/
Текст
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
А.В. Любимов, Б.Г. Лобойко
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГАЗОДИНАМИКЕ ЗВУКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ,
РИМАНОВЫХ И ДРУГИХ ПРОСТЫХ ВОЛН
Утверждено
ред советом института
в качестве учебного пособия
Москва 1987
УДК 533, 531.01
Любимов А.В., Лобойко Б.Г. Сборник задач по газо-
динамике звуковых импульсов, римановых и других простых волн.
- М.: МИФИ, 1987. - б*с.
Сборник содержит 49 классических и специальных задач
по теории звуковых волн в форме импульсов и простых волн Ри-
мана, имеющих аналитические решения, которые приводятся.
Сборник является учебным пособием по курсу "'Механика сплош-
ных сред*.
Некоторые классические обобщающие задачи, входящие в
этот сборник, представлены в изданных ранее монографиях и
сборниках задач по газодинамике [1 т 13].
Предназначен для работы на семинарских занятиях и для
самостоятельной работы студентов и аспирантов, специализирую-
щихся по технической физике.
Рецензенты: В. В. Адушкин, О. Е, Попов
Московский инженерно-физический институт, 1987 г.
Редактор- Н.Н.Антонова
Техн, редактор Н.М. Воронцов а
Корректор Е.А. За харч енко
Тем. план 1987 г., поз. 79
Л.-J"^/^ Подписано в печать /40? “
Формат 60x84 1/16 Объем ^#п.л, Уч.-изд.л. 4
Тираж 210 экз. Цена ЛГкоп. Изд. № 019-1
Заказ 418
Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
время
координаты вектора Г
модуль вектора г
модуль вектора скорости
давление
плотность
удельный объем
энтропия
скорость звука
отношение теплоемкостей Сл к
температура
ЗАДАЧИ
1» ЗВУКОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ
1.1. Скорость движения звуковых волн в различных
.средах,,,
1. Определить скорость звука в идеальном газе, используя
ошибочную изотермическую модель звуковой волны, предложенную
Ньютоном, а также современную адиабатическую- модель. Намного
ли ошибался Ньютон?
2. Сравнить скорость звука, рассчитанную по адиабатиче-
ской модели, со средней квадратичной скоростью молекулярного
движения в идеальном газе.
3. Определить скорость звука в смеси индивидуальных га-
зов, которая считается идеальным газом.
4. Определить скорость звука в смеси газов, нагретой до
сравнительно высокой температуры, когда диссоциации еще нет,
а возможно возбуждение замороженных колебательных степеней
свободы в двух- и более атомных молекулах. Использовать та-
булированную или заданную в форме полиномов зависимость
удельной энтальпии индивидуальных газов смеси от темпера-
туры
£Г. Определить скорость звука в ионизованном одноатомном
газе, нагретом до такой температуры, что давление равновес-
ного черного излучения в нем сравнимо с атомарным давлением.
6. Получить выражение для скорости звука в двухфазной
сплошной среде, состоящей из очень мелких капель жидкости,
взвешенных в ее паре.
7. Определить закон изменения скорости звука при подъе-
ме в воздушной атмосфере Земли, ориентируясь на стандартную
модель тропосферы с линейным законом уменьшения температу-
ры с высотой.
1.2. Параметры течения в звуковых импульсах
8. В длинной трубе в начальный момент времени везде,
кроме участка длиной 2 а,, находится неподвижная среда с изве-
стными параметрами, а на участке 2 а заданы начальные пере-
менные по длине трубы распределения скорости сжатой среды
и избыточной плотности figCx') . Принимая во внимание,
4T°luo(^)lmax «со • l^o^lmax “Jo
начальные значения скорости звука и плотности в неподвижной
исходной среде, определить параметры последующего движения
среды. Рассмотреть детально случай, когда (PgsCDTlsi.
9. В длинной трубе, закрытой торцем с левого конца, в
начальный момент времени находится неподвижная среда. У тор-
ца на участке, отделенном мембраной длиной а , задано на-
чальное избыточное постоянное давление среды Ад , вне это-
го участка начальные постоянные параметры состояния среды
известны, причем Ад « рд , где Рд - начальное давление
вне указанного участка у торца трубы. Определить параметры
течения в трубе (звуковой ударной трубе) после мгновенного
разрушения мембраны. Построить епюры давления и скорости
движения среды.
10, Условия, аналогичные условиям задачи 8, но Цд^О,
а эпюра избыточной начальной плотности dg(a) на интервале
2 а имеет форму равнобедренного треугольника.
11. Определить удельную энергию, переносимую одномер-
ной (плоской) звуковой волной, В каком соотношении находят-
ся потенциальная (тепловая) и кинетическая составляющие энер-
гии?
12. Определить параметры течения первоначально непод-
вижной среды с известным начальным состоянием, находящейся
в трубе правее пришедшего в движение поршня. Скорость поршня
U(i) известна, причем //« fy , где Сд - скорость зву-
ка в исходной среде. Детально исследовать вариант с равноус-
коренным движением поршня.
13. В круглой длинной трубе с площадью сечения S тон-
кий поршень массой М разделяет газ с постоянной температу-
рой, но с различными значениями начального давления и >,
рг-р* * *
причем рч>р2 » но —р— « 7 . Определить закон разгона
поршня, принимая во внимание, что трение его о трубу отсут-
ствует,
14. В неподвижном газе имеется сферический объем ради-
уса К , где газ находится первоначально в сжатом состоянии с
избыточным давлением Ад , параметры начального состояния
окружающего сферу газа известны, причем Ад « рд , где
начальное давление. Определить последующее движение газа в
звуковой волне.
5
15. Сфера с жесткой поверхностью при начальном радиусе
а начала расширяться с постоянной скоростью увеличения ра-
диуса Vq . Определить параметры звуковой волны, излучаемой в
^окружающую сферу первоначально неподвижную среду, для кото-
рой известны начальные параметры состояния. Найти энергию
звукового импульса, уносимую в бесконечность.
16. Условие, аналогичное условию задачи 15, но в момент
Z расширение сферы прекратилось. Определить энергию звуко-
вого импульса, уносимую на бесконечность, сравнить ее величи-
ну для с аналогичной из решения задачи 15.
17. Доказать, что расходящаяся сферическая звуковая
волна, генерируемая источником, который функционировал конеч-
ное время, должна иметь как минимум две фазы (сжатия и раз-
режения) .
18. Доказать, что на больших расстояниях от источника
расходящуюся сферическую звуковую волну можно на определен-
ных участках рассматривать как одномерную (плоскую) и ис-
пользовать такие соотношения между параметрами, которые вы-
полняются для одномерной волны.
1.3. Отражение, преломление и дифракция звуковых
импульсов
19. Определить при помощи метода и) —диаграммы ре-
зультат распада произвольного одномерного малого по амплиту-
де разрыва начальных условий в среде: слева от разрыва дав-
ление р. , скорость среды Uj * справа от разрыва давление
р2 » скорость среды , причем IPj-P2l«Pl ,
если Uj одного знака, и jUjl+ / ifyj «Ср если щ и раз-
ного знака, где с* - скорость звука в исходной среде слева от
разрыва.
20. Используя метод ^дг0-диаграммы, определить резуль-
тат распада произвольного одномерного разрыва начальных ус-
ловий по давлению, представленного в задаче 9 (для звуковой
ударной трубы).
21. Показать, что при отражении ступенчатого звукового
импульса от жесткой стенки для случая нормального падения
фронта величина избыточного давления в отраженной волне в
два раза больше чем в падающей волне,
22. На плоскую границу, разделяющую газ с различной
температурой Т, и 7g (контактный разрыв по температуре), нор-
мально падает фронт звукового импульса: а) импульс сжатия,
б) импульс разрежения. Определить результат взаимодействия
для двух случаев *7» Д .
23. На контактный разрыв, образованный двумя газами с
одинаковой температурой, но с разными значениями отношения
теплоемкостей Г; и Тг • а также молекулярных масс и
нормально падает фронт звукового импульса. Определить, при
каких условиях в результате взаимодействия не возникает отра-
женная волна.
24. На Гранину раздела жидкость-газ со стороны жидко-
сти падает фронт звукового импульса сжатия. Определить ре-
зультат взаимодействия и степень ослабления прошедшей волны.
25. На тонкий вертикальный слой стекающей вниз жидко-
сти толщиной к , справа и слева от которого находится непод-
вижный газ, из газа с левой стороны нормально падает фронт
звукового импульса сжатия, &q «р$ , где 4^ и р& -
избыточное и исходное давление соответственно. Определить ре-
зультат взаимодействия импульса со слоем жидкости на началь-
ной стадии и коэффициент ослабления прешедшей через слой
волны.
26. Плоский звуковой импульс в виде прямоугольной сту-
пеньки гадает на двухгранный жесткий плоский клин с углом
при вершине 2# по направлению осп клина. Определить волно-
вую картину отражения и дифракции звукового импульса на по-
верхности клина. Получить распределение избыточного давления
в эоне дифракционной волны.
