Содержание

Предисловие............................................................14

Глава 1. Введение в системы	управления...............................21

Обзор...............................................................21

1.1.	Введение.......................................................21

1.2.	История автоматического управления.............................23

1.3.	Два примера использования обратной связи.......................26

1.4.	Управление на практике.........................................28

1.5.	Примеры современных систем управления..........................29

1.6.	Автоматическая сборка и роботы.................................35

1.7.	Перспективы развития систем управления.........................37

1.8.	Техническое проектирование.....................................38

1.9.	Синтез системы управления......................................39

1.10.	Пример синтеза: управление скоростью вращения	диска...........41

1.11.	Пример синтеза: система управления введением инсулина.........43

1.12.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. ... 44

Упражнения..........................................................45

Задачи..............................................................46

Задачи на синтез систем.............................................52

Ключевые термины и понятия .........................................53

Глава 2. Математические модели систем..................................55

Обзор...............................................................55

2.1.	Введение.......................................................55

2.2.	Дифференциальные уравнения физических систем...................56

2.3.	Линеаризация физических систем.................................60

2.4.	Преобразование Лапласа.........................................63

2.5.	Передаточные функции линейных систем...........................69

2.6.	Структурные схемы............................................. 82

2.7.	Модели в виде сигнальных графов................................87

2.8.	Компьютерный анализ систем управления..........................91

2.9.	Примеры на синтез систем управления............................93

2.10.	Моделирование систем	управления с помощью MATLAB..............99

2.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 111

2.12.	Резюме........................................................114

Упражнения..........................................................114
Задачи.......................................................   ....	121

Задачи повышенной сложности.........................................134

Задачи на синтез систем............................................ 135

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................136

Ключевые термины и понятия..........................................138

Глава 3. Модели в переменных состояния.................................139

Обзор...............................................................139

3.1.	Введение.......................................................139

3.2.	Переменные состояния динамической системы......................140

3.3.	Дифференциальные уравнения состояния.........................  143

3.4.	Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа..145

3.5.	Альтернативные модели в виде сигнальных графов.................151

3.6.	Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния......155

3.7.	Временные характеристики и переходная матрица	состояния........156

3.8.	Дискретный способ вычисления временных характеристик...........159

3.9.	Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера .... 164

3.10.	Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB........168

3.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 172

3.12.	Резюме........................................................175

Упражнения..........................................................175

Задачи..............................................................178

Задачи повышенной сложности.......................................  187

Задачи на синтез систем............................................ 189

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................190

Ключевые термины и понятия..........................................192

Глава 4. Характеристики систем	управления с обратной связью.........193

Обзор ..............................................................193

4.1.	Разомкнутые и замкнутые системы управления.....................193

4.2.	Чувствительность систем управления к изменению параметров. . ..195

4.3.	Воздействие на переходную характеристику систем управления.....199

4.4.	Возмущения в системах управления с обратной связью.............202

4.5.	Установившаяся ошибка..........................................206

4.6.	Издержки обратной связи........................................208

4.7.	Пример синтеза: бурильные машины для	тоннеля под Ла-Маншем.....209

4.8.	Пример синтеза: автономный самоходный аппарат
для исследования Марса..............................................212

4.9.	Определение характеристик систем управления с помощью MATLAB .... 214

4.10.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 220

4.11.	Резюме....................................................... 222

Упражнения..........................................................224

Задачи..............................................................226

Задачи повышенной сложности.........................................234
Задачи на синтез систем.............................................237

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................239

Ключевые термины и понятия........................................  242

Глава 5. Качество систем управления с обратной связью..................243

Обзор.............................................................. 243

5.1.	Введение ....................................................  243

5.2.	Тестовые входные сигналы...................................    244

5.3.	Качество системы второго порядка. . ...........................246

5.4.	Влияние третьего полюса и нуля на характеристики системы второго
порядка .............................................. ...... ..... 252

5.5.	Оценка коэффициента затухания................................  256

5.6.	Связь между переходной характеристикой и положением корней
на ^-плоскости................................................      257

5.7.	Установившаяся ошибка систем управления с обратной связью......259

5.8.	Установившаяся ошибка систем с неединичной обратной связью.....263

5.9.	Оценки качества . .....................................        265

5.10.	Упрощение линейных систем...................................  272

5.11.	Пример синтеза: управление ориентацией телескопа «Хаббл»......275

5.12.	Анализ качества систем управления с помощью MATLAB
и Simulink . .......................................................278

5.13.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 286

5.14.	Резюме . ...................................................  289

Упражнения.................................. .......................291

Задачи............................................................  295

Задачи повышенной сложности.......................................  301

Задачи на синтез систем.............................................303

Задачи, решаемые с помощью MATLAB. .................................305

Ключевые термины и понятия......................................    307

Глава 6. Устойчивость линейных систем с	обратной	связью............308

Обзор...............................................................308

6.1.	Понятие устойчивости. .........................................308

6.2.	Критерий устойчивости Рауса-Гурвица............................312

6.3.	Относительная устойчивость систем управления с	обратной связью.320

6.4.	Устойчивость систем, описываемых переменными	состояния....321

6.5.	Пример синтеза: управление поворотом гусеничной машины.........324

6.6.	Анализ устойчивости с помощью MATLAB.......................... . 326

6.7.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . . 333

6.8.	Резюме. ...............................................        336

Упражнения......................................................    336

Задачи..........................................................    339

Задачи повышенной	сложности.........................................343

Задачи на синтез систем.........................................    344
Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................347

Ключевые термины и понятия..........................................348

Глава 7. Метод корневого годографа.....................................349

Обзор.............................................................. 349

7.1.	Введение...................................................    349

7.2.	Понятие корневого годографа....................................350

7.3.	Построение корневого годографа.................................353

7.4.	Пример анализа и синтеза системы управления с помощью метода
корневого годографа.................................................366

7.5.	Выбор параметров с помощью корневого	годографа.................370

7.6.	Чувствительность системы и корневой годограф...................374

7.7.	Трёхканальные (ПИД) регуляторы ................................380

7.8.	Пример синтеза: система управления лазерным манипулятором......382

7.9.	Синтез системы управления роботом..............................384

7.10.	Построение корневого годографа с помощью MATLAB...............386

7.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 391

7.12.	Резюме........................................................393

Упражнения..........................................................395

Задачи..............................................................399

Задачи повышенной сложности.........................................411

Задачи на синтез систем.............................................414

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................421

Ключевые термины и понятия..........................................422

Глава 8. Метод частотных характеристик.................................423

Обзор...............................................................423

8.1.	Введение.......................................................423

8.2.	Графики частотных характеристик................................426

8.3.	Пример построения диаграммы Боде...............................441

8.4.	Измерение частотных характеристик..............................445

8.5.	Требования к качеству системы в частотной области..............446

8.6.	Логарифмические амплитудно-фазовые диаграммы...................449

8.7.	Пример синтеза: система управления гравировальной машиной......451

8.8.	Использование MATLAB в методе частотных характеристик..........453

8.9.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . . 458

8.10.	Резюме........................................................460

Упражнения........................................................  464

Задачи ............................................................ 467

Задачи повышенной сложности.........................................477

Задачи на синтез систем.............................................478

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................481

Ключевые термины и понятия..........................................483
Глава 9. Анализ устойчивости методом частотных характеристик .... 484

Обзор.......................................................................484

9.1.	Введение......................................................484

9.2.	Отображение контуров на s-плоскости...........................485

9.3.	Критерий Найквиста............................................490

9.4.	Относительная устойчивость и критерий Найквиста. ......................499

9.5.	Критерии качества во временной и частотной областях...........506

9.6.	Полоса пропускания системы....................................512

9.7.	Устойчивость систем управления с запаздыванием................514

9.8.	Пример синтеза: дистанционно управляемый разведывательный аппарат. .	. 517

9.9.	Частотные характеристики ПИД-регуляторов...............................520

9.10.	Анализ устойчивости с помощью MATLAB..................................521

9.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 529

9.12.	Резюме............................................................... 531

Упражнения..................................................................538

Задачи......................................................................543

Задачи повышенной сложности.................................................554

Задачи на синтез систем.....................................................557

Задачи, решаемые с помощью MATLAB.......................................... 562

Ключевые термины и понятия................................................  564

Глава 10. Синтез систем управления с обратной связью...........................565

Обзор.......................................................................565

10.1.	Введение..............................................................565

10.2.	Подходы к синтезу системы.............................................567

10.3.	Схемы последовательной коррекции......................................568

10.4.	Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде . . 572

10.5.	Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью корневого
годографа.......................................................... 578

10.6.	Синтез систем с применением интегрирующих устройств...................584

10.7.	Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью корневого
годографа.......................................................... 587

10.8.	Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде. . . 591

10.9.	Синтез с помощью диаграммы Боде и использования аналитических
методов и компьютеров...............................................595

10.10.	Системы с предшествующим фильтром................................... 597

10.11.	Синтез систем с апериодической реакцией..............................600

10.12.	Пример синтеза: система управления намоткой ротора...................602

10.13.	Пример синтеза: двухкоординатный графопостроитель....................606

10.14.	Синтез систем с помощью MATLAB.......................................609

10.15.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации
с диска.............................................................616

10.16.	Резюме...............................................................617

Упражнения..................................................................619
Задачи............................................................. 622

Задачи повышенной сложности.........................................636

Задачи на синтез систем.............................................638

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................643

Ключевые термины и понятия..........................................644

Глава 11. Синтез систем с обратной связью по состоянию.................646

Обзор...............................................................646

11.1.	Введение......................................................646

11.2.	Управляемость.................................................646

11.3.	Наблюдаемость.................................................648

11.4.	Оптимальные системы управления................................650

11.5.	Размещение полюсов с помощью обратной связи по состоянию......658

11.6.	Формула Аккермана.............................................663

11.7.	Ограничения обратной связи по состоянию.......................664

11.8.	Синтез внутренней модели......................................664

11.9.	Пример синтеза: система автоматического контроля..............668

11.10.	Применение MATLAB и Simulink для синтеза систем с обратной
связью по состоянию.................................................670

11.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации
с диска.............................................................677

11.12.	Резюме.......................................................679

Упражнения..........................................................679

Задачи..............................................................680

Задачи повышенной сложности.........................................684

Задачи на синтез систем.............................................686

Задачи, решаемые с помощью MATLAB...................................690

Ключевые термины и понятия..........................................692

Глава 12. Робастные системы управления.................................693

Обзор...............................................................693

12.1.	Введение......................................................693

12.2.	Робастные системы управления и чувствительность...............694

12.3.	Анализ робастности............................................698

12.4.	Системы с неопределенными параметрами.........................700

12.5.	Синтез робастных систем управления........................... 702

12.6.	ПИД-регуляторы................................................708

12.7.	Синтез робастных систем сПИД-регуляторами.................... 709

12.8.	Пример синтеза: автопилот.....................................714

12.9.	Синтез системы управления орбитальным телескопом..............715

12.10.	Синтез робастного привода катушки............................717

12.11.	Робастная система с внутренней моделью.......................720

12.12.	Синтез сверхпрецизионной системы управления токарным станком
с алмазным резцом.................................................  722

12.13.	Псевдоколичественный метод синтеза системы с обратной связью.725
12.14.	Синтез робастных систем с помощью MATLAB...................727

12.15.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации
с диска .......................................................... 730

12.16.	Резюме.....................................................732

Упражнения........................................................733

Задачи .......................................................... 735

Задачи повышенной сложности.......................................741

Задачи на синтез систем...........................................746

Задачи, решаемые с помощью MATLAB.................................754

Ключевые термины и понятия........................................756

Глава 13. Цифровые системы управления................................756

Обзор.............................................................756

13.1.	Введение....................................................756

13.2.	Применение цифровых систем управления.......................757

13.3.	Дискретные системы..........................................759

13.4.	^-преобразование............................................762

13.5.	Замкнутые дискретные системы................................766

13.6.	Анализ устойчивости на z-плоскости..........................768

13.7.	Качество дискретных систем второго порядка..................769

13.8.	Замкнутые системы с цифровой коррекцией.....................771

13.9.	Система управления движением рабочего стола.................774

13.10.	Корневой годограф цифровых систем управления...............776

13.11.	Реализация цифровых регуляторов............................779

13.12.	Анализ цифровых систем управления с помощью MATLAB.........780

13.13.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . 784

13.14.	Резюме.....................................................786

Упражнения........................................................787

Задачи .......................................................... 789

Задачи повышенной сложности.......................................791

Задачи на синтез систем...........................................793

Задачи, решаемые с помощью MATLAB.................................795

Ключевые термины и понятия........................................796

Приложение А. Основы MATLAB..........................................797

А.1. Введение.....................................................797

А.2. Инструкции и переменные......................................798

А.З. Матрицы......................................................802

А.4. Графика......................................................805

А.5. Скрипты......................................................807

Основы MATLAB: задачи.............................................814

Приложение. Основы Simulink..........................................815

Предметный указатель.................................................823
Предисловие

Об этой книге

4 декабря 1996 г. с помощью ракеты-носителя Дельта-П был запущен космический аппарат
«Патфайндер» (в переводе — следопыт), который в течение семи месяцев должен был до-
стичь красной планеты — Марса. Спустя 20 лет после того, как со своей задачей успешно
справился «Викинг», это был первый из запланированных НАСА запусков аппарата с по-
садкой на Марс. Пролетев более 497 418 000 км, космический аппарат 4 июля 1997 г. столк-
нулся с поверхностью Марса при скорости около 18 м/с. После столкновения аппарат под-
прыгнул почти на 15 м, затем подпрыгивал еще 15 раз, пока не остановился примерно в 1 км
от первоначальной точки касания. Место посадки известно как Мемориал Сагана, и распо-
ложено оно в районе Долины Ареса с координатами 19°33'с. ш. иЗЗ°55'з. д. На борту «Пат-
файндер а» находился автономный самоходный аппарат под названием «Соджорнер», ко-
торый предназначался для исследования района места посадки. Он имел массу 10,5 кг и
должен был за 30 дней обследовать район площадью 300 м2. Его солнечные батареиплоща-
дью 0,25 м“ были рассчитаны на энергию в 16 ватт-часов, а основной блок питания обеспе-
чивал около 150 Втч. Высокоточная система управления движением этого аппарата в то же
время должна была ограничивать потребляемую мощность.

В успешном выполнении программы исследования планет ведущая роль принадле-
жит инженерам по управлению. По мере совершенствования аппаратной части и операци-
онных систем бортовых компьютеров будет постоянно возрастать и роль систем управле-
ния автономных космических станций-зондов. Так, упомянутый выше «Патфайндер»
имел на борту выпускаемую серийно 32-разрядную защищенную от радиации рабочую
станцию с памятью в 1 Гб, с многозадачной операционной системой, запрограммирован-
ной на языке С. Это значительно превосходит компьютеры кораблей «Аполлон», имев-
шие ПЗУ емкостью 36864 и ОЗУ емкостью 2048 16-разрядных слов. Языком их програм-
мирования был псевдокод, а написанные на нем и хранящиеся в памяти команды про-
граммой-интерпретатором переводились в последовательность выполняемых подпрог-
рамм. В данной книге в качестве полезных иллюстративных примеров рассматриваются
реальные задачи по управлению автономными космическими аппаратами. Такова, напри-
мер, задача по синтезу системы управления движением аппарата по поверхности Марса
(разд. 4.8).

Техника управления — это очень увлекательная и творческая область деятельности.
По своей сути она является междисциплинарным предметом и играет роль стержневого
курса в учебных планах технических университетов. Естественно ожидать различных
подходов к овладению искусством техники управления и ее практическому применению.
Поскольку этот предмет имеет солидные математические основы, им можно овладевать
строго теоретически, делая акцент на формулировку и доказательство различных теорем.
С другой стороны, т. к. конечной целью является практическая реализация регуляторов в
реальных системах, то при синтезе таких систем допустим и специфический метод, в
основе которого лежат интуиция и личный опыт. Наш подход состоит в том, чтобы мето-
дика изучения данной дисциплины, имея солидные математические основы, в то же вре-
мя делала акцент на моделирование реальных физических систем и их практическое про-
ектирование с учетом накладываемых ограничений.

Мы убеждены, что наиболее эффективным является такой метод изучения опреде-
ленной дисциплины, когда каждый еще и еще раз задает себе одни и те же вопросы и при
этом постоянно открывает что-то новое. Идеальным было бы предложить студенту набор
вопросов и задач, снабдив некоторые из них ответами, полученными за последние десяти-
летия. Использовать традиционный метод — не поставить перед студентом проблему, а
дать сразу ее конечное решение — это значит лишить его творческого интереса, побуди-
тельного импульса, снизить тягу человечества к изобилию различных теорем. Поэтому
наша книга предлагает читателю ряд задач, с которыми мы продолжаем сталкиваться в
повседневной жизни, оставив их без ответов — чтобы каждый мог в итоге сказать: «Все,
чему я действительно научился и что понял, сделал я сам».

Цель данной книги — представить четкую структуру теории систем с обратной свя-
зью, последовательно на протяжении всего материала побуждая читателя делать для себя
ряд маленьких открытий. Если книга поможет студенту познать теорию и практику сис-
тем управления с обратной связью, мы будем считать свою задачу выполненной.

Круг читателей

Эта книга задумана как вводный курс по системам управления для студентов технических
специальностей. С точки зрения практического использования систем управления в ней
почти нет никакого разграничения между такими областями, как аэрокосмические иссле-
дования, химическая технология, электротехника, механика, промышленное производст-
во; поэтому она написана сознательно без акцента на какую-то одну дисциплину. Мы наде-
емся, что книга будет одинаково полезна для изучения всех технических дисциплин и по-
может проиллюстрировать преимущества, достигаемые применением систем управления.
Многочисленные примеры и задачи взяты из самых разных областей (социология, биоло-
гия, экология, экономика) и имеют целью дать читателю ясное представление об универса-
льной применимости теории управления ко многим аспектам нашей жизни. Мы убеждены,
что разбор студентами одной специальности примеров и задач из других дисциплин позво-
лит им с общих позиций взглянуть и за пределы своей узкой области. В результате многие
студенты, специализирующиеся в каком-то одном направлении (скажем, механике или
электротехнике), смогут успешно сделать карьеру и работать в дальнейшем бок о бок с ин-
женерами, например, в аэрокосмической промышленности. Мы надеемся, что этот ввод-
ный курс даст студентам более широкое представление о методах анализа и синтеза систем
управления.

Первые 8 изданий книги «Современные системы управления» с успехом использова-
лись студентами старших курсов более чем 400 технических колледжей и университетов,
а также их выпускниками, не имевшими базовой подготовки в области техники управле-
ния.
Новое в девятом издании

Для студентов, использующих девятое издание книги, был создан специальный Web-сайт,
который содержит все упражнения, задачи, т-файлы MATLAB и программы Simulink,
приведенные в книге, а также таблицы преобразований Лапласа и z-преобразований,
основные сведения по алгебре матриц, комплексным числам, список принятых обозначе-

ний, таблицы единиц измерения и их перевода из одной системы в другую. В случае
ссылки на Web-сайт на полях книги будет появляться соответствующий значок.
Кроме того, поскольку Web-сайт может постоянно обновляться и пополняться ма-

териалами, представляющими интерес для студентов и преподавателей, рекомендуется ре-
гулярно посещать его в течение семестра при изучении соответствующего курса. Web-сайт
«Современных систем управления» имеет адрес http.7Zwww.prenhall.com/dorf.

В девятом издании мы по-прежнему делаем акцент на синтез систем управления. Для

этого мы воспользуемся реальной практической задачей, связанной с проектированием
регулятора для системы считывания информации с диска. Эту задачу мы назвали приме-
□ ром синтеза с продолжением (в тексте он отмечается на полях значком стрелки),
который последовательно рассматривается в каждой главе с применением изло-
женных в ней методов и понятий. Дисководы компьютеров представляют собой

весьма интересный объект с точки зрения техники управления. В каждой главе рассмат-
риваются различные аспекты проектирования регуляторов для систем чтения информа-
ции с диска. Например, в главе 1 мы сформулируем цели управления, выявим перемен-
ные, на которые необходимо воздействовать, перечислим необходимые ограничения и
изобразим начальную конфигурацию системы. Далее, в главе 2, мы разработаем модели
объекта управления, датчиков и исполнительных устройств. В остальных главах мы про-
должим процедуру синтеза, используя основные положения соответствующей главы.

В том же самом ключе, как и пример синтеза с продолжением, мы подготовили сквоз-
ную задачу на синтез (СС) (в тексте она отмечается на полях значком тройной стрелки),
чтобы дать студентам возможность от главы к главе последовательно синтезиро-
1ЦМ вать прецизионную систему управления перемещением скользящей части метал-
лообрабатывающего станка. При решении данной задачи для того, чтобы удовлет-

ворить все предъявляемые к системе требования, студенту придется последовательно ис-
пользовать методы, излагаемые в каждой главе книги.

Мы продолжили модернизацию разделов книги, посвященных компьютерным мето-
дам анализа и синтеза систем управления. На задачи, решаемые с помощью MAT-
LAB, указывает специальный значок. Кроме того, различные аспекты примера
синтеза с продолжением также проиллюстрированы соответствующими програм-

мами MATLAB.

В 9-м издании мы предлагаем использовать пакет Simulink как эффективный инстру-
мент имитационного моделирования и анализа систем управления. Поскольку Simulink
является интерактивным средством, использующим графический интерфейс, мы считаем,
что лучший способ его[изученйя]— это непосредственное решение на его основе различ-
ных практических задач. Основы Simulink излагаются в Приложении Б, где студенту да-
ется возможность последовательно пройти ряд этапов, связанных с проектированием и
имитационным моделированием простой системы управления. Мы попытались дать то-
лько основные сведения, касающиеся Simulink, чтобы не привязываться к какой-то конк-
ретной версии пакета. Во время подготовки девятого издания книги самой последней яв-
лялась версия Simulink 3.0. По мере появления следующих версий Simulink вся предыду-
щая информация по его основам будет размещаться на Web-сайте — имейте это в виду,
если у вас возникнут проблемы совместимости с моделями Simulink из этой книги.

Примеры использования Simulink приведены в главах 5 и 11. В гл. 5 исследуется за-
дача управления креном самолета, а в гл. 11 программа Simulink применяется для анализа
системы, модель которой представлена в переменных состояния.

Основные особенности книги

Книга охватывает фундаментальные понятия теории систем управления в том виде, как
они применяются в частотной и временной областях. Предпринята попытка отобрать для
обсуждения, а также для примеров и задач такие системы, которые в истинном смысле яв-
ляются современными. Именно поэтому в книге идет речь о робастных системах управле-
ния, о чувствительности систем, о моделях в переменных состояния, об управляемости и
наблюдаемости, о цифровых системах управления, о регуляторах с внутренней (встроен-
ной) моделью, о робастных ПИД-регуляторах, о компьютерном анализе и синтезе систем
управления. Вместе с тем в книге сохранены и подробно изложены классические принци-
пы теории управления, убедительно доказавшие свою практическую полезность.

Основные принципы построения материала: от классических методов к совре-
менным. Наша цель — дать четкое представление об основных методах синтеза систем в
частотной и временной областях. В книге детально рассматриваются классические мето-
ды теории управления: преобразование Лапласа и передаточные функции; синтез с помо-
щью метода корневого годографа; анализ устойчивости с помощью критерия Рауса-Гур-
вица; частотные методы Боде, Найквиста и Никольса; определение установившейся
ошибки при типовых внешних воздействиях; аппроксимация системы в виде модели вто-
рого порядка; понятия запасов устойчивости по модулю и по фазе и полосы пропускания.
Кроме того, существенно расширен раздел, посвященный методу переменных состояния.
Обсуждаются фундаментальные понятия управляемости и наблюдаемости и их связь с
сигнальными графами. Приводится формула Аккермана, определяющая заданное распо-
ложение полюсов с помощью полной обратной связи по состоянию; обсуждаются также
ограничения метода синтеза путем обратной связи по состоянию.

Наряду с перечисленными выше основными методами в книге излагаются и многие
вопросы, выходящие за рамки классической теории. Так, в главе 12 приводятся последние
достижения в теории робастного управления, а в главе 13 рассматриваются способы реа-
лизации цифровых систем управления. В каждой главе, кроме первой, имеется раздел,
знакомящий студента с применением среды MATLAB для анализа и синтеза систем
управления.

Последовательное развитие навыков решения задач. Процесс обучения включает
в себя чтение книги, посещение лекций и их конспектирование, а также разбор иллюстра-
тивных примеров. Настоящее же испытание подстерегает студента в виде задач в конце
каждой главы. Решению задач в книге уделяется очень серьезное внимание. Каждая глава
содержит 5 типов задач:

□	Упражнения (У)

□	Задачи (3)

□	Задачи повышенной сложности (П)

□	Задачи на синтез систем (С)

□	Задачи, решаемые с помощью MATLAB (М)
Например, набор задач, завершающих 3 главу (Модели в переменных состояния),
включает в себя 19 упражнений, 36 обычных задач, 6 задач повышенной сложности, 5 за-
дач на синтез и 7 задач на применение MATLAB. Упражнения позволяют студенту на от-
носительно несложных примерах прочувствовать применение на практике основных ме-
тодов и понятий, рассмотренных в данной главе, прежде чем переходить к решению более
сложных задач. К третьей части всех упражнений приведены ответы. Обычные задачи
требуют применения основных положений главы к новым, нестандартным ситуациям.
Далее, начиная с 7-го издания, следуют задачи повышенной сложности и задачи на синтез
систем. Наконец, последняя группа позволяет студенту приобрести опыт решения задач
на компьютере с помощью MATLAB. Всего в книге имеется более 800 задач. Большое ко-
личество задач повышенной сложности позволяет студенту приобрести уверенность в
своей способности применять на практике полученные знания.

Акцент на синтез систем управления. Красной нитью через всю книгу проходит
важнейшая тема синтеза реальных сложных систем управления. Каждая глава содержит
по меньшей мере один пример на синтез, включая следующие:

Система управления введением инсулина (раздел 1.11)

Синтез фильтра низких частот (раздел 2.9)

Перемещение приводного ремня принтера (раздел 3.9)

Автономный самоходный аппарат для исследования Марса (раздел 4.8)
Управление наведением космического телескопа «Хаббл» (раздел 5.11)
Управление поворотом гусеничного транспортного средства (раздел 6.5)
Система управления лазерным манипулятором (раздел 7.8)
Система управления гравировальной машиной (раздел 8.7)

Дистанционно управляемый разведывательный аппарат (раздел 9.8)
Двухкоординатный графопостроитель (раздел 10.13)

Система автоматического контроля (раздел 11.9)

Сверхпрецизионный токарный станок с алмазным резцом (раздел 12.12)

Система управления движением рабочего стола (раздел 13.9)

Разделы, посвященные применению MATLAB, помогут студентам освоить компью-
терную поддержку анализа и синтеза систем и, возможно, заново решить многие задачи.
Каждая программа содержит блоки с комментариями, обращающими внимание на ее важ-
ные фрагменты. Результат выполнения программы (обычно в виде графика) также снаб-
жается комментариями, указывающими на существенные элементы. Эти программы с не-
которыми изменениями могут быть использованы и для решения других подобных задач.

Дополнительные удобства. Каждая глава начинается с обзора, где кратко излагает-
ся то, с чем встретится студент при ее чтении. Завершается же каждая глава коротким ре-
зюме и разделом, в который сведены ключевые термины и понятия. Эти разделы акценти-
руют внимание на важнейшие положения главы и играют роль справочника для дальней-
шего использования.

Структура книги

Глава 1. Введение в системы управления. Глава содержит историческую справку о
развитии теории и практики автоматического управления. Она также имеет целью опи-
сать общий подход к синтезу и конструированию систем управления.

Глава 2. Математические модели систем. В этой главе разрабатываются математи-
ческие модели физических систем в виде передаточной функции, связывающей вход и
выход системы. Рассматривается широкий круг систем, включая механические, электри-

ческие и гидравлические.

Глава 3. Модели в переменных состояния. В этой главе разрабатываются матема-
тические модели систем в переменных состояния. С помощью матричных методов иссле-
дуются переходные процессы и качество систем управления.

Глава 4. Характеристики систем управления с обратной связью. Здесь рассмат-
риваются характеристики систем управления с обратной связью. Обсуждаются преиму-
щества использования обратной связи, вводится понятие ошибки системы.

Глава 5. Качество систем управления с обратной связью. В этой главе исследует-
ся качество систем управления. Показатели качества связываются с расположением на
5-плоскости полюсов и нулей передаточной функции.

Глава 6. Устойчивость линейных систем с обратной связью. В главе исследуется
устойчивость систем с обратной связью. Устанавливается связь между устойчивостью си-
стемы и ее характеристическим уравнением. Вводится критерий устойчивости Рауса-Гур-

вица.

Глава 7. Метод корневого годографа. Здесь рассматривается движение корней ха-

рактеристического уравнения на 5-плоскости при изменении одного или двух параметров.
Графическим методом определяются траектории корней на 5-плоскости. Рассматривается
также популярный ПИД-регулятор.

Глава 8. Метод частотных характеристик. Здесь исследуется установившееся дви-
жение системы при подаче на ее вход синусоидального сигнала и изменении его частоты.
Рассматривается графическое представление частотных характеристик, называемое диа-
граммой Боде.

Глава 9. Анализ устойчивости методом частотных характеристик. В этой главе
анализируется устойчивость систем с использованием частотных характеристик. Обсуж-
дается критерий Найквиста, вводится понятие относительной устойчивости.

Глава 10. Синтез систем управления с обратной связью. Здесь описываются не-
сколько методов синтеза и коррекции систем управления. Предлагаются различные вари-
анты корректирующих устройств и показывается, как с их помощью можно улучшить по-

казатели качества.

Глава 11. Синтез систем с обратной связью по состоянию. Основной вопрос этой
главы - синтез систем управления на основе моделей в переменных состояния. Рассмат-
ривается проверка системы на управляемость и наблюдаемость, а также обсуждается ме-
тод синтеза с использованием внутренней модели.

Глава 12. Робастные системы управления. Эта глава посвящена синтезу высоко-
точных систем управления при наличии существенной неопределенности. Рассматрива-
ются пять методов решения данной задачи: метод корневого годографа, метод частотных
характеристик, методы синтеза робастных ПИД-регуляторов на основе взвешенных ин-
тегральных оценок, использование внутренних моделей и метод псевдоколичественной
обратной связи.

Глава 13. Цифровые системы управления. Здесь рассматриваются методы мате-
матического описания и анализа качества цифровых систем управления. Обсуждаются
вопросы устойчивости и качества дискретных систем.

Приложения. В качестве приложений приводятся следующие:

А. Основы MATLAB.

Б. Основы Simulink.
Благодарности

Мы хотим выразить искреннюю благодарность всем оказавшим нам помощь в подготовке
девятого издания книги. Среди них: Махмуд А. Абдаллах, Центральный государственный
университет (Огайо); Джон Н. Чиассон, Питтсбургский университет; Сами Эль-Савах, Ка-
лифорнийский государственный политехнический университет, Помона; Питер Дж. Гор-
дер, Канзасский государственный университет; Дуэйн Ханзельман, Университет штата
Мэн; Ашок Айер, Университет штата Невада, Лас-Вегас; Лесли Р. Ковал, Университет
Миссури-Ролла; Л. Дж. Крафт, Университет штата Нью-Гэмпшир; Томас Курфесс, Техно-
логический институт штата Джорджия; Хулио К. Мандоджана, государственный универ-
ситет Манкато; Джури Меданик, Университет штата Иллинойс, Урбана-Шампейн; Эдуар-
до А. Мисава, Оклахомский государственный университет; Медхат М. Моркос, Канзас-
ский государственный университет; Марк Начурка, Университет Маркетт; Карла Шварц,
корпорация MathWorks; Д. Суббарам Найду, Государственный университет, Айдахо; Рон
Перец, Университет Висконсин-Милуоки; Мурат Таньел, Дордтский колледж; Хол Тарп,
Аризонский университет; Джон Валасек, Техасский университет; Пол П. Вонг, Универси-
тет Дьюка; Рави У орриер, Институт техники и управления корпорации Дженерал Моторе.

Ричард К. Дорф
Роберт X. Бишоп

Об авторах

Ричард К. Дорф — профессор электротехники и вычислительной техники в Калифорний-
ском университете, Дэвис. Он известен главным образом как преподаватель курса электро-
техники и ее применений в общественной и экономической сферах. Им написано и издано
несколько получивших признание учебников и справочников, в том числе Технический
справочник и Справочник по электротехнике. Проф. Дорф является членом Совета ШЕЕ и
работает в области проектирования систем управления и робототехнических систем.
Д-р Дорф обладает патентом на оригинальный ПИД-регулятор.

Роберт X. Бишоп является стипендиатом Майрона Л. Биджмена на факультете аэро-
космической техники и механики Техасского университета в Остине. Будучи талантли-
вым педагогом, проф. Бишоп заслужил признание за высокое качество преподавания, от-
меченное премией компании «Локхид Мартин». Являясь активным членом Американско-
го института аэронавтики и астронавтики (AIAA), IEEE и Американской ассоциации пре-
подавателей технических дисциплин (ASEE), он был удостоен премии Джона Леланда
Этвуда, периодически присуждаемой ASEE и AIAA «ведущему ученому, сделавшему ве-
сомый вклад в подготовку специалистов в области аэрокосмической техники». Д-р Би-
шоп известен своими работами в области аэронавигации и управления космическими ап-
паратами.
Глава 1

Введение в системы управления

Обзор

В этой главе мы рассмотрим в общих чертах процесс синтеза системы управления, т. е. сис-
темы определенного назначения, состоящей из взаимосвязанных элементов. Для понима-
ния целей систем управления полезно будет обратиться к некоторым примерам таких сис-
тем, появлявшихся в различные исторические эпохи. Эти самые первые системы управле-
ния работали по тому же принципу обратной связи, который используется и в наше время.

Проектирование современных систем управления позволяет среди многих других за-
дач решать и такие, как совершенствование производственных процессов, повышение эф-
фективности использования энергии, оптимизация управления автомобилем путем регу-
лирования скорости. Ниже мы разберем эти интересные с практической точки зрения
приложения техники управления.

Мы обсудим также причины расхождения между свойствами сложного реального
физического объекта и его модели, служащей основой для синтеза системы управления.
Итеративный характер процедуры синтеза позволяет эффективно сглаживать эти расхож-
дения путем принятия компромиссных решений в отношении сложности, качества и сто-
имости системы, причем критерием здесь служат выдвинутые ограничения.

В заключение мы приступим к разбору примера синтеза с продолжением: управле-
ние системой чтения информации с диска. Этот пример последовательно будет рассмат-
риваться в каждой главе книги. Он наглядно иллюстрирует практические приемы синтеза
и одновременно является полезным средством закрепления материала главы.

1.1.	Введение

Прикладные науки занимаются изучением предметов материального мира и сил природы и
управлением ими в интересах человечества. Сходные задачи решают и инженеры, занима-
ющиеся проектированием систем управления. Разница лишь в том, что для инженера пред-
ставляют интерес фрагменты окружающей его обстановки, часто называемые просто сис-
темами, а его целью является производство товаров и услуг, приносящих пользу обще-
ству. Процессы изучения и управления неотделимы друг от друга, поскольку эффективное
управление каким-либо процессом невозможно без его исследования и моделирования.
Более того, в качестве объектов управления часто выступают плохо изученные процессы,
например химические. По-настоящему трудной задачей для инженера является моделиро-
вание и управление современными сложными взаимосвязанными системами, такими как
транспортные потоки, химические процессы, робототехнические комплексы. В то же вре-
мя опытный инженер в состоянии проектировать многие весьма полезные и оригинальные
промышленные системы управления. По-видимому, наиболее яркая особенность техники
управления — это возможность целенаправленного воздействия на механизмы, производ-
ственные и экономические процессы в интересах общества.

Техника управления базируется на теории обратной связи и анализе линейных сис-
тем; она включает в себя также основные положения теории цепей и теории связи. Поэто-
му она не ограничивается только какой-то одной технической дисциплиной, а в равной
степени применима к аэронавтике, химической технологии, механике, экологии, строите-
льству, электротехнике. Очень часто, например, система управления включает в себя эле-
менты электрической, механической и химической природы. Более того, по мере более
глубокого понимания динамики бизнеса, социальных и политических процессов будет
повышаться и способность управления этими процессами.

Система управления — это соединение отдельных элементов в определенную кон-
фигурацию, обеспечивающую заданные характеристики. В основе ее анализа лежит тео-
рия линейных систем, предполагающая наличие причинно-следственных связей между
элементами. Поэтому процесс или объект, подлежащий управлению, может быть пред-
ставлен в виде блока, изображенного на рис. 1.1. Связь между входом и выходом — это,
ло сути, преобразование одного сигнала (причины) в другой (следствие), причем доволь-
но часто с усилением мощности. В разомкнутой системе управления для получения же-
лаемой реакции объекта обычно используется регулятор или исполнительное устройство,
как показано на рис. 1.2. В разомкнутой системе обратная связь отсутствует.

В разомкнутой системе для непосредственного управления объектом применя-
ется специальное исполнительное устройство, а обратная связь отсутствует.

Рис. 1.1

Объект управления

Вход

Объект
управления

►Выход

Рис. 1.2

Разомкнутая система
управления

(без обратной связи)

Желаемое
значение
выхода

Исполнительное
устройство

Объект
управления

> Выход

В отличие от разомкнутой, в замкнутой системе производится измерение действите-
льного значения выходного сигнала, которое затем сравнивается с его желаемым значе-
нием. Измеренное значение выхода называют сигналом обратной связи. Простейшая
замкнутая система управления изображена на рис. 1.3. Замкнутая система стремится
поддержать заданное соотношение между двумя переменными путем сравнения функций
от этих переменных и использования их разности в качестве управляющего сигнала.
Чаще всего разность между заданным значением выходной переменной и ее действитель-
ным значением усиливается и используется для воздействия на объект управления, в ре-
зультате чего эта разность постоянно уменьшается. Принцип обратной связи лежит в
основе анализа и синтеза систем управления.

Желаемое значение
выхода

Рис. 1,3. Замкнутая система управления (с обратной связью)
В замкнутой системе производится измерение выходной переменной и его резуль-
тат в виде сигнала обратной связи сравнивается с эталонным входным сигналом,

несущим информацию о заданном значении выходной переменной.

В связи с возрастающей сложностью объектов управления и желанием добиться оп-
тимальных показателей качества, за последнее десятилетие резко повысилась роль авто-
матического управления. К тому же во многих случаях возникает необходимость учиты-
вать взаимное влияние выходных переменных друг на друга, что неизбежно отражается
на структуре системы. Конфигурация такой многомерной системы управления приве-
дена на рис, 1.4.

Желаемое значение

ВЫХОДНЫХ
переменных

Выходные
переменные

Рис. 1.4. Многомерная система управления

Типичным примером разомкнутой системы управления может служить кухонный
электротостер. В качестве примера замкнутой системы можно рассматривать ситуа-
цию, когда водитель автомобиля при движении по дороге наблюдает за его положени-
ем и осуществляет необходимые воздействия на органы управления (рулевое колесо и
педали).

1.2.	История автоматического управления

Использование обратной связи для целей управления имеет увлекательную историю.
Впервые принцип обратной связи был применен при создании поплавковых регуляторов в
Греции за 300 лет до н. э. Такой регулятор был использован Ктесибиосом в водяных часах
(см. задачу 1.11). В масляном фонаре, изобретенном Филоном приблизительно в 250 году
н. э., поплавковый регулятор позволял поддерживать постоянный уровень масла, игравше-
го роль горючего. Херон из Александрии, живший в первом столетии н. э., написал книгу
под названием Пневматика, в которой привел несколько чертежей поплавковых регулято-
ров уровня воды.

Первой системой с обратной связью, изобретенной в современной Европе, был регу-
лятор температуры Корнелиуса Дреббеля (1572-1633) из Голландии. Дени Папен
(1647-1712) в 1681 г. изобрел первый регулятор давления для паровых котлов, работав-
ший по принципу предохранительного клапана.

Первым автоматическим регулятором промышленного назначения общепризнанно
считается центробежный регулятор Джеймса Уатта, разработанный в 1769 г. для управ-
ления скоростью вращения вала паровой машины. С помощью этого полностью механи-
ческого устройства, изображенного на рис 1.5, производилось измерение скорости враще-
ния вала машины. При увеличении скорости металлические шарики за счет центробеж-
ной силы расходились, что, в свою очередь, приводило к перемещению втулки вверх по
оси регулятора. Это перемещение с помощью рычажного механизма передавалось на кла-
Рис. 1.5

Центробежный регулятор Уатта

Регулятор

s

Металлические
шарики

Выходной
вал

Измеренная Паровой котел
скорость

Паровая
машина

пан, который уменьшал подачу пара в машину и, следовательно, скорость вращения вала.
Для приведения регулятора в действие от машины отбиралась некоторая мощность, поэ-
тому измерение скорости проводилось не точно.

В России первой в истории системой с обратной связью был поплавковый регулятор
уровня воды в паровом котле, изобретенный И. Ползуновым в 1765 г. (рис. 1.6). С помо-
щью поплавка измерялся уровень воды, а рычажный механизм воздействовал на клапан,
регулировавший подачу воды в котел.

Период до 1868 г. характеризовался появлением систем автоматического управле-
ния, главным образом, благодаря интуиции и изобретательству. Попытки увеличить точ-
ность управления приводили к медленному затуханию колебаний во время переходных
процессов и даже к потере системой устойчивости. Именно тогда и возникла необходи-
мость разработки теории автоматического управления. Дж. Максвелл, используя диффе-
ренциальное уравнение как модель регулятора, заложил математические основы теории
управления. Его работа была посвящена исследованию влияния изменения параметров
системы на ее поведение. В те же годы И. А. Вышнеградский сформулировал математи-
ческую теорию регуляторов.

Рис, 1,6

Поплавковый регулятор
уровня воды

Клапан
Перед Второй мировой войной развитие теории и практики управления в США и За-
падной Европе шло по несколько иному пути, нежели в России и Восточной Европе. В
США в это время основные усилия были направлены на применение обратной связи в си-
стемах телефонии и электронных усилителях. Главные достижения здесь принадлежат
Боде, Найквисту и Блэку, которые предложили описывать работу усилителей с обратной
связью с помощью частотных характеристик. Напротив, в бывшем Советском Союзе из-
вестные математики и механики опережали западных ученых в области собственно тео-
рии управления, причем акцент делался на анализ систем во временной области с исполь-
зованием дифференциальных уравнений.

Большой толчок развитию теории и практики автоматического управления дала Вто-
рая мировая война, когда возникла потребность в создании автопилотов, систем орудий-
ной наводки, станций радарного слежения и других устройств военного назначения, рабо-
тающих на основе принципа обратной связи. Сложность систем военного назначения и
ожидаемые выгоды от их применения побудили расширить круг технических средств и
обострили интерес к системам управления и разработке новых методов их синтеза и ана-
лиза. До 1940 г. в большинстве случаев синтез систем управления проводился методом
проб и ошибок и являлся своего рода искусством. В 40-е годы значительно выросло число
аналитических методов синтеза, и теория управления по праву стала настоящей инженер-
ной дисциплиной.

После Второй мировой войны в теории управления по-прежнему преобладали час-
тотные методы, но наряду с этим возросла роль преобразования Лапласа и комплексной
5-плоскости. В 50-е годы акцент в теории управления был сделан на разработку методов,
связанных с использованием 5-плоскости, в частности, метода корневого годографа. В
80-е годы обычным делом стало применение цифровых компьютеров в системах управле-
ния. В настоящее время в США в системах прямого цифрового управления задействовано
более 400000 компьютеров, благодаря чему появилась возможность одновременного из-
мерения и управления многими переменными.

Запуск первого искусственного спутника Земли и начало космической эры дали но-
вый толчок развитию техники управления. Возникла необходимость создания сложных,
высокоточных систем управления для ракет и космических зондов, а возросшие требова-
ния к точности этих систем и желание минимизировать массу спутников обусловили по-
вышенный интерес к теории оптимального управления. Именно поэтому в последние два
десятилетия стали популярными методы анализа и синтеза во временной области, разра-
ботанные Ляпуновым, Минорским и другими учеными, в особенности Л. С. Понтряги-
ным в СССР и Р. Беллманом в США. Теперь не вызывает сомнения, что при решении за-
дач анализа и синтеза систем одновременно должны использоваться как частотные, так и
временные методы.

Некоторые этапы истории автоматического управления отражены в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Избранные этапы развития теории и систем
автоматического управления

1769 Дж. Уатт разработал паровую машину с регулятором. Это считается началом
Промышленной Революции в Великобритании. За время Промышленной Революции
достигнуты большие успехи в механизации процессов, считающейся предшественни-
ней автоматизации

1800 Эли Уитни предложил концепцию взаимозаменяемости деталей при производстве
мушкетов. Это считается началом эпохи массового производства

1868 Дж, Максвелл создал математическую модель регулятора для паровой машины

1913 Генри Форд на своем предприятии внедрил механизированную сборку автомобилей

1927 Г. Боде занимается анализом усилителей с обратной связью

1932 Г. Найквист разработал метод анализа устойчивости систем

1952 В Массачусетском технологическом институте разработаны станки с числовым
программным управлением_________________________________________________ 

1954 Джорж Девол создал «устройство для переноса предметов», считающееся прообразом
промышленных роботов

1960 На основе идей Девола создан первый робот «Юнимейт». В 1961 г. такие роботы
начали применяться для обслуживания штамповочных станков

1970 Предложены модели систем в переменных состояния; разработана теория
оптимального управления	____

1980 Подробно исследуются робастные системы управления	__

1990 Предприятия, работающие на экспорт, широко внедряют автоматизацию

1994 Системы управления с обратной связью устанавливаются в автомобилях.

..производстве! появляется спрос на надежные робастные системы управления

1.3.	Два примера использования
обратной связи

Принцип обратной связи используется для создания замкнутых систем управления, обла-
дающих заданными характеристиками. Конфигурация системы с обратной связью пред-
ставлена на рис. 1.7. Как ясно из рисунка, в системе вычисляется разность (иначе — ошиб-
ка) между желаемым значением выходной переменной и ее достаточно точно измеренным
действительным значением. Приводимые ниже два примера показывают, как с помощью
обратной связи можно улучшить свойства системы.

Действительное
значение
выходной
переменой
Гарольд С. Блэк в 1921 г. окончил Вустерский политехнический институт и посту пил
на работу в фирму «Белл лабораториз» корпорации AT&T. В то время главной задачей,
над которой работала фирма, было улучшение качества телефонной связи и используе-
мых при этом усилителей сигналов. Блэку было поручено заняться линеаризацией и ста-
билизацией усилителей, устанавливаемых в тракте передачи голосовых сообщений на
расстояния в тысячи миль.

Блэк вспоминает:

Было утро вторника 2 августа 1927 г., когда во время переправы на пароме через Гудзон по до-
роге на работу мне внезапно в голову пришла мысль об использовании в усилителе отрицательной
обратной связи. Более 50 лет я размышлял, как и почему возникла эта идея, но даже и теперь я не
могу сказать, как всё произошло. Я знаю только то. что после нескольких лет работы над проблемой
я неожиданно понял, что если подать сигнал с выхода усилителя на его вход, причем в обратной
фазе, и воспрепятствовать самовозбуждению усилителя (свисту, как мы позже назвали этот эф-
фект), то я получу именно то, что хотел — способ устранения искажений выходного сигнала. Я рас-
крыл утреннюю газету Нью-Йорк Таймс и на полях набросал соответствующую схему, дополнив ее
формулой для коэффициента усиления с учетом обратной связи. Я подписался под этой схемой, а
20 минут спустя, когда я прибыл в лабораторию на Уэст-стрит. 463, ее также заверил своей подпи-
сью ныне покойный Эрл К. Блессинг.

Я представил себе, что это решение может привести к разработке усилителей с высокой степе-
нью линейности (при отрицательной обратной связи от 40 до 50 дБ), но оставался один важный во-
прос: как я узнал, что смогу избежать самовозбуждения подобной схемы в широком частотном диа-
пазоне, хотя многие вообще сомневались в ее устойчивости? Моя уверенность основывалась на ра-
ботах, которые я проделал два года назад, занимаясь исследованием оригинальных осцилляторов, и
три года назад, когда проектировал оконечные каскады и разрабатывал математические основы те-
лефонной системы для междугородных переговоров.

Другим примером инженерного решения проблемы управления является создание
системы наведения орудия, выполненное Дэвидом Б. Паркинсоном из «Белл Телефон Ла-
бораториз». Весной 1940 г. 29-летний инженер Паркинсон занимался модернизацией ав-
томатического самопишущего прибора, предназначенного для регистрации на диаграм-
мной бумажной ленте изменяющегося напряжения. Самым капризным элементом в при-
боре был маленький потенциометр, с помощью которого через исполнительный меха-
низм производилось управление перемещением пера самописца.

В мыслях у Паркинсона было орудие, которое чувствовало бы приближение самоле-
та и уничтожало его. Вот что описывает Паркинсон:

После трех или четырех выстрелов один из членов орудийного расчета улыбнулся и попросил
меня подойти поближе. Когда я это сделал, он указал мне на левую цапфу орудийной турели, и я
увидел, что там установлен такой же потенциометр, что и в моём самописце!

На следующее утро Паркинсон воплотил свои мечты в реальность:

Если мой потенциометр был способен управлять перемещением пера самописца, то нечто по-
хожее могло бы, с соответствующими техническими изменениями, управлять наводкой зенитного
орудия.

После напряженной работы в этом направлении вооруженным силам США 1 декабря
1941 г. была предложена инженерная модель соответствующего устройства. В начале
1943 г. было налажено промышленное производство подобных систем, и на вооружение
было принято около 3000 систем орудийной наводки. На вход регулятора поступал сиг-
нал от радиолокатора о текущем положении самолета, а в системе управления вычисля-
лось его будущее положение.
1.4.	Управление на практике

Современная теория управления имеет дело с системами, которые обладают качествами
самоорганизации, приспосабливаемое™, робастности, обучаемости и оптимальности. Эти
признаки постоянно поддерживают творческую инициативу инженеров, работающих в
сфере автоматического управления.

Управление производственным процессом без непосредственного участия человека
обычно называется автоматизацией. Среди прочих отраслей промышленности автома-
тизация преобладает в химической технологии, энергетике, в производстве стали, бумаги,
автомобилей. Автоматизация играет ключевую роль в нашем индустриальном обществе.
Различные автоматические устройства позволяют увеличить выпуск продукции в расчете
на одного работающего, чтобы сбалансировать инфляционные издержки и рост заработ-
ной платы. Поэтому в промышленности используется термин производительность
(в первую очередь — производительность труда), которая определяется как отношение
выпуска продукции к реальным затратам в расчете на один час рабочего времени. Кроме
того, промышленные предприятия стремятся постоянно улучшать потребительские каче-
ства выпускаемой продукции. За последнее десятилетие это наиболее заметно проявилось
в автомобильной промышленности.

За сравнительно короткую историю Соединенных Штатов механизация и автомати-
зация резко изменили структуру рабочей силы, в результате страна из аграрной респуб-
лики превратилась в мощную индустриальную державу. В 1820 г. более 70% рабочей
силы было занято в сельском хозяйстве. К 1900 г. эта цифра составила уже менее 40%, а в
настоящее время она меньше 5%.

В 1925 г. почти 558000 человек—около 1,3% всей рабочей силы страны -- -- требова-
лось для добычи 520 млнт каменного и бурого угля, причем практически полностью из
подземных разработок. К 1980 г. добыча угля выросла до 774 млнт, но количество рабо-
чих при этом уменьшилось до 208000. Более того, только 136000 человек из общего коли-
чества было занято на подземных работах. Что же касается открытых разработок, то бла-
годаря высокой степени механизации всего 72000 рабочих обеспечили добычу 482 млн т,
или 62% от общего объема.

Процесс облегчения труда человека за счет технических достижений, начавшийся
еще в доисторическую эпоху, вступает в новую фазу. Ускорение темпов технических но-
вовведений, начавшееся с Промышленной Революции, до недавних пор сводилось глав-
ным образом к устранению физического труда из производственных процессов. В наши
дни выдающиеся достижения в компьютерной технологии вызывают не менее важные со-
циальные изменения: по способности собирать и обрабатывать информацию компьютеры
всё больше приближаются к человеческому мозгу.

Автоматизация позволяет увеличить производительность и повысить качество вы-
пускаемой продукции. Термин автоматизация впервые стал популярен в автомобиль-
ной промышленности. Полностью автоматизированные станки были связаны с помо-
щью конвейера в длинную линию, способную производить детали двигателя, например,
такие как блок цилиндров, без вмешательства оператора. При производстве кузовов вы-
сокоскоростные штамповочные прессы были связаны автоматическими подающими ме-
ханизмами, что позволило повысить производительность формовки металлических лис-
тов. На многих других операциях, где процесс отличался достаточной стабильностью,
например при изготовлении радиаторов, ручную работу заменили полностью автомати-
зированные линии.
В 90-е годы возникла потребность в производстве мелких партий заказных изде-
лий, а это стимулировало создание гибких автоматизированных систем и промышлен-
ных роботов.

В США, Японии и Европе в сфере автоматического управления занято около 150000
инженеров. Только в США за счет автоматизации извлекается доход более 50 млрд, дол-
ларов в год! Теория и практика автоматического управления — это многогранная, увлека-
тельная и чрезвычайно полезная инженерная дисциплина, и каждый может легко осоз-
нать необходимость ее изучения.

1.5.	Примеры современных систем
управления

Управление с использованием обратной связи — это неоспоримый факт нашей повседнев-
ной жизни. Управлять автомобилем очень приятно, когда машина мгновенно реагирует на
действия водителя. Многие автомобили с этой целью оснащены гидроусилителями руля и
тормозов. Простая блок-схема системы управления движением автомобиля изображена на
рис. 1.8 («). Желаемое направление движения сравнивается с результатом измерения дей-
ствительного направления и в итоге образуется ошибка, как показано на рис. 1.8 (б). Ин-
формация о действительном направлении поставляется за счет визуальной и тактильной
(телодвижение) обратной связи. Дополнительная обратная связь образуется ощущением
рулевого колеса руками водителя (датчиком). Эта система с обратной связью является ана-
логом хорошо известных систем управления курсом океанского лайнера или большого
пассажирского самолета. На рис. 1.8 (в) изображена типичная реакция автомобиля на дей-
ствия водителя.

Системы управления функционируют по замкнутому циклу, как показано на рис. 1.9.
Если датчик является точным, то измеренное значение выхода системы равно его дейст-
вительному значению. Разность между желаемым и действительным значениями выход-
ной переменной, т. е. ошибка, поступает на управляющее устройство (например, усили-
тель). С его выхода сигнал поступает на исполнительное устройство, которое воздейству-
ет на объект управления таким образом, чтобы уменьшить ошибку. Например, если ко-
рабль пытается отклониться от курса вправо, руль приводится в движение так, чтобы
повернуть корабль влево. Система на рис. 1.9 — это система с отрицательной обратной
связью, т. к. выходной сигнал вычитается из входного, а разность подается на вход уси-
лителя.

На рис. 1.10 изображена замкнутая система ручного управления уровнем жидкости в
баке. Входом является заданное значение уровня жидкости, который оператор обязан
поддерживать (это значение он держит в памяти). В качестве усилителя выступает сам
оператор, а датчиком являются его глаза. Оператор сравнивает действительное значение
уровня с желаемым и открывает или закрывает вентиль, изменяя тем самым в нужном на-
правлении отток жидкости.

Многие другие хорошо знакомые системы управления состоят из тех же основных
элементов, которые показаны на рис. 1.9. Так, бытовой холодильник имеет устройство за-
дания желаемой температуры, термометрический датчик, определяющий действительное
значение температуры и величину ошибки, и компрессор, играющий роль усилителя
мощности. Другими примерами могут служить духовой шкаф, электропечь, водяной на-
греватель. В промышленности повсеместно используются системы управления скоро-
Желаемое
направление
движения

Действительное
направление
движения

а)

направление
движения

Реакция
автомобиля
(направление
движения)

Желаемое направление
движения

Действительное направление
движения

Время, £

О

<0

Рис. 1.8. {а) Система управления автомобилем с помощью рулевого механизма;

(б)	Водитель определяет разность между желаемым и действительным направлением
движения и воздействует на рулевое колесо;

(в)	Типичная реакция автомобиля на действия водителя

Рис. 1-9. Система с отрицательной обратной связью
(управляющее устройство часто называют регулятором)
Рис. 1.10

Система ручного
управления уровнем
жидкости в баке

Приток
жидкости

стью, температурой, давлением, положением, толщиной, составом вещества, качеством
изделий.

На современном этапе автоматизацию можно определить как технологию, использу-
ющую запрограммированные команды, воздействующие на некоторый объект или про-
цесс, и обратную связь, с помощью которой определяется, правильно ли исполнены эти
команды. Автоматизация часто применяется к процессам, в управлении которыми ранее
участвовал человек. После автоматизации процесс может функционировать без помощи
или вмешательства человека. Фактически, большинство автоматизированных систем спо-
собны выполнять свои функции с большей точностью и намного быстрее, чем это было
при ручном управлении. Встречаются и частично автоматизированные процессы, в
управлении которыми участвуют и люди, и роботы. Например, многие работы на линии
сборки автомобилей требуют совместных действий человека-оператора и интеллектуаль-
ного робота.

Робот — это управляемая компьютером машина, функционирующая фактически на
тех же принципах, которые используются в системах автоматизации. Робототехнику
можно определить как отдельную ветвь автоматизации, в которой проектируются автома-
тические машины (т. е. роботы), призванные заменить труд человека. Поэтому роботы об-
ладают определенными характеристиками, присущими человеку. Примером может слу-
жить механический манипулятор, воспроизводящий движения человеческой руки и кис-
ти. Отметим, что некоторые задачи автоматическая машина выполняет лучше человека,
тогда как с другими лучше справляется человек. Это отражено в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Трудность задач для человека и автомата

Задачи, трудные для автомата

Наблюдение за саженцами в питомнике
Вождение автомобиля по пересеченной
местности

Определение наиболее ценных алмазов
на лотке

Задачи, трудные для человека

Обследование системы в опасной токсичной
среде

Однообразная сборка часовых механизмов
Посадка самолета ночью, в плохих погодных
условиях

Еще одной практически важной задачей является управление современным автомо-
билем. Уже разработаны и внедряются системы управления подвеской, рулевым механиз-
мом и двигателем. Новые автомобили оснащаются также системами привода на все четы-
ре колеса и системами, препятствующими заносу.
Рис. 1.11. Трехкоординатная система управления
для контроля полупроводниковых пластин

На рис. 1.11 изображена трёхкоординатная система управления для контроля отдель-
ных полупроводниковых пластин. Для перемещения элементов установки в заданное по-
ложение по всем трем осям используются соответственно три электродвигателя. Система
предназначена для обеспечения плавного и точного перемещения по каждой оси. Она вы-
полняет очень ответственные функции в производстве полупроводниковых приборов.

Не так давно разгорелась серьезная дискуссия по поводу разрыва между теорией и
практикой управления. Совершенно естественно, однако, что во многих областях деяте-
льности теория опережает ее практические применения. Тем не менее, интересно, что в
электроэнергетике — крупнейшей отрасли США — этот разрыв не столь значителен. Эта
отрасль главным образом связана с преобразованием, контролем и распределением энер-
гии. Поэтому естественно, что для повышения эффективности использования энергетиче-
ских ресурсов всё шире внедряются компьютерные системы управления. Кроме того, осо-
бую важность приобретает задача управления электростанциями с целью уменьшения
выбросов в окружающую среду. В современных крупных электростанциях, мощность ко-
торых превышает сотни мегаватт, системы автоматического управления крайне необхо-
димы для поддержания такого соотношения между отдельными переменными, при кото-
ром оптимизируется процесс производства энергии. Обычно скоординированное управ-
ление производится более чем 90 переменными. На рис 1.12 показана упрощенная схема
системы управления важнейшими переменными крупного парогенератора. Этот пример
показывает важность измерения многих переменных, таких как давление и содержание
кислорода, что дает компьютеру информацию для вычисления управляющих воздейст-
вий. По оценочным данным, в США функционируют более 400,000 цифровых систем
управления.
Желаемые значения

температуры, давления,
содержания О?, мощности

Рис- 1-12. Скоординированная система управления режимом парогенератора

На рис. 1.13 приведена блок-схема цифровой системы управления, в которой роль
управляющего устройства выполняет компьютер. Именно в электроэнергетике находят
практическое применение все новейшие достижения в технике управления, По-видимо-
му, основным фактором, обусловливающим разрыв между теорией и практикой управле-
ния, является отсутствие достаточно надежных средств измерения всех существенных
для процесса управления переменных, включая качество и состав производимой продук-
ции. По мере появления этих средств значительно возрастает и применение в промыш-
ленности современных систем управления.

Другой важной отраслью, где достигнут значительный успех в автоматизации произ-
водства, является металлургическая промышленность. Здесь во многих случаях решение
прикладных задач опережает теорию. Например, на стане горячей прокатки стального ли-
ста одновременно осуществляется управление температурой, шириной, толщиной и каче-
ством листа.

Быстрый рост стоимости энергии и угроза сокращения ее потребления заставляют
предпринимать новые усилия по эффективному автоматическому управлению энергети-
ческим комплексом. С помощью компьютеров удается регулировать использование энер-

Рис- 1.13. Цифровая система управления

2—1503
гии в промышленности, а также стабилизировать и равномерно распределять нагрузку в
целях экономии топлива.

В последние годы значительно повысился интерес к применению принципа обрат-
ной связи к управлению товарно-материальными запасами и их складированием. Растет
также интерес к автоматизации управления сельскохозяйственным производством (фер-
мами). Разработаны и прошли испытания автоматически управляемые силосные башни и
тракторы. Важное значение имеют современные системы автоматического управления
ветряными электрогенераторами, солнечными установками нагревания и охлаждения, ав-
томобильными двигателями.

Теория систем управления имеет много практических приложений в биологии и био-
медицине, в диагностике и протезировании. В организме человека иерархия систем
управления простирается от клеточного уровня до центральной нервной системы и вклю-
чает в себя регуляцию температуры, сердечно-сосудистой деятельности и дыхательного
ритма. Большинство физиологических систем управления являются замкнутыми, но в то
же время внутри каждого контура можно обнаружить цепь вложенных контуров. Таким
образом, моделирование биологических процессов приводит к построению систем высо-
кого порядка и достаточно сложной структуры. В США устройства протезирования помо-
гают миллионам инвалидов преодолеть их физические недостатки. На рис. 1.14 показана
искусственная рука, использующая обратную связь по усилию, которая управляется био-

Рис. 1.14. Робот типа «Искусственная рука». Является совместной разработкой
Центра технического конструирования Университета штата Юта и Лаборатории
искусственного интеллекта Массачусетского технологического института. Рука имеет
18 степеней свободы, управляется пятью микропроцессорами Motorola 6800,
приводится в действие 36-ю прецизионными электропневматическими исполнительными
механизмами через особо прочные полимерные сухожилия. Рука имеет 4 пальца
и оснащена тактильными датчиками усилия
Желаемое значение
дохода

Поступления от
частного бизнеса

Национальный

доход

Рис. 1.15. Система управления статьей дохода национального бюджета
в виде модели с обратной связью

электрическими (электромиографическими) сигналами, направляемыми к ампутирован-
ной конечности.

Наконец, большой интерес представляют попытки построения моделей процессов с
обратной связью, имеющих место в социальной, экономической и политической сферах.
Эти методы разработаны пока недостаточно, но, скорее всего, будут востребованы в бли-
жайшие годы. Любая общественная формация состоит из множества систем с обратной
связью и органов управления, руководящих движением общества в желаемом направле-
нии. На рис. 1.15 изображена обобщенная модель системы управления статьей дохода на-
ционального бюджета. Подобная модель помогает аналитику лучше понять роль правите-
льства в управлении экономикой и динамику государственных расходов. Конечно, суще-
ствуют и другие контуры, не показанные на схеме, хотя бы потому, что государственные
расходы теоретически не могут превышать собранные налоги из-за опасности создания
дефицита. В социалистическом государстве контур, включающий в себя потребителей,
имеет меньшее значение, а основная роль принадлежит правительственному управлению.
При этом блок «измерение» должен точно и быстро отслеживать все изменения поступле-
ний, однако в бюрократической системе это сделать чрезвычайно трудно. Подобная мо-
дель политической или социальной системы, хотя и является не очень строгой, но дает до-
статочно информации для понимания протекающих процессов.

Системы управления с обратной связью широко применяются в промышленности.
На рис. 1.16 показан лабораторный робот. В настоящее время в промышленных и лабора-
торных условиях используются тысячи роботов. Роботы-манипуляторы способны подни-
мать предметы весом в сотни килограмм и перемещать их с точностью до миллиметра.

1.6.	Автоматическая сборка и роботы

Для выполнения опасных, однообразных, простых или шаблонных операций при сборке
бытового или промышленного оборудования особую важность приобретают автоматиче-
ские устройства. Машины для автоматической погрузки и разгрузки, резки, сварки или от-
браковки позволяют повысить точность обработки, безопасность, экономичность и произ-
Рис. 1.16

Лабораторный робот для работы с медицинскими
препаратами. Он манипулирует небольшими предметами,
такими как бюретки, и с высокой скоростью помещает их
в узкие сосуды и вынимает оттуда

водительность труда. Некоторые писатели предвидели создание машин, оснащенных
компьютерами и способных действовать наподобие человека-оператора. В своей извест-
ной пьесе Р. У.Р., написанной в 1923 г., Карел Чапек назвал таких искусственных рабочих
роботами (от чешского слова robota, т. е. работа).

Как уже говорилось, робот представляет собой комплекс из механизма и программи-
руемого компьютера, и он часто заменяет труд человека при выполнении простых повто-
ряющихся операций. Некоторые роботы даже имеют антропоморфные механизмы, кото-
рые можно рассматривать как механические руки, запястья и кисти. Пример антропомор-
фного робота приведен на рис. 1.17.

Рис. 1.17

Антропоморфный робот Хонда РЗ.

Робот способен ходить, подниматься по ступенькам
и изменять направление движения
1.7.	Перспективы развития систем управления

Развитие систем управления идет по пути совершенствования их гибкости и обеспечения
высокой степени автономности. Как показано на рис. 1.18, в достижении этих целей можно
наметить два разных пути. Считается, что современный промышленный робот является аб-
солютно автономным, т. к. будучи изначально запрограммированным, он не требует даль-
нейшего вмешательства в его работу. Из-за ограниченных возможностей чувствительных
органов робототехнические системы обладают недостаточной гибкостью в приспособле-
нии к изменению условий эксплуатации. Это, в свою очередь, стимулирует разработку
устройств технического зрения. Системы управления обладают достаточной приспосабли-
ваемостью, но лишь при участии человека-оператора. Совершенствование робототехниче-
ских систем идет за счет оснащения их чувствительными элементами обратной связи с
улучшенными характеристиками. Исследовательские работы в области искусственного
интеллекта, датчиков, компьютерного зрения, программирования комплексов компьюте-
ризированного проектирования и производства должны сделать эти системы более уни-
версальными и экономичными. Чтобы уменьшить нагрузку на человека-оператора и повы-
сить эффективность его работы, ведутся интенсивные исследования в области супервизор-
ного управления, человеко-машинного интерфейса и управления компьютерными базами
данных. Многие исследования одинаково полезны для совершенствования как роботов,
так и систем управления; их цель состоит в снижении затрат на изготовление и расширении
области применения. Они связаны также с улучшением методов передачи информации и
дальнейшим развитием языков программирования.

Высокая

Интеллектуальные системы

Низкая

Жесткая автоматизация

Станки D
сЧПУ

Механизмы с использованием
вспомогательной мощности

Однонаправленные

Ручное	манипуляторы

управление J г

Усовершенствованные
средства

Повышенная гибкость
и автономность

Улучшения:

Роботы ’Да~*

• Искусственное зрение

• Языки программирования

• Искусственный интеллект

Цифровые
системы управления

Низкая

Улучшения:

•	Искусственное зрение

•	Человеко-машинный
интерфейс

•	Супервизорное
управление

Программируемые
системы управления
Механические манипуляторы
типа «хозяин-раб»

Гибкость

Высокая

Рис. 1.18. Перспективы совершенствования роботов и систем управления
1.8.	Техническое проектирование

Техническое проектирование — основная задача деятельности инженера. Это сложный
процесс, в котором главная роль принадлежит творческим навыкам и умению анализиро-
вать.

Проектирование — это процесс придумывания или изобретения таких компо-
нентов системы, которые позволяли бы ей выполнять определенные задачи.

Процесс проектирования подразумевает планирование деятельности по созданию
некоторого изделия или системы. В результате этой инновационной деятельности инже-
нер творчески применяет свои знания и навыки для определения типа системы, ее функ-
ционального назначения и составных элементов. Основными этапами проектирования яв-
ляются:

1)	определение запроса на создание системы, основанного на оценках мнений раз-
личных общественных групп — от политиков до рядовых потребителей;

2)	детальная проработка возможного решения проблемы на основе объединения раз-
личных мнений;

3)	оценка альтернативных вариантов решения проблемы, удовлетворяющих выдви-
нутым требованиям;

4)	выбор конкретного варианта и его реализация.

В реальной жизни проектирование ведется с учетом ряда ограничений, одним из ко-
торых является фактор времени. Проектирование обычно ведется по жестко установлен-
ному графику, поэтому в конечном счете выбирается такой вариант системы, который не
является идеальным, но может рассматриваться как достаточно хороший. Во многих слу-
чаях выигрыш во времени является единственным определяющим фактором.

Главная задача проектировщика — это составить перечень требований, которым
должно удовлетворять техническое устройство. Под требованиями имеются в виду точ-
ные формулировки того, каким должно быть устройство и что оно должно делать. Техни-
ческая система проектируется таким образом, чтобы удовлетворялись все выдвинутые
требования. При этом неизбежно приходится иметь дело с такими объективными факто-
рами, как сложность проектирования, возможные компромиссы, расхождения с практи-
кой в процессе проектирования, а также определенные риски.

Сложность проектирования обусловлена широким диапазоном используемых для
этого методов, знаний и литературы. И здесь при определении требований к системе не-
обходимо учитывать очень много факторов, не только классифицируя их по относитель-
ной важности, но также задавая их либо в числовой форме, либо в виде словесного описа-
ния, либо обоими этими способами.

Под компромиссом понимают возможность выбора между двумя конфликтующими
критериями проектирования, каждый из которых является приемлемым.

При создании технического устройства его окончательный вид бывает далеко не по-
хож на то, как оно было задумано. Например, наше умозрительное представление о проб-
леме, подлежащей решению, не всегда совпадает с ее словесным описанием, в конечном
счете выливающимся в задание требований к системе. Эти различия внутренне присущи
процессу движения от абстрактной идеи к ее практической реализации.

Отсутствие абсолютной уверенности в том, что проектируемый технологический
объект будет функционировать заранее предсказанным образом, есть причина для неко-
торой неопределенности. Эта неопределенность связана с возможностью появления не-
предвиденных последствий, или риска. Следовательно, процесс проектирования систе-
мы есть деятельность, сопряженная с риском.

Сложность, компромисс, расхождение с практикой и риск — всё это факторы, неотъ-
емлемые от процесса создания новых систем и устройств. Иногда влияние этих факторов
на процесс проектирования можно свести к минимуму, но исключить их полностью не-
возможно.

В процессе технического проектирования участвуют два типа мышления — анализ и
синтез, между которыми имеется принципиальное отличие. При анализе основное внима-
ние уделяется построению моделей физических систем. Целью здесь является более глу-
бокое понимание процессов, происходящих в этих системах, и указание путей уточнения
их моделей. Напротив, синтез — это деятельность, в результате которой создаются новые
физические структуры.

Процесс проектирования может идти по многим направлениям, прежде чем оконча-
тельно будет выбрано какое-то одно из них. Это тщательно продуманный процесс, с по-
мощью которого проектировщик создает нечто новое, удовлетворяющее определенным
потребностям несмотря на практические ограничения. По своей природе этот процесс яв-
ляется итерационным — ведь с чего-то надо будет начать! Опытные инженеры обычно
прибегают к упрощению сложных систем с целью их анализа и синтеза. При этом неиз-
бежно возникает различие между сложной реальной системой и ее моделью. Подобные
различия объективно присутствуют на всём пути от исходной концепции до конечного
изделия. Интуитивно понятно, что намного проще постепенно совершенствовать исход-
ную концепцию, чем пытаться сразу создать конечное изделие. Иными словами, техниче-
ское проектирование никогда не идет по жестко установленному пути. Это — итерацион-
ный, нелинейный, творческий процесс.

Основной метод, используемый в большинстве задач технического проектирова-
ния, — это метод анализа и оптимизации параметров. Он основан на (1) идентификации
ключевых параметров, (2) формировании конфигурации системы и (3) оценке того, на-
сколько данная конфигурация отвечает предъявляемым к системе требованиям. Эти три
этапа образуют замкнутый цикл. Как только установлены ключевые параметры и синте-
зирована структура системы, проектировщик может приступить к оптимизации парамет-
ров. На практике число таких настраиваемых параметров обычно стремятся свести к ми-
нимуму.

1.9.	Синтез системы управления

Синтез системы управления — это уникальный пример технического проектирования.
Еще раз подчеркнем, что цель проектирования состоит в определении конфигурации сис-
темы, требований, которым она должна удовлетворять, и задании основных параметров,
удовлетворяющих предъявляемым к системе требованиям.

Первый шаг процесса синтеза — это определение назначения системы. Например,
мы можем заявить, что целью управления является поддержание заданного значения ско-
рости вращения электродвигателя. Второй шаг — это указать те переменные, которые
подлежат управлению (в нашем случае это скорость вращения). На третьем шаге мы дол-
жны предъявить требования к точности, с которой необходимо поддерживать скорость
вращения электродвигателя. Последнее определяет выбор датчика, с помощью которого
измеряется переменная, подлежащая управлению.
Поставив себя на место инженера, первое, что мы должны сделать, — это попытаться
создать конфигурацию системы, которая обладала бы желаемым качеством. Такая конфи-
гурация обычно включает в себя датчик, объект управления, исполнительное устройство
и регулятор, как показано на рис. 1.9. Следующий шаг состоит в выборе кандидата на
роль исполнительного устройства. Принятие решения здесь зависит от типа объекта
управления, но в любом случае выбранное устройство должно быть способно эффективно
влиять на поведение объекта управления. Например, если мы хотим управлять скоростью
вращения махового колеса, то в качестве исполнительного устройства нам надлежит вы-
брать электродвигатель. При этом датчик должен быть способен измерять скорость с вы-
сокой точностью. Наконец, мы должны получить модель для каждого из этих элементов.

Следующий шаг состоит в выборе регулятора, который часто представляет собой
сумматор, выполняющий операцию сравнения желаемого и действительного значений
выходной переменной объекта, и следующий за ним усилитель сигнала ошибки.

Заключительный шаг процедуры синтеза состоит в настройке параметров системы,
которые обеспечивали бы желаемые показатели качества. Если в результате подбора па-
раметров мы сможем достигнуть желаемого качества, то процесс синтеза на этом закан-
чивается и нам остается оформить рабочую документацию. В противном случае, возмож-
но, потребуется заменить конфигурацию системы или выбрать исполнительное устройст-
во и датчик с улучшенными характеристиками. После этого мы должны будем повторять
все этапы синтеза до тех пор, пока не будут удовлетворены требования, предъявляемые к
системе, или пока мы не решим, что эти требования являются слишком жесткими и их не-
обходимо ослабить. Процесс синтеза системы управления наглядно изображен на
рис. 1.19.

Требования к качеству замкнутой системы управления должны затрагивать ее основ-
ные характеристики, к которым относятся (1) хорошая компенсация возмущений, (2) же-
лаемый вид реакции на задающее входное воздействие, (3) адекватные выходные сигналы
исполнительного устройства, (4) малая чувствительность к изменению параметров и
(5) робастность.

На техническое проектирование сильное влияние оказало появление мощных и срав-
нительно недорогих компьютеров, а также высокопроизводительных программных
средств анализа и синтеза систем управления. Например, самолет Боинг-777, оснащен-
ный самой современной бортовой аппаратурой, был почти полностью спроектирован с
помощью компьютерных технологий. Высокоточное компьютерное моделирование край-
не важно для проверки результатов синтеза систем. Во многих случаях сертификация сис-
темы управления путем натурного моделирования требует значительных затрат времени
и денег. Тот же Боинг-777 около 2400 раз был испытан с помощью компьютерного моде-
лирования, прежде чем был построен первый самолет этой серии.

Другим замечательным примером анализа и синтеза с применением компьютеров яв-
ляется создание экспериментальной ракеты DC-Х Дельта Клиппер корпорации МакДон-
нелл Дуглас, которая была спроектирована, построена и испытана в полете всего за 24 ме-
сяца. Это позволило сэкономить примерно 80% финансовых вложений и 30% времени.

Подводя итог, можно дать следующую формулировку задачи синтеза регулятора:
дана модель объекта управления (вместе с датчиком и исполнительным устройством), а
также установлены цели управления; требуется определить соответствующий регулятор
либо прийти к заключению, что таковой создать невозможно.
Рис. 1.19. Процесс синтеза системы управления

1.10.	Пример синтеза: управление скоростью
вращения диска

Во многих современных приборах используется диск, который должен вращаться с посто-
янной скоростью. Это, например, проигрыватель компакт-дисков или грампластинок, дис-
ковод компьютера, требующие вращения с постоянной скоростью, несмотря на износ и из-
менение характеристик электродвигателя и вариацию других параметров. Наша задача со-
стоит в синтезе системы управления скоростью вращения диска, которая гарантировала
бы, что действительная скорость отличается от желаемой не более, чем на заданную вели-
чину. Мы рассмотрим два варианта решения этой задачи: разомкнутая система и система с
обратной связью.

Чтобы обеспечить вращение диска, мы должны в качестве исполнительного устрой-
ства выбрать электродвигатель постоянного тока, скорость вращения которого пропорци-
ональна приложенному напряжению. Этот входной сигнал двигателя должен иметь до-
статочную мощность, поэтому нам также потребуется выбрать усилитель.
а)

Рис- 1-20- (а) Разомкнутая система управления скоростью вращения диска;

(б) Функциональная схема системы

Разомкнутая система (без использования обратной связи) изображена а рис. 1.20 (а).
В этой системе для задания напряжения, пропорционального желаемой скорости, исполь-
зована батарея. Затем это напряжение усиливается и подается на двигатель. Функциона-
льная схема данной системы изображена на рис. 1.20 (б).

Чтобы реализовать систему с обратной связью, нам необходимо выбрать датчик. Од-
ним из возможных решений является тахогенератор, выходное напряжение которого про-
порционально скорости вращения его вала. Тогда замкнутая система будет иметь вид,
изображенный на рис. 1.21 (я). Функциональная схема этой системы приведена на
рис. 1.21 (б). Сигнал ошибки образуется как разность между входным напряжением и на-
пряжением тахогенератора.

а)

Рис- 1-21- (а) Замкнутая система управления скоростью вращения диска;
(б) Функциональная схема системы
Можно ожидать, что замкнутая система по своим характеристикам будет превосхо-
дить разомкнутую, т. к. она всегда будет стремиться свести ошибку к минимуму. Если
элементы системы обладают стабильными характеристиками, то в замкнутой системе
можно добиться точности поддержания заданного значения скорости, в 100 раз превыша-
ющей аналогичный показатель разомкнутой системы.

1.11.	Пример синтеза: система управления
введением инсулина

В этом и последующих примерах на синтез мы воспользуемся процедурой, представлен-
ной на рис. 1.19. В данной главе мы подготовим предварительный план синтеза, выполнив
этапы 1—4 схемы рис. 1.19, т. е. (1) установим цель управления, (2) определим переменные,
на которые необходимо воздействовать, (3) сформулируем требования к системе и (4) раз-
работаем одну или несколько возможных конфигураций системы.

Системы управления широко используются в медицине для автоматического введения
препаратов в организм пациента. Подобные системы могут применяться для регулирования
кровяного давления, уровня сахара в крови, частоты сердечных сокращений. Наиболее рас-
пространены разомкнутые системы введения медицинских препаратов, в которых исполь-
зуются математические модели, описывающие связь между дозой введенного препарата и
соответствующим эффектом. Имплантированная в тело человека система является разо-
мкнутой, т. к. пока еще не разработаны миниатюрные датчики содержания глюкозы в кро-
ви. Наилучшим из известных решений является запрограммированный под конкретного па-
циента миниатюрный насос, который вводит в организм инсулин в соответствии с показа-
ниями на основании истории болезни. Более сложные системы должны будут использовать
обратную связь по результатам измерения содержания глюкозы в крови.

Наша цель (этап 1) заключается в синтезе системы регулирования концентрации са-
хара в крови больного диабетом. Изменение концентрации глюкозы и инсулина в крови
здорового человека показано на рис. 1.22. Система должна вводить инсулин в кровь из
баллончика, имплантированного в организм больного.

Таким образом, переменной, подлежащей управлению (этап 2), является концентра-
ция глюкозы в крови. Требование к системе управления (этап 3) сводится к тому, чтобы

Рис. 1.22

Уровни глюкозы и инсулина
в крови здорового челолвека

Время
а)

Скорость
введения
инсулина

на входе

микродвигателя

б)

Скорость

Действительный

Желаемый уровень

глюкозы в крови

Рис, 1,23. Разомкнутая (а) и замкнутая (б) системы управления
содержанием глюкозы в крови

она была способна поддерживать содержание глюкозы в крови диабетика, близкое к
тому, как это имеет место для здорового человека (рис. 1.22).

На этапе 4 мы можем предложить предварительную конфигурацию системы управ-
ления. Разомкнутая система должна содержать заранее запрограммированный генератор
сигнала и микродвигатель с насосом, регулирующий скорость введения инсулина, как по-
казано на рис. 1.23 (п). Замкнутая система, изображенная на рис. 1.23 (б), должна содер-
жать датчик, измеряющий действительное содержание инсулина в крови. Это измеренное
значение затем сравнивается с желаемым, и, если есть необходимость, включается микро-
двигатель с насосом.

1.12.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

Этот пример синтеза, обозначенный значком стрелки, будет последовательно рас-
сматриваться в каждой главе. При этом мы будем следовать процедуре синтеза,
изображенной на рис. 1.19. Например, в гл. 1 мы рассмотрели этапы 1- 4 данной

процедуры, где мы (1) установили цель управления, (2) указали переменные, на которые

необходимо воздействовать, (3) сформулировали ограничения, накладываемые на эти пе-
ременные, и (4) сделали набросок конфигурации системы.

Информация обычно легко накапливается на магнитных дисках. Составной частью
портативных и более крупных компьютеров различных модификаций являются дисково-
ды. В 1996 г. во всём мире согласно оценке было продано порядка 100 млн дисководов.
Схематическое изображение дисковода представлено на рис. 1.24. Целью системы управ-

ления является позиционирование считывающей головки на определенной дорожке диска
(этап 1). Переменная, которой нужно управлять с высокой точностью (этап 2), — это по-
ложение считывающей головки, закрепленной на конце рычага. Диск вращается со скоро-
Рис. 1.24

Схема дисковода

а)

Исполни-
тельный
двигатель

Поворот
рычага

Дорожка а

Дорожка b
Перемещаемая

головка

стью от 1800 до 7200 об/мин, а головка плавает над диском на расстоянии менее 100 нм.
Исходное требование к точности позиционирования (этап 3) составляет 1 мкм. Кроме
того, мы хотели бы, если это возможно, чтобы перемещение от дорожки а к дорожке b со-
вершалось не более чем за 50 мс. Таким образом, мы выбираем исходную конфигурацию
системы в виде рис. 1.25. В данной замкнутой системе для перемещения рычага со считы-
вающей головкой в заданное положение относительно диска будет использован электро-
двигатель. Процедура синтеза этой системы будет продолжена в главе 2.

Рис. 1-25. Замкнутая система управления дисководом

Упражнения

(Упражнения являются простым применением основных понятий главы к практическим ситуациям.)
Следующие системы могут быть представлены в виде функциональных схем, показывающих
причинно-следственные связи между переменными и обратную связь (если она существует). Опре-
делите назначение каждого блока, а также входную, выходную и измеренную переменные. При не-
обходимости используйте модель, представленную на рис. 1.9.

У-l.L Прецизионный источник оптического сигнала способен устанавливать мощность излучения
с точностью до 1%. Выходная мощность источника (лазера) определяется входным током, ко-
торый. в свою очередь, формируется микропроцессором. Микропроцессор сравнивает желае-
мый уровень мощности с действительным, информацию о котором содержит сигнал с выхода
датчика. Дополните функциональную схему замкнутой системы, представленной на
рис. 1.1 (У), указав, что является входной, выходной, измеренной переменной, а также управ-
ляющим устройством.

У-1.2. Водитель автомобиля является частью системы управления, которая должна обеспечивать
заданную скорость движения. Изобразите соответствующую данному случаю функциональ-
ную схему замкнутой системы управления.
Рис. 1.1 (У)

Функциональная схема
(частично) источника
оптического излучения

Вход

ЛО

Гок
----► Лазер

Датчик

Измеренная

Выход

переменная

У-1.3. Ужение на муху — это спортивное состязание, при котором участник забрасывает неболь-
шую муху с помощью удилища и лески. Цель заключается в том. чтобы забросить муху точно
в заданную точку на поверхности реки. Разработайте модель забрасывания мухи.

У-1.4. Поскольку парусная яхта не может двигаться непосредственно по ветру (ее движение в этом
направлении обычно очень медленное), то кратчайший маршрут гонки редко представляет со-
бой прямую линию. Поэтому яхтсмены попеременно перекладывают парус переходя на дру-
гой галс, в результате движение имеет хорошо знакомый зигзагообразный характер. Исход
гонки, таким образом, зависит от правильных тактических решений — когда именно и наско-
лько надо изменить галс.

Опишите процесс изменения курса яхты в зависимости от изменения направления ветра. Изоб-
разите функциональную схему, отражающую этот процесс.

У-1.5. В наступившем столетии, по-видимому, получат распространение автоматизированные авто-
страды. Рассмотрите случай, когда две таких дороги сливаются в одну, и опишите, как должна
работать система управления, обеспечивающая выезд автомобилей с двух дорог на одну с за-
ранее установленным интервалом между машинами.

У-1.6. Изобразите функциональную схему системы управления скоростью движения автомобиля,
одним из элементов которой является водитель.

У-1.7. Опишите процесс биологической обратной связи в организме человека, с помощью которого
он может в известной степени сознательно регулировать частоту пульса, реакцию на болевые
ощущения и температуру тела.

Задачи

(Задачи связаны с применением основных понятий главы к новым ситуациям.)

Следующие ниже системы могут быть представлены в виде функциональных схем, отражаю-
щих причинно-следственные связи между элементами и обратную связь (если она присутствует).
Каждый блок должен соответствовать функциональному назначению элемента. При необходимо-

сти используйте в качестве модели схему на рис.1.9.

3-1.1. Многие автомобили высшего класса
оснащаются автоматическими системами
кондиционирования воздуха для созда-
ния пассажирам комфортных условий.
Изобразите функциональную схему та-
кой системы, в которой значение желае-
мой температуры в салоне устанавливает-
ся водителем на приборном щитке. Уста-
новите функциональное назначение каж-
дого элемента системы.

3-1.2. В прошлом одним из элементов замкну-
тых систем управления являлся чело-
век-оператор. Изобразите функциональ-

Поток жидкости

Рис. 1.2 (3). Система управления
потоком жидкости

ную схему системы управления потоком
жидкости, представленной на рис. 1.2 (3).
Измерение

Выход

Рис. 1.3 (3). Управление химическим составом продукта

1о

Рис. 1.4 (3). Управление ядерным реактором

3-1.3. В химической технологии очень важно уметь управлять составом продукта. Чтобы это сде-
лать, необходимо производить измерение состава с помощью анализатора, использующего ин-
фракрасное излучение, как показано на рис. 13 (3). Вентилем в канале дополнительного пото-
ка можно управлять. Дополните рисунок обратной связью и изобразите функциональную схе-
му, иллюстрирующую работу контура управления.

3-1.4. На атомных электростанциях важное значение имеет управление ядерным реактором. Счи-
тая, что количество нейтронов в активной зоне пропорционально уровню мощности, для изме-
рения последнего используется ионизационная камера. Ток ионизационной камеры /0 пропор-
ционален уровню мощности. Положение графитовых регулирующих стержней позволяет под-
держивать заданный уровень мощности. Дополните обратной связью систему управления
ядерным реактором [рис. 1.4 (3)] и изобразите функциональную схему данной системы.

3-1.5. На рис. 1.5 (3) изображена система управления, предназначенная для слежения за положени-
ем Солнца. На выходной оси, которая приводится во вращение с помощью электродвигателя
через червячный редуктор, находится пластина с закрепленными на ней двумя фотоэлемента-
ми. На каждый фотоэлемент попадает одинаковый световой поток, когда источник света рас-
положен точно посредине, как показано на рисунке. Дополните систему обратной связью так.
чтобы она непрерывно отслеживала изменение положения источника света.

Рис. 1.5 (3)

Система слежения
за источником света

Источник

Редуктор
Рис. 1.6 (3)

Система
с положительной
обратной связью

3-1.6. В системах с обратной связью последняя не всегда является отрицательной. Экономическая
инфляция, признаком которой служат непрерывно растущие цены, может быть представлена в
виде системы с положительной обратной связью, как показано на рис. 1.6 (3). В этой систе-
ме сигнал обратной связи складывается со входным сигналом, а результирующий сигнал по-
ступает на вход объекта управления. Это — простая модель инфляционной спирали цены-зар-
плата. Чтобы стабилизировать систему, введите дополнительные обратные связи, учитываю-
щие, например, законодательное регулирование или регулирование налоговых ставок. Пред-
полагается, что рост зарплаты трудящихся после некоторой временной задержки приводит к
росту цен. При каких условиях можно было бы стабилизировать цены путем фальсификации
или сокрытия данных о стоимости жизни? Как на данную систему с обратной связью могла бы
повлиять общегосударственная экономическая политика в области цен и зарплаты?

3-1.7. Рассказывают историю об одном сержанте, который каждое утро в 9 часов останавливался пе-
ред ювелирным магазином, сверял свои часы с показаниями хронометра в витрине и подводил
их. Наконец, однажды он вошел в магазин и похвалил владельца за точность его хронометра.
— Наверное, вы устанавливаете его по сигналам точного времени из Арлингтона? — спросил
сержант.

— Нет, — ответил владелец, — я устанавливаю его ежедневно в 5 часов вечера по выстрелу
пушки в форте. А скажите мне. сержант, почему вы каждый день останавливаетесь перед вит-
риной и проверяете свои часы?

—А я служу артиллеристом в форте! — отреагировал сержант.

Какая в данном случае преобладает обратная связь — положительная или отрицательная?
Хронометр в витрине каждые сутки отстаёт на 2 минуты, а часы сержанта за 8 часов отстают
на 3 минуты. Чему будет равна чистая ошибка по времени выстрела пушки в форте спустя 12
дней?

3-1.8. Процесс обучения, участниками которого являются студент и преподаватель, характеризует-
ся наличием обратной связи, в результате чего ошибка должна быть сведена к минимуму. На
основе рис. 1.3 постройте модель процесса обучения и определите назначение каждого блока
системы.

3-1.9. Специалистам медицинских профессий существенную помощь оказывают модели физиоло-
гических систем управления. Одна из них — система управлений частотой сердечных сокра-
щений — приведена на рис. 1.9 (3). Эта модель включает в себя обработку мозгом нервных

Частота

Частота

Частота

Рис. 1.9 (3). Управление частотой

сердечных сокращении
импульсов. Фактически, она представляет собой систему со многими перемеными, т. е. х, у,

V, 2 и и — это векторные переменные. Иными словами, переменная х образована компонента-
ми хр х2..... х„, характеризующими деятельность сердца. Проанализируйте предложенную мо-
дель и, если необходимо, добавьте или удалите некоторые блоки. Разработайте модель одной

из следующих физиологических систем управления:

1.	Система управления дыханием.

2.	Система управления содержанием адреналина.

3.	Система управления движением рук.

4.	Система управления зрением.

5.	Система управления деятельностью поджелудочной железы и содержанием сахара в крови.

6.	Система управления кровообращением.

3-1.10. По мере увеличения интенсивности полетов возрастает роль систем управления авиарейса-
ми. Во избежание столкновения самолетов в воздухе разрабатываются системы управления
полетами, в основе которых лежит спутниковая навигационная система GPS (Global Positio-
ning System — глобальная система определения положения). GPS дает возможность каждому
самолету точно определять свое положение в воздухе на этапе приземления. Приведите вари-

ант функциональной схемы, описывающей, как дис-
петчер полетов может использовать GPS с целью из-
бежания столкновения самолетов.

3-1.11. Автоматическое управление уровнем воды испо-
льзовалось на Ближнем Востоке для создания водя-
ных часов. Эти часы [рис. 1.11 (3)]находили приме-
нение с начала новой эры и до 17-го века. Поясните
принцип действия водяных часов и то, как поплавок
в качестве элемента обратной связи обеспечивает
точность отсчета времени. Изобразите структурную
схему системы с обратной связью.

3-1.12. Автоматический поворотный механизм для ветря-
ных мельниц был изобретен Мейкле около 1750 г.
Подобное устройство показано на рис. 1.12 (3). Ма-
лое ветряное колесо, установленное под правиль-
ным углом к основному колесу, автоматически по-
ворачивает турель навстречу ветру. Передаточное
число редуктора составляет порядка 3000 : 1. Проа-
нализируйте действие ветряной мельницы и попы-
тайтесь обнаружить обратную связь, за счет кото-
рой основное колесо постоянно поворачивается на-



Рис. 1.11 (3). Водяные часы

встречу ветру.

Рис. 1.12 (3)

Поворотный механизм
ветряной мельницы
3-1.13. Типичным примером системы управления с двумя входами является бытовой смеситель с
отдельными кранами для горячей и холодной воды. Он предназначен для получения (1) желае-
мой температуры воды на выходе и (2) желаемого расхода воды. Изобразите функциональную
схему замкнутой системы управления указанными двумя переменными.

3-1.14. Адам Смит (1723-1790) в своей книге «Богатство народов» рассмотрел проблему свободной
конкуренции между участниками экономического процесса. Можо сказать, что он для объяс-
нения своей теории использовал механизм социальной обратной связи. Смит пришёл к заклю-
чению, что (1) работники сравнивают различные возможные предложения и нанимаются туда,
где они могут получить наибольшее вознаграждение за труд, и (2) что на любом предприятии
вознаграждение уменьшается с ростом числа конкурирующих рабочих. Пусть г— суммарное
количество выплачиваемых денег, усредненное по всем видам деятельности, с — суммарные
выплаты в отдельно взятой отрасли, a q — приток рабочих в эту отрасль. Представьте этот
процесс в виде системы с обратной связью.

3-1.15. В автомобилях используются небольшие компьютеры, позволяющие управлять выбросом
выхлопных газов и оптимизировать расход горючего. Система управляемой компьютером ин-
жекции горючего, которая автоматически устанавливает соотношение бензина и воздуха в ци-
линдрах, позволяет улучшить показатель расхода горючего на километр пути и значительно
снизить нежелательный выброс выхлопных газов в окружающую среду. Изобразите функцио-
нальную схему данной системы.

3-1.16. Все люди испытывают высокую температуру, которой сопровождается болезнь. Это связано
с изменением управляющего сигнала на входе системы терморегуляции организма. Эта систе-
ма, находящаяся внутри мозга, в нормальных условиях поддерживает температуру тела в рай-
оне 36,6 °C. несмотря на изменение температуры окружающей среды в диапазоне от-18 до
+38 °С(или даже большем). В случае болезни входной сигнал системы, или желаемое значение
температуры, увеличивается. Однако многие ученые часто не понимают, что повышение тем-
пературы не есть признак того, что что-то разладилось в системе терморегуляции, а всего
лишь следствие того, что в хорошо отрегулированной системе просто увеличилось значение
входного сигнала. Изобразите функциональную схему системы терморегуляции человека и
поясните, как прием аспирина может помочь сбить температуру.

3-1.17. Игроки в бейсбол используют обратную связь, чтобы оценить полет мяча и попасть в подаю-
щего. Опишите метод, используемый отбивающим для того, чтобы он на основании оценки
положения подающего мог правильно нацелить биту и ударить мяч.

3-1.18. На рис. 1,18 (3) показан в разрезе широко распростаненный регулятор давления. Желаемое
давление устанавливается поворотом откалиброванного винта. Винт сжимает пружину и опре-
деляет силу, которая стремится выпрямить диафрагму вверх. Нижняя часть диафрагмы под-

Рис. 1.18 (3)

Регулятор давления

Пружина

Диафрагма

Винт установки
давления

Входной
поток

•fe-
aft;

№

•к
ж

Выходной
поток

Клапан




вергается давлению воды, которое должно регулироваться. Таким образом, перемещение диа-
фрагмы соответствует разности между желаемым и действительным давлением, т. е. диафраг-
ма играет роль компаратора. С диафрагмой соединен клапан, который перемещается в зависи-
мости от разности давлений до тех пор, пока эта разность не станет равна нулю. Изобразите
функциональную схему образовавшейся замкнутой системы, в которой регулируемой пере-
менной является давление воды на выходе.

3-1.19. Ихиро Масаки из корпорации Джене рал Моторе запатентовал систему, которая автоматиче-
ски регулирует скорость движения автомобиля так. чтобы поддерживать безопасное расстоя-
ние от впереди идущей машины. Эта система с помощью видеокамеры определяет и запомина-
ет эталонное изображение автомобиля, находящегося впереди. Затем происходит сравнение

этого изображения с серией живых картинок, фиксируемых камерой в процессе движения
двух автомобилей по дороге, и на основани этого вычисляется расстояние между ними. Маса-

ки считает, что такая система способна кроме регулирования скорости управлять также руле-
вым колесом, что позволит водителю пристроиться за впереди идущим автомобилем и образо-
вать «компьютеризированную сцепку». Изобразите функциональную схему этой системы.

3-1.20. На рис. 1.20 (3) изображен гоноч-
ный автомобиль с настраиваемым
(аэродинамическим) крылом. Разра-
ботайте функциональную схему,
иллюстрирующую способность
аэродинамического крыла поддер-
живать постоянную степень сцепле-
ния между шинами автомобиля и
полотном гоночной трассы. Почему
важно поддерживать хорошее сцеп-
ление с дорогой?

3-1.21. Возможность применения двух
или нескольких вертолетов для
транспортировки грузов, которые
слишком тяжелы для одного верто-
лета, представляет интерес для об-
ластей гражданского и военного
вертолетостроения. Разумеется, эта

Рис- 1.20 (3). Гоночный автомобиль
с аэродинамическим крылом

задача может быть решена путем использования небольшого вертолета, много раз перенося-
щего заданный груз. Но в то же время эту задачу можно решить гораздо проще — путем испо-
льзования нескольких более мощных вертолетов. В частном случае для этого могут использо-
ваться два вертолета, как показано на рис. 1.21 (3).

Рис. 1.21 (3)
Перемещение груза
двумя вертолетами

Вертолет 1

Точка привязки
груза

Вертолет 2

Трос

Груз
Разработайте функциональную схему, отражающую действия пилотов, положение каждого
вертолета и положение груза.

3-1.22. Перед инженерами-строителями стоит задача — спроектировать такую систему управления,
которая позволяла бы зданию или иному сооружению противостоять силе, возникающей во
время землетрясения, лучше, чем это сделал бы человек. Эта система должна противостоять
данной силе, но лишь до тех пор, пока она не превысит порог разрушения. Разработайте функ-
циональную схему системы управления, позволяющей уменьшить влияние разрушающей
силы землетрясения.

3-1.23. Модернизация автомобильного стеклоочистителя (дворника) состоит в том, что цикл его ра-
боты настраивается в зависимости от интенсивности дождя. Изобразите функциональную схе-
му системы управления работой дворника.

3-1.24. За последние 40 лет на орбиту вокруг Земли было выведено более 20000 т различного обору-
дования. За тот же период более 15000 т оборудования было возвращено на Землю. Размер
объектов, остающихся на орбите, колеблется от крупных космических аппаратов до крошеч-
ных частиц краски. На орбите находится около 150000 объектов размером более 1 см. Пример-
но за 10000 из них с Земли ведётся постоянное наблюдение. Актуальной задачей становится
«управление космическим движением», особенно для компаний, выводящих коммерческие
спутники на орбиты, которые уже заняты другими объектами и где может находиться косми-
ческий мусор. Изобразите структурную схему системы управления космическим движением,
которую компании могли бы использовать в целях предотвращения столкновения своих спут-
ников с другими объектами.

Задачи на синтез систем

(Задачи на синтез подразумевают решение проблем, связаных с синтезом систем управления.
Сквозная задача на синтез (СЗ) требует применения знаний, полученных при изучении последова-

тельных глав.)

СС-1.1. В современных высокоточных металлообрабатываю-
□ щих станках особые требования предъявляются к систе-
мам, обеспечивающим скольжение их стола. Такие сис-
темы должны с высокой точностью управлять желае-
мым перемещением стола, как показано на рис. 1.1 (СС).
Изобразите функциональную схему системы с обратной
связью, которая выполняла бы данную задачу. Как показа-
но на рисунке, стол может перемещаться в направлении х.

С-1.1. Дорожная обстановка и шум от транспортных средств,
проникающий в кабину автомобиля, приводят к быстрой
утомляемости водителя и пассажиров. Разработайте функ-
циональную схему противошумовой системы с обратной
связью, которая снижала бы влияние нежелательных шу-
мов. Укажите конкретное устройство, соответствующее
каждому блоку.

С-1.2. Многие автомобили оснащены системой, которая позво-

Рис. 1.1 (СС). Станок
со скользящим столом

ляет в результате простого нажатия на кнопку автоматиче-
ски поддерживать заданную скорость движения. Таким об-
разом, водитель может ехать с ограниченной или экономи-
чески выгодной скоростью, не контролируя показания спи-
дометра. Представьте данную систему в виде функциональной схемы.

С-1.3. На молочных фермах внедряются системы автоматического доения коров. Спроектируйте
доильный апппарат, позволяющий доить коров 4-5 раз вдень, когда для этого наступает время
(момент доения определяется самой коровой). Изобразите функциональную схему такой сис
темы и укажите конкретное устройство, соответствующее каждому блоку.

1.4.	На рис. 1.4 (С) показана размещенная
на подставке большая рука робота, пред-
назначеного для сварки крупногабарит-
ных деталей. Разработайте функциона-

льную схему замкнутой системы, кото-
рая должна точно управлять положени-
ем сварочного наконечника.

1.5.	Автоматическое управление силой
сцепления позволяет исключить появле-
ние юза при торможении и пробуксовку
при ускорении, что существенно облег-
чает управление автомобилем. Цель по-
добной системы управления состоит в
обеспечении максимального сцепления
шины с дорогой. В качестве управляемой
переменной выбирается пробуксовка ко-
леса, т. е. разность между скоростью ав-
томобиля и скоростью вращения колеса,
поскольку именно эта величина оказыва-
ет наибольшее влияние на силу сцепле-
ния между шиной и дорогой. Коэффици-
ент сцепления колеса с дорогой достига-
ет максимума при низкой пробуксовке.
Разработайте функциональную схему си-
стемы управления силой сцеления для

Рис. 1.4 (С). Сварочный робот

одного колеса.

С-1.6. В декабре 1993г. был отремонтирован космический телескоп «Хаббл». Но до сих пор остает-
ся нерешенной проблема устранения дрожания изображений, возникающего каждый раз, ког-
да аппарат входит или выходит из тени Земли. Наиболее сильные колебания имеют период
около 20 с, что соответствует частоте 0,05 Гц. Спроектируйте систему с обратной связью, ко-
торая была бы способна уменьшить колебания телескопа «Хаббл».

Ключевые термины и понятия

Автоматизация. Автоматическое управление объектом или процессом.

Замкнутая система управления. Система с обратной связью, в которой происходит измерение вы-
ходной переменной и сравнение с ее желаемым значением.

Компромисс. Решение о том, как можно удовлетворить нескольким конфликтующим критериям
синтеза системы.

Многомерная система управления. Система управления с более чем одной входной и более чем
одной выходными переменными.

Объект управления. Устройство, установка или процесс, подлежащие управлению.

Оптимизация. Подбор параметров системы, обеспечивающих её наилучшее функционирование
согласно принятому критерию качества.

Отрицательная обратная связь. Канал, по которому выходной сигнал возвращается на вход сис-
темы и вычитается из входного сигнала.

Положительная обратная связь. Канал, по которому выходной сигнал возвращается на вход сис-
темы и складывается со входным сигналом.
Производительность. Отношение реального выхода производственного процесса к его реальному
входу.

Разомкнутая система управления. Система, в которой отсутствует обратная связь, т. е. выходная
переменная объекта управления никак не влияет на вход этого объекта.

Расхождение при синтезе. Различие между сложной физической системой и ее моделью, выступа-
ющей в качестве основы для синтеза, объективно присущее движению от исходной концепции
к конечному изделию.

Риск. Неопределенности, присущие процедуре синтеза системы управления.

Робот. Манипулятор со встроенным программируемым компьютером. Перепрограммируемый
многофункциональный манипулятор.

Сигнал обратной связи. Результат измерения выходной переменной системы, используемый для
формирования управляющего воздействия.

Синтез. Процесс, в результате которого создается новое физическое изделие. Объединение разроз-
ненных элементов в единое целое. (Процесс проектирования или изобретения элементов, час-
тей или блоков системы определенного целевого назначения.)

Система. Соединение элементов и устройств в структуру определенного функционального назна-
чения.

Система управления. Соединение элементов в структуру, обладающую заданными свойствами.

Сложность проектирования. Проблема, возникающая вследствие множественности привлекае-
мых для проектирования методов и технических средств.

Техническое проектирование. Процесс создания технической системы.

Требования. Формулировки, определяющие, каким должно быть устройство или изделие и что оно
должно делать. Совокупность предписанных критериев качества.

Центробежный регулятор. Механическое устройство для регулирования скорости паровой ма-
шины.
Глава 2

Математические модели систем

Обзор

При анализе и синтезе систем управления мы используем математические модели физиче-
ских объектов. Их динамика в общем случае описывается обыкновенными дифференциа-
льными уравнениями. Мы будем рассматривать широкий круг систем, включая механиче-
ские, гидравлические и электрические. Поскольку большинство реальных систем являют-
ся нелинейными, мы рассмотрим методы их линейной аппроксимации, что позволит
воспользоваться преобразованием Лапласа. Затем мы получим связь между входом и вы-
ходом элементов и систем в виде передаточных функций. На основании передаточных
функций могут быть построены)структурные схемы или^игнальные графы, отражающие
взаимные связи между элементами систем. Структурные схемы (и сигнальные графы) яв-
ляются очень удобным и естественным средством анализа и синтеза сложных систем
управления. В завершение этой главы мы воспользуемся передаточными функциями в
примере синтеза с продолжением (система чтения информации с диска).

2.1.	Введение

Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей,
необходимо получить ее математическую модель. Для этого требуется установить все
взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы. Поскольку все
реальные системы по своей природе являются динамическими, то для их описания естест-
венно использовать дифференциальные уравнения. Если, кроме того, эти уравнения мо-
гут быть линеаризованы, то тогда можно воспользоваться преобразованием Лапласа. В
действительности, сложность системы и игнорирование нами ряда привходящих факторов
обуславливают возникновение некоторых допущений, связанных с функционированием
данной системы. Поэтому часто бывает полезным игнорировать эти допущения и произве-
сти линеаризацию системы. В результате на основании физических законов, описываю-
щих поведение эквивалентной линейной системы, мы можем получить систему дифферен-
циальных уравнений. Наконец, используя математический аппарат, такой как преобразо-
вание Лапласа, мы сможем получить решение, характеризующее поведение данной
системы. В итоге алгоритм исследования динамики системы сводится к следующему:

1.	Определить систему и ее компоненты.

2.	Составить математическую модель и выдвинуть необходимые допущения.

3.	Записать дифференциальные уравнения, описывающие поведение модели.

4.	Решить уравнения относительно желаемых выходных переменных.

5.	Проанализировать решения и допущения.

6.	При необходимости провести повторный анализ или синтез системы.
2.2.	Дифференциальные уравнения
физических систем

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику физической системы, получают-
ся на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени при-
меним к механическим, электрическим, гидравлическим и термодинамическим системам.
Рассмотрим крутящуюся систему пружина-масса, изображенную на рис. 2.1, к которой
приложен момент Та(1). Предположим также, что упругий элемент (пружина) обладает
пренебрежимо малой массой по сравнению с диском. Допустим, что нам необходимо изме-
рить момент Д(0> передаваемый массе ш. Поскольку согласно допущению пружина не об-
ладает массой, то сумма действующих на нее моментов должна равняться нулю, т. е.

та (0 - rs (/) = о,

откуда имеем Ts (7) = Та (I). Мы видим, что внешний момент Ta{t), приложенный к концу
пружины, передается сквозь этот упругий элемент. По этой причине мы будем называть
момент сквозной переменной. Аналогичным образом, разность угловых скоростей кон-
цов упругого элемента равна

со (Г) = соЛ.(О - соа(г).

Эта разность характеризует угловую скорость одного конца упругого элемента относите-
льно другого, поэтому мы будем называть ее относительной переменной. Подобные рас-
суждения можно сделать и в отношении большинства известных физических переменных
(таких как сила, ток, объем, поток и т. п.). В табл. 2.1 приведены сводные данные о сквоз-
ных и относительных переменных динамических систем. Информацию относительно

Международной системы единиц СИ, применяемой ко многим переменным в этом разде-

ле, можно найти на Web-сайте MCS (Modem Control Systems). Например, темпера-
тура в системе СИ измеряется в градусах Кельвина, а длина — в метрах. На этом же
Web-сайте приведена таблица соответствий между английской системой единиц и

системой СИ. Дифференциальные уравнения линейных динамических элементов с сосре-
доточенными параметрами приведены в табл. 2.2. Заметим, что эти уравнения являются

идеализированным описанием динамики элементов, т, е. представляют собой всего лишь
аппроксимацию их реального поведения (например, когда элемент с распределенными па-
раметрами аппроксимируется линейной моделью с сосредоточенными параметрами).

Рис. 2.1

(а)	Крутящаяся система пружина-масса;

(б)	Упругий элемент
Обозначения:

Сквозные переменные: F — сила, Т — момент, i — ток, Q — объемный расход жидкости,
q — тепловой поток.

Относительные переменные: v — поступательная скорость, со — угловая скорость, и —
напряжение, Р — давление, 7— температура.

Индуктивные накопители: L — индуктивность, i/k — обратный коэффициент жесткости,
/ — инертность жидкости.

Емкостные накопители: С—емкость, М—масса, J—момент инерции, Cz—жидкост-
ная емкость, Ct — тепловая емкость.

Рассеиватели энергии: R — сопротивление, b — вязкое трение, R?— гидравлическое со-
противление, Rt — тепловое сопротивление.

Таблица 2.1. Сквозные и относительные переменные физических
систем

Система

Сквозная
переменная

Интеграл
от сквозной
переменной

Относительная
переменная

Интеграл от
относительной
переменной

Электрическая

Механическая
с поступательным
движением
Механическая
с вращательным
движением
Гидравлическая

Тепловая

Ток. i

Сила, F

Момент, Т

Объемный
расход
жидкости, О
Тепловой
поток, q

Заряд, q

Поступательный
момент силы, Р

Угловой момент,
h

Объём, V

Тепловая энергия,
Н

Разность
напряжений, тд i
Разность
скоростей, V21

Разность угловых
скоростей, со?!

Разность
давлений, Р21

Разность
температур, У?/

Потокосцепление

Л?!

Разность
перемещений. У2!

Разность угловых
перемещений, й?!

Момент
давления, у?!

Обозначение v(t) используется как для напряжения в электрических цепях, так и для
скорости поступательного движения в механических системах, поэтому смысл этой пере-
менной следует понимать в контексте каждого дифференциального уравнения. Для опи-
сания механических систем используются законы Ньютона, а для электрических сис-
тем— законы Кирхгофа. Например, простой механический амортизатор, изображенный
на рис. 2.2(a), описывается вторым законом Ньютона. (Подобное устройство может, на-
пример, представлять собой модель автомобильного амортизатора.)

Рис. 2.2

(а) Система пружина-масса
с демпфированием.

(б) Условное обозначение

Сила	r(t)
Таблица 2.2. Дифференциальные уравнения идеальных элементов

Тип элемента

Физический

элемент

Дифференциаль-
ное уравнение

Энергия Е или
мощность -Я

Обозначение

Электрическая
индуктивность

L —
dt

Индуктивные	Пружина

накопители	сжатия

Емкостные
накопители

Рассеиватели
мощности

Пружина
кручения

Инерция
жидкости

Электрическая
емкость

1 dF

У?1 —
к dt

Масса
с линейным
перемещением
Вращающаяся
масса

Гидравлическая
емкость

Тепловая
емкость

Электрическое
; сопротивление

Амортизатор
линейного
действия

Вращающийся
амортизатор
Гидравлическое
сопротивление

Тепловое
сопротивление

F = /ль)

Т = &C02I



Схематическое изображение динамики массы М показано на рис. 2.2(6). В этом при-
мере мы будем считать, что трение груза о стенки является вязким, т. е. сила трения ли-
нейно зависит от скорости движения груза. В действительности сила трения может опи-
сываться более сложной зависимостью. Например, трение о стенки может быть кулоно-
вым. Сила кулонова, или сухого, трения является нелинейной функцией скорости груза,
которая имеет разрывный характер вблизи нулевой скорости. Для хорошо смазанной
гладкой поверхности наиболее адекватным является вязкое трение, поэтому в данном и
всех последующих примерах, где рассматривается механическая система, состоящая из
массы и пружины, будет использоваться именно вязкое трение. В соответствии со вторым
законом Ньютона, суммируя все силы, действующие на массу М, запишем:

М

d2y(J)

+ b+ ky(t) = r(t),
dt

(2.1)

где к

коэффициент упругости пружины, а b

коэффициент трения. Уравнение (2.1)

есть дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Точно так же можно с помощью закона Кирхгофа
для токов описать электрическую RLС-цепь, представ-
ленную на рис. 2.3. В результате мы получим следующее
интегро-дифференциальное уравнение:

Рис. 2.3. /?/Оцепь

у(О

R

„ dv(t) If,., /ч

+ С------ + -

dt Li

Решение дифференциального уравнения, описывающего динамический процесс,
может быть получено классическим методом— путем интегрирования с использовани-
ем неопределенных коэффициентов. Например, если груз сместить в начальное положе-
ние ХО ~ У(0) и затем отпустить, то движение такой недодемпфированной системы
описывается выражением

y(t) = Kl e~a,f sin(pj t + Oj).	(2.3)

Аналогичное решение имеет место для напряжения v(z) ЛЛС-цепи, если она находит-
ся под воздействием постоянного тока г(0 =

v(J) = K2e~a2' cos(P2r + 02).	(2.4)

Типичный характер изменения напряжения в недодемпфированой ЯЛС-цепи показан на
рис. 2.4.

Чтобы обнаружить более близкое сходство между дифференциальными уравнения-
ми механических и электрических систем, перепишем уравнение (2.1) относительно ско-
рости

dt

Рис. 2.4

Типичный характер
изменения напряжения
в недодемпфированной
ЯЮцепи

Напряжение

Время
В результате получим:

dv(t)	1г

Л/----- + bv(j) + к v(t)dt =r(t).	(2.5)

dt	0

Сразу же можно отметить эквивалентность уравнений (2.5) и (2.2), только в одном
из них переменная v(t) обозначает скорость, а в другом — напряжение. Поэтому данные
переменные обычно называют переменными-аналогами, а соответствующие систе-
мы — подобными системами. Следовательно, закон изменения скорости будет также
иметь вид (2.4), которому соответствует кривая на рис. 2.4. Понятие подобия систем яв-
ляется очень полезным и эффективным методом при моделировании. Аналогия между
напряжением и скоростью, часто называемая аналогией сила-ток, вполне естественна,
поскольку она характеризует связь между подобными сквозными и относительными пе-
ременными электрических и механических систем. Однако часто используется и другая
аналогия, называемая аналогией сила-напряжение, при которой рассматривается подо-
бие скорости и тока.

Подобные системы с одинаковыми решениями можно обнаружить среди электриче-
ских, механических, тепловых и гидравлических систем. Наличие таких систем позволяет
исследователю распространить решение, полученное для одной системы, на все подоб-
ные системы, описываемые аналогичными дифференциальными уравнениями. Следова-
тельно, результаты, полученные, скажем, при анализе и синтезе электрических систем,
сразу можно применить для представления о поведении гидравлических, тепловых и ме-
ханических систем.

2.3.	Линеаризация физических систем

Подавляющее большинство физических систем являются линейными в некотором диапа-
зоне изменения переменных. Однако при неограниченном возрастании этих переменных
все системы в конечном счете становятся нелинейными. Например, система, образованная
массой и пружиной (рис. 2.2), является линейной и описывается уравнением (2.1) лишь при
условии малых отклонений y(t). Еслижеу(^) будет постоянно увеличиваться, то может на-
ступить чрезмерное растяжение и разрыв пружины. Поэтому вопрос о линейности и диапа-
зоне применимости этого понятия должен решаться индивидуально для каждой конкрет-
ной системы.

Систему можно определить как линейную, если воспользоваться действующим на
нее возмущением и реакцией на это возмущение. В случае рассмотренной выше электри-
ческой цепи возмущением является входной ток r(f), а реакцией — напряжение v(z). В об-
щем случае необходимым условием линейности системы является соответствующая
связь между возмущением х(1) и реакцией y(f). Если к системе, находящейся в состоянии
покоя, приложить возмущение xt(r), то на выходе появится реакция ^(z). Если при тех же
условиях подвергнуть систему возмущению x2(z), то она даст соответствующую реакцию
y2(J)- Необходимым условием линейности является то, чтобы при возмущении xt(Z) + х2(г)
система давала реакцию у^г) +у2(0- Это положение обычно называют принципом супер-
позиции.

Кроме того, в линейной системе должен выполняться фактор масштабирования.
Опять-таки будем считать, что входом системы является переменная х, а выходом — пе-
ременная у. Тогда необходимо, чтобы при умножении входной переменной на константу
р реакция (выходная переменная) системы изменилась в такое же число раз, т. е. оказа-
лась равна Ру. Это свойство носит название гомогенности.

Линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и гомогеииости.

Если система характеризуется зависимостью у = х2, то она не является линейной, т. к.
для нее не выполняется принцип суперпозиции. Система с у равнением у - тх + b также не
является линейной, поскольку она не обладает свойством гомогенности. Однако послед-
нюю систему можно считать линейной в окрестности рабочей точки х0, у0 относительно
малых приращений Дх и Ду. Если х = х0+Дхиу = 1у0+ Ду, то мы получим

у = тх + 6,

или

у0 + Ду = mx0 + т&х + b

и, следовательно, Ду = /лДх, что удовлетворяет необходимым условиям.

Многие механические и электрические элементы в достаточно широком диапазоне
изменения переменных можно считать линейными. Этого нельзя сказать о тепловых и
гидравлических элементах, которые чаще всего по принципу своего действия оказывают-
ся нелинейными. Однако к счастью нелинейные элементы часто удается линеаризовать
при условии малых отклонений сигналов от их стационарных значений. Такой прием
обычно используется для получения линейных моделей транзисторов и электронных
схем. Рассмотрим общий случай, когда некоторый элемент характеризуется возмущени-
ем (сквозной переменной) x(f) и реакцией на него (относительной переменной) у(г). Неко-
торые примеры динамических систем с такими переменными приведены в табл. 2.1.
Связь между переменными определяется уравнением

ЯО = МЯО],	(2-6)

гдеу[х(/)] показывает, чтоу(/) является функцией х(г). Обозначим координату рабочей точ-
ки через х0. Непрерывную функцию в окрестности рабочей точки можно разложить в ряд
Тейлора:

у=g w , г(Хо) + 4	<2.7)

ах х=х0 1! dx~ Y=vu 2!

Значение производной:

характеризует наклон касательной к кривой функцииу=g(x) в рабочей точке х0. Эта касате-
льная может служить хорошей аппроксимацией исходной кривой в случае малых значений
(х -х0), т. е. отклонения от рабочей точки. В таком предположении можно записать:

У = £(хо) + —

ах

(х-х0 ) = _у0 + т(х-х0 ),

(2.8)

где т есть тангенс угла наклона касательной к кривой в рабочей точке. Окончательно урав-
нение (2.8) можно записать в виде

(у - Уо) = т(х - х0),

или
а)

Рис. 2.5. (а) Масса /И, расположенная на нелинейной пружине;
(б) Зависимость упругой силы от у

Рассмотрим случай, когда груз массы М расположен на нелинейной пружине, как по-
казано на рис. 2.5(a). Рабочая точка имеет место в положении равновесия, когда упругая
сила пружины равна весу груза Mg, где g — ускорение силы тяжести. Таким образом,
/0 = Mg, как показано на рис.2.5(6). Если нелинейная пружина характеризуется зависимо-
стью f =у\ то в положении равновесия у0 = -^Mg. Для малых отклонений линейная мо-
дель описывается уравнением

Д/= т Ду,

где

как показано на рис. 2.5(6). Следовательно, т - 2у0. Данную линейную аппроксимацию
можно считать точной, поскольку допущение о малости приращений переменных полно-
стью применимо к этой механической системе.

Если переменная у зависит от нескольких возмущений х2, хп, то функциональ-
ная зависимость имеет вид:

У = gUi, хп)-	(2.10)

К нелинейной функции нескольких переменных также можно применить разложение
в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки с координатами х10, х2о, Пренебрегая
членами высшего порядка малости, линейную аппроксимацию можно представить в
виде:



(2.11)

где х0 — рабочая точка. Ниже приводится пример, иллюстрирующий применение метода

линеаризации.
Пример 2.1. Модель маятника

Рассмотрим колебания маятника, изображенного на рис. 2.6(a). Момент, действующий на мас-
су, равен:

Т = A/gLsin0,

(2.12)

где g — ускорение силы тяжести. Условие равновесия маятника соответствует значению
0О = 0°. Нелинейная зависимость между Г и 0 графически представлена на рис. 2.6(6). Вычис-
ление первой производной в точке равновесия дает линейную аппроксимацию уравнения
(2.12), которая имеет вид:

T-T.^MgL--^	(6-Go).

0	50 е=в»

где То = 0. Следовательно, мы имеем:

Т = A/gL(cosO°)(0 - 0°) = MgLQ.

(2.13)

Подобная аппроксимация является достаточно приемлемой в диапазоне -л/4 < 0 < тг/4. Напри-
мер, колебания линейной модели в диапазоне ±30° от положения равновесия отличаются всего
на 2% от действительных колебаний маятника.

Рис. 2.6

Колебания
маятника

б)

2.4.	Преобразование Лапласа

Возможность линеаризации физических систем предоставляет в распоряжение ис-
следователя аппарат преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа позволя-
ет заменить достаточно сложное решение дифференциальных уравнений относительно
простым решением алгебраических уравнений. Определение реакции системы на входное
воздействие подразумевает следующие действия:

1.	Получение дифференциальных уравнений.

2.	Преобразование по Лапласу этих дифференциальных уравнений.

3.	Решение полученных алгебраических уравнений относительно переменной, пред-
ставляющей интерес.

Для того чтобы функция f (/) имела преобразование Лапласа, достаточно, чтобы вы-
полнялось условие

СО

V(OI е'°'' dt <
«
0"

т. е. данный интеграл должен сходиться для некоторого действительного положительного
суj. Если |/(Г)) <Меш для всех положительных t, то интеграл будет сходиться при > а. Та-
ким образом, область сходимости определяется неравенством оо > а[ > ос, где ctj известна
как абсцисса абсолютной сходимости. Все физически реализуемые сигналы имеют преоб-
разование Лапласа. Преобразование Лапласа функции времени/^) определяется выраже-
нием

F(s)=f dt =

J0"

(2.14)

Обратное преобразование Лапласа имеет вид

/(0 = 4

(2.15)

у При решении большинства практических задач используются таблицы преобразо-
ваний Лапласа, полученные на основании выражения (2.14). В табл. 2.3 приведены
основные прямые и обратные преобразования Лапласа, а более подробную таблицу
можно найти на Web-сайте MCS.

Таблица 2.3. Некоторые важные преобразования Лапласа

ЛО

Ступенчатая функция, г/(/)

sin(tof)

cos(cof)

t

n

1

1

s+ a

co

dt

Импульсная функция, 8(f)
e ~я/ sin(cof)

e al cos(cof)

• (!)

sin(cof + ф), cp - arctg-----------

2 + Ш2 Cl)/
^=L= е-с«м
Ц x2

= e af sin(cof- cp),

-CO

cp = arctg—

s'"1

sk~2 f\0~

F(s) If0 r/ . .

—— + -	f(t)dt

s s

1
co

(jt + cT)+ co"
(s+ a)

(s1 + a2)+ co2
s+ a

(s+ a)2+ co2

MJ2

s2 + 2(^co,;s' + co2

1

4(.у + a)2 + co2 ]

2

____________________
s'fs'2 + 2(^co^+ co2)

2	2

+ (0	(0

-al •	x	(!)

sinfcof + ф), ф = arctg------------arctg

—CD



2 , _2

2 . _2

'' f^dt


Переменную 5 в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор диффе-

ренцирования, т. е.

(2.16)

Аналогично можно ввести оператор интегрирования

(2.17)

Обратное преобразование Лапласа обычно находят путем разложения F(s) на про-
стые дроби с помощью правила Хевисайда. Этот метод, в частности, полезен при анализе
и синтезе систем управления, т. к. он позволяет легко выявить влияние каждого корня ха-
рактеристического уравнения системы.

Чтобы проиллюстрировать преимущества преобразования Лапласа, рассмотрим еще
раз механическую колебательную систему, описываемую уравнением (2.1), которое име-
ет вид

+ ky = r(t~).

(2.18)

Нам необходимо получить решение этого уравнения, т. е. выражение y(fy Преобразование
Лапласа уравнения (2.18) имеет вид:

dt

+ b[sY (s) - у($~ )] + АУ(^) = ад

(2.19)

Если r(t) = О, у(0 ) = У о и

dt /=о~

= 0, то мы получим:

Ms2Y(s) - Msy0 + bsY(s) - by0 + kY(s) = 0.

Выражая отсюда У(.у). получим:

У(5) =

(М$ + Ь)у0

Ms2 +bs + к

pts')

*

(2.20)

(2.21)

Если полином q(s), стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим харак-
теристическое уравнение, названное так потому, что его корни определяют характер
движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами
системы. Корни полиномаp(s), стоящего в числителе, называют нулями системы; напри-
мер, выражение (2.21) имеет нуль 5 = - ЫМ. В полюсах функция У(5) обращается в беско-
нечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комп-
лексной 5-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Рассмотрим частный случай, когда к/М-2 и ЫМ-3. Тогда выражение (2.21) примет
вид:

У(5) =

Су+3)Уо

(5 +!)(.? +2)

(2.22)

Положение полюсов и нуля этой функции на 5-плоскости показано на рис. 2.7. Разло-
жив (2.22) на элементарные дроби, получим:

У(5) =

3—1503
Рис. 2.7

Расположение полюсов и нуля
на 5-плоскости

где kY и к2 есть коэффициенты разложения. Коэ<

ициенты к} называются вычетами и

определяются путем умножения (2.22) на член знаменателя, соответствующий ki9 и присва-

ивания переменной 5 значения, равного данному полюсу. Так, если положить = 1, то вы-
числение коэффициента дает:

)/>(5)	_ (5+1)Су+3)

q(s) ^=*1 (5+ l)(.s + 2)

(2.24)

Аналогичным образом получим значение к2 = -1. Другой способ нахождения вычетов У(.у)
в соответствующих полюсах основан на графических операциях, производимых на 5-плос-
кости. Так, например, (2.24) можно записать в виде:

(2.25)

Графическое представление выражения (2.25) приведено на рис. 2.8. Графический способ
нахождения вычетов имеет особую ценность в тех случаях, когда характеристическое
уравнение имеет высокий порядок и когда некоторые полюсы образуют комплексно-со-
пряженные пары.

