Ь2 ?г — 2 следует 0^
^2йЬ —2 или 2йЬ^2. Но (о + ЬJ = а2 + Ъ2 + 2ob ^ 2 +
+ 2 = 4. Итак, (о + ЬJ^4, откуда |о + Ь|^2. Учитывая,
что a +b :gC |a+ b| (по определению абсолютной величины),
получим о + Ь^2, что и требовалось доказать. '
217.	Для сторон треугольника а, Ь, с справедливы неравен-
неравенства
а>\Ь — с\, Ь>\а — с\, с>\а—Ь\,
откуда
а2 > Ъ2 + с2 — 26с,
Ь2 > а2 + с2 — 2ас,
c2>a2 + bi — 2ab.
Складывая эти неравенства, получим
а2 + Ь* + с2<2 (аЬ + Ьс + са).
80

Кроме того,
откуда
218.Таккак^-<7?-1гут=т1-г-1, то
219. Первое решен не. Обозначим Ап=\ +¦-^- + — + ...
Z	О
1
• • • т "ой	Г и проведем доказательство методом математиче-
математической индукции (по п).
I. При п = 2 имеем
т. е. при п = 2 утверждение справедливо.
II. Пусть
Тогда Л*+1 = 4*+ "^+^q-f + •" +
A)
1
q	2ft+i_i
где Bfe =— + ф + • • • + -2fe+1 _ 1 есть сумма 2ft дробей,
наибольшая нз которых равна 1/2*, а наименьшая 1/B*+1 — 1),
откуда
1/2 < Вк < 1.	B)
Из неравенств A) и B) получаем
или
81

Итак, неравенство справедливо при п — 2. Предположив его
справедливость при п — k, мы доказали справедливость нера-
неравенства для n = ft+l, следовательно, неравенство верно для
всех n ^ 2.
Второе решение. Сгруппируем слагаемые суммы
+ l 2"-'+2	+2V 2"'
а затем в каждой скобке заменим каждое из слагаемых наи-
наименьшим из них, получим А > -д-.
Затем иначе сгруппируем слагаемые суммы
+ + +
и в каждой скобке заменим все дроби наибольшей из них, полу-
получим Ап < п.
220.	По условию x + y + z=l или (х + у + zJ = 1, т. е.
х*-\-у2 +z2+ 2(ху + yz +zx) = I. Но по ранее доказанно-
доказанному в задаче 215 имеем х2 + у2 +z2 ^ xy + yz + zx, поэтому
3(х3 + у2 + z2) 5= 1, откуда х^ + г/2 + z* ^ -1.
221.	У каз а ние. Сгруппировав и перемножив попарно пер-
первую и третью, вторую и четвертую скобки и обозначив х2 —
— Ах — 5 = у, получим у(у — 16) =297. Решив последовательно
эти уравнения, найдем действительные решения исходного урав-
уравнения Xi = —8, Хг = 4.
222.	Указание. Обозначить х2 + 2х — 3 через у.
Ответ, х, = —1 — V^*> л2 = —1 + У13. х3 = 2, Xi = — 4.
223.	Указание. Сгруппировав по две дроби с равными
числителями и сложив их, получим
„ 2х — 5	2х — 5	2х — 5
°' х2-5х + х2-5х+4 + V-5x + 6 ~ '
откуда либо 2х — 5 = 0, либо
3 ¦	1	,	4	_
х2 - 5х "*" х2 - 5л + 4 ¦*" х2 - 5х + 6
Далее поступаем так же, как в задаче 222.
Ответ.
„_ 5±V7	5+VT7
Л1 = ^»о» *2, з—	2—' Х*' 6— 2 *
82

224.	Указание. Обозначим х + 1 = у, тогда (у + 1)* +'
+ (у— 1)« = 82, или J/4 + 6«/2 — 40 = 0, откуда г/2 = —10 или
У2 = 4.
Ответ. Xi =—3, Хг = 1.
225.	Перепишем уравнение так;
УЗ (ж + 1 J + 4 + л/5 (х + 1 J + 9 = 5 - (х + 1 )г.
Очевидно,
У
следовательно, левая часть уравнения не меньше 5, но правая
часть уравнения, наоборот, не больше 5, значит, равенство воз-
возможно лишь при таком значении х, при котором обе части ура-
уравнения равны 5, т. е. при х = —1.
Ответ, х = —1.
226. Указание. Так как
— 1=У(х — 1) —4Ух — 1 +4s| Ух— I — 2 I
}s=| Ух— 1 — 3 |f
то уравнение примет вид
Это уравнение обращается в тождество при 2 ^ У х — 1^3,
т. е. при 5 ^ х ^ 10, и не имеет решении при других допусти-
допустимых значениях х.
Ответ. 5 sg х й? 10.
227. Заметим, что область допустимых значений я ^ 4. Пре-
Преобразуем левую часть уравнения
-L + JL+ i l -=(\ 1)аA ))
Преобразуем правую часть уравнения
t
5 ~ У4 — п + 5	У4 — я + 5 '
Тогда исходное уравнение примет вид
,	!	!___!__
n+l	V4^n + 5'
откуда V4 — «+5 = п+1, или У4 — я = я — 4. Так как
^4 — я > 0, то и —4 ^ 0, следовательно, п ^s 4, ио мы устано-
установили также, что л ^ 4, значит, п = 4.
Ответ, п = 4.
83

228.	Указание. Возвести обе части уравнения в куб,
сгруппировать члены — утроенные произведения, вынести за
скобку 3<$\ —х* и заменить скобку, сумму радикалов, ее зна-
значением а, получим 3 ¦tfl — х2 • а = а3 — 2.
229.	Указание. Если уединить корень 2Ух2 — 1 и два-
дважды возводить уравнение в квадрат, то придем к квадратному
уравнению 8х2(р — 2) + (р — 4J = 0, откуда
*=Л/вB-р) (ПРИР<2)'
4 — о
Огвсг. х=	.	, если о < 2; при о i> 2 уравнение
2 V4 — 2/?
не имеет решений.
230. Область допустимых значений определяется системой не-
неравенств
4-*2>0,
Из третьего неравенства следует (я2 + 4) (х2 — 4) ^0, т. е.
х2 — 4 Э» 0, но 4 — л2 5» 0. откуда х2 — 4 = 0 и л = ±2. Так
как 1 + 4х ^ 0, то х = 2. Тогда исходное уравнение принимает
вид VI? + Vl + У2 ~ 2у = 5 — у, или |«/ —1|=2 — у. Если
j/ ^ 1, то у— 1 = 2«/, 2у = 3 и, следовательно, «/ = 1,5. Если же
*/<1,то 1 —{/ = 2 —«/, или 0=1, что невозможно.
Ответ, х = 2, у = 1,5.
231. Данная система эквивалентна следующей:
Г |х + 3| = * + 3,
I \х-3\ = 3-х,
откуда
0 < 3 — х,
т. е. —3 ^ х < 3.
Ответ. — 3 < х г?3.
2о2. Указание. Область допустимых значений неизвест-
неизвестных и параметров содержит значения, удовлетворяющие системе
неравенств
хуфО, асфО, хф±у.
Обозначив
х + у 		х — у 		...
придем к системе двух квадратных уравнений
1
84
с +

откуда
= l/o, <
=\lc, \
v3=lfc,
Подставив найденные значения и, v в систему A), получим
простую систему для нахождения х, у.
233.	Из ху = 1 следует, что х, у — одного знака, а так как
х + у = 2 — cos2 г, т. е. 2 ^ х + у > 0, следовательно, х, «/ по-
положительны. Поэтому справедливо неравенство х + у^2-у/ху,
но х«/ = 1, значит, х + у ^ 2. С другой стороны, установлено,
что л + у ^ 2. Следовательно, х + у = 2, кроме того, по усло-
условию ху = 1, откуда х = у = 1. Тогда cos2z = 0, cos 2 = 0.
Следовательно, z = — + kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
Ответ, х = 1, «/ = 1, z = -j + nk {k = 0, ±1, ±2, ...).
234.	Первый способ (указание). Положим х + «/=
= и, ху = и. Тогда и2 = х2 + 2дг</ + j/2, откуда х2 + {/2 =  —
— 2х«/ ^ u2 — 2v, и система примет вид
f ы2 — 2и = a,
t ы + t- = b.
Второй способ (указание). Сложив первое уравнение
с удвоенным вторым, получим
235. Будем предполагать, что а ф О, Ъ Ф 0, с ф 0. Заметим,
что если одно из неизвестных равно нулю, то заведомо обра-
обращается в нуль другое неизвестное, а третье может принимать
любое значение, т. е. тройки @,0, г); @, у, 0); (х, 0,0) — реше-
решения системы. Пусть теперь хуг Ф 0. Тогда, разделив обе части
каждого уравнения на произведение хуг на коэффициент левой
части, получим систему
1
X
1
У
1
г
1
У
1
z
1
X
1
г
1
X
1
У
1
а'
1
Ь'
1
с'
/1,1,1л 1,1,1
откуда _^_+_+-j=- + T + -, или
1.1.1
85