27. Плоский звуковой импульс в виде прямоугольной сту-
пеньки движется в плоском канале. Исследовать дифракцию им-
пульса при выходе из канала в неограниченное пространство у
края одной из стенок канала. Получить распределение избыточ-
ного давления в зоне дифракционной волны.
28. Плоский звуковой импульс в виде прямоугольной сту-
пеньки падает на двухгранный жесткий плоский клин с углом 90°
при вершине нормально к одной поверхности клина. Определить
волновую картину отражения и дифракции звукового импульса на
поверхности клина. Получить распределение избыточного давле-
ния в зоне дифракционной волны.
29. Звуковой импульс в виде прямоугольной ступеньки дви-
жется в пылегазовой смеси, в которой весовая концентрация
сферических пылевых частиц диаметром d много меньше 1. Оп-
ределить протяженность зоны кинематической релаксации среды
за фронтом импульса, подразумевая под этим расстояние за
фронтом, на котором пылинки приобретают скорость равную 99%
скорости газа в волне, и предполагая, что коэффициент сопро—
7
тивления при обдуве частиц газом
ло Рейнольдса обдува.
, где Кб - чис-
2. БЕГУЩИЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ
2. 1• Одномерны^ римановы волны, параметры течения
30. Определить течение газа в виде простой волны разре-
жения в трубе, возникшее при движении поршня с постоянным
ускорением С от газа. Поршень находится в трубе левее газа
и в начальный момент покоился. Определить момент отрыва
поршня от газа.
31. В круглой длинной трубе с площадью сечения S пор-
шень массой И отделяет газ с давлением л и скоростью
звука Cj от вакуума. Определить закон разгона поршня, прини-
мая во внимание, что трение о стенки отсутствует. Определить
поле течения газа.
32. Определить поле течения газа в трубе, а также урав-
нения Ср характеристик (траектории движения газовых объемов)
для центрированной волны разрежения, возникшей, когда поршень
в трубе начал двигаться от газа налево сразу с постоянной ско-
ростью - Up .
33. В начальный момент времени в длинной трубе убрали
заслонку, разделявшую вакуум и газ с заданными начальными
параметрами: давлением рр и скоростью звука Ср . Опреде-
лить возникшее течение газа. Заслонка справа от газа.
34. Длинная, но ограниченная и закрытая слева мембраной
труба заполнена неподвижным газом с заданными параметрами
состояния. Вне трубы - вакуум. Определить поле одномерного
течения в трубе после мгновенного разрушения мембраны, а
также скорость одномерного течения на срезе трубы.
35. Определить течение газа в трубе, развивающееся, ко-
гда поршень первоначально начал двигаться налево от газа сра-
зу с постоянной скоростью — Up , а затем в момент tp его
скорость скачком изменилась до -Uj , причем Uj>Up tU- и Up
меньше, чем 2Ср /> где с0 и Г - скорость звука и отно-
шение теплоемкостей Ср к Су в исходном неподвижном газе.
36. В длинной, но ограниченной и открытой слева трубе на
расстоянии L от среза находится неподвижный поршень, правее
которого труба заполнена неподвижным газом с заданными па-
раметрами состояния, левее поршня и вне трубы - вакуум. Пор-
8
шень выдергивают из трубы, начиная движение сразу с постоян-
ной скоростью - Uq • Определить течение газа в трубе при на-
личии поршня в трубе и после его выхода из трубы, найти ско-
рость газа на срезе трубы.
37. Определить течение газа в трубе, возникшее при дви-
жении поршня с постоянным ускорением а в сторону газа. Пор-
шень находится в трубе левее газа и в начальный момент по-
коился. Найдите место и время образования разрыва в течении.
38. Определить закон движения поршня в трубе в сторону
неподвижного газа, при котором в газе возникает центрирован-
ная волна сжатия (все С* характеристики волны на плоскости
( *Z, i ) пересекаются в заданной точке Лд •
39. Определить возникшее течение газа в трубе и место
образования ударного разрыва в течении при движении поршня
от газа по закону
а (7-ехр-^ ) ,
где а и Т - положительные постоянные.
40. Определить возникшее течение газа в трубе и место
образования разрыва в течении при движении поршня от газа по
закону л ar Usift а>£ в интервале времени 0$ t & я/Яа, где а и
й) - положительные постоянные. При 2/ > — поршень неподви-
2.0)
жен.
41. Определить течение газа в трубе, а также место и
время образования разрыва в течении при движении поршня в
сторону первоначально неподвижного газа по закону X =4?/ *, где
Л — положительная постоянная.
42. Определить течение газа (распределение скорости) в
простой волне разрежения (см. условие задачи 30), используя
метод переменных Лагранжа (время £ и начальную координату
элементарного слоя газа $ ), Лп = -№2/2 .
43. Условия задачи 32. Решение провести,используя ме-
тод переменных Лагранжа, как в задаче 42.
2.2. Взаимодействия с участием простых одномерных волн
44. На плоскую контактную поверхность, разделяющую два
неподвижных индивидуальных газа, имеющих одинаковую темпе-
ратуру (см. задачу 23), падает нормально центрированная вол-
на разрежения. Определить, при каких условиях не произойдет
отражения от контактной поверхности, и при каких условиях от-
раженной будет также волна разрежения.
9
45. Условия задачи 32, но труба правее поршня ограниче-
на по длине} на расстоянии L от начального положения поршня
труба закрыта торцем, кроме того скорость поршня
где Cff - скорость звука в исходном газе, 1* - отношение
теплоемкостей для газа. Определить давление и скорость звука
в газе на торце после завершения отражения волны разрежения
от торца.
46. Условия задачи 45, но для процесса расширения газа
можно использовать уравнение политропы р^Ао" , где К “ 3.
Детально исследовать отражение волны разрежения от торца, оп-
ределить закон уменьшения давления во времени на торце.
47. Условия задачи 45. Определить, при какой скорости
поршня у торца начнется конденсация газа. Для газа известна
зависимость температуры конденсации от давления (р).
48. Условия задачи 45. Определить время завершения про-
цесса отражения волны разрежения от торца.
49. Условия задачи 34, но труба ограничена по длине, на
расстоянии X от левой мембраны справа труба закрыта тор-
цем, для процесса расширения газа можно использовать уравне-
ние политропы ps Ар , где К » 3. Определить, при каком
значении X давление на торце будет уменьшаться с заданной
величиной производной dp lai .
РЕШЕНИЯ
1. ЗВУКОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ
J , Уравнение
• Уравнение адиабаты Пуассона;
1.1. Скорость движения звуковых волн в различных
средах
1. Модель Ньютона: 7= COTtsi * Уравнение
изотермы , следовательно, С •p/j>. Модель Лапла-
са:
P=Bj>T• ; С2/С] =
Например, для азота в области нормальных условий 1,183
2. Средняя квадратичная скорость молекулярного движения
в газе _ /3RT\ll3
скорость звука в газе
„ /ГЯТ\И2 ,
следовательно,
Например, для кислорода в области нормальных условий U. C •
“ 1,464.
3. Принимая во внимание, что в смеси индивидуальных га
зов, которую можно считать идеальным газом, теплоемкость
молекулярная масса смеси - аддитивные величины, т.е.
я п
V.CM
п,
где - объемная доля или концентрация Z-й составляющей
смеси; скорость звука смеси
11
Например, для гремучей смеси водорода с кислородом
при нормальной температуре » 534 м/с» —
4. Скорость звука в смеси газов
/др\Ц2 /др\-И2
или в форме якобианов
-г dCfi.S') /д(р,5)
f? —* —м ——I / II —дм —
Используя уравнение состояния
форме
смеси постоянного состава в
РТ
---- * где
п,
( О: — парциальное давление I -й компоненты), можно полу
чить _
PF
пт2
Записав термодинамическое тождество для. удельной весовой эв
тальпии в форме dk • TdS + Vdp , получаем
(9S\ I (dh\ у fdsx I (M \
\Эр !т~ T \Bp]T~ т ' \dTlp^ T\dr )p ’
и затем, вводя удельную молярную энтальпию Н=ku , перепи.
сываем искомые производные с учетом И» z п; \ так
12
5. При высоких температурах ~ 10000° газ ионизован и
излучает. Уравнение состояния такого газа можно представить
в форме
RT 4 6Т*
Р‘fiV * 3 а
где б - постоянная Стефана - Больцмана, Q - скорость света.
Для равновесно излучающего газа энтропия S с точностью
до константы
с , - / к / т, 16 вТ}У
S=cvln.T+(cv-Cp^hiV + 3 а
В такой среде скорость звука
где производную можно расписать через якобианы и соответст>-
вующие определяемые производные:
/8р\ / dCW
\dv>s’ / д(у,Т> '
Ж '
дт )v /ГК дТ ) у \дт/у\дУ/т.