Рис. 2.8

Графическое определение вычетов

Теперь применим обратное преобразование Лапласа к выражению (2.22):

(2.26)

С помощью таблицы 2.3 находим:

y(t) = 2е~* -

(2.27)

Часто бывает необходимо определить установившееся, или конечное, значениеy(t). На-
пример, требуется найти установившееся значение положения уже знакомой нам механи-

ческой колебательной системы. Теорема о конечном значении гласит, что:
где допускается наличие простого полюса У(^) в начале координат, но не допускается нали-
чие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости, а также кратных полюсов в начале
координат. Следовательно, для системы масса-пружина мы получим:

lim y(t)~ Нш5У(5) = Q	(2.29)

/—^$0	5—>0

т. е. конечное положение массы соответствует положению равновесия у = 0.

Чтобы лучше продемонстрировать достоинства метода преобразования Лапласа, рас-
смотрим еще раз систему масса-пружина для случая недодемпфированного движения.
Выражение для У(У) можно записать в виде:

у (	- (s+b/M)yQ

> s2 +(b/M)s+(k/M)

(s + 2<>„ )у0

№ +2C,oi„s+ а2

(2.30)

5

где Q — безразмерный коэффициент затухания, а <ои — собственная частота колебаний
системы. Корни характеристического уравнения равны:

(231)

где, в нашем случае, сол = ^к/М и (^ = />/2л/кМ. Если ^>1, то корни являются вещественны-

ми; при £ < 1 корни являются комплексно-сопряженными. При = 1 корни являются веще-

ственными и кратными, что соответствует так называемому критическому затуханию.

Если Q < 1, то реакция системы является недодемпфированной, и

(232)

На рис. 2.9 показано расположение полюсов и нуля функции У(5), где 0 = arccos
При изменении Q и сохранении постоянным значения со„ комплексно-сопряженные полю-
сы перемещаются по окружности, как показано на рис. 2.10. Переходная характеристика
все более приобретает колебательный характер по мере того, как полюсы приближаются
к мнимой оси при Q —> 0.

Обратное преобразование Лапласа можно найти путем графического определения
вычетов. Разложение (230) на элементарные дроби дает:

y(j) = 31_+_k_.	(2.33)

Поскольку и s2 являются комплексно-сопряженными, то вычет к2 также является

комплексно-сопряженным вычету к1з и мы имеем:

Рис. 2.9. Расположение на
s-плоскости полюсов и нуля Ч5)

Рис. 2.10. Перемещение полюсов при
изменении С и условии = const


Рис. 2.11

Определение вычета ку

где звездочка обозначает комплексно-сопряженное значение. На основании рис. 2.11 вы-
чет ку находится как

к

yQ(s + 2Lpn) _yQMvefi

*1 -jj

Л/2е;л-'2

(2.34)

к где Му есть модуль (Sj + 2^cd„), а М2 — соответственно модуль - X } Основные
р сведения по комплексным числам и операциям с ними приведены на Web-сайте
MCS. В данном случае мы получим:

_j(n/2-e)

(2.35)

где 0 = arccos^. Следовательно,

(2.36)

Окончательно, введя обозначение Jl-£2 =£, мы получим:

y(t) = kye^ + k2eS11

7(7:/2-е) -Ссо„/ -;со„р/ Л_

----	t?	С	i с	С	с	) —

2^

sin(wjl-^r + e).
д-^2

(2.37)

То же самое решение можно получить с помощью п. 11 таблицы 2.3. Переходные характе-
ристики для случаев передемпфированной (£ > 1) и недодемпфированной (£ < 1) системы
приведены на рис. 2.12. Переходной характеристике при £ < 1 свойственно уменьшение со
временем амплитуды колебаний, поэтому она носит название затухающих колебаний.

Между расположением полюсов и нулей на s-плоскости и видом переходной харак-
теристики существует прямая и однозначная зависимость. В то же время степень влияния
каждого полюса, представляемая соответствующим вычетом, очень легко прослеживает-
ся, исходя из графического определения вычетов на s-плоскости. Преобразование Лапла-
са и использование s-плоскости являются очень ценными методами анализа и синтеза си-
стем, когда акцент делается на определение переходных режимов и точность в установив-
шемся состоянии. Поскольку при исследовании систем управления в первую очередь
представляют интерес именно два указанных фактора, то в связи с этим трудно переоце-
нить метод преобразования Лапласа.
Рис. 2.12
Переходные
характеристики
системы
масса-пружина

2.5. Передаточные функции линейных систем

 Л .I ’ V   '

Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования
Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при усло-
вии, что все начальные условия равны нулю. Передаточная функция системы (или элемен-
та) однозначно описывает динамическую связь между этими переменными.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоян-
ными параметрами) систем. В нестационарных системах один или несколько параметров
зависят от времени, поэтому преобразованием Лапласа воспользоваться нельзя. Переда-
точная функция описывает поведение системы в терминах вход-выход и не несет никакой
информации о внутренних переменных и характере их изменения.

Передаточная функция системы масса-пружина получается, если в исходном уравне-
нии (2.19) все начальные условия положить равными нулю:

Ms2Y(s) + bsY(s) + ЛУ(5) = Т?(5).	(2.38)

Отсюда находим передаточную функцию:

=G(5) = ^ =-----5—.	(2.39)

вход	R(s) Ms2+bs + k

Передаточная функция /?С-цепи, изображенной на рис. 2.13, получается путем запи-
си в операторной форме уравнений Кирхгофа относительно напряжений:

К)(5)= R +

(2.40)

и далее

К2(5)=/(5)

(2.41)

Выражая /(л) из (2.40) и подставляя его в (2.41), по-

лучим:

Уг со =

VCs

R + 1/Cs

У1 (О-
Тогда передаточная функция будет иметь вид:

£(*) =

И2(5)

ИС5)

Т5+ 1	5 + 1/Т ’

(2.42)

где т - RC есть постоянная времени цепи. Единственный полюс функции G(s) равен
.V - - 1/т. Выражение (2.42) можно было бы получить сразу, если рассматривать цепь как
обычный делитель напряжения, т. е.

К2(5)_	Z2(s)

7l(s) Z^ + Z.G)’

(2.43)

где Zt(5) = R, Z2(s) = 1/Cs.

Многоконтурная электрическая цепь или подобная ей механическая система с неско-
лькими массами описываются системой уравнений относительно переменной пре-
образования Лапласа. Решать такие уравнения обычно удобнее с помощью матриц
и определителей. С матрицами и определителями можно познакомиться на
Web-сайте MCS.

Теперь рассмотрим поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на
входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения. Пусть дифферен-

циальное уравнение системы имеет вид:

(2.44)

гдеХО есть реакция системы, a r(t) — входной сигнал, т. е. возмущающая функция. Если
все начальные условия равны нулю, то вход и выход системы можно связать передаточной
функцией:

Г (5) = G(s)R(s) = ад = ^~lSn +-Р-^------------^£1 т?(4	(2.45)

(К5)	5	+...+<7о

Реакция системы состоит из свободного движения (определяемого начальными усло-
виями) и вынужденного движения, обусловленного входным сигналом. В результате

можно записать:

Y w ,	+ £« вд.

<7(5) <7(5)

где q(s) = 0 есть характеристическое уравнение системы. Если изображение по Лапласу
входного сигнала представляет собой дробно-рациональную функцию



то

«/С5)

рС5) ”00

<7(s) J(i)

= У1(5)+У2(5)+Уз(5),

(2.46)

где yt(5) — составляющая, характеризующая свободное движение, Y2(s) — составляющая,
обусловленная сомножителями q(s), а У3($) — составляющая, включающая в себя сомно-
жители d(s).

Обратное преобразование Лапласа дает:
Переходный процесс в системе обусловлен составляющими^^/1) +у>(7)? ay^t) есть устано-
вившееся движение системы.

Пример 2.2. Решение дифференциального уравнения

Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением

с начальными условиями у(0) = 1 < —

dt i=o

- 0 при r(t) = 1, t > 0.

Преобразуя это уравнение по Лапласу, получим:

[?У(5) - 5^(0)] + 4[jK(j) - ЯО)] + ЗУ(5) = 2Л(5).

Поскольку А(5) = - и у(0) = 1, то
5

V/ ч	5+4	2

У (s) = —------+ — ----------,

52+ 45 + 3	5(52+ 45+3)

где q(s) = 52 + 45 + 3 = (5 + 1)(5 + 3) = 0 есть характеристическое уравнение, a d(s) = 5. Тогда раз-
ложение У(5) на простые дроби дает:

— = ВД+У2(5)+У3(^

5

Следовательно, реакция системы описывается уравнением:

а в установившемся режиме lim y(t) = — .

Пример 2.3. Передаточная функция операционного усилителя

Операционный усилитель (ОУ) относится к важному классу аналоговых интегральных схем,
обычно используемых в качестве элементов систем управления и во многих других устройст-
вах. Операционные усилители являются активными элементами (т. е. они имеют внешний ис-
точник питания) с высоким коэффициентом усиления при работе в линейном режиме. Модель
идеального операционного усилителя приведена на рис. 2.14.

Для идеального ОУ характерным является следующий режим работы: (1) ft = i2 = 0. что соот-
ветствует бесконечному входному сопротивлению, и (2) v2 - vt = 0 (т. е. v2 = vt). Связь между
входом и выходом идеального ОУ определяется соотношением:

v0 = К(у2 ~ г,) = ~K(v{ ~ v2),

где К —> оо. В данном примере мы будем считать, что имеем дело с идеальным ОУ, работаю-
щим в линейном режиме.

Рассмотрим инвертирующий усилитель, изображенный на рис. 2.15. При указанных выше
условиях можно считать, что = 0, и для данной схемы справедливо соотношение

Рис. 2.14
Идеальный
операционный
усилитель

У]-у, + vi~vo = 0

Инвертирующий
вход

Выход
Так как v2 ~ vi (см. рис. 2.14) иу2 = 0 (см. рис. 2.15), от-
сюда следует Vj = 0. Таким образом,

A, R2

откуда имеем

vo _ ^2

v7

Если принять /?! = А2, то данная схема просто инверти-

Рис, 2,15, Идеальный
инвертирующий операционный
усилитель

рует знак входного напряжения.

Пример 2.4. Передаточная функция системы

Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 2.16(я) и ее аналог в виде электри-
ческой цепи на рис. 2.16(6). Как было показано в табл. 2.1, сквозными переменными-аналога-
ми в механической и электрической схемах являются, соответственно, сила и ток. Скорости
Vj(/) и v7(/) механической системы являются прямыми аналогами напряжений v,(/) и v2(0 в
электрической цепи. Уравнения, описывающие движение механической системы, в случае ну-
левых начальных условий имеют вид:

М15ИИ +	+ Ь)ИС*) - Ь} V2(s) = R(s\	(2.47)

M2sV2(s)+ b1[lz,(5)-H1(j)]+ k-^ = 0.	(2.48)

s

Эти уравнения получены на основании сложения сил. действующих на элементы механиче-
ской системы. Перегруппируя члены, входящие в (2.47) и (2.48), получим:

[Л/,5 + (Ь. + 6,)] Vi(5) -	V,(s) = R(s),

~ЛН<Т +

V2(s) = 0,

'2

или то же самое в матричной форме:

/ад'
о

(2.49)

и2М

Трение Ь\ ЕфЭ

Му

Сила r(t)

а)

Скорость



Рис. 2.16. (5) Механическая система с двумя массами;

(б) Электрическая цепь с двумя узлами — аналог механической системы.

Параметры-аналоги: Су = Му. С2 = Л72, L- \/к. Ry - \/by. R2 ~ Vb2
Считая выходной переменной скорость массы с помощью обращения матрицы либо по
правилу Крамера получим:

И(-у) =

(M2s + b\ + k/s)R(s)

(Л/]*у т *т Z?22^ т к / s) —

(2-50)

Тогда передаточная функция механической (или электрической) системы будет равна:

G (а) =

К](.у)	(M2s + + к Is)	_	(M2s2 + l\s+ к)

R(s) (M}s+	b2)(M2s+	k/s)~ bf (M}s+b2)(M2s2+bls+

(2.51)

Если за выходную переменную принять перемещение x^Z), то передаточная функция примет
вид:

ад=ад=ад	(2.52)

/?(s)	s7?(s) s

В качестве еще одного примера получим передаточную функцию очень важного эле-
мента электрических систем управления — двигателя постоянного тока. Подобные
двигатели используются для перемещения нагрузки и носят название исполнительных
устройств.

Исполнительное устройство — это элемент системы управления, обеспечиваю-
щий поступление на вход объекта управления сигнала достаточной мощности.

Пример 2.5. Передаточная функция двигателя постоянного тока

Двигатель постоянного тока — это мощное исполнительное устройство, снабжающее нагруз-
ку энергией, как показано на рис. 2.17(a); схематическое устройство двигателя показано на
рис. 2.17(6). На рис. 2.18 изображена в разрезе конструкция такого двигателя. Двигатель пре-
образует электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию вращательного
движения. Основная часть момента, создаваемого ротором (якорем) двигателя, используется
для управления внешней нагрузкой. Благодаря таким качествам, как высокий вращающий мо-
мент. возможность регулирования скорости в широком диапазоне, компактность, хорошие на-
грузочные характеристики и одинаковая способность быть использованными в различных си-
стемах управления, двигатели постоянного тока широко применяются в'роботах-манипулято-
рах,Лентопротяжных механизмах,Дисководах, д машиностроении и'Исполнительных устрой-
ствах следящих систем.

Цепь якоря

Инерция = J
Трение - b

Цепь возбуждения Д

Нагрузка

б)

Рис. 2.17. Двигатель постоянного тока: (а) эквивалентная электрическая схема и
(б) схематическое устройство


Рис. 2.18. Двигатель постоянного тока плоской конструкции с постоянными магнитами.
Двигатели данного типа способны создавать высокий момент при малом моменте инерции
ротора. Типичное значение механической постоянной времени — порядка 15 мс.

1 — защитная алюминиевая крышка, 2 — плоская форма, обеспечивающая компактность
конструкции, 3 — подшипники со смазкой длительного действия, 4 — щетки с большим
сроком службы, 5 — постоянные магниты из сплава алнико, обеспечивающие высокое
отношение мощность/вес, 6 — принудительная вентиляция, 7 — обмотка, зафиксированная в
эпоксидной среде с высоким диэлектрическим сопротивлением, 8 — медный коллектор,
специально обработанный для увеличения срока службы, 9 — якорь с малой
индуктивностью, не содержащий деталей из железа, 10 — тарельчатая форма якоря,
обеспечивающая малый момент инерции, 11 — вал, изготавливаемый на заказ под
специфические нужды потребителя

Передаточную функцию двигателя постоянного тока мы получим путем линейной аппрокси-
мации реальных характеристик, пренебрегая такими второстепенными эффектами, как гисте-
резис и падение напряжения на щегках. Входное напряжение может быть подано на обмотку
возбуждения либо на якорь. Если отсутствует насыщение, то магнитный поток в воздушном
зазоре пропорционален току возбуждения, т. е.

Ф = К/if.	(2.53)

Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, линейно зависит от Ф и тока якоря:

Тт = Кф ia (t) = К,Кf if(t)ia (t).	(2.54)

Из уравнения (2.54) вытекает, что для того чтобы двигатель можно было считать линейным
элементом, один из токов должен быть постоянным, а второй следует рассматривать в качест-
ве входного тока. Сначала мы рассмотрим двигатель, управляемый по цепи возбуждения,
за счет чего обеспечивается значительное усиление по мощности. Преобразуя (2.54) по Лапла-
су. получим:

Tm(s)= (K}KfIu)Jj'(s)= Kntlj(S),

(2.55)
где ia = 4 есть постоянный ток якоря, а Кт носит название постоянной электродвигателя. Ток
возбуждения связан с напряжением возбуждения соотношением



(2.56)

Развиваемый двигателем момент прикладывается к нагрузке. При этом можно записать:



(2-57)

где 7} (д’) — момент нагрузки, a T/s) — возмущаюший момент, которым часто можно прене-
бречь. Однако возмущающий момент в ряде случаев принципиально надо учитывать, напри-
мер. когда на систему действуют внешние силы (скажем, сила от порыва ветра, действующая
на антенну). Момент нагрузки в случае ее вращательного движения (см. рис. 2.17) записывает-

ся как

TL(s)= J?0(s) + foO(s).

Из (2.55Н2.57) имеем:

Tds) = Tm(s) - Td(s),
Tm(s) = K„, I/s).

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Следовательно, при Tj(s) = 0 передаточная функция двигателя равна

6fc) ________Кт______________________________

Vf(s) s(Js + b)(LjS + Rj) s(s+b/J)(s +Rj/Lf)

(2.62)

Модель электродвигателя, управляемого по цепи возбуждения, в виде структурной схемы при-
ведена на рис. 2.19. Альтернативное выражение для передаточной функции можно получить,
если ввести в рассмотрение постоянные времени:

Ofc)	/ bRf

-Ы = G (S) =--------2----------.	(2.63)

Kz(s)	s(xfs+ 1)(т£л-1)

где = Lf/RfM. т; - ЛЬ. Обычно , и постоянной времени обмотки возбуждения можно
пренебречь.

В двигателе, управляемом по цепи якоря, входным (управляющим) воздействием является
ток якоря ia. Поле, создаваемое статором, может быть образовано током в обмотке возбужде-
ния или постоянными магнитами. В первом случае, если ток возбуждения является постоян-
ным, момент, развиваемый двигателем, определяется как

7}„(j)=(X1X rIAla(s)

(2.64)

При использовании постоянных магнитов мы имеем:

T,ds) = к,»

где К}п — коэффициент, зависящий от магнитной проницаемости. Ток в цепи якоря связан с
напряжением, приложенным к якорю, соотношением

Yds) = (/?„ + Д>$)/я(«) + Ki(f),	(2.65)

где — противоЭДС, пропорциональная скорости вращения. Следовательно,

Vb(s) = Кь w(j)	(2.66)

Рис. 2.19. Структурная схема двигателя, управляемого по цепи возбуждения


Рис, 2.20. Структурная схема двигателя, управляемого по цепи якоря

и ток якоря

VU(S)-K^(S)

°	D I

Ra + Las

(2.67)

Из уравнений (2.58)~(2.59) получим выражение для момента нагрузки:

Tl{s) ~ Jr9(s) + bsQ(s) ~ T,n(s) -	(2.68)

Связь между переменными, характеризующими динамику двигателя, управляемого по цепи
якоря, схематически показана на рис. 2.20. С помощью уравнений (2.64), (2.67) и (2.68) или не-
посредственно по структурной схеме, полагая 0. получим передаточную функцию дви-
гателя:

G($) = 21Д- =-------------^Л1------------ = —------°'	(2.69)

К, (s) s[(Ra + Д,5)( Js +b)+ KhK„, ] s(s2 +	+ со2)

Для многих двигателей, однако, постоянной времени якоря т = L(1 !Ra можно пренебречь. Тогда

G(J) = JW =	а;,	= K„,/(Rab + KhKm)

Vu (*) 4 Я» (Л + Ь) + КьКт ] s(T,s + 1)

(2.70)

где эквивалентная постоянная времени Tj - RetJ/(Rab +

Интересно заметить, что Кт ~ Кь. Это можно показать, если рассмотреть установившийся ре-
жим работы двигателя и баланс мощностей в предположении, что сопротивлением якоря мож-
но пренебречь. Мощность, подводимая к якорю, равна а мощность, сообщаемая валу,
равна Гео. В установившемся режиме эти мощности равны, так что Khtoia - Так поскольку
Т~ Kmia (см. 2.64), то отсюда следует, что Kh ~ Кт.

Электродвигатели применяются для перемещения нагрузки в тех случаях, когда не требуется
высокого быстродействия и развиваемой мощности. Типичные параметры такого двигателя
приведены в табл.2.4.

Таблица 2.4. Типичные параметры электродвигателя постоянного тока
мощностью в доли л. с.

Постоянная двигателя. К„}

Момент инерции ротора, Jm

Постоянная времени цепи возбуждения, у
Постоянная времени цепи якоря,
Максимальная выходная мощность

50- 10“3 Н-м/А
10”3 Н-м-с2/рад
1 мс

100 мс

1/4 л. с. — 187 Вт
Рис. 2.21

Сравнение
по быстродействию
и развиваемой мощности
электромеханических
и электрогидравлических
устройств

<L>

ж

<L>

500

400

300

200

100

70

50

40

30

10

0.7

0.5

0.3

0.2

Прокатные;
станы ;

Возможные
гидроприводы

i Пока не
существующие
... устройства
л • Ч . I	I. •••

; Краны и

; подъемники
Ь, .	. ,	£	.... .	.	.. г

Типичные:

элсктрогидравлическис
устройства

Станки

' ' Управление антеннами

Типичные

Роботы

электромеханические;

' уётройсз'йа : ’':............................г

•	• •;••••••••••••••.?. Регуляторы..;....

..........автомобильных дви гаге лей

v -1► г1 i f । ч 4 к. •• .z! | *. .4 .1 • | 111 i ’ fl I i fl . <ь |. ► । Л I I % < fl ;• fl < * . ч ’ Ч * । »4 Ч F г • * ' * ' 4 ' * '• 4 * * * ' * '
, У-.: •	• •;	• • ’	• • * ” • • • j ; •	ч: • . •	. •	• •	*

•	•• л •••••:• •	• л . : •   - - •  - РвГуЛЯТОрЫ УрОВНЯ 

5 7 10	20 30 40 50 70 100 200 300 500 1000

400	700

Быстродействие
(в обратных единицах)

Более значительной нагрузочной способностью обладают гидравлические исполнительные
устройства. На рис. 2.21 показаны в сравнении обычные сферы применения электромеханиче-
ских и электрогидравлических приводов.

Пример 2.6. Передаточная функция гидравлического исполнительного
устройства

Для линейного перемещения массы может быть использовано гидравлическое исполнитель-
ное устройство, приведенное в табл. 2.5 (поз. 9). Подобное устройство способно обеспечить
значительное усиление по мощности. Будем считать, что жидкость подается от источника под
постоянным давлением и что ее сжимаемостью можно пренебречь. Перемещение золотника
вниз, обозначенное через х(г), приводит к поступлению жидкости в верхнюю часть гидроци-
линдра и, соответственно, поршень также перемещается вниз. Малая мощность, необходимая

для перемещения x(z), преобразуется в высокую мощность, связанную с перемещением по-
ршня y(t). Объемный расход жидкости Q зависит то перемещения х(0 и разности давлений,
действующих на поршень, т. е. Q = g(x, Р). Воспользовавшись методом линеаризации путем
разложения в ряд Тейлора, запишем:

Р ~ кх - kDP.
л	у

(2.71)

О

где g = g(x. Р) и (х(|, Ро) — координаты рабочей точки. Сила, развиваемая поршнем гидроци-
линдра, равна произведению его площади А на давление Р, т. е.

АР = М-^+Ь—

dt2 dt

(2.72)

Подставляя (2.71) в (2.72), получим

4(^-С) = м
кр

d2y
dt2

(2.73)
Кроме того, объемный расход жидкости связан с перемещением поршня соотношением

(2.74)

Тогда, подставляя (2.74) в (2.73) и перегруппируя члены, получим:

Ак*	Sy

—-х = М-- +

кр	dt

dt

Далее, используя преобразование Лапласа, получим передаточную функцию

У(5) _ К
X(s) ” s(Ms+ В)'

где

„ лкх	А2

Л —----Их? — и 4~ - .

^р	&р

(2.75)

(2.76)

Заметим, что по форме передаточная функция гидравлического исполнительного устройства
совпадает с передаточной функцией электродвигателя. Кроме того, если это исполнительное
устройство работает при высоких давлениях и от него требуется большое быстродействие, то в
расчетах должен быть принят во внимание эффект сжимаемости жидкости.

.^7, Обозначения многих переменных в табл. 2.5 и единицы их измерения помещены на
Web-сайте MCS. Там же можно найти таблицы взаимных преобразований единиц измере-
ния между Международной системой СИ и английской системой единиц.

Понятие передаточной функции и основанные на нем методы являются очень важ-
ными, поскольку они предоставляют в распоряжение исследователя и проектировщика
столь ценное средство, как математическая модель элементов систем управления. Следу-
ет признать, что передаточная функция оказывает неоценимую помощь в попытках полу-
чения моделей динамических систем. Особая ценность передаточной функции заключа-
ется в том, что ее нули и полюсы на 5-плоскости дают полное представление о переходной
характеристике системы. В табл. 2.5 приведены передаточные функции некоторых дина-
мических элементов.

В технике часто требуется передавать вращательное движение от одного вала к дру-
гому. Например, в автомобиле мощность, развиваемая двигателем, передается вращаю-
щимся колесам через коробку передач и дифференциал. Коробка передач позволяет води-
телю выбирать то или иное передаточное отношение в зависимости от дорожных усло-
вий, тогда как дифференциал находится в неизменном положении. В этом случае ско-
рость движения не является постоянной — водитель может менять ее по своему
усмотрению. Другим примером является система редукторов, с помощью которой враще-
ние вала электродвигателя преобразуется в поворот антенны вокруг ее оси. Примерами
механических преобразователей данного типа могут служить зубчатые, цепные и ремен-
ные передачи. В электрических системах типичным преобразователем является транс-
форматор. Примером устройства, преобразующего вращательное движение в поступате-
льное, является передача зубчатое колесо-рейка (см. поз. 17 в табл. 2.5).
Таблица 2.5. Передаточные функции динамических элементов и цепей

Элемент или система

G(j)

1.	Интегрирующая цепь, фильтр

У2^) ______L

Hj(j)	RCs

2.	Дифференцирующая цепь

nr

——- = ~RCs
у^)

3.	Дифференцирующая цепь

y2(s)	Rjjjfs+l)

W R,

4.	Фильтр с интегрированием

5.	Двигатель постоянного тока с управлением
по цепи возбуждения
(вращательное движение)

9(*) = Кт

У/($) s(Js + b)(Lj$ + Rf)
Таблица 2.5 (продолжение)

Элемент или система

ОД

6.	Двигатель постоянного тока с управлением по цепи
якоря (вращательное движение)

в(*) ,___________

Уа (*) 4(Л +	+ Ь) + KhKm 1

7. Двухфазный двигатель переменного тока
(вращательное движение)

е<д) . кт

VC(S) 5(W+1)

т = Л(Ь - т)
т - наклон линеаризованной зави-
симости скорости от момента на-
грузки (обычно отрицательный)

8.	Электромашинный усилитель

Уи (*)	(К/RCR4)

Гс(5) (STC + 1)(st9 + 1)

Тр ~ L^/Rc, Tq = Lq /Rq

В режиме холостого хода

М ® О, тс- ~

0.05 с < тс < 0.5 с

9.	Гидравлическое исполнительное устройство

х(0 Перемещение
золотника

Возврат

Возврат

Источник —
давления —

Поршень

y(t)

Нагрузка

И*) _	*

X(s) s(Ms + В)

g ~ g(x, Р) = поток
А — площадь поршня
Таблица 2.5 (продолжение)

Элемент или система

10.	Шестеренчатый редуктор
(передача вращения)

G(s)

Шестерня 2

Передаточное число

СО f /7 СО до

п ~	1

•V2

№0/, “МО/л, 0Л ~

11.	Потенциометр

_	^2	_	^2

ИМ	R	~ R}	+	R2

r2	_	q

*	"	0,пах

12. Потенциометрическая схема формирования ошибки

Vz(s) = A.v(0i(s) - Ог(у))

- Л

max

Напряжение
ошибки

13. Тахогенератор (датчик скорости)

P'2(5r) = A^cd(s) = /GsO(s)
К, = const

14. Усилитель постоянного тока

И] (s) st + 1

Ro — выходное сопротивление
Со — выходная емкость
т = 7?оСо. т << 1 с
и можно пренебречь, если усили-
тель предшествует сервоприводу
Таблица 2.5 (продолжение)

Элемент или система



15. Акселерометр (датчик ускорения)

Станина

v(H

16. Система подогрева

Входной
поток	—I

жидкости

о 6

Нагревательный

элемент

Выходной
поток
жидкости

МО

.r0U) _	-S2

X,„(s) s2 + (b/M )s + kIM

Для низкочастотных колебаний,
где w < оэп,

*,„(» ~ к/М

7(s)	1

----—----------------. где

q(s) Cfs+ (QS + 1/Я)

Т= Уе — разность температур
Сг — теплоемкость

Q — расход жидкости = const
5 — удельная теплоемкость воды
R} — тепловое сопротивление
изоляции

q(s) — тепловая мощность
нагревательного элемента

17. Зубчатое колесо и рейка

т =

преобразует круговое движение
в прямолинейное

2.6.	Структурные схемы

Динамические системы, в том числе и системы автоматического управления, на языке ма-
тематики описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Как было
отмечено в предыдущих разделах, использование преобразования Лапласа сводит задачу
решения дифференциальных уравнений к решению системы линейных алгебраических
уравнений. Поскольку в системах управления путем изменения одних переменных произ-
водится целенаправленное воздействие на другие переменные, то необходимо установить
связь между этими переменными. Данную связь обычно представляют в виде передаточ-
ной функции, которая является одним из основных понятий теории управления.

Преимущество передаточной функции заключается в том, что она позволяет изобра-
зить причинно-следственную связь между переменными в наглядной схематической фор-
ме. В теории управления преобладает представление различных динамических систем в
Рис. 2.22

Структурная схема двигателя
постоянного тока

Рис. 2.23

Система с двумя входами
и двумя выходами

Yr(s)

0(у)

/ад

/ад

Входы

Система

1 Выходы

'------► УМ

виде структурных схем. Структурные схемы состоят из блоков направленного действия,
каждому из которых соответствует определенная передаточная функция. Так, на рис. 2.22
изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи воз-
буждения, которая отражает связь между углом поворота G(^) и приложенным напряже-
нием И/Су).

Для описания системы с несколькими управляемыми переменными используется
структурная схема с перекрестными связями. Например, в системе на рис. 2.23 имеются
две входных и две выходных переменных. С помощью передаточных функций мы можем
записать связывающие их уравнения:

W	(2.77)

Y2(s) = адО)ВД + С22МВД,	(2.78)

где Gjj(s) — передаточная функция оту-го входа к /-му выходу. Структурная схема, отража-
ющая записанные выше уравнения, представлена на рис. 2.24. В общем случае, при нали-
чии Jвходов и /выходов, связывающие их уравнения можно записать в матричной форме:

си(5) ... ад (5)

С721(5) ... G2J(s)

Ry

R2 (s)

(2.79)

Y1 (s).

Gn(s) ... Gu(s)

Rj (s')

или в компактном виде

Y = GR.

(2.80)

Здесь Y и R есть, соответственно, матрицы-столбцы, элементами которых являются / вы-
ходных и J входных переменных, a G — матричная передаточная функция размерности
/х J.

Подобное матричное представление имеет особую ценность при анализе много-
связных (многомерных) систем у правления. Для читателей, не знакомых с алгеброй
матриц, основные сведения из этой области приводятся на Web-сайте MCS.

Рис. 2.24

Структурная схема системы
с перекрестными связями
Пользуясь определенными правилами, структурную схему сложной системы можно
упростить, сведя ее к конфигурации с меньшим числом блоков, чем в исходной системе.
Поскольку передаточные функции являются средством описания линейных систем, им
присуще свойство коммутативности. Следовательно, для поз. 1 из табл. 2.6 мы можем за-
писать:

ад = с.мад - с^с^эад.

Если два блока соединены последовательно, то предыдущее уравнение можно запи-
сать также в виде

ад =

При этом предполагают, что если выход первого блока соединен со входом второго,
то влияние нагрузки на первый блок является незначительным. Если же нагрузка оказы-
вает существенное влияние на выходную переменную предшествующего блока, то инже-
нер обязан учесть этот фактор и внести соответствующее изменение в передаточную фун-
кцию.

Таблица 2.6. Правила преобразования структурных схем

Преобразование

Исходная диаграмма Эквивалентная диаграмма

1.	Последовательное
соединение блоков

2.	Перенос сумматора через
блок с передаточной
функцией по ходу
движения сигнала

3.	Перенос узла через блок
с передаточной функцией
против движения сигнала

4.	Перенос узла через блок
с передаточной функцией
по ходу движения сигнала

5.	Перенос сумматора через
блок с передаточной
функцией против
движения сигнала

6.	Исключение контура
с обратной связью
Методы преобразования структурных схем основаны на рассмотрении алгебраиче-
ских соотношений между отдельными переменными. Например, рассмотрим структур-
ную схему, изображенную на рис. 2.25. В этой системе с отрицательной обратной связью
сигнал на входе объекта управления записывается в виде :

Ea(s) = R{s) - B(s) = R(s) -	Y(s).	(2.81)

Поскольку выходная переменная связана с этим сигналом передаточной функцией

G(a), то

ф) = G(s)Ea(s)

и, следовательно,

Y(s) = G(s)[R(s) - H(s)Y(s)].

Группируя члены при У(5), получим:

У(5)[1 + G(s)H(s)] = G(s)A(s).

(2.83)

(2.84)

Отсюда получим передаточную функцию, связывающую выход со входом:

=.	(2.85)

Л(5)	1+0(5)77(5)

Это выражение, известное как передаточная функция замкнутой системы, представляет L
особую ценность, т. к. оно свойственно большинству реальных систем управления.

Сведение структурной схемы, представленной на рис. 2.25, к одному-единственному
блоку является лишь одним примером элементарных преобразований, приведенных в
табл. 2.6. Анализ систем путем преобразования структурных схем дает гораздо лучшее
представление о роли каждого элемента, чем это было бы при рассмотрении уравнений.
Правила преобразования структурных схем мы проиллюстрируем на примере сведения
многоконтурной системы к более простому виду.

Рис. 2.25

Система с отрицательной
обратной связью

Пример 2.7. Упрощение структурной схемы

На рис. 2.26 изображена структурная схема многоконтурной системы управления. Заметим,
что сигнал	подается на сумматор со знаком плюс, поэтому контур, образованный

блоками G3G)G4(s)//jG), называют контуром с положительной обратной связью. Упрощение
этой структурной схемы основано на применении правила 6 из табл. 2.6, которое связано с
исключением изолированных контуров. Поэтому необходимо будет использовать и другие
правила, чтобы подготовить схему к применению правила 6. Сначала, чтобы исключить кон-
тур G3G4/7b мы перенесем узел через блок G4 по ходу движения сигнала (см. правило 4) и по-
лучим схему, изображенную на рис. 2.27(a). Исключая контур G3G4/7] по правилу 6, мы пол1'
чим схему рис. 2.27(5). Затем, исключая внутренний контур, содержащий Я2/64, получим схе-
му рис. 2.27(e). Наконец, исключая контур, содержащий Я3, мы получим передаточную функ-
цию замкнутой многоконтурной системы, как показано на рис. 2.27(г). Стоит обратить
внимание на вид числителя и знаменателя этой передаточной функции. Можно видеть, что
числитель образован произведением передаточных функций блоков, находящихся в прямой
цепи от входа A(s) к выходу У(^). Знаменатель равен единице минус сумма произведений пере-
даточных функций блоков, образующих замкнутые контуры. Произведение G3G4Z/1 берется со
Рис- 2-26- Многоконтурная система управления

знаком плюс, поскольку это контур с положительной обратной связью, а произведения
и G2G2H2 — со знаком минус, т. к. в этих контурах обратная связь отрицательная.

Чтобы лучше это проиллюстрировать, знаменатель можно записать в виде

£/(s) = 1 — (+G3G4//1 — G2G3H2 ~ G\G2G3G^H3).	(2,86)

Как мы увидим в следующем разделе, такой вид числителя и знаменателя характерен для мно-
гоконтурных систем управления.

ад

Г(5)

Рис- 2-27- Упрощение структурной схемы системы рис. 2.24
Метод структурных схем широко распространен в теории и практике автоматическо-
го управления. Он дает очень наглядное графическое представление о взаимосвязи управ-
ляемых и входных переменных. Кроме того, проектировщик легко может обнаружить не-
обходимость введения в существующую структурную схему дополнительных блоков с
целью улучшения характеристик системы. Наряду со структурными схемами существует
альтернативный метод представления модели систем в виде сигнального графа. Этот ме-
тод будет представлен в следующем разделе.

2.7.	Модели в виде сигнальных графов

Структурные схемы адекватно представляют взаимосвязь между управляемыми и
входными переменными. Однако для систем достаточно сложной конфигурации проце-
дура упрощения их структурных схем является весьма трудоемкой и часто трудно выпол-
нимой. Мейсоном был предложен альтернативный метод представления взаимосвязи
между переменными системы, основанный на использовании сигнальных графов. Преи-
мущество этого метода состоит в том, что по сигнальному графу, без каких-либо его пре-
образований, с помощью специальной формулы сразу можно установить связь между пе-

ременными системы.

Сигнальный граф представляет собой диаграмму, состоящую из узлов, соединен-

ных между собой отдельными направленными ветвями, и является графическим средст-

вом описания линейных соотношений между переменными. Сигнальные графы особенно

важны для систем управления с обратной связью, поскольку теория этих систем в первую
очередь рассматривает распространение и преобразование сигналов. Основным элемен-
том сигнального графа является однонаправленный отрезок, называемый ветвью, кото-
рый отражает зависимость между входной и выходной переменной наподобие того, как
это делает отдельный блок в структурной схеме. Например, ветвь, связывающая выход

двигателя постоянного тока 0(s) с напряже-
нием возбуждения изображенная на
рис. 2.28, подобна структурной схеме на
рис. 2.22. Точки входа и выхода, на рисун-
ке похожие на клеммы, называются узла-
ми. Аналогично, сигнальный граф, соот-



О

О

Рис. 2.28. Сигнальный граф двигателя
постоянного тока

ветствующий уравнениям (2.77), (2.78) и рис. 2.24, изображен на рис. 2.29. Преобразова-

ние каждой переменной охарактеризовано надписью около направленной стрелки. Все
ветви, выходящие из узла, предают сигнал другому (выходному) узлу каждой ветви, при-
чем однонаправленно. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствую-
щую этому узлу переменную. Путь — это ветвь или последовательность ветвей, которые
могут быть проведены от одного узла к другому. Контур — это замкнутый путь, который

начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем вдоль этого пути ни один дру-
гой узел не встречается дважды. Некасающимися называются такие контуры, которые
не имеют общего узла. Два касающихся контура имеют один или более общих узлов. Рас-
смотрев еще раз рис. 2.29, мы можем записать:

У,(^) = Сн(5)ед + Gi2(s)R2(s),

У2(л) = G2i(s)Ri(s') + G22(s)R2(s),

(2.87)

(2.88)
Рис. 2.29. Сигнальный граф для системы
с перекрестными связями

Рис. 2.30. Сигнальный граф для двух
алгебраических уравнений

Сигнальный граф — это просто наглядный метод записи системы алгебраических
уравнений, показывающий взаимосвязь между переменными. В качестве еше одного при-
мера рассмотрим следующую систему алгебраических уравнений:

аи%1 + а12х2 + ri = Xi,	(2.89)

«21*1 + а22х2 + г2=х2.	(2.90)

Здесь и г2 — входные переменные, ах( их2 — выходные переменные. Сигнальный граф,
соответствующий уравнениям (2.89) и (2.90), изображен на рис. 2.30. Уравнения (2.89) и
(2.90) можно записать в ином виде:

*10 - а11) +	д12) =

%i( - а21) +

Решая последнюю систему по правилу Крамера, получим:

(2-91)
(2.92)

(2.93)

(2-94)

В этих решениях знаменатель равен определителю, составленному из коэффициен-
тов при неизвестных, и его можно записать так:

А = (1 - ан)(1 ~ а22) - aI2a21 = 1 -	- а22 + ана22 - а12а21.	(2.95)

В данном случае знаменатель равен единице минус коэффициенты передачи отдельных
контуров ах ।, а22 и а12л21 плюс произведение коэффициентов передачи двух некасающихся
контуров а, 1 и а22. Контуры а22 и являются касающимися, так же, как и контуры ахj и
а21аП-

В решении для %! по отношению ко входу числитель равен единице, умноженной
на (1 - л22), т. е. значению определителя некасающегося пути от г, к В решении для %!
по отношению ко входу г2 числитель просто равен л12, т. к. этот путь касается всех конту-
ров. Числитель выражения для х2 симметричен соответствующему числителю для х(.

В общем случае линейная зависимость между независимой переменной х} (часто
называемой входной переменной) и зависимой переменной х- определяется по формуле
Мейсона:

S Л/*

Т,	,	(2.96)
где Р]]к — коэффициент передачи А-го пути от переменной х} к переменной х],

А — определитель графа,

А,-,* — дополнительный множитель для пути Р!]к,
а суммирование производится по всем возможным к путям отх,- кх;. Дополнительный мно-
житель \}jk равен определителю всех касающихся контуров при удалении &-го пути. Опре-
делитель А находится как

I т=\л/=\

(2.97)

где Lq есть коэффициент передачи </-го контура. Таким образом, правило вычисления А че-
рез значения L3, ..., LN таково:

A = 1 - (сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров) +

+ (сумма произведений всех возможных комбинаций из 2 некасаюшихся контуров) -
- (сумма произведений всех возможных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +
4- ...

Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном виде для определе-
ния связи между выходной переменной У(я) и входной переменной R(s), т. е.

(2.98)

где T(s) = Y(s)/R(s). Коэффициент передачи пути/\ (или/^) определяется как непрерывная
последовательность ветвей, простирающихся в направлении, указанном стрелками, при-
чем ни один узел не встречается в этой цепи более одного раза.

Простоту и удобство применения данного метода мы проиллюстрируем нескольки-
ми примерами. Хотя формула (2.96) на первый взгляд кажется трудно воспринимаемой,
всё же следует помнить, что она представляет обычный процесс суммирования, а не
сложных преобразований.

Пример 2.8. Передаточная функция системы с параллельными путями

На рис. 2.31 изображен сигнальный граф с двумя параллельными путями. Примером системы
управления, граф которой имеет несколько путей, может служить шагающий робот с несколь-
кими конечностями. От входа R(s) к выходу Y(s) ведут следующие пути:
путь I — Р^ ~	и путь 2 — 7*2 = G5G6G7(78.

Граф содержит четыре контура:

Рис. 2.31

Сигнальный граф с двумя
параллельными путями
Контуры иЛ не касаются контуров L3 и L4. Следовательно.

(2.99)

Дополнительный множитель определителя для пути 1 вычисляется в результате удаления из Д
контуров, касающихся пути 1. Поэтому

Л[ — До — 0 и Д] — 1	(Л3 + Л4).

Аналогично, дополнительный множитель для пути 2 принимает вид

До — 1 — (А] + До).

Таким образом, передаточная функция системы

Пример 2.9.

ИД

Л(Н

^)+Л| Lq)

вигатель, управляемый по цепи якоря

(2.100)



На рис. 2.20 изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по
цепи якоря. Схема отражает связь между переменными в виде уравнений (2.64)-(2.68). Сигна-
льный граф может быть получен либо на основании тех же уравнений, либо непосредственно
по структурной схеме. Этот граф изображен на рис. 2.32. Полагая T/s) = 0, получим переда-
точную функцию 0(5)/Ид(5) с помощью формулы Мейсона. Граф имеет прямой путь РуД каса-
ющийся одного контура 2^(5), где

?!(.?) = -С|($)6,(гг) и A](s) = -KbGl(s)G,(s').
s

Следовательно, передаточная функция имеет вид

т .	= (i'w2w =_________к»______

l-Lt(s) 1+ KhGiis^s) s[(Ra + Las)(Js+ b)+ KhKm]'

что полностью совпадает с выражением (2.69), полученным ранее.

Формула Мейсона дает достаточно простой метод анализа сложных систем. Чтобы
сравнить этот метод с методом упрощения структурных схем, который является ненамно-
го более сложным, рассмотрим еще раз систему из примера 2.7.

Пример 2.10. Передаточная функция многоконтурной системы

На рис. 2.26 приведена структурная схема многоконтурной системы. Здесь нет особой необхо-
димости перерисовывать эту схему в виде графа, поэтому мы сразу применим формулу Мей-
сона (2.98). Схема имеет один прямой путь = GjG2G3G4 . Контуры в схеме таковы:

Li=-G2G3H2, L2 = G3G4Hlt А3=- G]G2G3G4H3.	(2.101)
Все контуры имеют общие узлы, поэтому они являются касающимися. Кроме того, путь Р\ ка-
сается всех контуров, поэтому А, = 1. Тогда передаточная функция замкнутой системы опреде-
ляется выражением

jvm -	______ЗД—	----------- (2 io?)

R(s)	X+Gfi3H2-G3G^H^Gfifi3G4H3

Пример 2.11. Передаточная функция сложной системы

В заключение мы рассмотрим достаточно сложную систему, для которой метод упрощения
структурной схемы представлял бы значительные трудности. Такая система с несколькими
контурами и прямыми путями изображена на рис. 2.33. Прямые пути следующие:

Pj == Gfi.G.G.Gfi^ Р2 ~ G^GyGyG^. Р3 — G^G2G3G4G^.

Кроме того, имеем следующие контуры:

Контур £5 не касается контура Т4 или контура Д7; контур L3 не касается контура Z4; все осталь-
ные контуры являются касающимися. Поэтому определитель графа

А - 1 - (L} + L2 + ^з + ^4 + -^5 + ^6 + Р7 + ^*8 ) + (Т5Т7 + А5Т4 + Т3А4).	(2.103)

Дополнительные множители:

А, - А3 = 1 и А? - 1 - Ц = 1 + G4//4.

Окончательно, передаточная функция имеет вид:

Рис. 2.33. Многоконтурная система

2.8.	Компьютерный анализ систем управления

t	/*•

В процессе проектирования, еще до создания реального образца системы управления, для
исследования различных ее характеристик может быть использована компьютерная мо-
дель, основанная на математическом описании системы. При имитационном моделиро-
вании модель ставится в те же условия и подвергается тем же внешним воздействиям, при
которых будет работать реальная система.

В распоряжении инженера имеются различные уровни достижимой точности моде-
лирования. На первых этапах синтеза весьма эффективным являются интерактивные при-
кладные пакеты САПР. При этом не так важно быстродействие компьютера, как то, ско-
лько времени потребуется инженеру для получения начального решения и доведения его
итеративным путем до окончательного проекта. Решающее значение здесь имеют качест-
венные графические средства. В данном случае моделирование характеризуется невысо-
кой точностью, т. к. при построении модели обычно делаются различные допущения и
упрощения (например, линеаризация). В данной книге в качестве программного средства
моделирования мы используем MATLAB, хотя существуют и с успехом могут применя-
ться и другие похожие пакеты прикладных программ.

По мере совершенствования процедур синтеза возникает потребность в проведении
числовых экспериментов в условиях, наиболее приближенных к реальности. Например,
если вы проектировали систему управления положением космического аппарата, предпо-
лагая, что аэродинамическое сопротивление отсутствует, то было бы чрезвычайно полез-
но учесть этот эффект на заключительной стадии моделирования. В результате вы сможе-
те получить количественные оценки поведения космического аппарата, находящегося на
орбите. В данном случае быстродействие компьютера приобретает особую важность, т. к.
чем продолжительнее время моделирования, тем меньше можно провести компьютерных
экспериментов и тем, соответственно, больше будут затраты. Обычно подобное модели-
рование высокой точности связано с программированием на языках Фортран, С, C++,
Ада или им подобных.

Следует отметить основные преимущества компьютерного моделирования:

1.	Поведение системы можно пронаблюдать при самых разных условиях.

2.	Путем исследования модели можно предсказать, как поведет себя реальная система
при натурных испытаниях.

3.	По данным испытаний можно сделать некоторые умозаключения относительно си-
стем, которые еще предстоит синтезировать.

4.	Всесторонние испытания системы можно выполнить за сравнительно короткий
промежуток времени.

5.	Результаты моделирования можно получить с гораздо меньшими затратами, чем
при натурном эксперименте.

6.	Можно изучить поведение системы в таких гипотетических условиях, которые в на-
стоящее время вряд ли могут реально иметь место.

7.	Компьютерное моделирование часто является единственным или безопасным мето-
дом анализа поведения системы.

Анализ и синтез системы управления осуществляется более эффективно, если этот
процесс сопровождается имитационным моделированием, как показано на рис. 2.34.

Рис. 2.34

Анализ и синтез
с использованием
модели системы

.у
2.9.	Примеры на синтез систем управления

Пример 2.12. Управление устройством электрической тяги

Большинство современных поездов дальнего и пригородного сообщения работают на электри-
ческой тяге. На рис. 2.35(a) изображена функциональная схема системы управления приводом
электровоза, предназначенная для обеспечения заданной скорости движения. Цель синтеза со-
стоит в получении модели системы, ее передаточной функции в замкнутом состоянии,
со Cy)/o\;(s), выборе надлежащих номиналов резисторов	и У?4 и предсказании характе-

ристик системы.

Первый шаг состоит в получении передаточной функции каждого блока. В качестве датчика
скорости мы используем тахогенератор, выходное напряжение которого. пропорциональ-
ное скорости, подадим на один из входов дифференциального усилителя, как показано на
рис. 2.35(6). Усилитель мощности обладает нелинейной характеристикой, которая прибли-
женно может быть описана зависимостью v2 = 2е^ = 2exp(3v0 - g(vj). Рабочей точке на этой

г)

Рис. 2.35. Система управления скоростью электропривода
характеристике соответствует значение v,0 = 1.5 В. Воспользовавшись методом, изложенным в
разд. 2.3. получим линейную модель усилителя мощности:

4v2 =

dvy

vio

Av| = 2[3 exp(3v10)]Av| = 540Av|

(2.105)

Далее, отбрасывая символы приращений и воспользовавшись преобразованием Лапласа, по-
лучим:

H2(s) = 5407,(s).

Для дифференциального усилителя можно записать:

1 + RJR	R,

V, =-------“Vn---- V,.

l+7?,/A4	7?!

(2.106)

Потребуем, чтобы входной управляющий сигнал v0 численно был равен заданному значению
скорости, т. е. ш= v0, где ю(/ измеряется в рад/с, a v0 — в вольтах. Тогда, если v0 = 10 В. то уста-
новившееся значение скорости должно быть равно 10 рад/с. Заметим, что в установившемся
режиме vf = А^ш^и следует ожидать, что выходное напряжение дифференциального усилителя
будет равно

(2.107)

Когда система находится в равновесии, то v{ = 0 и если А) = 0.1. то

Л- 4	1

1 + Л,/Л4. я.

Этоусловие выполняется, еслиХ2//?1 = Юи/?3//?4 = 10.Параметры двигателя и нагрузки приве-
дены в табл. 2.7.

Таблица 2.7. Параметры мощного двигателя постоянного тока

xw = 10

Ra = 1

J = 2
b = 0,5

La = 1	A^, -0,1

Полная схема системы изображена на рис.2.35(6). Используя формулу Мейсона, по сигналь-
ному графу на рис.2.35(г) получим:

0(5) _	540 G](5)G2(5)	_	540 6^2	__

OjG) 1-ь 0,1 G[(j2-г 540G|6>	1 + 540,1 б7[б72

________5400__________ 5400	_	2700_______

(s+ l)(2s + 0.5)+ 5401 ” 2s2 + 2,5s+ 5401,5 ” s2 +1,25s + 2700,75 '

(2.108)

Поскольку характеристическое уравнение имеет второй порядок, то можно видеть, что = 52
и £ - 0,012, т. е. следует ожидать, что реакция системы будет сильно колебательной.

Пример 2.13. Механический акселерометр

Иа рис. 2.36 изображен механический акселерометр, предназначенный для измерения ускоре-
ния салазок, подвешенных на магнитной подушке. Эти салазки от направляющего рельса отде-
ляет зазор величиной 6. Измерение ускорения салазок a(t) обеспечивается за счет того, что по-
ложение у массы М относительно корпуса акселерометра пропорционально ускорению этого
корпуса (и, соответственно, салазок). Задача состоит в синтезе акселерометра, обладающего
заданными динамическими характеристиками. В частности, желательно, чтобы результат из-
мерения. y(t) - qa{t), где q = const, был достигнут за приемлемое время.
Рис, 2.36. Акселерометр на базе салазок с реактивным двигателем

Сумма сил. действующих на массу, равна

,dy	d2

-b---ку = М—г

dt ' dt2

или

(2.109)

Поскольку сила, развиваемая реактивным двигателем, равна

_, .	. г d2x

F{t) =	.

dr

то

Му+ Ьу+ ку~ -

М

Ч-



или

(2.1 ГО)

Зададимся значениями ЫМ - 3. kJM = 2. обозначим F(t)/Ms = Q(t) и примем начальные условия
у(0) = -1 и у(0) - 2 Если внешнее воздействие и. следовательно. Q(t) есть ступенчатая функ-
ция, то преобразование Лапласа последнего уравнения дает:

(Я2Ш - 5Я0)- Я»)) + 3(5Г(5) - ЯО)) + 2Y(5) = -6(5).	(2.111)

Поскольку Q(s) = P/s, где Р — амплитуда ступенчатой функции, то

(52У(5)+ 5- 2) + 3(5Г(5)+ 1)+ 2У(5) =

S

или

(s2 + 35 + 2)У(5) =	+s+-p^.	(2.112)

S
Таким образом, преобразование Лапласа для выходной переменной имеет вид:

(? + 5 + Р) _	(S2+S+P)

s(s2+3s+2) s(s+l)(s + 2)

Разложение этого выражения на простые дроби дает:

(2.113)

(2.114)

Дальнейшие действия дают следующее:

(s + 1)(^ + 2)

(2.115)

Аналогично, Аэ = Р и к

. Таким образом.

/(*) = -

5+1 2(5+2)

(2.116)

Следовательно, измеряемое значение выходной переменной равно
ЯО = ^[-^ + 2/,е-'-(/>+ 2)е~2']. t > 0.

ГрафикX0 Для Р = 3 представлен на рис. 2.37. Как видно из графика, y(t) становится пропор-
циональным величине силы спустя 5 секунд. Если это время считается недопустимо большим,
то следует увеличить жесткость пружины к и коэффициент трения b с одновременным умень-
шением массы М. Если выбрать значения ЫМ= 12 и к!М= 32, то акселерометр будет обеспечи-
вать правильные показания через 1 секунду. (Читателю предоставляется возможность убеди-
ться в этом самостоятельно.)

Рис. 2.37

Реакция акселерометра

Пример 2.14. Синтез лабораторного работа

В этом примере мы попытаемся показать все сложности реального проектирования лаборатор-
ного устройства. Одновременно мы представим ряд элементов, которые обычно входят в со-
став систем управления.

Робот, предназначенный для использования в лабораторных условиях, показан на рис. 1. 16. Ра-
бочее пространство робота должно позволять ему достигать любой точки и манипулировать
имеющимися в распоряжении приспособлениями. Кроме того, должна быть предусмотрена
достаточная площадь для складирования материалов, не участвующих в текущих операциях.
Лабораторный робот может выполнять три типа задач в процессе исследований. Первая задача
состоит в том, что роботу поручается захватывать различные подносы, каркасы и контейнеры
и вносить их в рабочую зону. Второй круг задач включает в себя транспортировку образцов
между пунктами приготовления химических препаратов и их анализа, В третьей группе задач
роботу предоставляется возможность имитировать работу человека-оперетора в процессе раз-
личных лабораторных экспериментов.

Фирма Хьюлетт-Паккард создала лабораторный робот ORCA, смонтированный на рельсовых
направляющих, имеющий антропоморфную руку, оптимально приспособленную для аналити-
ческих операций. Рельс может быть расположен как спереди, так и сзади рабочего пространст-
ва. либо по его центру, если необходим доступ по обе его стороны. С помощью простой про-
граммы рука робота может перемешаться с одной стороны рельса на другую, сохраняя ориен-
тацию кисти (чтобы переносить открытый контейнер) или фиксируя угловое положение кисти
(при переносе объектов с произвольной ориентацией). Прямолинейная геометрия, в отличие
от цилиндрической геометрии многих роботов, дает больше возможностей для размещения
предметов в рабочем пространстве и установки самого робота в лаборатории. Движение всех
сочленений координируется программными средствами, которые облегчают использование
робота, задавая его ориентацию в более привычных декартовых координатах.

Основные технические характеристики робота ORCA приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8. Технические характеристики робота ORCA

Рука

Степени
свободы

Предел
досягаемости

Высота

Длина рельса

Масса

Точность

Сочлененная
на направляющем
рельсе

6

±54 см

78 см

1 и 2 м

8.0 кг

± 0,25 мм

Обучающее
устройство

Время цикла

Максимальная
скорость

Время задержки

Полезная на-
грузка

Отклонение по
вертикали
Площадь рабо-
чей зоны

Джойстик с аварийным
выключением

4 с (движения: 1 дюйм вверх,
12 дюймов в сторону.

1 дюйм вниз, возврат)

75 см/с

Типичное значение 50 мс
(для движений в пределах зоны
действия)

Постоянная 0.5 кг. кратковре-
менная — 2.5 кг (с ограничения-
ми)

Менее 1.5 мм при постоянной
нагрузке

1 м2

Размер захвата

40 мм

Вращение захвата ± 'll оборотов

Синтез лабораторного робота ORCA заключался в выборе компонентов, необходимых для
сборки всего устройства. Робот в разобранном виде изображен на рис. 2.38. В нем использова-
ны шесть двигателей постоянного тока, редукторы, ременные передачи, рельс и тележка. При
синтезе основной задачей проектировщика являлась разработка точных моделей компонентов
системы и исследование их взаимодействия.

Пример 2.15. Синтез фильтра низких частот

Цель состоит в синтезе низкочастотного фильтра первого порядка, который пропускал бы сиг-
налы с частотой менее 106.1 Гц и ослаблял сигналы с частотой выше указанной. Кроме того,
фильтр должен иметь коэффициент передачи по постоянному току, равный 1/2.
Рис. 2.38. Элементы робота ORCA в разобранном виде:

1 — ячеистая платформа, 2 — рельс и тележка, 3 — привод тележки, 4 — шасси,

5 — литой корпус, 6 — привод плеча, 7 — ременные передачи, 8 — крышка предплечья,
9 — литое предплечье, 10 — захват руки в сборке, 11 — литая рука, 12 — локтевое
сочленение, 13 — плечевое сочленение, 14 — печатная плата управления корпусом,

15 — печатная плата и двигатели, управляющие локтем и запястьем, 16 — крышка руки

В качестве искомого фильтра может служить двухзвенная цепь с одним реактивным элемен-
том, изображенная на рис. 2.39(a). Заметим, что эта схема действительно будет иметь требуе-
мый коэффициент передачи, поскольку конденсатор для постоянного тока представляет собой
разомкнутую цепь. Выражения для токов и напряжений имеют вид:

А = (И -

А = (Г, - z3)G,

V2 = (/, - 12)R,

= ‘2.2.

где G = 1/Л. Z(s) = UCs и /,($) = (опуская зависимость от s). Эти четыре уравнения отражает
сигнальный граф, приведенный на рис. 2.39(5). Граф содержит три контура: Г, = -GR = -1,
L2 = -GR = -1 и Z3 = -GZ. Все контуры касаются прямого пути, а контуры £, и L3 не касаются
друг друга. Поэтому передаточная функция равна

m /з	A	GZ _	1 1/ЗДС

' И, 1-(Z, + Z2 + Z3)+Z1Z3 3+2GZ 3RCs+2 S+2/3RC'
R	R

Заметим, что коэффициент передачи равен 1/2 , как и ожидалось. Желаемое значение полюса
р = 2л • 106,1 = 666,7 = 2000/3. Отсюда следует, что ЕС = 0,001. Выберем R = 1 кОм и
С = 1 мкФ. Тогда фильтр будет иметь передаточную функцию

Т(5) =

333,35

666,7

2.10.	Моделирование систем управления
с помощью MATLAB

Многие программные средства анализа и синтеза систем управления (как классическими,
так и современными методами) основаны на использовании математических моделей. При
описании систем передаточными функциями для этих целей может быть использован
MATLAB*.

В этом разделе мы сначала покажем, насколько полезным может оказаться MATLAB
при анализе математической модели механической системы масса-пружина. Используя
нотацию MATLAB, мы создадим программу, позволяющую в интерактивном режиме ис-
следовать влияние собственной частоты колебаний и коэффициента затухания на свобод-
ное движение массы. При этом мы воспользуемся аналитическим решением, описываю-
щим свободное движение массы.

Далее мы рассмотрим, как MATLAB оперирует с передаточными функциями и
структурными схемами. В частности, будет показано, как MATLAB работает с алгебраи-
ческими полиномами, вычисляет полюсы и нули передаточных функций, определяет пе-
редаточные функции замкнутых систем, производит упрощения структурных схем, вы-
числяет реакцию систем на единичное ступенчатое воздействие. В заключение мы проил-
люстрируем применение MATLAB к синтезу системы управления устройством электри-
ческой тяги из примера 2.12.

* Введение в MATLAB — см. приложение А
В этом разделе мы познакомимся с функциями MATLAB roots, tf, series, parallel, feed-
back, pole, zero, poly, conv, polyval, minreal, pzmap, step.

Система масса-пружина. На рис. 2.2 изображена механическая система масса-пру-
жина с демпфированием. Перемещение массыy(t) описывается дифференциальным урав-
нением

My(t)+by(t)+ky(t)-r(.t).

Движение системы при отсутствии внешней силы r(t) описывается выражением

где 9 = arccos аХО) — начальное отклонение. При £ < 1 реакция системы является недо-

демпфированной, при Q > 1

передемпфированной, а при Q - 1 — критически демпфи-

рованной. С помощью MATLAB мы можем пронаблюдать характер изменения положе-
ния массы как реакцию на начальное отклонениеу’(О). Рассмотрим случай недодемпфиро-

ванной системы:

у’(О) = 0,15 м, (оп

= V2 рад/с, Q =

(к/М = 2,	1).

Программа MATLAB для построения графика свободного движения системы приве-
дена на рис. 2.40. Прежде всего, перед запуском программы, в качестве входных данных
для основного блока должны быть заданы значения ХО), со/р Hi После этого выполняет-
ся основная программа unforced.m, которая представляет результат в графической форме.
Если возникает необходимость исследовать влияние на свободное движение собственной
частоты колебаний и коэффициента затухания, то просто необходимо ввести новые зна-
чения и £ и еще раз выполнить программу. На рис. 2.41 приведен график свободного
движения системы. Заметим, что программа автоматически указывает на графике значе-
ние коэффициента затухания и собственной частоты колебаний. Это позволяет избежать
недоразумений при многократном проведении моделирования.

Рис. 2.40

Скрипт анализа
движения
системы
«пружина-масса»

»уО0.15;

»wn=sqrt(2); Ч----

»zeta=1/(2*sqrt(2));
»t=[0:0.1:10];

»unforced

unforced.m

%Вычисление реакции на начальное условие
%

c=(yO/sqrt(1-zetaA2)); Ч----

Я0}>/1-^

y=c*exp(-zeta*wn*t).*sin(wn*sqrt(1-zetaA2)*t+acos(zeta));
%

bu=c*exp(-zeta*wn*t); bl=-bu;

%

plot(t,y,t,bu,,—\t,b!grid

огибающая

х!аЬе1('Время (c)'), ylabel(’y(t) (метры)')

Iegend([’\omega n=1,num2str(wn),' \zeta-,num2str(zeta)]);
Рис. 2.41
Свободное
движение
системы
«пружина-масса»

В рассмотренной выше задаче мы воспользовались известным аналитическим реше-
нием однородного дифференциального уравнения. В общем случае, при моделировании
замкнутых систем управления, подверженных влиянию различных внешних воздействий,
а также при разных начальных условиях, аналитическое решение бывает получить очень
трудно. Здесь можно прибегнуть к помощи MATLAB, который численно решит постав-
ленную задачу и представит результат в графической форме.

MATLAB позволяет исследовать системы, описываемые передаточными функция-
ми. Поскольку передаточная функция имеет вид отношения двух полиномов, мы сначала
рассмотрим, как MATLAB оперирует с алгебраическими полиномами. При этом не будем
забывать, что в передаточной функции должны быть заданы оба полинома — ив числите-
ле, и в знаменателе.

Полиномы в MATLAB представляются в виде векторов-строк, состоящих из коэффи-
циентов в убывающем порядке степеней. Например, полином p(s) - у + 3s~ + 4 задается
так, как показано на рис. 2.42. Обратите внимание, что даже если коэффициент при ка-
кой-то степени равен нулю, он все равно включается в представление полинома Д^).

Рис. 2.42

Ввод полинома
£>(s) = s3 + 3s2 + 4
и вычисление его
корней
Если р есть вектор-строка, состоящая из коэффициентовp(s) в порядке убывания сте-
пеней, то функция roots(p) определяет вектор-столбец, содержащий корни этого полино-
ма. И наоборот, если г — вектор-столбец, содержащий корни полинома, то функция
poly(r) дает вектор-строку из коэффициентов полинома в убывающем порядке степеней.
На рис. 2.42 показано, как с помощью функции roots вычисляются корни полинома p(s) -
= у1 + Зя2 + 4. На рис. 2.42 показано также, как можно восстановить полином по его кор-
ням с помощью функции poly.

Умножение полиномов производится с помощью функции conv. Предположим, что
мы хотим получить полином /7(5) в развернутой форме, где n(s) = (3s' + 2s + l)(s + 4). Эта
процедура выполняется так, как показано на рис. 2.43. В результате умножения получаем
полином /7(5) - 3s3 + 14s2 +95 + 4. Для вычисления значения полинома при заданном зна-
чении переменной используется функция polyval. Как показано на рис. 2.43, полином n(s)
имеет значение и(-5) = -66.

В пособиях по применению MATLAB модели линейных стационарных систем рас-
сматриваются в качестве объектов, позволяя манипулировать ими как единым целым.
При использовании аппарата передаточных функций модели систем создаются с помо-
щью функции tf; если модель должна быть представлена в переменных состояния, то при-
меняется функция ss (см. главу 3). Применение функции tf проиллюстрировано на
рис. 2.44(a). Благодаря возможностям объектио-ориентированиого программировать
присущим MATLAB, модели систем обладают свойствами объектов, которые легко
можно изменять; аналогично, функции, применяемые для работы с объектами, принято
называть методами. Например, если вы имеете две модели систем,

=	- и в2 (j) =

5' +25+5	1

то вы можете сложить их с помощью оператора «+»:

Соответствующая программа MATLAB приведена на рис. 2.44(6), где sys1 представ-
ляет передаточную функцию 0^5), a sys2 — 63(5). Вычисление полюсов и нулей переда-
точной функции производится при работе с ней как с объектом путем применения функ-
ций pole и zero. Это проиллюстрировано на рис. 2.45.

В следующем примере мы покажем, как с помощью функции pzmap (рис. 2.46) мож-
но указать расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей передаточной фун-
кции. Нули на диаграмме обозначаются кружочками, а полюсы — крестиками. Если фун-
кция pzmap вызывается без аргументов, то диаграмма строится автоматически.

Рис. 2.43

Использование функций
conv и polyval для
умножения полиномов
(3s2 + 2s + 1 )(s + 4)
и вычисления значения
произведения
Рис» 2.44

(а) Функция tf;

{б) Применение
функции tf для
образования
передаточных
функций объектов
и их сложение
с помощью
оператора «+»

sys - tf(num.den)

»num1=[10]; den1=[1 2 5];
»sys1=tf(num1 ,den1)

Transfer function:

10	______

------------------------- 4-----------------------
sA2 + 2 s + 5-------------------

»num2=[1]; den2=[1 1];
»sys2=tf(num2,den2)

Transfer function:

1	______

-----	---------------- G2(s)

s + 1

»sys=sys1+sys2

Transfer function:

sA2 + 12s+15 

-------------------G| (5) + 6’2^)
sA3+ 3 sA2 + 7 s + 5

Рис. 2.45

(а) Функции
pole и zero;

(б) Применение
функций pole
и zero для
вычисления
полюсов и нуля
линейной системы

a)

Пример 2.16. Передаточные функции

Рассмотрим передаточные функции

и





(5 + 1)(5 + 2)

(5+ 2i)(s-2i)(s + 3)

С помощью программы MATLAB мы можем вычислить полюсы и нули С(5), получить харак-
теристические уравнение для H(s), разделить G(s) на H(s), а также получить на комплексной
плоскости картину расположения полюсов и нулей функции G(s)/H(s).
Рис. 2.46

Функция pzmap

Р: полюсы в виде вектора-столбца
Z: нули в виде вектора-столбца

ч num

G(j) ™----= sys

den

Рис. 2.47

Расположение полюсов
и нулей функции

I ▼
[P,Z]=pzmap(sys)

Rsal Axe

Расположение полюсов н нулей передаточной функции G(s)/H(s) показано на рис. 2.47, соот-
ветствующие инструкции MATLAB приведены на рис. 2.48. На картине ясно видно располо-
жение пяти нулей и всего двух полюсов. В действительности этого не может быть. т. к. извест-
но, что число полюсов дожно быть больше нли равно числу нулей. Используя функцию roots,
мы можем убедиться, что на самом деле четыре полюса находятся в одной и той же точке
5 = -1. Таким образом, функция pzmap не позволяет различить кратные полюсы или нули.

Модели в виде структурных схем. Предположим, что мы получили математиче-
ские модели объекта управления, регулятора и, возможно, многих других элементов сис-
темы, таких как датчики и исполнительные устройства, причем эти модели представлены
в виде передаточных функций. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы объединить все эти
элементы в единую структуру, создав тем самым систему управления. С помощью MAT-
LAB можно выполнить все необходимые преобразования структурной схемы.

Простейшую разомкнутую систему управления можно получить, соединив последо-
вательно объект управления и регулятор, как это показано на рис. 2.49. Как с помощью
MATLAB определить передаточную функцию, связывающую Я($) и У(5’), будет проде-
монстрировано в следующем примере.
Рис. 2.48

Операции
с передаточными
функциями G(s) и H(s)

»numg=[6 0 1]; deng=[1 3 3 1]; sysg=tf(numg,deng);
»z=zero(sysg)

Z =	-----

0 + 0.4082i

0 - 0.4082i

Вычисление
полюсов и нулей 6(5)

»p=pole(sysg)

р= <-------------

-1.0000

-1.0000 + O.OOOOi

-1.0000- O.OOOOi
V

»n1=[1 1]; n2=[1 2]; d1=[1 2*i]; d2=[1 -2*i];d3=[1 3];

»numh=conv(n1 ,n2); denh=conv(d1 ,conv(d2,d3));

»sysh=tf(numh,denh)

Представление H(s)
в развернутом виде

Transfer function:

6 sA5 + 18 sA4 + 25 sA3 + 75 sA2 + 4 s + 12

sA5 + 6 sA4 + 14 sA3 + 16 sA2 + 9 s + 2

» pzmap(sys) <

Картина расположения
полюсов и нулей

—  ^ ... -

Рис. 2.49

Разомкнутая система управления

ОД

ад

Пример 2.17. Последовательное соединение

Пусть объект управления задан передаточной функцией G(s) = 1/500 s2, а регулятор имеет пе-
редаточную функцию 6С.(5) = (s + l)/(s + 2). На рис. 2.50 изображено последовательное соеди-
нение двух систем с передаточными функциями и 62(Д а также проиллюстрирован
смысл функции series, а на рис. 2.51 показано, как с ее помощью определяется произведение
Gc(s)G(s). Результирующая передаточная функция имеет вид

Gc(s)G(s) =

5 4- 1

500? + 1000?

= sys.

где sys есть обозначение передаточной функции в программе MATLAB.

В структурных схемах очень часто встречается параллельное соединение элементов.
В таких случаях для определения передаточной функции соединения используется функ-
ция parallel. Смысл этой функции поясняет рис. 2.52.
Рис. 2.50

(5)	Структурная
схема;

(б)	Функция series

a)

Система 1 I

С,(5)

i

Система 2
GJs)

► Ж)

7'(s) =------- = sys

Gi(s) - sysl

[sys]=series(sys1 ,sys2)

Рис- 2.51

Применение
функции series

я)

/?| j)

0

j»numg=[1]; deng=[500 0 0]; sysg=tf(numg,deng);

»numh=[1 1]; denh=[1 2]; sysh=tf(numh,denh);

»sys=series(sysg,sysh);

»sys

Tr a n sf e r fu n cti о n:	____________

s + 1	[

-------------------- 4-------------------- Gc(s)G(s)

500 sA3 + 1000 sA2	।----------J

Рис. 2.52

(а) Структурная схема;

{б) Функция parallel

a)

б)

Мы можем ввести в рассмотрение сигнал обратной связи, замкнув контур единич-
ной обратной связью, как показано на рис. 2.53. В этом случае Ea(s) есть изображение по
Лапласу сигнала ошибки, a R(s) — эталонного входа. Передаточная функция замкнутой
системы определяется выражением

/ .

(1 + GCЖХ?(5))

С помощью функции feedback мы имеем возможность упростить структурную схе-
му, вычислив передаточную функцию замкнутой системы. Эта функция применима как к
одноконтурным, так и к многоконтурным системам управления.
Рис. 2.53

Система управления
с единичной обратной
связью

ОД



Часто встречается случай, когда замкнутая система имеет единичную обратную
связь, как показано на рис. 2.53. Применение функции feedback в данном случае проил-
люстрировано на рис. 2.54.

На рис. 2.55 изображена система с неединичной обратной связью и проиллюстриро-
вано применение к ней функции feedback. Если в аргументах этой функции не указан знак
обратной связи sign, то по умолчанию она предполагается отрицательной.

Рис. 2.55

(а)	Структурная
схема;

{6} Функция
feedback

Рис. 2.54

(а) Структурная
схема;

(6) Применение
функции feedback
в случае единичной
обратной связи

Пример 2.18. Применение функуции feedback к системе с единичной
обратной связью

Пусть передаточные функции объекта и регулятора на рис. 2.51(a) соответственно равны G(s)
и GtV). Чтобы воспользоваться функцией feedback, сначала нам необходимо применить фун-
кцию series, чтобы вычислить произведение G(s)Gt.(s). Эта последовательность действий при-
ведена на рис. 2.56(6). В соответствии с рис. 2.56(6), передаточная функция замкнутой систе-

мы равна

sys.
Рис. 2.56

(а) Структурная
схема;

(б) Применение

функции feedback

л)

б)

»numg=[1]; deng=[500 0 0]; sys1=tf(numg,deng);

»numc=[1 1]; denc=[1 2]; sys2=tf(numc,denc);

>>sys3=series(sys1 ,sys2);

»sys=feedback(sys3,[1])

Transfer function:

s + 1

500 sA3 + 1000 sA2 + s + 1

R(s) l + Gt.(s)G(s)

Рис. 2.57

Система с регулятором
в цепи обратной связи



Другая конфигурация системы с обратной связью приведена на рис. 2.57. В данном
случае регулятор находится в цепи обратной связи. Замкнутая система имеет передаточ-
ную функцию

T(s) =------------

l+G(s)2Z(s)

Пример 2.19. Функция feedback

Пусть объект и регулятор имеют, соответственно, передаточные функции и H(s)t как по-
казано на рис.2.58(a). Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользу-
емся функцией feedback. Соответствующая программа приведена на рис. 2.58(6). В результа-
те получим

.+ 2

T(s) ------------------= sys.

500?+ 1000?+ s+ 1

Рис. 2.58

Применение
функции feedback:
(а) Структурная
схема;

(б)	Скрипт MATLAB

a)

б)
Функции MATLAB series, parallel и feedback могут оказаться полезными при упро-
щении структурных схем многоконтурных систем.

Пример 2.20. Упрощение многоконтурной системы

Многоконтурная система изображена на рис. 2,26. Наша цель — определить передаточную
функцию Т(5) “ У(£)/Я(£), если

ггг g4^)=-+— h1(s)=2,

£+10	£+1	£ + 4£+ 4	£+6

В данном примере все действия сводятся к пяти этапам:

□	Этап 1. Ввести все передаточные функции в программу MATLAB.

□	Этап 2. Перенести узел через блок G4 в направлении движения сигнала.

□	Этап 3. Исключить контур G3G4//1.

□	Этап 4. Исключить контур, содержащий Н2.

□	Этап 5. Заменить оставшийся контур одним блоком и записать выражение Т(£).

Соостветствующие операции показаны на рис. 2.27, а программа, выполняющая их, приведена
на рис. 2.59. Выполнение программы дает следующий результат:

£5 + 4? + б£3 + б£2 + 5s + 2

S>S ” 12/ + 205? + 1066s4 + 251 7s3 + 3128? + 21965 +712 '

При определении передаточной функции замкнутой системы следует соблюдать осторож-
ность. Передаточная функция определяет соотношение между входом и выходом после сокра-
щения одинаковых нулей и полюсов. Если мы вычислим полюсы и нули T(s), то обнаружим,
что полиномы в числителе и знаменателе имеют одинаковый сомножитель (£ + 1). Эти сомно-
жители необходимо сократить, прежде чем утверждать, что мы действительно получили пере-
даточную функцию. В сокращении нуля и полюса нам может помочь функция min real. Ее
смысл поясняет рис. 2.60. Заключительная процедура в упрощении структурной схемы состо-
ит в удалении одинаковых сомножителей из числителя и знаменателя T(s), как показано на
рис. 2.61. Итоговый результат также приведен на этом рисунке. После применения функции
minreal можно видеть, что порядки полиномов в числителе и знаменателе уменьшились на
единицу за счет сокращения одного полюса и одного нуля.

Рис. 2.59

Упрощение
многоконтурной
системы

»ng1=[1]; dg1=[1 10]; sysg1=tf(ng1,dg1);

»ng2=[1]; dg2=[1 1]; sysg2=tf(ng2,dg2);

»пдЗ=[1 0 1 ]; dg3=[1 4 4 ]; sysg3=tf(ng3,dg3);

»ng4=[1 1]; dg4=[1 6 ]; sysg4=tf(ng4,dg4);

»nh1=[1 1];dh1=[1 2]; sysh1=tf(nh1,dh1);

»nh2=[2]; dh2=[1]; sysh2=tf(nh2,dh2);

»nh3=[1]; dh3=[1]; sysh3=tf(nh3,dh3);

»sys1 =sysh2/sysg4;

»sys2=series(sysg3,sysg4);

»sys3=feedback(sys2,sysh1 ,+1 );

»sys4=series(sysg2,sys3);

»sys5=feedback(sys4,sys1);

»sys6=series(sysg1 ,sys5);

»sys=feedback(sys6,[1])

Transfer function:

Этап 1

Этап 2

Этап 3

Этап 4

Этап 5

sA5 + 4 sA4 + 6 sA3 + 6 sA2 + 5 s + 2

12 sA6 + 205 sA5 + 1066 sA4 + 2517 sA3 + 3128 sA2 + 2196 s + 712
Рис. 2.60

Функция minreal

Одинаковых
сомножителей нет

Возможны одинаковые
сомножители

7Ъ") = sys

G(s) = sys

1

sys=minreal(sys1)

Рис. 2.61

Применение
функции minreal

»num=[1 4 6 6 5 2]; den=[12 205 1066 2517 3128 2196 712];

»sys1=tf(num,den);

»sys=minreal(sys1); 4

Сокращение одинаковых
сомножителей

Transfer function:

0.08333 sA4 + 0.25 sA3 + 0.25 sA2 + 0.25 s + 0.1667

sA5 + 16.08 sA4 + 72.75 sA3 + 137 sA2 + 123.7 s + 59.33

Пример 2.21. Управление устройством электрической тяги

В заключение мы еще раз вернемся к системе управления устройством электрической тяги из
примера 2.12. Структурная схема этой системы приведена на рис. 2.35(e). Здесь мы вычислим
передаточную функцию замкнутой системы и исследуем реакцию скорости со(^) на задающее
воздействие соХ5)- Первый этап, проиллюстрированный программой на рис. 2.62, состоит в
определении передаточной функции T(s) - ш(з)/а\^(з). Характеристическое уравнение замкну-
той системы имеет второй порядок, причем = 52 и = 0.012. Поскольку коэффициент зату-
хания очень мал, следует ожидать, что реакция системы будет иметь сильно колебательный
характер. Реакцию tn(7) на эталонный вход о£/(Г) можно исследовать с помощью функции step.
Эта функция, смысл которой поясняет рис. 2.63, вычисляет реакцию линейной системы на
единичное ступенчатое воздействие. Ступенчатая функция имеет важное значение потому,
что качество систем управления обычно оценивается по их реакции на воздействие данного
вида.

Если единственной целью исследований является получение графика у(г), то функцию step
можно использовать без указания аргументов в левой части инструкции. График будет полу-
чен автоматически с указанием переменных по осям координат. Если жеу(^) необходимо для
каких-то других целей кроме построения графика, то функцию step надо использовать с указа-

Рис. 2.62

Упрощение
структурной схемы
системы
электрической
тяги

»пит1=[10]; den1=[1 1]; sys1=tf(num1 ,den1);
»num2=[1]; den2=[2 0.5]; sys2=tf(num2,den2);
»num3=[540]; den3=[1]; sys3=tf(num3,den3);

»num4=[0.1]; den4=[1]; sys4=tf(num4,den4);

»sys5=series(sys1 ,sys2); ч--------------

»sys6=feedback(sys5,sys4);

»sys7=series(sys3,sys6);

Исключение
внутреннего
контура

»sys=feedback(sys7,[1]) ч

Transfer function:

Определение передаточной
функции замкутой
системы

5400

2 sA2 + 2.5 s + 5402

to(-g)

Ms)
Рис. 2.63

Функция step

а)

о)

нием всех аргументов в левой части инструкции, после чего вывод графика осуществляется с
помощью функции plot. Переменная t определяется как вектор-строка, состоящая из моментов
времени, в которые мы желаем получить значения выходной переменной у(0-

В программе MATLAB можно также задать значение t ~ tу, так что переходная характеристика
будет вычислена на интервале от I = 0 до t = tи кроме того указать число точек в этом интер-
вале.

Переходная характеристика электропривода приведена на рис. 2.64. Как и ожидалось, выход-
ная переменная уЦ) = со(0, т. е. скорость вращения, имеет сильно колебательный характер.

Время (с)

6) mresp.m

%Эта программа вычисляет
%переходную характеристику

% эл ектр о п р и в ода

%

num=[5400]; den=[2 2.5 5402];
sys=tf(num,den);

t=[0:0.005:3]:

[y,t]=step(sys,t);

Plot(t,y),grid

х!аЬе1('Время (c)’)

у1аЬе1(‘Скорость вращения’)

Рис. 2-64. (а) Переходная характеристика электропривода; (б) Скрипт MATLAB

2.11.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

В разд. 1.12 мы поставили исходную задачу управления дисководом: позициониро-
вать считывающую головку точно на заданную дорожку и при возможности обес-
печить переход от одной дорожки к другой в пределах Юме. В этой главе мы выпол-

ним этапы 4 и 5 процесса синтеза (см. рис. 1.19).

Нам необходимо выбрать исполнительное устройство, датчик и регулятор (этап 4).
Затем следует разработать модель объекта. G(s), и датчика. Для приведения в действие
Рис. 2.65

Считывающая головка
дисковода

рычага считывающей головки используется двигатель с постоянными магнитами (см.
рис. 1.24). При производстве дисководов его называют двигателем со звуковой катушкой.
Головка считывания закреплена на скользящем элементе, закрепленном на рычаге, как
показано на рис. 2.65. Гибкая пластина дает возможность головке плавать над диском с
зазором менее 100 нм. Тонкопленочная головка воспринимает магнитный поток и форми-
рует сигнал, поступающий на усилитель. Сигнал ошибки на рис. 2.66(a) формируется на
основании заданного номера дорожки. Полагая, что положение считывающей головки
определяется точно, можно считать, что передаточная функция датчика H(s) = 1, как пока-
зано на рис. 2.66(6). На этом рисунке также приведены модели двигателя с постоянными
магнитами и линейного усилителя. Двигатель, управляемый по цепи якоря, достаточно
хорошо представляется в виде модели на рис. 2.20 при Кь = 0.В полной модели системы
на рис. 2.66(6) предполагается, что пластина является жесткой, а не слишком гибкой. В
гл. 4 мы рассмотрим модель, в которой это допущение не имеет силы.

Действительное
положение
головки

У(5)
Таблица 2.9. Типичные параметры дисковода

Параметр

Момент инерции рычага и считывающей
головки

Коэффициент трения

Коэффициент усиления

Сопротивление якоря

Коэффициент передачи двигателя

Индуктивность якоря

Обозначение

Типичное значение

1 Н • м  с2/рад

20 кг/м/с
10-1000

1 Ом

5 Н • м/А

1 мГн

Типичные параметры дисковода приведены в табл. 2.9. Следовательно, мы имеем:

G(s) =

5000

s(Js+b)(Ls + R) 5(5+ 20)(.у+ 1000)

(2.117)

Выражение G(s) можно также представить в виде

G(5) =

Km/bR
s(xLs+ 1)(Т5 + 1) ’

(2.118)

где Т/ = J/b = 50 мс и т = L/R = 1 мс. Поскольку т «т(, мы можем пренебречь величиной т.
Тогда

G(i)«

Km/bR

s{xLs+ 1)

0,25

5(0,055+1)’

или

G(s) =

5

5(5+20)

т

Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 2.67. На основании правил пре-
образования структурных схем (см. табл. 2.6) можно записать:

У(5)_ KaG(s)

R(s) l+KaG(s)

(2.119)

Используя аппроксимацию G(s) вторым порядком, мы получим
Y (5) _	5Ка

R(s) s2+20s+5Ka

Если Ка - 40, то

У(5) =

200

52 +205 + 200

/?(5).

Полагая r(t) = 0,1 рад, т. е. Я(5) = 0,1/5, с помощью функции step мы получим реакцию
системы, изображенную на рис. 2.68.

Рис. 2.67

Структурная схема
замкнутой
системы

А(5)
Рис. 2.68

Реакция системы,
изображенной
на рис. 2,67,
на воздействие
= 0,1/s

2.12.	Резюме

В этой главе были рассмотрены количественные математические модели систем управле-
ния и их элементов. При построении этих моделей в основу были положены дифференциа-
льные уравнения, описывающие поведение физических систем. В числе этих систем были
рассмотрены механические, электрические, гидравлические и термодинамические. В от-
ношении нелинейных элементов был применен метод линеаризации, основанный на разло-
жении нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки. После такой лине-
аризации к системе применимо преобразование Лапласа и вытекающее из него понятие пе-
редаточной функции. С помощью передаточной функции исследователь может
определить реакцию системы на различные входные воздействия. Было также показано,
как образуются модели систем в виде структурных схем и сигнальных графов. Продемон-
стрировано, как с помощью формулы Мейсона можно получить связь между отдельными
переменными системы сложной конфигурации. Преимущество моделей в виде сигналь-
ных графов заключается в том, что формула Мейсона позволяет получить связь между пе-
ременными системы, не прибегая к сложным преобразованиям. Итак, в этой главе мы полу-
чили такие ценные средства описания систем управления, как их математические модели в
виде передаточных функций, структурных схем и сигнальных графов. Мы оценили также
преимущества компьютерного моделирования для исследования поведения систем при
различных комбинациях их параметров и внешних воздействий. И, наконец, мы продолжи-
ли разработку системы управления считыванием информации с диска, получив передаточ-
ные функции элементов этой системы.

Упражнения

У-2.1. В системе с единичной отрицательной обратной связью,
изображенной на рис. 2.1(У), нелинейный элемент описы-
вается зависимостью у = Де) = е2. При задании входного
сигнала в диапазоне от 0 до 4 постройте график зависимо-
сти у (г) как для разомкнутой, так и для замкнутой систе-
мы и покажите, что при наличии обратной связи характе-
ристика становится более линейной.

Обратная связь действует

при замыкании ключа
У-2.2. Сопротивление термистора R описывается зависимостью

-0,17 ’

где Ло = 10 кОм, а Г— температура в градусах Цельсия. Получите линейную модель термисто
ра для случая малых отклонений температуры от номинального значения Т - 20 °C,

Ответ: SR = -135 Д71.

У-2.3. Механическая система пружина-масса,
изображенная на рис. 2.2, имеет зависимость
между силой и перемещением как на
рис. 2.3(У). Графическим путем определите
коэффициент упругости в точке равновесия
у= 0.5 см при отклонениях Ду = ±1,5 см.

У-2.4. Для быстрого вывода на печать документов
из компьютера используется лазерный при-
нтер. Положение луча принтера задается
управляющим воздействием ?-(/), так что

У(«) = э(5+100) Л(4

S2 + 605 + 500

(а)	Если г(/) — единичное ступенчатое воздействие, то каков закон изменения положения луча

(б)	Чему равно конечное значение у(/)?

Ответ\ (a) y(t) = 1 - 1.125e i0/ + 0,125е 50\ (б) yVA.

У-2.5. На рис. 2.5(У) изображен неинвертирующий уси-
литель на ОУ. Считая операционный усилитель
идеальным, определите v0/v,.

Ответ'. ~ = 1+ — .

I )

У-2.6. Нелинейное устройство описывается зависимо-
стью у - /(х) = Ух . Рабочая точка задана значени-

= 1.

Рис. 2.5 (У). Неинвертирующий
усилитель

ем входной переменной х0 = 1/2. Получите линей-
ную аппроксимацию характеристики в случае ма-
лых отклонений Дл.

Ответ: Ду = ДлА/2.

У-2.7. Для поддержания постоянной яркости свечения лампы накаливания используется фототран-
зистор, включенный в цепь обратной связи. При уменьшении напряжения в сети яркость лам-
пы также уменьшается и фототранзистор Q1 вырабатывает меньший ток. В результате увели-
чивается проводимость мощного транзистора, управляющего зарядом конденсатора. Напря-
жение конденсатора подается непосредственно на лампу, На рис. 2.7(У) изображена структур-
ная схема этой системы. Определите передаточную функцию J(s)/R(s), где /(s) — яркость
лампы, а — управляющий сигнал, соответствующий желаемому значению яркости.

У-2.8. В 1930-е годы инженер Н. Минорский разработал Для ВМС США новую систему управления
курсом судна. Эта система представлена на рис. 2.8(У) в виде структурной схемы, где У(5) —

трубка




Рис. 2.8 (У). Система управления курсом судна

курс судна, R(s) — заданное значение курса, aA(s) — угловое положение руля. Определите пе-

редаточную функцию Y(s)/R(s).

п У(^

Ответ:-----=

Л(«)

KG}(s)G2(s)/s

1 + G1(j)//3(5) + G1(j)G2(j)[Z/1(j)+ /72(j)]+ KG}(s)G2(s)/s

У-2.9. В системе торможения автомобиля применяется электронная цепь обратной связи, с помо-
щью которой автоматически вырабатывается тормозное усилие на каждое из колес. На

рис. 2.9(У) приведен упрощен-
ный сигнальный граф этой систе-
мы. где Ff(s) и /'д(.у) есть, соответ-
ственно, тормозные усилия на пе-
редние и задние колеса, a —
желаемая реакция автомобиля на
скользкой дороге. Определите пе-
редаточную функцию Fj(s)/R(s).

У-2.10. Опыт эксплуатации внедорож-
ных автомобилей показывает, что
при движении по пересеченной
местности они подвергаются дей-
ствию многих возмущений. В
этом случае может быть приме не-

Рис. 2-9 (У)- Система управления торможением

на система активной подвески.

управляемая с помощью датчика, который предвидит изменение дорожной обстановки. Пример
такой простой системы, смягчающей влияние неровностей, приведен на рис. 2.10(У). Определи-

Подпрыгивание
автомобиля или
отклонение от
горизонтали
те значение коэффициента при котором
автомобиль не подпрыгивал бы при действии
возмущения D(s) и при желаемом отклоне-
нии АО) - 0. Ответ: XjX2 = 1.

У-2.11. Зависимость упругой силы от деформа-
ции пружины показана на рис. 2.11(У).
Определите значение коэффициента упру-
гости при малых отклонениях от рабочей
точки л0, если

(а)	- - 1,4; (б)	= 0; (в) л0 = 3,5.

У-2.12. Одной из наиболее полезных автомоби-
льных систем является система управления
активной подвеской. В такой системе испо-
льзуется амортизатор, состоящий из цилин-

Управляющий сигнал

дра, заполненного сжимаемой жидко-
стью, которая обеспечивает возник-
новение упругой и демпфирующей
сил. Цилиндр включает в себя плун-
жер, управляемый электродвигате-
лем, поршень и датчик, измеряющий
перемещение поршня. Перемещение
поршня вызывает появление упругой
силы, которая сжимает жидкость. Для
целей управления демпфированием
используется разность давлений по
обе стороны поршня, возникающая
при его перемещении. Плунжер изме-
няет объем внутренней полости ци-
линдра. Данная система с обратной
связью изображена на рис. 2.12(У).

Плунжер

Электродвигатель
с редуктором

Шток поршня

Демпфи-
рующее
отверстие

Жидкость

Выход датчика

Рис. 2.12 (У). Амортизатор

Цилиндр

Регулятор

Ход поршня

Разработайте линейную модель амортизатора в виде структурной схемы.

У-2.13. Определите передаточную функцию ^(sy^s) для многомерной системы, изображенной
на рис. 2.13(У).

У-2.14. Запишите дифференциальные уравнения относительно токов ц и i2 для схемы, изображен-
ной на рис. 2.14(У).
v(Z)

2

Рис. 2.14 (У). Электрическая схема

У-2.15. Система управления положением кос-
мической платформы описывается сле-
дующими уравнениями:
d2p ^dp л .
~4+2^+4р = 9,
dt2 dt
П = '* - Р •
d$ _ .	_

— = 0,6v7,	v7 - 7v>.

dt 2‘	'

Переменные в уравнениях имеют следу-
ющий смысл:
r(t) — желаемое положение платформы, p(t) — действительное положение платформы.
V](/) — напряжение на входе усилителя, v2(/) — напряжение на выходе усилителя,
0(/) — положение вала двигателя.

Изобразите сигнальный граф системы, обозначив все элементы и указав связь между ними: за-
тем определите передаточную функцию системы P(s)/R(s) .

У-2.16. Пружина, используемая в автомобильном амортизаторе, создает силу/ определяемую урав-
нением /= he3. где х — деформация пружины. Получите линейную модель пружины при х0 = 1.

У-2.17. Выходу и вход х устройства связаны соотношением
у - х + 0,79х3.

(а)	Определите значения выходной переменной в двух рабочих точках: х0 = 1 и х0 - 2.

(б)	Получите линеаризованные модели устройства в этих рабочих точках и сравните их.

У-2.18. Передаточная функция системы имеет вид:

T(s) 10(s+2)

A(s) " ?+ 85+ 15 ’

Определите у(7), если г(г) имеет вид единичной ступенчатой функции.
Ответ: у(1) = 1.33 + 1,67е’3/ — 3e~'5t.

У-2.19. Определите передаточную функцию И0($)/К(У) для схемы на операционном усилителе, изоб-
раженной на рис. 2.19(У). Считайте, что операционный усилитель — идеальный. Вычислите
передаточную функцию при - Я7 = 100 кОм, = 10 мкФ и С2 = 5 мкФ.

У-2.20. На рис. 2.20(У) изображена скользящая каретка, обеспечивающая прецизионное позицио-
нирование щупа. Определите передаточную функцию (/Л/(s). если коэффициент трения
приводного вала bd = 1, коэффициент упругости приводного вала 3, тс = 2/3 и коэффици-
ент трения скольжения bA. = 1.

Рис. 2.19 (У). Схема на операционном
усилителе

Каретка

/и.

Трение
скольжения.

Рис. 2.20 (У). Каретка с прецизионным
позиционированием
Рис. 2.21 (У). Спутник

Рис. 2.22 (У)

У-2.21. Угловая скорость вращения спутника (о, изображенного на рис. 2.21 (У), зависит от длины
штанги!. Передаточная функция, связывающая со(^) и приращение длины штанги ДЦД имеет
вид:

со(5) _ 2,5(5+2)

А!(у)	(5 + 5)(у + I)2

Изменение длины штанги происходит в соответствии с выражением Д!(5) = 1/45. Определите
закон изменения скорости to(/).

х х 1	3	35	5

Ответ: co(Z) -—I----е-------е------te .

4	128	128	32

У-2.22. Определите передаточную функцию замкнутой системы T(s)~ Y(s)/R(s), соответствую-
щую сигнальному графу на рис. 2.22(У).

У-2.23. На рис. 2.23(У) изображена структур-
ная схема системы. Определите переда-
точную функцию системы Т(з) =
- I'OJW).

У-2.24. Усилитель может обладать зоной не-
чувствительности. как показано на рис.
2.24(У). Для линейного участка характе-
ристики воспользуйтесь аппроксима-
цией видау- олЛ Выберите значение а и
линеаризуйте характеристику усилителя

ад

Рис. 2.23 (У)

в окрестности рабочей точки х = 0,6.

У-2.25. Определите передаточную функцию X2{s)(F(s) для системы, изображенной на рис. 2-25(У).

Оба груза скользят по повехности без трения, а коэффициент жесткости пружины к = 1 Н/м.

Ответ:

=_____L___

F{s) Т(№ + 2)

Рис. 2.24 (У). Усилитель с зоной
нечувствительности

Рис. 2.25 (У)

2
Рис. 2.26 (У)

Система при наличии
возмущения

ЯМ

ад

ад

У-2.26. Определите передаточную функцию Y(s)/D(s) для системы, изображенной на рис. 2.26(У).

У-2.27. Определите передаточную функцию К0(.у)/К(.у)для схемы на операционных усилтелях, изоб-
раженной на рис. 2.27(У), если = 167 кОм, Я2 = 240 кОм, R3 - 1 кОм, Л4 = 100 кОм и
С — 1 мкФ. Операционные усилители считаются идеальными.

Рис. 2.28 (У)

Рис. 2.27 (У)

Схема на
операционных
усилителях

У-2*28, Для стуктурной схемы на рис. 2.28(У)(б) определите G(s) и H(s) так, чтобы эта схема была
эквивалентна структурной схеме на рис.2.28(У), (а).

Для схемы на рис. 2.28(У), (б) запишите передаточную функцию У($)//ад.

У-2.29. Для системы на рис. 2.29(У):

(а)	Определите передаточную функцию

Y(s)/R(s), если	R(s)

► ПП

10

(? + 2s + 10)'



(б)	Запишите выражение y(s), если входной	Рис. 2.29 (У)

сигнал r(t) есть единичная ступенчатая функ-
ция.

(в)	Найдите выражение у(Г).

У-230. Найдите вычеты для разложения V(s) на простые дроби путем (а) вычислений и (б) графиче-
ских построений на s-плоскости:

400

У =	--------- .

s2 + 8s + 400
Задачи

3-2.1. Запишите систему интегродифференциальных уравнений, характеризующую процессы в
электрической схеме на рис. 2.1(3).

3-2.2. На рис. 2.2(3) изображен динамический поглотитель вибраций. Подобная схема типична для
многих ситуаций, связанных с вибрацией механизмов, содержащих несбалансированные ком-
поненты. Параметры М2 и £12 можно подобрать так, что основная масса М{ будет избавлена от
вибраций при F(t) ~ #sincoot Запишите дифференциальные уравнения, описывающие поведе-

ние системы.

3-2.3. На рис. 2.3(3) изображена система из двух
масс, соединенных пружиной. Предполагается,
что массы и пружины одинаковы. Запишите
дифференциальные уравнения, описывающие
поведение системы.

Сила

Л/)
Ч Р

12

Рис.

Сила
AV)

М.

v(r)

2.1 (3). Электрическая схема





i

I

I---------------►



к W~

Рис. 2.2 (3). Поглотитель вибраций

Рис. 2.3 (3). Система с двумя массами

3-2.4. Нелинейный усилитель описывается следующей зависимостью:

Рис. 2.5 (3). Поток
жидкости через трубку

В рабочей точке входное напряжение изменяется в диапазоне ± 0.5 В. Получите линейную ап-
проксимацию усилителя, если рабочей точке соответствует (a) v, = 0 или (б) v, = 1 В. Для каж-
дого случая изобразите график нелинейной функции и ее линейной апроксимации.

3-2.5. Поток жидкости через трубку можно описать нелинейным уравнением
Q = K(Pt - Л)1'2.

где К = const, а смысл остальных переменных ясен из
рис. 2.5(3).

(а)	Получите линейную аппроксимацию для уравнения по-
тока жидкости.

(б)	Что произойдет с полученной аппроксимацией, если ра-

бочей точке будет соответствовать - Д - 0?

3-2.6. С помощью преобразования Лапласа получите выражение для тока I2(s) из задачи 2.1, если
считать, что все начальные условия равны нулю, напряжение v(t) = 0, а начальные значения на-
пряжений на конденсаторах и С2 соответственно равны 0 и 10 В.
Рис. 2.7 (3). Дифференцирующая цепь

Рис. 2.8 (3). Мостовая
Т-образная схема

3-2.7. Получите передаточную функцию для дифференцирующей цепи, изображенной на
рис. 2.7(3),

3-2.8. В системах управления, работающих на переменном токе, в качестве фильтра часто применя-
ются мостовые Т-образные схемы. Одна из таких схем приведена на рис. 2.8(3). Покажите, что
передаточная функция этой схемы равна

(,у)	1 + 2R£s + 7?|А2С У

ИДу) “ 1+ (2Я, + R2)Cs + R.R-C2s2 '

Укажите расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей, если Ry = 0.5,	- 1 и

С = 0,5.

3-2.9. Получите передаточную функцию Xy(s)/F(s) для системы с двумя связанными массами из за-
дачи 2.3. Определите положение на 5-плоскости полюсов и нулей, если М = 1, Ык - 1 и

1 b

2jkM

= 0,1.

3-2.10. Определите передаточную функцию Yy(s)/F(s) для поглотителя вибраций из задачи 2.2.
Установите, при каких значениях параметров М2 и ^12 в случае F(t) ~ a sinco0z вибрация массы
Му будет отсутствовать.

3-2.11. В электромеханических системах, требующих значительного усиления по мощности, часто
применяются электомашинные усилители (ЭМУ). Такой ЭМУ и сервопривод изображены на
рис. 2.11(3). Определите передаточную функцию 0(s)/Kc(5) и изобразите структурную схему
системы. Считайте, что vt/ = и v = k{ic.

Цепь
управления

ЭМУ

ч Двигатель I

Рис. 2.11 (3). Электромашинный усилитель и двигатель, управляемый по цепи якоря

v12 - V,

Скорость
со.. = const

Л - const

Нагрузка, J, b




3-2.12. На рис. 2.12(3) изображена емкость, в которую
поступает несжимаемая жидкость. Можно счи-
тать, что изменение расхода на выходе из емко-
сти, пропорционально изменению уровня
жидкости А//. В установившемся режиме ~ Ог
и Q2 = k4H'. Используя линейную аппроксима-
цию. получите передаточную функцию объекта

3-2.13. На рис. 2.13(3) изображена разомкнутая элект-
ромеханическая система управления. Генератор,
якорь которого вращается с постоянной скоро-
стью, вырабатывает напряжение, поступающее
на обмотку возбуждения двигателя. Двигатель
обладает моментом инерции Jm и коэффициен-
том трения Ьт. Определите передаточную функ-
цию 0Л(5)/Иу(5’) и изобразите структурную схему
системы. Предполагается, что напряжение гене-
ратора vg пропорционально току возбуждения у.

Входной вентиль

Qz &Q2

Рис. 2.12 (3). Система
с потоком жидкости

Генератор

Рис. 2.13 (3). Система генератор-двигатель

3-2.14. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи возбуждения через редуктор приводит
во вращение нагрузку. Характеристика двигателя предполагается линейной. В результате ис-
пытаний при подаче на обмотку двигателя ступенчатого напряжения величиной 80 В нагрузка
через 0,5 с достигает скорости 1 рад/с . Установившееся значение скорости равно 2,4 рад/с .

Определите передаточную функцию двигателя 0(.y)/>j (s) с размерностью рад/В . Индуктивно-
стью обмотки возбуждения можно пренебречь (см. рис. 2.17).	»

3-2.15. Рассмотрите систему масса-пружины,
изображенную на рис. 2.15(3). Получите
дифференциальное уравнение, описыва-
ющее движение массы т. Найдите реак-
цию системы на начальное условие
л(0) = 1.

3-2J6. Постройте сигнальный граф для сле-
дующей системы алгебраических урав-
нений, считая Л| и х2 зависимыми пере-
меными. а 6 и 11 — входами:

Рис. 2.15 (3). Масса на пружинных
подвесках

Xj + 1,5х2 = 6,

2xj + 4х2 =11.
По формуле Мейсона определите значение каждой зависимой переменной. Решение для

проверьте с помощью правила Крамера.

3-2.17. На рис. 2.17(3) изображена механическая сис-
тема, в которой задается смещение^/) извест-
ного вида относительно стационарного значе-
ния этой переменной.

(а)	Запишите два независимых уравнения дви-
жения.

(б)	Получите уравнения движения в виде преоб-
разований Лапласа, считая начальные условия
нулевыми.

(в)	Изобразите сигнальный граф, соответствую-
щий этой системе уравнений.

(г)	С помощью формулы Мейсона найдите
связь между Л\(.у) и JV3(^), 7\3(.у). Сравните тру-
доемкость получения Т\з(5) с помощью матриц
и с помощью формулы Мейсона.

3-2.18. На рис. 2.18(3) изобажена каскадная £С-цепь,
для которой справедливы следующие уравне-
ния:

Л = (И-ИЛЛ. = (/, - 4 )Z2.

4 ~ (1'а “ ^2	“ 4 ^4-

Изобразите сигнальный граф, соответствую-
щий этим уравнениям, и определите передаточ-
ную функцию И2(^)/И](5).

Трение

Рис, 2,17 (3). Механическая система

Рис. 2.18 (3)

Каскадная £С-цепь

3-2.19. На рис. 2.19(3) изображен повторитель напряжения
(буферный усилитель). Считая операционный усили-
тель идеальным, покажите, что Т ~ Vq/v, == 1.

3-2.20. Повторители напряжения используются для сущест-
венного уменьшения выходного сопротивления источ-
ника сигнала. Схема такого повторителя на полевом
транзисторе с коэффициентом усиления, практически
равным единице, приведена на рис. 2.20(3) (а), а его
малосигнальная эквивалентная модель — на
рис.2.20(3) (о). Предполагается, что для создания сме-
щения выбрано R2 » и что Rg » R2.

(а)	Получите выражение для коэффициента усиления
схемы.

(б)	Вычислите коэффициент усиления, если gm - 2000
мкмо и Rx - 10 кОм, где Rs -	+ R2 .

(в)	Изобразите сигнальный граф, отражающий уравне-
ния для данной схемы.

Рис. 2.19 (3). Схема

на неинвертирующем
операционном усилителе
Рис. 2.20 (3)
Повторитель
напряжения
на полевом
транзисторе (схема
с общим стоком).

а)

б)

3-2.21. На рис. 2.21(3) изображен гидравлический серво-
привод с механической обратной связью. Площадь
поршня силового гидроцилиндра равна А. Когда зо-
лотник перемещается на малую величину Az, то масло
потекает через гидроцилиндр со скоростью pAz. где
р — степень открытия отверстия. Давление масла
предполагается постоянным. Из геометрических со-

ображений ясно, что Az = к -—- (х - у) - — у
/]	/j

(а)	Изобразите сигнальный граф замкнутой гидроме-
ханической системы.

(б)	Определите передаточную функцию замкнутой
системы Y(s)/X(s).

Силовой
цилиндр

Рис. 2.22 (3). Стержни длиной Z.,
соединенные пружиной в точках L/2

Выход, у
г’’

Рис. 2.21 (3). Гидравлический
сервопривод

3-2.22. На рис. 2.22(3) показаны два маятника, соединенные пружиной точно в середине стержней,
причем в их точках подвеса трение отсутствует. Предполагается, что каждый маятник пред-
ставляет собой массу М на конце стержня длиной L. а массой стержня можно пренебречь. Кро-
ме того, считается, что отклонения от положения равновесия являются малыми, поэтому для
sin0 и cos0 применима линейная аппроксимация. При 0( = 02 деформация пружины отсутству-
ет. Внешняя сила/(7) приложена только к левому стержню.

(а)	Запишите уравнения движения и представьте их в виде структурной схемы.

(б)	Определите передаточную функцию T(s) = 6{(я)/Е($).

(в)	Изобразите расположение на s-плоскости полюсов и нулей 7'(s).

3-2.23. На рис. 2.23(3) изображена малосигнальная эквивалентная схема транзисторного усилителя
с общим эмиттером. Обратная связь в усилителе осуществляется с помощью резистора Rf.
Определите отношение vce/vr
Рис. 2.23 (3)

Усилитель
с общим
эмиттером

Рис- 2-24 (3)- Усилитель с обратной связью

3-2.24. На рис. 2.24(3), (а) изображен усилитель напряжения с обратной связью на двух соединен-
ных последовательно транзисторах. В эквивалентной схеме для переменного тока опущены
резисторы, необходимые для задания смещения, и шунтирующие конденсаторы. Соответству-
ющий этой схеме сигнальный граф приведен на рис.2,24(3), (б). На графе не отражено влияние
hre. обычно достаточно точно аппроксимируемого, а также предполагается, что (/?2 + /?; )» Aj.
(а) Определите коэффициент усиления по напряжению v0/vz.

(б)	Определите коэффициент усиления по току ic^bv

(в)	Определите входное сопротивление v/z^].

3-2.25. Часто не обращают внимание на тот факт, что Г. С. Блэк, предложивший в 1927 г. идею раз-
работки усилителей с отрицательной обратой связью, тремя годами раньше изобрел метод
синтеза схем, известный как метод коррекции по возмущению. Дальнейшие эксперименты по-
казали. что этот метод открывает богатые возможности для создания усилителей с высокоста-
бильными характеристиками. Усилитель Блэка изображен на рис. 2.25(3) (а) в том виде, как он
был предложен им в 1924 г. Соответствующий сигнальный граф приведен на рис. 2.25(3). (б).
Определите передаточные функции от входа tf(s) к выходу УО) и от возмущения D(s) к выходу
У(я), Каждому усилителю, обозначенному как ц на схеме (я), соответствует D(s) на графе.

а)	б)
3-2.26. Если рука робота захватывает тяжелый
груз, то в ее сочленениях появляется зна-
чительная гибкость. На рис. 2.26(3) изоб-
ражена соответствующая данному слу-
чаю модель руки робота. Определите пе-
редаточную функцию Y(s)/F(s).

3-2.27. Транспортные средства на магнитной
подушке отличаются большей скоро-
стью и меньшим трением по сравнению с

F(t)

к

Рис- 2-26 (3). Модель руки робота в виде
демпфированной системы «масса-пружина»

традиционным железнодорожным транс-

портом. На рис. 2.27(3) схематически изображен
поезд, плавающий над магнитным рельсом с воз-
душным зазором. Сила левитации FL регулируется
током i в катушках подвески и может быть аппрок-
симирована выражением

где z — величина воздушного зазора. Эта сила на-
правлена навстречу силе тяжести F - mg. Опреде-
лите линеаризованную зависимость между воз-
душным зазором z и управляющим током в окрест-
ности точки равновесия.

3-2.28. Многоконтурная модель экологической среды
обитания в городских условиях может включать в
себя следующие переменные: количество населе-
ния (Р), благоустройство (Л/), приток населения в
город (С), санитарные возможности (5), количест-
во заболеваний (Р), число бактерий на единицу
площади (В) и количество отходов на единицу пло-

Катушка	Катушка

подвески	подвески

Рис- 2.27 (3). Поезд на
магнитной подушке (в разрезе)

щади (G). В скобках указан символ каждой переменной. Можно предположить наличие следу-

ющих замкнутых причинно-следственных цепочек:

I.	P-^>G-+B-+D-+P\	3. Р -+M->S-+D-+P;

2.	Р~+М~>С-+Р-	4. P-+M~>S-+B-+D~>P.

Изобразите сигнальный граф, отражающий эти связи, и укажите на нем соответствующие ко
эффициенты преобразования. Поясните, почему вы считаете каждое преобразование положи
тельным или отрицательным. Например, преобразование S —> В является отрицательным, т. к
улучшение санитарных условий ведет к уменьшению числа бактерий на единицу площади
В каком из четырех контуров обратная связь является положительной и в каком — отрицате

льной?

3-2.29. Мы хотим удержать в равновесии
шарик, который может катиться по
вращающемуся брусу, как показано
на рис. 2.29(3). Предположим, что
вращающий момент двигателя опре-
деляется входным током i и при этом
трением можно пренебречь. Будем
также считать, что брус можно удер-
жать в равновесии вблизи горизонта-
льного положения (ф = 0), так что от-

Момент двигателя

Рис- 2-29 (3)- Шарик на вращающемся брусе

клонения угла ф являются малыми.
Определите передаточную функцию X(s)/l(s) и приведите структурную схему, на которой обо-
значьте <рбу), и /(s).

3-2.30. Точность систем управления в значительной степени определяется типом датчика, исполь-
зуемого в цепи обратной связи. Особенно важную роль играют динамические свойства датчи-
ка. Большинству датчиков свойственна передаточная функция

Я(5) =

к

TS + I

Рассмотрите некоторые из современных промышленных датчиков и выявите, какой точно-
стью и постоянной времени они обладают. Как пример, возьмите по два из следующих датчи-
ков: (I) линейного перемещения, (2) температуры, (3) деформации. (4) давления.

Рис. 2.31 (3). Система управления скоростью сматывания кабеля с катушки

3-2.31. В системе, управляющей скоростью, с которой кабель сматывается с катушки, в качестве
датчика используется тахогенератор. Выходное напряжение тахогенератора используется для
управления скоростью двигателя, вращающего катушку. На рис. 2.31(3) изображена соответ-
ствующая система управления. Радиус катушки равен 4 м, когда она заполнена, и 2 м — когда
она пустая. Момент инерции катушки J = 18.57?4 - 221. Скорость изменения радиуса

dR _ Р2ш
dt ~ 2nW ’

где JV— ширина катушки, a D — диаметр кабеля. Действительная скорость сматывания кабе-
ля v(t) = R(b, Заданная скорость сматывания равна 50 м/с . Разработайте схему моделирования
этой системы на цифровом компьютере и определите ее реакцию на интервале 0-20 с для трёх
значений коэффициентах = 0,2; 0,4 и 0.6. Угловая скорость катушки со = dftldt равна интегралу
от момента с коэффициентом 1/J. Обратите внимание, что момент инерции изменяется по мере
разматывания кабеля, однако при моде-
лировании это будет учтено приведен-
ным выше выражением. Выберите ко-
эффициент К так, чтобы ограничить пе-
ререгулирование величиной 9% и в то
же время добиться максимального бы-
стродействия. Для моделирования при-
мите, что при t = 0 IV ~ 2,0, D = 0,1 и
Я = 3,5.

3-2.32. На рис. 2.32(3) изображена система с
двумя входами и двумя выходами. По-
лагая R2 = 0, определите y^s^Xj^) и
У2(-у)/Л |(5).
3-2.33. Система состоит из двух электродвигателей, соединенных между собой непрерывным гиб-
ким ремнем. Ремень также проходит через специальное приспособление, измеряющее его ско-
рость и натяжение. Задача управления состоит в регулировании скорости и натяжения ремня
путем изменения вращающих моментов двигателей.

Практическим примером такой системы может служить перемотка пряжи в текстильном про-
изводстве с одной бобины на другую с высокой скоростью. В промежутке между двумя боби-
нами пряжа подвергается определенной обработке, при которой может потребоваться регули-
рование в заданных пределах скорости и натяжения. Модель подобной системы приведена на
рис. 2.33(3). Определите )S(s)//?j(s). Определите также, при каких условиях, предъявляемых к
системе, У? не будет зависеть от

3-2.34. Определите передаточную функцию Y(s)/R(s) для системы регулирования скорости (числа
оборотов) на холостом ходу автомобильного двигателя с инжекцией топлива, изображенной
на рис. 2.34(3).

Рис- 2-34 (3)- Система регулирования числа оборотов автомобильного двигателя

5-1503
3-2.35. На рис. 2.35(3) изображена система
подвески колеса автомобиля-пикапа.
Масса автомобиля равна а масса
колеса — пг2. Коэффициент упругости
рессоры равен кь а коэффициент упру-
гости шины — к2. Амортизатор облада-
ет коэффициентом демпфирования Ь.
Определите передаточную функцию
К|(^)Л¥(^). характеризующую реакцию
автомобиля на неровности дороги.

3-2.36. Система управления с обратной свя-
зью имеет структуру, изображенную
на рис. 2.36(3). Определите передаточ-

ную функцию Y(s)/R(s): (а) путем
преобразования (упрощения) струк-
турной схемы и (б) с помощью фор-
мулы Мейсона по сигнальному гра-
фу. (в) Выберите коэффициенты
и К2 так, чтобы реакция замкнутой
системы на ступенчатое воздейст-
вие была критически демпфирован-
ной и оба полюса располагались в
точке 5 = -10. (г) Для последнего

Рис. 2.35 (3). Подвеска колеса
автомобиля-пикапа

случая изобразите график переход-

ной функции системы. Через какое

время переходная функция достигает 90% от своего установившегося значения?
3-2.37. Для системы, представленной на рис. 2.37(3):

(а)	Разложите передаточную функцию на эле-
ментарные дроби и определите реакцию y(t) ЯС?)
на линейное входное воздействие, r(t)

12

? + 8r + 195 + 12



(б)	Постройте график полученной функции
у(0 и найдите значение у(0 при t = 1,5 с.

Рис. 2.37 (3)

(в)	Определите импульсную переходную функцию системы y(t) для
t> 0.

(г) Постройте график импульсной переходной функции и найдите ее

значение при t = 1,5 с.

3-2.38. На систему с двумя массами, изображенную на рис. 2.38(3), действу-
ет внешняя сила u(t). Считая т{ - т2 ~ 1 и - К2 = 1, запишите систему
дифференциальных уравнений, характеризующих движение системы.

3-2.39. Крутящийся маятник, изображенный на рис.2.39(3), состоит из двух

стальных шариков, находящихся на концах тонкого длинного стержня.
Стержень подвешен
на тонкой проволочке,

которая выдерживает
много оборотов без
разрушения. Маятник
закручивают на 4000
градусов. Сколько
времени потребуется,
чтобы возникшие ко-
лебания затухли до

Рис. 2.38 (3)
Система с
двумя массами

Рис. 2.39 (3). Крутящийся маятник
амплитуды Ю градусов? Проволочка имеет коэффицент упругости при скручивании, равный
2 • Ю”4 Н  м/рад, а коэффициент вязкого трения шариков в воздухе также равен 2  Ю4
Н  м/рад. Масса каждого шарика равна I кг.

Рис. 2.40 (3)

Электрическая схема

3-2.40. В схеме, изображенной на рис. 2.40(3), определите изображение по Лапласу выходного на-
пряжения K0(s). Предполагается, что при t < 0 схема находится в установившемся состоянии.

а в момент t = 0 ключ мгновенно переводится из положения I в положение 2.

3-2.41. Для уменьшения нежелательных
вибраций механизмов применяются
демпфирующие устройства. На
рис. 2.41(3) показано одно из таких
устройств; между двумя колесами по-
мещается вязкая жидкость, например
густое масло. Когда вибрация стано-
вится значительной, движение колес
относительно друг друга создает дем-
пфирующий эффект. Если механизм
вращается без вибрации, то относите-
льное движение колес отсутствует и
демпфирования не происходит. Опре-

Внешнее колесо
ле,

Внутреннее колесо
Л е2

Жидкость, b

Рис. 2.41 (3). Демпфирующее устройство
в разрезе

делите O^s) и 02(.у). Коэффициент упругости вала равен К, коэффициент вязкого трения — Ь, а

вращающий момент, передаваемый нагрузке — Т.

3-2.42. На рис. 2.42(3) изображена ракета, оснащенная двига-
телем с изменяемым вектором тяги. Отклонение ракеты
по горизонтали от заданной траектории равно /?, а ско-
рость ее движения в направлении оси равна К Момент,
развиваемый двигателем (управляющий момент), равен
Тс, а возмущающий момент — Td. Запишите уравнения,
описывающие линейную модель системы, и изобразите
соответствующую структурную схему.

3-2.43. На рис. 2.43(3) схематически изображен оптический
сканер, который часто используется для считывания
штрих-кодов с товаров в супермаркетах, а также в поли-
графии и ряде отраслей производства. При вращении
зеркала возникает сила трения, пропорциональная угло-
вой скорости. Коэффициент трения равен 0,06 Н  с/рад .
а момент инерции — 0,1 кг • м2. Выходной переменной
является угловая скорость со(г). (а) Запишите дифферен-
циальное уравнение для двигателя, (б) Определите реак-

Рис. 2.42 (3). Ракета
с двигателем с изменяемым
вектором тяги
Рис. 2.43 (3)
Оптический сканер

Зеркало

цию системы на единичное ступенчатое изменение вращающего момента, если при / = 0 нача-
льное значение скорости равно 0,7 рад/с.

3-2.44. В поз. 10 табл. 2.5 изображен идеальный шестеренчатый редуктор. Пренебрегая моментом
инерции и трением между шестернями, а также считая, что обе шестерни выполняют одинако-
вую работу, докажите справедливость приведённых в таблице соотношений. Определите связь
между моментами Тт и TL.

3-2.45. Электродвигатель через идеальный шесте-
ренчатый редуктор вращает массивную ци-
линдрическую нагрузку, как показано на
рис. 2.45(3). Момент инерции вала двигате-
ля с закрепленной на нем шестеренкой G2
равен Jm. Определите (а) момент инерции
нагрузки JL и (б) момент Т на валу двигате-
ля. Коэффициенты трения нагрузки и вала
двигателя соответственно равны bj и bm.
Плотность материала диска равна р.

3-2.46. Робот по сравнению с человеком-операто-
ром способен развивать гораздо большие

Рис. 2.45 (3). Электродвигатель,
редуктор и нагрузка

усилия; в свою очередь, человек по сравне-

нию с роботом способен совершать разумные действия. Объединение этих положительных ка-
честв приводит к созданию класса манипуляторов, называемых экстендерами. Экстендер
определяется как активный манипулятор, управляемый человеком и увеличивающий прикла-

Рис. 2.46 (3)

Модель экстендера

Корректирующий
фильтр
дываемые им усилия. Человек задает входное воздействие U(s), как показано на рис. 2.46(3).
Выходом экстендера является /*(.?). Определите P(s) как функцию U(s) и F(s) в виде

P(s) = 7\(s)U(s) + f2(s)F(s).

3-2.47. Груз, перевозимый автомобилем, приводит к появлению силы F действующей на пружину
амортизатора и деформирующей Щину. как показано на рис.2.47(3), (а). Модель данной систе-
мы изображена на рис. 2.47(3), (б). Определите передаточную функцию Xi(s)/F\s),

Рис. 2.47 (3)

Модель опоры
автомобиля

f Амортизатор

Шина

Сила давления
груза

Масса автомобиля

3-2.48. Уровень воды в баке регулиру-
ется с помощью разомкнутой си-
стемы, изображённой на
рис.2.48(3). Двигатель постоян-
ного тока, скорость вращения ко-
торого определяется током якоря
изменяет степень открытия
вентиля. Индуктивностью якор-
ной обмотки двигателя а так-
же коэффициентом трения при
вращении его вала и вентиля, б,
можно пренебречь. Уровень
воды в баке определяется уравне-
нием

Й(/) = J[l,60(Z)-/l(Z)]rf/.

ка = 50

Усилитель

0(0, (9(0

Вентиль

Рис- 2-48 (3)- Разомкнутая система управления
уровнем воды в баке

Постоянная электродвигателя Кт = 10, а момент инер-
ции его ротора совместно с вентилем J-6' 10“3
кг • м2. Получите дифференциальное уравнение, связы-
вающее h(t) и v(0, а также определите передаточную
функцию H(s)/V(s).

3-2.49. Схема, изображения на рис. 2.49(3), представляет со-
бой фильтр, обладающий как опережением, гак и отста-
ванием по фазе.

(а) Определите передаточную функцию Г2С?)/(s)? счи-
тая, что операционный усилитель является идеальным.

Рис- 2.49 (3). Фильтр
с опережением и отставанием
по фазе
(б)	Вычислите	если R{ = 100 кОм, R2 = 200 кОм, = 1 мкФ и С2 = 0,1 мкФ.

(в)	Разложите выражение	на элементарные дроби.

3-2.50. На рис. 2.50(3) изображена замкну-

тая система управления.

(а)	Определите передаточную функ-
цию T(s) - Y(s)/R(s).

(б)	Вычислите полюсы функции T(s).

(в)	Считая, что входной сигнал есть
единичная ступенчатая функция, т. е.

6205
s(?+ 135+ 1281)

Рис. 2.50 (3)

Я($) = 7Ху. разложите У($) на элементарные дроби с помощью вычетов.

(г)	Постройте графикХ0 и проанализируйте влияние вещественного и комплексных полюсов
Щ). Какие полюсы — вещественный или комплексные оказывают преобладающее влияние на

вид у(0?

3-2.51. На рис. 2.51(3) изображена замкну-
тая система управления.

(а)	Определите передаточную функ-
цию Г($) = Y(s)/R(s).

(б)	Вычислите полюсы функции T(s).

(в)	Считая, что входной сигнал есть
единичная ступенчатая функция, т. е.

14000

s3 +45s2+ 3100$+500

Рис. 2.51 (3)

► X(s)

R(s) = 1/s, разложите У(5) на элементарные дроби с помощью вычетов.

(г)	Постройте график y(t) и проанализируйте влияние вещественного и комлексных полюсов
T(s). Какие полюсы — вещественный или комплексные оказывают преобладающее влияние на
вид у(/)?

(д)	Предскажите конечное значение y(t) в случае единичного ступенчатого входного воздейст-

вия.

Задачи повышенной сложности

П-2.1. Электродвигатель постоянного тока, управляемый по цепи якоря, приводит во вращение на-
грузку. Входное напряжение равно 5 В. Спустя 2 секунды после включения двигателя его ско-
рость равна 30 рад/с, а ее установившееся значение (при t —> со) составляет 70 рад/с. Определи-
те передаточную функцию со(5уУ(5).

П-2.2. На рис. 2.2(П) изображен сигнальный граф системы. Определите передаточную функцию
T(s) = Y^sj/R^s). Желательно, чтобы У2(5) не зависело от 7^(5). т. е. чтобы T(s) ~ 0. Найдите за-
висимость G5(s) от остальных при которой будет выполняться данное условие.

Рис. 2.2 (П)	-ад

- RM
Задачи на синтез систем

СС-2.1. Перед нами поставлена задача:
«НВ обеспечить точное позициони-
L _ J рование скользящей части стола
металлообрабатывающего стан-
ка. как показано на рис. 2.1(СС).
Преобразование угла поворота
электродвигателя в линейное пере-
мещение с помощью вращающего-
ся барабана и рейки обладает опре-
деленными премуществами по
сравнению с более распростране-
ной системой винт-гайка. В частно-
сти, такой привод характеризуется

Электродвигатель и
вращающийся барабан

(б)	F.(s)------► G(i) -----------Кф)

малым трением и отсутствием
люфта, однако он чувствителен к
возмущениям. Необходимо разра-
ботать модель привода, изображен-
ного на рис. 2.1(СС). (а), используя

Рис. 2.1 (СС). (а) Электродвигатель, барабан
и скользящая часть стола.

(б) Модель в виде структурной схемы

параметры, приведенные в табл. 2.1(СС). В приводе применен двигатель постоянного тока,
управляемый по цепи якоря, с валом которого соединен вращающийся барабан. Рейка обеспе-

чивает линейное перемещение скользящей части стола, удерживаемой воздушной подушкой,
благодаря чему трение при движении практически отсутствует. На данном этапе решения за-
дачи нам необходимо получить передаточную функцию системы без обратной связи в виде
структуры на рис. 2.1(СС). Обратная связь будет введена позже.

Таблица 2.1(СС). Типичные параметры двигателя с управлением
по цепи якоря, барабана и скользящей части

мь

г

Кт

Кь

Масса скользящей части

Масса рейки

Момент инерции барабана, якоря
электродвигателя и тахогенератора
Радиус барабана

Коэффициент демпфирования двигателя

Постоянная электодвигателя

Коэффициент противоЭДС

Сопротивление якоря

Индуктивность якоря

5.693 кг

6.96 кг

10,91 • 10’3 кг* м2

31,75  10"3 м

0,268 Нм- с/рад
0,8379 Н  м/А
0,838 В ‘ с/рад
1,36 Ом

3,6 мГн 

С-2.1. На рис. 2.1(C) изображена струк-
турная схема системы управления.
Передаточные функции G2(s) и
//2(s) заданы. Определите, как надо
выбрать nH^s), чтобы пере-
даточная функция замкнутой сис-
темы F(5)/7?(s) была равна единице.

/ад

Рис. 2.1 (С). К выбору передаточных функций
С-2.2. На рис.2.2(C) изображена схема
управления лучом кинескопа. Вы-
берите неизвестную проводимость
G так. чтобы напряжение v было
равно 24 В. Каждая проводимость
измеряется в сименсах (S).