Складывая полученное уравнение с каждым из преобразованных
уравнений системы, получим
х	b с'
12.1=-1-1
\ У	ас'
I 2Т=-Т-Т'
I	Z	С	О
откуда
	2Ъс	2ас	2аЪ
236. Указание. Обозначим х + «/ = «, ху = v. Тогда
Х2 + J/2 = (X + (/J - 2Х// = «2 - 2С,
- 2о2.
По условию х + «/ = Ь, т. е. и = Ь, тогда из исходной системы
получим уравнение 2и2 — 4fcu + 6* = а, из которого найдем v.
237. Сложив все уравнения системы, получим
(x + y+z) Bx + 2у + 2г) = 288,
или (х + у + zJ = 144, откуда х + у + z = ± 12. Тогда из ис-
исходной системы получим две
( (х + у)- 12 = 72, j -(х + у)-12 = 72,
< («/ + z)-12=120, | - (у + г). 12 = 120,
I (z + x)-12 = 96, I —(z + x)- 12 = 96,
или
| «/+2=10, | f/+Z=-10,
I z + x = 8, I z + x=—S.
Считывая, что для первой нз этих систем x+«/ + z=12, най-
найдем х = 2, у = A, z = 6. Для второй системы х + j/ + z = —12,
поэтому х = —2, у = —4, z = —6.
238. Заметим, что искомые решения удовлетворяют усло-
условиям х2 ^ у2, у ^ 0. Из первого уравнения следует
х2 + у2 + х2 - «у2 - 2 У*4 - «/» = #2,
и система примет вид
х2 — 2 Ух* — у1 = у2,
x* — yi = 144,
откуда х4 — Bхг — 24J = 144, или

откуда
я2 = 20 или я2 =12,
тогда
у2 = 16 или #2 = 0,
откуда
= ± 2 л/Ъ, / х3, 4 = ±
= 4,	1 г/з.4 = 0.
239.	Из условий РA) = Р(—1) и РB) = Р(—2) для много-
многочлена Р (х) = а0 + О]Х + «2Х2 + аз*3 + а^4 получаем систему
01+13= — °1 — Сз>
2а, +8а3= — 2о, — 8а3,
откуда ai == a3 = 0 и Р(х-) = а0 + а2*2 + atx* ^ Р(—л).
240.	Ответ, а, = 8, о2 = 12.
241.	Преобразуем функцию
= (х2 + ЗхJ + 2 (х2 + Зх) = (х2 + Зх + 1)« - 1.
Следователььо,_ {/mm = —1 при х2 + 3Xj}- 1=0, т. е. при
-З + л/5 _3-д/5
jci=	2~^— и при л2 =	g	•
242. Выделим целую часть
л2 - 1
1 —
X2 + 1	X2 + 1 #
Разность принимает наименьшее значение, когда вычитаемое
2
„ . достигает наибольшего возможного значения, т. е. при
X т 1
минимуме знаменателя х2+ 1, но min (х2+ 1) = 1 (при х = 0).
Следовательно, у mm = —1.
243. Первое решение. Так как а = 1 — 26, то
откуда max ab = '/з (достигается при Ь = '/« и, значит, при
а = «Л).
Второе решение. Так как сумма а + 26 постоянна, то
произведение а • 26 принимает наибольшее значение при о = 26,
т. е. 1а = 1, откуда а = '/г, 6 = 'А и max (ab) = Vs.
Ответ, max (afc) = Ve (достигаются при а = '/г, b = '/4).
244. Так как a + * = 1» то
b) (a2 — ab + б2) + ab =
87

Квадратный трехчлен достигает минимума, равного V21 при
а = '/а и Ь = '/г-
245.	Сумма коэффициентов любого многочлена равна его
значению при х — I. Следовательно, сумма коэффициентов мно-
многочлена Р(х) = B — Зх + х2I9ев-B + Зх + х*)то равна РA) =
= B — 3+ II969- B + 3+ II870 = 0.
Ответ. 0.
246.	Указание Преобразовать каждый множитель произ-
произведения
1 _fe*+2fe+l _ (fe + 1)'
ak "Г fe2 + 2fe	?2 _|_ 2ft	ft (ft + 2) '
247.	Указание. Преобразовать каждый множитель произ-
произведения
ft (ft + 3) '
248.	Доказательство проведем методом математической ин-
индукции. При п = 1 имеем и3 + 5п = 6, т. е. п3+5п делится на 6
Предположим, что при n = k число k% + 5ft = 6Л/, т. е. делит
сп на 6. Тогда (ft + 1)' + 5 (k + 1) = k3 + 3ft2 + 3ft + 1 + 5k +
fe(fe1)	т. e.
n3 + 5n делится на 6 н при n = k+l, ибо fc(/e+l)/2 — целое
число. Следовательно, н3 + 5п делится на 6 при любом п.
249.	При п>1 и k = 1, .... п — 1 имеем —-j—r > -~—,
следовательно,
""" 2/i 2w 2w * *" 2п 2л 2 *
250.	Доказательство проведем методом математической ин-
индукции.
I.	10 = 1 • 10 = 2 ¦ 5, т. е. 10 рублей можно выплатить од-
одной десятирублевой купюрой или двумя пятирублевыми
II.	Пусть сумму в k рублей можно выплатить как четным,
так и нечетным числом купюр. Тогда, добавив купюру в 1 рубль,
получим два способа выплаты суммы в (ft+I) рублей. Следо-
Следовательно любую сумму в л рублей, где л ^ 10 можно выпла-
выплатить как четным, так и нечетным числом купюр.
251.	Обозначим Л„ = 1 • 2 + 2 • 5 + 3 ¦ 8 + ...+лCл — 1).
I.	я = 1; Л, = 1 ¦ 2 = 2; п2(л + 1) = 2. Итак, равенство
справедливо при п = 1.
II.	Предположим, что установлено, что при п = ft имеем
Ah = ?*(/г+1). Тогда
l) + (ft + l)Cft + 2) =
= (ft + 1) (ft2+3ft+2) = (ft + 1) (ft + 1) (ft + 2) = (k + IJ (ft + 2),
что и требовалось доказать.
88

Итак, формула справедлива при п = 1, предположив спра-
справедливость ее при п — k, мы доказали ее справедливость и для
я = й + I, значит, формула верна для всех натуральных значе-
значении п.
252. I. х-\	целое число (по условию). II. Предполо-
А
жим, что число хк -\	 целое при любом натуральном k ^ п.
xR
Тогда \х ^	J (хп Н—п J — целое число, но
Вторая скобка в правой части — целое число (по индуктивному
предположению), сумма двух скобок — то же целое число, зна-
значит, первое слагаемое xn+l -\	-г-\	то же число целое. Сле-
довательно, х" -]—д- — целое число при любом целом п.
253. Введем обозначение Ап = 23 + 1.
I.	При п = 1 имеем А\ = 23+ 1 =9. Итак, Ai делится на
З2 и не делится на З3.
II.	Пусть при п = k число Ak делится на 3h+l и не делится
на 3"+2, т. е. Ah — 23* + 1 = 3ft+I • М, где М не делится на 3.
Тогда
3ft+1 • М • № + lJ-3 ¦ 2ЗЙ] =
Очевидно, что Ah+\ делится на 3k+2, но не делится на 3ft+3,
Следовательно, утверждение доказано для любого натураль-
натурального п.
254.	Указание. Имеются 3 двухцветные раскраски, 4 трех-
трехцветные, когда каждым цветом окрашено по 2 грани, и 6 трех-
трехцветных, у которых одним цветом окрашена одна грань, дру-
другим— две и третьим три грани. Следовательно, существует
13 различных раскрасок.
255.	Каждый сектор можно раскрасить в любой из п цветов,
поэтому для круга с р секторами получим пр раскрасок, среди
которых «р—п не одноцветных. Каждая из этих раскрасок по-
поворотами переходит в р — 1 одинаковую с ней, значит, сущест-
пр — п
венно различных не одноцветных раскрасок будет	 » от-
откуда общее число раскрасок равно
г
89

256. Указание. Из решения задачи 255 следует, что чпс-
пР — п
ло	\-п целое (как количество раскрасок), откуда
Р
целое.
р
257.	Ответ. 24.
258.	Указание. Если
{т + п ^ 2т,
т + п ^ Зи,
то число белых шаров среди вынутых может принимать любое
значение от 0 до т + п, т. е. имеем т + п + 1 случай распреде-
распределения цветов среди вынутых шаров. Аналогично рассмотреть два
других случая.
Ответ. Зл + 1, если п<—^-; m + n+1, если -=-*^п*^.т;
1т + 1, если т < п.
259.	Указание. Для каждого из 10 учащихся есть 4 воз-
возможности (попасть в любую аудиторию). Следовательно, всего
410 различных способов.
260.	Ответ, а) 19 (степени числа 3 от нулевой степени до
18-й). б) 30 (ибо общчй вид делителей 2* • Зт, где 0 < k < 4,
0<<5)) (+\)(+l)(k+l)
)) ()()()
261.	Ответ. 4 ¦ 5 • 5 • 5 ¦ 5 = 2500.
262.	Числа первой тысячи, в записи которых нет единицы,
это те, у которых цифра сотен, десятков и единиц — любая из
9 цифр 0, 2, 3	9, но надо исключить число 0 (как последо-
последовательность трех нулей), поэтому таких чисел имеется 9 • 9 • 9 —
— 1 = 728. Значит, чисел, у которых есть цифра 1, имеется
1000 — 728 = 272. Итак, больше чисел, в записи которых нет
цифры 1.
263.	Всего чисел 71 В каждом разряде каждая цифра встре-
встречается 61 раз, поэтому сумма цифр в любом разряде равна
1 ¦ 61 + 2 ¦ 6! + 3 • 6! + 4 • 6! + 5 • 6! + 6 • 6! + 7 • 6! =
+ 6! A + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 6! • 28
и делится на 9, значит, сумма всех чисел тоже делится на 9
(ибо она равна 61 • 28A + 10+102 + ...+106).
264.	Возьмем одну из точек в качестве начала ломаных.
Тогда для проведения первого звена — две возможности, вто-
второго— тоже две возможности (ибо следующая выбираемая вер-
вершина будет одной из двух соседних с построенным звеном) и
так далее, до построения восьмого звена включительно, которое
соединит последнюю вершину построенной ломаной с одной из
двух оставшихся точек, для построения же последнего — девя-
девятого звена — уже нет выбора и имеется лишь одна возмож-
возможность. Так мы строим 28 ломаных, один нз двух концов кото-
которых находится в выбранной точке, но любая из 10 точек может
быть началом, поэтому 2е- 10 — удвоенное число ломгпых (нбо
90

