/
Автор: Mirzaahmedov М.А. Alimov Sh.A. Xolmuhamedov O.R.
Теги: algebra matematika matematika masalalari maktab matematikasi 7-sinf
Год: 2009
Текст
SH. A. ALIMOV, O. R. XOLMUHAMEDOV,
M. A. MIRZAAHMEDOV
Umumiy ta’lim maktablarining
7- sinfi uchun darslik
Tuzatilgan 3-nashri
О ‘zbekiston Respublikasi Xalq ta ’limi
vazirligi tasdiqlagan
„O<QITUVCHI“ NASHRIYOT-MATBAAIJODIYUYI
TOSHKENT - 2009
ВВК 22.14 ya 72
Aziz o‘quvchim!
Ona yurtimiz mustaqil 0‘zbekiston jahon ilm-u faniga, madaniyatiga yuzlab
buyuk olimlami, shoirlami, davlat arboblarini, musavvirlarni yetishtirib bergan.
Bilingki, siz ular ezgu ishlarining davomchisisiz!
Yoshlik bilim olish davridir.
AHomalar aytadi: „Yoshlikda olingan bilim toshga bitilgan yozuv kabi o‘chmasdir“.
Algebrani, umuman, matematikani oYganish qunt va izchillikni, ko‘plab masala va
misollami tushunib, idrok qilib yechishni talab etadi. Meni yaxshi oYganib olsangiz,
sizga umibod do‘st bo‘lib qolaman!
Xulq-u odobingiz barkamol, ilmingiz ziyoda bo'lishini istab
Darslikdagi shartli belgilar:
„Algebra" darsligingiz.
— asosiy qoidalar va xossalar.
q — matematik tasdiqni asoslash yoki formulani keltirib
chiqarish boshlandi.
• — asoslash yoki formulani keltirib chiqarish tugadi.
A — masalani yechish boshlandi.
л — masalani yechish tugadi.
U® — qiziqarli masalalar.
ъР— sinov mashqlari.
— asosiy material bo£yicha bilimni tekshirish uchun mustaqil ish.
— tarixiy masalalar.
О — tarixiy ma’lumotlar.
4306020502-26
A--------------
J -------— buyurt.var. — 2009
354(04)-2009
© ,,O‘qituvchi“ NMIU, T., 2005.
© Sh.A. Alimov, O.R. Xolmuhamedov,
M.A. Mirzaahmedov. Barcha huquqlar
himoyalangan, T., 2005.
© „O'qituvchi" NMIU, 3- nashri. T., 2009.
5—6-SINFLARDA O(RGANILGAN MAVZULARNI
TAKRORLASH
Aziz o'quvchi! Siz 5-6- sinflarda natural sonlar, oddiy va o‘nli
kasrlar, ratsional sonlar ustida to‘rt amalga doir misol va masalalami
yechgansiz. 5-6- sinflarda matematikadan olgan bilimlaringizni
yodga solish maqsadida Sizga bir nechta mashqlar taklif etamiz.
1. Amallami bajaring:
1) 101U+4^(10|+3k-6^t
7 2 7 5 \ 3 12 24/
A15,r714\12 6 6 л 1
2> (6 29 +7 29)Л 5-127-37'1 25’
5 1 1 f 1 3 11
12_.71+з1: 6--3-+3- ;
22 3 2
? 3 3 „ 3 10
8 ‘“16 “4
3)
4)
17
3 3 3 f 10 714
4-:2 —-2-- 3—+10— :2-.
2. Amallarni bajaring:
31,2-58,4-27,2.
31,2+58,4-30,2’
2) 28,4-40,3-11,9
28,4+40,3-27,4’
3. Tenglamani yeching:
1 3 „ 1 \
4 “ 4 “ 2 I’
7
17 J 5
2 13
26-47,8+8 —
3) 3 15 .
2 4 2 ’
26—+17 —-25 —
3 5 3
2
4) 8,75-19 j-10,65
2
8,75+19--7,75
5
1) 5x+48:4=20:10+2-10;
3) 4-x+3—-5=7—+18 —;
2 10 13 13
2) 7x+32:2=(72+18):3;
11 4 13
4) 6-x+3--3=ll —+5 —.
2 2 17 17
2 1
4. Ahmad velosipedda soatiga 10- km tezlik bilan 1- soat yol
4 п 1
yurdi. So'ngra soatiga 12- km tezlik bilan 2- soat yo‘l yurdi.
Ahmad jami necha kilometr yo‘l yurgan?
3
5. To'g'ri to'rtburchakning bo'yi 8 sm ga teng. Eni bo'yidan 1,5 sm
qisqa. To'g'ri to'rtburchakning yuzini toping.
6. To'g'ri to'rtburchakning yuzi 20,25 dm2 ga, eni 3,24 dm ga teng.
Shu to‘gcri tohtburchakning perimetrini toping.
7. „Tiko“ rusumli avtomobil 100 km masofaga 5 I benzin sarflaydi.
Bu avtomobil: 50 km; 60 km; 70 km; 80 km; 120 km; 250 km;
360 km yo‘lga qancha benzin sarflaydi?
2
8. Sayyoh yodning qismini - o‘tdi. Hisoblab ko‘rsa, yolning yarmiga
yetishi uchun yana 9 km yurishi kerak ekan. Sayyoh jami necha
kilometr yo‘l yurishni modjallagan?
9. „Matiz“ rusumli avtomobil 100 km masofaga 8 I, „Jiguli“ rusumli
avtomobil esa shuncha masofaga 10 I benzin sarflaydi. Agar har
bir avtomobil bakida 32/ dan benzin bo "Isa, bu yonilgh ular
uchun necha kilometr yolga yetadi?
10. 1) Matoning narxi 20 % pasaytirildi. Ma’lum vaqtdan so'ng, yangi
narx ham 25 % pasaytirildi. Matoning narxi jami necha foiz
kamaygan?
2) Gazlamaning naixi 20 % ortdi. Ma’lum vaqtdan so"ng, yangi
narx ham 25 % ortdi. Gazlamaning narxi jami necha foiz
ortdi?
11. 1- va 2-nav mahsulotlarning birgalikdagi naixi 10 800 so‘m.
Savdogar 1- nav mahsulotni 24 % foydasiga sotib, 7 812 so'mlik
boldi. 2- nav mahsulotidan foyda ko'rmadi: olgan naixiga sota
oldi, xolos. Savdogar natijada jami necha foiz foyda kohdi?
Uning foydasi necha so‘m bo‘lgan?
12. Chinni idishning narxi 200 so'mga arzonlashdi, so'ngra yangi
naix ham 10 % ga arzonlashdi va endi idish 900 so'mdan sotila
boshladi. Idishning dastlabki naixi necha so‘m edi?
13. Tadbirkor 1- va 2- nav mollami sotib, jami 5 400 so‘m foyda
qildi. 1- nav molning naixi 12 000 so‘m edi, tadbirkor uni
15 % foydasiga sotdi. 2- nav moldan 20 % foyda kohdi. 2- nav
molning naixi necha so‘m? Ikkala nav molni sotib, tadbirkor
necha foiz foyda kohgan?
4
14. To‘g‘ ri to'rtburchak asosining uzunligi 20%, balandligi 25% ort-
tirilsa, uning yuzi necha foiz ortadi?
15. To‘g‘ ri to'rtburchak asosining uzunligi 10%, balandligi 20%
kamaytirilsa, uning yuzi necha protsent kamayadi?
16. Amallami bajaring:
1) (-120):((-8)(-3)+12:(-3))-(-48):(-16);
2) (-75)-4-204:(-3)+(-210):(-7);
3) (-20,25): (-3,6)+90,72: (-4,5)-7,5 • 3,2;
4) 5— (-0,95)+2— -(-0,34)-8-:2-.
19 17 7 7
17. Tenglamani yeching:
1) 3x4-2%=17+(-27); 3) l,3x-3,5x=ll-(-0,5);
2) 6x-7x=3,5(-1)4-4; 4) 4х-2|х=з|:(-2).
18. 5 ta sonning o'rta arifmetigi 18,4 ga teng. Bu sonlarga yana bitta son
qo'shib, o'rta arifmetik qiymat hisoblangan edi, u 20 ga teng chiq-
di. Qo'shilgan sonni toping.
19. Karim ota 90 yoshda. Uning nabiralarining ohtacha yoshi 20 da.
Nabiralar yoshlariga Karim ota yoshini ham qo'shib, o'rta arifmetik
qiymat hisoblangan edi, u 22 ga teng chiqdi. Karim otaning nechta
nabirasi bor?
20. Avtomobil 72 km/soat tezlik bilan 3,5 soat, 60 km/soat tezlik
bilan 2,5 soat yurdi. Avtomobil jami necha kilometr yo‘l yurgan?
Uning ohtacha tezligini toping.
21. Proporsiyaning noma’lum hadini toping:
1) 3,5:x=2,4:4,8; 3) 7,2:2,4=x:4-;
1 2 1 3
2) x:2±=9,2:2,3; 4) 4-:2-=3,2:x.
5
;][ BOB
/ ,
l-§/ /sinhi! ifodalar П П ! I I I I ! j I________________'_
///////Г/ 1 1 I I |
Algebra so'zi buyuk o'zbek matematigi va astronomi, vatandoshimiz
Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiyning „Kitob al-
muxtasar fi hisob al-jabr val-muqobala“ („Al-jabr val-muqobala“)
asaridagi al-jabr (lotinchasiga algebra) so‘zidan olingan. Bu asarda al-
Xorazmiy dunyoda birinchi marta algebra fanini izchillik bilan bayon
qilgan.
Algebraning asosiy masalasi algebraik ifodalar ustida matematik
amallarni ohganishdir. Algebraik ifodalarning eng sodda ko'rinishi
bodgan sonli ifodalar V—VI sinf matematika kurslarida qaralgan edi.
Sonli ifoda sonlardan tuzilib, amallar belgilari bilan birlashtirilgan
yozuv ekanligini eslatib ohamiz. Masalan,
2-3+7; 10:2-3; 4'0,5+-; i--
5 3 2
yozuvlar sonli ifodalardir.
Г!A] Sonli ifodaning qiymati deb, shu sonli ifodada ko‘rsatilgan
i—_J amallarni bajarish natijasida hosil bo‘lgan sonni aytiladi.
Masalan, 2-3 + 7 sonli ifodaning qiymati 13 soni, sonli
ifodaning qiymati -7 sonidir.
6
p-pu Sonli ifoda bitta sondan iborat bolishi ham mumkin. Uning
ГИ qiymati shu sonning o‘zi bo‘ladi.
Ba’zan sonli ifodada sonlar va amallar belgilaridan tashqari
amallarning ma’lum tartibda bajarilishini ko‘rsatuvchi qavslardan
foydalaniladi. Masalan,
(2,5+3,5)-2,l
6
Abu Abdulloh Muhammad Ibn Muso al-Xorazmiy
(783—850) buyuk o(zbek matematigi
va astronomi.
sonli ifodaning qiymatini hisoblashda avval qavs ichidagi qo‘shish
amali, keyin ko'paytirish amali bajariladi.
(2,5 + 3,5) • 2,1 ifodaning qiymatini hisoblab, 12,6 sonini hosil
qilamiz. Shuning uchun
(2,5+ 3,5)-2,1 = 12,6
tenglikni yozish mumkin.
belgisi bi Ian birlashtirilgan ikkita sonli ifoda sonli tenglikni
tashkil qiladi.
Agar tenglikning chap va o‘ng qismlarining qiymatlari bir xil
son bo‘lsa, и holda tenglik to‘g‘ri tenglik deyiladi.
Masalan, ^-^=8-1 to‘gcri tenglik, chunki uning ikkala qismining
, • <7 2 • .
ham qiymati 7 somga teng.
Sonli ifodalar va sonli tengliklardan, hisoblashlar bilan bir qatorda,
sonlaming xossalarini yozishda ham foydalaniladi.
3 6
Masalan, -=- tenglik kasrlaming asosiy xossasini, 35 + 21 = 21 +
+ 35 tenglik esa qo'shishning o'rin almashtirish qonunini ifodalaydi.
Endi 6 + 12-3 sonli ifodani qaraylik. 6 + 12-3 = 6 + 36 = 42 dan
iborat bolgan to‘gcri natija amallarni qabul qilingan bajarish tarti-
biga rioya qilingan holdagina hosil bo‘ladi.
Agar qabul qilingan hisoblash tartibi buzilsa va awal 6 bilan 12 ni
qo'shib, so'ngra 3 ga ko'paytirilsa, u holda 54 dan iborat noto'g'ri
natija hosil qilinadi. Bu natija dastlabki ifoda
(6+12) -3
kabi yozilsa to'g'ri bo‘lar edi.
7
Demak, hisoblashning to‘gcriligi sonli ifodadagi amallaming ba-
jarilish tartibiga bogdiq ekan.
Sonlar ustida amallaming bajarilish tartibi algebraik ifodalarning
son qiymatlarini topishga oid masalalami bajarishda ham saqlanib qoladi.
Qo'shish va ayirish birinchi bosqich amallar, ko'paytirish va bo dish
esa ikkinchi bosqich amallar deyilishini eslatib odamiz. Kvadrat va
kubga ко Parish uchunchi bosqich amallar deyiladi.
Sonli ifodaning son qiymatini topishda amallar bajarilishining
quyidagi tartibi qabul qilingan:
[ !jl V Agw ifodada qavslar bolmasa, и holda avval uchinchi bos-
—qich amallar, keyin ikkinchi bosqich amallar va, nihoyat, birinchi
bosqich amallar bajariladi, shu bilan birga, bir xil bosqich amallar
ular qanday tartibda yozilgan bo‘lsa, xuddi shu tartibda bajariladi.
Masalan,
3.52.4-5.4+7 = 3.25-4-5-4+7=300-20+7=280+7=287.
7T7|
____
2) Agar ifodada qavslar bo‘lsa, и holda avval qavslar ichidagi
sonlar ustida barcha amallar, so‘ngra esa qolgan barcha amallar
bajariladi, bunda qavs ichidagi va undan tashqaridagi barcha
amallar 1-bandda ko‘rsatilgan tartibda bajariladi.
Masalan,
(23-4-5)-6 + (2 + 2-4) = (8-4-5)-6 + (2 + 2-4) =
= (32-5)-6 + (2 + 8) = 27-6 + 10 = 162 + 10 = 172.
7TJ1 3) Agar kasrning qiymati hisoblanadigan bo‘lsa, и holda
ши kasrning suratidagi va maxrajidagi amallar bajariladi, so‘ngra
birinchi natija ikkinchisiga bo‘linadi.
Masalan,
2-33-3-5 _ 2-27-3-5 _ 54-15 _ 39 _ 1 11
3 + 52 ” 3 + 25 ” 28 ~ 28 ~ 28'
И
4) Agar ifodada qavslar ichida boshqa qavslar bo‘lsa, и hol-
da avval eng ichkaridagi qavslar ichidagi amallar bajariladi.
Masalan,
2 (8-(52-4)) = 2 (8-(25-4)) = 2 (8-21) = 2 (-13) = -26.
8 1
1. Amallarni bajaring:
1) 2,17+ (3,2-0,17);
Mashq lar
7 ( i A
2) 9,49-(1,5+ 0,99); 4) 6-- 3,14-2-
8 I 8 J
2. Sonli ifodaning qiymatini toping:
a+ n Г1-Д
<2_3>| <2__J_\
J Д
3. Qiymati: 1) 8; 2) 0; 3) 1; 4) —14 ga teng bir nechta sonli ifoda
yozing.
4. Tenglik to'g'rimi:
12 5-4 1
1) ^--^ = l,7 + 0,4;
4
2,13 + 4,33 .511
3) ------— = 1—+-+-;
7 7,58-4,35 12 3 4
2) 0,75 °45 =0,15 + 0,25;
7 2
8,92-6,61 nl 1 l0
4) ---------= 2----------?
7 5,38-1,55 9 2 3
Sonli tenglik shaklida yozing (5—6):
11 2 2
5. 1) - va - sonlarining yigrindisi - va — sonlarining ayirmasiga
teng;
2) 40 va 0,03 sonlarining ko'paytmasi 6 sonini 5 ga bodinmasiga teng.
6. 1) 10 va -2 sonlari ayirmasining ikkilangani shu sonlar yighndisidan
uch marta katta;
2) 2 va 6 sonlari yighndisining uchlangani shu sonlar ko'payt-
masidan ikki marta ortiq.
7. Amallar tartibini ko‘rsating va hisoblang:
2 nV
1) l,7-32+ --12-15; 3) 48-0,05- - -54 + 1,7;
у qj
2) 27,7-1| 100+6,4:0,8; 4) (2,5)2+15---0,24:0,6.
. 2 j 5
9
8. Sonli ifodaning qiymatini toping:
9. Amallarni bajaring:
0,3 • 52-15 .
3,5 + 22 ’
4,2:6-3--0,3
2) ---------2----
7,5: 0,5
3) 13|-(18,l-(32+6,l));
4) ((7,8:0,3-33) + 3,l):0,7.
2-§ > Algebraik ifodalar
i
Quyidagi masalani qaraymiz.
1 - m a s a 1 a. Biror son o'ylang, uni 3 ga ko'pay tiring, hosil bodgan
natijaga 6 ni qo'shing, topilgan yigrindini 3 ga boding va o'ylangan sonni
ayiring. Qanday son hosil boriadi?
Л Aytaylik, o'ylangan son 8 bohsin. Barcha amallarni masala shartida
ko‘rsatilgan tartibda bajaramiz:
1 ) 8 • 3 = 24; 2) 24 + 6 = 30; 3) 30 : 3 = 10; 4) 10 - 8 = 2.
2 soni hosil bohdi.
Bu yechimni qiymati 2 ga teng borigan (8 • 3 + 6): 3 - 8 sonli ifoda
shaklida yozish mumkin.
Bordi-yu, agar 5 soni o'ylangan bo Isa, u holda qiymati yana 2 ga
teng borigan (5-3 + 6):3 -5 sonli ifoda hosil qilingan bo‘lar edi.
Biz qanday sonni o'ylamaylik, natijada 2 soni hosil bohaverar
ekan-da, degan faraz tugriladi. Buni tekshirib kohamiz. 0‘ylangan sonni
a harfi bilan belgilaymiz va amallarni yana masala shartida ko‘rsatilgan
tartibda yozamiz:
(a ' 3 + 6): 3 - a.
Arifmetik amallarning bizga ma’lum borigan xossalaridan foydalanib,
bu ifodani soddalashtiramiz:
(a-3 + 6):3-a = a + 2-a = 2. д
10
Masalani yechishda istagan sonni bildiruvchi a harfi, 3 va 6 sonlari,
amallar belgilari va qavslardan iborat
(a-3 + 6): 3-a
ifoda hosil qilindi. Bu algebraik ifodaga misoldir.
Yana algebraik ifodalarga misollar keltiramiz:
2(m + n), 3a + 2ab-7, (a + b)(a- b),
Tfq Algebraik ifoda sonlar va harflardan tuzilib, amallar belgilari
* I bilan birlashtirilgan ifodadir.
Agar algebraik ifodagakirgan harflar o'rnigabiror sonni qo'yilsa
va ko'rsatilgan amallar bajarilsa, u holda natijada hosil qilingan
sonni berilgan algebraik ifodaning son qiymati deyiladi.
Masalan, а =2, b = 3 bodganda
3a + 2b-7
algebraik ifodaning qiymati 5 ga teng, chunki 3-2 + 23 — 7 = 5; shu
algebraik ifodaning qiymati a = 1; Z> = 0 bodganda -4 ga teng, chunki
3-1 + 20-7 = -4.
a ning istalgan qiymatida
(a-3 + 6): 3-a
algebraik ifodaning qiymati 2 ga teng.
2-masala. ifodaningqiymatini a = 10, b = 5 bodganda
toping.
(3-10 + 7)-5 37-5 o_
Д------------=-----= 37. ▲
10-5 5
Mas h qIa r
10. Algebraik ifodaning qiymatini toping:
1) 3a-2b, bunda ri = -, b = 1; 3) 0,25я-4с2, bunda a = 4, c = 3;
( 1
2) 2a + 3b, bunda a = 3, b = -2; 4) 2л2--Z> , bunda a = 2, b = 9.
з
11. Algebraik ifodaning qiymatini toping:
1 3
1) bunda x = 8,y = -14;
2 4
2) + bunda x = 9, у = -10;
3) bunda я = 4, /? = -2;
' a+3b ’ ’
.. a + 3c , .
4)-------, bunda a = 3, c = -l.
2a- c
12. Neft quvuridan 1 soatda 7 t neft oqadi, m soatda quvurdan necha
tonna neft oqib o'tadi? Bir sutkada-chi?
13. 1) m soatda; 2) p sekundda; 3) m soat I minut va p sekundda necha
minut bor?
14. x va у sonlar ayirmasining uchlanganini yozing. Shu ifodaning:
1) x = -0,37, у = -0,42; 2) x = -2,98, у = -4,48;
5 9 2
3) x = -~, y = -~; 4) x = —, y = -0,7
6 4 15
bolgandagi son qiymatini toping.
15. x va у sonlar yighndisi bilan ular ayirmasining ko'paytmasini yozing.
Hosil bolgan algebraik ifodaning:
1 1 5 3
D ^ = 4! 2) x=--,y = ~;
3) x = 0,15, y = -0,75; 4) x = l,32, y = -l,28
bodgandagi son qiymatini toping.
Algebraik ifodalaming son qiymatini toping (16—17):
_ 2mn(n + k) , 7 1 1
16. 1) —, bunda m = k = -, n = ~;
' n-k ’ 3 2
(3/2+ 1)-2/2 1 1 . .
2) -j— + ~ bunda P = ~, 1 = 1-
7 p-l 3’ з
17.1) bunda x = 8,31; у = 2,29; p = 2,01; о = 2;
2/2 + 2
2) bunda A = |; c = 6; q = \, m=1-.
Л , 4 1 з 2 5
12
Toq son formulasi n=2k + 1 dan foydalanib, Zc = O, 1, £=7,
k= 10 bodganda n ning qiymatini toping.
19. Algebraik ifoda shaklida yozing:
1) kichigi n ga teng bodgan ikkita ketma-ket natural sonning
yigfindisi; 2) kattasi m ga teng bodgan ikkita ketma-ket natural
sonning ko'paytmasi; 3) kichigi 2k ga teng bofigan uchta ketma-ket
juft natural sonning yigfindisi; 4) kichigi 2p + 1 ga teng bofigan
uchta ketma-ket toq natural sonning ko'paytmasi.
20. Shakllaming perimetri va yuzini algebraik ifoda shaklida yozing (1-
rasm):
21. Uyni isitish uchun p tonna ko'mir g'amlandi; shu zaxiradan q tonna sarf
qilindi. Necha tonna ko'mir qoldi? 1)p = 20, q = 15 boUganda hisoblang.
2) q son p sondan katta bolishi mumkinmi? p ga teng bolishi-chi?
22. Kurash musobaqasida har biri 400 so'mdan n ta chipta va har biri
500 so'mdan m ta chipta sotildi. Hamma chiptalar uchun qancha
pul olingan? n = 200, m = 150; n = 100, m = 230 bofiganda hisoblang.
23. Bitta albomning bahosi 200 so‘m, bitta daftarning bahosi 40 so‘m,
bitta ruchkaning bahosi 60 so‘m. c ta albom, a ta daftar va b ta
ruchkaning umumiy (so'mlardagi) bahosini p harfi bilan belgilab,
uni formula shaklida yozing. Agar c = 9, a = 21, Z> = 4 bo"Isa, bu
formula bo'yicha p ni hisoblang.
24. Issiqlik uzatish stansiyasi uchun mofijallangan gaz quvuri orqali
har minutda 26 kub metr gaz o'tadi. 5 sutkada; m sutkada
quvurdan necha kub metr gaz o'tadi?
25. Geologlar o‘z yo'nalishi bo'yicha harakat qilib, otda soatiga c
kilometr tezlik bilan 3 soat-u 10 minut yurishdi; oqimining
tezligi soatiga a kilometr bofigan daiyoda oqim bo'yicha 1 soat-u
40 minut solda suzishdi va soatiga b kilometr tezlik bilan 2 soat-u
30 minut piyoda yurishdi. Yo'nalishning (km lardagi) uzunligini
s' harfi bilan belgi-lab, geologlar bosib o‘tgan yo‘l formulasini
yozing. Agar a = 3,3 km/soat, b = 5,7 km/soat, c = 10,5 km/soat
bofisa, yo'nalishning uzunligini hisoblang.
--------/-------------------------------------------------------
3- § i Algebraik tengliklar, formulalar
/
Ko'pgina amaliy masalalami yechishda sonlami belgilash uchun
harflardan foydalanish qulaydir.
Masalan, agar a va b to‘g‘ri tohtburchak tomonlarining uzunliklari
bo"Isa, u holda cr b — uning yuzi, 2 • (a + b) — uning perimetri. Bu
yerda a va b harflari bilan musbat sonlar — to‘gcri toYtburchak
tomonlarining uzunliklari belgilangan. Agar to‘gcri to'rtburchak yuzini
S harfi bilan, perimetrini esa P bilan belgilasak, u holda quyidagi
formulalami hosil qilamiz:
S= a • b, P=2 ‘ (a + b).
Agar tomonlar uzunliklari santimetrlarda ofichangan bo"Isa, u holda
Yyuz kvadrat santimetrlarda, Pperimetr esa santimetrlarda ifodalanadi.
Yozuvni qisqartirish uchun ko'paytirish belgisi „nuqta“ ко "pineha
tushirib qoldiriladi. Masalan, S=ab, P=2(a +b) deb yoziladi.
Harflar bilan, shuningdek, tenglamalardagi noma’lum sonlar ham
belgilanadi. Masalan:
x+ 12,3 = 95,1
tenglamadagi noma’lum son x harfi bilan belgilangan,
2y + 3 = 7
tenglamadagi noma’lum son esa у harfi bilan belgilangan.
Harflar bilan arifmetik amallar qonunlari va xossalarini yozish
ham qulaydir. Masalan:
a-(b+ c) = (a-b)-c = a-b-c, (1)
(a + b)- c = a-c+ b-c, (2)
(a + b): c = a: c + b: c. (3)
14
XVI asrning taniqli matematigi Fransua Viyet
(1540—1603) algebraga harfiy simvolikani
kiritishning asoschisi hisoblanadi.
Algebrada birgina harfning o‘zi har xil sonli qiymatlar qabul qilishi
mumkin. Jumladan, (1) va (2) tengliklarda a, b, c — ixtiyoriy sonlar;
(3) tenglikda esa a, b — istalgan sonlar, lekin с Ф 0, chunki nolga
boftish mumkin emas.
Harflar yordamida juft va toq natural sonlar formulasini yozish mumkin.
Agar a juft son boftsa, u holda bu son 2 ga boftinadi va uni bunday
yozish mumkin:
a = 2«,
bu yerda n — natural son.
Agar b toq son bo Isa, u holda uni 2 ga boftgandagi qoldiq 1 ga
teng, binobarin, b sonni bunday yozish mumkin:
b = 2n + 1,
bu yerda n — natural son yoki nol.
Ba’zan, toq natural sonlar formulasini quyidagicha ham yozishadi:
b = 2k-l,
bu yerda k — natural son.
Harflardan foydalanish bir xil toifadagi ko'pgina masalalami yechish
yoftini yozishga imkon beradi. Shunga doir masalalar qaraylik.
1 - m a s al a. Fermeming bog" maydoni to'g'ri to'rtburchak shak-
lida bo"lib, uning bo'yi a kilometrga, eni esa b kilometrga teng. Yangi
yer o'zlashtirilgandan keyin may donning yuzi 0,88 km2 ga ortdi.
Bog" maydonining yuzi qancha boftdi? Hisoblashlami 1) a = 2,2 va
Z> = 0,8; 2) a = 1,4 va 6 = 4,3 uchun bajaring.
A Dastlab bog'ning yuzi a • b km2 ga teng edi, yangi yer ochilgandan
keyin u (ab + 0,88)km2 ga teng bo‘ldi.
15
1) a = 2,2 va Z> = 0,8 bo Uganda, 2,2-0,8 + 0,88 = 2,64.
2) a = 1,4 va b = 4,3 bodganda, 1,4-4,3 + 0,88 = 6,9. ▲
2 - m a s a 1 a. Sayyoh qishloqdan chiqib, shahar tomon jo'nadi. U
a kilometr piyoda yurganidan keyin avtobusga o'tirdi va avtobusda t
soatda shaharga yetib keldi. Agar avtobus 60 km/soat tezlik bilan hara-
kat qilgan bo‘lsa: 1) a =5 va /=0,5 bolganda qishloq bilan shahar
orasidagi s masofani hisoblang; 2) ^=70, a = 10 bodganda t ni toping.
Д Sayyoh avtobusda / soatda 60 / kilometr yo‘l bosgan. Shuning uchun
qishloq bilan shahar orasidagi masofa
s= a + 60/
formula bilan ifodalanadi.
1) a = 5 va /=0,5 bodganda, s = 5 + 60 • 0,5 = 35 km boladi;
2) s,= a + 60/ formuladan / ni topamiz: / = -—-. Bu yerdan s, = 70,
a = 10 bodganda, /= (70 - 10) : 60 = 1 soat. д
M a s h q I a r
26. Yozing:
1) m va n sonlaming yighndisini;
2) a va b sonlaming ayirmasini;
3) a va b sonlar ayirmasining ikkilanganini;
4) m va n sonlar ko'paytmasining ikkilanganini;
5) n va m sonlar yighndisining ular ayirmasiga bolinmasini;
6) a va b sonlar yighndisining ular ayirmasiga ko'paytmasini.
27. Quyidagi ifodalarda harflar qanday sonlami ifodalashi mumkin:
1) tanaffus n minut davom etadi;
2) sinfimizda у nafar o'quvchi bor;
3) VII sinfda x ta o'quv fani o'qitiladi;
4) bir oyda к kun bor?
28. Yeming sun’iy yoddoshi 9 km/s tezlik bilan harakat qiladi. Ushbu
jadvalni toddiring:
Bosib ohilgan masofa, km 45 000 1 350 000
Harakat vaqti, s
16
29. „Matiz“ avtomobili 100 km yo‘lga a litr yonilgd sarf qiladi. Ushbu
jadvalni toddiring:
Bosib odilgan masofa, km 300 800 1000 s
Yonilgb sarfi, I 5a 4a
30. Birinchi qopda m kilogramm, ikkinchi qopda esa birinchi qopdagi-
dan n kilogramm kam un bor. Ikkinchi qopda necha kilogramm un
bor? Masalani 1) /72=50 va «=12; 2) /72 = 45 va «=15 hollar
uchun yeching.
31. Piyoda 1 soatda 5 km yo‘l bosadi. U: 1) 3 soatda necha kilometr yo‘l
bosadi? 2) к soatda-chi?
32. Do'konga har birida 50 kg dan un bodgan a ta qop keltirildi.
Do'konga necha kilogramm un keltirilgan?
33. Bog'bonlar 1 kunda 15 gektar bog'ga ishlov berishdi. Ular a kunda
necha gektar bog'ga ishlov berishadi?
34. Har biri x so'mdan 6 ta daftar va har biri у so'mdan 3 o‘ram qog'oz
sotib olindi. Hamma xarid qancha turadi?
35. Yuk mashinasi do'konga ombordan har biri a kilogrammdan 15
yashik olxohi va har biri b kilogrammdan 20 yashik olma keltirdi.
Do'konga necha kilogramm meva keltirilgan?
36. Mashinaga har biri m kilogrammdan к qop bug'doy va har biri n
kilogrammdan c qop aipa yuklandi. Mashinaga necha kilogramm
don yuklangan?
37. To'g'ri to'rtburchak shaklidagi tajriba maydonining bo'yi a metr-
ga teng, eni esa bo'yidan b metr qisqa. Shu maydonning yuzi S
ning formulasini yozing.
38. Kinoteatrda har biri n ta o'rindiqqa ega bolgan m ta qator va yana
к ta qo'shimcha ohindiq bor. Kinoteatrda hammasi bo dib nechta
o'rindiq bor? Masalani yechish formulasini tuzing va m = 30, n = 25,
к =60 bodganda hisoblashlarni bajaring.
39. Dars jadvalida 5 ta dars, ikkita 15 minutlik va ikkita 10 minutlik
tanaffus bodgan kuni o'quvchi maktabda necha soat bodadi?
(1 dars — 45 minut).
2 — Algebra, 7 - sinf
17
40. 0‘lchamlari 2- rasmda kohsatilgan shakllarning perimetrlarini va
yuzlarini hisoblash uchun formulalar yozing:
2- rasm
41. To‘g‘ri tohtburchakning bo'yi kvadratning tomonidan 8 m uzun,
eni esa shu kvadrat tomonidan 4 m qisqa. Kvadrat tomonini biror
harf bilan belgilab, to‘gcri to'rtburchak uchun:
1) tomonlaming uzunligini; 2) perimetrini; 3) yuzini yozing.
42. Avtobus t soatda s kilometr yo‘l bosadi. Avtomobil xuddi shu
yo‘lni avtobusdan 1 soat oldin bosib o‘tishi uchun qanday tezlikka
ega bodishi kerak?
43. x=2fl + 3Z> (km) formula avtobusning harakati haqidagi masala
yechilishini bildiradi. Masala shartini tuzing.
44. Maktab tajriba maydoni a kvadrat metr yuzga ega. Bog" yuzi 1500
m2 bolgan joyni egallagan, qolgan maydon 20 ta bir xil maydonchaga
bolingan. Shu maydonchalaming har biri qanday yuzga ega?
45. Bankka 50 000 so‘m pul qo'yildi. Bir yildan so'ng jamg'aima p %
ko'paydi. Bir yildan keyin jamg'armaning miqdori necha so'mga yetdi?
46. Asosi a detsimetr, perimetri esa 42 dm bo‘lgan to'g'ri to'rtburchakning
yuzini hisoblash uchun ifoda tuzing. a ning ushbu jadvalda keltirilgan
18
qiymatlari uchun to‘gcri to'rtburchak yuzi S ning qiymatini (dm2
larda) hisoblang:
a 5 6 7,5 10 12 12,5 15
S
у Faqat 4 ta 9 va arifmetik amal belgilari yordamida qiymati
100 ga teng bolgan sonli ifoda fuzing.
47. Velosipedchi soatiga v kilometr tezlik bilan harakat qilmoqda. U
jo'nash joyidan s kilometr uzoqlikda bodgan qishloqqa borishi
kerak. Agar u 3 km yolni bosib o‘tgan bo "Isa, unga qishloqqa yetib
borishi uchun yana qancha vaqt talab qilinadi? Agar u 3 km yurgan
va s = 36, v = 12 bo Isa, qishloqqa 2,5 soatda yetib bora oladimi?
48. „Tiko“ rusumli avtomobil 100 km yo‘lga o'rtacha 5 /, „Jiguli“ rusumli
avtomobil esa 100 km yolga o'rtacha 10 I benzin sarflaydi. Har bir
avtomobil bakida a I benzin bodsa, ular qanday masofaga bora oladi?
Agar a = 20 I va avtomobillar Toshkentdan bir vaqtda Samarqandga
qarab yolga chiqishgan bolsa, qaysi mashina Samarqandga yetib kela
oladi? (Toshkent va Samarqand orasidagi masofa 300 km).
--------/------------------------------------------------------
§ / Arifmetik amallaming xossalari
I
Algebrani puxta ohganish uchun arifmetik amallaming xossalarini
yaxshi bilish lozim. Eslatib ohaylik, arifmetik amallar deb qo'shish,
ayirish, ko'paytirish va bodish amallarini aytiladi. Sonlar ustidagi bu
amallaming xossalarini qisqacha formulalar kohinishida yozamiz.
Amallaming asosiy xossalari odatda qonunlar deb ataladi. Qonunlardan
foydalanib, amallaming boshqa xossalarini ham asoslash mumkin.
1. Qo‘shish va ко‘paytirish.
Qo'shish va ko'paytirishning asosiy qonunlarini sanab ohamiz.
1. O‘rin almashtirish qonuni:
a + b = b + a, ab=ba.
19
2. Guruhlash qonuni:
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
3. Taqsimot qonuni:
a(b + c) = ab + ас. I
Bu tengliklarda a, b, c — ixtiyoriy sonlar. Masalan,
1,2 + 3,5 = 3,5 + 1,2;
4 7Д 7/4’
(-8) -(125 + 7) = (-8) • 125 + (-8) • 7.
Qo'shish va ko'paytirish qonunlari yordamida amallaming boshqa
xossalarini ham hosil qilish mumkin. Masalan:
a + b + c + d = a + (b + c + d), (abc)d = (л/?)(с^),
(й + b + c)d = ad + bd + cd.
1-masala. Hisoblang: 75 + 37 + 25+ 13.
Д Hisoblashlarni kohsatilgan tartibda olib borish mumkin: 75 ga 37
ni qo'shib, natijaga 25 ni qo'shish va oxirgi natijaga 13 ni qo'shish. Lekin
qo'shishning xossalaridan foydalanib, hisoblashlarni soddalashtirish
mumkin:
75 + 37 + 25 + 13 = (75+ 25)+ (37+ 13) = 100 + 50 = 150. ▲
Bu misol shuni kohsatadiki, amallarning xossalaridan foydalanib,
hisoblashlarni eng sodda (oqilona) usulda bajarish mumkin.
Amallarning xossalari algebraik ifodalami soddalashtirish maqsadida
bajariladigan almashtirishlarda ham qollaniladi.
2 - m a s a 1 a. Ifodani soddalashtiring:
3(2a + 4/>) + 5(7a + />).
Д 3(2a + 4Z>) + 5(7 a + b) = 3 • 2a + 3 • 4b + 5 • la + 5 • b = 6a + 12Z> + 35я + 5b =
= (6a + 35a) + (1 lb + 5b) = (6 + 35)a + (12 + 5)b = 41 a +17b. a
Bu masalani yechish jarayonida quyidagi ifoda hosil boldi:
6a+12Z> + 35<s + 5Z>.
20
Bu ifodada 6a va 35 a qo'shiluvchilar o'xshashdir, chunki ular bir-
biridan faqat koeffitsiyentlari bilangina farq qiladi. 12 b va 5 b qo'shi-
luvchilar ham o'xshash. Shu sababli 6a + 12b + 35^ + 5b ifoda o'miga
41 й + 17b ifodani yozish, ya’ni o'xshash hadlami ixchamlash mumkin
bo‘ladi.
Oraliq hisoblashlarni og'zaki bajarib, almashtirishlar yozuvini
qisqartirish mumkin. Masalan,
6(3x + 4) + 2(x +1) = 18x + 24 + 2x + 2 = 20x + 26.
2. Ayirish.
3 - m a s a 1 a. Toshkent va Samarqand shaharlari orasida Jizzax shahri
joylashgan. Toshkentdan Samarqandgacha bodgan masofa 300 km,
Toshkentdan Jizzaxgacha bodgan masofa esa 180 km. Jizzaxdan
Samarqandgacha bolgan masofani toping.
A Jizzaxdan Samarqandgacha bolgan masofa x kilometr bolsin. U
holda
180 + x = 300, bu yerdan x = 300-180 = 120.
Javob. 120 km. ▲
180 + x = 300 tenglikdan x qo'shish amaliga teskari deb ataluvchi
ayirish amali yordamida topiladi.
mumkin:
Ayirishni qarama-qarshi sonni qo‘shish bilan almashtihsh
a-b = a + (-b).
Shu sababli ayirish amalining xossalarini qo'shish amalining
xossalari orqali asoslash mumkin. Masalan:
251 + (49-13) = 251 + 49-13 = 287,
123 - (23 + 39) = 123 - 23 - 39 = 61,
123-(83-77) = 123-83 + 77 = 117,
a + (b - c) = a + b - c,
a-(b + c) = a-b-c,
a-(b-c) = a-b + c.
4 - m a s a 1 a. Ifodaning qiymatini hisoblang:
4(3x-5y) + 6(x-y),
bunda x = -, у = —.
2 13
A Awal berilgan ifodani soddalashtiramiz:
4(3x - 5y) + 6(x - y) = 12x - 20y + 6x - 6y = 18x - 26y.
21
Hosil bo'lgan ifodaning x = -, = Тз Qiymatini hisoblaymiz:
18-1-26 — = 9-2 = 7. ▲
2 13
Shunday qilib, amallaming xossalaridan foydalanish algeb-
raik ifodani avval soddalashtirib, so‘ngra uning qiymatini oson
yo‘l bilan hisoblash imkonini beradi.
3. BoHish.
5 - m a s a 1 a. To'g'ri tohtburchakning yuzi 380 sm2, tomonlaridan
biri 95 sm. To'g'ri tohtburchakning ikkinchi tomoni uzunligini to-
ping. 5
&S=ab formuladan b = — ni topamiz. 5=380, a = 95 bodgani
uchun
I JOV л
b = — = 4.
т к л 95
J avob. 4sm. ▲
ab = S tenglikdan b ko'paytirish amaliga teskari deb ataluvchi boc-
lish amali yordamida topiladi.
7T~1 Bolish boluvchiga teskari bolgan songa ko‘paytirish bilan
*—— almashtirilishi mumkin:
Shu sababli bodishning xossalarini ko'paytirishning xossalaridan
keltirib chiqarish mumkin.
6 - m a s a 1 a. Tenglikni isbotlang:
а + b _ a b
c c c ’
bu yerda с Ф 0.
Д Bodishni ko'paytirish bilan almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:
а + b , , ч 1
----= (a + /?)•-.
c c
Taqsimot qonunini qodlab,
/ n 1 1 l 1
(q + b)- = a—h b-
c c c
22
ni topamiz. Ko'paytirishni bo'lish bilan almashtirib,
1 , 1 a b
a-+b-=-+-
c c c c
ni hosil qilamiz. a
Ma s h q I a r _ _ _
49. Arifmetik amallar qonunlari va xossalarini qo'llab, sonli ifodaning
qiymatini toping:
1) 29-0,45 + 0,45-11;
2) (51,8 + 44,3+48,2-24,3)+;
3) 4,07-5,49 + 8,93-1,51;
4) -11,401-23,17 + 4,401-10,83.