С-2.3. На вход «черного ящика» с пере-
даточной функцией G(s) подан сиг-
нал r(t) - t, t > 0 . При нулевых нача-
льных условиях выходной сигнал
описывается выражением
y(t) = 1 + sin t + 2е~21 , t >0.

Определите передаточную функ-
цию G(s).

С-2.4. На рис. 2.4(C) изображена схема
на операционном усилителе, кото-
рая может выполнять функции фи-
льтра. Определите передаточную
функцию схемы, считая операцион-
ный усилитель идеальным. Найдите
v0(/), если V|(0 - At, t > 0.

Рис. 2.2 (С). Схема управления лучом кинескопа

О

Рис. 2.4 (С). Схема на операционном усилителе

Задачи, решаемые с помощью

MATLAB

М-2.1. Рассмотрите два полинома:

p{s) = s2 + 2s + 1.

q[s) = s + 1.

С помощью MATLAB вычислите следующее:

(a) p(s)q(s), (б) полюсы и нули G(s) -	. (в) р(-1).

М-2.2. Рассмотрите систему с обратной свя-
зью. изображенную на рис. 2.2(М).

(а)	Вычислите передаточную функцию
замкнутой системы с помощью функций
MATLAB series и feedback.

(б)	Определите реакцию системы на еди-
ничное ступенчатое воздействие с помо-



ад

щью функции step и убедитесь, что ко-
нечное значение выходной переменной
равно 2/5.

Рис. 2.2 (М). Система с отрицательной
обратной связью

М-2.3. Дано дифференциальное уравнение у+ 4 у+ 4 у = и, где у(Ю = у(0) = 0 и u(t) есть единичная

ступенчатая функция. Получите решение этого уравнения аналитически и проверьте результат
с помощью MATLAB, одновременно построив график y(f) с помощью функции step.

М-2.4. Рассмотрите механическую систему, изображенную на рис. 2.4(М), где входом является Д/),
а выходом —y(t). Определите передаточную функцию, связывающую/(/) иу(/), а также с по-
мощью MATLAB получите график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.
Параметры системы: т = 10, к - 1 и b = 0,5. Убедитесь, что максимальное значение выходной
переменной равно 1,8.
Рис. 2.4 (М)

Механическая система «масса-пружина»
с демпфированием

ЛО

Внешняя
сила

Коэффициент
жесткости пружины
к

Масс

т 1

Перемещение
массы

ЯО

Коэффициент
трения

Рис. 2.5 (М)
Структурная схема
системы управления
положением
спутника по одной
координате

М-2.5. Система управления положением спутника по одной координате может быть представлена
структурной схемой, изображенной на рис. 2.5(М). Переменные к, а и b являются параметрами
регулятора, a J есть момент инерции спутника. Примите следующие значения: J = 10.8Е+08,
к — 10,8Е+08, а — 1 и b " 8.

(а)	Напишите программу MATLAB, вычисляющую передаточную функцию замкнутой систе-
мы T(s) = 9(5)/0c/(s).

(б)	Вычислите и постройте график реакции системы на ступенчатое изменение входного сиг-
нала величиной 10°.

(в)	Точное значение момента инерции спутника в общем случае неизвестно и может медленно
изменяться во времени. Сравните реакции системы в случаях, когда J уменьшается на 20% и
на 50%. Параметры регулятора при этом остаются неизменными. Проанализируйте получен-
ные результаты.

М-2.6. Рассмотрите структурную схему системы, представленную на рис. 2.6(М).

(а)	С помощью MATLAB упростите структурную схему и определите передаточную функцию
замкнутой системы.

(б)	С помощью функции pzmap определите положение полюсов и нулей передаточной функ-
ции замкнутой системы.

(в)	С помощью функций pole и zero вычислите точные значения полюсов и нулей передаточ-
ной функции замкнутой системы и сравните результат с данными, полученными в п. (б).



У(5)

Рис. 2.6 (М). Структурная схема многоконтурной системы управления
М-2.7. Связь между выходом y(f) и входом х(/) нелинейной системы определяется уравнением
у(х) - л2 + xsinx.

Линейная аппроксимация этой зависимости имеет вид:

У = от,

где а — коэффициент, подлежащий определению. Определите параметр а эксперименталь-
но, разработав программу MATLAB, которая вычисляет и строит график разности между у и у
в зависимости от переменного параметра а. Параметр а подбирайте так, чтобы максимальная
разность между у и у не превышала значения 20 при 0 < х < 10. Когда будет найдено соответст-
вующее значение а, постройте графики у(х) и у(х) в диапазоне 0 < х < 10.

М-2.8. Система имеет передаточную функцию

_ (15/z)(s + z)

R(s) ~ s2+3s+15

Постройте график реакции системы на сигнал г(/) в виде единичной ступенчатой функции при
значениях параметра z — 3, 6 и 12.

Ключевые термины и понятия

Затухающие колебания. Колебания, характеризующиеся убыванием амплитуды во времени.

Имитационное моделирование. Эксперимент, при котором исследуется поведение математиче-
ской модели системы в условиях реальных входных сигналов.

Исполнительное устройство. Устройство, осуществляющее непосредственное воздействие на
объект управления с целью обеспечения заданного значения его выходной переменной.

Коэффициент затухания. Безразмерный параметр, входящий в характеристическое уравнение вто-
рого порядка и определяющий степень затухания.

Критическое демпфирование. Случай, которому соответствует граница между недодемпфирова-
нием и передемпфированием системы.

Линейная аппроксимация. Приближенное представление модели физического устройства в виде
линейной зависимости между его входной и выходной переменными.

Линейная система. Система, удовлетворяющая условиям суперпозиции и гомогенности.
Математическая модель. Описание поведения системы математическими средствами.
Передаточная функция. Отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразо-
ванию Лапласа входной переменной при нулевых начальных условиях.

Правило Мейсона. Правило, позволяющее получать передаточную функцию, прослеживая пути и
контуры распространения сигналов внутри системы.

Преобразование Лапласа. Преобразование функции времени f[t) в функцию комплексной пере-
менной F(s).

Сигнальный граф. Графическое представление системы линейных уравнений, состоящее из уз-
лов, соединённых направленными ветвями.

Структурная схема. Конфигурация системы управления, образованная совокупностью блоков од-
нонаправленного действия, каждому из которых соответствует определенная передаточная
функция.

Характеристическое уравнение. Уравнение, получающееся приравниванием нулю знаменателя
передаточной функции.

Электродвигатель постоянного тока. Электрическое исполнительное устройство, входным сиг-
налом которого является напряжение.
Глава 3

Модели в переменных состояния

Обзор

В предыдущей главе мы воспользовались преобразованием Лапласа для получения пере-
даточных функций линейных стационарных систем, описываемых обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями. Этот метод привлекателен тем, что он дает практическое

средство анализа и синтеза систем и позволяет использовать структурные схемы для уста-

новления связей между подсистемами. В настоящей главе мы рассмотрим альтернативный
метод моделирования систем, основанный на их представлении во временной области. Как
и раньше, мы будем рассматривать физические системы, описываемые обыкновенным

дифференциальным уравнением л-го порядка. Используя набор (неединственный) пере-
менных, называемых переменными состояния, мы сможем перейти к Системе из п диффе-

ренциальных уравнений первого порядка. Записав эти уравнения в компактной матричной

форме, мы получим так называемую модель системы в переменных состояния. В таком
виде модель уже вполне пригодна для компьютерного анализа. Мы рассмотрим также
связь между моделями систем в виде сигнальных графов и моделями в переменных состоя-
ния. Будут описаны и исследованы некоторые интересные физические системы, включая

ременный привод печатающего устройства принтера. Глава завершается дальнейшим раз-
витием примера синтеза с продолжением, где будет получена модель в переменных состоя-
ния для системы чтения информации с диска.

3.1. Введение

В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые методы анализа и синтеза систем с обрат-
ной связью. В частности, мы воспользовались преобразованием Лапласа, чтобы перейти от
дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, к алгебраическому
уравнению относительно комплексной переменной s. На основании этого алгебраического
уравнения мы смогли получить передаточную функцию, связывающую вход и выход сис-
темы.

Повсеместное применение цифровых компьютеров побуждает нас обратиться к опи-
санию систем управления во временной области. Соответствующие методы могут быть
применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная
система управления — это система, в которой один или более параметров являются
функциями времени. Например, масса ракеты изменяется по мере расходования топли-
ва в процессе полета. Многомерная система, как это было отмечено в разд. 2.6, — это сис-
тема с несколькими входами и выходами. Для систем управления, описание которых
представлено во временной области, решение многих задач облегчается путем примене-
ния цифровых компьютеров. Поэтому нам имеет смысл еще раз обратиться к дифферен-

циальным уравнениям как к средству описания систем во временной области. Временная
область — это область, в которой поведение системы рассматривается как функция пере-

менной t (времени).

Описание систем во временной области лежит в основе современной теории управле-
ния и методов оптимизации. Так, в гл. 11 мы рассмотрим задачу синтеза оптимальной сис-
темы управления с использованием методов временной области. А пока, в настоящей главе,
мы ограничимся общим описанием систем управления во временной области, а также про-

иллюстрируем некоторые методы определения временных характеристик систем.

3.2. Переменные состояния

Г1

инамической

системы

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния
системы. Состояние системы — это совокупность таких переменных, знание которых,
наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы,
позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче-
ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния
[х^О, x9(Z), ...,x„(z)]. Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе-
мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему,
изображенную на рис. 3.1, гдеу^Оиу^О есть выходные переменные, a zq(Z) и z/2(/)— вход-
ные переменные. Для этой системы переменные (х1; х2,..., х„) имеют следующий смысл:
если в момент времени /0 известны начальные значения [х^/Д x2(f0),...,xrt(f0)] и входные
сигналы щ(1) и z/2(f) для t > Zo, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие
значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Рис. 3.1

Структурная схема
системы управления

Входные
сигналы

ц(0 -

М*) -

Система

Выходные
сигналы

* м (0

* J4 (О

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест-
ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя
электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений — «включено»
или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе-
ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент
времени /0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить
будущее состояние элемента.

Рис. 3.2

Динамическая система

х(0)
Начальные
условия

iz(t)

Вход

Состояние
системы x(t)

y(t)
Выход
Понятие о переменных состояния, описывающих динами-
ческую систему, можно проиллюстрировать на примере меха-
нической системы «масса-пружина» с затуханием, изображен-
ной на рис. 3.3. Число переменных состояния, выбираемых для
описания системы, должно быть по возможности минималь-
ным, чтобы среди них не было излишних. Для данной системы
вполне достаточно иметь две переменные состояния — поло-
жение и скорость движения массы. Таким образом, мы примем
в качестве переменных состояния совокупность (х(, х2), где

Xi(0=y(0 и х2(Г)=-^^.

dt

Рис, 3,3. Система
«масса-пружина»
с затуханием

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается

в виде

(3.1)

С учетом введенных выше переменных состояния это уравнение примет вид:
dx

М—- + Ьх^ 4- кх{ =u(j).

dt

(3.2)

Следовательно, исходное дифференциальное уравнение второго порядка мы можем пред-

ставить в виде эквивалентной системы двух дифференциальных уравнений первого поряд-

ка:

(3.3)

(3.4)

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения

каждой переменной состояния.

Другим примером системы, которую
можно описать переменными состояния, яв-
ляется Я£С-цепь, изображенная на рис. 3.4.
Состояние системы характеризуется двумя
переменными (хь х2) где Xj есть напряжение
на конденсаторе vc(/), и х2 — ток через ин-
дуктивность iL(t). Выбор этих переменных
интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за-

и(0

Источник
тока

Рис. 3,4, /?£С-цепь

пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как
Е = (1/2)7л2 4-(l/2)Cv2.

Таким образом, х((Г0) и х2(/0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле-
довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЯЛС-цепи число

необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю-

щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне-

ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе:

dt
Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре-
деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

/А = -Я/д+ус.	(3.7)

at

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

Vo =	(О-

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных
уравнений относительно переменных состояния xt их2:

(3.8)

at С С

(3.9)

Тогда выходной сигнал будет равен

У|(0 = v0(J) = R х2.

(3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия [х|(/0), х2(/0)], мы сможем
определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все-
гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис-
темы второго порядка, такой как масса-пружина или ЯЛС-цепь, в качестве переменных
состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации Xj(r) и х2(/)- Так,
для ЛАС-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(t) и
vL(t), где V/ — напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, xt и х2,

будут связаны со старыми переменными X! и х2 соотношениями:

(3.11)

х2 ~VL ~vc ~ Ч. =Х1

(3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными
состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе-
ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате-
льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния
часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо-
льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи-
ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле-
ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи-
тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче-
редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения,
токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические
величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так-
же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя-
ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со-
стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю-
щие будущее поведение системы.
3.3.	Дифференциальные уравнения состояния

Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка от-
носительно каждой из переменных состояния. Эти уравнения в общем случае имеют следу-

ющий вид:

Х|	С111X। 4"	21	>

х2 =flf2lxl + а22Х2 +" а2пХп +^2lWl

(3.13)

хп IХ1 + @п2х2 @ппхп *$" ^nl Щ. +• • •+ ^пт »

где x-dx! dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной

форме:

(3.14)

Матрица-столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния

и имеет вид:

(3.15)

где полужирное начертание символа означает вектор. Вектор входных сигналов обознача-
ется как и. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравне-
нием состояния 

х = Ах + Ви .	(3.16)

Уравнение (3.16) часто называют просто уравнением состояния.

Матрица А является квадратной размерности п х п, а матрица В имеет размерность
тг*т*. Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим со-
стоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы

связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода

у = Сх + Du,	(3-17)

где у — совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора-столбца.

Воспользовавшись уравнениями (3.8) и (3.9), запишем уравнение состояния для

ЯЛС-цепи, изображенной на рис. 3.4:

О
х= 1

L

u(t).

(3.18)

* Полужирные строчные буквы обозначают векторы, а полужирные прописные — матрицы. Введение в
матрицы и элементарные матричные операции см. на Web-сайте MCS.
Уравнение выхода будет иметь вид:

Если 7? = 3, L - I и С = 1/2, то

(3.19)

и

у = [0 3] X.

Решение дифференциального уравнения состояния (3.16) можно получить точно так
же, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим
уравнение

х = ах + Ьи,	(3.20)

где х(/) и w(Z)— скалярные функции времени. Решение будем искать в виде экспоненты еа1.
Преобразуя уравнение (3.20) по Лапласу, получим:

5Д5) -х(0) = лф) + bU(s),
откуда

X(s) = —^- + —^—U(s).	(3.21)

s ~ a s - а

Обратное преобразование Лапласа уравнения (3.21) дает искомое решение:

х(/) = еа'х(0) + ( еа "Ьи (г)ch.	(3.22)

•’о

Аналогично получается и решение дифференциального уравнения состояния. Прежде все-
го введем в рассмотрение матричную экспоненциальную функцию, представив ее в
виде ряда

А2.2	а*Л

А/	/АХ > А

еА = ехр(А/) = 1 + А/+	(3.23)

*	г*" <

который сходится для всех конечных t и любой А. Тогда решение уравнения состояния бу-
дет иметь вид:

х(/)=ехр(Аг)х(0) + |ехр[А(г-т)]Ви (т)<Ут .	(3.24)

о

Решение (3.24) можно также получить, применив преобразование Лапласа к уравнению
(3.16) и сгруппировав члены. В результате получим:

Х(5) = [Я ~ АГ1 х(0) + [Я ~ A]"1 Вад	(3.25)

где можно ввести обозначение [Я-А]~1- Ф(^), что является преобразованием Лапласа фун-
кции Ф(/)=ехр(А7). Применив к (3.25) обратное преобразование Лапласа и учитывая, что
второе слагаемое в правой части содержит произведение Ф(5г)В11(5), мы и получим реше-
ние (3.24). Матричная экспоненциальная функция Ф(/) описывает свободное движение си-
стемы и называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния.
Таким образом, решение (3.24) можно записать в виде:

х(/) = Ф(г)х(0)+ |ф(г-т)Ви(т)б7т.
о
В результате для свободного движения системы (в случае, когда и-0) решение можно запи-

сать очень просто:

X, (Г)‘

х2 (I)

*
в

хп (t)

Фп(О

Ф21 (О

*
«
»

Ф»1 (О

Ф1ЛО
ф2и(')

V
«

Фло (0_

Х( (0)
х2(0)
«
V
«
л (о).

(3.27)

Отсюда легко можно видеть, что для того чтобы определить переходную матрицу состоя-
ния, необходимо начальные значения всех переменных состояния кроме одной положить
равными нулю и вычислить реакцию каждой переменной состояния на это ненулевое зна-
чение. Иначе говоря, элемент ф,; (Z) представляет собой реакцию z'-й переменной состояния
на начальное значение j-й переменной состояния при условии, что начальные значения
всех остальных переменных состояния равны нулю. Мы воспользуемся этим свойством в
последующих разделах при вычислении элементов переходной матрицы состояния. Одна-
ко сначала мы рассмотрим несколько моделей систем в переменных состояния, представ-
ленных в виде сигнальных графов, и покажем, как с их помощью можно исследовать устой-
чивость систем.

3.4.	Модели систем в переменных состояния
в виде сигнального графа

Выше мы рассмотрели случай, когда состояние системы и ее динамика описываются рядом
дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве альтернативы может быть ис-
пользовано уравнение состояния вида (3.16). В любом случае будет полезно получить мо-
дель системы в виде сигнального графа, узлы которого соответствовали бы переменным
состояния, а затем установить связь между таким графом и уже известным нам представле-
нием системы в виде передаточной функции.

Как было показано ранее, система может быть полностью описана передаточной
функцией G(s), связывающей ее входную и выходную переменные. Например, если нас
интересует связь между входным и выходным напряжением в схеме на рис 3.4, то мы мо-
жем получить передаточную функцию

t/(5)

Передаточная функция 7?£С-цепи на рис. 3.4 имеет вид
гио (s) а
G(s)=---------------------------=	,

U(s) s~ + Ps + у

(3.28)

где а, P и у являются функциями параметров цепи А, £ и С. Значения а, Р и у можно опреде-
лить по сигнальному графу, отображающему дифференциальные уравнения, описываю-
щие электрическую цепь. Для нашего случая (см. уравнения 3.8 и 3.9) мы имеем:

(3.29)
Рис. 3.5. Сигнальный граф для /?/.С*-цепи

Граф, отражающий эту систему уравнений, изображен на рис. 3.5, где 1/л есть символ ин-
тегрирования. По формуле Мейсона мы получим передаточную функцию:

К0(д)_	R! LCs2	_ R/LC

U(s) l + A/Ls+l/ZCs2 s2 + (R/L)s+l/LC '

(3.32)

К сожалению, многие электрические цепи, электромеханические системы и другие систе-
мы управления не так просты, как схема на рис. 3.4, и часто очень трудно получить диффе-
ренциальные уравнения первого порядка, описывающие динамику системы. Поэтому бы-
вает проще получить передаточную функцию системы (хотя бы методами, изложенными в
гл. 2) и затем на ее основании построить модель в переменных состояния.

Модель системы в виде графа с переменными состояния в узлах легко получить по
передаточной функции. Но, как мы заметили в разд. 3.3, возможны несколько комбина-
ций переменных состояния и, следовательно, можно изобразить несколько различных
сигнальных графов. В общем случае передаточную функцию можно представить в виде

У (5)	5"'+	+...+ й,5+Ь0

U{s) =----"---------------------------,

s” + an_{s” +...+	+ a0

(3.33)

где n > m и все коэффициенты а и b есть вещественные числа. Умножив числитель и знаме-
натель на s~n, мы получим:

(3-34)

Мы уже знакомы с формулой Мейсона, поэтому легко можем увидеть в знаменателе коэф-
фициенты передачи контуров с обратной связью, а в числителе — коэффициенты передачи
прямых путей. Напомним формулу Мейсона, приведенную в разд. 2.7:





(3.35)

Если все контуры с обратной связью являются касающимися, а все прямые пути в свою оче-
редь касаются этих контуров, то выражение (3.35) сводится к следующему:

_ Сумма коэффициентов передачи прямых путей
1-Сумма коэффициентов передачи контуров

(3.36)

Передаточную функцию можно представить различными графами. Представляют интерес
два частных случая таких конфигураций, основанных на формуле Мейсона, и мы рассмот-
рим их более подробно. В следующем разделе мы приведем еще две дополнительных кон-
фигурации графов.
Чтобы проиллюстрировать получение сигнального графа в терминах переменных со-
стояния, рассмотрим сначала передаточную функцию четвертого порядка:

bo	bos~4

=------=--------:— ----------------------—---------------------------—--------

£/(•*)	4 + a3s3 4- a2s~ + a{s +	1 4- а3<1 +	+ ог4^

(3.37)

Прежде всего мы заметим, что система имеет четвертый порядок и поэтому нам потребу-
ются четыре переменных состояния (хь х2> хз> *4)- Имея в виду формулу Мейсона, напом-
ним, что знаменатель можно рассматривать как 1 минус сумма коэффициентов передачи
контуров, а числитель передаточной функции есть коэффициент передачи прямого пути
графа. Сигнальный граф должен содержать минимальное число интеграторов, равное по-
рядку системы. Следовательно, для графического представления данной системы нам по-
требуются четыре интегратора. Соответствующие узлы и интеграторы сигнального графа
отображены на рис. 3.6. Наиболее простая конфигурация из этих элементов, соответствую-
щая передаточной функции, представлена на рис. 3.7. Анализируя этотрисунок, мы можем
заметить, что все контуры являются касающимися и, следовательно, передаточная функ-
ция имеет вид (3.37). Читатель легко может убедиться, что коэффициент передачи прямого
пути действительно равен />0/Д а знаменатель равен единице минус сумма коэффициентов
передачи всех контуров.

Рис- 3-6, Узлы и интеграторы графа для системы четвертого порядка

Рис- 3-7- Граф состояния для G(s)t соответствующей выражению (3.37)

Теперь рассмотрим передаточную функцию четвертого порядка, в которой числи- z
тель является полиномом переменной 5, т. е.

Ь3зъ + b2s2 + bxs + b0 b3s~' + b2s~2 + Ь'3~* + b0s~4

G^ = ~T"—1--------2----------= 7----"ч-------i---3-------ч- (3'38)

5 4- a3s + a2s +a{s+a$ l +	4- a2s + a{s 4- aQs

Слагаемые в числителе представляют собой коэффициенты передачи прямых путей в фор-
муле Мейсона. Прямые пути касаются всех контуров, поэтому сигнальный граф выглядит
так, как представлено на рис. 3.8. Прямые пути имеют коэффициенты передачи b3/s, b2/s',
bx!s3 и bjs\ что соответствует числителю передаточной функции. Еще раз напомним, что в
числителе формулы Мейсона всегда содержатся члены числителя передаточной функции, '
т. е. сумма прямых путей от входа системы к ее выходу. Общий вид графа, представляюще-
го передаточную функцию (3.38) на рис. 3.8, включает в себя п контуров с коэффициентами
ап и т прямых путей с коэффициентами передачи Ьт. Такое изображение сигнального гра-
фа называется представлением в форме фазовой переменной.
Рис. 3.8. Граф состояния для G(s) вида (3.38) в форме фазовой переменной

Переменные состояния на рис. 3.8 — это выходы каждого из элементов, накапливаю-
щих энергию, т. е. выходы интеграторов. Чтобы получить систему дифференциальных
уравнений первого порядка, соответствующую графу на рис. 3.8, мы введем в граф допол-
нительные узлы, непосредственно предшествующие каждому интегратору. В этом случае
каждый такой узел будет соответствовать производной выходной переменной интеграто-
ра. Сигнальный граф с дополнительными узлами изображен на рис. 3.9. По этому графу
мы теперь можем записать следующую систему дифференциальных уравнений первого
порядка, характеризующих состояние модели:

X! -Х2 , Х2 =Х3 , Х3 =Х4,

х4 = -аох1 -ахх2 ~азхд + и>	(3.39)

гдехь х2, ... , хп есть фазовые переменные.

Выход определяется уравнением

ХО“^0Х1 + ^1х2 + ^2Х3 + ^Зх4-

Те же уравнения в матричной форме имеют вид:

(3.40)

(3.41)

или

х = Ах + Bz/,
и

ХО=Сх=[60 Ь{ Ь2 Ь3]

(3.43)

Структура графа, изображенная на рис. 3.8, не является единственно возможным
представлением выражения (3.38); другая конфигурация графа, соответствующая той же
передаточной функции, изображена на рис. 3.10. В этом случае коэффициенты передачи
прямых путей образуются за счет заведения сигнала U(s) на вход каждого из интеграто-
ров. Такую модель мы будем называть структурой с многомерным входом.

Для графа на рис. 3.10 выходной сигналХ0 равен первой переменной состояния х^О-
Коэффициенты передачи прямых путей равны b$ls\ b^/s3, b2/s2, b2/s и все эти пути касают-
ся контуров. Поэтому передаточная функция действительно соответствует выражению
(3.38).

По графу, изображенному на рис. 3.10. можно записать следующую систему диффе-
ренциальных уравнений первого порядка:

Xj =— дг3х1 + х2 + Ь2и, х2	+ Ь2и,

х3 =-д1х1 + х4 + b{u9 х4 —-aQX[ + bQu.	(3.44)

Те же уравнения, но в матричной форме:

0

о
о
о

о
о

2

dt

п(О-

(3.45)

о

о

-«о

0

о

\ '  *  ,.

Хотя графыф виде структуры с многомерным входом и в форме фазовой переменной соот-
ветствуют одной и той же передаточной функции, но переменные состояния в них не равны
друг другу. Это объясняется тем, что графы имеют разную структуру. Заметим также, что
начальные условия в системе можно представить в виде начальных условий для интеграто-
ров, Х}(0), х2(0), ... , х„(0). Ниже мы рассмотрим систему управления и получим для нее
уравнения состояния, воспользовавшись двумя разными конфигурациями модели.

Рис. 3.10. Альтернативный вид графа, соответствующего передаточной функции (3.38)
Пример 3.1. Две модели в переменных состояния

Рис. 3.11

Одноконтурная
система управления

На рис. 3.11 изображена одноконтурная система управления, которая в замкнутом состоянии
имеет передаточную функцию

т. , Г(5)	2? +85+6

i \s) - -- =	:---- .

7?(s) s3 + 8s2 + 16s + 6

Умножая числитель и знаменатель на s'3, получим:

. Y(s) 2s 1 + 8s 2 + 6s 3

1 (s) -------=----------------------------- .

7?(s)	1 + 8s + 16s 2 + 6s 3

(3.46)

Первая модель в виде графа в форме фазовой переменной изображена на рис. 3.12. В этой мо-
дели выходной сигнал образуется как линейная комбинация переменных состояния. Для дан-
ного графа уравнение состояния имеет вид:

0

0

О

О

О

-16

-8

(3.47)



а уравнение выхода

я/) = [б

(3.48)

Вторая модель имеет вид графа со структурой

с многомерным входом (рис. 3.13). Для нее

уравнение состояния имеет вид:

х= -16 О

-6 О

(3-49)

а выход y(t) = Х](/).

Рис. 3.13
Граф в виде
структуры с
многомерным
входом

Рис. 3.12

Граф со структурой
в форме фазовой
переменной

t7(s)

-6
Заметим, что оба сигнальных графа, соответствующих передаточной функции T(s),
строятся достаточно просто, без разложения числителя и знаменателя на множители. Это
позволяет избежать трудоемких вычислений, а по структуре графа легко можно записать
уравнение состояния. Каждый из двух сигнальных графов является основой для компью-
терного моделирования передаточной функции. Поскольку система имеет третий поря-
док, то для ее моделирования необходимы три интегратора. Следует, однако, еще раз под-
черкнуть, что переменные состояния в модели на рис. 3.12 не идентичны соответствую-
щим переменным в модели на рис. 3.13. В то же время одна комбинация переменных со-
стояния связана с другой соответствующим линейным преобразованием. Используя
соотношение z - Мх, мы можем преобразовать вектор х в вектор z с помощью матрицы
М. В заключение отметим, что передаточная функция вида (3.33) описывает линейную
систему с постоянными коэффициентами, имеющую один вход и один выход, связанные
дифференциальным уравнением т?-го порядка

d"y dn~l у /ч dmu , dm-lu ,

++'"+ a°y(t)=~^ + т-' +'"+ °и{У }

В этом разделе на примере сигнальных графов было показано, как можно перейти от одно-
го дифференциального уравнения и-го порядка к системе из п дифференциальных уравне-
ний первого порядка и тем самым — к уравнению состояния.

3.5.	Альтернативные модели в виде

сигнальных графов

Очень часто при проектировании систем управления специалисту приходится иметь дело
со структурной схемой, в которой каждый блок соответствует реальному устройству, а все
переменные суть физические величины. Примером может служить разомкнутая система
управления скоростью вращения двигателя постоянного тока, изображенная на рис. 3.14. В
качестве переменных состояния желательно выбрать реальные физические переменные.
Поэтому мы будем использовать следующие переменные: X] = y(t)9 скорость вращения
(она же — выходная переменная); х2 - ток возбуждения; и х3 = w(r), напряжение воз-
буждения. Сигнальный граф, содержащий эти физические переменные, изображен на
рис. 3.15. Такая модель полезна, в частности, если физические переменные состояния мо-
гут быть измерены. Заметим, что на графе каждый блок структурной схемы представлен
отдельно. Например, регулятор имеет передаточную функцию

(7(5) _.ч 50+1)	5+5s-1

----=GC (s) =------=—------- >
R(s)	s + 5 i + 5^

и на графе она представлена фрагментом между R(s) и &(s).

Регулятор

Двигатель и нагрузка

Рис. 3.14. Структурная схема разомкнутой системы управления
скоростью электродвигателя
Рис. 3.15. Сигнальный граф с физическими переменными состояния

Уравнение состояния записывается непосредственно по графу на рис. 3.15:

а выходная переменная

О
-20
-5

г(А

у = [1 0 0] х.

(3.51)

(3.52)

Второй способ получения сигнального графа основан на разложении передаточной
функции на элементарные составляющие. Передаточная функция, связывающая вход и
выход структурной схемы на рис. 3.14, имеет вид:

Г GO =	=	30(5+1)	= q(s)

R(s) (5 + 5)(5 + 2)(s+3) Gy-^Xs-SjXs-s,)’

а переходная функция имеет трисоставляющие, определяемые полюсами	s2 hj3. Разло-

жение передаточной функции на элементарные дроби дает:

22^2=t(S)=А_ + 11. + 11..	(з.5з)

Л(5)	5+5 5+2 5+3

Используя прием, описанный в гл. 2, мы находим, что = -20, к2 = -10 и к^ = 30.
Сигнальный граф, соответствующий выражению (3.53), представлен на рис. 3.16. Уравне-
ния состояния и выхода для этого графа, записанные в матричной форме, таковы:

0

0

-2
0

о
о

-3

'•(О

Х0 = [-20 -10 30] х.

(3.54)

Заметим, что переменную состояниях! мы связали с полюсом = -5, х2 — с полюсом и
х3 — с полюсом s3, как показано на рис. 3.16. Индексация переменных состояния в данном

случае является произвольной; например, Xj мы могли бы выбрать связанной с полюсом

5 — ™2.

Развязывание переменных состояния в

случае различных полюсов -51э	..., -sn

приводит к тому, что в уравнении состояния

матрица А приобретает диагональную, или

каноническую форму. Если же среди по-

люсов системы имеются кратные, то все,

что можно сделать, — это представить мат-
рицу А в блочно-диагональной форме, изве-

Рис_ 3-16. Сигнальный граф

с развязанными переменными состояния

стной как жорданова каноническая фор-

ма.
Пример 3.2. Распространение эпидемического заболевания

Распространение эпидемического заболевания можно описать системой дифференциальных
уравнений. Исследуемое население делится на три группы — хь, х2 и х3, так что группах] вос-
приимчива к эпидемическому заболеванию, группа х2 инфицирована, а группа х3 исключается
из первоначального числа исследуемых. Исключение х3 происходит по причине иммунизации,
смерти или изоляции от хР Данная система содержит обратные связи и может быть описана
следующими уравнениями:

/Ту

—1 = - ах, - рх2 + цО).

at

= Р-Х] - 7*2 + г12^
at

—— = ССГ1

dt

+ ух2.

Скорость, с которой появляются новые
восприимчивые к заболеванию, равна
гц(/), а скорость, с которой появляются
новые инфицированные, равна г/2(7). В
изолированном сообществе -
= ih(f) = 0. Интересно отметить, что эти
же уравнения могут описывать и распро-
странение в обществе информации или
новой идеи.

В данной системе мы имеем физические
переменные состояния хь х2 и х3. На рис.
3.17 изображен сигнальный граф, отража-
ющий систему дифференциальных урав-
нений. Уравнение состояния в век-
торно-матричной форме имеет вид:

Рис, 3,17. Сигнальный граф,
отражающий распространение
эпидемического заболевания

О

О

О

(3.55)

Анализ уравнения (3.55) и сигнального графа показывает, что переменная состояния х3 зави-
сит от X] и х2, но не оказывает на них влияния.

Рассмотрим изолированное сообщество, в котором //](/) = u2(t) = 0- Положению равновесия си-
стемы в пространстве состояний соответствует cbtidt - 0. Анализ уравнения (3.55) показывает,
что система будет находиться в равновесии прих| = х2 = 0. Чтобы определить, прекратится ли
в сообществе эпидемическое заболевание, нам необходимо получить характеристическое
уравнение системы. Сигнальный граф на рис. 3.17 содержит три контура, два из которых не ка-
саются друг друга, поэтому определитель графа

Д(^) = 1 - (- as”1 - р"1 - р2^ 2) + ays”2 .	(3.56)

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

q(s) - s2S(s) = s2 + (a + y)s + (ay + p2) = 0.	(3.57)

Поскольку (a + у)>0 и (ay + p2)>0, то корни этого характеристического уравнения лежат в ле-
вой половине ^-плоскости и, следовательно, свободное движение системы при t -э оо стремит-
ся к нулю.
Пример 3.3. Управление перевернутым маятником

На рис. 3.18 проиллюстрирована проблема балансирования палки с шариком, находящейся на
ладони человека. Палка будет находится в равновесии только если 0(Т) = 0 и c№dt~ 0. Эта
проблема по сути ничем не отличается от управления положением ракеты на начальной стадии
полета. Эта проблема классически моделируется в виде перевернутого маятника, смонтиро-
ванного на тележке, как показано на рис. 3.19. Тележка должна двигаться таким образом, что-
бы масса т всегда занимала вертикальное положение. В качестве переменных состояния есте-
ственно принять угол отклонения маятника 0(/) и перемещение тележкиy(t). Дифференциаль-
ные уравнения, описывающие движение данной системы, можно получить, записав выраже-
ния для суммы сил, действующих в горизонтальном направлении, и суммы моментов
относительно точки вращения. Будем считать, что М^> т и угол отклонения от вертикали 0 яв-
ляется малым, поэтому уравнения являются линейными. Сумма сил, действующих в горизон-
тальном направлении, равна

Му + mZ0 - u(t) = 0,	(3.58)

где u(t) — сила, приложенная к тележке, а I — расстояние от массы т до точки вращения. Сум-
ма моментов относительно точки вращения равна

ml у + mZ20 - mlgft = 0.	(3.59)

Переменные состояния для двух уравнений второго порядка выберем как (xls х?, х3. х4) = (у, у,
0. 0).Тогда уравнения (3.58) и (3.59) можно записать с учетом этих переменных состояния:

Мх2 + mlx4 - u(t) = 0	(3.60)

и

Чтобы получить необходимые дифференциальные уравнения первого порядка, выразим из
(3.61) Z х4 и подставим его в (3.60):

Мх2 + mgx3 ~	(3.62)

где учтено, что т. Далее, подставляя х2 из (3.60) в (3.61), получим:

Mlx4 - Mgx3 + u(t) = 0.	(3.63)

Рис. 3.18. Перевернутый маятник
на ладони человека. Для простоты
полагают, что движение
происходит в одной плоскости

Масса т

► u(t)

Поверхность
y{t} без трения

Рис. 3.19. Перевернутый маятник
на тележке




Таким образом, четыре дифференциальных уравнения первого порядка будут иметь вид:

Отсюда получаем матрицы системы:

(3.64)

0	1	о	о“

0	0	—(mg/M)	0

0	0	0	1

0	0	g/l	0

3.6. Связь между передаточной функцией
и уравнениями состояния

(3.65)

Если задана передаточная функция С(Д то, изобразив модель системы в виде сигнального
графа, мы затем можем получить уравнения состояния. Теперь мы решим обратную зада-
чу, т. е. покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом
определить ее передаточную функцию. Напомним еще раз уравнения (3.16) и (3.17):

х = Ах + Bw

(3.66)

у = Сх.

(3-67)

Преобразуя эти уравнения по Лапласу, получим:

sX(s) = AX(s) + ВОД

(3.68)

У(5) = СХ(Д

(3.69)

где В — матрица размерности лх1, поскольку и есть единственный вход. Заметим, что в
преобразовании Лапласа мы не учитывали начальные условия, поскольку определению
подлежит передаточная функция. Группируя члены в уравнении (3.68), получим:

(Я - A)X(s) = ВОД.

Так как (Я-А)-1 = Ф(Д то

X(j) = Ф(5)ВОД.

Подставляя Х(Я в (3.69), получим:

ОД = СФфВОД.	(3.70)

Поскольку передаточная функция G(s) = Y(s)/U(s), то окончательно имеем:

——————

G(s) = СФ(л)В.	(3.71)

-\/Ml

и

и
Пример 3.4, Передаточная функция Я£С-цепи

Определим передаточную функцию G(^) = Y(s)/U(s) для ЯЛС-цепи, изображенной на рис. 3.4.
Для згой цепи ранее были получены уравнения (см. уравнения 3.18 и 3.19):

у=[0 Я]х.

Следовательно,

Далее находим

где

1/С

(s+R/L)

ф(5) = (si - А)"’ =

1 s+R/L

Д(7) ML

-л/с

s

A(s) - s2 +

R

— s +

L

Тогда передаточная функция будет равна

G(s) = [0 Л]

s+R/L

А (5)

1

M(s)

-1

СД(.)

S’

ДСО

R/LC = R/LC

Д($)	2	I

'	V _|--у -|- _____

L LC

что совпадает с результатом (3.32), полученным с помощью формулы Мейсона по сигнально-
му графу цепи.

3.7.	Временные характеристики и переходная
матрица состояния

Довольно часто возникает необходимость оценить изменение переменных состояния во
времени и тем самым судить о качестве системы управления. Переходные характеристики
системы легко можно получить путем решения уравнения состояния. В разд. 3.3 такое ре-
шение было получено, и оно имеет вид:

х(Г) = Ф(Г)х(0) + Гф(7-t)Bu(t)Jt.	(3.72)

о

Если известны начальные условия х(0), вектор входных воздействий □(/) и переход-
ная матрица состояния Ф(/)> то реакция системы х(г) может быть вычислена тем или иным
способом. Таким образом, задача сводится к вычислению матрицы Ф(/), которая в основ-
ном и определяет реакцию системы. Один из способов вычисления переходной матрицы
состояния базируется на использовании сигнального графа системы. Но, прежде чем рас-
сматривать этот способ, следует упомянуть и некоторые другие методы, в частности вы-
числение ряда

со л к fk

Ф(/)=ехр(А<)=Х——	(3 73)

к=0

с ограниченным числом членов. Известны также весьма эффективные методы вычисления
Ф(/) с помощью компьютерных алгоритмов.
В уравнении (3.25) было показано, что Ф(я) = (Я - АГ1. Тогда, если вычислить об-
ратную матрицу, то мы сможем найти и Ф(г) как обратное преобразование Лапласа для
Ф(Д т. е. Ф(/) - Л“1[Ф(5)]. К сожалению, для систем высокого порядка операция нахожде-
ния обратной матрицы является очень трудоемкой.

Преимущества сигнального графа при получении переходной матрицы состояния
становятся очевидными, если рассмотреть преобразование Лапласа уравнения (3.72), счи-
тая входные сигналы равными нулю. Тогда при и(т) = 0 из (3.72) мы имеем:

X(s) = Ф(ф(0).	(3.74)

Это означает, что мы можем определить преобразование Лапласа для переходной матрицы
состояния по сигнальному графу, установив связь между переменной состояния A/s) (в
виде изображения по Лапласу) и начальными условиями [xj (0), х2(0),..., х,7(0)]. Тогда пере-
ходная матрица состояния просто будет обратным преобразованием Лапласа от Ф(5), т. е.

ФЙ=Г'[Ф(5)].	(3.75)

Зависимость переменной состояния Х} (я) от начальных условий х(0) определяется с
помощью уже известной нам формулы Мейсона по сигнальному графу. Так, для системы
второго порядка мы получим:

X 1 (5) = ф| 1	(0) + Ч>12 (5>2

Х2 (S) = <р21 ($>1 (0) + Ф22 («>2 (°)>	(3-76)

где связь между ЛэС?) их^О) определяется с помощью формулы Мейсона по сигнальному
графу. Все элементы переходной матрицы состояния, q)y(s), могут быть получены путем
установления связи между X^s) и х;(0) по структуре сигнального графа. Данный способ
определения переходной матрицы состояния иллюстрирует следующий пример.

Пример 3.5. Вычисление переходной матрицы состояния

Рассмотрим ЯДС-цепь, изображенную на рис. 3.4, и вычислим Ф(5) двумя способами: (1) пу-

тем нахождения обратной матрицы Ф(5) = (Я - А) 1 и (2) с помощью формулы Мейсона по

сигнальному графу.

Сначала воспользуемся первым способом. Из уравнения (3.18) нам известна матрица А:
_ Г ° -21

А“ 1 -з

Тогда

Обратная матрица равна

зс

(3.77)

I>(s) = (Я - А)-1

1

(3.78)

где Д(^) = 5(5 + 3) + 2 = s2 + 3s + 2 = (5 + 1)(5 + 2).

Сигнальный граф для этой цепи был приведен на рис. 3.5, где в качестве переменных состоя-
ния приняты Xj = vc и х2 = iL. Начальные условия Х](0) и х2(0) представляют собой соответст-
венно начальное напряжение на конденсаторе и начальный ток через индуктивность. Сигналь-
ный граф с учетом этих начальных условий изображен на рис. 3.20. Начальные условия учте-
ны в виде начальных значений переменных состояния на выходе каждого интегратора.
Рис. 3.20

Сигнальный граф
для /?£С‘-цепи

(О) Начальные	(О)

s Q условия Q s

Щз) О

л/с

Для вычисления Ф(^) положим U(s) = 0. При R- 3, L= 1 и С - 1/2 сигнальный граф примет
вид, изображенный на рис. 3.21. Входной и выходной узлы исключены, т. к. они не участвуют
в вычислении Ф($). С помощью формулы Мейсона выразим зависимость %|(s) otxj(O):

^1(5) =

1-At(s)[^(O)/^]

Д(5)

(3.79)

где A(s) — определитель графа, а Д]($) — дополнительный множитель для пути. Определитель
графа

A(s) = 1 + 3s’1 + 2s*2,

а дополнительный множитель A,(s) = 1 + 3s* , потому что путь отЛ|(0) к A'j(s) не касается кон-
тура с коэффициентом передачи -3s* . Таким образом, первый элемент переходной матрицы
состояния равен

ФпМ =

(1+3s*')(l/s) _	s+3

1 + 3s’1 + 2s”2 ” s2 + 3s + 2 '

(3.80)

Элемент ip]2(s) вычисляется как реакция A'/s) на начальное условие х2(0):

^(s)

(-2s ')[x2(0)/s]
1+ 3s’1 + 2s“2 ’

откуда

(3.81)

Аналогичным образом находим элементы <рэ1(.у) и ф22(5):

,	(s*')(l/s)	_	1

Ф21 С5) - - Гт; ~ г ~

1 + 3s + 2s s + 3s + 2

(3.82)

(3.83)

Итак, переходная матрица состояния в виде изображения по Лапласу равна

®(s) =

(s + 3)/(s2 + 3s + 2)
l/(s2 + 3s + 2)

-2/(s2 + 3s + 2)"
s/(s2 + 3s + 2)

(3.84)

Рис. 3.21

Сигнальный граф для /?£С-цепи
при ~ О
Характеристический полином + 3$ + 2 = ($ + 1)($ + 2), поэтому окончательно получим:

Ф(0=£ '{Ф(5)} =

(3.85)

Реакцию ALC-цепи на различные начальные условия и входные сигналы можно получить с по-

мощью выражения (3.72). Например, при Х](0) =х2(0) = 1 и u(t) = 0 мы имеем:

(3.86)

Реакция системы на эти начальные условия изображена на рис. 3.22. а на рис. 3.23 приведен го-
дограф вектора состояния в координатах (хих2).

Определение временных характеристик системы, как мы видели, значительно упрощается в
результате вычисления переходной матрицы состояния. Необходимо, однако, заметить, что
применимость этого метода ограничена только классом линейных систем.

Рис- 3.22. Реакция переменных состояния /?£С-цепи на начальные условия
аМО) = х2(0) = 1

Рис. 3.23

Годограф вектора состояния
в координатах , л2).

3.8.	Дискретный способ вычисления
временных характеристик

Временные характеристики системы, описываемой векторно-матричным дифференциаль-
ным уравнением состояния, можно получить, воспользовавшись дискретной аппрокси-
мацией этого уравнения. Подобная аппроксимация основана на разбиении временной оси
на достаточно малые отрезки. Тогда значения переменных состояния будут вычисляться в
дискретные моменты времени t = 0? Т, 2 Г, ЗТ, .где Тесть шаг дискретности по времени.
Этот метод широко используется при численном анализе и при вычислениях на цифровых
компьютерах. Если шаг дискретности Тявляется достаточно малым по сравнению с посто-
янными времени системы, то точность вычислений будет вполне приемлемой.
Уравнение состояния линейной системы имеет вид:
х = Ах + Ви.

Воспользуемся классическим определением производной:
... r x(t + A/)-x(z)
х(/)= lim ™-------------------------------.

(3.87)

(3.88)

Этим определением мы воспользуемся для вычисления значений х(/) при разбиении t на
малые отрезки А/ = Т. Тогда, приняв аппроксимацию производной

. _ х(< + Г)-х(<)	(3.89)

подставим ее в уравнение (3.87) и получим:

Х(/ + Г)“ X(Z) a z \ т* Z \	rxzxx

—---------— * Ах(/)+ Bu(z).	(3.90)

Выразим отсюда х(гч-7Э:

x(z + Г)« 7Ах(0 + x(z) + 7Би(0 = (ГА + I)x(z) + 7Bu(zi (3.91)
где t разбито на малые отрезки длительностью Т. Поэтому время t принимает дискретные
значения t = кТ, к = 0, 1,2,3,... Тогда (3.91) будет записано в виде:

х[(к + 1)Г] «(ТА + 1)х (ЛТ) + ТВи (кТ).	(3.92)

Таким образом, значение вектора состояния в (Л+1)-й момент времени выражается через
значения х и и в к-й момент времени. Выражение (3.92) можно записать иначе:

х(Л+ 1)~у(Г)х(Л)+ ТВи(Л),	(3.93)

где у(Т) = (ТА + I), а символ Тв аргументах переменных опущен. Выражение (3.93) пока-
зывает, что определение x(z) сводится к вычислению его дискретной аппроксимации х(Л+1)
на основании предыдущего значения х(Л). Эта рекуррентная операция, известная как ме-
тод Эйлера, представляет собой последовательную цепочку вычислений и очень просто
реализуется на цифровых компьютерах. Для вычислений по формуле (3.87) могут быть ис-
пользованы и другие методы численного интегрирования, например методы Рунге-Кутта.
Некоторые методы интегрирования реализованы в среде MATLAB. Метод дискретного
(численного) определения временных характеристик мы проиллюстрируем ниже на при-
мере ^LC-цепи (рис. 3.4).

Пример 3.6. Временные характеристики RLC-цепи

Вычислим временные характеристики У&С-цепи с помощью дискретной аппроксимации урав-
нения состояния, не прибегая к определению переходной матрицы состояния. Как и в примере

3.5, положим R = 3. L=l и С~ 1/2. Тогда векторно-матричное уравнение состояния примет
вид (см. уравнение 3.18):

(3.94)

Шаг дискретности Т мы должны выбрать достаточно малым, чтобы получить приемлемую
точность аппроксимации производной (3.89) и, следовательно, как можно лучше приблизить
вычисления по рекуррентной формуле (3.92) к точному решению уравнения состояния. Обыч-
но Т выбирают так, чтобы он был по крайней мере вдвое меньше самой малой постоянной вре-
мени системы. Учитывая то, что наименьшая постоянная времени системы равна 0,5 с [напом-
ним. что характеристический полином системы имеет вид (^+ 1)(^ + 2)], выберем значение
Т = 0,2 с. Заметим также, что с уменьшением шага дискретности пропорционально увеличива-
ется количество вычислений. Итак, при Т- 0.2 с уравнение (3.92) принимает вид:

Следовательно,

х(А + 1)« (0,2А + 1)х(Л) + 0,2Ви(А).

-0,4

0,4

(3.95)

(3.96)

и

(3-97)

Предположим, что нас интересует реакция системы прих((0) = х2(0) = 1 и u(t) = 0. Реакция сис-

темы в первый момент времени, т. е. при t= Г, или при к= 0, равна

х(1)«

(3.98)

Далее, при t = 2Т= 0.4 с, или при к = 1:

(3.99)

Дальнейшие значения при к = 2, 3. 4, ... вычисляются аналогично.

Сравним теперь точное значение реакции системы, полученное в предыдущем разделе с помо-
щью переходной матрицы состояния, с приближенным значением, вычисленным в результате
дискретизации времени. В примере 3.5 прих}(0) =х2(0) = 1 мы получили точное решение для
переменных состояния: х1(Г) = х2(/) = е-2/. В табл. 3.1 приведены вычисленные точные значе-
ния Xj(/), а также приближенные значения при Т= 0,2 с и при Т= 0,1 с. В случае Т - 0,2 с ошиб-
ка остается приблизительно постоянной и равной 0,07, что составляет 7% от начального значе-
ния переменных состояния. При уменьшении Т до 0,1 с ошибка также уменьшается приблизи-
тельно до 3,5% от начального значения переменных состояния. Если взять Т = 0,05 с, то ап-
проксимация решения в момент t = 0,2 с дает значение x^Z) = 0,655, и ошибка уменьшается до
1,5% от начального значения переменных состояния.

Таблица 3.1

Время, t (с)

0	0,2

0,4

0,6

0,8

Точные значения Л] (/)
Аппроксимация xj(Z), Т~ 0,1 с
Аппроксимация лДг), Т= 0,2 с

1	0,67

1	0,64

1	0,60

0,448	0,30	0.20

0,41	0,262	0,168

0.36 0.216 0.130

Пример 3.7. Динамика эпидемического заболевания

Рассмотрим еще раз модель в переменных состояния, отражающую распространение эпидеми-
ческого заболевания, с которой мы познакомились в примере 3.2. Полагая в уравнении состоя-

ния (3.55) а = р = у = 1, получим:

(3.100)

Характеристическое уравнение системы [см. (3.57)] имеет вид s2 + 2s + 2 = 0, и, следовательно,
его корни — комплексные. Определим динамику распространения заболевания, считая, что
скорость появления новых восприимчивых к нему равна нулю, т. е. = 0. Скорость появления
новых инфицированных определим как и2(0) = 1 и - 0 при к > 1; это означает, что в нача-
льный момент времени появляется только один инфицированный (что эквивалентно импуль-
сному входному воздействию). Постоянная времени, соответствующая комплексным корням.

!/£©„ = 1 с, поэтому выберем Т - 0,2 с. (Заметим, что в действительности время может измеря-
ться месяцами, а входное воздействие — тысячами человек.)

Запишем уравнение состояния в дискретной форме:

0

о

0,8

0,2

0.2

-0,2

0,8

0,2

x(fc) +

0

0,2
0

«2 (Л).

(3.101)

Реакция системы в первый момент времени

t - Т, т. е. при к = 0 и при условии, что

х^О) = х2(0) - *з(0) = О’ равна

х(1) =

0
0,2
0

(3.102)

После этого вход и2(Л) при к 1 становится равным нулю, и в момент t = 2Т реакция системы

определяется как

0,8 -0,2

х(2) = 0,2 0,8

0,2 0,2
L	7

(3.103)

Аналогично в момент r= ЗТ получим:

о
о

1

0,8 -0.2

х(3)= 0,2 0,8

0,2 0,2

-0,04"
0,16
0,04

-0,064
0,120
0,064

Последующие значения вычисляются так же просто. Разумеется, в действительности величина
Xj не может принимать отрицательные значения, но в нашем примере так получается из-за неа-
декватности модели.

Метод дискретизации уравнения состояния оказывается чрезвычайно полезным при
вычислении временных характеристик нелинейных систем. В этом случае уравнение со-
стояния имеет общий вид:

x = f(x,u,o	(3.104)

где f есть функция (не обязательно линейная) вектора состояния х и вектора входа и. Век-
тор f представляет собой матрицу-столбец функций от х и и. Если система является линей-
ной по отношению к входным сигналам, то уравнение (3.104) принимает вид:

x=f(x,/)+Bu.	(3.105)

Если система является стационарной, т. е. описывается дифференциальным уравне-
нием с постоянными коэффициентами, то уравнение (3.105) принимает вид:

x = f(x)+Bu.	(3.106)

Рассмотрим уравнение (3.106) для нелинейной системы и получим его дискретную
аппроксимацию. Используя аппроксимацию производной в виде (3.89), запишем:

= f [Х(г)] + Ви (О	(3.107)

Т

Полагая t = кТ, выразим отсюда х(Л+1):

х(Л +1) = х(Л) + Т [f (х(Л)) + Ви(А)].	(3.108)
Аналогично, для уравнения общего вида (3.104) дискретная аппроксимация записывается
как

х(Л +1) = х(А) + 71 [ х( А), и(А), А]..	(3.109)

Далее мы рассмотрим систему из предыдущего примера с учетом того, что она явля-
ется нелинейной.

Пример 3.8. Уточненная модель распространения эпидемического
заболевания

Распространение эпидемического заболевания более точно описывается следующей системой

нелинейных дифференциальных уравнений:

Xj = - axj - рхрс2 +

*2 =	- Y*2 + “2(^

(3.110)

х3 = axj + ух2 >

где взаимодействие между группами населения представлено нелинейным членом Х|Х2- Как и
в предыдущем примере, будем считать, что a = р = у=1, wj(r) = O, п2(0)= 1 и «2(^) = 0 при
к > 1. Выберем шаг дискретности Т = 0,2 с и зададим начальные условия в виде хт(0) - [1 0 0].
Тогда, подставляя в уравнения (3.110) t - кТ и

*,(*)=	+	(3.111)

получим:

Х|(А + 1)-Х|(А)	.	,

—-----4—!— = - хД) - хх(к)х2(к\

+ 1)- >;(*) s	^(t)	(3.112)

,,(0 . ,|(tH ,д(й)

Выражая из этих уравнений х,(£+1) и помня, что 7’= 0,2 с, получим:

х}(к + 1) = 0,8xj(£) - 0,2х}(к)х2(к),

х2(к 4- 1) = 0,8х2(Л) 4- 0,2х|(Л)х2(Л) 4-	,	(3.113)

х3(к 4-1) = х3(к) 4- 0,2х](&) 4- 0,2х2(к).

Тогда в первый момент времени, при t = Т имеем:

х|(1) = 0,8х1(0) = 0,8,

х2(1)= 0,2и2(0) = 0,2,

х3(1) = 0,2xt(0) = 0,2.

Еще раз используя уравнения (3.113) и учитывая, что и2(1) = 0, получим:

xi(2) = 0,8xi(1)-0,2x1(1)x2(1) = 0,608,

х2(2) = 0,8х2(1) + 0,2xi(lMl) = 0Д92,	(3.114)

х3(2) = х3(1) + 0,2xj(l) + 0,2х2(1) = 0,40.

Аналогично, при t=3T имеем:

xj(3) = 0,463, х2(3) = 0,177, х3(3)-0,56.

Дальнейшие вычисления не вызывают проблем. Нетрудно видеть, что реакция нелинейной си-
стемы существенно отличается от реакции ее линейной модели, рассмотренной в предыдущем
примере.
Вычисление временных характеристик линейных систем легко производится путем
либо (1) использования переходной матрицы состояния, либо (2) с помощью дискретной
аппроксимации уравнения состояния. Для нелинейных систем наиболее подходящим яв-
ляется метод дискретизации уравнения состояния, тем более, что он очень удобен при
численных вычислениях на компьютере.

3.9.	Пример синтеза: ременный привод
печатающего устройства принтера

В обыкновенном недорогом принтере для компьютера горизонтальное перемещение печа-
тающего устройства вдоль страницы осуществляется с помощью ременного привода. Пе-
чатающее устройство может быть струйным, матричным или термическим. Пример ремен-
ного привода принтера с исполнительным устройством в виде двигателя постоянного тока
изображен на рис. 3.24. В данной конструкции положение печатающего устройства изме-
ряется с помощью фотодатчика, а натяжение ремня изменяет его коэффициент упругости.
Целью синтеза является выбор надлежащих параметров электродвигателя, шкива, регуля-
тора и анализ влияния коэффициента упругости ремня на характеристики системы. Для ре-
шения поставленной задачи сначала нам потребуется разработать модель привода и вы-
брать многие из его параметров. На основании этой модели мы построим сигнальный граф
и выберем переменные состояния. После этого определим передаточную функцию систе-
мы и выберем ее остальные параметры, кроме коэффициента упругости ремня. И, наконец,
исследуем влияние коэффициента упругости, проварьировав его в разумных пределах.

На рис. 3.25 изображена модель ременного привода. Предполагается, что коэффици-
ент упругости ремня равен к, радиус шкива — г, угол поворота вала двигателя — 0, угол
поворота правого шкива — 0 , масса печатающего устройства — т, а его положение —
у(1). Выходом фотодатчика является напряжение у(, пропорциональное перемещению у,
т. е. Vj = к^у. Регулятор вырабатывает выходное напряжение v2, являющееся функцией ур
Напряжение v2 подается на обмотку возбуждения двигателя. Предположим, что мы мо-
жем использовать линейную зависимость

и выберем параметры к2 = 0,1 и к3 = 0 (т. е. будем использовать обратную связь по скоро-
сти).

Рис. 3.24
Ременный
привод
принтера

Ремень

Регулятор <4

Напряжение

Двигатель
постоянного
тока

Источник света

Шкив

Печатающее
устройство



и

Фото-
датчик



Положение
печатающего
устройства
Рис. 3.25

Модель
ременного
привода
принтера

Момент инерции двигателя вместе со шкивом J~ JJV& + Если мы выберем двига-
тель средней мощности в 1/8 л. с. (чуть менее 100 Вт), то для него J - 0,01 кг-м2, индуктив-
ностью обмотки возбуждения можно пренебречь, сопротивление обмотки возбуждения
равно 2 Ом, постоянная двигателя £П1 = 2 Н-м/А, а коэффициент трения совместно со шки-
вом Ъ ~ 0,25 Н мс/рад. Радиус шкиваг = 0,15 м. Все эти параметры сведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2. Параметры устройств принтера

Масса

Фотодатчик

Радиус шкива

Электродвигатель

Индуктивность

Коэффициент трения

Сопротивление

Постоянная электродвигателя

Момент инерции двигателя и шкива

т = 0,2 кг

= 1 В/м
г = 0,15 м

£ ~ 0

b = 0,25 Н • мс/рад

А = 2 Ом

Кт = 2 Н • м/А

J = 0,01 кг • м2

Перейдем к записи уравнений движения системы; заметим, что у = г0р. Тогда сила
натяжения Т\ равна:

= k(r§ - r0p) = k(r§ - у).

Сила натяжения Т2 ~ к(у - г0). Сила, действующая на массу т:

(3.115)

и

7] ~Т2 = k(rQ-y)-k(y-rt) = 2k(ri-y) = 2kxx,

(3.116)

где = (г0 - у) примем за первую переменную состояния. Пусть второй переменной со-

стояния будет х2 ~ dy/dt, тогда из (3.115) и (3.116) мы получим:
dxj 2к

—- = — Х1.

dt m

(3.117)

Если в качестве третьей переменной состояния выбрать х3 - dQldt, то

dx}	dQ	dy

---~Г----------=ГХъ

dt	dt	dt

(3.118)
Теперь нам потребуется дифференциальное уравнение, описывающее вращение электро-
двигателя. При L - 0 ток возбуждения i - v2/R и момент на валу Тт = Kmi. Следовательно,

т. е. момент, развиваемый двигателем, должен быть равен моменту, обеспечивающему
движение ремня, плюс возмущающий момент нагрузки:

гда = т+7>.

Момент Т обуславливает вращение шкива, поэтому

Таким образом, мы замечаем, что

из чего следует:

где

m



В результате мы получаем:

(3.119)

Уравнения (3.117-3.119) полностью описывают динамику нашей системы. Дифференциа-
льное уравнение состояния в векторно-матричном виде таково:

(3.120)

Сигнальный граф, соответствующий этому уравнению, изображен на рис. 3.26, где допол-
нительно включен узел, отражающий наличие возмущающего момента 7^.

По графу мы теперь можем определить передаточную функцию	По этой

передаточной функции легко можно будет установить, как уменьшить влияние возмуще-

ния Td на характеристики системы. С помощью формулы Мейсона находим:



Рис. 3.26

Сигнальный граф
для ременного привода
принтера

Trf )	1 — (£} + 7^2 + ^3 + ^4 )+ Л ^2
где

j _ 2Л -2 z _ 2Лг2 2 z _	-з

т	J	mJR

Следовательно,

(s)

2kKmkyk2r

JmR

С учетом численных значений параметров из табл. 3.2 получим:

JV, (5) ______________________-Ш_______________________

Td ($) s3 + 25? + 14,5*s + 1000* (0Д5+ 0,15*2 ) ’

(3.121)

Нам желательно иметь такой коэффициент упругости к и коэффициент регулятора къ
при которых переменная состояния х( как можно быстрее принимала бы малое значение
после появления возмущения. Для проверки примем возмущение в виде ступенчатой
функции, т. е. TJ^s) = a/s. Имея в виду, чтох, = г0 - у, упомянутое выше требование экви-
валентно тому, чтобы переменная у стала практически равной заданному значению г0.
Если ремень является абсолютно жестким, т. е. к —> а>, то j в точности будет равно г0. При
ступенчатом возмущении Tj^s) = a/s мы имеем:

х I (s) =  -------------.	(3.122)

? + 25? + 14,5*3 + 1000* (0,25 + 0,15*, )

По теореме о конечном значении

limx, (z) = iimsAr1(s) = Q	(3.123)

t —>00	Л—>0

т. е. установившееся значение Х](?) будет равно нулю. Зададимся реалистичным значением
* в диапазоне 1< * < 40. Пусть это будет 20. Тогда при *2 = 0,1 мы получим:

„ / X	-15°	~15а	/->

2Г| (л) = —------------------=------------------------------.	(3.124)

? + 25? + 290s + 5300 (s + 22,56) (? + 2,44s + 234,93)

Характеристическое уравнение имеет один вещественный и два комплексных корня.
Разложение ^4(5) на простые дроби дает:

*1(0 _ Л + Bs + C	(3 125)

а 5 + 22,56 (5+1,22)2 +(15,28)2 ’

где вычисление неопределенных коэффициентов приводит к результатам: А = -0,0218,
В = 0,0218, С = -0,4381. Очевидно, что при таких малых значениях вычетов реакция систе-
мы на единичное возмущение будет незначительной. Так как А и В существенно меньше,
чем С, TOjq(.s) можно аппроксимировать выражением:

-0,4381

a ~ (s+1,22)2 + (15,28)2

Найдем оригинал этого выражения, воспользовавшись табл. 2.3:

^£2 я_ 0,0287е-1’22' sin 15,28г.	(3.126)

а
Рис. 3.27

Реакция переменной Х\ (t)
на ступенчатое
возмущение:
максимальное
значение = - 0,0325

График этой функции приведен на рис. 3.27, откуда следует, что влияние нежелате-
льного возмущения является весьма незначительным. Таким образом, поставленная зада-
ча синтеза нами выполнена.

3.10.	Анализ моделей в переменных
состояния с помощью MATLAB

Анализ систем управления во временной области предполагает задание ее модели в про-
странстве состояний:

х - Ах + Ви и у - Сх + Dz/.

(3.127)

Вектор х характеризует состояние системы, матрица А есть матрица коэффициентов
размерности пхп, В —матрица входа размерности пхт, С — матрица выхода размерно-

сти рхп, D — матрица обхода размерности рхт. Мы ограничиваемся рассмотрением сис-

тем с одним входом и одним выходом, поэтому в данном случае т= р- 1,а^иг/ являют-
ся скалярными переменными (полужирное начертание для них не используется).

Основными элементами модели в пространстве состояний (3.127) являются вектор х
и матрицы (А, В, С, D). Подобное описание как нельзя лучше подходит для использова-
ния среды MATLAB, в которой основной рабочей единицей является матрица. В действи-
тельности MATLAB охватывает так много различных методов, базирующихся на про-
странстве состояний, что рассмотреть их все мы просто не имеем возможности. В данном
разделе мы познакомимся с двумя новыми функциями: ss и Isim. Кроме того, мы рассмот-

рим функцию ехрт, с помощью которой вычисляется переходная матрица состояния.

Если задана передаточная функция, то мы можем получить эквивалентную модель
системы в переменных состояния и наоборот. Для этого в MATLAB имеются две функ-
ции: функция ss позволяет перейти от передаточной функции к представлению системы в
пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу. Смысл этих функций

раскрывает рис. 3.28.

Например, рассмотрим систему третьего порядка:
д =	= 2г +8^+6

Я(*г) S3 + 8s2 + 16у+ 6

(3.128)
Рис. 3.28

(а) Функция ss.

{5) Преобразование
модели линейной
системы

а)

о)

На рис. 3.29 показано, как с помощью функции ss происходит переход от передаточ-
ной функции (3.128) к описанию системы уравнениями (3.127), где

В = 0

21

С = [1 0,5 0,375],

D = [0].

Представление передаточной функции (3.128) в виде модели в переменных состоя-
ния приведено на рис. 3.30.

Рис. 3.29	а)

Преобразование передаточной
функции (3.128) в форму
фазовой переменной
в пространстве состояний:
(а) Скрипт MATLAB.

(б) Распечатка результата

convert, m

%Преобразование

G(s)=(2sA2+8s+6)/(sA3+8sA2+16s+6)
%в модель в переменных состояния
%
num=[2 8 6]; den=[1 8 16 6];

sys_tf=tf(num,den);

sys ss=ss(sys tf)

б) »convert
а =
х1 х2 хЗ
х1	-8	-2	-0.75

х2	8	0	0

хЗ	0	1	0

b =

□1

х1	2

х2	0

хЗ	0

с =
х1 х2 хЗ
у1 1	0.5	0.375

d =
ад

► 1

-0.75 <

Рис, 3.30. Структурная схема системы, где х^ есть самая левая переменная состояния

Решение первого из уравнений (3.127) имеет вид:

х(г) = ехр(А/)х(0) + |ехр[А(Г-т)]Ви(т) .

о

(3.129)

Матричная экспоненциальная функция в (3.129) есть переходная матрица состояния

Ф(0, т. е. Ф(г) = ехр(Аг). Для вычисления переходной матрицы состояния при заданном

шаге дискретности по времени используется функция ехрт, как это показано на рис. 3.31.

Функция ехрт(А) вычисляет е .

Напротив, функция ехр(А) вычисляет e“iJ для каждого

элемента матрицы А.

Рассмотрим, например, AZC-цепь на рис. 3.4, описываемую уравнением состояния
(3.18), где

С = [1 0], D = [0].

Зададимся начальными условиями xt(0) =л2(0) = 1 и будем считать, что входной сигнал

u(t) = 0. При шаге дискретности 0,2 с вычисленная переходная матрица состояния приведе-

на на рис. 3.31. На основании этих данных можно определить состояние системы в момент
времени /= 0,2 с:

0,9671 -0,2968

0,1484 0,5219

’0,6703'
0,6703

Временные характеристики системы, заданной передаточной функцией (3.128), мож-
но также получить с помощью функции Isim. Эта функция допускает как задание ненуле-

Рис, 3.31

Вычисление переходной
матрицы состояния
при заданном шаге
дискретности Д/ - dt

» А=[0 -2; 1 -3]; dt=0.2; Phi=expm(A*dt)

Phi =

0.9671 -0.2968

0.1484 0.5219

Переходная матрмца
состояния при А/ = 0,2 с
Рис. 3.32

Функция Isim
для вычисления
состояния
и выходной
переменной

вых начальных условий, так и входной функции, что проиллюстрировано на рис. 3.32. На
рис. 3.33 показано, как с помощью функции Isim вычисляется реакция RLC-uenn. Состоя-
ние цепи в момент времени t = 0,2 с, вычисленное с помощью функции Isim, равно
^(0,2) = х2($>2) = 0,6703. Как видим, этот результат полностью совпадает с данными, по-
лученными ранее путем умножения переходной матрицы состояния на вектор начальных
условий.

Рис. 3.33

Вычисление с помощью
функции Isim временных
характеристик при
ненулевых начальных
условиях и отсутствии
входного сигнала

А=[0 -2;1 -3]; В=[2;0]; С=[1 0]; D=[0];

х1аЬе1(‘Время (c)’),ylabel(‘X_1 ’)
subplot(212).plot(T.x(:.2))
х!аЬе1('Время (c)’),ylabel(‘X 2’)
3.11.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обыч-
но порядка I мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности
позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к
другой. В этой главе мы разработаем модель дисковода в переменных состояния, которая
будет учитывать эффект изгиба пластины.

Рассмотрим еще раз конструкцию считывающего устройства, изображенную на
рис. 2.65. Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу
рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой
упругой стальной ленты. Еще раз отметим, что нам необходимо с высокой точностью
управлять положением головки у(0> как это показано на рис. 3.34(a) (шаг 2 процедуры
синтеза на рис. 1.19). Прежде всего мы попытаемся разработать модель системы, изобра-
женной на рис. 3.34(a). Обозначим массу двигателя через Л/ь а массу головки через Л/2.
Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости к. Сила u(t), приводя-
щая в движение массу создается двигателем постоянного тока. Если пластина являет-
ся абсолютно жесткой (не подверженной изгибу), то мы получим упрощенную модель,
изображенную на рис. 3.34(5). Типичные параметры этой системы с двумя массами при-
ведены в табл. 3.3.

Масса
двигателя

Сила

q(t)

। Упругая

пластина

Масса
головки

- м2

УМ

! Положение
головки

u(t)

б)

а)

y(t)

Рис. 3.34. (а) Модель системы с двумя массами и упругой пластиной.
(б) Упрощенная модель с жесткой пластиной

Таблица 3.3. Типичные параметры системы с двумя массами

Параметр	Обозначение

Масса двигателя	М\

Коэффициент упругости пластины	к

Масса головки	Л/г

Положение головки	y(i)

Коэффициент трения массы 1	Ь\

Сопротивление обмотки возбуждения	R

Индуктивность обмотки возбуждения	L

Постоянная электродвигателя	Кт

Коэффициент трения массы 2 Ь2

Величина

20 г = 0,02 кг

10 < к < оо

0,5 г= 0,0005 кг
переменное, мм
410  10’3 кГ/м/с

1 Ом

1 мГн

125 И  м/А

4,1 • 10'3кГ/м/с
Сначала мы получим передаточную функцию упрощенной модели на рис. 3.34(6)
(шаг 5 процедуры синтеза на рис. 1.19). Учтем, что М~ Мх+М2 = 20,5 г = 0,0205 кг. Тогда
мы имеем:

= u(t).

(3.130)

Следовательно, передаточная функция модели

1

U(s) s(Ms+b{)

С учетом параметров в табл. 3.3 получим:

Y(s)  ________1__________ 40

E7(7j ~ 5(0,02055 + 0,410) ”5(5 + 20)'

Структурная схема считывающего устройства с учетом обмотки электродвигателя приве-
дена на рис. 3.35. При 7? = 1 Ом, L ~ 1 мГн и Кп} = 125 мы имеем:

<7(у)=1Ф =-------—--------,	(3.131)

У(з) s(s+ 20)0+ 1000)

что совпадает с передаточной функцией, полученной в гл. 2.

Рис. 3.35

Структурная схема
считывающего устройства
с жесткой пластиной

Г(5)

У(5)

Теперь получим модель в переменных состояния для системы с двумя массами, изоб-
раженной на рис. 3.34(a). Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

для массы Мг М, —+ Ь} — + k (д - у) =
dt2 dt

для массы My. M2 —+ b2 — + k (y- q) = 0.

dt2 ' dt

Выберем в качестве переменных состояния = q и х2 ~У- Тогда

dt

dt

Уравнение состояния в векторно-матричной форме:

где

о
о

\/м
о



о
о

-к /Мх
к! Мз

0

о

к/

-к/М2

о

-bJM

о

0

о

-Ь21М

(3.132)
Заметим, что выходом является у(О=х4- Кроме того, пренебрегая индуктивностью обмот-
ки двигателя (£ = 0, имеем w(z) -	Выбрав значение к = 10 и используя остальные па-

раметры из табл. 3.3, получим:

Вг=[0 0 50 0]

иО

0

-500

20000

0	1	0

0	0	1

500	-20,5	0

-20000	0	-8,2

Реакция переменной у при v(t) = 1 В, t > 0 изображена на рис. 3.36. Характер процесса яв-
ляется сильно колебательным, поэтому ясно, что необходимо иметь пластину с большой
жесткостью, т. е. выбирать к> 100.

Рис 3.36

Реакция переменной у
на ступенчатое входное
воздействие
в модели с двумя
массами при к = 10

Единицы;

к — кг/м,
b — кг/(м/с)
т — кг

% Параметры модели
К-10;

М1=0.02; М2=0.0005;

Ь1=410е-03; Ь2=4.1е-03;

t=[0:0.001:1.5];	◄-------

% Модель в переменных состояния

А=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -к/М1 к/М 1 -Ы/М1 0; к/М2 -к/М2 0

-Ь2/М2];

В=[0;0;1/М1 ;□]; С=[0 0 0 1]: D=[0]; sys=ss(A,B,C,D);

% Вычисление переходной характеристики
step(sys.t), grid

х!аЬе1(‘Время (с)‘), у!аЬе1(‘Скорость (м/с)*)

Время(с)
3.12.	Резюме

В этой главе мы рассмотрели метод описания и анализа систем во временной области.
Были введены понятия состояния и переменных состояния системы. Показано, что в каче-
стве переменных состояния целесообразно выбирать такие переменные, которые характе-
ризуют накопление энергии в системе; в то же время было замечено, что набор переменных
состояния не является единственным. Рассмотрено дифференциальное уравнение состоя-
ния и способы получения его решения х(/). Было продемонстрировано, что передаточную
функцию (или дифференциальное уравнение) системы можно представить двумя различ-
ными конфигурациями сигнального графа. Затем было показано, как по этим сигнальным
графам можно легко записать дифференциальное уравнение состояния. Проиллюстриро-
вано применение к сигнальным графам формулы Мейсона и показано, как с ее помощью
можно определить переходную матрицу состояния, а с помощью последней — временные
характеристики системы. Рассмотрен также дискретный способ получения временных ха-
рактеристик нелинейных и нестационарных систем. Установлено, что дискретная аппрок-
симация временных характеристик и переходной матрицы состояния линейных систем хо-
рошо поддается программированию и решению задач на цифровом компьютере. Обсужде-
но и проиллюстрировано на примерах применение MATLAB для преобразования одного
вида модели системы (передаточной функции) в другой (уравнение состояния) и вычисле-
ния переходной матрицы состояния. В заключительной части главы была разработана мо-
дель в переменных состояния для системы чтения информации с диска.

Упражнения

У-3.1. Укажите, что бы вы приняли в качестве
переменных состояния для цепи, изобра-
женной на рис. 3.1 (У).

У-3.2. Дифференциальное уравнение, описы-

вающее движение одного сочленения
руки робота, имеет вид:

^7 = - VW -

at

где v(Z) — скорость, у(0 — положение, а
i(t) — ток в обмотке двигателя, управля-

Рис. 3.1 (У). /?£С-цепь

ющего сочленением. Запишите уравнения состояния и определите соответствующие матрицы

для случая к{ = £2 = 1.

У-3.3. Система описывается уравнением состояния (3.16), где
Г о Г

А~ -1 -1
F-	“

Определите корни характеристического уравнения системы.

Ответ: s = - 1/2 ± yV3/2

У-3.4. Получите в переменных состояния описание системы, дифференциальное уравнение которой
имеет вид:

2^+4^4+6^+ 8у= 10u(r).

dt3 dt2 dt
У-3.5. На рис. 3.5(У) изображена структурная
схема системы. Запишите уравнения со-
стояния для этой системы в форме (3.16)
и (3.17).

У-3,6. Система описывается уравнением
(3.16), где

ГО Г

О О

Рис- 3.5 (У). Структурная схема системы

k

(а)	Определите матрицу Ф(^). (б) Определите x(f) при начальных условиях х।(0) = х2(0) = 1.

Ответ: (б)	= (1 + f), х2 - 1, t> 0.

У-3.7. Рассмотрите систему из пружины и массы, изображенную на рис. 3.3, где М- 1 кг,
£=100 Н/м, 6 = 20 Н/м/с.

(а) Запишите векторно-матричное уравнение состояния.

(б)	Определите корни характеристического уравнения данной системы.

о

Ответ: (а) х =

0	1

-100 -20

и;

(б) 5 = -10,-10.

У-3.8. Посадка на борт небольшого судна в условиях неблагоприятных погодных условий затрудне-

на из-за качки. Динамика качки описывается матрицей А:

"0 1	0‘

А= 0 0	1 .

0 -5 -2

Определите корни характеристического уравнения.

У-3.9. На рис. 3.9(У) изображена элект-
рическая цепь, находящаяся в ре-
жиме свободного движения. В ка-
честве физических переменных
состояния выбраны заряды на
конденсаторах, т. е. x{~qx и
х2 = q2. (а) Изобразите сигнальный
граф с физическими переменными
состояния и запишите вектор-

1Ф2Г О.5 Ом

,, Выходная

^2

переменная

Рис- 3.9 (У). /?С-цепь

*1 „ -*4 1 Ом

о —

но-матричное дифференциальное уравнение, (б) Перейдите к диагональной (канонической)
форме графа и соответствующему дифференциальному уравнению. Учтите, что

Z| = dqjdt = dx}!dt и i2 = dx2/dt. В качестве выходной переменной примите ток /2-

У-3.10. Система управления посадкой летательного аппарата описывается двумя переменными со-
стояния, и матрица А имеет вид:

Го 6'

А- -1 -5

L	J

(а)	Вычислите корни характеристического уравнения.

(б)	Определите переходную матрицу состояния Ф(/).
Ответ: (а) 5 =-3, -2.

Зе-2' - 2е-3' -бе’3' + бе’2'"

е’3' - е’2'	Зе’3' - 2^	'

У-З.П, Составьте описание в форме фазовой переменной для системы, заданной передаточной

функцией

7	У(5)_	4(5+3)

R(s) (s+2)(s+4)
У-3.12, Получите модель в переменных состояния для
электрической цепи, изображенной на рис.
3.12(У). Определите реакцию цепи на единичное
ступенчатое входное воздействие, считая нача-
льные значения тока и напряжения на конденса-
торе нулевыми.

У-3.13. Система описывается двумя дифференциа-
льными уравнениями:

R = 4 Ом

L = 0.10 Гн

С = 1000 мкФ

Рис. 3.12 (У). цепь

— + у - 2и + aw = О,
dt

dw , л
----by + 4и - 0.

dt

где w и у есть функции времени, a u(t) — входное воздействие, (а) Выберите переменные со-
стояния. (б) Запишите матричное дифференциальное уравнение и определите элементы мат-
риц. (в) Определите корни характеристического уравнения системы как функцию параметров
а и Ь.

Ответ', (в) s = - 1/2 ± V1 - 4 /2

У-3.14. Опишите в пространстве состояний радиоактивное вещество с массой М. которая пополня-
ется со скоростью r(t) - где К = const. Поясните смысл переменных состояния.

Рис. 3.15 (У). Система с двумя массами Рис. 3.16 (У). Две связанные тележки

У-3.15. Рассмотрите систему с двумя взаимосвязанными массами, изображенную на рис. 3,15(У).
Коэффициент трения скольжения каждой массы равен Ь. Запишите векторно-матричное урав-
нение состояния.

У-3.16. На рис. 3.16(У) изображены две тележки, трением качения которых можно пренебречь.
Внешняя сила равна н(/). Выходом является положение тележки 2, т. е. y(t) = q(t). Запишите
векторно-матричное уравнение состояния.

У-3.17. Запишите векторно-матричное дифференциальное уравнение состояния для цепи, представ-
ленной на рис. 3.17(У).

У-3.18. Запишите векторно-матричное дифференциальное уравнение состояния для цепи, изобра-
женной на рис. 3.18(У). В качестве переменных состояния примите Л| = х2 = h и х3 = у.

Рис. 3.18 (У). /?ЛС-цепь

Рис. 3.17 (У). /?б>цепь
У-3.19. Система с одним входом и одним выходом описывается уравнениями

у = [10 0] х.

Определите передаточную функцию G(s) = Y(s)/U(s).

Ответ: G(s) =

10

s2 + 45 + 3

Задачи

3-3.1. На рис. 3.1(3) изображена /?£С-цепь. (а) Выберите переменные состояния, (б) Запишите сис-
тему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния.

(в)	Запишите векторн о-матричное уравнение состояния.

3-3.2. На рис. 3.2(3) изображена схема уравновешенного моста. В качестве переменных состояния

примите (xls х2) = (vc> (а) Покажите, что для данной схемы матрицы А и В имеют вид:

-2R}R2 /(R\ + R2)L

1/С

I/O

-2/(7?! + R2)C
0

о

в =

(б) Изобразите структурную схему в переменных состояния, приняв (xb х2) = (vc, iL).

Рис. 3.1 (3). /?£С-цепь

Рис. 3.2 (3). Схема уравновешенного моста

3-3.3. На рис. 3.3(3) изображена электрическая
цепь, в которой переменными состояния

являются Х[ - iL и х2 = vc. (а) Получите диф-

ференциальное уравнение состояния.

Ответ (частично): А =

0	1/L

-1/С -1/ЛС

3-3.4. Система имеет передаточную функцию

Рис. 3.3 (3). /?£С-цепь

Г(5) =

У(5) _	52 + 25 + 5

R(s) ~ s3 + 2s1 + 35+10

Изобразите модель системы в виде сигнального графа и запишите векторно-матричное урав-
нение состояния для двух вариантов конфигурации графа: (а) в форме фазовой переменной и
(б) в виде структуры с многомерным входом.

3-3.5. Нарке. 3.5(Т) изображена замкнутая система управления, (а) Определите передаточную фун-
кцию системы T(s) = Y(s)!R(s). (б) Изобразите сигнальный граф для случая, когда он представ-
лен в форме фазовой переменной, и запишите матричное дифференциальное уравнение состо-
яния. (в) Изобразите сигнальный граф и запишите матричное дифференциальное уравнение
состояния относительно физических переменных, указанных на рис. 3.5(3).

3-3.6. Запишите матричное уравнение состояния для электрической цепи, изображенной на
рис. 3.6(3). Переменными состояния являются = vp х2 == v2 и х3 = к
B(s)

Рис. 3.5 (3). Замкнутая система улрааления

4 кОм

2 мГн

vt

Рис. 3.6 (3). /ТбС-цепь

5-3.7. На рис. 3.7(3) изображена си-
стема автоматического регу-
лирования глубины погруже-
ния подводного исследовате-
льского робота. Глубина по-
гружения измеряется
датчиком давления. Установ-
ленный на корме привод име-
ет коэффициент передачи
К = 1 при вертикальной скоро-
сти 25 м/с. Передаточная фун-
кция робота

Рис. 3.7 (3). Система управления подводным
роботом

G(j) =

а передаточная функция датчика в цепи обратной связи H(s) = 2s + 1.

(а) Запишите уравнение состояния, (б) Определите, является ли система устойчивой.

3-3.8. На рис. 3.8(3) схематически изображен процесс мягкой посадки лунного модуля. Примите в
качестве переменных состояния Xj =у, х2 - dy/dt, х3 = /я, а в качестве управляющего воздейст-
вия и = dm/dt. Гравитационная постоянная Луны обозначена через g. Запишите уравнения со-

стояния для этой системы. Является ли данная
модель линейной?

3-3.9. В системах управления скоростью часто при-
меняются элементы, принцип действия которых
основан на использовании потока жидкости или
газа. В таких системах совершенно отсутствуют
движущиеся механические части. Они способ-
ны поддерживать заданное значение скорости с
точностью до 0,5% за счет использования регу-
лируемого ответвления потока и золотникового
исполнительного устройства. Такие системы
обладают также малой чувствительностью к
возмущениям и высокой надежностью в широ-



ком диапазоне температур, электромагнитного
и ядерного излучения, ускорений и вибрации.

Модуль

wg

Поверхность
Луны

Тяга
двигателя
- k dm/dt

Рис. 3.8 (3). Управление посадкой
лунного модуля
Рис. 3.9 (3). Система управления паровой турбиной

Усиление в системе достигается за счет использования форсунки с отклонением потока. Сис-
тема подобного рода может управлять паровой турбиной мощностью 500 кВт со скоростью
12000 об/мин. Структурная схема такой системы изображена на рис. 3.9(3).

Параметры системы заданы безразмерными единицами: b - 0,1, J = 1 и = 0,5. (а) Определи-
те передаточную функцию замкнутой системы T(s) = co(s)//?(s). (б) Запишите векторно-матрич-
ное дифференциальное уравнение состояния, (в) Определите характеристическое уравнение

системы, использовав для этого матрицу А.

3-3.10. На рис. 3.10(3) изображена двухко-
ординатная система управления. Ко-
эффициенты передачи по каналам со-
ответственно равны и К2, а пере-
менные состояния обозначены на ри-
сунке.

(а) Запишите дифференциальное
уравнение состояния, (б) Получите
характеристическое уравнение систе-
мы. использовав для этого матрицу
А. (в) Определите переходную матри-
цу состояния при = 1 и К2 = 2.

Рис. 3.10 (3). Двухкоординатная система
управления

3-3.11. Система описывается уравнением (3.16), где

Известно, что u(t) = 0. ^(0) = л2(0) = 10. Определите ;q(f) и x2(t).

3-3.12. Система описывается передаточной функцией

T(s) = 2Д2 =	8(*+5>

R(s) s3 + 12s2 4- 44s + 48

(а) Представьте систему в форме фазовой переменной, (б) Определите канонический вид мат-
ричного уравнения состояния, (в) Определите переходную матрицу состояния Ф(Г).

3-3.13. Рассмотрите еще раз ££С-цепь из задачи 3.1, полагая R = 2,5, L= 1/4 и С = 1/6.

(а) С помощью матрицы А определите характеристическое уравнение системы и исследуйте ее
устойчивость, (б) Определите переходную матрицу состояния цепи, (в) Определите реакцию
системы, если начальное значение тока через индуктивность равно 0,1 A, vL.(0) = 0 и v(t) = 0.

(г)	Повторите п. (в), если все начальные условия равны нулю, a v(t) = £ = const при t > 0.

3-3.14. Получите векторно-матричное уравнение состояния для системы, имеющей передаточную
функцию

У(л) _ s2 4- 7s 4- 2

7?(s) ~ s3 + 9s2 4- 26s 4- 24 '
3-3.15. Изобразите сигнальный граф и запишите матричное уравнение состояния для системы с пе-
редаточной функцией

т(,\ -	_	5<у+ 6)

Я($) ? + 10? + ЗВ + 30

представив ее (а) в форме фазовой переменной и (б) в канонической (диагональной) форме.
3-3.16. На рис. 3.16(3), (а) изображена система распределения в капсулы радиоактивной жидкости.

Движение поддона с капсулами в горизонтальном направлении осуществляется с помошью
линейного привода. Структурная схема системы управления этим движением приведена на
рис. 3.16(3), (б). Полагая К = 500, (а) представьте систему в переменных состояния и (б) вычис-
лите ее реакцию на единичное ступенчатое входное воздействие, (в) Определите корни харак-
теристического уравнения замкнутой системы.

Рис. 3.16 (3)

Автоматическое
распределительное
устройство

Вид сверху

Заполненные
капсулы

„ г	Заполняющие

Трубка

7	головки

Поддон
с пустыми
капсулами

Стол [

Ось

Линейный
привод

Двигатель

Вид сбоку С червячной
передачей

3-ЗЛ7. Динамические характеристики подводной лодки существенно отличаются от аналогичных
характеристик самолета, ракеты или надводного корабля. Это различие объясняется в первую
очередь наличием момента в вертикальной плоскости, возникающего за счет выталкивающей
силы. Поэтому представляет интерес рассмотреть задачу управления глубиной погружения
подводной лодки. Уравнения, описывающие динамику подводной лодки, можно получить с
помощью законов Ньютона из рассмотрения углов, обозначенных на рис. 3.17(3). Чтобы упро-
стить эти уравнения, предположим, что угол 6 является малым, а скорость v постоянна и равна
7, 5 м/с. Рассматривая движение только в вертикальной плоскости, примем в качестве пере-
менных состояния jq - 0, х2 = d$!dt и х3 = а, где а — угол атаки. В этом случае векторно-мат-
ричное уравнение состояния имеет вид:
О

-0,0071
0

1

-0,111
0,07

0,12

-0,3_

-0,095 u(t\

0,072

где u(t) = 8Л.(г) — отклонение кор-
мового руля глубины.

(а) Определите, является ли система
устойчивой, (б) Используя дискрет-
ную аппроксимацию уравнения со-
стояния, определите реакцию систе-
мы на ступенчатое изменение угла
8Л, равное 0,285°, считая начальные
условия нулевыми. Примите шаг ди-
скретности по времени Т = 2 с.
(в) Задав шаг дискретности Т- 0,5 с,
с помощью цифрового компьютера
вычислите реакцию каждой пере-
менной состояния в течение 80 се-
кунд. Сравните реакции, получен-
ные в пп. (б) и (в).

3-3.18. Система описывается уравнения-
ми состояния:

Рис. 3.17 (3). Управление глубиной погружения
подводной лодки

у =[20 30 10] х.

О

Определите G(s) = Y(s)/U(s).

Рис. 3.19 (3)

Фрагмент промышленного
робота

i(0

Ток

3-3.19. Рассмотрите задачу управления роботом, схематически представленную на рис. 3.19(3).
Двигатель в локтевом сочленении приводит в движение запястье через предплечье, обладаю-
щее определенной гибкостью, как показано на рисунке в виде пружины. Пружина имеет коэф-
фициент упругости к и коэффициент трения Ь. Пусть переменными состояния являются
= <рj -ф, и х2 = (О[/о)0, где ©о = k(Jx + J2)/(JtJ2). Запишите уравнение состояния в вектор-
но-матричной форме, если х3 = а>2/а)0.

3-3.20. В ряде случаев производную аппроксимируют следующим выражением:

x(f) « -^[Зх (Л + 1) - 4х (к) + х (к - 1)].

При такой аппроксимации для оценки производной нужно знать два предшествующих значе-
ния сигнала, тогда как при использовании выражения (3.89) — только одно. Используя дан-
ную аппроксимацию, повторите вычисления примера 3.6. Сравните значения x^f), получен-
ные при Т = 0,2 с, с данными, приведенными в табл. 3.1. Является ли данная аппроксимация
более точной?

3-3.21. Ядерный реактор, работавший при постоянном уровне мощности и при высокой плотности
потока тепловых нейтронов, внезапно останавливают. В момент остановки плотность ксено-
на-135 (Л) и йода-135 (7) составляет соответственно 7 • 1016 и 3 • 1015 атомов в единице объема.
Рис. 3.21 (3)

Характеристики
ядерного реактора

Период полураспада радионуклидов йод-135 и ксенон-135 составляет соответственно 6,7 и 9,2
час. Уравнения распада имеют вид:

_	0,693 _ у _ 0,693 у f

6,7	9,2

Определите концентрации йода-135 и ксенона-135 как функции времени после остановки ре-
актора (а) путем вычисления реакции с помощью переходной матрицы состояния и (б) путем

дискретного вычисления этих характеристик. Убедитесь, что реакция системы имеет вид.

изображенный на рис. 3.21(3).

3-3.22. Существует несколько различных экви-
валентных способов представления сигна-
льного графа в переменных состояния. Две
таких эквивалентных модели, соответству-
ющие передаточной функции (3.38), изоб-
ражены на рис. 3.8 и 3.10. Еще одна воз-
можная конфигурация сигнального графа
приведена на рис. 3.22(3). В данном случае

Рис. 3.22 (3). Модель системы

второго порядка

система имеет второй порядок и ее передаточная функция



Y(s) = bjS+bQ

U(s) s2 + qs + Oq

(а) Убедитесь, что граф на рис. 3.22(3) действительно соответствует этой передаточной функ-
ции. (б) Покажите, что векторно-матричное дифференциальное уравнение, соответствующее
графу, имеет вид:

х =

где Л] = 6j и h2 = Ьо - blai.
Выходное
напряжение

Рис. 3,23 (3), /?/.С-цепь

3-3.23. Определите вид матричного дифференциального уравнения состояния для электрической
цепи, изображенной на рис. 3.23(3). Переменными состояния являются Xj = г х2 = vi и Лз ” v2-
Выходная переменная есть v0(z).

3-3.24. На рис. 3.24(3) изображена система с двумя проточными баками. Электродвигатель изменя-
ет степень открытия входного вентиля и в конечном счете влияет на скорость выходного пото-
ка. Система имеет передаточную функцию

? + 10s2 + 31s + 30 ’

а ее структурная схема представлена на рис. 3.24(3), (б). Изобразите сигнальный граф и запи-
шите матричное дифференциальное уравнение состояния для следующих конфигураций гра-
фа: (а) в форме фазовой переменной, (б) в виде структуры с многомерным входом, (в) в физи-
ческих переменных состояния и (г) с развязанными переменными состояния.

Рис. 3.24 (3)
Система
с двумя
проточными
баками.

(а) Физическая
модель и
(б) структурная
схема.

а)

I(s) -
Входной
сигнал

Электродвигатель

Вентиль

Q(s)
Выходной
поток

ХГ2--►

сигнал

поток

3-3.25. Представляется очень заманчивым поддерживать постоянную температуру в здании с помо-
щью регуляторов, использующих накопление солнечной энергии. Одна из таких систем опи-

сывается уравнениями:

dx\ - ,

— ЗА| “к И] “к 11^ ч
dt

гдех, — отклонение температуры от желаемого значения, ах2— температура среды, накапли-
вающей энергию (например, резервуар, наполненный водой). Соответственно и и2 есть теп-
ловые потоки, отдаваемые в окружающую среду и поступающие от источника (Солнца), где
транспортной средой является движение воздуха. Возмущение со стороны поступающей сол-
нечной энергии, изменяющее температуру накопителя (например, из-за сплошной облачно-
сти), представлено переменной d. Запишите матричное уравнение состояния и определите ре-
акцию системы при wj ~ 0, и2 = 1 и d~ 1 в случае нулевых начальных условий.
3-3.26. Система описывается следующим дифференциальным уравнением:

Определите матрицы Ф(^) и Ф(/) для данной системы.

3-3.27. На рис. 3.27(3) изобра-
жена структурная схема Я($)
системы. Запишите диф-
ференциальное уравнение
состояния и определите
переходную матрицу со-
стояния Ф(5).

3-3.28. На рис. 3.28(3) изобра-
жен гироскоп с одной сте-
пенью свободы. Гироскопические
датчики измеряют угловое переме-
щение и используются в системах
управления полетом. Ось враще-
ния гироскопа смещается относи-
тельно направления ОВ (выходной
переменной). Входная переменная
есть угловое перемещение относи-
тельно оси О А. Уравнение движе-
ния относительно выходной оси
получается путем приравнивания
скорости изменения угловых мо-
ментов сумме действующих мо-
ментов. Составьте описание гиро-
скопической системы в перемен-
ных состояния.

25

Рис. 3.27 (3). Система с обратной связью

3-3.29. На рис. 3.29(3) изображена система с двумя мас-
сами. Коэффициент трения качения равен Ъ. Запи-
шите уравнение состояния в матричной форме,
если выходная переменная есть у2(0-

3-3.30. В настоящее время значительные усилия направ-
лены на поиск способов манипулирования с объек-
тами в космосе — например, при сборке космиче-
ской станции или снятии спутника с орбиты. Для
выполнения этих задач в грузовом отсеке космиче-
ского челнока размещается дистанционно управля-
емый манипулятор. Эффективность использования
такого манипулятора подтверждена последними полетами челноков, но теперь уже рассматри-
вается проект создания нового устройства — манипулятора типа руки с надувными сегмента-
ми. Это позволит примерно в четыре раза уменьшить вес манипулятора и в восемь раз — объ-
ем, занимаемый им в грузовом отсеке космического челнока.

На рис. 3.30(3), (а) схематически показано применение манипулятора для сборки некоторой
конструкции, а на рис. 3.30(3), (б) изображена модель гибкой руки манипулятора, где J— мо-
мент инерции приводного двигателя, a L — расстояние до центра тяжести элемента, играюще-
го роль нагрузки. Запишите уравнения состояния для этой системы.

Рис. 3.28 (3). Гироскоп

Сила

Коэффициент трения качения = b

Рис. 3.29 (3). Система
с двумя массами
0

а)	Многозвенная

рука робота

Космическая
конструкция

Рис. 3.30 (3). Дистанционно управляемый манипулятор

Нагрузка

Приводной
двигатель

3-3.31. Получите уравнения состояния для
электрической цепи с двумя входами
и одним выходом, изображенной на
рис. 3.31(3), считая выходной пере-

менной ток /2.

3-3.32. Экстендер — это особый тип мани-
пуляторов, увеличивающий силу че-
ловеческой руки при различных дей-
ствиях с нагрузкой, как показано на

рис. 3.32(3). Передаточная функция такой системы

Рис. 3.31 (3). RLC-цепь с двумя входами



= G(s) =

30

s2 + 4s + 3 ’

где U(s) — усилие человеческой руки, прикладываемое к манипулятору, a K(s) — усилие, при-
кладываемое манипулятором к нагрузке. Взяв за образец структуру графа на рис. 3.7, т. е. ис-
пользовав его представление в форме фазовой переменной, запишите уравнения состояния и
определите переходную матрицу состояния.

Рис. 3.32 (3)

Экстендер, увеличивающий
силу человеческой руки

3-3.33. Лекарство, принимаемое внутрь, усваивается со скоростью г. Масса лекарства, находящего-
ся в желудочно-кишечном тракте, равна ти а масса лекарства в кровеносной системе — т2.
Скорость изменения массы лекарства в желудочно-кишечном тракте равна разности скоростей
его усвоения и поступления в кровеносную систему, причем считается, что она пропорциона-
льна текущему значению массы. Скорость изменения массы лекарства в кровеносной системе
пропорциональна его количеству, поступающему из желудочно-кишечного трата минус ско-
рость, с которой масса теряется за счет метаболизма, которая пропорциональна текущему зна-
чению массы лекарства в крови. Разработайте модель этой системы в переменных состояния.
Для частного случая, когда элементы матрицы А равны единице (с соответствующими знака-
ми), определите реакцию системы на начальные условия мДО) = 1 и ш2(0) = 0. Постройте гра-
фик изменения переменных состояния в зависимости от времени, а также соответствующую
траекторию на плоскости (х|ч х2).

3-3.34. Динамика ракеты описывается передаточной функцией

причем используется обратная связь по состоянию н = -х2 - 0,5х1? где Xj -y(f) и х2 = j(O
Определите корни характеристического уравнения системы и ее реакцию на начальные усло-
вия Xj(0) = 0 их2(0) = 1. U(s)n Y(s) соответствуют приложенному моменту и положению раке-
ты.

3-3.35. Система имеет передаточную функцию

.

R(s) ? + 7s2+14s+8

(а) Запишите матричное дифференциальное уравнение состояния для данной системы,
(б) Определите элемент фп(1) переходной матрицы состояния.

3-3.36. Изобразите сигнальный граф в переменных состояния для системы, изображенной на рис.
3.36(3). Индуктивностью обмотки двигателя и трением можно пренебречь. Постоянная двига-
теля Кт = 10, а коэффициент противоЭДС Кь = 0,0706. Момент инерции двигателя и вентиля
J= 0.006, а площадь сечения бака равна 50 м2. Учтите, что двигатель управляется током якоря
ia. Переменные состояния Xj = Л, х2 = 0 и х3 = d$/dt. Считайте также, что расход q{ = 800.
где 0 — угол поворота вала двигателя. Расход на выходе из бака qQ = 5Qh(t),

Рис. 3.36 (3)

Система
с проточным баком

Задачи повышенной сложности

П-3.1. Рассмотрите систему электромагнитной подвески, изображенную на рис. 3.1(П). В верхней
части экспериментальной установки находится электромагнит. С помощью электромагнитной
силы f необходимо удерживать стальной шарик в подвешенном состоянии. Заметим, что такая
простейшая система является неработоспособной, поэтому требуется использовать обратную
связь. Для этого под шариком помещается датчик, измеряющий величину зазора по значению
наведенного в нем вихревого тока.

Предположим, что в качестве переменных состояния выбраны Х| = х, х2 = dxldt и х3 = i. Катуш-
ка электромагнита имеет индуктивность L = 0,508 Гн и сопротивление Л = 23,2 Ом. Для опре-
деления электромагнитной силы используйте разложение в ряд Тейлора. Ток - /0+ где
/0 = 1,06 А соответствует рабочей точке, a i есть величина переменная. Масса шарика
т = 1,75 кг. Величина зазорах ч-х. где рабочей точке соответствует = 4,36 мм, ах есть
малое отклонение. Электромагнитная сила опреде-
ляется уравнением	где

к = 2,9‘ КГ4 Н • м2/А2. Запишите матричное диффе-
ренциальное уравнение и определите передаточ-
ную функцию JV(s)/K(s).

П-3.2. Рассмотрите массу т, установленную на тележке,
как показано на рис. 3.2(П). Определите переда-
точную функцию Y(s)/U(s) и на ее основании запи-
шите матричное дифференциальное уравнение со-
стояния.



Рис, 3,2 (П), Масса на тележке

зазора

П-3.3. Движение автономного транспор-
тного средства из одного пункта в
другой требует управления его по-
ложением с высокой точностью.
Подобную задачу решает система,
изображенная на рис. З.З(П). Опре-

Рис. 3.1 (П). Система
электромагнитной подвески

делите каноническую диагональ- рис, 3.3 (П). Система управления положением
ную форму матричного дифферен-
циального уравнения (или прибли-

зьтесь к такой форме по возможности точнее).

П-3.4. В горных велосипедах применяется пружинная амортизация
передней вилки. По сравнению с жесткой вилкой, с помощью ко-
торой переднее колесо крепится к раме, такая подвеска поглоща-
ет ударные импульсы, защищая раму и велосипедиста от тряски.
Однако в подобных амортизаторах используется только одна
пружина, которая совершенно одинаково реагирует на ударные
воздействия как при больших, так и при малых скоростях, хотя
эти воздействия значительно отличаются по силе.

Очень хорошим решением является амортизатор с несколькими

Рис. 3.4 (П). Модель
амортизатора

упругими элементами, которые могут настраиваться во время
движения велосипеда. Существуют модели, у которых амортиза-
тор имеет две пружины — одну обычную и вторую в сочетании с
масляным демпфером. Такой амортизатор позволяет регулиро-
вать коэффициент упругости, приспосабливая его к профилю

трассы и весу велосипедиста. На рис. 3.4(П) показана схема такой подвески, где параметр b яв-
ляется настраиваемым. Выберите соответствующее значение Ь, позволяющее велосипеду при-
спосабливаться (а) к сильным ударам при больших скоростях и (б) к слабым ударам при малых
скоростях. Примите значения к{ ~ I и к-, ~ 2.
П-3.5. На рис. 3.5(H) изображена масса Л/, подве-
шенная к другой массе т с помощью легкого
стержня длиной L, Считая угол 0 малым, т. е.
используя линейную модель системы, запи-
шите матричное дифференциальное уравне-
ние состояния.

П-3.6. На рис. 3.6(П) изображен подъемный кран,
тележка которого перемещается в направле-
нии j, тогда как груз массой т смещается в на-
правлении z. Двигатели, осуществляющие эти
перемещения, являются достаточно мощными
по отношению к массе тележки, подъемного
троса и груза. В качестве входных управляю-

Рис. 3.5 (П). Масса, подвешенная

к тележке

щих переменных рассмотрите расстояния D и R. Примите также, что 9 <50°. Разработайте ли-
нейную модель системы и запишите дифференциальное уравнение состояния.

Рис. 3.6 (П)
Подъемный кран
с горизонтальным
перемещением
тележки и
вертикальным
перемещением
груза

Задачи на синтез систем

СС-3.1. Вернитесь к линейному приводу с барабаном и рейкой, изображенному на рис. 2.1(СС).
СШ Пренебрегая индуктивностью обмотки двигателя и трением скользящей части стола, полу-
Я чите модель системы в переменных состояния. Параметры системы приведены в табл.
9 2.1(СС).

С-3.1. Система «масса-пружина» с затуханием, изображенная на рис. 3.3, используется в качестве
амортизатора в мотоциклах высокого класса. Заданы следующие параметры системы:

т = 1 кг. b = 9 Н • с/м, к = 20 Н/м. (а) Определите матричное уравнение состояния системы,
корни характеристического уравнения и переходную матрицу состояния Ф(7). Примите следу-
ющие начальные условия: у(0) = 1 и dy(dt\^Q = 2. (б) Изобразите графически процессыy(t) и
dy/dt для первых двух секунд, (в) Измените коэффициент упругости пружины и коэффициент
трения таким образом, чтобы уменьшить величину ускорения Sу/dt1, действующего на мото-
циклиста. Масса при этом должна оставаться постоянной и равной 1 кг.

С-3.2. Система описывается следующим уравнением состояния в форме фазовой переменной:



Выходная переменная у = Юлу Необходимо записать уравнение состояния в канонической
диагональной форме:

-3

0

Определите параметры a, bud, при которых уравнение будет иметь требуемый вид.
Масса поршня поглотителя
энергии т3 = 5

тз

WVW

х3(0) = х2(0)=Х|(0) = 0 3

Масса подвижной
каретки /и? = 10

Коэффициент упругости
троса 2 & = Ю00

Коэффициент упругости
троса 1 к\ - 500

dxjdt ~ 60 м/с
при х = 0, t = О,
h - 30 м

m2

Масса самолета
т\ — 300







Рис- 3.3 (С). Система остановки самолета на палубе авианосца

С-3.3. На рис. 3.3(C) изображена система остановки самолета при его посадке на палубу авианосца.
Линейная модель каждого поглотителя энергии обладает тормозящей силой fD - KDxy Необ-
ходимо, чтобы самолет останавливался через 30 м после захвата им удерживающего троса. В
момент посадки скорость самолета равна 60 м/с. Выберите требуемое значение коэффициента
KD и изобразите график изменения переменных состояния.

С-3.4. Компания, производящая спортивное оборудование, заказывает вам проектирование корда
для прыжков, при котором прыгун не мог бы удариться о землю, если его масса находится в
диапазоне от 50 до 100 кг. Дополнительное требование сводится к тому, чтобы время прыжка
(т. е. движение вверх и вниз) составляло от 25 до 40 секунд. Определите характеристики корда,
считая, что прыгун стоит на платформе в 90 м над землей, а корд прикреплен к перекладине,
находящейся в 10 м над платформой. Считайте, что рост прыгуна равен 2 м, а корд пристегнут
к поясу (т. е. в точности на уровне 1 м).

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-3.1. С помощью функции SS получите модель в переменных состояния для систем, имеющих в

разомкнутом состоянии следующие передаточные функции:

(a)G(5) =

(6)G(s) =

3? + 105 + 1
? + 8s + 5 ’

(b)G(5) =

5+14

1

5+ ю’

М-3.2. С помощью функции tf определите передаточные функции для систем, модели которых в пе-

ременных состояния представлены следующими матрицами:

0

В =

1 1 о

-2 0 4

6 2 10

о

(в) А =

,в =

Г о1

,С = [1 1].

о

о

,в =
М-3.3. Рассмотрите схему, изображенную на рис.

З.З(М). Считая операционный усилитель идеа-
льным, определите передаточную функцию
WW

(а) Представьте схему в переменных состоя-
ния, если /?! = 1 кОм, R2 - 10 кОм, С| =0,5 мФ
и С2 = 0,1 мФ. (б) На основании модели в пере-
менных состояния из п. (а) с помощью функ-
ции step получите график переходной харак-
теристики.

М-3.4. Рассмотрите систему, заданную уравнениями

у=[1 0 0] х.

(а)	С помощью функции tf определите передаточную функцию Y(s)/U(s).

(б)	Постройте график реакции системы на начальные условия х(0) = [0 -1 1]г для 0 < / < 10.

(в)	С помощью функции ехрт вычислите переходную матрицу состояния и определите х(/)
при t = 10 для начальных условий из п. (б). Сравните полученный результат с данными из
п. (б).

М-3.5. Рассмотрите две системы:

0

0

О

О

О

0

и, у = [1 0

и

0] xj

(1)

0,5000
а

-0,5000

-6,3640

0,5000

-0,5000

-0,7071

0,7071

0,7071

-8,0000

и,

у = [0,7071 -0.7071 0] х2.

(2)

О

О

(а)	С помощью функции tf определите передаточную функцию Y(s)/U(s) для системы (1).

(б)	Проделайте то же самое для системы (2).

(в)	Сравните результаты пп. (а) и (б) и прокомментируйте их.

М-3.6. Рассмотрите замкнутую систему, представленную на рис. 3.6(М).

(а)	С помощью MATLAB получите модель в переменных состояния для регулятора.

(б)	Проделайте то же самое для объекта.

(в)	Используя результаты пп. (а) и (б), с помощью функций series и feedback получите модель
в переменных состояния для замкнутой системы и постройте график ее реакции на импуль-
сное входное воздействие.

М-3.7. Рассмотрите систему

О

О

7*

при начальных условиях х(0) = [1 0] .

Рис. 3.6 (М)

Замкнутая система
управления
С помощью функции Isim вычислите и изобразите графически реакцию переменных хД/) и
x2W при u(t) = 0.

Ключевые термины и понятия

Вектор состояния. Вектор, компонентами которого являются все и переменных состояния, xj,

X2i • * •

Временная область. Математическая область, в которой описание системы задается функциями
времени /.

Дискретная аппроксимация. Аппроксимация, используемая для вычисления временных характе-
ристик системы путем деления интервала времени на малые отрезки А/.

Дифференциальное уравнение состояния. Дифференциальное уравнение относительно вектора
состояния: х = Ах + Ви.

Нестационарная система. Система, в которой один или несколько параметров могут зависеть от
времени.

Обратная связь по состоянию. Способ формирования сигнала, прикладываемого к объекту управ-
ления, при котором он является непосредственной функцией всех переменных состояния.

Переменные состояния. Совокупность переменных, полностью описывающих поведение систе-
мы.

Переходная матрица состояния Ф(/). Матричная экспоненциальная функция, описывающая сво-
бодное движение системы.

Состояние системы. Совокупность таких чисел, которые при известных входной функции и урав-
нениях динамики системы позволяют определить будущее состояние системы.

Фундаментальная матрица. См. переходная матрица состояния.
Глава 4

Характеристики систем
управления с обратной связью

Обзор

Во 2-й и 3-й главах основное внимание уделялось математическому моделированию физи-
ческих систем. В настоящей главе мы дадим дальнейшее развитие идей моделирования,
включив сюда такие вопросы, как чувствительность модели к неточности задания ее пара-
метров, определение установившейся ошибки и переходных характеристик систем при те-
стовых входных сигналах, компенсация внешних возмущений. Мы рассмотрим важную
роль сигнала ошибки, который образуется за счет действия обратной связи и используется
для управления объектом. Вообще говоря, целью любой системы с обратной связью явля-
ется минимизация сигнала ошибки.

Мы также введем понятие чувствительности системы к изменению ее параметров,
поскольку с ее помощью можно оценить влияние подобных изменений на характеристи-
ки системы и разработать способ уменьшения этого влияния. Далее мы рассмотрим каче-
ство переходного режима системы с обратной связью и покажем, как можно добиться по-
вышения этого качества.

Любая система управления всегда должна проектироваться так, чтобы по возможно-
сти уменьшить влияние нежелательных входных сигналов, называемых возмущениями,
на выходной сигнал. Мы покажем, как этого можно добиться при решении задачи синте-
за. Разумеется, при синтезе системы управления получение определенных выгод сопро-
вождается также и издержками. Мы покажем, как эти издержки связаны с выбором датчи-
ка в цепи обратной связи. И, наконец, в завершение главы будет проведен анализ качества
системы на уже известном примере синтеза с продолжением (система чтения информа-
ции с диска).

4.1.	Разомкнутые и замкнутые системы
управления

Теперь, когда мы уже умеем получать математические модели элементов систем управле-
ния, можно приступать к исследованию характеристик этих систем. В разд. 1.1 система
управления была определена как соединение отдельных элементов в определенную кон-
фигурацию, обеспечивающую получение заданных характеристик. Поскольку известна
желаемая реакция системы, то можно сформировать сигнал, пропорциональный ошибке
между желаемой и действительной реакциями. Использование этого сигнала для управле-
ния объектом приводит к появлению замкнутой последовательности операций, как показа-
но на рис. 4.1. В результате образуется система с обратной связью. Введение обратной свя-
Рис. 4.1

Замкнутая система

Регулятор

Объект
управления

Выход

Измерение

Сравнение

зи часто вызывается необходимостью улучшения функционирования системы управле-
ния. Интересно, что обратная связь объективно присутствует в таких системах как
биологические и физиологические. Например, частота сердечных сокращений у человека
регулируется системой с обратной связью.

Чтобы проиллюстрировать преимущества введения обратной связи, мы рассмотрим
простую одноконтурную систему. Хотя очень многие системы управления и не являются
одноконтурными, многие моменты проще всего прояснить на примере одноконтурной

системы, а затем полученные результаты распространить на многоконтурные системы.

Система без обратной связи, часто
называемая системой с прямой цепью пе-
редачи воздействий или разомкнутой си-
стемой, изображена на рис. 4.2.

Я(з)

Рис. 4.2. Разомкнутая система управления

Разомкнутая система (система с прямой цепью передачи воздействий) не имеет
обратной связи и образует выходной сигнал в виде непосредственной реакции
на входной сигнал.

Напротив, замкнутая система управления с отрицательной обратной связью изобра-
жена на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Замкнутая система
управления

В(з) ! ад G(s) Y(S)





В замкнутой системе управления происходит измерение выходного сигнала и
сравнение с его желаемым значением, в результате чего образуется сигнал
ошибки, используемый для управления объектом.

Оба типа систем управления представлены как в виде структурных схем, так и виде сигна-
льных графов.

Во многих случаях H(s) равно единице или некоторой константе, отличной от едини-
цы. Последнее характерно, например, для преобразования единиц измерения, скажем, ра-
диан в вольты. Рассмотрим сначала случай единичной обратной связи, когда H(s)= I.
Тогда E^s) ~ E(s) и

Г(5) = G(5)£(5) - G(« - У(5)].
Выражая отсюда У(Д получим:

Для сигнала ошибки имеем:

Y (5) =

_ОД_
l + G(s)

Ж).

(4.1)

Е(з) =

1

1 + 0(5)

Л(5).

Таким образом, чтобы ошибка была незначительной, модуль выражения [1+G(*O] должен
быть много больше единицы в рассматриваемом диапазоне переменной s.

Теперь рассмотрим случай, когда H(s)* 1. Выход замкнутой системы определяется
выражением

У(5) = G(s)Ea(s) = G(s)[R(s) -

следовательно

l+GH(s)

Для сигнала ошибки имеем:

Еа (s) =

1

1 + GH(s)

(4.2)

(4-3)



Z?(5).



Отсюда следует, что ошибка будет тем меньше, чем сильнее неравенство |1+СЯ(5)| > 1 в
рассматриваемом диапазоне переменной 5. В действительности сигнал £а(л) является оцен-
кой ошибки E(s). Эта оценка будет тем точнее, чем незначительнее динамика H(s) и чем
ближе H(s) к единице в рассматриваемом диапазоне переменной 5.

4.2.	Чувствительность систем управления
к изменению параметров

Объект управления, представленный передаточной функцией G(s), какова бы ни была его
природа, подвержен влиянию окружающей среды, старению, отсутствию точной информа-
ции о его параметрах и других объективных факторов, которые негативно сказываются на
его поведении. В разомкнутой системе все эти факторы приводят к отклонению выходной
переменной от желаемого значения. Замкнутая система, напротив, чувствует это отклоне-
ние, обусловленное изменениями параметров объекта, и пытается скорректировать выход-
ную переменную. Поэтому чувствительность системы управления к изменению парамет-
ров есть вопрос первостепенной важности. Основное преимущество систем с обратной свя-
зью состоит в их способности снижать чувствительность к изменению параметров.

В случае замкнутой системы, если GH(s)» 1 для всех представляющих интерес зна-
чений комплексной частоты, то из (4.2) мы имеем:

У(5)«-^Л(5).
H(s)

(4.4)

Следовательно, выход определяется только передаточной функцией H(s), которая может
быть и константой. Если H(s) = 1, то мы в точности достигаем желаемого результата, т. е.
выход становится равным входу. Однако прежде чем использовать эту идею для синтеза
Пример 4.1. Усилитель с обратной связью

Во многих практических приложениях используется усилитель, имеющий коэффициент уси-
ления - КаУ как показано на рис. 4.4(a). Выходное напряжение равно

vo = “ KaVj.	(4.17)

Часто с помощью потенциометра вводится обратная связь, как показано на рис. 4.4(6). Усили-
тель без обратной связи имеет передаточную функцию

Т=-Ка,	(4.18)

и ее чувствительность к изменению коэффициента усиления равна

4л=1	(4.19)

Рис. 4.4. (а) усилитель; (6) усилитель с обратной связью

Рис. 4.5. Структурная схема
усилителя с обратной связью
при Rp » /?0

Структурная схема усилителя с обратной связью приве-
дена на рис. 4.5, где

(4.20)

И

Rp = R\ + R~>.

(4.21)

Передаточная функция усилителя с обратной связью равна

(4.22)

а ее чувствительность к изменению Ка определяется как

(4.23)

Если Ка достаточно велико, то чувствительность является малой. Например, если

Ка= 104, 0 = 0,1,	(4.24)

ТО

(4.25)

что практически в 1000 раз меньше, чем для усилителя без обратной связи.

К понятию чувствительности мы еще вернемся в последующих главах, чтобы подчеркнуть его
особую важность при синтезе и анализе систем управления.
4.3.	Воздействие на переходную
характеристику систем управления

Одна из наиболее важных характеристик систем управления — это переходная характе-
ристика, т. е. реакция системы на входное воздействие, представленная как функция вре-
мени. Поскольку система управления должна обеспечивать желаемый вид этой реакции, то
переходную характеристику часто приходится подгонять до тех пор, пока она не будет
удовлетворять выдвинутым требованиям. Если система разомкнутая и ее переходная ха-
рактеристика не является удовлетворительной, то, скорее всего, наиболее радикальное ре-

ение проблемы — это заменить объект. Напротив, в замкнутой системе часто можно до-

биться желаемого вида переходной характеристики настройкой параметров контура с об-

включив последовательно с объектом
(но перед ним) регулятор с передаточ-
ной функцией Gj(Д как показано на рис.

4.6. В этом случае синтез состоит в том,
’ггобы определить передаточную функ-
цию GjC^GCs), обеспечивающую желае-
мый вид реакции системы.

Чтобы лучше понять сказанное выше,

ратной связью. Правда, и в разомкнутой системе иногда удается решить ту же задачу,

G/s)	ад

ад о------>—о--------*—о ад

Регулятор	Объект

Рис. 4.6. Разомкнутая система управления
с последовательно включенным регулятором

рассмотрим систему управления, которая мо-

жет работать и как разомкнутая, и как замкнутая. Это система управления скоростью дви-
гателя, изображенная на рис. 4.7. Подобная система, например, используется в прокатных
станах для перемещения стальной полосы через валки. Передаточная функция такой сис-
темы без обратной связи была получена ранее [см. выражение (2.70)], откуда для
<i)(s)/Ea(5) мы имеем:

=G(s)=,	(4.26)

TjS + 1

где

В прокатном стане валки обладают очень большим моментом инерции, поэтому не-
обходим мощный двигатель, управляемый по цепи якоря. Если выдается команда на сту-
пенчатое изменение скорости вращения валков, то

УаЫ = ~,	(4.27)

5

Рис. 4.7

Разомкнутая система
управления скоростью
двигателя

lf= постоянный ток
возбуждения

Скорость
co(t)
и реакция системы определяется выражением
(o(s) = G(s)Va (s).

(4.28)

Переходная характеристика, описывающая изменение скорости, имеет вид:

(4.29)

Если процесс установления скорости идет очень медленно, то можно попытаться
взять другой двигатель, чтобы изменить постоянную времени тР Однако поскольку Tj
определяется в основном моментом инерции нагрузки J, то вряд ли таким образом удаст-
ся повлиять на вид переходной характеристики.

Замкнутую систему управления скоростью легко реализовать, если использовать та-
хогенератор, выходное напряжение которого пропорционально скорости вращения. Это
напряжение вычитается из напряжения, снимаемого с потенциометра, и разность затем
подается на усилитель, как показано на рис. 4.8(a). На рис. 4.8(6) изображена полученная
таким образом замкнутая система с маломощным транзисторным усилителем. Переда-
точная функция замкнутой системы имеет вид:

= KgG(s) =	= КаКх/Ь

R(s) l + KaK1G(s) \ + КаК}Кх s + + К аКхКх )hx'

Для того чтобы удовлетворить требованиям, предъявляемым к переходной характеристике
системы, есть две возможности: варьирование параметров Ка (коэффициента усиления
усилителя) и Кх (коэффициента передачи тахогенератора).

а)

B(s)=

Рис. 4.8. Замкнутая система управления скоростью двигателя,
(а) Структурная схема, (б) Принципиальная схема

Переходная характеристика системы при ступенчатом изменении входного сигнала

определяется выражением

(4.31)
гдер =	В предположении, что момент инерции нагрузки достаточно велик,

путем увеличения коэффициента K.d мы можем приближенно описать реакцию системы
выражением

= — -к?Е
К,

Если, например, полюс разомкнутой системы равен 1/т j = 0,1, то полюс замкнутой систе-

мы можно сделать равным	= 10, т. е. тем самым в 100 раз повысить быстродейст-

вие системы. Заметим, однако, что для обеспечения надлежащего значения KaKtK[ коэффи-
циент усиления усилителя Ка должен быть достаточно большим, и соответственно должно
быть больше напряжение, прикладываемое к якорю двигателя (в сравнении с разомкнутой
системой). Поэтому чтобы избежать насыщения двигателя, он должен быть выбран с боль-
шим запасом по мощности. На рис. 4.9 представлены переходные характеристики разо-
мкнутой и замкнутой систем. Обратите внимание, насколько увеличилось быстродействие

замкнутой системы.

Рис. 4.9
Переходные
характеристики
разомкнутой и
замкнутой систем
управления
скоростью двигателя
при т-| = 10 с и
KyKaKt = 100.

Для достижения 98%
установившегося
значения скорости
в разомкнутой и
замкнутой системе
требуется
соответственно
40 с и 0,4 с

0	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Время (с)

Хотя сейчас речь идет об улучшении быстродействия системы управления скоро-
стью двигателя, имеет смысл также определить чувствительность разомкнутой и замкну-
той систем. Как и прежде, чувствительность разомкнутой системы к изменению коэффи-
циента передачи двигателя Кт или коэффициента передачи потенциометра к2 равна еди-
нице. Чувствительность замкнутой системы к изменению Кт равна

sk =SgSk =-------------=-----—--------=-----'? + (1/Т1)--•	(4.33)

к„, g i +	\ + KaKtG(s) s + (KuKtK\ + !>%

Используя значения параметров, приведенные в предыдущем разделе, получим:

5 + 0,1

5+10 '

(4.34)

Мы видим, что чувствительность является функцией переменной s и должна вычис-
ляться для различных значений частоты. Этот анализ не столь сложен, но мы отложим его
до некоторого времени. Тем не менее, ясно, что при некоторой низкой частоте — напри-
мер, при 5 =ую =у 1 — чувствительность составляет примерно \S% |«0,1.
4.4.	Возмущения в системах управления
с обратной связью

Третьей важной функцией обратной связи в системах управления является частичная ком-
пенсация влияния возмущений. Возмущение — это нежелательный входной сигнал, кото-
рый оказывает влияние на выходной сигнал системы. Многие системы управления подвер-
жены влиянию внешних воздействий, приводящих к отклонению выходного сигнала от
желаемого значения. Так, в электронных усилителях всегда имеет место шум, возникаю-
щий в транзисторах или интегральных схемах; на антенны радиолокаторов влияют порывы
ветра; во многих системах также возникают искажения за счет присутствия в них нелиней-
ных элементов. Системы с обратной связью обладают тем преимуществом, что в них влия-
ние всех этих негативных факторов может быть существенно снижено.

В качестве примера системы с нежелательным возмущением рассмотрим уже знако-

мую нам систему управления скоростью вра-
щения привода валков прокатного стана.
Валки, через которые проходит стальная по-
лоса, подвержены значительному измене-
нию нагрузки, играющей роль возмущения.
Пока стальная полоса приближается к вал-
кам (см. рис. 4.10), они по существу враща-
ются без нагрузки. Однако когда полоса по-

Стальная полоса ->

Транспортер

Рис. 4.10. Прокатный стан

Валки

падает между валками, то нагрузка на них

мгновенно становится значительной. Этот эффект может быть учтен в виде ступенчатого
изменения возмущающего момента, как показано на рис. 4.11. Тот же эффект можно про-
иллюстрировать, используя нагрузочные (внешние) характеристики типичного электро-
двигателя, изображенные на рис. 4.12.



КОО

Возмущение

Рис. 4.12

Нагрузочные характеристики двигателя

Рис. 4.11. Разомкнутая система управления скоростью (без главной обратной связи)
Для двигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря, в примере 2.4 была по-
жучена модель в виде структурной схемы. Эта модель воспроизведена на рис. 4.11, при-
чем предполагается, что La » 0. Ошибка системы на рис. 4.11 равна

E(s) - R(s) - со(Д

яде R(s) - есть желаемое значение скорости. Для упрощения вычислений положим
;Д5) = 0 и будем исследовать E(s) = - со (s), т. е. изменение скорости, вызванное возмущени-

E(s)~- co(s) =

Js + b + KmKb/Ra

(4-35)



При ступенчатом изменении момента нагрузки T/s) = Dis, и с помощью теоремы о конеч-
ном значении мы можем определить установившуюся ошибку:

lim e(t) = limE(s) = lims------------

5->o	A->0 Js+Ь + К„,Кь/Еа

(4-36)

Замкнутая система управления скоростью в виде структурной схемы изображена на
рис. 4.13. Та же система, но в виде сигнального графа, изображена на рис. 4.14, где

G^s) = KJCJRn G2(s) =	+ 6) и H(s) = + Kb/Ka. По сигнальному графу с помощью

формулы Мейсона можно получить выражение для ошибки E(s) = - co(j):

E(s) = - co(s) =

G2(s)

1 + G, (s)G2 (s)H(s)

 Td (5)•

(4.37)

Если в некотором диапазоне комплексной переменной s выполняется условие

G{G2H(s)» 1, то можно считать, что

1

E(s)

Ц (W)

(4.38)

Л(О-

Следовательно, если произведение G^T/Cs) сделать достаточно большим, то влияние воз-
мущения можно существенно уменьшить. Заметим, что

Gi (s)H(5) =

поскольку Ка » Кь. Поэтому мы должны постараться получить большой коэффициент уси-
ления Ка и сохранить Ra<2 Ом. В системе на рис. 4.14 ошибка E(s) - R(s) - со(^), где
7?(s) = (OjC^) есть желаемое значение скорости. Как и в разомкнутой системе, положим
Я(.у) = 0 и исследуем со(^).

ад

u;(s)

Рис. 4ЛЗ. Замкнутая система управления скоростью
Рис. 4.14
Замкнутая
система
управления
скоростью.
(а) Модель
в виде
структурной
схемы.