каждую ломаную будем подсчитывать дважды, меняя роли на-
начала и конца), а общее число ломаных / = — - 28 • 10 = 10 - 27.
265.	Предположим, что а, Ь, с — разные числа, пусть а <
<	Ь < с. По условию ah, bh, ch — длины сторон треугольника,
поэтому
ck<ak + bk (k = \, 2, 3, ...)•	A)
Но
ck = [b + (с — b)]k = bk + kbk~l -(c — b)+ ... >
>6ft + kbk-1 (c - b).
Возьмем k такое, что k(c — 6) > b; при так выбранном k
имеем
ck > bk + kbh~l {c — b)>bk + bk>bk + ak,
что противоречит неравенству A). Следовательно, среди чисел
а, Ь, с есть равные.
266.	Очевидно, 19702 —1 < 19702 или 1969 • 1971 < 19702,
т. е. 2 У1969 . 1971 <_2 • 19702_откуда 2 • 1970 + 2 У1969 .1971 <
<	4 • 1970, или (У1969 + У1971J < 4 • 1970_(так как 2 • 1970 =
= 1969+ 1971), следовательно, УТ969 + У1971 < 2У1970.
Ответ. У1969 + УТ971 < 2 У1970.
267.	Рассмотрим разность
cos (sin х) — sin (cos x) = sin f — — sinxj — sin (cos х) =
n	я .
-=— sin x + cos x —— sin x — cos x
= 2 COS	 Sin 	r:	 =!
n
= 2 cos	r	sin
Так как —1 < — sin a < 1, то — У 2< — yisin а<У 2,
откуда
-^- — У 2 sin a
91

¦_¦— V 2 sin a
т. е. угол 	n	 положителен и лежит в первой чет-
четверти, поэтому как косинус, так и сииус этого угла положи-
положительны, значит,
т. e. cos (sin л:) — sin (cos x) > О.
Ответ, cos (sin л:) > sin (cos л:).
268.	Так как разрешается менять местами лишь фишки,
стоящие через одну, то фишка, стоящая на четном месте, может
сказаться лишь на четном месте, поэтому, например, сотая
фишка не может стать первой.
Ответ. Не удастся.
269.	Имеем
б-1 66 + 666+ ... + 6^6 = -| (9 + 99 + ...
п i cti рок
2 flOn+1 —10
9
270. I случай. Если п = 2k + 1, то
I2 - 22 + З2 - ... - {2kJ + {2k + IJ = I2 + (З2 - 22) +
+ E2 - 42) + ... + [Bft + IJ - B*J] =
= 1+5 + 9+13+ ... +{4k + \) =
II с л у ч а й. Если п = 2k, то
= -{B2-1) + D2-32)+ ...
2 '
271. Любое из этих выражений имеет вид
92

где о; = 2i—1, и — номер выражения, k — число нечетных чи-
с< п сХодящнх в предыдущие выражения, поэтому k = 1 +
+ 2 + ... + (л — 1) = („ — 1)„/2, откуда
= п. [п. + п (п — 1)] = п (и + п2 — п) = п3.
Итак, каждое выражение — куб, что и требовалось доказать.
272. Обозначим через X искомую сумму попарных произле-
дений, через Л—сумму квадратов. Тогда Л = 12 + 22+ ...+ «2;
как известно,
я_ в(я+1)Bв + 1)
6
1+2 + 3+ ... +„=»*»±11,
отсюда
273.	Огеег. 1010 + 9.
274.	Указание. Перекидывая фигурку около «вертикаль-
«вертикальной» оси, а затем около «горизонтали», показать, что одно и то
же число а стоит во всех белых клетках и то же самое число Ь
стоит во всех черных клетках раскрашенной доски, затем из
За + b = 36 + а получим а = Ъ, из 4а = 4 следует а = 1.
275.	Заметим, что п\ • а2... «25 = *>i ¦ 62 •.. 625, так как ка-
каждое из этих произведений равно произведению всех чисел таб-
таблицы. Если бы Oi + 61 + а2 + Ьъ + ... + 025 + 625 = 0, то среди
слагаемых было бы 25 положительных и 25 отрицательных (ибо
каждое слагаемое есть ±1). Поэтому, если имеется п отрица-
отрицательных чисел среди 25 чисел аи то среди 25 чисел Ь, отрица-
отрицательных будет 25 — п. Числа п и 25 — п разной четности, по-
поэтому одно из произведений аг ¦ в2• • • ^ъ, Ь\ • Ь%... 625 положи-
положительно, а другое отрицательно, что противоречит ранее доказан-
доказанному их равенству.
276.	Рассмотрим арифметическую прогрессию a, a + d, ...
.... а + (я - 1)* По условию Sn==l^ + {n-l)d]n = ^
отсюда 2а+ (и— l)d = 2и, т. е. n(d — 2) =d — 2а Здесь a,d
постоянны, значит, d — 2в постоянно, а п — любое натуральное
число, следовательно, равенство возможно лишь, если d = 2,
d = 2а, т. е. d = 2, а = 1.
271. Пусть di < d2 < ... < dh — все делители числа л,
расположенные в порядке их возрастания, тогда di = 1, dh = п.
93

откуда 1 < dt < п и dxdh = d^dh-i = ... <Ыл_|+1 ...
. .. = п (так как п есть произведение некоторых двух своих де-
делителей).
I. Рассмотрим
k
где k — число всех делителей числа я. Тогда
k	к
1	i	(rfi +dfe) + (<
2fe	2fe
rfi+^fc , ds+dft-i .	dk + di
аг-rak-t
~	n	t • • • i
•w v^i^b i' v **z" ie—i i ¦¦¦ i v цкц i _ к • -\ Tl
^	A	ft
II. Рассмотрим теперь разность (n+1) — (di + dft-i+i)-
Если dj = 1, то dh-t+i = n и разность равна нулю. Пусть те-
теперь 1 < dt sg; dft_i+i (т. е. di — меньший из двух соответствую-
соответствующих делителей, произведение которых равно п). Тогда
(и + 1) — (di + dk-l+i) = didk-i+i + l—di —
Итак, для любой нары делителей dj, da-i+i такой, что
di ¦ dA_i+i = п, имеем df + dh-i+x < n + 1 (i = 1	k), от-
куда
ft	fe
т. e.
Итак,
что и требовалось доказать.
C4

278.	Расположим гири в порядке возрастания их веса и ста-
станем раскладывать их по одной в три кучки поочередно, то сле-
слева направо, то справа налево, т. е.
I кучка II кучка III кучка
1	2	3
6	5	4
7	8	9 и т. д.
После любого четного числа таких операций (в частности,
после 552 :3 = 184 операции) веса кучек будут равны.
279.	Указание. Первые 9 гирь разложить, например, так:
I кучка 1 +9 + 5,
II кучка 6 + 7 + 2,
III кучка 3 + 4 + 8,
а оставшиеся 546 надо раскладывать так же, как в задаче 278.
280.	Так как при одной игре в шахматы сумма очков двух
противников равна единице, то общая сумма очков всех участ-
участников в каждый момент равна числу сыгранных партий. По ус-
условию, каждый шахматист половину своих очков набрал от
трех последних, значит, от остальных ои набрал тоже половину.
Если в турнире участвовало х игроков, то всего они сыграли
х(х—1)/2 партий и, следовательно, набрали столько же очков.
Три игрока, занявшие последние места, сыграли между собой
3 партии, которые дали им 3 очка — половину от всего количе-
количества очков, набранных ими в турнире, следовательно, всего у
них 6 очков. Лучшие х — 3 игрока сыграли между собой
(дс — 3) (х— 4)/2 партий, в этих партиях набрали столько же
очков, сколько было партий; это по условию составляет поло-
половину набранных ими очков, а всего они набрали (х — 3)(х — 4)
очков. Таким образом, (х — 3) (х — 4)+6 = x(x—1)/2, или
xz— 13jc + 36 = 0, откуда хх = 9, х2 = 4, второй ответ не удо-
удовлетворяет условиям задачи (лучший шахматист мог бы наби-
набирать очки лишь от трех остальных — худших, а это по условию
должно составлять лишь половину набранных им очков). Таким
образом, в турнире принимало участие 9 человек.
Ответ, х = 9.
281.	Пусть Xi, х2, ..., Хв—количество очков, набранных ка-
каждым шахматистом. По условию
Xt> Х2> ... > JC8.
Лучший участник сыграл 7 партий, значит, Xi ^ 7, так как х2 <
< Xi, то хг ^ 6,5. Четыре последних шахматиста сыграли ме-
между собой 6 партий, в которых набрали 6 очков, значит, общее
число их очков ие меньше 6, т. е. я* + х6 + х7 + х8 ^ 6, но по
условию Хг = Хъ + Хб + x-i + Ха, значит, х2 ^ 6. Итак, 6 ^ х2 ^
;? 6,5, т. е. х2 = 6,5 или х2 = 6. Если бы х2 = 6,5, то второй
шахматист выиграл 6 партий, а одну свел вничью, следователь-
следовательно, первый шахматист не выиграл у второго, поэтому х\ ^ 6,5,
т. е. Xi sg; x2, что противоречит условию. Итак, х2 ф 6,5, значит,
95