50. O'xshash hadlami ixchamlang:
1) 4a + 2b + a-b; 3) 0,lc-0,3 + rf-c-2,lrf;
1 2
2) x-2y-3x + 5y; 4) 8,7-2m + n--m + -n.
51. O'xshash hadlami ixchamlang:
5 112
1) 2,3(2-0,712 + 3,6(2-1; 4) -y--b--y + -b-3;
2) 0,486 + 3 + 0,526-3,76; 5) 2tlm + n-3t2n + 2m + ltlm-n;
1 1 1 5 ~
3) -x + -x--(2--(2 + 2; 6) 5,7p-2,7g+0,3p+0,8(? + l,9g-p
3 2 6 6
52. Ifodani soddalashtiring:
1) 3(2x + l) + 5(l + 3x); 3) 10(лг + m)-4(2m + 7ri);
2) 4(2 + x)-3(l + x); 4) ll(5c + d) + 3(d + c).
53. Ifodani soddalashtiring va son qiymatini toping:
1) 5(3x-7) + 2(l-x), bunda x = ^-;
2) 7(10-x) + 3(2x-l), bunda x =-0,048;
23
3) |(6x-3) + |-(5x-15), bunda x = 3,01;
4) 0,01(2,2x-0,l) + 0,l(x-100), bunda x = -10.
54. Arifmetik amallarning xossalaridan foydalanib hisoblang:
1) 1(0,14 + 2,1-3,5); 3) (181+21|): 3;
2) (4,8-0,24-1,2); 4) (I5I + 20 + +
12 7 16 5
--------j---------------------------------------------------
5- § / Qavslarni ochish qoidalari
i
1. Algebraik yig6indi.
1 - m a s a 1 a. Yigirma qavatli binoda lift ishlamoqda. U 8-qavatdan
6 qavat pastga tushdi, so'ngra 12 qavat yuqoriga ko'tarildi. 4 qavat pastga
tushdi. 7 qavat yuqoriga koharildi. 13 qavat pastga tushdi. Lift qaysi
qavatda turibdi?
A Liftning qaysi qavatda turganligini topish uchun 8-6 + 12-4 +
+ 7—13 ifodaning qiymatini hisoblash kerak. Bu qiymat 4 ga teng.
Demak, lift 4- qavatda turibdi. A
Siz VI sinf matematika kursidan
8-6 + 12-4 + 7-13
ifoda algebraik yighndi deb atalishini bilasiz, chunki uni yighndi shaklida
bunday yozish mumkin:
8 + (-6)+ 12 +(-4)+7+ (-13).
Algebraik yighndilarga oid yana misollar keltiramiz:
3-(-7) + (-2), a-b + c-d, a + (-b)-(-c).
(-c) sonni ayirish (-c) songa qarama-qarshi sonni, ya’ni c sonni
qo'shishni bildirishini eslatib ohamiz. Shuning uchun oxirgi algebraik
yighndini bunday yozish mumkin:
a + (-b) + c.
24
Algebraik yighndi — bu „+“ va “ ishoralari bilan birlashtirilgan
bir nechta algebraik ifodalardan tuzilgan yozuvdir.
Odatda, 3-(-7) + (-2), a + (-b)-(-c) kohinishidagi algebraik
yighndilami qisqacha bunday yoziladi:
3-(-7) + (-2) = 3 + 7-2; a + (-b) - (-c) = a - b + c.
3 + 7-2 algebraik yighndida qo'shiluvchilar 3, 7 va -2 sonlari
bodadi, chunki 3 + 7- 2 = 3 + 7 + (-2); a - b + c algebraik yighndida
qo'shiluvchilar a, -b, c sonlar boladi, chunki a-b + c = a + (-b) + c.
2. Qavslarni ochish va qavs ichiga olish.
a + (Z>+c) ifodani qaraymiz: qo'shishning guruhlash qonunini
qo‘llab, uni bunday yozish mumkin:
a + (b + c) = a + b + c.
Bu tenglikda c ni — d bilan almashtiramiz:
a + (b - d) = a + b - d.
Qavs oldida „+“ ishorasi turgan ifodalarda almashtirishlar baja-
rish shu tengliklarga asoslangan. Bu tengliklar qavslami ochishning
quyidagi birinchi qoidasiga olib keladi:
Agar algebraik ifodaga qavs ichiga olingan algebraik yig‘indi
qo‘shiladigan bo‘lsa, и holda shu algebraikyig‘indidagi harbir qo‘-
shiluvchining ishorasini saqlagan holda qavslarni tushirib qoldirish
mumkin.
Masalan:
1) 14 + (7 —13 + 2) = 14 + 7 —13 + 2;
2) ci + (b + c — 6?) = ci + b + c + r/;
3) (а-Ь)+ c = a-b+ c.
Qavs oldida “ ishorasi turgan ifodalarda almashtirishlar bajarish
ayirish amalining quyidagi xossalariga asoslangan:
25
-(-a) = a, -(a + b) = -a-b,
a-(b + c) = a-b-c,
a-(b-c) = a-b + c.
Bu tengliklardan qavslarni ochishning quyidagi ikkinchi qoidasi
kelib chiqadi:
(T
Agar algebraik ifodadan qavs ichiga olingan algebraik
yig‘indi ayirilsa, и ho Id a shu algebraik yig‘indidagi har bir
qo‘s hi I и vchining ishora s ini qarama-qa rshis iga о ‘zgartirib,
qavslarni tushirib qoldirish mumkin.
Masalan:
1) 14-(7-13 + 2) = 14-7 + 13-2;
2) a-(b + c-d) = a-b-c + d;
3) -(a-b) + c = -a + b + c.
2-masala. Qavslarni ochib soddalashtiring:
3x4-(5-(8x4-3)).
A 3x4-(5-(8x + 3)) = 3x4-5-(8x + 3) = 3x4-5 -8x- 3 = 2-5x. ▲
Ba’zan bir necha qo'shiluvchini qavs ichiga olish foydali boladi.
Masalan:
1) 108 —137 + 37 = 108 — (137 — 37) = 108 —100 = 8;
2) a + b-c + d = a + (b-c +
Bu yerda qavs oldiga „+“ belgisi qo'yilgan, shuning uchun
qavs ichidagi bare ha qo'shiluvchilarning ishoralari saqlanib qoladi.
3) a-b-c + d = a-(b + c
Bu yerda qavs oldiga belgisi qo'yilgan, shuning uchun
qavs ichiga olingan barcha qo'shiluvchilarning ishoralari qarama-
qarshisiga o'zgartirildi.
26
Mashq lar
55. Algebraik yighndini qavslarsiz yozing:
1) (+4)+(-3)-(+7); 3) (-a)+(-7Z>)+lC;
2) (—4)+(—9)—(—11); 4) 2a+(-36)-4c.
56. Algebraik yighndining qo'shiluvchilarini ayting:
1) 15-c; 2) m-7; 3) -a + 47; 4) -13-^
57. Algebraik yighndi shaklida yozing:
1) a-b + c; 2) 2 + b-c; 3) а-2-b; 4) 3 + a-b-c.
Qavslami oching (58—59):
58. 1) a + (2b-3c); 3) a-(2b + 3c);
2) a-(2b-3c); 4) -(a-2b + 3c).
59. 1) a + (b-(c-d)); 3) a-((b-c)-d);
2) a-(b-(c-d)); 4) a-(b + (c-(d-k))).
60. Qavslami oching va soddalashtiring:
1) 3a-(a + 2b); 3) 3m-(5m-(2m-1));
2) 5x-(2y-3x); 4) 4a + (2a-(3a + 3)).
61. m yoki (-m) sonlaridan boshlab, bare ha qo'shiluvchilami qavs
oldiga „+“ ishorasini qo'ygan holda qavs ichiga oling:
1) a + 2b + m-c; 3) a-m + 3c + 4d;
2) a-2b+ m + c; 4) a-m + 3b2 -2a3.
62. m yoki (-m) sonlaridan boshlab, barcha qo'shiluvchilami qavs
oldiga ishorasini qo'ygan holda qavs ichiga oling:
1) 2a + 3b + m-c; 3) c-m-2a + 3b2;
2) 2a + b + m + 3c; 4) a-m + 3b2-2a3.
63. 1) a + b- 1 ifodani biri a ga teng bodgan ikkita qo'shiluvehining
yighndisi shaklida yozing;
2) a - b + 1 ifodani kamayuvehisi a bolgan ayirma shaklida yozing;
3) 2a - b + 4 ifodani kamayuvehisi 2a bo‘lgan ayirma shaklida yozing;
27
4) a- 2b + 8 ifodani bin 8 ga teng bo‘lgan ikkita qo'shiluvchining
yighndisi shaklida yozing.
64. 2x1 2 + 5x2y - 4xy2 - y3 ifodada:
1) oxirgi uchta qo'shiluvchi oldiga ishorasini qo'yib, qavslar
ichiga oling;
2) oxirgi ikkita qo'shiluvchi oldiga „+“ ishorasini qo'yib, qavslar
ichiga oling;
3) ikkinchi va uchinchi qo'shiluvchilar oldiga ishorasini qo'yib,
qavslar ichiga oling;
4) birinchi va ikkinchi qo'shiluvchilar oldiga ishorasini qo'yib,
qavslar ichiga oling.
65. Ko‘p nuqtalar o'miga „+“ va ishoralarini shunday qo'yingki,
natijada to‘gcri tenglik hosil bo‘lsin:
1) a-(b + c) = a + (...b ...c); 3) m-(n-a) = m + (...n ...a);
2) c-(a-b) = c + (...a ...by 4) n-(d-l) = n + (...d ...I).
Ozingizni tekshirib ko‘ring!
1. Hisoblang:
2
1) (17,2-4,01 + 4,01-32,8):lj;
2. Ifodani soddalashtiring va x = —, у = 0,25 bodganda uning
9
son qiymatini toping:
3(2y-x)-2(y-3x).
3. Bolalar oromgohi uchun 10 ta shaxmat va 15 ta koptok sotib
olishdi. Bitta shaxmat a so‘m, bitta koptok b so‘m turadi. Jami
xarid uchun qancha pul todangan?
66. Soddalashtiring:
1) (5a-2b)-(3b-5a);
2) (6a-b)-(2a + 3b);
3) 7x + 3y-(-3x + 3y);
4) 8x-(3x-2y)-5y.
28
67. Tenglamani yeching:
1) (2x+l)+3x = 16; 3) (x-5)-(5-3x) = 2;
2) (x-4) + (x+6) = 4; 4) 23-(x + 5) = 13.
68. Ifodani awal soddalashtirib, keyin uning son qiymatini toping:
1) (2c + 5d)-(c + 4d), bunda c = 0,4, <7 = 0,6;
2) (3a-4b)-(2a-3b), bunda a = 0,12, 6 = 1,28;
3) (7x + 8y)-(5x-2y), bunda x = -|, k = 0,025;
4) (5c-66)-(3c-56), bunda c = -0,25, ^ = 2y-
I bobga doir mashqlar
Algebraik ifodaning son qiymatini hisoblang (69—75):
69. 1) a + bc, bunda a = -l, b = 3, c = 0;
2) a-be, bunda a = 2, Z> = -1, c = -3;
3) (a + b)c, bunda a = 1, Z> = -3, c = 2;
4) (a-b)c, bunda a = 3, /> = 1,2, c = 5;
5) (a-b) + (c-d), bunda a = 4, b = 2, c = 3, d = -l;
6) (a-b)-(c-d), bunda (2 = 0, b = -4, c--2, d-3\
7) a-(b-c), bunda я = 0,5, b = -, c = -l,2;
7 2
8) a-(b-c)-d, bunda a = 5,2, /> = 1,3, c = 2,8, d = 2,8.
70. 1) 5(x-y)2; 2) 3(x + y)2; 3) (5x-y)2; 4) (3x + y)2,
bunda x = 2,5, у = 4,5.
71 .1) 2((6Z-Z>)2+1); 3) ((a-/>)fl-8):2;
2) 4(3 -(a-b)2); 4) (5a-(a + b)):3, bunda a = 5, b = -l.
72. 1) 3(a + b)-2ab;
2) 3a + b-2ab;
3) 3(a- b) + 2ab;
4) 3a- b + 2ab, bunda a= 1,2, b = 1,8.
73. 1) -b3-3c2, bunda b = -2, c = -~;
7 2 3
29
2) -0,75я2 + 1-/?2, bunda я = -2, /? = 3;
3
3) (а2-26)2, bunda а = -5; 4) (а3 + 26)3, bunda а = -3.
э 3
74. 1) 7х -2йх, bunda х =—, а = 1,5;
7
7 2 1
2) Злх-5х , bunda х = -, а = —:
7 5 3
3) 2т3(Зт2 - к)2, bunda т = -~, к = 0,75;
2
4) Зт2(2т2-п)2, bunda п = ~, т = -0,5.
4
75. Hisoblang:
(/-2) , . ~ 2а2 - 4я -1 1 j о
1 ) bunda t = -2; 2) -----з-> bunda а = -3.
7 3? + 4/-1 7 (я + 1)2
Shu rasmda nechta uchburchak, kvadrat va
to‘g‘ri to‘rtburchak bor?
76. Bir gektar ko'kalamzor bir yil davomida havoni 70 t changdan
tozalashga qodir. 10 ga; 100 ga; m gektar ko'kalamzor bir yilda
havoni necha tonna changdan tozalaydi? Umumiy maydoni 16 000
ga bolgan ko'kalamzor havoni necha tonna changdan tozalaydi?
77. Avtomobilning harakat tezligi ikki marta ortishi bilan uning
tormozlanish yo‘li to‘rt marta ortishi ma’lum. Jadvallardan
foydalanib, harakat tezligi 30 km/soatdan 60 km/soatga ortganda
tormozlanish yodining uzunligini toping:
Yengil mashina uchun:
v (km/soat) /(m)
30 7,25
Yukmashinasi uchun:
v (km/soat) /(m)
30 9,5
78. (Abu Rayhon Beruniy masalasi.) Agar 10 dirham pul ikki oyda 5
dirham foyda keltirgan bo "Isa, 8 dirham puldan uch oyda qancha
foyda olish mumkin?
30
bobga doir sinov mashqlari —testlar
Quyida sinov (test) mashqlari keltirilgan bo dib, ularning har
biriga 5 tadan ,javob“ berilgan. 5 ta ,javob“ning faqat bittasi to‘gcri,
qolganlari esa noto‘gcri. Sizdan sinov mashqlarini bajarish yoki boshqa
mulohazalar yordamida ana shu to‘gcri javobni topish (uni belgilash)
talab qilinadi.
h
1. я = 2,4, Z? = 3565 /z = l,6 bodsa, s = -(a + b) ifodaning son qiymatini
toping.
A) 48; B) 3,18; C) 6,36; D) 0,48, E) 4,8.
2. a = 12,5, A = 6,4 bodsa, s=^ah ifodaning son qiymatini toping.
A) 40; B) 400; C) 4; D) 36,1; E) 37,1.
3. a = 5,1, 6 = 4,7 bodsa, P = 2(a + b) ifodaning son qiymatini toping.
A) 196; B) 19,6; C) 1,96; D) 18,16; E) 18,14.
4. To'g'ri to'rtburchakning yuzi S ga, asosi a ga teng. Uning perimetrini
topish uchun ifoda tuzing.
AX T>X 9 ^x Js \ S 2S
A) — + a; B) —+2a; Q 2 - + a ; D) - + a; E) —•
2a a a I a a
5. Teng yonli uchburchakning perimetri P ga, asosining uzunligi
a ga teng. Uchburchakning yon tomoni uzunligini topish uchun
ifoda tuzing.
A) 2a-P', В) 2P-a', C) P-а- D) \(P-a); E) P-2a.
31
6. a = 2,5, b = 2,4 va c = 3,5 bo‘lsa, V = abc ifodaning son qiymatini
toping.
A) 18,3; B) 21; C) 2,1; D) 12,1; E) 121.
7. a = 5, b = 6,4, c = 4,5 bo‘lsa, 5 = 2(ab + ac + be) ifodaning son
qiymatini toping:
A) 50,45; B) 83,3; C) 166,6; D) 109; E) 54,5.
8. Ona farzandlari uchun a so'mdan 8 ta rasm daftar, b so'mdan 5 ta
ruchka, c so'mdan 20 ta daftar sotib oldi. Jami xaridni hisoblash
uchun ifoda tuzing.
А) 33(я+/>+с); B) 8fl+25(Z>+c); C) 800zzZ?c;
D) 8^+ 100Z?zz; E) 8fl+5Z>+20c.
9. Qavslarni oching va soddalashtiring: 5a + (3a - (4a + 3)).
A) 8^ + 3; B) 4a-3; Q -4«-3; D) 3-4«; E) 4« + 3.
10. Ifodani soddalashtiring va uning a = 2,4;b = 1,5 bodgandagi
qiymatini toping: 0,5 • (2я - 3Z>) - (4Z> + 2,5a).
A) 17,4; B) -17,4; C) -1,4; D) -11,85; E) 0,6.
Ifodaning son qiymatini toping (11—14):
11. (64,2-7,02 + 17,9 14,04) : 4^.
A) 169; B) 16,9; C) 159; D) 15,9; E) 149.
12. 3 —-0,87-2,34-1,8 + 3i-d.
29 3 2
A) 67; B) 3,788; C) -6,2; D) -3,788; E) 9,3.
13. (35,7-12,24-21,4-6,12): 1|.
A) 578; B) 306; C) 162; D) 16,2; E) -16,2.
14. (-1,5) -(2,7: (-0,9) - (-7,2): 3,6) + 2,4 (-2,5).
A) -6; B) -7,5; C) 7,5; D) -4,5; E) 4,5.
32
15. To‘g‘ ri tohtburchakning perimetri p ga, asosi a ga teng. Uning
balandligini hisoblash uchun ifoda tuzing.
A)0,5-(p-a); B) p-2a; C)
D) p-2a; E)
16. Uchburchak bir tomonining uzunligi a ga teng bolib, u ikkinchi
tomonidan 2 sm qisqa, uchinchi tomonidan esa 3 sm uzun. Shu
uchburchakning perimetrini hisoblash uchun ifoda tuzing.
А) За-1; В) Зя-5; С) Зл + 5;
D) 1 - За; E) 3a + 2.
17. Ifodani soddalashtiring va uning a = 2,7, b = 42 bolgandagi son
qiymatini toping: 3(2л - b) - 2(a - 2b).
A) 24,36; B) 27,6; C) 8,7; D) 15; E) 14.
18. Uchburchak bir tomonining uzunligi a ga teng. Ikkinchi tomoni
uzunligi bu tomonning 80 % ini tashkil qiladi. Uchinchi tomoni
esa birinch va ikkinchi tomonlar yigrindisining yarmiga teng
bolsa, shu uchburchakning perimetrini toping.
A) l,8zz; В) 2,7л; С) 3a;
D) 3a + 0,8; E) 2л+0,8.
2 Tarixiy masalalar
(T) Al-Xorazmiy masalasi. Sondan uning uchdan biri va to'rtdan biri
ayirilsa, 8 qoladi. Sonning o'zini toping.
(5) Al-Xorazmiy masalasi. Sen o'nni ikki qismga ajratding, keyin ulardan
birini boshqasiga bolding, bolinmada to‘rt chiqdi. Sen o'nni qanday
qismlarga ajratding?
(3) Geron masalasi (eramizning I asri). Hovuzga ikkita quvurdan suv
keladi. Birinchi quvurdan 1 soatda 1 m3, ikkinchi quvurdan 1
soatda 4m3 suv tushadi. Hovuzning hajmi 12 m3. Ikkala quvur
baravar ochib qo'yilsa, bo'sh hovuz qancha vaqtda toladi?
3 —Algebra, 7- sinf
33
(4) Nyuton masalasi. Oralaridagi masofa 59 mil bolgan ikki qishloqdan
A va В kishilar bir-biriga qarab yodga chiqdi. В kishi A ga qaraganda
1 soat kech yodga chiqdi. A kishi 2 soatda 7 mil, В esa 3 soatda 8 mil
bosadi. A kishi В bilan uchrashguncha necha mil yo‘l yuradi? (Mil
uzunlik olchov birliklaridan bolib, 1 mil- 1,852 km.)
ДД Tarixiy ma’Iumotlar
Yurtdoshimiz buyuk matematik va astronom olim Abu Abdulloh
Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy (783—850) ning arifmetik
(„Algorizmi hind hisobi haqida“) va algebraik („Al-jabr val-muqobala“)
asarlari matematikaning rivojiga nihoyatda kuchli ta’sir kohsatdi. Bu
asarlar ko‘p tillarga taijima qilindi, asrlar davomida matematikadan
asosiy qollanma bo"lib xizmat qildi.
„Algorizmi hind hisobi haqida“ risolasining XII asr boshidagi
lotinc ha taijimasi Angliyaning Kembrij universitetida saqlanadi. Al-
Xorazmiyning bu asari tufayli Yevropaga o‘nli sanoq sistemasi kirib
borgan.
Xorazmiy algebrasi — „Al-jabr val-muqobala hisobi haqida qisqacha
kitob“ asarining arabcha nusxasi Oksford universitetining Bodleyan
kutubxonasida saqlanadi. Risola uch qismdan iborat:
1) algebraik qism; 2) geometrik qism; 3) vasiyatlar haqidagi qism
(Xorazmiy uni „Vasiyatlar kitobi“ deb atagan). Al-Xorazmiy risolasida
barcha masalalarning bayoni va yechimlari so'zlar bilan beriladi, hech
qanday belgilashlar, harfiy ifodalar ishlatilmaydi. Al-Xorazmiy yozadi:
„... Men arifmetikaning oddiy va murakkab masalalarini o‘z ichiga
oluvchi „Al-jabr val-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob“ni ta’lif
qildim, chunki meros taqsim qilishda, vasiyatnoma tuzishda, mol
taqsimlashda va adliya ishlarida, savdoda va har qanday bitimlarda va,
shuningdek, yer odchashda, ariqlar ohkazishda, muhandislikda va
boshqa shunga oXshash turlicha ishlarda kishilar uchun bu zarurdir“.
Binobarin, olim o'zining bu asarini kundalik hayot talabi va ehtiyojlarini
hisobga olgan holda yozgan.
34
trj и bob trUttjiri
// / BIR NOMALUMLI Bl RIN CH I ।
I' nARA.IAl ITFNCH AMAI AR
' 77777 77 7 °1 i 1 > 7 7 '।1
6-§ / Tenglamava uning yechimiari
. / / / / / / ; I ! I i ! i i I
Ushbu masalani yechaylik.
Masala. Qalam va chizghch birgalikda 370 so‘m turadi. Qalam
chizghchdan 90 so‘m arzon. Chizghchning bahosini toping.
A Aytayiik, chizghch x so‘m tursin, u holda qalam (x-90) so‘m
turadi. Masalaning shartiga ко ha
x + (x-90) = 370,
bundan 2x-90 = 370, 2x = 460, x = 230.
Javob. Chizghch 230 so‘m turadi. ▲
x+(x-90) = 70, tenglikda x harfi noma’lum sonni yoki qisqacha
noma’lumni bildiradi.
Harf bilan belgilangan noma ’lum son qatnashgan tenglik
tenglama deyiladi.
Tenglik belgisidan chap va o‘ngda turgan ifodalar tenglama-
ning chap va о‘ng qismlari deyiladi. Tenglamaning chap yoki
o‘ng qismidagi har bir qo‘shiluvchi tenglamaning hadi deyiladi.
2x-90 = 370 tenglamada chap qism 2x-90, o‘ng qism esa 370.
So'ngra x= 230 bodganda shu tenglamaning chap qismi 370 ga teng,
chunki 2 • 230 - 90 = 370; o‘ng qismi ham 370 ga teng. Demak, x= 230
bolgandabu tenglama to‘g‘ri tenglikka aylanadi: 2 • 230 - 90 = 370. Shu
230 soni berilgan tenglamaning ildizi deyiladi.
Tenglamaning ildizi deb, noma’lumning shu tenglamani to‘g‘ri
tenglikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi.
Masalan, 1 soni
2x + 3 = 5
tenglamaning ildizi, chunki 2 1 + 3 = 5 — to‘g‘ri tenglik.
35
Tenglama ikkita, uchta va hokazo ildizlarga ega bohishi mumkin.
Masalan,
(x-l)(x-2) = 0
tenglama ikkita ildizga ega: 1 va 2, chunki x= 1 va x = 2 da tenglama
to‘gcri tenglikka aylanadi.
(x - 3) (x + 4)(x - 5) = 0
tenglama esauchta ildizga ega: 3, - 4 va 5.
Tenglama ildizlarining soni cheksiz ko‘p bodishi mumkin. Masalan,
2(x-l) = 2x-2
tenglamaning ildizlari soni cheksiz ko‘p: x ning istalgan qiymati
tenglamaning ildizi bodadi, chunki har bir x da tenglamaning chap
qismi о "ng qismiga teng.
Tenglama ildizlarga ega bodmasligi ham mumkin. Masalan,
2x + 5 = 2x + 3 tenglamaning ildizlari yo‘q, chunki x ning istalgan
qiymatida bu tenglamaning chap qismi о "ng qismidan katta boladi.
Tenglamani yechish — uning barcha ildizlarini topish yoki
ularning yo‘qligini ko‘rsatish demakdir.
Sodda hollarda x ning tenglamaning ildizi bohadigan qiymatini
tanlash oson bodadi. Masalan, 2x + l = 3 tenglamaning ildizi 1 soni
ekanligini osongina ko'rish mumkin. Biroq murakkab holda ildizni
birdaniga topish oson bolmaydi. Masalan,
x—6 4(x+3) i
2
x-1
~T
+ 3x —
7x-l
10
tenglama x = 7 bolganda to'g'ri tenglikka aylanishini bilish ancha qiyin.
Shuning uchun tenglamalarni yechishni oTganish muhim.
Ko'pgina amaliy masalalami yechish
&x= Z> | (1)
ko'rinishdagi tenglamaga keltiriladi, bunda a va b — berilgan sonlar,
x— noma’lum son. (1) tenglama chiziqli tenglama deb ataladi.
3 1
Masalan, 3x=l, -2x=3, jx = -- — chiziqli tenglamalardir.
36
Mashq lar
79. Tenglik shaklida yozing:
1) 34 soni x sondan 18 ta ortiq;
2) 56 soni 14 sonidan x marta ortiq;
3) x va 3 sonlari ayirmasining ikkilangani 4 ga teng;
4) x va 5 sonlari yighndisining yarmi ulaming ko'paytmasiga
teng.
80. 3; -2; 1 sonlaridan qaysi biri tenglamaning ildizi boladi:
1) 3x = -6; 3) 4x-4 = x + 5;
2) x+3 = 6; 4) 5x-8=2x+4?
81. (Og'zaki.) x ning qanday qiymatlarida tenglama to‘gcri tenglikka
aylanadi:
1) x + 5 = -6; 2) 4-x = -l; 3) 2x-l = 0; 4) 3x + 2 = 0?
82. -1; i; 1 sonlari orasida tenglamaning ildizi bormi:
1) 4(x-l) = 2x-3; 3) 3(x+2) = 4 + 2x;
2) 7(x+l)-6x = 10; 4) 5(x + l)-4x = 4.
83. Ildizi:
1) 5 soni; 2) 3 soni; 3) -6 soni; 4) -4 soni bolgan tenglama
tuzing.
84. a sonni shunday tanlangki, 4х-3 = 2х + я tenglama
1) x=l; 2) x = -l; 3)x = |; 4) x=0,3
ildizga egabodsin.
--------/---------------------------------------------------
7_A* ! Bir nomalumli birinchi darajali tenglamalarni
i yechish
Al-Xorazmiyning „Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr val-muqo-
bala“ asaridagi al-jabr musbat hadlami tikiash, ya’ni manfiy hadlarni
tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga musbat qilib ohkazishni,
val-muqobala esa tenglamaning ikkala qismidan teng hadlami tashlab
yuborishni bildirgan.
37
Bu bir noma’lumli tenglamalarni yechish to‘gcri tengliklarning
sizlarga ma’lum xossalariga asoslangan ekanini kohsatadi. Shu xossalami
eslatib ohamiz.
Xossaning so‘z bilan ifodalanishi Xossaning umumiy kohinishda yozilishi Misol
1. Agar to‘g‘ri tenglikning ikkala qismiga bir xil son qo‘shilsa yoki ikkala qismidan bir xil son ayi- rilsa, u holda yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi. 2. Agar to‘g‘ri tenglikning ikka- la qismini nolga teng bodmagan ayni bir songa ko‘paytirilsa yoki bodinsa, u holda yana to‘g‘ri tenglik hosil bo dad i. Agar a = b bo‘lib, I ixtiyoriy son bo‘Isa, u holda a + / = = b + Z, a — l=b — Zbodadi. Agar a-b bo‘lib, m * 0 bo‘lsa, u holda a • m = b • m va a : m = b : m bo‘ladi. 7 = 7 7+2=7+2 7-2=7-2 27 =27 27 • 3 = 27 • 3 27 : 3 = 27 : 3
Birinchi xossadan qo'shiluvchilami, ulaming ishoralarini qarama-
qarshisiga almashtirib, tenglikning bir qismidan ikkinchi qismiga olib
о Tish mumkinligi kelib chiqadi.
О Aytaylik, a = b + m bolsin, u holda
a+(-m) = b+m+(-m); a-m = b. •
Tengliklarning bu xossalari tenglamalarni yechishda qanday
qodlanishini koTaylik.
1-masala. 9x-23 = 5x-ll tenglamani yeching.
Д x son berilgan tenglamaning ildizi, ya’ni x shunday sonki, uni
tenglamaga qo'yilganda tenglama to‘gcri tenglikka aylanadi, deb faraz
qilamiz.
Noma’lum qatnashgan 5x hadni ishora bilan tenglikning chap
qismiga, -23 hadni „+“ ishora bilan о "ng qismiga olib o'tamiz.
Natijada yana to‘gcri tenglik hosil bodadi:
9x-5x = 23-ll.
Tenglamaning ikkala qismidagi o'xshash hadlami ixchamlab,
4x = 12
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning ikkala qismini 4 ga bo"lib,
x=3 ekanini topamiz.
38
Shunday qilib, tenglama ildizga ega deb faraz qilib, bu ildiz
faqat 3 soniga teng bo'lishi mumkinligini ko'rdik. x= 3 haqiqatan
ham berilgan tenglamaning ildizi bo'lishini tekshiramiz: 9 • 3 -
-23 = 5-3-11. Bu to'g'ri tenglik, chunki uning chap va o'ng
qismlari birgina 4 soniga teng.
Demak, berilgan tenglama faqat bitta ildizga ega: x= 3. ▲
Tekshirishni bajarmaslik ham mumkinligini ta’kidlaymiz, chunki
tenglikning foydalanilgan xossalari bir to'g'ri tenglikni ikkinchi
to'g'ri tenglik bilan almashtirishga imkon beradi. Yechishning bu
usulida har doim to'g'ri natija hosil qilinadi (agar hisoblashlarda
xatolikka yo‘1 qo'yilmasa, albatta).
^3x) 5x^=®+ 11 5x - 3x = 11 + 7 AL-JABR: 3x, chapga-3x bo'lib o'tasan! -7, sen o'ngga +7 bo'lib o'tasan!
-X + 2x =4^ + 8 -X 2x = 8 VAL-MUQOBALA: chap va o'ng qismdagi - 5 lar-u, 4x lar, sizlar bilan xayrlashamiz!
Tenglama yechilishini yozishda 1- masalani yechishdagidek batafsil
yozma tushuntirishlarni bajarish shart emas.
Masalan, 5x +17 = 2x + 5 tenglamaning yechilishini bunday yozish
mumkin:
5x-2x = 5-17, 3x = -12, x = -4.
Javob: x = -4.
2 - m a s a 1 a. 2(x + 3) - 3(x + 2) = 5 - 4(x +1) tenglamani yeching.
Д Tenglamaning chap va o'ng qismlarini soddalashtiramiz: qavslarni
ochamiz va o'xshash hadlami ixchamlaymiz. Natijada 2x + 6-3x-
- 6 = 5 - 4x- 4, - x= - 4x + 1 tenglamani hosil qilamiz.
39
Demak, Зх=1, bundan х = “- А
З-masala. = 1+^—tenglamani yeching.
2 3 6
Д Tenglamaning ikkala qismini kasrlarning umumiy maxrajiga,
ya’ni 6 ga ko'paytiramiz, u holda
^.6-^2.6 = 1.6+^6;
2 3 6
15х-2(х-3) = 6+(х-5).
Qavslarni ochamiz va o'xshash hadlami ixchamlaymiz:
15x-2x+6 = 6 + x-5; 13x + 6 = x+l,
bundan 12x = -5, x = -—. ▲
12
Shunday qilib, tenglamani yechishda tenglamaning quyidagi asosiy
xossalaridan foydalaniladi.
1 - x о s s a. Tenglamaning istalgan hadi ishorasini qarama-
qarshisiga о ‘zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga о ‘tkazish
mumkin.
2 - x о s s a. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo ‘Imagan
bir xil songa ko'paytirish yoki bo Tish mumkin.
Bu xossalar bir noma’lumli istalgan tenglamani yechish
imkonini beradi. Buning uchun:
1) noma’lum qatnashgan hadlarni tenglikning chap
qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlami esa о "ng qismiga
ohkazish lozim (1-xossa);
2) o'xshash hadlami ixchamlash kerak;
3) tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan
koeffitsiyentga (agar u nolga teng bodmasa) bolish (2-xossa)
kerak.
Ko"rib chiqilgan misollarda har bir tenglama bitta ildizga ega bo‘ldi.
Ammo ba’zi hollardabir noma’lumli tenglama ildizlarga egabodmasligi
mumkin yoki cheksiz ko‘p ildizlarga ega bodishi mumkin. Shunday
tenglamalarga misollar keltiramiz.
4 - masa 1 a. 2(x +1)-1 = 3-(1 -2x) tenglamaildizlargaegaemas-
ligini koTsating.
Д Tenglamaning ikkala qismini soddalashtiramiz:
2x + 2-l = 3-l + 2x, 2x + l = 2 + 2x,
bundan
2x —2x=2—1, Ox = l.
Bu tenglama ildizlarga ega emas, chunki uning 0 • x dan iborat chap
qismi nolga teng va, demak, 1 ga teng emas. ▲
5 - m a s a 1 a. 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x tenglama cheksiz ko‘p yechimlarga
ega ekanligini kocrsating.
Д Tenglamani soddalashtiramiz: 3 - 3x+2 = 5 - 3x; 5 - 3x = 5 - 3x.
Oxirgi tenglik x ning istagan qiymatida to'g'ri bohadi. Demak, x ning
istalgan qiymati bu tenglamaning ildizi boladi. ▲
Mashqlar
Tenglamani yeching (85 — 96):
85. 1) llx=50; 2) -9x = 243; 86. 1) 9x = |; 2) 3x = 2|; 87. l)0,3x = 6; 2) l,3x = -l,6S 88. 1) 8x = 8; 2) |x = 16; (s v mV 89. 1) 5x= - ; 2) 4x = - - ; vJ l5J 90. 1) 25x-l = 9; 2) 7x4-8 = 11; 91. 1) 5x4-3(3x4-7) = 35; 2) 8x-(7x+8) = 9; 3) 4x = 0,24; 4) 7x = 7,063. 1 3 1 3) — 3, 4) — — • 1; 3) 0,7x = 49; 4) 10x = 0,5. 3) 32x = 243; 4) 16x = 16. 3) -0,lx = 103; 4) 0,3x = 102. 3) 3x-5 = 10-x; 4) 4x + 4 = x + 5. 3) 8y-9-4y + 5 = 12y-4-5y; 4) 4 + 8y + 8 = 2y-10-7y + 9.
о? n 11 - 2~х • Зх _ 6 + х.
V ' 7 5 ’ } 5 3 ’
93. 1) 3>»+5 = 4^ 9——3;
I 2 '
2) 8111-4? |=16z-44;
I 4 J
94. 1) 0,7lx+1,98 = 0,37x-1,76;
3) * + *=8; 4) —+— = 14.
’ 3 5 ’ 3 4
3) з(5+Т=4 + 2х;
Г хЛ
4) 2 3-| = 5+х.
2) 0,18у-7,4 = 0,05у-5,71;
3) 5(5х-1)-2,7х+0,2х = 6,5-0,5х;
95.
4)
0,36х-0,6 = 0,3(0,4х -1,2).
2 13 3
11-х-5- = 3- + 2-х;
3 6 4 4
2)
12- + -у = ^-10 —;
4 7 2 28
4)
6х + 7 _ з 5х - 3
7 8
Ю Зх-1 _ бх + 3
2 И
3 4 2 ’
Зх-7 9х + 11_3-х.
~ 8 “ ”Т~ ’
9х-5
2
3 + 5х 8х - 2
3 4
5 - 2х _ Зх - 4
3 ” 3
— Buvijon, nabirangiz necha yoshda?
— Mening yoshim nechada bo'lsa, nabiram shuncha oylik.
— Buvijon, sizning yoshingiz nechada?
— Nabiram yoshi bilan mening yoshimni qo'shsang, 65
chiqadi. Nabiramning yoshini endi o'zing topa qol.
97. Tenglamaning ildizlarga ega emasligini koTsating:
1) 28 - 20x = 2x + 25 - 16x -12 - 6x;
2) 25x - 17 = 4x - 5 - 13x + 14 + 34x;
x-1 5x + 2 5 + 3x .. 2x + l 7x + 5 x-2
3) —+—=—; 4) -—ir=—
42
98. x ning istalgan qiymati tenglamaning ildizi bo da olishini kocrsating:
1) 10-4x + 3 = 9x-2-6x + 9-7x + 6;
2) 9x + 4-5x = 8 + 7x-9-3x + 5;
3) 6(l,2x-0,5)-l,3x = 5,9x-3;
4) 8(l,3x+0,25)-6,6x = 3,8x + 2.
99. Tenglamani yeching:
1) 3(x-l)-2(x + 2) = 4x + 8;
2) 4(x + l,5) + 3(l-x) = 10;
3) 4(3x + 2)-7(x + l) = 3(x-l);
4) 2,5(2x + 3)-2(x + 2,5) = 3,5 + 2x.
100. Tenglamani yeching:
96 4x + 300 . _ 1Л _l
D 3) 4,2:(2x-7) = l0:7-;
2) = 4) 4—: IO = 4,5: (Зх-l).
$~ § ! Masalalarni tenglamalar yordamida yechish
I
Tenglamalarni qoTash ko'pgina masalalarni yechishni osonlashtiradi.
Bunda masalani yechish odatda ikki bosqichdan iborat bohadi:
I) masalaning sharti bo'yicha tenglama tuzish;
2) hosil bohgan tenglamani yechish.
Ushbu masalani yechaylik.
Masala. Sayyohlar tushgan kema sohildagi bekatdan daryo
oqimi bo'yicha jo"nab, 5 soatdan keyin qaytib kelishi kerak. Daryo
oqimining tezligi 3 km/soat; kemaning turg'un suvdagi tezligi
18 km/soat. Agar sayyohlar qaytishdan oldin qirg'oqda 3 soat dam
olgan bohsalar, ular sohildagi bekatdan qancha masofaga suzib
borganlar?
Д I) izlanayotgan masofa x kilometr bohsin. Kema bu masofani
oqim bo'yicha 18 + 3 = 21 (km/soat) tezlik bilan o'tadi va bunga
soat sarf qiladi. Kema 18 — 3 = 15 (km/soat) tezlik bilan orqasiga
43
X
qaytadi va bunga — soat sarf qiladi. Sayyohlar qirg'oqda 3 soat dam
X x o . .. . .
— + — + 3 soat davom etdi, bu esa masala
21 15
oldilar. Demak, sayohat
shartiga ko‘ra 5 soatga teng. Shunday qilib, biz noma’lum x masofani
aniqlash uchun quyidagi tenglamani hosil qildik:
X X o -
— ч— + 3 = 5;
21 15
2) endi
X X
21 + 15
tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning ikkala qismini 105ga(21val5
sonlarining eng kichik umumiy bodinuvchisiga) ko'paytirib, 5x + 7x =
= 210, 12x = 210 tenglikni hosil qilamiz, bundan x = 17,5.
Shunday qilib, kema sohildagi bekatdan 17,5 km masofaga suzib
boradi. ▲
Masalani yechishning birinchi bosqichida (ya’ni tenglama tuzishda)
kema bilan daryo oqimi tezliklari oqim bo'yicha harakatda qo'shilishi,
oqimga qarshi harakatda esa ayirilishi va yolning tezlikka nisbati harakat
vaqti ekanligini bilish zarur bo‘ldi.
Ikkinchi bosqichda (ya’ni hosil bodgan tenglamani yechishda)
tenglamalaming bundan oldingi paragrafda o‘rganilgan xossalarini
qodlash talab etildi.
Masalaning shartidan foydalanib, yechimning to'g'riligini tekshirish
mumkin. Bunda topilgan natijani ma’lum deb qarab, berilgan biror
boshqa kattalik topiladi. Xususan, masala yechimining to'g'riligini
bunday tekshirish mumkin.
Sayyohlar sohildagi bekatdan 17,5 km ga suzib bordilar. Demak,
ular daryo oqimi bo'yicha 17,5 :21 = -| soat suzdilar. Sayyohlar qaytish
uchun 17,5:15 = 1| soat vaqt sarfladilar.
Ular qirg'oqda 3 soat dam olganliklari e’tiborga olinsa, sayohatga
ketgan umumiy vaqt - + 3 +1 i = 5 soat, ya’ni masala shartidagi kabi
6 6
bohadi.
44
Mashqlar
101. 1) O‘quvchi bir son o‘yladi. Agar uni 4 ga ko‘paytirilsa, ко‘pay t-
maga esa 8 soni qo‘shilsa va hosil bo‘lgan yig‘indini 2 ga bo‘linsa,
u holda 10 hosil bo‘ladi. O‘quvchi qanday sonni o‘ylagan?