Следов ательно,
ИГ + Г/XV ЮеУ2Т3 \ (бу-Ср t
fi + Ц / * За / \ V +
l6ffT2V
6. Скорость звука в двухфазной парокапельной среде без
нарушения ее сплошности при условии механического и теплово-
го равновесия фаз можно определить традиционно:
где энтропия и удельный объем такой среды выражаются как
аддитивные величины:
5= +лЭ2 ,
7 = +XVZ
( X — массовая доля жидкости). Искомую производную
удобнее определить через переменные р и х :
'(др \ Л '7 дСУ^ / д(р,3) _
/5 J ~д(р,а')/ d(pta} ~
,№\ -[МП(£L\ •
I °P Zs L\ da }p\ \da )f \tip)a ’
S_P\
dv)s
£) x ^1.
op 7 x 'dp dp
Опереть -gj- для двухфазной среды можно представить,
применив уравнение К л ай перона - Клаузиуса:
dT Т(Уг- Уг)
dp' Ч
где Ц — удельная теплота перехода из жидкого состояния в па-
рообразное, в форме
d_ /д_ \ /2? \ d£
dp =( др )т I дт)р dp ’
Используя как промежуточную переменную функцию З3 — потен—
пиал Гиббса, через тождество
d<P*Vdp-SdT
14
Если x«Z (пар с очень малым количеством капель), выраже-
ние
значительно упрощается;
для
это означает, что скорость звука в тумане меньше чем в паре.
7. Т- То -c(Z , где Тд - температура воздуха у поверхно-
сти Земли. Тогда
1.2. Параметры течения в звуковых импульсах
8. Движение среды в трубе, развивающееся как следствие
начального возмущения состояния на участке длиной 2 а, можно
определить в виде совокупности двух акустических волновых си-
стем: волны, бегущей направо, и волны, бегущей налево. Потен-
циал скорости течения ip как интеграл одномерного волнового
уравнения можно записать в форме суперпозиции
где аргументы # = + , а функции & п
определяются начальными условиями. Поместив начало коорди-
наты ж в середину интервала возмущенных параметров, на-
чальные условия можно
записать следующим образом
И*ид(х) при -zz^x^zr, д=О ;
д-0 и -О при -Z? >а -О ,
Связав и и 0 в звуковой волне с функциями и в сле-
дующей форме:
15
где
&7 dJj
~ 8x
/!(#) ^2_
' Ъ'1' fa
перепишем начальные условия в виде системы двух уравнений
ДЛЯ^-Л? иЛ <£’•*) при £=° ••
^(х}+/'2(х)~
Откуда при ~а £ х £ U
=i\ao(x>) - % <*>] >
х u Ju J
иХ(£г)»^£г)«^ вне указанного интервала.
Следовательно, в поле звуковой волны для •£ у О в области
волны, бегущей направо /-zr^X ~Coi & а )
в области волны, бегущей налево (-Д +Cq£ = 4ZZ ) ?
Вне соответствующих областей
и fiCt)-0 •
Полное решение можно записать по областям:
в области существования волны направо
=u(f)=[ua(s)6о 6)] ,
16
6(я ,е> = 6(J) = 1 [$<<) +A ;
в области существования волны налево
u(x,i')= u(i^ j [uoCl)-% ^6?)] ’
6М - f [46?)-% “-/?)] ,
в области наложения двух бегущих волн соответствующие пара-
метры суммируются, а вне областей существования волнового
движения >#) , (~О >Ц среда невозмущенная:
*6f)=«6?>=.0 , №W6?)>^ .
Для конкретного примера
ио (х, t-(T) = const ** U# ,
$0 (я,1-0) = const» $0
функции fy < £) и fL - кусочно-постоянные и, например,
решение для скорости можно представить в такой форме:
u(x,f) • + ll2Ct) ,
где
при -a^=x-cot
л£[Цо “ 4]
* № л
при -a ^n-x+cot й .
Распределение скорости по X для трех моментов времени:
t=О ttj < и ^-диаграмма течения
показаны на рис. 1. На -диаграмме проведены граничные
(головные и хвостовые) С* характеристики для бегущей напра-
во волны и аналогичные С. характеристики бегущей налево вол
ны. Эти прямые линии:
с уравнением X - а fyi '
с уравнением <z = -CL + Cq£ ;
с уравнением сс^-a-Cgt •
Г- с уравнением Х-* a-Cot
ограничивают соответствующие зоны волнового движения.
17
kU(x,t2)
X
Рис. 1
9. Используя граничное условие на левом торце ^рубы
И -О , сведем поставленную задачу о волновом
, движении в одномерном полупространстве х ъО к задаче, ана-
логичной 8 для движения в одномерной трубе без торца. Для
этого в длинной трубе поставим начальные условия:
9 -const
и Д(z,t-= О} •‘•О при -ZZ >л>а f
где давление р - роч- Д .
при
18
Решение ищем, аналогичное решению задачи 8:
где
= X +Cgi .
С учетом новых начальных условий получаем систему двух урав-
нений для искомых функций при i «= О, когда £ я п «л, :
j/(x)-Р , ,
при любых Л , так как u(x^t •
Л(х,-6=0') =j>ff с0 [j'(x) -Щх )] = Ло
при
Откуда
в указанном интервале по Л .
Поле звуковой волны для области Л ъО включает бегущую
направо волну, определяемую решением
' ' ~ ' 2Ji0C0
и бегущую налево волну, определяемую решением
/2^) = COftst--
2J*oco
при л+Cgt а .
Например, при t^<a/cG решение для избыточного давления имеет
вид по зонам:
д(х;6') = для a^x^a+cot1 —
зона бегущей направо волны сжатия;
д(л,4) = для а-Са^злзя —
зона бегущей налево волны разрежения;
Д = для 0£ X $ С — Cgtу
зона исходного избыточного давления;
19
zJ ~ ля ZV э* 2Z ** Cq j ~~~
2jfefrh u(xfi7)
Afatzhafat?)
Рис* 2
0
На рис. 2 показаны (х ^-диаграммы волнового течения в
звуковой трубе с граничными и характеристиками бегу-
щих волн, а также эпюры давления и скорости движения среды
(пунктирная линия) для трех моментов времени:
V
В трубе после разрушения мембраны формируется прямоугольный
звуковой импульс длительностью 2 а и с постоянной амплитудой
по избыточному давлению Л^/2 .
20
10. Конкретизируя общее решение для течения в виде бе-
гущих направо и налево звуковых волн из решения задачи 8 при
новых начальных условиях:
Ио-0 и 1-^) для ;
Uq^o и 4^)= (7* для t
получаем искомые функции:
(! *2) -<^о-
Oixia;
V
™ 2 J>0
(t+^om -aixiO .
Вне указанных областей j (&) •
В поле звуковой волны решение для бегущей направо вол-
ны определяется двумя формами у' f J) :
при $4$ = Я ~С0^ 9
= J при
jО
для бегущей налево волны - аналогичными формами пу-
тем замены в предыдущих выражениях £ на % , где
и общего знака на минус.
Распределение всех параметров, и в частности избыточной
плотности , строится по зонам, в интервалах для /
и £ —
21
в интервалах для А и £
вне указанных интервалов 6(л^ ) —О. Нагляден графический спо-
соб построения распределений в звуковой зоне, показанный на
рис.З, на примере эпюр избыточной плотности для четырех момен
тов времени: iQ 9q
Для
ется
2с0 ’ 2СО <г2< Со ’ t3> Ct
построения характерных точек в распределениях использу-
ет,^- диаграмма движения в волне с граничными 4 + ха-
рактеристиками, Пунктиром показаны составляющие распределе-
ния для бегущих направо и налево волн. Трехугольный профиль
формы.
начального возмущения плотности и давления среды распадается
в результате на два звуковых импульса также трехугольной
Рис. 3
О
к
22
11. Энергия единичного объема среды, переносимая звуко-
вой волной,
с Ли2
tyo Ср 2
где Jig и Ср ~ плотность и скорость звука в среде; Л и и-
избыточные давление и скорость среды в волне. Для плоской
(одномерной) волны
кинетическая составляющая энергии совпадает с потенциальной
составляющей.
12. При движении поршня в газе в окрестности поршня и
далее будет формироваться акустическая бегущая направо одно-,
мерная волна, которая определяется общим решением волнового
уравнения: *0;
потенциал скорости tp «» где £ = i—
Л Ср
✓ % дф 1 dj
скорость среды —=—----------у >
ox Cff (L
избыточное давление в волне fa Ср а О)
Вид функции - Jr определяется иа граничного
среды у поверхности тгоршня
и(х~хп ,
условия для
которое можно с учетом акустического приближения, т.е. /Ufol «Сл9
заменить на условие при X " О;
а(х=О .
Следовательно,
= -£ F(t) = U(i} ,
при
ИЛИ « - Сд U С при
Решение:
i
23
CgU(^) npn^ejf—^-
при
Для случая U(i)=at , где a-COtlSt9
^(^--соа^ при /-Л- >/7
Cq
и в волне сжатия
-fo Соа (i ~ )
при
Решение иллюстрируется -диаграммой течения и
распределением скорости на рис. 4. На (л*,4Х-Диаграм-
ме проведены характеристические линии - характеристики с
уравнением &-&ns£o(t-tn) /2 > на каждой из них
свои постоянные значения скорости среды и избыточного давле-
ния. г
13. Из-за начального перепада давления на левой и пра-
вой поверхностях поршня последний придет в движение. При этом
в газе слева и справа от поршня будут формироваться акусти-
ческие волны. Если слева газ имеет начальное давление Л ,
то налево пойдет волна разрежения, а направо - волна сжатия.