(6) Модель
в виде графа

Я(з)

б)



Выражение для выходной переменной системы на рис. 4.13 при R(s) = 0 можно полу-
чить с помощью формулы Мейсона:

<o(s) =

-1/(Л+ Ь)

\ + (K,KaKm!Ru	+ b)]+(KmKh! Rd}\\/(Js+ b)]



_	у1 Г л*4)

" Js+b + (Km/Ra )(K,Ka +Rb)' J

По теореме о конечном значении находим:

lim оэ( /) — lim .ш(л')  ---!------------D ;

г> + (л„,/яо)(л,ли+£„)

если коэффициент усиления Ка достаточно велик, то

(о(оо) ---------D = ($г (оо).

&t

(4.39)

(4.40)

(4.41)

Сравнивая изменение скорости из-за нежелательного возмущения в замкнутой и разомкну-
той системах, получим:

_Rab + KniKb

(4.42)

Обычно это отношение не превышает 0,02.

Преимущество замкнутой системы
управления скоростью можно также проиллю-
стрировать на примере нагрузочных характе-
ристик этой системы, приведенных на
рис. 4.15. Мы видим, что эти характеристики
почти горизонтальны, а это указывает на то,
что скорость почти не зависит от момента на-
грузки.

Рис. 4.15. Нагрузочные
характеристики замкнутой системы
Основная причина введения обратной связи состоит в ее способности уменьшать
влияние внешних возмущений и шумов, возникающих внутри системы. Во многих систе-
мах шум возникает на выходе измерительного элемента (датчика). Этот шум можно пред-
ставить в виде сигнала N(s), как показано на рис. 4.16. Влияние шума на выходную пере-

менную оценивается выражением

-G{G2H2(s)

\ + G{G2H}H2 (s)

или, приближенно,

-ад.

(4.43)

(4.44)

П*) =



Очевидно, что проектировщик должен стремиться получить как можно большее значение
что эквивалентно максимизации отношения сигнал/шум на выходе датчика. Кроме
того, элементы обратной связи H(s) должны работать при минимальном шуме, дрейфе и из-
менении параметров. Это требование вытекает из функции чувствительности (4.13), кото-
рая показывает, что S J « L Следовательно, необходимо принять все меры, чтобы датчик и

элементы обратной связи обладали стабильными характеристиками. Как правило, этого
всегда удается добиться, т. к. элементы обратной связи работают при малом уровне мощно-
сти и с незначительными затратами могут быть изготовлены с высоким качеством.

Эквивалентность чувствительности Sq и реакции замкнутой системы на внешнее

возмущение можно проиллюстрировать с помощью рис. 4.14. Чувствительность системы
к изменению G2 равна

sj =-------L_.	(4.45)

1 l + GlG2H(s) GiG2H(s)

Влияние возмущения на выходную переменную при Я($) = 0 оценивается выражением

У(*)	G2(s)	~____

Td(s) 1 + ЦС2ад~ G{H(s)

(4.46)

В обоих случаях мы видим, что нежелательные эффекты можно ослабить путем увеличе-
ния коэффициента Ка, входящего в G^s). Примечательно, что меры по уменьшению влия-
ния изменения параметров системы или внешних возмущений эквивалентны и по счастли-
вому стечению обстоятельств действуют одновременно. В качестве заключительной ил-
люстрации этого факта мы отметим, что для системы, изображенной на рис. 4.17, влияние
шума или возмущения на выходную переменную оценивается выражением

=----!---- (4.47)

Td{s) UGH(S}

что полностью совпадает с чувствительностью Sq .

Рис, 4.16, Замкнутая система
управления при наличии шума датчика

Рис. 4.17. Замкнутая система управления
при наличии шума на ее выходе
Очень часто шум присутствует во входном сигнале системы. Например, входной сиг-
нал может иметь вид r(t) + w(Z), где r(Z) соответствует желаемому виду реакции системы, а
n(t) — шум. В данном случае замкнутая система будет реагировать на шум точно так же,
как и на сигнал г(/), и будет неспособна улучшить отношение сигнал/шум на входе. Однако,
если частотные спектры полезного сигнала и шума на входе системы разнесены друг от
друга, то можно добиться улучшения отношения сигнал/шум на выходе системы. Во мно-
гих случаях для этого достаточно, чтобы замкнутая система представляла собой фильтр
низких частот.

4.5. Установившаяся ошибка

Система с обратной связью предоставляет инженеру возможность влиять на вид переход-
ной характеристики. Кроме того, как мы уже видели, такая система позволяет значительно
уменьшить ее чувствительность к изменению параметров и ослабить влияние возмущений.
Однако имеет также смысл исследовать и сравнить установившуюся ошибку в разомкну-
той и в замкнутой системах. Установившаяся ошибка — это ошибка, остающаяся после
окончания переходного процесса, вызванного внешним воздействием.

Я(з) --► G(s) —*-Y(s)

Рис, 4,18. Разомкнутая
система управления

B(s)

Y(s)

Рис, 4,19. Замкнутая система управления

В разомкнутой системе, изображенной на рис. 4.18, ошибка равна
ВД = R(s) - У(5) = [1 - G(J)]/?(J).

В замкнутой системе на рис. 4.19 при H(s) = 1 согласно (4.3) ошибка равна

(4.48)

(4.49)

Для вычисления установившейся ошибки используется теорема о конечном значении:

lim е(0- Iini5£(5).	(4.50)

/ —>СО	5—>0

Приняв для сравнения входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции, в разо-
мкнутой системе мы получим:

е0 (ж) = lim 41 - G(j)] • - = lim[l - G(«)] = 1 - G( 0).

(4.51)

В замкнутой системе при H(s) - 1 имеем:

5 1 + G(0)

(4-52)

* Случай неединичной обратной связи рассматривается в разд. 5.8.
Значение б(^) при 5 = 0 часто называют коэффициентом усиления на нулевой частоте (по
постоянному току), и это значение обычно больше единицы. Следовательно, в разомкну-
той системе мы получим большую установившуюся ошибку, а в замкнутой системе она бу-
дет незначительной.

Анализ выражения (4.51) показывает, что в разомкнутой системе установившаяся
ошибка может равняться нулю, если обеспечить выполнение условия 6(0) = 1. Тогда воз-
никает естественный вопрос: а в чем же заключается преимущество замкнутой системы?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вернуться к понятию чувствительности.
Действительно, в разомкнутой системе можно так подобрать ее параметры, чтобы выпол-

нялось условие 6(0) = 1. Однако в процессе эксплуатации системы ее параметры наверня-
ка будут изменяться под влиянием внешних факторов, что приведет к отклонению коэф-

фициента усиления 6(0) от единицы. Значит, появится отличная от нуля установившаяся
ошибка, устранить которую можно только перенастроив систему. Напротив, в замкнутой

системе происходит непрерывное измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводя-

hi

ли к уменьшению ее установившегося значения. Таким образом, мы приходим к выво-

ду, что побудительным мотивом к введению отрицательной обратной связи является сни-
жение чувствительности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и
внешним возмущающим факторам. Пример оригинальной системы с обратной связью
приведен на рис. 4.20.

Рис. 4.20

Грип-Н — это искусственная рука в виде протеза,
управляемая с помощью троса. Она может быть
использована для переключения скоростей
автомобиля, забивания гвоздей, нарезания
помидоров и выполнения других несложных задач,
требующих двух рук. Ее действие основано
на тяговом усилии троса, а сила захвата изменяется
в диапазоне от 0 до 110 фунтов. Рука воспроизводит
движение большого и указательного пальцев и
осуществляет захват, когда на трос воздействуют
спинные мышцы человека. Обратная связь
осуществляется человеком визуально, но он не
испытывает нормального ощущения прикосновения,
присущего большинству людей при осторожных
действиях с предметом

Способность замкнутой системы уменьшать установившуюся ошибку, вызванную
изменениями параметров и неточностью их настройки, мы проиллюстрируем следующим
примером. Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функ-
цию

G(s) =

К

TS + 1

(4-53)

Такая передаточная функция характерна для тепловых объектов, регуляторов напряжения
или емкостей с жидкостью при регулировании уровня. При задании входной переменной в
виде единичной ступенчатой функции мы имеем 7?(s) = 1/s. Тогда в соответствии с (4.51) в
разомкнутой системе установившаяся ошибка будет равна

е0(оо) = 1 - <7(0) = 1 - К

(4.54)

при согласованных единицах измерения 7?(^) и К. В замкнутой системе (рис. 4.19) мы име-
ем:

Ec(s) = R(s) - T(s)R(s),
где T(s) - G(s)/[1 + GH(s)]. Установившаяся ошибка равна

(да) = lim 41 - Г(5)] - = 1 - 7X0).

•'->0	J

Если H(s) = 1/(tj5 + 1), то Н(0) = 1 и G(0) = К. Следовательно,

В разомкнутой системе можно было бы, к примеру, задать К - 1, тогда установившаяся
ошибка будет равна нулю. В замкнутой системе можно задать большое значение К, напри-
мер, К = 100. Тогда установившаяся ошибка в ней составит ес.(°°) - 1/101.

Если теперь в силу каких-то факторов начальное значение К изменится на 10%, т. е.
\КЖ = 0,1, то в разомкнутой системе появится абсолютное приращение установившейся
ошибки Де0(оо) = 0,1, а относительное приращение составит

Де0(°о) _ 0,1
г(О1 1

(4.56)

т. е. также 10%. При таком же приращении АК/К - 0,1 в замкнутой системе установившая-
ся ошибка составит ес(оо) = 1/91 (при отрицательном приращении К). Следовательно, абсо-
лютное изменение установившейся ошибки будет равно

Де (оо) = ——L,	(4.57)

91 101

а относительное приращение составит

Де (оо)

—5 = 0,0011,	(4.58)

|г(Г)|

или 0,11%. Как говорится, результат в комментариях не нуждается.

4.6.	Издержки обратной связи

В предыдущих разделах подчеркивались преимущества, которые получает система управ-
ления при введении обратной связи. В то же время эти преимущества отчасти сопровожда-
ются издержками. В первую очередь это связано с тем, что реализация обратной связи уве-
личивает число элементов и сложность системы. Чтобы ввести обратную связь, необхо-
димо иметь несколько элементов, из которых ключевую роль играет датчик. Очень часто
датчик оказывается самым дорогим элементом системы, к тому же он вносит погрешности,
а его выходной сигнал сопровождается шумом.

Второй издержкой обратной связи является уменьшение коэффициента усиления.
Например, если одноконтурная система в разомкнутом состоянии имеет операторный ко-
эффициент усиления (передаточную функцию) G(s), то при введении единичной отрица-
тельной обратной связи он уменьшается до GG)/[ 1+GG)], т. е. умножается на 1/[1+G(s)],
что совпадает с уменьшением чувствительности системы к изменению параметров и
внешним возмущениям. Обычно желательно иметь некоторый запас в отношении коэф-
фициента усиления разомкнутой системы, чтобы тем самым можно было влиять на пере-
ходную характеристику.

Следует отметить, что обратная связь уменьшает только коэффициент передачи от
входа системы к ее выходу. Что же касается усилителя мощности и исполнительного
устройства, то их коэффициенты усиления сохраняют свои значения, и возможности этих
элементов полностью используются в замкнутой системе.

И, наконец, третья издержка обратной связи состоит в возможной потере системой
устойчивости. Если разомкнутая система является устойчивой, то это еще не значит, что
всегда будет устойчива и замкнутая система. Вопрос об устойчивости замкнутой системы
мы отложим до главы 6, где он будет рассмотрен достаточно подробно.

Введение обратной связи в динамические системы создает дополнительные пробле-
мы для проектировщика. Однако в большинстве случаев преимущества, получаемые за
счет обратной связи, перевешивают недостатки, что и обуславливает широкое примене-
ние систем с обратной связью. Поэтому при синтезе системы управления увеличивается
ее сложность и, как следствие, возникает проблема обеспечения устойчивости,

Не вызывает сомнения, что желательно, чтобы выход системы У(«?) был равен ее вхо-
ду /?($). Однако задумавшись, можно задать себе вопрос: почему же просто не сделать пе-
редаточную функцию G(s) = У(5)/Т?(5) равной единице? (См. рис. 4.2.) Ответ на этот во-
прос становится очевиден, если мы вспомним, что передаточная функция G(s) соответст-
вует реальному объекту, динамикой которого нельзя пренебрегать. Если предположить,
что G(s) = 1, это будет означать, что выходная переменная системы полностью совпадает
со входной. Но выходной переменной может быть, например, температура, угол поворота
вала или скорость двигателя, тогда как входной переменной — напряжение, снимаемое с
потенциометра, и передаточная функция G(y) отражает физический процесс преобразова-
ния в У(^). Поэтому условие G(s) = 1 является нереализуемым, и нам приходится
иметь дело с реальной передаточной функцией G(s).

4.7.	Пример синтеза: бурильные машины
для тоннеля под Ла-Маншем

Сооружение тоннеля под Ла-Маншем между Францией и Великобританией началось в де-
кабре 1987 г. Проходка осуществлялась с двух сторон, и первая стыковка тоннелей состоя-
лась в ноябре 1990 г. Тоннель имеет протяженность 37,8 км и проходит на глубине 60 м
ниже уровня моря. Его строительство обошлось в 14 млрд, долларов и было завершено в
1992 г. Тоннель позволяет ежедневно пропускать 50 поездов. Он является кратчайшим пу-
тем между Европой и Великобританией, а поездка из Лондона в Париж занимает всего
3 часа.

Во время проходки тоннеля машины с двух сторон двигались навстречу друг другу.
Чтобы соединиться в середине Ла-Манша с заданной точностью, направление движения
машин задавалось прецизионной лазерной системой. На рис. 4.21 изображена структур-
ная схема системы управления бурильной машиной, где У(5) соответствует действитель-
ному угловому направлению движения машины, a R(s) — заданному углу. Влияние на-
грузки на машину представлено возмущением D(s).
Рис. 4.21

Структурная
схема
системы
управления
бурильной
машиной

Цель синтеза состоит в выборе такого значения коэффициента К, при котором реак-
ция системы на входное воздействие, соответствующее заданному значению угла, имела
бы желаемый вид и при этом ошибка, вызванная возмущением, была минимальной. По
формуле Мейсона выходную переменную с учетом двух входных сигналов можно пред-
ставить в виде:

=	+ Tj(S)D(s) =

(4.59)

Чтобы уменьшить влияние возмущения, коэффициент К желательно иметь больше
10. Если выбрать К = 100 и положить d(f) = 0, то переходная характеристика системы при
единичном ступенчатом воздействии г(Г) будет иметь вид, представленный на
рис. 4.22(a). Если же положить г(Г) = 0 и считать, что возмущение имеет вид единичной
ступеньки, то реакция системы примет форму, представленную на рис. 4.22(5). Мы ви-
дим, что влияние возмущения очень незначительно. При К = 20 реакции системы на еди-

Рис. 4.22	а)

Реакции y{t} на

(а)	единичную ступеньку rij) и

(б)	на единичную ступеньку

d(t) при К — 100

!/(*)»

град.

Время (с)

б)

	0.012  0.01  0.008						
							
							
у(О.	0.006						
град.		•					
	0.004						
							
	0.002						
							

0	0.5	1	1.5	2	2.5	3

Время (с)
Рис. 4.23

Реакции y(t) на единичную
ступеньку (сплошная
кривая) и на единичную
ступеньку d(t) (пунктирная
кривая) при К = 20

Время, (с)

ничные ступенчатые воздействия г(г) и d(t) изображены на рис. 4.23. Поскольку перерегу-
лирование на переходной характеристике небольшое (менее 4%), а установившееся зна-
чение достигается за 2 секунды, можно остановиться на величине К = 20. Результаты све-
дены в табл. 4.1.

Установившаяся ошибка системы при единичном ступенчатом воздействии г(г), т. е.
при 7?(s) = 1Л, равна

lim e(t) = limа-----!------- = 0.	(4.60)

/->00 V л->0 1 К +115 5	k 7

1 +-------

5(5 + 1)

Установившееся значение y(f) при единичном ступенчатом воздействии d(t\ т. е. при

D(s) = 1/5, и в случае г(г) = 0 равно

lim y(t) - lim

(4.61)

Это значение приХ = 100 и 20 составляет соответственно 0,01 и 0,05.

В заключение найдем чувствительность системы к изменению передаточной функ-
ции объекта G(5). Используя выражение (4.12), имеем:

Sq =—5(5 +	.	(4.62)

°	5(5+ 12)+ К

На низких частотах (|5| < 1) чувствительность приближенно равна

(4.63)

Мы видим, что чувствительность обратно пропорциональна значению К. Поэтому в дан-
ном случае можно считать, что выбор /С =20 является приемлемым компромиссом при

синтезе системы.

Таблица 4.1. Реакции системы управления бурильной машиной
при разных значениях К

Коэффи-
циент К

Перерегулиро-
вание реакции
на г(/)=1(/)

Время достижения уста-
новившегося значения
реакции иа г(/)=1(/)
(критерий 2%)

Установившееся
значение у(0
при rf(/)=l(0 и
г(/)=0

Установив-
шаяся
ошибка при
г(/)=1(/) и rf(/)=0

100	22%

20	4%

0,7 с

1,0 с

0,01

0,05

о
4.8.	Пример синтеза: автономный самоходный
аппарат для исследования Марса

На рис. 4.24 изображен самоходный аппарат для исследования Марса с питанием от сол-
нечных батарей. Он может управляться с помощью команд с Земли, r(f). Входной сигнал
представляет собой линейную функцию r(f) = t,t> 0. Система управления может быть ра-
зомкнутой, как на рис. 4.25(a), или замкнутой, как на рис. 4.25(6). Аппарат должен функци-
онировать так, чтобы возмущения (например, камни на его пути) сказывались незначите-

льно, а чувствительность к изменению параметра А' была малой.
Разомкнутая система имеет передаточную функцию

R(s) s~ +45’4-5

а замкнутая система— соответственно

(4.64)

(4.65)

Рис. 4.24

Аппарат
с солнечными
батареями для
исследования
Марса совершил
посадку 4 июля
1997 г. и 5 июля
был отправлен
в путешествие
по поверхности
планеты. Аппарат
весит 10,5 кг и
управляется
оператором
с Земли

Тс (s') = Щ = --------------------.

Я(я) s' + 4s + 3 + К

а)

£>(з)

2?(з)

Y(s)

Положение

аппарата

Рис. 4.25. Система управления самоходным аппаратом:
(а) разомкнутая и (б) замкнутая
Тогда, при К - 2 мы имеем:

Т(5) = 7’о(5) = 71(5) = ^^—

s +45 + 5

Теперь мы можем сравнить чувствительность разомкнутой и замкнутой систем, имеющих
одну и ту же передаточную функцию.

Чувствительность разомкнутой системы равна



dK 7Ь

а чувствительность замкнутой системы — соответственно

тс	dTc К _ 52 + 45 + 3

к	dK Тс s2 + 45 + 3 + К

(4.66)

(4.67)

Чтобы определить чувствительность на низких частотах, положим 5 = усо и получим:

(3-со2) + у‘4со



(3 + К - со2 ) + j‘4co

(4.68)

При К = 2 на низких частотах (со < 0,1) мы имеем |5 2с | ® 0,6

График модуля чувствительности изображен на рис. 4.26. Отметим, что на низких ча-
стотах

0,8, со < 0,8.

Влияние возмущения можно оценить, положив Т?(5) - 0 и задав D(s) — 1/5. Тогда в ра-
зомкнутой системе установившееся значение у(0 будет равно

5—>0

(4.69)

Рис. 4.26

Модуль
чувствительности
замкнутой
системы
управления
самоходным
аппаратом

Частота (рад/с)
При тех же условиях в замкнутой системе получим:

j?(oo) = lim 5

-Y->0

1

s2 + 4s + 3 + К

____1

s~ 3 + К '

(4-70)

Если К = 2, тоу(сю) = 1/5. Поскольку мы хотели бы минимизировать влияние возмущения,
то желательно иметь как можно большее значение К. Увеличив значение К до 50, мы еще
более уменьшим влияние возмущения, а также модуль чувствительности (4.68). Однако
при К > 50 сильно ухудшится реакция системы на линейный входной сигнал r(t).

4.9.	Определение характеристик систем
управления с помощью MATLAB

В этом разделе мы с помощью MATLAB на двух примерах проиллюстрируем преимущест-
ва введения обратной связи в системы управления. В первом примере мы покажем, как за
счет обратной связи можно добиться компенсации возмущений в системе управления ско-
ростью двигателя. Эта система была рассмотрена в разделе 4.3. Во втором примере мы по-
кажем, как в системе управления бурильной машиной (см. разд. 4.7) обратная связь позво-
ляет уменьшить чувствительность к изменению параметров объекта, скорректировать вид
переходной характеристики и уменьшить установившуюся ошибку.

Пример 4.2. Система управления скоростью

Структурная схема разомкнутой системы управления скоростью вращения двигателя при на-
личии возмущающего момента T(£s) приведена на рис. 4.11. Параметры этой системы приведе-
ны в табл. 4.2. Система имеет 2 входа:	и T^s). В соответствии с принципом суперпози-

ции, применимом к линейным системам, мы можем рассматривать каждый вход отдельно от
другого. Чтобы исследовать влияние возмущений на систему, мы положим Кд($) = 0 и будем
рассматривать только вход И наоборот, чтобы исследовать реакцию системы на эталон-
ный входной сигнал, мы положим T(j(s) = 0 и будем рассматривать вход LX5)-

Таблица 4.2. Параметры системы управления скоростью
электродвигателя

Ra

1

кт

10

b

0,5

Кь

0,1

Ka

54

2

Структурная схема замкнутой системы с тахогенератором в цепи обратной связи изображена
на рис. 4.13. Параметры Ка и Kt также приведены в табл. 4.2.

Если система хорошо компенсирует возмущения, то мы можем ожидать, что T/s) слабо будет
влиять на скорость co(s). Рассмотрим сначала разомкнутую систему на рис. 4.11. Мы можем с
помощью MATLAB определить передаточную функцию от T(£s) к co(s) и вычислить реакцию
выходной переменной на единичное ступенчатое возмущение, т. е. T^s) - 1/s. Эта реакция
приведена на рис. 4.27(a). Вычисления произведены с помощью скрипта opentach.гл, приве-
денного на рис. 4.27(6).

Разомкнутая система имеет передаточную функцию

co(j) __	1

W~~2^+l,5

= sys_ о.

где sys 0 в срипте MATLAB соответствует передаточной функции разомкнутой системы. По-
скольку желаемое значение со(/) равно нулю [напомним, что J/r(s) = 0], то установившаяся
Рис. 4.27

Анализ
разомкнутой
системы
управления
скоростью.

(а) Реакция на
возмущение и
(б) скрипт MATLAB

Время (с)

opentach, m

% Система управления скоростью двигателя (пример)
%

Ra=1; Km=10; J=2; b=0.5; Kb=0.1;

num1=[1]; den1=[J,b]; sys1=tf(num1,den1);

num2=[Km*Kb/Ra]; den2=[1]; sys2=tf(num2,den2);

sys__o=feedback(sys1 ,sys2);

%

sys_o=-sys_o; <-----------

%

[yO,T]=step(sys_o);^------

plot(T,yO)

Ш!е(‘Реакция разомкнутой системы на ступенчатое возмущение’)

х1аЬе!(‘Время (с)’), ylabel(‘\omega_0’),grid
%
yO(length(T)) <

Изменение знака передаточной
функции, т. к. возмущение
имеет знак минус

Вычисление реакции
на ступенчатое возмущение

Установившаяся ошибка = последнее
значение выхода уО

ошибка просто будет совпадать с конечным значением со(/), которое мы обозначим через co0(z),
чтобы подчеркнуть, что речь идет о разомкнутой системе. Установившаяся ошибка, показан-
ная на графике на рис. 4.27(a), приблизительно равна значению скорости спустя время t = 7 с.
Это значение можно рассматривать как последнее значение вектора выхода у0, вычисленное в
процессе построения графика на рис. 4.27(a). Приблизительное значение со0(оо) равно:

соо (оо) ® соо (7) = - 0,66 рад/с.

График показывает, что система действительно достигает установившегося состояния.

Аналогичным образом мы начнем анализ замкнутой системы с определения передаточной
функции от T^s) к co(j) и вычисления реакции о>(/) на единичное ступенчатое возмущение. Эта
реакция и соответствующая программа closedtach.m приведены на рис. 4.28. Передаточная
функция замкнутой системы по отношению к возмущению равна

(o(s)	1

—------------------ SyS с

Td(s)	2s+541,5

Как и ранее, установившаяся ошибка равна конечному значению со(/), которое мы обозначим
через <ос.(/), чтобы подчеркнуть, что речь идет о замкнутой системе. Эта ошибка отмечена на
графике на рис. 4.28(a). Ее можно рассматривать как последнее значение вектора выхода ус.
Рис. 4.28	а)

Анализ замкнутой
системы
управления
скоростью.

(а) Реакция на
возмущение и
{б) скрипт MATLAB

closedtach.m

% Система управления скоростью двигателя (пример)
%

Ra=1; Km=10; J=2; b=0.5; Kb=0.1; Ka=54; Kt=1;
num1=[1]; den1=[J,b]; sys1=tf(num1,den1);
num2=[Ka*Kt]; den2=[1]; sys2=tf(num2,den2);
num3=[Kb]; den3=[1]; sys3=tf(num3,den3);
num4=[Km/Ra]; den4=[1]; sys4=tf(num4,den4);

[yc,T]=step(sys_c); ◄
plot(T,yc)

1И1е(‘Реакция замкнутой системы на ступенчатое возмущение')
х1аЬе!('Время (с)’), ylabel(‘\omega_c (pafl/c)’),grid

Вычисление реакции
на ступенчатое возмущение

%

yc(length(T)) Ч

Установившаяся ошибка = последнее

значение выхода ус

вычисленное в процессе построения графика на рис. 4.28(a). Установившееся значение со при-
близительно равно

соДоо) к (ос(0,02) = - 0.002 рад/с.

Сравнение установившегося значения скорости в замкнутой и разомкнутой системах при еди-
ничном ступенчатом возмущении дает результат:

= 0,003.

<оо(°о)

Отсюда видно, что введение отрицательной обратной связи позволило значительно умень-
шить влияние возмущения на выходную переменную. Это демонстрирует свойство замкнутых
систем компенсировать возмущения.
Пример 4.3. Бурильные машины для тоннеля под Ла-Маншем

Структурная схема системы управления бурильной машиной для проходки тоннеля под
Ла-Маншем представлена на рис. 4.21. При наличии двух входов выходной сигнал представля-

ется выражением

* + 1к

ПУ = -—г;---t:r^ +

s~ + \2s + К

1

s2 + 12s + К

D(s).

На рис. 4.29 представлены графики, иллюстрирующие влияние коэффициента К на переходную
характеристику, а также скрипт english 1 .m, с помощью которого они получены. Из сравнения
двух графиков видно, что при уменьшении К уменьшается и перерегулирование. Хотя из гра-
фиков на рис. 4.29 это и не так очевидно, но при уменьшении К увеличивается время установ-

ления. В этом можно убедиться, если проанализировать данные расчетов, на основании кото-

рых построены графики. Этот пример показывает, как можно изменить вид переходной характе-

Рис. 4.29	а)

Реакция системы
на ступенчатый
входной сигнал при
(а) К = 100 и
(6) при К = 20.
\а] Скрипт MATLAB

Переходная характеристика при К ЬЮ

т

т

т

05 -

i

1

I
Т

Перерегули- рование	1	1  1	i  4	1  i	i			
	। । " "  » *			

Время установления

---!----j----j----j-

1

х

1

X

1

О

О 0.2	04	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.8	1.8	2

Время )

Переходная характеристика при К 2U

1  1			1    -	1	Г"	Г	“1  1 		1		1
/ i  /	i  /	i			.»_ _~ ”  । । ।  i	} t  1 1  i		
_ / Перерегули- __ /	рование			 Время установления			
			1 J 8 l l  l i			i
1	1  J	1  j	I  4 j	l_^_J					

О 0.2	0.4	0.6	0.8	1	1,2	1.4	1.6	1.8

Время (с}

2

englishl.m

% Переходные характеристики при К=20 и К=100
%

numg=[1]; deng=[1 1 0]; sysg=tf(numg,deng);
К1=100; К2=20;

num1=[11 К1]; num2=[11 К2); den=[O 1];

sys1=tf(num1,den);

sys2=tf(num2,den);

%

Передаточные функции
замкнутой системы
’ V	II*.

sysa=series(sys1 ,sysg); sysb=series(sys2,sysg);

sysc=feedback(sysa,[1]); sysd=feedback(sysb,[1]);
%

Задание интервала времени

[y 1 ,t]=step(sysc.t); [y2,t]=step(sysd,t);

subplot(211),plot(t,y1), Ш1е(‘Переходная характеристика при K=100’)

х!аЬе1(‘Время (с)’), ylabel(‘y(t)’),grid
subplot(2l2), plot(t,y2), titlef Переходная
х!аЬе1('Время (с)’), ylabel(‘y(t)'),grid 4—

К=20’
ристики с помощью коэффициента К. На основании полученных результатов по-видимому
предпочтительнее выбрать значение К = 20. Однако нужно принять к рассмотрению и некото-
рые другие соображения, прежде чем окончательно завершить процедуру синтеза.

Учитывая сказанное выше, полезно рассмотреть реакцию системы на единичное ступенчатое
возмущение, как показано на рис. 4.30. Мы видим, что увеличение К приводит к уменьшению

установившегося значения y(f). Это значение равно 0,05 и 0,01 при К = 20 и 100. соответствен-
но. Показатели качества (установившаяся ошибка еуст, максимальное относительное перерегу-
лирование сгтах и время установления Ts при критерии 2%) сведены в табл. 4.3. Установившие-
ся значения y(f) можно также предсказать с помощью теоремы о конечном значении:

lim Х0 " lim s

Если целью синтеза является только компенсация возмущения, то предпочтительнее выбрать

К= 100,
Рис. 4.30
Реакция системы
на ступенчатое
возмущение при
(а) К = 100 и
(б) при = 20.
(а) Скрипт MATLAB

Время (еI

а)

english2.m

% Реакция на возмущение D(s)=1/s при К=20 и К=100
%

numg=[1]; deng=[1 1 0];

sysg=tf(numg,deng);

К1=100; К2=20;

num1=[11 К1]; num2=[11 K2J; den=[0 1];

sys1 =tf(num1 ,den); sys2=tf(num2(den);

%

sysa=feedback(sysg(sys1); sysa=minreal(sysa);

sysb=feedback(sysg,sys2); sysb=minreal(sysb);

%

Передаточные функции
замкнутой системы

t=[0:0.01:2.5];

[у 1 ,t]=step(sysa,t); (y2,t]=step(sysb,t);

subplot(211), plot(t,y1)( йИе('Реакция на возмущение при К=100’)
х!аЬе1(‘Время (с)’), ylabel(‘y(t)’),grid

subplot(212), plot(t,y2), Ш!е(‘Реакция на возмущение при К=20’)

х!аЬе1(‘Время (с)’), ylabel(‘y(t)‘).grid <
Таблица 4.3. Показатели качества системы упрааления бурильной
машиной при К = 20 и К = 100

Отах

TS

уст

£-20
4%

1,0 с

5%

К- 100
22%
0,7 с
1%

е

Мы уже встречались с распространенной ситуацией поиска компромисса при синтезе системы
управления. В данном примере увеличение К приводит к лучшей компенсации возмущения; с
другой стороны, при уменьшении К улучшается качество системы (меньше перерегулирова-
ние). Окончательное решение по поводу выбора К остается за проектировщиком.

Хотя MATLAB может оказать существенную помошь при синтезе системы управления, он ни
в коем случае не может заменить интуицию инженера и его способность принимать решения.

В завершение анализа необходимо оценить чувствительность системы к изменению парамет-
ров объекта. Эта чувствительность определяется выражением (4.62):

sT s(js +

П s(s+\2)+K

Мы можем вычислить значения S^(s') для различных значений s и изобразить чувствитель-

ность в виде графика. На низких частотах приближенно можно считать

„71 S

Увеличение коэффициента К приводит к уменьшению чувствительности системы. Графиче-

ское изображение зависимости чувствительности от 5 =jco при К — 20 приведено на рис. 4.31.

Рис. 4.31

{а) Чувствительность
системы

к изменению
параметров объекта

(S = /со).

(£) Скрипт MATLAB

Чу'ьстпигелыюегь системы к изменению параметрон объекта

л	о	1	а	э

10	10	10	10	Ю

english3.m

% Г рафик чувствительности системы
%

Ш1е(‘Чувствительность системы к изменению параметров объекта’)
xlabel(‘Real(S)’), ylabBl(‘lmag(s)’),grid
subplot(212), loglog(w,abs(S),w,abs(S2),‘—’)
xlabel(‘w [рад/c]’), ylabel(fAbs(S)’),grid
4.10.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ Синтез системы чтения информации с диска является примером оптимизации и
принятия компромиссных решений. Система должна точно позиционировать счи-
тывающую головку и в то же время обладать способностью уменьшать влияние из-
менения параметров и внешних ударов и вибраций. Механический рычаги пластина могут
резонировать на частотах, с которыми появляются внешние возмущения, например тряска
портативного компьютера. К числу возмущений относятся также физические удары, износ
или биения в подшипниках привода, изменение параметров элементов системы. В этом
разделе мы исследуем реакцию системы на возмущения и ее поведение при изменении па-
раметров. Кроме того, получим оценку установившейся ошибки при ступенчатом измене-
нии задания и пронаблюдаем, как повлияет на переходную характеристику изменение ко-
эффициента усиления усилителя Ка. Таким образом мы выполним шаги 6 и 7 процедуры
синтеза, представленной на рис. 1.19.

Рис. 4.32. Система управления положением считывающей головки дисковода

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 4.32. В этой системе в качестве регуля-
тора используется усилитель с настраиваемым коэффициентом усиления. С учетом пара-
метров, приведенных в табл. 2.11, мы получим структурную схему, изображенную на
рис. 4.33. Сначала определим установившуюся ошибку при единичном ступенчатом
входном воздействии, Л(^) = l/s, полагая D(s) = 0. Поскольку H(s) - 1, то

----------------ад.

1+ЗД (.v)G2(s)

Следовательно,

lim e(t )~ lims

t—>GQ	.Y —>0

1

1 + K.G, №(5)

(4.71)

Отсюда следует, что e(oo) = 0 несмотря на любые изменения параметров системы.

Возмущение

У(з)
Теперь получим переходную характеристику системы при разных значениях коэф-
фициента Ка. Передаточная функция замкнутой системы с учетом условия D(s) ~ 0 имеет

вид:

' R(s) l + K.C^syG^s)

___________5000Ха___________

? + 1020s2 + 20000s + 5000Ka

(4.72)

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 4.34(a), мы получим переходные ха-
рактеристики системы при значениях Ки = 10 и Ка = 80. Эти характеристики изображены
на рис. 4.34(6). Очевидно, что система быстрее отрабатывает задающее воздействие в слу-
чае Ка = 80, но реакция имеет колебательный характер, что, по-видимому, неприемлемо.

Рис. 4.34
Переходные
характеристики
замкнутой системы,
(а) Скрипт MATLAB.
(6) Переходные
характеристики при

10 и Ка = 80

Ка=10; «------------------------------

nf=[5000]; df=[1 1000]; sysf=tf(nf,df);
ng=[1];dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);

sy sa=series(Ka*sysf, sy sg);

sys=feedback(sysa,[1]);

t=[0:0.01:2j;

step(sys.t);

ylabel(‘y(t)’),xlabel(‘BpeM4 (c)‘),grid

Выбор K.a

o)

Время (c)
Теперь определим влияние возмущения D(s) - 1/s, полагая A(s) - 0. Желательно, что-

бы это влияние было незначительным. На основании рис. 4.33 имеем:

У(5) =

С?)

l + XaGI (s)G2 (5)

(4.73)

Z)(5).

С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 4.35(a), при Ка = 80 и D(s) = 1А
мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 4.35(6). Чтобы еще сильнее умень-
шить влияние возмущения, нам потребовалось бы взять коэффициент Ка больше, чем 80.
Однако при этом реакция системы на сигнал r(f) = 1, t > 0 была бы сильно колебательной.
В следующей главе мы попытаемся определить оптимальное значение Ка, предъявив
определенные требования к быстродействию системы и величине перерегулирования.

Рис. 4.35

Реакция
на ступенчатое
возмущение.

(а)	Скрипт MATLAB.

(6)	Реакция
на возмущение
при Ка = 80

Ка=80; ◄----------------------------

nf=[5000]; df=[1 1000]; sysf=tf(nf,df);

ng=[1];dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);
sys=feedback(sysg,Ka*sysf);

Выбор

Возмущение подается
на сумматор со знаком минус

sys=-sys;*<-
t=[0:0.01:2];
step(sys.t);
ylabel(‘y(t)’),xlabelf Время (c)‘),grid

0

4.11.	Резюме

Основные мотивы использования обратной связи, несмотря на сопутствующие этому
издержки и увеличение сложности системы, сводятся к следующему:

1.	Уменьшение чувствительности системы к изменению параметров объекта управле-
ния.

2.	Возможность воздействовать на вид переходной характеристики.

3.	Ослабление влияния внешних возмущений и шумов, возникающих внутри систе-

мы.

4.	Уменьшение установившейся ошибки системы.
Преимущества введения обратной связи можно проиллюстрировать на примере сис-
темы, изображенной на рис. 4.36(a). При этом коэффициенту усиления К можно прида-
вать разные значения. В табл. 4.4 приведены результаты исследования разомкнутой сис-
темы при К = 1 и замкнутой системы при трех различных значениях К. Из таблицы видно,
что увеличение коэффициента усиления в замкнутой системе приводит к уменьшению
времени нарастания переходной характеристики, чувствительности системы к измене-
нию параметров и установившейся ошибки. На рис. 4.36(6) изображена реакция системы
на единичное ступенчатое возмущение [при R(s) = 0], причем отчетливо видно, что увели-
чение коэффициента усиления также ослабляет влияние возмущения.

Рис. 4.36

(а) Одноконтурная
система
управления.

(6) Изменение
ошибки

при единичном
ступенчатом
возмущении
в случае R(s} = О

а)

ад

ад

K(s)

Таблица 4.4. Характеристики системы, изображенной на рис. 4.36(a)

Разомкнутая
система"

Замкнутая система

_________________________________________________К = 1

Время нарастания (от 10% до 90%	$

установившегося значения), с

Максимальное перерегулирование, %	0

Конечное значение Х0 ПРИ возмущении D(s)-\ls	1,0

Относительное значение установившейся ошибки
при единичном ступенчатом входном воздействии
Относительное изменение установившейся ошибки
при уменьшении К на 10%

К= 1	/C=8	К = 10
1.52	0,45	0.38
4,31	33	40
0,50	0,11	0,09
50%	11%	9%
5,3%	1,2%	0,9%

Разомкнутую систему имеет смысл рассматривать только при К=1.

Системы управления с обратной связью обладают многими полезными свойствами,
и неудивительно, что большое число таких систем можно встретить в промышленности,
природе и общественной жизни.
Упражнения

У-4.1. В устройствах электропитания от солнечных батарей используются системы с обратной свя-
зью, которые следят за положением Солнца с целью получения максимума отдачи мощности
от батарей. Такая следящая система может быть представлена в виде рис. 4.3, где H(s)= 1 и

> ЮО

G(s) =------ ?

причем номинальное значение т = 3 с. (а) Определите чувствительность системы к малым
менениям т. (б) Определите постоянную времени замкнутой системы.

Ответы'. 5 = —3s/(3s + 101); тс = 3/101 с.

из-

Рис. 4.2 (У)

Цифровая
аудиосистема

Шум
Ms)



У-4.2. Цифровая аудиосистема проектируется так, чтобы минимизировать влияние возмущений и
шума, как показано на рис. 4.2(У). В качестве аппроксимации можно принять G(s) = Л\.
(а) Вычислите чувствительность системы к изменению К2. (б) Оцените влияние возмущения
на Го. (в) Какое значение вы бы выбрали, чтобы минимизировать влияние возмущения?

У-4.3. На рис. 4.3(У), (а) показано, как можно ис-
пользовать для сбора фруктов руку робота и
телекамеру. Телекамера играет роль канала
обратной связи, по которому сигнал поступа-
ет в микрокомпьютер, управляющий рукой.
Объект имеет передаточную функцию

O(s) =

2 ‘

(а)	Определите установившуюся ошибку за-
хвата при ступенчатом изменении задания
величиной А как функцию параметра К.

(б)	Укажите, что для данной системы может
играть роль возмущающего воздействия.

Л

Ответ', (а) е -------.

Захват

Телекамера

Рис. 4.3 (У). Робот — сборщик фруктов

Положение

захвата

У-4.4. В дисководе компьютера позиционирова-
ние головки записи/считывания над дорож-

ками вращающегося магнитного диска осуществляется с помощью электродвигателя, как по-
казано на рис. 4.4(У), Двигатель и головка могут быть представлены передаточной функцией

G(j?) =

10

где т = 0,001 с. Контроллер определяет разность между желаемым и действительным положе-
нием головки и вырабатывает сигнал ошибки, который затем усиливается усилителем с коэф-
фициентом К. (а) Чему равна установившаяся ошибка при ступенчатом изменении желаемого
положения? (б) Определите требуемое значение К, при котором установившаяся ошибка со-
ставит 0,1 мм, если входной сигнал изменяется линейно со скоростью 10 см/с.

Ответ: eVCT = 0; К= 100.

yvi
I Рис. 4.4 (У)

Система позиционирования

I головки записи/считывания
(! дисковода.

1	— Магнитный диск,

2	— Желаемое положение,

3	— Контроллер,

4	— Сигнал датчика,

5	— Головка записи/считывания

6	— Вход двигателя,

7	— Двигатель

2

У-4.5. Большинству людей знакома ситуация нечеткой фокусировки диапроектора. Проектор с ав-
томатической фокусировкой настраивается к изменению положения слайда и температурным

возмущениям. Изобразите структурную схему системы автофокусировки и опишите принцип

действия этой системы. Примером установившейся ошибки может служить визуальное на-

блюдение несфокусированного изображения слайда.

У-4.6. В странах, где зимой дороги ско-
льзкие из-за снега и льда, большой
популярностью пользуются полно-
приводные автомобили. В таких
автомобилях в приводе на каждое

ад

Рис. 4.6
вращения

5(s+2)
s(s-l-10)

Z(s)
Скорость
вращения
колеса

из четырех колес используется дат-
чик, позволяющий поддерживать
постоянную силу сцепления.
Структурная схема подобной сис-
темы изображена на рис. 4.6(У).

(У). Система управления скоростью
колеса полноприводного автомобиля

Определите переходную характеристику этой системы, если она должна поддерживать посто-
янную скорость вращения колеса. С помощью компьютерной программы получите реакцию
системы, если 7?(s) = Ais.

У-4.7. Аппараты для подводного плавания с корпусом из прозрачного пластика могут произвести
настоящую революцию в сфере досуга и развлечений. Один из таких небольших аппаратов
имеет систему регулирования глубины, изображенную на рис. 4.7(У).

(а)	Определите передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)IR(s).

(б)	Определите чувствительности системы 5^ и STK.

(в)	Определите установившуюся ошибку, вызванную возмущением D(s) = 1/s.

Возмущение
D(s)

8—1503
Рис. 4.8 (У)
Замкнутая
система
управления

(г)	Вычислите реакцию ХО на воздействие R(s) = l/s, если К = Кг = 1 и 1 < К} < 10. Выберите
значение К{, соответствующее максимальному быстродействию системы.

У-4.8. Рассмотрите замкнутую систему управления, изображенную на рис. 4.8(У). (а) Определите
установившуюся ошибку при ступенчатом входном воздействии как функцию коэффициента
усиления К, (б) Определите максимальное перерегулирование на переходной характеристике
при 40 < К < 400. (в) Постройте графики зависимости перерегулирования и установившейся
ошибки от параметра К.

Задачи

3-4.1. Передаточная функция проточного бака, полученная в задаче 2.12, может быть записана в

виде

где т = RC. Здесь 7?—константа, эквивалентная гидравлическому сопротивлению выходного от-
верстия, так что 1/7? - (1/2)A7/q v2, а С — площадь поперечного сечения бака. Так как И ~ RSQ2^
то передаточная функция, связывающая изменение уровня жидкости с приращением входного
потока, имеет вид:

AH(s) 7?

A0j(s) ” RCs + 1'

Для образования замкнутой системы ре-
гулирования уровня можно использо-
вать поплавковый датчик и вентиль, как
показано на рис. 4.1(3). Пренебрегая
массой поплавка, можно считать, что
вентиль уменьшает величину входного
потока пропорционально увеличению
уровня, т. е. Agt - К АН. Изобразите сиг-
нальный граф или структурную схему
замкнутой системы. Определите и срав-
ните следующие показатели разомкну-
той и замкнутой систем; (а) чу ветвите ль-

Рис- 4.1 (3). Регулирование уровня
в проточном баке

ность к изменению эквивалентного па-

раметра 7? и коэффициента обратной связи Кл (б) способность к уменьшению влияния возму-
щений по уровню A/7(s); (в) установившуюся ошибку по уровню при ступенчатом изменении
входного потока Agjfs).

3-4.2. На морских судах очень важно создать пассажирам комфортные условия за счет ослабления
качки, обусловленной волнами. Большинство систем стабилизации используют для этого специ-
Влияние волн

а)

0)

Рис. 4.2 (3). Система стабилизации судна. Влияние волн характеризуется
моментом Td (s), приложенным к судну

альные плавники или подводные крылья, посредством которых судну сообщается стабилизиру-
ющий момент. Принцип действия такой системы стабилизации поясняется рис. 4.2(3). Бортовую
качку судна можно рассматривать как колебания маятника с отклонением от вертикали в 0 гра-
дусов и периодом 3 с. Качке судна в этом случае соответствует передаточная функция

где со„ = 3 рад/с и С - 0,20. При таком малом значении коэффициента затухания колебания
продолжаются в течение нескольких периодов, а их амплитуда может достигать 18° при обыч-
ных морских волнах. Определите и сравните следующие показатели для разомкнутой и зам-
кнутой систем: (а) чувствительность к изменению коэффициентов исполнительного устройст-
ва Ка и датчика качки (б) способность уменьшать влияние ступенчатых возмущений со
стороны волн. Учтите, что желаемое значение угла 9 равно нулю.

3-4.3. В промышленности и химической технологии одной из наиболее важных переменных, подле-
жащих управлению, является температура. Простой пример системы регулирования темпера-
туры приведен на рис. 4.3(3). Температура Т внутри объекта создается нагревателем с сопро-
тивлением 7?. В линейном приближении теплоотдача от объекта в окружающую среду пропор-
циональна разности температур	Последнее справедливо в случае, когда разность тем-

ператур относительно невелика и когда накоплением энергии нагревателем и стенками
объекта можно пренебречь. Предполагается также, что напряжение, подводимое к нагревате-
лю, пропорционально желаемому значению е(Ь т. е. eb~ kEb = kjLhe(t), где Ка — коэффици-
ент передачи исполнительного устройства. Тогда для линеаризованной системы без обратной
связи можно записать уравнение:

TS + 1	ТУ + 1

где

т = МС/рА, М — масса внутри объекта, А — площадь поверхности объекта.

р — коэффициент теплопередачи, С — удельная теплоемкость,
к} — размерный коэффициент, егп — выходное напряжение термопары.

Определите и сравните следующие показатели разомкнутой и замкнутой систем: (а) чувстви-
тельность к изменению коэффициента К =	(б) способность уменьшать влияние ступен-

чатого изменения температуры окружающей среды ЛТ^О): (в) установившуюся ошибку регу-
лятора температуры при ступенчатом изменении входного сигнала

3-4.4. Система управления имеет два прямых пути передачи сигнала, как показано на рис. 4.4(3).

(а) Определите передаточную функцию T(s) ~ Y(s)/R(s), (б) Используя выражение (4.16). опре-
делите чувствительность (в) Зависит ли чувствительность от U(s) или от A/(s)?

Рис. 4.4

Система
с двумя
прямыми
путями

(3)

Вход

У(8)

Выход

3-4.5. В радиоастрономии и системах слежения за спутниками используются большие антенны, ра-
ботающие в микроволновом диапазоне. На такую антенну, имеющую диаметр 18 м, действует
возмущающий момент, создаваемый сильными порывами ветра. Предположим, что ошибка в
положении антенны не должна превышать 0,1° при скорости ветра 60 км/ч. Экспериментально
установлено, что ветер такой силы создает возмущающий момент 27600 кгм. что эквивалентно
напряжению на входе электромаш инн ого усилителя, равному 10 В. Следящая система управ-
ления антенной изображена на рис. 4.5(3). где возмущение представлено сигналом Пере-
даточная функция антенны, приводного двигателя и электромашинного усилителя имеет вид:

G(s)=—-------------г,

^(^ + 2^0),^ 4- coj

где - 15 и Q ~ 0,707. Усилитель мощности имеет передаточную функцию C|(s) =

где т = 0.15 с. (а) Определите чувствительность системы к изменению параметра Ка. (б) На си-
стему действует возмущение T/s) ~ Ю/s. Полагая /?(у) = 0, определите требуемое значение ко-
эффициента Ка, при котором установившаяся ошибка не будет превышать 0,1°. (в) При том же
возмущении Tc£s) = 10/s и /?(.?) = 0 определите ошибку системы, если она является разомкну-
той (Ks. == 0).
Момент нагрузки
AD(s)

F(s)

Скорость

Рис, 4-6 (3), Система управления скоростью автомобиля

3-4.6. Легковые автомобили, движущиеся по автоматизированным автострадам будущего, должны
будут оснащаться системами автоматического управления скоростью. Модель такой системы
с обратной связью изображена на рис. 4.6(3), где также показано возмущение Д£)($) в виде мо-
мента нагрузки из-за подъема дороги. В различных моделях автомобилей коэффициент пере-
дачи двигателя Ке варьируется в диапазоне от 10 до 1000. Постоянная времени двигателя
те = 20 с. (а) Определите чувствительность системы к изменению параметра Ке. (б) Определи-
те влияние момента нагрузки на скорость, (в) Определите величину постоянного угла подъема
AD(s) - Ad/s, при котором автомобиль остановится, т. е. скорость JAs) станет равна нулю, и вы-
разите эту величину в зависимости от коэффициентов передачи элементов системы. Учтите,
что поскольку угол подъема — постоянный, то достаточно исследовать установившийся про-
цесс. Предположите, что A(s) = 30/5 км/ч и что 7QX| 1. Если Л.уЛ.'| = 2, то при каком угле
подъема Ad автомобиль остановится?

3-4.7. В роботах обратная связь используется для управления углом поворота в каждом сочленении.
Изменение нагрузки, обусловленное переносимыми объектами, в конечном счете приводит к
изменению положения руки робота. Таким образом, рука робота будет отклоняться от желае-
мой траектории за счет нагрузки, переносимой захватом. Система управления может быть
представлена в виде рис. 4.7(3), где момент нагрузки 7)(s) = Dis. Предположим, что в исход-
ном состоянии A(s) - 0. (а) Определите влияние TL(s) на У($). (б) Определите чувствительность
замкнутой системы к изменению параметра к2. (в) Чему будет равна установившаяся ошибка,
если A(s) = 1/s и TL(s) = 0?

3-4.8. Большие перепады температур часто приводят к отказу электронных схем. Для уменьшения
влияния низкой температуры окружающей среды используется система с обратной связью,
включающая в себя нагревательный элемент. Структурная схема такой системы изображена
на рис. 4.8(3). Влияние понижения температуры окружающей среды отражено ступенчатым

Возмущение
(нагрузка)
Рис. 4.8 (3)
Система
регулирования
температуры

возмущением D(s). Действительному значению температуры электронной схемы соотве тств\ -
ет У($). Динамика изменения температуры схемы характеризуется передаточной функцией

<№) =

100
sz + 205 + 100 ’

(а) Определите чувствительность системы к изменению параметра К. (б) Оцените влияние воз-
мущения D(s) на выходную переменную У($).

3-4.9. В качестве чувствительных элементов часто применяются датчики, в состав которых входит
излучатель света (светодиод). Световой поток излучателя, который зависит от протекающего
через него тока, изменяет сопротивление фоторезистора. Светодиод и фоторезистор находятся
в одном корпусе с четырьмя выводами. Такой прибор обладает большим коэффициентом уси-
ления и обеспечивает полную электрическую развязку. На рис. 4.9(3). (а) изображена схема с
обратной связью, использующая этот прибор, а на рис. 4.9(3), (б) приведена нелинейная зави-
симость сопротивления оттока для прибора Рейтон СК 1116. Эта зависимость может быть опи-

сана выражением

ОД 75

(/ - 0,005)''2 ’

где i — ток, протекающий через излучатель. Рабочей точке соответствуют значения е0 = 35 В и
е, = 2,0 В. (а) Определите передаточную функцию замкнутой системы, (б) Определите чувст-
вительность системы к изменению параметра К.

3-4.10. В бумажном производстве очень важно поддерживать постоянное натяжение полосы бумаги
между двумя рулонами, с одного из которых бумага сматывается, а на другой наматывается. Это
натяжение меняется в зависимости от толщины рулонов, поэтому необходимо управлять скоро-
стью вращения двигателя на приемной стороне, как показано на рис. 4.10(3). Если скорость дви-
гателя не регулировать, то по мере перемотки бумаги скорость v0 падает, что приводит к умень-
шению натяжения. Для измерения натяжения бумаги используется комбинация из трех роликов
и пружины. Упругая сила равна а линейный дифференциальный трансформатор, выпрями-

Н2 = 5 кОм
Излучатель
света

Источник
постоянного
тока

Ток через излучатель (мА)
Рис. 4.10 (3). Система управления натяжением бумаги

1 — Разматываемый рулон, 2 — Двигатель, 3 — Линейный дифференциальный
трансформатор, 4 — Выпрямитель, 5 — Усилитель, 6 — Наматываемый рулон

тель и усилитель можно описать уравнением е0 = —ку. Таким образом, степень натяжения опи-
сывается соотношением 2Т(з) = ку, где у — отклонение от равновесного состояния, а Т(з)~ вер-
тикальная составляющая отклонения натяжения от эталонного значения. Двигатель имеет по-
стоянную времени т = LJRa, а линейная скорость приемного рулона в два раза больше угловой
скорости двигателя, т. е. v0(7) = 2to0(r). Тогда двигатель можно описать уравнением

£o(i) = TT-[™too('s)+ “о(я)]+ k^T(s),
K-m

где АГ — возмущение по натяжению бумаги, (а) Изобразите структурную схему замкнутой си-
стемы с учетом возмущения АД». (б) В полученной структурной схеме учтите дополнительно
возмущение со стороны скорости разматываемого рулона AT।(s). (в) Определите чувствитель-
ность системы к изменению постоянной электродвигателя Кт. (г) Определите установившую-
ся ошибку по натяжению, вызванную ступенчатым изменением скорости A^/s) =Л/$.

3-4.11. При производстве бумаги очень важно поддерживать постоянную плотность исходной мас-
сы перед тем, как она поступает на сушку и протяжку. На рис. 4.11(3), (а) приведена схема
управления плотностью бумажной массы. Плотность определяется количеством добавляемой
в смеситель воды. Структурная схема данной системы изображена на рис. 4.11(3), (о). Предпо-
ложим, что Н(з) - 1 и

Производство
бумаги

б)

Я(5)

ад

ад

- H(s] —J

M(s)

Рис. 4.11 (3). Система управления производством бумаги
Определите (а) передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s\ (б) чувствитель-
ность SJK и (в) установившуюся ошибку при ступенчатом изменении заданного значения плот-
ности /?($) = A/s. (г) Вычислите значение К, при которОхМ установившаяся ошибка будет состав-
лять 1% от заданного значения плотности.

3-4.12. На рис. 4.12(3) изображены
структурные схемы двух систем с
обратной связью, (а) Определите
передаточные функции 7\($) и
T^s) для этих систем в замкнутом
состоянии, (б) Покажите, что при
= К2 = 100 Т\ = Т2 = 100. (в)
Сравните чувствительности двух
систем по отношению к парамет-
ру Aq при номинальных значени-
ях = К2 = 100.

3-4.13. Передаточная функция некото-
рой замкнутой системы представ-

У(5)

Рис, 4,12 (3), Две системы с обратной связью

лена в виде

Г(5) =

G,(s) + kG2(s)

G3(s)+ kG^(s)

(а)	Используя выражение (4.16), покажите, что

7' _	^ (^2^3 ~ GjG4)

* " (G3 +	+ kG2)

(б)	С помощью того же выражения определите чувствительность системы, граф которой изоб-
ражен на рис. 4.13(3).

Рис. 4.13 (3)

Система с обратной связью

Рис. 4.14 (3)

Система управления скоростью
сверхзвукового самолета

У(з)

Скорость
полета

3-4.14. Проектируемый сверхзвуковой самолет должен лететь со скоростью 6000 км /ч на высоте 30
км и пересекать. Тихий океан за 2 часа. Система управления скоростью такого самолета может
быть представлена в виде модели, изображенной на рис. 4.14(3). Определите чувствительность
передаточной функции замкнутой системы T(s) к малым изменениям параметра а.

3-4.15. На рис. 4.15(3) изображена структурная схема системы управления курсом движения совре-
менного морского судна. При К = 5 и К = 25 определите в установившемся режиме эффект, со-
здаваемый ветром постоянной силы, т. е. возмущением D(s) = 1 /s. (а) Решите задачу в предпо-
ложении, что положение руля /?($) = 0, т. е. оно не изменяется, (б) После этого покажите, что за
счет изменения положения руля отклонение судна от заданного курса можно свести к нулю.

3-4.16. На рис. 4.16(3) изображена модель системы, состоящей из двух баков, где Го есть температу-
ра жидкости, втекающей в первый бак, а Т2 — температура жидкости, вытекающей из второго
бака. Последний снабжен нагревателем, тепловой мощностью которого. О* можно управлять.
Значения постоянных времени Tj = 10 с и т2 = 50 с. (а) Получите выражение для r2(s) в зависи-
Возмущение,
создаваемое ветром

Рис. 4.16 (3)

Регулирование
температуры
в системе из двух
баков

Рис- 4-15 (3)- Система управления курсом движения судна

мости от T0(s) и T2/s). (б) В случае, когда заданное значение температуры Т2/з) меняется скач-
ком от T2(^s) ~ A/s до T2i/(s) = 2A/s. причем Го($) = A/s. определите переходную характеристику
T2(t) при Gc(s) = К - 500. (в) Для условий из п. (б) определите установившуюся ошибку еЛ.д.,
считая, что E(s) = T2/s) -T2(s).

3-4.17. Захват робота, изображенный на рис. 4.17(3), (а), должен управляться таким образом, чтобы
он замыкался на заданный угол 9. Это осуществляется с помощью системы, включающей дви-
гатель постоянного тока, которая схематически изображена на рис. 4.17(3), (б). Модель данной
системы управления представлена на рис. 4.17(3), (в), где Кт = 30, R^= 1 Ом, Kj = К1 ~ 1, J- 0,1
и 6=1. (а) Определите реакцию системы, 0(/), на ступенчатое изменение при Х=20.
(б) Полагая 0^/) = 0, оцените эффект, создаваемый возмущением по нагрузке T^s) = A/s.
(в) Определите установившуюся ошибку ess при входном сигнале r(t) = Л t> 0. (Предположи-
те, что 0.)


Рис. 4.17 (3). (продолжение)

Задачи повышенной сложности

П-4.1. На рис. 4.1 (П), (а) изображена система регулирования уровня жидкости в баке. Задача состо-
ит в поддержании постоянного уровня h вне зависимости от возмущения q3. На том же рисунке
ниже приведена структурная схема системы для малых отклонений переменных от состояния
равновесия, так что заданное значение h(fj) = 0. Получите выражение для ошибки в виде £(5) и
найдите ее установившееся значение в случае единичного ступенчатого возмущения, если (а)
G(s) - К и (б) 6(5) ~ K/s.

П-4.2. Для управления движением плеча руки робота используется двигатель постоянного тока,
управляемый по цепи якоря, причем вал двигателя соединен с редуктором. На рис. 4.2(П)
изображена структурная схема системы управления, на которой указано возмущение в виде
момента нагрузки D(s). Определите установившуюся ошибку, если заданное значение угла по-
ворота Q(£s)=A/s, Gc(s) = K и возмущение отсутствует. Определите также установившуюся
ошибку, если 0/s) = 0, а возмущение D(s) = M/s, в случаях (а) Gc(5) = К и (б) Gc(s) = K/s.

П-4.3. Рабочий орган станка должен перемешаться по траектории, задаваемой уравнением

r(0 = (2-/+0,5r)w(0.

где u(t) — единичная ступенчатая функция. На рис. 4.3(П) изображена структурная схема сис-
темы управления перемещением рабочего органа.

(а)	Определите установившуюся ошибку при заданном сигнале r(t) в случае, когда D(s) ~ 0.

(б)	На основании п. (а) изобразите график e(t) для 0 < t < 10 с.

Л(0

а)

Регулятор

Отверстие

о



Коэффициент = R

б)

Hd(s) = 0—
Желаемое
отклонение
уровня

Регулятор

Ошибка

Е(з)

0(8)

RCs + 1

Я(8)

Отклонение
уровня

Рис. 4.1 (П). Регулятор уровня жидкости в баке
Возмущение

Рис, 4.2 (П). Система управления звеном руки робота

Регулятор

Влияние

нагрузки

D(s)

Двигатель
и рабочий
орган

J?(s)

Управляющий
сигнал

Y(s)

Положение
рабочего
органа

Рис. 4.3 (П). Система управления положением рабочего органа

(в)	В случае г(/) = 0 определите установившуюся ошибку при D(s) = 1/s.

(г)	На основании п. (в) изобразите график е(г) для 0 < t< 10 с.

П-4.4. На рис 4.4(П) приведена структурная схема двигателя постоянного тока с управлением по
цепи якоря и тахометрической обратной связью. Параметры системы: Ktn ~ 10, J = 1 и Ra = 1.
(а) Определите значение К, при котором установившаяся ошибка при отработке линейного
входного воздействия v(z) = t. t>0 не будет превышать значения 0,1 (в предположении, что
D(s) = 0).

(б)	При коэффициенте К. найденном в п. (а), получите выражение и изобразите график для
ошибки e(t) при действии линейного возмущения d(t) = t. 0 < t < 5 с.

П-4.5. В настоящее время создана и прошла испытания система, регулирующая среднее артериаль-
ное давление во время анестезии. Было показано, что уровень артериального давления являет-
ся показателем глубины анестезии во время хирургической операции. На рис. 4.5(П) изобра-
жена структурная схема такой системы, где хирургическое вмешательство учтено в виде воз-
мущения D(s).

(а)	Полагая R(s) = 0. Определите установившуюся ошибку, вызванную возмущением D(s)= 1 /s.

Рис. 4.4 (П). Двигатель постоянного тока с тахометрической обратной связью
Хирургическое
вмешательство

Рис- 4-5 (П)- Система регулирования кровяного давления

(б)	Полагая D(s) - О, определите установившуюся ошибку в случае линейного входного воз-
действия r(f) — Л t > 0.

Рис. 4.6 (П). Цепь
с опережением по фазе

(в)	Выберите некоторое значение К < 10 и изобразите реакцию системыy(t) на единичное сту-
пенчатое возмущение (считая r(t) = 0).

П-4.6. На рис. 4.6(П) изображена электрическая цепь с опере-
жением по фазе, с которой мы встретимся в гл. 10.
(а) Определите передаточную функцию G(s) = r0(s)W).
(б) Определите чувствительность G(s) по отношению к
параметру С.

(в) Найдите и изобразите графически реакцию v0(Z) на
ступенчатое входное воздействие И($) ~ 1/s.

П-4.7. На рис. 4.7(П) изображена структурная схема системы с
обратной связью с учетом возмущения D(s) и шума дат-
чика N(s). Необходимо уменьшить влияние шума и воз-
мущения. Полагая A(s) - 0. определите:
(а) Влияние возмущения на выход системы У($);
(б) Влияние шума датчика на У($).

(в)	Выберите наилучшее значение К из диапазона 1 < К < 100. при котором влияние шума и
возмущения на установившуюся ошибку будет минимальным. В данном случае примите
D(s) = A/s и jV(s) = Bls.

П-4.8. На рис. 4.8(П) изображена структурная схема системы управления рабочим органом станка.

(а)	Определите передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s).

(б)	Определите чувствительность S^.

(в)	Выберите К из диапазона 1 < К < 50, при котором влияние возмущения на У($) и чувствите-
льность S[ будут минимальны.

Рис. 4.7 (П)

Система
при наличии шума
Рис. 4.8 (П)

Система
управления
рабочим органом
станка

Задачи на синтез систем

СС-4.1. В задаче СС-2.1 был описан привод скользящей части стола металлообрабатывающего
станка. Положение скользящей части, л, измеряется с помощью емкостного датчика, как по-
L•,Л казано на рис. 4.1 (СС), который обладает высокой точностью и линейной характеристикой.
Изобразите модель системы с обратной связью и определите ее реакцию на ступенчатое
входное воздействие в случае, когда H(s)= 1, а регулятор является обычным усилителем.
(jc(s) = К1Г Решение получите для нескольких значений коэффициента Ла.

Рис. 4.1 (СС). Структурная схема системы с емкостным датчиком
в цепи обратной связи. В системе дополнительно может быть использована
тахометрическая обратная связь по скорости вращения электродвигателя
(контакты реле являются нормально разомкнутыми)

С-4.1. Замкнутая система управления скоростью подвержена влиянию возмущения по нагрузке, как
показано на рис. 4.1(C). Заданное значение скорости <ог/(7) ~ ЮО рад/с, а возмущение представ-
лено единичной ступенькой, D(s)- \/s. При отсутствии нагрузки установившееся значение
скорости равно 100 рад/с. (а) Определите влияние нагрузки в установившемся режиме и
(б) изобразите графически реакцию со(/) на ступенчатое возмущение при нескольких значени-
ях коэффициента К из диапазона 10 < К < 25. Установите наиболее подходящее значение ко-
эффициента К.

Рис. 4.1 (С)

Система
управления
скоростью

Возмущение
(нагрузка)
С-4.2. Управление углом крена самолета осуществляется с помощью момента, создаваемого элеро-
нами. На рис. 4.2(C) изображена линейная модель системы управления утлом крена небольшо-
го тренировочного самолета; на схеме системы q(t) есть поток жидкости, втекающей в гидро-
цилиндр. и

s2 +	+ 9

Цель управления состоит в поддержании небольшого угла крена 0, возникающего за счет дей-
ствия возмущений. Полагая 0/Z) = 0, выберите значение КК^ позволяющее снизить влияние
возмущения и одновременно получить приемлемый вид переходного процесса, если возмуще-
ние имеет ступенчатый характер. Для получения желаемого вида переходного процесса задай-
тесь ограничением КК} < 35.

Рис. 4.2 (С)

Система управления
углом крена
самолета





С-4.3. В систему управления скоростью на рис. 4.1(C) внесены изменения, так что теперь
G(j)= l/(s+5), а в цепи обратной связи находится тахогенератор с коэффициентом передачи
К{. Данная система изображена на рис. 4.3(C). (а) Определите диапазон значений при кото-
рых установившаяся ошибка не будет превышать 1%.

(б) Определите, при каких значениях К1 и К в случае возмущения d(t) = It мрад/с, 0 < t < 5 с,
установившаяся ошибка не будет превышать 0,1 мрад.

Рис. 4.3 (С)

Система
управления
скоростью

С-4.4. Уже более 25 лет в офтальмологии с успехом применяются лазеры. Они оказывают помощь
при удалении части ткани или в процессе ее коагуляции. Лазер позволяет врачу-офтальмологу
управляемым образом осуществлять локализованное тепловое воздействие на глаз пациента.
Во многих процедурах мишенью лазера является сетчатая оболочка глаза, которая гонким чув-
ствительным слоем покрывает внутреннюю поверхность глазного яблока и преобразует свето-
вую энергию в электрические импульсы. Иногда сетчатка отслаивается от поверхности ябло-
ка, что приводит к потере ее кровоснабжения и, как следствие, к частичной или полной утрате
зрения. В этом случае с помощью лазера можно «приварить» сетчатку на ее место на внутрен-
ней поверхности глазного яблока и восстановить зрение.

Автоматическое управление положением луча лазера позволяет офтальмологу дать команду
регулятору определить, где находится поврежденная ткань. Регулятор сканирует сетчатку и
управляет положением лазера, наводя его точно на поврежденное место. Для определения сме-
щения сетчатки используется широкоугольная видеокамера, как показано на рис. 4.4(C). Если
глаз во время облучения совершает движение, то лазер должен либо быть переориентирован,
либо выключен. На рис. 4.4(C). (б), приведена структурная схема управления положением ла-
зера. Выберите подходящее значение коэффициента усиления регулятора, К так, чтобы пере-
ходный процесс, вызванный ступенчатым изменением г(/), имел приемлемый характер, а влия-
ние возмущения (шум системы) было бы минимальным. Убедитесь также, что при ступенча-
У(5)

Рис. 4,4 (С). Операционная система с использованием лазера;

1 — регулятор, 2 — аргоновый лазер, 3 — лазерная система, 4 — волоконно-оптическая
линия, 5 — пациент, 6 — видеокамера, 7 — офтальмолог

том изменении задания г(/) установившаяся ошибка будет равна нулю. Для получения прием-
лемого вида переходной характеристики воспользуйтесь ограничением К < 10.

С-4.5. Для генерирования коротких импуль-
сов специальной формы можно исполь-
зовать схему на операционном усилите-
ле. Схема, изображенная на рис. 4.5(C),
при входном напряжении v(/) типа еди-
ничной ступеньки позволяет получить
на выходе импульс v0(Z) = 5е'100/, />0.
Предполагая, что операционный усили-
тель является идеальным, выберите со-
ответствующие номиналы резисторов и
конденсатора.

Рис, 4,5 (С), Схема на операционном
усилителе

Задачи, решаемые с помощью

MATLAB

М-4.1. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

При единичном ступенчатом входном воздействии желаемое установившееся значение выход-
ной переменной равно 1. С помощью функции step покажите, что установившаяся ошибка в
этом случае равна 0,8.

М-4.2. Система с передаточной функцией G(s) = 5ОЛгО-+-1) охвачена единичной отрицательной об-
ратной связью. С помощью MATLAB получите переходную характеристику системы и опре-
делите максимальное относительное перерегулирование. Чему равна установившаяся ошиб-
ка?

М-4.3. Система в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию

T(s) =

10/С

з2 + 20s + К

Получите семейство переходных характеристик (при единичном ступенчатом воздействии)
для К - 10, 100 и 500. Изобразите их на одном графике и оформите в виде таблицы основные
результаты: относительное перерегулирование, время установления, установившуюся ошиб-
ку.

М-4.4. Рассмотрите замкнутую систему управления, изображенную на рис. 4.4(М), Подготовьте
программу MATLAB, которая позволяла бы найти значение Л, при котором относительное пе-
ререгулирование при единичном ступенчатом воздействии было бы более 1%, но менее 10%.
Программа должна вычислять передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s) и
строить график переходной характеристики. По графику убедитесь, что установившаяся
ошибка равна нулю.

Рис. 4.4 (М)

Система управления
с отрицательной обратной
связью

ад

Регулятор

10

s

Объект

ад

М-4.5. На рис. 4.5(М) изображена замкнутая система управления. Регулятор имеет коэффициент
усиления К = 2. Номинальное значение параметра объекта а = 1. Это значение принято только
для решения задачи синтеза, т. к. действительное значение этого параметра точно не известно.
В данной задаче целью исследований является определение чувствительности замкнутой сис-
темы к параметру а. (а) Полагая а ~ 1, покажите аналитически , что при единичном ступенча-
том входном воздействии r(t) установившееся значение у(/) = 2. Убедитесь, что реакция на
данное воздействие спустя 4 с отличается от установившегося значения не более чем на 2%.
(б) О чувствительности системы к изменению параметра а можно судить по виду переходной
характеристики. Постройте графики этой характеристики при значениях а - 0,5; 2; 5 и сделай-
те соответствующие выводы.

Рис. 4.5 (М)

Замкнутая система
управления
с неопределенным
параметром a

B(s)

Регулятор

Объект

s - а

М-4.6. На рис. 4.6(М), (я), изображена механическая система с вращательным движением. Упругий
момент, обусловленный скручиванием оси, равен -АО; момент трения, создаваемый тормоз-
ным устройством, равен -69; возмущающий момент равен d(t)\ входной момент равен г(/); мо-
мент инерции механической системы равен J. Передаточная функция данной системы имеет
вид:

G (s) = —-------------.

? + (blJ)s + к/J

Замкнутая система управления механической системой изображена на рис. 4.6(М), (5). Для
расчетов примите заданное значение угла 0°, к ~ 5, b = 0,9 и J- 1.

(а)	С помощью MATLAB, полагая г(/) = 0, определите реакцию 0(/) разомкнутой системы на
единичное ступенчатое возмущение d(t}.
а)

Рис. 4.6 (М). (а) Механическая система с вращательным движением
(1 — гибкая ось, 2 — возмущающий момент, 3 — входной момент, 4 — тормозное
устройство); (б) Система с обратной связью, управляющая угловым положением
механической системы

(б)	С помощью MATLAB, при коэффициенте усиления регулятора Ко = 50 определите реак-
цию 0(/) замкнутой системы на единичное ступенчатое возмущение d(t).

(в)	Изобразите на одном графике две полученные кривые. Обсудите полученные результаты и
сделайте вывод о преимуществах использования обратной связи для уменьшения влияния воз-
мущения.

М-4.7. На рис. 4.7(М) изображена система управления с отрицательной обратной связью. Допус-
тим, что целью синтеза является выбор регулятора Gc(s) минимальной сложности, причем сис-
тема должна отрабатывать единичное ступенчатое входное воздействие с нулевой установив-
шейся ошибкой.

(а)	В качестве первой попытки рассмотрите простой пропорциональный регулятор Gc(j) = К,
где К — фиксированный коэффициент усиления. Полагая К = 2, с помощью MATLAB по-
стройте график реакции системы на единичную ступеньку и определите величину установив-
шейся ошибки.

(б)	Далее рассмотрите более сложный регулятор,

S

где Ко = 2 и = 20. Такой регулятор известен под названием ПИ-регулятор (пропорциональ-
но-интегральный). Постройте график реакции системы на единичную ступеньку и определите
величину установившейся ошибки.

(в)	Сравните результаты пп. (а) и (б) и сделайте выводы относительно компромисса между
сложностью регулятора и способностью систем минимизировать установившуюся ошибку.

Регулятор

Объект

K(s)

Де)

10

У(я)

Рис. 4.7 (М). Простая одноконтурная система управления
Ключевые термины и понятия

Замкнутая система. Система, в которой производится измерение выходного сигнала, сравнение
его с желаемым значением и образование сигнала ошибки, воздействующего на исполнитель-
ное устройство.

Переходная характеристика. Реакция системы на входное воздействие как функция времени.

Разомкнутая система. Система без обратной связи, в которой выходной сигнал является непосред-
ственной реакцией на входной сигнал.

Сигнал возмущения. Нежелательный входной сигнал, оказывающий влияние на выходной сигнал
системы.

Сигнал ошибки. Разность между желаемым выходным сигналом /?($) и действительным выходным
сигналом У($), т. е. £(5) = £(s) - У($).

Установившаяся ошибка. Ошибка, остающаяся спустя достаточно большой промежуток времени,
достаточный для полного затухания переходного процесса.

Чувствительность системы. Отнощение изменения передаточной функции системы к малому из-
менению передаточной функции (или параметра) объекта управления.
Глава 5

Качество систем управления
с обратной связью

Обзор

При синтезе систем управления появляется благоприятная возможность влиять на вид пе-
реходной характеристики и поведение системы в установившемся режиме. Одним из пер-
вых этапов процедуры синтеза является задание показателей качества. В этой главе мы вве-
дем такие общепринятые показатели, используемые для характеристики переходного про-

цесса, как относительное перерегулирование, время установления, время максимума,
время нарастания и установившаяся ошибка. Для определения реакции системы мы воспо-
льзуемся типовыми входными сигналами в виде ступенчатой и линейно нарастающей фун-
кции. Мы обсудим связь между качеством системы и расположением на 5-плоскости полю-
сов и нулей ее передаточной функции. Мы установим полезные соотношения между пока-

зателями качества системы второго порядка и ее собственной частотой и коэффициентом

затухания. Используя понятие доминирующих полюсов, мы распространим методы оцен-
ки качества систем второго порядка на системы более высокого порядка.

Мы введем ряд общепринятых количественных показателей, которые адекватно ха-

рактеризуют качество системы управления. Это позволит нам заняться оптимизацией си-

стемы по тому или иному критерию качества. Глава заканчивается анализом качества сис-
темы чтения информации с диска (пример синтеза с продолжением).

5.1.	Введение

Важным преимуществом систем управления с обратной связью является возможность вли-
ять на качество системы в переходном и установившемся режимах. Прежде чем присту-
пать к анализу или синтезу системы, необходимо договориться о том, как определять и из-
мерять ее качество. И только определив желаемое качество системы, можно заняться на-
стройкой ее параметров. Поскольку системы управления объективно являются
динамическими, их качество обычно оценивается по поведению как в переходном, так и в
установившемся режимах. Переходная характеристика — это реакция системы, затуха-
ющая с течением времени. Установившийся режим — это реакция системы, которая
остается спустя большой промежуток времени с момента приложения входного сигнала.

Исходные данные для синтеза систем управления обычно включают в себя некото-
рые показатели реакции системы на входной сигнал определенного вида, а также желае-
мую точность в установившемся режиме. Часто в процессе синтеза эти данные пере-
сматриваются ради достижения некоторого компромисса. Таким образом, исходные
данные редко когда представляют собой жесткий набор требований — скорее всего они
являются первой попыткой перечисления желаемых показателей качества. На рис. 5.1
Параметр р

Рис. 5.1. Зависимость двух показателей качества от параметра р

графически изображен поиск компромисса между различными требованиями к системе.
Параметр р может минимизировать показатель качества М2, если выбирать очень малые
его значения. Но при этом становится очень большим показатель что может быть не-
желательным. Если оба показателя качества одинаково важны, то наилучшим компро-
миссом является точка пересечения двух кривых прир = р мин. Ясно, что если исходные
ограничения, накладываемые и на и на М2, близки к нулю, то они не могут быть
удовлетворены одновременно, и их надо изменить таким образом, чтобы добиться ра-
зумного компромисса.

Требования к системе, сформулированные в виде ее показателей качества, в конеч-
ном счете позволяют ответить на вопрос: насколько хорошо система выполняет задачу,
ради которой она была спроектирована?

5.2.	Тестовые входные сигналы

Важнейший интерес при анализе качества представляет поведение систем управления во
времени, т. к. эти системы объективно являются динамическими. Прежде всего необходи-
мо определить, устойчива ли система управления (методы анализа устойчивости будут
рассмотрены в последующих главах). Если она устойчива, то показатели качества можно
оценить по реакции системы на определенный входной сигнал. Но, поскольку обычно за-
ранее неизвестно, каким в реальных условиях будет этот сигнал, при анализе качества вы-
бирается некоторый тестовый входной сигнал. Такой подход вполне оправдан, т. к. име-
ется корреляция между реакцией системы на типовой входной сигнал и ее поведением в ре-
альных рабочих условиях. Кроме того, использование типового входного сигнала
позволяет проектировщику сравнить несколько вариантов создаваемой системы. К тому
же многие системы управления в процессе эксплуатации подвергаются внешним воздейст-
виям, которые по виду очень близки к тестовым сигналам.

В качестве типовых тестовых сигналов обычно используются ступенчатый, линей-
ный и параболический сигналы, изображенные на рис. 5.2. В табл. 5.1 приведены выраже-
ния для этих сигналов как функции времени, а также их преобразования по Лапласу, по-
лученные с помощью табл. 2.3. Линейный сигнал является интегралом от ступенчатого, а
параболический — интегралом от линейного.
i

r(t)

I

о

Рис. 5.2. Тестовые входные сигналы:

(а) ступенчатый, (5) линейный, (а) параболический

б)

| Таблица 5.1. Тестовые входные сигналы
I

Тестовый сигнал	r(t)

г(/) = А, / > О

= о, t < О

r(f) = At, t>()

= О, t<0

r(t) = Ar, t>0

= 0, / < о

Ступенчатый

Линейный

Параболический

R(s) = A/s

R(s) = A/s2

R(s) = 2A/s3

В качестве тестового сигнала может также служить единичная импульсная функ-
• имя, получаемая из прямоугольного импульса

0, при остальных t.

где £ > 0. При е —> 0 импульс/е(/) стремится к единичной импульсной функции 5 (г), облада-
ющей следующими свойствами:

5(z )dt = I,

—ОО

r 00

8(/-<j)g(0<* =g(a)

—oo

Импульсный входной сигнал может оказаться полезным, когда выходной сигнал y(t)
записывается в виде интеграла свертки



g(r-T)r(t)A = L 1 [G(5)A(i)].
— ОС

Эта связь изображена в виде структурной схемы на рис. 5.3. Если входной сигнал яв-

R(s)

G(s)

ляется единичной импульсной функцией,то

ХО= Г g(?-T)8(T)<A.

J — ОС

Рис. 5.3. Разомкнутая

система управления Этот интеграл отличен от нуля только при т = 0, поэтому
y(f) = g(0,

что соответствует импульсной переходной функции системы с передаточной функцией
G(s). Реакция системы на импульсный тестовый сигнал может представлять интерес, если в
реальных условиях система подвержена воздействию очень коротких импульсов с боль-
шой амплитудой и площадью А.

Типовые тестовые сигналы имеют обший вид

r(t) = Л	(5.4)
i

для которых преобразование Лапласа

п!

R(s)~—

(5.5)

Отсюда следует, что реакцию на один тестовый сигнал всегда можно выразить через
реакцию на другой тестовый сигнал. Поскольку ступенчатый входной сигнал является
наиболее простым, то его обычно и выбирают для оценки качества системы.

Найдем реакцию системы, изображенной на рис. 5.3, на единичную ступеньку, если

9

G(s) =----

5+10

Тогда преобразование по Лапласу для выходного сигнала



5(5+ 10)

переходный процесс описывается выражением

ЯО = 0,9(1-^’°'),

а его установившееся значение X00) “ ^,9. Для установившейся ошибки, приняв
E(s) = Т?(5) — Y(s), имеем

е,.,. = lini5£(5) - ОД

5.3.	Качество системы второго порядка

Рис. 5.4. Замкнутая система управления

Рассмотрим одноконтурную систему второ-
го порядка и найдем ее реакцию на единич-
ное ступенчатое воздействие. Для системы,
изображенной на рис. 5.4, можно записать:

R(s) =

(5.6)

Используя обозначения, введенные в разд. 2.4, перепишем (5.6) в виде

Г(5) = -?	-----— •R(s').

S~ +2^Wh5+ CD“

При единичном ступенчатом входнОхМ воздействии получим:

У(5) =

э

5(5' + 2С,($пs + coj;)

(5.8)

Воспользовавшись таблицей преобразований Лапласа (табл. 5.3), найдем оригинал:

X/) = l-^-^'sin((0„p/ + e),	(5.9)

р

где р = J1 - ,0 = arccos £ и 0 < £ < 1. На рис 5.5(a) изображены переходные характеристи-

ки этой системы для различных значений коэффициента затухания С уменьшением Q
корни характеристического уравнения замкнутой системы приближаются к мнимой оси и
реакция становится сильно колебательной. На рис. 5.5 (б) приведены те же переходные ха-
рактеристики в зависимости от параметра Q и времени.

В случае единичной импульсной функции, для которой изображение по Лапласу
7ф») = 1, можно записать:

2

Y(s)=—-----(5.10)

.? + со"

Рис. 5.5

(а) Переходные
характеристики
системы второго
порядка при
ступенчатом
входном сигнале.

(б) Те же
характеристики
в зависимости
от и времени

а)
Рис. 5.6

Реакция системы
второго порядка
на импульсную
входную функцию

что совпадает с передаточной функцией замкнутой системы Ду) = Y(s)/R(s). Реакция систе-
мы на единичную импульсную функцию определяется выражением

которое является производной от реакции на единичную ступеньку. На рис. 5.6 изображе-
ны реакции системы второго порядка на единичную импульсную функцию для различных
значений параметра С>. При определении показателей качества проектировщик может ис-
пользовать реакцию системы как на ступенчатую, так и на импульсную функцию.

Типовые показатели качества обычно определяются по виду реакции на ступенчатое
входное воздействие, как показано на рис 5.7. Быстродействие системы напрямую связа-

Рис. 5.7
Реакция
системы
управления
на ступенчатое
воздействие
но с временем нарастания Тг и временем максимума переходной характеристики Тр.
Ддя недодемпфированных систем, переходная характеристика которых обладает перере-
гулированием, время нарастания определяется как время изменения реакции от 0 до 100%
заданного значения выходной переменной. Если система передемпфирована, то перерегу-
лирование отсутствует, время максимума смысла не имеет, а в качестве времени нараста-
ния Тг рассматривается интервал, в течение которого переходная характеристика изменя-
ется от 10% до 90% ее значения. Насколько хорошо действительная реакция системы со-
ответствует ступенчатому входному сигналу, оценивается по относительному перерегу-
лированию и времени установления Ts. При единичном ступенчатом воздействии
относительное перерегулирование (ОП) определяется как

М п - к.з.

О.П. = —--------100%,	(5.12)

К.З.

где М — максимальное значение переходной характеристики, а к.з. — ее конечное значе-
ние. Обычно к.з. совпадает с величиной входной ступеньки, но во многих системах оно су-
щественно отличается от желаемого значения, определяемого входным сигналом. Для сис-
темы, описываемой уравнением (5.8), к.з. - 1.

Время установления Ts определяется моментом, после которого переходная харак-
теристика остается полностью внутри зоны, отличающейся от величины входного воз-
действия на ±5%. Данная зона изображена на рис 5.7. Для системы второго порядка, реак-
ция которой описывается выражением (5.9), время установления Ts можно найти по мо-
менту, начиная с которого реакция отличается от своего конечного значения не более,
чем на 2%, т. е. если

е'<<0"7; <0,02,

или

Следовательно,

Г = 4т =----

(5-13)

Таким образом, время установления можно считать равным четырем постоянным
времени т, где т = 1/^сои — постоянная времени, соответствующая доминирующим кор-
ням характеристического уравнения. По реакции системы на ступенчатое воздействие
можно также определить установившуюся ошибку, как это показано на рис. 5.7.

Реакцию системы на ступенчатое воздействие можно охарактеризовать двумя факто-
рами:

1.	Быстродействием, которое определяется временем нарастания и временем макси-
мума.

2.	Близостью к желаемому виду, которая определяется перерегулированием и време-
нем установления.

По своей сути эти факторы являются противоречащими друг другу, что заставляет
искать определенный компромисс.

Чтобы получить зависимость показателей М р и Тр от параметра можно продиффе-
ренцировать выражение (5.9) и приравнять производную нулю. Другой способ основан на
использовании свойства дифференцируемости преобразования Лапласа, которое записы-

вается в виде



dt



при условии, что начальное значение у(г) равно нулю. В результате мы можем получить
производную отХО, умножив выражение (5.8) на 5, что даст нам правую часть выражения
(5.10). Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, мы полу-
чим (5.11), которое обращается в нуль при рг = п. Отсюда выражение для времени мак-
симума переходной характеристики системы второго порядка:

(5.14)

а максимальное значение переходной характеристики,

(5.15)

В результате относительное перерегулирование составляет
ОП = 100е’ф1/^А

(5.16)

Зависимость относительного перерегулирования от коэффициента затухания Q представ-
лена на рис. 5.8. Здесь же изображена зависимость нормированного времени максимума

(йпТ от коэффициента затухания Для некоторых значений коэффициента затухания Q ве-

личина относительного перерегулирования представлена в таблице 5.2. И снова мы стал-

киваемся с необходимостью поиска компромисса между скоростью реакции и допусти-

мым перерегулированием.

Таблица 5.2. Относительное перерегулирование (в %) в зависимости
от коэффициента затухания для системы второго порядка

Коэффициент затухания

Относительное перерегулирование

0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0.3

0.2	1.5	4,6	9.5	16,3	25,4	37J

Рис. 5.8

Зависимость относительного
перерегулирования и
нормированного времени
максимума от коэффициента
затухания для системы
второго порядка

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Коэффициент затухания,^

о

►Ч

0
[

Рис, 5.9

Зависимость нормированного
времени нарастания от С
для системы второго порядка

Скорость реакции системы на ступенчатое воздействие можно оценить временем ее
нарастания от 10% до 90% величины ступеньки. В таком определении время нарастания
Т, указано на рис. 5.7. Нормированное время нарастания (йпТг в зависимости от Q
(0.05 < Q< 0,95) изображено графически на рис 5.9. Действительную кривую трудно
описать аналитически, однако можно воспользоваться линейной аппроксимацией

2,16^+0,60

(5.17)

которая является достаточно точной для 0,3 < < 0,8. Данная аппроксимация приведена на
рис. 5.9.

Скорость реакции на ступенчатый входной сигнал, описываемая выражением (5.17),
зависит от и со„. При данном реакция тем быстрее, чем больше сол, как показано на
рис 5.10. Заметим, что перерегулирование не зависит от сол.

При данном соп реакция тем быстрее, чем меньше как показано на рис. 5.11, однако
ее скорость ограничивается допустимым перерегулированием.

Рис. 5.10

Реакция системы
второго порядка
на ступеньку
при = 0,2. «л - 1
и сол = 10

Время (с)
Рис. 5.11

Реакция системы второго
порядка на ступеньку
при = 5, С, - 0,7
и = 1

Время (с)

5.4, Влияние третьего полюса и нуля
на характеристики системы второго
порядка

Кривые, изображенные на рис. 5.8, являются точными только для системы второго поряд-
ка, определяемой выражением (5.8). Тем не менее они являются весьма полезными и для
многих других систем, обладающих парой доминирующих корней, реакция которых на
ступенчатое воздействие может быть представлена в виде рис. 5.8. Такой подход, хотя и яв-
ляется приближенным, позволяет обойтись без применения обратного преобразования
Лапласа для оценки относительного перерегулирования и других показателей качества.
Например, для системы третьего порядка, имеющей в замкнутом состоянии передаточную
функцию

Т(5) = --------1—-------,	(5.18)

(? + 2^ + 1)(У5 + 1)

расположение ее корней показано на рис. 5.12
(здесь предполагается, что = 1). Эксперимен-
тально было установлено, что относительное пе-
ререгулирование, ОП, и время установления, Тх,
для данной системы соответствуют кривым для
системы второго порядка, если

|1/у|> 10|£а>„|.

Иными словами, реакцию системы третьего
порядка можно аппроксимировать с помощью
доминирующих корней системы второго пряд-
ка, если только действительная часть этих кор-
ней меньше 1/10 действительной части третьего
корня.

=корни
замкнутой
системы

I

f
I

I

4
i_

4

Рис. 5.12. Положение корней
системы третьего порядка
на 5-плоскости


С помощью вычислений на компьютере для = 0,45 можно найти реакцию системы
на единичное ступенчатое воздействие. При у = 2,25 реакция является монотонной (систе-
ма передемпфирована), т. к. действительная часть комплексных полюсов равна - 0,45,
тогда как вещественный полюс равен - 0,444. Время установления (по критерию 2% от
конечного значения) составляет 9,6 с. При у = 0,90, или 1/у = 1,11, в сравнении с - 0,45
мы видим, что перерегулирование составляет 12%, а время установления равно 8,8 с.
Если бы комплексные корни были доминирующими, то перерегулирование составляло
бы 20%, а время установления равнялось бы 4/<^со„ = 8,9 с. Результаты расчетов сведены в
табл. 5.3.

Таблица 5.3.

лияние третьего полюса при £ = 0,45

1/у

Относительное	Время

перерегулирование,% установления

2,25	0,444	0	9,63
1.5	0,666	3,9	6,3
0.9	1,111	12,3 л	8,81
0,4	2.50  «г	18,6	8.67
0,05	20,0	20,5	8,37
0	ОО	20,5	8,24

* Примечание', Время установления нормировано, т. е. приведено в значениях ®nTs и
определено по критерию 2%.

Следует также заметить, что показатели качества, отмеченные на рис. 5.8, имеют
силу только тогда, когда передаточная функция не имеет конечных нулей. Если же пере-
даточная функция содержит конечные нули, которые располагаются достаточно близко к
доминирующим комплексным полюсам, то эти нули будут оказывать существенное влия-
ние на вид переходной характеристики системы.

На переходную характеристику системы с одним нулем и двумя полюсами сильное
влияние оказывает положение нуля. На рис. 5.13(a) приведена номограмма для определе-
ния относительного перерегулирования при ступенчатом входном воздействии для систе-
мы с передаточной функцией

T(s) —

(®„/a)(s + a)

?	9 5

5“ +2^C0fl5+C0“

причем кривые построены для Q < 1 в зависимости от а/^со?г Сами же переходные характе-
ристики для нескольких значений а1Срп приведены на рис. 5.13(6). Важнейшие показатели
качества для этих значений а!С^п при Q = 0,45 представлены в табл.5.4.

Связь между положением на ^-плоскости полюсов передаточной функции замкнутой
системы и ее переходной характеристикой играет важную роль при выборе требований,
предъявляемых к системе. Чтобы проиллюстрировать это, мы рассмотрим простой при-
мер.
Таблица 5.4. Показатели качества системы второго порядка
с параметром <<=0,45 при наличии нуля

Относительное

й/

перерегулирование,%

Время
установления

Время
максимума

5

8,0

3.0

2

0,5

39Л

89,9

210,0

10,1

10.3

Примечание'. Время нормировано, т. е. приведено в значениях а время установления
определено по критерию 2%.

Рис. 5.13

(а) Зависимость
относительного
перерегулирования
от и а»,? для
системы второго
порядка,
передаточная
функция которой
содержит нуль.

(б) Переходные
характеристики
системы второго
порядка
с параметром
£ = 0,45,
передаточная
функция которой
содержит нуль, для
четырех значений
отношения а/^п\
А -= 5, В = 2,
С = 1 и Р = 0.5

и. 1

1	2	5	10	20	50	100	200	500	1000

Относительное перерегулирование

б)

3.5

Время.
Пример 5.1. Выбор параметра

На рис. 5.14 изображена одноконтурная си-
стема управления. Необходимо выбрать ко-
эффициент усиления К и параметр р так,
чтобы удовлетворить требования, предъяв-
ляемые к переходной характеристике сис-
темы. Пусть система должна обладать как
можно большим быстродействием и при
этом перерегулирование не должно превы-

шать 5%. Время установления переходной характеристики внутри зоны 2% от ее конечного
значения должно быть не более 4 с. Коэффициенту затухания £ = 0,707 соответствует перере-
гулирование 4,3%. Линия постоянного коэффициента затухания для £ = 0,707 изображена на
рис. 5.15. Поскольку время установления

B(s)

s(s+p)

Рис. 5.14. Одноконтурная система
управления

У(з)

J

то мы должны потребовать, чтобы действительная
часть комплексных полюсов передаточной функции
T(s) удовлетворяла условию > 1. Область s-плос-
кости, удовлетворяющая обоим требованиям к пере-
ходной характеристике, отмечена на рис. 5,15 штри-
ховкой.

Если выбрать корни замкнутой системы г 1 = -1 -ьу и
J, то мы будем иметь Ц. == 4 с и перерегулиро-
вание 4,3%. Следовательно. Q = 1/V5 и = 1 / £ - V2.
Передаточная функция замкнутой системы

T(s} = = к = .

1 + G (s) s2 + ps + К s2 +	+ (й2

Рис. 5.15. Область
расположения корней
на s-плоскости, отвечающая
требованиям к качеству системы

Таким образом, нам необходимо иметь К =	= 2 и

р = 2^сол = 2. Исследователь и проектировщик систем
управления должен отчетливо представлять связь
между положением корней замкнутой системы и ее

переходной характеристикой. Поэтому данному во-
просу мы уделим большее внимание в последующих разделах.

Пример 5.2. Доминирующие полюсы 7{s)

Рассмотрим систему, передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид:

— = T(s) =

“ч
а

На переходную характеристику могут оказывать влияние как нуль, так и вещественный по-
люс. Если а » и т «:	то это влияние будет незначительным.

Предположим, что мы имеем

ад =

62.5(j + 2,5)

(?+ 6s + 25)(j + 6,25)

Заметим, что ЦО) = 1, т. е. коэффициент усиления системы на нулевой частоте равен единице,
поэтому следует ожидать, что при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка бу-
дет равна нулю. В нашем случае = 3, т = 0,16ип - 2.5. Положение полюсов и нуля на
5-плоскости показано на рис. 5.16. В качестве перво-
го приближения пренебрежем вещественным полю-

сом и получим:

Г(5)«

10(5+2,5)

52 + 65+ 25

Теперь при £ - 0,6 и = 5 мы имеем пару доминиру-
ющих полюсов и один нуль, для которого =
= 0,833. С помощью рис.5.13(a) находим, что отно-
сительное перерегулирование составляет 55%. Ожи-
даемое время установления (по критерию 2% от ко-
нечного значения) равно

4	4

г =-------------= 1,зз с

0,6-5

до

Рис. 5,16, Положение
на 5-плоскости полюсов и нуля
для системы третьего порядка

Моделирование на компьютере исходной системы

третьего порядка дает следующие результаты: пеерегулирование составляет 38%, а время
установления равно 1,6 с. Таким образом, влияние третьего полюса T(s) сводится к уменьше-

нию перерегулирования и увеличению времени установления (а, следовательно, веществен-
ным полюсом пренебрегать нельзя).

5.5.	Оценка коэффициента затухания

Коэффициент затухания можно оценить по реакции системы на ступенчатый входной сиг-
нал. Реакция системы второго порядка на единичную ступеньку была получена ранее [см.
выражение (5.9)]. Приведем ее еще раз:

хо= sin(co„p/ + 0),

где Р = у 1~ Q2 и 0 = arccos С>. Следовательно, при < 1 частота затухающего синусоидаль-

ного члена

а число колебаний за одну секунду равно со/2л.

Постоянная времени затухающей экспоненты т = (в секундах). Число колеба-
ний затухающей синусоиды за время т равно:

(число колебании/с)х т =---=----'— =—— .

2п&„ 2п&„ 2^

Полагая, что реакция системы затухает за п постоянных времени, получим:

число различимых колебаний =

(5.19)

Для системы второго порядка ее реакция не выходит из зоны 2% от конечного значения

спустя 4т. Следовательно, п = 4, и

число различимых колебаний -

2т^ 2nQ

0,55

для 0,2 < < 0,6 .
В качестве примера рассмотрим реакцию системы для = 0,4, изображенную на
рис. 5.5(a). Первый минимум имеет место при 0. До тех пор, пока реакция не устано-
вится в зоне 2% от конечного значения, можно различить 1,4 колебания. Поэтому для Q
получаем следующую оценку:

(Г =-----^5-------= 0^ = 0>39

число колебаний 1,4

Такую аппроксимацию можно применять к системам с доминирующими комплексными

полюсами, т. е. когда



Т(5)«

7

Подобным образом можно оценивать коэффициент затухания по переходной характери-
стике реальной физической системы.

Альтернативный метод оценки £ состоит в использовании рис. 5.8, который связыва-
ет относительное перерегулирование с коэффициентом затухания. Например, на
рис. 5.5(a) значению = 0,4 соответствует перерегулирование 25%. По графику на
рис. 5.8 этому перерегулированию соответствует Q = 0,4, как и следовало ожидать.

5.6.	Связь между переходной характеристикой
и положением корней на s-плоскости

Переходную характеристику замкнутой системы управления можно связать с положением
полюсов ее передаточной функции. В общем случае передаточная функция замкнутой сис-
темы имеет вид:

Т1. У И

1 (5 ) =-=--------- ,

Я(5)	Д(5)

где Д(5) = 0 есть характеристическое уравнение системы.

Для одноконтурной системы, изображенной на рис. 5.14, характеристическое урав-
нение записывается в виде 14- G(s) = 0. Переходная характеристика, вообще говоря, опре-
деляется полюсами и нулями 71(5). Но для замкнутой системы полюсами 71(5) являются
корни характеристического уравнения Д(5) = 0 и полюсы выражения PtЛ, (5) При еди-
ничном ступенчатом воздействии и отсутствии кратных корней (если коэффициент уси-
ления системы равен 1) изображение по Лапласу выходного сигнала можно представить в
виде разложения на дроби:

, -в^.сл	(5.21)

5 /=15+СГ/ *=1 5' 4-2аА54-(а^ + CD*)

где Ап Вки Ск — константы. Корни системы должны быть либо вещественными, вида
5 = -ст,, либо образовывать комплексно-сопряженные пары типа5 - - ак ±Тогда обрат-
ное преобразование Лапласа для (5.21) дает переходную характеристику системы в виде
суммы членов:

ХО = 1+ £	+XDk e'at' sin(co* t + 6.)	(5.22)

)=i
Рис. 5.17. Реакция системы на импульсное воздействие при различном положении
корней на s-плоскости (комплексно-сопряженные корни не показаны)

где константа Dk выражается через Вк, Ск, оск и ®к. Переходная характеристика образована
установившимся значениему(г), экспоненциальными членами и затухающими синусоида-
льными компонентами. Чтобы переходная характеристика была ограниченной (а систе-
ма — соответственно, устойчивой), необходимо, чтобы вещественные части корней, —сг,- и
-аь были расположены в левой половине s-плоскости. На рис. 5.17 изображены реакции
системы на импульсное воздействие, соответствующие различному положению корней на
5-плоскости. Такое наглядное графическое представление очень полезно при выборе жела-
емого расположения корней на s-плоскости.

При анализе линейной системы управления важно понимать связь между ее пред-
ставлением в области комплексной частоты в виде полюсов и нулей передаточной функ-
ции и поведением системы во времени в виде реакции на ступенчатое и иные входные
воздействия. Например, многие вычислительные методы анализа и синтеза в таких при-
кладных задачах, как управление и обработка сигналов, применяются именно на основе
представления модели системы в виде полюсов и нулей передаточной функции 7(s). С
другой стороны, качество системы часто оценивается по ее переходной характеристике, в
особенности когда речь идет о системах управления.

Опытный проектировщик должен ясно представлять, как повлияет на временные ха-
рактеристики системы добавление, удаление или перемещение на s-плоскости полюсов и
нулей T(s). Он также должен понимать, как следует изменить полюсы и нули 7{s), чтобы
добиться желаемого вида временных характеристик.

Опытный проектировщик всегда представляет, как влияют нули передаточной функ-
ции на реакцию системы. Полюсы T(s) определяют отдельные составляющие переходной
характеристики, а нули T(s) определяют относительный вес каждой из этих составляю-
щих. Например, чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-то ее полю-
су, тем меньше вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей
данному полюсу.

Можно написать компьютерную программу и задать в ней произвольный набор по-
люсов и нулей передаточной функции линейной системы. Затем компьютер рассчитает и
j

j построит графики реакции системы на импульсное и ступенчатое воздействия. Кроме
’ этого можно изобразить те же характеристики в уменьшенном масштабе вместе с диа-
1раммой размещения полюсов и нулей. После того, как программа будет выполнена для
исходного набора полюсов и нулей, пользователь может изменить положение одного или
нескольких из них. В результате будет получена диаграмма, отражающая старое и новое
расположение полюсов и нулей и старые и новые реакции системы на импульсное и сту-
пенчатое воздействия.

5.7.	Установившаяся ошибка систем
управления с обратной связью

Одним из основных мотивов использования
обратной связи, несмотря на усложнение
системы и неизбежные издержки, является
возможность уменьшения установившейся
ошибки. Как было показано в разд. 4.5, в
устойчивой замкнутой системе установив-
шаяся ошибка на несколько порядков мень-

P(s)

Y(s)

Рис. 5.18. Замкнутая система управления

ше, чем аналогичный показатель в разо-

мкнутой системе. Рассмотрим замкнутую систему, изображенную на рис. 5.18. Сигнал, по
которому можно судить об ошибке системы, обозначен через Еа(з). Однако действительная
ошибка характеризуется выражением E(s) = E(s) - Y(s). Тогда

£(5) = Л(5)-

G(s) [l+GW)-G(s)]
l+GH(i) 1 J l+G/ф)

Ж4

Ошибка системы совпадает с сигналом Ea(s) при H(s) = 1. В этом случае

£(*) =

—-—R(s\
\+G(s)

и установившаяся ошибка определяется выражением

. .. sR(s)
= lim e(t) = lim-----

(5.23)

Полезно определить установившуюся ошибку системы в случае единичной обратной свя-
зи, H(s) = 1, для трех типовых тестовых входных сигналов.

Ступенчатый входной сигнал. При ступенчатом входном сигнале амплитуды А
установившаяся ошибка равна

v s(A/s)

= 11111Т-ДТ7



т. е. она определяется передаточной функцией разомкнутой системы G(s). Последняя в об-

щем случае записывается в виде
Таким образом, значение G(s) при s 0 зависит отМ т. е. количества содержащихся

в разомкнутой системе интеграторов. Если У> 0 , то G(0) = оо и установившаяся ошибка
равна нулю. Часто используют термин тип системы, который просто равен количеству

интеграторов N. Так, для системы типа 0 ( N = 0 ) установившаяся ошибка равна

(5-25)

Константа G(0), обозначаемая через Кр, называется коэффициентом ошибки по положе-
нию и определяется как

КD - limG(j).

у—>0

Таким образом, установившаяся ошибка при отработке ступенчатого воздействия с ампли-
тудой А определяется выражением

(5.26)

Если система содержит один или более интеграторов, т. е. N > I, то при единичном
ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, т. к.

A	Asn

= iim-----тт ....к/тт----= lim	----= 0 • (5 -27)

/SN [7 pk ) *~>°SN +(^П2' /Пл)

Линейный входной сигнал. Установившаяся ошибка в случае линейного входного
сигнала (изменяющегося с постоянной скоростью А) определяется выражением:

s(A/s2)	А	А

= lim-------- = lim------— - lim------

y->o	jt->Os+sG(s) SG(s)

(5.28)

Напомним, что установившаяся ошибка зависит от количества интеграторов, N. Для
системы типа «ноль» N = 0, и установившаяся ошибка равна бесконечности. Для системы
типа «один» N = 1, и ошибка

с.... — lim————--———----—,

л{[^П (5 + zi )] / ГП (J + Рк )]}

или

(5-29)

где Kv носит название коэффициента ошибки по скорости. Этот коэффициент вычисля-
ется по выражению

Kv =lim^G(5)i

* В отечественной литературе коэффициенты ошибки определяются несколько иначе. — Прим, перев.
Если передаточная функция включает в себя два или более интеграторов, N > 2, то устано-
вившаяся ошибка равна нулю. При N = 1 установившаяся ошибка отлична от нуля, но ско-
рость изменения выходной переменной равна скорости входного сигнала (см. рис. 5.20).

Квадратичный входной сигнал. Если на вход системы поступает сигнал r(t) ~ АГ/2,
то установившаяся ошибка имеет вид:

,. s(A/s’) А
е,< = lim--------- - lim —-----

Л->О	5 <7(,у)

(5.30)

При наличии одного интегратора установившаяся ошибка равна бесконечности; при двух
интеграторах, У = 2, мы получим

(5.31)

где Ка — коэффициент ошибки по ускорению, определяемый выражением

Ка = lims2G(s).
у->0

Если количество интеграторов N> 3, то установившаяся ошибка равна нулю.

Системы управления часто характеризуют их типом и коэффициентами ошибки Кр,
и Ка. Установившиеся ошибки для трех входных сигналов в зависимости от типа сис-
темы приведены в табл. 5.5. Пользу от использования коэффициентов ошибки мы проил-
люстрируем на простом примере.

Таблица 5.5. Установившиеся ошибки

Входной сигнал

Количество
интеграторов в С(5),
тип системы

Ступенчатый,

Л(у) ~A/s

Линейный
г(Г) = At,
R(s) = Л/s1

Квадратичный,
г(/) = А?П,
R(s) = Ais3

0

А
ess ------------

ess = О

А

= О

0

а

Пример 5.3. Управление рулевым механизмом подвижного робота

Тяжело больной человек может воспользоваться подвижным роботом в качестве помощника
или обслуживающего устройства. Система управления рулевым механизмом такого робота
представлена в виде структурной схемы на рис. 5.19.

Регулятор имеет передаточную функцию
Рис. 5.19. Структурная схема системы управления рулевым механизмом
подвижного робота

При К7 == 0 и G^s) - установившаяся ошибка системы при ступенчатом входном сигнале
равна

(5.331

где Кр = KKV Если К2 * 0. то мы имеем систему типа 1, т. е.

Gt(s)-

и установившаяся ошибка при ступенчатом входном сигнале равна нулю.

Если управляющий входной сигнал является линейным, то установившаяся ошибка

(5.34)

где

Kv ~ limsGj(s)G(.s) = К2К.

5—>0

На рис. 5.20 изображена реакция си-
стемы на периодический сигнал тре-
угольной формы при (KjS +
+ K2)/s. На переходной характери-
стике отчетливо прослеживается по-
явление установившейся ошибки,
которая может не иметь существен-
ного значения, если Kv достаточно
велико. Заметим, что хотя в устано-

Рис. 5.20. Реакция системы на колебания
треугольной формы

вившемся режиме ошибка отлична
от нуля, но выходной сигнал изменя-
ется с заданной скоростью.

Коэффициенты ошибки Кр, Kv и Ка характеризуют способность системы управления
уменьшать или устранять установившуюся ошибку. Поэтому они используются как коли-
чественные показатели качества системы в установившемся режиме. Проектировщик
определяет коэффициенты ошибки для конкретной системы и пытается найти способы их
увеличения, сохраняя в то же время приемлемое качество переходной характеристики. В
примере с системой управления рулевым механизмом подвижного робота желательно
увеличивать произведение КК2, чтобы увеличить Kv и тем самым уменьшить установив-
шуюся ошибку. Однако увеличение КК2 приводит к одновременному уменьшению коэф-
фициента затухания Q и, следовательно, к более колебательному характеру реакции сис-
темы на ступенчатое входной воздействие. Поэтому в данном случае должен быть найден
разумный компромисс между значениями параметров Kv и
5.8.	Установившаяся ошибка систем
с неединичной обратной связью

Общая структура системы с неединичной обратной связью приведена на рис. 5.21, причем
H(s) 1. Для подобных систем единицы, в которых измеряется входная переменная, обыч-
но отличны от выхода датчика. Например, на рис. 5.22 изображена система управления
скоростью, где H(s) = К2- Коэффициенты мК2 отвечают за преобразование одних единиц
измерения в другие (в данном случае это — преобразование рад/с в вольты). Коэффициент
можно выбирать достаточно произвольно, поэтому если задать- К2, то блоки К{ и К2
можно перенести через сумматор, в результате чего мы получим эквивалентную структур-
ную схему, изображенную на рис. 5.23. Эта схема имеет уже единичную обратную связь,
что обычно является желательным.

Обратимся к системе на рис. 5.21, содержащей H(s).

Если

TS+ 1

то коэффициент передачи этого блока на нулевой частоте

lim//(s) = K9.
s—>0

Этот коэффициент характеризует преобразование единиц измерения. Если принять
К2 = К], то система преобразуется к виду рис. 5.23 (для нулевой частоты или анализа уста-
новившегося режима). Для этой системы можно записать:

А^) = 7?^)-У(5) = [1-^)]7?(^	(5.35)

поскольку У(л) = T(s)R(s). Заметим, что

Г(з) =

K.G(s)
l+K^s)

и, следовательно,



Рис. 5.21

Система с неединичной
обратной связью

ОД-

1
i+адсу)

Рис. 5.23
Система
управления
скоростью
(рис. 5.22)
при /С| = К2

K(s)

Рис. 5.22

Система
управления
скоростью
Тогда при единичном ступенчатом воздействии установившаяся ошибка будет равна
е„ = lim s£(s) =-----------------------!----.	(5.36)

“ д-»о l+X^O)

В общем случае установившуюся ошибку всегда можно определить, используя выражение
(5.23).

Пример 5.4. Установившаяся ошибка

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 5.21, определим соответствующее значение и
вычислим установившуюся ошибку при единичном ступенчатом воздействии, если

G(s) =

40

5+5

20

5+ 10

«2

0,15 + 1

и

Н(5) =

Мы можем записать H(s) в виде

Я(5) =

Выбрав Ад = К2 = 2, с помощью выражения (5.36) определим:

что составляет 5,9% от величины ступенчатого входного воздействия.

Пример 5.5. Система с обратной связью

Рассмотрим систему, изображенную на рис.
5.24, и предположим, что мы не можем вклю-
чить в цепь входного сигнала A(s) блок с ко-
эффициентом Ар как это делали в системе на
рис. 5.21. Тогда ошибка будет определяться
выражением (5.35):

ад = [1-т(5)]А(4

Определим такое значение коэффициента А,

Рис. 5.24. Система
с обратной связью Н (s)

при котором установившаяся ошибка в слу-

чае единичного ступенчатого воздействия была бы минимальной. Установившаяся ошибка

«« = lim 4 l-7’(s)l - ,
5->0	V

где

6(5)	_	А(5+4)

l + G(5)/f(5)	(5+2)(5+4)+2А

Отсюда

Т(0) =

4А

8+2К

и установившаяся ошибка exs - 1 - Г(0).

Таким образом, чтобы установившаяся ошибка равнялась нулю, необходимо положить

8+2К

или 8 + 2К ~ 4К. Отсюда ясно, что при К = 4 мы получим нулевую установившуюся ошибку.
5.9.	Оценки качества

В новейшей литературе, посвященной автоматическому управлению, подчеркивается важ-
ность математической формулировки понятия качества системы управления и методов его
опенки. Современная теория управления предполагает, что инженер способен количест-
венно определить требуемое качество системы. Количественная оценка качества крайне
важна для работы адаптивных систем управления, для автоматической оптимизации пара-
метров систем управления и для синтеза оптимальных систем.

Оценка качества — это численный показатель качества системы, который вы-
бирается так, чтобы подчеркнуть наиболее важное требование, предъявляемое
к системе.

Система считается оптимальной системой управления, если ее параметры выбра-
ны таким образом, что оценка качества принимает экстремальное (обычно минимальное)
значение. Чтобы оценка качества имела реальный смысл, она должна представлять собой
число, которое всегда положительно или равно нулю. Тогда наилучшей системой будет
та, в которой эта оценка имеет минимальное значение.

Одним из видов оценки качества может служить интеграл от квадрата ошибки
(ИКО), который определяется как

ИКО= f e2(t)dt.	(5.37)

Jo

Верхний предел интегрирования Т выбирается достаточно произвольно, так, чтобы
интеграл стремился к конечному значению. Обычно удобно выбирать Т равным времени
установления Ts. На рис. 5.25 (б) изображена реакция некоторой системы управления с
обратной связью на ступенчатое воздействие, а на рис. 5.25 (<?) изображен график ошибки
системы. Соответственно на рис. 5.25 (г) приведен график квадрата ошибки, а на
рис.5.25 (Э) — интеграла от квадрата ошибки. Этот критерий позволит выделять системы
с очень большим и очень малым затуханием. Минимальное значение интеграла будет
иметь место при компромиссном коэффициенте затухания. Оценка (5.37) удобна в прак-
тическом применении, т. к. легко могут быть реализованы схемы возведения в квадрат. К
тому же квадрат ошибки удобен с математической точки зрения при аналитических рас-
четах и вычислениях на ЭВМ.

Другим легко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля
ошибки (ИМО), имеющий вид

ИМО - Г \e(t)\dt.	(5.38)

Jo

Этот показатель в частности удобен при имитационном моделировании систем на компью-
тере.

Чтобы уменьшить вклад большой начальной ошибки в интеграл (5.38) и учесть
ошибку, появляющуюся в дальнейшем, была предложена следующая оценка:

ИВМО= f /|е(ОИ	(5-39)

Jo

которая определяется как интеграл от взвешенного модуля ошибки (ИВМО). Весьма схо-
жим показателем является интеграл от взвешенного квадрата ошибки (ИВКО):

ИВКО= f	(5.40)

Jo
Рис. 5.25

Вычисление интеграла
от квадрата ошибки

Оценка качества ИВМО является наилучшей из рассмотренных, т. к. с ее помощью
проще всего находить минимальное значение интеграла при изменении параметров сис-
темы. В общем случае интеграл, оценивающий качество системы, имеет вид

/= [	,	(5.41)

Jo

где/есть функция ошибки, входного и выходного сигналов, а также времени. Используя
различные комбинации переменных системы и времени, можно получить много разных
оценок качества. Отметим только, что практическую ценность чаше всего представляют
оценки ИМО и ИКО. Например, минимизация одной из оценок качества может быть непо-
средственно связана с минимизацией расхода топлива самолетом или космическим аппа-
ратом.

Оценки качества играют большую роль при анализе и синтезе систем управления. Их
использование мы проиллюстрируем двумя примерами.

Пример 5.6. Критерии качества

На рис 5.26 изображена одноконтурная система управления, где принято нормированное зна-
чение собственной частоты (ол = 1. Замкнутая система имеет передаточную функцию


Рис. 5.27. Три оценки качества
для системы второго порядка

Рис, 5.26. Одноконтурная система
управления

На рис. 5.27 представлены три оценки качества — ИКО, ИВКО и ИВМО, вычисленные для
различных значений коэффициента затухания при ступенчатом входном воздействии. Эти
кривые показывают хорошую избирательность оценки ИВМО по сравнению с показателем
ИКО. На основе оценки ИВМО целесообразно выбрать значение коэффициента затухания
Q = qj чт0 для данной системы второго порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание
переходного процесса с перерегулированием 4,6%.

Пример 5.7. Система управления орбитальным телескопом

На рис 5.28 изображен сигнальный граф системы наведения орбитального телескопа. Требует-
ся выбрать значение коэффициента позволяющее минимизировать влияние возмущения
D(s), которое в данном случае эквивалентно начальной ошибке по положению. Передаточная
функция замкнутой системы по отношению к возмущению, полученная с помощью формулы
Мейсона, имеет вид:

У(5) = ^(5)А,(5) =____Ь(1+£Л<')	=_____ S(S+K\K3)______ .

D(s) 4(s)	\ + K}K3s~' + K}K2Kps~2 s2 + KiK3s +KtK2Kp'

(5.43)

Коэффициенты имеют следующие типичные значения: = 0,5 и К\К-?Кр - 2.5. Следовательно,
собственная частота аппарата fn = д/2,5/2л — 0,25. При единичном ступенчатом возмущении
минимальное значение оценки ИКО можно вычислить аналитически. Положение у(0 описыва-

ется выражением

><0 =

(5.44)

где Р - К3д/(Х?/8)-5. Возведение y(Z) в квадрат и интегрирование дает:

Jo

sin2

- — cos(p/+ 2\у) dt =	+ 0,1К3.

2	J

(5.45)

Продифференцировав (5.45) и приравняв результат нулю, получим:

— = -К32 + 0.1 = 0 .	(5.46)

Ж3

Таким образом, минимум ИКО имеет место при К3 = V10 = 3,2. Это значение К3 соответствует
коэффициенту затухания Q = 0,50. На рис. 5.29 приведены графики оценок ИКО и ИМО. Мини-
В(8)

Л(з)

Возмущение

В(з)

Возмущение

Рис- 5-28. Система управления наведением орбитального телескопа.
(а) Структурная схема, (б) Сигнальный граф

0

Рис. 5.29

Оценки качества системы управления
орбитальным телескопом
в зависимости от параметра Аз

Кз

мум ИМО получается при К3 = 4,2 и Q — 0.665. Хотя критерий ИКО и не столь избирателен, как
ИМО, тем не менее очевидно, что минимум этой оценки может быть вычислен аналитически.
Что касается минимума ИМО, то он находится путем измерения этого показателя для несколь-
ких значений варьируемого параметра системы.

Если выбранная оценка качества принимает минимальное значение, то система счи-
тается оптимальной. Однако оптимальные значения параметров непосредственно опреде-
ляются тем, на основании какой оценки качества они получены. Так, в примерах 5.6 и 5.7
мы обнаружили, что оптимальная настройка системы является разной для разных оценок
качества.
Для передаточной функции замкнутой системы общего вида



Л(^)

*0

(5.47)

были определены значения коэффициентов, которые минимизируют оценку ИВМО в слу-
чае ступенчатого входного сигнала. Заметим, что подобная система обладает нулевой уста-
новившейся ошибкой, а ее передаточная функция имеет и полюсов и не содержит нулей.
Оптимальные значения коэффициентов по критерию ИВМО приведены в табл. 5.6. На рис.
5.30 изображены переходные характеристики, соответствующие оптимальным значениям
коэффициентов для критериев ИКО, ИМО и ИВМО, причем графики построены в зависи-
мости от нормированного времени, Кроме рассмотренных, существуют и другие оцен-
ки качества, которые могут помочь проектировщику при решении конкретной задачи вы-
брать область изменения коэффициентов. Ниже приводится заключительный пример, ил-
люстрирующий использование оценки ИВМО.

Рис. 5.30
Переходные
характеристики,
соответствующие
оптимальным
коэффициентам
нормированной
передаточной
функции,
для критериев
(а) ИКО, (б) ИМО, и
(я) ИВМО.

Характеристики
изображены в
зависимости от
нормированного
времени, сол/.

а)

Нормированное время

б)
Рис. 5.30
(продолжение)

Пример 5.8. Управление двумя камерами

Чтобы дать возможность актерам выступать на фоне сложных миниатюрных декораций, необ-
ходима высокоточная и быстродействующая система управления. На рис. 5.31(a) изображена
такая система, состоящая из двух камер, одна из которых направлена на актера, а другая — на
миниатюрную декорацию.

Задача состоит в получении быстрой и точной координации двух камер путем использования
информации, поступающей отдатчика, связанного с камерой переднего плана, для управления
движением камеры заднего плана. На рис 5.31(5) приведена структурная схема системы управ-
ления движением камеры заднего плана по одной оси.

Замкнутая система имеет передаточную функцию

Т(з) = -у-----.	(5.48)

5 +	+ 0)05 + KaK^Q

В соответствии с табл. 5.6, для системы третьего порядка необходимо выполнение условий:
2£о)о = 1,75о)„, о)о = 2,150)2, КаКП1(й20 = w3.

Таблица 5.6. Оптимальные значения коэффициентов 7(5), основанные
на критерии ИВМО, при ступенчатом входном сигнале

S +

52 + l,4tO;rS’+ со2

? + 1,75о),^2 + 2,15(0^ + w3

/ + 2,1а)^3 + 3,4 о)2,?2 + 2,7о)3^ + со4

s5 + 2,8св„/ + 5,0св2^3 + 5,5св3^2 + 3,4о45 +

se + 3,25со,гу5 + 6,60о2/ + 8,60со3/ + 7,45о)>2 + 3,95ю;>+ (о*
Из рис. 5.30(e) мы видим, что для п - 3 время установления (нормированное) равно приблизи-
тельно 14 с. Следовательно. (&nTs = 8. Поскольку желательно иметь как можно большее быст-
родействие, то % следует выбрать достаточно большим, чтобы время установления было ме-
нее 1 с. Поэтому примем = 10 рад/с. Тогда согласно критерию ИВМО параметры T(s) дол-
жны быть следующими:

соо = 14.67 рад/с и С = 0,597.

Далее определяем коэффициент усиления усилителя и двигателя:

В результате передаточная функция замкнутой системы принимает окончательный вид:

ч	1000	1000

Г (у) =  -------т------------=-----------------------------------------—— -

+ 17.5s-2 + 215s + 1000 0+7.08)0+5.21+ j'10.68)(s+5.21-/10.68)

(5.49)

Положение полюсов замкнутой системы, предписываемое критерием ИВМО. приведено на
рис. 5.32. Комплексным полюсам соответствует коэффициент затухания Q - 0.44. однако эти
полюсы не являются доминирующими. Действительная реакция на ступенчатое входное воз-

Рис. 5.31. Камера переднего плана, которая может быть либо кино- либо
видеокамерой, направлена на голубой вогнутый экран. Электронная следящая система
позволяет управлять одновременно двумя камерами. Камера заднего плана нацелена
на миниатюрную декорацию и одновременно с помощью перископических датчиков
воспроизводит в миниатюре все движения камеры переднего плана. Видеоконтроллер
позволяет объединять изображения и вести их прямую запись.

1 — голубой матовый экран, 2 — видеоконтроллер, 3 — камера заднего плана,
4 — электронная система управления, 5 — камера переднего плана, 6 — датчики
действие, полученная путем компьютерного моделирования, показывает, что перерегулирова-
ние составляет всего 2%, а время установления (до вхождения реакции в зону 2% от конечного
значения) равно 0,75 с.

Для передаточной функции замкнутой системы общего вида

Т(з) =---------------------- (5.50)

sn + b,_^”-l+...+bls+b0

были определены значения коэффициентов, которые минимизируют оценку ИВМО в случае
линейного входного сигнала. Заметим, что такая система отрабатывает линейный входной сиг-
нал с нулевой установившейся ошибкой. Оптимальные значения коэффициентов приведены в
табл. 5.7. Передаточная функция (5.50) предполагает, что G(s) содержит два или более интег-
ратора, как и требуется для получения нулевой установившейся ошибки.

Рис. 5.32

Полюсы замкнутой системы,
дающие минимум ИВМО

Таблица 5.7. Оптимальные значения коэффициентов7(s), основанные
на критерии ИВМО, при линейном входном сигнале

S2 + 3,2(0,,? 4- 0)2

53 4- 1,75(0,/ 4- 3,25(0^ + О)3

? + 2,41(о,/ + 4,93(о2/ + 5,140)^4- о)*
? + 2,19(о,/ + 6,50(о2/ + 6,3 0(о3/ + 5,24ш,>4- (о,5,

5.10.	Упрощение линейных систем

Сложные системы, передаточные функции которых имеют высокий порядок, полезно изу-
чать, используя их аппроксимацию моделями пониженного порядка. Например, систему

четвертого порядка можно аппроксимировать моделью второго порядка, что позволит оце-

нивать ее показатели качества с помощью рис. 5.8.

Существует несколько методов понижения порядка передаточных функций. Сравни-

тельно простым способом является удаление несущественных полюсов, которые имеют
достаточно большую отрицательную действительную часть и, следовательно, слабо влия-

ют на вид переходной характеристики.
Например, если система имеет передаточную функцию

G(5) =

5(5+2)(5+30)

то мы безболезненно можем пренебречь полюсом 5 = -30. Однако мы должны сохранить
коэффициент передачи системы на нулевой частоте, поэтому новая передаточная функция

будет иметь вид



Х/30
5(54- 2)

Более сложный метод заключается в том, что частотную характеристику системы по-
ниженного порядка стараются подогнать как можно ближе к исходной частотной харак-
теристике. Хотя частотные методы будут рассматриваться в главе 8, данный метод ап-

проксимации связан в основном с алгебраическими манипуляциями и поэтому мы его

представим в данном разделе. Пусть система высокого порядка описывается передаточ-

ной функцией

H(s)~ К	+...+Д|54-1

Ьп S 4"	। 5	4-... 4- by S 4-1

(5.51)

все полюсы которой находятся в левой половине 5-плоскости и т < л. Аппроксимирующая
передаточная функция пониженного порядка имеет вид

L(s) = K

(5.52)

гдер < g < л. Заметим, что коэффициент К — один и тот же для исходной и аппроксимирую-

щей передаточных функций (это необходимо для совпадения свойств систем в установив-

шемся режиме). Метод, который поясняется примером 5.9, основан на подборе с, и df так,

чтобы частотная характеристика для L(s) была как можно ближе к частотной характеристи-

ке для Я(5). Это эквивалентно утверждению, что отношение //(/со)/Л(/о)) должно на всех ча-
стотах как можно меньше отличаться от единицы. Коэффициенты с и d определяются с по-

мощью следующих выражений:

Л/<*>(5)=-^—Лф)

(5.53)

И

(5.54)

где Л/(5) и А(5) есть, соответственно, полиномы в числителе и в знаменателе дроби
H(s)/L(s), Введем обозначение



%, (-\)к+ч М1к> (0)М{2к^1‘ (0)

“0	k\(2k-q)\

9 = 0,1,2...

(5-55)

и аналогичное выражение для Д2„. Коэффициенты с и d определяются из условия

M2q = Д2<? ,	(5.56)

где q = 1,2,... и т. д. до числа, необходимого для определения всех неизвестных коэффици-
ентов.
Применение данного метода поясним следующим примером.