2) Bir bola bir son o‘yladi va unga 5 ni qo‘shdi, so‘ngra yig‘indini
3 ga bo‘ldi, hosil bo‘lgan bo‘linmaga 5 ni qo‘shdi va o‘ylagan
sonini hosil qildi. U qanday sonni o‘ylagan?
102. 1) Uchta sinfda hammasi bo‘lib 119 nafar o‘quvchi bor. Birinchi
sinfda ikkinchisidagidan 4 ta o‘quvchi ko‘p, uchinchisidan esa 3 ta
kam. Har bir sinfda nechtadan o‘quvchi bor?
2) Poyezd tarkibida sistemalar, platformalar va yuk vagonlari bor.
Sistemalar platformalardan 4 ta kam, yuk vagonlaridan esa 8 ta
kam. Agar sistema, platforma va yuk vagonlarining jami soni 60 ta
bo‘lsa, poyezd tarkibida ulaming har biridan nechtadan bor?
103. 1) Uchta firmada 624 nafar ishchi bor. Ikkinchi firmada birinchisi-
dagiga qaraganda ishchilar 5 marta ko‘p, uchinchi firmada esa
birinchi va ikkinchi firmalarda birgalikda nechta ishchi bo‘Isa,
shuncha ishchi bor. Har bir firmada nechtadan ishchi bor?
2) Uchta kichik korxonada 869 ta mahsulot tayyorlandi. Ikkinchi
kichik korxonada birinchi kichik korxonaga qaraganda 3 marta
ko‘p, uchinchi kichik korxonada esa ikkinchisidagidan 2 marta
kam mahsulot tayyorlandi. Har bir kichik korxonada nechtadan
mahsulot tayyorlangan?
104. 1) Teng yonli uchburchakning perimetri 25 sm ga teng. Agar
uning yon tomoni asosidan 5 sm ortiq bo‘Isa, uchburchak
tomonlari uzunliklarini toping.
3
2) Teng yonli uchburchakda asos yon tomonning qismini
tashkil etadi. Agar uchburchakning perimetri 22 sm ga teng bo‘lsa,
uning tomonlari uzunliklarini toping.
105. 1) Eni 200 m bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak maydonning chegarasi
bo‘ylab ariq qazildi. Ariqning uzunligi 1 km. Maydonning bo‘yini
toping.
2) Bo‘yi enidan 2 marta uzun bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak may-
45
donni uzunligi 120 m bolgan panjara bilan ohashdi. Maydonning
bo'yi va enini toping.
106. Yighndisi 81 ga teng bodgan uchta ketma-ket toq sonni toping.
107. To'rtta ketma-ket juft son berilgan. Agar chetki sonlar yigdndisining
ikkilanganidan o'rtadagi sonlar musbat ayirmasining uchlangani
ayirilsa, 22 hosil boladi. Shu sonlarni toping.
108. 1) Fermer xo'jaligi har kuni belgilangan rejani 5 sr ga ortiq
bajarib, haftalik (6 ish kuni) topshiriqni 4 kunda bajardi. Xo'jalik
bir kunda necha sentner paxta topshirgan?
2) Fabrikaga avtomat o'matildi. U bir soatda ishchiga qaraganda
8 ta ortiq mahsulot ishlab chiqaradi. 2 soatdan keyin avtomat
ishchining 6 soatlik rejasini bajardi. Avtomat bir soatda nechta
mahsulot ishlab chiqaradi?
109. 1) Onasi 50 yoshda, qizi esa 28 yoshda. Necha yil oldin qizi
onasidan 2 marta yosh bohgan?
2) Otasi 40 yoshda, o‘g‘li esa 16 yoshda. Necha yildan keyin
otasi o‘g‘lidan 2 marta katta bohadi?
110. 1) Birinchi qopda 50 kg, ikkinchisida esa 80 kg shakar bor edi.
Ikkinchi qopdan birinchi qopdan olinganidan 3 marta ko‘p shakar
olishdi va natijada birinchi qopda ikkinchidagiga qaraganda ikki
marta ko‘p shakar qoldi. Har bir qopdan necha kilogrammdan
shakar olishgan?
2) Bir omborda ikkinchisiga qaraganda 2 marta ko‘p don bor edi.
Birinchi ombordan 750 t donni olib ketishdi, ikkinchisiga esa
350 t don olib kelishdi, natijada ikkala ombordagi don miqdori
bir xil bo "lib qoldi. Dastlab har bir omborda qanchadan don
bo‘lgan?
111. 1) Uzumni har bir yashikka 9,2 kg dan solish modjallangan edi.
Bu yashiklar ohniga har biriga 13,2 kg uzum sig'adigan boshqa
yashiklar olishdi va shunda modjaldagidan 50 ta kam yashik talab
qilindi. Yashiklarga hammasi bo "lib necha kilogramm uzum
joylangan?
2) A va В bekatlar orasidagi masofani yo" love hi poyezdi yuk
poyezdiga nisbatan 45 minut tez bosib o‘tadi. Agar yo‘lov-
chi poyezdining tezligi 48 km/soat, yuk poyezdiniki esa
46
36 km/soat ekanligi ma’lum bo "Isa, shu bekatlar orasidagi
masofani toping.
112. 1) Neft omborida 6340 t benzin bor edi. Ikkinchi kuni ombor
birinchi kundagidan 423 t ko‘p, uchinchi kuni esa ikkinchi
kundagidan 204 t kam benzin tarqatdi. Shundan so'ng omborda
3196 t benzin qoldi. Ombor birinchi kuni necha tonna benzin
tarqatgan?
2) Do'konda uch kunda 110 kg yog" sotildi. Ikkinchi kuni birinchi
3
kundagining g qismicha, uchinchi kuni esa dastlabki ikki kunda
qancha yog" sotilgan bo"Isa, shuncha sotildi. Do'konda birinchi
kuni necha kilogramm yog" sotilgan?
113. 1) Usta buyurtmani 10 kunda bajarishi kerak edi. U har kuni
rejadan tashqari 27 ta mahsulot tayyorlab, 7 kunda topshi -
riqni bajaribgina qolmasdan, balki ortiqcha yana 54 ta mah-
sulot tayyorladi. Usta bir kunda nechta mahsulot tayyorlagan?
2) Zavod mashina ishlab chiqarish bo'yicha buyurtmani 15 kunda
bajarishi kerak edi. Lekin zavod har kuni rejadan tashqari 2 ta
ortiq mashina ishlab chiqarib, muddatga 2 kun qolganda faqat
rejani bajaribgina qolmasdan, rejadan ortiq yana 6 ta mashina
ishlab chiqardi. Zavod reja bo'yicha nechta mashina ishlab chiqarishi
kerak edi?
O‘zingizni tekshirib ко" ring!
1. 1; 0; -4 sonlari ichida 3(x-7) + 4 = 7x-l tenglamaning ildizi
bormi?
2. Tenglamani yeching:
1) 2x-3(x-l) = 4 + 2(x-l);
2) 1+±±1=2.
7 3 4
3) 1 kg uzum 300 so‘m, 1 kg anjir 400 so‘m turadi. Jami
sakkiz kilogramm uzum va anjir uchun birgalikda 2700 so‘m
tolandi. Necha kilogramm uzum va necha kilogramm anjir
xarid qilingan?
47
II bobga doir mashqlar
114. Tenglamani yeching:
1) 5(x-3)-2(x-7) + 7(2x + 6) = 7;
2) ll(y-4) + 10(5-3y)-3(4-3y) = -6;
3) 5(8z-l)-7(4z + l) + 8(7-4z) = 9;
4) 10(3x - 2) - 3(5x + 2) + 5(11 - 4x) = 25.
115. 1)
2)
x - 4 n 2x + 4
----= 9 +-----;
5 9
2 3x-7^_x + 17
4 5
5-4y_y + 6.
' 6 3 2 ’
4x + 7 3x-2 5x-2
4) ----+------------=
7 5 2 2
116. Yerning birinchi ikkita sun’iy yoridoshi massasi 592,4 kg ni tashkil
qildi. Birinchi sun’iy yoridosh uchinchisidan 1243,4 kg yengil,
ikkinchisi esa 818,2 kg yengil. Yeming birinchi uchta sun’iy
yoridoshining har birining massasini toping.
117. Qayiq daiyo oqimi bo'yicha 2,4 soat va oqimga qarshi 3,2 soat suzdi.
Qayiqning oqim bo'yicha bosib origan yorii oqimga qarshi bosib
ohgan yoriidan 13,2 km ortiq boridi. Agar daryo oqimining tezligi
3,5 km/soat borisa, qayiqning turgrim suvdagi tezligini toping.
118. Suzish bo'yicha maktab musobaqalarida o'quvchi ma’lum masofani
daryo oqimi bo'yicha 24 sekundda va shu masofani oqimga qarshi
40 sekundda suzib oridi. Agar daryo oqimining tezligi 25 sm/s
borisa, suzuvchining tezligini suzishning boshidan oxirigacha bir
xil deb hisoblab, uning o‘z tezligini aniqlang.
Xodani 3 bolakkaarralash uchun 12 minut kerak. Shu xodani
4 bo'lakkaarralash uchun necha minut kerak bo'ladi?
119. Bir sabzavot omboriga 145 t 480 kg, ikkinchisiga esa 89 t 7 sr
kartoshka keltirishdi. Birinchi ombordan do'konga har kuni 4 t
40 kg dan, ikkinchisidan esa 2 t 550 kg dan kartoshka jo"natiladi.
Necha kundan keyin ikkinchi omborda birinchidagidan 2 marta
kam kartoshka qoladi?
48
120. Oralaridagi masofa 230 km bolgan A va В shaharlardan bir vaqtda
bir-birlariga qarab ikki mototsiklchi yolga chiqdi. Harakat
boshlanganidan 3 soat olgandan keyin ulaming oralaridagi masofa
20 km bocldi. Agar mototsiklchilardan birining tezligi ikkinchi-
sinikidan 10 km/soat kam boclsa, mototsiklchilarning tezlik-
larini toping.
II bobga doir sinov mashqlari — testlar
5x — 3 x 11 — 3x
1. —-— = — + 3 + —-— tenglamaning ildizi x0 bo Isa, x02 +1 ifodaning
son qiymatini toping.
A) 50; B) 10; C) 5; D) 37; E) 26.
+1 3x_______2 x +1
2. —— + 2 = — + -y- tenglamaning ildizi x0 bolsa, 18 : x0 ifodani
hisoblang:
A) 6; B) 7; C) -7; D) 4б|; E)
3. (x+3): (x - 2) = 5:3 tenglamaning ildizi x0 bo Isa, 2x0 + 61 ifodaning
son qiymatini toping.
A) -80; B) 70; C) 80; D) 81; E) 90.
4. 4:(2x + 5) = 2: (3x-2) tenglamaning ildizi x0 bo Isa, 4x0+ 11 ifo-
daning son qiymatini toping.
A) -18; B) -20; C) 19; D) 20; E) 21.
5. 0,8 • (l,5x— 2) — 0,4x= 0,3 • (6x — 5) — 2,6 tenglamaning ildizi x0
bo Isa, x02 —0,5 x0 ifodaning son qiymatini toping.
A) -6,25; B) 1,25; C) 6,25; D) -5; E) 5.
6. Uchta javonda hammasi bo lib 385 ta kitob bor. Birinchi javonda
ikkinchisiga qaraganda 8 ta ko‘p, ammo uchunchi javondagidan
9 ta kam kitob bor. Har bir javonda nechtadan kitob bor?
A) 128; 120; 137; B) 127; 119; 139;
C) 127; 122; 136; D) 126; 134; 125;
E) 130; 117; 138.
4 — Algebra, 7 - sinf
49
7. Teng yonli uchburchakning perimetri 51 sm ga teng. Asos yon
tomondan 6 sm uzun. Shu uchburchak yon tomonining asosiga
nisbatini toping.
A) 1,4; В) C) |; D) E) 0,7.
8. Teng yonli uchburchakning perimetri 42 sm ga teng. Yon tomon
2
asosning - qismini tashkil qiladi. Shu uchburchakning asosi yon
tomonidan necha santimetr uzun?
A) 7,5 sm. B) 6,5 sm; C) 6 sm; D) 7 sm; E) 5 sm.
9. Birinchi to'pda 75 m, ikkinchi to "pda 120 m atlas bor edi.
Ikkinchi to'pdan birinchidan sotilganiga qaraganda 3 marta ko‘p
atlas sotildi. Natijada birinchi to'pda ikkinchisiga qaraganda 2
marta ko‘p atlas qoldi. Har bir to'pdan necha metrdan atlas
sotilgan?
A) 24 m; 72 m; B) 30 m; 90 m; C) 15 m 45 sm;
D) 33 m; 99 m; E) 22 m; 66 m.
10. Usta buyurtmani 8 kunda bajarishi kerak edi. U har kuni rejadan
tashqari 6 ta mahsulot tayyorlab, buyurtmani 5 kunda bajaribgina
qolmasdan, balki ortiqcha yana 12 ta mahsulot tayyorladi. Usta reja
bo'yicha bir kunda nechta mahsulot tayyorlashi kerak edi?
A) 8; B) 4; C) 5; D) 7; E) 6.
Tenglamani yeching (11—19):
11. 8(x + 2)-5x = -2(x + 4,5).
A) -5; B) 5; C) 6;
D) -4,5; E) to‘gcri javob berilmagan.
12. 3(x + 2) - 2(x + 3) = 7 - 5(x +1).
A) В) C) -1; D) 2; E)
13. ^1+2 = 1,5x-^2.
6 3
2 2
A) 2; B) 4; C) -; D) E) yechimgaegaemas.
14. 8(%+2)-6 = 7-(5-8%).
А) -2; В) 0,5; С) 1,6; D) ildizga ega emas; Е)
8
15. 6 • (2, Зх -1) - 3,5х + 0,7х = 0,5(х -14).
А) -10,5; В) 10,5; С) 2; D) 7; Е) -2.
16. 1,5-(2-х)+1 = 2|2--х .
8 3
A) cheksiz ко‘р yechimga ega; В) —; С) 2; D) Е) -2.
3 8
17. (1-3%):5 = (2-%):2.
А) 8; В) -8; С) 2; D) -1; Е) 2
18. 3(4,5+5,5%) = 4(11,5-4%).
А) 3; В) -2; С) 1; D) -1; Е)
19. 7-:10 = 5,4:(4%-1).
7
А) -1; В) С) |; D) 2; Е) -2.
В Tarixiy masalalar
Quyida keltirilgan 1-12- tenglamalar al-Xorazmiyning „Al-jabr
val-muqobala hisobi haqida qisqacha kitob" asarining „Vasiyatlar kitobi"
bobidagi masalalar mazmunini aks ettiruvchi tenglamalardir. Shu
tenglamalarni yeching:
ф 2z£ = 4.
X
X
x + 2
2‘
® 1) 10:6 = x:4;
2) 10:8 = 4:%; 3) 30:10 = 6:%.
51
*7\ 10+ х
4) — = *•
2)1)
|(10 + х)-1
2) -----------= х.
2
®2^ + 20-х=-50.
2 3
Q 1 )110-х + -^(20 + х)-х = 4х;
2) 90-х + -(10 + х)-х = 4-х;
2
3) 90-х + - = 2х.
3
(g)l) 300-х + | = 2х; 2) 300-х + Ц (100-10-х)-20 = 2х.
2) 300-х + |[500-(300-х)] + 300-х = 4х
1) 500-Х + 100-1 = 2(100 +х);
2) 500-Х + 100- —--х = 2(100 + х + -х).
5 4 4
(и) 1) ЗОО-х + ЮО- —= 2х; 2) 300-Х-- + 100-- = 2х.
7 3 7 3 3
© 300-х- —+ 100- — -х- — = 4^х +—\
3 3 3 3 J
Ghyosiddin Jamshid al-Koshiyning „Hisob ilmi kaliti“ asaridan
olingan masalalarni yeching (13—14).
© Oltin va durdan yasalgan bezakning massasi 3 misqol, bahosi 24
dinor. 1 misqol oltin 5 dinor, 1 misqol dur 15 dinor tursa, bezakda
necha misqoldan oltin va dur bor?
(Q) O'ylangan sonni 2 ga ko'paytirib, hosil bolgan songa 1 qo'shilsa,
yighndini 3 ga ko'paytirib, ko'paytmaga 2 qo'shilsa, so'ng hosil
bodgan son 4 ga ko'paytirilib, bu ko'paytmaga 3 qo'shilsa, 95 hosil
bohadi. O'ylangan sonni toping.
52
Tarixiy ma’lumotlar
Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy „Al-jabr val-muqobala hisobi
haqida qisqacha kitob“ asarida kiritilgan „al-jabr“, „val-muqobala“
qoidalarini biz 7- § da tenglamaning asosiy xossalari sifatida bayon
qildik, xolos.
Algebrada uch xil sonlar bilan ish kohiladi, deydi al-Xorazmiy.
Ular:
— ildiz yoki narsa (tenglamadagi noma’lum son x);
— kvadrat (mol) (noma’lumning kvadrati — x2);
— oddiy son (bunda natural son nazarda tutiladi).
Xorazmiy shu uch xil miqdorlar orasidagi turli bogdanishlarni
tahlil qiladi va ushbu ko'rinishdagi tenglamalami yechish usullarini
kohsatadi:
1) ex2 = bx — kvadratlar ildizlarga teng;
2) ex2 = a — kvadratlar sonlarga teng;
3) bx = a — ildizlar songa teng;
4) ex2 + bx = a — kvadratlar va ildizlar sonlarga teng;
5) ex2 + a = bx — kvadratlar va son ildizlarga teng;
6) bx + a = ex2 — ildizlar va son kvadratlarga teng.
Biz 7- sinfda faqat chiziqli tenglamalami ohganamiz [3) banddagi
bx = a tenglama]. Qolganlari 8-sinfda ohganiladi. Har qanday chiziqli
yoki kvadrat tenglama „al-jabr“, „val-muqobala“ almashtirishlari
natijasida yuqoridagi 6 ta tenglamaning biriga keltirilishi mumkin.
53
z , . : ; ////>'/' /i' i 1 I ।
+ В/ЯНДОМ ? УД KO ’AMDMff । I
/ / / / / / / / / / / / / / / ! I ! I I 1 I I I
r /////////,' /// ' । 1 i ! j 1
// ///;////; /7//; T ' [ । Г I
Natural ko'rsatkichli daraja I । > J ( । । |
Teng sonlami qo'shishni ko'paytirish bilan almashtirish mumkin:
3+ 3 + 3 + 3 +3 = 3-5 q + a + a + a +... + q = an
5 marta n marta
Bir xil sonlarning ko'paytmasini ham ko‘p hollarda ixchamroq
yozuv bilan almashtirish maqsadga muvofiq boladi. Tomonining uzun-
ligi 5 birlikka teng kvadratni qaraylik (3- rasm). U 5 • 5 = 25 ta birlik
kvadratdan iborat. Tomonining uzunligi 5 birlikka teng kub (4- rasm)
esa 5 • 5 • 5 = 125 ta birlik kubni o‘z ichiga oladi.
Sizga ma’lumki, 5 • 5 ko'paytmani 52 (o'qilishi: «beshning kvad-
rati»); 5-5-5 ko'paytmani esa 53 (o'qilishi: „beshning kubi“) kabi
belgilanadi:
5 • 5 = 52, 5 • 5 • 5 = 53.
Xuddi shu kabi, ko'paytuvchilari bir xil sonlardan iborat ko'payt-
mani yangi amal — darajaga ко ‘tarish amali bilan almashtirish mumkin:
111 1 (1 Y
3• 3• 3• 3• 3 = 35, ~ ’
‘---V----J III ! \ > /
5 marta —~v 7
9 marta
0,4 = (0,4)7
Umuman, n ta teng ko'paytuvchining ko'paytmasini belgilash uchun
an yozuvidan foydalaniladi:
q- a- a-a-a = an.
n marta
U bunday o'qiladi: sonning n kocrsatkichli darajasi“. Odatda, qisqa-
cha qilib: „л ning n- darajasi“ deb aytiladi.
a sonning n natural ko'rsatkichli darajasi deb, har biri a ga teng
bo‘lgan n ta ко ‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi:
54
3- rasm.
n marta
ГТ! a sonni (takrorlanuvchi ko'paytuvchini) darajaning asosi, n
I—J sonni (ko'paytuvchi necha martatakrorlanishini ko'rsatuvchi sonni)
daraja ko‘rsatkichi deyiladi.
Masalan,
34= 3 • 3 • 3 • 3 = 81,
bu yerda 3 — darajaning asosi, 4—daraja kohsatkichi, 81 esa 34—
darajaning qiymati.
Xususan, sonning birinchi darajasi deb, shu sonning o'zini aytiladi:
a1 = a.
Masalan,
51 = 5,25х = 25,
7'
Darajaning asosi istalgan son bolishi mumkinligini aytib o‘tamiz,
masalan,
25 = 2 • 2-2-2-2 = 32;
2 7 _ 2 2 2 _ 8
5 J ~ 5 5 5 - 125
(-2)5 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = -32;
0,23 = 0,2-0,2-0,2 = 0,008;
(-1)6 = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) (-1) = 1;
03 =0-0 0 = 0; 104 = 10-10-10-10 = 10 000.
Darajaga koharish amali — uchinchi bosqich amal. Agar ifodada
qavslar bodmasa, u holda avval uchinchi bosqich amallar, keyin
55
ikkinchi bosqich amallar (ko'paytirish va bo dish), va nihoyat, birinchi
bosqich amallar (qo'shish va ayirish) bajarilishini eslatib o‘tamiz.
Masala. Hisoblang: 7 • 24 - 5 • 32.
7 • 24-5 • 32 =7 • 16-5 • 9 = 112-45 = 67.
Sonlami daraja yordamida yozishdan juda ko‘p hollarda, masalan,
natural sonlami xona birliklari bo'yicha yigrindisi shaklida yozish uchun
foydalaniladi:
A 3245 = 3-1000 + 2-100 + 4-10 + 5 = 3 103 +2-IO2 + 4-10 + 5. A
Katta sonlami yozish uchun ko'pincha 10 sonining darajalari qo‘lla-
niladi. Masalan, Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofa taxminan
150 mln km ga teng bo "lib, uni 1,5-108 km shaklida yoziladi: Yer
sharining radiusi taqriban 6,37 mln m ga teng, u 6,37-106 m kabi
yoziladi; Yerdan eng yaqin yulduz (Sentavming a si)gacha bolgan
masofani 4-1013 km shaklida yoziladi.
FTd 10 dan katta bo'lgan har bir sonni a -10" shaklida yozish
I—J mumkin, bunda 1< a < 10 van-natural son. Bunday yozuv sonning
standart shakli deyiladi.
Masalan,
4578 = 4,578 • 103, 45,78 = 4,578 • 10, 103000 = 1,03 • 105.
Fizika va kimyo fanlarini ohganishda, mikrokalkulatorda hisob-
lashlarda va boshqa ko‘p hollarda sonning standart shakldagi yozuvidan
foydalaniladi.
M as hqI a r
Yigrindini ko'paytma shaklida yozing (121—122):
121. 1) 4 + 4 + 4 + 4 + 4;
2) 6 + 6 +6 +6;
122. 1) 2m + 2m + 2m;
2) 17ab + 17ab + 17ab;
3) c+c + c;
4) a + a + a + a + a.
3) (c-2d) + (c-2d);
4) (3b-a) + (3b-a) + (3b-a);
56
5) 3 + 3 +... + 3;
21 marta
6) 5 + 5 +... + 5 \
17 marta
7) m + m + +
n marta
8) b + b+... + b.
к marta
Ko'paytmani daraja shaklida yozing (123—125):
123. 1) 2 2 2 2 2; 2)11111;
4) (-2,7). (-2,7). (-2,7)-(-2,7).
124. 1) x-XXX- x;
2)
125. 1) (x-y)(x-y)(x-y);
2) (a + b)(a + b);
3) (2a) (2a) (2a);
4) (-36) (-36) (36) (36)
_. 3x 3x
3> T'T;
.. m m m m m
Ko'paytmaning daraja shaklidagi yozuvidan foydalanib, ifodani
soddalashtiring (126—128):
126. 1) 2-2-2 - 15;
2) 4*4*4*4*21;
127. 1) 1,2*1,2*2*2*55;
3) 0,3.0,3.1.1.1.1;
/ 7 7 7 7
128. 1) 9‘9‘9‘a-a-a;
2) x • x • x • x • 3 • 3;
3) 5*5*8*8*8*2*2;
4) 6-6-7-7-3-3-3.
2) 0,5 *0,5*0,5*2*2*44;
2 2 2
4) - - - 2,3 2,3.
3 3 3
3)------(x-y)-(x-y);
у у у
4) --(8a-b)(8a-b)(8a-b).
b b
Ifodani soddalashtiring (129—130):
129. 1) p-p-p-p + q-q\ 3) a- a + a' a + a' a;
2) cr a+b‘b‘b‘b\ 4)x-x-x+x-x-x.
130. 1) c - c + c- c +... + c c\
к marta
2) q-a-a + a-a-a +... + a-a-a',
n marta
3) q a ... a + b b-...-b\
n marta m marta
4) 5-5-...-5 + q-a-...-q.
к marta 17 marta
57
131. Ifodani o'qing, darajaning asosini, daraja ko'rsatkichini ayting:
( o\41
1) 32; 3) _± ; 5) (4m + n)15;
2) 1| ; 4) (-1.2)3’; 6) - •
I 8J
Hisoblang (132-139):
132. 1) 23; 2) 32; 3) 44; 4) 53.
133. 1) I5; 2) (-1)’; 3) 015; 4) 05.
134. 1) - ; 2) - ; 3) 1- ; 4) 2- .
J - - \
135. 1) (2,5)2; 2) (1,7)2; 3) (-0,2)3; 4) (-0,2)“.
136. 1) (-5)3; 2) -53;
137. 1) 2)
(0,l)5
3)
(0,3)3 .
(-0.1)4 ’
\2
5
(3,2)2 .
(1,6)2 ’
( 1 Y
-2- .
I 4 J
4)
(W
138. 1) 2(-3)2; 2) —5(—2)3;
139. i) (-5)2+[lj;
3) -i(-4)2; 4) -|(-3)2.
2 3
( 9 3
2) (-3)3 ;
3) -(-3)223 ; 4) -(-3)2(-2)3.
140. -x2; (-x)2; (-x)3 ifodaning qiymatini x = lp da toping.
141. x2 ifodaning qiymatini x ning jadvalda keltirilgan qiymatlari
uchun hisoblang:
X 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6
X2
142. x3 ifodaning qiymatini x ning jadvalda kohsatilgan qiymatlari
uchun hisoblang:
X 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6
X3
58
143. Ikki xonali son xona qohhiluvchilari yigfindisi shaklida quyida-
gicha yozilishi mumkin: й-10+Z), bu yerda a — o'nliklar soni,
b — birliklar soni; uch xonali sonni a -102+Z> -10+c ko'rinishida
yozish mumkin, bu yerda a — yuzliklar soni, b — o'nliklar soni;
c — birliklar soni. Aytaylik, to‘rt xonali sonda a — mingliklar
soni, b~ yuzliklar soni; c — o'nliklar soni, d — birliklar soni
bofisin. Shu sonni xona qohhiluvchilari yigfindisi shaklida yozing.
144. Sonni xona qohhiluvchilari yighndisi shaklida yozing:
1) 127359; 2) 5432135; 3) 1027305; 4) 12350107.
145. Xona qohhiluvchilari yigfindisi shaklida tasvirlangan sonni yozing:
1) 2 • 105 + 3 -104 + 5 • 103+ 1 • 102 + 2 -10 +1;
2) 3-106 + 5 • 105 + 3-104 + 2-103 + 3-10 + 7;
3) 7 • 105+ 1-103+ 5 • 102+8;
4) 1 • 105 +1 • 103+ 1.
Ю- § Natural ko'rsatkichli darajaning xossalari
I
Darajaga kofiarish bir nechta muhim xossalarga ega.
1 - xossa.
J am an = am+n.
Bir xil asosli darajalarni ko‘paytirishda asos o‘zgarmasdan
qoladi, daraja ko‘rsatkichlari esa qo‘shiladi.
О Natural kohsatkichli darajaning ta’rifiga ко ha
22-23 = (2-2) .(2-2-2) =
2 marta 3 marta
ат а11 =(а а а ... а)х(а а а ... а) =
m marta n marta
ko'paytirishning guruhlash qonuniga ко ha
= 2• 2• 2• 2• 2 = = a a a ... a =
5 marta (m+n) marta
natural kohsatkichli darajaning ta’rifiga koha
= 25. | = am +".
Shunday qilib, ।
59
2- xossa.
a .a = ci , wi > и, а ф U.
S/r xilasosli darajalarni bolishda asos o‘zgarmasdan qoladi,
daraja ko‘rsatkichlari esa ayiriladi.
О Shartga ko'ra 5 > 3. Darajaning birinchi xossasiga ko‘ra 25 ’ 3 - 23 = 25. Shuning uchun 25 ’ 3 = 25 : 23. Shunday qilib, m > n, a 0. am ~n‘ an= am. am~n= am‘. an.
25 : 23 = 25 3. | ат : ап= ат n, m > n, а Ф 0. •
— = 1, а ф 0 ekanligini ta’kidlaymiz.
a1
3- xossa.
(am)n=amn.
Darajani darajaga ko‘tarishda asos o‘zgarmasdan qoladi,
daraja ko‘rsatkichlar esa o‘zaro ko‘paytiriladi.
O Natural ko'rsatkichli darajaning ta’rifiga ko‘ra
(23)2 = 23 - 23 = (ат)п = ат ат ат -... ат, =
darajaning birinchi xossasiga ko‘ra
I n marta
= 23 + 3= '---л---'
ko'paytirishning ta’rifiga ко ha
= 2 3'2. | = amn.
Shunday qilib,
(2 3)2= 2 3 2. (am)n= amn. 9
60
L—
4- xossa.
(ab)n = anbn.
Ko‘paytmani darajaga ko‘tarishda har bir ko‘paytuvchi shu
darajaga ko‘tariladi.
О (2-З)3 = (2-3)-(2-3)-(2-3) =
3 marta n marta
ko'paytirishning guruhlash va o'rin almashtirish qonuniga ко ha
= (2-2-2)-(3-3-3) =
3 marta 3 marta
(ab)n = (ab)(ab)...(ab) =
<____________ _ ______J
= (a a ... a)(b b ... b) =
<_______________________ ___________________2 <__________________ __________________2
n marta n marta
natural kohsatkichli darajaning ta’rifiga koha
= an> bn.
!
= 23-33.
Shunday qilib,
(2-3)3 = 23 • 33.
5- xossa.
(ab)n = dV.
n
а
~b"’
a
J
Kasrni darajaga kb‘tarishda uning surat va maxraji xuddi
shu darajaga ko‘tariladi.
О Natural kohsatkichli darajaning ta’rifiga koha
f-T
3
z>*o
1 1
3 3 3 J
3 marta
kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ко ha
3 marta
= 2^2 =
~ ЗдЗдЗ “
3 marta
-T
b 1
n marta
а-а...-а _
bb...b~
n marta
natural kohsatkichli darajaning ta’rifiga koha
an
Id '
~ 33 '
Shunday qilib,
3 '
23
33 '
а
~bs
„п.
а а а
~b ~b ~b
n marta
61
117 • 73 • З4
1 - masala. Hisoblang: 6 4
ll7 -73 -34
ll6 -7-34
A
= 117 6 73 1 1 = 11 49 = 539.
2-masala.Yorugdikning tarqalish tezligi 3-108m/s ga yaqin,
Yerdan Quyoshgacha bodgan o'rtacha masofa 1,5 • 1011 m. Yoruglik nuri
Quyoshdan Yergacha bolgan masofani qancha vaqtda bosib o'tadi?
A Tekis harakatda bosib ohilgan yodning s= vt formulasiga asosan:
1,5 * 1011 = 3-IO8 • /,
bu yerdan t = = 0,5 • 103 = 500.
J a v о b : 500 s = 8 min 20 s. ▲
Mashq lar
Ko'paytmani daraja shaklida yozing (146—152):
146. 1) З5- 34; 2) 72 • 74; 3) 63 • 6; 4) 5-55.
fi Y(i a
147. 1) c3 • c2; 2) a3 • a4; 3) \-a -a ; 4) (3Z>)(3Z>)6.
148. 1) (-2)2- (-2)3; 3) (4),5)4 • (4),5)2;
2)(-3)2-(-3)2; 4) (—1,2)3 • (-1,2)4.
149. 1) 23 • 22 • 24;
2) 32 • 35 • 33;
150. i) (i,3)2-(i,3)-(i,3)5;
151. 1) (-2,5a)3- (-2,5a)8;
( 5x Y ( 5x Y .
2)
152. 1) 44 • 45;
3) c28 cn;
3) (-5)6 • (-5)3 • (-5)4;
4) (-6)3- (-6)2- (-6)7.
3) ///;
4) b6 Z)8 b.
3) (x—a)7(x—a)10;
4) (/2+m)15(^+?w)5.
2) 38 • 3";
4) an a13(n — natural son).
62
153. Darajani bir xil asosli ikkita darajaning ko'paytmasi shaklida yozing:
( 5 V
1) 34; 2) - ; 3) y3; 4) 5) (-x)17; 6) (-11Z>)43.
v J
Sonlarni asosi 2 bolgan daraja shaklida yozing (154—157):
154. 1) 32; 2) 4; 3) 2; 4) 128.
155. 1) 16; 2) 64; 3) 256; 4) 1024.
156. 1) 2 • 26; 2) 24 23 • 27; 3) 8 • 27; 4) 16 • 25.
157. 1) 27 -128; 2) 210 • 32 • 256; 3) 2n • 8; 4) 16 • 2n (n — natural son).
Sonlarni asosi 3 bodgan daraja shaklida yozing (158—161):
158. 1) 9; 2) 3; 3) 27; 4) 81.
159. 1) 729; 2) 243; 3) 3 • 34; 4) 36 • 3.
тд/g) j? Sonning o‘nli yozuvidagi oxirgi raqam nechagateng:
$ = ® 846847; 2) 19871987; 3) 19981"8; 4) 20092°°9?
160. 1) 35 • 317 • 3; 2) 32 • 311 • 35; 3 ) 35 - 27 ; 4) 81 • 32.
161. 1) 3”- 32; 3) 3n+1 • 81;
2) 3*3”; 4) 27 • 3n (n — natural son).
Bodinmani daraja shaklida yozing (162—164):
162. 1) 710 : 78; 2) 43: 4; 3) (0,2)4: (0,2)3; 4) 1012: 104.
Z 9 A8 Z g A5 ( I A18 ( 1 317
163. 1) --I : I ; 2)1—1 : - I ; 3) x21 : x7; 4) rf24: rf12.
<3yV
164. 1) И : И ; 3) (a -by: (a - b)5;
\ 4 J \ 4 J
2) (2л)5: (2л)3; 4) (m + л)10: (m + n)5.
Sonlarni asosi 2 bolgan daraja shaklida yozing (165—166):
165. 1) 23: 2; 2) 24: 4; 3) 64 : 4; 4) 32 : 23.
63
166. 1) 8 : 22; 2) 256 : 32; 3) 4) у.
Sonlami asosi 3 bo'lgan daraja shaklida yozing (167—168):
167. 1) 35: 32; 2) 34: 3; 3) 34 : 9; 4) 27 : 32.
168. 1) 243 : 27 ; 2) 81 : 9; 315 T; 38 4) F'
Hisoblang (169-171): 169. 1) 2) 3) o5 ol0 4) 5s-57 54-5’'
170.1) 2) 3) 24-26-23 2s-27 ’ 4) 36-33 35-3-3’
171. 1) 2) (_6)7; 3) — • 4) 34-23’ } 36-27 6s
Tenglamani yeching (172—174):
172. 1) x : 32 = 33; 2) x : 24 = 22; 3) x • 26 = 28; 4) x • 35 = 38.
173. 1) 55x = 57; 2) 46x = 48; 3) 38: x= 38; 4) 211: x = 29.
174. 1)^ = 22; 2) У = 33; 3) - = 25; 4)^ = 3’-
2 3 xx
Ifodani asosi a bo‘lgan daraja shaklida yozing (175—177):
175. 1) (fl5)6; 2) (a8)7; 3) (a2)5a8; 4) a5(a2)8.
176. 1) a7 a5 (a2)4; 2) a3 (a3)3 a3; 3) (a3)2 a4 (a4)3; 4) a5 (a3)4 (a2)3.
б?3)5#4 <28(i24)4
177. 1) (a7)5:(a3)4; 2) (a6)4: (a3)5; 3) 4^ 4)
a )
178. n ning qanday qiymatida tenglik to‘gcri bodadi:
1) 3n = 9; 2) 128 = 2й; 3) (22)” = 16; 4) (3й)2 = 81?
Sonlami kohsatkichi 2 bo‘lgan daraja shaklida yozing (179—181):
179. 1) 0,01; 2) |j; 3) 1T 4) 0,0004.
36 16
64
2 Г
180. 1) 54; 181. 1) a4; 2) 76; 2) *6; 3) (-0.7)14; 3) c10; 4) 1- 4) x20 7
Ko'paytmani darajaga ко daring (182—187): z .
182. 1) (3 5)4; 2) (7 • 6)5; 3) (1,3 8)5; 4) 4- l 7 J
183. 1) (2fl)3; 2) (3x)4; 3) (-4x)5; 4) (-8*) 2
184. 1) (ax)7; 2) (6y)6; 3) (2,5crf)2; 4) (3nm) 3.
185. 1) (aZ>c)4; 2) (x«z)7; 3) (3-5-11)8; 4) (2-4-9)9.
186. i) (У)2; 2) (fl2*)3; 3) (2*4)5; 4) (0,1c3)2.
187. 1) (10«2m3)3; 2) (8a4*7)3; 3) (—2,3a3*4)2; 4) (— 2nm3 )4
Ko'paytmani 32# = (3 b)2 namunaga qarab daraja shaklida yozing
(188-190):
L 1) 45x5; 2) 23a3; 3) 5474; 4) 2535.
189. 1) fl2; 2) (3,4)4*4; 3) (-l,2)3y3; 4) fl2. V 7 \ 3 7
190. 1) 16a2; 2) 81г2; 3) 97n7m7; 4) 153a3Z>3.
Ifodani ko'rsatkichi 2 bo'lgan daraja shaklida yozing (191—193):
191. 192. 1) c2^10; 1) a4Z)6c2; 2) fl4Z>6; 2) хУг8; 3) 25a4; 3) 49xV; 4) 81m2. 4) 100c8x6.
193. 1) 0,25fl10Z>6; 2) 0,49«2m10; о \ 49 12 14 3) —x у ; ol 4) —Л16. 7 625
Ifodani kodsatkichi 194. 1) a6; 2) 195. 1) (-0,2)12; 2) 196. 1) x3/; 2) 197. 1) -27a3; 2) 5 — Algebra, 7- sinf 1 H- | CT g 4, 'C W 1 Ю " 4s gan daraja shaklida yozing (194—197): 15 3) 515; 4) 46. ; 3) -0,125; 4) -0,001. 3) Z>9c12^; 4) х12УУ. DZ>6; 3) -125«6m6; 4) -0,008х3/. 65
Hisoblang (198-202): 3) (-0,125)“8“; ( л V 4) (-0,2)555. 14“ 23-73 '
1) 199. 1) 2) 200. 1) (0,25)’4’; 2) f (-0,25)’(-4)’; ZL\17
7 45 • 12 35 3 .7 5 5
3) 4) 3) 10s 25-5 (8,5)4; (4,5)5. 4)
< 7> 2s-3s 65 •(-3,5)4 2)
612-412 410 •310 I4 )4 416
201. 1) З12 -812 2) 210 •610’ 3) 34-5 M5; 4) r
8-273 2 8-(7Ъ 4 162. 35 29-(22)5
202. 1) 38 2) - 14 7 5 3) 124 ; 4) (25)3
Kasrni darajaga ko'taring (203- 206):
<2 V f 5' p V pV
203. 1) J J; 2) ^7 5 / 3) ; 4) W'
13'
204. 1) ; 2) n. \4' 5 / 3) ; 4) / ,c /
[ 3c p3> 7 pp3
205. 1) 2b 2) [ 5c 3) 32 ; 4) 74
< J
( a + b f 7 \2 / \5 m + n ( a + b^
206. 1) < 3 ; 2) / p + c 5 J 3) m- ; 4 n) ^a-b )
Kasrni daraja shaklida yozing (207—209):
3 7 25 m3 57
207. 1) 4 75 2) ? 3) 7’ 4) a1
X 6 a3 25 49
1) У 2) 7 3) 36’ 4) 100'
(2b? (4л )4 1 -1
209. 1) ( 3b)2 ’ 2) (3y )4 3) 2s’ 4) 27’
66
Hisoblang (210-211):
210.
211.
212.
1) Yeming massasi 6*1024 kg ga teng. Quyoshning massasi
2-1030kg. Yeming massasi Quyoshning massasidan necha marta
kam?
2) Yerdan Sirius deb nomlanuvchi yulduzgacha bolgan masofa
83 000 000 000 000 km. Yoruglik nuri Yerdan Siriusgacha necha
yilda yetib borishini taqriban hisoblang.
213. Ifodaning qiymatini toping:
1) —— , bunda b = -2' 2) —r~, bunda a = -3.
2b a -3
214. Ifodani daraja shaklida yozing:
„,6/1-4 „4/1+1
J) ^3/1+4 . ^и+2. 3) <2 a
а5п~I) 2
2) з4и+3.з3«-2 ;32ral; 4) —^4— (л—natural son).
215. п ning qanday qiymatida tenglik to‘gcri bodadi:
1) (44Г = 412; 2) (5й)2 = 514; 3) 22и = 45; 4) 3(32)" = 311 ?
216. Ko'paytmani darajaga kortaring:
1) (8aW)3; 2) (9xVf)2; 3) (-l,2%yf)2; 4) (-l,2a3Z>2c4)5.
217. Ifodani asosi a bodgan daraja shaklida yozing:
Q \ Cl Cl .