Изменение давления газа в этих волнах можно связать со ско-
ростью его движения, соответственно:
~-J).] С J lLj "^2^2 ^2
где 4J>2 , ci •> с2 “ входные значения плотности и скорости
звука в газе слева и справа от поршня. Для слоев газа у пор-
шня il]=U2 ~&П ' Уравнение движения поршня:
где &р(i) - (р; -J>j С--Qp2 +J>2 С2ип^.
24
Уравнение можно упростить, так как
J>1 -/г ’ С1 -С2 , ЛР&> = Ср1 -Р2 > ;
оно примет вид
’ ~7Г (йр° ~ Cl U" ’
TBSipg-pj-pi ,
условиями: tfj -О
При
и его можно проинтегрировать с начальными
при ,
2£i£rSi^
Л-/ м ).
Apo
2f1c1
14. Условие задачи перекликается с одномерным условием
задачи 9. Общее решение для формирующихся сферических рас-
ходящейся и сходящейся волн можно записать так:
для потенциала скорости -
= 9 Г[~г+со£',
где
для скорости газа -
-яг-Яда »да>] - [да *да>] >
™ ЛМ-^ ;
для избыточного давления -
Функции (f) и (£) определяются из начальных усло-
вий: для i-0 при всех значениях Г ,
при 1^1
при /г/ >Р .
Конкретно, если /Г / >R , , то
=л'’ 4&-/2(г')-о.
При /rlfR ,i-D
Si (г ) ^2 (г) =о ; /‘(г} ;
25
следовательно,
где
J*oco
1
если провести нормировку .
При формировании волновой зоны для
2ЛЪ
г*/лу _.. 4g €
2 * ‘ 2j>BCo '
О2-*2),
tyoco
откуда при условии
Л(г,^«рд, /и(Г,1)1«Сд
(!*!>,
£г
и(г^ ’гГГ^-^ЪТТ* Ь2-*2)-(г2-*2)1
Ц*осог L J
При ///«lr-c#tI>Я , l$l* /r+Cfftl >К
Распределение избыточного давления Л^^’) , где Л
и » где>Я , а также fЛ, ^-диаграмма с граничны-
ми С^. характеристиками показаны на рис. 5. Расходящаяся вол-
на (/*>>?) имеет характерную £-образную форму распределения
26
избыточного давления и состоит из зоны сжатия и эоны разре-
жения как любой звуковой импульс от источника звука конечных
размеров и с конечным запасом энергии (см. задачу 17).
Рис. 5
15. При импульсном расширении жесткой сферы в окружа-
ющей среде возникает расходящаяся сферическая звуковая волна,
в которой
потенциал скорости среды
скорость движения среды
К™' Sr ГС0 ’
где /= *.£2. , An-g- ;
избыточное давление -
Граничные и начальные условия, используемые для определения
функции можно записать как t—0tF%a
r-a.}sJJg причем в граничном условии на
поверхности жесткой сферы при Г >0 ее радиус принимается
равным Q. , а не CL+Vq£ , из-за малости величины по срав-
нению со скоростью звука в среде Cq .
Из граничного условия при Г-а получаем
JIV) ,r
— — ----------------—- -Un ,
ас0 я2 *
27
. ->*ивательно,
rz^x и
^(t^^Ae
где константа А <*•*'
Иском*" д
из начальных
8
еа9*о.
е
*
звуковой волне
Г
*
энергии в расходи-
Энергию звуковой волны, уносимую в бесконечность, t
можно с учетом сферической симметрии течения определить че-
рез интеграл от потока полной избыточной
щейся волне:
£j-J
где 5 — площадь поверхности сферы очень
R»Cotj , причем для сферической звуковой
чае справедлива связь
4 =J>0
Um £
большого радиуса
волны в этом слу—
7 JbC0 J
v.
, следовательно,
4%R
Лсо J 5
о
16. Решение до значения = Г
не 15:
е
Решение для | * t---~~ > ? - н
жесткая сфера перестала расширяться
Следовательно, для^(^) можно записать уравнение
&2 (&) (& л
" ас0 я* ’ ’
л ~СО*1а
интеграл которого ' Константу опре-
деляем из условия гладкой сшивки двух решений волнового урав-
нения для f при :
29
Следовательног в зоне акустической волны при
Это фаза разрежения в волне. Распределение избыточного дав-
ления J ) в волне для момента времени zL > ? показано
на рис. 7.
Рис. 7
Энергию звуковой волны, уносимую от источника в бесконеч-
ность, можно определить аналогично схеме в задаче 15, но из
двух составляющих:
-1— / А2, 1 J*oco 1 (j - t. Если сравнить Е^ при Z решения 15, видно, что ('г,‘*С99') ® aS^o 5 di + J &22dt , -Cotla . в данной задаче с Е из 'Е'^ = 2:,гЛаЪг7о
30
Это неравенство обязано дополнительной энергии в зоне фазы
разрежения! волны для варианта данной задачи.
1,3. Отражение, преломление и дифракция
звуковых импульсов
19. Анализ распада заданного разрыва начальных условий
при помощи методики ^/7,я}-диаграммы в случае образования
акустических волн достаточно прост, так как линии, соответст-
вующие возникающим волнам сжатия или разрежения в плоско-
сти (р,и), - это прямые с уравнениями: P~Po~PqCo
для волны, движущейся направо; р-Ро~'Росо (iL-tt#) - для вол-
ны, движущейся налево в традиционной одномерной системе ко-
ординат. Конкретно, для случая, когда направления векторов
скорости сред на разрыве одинаковы и, например, положительны
( )» можно проанализировать четыре вариан-
та распада, для которых на рис. 8 показаны Ср* и} -диаграммы.
Каждый вариант приводит к двум возможным ситуациям.
Первый вариант (рис. 8,а):
Р^р2
U2 Шу .
31
Возможны два случая: а) первый случай с образованием двух
волн разрежения - прямая для волны разрежения по левой
среде (1, 3*) с уравнением
Рз -Pl = -Л (из -и/ > и ,
прямая для волны разрежения по правой среде (2, 3 ) с
уравнением
Л/7?с2 (и5 ~и2^ 9
б) второй случай с образованием волны разрежения, бегу-
щей налево, и волны сжатия, бегущей направо, - прямая для вол-
ны разрежения по левой среде (1, 3 ) с уравнением
Рз~р1 ~ ~J>1 С1 (U3~ U1
и прямая для волны сжатия $+ по правой среде (2, 3 ) с
уравнением
Р$~Р2 ~/2С2 •
и Z2 ; р~ и формально совпадают
Решения для pl
п PtJ>2C2+Pi.Plc1-J,lJ,2c1cZ (U2~Ut)
PrP2'tPlC1U’1 +/гс2 и2
ДТП I ——.
$ Л С7 С2
но в первом случае pj < Ъ , # т < , а во втором случае
P3>P2,^>U2‘
Легко показать, что первый случай имеет место, когда
наклон прямой (1, 3х) круче наклона прямой, соединяющей т. 1
и 2, т.е. когда
РгР2 ! < ^1.
Р7 / С1 Pl
или, если среды на разрыве - идеальные газы, левое отноше-
ср7
ние меньше cvj • ® противном реализуется второй случай.
Второй вариант (рис. 8,6):
р-/<Р2 » и2>а1 *
Возможны также два случая течений после распада разрыва:
а) волны и и б) волны X и .
Условием первого случая является неравенство
32
Р2 ' с2 Р2
(или ^2 Для идеального газа). Значения р$ и для всех вари-
антов определены в решении для первого варианта.
Третий вариант (рис. 8,в):
Возможны два случая течений после распада разрыва:
а) волны 5L. и S , б) волны и 3
Условием первого случая является неравенство
/ Uj-Uz ,J>Zci
(или Г2 для идеального газа).
Четвертый вариант (рис. 8,г):
Возможны два случая течений после распада разрыва:
а) волны и 5L » б) волны Я*. и *5*_
Условие первого случая:
Рг ~_Pi_ / g; -
Pl / Су Ру
(или для идеального газа).
20. (р,ll*)-диаграмма для распада начального разрыва по
давлению в акустическом приближении показана на рис. 9. Пря-
мая (1.3) с уравнением рз~Ро -/осо соответствует бегу-
щему направо звуковому импульсу сжатия
, прямая (2, 3) с уравнением
Ра+&о
эти
нахо-
соответствует бегущему налево звуковому
импульсу разрежения . Решая
уравнения относительно и U. ,
дим:
До
оно
Рис. 9 ’J ~ 2 Zfl) Cff
Избыточное давление в импульсе 3± равно До]2-
достигается на его переднем фронте, движущемся со скоростью
Cq . Если среда с повышенным начальным давлением находится
* , то
в конечной по длине части трубы (по условию задачи N? 9),
$-41$
сформировавшийся сначала импульс разрежения затем отра-
зится от левого торца трубы, при этом возникнет фронт отра-
женной R + волны разрежения. Изменение давления на этом
фронте также может быть определено на (ДДТ)-диаграмме (см.