Пример 5.9. Упрощенная модель

Рассмотрим систему третьего порядка:

И (s) =	?	 

s3 + 6s" + 1 Is + 6

(5.57)

Воспользовавшись моделью второго порядка

L(s) =

(5.581

t.

запишем:

M(s)= 1+ t/]S+ d2s2 и A(s)= 1+ (B'6)s+ s2 + (.^s’’.

Тогда

jW°(s) = 1 + d}s + d2s2	(5.59)

и Л7°(0) = 1. Аналогично получим

М] = ^-(1+d}s + d2s2)= d} +2d2s.	(5.60)

ds

Таким образом. Л/3(0) = dt. Продолжая этот процесс, получим:

М°(0)=1	Д°(0) = 1.

л/’(О)=ц	д'(0)=%,	(561)

Л/:(0) = 2о'2 Л2(0) = 2,

Л/, (0) =0 Д3 (0) = 1.

Теперь приравняем М2„ - Ahq для <7 = 1 и <7 = 2. Для q = 1 имеем

,,	, >/°(0)Л/2(0) М'(0)Л/'(0) , „A/2(0).W°(0)	, р ,	, ,	,2

Л/2 = (-1) -12-----2 +---L2---L2 + (-1)---L2----L2 -	+	- d2 = -2d2 + df. Ь.Ь2)

2	1	2

Аналогично для Л2:

_ aW(0)+«(0)+

2	1	2	36	36

Из (5.56) следует, что при q = 1 Мг = Д2> следовательно

-2rf2 + rf2 = %.	(5.64)

Завершая процесс, для = Д4 получим:

d2 — -^]3"	(У.бэ)

Совместное решение (5.64) и (5.65) дает результат: d{ = 1.615 и d2 - 0.625. (Другие решения от-
брасываем. т. к. они дают полюсы в правой половине s-плоскости.) Таким образом, система
пониженного порядка имеет передаточную функцию

£(s) =

1

1+ 1.615s + 0.625s2

1.60

s2 + 2,584s + 1.60

(5,66)

Интересно отметить, что H(s) имеет полюсы s = -1, -2, -3, тогда как полюсы £(s) равны
s = -1.029 и -1,555. Поскольку модель пониженного порядка имеет два полюса, можно оце-
нить, что система будет обладать слегка передемпфированной переходной характеристикой со
временем установления (по критерию 2% от конечного значения) приблизительно 3 с.
Рис. 5.33. Пример современной системы управления — рука робота, способная
выполнять деликатные операции, связанные с захватом предметов

Иногда бывает желательно сохранить в модели пониженного порядка доминирую-
щие полюсы исходной системы. Этого можно добиться, если включить в знаменатель L(s)
доминирующие полюсы H(s), а аппроксимацию обеспечивать за счет подбора числителя
L(s). Примером системы высокого порядка, которую удобно представить в виде модели
пониженного порядка, является рука робота, изображенная ни рис. 5.33.

Еще одним новым и полезным методом понижения порядка является метод аппрок-
симации Рауса, в основе которого лежит идея усечения таблицы Рауса, составляемой для
анализа устойчивости системы. Приближения Рауса можно определить с помощью ко-
нечного рекурсивного алгоритма, пригодного для реализации на цифровом компьютере.

5.11.	Пример синтеза: управление
ориентацией телескопа «Хаббл»

Орбитальный космический телескоп «Хаббл» является самым сложным и дорогим прибо-
ром научных исследований из всех, которые когда-либо были созданы. Этот телескоп, за-
пущенный 24 апреля 1990 г. на орбиту высотой 610 км над поверхностью Земли, сущест-
венно раздвинул границы технических возможностей. Его зеркало диаметром 2,4 м имеет
самую гладкую поверхность среди всех когда-либо созданных зеркал, а его система наве-
дения способна обеспечить ориентацию на центр 10-центовой монеты, находящейся на
расстоянии 650 км. Зеркало имеет сферическую аберрацию, которая во время экспедиций

на шаттле в 1993 и 1997 гг. была подвергнута существенной коррекции. Рассмотрим мо-

дель системы управления ориентацией телескопа, изображенную на рис. 5.34.

Цель синтеза состоит в выборе таких значений и К, чтобы (1) относительное пере-
регулирование выходной переменной при ступенчатом задающем сигнале r(t) не превы-
шало 10%, (2) установившаяся ошибка при линейном входном сигнале была минималь-
ной и (3) был значительно снижен эффект от ступенчатого возмущения. Поскольку систе-
ма содержит внутренний контур, то прежде всего необходимо упростить структурную
схему, сведя ее к виду рис. 5.34 (б).

Для системы на рис. 5.34 (б) выражение для выхода, обусловленного двумя входны-

ми сигналами, можно получить с помощью формулы Мейсона:

Y(S) = Д5)Я(5) + [7(5)/Х]£(5) ,

где

_r . KG(s) KG(s)

1 (5) =------- =------

l+XG(s) 1 + Z(s)

Для ошибки имеем:

R(^~ D(s) •
1+L(5)	1+L(5)

(5.67)

(5.68)

Сначала выберем такие значения К и которые удовлетворяли бы ограничению на отно-
сительное перерегулирование при ступенчатом входном сигнале, R(s) - A/s. Полагая
£>(5) = 0, запишем:

Y (5) = —-R(s) =---------— = ——------— .	(5.69)

1 + XG(j)	sts+K^+K s	s2+KiS + K S

Чтобы обеспечить перерегулирование менее 10%, используя рис. 5.8, выберем £ = 0,6; так-
же на основании (5.16) определим, что при £ = 0,6 перерегулирование составит 9,5%. Далее
исследуем установившуюся ошибку при линейном входном сигнале r(t) = Bt, t > 0. На осно-
вании (5.28) имеем:

г Г в 1 в

- lim------ -------.	(5.70)

^opXG(5)J К/К{

Установившаяся ошибка при единичном ступенчатом возмущении равна -Л/К. (Убе-
дитесь в этом самостоятельно.) Зависимость ошибки от возмущения можно уменьшить
путем увеличения К [см. (5.68)]. Подводя итоги, нам необходимо иметь большое значение
К и большое отношение K/KXi чтобы получить малое значение установившейся ошибки
при линейном входном сигнале [см. (5.70)]. Однако сохраняется требование иметь = 0,6,
чтобы ограничить величину перерегулирования.

В нашей задаче прежде всего надо выбрать величину X. При £ = 0,6 характеристиче-
ское уравнение системы имеет вид:

s2 + 2^ + а2п = ? + 2 • (0,6) a>„s + К = 0.	(5.71)

Следовательно, co„ = VA\ и второй член в знаменателе (5.69) должен давать =2 (0,6) о)}1.
Тогда, Кх - 1,2д/л\ или отношение KJKX принимает вид
Рис. 5.34

(а) Система
управления
ориентацией
телескопа «Хаббл»,
(б)
преобразованная
структурная схема,
(^)
синтезированная
система и
(г) реакции
системы
на единичные
' ступенчатые
задающий и
возмущающий
сигналы

1.20

2/(0

1.00

0.80

0.60

0.40

0.20

					1
					
			Реая	:ция НЕ	1 r(t} 	
					
					
					
					
					
					
					
		. Реакпия на i		юзмущение _	
					

0.6

0.8

t (с)

0

О

Если выбрать К - 25, то мы получим = 6 и KJK\ = 4,17. Если же выбрать К = 100, то мы по-
лучим = 12 пК1Кх = 8,33. В действительности мы не можем безгранично увеличивать К,
чтобы система не выходила из линейного режима работы. При значении К = 100 структур-
ная схема системы имеет вид рис. 5.34 (в). Реакция системы на единичные ступенчатые воз-
действия со стороны задания и возмущения изображены ни рис. 5.34 (г). Обратите внима-
ние, что влияние возмущения является крайне незначительным.
В завершение заметим, что установившаяся ошибка при линейном входном сигнале
[см.(5.70)] равна

е.... = — = 0,125 .

8,33

Таким образом, при К - 100 решение задачи синтеза системы можно считать превосход-
ным.

5.12.	Анализ качества систем управления
с помощью MATLAB и Simulink

В этом разделе предметом нашего интереса будут показатели качества, характеризующие
реакцию системы на входной сигнал, а также установившаяся ошибка, с которой система
отслеживает этот сигнал. Мы завершим дискуссию об упрощении линейных систем. Будет
введена в рассмотрение функция MATLAB impulse. Мы еще раз вернемся к функции Isim
(введенной в гл. 3) и покажем, как эти две функции используются при имитационном моде-
лировании линейных систем. Для той же цели мы воспользуемся и пакетом Simu-
link. Основы Simulink рассматриваются в Приложении Б, а более подробную ин-
формацию о нем с рядом примеров можно найти на Web-сайте MCS.

Качество систем во временной области. Качество системы обычно характеризует-
ся ее реакцией на входной сигнал заданного вида. Но поскольку входные сигналы, кото-
рые могут реально действовать на систему, заранее неизвестны, то о ее качестве судят по
реакции на типовой тестовый входной сигнал. Рассмотрим систему второго порядка,
изображенную на рис. 5.35 выходной сигнал в замкнутой системе определяется выраже-
нием (в виде изображения по Лапласу):

2

т=~------------<5’72)

5“ + 2£corts+ СО"

Рис. 5.35

Одноконтурная система
второго порядка

Мы уже знакомы с применением функции Step, с помощью которой вычисляется ре-
акция системы на ступенчатый входной сигнал. Теперь мы рассмотрим еще один важный
тестовый сигнал — импульс. Реакция системы на импульсный сигнал является производ-
ной по времени от ее реакции на ступеньку. Мы будем вычислять эту реакцию с помощью
функции impulse, схематически изображенной на рис. 5.36.

С помощью функции Step мы можем построить графики, подобные рис 5.5 (а)\ они
приведены на рис. 5.37. Функция impulse позволит нам получить графики, подобные
рис. 5.6. Реакция системы второго порядка на импульсный входной сигнал приведена на
рис. 5.38. В скрипте принято <ол - 1, что эквивалентно вычислению реакции системы в
функции от 1. Этот прием позволяет в общем случае получать графики для любых
ск > 0.
//
I!

Рис. 5.36

Функция impulse



Импульсный
вход

Система

Выход

[y,T]=impulse (sys,t)

Рис. 5.37

I (а) Реакция
системы второго

Г порядка

; на ступенчатый
входной сигнал.
\б) Скрипт MATLAB

а)

п

stepresp.m

% Вычисление переходной характеристики системы 2-го порядка
% Повторение рис. 5.5(a)

t=[0:0.1:12];num=[1];

zeta1=0.1; den1=(1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num,den1);
zeta2=0.2; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num,den2);
zeta3=0.4; den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num,den3);
zeta4=0.7; den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num,den4);
zeta5=1.0; den5=[1 2*zeta5 1]; sys5=tf(num,den5);
zeta6=2.0; den6=[1 2*zeta6 1]; sys6=tf(num,den6);
%

[y1IT1]=step(sys1,t);[y2,T2]=step(sys2it);	-

(y3,T3]=step(sys3,t);[y4,T4]=step(sys4,t);

[y5,T5]=step(sys5,t);[y6,T6]=step(sys6,t);

%

plot(T1 ,y1 J2,y2,T3,y3,‘—’ ,T4,y4, — \Т5,у5,‘:’,Т6,у€
xlabeK'Vomega^n*!'), ylabel(*y(t)’)

title('\zeta=O. 1,0.2,0.4,07,1.0,2.0'),grid

Вычисление
переходной
характеристики

Построение графи-
ков и обозначение
осей
Рис. 5.38

(а) Реакция
системы второго
порядка
на импульсный
входной сигнал.

(б) Скрипт MATLAB

a)

n

impresp.m

% Вычисление импульсной переходной характеристики системы j

% второго порядка	|

% Повторение рис. 5.6	!

%

t=[0:0.1:10]; num=[1);

zeta1=0.1; den1=[1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num,den1);
zeta2=0.25; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num,den2);

zeta3=0.5; den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num,den3);
zeta4=1.0; den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num,den4);
%

[y 1 ,T 1]=impulse(sys1 Д);

[y2,T2]=impulse(sys2,t);

[y3.T3]=impulse(sys3,t);

[y4,T4]=impulse(sys4,t);

Вычисление импульсной
переходной характеристики

Построение графиков
и обозначение осей

plot(t,y1 Д,у2Л,уЗ/—Д,у4/—’)

x!abe!(‘\omega_nt’),y!abel('y(t)Aomega_n’)
titlef\zeta = 0.1.0.25,0.5.1.0’).grid

Часто возникает необходимость определения реакции системы на произвольный
входной сигнал известного вида. В этих случаях используется функция Isim, способ при-
менения которой проиллюстрирован на рис. 5.39. С данной функцией мы имели дело в
гл. 3, где она применялась к моделям систем в переменных состояния; теперь мы восполь-
зуемся функцией Isim в случае, когда система задана своей передаточной функцией. При-
мер 5.10 демонстрирует применение функции Isim.
Рис. 5.39

Функция Isim

Произвольный
входной—>
сигнал

Система
ад

Выход

[y,T]=lsim (sys, u,t)

t - моменты времени,
в которые вычисляется
реакция на входной
сигнал

Пример 5.10. Управление рулевым механизмом подвижного робота

На рис. 5.19 изображена структурная схема системы управления рулевым механизмом по-
движного робота. Допустим, что регулятор имеет передаточную функцию

g,(5)=X,+ь

Если входной сигнал является линейным, то установившаяся ошибка

Ъ 	(5-73)

Л v

где Kv = Х2К. Влияние коэффициента усиления регулятора К2 на установившуюся ошибку оче-
видно из (5.73): чем больше К2, тем меньше установившаяся ошибка.

Реакцию замкнутой системы на линейный входной сигнал можно вычислить с помощью функ-
ции Isim. В скрипте MATLAB можно предусмотреть ввод различных значений коэффициен-
тов Ки К2 и К и тем самым исследовать их влияние на реакцию системы. На рис. 5.40 приведе-
ны результаты, полученные при = I, К2 = 2 и т = 0,1.

Упрощение линейных систем. Для системы высокого порядка всегда возможно
разработать аппроксимирующую модель пониженного порядка, у которой связь между
входным и выходным сигналами будет очень близка к аналогичной зависимости для ис-
ходной системы. Процедура подобной аппроксимации рассмотрена в разделе 5.10. В сле-
дующем примере показано, как с помощью MATLAB можно сравнить реакции исходной
системы и аппроксимирующей ее модели.

Пример 5.11. Упрощенная модель

Рассмотрим систему третьего порядка:

Я(5) = ----~.

S3 + 6S2+ I 15+ 6

Аппроксимация второго порядка (см. пример 5.9) имеет вид:

И >	I60

?+ 2,584s+1.60 '

На рис. 5.41 для сравнения приведены переходные характеристики этих моделей.
Рис. 5.40

(а)	Реакция системы
управления рулевым
механизмом
подвижного робота
на линейный входной
сигнал.

(б)	Скрипт MATLAB

б) mobilerobot.m

% Вычисление реакции системы управления подвижным

% роботом на сигнал треугольной формы

%

xlabel(‘BpeMA(c)'),ylabel(‘\theta (рад.)’),grid

Пример 5.12. Анализ системы управления креном самолета
с помощью Simulink

Каждый раз, когда вы летите на самолете, вы на личном опыте можете оценить все достоинст-
ва систем автоматического управления, помогающих пилотам вести машину. Точная матема-
тическая модель, описывающая поведение самолета в воздухе, представляет собой систему не-
линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами. В нашем примере при
синтезе автопилота мы воспользуемся упрощенной моделью динамики самолета в виде пере-
даточной функции, связывающей отклонение элеронов и угол крена самолета, как это схема-
тически показано на рис. 5.42 (я). На рис. 5.42 (б) изображена замкнутая система управления
положением самолета в воздухе, цель которой состоит в поддержании угла крена, близкого к
нулю градусов, т. е. срг/ = 0, в условиях непредвиденных внешних возмущений.

На рис. 5.43 показано, как использовать Simulink для анализа системы управления. Вы можете
двойным щелчком кнопки мыши на соответствующем блоке (коэффициент усиления регуля-
тора. привод элеронов, динамика самолета, гироскопический датчик крена) открыть всплыва-
ющее окно и задать в нем нужные вам параметры. Например, на рис. 5.44 показано, какие дей-
ствия надо совершить, чтобы задать коэффициент усиления регулятора. Чтобы всплывающее
окно не заслоняло структурную схему, вы можете щелкнуть мышью в любом месте строки за-
головка главного окна, а затем щелкнуть на всплывающем окне и перетащить его в нужное по-
ложение на рабочем столе.
Рис. 5.41

(5) Сравнение
переходных
характеристик
исходной системы
третьего порядка и
ее аппроксимации
моделью второго
порядка.

(5) Скрипт MATLAB

(а)

Время

(о)

stepcomp, m

% Сравнительная оуенка переходных характеристик

H(s) =

num1=[6]; den1=[1 6 11 6]; sys1=tf(num1,den1);

num2=[1.6]; den2=[1 2.584 1.6]; sys2=tf(num2,den2);

t=[0:0.1:8];

(y1,T1]=step(sys1,t);	,	L6

[y2,T2]=step(sys2,t);	? + 2 584, + L6

plot(T1,y1,T2,y2,‘—’),grid

х!аЬе1(‘Время (с)‘),у1аЬе1(‘Переходная характеристика')

%

9

о)

Рис. 5.42

(а) Управление
углом крена
самолета с
помощью элеронов.
(6) Автопилот,
управляющий углом
крена

Г

Плоскость
симметрии

<p(s)

Угол
крена
Рис. 5.44

Всплывающее окно,
используемое
для изменения

коэффициента
усиления
регулятора

Рис. 5.43

Рабочее окно

Simulink с заданием
динамики
самолета,
регулятора и
привода элеронов

Панель заголовка

Панель инструментов

Gyro

Aircfjft dynamic»

11.4

10

 || 7TW
гНО

Controller join Aileron «tueiof

Двойным щелчком мыши
выделите блок, чтобы
получить доступ к списку
параметров
---------'--------|<чв«У"

Step

Block Гагameleis Conholler yam

• G«n	I,	'.'.t тЛ. Л	>...* l. ...... .

------------------------------------------------------------------

•: Gatr I!;?'	.

Введите сюда желаемое
значение коэффициента
усиления

Зооре

Завершите процедуру
щелчком на ОК



Р SakiateortirtbaeDveHto*

Certqsl Г





Как только вы измените параметры во всплывающих окнах, они сразу же появятся и на струк-
турной схеме. На рис. 5.45 и 5.46 показаны открытые окна для задания динамики привода эле-
ронов и самолета, Основными элементами системы управления являются регулятор, Gc(s) = К,
привод элеронов.

а С5)

10

5+10 ’

и самолет,

G(5>

11,4

52 + 1,45

Перед началом решения задачи необходимо установить время окончания моделирования. Для
этого в меню Simulation выберите опцию Parameters, как показано на рис. 5.47. Всплывающее
окно Simulation Parameters дает доступ к различным программам численного интегрирова-
ния и позволяет задать время начала и окончания моделирования.

Произведя необходимые изменения, нажмите кнопку ОК. Для начала моделирования выбери-
те опцию Start из меню Simulation, как показано на рис. 5.48, в результате программа Присту-
Рис. 5.45

Всплывающее окно,
используемое
для изменения
передаточной
функции привода
элеронов

Завершите процедуру
щелчком на ОК

Введите сюда коэффициенты
полиномов в числителе
и знаменателе

Рис. 5.46

Всплывающее окно,
используемое
для изменения
передаточной
функции самолета

W
t*10

.ф.

Дйеия бутита



L14

G(5) =

Hhtrk Ригriirwles: Авыак

-M>A

>U)

! |П 1.4 01

j

i

Завершите процедуру
щелчком на ОК

Введите сюда коэффициенты
полиномов в числителе

и знаменателе





















£

пит к решению задачи и будет делать это пока не наступит заданный момент окончания моде-
лирования. Вы также можете начать и прервать моделирование с помощью кнопки панели ин-
струментов, как показано на рис. 5.48.

Вывод на экран графика решения задачи производится при помощи опции Scope (см. Прило-
жение Б). На рис. 5.49 приведен результат моделирования для случая, когда задан коэффици-
ент усиления регулятора К ~ 0,16. Вы можете изменить любую передаточную функцию или
любой параметр и оперативно наблюдать, как это отразится на решении задачи.
Рис. 5.48

Начало
моделирования

Рис. 5.47

Выбор в меню
Simulation опции
Parameters

5.13.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ В разделе 4.10 мы рассматривали поведение замкнутой системы управления поло-
жением считывающей головки. Обратимся еще раз к этой системе, структурная схе-
ма которой приведена на рис. 4.33. Здесь мы продолжим процедуру синтеза (после-
довательность действий вторично представлена на рис. 5.50) и перейдем к шагу 3, на кото-
ром определяется желаемое качество системы. Мы попытаемся выбрать такое значение
коэффициента усиления Ка, при котором качество системы было бы наилучшим.
| 5.13. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска 287

Рис. 5.49

Реакция
на ступенчатый
входной сигнал
системы управления
углом крена
самолета,
полученная путем
моделирования
в Simulink

Щелкните правой кнопкой
мыши в области экрана,
чтобы вызвать всплывающее
окно для задания
параметров графика

Рис. 5.50. Процесс синтеза системы управления
Нашей целью является получение наилучшего быстродействия при отработке сту-
пенчатого сигнала r(t) с учетом (1) ограничения на величину перерегулирования и колеба-
тельный характер реакции и (2) необходимости уменьшения влияния возмущения на по-
ложение считывающей головки. Требования к качеству системы сведены в табл. 5.8

Таблица 5.8. Требования к переходной характеристике

Показатель качества

Относительное перерегулирование

Время установления

Максимальная величина реакции
на единичное ступенчатое возмущение

Желаемое значение

Менее 5%

Менее 250 мс

Менее 5 * 10~3

Рассмотрим модель второго порядка для двигателя и рычага, в которой мы прене-
брегли индуктивностью обмотки двигателя. В этом случае замкнутая система имеет вид
рис. 5.51. Для входной переменной при условии D(s) - 0 можно записать:

Y•R^ = , 5Ка----------------------R^ =  ----------7 '(5-74)

5(5 + 20)+ 5Ка $- +205+ 5Ка s' +2^(о„5+со"

D(s)

K(s)

Рис. 5.51. Модель системы управления второго порядка

Отсюда следует, что = 5Ка и 2£со„ = 20. Далее мы можем определить реакцию сис-
темы с помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 5.52. В табл. 5.9 представлены
показатели качества, соответствующие различным значениям Кв.

Таблица 5.9. Реакция системы второго порядка на ступенчатый
входной сигнал

Ка 20

Относительное
перерегулирование

Время установления (с)	0,55

Коэффициент затухания	1

Максимальное значение выходной
переменной y(z) при единичном -1010-3
ступенчатом возмущении

30	40	60	80

1,2%	4,3%	10,8%	16.3%

0,40	0,40	0,40	0,40

0,82	0.707	0,58	0,50

-6,6-10~3	-5,2-10'3 —3,7-10‘3	-2,9-10~3
Рис. 5.52

Реакция системы
на единичный
ступенчатый входной
сигнал, = 1, t> 0.
(а) Скрипт MATLAB.

(б) Реакции системы
при Ка = 30 и Ка = 60

Ка=30; -----------------------------

t=[0:0.01:1];

nc=[Ka*5]; dc=[1]; sysc=tf(nc,dc);

ng=[1]; dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);

sys1=series(sysc,sysg); A __________

sys=feedback(sys1,[1]); J

[y,T]=step(sys,t);

plot(T1y),grid

х1аЬе1(‘Время (c)‘)

ylabel(‘y(t)’)

Выбор Ka

Вычисление
передаточной функции
замкнутой системы

6)

1.2
1
О Л

S о.$
0.4
0.2

О

О 0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.8	0.7	0.8	0.9	1

Время(с)

На рис. 5.53 изображены зависимости у(0, полученные при единичном ступенчатом

возмущении для Ка = 30 и Ка = 60. При увеличении Ка до 60 влияние возмущения умень-

шается почти в 2 раза. Если мы хотим удовлетворить требования, предъявляемые к систе-
ме, то нам придется выбрать компромиссное значение Ка. Очевидно, в данном случае наи-
лучшим компромиссом будет значение Ка = 40. Однако это значение не удовлетворяет

всем требованиям. В следующей главе мы вернемся к процедуре синтеза, изображенной

на рис. 5.50, и изменим конфигурацию системы, как это предусмотрено шагом 4.

5.14.	Резюме

В этой глав мы познакомились с определением качества системы управления и способами
его измерения. Было обсуждено понятие показателей качества и подчеркнута важность ис-
пользования типовых тестовых сигналов. Были приведены некоторые показатели качест-
ва, характеризующие систему при типовых тестовых сигналах. Сюда относятся, например,
перерегулирование, время максимума и время установления переходной характеристики
при ступенчатом входном сигнале. Было отмечено, что часто требования к качеству систе-
мы вступают в противоречие и требуется компромиссное решение. Была рассмотрена
связь между расположением на 5-плоскости корней характеристического уравнения систе-
мы и ее временными характеристиками. Наиболее важным показателем качества системы
является ее установившаяся ошибка при входном сигнале заданного вида. Эта зависимость

10— 1503
Рис. 5.53

Реакция системы
на единичное
ступенчатое
возмущение,
D(s) = 1 /s.

(а)	Скрипт MATLAB.

(б)	Реакции системы
при Ка - 30 и Ка = 60

а)

Ка=30;

t=[0:0.01:1];

nc=[Ka*5); dc=[1); sysc=tf(nc,dc);

ng=[1]; dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);
sys=feedback(sysg,sysc);

sys=-sys; ◄--------------------------

step(sys.t);

х!аЬе1(‘Время (c)‘),ylabel(‘y(t)’)

Выбор Ка

Возмущение
приложено к сумматору
со знаком минус

была установлена с помощью теоремы о конечном значении функции. Данное свойство си-
стемы с обратной связью проиллюстрировано на рис. 5.54. В заключение была подчеркну-
та важность применения интегральных оценок качества, и на ряде примеров было показа-
но. как можно минимизировать соответствующую оценку. Таким образом мы сделали ак-
цент на определение и количественные оценки качества систем управления с обратной
связью.

Рис. 5.54

Реакция системы с обратной связью
на линейный входной сигнал
при К - 1, 2 и 8 в случае

G (s) = K/s\s + 1)(s ч- 3).

Установившаяся ошибка
уменьшается с ростом К,
но приобретает колебательный
характер при К = 8
Упражнения

У-5.1. Система управления двигателем дисковода компьютера должна ослаблять влияние возмуще-
ний и изменения параметров, а также минимизировать установившуюся ошибку. Желательно,
чтобы система позиционирования головки, имеюшая вид рис. 5.18 приЯ(у) = 1. обладала нуле-
вой установившейся ошибкой, (а) К какому типу должна относиться данная система? (Сколько
интеграторов она должна содержать?) (б) Если входной сигнал является линейным, то каким
должен быть тип системы, чтобы установившаяся ошибка равнялась нулю?

У-5.2. На рис. 5.2(У) изображена модель
системы управления скоростью го-
ночного автомобиля, (а) Определи-
те установившуюся ошибку при
ступенчатом изменении заданной
скорости, (б) Определите относите-
льное перерегулирование у(/) при

Автомобиль

ад _
Заданная
скорость

100

(s+2)(sH-5)

Скорость

ступенчатом изменении входного Л

Рис. 5.2 (У). Система управления скоростью
сигнала.	гоночного автомобиля

Ответ: (a) ess = А/11; (б) 20,8%.

У-5.3. Долгие годы железнодорожная компания Амтрак пытается привлечь пассажиров для поездок
на Средний Запад, используя транспортные средства, разработанные десятилетия назад. В то
же время иностранные компании проектируют новые железнодорожные системы, которые
успешно могут конкурировать с авиаперевозками. Две из таких систем — французская TGV и
японская Шинкансен — способны обеспечивать скорость движения до 250 км/ч. На
рис. 5.3(У), (а) изображен американский экспериментальный поезд на магнитной подушке
Трансрапид-06.

Использование магнитной подушки и электромагнитной силовой установки обеспечивает
движение поезда без контакта с направляющими, что принципиально отличает его от сущест-
вующей конструкции Метролайнер. Днище вагона ТР-06 (где у обычного вагона располага-
лись бы колеса) охватывает направляющий рельс. Взаимодействие магнитов на рельсе и элект-
ромагнитов на днище вагона удерживает вагон в подвешенном состоянии примерно в санти-
метре над рельсом (см. задачу 2.27).

Рис. 5.3 (У)

Система управления
подвеской вагона

Дз) _

Ток в обмотке
электромагнита

Динамика
изменения
зазора

J

ад

Зазор
На рис* 5.3(У), (6) изображена система управления подвеской вагона, (а) С помощью табл. 5.6
выберите значение К, обеспечивающее оптимальную реакцию системы на ступенчатый вход-
ной сигнал по критерию ИВМО. (б) С помощью рис. 5.8 определите ожидаемое перерегулиро-
вание при ступенчатом входном сигнале 7(s).

Ответ: К — 100; 4,6%.

У-5.4. Система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

G(5) =

2(5 + 8)

5(5 + 4)

(а) Определите передаточную функцию замкнутой системы с единичной отрицательной об-
ратной связью, Г(5) - y(s)/7?(s). (б) Определите реакцию системы y(t) на ступенчатый входной
сигнал r(t) = Л, t > 0. (в) С помощью рис. 5.13(a) определите относительное перерегулирова-
ние. (г) Используя теорему о конечном значении, определите установившееся значение y(t).
Ответ: (б) ХО = 1- 1,07е“3/ sin(4lt + 1,2).

У-5.5. На рис. 5.5(У), (а) изображен малоинерционный плоттер, а на рис 5.5(У),(б) — его структур-
ная схема, (а) Определите установившуюся ошибку при линейном входном сигнале, (б) Выбе-
рите значение К, обеспечивающее максимально возможное быстродействие системы при от-
сутствии перерегулирования.

Укажите положение полюсов и нулей данной системы и обсудите доминирующую роль комп-
лексных полюсов. Какое перерегулирование вы ожидаете в случае ступенчатого входного сиг-
нала?

У-5.6. Существенную помощь людям, страдающим диабетом, может оказать система автоматиче-
ской инъекции инсулина, включающая в себя насос и датчик, измеряющий содержание сахара
в крови. Структурная схема такой системы изображена на рис. 5,6(У). Выберите значение К,
при котором реакция системы на ступенчатое входное воздействие имела бы перерегулирова-

Рис. 5.5 (У)

(а)	Плоттер фирмы
Хьюлетт- П аккард.

(б)	Структурная схема
плоттера

а)

Обратная связь по положению
Рис. 5.6 (У)
Система
управления
содержанием
сахара в крови

ад

ние порядка 7%. На схеме R(s) соответствует желаемому содержанию сахара в крови, a Y(s) —
его действительному значению. (Подсказка: воспользуйтесь рис.5.13(a).)
Ответ: К = 1,67.

У-5.7. Система позиционирования головки дисковода гибкого диска в замкнутом состоянии имеет
передаточную функцию



O,313(s+O,8)

(s + O,6)(s2 + 4s + 5) ’

Изобразите диаграмму расположения полюсов и нулей данной системы и обсудите доминиру-
ющую роль комплексных полюсов. Какое перерегулирование можно ожидать при ступенча-
том входном сигнале?

У-5.8. Система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

<ад=-----7=-’

5(5+V2F)

охвачена единичной отрицательной обратной связью.

(а)	Определите относительное перерегулирование и время установления (по критерию 2% от
конечного значения) при отработке единичного ступенчатого входного сигнала.

(б)	При каких значениях К время установления будет менее 1 с?

У-5.9. Система управления второго порядка имеет в замкнутом состоянии передаточную функцию
T(s) = Y(s)/R(s). При ступенчатом входном воздействии к качеству системы предъявляются
следующие требования:

1)	Относительное перерегулирование < 5%;

2)	Время установления <4 с ;

3)	Время максимума переходной характеристики Тр < 1 с.

Укажите допустимую область расположения полюсов Г(5), при которой будут обеспечены вы-
двинутые требования. Время установления определяется по критерию 2% от конечного значе-

ния.

У-5.10. На рис, 5.10(У) изображена система с единич-
ной отрицательной обратной связью. Определи-
те установившуюся ошибку при ступенчатом и
линейном входных сигналах, если

ад

ад

Рис. 5-10 (У). Система с единичной
обратной связью

G(s) =

10(s+ 4)

s(s+ l)(s+ 3)(s+ 8) '

У-5.1Е Всем известна карусель Ферриса, используе-
мая в качестве аттракциона на ярмарках и карна-

валах. Джордж Феррис родился в 1859 г. в Гейлс-

берге, шт. Иллинойс. Позже он переехал в Неваду и в 1881 г. закончил Ренсселерский политех-
нический институт. К 1891 г. Феррис уже имел большой опыт строительства металлических

конструкций и мостов. Он задумал и построил свою знаменитую карусель для выставки в честь
Колумба, проходившей в Чикаго в 1893 г. Во избежание падения пассажиров потребуем, чтобы
Рис, 5.11 (У). Регулирование скорости вращения карусели Ферриса

в системе на рис. 5.11(У) установившаяся скорость удерживалась в пределах 5% от желаемой
скорости.

(а)	Определите значение при котором будет выполняться предъявляемое к системе требова-
ние. (б) При коэффициенте К. найденном в п. (а), вычислите и изобразите графически ошибку
е(7). вызванную возмущением D(s) = И s. Изменяется ли при этом скорость более чем на 5%?
[Для простоты вычислений примите 7?0) = 0.]

У-5.12, Для системы с единичной обратной связью на рис. 5.10(У) определите установившуюся
ошибку в случае ступенчатого и линейного входных сигналов, если

СО) = —----------.

?+ 14.У+ 50

Ответ'. e,v = 0.83 при ступенчатом сигнале и evs. = qo при линейном входном сигнале.

У-5.13. На рис. 5.13(У) изображена сис-
тема с обратной связью.

(а) Определите установившуюся
ошибку при единичном ступенча-
том входном сигнале, если К = 0,4
и Gp(s) = 1.

(б)	Выберите такое значение
6 (s), при котором в случае еди-
ничного ступенчатого входного

В(з)

У(8)

Рис, 5-13 (У), Система с обратной связью

сигнала установившаяся ошибка

будет равна нулю.

У-5.14. Замкнутая система управления имеет передаточную функцию

T(s) =

Г(р _________500_______

R(s)~ (s+10)(s2+10s+50)

В случае ступенчатого входного сигнала постройте графикиу(0- если (а) используется ис-
ходное выражение ТО) и (б) используются только доминирующие комплексные полюсы.
Сравните результаты.

У-5.15. Дана система второго порядка:

Г(5) =

Гр) _ (10/z)(s + z)

R(s) (s+l)(s+8)

Рассмотрите случай, когда 1 < z < 8. Разложите 7р) на простые дроби и изобразите графикиy(f)
в случае ступенчатого входного сигнала r(z) для значений z = 2; 4; 6.

У-5.16. Передаточная функция замкнутой системы T(s) имеет два доминирующих комплексно-со-
пряженных полюса. Выделите в левой половине ^-плоскости область, в которой должны нахо-
диться эти полюсы, чтобы система удовлетворяла следующим требованиям.

(а)	0,6 < Q < 0,8 и < 10.

(б)	0.5 < ^ < 0.707 и со„ > 10.
(в)	С > 0,5 и 5 <	< 10.

(г)	С < 0,707 и 5 <	< 10.

(д)	С > 0,6 О)и < 6.

У-5.17. Для системы, изображенной на
рис.5.17(У), (а), реакция на еди-
ничное ступенчатое воздействие 0
при К = 1 приведена на рис.

5.17(У), (^). Определите значение
К. при котором установившаяся
ошибка равнялась бы нулю.

Ответ’. К - 1,25.

Рис. 5.17 (У)

Задачи

3-5.1. В телевидении серьезную проблему представляют скачки или подергивания изображения,
возникающие из-за перемещения камеры. Этот эффект особенно проявляется тогда, когда ка-
мера находится на движущемся автомобиле или на самолете. Чтобы исключить это явление,
специально была спроектирована система Диналенс, изображенная на рис. 5.1 (3). Предполага-
ется, что максимальная скорость сканирования составит 25 %. Будем считать, что Kt= 1,
а постоянной времени можно пренебречь, (а) Получите выражение для ошибки системы
£(s). (б) Определите, каким должен быть коэффициент усиления в контуре, KcrK}tlKh если допу-
скается установившаяся ошибка в 1 °/с. (в) Двигатель имеет постоянную времени ~ 0,40 с.
Определите, каким должен быть коэффициент усиления в контуре, чтобы время установления
(по критерию 2% от конечного значения vb) не превышало 0,03 с.

3-5.2. Необходимо синтезировать замкнутую систему управления, которая обладала бы передемп-
фированной реакцией на ступенчатое входное воздействие. К качеству системы предъявляют-
ся следующие требования:

20% > относительное перерегулирование > 10%;

время установления < 0,6 с.

Рис. 5.1 (3)

Система управления
телекамерой

а) Момент двигателя
(а) Укажите желаемую область расположения доминирующих полюсов системы, (б) Опреде-
лите наименьшее значение третьего полюса, если реакция в основном должна определяться
комп леке но-с спряженными полюсами, (в) Передаточная функция замкнутой системы T(s)
(при единичной обратной связи) имеет третий порядок. Определите передаточную функцию
прямой цепи G(s) = Y(s)fE(s), если задано время установления (по критерию 2% от конечного
значения) 0,6 с и относительное перерегулирование 20%.

3-5.3. Лазерный луч можно использовать для сварки, сверления, гравировки, резки и разметки ме-
таллических деталей, как показано на рис. 53(3), (а). Предположим, что нам необходимо с по-
мощью замкнутой системы управления на рис. 53(3), (6) начертить на металле параболиче-
скую линию. Определите, каким должен быть коэффициент усиления, чтобы при r(z) = г см
установившаяся ошибка составляла не более 5 мм.

Рис. 5.3 (3)

Система управления
лучом лазера

б)

У(з)

3-5.4. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

G(i) =

s(s + 2)

При замыкании единичной отрицательной обратной связи реакция системы на ступенчатый
входной сигнал должна удовлетворять следующим требованиям:

время максимума Тр - 1,1 с;
относительное перерегулирование = 5%.

(а) Определите, могут ли оба требования быть удовлетворены одновременно, (б) Если невоз-
можно одновременно удовлетворить оба требования, то определите компромиссное значение
при котором показатели качества меньше всего отличались бы от заданных.

3-5.5. Для выполнения астрономических наблюдений на орбиту выводится космический телескоп.
Система управления наведением должна обладать точностью 0,01 угловой минуты и следить
за движением объектов со скоростями до 0,21 угловой минуты в секунду. Космический теле-
скоп изображен на рис. 5.5(3), (а), а система управления — на рис.5.5(3), (б). Пусть = 1 с, а
т? = 0 (примем такую аппроксимацию), (а) Определите значение К = при котором реак-
ция на ступенчатый входной сигнал будет иметь как можно меньшее время установления, а пе-
ререгулирование не будет превышать 5%. (б) Определите установившуюся ошибку системы
при отработке ступенчатого и линейного входных сигналов, (в) Определите значение для
системы, оптимальной по критерию ИВМО, в случае (1) ступенчатого и (2) линейного входно-
го сигнала.
о)

(б) Система управления наведением телескопа

Рис- 5-5 (3). (а) Космический телескоп.

3-5.6. Робот запрограммирован так,
чтобы обеспечивать движение
инструмента по заданной тра-
ектории. Пусть эта траектория
представлена графиком пило-
образного вида на рис.
5.6(3), (а).

В системе на рис, 5.6(3), (б) пе-
редаточная функция G(s) име-
ет вид:

50(5+1)

5(5+ 6)(5+ 9)

Определите установившуюся Рис. 5-6 (3)- Управление движением робота
ошибку.

3-5.7. Астронавт Брюс МакКендлесс 7 февраля 1984 года совершил первую прогулку в космосе без
страховочного фала, используя газовый реактивный двигатель. Его фото во время этой про-
гулки приведено на рис. 5.7(3), (а). Регулятор можно представить в виде коэффициента как
показано на рис. 5.7(3), (б). Момент инерции человека вместе с оборудованием, которое он
держит в руках, составляет 25 кг  м2. (а) Определите значение коэффициента К3, необходимое
для поддержания установившейся ошибки, равной 1 см, при входном воздействии r(/) = t (в
метрах), (б) Приняв это значение К3, определите коэффициент К{К2> при котором величина пе-
ререгулирования не будет превышать 10%. (в) Аналитически найдите величину К\К2, при ко-
торой в случае ступенчатого входного сигнала оценка качества ИКО будет минимальной.
Рис 5.7 (3)

(а)	Астронавт Брюс
МакКендлесс в нескольких
метрах от находящегося
на орбите космического
челнока «Челленджер».

Он пользуется
управляемым вручную
реактивным устройством,
создающим струю газа
азота.

(б)	Структурная схема
системы

я)

б)

3-5.8. Солнечные батареи генерируют напряжение постоянного тока, которое может быть исполь-
зовано для питания электродвигателей или преобразовано в напряжение переменного тока, на-
правляемое в электросеть. Мощность на выходе батарей желательно поддерживать максима-
льной, независимо от изменения положения Солнца в течение дня. Одна из возможных систем,
предназначенных для решения этой задачи, приведена на рис. 5.8(3). Передаточная функция
объекта

s+10’

где К = 20. Определите (а) постоянную времени замкнутой системы и (б) время установления
(по критерию 2% от конечного значения выходной переменной) при действии возмущения
(например, при появлении облаков).

Производная
мощности
при ее —
максимальном
уровне

Возмущение

Аз)

Интегратор

G(s)

Выходная
мощность

Дифференциатор

dt

H(s)

Рис. 5.8 (3). Система управления солнечными батареями
3-5.9. /Антенна, с помощью которой осущест-
вляется связь с телекоммуникационным
спутником Телстар, является самой
крупной из когда-либо построенных ан-
тенн рожкообразной формы. Эта антен-
на. работающая в сантиметровом диа-
пазоне, имеет длину 54 м, весит 340 т и
вращается на рельсах по окружности.
На рис. 5.9(3) приведено фото этой ан-
тенны. Спутник Телстар имеет диаметр
85 см и вращается вокруг Земли на вы-
соте 4000 км со скоростью 26000 км/ч.
Антенна должна быть направлена на
спутник с точностью 0.1°. т. к. микро-
волновый луч имеет ширину 0,2° и си-
льно уменьшает свою мощность с уве-
К

личением расстояния. Если антенна

Рис. 5-9 (3). Антенна для связи
со спутником Телстар в Андовере, шт. Мэн

должна следить за движущимся спутни-

ком, определите, какое значение Av для этого должна иметь система управления.

3-5.10. При управлении по цепи якоря скоростью вращения двигателя постоянного тока в качестве
сигнала обратной связи используется япротивоЭДС. (а) Изобразите структурную схему такой
системы (см. пример 2.5). (б) Определите установившуюся ошибку системы, если на вход по-
дается ступенчатый сигнал, в соответствии с которым скорость должна принять новое значе-
ние. Примите Ra-La = J=b- Кт = Kh = 1. (в) Выберите коэффициент противоЭДС таким обра-
зом, чтобы переходная характеристика имела перерегулирование 15%.

3-5.11. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

G\s) =----= — .

£(5)	5

Данная система охватывается единичной отрицательной обратной связью, и на вход подается
ступенчатый сигнал амплитуды Л. Задано начальное условие у(Г0) = О, гдеу(Г) — выходной
сигнал системы. Качество системы определяется оценкой

(а) Покажите, что 1 = (А- QylZK. (б) Определите параметр А, минимизирующий данную оцен-
ку качества. Имеет ли этот коэффициент практическую ценность? (в) Выберите величину А.
имеющую практический смысл, и определите соответствующее значение оценки качества.

3-5.12. По мере создания высокоскоростных электропоездов будег возрастать ин тенсивность пасса-
жиропотоков, т. к. поездка из города в город по времени станет сравнима с авиаперелетом, В
Японии между Токио и Осакой уже циркулирует экспресс, покрывающий расстояние в 515 км за
3 ч 10 мин со средней скоростью 163 км/ч. Эта скорость еще более увеличится при использова-
нии новых систем, таких как магнитная подвеска над алюминиевым направляющим рельсом.
Для поддержания заданной скорости предлагается система управления, обеспечивающая нуле-
вую установившуюся ошибку при линейном входном сигнале. Для этого достаточно иметь сис-
тему третьего порядка. Определите оптимальную передаточную функцию замкнутой системы
ДД исходя из оценки качества ИВМО. Оцените время установления (по критерию 2% от конеч-
ного значения) и перерегулирование при ступенчатом входном сигнале, если су = 10.

3-5.13. Систему четвертого порядка требуется аппроксимировать моделью более низкого порядка.
Исходная система имеет передаточную функцию

ч J3+7?+245+24	?+7?+24у+24

Щз) = ------------х---------=---------------------.

/ + 10? + 35г + 505+ 24 (5 + l)(s+ 2)(s+ 3)($+ 4)
Покажите, что применение метода, описанного в разделе 5.10, если не заданы полюсы и ну
L(s), позволит получить модель второго порядка с передаточной функцией



0,29175+1	0,731(5+ 3,428)

0,39952+ 1,3755+ 1 " (5+ 1,043)(5+ 2,4)

3-5.14. Для исходной системы из задачи 5.13 требуется получить модель пониженного (второго) по-
рядка, если заданы ее полюсы, равные -1 и -2, а ее единственный нуль не определен. Покажи-
те, что эта модель имеет передаточную функцию

r , ч 0,9865 + 2 0,986(5 + 2,028)

1^1 Sj — *	1 “

52+ 35+ 2	(5+ 1)(5+ 2)

3-5.15. На рис. 5.15(3) изображен
магнитный усилитель с малым
выходным сопротивлением,
соединенный последовательно
с низкочастотным фильтром и
предусилителем. Усилитель
имеет высокое входное сопро-
тивление, коэффициент усиле-
ния, равный 1, и используется
в качестве сумматора. Выбери-
те значение емкости С так, что-

Рис. 5.15 (3). Усилитель с обратной связью



бы передаточная функция И0(5)/Vt(s) имела коэффициент затухания 1/л/2. Постоянная времени

магнитного усилителя т = 1 с, а его коэффициент усиления 10. Определите время установ-
ления (по критерию 2%) для данной системы.

3-5.16. Электрокардиостимулятор способен регулировать частоту сердечных сокращений. На рис.
5.16(3) изображена замкнутая система, включающая в себя кардиостимулятор и датчик часто-
ты сердечных сокращений. Передаточная функция кардиостимулятора и объекта управления
(сердца) имеет вид:

Определите коэффициент Л?, при котором в случае ступенчатого возмущения время установле-
ния будет менее 1 с. Перерегулирование реакции на ступенчатое изменение заданной частоты
сердечных сокращений не должно превышать 10%. (а) Определите подходящий диапазон зна-
чений К. (б) Если номинальное значение К = 10, определите чувствительность системы к ма-
лым изменениям К. (в) Оцените чувствительность из п. (б) на нулевой частоте (при 5 = 0).
(г) Оцените величину чувствительности при нормальной частоте сердечных сокращений 60
ударов/ мин.

Возмущение

Рис. 5.16 (3). Электрокардиостимулятор
3-5.17. Обратитесь к исходной системе третьего порядка из примера 5.9. Определите аппроксими-
рующую модель первого порядка, в которой нуль отсутствует, а полюс не задан.

3-5.18. В замкнутой системе управления с единичной отрицательной обратной связью прямая цепь
имеет передаточную функцию

G(s) =

8

s(s2 4- 6s + 12)

(а) Определите передаточную функцию замкнутой системы T(s). (б) С помощью метода, опи-
санного в разделе 5.10, аппроксимируйте T(s) моделью второго порядка, (в) С помощью MAT-
LAB или любой другой компьютерной программы постройте графики реакции исходной сис-
темы и ее аппроксимации на единичный ступенчатый сигнал и сравните полученные результа-
ты.

3-5.19. Рассмотрите систему, изобра-
женную на рис. 5.19(3). (а) Пола-
гая E(s) = R(s) - У(5), определите
зависимость установившейся
ошибки от К и в случае еди-

ничного ступенчатого входного _	_	о

; _	Рис- 5-19 (3). Система с предусилителем Ку

сигнала, (б) Выберите значение

так, чтобы установившаяся ошибка была равна нулю.

Задачи повышенной сложности

П-5.1. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:



Г (5)	96(5+3)

R(s) ($+8)($2 + 8s+36)

(а) Определите установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном воздействии,

Я(5) =1/5.

(б)	Полагая, что доминирующими являются комплексные полюсы, определите величину пере-
регулирования и время установления (по критерию 2% от установившегося значения).

(в)	Получите график переходной характеристики исходной системы и сравните его с оценка-
ми, полученными в п. (б).

П-5.2. На рис. 5.2(П) изображена замкнутая
система управления. Постройте графики
реакции системы на единичное ступен-
чатое воздействие при т, - 0; 0,05; 0,1;
0,5. Представьте в виде таблицы показа-

5440(т s+1)
£

s(s2+28s+432)

- Y(s)

тели качества — относительное перере-
гулирование, время нарастания, время
установления (по критерию 2%) для раз-

Рис- 5-2 (П). Система
с варьируемым нулем

ных значений т.. Проанализируйте влияние изменения т.. Сравните относительное положение

нуля, 1/т_, с положением полюсов замкнутой системы.
П-5.3. На рис. 5.3(П) изображена замкнутая

система управления. Постройте графики

реакции системы на единичное ступен- R(s)
чатое воздействие при = 0; 0,5; 2; 5.

Представьте в виде таблицы показатели
качества — относительное перерегули-

К
s(s+2)(ips+l)

рование, время нарастания, время уста-
новления (по критерию 2%) для разных

Рис. 5.3 (П). Система с варьируемым
полюсом объекта управления
Рис. 5.4 (П)
Система
управления
скоростью

значений хр. Проанализируйте влияние изменения хр. Сравните относительное положение по-
люса разомкнутой системы, 1/тр. с положением полюсов замкнутой системы.

П-5.4. На рис. 5.4(П) изображена система управления скоростью пассажирского поезда-экспресса
Получите выражение для установившейся ошибки в зависимости от К при единичном ступен-
чатом воздействии г(7).

(а)	Вычислите установившуюся ошибку при значениях К, равных 1,10 и 100.

(б)	Вычислите и изобразите графически реакцииу(1) на (1) единичный ступенчатый сигнал г(п
и (2) на единичное ступенчатое возмущение d(t).

(в)	Сведите в таблицу следующие показатели качества: относительное перерегулирование,
время установления (по критерию 2%). еЛА. при отработке r(t) и \y!d\ max для трех заданных зна-
чений К. Выберите наилучшее компромиссное значение К.

Рис. 5.5 (П)
Система,
в которой
регулятор
содержит
параметр а

Возмущение

П-5.5. На рис. 5.5(П) изображена система с регулятором, нуль которого может варьироваться. Пусть
а = 0: 10; 100.

(а)	Определите установившуюся ошибку при ступенчатом входном сигнале для ос = 0 и сс 0.

(б)	Изобразите графически реакцию системы на ступенчатое возмущение для трех значений ос.

Сравните результаты и выберите наилучшее из трех значений ос.

П-5.6. На рис. 5.6(П) изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по
цепи якоря.

(а)	Найдите зависимость установившейся ошибки от параметров К, Кь и КП1 в случае линейно-
го входного сигнала, r(/) = t, t > 0.

B(s)

Y(s)

Рис. 5.6 (П). Система управления электродвигателем
(б)	Примите Ktn = 10, Кь = 0,05 и выберите К так, чтобы установившаяся ошибка была равна 1.
(в) Вычислите и изобразите графически реакции системы на единичный ступенчатый сигнал и
на сигнал, изменяющийся единичной скоростью, на интервале до 20 с. Являются ли эти реак-
ции приемлемыми?

Задачи на синтез систем

СС-5.1. Система управления приводом скользящей части стола металлообрабатывающего станка
(см. задачи СС-1.1-СС-4.1) подвержена возмущению за счет того, что обработка детали про-
□ должается несмотря на удаление части материала. Регулятор представлен обычным усили-
телем Gc(s) = KLl. Оцените влияние единичного ступенчатого возмущения и определите наи-
лучшее значение коэффициента Ка, при котором перерегулирование в случае ступенчатого

задающего сигнала r(t) = Л, t > 0, будет менее 5%, а влияние возмущения будет по возможности

минимальным.



Рис. 5.1 (С)
Система
управления
углом крена

Ф(я)

Угол
крена

С-5.1. На рис. 5.1(C) приведена система управления углом крена реактивного истребителя. Задача
заключается в выборе коэффициента при котором реакция системы на ступенчатый вход-
ной сигнал <р(/) = A, t > 0, имела бы перерегулирование не более 20% и как можно меньшее вре-
мя установления, (а) Определите передаточную функцию замкнутой системы Ф($)/ФХ$).
(б) Найдите корни характеристического уравнения при К = 0,7; 3; 6. (в) Используя понятие до-
минирующих корней, предскажите ожидаемое перерегулирование и время максимума пере-
ходной характеристики в аппроксимирующей системе второго порядка, (г) Постройте график
реакции исходной системы и сравните показатели качества с полученными в п. (в), (д) Выбе-
рите значение К, при котором относительное перерегулирование было бы равно 16%. Каково
при этом время максимума?

С-5.2. При синтезе системы управления положением наконечника сварочного аппарата необходим
тщательный подбор параметров. Такая система изображена на рис. 5.2(C). где = 0,2, а коэф-
фициент К и собственная частота могут быть выбраны, (а) Найдите такие значения К и со„,
при которых реакция системы на единичный ступенчатый входной сигнал будет иметь время
максимума (момент первого выброса за заданное значение, равное единице), не превышающее
1 с, и перерегулирование не более 5%. (Подсказка', попробуйте выбрать 0.1 < А.7о)„ < 0,3.)
(б) Постройте график реакции полученной системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 5.2 (С)
Система
управления
положением
наконечника
сварочного
аппарата

ЛОО
Рис. 5.3 (С)

Система
активной
подвески
автомобиля

С-5.3. Применяемые в современных автомобилях системы активной подвески обеспечивают ком-
фортабельные условия при поездке. При синтезе таких систем используется идея настройки
амортизаторов, приспосабливая их к дорожным условиям. Как показано на рис. 5.3(C), неболь-
шой электродвигатель изменяет положение (проходное сечение) вентиля гидросистемы. Вы-
берите значения параметров К и q, обеспечивающие наилучшее качество системы по крите-
рию ИВМО при отработке ступенчатого задающего сигнала, причем время установления (по
критерию 2%) при этом не должно превышать 0,5 с. Прежде чем завершить синтез, попытай-
тесь предсказать величину перерегулирования при ступенчатом входном сигнале.

Рис. 5.4 (С)
Система
управления
спутником

б)

С-5.4. Для изменения ориентации спутника, изображенного на рис. 5.4(C), (а), используется систе-
ма управления, представленная на рис. 5.4(C), (б).

(а)	Аппроксимируйте замкнутую систему моделью второго порядка.

(б)	Используя модель второго порядка, выберите коэффициент К так, чтобы при отработке
ступенчатого входного сигнала перерегулирование не превышало 15%, а установившаяся
ошибка была менее 12%.

(в)	Проверьте правильность синтеза, определив действительные показатели качества системы
третьего порядка.

С-5.5. Для удаления заусениц с поверхности обработанных на станке деталей может быть использо-
ван робот, который перемещает инструмент по заранее заданной траектории, определяемой
входным сигналом. На практике обычно возникают ошибки из-за неточности робота, погреш-
ностей обработки, больших допусков и износа инструмента. Эти ошибки можно исключить,
используя обратную связь по усилию, за счет чего траектория движения инструмента коррек-
тируется во время зачистки поверхности.

Хотя управление усилием в известной степени способно решить проблему точности, одновре-
менно становится более трудным обеспечение устойчивости системы. Действительно, устано-
вив упругий датчик усилия на запястье руки робота и замкнув соответствующую обратную
связь, мы напрямую сталкиваемся с проблемой устойчивости системы.
Рис, 5,5 (С), Робот для зачистки поверхности деталей

На рис. 5.5(C) изображена модель системы
управления описанным выше роботом.
Определите область устойчивости системы в
плоскости параметров и К2, считая, что
оба они положительны.

С-5.6. На рис. 5.6(C) изображена система управ-
ления положением, в которой используется
двигатель постоянного тока. Целью синтеза
является выбор значений и при кото-
рых в случае ступенчатого входного сигнала
время максимума переходной характеристи-
ки составляло бы 0,5 с, а перерегулирование
было незначительным (от 0,5% до 2%).

Рис, 5,6 (С), Система управления
положением

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-5Л. Замкнутая система имеет передаточную функцию

Т (5) =

4

s2 + 4s + 4

Получите импульсную переходную характеристику аналитически и сравните ее с результатом
вычислений с помощью MATLAB (функция impulse).

М-5.2. Система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

G(s) =

?(s+ 10)

Считая, что система охвачена единичной отрицате-
льной обратной связью, воспользуйтесь функцией
Isim и получите реакцию замкнутой системы на ли-
нейный входной сигнал, 7?(s) = 1 /s2. Рассмотрите ин-
тервал времени 0 < t < 25 с. Чему равна установивша-
яся ошибка?

B(s)

s2 +2^cons+co2

-Y(s)

Рис, 5,3 (М), Простая система
второго порядка
М-5.3. Для синтеза систем управления очень важно твердо знать связь между расположением полю-
сов системы второго порядка, изображенной на рис. 5.3(М), и ее переходной характеристикой.

Имея это в виду, рассмотрите следующие четыре случая:

(1)со„ = 2 , С = 0;

(2)	(ой = 2,С=О,1;

(3)	соп = 1 , £ = 0;

(4)	со„ = 1 Л = 0,2.

С помощью функций
impulse и subplot со-
здайте в окне на экране
монитора четыре диа-

У(з)

граммы, каждая из ко- Рис. 5.4 (М). Система управления с отрицательной
торых соответствовала	обратной связью

бы импульсной пере-

ходной характеристике для указанных выше случаев. Сравните диаграммы с изображенными
на рис. 5.17 в разделе 5.6 и проанализируйте результаты.

М-5.4. Рассмотрите систему управления, изображенную на рис. 5.4(М).

(а)	Покажите аналитически, что при ступенчатом входном сигнале переходная характеристика
замкнутой системы имеет перерегулирование около 50%.

(б)	С помощью MATLAB получите график реакции системы на ступенчатый входной сигнал и
оцените по нему величину перерегулирования. Сравните результат с предсказанным в п. (а).

М-5.5. Передаточная функция прямой цепи в системе с единичной отрицательной обратной связью

имеет вид:

6(.) =

50

Дл1 +10)

С помощью MATLAB постройте переходную характеристику замкнутой системы и определи-
те по графику приблизительные значения ее максимума, Мр, времени максимума, Тр, и време-
ни установления, 7\. (по критерию 2%). Дополните график соответствующими численными
значениями Мр, Тр и

М-5.6. Для удержания самолета на заданном курсе и высоте обычно используется автопилот. Сис-
тема управления в данном случае имеет вид рис. 5.6(М).

(а)	Предположим, что регулятор представлен обычным коэффициентом усиления, т. е.
Gc(s) = 2. С помощью функции Isim вычислите и постройте график реакции системы на воз-
действие 0X0 = at' гДе л =	%. Определите ошибку по положению спустя 10 с.

(б)	Если взять более сложный регулятор, то можно уменьшить установившуюся ошибку при
отработке входного сигнала. С этой целью выберем регулятор с передаточной функцией

Gc (л)= 7k । н—— 2 н— .

5	5

Регулятор такого типа известен как пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор. Повто-
рите для такого регулятора те же действия, что и в п. (а), и сравните установившиеся ошибки.
Рис. 5.7 (М). Система управления скоростью ракеты

М-5.7. На рис. 5.7(М) изображена структурная схема системы управления скоростью ракеты. С по-
мощью известных формул для системы второго порядка предскажите значения показателей
Мр. Тр и ТА. для замкнутой системы в случае единичного ступенчатого входного сигнала. С по-
мощью MATLAB получите точную реакцию исходной системы и сравните показатели качест-
ва с предсказанными по упрощенной модели. Объясните возникшие различия.

Ключевые термины и понятия

Время максимума. Момент времени, в который реакция системы на ступенчатый входной сигнал
достигает максимального значения.

Время нарастания. Время, в течение которого реакция системы на ступенчатый входной сигнал
становится равной определенной процентной доле от величины входного сигнала. Время на-
растания Тг определяется изменением выходной переменной от 0 до 100% величины входного
сигнала. Как альтернатива, время нарастания Тг определяется изменением выходной перемен-
ной от 10% до 90% ее установившегося значения.

Время установления. Время, в течение которого выходная переменная системы устанавливается в
пределах определенной процентной доли от величины входного сигнала.

Доминирующие корни. Корни характеристического уравнения, в основном определяющие вид пе-
реходной характеристики системы.

Коэффициент ошибки по скорости Ау. Коэффициент, вычисляемый как lim.v_>о[^С7(.у)]. Установив-
шаяся ошибка системы при линейном входном сигнале, изменяющемся со скоростью Л, равна
A/Kv.

Оптимальная система управления. Система, параметры которой настроены так. что опенка каче-
ства имеет экстремальное значение.

Оценка качества. Количественная мера качества системы.

Перерегулирование. Величина, на которую реакция выходной переменной превышает желаемое
значение.

Тестовый входной сигнал. Входной сигнал типового вида, используемый для проверки способно-
сти системы реагировать адекватным образом.

Тип системы. Число N полюсов передаточной функции G(s), расположенных в начале координат,
где G(s) соответствует разомкнутой системе (прямой цепи от входа к выходу).

Требования, выдвигаемые при синтезе. Набор заранее установленных критериев качества.
Глава 6
Устойчивость линейных систем
с обратной связью

Обзор

При проектировании системы управления с обратной связью ключевой проблемой являет-
ся обеспечение ее устойчивости. С полным пониманием того, что неустойчивая система не
имеет практического смысла, мы прежде всего должны разработать методы анализа и син-
теза устойчивых систем. Система считается устойчивой, если при ограниченном входном
сигнале ее выходной сигнал также является ограниченным. Подобное представление об
устойчивости красной нитью проходит через всю данную главу.

Устойчивость системы с обратной связью непосредственно связана с расположением
корней ее характеристического уравнения. В этой главе мы рассмотрим весьма полезный
метод анализа устойчивости, известный как критерий Рауса-Гурвица. Этот метод позво-
ляет определить число корней характеристического уравнения, расположенных в правой
полуплоскости, не прибегая к вычислению значений корней, т. е. не обременяя себя ру-
тинными и трудоемкими операциями. Ценность этого метода также в том, что с его помо-
щью становится возможным выбор некоторых параметров системы, гарантирующих ее
устойчивость в замкнутом состоянии. Для устойчивых систем мы введем понятие относи-
тельной устойчивости, с помощью которого будем характеризовать степень устойчиво-
сти. Глава завершается примером, в котором показано применение критерия Рауса—Гур-
вица к синтезу регулятора, обеспечивающего устойчивость системы чтения информации
с диска.

6.1.	Понятие устойчивости

При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение
имеет их устойчивость. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет ни-
какого смысла. Декларируя это, мы должны признать, что, конечно, могут быть и исключе-
ния, но в дальнейшем мы будем считать, что все синтезируемые системы управления дол-
жны быть устойчивыми. Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкну-
том состоянии, а некоторые даже и проектируются, будучи таковыми. Большинство
современных истребителей, если не использовать активную обратную связь, помогающую
пилоту управлять машиной, являются неустойчивыми и просто не могут летать. Инже-
нер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость системы управле-
ния неустойчивым объектом (например, самолетом), после чего позаботиться об удовлет-
ворении других требований к динамике системы. С помощью обратной связи мы можем
обеспечить устойчивость неустойчивого объекта, а затем надлежащим выбором парамет-
ров регулятора удовлетворить такие показатели качества, как установившаяся ошибка, от-
носительное перерегулирование, время установления, время максимума переходной ха-
рактеристики и другие, которые подробно были рассмотрены в главах 4 и 5.

Всегда можно сказать, что замкнутая система является либо устойчивой, либо неу-

стойчивой. При таком подходе речь обычно идет о так называемой абсолютной устойчи-
вости. Систему, обладающую абсолютной устойчивостью, называют просто устойчивой,
отбрасывая слово «абсолютная». Если же замкнутая система является устойчивой, то

речь может идти о степени этой устойчивости, и тогда пользуются понятием относитель-
ной устойчивости. С этим понятием хорошо были знакомы пилоты на заре развития
авиации — чем более устойчив был самолет, тем труднее было совершать различные ма-

невры (например, развороты). Одним из показателей относительной устойчивости совре-
менных истребителей является их высокая маневренность. Истребитель менее устойчив,
чем пассажирский самолет, поэтому он способен маневрировать намного легче. Действи-
тельно, движения, совершаемые истребителем, могут быть весьма болезненными для
«пассажиров». Как мы увидим позже в этом разделе, система будет устойчива (в абсолют-

ном смысле), если все полюсы ее передаточной функции или, что то же самое, все собст-

венные значения матрицы А находятся в левой половине 5-плоскости. Если же окажется,

что все полюсы (или собственные значения) находятся в левой половине 5-плоскости, то
далее речь может идти об относительной устойчивости, которая определяется положени-

ем этих полюсов.

Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией.
Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала
или возмущения и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему
называют устойчивой.

Устойчивая система — это динамическая система, обладающая ограниченной
реакцией на ограниченный входной сигнал.

Понятие устойчивости можно проиллюстрировать на примере конуса, находящегося
на плоской горизонтальной поверхности. Если конус поставить на основание и слегка на-
клонить, он вернется в первоначальное положение равновесия. Говорят, что такое поло-
жение равновесия и соответствующая реакция являются устойчивыми. Если конус поло-
жить на бок и слегка толкнуть, то он покатится, тем не менее оставаясь все время на боку.
Такое положение равновесия называют нейтрально устойчивым. Если же конус поста-
вить на вершину и отпустить, то он упадет на бок, поэтому данное положение равновесия
является неустойчивым. Соответствующие ситуации представлены на рис. 6.1.

Устойчивость динамической системы определяется аналогичным образом. Реакция
системы на отклонение, или начальные условия, будет либо затухать, либо оставаться
нейтральной, либо нарастать. Согласно определению, линейная система устойчива тогда
и только тогда, если интеграл в бесконечных пределах от абсолютного значения ее импу-
льсной переходной функции g(t) является конечным. Иначе говоря, необходимо, чтобы

Рис, 6-1

Устойчивость
положения конуса

а) Устойчивое б) Нейтральное в) Неустойчивое
при ограниченном входном сигнале интеграл |g(7)| dt был конечным. Положение по
J о

люсов системы на 5-плоскости определяет вид ее переходной характеристики. Полюсы,
расположенные в левой половине 5-плоскости, дают затухающую реакцию на входное
воздействие, а полюсы на мнимой оси или в правой половине 5-плоскости, соответствен-
но. нейтральную или расходящуюся реакцию. Это наглядно проиллюстрировано на рис.
6.2. Очевидно, что все полюсы синтезируемых систем управления должны находиться в
левой половине 5-плоскости.

Рис. 6.2

Иллюстрация устойчивости
на s-плоскости

Устойчивая

Нейтральная Неустойчивая

Типичным примером дестабилизирующего действия обратной связи является систе-
ма микрофон-динамик, используемая в аудиториях для общения с публикой. В этом слу-
чае динамик создает звуковой сигнал, представляющий собой усиленную версию сигна-

лов, принимаемых микрофоном. Микрофон, помимо иных звуков, чувствителен также и к
аудиосигналу, создаваемому динамиком. Насколько сильным будет влияние последнего,
зависит от расстояния между динамиком и микрофоном. Поскольку распространение зву-
ка в воздушной среде сопровождается его затуханием, то чем больше будет это расстоя-
ние, тем слабее будет сигнал, приходящий к микрофону. Кроме того, из-за конечной ско-

рости распространения звуковых волн появляется задержка между сигналом, создавае-
мым динамиком, и сигналом, достигающим микрофона. Последний суммируется с основ-
ным внешним сигналом, в результате чего образуется положительная обратная связь.
Если микрофон и динамик расположены очень близко друг к другу, то система будет неу-
стойчивой. Неустойчивость проявляется в виде чрезмерного усиления и искажения ауди-

осигналов и возникновения пронзительного свиста.

Еще один пример неустойчивой системы изображен на рис. 6.3. Первый мост через
пролив Такома в Паджет Саунде, шт. Вашингтон, был открыт для движения 1 июля 1940
г. Было замечено, что когда дует ветер, мост начинает раскачиваться. Спустя четыре ме-
сяца, 7 ноября 1940 г., ветер привел к нарастанию амплитуды колебаний, и в итоге мост
развалился на части. На рис. 6.3(a) показан момент начала колебаний, а на рис. 6.3(6) —
катастрофическое разрушение.

Что касается линейных систем, то требования устойчивости сводятся к заданию по-
ложения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Эта передаточная функция

может быть записана в виде:

Т(5) =

РЮ

<?(*)

м

_______________7=1_________________

О	R

SN	+2ams+(al )]

A=1	m=l

(6.1)



где q(s) = A(s) = 0 есть характеристическое уравнение, корни которого являются полюсами
замкнутой системы. Реакция системы на импульсный входной сигнал (при 0) определя-

ется выражением:

У(О=ХАке~а
к=1

R

777=1

sin(a>mr + 0m ),

(6.2)
Рис. 6.3. Мост через пролив Такома.

(а) Начало колебаний и (6) катастрофическое разрушение
где Ак и Вт - константы, зависящие от о*,	К и сот. Чтобы реакция была ограниченной,

все полюсы замкнутой системы должны находиться в левой половине 5-плоскости. Таким
образом, необходимое и достаточиое условие того, чтобы замкнутая система была

устойчива, состоит в том, чтобы все полюсы передаточной функции системы имели

отрицательную действительную часть. Если не все из этих полюсов находятся в левой

полуплоскости, то мы будем считать систему неустойчивой. Если характеристическое

уравнение системы имеет простые корни, расположенные на мнимой оси, а все остальные
корни находятся в левой половине 5-плоскости, то реакция системы на ограниченный гар-
монический входной сигнал, частота которого равна модулю чисто мнимых корней, будет
представлять собой неограниченно нарастающие колебания. Такую систему принято на-
зывать находящейся на границе устойчивости, т. к. только отдельные входные сигналы
(гармонические сигналы, частота которых совпадаете полюсами системы) обусловливают
неограниченное нарастание реакции системы. У неустойчивой системы по крайней мере
один корень характеристического уравнения находится в правой половине 5-плоскости
или это уравнение имеет кратные корни на мнимой оси. В этом случае выходная перемен-
ная будет неограниченно нарастать при любом входном сигнале.

Например, если характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

(s + 10)(? + 16) = О,

то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если на вход такой системы
подать синусоидальный сигнал с частотой со = 4, то выходной сигнал станет неограничен-
ным.

Чтобы определить, устойчива ли система управления, необходимо найти корни ха-
рактеристического полинома Вычисление этих корней даст гораздо больше инфор-
мации, чем требуется для ответа на вопрос: является ли система устойчивой? Ведь имен-
но этот вопрос интересует нас в первую очередь. И для получения ответа «да» или «нет»
на данный вопрос можно воспользоваться любым их трех методов:

(1)	методом анализа на 5-плоскости;

(2)	методом анализа в частотной области;

(3)	методом анализа во временной области.

Частотный метод анализа устойчивости будет рассмотрен в гл. 9, а анализ во времен-
ной области — в разделе 6.4.

6.2.	Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Проблема устойчивости издавна волновала умы многих ученых и инженеров. Впер-
вые вопрос устойчивости динамических систем был исследован Максвеллом и Вышнег-
радским. В конце XIX века А. Гурвиц и Э. Дж. Раус независимо друг от друга опублико-
вали работы, посвященные методу анализа устойчивости линейных систем. Метод Рау-
са-Гурвица позволяет ответить на вопрос об устойчивости путем анализа характеристи-
ческого уравнения системы, записанного в виде

A(s) = q(s) = a„sn + а„ _	1 + ... + axs + aQ = 0 .

(6.3)

Для ответа на поставленный вопрос необходимо установить, находится ли хотя бы
один из корней этого уравнения в правой половине 5-плоскости. Уравнение (6.3) можно
записать в виде произведения сомножителей:

a„(s - Г|) (? - г2)... (s - г„) = 0,	(6.4)

где через г> обозначен i-й корень характеристического уравнения. Перемножение скобок
приводит к результату:

q(s) = а,/ - ап(гх + г2 + ... + r„)s"- 1 + «„(г/, + г2г3 + г/3 + ...	“2 -

~ап(г\г2гз + Г1Г2Г4 + • >”‘3 +	+ а„{-\)пгхг2гу ... г„ = 0 .	(6.5)

Иначе говоря, для уравнения и-й степени можно записать:

q(s) = atisn - а„(сумма всех корней)?" “ 1 +

+ л„(сумма произведений всех корней, взятых по 2)sn ~2 -

- а„(сумма произведений всех корней, взятых по З)у"“3 + ...

+ ап(-1)"(произведение всех п корней) = 0 .	(6.6)

Анализ уравнения (6.5) показывает, что если все корни расположены в левой полу-
плоскости, то все коэффициенты характеристического полинома должны иметь один и
тот же знак. Необходимо также, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если си-
стема устойчива). Однако эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточны-
ми. Это означает, что если данные условия не выполняются, то сразу можно сказать, что
система неустойчива; но если даже эти условия выполняются, то для ответа на вопрос об
устойчивости системы необходимы дальнейшие исследования. Например, если характе-
ристический полином имеет вид

q(s) = (s + 2)(s2 - 5 + 4) = s3 + ? + 2s + 8,	(6.7)

то система является неустойчивой, хотя все коэффициенты полинома положительны.

Критерий Рауса-Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости
линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, но мы при-
ведем его в более удобной табличной форме.

В основе критерия Рауса-Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характери-
стического уравнения

а^п +	+ an_2sn~2 + ... + ats + а0 = 0	(6.8)

в виде следующей таблицы:

s” * ^л-1 ^/7-3

Следующие строки таблицы образуются по приведенному ниже правилу:

&п-2

ап-\ ап-3 ^77-5
^77-1 ^77-3 ^77-5
^77-1 ^/7- 3 ^77- 5

где
1

^л-1	^/7-5

и т. д. Алгоритм вычисления элементов таблицы можно построить на основе определите-
лей или на основе выражения для Ъп _ г

Критерий Рауса-Гурвица утверждает, что число корней полинома q(s) с поло-
жительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце
таблицы Рауса.

Этот критерий требует, чтобы для устойчивой системы в первом столбце таблицы
Рауса не было изменений знака. Данное условие является и необходимым, и достаточ-
ным.

Необходимо рассмотреть четыре различных случая, относящихся к виду первого
столбца таблицы, причем для каждого из них в отдельности должны быть указаны специ-
фические правила вычисления элементов таблицы. Эти частные случаи таковы:

1.	В первом столбце нет ни одного нулевого элемента;

2.	В первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие элементы строки,
содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля;

3.	В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы соответству-
ющей строки также равны нулю;

4.	Тот же случай, что и (3), но характеристический полином имеет кратные корни на
мнимой оси.

Проиллюстрируем эти случаи несколькими примерами.

Случай 1. В первом столбце нет ни одного нулевого элемента

Пример 6.1. Система второго порядка

Характеристический полином системы второго порядка имеет вид:

q(s) = a2s2 4-	4- а0 .

Составим таблицу Рауса:

где

Следовательно, условие устойчивости системы второго порядка сводится к тому, чтобы все
коэффициенты характеристического полинома были положительными или отрицательными.

Пример 6.2. Система третьего порядка

Характеристический полином системы третьего порядка имеет вид:
q(s) — a2s 4- a2s~ + a}s + aQ .
Составим таблицу Рауса:

где

аз а\

^2
О

Ц О,

Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффици-
енты были положительны и выполнялось неравенство a2ai > яоя3. При a2al = aQa3 система на-
ходится на границе устойчивости и пара корней расположена на мнимой оси. Эта предельная
ситуация соответствует случаю (3), поскольку в первом столбце таблицы Рауса оказывается
нулевой элемент, а второй элемент этой строки также равен нулю. Данный случай будет про-
иллюстрирован позже.

В заключение рассмотрим характеристический полином, который не дает нулевых элементов
в первом столбце таблицы Рауса:

q(s) — (у- 1+ yV7)(y — 1- jV?)(y 4- 3) = у3 -т у2 + 2s + 24 .	(6.9)

Этот полином удовлетворяет необходимым условиям, т. к. все коэффициенты существуют и
являются положительными. Составив таблицу Рауса, мы получим:

1 2

1 24

у* -22 О
у0 24 0.

Поскольку в первом столбце дважды происходит изменение знака, то мы приходим к выводу,
что два корня q(s) расположены в правой половине у-плоскости; это подтверждает и фактори-
зованное представление полинома q(s) в выражении (6.9).

Случай 2. В первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие эле-
менты строки, содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля- Если только
один элемент первого столбца равен нулю, его можно заменить малым положительным
числом е, которое после завершения таблицы необходимо устремить к нулю. Например,
рассмотрим следующий характеристический полином:

<?(>) = ? +2/+ 2? + 4s2 + 11s + 10.	(6.10)

Таблица Рауса принимает вид:

s5 1	2 11

s4 2 4 10

Е

10

6

10
о
о

о
о
о
о,

5

У

0
В первом столбце дважды происходит изменение знака из-за наличия бесконечно бо-
льшого отрицательного числа - -1 2/е. Следовательно, система является неустойчивой,
а два корня полинома q(s) расположены в правой полуплоскости.

Пример 6.3. Неустойчивая система

В качестве еще одного примера на случай (2) рассмотрим характеристический полином

<7(s) = 54 + s3 + ? + s + К,	(6.11)

где необходимо определить коэффициент К, при котором система будет находиться на грани-
це устойчивости. Составим таблицу Рауса:

1
1

К
О
О

К
о
о
о
о,

где q =----

£

Е

Отсюда следует, что при любых положительных значениях К система является неустойчивой.
Кроме того, поскольку последний элемент в первом столбце равен К, то и отрицательные зна-
чения К также будут соответствовать неустойчивой системе. Значит, данная система неустой-
чива при любых значениях К.

Случай 3. В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элемен-
ты соответствующей строки также равны нулю. Этот случай имеет место, когда все
элементы какой-либо строки равны нулю или когда строка состоит из одного элемента,
равного нулю. Такое возможно, если корни характеристического полинома расположены
симметрично относительно начала координат s-плоскости, например, если полином со-
держит сомножители (s + ct)(s - ст) или (s + jco)(s - jay). Возникающую при этом проблему
можно обойти путем использования вспомогательного полинома L/(s), который образу-
ется из элементов строки, предшествующей нулевой строке таблица Рауса. Порядок вспо-
могательного полинома является четным и равным количеству симметричных корней.
Проиллюстрируем сказанное на примере характеристического полинома

q(s) = s3 + 2s2 + 4s + К ,	(6.12)

где К

варьируемый коэффициент. Составим таблицу Рауса:

Чтобы система была устойчива, должно выполняться условие 0 < К < 8. При К = 8 два
корня расположены на мнимой оси и система находится на границе устойчивости. Заме-
тим, что при К - 8 мы получаем строку, состоящую из нулей. Вспомогательный полином
U(s) образуется с помощью элементов предшествующей строки, т. е. строки, соответству-
ющей s2. Напомним, что эта строка образована коэффициентами при четных степенях s,
следовательно, в данном случае

U(s) = 2s2 + Ks° = 2s2 + 8 - 2(s2 + 4) = 2(s + J2\s -j2).	(6.13)
Чтобы показать, что вспомогательный полином действительно входит сомножите-
лем в характеристический полином, разделим q(s) на U(s):

s3 4- 2s2 + 4s +8 2у" + 8

2s2	+8

О

При К ~ 8 характеристический полином представляется в виде сомножителей:

q(s) = (s + 2)(s* + j2)(s -j2).

(6-14)

Очевидно, что система находится на границе устойчивости, а ее реакция имеет вид
незатухающих колебаний.

Случай 4. Характеристический полином имеет кратные корни на мнимой оси.
Если корни характеристического уравнения, расположенные на мнимой оси, являются
простыми, то система не является ни устойчивой, ни неустойчивой — говорят, что она на-
ходится на границе устойчивости, т. к. в ней возникают незатухающие синусоидальные
колебания. Если же корни на мнимой оси являются кратными, то реакция системы будет
расходящейся, вида r[sin(<of + \р)]. В этом случае критерий Рауса-Гурвица данный вид не-
устойчивости обнаружить не может.

Рассмотрим систему с характеристическим полиномом

q(s) = (s + 1)0 +j)(s - j)(s + j)(s - J) = s5 + s4 + 2? + 2s2 + s + 1.

Таблица Рауса имеет вид:

S’

о

1 2 1

1 2 1

Е Е О

1 1

£ О

где е —> 0. Заметим, что отсутствие перемены знака в первом столбце ошибочно указывает
на то, что система находится на границе устойчивости. Однако импульсная переходная ха-
рактеристика системы возрастает со временем по закону t sin(f + \|/). Вспомогательные по-
линомы для № и sr4 равны соответственно (s2 + 1) и (/ + 2s2 + 1) - (s2 + 1 )2, что указывает на
наличие кратных корней на мнимой оси.

Пример 6.4. Управление роботом

К 2000 году во всем мире в эксплуатации находилось около 100 000 роботов. На рис. 6.4 изоб-

ражен шестиногий микроробот, каждая нога которого обладает высокой подвижностью и

управляется регулятором с большим коэффициентом усиления. За счет этого соответствую-

щая система управления может стать неустойчивой, и в ней возникнут незатухающие колеба-

ния. Характеристический полином системы имеет вид:
Рис. 6.4. Шестиногий робот, обладающий большой подвижностью. Ноги робота
оснащены уникальной системой датчиков, обеспечивающих взаимодействие
с окружающей средой. Эта система включает в себя 150 датчиков 12 различных типов.
Ноги сконструированы так, что робот способен распознавать рельеф местности, фактуру
поверхности, ее твердость и даже цвет. С помощью видоискателя и стабилизированной
видеокамеры, установленных на роботе, он может сразу же после доставки
по назначению приступать к сбору данных об окружающей обстановке. Совершенная
система управления способна обеспечивать быстрое перемещение робота, преодоление
препятствий и выполнение различных активных манипуляций

Составим таблицу Рауса:

? 1

4	3

24 63

? -20 -60 0

21 63 0

ООО.

Вспомогательный полином

t/(5)=21?+63 = 21(? + 3) = 21(^+ ;73)(5-у7з)	(6.16)

указывает на то, что два корня находятся на мнимой оси. Чтобы определить положение осталь-
ных корней, разделим q(s) на вспомогательный полином:

Составляя таблицу Рауса для этого полинома, получим:

? 1 1

S2 1	21

s'	-20 0

з°	21 0.

Два изменения знака в первом столбце говорят о наличии двух корней в правой полуплоско-
сти. следовательно система неустойчива. Эти корни имеют значения s - 1± /Уб.
Рис. 6.5
Система
позиционирования
наконечника
сварочного узла

Пример 6.5. Управление сваркой

На современных автомобильных заводах широко применяются большие сварочные роботы.
Наконечник сварочного узла подводится к различным местам кузова автомобиля и быстро и
точно совершает необходимые действия. На рис. 6.5 изображена структурная схема системы
позиционирования наконечника. Требуется определить диапазон значений параметров К и а,
при которых система будет устойчивой. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

$($ + l)(s+ 2)(^ + 3)

1 + СЫ

Л	'I	9

Следовательно, q(s) = s + 6s 4- Ik"

+ (К 4- 6)j 4- Ka = 0. Составим таблицу Рауса:

где

60-Х

Ьз(К + 6) - 6Ка

и

Коэффициент с3 устанавливает связь между параметрами К и а, с другой стороны анализ Ь3
требует, чтобы К было меньше 60. Полагая с3 - 0, получим:

(X - 60)(Х + 6) + ЗбКа = 0.

Отсюда вытекает требуемая зависимость между Киа:

(бо-х)(х + б)

а <-------------,

36Х

где а — положительная константа. Так, если принять К = 40, то получим а < 0,639.

Система и-го порядка имеет характеристическое уравнение общего вида:

s” + ап -Is” 1 +	2 4- ... + a{S + (0* = 0 .

Если разделить все члены уравнения на го” и ввести обозначение 5* =	, то мы получим

запись характеристического уравнения в нормированном виде:

5*" + bs*n~' + cs*f1~2 +... + 1=0.

Например, если уравнение

? + 5? + 2s + 8 = 0

разделить на 8 = <о„, то мы получим:
ИЛИ

s*3 + 2,5s*2 + 0,5s* + 1 = 0.

В данном случае b = 2,5 и с - Используя нормированную запись характеристиче-
ского уравнения, мы можем составить сводную таблицу условий устойчивости систем до
6-го порядка включительно (см. таблицу 6.1). Заметим, что для нашего примера be = 1,25,
следовательно система устойчива.

Таблица 6.1 Критерий устойчивости Рауса-Гураица

п Характеристическое уравнение Критерий

2	s1	+	bs	+	1 =	О	b > О

3	s3	+	bs2	+	+ 1 = 0	be — I >	О

4	s4	+	bs3	+	cs2	+ ds +	1	—	0	bed - d1	-	b2 >	О

5	?	+	bs4	+	с?	+ ds2 +	es + 1 = 0 bed + b -	-	b2e > 0

6 s6 + bs$ + cs4 + ds2 + es2 +fs+1 = 0 (bed + bf ~	- b2e)e + b2c - bd- b(?f + bfe + cdf > 0

Примечание: Уравнения нормированы делением на со".

6.3.	Относительная устойчивость систем
управления с обратной связью

Критерий Рауса-Гурвица дает только частный ответ на вопрос об устойчивости, а
именно, он исследует абсолютную устойчивость системы, проверяя, расположены ли ка-
кие-либо корни характеристического уравнения в правой половине j-плоскости. Однако,
если система удовлетворяет критерию Рауса-Гурвица и является абсолютно устойчивой,
полезно установить ее относительную устойчивость, т. е. исследовать затухание, обу-
словленное каждым корнем характеристического уравнения. Относительную устойчи-

вость системы можно определить как свойство, оцениваемое действительной частью каж-

дого корня или пары корней характеристическо-
го уравнения. Так, например, корень г2 на
рис. 6.6 относительно «более устойчив», чем

корни Tj и Относительную устойчивость сис-

темы можно также оценивать по коэ

ициентам



затухания соответствующим каждой паре ком-
плексно-сопряженных корней, и, следовательно,

по скорости нарастания ее реакции и величине
перерегулирования.

Анализ влияния каждого корня на относите-
льную устойчивость принципиально необходим,
потому что, как мы выяснили в гл. 5, положение
полюсов замкнутой системы на s-плоскости

Рис. 6.6. Положение корней
на s-плоскости

определяет и ее качество. Это обязывает нас еще раз обратиться к характеристическому
полиному q{s) и рассмотреть некоторые методы определения относительной устойчиво-

сти.
Первый из этих методов, связанный с использованием 5-плоскости, предполагает
распространение критерия Рауса-Гурвица для определения относительной устойчивости.
Идея метода состоит в замене переменной, приводящей к сдвигу оси 5-плоскости. Анализ

рис. 6.6 показывает, что если сдвинуть ось ординат влево на величину сть то корни г! и
окажутся на этой оси. Правильную величину сдвига можно получить только путем проб и
ошибок. Тогда, не прибегая к решению уравнения пятого порядка, можно будет опреде-

лить действительную часть доминирующих корней г, игР

Пример 6.6. Сдвиг оси координат

Рассмотрим простой характеристический полином третьего порядка:
q(s) = s3 + 4s2 + 6i + 4 .

(6.17)

В качестве первой попытки возьмем sn - s + 2, при этом обнаружим, что таблица Рауса не будет
содержать нулей в первом столбце. Однако при замене (сдвиге) переменной - s + 1 мы полу-
чим:

(з„ - I)3 + 4(5,, - I)2 + 6(s„ - 1) + 4 = 53 + j2 + s„ + 1 .

(6.18)

Тогда таблица Рауса примет вид:

1 1

1 1

О О
1 0.

На сдвинутой мнимой оси оказываются два корня, которые можно определить по вспомогате-
льному полиному:

и Ы = 5,2 + 1 = (3„ + J)(s„ - j) = (s + 1 + j)(s + 1 - j).

(6.19)

Определение относительной устойчивости путем сдвига оси ординат является очень полезным
методом, особенно для систем высокого порядка, имеющих в замкнутом состоянии несколько
пар комплексно-сопряженных полюсов.

6.4.	Устойчивость систем, описываемых
переменными состояния

Устойчивость системы можно определить и по ее модели в переменных состояния. Если
система задана своей передаточной функцией

гдеp(s) и q(s) — полиномы от переменной 5, то ее устойчивость определяется корнями ха-
рактеристического уравнения q(s) = 0. Чтобы система была устойчива, все корни этого
уравнения должны быть расположены в левой половине 5-плоскости. Итак, для ответа на
вопрос об устойчивости системы, описываемой передаточной функцией, мы используем
характеристическое уравнение и применяем критерий Рауса-Гурвица. Если же система
представлена в виде сигнального графа в переменных состояния, то определитель этого
графа совпадает с характеристическим полиномом, к которому легко применить уже изве-
стный критерий. Проиллюстрируем это несколькими примерами.
Пример 6.7. Устойчивость системы

Рассмотрим систему из примера 3.1, которая имеет передаточную функцию

.	2s2+ 8s+ 6  'I1" ,	7  s3 + 8s2 + 16s + 6  Характеристический полином этой системы  q(s) = s3 + 8s2 + 16s + 6 .	(6.20)  (6.21)

Этот характеристический полином также легко можно получить по любой из моделей системы
в виде сигнального графа, представленных на рис. 3.12 и рис. 3.13. С помощью критерия Рау-
са-Гурвица можно убедиться, что все корни q(s) расположены в левой полуплоскости, следо-
вательно, система устойчива.

Часто модель системы бывает задана в виде совокупности дифференциальных урав-
нений относительно переменных состояния. В этом случае удобно изобразить альтерна-
тивную модель в виде сигнального графа, по которому легко записать его определитель
A(s) и, следовательно, характеристическое уравнение. Освоить этот прием нам поможет
следующий пример.

Пример 6.8. Устойчивость системы второго порядке

Система второго порядка описывается двумя дифференциальными уравнениями первого по-
рядка:

х2 = х2 “ Kxt 4* Klk

где u(t) — входной сигнал, а точки над х^ символизируют производные по времени. Модель в
виде сигнального графа, соответствующая этим уравнениям, изображена на рис. 6.7. Граф со-
держит три контура:

- s'1, L2 = -3s"4 и - ~Ks~2.

причем L{ и L2 не имеют общего узла. Следовательно, по правилу Мейсона, определитель гра-
фа

Д = 1 - (£( + L2 + Z3) + L.L2 = 1 - (s’1 - 3s’1 - Ks~2) + (-3s’2) .

Умножив А на s2, получим характеристическое уравнение

s2 + 2s + (К - 3) = 0 .

Поскольку для устойчивости все коэффициенты должны быть положительны, то мы приходим
к условию К > 3.
*

Рис. 6.7

Сигнальный граф
для системы
из примера 6.8

Метод получения характеристического уравнения непосредственно по векторному
дифференциальному уравнению основан на том, что для свободного движения системы
решение имеет вид экспоненциальной функции. При отсутствии входных сигналов век-
торное дифференциальное уравнение имеет вид

х = Ах,	(6.22)

где х — вектор состояния. Поскольку решение такого уравнения представляет собой экс-
поненту, то мы можем найти такие константы X, при которых решение для каждой пере-
менной состояния будет иметь вид х, (/) =	. Константы \ называются характеристиче-

скими числами или собственными значениями системы, они же являются корнями харак-
теристического уравнения. Если положить х = кеЛ/, то подставив это выражение в (6.22),
получим:

Хке^ = Ак?',	(6.23)

или

Хх = Ах.	(6.24)

Уравнение (6.24) можно переписать в виде

(XI - А)х = 0,	(6.25)

где I — единичная матрица, 0 — нулевая матрица. Нетривиальное решение этой системы
однородных уравнений существует тогда и только тогда, если обращается в нуль определи-
тель матрицы ( XI - А), т. е. если

det(XI - А) = 0.	(6.26)

Раскрывая определитель, мы получим уравнение и-го порядка относительно X, которое и
будет характеристическим уравнением системы. Далее не составит труда исследовать
устойчивость системы. Для иллюстрации этого метода рассмотрим систему третьего по-
рядка, с которой мы имели дело в примере 3.2.

Пример 6.9. Замкнутая система распространения эпидемии

В примере 3.2 была рассмотрена модель динамики эпидемического заболевания. Соответству-
ющее векторное дифференциальное уравнение имеет вид (3.55), и мы воспроизведем его еще

Отсюда получим характеристическое уравнение:

det(XI - А) = det<

0

0

0 ? - det

= k[(k+a)(k + y)+p2]= ЦХ2+ (a + y)k+ (ay + р2)]= 0.

Это уравнение очень похоже на характеристическое уравнение (3.57), полученное по сигналь-
ному графу. Дополнительный корень Х = 0 появился из-за того, что имеется переменная х3? яв-
ляющаяся интегралом от (axj 4-ух2), нох3 не влияет на остальные переменные состояния. Поэ-
тому корень X = 0 указывает просто на наличие интегратора, формирующего переменную х3.
Характеристическое уравнение показывает, что при (а + у) > 0 и (ау + р2) > 0 система будет на-
ходиться на границе устойчивости.

В заключение рассмотрим еще раз перевернутый маятник, модель которого была по-
лучена в примере 3.3. Система имеет матрицу

ГО	1	0	О'

0	0	-mg/М	0

А~ 0	0	О	1

Lo	0	gll	о
Характеристическое уравнение det(XI - А) = 0 принимает вид:

det

X -1 О

X mg/М

О к

О 0	-g/7

О

О

Анализ этого уравнения

показывает, что имеются два корня X - О, корень Х= — и

корень X- - —. Следовательно, система неустойчива, т. к. один из корней расположен в

правой полуплоскости. Два корня в начале координат будут приводить к возникновению
неограниченно нарастающей реакции.

6.5.	Пример синтеза: управление поворотом
гусеничной машины

Синтез системы управления поворотом гусеничной машины заключается в выборе двух
параметров. На рис. 6.8(a) изображена функциональная, а на рис. 6.8(6)— структурная схе-
ма этой системы. Чтобы осуществить поворот, две гусеницы работают с разными скоростя-
ми. Необходимо выбрать К и а так, чтобы система была устойчива и чтобы при линейном
входном сигнале установившаяся ошибка не превышала 24% от величины этого сигнала.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

1 + GcG(s) = О,

или

-------------------=0.

5(5+ 1)(5Ч-2)(5Ч-5)

(6.27)

а)

Дроссель
Руль

Момент
на гусенице

Правая

Регулятор
и двигатель

Машина

Y(s)

Левая

Направление
движения

Разность скоростей гусениц

6)

Рис. 6.8. (а) Система управления поворотом гусеничной машины.
(6) Структурная схема системы
6.5. Пример синтеза: управление поворотом гусеничной машины

325

Отсюда имеем:
или

s(s + 1 )(лД 2)(s + 5) + K(s + а) - О,
? + 8? + 17? + (К + 10)5 + Ка = 0 .

(6.28)

Чтобы найти область устойчивости в плоскости параметров К и а, составим таблицу
Рауса:

1	17 Ка

8 (Х+10) 0

К Ка

сз

Ка,

где

b3 (Х + 10)- 8Ка

Чтобы элементы первого столбца были положительны, Ка, 63 и с3 должны быть больше
нуля. Следовательно, должны выполнятся неравенства:

К <126,

Ка>Ъ,	(6.29)

(К + 10)(126-Л:)-64Ха>0.

Область устойчивости изображена на рис. 6.9. Установившаяся ошибка при линейном
входном сигнале r(t) = At,t> 0, равна

= A/Kv,

где

Таким образом,

Рис. 6.9

Область устойчивости

Kv = limsGcG(s)-Ka/10 .

юл

(6.30)

Ка

К
Если выбрать Ка = 42, то мы получим evs. = 23,8%. Это условие можно удовлетворить, задав
точку в области устойчивости с параметрами К= 70 и а- 0,6, как показано на рис. 6.9. Дру-
гое возможное сочетание параметров: К = 50 и а = 0,84. Можно определить и ряд других
комбинаций параметров, дающих произведение Ка = 42 и лежащих в области устойчиво-
сти. Однако, как видно из рис. 6.9, параметр К не может превышать 126.

6.6.	Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Этот раздел мы начнем с критерия Рауса-Гурвица и покажем, какое простое и удобное сред-
ство предоставляет MATLAB для вычисления корней характеристического уравнения, Если
характеристическое уравнение содержит один варьируемый параметр, то можно отразить в
виде диаграммы изменение положения корней в зависимости от этого параметра.

В данном разделе будет введена функция for, с помощью которой последователь-

ность инструкций повторяется заданное число раз.

Критерий Рауса-Гурвица. Как было отмечено выше, критерий Рауса-Гурвица

определяет необходимое и достаточное условие устойчивости. Если задано характеристи-

ческое уравнение с постоянными коэффициентами, то с помощью критерия Рауса-Гурви-

ца можно определить число корней, расположенных в правой полуплоскости. Например,
рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы, изображенной на

рис. 6.10:

q(s) = 53 + s2 + 2s + 24 = 0 .

Рис. 6.10

Замкнутая система управления
с передаточной функцией

Л$) = Y{s)/fi(s) =

= 1/(s3 + s2 + 2s + 24)

B(s)

G(s) -

s3 + s2 + 2s + 28

^Y(s)

Соответствующая таблица Рауса приведена на рис. 6.11. Два изменения знака в пер-
вом столбце указывают на наличие двух корней уравнения в правой полуплоскости: сле-
довательно, замкнутая система неустойчива. С помощью MATLAB мы можем проверить
этот результат, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения, как это
показано на рис. 6.12. Для этого необходимо использовать функцию pole, которая вычис-
ляет корни алгебраического полинома.

Рис. 6.11

Таблица Рауса
для замкнутой системы
с передаточной функцией
Дз) = 1/(s3 + s2 + 2s + 24)
Рис. 6.12

Использование функции
pole для вычисления
полюсов замкнутой системы,
изображенной на рис, 6,10

»numg=[1l; deng=[1 1 2 23]; sysg=tf(numg,deng);

»sys=feedback(sysg,[1]);

»po!e(sys)

ans =

-3,0000

1.0000 + 2.64581 <

1,0000-2.64581

Корни в правой
полуплоскости

Если характеристическое уравнение является функцией единственного параметра, то
с помощью критерия Рауса-Гурвица можно определить диапазон значений этого пара-
метра, при которых система будет устойчивой. Рассмотрим замкнутую систему, изобра-
женную на рис. 6.13. Характеристическое уравнение имеет вид:

q(s) = 53 + 2s2 + 45 + К = 0 .

Рис. 6.13

Замкнутая система
с передаточной функцией
Д5) = Ц$№) =

=	+ 2s2 + 4s + К)

B(s)

Y(s)

С помощью критерия Рауса-Гурвица мы нашли (см. уравнение 6.12), что система
устойчива при 0 < К < 8. Этот результат можно проверить графически с помощью MAT-
LAB. Как показано на рис. 6.14(a), мы задали диапазон значений К, при которых хотим
вычислить корни характеристического уравнения. Затем с помощью функции roots вы-
числили и изобразили траектории корней. Как видно из графика, с увеличением К корни
характеристического уравнения смещаются вправо, при К ~ 8 они оказываются на мни-
мой оси, а при К > 8 попадают в правую полуплоскость.

Программа на рис. 6.14 содержит функцию for. Эта функция обеспечивает выполне-
ние одной и той же серии инструкций заданное число раз. Она в сочетании с инструкцией
end образует цикл повторяющихся вычислений. На рис. 6.15 приведен формат функции
for, а также пример ее использования. В примере цикл повторяется 10 раз. На f-м шаге, где
1 < i < 10, z-й элемент вектора а устанавливается равным 20, а скаляр b пересчитывается.

Критерий Рауса—Гурвица позволяет получить однозначный ответ на вопрос об абсо-
лютной устойчивости линейной системы, В то же время он не позволяет судить об отно-
сительной устойчивости, которая непосредственно связана с положением корней харак-
теристического уравнения. Критерий Рауса-Гурвица говорит о том, сколько корней нахо-
дится в правой полуплоскости, но не указывает конкретного положения этих корней. С
помощью MATLAB мы можем вычислить точные значения корней и тем самым судить
об относительной устойчивости системы.

Пример 6.10. Управление поворотом гусеничной машины

На рис. 6.8 изображена структурная схема системы управления поворотом гусеничной маши-
ны. Цель синтеза состоит в выборе параметров К и а, при которых система будет устойчива и
установившаяся ошибка при линейном входном сигнале не будет превышать 24% от величины
этого сигнала. Для решения этой задачи можно воспользоваться критерием Рауса-Гурвица.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

9(5) = ? + 8s3 + 17? + {К + 10)s + Ка = 0 .
Рис. 6.14

(а) Траектории
корней уравнения
q (5) = 53 + 2s2 +

+ 4s + К = О
при 0 < К < 20.

(б) Скрипт MATLAB

.2

О

Действительная ось

-1

% Этот скрипт вычисляет корни характеристического
% уравнения q(s)=sA3+2sA2+4s+K при 0<К<20

%

К=[0:0.5:2о];

for i=1:length(K)

q=[1 2 4 K(i)J; U

p(:,i)=roots(q); J
end

Цикл для вычисления
корней в функции от К

plot(real(p)]imag(p)<<x’),grid

xlabelf Действительная ось‘)(у1аЬе!(‘Мнимая ось4)

Рис. 6.15

Функция for
и иллюстративный
пример

Цикл

Общий формат
> for переменная = выражение

инструкция



инструкция
► end

Пример
Составив таблицу Рауса, мы получим два условия устойчивости: К< 126 и Ка > 0. Это значит,
что мы можем ограничить область поиска значениями §<К< 126 и а > 0. Сначала с помощью
MATLAB мы найдем границу устойчивости в плоскости параметров Айа. Затем мы сможем
найти пары значений (К, а), принадлежащих области устойчивости, таких, которые удовлетво-
ряли бы ограничению на установившуюся ошибку. Эта процедура, показанная на рис. 6.16,
включает в себя задание диапазона значений Аи аи вычисление корней характеристического
уравнения для конкретных значений этих параметров. Для каждого К мы найдем первое значе-
ние а, при котором по крайней мере один корень характеристического уравнения попадает в
правую полуплоскость. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден весь диа-
пазон значений Айа. Найденные пары чисел (К, а) определяют границу между областями
устойчивости и неустойчивости.

На рис. 6.16 область слева от графика зависимости a ~f (К) является областью устойчивости.

Если считать, что r(t) = At, t > 0, то установившаяся ошибка

- lim	+	+ А - 10^

w л->о 5(5 + l)(s + 2)(5 + 5) + А?(5 + a) s2 Ка

где мы использовали тот факт, что

1

1+£//(*)

5(5+ 1)(5+ 2)(5+ 5)

£(5) =

Л(5) =

5(5 + 1)(5 + 2)(5 + 5) + К (5 + а)

’ Ж*) -

При заданном ограничении е¥Л. < 0,24Л мы имеем:

ЮЛ

Ка

0,24 А, или

Ка > 41,67.

(6-31)

Рис. 6.16

(а)	Область
устойчивости
в плоскости
параметров (К, а)
для системы
управления
поворотом
гусеничной
машины.

(б)	Скрипт MATLAB

а)

% Определение области устойчивости для системы

% управления поворотом гусеничной машины

°/°	' Диапазон значений К и a

а=[0.1:0.01:3.0];К=[20:1:120];

х=0*К; у=0*К; Ч---------------

n=length(K); m=length(a);

for i=1:n

forj=1:m

q=[1)8,17lK(i)+10)K(i)*a(j)];

p=roots(q);

Задание начальных значений
векторов диаграммы
соответствующей длины

<---- Характеристический

полином

if max(real(p))>0, x(i)=K(i);y(i)=a(j-1); break; end
end
end

Определение первого значения д, приводящего
к неустойчивости при заданном К

plo^x.yXgrid.xlabelfK'), ylabelfa’)
Любые значения Киа, лежащие в области устойчивости на рис. 6.16 и удовлетворяющие усло-
вию (6.31), будут считаться приемлемыми. Например, значения К = 70 и а = 0,6 будут удовлет-
ворять всем выдвинутым требованиям. При этих значениях передаточная функция замкнутой

системы примет вид:



70^ + 42

/ + 8? + 1752 + 805 + 42

Полюсы замкнутой системы будут иметь значения:

j = -7,0767, 5 = -0,5781, 5 = -0,1726 + 3,1995/ и 5 = -0,1726 - 3,1995/.

Реакция системы на линейный входной сигнал, изменяющийся с единичной скоростью, приве-
дена на рис. 6.17. Установившаяся ошибка менее 0,24, как и требовалось.

Рис. 6.17

(а)	Реакция
системы
управления
поворотом
гусеничной машины
на линейный
входной сигнал при
К = 70 и a = 0,6.

(б)	Скрипт MATLAB

Время(ct

% Реакция системы управления поворотом гусеничной
% машины при а=0.6 и К=70

t=[0:0.01:16); u=t;

и — входной сигнал

numgc=[1 0.6];dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);
numg=[70];deng=[1 7 10 0]; sysg=tf(numg,deng); <

sysa=series(sysgc,sysg);

sys=feedback(sysa,[1]);

[y.Tl^isimCsys.u.t);

plot(T,y,t,u/—’),grid
х1аЬе1(‘Время(с)’), ylabelfy(t)’)

L  - - —

а = 0.6 и К = 70

Моделирование реакции

Устойчивость систем, описываемых переменными состояния. Обратимся теперь
к анализу устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния.
Предположим, что мы имеем дело с системой, описываемой уравнением (6.22). Ее устой-
чивость можно определить по характеристическому уравнению, которое записывается
через матрицу А:

det(sl - А) = 0 .

(6.32)
Левая часть этого уравнения является полиномом от j. Если все корни характеристи-
ческого уравнения имеют отрицательные действительный части, т. е. Re s, < 0, то система
устойчива.

Если модель системы представлена в переменных состояния, то прежде всего необ-
ходимо найти ее характеристический полином. Это можно сделать несколькими способа-
ми. Один из них предполагает раскрытие определителя (Я - А) вручную. После этого
можно либо вычислить корни характеристического уравнения с помощью функции MAT-
LAB roots, либо использовать критерий Рауса-Гурвица, чтобы установить, имеются ли
корни в правой полуплоскости. К сожалению, ручные вычисления могут вызвать затруд-
нения, особенно при большой размерности матрицы А. Избежать подобных неприятно-
стей можно, если прибегнуть к помощи MATLAB.

Характеристическое уравнение можно получить с помощью функции poly, рассмот-
ренной в разделе 2.10. Напомним, что эта функция позволяет образовать полином по век-
тору его корней. Ее также можно использовать для вычисления характеристического
уравнения матрицы А, как показано на рис. 6.18, где матрица А задана в виде

Г-8 -16 -61

о о

1 о

0

а в результате вычислений получен полином

53 + 852 + 16j + 6 .

Если А — матрица размерности п х п, то функция poly(A) возвращает вектор-строку
из п + 1 элементов, являющихся коэффициентами характеристического уравнения.

Рис. 6.18
Вычисление
характеристического
полинома матрицы А
с помощью функции
poly
Пример 6.11. Определение области устойчивости в случае
неустойчивого объекта

На рис. 6.19 изображена система управления реактивным самолетом. Предположим, что z > 0 а
р > 0. В разомкнутом состоянии система неустойчива, т. к. ее характеристическое уравнение
имеет вид:

- l)(5 + р) = ф'2 + (р - 1)5 -р] = о .

Рис. 6.19. Система управления реактивным самолетом

Заметим, что поскольку один член в квадратных скобках является отрицательным, то характе-
ристическое уравнение имеет по крайней мере один корень в правой полуплоскости. Характе-
ристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

s3 + (р —1)5? + (К - p)s + Kz ~ 0 .

Определим область устойчивости в пространстве параметров К, р и z. Составим таблицу Рау-
са:

где

b	~р)~ Kz

2	Р-1

Согласно критерию Рауса-Гурвица, мы должны потребовать выполнения условий Kz > 0 и
р > 1. Полагая Ь2 = 0, получим:

(р~ \ )(К - р) - Kz = К[(р - l )-z]-p(p~ 1)- 0.

Следовательно, должно выполняться условие:

Рассмотрим три случая:

1.	z > (р - 1). Т. к. р > 0, то любое значение К > 0 будет удовлетворять условиям устойчивости.

2.	z = (р - 1). Не существует таких К. (0 < К < оо), при которых система была бы устойчива.

3.	z < (р - 1). При заданных р и z существует значение X, (0 < К < со), удовлетворяющее усло-
вию устойчивости (6.33).

Условия устойчивости можно изобразить графически. На рис. 6.20 приведен скрипт MATLAB,
позволяющий построить границу устойчивости в трехмерном пространстве. В скрипте испо-
льзована функция mesh для построения трехмерной поверхности и функция meshgrid для вы-
числения массивов данных, входных для mesh.

На рис. 6.21 приведена трехмерная диаграмма для определения области устойчивости в коор-
динатах К, р и z.
Рис. 6.20

Скрипт MATLAB
для определения
области
устойчивости

% Определение области устойчивости
% системы управления реактивным

Рис. 6.21

Граница
устойчивости
в трехмерном
пространстве

О 1

6.7.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

В разделе 5.13 в задаче синтеза системы управления положением считывающей го-
ловки мы занимались подбором коэффициента^. Теперь мы займемся анализом
устойчивости этой системы в зависимости от параметра Ка и изменим конфигура-

цию системы, как это предусмотрено шагом 4 процедуры синтеза (см. рис. 5.42).

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 6.22. Это та же самая система с моделью
двигателя и нагрузки, с которой мы имели дело в главе 5, за исключением того, что теперь
в нее добавлен датчик обратной связи по скорости. Сначала рассмотрим случай, когда
ключ разомкнут. Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

KaGx(Sy32(s)

R(s) l + XoG](s)G2(s) ’

(6-34)

где

Gx (Ч =

5000

5+1000

G2 (5) =

1
s(s+ 20)

и
2?(s)

Рис. 6.22. Замкнутая система управления положением считывающей головки
с возможностью реализации обратной связи по скорости

Характеристическое уравнение системы:

5(5 + 20)(.у + 1 000) + 5000Лы = 0 ,
или

(6.35)

s3 + 1020? + 20000s + 5000/Q = 0 .

Составим таблицу Рауса:

5

s°

1	20000

1020 5000£о
bi

5000Ка ,

где

20000-1020- 5000Х„

1020

Случай Ьх = 0 соответствует нахождению системы на границе устойчивости, при этом
Ка = 4080. Вспомогательное уравнение имеет вид:

1020s2 + 5000 • 4080 = 0 ,

откуда следует, что на мнимой оси находятся корни $ = ±j 141,4.

Чтобы система была устойчива, должно выполняться условие Ка < 4080.

Теперь введем обратную связь по скорости, замкнув ключ на рис. 6.22. Передаточная
функция замкнутой системы примет вид:

У(О^ KaGx{sy32{s)

R(s)	+

(6.36)

поскольку обратная связь теперь представлена фактором (1 + Х{5), как изображено на
рис. 6.23.

Запишем характеристическое уравнение:

1 + [ВД(.у)62(5)]( 1 + Kxs) = 0 ,

или

5(5 + 20)(5 + 1000) + 5000X^(1 + Л}5) = 0 .
J9(s)

Я(з)

У(з)

Рис. 6.23. Эквивалентная система с обратной связью по скорости (ключ замкнут)

Отсюда имеем:

? + 1020s2 + (20000 + 5000/QQ.s + 5000£и = 0 .

Составим таблицу Рауса:

1	(20000+ 5000^^!)

1020	5000£а

bi

5000Ка ,

где

(20000+5000^^! )U020- 5000Xu

1020

Чтобы обеспечить устойчивость системы, параметры Ка и надо выбрать так, что-
бы было Ьх > 0, где Ка > 0. На рис. 6.24 приведена реакция системы, рассчитанная с помо-
щью MATLAB при К{ = 0,05 и Ка = 100. Время установления (по критерию 2%) приблизи-
тельно равно 260 мс, а перерегулирование отсутствует. Показатели качества системы
приведены в табл. 6.2. Требования, предъявляемые к качеству системы, практически
удовлетворены, однако требуется некоторая подгонка коэффициента Къ чтобы добиться
желаемого времени установления 250 мс.

Таблица 6.2. Показатели качества системы управления положением
считывающей головки при наличии обратной связи по
скорости

Показатель качества

Желаемое значение Действительное значение

Относительное
перерегулирование
Время установления
Максимум реакции
на единичное возмущение

Менее 5%	0%

Менее 250 мс	260 мс

Менее 5 • 10~3	2  10~3
I!

Рис. 6.24	а)

Переходная
характеристика
системы с обратной
связью по скорости.
(а) Скрипт MATLAB.
(б) Реакция системы
при Ка — 100
и Ку = 0,05

Ка=100; К1 =0.05; ◄---------------------------------

пд1 =[5000]; dg1=[1 1000]; sys1=tf(ng1 ,dg1);______________

пд2=[1]; dg2=[1 20 0]; sys2=tf(ng2,dg2);	Задание

пс=[К1 1]; dc=[0 1];sysc=tf(nc,dc);	коэффициентов

sysO=series(Ka*sys1 ,sys2);	и Ka

sys=feedback(sys0,sysc); sys=minreal(sys);

t=[0:0.001:0.5];

step(sys.t);

ylabel(‘y(t)’),xlabelf Время (c)‘).grid

Время (c)

6.8.	Резюме

В этой главе мы познакомились с понятием устойчивости систем управления с обратной
связью. Устойчивая система была определена как система, обладающая ограниченной ре-
акцией на входной сигнал. Также было показано, что устойчивость системы непосредст-
венно связана с расположением полюсов ее передаточной функции на 5-плоскости.

Был рассмотрен и проиллюстрирован примерами критерий устойчивости Рауса-Гур-
вица. Было введено понятие относительной устойчивости, также связанное с расположе-
нием на 5-плоскости полюсов передаточной функции системы. Рассматривался метод
анализа устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния.

Упражнения

У-6.1. Система имеет характеристическое уравнение 53 + 3Ks 2 + (2 + K)s + 5 = 0. Определите диапа-
зон значений X, при которых система является устойчивой.

Ответ'. К > 0,63.

У-6.2. Система имеет характеристическое уравнение у3 + 9s2 + 26s1 + 24 = 0. С помощью критерия Ра-
уса-Гурвица покажите, что система устойчива.

У-6.3. Найдите корни характеристического уравнения s4 + 9,5s3 + 30,5s2 + 37s + 12 = 0.

У-6.4. На рис. 6.4(У) изображена структурная схема системы управления. Определите значения ко-
эффициента К, при которых система будет устойчива.

Отвепг. О < К < 1,5 .
Рис. 6.4 (У)

Система
управления
с параллельными
каналами
в прямой цепи

У-6.5. Разомкнутый контур системы с обратной связью имеет передаточную функцию

GH(s) =

К

(s+ 1)(5 + 3)(j+ 6)

где К = 20. Вычислите корни характеристического уравнения замкнутой системы.

У-6.6. Для упражнения У-6.5 определите значение К, при котором два корня будут находиться на
мнимой оси. Вычислите значения всех трех корней.

Ответ', s - —10, ±j‘5,2.

У-6.7. Разомкнутый контур системы с отрицательной обратной связью имеет передаточную функ-

цию

GH (S) =

ф-1)

(а)	Определите значение коэффициента К, при котором коэффициент £ в замкнутой системе
будет равен 0,707.

(б)	Определите значение К, при котором два полюса замкнутой системы будут находиться на
мнимой оси.

У-6.8. Конструкторами создан небольшой скоростной истребитель с вертикальным взлетом, неви-
димый для радаров (известный как Стеле). Управление таким самолетом осуществляется с по-
мощью реактивных двигателей с поворачивающимися соплами. На рис. 6.8(У) изображена си-
стема управления направлением полета самолета. Определите максимально допустимое зна-
чение коэффициента К. исходя из условия устойчивости замкнутой системы.

У-6.9. Дано характеристическое уравнение системы:

? + 3? + (К +	+ 4 = 0 .

Определите диапазон значений К, при которых система устойчива.
Ответ: К < 1/3.

У-6,10. Для сохранения равновесия каждый человек использует органы зрения и слуха. Наша систе-
ма ориентации позволяет нам сидеть или поддерживать вертикальное положение даже во вре-
мя движения. Эта система действует главным образом на основе информации, принимаемой
внутренним ухом, где полукружные каналы реагируют на угловое ускорение, а отолиты— на
линейное ускорение. Однако измерение этих ускорений обязательно должно быть поддержано
визуальной информацией. Попытайтесь проделать следующий эксперимент: (а) Поставьте
одну ногу впереди другой в одну линию, а согнутые в локтях руки поставьте на бедра, (б) За-
кройте глаза. Не ощущаете ли вы, что начинаете медленно раскачиваться со все увеличиваю-
щейся амплитудой, пока, наконец, совсем не потеряете равновесие? Является ли ваше исход-
ное положение устойчивым, если вы используете зрительный аппарат или, наоборот, выклю-
чаете его из действия?

У-6.11. Система имеет передаточную функцию

У(5)_	24(5+1)

Я(5) J4 + 653 + 2s2 + 5+ 3

Рис. 6.8 (У)
Система
управления
направлением
полета
самолета

Т?(8)
Определите установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном сигнале. Является
ли система устойчивой?

У-6.12. В тяжелой и легкой промышленности все более широкое применение находит магнитная
(бесконтактная) подвеска роторов электрических машин. Матричное дифференциальное урав-
нение системы магнитной подвески имеет вид:

х =

О

-3

-2

О

О

О

— 1

— 1

где xz = [у, dyldt, (|, у — величина зазора, i — ток электромагнита. Определите, является ли сис-
тема устойчивой.

Ответ', система устойчива.

У-6.13. Система имеет характеристическое уравнение

q(s) = s6 + 9? + 31,25s4 + 61,25s3 + 67,75? + 14,75s + 15 = 0 .

(а)	Определите, устойчива ли система, воспользовавшись критерием Рауса-Гурвица, (б) Най-
дите корни характеристического уравнения.

Ответ', (а) система находится на границе устойчивости;

(б)	s = -3; -4; -1 ± 2 j; + 0,5 j.

У-6.14. Система имеет характеристическое уравнение

q(s) = ? + 9? + 45? + 87s + 50 = 0 .

(а) Определите, устойчива ли система, воспользовавшись критерием Рауса-Гурвица, (б) Най-
дите корни характеристического уравнения.

У-6.15. Модель системы в переменных состояния задана матрицей

—6

-6

-11

-11

-1

6

*

3

(а) Получите характеристическое уравнение системы, (б) Определите, является ли система
устойчивой, (в) Найдите корни характеристического уравнения.

Ответ: (a) q(s) = у3 + 6s2 + 1 Is + 6 = 0.

У-6.16. Система имеет характеристическое уравнение

9(s) = ? + 20s2 + 5s + 100 = 0.

(а) Определите, устойчива ли система, воспользовавшись критерием Рауса-Гурвица, (б) Най-
дите корни характеристического уравнения.

У-6.17. Определите, устойчива или неустойчива каждая из систем, заданных своим характеристиче-
ским уравнением:

(а)	? - 4? + 6s 4- 100 = 0;

(б)	s4 - 6s3 - s2 - 1 Is - 6 = 0;

(в)	у2 + 6s + 3 = 0.

У-6.18. Найдите корни следующих уравнений:

(а)	? + 10,4s2 + 36,2s + 40,8 = 0;

(б)	s3 + 9s2 + 27s + 27 = 0 .

У-6.19. Система имеет характеристическое уравнение

q(s) = ? + 10s2 + 29s + К = 0 .

Сдвиньте ось ординат вправо на 2 путем замены № sn - 2 и определите значение К, при кото-
ром комплексные корни будут равны s = -2 ± j.

У-6.20. Система имеет передаточную функцию Д$) = Y(s)/R(s) - 1/s. (а) Является ли система устой-
чивой? (б) Определите реакцию системы у(/), если r(t) — единичная ступенчатая функция.
У-6.21. Система описывается уравнением (6.22), где

Г о	1	о

А= 0	0	1

Определите диапазон значений К, при которых система устойчива.

Задачи

3-6.1. С помощью критерия Рауса—Гурвица исследуйте устойчивость систем со следующими харак-
теристическими полиномами:

(a)	s2 + 5s + 2;

(б)	s3 + 4s* + 6s + 6;

(в)	/ + 2s~ - 4s ч- 20;

(г)	s4 + s3 + 2?	10s + 8;

(д)	s4 + s3 + 3s2 + 2s + А;

(е)	s5 + s4 + 2s3 + s + 5;

(ж)	s5 + s4 + 2s3 + s2 + s + K.

Определите число корней (если таковые имеются), расположенных в правой полуплоскости.
При наличии в полиноме параметра К определите диапазон значений К, при которых система
устойчива.

3-6.2. В задаче 4.5 анализировалась система управления антенной и было установлено, что для уме-
ньшения влияния возмущений (порывов ветра) коэффициент усиления магнитного усилителя
Ка должен быть как можно больше, (а) Определите предельно допустимое значение этого ко-
эффициента, исходя из соображений устойчивости системы, (б) Система должна обладать вре-
менем установления, равным 1,5 с. Используя сдвиг оси ординат и критерий Рауса-Гурвица,
определите значение К(Р удовлетворяющее этому условию. Предположите, что переходная ха-
рактеристика в основном определяется комплексными полюсами замкнутой системы. (Спра-
ведливо ли в данном случае подобное допущение?)

3-6.3. Одним из наиболее важных применений промышленных роботов является дуговая сварка. В
большинстве ситуаций неопределенность размеров деталей, геометрии стыка и самого свароч-
ного процесса требует применения специальных датчиков для обеспечения качества сварки.
Некоторые роботы оснащены системой технического зрения, с помощью которой измеряется
геометрия пудлинга расплавляемого металла. Подобная система изображена на рис. 6.3(3). Эта
система обеспечивает постоянную скорость движения сварочного стержня вдоль шва. (а)
Определите максимально допустимое значение коэффициента К. исходя из соображений
устойчивости системы, (б) Выбрав значение К. в 2 раза меньшее найденного в п. (а), определи-
те корни характеристического уравнения, (в) При значении К из п. (б) определите величину
перерегулирования в случае ступенчатого входного сигнала.

Заданный
диаметр

Диаметр
пудлинга
3-6.4. На рис.6.4(3) изображена система с об-
ратной связью, в которой передаточные
функции соответственно имеют вид:

6(5) =

K(s + 40)
5(5+10) ’

/7(5) =

(а) Определите предельно допустимое
значение коэффициента X, исходя из со-
ображений устойчивости системы.

Рис. 6.4 (3). Система с обратной связью

(б) При коэффициенте К, найденном в п. (а), при котором система находится на границе устой-
чивости, определите значения мнимых корней, (в) Уменьшите коэффициент К. найденный б

п. (а), в 2 раза и определите относительную устойчивость системы (1) путем сдвига оси орди-
нат и применением критерия Рауса-Гурвица и (2) путем определения положения полюсов. По-

кажите. что полюсы расположены между -1 и -2.

3-6.5. Определите относительную устойчивость систем, заданных своими характеристическими
уравнениями, путем (1) сдвига оси ординат и применения критерия Рауса-Гурвица и (2) путем
определения положения комплексных корней на 5-плоскости:

(а)	53 + 3s~ + 4^ 4- 2 = 0;

(б)	? + 9? + 30? + 42s + 20 = 0;

(в)	? + 19? + 110s + 200 = 0.

3-6.6. На рис. 6.6(3) изображена система с
единичной обратной связью. Опреде-
лите относительную устойчивость сис- p(s)
темы по положению комплексных по-
люсов на 5-плоскости для следующих

Рис. 6.6 (3). Система
с единичной обратной связью

случаев:

(а) 6(5) =

(6)6(5) =

(В) 6(5) =

65+ 335.

52(5+ 9) ’

_________24_________

5(53+ 1052+ 355+ 50) ’

3(5+4)(5+ 8)

5(5 + 5)2

3-6.7. Линейная модель фазового детектора (контура синхронизации фазы) может быть представле-
на в виде рис. 6.7(3). Устройства синхронизации фазы проектируются с целью поддержания
нулевой разности фаз между входным несущим сигналом и сигналом местного генератора,
управляемого напряжением. Подобные устройства применяются в цветном телевидении, в си-
стемах слежения за ракетами и в космической телеметрии. В частном случае фильтр имеет пе-
редаточную функцию

10(5+10)

Г (5) = ------------ .

(5 + 1)(5 + 1 00)

Требуется минимизировать установившуюся ошибку при изменении фазы входного сигнала
по линейному закону.
(а) Определите предельно допустимое значение коэффициента Kv = исходя из условия
устойчивости системы, (б) Считается приемлемым, если установившаяся ошибка будет равна
1° при скорости изменения входного сигнала 100 рад/с. Определите положение полюсов сис-
темы при соответствующем значении коэффициента Kv.

3-6.8. Весьма оригинальная система была спроектирована для управления скоростью движения ин-
валидного кресла на колесах. Такая система дает возможность людям, парализованным ниже
шеи, передвигаться, находясь в моторизованном кресле. Структурная схема подобной систе-
мы изображена на рис. 6.8(3). Датчики скорости, закрепленные на головном уборе, формиру-
ют выходные сигналы, пропорциональные амплитуде движения головы. Датчики установлены
под углами 90°, так что человек может отдать команду на движение вперед, назад, влево или
вправо. Постоянные времени имеют типичные значения Т] = 0,5 с, т3 = 1 с и т4 = 0,25 с.

(а) Определите предельно допустимое значение К = KYK2K3f исходя из условия устойчивости
системы, (б) Если коэффициент К выбрать равным 1/3 от предельного значения, проверьте,
возможно ли в этом случае обеспечить в системе время установления (по критерию 2%) мень-
ше 4 с. (в) Найдите значение К, при котором время установления будет равно 4 с. Вычислите
соответствующие этому коэффициенту корни характеристического уравнения.

Рис. 6.8 (3). Система управления движением инвалидного кресла

3-6.9. На рис. 6.9(3) изображена система управления скоростью ленты кассетного накопителя ин-
формации. (а) Определите предельно допустимое значение коэффициента К, исходя из сооб-
ражений устойчивости системы, (б) Определите значение К, при котором в случае ступенчато-
го входного сигнала перерегулирование составит примерно 5%.

3-6.10. В производственных операциях, требующих точности, быстроты и разнообразия действий,
могут быть использованы роботы. Система управления движением руки такого робота в разо-
мкнутом состоянии имеет передаточную функцию

АД.у+10)

5-(5- + 3)(^2 + ^+ 8)

(а) Определите значение К, при котором в замкнутой системе возникнут незатухающие коле-
бания. (б) Вычислите корни характеристического уравнения замкнутой системы при значении
К, найденном в п. (а).

3-6.11. Система управления с обратной связью имеет характеристическое уравнение

? + (1 + K)s2 + 105 + (5 + 15Х) = 0 ,

причем параметр К положителен. До какого значения можно увеличивать К, прежде чем сис-
тема станет неустойчивой? Если коэффициент К будет равен этому значению, в системе воз-
никнут незатухающие колебания. Определите частоту этих колебаний.

Рис. 6.9 (3)

Система управления
скоростью ленты
i

3-6.12. Система имеет характеристическое уравнение

s6 + 2s5 + 9s4 + 16? + 24? + 32s + 16 = 0 .

Определите, является ли система устойчивой, и вычислите корни характеристического урав-
нения.