5 8 ’
a a
218.
8 5
a a
I) ~1~6 5
a a
Sonlardan qaysi biri katta:
1) 544 mi yoki 2112 mi;
2) 1020 mi yoki 2010 mi;
3) 10020 mi yoki 900010 mi;
4) 620 mi yoki 340 mi?
67
219. Hisoblang:
220.
2 - 522 - 9 - 521.
) 25io
S. ?32 - 4. ?30
2) —;
Tenglamani yeching:
1) x:l,75 = 7,125-3-1;
8
_ 5 1 17
7 12 18 12
(4-322 +7-321)-57.
(19-274)2
5(3-715-19-714)
4) 716+3-715 ’
3) 18,9: x = 0,021-100;
4) 754,5: (37,1 +x) = 15.
221. Sonni standart shaklda yozing:
1) 26 000; 2) 8 647 000;
3) Yerdan Quyoshgacha bodgan masofa 149 500 000 km.
______i____________________________________________________
ll-§ / Birhad va uning standart shakli
Turli masalalami yechishda ko'pincha ab, -abc,3a2b koTinish-
dagi algebraik ifodalarga duch kelinadi. Masalan, odchamlari 5- rasm-
da koTsatilgan sovitkichli mashina sig'imi 3abc ga teng.
3abc ifoda birinchisi raqam bilan, qolgan uchtasi a, b, c harflari
bilan belgilangan toTtta ko'paytuvchining ko'paytmasidir.
туп Raqamlar bilan yoziIgan ko‘paytuvchilar sonli ко‘paytuvchilar,
harflar bilan belgilangan ко‘paytuvchilar esa harfiy ko‘paytuvchilar
deyiladi. Sonli va harfiy ko‘paytuvchilar ko‘paytmasidan iborat
algebraik ifoda birhad deyiladi.
Masalan, ushbu ifodalar birhadlardir:
_ . • За abc, (~4)a 3ab, ±-a(-0,3)bab.
1 Teng ko'paytuvchilar ko'paytmasini
’ b natural kohsatkichli daraja shaklida yozish
• mumkin bohganligi uchun sonning dara-
jasi va sonlar darajalarining ko'paytmasi
ham birhadlar deyiladi. Masalan, ushbu
5- rasm. ifodalar birhadlar bohadi:
68
/а\2 (
- , (-7), c5, 4й2, -- a2b.
к 4 7 к 2 J
Har bir sonni shu son bilan birning ko'paytmasi shaklida yozish
<2
mumkin bodgani uchun a, 2, - kohinishdagi ifodalar ham birhad-
lar deb hisoblanadi. 8
Masala. Birhadning qiymatini hisoblang:
16ac • (0,5)a • (0,25) 6,
1 9
bunda zz = —, 6 = 34, c = —.
3 17
Д Harflarning qiymatlarini birhadga qo'yib, uning qiymatini
topamiz, ya’ni yettita sonning ko'paytmasini hisoblaymiz:
1 9 1
16 • - • — • 0,5 • - • 0,25-34.
3 17 3
Sonlaming birinchisini ikkinchisiga, ular qanday yozilgan bodsa,
xuddi shu tartibda ko'paytirish mumkin:
it; 1-16. 16 n s_ 24.
° * 3 “ 3 ’ 3 ' 17 “ 17’ 17 *u’ “ 17 ’
24 1 =_8_. _8_ J-=2_. A 34 = 4
17 ' 3 17’ 17'4 " 17’ 17
Ko'paytirishning о bin almashtirish va guruhlash qonunlarini qollab,
hisoblashni qisqacha bajarish ham mumkin:
16яс(0,5) a (0,25) b = (16 • 0,5 • 0,25) {a a)bc = Ic^bc.
Endi a~~> 6 = 34, c = l bodganda 2a2bc birhadning qiymatini
topamiz:
Masalani ikkinchi usul bilan yechishda berilgan birhad ancha sodda
ко‘rinishda yozilgan edi: 2a2bc. Bu — birhadning standart shakliga misol.
!?! 51 Umuman, birinchi o'rinda turgan faqat bitta son ko'paytuvchidan
* va har xil asosli harfiy darajalardan tuzilgan birhadni standart
shakldagi birhad deyiladi.
69
7П
Наг qanday birhadni standart shaklda yozish mumkin. Bu-
rning uchun barcha son ko'paytuvchilarni o'zaro ko'paytirish va
ularning ko‘paytmasini birinchi o'ringa yozish kerak. So'ngra bir
xil harfiy ko'paytuvchilar ko'paytmasini daraja shaklida yozish
kerak. Harfiy ko'paytuvchilar ko'pincha, shart bo'lmasa ham, alifbo
tartibida joy lashti riladi.
Birhadning standart shaklida bir xil harflar yo'qligini eslatib
o'tamiz.
Standart shaklda yozilgan birhadning son ko'paytuvchisini shu
birhadning koeffitsiyenti deyiladi.
5 2
Masalan, 2a birhadning koeffitsiyenti 2 ga teng; -^ab birhadning
5 °
koeffitsiyenti - ga teng, (—2)a2b2c birhadning koeffitsiyenti (—7) ga
о
teng. Oxirgi holda birhadni qavssiz yozish mumkin:
(-7) a2b3c = -7a2b3c.
1 ga teng bodgan koeffitsiyent odatda yozilmaydi, chunki birga
ko'paytirgan bilan son o'zgarmaydi. Masalan, l-abc2=abc2, ya’ni abc2
birhadning koeffitsiyenti birga teng.
Agar koeffitsiyent (—1) ga teng bo "Isa, bu holda ham bimi va
qavslami yozmasdan, faqat«—» ishorasini qoldirish mumkin. Masalan,
(— V)abc =-abc, ya’ni -abc birhadning koeffitsiyenti -1 ga teng.
M as hqI a r
So‘z orqali aytilgan fikmi algebraik ifoda yordamida yozing (222—
224):
222. 1) a va b sonlar ko'paytmasining ikkilangani;
2) b va c sonlar ko'paytmasining uchlangani;
3) x va у sonlar kvadratlarining ko'paytmasi;
4) a son bilan b son kvadratining ko'paytmasi.
223. 1) m son kubi bilan p sonning ko'paytmasi;
2) a son kvadrati bilan b son ko'paytmasining uchlangani.
224. 1) t soatdagi sekundlar soni;
2) n metrdagi santimetrlar soni.
70
225. Kvadrat odchamlari 6- rasmda ko'rsatilganidek to‘rtta to'g'ri
to'rtburchakka bodingan. Shu tohlburchaklarning yuzlarini toping:
226. Birhadning son qiymatini toping.
3 з
1) - a , bunda a = -2;
2) 0,5Zj2, bunda Z> = -4;
3) 3abc, bunda a = 2, b = i, c = |;
4) ^pqr, bunda p = 1, q = 3, r = i;
5) у in (-0,2)w, bunda zn = 3,/i = -35;
6) iy(-0,3)x2, bunda у =-15, x = 6.
227. Birhadni standart shaklda yozing:
1) 3m2 m; 3) ab-0,5; 5) 52p^2(-4)piy;
2) z5z5z; 4) (-m)(-m3); 6) 23qp\-3)2 pq.
228. Birhadni standart shaklda yozing va son qiymatini toping:
1) acl2c, bunda a = c = 4;
3
1 2 3 3 1
2) 6a%b ba , bunda a = -2, b
71
229. (Qadimiy masala.) Hovuzga 4 ta quvur ohkazilgan bohib, birin-
chi quvur hovuzni bir kunda, ikkinchi quvur ikki kunda,
uchinchi quvur uch kunda, to'rtinchi quvur toht kunda toldiradi.
To'rtala quvur birgalikda hovuzni qancha vaqtda tohdiradi?
/
12-§ I Birhadlarni ko‘paytirish
I
Quyidagi masalani yechaylik.
Masala. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi V= abc
formulabo'yicha hisoblanadi, bu yerda a — parallelepipedning bo'yi,
b — eni va c — balandligi. Agar shu parallelepipedning bo'yini 5
marta, enini 2n marta, balandligini 3n marta uzaytirilsa, yangi paral-
lelepipedning hajmi qanday boriadi?
A Yangi parallelepipedning ohchamlarini topamiz: bo'yi 5a, eni
2nb, balandligi 3nc. Bu holda uning hajmi
V=(5d)\2nb)\3nc)
bohadi. ▲
(5a)-(2nb)-(3nc) ifoda quyidagi uchta birhadning ko'paytmasidir:
5a, 2nb, 3nc. Sonlami ko'paytirish qoidalariga koha bunday tenglikni
yozish mumkin:
(5a)-(2nb)-(3nc) = 5a -2nb -3nc = (5-2-3)(annbc) = 30n2abc.
Birhadlarni ko'paytirish natijasida yana birhad hosil bohadi va uni
standart shaklda yozib, soddalashtirish lozim, masalan,
(3a2b3c)-(4ab2) = 3a2b3C‘4ab2 = 12a3b5c.
Ikki yoki bir nechta bir xil birhadlarning ko'paytmasini, ya’ni
birhadning darajasini qaraymiz, masalan: (5a3b2c)2. Bu birhad 5, a3b2c
ko'paytuvchilarning ko'paytmasi bolgani uchun ko'paytmani darajaga
koharish xossasiga koha:
(5a3b2c)2 = 52(a3)2(b2)2c2= 25a6b4c2.
Xuddi shu kabi:
(2pq2)3 = 23p3(q2)3= fyfq6.
Birhadni natural kohsatkichli darajaga ko'tarish natijasida yana birhad
hosil bohadi.
72
Mashq lar
-237):
; 3) b2 (~3b3); 4) (~2a) a2;
3) (4«2)(6«3);
4) (-|z>3) (8Z>2).
3) (0,2/>) (-1,392);
( 3 ? V 5-13
4) --c --b .
' i 6
к ' Л ° )
3)
4) (6a2b)
(2 2/3 \ I 3 31 21
-a b x \-a bx ;
3 / \4 )
( 33 3V3 2
4) \~3a '
к 2 7 к4 7
3) (-1|х2/г)
4) ^2 i a2b5c3 j (-31 j.
7 1 к
2) (-18и) - - m2 j (~5mn);
4) (-13a2be) (~5ab2c) (~0,4abc3).
Birhadlami ko'paytiring 1
230. 1) (2a) (3b); 2) (3a
231. 1) (2/>) (-3c2);
2) (-5 m2) (-7n);
232. 1) f0’3"2
2) (-8m3) (0,25n);
233. 1) (За/>) (-2а2Д
2) (-4x2y) (-7xy2);
234. 1) (3a2b5c) (6a3 be2);
2) (7a5b2c) (~3ab4c);
235. 1) (-0,4х5Л2) (-1,2%k3);
2) (~2,5n4m5r2) (3nm2r5);
236. 1) (“j™2) (-24^) (4mn);
3) ay3 j x2yj (o,2<2 3x) ;
237. 1) (-a) (3b) (4a2b) (5ab2^;
2) (5a) (a2b2} (~2b) (~3a);
Birhadni darajaga ko'taring (238—241):
238. 1) (2a)3; 2) (5Z>)2; 3) (3Z>2)4; 4) (2a3)2.
239. 1) (-3aZ>)4; 2) (-4aZ>)2; 3) (-aZ>c)5; 4) (~2xyz)3.
240. 1) (-2a2Z>)3; 2) (-a2Z>c)5; 3) (-3x3_v)2; 4) (-2x2_i’3)4.
241. 1) 2) |bi2m2l ; 3) (-0,la3Z>3)3; 4) (0,4a3Z>2)2.
9 3
к 2 J '
Amallarni bajaring (242—243):
242. 1) (-2a)3 (-3a);
2) (-a)3 (2a);
/a A ( 1 Y
243. 1) -l-x3y2 --c2x2
I 5 JI 2 J
fol 3 V2 У
2) ^У2 1кУ ’
3) (-0,2/>c2)2 (20cx2);
4) (-0,la/>2c)2(100/>j>2).
3) (-3Z>c2)3 (2aZ>2)2;
4) (-2a2/>)2 (-a2/?3 )3.
244. Birhadni boshqa birhadning kvadrati shaklida yozing:
1) 9a2; 2) 16x4; 3) 25a2Z?4;
4) 81xV; 5) 36x10/; 6) l,21a8Z?4.
245. Birhadlarni ko'paytiring va hosil bolgan ifodaning qiymatini
toping:
1)
2)
3)
1 2 2 5
- a • 3ab, bunda a = -2, b = -;
3 7
2 7
-mn-W, bunda /22 = 0,8, /2 = 4;
1 2 2 1
4a — a b e, bunda a = 4, Z? = -;c = 3;
16 4
4) 0,7m2/2-100/2/?, bunda m = 0,3, n = -0,2,/? = 4.
246. (Qadimiy masala.) Baliqning uchdan bir qismi loyda, to'rtdan
bir qismi suv tagida va uch qarichi suv ustida. Baliqning uzunligi
necha qarich?
74
> Ko'phadlar
Algebrada ko'pincha birhadlaming yighndisi yoki ayirmasidan iborat
bohgan algebraik ifodalar qaraladi. Masalan, 7-й rasmda tasvirlangan
shaklning shtrixlangan qismining yuzi -ac + b ga teng, 7- b rasmda
1 2.2
tasvirlangan shaklning yuzi esa ab~c2 ga teng. -ac+b ifoda ushbu ikkita
1 2
birhadning yighndisi: -ac va Z>2; ab — c2 ifoda ab va c2 birhadlaming
ayirmasi yoki ab va ( — c2) birhadlaming yighndisi. Bu ifodalar
birhadlaming algebraik yighndisi bo ha di. Bunday ifodalar ко ‘phadlar
deyiladi.
7-rasm.
Bir nechta birhadning algebraik yig‘indisi ko‘phad deyiladi.
Ko'phadni tashkil qiluvchi birhadlar shu ko‘phadning hadlari
deyiladi.
Masalan, Snm2 — 3m2k—7nk2+4nm ko'phadning hadlari Snm2,
—3m2k, —7nk, 4nm bohadi.
Ikkita haddan tuzilgan ko'phad ikkihad deyiladi, uchta haddan
tuzilgan ko'phad uchhad deyiladi va hokazo.
Ikkihadga misollar: a2 — b2, Sab + 4c.
Uchhadga misollar: a + 2b — 3c, - bc+3ab.
Birhadni ham ko'phad deb hisoblaymiz.
75
Agar ko'phadning ba’zi hadlari standart shaklda yozilmagan bo"Isa,
u holda shu ko'phadning barcha hadlarini standart shaklda yozib, uni
soddalashtirish mumkin.
Masala. 2^4b - Sabac + 9bc i c ko'phadni soddalashtiring.
A Berilgan ko'phadning barcha hadlarini standart shaklda yozamiz:
2^4Z? = -Sabac = -5a2bc: 9bc-c = 3bc2.
3
1 J
Demak, 2a4b-5abac + 9bc-c = ^ab-5a2bc + 3bc2. ▲
3
M as h qI a r
247. Ko'phadni tashkil qiluvchi birhadlami ayting:
1) -2x2+3x-l; 3) 7a2-|/>-|c;
2) 4x2-3x + 6; 4) -Зя + 0,5х-2х2.
248. Ko'phadni birhadlarning yighndisi shaklida yozing:
1) 7zz4 — 9zz3 — 2zz +11; 3) l,6a3b-4a2b2 + 13ab3 -b4;
2) -6x5+3x4-12x2+ 5; 4) 2,5x4-18x3y-16x2y-3xy2.
249. Birhadlardan ko'phad tuzing:
1) 6x2, 7x va 9; 4) a5, -a4 va a;
2) 2x2, -llx va 3; 5) 8й, 4a2b, -lab2 va Z>3;
3) -x4,x3 va-x; 6) 4a3b, -la2b\ -Sab3.
250. Ko'phadni, uning har bir hadini standart shaklga keltirib,
soddalashtiring:
1) \.1a23ba-1ab3ab2+ Waba\
2) 2ab24ab-3a2^aba-2abab2\
3) 1,5xy2 (-4) xyz - 4mnk5m2nk;
( 1
4) 4cc2c -- bc + 5xy2xy2.
251. Ifodani, uning har bir qo'shiluvchisini standart shaklga keltirib,
soddalashtiring:
( 2 ]
1) 3aaa -\-ab +4xxx3xy;
3 .
76
2) l,5yyy(-4xyz)-4mnk-5m2nk\
Ч9 ,
-a2b .
2
4)
(2ab) ~a2b2
A
(Зй) -ab2
k9 )
252. Ko'phadning son qiymatini toping:
1) 2й3 + ЪаЬ + Z>2, bunda a = 0,5, ^ = |;
2) 2й4— ab + 2Z>2, bunda a =-l, b =-0,5;
3) x2 — 2xy + y2, bunda x = у =-4,2;
4) x2 + 2xy + y2, bunda x = 1,2, у =- 1,2.
253. Ko'phadni soddalashtiring va uning son qiymatini toping:
1) —aba + a2b2ab2 + 4, bunda a = 2, b = -‘,
1
2) b25ab — 5a5a2b, bunda a = ~, b =-2;
3) x2yxy — xy 2xy + xy, bunda x =- 3, у = 2;
4) xy 2x2y — xyxy, bunda x =-2, у = 3.
14- § / O‘xshash hadlami ixchamlash
Ushbu masalani yechaylik.
1-masala. Har bir sahifasida bir xil sondagi harflar bohgan
ikkita kitob bor; har bir sahifadagi satrlar soni n ta va har bir satrdagi
harflar soni m ta. Birinchi kitob 300 sahifalik, ikkinchisi 500 sahifalik.
Ikkala kitobda hammasi bo'lib nechta harf bor?
1- usul. Har bir sahifadagi harflar soni mn ta. Birinchi kitobda
300 nm ta harf, ikkinchisida 500 nm ta harf, ikkalasida esa
300™ + 500 nm = 800™
ta harf bor.
2- usul. Har bir sahifadagi harflar soni mn ga teng. Ikkala kitobdagi
sahifalar soni 300+500=800 ga, ulardagi harflar soni 800/2/72 ga teng.
Ikkala javob ham to'g'riligi ko'rinib turibdi, shuning uchun
300™ + 500 nm = 800™.
Ammo hisoblashlarda ikkinchi usul ancha qulay boladi. Masalan,
agar и = 40, m = 50 bo‘lsa, u holda nm = 2 000 va 300/2772+500/2772
ifodani hisoblash uchun yana uchta hisoblashni bajarish kerak:
300 • 2000 + 500 • 2000 = 600 000 + 1 000 000 = 1 600 000.
800/2722 ifodani hisoblash uchun esa bor-yocg‘i bitta amalni bajarish
kerak, xolos: 800 • 2000 = 1 600 000.
Mana shuning uchun ham algebraik ifodalami soddalashtirishni
bilish muhim ahamiyatga ega.
300/2772+500/27/2 ikkihad ikkita birhadning yighndisidan iborat:
300/2772 Va 500/2772.
Bu birhadlar bir-biridan faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiladi.
Bunday birhadlami obcshash birhadlar deyiladi. Masalan, abc va 3abc
birhadlar o'xshash, 2pq2 va 5q2p birhadlar ham o'xshash, lekin a2b va
ab2 birhadlar o'xshash emas.
Bir xil birhadlami ham o'xshash deb hisoblaymiz. Masalan, 2a2b
va 2a2b birhadlar o'xshash.
2- masala. 3ab — 2bc + 4ac — ab + 3bc +4ab ко‘phadnisodda-
lashtiring.
A O'xshash birhadlami ajratamiz: 3ab, -ab, 4ab birhadlar o‘x-
shash, ularning tagiga bittadan chiziq chizamiz, -2bc va 3bc о Ash ash
birhadlaming tagiga ikkitadan chiziq chizamiz. 4ac birhadga о Ashash
had yo‘q, uning tagiga chizmaymiz, ya’ni
3ab - 2bc + 4ac - ab_+ 3bc + 4ab .
Ko'phad hadlarining o'rinlarini o'xshash hadlar yonma-yon turadigan
qilib almashtiramiz va о Ashash hadlami qavs ichiga olamiz:
(3ab - ab + 4ab) + (~2bc + 3bc) + 4ac.
Ammo
3ab - ab + 4ab = (3 - 1 + 4)ab = 6ab,
-2bc + 3bc = (-2 + 3)bc = be
bolgani uchun
3ab - 2bc + 4ac - ab + 3bc + 4ab = 6ab + be + 4ac. ▲
78
Ko'phadlarni o‘xshash birhadlar algebraik yig'indisi bitta birhad
bilan almashtiriladigan bunday soddalashtirish o‘xshash hadlarni
ixchamlash deyiladi.
Qab + be + 4ac ko‘phadda har bir had standart shaklda
yozilgan vaularorasidao‘xshash hadlaryo‘q. Ko‘phadning bunday
shakli standart shakldeyiladi.
Har qanday ko‘phadni standart shaklda yozish mumkin.
Buning uchun avval ko'phadning har bir hadini standart shaklda
yozish vaso‘ngrao‘xshash hadlarni ixchamlash kerak.
3 - m a s a 1 a. Ko'phadni standart shaklga keHiring:
6аЬ-ас-Заса-8a2-b + 25а2 -c + aba- а2Ьс.
3 2 5
A bob -ас- Заса - 8л2 i b + 25л2 - с + аЬа - а2Ьс =
3 2 5
= 2а2Ьс - За2с - 4л2 b + 5а2 с + а2Ь - а2Ьс =
= (2а2 Ьс - а2Ьс) + (-За2 с + 5а2 с} + (-4а2 b + а2Ь) =
= а2Ьс + 2а2с - За2Ь. ▲
Mashq lar
254. O'xshash hadlami ixchamlang (254—255):
1) 2) 1 1 1 -Х + -Х4--Х; 3 2 6 5 1 1 уУ-^У-уУ\ 6 3 6 3) 4) Зл 1л 1 л 1 л -у у +—у --у ; 2 16 32 4 3 2, 5 2, , 1 2, 3 2, -а Ь--а Ь + ~а Ь- — а Ь. 2 8 8 16
255. 1) 2m+ q +q-4m; 3) х2 +3у2 +4х-у2;
256. 2) За + 2Ь-Ь-а\ 4) 5а2 -4b2 - За2 +b2. Ko'phadni standart shaklga keHiring (256—261): 1) 1 lx2 + 4x - x2 - 4x; 3) 0,3c2-0,1c2-0,5c3; 2) 2/-3y + 2y-2/; 4) 1,2a2 + 3,4a2-0,8a2.
79
257. 1) -х2 ~-у + -х2+-у; 2) -я2 + -b2 + -а2 --Ь2
7 3 3 3 3 ’ 5 4 5 4
3) lab + 0,762 - Sab +1,1Ь2 + Sab;
4) 5ху-3,5у2-1ху + 1,3у2-ху.
3 2 2 5 2 1
258. 1) ~-ху + -ху + ху--ху--ху;
2) -ab2--ab2+-a2b--a2b--ab2\
’ 2 8 4 8 2
3)-9,387^-3,896+8,197я-1,116-0,81я;
4) 8,53х-4,73у-5,12х + 2,27у + 0,59х.
259. 1) la2b-Sb2 + 5а26 + 5с2 -362 + 4с2;
2) Зху2+ 4х3 *-5х2у-Зх3+4х2у-9ху2;
3) -ab + -a2--Ь3+-ab--a2+ -Ь\
7 7 8 5 7 8 5
3 э 2 1^8 2 э 3 т 1
4) -ab2—ab + -a3 +-ab + -ab2—а3+-а3.
7 5 3 4 3 5 4 2
260. 1) 5636-4с36-562с-4с (-2) с;
2) 686-3с86 + 5с6-3с5с;
3) Ба21а2 + 5Ь21а2 -6а24Ь2 -562462;
261.
4) 2х2iу-^й63й + 1^у-х2 + aab.
7 2 3 4 5
1) -9й2^6 + й26 + 24й2—с;
3 4
2)
3)
4)
lab -ас- 4аса - й26с;
3
4x2iy-|iz69iz + 4y |-х2 +aba\
1 ? А1 А 1 А1 А
5а-Ь + -а -Ь2 -56(0,5л) — а2 —ab
2 3 ^4 J 3 ^15 J
80
15-§ f Ko‘phadlarni qo'shish va ayirish
I
0‘lchamlari 8- rasmda kohsatilgan uch-
burchakni qaraymiz. Uning Pperimetri to-
monlar uzunliklarining yighndisiga teng:
P = (2a + 3b) + (4a + b) + (2a + 4b).
Bu ifoda quyidagi uchta ko'phadning yighn-
disidir:
2a + 3b, 4a + b, 2a + 4b.
Qavslarni ochish qoidasiga koha bunday yozish mumkin:
P = 2a + 3Z>+ 4a + b + 2a + 4b.
O'xshash hadlarni ixchamlasak,
P = Sa + Sb
tenglik hosil bohadi.
Ko'phadlaming istalgan algebraik yighndisi ham xuddi shunga
o'xshash soddalashtiriladi, masalan,
(2n2 - m2)- {n2 - m2 + 3q2) = 2n2 -m2 - n2 + m2 - 3q2 = n2 -3q2;
(3ab - 4bc) + (be - ab) - (ac - 3bc) =
= 3ab - 4bc + bc-ab -ac + 3bc = 2ab - ac.
Bir nechta ko'phadlami qo'shish va ayirish natijasida yana ko'phad
hosil bohadi.
Bir nechta ko‘phadning algebraik yig‘indisini stand art
shakldagi ko‘phad ko‘rinishida yozish uchun qavslarni ochish va
0‘xshash hadlarni ixchamlash kerak.
Ba’zi ko'phadlaming yighndisi yoki ayirmasini sonlami qo'shish
va ayirishga o'xshash «ustun» usulida topish qulay boladi. Bunda o'xshash
hadlar birining ostiga ikkinchisi turadigan qilib yoziladi, masalan,
6 — Algebra, 7 - sinf
5a-4bc + 3ac
D + 3bc-7ac .
5a-bc-4ac
Sabo - 2ab + 4ac - be
- 3abc-3ab- ac + 3bc
2abc + ab + Sac- 4bc
Mashq lar
Ko'phadlaming algebraik yig'indisini toping (262—267):
262. 1) 8a+(-3b+5a);
2) 5x-(2x-3y);
263. 1) 3x2-(4x2 + 2y);
2) 2a2-{b2-3a2);
3) {6a-2b)-{5a + 3b);
4) (4x+2)+(-x-l).
3) 0,6л2 -(0,5л2 -0,4я);
4)
llz>2-f2Z>2-Ui.
2 4 J
264.1)
2) (0,1c-0,4c2)-(0,1c-0,5c2) ;
3) (13x-11j> + 10z)-(-15x+10j>-15z) ;
4) (17a + 12Z>-14c)-(lla-10Z>-14c).
265. 1) (7m2-4mn-n2) - {2m2-mn + n2);
2) (5iz2 -llab+Sb2)+{-2b2 -7 a2 +5ab);
3) 116ZC + 13/>c + 17/>2-(106ZC + 10/>c-3/>2);
4) 41z + 13az + 26az2~(16z + 13az~4az2).
1 7 (5 2 7
266. 1) + +(a + b);
2) (0,Зй-1,26) + {a-b)-{1,3a-0,2b);
3) ll^3-2р2-{р* -p2)+{-5p2-3p3);
4) 5x2+6x3+ (x3-x2)-(-2x3+4x2).
82
267. 1) (-2х3 + х/) + (х2у-1) + (х2у-ху2 + Зх3);
2) (Зх2 + 5ху + 1х2у) - (5ху + Зх2) - (7х2у - Зх2);
3) (8я2 -10ab-b2} + (-6а2 +2ab-b2}-(a2 -8ab + 4b2};
4) (4я2 -2ab-b2}-(-a2 + b2 -2ab} + (Зя2 + b2 -ab).
268. Ko'phadlaming yigdndisi va ayirmasini toping:
1) 0,lx2+ 0,02/ va 0,17x2-0,08/;
2) 0,lx2-0,02/ va-0,17x2+ 0,08/;
3) a3-0,12Z>3 va 0,39я3-Z)3;
4) / +0,12Z>3 va-0,39я3 + b3.
269. Ko'phadlaming yigdndisini «ustun» usulida toping:
1) 3ab + a2 - 2b2 va 2a2-3ab;
2) 3x2+2x^-4/ va 4/ -2xy + 3x2/ -x3.
270. Ko'phadlaming ayirmasini «ustun» usulida toping:
1) Зя2+ 8*2-4 va 3 + 8я-5я2;
2) b3 - 3b2 + 4b va b + 2b2 + b3.
271. 1) Agar P = 5a2 + b, Q= -4a2- b bodsa, P + Q ifoda nimaga
teng?
2) Agar P = 2/ - 3/ Q = 2/ - 4<f bodsa, P - Q ifoda nimaga
teng?
3) Agar A = a2 - b2 +ab, B= 2d2 +3ab -5b2, C = -4a2 + 2ab -
3b2 bodsa, A + В + C ni toping;
4) Agar A = 2a2 - 3ab + 4b2, В = Зя2+ 4ab - b2, C = d2 + 2ab +
3b2 bodsa, A - В + C ni toping.
272. Isbotlang:
1) beshta ketma-ket natural sonning yigdndisi 5 ga bodinadi;
2) to'rtta ketma-ket natural sonning yigdndisi 4 ga bodinmaydi;
3) to'rtta ketma-ket toq natural sonning yigdndisi 8 ga bodinadi;
4) to'rtta ketma-ket juft natural sonning yigdndisi 4 ga bodinadi.
273. Avtobusda n nafar yodovchi bor edi. Dastlabki ikki bekatning
har birida m nafardan yodovchi avtobusdan tushdi, uchinchi
83
bekatda esa hech kim tushmadi, lekin bir necha kishi avtobusga
chiqdi, shundan so "ng avtobusdagi yodovchilar soni к nafar
bo‘ldi. Uchinchi bekatda avtobusga necha kishi chiqqan?
/
г
16-§ ! Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish
9-rasm
Odchamlari 9- rasmda kohsatilgan to‘gcri
burchakli parallelepipedni qaraymiz. Uning
hajmi asosining yuzi bilan balandligining
ko‘paytmasiga teng:
(a + 2b + c)(3ab).
Bu ifoda a + 2b + c ko'phad bilan 3ab
birhadning ko'paytmasi bo‘ladi.
Ko'paytirishning taqsimot qonunini qo‘l-
lab, bunday yozish mumkin:
(a + 2b + c)(3ab) = a(3ab) + 2b(3ab)+
+c(3ab) = 3a2b + 6ab2 + 3abc.
Istalgan ko'phadni birhadga ko'paytirish
ham xuddi shunday bajariladi, masalan:
(2n2m-3nm2} (-4nm) = (2n2mj (-4nm) + (-3nm2} (~4nm) =
= -8w3m2 +12w2m3;
(3a2 -4ab+5c2} (~5bc) = 3a2 (-5bc)-4ab (~5bc) +
+5c2 (~5bc) = -15a2 be + 20ab2c - 25bc3.
ття
Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish uchun ko‘phadning har bir
hadini shu birhadga ko‘paytirish va hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni
qo‘shish kerak.
Ko'phadni birhadga ko'paytirish natijasida yana ko'phad hosil bo‘-
ladi. Hosil bolgan ko'phadni uning barcha hadlarini standart shaklda
yozib, soddalashtirish kerak. Oraliqdagi natijalami yozmasdan, bir-
hadlami og'zaki ko'paytirib, birdaniga javobni yozish ham mumkin,
masalan,
84
(- 3ab + 2а2 - 4b2 ) | - - ab | = -a2b2 - a3b + 2аЬ3.
\ 2 ) 2
Birhadni ko'phadga ko'paytirish ham shunga o'xshash bajariladi,
chunki ko'paytuvchilaming o'rinlarini almashtirish bilan ko'paytma
o'zgarmaydi, masalan, 4pq(3p^- q + 2) = 12/?# - 4p#2+ %pq .
Mashq lar
Ko'phad va birhad ko'paytmasini toping (274—278):
274. 1) -5(10 + m) 5
2) ~l- (-2 + x);
2 ( i A
3) (2y-5) -- ;
к 1)
4) (~2m + 3ri) (-10);
275. 1) (a-b)n;
2) (-5x + 4у)2г;
276. 1) 7aZ>(2a + 3Z>);
2) 5a2 b (15Z> + 3);
277. 1) 17a(5a + 6b-3ab);
2) 8ab(2b-3ac + c2);
278. 1) И 3 ) a3b2 -~abA 42 4 J ъ | co
3) ( 4 3 1-л3х3 - 2-a 7 4 2x3 -1 \ax
5) 2(Зй2-4й + 8);
( О
6) -- (m-n + p);
к 3 7
7) (3a-5b + be) (-3);
8) (-5) (3x3 + 7x2 - x).
3) -6x(5y-2x);
4) (x2-x + l)x.
3) 12p2q(q2p-q2);
4) 3xy2 (xy -2x3).
3) 3x2y (5x + 6y + 7z) J
4) xyz(x2 +2y2 +3z2)^
2) (-а2ЬА+-а2ь\-аЬ3;
7 3 2 J 2
г.б a
-2 — ax .
11 )
3) -2(3x-2y)-5(2^-3x);
Ifodani soddalashtiring (279—281):
279. 1) 6 (2/ -3n) -3(3/ -2n);
2) 5(a-b) -4(2a-3b); 4) 7 (4^ + 3)-6 (5 + 7^).
85
280. 1) (x2-l)3x-(x2-2)2x;
2) (4a2-3Z>)2Z>-(3a2-4Z>)3Z>;
3) 2 (3a+4)+3 (а-7)-7 (2а-7);
4) 3 (2х-1)-5 (х-3)+6 (Зх-4).
281. 1) 5 (0,8)1-0,1)-0,7 (4)1 + 1)+8 (0,7-0,4ji);
,61 ,13 „61 13 561 134
2 А 3 — х —1 — +2 -х + - ; за - -Х-- -
' {2 2 J [4 2 J 4^5 5 J 5
4) 0,2 (5у + 6) - 4 (0,25у -1,3) + 5 (0,1у -1,62).
282. Algebraik ifodaning qiymatini toping:
1) 7 (4a + 3b) -6 (5a + 7b), bunda a = 2, b = -3;
2) a (2b + 1)-Z> (2я-1), bunda a = 10, Z> = -5;
3) 3ab (4л2 -b2) + 4ab (b2 -3л2), bunda a = 10, b = -5;
4) 4я2 (5a - 3b) - 5a2 (4a + b), bunda a = -2, b = -3.
_______j______________________________________________
17-§ ! Ko'phadni ko‘phadga ko‘paytirish
I
Ushbu masalani qaraylik.
Masala. Olchamlari 10- rasmda ko'rsatilgan shkaflar bilan band
devor sirtining yuzini toping.
A Shkaflar bilan band bodgan devoming sirti tomonlari
2^+ c + 2a = 4a+ c va a + b+ a = 2a + b
bolgan tocgcri to'rtburchakdan iborat. Bu to'g'ri to'rtburchakning
yuzi S= (4a + c)(2a+b) ga teng. ▲
(4a+c)(2a+b) ifoda (4a+c) va (2a+ b) ko'phadlaming ko'payt-
masidir.
86
Sonlami ko'paytirishning taqsimot qonunini qollab,
S = (4a + c)(2a + b) = 4a(2a + b) + c(2a + b)
kabi yozish mumkin. So'ngra, 4a(2a + b) = 8^2 + 4ab va c(2a + b) =
= 2ac + bc bohgani uchun S = 8a2 + 4ab + 2ac+ be.
Shunday qilib, mazkur ko'phadlarning ko'paytmasini topish uchun
4a + c ko'phadning har bir hadini 2a + b ko'phadning har bir hadiga
ko'paytirish va natijalami qo'shishga to'g'ri keldi. Ixtiyoriy ikkita ko‘p-
hadni ko'paytirish ham xuddi shunday bajariladi, masalan,
(In - 2m) (3n - 5m) = (7ri)- (3n) + (7ri)- (-5m) + (-2m) • (3n) +
+ (-2m)(-5m) = 21и2 -35ит-6ти + 10т2 = 21и2-41nm + 10m2.
Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish uchun birinchi ko‘phadning
har bir hadini ikkinchi ko‘phadning har bir hadiga ko‘paytirish va
hosil bolgan ko‘paytmalarni qo‘shish kerak.
Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish natijasida yana ko'phad hosil bo‘-
ladi. Hosil qilingan ko'phadni standart shaklda yozish kerak. Bunda
birhadlami ko'paytirishni og'zaki bajarib, oraliq natijalarni yozmaslik
mumkin, masalan,
(2a-4b + 3c)(5b-c) = 10ab-2ac-20b2 +4bc +
+15bc -3c2 = 10ab- 2ac - 20d2 + 19Z?c - 3c2.
87
Bir nechta ko'phadni ko'paytirishni navbatma-navbat bajarish kerak,
masalan,
(a + b)(a + 2b) [a - 3b) = (a2 + 3ab + 2b2) (a - 3b) =
= a3 - 3a2 b + 3a2b - 9ab2 + 2ab2 - 6b3 = a3 - lab2 - 6b3.
Mashq lar
Ko'phadlami ко "pay tiring (283—291):
283. 1) (a+ 2) (fl + 3);
2) (г-1) (г + 4);
284. 1) (c-4)(d-3);
2) (a-10) (-a-2);
285. 1) (2x + l)(x + 4);
2) (2a+ 3) (5a-4);
(i Vi )
286. 1) ~a + ^b ~a~^b ;
V2 /V2 )
2) (0,3-м) (m+0,3);
287. 1) (a2+Z>) (a + Z>2);
2) (5x2 - 6y2) (6x2 - 5y2);
3)(m + 6) (a-l);
4) (b + 4) (c + 5).
3) (x + y) (x+1);
4) (-/>+?) (-1-$)-
3)(3m-2) (2m-1);
4) (5p-3q) (4p-q).
(i Vi 4
3) -a-2b -a+2b ;
V JV J
4) (0,2a + 0,5x) (0,2a-0,5x).
3) (я2 +2b) (2a + b2);
4) (x2 + 2x + l) (x + 3).
288. 1) (2a-b) (4л2 +2ab + b2);
2) (3a- 2b) (9a2 + 6ab + 4/>2);
3) (5x + 3y) (25x2-15xy + 9y2);
4) (3a + 2b) (9a2 - 6ab + 4/>2).
289. 1) (5c-4y) (-8c-2x + 6y); 3) (4x-3y + 2z) (3x-3y);
2) (4b-c) (-5b + 3c-4y); 4) (3a - 3b + 4c) (3a-5b).
88
290. 1) (0.2.v + 0.2y-;) (л -г): 3) + (60т + 12);
2) (0,3x-0,3y + z) (х + у); 4) (0,1«2-0,3« +1) (3«2-10).
291. 1) (а-b) (« + Ь) (а-ЗЬ); 3) (х + 3) (2х-1) (Зх + 2);
2) (а + b) (а-Ь) (а + ЗЬ); 4) (х-2) (Зх + 1) (4х-3).
292. 1) (5х- 1)(х+ 3) - (х- 2)(5х- 4) ifodaning qiymati х = 2у Ьо‘1-
ganda 49 ga tengligini ko'rsating;
2) (a + 3)(9«- 8) - (2 + a)(9a- 1) ifodaning qiymati « = -3,5
bolganda - 29 ga tengligini ko'rsating.
293. Ifodaning qiymatini hisoblang:
2 1 1
n--n+-
2 4
2 1 1
n +-П+-
3 9
294. 1) ABCD to‘gcri to'rtburchakning (11-rasm) yuzi
(a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd
ekanligini kohsating.
2) ABFE to‘gcri to'rtburchakning (12-rasm) yuzi
(a + b) (c-d) = ac+bc-ad-bd
ekanligini ko‘rsating.
В E c ££_____________________________
11- rasm.
12- rasm.
89
18-§ ! Birhad va ko‘phadni birhadga bo‘lish
/
Bir nechta birhad va ko'phadlami qo'shish, ayirish, ko'paytirish va
natural kohsatkichli darajaga kodarish natijasida yana ko'phad hosil
bodishi oldingi paragraflarda kohsatildi. Sanab ohilgan bu amallar ichida
bo dish amali uchramadi. Bodish amalini o‘z ichiga olgan ifodalar V
bobda batafsil qaraladi. Ba’zan bodish natijasida ham ko'phad hosil
bodadi.
1. Birhadni birhadga bodish
Masala. 32a3b2 birhadni 4я2 birhadga boding.
Sonni sonlar ko'paytmasiga bodish xossasidan foydalanamiz:
sonni ko'paytmaga bodishda shu sonni ko'paytmaning birinchi koc-
paytuvchisiga bodish kerak, so'ngra hosil bodgan natijani ikkinchi
ko'paytuvchiga bodish kerak va hokazo. Natijada
(З2д3#2) : (4a2) = ((З2а3й2) : 4) : a2.
Endi ushbu qoidani qodlaymiz: ко ‘paytmani songa bo ‘lishda ко ‘payt-
maning ко ‘paytuvchilaridan birini shu songa bo ‘lish kerak. U holda
(32a3Z>2) : 4 = (32 : 4) a3b2 = 8a3Z>2;
(8й3/?2) : a2 = (8л3 : a2}b2 = Sab2.
Shunday qilib,
(32zz3Z>2) : (4й2) = 8й/>2.
Birhadlar boshqa hollarda ham xuddi shunday bodinadi, masalan,
4a2 b3 : [4a2 b3} = 1;
(66я4/>2с) : [22a2b^ = 3a2bc;
[9k2n2m2^ : [-3kn2m2) = -3k.
Bodish natijasini ko'paytirish bilan tekshirish mumkin: bo‘linuv-
chi bo‘luvchining bo'linmaga ko'paytmasiga teng bo'lishi kerak.
90
Masalan, (5бя5/>3с) : (7я2/>2с) = 8я3/> — bodish to‘gcri bajarilgan,
chunki 56a5b3c = (j a2b2c}$a3b.