рис. 9). Прямая (3, 1) может рассматриваться и как р-и
связь для ^отраженной волны, для которой скорость среды
за фронтом равна нулю, так как отражение происходит от непод-
вижного торца. Следовательно, скачок давления на фронте отра-
женной волны -Д»/2 , и давление у торца равно р$ . В звуко-
вой трубе формируется Л -образный импульс, бегущий напра-
во, с избыточным давлением Д$12.
U U
Рис. 10
21. СIL)-диаграмма для отражения %+ или 5^ импульса
от жесткой стенки показана на рис. 10. Прямая (1, 2) соот-
ветствует R* или 3^ волне, ее уравнение
Рг~pQ =J*0CO а2 *
На фронте отраженного импульса R_ или 51 скорость среды
должна уменьшиться до нуля. Прямая (2,3) для R_ или вол-
ны определяется уравнением
Рз “Р2 ~ \Ро ^2 '
Следовательно, р з~ р2~ Р? ~Ро и Рз~ Ро~ % С '2 ~Ро ) *
22. (Дя)—диаграммы преломления З1 *7 и ъопн.
(импульсов) на контактном разрыве по температуре показаны на
рис. 11 соответственно. Для каждого варианта рассмотрим два
случая: 71 > 7^ , Tf .В варианте преломления 5^. им-
пульса сжатия (см» рис. 11,а) на (рр}-диаграмме прямая (1,2)
соответствует исходному импульсу Stj , ее уравнение
Рис. 11
Прямые (1,3Z ) или (1,3 ; соответствуют преломленной
сжатия ; их уравнение
=Л с2 “З 9
причем прямая (1,3 ) для случая
волне
» т.е.
а прямая (1,3 ) для случая
J*2C2 ’
Отраженная волна является волной сжатия
OjCi , т.е. 7^ < 7^ » или волной разрежения
когда
Т-е- Т1СГ2
Уравнение для отраженной волны
Определяем 5
и 11$ :
; Рз"Pi - (р2~Р]}
35
где
Для варианта преломления импульса разрежения
(см.
рис. 11,6) проходит в среду с температурой Т2 также волна
разрежения R+2 » а отраженной является волна разрежения
J)2C2>J)1C1
Т2>Т1 . Величины
т.е.
и5
7? < 7? , или волна сжатия 5- для
и Рл~Pi определяются ранее по-
лученными выражениями.
23. Используя решение задачи 22 для преломления звуко-
вого фронта Лу-/ или на контактном разрыве, получаем, что
отражения не произойдет, если
Р$ ~Pl s Pt ~Pl ’
, т.е. при 7Z= 1. В
_ ЯгЯг /
А <7 ° I)
данном случае
и, следовательно, при П =* 1 PzfPi’VlpT'
24. Для жидкости акустическое приближение можно ис-
пользовать при описании волновых процессов, в которых измене-
ние давления р2 -р^ не обязательно много меньше р_ , Кри-
терием акустического приближения являются условия о/pf « 7
и и. fci« 7 * где -изменение плотности жидкости в области
движения, и - скорость среды, Л и Ci - начальные значения
плотности и скорости звука в жидкости. (рус) -диаграмма для пре-
ломления волны сжатия на границе раздела жидкость-газ
показана на рис. 12. Прямая (1,2) определя-
U
Рис. 12
ется уравнением р2 -pj ~&2 » тВ&р2 и и2 -
заданные параметры звукового импульса .
Прямая (1,3) соответствует преломленной зву-
ковой волне сжатия в газе S^2 , ее уравнение
Р} "Pl ~J>2 с2 '
Прямая (2,3) определяет отраженную волну
разрежения в жидкости , ее уравнение
А'А = 'Аг/ (из-а2'>-
Необходимо особо подчеркнуть, что акустиче-
ское сопротивление жидкости J)iC^ существенно
больше аналогичной величины в газе Р2С2
(примерно на три порядка), следовательно, на-
клон прямой (1,2) заметно круче чем прямой (1,3) в плоско-
сти -и
36
Решение двух последних уравнений с учетом третьего для
прямой (1,2) определяет Л и :
’
где
7 .
С учетом последнего
РЗ-Р1^Р2 ,
Uj S 2и2 .
неравенства получаем
Р$_ '_pi_ ~ 2?2
Pz‘Pi~ пСрг-р^
2
Следовательно, даже при ~ 10 р?
т.е. действительно преломленная волна в газе - акустическая.
Коэффициент ослабления волны при преломлении К-CPi~P^Kp2~Pi)
для слабого по давлению падающего импульса (р2 р^ ) - вели-
чина приблизительно равная 2*10“ , а для случая p2^ ^^pq
чина приблизительно равная 2*10“ ,
25. Постадийно взаимодействия звуковых импульсов при
прохождении через слой жидкости можно проиллюстрировать на
(&£) и бД^-диаграммах, которые показаны на рис. 13, Срав-
нение акустических сопротивлений газаJ), Cj и жидкости JJ2 с2
CfjCi«р2 ) и качественное использование решения задачи 22
о преломлении импульса сжатия на контактном разрыве приводит
к следующим результатам: при первом преломлении на границе
газ-жидкость отраженным является импульс сжатия , а
преломленным - импульс 57 о ; при втором преломлении на пра-
вой границе слоя жидкости с газом отраженным является им-
пульс разрежения а преломленным - импульс сжатия 57^ .
диаграмма для первого преломления включает прямую (1,2)
уравнение.которой
для падающей волны сжатия $
торой
; прямую (1,3), уравнение ко-
37
t к Pk
для
рой
Рис. 13
преломленной волны 5^ ? прямую (2,3), уравнение
кото-
Рз-Рг^'Л0!^'^ ~
для отраженной волны 5*_7
и LL-, получаем решение:
Лс2
где п s.-----» 7
ЛС1
что позволяет упростить результат:
( p^U )-диаграмма для второго преломления включает ранее
построенную прямую (1,3) для волны 5^... » уравнение кото-
рой
Рз~Р? ~ Л с2 U5 »
для вторичной преломленной волны ” прямую (1,4) с урав-
нением
и для отраженной волны прямую (3,4), уравнение которой
P*t ~Р$ ~ ~ЛС2 •
Отметим, что точка 4 лежит на прямой (1,2).
Для р^ и решение подобно решению задачи 24:
’ u<f-2“3
38*
или с учетом значений Л
Л " # * /Z
И Нт
Коэффициент ослабления волны сжатия после прохождения
слоя жидкости
У Л ~А ^р2
~ п(р2-рг)
и, так как _ А ?/А ** 2 7 ? % -0Л •
Рис. 14
26. Картина отражения и дифракции показана в плоскости
на рис. 14. При отражении фронта падающей волны (давле-
ние перед фронтом р^ , давление за фронтом p-j ) от стенок
плоского клина возникают два фронта отраженной волны со скач-
ком давления p2-pj -Pi~Po * Угол отражения фронта равен углу
падения. От острого носика клина распространяется цилиндриче-
ская дифракционная волна, фронта которой касаются два плоских
фронта отраженной волны.
39
Граничные условия на фронте дифракционной волны можно
определить, опираясь на закон сохранения потока энергии на
этом фронте в волновой трубке, вырезанной лучами-радиусами,
для двух моментов времени и i2 • Поток энергии через
цилиндрическую элементарную поверхность сечения такой трубы
(элемент дифракционного фронта) Др* trdS - величина постоян-
ная. Так как в ближней окрестности носика клина (на начальной
стадии дифракции) dS, d рп на фронте дифракционной вол-
ны в последующие моменты времени величина нулевая, т.е. на
этом фронте нет скачка давления, это граница дифракционной ци-
линдрической волны. Граничные условия полностью показаны на
рис. 14 для момента Zy через безразмерное избыточное дав-
ление
РгРо
На поверхности плоского клина в волновой зоне нормальная
поверхности составляющая
s О . В звуковом поле
д&а РгРо
скорости движения среды равна нулю:
да ’
/7
там же и — sU .
di~ J>o
следовательно, где zL -Z7, _ ..
л да
Распределение давления в зоне дифракционной волны с за-
данными граничными условиями определяется интегрированием
волнового уравнения для избыточного давления d по методу
конического течения. Волновое уравнение для обезразмеренного
избыточного давления d (
№д 1 д2Д
дх2* Зц2 ~~cf~3t2
*0
в системе координат, показанной
разования Буземана
X п
6* Coi ’ Ч’Сц*
на рис* 14, с помощью преоб-
и затем
7'
1 *(.1 - б2 - п2}112
превращается в
уравнение Лапласа для Д
в полярной си-
стеме координат, которую можно представить плоскостью ком-
плексной переменной .
Искомое решение этого уравнения - гармоническая функ-
ция, определяемая условиями на границе области существования -
кругового сектора 0^ р , ос (см. рис. 14).
Особенно просто строится решение такой краевой задачи, если
область существования искомой функции круг, а граничные ус-
ловия кусочно-постоянные.