х% = 6, следовательно, xt + Хв + xi + *g = 6, т. е. четыре по-
последних шахматиста все свои очки набрали лишь из встречи
друг с другом, а всем первым игрокам — проиграли, в частно-
частности, седьмой игрок проиграл третьему.
282.	Соединить точку М с вершиной О угла, удвоить отрезок
ОМ до отрезка ОА (М—середина ОА) и построить парал-
параллелограмм ОВАС, стороны ОВ и ОС которого лежат иа сторо-
сторонах данного угла, а ОА является его диагональю. Тогда М — се-
середина диагонали О А (по построению), поэтому вторая диаго-
диагональ ВС пройдет через данную точку М и разделится ею
пополам. Отрезок ВС — искомый.
283.	Указание. Построим отрезок, соединяющий две из
трех заданных точек, получим среднюю линию параллелограм-
параллелограмма. Соединив третью данную точку с серединой построенного от-
отрезка и удвоив полученный отрезок, получим вторую среднюю
линию. Задача имеет три решения.
284.	Возьмем произвольную точку А на средней прямой k,
проведем через нее прямую lo, lo -L 1% и обозначим через В а С
точки ее пересечения с прямыми U и h. Отложив по одну сто-
сторону от /о на прямой U отрезок BAt = AC, а на It отрезок
САъ = АВ, получим Ai, A, At — три вершины квадрата. Можно
построить еще два квадрата с вершиной в точке А, лежащих
по ту же сторону от lo, если: 1) отложить ЯД, = ВС на прямой
f» и достроить ЛИ до квадрата, 2) отложить САг = СВ и до-
достроить АгА до квадрата.
2
285.	Построить AAOOi такой, что АО = -$-тф AOi =
о
2	2
— Т ты ОО\ =" тс, провести медиану из вершины А, удвоить
О	о
е_, получим АВ — основание искомого ААВС. Удвоив отрезок
OiO, получим отрезок OiC; точка С будет третьей вершиной
ААВС.
286.	Анализ. Если ABCD — искомый четырехугольник и
М, N, К — середины трех равных сторон АВ, ВС, CD, то тре-
треугольники AMBN и ANCK равнобедренные, значит, В и С ле-
лежат на прямых ОВ и ОС, перпендикулярных соответственно к
АШ или NK и проходящих через их середину (точка О — точ-
точка пересечения ОВ и ОС). Поэтому, построив ВО и СО и зиая
точку N, можно построить и отрезок ВС с концами на сторонах
ZBOC и с серединой в данной точке N.
Исследование. Если точки М, N и К не лежат на од-
одной прямой, то построение возможно, причем задача имеет три
решения.
287.	Проведем окружность с центром в вершине данного
угла и затем циркулем откладываем иа окружности (последова-
(последовательно) 19 раз дугу в 19е (заданную дугу) — получим дугу в
19 • 19* = 36Г.
288.	а) Центр окружности есть точка пересечения прямых,
соответственно параллельных данным и отстоящих от них на
расстояние радиуса (задача имеет четыре решения, если данные
прямые пересекаются), б) Центр—пересечение окружностей,
концентрических с данной, и прямых, параллельных данной пря-
96

мой (задача имеет в самом общем случае 8 решений, может п
не иметь ни одного).
289.	Центр окружности — точка пересечения биссектрисы угла
и перпендикуляра к стороне, который восставлен из даниойточки А.
290.	Построив точку А и симметричную А относительно од-
одной стороны угла, и точку Bi, симметричную В относительно
другой стороны угла, соединим их отрезком А\В\, тогда точки
L, М пересечения этого отрезка со сторонами угла — искомые.
Доказательство легко следует из замены ломаной ALMB отрез-
отрезком AiLMBi той же длины, что и ломаная. Заметим, что в об-
общем случае надо проводить два построения (точка Ai может
быть симметрична А как относительно одной стороны угла, так
и относительно другой) и из двух полученных отрезков AiBt и
А1В1 выбрать кратчайший.
291.	Построить точку Mi, симметричную точке М, относи-
относительно АО, затем Nt — симметричную N относительно ВО, со-
соединить их отрезком MiNi; обозначив через К точку пересечения
его с лучом АО, определим искомое направление МК.
292.	Анализ. Если М, N — середины двух боковых сторон,
то MN — средняя линия треугольника; точка, симметричная од-
одной из данных точек относительно биссектрисы, лежит на осно-
основании треугольника.
Построение. Строим точку Nt, симметричную точке .V
относительно заданной прямой, и через Ni проведем прямую,
параллельную MN, и обозначим через В — точку пересечения по-
построенной прямой и прямой, на которой лежит биссектриса. В —
вершина треугольника, вторую вершину А найдем, удвоив отре-
отрезок BN, и третью С — удвоив отрезок AM.
293.	Построение. Проведем дугу с центром в любой
точке А окружности радиуса, равного данному отрезку а, по-
построим хорду АВ = а, затем окружность, концентрическую дан-
данной, касающуюся хорды. Через данную точку проведем хорды,
касающиеся построенной окружности (задача может иметь два,
одно и ни одного решения).
294.	Построение. Проведем прямые АС и ВС; пусть
D — вторая точка пересечения АС с окружностью, Е — вторая
точка пересечения ВС с окружностью и Л—точка пересечения
прямых DB и АЕ. Прямая КС — искомый перпендикуляр к А В.
Доказательство. В ААВС прямые BD и АЕ — высоты
(углы Z.ADB и Z.AEB = ZAEC — прямые, как вппсанные, опи-
опирающиеся на диаметр);- К— точка пересечения двух высот,
прямая СК проходит через третью вершину и точку пере-
пересечения двух высот, значит, СК есть третья высота, т. е.
СК ±АВ.
295.	Ответы, а) Окружность, касающаяся данной в топке А,
с диаметром АО (О—центр заданной окружности), б) Окруж-
Окружность с диаметром АО. в) Часть дуги окружности, построен-
построенной на АО как на диаметре, лежащая внутри данной окруж-
окружности.
296.	Ответ. Центр квадрата и замкнутая линия, окружаю-
окружающая данный квадрат и состоящая из четырех отрезков, равных
и параллельных сторонам квадрата, и четырех четвертей окруж-
окружностей единичного радиуса, соединяющих эти отрезки.
97

297.	Ответ. Восьмиугольник, четыре стороны которого равны
и параллельны сторонам квадрата и отстоят от центра квадрата
на расстояние в 1,5 единицы.
298.	Указание. «Выпрямим» ломаную АМВ, отложив на
продолжении отрезка ВМ отрезок МК = AM. Так как ААМК
ZАМВ а _
равнобедренный, то Z АКБ =	¦=	=-г-. Значит, К — точка,
из которой отрезок АВ виден под постоянным углом -у, т. е.
переменная точка дуги сегмента, вмещающего данный угол. Ис-
Искомая точка X — середина отрезка KB — принадлежит множе-
множеству середин хорд, проходящих через данную точку. Следова-
Следовательно, искомое множество точек есть кривая, составленная из
дуг четырех окружностей, проходящих через середину АВ, один
из концов диаметра CD (CD А. АВ) и одну из точек А
или В.
299.	Указание, а) Либо АВ = ВМ, тогда точка М лежит
на окружности радиуса АВ с центром в точке В. Либо AM —
= ВМ = СМ, тогда М — центр окружности, описанной около
ААВС. Либо МА = АВ = МС, тогда М— точка, симметричная
В относительно АС.
300.	Ответ. Отрезок, соединяющий середину основания с се-
серединой высоты, опущенной па основание.
301.	Ответ. Искомая точка — пересечение прямой / с отрез-
отрезком, соединяющим А и В (если они лежат по разные стороны от
/), и с отрезком, соединяющим одну из данных точек с точкой,
симметричной другой данной точке относительно / (если точка А
и В лежат по одну сторону от /).
302.	Ответ. Равнобедренный треугольник.
303.	Ответ. Точка пересечения диагоналей.
304.	Ответ. Отрезок искомой прямой, отсекаемый сторонами
угла, делится данной точкой пополам.
305.	Анализ. Пусть АВ'С — произвольный треугольник,
вершины В', С которого лежат на сторонах угла. Построим точ-
точки At и Л2, симметричные точке А относительного сторон угла.
Так как АВ' = А,В' и АС = А2С, то Р = АВ' + В'С + С А =
«= AiB' + В'С + С'А2, поэтому периметр минимален, если Аи
В', С и Аг лежат на одной прямой.
Построение. Построив точки Л( и Л2, симметричные А
относительно сторон угла, соединим их отрезком и обозначим
через В и С точки пересечения его со сторонами угла. ААВС
искомый.
Доказательство. «Выпрямив» границу треугольника,
получаем отрезок Л1Л2; для любого же другого ААВ'С полу-
получим ломаную А^В'С'Аг, которая длиннее отрезка Л1Л2; значит,
периметр ААВС минимален.
Исследование. Построение точек А\, Л2 всегда воз-
возможно н единственно. Можно показать, что точки Аи А2 лежат
в полуплоскости, ограниченной прямой, перпендикулярной бис-
биссектрисе данного угла и проходящей через его вершину, и, оче-
очевидно, вне угла. Поэтому отрезок Л1Л2 пересекает обе стороны
угла, т. е. точки В и С существуют и единственны. Итак, за-
задача всегда имеет решение, которое единственно.
98