2. Ko‘phadni birhadga bodish
Masala, la^b + 4ab2 + Sabc ko'phadni lab birhadga boding.
A Ushbu qoidadan foydalanamiz: yig‘indini songa bo‘lishda har
bir qo‘shiluvchini shu songa bo'lish kerak, ya’ni
(la2b + 4ab2 + %abc} : (lab} = (la2b} : (lab} +
+ (4я/>2) : (lab}+ (8abc} : (lab} = a + lb + 4c. a
Ko'phadni birhadga boshqa hollarda ham xuddi shunday bodinadi,
masalan,
(9a3 b2 -3a2 b3 +a2b2} : (Зя2/>2) =
= (9fl3Z>2) : (3a2b2} + (-3a2b3} : (3a2b2} + (a2b2} : (3a2b2} = 3a-b + .
Ko‘phadni birhadga bo‘lish uchun ko‘phadning har bir hadini
shu birhadga bolish va hosil bolgan natijalarni qo‘shish kerak.
Ko'phadni birhadga bodish natijasini ko'paytirish bilan tekshirish
mumkin. Masalan, (36n4m2-45n2m4} : (9n2m2} = 4и2-5m2 — boc-
lish to'g'ri bajarilgan, chunki
36n4m2 -45n2m4 = (4и2 -5m2} (9n2m2}.
Kohilgan misollarda birhad (ko'phad)ni birhadga bodish natijasida
birhad (ko'phad) hosil bodadi. Bunday hollarda ko'phad birhadga
qoldiqsiz bodinadi, deyiladi. Ammo, ko'phadni birhadga qoldiqsiz
(butun) bodish hammavaqt ham mumkin bodavermaydi. Masalan,
ab + ac ko'phad ab birhadga qoldiqsiz (butun) bo dinmay di.
Birhad (ko'phad)ni birhadga bodishda harflar boduvchi nolga teng
bodmaydigan qiymatlami qabul qiladi, deb faraz qilinadi.
91
Mashqlar
Bo'lishni bajaring (295—305):
295. 1) Z>5:Z>2; 2)/1:/; 3)a7:a7; 4) b9 : b9.
296. 1) 12x : 4; 2) -15a: 5; 3)-18y:6; 4) 10c : (-2).
297. 1) (8c) : (-2); 2) |a:5; 3)-|*:2; 4) Зс : [-Г .
298. 1) |x:(-2); 2)-7m : 3)-|a:f-|\ 4) x±b
5 ( 9 J 4(9) 25 5
299. 1) 5a : a; 2) 8x: x; 3) 5a: (-a); 4)(-7y) : (-y).
300. 1) (-6x) : (2x);
2) 15?: (5г);
301. 1) 3a: ||a
\2 J
2 ( 2
2) lb'- ~~5b ;
302. 1) 8abc : (-4a);
2) (-Юр?) : (6?);
3) (-блу) : (-Злу);
4) 12ab : (~4ab).
3) (-5c) : (|c);
4) (-1,69») : (l,3n).
3) -6,4xy: (-4x);
4) (-0,24aZ?c) : (-0,6a/>).
303. 1) 14a5: (7a2); 3) -O,2a10 : (-a10);
2) (-42m7) : (6m); 4) (-2|a17) : (-2a17).
1 (2
304. 1)-« « P - --m » P ; 3) (28,9pVy3) : (-l,7p2y3);
/ 1 \ \
2) -l-a4Z>3c2 : -~a9bc2 ; 4) -6a3Z>2c: (-2a2Z>c).
2 3
92
305. 1) 20m4 zz3 1 : (-5m2Z23);
2) -1,Зя3х2у3 : (16,9я2ху);
3)
4)
2 4 3 2
—a x у
< 5
1 3 2 V
--лур
(-|яУ3с) : (-lia262c^.
306. Ifodani soddalashtiring:
1) (4<A2) :(2<22Z^ ;
2) (9x2j) :(3xy)2;
3) (- abc^) :(- a^bc^) ;
4) (-x2y3z) :(xyz).
Bodishni bajaring (307—310):
304. 1) (12a + 6) : 3;
2) (10Zz-5) :5;
308. 1) (5mn-6np) : zr;
2) (4л2 -3ab) : a\
309. 1) (3a2b-4ab3^ : (Sab);
3) (14m-8) : (-2);
4) (-6+3%) : (-3).
3) (x-xy) : x;
4) (cd-d) : (~d).
2) (2c5Zz4 + 3c4Zz3) : (-ЗУУ);
3) (-27£4/5+21P/2) :(-10£3/2); 4) (-a5P+3a6Z>2) : (4a4Z>2).
310. 1) (6^-86 + 10) : 2;
2) (8x + 12y-16) : (-4);
3) (l(kz2-1 lab+%a) : 2л;
4) (lab+6a2b2-4b) : (2Z>).
311. Ifodani soddalashtiring:
1) (бя3-ЗУ) : a2 + (12л2 + 9a) : (3a);
2) (8x3 - 4x2) : (2x2) - (4x2 - 3x) : x;
3) (3x3-2x2y) : x2 ~(2xy2 + x2y) : -xy ;
/ x <13/ У
4) (a2b-3ab2) : -ab +(6b3-Sab2) : b2.
k2 J
312. Algebraik ifodaning qiymatini toping:
1) (15iz3+ 25У) : (5й)-9л4 : (Зя2), bunda a = 7;
93
2) (18л4 -27л3) : (9л2)-Юл3 : (5л), bunda й = -8;
3) (Зх3+4х2у) : х2-(10ху+ 15у2) : (5у), bunda х = 2,у = -5;
4)(2ху2-5у3) :у2 + (12ху + 6х2) : (Зх), bunda х = -3,у = -12.
Ozingizni tekshirib koring!
1. Ifodani daraja ko'rinishida tasvirlang:
53 • 52; 38:36; (23)4; 35 • 25.
2. Ifodani soddalashtiring: (3b + c2 -d)- (c2 - 2d).
3. Amallarni bajaring:
(-0,25я3 Zric) • (5abc); (7m2 - 20mn - 10m): 10m.
4. Ifodani soddalashtiring va uning m = -0,25 bohgandagi son
qiymatini toping:
2m(m -1) + (m - 2) (m + 2) + 2m.
Ill bobga doir ma s h q 1 ar
313. Yozing:
1) m sonning kvadratini;
2) a sonning kubini;
3) c va 3 sonlar yigrindisining kvadratini;
4) c va 3 sonlar kvadratlarining yigrindisini.
314. Yozing:
1) n va m sonlar ayirmasining kvadratini;
2) и va m sonlar kvadratlarining ayirmasini;
3) /2 va m sonlar ayirmasining kubini;
4) va b sonlar kublarining ayirmasini.
315. Kvadratning tomoni c metiga teng. Uning perimetri va yuzini yozing.
94
316. Kubning qirrasi к santimetrga teng. Uning sirti yuzini va hajmini
yozing.
317. Bir tomoni ikkinchi tomonidan 3 marta katta bolgan to‘gcri
toYtburchakning bir tomonini x bilan belgilab, uning yuzi
formulasini yozing.
318. Agar bir kub metr kub santimetrlarga ajratilsa va ular ustma-ust
qo'yilsa, qanday balandlikdagi ustun hosil bodadi?
319. Agar odamning yuragi 1 minutda o'rtacha 75 marta ursa, uning
yuragi bir sutka davomida necha marta uradi?
320. O'quvchi 1 m3 po'kakni ко Чага oladimi? (1 sm3 po'kakning mas-
sasi 0,2 g).
321. Quyidagi sonlarni standart shaklda yozing:
1) 0° C va 760 mm sim. ust. bosimli 1 sm3 gazdagi molekulalar
soni 27 000 000 000 000 000 000 ga teng;
2) parsek (astronomiyada qabul qilingan uzunlik birligi)
30 800 000 000 000 km ga teng;
3) elektron hisoblash mashinasi 1 sekundda 1 000 000 ta amal
bajarishi mumkin.
322. Yer shari sirti 510 mln km2 dan ortiq. Yer hajmi 1000 mlrd km3
dan ortiq. Bu sonlarni standart shaklda yozing.
323. 1 I dengiz suvida ohtacha 0,00001 mg oltin bor. 1 km3 dengiz
suvida qancha oltin bor?
324. Ko'phadni standart shaklga keltiring:
1) (2m) (4n)-3a(2b)-(Q,2n) (5m) + b(5a)-5nm + 8ab;
2) 13ab - 0,2xy - (2a) (5b) + (6x) (0,2y) + a (-3) b;
3)
4)
2abc5a + l-a2—bc-2-ab --
7 12 3(8
3 (2) 2
3nmk^n--nm 2- nk + -n2m
8 3 J 9
95
325. Ko'phadning qiymatini toping:
1) -0,08x + 73xy2 + 27xy2, bunda x = 4,y = 0,2;
2) -2a2b + 4Z? +1WZ), bunda 6Z = ——,Z> = 2—;
7 3 4
3) 5p3-3p2 + llp-7 p-6p2-7 p2 + p, bunda p = -l;
4) 8x2-7x3 +6x-5x2 + 2x3 +3x2-8x, bunda x = l.
326. Ko'phadlarning algebraik yig'indisini toping
1) (-2x3 + xy2) + (x2y-l) + (x2y-xy2 + 3x3);
2) (3x2 + 5xy + 7x2y)-(5xy + 3x2)-(7x2y-3x2);
3) (8л2 -lOab- b2} + (-6a2 + 2ab-b2}-(a2 -%ab + ^b2}\
4) (4л2 - 2ab + b2) - {-a2 + b2 -2ab} + (3л2 + b2 - ab}.
№6
Yangi ,,Matiz“ avtomobilining
egasi yurib turgan va zahirada-
gi g'ildiraklarni rasmda ko'rsa-
tilgan tartibda almashtirib turdi.
30 000 km yo‘l yurilgach, „Matiz“
egasi hamma g'ildiraklar bir xil
yedirilganini sezib qoldi. Har bir
g'ildirak necha kilometr yo‘l
bosgan?
Ko'phadlami ko'paytiring (327—328):
/1 i i A
327. 1) (0,3x + 0,3^-z)(x-z); 3) -m--n + -p (20m + 8);
v 4 3 J
2) (0,5x-0,5y + z)(x + y'); 4) (0,2я2-0,4я + 1)(5й2-10).
328. 1) (a-b}(a +b}(2a-3b}; 3) (x + 2)(3x + l)(2x-l);
2) (a +b}(a-b}(2a + 3b}; 4) (x-3)(2x + l)(3x-l).
96
329. Bolishni bajaring:
1) (0,0la4 -0,2л3 + 0,04л2 + 0,002л): (0,01л);
2) (-0,05х5-0,08х4-0,09х3+ 0,01х2) : (-0,01х2);
Z- 3 2
-тп
3
э з
-ах
5
3)
4)
Л 5 2 4 45 2
-4/« п --т и +-т
9 3
3 б з 634 9 5
- ах + - а х - — ах
4 5 10
III bobga doir sinov mashqlari — testlar
З3 -95
1. Hisoblang: 3 .
A) 3; В) C) 1; D) -b E) 9.
27 /
8 /14 \4
_ TT. , , a (b )
2. Hisoblang: -----T.
(b2)6 (a2)3 (ab)2
A) a2b2; B) b2; C) a2; D) E E) p
3. Birhadning son qiymatini toping:
|iZ2Z>3c, bunda a = -2, /> = -1, c = 10.
4 4
A) В) C) -8; D) 8; E) -40.
4. Birhadni standart shaklda yozing: Tab2
- a2b
d
A) 2aa2b2b- B) |«3Z)3;
C) -^b3a2;
D) 4a3Z>3;
E) -1a3b3.
5. Birhadlarni ко "pay tiring:
/ 7 Q \
---a3b2c3 —ab2c .
I 15 Л14 J
7 — Algebra, 7 - sinf
97
A) 0,3«3Z>4c4; В) -0,3(ййс)4; С) -2aWZ>2;
D) — й4с4/?3; Е) to'g'ri javob berilmagan.
6. Ko'phadni uning har bir hadini standart shaklga keltirib,
soddalashtiring: 3b2a5ab -6b24aba + ab4ab2.
A) 43 a3b3; B) 43a2Z>3; C) -5a3b2;
D) -5a2b3; E) 5a2b3.
7. Ko'phadlarning algebraik yig'indisini toping:
2
0,5^ + -Z?
3
7 1 ,
-a — b
2 3
+ 2(a + b).
A) a + 3b; В) ~a + 3b; Q -a-3b; D) a-3b;
E) 6a+ 2-b.
7 2
8. Ko'phadni birhadga ко "pay tiring:
л 1
4a— x
3
A) -12ox-3x2; В) 3x2-12ox;
(-3x).
C) 3x2 + 12ox;
D) x2-12ax; E) -x2+12ax.
f 1
9. Soddalashtiring: 5a(0,4a-b)-4a -a-b
I4
A) a(a-b); B) a(a+b);
D) 3a2+ 9ab; E) 3a2-ab.
Q a2+9ab;
10. Ko'phadni standart shaklga keltiring:
4abc3a -2-b2l — ac-3-ab(-1 —
7 19 3 11
ac.
A)
12a2bc-Sab2c; B) Yla2bc-3ab2c; C) -12a2bc-3ab2c;
D) 12a2bc-3ab2c; E) Yla2bc + 3ab2c.
11. Ko'phadlarni ко'pay tiring: (a-b)(a+ b)(a2 + b2).
A) a3-bA; B) a4 + Z>3; C) a3-b3;
D) a4-b4; E) a4 + b4.
98
12. Bodishni bajaring: (16я3/)2 -WZ?3 + a2b2): (4a2 b2).
A) 4a + b + ~; B) 4a + b + 4; C) 4ab-- + 4\
4 6
D) 4a-4b + 4\ E) 4^-Z? + |.
13. Algebraik ifodaning son qiymatini toping:
(Юл4+ 15й3): 5«2-18«3: (-6«), bunda a = -~.
A) -15,75; B) 6,75; C) 15,75; D) -12; E) 18.
Г О
14. Ifodani soddalashtiring: (18л4 + 21л2J: За2-5a 2a + - .
A) 4a2+ 2; В) 16a2+ 12; C)-4a2+2; °'
D) 16a2+ 2; E) -4a2+12.
15. Ko'phadlami ko'paytiring: (a+2Z>)(a-2Z>)(a2+4Z>2).
A) a3-16Z>3; B) a4-8Z>3; C)«3-8Z>3;
D) a4+16Z>4; E) a4-16b4.
Hisoblang: (16—20): (-0.2)5
16‘ (-0,1)4'
A) -3,2; B) 3,2; C) 0,00032;
D) -0,00032; E) -1.
/ i Y
17. -(-3)3- • 4 J J
A) -3; В) 3; C) -2,7; D) E) -9. У
(5,2)3
18’ (1.3)2'
A) 832; B) 8,32; C) 83,2; D) 5,2; E) 16.
104
19. 25.54. 1 1
A) 1; В) -; C) 10; D) -; E) 2.
99
A) -b В) X; с) D) h E) 18.
16 Z Z у
21. Birhadning son qiymatini toping:
— •%•(-(),9)y2, bunda x = -i,y=10
18 2
A) -45; B) 45; C) -2,5; D) 2,5; E) 5.
22. Birhadni standart shaklda yozing:
-- x2y(-18)y2x.
7
А) |хУ; В) 18xV; С) -18хУ;
2 7 2
D) --х2ХУ х; Е) 2ху.
S Tarixiy masalalar
(1) Nyuton masalasi. Bitta xattot 8 kunda 15 varaq yoza oladi. 405
varaqni 9 kunda yozib tugatish uchun nechta xattot kerak boTadi?
(2) Yem otning o'ziga 14 kunga, ot bilan toychoqqa esa 10 kunga yetadi.
Shu yem toychoqning o'ziga necha kunga yetadi?
(3) Asalarilaming beshdan biri oq gullarga, uchdan biri esa qizil gullarga
qo'ndi. Ular ayirmasining uch baravari esa sariq gullardan bol
yig'moqda. Faqat bittagina asalari gullar iforidan rohatlanib, uchib
yuribdi. Qani menga ayt-chi, gulzorda qancha asalari bor?
Tarixiy ma’lumotlar
Noma’lum kattaliklami harflar bilan belgilash mashhur yunon
matematigi Diofant (III asr) asarlaridayoq uchraydi. Koeffitsiyentlami
ham, ma’lum miqdorlarni ham harflar bilan belgilashni F.Viyet (1540—
1603) birinchilardan bo"lib qoTlagan. Algebraik tenglamalami umumiy
100
holda tadqiq qilish harfiy koeffitsiyentlar kiritilgandan keyingina mumkin
bo‘ldi. F. Viyet undosh bosh lotin harflari — B, G, D, ... bilan
koeffitsiyentlami, unli harflari — A, E, I, ... bilan esa noma’lumlami
belgilagan. Mashhur fransuz matematigi va faylasufi R. Dekart (1596—
1650) koeffitsiyentlami belgilash uchun lotin alifbosining dastlabki
(kichik) harflari a, b, c, d, ... dan, noma’lumlami belgilash uchun esa
alifboning oxirgi harflari x, y, z lardan foydalangan. Darajaning hozirgi
zamonaviy belgilanishi a2, a3, ..., an (n— natural son)ni ham Dekart
kiritgan (1637-yil).
„Al-jabr val muqobala" asarining „Ko'paytirish haqida bob“ida
al-Xorazmiy birhadlarni ko'paytirishga, ikkihadni ikkihadga
ko'paytirishga hamda soddalashtirishga doir misollarni qaraydi. Al-
Xorazmiy misollaridan ba’zilarini keltiramiz:
1) (10-x)x;
2) (10 + x)(10 + x);
3) (10-x)(10-x);
4) (10-x)(10 + x);
( x\ (1 A
5) 10 + | ~5x ;
к 2) к 2 )
6) (10 + x)(x-10);
7) (100 + x2-20x)-(50 + 10x-2x2);
8) (100 +x2-20x) + (50 + 10x-2x2).
Al-Xorazmiy, Ahmad Farg'oniy, Beruniy, Griyosiddin al-Koshiy
asarlarida algebraik simvolika bolmagan. Matematik Abu Hasan Ali ibn
Muhammad al-Kalasadiy (XV asr) asarida algebraik simvolika
elementlarini uchratish mumkin. Al-Kalasadiy tenglamalarda
noma’lumning birinchi darajasini „shay" so'zining birinchi harfi bilan,
kvadratini „mol" so'zining, kubini „ka’b" so'zining birinchi harflari
bilan belgilagan. Tenglik „=“ belgisi o'miga „adala" (tenglik) so'zidagi
a harfini ishlatgan. Biz oTganayotgan „Algebra" kursining simvolikasi
(belgilashlar tizimi) XIV—XVII asrlarda shakllangan.
101
Wv дж/Z///// / /j;; J; i
,' KO'PHADNI KO'PAYTUVCHILARGA
ajrmish H H i ! I ! h
— — — — — _y_ _ >— _> _ _ ,<— ШГ — /— -F — {— -r ~l~ ~T "T — ,— T ~l~ “1“ Y ~| ~ у ~|
/q_A‘ ‘ Umutniyko'paytuvchini qavsdan
,* tashqarigachiqarish i ; ! j ; ; ! ! ! 1 I I
Aytaylik, a2 - b2 ifodaning qiymatini a = 573 va b = 427 bo'lganda
topish talab qilinayotgan bo'lsin.
Agar son qiymatlami qo'yib, hisoblashlami bajarilsa, u holda 573
va 427 sonlarini kvadratga ko'tarishga, so'ngra esa ayirishni bajarishga
to'g'ri keladi.
Agar a2 - b2 ifodani unga teng bo'lgan (a + b)(a - b) ifoda bilan
almash tirilsa, hisoblashni ancha sodda yo‘1 bilan olib borish mumkin.
a = 573 va b = 427 bo'lganda:
a2 -&=(a + b)(a -b) = (573 + 427)(573 - 427) = 1000 • 146 = 146 000.
Hisoblashlami soddalashtirish uchun a2 - Z^ko'phad (a + b)(a - b)
ko'paytma bilan almashtirildi.
( Г J Ko'phadni ikkitayoki bir nechta ko‘phadlar ko'paytmasi shaklida
——I ifodalash ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.
Bunga o'xshash almashtirish bilan natural sonlami ko'paytuvchilarga
yoyishda (ajratishda) duch kelingan edi. Masalan, murakkab son 60
ni tub sonlaming ushbu ko'paytmasi shaklida ifodalash mumkin:
60 = 2 • 2 • 3 • 5 = 22-3 • 5.
Sonlami ko'paytuvchilarga ajratishdan kasrlami qisqartirishda, ulami
umurniy maxrajga keltirishda va boshqa masalalami yechishda foydalaniladi.
Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish algebraik ifodalar ustida amallar
bajarishda ham keng qo'llaniladi.
1-masala. cib + ac-cid ifodaning a = 43, b = 26, c = 17, d = 23
bo'lganda son qiymatini toping.
Д Hisoblashlami quyidagicha olib boramiz:
43 • 26 + 43 47-43 • 23 =43 • (26 + 17 -23) =43 • 20 = 860. ▲
102
Bu yerda ko'paytirishning taqsimot qonuni qollanilgan:
ab + ac-ad = a(b + c-d).
43 • 26 + 43 • 17 - 43 • 23 sonli ifodada umumiy ko'paytuvchi 43 soni
bodadi; ab + ac - ad algebraik ifodada esa umumiy ko'paytuvchi a bodadi.
ГГП Agar ko‘phadning barcha (son yoki harfiy) had lari umumiy
—I ko‘paytuvchiga ega bo‘Isa, и holda shu ko‘paytuvchini qavsdan
tashqariga chiqarish mumkin.
Qavs ichida berilgan ko‘phadni shu umumiy ko‘paytuvchiga
bo‘lish natijasida hosil qilingan ко‘phad qoladi.
2 - m a s a 1 a. Ushbu ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:
6ab + 3b- 12bc.
Д Berilgan ko'phadning barcha hadlari 3 b umumiy ko'paytuvchiga
ega, chunki 6ab= 3b • 2a, 3b=3b-l, -12bc = 3b • (^4c).
Demak, 6ab + 3b- 12bc = 3b(2a + 1 - 4c). ▲
Ko'phadning umumiy hadini masala mazmuniga qarab, qavsdan
tashqariga «+» ishorasi bilan ham, «-» ishorasi bilan ham chiqarish
mumkin. Misollar keltiramiz:
1) ab-b= b(a-l)=-b(l-d);
2) 4a2b3-6a3b2 = 2a2b2 (2b-3d) yoki
46Z2Z)3 - 6a3b2 =- 2a2b2 (~2b + 3d) =- 2a2b2 (3a- 2b).
pT)l Shunday qilib, ko‘phadni umumiy ko‘paytuvchini qavsdan
I—J tashqariga chiqarish yo‘li bilan ko‘paytuvchilarga ajratish uchun:
1) shu umumiy ko‘paytuvchini topish;
2) uni qavsdan tashqariga chiqraish kerak.
Agar ko'phad hadlarining koeffitsiyentlari natural sonlar bo Isa,
u holda umumiy ko'paytuvchini topish uchun ko'phad hadlari koef-
fitsiyentlarining eng katta umumiy bohuvchisini topish, bir xil asosli
darajalar orasidan esa eng kichik kohsatkichli darajani topish lozim-
ligini ta’kidlab o'tamiz. Masalan, 28x2b3 - 21x3b2 ko'phadni ko'pay-
tuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:
7x2d (4b- 3x).
Bu yerda 7 soni 28 va 21 sonlarining eng katta umumiy boluvchisi, x2
va b2 esa x va b ning eng kichik kohsatkichli darajalaridir.
103
Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajralganligining tocgcriligini hosil
bodgan ko'phadlarni ko'paytirish yo‘li bilan tekshirish mumkin.
Masalan, ko'paytirishni bajarib, hosil qilamiz:
7x2Z>2(4Z> - 3x) = 28x2Z>3 - 21x3Z>2.
Umumiy ko'paytuvchi ko'phad bolishi ham mumkin, masalan:
1) 5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x);
2) 3x(a - 2b) + 5y(a - lb) + 2(a - 2 b) - {a- 2b)(3x + 5y +2).
Ba’zan umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishdan
oldin a - b =- (b - a) tenglikni qodlash foydali bodadi, masalan:
1) (a - 3)x - (3 - a)y -{а - 3)х+(я - 3)y -{a - 3)(x+y);
2) 15я2/>(х2 - y) - 20flZ>2(x2 - y)+25ab(y - x2) = 15fl2Z>(x2 - y) -
- 20flZ>2(x2 -y) - 25ab(x2 -y) = 5ab(x2 - y)(3a - 4Z> - 5).
Mashq lar
330. Sonlami tub ko'paytuvchilarga ajrating: 70, 121, 240, 168, 225.
331. Kasrlarni qisqartiring: —;
18 75-15
24’ 25-24’
40-14
7-15 '
332. Ko'paytirishning taqsimot qonunini qodlang va hisoblang:
1) 81-17-15-81; 3) 15-17 + 15-67;
2) 24-2,78 + 41-2,78; 4) 14+11-4+11.
8 4 8 4
333. Ko'paytmani ko'phad shaklida yozing:
1) (a+2) (a+3); 3) 3c3 (2c3-5);
2) 2x(x-l); 4) (a2+/>) (a-62).
334. A bekatdan В bekatga tomon motorli qayiq 20 km/soat tezlik
bilan jo'nadi. Oradan ikki soat ohgandan keyin A dan Bga tomon
ikkinchi motorli qayiq 24 km/soat tezlik bilan yo‘lga chiqdi.
Ikkala qayiq ham В ga bir vaqtda yetib keldi. A dan В gacha bolgan
masofani toping.
335. Hisoblang:
1) 13-512 + 13-488; 3) 25-734-25-726;
2) 125-375 + 275-375; 4) 26-11-11-23.
104 3 3
Umurniy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring (336—344):
336. 1) 2m + 2n; 2) 3a- 3x; 3) 8-4x; 4) 6a + 12.
337. 1) SU+W+3; 3) -10x + 15y-5^;
2) 8a-4/>-2; 4) 9x- 3y + 12z.
338. 1) ax-ay; 2) cd + bc; 3) xy + 2x; 4) 3x-xy.
339. 1) 9mn + 9n; 2)3bd- 3ab; 3) llz-33yz; 4) 6pk-3p
340. 1) ab-ac + a2; 3) 6a2 -3a + 12ba;
2) 7 xy-x + xz; 4) 4b2 + 8ab-12a2b.
341. 1) a4 + 2a2; 3) a4b2 +ab3;
2) а4 -За3; 4) x2/ -x3/.
342. 1) 18/+12/; 3) 15x5 -5x3;
2) 6x4 -24x2; 4) 6a5 + 3a2.
343. 1) 9a2 b2 -12ab3; 3) 7a2bc + 14ab2c;
2) 20x3/ + 4x2y; 4) 9xyz2-12xy2z.
344. 1) 6/+12/-3/; 3) 4a2b2 + 36a2b3 + 6ab4;
2) 20/ -5a3 +15/; 4) 2x2/ -2x4/ +6x3y3.
345. Hisoblang: 1)1372 + 137 63; 3) 0,73+0,7-9,51;
2) 1872-187-87; 4) 0,93-0,81-2,9.
Ko'paytuvchilarga ajrating (346—349):
346. 1) a(m + n) + b(m+ ri); 3) a(Z>-5)-(Z>-5);
2) />(a+5)-c(a+5); 4) (y-3) + 6 (y-3).
347. 1) 2a(a-b) + 3b(a-b); 3) 5a (x + y)-4b (x + y);
2) 3n (m-3) + 5m(m-3); 4)7a(c-d)-2b (c-d).
105
349. 1) а2(х-у) + Ь2(х-уУ, 3) а (х2 + у2) - b (х2 + у2);
2) а2(х + у) - Ь2(х + у); 4) х{а2 -2b2^ +у(а2 -2Z?2).
349. 1) 2/>(х-1)-Зя (х-1) + с(х-1);
2) c(p-q)-a(p-q) + d(p-q)\
3) х(Т2 + />2) + у(a2 + b2)~z(a2 +/>2);
4) /и(х2+1)-й(х2 + 1)-/(х24-1) .
Ko'paytuvchilarga ajrating (350—352):
350. 1) c(a-b) + b {b-а); 3) (x-y) + b(y-x);
2)a(/>-c)-c(c-Z>); 4) 2b (x-y)-(y-x).
351. 1) 7 (у-З)-я(З-у); 3) Z>2 (a-l)-c(l-a);
2) 6(a-2) + a (2-a); 4) a2 (m-2) + b (2- m).
352. 1) a(b-c) + b2(b-c)-l (c-b)\
2) x(x-y)+j/(j/-x)-3(x-y);
3) x(a-2)+y (2-a) + (2-a);
4) a(b-3) + (3-b)-b(3-b).
353. Tenglamani yeching:
1) 8-(x-3) (x + 3) = 10-(x-l)2; 3) x: 15 = 2-t : 14,5;
2) (2x+l)2-(2x-3)2 = 4 (7x-5); 4) T =
A-7 9 _
7
354. It tulkining orqasidan quvdi. It sekundiga 8 m, tulki esa 6 m tezlik
bilan chopmoqda. Ulaming orasidagi masofa dastlab 360 m
bodgan, tulkining o‘z uyasiga yetib olishi uchun esa 1 km qolgan
edi. Tulki o‘z uyasiga yetib olishga ulguradimi?
106
--------у---------------------------------------------------
20- § I Guruhlash usuli
Guruhlash usuli hamma hadlari uchun umumiy ko'paytuvchi mavjud
bohmagan ko'phadlarga qollaniladi.
Ba’zan, berilgan ko'phadning bir nechta hadlarini qavs ichiga olib,
umumiy ko'paytuvchini aniqlash mumkin. Ko'phadni guruhlash usuli
qo'shish va ko'paytirishning guruhlash, o'rin almashtirish va taqsimot
qonunlariga asoslangan.
Misollar qaraymiz:
1) a (b + c) + b + c = a (b + c) + (b + c) = (b + c) (a +1);
2) a(b-c)-b + c = a (b - c)- (b -c) = (b- с) (л-1).
Birinchi misolda ko'phadning oxirgi ikkita hadini«+»ishorasi bilan,
ikkinchi misolda ko'phadning oxirgi ikkita hadini «—» ishorasi bilan
qavs ichiga olish yetarli boldi.
3) m(3x-y) + 3nx-ny = m(3x-y) + (3nx-ny) =
= m (3x-y) + n (3x-y) = (Зх-y) (m + ri);
2 2 A /2 2 A
mx - my J + n(x + у ) =
4) -mx2 - my2 + n (x2 + y2) = (-
= -m (x2 + y2) + n (x2 + y2) = (x2 + y2) (n- m).
Uchinchi va to'rtinchi misollarda ko'phadning ikkita hadini qavs
ichiga olishdan tashqari hosil qilingan har bir guruhda umumiy koc-
paytuvchi qavsdan tashqariga: birinchi holda «+» ishorasi bilan,
ikkinchisida esa «- » ishorasi bilan chiqarildi.
Ba’zan ko'phad hadlarini turli usullar bilan guruhlash mumkin.
Masalan, 2am + lan -3bm-3bn ko'phadni ko'paytuvchilarga ikki usul
bilan ajratish mumkin:
I usul II usul
2am+2an-3bm-3bn= 2am + 2an-3bm-3bn =
= (2am + 2an) ~(3bm + 3bn) =
= 2a(m + n)-3b(m + n) =
= (m + n)(2a-3b).
= (2am - 3bm) + (2an - 3bri) =
= m(2a-3b) + n(2a-3b) =
= (2a-3b)(m + n).
107
Oltita haddan iborat ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishga doir
misol qaraymiz:
ax + bx -ay-by + az + bz = (ax + bx) - (ay + by) + (az + bz) =
= x(a + b)~ y(a + b) + z(a + b) = (a + b)(x - у + z) •
Bu yerda ko'phadlar ikkitadan guruhlarga ajratilgan; ulami uchta-
dan guruhlash ham mumkin edi:
ax + bx -ay-by + az + bz = (ax -ay + az) + (bx -by + bz) =
= a(x-у + z) + b(x-у + z) = (a + b)(x - у + z) -
TJ1 Shunday qilib, ko‘phadni guruhlash usuli bilan ko‘paytuv-
—J chilarga ajratish uchun:
1) ko‘phadning hadlarini, ular ko‘phad shaklidagi umumiy
ko‘paytuvchiga ega boladigan qilib, guruhlarga birlashtiriladi;
2) bu umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqa-
riladi.
Mashq lar
Ko'paytuvchilarga ajrating (355—360):
355. 1) 2) а + b + c(a + b); m-n + p(m-n); 3) 4) x + 3a(x + y) + y; x + 2a(x- y)-y.
356. 1) (x + y) + (x + y)2' 3) 2m (m-n) + (m-n)2;
2) (a-b)2 + a-b; 4) 4? Cp-1) + Cp-I)2.
357. 1) 2m(m-n) + m-n; 3) 2m(m-n)~ n + m;
2) 4) 4g(p-l)+l-p.
358. 1) a (x - c) + be - bx; 3) 3a (2b + c) + Sb + 4c;
2) a(b+ c) + db + dc; 4) 2x (3x - 4y) - 6x + 8y.
359. 1) ac + bc-2ad-2bd; 3) 2bx - 3ay - 6by + ax;
2) ac-3bd + ad-3bc; 4) 5ay - 3bx + ax -15by.
360. 108 1) xy2 - by2 -ax + ab + y2 -a; 2) ax2 -ay-bx2 +cy + by-ex2
361. Hisoblang:
1) 139-15 + 18-139 + 15-261 + 18-261;
2) 125-48-31-82-31-43 + 125-83;
3) 14,7-13-2-14,7 + 13-5,3-2-5,3;
11 2 14 2
4) 3--4- + 4,2-- + 3--2- + 2,8*-.
7 3 5 3 3 5 3
362. Ifodaning son qiymatini toping:
1) 5я2-5ях-7я + 7х, bunda x = -3, я = 4;
2) m2 - mn - 3m + 3n, bunda m = 0,5, n = 0,25;
3) a2 +ab-5a-5b, bunda a = 6,6, b = 0,4;
4) a -ab-2a + 2Z>, bunda a =—,6 = 0,15.
7 20
363. Hisoblang:
1) 2872-287-48 + 239-713; 2) 73,42+ 73,4-17,2-90,6-63,4.
364. Tenglamani yeching:
1) x(x-4) + x-4 = 0; 2) /(/ + 7)-4/-28 = 0.
Ali bilan Valining massasi birgalikda5tatarvuz massasigateng.
Valining massasi 1 taqovun massasidan 4 marta ko‘p. Vali bilan
2ta qovunning birgalikdagi massasi 3tatarvuz massasigateng.
Alining massasi nechta qovunning massasigateng?
_________i_______________________________________________________
21-§ f Yig‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati
I
OTta Osiyo xalqlari madaniyatini o'rta asrlarda dunyo madaniyati-
ning oldingi qatoriga olib chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu
Ali ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida sonlami kvadrat va kubga
koharish amallari ohganilgan.
Ikkita son yighndisining kvadrati (a + 6)2ni qaraymiz. Ko'phadni
ko'phadga ko'paytirish qoidasidan foydalanib, hosil qilamiz:
109
Abu AH ibn Sino (980—1037) buyuk
mutafakkir, vatandoshimiz
(a + b)2 = (a + b) (a + b} = a2 + ab + ab + b2 = a2 + lab + b\
ya’ni
(a + b^ = a2 + lab + b2.
(1)
и
Ikki son yig‘indisining kvadrati birinchi son kvadrati, qo‘shuv
birinchi son bilan ikkinchi son ko‘paytmasining ikkilangani,
qo‘shuv ikkinchi son kvadratiga teng.
(1) formulani 13- rasmda tasvirlangan kvadratning yuzini ko'zdan
kechirib, osongina hosil qilish mumkinligini aytib ohamiz.
Endi ikki son ayirmasining kvadratini qaraymiz:
(а-b)2 = (a-b)(a-b) = a2 -ab-ab + b2 = a2 -lab + b2,
ya’ni
(a-b)2 = a2 -lab + b2.1 (2)
Ikki son ayirmasining kvadrati bi-
rinchi son kvadrati, ayiruv birinchi son
bilan ikkinchi son ko‘paytmasining ikki-
langani, qo‘shuv ikkinchi son kvadratiga
teng.
(1) va (2) tengliklarda a va b istalgan sonlar
yoki algebraik ifodalardir.
(1) va (2) formulalarni qodlashga doir
misollar:
1) (2m+ 3/с)2 = (2m)2 + 2-2m-3£ + (3£)2 = 4m2 + 12m£ + 9£2;
2) (5«2 -3)2 = (5«2)2 - 2 • 5a2 • 3 + 32 = 25«4 - 30л2 + 9;
3) (-«-3d)2 = ((-l) (a + 3d))2=(-l)2(« + 3d)2 =
= (« + 3d)2 = a2 + 2a • 3b + (3d)2 = a2 + 6ab + 9b2.
Zaruriy hisoblashlami og'zaki bajarib, oraliq natijalarm yozmaslik
mumkin. Masalan, birdaniga bunday yozish mumkin:
(5a2 -7Z>2)2 =25a4-70a2b2 + 49Z>4.
Yighndi yoki ayirmaning kvadrati formulalari qisqa ko‘paytirish
formulalari deyiladi va ba’zi hollarda hisoblashlami soddalashtirish uchun
qollaniladi. Masalan:
1) 992 = (100 — I)2 = 10000 — 200 +1 = 9801;
2) 522 =(50 + 2)2 = 2500 + 200 + 4 = 2704.
(1) formula (1 + ci)2 ifodaning qiymatlarini taqribiy hisoblashlarda
ham qollaniladi. a son musbat yoki manfiy son bo"lib, uning moduli
Iga nisbatan kichik bo‘lsa (masalan, a = 0,0032 yoki a = -0,0021), u
holda a2 son yanada kichik boladi va shu sababli
(1 + d)2= 1 + 2a + a2
tenglikni (1+я)2~1+2я taqribiy tenglik bilan almashtirish mumkin.
Masalan:
1) (l,002)2= (1 + 0,002)2~ 1 + 2 • 0,002= 1,004;
2) (0,997)2= (1 - 0,003)2-l- 2-0,003 = 0,994.
Yighndining kvadrati va ayirmaning kvadrati formulalari ko'phad-
ni ko'paytuvchilarga ajratishda ham qodlaniladi, masalan:
1) x2+ 10x + 25 = x2+ 2-5-x + 52 = (x + 5)2;
2) й4 -8«2d3 +16d6 = (a2^ -2 a2 -4d3 + (4d3)2 = (a2 -4d3)2.
Masala. Formulani isbotlang:
{a + d)3 = й3 + 3a2b + 3ab2 + d3 .| (3)
111
д (fl + Z>)3 = (а + b) (a + b)2 = (a + b) [a2 + lab + b2 'j =
= a3 + la2b + ab2 + a2b + lab2 + b3 = fl3 + 3a2 b + 3ab2 + b3. A
Xuddi shunga o‘xshash,
(а-6)3=а3-За26+За62-63|
(4)
formulani ham isbotlash mumkin.
Pl
(3) va (4) formulalar mos ravishda yig‘indining kubi va
ayirmaning kubi deb ataladi.
(3) va (4) formulalar ham qisqa ko‘paytirish formulalari
hisoblanadi.
Mashq lar
Quyidagi mashqlarda ikkihadning kvadratini ko'phad shaklida
tasvirlang (365—372):
365. 1) (c + d)2; 3) (2 + x)2; 5) (y + 3)2;
2) (*-y)2; 4) (x+1)2; 6) (7 + m)2.
366. 1) (m-2)2; 3) (7-m)2; Г ii 5) , v ’ л
2) (x-3)2; 4) (y-6)2; ( i) 6) 6 + - . к 2)
367. 1) (q + 2P)2; 2) (3x + 2y)2; 3)(6a- -46)2; 4)(5z-/)2
3) (2x2 + 3n2)2
368. 1) (За2 +1)2; 2)(a2 + l)2;
/ i V ( i у
369. 1) m— ; 2) а— ;
к 5J к 3J
( 2
370. 1) (0,2x+0,3y)2; 3) 7*3
-
2) (0,46-0,5c)2; 4) 2 a3
4) - + Z
3 4
4
J'
112
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
fl з 2
n -a +-a
I2 3 J
(1 2 1
2) - x + - x
7 3 2
1) 5й2)2 ;
2) (-3b2-2ab)2;
3) (-8/ + 5p2 )2;
4) (10x2-3xy3)2.
3) (0,2x2+ 5xy)2;
4) (4xy + 0,5y2)2.
Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib, amallarni bajaring
(373-375):
l)(90—I)2; 2)(40 + l)2; 3) 1012; 4) 982.
1) 9992; 2) 10032; 3) 512; 4) 392.
1) 722; 2) 572; 3) 9972 ; 4) 10012.
Ifodani soddalashtiring (376—377):
i) (x-y)2+(x+y)2;
2) (x+y)2-(x-y)2;
1) (3a-l)2+2 (1 + a)2;
2) 3 (2 —a)2+4 («—5)2;
3) (2a + b)2 -(2a-b)2;
4) (2a + b)2 + (2a-b)2.
3) (x-l)2-(x + l)2;
4) -(3 + x)2+5 (1-x)2.
Tenglamani yeching (378—379):
1) 16x2-(4x-5)2 =15; 3) -5x(x-3) + 5 (x-1)2 =-20;
2) 64x2-(3-8x)2 =87; 4) (2x-3)2-(2x + 3)2 =12.
1) (3x-1)2-(3x-2)2 =0;
2) (y-2) (y + 3)-(y-2)2=5;
3) (x+3) (x + 7)-(x + 4)2 = 0;
4) (y + 8)2-(y + 9) (y-5) = 117.