Данную в задаче область существования в форме сектора
легко трансформировать в круг, проделав две процедуры: снача-
ла конформно отобразить данный сектор в плоскости переменной
Z на верхний полукруг в плоскости комплексной переменной W-
затем симметрично добавить нижний полукруг (см.рис. 14),
Первая процедура проводится преобразованием
W^reia>.(ze'^Y ,
где
Я = —.
Граничные условия для сектора в О и & (на фронте дифракци-
онной волны): Л-2 на двух дугах JT = 1, сХ £ 9 £ 2* и
2зг-2&4042я-4ъ Л “ 1 на дуге /Г “ 1, 2 <4 $д4 2ЭГ-2<£ ; —
-
на двух радиусах 0 bji£7 , ,0 *2$-4 можно перестроить
в граничные условия для верхнего полукруга в плоскости пере-
менной И/ : Л “ 2 на двух дугах Л = 1 и 4^427;
Л и 1 на дуге Л e 1. £ 37. где =• — • -44. KQ
7 _ 7 ’ 7 2(ТТ-4) 0П
на диаметре полукруга О S Г£ 7 , А) -О , а) . При сим-
метричном присоединении нижнего полукруга £ 1 в плоско-
сти IV получаем кусочно-постоянные граничные условия на ок-
ружности л я 1:
4 » 2 на двух дугах Л “ 1, 4 a? ,
2эт -б)? з а) 4 ;
4 «= 1 на двух дугах л “ 1, 4 А) £ 2Т - 6Х *
зг + а>7 4 4) 4 2я-й)7 ;
1 дд
условие = и на диаметре 4) и О и А) выполняется
автоматически из условия симметричного присоединения нижнего
полукруга к верхнему. Искомую функцию Л (с2>) можно искать
по данным кусочно-постоянным граничным условиям как дейст-
вительную часть аналитической функции jfIV) , определяемую
через интеграл Шварца с ядром Т для круга л 1:
Ю« <Бм(5)T(s,W) Ids/ie, 41
J
L
где L - контур в форме окружности, М(_ &)— значения J на
соответствующих дугах окружности,
5= ffia> , т(з, W) «=
O“~Vv
Конкретно в данном случае
» г 7 / 6*^1 7 г л
ЛIV) = г [ 7* -/л у zfe -.
Следовательно, решение для имеет вид:
= 7-ь L arctq <--------———--------------------
1
-г- ПГСы1
-(1-jp2*} COSAjT
(Ujn>)sin^-2^sin. Я (0^}
и
иллюстрируется на рис.
14 в форме изобар.
27. Дифракционная картина при выходе звукового импульса
из плоского канала в неограниченное плоское пространство по-
казана на рис. 15. У каждого края канала формируется дифрак-
ционная звуковая цилиндрическая волна. Граничные условия на
Рис. 15
42
фронте каждой дифракционной волны определяются подобно ре-
шению задачи 26, но без эффекта отражения: J ро=0, т.е. фронт
без скачка давления. Как и в решении задачи 26f переходом к
переменным J и 9 и безразмерному давлению
где и
начальное
РтРо
р - давление за фронтом заданного импульса и
давление перед фронтом, можно свести волновое урав-
нение для Л в переменных (я>у к уравнению Лапласа в
плоскости • Граничные условия на фронте дифракционной
волны:
J «» 1
Л “ О
на дуге
на дуге
040 4$ ;
#4 842$;
О на радиусах 04 (я2+у2) 4?» &-0 и 0=2#
преобразуются в условия на дугах J) и 1 и радиусе О 40 41.
Используя метод, показанный в решении 26, ищем A(rj 9tf) как
действительную часть аналитической функции J'(W) , где IV=
W=Z
W-ff
W-el 2
Решение для имеет вид
Для построения нужно воспользоваться связями:
г (^у2У12 2/ 2г*
а = а =7^7 = /.4+7 ’
0 = 2у.
Поле давления Д(р90') в форме изобар в одной дифракционной
волне показано на рис. 15.
28. Решение аналогично задачам 26 и 271
43
ff'(r^COStf
j-rjCOSip -Ц5
7
4**У v "‘Ct'i
Рис, 16
Лоле давления показано на рис. 16.
29. Уравнение движения конкретной пылевой частицы после
того, как мимо нее пройдет фронт звукового импульса и она
попадет в область движущейся со скоростью и среды, имеет вид
второго закона Ньютона:
dtr г - Jota-tf)2
т di ~ ,
44
где Ш - масса частицы, aZ - ее скорость, <5^ - миделево се-
чение частицы, Ст - коэффициент трения, - плотность сре-
ды. С учетом заданного закона трения уравнение движения мож-
но преобразовать к виду:
^L = A(u-u-') ,
dt
та*А—^.
п - динамический коэффициент вязкости среды,
d - плотность материала частичек и их диаметр.
d& d(X
— - = —— и t получаем закон движения частицы
Перестроив
в форме ZZ" jt):
частица сместится на расстояние
при условии, что 1Х(рс-0 , =0 У —О , и -caflSt
рость Vх
Набрав ско-
Для
Протяженность зоны релаксации L равна разности
пройденного фронтом импульса за время Zy / набора
Dj), и величины jCf ’
Z = ос о - ос -> ос0 ~ ’
Для определения величины z интегрируем исходное уравнение
движения пылинки,
расстояния,
скорости
следовательно,
4- In 0,01 ;
А 9 9
4,50 3,51
-----и -Ц-
А Л
ак как * dv25 d^.
Длина зоны отставания твердых частиц от частиц газа
45
На рис» 17 показана ^2Г,/)-диаграмма разгона частицы и вол-
нового движения: 4Г-. -=Cnt л сС- = иЪ .
Ш У 7 Г
2. БЕГУЩИЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ
2. 1» Одномерные римадовы волны, параметры течение
30. Течение в плоскости показано на рис. 18. Это
простая волна разрежения, движущаяся вправо. Уравнение се-
мейства характеристик:
л = (tr+ C)t +/(f) ,
где /(v) - номер характеристики, определяемый из граничных
условий на поршне. Инвариант Римана на семействе £. характе-
ристик, который остается постоянным во всей области течения:
где ср - скорость звука в невозмущенном газе. Уравнение се-
мейства Сц. характеристик преобразуется в виде
Рис. 18
46
Для газа на поверхности поршня
" 2а ’ " и
Окончательное уравнение семейства у. характеристик:
Это функция гЛ^,г?)в неявном виде. Уравнение первой ха-
рактеристики волны разрежения:
Место начала отрыва газа от ускоряющегося поршня определя-
ется из соотношения на последней &+ характеристике волны,
отделяющей газ от вакуума:
откуда скорость поршня при отрыве
время начала отрыва
31. Уравнение движения поршня:
M^=pS .
di г
При движении поршня от газа в последнем возникает волна
разрежения, давление газа в которой связано со скоростью дви-
г-7 „л/г-п
2 сг )
жени я:
На поверхности поршня скорость газа совпадает со скоростью
движения поршня: „ л
di "г \ 2 С, J
Скорость движения поршня
О' _ 2С1 Ь [ООМ*
n~r-i\ [ 2с1^
+ 1
2^-*
При
скорость поршня стремится к скорости истечения
2С1
газа в вакуум >-/
Закон движения Л776О получаем повторным интегрирова-
нием уравнения Vjj (if) с нулевыми начальными условиями:
где
ь -
2с
Течение в простой волне разрежения, бегущей налево, а
именно распределение скорости ir(ccft)f описывается параметри-
ческой системой уравнений:
где tXn (t) ; <Хп(ъ) получаем заменой t на параметр
Т в двух вариантах закона движения поршня.
32. Уравнение пучка характеристик, определяющих те-
чение в центрированной волне разрежения, движущейся вправо:
& = (ix+c)t.
Инвариант Римана на С_ характеристиках,
постоянным во всей области течения,
IX---—— с — —-— С л
Т-1 Т-1 с ’
Скорость частиц таза в волне разрежения
который остается
Это решение справедливо в области в форме сектора (в плоско-
сти ) между первой С* характеристикой, уравнение которой
X -Cgt , и последней £ характеристикой, отделяющей об-
ласть волны разрежения от области течения с постоянной ско-
ростью - м; около поршня; уравнение характеристики име-
48
ет
ня по модулю меньше
следней ZT характеристике
если величина скорости движения
— • При условии Ъд ъ
уравнением
на
порш—
по—
О
плотность, давление и скорость звука равны нулю, это граница
с областью вакуума, т.е, поршень отрывается от газа. Уравнение
Cq характеристик:
fa . fa________?_(*_.с >
di~a' С°)
с интегралом 1*- 7
где •
На рис. 19 показаны две характеристики из семействами
С .
О х
33. Течение газа - полная центрированная волна разреже-
ния. Картина течения в плоскости показана на рис. 20,
Уравнение семейства ZL характеристик, определяющих течение,
ММ
49
первой CL характеристики волны разрежения:
Уравнение
Уравнение последней характеристики, отделяющей газ
от вакуума: Л - .