3-6.13. Проблема устойчивости системы мотоцикл-водитель является весьма актуальной, т. к. мно-
гие гоночные машины трудно поддаются управлению. При построении модели такой системы
надо учитывать характеристики как самой машины, так и ее водителя. В разомкнутом состоя-
нии эту систему можно представить передаточной функцией [см. рис. 6.4(3)]

£(?+30s+1125)

GH (s) =--------.

s(s + 20)(?+ 10s + 125)(s‘ + 60s + 3400)

(а)	Аппроксимируйте систему более простой моделью, пренебрегая полиномом в числителе
(нулями) и сомножителем (з2 + 60s + 3400) в знаменателе, и определите диапазон значений К.
при которых замкнутая система будет устойчива.

(б)	Определите действительный диапазон значений К, при которых система будет устойчива,
учитывая все нули и полюсы передаточной функции.

3-6.14. Система имеет передаточную функцию

(а) Определите, устойчива ли система, (б) Вычислите корни характеристического уравнения,
(в) Постройте график реакции системы на единичный ступенчатый входной сигнал.

3-6.15. 16 июля 1993 г. в 70-этажном здании Ландмарк Тауэр в Йокогаме был введен в эксплуата-
цию лифт, развивающий максимальную скорость 45 км/ч. Он был признан самым быстрым из
всех существующих в мире лифтов. Чтобы достичь такой скорости, не вызывая у пассажиров
неприятных ощущений, лифт ускоряется в течение несколько большего времени, чем это тех-
нически возможно. Двигаясь вверх, он достигает полной скорости только к 27-му этажу; спус-
тя еще 15 этажей, он начинает тормозиться. В результате его ускорение почти равно ускоре-
нию, развиваемому лифтами других небоскребов — чуть менее одной десятой ускорения силы
тяжести.

Чтобы сделать лифт безопасным и комфортабельным, были проявлены чудеса изобретатель-
ности. Были разработаны специальные керамические тормоза, т. к. стальные просто расплави-
лись бы. Управляемые с помощью компьютера системы обеспечивали гашение вибраций.
Конструкция лифта имела обтекаемую форму, чтобы уменьшить сопротивление воздуха во
время движения. На рис. 6.15(3) приведена система управления вертикальным положением
лифта. Определите диапазон значений К, при которых система устойчива.

3-6.16. Рассмотрите ситуацию с кроликами и лисами в Австралии. Число кроликов равно хь и если
бы не было хищников, то увеличивалось бы до бесконечности (если, конечно, не исчезнут ис-
точники пищи), так что Xj = Ах}. Однако на континенте существуют и лисы, поэтому можно
считать, что Х| = kjc{- ах2>, где х2 — число лис. Далее, лисам, чтобы существовать, необходимо
наличие кроликов, поэтому х2 = -Лх2 + ^х\- Определите, является ли система устойчивой, и,
следовательно, при t —> оо придет к состоянию xt(Z) =	= 0- Каким должно быть соотноше-

ние между a, b, h и к, чтобы система была устойчивой? Что будет, если к больше, чем Л?

Рис. 6.15 (3)
Система
управления
положением
кабины лифта

ад -
Заданное
положение

Динамика
лифта

1

s(s2+ 3s + 3)

У(з)

Вертикальное

положение
Рис. 6.17 (3)
Система
управления
вертикальным
взлетом
самолета

3-6.17. Самолеты с вертикальным взлетом и посадкой конструируются специально для того, чтобы
они могли использовать небольшие аэропорты, а в воздухе летать как обычно. Вертикальный
взлет самолета напоминает старт ракеты, поэтому объект управления объективно является не-
устойчивым (см. пример 3.3. где рассматривалось поведение перевернутого маятника). В сис-
теме управления самолетом, изображенной на рис. 6.17(3), используются реактивные двигате-
ли с регулируемым вектором тяги, (а) Определите диапазон значений К. при которых система
устойчива, (б) Определите значение К, при котором система находится на границе устойчиво-
сти, и вычислите корни характеристического уравнения, соответствующие этому коэффици-
енту.

3-6.18. На рис. 6.18(3), (а) изображен самолет с вертикальным взлетом, который обеспечивается че-
тырьмя двигателями, вращающимися вокруг горизонтальной оси. Система управления высо-
той подъема самолета приведена на рис. 6.18(3), (б).

(а)	Определите, является ли система устойчивой при К = 1 .

(б)	Считая К > 0, определите диапазон значений К, при которых система устойчива.

Рис. 6.18 (3)
(а) Самолет
с вертикальным
взлетом.

(б) Система
управления

Ж*)

Задачи повышенной сложности

П-6.1. Система телеуправления включает в себя человека-оператора и удаленный объект управле-
ния. В простейшем случае такая система работает по принципу однонаправленной связи от
оператора к объекту и располагает ограниченными возможностями обратной связи. В более
сложном варианте реализуется двусторонний обмен информацией между человеком и объек-
том управления, за счет чего улучша-
ется качество функционирования сис-
темы. Например, при дистанционном
управлении роботом бывает полезно
обратную связь по положению допол-
нить каналом обратной связи по уси-
лию. Характеристическое уравнение
системы телеуправления, изображен-
ной на рис. 6.1 (П), имеет вид:

s4 + 20? + K}s2 + 4s + К2 = 0,

Команды
оператора

Человек -
оператор

Обратная
связь

Удаленный
объект
управления

Рис. 6.1 (П). Модель системы телеуправления

где и К2 — коэффициенты соответствующих обратных связей. Определите и представьте
графически область устойчивости этой системы в плоскости параметров К} ^К2.

Рис. 6.2 (П). Система управления горизонтальным положением самолета
при посадке на палубу авианосца

П-6.2. Рассмотрим ситуацию с посадкой самолета на палубу авианосца. Пилот имеет три основные
задачи. Во-первых, он должен обеспечить заход на посадку точно по центру посадочной поло-
сы. Во-вторых, он должен выдерживать правильную глиссаду и, в-третьих, поддерживать пра-
вильную скорость. На рис. 6.2(П) приведена модель системы управления горизонтальным по-
ложением самолета. Определите диапазон устойчивости системы по параметру К > 0.

П-6.3. На рис. 6.3(П) изображена система управления. Требуется, чтобы система была устойчива и
установившаяся ошибка при единичном ступенчатом входном сигнале не превышала 0,05
(5%). (а) Определите диапазон значений параметра а, удовлетворяющий ограничению на ве-
личину ошибки, (б) Определите диапазон значений а, удовлетворяющий условию устойчиво-
сти. (в) Выберите значение а, удовлетворяющее обоим требованиям.

Y(s)

Рис. 6.3 (П)

ад

П-6.4. На рис. 6.4(П) изображена линия разлива жидкости в бутылки, в которой используется чер-
вячный подающий механизм. Точное значение скорости ленты поддерживается за счет тахо-
метрической обратной связи. Определите и представьте графически область устойчивости си-
стемы в плоскости параметров К и р.

Задачи на синтез систем

СС-6.1. В системе управления приводом скользящей части стола металлообрабатывающего станка
□ (см. задачу СС-5.1) регулятор был представлен обычным усилителем. Определите, до каких
пор можно увеличивать коэффициент Ка, прежде чем система станет неустойчивой.
Рис. 6.4 (П)
Система
управления
скоростью ленты
на линии разлива
жидкости
в бутылки.

(5)	Общий вид.

(б)	Структурная
схема

«)

.1

Наполнение
бутылок

Направление
движения

Регулятор

у
(

i









ш

Тахометрическая
обратная связь

R(s)

Регулятор

Двигатель у ах о генератор™

Двигатель
и червяк

1

(з + l)(s + р)

Скорость

Рис. 6.1 (С)
Система
управления
зажиганием
автомобильного
двигателя

С’6.1. Система управления зажиганием автомобильного двигателя должна нормально работать в
широком диапазоне изменения параметров. Структурная схема такой системы изображена на
рис. 6.1(C), где выбору подлежит коэффициент усиления регулятора К. Параметру для многих
автомобилей равен 2, но для машин высокого класса он может равняться нулю. Выберите та-
кой коэффициент К, при котором система будет устойчива в любом из указанных случаев.

С-6.2. Автоматический самоходный аппарат для исследования поверхности Марса можно предста-
вить структурной схемой на рис. 6.2(C). Аппарат имеет два рулевых колеса, расположенных
спереди и сзади, а по условиям синтеза H(s) = Ks + 1. Определите (а) диапазон значений К. при
которых система устойчива, (б) значение К, при котором один корень характеристического
уравнения будет равен s = -5, и (в) значения двух остальных корней при коэффициенте К, най-
денном в п. (б), (г) Определите реакцию системы на ступенчатый входной сигнал при коэффи-
циенте К, найденном в п. (б).
Рис. 6.2 (С)

Система управления
движением самоходного
аппарата

С-6.3. Прямая цепь системы с единичной отрицательной обратной связью имеет передаточную
функцию



K(s+2)

s(l+ ts)(1+ 2s)

где выбору подлежат два параметра, (а) Определите и представьте графически область устой-
чивости системы в плоскости этих параметров, (б) Выберите такие значения т и К. при кото-
рых в случае линейного входного сигнала установившаяся ошибка не превысит 25% от вели-
чины этого сигнала, (в) При параметрах т и К. выбранных в п. (б), определите относительное
перерегулирование реакции системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 6.4 (С)
Система
управления
положением
космического
челнока

С-6.4. На рис. 6.4(C) изображена система управления положением космического челнока, (а) Опре-
делите и представьте графически область устойчивости системы в плоскости параметров Л* и
т. (б) Выберите такие значения параметров, чтобы при линейном входном сигнале установив-
шаяся ошибка не превышала 10% от величины входного сигнала, (в) При параметрах, выбран-
ных в п. (б), определите относительное перерегулирование реакции системы на ступенчатый
входной сигнал.

Рис. 6.5 (С). Система управления дорожным движением

С-6.5. Система управления дорожным движением, изображенная на рис. 6.5(C), предназначена для
обеспечения определенной дистанции между движущимися транспортными средствами, (а)
Определите диапазон значений К, при которых система устойчива, (б) Если Кт есть максима-
льное значение К, при котором корни характеристического уравнения оказываются на мнимой
оси, то примите K=Km/N, где 6 <.V< 7. Требуется, чтобы время максимума переходной харак-
теристики было менее 2 с, а перерегулирование не превышало 18%. Выберите соответствую-
щее значение N.

С-6.6. На рис. 6.6(C), (а) показано, как с помощью робота можно управлять мотоциклом. Соответст-
вующая структурная схема приведена на рис. 6.6(C), (б). Определите диапазон значений
при которых система устойчива, если ot] = g/h = 9. ot2 = V2lhc - 2,7 и a3 = V/hc - 1.35. Предпола-
гается. что мотоцикл движется с постоянной скоростью 2 м/с. Постоянная времени регуля-
тора т = 0,2 с, а К > 0.
Рис. 6.6 (С)	а)

(а) Мотоцикл,
управляемый
роботом.

(б) Структурная
схема системы

0	z>(s;

Задачи, решаемые с помощью

MATLAB

М-6.1. Найдите корни характеристических уравнений:

(a)	q(s) - s3 + 3s2 + 5s + 7 = 0;

(б)	q(s) = s4 + 3s3 + 4s2 + 4s + 10 = 0;

(в)	q(s) = s4 + 2s2 +1 = 0.

М-6.2. Рассмотрите систему с единичной отрицательной обратной связью, которая в разомкнутом
состоянии имеет передаточную функцию

G(s) =

K(s2-s+l)

s + 2s + 1

С помощью MATLAB найдите корни характеристического уравнения замкнутой системы при
К = 1, 2 и 5. При каких значениях К замкнутая система устойчива?

М-6.3. Система с единичной отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет пере-
даточную функцию

G(s) =

д + 1

?+4s2+6s + 10'

С помощью MATLAB получите передаточную функцию замкнутой системы и покажите, что
ее характеристическое уравнение имеет корни S! = -2,89 и s2i3 = -0,55 ±/1.87.

М-6.4. Дана передаточная функция

Т (s) =	----z------.

?+2/ + 2s3+4s2 + s+2

(а) С помощью критерия Рауса-Гурвица определите, является ли система устойчивой. Если
она неустойчива, то сколько полюсов находится в правой полуплоскости? (б) С помощью
MATLAB вычислите полюсы T(s) и проверьте результат, полученный в п. (а), (в) Постройте
график реакции системы на ступенчатый входной сигнал и обсудите результат.
Рис.6.6 (М)

Одноконтурная система
управления с параметром К

Рис. 6.5 (М). Самолет с пилотом в контуре управления

М-6.5. При синтезе и анализе систем управления самолетами часто используется модель «бумажно-
го пилота», которая включается в замкнутый контур. Структурная схема самолета с пилотом
«в контуре» изображена на рис. 6.5(М). Вносимое пилотом запаздывание представлено пара-
метром т. Для пилота с замедленной реакцией можно принять т = 0,5 с, а для пилота с более

быстрой реакцией т - 0,25 с. Остальные параметры модели пилота имеют следующие значе-
ния: К= 1. Tj = 2 с, т2 = 0,5 с. С помощью MATLAB вычислите полюсы замкнутой системы, со-
ответствующие разным пилотам, и прокомментируйте результаты. Чему равно максимально
допустимое время запаздывания пилота, при котором система еще остается устойчивой?

М-6.6. Рассмотрите систему с обратной связью, изображенную на рис. 6.6(М). Используя функцию
for, составьте программу MATLAB, которая вычисляла бы полюсы замкнутой системы для

0 < К < 5 и строила диаграмму их расположения, помечая символом «х». С помощью критерия
Рауса -Гурвица определите диапазон значений К при которых система устойчива. Вычислите
корни характеристического уравнения при значении К, минимально допустимом из соображе-

ний устойчивости.

М-6.7. Система представлена в переменных состояния следующими уравнениями:

0	1

х =	0 О

-10 -15

_у = [1 1 0]х .

(а) С помощью функции poly получите характеристическое уравнение системы, (б) Вычислите
корни характеристического уравнения и определите, является ли система устойчивой.

(в) Изобразите графически реакцию системы у(7), если u(t) — единичное ступенчатое воздей-
ствие, а начальные условия — нулевые.

Ключевые термины и понятия

Вспомогательный полином. Выражение, образованное с помощью элементов строки, непосредст-
венно предшествующей нулевой строке таблицы Рауса.

Критерий Рауса-Гурвица. Правило, позволяющее исследовать устойчивость системы путем ана-
лиза ее характеристического уравнения. Критерий утверждает, что число корней характери-
стического уравнения с положительной действительной частью равно числу изменений знака
элементов первого столбца таблицы Рауса.

Относительная устойчивость. Свойство системы, оцениваемое величиной действительной части
V	

корней характеристического уравнения.

Устойчивая система. Динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограничен-
ный входной сигнал.

Устойчивость. Важнейшее свойство системы. Система является устойчивой, если все полюсы ее
передаточной функции имеют отрицательные действительные части.
Глава 7

Метод корневого годографа

Обзор

В предыдущих главах мы выяснили, что качество системы с обратной связью тесно связано
с положением на 5-плоскости корней характеристического уравнения. Мы также узнали,
что желаемые показатели качества замкнутой системы управления можно обеспечить
путём разумного выбора одного или нескольких параметров системы. Поэтому интересно
выяснить, как будут перемещаться по 5-плоскости корни характеристического уравнения
при изменении какого-либо параметра системы.

Положение корней на 5-плоскости можно определить графическим методом. Траек-
тории корней при изменении одного параметра системы и образуют так называемый кор-
невой годограф, являющийся эффективным средством анализа и синтеза систем управ-
ления. В этой главе мы рассмотрим практические приёмы построения корневого годогра-
фа как вручную, так и с помощью компьютера. Будет также показано, какую пользу мо-
жет принести метод корневого годографа при синтезе широко распространенного на
практике ПИД-регулятора.

Мы покажем, что метод корневого годографа можно использовать и в тех случаях,
когда варьируемыми являются два или три параметра системы. Подобная задача харак-
терна для ситуации, когда в системе используется ПИД-регулятор, имеющий три настраи-
ваемых параметра. Мы научимся определять степень чувствительности какого-либо кор-
ня к малому изменению параметра системы. Глава завершается примером синтеза с про-
должением (система чтения информации с диска), где иллюстрируется применение мето-
да корневого годографа к синтезу регулятора.

7.1	. Введение

Относительная устойчивость и качество переходного режима замкнутой системы управле-
ния непосредственно связаны с положением корней ее характеристического уравнения на
5-плоскости. Чтобы обеспечить надлежащее расположение этих корней, часто необходима
настройка одного или нескольких параметров системы. Поэтому имеет смысл исследовать,

как перемещаются на 5-плоскости корни характеристического уравнения при изменении

параметров системы; иначе говоря, представляют интерес траектории корней на 5-плос-

кости. Метод корневого годографа был предложен Эвансом в 1948 г. и впоследствии по-

лучил широкое распространение в инженерной практике. Он позволяет инженеру оценить
чувствительность полюсов системы к изменению какого-либо параметра. Наибольшую
пользу метод корневого годографа приносит в сочетании с критерием Рауса-Гурвица.
Метод корневого годографа является графическим, а сам годограф позволяет полу-
чить качественную информацию об устойчивости и динамических показателях системы
Он с одинаковым успехом применяется как к одноконтурным, так и к многоконтурным
системам. Если положение корней характеристического уравнения почему-либо не устра-
ивает проектировщика, то по корневому годографу он легко может определить, как необ-
ходимо изменить варьируемый параметр системы.

7.2	Понятие корневого годографа

Динамические свойства замкнутой системы управления определяются её передаточной
функцией

T(s) = ^=^

R(s) q(s)

(7.1)

где p(s) и q(s) — полиномы относительно переменной з. Корни полинома q(s) определяют
составляющие реакции системы. Для простой одноконтурной системы, изображённой на
рис. 7.1, характеристическое уравнение имеет вид:

1 + KG(s) = 0,	(7.2)

где К — варьируемый параметр. Корни характеристического уравнения системы в общем
случае являются комплексными, поэтому (7.2) можно записать в ином виде:

|£G(j)| e/ars*G(i) = -1 + JO.	(7.3)

Следовательно, необходимо выполнение условий:

и

ЛГ<7(^)| = 1

arg^G(j) = 180° ± «60°,

где к ~ 0, ±1, ±2, ±3, ...

Корневой годограф — это траектории корней характеристического уравнения
системы на 3-плоскости при изменении какого-либо параметра системы.

На рис. 7.2 изображена простая система второго порядка, которая рассматривалась
нами в предыдущих главах. Характеристическое уравнение имеет вид:

или

Д(з) = 1 + Х<7(з) = 1 +

q(s) — s2 +2s + K = s2 4-2^шлз4- ш2 =0.

(7.5)

Рис. 7.1

Замкнутая система
управления
с варьируемым
параметром К
Рис. 7.2

Система с единичной
обратной связью и
варьируемым
параметром К

Траектории корней при изменении К находятся из условии:

G(s) | =

(7.6)

и

arg (7(5) = ± 180°, ±540°,...

(7.7)

Коэффициент К может изменяться от 0 до оо. Для системы второго порядка корни её харак-

теристического уравнения

/7

: причём известно, что при £ < 1 arccos £ = 0 . Как изображено графически на рис. 7.3, при
< 1 траектории корней должны иметь вид вертикальной .линии, чтобы выполнялся угло-
вой критерий (7.7). Например, как показано на рис. 7.4, для корня

arg———	=“arg5| -arg(5} + 2) = -[(180° - 0)+ 9] = -180°.	(7.9)

Угловой критерий выполняется в любой точке вертикальной линии, перпендикулярной от-
резку действительной оси от 0 до —2 и проходящей через его середину. Значение К. соот-
ветствующее точке можно найти с помощью выражения (7.6):

(7.Ю)

Рис. 7.3. Корневой годограф системы
второго порядка для Ке < К\ < Кг

Рис. 7.4. Вычисление модуля и
аргумента G ($) для точки при К = К
откуда

К =	|j1 + 2|,

(7.11]

где |511 — модуль вектора, проведенного из начала координат в точку , а + 2| — модули
вектора, начало которого находится в точке -2, а конец — в точке	!

Для многоконтурной системы в разделе 2.7 применение формулы Мейсона к сигна-
льному графу дало результат:

Д(з) = 1 ~Ln + / j Ln}Lq	.

(7.12Я

где Lq есть коэффициент передачи t?-ro контура. Следовательно, мы можем записать харак-
теристический полином в виде:

q(s) = A(j) = 1 + F(5).

Чтобы найти корни характеристического уравнения, приравняем (7.13) нулю:

1 + F(s) = 0.

Последнее уравнение можно переписать в виде:

F(s) = - 1 +уо,

(7.13)

(7.14)

(7.15)

и корни характеристического уравнения должны удовлетворять этому соотношению.

В общем случае функцию /Дз) можно представить в виде:

К ($ + Z, )(5+ Z, )(s+ Z3 ).... (.S + Z„, )
A i c i =-------------------------------

(* + pi} (S + p2 XS + Pi )... (5 + pn )

Тогда амплитудный и угловой критерий для корневого годографа принимают вид:



s + рх ||j+ р21.

(7.16)

argF(s') = arg(5+ )+arg(s4-z2arg(j?h-jp1 )-arg(5 4- p2 )-...= 180° ± ^360°,(7.17)
где q — целое число. Амплитудный критерий (7.16) позволяет определить значение К, со-
ответствующее определённому положению корня Принадлежность точки корневому
годографу подтверждается, если выполняется условие (7.17). Все углы отсчитываются от

горизонтальной линии против часовой стрелки.

Теперь на примере системы второго порядка, изображённой на рис. 7.5 (а), мы пока-
жем, как с помощью корневого годографа можно исследовать влияние варьируемого па- I
раметра а на свойства системы. Для этого характеристическое уравнение необходимо
привести к такому виду, чтобы параметр а входил множителем в числитель соответству-
ющего слагаемого. В данном случае исходное характеристическое уравнение имеет вид:

1 + KG(s) = 1 + ——— = 0,

5(54- а)

или

+ as + К — 0.

Поделив это уравнение на (s2 + К), получим:
Рис. 7.5. (а) Одноконтурная система. (5) Корневой годограф как функция параметра а

Для корня амплитудный критерий выполняется, если

(7.19)

Угловой критерий имеет вид:

arg^ -arg(^ + jjK ) - arg (jt -j4/x") = ±180°,±540°,...

В принципе корневой годограф можно построить путём определения точек на
5-плоскости, которые удовлетворяют угловому критерию. В следующем разделе мы опи-
шем 12-этапную процедуру построения корневого годографа. На рис. 7.5 (0 изображён
корневой годограф, соответствующий характеристическому уравнению (7.18). В частно-
сти, значение параметра а, соответствующее корню 5Ь определяется из (7.19):

(7.20)

Оба корня сходятся на действительной оси в точке 53, при этом реакция системы на
ступенчатое воздействие является критически демпфированной. Корням s2 = соответ-
ствует значение- параметра а, равное

а = |<Ъ-j7F||ct2+jVF| = а2+К ,	(72J}

СТ 2	СТ 2

где сг9 находится как длина векторов на 5-плоскости, т. е. сг2 =

При дальнейшем увеличении параметра а оба корня являются действительными и
различными, один из них больше, чем сг2> другой — меньше.

Вообще говоря, желательно как-то упорядочить процедуру построения корневого го-
дографа, сведя её к последовательности отдельных операций. Этим мы займемся в следу-
ющем разделе.

7.3	Построение корневого годографа

Корни характеристического уравнения несут ценную информацию о поведении системы
во времени. Здесь мы рассмотрим процедуру из двенадцати этапов, позволяющую быстро
построить корневой годограф.
Этап 1: Записать характеристическое уравнение в виде

1 + F(s) = 0	(7.22)

и, если необходимо, модифицировать его так, чтобы варьируемый параметр К входил в
уравнение как множитель:

1 + KP(s) = 0.	(7.23)

Этап 2: Представить P(s) в виде дроби, используя полюсы и нули этой функции:
л/

1 + К 	--------= 0.	(7.24)

п

7 = 1

Этап 3: Разместить полюсы и нули на 5-плоскости, отметив их выбранными услов-
ными обозначениями. Обычно представляют интерес траектории корней при изменении
параметра К от 0 до оо. Из (7.24) мы имеем:

(5+ Pi) + К (л- z} ) = 0.	(7.25)

7=1	>=1

При К = 0 корни характеристического уравнения просто совпадают с полюсами Р(Д а при
К = оо они совпадают с нулями P(s). Следовательно, при изменении К от 0 до со траекто-
рии корней характеристического уравнения 1 +KP(s) = 0 начинаются в полюсах P(v) и
заканчиваются в нулях Р(5). У большинства функций Р(5), с которыми мы будем иметь
дело, некоторые нули располагаются в бесконечности на 5-плоскости. Это объясняется
тем, что у этих функций P(s) полюсов больше, чем нулей. При п полюсах и М нулях, если
п>М, и-Л^ветвей корневого годографа стремятся к и-Л/нулям, расположенным в беско-
нечности.

Этап 4: Выделить отрезки действительной оси, которые принадлежат корневому го-
дографу. Участки корневого годографа, совпадающие с действительной осью, всегда
лежат слева от нечетного числа полюсов и нулей. Этот факт вытекает из анализа угло-
вого критерия (7.17). Все четыре первых этапа построения корневого годографа мы про-
иллюстрируем примером.

Пример 7.1. Система второго порядка

Одноконтурная система управления имеет следующее характеристическое уравнение (этап I):
1 + GH (у) = 1 + * (°’5* * = 0.	(7.26)

у(0,25у+1)

Этап 2: Передаточную функцию GH(s) перепишем с использованием её полюсов и нулей:

1 + 2K^S+ 2). = о ,	(7.27)

5(5+ 4)

где варьируемый параметр представлен в виде явного множителя 2К . Для построения корне-
вого годографа (этап 3) мы сначала поместим на действительную ось полюсы и нуль разо-
мкнутой системы, как показано на рис. 7.6 (а). Наконец, заметим, что угловой критерий удов-
летворяется на действительной оси между точками 0 и -4. т. к. аргумент полюсар1 в начале ко-
ординат равен 180°, а аргументы нуля и полюса р2 в точке 5 - -4 равны нулю. Корневой годог-
раф начинается в полюсах и заканчивается в нулях, как показано на рис. 7.6 (б), причём
направление возрастания параметра К отмечено стрелками. Заметим также, что поскольку ра-
Полюсы

в)

Рис. 7.6. (а) Нуль и полюсы системы второго порядка,

(б) участки корневого годографа и (а) модули каждого вектора при корне s1
зомкнутая система имеет два действительных полюса и один действительный нуль, то второй
участок годографа заканчивается в нуле в минус бесконечности. Чтобы найти значение К, со-
ответствующее определённому положению корней, воспользуемся амплитудным критерием
(7.16). Например, если один из корней, 5 = 5f=- 1 , то мы имеем:

+ 2|

$1Н$] + 4|

или

а)

б)

(7.28)

Это значение можно также найти графически, как показано на рисунке 7.6 (в). При К = 3/2 вто-
рой корень располагается слева от полюса в точке -4 . Положение этого корня определяется
графически: он находится в точке s = - 6 , как показано на рис. 7.6 (в).

Теперь перейдем к следующим этапам построения корневого годографа.

Этап 5: Определить число ветвей корневого годографа, SL. Поскольку корневой го-
дограф начинается в полюсах и заканчивается в нулях передаточной функции разомкну-
того контура, а число полюсов всегда больше или равно числу нулей, то число отдель-
ных ветвей годографа равно числу полюсов. Так, корневой годограф на рис. 7.6 состо-
ит из двух ветвей, поскольку система имеет два полюса и один нуль.

Этап 6: Корневой годограф должен быть симметричен относительно действитель-
ной оси, т. к. комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряжёнными

парами.

Этап 7: К нулям, расположенным в бесконечности, корни стремятся вдоль асимптот,

проведенных из центра в точке под углами ср^. Если число конечных нулей функции
Р(.у), меньше числа её полюсов, пр, то N ветвей корневого годографа должны при
К —> оо заканчиваться в нулях, расположенных в бесконечности (здесь N =пр- п=). Асимп-
тоты корневого годографа образуют А-лучевую звезду, центр которой находится на дей-

ствительной оси. Координата центра определяется выражением:



полюсов	нулей P(s)

(7.29)

пр -п:

Углы наклона асимптот к действительной оси имеют значения:

7 = 0, 1,2, ...,(л?-л--1).	(7.30)
Это правило особенно полезно при определении примерного вида корневого годог-
рафа. Выражение (7.30) легко может быть получено из рассмотрения точки корневого го-
дографа, расположенной на 5-плоскости на большом расстоянии от конечных полюсов и
нулей. Чистое изменение аргумента в этой точке равно 180°, потому что она принадлежит
корневому годографу.

Конечные полюсы и нули функции P(s) находятся на большом расстоянии от этой
удалённой точки, поэтому углы ср векторов, проведенных в неё из каждого полюса и нуля,
одинаковы и, следовательно, собственный аргумент этой точки равен ф (л^ - л,), где пр и л_
есть соответственно число конечных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

ф(«? - «.-) = 180°>
или, что то же самое,

180°

Ф=--------.

Произведя вычисления для всех возможных ветвей корневого годографа, мы получим фор-
мулу (7.30).

Центр симметрии прямолинейных асимптот, часто называемый центроидом, нахо-
дится по характеристическому уравнению 1 + GH(s) = 0 (уравнение вида 7.24). При боль-
ших значениях 5 определяющую роль играют члены высшего порядка, поэтому характе-
ристическое уравнение сводится к виду:

Однако при такой аппроксимации центр симметрии (л - М) асимптот находится в начале
координат, 5 = 0. Лучшей аппроксимацией является представление характеристического
уравнения в виде:

=а

я-Л/

где центроид находится в точке стл.

Положение центроида определяется из рассмотрения первых двух членов уравнения
(7.24), записанного в виде:

л/

7=1

На основании выражения (6.5) можно записать:

Учитывая только два первых члена разложения функции P(s\ имеем

„п-М , / j х п-М-1

5	+ (лп_|
В свою очередь, уравнение

1 +--------гг = 0

(S~°A )

с учетом первых двух членов принимает вид:

1 +---------------------= 0.

s	)<зА s

Приравнивая коэффициенты при/7 1, получим:

(Ч-l	= - (п- М)аА,

что эквивалентно выражению (7.29).

Например, для системы, изображённой на рис. 7.2, характеристическое уравнение
имеет вид:

1 + —-— = 0.
2)

Поскольку пр- л- = 2, то следует ожидать, что две ветви корневого годографа будут закан-
чиваться в нулях, расположенных в бесконечности. Асимптоты корневого годографа име-
ют центр в точке

и составляют с действительной осью углы

фл - 90°, q = 0 и ф^ = 270°, q - 1.

Следовательно, легко можно построить корневой годограф, как это и было продемонстри-
ровано на рис 7.3. Ниже мы ещё на одном примере покажем, как можно использовать асим-
птоты корневого годографа.

Пример 7.2. Система четвёртого порядка

Одноконтурная система с обратной связью имеет характеристическое уравнение
\ + GH(s)=\ +---------------------------}	(7.31)

s(s + 2)(s + 4 )2

Найдём вид корневого годографа в зависимости от параметра К. Положение на 5-плоскости
полюсов и нуля показано на рис. 7.7 (а). Участки корневого годографа, принадлежащие дейст-
вительной оси, должны быть слева от нечётного числа полюсов и нулей; на рис. 7.7 (л) это по-
казано жирными линиями. Центр асимптот находится в точке

А 4-1	3

Поскольку пр - и, = 3, то мы имеем три асимптоты, расположенные под углами

Фд = + 60°’ 3 = 0 >

(pj = 180°, q = 1 ,

(pj = 300°, q ~ 2 .

Кроме этого, мы знаем, что ветви корневого годографа должны начинаться в полюсах, поэто-
му два корня начнут своё движение из кратного полюса в точке 5 = — 4 . Располагая асимптота-
ми, мы можем изобразить вид корневого годографа, как это показано на рис. 7.7 (б). Точный
вид годографа вблизи центроида аА при необходимости можно определить графически.
Рис- 7-7
Корневой
годограф
системы
четвертого
порядка

а)

Продолжим рассмотрение этапов построения корневого годографа.

Этап 8: Определить точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось
(если такие точки имеются). Пересечение корневым годографом мнимой оси легко
установить с помощью критерия Рауса™Гурвица.

Этап 9: Определить точки отрыва корневого годографа от действительной оси (если
такие точки имеются). Точка отрыва корневого годографа от действительно оси — это
то место, где сходятся несколько корней, как правило, два. На рис. 7.8 (а) показана точка
отрыва для системы второго порядка, а на рис. 7.8 (б) — для частного случая системы
четвёртого порядка. Согласно угловому критерию, касательные к корневому годогра-
фу в точке отрыва разделены углами, составляющими целую часть от 360°. Так, на
рис. 7.8 (rz) мы видим, что в точке отрыва угол между двумя ветвями корневого годографа
составляет 180°, а на рис. 7.8 (б) четыре ветви разделены углами в 90°.

Точку отрыва на действительной оси можно определить графически или аналитиче-
ски. Наиболее простой метод состоит в модификации характеристического уравнения
так, чтобы варьируемый параметр К был выделен в одной части от знака равенства. Иначе
говоря, характеристическое уравнение записывается в виде:

/>(*) = К .

(7.33)

Например, для системы с единичной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии
имеет передаточную функцию

G(j) =

(j+2)(5+4)

Рис. 7.8

Иллюстрация точки
отрыва

(а) для системы
второго порядка и

(б) для системы
четвертого порядка
характеристическое уравнение имеет вид:

1+G(j) = 1 +

(j + 2)(j + 4)

= 0.

(7-34)

Это уравнение преобразуется к виду:

К = p(s) = - Су + 2)(5 + 4) .

(7-35)

Корневой годограф этой системы изображен на рис. 7.8 (а). Мы ожидаем, что точка отрыва

будет находиться вблизи j = а = - 3, поэтому в
окрестностях этой точки построим график
p(s)|5 = a, как это показано на рис. 7.9. В данном
случаеp(s) = 0 в полюсах5 = - 2 и №-4. График
p(s) симметричен относительно точки о, а его
максимум имеет место при № о = - 3, что соот-

ветствует точке отрыва.

Тот же результат можно получить аналити-

чески путём нахождения максимума функции

Рис. 7.9. Графическое определение
точки отрыва

p(s) = К. Для этого необходимо приравнять нулю
производную функции p(s) и найти корни полу-

ченного уравнения:

dK _ dp(s) _ 0

ds ds

(7.36)

Уравнение (7.36) просто является аналитической интерпретацией графической процеду-
ры, представленной на рис. 7.9, и оно даёт правильный результат только если его порядок
меньше, чем общее количество полюсов и нулей (т. е. пр + nz - 1).

Доказательство (7.36) вытекает из рассмотрения характеристического уравнения

1 + /%у) = 1 +

KY{s)
X{s)

которое можно переписать в виде:

JT(s) + KY(s) = 0.

Придав параметру К малое приращение, получим:
А^) + (К + &K)Y(s) = 0.

Деление последнего уравнения на X(s) + KY(s) даёт:

i+	=а

X(s)+KY(s)

(7.37)

(7.38)

Поскольку знаменатель дроби есть исходный характеристический полином, то в точке от-
рыва находится несколько корней, и

ПО _ с, _ с,
X(s}+KY(s) (S-Si)" (к,)”'

(7.39)

Тогда (7.38) можно записать в виде:
или, иначе:

Устремляя As к нулю, получим условие

которое должно выполняться в точках отрыва.

Теперь рассмотрим частный случай, когда

Gy+2)(s + 4)

Отсюда:

К = p(s) = -(.у + 2)(s + 4 ) =• -(s2 + 6s + 8)

Дифференцируя/?^), имеем:

^9 = -(2j+6) = Q
ds

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

откуда следует, что точка отрыва находится при .у = - 3 . Далее мы рассмотрим более слож-
ный пример, с помощью которого проиллюстрируем графический метод определения точ-
ки отрыва.

Пример 7.3. Система третьего порядка

На рис. 7.10 изображена система управления, характеристическое уравнение которой имеет

вид:

l+G(s)H(s) = 1 +

(7.45)

Рис. 7.10

Замкнутая система
управления

j(54- 2)(j+ 3)

Я(5)



Разность числа полюсов и нулей, пр - и. = 2, поэтому имеются две асимптоты под углами ± 90°
с центром в точке = - 2. Асимптоты и участки корневого годографа, принадлежащие дейст-
вительной оси, показаны на рис. 7.11 (а). Точка отрыва находится между $ = -2 и 5 — 3. Чтобы
найти её точное положение, перепишем характеристическое уравнение и выделим параметр К:

s(s + 2)(j + 3) + Д5 + 1) = О,

или

Х0 =

-5(5+ 2)(s+ 3)
5+1
или

Рис. 7.11. Определение (а) асимптот и (б) точки отрыва

Результат вычисления p(s) при различных значениях 5 между $ = -2 и s = -3 отражён в
табл. 7.1 и представлен в виде графика на рис. 7.11 (б). Альтернативный способ заключается в
дифференцировании выражения (7.46) и приравнивании производной нулю:

2? + 8s2 + 10s + 6 = 0 .

(7.47)

Вещественный корень этого уравнения s - ~ 2.45 определяет максимальное значение p(s). Из
этого примера очевидно, насколько эффективным является применение вычислений функции
p(s) вблизи ожидаемой точки отрыва для определения её истинного положения.

Таблица 7.1

p(s)	О	+0.412	+0.420	+0.417	+0.390	0

5	-2.00	-2.40	-2.45	-2.50	-2.60	-3.00

Этап 10: Используя угловой критерий, определить угол выхода корневого годографа
из полюса и угол его входа в нуль. Угол выхода корневого годографа из полюса равен
разности между суммой аргументов векторов, проведённых в данный полюс из всех
остальных полюсов, и суммы аргументов векторов, проведённых в данный полюс из
всех нулей, плюс угловой критерий ±(2q + 1)180°. То же самое справедливо для угла
входа корневого годографа в нуль. Углы выхода и входа представляют интерес в случае
комплексных полюсов и нулей, т. к. эта информация позволяет уточнить вид корневого
годографа. Например, рассмотрим систему третьего порядка, передаточная функция ко-
торой в разомкнутом состоянии имеет вид:

F(s) = G(s)H(s) =---------(7.48)

(s + p3 )(s- + 2С.СЭ„S + со-)

На рис. 7.12 (а) показано расположение трёх полюсов и отмечены аргументы векторов,
проведенных в комплексный полюср{. Сумма аргументов всех векторов для точки, нахо-
дящейся на бесконечно малом расстоянии от р^ должна удовлетворять угловому крите-
рию. Таким образом, учитывая, что 02 = 90°> мы имеем:
Рис. 7.12. Определение угла выхода: (а) проверка углового критерия в точке,
находящейся на бесконечно малом расстоянии от р-ь и

(б) действительное направление выхода из полюса pi

а это значит, что угол выхода из полюса р} равен

0( = 90° - е3,

как показано на рис. 7.12 (б). Угол выхода из полюса
р2 отличается от 0 (лишь знаком (минус), поскольку
р{ и р2 являются комплексно-сопряжёнными. Дру-
гой пример определения угла выхода приведён на
рис. 7.13. В данном случае угол выхода находится
из выражения

02-(01 + 03 + 90° )= 180°.

Поскольку (02 - 03) - у, то угол выхода 0t - 90° + у.

Заключительные два этапа процедуры постро-
ения корневого годографа связаны с определением
положения корней и значения параметра Кх, со-
ответствующего этому положению.

Этап 11: Определить положение корней .yY,
х- 1, 2,..., которые удовлетворяют угловому
критерию. Угловой критерий (см. выражение 7.17)

Рис. 7.13. Определение угла
выхода

имеет вид:

arg Р(О = 180° ± <?36О°, q = 1, 2, ...

Этап 12: Используя амплитудный критерий (7.16), определить значение параметра

Кх, соответствующее корню Для корня sx амплитудный критерий имеет вид:
Теперь полезно собрать воедино все 12 этапов, связанных с построением корневого
годографа, что и сделано в табл. 7.2, а затем проиллюстрировать их завершающим приме-
ром.

Таблица 7.2. 12 этапов построения корневого годографа

Этап

Уравнение илн правило

1.	Записать характеристическое уравнение так,
чтобы варьируемый параметр К входил в
него в виде множителя.

2.	Записать P(s), используя пр полюсов и п:
нулей этой функции.

3.	Выбрав подходящие символы, отметить на
5-плоскости положения полюсов и нулей ра-
зомкнутой системы.

4.	Отметить участки действительной оси, при-
надлежащие корневому годографу.

5.	Определить число отдельных ветвей корне-
вого годографа, SL.

6.	Траектории корней симметричны относите-
льно действительной оси.

7.	К нулям, расположенным в бесконечности,
корни стремятся вдоль асимптот с центром
в точке Qj. образующих с действительной
осью углы (pj.

8.	С помощью критерия Рауса-Гурвина опреде-
лить точки, в которых корневой годограф
пересекает мнимую ось (если такие точки
имеются).

9.	Определить точки отрыва корневого годог-
рафа от действительной оси (если такие
точки имеются).

10.	С помощью углового критерия определить
углы выхода корневого годографа из комп-
лексных полюсов и углы входа в комплекс-
ные нули.

11.	Определить положение корней, при кото-
ром выполняется угловой критерий.

12.	Определить параметр К соответствующий
каждому корню .

1 + КР(з) = 0.

X — полюсы. О — нули, □ или Д — корни
характеристического уравнения замкнутой
системы. Траектории корней начинаются в
полюсах и заканчиваются в нулях.

Эти участки расположены слева от нечетного
числа полюсов и нулей.

SL = пр. если Пр > nz\ пр — число конечных
полюсов, и- — число конечных нулей.

<рА = А±1.180°.^ = 0.1.2..

Ир-":



См. раздел 6.2

а)	Положить К = р($);

б)	Получить уравнение dp(s)/ds = 0;

в)	Найти корни (б) или графически опреде-
лить положение максимума p(s).

arg Р(5)=180° + <?36О° при 5 = pj или z} .

arg Р(5) = 180° + ^60° при корне 5Х.
Пример 7.4. Система четвертого порядка

1.	Построим корневой годограф для системы, имеющей характеристическое уравнение

1 + -3—--------5-----= й

54 + 12? + 64? + 1285

где К — варьируемый параметр (К > 0).

2.	Определив полюсы передаточной функции, запишем:

1 +------------------------= 0.	(7.49)

s(s+4)(s+4 + j4)(s+4-y4)

Параметр К будем менять от 0 до оо. Заметим также, что система не имеет конечных нулей.

3.	Отметим на 5-плоскости положение полюсов, как показано на рис. 7.14 (а).

4.	Участок корневого годографа, принадлежащий действительной оси, расположен между 5 = 0
и 5 = - 4.

5.	Поскольку мы имеем 4 полюса (пр = 4), то корневой годограф содержит 4 ветви.

6.	Траектории корней симметричны относительно действительной оси.

7.	Асимптоты расположены под углами

Фл = -^^-180°, ? =0,1, 2,3;

фл = + 45°, 135°, 225°, 315°.

Центр асимптот находится в точке

Эти асимптоты изображены пунктирными линиями на рис. 7.14 (а).

8.	Перепишем характеристическое уравнение в виде:

5(5+4)(52+ 85+ 32)+Л' =? + 12?+ 64?+ 1285+Л’ = 0.

(7.50)

Рис. 7.14. Корневой годограф для примера 7.4:
(а) положение полюсов и (б) асимптоты
Составим таблицу Рауса:

64 К

128

К

где ~

12-64-128

12

53?33

53,33-128-12АГ

53,33

Следовательно, система находится на границе устойчивости при К= 568.89. исходя из чего не-
трудно найти корни вспомогательного уравнения:

53.33? + 568,89 = 53,33(? + 10,67) = 53,33(5 + /3.266)(5 -у‘3,266).	(7.51)

Точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось, показаны на рис. 7.14 (а).
9. Точка отрыва находится путём вычисления выражения

К = р(5) = -5(5 + 4)(5 + 4 + ;4)(5 + 4 -J4)

при значениях 5 между 5==-4и5 = 0. Можно ожидать, что эта точка лежит где-то между 5 = - 3
и 5 = - 1, поэтому будем искать максимумp(s) в этом диапазоне. Для некоторых значений s вы-
числения сведены в табл. 7.3, откуда видно, что максимум p(s) имеет место приблизительно
при 5 = - 1.5. Более точной оценки положения точки отрыва обычно не требуется. Точка отры-
ва указана на рис. 7.14 (а).

Таблица 7.3

P(s) 0	51	68.5

80	85	75	0

-2.0	-1.5	-L0 0

10.	Угол выхода из комплексного полюсар} можно определить с помощью углового критерия:

0, + 90° + 90° + 03 - 180°,

где 03 — угол, образованный вектором, проведённым в полюср} из полюсар3. Каждый из уг-
лов, образованных векторами, проведёнными в р} из полюсов при 5 = - 4 и 5 = - 4 -у‘4. равен
90°. Поскольку 03 = 135°, то мы имеем:

01 = - 135° = + 225°,

как показано на рис. 7.14 (а).

11.	Определяем положение корней, удовлетворяющее угловому критерию, как показано на
рис. 7.14 (б).

12.	Находим значение К при 5 =

Информации, полученной за 12 перечисленных этапов, достаточно для того, чтобы полностью
построить корневой годограф. Для рассматриваемой в примере системы корневой годограф
изображён на рис. 7.14 (б). Если комплексным корням, расположенным вблизи начала коорди-
нат, соответствует коэффициент затухания = 0.707, то по рис. 7.14 (б) можно графически
определить значение параметра К. Для этого достаточно вычислить модули векторов, прове-
денных в точку 5| из полюсов разомкнутой системы. В результате мы получим:

К =|51||51 + 4||5]-^Ц51-Д^ (1.9)(2,9)(3,8)(6.0)= 126.	(7.52)

Другая пара комплексных корней при К ~ 126 занимает положение s2 и 52. Влияние этих кор-
ней на переходную характеристику будет незначительным по сравнению с корнями 5] и ? В
этом можно убедиться, оценив степень затухания реакции, обусловленной каждой парой кор-
ней. Затухание за счёт корней и 5} определяется экспонентой

fSiV =e~ail
а за счёт корней s2 и s2 -— экспонентой

где а2 почти в 5 раз больше, чем Qj . Поэтому составляющая реакции системы, обусловленная
корнем s2, будет затухать намного быстрее, чем составляющая, обусловленная корнем sr В ре-
зультате реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие можно представить в виде:
у(О“ l+ci sin(co1 Г ч- 0] )+c2e~°2t sin(co2^ + $2) ~ 1+ с\ sin(co11 + 9] ).	(7.53)

Комплексно-сопряжённые корни, которые среди всех корней ближе всего расположены к на-
чалу координат s-плоскости, называются доминирующими корнями, поскольку именно они
в основном определяют вид переходной характеристики системы. В системе третьего порядка
при наличии двух комплексно-сопряжённых корней их можно считать доминирующими, если
значение третьего (действительного) корня не менее чем в 5 раз превышает действительную
часть комплексно-сопряжённых корней.

Преобладание второго члена в выражении (7.53) зависит также от относительной величины
коэффициентов сх и с2. Эти коэффициенты, которые определяются как вычеты в комплексных
полюсах, в свою очередь зависят от положения нулей на s-плоскости. Поэтому понятие доми-
нирующих корней, хотя и является полезным для оценки реакции системы, но должно исполь-
зоваться с осторожностью и с пониманием указанных выше факторов.

Точку отрыва и другие характерные точки корневого годографа легко можно опреде-
лить с помощью MATLAB. Например, в примере 7.2 точка отрыва появляется при
К = 1,925, когда два действительных корня сходятся при s = - 2,6. Если К = 200, то два
корня находятся на мнимой оси при s = ± j4.82.

В примере 7.4 (опять-таки с помощью MATLAB) можно найти, что точка отрыва от
действительной оси, s = - 1,57, появляется при К= 84, а приК = 600 два корня, s = ±>3,33,
находятся на мнимой оси.

7.4.	Пример анализа и синтеза системы
управления с помощью метода
корневого годографа

Анализ и синтез системы управления можно выполнить с помощью преобразования Лап-
ласа, сигнального графа, s-плоскости и метода корневого годографа. В данном разделе мы
рассмотрим конкретную систему управления и выберем надлежащие значения её парамет-
ров, воспользовавшись методом корневого годографа.

На рис. 7.15 изображены автоматически уравновешивающиеся весы, в которых взве-
шивание предмета производится за счёт использования цепи электрической обратной
связи. Весы изображены находящимися в положении равновесия, где х — смещение про-
тивовеса Wc при отсутствии груза. Взвешиваемый груз W помещается на расстоянии 5 см
от оси вращения, а расстояние от этой оси до демпфирующего устройства Z, - 20 см.

Требуется выполнить следующее:

1.	Выбрать параметры системы и задать требования к её качеству.

2.	Получить модель системы в виде сигнального графа.

3.	На основании корневого годографа выбрать значение параметра К.

4.	Определить доминирующую составляющую реакции системы.
Рис- 7-15
Автомвтические
весы

Электрод вигател ь

Батарея

Демпфирующее
устройство

Винтовой
стержень

Ж

очка |
вращения j

Зададимся моментом инерции весов, равным 0,05 кг-м2. Напряжение батареи должно
быть достаточным, чтобы обеспечить приемлемое значение коэффициента передачи дат-

чика положения, поэтому выберем £д6 = 24 В. Будем считать, что винтовой стержень со-

здаёт смещение противовеса с коэффициентом пропорциональности 20 об/см, а длина по-

тенциометра, играющего роль датчика положения х, равна 6 см. Точность взвешивания
должна быть высокой, поэтому для измерения координаты у выберем вспомогательный

потенциометр длиной 0,5 см. Демпфирующее устройство выберем с коэффициентом вяз-
кого трения b = 1 (Х/з кг/(м/с). Наконец, противовес Wc выберем так, чтобы он был спосо-
бен уравновешивать любой груз W в ожидаемом диапазоне. Все выбранные параметры

системы представлены в табл. 7.4.

Таблица 7.4

= 2 Н	Коэффициент передачи винтового стержня Ks = 1/400л м/рад

1 = 0,05 кг • м2

/и = 5 см	Коэффициент передачи вспомогательного потенциометра К} - 4800 В/м

4 = 20 см

Ь= 10л/з кг/(м/с) Коэффициент передачи потенциометра обратной связи Kf~ 400 В/м

Требования к качеству системы. Желательно, чтобы система автоматического
взвешивания обладала высоким быстродействием и имела малую установившуюся ошиб-
ку. Поэтому мы потребуем, чтобы система относилась, по крайней мере, к типу 1, при ко-
тором ошибка измерения будет равна нулю. Допускается колебательный характер реак-
ции системы на ступенчатое изменение веса W, поэтому зададимся относительным коэф-
фициентом затухания £ = 0,5. Потребуем также, чтобы после помещения на весы груза
время установления (по критерию 2 % от конечного значения) было не более 2 с. Эти
основные требования сведены в табл. 7.5.

Таблица 7.5. Требования к качеству системы

Установившееся ошибка	Кр = оо, ess = 0 при ступенчатом входном воздействии

Колебательный характер реакции системы £ =0,5

Время установления (по критерию 2%) Менее 2 с
Модель электромеханической системы взвешивания можно получить на основании
уравнений движения. При малых отклонениях от положения равновесия угол отклонения
9 можно представить как

(7.54)

Движение коромысла весов можно описать уравнением

= S моментов,

что приводит к результату:

d2Q	2 dd

I 2 w h Ь , •
dt2	dt

Входное напряжение двигателя

vm(0 = К, У -

Передаточная функция двигателя равна
9и(5)_ кт
Ии,(л) Л(Т5+!)’

(7.55)

(7.56)

(7.57)

где т будем считать пренебрежимо малой в сравнении с постоянными времени системы, а
— угол поворота вала двигателя. Сигнальный граф, отражающий уравнения
(7.55)—(7.57), изображён на рис. 7.16. Исследуя прямой путь от Wк Дя), мы можем видеть,
что система относится к типу 1 за счёт наличия интегратора перед У(д). Следовательно,
установившаяся ошибка системы будет равна нулю.

Передаточную функцию замкнутой системы найдём с помощью формулы Мейсона:

---------------------------------------------------------— ?	. Э О J

W(S) 1+(/,2Ь/А)+(ХтХ/Х5/л)+(/,ХДт^с//? )+ (/,2ЬКтКSK f /Is-)

где числитель есть коэффициент передачи пути от И7 к X, второй член в знаменателе соот-
ветствует контуру L[} третий — контуру Д, четвёртый — контуру а пятый образован
двумя некасающимися контурами L2. Окончательно передаточная функция замкнутой
системы имеет вид:

=________________________________ (7 59)

W(s) s(ls+l2b)(s+KmKsKf)+WcKn,KsK,l, '

Отсюда следует, что коэффициент передачи системы в установившемся режиме равен

= 2,5 см/кг,

(7.60)

Рис. 7.16

Модель
автоматических весов
в виде сигнального
графа

г (г

lim — = lim—— = —

Вспомогательный	Винтовой
если W(s) = | W\ / s. Чтобы построить корневой годограф в зависимости от постоянной элект-

родвигателя Кт, подставим в характеристическое уравнение, т. е. в знаменатель выражения

(7.59), значения выбранных параметров и получим:

Z , о/5\( ,	, ^6К.т

s(s+8V3) s-l т---------

I 10лJ 10л

(7.61)

Чтобы привести это уравнение к виду, удобному для построения корневого годографа
прежде всего выделим в нём члены, содержащие Кт:

? (5+8Л)+Ф+8^3)^+= 0.
10л	10л

Далее приведём (7.62) к виду уравнения корневого годографа:

1жГР, . . (Яю/10л)[ф+|Мз)+96]_

1 + Кг{$) = 1 +----=-----

S (S+OrxlJ)

(Кт /10л)(л+ 6,93 +у 6,93 )(s + 6,93-j6,93) _

(7.62)

(7.63)

Корневой годограф в функции от параметра Кт изображен на рис. 7.17. При С, = 0,5 домини-
рующие корни занимают положение, указанное на рисунке, если К=25,3 = Л^/10 л. Отсюда
следует, что постоянная электродвигателя, как часть общего коэффициента передачи сис-
темы, должна быть равна

Х_.795И<£ = 7600?^^.	(7.64)

В	в

Вещественная часть доминирующих корней по модулю больше 4, поэтому время
установления, оцениваемое как 4/с, будет менее 1 с, что удовлетворяет выдвинутым тре-
бованиям. Третий корень характеристического уравнения 5 = - 30,2 (вещественный), поэ-
тому реакция системы полностью определяется доминирующими корнями. Таким обра-
зом, метод корневого годографа позволил нам провести анализ системы и выбрать надле-
жащее значение параметра Кт. Тем самым данный пример отчётливо продемонстрировал
эффективность методов s-плоскости и корневого годографа при исследовании систем

Рис. 7,17, Корневой годограф при изменении параметра Кт.

С увеличением К две ветви годографа выходят из двух полюсов
в начале координат и стремятся к двум комплексным нулям.

Третья ветвь годографа находится слева от полюса s = -14
7.5.	Выбор параметров с помощью корневого
годографа

Изначально метод корневого годографа был разработан как средство определения траекто-

рий корней характеристического уравнения системы при изменении её коэффициента уси-

ления К от 0 до оо. Однако, как мы видели, с помощью этого метода можно исследовать и
влияние изменения других параметров системы. Метод корневого годографа основан на

использовании характеристического уравнения системы вида

1 + F(s) = 0 .

(7.65)

В данном случае мы можем воспользоваться уже известными приёмами. Однако воз-
никает вопрос: а как быть, если надо исследовать влияние двух варьируемых парамет-
ров — скажем, а и Р? Обычный метод корневого годографа предполагает, что варьирует-
ся один параметр системы. Но этот метод тем и хорош, что позволяет исследовать влия-
ние двух и более параметров. Поэтому метод корневого годографа можно использовать
как метод выбора параметров системы.

Характеристическое уравнение динамической системы в общем случае имеет вид:

+ ап_ + ... + axs + aQ = 0.	(7.66)

Следовательно, мы можем исследовать влияние коэффициента приведя это уравнение к
виду:

(7-67)

Если интересующий нас параметр а не входит явно в это уравнение как коэффициент, то
мы можем выделить его в следующем виде:

ansn +	4-...4-(ап_^ - а)?”-*7 + ос/1”v+...+<?!.у+ а0 =0.	(7.68)

Например, для системы третьего порядка это может выглядеть так:
? + (3 + оф2 + 3j + 6 = 0 .

(7.69)

Для того чтобы исследовать влияние параметра а, мы выделим его и произведём следую-
щие действия:

S3 + 3j2 + as2 +	+ 6 = 0 ;



(7.70)

(7.71)

Далее, чтобы исследовать влияние двух параметров, нам потребуется дважды повторить
все действия, связанные с построением корневого годографа. Так, если в характеристиче-
ское уравнение входят два варьируемых параметра а и Р, то мы имеем:

ansn +	4-...4-(art_9 -	4-+...+(an_r ~P)y',“r 4-р^л"г 4-...4-a1J4-aQ =0.

(7.72)

Таким образом, два параметра оказываются выделенными, и можно будет исследовать влия-
ние Р после того, как будет исследовано влияние параметра a. Например, предположим, что
характеристическое уравнение системы третьего порядка содержит два параметра, аир:

? + S2 + 05 + а = 0.	(7.73)
В данном случае аир являются коэффициентами характеристического уравнения. Влия-
ние изменения р от 0 до оо можно определить по уравнению корневого годографа:
1+т-^--------------------------------------=0-	<7-74)

j 4- 5“ + а

Заметим, что в (7.74) знаменатель представляет собой характеристический полином систе-
мы при р=0. Поэтому сначала можно оценить влияние параметра а с помощью уравнения

j3 + s2 + а - О,

переписав его в виде

(7.75)

что эквивалентно заданию р = 0 в уравнении (7.73). Далее, исследовав влияние а, выбира-
ется конкретное значение этого параметра, которое подставляется в (7.74), после чего оце-
нивается влияние р. В этой двухшаговой процедуре мы сначала строим корневой годограф,
считая варьируемым параметр а и выбираем его значение, соответствующее приемлемому
расположению корней. Затем строим корневой годограф, считая варьируемым параметр Р;
при этом полюсы в (7.74) определяются корнями, найденными на основании уравнения
(7.75). Данный метод, к сожалению, имеет одно ограничение, а именно — не всегда можно
записать характеристическое уравнение, в которое варьируемый параметр входил бы ли-
нейно.

Чтобы наглядно проиллюстрировать описанный метод, построим корневой годограф
по уравнению (7.73), проварьировав сначала параметр а, а затем р. Траектории корней
для уравнения (7.75) при изменении а показаны на рис. 7.18 (п); там же отмечено положе-
ние корней, соответствующее двум значениям параметра а. Если выбрать а = at, то корни
уравнения (7.75) становятся полюсами (7.74). Далее в уравнении (7.74) можно проварьи-
ровать параметр р и по корневому годографу на рис. 7.18 (б) на основании желаемого рас-
положения корней выбрать конкретное значение р.

Рассмотрим ещё один пример, иллюстрирующий применение метода корневого го-
дографа для выбора параметров системы.

«)

Рис. 7.18. Траектории корней при изменении параметров аир:
(а) корневой годограф при изменении а;

(б) корневой годограф для a = а, и изменения р
Пример 7.5. Управление положением наконечника сварочного узла

При сборке автомобильных кузовов требуется точное позиционирование наконечника свароч-
ного узла. Для этого замкнутая система управления должна удовлетворять следующим требо-
ваниям:

1.	Установившаяся ошибка при линейном входном сигнале не более 35% по отношению к ско-

рости изменения входного сигнала.

2.	Коэффициент затухания, соответствующий доминирующим корням, Q > 0,707.

Рис, 7,19

Структурная схема
системы
позиционирования
наконечника
сварочного узла

3.	Время установления (по критерию 2% от конечного значения) — не более 3 с.
Структура системы управления приведена на рис. 7.19, а выбору подлежат коэффициенты К1
и К2. Установившуюся ошибку можно представить в виде:

= lime(z) = lims£(s) - lim---,	(7.76)

f-x* .v>0	.v—>0 1 + (J 2 (s)

где G2(s) ~ G(s)/(1 + G(s)//(s)). Таким образом, ограничение на установившуюся ошибку при-
водит к соотношению;

^=2+^2 <О35	(7.77)

|А| К,

Учитывая данное неравенство, мы выберем малое значение К2. Заданный коэффициент затуха-
ния требует, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы находились
ниже линии под углом 45° в левой половине s-плоскости. Время установления можно выра-
зить через действительную часть доминирующих корней:

Г, = — <3с.	(7.78)

а

Рис. 7,20

Область желаемого
расположения
корней на 5-плоскости

Отсюда следует неравенство ст > 4/3; вместе с ограничением на Q
это позволяет определить область расположения корней на
s-плоскости. Эта область отмечена темным цветом на рис. 7.20.
Параметры, подлежащие выбору, можно обозначить как а = Л‘] и
р = К> Ку Тогда характеристическое уравнение примет вид:

1 + GH(s) = ? + 2s + Р$ + а = 0 .	(7.79)

Полагая р = 0 и считая варьируемым параметр а = Ку получим
уравнение корневого годографа:

1+—-— = 0.	(7.80)

s(s + 2)

На корневом годографе, изображённом на рис. 7.21 (а), отмечено
положение корней при К} = а = 20. Далее мы исследуем положе-
ние корней при р ~ 20К2, для чего построим корневой годограф по
уравнению:

1+-Т—--------= 0.	(7.81)

s^ + 2s + а
причем в данном случае полюсы являются корнями на годографе рис. 7.21 (а). Результат по-
строения второго корневого годографа представлен на рис. 7.21 (б), а корни, соответствующие
Q - 0,707, получаются при р = 4,3 = 20Х2- откуда К2 - 0,215.

Действительная часть этих корней ст = 3,15 и, следовательно, время установления (по крите-
рию 2 % от конечного значения) равно 1,27 с. что значительно меньше заданного ограничения
в 3 с.

Рис. 7.21

Траектории корней
в зависимости
(а) от параметра а
и

(б) от параметра р

Метод корневого годографа можно распространить и на случай, когда имеется более
двух варьируемых параметров. При этом просто увеличивается число этапов, подобных
рассмотренным выше. Более того, можно построить семейство траекторий корней при од-
новременном изменении двух параметров. Например, исследуем влияние изменения па-
раметров а и Р, входящих в следующее характеристическое уравнение:

s3 + 3s2 + 2s + ps + а = 0.	(7.82)

Уравнение корневого годографа в зависимости от а (при Р = 0) имеет вид:

1+-------------=0.	(7.83)

s(s + l)(s + 2)

В свою очередь, корневой годограф в зависимости от Р имеет уравнение

(7.84)

Корневой годограф, соответствующий уравнению (7.83), как функция а, изображён
сплошными линиями на рис. 7.22. Корни на этом годографе, обозначенные чёрточками,
становятся полюсами для уравнения (7.84). Построенный по этому уравнению годограф
изображён на рис. 7.22 пунктирными линиями, а на ветвях, соответствующих некоторым
значениям а, отмечено положение корней при различных р. Семейство таких траекторий,
часто называемое линиями корней, позволяет оценить влияние параметров а и Р на корни
характеристического уравнения системы.
Рис. 7.22

Корневой годограф для случая
двух варьируемых параметров

						L	Jp =20				
						' 1	WI  7 			- R	= 1	4 _  3
					Р =			г	Р  1		
									4 L		
											
						Р -3LL					
							1	\				
							R = 0?		./7 ,1	, а = 20	
											
											
а =	г20 4	а -  —т\	-6  3		2	*	1		0		
/ Корни при изменении [_| - Корни при изменении							а		.а -	= 6	
							7	7			
							/ /		✓	=	= 20
							J				
						/ /					
						г	/  1				

7.6.	Чувствительность системы и корневой
годограф

Одной из основных причин использования отрицательной обратной связи в системах
управления является её свойство уменьшать влияние изменения параметров системы. Как

мы установили в разделе 4.2, это влияние можно оценить с помощью чувствительности

характеристик системы к изменению её параметров. Мы также ввели понятие логарифми-

ческой чувствительности в виде

sr	_ дТ/Т

К dhK дК/К’

(7.85)

где Ду) — передаточная функция системы, а К — параметр, подверженный изменению.

В последнее время, в связи с возросшим интересом к использованию 5-плоскости для
анализа свойств системы, возникла необходимость оценивать чувствительность системы
по расположению корней её характеристического уравнения. Это связано с тем, что изме-
нение параметров системы приводит к изменению положения корней характеристическо-
го уравнения, а последние, в свою очередь, определяют вид переходной характеристики

системы. Поэтому мы можем ввести понятие чувствительности корней характеристи-

ческого уравнения системы с передаточной функцией Д^) как

к д\пК дК/К

ЙМВ

где г, есть ьй корень характеристического уравнения, и
m

Ktn(5+zj)

7V)=----,

п

П<5+г')

/=1

(7.86)

(7.87)
а К — параметр системы. Эта чувствительность связывает изменение положения корня на
j-плоскости с изменением параметра системы. Чувствительность корней связана с лога-
рифмической чувствительностью соотношением

(7.88)

при условии, что нули ЛСу) не зависят от параметра К, т. е.

5z,
д\пК

Логарифмическую чувствительность легко определить, взяв производную T(s) [выраже-
ние (7.87)] по параметру К. В частном случае, когда коэффициент усиления системы не за-
висит от параметра К, мы получим:

(7.89)

что даёт непосредственную связь между двумя чувствительностями.

Чувствительность корня характеристического уравнения системы довольно просто
можно оценить, воспользовавшись методом корневого годографа. Для этого нам потребу-
ются уже известные линии корней, соответствующие изменению параметра К. Мы можем
придать параметру К малое конечное приращение ЛК и оценить новое положение корня г,
+ Лгг Затем, в соответствии с (7.86), мы получим

Sr‘	.	(7.90)

к АК/К

Это выражение является аппроксимацией действительного значения чувствительности,
которое может быть получено при ЛК —> 0. Оценку чувствительности корня мы проиллю-
стрируем следующим примером.

Пример 7.6. Чувствительность корня системы управления

Характеристическое уравнение для системы с обратной связью, изображенной на рис. 7.23,
имеет вид:

или

52 + pj + К = 0 .

(7.91)

В качестве параметра а мы будем рассматривать коэффициент К. Тогда влияние изменения
каждого параметра можно будет определить, если задать

а = а0 ± Да, р = Ро + Др,

Рис. 7.23

Система с обратной связью


•I

Рис. 7.24

Корневой годограф в зависимости от К

где а0 и р0 — номинальные (желаемые) значения соответствующих параметров. Мы рассмот-
рим случай, когда р0 - 1 и а0 = К = 0,5. На рис. 7.24 изображен корневой годограф в зависимо-
сти от параметра а = К, который построен по уравнению

1 + —-— = 1+—— = 0.	(7.92)

5(5+ Ро) 5(5+ 1)

При номинальном значении К = а = 0.5 мы имеем два комплексных корня, Г| = - 0,5 +70.5 и
r2 ~ Zj, как показано на рис. 7.24. Чтобы исследовать влияние неизбежных вариаций параметра
К, произведём замену а = а0 ± Да и приведем характеристическое уравнение к виду:

52 + 5 + а0 ± Да = 52 + 5 + 0,5 + Да = 0,

или

, +Да . +Да

1 Ч—~	—1ч------------

5 +5 + 0.5	(5 + /])(5 + Z])

(7.93?

Таким образом, изменение коэффициента усиления К можно оценить по корневому годографу
на рис. 7.24. При изменении а на 20% мы имеем ±Да = + 0,1. С помощью корневого годографа
легко установить новое положение корней при а = 0,4 и а = 0,6, как это показано на рис. 7.24,
При а = К ~ 0,6 корень во 2-м квадранте 5-плоскости занимает положение

+ Д г1 = - 0,5 + /0,59,

что соответствует изменению корня Д = + J0.09. Если же а — К — 0.4 . то корень во втором
квадранте равен

rj + Д rj = - 0,5 + J0,387,

что соответствует изменению корня Arj = -JO,11. Таким образом, чувствительность корня г(
равна

5^ =	= — = Л45 = М5е/9О“	(7.94)

ШК +0,2

при положительном приращении К. Для отрицательных изменений К чувствительность равна
s'l =	= -Ai- = ^11 = -J0.55 = 0,55e“/9°°.

к-	+0>2

При бесконечно малых изменениях параметра дК чувствительность будет равна отрицатель-
ным или положительным приращениям К. Аргумент чувствительности корня указывает на на-
правление его смещения при изменении параметра. В точке а = а0 направление смещения кор-
ня при + Да всегда равно 180° минус направление смещения при -Да.
Полюс р может претерпевать изменения из-за влияния окружающей среды, и мы можем пред-
ставить его как р = р0 + Др. где р0 -1. Тогда характеристическое уравнение примет вид

52 + 5 + Др s + К = О,
или, в форме, удобной для построения корневого годографа:

^-=0

з2+з+К

(7.95)

Знаменатель во втором слагаемом есть характеристический полином системы при Д р= 0. Для

Рис. 7.25. Корневой
годограф в зависимости
от параметра р

этого случая корневой годограф в зависимости от К изоб-
ражен на рис. 7.24. Если по условиям синтеза требуется
иметь £ = 0,707, то корни должны занимать положение

Г] = -0,5 + /0.5 и r2 = zj - 0,5 - j‘0,5.

Поскольку корни являются комплексно-сопряженными, то
чувствительность корня будет сопряжённой чувствите-
льности корня if - г2’ С помощью метода, изложенного в
предыдущем разделе, мы можем построить корневой го-
дограф при изменении Др — результат приведён на рис.
7.25. Нас обычно интересует влияние изменения парамет-
ра, поэтому, считая, что р - р0 + Д р, и задав отрицательное
приращение Д р , мы получим уравнение корневого годог-
рафа:

1+	=0.	(7.96)

s + s + К

Легко можно заметить, что это уравнение представлено в
форме

1 - ДР P(j) = 0.

Сравнивая последнее уравнение с (7.23) (см. раздел 7.3),
мы видим, что оно отличается лишь знаком второго слагае-

мого. Поэтому в соответствии с правилами, изложенными

в разд. 7.3, мы приходим к выводу, что корневой годограф должен удовлетворять условиям

| Др P(s) |-1, arg P(j) = 0° + ^360°,

(7.97)

где д = 0, 1, 2,.... Заметим, что в угловом критерии фигурирует угол 0°, в отличие от 180°, как
это было в рассмотренном ранее методе. Однако правила построения корневого годографа,
сформулированные в разд. 7.3, легко можно модифицировать применительно к данному слу-
чаю. На рис. 7.25 эффект уменьшения параметра р отмечен пунктирной траекторией. На том
же рисунке показано положение корня при изменении р на ± Д р = + 0,20. Чувствительность

корня можно оценить графически, и для положительного изменения р она равна
= °46е 7— = 0.80е~/,3|°.

₽ (ДР/Р) 0,20

При отрицательном изменении р чувствительность корня будет равна
=	— = 0.625е'38° .

₽' (Др/р) 0,20

(7.98)

(7.99)

При уменьшении относительного изменения Др/р чувствительности Sr'+ и будут стремиться
Н	Г*

к одинаковым значениям по модулю и к разности аргументов в 180°. Так. если Др/р <0.10, то

IS'1.1 = |S'l I	(7.Ю0)

Н	г
и

argSp‘+ =180°+ argS'L .

(7.101)

Обычно чувствительность корня определяется при малых изменениях параметра. При относи-
тельном изменении параметра Др/р = 0,10 можно воспользоваться аппроксимацией корневого
годографа. На рис. 7.25 корневой годограф при Др — 0 выходит из полюса под углом 0f/. Значе-

ние этого угла легко вычислить, и тогда изменение корня можно установить, аппроксимировав
корневой годограф прямой линией с наклоном 0^ как показано на рис. 7.25. Но подобная ап-

проксимация является точной только при малых приращениях Др. Однако она позволяет ис-
следователю не прибегать к построению полного корневого годографа. Так, на рис. 7.25 чувст-

вительность корня при Др/р = 0,10, вычисленная с помощью прямой, проведённой под углом

выхода, даёт значение

= Ж^ = 0>74е-;В!.

0,10

(7.102)

Оценка чувствительности корней к изменению параметров очень полезна тогда, когда надо

сравнивать влияние различных параметров при различном положении корней. Сравнение выра-

жений (7.102) и (7.94) показывает, что модуль чувствительности к изменению р приблизительно

на 50% больше показателя для параметра а, а аргумент 5 ‘ говорит о том, что смещение корня в

сторону мнимой оси более чувствительно к изменению параметра р. Следовательно, на измене-
ния р должны быть наложены более строгие ограничения, чем на изменения а. Эта информация
даёт возможность установить требуемые допуски на изменение каждого параметра.

Пример 7.7. Чувствительность корня к изменению параметра

Система с единичной обратной связью содержит в прямой цепи передаточную функцию

G(5) =

20,7(5 + 3)
5(5 + 2)(5 + р) ’

(7.103)

где р = р0 + др и р0 = 8. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

5(5 + 2)(5 + 8 + Др) + 20,7(5 + 3) = 0 ,
или

5(5 + 2)(5 + 8) + ДР5(5 + 2) + 20,7(5 + 3) = 0.

Если Др = 0, то корни уравнения равны

Aj = -2,36+ /2,48; г2 = zj: г\ = -5,27 .

Корневой годограф в зависимости от Др определяется уравнением

, .	**<: 2>_______о

(5+?1)(5+?|)(5+Г3)

(7.104)

(7.105)

Полюсы и нули уравнения (7.105) показаны на рис. 7.26. Угол выхода корневого годографа из
полюса Г] вычисляется следующим образом:

180° = -(0^ + 90 ° + 0^) + (0- + 0^) = -(0^ + 90° + 40°) + (133 ° + 98°).	(7.106)

Следовательно, 0<; = - 80°, и в окрестности корня г} годограф аппроксимируется прямой ли-
нией с углом наклона 0f,. Изменению корня ДГ] = 0,2е /8° вдоль прямой линии соответствует

приращение + Др, которое оценивается с помощью длины векторов, проведенных в точку из

остальных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

+ a₽ = 4W5W) =

(3,25)(2,3)

В результате чувствительность корня Г] равна
Л» оэл-+80°

S3 =-----L. = —-------= 3,34е'780°.

₽ Д₽/₽	0,48/8

(7.107)

(7.108)
Рис. 7.26. Положение
полюсов и нулей,
соответствующее параметру р

Рис. 7.27. Положение
полюсов, соответствующее
параметру у

а это значит, что корень очень чувствителен к изменению параметра р на 6%. Для сравнения
полезно определить чувствительность к изменению нуля 5 = - 3. В этом случае характери-
стическое уравнение принимает вид:

5(5 + 2)(5 + 8) + 20,7(5 + 3 + Ду) = 0,

или

20,7Ду

(5+ /|)(5+ ^)(5+ Г3)

(7.109)

На рис. 7.27 показано положение полюсов уравнения (7.109). Угол выхода корневого годогра-
фа из полюса rj определяется из соотношения 180° — — (0f/ + 90° + 40°). или

+ 50°.	(7.110)

Изменению корня Дг1 = ОДе750” соответствует положительное приращение Ду. которое рассчи
тывается с помощью длины векторов как

|Ау|=

5,22(4,18)( 0,2)

20.7

0,21.

(7.111)

Следовательно, чувствительность корня при + Ду равна

5'i = -A. = 0,2е-?° = 2,84е;50° .	(7.112)

Y Ду/у 0,21/3

Отсюда видно, что модули чувствительностей корня Г] к изменению полюса р и нуля у прибли-
зительно равны. Однако можно считать, что чувствительность системы к изменению полюса
меньше, чем её чувствительность к изменению нуля, потому что аргумент S'1 равен + 50°, а это
соответствует смещению корня ближе к мнимой оси.

Аналогичным образом можно показать, что чувствительность корня Г] к изменению полюса
5 = - 80 = - 2 равна

=2,к'27° .	(7.113)

Таким образом, модуль чувствительности корня по отношению к параметру 8 меньше, чем по
отношению к другим параметрам, но направление его смещения является более критическим,
чем при изменениях р и у.
Применение метода оценки чувствительности корней при анализе и синтезе систем
управления требует большого количества вычислений для различного расположения по-
люсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы. Этот факт, а также то, что
далеко не всегда очевидно, в каком направлении должны быть изменены параметры с це-
лью снижения чувствительности, несколько ограничивает применение данного метода
при синтезе систем управления. Что же касается задач анализа, то этот метод является до-
вольно хорошим инструментом, позволяющим оценить и сравнить чувствительность сис-
тем различной конфигурации. Недостаток метода заключается в том, что он основан на
связи между положением корней на s-плоскости и качеством системы. Но как мы выясни-
ли в предыдущих главах, во многих системах положение корней адекватно определяет
показатели качества, однако в ряде случаев надо учитывать и положение нулей переда-
точной функции замкнутой системы. В целом же метод оценки чувствительности корней
является вполне приемлемым при анализе и синтезе систем управления.

7.7.	Трёхканальные (ПИД) регуляторы

В промышленных системах управления широко используется так называемый трёхкана-
льный, или ПИД-регулятор. Он имеет передаточную функцию

Gc(s) = K +^- + KDs.
s

(7.П4)

Во временной области выходная переменная, u(f), регулятора и его входная переменная e(f)
связаны уравнением

u(t-) = Kpe(t)+K, \e(j)dt + KD^

(7-115)

Своим названием ПИД-регулятор обязан тому, что его выходной сигнал равен сумме со-
ставляющих, пропорциональных как самому входному сигналу, так и его интегралу и про-
изводной. В действительности канал производной имеет передаточную функцию

(7.116)

но обычно много меньше, чем постоянные времени объекта управления, и ей можно пре-
небречь.

Если положить KD = 0, то мы получим пропорционально-интегральный, или
ПИ-регулятор:

Gc(s)=Kp+^

(7.117)

В случае К} = 0 мы получим пропорциональио-диффереициальиый, или ПД-регулятор:

Gc(s) = Кр + K»s.

Управление многими производственными процессами осуществляется с помощью
ПИД-регуляторов. Их популярность отчасти объясняется способностью обеспечить вы-
сокое качество ведения процессов в широком диапазоне режимов, а отчасти функциона-
льной простотой, позволяющей инженерам эксплуатировать их без каких-либо проблем.

Если задан объект управления, то подлежат определению три параметра ПИД-регулято-

ра: коэффициент пропорциональности, коэффициент при интеграле и коэффициент при



производной.

Рассмотрим ПИД-регулятор

,(7.118)

где а=К{/К3 иЬ = К2/К3. Т аким образом, ПИД-регулятор вносит в передаточную функцию
разомкнутой системы один полюс в начале координат и два нуля, которые могут быть раз-
мещены в любом месте левой половины s-плоскости.

Напомним, что корневой годограф начинается в полюсах передаточной функции и
заканчивается в её нулях. Если, например, мы имеем систему, изображённую на рис. 7.28,
где

G(s) =

1

(s + 2)(s+3)

и используем ПИД-регулятор с комплексными нулями^ hz2, где^ =-3 +у1 и?2 = zhto мо-

жем построить корневой годограф, как это показано на рис. 7.29. С увеличением коэ

и-

1 1



циентаЛ^з комплексные корни стремятся к нулям. Замкнутая система имеет передаточную

функцию

1 + Gc(jX?(j)

^3^+2!)^+)
(s + Л> )(s + )(.У+ )

Реакция такой системы на ступенчатый входной сигнал будет иметь перерегулирова-
ние менее 2%, а установившаяся ошибка будет равна нулю. Время установления будет
равно приблизительно 1 с. Это довольно хорошие показатели. Если желательно умень-
шить время установления, то z{ и z2 надо выбрать в левой полуплоскости ешё дальше от
мнимой оси, а коэффициент задать таким, чтобы корни характеристического уравне-
ния замкнутой системы располагались вблизи этих комплексных нулей.

Проблему использования ПД-регулятора мы обсудим позже в данной главе (см. разд.

7.11) в примере синтеза с продолжением.

7.8.	Пример синтеза: система управления
лазерным манипулятором

В хирургии с помощью лазера можно высверлить углубление в берцовой кости для после-
дующего вживления искусственного сустава. Соответствующая установка должна иметь
достаточное быстродействие и высокую точность позиционирования. В системе, изобра-
женной на рис. 7.30, лазерный манипулятор управляется с помощью двигателя постоянно-
го тока. Коэффициент усиления К должен быть выбран так, чтобы при линейном входном
сигнале r(f)=At (где А = 1 мм/с) установившаяся ошибка не превышала 0,1 мм и при этом
система оставалась устойчивой.

Рис. 7.30

Система
управления
лазерным
манипулятором

Чтобы обеспечить требуемую точность и высокое быстродействие, выберем электро-
двигатель с постоянной времени обмотки возбуждения Tj - 0,1 с и с электромеханической
постоянной времени (с учётом нагрузки) т2 = 0,2 с. Тогда мы получим:

=	----------*---------. \Ж------------------------------------.(7.119)

1 + /CG0) s(t1 s+ 1)(t2j + 1)+A: 0,02s3+0,3?+5+/С s3+15? + 50s+ 50К

Согласно (5.29), при линейном входном сигнале, R(s)=A/s~, установившееся ошибка равна

Поскольку при А = 1 мм/с должно выполнятся условие evv < 0,1 мм, то отсюда следует тре-
бование К > 10.

Убедимся, что при К = 10 система будет устойчива. Для этого на основании (7.119)
запишем характеристическое уравнение:

? + 15? + 50s + 50К = 0.

Далее составим таблицу Рауса:

s

s

1	50

15	50К

Ь{	0

50Х,

откуда следует Ь{

750-50^
15
I

I

Таким образом, система устойчива при О <К< 15. Выбрав значение 10, при котором си-
стема устойчива, исследуем вид корневого годографа приЛ> 0. Поскольку годограф имеет
три ветви, а центроид находится в точке о = - 5, то мы получим картину, изображённую на
рис. 7.31. Точка отрыва имеет координату 5 = - 2,11, а при К = 10 равны г2 = - 13,98,
rj = -0,51 + у'5,96 и ?!. Комплексным корням соответствует значение £ = 0,085 и ^со,? = 0,51.
Считая эти корни доминирующими, мы можем ожидать, согласно (5.16) и (5.13), что при
ступенчатом входном сигнале перерегулирование составит 76%, а время установления (по
критерию 2% от конечного значения) будет равно

4	4

7\.=----=-----= 7,8 с.

0,51

Рассчитав и построив действительную реакцию системы на ступенчатый сигнал, мы обна-
ружим, что перерегулирование составляет 72%, а время установления равно 7,9 с. Таким
образом, комплексные корни явно являются доминирующими. Очевидно, что система, об-
ладающая сильно колебательной реакцией на ступенчатый сигнал, не может быть исполь-

зована в лазерной хирургии, поэтому скорость изменения управляющего сигнала должна
быть ограничена. Реакция той же системы на линейный входной сигнал приведена на

рис. 7.32.

Рис. 7.31

Корневой годограф
системы
управления
лазерным
манипулятором

Рис. 7.32

Реакция системы
управления лазерным
манипулятором
на линейный входной
сигнал
7.9.	Синтез системы управления роботом

Понятие воспроизводства роботов объяснить можно довольно просто. Идея заключается в
том, что роботы воспроизводят себе подобных и создают завод, который автоматически
выпускает продукцию в виде роботов. Процесс воспроизводства роботов изображён на
рис. 7.33. Чтобы создать быстродействующую и высокоточную систему управления робо-
том, важно обеспечить жёсткость и в то же время малую массу руки робота.

Рис. 7.33

Процесс
воспроизводства
роботов

Система управления движением руки робота должна удовлетворять следующим тре-
бованиям: (1) время установления (по критерию 2%) должно быть не более 2 с, (2) перере-
гулирование при ступенчатом входном сигнале допускается не более 10%, и (3) устано-
вившаяся ошибка должна быть равна нулю.

В структурной схеме системы управления рукой робота, изображенной на рис. 7.34,
кроме регулятора Gc(s) предусмотрена также обратная связь по скорости. Если рука робо-

та является очень лёгкой и тонкой, то её передаточная функция

Ж)
^/(5)

где

(? + 4s+ 10004)(? +12?+90036)

(5 + 10)О2 +2? + 2501)(s2 +6^ + 22509) ’

(7.120)

Таким образом, комплексные нули находятся в точках

л- — -2 ±7100 и 5 = - 6 ±уЗОО ,
а комплексные полюсы в точках

5 = - 1 ± у’50 и 5 = - 3 ±7*150.

Рис. 7.34. Структурная схема системы управления легкой рукой робота
Рис- 7-36- Корневой годограф системы на
рис. 7.34 при Gc (s) = Ку после введения
нуля в точку s = -0,2

Рис- 7-35- Корневой годограф
системы на рис. 7.34 при Gc(s) = Ку,
К2 - 0 и изменении Ку от О до оо

При К2 = 0 и регуляторе, представленном коэффициентом усиления, Gc(s) = Л'ь кор-
невой годограф в зависимости от параметра изображён на рис. 7.35. Поскольку два
корня характеристического уравнения при > 0 всегда находятся в правой полуплоско-
сти, то замкнутая система неустойчива.

Ясно, что в данном случае принципиально необходима обратная связь по скорости,

К2 > 0. Тогда мы получим H(s) = 1 + K2s, и разомкнутая система будет иметь передаточ-

ную функцию

(s2 + 4s + 10004)(? +12? + 90036)

s2 (s+ 10)(? + 2s+2501)(? +6s+22509)



J

где K{ — коэффициент усиления регулятора ОДД Теперь мы можем варьировать два пара-
метра, и К2. Выберем 5 < К2 < 10, чтобы разместить нуль близко к началу координат.

При К2 = 5 и изменении параметра корневой годограф имеет вид рис. 7.36. Если
= 0,8 и ~ 5, то переходная характеристика системы имеет перерегулирование 12% и
время установления 1,8 с. Это — наиболее оптимальный вариант. Если попытаться взять

К2 = 7 или К'у = 4, то перерегулирование будет больше допустимого. Следовательно, в сис-
теме данной конфигурации мы добились наилучшего качества. Если продолжить процесс
синтеза, то можно попытаться, сохранив обратную связь по скорости с коэффициентом

К2 - 5, применить регулятор, передаточная функция которого имеет полюс и нуль. Одним

из возможных решений является

(7.121)

Если теперь выбрать z ~ 1 ир = 5, то при - 5 мы получим переходную характери-
стику с перерегулированием 8% и временем установления 1,6 с.
I

7.10. Построение корневого годографа
с помощью MATLAB

Приблизительный вид корневого годографа можно получить с помощью последовательно-
сти операций, приведённых в табл. 7.2. Альтернативным методом является точное постро-
ение корневого годографа с помощью MATLAB. Однако не стоит полагаться только на
MATLAB и пренебрегать ручными операциями, определяющими приблизительный вид
корневого годографа. Основные принципы корневого годографа воплощены именно в
этих ручных операциях, и это особенно важно для полного понимания их смысла.

Этот раздел мы начнём с обсуждения того, как с помощью MATLAB строится корне-
вой годограф. Затем установим связь между разложением на простые дроби, доминирую-

щими полюсами и реакцией замкнутой системы. В заключение рассмотрим применение

MATLAB для оценки чувствительности корней.

В данном разделе будут рассмотрены функции rlocus, rlocfind и residue. Функции rlo-
cus и rlocfind используются для построения корневого годографа, a residue позволяет по-
лучить разложение дробно-рациональных функций на простые дроби.

Построение корневого годографа. Рассмотрим замкнутую систему управления,

изображённую на рис. 7.10. Система имеет передаточную функцию

T(s) =

R(s)

K(s+l)(s + 3)
s(s + 2)(s+3) + K(s+I)

Характеристическое уравнение можно представить в виде:

(7.122)

Именно в таком виде должно быть записано характеристическое уравнение, чтобы можно
было воспользоваться функцией rlocus. Эта функция применяется к характеристическому
уравнению общего вида

1+ KG(s) = 1+К^ = 0,	(7.123)

где К — варьируемый параметр, изменяемый в диапазоне 0 < К < со. Смысл функции rlocus
поясняет рис. 7.37. Этапы построения корневого годографа по уравнению (7.122) приведе-
ны на рис. 7.38. Вызов функции rlocus без указания аргументов в левой части автоматиче-
ски приводит к графическому изображению корневого годографа. При задании аргументов
в левой части функция rlocus возвращает матрицу положения корней и вектор соответству-
ющих коэффициентов.

Рис. 7.37

Функция rlocus

г — положения

комплексных корней
К — вектор коэффициентов

1 + KG(s) = О

[r.K]=rlocus(sys)
Рис. 7.38

Корневой годограф
для характеристического
уравнения (7.122)

Этапы построения корневого годографа с помощью MATLAB таковы:

1.	Записать характеристическое уравнение в форме (7.123), где К — варьируемый па-
раметр.

2.	Использовать функцию riocus для построения корневого годографа.

Обратившись к рис. 7.3 8, мы можем видеть, что при увеличении К две ветви корневого
годографа отрываются от действительной оси. Это значит, что при некоторых значениях К
характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь два комплексных корня.
Предположим, что мы хотим найти значение К, соответствующее этой паре комплексных
корней. Для этого можно воспользоваться функцией rlocfind, но только после того, как с по-
мощью функции riocus будет построен сам корневой годограф. Вызов функции rlocfind при-
ведёт к появлению на корневом годографе маркера в виде черты, пересекающей траекто-
рию. Вы подводите маркер к интересующему вас положению на корневом годографе и на-
жимаете клавишу Enter. На дисплей будет выведено значение параметра К и координаты
выбранной точки. Применение функции rlocfind проиллюстрировано на рис. 7.39.

Продолжая наш пример с построением корневого годографа системы третьего по-
рядка, мы находим, что при Л? = 20, 5775 передаточная функция замкнутой системы имеет

три полюса и два нуля:

полюсы:

<-2,0505 + 7'4,3227^

5= -2,0505-У4,3227

-0,8989

нули:

Если принять во внимание только положение полюсов замкнутой системы, то, казалось бы,
доминирующую роль должен играть полюс 5 = - 0,8989. Чтобы проверить это, имеет
смысл исследовать реакцию системы на ступенчатый сигнал, 7?(s) = 1А.

В этом случае мы имеем:

У(5) =

20,57750+1)0 + 3)

ф+2)0 + 3)+20,57750+1)

(7.124)
Рис. 7.39

Применение
функции rlocfind

Положение маркера
при выбранном К

-6	-4	-2 О

Положение двух других i
полюсов при том же К

г

Действительная ось

Первый этап вычисления ХО состоит в разложении (7.124) на простые дроби. Для этой
цели используется функция residue, как показано на рис. 7.40. Смысл этой функции поясня-
ет рис. 7.41.

Рис. 7.40

Разложение
выражения (7.24)
на простые дроби
Рис. 7.41

Функция residue

Разложение (7.124) на простые дроби выглядит так:

-1,3786+7'1,7010	-1,3786-7’1,7010	-0,2429	3

“ 5 + 2,0505+ 7'4,3228+^+2,0505-74,3228 + 5+0,8989 + л- ’

Сравнивая значения вычетов, мы видим, что коэффициент при члене, соответствую-
щем полюсу 5 = - 0,8989, значительно меньше коэффициентов при членах, соответствую-
щих комплексно-сопряженным полюсам = - 2,0505 ± 7’4,3228. Следовательно, можно
ожидать, что влияние полюса s = - 0,8989 на реакцию системы Х0 не будет доминирую-
щим. Тогда время установления следует оценивать по комплексно-сопряженным полю-
сам. Полюсам 5 = - 2,0505 + 7’4,3228 соответствует коэффициент затухания £ = 0,4286 и
собственная частота сол = 4,7844. Таким образом, ожидаемое время установления

S

Переходная характеристика, построенная с помощью функции step, изображена на
рис. 7.42, откуда видно, что	1,6 с. Следовательно, предсказанное значение 1,95 с яв-

ляется довольно хорошей аппроксимацией. Относительное перерегулирование можно оце-
нить с помощью рис. 5.13, т. к. на вид переходной характеристики будет оказывать влияние
и нуль передаточной функции TV), s = - 3. Согласно рис. 5.13, этот показатель равен 60%. В
действительности, как показывает рис. 7.42, перерегулирование составляет 50%.

Рис. 7.42

Переходная
характеристика
замкнутой системы
на рис. 7.10
при К = 20,5775

»К=20.5775; num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+К К ]; sys=tf(num,den);
»step(sys)
В этом примере мы проиллюстрировали влияние нулей передаточной функции на пе-
реходную характеристику системы. Близость нуля $ = - 1 к полюсу 5 = - 0,8989 уменьша-
ет влияние этого полюса, а основной вклад в переходную характеристику вносят комп-
лексно-сопряжённые полюсы s = 2,0505 ±74,3228 и нуль s = - 3.

Сделаем ещё одно замечание в отношении функции residue. Вы можете с её помо-
щью перейти обратно от разложения на сумму простых дробей к дробно-рациональному
выражению, задав вычеты (г), положение полюсов (/?) и постоянный член (к), как это про-
иллюстрировано на рис. 7.43.

Рис. 7.43

Переход от разложения
на простые дроби
к дробно-рациональной
функции

,zz х	ч,тz ч num

Г(5) = Г(5Х/(5)= —
den

г — вычеты,

р — положение полюсов,
к — постоянный член

[num,den]=residue(r,p,k)

Чувствительность и корневой годограф. Корни характеристического уравнения
играют важную роль при определении реакции замкнутой системы на входной сигнал.
Поэтому крайне полезно иметь оценку чувствительности этих корней к изменению пара-
метров системы. Чувствительность корня г, определяется как

дК/К

(7.125)

Если параметру К придать малое конечное приращение ЛК и определить новое значение
корня г, + Дг,, то чувствительность будет равна

(7.126)

Чувствительность 5 £ — это комплексное число. Вернёмся ещё раз к системе третьего порядка

на рис. 7.10 и уравнению 7.122. Если изменить параметр К на 5%, то один из комплексно-со-
пряжённых полюсов, s~- 2,0505 + у4,3228 получит приращение Дг, = -0,0025 -J0,1168. Так
как параметр К изменился от К = 20,5775 до К = 21,6064, то согласно (7.126) чувствительность
будет равна

-0,0025-70,1168
1,0289/20,5775

= -0,0494-72,3355.

Эту чувствительность можно представить и в иной форме:

= 2,34е'268-79°.

Модуль и аргумент S& являются показателями чувствительности корня. Программа
с помощью которой вычисляется эта чувствительность, приведена на рис. 7.44.

Показатель Sr^ может оказаться очень полезным для сравнения чувствительности по
отношению к различным параметрам системы при разных положениях корней.
Рис. 7.44

Вычисление
чувствительности
корня

при изменении
параметра

% Вычисление чуствительности системы

% к изменению параметра

%

К=20.5775; den=[1 5 6+К К]; r1=roots(den);

% ______________________________________________

dK= 1.0289; <--------------- Изменение К на 5%

% ---------------------------------------------

Km=K+dK; denm~[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm);

dr=r1-r2; <—l
%

S=dr/(dK/K);

Формула для чувствительности

7.11.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ В главе 6 мы рассмотрели новую конфигурацию системы управления, в которой
была использована обратная связь по скорости (см. разд. 6.7). В данной главе мы
разберём случай, когда заданное качество системы обеспечивается с помощью
ПИД-регулятора. Мы снова начнём с этапа4 процедуры синтеза на рис. 5.50. Затем с новой
моделью перейдём к этапу 5, после чего на этапе 6 выберем регулятор. И, наконец, на этапе
7 мы оптимизируем параметры регулятора и исследуем качество системы. Для выбора па-
раметров регулятора в данной главе мы воспользуемся методом корневого годографа.

ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

Gc(s')=Kl +—— + K3s.	(7.127)

Поскольку в модели объекта C2(s) уже присутствует операция интегрирования, то
мы примем К2 = 0. В результате мы получим ПД-регулятор:

Gc(s)-К.	(7.128)

а целью синтеза является выбор параметров Кх и удовлетворяющих требованиям к ка-
честву системы. Структурная схема системы приведена на рис. 7.45. Передаточная функ-
ция замкнутой системы равна

И*) = T(s} = Gc № (5)G2 (5)

R(s) J l+Gc(s)Gl(s)G2(s)H(sy

где H(s) = 1.

R(s)

головки

Рис. 7.45. Система управления положением считывающей головки с ПД-регулятором
Чтобы построить корневой годограф, представим Gc(s)G[Cv)Gв виде:



5OOO(Xj + K3s)
s(s + 20)(.s +1000)

5000X3 (j+z)
s(s + 20)(s+1000)’

где z = Параметр Kl мы выберем, чтобы задать положение нуля z, а затем построим
корневой годограф в зависимости от Х3. По интуиции (см. разд. 6.7) примем z = 1, тогда

GcG{G2H(s)

5000Х3(5 + 1)
5(5+ 20)(s + 1000)

(7.129)

Разность между числом полюсов и числом нулей равна 2, поэтому можно ожидать, что
асимптоты будут расположены под углами q>j = ± 90, а их центроид будет в точке

-1020+1

2

= -509,5,

как это показано на рис. 7.46. На этом же рисунке изображён набросок корневого годогра-
фа. С помощью MATLAB определены значения корней при разных значениях Х3. Корни,
соответствующие К3 - 100, показаны на рис. 7.46. При этом показатели качества системы,
также определённые с помощью MATLAB, приведены в табл. 7.6, откуда следует, что син-
тезированная система удовлетворяет всем выдвинутым требованиям. Время установле-
ния, равное 20 мс, — это время, необходимое системе для того, чтобы переходная характе-
ристика «практически» достигла установившегося значения. В действительности реакция
системы, достигнув 97% от конечного значения, очень медленно приближается к послед-
нему.

Рис. 7.46

Набросок корневого
годографа

Таблица 7.6. Требуемые и действительные значения показателей
качества системы чтения информации с диска

Показатель качества

Относительное перерегулирование

Время установления

Максимум реакции на единичное
возмущение _ _____________

Желаемое значение Действительное значение

менее 5%	0%

менее 250 мс	20 мс

менее 5 • 10~3	2 • 10~3
7.12.	Резюме

Относительная устойчивость и основные показатели качества замкнутой системы управ-
ления непосредственно связаны с расположением корней характеристического уравнения
системы. Поэтому мы использовали метод корневого годографа, чтобы определить пере-
мещение корней характеристического уравнения на ^-плоскости при изменении парамет-
ров системы. Этот графический метод может служить основой для предварительного опре-
деления структуры системы и значения её параметров, Определение точного расположе-
ния корней на ^-пло скости обычно производится с помощью компьютера. Корневые
годографы для 15 типичных случаев приведены в табл. 7.7.

Далее мы распространили метод корневого годографа на случай, когда варьируемы-
ми являются несколько параметров системы. Затем была исследована чувствительность
корней характеристического уравнения системы к изменению ее параметров. Из всего ма-
териала ясно, что метод корневого годографа является эффективным средством анализа и
синтеза современных систем управления и он остаётся одним из наиболее важных инст-
рументов, применяемых в этой области.

Таблица 7.7. Корневые годографы для типовых передаточных функций
Таблица 7.7 (продолжение)

G(s)	Корневой годограф С(5)	Корневой годограф
Таблица 7.7 (продолжение)

G(s)	Корневой годограф G(s)	Корневой годограф

Упражнения

У-7.1. Рассмотрим устройство, состоящее из шарика, который катается
по внутренней поверхности обруча. Данная модель аналогична
случаю колебаний жидкого топлива в ракете. Обруч вращается
относительно горизонтальной оси, как показано на рис. 7.1(У).
Угловое положение обруча изменяется за счёт момента Г, сооб-
щаемого ему электродвигателем. В случае использования отрица-
тельной обратной связи характеристическое уравнение этой сис-
темы имеет вид:

Рис. 7.1 (У). Шарик
внутри обруча

^5(5+4)

s2 -ь 2s + 2

(а) Постройте корневой годограф, (б) Определите значение К, при

котором оба корня равны, (в) Вычислите значения этих корней, (г) Определите время установ-
ления для случая равных корней.

У-7,2. Система управления скоростью протяжки ленты в магнитофоне имеет передаточную функ-
цию

О(у) =

_________К_________

5(5 + 2)(52 + 45 + 5)

При этом предполагается, что используется отрицательная обратная связь, H(s) = I.
(а) Постройте корневой годограф в зависимости от параметра К и покажите, что при К = 6,5
доминирующие корни равны з = -0.35 ±j‘0.80. (б) Определите время установления и относите-
льное перерегулирование, соответствующие этим доминирующим корням, если на вход систе-
мы подан ступенчатый сигнал.

У-7.3. Система управления, применяемая для проверки автомобильной подвески, имеет передаточ-
ную функцию

Л’(?

Желательно, чтобы доминирующие корни занимали положение, при котором коэффициент за-
тухания имел бы значение = 0,5. С помощью метода корневого годографа покажите, что это
возможно при К - 7,35 и что при этом доминирующие корни равны s - - 1,3 ± j‘2,2.

У-7.4. Рассмотрите систему с единичной обратной связью, имеющую в разомкнутом состоянии пе-
редаточную функцию

G(s) = -

(а) Определите угол выхода корневого годографа из комплексных полюсов, (б) Определите
точку входа корневого годографа в действительную ось.

Ответы. ± 255°; —2,4.

У-7.5. Рассмотрите систему управления, для которой разомкнутый контур имеет передаточную
функцию

2

GH О) =-------------—-------------

? + 38?+ 515? + 2950J+ 6000

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси. (б) Определите по-
ложение центроида асимптот, (в) Определите значение К, соответствующее точке отрыва.

У-7.6. США планируют к 2004 году иметь на орбите действующую космическую станцию. Возмож-
ная конфигурация такой станции изображена на рис. 7.6(У). Важнейшей задачей является под-
держание заданной ориентации станции на Солнце и Землю с целью производства электро-
энергии и осуществлении связи. Система ориентации, включающая в себя регулятор и испол-
нительное устройство, имеет единичную обратную связь, а её прямая цепь представлена пере-
даточной функцией

G(5) =

Изобразите корневой годограф системы в зависимости от параметра К. Определите значение
А, при котором реакция системы будет иметь колебательный характер.

Ответ'. К > 5.15.

Рис. 7.6 (У)
Космическая

станция

Антенна

Панели солнечных батарей

Корректирующие
двигатели

Реактивные
двигатели

7.:'ш,:дигё~j .

Космический челнок


У-7.7. Лифт в современных административных зданиях способен развивать скорость до 7,5 м/с и
останавливаться на заданном этаже с точностью до 3 мм. Система управления положением
лифта имеет единичную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии

равна

С(5) =

10)

5(5 -ь 1)(5 + 20)(s 4- 50)

Определите значение К, при котором комплексным корням будет соответствовать коэффици-
ент затухания £ = 0,8.

У-7,8. Изобразите корневой годограф системы с единичной обратной связью, если

G(s) =

1)

s1 (5 4- 9)

(а) Определите значение К. при котором все три корня будут действительными и одинаковы-
ми. (б) Вычислите значение этих корней.

Ответы-. К = 27 ; 5 = - 3.

У-7.9. Крупнейший в мире телескоп расположен на Гавайских островах. Его главное зеркало имеет
диаметр Юми состоит из 36 пятиугольных сегментов, причём ориентацией каждого сегмента
можно управлять индивидуально. Система управления ориентацией сегмента имеет единич-
ную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

С(5) =

(а) Определите асимптоты корневого годографа и изобразите их на ^-плоскости. (б) Определи-
те углы выхода годографа из комплексных полюсов, (в) Определите значение К. при котором
два корня будут находиться на мнимой оси. (г) Изобразите вид корневого годографа.

У-7.10. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функ-

цию

KG(s) =

K(s + 2)

5(5+ 1)

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси и точку входа в неё.
(б) Определите значение К и соответствующие ему корни, если действительная часть комплек-
сных корней равна -2. (в) Изобразите вид корневого годографа.

Ответы', (а) -0.59: -3,41. (б) К-3; s — -2± j41.

У-7.11. Система управления усилием, развиваемым роботом, имеет единичную обратную связь, а её
передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

К (5 +2,5)

Х’С(5) =

(52 + 25 + 2)(52 + 45+ 5)

(а) Определите значение К9 при котором доминирующим корням будет соответствовать коэф-
фициент затухания £ - 0,707. Изобразите корневой годограф, (б) Определите действительные
значения относительного перерегулирования и времени максимума переходной характеристи-
ки при К найденном в п. (а)

У-7.12. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

К(5+1)

KG (5) = —--------- .

5(52 + 45+ 8)

(а)	Изобразите корневой годограф для К > 0.

(б)	Найдите значения корней при К ~ 10 и К - 20.

(в)	Вычислите время нарастания переходной характеристики от 0 до 100%, относительное пе-
ререгулирование и время установления (по критерию 2%) при значениях К = 10 и К - 20.
У-7.13. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную фун-
кцию

С(5) =

4(5+ z)

5(5 4- 1)(5 4- 3)

(а) Изобразите корневой годограф при изменении z от 0 до 100. (б) Используя корневой годог-
раф и считая, что на вход системы подан ступенчатый сигнал, оцените величину относитель-
ного перерегулирования и время установления (по критерию 2%) при z ~ 0,6: 2; 4. (в) Опреде-
лите действительные значения перерегулирования и времени установления при z ~ 0,6: 2; 4.

У-7.14. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

(7(5) =

Х(5+ 10)
5(5 4- 5)

(а)	Определите точки отрыва и входа корневого годографа и изобразите его вид при К >0.

(б)	Определите значение К. при котором двум корням характеристического уравнения будет
соответствовать £ = 1/V2. (в) Вычислите значения этих корней.

У-7.15. (а) Постройте корневой годограф, если

Х(5+У+3).

53

(б) Определите диапазон значений К, при которых замкнутая система устойчива, (в) Предска-
жите величину установившейся ошибки при линейном входном воздействии.

Ответы: (а) К > 3/4; (б) еХ¥ = 0.

У-7.16. Система с единичной отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии пере-
даточную функцию

5 4- 1

где Т = 0,1 с. Покажите, что для запаздывания можно воспользоваться аппроксимацией

2/7 - 5

е ‘	.

2/7 + 5

Используя замену

постройте корневой годограф системы для К> 0. Определите диапазон значений К, при кото-

рых система устойчива.

У-7.17. В системе, изображённой на рис.

7.17(У), объект управления имеет
передаточную функцию

У(О

Рис. 7.17 (У). Система с обратной связью

(а)	Изобразив вид корневого годог-

рафа. покажите, что при <7С(5) - К система всегда будет неустойчива, (б) В случае



К (5+2)
(5+20)

изобразите корневой годограф и определите диапазон значений К, при которых система будет
устойчива. Определите значение К, при котором два корня будут находиться на мнимой оси, и
вычислите эти корни.
У-7.18. Для управления курсом реактивного истребителя-перехватчика используется система с еди-
ничной отрицательной обратной связью, имеющая в разомкнутом состоянии передаточную
функцию

G(5)-

(а) Определите точку отрыва корневого годографа, (б) Определите значение К. при котором
два корня окажутся на мнимой оси, и укажите, чему равны эти корни. Изобразите вид корнево-
го годографа.

Ответ: (а) 5 = -2,29 ; (б) К ~ 8 , 5 = ± jl,09.

У-7.19. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

G(s) ~.
+ 3)(s2 + 6s -ь 64)

(а) Определите углы выхода корневого годографа из комплексных полюсов, (б) Изобразите
вид корневого годографа, (в) Определите значение К, при котором корни будут находиться на
мнимой оси, и укажите положение этих корней.

У-7.20. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-

цию



£(*+1)

l)(s+ 4)

(а) Определите диапазон значений К, при которых система устойчива, (б) Изобразите вид кор-
невого годографа, (в) Определите наибольшее значение коэффициента затухания Q соответст-
вующее комплексным корням устойчивой системы.

Ответы: (а) К > 6 ; (б) £ = 0,2.

У-7.21. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-

цию

$(?) =

Ks

?4-5s+ 10

Изобразите вид корневого годографа. Определите значение К. при котором комплексным кор-
ням характеристического уравнения соответствует £ « 0,86.

У-7.22. Система управления ракетой, выводящей на орбиту искусственный спутник, имеет единич-
ную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

G(s) =

К (? + 20)(5 + 1)
(? - 2)(s + 10)

Изобразите корневой годограф в зависимости от параметра К.

У-7.23. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-

цию

G(5) =

Постройте корневой годограф для 0 < а < от.

Задачи

3-7.1. Постройте корневые годографы для системы, изображённой на рис. 7.1(3). при

0 < К < оо и

следующих передаточных функциях:

s(s+ 10)2’
(б)	GH (5) =

ад

Рис. 7.1 (3)

(в) GH (з) = —K(s+6) _

(г) GH(s) = ^-2

3-7.2, В задаче 6.7 была представлена линейная

модель фазового детектора. Изобразите корневой годограф в зависимости от коэффициента
Kv = КСТК. Определите значение Kv. при котором комплексным корням соответствует коэффи-
циент затухания Q ~ 0,60.

3-7.3. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

£(*) =

Определите (а) точку отрыва корневого годографа от действительной оси и соответствующее
этой точке значение К, (б) коэффициент К, при котором два корня находятся на мнимой оси. и
положение этих корней и (в) положение корней при К = 6. (г) Изобразите вид корневого годог-
рафа.

3-7.4. В задаче 4.5 рассматривалась система управления положением большой антенны. Изобразите
корневой годограф этой системы при 0 < К() < оо. Определите максимально допустимое значе-
ние коэффициента усиления усилителя, исходя из соображений устойчивости системы.

3-7.5. Задача автоматического управления вертолётом является весьма актуальной, т. к. в отличие
от обычного самолёта, объективно обладающего некоторой степенью устойчивости, вер-
толёт— это принципиально неустойчивый объект. На рис. 7.5(3) изображена система управ-
ления вертолётом, в которой наряду с контуром автоматической стабилизации участвует пи-
лот, манипулирующий рукояткой управления. Если пилот не пользуется рукояткой управле-
ния, то ключ на схеме системы можно считать разомкнутым. Динамика вертолёта описывается
передаточной функцией

_	25(^+ 0,03)

2 S (s + 0.4 )(52 - 0.365 + 0,l 6) ’

(а) При разомкнутом контуре ручного управления изобразите корневой годограф контура ав-
томатической стабилизации. Определите значение К2, при котором комплексным корням со-
ответствует коэффициент затухания Q = 0.707. (б) При значении Х2. полученном в п. (а), опре-
делите установившуюся ошибку, вызванную порывом ветра. T^s) = I/5. (в). Сохранив значе-
ние К2, найденное в п. (а), добавьте контур ручного управления и изобразите корневой годог-
раф системы при изменении от 0 до оо . (г) На основании корневого годографа выберите
подходящее значение К} и определите новую величину установившееся ошибки.

Рис. 7.5 (3). Система управления вертолетом
Рис. 7.6 (3). Система управления положением ракеты-носителя

3-7,6. На рис. 7.6(3) изображена система управления положением ракеты-носителя при прохожде-
нии земной атмосферы. Передаточные функции имеют следующий вид:

G(s) =	*(s+0,20)	G = (*+2 + jl,5)(5 + 2- 7'1,5)

(s + 0,90)(s-0,60)(s-0,10) ’	(s+4,0)

(а) Изобразите корневой годограф системы при изменении К от 0 до оо. (б) Определите значе-
ние К, при котором система обладала бы временем установления (по критерию 2%) не более
12 с, а комплексным корням соответствовал бы коэффициент затухания Q > 0,50.

3-7,7. На рис. 7.7(3) изображена система управления скоростью турбогенератора. Вентиль управля-

Момент нагрузки

3 ад анная
скорость

1

/? = Настраиваемый
коэффициент

Рис. 7.7 (3). Система управления скоростью турбогенератора

7?

ет подачей пара в турбину, чтобы компенсировать изменение нагрузки AL(s), вызванное по-
треблением электроэнергии в сети. При номинальном значении скорости вращения турбины
частота генератора равна 60 Гц . Параметры генератора: момент инерции У = 4000 и коэффи-
циент трения b = 0,75. Настраиваемый коэффициент обратной связи, R « (<о0 - <о,.)/ЛГ, где со,.
— скорость вращения при нагрузке, <оо — скорость на холостом ходу. Значение R желательно
иметь как можно меньше, обычно менее ОДО.

(а). С помощью метода корневого годографа определите величину А, при которой коэффици-
ент затухания, соответствующий комплексным корням системы, будет удовлетворять нера-
венству Q > 0,60. (б) Убедитесь, что при изменении момента нагрузки AL(s) = AL/s отклонение
скорости в установившемся режиме будет приблизительно равно RAL, где R < 0,1.

3-7.8. Рассмотрите ещё раз задачу 7.7, предположив, что паровая турбина заменена гидравлической
турбиной. В этом случае существенно изменяется постоянная времени объекта за счёт боль-
шей инерционности потока воды. Передаточная функция гидравлической турбины может
быть представлена выражением

где т - 1 с. Если остальные части системы остаются теми же, что и в задаче 7.7, то выполните
пп. (а) и (б) задачи 7.7.

* 60 Гц — стандарт США {прим. перев.)
Рис. 7.9 (3). Система управления транспортным средством

3-7.9. На производственных предприятиях будущего важная роль должна принадлежать автомати-
чески управляемым транспортным средствам. В целях безопасности при движении этих
средств между ними необходимо поддерживать определённую дистанцию. Система управле-
ния движением должна исключать влияние возмущений (например, в виде разлитого на пол>
масла), а также точно поддерживать заданную дистанцию. Структурная схема такой системы
изображена на рис. 7.9(3). Динамика транспортного средства представлена передаточной фун-
кцией



(5 + 0,l)(s2 + 2? + 289)
s(s - 0,4 )(s + 0,8)(s2 + 1,45s + 361)

(а) Изобразите вид корневого годографа системы, (б) Определите все корни при
К = К}К2 = 4000.

3-7.10. В отличие от самолёта Конкорда сверхзвуковой пассажирский лайнер будущего должен об-
ладать дальностью полёта, позволяющей «в один прыжок» пересекать Тихий океан, и в то же
время быть достаточно экономичным. Такой самолёт, изображённый на рис. 7.10(3). (а), по-
требует использования термостойких легких материалов и усовершенствованых компьютер-
ных систем управления.

Самолет должен перевозить 300 пассажиров со скоростью, в три раза превышающей скорость
звука, на расстояние до 12000 км. Система управления должна обладать высоким качеством и
обеспечивать комфортабельные условия полёта. Структурная схема такой системы изображе-
на на рис. 7.10(3), (б). Желательно, чтобы доминирующим корням этой системы соответство-
вал коэффициент затухания Q - 0,707. Передаточная функция самолёта имеет параметры

Рис. 7.10 (3)

(а) Сверхзвуковой
самолет будущего.

(б) Система
управления

Регулятор

Исполнительное
устройство

Динамика
самолета
1)

Cy+io)U+ioo)

10

-> ГСу)
Скорость

Датчик
скорости
= 2,5, £ - 0,30 и т ~ 0.1. Однако коэффициент будет изменяться от 0.02 при крейсерской
скорости до 0.20 при малой скорости во время снижения.

(а) Изобразите вид корневого годографа в зависимости от К\К2' ($) Определите значение К2.
при котором система управления в условиях крейсерской скорости будет иметь доминирую-
щие корни, соответствующие £ = 0,707. (в) При значении К2. найденном в п. (б), определите ве-
личину Q если коэффициент соответствует условиям снижения самолёта.

3-7.11. Лентопротяжные механизмы, используемые в компьютерной технике, должны удовлетво-
рять довольно жёстким требованиям. Окружающие условия, в которых работают такие меха-
низмы, диктуют необходимость тщательных испытаний системы управления протяжкой маг-
нитной ленты. На рис. 7.11(3) изображена такая система, где г — радиус бобины, a J— момент
инерции бобины и ротора двигателя постоянного тока. Полное изменение направления враще-
ния бобины должно занимать 6 мс. а ступенчатый входной сигнал должен отрабатываться лен-
топротяжным механизмом за 3 мс или менее. Протяжка ленты обычно совершается со скоро-
стью 250 см/с. Параметры двигателя и элементов системы имеют следующие значения:

Кь = 0,40	г = 0,2	Кр= 1

= 2,0	Т[ = та = 1 мс Кг/Ы = 2,0

К2 — настраиваемый параметр.

Момент инерции бобины и ротора двигателя равен 2,5  10~3, когда бобина пустая, и 5,0 • I0’3.
когда она полная. Ошибка системы определяется с помощью ряда фотоэлементов. Постоянная
времени двигателя L/R = 0,5 мс.

(а) Изобразите вид корневого годографа при К2 ~ Ю, 5,0  10-3и0<Кп< оо . (б) Определите
значение Ка> при котором система будет хорошо демпфирована, т. е. всем корням будет соот-
ветствовать £ > 0,60. (в) При значении найденном в п. (б), изобразите вид корневого годог-
рафа для 0 < К2 < оо.

Рис. 7.11 (3)

(а)	Лентопротяжный механизм.

(6)	Структурная схема системы
управления

а)

Бобины

и двигатели

Ролики

Фотоэле-
менты

Вакуум
3-7.12. В гироскопических устройствах и при испытаниях инерциальных систем навигации исполь-
зуется прецизионная система управления скоростью, изображённая на рис. 7.12(3). В такой си-
стеме двигатель постоянного тока используется напрямую, без введения редуктора, котором) j
присущи такие негативные качества, как люфт и трение. Благодаря этому обеспечивается (Г)
поддержание заданной скорости в диапазоне от 0,01 7с до 600 7с и (2) максимальное значение
установившейся ошибки при ступенчатом изменении входного сигнала, равное 0.1%. При
этом также полностью используется вращающий момент двигателя, достигается высокий '
к.п.д., а постоянная времени двигателя имеет минимальное значение. Параметр двигателя Klfi
имеет номинальное значение К„} ~ 1,8, но возможны его вариации в пределах до 50%. Коэфф и- =
циент Ка обычно более 10, но и его вариации могут достигать 10%.

(а) Определите минимально необходимое значение коэффициента усиления контура, при ко-
тором удовлетворялось бы ограничение на величину установившейся ошибки, (б) Определите
предельно допустимое значение этого коэффициента, исходя из соображений устойчивости
системы, (в) Изобразите вид корневого годографа системы при 0 < Ка < оо. (г) Определите зна-
чения корней при Ка - 40 и оцените показатели качества системы при ступенчатом входном
воздействии.

3-7.13. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функ-
цию

G(s) =-------.

5(5 + 3)(52 + 45 + 7,84)

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси и соответствующее
этой точке значение К. (б) Определите значение К\ при котором двум комплексным корням,
расположенным ближе всего к мнимой оси. соответствует коэффициент затухания £ = 0.707
(в) Являются ли корни, найденные в п. (б), доминирующими? (г) Определите время установле-
ния (по критерию 2%) при значении найденном в п. (б).

3-7.14. Передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы с отрицательной обратной свя-
зью имеет вид

Х(5+2)(5+3)

GH(s) = —-----------------.

sz(j+ 1)0 + 10)0 + 50)

Такая система является условно-устойчивой, т. к. она сохраняет устойчивость только при

<К<К?. Используя критерий Рауса-Гурвица и метод корневого годографа, определите
диапазон значений К, при которых система устойчива. Изобразите вид корневого годографа
при 0 < К < оо.

3-7.15. Вернёмся к проблеме устойчивости и качества системы управления мотоциклом из задачи
6.13. Динамика гонщика и мотоцикла представлена передаточной функцией

К (s2 + 305 + 625)

GH(s) =

5(5 + 20)(52 + 205 + 200)(52 + 605 + 34 00)
Вадами
i№<		1,1

|Рис, 7-16 (3)
j Система
^управления
^натяжением
-стальной полосы
ь

Двигатель

ад

Изобразите вид корневого годографа системы. Определите значение соответствующее до-
минирующим корням, при К == 3 -104.

3-7.16, В металлургической промышленности используются системы управления, позволяющие
поддерживать постоянное натяжение стальной полосы при её горячей прокатке. Подобная си-
стема изображена на рис. 7.16(3). Устройство, являющееся датчиком натяжения, состоит из ба-
рабана, укреплённого на рычаге длиной от 60 до 90 см. который прижимается к стальной поло-
се в промежутке между валками, одна пара из которых приводится во вращение электродвига-
телем. Скорость протяжки полосы обычно составляет 600 м/мин. Напряжение, пропорциона-
льное положению барабана, сравнивается с эталонным значением езад, и разность между ними
затем интегрируется. При этом предполагается, что изменение положения барабана пропорци-
онально натяжению стальной полосы. Постоянная времени фильтра, т, пренебрежимо мала по

сравнению с другими постоянными времени системы.

(а) Изобразите вид корневого годографа системы при 0 < Ка < оо. (б) Определите значение К.г
при котором корням будет соответствовать коэффициент затухания £ = 0.707 или более, (в)

Исследуйте влияние т на вид корневого годографа при увеличении этой постоянной времени
от пренебрежимо малого значения.

3-7.17. Рассмотрите динамический поглотитель вибраций, с которыми мы имели дело в задачах 2.2
и 2.10. С помощью корневого годографа исследуйте влияние параметров М2 и Л12. Определите
такие значения М2 и Л12, при которых отсутствовали бы колебания массы если F\(t) =

= a sin(oo t. Примите значения = 1,	= 1 и b - 1. Кроме того, предположите, что k[2 < 1 и

членом ki2 можно пренебречь.

3-7.18. На рис. 7.18(3) изображена систе-
ма с обратной связью. Фильтр Gc(s)
часто называют регулятором, а зада-
чей синтеза является выбор пара-
метров а и р. С помощью метода
корневого годографа исследуйте

ОД

Рис. 7.18 (3). К синтезу фильтра



влияние изменения этих параметров
и найдите такие их значения, при

которых время установления (по

критерию 2%) было бы не более 4 с, а доминирующим корням соответствовал бы коэффици-

ент затухания £ < 0,60.

3-7.19. В последние годы на промышленных предприятиях стали использоваться автоматически
управляемые тележки для транспортировки грузов. В одной из таких систем движение тележ-
Рис. 7.19 (3)

(а) Автоматически
управляемая тележка,
(б) Структурная схема

а)

Направление
движения

ки по заданному пути осуществляется с помощью вмонтированного в пол кабеля. Отклонение
тележки от заданного пути определяется с помощью двух катушек, чувствительных к магнит-
ному полю, создаваемому током в кабеле. Пример такой тележки приведён на рис. 7.19(3), (а).
Предположим, что

х К (s2 + 3,65+81)
G (5) = —------------,

s(s+l)(s+5)

где Ка — коэффициент усиления усилителя, (а) Определите вид корневого годографа и найди-
те значение Ка, при котором комплексным корням соответствовал бы коэффициент затухания
Q = 0,707. (б) Определите чувствительность комплексного корня г] как функцию (1) Ка и (2) по-
люса G(s) в точке 5 - - 1.

3-7.20. Определите чувствительность доминирующих корней из задачи 7.18 для К = 4 а/p и полюса
5 - - 2.

3-7.21. Определите чувствительность доминирующих корней системы управления турбогенерато-
ром из задачи 7.7. Вычислите эту чувствительность по отношению к изменению (а) полюсов
5 - - 4 и (б) коэффициента обратной связи 1/7?.

3-7.22. Определите чувствительность доминирующих корней системы из задачи 7.1(a), если К име-
ет значение, которому соответствует коэффициент затухания £ = 0,707. Вычислите и сравните
чувствительности корней по отношению к полюсам GH(s).

3-7.23. Повторите задачу 7.22 для передаточной функции GH(s) из задачи 7.1(b).

3-7.24. Корневой годограф для систем относительно высокого порядка часто может принимать ве-
сьма неожиданную форму. На рис. 7.24(3) приведены корневые годографы четырёх различных
систем, имеющих третий или более высокий порядок. На рисунке отмечено положение полю-
сов и нулей передаточной функции разомкнутого контура KF(s)9 а траекториям корней соот-
ветствует изменение К от 0 до оо. Убедитесь в правильности построения этих корневых годог-
рафов.

3-7.25. Твердотельные интегральные схемы включают в себя распределённые элементы 7? и С. Поэ-
тому цепи с обратной связью, реализованные на основе таких интегральных схем, должны
быть исследованы на предмет получения их передаточных функций. Было установлено, что
наклон амплитудно-частотной характеристики 7?С-цепи с распределёнными параметрами ра-
вен -Юи дБ/дек, где п — порядок передаточной функции фильтра. Такой наклон отличается от
I

Рис. 7.24 (3). Корневые годографы четырех систем

привычного наклона -20 дБ/дек, характерного для цепей с сосредоточенными параметрами.
(Понятие наклона АЧХ рассматривается в главе 8. Если читатель ещё не знаком с этим поняти-
ем. го он может обратиться к предлагаемой задаче после изучения главы 8.) Очень интересен
случай, когда цепь с распределёнными параметрами используется в качестве обратной связи в
транзисторном усилителе. Передаточная функция разомкнутого контура при этом имеет вид:

GH(s) = K^ + 3t22 '

(5 + 1)(5 + 2)V2

(а) Определите вид корневого годографа при изменении К от 0 до од . (б) Вычислите значение
К. при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, и определите
частоту незатухающих колебаний.

7.26. Одноконтурная система с отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии
передаточную функцию

GH(s) = —^(5+2)2	.

5(52+ 1)(S+ 8)

(а) Определите вид корневого годографа при 0 < К < од и укажите его характерные особенно-
сти. (б) Определите диапазоны значений X, при которых система устойчива, (в) При каком зна-
чении К (К > 0) корни являются чисто мнимыми? Каковы значения этих корней? (г) Правомер-
но ли при больших значениях К (К> 50) использовать доминирующие корни для оценки вре-
мени установления?
3-7,27, Система с единичной отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии пере-
даточную функцию

G(.) =

K(s2 + 0,105625)	y0,325)(j-y0,325)

2

2

Изобразите вид корневого годографа в зависимости отХ. Вычислите точные значения коорди-
нат точек входа корневого годографа на действительную ось и точек отрыва от неё.

3-7.28. В США в последнее время уделяется большое внимание контролю за выхлопом автомобиль-
ных двигателей, особенно в части выбросов в атмосферу НС (углеводорода) и СО (окиси угле-
рода). Нормы выбросов NOX (окисей азота) регулируются главным образом за счёт примене-
ния методов рециркуляции выхлопных газов. Однако по мере ужесточения норм выброса NOX
с 2,0 г/милю до 1,0 г/милю эти методы оказываются недостаточными.

Хотя рассматривается несколько разных методов, уменьшающих вредное влияние трех упомя-
нутых выше выбросов, один из наиболее перспективных состоит в применении трехступенча-
того катализатора, действующего на НС, СО и NOX в дополнение к замкнутой системе управ-
ления работой двигателя, представленной на рис. 7.28(3). Датчик содержания выхлопных га-
зов определяет, выше или ниже последние допустимой нормы, и сравнивает показания с за-
данным значением. Сигнал рассогласования поступает на вход регулятора, который в свою
очередь изменяет уровень разрежения в карбюраторе, чтобы достигнуть наилучшего соотно-
шения воздух/горючее для оптимальной работы катализатора. Передаточная функция разо-
мкнутого контура управления в данном случае имеет вид:

X(? + 12s+20)
CjH (s) = —;--5------ .

5 •’ + 10?+ 25s

Постройте корневой годограф в зависимости от коэффициентах. Вычислите точные значения
координат точек, где корневой годограф входит в действительную ось и отрывается от неё.
Определите значения корней при X = 2. Предскажите вид переходной характеристики системы
при X = 2.

Выхлоп

Рис. 7.28 (3). Система управления выхлопом двигателя автомобиля

3-7.29. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

G J =- —__—

Желательно, чтобы доминирующим корням соответствовал коэффициент затухания £ = 0,707,
Определите значение X, при котором удовлетворяется это требование. Покажите, что при дан-
ном значении К комплексные корни равны s = - 2,3 ± у‘2,3.

3-7.30, На рис. 7.30(3) изображена ХЛС-схема. Номинальные
значения параметров равны L = С - 1 и R = 2,5. Пока-
жите, что чувствительности двух корней полного вход-
ного сопротивления Z(s) к изменению R отличаются в 4
раза.
висну том состоянии пере-

точные значения коорди-
ек отрыва от неё.

а выхлопом автомобиль-
Юрода) и СО (окиси угле-
бразом за счёт примене-
ния норм выброса NOX
ми.