8 — Algebra, 7 - sinf
113
380. Ifodaning qiymatini toping:
1) 9л3 - a (3a + 2) + 4a (3a + 7), bunda й = -1-;
2) (2y-5)2-4(y-3)2-4y, bunda y = -|;
3) 25m (m-1)- (5m- 3)2 -6m, bunda m = -0,3;
4) 24x2-(7x-2)2+(5x-3)(5x + l), bunda x = --.
9
381. x ni shunday birhadga almashtiringki, natijada tenglik bajarilsin:
1) (x-4/>7)2 = 25a4b2 -40я2/?8 +16/?14;
2) (x + 7c)2 = 25Z?6+70Z?3c + 49c2;
3) (10m5 + x)2 = lOOm10 + 120m7w3 + 36m4n6;
4) (5b2 -x)2 = 25b4 -30a2b3 + 9a4b2.
382. Ifodani ikkihadning kvadrati shaklida tasvirlang:
1) a2 — lO^zZ? + 25Z?2; 3) Zr4+2Zr2+l;
2) 25 + 10x + x2; 4) p2-1,6/? + 0,64.
x ni shunday birhadga almashtiringki, natijada ikkihadning kvad-
rati hosil bodsin (383—384):
383. 1) a2+4a + x; 3) 36a2-x + 49Z?2;
2) /?2-0,5/? + x; 4) a2-6ab + x.
384. 1) m4-3m2+x; 3) 4я2-5я + х;
2) a2+ab + x; 4) x + 6a + 9a2.
385. Isbot qiling:
1) (a-b)2 = (b-a)2; 4) (a-b)3 = -(b- л)3;
2) (-a - Z?)2 = (b + iz)2; 5) (a + Z?)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
3) (-a-b) (a + b) = - (a + b)2; 6) (a-b)3 = a3-3a2b + 3ab2 -b3.
114
f
--------f----------------------------------------------
22-§ ! Kvadratlar ayirmasi formulasi
I
Ikki son yig'indisini ularning ayirmasiga ko'paytiramiz:
(a + b)(a-b) = a2 - ab+ ab-b2 = a2 -b2,
ya’ni
(a + b)(a-b) = a2-b2. (1)
a2-b2 = (a-b)(a+ b) . I (2)
Ikki son kvadratlarining ayirmasi shu sonlar ayirmasi bilan
ular yig‘indisining ko‘paytmasiga teng.
(1) va (2) tenglikda a, b istalgan sonlar yoki algebraik ifodalardir,
masalan:
1) (nm + 5k)(nm-5k) = n2m2 -9k2;
2) 4a4 b2 - 15a2b4 = (la2b + 5ab2) (la2b - 5ab2);
3) (a + b)2 -16 = (a + b - 4) (a + b + 4).
_1_
(1) formulani ham qisqa ko'paytirish formulasi deyiladi. Uni
hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo'llaniladi.
Masalan:
1)63-57 = (60 + 3)(60-3) = 3 600-9 = 3 591;
2)98-102 = (100-2)(100 + 2) = 1002-22 = 10000-4 = 9 996.
Pl
__
(2) tenglikni kvadratlar ayirmasi formulasi deyiladi. U ko‘p-
hadlarni ko‘paytuvchilarga ajratishda qo'llaniladi.
Masalan:
1)«2-9 = (л-3) (я + З);
2) 4/>4-0,64c2 = (2/>2)2-(0,8c)2 = (2/>2-0,8c) (2/>2+0,8c);
115
3) (a-tif -1 = (д-/>-1) (a-b +1);
4) (a + Z?)2 - (a - c)2 = (a + b - a + c) (a + b + a - c) =
= (Z? + c)(2fl + Z?-c).
Mashq lar
(1) formuladan foydalanib, ko'paytirishni bajaring (386—394):
386.1) (c + d)(c-d); 2) (p + q)(p-q)', 3) (a + c)(c-a); 387.1) (x + 5)(x-5); 2) (а+3)(я-3); 3) (a-4)(4 + a); 388.1) (2b + a) (2b-a); 2) (c + 3d)(c-3d); ( iYi b 389.1) 4d~~ ~ + 4d ; к 4 5 A 2) -a-b b + -a ; l6 Л 6 ) 390.1) (c2 + d2)(c2-d2); 2) (a2 + b3^(a2 -b3y, 391. 1) (За2 +4/>3)(Зя2 -4/>3); 2) (2/И4-5й2)(5й2+2/и4); 392. 1) (-a2--b3](-b3 +-a2 I4 2 Jb 4 2) f-x4--y5 Y-x4+-y5 ’ Ь 5 Jb 5 116 4) (m-n)(m+ n); 5) (a-b)(-a-b); 6) (2-m)(-2-m). 4) (7 + x)(x-7); 5) (l + a)(l-a); 6) (z>-i)(i+z>)- 3) (y + 6x)(6x-y); 4) (3m-2n)(2n + 3m). 3> А44г+Н; (2 3 Y2 3 b 4) -m + -n -m — n . ЦЗ 4 |3 4 J 3) (x4-/)(/ + x4); 4) (m3 -n3^(m3 +/23). 3) (0,2Z3+0,5/)(0,5/-0,2Z3); 4) (1,2й2-0,3/>2)(1,2й2+0,3/>2). \ ( 1 V ib ; 3) 0,5^ + -p2 0,5tf--p2 ; ) I 3 A 3 ) ; 4) fl,5c2--/>¥-/> +1,5c2 . 7 4 4 ) V 4 A4 )
393.1) (3х2у-4ху2)(3х2у+ 4ху2); 3) (jab + x2y3}(7 ab-x2y3};
2) (ЗаЬ2 + 2a2b}(5ab2 -2a2b^; 4) (ab3 -4xy}(ab3 + 4xy).
1) (3 + x)(3-x)(9 + x2); 3) (4x2 + y2)(2x + y)(2x-y);
2) (x2+ l)(x + l)(x-l); 4) (3a-2b)(3a + 2b)(9a2+4b2}.
Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib hisoblang (395—396):
395. 1) 48-52; 2) 68-72; 3) 43-37; 4) 47-53.
396. 1) 47-33; 2) 44-36; 3) 84-76; 4) 201-199.
397. Soddalashtiring:
1) (c-3)2-(c + 3)(3-c);
2) (й + 2)2-(« +2)(2-«);
3) (2x + 3y)(2x-3y) + (2x + 3y)2;
4) (3a-4b)(3a + 4b)-(3a-4b)2;
5) (-b-a)(a + b) + a2 +b2;
6) (b-a)(-a-b) + 2b2.
398. Ifodaning qiymatini toping:
1) 4m-(m + 3)2 + (m-3)(m + 3), bunda m = -2,4;
2) (3x + 4)2 -10x-(x-4)(4 + x), bunda x = -0,1;
3) 2(fc-7)(fc + 5)-(fc-5)2-(fc-7)(7 +fc), bunda fc = -|;
4) (a + 3)2 + (a-3)(3 + a)-2 (a+2)(a-4), bunda a = ~.
399. Tenglamani yeching:
1) (2x + 3)2-4(x-1)(x+1) = 49;
2) (3x+4)2-(3x-1)(1 + 3x) = 49;
117
3) (3x+2)(3x-2)-(3x-4)2 =28;
4) (3x+1)2-(3x-2)(2 + 3x) = 17.
400. Kvadratning ikki qarama-qarshi tomonining har bin 8 sm ga
uzaytirildi, qolgan ikki tomoni esa shuncha qisqartirildi. Shakl-
ning yuzi qanday o'zgardi?
лги и Ri 54-0Д28-53-0,628-5
401. Hisoblang:------------------.
125-0,25
23-§ / Ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir
/ necha usullarini qo4lash
Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishda ba’zan bir emas, balki bir
necha usullar qohlaniladi. Misollar keltiramiz:
1) a3-a ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:
А л3-a = a{a2-1) = л(л-1) (л + 1). ▲
Bu yerda ikkita usuldan foydalanilgan: umumiy ko'paytuvchini qavs-
dan tashqariga chiqarish va kvadratlar ayirmasi formulasini qollash.
2) (л2+1)-4л2 ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:
Л (л2 +1)2 - 4л2 = ((л2 +1) - 2л) ((л2 +1) + 2л) =
= (л2 +1 - 2л) (л2 +1 + 2л) = (л2 - 2л +1) (л2 + 2л +1) =
= (а-1)2 (л + 1)2 . ▲
Bu yerda qo'shiluvchilar umumiy ko'paytuvchiga ega emasligi sababli,
awal kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanildi, so'ngra yighndi
va ayirma kvadratlarining formulalaridan foydalanildi.
3) 4x2 - у1 + 4x + 2y = (4x2 - у2) + (4x + 2y) =
= (2x-y)(2x + y) + 2 (2x + y) = (2x + y)(2x-y + 2).
Birhadlar umumiy ko'paytuvchiga ega bodmagani va biror formulani
qodlash mumkin bodmagani uchun, avval guruhlash usulidan
foydalanildi, so'ngra esa kvadratlar ayirmasi formulasi qollanildi.
118
Ko'rib chiqilgan bu misollar ko‘phadni ko'paytuvchilarga ajra-
tishga doir topshiriqlarni bajarishda quyidagi tartibga rioya qilish
foydali ekanligini ko'rsatadi:
1) umumiy ko'paytuvchini (agar u bor bo'lsa) qavsdan tash-
qariga chiqarish;
2) ko‘phadni qisqa ko'paytirish formulalari bo'yicha ko'pay-
tuvchilarga ajratishga urinib ko'rish;
3) agaroldingi usullar maqsadgaolib kelmasa, guruhlash usulini
qo'llashga harakat qilish.
Masala. Tenglikni isbotlang:
a3 + b3 = (й + Z>)[a2 -ab + b2}.
(1)
A Tenglikning о "ng tomonidagi qavslarni ochamiz:
(a+b)(a2 -ab+b2} = a3 -a2b + ab2 + a2b-ab2 + b3 = a3 + b3.
Tenglikning o‘ng tomoni chap tomoniga tengligi kelib chiqdi, ya’ni
(1) tenglik isbot qilindi. ▲
Xuddi shu kabi
a3 -b3 =(a-b) {a2 + ab + b2}
(2)
tenglikning to‘gcriligi isbotlanadi.
(1) va (2) tengliklar mos ravishda kublaryig‘indisi va ayirmasi
deb ataladi. Bu formulalar ham ko'phadni ko'paytuvchilarga
ajratishda qo'llaniladi.
Masalan:
1)27 + Z?3 = (3 + Z?) (9-3Z> + £>2);
2)x4 - 8xy3 = x (x3 - 8y3) = x (x - 2y) (x2 + 2xy + 4y2).
402. Hisoblang:
1) 472-372;
3) 50,72-50,62;
Mas h qI a r
2) 542-442;
4) 29,42 - 29,32.
119
403. (Og'zaki.) Ko'paytuvchilarga ajrating:
1) 36-x2; 2) a2-25; 3) /-1; 4) I-*2.
404. (Og'zaki.)Ifodani birhadning kvadrati shaklida tasvirlang:
lOOzz2; 0,01Z?2; — m2n2; 0,25x6; 1 — x2; x4jA
16 16
Ko'paytuvchilarga ajrating (405—416):
405. 1) 25x2-9; 2) 4zz2-9; 3) 64y2-36x2; 4) 81a2-16Z>2.
406. 1) c26?2-9; 2) iz2Z>2-16; 3)4a2-9Z>2; 4)16x2-25/
407. 1) 1 7 16 2 —V; 3) 0,25a2-49 Z>2;
2) -a2- — Z?2; 4) 9 16 7 0,09x2-16/.
408. 1) 36x2y2-1; 2) x2y4-16; 3) 81a6-4964; 4)25a2-9/>6
409. 1) a4-Z>4; 2) a4-b\ 3) a4-16; 4) Z)4-81.
410. 1) (a + b)2 -c2; 3) (a + 2b)2 -9a2;
2) (m-rif - k2; 4) (3x-y)2-4y2.
411. 1) (a + b'f -(a-cf; 3) (2a + b)2 - (2b + a)2;
2) (й + b)2 ~(b + c)2; 4) (a-3b)2 ~(3a + b)2.
412. 1) 9a2 -6a + l; 3) 36b2 + 12b + l;
2) l + 2c + c2; 4) 81-18x + x2.
413. 1) 9x2 +24x + 16; 3) 36m2 + 12/72/2+ n2;
2) 100 - 60a + 9a2; 4) a2 +10ab + 25b2.
414. 1) x4 + 2x2y + y2; 3) 4c4 +12c2b3 +9b6;
2) ?4-2Л + ?2; 4) 25a6 +30a2b + 9b2.
120
415. 1) я4-8я2+16;
2) Z>4-18Z>2 + 81;
416. 1) -а2-2а-1;
2) -9 + 6b-b2;
3) 25a4-10a2b + b2;
4) 16-Sa2b2 + a4b4.
3) -la2 + Sab-Sb2;
4) -12ab-3a2 -12b
417. Ifodaning son qiymatini toping:
1) 5m2 -10mn + 5n2, bunda m = 142, и = 42;
2) 6m2 + 12mn + 6n\ bunda m = 56, и = 44;
3) -36a3 + 4a2b--ab2, bunda я = 4, Z? = 48;
4) -64a3 - Sa2b — ab2, bunda a = -6,b = 64.
4
418. Tenglamani yeching:
1) x2-36 = 0;
2) 1-x2 =0;
4
419. Hisoblang:
1) 1012-202-81 + 812;
2) 372 +126-37 + 632;
3) 4x2+4x + l = 0;
4) 25-10x + x2 = 0.
482 + 2 - 48-18 + 182 >
' 482 -182
852 -172
' 852 +2-85-17 + 172 '
420. Tushirib qoldirilgan shunday uchhadni topingki, tenglik bajarilsin:
1) /+/ =(x+y) (...); 3) x3-y3 = (x-y) (...);
2) (x + /3 = (x + y) (...); 4) (x-y)3=(x-y) (...).
421. Ko‘paytuvchilarga ajrating:
1) x3-y3- 3)x3 + 27; 5) «3-64; 7) i-?3;
2) c3 + d3; 4) a3-27; 6) «3+l; 8) 125-Z>3.
Ko'paytuvchilarga ajrating (422—424):
422. 1) 27m3-8; 2) 64-125/; 3) 125 + l/>3; 4) 64/++.
8 27
121
423. 1) 8a3+l; 3) 2-«3+64Z,6;
2) 1 + 27Z»3; 4)|a6+125Z>3.
424. 1) a’-Z>3; 2) a6-Z>6; 3) x6-729; 4) 64-/.
Ifodani qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib, ikkihad
shaklida yozing (425—426):
425. 1) (z + 5) (z2 —5z + 25); 3) (2x + 3y) (4x2-6xy + 9y2);
2) (y + 2) (y2-2y+ 4); 4) (4c-5d) (16c2+ 2(W + 25d2).
426. 1) (10л2 -1) (100л4 + Юл2 +1);
2) (a2b2 -5л) (л4/>4 + 5л3/>2 + 25л2);
fl V1 2 1 2^
31 \-т-п\\ — т +-тп + п ;
\5 /\25 5 )
(1 1 V1 2 1 1 2^
41 - х — у — х + - ху + - у .
' \2 3 Д4 6 2 9 )
427. Ko'paytuvchilarga ajrating:
1) (8л3-27/>3)-2л (4л2-9Z>2); 3) (л3+/>3) + (л + />)2;
2) (64л3 + 125Z>3) + 5b (16л2-25/>2); 4) (л3-/>3) + (л-/>)2.
428. Hisoblang:
.. 2583 -1473 17,982 -17,98• 32,02 + 32,022
} 2582 + 258 147 +1472 ’ ’ 17,983 + 32,023
429. Ifodaning qiymatini toping:
1) (х + 2) (х2 -2х + 4)-х(х-З) (х + 3), bunda х = 2;
2) (2х -1) (4х2 + 2х +1) - 4х (2х2 - 3), bunda х = 0,5;
3) (4х + 1) (16х2-4х + 1)-16х(4х2-5), bunda х = |;
4) х(х + 2) (х-2)-(х-3) (х2 +3x + 9), bunda х = i.
122
430. Tenglamani yeching:
1) (x + 2) (x2-2x + 4)-x(x-3) (x + 3) = 26;
2) (x-3) (x2 + 3x + 9)-x(x + 4) (x-4) = 21;
3) (2x-l) (4x2+ 2x + l)-4x(2x2-3) = 23;
4) (4x + l) (16x2-4x + l)-16x(4x2-5) = 17.
Ko'paytuvchilarga ajrating (431—434):
431. 1) 3a3-3; 2) у3-у; 3)
432. 1) хУ-х2/;
2) 7c2d2-63c2Z>2;
433. 1) 2а2 + 4ab + 2b2;
2) 2т2+2п2-Amn;
3) 5х2 + 10ху + 5у2;
434. 1) 2c3 + 2d3; 3)
2) 54х3-16; 4)
т3п-тп3; 4) 2а3-2аЬ2.
3) 8-72хУ;
4) 32а4Ь-2а2Ь.
4) 8р2-16/? + 8;
5) 27 а2 Ь2 -18^ + 3;
6) 12ти5и + 24m4rc + 12m3rc.
2cd3-16c4; 5) 7х2-56хУ;
1 2 5
~а> 6) 4^ + 32^.
о
435. Hisoblang: 19,72 -8,32 +28-8,6.
Ко paytuvchilarga ajrating (436—438):
436. 1) (х2 + 1)2-4х2;
2) (х2 + 2х)2-1;
437. 1) (a2+2ab + b2}-c2\
2) 1-(х2-2ху + у2);
3) 4/-(у-с)2;
4) 81-(у2 + 6у)2.
3) \-а2 - 2ab-b2\
4) 4 + (-х2 -2ху -у2).
438. 1)а2-Ь2 +а + Ь; 3)х-у-х2+у2; 5) т5-т3 + т2-1;
2}а2-Ь2-а-Ь\ 4)х3 + х2-х-1; 6)х4+х3+х + 1.
123
439. 272—142 soni 13 ga bo'linishini isbotlang.
440. n istalgan butun son bo'lganda (In— 2)2— (In— 7)2 ifodaning qiy-
mati 5 ga bo'linishini; 9 ga bo'linishini isbot qiling.
441. Tenglamani yeching:
1) (x-3) (x24-3x4-9)-(3x-17) = x3-12;
2) 5x-(4-2x + x2) (x + 2) + x(x-l) (x + l) = 0.
442. Motorli qayiqning oqim bo'yicha tezligi 18 km/soat, oqimga qarshi
tezligi esa 14 km/soat. Daryo oqimining tezligini va qayiqning
turg'un suvdagi tezligini toping.
0‘zingizni tekshirib kef ring!
1. Ifodani standart ko'phad ko'rinishida tasvirlang:
(iZ-3)2 4-(iZ-3)(iZ4-3) + 6iZ.
2. Ko'paytuvchilarga ajrating:
1) xy-2y; 2) 16я2-81; 3) 3x2-6x3;
4) x2-10x +25; 5) 3(x-l) + y(x-l); 6)2^2 -Aab + lb2.
3. Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating va uning a = 1, b = -1
bo'lgandagi son qiymatini toping:
a2 -3ab + 3a-9b.
IV bobga doir mashqlar
Ko'paytuvchilarga ajrating (443—447):
443. 1) 6(a + b) + (a + b'f ; 3) (a-b) + (b-af;
2) 4 (x-y) + 3(x-y)2; 4) {a - b)2 - (b - a).
444. 1) 3(x+y)(x-y) + (x+y)2; 3) 5 (я-/?)2-(й + b)(b-a);
2) (x + y)3-x(x + y)2; 4) a (a-tif -(J)-a)2.
124
445. 1) (у + ^)(12х2 + 6х) + (у-^)(12х2 + 6х);
2) (у - s) (12х2 -6х) + (у-z)(12х2 + 6х);
3) (бх2-3) + 7х(бх2-3)-4у (бх2-3);
4) 2х(8х-4у)-3у (8х-4у)-(8х-4у).
446. 1) 18я2-27я/> + 14яс-21/>с; 2) 10х2+10ху+ 5х + 5у;
3) 35ах + 24ху - 20яу - 42х2; 4) 48х/2+ 32ху2-15уг2-10у3.
447. 1) 16ab2-5b2c-lQc3+ 32ас2;
2) бтпк2+15т2к-14п3к-35тп2;
3) -28яс + 35с2-10сх + 8ях;
4) -24Z>x-15c2 + 40bc + 9cx.
448. Ifodani soddalashtiring:
1) (2х-1)2-2 (2х-3)2+ 17;
2) (Зх + 2)2-2(х-1)2-7х2;
3) 24/-(7у-2)2+(5у-3) (5у + 1);
4) (Зу+ 1) (2у-3) +(2у-З)2-10у2.
449. Ikkita ketma-ket natural son kvadratlari ayirmasining moduli toq
son bolishini isbotlang.
450. Kasrni qisqartiring:
532 - 272 . 492 -2• 49-29 + 292 .
792 — 512 ’ 492 -192
382 -172 . 472 - 32
472 —192 ’ 272 + 2 • 27 • 13 +132 '
451. x va у ning istalgan qiymatlarida (x + у) (x2 - у2) = (x - у) (x + у )2
tenglik to'g'ri bodishini isbotlang.
125
& 1) Oiladagi 6 ta qizning harbiriningakasi bor. Shu oiladanechta
$l\l= О farzandbor?
2) Muhammadjonning akalari qancha bo'lsa, opalari ham
shuncha. Kattaopasining ukalari soni singillari sonidan 2 marta
ko‘p. Shu oilada nechtao‘g‘il, nechtaqiz bor?
ф IV bobga doir sinov mashqlari — testlar
1. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqaring:
24a3 b2 -30a2b3.
A) 6a2b2(4a-5b); B) 6ab(4a2b-5ab2); C) 6a2(4ab2-5b3);
D) 6b2(4a3 -5a2); E) Зя2/>(8я/>-10/>2).
2. Ko'paytuvchilarga ajrating: 5(a-b) + a2(a-b)-3(b-a).
A) (a-b)(a2 + 2); B) (a-b)(a2-8); C) (a-b)(8-a2);
D) (a-b)(a2 + 8); E) (b-a)(a2 -8).
3. Ko'paytuvchilarga ajrating: 4a(x - у) + 4az + 7b(y- x - z)-
A) (x-y+z)(7b-4a); B) (y-x-z)(7b +4a);
C) (x-y-z)(4a-7b); D) -(x-y + z)(4a + 7b);
E) (x — y + z)(4a-7b).
4. Hisoblang: 16,92-16,9-3,7-16,9-3,2.
A) 169; B) 1,69; C) 16,9; D) -1,69; E) -16,9.
5. Hisoblang: 47,8-1,5 + 1,8-52,2 + 52,2-1,5 + 1,8-47,8.
A) 300; B) 330; C) 150; D) 180; E) 230.
6. Ko'paytuvchilarga ajrating: ax + bx-3ay-3by.
A) (a + Z»)(x + 3^); B) (a-b)(x + 3y); C) (a-b)(x-3y);
D) (a + b)(x-3y); E) to‘gcri javob berilmagan.
7. Ko'paytuvchilarga ajrating: 7a(5a -3b)-10a + 6b.
A) (5a + 3b)(7a-2); В) (3/>-5a)(7a + 2); C) (3/> + 5a)(7a + 2);
D) (5a-3b)(7a + 2); E) (5a-3/>)(7a-2).
126
8. Ifodaning son qiymatini toping:
a3 - a2b-3a + 3b, bunda a = 2,5; b = -1,5.
A) 3,25; B) 13; C) -13; D) 5; E) -3,25.
9. Tenglamani yeching: (3x + 2)2 - (3x - 4)2 = 132.
A) 4; В) 3; C) -5; D) -4; E) ildizi yo'q.
10. Tenglamani yeching: 8lx2 - (4 -9x)2 = 56.
A) -1; B) 1; C) 2; D) -2; E) 3.
11. Ko'paytuvchilarga ajrating: 8zz3 — 27Z?3.
A) (2a-3Z>)2(2a + 3Z>); B) (2a + 3Z>)2 (2a-3Z>);
C) (2a)3 ~(3b)3; D) (2a-3b)(4a2 + 6ab + 9b2);
E) (2a + 3b)(4a2 + 6ab + 9Z>2).
12. Ko'paytuvchilarga ajrating: (a2 + 25)2 - lOO^z2.
A) (a-5)3(a+5); В) (a-5)(a+5)3; С) (я+5)4-(10я)2-
D) (a-5)2 (a+5); E) (a-5)2 (a+5)2.
13. Hisoblang: (533 + 473): (532 -53-47 + 472).
A) 6; B) 100; C) 600; D) 532 + 472; E) 110.
§ Tarixiy masalalar
(D Abu Ali ibn Sino masalalaridan:
1) Agar sonni 9 ga bo'lganda 2 yoki 7 qoldiq qolsa, bunday
sonning kvadratini 9 ga bo'lganda 4 qoldiq chiqadi;
2) Agar sonni 9 ga bo'lganda 4 yoki 5 qoldiq qolsa, bunday sonning
kvadratini 9 ga bo'lganda 7 qoldiq chiqadi.
3) Agar sonni 9 ga bo'lganda 1 yoki 8 qoldiq qolsa, bunday
sonning kvadratini 9 ga bo'lganda 1 qoldiq chiqadi.
4) Agar sonni 9 ga bo'lganda 3 yoki 6 qoldiq qolsa, bunday sonning
kvadrati 9 ga qoldiqsiz bo'linadi.
5) Agar sonni 9 ga bo'lganda qoldiq 1, 4 yoki 7 bo'Isa, u holda
bunday son kubini 9 ga bo'lganda qoldiq 1 bo'ladi.
6) Agar sonni 9 ga bo'lganda qoldiq 2, 5 yoki 8 bo'Isa, u holda
bunday son kubini 9 ga bo'lganda qoldiq 8 bo'ladi.
127
Agat sonni 9 ga bodganda qoldiq 3 yoki 6 boc Isa, u holda bunday
sonning kubi 9 ga qoldiqsiz bodinadi.
8) Kubdan qirra ayirilsa, bu 6 ga karrali son bodadi, ya’ni n3-n
shaklidagi son 6 ga qoldiqsiz bodinadi, bunda n—natural son.
(2) (Diofant masalasi). Quyidagi tenglikning to'g'riligini kohsating:
(a2 + b2)(c2 4-d2) = (ac ± bd)2 + (be + ad)2.
(3) L. Eyler masalasi. Quyidagi tenglikning tocgcriligini koYsating:
(a2 + b2 + c2 + d2 )(m2 + n2 +p2 +q2) = (an + bm + cq + dp)2 +
+(am -bn + cp- dq)2 + (-ap -bq + cm + dri)2 +(aq-bp-cn + dm)2.
Tarixiy ma’lumotlar
Al-Koshiyning „Arifmetika kaliti“ asarida ikkihadni ixtiyoriy natural
darajaga kodarish qoidalari berilgan.
Turli algebraik formulalami isbotlashda, tenglamalami yechishda
geometrik mulohazalardan foydalanish qadimgi Xi toy, Yunoniston,
Hindiston, O'rta Osiyo matematiklari asarlarida uchraydi.
Ular (a + b)2 = a2 + 2ab+b\ (a-b)2 = a2-2ab + b\ a2-& = (a-b)*
*(a+b) (yoki (a2 - b2) = (a- b)2 + 2b(a- b)) kabi ayniyatlami geometrik
usulda isbotlaganlar. Masalan, a2-b2 = (a-b)(a+b) formulani isbot-
lashga shunday yondoshilgan: tomoni a ga teng kvadratdan tomoni
b ga teng kvadratni qirqib olinsa, qolgan shaklning yuzi:
a(a-b)+b(a-b) = (a-b)(a+b) ga, yoki baribir, (a-b)2 + 2b(a-b) ga
teng bodishi 14- rasmdan ravshan ko‘rinib turibdi.
Demak, a2-b2 =(a-b)(a +b) formula
to‘gcri.
To‘gcri burchakli uchburchakning
tomonlarini butun (yoki ratsional) sonlarda
ifodalash uchun xitoy matematiklari
miloddan awalgi birinchi ming yillardayoq
tenglikdan foydalanganlar.
128
14- rasm.
/
ИЧЧ ALGEBRAIK KASRLAR; \ ! I ' ' ।
— -r - -- ~~ "Г ~г T ~Г ~ у ~F j ~!~ । । ~1—।
24-§ / Al^braik kasr. Kasrlarni qisqartirish I I
/ / 7 /////;;////// ! » ' П I
1- masala. Kateming turg'un suvdagi tezligi soatiga a kilometrga,
daryo oqimining tezligi soatiga b kilometrga teng. Kateming daryo oqimi
bo'yicha harakat tezligi uning daryo oqimiga qarshi harakat tezligidan
necha marta ortiq?
A Kateming daryo oqimi bo'yicha tezligi soatiga (fl+Z>) kilometrga
teng; oqimga qarshi tezligi soatiga (a—b) kilometiga teng. Shuning uchun
daryo oqimi bo'yicha harakat tezligi oqimga qarshi harakat tezligidan
a + b
a - b
marta ortiq bo'ladi. ▲
a + b
ifoda algebraik kasr deyiladi. Bu kasrning surati a+b, maxraji
esa a—b.
Umuman, surat va maxraji algebraik ifodalar bo ‘Igan kasr algebraik
kasr deyiladi.
Algebraik kasrlarga doir yana bir necha misollar keltiramiz:
a 1 . a-b x(b + c)
b’ x + y’ c ’ y(a — cf
Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o'miga biror sonlar qo'yilsa,
u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning
son qiymati hosil bo'ladi.
a + b
Masalan, a =10, Z>=8 bo'lganda algebraik kasrning son qiymati
10 + 8 = — = 9 ga teng bo'ladi.
10-8 2
algebraik kasrda a va b o'rniga o'zaro teng bo'lmagan (a^b)
Л 129
9 —Algebra, 7-sinf ----
istalgan sonlami qo'yish mumkin, chunki a = b bolganda kasming
maxraji nolga aylanadi, nolga bolish esa mumkin emas.
Bundan keyin algebraik kasrga kiruvchi harflar yo‘l qo'yiladigan
(joiz) qiymatlamigina, ya’ni shu kasming maxraji nolga teng bo‘lmay-
digan qiymatlamigina qabul qiladi, deb shartlashamiz.
a
Masalan, a kasr uchun joiz qiymatlar a ning a = 0 va a =1
dan boshqa barcha qiymatlari bohadi.
Kasming asosiy xossasini bun day yozishmumkin:
<7 _ ma
b mb ’
bu yerda b^O,
Bu xossa kasming surat va maxrajini bir xil algebraik ifodaga ko'paytmlsa
yoki bolinsa, unga teng kasr hosil bodishini bildiradi, masalan:
3_3-5_15 a + b _(a + b)c
4-4^5-20’ ~T~ be '
Kasming asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va
maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko'paytuvchiga qisqartirish mum-
kin, masalan:
a (b + e) b + c (a + b) с c
a(b — c) b - o’ (a + b)d d
Kasrlarni soddalashtirish uchun awal ulaming surat va maxraji-
ning umumiy ko'paytuvchisini ajratib olish kerakligiga doir misollar
keltiramiz.
2- m a s a 1 a. Kasrlarni qisqartiring:
Yla^b m2 - w2
1) 2) -----
<\ab m + mn
A 1) 12zz2Z? va ^ab1 birhadlar ^ab umumiy ko'paytuvchiga ega.
Kasming surat va maxrajini ^ab ga bodamiz:
12<72b _ Atab - За _ 3a
4ab2 4ab- b b
130
2) m2- и2 va m2+ mn ko'phadlar m+ n umumiy ko'paytuvchiga
ega, chunki m2- n2= (m+ n)(m- ri), m2 + mn= m(m+ ri). Kasming surat
va maxrajini m+ n ga bolamiz:
2 2
m - n
2“
m + mn
(m + n) (m-n)
m(m + n)
m-n
m
Shunday qilib, kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat
va maxrajini ularning umumiy ko‘paytuvchisiga bo'lish kerak.
Agar kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-
qarshisigao'zgartirilsa, u holda berilgan kasrgaqarama-qarshi kasr
hosil bo'lishini ta’kidlab o'tamiz:
-a a a a
~b~~l '
а /г i -3 3 -a a a
Masalan, — = — ;---------=------=-----.
7 7 I- a I- a a-l
3a (y - x)
3- masala. -----------r kasmi qisqartiring:
a (x-y)
3a(y-x) -3a(x-y) -3 3
a2 (x- y) a2 (x- y) a a
Mas h qIa r
452. Surati x va у sonlaming ko'paytmasiga, maxraj i esa ularning
yighndisiga teng algebraik kasmi yozing.
453. Surati pN&q sonlaming ayirmasiga, maxraji esa ularning ко‘pay t-
masiga teng bo‘lgan algebraik kasmi yozing.
454. Surati a va b sonlar kvadratlarining ayirmasiga, maxraji esa shu
sonlar ayirmasining kvadratiga teng bo‘lgan algebraik kasmi yozing.
455. Surati c va d sonlar kublarining yig‘indisiga, maxraji esa shu
sonlar ko‘paytmasining ikkilanganiga teng bo‘lgan algebraik kasr-
ni yozing.
131
456. Algebraik kasrning son qiymatini toping:
1) bunda a = 2-; 4) bunda a = 16, b = -3;
a 5 a + 2*
2) bunda b = 1,5; 5) 5a + b bunda a = 2, Z? = 8;
7 b-1 ’ a2-5b
3) bunda fl = -3; 6) 3, bunda a = 3,b = -4.
7 2a 3b-as
457. 1) S = vt formuladan v ni; 2) p = — formuladan V ni;
3) C = 2kR formuladan R ni;
4) P= 2 (a + Z>) formuladan a ni toping.
458. Har bir yuk mashinasiga t tonnadan kartoshka yuklash mumkin
boc Isa, har birida p kilogrammdan kartoshka bodgan n qop
kartoshkani tashib ketish uchun nechta yuk mashinasi (x) kerak
bohadi? x ni n = 90, p = 50, /=1,5 bohganda toping.
459. Mashina soatiga o'rtacha c metr linoleum ishlab chiqaradi. Agar
mashina kuniga n soatdan ishlasa, u a metr linoleumni necha
kunda ishlab chiqaradi? Izlanayotgan vaqtni t bilan belgilab, t ni
c = 47, a = 11280 va n = 16 bohganda toping.
460. Berilgan ikkita kasming tengligini ko‘rsating:
6 18 1)- va —; 7 7 21 3) 2 3 2a va —; 3a 5) m-n m + n va 2 2 m - n (m + n)2 ’
-3 27 2) — va —; 7 5 -45 4) 2a lb 2a1 b va—T; Tab1 6) a + 3b c va (a + 3/)) c 2 c
Kasrni qisqartiring (461—463):
— 48 -64 _ -121 28
461. 1) ; — 5o -80’ 3) —; 7 55 4> ~4-
4 12a 2c 7b 4ab
462. 1) 4 5) —; 6) ~ 2a x3 у
b3 a3 b6
463. 1) a5 2 —; b 3) a 4> 7'
132
Kasmi qisqartiring (464 — 474):
.. 6ab a^b _. 12a462
464. 1) —; 3) —r; 5) —уз-; 4a ab3 \%a3b3
14c .. 3a2 b ISa^bc1
2) ,o ; 4) , ; 6) 3 .
49c 9a3 125ac3
,. 4(m + «). 2Z>(m-«) . 2(a-Z>)
' 5(m + w)’ ' 3b (m — n) (m — n) ’ ' b — a ’
7a (a — b) . 3a(a + 6) . 5(x — y)
5 (a — б) 4) 9a (a + б)(а — б) ’ 15 (y — x)
„ (a-*)2 ,4 • rs 3m(l-x)2
466. 1) — ; 3) / ж7’ 5) n 2/ n2’ a-b (n-m) 9/и (x-1)
?и + и . (2x-3y)2 3a2b(a-b)
2) (m + n)4 + Зг-2л ’ 6’ 4о3й(й-о)2
467. D 3X + 3, 2£±2|; ac-to. 6c 4a - 46 ac + be
8a 12a-3 x.x a + ab
4ти-4й’ 7 6a + 9’ 7 a-ab'
_ a1 7a+ 146 3a —66
468. 1 ~—?; 3 , ; 5 ... . ; a + ab 3a + 66 126 - 6a
PQ3 . 2m2-mn^ x2-2xy
^/2 2 ’ 4) 2 ’ (2) r, 2 P q-pq Imn-n1 2+ -xy
12x2-30xp 36a2 +24a6 m3-3m2n .. a3-2a26
469. i) 2 m ; 2)—5—3)—2 4)—^—T- 7 30x -12xp 7 24a2 +36a6 7 3m2n-3m3 7 2a362 -a46
^2_^2 4c2-9x2 3a (a-6)
470- 1 ; 3) 0 , ; 5) 6a4b av a + b 2c-3x oa [D-aj
^4 a-b J4 25-+ 5o(c2-4)
a2-b2’ 4) 5-x ’ 6) 10+(2-C)'
133
8 —Зс 2^-10 б2 — с2
471. 3) 2TV; 5) 77“^;
9с -64 zj-y ь и — с п
пч 100-4962 лх 5у-у2 . 5а36 + 5а63
2 4) ’ 6)
472. 1) d2-6d + 9 . d-3 ’ 2)- ь2 Ь + 2 + 146 + 4 _ 9-6а+а2 4 л 5 О ’ 9 3-а 4) 1~2р 1 - 4р + 4р2
473. 1) 4y2 -4y+ 1 . 4/-1 ’ 3) 3а2-6а6 + 362 6а2-662 '
2) 16а2-1 4) 50/И2 + 100/77/7 + 50/72
16а2 -8а + 1 ’ 15/и2 -15/22
474. 1- а2 4у2 -4у + 1
1) (а-l)2 ’ 3) 2-4у ’
2) {т - nf 4) 5-2х
п-т 4х2 -20х + 25
475. Kasmi qisqartiring:
1 \ 9с2 -16 д\ 36с - с3
16 - 24с + 9с2 ’ с3 + 12с2 + 36с’
16х2 -24лу + 9/ . 256-4963
' 9/-16х2 ' ' 4963-7062+256 ’
4х2-4ху + у2 . 462 -126с + 9с2
3) /-4х2 ’ б) -2а6 + 3ас '
476. Kasmi qisqartiring:
2а5-128а2
(2а2 + 8а + 32) (а4 -4а3) ’
2а4 + За3 + 2а + 3
(а2-а + 1) (2а + 3) ’
За2 + ab-6a2b-2b2
' 9а5-ай4-18а4й + 2й5 ’
Зас2 +3bc2-3ab2-ЗЬ2
бас2 + бЬс2 -баЬ2 - 6$
134
/
--------f------------------------------------------------------------
§ ; Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish
/
Oddiy kasrlarni qo'shishda awal kasrlarni umumiy maxrajga keltirib
1 3 7
olinadi. Masalan, -, — , — kasrlar uchun umumiy maxraj 100 soni
bo‘ladi, bu son 4, 25, 10 sonlarining eng kichik umumiy karralisidir.
|Tt| Algebraik kasrlarning umumiy maxraji shu kasrlar maxrajlari-
ning eng kichik umumiy karralisidir. Kasrlarni umumiy maxrajga
keltirishda kasrning asosiy xossasidan foydalaniladi.
nt n p
1- masala. ^2^’ 6o?Va 4oc ateebraik kasrlarni umumiy
maxrajga keltiring.
A Berilgan kasrlaming umumiy maxraji har bir kasrning maxra-
jiga bolinishi kerak. Demak, u 3 ga, 6 ga, 4 ga, ya’ni 12 ga; a2 ga, a
ga va a ga, ya’ni a2 ga; b ga va b2 ga, ya’ni b2 ga; c ga bolinishi kerak.
Shunday qilib, kasrlaming umumiy maxraji 12, a2, b2 va c ko'pay-
tuvchilarni o‘z ichiga olishi kerak. Umumiy maxraj sifatida 12a2b2c koc-
paytmani olish lozim bohadi. Bu umumiy maxrajni birinchi kasming
maxrajiga bo‘lib, uning surat va maxrajini ko'paytirish kerak bohgan
birhadni topamiz. Bu birhad berilgan kasming qo ‘shimcha ко ‘paytuv-
chisi deyiladi. Birinchi kasr uchun bunday birhad 4Z?c ga teng. Xuddi
shunday yo‘l bilan ikkinchi va uchinchi kasrlar uchun qo'shimcha
ko'paytuvchilami topamiz: 2a va 3ab2.
Birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlarning surati va maxrajini mos
ravishda Abc, 2ac va 3ab2 ga ko'paytirib, ulami 12a2b2c umumiy max-
rajga keltiramiz:
m _ Ambc n _ 2nac p _ 3pab2
3a2b~ 12a2 b2c’ б^Ь2 ~ 12a2b2 c ’ ^c~ 12a2b2c' *
2- m a s a 1 a. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring:
a . b . c
x2— y2 ’ 2x2 -Axy + 2y2 ’ 3x2 +6xy + 3y2 '
A Kasrlarning maxrajini ko'paytuvchilarga ajratamiz:
135
х2-у2 =(х-у) (х + у);
2х2-4ху+ 2у2 =2 (х2 -2ху + у2^ = 2 (х-у)2;
Зх2 + 6ху + 3у2 = 3 (х2 + 2ху + у2^ = 3 (х + у)2.
Umumiy maxraj berilgan kasrlarning har birining maxrajiga bo'linishi
kerak.
Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo'linishi uchun uning
tarkibida (x-y) (x+y) ko'paytma bo'lishi kerak.
So'ngra, umumiy maxraj ikkinchi kasming maxrajiga bo'linishi kerak
va shuning uchun unda 2(x-y)2 ko'paytuvchi bo'lishi kerak. Demak,
birinchi kasr maxrajiga 2(x-y) ko'paytuvchini yozib qo'yish kerak,
ya’ni umumiy maxraj tarkibida
2(x-y)2(x + y)
ko'paytma bo'lishi lozim.
Umumiy maxraj uchinchi kasrning 3(x+y)2 maxrajiga bo'linishi
uchun hosil qilingan ko'paytmaga 3(x + y) ko'paytuvchini yozib qo'yish
kerak. Demak, uchala kasming umumiy maxraji
6(x-y)2(x + y)2
ga teng bo'ladi.