Скорость истечения газа в вакуум на этой границе: s
На рис. 20 показано распределение плотности по х для мом
та времени . Это распределение получено из общей формы
выражения для плотности газа в волне разрежения, бегущей на-
лево у
2Со
2
2 со
подстановкой
Т, =
34. Течение в трубе рассматривается как одномерное в
форме центрированной волны разрежения, бегущей направо. Опи-
сание подобно решению задачи 32, но только с учетом ограни-
ченности течения срезом трубы ( х ЪО ). Распределение
имеет место в секторе (в плоскости X^i
О'
которой Х = Со £
кой ( х-0 ). На срезе трубы ( Х-0 ) скорость газа гЛ -
звуковая и равна----! £_ , Осесимметричное течение вне тру—
ж Г*1
бы не анализируется.
50
) между первой
+ характеристикой, 'головой* волны разрежения, уравнение
_ ’ , и вертикальной граничной характеристи-
35. Течение состоит из двух, идущих натфаво друг за дру-
гом центрированных волн разрежения, причем последняя
характеристика первой волны параллельна первой С+2 характе-
ристике второй волны (рис. 21). Решение для этих волн подоб-
но решению 32, причем для первой волны
это распределение имеет место в секторе:
В области между последней • • j характеристикой первой волны
и первой С’*2 характеристикой второй волны, ее уравнение
газ движется налево с постоянной скоростью -Ug . В секторе
второй волны до характеристики с уравнением
реализуется распределение
а далее в секторе до линии движения поршня
+Uq to = - V-j (t- tg')
газ движется с постоянной скоростью -Ц* .На рис. 21 пока-
зано распределение скорости в момент A > ?., •
1 V *1
36. До момента ij-Ljlfp , когда поршень выйдет из
трубы, течение такое же, как в решении задачи 32. Для опре-
деления последующего течения необходимо установить, какая
скорость движения газа у поршня: сверхзвуковая или нет; воз-
можны варианты.
1. Если течение на хвосте
первой волны разрежения дозвуковое, а это имеет место при
скорости поршня Uq < -3^; Ср , то после выдергивания порш-
ня из трубы начнется истечение газа из трубы с образованием
второй центрированной волны разрежения, бегущей направо. Эта
волна, как в решении 35, определяется вторым пучком С^. ха-
рактеристик, ограниченным слева граничной ^+2 характери-
стикой, уравнение которой JTs-Z , .На этой вер-
тикальной линии скорость движения газа звуковая, равная (как
в решении задачи 34)
Распределение скорости газа в секторе
CC = -L (в плоскости СС t Г , рис. 22,а) можно представить как
2. Если течение на * хвое те* первой волны разрежения
звуковое или сверхзвуковое, но у поршня не образуется зона ва-
куума, что имеет место при условии
то в трубе не может возникнуть вторая волна разрежения и ис-
течение из трубы происходит со скоростью Up ъ с до тех пор,
пока характеристика (рис. 22,6 и решение задачи 32) не
пересечет ось в момент •
Далее при г? > 2?^ скорость истечения на срезе будет уменьшать-
ся (по модулю) во времени по закону
52
стремясь к
при
Рис. 2 2
3. Если у поршня при его движении в трубе возникла зона
вакуума: 2с0
о Ъ ,
то после выхода поршня из трубы при =
дет к срезу трубы. Граница движущегося газа (это
теристика, уравнение которой 4:=--i ) дост
в момент ®
газ еще не подой-
• харак-
) достигнет среза
(?-!') L
(рис. 22,в). При / zzfj будет происходить истечение на срезе
с уменьшающейся по модулю скоростью
2 / L _\
стремящейся как и в варианте 2. к местной скорости звука
37. Течение газа - простая волна сжатия, формирующая
ударный разрыв. Картина течения в плоскости (л,#) показана
на рис. 23. Уравнение семейства Zy. характеристик, определя-
ющих течение газа:
где вид функции y/jr) определяется из граничных условий на
поршне:
fV2
2а
О
Р к
Рис. 23
Место и время возникновения ударного разрыва в течении
определяются из условий на разрыве:
5У
или разрыв возникает на первой характеристике волны сжатия
без образования перегиба у функции в чомент образова-
ния разрыва:
Г(^-о
(штрихи означают производные по скорости 1Х )♦ Если
не обращается в нуль нигде, тогда разрыв возникает на первой
характеристике волны
, 2 Со
Р =а(Г+1> ’
сжатия,
+ 2с°
*Р а(г+Ъ
• Для данного случая
Распределение давления газа в волне сжатия при форми
роваиии ударного разрыва для момента времени 4р показано
на рис. 23.
Рис. 24
38. Картина течения с семей-
ством сходящихся ZV характеристик
показана на рис. 24. Уравнение се-
мейства:
Закон движения поршня определяет-
ся из граничных условий на поршне:
Хп-^о •(%>
это уравнение интегрируется с начальными условиями: ,
Хп-0 .
Результирующее уравнение движения поршня имеет вид (с
учетом = Cq ;
_ _Г^7 Т 2cot f*Z / i\r^r
39. В начальный момент времени скорость поршня - ко-
нечная величина = а. /Z . Прежде всего в газе возникает
центрированная волна разрежения, течение в которой определя-
ется семейством характеристик и инвариантом Римана на
характеристиках, постоянным во всей области течения в виде
простых волн:
55
Первая характеристика С- \X~~Cgi ; последняя С2 харак-
теристика центрированной волны разрежения, определяемая по
скорости движения поршня в начальный момент времени:
О Хл X
Рис. 25
Поршень движется от газа замедленно. Вслед за центрирован-
ной волной разрежения в газе возникает простая волна сжатия.
Картина течения в плоскости (x9t) показана на рис. 25. Урав-
нение семейства характеристик, определяющих течение газа
в волне сжатия,
56
Вид функции определяется из граничных условий на
поршне:
f(u) = a(j-
а
Место и время возникновения разрыва в волне сжатия
определяются из условия — fu . Разрыв возникает
и tp
на
первой характеристике £_ волны сжатия (она является по-
ХУ/7
следней характеристикой центрированной волны разрежения)
Р~ Г+i \ 2 а ) ’
л / Г+1 а \
ХР = *Р\~Т~Со) •
Распределение давления в волнах для двух моментов времени
показано на рис. 25.
40. Решение аналогично решению задачи 39.
До образования разрыва течение состоит из центрирован-
ной волны разрежения, бегущей налево, и последующей волны
сжатия. Распределение скорости для центрированной волны раз-
режения
имеет место в секторе между характеристиками X=-Cnt и
Распределение скорости в области простой волны сжатия
можно представить в виде уравнения С_ характеристик в пло-
скости (X4i')
* - fa + г)*,
57
которое является неявной формой решения .
Место и время образования разрыва в волне сжатия опре-
деляется из условия:
где штрихи означают соответствующую производную от функции
по переменной (Г .
41. Течение - это первоначально волна сжатия, бегущая
направо. Система определяющих С*. характеристик для этой вол-
ны задается уравнением
х - (с0 + £—- trji+/(?).
Определить явяъ Jf#') по условиям задачи сложно. Используем
параметрический вариант описания течения через систему
характеристик в плоскости (&& (начиная с С* характеристи-
ки, уравнение которой )
= *^/7 •>
где Т - параметр, имеющий смысл времени движения поршня,
= ' В данном случае Лп«ЗаТ2.
Функцию получаем как корень кубического урав-
нения
-~^У7 а!?+а1т2-с0?г+с0£ -л=0.
Лг £
Место Лп и время с образования разрыва в данной волне
сжатия определяем из условий
58
что приводит к системе параметрических уравнений с решением
/ 3f+1 г
Р~ гР '
tJ.
42. Решение для простой волны разрежения, бегущей на-
лево, в переменных Лагранжа £ можно построить, исполь-
Рис. 26
зуя, как и по методике с перемен-
ными Эйлера (см. решение
задачи 30), метод характеристик в
плоскости $ (для данного вари-
анта в секторе t >,0 , Л £0 ). Се-
мейство 7L характеристик для об-
ласти простой волны, ограниченное
слева T-j характеристикой, уравне-
ние которой J «-Cgt представляет
веер прямых линий (рис. 26), выходя-
щих източек на оси / ( О & & V ,
-О ). Уравнение этого веера
или
Г+7
где и - одномерный вектор смещения контрольного объема от-
носительно начального положения; и -ди/д^ . На каждой Т_
характеристике существует связь
между Hr ~ ди. dt (это скорость движения контрольного объема
) и lit ; кроме того и постоянные на каждой Т_ ли-
нии. Для объема газа около движущегося поршня
59
“5T“I = ~ bi0
(в плоскости £ ,/ - это ось в О). Следовательно,
^-big , а для ^<0 t
Уравнение для определения
получаем подстановкой
Т_ характеристиках:
распределения скорости и,1С$-£')
в связь между Hi и zz> на
Г — последняя характеристика, отделяющая волну разрежения
от зоны вакуума при достижении поршнем скорости
/7 =
это вертикальная линия, совпадающая с осью / = О, начиная
с точки 27- = Г = . На этой прямой
я COfLSt-
43, Центрированная волна разрежения,
бегущая направо, в
переменных Лагранжа J , t
определяется пучком 7 прямых
характеристик (рис. 27), выходящих
из начала координат, уравнение ко-
торых ?+1_
5 -Q?t.(7+
Первая 7/ характеристика (в "го-
лове* волны) имеет уравнение £
На каждой 71 линии выполняется
связь между постоянными
60 Рис, 27
И 2
или с учетом уравнения Ту- прямых получаем автомодельное
распределение скорости: 7
Последняя Z/ характеристика в пучке, отделяющая область
простой волны от области движущегося со скоростью поршня IL
газа, задается уравнением
/ = со^
I1L
Г'7
В секторе между характеристикой и осью | О все 71
характеристики параллельны Т* линии. Если скорость поршня
U > % СО а
и0 Ъ "f-j ’то Формируется полная волна разрежения, в кото-
рой расширение происходит до вакуума. В этом случае 7^ харак-
теристика совпадает с осью F (t .