306. Первый случай. Прямая I пересекает основание
ВС ААВС. Тогда, если hi, hi, — расстояния до I от точек В я С,
S — площадь ААВС, АЕ — отрезок /, лежащий в ААВС, то
АЕ = 2S,
АЕ (Л, + /гг) = 2S,
значит, hi + hi минимальна, если АЕ максимальна, но max АЕ
есть длина большей стороны, выходящей из вершины А, от-
откуда
2S	25
= min (ft,, hc).
т. е. / проходит через большую из боковых сторон АВ, АС.
Второй случай. Прямая / не пересекает отрезок ВС.
Построим точку В' такую, что АВ' = АВ и В' лежит на про-
продолжении отрезка ВА% и рассмотрим АВ'АС. Прямая I пересе-
пересекает основание В'С треугольника АВ'С, поэтому, по ранее до-
доказанному, минимум (ji'x + Л2) = min (h0,, hc,), где А(, Л2—
расстояния от В' п С до /. Но (по построению) прямая / равно-
равноудалена от точек В и В', значит, Л' = ЛЬ кроме того, hb» =
= 1гь, ltc, = hc (так как в треугольниках ABC и АВ'С стороны
АВ' и АВ равны, сторона АС и высота Лс общие, значит, соответ-
соответственно равны и остальные высоты), откуда min Aн + 1г2) =
г= min (Ль,he). Следовательно, и в этом случае / проходит че-
через большую из боковых сторон АВ, АС.
307.	Указание. Построение и доказательство аналогично
построению и доказательству, проведенному в задаче ЗОС.
308.	Сумма внутренних углов выпуклого семнадцатиуголь-
ннка равна 2d{\7 — 2) = 30d, а сумма углов четырнадцати
треугольников равна 14 • Id = ЧМ, при разрезании же много-
многоугольника на треугольники сумма внутренних углов треуголь-
треугольников окажется не меньшей суммы внутренних углов много-
многоугольника. Следовательно, выпуклый семнадцатиугольник нельзя
разрезать на 14 треугольников.
309.	Если к — число треугольников, на которые диагонали
разбили многоугольник, то для суммы внутренних углов много-
многоугольника имеем 2d(n—2) = 2dk, откуда k — n — 2. Обозна-
Обозначим через х число диагоналей. Тогда (так как диагонали по ус-
условию не пересекаются) общее число всех сторон C/г) в k тре-
треугольниках равно 3k = п + 2х (каждая диагональ — сторона
двух треугольников), значит,
Итак, число треугольников (k) и число диагоналей {х) не зави-
зависят от способа разбиения.
310. Два любых соседних колеса вращаются в противопо-
противоположном направлении, значит, первое и последнее колеса также
имеют противоположные направления вращения, что возможно
тогда и только тогда, если число колес четно. Итак, колеса
99

такой системы могут вращаться, если число колес четно, и не мо-
могут в противном случае.
311.	Проведем диагональ I, выходящую из вершины острого
угла, и построим иа ней, как на диаметре, круг. Так как две вер-
вершины, не лежащие на этом диаметре, являются вершинами ту-
тупых углов, то они лежат внутри круга; значит, диагональ, их
соединяющая, меньше диаметра, т. е. диагонали /.
312.	Ответ. 12 см.
313.	Рассмотрим ААВС со сторонами а, Ь, с и медианой
AD = /Па. Из AACD имеем та > Ь — -^, а из AABD следует,
что та> с —5", складывая полученные неравенства, будем
иметь
2та > Ь + с — а,
или
^ Ъ+с-а
та>	g	.
Удвоив медиану AD, получим 'ААКВ, в котором АК = 2та,
АВ = с, ВК = Ъ, поэтому
Ь А- с
2та <Ь + с, или та < g .
Итак,
±±=±
Аналогично получим
с + а — Ь
откуда
что и требовалось доказать.
314.	Указание. Показать, что если у семиугольника есть
две оси симметрии, то многоугольник правильный и поэтому
имеет 7 осей симметрии. Следовательно, у семиугольника может
быть осей симметрии: 0, 1,7.
315.	Пусть п—1, п, я+1—стороны треугольника, h — вы-
высота, х, у — отрезки средней стороны, тогда
(х + у — п,
откуда хг — у2 == 4л и х — у = 4, что и требовалось доказать,
100

316.	Площадь каждого круга я -г-j-, откуда площадь всех
па2
кругов	, т. е. не зависит от п, а следовательно, площадь ча-
а2
сти, не покрытой кругами, равна -j- D — я), т. е. также не за-
I 1СИТ ОТ П.
317.	Доказательство от противного. Есчи бы нашлась точка
М, лежащая внутри четырехугольника, не покрытая ни одним
т 'j -том, то каждый из углов с вершиной в точке М, опираю-
ш "гея на сторону четырехугольника, острый (как угол с верши-
I ^й вне круга, опирающийся на днь летр), значит, сумма четы-
;. к таких углов меньше Ad, в то вре.ля как эта сумма равна Ad
(гбо составляет полный угол).
318.	Пусть а, Ъ — основания трап-шн, fti, h2 — высоты тре-
5-олыыков, h — высота трапеции. Тс h = ftt + h2, St =—-ф-,
S =—^—, искомая п"ощачь трапеичи STp=^
Из &AOD со АВОС следует —- = — = ' , откуда
а~\- Ь _ "V"i -r^v ~2 и "¦!-г-а __ У-г^У^ ПОЭТОМУ
6
(а + ъ) (ft, + h) _
ьо bh = 2S2, откуда (fl + b)f + 'h) = (Vs, +
319.	Указание. Стороны треугольника равны, как равно-
удаленные от центра хорды описанной около него окружности.
320.	Указание. Вне оси симметрии лежат либо 2, либо
все 4 вершины четырехугольника. В первом случае диагонали
и< гырехугольника взаимно перпендикулярны (и четырехуголь-
нк—описанный), во втором случае ось симметрии пер пен д i-
1 "лярна двум сторонам четырехугольника и проходит через их
а редины-
321.	Пусть a^ft^c^d^ е — данные отрезки. Предпо-
-ожим, что все треугольники, составленные из этих отрезков, не
огтроугольные. Тогда с* ^2 а? + b2, d2 > № + с2, е2 > с2 + d\
откуда с2 + d2 + е2 ^ а2 + 2Ь2 + 2с2 + ri2, или
е' > а2 + 2Ъ2 + с2 = (а2 + Ъ2) + (б2 + с2) >
^а2 + Ь2 + 26с > а2 + б2 + 2а& = (а + fc)^
откуда е ^ а + 6, значит, из отрезков a, b, e нельзя составить
треугольник, что противоречит условию задачи.
322.	а) Построим равнобедренный ААВС, у которого основа-
основание а = 510 см п ha = 0,4 см. Тогда SA = у а ¦ ha = 102 смг >
> 100 см2, н так как Ъ = с > 235 см, то hb = hc<\. Мы
101