В£ое влияние трех упомя-
именении трехступенча-
выснутой системе управ-
•сржания выхлопных га-
внивает показания с за-
зитора, который в свою
(уть наилучшего соотно-
Жаточная функция разо-

3-7.31. При конструировании новых сверхзвуковых самолётов и космических ракет крайне необхо-
димо знание их аэродинамических характеристик. Определение этих важных параметров про-
изводится в аэродинамических трубах, в которые с большой скоростью нагнетается сжатый
воздух, имитирующий поток ветра. Поскольку давление воздуха уменьшается по мере его ис-
течения, то необходимо увеличивать открытие вентиля, чтобы поддерживать постоянную ско-
рость потока. Эта задача может быть решена с помощью специальной системы управления.
При единичной обратной связи такая система в разомкнутом состоянии имеет передаточную
функцию

GH (s) =---------?-----'------- -

s(.y+ 0.16)(j + p)(s + р)

| гдер = - 7,3 + j9,7831. Изобразите вид корневого годографа и укажите положение корней при
К= 326 и К- 1350.

I

• 3-7.32. Для выполнения охранных функций в ночное время вполне пригоден мобильный робот. В
отличие от человека он не может заснуть и способен постоянно контролировать большую тер-
риторию склада и прилегающие окрестности. Система управления курсом такого робота (при
наличии единичной обратной связи) имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

G(s) =

слите точные значения
сь и отрывается от неё,
ьарактеристики системы

ппенчатый
пи затор

Выхлоп

(а) Найдите значения К, соответствующие всем точкам отрыва корневого годографа от дейст-
вительной оси и точкам входа на нее. (б) Определите значение К, при котором комплексным
корням будет соответствовать коэффициент затухания £ = 0,707. (в) Определите минимальное
значение коэффициента затухания и соответствующее ему значение К. (г) При значениях /С,
найденных в пп. (б) и (в), определите величину перерегулирования и время нарастания (по
критерию 2%) в случае ступенчатого единичного входного воздействия.

3-7,33. Летательный аппарат Белл-Боннг V-22 может одновременно выполнять функции как са-
молёта, так и вертолета. Его преимущество заключается в том. что он может отклонять двига-
тели на 90° при взлёте и посадке и возвращать их в горизонтальное положение во время норма-
льного полёта [см. рис. 7.33(3)]. На рис, 7.33(3), (б) изображена система управления высотой
аппарата, когда он функционирует как вертолёт. (а) Изобразите вид корневого годографа сис-
темы и определите диапазон значений К, при которых система устойчива, (б) В случае единич-
ного ступенчатого воздействия, r(f), полагая К = 280, определите реакцию системы y(i) и оце-
ните величину относительного перерегулирования и время установления (по критерию 2%).
(в) При К ~ 280 и г(г) ~ 0 найдите y(t) при единичном ступенчатом возмущении, D(s) = Us.

ввтомобиля

и* передаточную функ-

Рис. 7.33 (3)

(а) Самолет-вертолет
и (6) его система
управления

НТ затухания £ = 0.707.
Докажите, что при дан-

о)
(г) В цепь сигнала R(s) до его приложения к сумматору введите дополнительный фильтр, что-
бы получить

3-7.38. Система, неу

Gp(s) =

0,5

?+ 1,55+ 0,5

и выполните задание п. (б).

3-7.34, Система управления подачей топлива в дизельный двигатель автомобиля подвержена влия-
нию изменения параметров. В разомкнутом состоянии эта система имеет передаточную функ-
цию

G(5) =

K(s + 1,5)
+ l)(s + 2)(s + 4)(s + 10)

(а) Изобразите вид корневого годографа при изменении К от 0 до 2000. (б) Определите значе-
ния корней при К — 400, 500, 600. (в) Предскажите, как будет изменяться относительное пере-
регулирование в Случае ступенчатого входного воздействия в зависимости от К (учитывая то-
лько доминирующие корни), (г) Определите действительное время установления при всех
трёх значениях коэффициента К, а также сравните действительные значения перерегулирова-

ния с предсказанными.

3-7.35. Мощный электрогидравлический грузоподъёмник может использоваться для доставки на
подмостки на высоту 10 м поддонов со строительными материалами весом в несколько тонн,
Система управления таким подъёмником с единичной отрицательной обратной связью в разо-
мкнутом состоянии имеет передаточную функцию

G(s) =

К (5 + I)2

S(52+ 1)

(а) Изобразите вид корневого годографа при К > 0. (б) Определите параметр К. при котором
двум комплексным корням будет соответствовать коэффициент затухания £ ~ 0.707. и вычис-
лите значения всех трёх корней, (в) Определите точку входа корневого годографа на действи-
тельную ось. (г) Оцените ожидаемое перерегулирование при ступенчатом входном сигнале и
сравните его с действительным значением, полученным с помощью компьютерной програм-
мы.

3-7.36. Для исследования очень маленьких объектов, таких как биологические клетки, был создан
микроробот с прецизионным манипулятором. Система управления микро роботом имеет еди-
ничную отрицательную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии
равна

K(s+ l)(j + 2)(.s+ 3)
?(s-l)

и охвачена еди1
стема устойчив
К= Ю. (г) С пой
ступенчатом вх
действительное
3-7.39. Скоростные 2
ты железнодорч
стальных рамад
ются, но оси ОС'
направление от
ду тележки с ре.
рачиваются нез.
лам, возникаю!!
темой, которая
определяют ск<
гидроприводы,
стигать 8 градус
На рис. 7.39(3)
годографа и оп]
мальный коэфф
ной сигнал.

Рис. 7.39 (3)
Система
управления
наклоном

вагона	3

н

Задачи по

(а) Изобразите вид корневого годографа для К > 0. (б) Найдите значение А, при котором два
корня будут чисто мнимыми, и вычислите эти корни, (в) Вычислите значения всех корней при
К ~ 20 и К - 100. (г) При К = 20 оцените ожидаемое перерегулирование в случае ступенчатого
входного сигнала и сравните его с действительным значением, полученным с помощью компь-
ютерной программы.

3-7.37. На рис. 7.37(3) изображена система с
обратной связью. Если входной сигнал
представляет собой единичную ступенча-
тую функцию, то выходной сигнал имеет
перерегулирование, но стремится к уста-
новившемуся значению, равному 1. Если
входной сигнал является линейным, то

выходной сигнал отслеживает его с конечной установившейся ошибкой. Если значение К уве-
личить в 2 раза, то реакция системы на импульсный входной сигнал будет чисто синусоидаль-
ной с периодом 0,314с. Определите параметры А, а и Ь.

П-7.1. На рис. 7.1(П|
вид корневого i
ж ай шим к мним
та затухания С
рактеристики (j
ную реакцию с

Элер

R(s)

(s+40)(s+a)(.s+Z>)

Рис. 7.37 (3). Система с обратной связью

а)
л! С4

• •

дополнительный фильтр, что-

>7.38. Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, имеет передаточную функцию



ттомобиля подвержена влия-
иа имеет передаточную функ-

• 2000. (б) Определите значе-
княться относительное нере-
шимости от К (учитывая то-
ремя установления при всех
ие значения перерегулирова-

Ыьзоваться для доставки на
ми весом в несколько тонн,
той обратной связью в разо-

гс параметр К. при котором
пух а ния = 0.707. и вычис-
Евого годографа на действи-
йенчатом входном сигнале и
Но компьютерной програм-

ческие клетки, был создан
I микро роботом имеет еди-
м б разомкнутом состоянии

и охвачена единичной обратной связью, (а) Определите диапазон значений К, при которых си-
стема устойчива, (б) Изобразите вид корневого годографа, (в) Найдите значения корней при
К = 10. (г) С помощью рис. 5.13, приняв К - 10, предскажите величину перерегулирования при
ступенчатом входном сигнале, (д) Получите график переходной характеристики и определите
действительное значение перерегулирования.

3-7.39. Скоростные электропоезда должны обладать хорошей способностью преодолевать поворо-
ты железнодорожного полотна. В обычных поездах оси колёсных пар жестко закреплены на
стальных рамах, называемых тележками. Когда поезд входит в поворот, тележки поворачива-
ются, но оси остаются параллельными друг другу даже если передняя ось стремится изменить
направление относительно задней. При высокой скорости движения это может привести к схо-
ду тележки с рельсов. Возможным решением проблемы является конструкция, когда оси пово-
рачиваются независимо друг от друга. Чтобы противодействовать сильным центробежным си-
лам, возникающим при повороте, поезд оснащён компьютеризированной гидравлической сис-
темой, которая наклоняет каждый вагон, когда он входит в поворот. Специальные датчики
определяют скорость поезда и радиус поворота, и соответствующие сигналы поступают на
гидроприводы, установленные под днищем каждого вагона. Угол наклона вагона может до-
стигать 8 градусов, что очень напоминает поведение гоночного автомобиля на вираже трассы.
На рис. 7.39(3) изображена система управления наклоном вагона. Изобразите вид корневого
годографа и определите значение К, при котором комплексным корням соответствует макси-
мальный коэффициент затухания. Предскажите реакцию этой системы на ступенчатый вход-
ной сигнал.

Рис. 7.39 (3)
Система
управления
наклоном
вагона

Задачи повышенной сложности

ичение А', при котором два
е значения всех корней при
•ние в случае ступенчатого
ч1енным с помощью компь-

П-7.1. На рис. 7.1(П), (а) изображен вид сверху многоцелевого реактивного истребителя. Найдите
вид корневого годографа и определите значение К, при котором комплексным корням, бли-
жайшим к мнимой оси, будет соответствовать максимально возможное значение коэффициен-
та затухания Вычислите значения корней при данном А и предскажите вид переходной ха-
рактеристики (реакции системы на ступенчатый входной сигнал). Определите действитель-
ную реакцию системы и сравните её с предсказанной.

сма с обратной связью

жой. Если значение К уве-
будет чисто синусоидаль-

Рис. 7.1 (П). (5) Многоцелевой истребитель, (б) Система управления углом атаки
П-7.2, Скоростной поезд на магнитной подушке «летит» благодаря воздушному зазору между ним
и направляющим рельсом. Система управления зазором имеет единичную обратную связь, а её
передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

G(s) =

K(s + l)(s + 3)
- l)(s + 4)(s + 8)

Требуется выбрать такое значение К. при котором реакция системы на единичное ступенчатое
воздействие была бы достаточно демпфирована, а время установления не превышало 3 с
Изобразите вид корневого годографа и выберите такое значение К, при котором всем комплек-
сным корням соответствовал бы коэффициент затухания Q > 0,6. Получите действительную
переходную характеристику и определите величину относительного перерегулирования.

П-7.3. Портативный проигрыватель компакт-дисков должен обладать эффективным подавлением
помех и прецизионным позиционированием чувствительного оптического элемента. Система
управления положением этого элемента имеет единичную обратную связь, а ее передаточная
функция в разомкнутом состоянии равна

+ 1)($ + р)

Параметрр определяется характеристиками двигателя постоянного тока. Изобразите вид кор-
невого годографа в зависимости отр. Выберите значение р, при котором комплексным корням
соответствовал бы коэффициент затухания приблизительно равный 1 /42.

П-7.4. Система управления дистанционным манипулятором имеет единичную обратную связь, а ее
передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

G(s) =

s + а

s3 + (1 + а )s2 + (а - 1)j ч-1 - а

Желательно, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка была менее
или равна 10% от амплитуды ступеньки. Изобразите вид корневого годографа в зависимости
от параметра а. Определите диапазон значений а, при которых будет удовлетворяться ограни-
чение на величину установившейся ошибки. Задайте положение корней, соответствующее од-
ному из допустимых значений а, и оцените переходную характеристику системы.

П-7.5. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

G (s) = —---y--------.

? +10? +7s-18

(а) Изобразите вид корневого годографа и определите значение К, при котором система устой-
чива и комплексным корням соответствует £ = 1 /42. (б) Определите чувствительность комп-
лексных корней из п. (а), (в) Определите процентное изменение К (увеличение или уменьше-
ние), при котором корни будут находиться на мнимой оси.

П-7.6. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

G = К (s2 + 3s + 3,25)
s2(.y + l)(s + 10)(s + 20)

Изобразите вид корневого годографа при К > 0 и выберите значение К, при котором переход-
ная характеристика будет достаточно приемлемой.

П-7.7. На рис. 7.7(П) изображена система с положительной обратной связью. При К > 0 корневой
годограф должен удовлетворять условию

KG(s) = ?7”ьо°, £=0,1,2,....

Изобразите корневой годограф при 0 < К < оо.
•алушному зазору между ним
Мничную обратную связь, а её

мы на единичное ступенчатое
ювления не превышало 3 с.
К. при котором всем комплек-
А Получите действительную
шого перерегулирования.

ь эффективным подавлением
жического элемента. Система
гою связь, а ее передаточная

.Рис. 7.8 (П)
Система управления
положением вала
двигателя с обратной

! связью по скорости

Мо тока. Изобразите вид кор-
втором комплексным корням
явный 1/V2.

Вшчную обратную связь, а её

Система с положительной
обратной связью

П-7.8. На рис. 7.8(П) изображена система управления положением вала двигателя постоянного
тока. Изобразите вид корневого годографа в зависимости от коэффициента обратной связи по
скорости К и найдите значение К. при котором все корни харакгеристического уравнения бу-
дут вещественными (два из них — одинаковыми). Оцените вид переходной характеристики
при данном значении К и сравните его с действительной реакцией.

П-7.9. На рис. 7.9(П) изображена система управления с единичной обратной связью. Изобразите
вид корневого годографа при следующих передаточных функциях Gc(s):

(a)	Gc(s) = К: (б) G (s) = K(s + 1) ; (в) Gc(s) =	; (Г) G‘{s) = *(J+1)(*+3) •

54-10	5+10

лшаяся ошибка была менее
ого годографа в зависимости
ыет > довлетворяться ограни-
мюрней. соответствующее од-
сристику системы.

ггоянии передаточную функ-

Рис. 7.9 (П)

Система с единичной
обратной связью

, при котором система устои-
мте чувствительность комп-
t (увеличение или уменьше-

лиянии передаточную функ-

а

ше Л. при котором переход-

связью. При К > 0 корневой

Объект

Регулятор

10

ад





П-7.10. Для системы, изображенной на рис.

7.10(П), изобразите вид корневого годог- /ад
рафа в зависимости от К (К > 0). Опреде-
лите значение К, при котором реакция сис-
темы на ступенчатый входной сигнал бу-
дет иметь перерегулирования не более 5%
и время установления (по критерию 2%) не

более 2,5 с.	Рис. 7.10 (П). Система с неединичной

П-7.11. Рассмотрите ещё раз задачу обуправле-	обратной сваязью

нии мотоциклом с помощью робота (зада-

ча С-6.6). Изобразите вид корневого годографа приЛ> 0 и выберите значение Л, обеспечиваю-
щее устойчивость мотоцикла при появлении возмущения.

П-7.12. Для системы управления, изображённой на рис. 7.12(П), изобразите вид корневого годогра-
фа и выберите такое значение К. при котором переходная характеристика системы имела бы
перерегулирование не более 20% и время установления (по критерию 2%) не более 5 с.

Рис. 7.12 (П)

Система управления
с параметром К

Регулятор

>	1

Объект

(j + 8)(5 + 20)

5 (<+3.2^+3.56)

Y(s)


Рис. 7.13 (П)

Система управления
с ПИ-регулятором

ОД

П-7.13. На рис. 7.13(П) изображена система управления ПИ-регулятором. (а) Примите К}!Кр = 0.2 и
определите значение при котором комплексным корням соответствовал бы максимальный
коэффициент затухания, (б) Предскажите вид переходной характеристики системы при значе-
нии Кр9 найденном в п. (а).

Задачи на синтез систем

СС-7.1. В системе управления положением скользящей части стола металлообрабатывающего
Q станка используется тахогенератор, закреплённый на валу электродвигателя (это соответст-
вует замкнутому ключу на рис. 4.1(СС)). Выходное напряжение тахогенератора vr - Kti.
Коэффициент обратной связи по скорости является варьируемым. Выберите наиболее
подходящее значение коэффициентов и Ка, чтобы при этом переходная характеристика сис-
темы имела перерегулирование не более 5% и время установления (по критерию 2%) не более
300 мс.

С-7.1. На рис. 7.1(C), (а) изображен многоцелевой истребитель, положение которого в воздухе из-
меняется с помощью элеронов, руля высоты и руля направления. Система управления углом
атаки на высоте 10000 м при скорости 0,9 М может быть представлена в виде рис. 7.1(C), (б},
где

-18(^ + 0,015)(s + 0,45)
” (s2+ l,2s + 12)(? + 0.0 Is + 0.0025) '

(а) Изобразите вид корневого годографа, когда регулятор представлен просто коэффициентом
усиления, т. е. Gt,(s) ~ К, и определите значение К, при котором корням с параметром > 2 со-
ответствует коэффициент затухания £ > 0,15 (найдите максимальное значение Q. (б) При най-
денном значении К постройте график реакции системы q(t) на ступенчатый входной сигнал
/•(?). (в) Проектировщик предлагает использовать регулятор с предварением, т. е. Gc(y) - К } -
+ Kys = K(s + 2). Изобразите вид корневого годографа в зависимости от К и определите значе-
ние X, при котором всем корням характеристического уравнения замкнутой системы будет со-
ответствовать £ > 0,8. (г) При значении X. найденном в п. (в), постройте график реакции систе-
мы на ступенчатый входной сигнал.

Рис, 7.1 (С)

(а) Многоцелевой
истребитель.

(б)	Система
управления углом
атаки

ОД_____

Заданный
угол

од

Угол
атаки
Объект

i-aj Примите Kj!K

в^жстики системы при значе-

В металлообрабатывающего
1родвигателя (это соответст-
е тахогенератора vr = Kfl.
усмым. Выберите наиболее
Ходная характеристика сис-
|<по критерию 2%) не более

Еяие которого в воздухе из-
Сисгема управления углом
ена в виде рис. 7.1(C), (б).

си просто коэффициентом
с параметром со/? > 2 со-
е значение Q. (б) При най-
иенчатый входной сигнал

 от К и определите зпаче-
Ькнутой системы будет со-
Вте график реакции систе-

высоты

Руль
направления

Самолет

(7(5)

Q{s)
Угол
атаки

Рис. 7.3 (С)

Система управления
роботом
марсианского
вездехода

а регулятор имеет передаточную функцию

с. 7.2 (С)

стема управления
скоростью
даухвинтового
вертолета

/ОД

Регулятор

Угол
наклона
осей
винтов

Динамика
вертолета
(7(5)

^С-7.2. У больших вертолетов имеются два несущих винта, вращающихся в противоположных на-
правлениях, как показано на рис. 7.33(3), (я)- При помощи регулятора изменяется угол наклона
осей несущих винтов и тем самым обеспечивается движение вертолета вперёд. Соответствую-
щая система управления изображена на рис. 7.2(C). Динамика вертолета представлена переда-
точной функцией

10

(а) Изобразите вид корневого годографа системы и определите значение К, при котором комп-
лексным корням соответствует коэффициент затухания £ ~ 0,6. (б) При К, найденном в п. (а),
постройте график реакции системы на ступенчатый сигнал r(t) и определите время установле-
ния (по критерию 2%) и перерегулирование. Чему в этом случае равна установившаяся ошиб-
ка? (в) Повторите пп. (а) и (б), если комплексным корням соответствует £ = 0,41. Сравните ре-
зультаты с полученными в пп. (а) и (б).

Регулятор

Манипулятор

/ед

ед

С-7.3, Самоходный аппарат «Скиталец» был разработан для обследования поверхности Марса при
движении по ней со скоростью 400 м/ч. Поскольку Марс находится на расстоянии 304 млн км
от Земли, то на обмен сигналами с Землей потребовалось бы 40 мин. Поэтому «Скиталец» дол-
жен действовать автономно и достаточно надёжно. По виду напоминая нечто среднее между
небольшим пикапом и джипом-вездеходом, «Скиталец» будет состоять из трёх сочлененных
секций, каждая из которых — с собственными двумя независимыми колёсами конической
формы (диаметр основания — 1м). Две руки — одна для бурения и откалывания образцов, а
другая для манипулирования с крупными объектами — выступают наподобие клешней из пе-
редней части аппарата. Система управления каждой рукой может быть представлена в виде
структурной схемы на рис. 7.3(C).

(а) Изобразите вид корневого годографа в зависимости от К и определите положение корней
при К = 4,1 и К- 41. (б) Определите значение К, при котором реакция системы на ступенчатый
входной сигнал будет иметь перерегулирование около 1%. (в) Определите значение К, ми-
нимизирующее время установления (по критерию 2%) с сохранением величины перерегулиро-
вания менее 1%.

С-7.4. Работа сварочного аппарата в опасных условиях и при изменении окружающей обстановки
осуществляется с помощью системы дистанционного управления. На рис. 7.4(C) изображена
система управления положением руки сварочного аппарата, где изменение окружающей об-
становки отражено в виде возмущения D(s). (а) В случае D(s) = 0 выберите коэффициенты и
К, обеспечивающие высокое качество системы управления положением. Задайтесь критерия-
ми (показателями) качества, по вашему мнению играющими определяющую роль, и оцените
Рис- 7-4 (С)- Система дистанционного управления сваркой

результаты синтеза, (б) При К\ и К. найденных в п. (а), считая Л(^) = 0. исследуйте влияние
единичного ступенчатого возмущения D(s) == 1/s, построив для этого график y(t).

С-7.5 На рис. 7.5(C) изображе-
на система управления ре-
активным самолетом,
включающая в себя авто-
пилот. Изобразите вид
корневого годографа и
предскажите характер ре-

Автопилот

А(.)

K(s + 1)

Динамика самолета	
1	
(5-1 )(52+1 Os+41)	

} (5 I

акции системы на ступен- Рис- 7.5 (С)- Система управления реактивным
чатый входной сигнал.	самолетом

Определите действитель-

ную реакцию системы и сравните ее с предсказанной.

/ад
Заданное
положение
ноги

Регулятор

K(s + 2)
О + 10)

Динамика

1

Х^-1)

У(5)

Действительное

положение ноги

Рис- 7-6 (С)- Система управления движением ноги

С-7.6. Для помощи при ходьбе частично парализованному человеку может использоваться система
управления движениями ноги. Такая система, которая в разомкнутом состоянии неустойчива,
изображена на рис. 7.6(C). По корневому годографу выберите значение К. при котором комп-
лексным корням соответствовал бы максимально возможный коэффициент затухания Пред-
скажите вид переходной характеристики системы и сравните ее с действительной характери-
стикой, полученной расчетным путем.

С-7.7. Большинство серийных операционных усилителей проектируются таким образом, чтобы они
были устойчивы в режиме повторителя напряжения с единичным коэффициентом усиления.
Однако с целью получения более широкой полосы пропускания требования к их устойчивости
в данном режиме несколько смягчаются. Один из таких операционных усилителей имеет ко-
эффициент усиления по постоянному току 105 и полосу пропускания 10 кГц. Усилитель с пе-
редаточной функцией G(s) охвачен обратной связью, как показано на рис. 7.7(C). (а). Получен-
ная таким образом система с обратной связью изображена на рис. 7.7(C), (б), где Ка~ 10".
Изобразите вид корневого годографа системы в зависимости от параметра К. Определите ми-
нимальное значение коэффициента усиления по постоянному току схемы с обратной связью,
обеспечивающее ее устойчивость. Выберите надлежащее значение этого коэффициента усиле-
ния и номиналы резисторов и /?2.

С-7.8. На рис. 7.8(C), (а) изображена рука робота, имеющая сочленение в локтевом суставе. Рука
приводится в движение исполнительным устройством, система управления которым приведе-
мия сваркой





Лу) - 0. исследуйте влияние

i этого график y(t).

Рис, 7,7 (С), (а) Операционный усилитель с обратной связью и
(б) соответствующая структурная схема

I Динамика

i

самолета
1
7^1)(?+105+41)

У(5)

Вавления реактивным

пм

ж ж Ф)

Действительное
- положение ноги

вы ноги

пжст использоваться система
ро.м состоянии неустойчива,
чение К. при котором комп-
^фнпиент затухания <. Пред-
с действительной харакгери-

V1 таким образом, чтобы они
м коэффициентом усиления,
рсбования к их устойчивости
онных усилителей имеет ко-
ия 10 кГц. Усилитель с пе-
нно рис. 7.7(C). (а). Получен-
ие. ~7(С), (о), где 10<
ираметра К. Определите ми-
d схемы с обратной связью,
г этого коэффициента усиле-

на на рис. 7.8(C), (б). Изобразите вид корневого годографа при /С> 0. Выберите Gp(s) так, что-
бы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равнялась нулю. При данном
Gp(s) постройте графикиу(Гу соответствующие значениям К - 1; 1,5; 2,85. Зафиксируйте время
нарастания, время установления (по критерию 2%) и относительное перерегулирование для
трёх данных значений К. Если желательно ограничить перерегулирование величиной 6%.
обеспечив при этом минимально возможное время нарастания, то выберите соответствующее
значение К из диапазона 1 < К < 2,85.

С-7.9. Автомобиль с независимым приводом каждого из четырёх колёс обладает рядом преиму-
ществ. Подобная система управления предоставляет водителю большую свободу действий.
Автомобиль становится более податливым при самых разных дорожных условиях, водитель
получает возможность плавно совершать резкие перестроения на трассе. Система также пре-
пятствует появлению юза при неожиданных поворотах рулевого колеса. Кроме того, исполь-
зование независимого привода колёс делает автомобиль более маневренным и облегчает води-
телю парковку в тесных городских кварталах. Установка дополнительных цифровых систем
управления может помочь устранить скольжение автомобиля на обледеневшей или мокрой до-
роге.

а)

Рис, 7,8 (С), (а) Рука робота, приводимая в движение в локтевом сочленении,
и (б) система управления исполнительбным устройством

ме в локтевом суставе. Рука
давления которым приведе-
Принцип действия системы основан на том, что она воздействует на задние колёса в зависимо-
сти от угла поворота передних колёс. В системе производится измерение угла поворота перед-
них колёс, и эта информация поступает на исполнительное устройство, которое управляет по-
ложением задних колёс.

При заданном угле поворота задних колёс относительно передних автомобиль будет изменять
своё угловое ускорение в соответствии с передаточной функцией

G. = к 1+ (1+ Л)7> + (1+ Л)Г2?

5[1+(2фШ„>+(1/М2)52] ’

где А = 2<?(1 -q),q — отношение угла поворота задних колес у углу поворота передних колёс.
Будем считать, что Т\ = Т-> - 1с и со„ = 4. Синтезируйте систему с единичной обратной связью,
выбрав надлежащую совокупность параметров (А, К, Q, при которой реакция системы будет
обладать достаточной скоростью нарастания и в тоже время иметь умеренное перерегулирова-
ние. Параметр q изменяется в диапазоне от 0 до 1.

С-7.10. На рис. 7.10(C), (а) изображена тележка подъёмного крана, перемещаемая силой Я/)
Управлению подлежат переменные x(t) и <р(/). Модель системы управления представлена на
рис. 7.10(C). (5). Считая, что передаточная функция регулятора Gc(s) = К, выберите значение
К, обеспечивающее эффективное управление указанными переменными.

С-7.11. На рис. 7.11(C), (а) изображён самоходный аппарат, который может использоваться для ис-
следования планет и их спутников. Система управления движением аппарата изображена на
рис. 7.11(C), (б), где

G(s) =

5+ 1,5

(5+ l)(s+ 2)(s + 4)(s + 10)

(а)	Полагая Gc(s) = К, изобразите вид корневого годографа при 0 < К < 1000. Определите поло-
жение корней при значениях К, равных 100, 300 и 600. (б) Имея в виду доминирующие корни,
предскажите величину перерегулирования, время установления (по критерию 2%) и устано-
вившуюся ошибку при отработке системой ступенчатого входного сигнала, (в) Получите дей-
ствительную переходную характеристику для трёх указанных значений К и сравните показате-

ли качества с предсказанными.

Рис. 7.10 (С)

Система управления тележкой
подъемного крана

(?+ 10)

ад —

Желаемое

Скорость

Ф)

Положение

положение

тележки

тележки

б)


Рис. 7.11 (С)
(5) Самоходный
аппарат для
исследования
планет.

(б)	Система
управления
движением

Л(5)

С-7 Л 2. В настоящее время электронные системы, применяемые в автомобиле, составляют около
6% его стоимости. В будущем эта цифра вырастет до 20% за счет оснащения автомобиля
компьютерными системами управления тормозами, активной подвеской и другими устройст-
вами. Применение компьютеров позволит также создать интеллектуальные системы автомо-
биль/дорога, что очень важно для скоростных магистралей. Подобные системы включают в
себя большое количество электронных средств, которые в реальном времени предоставляют
водителям и регулировщикам движения информацию об авариях, пробках, дорожных услови-
ях и службах автосервиса. Интеллектуальные системы позволят также придать автомобилю
большую автономность: они смогут помочь избежать столкновений, предупреждая водителя
об опасном сближении, и даже дадут возможность автомобилю двигаться в полностью автома-
тическом режиме.

Боковая
инфо рмацио пая
система

Определение
дистанции

Автомобиль
со встроенным
электронным
оборудованием

3.

ЙЙ
III

is*

Линии связи

Контроллер
сети дорог

Комплексная
дорожная
структура

Контроллер
участка

Пассивные
маркеры
для контроля
дистанции

Рис. 7.12 (С), (а) Автоматизированная система управления дорожным движением.
(б) Система управления расстоянием между автомобилями




На рис. 7.12(C), (а) приведён пример автоматизированной системы управления дорожным
движением, а на рис. 7.12(C), (б) изображена система, позволяющая поддерживать заданную
дистанцию между автомобилями. Выберите значения Ка и Kt так, чтобы при линейном вход-
ном сигнале 7?(s) -A/s установившееся ошибка не превосходила 25% от скорости А изменения
этого сигнала. При ступенчатом входном сигнале реакция системы должна иметь перерегули-
рование не более 3% и время установления (по критерию 2%) не более 1,5 с.

С-7.13. Система автоматического управления самолётом является типичным примером, когда испо-
льзуется обратная связь по нескольким переменным. В такой системе положение самолёта в
воздухе изменяется с помощью элеронов, рулей высоты и руля направления, как показано на
рис. 7.13(C), (а). Манипулируя этими органами управления, пилот устанавливает желаемую
траекторию полёта.

Автопилот, который мы рассмотрим в данной задаче, представляет собой систему автоматиче-
ского управления, изменяющую угол крена ср путём отклонения элеронов. Отклонение элеро-
нов на угол 9 приводит к возникновению вращающего момента благодаря давлению воздуха
на их поверхность. За счёт этого момента происходит вращение самолёта относительно гори-
зонтальной оси. Элероны отклоняются с помощью гидравлического исполнительного меха-
низма с передаточной функцией 1/$.

Действительный угол крена измеряется и сравнивается с его заданным значением Разность
между и ср усиливается и подаётся на вход исполнительного механизма, который управляет
отклонением элеронов.

На рис. 7.13(C), (б) приведена упрощенная модель, в которой вращение самолёта относитель-
но горизонтальной оси рассматривается независимо от движений в других направлениях.
Предположим, что = 1, а скорость изменения угла ф измеряется гироскопическим датчиком
и используется как дополнительный сигнал обратной связи. Выберите параметры и К2 так.
чтобы переходная характеристика имела перерегулирование не более 10% и время установле-
ния (по критерию 2%) не более 9 с.

рис. 7 ад

ной свалы

С помощь

Мг7.3. Выполи

*

в у системь
(б) Повтор
iBi Повтори

При сиют
.максималы
го воиеяи
(а | В с.тъ'чм

и проверь

М-74. Система
даточною

С помощьи
i	чениях р з

М-7.5. Рассмот]

Руль направления

Элерон

Элерон

Рис. 7.13 (С)

(а) Самолет и его
органы управления.

(5) Структурная
схема системы
управления углом
крена

Руль высоты

; При каком
ент зап-лл
г1

М-7.6. Рассмол]

-МОГЛТ быоп

Ф</

Угол
крена
Ф
:гемы управления дорожным
нцая поддерживать заданную
к. чтобы при линейном вход-
25® о от скорости А изменения i
мы должна иметь перерегули-
не более 1,5 с,

вчным примером, когда испо-
мстеме положение самолёта в
направления, как показано на
от устанавливает желаемую
г1

кт собой систему авто.матиче-
I элеронов. Отклонение элеро-
I благодаря давлению воздуха
К самолёта относительно гори-
Ккого исполнительного меха-

Мнным значением (рг/. Разность
еханизма, который управляет

решение самолёта относитель-
ений в других направлениях,
d гироскопическим датчиком
берите параметры КС1 и К2 так.
более 10% и время установле-

Элерон

Ф

тик

Кения

Задачи, решаемые с помощью

MATLAB

М-7.1. С помощью функции rlocus постройте корневой годограф системы, изображённой на

рис. 7.1(М), при 0 < К < оо в случае приведенных ниже передаточных функций.

(a) G(s) =

(6)G(s) =

(в) G(s) =

(г) G(5) =

1

? + 4?+ 6s + 1

s + 20

s(s2 + 45+ 6)

s5 + 4s4 + 6s3 + 8s2 + 6s + 4

s6 + 2s5 + 2s4 + s3 + s2+10s + 1 '

Рис. 7.1 (М). Одноконтурная система
с параметром Д'

М-7.2. Система с единичной отрицательной обрат-

ной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

KG(s) = К

С помощью MATLAB постройте корневой годограф и, используя функцию rlocfind, покажите,
что максимальное значение К, при котором система ещё является устойчивой, равно 0,79.

М-7.3. Выполните разложение на простые дроби выражения

У(5) =

5(52 +65+5)

и проверьте результат с помощью MATLAB (функция residue).

М-7.4. Система с единичной отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет пере-
даточную функцию

6(5) =

(1+р)5~р
S2 + 35 + 6

С помощью MATLAB постройте корневой годограф при изменениир от 0 до со. При каких зна-
чениях р замкнутая система является устойчивой ?

М-7.5. Рассмотрите систему с обратной связью, изображённую на рис. 7.1(М), где

6(5) =

При каком значении К доминирующим полюсам замкнутой системы соответствует коэффици-
ент затухания Q = 0,707?

М-7.6. Рассмотрите систему с обратной связью, изображённую на рис. 7.6(М). В данной системе
могут быть использованы регуляторы трёх разных типов:

(1)	6С($) = К (П-регулятор);

(2)	6С(5) = K/s (И-ре гулят op);

(3)	6С(5) - К(1+1/5) (ПИ-регулятор).

При синтезе системы выдвигаются следующие требования: время установления Ts < 10 с и
максимальное относительное перерегулирование Мр < 10% (в случае единичного ступенчато-
го воздействия).

(а)	В случае использования П-регулятора. с помощью MATLAB постройте корневой годограф
при 0 < К < со и определите значение К, удовлетворяющее выдвинутым требованиям к качест-
ву системы.

(б)	Повторите п. (а) при использовании И-регулятора.

(в)	Повторите п. (а) при использовании ПИ-регулятора.

I
422



Рис. 7.6 (М)

Одноконтурная система
управления

с регулятором Gc (s)

(г)	Изобразите на одном графике переходные характеристики замкнутых систем с каждым из
регуляторов, полученных в пп. (а)-(в).

(д)	Дайте сравнительную оценку трём регуляторам, полученным в пп. (а)-(в). с точки зрения
установившейся ошибки и показателей переходной характеристики.

М-7.7. На рис. 7.7(М) изображена система управления положением космического аппарата относи-
тельно одной из осей. В системе использован ПД-регулятор. причём К}/К2 = 5. С помощью
MATLAB определите значения K-JJ и K{/J. при которых реакция системы на единичное сту-
пенчатое воздействие будет иметь время установления Ts (по критерию 2%) не более 4 с и пе-
ререгулирование не более 10%.

Рис. 7.7 (М)

Система управления
положением
космического
аппарата

с ПД-регулятором

Ключевые термины и понятия

Асимптота. Линия, к которой стремится корневой годограф при увеличении варьируемого пара-
метра до бесконечности. Количество асимптот равно разности между числом полюсов и чис-
лом нулей передаточной функции разомкнутой системы.

Количество ветвей корневого годографа. Равно числу полюсов передаточной функции (подразу-
мевается. что это число больше или равно числу нулей передаточной функции).

Корневой годограф. Траектория корней характеристического уравнения системы на 5-плоскости
при изменении какого-либо параметра.

Метод корневого годографа. Метод определения положения корней характеристического уравне-
ния 1 + X'P(s) - 0 при изменении К от 0 до оо.

Синтез параметра. Выбор одного или двух параметров системы на основе метода корневого годог-
рафа.

Точка отрыва. Точка, в которой корневой годограф отрывается от действительной оси.

Траектория. Кривая, вычерчиваемая на комплексной плоскости при изменении какого-либо пара-
метра системы.

Угол выхода. Угол, под которым ветвь корневого годографа выходит из комплексного полюса на
5-плоскости.

Участки корневого годографа, принадлежащие действительной оси. Отрезки действительной
оси, расположенные слева от нечетного числа полюсов и нулей.

Центроид асимптот. Центр прямолинейных асимптот с координатой ад.

Чувствительность корней. Чувствительность корней к отклонениям параметра системы от номи-
нального значения. Определяется как отношение бесконечно малого изменения корня к столь
же малому изменению параметра.
Глава 8

Метод частотных характеристик

I	——

Объект

Ф)

мкнутых систем с каждым из

I е пп. (а)-(в). с точки зрения
ГЖКИ

одического аппарата относи-

14ем Л|/Л^ = 5, С помощью
 системы на единичное сту-
ггерию 2%) не более 4 с и пе-

ческий

ярят

4 п-0

Действительное
положение

---------I

ичении варьируемого пара-
сжду ЧИСЛОМ полюсов и чис-

даточной функции (подразу-
чной функции).

жия системы на 5-плоскости

арактеристического уравне-

юве метода корневого годог-

ействительной оси.

вменении какого-либо пара-

из комплексного полюса на

ЕЖ. Отрезки действительной

CFj
1	

ираметра системы от номи-
п изменения корня к столь

Обзор

В предыдущих главах мы имели дело со ступенчатым и линейным тестовыми сигналами. В
данной главе мы рассмотрим реакцию системы в установившемся режиме на синусоидаль-
ный тестовый сигнал. Мы покажем, что в этом случае выходной сигнал также является си-
нусоидальным той же частоты, что и входной, однако отличается от него по амплитуде и по
фазе, причём эти отличия зависят от частоты входного сигнала. Поэтому нас будет интере-
совать реакция системы на синусоидальный сигнал, частота которого изменяется во всем
возможном диапазоне.

С помощью замены s = /со мы перейдём от передаточной функции G(s) к G(/co) и рас-
смотрим способы графического представления комплексного выражения С?(/со) в зависи-
мости от частоты со. Один из наиболее эффективных методов анализа и синтеза систем
управления связан с применением диаграмм Боде, поэтому мы уделим данному вопросу
серьёзное внимание. Мы рассмотрим также способы изображения частотных характери-
стик в полярных координатах (на комплексной плоскости) и в логарифмическом масшта-
бе. Мы покажем, как некоторые показатели качества системы во временной области мож-
но оценить по её частотным характеристикам, а также введём понятие полосы пропуска-
ния системы. Главу мы завершим примером синтеза с продолжением, в котором проил-
люстрируем применение частотных характеристик к анализу системы чтения
информации с диска.

8.1. Введение

В предыдущих главах суждение о качестве системы и её реакции на внешние воздействия
основывалось на расположении на комплексной плоскости переменной 5 полюсов и нулей
передаточной функции. Альтернативным методом анализа и синтеза систем управления,
имеющим важное практическое значение, является метод частотных характеристик.

Частотная характеристика определяется как реакция системы в установив-
шемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты
во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сиг-
нал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются си-
нусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и по
фазе.
Рассмотрим выражение для выходного сигнала системы F(s) — T(s)R(s) в случае, ког-

да г(0 - ^sinco/. Запишем



И



Л(а

2

5 + СО

m(s) m(s)

/=1

где все полюсырг предполагаются различными. Тогда, раскладывая У(5) на простые дроби,
получим:

5+ рх S + ри s' +0Г

Обратное преобразование Лапласа от этого выражения даёт:

у(1) = кле р1 +...+кпе pi,t

OLS + P
э э
S~ + (О'

где а и р — константы. Если система устойчива, т. е. все р2 имеют отрицательные ненуле-
вые действительные части, то

lim у(0= limZ 1

ou + p

О э

№ + 0)"

поскольку все экспоненциальные составляющие вида к} e~Pi стремятся к нулю при t —> ас.

В пределе при t —> оо, т. е. в установившемся режиме, мы получим:



Л(077(j(o)|sin(cor + <р) - ^|T(7Co)|sin((oZ + ф}

(8.1)

где ф = argTV’co).

Таким образом, выходной сигнал в установившемся режиме при определённом зна-
чении частоты со зависит только от модуля и аргумента Д/со). Подчеркнём, что выраже-
ние (8.1) справедливо только в случае, когда система является устойчивой.

Важным преимуществом метода частотных характеристик является то, что он может
применяться при тестовых синусоидальных сигналах всех возможных частот и амплитуд.
Так, например, легко могут быть экспериментально получены частотные характеристики
системы, и это наиболее простой и надёжный способ анализа её свойств. Как будет пока-
зано в разделе 8.4, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно
определить передаточную функцию системы. Кроме того, при синтезе системы в частот-
ной области инженер получает ценную информацию о полосе пропускания системы и мо-
жет оценить её реакцию на нежелательные шумы и возмущения.

Ещё одно преимущество метода частотных характеристик заключается в том, что по-
ведение системы в установившемся режиме при синусоидальном входном сигнале можно
описать путём замены s =7(0 в передаточной функции T(s). В результате мы получаем комп-
лексную функцию 7(/со), модуль и аргумент которой, будучи представлены графически,
дают полезную информацию, необходимую для анализа и синтеза систем управления.

Недостаток метода частотных характеристик заключается в том, что отсутствует
прямая связь между свойствами системы во временной и частотной областях. Такая связь
ь.

Ы Г(5) - T(s)X(s) в случае, ког-

прослеживается лишь частично, и на практике вид частотных характеристик обычно под-
бирается так, чтобы они в какой-то степени удовлетворяли требуемому поведению систе-
мы во временной области.

В разделе 2.4 были введены прямое и обратное преобразования
щие следующий вид:

Лапласа, имею-

Вдывая У(л') на простые дроби.

и

i дает:

₽

•еют отрицательные ненуле-

где 5 есть комплексная переменная, 5 = ст +/ю. Аналогично, прямое и обратное преобразо-
вания Фурье записываются как

ремятся к нулю при t —> оо.

1Ы получим:

Преобразование Фурье существует для функций, удовлетворяющих условию

<°° •

в) sin(cor + <р)	(8.1)

вне при определённом зна-
. Подчеркнём, что выраже-

Л УСТОЙЧИВОЙ,
tf

к является то, что он может
южных частот и амплитуд,
частотные характеристики
е свойств. Как будет пока-
at характеристикам можно
синтезе системы в частот-



п\скания системы и мо-

включается в том, что по-
М входном сигнале можно
и

аыате мы получаем комп-
редставлены графически,
еза систем управления.

 в том, что отсутствует
вой областях. Такая связь

I Сравнивая выражения (8.2) и (8.4), можно видеть, что преобразования Фурье и Лап-
I ласа очень тесно связаны. Если функцияХО определена только для t > 0, как это часто бы-
I вает, то нижние пределы интегралов совпадают. В этом случае мы видим, что два выраже-
I ния отличаются только комплексной переменной. Поэтому, если /^(s) есть преобразова-
I ние Лапласа функции/](/), то преобразование Фурье той же самой функции, (/со), мож-
I но получить простой заменой у=> в выражении /^(s).

I Зададим себе вопрос: если преобразования Фурье и Лапласа так тесно связаны, поче-
му же мы не пользуемся всегда только преобразованием Лапласа ? И почему мы вообще
пользуемся преобразованием Фурье? С помощью преобразования Лапласа мы можем
определить положение на 5-плоскости полюсов и нулей передаточной функции T(s), как
это было рассмотрено в гл. 7. Однако с помощью частотных характеристик, и конкретно с
помощью функции Т(До), мы можем определить амплитудные и фазовые характеристики
системы и тем самым получить сведения, полезные при анализе системы управления.

Если речь идёт о частотных характеристиках замкнутой системы, то мы можем испо-

1 льзовать преобразование Фурье входного сигнала г(0 в виде:

Я(7'(о) =

r(t)e'^dt .

Тогда для одноконтурной системы управления выходной сигнал можно получить
простой заменой 5 = /ю в выражении У($) - T(s)R(s), т. е.

У(/(о) = Т(/(о)Я(7ю) =-- ---Я(/ю) •	(8.6)

1 + С(»Я(»
Применяя обратное преобразование Фурье, получим выражение для выходного сиг-
нала:

1	1 Г+С°

=	П(»] = —	(8.7)

2л

К сожалению, этот интеграл, за исключением простейших случаев, с трудом под-
даётся вычислению, поэтому можно воспользоваться графическим методом интегрирова-
ния. Но, как мы увидим в дальнейшем, о некоторых показателях качества во временной
области можно судить по частотным характеристикам и использовать эту зависимость
при синтезе систем управления.

8.2. Графики частотных характеристик

Передаточную функцию системы 6(5) можно представить в частотной области с помощью
соотношения

G(>) = G«=,a	+	(8.8)

где Доз) = Re[G(/o))] иЭГ(со) = ImfGQco)].

Иным способом то же выражение можно представить как

G(/<o) =	(8.9)

где

<p(a>) = arctg —  и |Gz(yco)|2 = Т?2(со) -н ^V2(cd).
А(со)

Для графического изображения частотных ха-
рактеристик можно воспользоваться выражени-
ями (8.8) или (8.9). Выражение (8.8) позволяет
представить частотные характеристики в поляр-
ных координатах (на комплексной плоскости),
где изображаются действительная и мнимая части
G(/’(o), как показано на рис. 8.1. Проиллюстрируем
сказанное на простом примере.

lm(G)=A(co)

------------------------- Re(G)=A(co)

Рис. 8.1. Комплексная плоскость

Рис. 8.3

Частотная характерив
в полярных координа

pa G(/co) также изо
окружность с ценз
ны и угол ср(со) =

где

Таким образом, nj
| G(/co) | —> 0 и ф(|

Пример 8.2. ИзоС
коор

Представление nq
вости систем. Kai;
Пример. Рассмотр

Тогда выражения

Пример 8.1. Частотные характеристики RC-фильтра

Рис. 8.2. /?С-фильтр

G(j) =

На рис. 8.2 изображён простейший АС-фильтр. Пере-
даточная функция фильтра имеет вид

По этим выражено
со = 1/т И СО = х, 3
изображен на рис

Таблица 8.1

r,(s) AQ+f

(8.10)

а его частотная функция соответственно равна

G(jco) =

1

>(АС)+1

1

/(co/coj ч-1

(8.11)

где Wj = l/AC.

Тогда это выражение можно представить следующим образом:

G(j(0) = А(со) + >Y(co) =

1- j(C0/C0j) _	1	С1)/(0|

1+ (co/СО))2	1 + (CO/COj)2 1 + (co/00j)2

(8.12)

Сначала определим А(со) иХ(со) при двух частотах, со — 0 и oj — go. При со — 0 мы имеем А(со) • - 1
и А(со) = 0, а при со = оо А(со) = 0 и Л'(со) = 0. Эти две точки показаны на рис. 8.3. Г одограф векто-

со

G(co)|

<р(м)

в

Альтернативным»
G(/w):
астотных характеристик
вение для выходного сиг-

fc .	(8.7)

i случаев, с трудом под-
км методом интегрирова-
IX качества во временной
п»зовать эту зависимость

Рис. 8.3

Частотная характеристика /?б?-фильтра
в полярных координатах

Отрицательные

X(to)

значения со

Положительные

значения со

1СТИК

гной области с помощью

(8.8)

(8.9)

----------- Re (G )-R ( cd )

pa GQco) также изображён на рис. 8.3 и легко можно показать, что он представляет собой полу-
окружность с центром в точке ( 1/2,0). При со = СО] действительная и мнимая части G(yco) рав-
ны и угол ср(со) ~ - 45°. Функцию G(/’co) можно представить в виде

G(/a>) = |G(/m)| е "p(e”.

(8.13)

Комплексная плоскость

где

|G(»| =

1

71+ (со/И])2

и ф((о) = - arctg (со/со [).

Таким образом, При со = СО] |G(jcO])| ~ 1/72 и ср(сО]) = --45°. Кроме того, при со —> сомы имеем

| G(/'co) | —> 0 и ср(со) = - 90°. Аналогично, при со = 0 |G(/co)| - 1 и ср(со) = 0.

Пример 8.2. Изображение передаточной функции в полярных
координатах

Представление передаточной функции в полярных координатах полезно при анализе устойчи-
вости систем, как это будет рассмотрено в главе 9. Поэтому здесь уместно привести ещё один
пример. Рассмотрим передаточную функцию

G(DL=/o = G(7«) = —~~—Г=.К2-	(8J4)

JCO(JCOT+1) JCO-COT

Тогда выражения для её модуля и аргумента будут иметь вид;

G(j’cd)|=

7со2 + со4т

ср (cd) = -arctg

и

встейший ЯС-фильтр. Пере-
п имеет вид

(8.10)

иютветственно равна

V-----(811>

i * 1

По этим выражениям легко вычислить аргумент и модуль функции G(/’co) при частотах со - О,
со = 1/т и со == оо. Эти значения приведены в табл. 8.1, а график G(/’co) в полярных координатах
изображен на рис. 8.4.

(О'(Di

,1

J ’	’ I \2

1 * I С0/COj)

(8.12)

Таблица 8.1

Ci)	0	1/2t	1/t	GO
G(co)|	GO	4Xt/V5	Кт/у/2	0
<p((0)	- 90°	- 117°	- 135°	- 180°

Альтернативным способом является использование действительной и мнимой частей функции

G(/’co):

G(» = A =K(7Q)~m2T-U7?(Q))+>Y((j).	(8.15)

JCD-CD T CD + ОТТ

It CD

= 0 мы имеем А(со) = 1

на рис, 8.3. Годограф векто-
Re[G]

Рис. 8.4, Частотная характеристика

G(/w) = А/доСдот + 1) в полярных координатах

Рис. 8.5. Вычисление по двум
векторам на s-плоскости

где А(со) = - К со2т/Л/(со) и %(со) = - К / Л/((о), при обозначении Л/(со) = to2 + to4 т2. Тогда при
си = 0 мы имеем A(to) = - Кт и Jf(co) = - оо, а при со - оо соответственно /?(со) = 0 и %(со) - 0. Если
со = 1/т, то А(со) = Х(со) = - Л?г/2, как показано на рис. 8.4.

Другой метод предполагает графическое определение вектора <7(/со) при разных частотах со.
т. е. фактически при изменении переменной j вдоль мнимой оси. 5 =уо). Рассмотрим функцию

G(s) =

К/х

и отметим на 5-плоскости два её полюса, как это показано на рис. 8.5. Тогда при s =усо мы полу-
чим

G(» = ——— .

jco(7'co + р)

\дср~-~ 1/т. Модуль и аргумент G(/co) при частоте со( можно определить с помощью рис. 8.5:
, К/т

и argG^coJ = <р(со Д = - argQ'co^ - arg(;‘ml + р) = - 90° - arctg(coI/p).

Частотные характеристики системы могут быть графически изображены в разных
координатах. Как только что было показано, это можно сделать в полярных координатах
(на комплексной плоскости) с использованием выражения (8.8). Однако сразу же обнару-
живается недостаток этого метода. При добавлении в передаточную функцию полюсов
или нулей частотные характеристики системы надо вычислять заново, как нетрудно ви-
деть из примеров 8.1 и 8.2 (см. табл. 8.1). К тому же вычисление частотных характеристик
подобным методом представляет собой трудоёмкую процедуру и не позволяет оценить
влияние на их вид отдельных полюсов или нулей.
;<р(со)

G(ja) = |б(7й)| е

Коэффициент усиления - 20 1g |G( усо) .

= -101g[l+ (сот)2].

201g|G(;'co)|= 201g

2

При малых частотах,

8

ад

Рис- 8.6

Диаграмма Боде
для функции
6(Л>) -
= 1/(/сот + 1):
(5) амплитудная
характеристика
и
(б) фазовая
характеристика

6? (/О) - 7	7" “

jf$RC + 1 /сот + 1

где т = RC есть постоянная времени фильтра. Коэффициент усиления равен

г .	-11/2

. Г рафики частотных характеристик

Решение задачи существенно упрощается при использовании логарифмических ча-
стотных характеристик, часто называемых диаграммами Боде. Последнее название
обязано своим происхождением X. У. Боде, который широко использовал логарифмиче-
ские характеристики при исследовании усилителей с обратной связью. Передаточная
функция системы в частотной области имеет вид:

(8.16)

; Усиление системы обычно характеризуется десятичным логарифмом модуля G(j со) и
1 измеряется в децибелах (дБ):

(8.17)

Амплитудно-частотную характеристику, выраженную в децибелах, и фазовую час-
тотную характеристику (р(со) обычно изображают на отдельных графиках, как показано на
рис. 8.6.

В качестве иллюстрации построим диаграмму Боде, соответствующую передаточной
функции из примера 8.1.

Пример 8-3. Диаграмма Боде для ЯС-фильтра

Напомним передаточную функцию из примера 8.1:

веление G(j<^ 1) по двум
। на s-плоскости

to I = or + со4 у2 Тогда при
»Ясо) = 0и^(со) = 0. Если

 I при разных частотах со,
РЬ Рассмотрим функцию

Тогда при j —усо мы полу-

гь с помощью рис. 8.5:

изображены в разных
полярных координатах
тако сразу же обнару-
ую функцию полюсов
вово. как нетрудно ви-
гтотных характеристик
не позволяет оценить

(8.18)

(8.19)

т. e. при co 1/т мы имеем:

о)
При больших частотах, т. е. при со » 1/т получим

20 lg|G(/‘co)| » — 20 1g сот. со » 1/т,	(8.21)

а на частоте со = 1/т

20 lg|G(/co)| - - 10 1g 2 = - 3,01 дБ.
Амплитудная характеристика фильтра изображена на рис. 8.6(a). Фазовая характеристика фи-
льтра определяется выражением

ср(со) = - arctg сот	(8.22)

и изображена на рис. 8.6(6). Частоту со = 1/т принято называть частотой излома или сопряга-
ющей частотой.

h

i Основное преимущ
что сомножители вида
учитываются в виде суя
смотреть передаточву!

Линейный масштаб для частоты является не слишком удобным, поэтому предпочти-
тельнее использовать логарифмический масштаб. О его преимуществе можно судить по
выражению (8.21), которое при со » 1/т выглядит как

20 lg|C7(/<n)| - 201g (от = - 20 Igx - 20 Igw. (8.23)

Тогда, если по оси абсцисс откладывать 1gсо, то при со » 1/т асимптотой амплитудной
характеристики будет прямая линия, как показано на рис. 8.7. Наклон этой прямой линии
можно установить по выражению (8.21). Расстояние между двумя частотами, отличаю-
щимися в 10 раз, например, между сои (02, где со2 = 10 называется декадой. При часто-
тах со » 1 /т изменение амплитудной характеристики при изменении частоты на декаду со-
ставляет

G(ja)

I
i

I
i
i
1

' Эта передаточная
сов на действительной
ции построение часто!
затруднительным, В л
мы получим:

20 lg С



201g|G(jW1)

- 20 lg| G( j®2 )| - -201gcol т - (—201gco2 т) -

--201g-^—

--201g — -+20дБ.

(0эТ

10J

(8-24)

Таким образом, для данной передаточной функции первого порядка наклон высоко-

частотной асимптоты амплитудной характери-
стики равен - 20 дБ/дек, как показано на рис. 8.7.
Вместо использования прямоугольной сетки ко-
ординат, в которой по оси абсцисс откладывается
Igco, проще изображать амплитудную характери-
стику в полулогарифмическом масштабе с равно-
мерной разметкой оси ординат в децибелах и ло-
гарифмической разметкой оси со. Можно было
бы также использовать логарифмическую раз-
метку оси ординат, избегая тем самым необходи-
мости вычисления 1g |G(/co)|.

Иногда используют интервал частот, при ко-
тором крайние частоты отличаются в 2 раза, т. е.

Рис 8-7. Асимптотическая
характеристика для (/сот + 1)”1

(О'? = 2(0|. Такой интервал называют октавой. При частотах со » 1/т изменение амплитуд-
ной характеристики при изменении частоты на октаву составит

и диаграмма Боде лез
каждому отдельному с
стика получается слоя
й

ф(<о) = 5

Итак, передаточ»
1. Постоянный ко

2.	Полюсы (или в

3.	Полюсы (или в

4.	Комплексно-со!

Для каждого из э
ных характеристик и
вующей передаточно
ются криволинейным
если воспользоваться
ко при отдельных ча

Постоянный кй
ристика определяете

20161(7(70! )| -2Olg|G(jco, )| = -201g

С02т

= -201g - =6,02 дБ,

(8.25)

что эквивалентно наклону асимптоты, равному - 20 дБ/дек.

а фазовая характерис
№ 3> 1/т.

(8.21)

ЗЛИ дБ.

Основное преимущество логарифмических частотных характеристик состоит в том,
к; что сомножители вида (/сот + 1), входящие в передаточную функцию, при построении
I учитываются в виде суммы членов 201g |/сот + 1|. Это легко проиллюстрировать, если рас-
смотреть передаточную функцию общего вида:

pic 8.6(a). Фазовая характеристика фи-

(8.22)

вьъЮгь частотой излома или сопряга-

G(yw) =

м

л

(8.26)

т=1

жом удобным, поэтому предпочти-
преимуществе можно судить по

к

Эта передаточная функция имеет Q нулей, N полюсов в начале координат, М полю-
сов на действительной оси и R пар комплексно-сопряжённых полюсов. Для такой функ-
ции построение частотных характеристик в полярных координатах было бы чрезвычайно
затруднительным. В логарифмическом же масштабе для амплитудной характеристики

- 20 Igx - 20 Igor

(8-23)

мы получим:

	о » 1/т асимптотой амплитудной
he. 8.7. Наклон этой прямой линии
вежду двумя частотами, отличаю-
сь называется декадой. При часто-

	изменении частоты на декаду со-

о

20 Ig|G(jeo)| = 201g Кh + £ 201g11 + jot , | -20 lg| (jeo)N

7=1

(8.27)

(-201gco2T) -

10

ч

= +20 дБ.

(8.24)

и диаграмма Боде легко получается путём сложения характеристик, соответствующих
каждому отдельному сомножителю. Аналогичным образом, фазовая частотная характери-
стика получается сложением соответствующих характеристик отдельных сомножителей:

V	М	R

ф(и) = £ arctg сот, - 2V(9O°) - £ arctg сот», - £ arctg

7=1	771 = 1	к-\

Кк (®/<%)
1-(®/и„, )2

А

. (8.28)

В первого порядка наклон высоко-

- Рис 8,7. Асимптотическая
ирактеристика для (/шт + 1)-1

I» о » 1 /т изменение амплитуд-

©оставит

(8.25)

Итак, передаточная функция может содержать четыре разного вида сомножители:

1.	Постоянный коэффициент усиления Кь.

2.	Полюсы (или нули) в начале координат (/со).

3.	Полюсы (или нули) на действительной оси (/сот + 1).

4.	Комплексно-сопряжённые полюсы (или нули) [1 + (2<^/со„) /со + (/со/со„)2].

Для каждого из этих сомножителей можно найти вид амплитудной и фазовой частот-
ных характеристик и затем использовать их для построения диаграммы Боде, соответст-
вующей передаточной функции общего вида. Эти характеристики, вообще говоря, явля-
ются криволинейными, однако процедуру построения диаграммы Боде можно упростить,
если воспользоваться их аппроксимацией асимптотами, а точные значения получать толь-
ко при отдельных частотах, представляющих особый интерес.

Постоянный коэффициент усиления Кь. Логарифмическая амплитудная характе-
ристика определяется выражением

201g Кь = const, дБ,

а фазовая характеристика
На диаграмме Боде амплитудная характеристика изображается просто в виде гори-
зонтальной линии.

Если коэффициент усиления является отрицательным, т. е. - КЬу то логарифмическая
амплитудная характеристика по-прежнему равна 201^КЬ) а знак минус учитывается сдви-
гом по фазе на - 180°.

Полюсы (или нули) в начале координат (/со). Полюсу в начале координат соответ-
ствует логарифмическая амплитудная характеристика

н 6.2. Графики час

t I

Полюсы или

I

I оси обусловлено с

! Напомним, что ал

а фазовая характеристика

201g— =-201g <д дБ,
7‘(0

(8.29)

ф(со) = - 90°.

Как видно из (8.29), амплитудная характеристика имеет вид прямой линии с накло-
ном - 20 дБ/дек. Аналогично, если в начале координат находится полюс кратности Л7, то

= —20JV 1g о)

(8.30)

ф(со) = - N • 90°.

В этом случае наклон логарифмической амплитудной характеристики равен - 20 N дБ/дек.

Если в начале координат находится нуль передаточной функции, то мы имеем:

20 lg]/<X)| - + 20 Igco,

(8.31)

что соответствует уравнению прямой с наклоном + 20 дБ/дек.

Фазовая характеристика 

<р(<и) = + 90°.

 Прямолинейные ai
I ш » 1/т —201g сот.
I точке, определяем
И ।





I

I т. е. при со = 1 т. из
 стики при со = 1 т р
I диаграмма Боде ди
I Диаграмма Бк
ill- усот), полу чае
I тотной асимптоты
I На рис. 8.9 пр
I стики, которая со®
I ных частотах отлн
ться полезной хи®
даточной функшк

; ристики, ПОЭТОМ)

 ВЫЧИСЛИТЬ на КОМ1
приведены точные
точной функции. 1
при аппроксимаш

а)

и

Диаграммы Боде, соответствующие функции (/co)±jV , изображены на рис. 8.8 для N = 1 и
А = 2.

и

со

О)

11
гтся просто в виде гори-

то логарифмическая
минус учитывается сдви-

яале координат соответ-

Полюсы или нули на действительной оси. Наличие полюса на действительной
оси обусловлено сомножителем вида ( 1 + усат)”1, и этот случай уже был нами рассмотрен.
Напомним, что амплитудная характеристика определяется уравнением

701а	1	—	101 pf 1 4- (Т)“ Т
ZU 1g	* *	— IV 1	1 г UJ 1	} ,
	1 + /сот	

(8.32)

(8.29)

т прямой линии с накло-
> полюс кратности N, то

(8.30)

стики равен - 20 Az дБ/дек.
пши. то мы имеем:

(8.31)

Прямолинейные асимптоты имеют следующие уравнения: при со << 1/т 201g 1 = 0 дБ и при
со » 1/т —201g сот, что соответствует наклону —20 дБ/дек. Две асимптоты пересекаются в
точке, определяемой уравнением

20 1g 1 - 0 дБ = -20 Igco т,

т. е. при со = 1/т, называемой частотой излома. Точное значение амплитудной характери-
стики при со = 1/т равно -3 дБ. Фазовая характеристика имеет уравнение ср(со) = - arctg сот, а
диаграмма Боде для сомножителя (1 + /сот)”1 представлена на рис. 8.9.

Диаграмма Боде, соответствующая нулю передаточной функции, т. е. сомножителю
(1 + /сот), получается аналогичным образом с той лишь разницей, что наклон высокочас-
тотной асимптоты амплитудной характеристики равен + 20 дБ/дек, а ср(со) = + arctg сот.

На рис. 8.9 приведена также линейная аппроксимация фазовой частотной характери-
стики, которая совпадает с точной характеристикой на частоте излома, а при всех осталь-
ных частотах отличается о неё не более, чем на 6°. Подобная аппроксимация может оказа-
ться полезной для предварительного суждения о фазовой характеристике системы с пере-
даточной функцией G/s). Однако часто необходимо иметь точный вид фазовой характе-
ристики, поэтому для сомножителей первого порядка соответствующие кривые можно
вычислить на компьютере, скажем, с помощью простой программы MATLAB. В табл. 8.2
приведены точные значения частотных характеристик, соответствующих полюсу переда-
точной функции, т. е. члену (1 + /сот)”1, а также для сравнения даны значения, полученные
при аппроксимации характеристик прямолинейными отрезками.

гены на рис. 8.8 для N - 1 и

(М

О)

О03)’1

(Л°у2

1 ю 100

О)

Рис. 8.9. Диаграмма Боде для функции (1 + /от) 1
434

Таблица 8.2  сот	0,10	0,50	0,76	1	1,31	2	5	10
20lg Kl+jWT)'1 Линейная аппроксимация. ср(со). град Линейная аппроксимация.  Комплекса	, дБ -0,04	-1.0	-2.0	-3.0	-4.3	-7.0	-14,2	-20,04  0	0	0	0	-2,3	-6.0	-14.0	-20.0  дБ  -5,7	-26.6	-37.4	-45.0	-52,7	-63.4	-78.7	-84.3  0	-31.5	-39,5	-45,0	-50.3	-58.5	-76.5	-90,0  град  ю-сопряжённые полюсы или нули [1 + (2^сол/)усо + (/‘со/со„)2].

Квадратичный член, соответствующий паре комплексно-сопряжённых полюсов. |
можно представить в виде

[1 + jlC, и - и2]1,
где it = со/сол. Тогда для пары комплексно-сопряжённых полюсов логарифмическую амп- 1
литудную характеристику можно представить в виде

201g |G(/co)| == - 10 1g [(1 - u2)2 + 4^V]

(8.34i '

а фазовую характеристику в виде

ср(со) = - arctg



Если it « 1, то

201g |G(/w)| = - 101gl = 0 дБ,
а фазовая частотная характеристика близка к 0°. Если и^> 1, то логарифмическая амплитуд-
ная характеристика

20 1g |G(/co)| ® - 10 Igz/ = - 40 Igu.

что соответствует наклону - 40 дБ/дек. При и » 1 фазовая характеристика стремится к значе-
нию - 180°. Асимптоты амплитудной характеристики пересекаются при значении 0 дБ, если
и = со/со,7 = 1. Однако расхождение между точной амплитудной характеристикой и её аппрок-
симацией зависит от коэффициента затухания и принципиально должно учитываться при
Q < 0,707. Диаграмма Боде, соответствующая квадратичному члену в передаточной функ-
ции, изображена на рис. 8.10. Максимальное значение амплитудной характеристики, М
имеет место на резонансной частоте сог Если коэффициент затухания стремится к нулю, то
сог-> соя, что соответствует частоте колебаний при отсутствии затухания. Резонансная часто-
та определяется путём приравнивания нулю производной от выражения (8.33) по нормиро-
ванной частоте и. Таким образом, резонансная частота определяется выражением

со

(8.36)

*

Рис. 8.10. Ди

а максимальное значение | G(/co) | равно

MPa =|G(jMrX2^71-F)-1,

0,707,

(8.37)

в случае пары компл
максимума амплитуд
циента затухания сс
ложении, что пара ко
кнутой системы, эти 1
тотным характеристи
Частотные хараи
путём определения м
люсов передаточной
Рассмотрим, напри»
пряженными полюса
2	5	10
-7.0	-14,2	-20.04
-6.0	-14.0	-20.0
-63.4	-78,7	-84.3
-58.5	-76.5	-90.0

»/|;о + (До/w,,)2].

ио-сопряженных полюсов.

•сов логарифмическую амп-

(8.34)

огарифмическая амплитуд-

i

герметика стремится к значе-
ются при значении 0 дБ, если
характеристикой и её аппрок-
ио должно учитываться при
стену в передаточной функ-
удной характеристики, М
ухания стремится к нулю, то
шхания. Резонансная часто-
аражения (8.33) по нормиро-
иется выражением

< 0,707,	(8.36)

(8.35)

(8.37)

Рис. 8.10. Диаграмма Боде для функции = [1 + (2^/о)л)/а> + (АДы)2] 1

j в случае пары комплексно-сопряженных полюсов. На рис. 8.11 приведена зависимость
। максимума амплитудно-частотной характеристики и резонансной частоты сог от коэффи-
циента затухания С» соответствующего паре комплексно-сопряженных полюсов. В предпо-
ложении, что пара комплексно-сопряженных полюсов является доминирующей для зам-
кнутой системы, эти кривые могут служить средством оценки качества системы по её час-
тотным характеристикам, определённым в результате эксперимента.

Частотные характеристики можно получить также из геометрических соображений
путём определения модулей и аргументов векторов, проведенных на ^-плоскости из по-
люсов передаточной функции в точку на мнимой оси я = усо, при изменении со от 0 до оо.
Рассмотрим, например, передаточную функцию второго порядка с комплексно-со-
пряжёнными полюсами

2

G(s) =-------_J-----------=	.	(8.38)

) + 2Qs/ + 1 № + 2£co„.s+ <о“
Рис. 8-11
Зависимость
максимума
амплитудной
характеристики
Мр и резонансной
частоты от
параметра
соответствующая
паре комплексно-
сопряженных
полюсов

0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70

Рис. 8.12

Вычисление чаете
характеристик с г
векторов для йена
значений w

и

На рис. 8.12
для трёх конкреп
стотам значения

Рис. 8.13

Частотные
характеристики,
соответствующие
комплексно-сопр
полюсов

Полюсы располагаются на окружности радиуса сол; в частном случае, при опре-
делённом значении их положение указано на рис. 8.12 (а). Произведя замену 5 = усо, за-
пишем передаточную функцию в виде

О	э

G(O) =-------=----------------------------г;,	(8-39)

(5-5! )(5- 5! ) л= /(0	(>-5! )О~ 5! )

где и .у* — комплексно-сопряжённые полюсы. На рис. 8.12(a) показаны также векторы
(/со -	и(/ со-я*), проведённые из полюсов в точкуусо. Тогда, задавая различные значения

частоты, можно определить модуль и аргумент функции С7(/со):

|G(»|=--------------- (8.40)

./(0-5,10-5!

Пример 8.4. I

В качестве щ
ЛЮСОВ и нул<
рассмотрим j
этого фильтр
Рис. 8.13
Частотные
характеристики,
соответствующие паре
комплексно-сопряженных
полюсов

Рис. 8.12

Вычисление частотных
характеристик с помощью
векторов для некоторых
значений w

(p(co) = -arg(/co-1yl )-arg(jco-5*).

стном случае, при опре-
визведя замену = /со, за-

| X/CD-Si )’

(8-39)

показаны также векторы

вая различные значения

(8.40)

На рис. 8.12 (б, в, г) соответственно показано, как определяются эти характеристики
для трёх конкретных значений частоты: со = 0, со = сог и со = со^. Соответствующие этим ча-
стотам значения амплитудной и фазовой характеристик показаны на рис, 8.13.

со

Пример 8.4. Диаграмма Боде двойного Т-образного фильтра

В качестве примера определения частотных характеристик, основанного на расположении по-
люсов и нулей передаточной функции и использовании векторов, направленных к точке усо,
рассмотрим двойной Т-образный фильтр, изображённый на рис. 8.14. Передаточная функция
этого фильтра имеет вид:


Рис. 8.14

Двойной Т-образный фильтр

W + !

Kj(s) (rr)2 + 4 st + I

(8.41 (

Таблица 8.3. Al
Al

Сомножитель

1. Константа,

JB

где т = RC. Нули этой функции на плоскости переменной si расположены в точках ±/l, а по- |
люсы — в точках -2± 7з, как показано на рис. 8.15(a). При со - 0 мы имеем j<7(/co)j - 1 и |
ср(со) — 0°. При со = 1/т |G(/co)| = 0, а аргумент вектора, начало которого находится в нуле |
st = /1. при прохождении /сот через эту точку претерпевает скачок на 180°. При (о

G(/co)| = 1 и <р(со) = 0°. Произведя вычисления при нескольких промежуточных значениях час-
тоты, нетрудно убедиться, что частотные характеристики будут иметь вид, изображённый на
рис. 8.15(6),

В табл. 8.3 приведены асимптотические частотные характеристики для основных ти-
повых сомножителей, входящих в передаточные функции.	|

В предыдущих примерах полюсы и нули функции G(s) были ограничены принадлеж- |
ностью к левой полуплоскости. Однако система может иметь нули, расположенные в пра- [
вой половине s-плоскости и при этом быть устойчивой. Передаточные функции, нули ко-
торых расположены в правой полуплоскости, классифицируются как создающие неми-
нимальный фазовый сдвиг. Если нули двух передаточных функций расположены сим-
метрично относительно мнимой оси, то этим функциям соответствуют одинаковые
амплитудные характеристики, а отличаются они только фазовыми характеристиками.
Если сравнить фазовые характеристики двух этих систем, то легко можно увидеть, что
при изменении частоты от 0 до оо система, все нули которой находятся в левой полуплос-
кости, будет давать меньший фазовый сдвиг. Поэтому передаточная функция Gj(s'), все

2. Нуль,

G(/co)=

(1 +/га/и ।)	л

ii

3. Полюс.
G(/to)=
(1+/W/CO,)'	j.

6-71

4. Полюс
в начале
координат.

я)

6)

Рис. 8-15. Двойной Т-образный фильтр: {а) расположение полюсов и нулей
и (б) частотные характеристики

5. Два
комплексных
полюса,
0.1<;<l,G(/w)=

нули которой pact
свою очередь, пер
но все нули котор
носительно мним»
пожены в точках ±/1. а по-
= 0 мы имеем |(7(/’со)| = 1 и
которого находится в нуле
нок на 180°. При со -ж
меж) точных значениях час-
меть вид, изображённый на

ВСГИКИ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ти-

(ограничены принадлеж-
им расположенные в пра-
ачные функции, нули ко-
ся как создающие неми-
псций расположены сим-
гветствуют одинаковые
ыми характеристиками,
вгко можно увидеть, что
шятся в левой полуплос-

все

иная функция

голюсов и нулей

Таблица 8.3. Асимптотические частотные характеристики
для основных сомножителей передаточных функций

Сомножитель

Амплитуднан характеристика, 20 Ig |G| Фазовая характеристика, <р(со)

1. Константа,
G(j($)=K

2. Нуль,

3. Полюс,
G(/co)=

4. Полюс

в начале
координат,
(7(/со)= 1//'со

комплексных
полюса.

(l+j2^u~u2)1

40

-40

40

дБ

дБ

-40

40

20

0

-20

			
			
			
			
			

со

20

О

-20

			
			
			
			

О.1сод со, Юсо
О)

20

О

		
		
		
		

90°

-90°

<р(со) О

-45°

45°

			1
			
			
			г 1

со

90°

ср((о) О

45°

			
			
			
			

-90°

-45°

0.1 со, со, I Осо,

-20

-40

дБ

O.lco, со, Юсо

дБ

It

г/

нули которой расположены в левой полуплоскости, называется минимально-фазовой. В

свою очередь, передаточная функция G2(s), удовлетворяющая условию | G2(/(o)| = \G। (До)



но все нули которой расположены в правой полуплоскости симметрично нулям от-
носительно мнимой оси, называется неминимально-фазовой.
Передаточная функция называется минимально-фазовой, если все её нули рас-
положены в левой половине ^-плоскости. Если передаточная функция имеет
нули в правой полуплоскости, то она называется неминимально-фазовой.

На рис. 8.16 (а) и (б) показаны расположения полюса и нуля, которым соответствует
одинаковая амплитудная характеристика, что совершенно очевидно из анализа длины
векторов. Однако фазовые характеристики, соответствующие рис. 8.16(a) и (5), совер-
шенно отличны. На рис. 8.17 изображены минимально-фазовая характеристика для полю-
са и нуля на рис. 8.16 (а) и неминимально-фазовая характеристика для полюса и нуля нз
рис. 8.16 (б). Ясно, что передаточной функции

соответствует изменение фазового сдвига в пределах 80°, тогда как для передаточной фун-
кции

G2(5) =

фазовый сдвиг изменяется в пределах 180°. Таким образом, рис. 8.17 иллюстрирует смысл
понятия минимальный фазовый сдвиг. При одинаковых амплитудно-частотных харак-
теристиках минимально-фазовой передаточной функции соответствует наименьший воз-
можный фазовый сдвиг, тогда как для неминимально-фазовой передаточной функции фа-
зовый сдвиг всегда больше первого.

Весьма интересной неминимально-фазовой схемой является четырёхполюсник, про-
пускающий все частоты, изображённый на рис. 8.18 (в). Нули его передаточной функции
расположены симметрично полюсам относительно мнимой оси, как показано на
рис. 8.18 (а). Ещё раз можно убедиться, что |С7(/а>)| является постоянным и в данном слу-
чае он равен единице. Однако фазовая характеристика изменяется от 0° до ---360°. Поско-

Рис- 8,16. Расположения полюса и нуля, соответствующие одинаковым амплитудным и
разным фазовым характеристикам

Рис- 8-17

Фазовые характеристики
для минимально-фазовой
и неминимально-фазовой
передаточных функций
441

юй, если все её нули рас-
вточная функция имеет
нимально-фазовой.

1я. которым соответствует
свил но из анализа длины
рис. 8.16(a) и (5), совер-
карактеристика для полю-
ика для полюса и нуля на

ак для передаточной фун-

L17 иллюстрирует смысл
нту дно-частотных харак-
гствует наименьший воз-
г'

редаточной функции фа-

8.3. Пример построения диаграммы Боде

в)

Рис. 8.18. Четырехполюсник, пропускающий все частоты: (а) расположение полюсов и
нулей, (б) частотные характеристики и (в) электрическая схема

I четырёхполюсник, про-
э передаточной функции
л оси, как показано на
чоянным и в данном слу-
31 от 0° до -360°. Поско-

аксвым амплитудным и

льку 09 = 180° - 0j и 0* =180° - 0|, то фазовая характеристика определяется уравнением
ф(ш) = -2(01 +01). Амплитудная и фазовая частотные характеристики данного че-
тырёхполюсника изображены на рис. 8.18 (б).

8.3.	Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов,
строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде-
льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем
на примере передаточной функции, включающей в себя все сомножители, рассмотренные
в предыдущем разделе. Эта передаточная функция имеет следующий вид:

А1/  \	5(1+у0,1ш)	/о дод

G(joj) =	--------------------------.	(а 42)

усо(1 + у'0,5соХ1 + У ОД со/ 50)+ (усо/ 50)" ]

Расположим эти сомножители в порядке начала их влияния с ростом частоты:
1. Постоянный коэффициент усиления К - 5;

2.	Полюс в начале координат;

3.	Полюс при со = 2;

4.	Нуль при со = 10;
со

Рис. 8.19. Асимптотические амплитудные характеристики для отдельных сомножителей
функции <л(/(о) вида (8.42)

. 8.20
плитудная
«рактери стика

I
н

5.	Пара комплексно-сопряжённых полюсов при со = соп = 50.

Сначала мы изобразим амплитудные характеристики, соответствующие каждому по-
люсу и нулю и постоянному коэффициенту усиления.

1.	Коэффициенту усиления соответствует логарифмическая амплитудная характери-

стика 20 lg5 = 14 дБ, как показано на рис. 8.19.

2.	Амплитудная характеристика, соответствующая полюсу в начале координат, при
всех частотах от 0 до оо имеет вид прямой с наклоном -20 дБ/дек, пересекающей
уровень 0 дБ в точке со = 1, как показано на рис. 8.19.

3.	Амплитудную характеристику, соответствующую полюсу при со = 2, аппроксими-
руем двумя асимптотами. Высокочастотная асимптота справа от точки излома со = 2
имеет наклон - 20 дБ/дек, а низкочастотная (слева от точки излома ) проходит на
уровне 0 дБ (см. рис. 8.19).

4.	Нулю при со = 10 также сопоставим две асимптоты, из которых высокочастотная
(правее точки излома) имеет наклон +20 дБ/дек (см. рис. 8.19).

Точную ампли
гтабл. 8.2, где при»
[жой. соответствую®
1 тудной характерна
! жения следует воен
кции G(/co) показа®
Фазовую чаете
ветствующие крива
кли нуля в качеств!
симации фазовой я
1- Для ПОСТОЯВ!
2. Полюсу в на1
3. Для полюса и
мация фазово

5.	Наконец, если воспользоваться асимптотами для построения амплитудной характе-
ристики, соответствующей паре комплексных полюсов, то точка излома будет
иметь место на частоте со = со„ - 50, а наклон высокочастотной асимптоты составит
-40 дБ/дек в силу наличия в сомножителе квадратичного члена (см. рис. 8.19). Од-
нако при коэффициенте затухания £ = 0,3 точная амплитудная характеристика су-
щественно отличается от асимптотической, поэтому в построение необходимо
внести поправки, как это сделано на рис. 8.20.

Таким образом, результирующая асимптотическая амплитудная характеристика
изображается путём суммирования асимптот, соответствующих каждому сомножителю
передаточной функции, как показано сплошной линией на рис. 8.20. Анализ рис. 8.20 по-
казывает, что эта характеристика может быть получена непосредственно путём добавле-
ния каждой асимптоты в порядке возрастания частоты. Так, прямая с наклоном
-20 дБ/дек, соответствующая члену (До) , пересекает уровень 14 дБ при ю = 1. Далее, при
оз = 2 наклон изменяется до - 40 дБ/дек за счёт полюса и снова становится равным
-20 дБ/дек за счёт нуля при со = 10. Наконец, при со = 50 наклон становится равным
-60 дБ/дек из-за пары комплексных полюсов.

90---------

60

30

о--------

-30

”60

"90	- -

-120	....

-150

180

-210	•

-240

-270---------

0.[	0.2
I

И для отдельных сомножителей

Гис. 8.20

Амплитудная
характеристика

В. = 50.

9 соответствующие каждому по-

веская амплитудная характери-

Точную амплитудную характеристику можно получить, воспользовавшись данными
табл. 8.2, где приведены расхождения между точной и асимптотической характеристи-

кой, соответствующими единственному полюсу или нулю. Что касается точной ампли-
тудной характеристики, соответствующей паре комплексных полюсов, то для её изобра-

жения следует воспользоваться кривыми на рис. 8.10(a). Точная характеристика для фун-

кпосу в начале координат, при
юм -20 дБ/дек, пересекающей
119.

плюсу при ш = 2, аппроксими-
1га справа от точки излома w = 2
<гг точки излома ) проходит на

кции G(joy) показана на рис. 8.20 пунктирной линией.

Фазовую частотную характеристику можно построить точно так же, суммируя соот-
ветствующие кривые для каждого отдельного сомножителя. Для единственного полюса
или нуля в качестве первого приближения обычно бывает достаточно линейной аппрок-
симации фазовой характеристики. Такая аппроксимация изображена на рис. 8.21.

1.	Для постоянного коэффициента усиления фазовая характеристика равна 0°.

(С из которых высокочастотная
к. рис. 8.19).

2.	Полюсу в начале координат соответствует фазовый сдвиг-90°.

3.	Для полюса при со = 2 на рис. 8.21 приведена соответствующая линейная аппрокси-
мация фазовой характеристики, причём на частоте со = 2 фазовый сдвиг равен-45°.

строения амплитудной характе-
юсов. то точка излома будет
настотной асимптоты составит
taoro члена (см. рис. 8.19). Од-

it

питудная характеристика су-

Bty в построение необходимо

амплитудная характеристика
рюших каждому сомножителю
|рис 8.20. Анализ рис. 8.20 не-
посредственно путём добавле-
на Так, прямая с наклоном
ень 14 дБ при со = 1. Далее, при
 и снова становится равным
50 наклон становится равным

Рис. 8.21. Фазовая характеристика
4.	Для нуля при со = 10 на рис. 8.21 также приведена линейная аппроксимация фазовой
характеристики, и на частоте со = 10 фазовый сдвиг равен +45°.

5.	Действительная фазовая характеристика, соответствующая паре комплексных по-
люсов, заимствованная с рис. 8.10(6), также приведена на рис. 8.21.

Таким образом, результирующая фазовая характеристика ср(со) получается простым
сложением характеристик, соответствующих каждому сомножителю передаточной функ-|
ции, как показано на рис. 8.21. Поскольку полученная зависимость является лишь аппрок-|
и

симацией истиной характеристики, её следует рассматривать только в качестве первого
приближения. Например, как мы увидим ниже, особый интерес представляет частота, при

которой ф(со) = - 180°. Аппроксимация показывает, что ф(со) = - 180° на частоте со = 46.

Попробуем вычислить действительный фазовый сдвиг при со = 46:

ф(со) = —90° -arctgcoT[ + arctgcor2 -arctg



(8.431

где Т{ = 0,5 ; т2 = 0,1 ; и = оэ/со„ = со/50. Вычисления дают результат:

ф(46) - - 90° - arctg 23 + arctg 4,6 - arctg 3,55 - - 175°,	(8.44)

т. е. аппроксимация фазовой характеристики при со = 46 даёт ошибку в 5°. Однако всегда
имеется возможность, определив интересующую частоту по аппроксимирующей характе-
ристике, уточнить её значение в окрестности найденной точки с помощью выражения
(8.43). Этот метод обычно является предпочтительным при вычислении точного значения
фазового сдвига в пределах нескольких декад. Наконец, с помощью линейной аппроксима-
ции амплитудной и фазовой характеристик можно установить диапазон частот, представ-
ляющий интерес для анализа свойств системы с передаточной функцией G(/co). После это-
го в данном диапазоне всегда можно вычислить действительные значения частотных ха-
рактеристик, пользуясь их точными уравнениями, такими как, например, (8.43).

Частотные характеристики, соответствующие функции G(/'(o), легко можно вычис-
лить и изобразить графически с помощью компьютера, например, в среде MATLAB. Для
примера, рассмотренного в данном разделе, построенная таким образом диаграмма Боде
приведена на рис. 8.22. Диаграмма занимает 4 декады, на ней указаны уровни 0 дБ для ам-
плитудной характеристики и -180° — для фазовой. Данные над диаграммой показывают,
что при со = 0,1 амплитудная и фазовая характеристики соответственно равны 34 дБ и
-92,36°. По выводимым табличным данным можно также найти, что 20 lg|G(/(o)| - 0 дБ
при co - 3, а ф(ю) = -180° при со - 50.

Рис. 8.22

Диаграмма Боде
для G(/o))
вида (8.42)

Max. mag = 33.96906 dB

Max. phase = -92.35844 deg Min. mag = -112.0231 dB

The gain is 2500	Min. phase = -268.7353 deg

Частота, рад/с
аейная аппроксимация фазовой

г равен -"-45°.

8.4. Измерение частотных характеристик

жующая паре комплексных по-
К1ен.а на рис. 8.21.

ктака o(w) получается простым



южителю передаточной функ-

ж им ость является лишь аппрок-
Ввать только в качестве первого

терес представляет частота, при

) = - ISO0 на частоте со = 46.

фи о - 46:

?	2Q/	/о

- arctg----- ,	(8.43)

1-iG

I Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра-
I зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи-
I мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим графи-
I кам можно определить передаточную функцию разомкнутой системы GW(/co). Аналогич-
I ным образом можно получить и частотные характеристики замкнутой системы, после чего
определить её передаточную функцию Tijat).

Существуют специализированные приборы, позволяющие измерять частотные ха-
рактеристики и восстанавливать по их виду выражения для передаточных функций разо-

S мкнутых и замкнутых систем.

Анализатор 3562А, созданный фирмой Хьюлетт-Паккард, позволяет измерять час-
тотные характеристики в диапазоне от 0 до 100 кГц. Средства данного устройства дают
возможность не только определять полюсы и нули передаточной функции по экспери-

«результат:

?- arete 3,55 - - 175°,

(8.44)

даёт ошибку в 5°. Однако всегда
7 по аппроксимирующей характе-
р точки с помощью выражения
|№ вычислении точного значения
;иомошью линейной аппроксима-

ювить диапазон частот, представ-
пной функцией G(/'w). После это-

4

пельные значения частотных ха-

hi как. например, (8.43).

nt

ги G(/oj), легко можно вычис-

жпример, в среде MATLAB. Для
 таким образом диаграмма Боде
жней \ казаны уровни 0 дБ для ам-

ментально полученным частотным характеристикам, но и строить эти характеристики
для введенной пользователем модели системы, Благодаря этому появляется возможность
производить сравнение частотных характеристик введённой модели системы с реальны-
ми характеристиками, полученными экспериментально (см. рис. 8.10(У)).

В качестве примера определения передаточной функции по частотным характери-
стикам рассмотрим диаграмму Боде, изображённую на рис. 8.23, которая соответствует
устойчивой системе, состоящей из резисторов и конденсаторов. Поскольку в диапазоне
100 < со < 1000 амплитудная характеристика имеет наклон -20 дБ/дек, а на частоте
to = 300 рад/с фазовый сдвиг равен -45° и амплитудная характеристика равна -3 дБ, мы
можем заключить, что один из сомножителей соответствует полюсу р^ = 300. Далее мож-
но сделать вывод, что передаточная функция содержит пару комплексных нулей, соответ-
ствующих квадратичному члену с параметрами £ = 0,16 и = 2450. Это следует из того,
что фазовая характеристика резко изменяется почти на + 180°, проходя через значение 0°

рйе над диаграммой показывают,
км соответственно равны 34 дБ и

на частоте ю - 2450. Кроме того, после этой частоты наклон амплитудной характеристики
изменяется с -20 дБ/дек на +20 дБ/дек. Таким образом, мы уже можем изобразить асимп-
тоты амплитудной характеристики, обусловленные полюсом и числителем ожидаемой
передаточной функции Ду) в соответствии с выражением (8.45); эти построения приведе-
ны на рис. 8.23(a).

оке найти, что 20 lg,G(/(o)| = 0 дБ



($/(&„ )2 +(2<7соп >+ 1
(p/Pi +l)(s/p2 +1)

(8.45)

leg Min. mag = -112.0231 dB

Min. phase = -268.7353 deg

Разность между точной и асимптотической амплитудными характеристиками на час-
тоте излома со = 2450 составляет 10 дБ; на основании выражения (8.37) это соответствует
значению £ = 0,16. (Сравните частотные характеристики для квадратичного члена в чис-
лителе передаточной функции с характеристиками для такого же члена в знаменателе,
приведёнными на рис. 8.10. Обратите внимание, что в случае комплексных нулей эти ха-
рактеристики просто надо перевернуть «вверх ногами», при этом фазовая характеристика
будет изменяться от 0° до +180°, а не до-180°, как при комплексных полюсах.) Поскольку
при частотах, превышающих 50000, наклон амплитудной характеристики вновь стано-
вится равным 0 дБ/дек, можно заключить, что в передаточной функции появляется второй
полюс. Этот полюс равен р2 = 20000, т. к. в этой точке амплитудная характеристика на 3
дБ меньше асимптотической, а фазовый сдвиг равен +45° (-90° для первого полюса, +180°
Рис. 8.23

Диаграмма Боде
для системы
с неизвестной
передаточной
функцией

а)

(D=300	ю-2.450

со

для пары комплексных нулей и -45° для второго полюса). Следовательно, передаточная
функция имеет вид:

_ ч (5/2450)2 + (0,32/2450)5+1

=--------------------------

(5/300+ 1)(5/20000+1)

Такие частотные характеристики действительно соответствуют Т-образному че-
тырёхполюснику (см. задачи 2.8 и 8.3 и рис. 8.14).

8.5. Требования к качеству системы
в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными
характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики ? Другими
словами, если задан набор требований к поведению системы во временной области (к виду
её переходной характеристики), то каким требованиям должны отвечать частотные харак-
теристики этой системы ? Для простой системы второго порядка мы уже получили ответ на
Ёжедовательно, передаточная

пктствуют Т-образному че-

шествует между частотными
вн характеристики ? Другими
Во временной области (к виду
ны отвечать частотные харак-
Вка мы уже получили ответ на

.5. Требования к качеству системы в частотной области

447

Йгтот вопрос, рассмотрев такие показатели качества
Во временной области, как перерегулирование, вре-
мя установления и ряд других, включая интеграль-
ные оценки. Замкнутая система второго порядка,
изображена на рис. 8.24, имеет передаточную функ-
цию

T(s) =

_-21L-

Рис. 8.24. Замкнутая система
второго порядка

(8.46)

(О?/

9	9

5“ + 2(^0% 5+ 00“

Амплитудно-частотная характеристика этой системы выглядит так, как показано на
рис. 8.25. Поскольку система имеет второй порядок, то её коэффициент затухания одно-
значно связан с максимумом амплитудной характеристики Мр. который имеет место на
частоте сог (см. рис. 8.25).

Максимальное значение амплитудно-частотной характеристики, Мр , имеет
место на резонансной частоте оог.

Полоса пропускания определяет способность системы правильно воспроизводить
входной сигнал.

Полоса пропускания определяется частотой на которой амплитудно-частот-
ная характеристика системы уменьшается на 3 дБ относительно её значения на

низких частотах.

Можно установить связь между резонансной час-
тотой и полосой пропускания системы и скоростью на-
растания её переходной характеристики. Так, при уве-
личении полосы пропускания будет уменьшаться
время нарастания переходной характеристики. Кроме
того, относительное перерегулирование переходной
характеристики можно связать с показателем М , ко-
торый в свою очередь определяется коэффициентом
затухания Кривые на рис. 8.11 связывают резонанс-
ную частоту и максимум амплитудно-частотной ха-
рактеристики с коэффициентом затухания системы

гемы

Hi

О

Рис. 8 25. Амплитудная
характеристика системы
второго порядка

со. со# 00

20 1g

* 0

второго порядка. А с помощью рис. 5.8 или путём непосредственных вычислений по вы-
ражению (5.15) можно оценить величину относительного перерегулирования реакции си-
стемы на ступенчатый входной сигнал. Поэтому легко установить, что при увеличении
резонансного пика М будет возрастать и величина перерегулирования. Таким образом,
показатель М в определённой степени является оценкой устойчивости системы.

Полоса пропускания системы (о^ лишь приблизительно может быть связана с собст-
венной частотой колебаний со„. На рис. 8.26 приведена зависимость отношения /со„ от
коэффициента затухания £ для системы второго порядка с передаточной функцией (8.46).
Реакция такой системы на единичный ступенчатый сигнал определяется выражением

cos((of t + G).

(8.47)

Отсюда ясно, что при = const, чем больше значение со/р тем быстрее переходная ха-
рактеристика достигает установившегося значения. Таким образом, желательно, чтобы
частотные характеристики системы удовлетворяли следующим требованиям:
Рис. 8.26

Зависимость нормированной
полосы пропускания от с
для системы второго порядка
(8.46). Линейная аппроксимация
са^/со^ = -1,19^ + 1,85 является
точной для 0,3 < < 0,8

1.6

1.5

1.4

1.3

сой 1.2

О

ч 1.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.	Максимум амплитудно-частотной характеристики должен быть достаточно малым,
например, М п <1,5.

£ гы

2.	Полоса пропускания системы должна быть достаточно большой, чтобы постоян-
ную времени т = 1/^сои можно было считать малой.

Насколько эти требования в действительности будут соответствовать желаемым по-
казателям переходной характеристики, зависит от того, удастся ли произвольную система
аппроксимировать моделью второго порядка, выделив в её передаточной функции Ты
пару доминирующих полюсов. Эта проблема обсуждалась ранее в разделе 7.3. Если вид
частотных характеристик в основном определяется парой комплексных полюсов, то об-
суждаемая в данном разделе связь между частотными и временными характеристиками
будет вполне обоснованной. К счастью, на практике для большей части систем управле-
ния высказанные соображения действительно являются справедливыми.

Требования к величине установившейся ошибки также можно описать в терминах
частотных характеристик замкнутой системы. Как мы выяснили в разделе 5.4, установив-
шуюся ошибку в случае входного сигнала заданного вида можно связать с коэффициен-
том усиления разомкнутой системы и числом интеграторов, входящих в её передаточную
функцию. Например, для системы, изображённой на рис. 8.24, установившаяся ошибка
при линейном входном сигнале определяется коэффициентом ошибки по скорости, А. :

A v

где А - скорость изменения входного сигнала. Для системы на рис. 8.24 коэффициент
ошибки по скорости равен

Kv = lim.vG(.v) = lima-—----- =— .	(8.48)

^0	^o[s(5+2(X)J К

Выделив в передаточной функции G(s) постоянную времени, её можно представить в виде

G(j) =---5/ 2.^	= К' ,	(8.49)

s(s/2^a>„ +1) s(ts+1)
В качестве иллюстрации приведём два примера логарифмических амплитудно-фазо-
вых диаграмм. На рис. 8.27 приведена такая диаграмма, соответствующая передаточной
функции

GHi (» =----------------------•	(8.54 >

70(0,57(0+ 1)(усо/6 + 1)

Числами рядом с кривом отмечены значения частоты о.

На рис. 8.28 приведена логарифмическая амплитудно-фазовая диаграмма для систе-
мы с передаточной функцией

70(0,570+1)[1 + 7'0,6(о/ 50)+ (70/ 50)' ]

рассмотренной в разделе 8.3. Эта диаграмма построена очень просто — путем перенесения
на неё точек с диаграммы Боде для данной системы, изображённой на рис. 8.20 и 8.21. Отме-
тим существенные различия кривых, определяемых выражением (8.54) и рис. 8.27, а также

выражением (8,55) и рис. 8.28. Особую важность представляют точки диаграмм, соответст-
вующие фазовому сдвигу —180° и модулю функции	равному 0 дБ. В главе 9 мы уста-

новим критерий устойчивости замкнутой системы управления, для которого ценную инфор-
мацию будет представлять логарифмическая амплитудно-фазовая диаграмма. По ней, в ча-

стности, можно будет судить и об относительной устойчивости систем управления.

Фаза, градусы

Рис. 8.27. Логарифмическая амплитудно-
фазовая диаграмма для

Рис. 8.28. Логарифмическая амплитудно-
фазовая диаграмма для
!

S

I частотных характеристик

иических амплитудно-фазо-

етствующая передаточной

8.7.	Пример синтеза: система управления гравировальной машиной

451

(8.54)

новая диаграмма для систе-

------------ -	(8.55)

-(jcj 50)-]

росте -— путем перенесения
кий на рис. 8.20 и 8.21. Отме-
3t (8.54) и рис. 8.27, а также
точки диаграмм, соответет-
ому 0 дБ. В главе 9 мы уста-
1ля которого ценную инфор-
вая диаграмма. По ней, в ча-
1 систем управления.

8.7.	Пример синтеза: система управления
гравировальной машиной

В гравировальной машине, изображённой на рис. 8.29(a), с помощью двух двигателей и на-
правляющих винтов осуществляется перемещение гравировальной иглы вдоль координа-
ты х. Перемещение иглы в направлении осей у и z осуществляется отдельными двигателя-
ми, как показано на рисунке. Нарис. 8.29(5) изображена структурная схема системы управ-
ления положением иглы по координате х. Цель синтеза заключается в выборе
коэффициента усиления А, обеспечивающего приемлемое качество переходной характе-
ристики. Решение задачи должно быть получено с использованием частотных характери-
стик.

Сначала мы построим диаграммы Боде для разомкнутой и замкнутой систем. Затем
на основании последней мы предскажем ожидаемый вид переходной характеристики и
сравним его с действительным результатом.

Для построения частотных характеристик зададимся произвольным значением К = 2:
если при этом качество синтезированной системы окажется неприемлемым, коэффициент
усиления можно будет изменить.

Отдельные значения частотных характеристик для С?(/со) представлены в табл. 8.4,
а соответствующая диаграмма Боде изображена нарис. 8.30. Замкнутая система имеет пе-
редаточную функцию

5	-180	-135	-90

Фаза, градусы

комическая амплитудно-

ад

ад

Положение
по оси л

Рис- 8.29. (а) Система управления гравировальной машиной,
(б) Модель системы в виде структурной схемы

i
i

егоамма для GHyj^}
452

Глава 8. Метод частотных характерисл

Рис. 8.30

Диаграмма Боде
для б?(/Ь)

20

10

0

-20

					
		*•>		, Асимптот - АППЛИКСИТ*	ическая нация
			ч	в1	UI LIAM VlvVJrll	
				ч	
					
					
					
					

-90°

-135°

10

2

0.2

Таблица 8.4. Частотные характеристики для G(/o)

w

20lg|G|

<2_____

0,2	0,4	0,8	1,0	1,4	1,8
14	7	-1	--4	-9	-13
-107°	-123°	-150,5°	-162°	-179,5°	-193°

Полагая s = получим:

W =------<

(2-Зсг)+уи(2- и )

Диаграмма Боде для замкнутой системы представлена на рис. 8.31, откуда видно, что
на резонансной частоте <вг = 0,8 201g|7Vw)| = 5 дБ. Следовательно,

Рис. 8.31

Диаграмма Боде
для замкнутой
системы

0°

-180°

-180°

-270°

0.6 0.8 1

-90°

			
			
			


л Асимптотическая;

г

s(1 + 0,5s)[1+(0,6/50)s + (1/502 )?]

453

(8.58)

5(1+ 0, 1у)

(8.59)

0,774

Г +0,515 + 0,774

Если предположить, что система обладает двумя доминирующими полюсами, то мы
( можем воспользоваться частотными характеристиками, изображенными на рис. 8.10. Так
1 как Мр = 1,78, то по номограмме на рис. 8.11 это соответствует значению £ = 0,29.

С помощью той же номограммы находим, что значению - 0,29 соответствует отно-
шение = 0,91, т. е.

= и^=0^ = 088
0,91 0,91

Поскольку мы теперь аппроксимировали систему моделью второго порядка, то её пе-
редаточная функция будет равна



?(*) =

Используя рис. 5.8, можно предсказать величину перерегулирования. Для Q = 0,29
оно составляет 37%. Время установления можно ожидать равным

1.4	1,8

-9	-13

-179.5°	-193°

(8.57)

рис. 8.31. откуда видно, что
|иьно.

'	(0,29)(0,88)

Действительное значение перерегулирования и времени установления равны соот-
ветственно 34% и 17с. Таким образом, мы видим, что в данном случае аппроксимация си-
стемы моделью второго порядка вполне уместна и её можно использовать для выбора со-
ответствующего параметра системы. Если желательно иметь меньшее значение перерегу-
лирования, то параметр К надо было бы уменьшить, скажем до 1, и повторить рассмот-
ренную процедуру.

8.8.	Использование MATLAB в методе
частотных характеристик

Этот раздел мы начнём с построения диаграммы Боде, азатем обсудим связь между частот-
ными характеристиками и требованиями к качеству системы во временной области. В за-
вершение мы приведём пример, иллюстрирующий синтез системы с помощью частотных
характеристик.

Здесь мы рассмотрим функции MATLAB bode и logspace. Функция bode использует-
ся для построения диаграммы Боде, а функция logspace задаёт необходимый для этого ло-
гарифмический масштаб частоты.

Диаграмма Боде. Рассмотрим передаточную функцию

G(*) =

Соответствующая этой функции диаграмма Боде изображена на рис. 8.32, где пред-
ставлены зависимости от частоты со амплитудная и фазовая характеристики. Как и в мето-
де корневого годографа, построение этих характеристик предпочтительнее производить с
помощью MATLAB. Всегда пытайтесь использовать MATLAB как одно из средств ана-
лиза и синтеза систем управления. В то же время не забывайте, что всегда полезно вруч-
ную произвести набросок диаграммы Боде — трудно придумать лучший способ ясного
понимания теоретических основ метода.
Рис. 8.32

Диаграмма Боде,
соответствующая
G(s) вида (8.59)

Частота, (рад/с)

Пример изображения диаграммы Боде, полученной с помощью функции bode, при-
ведён на рис. 8.33. Эта диаграмма строится автоматически, если при вызове функции bode
не указываются её аргументы. В противном случае амплитудная и фазовая характеристи-
ки выводятся на рабочий стол заданием переменных mag и phase. Диаграмма Боде строит-
ся с помощью функций plot или semilogx, использующих значения mag, phase и со. Вектор

оз содержит значения частоты в рад/с, для которых должны быть вычислены кривые диа-

Рис. 8.33

Применение функции
bode к заданной G(s)
ю2

103

Рис. 8.34

Функция logspace

Частота (рад/с)

|ыо функции bode, при-
эн вызове функции bode
I фазовая характеристи-
Диаграмма Боде строит-
i mag, phase и ш. Вектор
вычислены кривые диа-

встота (задается
ользователем)

граммы Боде. Если значения со не указаны, то MATLAB будет выбирать их автоматиче-
ски, задавая больше точек в тех диапазонах оз, где частотные характеристики отличаются
значительной крутизной. Если вы хотите точно задать интервал частот для построения
диаграммы, то вектор со целесообразно определять с помощью функции logspace. Смысл
этой функции проиллюстрирован на рис. 8.34.

Диаграмма Боде рис. 8.32 построена с помощью скрипта, приведённого на рис. 8.35.
Диапазон частот был выбран функцией bode автоматически. Впрочем, этот диапазон мо-
жет быть задан и пользователем с помощью функции logspace. Функцию bode можно
применять также в случае, когда модель системы задана в переменных состояния, как по-
казано на рис. 8.36. При этом функция bode действует так же, как и при задании модели
системы в виде передаточной функции.

Рис. 8.35

Скрипт
для построения
диаграммы Боде,
изображенной на
рис. 8.32

% Скрипт для построения диаграммы Боде,
% изображенной на рис. 8.32

%

num=5*[0.1 1];

f1 =[1 0]; f2=[0.5 1]; f3=[1/2500 .6/50

den=conv(f1,conv(f2,f3)); ◄-------

%

sys=tf(num,den);

bode(sys)

Вычисление

$(!+ 0.5б')(1 + —5 + —~52)
50	502
Рис. 8.36

Применение функции bode
к модели в переменных
состояния

Имея в виду, что нашей целью является синтез системы управления, удовлетворяю-
щей заданным требованиям к её переходной характеристике, прежде всего надо устано-
вить связь между временными и частотными характеристиками системы. Достоверность
этой связи будет зависеть от того, насколько хорошо удаётся аппроксимировать систему
моделью второго порядка на основании пары доминирующих полюсов.

Рассмотрим систему второго порядка, изображённую на рис. 8.24, которая в замкну-
том состоянии имеет передаточную функцию

э

T(s) = ------------г-	(8.60)

5“ + 2£(o„s+ со;

Соответствующая ей логарифмическая амплитудная характеристика изображена на
рис. 8.25. Связь между резонансной частотой максимумом амплитудно-частотной ха-
рактеристики Л/ , коэффициентом затухания и собственной частотой соЛ? приведена на
рис. 8.37 (а также на рис. 8.11). Данная информация чрезвычайно полезна, когда синтез
системы производится в частотной области, а желаемые показатели качества заданы в
виде требований к временным характеристикам.

Рис. 8.37

(а)	Зависимость Мр*
и соЛ/о>л от параметра
< для системы второго
порядка.

(б)	Скрипт MATLAB

zeta=[0.15:0.01:0.7]; <-----------

wr_over__wn=sqrt(1-2*zeta.A2);

Mp=(2*zeta.*sqrt(1-zeta.A2)).A(-1);
%

subplot(121), plo^zeta.Mp^grid
xlabel(f\zeta’), ylabel('M_{p\omega}’)
subplot(122), plot(zeta,wr_over_wn),grid
xlabel(‘\zeta*), ylabel(‘\omeqa rAomega n’)

0,15 < ^ < 0.70

j

Построение
графиков

Пример 8.5. Система управления гравировальной машиной

Вернёмся к структурной схеме на рис. 8.29. Надлежит выбрать значение К, обеспечивающее
приемлемое качество реакции системы на ступенчатый входной сигнал. На рис. 8.38 схемати-
чески изображён алгоритм процесса синтеза в частотной области. В качестве первого прибли-
жения мы выберем значение К = 2, а затем, если качество системы окажется неприемлемым,
будем решать задачу итерационным методом с помощью программы, представленной на
Модель в виде

— передаточной функции
sys == tf(num.den)

Модель в переменных
состояния
sys = ss(A,B,C,D)

Рис. 8.38

Функциональная
схема определения
характеристик
системы
управления
гравировальной
машиной

Начальное
значение

мы управления, удовлетворяю-
ке. прежде всего надо устано-
вками системы. Достоверность
Вгся аппроксимировать систему
юших полюсов.

► на рис. 8.24, которая в замкну-

(8.60)

I
I

"характеристика изображена на ।
рмом амплитудно-частотной ха-
мной частотой со,7 приведена на

мычайно полезна, когда синтез

№ показатели качества заданы в

С

/2);



0,15 < ^ < 0.70

pj.gnd

fcromega}’) ч—
Lover_wn),gricl

цеоа гЛотеда п’)

Построение
графиков

вой машиной

Йрать значение К. обеспечивающее
виной сигнал. На рис. 8.38 схемати-
Ьлдсти. В качестве первого прибли-
»системы окажется неприемлемым,
jo программы, представленной на

Изменение значения К	Вычисление передаточной функции замкнутой системы  Т^~ s(s+V)(s+2)+K

Проверка требований
к временным
характеристикам:

М=1+е^

Если требования
удовлетворяются,
то выйти из программы
и продолжить анализ

Диаграмма Боде
для замкнутой системы

Частота (рад/сек)

Определение М и шг

Установить связь между требованиями

к частотным и временным характеристикам системы

Определение со„ и

рис. 8.39. Значение К задаётся в командной строке, после чего программа производит необхо-
димые вычисления и строит диаграмму Боде для замкнутой системы. По этой диаграмме опре-
деляются показатели и со... а затем с помощью рис. 8.36 — соответствующие значения
г с	'

£ ИСО„.

По полученным значениям £ и оцениваются время установления и относительное перере-
гулирование:

Перерегулирование « ЮОехр

Если эти параметры оказываются неприемлемыми, то необходимо изменить значение К и по-
вторить процедуру.
Рис. 8.39

Скрипт,
используемый при
синтезе системы
управления
гравировальной
машиной

engravel.m

num=[KJ; den=[1 3 2 К]; «----

sys=tf(num,den);

w=logspace(-1,1,400);

[mag,phase,w]=bode(sys,w); <
[mp,l]=max(mag); wr=w(l);

mp, wr

Передаточная функция
замкнутой системы

Диаграмма Боде для
замкнутой системы

»К=2; engravel
mp =

1.8371

wr =

0.8171

Задание
параметров
вручную

Задание со» и £
на основании рис.
по известным
значениям Мп и
-Г (О

8.11

СО;-

»zeta=0.29; wn=0.88; engrave2
ts =

15.6740

po =

Д 38.5979

При К = 2 мы получим следующие оценки: £ = 0.29 и cofl = 0.88. что позволяет предсказать ожи-
даемое значение перерегулирования в 37% и времени установления 7\. = 15,7 с. Переходная ха-
рактеристика, изображённая на рис. 8.40. показывает, что предсказанные показатели качества
очень хорошо совпадают с действительными, т. е. замкнутая система адекватно реагирует на
входное воздействие.

В данном примере аппроксимация системы моделью второго порядка является оправданной и
упрощает решение задачи синтеза. Однако в общем случае такая аппроксимация не всегда
даёт хорошие результаты. К счастью, MATLAB включает в себя большое количество класси-
ческих и современных методов синтеза, позволяющих решать задачу в интерактивном режи-
ме. сведя к минимуму рутинные ручные вычисления.

8.9.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ В дисководе считывающая головка закреплена на гибкой пластине, как показано на
рис. 2.65. Как отмечалось в разделе 3.11, эту пластину можно представить в виде
модели, состоящей из пружины и массы (см. рис. 3.34). В данной главе мы к модели
двигателя и нагрузки добавим эффект гибкости пластины.
- Передаточная функция
|	; замкнутой сие гемы

I__ Диаграмма Боде для

замкнутой системы
— . _ —..	— — -I

Задание со?; и С
основании рис. 8.11
по известным
вачениям Мп и со,-

Рис. 8.40	а)

(а] Переходная
характеристика
системы
управления
гравировальной
машиной
при К = 2.

(б) Скрипт MATLAB

К=2; num=[K]; den=[1 3 2 К];
sys=tf(num,den);

t=[0:0.01:20];

step(sys.t)
х!аЬе!(‘Время (c)’), ylabelfy(t)’)

I

(-zeta*pi/sq rt (1 -zetaA2))

гства и.

ЯУру

го позволяет предсказать ожи-
вил Д - 15.7 с. Переходная ха-
казанные показатели качества
стема адекватно реагирует на

□ка является оправданной и

кая аппроксимация не всегда

льшое количество класси-

идачу в интерактивном режи-

нием:

I с диска

В пластине, как показано на
можно представить в виде
В данной главе мы к модели

Представим модель пластины с закреплённой на ней головкой в виде массы М, пру-
жины с жёсткостью к и элемента трения с коэффициентом Ь. как показано на рис. 8.41. Бу-
дем предполагать также, что сила и(/), прикладываемая к пластине, создаётся рычагом
(см. рис. 2.65). Передаточная функция системы, состоящей из пружины и массы, была по-
лучена в гл. 2:

------С з (у) —	‘ т—	? •

U(s) *	5" + 2^(0/?Х+Ш" 1 + 2ф$/+ (х/)"

Типичные параметры пластины и головки: 0,3 и собственная резонансная частота
fn - 3000 Гц. Следовательно, сол = 18,85 * 103, как показано на структурной схеме системы
(рис. 8.42).

Сначала мы построим амплитудные характеристики (асимптотическую и точную)
диаграммы Боде для разомкнутой системы (они приведены на рис. 8.43). Заметим, что на
резонансной частоте (w = ш„) точная характеристика имеет превышение над асимптотиче-
ской в 10 дБ. Эти характеристики построены для системы, изображённой на рис. 8.42, при
К = 400 согласно выражению 201g|X(/co + 1) GПоскольку амплитудная
характеристика имеет всплеск на частоте то естественным является избежать возбуж-
дения системы на этой частоте.

Рис. 8.41

Модель пластины
и головки в виде пружины,
массы и трения

Сила Пружина



> v(0
Рис. 8.42. Система управления положением головки дисковода
с учетом упругости пластины

Амплитудные характеристики разомкнутой и замкнутой систем представлены на
рис. 8.44. Полюса пропускания замкнутой системы равна = 2000 рад/с. Считая, что для
этой системы 0,8 и == 2000 рад/с, мы можем оценить время установления (по
критерию 2%) с помощью выражения



что составляет 2,5 мс. И пока выполняется условие К < 400, резонанс, свойственный упру-
гой пластине с головкой, находится вне полосы пропускания системы.

Рис. 8.43

Амплитудная
характеристика
диаграммы
Боде для
системы,
изображенной
на рис. 8.42

8.10.	Резюме

В этой главе мы рассмотрели частотные характеристики систем управления, представляю-
щие собой реакцию системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сиг-
нал. Были рассмотрены несколько альтернативных способов графического изображения
частотных характеристик, включая изображение в полярных координатах и в логарифми-
ческом масштабе (последний способ часто называют диаграммой Боде). Была отмечена
простота построения диаграммы Боде для отдельных сомножителей функции что
наглядно проиллюстрировано примером. Построение диаграммы Боде значительно облег-
-л = 18.85х Ю3

Рис. 8.44
Амплитудные
характеристики
диаграмм Боде
(а) для разомкнутой и
(5) для замкнутой
систем

нсовода

тем представлены на
рад с. Считая, что для
емя установления (по

а)

Частота, (рад/с)

, свойственный улру-
1Ы

Частота, (рад/с)

жия. представляю-
ьный входной сиг-
:кого изображения
их и в логарифми-
е). Была отмечена
дикции G(/‘cd), что
начительно облег-

чается при использовании асимптотической аппроксимации частотных характеристик. В
табл. 8.5 приведены диаграммы Боде для 15 типичных передаточных функций. Были рас-
смотрены некоторые параметры частотных характеристик, характеризующие качество си-
стемы; среди них важнейшими являются максимум амплитудной характеристики М р и
резонансная частота Была отмечена связь между диаграммой Боде и коэффициентами
ошибки Кр и Kv. И, наконец, было показано, как частотные характеристики системы можно
представить в виде логарифмической амплитудно-фазовой диаграммы.
Таблица 8.5. Диаграммы Боде для типичных передаточных функций

G(s)

Диаграмма Боде

G(s)

Диаграмма Боде

6.

К(зха+У
s(st, + 1)(st2 + 1)

К
редаточных функций

Таблица 8.5 (продолжение)

G(s)	Диаграмма Боде

6(5)

Диаграмма Боде

Диаграмма Боде

K(STU + 1)(5ТЛ + 1)

+ 1)(5ТЛ + 1)

S(ST! + 1)С?Т2 + 0(5Т3 + 0(5т4 + О
Упражнения

У-8.1. Для компьютерных дискет высокой плотности очень важно точное позиционирование голов-
ки дисковода. Система управления имеет передаточную функцию

G(s) =

(5 + I)2 '

Изобразите в полярных координатах частотные характеристики этой системы при К 4. Вы
числите модуль и аргумент О(до) при (о = 0,5; 1; 2, и т.Д.

Ответ'. |6()'0,5)| = 3,2 и argG(/0,5) = - 53°.

У-8.2. В исскуственой руке, изображённой на рис. 1.14, используется пневматическое исполнитель
ное устройство. Его передаточная функция имеет вид.

2572 = 2572

~ ? + 3865+ 15434 (5 + 45,3)(5 + 340.7)

Изобразите частотные характеристики, соответствующие этой функции, и покажите, что амп-
литудная характеристика имеет значения -15,8 дБ при to - 10 и -30 дБ при ш = 200. Покажите
также, что при to = 700 <p(w) = -150°.

У-8.3. Система управления звеном руки робота в разомкнутом состоянии имеет передаточную фун

кцию

G(5) =

300(5+100)

5(5 4- 10)(s + 40)

Докажите, что фазовый сдвиг cp(to) — 180° имеет место на частоте to 28,3 рад/с. Определи!е
значение |G(/to)| на этой частоте.

Ответ: |(7(/28,3)| - - 2,5 дБ.

У-8.4. На рис. 8.4(У) изображены частотные характеристики объекта с передаточной функцией

Ks

G(s) = -------5—----------- •

V (5 + a)(s2 + 205+ 100)

По данным характеристикам определите параметры Киа.

Рис. 8.4 (У)

Диаграмма Боде

(!)

У-8.5. На рис. 8.5(У) изображена амплитудная характеристика, соответствующая передаточной
функции

Х(1+0,5р(1+ns)

s(l + s/8)(l + Z?s)(i + s/ 36)

По этой характеристике определите параметры К. а и Ь.
Ответ: Л = 8, п = 1/4, b — 1/24.
e позиционирование голов-

ft системы при К = 4. Вы-

исполнитель-

ш. и покажите, что амл-
> при со = 200. Покажите

имеет передаточную фун-

У-8.6. Существует ряд проектов, в которых предлагается создать робок способный перемещаться
относительно космической станции и выполнять различные операции. Управление рукой ро-
бота осуществляет система с единичной обратной связью, имеющая в разомкнутом состоянии
передаточную функцию

-28.3 рад/с. Определите

G(s) =--------------------

5(5/10 + 1)(5/100+ 1)

передаточной функцией

Изобразите диаграмму Боде при К = 100 и определите частоту, при которой 201g|C7(/co)| = 0 дБ.

У-8.7. Рассмотрите систему, передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид:

Г(5>

Я(5)

______________4______________

(52 + 5 + 1)(52 + 0,45 + 4 )

100

Установившаяся ошибка в данной системе при ступенчатом входном сигнале равна нулю.

(а) Изобразите графически частотные характеристики данной системы и обратите внимание на
наличие двух всплесков на амплитудной характеристике, (б) Предскажите вид переходной ха-
рактеристики системы с учётом того, что она имеет 4 полюса и не может быть аппроксимиро-
вана моделью второго порядка, предполагающей наличие доминирующих полюсов, (в) Полу-
чите график переходной характеристики.

У-8.8. Система с обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

G(5)//(5) =

5 0(5 - 2)

52 + 115+ 10 '

ующая передаточной

(а) Определите частоты изломов, не-
обходимые для построения диаграм-
мы Боде, (б) Определите наклоны
низкочастотной и высокочастотной
асимптот амплитудной характери-
стики. (в) Изобразите амплитудную
характеристику на диаграмме Боде.

У-8.9. На рис. 8.9(У) изображена диа-
грамма Боде для некоторой системы.
Определите передаточную функцию
системы 6(5).
466

У-8.10. На рис. 8.10(У), (а) изображён анализатор частотных характеристик, позволяющий полу-
чать их графическое изображение. Показан также хмеханизм позиционирования головки диско-
вода, в котором использован двигатель с линейным перемещением. На рис. 8.10(У), (б) изобра-
жена реальная частотная характеристика этого механизма. Оцените значения полюсов и нулей
передаточной функции устройства позиционирования головки. Приведенные данные
1.37 кГц и XX = 1,275 кГц соответствуют положению первого курсора и расстоянию от

него до второго курсора.

Рис. 8.10 (У)

(а) Совмещенное
фото, на котором
изображены
позиционер
головки и
анализатор
сигналов 3562А.

(б) Частотная
характеристика

1

».Ц

3562A DYNAMIC SIGNAL ANALYZHR
й £ Vf .L E T T * Я-А. с к Afi D

ъ. .у

ДШ . ; L

ШФи ••















UP? Eft

BACK ;





MEAS
CIS?;



X = 1.37kHz A Ya - 4.076 dB

Ya = -4.9411 AX = 1.275kHz

M: Freq Resp 20Avg 0%0vlp Unif

Задачи

JJ-8.1. Изобразите в пони
щим передаточнм

(6)Gtf(s) =

5*

зон.

(	(r)G//(5) =-----:

5(5 * 4

3-8.2. Представьте в ви
задачи 8, Г

3-8.3. Вместо двойного
|	смотренного в nif

зовать мостовую

I	рис. 8.3(3). Схема

[	кцию

( можете ли в-
го* = 2/LC, О = 1

исходя ИЗ COOTI
(а) Определите л
оцените пример!
фильтра из призм
3-8.4. На рис. 8.4(3) к
ный элемент юн

а передаточная i

Регулятор имеез

Получите часта
j	контура

i

•r

3-8.5. Внедрение роб
личный промыв
ем одного из зв

где Я(^) - 1 н i
истин, позволяющий полу-
юнирования головки диско-
Нарис. 8.10(У), (б) изобра-
? значения полюсов и нулей
ки. Приведенные данные
о курсора и расстоянию от

Задачи

3-8.1. Изобразите в полярных координатах частотные характеристики, соответствующие следую-
щим передаточным функциям:

(a)	GH (5) =------------;

(l+0,5s)(l+2s)

(б)	см (s) = -1;
Аш

S

(в)	GH (5) =	;

s2 + 6s + 10

(г)	GH(s) = _W±1L_ .

s(j + 2)(s+4)

3-8.2. Представьте в виде диаграмм Боде частотные характеристики для передаточных функций из

задачи 8.1.

3-8.3. Вместо двойного Т-образного фильтра, рас-
смотренного в примере 8.4, можно исполь-
зовать мостовую схему, изображённую на
рис. 8.3(3). Схема имеет передаточную фун-
кцию

6(5) =

2	2

5 +

s2 + 2(MfJs/Q)+

( можете ли вы это доказать ?), где Рис. 8-3 (3). Мостовая Т-образная

со2 = 2!LC, Q = a R2 настраивается	схема

исходя из соотношения R2 ~ (^„£)2/47?|.

(а) Определите положение полюсов и нулей передаточной функции и с помощью векторов
оцените примерный вид частотных характеристик, (б) Сравните частотные характеристики
фильтра из примера 8.4 и данной схемы, если Q = 10.

3-8.4. На рис. 8.4(3) изображена система регулирования давления в закрытой камере. Измеритель-
ный элемент имеет передаточную функцию

Я(5) =

100

? + 155+ 100 ’

а передаточная функция вентиля равна

G.(s) =--------!-------.

(OJs+!)($/15 + 1)

Регулятор имеет передаточную функцию

Gc.(5) -5+1.

Получите частотные характеристики, соответствующие передаточной функции разомкнутого
контура

Gc(5)G](5)//(5)[l/5] .

3-8.5. Внедрение роботов в отрасли промышленности США увеличивается ежегодно на 30%. Ти-
пичный промышленный робот имеет шесть степеней свободы. Система управления положени-
ем одного из звеньев робота имеет передаточную функцию

G (5) =------------------------------.

(1 + 5/5)(1 + 5)(1 + 5/10)(1 + 5/50)

где H(s) = 1 и К = 10. Изобразите диаграмму Боде для этой системы.
Рис. 8.4 (3)

(а) Регулятор
давления.

(б) Структурная
схема

«)

F«c. 8.7 (3)
Система
убавления
направлением
движения

: «I

Заданное

направление

QM

Рис. 8.6 (3)

Логарифмические амплитудные
характеристики

|i
i

।

i
i

колёсами, определи
мируется воздейс
\ правления изобра

вид:

i
।

Требуется, чтобы.:

Kv = 2п и изобрази

I мическую амплиг

i 3-8.8. На рис. 8.813) изо

зью. От замкнута

регулирование

•lllli

л

превышало 10%.

требование к nq:

замкнутой систем

3-8.6. На рис. 8.6(3) изображены асимптотические амплитудные характеристики, соответствующие
двум передаточным функциям. Для каждой из систем постройте соответствующую асимпто-
тическую фазовую характеристику. Определите передаточную функцию каждой системы в
предположении, что они являются минимально-фазовыми.

3-8.7. В аэропортах, складских помещениях и других зданиях могут использоваться транспортные
средства, не требующие наличия водителя. Заданное направление движения выдерживается с
помощью вмонтированного в пол токонесущего кабеля и пары передних направляющих колёс,
как условно показано на рис. 8.7(3), (п). Чувствительные катушки, связанные с передними

(б) Определите за
кнутой системы..

3-8.9. Изобразите лога
(а) и (б) из задаче

3-8.10. Для управления
нейным перемени
ряется с помопц
H(s) = 1. Коэффш
превышала 1%от
го устройства им
М = 0.1 кг. коэфф
(а) Определите тц
ент ошибки по пс
редаточной фунт
тудно-фазовую д
системы с переда
арактери стики. соответствующие
|^те соответствующую асимпто-
функцию каждой системы в

использоваться транспортные
Пение движения выдерживается с
ы передних направляющих колёс.
иг« тки. связанные с передними

Рис. 8.7 (3)
Система
управления
направлением
движения

а)

Регулятор

Рулевой
механизм

Токонесущий кабель

Направляющие
колеса

Чувствительные
катушки

колёсами, определяют отклонение от заданного направления движения, в результате чего фор-
мируется воздействие на рулевой механизм, Функциональная схема замкнутой системы
управления изображена на рис. 8.7(3), (б). Передаточная функция разомкнутого контура имеет
вид:

GH (s) =----—— =-------у .

5(5 + п)“ 5(5/71 + 1)“

Требуется, чтобы полоса пропускания замкнутой системы была не менее 2 рад/с. (а) Примите
Kv - 2п и изобразите диаграмму Боде, (б) На основании диаграммы Боде постройте логариф-
мическую амплитудно-фазовую диаграмму.

3-8.8. На рис. 8.8(3) изображена система с обратной свя-
зью. От замкнутой системы требуется, чтобы пере-
регулирование при ступенчатом входном сигнале не
превышало 10%. (а) Определите соответствующее
требование к параметру Мр частотной функции
замкнутой системы

Рис. 8.8 (3)

Т(Д>) =

И»

Я(»

(б) Определите значение резонансной частоты сог (в) Определите полосу пропускания зам-
кнутой системы.

3-8.9. Изобразите логарифмические амплитудно-фазовые диаграммы для передаточных функций
(а) и (б) из задачи 8.1.

3-8.10. Для управления положением груза массой М используется исполнительное устройство с ли-
нейным перемещением, как показано на рис. 8.10(3). Действительное положение массы изме-
ряется с помощью потенциометрического датчика, имеющего передаточную функцию
H(s) = 1. Коэффициент усиления К должен быть выбран так, чтобы установившаяся ошибка не
превышала 1% от величины задающего сигнала Я(я). Катушка электромагнита исполнительно-
го устройства имеет сопротивление Rj- = 0.1 Ом и индуктивность •= 0,2 Гн. Масса груза
М- 0,1 кг, коэффициента трения b = 0,2 Нс/м. Коэффициент упругости пружины к = 0.4 Н/м.
(а) Определите требуемое по условию задачи значение К. эквивалентное тому, что коэффици-
ент ошибки по положению К должен быть больше 99. (б) Изобразите диаграмму Боде для пе-
редаточной функции разомкнутого контура GH(s). (в) Изобразите логарифмическую ампли-
тудно-фазовую диаграмму для функции GH(jm). (г) Изобразите диаграмму Боде для замкнутой
системы с передаточной функцией У(/ со)/А(/со). Определите Мр , со,, и полосу пропускания.
Рис. 8.10 (3)

Система
управления
линейным
исполнительным
механизмом

/ад

Рис. 8.11 (3)
Частотные
характеристики
системы
управления
курсом танкера

0.002	0.01	0.1	0.4

со, рад/с

3-8.11. Знание теории оказывает неоценимую помощь при разработке систем управления курсом
корабля. В сложных условиях очень важно точно выдерживать заданный курс. Автоматиче-
ская система справляется с этой задачей гораздо лучше, чем рулевой, время от времени осуще-
ствляющий корректирующие действия. Математическая модель такой системы управления
была разработана для судов, движущихся с постоянной скоростью при условии малых откло-
нений от заданного курса, Например, для большого танкера соответствующая передаточная
функция имеет вид:

ч £(5) 0,164(5 + 0.2)(-5 + 0,32)

G (5) “ -- = --------------------- ,

5(5)	J2(s+ 0,25X^-0,009)

где £(А — изображение по Лапласу отклонения от заданного курса. 5(5) — изображение по
Лапласу угла поворота руля.