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun ulaming surat va
maxrajini qo'shimcha ko'paytuvchilarga ko'paytirish kerak, ular esa
umumiy maxrajni har bir kasming maxrajiga bo'lish yo'li bilan topi-
ladi; berilgan kasrlar uchun ular mos ravishda quyidagilarga teng:
6(x-y)(x+y), 3(x + y)2, 2(x-y)2.
Demak, berilgan kasrlarni bunday yozib olish mumkin:
a бя(х-у) (x + y) b 3b(x + y$
x2-y2 6 (x-y)2 (x + y)2 2x2-4xy + 2y2 6 (x-y)2 (x + y)2
c 2c (x-y)2
3х2+6лу + 3у2 6 (x-y)2 (x + y)2
136
Shunday qilib, algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish
uchun:
1) berilgan kasrlarning umumiy maxrajini topish;
2) harbir kasr uchun qo'shimchako‘paytuvchini topish;
3) har bir kasrning suratini uning qo'shimcha ko'paytuvchisiga
ko'paytirish;
4) har bir kasrni topilgan surat va umumiy maxraj bilan yozish
kerak.
Mashq lar
Quyidagi mashqlarda kasrlarni umumiy maxrajga keltiring (477—484):
477. 1) 1 2 - va -; 2 3 5 3) - va 3 X 14 7 2y X 3y ’
2) 1 2 - va -; a b 4) - va b a ^8 — ; 6) — va lb ’ 15 5 12 '
478. 1) 3 1 —, -V7 va 4a 5b 7 2СЫ ’ 7 8 3) ~ va — , a a
2) 3x 6 —, — va 4y vy 4? . 3x * „a b 4 7-va TT- lx 4x
479. 1) b1 a va —; a 2 2) 3b va —; 7 lb
3) 2 cr va —; lab .\ b 3c 4) —, — va 3a lb ab.
480. 1) 1 1 1 Ip2 ’ Va 3k2 ’ la 4 3 3) va —; 7 b2 I5a2b l0a2b4
2) 1 a2+b2 o 2 3 - a 7 31 их 4 2 4 Зх у
6b2 ’ 9a2b2 v d 0 5 18^2 4) 20x4y ’ блу3
481. 1) 3 5 va —: x + y X ' t 7x 3) va 7 2(x-l) 5x x-1 ’
2) 6 2 va -; a-1 a la2 5a2 4) va . 3 (tz+1) 4(tz+l)
137
482. 1) — va ——;
X-у x+у
7a 6b
2)------va------;
Зх - у Зх + у
4)
3b 4
483. 1) — va-—
’ b-2 £-4
3)
5x 3
------va--------.
2x - 2 4x - 4
3x x
---------va-------;
4x + 4 у-8x + 8 у
2
a
7 2 ’
1 - a
1 2a
----,-----va
1 - a 1 + a
a
va-----
x + 3
4)
6x 7xy
----, —— va
x - у Х+У
3
2 2 •
X -y
m n mn
2m + 2n ’ 8m-8w 6m2 -6n2
2c 3a2 7b
56-5c’ 3562 -35c2 146+14c ’
1 1 1
3) ----7 , —5------ va -------7 i
a2 - 462 3a2 + 6ab 2ab-a2
---,-7 va —5.
4x - 4 1-x 3x + 3x
№9
Bir qurt yerdan daraxtning uchigachiqmoqchi bolibdi. Daraxt
bo‘ylab kechasi u 2 m balandlikka chiqqach, kunduzi esa 1m
pastga tushar ekan. 9- kechada u daraxtning uchiga chiqib
olibdi. Daraxtning balandligi necha metr ekan?
/
26-§ / Algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish
i
Bir xil maxrajli kasrlami qo'shish va ayirish qoidalarini bunday
yozish mumkin:
a b a + b
--1-— -- 5
mm m
a b _a-b
mm m
a-b 2a-b a-2b
1- masala. ---------,------va-------- kasrlarni qo ‘shing.
<7 + 6 <7 + 6 <7 + 6
138
a-b 2a-b a-2b a-b+ 2a-b +a-2b 4a-4b 4(a-i
A I---------1----=---------------=-----=------
a + b a + b a + b a + b a + b a + b
_ . a о ....
2- masala. ----va----kasrlarning ayirmasini toping.
a+b a+b
a2 b2 a2-b2 {a + b) {a-b) .
A----------=---— =-----------= Cl — u. ▲
a + b a + b а+® a + b
Har xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish uchun bu kasrlarni
umumiy maxrajga keltirish va bir xil maxrajli kasrlarni qo‘shish
yoki ayirish qoidasidan foydalanish kerak.
3-masala. , -y- va —kasrlarni qo'shing.
а3 2а2Ь 3ab2 b
A Berilgan kasrlarning umumiy maxraji 6a3b2 ko'paytma bo'ladi.
Demak,
11 1 6Z>2 3ab 2a2 2a2 + 3ab + 6b2
a3 + 2a2b + 3ab2 ~ 6a3b2 + 6a3b2 + 6a3 b2 ~ 6a3b2 ' A
a c
4- masala. —y- va
3b2c I5ab2
kasrlarning ayirmasini toping.
r 2 2 4-2 2
a с _ 5a c _5a -c
3b2c~15ab2 ~ 15ab2c~ 15ab2c~ 15ab2c '
5- masala. — va —— kasrlarni qo'shing.
x -x x -1
A Kasrlarning maxrajlarida turgan ko'phadlarni ko'paytuvchilarga
ajratamiz:
x2 - x = x (x -1), x2 -1 = (x -1) (x +1).
Kasrlarning umumiy maxraji x(x-l) (x + 1) ko'paytma bo'ladi.
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirib, topamiz:
139
1 + 3 _ 1 3 _ х +1 Зх
х2-х х2-1 х(х —1) (х-1) (х + 1) х(х2-1) х(х2-1)
х + 1 + Зх _ 4х + 1
х(х2-1) х(х2-1)
ЛИ Shunday qilib, turli maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirishni ushbu
tartibdabajarish mumkin:
1) kasrlarning umumiy maxraji topiladi;
2) kasrlarni umumiy maxrajgakeltiriladi;
3) hosil bolgan kasrlarni qo‘shiladi;
4) mumkin bo'lsa, natijani soddalashtiriladi.
1 4 4
6- masala. a2+4a + 4 + 4йз+4(? + +2(? ifodaning son
qiymatini a = 0,5 bo Uganda hisoblang.
Д Berilgan ifodani quyidagicha almashtirish mumkin:
1___________4 + 4 _ 1________4 + 4
(a + 2)2 a2 (a2 + 4a + 4) a2 (a+ 2) (й + 2)2 a2(a + 2)2 a2 (a + 2)
_ a -4 + 4 (a+ 2) _ a2 + 4a + 4 _ 1
a2(a + 2)2 a2(a + 2)2
ТЧ 1 • 1 + 1 1 100 .
Demak, izlanayotgan son qiymat: —T =-----------= — = 4. ▲
0,52 0,25 25
Mashq lar
Kasrlaming yigrindisini (ayirmasini) toping (485—491):
485. 1) 7+ . 2 ’ q 3) a c
a + b a + b'
2) 8a 3a 4) X У
b3 b3 ’ n+ a n + a
140
486. 1)
с + d 2с- d
----+------
2а 2а
2)
a + 2b 5а -2Ь
-------1--------j
О 2 о 2
Зс Зс
3)
а+Ь а-b .
~2с~ ~2^'
a a 5d 5d a‘b ab
487. 1) |+|; 3) f+~;
а/ 3a a
5)
_ 4 5 4Ч 1 2
7 28 ’ ) 1 5b'
6)
a b
4 Y2d'
488. 1) y-3; 2) | + |; 3) 5-1; 4) | + 7.
2 n a 5 a b
489
2 3
— +
b b2
2)
3_.
T ’
c
2 л 3
- + 4- —
c
c2
j с ь
3) d~~ + —2 ,
d d
d‘
у
.. m } m
4)-------k + —
n
490
1)
1 1
—“ + — ’
ab be
a a
be bd ’
5)
491
2)
mn mk
4)
b b
— + —
ac cd
6)
2
m mn
2 A
n3
mn
1)
4a3b 6ab'
2)
2a 1c
W 6^b
3)
3y3 6x2y 12 xy
4) -2+
2х2у 4xy2 14*У
5)
6)
a b
l?+~?
b b b
—+ ^—+---у .
с c d cd
3c , 5d
J ’
С
15a 3 ’
5
T ’
3
4
n2 '
c
a
Algebraik kasrlarni qo'shing va ayiring (492—503):
492. 1) 2x x 3) 2a2 5a2 _l_
3 (a -b) a-b 3 (я + 1) 4 (fl + 1) ’
7x 5x 4y 5x
2) 2 (x-1) x -1 ’ 4) 5(y-3) 2(?-3)'
493. 1) 5 3 fl 2a
2x-2 4x-4’ 3) 3a + 3b 6a + 6b ’
141
7 3 л \ Зх х
2) 5Ь + 5 106 + 10 ’ 4) 4х + 4у 8х + 8 у
494. 1) 3 5а 2Х у + а у-ь ,
2 ’ а + a ab + b 3) 9 9 5 6 + ba ab+ а
56 2а у-Ь у — а
2) ах + ay bx + by 4) a2 -ab ab-b2
495. 1) 3 5 , 1 1
х + у X 3) х(х-З) х(х + 3)
б 10 4 7
2) а а-1 ’ 4) 5 (я-б) 8 (« + б)
496. 1) а 1 3) 5 + P2 Р .
1-62 1 + 6 ’ р2 -36 6 + р ’
2) 2 1 4- 4) 2х 5х-2
х2 -9 х + 3 ’ х-4 х2 -16
497. 1) 2х 5х-2 3) с2 - 8 16с-2с3
х - 4 16 - х2 2с + 3 9-4с2 ’
2) 12л-5 6 4) 21у2 + 1 у
л2 - 49 ' 7 - л ’ 1-9/ Зу-1 '
498. 1) 3 2а 4- а 4 4-
<3 + 2 (я + 2)2 2) (3<7 + 1)2 3<7 + 1
499. 1) 2у + 8 7 4 7
у1 -4у + 4 у-2 ’ 4) (m-л)2 п-т"
2) 4-5х 2 ; 5) 2а 10
1 + 6х + 9х2 Зх + 1 25 - Юй + а2 а2 -25 ’
7 5 1 1
3) (a-b)2 Ь-а 6) х2-6х + 9 (х + 3)2
500. 1) <2 , /7 4- ’ п 6 Iе2. fl2 1
а-\ Ъ-1 ’ 3) С т 1 , Ч-} UT1 С— 1 <2 + 1
142
501. 1) 7 ! a + b 8 166 3 2 6
a-b a2 3) a + 3 3 — a a2 - 9’
6x 3 4 3 8 7
2) 2 2 x — у x — у x + у ’ 4) 4Й2 —9 2a + 3 3 — 2a
502. 1) a + b a 6 7 4 m- n
a a-b a2 — ab ’ 4) m m-2n 4n2 — m2 ’
5b-1 6 + 2 + 26 + 2 6 + 1. v x3
2) 3b2 -3 6-1’ 3) V + у X2 2 ’ -y
3) 6a 3a +1 -I 1- За — 1 6) , 4a a — 2 + 2 + a a3 +b
9a2 -1 3-9a 6a + 2 ’ a2 + 2a
503. 1) a +1 1 a + 6 1
a3 -1 a2 + a +1 3) a2 — a '.b + b2 a + 6
2) a2 +4 1 4) m2 —3m + 9 1
a3 + 8 a + 2 m3 - -27 772 — 3 *
504.
Ifodani soddalashtirib, so'ngra son qiymatini toping:
8<22 <2 + 1 , , n
1) —,— + , bunda a = 2;
a -1 a +a+l
3c2-c + 3 с —1 2 K . 1 1
2) —7---------ч------+-----, bunda c = 1 - .
’ c3-l c2 + c +1 1-c 2
27-§ f Algebraik kasrlarni ko'paytirish
t va bo4ish
Algebraik kasrlarni ko'paytirish va bodish ham oddiy kasrlarni
ko'paytirish va bodish qoidalari bo'yicha bajariladi:
143
1- masala. Kasrlarni ко "pay tiring:
1 4x2y3 10z2
----, --— va —5- .
2xy 5z Зх3
1 4x2y3 W2 _ 1 • 4x2y3 • 1О.г2 _ 4y2^
Л 2xy 5z Зх3 2ху-5^-Зх3 Зх2
2- masala.
a-b b2+ab
----7 va ----7
a +ab (a-b)
kasrlarni ко'paytiring.
Д Ko'paytuvchilarga ajratib, topamiz:
a-b b2 4- ab _ (a - b)b(a 4- b) _ b
a2 4- ab (a-b)2 a(a + b)(a-b)2 a (a-b)
~ . m + n m -n , , • i и-
3- masala. n 7 , va ——T kasrlarni bo ling.
9m n 2/mn
д m 4- n ' m2 — n2 _ (m 4- n) • 27/ил2 _ (m 4- n)3 _ 3
9m2 n3' limn2 9m2n3(m2 - n2] mn(m-n)(m + n) mn(m-n)'
Algebraik kasrni darajaga kolarishda ushbu formuladan foyda-
laniladi:
Masalan,
f 4a2'
16a4
~b^;
a + b^ _ (a + b)3
. 3c ) 27c3
Mashqlar
Kasrlarni ko'paytiring (505—506):
505. 1)
85 72 .
24 17 ’
256 13 .
169 64 ’
7 5
3) 50.-X; 4) ^-39.
OZJ zo
144
506. . a2b c2 c a4 3) 6a ~5b 15c 2d ’ 2a 5) —3c 7 3b ’
,.2 j_3 m n к 7 33’ к m n 4) 4m 9n 21k . ‘ I6d ’ A2 6) 14^.
507. Kasrlarni bo'ling:
3 3 D 5 : 7 ; 3) a 8 ' 1 3 ’ 5) 2.6. a ' 7 ’
2>п:г 4> 6 . c m 13 5 6) 9 . b^ 35 ’ 5 ’
508. Kasrlarni bo "ling:
1) — : — ; 3) 17 17 3a Tb a 'V 5) 2a _ a2 ~3b ‘ ~bc"
2)rr 4) c 2d . 4< 5d ’ 6) 5m . 10/rz3 2 n n
509. Kasrlarni bo "ling:
л 1Z-2S ’ 12 ' 39 ’ 3) 4 13 :5; 5) 12:|;
54 81 2) Ts'-Ts' 4) a b c; z-x b 6) a: c
510. Kasrlarni bo "ling:
„2 l ,,4 ... ci b ci 1/ • T ’ c c 3) 4a 5b . 12c . ’ 25d ’
2 2 mn . m n к ' к3 ’ 4) 8m 9n 16/c . ’ 27d ’ 6) 12^ :
Ko'rsatilgan amallarni bajaring (511—517):
5a ) 2 14Z,2 2a2 12a2 (ab^\ ,
511. 1) <~b) 25a3 ’ 3) w \5b2 ’ 5) — • acd\ Vcd J
( 3a2 Y 16Z>3 .x 3a3 9a4 , 2 (abV
2) < 2b ; 21a4 ’ 4> 7Г 21K ’ 6) abc2 • — \Ca J
10 —Algebra, 7- sinf
512. 1) 8a26 36c3 9c 5a3b ’ 16x2J . } 7z 20 xv3 2 k2 ’ 18/Гг3/?5 7k : (9л2
2) 7b4 . 35Z>4c2 . .x 46б/3с 4) ,, : 15a 23dc2 6) 24+: 12m4 k‘
9c5 у ' 18c4y2 5a3 \\p3n
513. 1) ^•4+Z-; 4а2й 3) 15xy 30xy . 7a2b ’
2) 7х/ 4) ’ 2o2b • : (14x>).
514. 1) 7-x a-b a + b 7-x ’ з) ^4 c — a c c-d ’ a2 - ab b . b a^
2) x-y 46 2a x-y’ 4) — V 2b a-b 6b1 ’ r\ ab + b 6) 9 ’ 3a'
515. 1) a + 1 Ab2 b a2-!’ 4) 5m , 15/rz3 2 2’ ’ m -n m-n
OX 1 - a b3 r\ 3 (x + j>) 2 2 X + у
2) 3b2 1-a2 ’ 4j^2 (x2 +y2 X 2 2 ’ 1 x - у
ox a2 -b2 . a + b . 4x 5 (a-b) (a-Z>)2
9b2 ' 3b ’ W 3 (a2 + b2) a2 + b2
516. 1) a2 - b2 3a2 4) 3«2 -3m2 6m-6n
3a + 3b 5b-5a ’ rd +np n+p
2) 5x2-5y2 3x 2 a2 + b2 x -2-y2 .
x2+y2 lOy- lOx ’ } 3 2 x +x у a d-b4 ’
3) a2 - 25 ct + 5 6) a2 +b2 . a 4b-b5
Ci NJ 1 QJ Ci SO 1 Ci NJ a2 - ab a2 b-ab2
146
. _ n a - 5 (fl + 3)2 _ a2 - 49 a + b.
а2+6а + 9 а2-25’ a2+2a6 + 62 a-V
b2 - 86 +16 (b - 4)2 . д2-2а + 1 a-1
' b + 3 'z>2-9’ 2fl+l :^2Zf
/
--------/---------------------------------------
28-§ / Algebraik kasrlar ustida birgalikda
I bajariladigan amallar
2a + 2
fl + 2
Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallarga doir
misollar ko'ramiz.
I 1 I
2a-2~ 2a2 - '
A Qavs ichidagi ifodalami soddalashtiraylik:
a + 1 1 _ a + 1 1 _(fl + l) -1 _
2a-2 2a2-2 ~ 2 (a-1) 2 (a2-1) ” 2 (a2-1) "
(fl +1 — 1) (fl +1 +1) a(a + 2)
2 (a2 -1) 2 (fl + 1) (fl-1)
Ko'paytmani topamiz:
a(a + 2) 2a + 2_ a(a + 2)2(a + l) _ a
2 (a + 1) (fl-1) fl + 2 2 (я + 1) (fl-1) (fl + 2) а-1
2- masala. Ko'rsatilgan amallarni bajaring:
p + 6 a — 6W« + 6_^
\a- b a + b)‘\a - b )
Birinchi qavs ichidagi amalni bajaramiz:
a + b a-b (a + b)2 - (a - b)2 (fl + 6 + a-b) (a + b- a+ 6)
fl-6 fl + 6 (a~b) (a + b) a2-b2
_ 2a-26 _ 4a6
a-b a-b
147
Ikkinchi qavs ichidagi amalni bajaramiz:
a + b a+b-a+b _ 2b
a-b a-b a-b
Bolamiz:
4ab . 2b _ 4ab(a — b) _ 2a
a2-b2'a-b (a1 -b2\lb a + b'±
3- masala. Hovuz birinchi quvur orqali a soatda, ikkinchisi
orqali b soatda toladi. Agar bir vaqtda ikkala quvumi ochib qo'yilsa,
hovuz necha soatda toladi?
v
Д Hovuzning hajmi Kbolsin, deylik. Bir soatda birinchi quvur —
v a
ga teng hajmni, ikkinchisi — ga teng hajmni toldiradi, ikkala quvur esa
v v b
bir soatda — + — ga teng hajmni toldiradi. Qidirilayotgan vaqt t bolsin.
ci b
t soatda ikkala quvur hovuzni butunlay toldirishi kerak, ya’ni
(V v\
— + —
\a b J
t = V.
Tenglikning ikkala qismini Kga bo lib,
47 a + b
ni hosil qilamiz. Qavs ichida turgan kasrlarning yiglndisi —— ga teng.
a+b ab ab
Shuning uchun —— • t = 1, bundan t = —- .a
ab a + b
Mashq lar
KoTsatilgan amallarni bajaring (518—523):
148
520. 1) 2) 521. 1) 2) 522. 1) 2) 523. 1) 2) [ 3) - 4) - 7 a I—a~b a + b Л . <2 + b a-b ^2m + \ \(i+—'l a-b J Y?—— 3) |; 4) 4/72 f 6 5 a-b a + 3 4c + c+d J b\ a-b a + llb’ c
JI 2/77-1 2 + b 18(2c + t7)’ ' /+1 2_\ У+2y y + 2j’ л/?22 +24 4
2m-1 2tzz + 1 ' Z + 6 1 1 * 10/72 — 5 ’ r + 2 J) у
^3z + 9 z a2 + ab f a2 + b2 ab-b2 < a2 + b2 a+1 ! 2a-2 b ! a2 + ab 2 -c2 a2 a + b ac - ac a ,2 - b2 c2 a i-b 6 2/ 7+Z> 1 6 la2 -2 2 a + b + -b2 2 • + c -b ( -a2 1 27 z ’ ,1b} 3) 2-b]’ 4) a + 3 4c/2 -4 . 2a + 2 J 3 ’ a V a2 - b2 . b2 + ab J ^ab Г ас Л a + ; I a~c) ac c . a+c 1 ) m-5 ^c + d _ 2< , c c- 2c d- c + d c ^/2 d) cy i2-25 m-5 d-c c2 + d2 ’ c + d c2 + d2 '
524. Hajmi V bo'lgan muz bolagining massasi p kilogrammga teng.
Hajmi bo'lgan bohakning massasi nimaga teng?
525. Avtomobil soatiga v km tezlik bilan harakat qilib, s kilometr
yo‘l bosib o‘tdi. Agar mototsiklchining tezligi soatiga и kilometr
bo‘lsa, shu vaqt ichida u qancha yo‘l bosib o‘tadi?
526. Motorli qayiqning turg'un suvdagi tezligi soatiga v kilometr,
daryo oqimining tezligi esa i?1 kilometr. Qayiq oqim bo'yicha harakat
qilib, s' kilometr o‘tdi. Motorli qayiq oqimga qarshi shu vaqt
ichida qancha masofani bosib o‘tadi?
149
527. (Qadimiy masala.) Ikki buyumdan binning 10 tasi bir dinor va
ikkinchisining 15 tasi bir dinor. Bir dinorga ikkala buyumdan bir
xil miqdorda necha donadan sotib olish mumkin?
O‘zingizni tekshi rib kef ring!
1. Harflaming joiz qiymatlarini toping:
a. 3 <2
b’ (2 — 1 ’ Z> + 2’
2. Amallarni bajaring:
. . 1 -4<s2 (2 + Z> a-b
1) 4a+ , 2)
a a-b a+b
2a-4 6b a2 -b2 a + b
3) QA ’ + sb a-i 4) b2 ’ b
3. Ifodani soddalashtiring va uning x = 2~ bodgandagi son
qiymatini toping:
l + 2x x2+3x 10
x - 3 5 x2 - 9
V bobga doir mashqlar
Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring:
.. 5a a-3 1 3 x + 1 x + 2
!. 1) -4-----, -------va -----; 2) -----, — va —-----------.
a3-27 a2+3a + 9 a-3 x + 2 x3+8 x2-2x + 4
Amallarni bajaring (529—530):
529. 1) a + 3 7 + a a-3 5 10 2 ’ 3) a — 2 a + 5 a — 9t
45 15 9 ’
b — 7 5b —2 3b-l b 3b +1 2b -1
2) 4 + 3 + 8 ’ 4)
12 9 4 *
530. 1) n-2 2-n 3) 2 m 3 — 5/7 , 7/7-4 -i+—j-; 5/1 — 3
150
p + 2q 5q — 2pi
3p — q q-3p ’
3a 5 (a -10)
5 - 2b + 26-5 ’
Ko'rsatilgan amallarni bajaring (531—533):
. a2 — 2ab 4- 62 . 8a — 86 . n3 — m3 . w2 4- nm 4- m2
a2-ab4-b2 a34-b3’ n2 - m2 n^+lnm + m2’
a2 + 2ab + b2 a3-b3 . m2 + 2mn + n2 p + c
a2 + ab + b2 la + lb’ p3+c3 2m + 2n
, x 64x2-l (x + 2)2 (x-2)2 .
x2 - 4 x2 - 4 8x 4-1 ’
x — 6 x2 + 4x + 4 x3 — 9x
2) X2 4- 6x 4- 9 (x2 4-2)(x-2) (x-6)(x4-2)’
am2 — an2 . am2 4- 2amn 4- an2 .
m2 4- 2mn + n2 3m + 3n
.к ab — 46 — 2a 4- 8 . 2a — 8 — ab 4- 46
2a + 8 — ab — 4b ' ab + 4b— 2a — 8 '
533. 1)
2)
14- a —
(1 — я2);
3)
x+y
^x — у
x — y
X + y_
x — y
.X + у
X+y b
x — У)
a2 4-3
<7 4-1
4)
(2 — a
\2 4- a
a 4"2)
<7 —2/
/24-fl a —2^1
\2-a a 4-2)*
n sonning raqam lari yig'indisi 2006 gateng. n sonni ikkita
o'zaro teng sonlar ko'paytmasi ko‘rinishida tasvirlash
mumkinmi?
V bobga doir sinov mashqlari — testlar
1. Kasrni qisqartiring:
27a2 -36а6 + 1262
9fl2-462
151
АЧ 3(3a-26) A) 3o + 2Z> ; В) 3a-2b . 3a + 2b ’ C)
3a2-36ab + 3b2 . a2-b2 E) 3a + 2b
3a-lb
2. Kasmi qisqartiring: 7a\ab2 3a(21a- -9a) -lab) '
дх 7a(ab2 -9a). ' 3(21a-7a6)’ B) -a(Z> + 3). 3 ’ C)
^-3). ' 3 ’ E) -a(Z> + l).
3. Kasrni qisqartiring: 8a + 12a +6a + l 4a2 +4a + l
A) la -1; B) 2a-1. 2a + l’ C)
2a-16a3 +1 # ' -14a2+5 ’ E) 2*7+1.
4. Amallarni bajaring: 4 5 106
a + b a -b a2 -b2
A) z>; B) 9 a + b’ C)
9(a + b). ' a-b ’ E) 9{a-b) a + b
5. a Kasrlarni ayiring: , a 2+9 + 27 a 1 + 3’
A) a2 +9’ B) 3 a2+9’ C)
- E) 3a + 18
' a3+27’ a3+27’
6. 9a2 -16b2 6a2
X XX XXIX x^p jvxxxxx&. 6^ + 8^ ш_9д-
39-36ai
5 ’
7(a62-9a).
3(21 -7 b) ’
24a4-15 <
17-14a2 ’
-9
a + b’
a
a3+9’
152
A) a2\
B) -a2;
3a-4b’
D)
E) to‘gcri javob berilmagan.
„ тл , . , tl. 4a2-20aZ> + 25Z>2 (2a-5b)2
A) 5b + 4 '25b2-\6'
2a-5b B) 5i-4’ C) 5b -4;
2а + 5й
D) 56 + 4. E> 5Z>-4
f4a + 5Z? 4a -5b^ ( 4a + 5b .
8. Amallarni bajarmg: . J 5 & I 4a -5b 4a + 5b : 1 L \4a-5b J
. . 8a 4a-5b ^.x 8a
Л A
I6a2-25Z>2’ } 4a + 5b’ } 4a-5b"
_ 8 т-x 8a
D) -— E) •
’ 4a+56 7 4a + 5b
(Зх + l I 3x + l
9. Amallarni bajarmg: „ , л 2 < ' I 3x -1 9x -1 I 3x + 2
. . 3x _ . 3x -1 ^.x 3x
« з,-Г 3x c> 3,.1;
d> E) to'g'ri javob berilmagan.
(2-За За + 2^ (2 + 3a 3a-2\
10. Amallarni bajarmg: К o o n • J ° I 2 + За За-2 I + ^2-3a 3a + 2 J
ax 9a2-4 _. 9a2 + 4
A n ’ I2a B n ’ I2a C) 19 ; 12a
x a + 4 9a2+4
D ; a E) 3a + 2
5 T a r i x i у ma s a I a I ar
(1) Evklid (eramizdan avvalgi III asr) masalasi
a, b, c, d — musbat sonlar va a ularning eng kattasi bo'lsin. Agar
a c
bo Isa, u holda 6z+ d> b+ c bodishini isbotlang.
153
(2) Eyler masalasi.
Tenglikning to'g'riligini tekshiring:
<23 + E +
a3-b
ai-b
(3) Eyler masalasi.
W + 1 ifodani ko'paytuvchilarga ajrating.
(4) Al-Karaji masalasi.
Quyidagi tengliklaming to'g'riligini koTsating:
Tarixiy ma’lumotlar
Qisqa ko'paytirish formulalari, algebraik kasrlarga oid ma’lumot
qadimgi risolalarda uchraydi. Masalan, al-Karajining „Al-Fahri“, Misr
olimi Abu Komil (850—930) ning „Kitab al-jabr val-muqobala“
asarlarida ham algebraik kasrlar ohganilgan. Abu Komil al-Xorazmiydan
keyin algebraga doir kitob yozgan birinchi olimdir. Abu Komil o‘z
asarida
(a 3 , a a2 a b . a b a2 +b2
\-\-b = a, - = — , -- = 1, -+- = —-—kabisoddamunosabat-
{b ) b ab b a ba ab
larga ham e’tibor qaratadi.
Algebraik kasrlarga I. Nyutonning „Umumiy arifmetika“ kitobida
ham yetarlicha o'rin berilgan. „7 kasr a ni b ga bodish natijasida hosil
bodgan kattalikdir. Xuddi shuningdek, -------------- kattalik ab - bb ni a + x
a + x
ga bodish natijasida hosil bodadi,“ — deydi Nyuton.
154
VIISINF ALGEBRA KURSINI
TAKRORLASH UCHUN MASHQLAR
534. Sonli ifodaning qiymatini toping:
n7 c5 5
1 ) 2- + 5- + 7- + -;
7 8 6 8 6
535. Tenglik tocgcrimi:
2-| + 0,7 7
1 ) = T
7 ly-1 + 0,4 ’
2) 13- — + —
7 6 7 6 7
4 }
- - 7 - 0,2 • 3,5
2) и___________й_
2,26
= -10;
4,752 0,608
—----+ —-----
3,2 3,8
/ 3 55 i
:75_2£2= 0,0617.
\ 1,42)
536. Ikki sondan bin a ga teng, ikkinchisi undan 7 ta ortiq. Shu sonlar
ko'paytmasining ikkilanganini toping. Shu ko'paytmaning qiyma-
tini a = - bodganda hisoblang.
537. Ikki sonning yighndisi 30 ga teng. Sonlardan biri a. Shu sonlaming
ikkilangan ko'paytmasini yozing. Shu ko'paytmaning qiymatini
я=—2 bo Uganda hisoblang.
538. a ta yuzlik, b ta o'nlik va c ta birlikdan tuzilgan natural sonda nechta
birlik borligini kohsatuvchi formula tuzing. Xuddi shu raqamlar
yordamida, lekin teskari tartibda yozilgan sonda nechta birlik bor?
539. a kilogramm va c gramm necha grammni tashkil qiladi? Grammlar
sonini x harfi bilan belgilab, javobni formula bilan yozing.
540. Algebraik ifodaning son qiymatini toping:
1) 2a + , bunda a = b = -3;
7 b-2a 2
-a3 -27ab2, bunda a = 2, b = -~;
8 3
155
2 3
-a2b— ab2, bunda я = 4, 6 = 1;
3 2
abc-<\a + 3b , , 1,3 4
--------, bunda a=-~,b= — ,c = — .
a+b-c 343
541. Birhadlaming ko'paytmasini toping:
1) - Yla2bc2d • 5ac2d^ •(- 3b2cd2);
2> 2 2 ,) (1 j
2) 49*2 be • —ab • —ac ;
7 \ 7 ) Ц4 )
3) 8я26 • (-4a63) • (-7л362);
542. Birhadni darajaga koharing:
1) (-2я62) ; 2) (-0,8яс2) ; 3) (-|я6с3^ .
543. Ifodani soddalashtiring:
1) 2a2+2ай + 3й2-а2-2й2; 3) |a2-й2+ya2-|й2;
2) 7a2+2й2-(ба2+й2); 4) у а2й • 23zn - у а2йлп.
544. Ifodaning son qiymatini toping:
1) 5a2-'lab-vha-l ab-ба2-6a, bunda a = 5, b = --.
9
545. Ko'phadni birhadga ко "pay tiring:
1) (a2 - ab + b2^)3ab2; 2) (ба2 - 4ab2 +1) • ab.
546. Ko'phadlarni ко "pay tiring:
1) (a2 +3ab +b2^(la -5b);
2) (a+3b-4c)(a-3b-4c);
3) |y<2^ -1j(15o -306);
4)
a2 + 4<2 +1 j (3a -
156
Tenglamani yeching ( 547—551):
547. 1) 4 (2x -1) + 3 (1 - 2x) = 7;
2) 4(x+ 2)-2(3x-2) = 14x - 5(x+ 3).
548.1) ^4 = ^;
549.1) 7-f = 3 + T;
X X X in
550.1) — + — + — = 12;
2 3 о
_ „ 1 x 6x + 7 3 + 5x
551. 1) —— + —— = 3;
/ о
_ 2x — 5 _ 4x + 2 .
2(3x-l) = 4 _ x + 2
7 5 2
x + 3 .
2) — = x-4.
2x —1 x + l_3(l —x)
' ~5 з - 10
4) —-l = 7x.
’ 9
552. Uchta qutida 119 ta qalam bor. Birinchi qutida ikkinchidagiga qara-
ganda 4 ta ortiq va uchinchidagiga qaraganda 3ta kam qalam bor.
Har bir qutida nechtadan qalam bor?
553. Otasi 30 yoshda, o‘g‘li esa 4 yoshda. Necha yildan keyin otasi
ocg‘lidan uch marta katta bodadi?
554. Ocgcli 6 yoshda, otasi esaundan 6 marta katta. Necha yildan keyin
o‘g‘li otasidan 4 marta yosh bodadi?
555. Ikki velosipedchi bir vaqtda bitta yo‘l ustidagi qishloqdan bir-
biriga qarab yolga chiqdilar. Birinchisi 15 km/soat, ikkinchisi esa
12 km/soat tezlik bilan harakat qilmoqda. Agar qishloqlar
orasidagi masofa 40,5km bo Isa, qancha vaqtdan keyin uchrashuv
sodir bodadi?
556. Ikki velosipedchi bir yoldagi ikkitaqishloqdan bir vaqtda bir
xil yo'nalishda yo‘lga chiqdi. Ikkinchi velosipedchi oldinda,
birinchisi orqada bormoqda. Birinchi velosi pedchining tezligi 15
km/soat, ikkinchisiniki esa 12 km/soat. Agar qishloqlar orasidagi
masofa4,5 km bo‘lsa, birinchi velosipedchi ikkinchisini qancha
vaqtda quvib yetadi?
157
Soddalashtiring: (557—559).
557. 1) (a + 1) (a-1) (а2+1);
558. 1) (а+З)2+(fl-3)2;
559. 1) (1-fl) (l + fl + fl2)+fl3;
(a - \( c
2) —5 5 + — + 25.
7 2 2
2) (4fl + Z>)2-(4fl-Z>)2.
2)
1 2 4 I I
+ -C +C + C
I4 2 J
Ko'paytuvchilarga ajrating (560—561).
560. 1) a4+6a3+9a2;
561. 1) (a+l)2-(4-3a)2;
2) (8Z>-l)2-(2Z> + 3)2;
562. Kasmi qisqartiring:
1) /2~16 ;
a1 — +16
2) 25-(2-3a)2.
3) (2a+ Z>)2 - 9(a+ Z>)2;
4) 4(a-2Z>)2-25(3a-Z>)2.
2)
2x + 3
Amallarni bajaring (563—566):
563.
b + 3 7 + b b-3
------1-----1-----
5 10 2
2)
a2 + 5a -4 2a
16-Д2 8a + 2a2 ’
a 1
564.
2)
2 2
4x 12xy 9 у
-------1-------1------
2x—3y 3y—2x 2x—3y
565.
a-b a — c
ab
ac
2)
t _ t 1
14x3 21x2y 4лу2
566. 1)
2 2
X — у
бху
I2x2y .
X + у
fl2 +4(7 4(7 + 16
2) —у-----:~2------
a -16 a - 4a
Amallarni bajaring (567—570):
567. 1)
a
a +1
a
a +1
2)
i-А2 i-ь2 Л a j
i + а + а2 \ i-fl/
158
568. 1)
1 + 3<2 +
9а1
1 + 3(7
1 6а
о 7+ 2
За - 1 1 _ 9д2
/ । z. l \ 2 I 1,2 2 2А
(a + b а — b\ а + о а - b
2) \а - b а + Ь) <а2 - ь2 а1 + Ь1:
569.
570.
1)
2)
1)
2)
9л12 - Зл2 m - 4л _ 2m + л 5л2 - 3m2
4тл 5л ' 3m 16 2
fa + 4b 6b V _ а2 - 2аЬ + 4й2
\ 2Ъ +4д-аД о2-4/2 /
I 1 (а г j
- + а + -—-5а;
3 \2 /
1 1 2 И 1 1
-------1--*-------
2 ах v2 I 2 2
3 (2а а j 12(а —
ДТ “ Т~
х - а х _|_
х + а х — а
571. Sayyoh Ko'ksuv daryosi bo'yida joylashgan bir oromgohdan
velosipedda yo'lga chiqib, boshqa bir oromgohga tayinlangan
vaqtda yetib bormoqchi bo'ldi. Dastlabki 1 soatda u 10,5 km yo‘1
bosdi. Agar qolgan masofani ham shunday tezlik bilan o'tsa,
manzilga mo'ljallagan vaqtdan 1 soat kechikishini hisoblab bildi.
Sayyoh qolgan yo'lni soatiga 15 km tezlik bilan o'tdi va manzilga
belgilangan vaqtdan yarim soat oldin yetib keldi. Oromgohlar
orasidagi masofani toping.
572. Hozir soat 5. Qancha vaqtdan so "ng soatning minut mili soat
milini „quvib yetadi"?
573. Ikki xonali sonning o'nliklar xonasidagi raqam birliklar
xonasidagi qaramdan 4 marta katta. O'quvchi 507 ni shu ikki
xonali songa ko'paytirmoqchi edi. Ammo u ikki xonali sonning
raqamlari o'rnini almashtirib yozib qo'ydi. Natijada u topgan
ko'paytma masalaning javobidan 27378 ga kichik chiqdi? To'g'ri
javob nechaga teng ekan?
574. Mis va ruxdan iborat qotishmaning og'irligi 36 N ga teng.
Qotishmani suvga botirilganda u o'z og'irligining 41N ini yo'qotdi.
Mis suvga botirilganda o'z og'irligining 11| % ini, rux esa 14%
ini yo'qotishi ma’lum. Qotishmadagi mis va rux og'irligini aniqlang.
159
575. Tarkibi kumush va misdan iborat qotishmaning massasi 3,5 kg.
Undagi kumush tarkibi mis tarkibining 16| % ini tashkil qiladi.
Qotishmadagi kumush massasini toping.
576. 3 ta qopda 120 kg un bor. 1- qopdagi un 2- qopdagi unning |
qismiga, 3- qopdagi un esa 2- qopdagi unning 80 % iga teng. Har
bir qopda necha kilogramm un bor?
577. Ahmad A qishloqdan В qishloqqachavelosipedda 14 km/soat
tezlik bilan, qaytishda esa 10 km/soat tezlik bilan yurdi. Agar
Ahmad qaytishga 1 soat ortiq vaqt sarflagan bo‘lsa, qishloqlar
orasidagi masofani toping.
578. Vertolyot ikki qishloq orasidagi masofani shamol yo'nalishida 1,5
soatda, shamol yo'nalishiga qarshi esa 2 soatda uchib o‘tadi. Agar
shamolning tezligi 10 km/soat bo‘lsa, shu qishloqlar orasidagi
masofa qancha?
579. Finna reja bo'yicha bir neshta mahsulotni 10 kun muddat ichida
tayyorlashi kerak edi. Lekin u har kuni rejaga qo'shimcha 2 tadan
mahsulot tayyorlab, muddatiga bir kun qolganda faqat topshiriqni
bajaribgina qolmasdan, balki rejadan yana 3 ta mahsulot ortiq tayyor-
ladi. Firma rejabo'yicha nechta mahsulot tayyorlashi kerak edi?
580. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring:
5x 3x +у y-x
1) —->--, —->-----— va ;
x2-4 x24-4x + 4 x2-4x4-4
За 4a 5b
7 2(2 — 3 2<2 + 3 4(22c-9c
4b 2a 1
7 b -2bc + c c-b 4ac + 4ab
1 ____________1________ 1
4x2-9y2’ 4x2y+ 12xy2+9y3 V& 3y-2x’
c-b c+b 1
8Z?c + 16c2 ’ 2bc b2c + 4bc2 +4c3 ’
2x 3 1
6) y3-x3’ x2y-xy2 Va x2y+xy2+y2'
160
Amallarni bajaring (581—585):
581.
1)
a2+2a + l b + 2 a
Z>2-4
a+b b + 2’
a2-2a + i' a2-1 2a-b
b-2 ’ b2-A~ a + 1 ’
3)
(я + 1)2
a2 -1
V a 1
-i i-A ;
a + l
4)
x2
x3
.2 , T, „2
x2
2 2
x + y x -y2
x
582.
1)
c
d2
1
c2 + dc d2 + cd c3 — cd2 c + d
2)
Г 2n
An2
k + 2n k2 +Ank + An2
1
2n
£2 -4/i2 "и 2n-k Г
b3
3)
b2
b + x b2 + x2 + 2bx * b + x b2 - x2
' 2q______________Ад2 W 2q + 1
2q + m Aq2 + Amq + m2 J |^4#2 -m2 m-2q
S.Q'l i @— 1 —1 3<2
зол. 1) 1 + a-----+---------;
a 2a 2
m + 1 2 3m2+2m + A
2) -----------+---------т--;
m +m + l 1-m 1-m
584.
585.
m + n ..