построили треугольник, площадь которого больше 100 см2 и все
высоты которого меньше 1 см.
б) Если ha > 100, hb > 100, то АВ > 100, АС > 100, ВО
> 100 (так как сторона не меньше высоты, выходящей из той
же вершины). Но тогда SA =~nha- ВС > 50 • 100 > 1. Следо-
Следовательно, не существует треугольника, у которого две высоты
были бы больше 100 см, а площадь меньше 1 см3.
323.	ААВС — правильный. Пусть, например, М лежит на
\jAB. Докажем, что тогда МС = MA + MB. Отложим на МС
отрезок MB', MB' = MB. Так как kjBC = 120°, то ZBMB' =
= 60°, значит, &ВМВ' — равносторонний. Тогда Z.MBA =
= Z.CBB' (эти углы дополняют Z.ABB' до двух равных углов
ZMBB'= Z.AВС = 60°), поэтому АМВА = АВ'ВС (по двум
сторонам MB = ВВ' и АС = ВС и углу между ними). Следова-
Следовательно, AM = В'С, но по построению MB = MB', поэтому
АМ + МВ = В'С + MB', или AM + MB = МС, что и требова-
требовалось доказать.
324.	Указание. При п = 4 и п = 5 можно построить
многоугольники, одна сторона которых равна 1, а диагонали,
«ограничивающие» эту сторону, равны 2. Если же п > 6, то, если
АВ = 1, диагонали, выходящие из одной из вершин и соединяю-
соединяющие ее с Л и В, равны (как целочисленные, разность кото-
которых <1); поэтому при п ^ 6 будут два разных равнобедрен-
равнобедренных треугольника с основанием АВ и третьей вершиной — в вер-
вершине п-угольника, значит, одна из этих вершин лежит внутри
другого треугольника, т. е. внутри многоугольника, что противо-
противоречит его выпуклости.
Ответ, п = 4; 5.
325.	Указание. Новый треугольник подобен данному с
коэффициентом подобия k = ——— = Мн	J, где г — радиус
2S
окружности, вписанной в данный треугольник, т. е. г="п">
тогда ft =
Ответ.
326.	Ответ. Искомое множество точек есть совокупность трех
отрезков, — двух, проходящих через точку В и параллельных
сторонам квадрата, и третьего отрезка, параллельного выбран-
выбранной диагонали и проходящего через точку, симметричную точке
В относительно этой диагонали
327.	Если М — середина DE, TV —середина СЕ, то MN —
средняя линия ADEC; аналогично KL — отрезок, соединяющий
середины AF и BF — средняя линия AAFB. Так как EF — ме-
медиана каждого из этих двух треугольников, то EF пересекается
с каждым из двух отрезков MN и KL в точке О (середине EF),
которая является серединой каждого из отрезков MN и KL Сле-
102

дователыю, MKNL — параллелограмм (так как точка пересече-
пересечения диагоналей делит каждую из них пополам).
328.	Рассмотрим ABDE, так как AB\\DE, то ABDE — тра-
трапеция. Если О — точка пересечения диагоналей, то AEOD и
АЛОВ— равнобедренные, откуда ААОЕ = ABOD, значит,
АЕ = BD, т. е. трапеция ABDE равнобедренная, поэтому около
нее можно описать окружность. Обозначим через F' и С точки
пересечения этой окружности с продолжением сторон AF и DC.
Тогда AF'DC — трапеция и по построению оиа вписана в круг,
значит, она — равнобедренная, поэтому равны ее диагонали
F'C = AD. (Заметим, что диагоналями трапеции могут ока-
оказаться DF' и AC, a AD и F'C — боковыми сторонами трапеции,
но и а этом случае F'C = AD). Но CF = AD, значит, F'C—
= FC, что возможно лишь при совпадении точек: F' = F,
С'=С.
329.	Разобьем круг на 6 равных секторов (с вершиной в
центре круга). Тогда в каждый сектор попадет не больше, чем
по точке (ибо расстояние между двумя любыми точками одного
сектора не больше 1). Если бы в каждый сектор попало по точ-
точке, то нашлись бы две точки, угол между радиус-векторами ко-
которых был не больше 60° и, следовательно, расстояние между
ними не больше 1. Итак, можно выбрать не больше пяти точек»
330.	Пусть А, В, С — три из заданных п точек, являющиеся
вершинами треугольника наибольшей площади. Рассмотрим
AK.LM, для которого А, В, С являются серединами сторон.
Тогда Sklm = 45давс ^ 4 и треугольник KLM содержит все
заданные точки (иначе точка D, лежащая вне AKLM, оказалась
бы в полуплоскости, ограниченной одной из прямых, проходя-
проходящих через стороны AK.LM, и не содержащей ААВС, поэтому
площадь треугольника с вершинами в точке D и двух вершинах
из вершин ААВС будет больше 5дАвс).
331.	Ответ. Нельзя.
332.	Заменим каждый квадрат большей фигурой, ограничен-
ограниченной линией, отстоящей от контура квадрата на расстоянии '/а
(эта линия состоит из четырех единичных отрезков и четырех
дуг окружностей радиуса '/г). Каждая такая фигура имеет пло-
щадь, равную 3 + —, а 120 «раздутых» фигур покроют пло-
площадь, ие превышающую 120 ¦ 13 + —j =360 + 30л. Окружим
границу заданного прямоугольника полосой ширины '/г- Пло-
Площадь полосы равна 44. Таким образом, общая площадь полосы
и всех «раздутых» фигур: 360 + 30л + 44 = 404 + 30л < 404 +
+ 94,5 < 500, т. е. меньше площади прямоугольника (Sup =
= 25 • 20 = 500). Следовательно, в прямоугольнике есть точка
О, непокрытая полосой и «раздутыми» квадратами и, значит, от-
отстоящая как от контура прямоугольника, так и от всех квадра-
квадратов на расстояние, большее '/а- Круг радиуса 7а с центром в
точке О — искомый.
333.	Формулу для подсчета максимального числа заборов
находят методом эмпирической индукции, а затем доказывают
ее методом математической индукции. При п = 1 число заборов
103

Х\ 8= 1; при п = 2 можно окружить забором каждый из домов,
а затем построить забор, огораживающий оба дома, итак, число
заборов хг = 3, поэтому можно предполагать, что в общем слу-
случае хп = 2п— 1.
Предположим теперь, что формула хп = 2« — 1 верна при
всех п ^ к, и докажем ее для п = k + 1.
Рассмотрим некоторую максимальную систему заборов. Тогда
заведомо найдутся два забора, отделяющих одну группу до-
домов (/ домов) от другой группы в т домов (иначе можно бы-
было бы такие заборы добавить, т, е, система не была бы макси-
максимальной).
Система заборов, окружающих / домов, также максимальна,
значит, содержит 2/ — 1 заборов, аналогично имеем 1т — 1 за-
заборов, окружающих группу в т домов (по индуктивному пред-
предположению). Никакой забор не может огораживать одновреи е
но дома из двух рассматриваемых групп домов Следовательно,
имеется только еще один забор — огораживающий все дома.
Итак, имеем
что и требовалось доказать
334. Выберем из заданных кругов круг наибольшего радиуса
г, и все круги, пересекающиеся с иим. Они образуют первую фи-
фигуру площади Si. Так как радиусы всех кругов фигуры Si не
больше Г|, то вся фигура лежит в круге радиуса 3ri, однако не
заполняет этот круг (ибо всего кругов конечное число), знач ¦,
S{ < п Cr}J s; 9jv^, площадь же первого выбранного круга
равна я/,, следовательно, она составляет больше, чем */в от
площади Si. Если Si = 1, то выбранный круг радиуса /ч—ис-
/ч—искомый. Если же Si < 1, то выбросим все круги, входящие в
первую фигуру, и из оставшихся кругов выберем снова кр1 г
(второй) максимального радиуса rz и, повторив все предыдущие
рассуждения, получим из новых кругов фигуру площадью S2,
причем nr!;>-o-S2 и второй круг заведомо не пересекаез -я
с первым Продолжив этот процесс, последовательно выберем
круги радиусов г±, гг, ..., г/, и составим соответствующие им
фигуры площадей Si, S2, ..., Sh, составленные из различных
кругов. Так как всего кругов — конечное число, то процесс вы-
выбора кругов и составления фигур заведомо оборвется. Итак,
S, +S2+ ... +Sk=l, -i-S,<nr2 (/=!, 2,.... At),
следовательно, для суммы площадей попарно непересекающихся
кругов имеем лг^ + яг|+ ... +пг\>-д, что и требовалось
доказать.
335 (Кочерыгин Александр, 9 класс). Разобьем 50 человек,
знающих английский язык, на 50 групп, по одному в каждой.
К тем из них, кто не энает французский, добавим (из остав-
оставшихся студентов) одного, знающего французский, что всегда
104

возможно, ибо есть 50 групп и 50 человек, знающих француз-
французский. Итак, имеем 50 групп, в каждой из которых ровно один
знает английский и один — французский. Эти группы, вообще
говоря, могут быть трех типов. Тип Аг: в группе 2 человека
знают испанский язык; тип А\.\ в группе один человек знает ис-
испанский; тип Ац\ в группе нет знающих испанский. Если оста-
остались студенты, знающие испанский н не входящие в эти груп-
группы, то заведомо имеются и группы типа Ао, поэтому можем всех
оставшихся знатоков испанского языка присоединить (по од-
одному) в группы типа Ао. Теперь все владеющие испанским вклю-
включены в состав 50 групп, поэтому если есть k групп типа Аг, то
имеется ровно k групп типа Ло (так как 2k + 0 • у + I - дс = 50.
где х — число групп типа Ai и k + х + у — 50, откуда y = k).
Значит, число х групп типа At четно, поэтому можно объеди-
объединить по две группы типа Л± и каждую группу типа Аг с неко-
некоторой группой Ао. Получим 25 групп, в каждой из которых ров-
ровно по 2 человека знают каждый из трех языков. Объединив те-
теперь по 5 групп в одну, получим 5 групп, в каждой из которых
ровно 10 человек знают как английский, так и французский и
испанский языки.
336	(Ахулков Сергей, 7 класс). Проведем через точку, в ко-
которой находится волк, две прямые, параллельные диагоналям
квадрата. Очевидно, если собаки будут находиться в точках пе-
пересечения этих прямых со сторонами квадрата, то они не выпу-
выпустят волка из квадрата. Покажем, что скорость движения этих
точек не превышает скорости собаки. Для этого разложим век-
вектор скорости волка на составляющие, параллельные сторонам
квадрата: v'e = v\ + v2; vg—скорость волка, vu v2 — ее со-
составляющие в направлении сторон квадрата. Тогда Vi + я-г —
наибольшая скорость движения точек на сторонах квадрата.
Максимум t)| + f2 достигается одновременно с максимумом
("i + "гJ = °e + ^vivv a зпачнт> вместе с v{v2 или {уxv^f. Но
(У1С12J = °1 (°e~~ VT) ~ квадратный двучлен от и2, поэтому он
достигает максимума при vzt = v\J2 илн max »,.= vej^\/2, откуда
max (t)( + f2) = VSt'e < 1.5t>e, что и требовалось доказать.
337	(Лхулков Сергей, 8 класс). Пусть 0<а^&^с — за-
заданные положительные числа. Так как abc = 1, то все три числа
не могут быть одновременно больше единицы или меньше едн-
шщы. Кроме того, невозможно а = b = с = 1, ибо тогда
а + b + с =	г--гН	• Значит, среди трех заданных чисел
есть как большие, так и меньшие единицы Если бы чисел, боль-
больших 1, было два, т. е. с ^ b > 1, то из
получим
105