2.2. Взаимодействия с участием простых одномерных волн
44. Картина течения в плоскости с системой ха-
рактеристик и (ру и )-диаграмма для взаимодействия волны раз-
режения R-j с контактным разрывом показаны на рис. 28,
где “ прошедшая волна разрежения, - отраженная
волна разрежения. В плоскости (р^и) кривая О А соответст-
вует волне К - , ее уравнение
2 с0 )
кривая ОВ соответствует преломленной волне R-2 * ее урав-
нение 2r#
61
Рис. 28
кривая А. соответствует отраженной
волне разрежения ,
ее уравнение
2Го
где р0 -
давление и
давление и
начальное давление на контактном разрыв?; р^и^ —
скорость газа на хвосте волны R_-j ; р2 » 112 "
скорость газа на "хвостах* возникающих волн разре-
жения R-2 и +1 * и с0 “ отношение теплоемкостей С»
и Су и скорость звука в исходной среде правее контактного
разрыва; и Сд - аналогичные параметры в исходной среде
левее контактного разрыва; Ci — скорость звука на "хвосте*
волны .
Условие взаимодействия волны с Л-разрывом без
отражения - совпадение точек А
. равенство р ~ р^
Это приводит к соотношению
?-z/rz?
\ /, У'о-7 иг\1'1/гЬ
с0 \ 2 Ch )
которое можно перестроить в уравнение для отделения вели-
чины t которая определяет соответствующую интенсивность
волны R-f» проходящей Х-разрыв без отражения. Условием
взаимодействия с отражением волны разрежения R^ является
неравенство
62
1- 1/Гр
\ 2 Со ) \ 2 со )
Записанные ранее уравнения для кривых OR и АО являются
системой для определения результирующих величин Р2 и &2
при взаимодействии с отражением волны R+1 .
Использование метода плоскости годографа - (7*, -диа-
граммы — в данной задаче нерационально.
45. Картина течения с первичной R^j центрированной вол-
ной разрежения, возникшей при движении поршня от газа, и с
отраженной от торца волной разрежения R^-j показана при по-
мощи систем 0+ и характеристик на плоскости на
рис. 29. Так как Uo <Со » последняя 0^ характеристика^
волны имеет положительный наклон в я90 плоскости, и, сле-
довательно, процесс отражения R+j волны от торца будет
длиться конечное время (от Од. до О, ), и отраженная XL;
волна полностью сформируется. На ее последней С- характери-
стике скорость газа равна нулю. На ©том же рисунке показана
плоскость годографа - (7, я)-плоскость с линиями, соответству-
ющими данному взаимодействию (отражению от жесткой стенки).
О Lx и
Рис. 29
Прямая (0,1) соответствует падающей R+1 волне, течение
в которой проанализировано в решении задачи 32, ее уравнение
( Л инвариант Римана)
--- — 4, =-----С л ;
1 Т~1 1- Т~1 °
прямая (1,2) соответствует отраженной волне, ее урав-
нение (<2^. инвариант Римана)
63
где (у торца), UfZ^Vg (на поршне). Следовательно,
Так как в адиабатных волнах
то на торце
Метод (pt ^-диаграммы нерационально использовать для анали-
за данного взаимодействия из-за аналитической сложности.
46. Картина течения для отражения волны от торца
показана посредством системы Zy. и характеристик в л
плоскости на рис, 30. Для случая газа с Д’ = 3 системы и
С_ характеристических линий превращаются в пучки прямых (да-
же в области взаимодействия). Для С+ характеристик уравне-
ние пучка Л^(О.+СУ& 9 где и+С-»
=СО list на своей Z^- характеристи-
ке; для С- характеристик уравнение
пучка 2L=(u-c)t9 где и - с = COfi st
на своей С характеристике. В об-
ласти взаимодействия распределе-
ния для и. и £ определяются по-
следней парой уравнений с решением;
С-
о
Область взаимодействия ограниче-
на справа осью x»Z на интерва-
Рис 30 И отРезками на характеристи-
ке от точки А до точки
а также на характеристике от точки (\X=Z , до точки А .
Координаты точки А :
А~
А-~
определены как у точки пересечения
стик. На торце (при JT»Z ) ит-*
адиабатных волнах при Л* » 3
64
и* и характер^-*
О , С • Так как в
2к
Ро \ СО ' \Cq ! Г
для газа у торца
где 4 t stj . При ij St S t%
„ fcO~2Uo\3
Pr-Pottf) -Po{—^-) ’
где z£> — время прихода на торец вторично отраженной от
поршня волны разрежения •
47. Если не учитывать эффекты переохлаждения относи-
тельно температуры фазе©ого перехода Тт при конденсации га-
за, то величина р связана с давлением газа р уравнением
Клайперона - Клаузиуса
где р t Рк — критические значения давления и температуры;
и f2 • удельная теплота испарения и молекулярная масса
данного газа.
При отражении волны разрежения от жесткой стенки тем-
пература и давление газа связаны уравнением адиабаты
Пуассона у-;
где Tq и р0 - начальные значения. Совместное решение
этих двух уравнений относительно Тр « Тр и р и исполь-
зование на основании решения задачи 45 величины Т„ на тор-
це в момент завершения отражения “
л (JM2 У
позволяет получить уравнение для определения искомой величи-
ны Ц> :
_ z2
Рх RTo
где
(p-lWo
Уравнение решается численно.
48. Схема течения, иллюстрируемая посредством системы
С_ и С+ характеристик в плоскости, представлена в ре-
шении задачи 45. Задача имеет решение в элементарных функ-
циях, если показатель адиабаты Пуассона для газа J ?
где П “ 1, 2, 3, ... Для $2 » соответствующего моменту вре-
мени начала формирования отраженной простой - волны Ри-
мана, решение характеристической системы уравнений дает ин-
теграл
Для , соответствующего моменту времени завершения фор-
мирования отраженной простой R--j волны Римана, решение бо-
лее сложное и, в частности, может быть представлено через ги-
пергеометрическую функцию Гаусса JZ^z} в виде
/ г yZn / ч
fc0 - Ci V
где Z------~—) .
функцию, то 1
Если функцию F
представить через гамма-
49. Используя упрощающие обстоятельства для случая ^=3,
как в решении задачи 46, и выражение для закона уменьшения
давления на торце при отражении (i )
Рт *Ро ('Cot ) ’
проведя дифференцирование по времени
dpr 3poL3
di с> t* •
получаем, что для времени максимума "градиента*
(t»tQ z= L[Cq ") требуемое значение
/ _ $Ро с°
Lm~ от
dPT
di
66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.
- М.: Физматгиз, 1944, 1953.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Теоретиче-
ская физика. Т. 6. - М.: Наука, 1986.
3. Давидсон В.Е. Сборник задач по газовой динамике. -
Киев: Изд. КГУ, 1959.
4. Давидсон В.Е. Основы газовой динамики в задачах. -
М.: Высшая школа, 1965.
5. Осватич К., Шварценбергер Р. Сборник задач и упраж-
нений по газовой динамике. - М.: Мир, 1967.
6. Степчков А.А. Задачник по гидрогазовой динамике. — М.:
Машиностроение, 1980.
7. Прикладная аэродинамика/Под ред. Н.Ф. Краснова.-М.:
Высшая школа, 1974, 1985.
8. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и
упражнения по механике сплошной среды. - М.: МГУ, 1979.
9. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики.
- М.: Наука, 1981.
10. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. - М.:
МГУ, 1983.
11. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазили-
нейных уравнений. - М.: Наука, 1968, 1984.
12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.:
Наука, 1970.
13. Любимов А. В. Сборник задач по гидродинамике, газо-
динамике и теории упругости. - М.: МИФИ, 1970.
СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения................... 3
Задачи Решения
1. ЗВУКОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ ................ 4 11
1.1. Скорость движения звуковых волн в
различных средах.................... 4 11
1.2. Параметры течения в звуковых им-
пульсах.............................. 4 15
1.3. Отражение, преломление и дифракция
звуковых импульсов.................. 6 31
2. БЕГУЩИЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 8 46
2.1. Одномерные римановы волны, пара-
метры течения........................... 8 46
2.2. Взаимодействия с участием простых
одномерных волн.......................... ® 61
Список литературы.......................... 67