----m + 2n, 4) m + n
a3+2a2 (й + 1)3(л-1)>
a2-l a2(a + 2)
2m-n m + n
5 2Г'
(a2+ab)2^ (a + b)2
a2 -b2
(ab-b2 )2
3 (2a a
2p’7
~ x-a
2) 2---
7 x + a x-a
1)
12(я-5)
7
x (
+ а н— — 5<2 j
3^2 1
1 1 2
2 2
a ax x
a2 x2
11—Algebra, 7-sinf
161
Tenglamani yeching (586—587):
.. 4x-3 5-2x Зх-7 л x + 4 x + 3 _ x-2
586. 1 —;------7-------t- = 0; 2 —-----— = x-5——.
2 3 6 5 3 2
587. 1) (2x-3)(x+5)-(3-x)(5-2x) = -30;
2) 5(x-l)2-2(x+3)2 =3(x+2)2;
3) (x - 3) (3 + x) + (12x - 6): 3 = (x - 2) (x + 2) - 7;
4) (x+l)2-(x+2)2 = (x + 3)2-(x + 5)2.
588. Avtomobil shahardan qishloqqacha bolgan masofani 80 km/soat
tezlik bilan bosib o‘tdi. Orqaga qaytishda u masofaning 75 % ini
awalgi tezlik bilan, qolgan yo‘lni esa 60 km/soat tezlik bilan
bosib o‘tdi va shuning uchun ham qaytishda yo‘lga shahardan
qishloqqa borishdagiga qaraganda 10 minut ortiq vaqt sarf qildi.
Shahardan qishloqqacha bodgan masofani toping.
589. Qayiq daryo oqimiga qarshi 4,5 soat va oqim bo'yicha 2,1 soat suzdi.
Qayiq hammasi bo "lib 52,2 km suzdi. Agar daryo oqimining
tezligi 3 km/soat bolsa, qayiqning turg‘un suvdagi tezligini toping.
590. Oralaridagi masofa 340 km bolgan ikki bekatdan bir vaqtda bir-
birlariga qarab ikki poyezd yo‘lga chiqdi. Ulardan birining tezligi
ikkinchisinikidan 5 km/soat ortiq. Agar harakat boshlanganidan
2 soat ohgandan keyin poyezdlar orasidagi masofa 30 km ekanligi
ma’lum bo Isa, ularning tezligini toping.
Ifodaning son qiymatini toping:
(9 \ i
591. 1) (0,13x2 - 2x)2 - 6x2 - x2 - 0,3x , bunda x = —;
(3 J 3
2) --|(x-l)2 -2|(x-3)(x + 3), bunda x = 3;
fl V 1 3 /2 4 V 13 5
31 -x + 2<2 la — x - — x+— a la — x +1—<2X, bunda
7 ^3 Д 3 J ^9 7 Д 2 J 9
a = , x = 28;
16
4) (3x + 2y)(9x2 -6xy+ 4y2)-8(x3 + y3), bunda х = 0,1, у = 4.
162
MASHQLARGA JAVOBLAR
9
1. 2) 7; 4) 5,86. 2. 2) ; 4) 0,5. 4. 2) Noto'g'ri; 4) To'g'ri. 5. 40’0,03 = 6:5. 6. 2)
3’(2 + 6)=2 ’ (2 ’ 6). 8.2) ; 4) 41; 9. 2) -0,02; 4) 3.10. 2) 0; 4) 5.11.2) -2; 4) 0.12. (7m)t;
168 t. 13. 1) (60m) min.; 2) min; 3) (60m + I + ) min. 14. 3(x —y); 2) 4,5; 4) 2,5.
15. (x + y)(x — y); 2) --Ц-; 4) 0,104. 16. 2) -1|. 17. 2) 4. 18. 1, 3, 15, 21. 19. 2) (m - l)m;
o4 -5
4) (2p + l)(2/> + 3)(2/> + 5). 21. (p — q) t; 1) 5t; 2) q p dan katta bo'hnaydi; q p ga teng
bo'lishi mumkin. 22. 400w + 500m; 155000; 155000. 24. 187200 m3, (37440m) m3.
12 1
25. s = 3-c + l-a + 2-6, 53 km. 26. 2) a-b; 4) 2mw; 6) (a+b)(a~b). 28. 5000; 150000.
6 3 2
29. За; 8a; 10a; 500; 400; . 30. 2) 30 kg. 31. 2) (5k) km. 32. (50a) kg. 33. (15a) ga.
34. (x * 6 + у * 3) so'm. 35. (a 15 + b • 20) kg. 36. (Ian + cri) kg. 37. S= a(a — b). 38. mn + k; 810
o'rin. 39. 4 soat 35 min. 40. b) p =(m + ri) -2; S= mn — xy; e) p = 2(a + m + n + x), S= mn —
— ab—xy. 41. 2) 2 (2a + 4)m; 3) (a + 8)(a — 4)m2. 42. —yy km/soat. 44. am2‘
500(100 + p) so'm. 47. ulgurmaydi. 49. 2) 40; 4) —41. 50. 2) 3y—2x;
4) 8,7-2|m + l|n . 51. 2) 3 -2,7Z>; 4) |y + |/>-3; 6) 5p. 52. 2) x + 5; 4) 58c + Ш.
33 „37
53.2) 67,048; 4) -11,221. 54.2) 0,28; 4)7 —. 55. 2)-4-9+U; 4)2a-3Z>-4c.
112
57. 2) 2 + b + (-c); 4) 3 + a + (~b) +(-c). 58. 2) a~2b+3c; 4) -a + 2Z> - 3c.
59.2) a — b + c — d; 4)a—b—c + d—k. 60.2) 8x — 2y; 4) 3a — 3. 61.2) a—2b + (m + c);
4) a+(-m + 3d~2a3). 62. 2) 2a + b - (~m -3c); 4) a~(m - 3d + 2a3). 63. 2) a~(b~\);
4) (a-2 Z>)+8. 64.2) 2x2 + 5x> +(-4xy2 -y3); 4) -(-2x2 - 5x>) - 4xy2 -y3. 65.2) c + (~a + b);
4) n+(-d+l ). 66. 2) 4a - 4b; 4) 5x - 3y. 67. 2) x =1; 4) x =5. 68. 2) -1,16; 4) -3. 69. 2) -1;
4)9; 6)9; 8) 3,9. 70. 2) 147; 4) 144. 71. 2) -132; 4)7. 72.2) 1,08; 4) 6,12. 73.2)42;
4) -1. 74. 2) -1; 4) . 75. 2) 7 ± . 78. 6 dirham. 80. 2) 3. 85. 2) x= -27; 4) x= 1,009.
5 2 4
86. 2) x = |; 4) x = - . 87. 2) x = -1,3; 4) x=0,05. 88. 2) x= 64; 4) x = 1. 89. 2) x = - — ;
4)x= . 90. 2) x=|; 4) x = -. 91. 2)x = 17; 4)y=-l. 92.2) x = 7“’ 4) у =24.
93. 2) z = 6; 4) x = 0,6. 94. 2) у = 13; 4) x = 1. 95. 2) у = 319; 4) x = 5. 96. 2) x = 37;
163
4) х = 1,1. 99. 2) х = 1; 4) х = 1. 100. 2) х = 0,2; 4) х = 4. 101. 2) 10. 102. 2) 16, 20, 24.
103. 2) 144, 432, 293. 104. 2) 8, 8, 6. 105. 2) 20, 40. 106. 25, 27, 29. 107. 4, 6, 8 va 10.
108. 2) 12. 109. 2) 8 yildan keyin. 110. 2) 2200 t va 1100 t. 111. 2) 108 km. 112. 2) 40 kg.
113. 2) 150 ta mashina. 114. 2) у =0; 4)x=0,8. 115. 2) x = 13; 4) x = -153. 116.83,6 kg,
508, 8 kg, 1327 kg. 117. 8 km/soat. 119. 32 kundan so‘ng. 120. 30 km/soat, 40 km/soat yoki
/ \5
9 2 f i )
36 4.km/soat, 46- km/soat. 123. 2) U ; 4) (-2,7)4. 124. 2) w5; 4) (-3b)4. 125. 2)
3 I J
И5 f V 2
. 126. 2) 44 • 21; 4) 62 • 72 • 33. 127. 2) (0,5)3 • 22 • 42; 4) | • (2,3) . 128. 2)
x?-32; 4) (3a-b)l 129. 2) a2+ Z»4; 4) 2л3. 130. 2) na\ 4) 5k+ a17. 132. 2) 9; 4) 125. 133.
2) -1; 4) 0.134. 2) ; 4) 1212.. 135. 2) 2,89; 4) 77т . 136. 2) -125; 4) -5 —. 137. 2) 270;
25 27 625 16
1 1 3
4) 4. 138. 2) 40; 4) -6. 139. 2) 18; 4) 72. 140. -2-, 2-, - 3-; -25, 25, 125. 143.
4 4 8
a 103 + b - 102+ c 10 + d. 145. 2) 3532037; 4) 101001.146. 2) 76; 4) 56.147. 2) a7; 4) (3Z>)7.
W8 z \12
I -5x
; 4) Z>1S. 151. 2) ---- ;
I 6 )
4) (a+w)20. 152. 2) 3s+ «; 4) an +13. 154. 2) 22; 4) 27.155. 2) 26; 4) 210. 156. 2) 2м; 4) 29.157.
2) 223; 4) 24+«. 158. 2) 31; 4) 34.159. 2) 3s; 4) 37. 160. 2) 31S; 4) 36. 161. 2) 3« + >; 4) 33 + «. 162.
2) 42; 4) 10s. 163. 2) py ; 4) d n. 164. 2) (2a)2; 4) (m + a)5. 165. 2) 22; 4) 22. 166. 2) 23;
4) 29. 167. 2) 33; 4) 3. 168. 2) 32; 4) 34. 169. 2) 6; 4) 25. 170. 2) 44; 4) 9. 171. 2) -6; 4)
12. 172. 2) x = 64; 4) x =27. 173.2) x = 16; 4) x =4.174.2) x = 243; 4) x = 9.175.1) a56; 2) a21.
176. 2) a15; 4) a23. 177. 2) a9; 4) a12. 178. 2) n =7; 4) n =2. 179. 2) - ; 4) (0,02)2. 180. 2)
(( 2\12 V 1 (1 V
(73)2; 4) I-т) . 181. 2) 4) (x10)2. 182. 2) 75-65; 4) 4 - . 183. 2) 81a4; 4) 64Z4.
\ ь J
184. 2) б6/; 4) 27wW. 185. 2) 4) 2M9<99. 186. 2) a6^; 4) 0,01c-6. 187. 2) 512a12№; 4)
16Я4™12. 189. 2) (3,4-Z>)4; 4) (-j a) . 190. 2) (9 - r)2; 4) (15 - a - b)\ 191. 2) (a2Z>3)2; 4)
164
(9т)2. 192. 2) (xy2z2)2; 4) (ЮЛ3)2. 193. 2) (0,7я/и5)2; 4) ^а5Ь8) • 194. 2) (#)3; 4) (42)3.
/ / 2 \5 V
195. 2) Н--) ) ; 4) (- 0,1)3. 196. 2) (а2ЬУ; 4) (xW)3. 197. 2) (- 10Z>2)3; 4)(-0,2ху3)3.
198. 2) 1; 4) -1. 199. 2) 1; 4) . 200. 2) 144; 4) 14. 201. 2) 1; 4) 4. 202. 2) 14; 4) 16. 203. 2)
25 Ь2 169 64
^;4) - . 204. 2) —; 4) 205. 2)
81£4
625с4
56 49 (а+А)7
4) 206. 2) 4) —.
/2xs /5\7 /а\3 / 7 \2 /4х\4 / 1 \3 1
207. 2) (f)5; 4) (|) . 208. 2) - ; 4) - . 209. 2) Ri ; 4) -- . 210. 2) - ; 4)
э \а/ \/)/ х10' \3у ' х 3' /о
Y - 211. 2) |; 4) |. 212.1) s3,3-10s marta; 2) s9 yil. 213. 2) . 214. 2) 3Sn+2; 4) #«. 215.
2) 7; 4) 5. 216. 2) 81xW4; 4) -2,48832a15#°c20. 217. 2) a2; 4) aA. 218. 2) 1020 > 2010; 4)
340> 62o. 219. 2) 4; 4) |. 220. 2) |; 4) 13,2. 221. 2) 8,647406. 222. 2) 3bc; 4) ab2. 223. 2)
3a2b. 224. 2) 100a (sm). 225. 2) 4a2, 4a2, 2a2, 6a2. 226. 2) 8; 4) 1; 6) 18. 227. 2) z11; 4) т\
6) 72 p\2-, 228. 2) 2. 229. kun. 230. 2) 6ab; 4) -2a\ 231. 2) 35w2a; 4) -4Z>5. 232. 2)
-2m^n- 4) jjZ’V . 233. 2) 28x3y3; 4) 2a2b2c2. 234. 2) -21a6Z>6c2; 4) -|a4x3/ . 235. 2)
-7,5/wW; 4) -7,5a5Z>7c7. 236. 2) -15/и3я2; 4) -26aW. 237. 2) 30a4F; 4) 4aW. 238.
2) 25b2-, 4) 4a6. 239. 2) \6a2b2-, 4) -8x3y3#. 240. 2) ~al0b5c5; 4) 16x8y12. 241. 2) •
242. 2) -2aA; 4) a2bsc2y2. 243. 2) x5/; 4) -4a10#1. 244. 2) (4x2)2; 4) (9x3y)2. 245.
2) 204,8; 4) 1,008. 246. jL qarich. 250. 2) 6a2&~24&b; 4) ~bc5+5xy. 251. 2)
-6x/z -2ШР-, 4) | a2b2 -2a2b\ 252. 2) 2; 4) 0. 253. 2) -7,6; 4) -252. 254. 2) |y; 4)
^a2b. 255. 2) 2a+b- 4) 2a2~3b2. 256. 2) -y; 4) 3,8a2. 257. 2) a2; 4) 2xy -2,2f. 258. 2)
16
7 3
-1 ab2 + f a2b-, 4) 4x~2,46y. 259. 2) х^-х2у-ху2. 4) ab2 + 2ab. 260. 2) 8Z>2 —19Z>c -15c2;
4) 2x2y. 261. 2) -1 a2bc - 4a2c. 262. 2) 3x + 3y; 4) 3x +1. 263. 2) 5a2 -b2; 4) -1 b2 + 11.
264. 2) 0,1c2; 4) 6a + 22b. 265. 2) ~2a2 - 6ab + 6b2\ 4)25^ +30аЛ 266. 2) ~2b\ 4) 9x3. 267.
2) 3x2; 4) 8a2- &-ab. 268. 2) -0,07x2+ 0,06^; 0,27x2-0,ly2; 4) 0,61a3 + 1,12^; 1,39a3 - 0,88#.
269. 2) Зх2 + Зх2У - x3. 270. 2) -5#+ 3b. 271. 2) 4) -5aZ>+8#. 273. k+2m-n. 274. 2)
l-|x ; 4)20/и—30w; 6) _Lm + Ln-Lp - 8) -15x3-35x2+5x. 275. 2)-10x? + 8k; 4)
3 3 3
x3-x2+x. 276. 2) 25a2b2+ 15a2Z>; 4) 3x2y3 - 6x^y2. 277. 2) 16ab2~24a2bc + 8abc2; 4)
165
x?yz +2xy3^ +3xyz3. 278. 2) // + | cdbA. 279. 2) -3a + 7/ 4) — 14p - 9. 280. 2) -a2b + 6/;
4) 19x —12. 281. 2) 2x-3,5; 4) 0,5y - 1,7. 282. 2) 5; 4) 204. 283. 2) /+3^-4; 4)
be + 4c + 5b + 20. 284. 2) — a1+ 8л+20; 4) p — q + pq — q1. 285. 2) 10й2 + 7 a —12;
4) 20/ -\7pq + 3q\ 286. 2) 0,09 ~m2; 4) 0,04л2 - 0,25x2. 287. 2) 30x4+ 30y4-61x2y2;
4) x3+5x2+7x+3. 288. 2) 27/-8/; 4) 27/+8/. 289. 2) -20/+ 17Z>c -
-3c2 —\6by + 4ey; 4) 9л2-24л/> + 12ac + 15b2-20be. 290. 2) 0,3/+ xz~
- 0,3/ + к; 4) 0,3/ - 0,9/ + 2/ + 3a - 10.291.2) / - л/ + 3a2b -3/; 4) 12/ - 29/ + 7x + 6.
293. 2) 121.295.2) /; 4) 1.296.2) -3л; 4) -5c. 297.2) a ; 4) -9c. 298. 2) 9w; 4) | b . 299.
2) 8; 4) 7. 300. 2) 3; 4) -3. 301. 2) ; 4) -1,3. 302. 2) ; 4) 0,4c. 303. 2) 7w6; 4) 7 .
304. 2) I л/; 4) 3ab. 305. 2) axy2; 2) | л3/ 306. 2) 81/y; 4) /у11/. 307. 2)
2b - 1; 4) 2 - x. 308. 2) 4л -3b; 4) -c + 1. 309. 2) cb-1; 4) -\ab + -| л2.
310.2) -2x - 3y + 4; 4) a + 3a2b - 2. 311.2) 1; 4) -3л. 312.2) 24; 4) 0. 313. 2) /; 4) с2 + 32.
314. 2) / — m2; 4) (|)3 -/. 315. 4c sm, с2 m2. 316. 6/ cm 2, / cm3. 317. 3/yoki |x2. 318.
10 km. 319. 108000. 320. Yo‘q. 321. 2) 3,08 - IO13. 322. 5,1’10s; 1012. 323. 10 kg. 324. 2) xy; 4)
10m// 325. 2) 131.326. 2) 3/; 4) 8/+ b2-ab. 327. 2) 0,5/+ xz -0,5y2 + y^; 4) aA -
-2/+Зл2+4л-10. 328. 2) 2л3 -2л/ + 3a2b -3/; 4) 6/-17/-4x+3. 329. 2)
5/+8/+9x-l; 4) 1|/+2/x-l|/. 332. 2) 180,7; 4) 12,5. 333. 2) 2x2-2x; 4) /+
+ ab - // - /. 334. 240 km. 335. 2) 150000; 4) 4. 336. 2) 3(a - x); 4) 6(a + 2). 337. 2)
2 (4л -2b -1); 4) 3(3x-y + 4/. 338. 2) cW + b); 4) x(3 -y). 339. 2) 3b(d - a); 4) 3p(2k - 1).
340. 2) /у -x + z); 4) 4b(b + 2л -3л2). 341. 2) л3(л - 3); 4) /у2(у -х). 342. 2) 6/(/-4);
4) Зл2(2л3+ 1). 343. 2) 4х2у(5ху + 1); 4) 3xyz(3z - 4у). 344. 2) 5л3(4л -1 + Зл2); 4)
2//(/-/+ Зху). 345. 2) 18700; 4) -1,62. 346. 2) (а+5)(Ь~с); 4) (у -3)(1 + /. 347. 2)
(т -3)(3л + 5т); 4) (с -/(7л ~2Ь). 348. 2) (х + у)(л2-/); 4) (л2-2/)(х + у). 349. 2)
(Р - / (с - л + /; 4) (х2 + 1)(т - п - /)• 350. 2) (Ь - с)(а + с); 4) (х -y)(2b + 1). 351.
2) (л-2)(6-л); 4) (т-2)(а2-Ь). 352. 2) (х-у)(х-у - 3); 4) (3-/(-л+1-/.
353. 2) х = 1; 4) х = 0,49. 354. Ulguradi. 355. 2) (т - л)(1 + р); 4) (х -у)(1 + 2л). 356.
2) (л -b)(a-b + 1); 4) (р -1)(4$ +р - 1). 357. 2) (р -1)(4$ + 1); 4) (р - 1)(4$ - 1).
358. 2) (Ь + с)(л + /; 4) 2(х - 1)(3х - 4у). 359. 2) (с + / (л - ЗЬ); 4) (л - ЗЬ)(х + 5у).
166
360. 2) (b + с - a)(y -X2); 361. 2) 12500; 4) 28. 362. 2) -0,625; 4) -0,33. 363. 2) 906.
364. 2) t=—7, t =4. 365. 2) x2 — 2xy + y2; 4) x2 + 2x + 1; 6) 49 + 14m + m2. 366. 2) x2 — 6x + 9;
4) / —12y+36; 6) b2+b + |. 367. 2) 9x2+12xy + 4/; 4) 25^-W+Z2. 368. 2)
aA + 2a2 + 1; 4) xA+2x2y2 + yA. 369. 2) a2 - j a + | ; 4) + + .370. 2)
0,16Z>2 — 0,4Z>c + 0,25c2; 4) f^«6-|«3 + . 371. 2) |x4 + |x3 +1x2 ; 4) lOOx4-
1b 5 25 9 3 4
— 60x3/ + 9x2/. 372. 2) 9^ + 12й# + 4й2#; 4) 16x2/+ 4xy3 + 0,25/. 373. 2) 1681; 4) 9604.
374. 2) 1006009; 4) 1521. 375. 2) 3249; 4) 1002001. 376. 2) 4xy; 4) 8a2 + 2b2. 377. 2)
2
2 a2 - 52a + 112; 4) 4x2 -16x - 4.378.2) x =2; 4) x = -0,5.379.2) у =3; 4) у = |. 380. 2) -11;
4) -17. 382. 2) (5 + x)2; 4) (p - 0,8)2. 386. 2) p2 - q2; 4) m2 - n2- 6) m2 -4. 387. 2) a2 - 9; 4)
25 4 9
x2-49; 6) Z>2-1. 388. 2) c2-9rf2; 4) 9m2-4w2. 389. 2) a2~b\ 4) | m2-^ n2. 390.
2) aA-^ 4) m6 - n6. 393. 2) 25^-4^24; 4) a2&-16x2y2. 394. 2) x*-l; 4) 81^-16/4.
395. 2) 4896; 4) 2491. 396. 2) 1584; 4) 39999. 397. 2) 2«2+4«; 4) 24aZ> -32b2. 399. 2)
x = |; 4) x =2.400. 64 sm2ga kamaydi. 401. -10. 402.2) 980; 4) 5,87.405. 2) (2a -3)(2a + 3);
2
4) (9a - 4b)(9a + 4b). 406. 2)(ab -4)(ab + 4); 4) (4x - 5y)(4x + 5y). 407. 2) (j a -
12 1
~b)(^a + ±b); 4) (0,3x — 0,4y)(0,3x + 0,4y). 408. 2) (xy2 - 4)(x/ + 4); 4) (5a -
- 3Z>3)(5a + 3b3). 409. 2) (a2 - bA)(a2 + bA); 4) (b2-9)(Z4+9). 410. 2) (m - n - k)(m - n + k)-
4) 3(x ~y)(3x + y). 411. 2) (a + 2b + c)(a-c); 4) 4(2a - b)(~a - 2b). 412. 2)
(1+c)2; 4) (9-x)2. 413. 2) (10-3«)2; 4) (a+5b)2. 414. 2) (p2~q)2; 4) (5a3+3Z>)2.
415. 2) (b2-9)2; 4) (4-a2b2)2. 416. 2) -(3~b)2; 4)3(a+2b)2. 417. 2) 60 000; 4) 216.
11 2
418. 2) x = ^, x = -|; 4) x=5. 419. 2) 10000; 4) |. 420. 2) x2+ 2xy + y2; 4) x2-
-2xy + y2. 421. (c + d)(c2 - cd + d2)-, 4) (a - 3)(«2+ 3a + 9); 6) (a + 1)(«2 -a + 1); 8)
(5 ~b)(25 + 5b + b2). 422. 2) (4 - 5y)(16+20y+25y2); 4) (4y +1)(16/y+1). 423.
2) (1 + 3Z>)(1 - 3Z> + 9Z>2); 4) (| a2+ 5Z>)(| aA-^ a2b + 25b2). 424. 2) (a + b)(a - b)x
*(aA+ a2b2+bA); 4) (2 + y)(2 ~y)(16 + 4y2 + yA). 425.2)/+ 8; 4) 64c3 — 125c/3. 426.
167
2) а^- 125а3; 4) ^х3-^/. 427. 2) 16л2(4л + 5Z>); 4) (а~Ь)(а2 + ab + Z4 + а - Ъ). 428.
2) 0,02. 429.2) 5; 4) 26.430.2) х = 3; 4) х = 0,2. 441. 2) х = 2. 442. 2 km/soat, 16 km/soat. 443.
2) (х-у)(4 + Зх - Зу); 4) (b - а)(Ь - а - 1). 444. 2) у(х + у)2; 4) (Ь - а)Ча - 1).
445. 2) 24х2(у—^); 4) 4(2х-у)(2х - Зу - 1). 446. 2) 5(х+у)(2х+ 1); 4)
(3^2+2у2)(16х-5у). 447. 2) (2пк + 5т)(3тк - 7 и2); 4) (5с— Зх)(8£—Зе). 448. 2)
5 11 л2 Л2
16х + 2; 4) — 19у + 6. 450. 2) 7; 4) v • 454. 456. 2) 5; 4) 1,9; 6) 4. 457. 2)
* * (а-Ь)2
v = — ; 4) я = £-/>. 458. х =, х=3. 459. t = — ,/ = 15.461. 2) 4,4) -2. 462.2)
р 2 1000/ сп 5 7 7
| ; 4) . 463. 2) 4 ; 4) Ъ\ 464. 2) |; 4) т- ; 6) . 465. 2) ; 4) —;
3 ’ 7 2с 7 А4 7 7 7 ’ 7 За ’ 7 5с 7 5 ’ 7 3(а-6) ’
6) -4.466. 2) —Ц- ; 4) Зу -2х; 6) —2— . 467. 2) -77-; 4) ; 6) .468. 2)
7 3 7 (т+и)3 7 7 7 а(а-А) 7 т~п ’ 2а+3 7 1-Ь ’
а1 v 3a + 2b 1 1 ~
J_ ; 4) —; 6) . 469. 2) 7—тт; 4) . 470. 2) —т ; 4) 5+х; 6) _£±£. 471. 2)
p-q 7 п 7 У 7 2а + ЗЬ 7 ab 7 а + Ь 7 2а
10 - 7Z>; 4) ; 6) . 472. 2) тЦ ; 4) Ц- . 473. 2) 4fl+1 ; 4) 10(ffl+?l) . 474. 2)
5 + у a2_b2 ь+/ 1-2р 4а-1 З(т-И)
п — т; 4) у 1 -2; -. 475. с Зу-4х . „ 6-с Зу+4х ’ 6+с ; 6) 3с~2Ь 476. 2) а+1: 4) 7. 477. 2)
а А
Ь 2а — va —; ab ab 4) 2а — va 2b а 2Ь ’ 32 25 6) — va—. 60 60 478. 9х2 72 16у2 2) , va 4) 12ху 12ху 12ху
2ах2 b —у- va — 4х 4х 479. 2) 2 60 а va—; 4) 2b 2b 2Ь2 9 ас ба' Ь2 л ел За2
з • 6аЬ ’ 6аЬ 6аЬ ) 2 2 5 18а b
2(а2 + Ь2) va а(3 - а2) 21у3 310х3у 80х2 6а _ 2(а -1)
18а2Ь2 18а2Ь2 , 4) 60х4у4 60х4у4 4 4- z 60х у (а-1)а (а-1)а
8а2 va 15а2 7а(3х + у) — у) 6х * Л \ — VA X AQ'Z
4) 12(а +1) 12(а + 1) • *+04. Z) 7 7 9х - у 9х 7’4) - у 8х + 8у 4о J. 8х + 8у
7а а(х-З) 6х(х + у) Зху(х-у) 3 28с(Ь + с) 484. 2) 2 2 70(Л> -с ')
2) х2 -9 va 2 >4) х -9 22’ 2 2 'а х-у х-у 2 2 х-у
ба2 35b(b-c) 15х(х + 1) w -48х2 4(х-1) 5а
2 2 70(У - с va 2 2 ’ ) 70(Г-с) 4) 2 ’ 2 12х(х -1) 12х(х - 1) □ * 4о5. z) э 12х(х -1) Ь3
4) х-у 2а 486. 2) —; 4) С 7 8 11 -у; 6) —. 487. 2) —; 4) а ab 28 4; 6) 5Ь 3ad - b 15 + ab лее
п + а * 4оо. Л) 12d 5а
168
2 + 76 2c + 4c2 -3 2 2 mn - kn + m к - n bd + ba • Л X
4) .489. 2)
2 >
b c n mnk acd
2n2 -3m 4«4 -21c63 20v - 21x + 22 bicd3 + d + c) 3x
6) , • 4У1. 2) — ; v- 6) . 492. 2) 0/1 '
mn 18a b 28x2/ W 2(1 - x)
8>> - 25x 11 5x ~ 562 2(2a + 3)
4) • 493.2) 495. 2) —
> U Z)
10(.y - 3) 10(6 + 1) 8(x + j>) ab(x + y) ab a(l - a)
676-3a x -1 Л \ 2 2x + 3x + 2 6n - 47 497. 2) 2 5 n - 49 24/+7 +1
4) о о ZJ , , 4) 7
40(a -b^) x -9 X - 16 1-9/
13a+ 4 2-: Llx Э 4-7n + 7m . 2x +18 A2 3b
400 04 4) 2 6) — - 500. 2) -
4V0. Z) „ . Z)
(3 a +1) (3x +1) (n - tri) (x2-9)2 b-2
4) 1 • 501. 2) - —; 4) x + y 2(24 - a) -Ц 502. 4a -9 6 - 362 -b / ЛЧ 28*2 2 -4m + 9mn
a +1 6(62 -1) ’ 22’ m(4n - m )
6) Л 2 4a - 4a-6 2й . 503. 2) з ; + 2a a + 8 6m 504. 2) - 12 . 505. 2) ±. 4)H 13 2
2 a m -27 19
506. 2) k2 — ; 4) mn 3mk And n 2,2 : 6) c 509. 2) 2; 4) a be ’ 6) ac b ' k2 3md 510. 2) —; 4) ; mn 2nk
6) 2 : 15a c d -. 511. 2) 18a2 7 a | -25 a3b3 2y —Г. 512. 2) d1 5c3 4 4) 2d2 a 3c 2 7 gx 22/ft ' 4 m 513. 2) 10^6;
4) 1 . 2, 4a 6 .514. 2) 26 a 4) 36; 6) (a + b>a 515. 2) 36 6 3(1 + a) 4) 1 2 ’ 3m (m + n) 6) 3(a - 6)
3x2(x + v) -18(и-m)2 (и + m) 1
516. 2) —1--£-• 4) -------—7-----; 6) -7-7.517. 2) b~3; 4) (a - 1)(2« - 1).
2(x2+/) n(n + p)2 a-b2
2 518.2)2^1- 4)1; 6)^—. 3 62 +1 a2 (62 -1) 519. 2) k ; b1 4) 2(m + ri) n 4a6 520. 2) — a - b
b 1 4 1
4) . 521.2) — ;4) 522. 2) ; 4) — 523. 2) , 4) z
6(c + d') z + 2 m - 2 a + 6 c a-b c(a + b)
526. ^—^.s km. 527. 6 donadan. 528. 2) 3(%2 ~2x+4\ ZZL va (*з+2)
v + Vj x3 + 8 ’ x + 8 x + 8
529. 2) 55A~61; 4) 5~Т1Ь . 530. 2) ; 4) 8a + 8^~70 . 531. 2) ~ ;
24 ’ 36 Зр-q 2b-5 7
169
т + п
4)
2 2 ’
2(р - рс + с )
532. 2)
х(х + 2)(х - 3)
7 ’
(х-2)(х + 3)(х +2)
4) 1. 533. 2) —2(л—I)2; 4) -
4а
534. 2) 2. 535. 2) Noto‘g‘ri. 536. 7-. 537. 2л(30-л); -128. 538. а 100 + b • 10 + с;
2 2
c-100+Z>- 10 + л; a ta. 539. х = 1000л + с. 540. 3) 4-. 541. 2) — аАЬ2с\ 542. 2) 0,64а2с4.
3 5 1
543. 4) За2Ьт. 546. 4) 1,5л3 + 11,5л2 -а - 1. 547.2) х = 2 —. 551. 4) х = - -. 552.40, 36,43.
11 8
а
553.9 yildan so‘ng. 554.4 yildan so‘ng. 555.1,5 soatda. 556. 1,5 soatda. 557.2) —. 558.2) \6ab.
4
560.2) 3(1 + л)(7 -За). 561. 2) 4(3Z> ~2)(5b +1); 4) (17л -9b)(b-13a). 562.2) (m-\)(m2 + 1);
3
4)(l+«-Z>)(l -a + b). 570.2) 1. 571. 63km. 572. 27— minutdan so‘ng. 573. 41574. 574.
1
Mis - 25,5N; nix - 10,5 N. 575. - кг. 577. 35 km. 578. 120 km. 579. 150 ta. 580. 2)
2
3ac(2a + 3) 4ac(2a-3) 5b nh-7 x(y - x)
----2---’-----2----- va “77. 581. 2) ; 4) ------- 582. 2)
c(4a -9) c(4a -9) c(4a -9) a+1 y + x 7
2n(2n-k) 2q(jn-2q) m + 7n 25
—-------4)—---------—. 583. 4)-----. 585. 2) 1. 586. x=6. 587. 2) x =----;
2n + k m + 2q 10 34
2
4) x= — 6,5. 588.160 km. 589.9 km/soat. 590. 80 km/soat; 75 km/soat. 591.2) —; 4) 0,019.
3
„Ozingizni tekshirib ko‘ring“ topshiriqlariga javoblar
I bob. 1. 1) 120,3; 2) -з|; 2. 3x + 4y; 3. 10л + 15Z>.
II bob. 1. Ha, x = -4; 2.1) x= —; 2) x = 3. 3. 5 kg; 3 kg.
3
III bob. 1. 5s; З2; 2II 12; 6s. 2. 3b + d. 3. -1,25 л4/>3с2; 0,7/и-2я-1. 4. 3/и2-4; -3,8125.
IV bob. 1. 2л2 + 12л. 2. 1) y(x-2); 2) (4л-9)(4л + 9); 3) Зх2-(1-2х);
4)(x-5)2; 5)(x-l)(3 + y); 6)2(л-й)2. 3. (л-ЗЬ)(л + 3); 8.
Vbob. 1. Ь^0,л^1,л^-2. 2. 1)1; 2) ; 3) 4; 4) ^1.3. Др-3-
7 a ’ 7 a2-b2 b *-3
Qiziqarli masalalarga javoblar
1. 99 + 9 : 9. 2.44 ta uchburchak, 10 kvadrat, 8 ta to'g'ri to'rtburchak. 3. 5 yoshda. 4. 18
minut. 5. 1) 6; 2) 3; 3) 4; 4) 9. 6. 24 000 km. 7. 6 ta 8. 1) 7; 2) 4 o‘g‘il, 3 qiz. 9. 10 metr. 10.
Mumkin emas.
170
Sinov (test) mashqlarining javoblari kaliti
I bob
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
E A В C D В C E В D A В c D E A D В
II bob
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A В c D E A В C D E A В c D E A В C D
III bob
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
A В c E В D В D A В D E В C E A В C D E D A
IV bob
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A D E A В D E В A В D E В
V bob
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A В E В D В C E A В
171
TUSHUNCHALAR KO‘RCATKICHI
Algebra 6
Algebraik ifoda 6, 11
Algebraik ifodaning son qiymati 11
Algebraik kasr 129
Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish 138
Algebraik kasrlarni ko‘paytirish va bo'lish 143
Algebraik yig‘indi 75
Ayirmaning kvadrati 109
Ayirmaning kubi 119
Birhad 68
Birhadning koeffitsiyenti 68
Birhadlarni ko'paytirish 72
Birhadni birhadga bo'lish 90
Daraja asosi 55
Daraja kohsatkichi 55
Guruhlash qonuni 20
Guruhlash usuli 107
Kasrlarni qisqartirish 130
Kasming qo'shimcha ko‘paytuvchisi 135
Kvadratlar ayirmasi formulasi 115
Ko'phad 75
Ko'phadni ko‘paytuvchilarga ajratish 102
Ko'phadlarni qoshish va ayirish 81
Ko'phadni ko'phadga ko‘paytirish 87
Natural kohsatkishli daraja 54
Qarama-qarshi son 21
Qavslami ochish qoidalari 24,25,26
Qisqa ko‘paytirish formulalari 111
Sonli ifoda 6
Sonning kubi 54
Sonning kvadrati 54
Sonning standart shakli 56
Standart shakldagi birhad 69
Taqsimot qonuni 20
Tenglama 35
Tenglamaning ildizi 35
Tenglamani yechish 36
Teskari son 22
Umumiy ko‘paytuvchi 102
Umumiy maxraj 135
Yighndining kvadrati 110
Yig‘indining kubi 119
O'xshash hadlar 77
O‘rin almashtirish qonuni 19
О Ashash hadlarni ixchamlash 77
Chiziqli tenglama 36
ISMLAR KO‘RSATKICHI
Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-
Xorazmiy 6, 7, 33, 34, 37, 51,53, 101
Abu Ali ibn Sino 110, 127
Abu Komil 154
Abu Rayhon Beruniy 101
Al Kalasadiy 101
Ahmad Fargfoniy 101
Al Koshiy 52
Al Karaji 154
172
Dekart 101
Diofant 100, 128
Evklid 153
Eyler 128, 154
Viyet 15, 100
Nyuton 34, 100, 154
MUNDARIJA
5-6- sinflarda ohganilgan mavzulami takrorlash........................3
I bob. ALGEBRAIK IFODALAR
1 Sonli ifodalar.........................................................6
2-§. Algebraik ifodalar.................................................10
3-§. Algebraik tengliklar, formulalar...................................14
4-§. Arifmetik amallaming xossalari.....................................19
5-§. Qavslarni ochish qoidalari.........................................24
I bobga doir mashqlar................................................29
I bobga doir sinov mashqlari — testlar...............................31
Tarixiy masalalar....................................................33
Tarixiy ma’lumotlar..................................................34
II bob. BIR NOMA’LUMLI BIRINCHI DARAJALI
TENGLAMALAR
6- §. Tenglama va uning yechimlari.....................................35
7- §. Bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalami yechish............37
8- §. Masalalami tenglamalar yordamida yechish.........................43
II bobga doir mashqlar...............................................48
II bobga doir sinov mashqlari — testlar..................49
Tarixiy masalalar....................................................51
Tarixiy ma’lumotlar..................................................53
III bob. BIRHADLAR VA KOTHADLAR
9- §. Natural kohsatkichli daraja......................................54
10- §. Natural kohsatkichli darajaning xossalari.......................59
11- §. Birhad va uning standart shakli.................................68
12- §. Birhadlarni Wpaytirish..........................................72
13- §. Ko‘phadlar......................................................75
14- §. 0‘xshash hadlarni ixchamlash....................................77
15- §. Ko^phadlami qo^shish va ayirish.................................81
16- §. Ko‘phadni birhadga Wpaytirish...................................84
17- §. Ko‘phadni Wphadga ko'paytirish..................................86
18- §. Birhad va ko'phadni birhadga bodish.............................90
BI bobga doir mashqlar...............................................94
173
Ill bobga doir sinov mashqlari — testlar............................97
Tarixiy masalalar..................................................100
Tarixiy ma’lumotlar................................................101
IV bob. KOTHADNI KOTAYTUVCHILARGA AJRATISH
19- §. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish.............102
20- §. Guruhlash usuli................................................107
21- §. Yigrindining kvadrati. Ayirmaning kvadrati.....................109
22- §. Kvadratlar ayirmasi formulasi..................................115
23- §. Ko‘phadni kocpaytuvchilarga ajratishning bir necha
usullarini qoTlash.....................................................118
IV bobga doir mashqlar.............................................124
IV bobga doir sinov mashqlari — testlar............................126
Tarixiy masalalar..................................................127
Tarixiy ma’lumotlar................................................128
V bob. ALGEBRAIK KASRLAR
24- §. Algebraik kasr. Kasrlarni qisqartirish.........................129
25- §. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish............................135
26- §. Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish........................138
27- §. Algebraik kasrlarni Wpaytirish va bodish.......................143
28- §. Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar......147
V bobga doir mashqlar............................................150
V bobga doir sinov mashqlari — testlar...........................151
Tarixiy masalalar..................................................153
Tarixiy ma’lumotlar................................................154
V II sinf algebra kursini takrorlash uchun mashqlar...............155
Mashqlarga javoblar................................................163
Tushunchalar koTsatkichi...........................................172
Ismlar koTsatkichi.................................................172
174
SHAVKAT ARIFJANOVICH ALIMOV,
ALIMDJAN RAXIMOVICH XALMUXAMEDOV,
MIRFAZIL ABDILXAKOVICH MIRZAXMEDOV
ALGEBRA
Umumiy ta’lim maktablarining
7- sinfi uchun darslik
3- nashгi
„O‘qituvchi“ nashriyot-matbaa ijodiy uyi
Tashkent — 2009
Muharrirlar: 0‘ Husanov, N.G‘oipov, X. Alimov
Rasmlar muharriri Sh. Xojayev
Tex. muharrir T. Greshnikova
Komputerda sahifalovchi N. Ahmedova
Musahhih Z. Sodiqova
Original-meketdan bosishga ruxsat etildi 26.01.2009. Bichimi 70х90’/16. Tayms
garn. Kegli 12 shponli. Ofset bosma usulida bosildi. Shartlib.t. 12,87. Nashr t. 10,0.
nusxada bosildi. Buyurtma №.... Bahosi....
O'zbekiston Matbuot va axborot agentligining ,,O‘qituvchi“ nashriyot-matbaa ijodiy uyi.
Toshkent, 129. Navoiy ko'chasi, 30- uy.//Toshkent, Yunusobod dahasi, Murodov
ko'chasi, 1- uy. Shartnoma №
A 50 Alimov Sh.A.
Algebra: Umumiy ta’lim maktablarining 7- sinfi uchun
darslik/Sh.A. Alimov, O.R. Xolmuhamedov, M.A. Mirza-
ahmedov. 3- nashri. — T.: ,,O‘qituvchi“ NMIU, 2009. —
176 b.
BBK 22.14 ya 72