пли
F + с) be + 1 > b + с + fc!c2,
F + с) (be - 1) > 65с2 - 1, F + с) (be - 1) > Fс + I) Fс - 1),
но 6с > 1 (по предположению), значит, 6 + с > 6с + 1, или с —
— 1 > 6(с— 1), а так как с > 1 (по предположению), то 1 > 6,
что противоречит предположению.
338. (Бабинский Алексей, 8 класс). Пусть выражение
aia?a3... а^а^аф^ ... а17 — данное семнадцатизначное число.
Исследуем цифры суммы
ХцХ10ХаХв
alsal7
Предположим, что все «внутренние» цифры суммы хпХш...xi
нечетны. Так как ае + я» = 2ад четно, а по предположению циф-
цифра лг9 нечетна, то в этот разряд переходит единица из предыду-
предыдущего разряда, т. е. аю + ав ^ 9. Но если бы йю + а& = 9, то
х& = 0, что противоречит предположению. Итак, аю + а& ^ 10,
значит, при сложении ав + аю единица переходит к следующему
разряду, но Ли нечетно, значит, ъ + йц четно, но x-i нечетно,
значит, в xi входит единица из предыдущего разряда и так да-
далее, наконец, из того, что в Хп входит единица из предыдущего
разряда, т. е. хп = ai -f an + 1, следует, что либо дс17 четно,
либо ЛГ17 нечетно, но тогда четно at + an, т. е. четна цифра хь
339 (Будаев Виктор, 8 класс). Возьмем произвольное нату-
натуральное число А, которое делится на 2100 и имеет не меньше 100
цифр. Пусть на некотором k-ы месте справа впервые встретилась
цифра, отличная от 1 и 2. Тогда,
а) если эта цифра есть 3 или 4, то прабивим к А число
2ЮЗ . ю*-1, которое имеет иа k-м месте справа цифру 8 (ибо
241+з оканчивается цифрой 8), а последние цифры — нули, по-
поэтому у суммы
уже последние k цифр — это единицы или двойки,
б) если k-я цифра справа 5 или 6, то возьмем сумму
в)	если k-я цифра справа у числа А есть 7 или 8, то рас-
рассмотрим
В = А +2102-I0ft-1,
г)	если k-я цифра 9 или 0, то возьмем
В = А + 21Ш ¦ 10*-'.
Во всех случаях полученное число В, очевидно, делится на
2100. Затем аналогично «уничтожаем» последнюю из цифр числа
В, отличную от I и 2, и так далее, пока не придем к некоторому
числу N, все 100 последних цифр которого единицы или двойки.
106

Отбросив у числа N первые цифры, оставим 100-значное число,
делящееся на 2100, все цифры которого — единицы или двойки.
340 (Будаев Виктор, 8 класс). Достаточность. Задав
11 вопросов, можем узнать все числа первой строки и одно чис-
число второй строки. Обозначим их через аи аг, .... аю, &*. Тог-
Тогда число bi, стоящее под а,-, найдем из равенства Ъ% = а; +
+ Ьь — аЛ.
Необходимость. Пусть мы задали 10 вопросов. Воз-
Возможны два случая.
1)	В каждом столбце узнали по одному числу. Тогда из че-
четырех любых чисел а, Ь, с, d (b стоит под a, d — под с) из-
известны лишь 2 числа, поэтому уравнение а + d = b + с содер-
содержит 2 неизвестных, значит, имеет бесконечно много решений.
2)	В одном из столбцов мы знаем оба числа а и Ь. Тогда
в остальных 9 столбцах мы знаем лишь 8 чисел, значит, в одном
из столбцов неизвестны оба числа, для которых поэтому воз-
возможны бесконечно много значений.
И в 1) и 2) случае 10 вопросов не хватает для однознач-
однозначного решения. Следовательно, наименьшее число вопросов рав-
равно 11.
341. а) Есть следствие б).
б) (Будаев Виктор, 8 класс). Пусть MN — отрезок, разби-
разбивающий многоугольник ABC ... YZ на два многоугольника рав-
равной площади и равного периметра, точка О — центр вписанной
в многоугольник окружности и М лежит на стороне АВ, N —
на стороне KL Тогда MB + ВС + ... + KN — MA + AZ + ...
... + LN. Умножим это равенство на г/2, где г — радиус впи-
МВ-г „ ВС-г
санной окружности, и, заметив, что —¦=—— $АМОВ' 	о— =
= SAB0C и т. д., получим
SAMBO + 5ДВОС + •" = SA МОА + SA AOZ + •••
Вычитая из этого равенства равенство SMbc-kl = Smaz-n,
получим SAM0N =—SAM0N, или SAM0N =0, значит, точка
0	лежит на MN, т. е. MN проходит через О.
342 (Будаев Виктор, 8 класс). Доказательство от против-
противного. Предположим, что какие бы 2 числа мы ни выбрали, либо их
сумма, либо их разность равна одному из оставшихся. Пусть
01	> п2 > аз > ... > яге. Так как суммы ai + а2ь, fli + «24,
ii+«23, .... «Ч + п2 больше at (t = 1	25) и, следователь-
следовательно, ие равны ни одному а,-, то каждая из разностей а4 — 025.
fli — «24, ..., fli — а.г равна одному из а,-. Но ai — агъ > fli —
— а24 > • • • > Gi — Я2 и аг > as > ... > а2ъ, откуда ai — а25 =
= 12, О.1	Й24 = 0.3	0.1	а2 = Й25 ИЛИ U2 + Й25 == Я» + ^24 =
= а4 + агз = ... = а2ъ + аг = й|. Аналогично аг + at > Я2+а2я
при 3 sg / sg 24, т. е. суммы a2 + at (t = 3	24) не равны
ни одному из чисел as, a3, ..,, a25, следовательно, каждая из
разностей a2 —a2i, О2 — а2з, .... аг — а3 равна одному из чисел
оз, сА	а25, ио a2 — a2! > a2 — а2з > ¦ • • > °2 — «з и а3 >
>«!>...> а.гъ, поэтому разность а2 — аз равна либо агъ,либо
021 (так как разностей 22, а чисел 23).
107

I.	ai — аз = fl2i, но oi — fls = 024, откуда щ = а.г, что про-
противоречит условию
II.	ch — о-з = 125- Тогда либо а2 — о, = аг1, аг — аь — .<23
н т. д., наконец, а.г — flu = аи, т. е. ни сумма аг + аи, ни раз-
разность этих чисел аг — ац не равна ни одному из оставшихся;
либо для одной из разностей имеем а2 — at = о* = at — а,-, от-
откуда ai = a2. Итак, мы приходим в противоречие с условием
задачи, следовательно, наше предположение неверно.
343	(Будаев Виктор, 8 класс). Проведем доказательство от
противного, например, для пункта а) (пункты б) и в) доказы-
доказываются аналогично). Очевидно, что менять дважды знаки в той
же шестерке все равно, что не менять в ней знаки. Поэтому бу-
будем считать, что в каждой шестерке знаки меняем не более од-
одного раза Тогда, если в вершине Ап меняли знаки k раз, то в
соседних вершинах An-i и An+i знаки меняли либо k, либо
k ± 1 раз. Так как в вершинах Аз, Л4, .... Ai2 меняли знаки чет-
четное число раз, а в вершинах Ait Л2 — нечетное, то в вершинах
Аз, At	Аи знаки меняли 2т раз, а в вершинах Аи Аг —
2т ± 1 раз. Всего же было изменено 10-2т + 2Bт ± 1) =
= 24т ± 2 знаков, но это число не делится на 6 (и на 4 и на 3).
344	(Будаев Виктор, 9 класс). По условию ат + 1 делится
на а" + 1. Так как число ат + ат~п = ат~" (а" + 1) делится
на а" + 1, то и разность (ат + а™-") — (ат + I) = ат-" — 1
делится на а" + 1. Если ат~п — 1=0, то m = n, значит, m де-
делится на п, что и требовалось доказать. Если же а~п — 1 ^
^ ап + 1, то из делимости на ап + 1 двух выражений (ат~"—1)
и (а™1-" + а'"-2") следует, что am-!n +1 делится иа а71 + I,
Продолжим этот процесс. Каждый раз будем получать либо
am-hn —1=0, т. е. т = kn (и, значит, т делится на я),
либо am-*n±l^an + l (откуда или m — kn = n и все до-
доказано, или т — kn > n и процесс продолжаем). Так как су-
существует лишь конечное число таких k, для которых m ^
^ (k+ \)n, то дойдем до такого Ао, что ат-Кп— 1 = 0, тогда
т = kon, т. е. т делится на п.
345	(Будаев Виктор, 9 класс). Предположим, что сущест-
существуют строки с одинаковыми числами. Рассмотрим верхнюю из
таких строк, в ней N = М. Начнем двигаться от чисел N и М
вверх по строкам. На каждом шаге из числа либо извлекается
корень квадратный, либо вычитается единица. Очевидно, вна-
вначале над N и М проделали разные операции (иначе в предыду-
предыдущей строке стояли бы равные числа). Итак, над N и М стоят
числа пит такие, что п + 1 = т2. На следующем шаге нз п
не может извлекаться квадратный корень: ведь п + 1 — полный
квадрат, следовательно, п не является полным квадратом. Зна-
Значит, из п вычитается единица. Аналогично из ft — 1 тоже вычи-
вычитается единица, и вообще от2—(т—IJ—1 == 2т — 2 шагов
подряд вычиталась единица. Если за эти 2т — 2 шагов мы не
дойдем до верхней строки таблицы, то ft стоит не ранее, чем
в Bт — 2)-й строке. Число т стоит в строке, номер которой
не больше m — 2; так как пит стоят в одной строке, то
2т — 2 ^ т — 2, что заведомо неверно. Если же за 2т — 2
шага мы дойдем до верха таблицы, то ft — самое правое число
строки, поэтому оно меньше всех остальные чисел этой строки
(при получении которых хотя бы один раз возводили в квад-
108

рат, а при этом натуральные числа, отличные от единицы, уве-
увеличиваются больше, чем на единицу). Значит, п < т, что про-
противоречит тому, что п + 1 = т2. Итак, все числа в каждой
строке различны.
346	(Будаев Виктор, 9 класс). Занумеруем отрезки по поло-
положению их «левых» концов; at— отрезок с самым левым концом
и так далее, соответственно левые концы отрезков обозначим
через Ai, Аг, . ., Л5о- Предположим, что утверждение а) не
имеет места, тогда отрезки ai, аг, ..., Яв не имеют общих то-
точек, поэтому точка Лв не лежит хотя бы на одном из отрезков
ai, ..., пъ Пусть этот отрезок есть ak, он лежит левее Лв. Ана-
Аналогично среди отрезков а&, ав, Яю, ¦ ¦ ¦. аи хотя бы один не со-
содержит точку Аи, значит, лежит левее Аи и правее Л8; обозна-
обозначим этот отрезок через aki Аналогично выберем отрезкиafca, aki,
afts, akti, akj. Эти 7 выбранных отрезков вместе с а50 состав-
составляют совокупность 8 отрезков, не имеющих попарно общих то-
точек. Итак, если не выполнено условие а), то заведомо выпол-
выполнено условие б).
347	(Будаев Виктор, 9 класс). Пусть S,aBx = а. Тогда
х ^ а, — ^а, следовательно, — ^ —, </ <J —, т. е. у +
19	1	9
Ч	^ —. Но у ^	~^а, откуда a <J—, т. е a^V^-
ас*	х	а
Легко проверить, что при х = -\/Я j/ = l/V2 получим
S = V 2, следовательно, а = л] 1.
348	(Будаев Виктор, 10 класс). Так как количество закра-
закрашенных клеток конечно, то их можно поместить в некоторый
квадрат ky^k. Докажем, что не более чем через 2k — 1 пере-
перекрашиваний не останется черных клеток. Действительно, после
первого перекрашивания верхняя правая клетка квадрата ста-
станет белой (так как сверху и справа от нее — белые клетки),
а вне квадрата, очевидно, черные клетки появиться не могут. На
втором шаге станет белой диагональ из двух клеток, стоящая
в правом верхнем углу, и т. д. Итак, при каждом перекрашива-
перекрашивании исчезают черные клетки на одной новой диагонали, но по-
прежнему все черные клетки лежат внутри квадрата. Следова-
Следовательно, через 2k — 1 перекрашиваний все черные клетки заве-
заведомо исчезнут.
349	(Будаев Виктор, 10 класс). Зафиксируем две точки Л и
В из четырех заданных. Они могут быть: а) концами одного
ребра, б) концами одной диагонали грани, в) концами диаго-
диагонали параллелепипеда.
Рассмотрим каждый случай.
а) Г Третья точка С лежит в одной грани с Л и В. Тогда
в этой грани можно построить 2 параллелограмма, для каждого
из которых точка D может быть концом любого ребра, выходя-
выходящего из одной из вершин данной грани к противоположной, зна-
значит, всего можно построить 8 параллелепипедов. 2° Ни одна из
точек С и D не лежит в одной грани с А и В, тогда они лежат
в противоположной грани и CD || АВ, т. е. А, В, С, D лежат в
одной плоскости (в противоречие с условием).
109

б)	АВ— диагональ грани. Iе Если С лежит в одной грани.
с АВ, то возможны 4 параллелепипеда. 2е Если С и D не лежат
в одной грани с АВ, то CD — либо диагональ другой грани,
скрещивающаяся с АВ (тогда строим единственный параллеле-
параллелепипед), либо ребро (и возможны 4 параллелепипеда).
в)	АВ — диагональ параллелепипеда. Тогда С и D лежат
в одной грани либо с А, либо с В, т. е. три из четырех задан-
заданных точек лежат в одной грани. Эту грань можно построить
тремя способами, а четвертая вершина может лежать на одном
ребре с любой из этих трех вершин, поэтому получим 3X4 =
= 12 параллелепипедов.
Таким образом, всего имеется 8 + 4+1+4+ 12 = 29 раз-
различных параллелепипедов.
350. (Будаев Виктор, 10 класс). Наименьший путь равен 64.
Действительно, король делает 64 хода, длина каждого из кото-
которых либо 1, либо V 2, следовательно, длина его пути не меньше
64. (Такой путь легко построить, см. рис. А.)
Можно построить путь длиной 28 + 36 V 2 (см. рис. Б).
Докажем, что не существует путь большей длины. Рассмо-
Рассмотрим любой допустимый путь. Выберем такой участок пути от
клетки А до клетки В, что а) клетки А и В лежат на границе
поля, б) на этом участке пути других граничных клеток нет.
Пусть эти клетки не соседние. Тогда путь А В разбивает поле иа
две части таких, что каждая ломаная, соединяющая клетки из
разных частей, пересекает путь АВ, откуда следует, что обхода
всего поля с таким путем АВ не существует. Следовательно, гра-
граничные поля А и В — обязательно соседние, т. е. разноцветные,
поэтому они соединены отрезком длины 1. Весь путь короля раз-
разбивается на 28 таких участков (так как имеется 28 граничных
полей), значит, имеется не менее 28 ходов длины 1, т. е. путь
короля не длиннее, чем 28 + 36 V 2.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А. А. Леман, Сборник задач московских математических
олимпиад, М., «Просвещение», 1965.
2.	Международные математические олимпиады.
3.	Д. О. Ш к л я р с к и и, А. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Из-
Избранные задачи и теоремы элементарной математики, вы-
выпуски 1, 2, 3, М., «Наука», 1950, 1952, 1954 и более поздние.
4.	И. М. Яглом и В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры,
М., «Наука», 1951.
Б. А. М. Яглом и И. М. Яглом, Неэлементарные задачи в
элементарном изложении, М., «Наука1», 1954.
6.	Е. Б. Д ы и к и н и В. А. Успенский, Математические бе-
беседы, «Наука», 1952.
7.	Д. О. Ш к л я р с к и й, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Яглом, Гео-
Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум,
М., «Наука», 1973.
8.	Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Гео-
Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии, М.,
«Наука», 1974.
9.	Е. Б. Д ы н к и н, С. А. Молчанов, А. Л. Р о з е н т а л ь,
Математические соревнования (Арифметика и алгебра), М.,
«Наука», 1970.
10.	Н. Б. Васильев, С. А. Молчанов, А. Л. Роэеиталь,
А. П. Савин, Математические соревнования (геометрия),
М., «Наука», 1S74.
11.	С. И. Гельфанд, М. Л. Гервер, А. А. Кириллов,
Н. Н. Константинов, А. Г. Кушниреико, Задачи по
элементарной математике, М., «Наука», 1965.
12.	Е. Б. Д ы н к и н, С. А. Молчанов, А. Л. Р о з е н т а л ь,
А. К. Толпыго, Математические задачи, М., «Наука», 1971.

Ирина Леонидовна Бавинская
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
М., 1975 г., 112 стр. с ичл.
Редактор А. Ф. Лапко
Техн. редактор И. В. Коше лева
Корректоры 3. В. Автонеева, Л. Н. Боровина
Сдано в набор 21/1V 1975 г.	Подписано к печати 9/Х 1975 г.
Бумага 84xiO8'/a!i № 1. Физ. печ. л. 3,5. Условн. печ. л. 5,88.
Уч.-нзд. л. 6,48. Тираж 5ЭЭ 000 экз. Цена книги 29 коп. Заказ J* 698
Издательство «Наука»
Гласная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленипградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29