Убедитесь, что частотные характеристики танкера, £(до)/5(/со), имеют вид, изображённый на
рис, 8.11(3).

3-8.12. На рис. 8.12(3), (л) изображена структурная схема системы с обратной связью. Передаточ-
ные функции элементов системы представлены на рис. 8.12(3), (6) своими частотными харак-
теристиками. (а) В предположении, что блок G3 отсутствует, определите коэффициент затуха-
ния £ для данной системы, (б) Определите коэффициент Q при включенном блоке О3. Считай-
те, что все передаточные функции являются минимально-фазовыми.

3-8.13. Система управления положением может быть создана на основе элементов, работающих на
переменном токе, как показано на рис. 8.13(3). Сельсин-датчик можно рассматривать как
обыкновенный трансформатор с вращающейся обмоткой. Ротор сельсина-датчика поворачи-
Пружина а.

Нагрузка

М.Ь ‘

Ж

1m

0.1

Характеристика (7) (/со)
на комплексной плоскости

Re

10

дБ

Возрастание со

лстем управления курсом
ванный курс. Автоматич е-
L время от времени осуще-
кой системы управления
при условии малых откло-
етствующая передаточная

а. 6(5) — изображение по

ют вид. изображённый на
f

иной связью. Передаточ-
•оими частотными харак-
кте коэффициент затуха-
венном блоке Считай-

вементов, работающих на
юж но рассматривать как
ъснна-датчика поворачи-

со=1°--------- 9-54

Ло г ари фм ич е ская
амплитуд но-фазовая
диаграмма
для (73(/со)

___l__________________________________I__________1--------

-360°	-270°	-180”	-90°

I

ф

о)

Рис. 8.12 (3). Система с обратной связью

вается вместе с нагрузкой на угол 90. Обмотка ротора питается от сети переменного тока, на-
пример. напряжением 115 В и частотой 60 Гц. Входной эталонный сигнал R(s) — Qnf(s) есть угол
поворота ротора второго сельсина, играющего роль приёмника. Сигнал ошибки, пропорциона-
льный разности углов 90 и 9^ усиливается и подаётся на обмотку двухфазного электродвигате-
ля. управляющего положением нагрузки. К преимуществам системы на переменном токе от-
носятся (I) отсутствие эффекта дрейфа и (2) простота и точность её элементов. Чтобы экспери-
ментально получить частотные характеристики разомкнутой системы, надо просто разорвать
связи X-У иХ'-У', к клеммам У-У'приложить модулирующий синусоидальный сигнал и изме-
рить реакцию между клеммами Х-Х'. [ Перед началом эксперимента ошибку (0О - 9,) надо сде-
лать равной нулю. ] Полученные частотные характеристики GHIj'm) приведены на рис. 8.13(3).
(б). Считая, что все элементы системы являются минимально-фазовыми, определите переда-
точную функцию

3-8.14. Эквивалентная схема полосового усилителя может быть представлена в виде схемы на рис.
8.14(3). Считая, что - Ry = 1 кОм, С] = 100 пФ. С2 = 1 мкФ и К = 100, покажите, что

1095

(5+ 1000)(s+ 107) '
О)

Рис, 8,13 (3). {а) Система управления двигателем переменного тока.
(б) Частотные характеристики

(а) Изобразите диаграмму Боде для функции G(j со), (б) Определите коэффициент усиления на
средних частотах (в дБ), (в) Найдите нижнюю и верхнюю частоты, на которых коэффициент
усиления из п. (б) уменьшается на 3 дБ.

3-8.15. Для получения передаточной функции некоторого объекта были экспериментально измере-
ны его частотные характеристики. Данные приведены в таблице. Определите передаточную
функцию объекта 6(У).

Рис. 8.14 (3)

Полосовой усилитель

о
со, рад/с	1 G(/®)l	ф(ю), град
0.1	50	-90
1	5,02	-92.4
2	2.57	-96,2
4	136	-100
5	1.17	-104
6,3	1,03	-110
8	0,97	-120
10	0,97	-143
12,5	0,74	-169
20	0,13	-245
31	0,026	-258

3-8.16. Ремонт находящихся на орбите
спутников и телескопа «Хаббл» осу-
ществляется с помощью космическо-
го челнока. На рис. 8.16(3) показано,
как астронавт, ноги которого
пристёгнуты к платформе на конце
руки робота, собственными руками
останавливает вращение спутника и
запускает его двигательную установ-
ку. Система управления рукой робо-
та в замкнутом состоянии имеет пе-
редаточную функцию

У(5)	22,5

R(s)~ s2+ 6,7s +22,5 '

Рис. 8.16 (3). Ремонт спутника

(а) Определите реакцию y(t) на еди-

ничное ступенчатое воздействие, (б) Определите полосу пропускания системы.

3-8.17. На рис. 8.17(3) изображён экспериментальный самолёт с поворачивающимся крылом. При

малых скоростях крыло занимает обычное положение,
но при сверхзвуковых скоростях может поворачивать-
ся для улучшения полётных характеристик. Система
управления самолётом имеет передаточные функции
H(s) = 1 и

№).-----------.

s(2s + l)[(s/8)2 + (s/20) + 1]

(а) Изобразите диаграмму Боде, (б) Найдите частоту
сор при которой амплитудная характеристика равна О
дБ. и частоту при которой (р(ш) = -180°.

3-8.18. Работа в экстремальных условиях — например, на
ядерно-опасных объектах, при высоких температурах,
в космосе — требует применения систем телеуправле-
ния. Однако несмотря на многочисленные попытки, до
сих пор ещё не созданы такие системы, действие кото-
рых было бы сравнимо с непосредственной работой
человека-оператора. Совершенствование систем теле-
управления шло по пути организации обратной связи

Рис. 8.17 (3). Самолет
с поворачивающимся крылом
(вид сверху и сбоку)
от робота к оператору, создающей у последнего иллюзию личного ощущения или присутст-
вия. Такой эффект получил название виртуального ощущения или виртуального присутствия.
Система виртуального присутствия включает в себя оператора, которому доступны зритель-
ные и слуховые ощущения, управляющего компьютера и антропоморфного робота,
оснащённого механизмом передвижения и рукой с семью степенями свободы. В управляющий
компьютер вводится информация о движениях головы, правой руки и правой кисти оператора
и о других второстепенных движениях. Туда же с помощью специальных устройств техниче-
ского стереозрения и слуха, смонтированных на шее робота, вводится информация о состоя-
нии среды, в которой он работает. Вся эта информация выводится на стереодисплей и создает
у оператора ощущение присутствия. Система управления передвижением робота имеет в разо-
мкнутом состоянии передаточную функцию

12(5+0,5)
6/7 (5) = -------- .

Г+ 135+30

Постройте диаграмму Боде для GH(jo)) и определите частоту, при которой 201g|G(/(o)| « 0 дБ.

3-8.19. В автомобилях широко применяются регуляторы, одним из элементов которых является
двигатель постоянного тока. Функциональная схема подобного регулятора изображена на рис.
8,19(3). (а). Экспериментально полученные частотные характеристики G(/co)//(/co) приведены
на рис. 8.19(3). (о). Определите передаточную функцию 0(5)/7(5).

3-8.20. В настоящее время весьма актуальной является проблема создания космических роботов. В
успешном осуществлении космических проектов ключевую роль предстоит сыграть роботам и
автоматическим системам. Во многих операциях в космосе автономные «разумные» роботы
могут уменьшить напряжённость труда астронавтов и повысить эффективность их работы. Та-
кой «свободно плавающий» робот изображён на рис. 8.20(3). Главным отличием космических
роботов от роботов, работающих в земных условиях, является отсутствие опоры. Любое дви-
жение руки манипулятора будет вызывать ответную реакцию в виде силы или момента, кото-
рые нарушат пространственную ориентацию робота.



Рис. 8.19 (3)

(5) Система управления
двигателем постоянного
тока.

{б) Экспериментально
полученные частотные
характеристики
пения или присутст-
1кного присутствия.

к доступны зрите ль-
вы орфн ого робота,
мы. В управляющий
вой кисти оператора
 v стройств техниче-
формация о сосгоя-
Еодисплей и создаст
рооота имеет в разо-

Систему управления одним из звень-
ев руки робота можно представить
передаточной функцией

GH (s) =

781(5+10)

s2 + 22s + 484 ’

(а) Изобразите диаграмму Боде для
функции (б) Определите мак-
симальное значение 20 lg|G//(/co)[, ча-
стоту, на которой это имеет место, и
фазовый сдвиг на этой частоте.

3-8.21. Основной причиной авиапроише-
ствий в США являются порывы ветра
на малой высоте. Большинство этих

Рис. 8.20 (3). Космический робот с тремя
руками захватывает спутник

20 Ig G(/(0); к 0 дБ.
в которых является
(изображена на рис.

) Д/со) приведены

1МЧССКИХ роботов. В
г сыграть роботам и
•разумные» роботы
юсть их работы. Та-
ичием космических
опоры. Любое дви-
или момента, кого-

происшествий вызываются либо вос-

ходящими потоками воздуха от поверхности земли во время грозы, либо горизонтальными по-
рывами ветра, предшествующими началу грозы. Подобные ситуации представляют серьёзную
проблему как при взлёте, так и при посадке самолёта, поскольку на малой высоте скорость са-
молёта составляет лишь около 25% от крейсерской.

Управление самолётом, подвергнувшимся влиянию порыва ветра после отрыва от взлётной
полосы, сводится к задаче удержания заданной скорости набора высоты. При этом регулятор
использует информацию только о текущей скорости набора высоты.

Типичная система управления скоростью набора высоты с единичной отрицательной обрат-
ной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

-200s2

? + 14?+ 44s +40 ‘

G(s) =

Обратите внимание на знак «минус» у G(jt). Изобразите диаграмму Боде и определите усиле-
ние (в дБ), когда ср(со) = -180°.

3-8.22. На рис. 8.22(3) изображены частотные характеристики, соответствующие функции G(/co).
Определите передаточную функцию G(s).

3-8.23. На рис. 8.23(3) изображены частотные характеристики разомкнутой системы управления.
Установите тип системы (число входящих в неё интеграторов). Определите передаточную
функцию G(^). Вычислите значение установившейся ошибки при единичном ступенчатом воз-
действии.

Амплитудная характеристика

Частота, со

Частота, со
Амплитудная характеристика

Рис. 8.24 (3)

3-8.24- На рис. 8.24(3) приведены частотные характеристики замкнутой системы управления про-
тяжкой киноплёнки. (а) В предположении, что передаточная функция Г($) имеет два домини-
рующих комплексно-сопряжённых полюса, определите наилучший вид модели второго по-
рядка, аппроксимирующей систему, (б) Определите полосу пропускания системы, (в) Пред-
скажите значения относительного перерегулирования и времени установления (по критерию
2%) при ступенчатом входном сигнале.

3-8.25. Система с единичной обратной связью в замкнутом состоянии при входном сигнале
r(t) = Ar}2 имеет установившуюся ошибку, равную .4/10. Частотные характеристики разо-
мкнутой системы приведены на рис. 8.25(3). Определите передаточную функцию G($).

Частота, w
3-8.26. Определите передаточную функцию схе-
мы на операционном усилителе, изоб-
ражённой на рис. 8.26(3). Считайте, что ОУ
является идеальным. Изобразите частотные
характеристики схемы, если R — 10 кОм,
Aj = 9 кОм, R2 = 1 кОм и С ~ 1 мкФ.

Рис, 8.26 (3). Схема на операционном
усилителе

Задачи повышенной сложности

П-8.1. На рис. 8.1(П), (я) изображена механическая система пружина-масса-амортизатор. а на
рис. 8.1(П), (б) — её частотные характеристики (в виде диаграммы Боде), полученные экспе-
риментально. Определите численные значения параметров т, Ь, и к.

Пружина, к

а)

6}

Рис. 8.1 (П). Система из пружины и массы с демпфированием

№ системы управления про-
киия 7(j) имеет два домини-
ий вид модели второго по-
рскания системы, (в) Пред-
Эстановления (по критерию

1нии при входном сигнале
тные характеристики разо-
гочную функцию (7(5).

П-8.2. На рис. 8.2(П) изображена система с обрат-
ной связью. Параметр b имеет номинальное
значение 4,0. Определите чувствительность
SJb и изобразите диаграмму Боде для функ-
ции 20lg|yj (если К = 2.

Рис. 8.2 (П). Система с параметром b

•стога, со

П-8.3. При движении автомобиля по неровной дороге вертикальные
перемещения шин эквивалентны возмущениям, действующим на
систему подвески. На рис. 8.3(H) схематически изображена
упрощённая модель автомобильной подвески, где предполагает-
ся, что входной сигнал является синусоидальным. Определите пе-
редаточную функцию X(s)/fl(s) и постройте диаграмму Боде, если
М ~ 1 кг, b = 4 Нс/м и к = 18 Н/м.

П-8.4. На рис. 8.4(П), (а) изображён вертолёт с грузом, подвешенным
на тросе. На рис. 8.4(П), (6) приведена структурная схема системы
управления положением груза, где визуальная обратная связь,
осуществляемая пилотом, представлена передаточной функцией
H(s). Изобразите диаграмму Боде для функции

Рис. 8.3 (П). Модель
автомобильной

подвески
«)

Рис. 8.4 (П). Система управления вертолетом, переносящим груз

П-8.5. Замкнутая система с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

s2+ 9s+ 10

(а) Определите передаточную функцию разомкнутой системы G(s). (б) По образцу рис. 8.27
изобразите логарифмическую амплитудно-фазовую диаграмму и отметьте на ней точки, соот-
ветствующие со=1; 10; 50; 110; 500. (в) Устойчива ли разомкнутая система? А замкнутая?

Задачи на синтез систем

СС-8.1. В данной главе мы используем ПД-регулятор с передаточной функцией Gc(s) =	+ 2), а

0МЧВ тахометрическую обратную связь [ см. рис. 4.1 (СС) ] считаем разорванной. Изобразите диа-
грамму Боде для системы, если К = 40. Определите переходную характеристику системы и
оцените значения перерегулирования и времени установления (по критерию 2%).

С-8.1. Проблема поведения человека за рулём автомобиля по-прежнему является весьма актуаль-

ной. Проектирование и внедрение систем раздельного привода на все четыре колеса, активной
подвески, независимых тормозов и других устройств, облегчающих управление автомобилем,
даёт инженерам большую свободу качественного улучшения условий вождения, нежели это
было в прошлом.

Систему автомобиль-водитель можно представить в виде модели, изображённой на рис.
8.1(C). где роль водителя сводится к выдерживанию заданного расстояния от осевой линии.
Считая К ~ 1, изобразите диаграммы Боде (а) для разомкнутой системы. Gc(s)G(s), и (б) зам-
кнутой системы с передаточной функцией Д$). (в) Повторите все построения для случая
К = 50. (г) Водитель может выбирать значение К по своему усмотрению. Определите коэф фи-

Рис. 8.1 (С)
Система
управления
автомобилем
с водителем
в контуре

ОД
Заданное
расстояние
от осевой
линии

ОД

Расстояние
от осевой
линии
Положение
груза

вносящим груз

точную функцию

циент К, обеспечивающий величину Мр < 2 и максимально возможную полосу пропускания
замкнутой системы, (д) Определите установившуюся ошибку системы в случае линейного
входного воздействия r(Z) = t.

-8.2. Автоматические аппараты для исследования планет, например Марса, должны обладать бо-
льшой степенью автономности, т. к. управление ими из наземных центров затруднительно в
силу наличия значительного запаздывания, связанного с распространением радиосигналов.
Это касается всех элементов и систем аппарата, отвечающих за его действия на поверхности
планеты. Такая степень автономности может быть достигнута только если каждый робот будет
оснащён системой очувстсв ления, позволяющей получать достоверную информацию об окру-
жающей обстановке. В институте робототехники Университета Карнеги-Меллона разработан
шестиногий шагающий робот, оснащённый такой системой. Внешний вид этого робел а при-
ведён на рис. 8.2(C). («), а на рис. 8.2(C), (б) изображена структурная схема системы управле-
ния одной его ногой.

(а) Изобразите диаграмму Боде для Gc(s)G(s) при К ~ 20. Определите (1) частоту, при которой
ф(сй) - -180° и (2) частоту, при которой 201g|GX/o))G(/(o)| = 0 дБ. (б) Изобразите диаграмму
Боде для замкнутой системы с передаточной функцией 7(s) при том же значении К. (в) Опре-
делите . (о., и (O/j для замкнутой системы при К' = 20 и К40. (г) Из двух указанных коэф-
фициентов усиления выберите наиболее подходящий, если требуется, чтобы при ступенчатом
входном сигнале r(z) перерегулирование не превышало 35%. а время установления было как
можно меньше.

взорванной. Изобразите диа-
ю характеристику системы и
в шо критерию 2%).

•Q является весьма актуаль-
все четыре колеса, активной
кх > правление автомобилем.

ойий вождения, нежели это

О)

Рис. 8.2 (С)

(а) Шестиногий
робот-иноходец.

(6) Структурная
схема системы
управления одной
ногой

Ж*)

V’• <б) По образцу рис. 8.27
отметьте на ней точки, соот-
^тая система? А замкнутая?

Кли. изображённой на рис.
расстояния от осевой линии.
Lcre.Mbi, Gc(s)G(s). и (б) зам-
есе построения для случая
рению. Определите коэффи-



Расстояние
от осевой
линии

С-8.3. На рис. 8.3(C), (а) изображён специальный стол, используемый для подведения ампул под го-
ловку распределительного устройства. Система управления положением стола, изображенная
на рис. 8.3(C), (б), должна обеспечивать быстрое и точное позиционирование, в то же время со-
храняя плавность движения, чтобы избежать расплёскивания препарата. Поскольку при сту-
пенчатом входном воздействии желательно иметь малое перерегулирование и одновременно
короткое время установления, то в замкнутой системе целесообразно ограничить значение
20IgA/j, величиной 3 дБ. Изобразите диаграмму Боде при некотором значении Л’. соответству-
ющем устойчивой системе. Затем подберите коэффициент К из условия 201gA//? = 3 дБ и
определите полосу пропускания замкнутой системы и величину установившейся ошибки.
a)

Ампулы

Ось у:
двигатель
и датчик

Распределительное
устройство

•3^

двигатель

и датчик

Рис. 8.3 (С). Автоматически управляемый стол и распределительное устройство

С-8.4. Процессом обезболивания можно управлять автоматически. При некоторых операциях, на-
пример. в нейрохирургии и офтальмологии, непроизвольные мускульные сокращения могут
повлечь серьёзные последствия для пациента и даже привести к его гибели. Чтобы создать хи-
рургу необходимые условия для проведения операции, пациенту вводятся расслабляющие ме-
дикаментозные средства, препятствующие мускульным сокращениям.

Обычный метод, применяемый анестезиологами, заключается в инъекции пациенту большой
дозы наркотика, величина которой определяется опытным путём и, если потребуется, во вве-
дении дополнительной дозы. Однако в ряде случаев анестезиолог может оказаться неспособ-
ным поддерживать постоянный уровень расслабления, и чтобы достичь этого, пациенту
придётся вводить избыточные дозы наркотика. Значительно более эффективным является ав-
томатическое управление уровнем расслабления, при котором существенно уменьшается по-
требление пациентом наркотического средства.

На рис. 8.4(C) изображена модель процесса обезболивания. Выберите параметры регулятора К
и т так, чтобы замкнутая система имела максимально возможную полосу пропускания и при
этом выполнялось условие М < 1,5. Определите величину полосы пропускания.

Рис. 8.4 (С). Модель системы управления обезболиванием

Задачи,

М-8.1. Рассмотрите за>

С помощью МАЛ
5 рад/с, а максим}
М-8.2. Для следующих
проверьте пострск

(a)	G (s) = --А

(5+

(б)	G (s) = —-уу-
(5 + 1)0

(В) 0(5) = ^—~

(Г) 6(5) =

М-8.3. Система с едиш
даточную функш

С помощью МАТ
лосу пропускания

М-8.4. На рис. 8.4(М)
ная схема систем
(а) По диаграмм’
системы определв
ного пика . р»

и полосу пропусэ
ния диаграммы Б
от со - 0,1 до со =
тесь функцией 1см
рис. 8.11 оцените
точной функции 
сравните результ
М-8.5. С помощью М
граммы Боде как
для замкнутой i
схема которой пр
М-8.6. Система с един
имеет в разомкн)
точную функции

6(5) = ~

J

Получите графи»
0<р< 1.
Задачи, решаемые с помощью MATLAB

ехьное
во

М-8.1. Рассмотрите замкнутую систему с передаточной функцией



25

s2 + s+25 ’

С помощью MATLAB постройте диаграмму Боде и убедитесь, что резонансная частота равна
5 рад/с, а максимум амплитудной характеристики Мр* равен 14 дБ.

М-8.2. Для следующих передаточных функций вручную сделайте набросок диаграмм Боде, а затем

проверьте построения с помощью MATLAB:

(a) G(s) =

1

(s+l)(s+10)?

(6)G(s) = -

s + 10

(s + l)(s + 20)

► ВД

Положение

|влительное устройство

1ри некоторых операциях, на-
Лнск\льные сокращения могут
«го гибели. Чтобы создать хи-
г вводятся расслабляющие ме-
ВГНИЯМ

(инъекции пациенту большой
и и. если потребуется, во вве-
ог может оказаться неспособ-
|бы достичь этого, пациенту
ге эффективным является ав-
лшественно уменьшается ло-

фиге параметры регуляторах
чо полосу пропускания и при
всы пропускания.

од
Действительный
► уровень
расслабления

(в) G(s) =

(r)G(s) =

1

s2 + Is + 50 ’

5-5

(s + !)(? + 12s 4- 50) ’

М-8.3. Система с единичной отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии пере-
даточную функцию

х 50

G(s)= -—

С помощью MATLAB постройте диаграмму Боде для замкнутой системы и определите её по-

лосу пропускания. Отметьте на диаграмме значение полосы пропускания.

М-8.4. На рис. 8.4(М) изображена структур-

и полосу пропускания <о£. Для построе-
ния диаграммы Боде в диапазоне частот
от св = 0,1 до со = 1000 рад/с воспользуй-
тесь функцией logspace, (б) С помощью

ная схема системы второго порядка.

(а) По диаграмме Боде для замкнутой
системы определите величину резонанс-
ного пика М , резонансную частоту со,.

г ю

100

5(5+6)

► ад

Рис. 8.4 (М). Замкнутая система
управления второго порядка

рис. 8.11 оцените коэффициент затухания системы и собственную частоту о)и. (в) По переда-
точной функции замкнутой системы определите действительные значения параметров и со„ и
сравните результаты с оценочными значениями из п. (б).

М-8.5. С помощью MATLAB постройте диа-
граммы Боде как для разомкнутой, так и
для замкнутой системы, структурная
схема которой приведена на рис. 8.5(М).

М-8.6. Система с единичной обратной связью

ад

Рис. 8.5 (М). Система управления
с обратной связью

имеет в разомкнутом состоянии переда-
точную функцию

G (s) =	.

s(s 4- 2р)

Поливанием

Получите график зависимости полосы пропускания замкнутой системы от параметра р при
0<р<1.
М-8.7. Рассмотрите задачу об управлении перевёрнутым маятником, находящимся на подвижном
основании, как показано на рис. 8.7(М), (я). Передаточная функция маятника имеет вид:

G(s) =

-\/MbL
s2-(Mh +Ms)g/MbL

Цель синтеза заключается в приведении маятника в состояние равновесия (0 « 0 ) при наличии
возмущения. Соответствующая задаче структурная схема изображена на рис. 8.7(М). (б). Зада-
ны параметры: Ms = 10 кг, Мь = 100 кг, L = 1 м, g = 9,81 м/с2, а = 5 и b = 10. При ступенчатом
входном воздействии к системе предъявляются следующие требования:

1.	Время установления (по критерию 2%) — не более 10 с;

2.	Перерегулирование — не более 40%;

3.	Установившаяся ошибка— не более 0.1° при наличии возмущения.

Разработайте в интерактивном режиме ряд программ MATLAB, которые будут способство-
вать синтезу системы управления. Первая из программ должна выполнять следующие задачи:
1. Вычислить передаточную функцию от возмущения к выходу системы, считая К варьируе-
мым параметром;

2.	Построить диаграмму Боде для замкнутой системы:

3.	Вычислить и вывести на дисплей значения Мп и

В качестве предварительной оценки воспользуйтесь номограммой на рис. 8Л1. чтобы опреде-
лить значения параметров и <ои. Вторая программа должна дать вам значения времени уста-
новления и относительного перерегулирования как функций оценок £ и со„.

Если окажется, что требуемые показатели качества не удовлетворяются, то измените значение
К и повторите операции, предусмотренные двумя первыми программами. Результат выполне-
ния этих двух программ проверяется путём моделирования. Третья программа имеет следую-
щее назначение:

1. Представить графически реакцию системы 0(г) на единичное ступенчатое воздействие при
разных значениях коэффициента К;

Рис. 8.7 (М). (а) Перевернутый маятник на движущейся тележке,
(б) Структурная схема системы управления
к» находящимся на подвижном

шия маятника имеет вид:

вновесия (0 ад 0 ) при наличии
сена на рис. 8.7(М). (б). Зада-
= 5 и i = 10. При ступенчатом
жбования:

I

мнения.
*

В. которые будут способство-
шполнять следующие задачи:
р системы, считая К варьируе-

мой на рис. 8.11. чтобы опреде-
кгь вам значения времени уста-
оценок £ и в)п.

ряются, то измените значение
граммами. Результат выполне-
нья программа имеет следую-

t ступенчатое воздействие при

Модель
маятника

Т]

1—ZELL

► 9(4

Обейся тележке.

НИЯ

2. Отметить на графиках соответствующие значения показателей качества.

С помощью этих интерактивных программ синтезируйте регулятор, который удовлетворял бы
требованиям, предъявляемым к частотным характеристикам системы (на основании диаграмм
Боде). Предварительно аналитически вычислите минимальное значение К, удовлетворяющее
ограничению на величину установившейся ошибки. Это значение К используйте в качестве
первого приближения при решении задачи синтеза.

Ключевые термины и понятия

Децибел (дБ). Единица измерения логарифмической амплитудной характеристики.

Диаграмма Боде. Логарифм модуля частотной функции и одновременно аргумент этой функции,
или фазовый сдвиг в зависимости от логарифма частоты со.

Логарифмическая амплитудная характеристика. 201g|G(/w)|.

Логарифмические частотные характеристики. См. диаграмма Боде.

Максимальное значение частотной характеристики. Значение амплитудной характеристики на
резонансной частоте, обусловленное парой комплексно-сопряжённых полюсов передаточной
функции.

Минимальный фазовый сдвиг. Фазовый сдвиг, когда все нули передаточной функции расположе-
ны в левой половине s-плоскости.

Неминимально-фазовая система. Система, передаточная функция которой имеет нули в правой
половине 5-ПЛОСКОСТИ.

Передаточная функция в частотной области. Отношение выходного сигнала системы ко входно-
му, если последний имеет синусоидальную форму. Получается из G(s) заменой 5 —>усо. обозна-
чается G(/<o).

Полоса пропускания. Частота, при которой амплитудная характеристика уменьшается на 3 дБ по
сравнению с её значением на низких частотах.

Преобразование Фурье. Отображение функции времени/(г) в частотную область.

Резонансная частота. Частота сог, при которой имеет место максимальное значение амплитудной
характеристики системы.

Собственная частота. Частота собственных колебаний системы, соответствующая двум комплек-
сным полюсам передаточной функции при отсутствии затухания.

Частота излома. Частота;, при которой асимптотическая амплитудная характеристика, соответст-
вующая полюсу (или нулю) передаточной функции, изменяет свой наклон.

Частотная характеристика. Реакция системы на синусоидальный входной сигнал в установив-
шемся режиме.

Частотная характеристика в полярных координатах. Изображение частотной характеристики в
осях ReG(/o)) - lmG(/o)).
Глава 9

Анализ устойчивости методом
частотных характеристик

Обзор

В предыдущих главах мы рассмотрели проблему устойчивости систем управления и обсу-
дили различные методы анализа устойчивости и оценки относительной устойчивости. В
данной главе мы еще раз вернемся к этой проблеме и покажем, как можно исследовать
устойчивость с помощью частотных методов. На примере диаграмм Боде и Найквиста бу-
дут проиллюстрированы такие важные понятия, как запас устойчивости по модулю, запас
по фазе и полоса пропускания. Будет рассмотрен критерий устойчивости Найквиста, свя-
занный с использованием частотных характеристик; применение критерия Найквиста ил-
люстрируются рядом интересных примеров. Мы исследуем влияние чистого запаздывания
по времени на устойчивость и качество систем управления. Будет показано, что запаздыва-
ние является дестабилизирующим фактором и может привести к потере устойчивости сис-
темой, которая при отсутствии запаздывания была устойчивой. Глава завершается приме-
ром синтеза с продолжением (система чтения информации с диска), где показана роль час*
тотных характеристик в оценке качества системы управления.

9.1.	Введение

Для любой системы управления всегда необходимо определить, является ли она устойчи-
вой. Но даже если система устойчива, важно знать степень ее устойчивости, т. е. исследо-
вать относительную устойчивость, В главе 6 было введено понятие устойчивости и рас-
смотрено несколько методов определения абсолютной и относительной устойчивости сис-
тем. Один из них — критерий Рауса—Гурвица — применяется, когда система задана своим
характеристическим уравнением относительно комплексной переменной j = a +j(0. В гла-
ве 7 было показано, как можно оценить относительную устойчивость системы с помощью
корневого годографа, который также строится в области комплексной переменной s. В дан-
ной главе мы покажем, как можно исследовать устойчивость системы управления, исполь-
зуя для этого ее частотные характеристики, подробно рассмотренные в главе 8.

Частотные характеристики системы содержат достаточно информации для определе-
ния ее устойчивости. Эти характеристики могут быть получены экспериментально путем
подачи на вход системы синусоидального воздействия и варьирования его частоты; это
позволяет исследовать относительную устойчивость системы даже тогда, когда значения
ее параметров неизвестны. Частотный критерий устойчивости может также подсказать,
как следует изменить параметры системы, чтобы повысить ее относительную устойчи-
вость.
1етодом
мк

Частотный критерий устойчивости был предложен в 1932 г. Г. Найквистом, и до сих
J пор он остается фундаментальным методом анализа устойчивости линейных систем
i управления. Критерий Найквиста основан на известной в теории функций комплексно-
го переменного теореме Коши. Эта теорема имеет непосредственное отношение к ото-
бражению контуров на 5-плоскости и, к счастью, ей легко дать геометрическую интерп-
: ретацию, не прибегая к формальному доказательству,

Для определения устойчивости замкнутой системы необходимо исследовать ее ха-
рактеристическое уравнение:

 систем управления и обсу-
сительной устойчивости. В
1см. как можно исследовать
фамм Боде и Найквиста бу-
жнив ости по модулю, запас
ойчивости Найквиста, свя-
№е критерия Найквиста ил-
жние чистого запаздывания
ет показано, что запаздыва-
IK потере устойчивости сис-
L Глава завершается приме-
ска), где показана роль час-

F(x) = 1 + L(s) = 0.

Для одноконтурной системы, изображенной на
рис. 9.1, Цх) - G(s)H(s). Для многоконтурных систем
в разделе 2.7 характеристическое уравнение было по-
лучено на основании сигнального графа; оно имеет
вид:

F(s) = S(s)=\-^L„+XLmL4...= O,

(9.1)

Рис. 9.1. Одноконтурная
система управления

где Д(5) — определитель графа. Таким образом, как для одноконтурных систем, так и для
многоконтурных систем характеристическое уравнение можно записать в виде (9.1), где
Цх) есть рациональная функция переменной 5. Чтобы убедиться, что система устойчива,
надо доказать, что все нули функцииF(х) расположены в левой половине 5-плоскости. Най-
квист предложил отображать правую половину 5-плоскости на плоскость /?(5). Поэтому,
чтобы понять и научиться использовать критерий Найквиста, нам сначала надлежит рас-
смотреть задачу отображения контуров на комплексной плоскости.

9.2.	Отображение контуров на s-плоскости

является ли она устойчи-
усгойчивости, т. е. исследо-
нятие устойчивости и рас-
Жгельной устойчивости сис-
жогда система задана своим
временной5 = о + уо). В гла-
мвость системы с помощью
ексной переменной 5. В дан-
гтемы управления, исполь-
Чренные в главе 8.

। информации для определе-
экспериментально путем
ирования его частоты; это
даже тогда, когда значения
ж может также подсказать,
се относительную устойчи-

Рассмотрим отображение контуров на 5-плоскости функцией /^(5). Контур — это некото-
рая замкнутая траектория на одной плоскости, отображаемая на другую плоскость соотно-
шением F(5). Поскольку 5 есть комплексная переменная, 5 = ст чую, то функция F(5) также
является комплексной; ее можно представить в виде F(x) = и ч уу и изобразить на комплекс-
ной /?(5)-плоскости в координатах и и у. В качестве примера рассмотрим функцию
F(x) - 25 ч 1 и контур на 5-плоскости, изображенный на рис. 9.2(a). Отображение с 5-плос-
кости этого квадрата со стороной, равной единице, на Д5)-плоскость производится с помо-
щью функции F(s), т, е,

w +jv = F(s) = 2s + 1 = 2(сг + /ш) + 1.	(9.2)

Следовательно, мы имеем:

и - 2а + 1

(9.4)

у = 2со.

Таким образом, на F(s)-iuiockocth мы получаем контур такой же формы, т. е. квад-
рат, центр которого сдвинут на единицу, а сторона увеличена в 2 раза. Такой тип отобра-
жения, при котором формы контуров на 5-плоскости и /^-плоскости являются подобны-

ми, называется конформным отображением. Отметим также, что замкнутый контур на

5-плоскости отображается также в замкнутый контур на А(5)-плоскости.

Точки Л, В, С и Z), отмеченные на контуре на 5-плоскости, отображаются в точки Л, В,
С и /9 на /^-плоскости, как показано на рис. 9.2. Направление обхода контура на 5-плос-
кости, указанное стрелками, сохраняется и при обходе контура на /^-плоскости. По со-
глашению, площадью, охватываемой контуром, считается область внутри контура, т. е.
справа от направления его обхода. Мы будем также считать обход контура по часовой
стрелке положительным, хотя это и противоречит общепринятому в теории функций
комплексного переменного. Однако это не должно смущать читателя, поскольку является
чистой условностью, а подобное соглашение часто используется в теории управления.

Чтобы избежать недоразумений, читатель может просто называть это правило «движени-
ем по часовой стрелке со взглядом, обращенным направо».

Обычно мы имеем дело с дробно-рациональными функциями /?(5). Поэтому полезно
рассмотреть еще один пример отображения контура. Пусть на 5-плоскости мы опять име-
ем контур в виде квадрата со стороной, равной единице, а функция F(s) имеет вид:

(9.5)

Некоторые значения F(s) при обходе контура на 5-плоскости приведены в табл. 9.1,
а контур, полученный при этом на Тф^-шюскости, изображен на рис. 9.3(6). Контур на
/'(.у)-пл ос к ости охватывает начало координат, т.к. соответствующий контур на 5-плоско-
сти также охватывает начало координат.

h

!i

i 9.2. Отображен»

I

Таблица 9.1. 3b

too

I —	.		। mn|

!	5-0*70)	H

I	4«

j	FB)=n-7‘v	—j

E nii^ —	—	i—» ни

ij

। Теорема Komu
а ш лей. так что e
в.	•

If
i
ii
i
i

где 5,— нулифуш
лином. т. е.

I

где

Таким образом, м

li

III

I'

II

! откуда следует, ч:
стического уравнн
ведение системы i
мы определяется

и

Рис. 9.3. Отображение квадратного контура с помощью функции F[s) = s/(s + 2)

где Рк и Доесть со
множители, как э

Вернемся к
имеет нуль 5 = -1
(т е. квадрат со с
Ш1И F(a) - 5/(5	2

координат, но не
ром на 5-ил ос кос
ши теоремы Koi

Если kohtv
тывает Z и;

нуль или П1
начало коо
г)-плоскость производится с помо-

+ /GJH 1.

(9.2)

(9.3)

(9.4)

итур такой же формы, т. е. квад-
иена в 2 раза. Такой тип отобра-
жу плоскости являются подобны -

.также, что замкнутый контур на
№ Л(5)-плоскости.

юсти. отображаются в точкиЛ, В.
рвение обхода контура на 5-плос-
внтура на F(5)-плоек ости. По со-
ися область внутри контура, т. е,
Жгатъ обход контура по часовой
Вепринятому в теории функций
Втъ читателя, поскольку является
Вльзуется в теории управления.

ывать это правило «движени-

•о».

рнкциями Г(л). Поэтому полезно
на 5-плоскости мы опять име-

р. а функция F(s) имеет вид:

487

| 9.2. Отображение контуров на s-плоскости

Таблица 9.1. Значения F{s)

точка D

точка В

точка А

F(s) = и +jv

10

10

(9.6)

п

где

откуда следует, что полюсы L(s) совпадают с полюсами F(s). Однако корнями характери-
стического уравнения системы являются нули функции F(s), и именно они определяют по-
ведение системы во времени. Это достаточно очевидно, если вспомнить, что выход систе-
мы определяется выражением

I

Таким образом, мы имеем:

Теорема Коши применяется к функции F(s), которая имеет конечное число полюсов
i и нулей, так что ее можно представить в виде

F(s) = 1 + L(s) ,

^>"77

где sf — нули функции F(s), a sk — ее полюсы. Функция F(5) — это характеристический по-
 лином, т. е.

А(.) = ^)

Z>(5)

F(s) = l+£(s) = l+^ = ^+7V(‘y)=:--^

ОД D(s) К

(9.5)

роскости приведены в табл. 9.1,

жен на рис. 9.3(5). Контур на

рствующий контур на 5-плоско-

рс функции Д5) = s/(s 4 2)

Y (s) = Г (s)R(s) = —= —k—^R(s),	(9.9)

Д(5)	F(s)

где Рк и &к есть соответственно коэффициенты передачи путей графа и их дополнительные
множители, как это было показано в разделе 2.7.

Вернемся к примеру, где мы рассмотрели функцию F(s) = 2(5 + 1/2). Эта функция
имеет нуль 5 - -1/2, как показано нарис. 9.2. Контур на 5-плоскости, который мы выбрали
(т. е. квадрат со стороной, равной единице), охватывает этот нуль. Аналогично, при функ-
ции F(5) = 5/(5 + 2) квадрат с единичной стороной охватывает нуль этой функции в начале
координат, но не охватывает полюс s = -2. Охваты полюсов и нулей функции F(s) конту-
ром на 5-плоскости можно связать с охватом начала координат ^(5)-плоскости при помо-
щи теоремы Коши, обычно называемой принципом аргумента:

Если контур ГА на 5-плоскости при движении по нему по часовой стрелке охва-
тывает Z нулей и Р полюсов функции F(s), не проходя при этом ни через один
нуль или полюс, то соответствующий контур Гут на .Р(5)-плоскости охватывает
начало координат N-Z-P раз в направлении по часовой стрелке.
Рис, 9.4. Отображение квадратного контура с помощью функции Д$) - s/(s + 1/2)

Так, для примеров, изображенных на рис. 9.2 и рис. 93, контур на /^-плоскости
ровно один раз охватывает начало координат, потому что N = Z - Р = 1, что и следовало
ожидать. Рассмотрим теперь функцию F(s) = s/(s + 1/2). При контуре в виде единичного
квадрата на 5-плоскости, изображенном на рис. 9.4(a), соответствующий контур на
^(5)-плоскости показан на рис. 9.4(5). В данном случае N = Z- Р = 0, поскольку контур Г?

не охватывает начало координат.

Теорему Коши гораздо проще понять, если рассматривать изменение аргумента фун-
кции F(s) при движении по контуру Гд. в направлении по часовой стрелке. Рассмотрим в
качестве примера функцию



(y+Zt )(5+Z2)
{s+px )(s+p2)’

(9.Ю)

где z} — нули функции F(s), ърк — ее полюсы. Выражение (9.10) можно записать в виде:

F(s)^\F(s)\eJ^^ =

|5+ р{ ||5 + р2

J[arg(5+ г0+arg(.s*+ z2) - arg(.v+л) - arg(.v+рг)]

(9.Н)

Введем обозначения (p_ = arg(s+ z{), (pr = arg(5+ z2 ), <p^=arg(5+ px), (p^=arg(5+ p2 )•
Далее выберем на 5-плоскости некоторый контур Г„ как показано на рис. 9.5(a), и опреде-
лим изменение аргумента каждого вектора при изменении переменной 5 вдоль этого кон-
тура. Ясно, что при полном обходе переменной 5 по контуру Гл. результирующее измене-
ние аргументов ф , ф иф,? будет равно нулю. Однако вектор, соответствующий нулю
zx, при этом совершит полный оборот на 360° по часовой стрелке. Таким образом, при
полном обходе контура Г, результирующее изменение аргумента F(5) будет равно 360°,
т. к. этот контур охватывает только один нуль F(s). Если бы внутри контура Г5 находились
Z нулей, то результирующее изменение аргумента F(s) было бы равно ф_ = 2nZ рад. Про-
должая эти рассуждения, можно придти к выводу, что если бы внутрь контура Г? попали Z
нулей и Р полюсов функции F(s), то при полном обходе этого контура изменение аргу-
мента F(s) было бы равно 2ttZ- 2лЛ Поэтому на /^-плоскости вектор Л», конец кото-
рого находится на контуре просто повернется на угол

= ф2 - ф/э ?
В функции F{s) — s/(s + 1/2)

9.3. контур на /%у)-плоскости
• Л' = Z- Р = 1, что и следовало
контуре в виде единичного
соответствующий контур на
Z - Р = 0, поскольку контур ГА

ггь изменение аргумента фун-
«совой стрелке. Рассмотрим в

(9.10)

Рис. 9-5. Вычисление изменения аргумента Гд

или

2^V = 2nZ-2nA	(9.12)

т. е. число охватов им начала координат будет равно N-Z-P. Так, при контуре ГА., изобра-
женном на рис. 9.5(a), который охватывает один нуль, контур Г? на рис. 9.5(6) один раз ох-
ватывает начало координат по часовой стрелке.

В качестве иллюстрации применения теоремы Коши рассмотрим расположение по-
люсов и нулей некоторой функции на ^-плоскости и выберем контур Г5, как показано на
рис. 9.6(a). Этот контур охватывает три нуля и один полюс. Поэтому мы имеем

^у-3-1-+2,

?(9.10) можно записать в виде:

«м- г з - arg(5+д) - arg(.v+рг)]

(9.Н)

д-агц(л - р} J <p/)2=arg(.y+ р2).
казано на рис. 9.5(a), и опреде-
еременной s вдоль этого коп-

ру Г, результирующее измене-

гтор. соответствующий нулю

i стрелке. Таким образом, при
гумен та /%$) будет равно 360°,
(внутри контура Гл. находились
во бы равно ср. = 2nZ рад. Про-
бы внутрь контура Гд. попали Z

Итого контура изменение аргу-
жости вектор F(s), конец кото-
I

и контур Гд два раза охватывает по часовой стрелке начало координат F(s)-iuiockocth, как
показано на рис. 9.6(6).

Рис- 9.6, Пример применения теоремы Коши при трех нулях и одном полюсе
внутри контура Г5
Рис. 9.7. Пример применения теоремы Коши при одном полюсе внутри контура Г5

Если полюсы и нули расположены на 5-плоскости так, как показано на рис. 9.7(a), то
при выбранном контуре ГЛ. внутрь него попадает только один полюс. Поэтому мы имеем

и следует ожидать, что контур Г/?на/%у)-плоскости один раз охватит начало координат. Но,
поскольку N имеет знак минус, то этот охват происходит в направлении против часовой
стрелки, как показано на рис. 9.7(6).

И вот теперь, когда мы рассмотрели и проиллюстрировали принцип отображения
контуров на 5-плоскости с помощью функции F(5), можно приступить к формулировке
критерия устойчивости, предложенного Найквистом.

9.3.	Критерий Найквиста

Чтобы исследовать устойчивость системы управления, необходимо проанализировать ее
характеристическое уравнение F(s) = 0, или

л

F(5)= 1 + 1(5) = --^

= 0.

(9.13)

Система будет устойчива, если все нули функции F(v) расположены в левой половине
5-плоскости. Иначе говоря, в устойчивой системе все корни характеристического уравне-
ния [нули /%?)] должны находиться слева от мнимой оси на плоскости комплексной пере-
менной 5-. Поэтому, на основании теоремы Коши, нам нужно выбрать на 5-плоскости кон-
тур Ts, который охватывал бы всю ее правую половину, и исследовать, не находятся ли
внутри этого контура какие-либо нули F(5). Это эквивалентно тому, что мы можем постро-
ить на /^-плоскости контур IX и подсчитать число N охватов этим контуром начала коор-
динат. Тогда число нулей F(s), находящихся внутри контура ГЛ, (т. е. расположенных в пра-
вой полуплоскости), будет равно

Z-N + P.

(9.14)


Рис- 9.8

Контур Найквиста на ^-плоскости

• полюсе внутри контура Г5
рак показано на рис. 9.7(<я), то
в полюс. Поэтому мы имеем

хватит начало координат. Но,
I направлении против часовой

ровали принцип отображения
• приступить к формулировке

Так, если Р = 0 (наиболее типичный случай), то число корней характеристического
уравнения системы, находящихся в правой полуплоскости, просто равно N— числу охва-
тов контуром начала координат на £(5)-плоскости.

На рис.9.8 изображен контур Найквиста, охватывающий всю правую половину 5-плос-
кости. Контур Г5 включает в себя всю мнимую ось от до ч-уао, и эта его часть дает нам
уже знакомую функцию F(jco). Контур замыкается полуокружностью радиуса г, где г -> ао.

Согласно критерию Найквиста, необходимо получить отображение контура Найкви-
ста с помощью характеристического полинома

F(5) - I + L(s)

(9.15)

и подсчитать число охватов начала координат на /^(/О-плоскости. Иначе это можно сделать,
используя функцию F'(s):

юдимо проанализировать ее



(9.16)

*	(9.13)

положены в левой половине
характеристического уравне-
иоскости комплексной пере-
i выбрать на 5-плоскости кон-
сследовать, не находятся ли
этому, что мы можем постро-
 этим контуром начала коор-
Гг I,т. е. расположенных в пра-

Последний способ обладает тем преимуществом, что Z(5) обычно представляется в
виде произведения отдельных сомножителей, тогда как функция [1 + Л(з)] таким свойст-
вом не обладает. Тогда отображение контура Гч должно осуществляться с помощью функ-
ции F'(5) = L(s) на Л(5)-плоскость. В этом случае охваты по часовой стрелке начала коор-
динат наF(5)-iuiockocth эквивалентны охватам по часовой стрелке точки-1 на /.(^-плос-
кости, т. к. L(s) = F(s) - 1. В результате формулировка критерия устойчивости Найкви-
ста приобретает вид:

Если разомкнутая система устойчива, т. е. число полюсов функции £(5) в пра-
вой половине 5-плоскости равно нулю (Р= 0), то замкнутая система устойчива
тогда и только тогда, когда контур Г/ на £(х)-плоскости ие охватывает точку

Если же число полюсов L(s) в правой полуплоскости отлично от нуля, то критерий
Найквиста формулируется так:

Замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда число охватов против
часовой стрелки контуром Г/, точки (-1,у0) равно числу полюсов функции £(5),
имеющих положительную действительную часть.
Приведенные выше формулировки основаны на том, что при отображении контура
Найквиста с помощью функции F'(s) - L(s) число корней характеристического уравнения
замкнутой системы [или нулей полинома 1 + £(5)], находящихся в правой половине
5-плоскости, определяется выражением

Z-N + Р.

Отсюда ясно, что если L(s) не имеет полюсов в правой полуплоскости (Р = 0), а для устой-
чивости замкнутой системы необходимо потребовать выполнение условия Z = 0, то контур
Г7 не должен охватывать точку (-1,у0). Аналогично, если Р 0, а замкнутая система дол-
жна быть устойчива, т. е. Z = 0, то отсюда мы имеем N = -Р, т. е. контур ГL должен охваты-
вать точку (-1,уО) в направлении против часовой стрелки Р раз.

Применение критерия Найквиста нагляднее всего проиллюстрировать несколькими
примерами.

Пример 9.1. Система с двумя действительными полюсами

Рассмотрим одноконтурную систему, изображенную на рис. 9.L где

GH(s) =------------.

(TjS + 1)(т25 + 1)

(9-17)

В данном случае L(s) = GHts), и мы воспользуемся контуром Гд = ГСгИ на 6Я(5)-плоскости.
Контур на 5-плоскости изображен на рис. 9.9(h), а соответствующий контур Г67У — на рис.
9.9(6), Последний построен при Xj = 1, х2 = 0,1 иА? = 100. Значения модуля и аргумента GH(jw)
для отдельных частот со приведены в табл. 9.2. Эти значения использованы для построения ча-
стотной характеристики в полярных координатах на рис.9.9(6).

Таблица 9.2. Модуль и аргумент функции GZ/(/to)

со	0	0,1	0,76	1	2	10	20	100	ОО
|GW«)I	100	96	79,6	70,7	50,2	6,8	2,24	0,1	0
argG77(/(D). град.	0	-5,7	-41,5	-50,7	-74,7	-129,3	-150,5	-173,7	-180

а)

Рис. 9.9. Контур

Найквиста и его отображение с помощью функции

GH(s) =

100

(s+ 1)(s/10 + 1)
Положительная часть мнимой оси отображается в сплошную кривую на рис. 9.9(5), а ее отри-
цательная часть — в пунктирную кривую на том же рисунке. Полуокружность бесконечного
радиуса на 5-плоскости отображается в начало координат на 6/7(5)-плоскости.

Заметим, что функция GH(s) не имеет полюсов в правой полуплоскости, т. е. Р = 0. Следовате-
льно, чтобы система была устойчива, должно выполняться условие N = Z= 0, т. е. контур на
67/(5)-плоскости не должен охватывать точку -1. Анализ рис. 9.9(5) и выражения (9.17) пока-
зывает, что ни при каких значениях К контур не охватит точку -1 и система всегда будет
устойчива при любых положительных значениях К.

Пример 9.2. Система с полюсом в начале координат

Рассмотрим еще раз одноконтурную систему на рис. 9.1 и будем считать, что

6/7(5) =

___К

5(Т5+ 1)

В этом случае L(s) - GH(s) и нам необходимо построить контур Г7 = Гсн на 6//(5)-плоскости.
На рис. 9.10(a) изображен контур Г5 на 5-плоскости, причем полюс в начале координат обхо-
дится по полуокружности радиуса е. где е —> 0. Этот обход продиктован условиями теоремы
Коши, в соответствии с которой контур не может проходить через полюс. Общий вид контура
Год приведен на рис. 9.10(5). Ясно, что участок контура ГСтИ, соответствующий частотам от
со = 0+ до со = +оо, это обычная частотная характеристика 6//(/со), изображенная в полярных
координатах. Рассмотрим детально каждый участок контура Найквиста Гд. и определим соот-
ветствующие участки контура Гвн на 6//(5)-плоскости.

(а) Начало координат на s-плоскости. Обход полюса в начале координат по дуге бесконечно
малого радиуса можно представить функцией GH(s), положив в ней 5 = Ее79 и считая, что е из-
меняется от-90° при со = 0 до +90° при со = 0+. Так как е О, то отображение 67/(5) принима-

ет вид:

lim GH (5) = lim

8->0	Е—>0

7Ф

(9.18)

Следовательно, аргумент контура на 6/7(5)-плоскости изменяется от 90° при со = 0 до -90°
при со = 0+, проходя через значение 0° при со = 0. Этот участок контура на 6/7(5)-плоскости.
изображенный на рис. 9.10(5), имеет вид полуокружности бесконечного радиуса. Точки, обо-

а)
значенные Л, В и С на рис. 9.10(a), отображаются в соответствующие точки Л, В и С на рис.
9.10(5).

(о) Участокопш = 0г до со = +<ю. Этот участок контура Гд. отображается с помощью функции
GH(s) путем простой замены 5 =усо, т. е.

GH(s)[s^ia = GH(j^	(9.19)

что соответствует частотной характеристике системы, построенной в полярных координатах.
Соответствующий участок контура изображен на рис. 9.10(5). При ш —> -ьда мы получаем

К	К -,7(-+arctg ют)

lim GH(ji^)- lim -----------= lim —-e 2	.	(9.20)

co ->+•*	co->-H4 усо(усот 4- 1)	TCD

Таким образом, при co —> -ню |СЯ(/со)| —> 0, a arg GHijoy) —> -180°.

(в)	Участок от со = 4-оо до со = —оо. Участок контура 1\ от ш - -юо до ш = —оо с помощью функ-
ции GH(s) отображается в начало координат С7/7($)-плоскости. Это отображение описывается
выражением

limG//(s)| = liniA-e’2'” .	(9.21)

Г-Ж	Г->Х

где ф изменяется от 4-90° при со ~ -ню до -90° при со = -оо. Поэтому на контуре Г(;и происходит
скачок аргумента с —180° при со = 4-ао на 4-180° при со = -оо. Что касается модуля GH(s) при
г — оо, то он всегда равен нулю или постоянному значению.

(г)	Участок от со = —оо до со = 0”. Этот участок контура Гд. отображается с помощью функции
GH(s) при 5 = -усо, т. е.

сад =-7Ш = ОД-усо) .	(9.22)

Так как функция GH(-jm) является комплексно-сопряженной с GH(+jm), то участок контура
ГГ;7У. соответствующий —оо<со <0\ симметричен относительно действительной оси участку
для оо > со > 0+, как это показано на рис. 9.10(5).

Для ответа на вопрос об устойчивости данной системы второго порядка мы сначала заметим,
что функция GH(s) не имеет полюсов в правой полуплоскости, т. е. В ~ 0. Следовательно, сис-
тема будет устойчива только если Z = ;V = 0. а это значит, что контур Гс;// не должен охваты-
вать точку-1. Из рис. 9.10(5) ясно, что ни при каких значениях К и т контур никогда не охватит
точку -1 и система всегда будет устойчива. Как и в главе 7, мы рассматриваем только положи-
тельные значения коэффициента К. Если К может быть отрицательным, то в выражении GH(s)
просто надо изменить знак у К, а все рассуждения остаются в силе.

Из рассмотренного примера можно сделать два общих вывода:

1.	Участок контура для —оо < ы <0~ всегда симметричен относительно действительной
оси участку этого контура для 0+ < о) < 4-оо. Поэтому для анализа устойчивости достаточ-
но построить контур Г только для положительных значений частоты, 0+ < о> < 4-х.

2.	Модуль GH(s) при s = г&ч* и г —> оо всегда стремится к нулю или к постоянной величине.

Пример 9.3. Система с тремя полюсами

Рассмотрим еще раз одноконтурную систему на рис 9.1 и будем считать, что

GH(s)=--------±(9.23)

+ 1)(t2.v + 1)

Контур Найквиста для этого случая изображен на рис. 9.10(a). Напомним, что отображения
для GHfJto) и GH(-Jto) симметричны относительно действительной оси, поэтому достаточно
исследовать годограф GHtJw). Начало координат 5-плоскости, как и в примере 9.2. отобража-
ется в полуокружность бесконечного радиуса. Кроме того, полуокружность где г оо,
отображается в точку GH(s) = 0, как и следовало ожидать. Следовательно, для анализа устой-
Нгствующие точки А, В и С на рис.

я отображается с помощью

функции

чивости достаточно построить участок контура Г67у, который представляет собой частотную
характеристику GIPjcA для (Г < со < +оо. Для 5 = +jo) мы имеем:

(9.19)

GH (/со) =----------------------------

ytofyeor, + 1)О(от2 + 1)

-^(Ti+ т2)~7'А:(1/со)(1-ш2т|т2)
1+ <О2(Т|2 + т2) + (О4Г2Т2

Эроенной в полярных координатах
При со —>	мы получаем

К	~/(т + arctgoT, + aretgut, )

[со4 (т, + т2)2 + <1)2(1 - (О2Т|Т2)2]'2

(9.24)

Л -jCz+arclgvn)

 —- е	2

** ты"

(9.20)

При а) - (Г \GH(ja>)\ = оо, a arg GH(J(a) = -90°.
При со -> -ьоо мы имеем:

♦ —180е.

* х w ~ ~ао с помощью фу'нк-
сти Это отображение описывается

lim GH(j(o)~ lim —-------

'-***	“-^+y-(0T]T2

Я

“+arctg (DTj ^arctgo)T2
е

(9-25)

Таким образом, \GH(J($)\ становится равным нулю, когда arg GH(Jto) = -270°. Чтобы это прои-
зошло, годограф GH(jw) должен пересечь действительную ось, как показано на рис. 9.11. и.
следовательно, может охватить точку -L В ситуации, изображенной на рис. 9.11. годограф
дважды охватывает точку-1, т. е. система является неустойчивой и два корня ее характеристи-

«этому на контуре I'GW происходит

Что касается модуля GH(s) при
к

Вюоражается с помощью функции

ческого уравнения находятся в правой полуплоскости. Точку, в которой годограф G7/(yw) пе-
ресекает действительную ось. можно найти, приравняв нулю мнимую часть функции
GH(jto) = и + jv. Из (9.24) имеем:

v = ... -к^~	) = 0.	(9.26)

1 ( 7 ч2/ 2 , 2\	2 2	

14- (0 (Т| 4- Т2)4- СО Т[Т2

(9.22)

«в	то участок контура

-но действительной оси участку

вго порядка мы сначала заметим.
В- т е. Р ~ 0. Следовательно, сис-
IB контур ГCjH не должен охваты-
К А и т контур никогда не охватит
ы рассматриваем только положи-

тельным, то в выражении GH(s)
1 в силе.

М относительно действительной
лита устойчивости достаточ-
гчеиий частоты, 0+ < щ < + <.
ди к постоянной величине.

считать, что

(9.23)

ik Напомним, что отображения
В410Й оси. поэтому достаточно
как и в примере 9.2, отобража-
О? окружность геУф. где г -> ос.
овательно. для анализа устой-
к

Таким образом, v = 0, если 1 -co^jT, = 0. или со = 1/^Tfr?. На этой частоте действительная

часть GH(jw) равна

-ЛДТ1+ т2)

14- СО2(Т? 4- Т2)+ СО4Т2Т2

Ь}2 = 1/Т[Т2

Следовательно, система будет устойчива, если
z£Eil2 >_1
Ч+Т2

или

(9.27)

(9.28)

Рис. 9.11

Диаграмма Найквиста для функции
GH(s) = K/s^s + 1)(t2s + 1).

Штрихом слева от начала координат
отмечена точка -1
Мнимая ось

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Действительная ось

Действительная ось

Рис. 9.12. Диаграмма Найквиста для функции GH(s) = K/s(s + 1)2
при (а) К ~ 1, (б) К - 2 и (^) К = 3

Если, например, Tf = т2 = 1, то G{s)H{s) = A7s(s+1)2 и, используя условие (9.28), находим, что
система будет устойчива при К < 2. Диаграммы Найквиста для трех различных значений К
приведены на рис. 9.12.

Пример 9.4. Система с двумя полюсами в начале координат

Обратимся еще раз к анализу устойчивости одноконтурной системы на рис.9.1, но в данном
случае будем считать, что

GH (5) = -5-^—.	(9.29)

5 (TS4- 1)

Путем замены $=/со перейдем к частотной характеристике:

GH О'со) =

-со2(усот + 1)

_________	_________71 “ arctg w*)
/,.4 .___2 6 J/2 L

(CO 4- T CO )

(9.30)

Заметим, что argG/7(/co) всегда отрицателен и превышает -180°, следовательно, годограф
GH(j<n) при всех значениях со находится выше действительной оси. При со —> 0+ мы имеем:

lim GH(jw) =
o->0T

(9.31)

Если со —> +оо, то мы получаем:

lim GHfJw)-

Ш—>4«

-/Зтг/2

(9.32)

При обходе начала координат 5-плоскости по полуокружности бесконечно малого радиуса,
т. е. при 5 = Ее7’11, мы имеем:

limG//(s) = lim 4 е"72'1’,	(9.33)

£->0	Е—>0

где —л/2 < ср < л/2. Поэтому контуру ГСгН соответствуют аргументы -ьл при со = 0 . -л при
со = 0+, а при изменении со от со = 0” до со = О' контур дополняется полной окружностью беско-
нечного радиуса. Полный вид контура Г(ЗИ приведен на рис. 9.13. Поскольку этот контур дваж-
ды охватывает точку —1, то два корня характеристического уравнения замкнутой системы на-
ходятся в правой полуплоскости и система неустойчива при любых значениях К.
’ j 1--------

б’Я-плоскость

О
Действительная ось

неустойчивая
система

в)

= K/s(s + 1)2

словие (9.28), находим, что
рех различных значений К

Рис. 9.14

Система управления второго
порядка с обратной связью

врдинат

мы на рис.9.1, но в данном

(9.29)

Рис. 9.13

Отображение контура Найквиста
с помощью функции GH(s) = K/s^

(9.30)

Пример 9.5 Система с полюсом в правой половине s-плоскости

Рассмотрим систему управления с неустойчивым объектом и ПД-регулятором (рис. 9.14). Сна-
чала будем считать, что канал производной в регуляторе отсутствует, т. е. К2 = 0. В этом слу-
чае разомкнутая система имеет передаточную функцию

GH(s) = —.	(9.34)

Ф - I)

U 7 j

г следовательно, годограф
Ж- При со —> 0+ мы имеем:

(9.31)

Эта передаточная функция имеет один полюс в правой полуплоскости, поэтому Р= I. Чтобы
замкнутая система была устойчива, необходимо выполнение условия N = ~Р = -I, т. е. контур
на 6Я(5)-плоскости должен один раз охватить точку -1 в направлении против часовой стрел-
ки. При обходе начала координат по полуокружности мы полагаем 5 = ге™. где -л/2 < ср < л/2.
В этом случае мы имеем:

(9.32)

сконечно малого радиуса.

lim G//(s) = lim

I

/<р

е->0 —Ев

/(-180°^)

С

(9-35)

Следовательно, соответствующий участок контура ГСгН представляет собой полуокружность
бесконечного радиуса в левой половине 6Я(.у)-плоскости, как показано на рис. 9.15. При 5 =/со
мы имеем:

(9.33)

GH(J(a) =---(11--=	/WarctgH) = _21^е/(я/2+ИИ8В)	(9 36)

y‘w(/co-l) (со2 + со4) 2	(со2 + ю4)2

гы -л при ш = 0”. -л при
мной окружностью беско-
скольку этот контур дваж-
и замкнутой системы на-
кх значениях К.

Наконец, для полуокружности радиуса мы имеем:



limG^(s)|v=rc,7<₽

(9.37)

где угол ср изменяется от л/2 до - л/2 по часовой стрелке. Следовательно, аргумент контура
rGW в начале координат ОЯ(5)-плоскости скачком изменяется на 2л рад в направлении против
часовой стрелки, как показано на рис. 9.15. Некоторые важные значения, необходимые для по-
Рис. 9.15

Диаграмма Найквиста
для функции	- 1)

строения годографа GH(s), приведены в табл. 9.3. Контур Гс// на С/7/($)-плоскости один раз ох-
ватывает точку -1 по часовой стрелке, т. е. 4V-+I. Следовательно.

Z = N + P = 2,	(9.38,1

и система неустойчива, т. к. два корня ее характеристического уравнения всегда находятся в
правой полуплоскости, независимо от величины коэффициента К{.

Таблица 9.3. Значения GH(s)

s	/Г	jQ+

] G//|/X 1	оо	00

arg GH	-90°+90°

j[

1/72	0	0

+ 135°_________+180°________-180°

Теперь рассмотрим случай, когда в системе на рис. 9.14 задействован канал производной
(К2 > 0). Передаточная функция разомкнутой системы принимает вид

GH (s) =

А (1 -ь Ks)
5(5 -1)

где К - Кг!К ।.

(9.39)

Участок контура TG7/ при 5 = се79 — тот же самый, что и при отсутствии канала производной,
как показано на рис. 9.16. Однако при $ = ге^ и г —> оо мы получаем:

= Нт^еЛ	(9.40)

у

UinGH(s)
„	J С-

и аргумент контура в начале координат 6/7($)-плоскости претерпевает скачок на л рад в
направлении против часовой стрелки, как показано на рис. 9.16. Годограф определяет-
ся выражением

*>	7	>

GH (усо) =	= -Ai(co~ + сГХ‘)+ у'(со —Асо )Х\	,у 4

“СО2--- /со	СО2 4- со4

Точку пересечения этого годографа с действительной осью можно определить, приравняв
нулю мнимую часть

со - Асо5 = 0,

откуда следует со" = VK. При этом действительная часть GH(Joy) имеет значение

Исо2=1/Х



(9.42)

со2 ==|/К
I

Рис. 9.16

Диаграмма Найквиста для функции
GH{s) = /^(1 + Ks)/s{s - 1)

I GHi s i-плоскости один раз ox-

(9.38)
уравнения всегда находятся в

Следовательно, если -КГК < -1, или К}К > 1, то контур Г67/ один раз охватывает точку -1 в на-
правлении против часовой стрелки, т. е. А’ = -1. Тогда число корней характеристического
уравнения системы, находящихся в правой полуплоскости, будет равно

= +1 = о.

Отсюда следует вывод, что система будет устойчива при > 1, т. е. при К2 > 1-

Пример 9.6. Система с нулем в правой половине s-плоскости

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.1, если

-180°-180°

Йствован канал производной

ГТ вид

А = Аз/Х'ь	(9.39)

утствии канала производной,
рваем:

(9,40)

истерпевает скачок на л рад в
Годограф GH(jm) определяет-

жно определить, приравняв

i) имеет значение

GH (s) =

К (s - 2)

(S +1)2

Заметим, что в разомкнутом состоянии эта система устойчива. После замены 5 ~ уса получим:

А (jco - 2) _	К (jo - 2)

(jo) + I)2	(1-а)2)+ j2u)

(9-43)

При го -» +оо мы имеем

lim GH (7<о) =

lim

При го = V5 GH(J(m) = К/2. а при го ~ 0+ GH(j&) = -2К. Диаграмма Найквиста для GH(j($)/K
изображена на рис. 9.17. Годограф GH(j(a) пересекает точку (-1+у0) при К = 1/2. Следователь-
но, система устойчива только в диапазоне 0 < К < 1/2. Если К > 1/2, то число охватов точки -1,
iV- I. Число полюсов GH(s) в правой полуплоскости, Р- 0. Таким образом, мы имеем
2=/у +1.

т. е. система неустойчива. Анализ диаграммы Найквиста, изображенной на рис. 9.17 для
GH(j(n)/K, показывает, что система будет неустойчива при всех К >1/2.

9.4. Относительная устойчивость и критерий
Найквиста

В разделе 6.3 мы рассматривали понятие относительной устойчивости, связывая его с рас-
положением на ^-плоскости корней характеристического уравнения. Это понятие мы опре-
делили как свойство системы, оцениваемое по времени установления переходной характе-



\ <i>->-нх со 7
Рис- 9-17, Диаграмма Найквиста к примеру 9.6 для GH(ju)/K



Рис. 9.18

Годограф На
значениях кс

ристики, обусловленному каждым корнем или парой комплексно-сопряженных корней.
Мы установили, что чем короче время у становления, тем большей относительной устойчи-
востью обладает система. Было бы крайне полезно получить похожую оценку относитель-
ной устойчивости, используя частотные характеристики системы. Критерий Найквиста
позволяет определить абсолютную устойчивость системы, но, что не менее важно, может
быть использован и для оценки относительной устойчивости.

Для критерия Найквиста важна точка (-1,/0) на комплексной плоскости или соответ-
ствующие ей значения 0 дБ и -180° на диаграмме Боде. Ясно, что близость годографа

к этой точке может служить мерой относительной устойчивости системы. На
рис, 9.18 изображена частотная характеристика, соответствующая функции

=----------—----------,	(9.44)

J<O(jCOT| + l)(yODT2 +1)

; Чем меньше
j разность ме
I хстойчивост

определяет!
вый сдвиг |
j было бы хве

I и--1.Так,1
дат-О.Пос

I лю определи

Запас по мск

; Например, с

Полагая К =

построенная для трех разных значений Л. ПриувеличенииЛ годограф GH(jG) приближает-
ся к точке -1, а при К~К3 даже охватывает ее. В примере 9.3 мы нашли, что годограф пере-
секает действительную ось в точке

TCtj Тэ
и ---------

И

(9.45)

Следовательно, два корня характеристического уравнения системы будут находиться на
мнимой оси, если

и — 1 или К -

или

Таким обра
\ величшъ в
*

Запас J
зываю
мы, пр
ста пр
Рис. 9.18

Г одограф Найквиста для б?//(/со) при трех
значениях коэффициента усиления

Чем меньше К относительно этого критического значения, тем более устойчива система, и

разность между К =	и> скажем> К~К2 может служить мерой относительной

устойчивости. Эта мера относительной устойчивости называется запасом по модулю и

определяется как величина, обратная модулю

!Э_6 для GH!jto)/K

GHfjai) на частоте, при которой

азо-

л

вый сдвиг равен -180° (т. е. v = 0). Запас по модулю показывает, во сколько раз можно
было бы увеличить коэффициент усиления системы, чтобы годограф прошел через точку
и - -1. Так, на рис. 9.18 при К = К2 запас по модулю равен обратной величине GH(j<&), ког-
да v = 0. Поскольку фазовый сдвиг равен -180° при ч астоте со -1 /^1^2, то з апас по моду-

иексно-сопряженных корней.
Шлей относительной устойчи-
ьпохожую оценку относитель-
аистемы. Критерий Найквиста
во. что не менее важно, может

жсной плоскости или соответ-
сно. что близость годографа
й хстойчивости системы. На
вующая функции

лю определяется выражением

(9.46)

(9.44)

годограф GHtjto) приближает-
мы нашли, что годограф пере-

Запас по модулю можно также измерять в децибелах:

= -20 lg d,

дБ.

(9.47)

Например, если Tj = ъ - 1, то система устойчива при К < 2.
Полагая К - К2 - 0,5, мы получим запас устойчивости

201g4- 12 дБ.

(9.48)

или

(9.49)

GH(j^)



(9-45)

системы будут находиться на

Таким образом, запас по модулю показывает, что коэффициент усиления системы можно
увеличить в 4 раза (или на 12 дБ), прежде чем она окажется на границе устойчивости.

Запас по модулю — величина, определяемая при фазовом сдвиге -180° и пока-
зывающая во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления систе-
мы, прежде чем она окажется на границе устойчивости, т. е. диаграмма Найкви-
ста пройдет через точку -1 + /0.
Другим показателем относительной устойчивости может служить запас по фазе. Он

показывает, на какой угол должен быть повернут годограф чтобы при частоте, на

которой \GH(j(£))\ = 1, он прошел через точку (-1,/О). Эта мера относительной устойчиво-
сти эквивалентна дополнительному запаздыванию по фазе, при котором система оказыва-
ется на границе устойчивости. Запас по фазе легко определить по диаграмме Найквиста

на рис. 9.18. При коэффициенте К - К2 это величина (р2, а при К = Кх это фь т. е. такие до-
полнительные фазовые сдвиги, при которых система оказывается на границе устойчиво-

сти.

Запас по фазе — величина, определяемая на частоте, при которой \GH(j(&)\ ~ 1 и

показывающая, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допус-

тим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости, т. е. диаграм-
ма Найквиста пройдет через точку -1+/0.

Поскольку частотные характеристики предпочтительнее изображать не в полярных
координатах, а в виде диаграммы Боде, то запасы устойчивости по модулю и по фазе мо-
гут быть определены по этой диаграмме. При анализе устойчивости с помощью диаграм-
мы Найквиста критической точкой является точка с координатами и = -1, v - 0. На диа-
грамме Боде ей соответствуют значения 0 дБ для модуля \GH(j($)\ и 180° (или -180°) для
фазового сдвига*

По диаграмме Найквиста достаточно просто определяется устойчивость минималь-
но-фазовых систем. При этом запасы устойчивости по модулю и по фазе легко вычисля-
ются с помощью компьютерной программы. Однако, если система неминимально-фазо-
вая, то для определения ее устойчивости надо иметь полный вид диаграммы Найквиста.

Покажем, как определяются запасы устойчивости по диаграмме Боде для функции

GH(Jv>) =-------1,	(9.50)

M/W+1)(0,2>+1)

изображенной на рис, 9.19. На частоте, при которой 201g|GH(j®)| = 0 дБ, фазовый сдвиг ра-
вен -137°, поэтому запас по фазе составляет 180° - 137° = 43°. На частоте, при которой
ф(со) = -180°,201g|G/7(/(o)| = -15 дБ, следовательно, запас по модулю составляет 15 дБ. Эти
запасы устойчивости отмечены на рис. 9.19.

Рис. 9.19

Диаграмма Боде
для функции

GH1 (/ш) ~ 1 //со (/со +

+ 1)(О,2/со + 1)
||

иожет служить запас по фазе. Он

аф бЯ(/(о), чтобы при частоте, на

а мера относительной устойчиво-
го. при котором система оказыва-
еделить по диаграмме Найквиста
в при К - К\ это т. е. такие до-
жзывается на границе устойчив о-

line, при которой |(7Я(/<о)| = 1 и

гельный фазовый сдвиг допус-

ке устойчивости, т. е. диаграм-

кнее изображать не в полярных
вости по модулю и по фазе мо-
ГОйчивости с помощью диаграм-

1П

датами и = -1, v = 0. На диа-

l‘<W/(o)i и 180° (или-180°) для
л

ииется устойчивость минималь-
Ьяулю и по фазе легко вычисля-
ли система неминимально-фазо-
Ин вид диаграммы Найквиста,
диаграмме Боде для функции

(9.50)

I)

nt

ййуи); = 0 дБ, фазовый сдвиг ра-
“43е. На частоте, при которой
Ю модулю составляет 15 дБ. Эти

Рис. 9.20

Логарифмические
амплитудно-фазовые
диаграммы для
функций GH\ и GH2

Ф(о)

Частотные характеристики системы графически можно представить в виде логариф-
мической амплитудно-фазовой диаграммы, по которой тоже легко определить запасы
устойчивости. На рис. 9.20 изображена логарифмическая амплитудно-фазовая диаграмма

для функции

GH। (усо) —

_________1_________

y®(y<o+l)(0,2jo)+l)

(9.51)

f

На диаграмме отмечены запас по фазе в 43° и запас по модулю, равный 15 дБ. Для
сравнения на той же диаграмме построена кривая, соответствующая функции

G/7,(» =---------(9.52)

;ю(/ю+1)“

В этом случае запас по модулю составляет 5,7 дБ, а запас по фазе равен 20°. Отсюда следует,
что система с передаточной функцией G7/2(/w) относительно менее устойчива, чем система с
передаточной функцией	Остается, однако, вопрос: насколько она менее устойчива?

На этот вопрос мы дадим ответ в следующем разделе применительно к системе второго по-
рядка, а также покажем, что связь между показателями качества во временной и частотной
областях является достаточно сильной только при наличии доминирующих корней.

Теперь давайте рассмотрим, какая связь существует между запасом по фазе и относи-
тельным коэффициентом затухания С, системы второго порядка. Пусть передаточная фун-
кция системы, изображенной на рис. 9.1, имеет вид:

GH(s) =----------.	(9.53)

s(s+ 2^„)
Замкнутая система имеет характеристическое уравнение:

S2 + 2^(0/;5 + (0^ =0.

Корни этого уравнения:

Л — i J^n V '

В частотной области функция (9.53) приобретает вид;

GHU®) =--------.	(9.54)

X уса+2<^со„)

На частоте (обычно называемой частотой среза) мы имеем |GH{j®)\ = 1, т. е.



Преобразуя (9.55), получим:

(9.56)

Решая это уравнение относительно сос, находим, что
— = (4£4 + 1)|/2
“>п

Запас по фазе в данной системе равен

Фрт =180° -90°-arctg

ок

= 90с -arctg<

= arctg < 2С

«+1)

(9.57)

Выражение (9.57) определяет связь между коэффициентом затухания £ и запасом по
фазе ф и это соотношение связывает между собой временные и частотные характери-
стики системы. Зависимость между и ф w приведена на рис. 9.21. Действительная кривая
может быть аппроксимирована пунктирной линией на этом рисунке. Наклон этой прямой
равен 0,01, поэтому связь между коэффициентом затухания и запасом по фазе можно
представить выражением

£=0,01фр,„,	(9.58)

где запас по фазе измеряется в градусах. Эта аппроксимация, достаточно точная для £ < 0,7,
может служить хорошим показателем связи между частотными характеристиками систе-
мы и ее показателями качестваво временной области. Соотношение (9.58) относится толь-
ко к системам второго порядка, но может быть использовано и применительно к системам
более высокого порядка, если их переходная характеристика в основном определяется па-
рой доминирующих корней характеристического уравнения. Аппроксимация системы вы-
сокого порядка моделью второго порядка — это поистине великолепная вещь! И хотя к
этому методу оценки качества системы следует подходить с осторожностью, многие инже-
неры считают его простым и достаточно надежным при предъявлении требований к систе-
ме управления.
ш:

(9.54)
р

иее.м = ], т. е.

(9.55)

(9.56)

(9.57)

Пом затухания и запасом по

иые и частотные характери-

Г

^9.21. Действительная кривая

|»€унке. Наклон этой прямой

И и запасом по фазе можно

(9.58)

Жхггаточно точная для Q < 0,7,
ей характеристиками систе-
шение (9.58) относится толь-
 применительно к системам
В основном определяется па-
Лппроксимация системы вы-
Ешколепная вещь! И хотя к
порочностью. многие инже-
влении требований к систе-

Рис. 9.21

Связь между
коэффициентом
затухания и запасом
по фазе для системы
второго порядка

Запас по фазе, (град.)

Исходя из изложенного,

для системы с передаточной функцией

СЯ(/со) =--------------------

ую(ую4- 1)(0,2усо+1)

(9.59)

мы на основании рис. 9.19 нашли, что запас по фазе равен 43°. Поэтому коэффициент зату-
хания приблизительно равен

^ = 0,014)^ = 0,43.	(9.60)

Тогда относительное перерегулирование при ступенчатом входном сигнале будет состав-
лять примерно:

перерегулирование = 22%,	(9.61)

как это можно получить с помощью рис. 5.8 для Q = 0,43.

Можно написать компьютерную программу, которая вычисляла бы и изображала
графически зависимость запаса по модулю от коэффициента К для конкретной функции
GH(j®). Рассмотрим, например, систему на рис. 9.1, если

GH(s) =  К ,,

s(s + 4)~

Коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости, равен
К = К* = 128. Зависимости запаса по модулю и запаса по фазе от коэффициента К представ-
лены соответственно на рис. 9.22(a) и 9.22(6). А на рис. 9.22(e) изображена связь между за-
пасами устойчивости по модулю и по фазе, где параметром является коэффициент усиле-
ния К. Заметим, что для оценки качества системы можно использовать как запас устойчи-
вости по модулю, так и запас устойчивости по фазе. В дальнейшем мы обычно будем при
оценке качества системы по частотным характеристикам отдавать предпочтение запасу по
фазе.

Запас устойчивости по фазе достаточно хорошо характеризует вид ожидаемой пере-
ходной характеристики системы. Другим полезным показателем качества является мак-
симум амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы М , и далее мы рас-
смотрим этот важный с практической точки зрения показатель.
Запас по .модулю в зависимости от К

Запас по фазе в зависимости от К

Рис- 9.22. (а) Зависимость запаса по модулю от коэффициента усиления /С
(б) Зависимость запаса по фазе от коэффициента усиления К.

(в) Связь между запасами устойчивости по модулю и по фазе

9.5. Критерии качества во временной
и частотной областях

Качество замкнутой системы управления, оцениваемое по ее переходной характеристике,
можно связать с ее частотными характеристиками. Частотные характеристики замкнутой
системы определяются по ее передаточной функции 7ft). Частотные характеристики одно-
контурной системы с обратной связью в разомкнутом и замкнутом состоянии связаны со-
отношением



(9.62)

Критерий Найквиста и понятие запаса по фазе применяются к частотной характеристике
разомкнутой системы GW(/co). Однако, как было установлено в разделе 8.2, максимум амп-
литудно-частотной характеристики замкнутой системы второго порядка можно связать с
коэффициентом затухания соотношением

М =1	)! =	? г1 • С < 0,707.	(9.63)

Эта зависимость графически представлена на рис, 8.11, Учитывая важность связи между
частотными характеристиками замкнутой системы и переходным процессом, необходимо
уметь оценивать величину по диаграммам, с помощью которых исследуется устойчи-
вость системы методом Найквиста. Иначе говоря, надо уметь определять частотные харак-
I теристики замкнутой системы по ее частотным характеристикам в разомкнутом состоя-
нии. Конечно, мы могли бы найти корни характеристического полинома 1 + GH(s) и затем

I построить частотные характеристики замкнутой системы по ее передаточной функции
7V). Но, затратив массу усилий по определению корней характеристического уравнения
замкнутой системы, у нас отпадет необходимость построения ее частотных характеристик,
т. к. зная эти корни, можно сразу найти вид переходной характеристики.

Связь между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой систем легко
! установить, используя выражение (9.62) при H(jo)) - 1. Если в действительности обратная
связь не является единичной, то за выход системы просто надо принять точку после блока
Я(/со). Итак, на основании (9.62) мы имеем:

Г(;ы) = М(Ш)е'‘р(ш) = ~~--
1 + G(ja>)

(9.64)

пс фазе (град.)

щиента усиления К.
усиления К.

ю и по фазе

Эту зависимость удобнее выразить через координаты и и у комплексной плоскости, на ко-
торой изображается годограф G(/co). Тогда

С(/со) == и + jv
и модуль частотной характеристики замкнутой системы

С(Л>)
l+GQta)

Возводя (9.66) в квадрат и перегруппируй члены, получим:

2	2 11/2

(9.65)

(1-М )и +(1-Л/->- -2М'и = М~.	(9.67)

Разделим (9.67) на (1 -Лг) и добавим к левой и правой части этого уравнения член

иной

реходнои характеристике,
Ирактеристики замкнутой
иые характеристики одно-
юм состоянии связаны со-

В результате получим:

_ _ л

1-А/2

м*
\-м2

Группируя члены, приходим к уравнению:

М-
и----

\-м

м-
\-м2

М2
1-М2

(9.68)

(9.69)

М =

М





(9.62)

астотнои характеристике
рзделе 8.2, максимум амп-
I порядка можно связать с

(9.63)

ая важность связи между
м процессом, необходимо
рых исследуется устойчи-
всделять частотные харак-

которое представляет собой уравнение окружности с центром в точке

Л/2 Л
и =------ , у = 0.

1-Л/2

Радиус этой окружности равен |Л//(1 -Лг)|. Придавая Мразличные постоянные значения,
можно на плоскости (u, jv) построить окружности, каждой из которой будет соответство-
вать одно и то же М. Несколько таких линий постоянного значения М изображены на
рис. 9.23. Окружностям слева от и = - 0,5 соответствуют значения М> 1, а окружностям
справа от и =-0,5 — значенияЛ/< 1,ПриЛ/= 1 окружность вырождается в прямую линию
и = - 0,5, как это очевидно из (9.67).

На рис. 9.24 изображены частотные характеристики разомкнутой системы при двух
разных значениях коэффициента усиления, причем K2>KV При годограф G(/o) касает-
ся окружности, соответствующей и точка касания характеризуется частотой со . Дна-
Рис. 9.23

Окружности постоянных значений М

логично, при К2 годограф на частоте касается окружности, соответствующей Мг. Поэ-
тому амплитудно-частотные характеристики замкнутой системы имеют примерно такой
вид, как на рис. 9.25. Таким образом, мы можем получить частотные характеристики зам-
кнутой системы, используя годограф GQ'to) на комплексной плоскости и семейство
окружностей постоянного значения М. Если нас интересует только максимальное значе-
ние амплитудной характеристики замкнутой системы, то это значение можно определить
непосредственно по частотным характеристикам разомкнутой системы, построенным в
полярных координатах. Это значение Мр равно показателю М, соответствующему той
окружности, которой касается годограф G(/'co). Точке касания соответствует резонансная
частота замкнутой системы. Полный вид амплитудной характеристики замкнутой систе-
мы можно определить, просто считывая значения Мс тех окружностей, которые пересе-
кает годограф на разных частотах. Поэтому при К = К2 амплитудная характеристи-
ка замкнутой системы имеет значение на частотах со L и ш2, как ясно из рис. 9.24 и 9.25.
Полоса пропускания замкнутой системы при К- на рис. 9.25 обозначена как .

М

Рис. 9.24. Частотные
характеристики для G(/to)
в полярных координатах для двух
значений коэффициента усиления
(Лг > Ку)

Рис. 9.25. Амплитудно-частотные характеристики
замкнутой системы для двух значений
коэффициента усиления (К2 > Ку)

К

I Эмпирически мм
I полосой пропускали
I для в диапазоне оп
II Аналогичным ей
1| фазовому сдвигу зал

В ।

I

I Взяв тангенс от обеис

I чим:

И

I где N = tg<p = const J

I (9.71) к виду:

К

Ki

Ki

I что представляет соб
I ус окружности равеи
I во окружностей, соо
I Окружности пои
I вать при анализе и с»
стемы удобнее преж
ных значений М и 5’
впервые было с дела
рифмической ашш

S Координаты диаграл
постоянных значени
f показано на рис. 9.26
теристик замкнутой

Пример 9.7. Ана

Рассмотрим смет
ную функцию

Годограф GQ’o)..
литудной харакп
слоте фазовый сд
пропускания зам
равным -3 дБ, а

Пример 9.8. Смс

Рассмотрим сист
стоянии имеет о
Эмпирически можно показать, что частота среза разомкнутой системы сос связана с
волосой пропускания замкнутой системы со^ приближенным соотношением сов = l,6cot
для £ в диапазоне от 0,2 до 0,8.

Аналогичным образом можно получить окружности, соответствующие постоянному
фазовому сдвигу замкнутой системы. Из выражения (9.64) мы имеем:

<р = arg T(jco)=arg

v	v

- arctg — arctg —

u 1 +

(9.70)

Взяв тангенс от обеих частей этого уравнения, после несложных преобразований мы полу-
чим:

? v

(9.71)

0.5

|ветствующей Мг. Поэ-
меют примерно такой
йе характеристики зам-
воскости и семейство
о максимальное значе-
ние можно определить
стемы, построенным в
юответствующему той
•етствует резонансная
гики замкнутой систе-
стей, которые пересе-
ву дная характеристик
ао из рис. 9.24 и 9.25.
обозначена как о).> .

где А = tg(p = const. Добавив к правой и левой части (9.71) член (1/4)(1+1/А ), приведем
(9.71) к виду:

5

(9.72)

4	»

I

что представляет собой уравнение окружности с центром в точке и - - 0,5 и v = 1/27V. Ради-
ус окружности равен (1/2)(1 + 1/N 2)1/2. На основании (9.72) может быть построено семейст-
во окружностей, соответствующих различным постоянным значениям N.

Окружности постоянных значений М и N на комплексной плоскости можно использо-
вать при анализе и синтезе систем управления. Но поскольку частотные характеристики си-
стемы удобнее представлять в виде диаграммы Боде, то имеет смысл окружности постоян-
ных значений М и 7V перенести на логарифмическую амплитудно-фазовую диаграмму. Это
впервые было сделано Н. Б. Никольсом, и соответствующая сетка кривых линий на лога-
рифмической амплитудно-фазовой диаграмме получила название диаграммы Никольса.
Координаты диаграммы Никольса — те же самые, что были введены в разделе 8.6. Линиям
постоянных значений М соответствуют децибелы, а линиям постоянных N — градусы, как
показано на рис. 9.26. Применение диаграммы Никольса для определения частотных харак-
теристик замкнутой системы мы проиллюстрируем двумя примерами.

Пример 9.7. Анализ устойчивости с помощью диаграммы Никольса

Рассмотрим систему с обратной связью, которая в разомкнутом состоянии имеет передаточ-
ную функцию

G(jco) =------------------------

>(> + 1)(0,2Jgj + 1)

(9.73)

<0

ъге характеристики
ip; значений

। (/С > Кл}

Годограф нанесенный на диаграмму Никольса, изображен на рис. 9.27, Максимум амп-
литудной характеристики Мр, равный +2,5 дБ, имеет место на частоте со,. = 0,8. На этой же ча-
стоте фазовый сдвиг в замкнутой системе равен —72°. На рис. 9.27 также показано, что полоса
пропускания замкнутой системы, определяемая значением ее амплитудной характеристики,
равным “3 дБ, составляет 1,33. Фазовый сдвиг на частоте со^ равен -142°.

Пример 9.8. Система третьего порядка

Рассмотрим систему с единичной отрицательной обратной связью, которая в разомкнутом со-
стоянии имеет передаточную функцию

0,64

(9.74)
Фазовый сдвиг разомкну гою кон гура G (град.)

Рис. 9.26. Сетка диаграммы Никольса

т. е. комплексным полюсам соответствует коэффициент затухания <^ = 0,5. Диаграмма Николь-
са для данной системы приведена на рис. 9.28. Запас по фазе, определенный по этой диаграм-
ме, равен 30°. На основании этого показателя можно оценить коэффициент затухания в зам-
кнутой системе: Q - 0,30. Максимум амплитудной характеристики имеет место на часто те

= 0,88 и равен +9 дБ, т. е.

20IgA/n = 9 дБ. или М., - 2.8 .
/ ф	/ ||)
I Рис. 9.27

| Диаграмма Никольса
s для (7(/о) -	+

 + 1)(0,2/w + 1).

На частотной
характеристике
отмечены три точки
соответственно
для « = 0,5; ш = 0,8;
со = 1,35

Соотношение (9.63) дает оценку ^-0.18.

Итак, мы получили два противоречащих друг другу значения, из которых одно является оцен-
кой по запасу устойчивости по фазе, а другое — по максимуму амплитудной характеристики.
Это свидетельствует о том. что в данном примере не прослеживается четкая связь между свой-
ствами системы в частотной и временной областях. Отмеченное несоответствие объясняется
особенностью годографа который, начиная с уровня 0 дБ. довольно быстро стремится к
линии, соответствующей фазовому сдвигу -180°. Если мы найдем корни характеристического
уравнения замкнутой системы 1 + GH(s) = 0. то получим

q(s) = (j + 0,77)(г + 0,2255 + 0,826) == 0.	(9.75)

ьсз

; = 0.5 Диаграмма Николь-
пределенный по этойдиаграм-
 коэффициент затухания в зам-
гтики имеет место на частоте

Коэффициент затухания, соответствующий комплексно-сопряженным корням, равен 0,124.
однако эти корни не являются доминирующими. В действительности затухание в системе бу-
дет больше за счет вещественного корня, поэтому приблизительная оценка С, скорее всего бу-
дет ближе к той, которая получена по показателю Мр„. т. е. С, - 0,175. Отсюда следует, что про-
ектировщик с большой осторожностью должен использовать связь между временными и час-
тотными характеристиками системы. Однако в целях большей безопасности при решении за-
дач анализа и синтеза всегда рекомендуется использовать меньшее из значений коэффициента
затухания, полученных по показателю М или по запасу устойчивости по фазе.

Диаграмму Никольса можно использовать при синтезе систем управления. Для этого
достаточно изменить вид годографа G(/(d) так, чтобы получить желаемые значения запаса
по фазе и показателя Мр . По диаграмме Никольса очень просто определить, как надо из-
Рис. 9.28

Диаграмма Никольса для
G (/ю) = 0,64/до[(до)2 +
+ /со + 1]

Фазовый сдвиг разомкнутого контура G (град.)

менить коэффициент усиления системы К, чтобы получить желаемое значение запаса по
фазе и показателя Мр . Например, вернемся к примеру 9.8, где

G(» =---------г-------	(9.76»

7'40)' + >+1]

На рис. 9.28 изображен годограф G(/<o), нанесенный на диаграмму Никольса при К = 0,64.
Попробуем определить, как надо изменить К, чтобы коэффициент затухания системы был
больше, чем 0,30. По рис. 8.11 находим, что требуемое значение Мр должно быть меньше,
чем 1,75 (4,9 дБ). По рис. 9.28 находим, что годограф 6(До) будет касаться линии, соответ-
ствующей значению 4,9 дБ, если |С7(/(о)| уменьшить на 2,2 дБ. Следовательно, К надо уме-
ньшить на 2,2 дБ, или, что то же самое, в 1,28 раза. Таким образом, если мы хотим, чтобы
коэффициент затухания системы был не менее 0,30, то коэффициент усиления системы К
должен быть меньше, чем 0,64/1,28 = 0,50.

9.6.	Полоса пропускания системы

Полоса пропускания замкнутой системы управления является прекрасным средством
оценки того, насколько хорошо она отрабатывает внешние воздействия. Для систем, у ко-
торых коэффициент усиления на низких частотах равен 0 дБ, полоса пропускания опреде-
-90	-60

лангура G (град.)

ляется частотой, на которой коэффициент усиления принимает значение -3 дБ. Чем больше
полоса пропускания системы тем больше скорость нарастания ее реакции на ступенча-
тый входной сигнал и тем меньше время установления. Поэтому элементы системы следу-
ет выбирать так, чтобы ее полоса пропускания была как можно больше.

Рассмотрим две передаточные функции замкнутой системы:

5+1

И

(9.77)

Для сравнения на рис. 9.29(a) приведены амплитудно-частотные характеристики этих сис-
тем, а на рис. 9.29(6) соответственно их реакции на ступенчатое входное воздействие. В ча-
сти (в) того же рисунка изображены реакции этих систем на линейный входной сигнал. Си-
стема с большей полосой пропускания быстрее реагирует на ступенчатый сигнал и лучше
воспроизводит линейный входной сигнал.

Рассмотрим теперь две системы второго порядка, которые в замкнутом состоянии
имеют передаточные функции

100

е значение запаса по

(9.76)

кольса при К = 0,64.
ухания системы был
хтжно быть меньше,
гься линии, соответ-
1гельно, К надо уме-
ли мы хотим, чтобы
сидения системы К

расным средством
I. Для систем, у ко-
юпу скания опреде-

Г3 (Д =

з2 +№+100

Рис. 9.29. Реакции двух систем первого порядка
и

т, (5) =

900

s2 +30J+900

(9.78)

Обе системы имеют коэффициент затухания £ = 0,5. Амплитудно-частотные характери-
стики этих систем изображены на рис. 9.30(4?). Собственная частота колебаний систем с пе-
редаточными функциями T3(s) и Тд(я) соответственно равна 10 рад/с и 30 рад/с, а их полоса
пропускания — соответственно 15 рад/с и 40 рад/с. Обе системы обладают одинаковым пе-
ререгулированием в 15%, но время максимума переходной характеристики у них разное —
0,12 с для системы с передаточной функцией T4(s) и 0,36 с для системы с передаточной фун-
кцией 7\(Д как это видно из рис. 9.30(0. Заметим также, что и время установления у этих
систем разное: 0,37 с для Г4О) и 0,9 с для Т3(5). Система с большей полосой пропускания об-
ладает большим быстродействием.

Рис. 9.30

Реакции двух
систем второго
порядка

20/g|71

9.7.	Устойчивость систем управления
с запаздыванием

В предыдущих разделах критерий устойчивости Найквиста рассматривался применитель-
но к системам, передаточные функции которых имели дробно-рациональный вид. Однако
во многих системах управления присутствует запаздывание по времени, существенно
влияющее на устойчивость. Запаздывание по времени — это промежуток времени между
моментом, когда в каком-то месте системы произойдет некоторое событие, и моментом.
когда это событие проявит себя в другом месте. Критерий Найквиста обладает тем преиму-
ществом, что он позволяет учесть влияние этого запаздывания на устойчивость системы.
Идеальное запаздывание по времени можно охарактеризовать передаточной функцией

ед = е ‘т,	(9.79)

где Тесть время запаздывания. Критерий Найквиста остается в силе и для систем с запазды-
ванием, поскольку множитель е л7 не приводит к появлению дополнительных полюсов или
нулей в передаточной функции разомкнутой системы. Этот множитель, не влияя на ампли-
тудную характеристику системы, вносит только дополнительный отрицательный фазовый
сдвиг.

Подобное запаздывание свойственно системам, в которых имеет место перемещение

материалов, когда между точкой, где произошло
какое-то изменение некоторой переменной, и точ-
кой, где проявляется соответствующий эффект,
проходит определенное (конечное) время.

В качестве примера приведем систему управ-
ления прокатом стальной полосы, изображенную
на рис. 9.31. Электродвигатель управляет скоро-
стью валков таким образом, чтобы минимизиро-
вать ошибку в толщине полосы. Если скорость
движения полосы равна у, то запаздывание между
точкой изменения скорости валков и точкой изме-

голщина

Рис, 9,31. Система управления
прокатным станом

рения толщины полосы равно

Таким образом, для уменьшения запаздывания необходимо уменьшать расстояние от вал-
ков до точки измерения толщины полосы. Но, так или иначе, влияние запаздывания полно-
стью исключить невозможно, поэтому передаточную функцию разомкнутой системы
управления надо рассматривать в виде

G(^)Gt(^)esT.	(9.80)

При этом частотная функция системы приобретает вид

G/7(jco) = GG£.(j<D)e“/o/ .	(9.81)

Обычно мы исследуем устойчивость замкнутой системы, построив годограф GHfjw) на
комплексной плоскости и исследуя его положение относительно точки -1. Аналогично,
мы можем построить диаграмму Боде и исследовать вид частотных характеристик в окре-
стности точки с координатами 0 дБ и -180°. Множитель	приводит к дополнительному

фазовому сдвигу

<р(ю) = -соТ,	(9.82)

который должен быть добавлен к фазовому сдвигу, создаваемому функцией GGc(/(d). (Об-
ратите внимание, что выражение (9.82) определяет угол в радианах.) Следующий пример
иллюстрирует, как просто учесть запаздывание при анализе устойчивости с помощью диа-
граммы Боде.
Рис. 9.32

(а) Система
управления
уровнем жидкости.

(б) Структурная
схема системы

а)

Гидравлический
исполнительный

механизм

10

Исполнительный
механизм

*

Уровень

Поплавок

(52/9+(5/3)+1

Пример 9.9. Система управления уровнем жидкости

На рис. 9.32(a) изображена система управления уровнем жидкости, а на рис. 9.32(6) — ее
структурная схема. Запаздывание между вентилем и точкой ввода жидкости в резервуар со-
ставляет Т = dN с. Если, например, поток жидкости равен 5 м3/с. площадь поперечного сечения
трубопровода 1 м". а расстояние d = 5 м, то запаздывание Т— 1 с. Тогда передаточная функция

вания. Логарифмическая
Следовательно, при отсут
личии запаздывания на ч
стойчивой. Поэтому, чт<И
ньшить коэффициент уси
ент усиления надо уме
Л' = 31,5/1,78- 17,7. '
Звено запаздывания всегл
тельно, ухудшает устойч)
вание присутствует обье
шать коэффициент у силе
новившейся ошибки.

9.8. Пример с*
управляв!

Пришло время подумать об
управляемых разведыватеж
на рис. 9.34(a), а структурна
на на рис. 9.34(6). Информа
возмущение/)^) обусловлю
ния в случае ступенчатого 1
шуюся ошибку и малое опз

Сначала мы получим :

е w = Ей

разомкнутого контура запишется в виде:

GH(s) - Ga(s)G(s)(Jj (s)e

____________31,5___________
(^+1)(30^+1)[(?/9)+(5/3)+1]

(9.83;

Соответствующая этой функции диаграмма Боде изображена на рис. 9.33. На диаграмме при-
ведены две фазовые характеристики — одна без учета запаздывания, другая с учетом запазды-

Рис. 9.33

Диаграмма Боде
для системы
управления
уровнем жидкости

со

Рис. 9.34

(а) Дистанционно
управляемый
разведывательный
аппарат.

(б) Система
управления
скоростью аппарата

/?(5) -
Заданна
скорост
Резервуар

вания. Логарифмическая амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ при о = 0,8.
Следовательно, при отсутствии запаздывания запас по фазе составлял бы 40°. Однако при на-
личии запаздывания на частоте о = 0,8 фазовый сдвиг равен -183°, и система является неу-
стойчивой. Поэтому, чтобы иметь достаточный запас устойчивости по фазе, необходимо уме-
ньшить коэффициент усиления. Так, если мы хотим получить запас по фазе в 30°, коэффици-
ент усиления надо уменьшить на 5 дБ, т. е. его новое значение должно быть равно
К = 31,5/1,78 = 17,7.

Звено запаздывания всегда вносит дополнительный отрицательный фазовый сдвиг и. следова-
тельно, ухудшает устойчивость замкнутой системы. Поскольку во многих системах запазды-
вание присутствует объективно, то для обеспечения устойчивости часто приходится умень-
шать коэффициент усиления. Однако расплатой за это является неизбежное увеличение уста-
новившейся ошибки.

9.8.	Пример синтеза: дистанционно
управляемый разведывательный аппарат

30s+l

Г(5)

Уровень

пс а на рис. 9.32(6) — ее
I жидкости в резервуар со-
шаль поперечного сечения
гда передаточная функция

Пришло время подумать об использовании миротворческими силами ООН дистанционно
управляемых разведывательных аппаратов. Один из проектов такого аппарата изображен
нарис. 9.34(a), а структурная схема системы управления скоростью его движения приведе-
на на рис. 9.34(6). Информация о заданной скорости передается аппарату по радиоканалу;
возмущение Z>(s) обусловлено встречающимися на пути неровностями. Система управле-
ния в случае ступенчатого входного сигнала 7?(л’) должна обеспечивать малую установив-
шуюся ошибку и малое относительное перерегулирование.

Сначала мы получим выражение для установившейся ошибки:

SS

- lim ^(5) = lim 5

Ж*)

*->о 1 + GCG(5)

1

1 + СсС(0)

(9.84)

е

--------е' .	(9.83)

+ Ц'3)+ 1]

г. 9.33. На диаграмме при-
L другая с учетом запазды-

Рис, 9.34

(а) Дистанционно
управляемый
разведывательный
аппарат.

(6) Система
управления
скоростью аппарата
Если выбрать К - 20, то установившаяся ошибка будет составлять 9% от амплитуды вход-
ного ступенчатого сигнала. Приняв это значение, приведем выражение GcG(s) к вид\.
удобному для построения диаграммы Боде:

10(1 + 5/2)

GCG(5) =------------------.	(9.8? !

(1+5Х1+5/2 + 5“/4)

Необходимые для построения вычисления при 0 < со < 6 приведены в табл. 9.4, а диаграмма
Никольса изображена на рис. 9.35. Из диаграммы следует, что Мр = 12 дБ, а запас по фазе
равен 15°. При этом система является недодемпфированной, и мы можем ожидать, что пе-
ререгулирование составит примерно 61%.

Таблица 9.4. Частотные характеристики к примеру на синтез

со	0	1,2	1,6	2,0	2,8	4	6
дБ	20	18.4	17.8	16,0	10,5	2,7	-5.2
Градусы	0	-65	-86	-108	-142	-161	-170

Рис. 9.35

Диаграмма Никольса
к примеру на синтез
системы при К - 20 и
двух меньших значениях
коэффициента усиления

Фазовый сдвиг разомкнутою контура G (град.)
Чтобы уменьшить перерегулирование, мы можем изменить в меньшую сторону ко-

э

зшк

ициент усиления системы. Так, чтобы ограничить перерегулирование величиной

25%, мы на основании рис. 5.8 выберем значение соответствующее доминирующим
корням, равным 0,4, а на основании рис. 8.11 получим оценку Л/ =1,35или
20lg М = 2,6 дБ. Уменьшение коэффициента усиления эквивалентно смещению частот-
ной характеристики вертикально вниз, как показано на рис. 9.35. При частоте оо t = 2,8 эта
характеристика как раз коснется линии, соответствующей значению 2,6 дБ. При этом сме-
щение частотной характеристики составит 13 дБ, что эквивалентно уменьшению коэффи-
циента усиления в 4,5 раза, т. е. он будет равен К = 20/4,5 = 4,44. При таком значении К
установившаяся ошибка будет равна

т. е. 31% от амплитуды входного ступенчатого сигнала.

В действительности реакция системы на ступенчатое воздействие приХ = 4,44 имеет
перерегулирование 32 %, как показано на рис. 9.36. Если принять коэффициент усиления
равным 10, то мы получим перерегулирование в 48 % и установившуюся ошибку, равную
17% от амплитуды входного воздействия. Показатели качества системы сведены в
табл. 9.5. В качестве компромиссного решения мы выберем значение Х= 10 и сдвинем
исходную частотную характеристику на диаграмме Никольса на 201g2 = 6 дБ, как показа-
но на рис. 9.35.

Таблица 9.5. Показатели качества при разных значениях К

Относительное перерегулирование

Время установления, с

Время максимума переходной характеристики, с

4,44	10	20
32.4%	48,4%	61.4%
4.94	5,46	6.58
1,19	0,88	0.67
31%	16,7%	9.1 %

Примечание: Относительное перерегулирование определяется по формуле (5.12).

По диаграмме Никольса при К = 10 мы имеем М п = 7 дБ и запас по фазе 26°. Поэто-
!

му доминирующим корням соответствует оценка Q = 0,34, при которой перерегулирова-
ние должно составить 30%. Действительные показатели качества приведены в табл 9.5.
Полоса пропускания системы ~ 5. Поэтому прогнозируемое время установления равно
(по критерию 2%)

4	4

_	_ ____________3 3

а “^7“(0,34Х^/1,4)” ’ С'

т. к. при Q ~ 0,34	® 1,4со„. Действительное же время установления равно приблизитель-

но 5,4 с, как показано на рис. 9.36.

Влияние возмущения (если оно также имеет ступенчатый характер) можно оценить с
помощью теоремы о конечном значении, полагая R(s) = 0, т. е.

С(5)

X00) ~ Нпьу

(9.86)
Рис. 9.36

Реакция
системы
на единичный
ступенчатый
входной сигнал
при трех
значениях
коэффициента К

°0	1	2	3	4	5	6	7

Время (с)

9.10. Анализ

Заметим,
установившей
G(a) имеет ош
рядка).

Эффект с
зить его чаете

Передать
виде:

Это значит, что если возмущение имеет единичную амплитуду, то его влияние уме-
ньшается в (4 + 2 А) раз. ПриХ = 10у(°°) = 1/24, т. е. ошибка, вызванная возмущением, со-
ставляет 4 % от амплитуды возмущения. Таким образом, можно считать, что значение
К = 10 является наиболее приемлемым, исходя из общих требований к качеству системы.

Как итог наших рассуждений, можно констатировать, что наилучшего компромис-
са мы достигли при К = 10. Если же перерегулирование и время установления являются
неприемлемыми, то необходимо изменить форму годографа G(/co) на диаграмме Нико-
льса. Об этом речь пойдет ниже в главе 10.

Функции (9.9
ос = 10 (по оси
ная функция [
сеть от парам
можно оценил
зовой характе
лексных нуле

Обычно прин

Рис. 9.37

Диаграмма Б
с асимптотик
амплитудной

9.9. Частотные характеристики
ПИД-регуляторов

ПИД-регулятор имеет три канала: соответственно пропорциональной, интегральной и
дифференциальной составляющей (см. раздел 7.7). Его передаточная функция имеет вид:

Gc(s) = Kl + ^- + K3s.	(9.87)

s

При K3 = Q мы получим ПИ-регулятор:

Gc(s) = Ki+^,	(9.88)

а при К2 = 0 получим ПД-регулятор:

Gc(s) = + K3s .	(9.89)

9.10. А

I

Настало врел
LAB. В дани*
са и диаграмэ
тезе систем '
этом можно
1

Заметим, что ПИД-регуляторы достаточно эффективны с точки зрения уменьшения
установившейся ошибки и улучшения вида переходной характеристики, когда объект
(7(5) имеет один или два полюса (или может быть аппроксимирован моделью второго по-
рядка).

Эффект от использования ПИД-регулятора можно проиллюстрировать, если изобра-

зить его частотные характеристики.

Передаточную функцию ПИД-регулятора (9.87) можно представить в следующем

виде:

Gc (5) =

5

(9.90)

Функции (9.90) соответствует диаграмма Боде, изображенная на рис. 9.37 при К2 “2 и
а = 10 (по оси абсцисс отложено (от). Возможен, конечно, и такой случай, когда передаточ-
ная функция регулятора будет иметь комплексные нули и вид диаграммы Боде будет зави-
сеть от параметра соответствующего этим нулям. Вклад таких нулей в диаграмму Боде
можно оценить, если рассмотреть рис. 8.10, где явно видна зависимость амплитудной и фа-

зовой характеристик от параметра но только для комплексных полюсов. В случае комп-
лексных нулей ПИД-регулятора мы получим:

, х2[1+(2^га,г )7га+(7со/га„ )2]

Gс О“) =----------------;----------------

у со

(9-91)

у, то его влияние уме-
тая возмущением, со-
считать, что значение
i к качеству системы.
1лучшего компромис-
гтановления являются
) на диаграмме Нико-

ьной. интегральной и
Iфункция имеет вид:

(9.87)

Обычно принято выбирать 0,9 > Q > 0,7.

Рис. 9.37

Диаграмма Боде для ПИД-регулятора
с асимптотической аппроксимацией
амплитудной характеристики

ок

 9.10. Анализ устойчивости с помощью MATLAB

(9.88)	Настало время приступить к анализу устойчивости систем управления с помощью МАТ-

М	LAB. В данном разделе мы еще раз обратимся к диаграмме Найквиста, диаграмме Николь-

И	са и диаграмме Боде в связи с анализом устойчивости. Применение этих диаграмм при син-

(9.89)	Н тезе систем управления мы проиллюстрируем двумя примерами. Мы покажем, что при
И этом можно использовать как частотные характеристики замкнутой системы, Д/со), так и
Рис. 9.38

Функция nyquist

> Действительная ось

- sys

[rejm.w^nyquis^sys.w)

Частота
(задается
пользователем)

частотные характеристики разомкнутой системы, Мы также покажем, что запаз-
дывание по времени можно приближенно аппроксимировать формулой Паде.

В этом разделе мы познакомимся с функциями MATLAB nyquist, nichols, margin, pade
и ngrid.

Вручную обычно диаграмму Найквиста построить намного труднее, чем диаграмму
Боде. С помощью MATLAB, а именно с использованием функции nyquist решение этой
задачи значительно облегчается. Задание функции nyquist проиллюстрировано на рис.
9.38. Если не указаны аргументы в левой части равенства, то диаграмма Найквиста стро-
ится автоматически; в противном случае функция nyquist возвращает действительную и
мнимую части частотной характеристики (вместе с вектором частоты со). Применение
функции nyquist проиллюстрировано на рис. 9.39.

Как было показано в разделе 9.4, показатели относительной устойчивости системы
(запас по модулю и запас по фазе) можно определить как по диаграмме Найквиста, так и
по диаграмме Боде. Запас по модулю показывает, во сколько раз надо увеличить коэффи-
циент усиления, чтобы годограф G//(/co) прошел через точку (-1,уО) и система оказалась
на границе устойчивости.

»num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5];

»sys=tf(num,den);

»nyquist(sys)

Рис. 9.39

Пример применения функции
nyquist
Частота
(задается
пользователем)

Рис. 9.40

Пример замкнутой системы управления
для анализа относительной устойчивости
с помощью диаграмм Боде и Найквиста

ад

 также покажем, что запаз-
формулой Паде.

nyquist, nichols, margin, pade

его труднее, чем диаграмму
киии nyquist решение этой
|юиллюстрировано на рис.
диаграмма Найквиста стро-
Вращает действительную и
к частоты со). Применение

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 9.40. Ее относительную устойчивость
можно определить по диаграмме Боде с помощью функции margin, смысл которой иллю-
стрирует рис. 9.41. Использование функции margin совместно с функцией bode позволяет
вычислить запасы устойчивости по модулю и по фазе. Если функция margin вызывается
без указания аргументов в левой части, то диаграмма Боде строится автоматически, и на
ней отмечаются запасы по модулю и по фазе. Это проиллюстрировано на рис. 9.42 приме-
нительно к системе, изображенной на рис. 9.40.

Скрипт, который осуществляет построение диаграммы Найквиста, и результат его
выполнения приведены на рис. 9.43. В данном случае число полюсов функции GH(s) с по-
ложительной действительной частью равно нулю, число охватов точки -1 также равно
нулю, следовательно, замкнутая система устойчива. По диаграмме Найквиста также мож-
но определить запасы по модулю и по фазе, как это показано на рис. 9.43.

Диаграмма Никольса. Для построения диаграммы Никольса используется функция
nichols, приведенная на рис. 9.44. Если эта функция вызывается без указания аргументов в
левой части, то диаграмма Никольса строится автоматически; в противном случае функ-
ция nichols возвращает значения модуля частотной характеристики и фазового сдвига в
градусах (вместе со значениями частоты (о). Криволинейная сетка координат наносится
на диаграмму Никольса с помощью функции ngrid. На рис. 9.45 приведен пример построе-
ния диаграммы Никольса для системы

G(» = —------------------;	(9.92)

j(o(j<o + 1)(0,2;со+1)

[mag, phase, w]-bode (sys);

[Gm, Pm, Wcg, Wcp]-margin(mag,phase,w);

или

[Gm, Pm, Wcg, Wcp] =m argin(sys);

яой устойчивости системы
шаграмме Найквиста, так и
из надо увеличить коэффи-
(—1,7’0) и система оказалась

пельиая ось

Пример

num-[0.5]; den-[l 2 1 0.5];
sys=tf(num,den);

margin(sys)

Gm — запас по модулю (дБ)
Pm — запас по фазе (град.)
Wcg — частота, на которой (р(&)) = 180"
Wcp — частота, на которой модуль равен 0 дБ

Рис. 9.41. Функция margin
Рис. 9.42

Диаграмма Боде для
системы, изображенной
на рис. 9.40,
с указанием запасов
устойчивости
по модулю и по фазе

Частота (рад/с)

num=[0.5]; *4-------------

den=[1 2 1 0.5];
sys=tf(num,den);
%

w=logspace(-1,1,200); Ч—

%

[mag,phase,w]=bode(sys,w);

%

margin(mag,phase,w);

Разомкнутая
*

система

Задание
диапазона
частот

Рис. 9.43

(а)	Диаграмма

Найквиста для системы,
изображенной
на рис. 9.40,
с указанием запасов
устойчивости по модулю
и по фазе.

(б)	Скрипт MATLAB

а)

б)

% Диаграмма Найквиста для

%	0,5

% G(s)=---------------

%	sA3+2sA2+s+0.5

% с вычислением запасов по модулю и по фазе.

%

Вычисление запасов
по модулю и по фазе

Обозначение
на диаграмме
запасов
устойчивости

num=[0.5]; den=[1 2 1 0.5]; sys=tf(num,den);

%

[mag,phase,w]=bode(sys); ч-----------------------

[Gm.Pm.Wcg.Wcp^marginfmag.phase.w);

% -------------------------------------------------

nyquist(sys); Ч---- Построение диаграммы Найквиста

title([‘Gm=’,num2str(Gm),(,Pm=’, num2str(Pm)J)
Рис. 9.44

Функция nichols

Разомкнутая
система

Рис. 9.45

Диаграмма Никольса
для системы
с передаточной
функцией (9,92)

Задание
диапазона
частот*

Фазовый сдвиг разомкнутой системы (град.)

num=[1J; den=[0.2 1.2 1 0];
sys=tf(num,den);

w=logspace(-1,1,400);

Вычисление запасов
по модулю и по фазе
. I
вдулю и по фазе.

f(num,den);

Построение диаграммы Никольса
с нанесением линий сетки

Задание для получения
_______рис. 9.27

525

(9.93)

nichols(sys,w);
ngrid

Пример 9.10. Система управления уровнем жидкости

Рассмотрим систему управления уровнем жидкости, структурная схема которой изображена
на рис. 9.32 (см. пример 9.9). Заметим, что в этой системе присутствует запаздывание по вре-
мени. В разомкнутом состоянии система имеет передаточную функцию

phase ,w);

GH(s) =

2

диаграммы Найквиста

4um2str(Pm)])

Сначала мы приведем эту передаточную функцию к такому виду, чтобы числитель и знамена
тель имели вид алгебраических полиномов. Для этого мы воспользуемся аппроксимацией е‘Л
Рис. 9.46

Функция pade

с помощью функции pads (рис. 9.46). Например, предположим, что Т= 1 си мы хотим полу-
чить аппроксимацию, соответствующую п - 2. Применение функции pade дает результат:

52 - 65 + 12

? + 65 + 12 '

(9.94)

Подставляя (9.94) в (9.93). получим:

31,5(52 - 65 + 12)

GH(s) =

(5 + 1)(3 05 + 1)(52/9 + 5/3 + 1)(52 + 65 + 12)

Теперь можно подготовить программу для исследования относительной устойчивости систе-
мы по диаграмме Боде. Пусть, например, мы хотим иметь запас по фазе в 30°. Тогда в програм-
ме, приведенной нарис. 9.47, мы предусмотрим возможность изменения коэффициента К в ин-
терактивном режиме на уровне командной строки вне ядра основной программы. После зада-
ния некоторого значения К выполним программу, определим запас по фазе, и если он не будет
отвечать требованиям, изменим величину К. В конечном счете поставленной задаче будет от-
вечать значение К- 16.

Пример 9.11. Дистанционно управляемый разведывательный аппарат

Рассмотрим систему управления скоростью дистанционно управляемого разведывательного
аппарата (рис. 9.34). Система должна обеспечивать малые значения установившейся ошибки и
перерегулирования при отработке ступенчатого входного сигнала. Подготовим программу,
которая позволит нам решить задачу синтеза с минимальным количеством итераций. Сначала
мы учтем ограничения на величину установившейся ошибки, которая равна

1

\ + К!2

(9-95)

Это выражение позволяет оценить влияние К на установившуюся ошибку. Так. если К = 20. то
ошибка составит 9% от амплитуды входного сигнала; при Л'= 10 она увеличится до 17%.
Теперь мы зададимся допустимой величиной перерегулирования и свяжем ее с частотными ха-
рактеристиками системы. Предположим, что перерегулирование не должно превышать 50%.
Тогда из оценки

/]_г2

Перерегулирование « 100ev s <50

мы найдем соответствующее значение > 0,215. По рис. 8.11 находим также М < 2,45 . Сле-
Г Ш

дует не забывать о том, что кривые на рис. 8.11 действительны только для систем второго по-
рядка, и в нашем случае мы можем пользоваться ими только в качестве приближенной оценки.
Теперь мы можем построить диаграмму Боде для замкнутой системы и проверить значение
Мр . Любой коэффициент К. при котором Мр не будет превышать значения 2,45. может быть
приемлемым решением задачи синтеза, но, тем не менее, мы обязаны будем продолжить ис-
следования: необходимо определить действительную величину перерегулирования по пере-
! Порядок

j аппроксимаци и

num(5')

den(5)

, ЧТО 7 ~ 1 С И МЫ хотим полу-
мкции pads дает результат:

(9.94)

И2|

ягельной устойчивости систе-
ю фазе в 30°. Тогда в програм-
мен ения коэффициента К в ин-
•ной программы. После зада-
в>с по фазе, и если он не будет
всктавленной задаче будет от-

вательный аппарат

являемого разведывательного
им у становившейся ошибки и
ила* Подготовим программу,
вжичеством итераций. Сначала
вторая равна

(9.95)

Рис. 9.47

(а) Диаграмма
Боде для ситемы
управления
уровнем жидкости.

(б) Скрипт MATLAB

Частота (рал с)

Mini —- —I I 		 I НИЧ I

Командная строка

б)

»К=16; liquid <

liquid.m

% Анализ системы управления уровнем жидкости
%

[nptdp]=pade(1,2);

sysp=tf(np,dp);

num=K;

d1=[1 1]; d2=[30 1]; d3=[1/9 1/3 1];

den=conv(d1 tconv(d2,d3));

я ошибку. Так. если К - 20. то
*10 она увеличится до 17%.

I и свяжем ее с частотными ха-
к не должно превышать 50%.

юлим также М < 2,45 . Сле-
только для систем второго по-
нестве приближенной оценки,
стемы и проверить значение
ять значения 2.45. может быть
Екзаны будем продолжить ис-
F перерегулирования по псре-

ходной характеристике системы. Эту задачу поможет нам решить программа, приведенная на
рис. 9.48. Повторяя рассуждения, выполненные в разделе 9.8, исследуем характеристики сис-
темы при значениях К = 20, 10 и 4,44 (даже если при К - 20 окажется Л/д > 2,45). Программа
вычисления переходных характеристик и результат ее выполнения приведены на рис. 9.49.
Решению нашей задачи может также помочь диаграмма Никольса, построение которой проил-
люстрировано на рис. 9.50.

Результаты анализа приведены в табл. 9.5 для значений К = 20, 10 и 4.44. Из трех вариантов мы
можем выбрать К = 10. Далее мы построим диаграмму Найквиста (рис. 9.51) и определим по-
казатели относительной устойчивости системы. В нашем случае запас по модулю равен 49.56
дБ, а запас по фазе 26,11°.
Рис. 9.48

(а) Диаграмма
Боде для
замкнутой системы
управления
разведывательным
аппаратом;

{£) Скрипт MATLAB

a)

б)

Задание трех значений
К = 20; 10; 4.44

w=logspace(0,1,200); К=[20,10,4.44]; «
%
for i=1:3

numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);

numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);

[syss]=series(sysgc,sysg); sys=feedback(syss ,[1 ]);

[mag,phase, w]=bode(sys,w);

mag_save(i,:)=mag(:,1,:); <-
end

%

loglog(w,mag_save(1 ,:),w,mag_save(2,:),w,mag_save(3,:)) ;
х1аЬе1(‘Частота (рад/с)'); ylabel('AMnnnTyfla‘),grid on

Вычисление частотных
характеристик
замкнутой системы

Рис. 9.49

(а)	Переходные
характеристики
системы
управления
р аз в ед ы вате л ьн ы м
аппаратом;

(б)	Скрипт MATLAB

t=[0:0.01:10]; К=[20,10,4.44]; 4

%

for i=1:3

Задание трех значений
X- 20; 10; 4,44

numgc=K(i)*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);

numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);

syss=series(sysgc,sysg);

sys=feedback(syss,[1]);

y(:,i)=step(sys,t); ч

end

Вычисление переходной
характеристики

%

plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)),grid

х!аЬе1(‘Время (c)‘); ylabel(‘y(t)'),grid on
Рис. 9.50

(а) Диаграмма
Никольса

для системы
управления
разведывательным
аппаратом;

(б) Скрипт MATLAB

а)

Фазовый сдвиг раломкну шй сии темы (град j

% Дистанционно управляемый разведывательный аппарат
%

numgc=[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);

numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg.deng);

sys=series(sysgc,sysg); ч----------1 Вычисление GCG^~

w=logspace(-1,1,200);

% ------------------------------------------------------

K=(20 10 4 441Ч_________________ Задание грех значений

hold off. elf '	K -	10- 4'44

for i=1:3

nichols(K(i)*sys,w), ngrid
hold on

end

Задание трех значений
К - 20: 10: 4.44

9.11.	Пример синтеза с продолжением:

система чтения информации с

иска

□ В этой главе мы исследуем систему, изображенную на рис. 8.42, в которой учтены
резонансные свойства пластины и введен ПД-регулятор, имеющий нуль s = -l.
С помощью MATLAB определим запасы устойчивости по модулю и по фазе при
значении К - 400.

Диаграмма Боде для данной системы приведена на рис. 9.52. Запас по модулю со-
ставляет 22,9 дБ, а запас по фазе равен 37,2°. График переходной характеристики приве-
ден на рис. 9.53, из которого следует, что, время установления 7V = 9,6 мс.
I

Рис. 9.51	а)

(а) Диаграмма
Найквиста для
системы управления
разведывательным
аппаратом при К = 10;
(б) Скрипт MATLAB

Дейсгвигельная ось

% Дистанционно управляемый аппарат

% Диаграмма Найквиста при К=10

%

numgc=10*[1 2]; dengc=[1 1]; sysgc=tf(numgc,dengc);

numg=[1]; deng=[1 2 4]; sysg=tf(numg,deng);

sy s=series (sysgc. sysg);

%

[Gm,Pm1Wcg1Wcp]=margin(sys);

%

nyquist(sys);

title([‘Gm=’1num2str(Gm)l ‘,Pm- ,num2str(Pm)])

Рис. 9.52

Диаграмма Боде
для системы,
изображенной
на рис. 8.42

Gm=22.89 dB, (ас 5420.8 rad/sec) Pm=37.184 deg. (at 1252.3 rad/sec)

Ю1 10°	101 Ю2 103	104 Ю5
Рис. 9.53

Реакция системы
на ступенчатый
входной сигнал

Время (с)

9.12.	Резюме

Устойчивость систем управления с обратной связью можно исследовать с помощью час-
тотного критерия Найквиста. Этот критерий позволяет также определить два показателя
относительной устойчивости — запас по модулю и запас по фазе. Эти показатели могут
быть использованы для оценки качества системы во временной области, т. к. имеется до-
статочно сильная связь между частотными и временными характеристиками системы. С
помощью окружностей постоянных значений модуля и фазы на комплексной плоскости
можно по частотным характеристикам разомкнутой системы определить соответствую-
щие характеристики замкнутой системы. Для той же цели можно использовать логарифми-
ческую амплитудно-фазовую диаграмму, называемую диаграммой Никольса. Диаграмма
Никольса позволяет найти максимальное значение амплитудной характеристики замкну-
той системы М , которое также может служить показателем относительной устойчиво-
сти. Значение М можно связать с относительным коэффициентом затухания, который
определяет вид переходной характеристики системы. Наконец, с помощью частотных ха-
рактеристик можно исследовать свойства систем с запаздыванием теми же методами, кото-
рые применяются к системам, не содержащим запаздывания. В табл. 9.6 приведены пред-
ставленные в различной форме частотные характеристики и некоторые другие полезные
данные, соответствующие ряду типовых передаточных функций.

Данные, приведенные в табл. 9.6, содержат ценную информацию для исследователя
или проектировщика систем управления. Если известны модель объекта, <?(.?), и переда-
точная функция регулятора, Gc(s), то их произведение, GC.(^)G(^) есть передаточная функ-
ция разомкнутой системы. Первый столбец табл. 9.6 содержит 15 типовых передаточных
функций. Для каждой из них приведены диаграммы Найквиста, Боде, Никольса, а также
корневой годограф. На основании этой информации проектировщик может оценить каче-
ство системы управления и при необходимости ввести в нее корректирующее устройство
или изменить передаточную функцию регулятора Gc(s).
Таблица 9.6. Типовые передаточные функции и соответствующие им
характеристики

G(s)

Частотные характеристики
в полярных координатах

Диаграмма Боде

___________К____________

(jTj + 1)(5Т2 + 1)(5Т3 + 1)

5

К

s(ST] + 1)
соответствующие им

Диаграмма Никольса

Корневой годограф

Примечания

Диаграмма Боде



Корневой
годограф

I



т2

Система устойчива;

запас по модулю - оо

Простейший регулятор;
система устойчива;

запас по модулю = оо

Регулятор с дополнительным эле-
ментом. накапливающим энер-
гию; система неустойчива, но мо-
жет стать устойчивой при умень-
шении коэффициента усиления

Идеальный интегратор;
система устойчива

Простой сервопривод;

система изначально устойчива;
запас по модулю = оо
Таблица 9.6 (продолжение)

G(s)

Частотные характеристики
в полярных координатах

Диаграмма Боде

S(ST| + 1)(ST2+ О

К(ST а + О
5(5Т[ + 1)(S'T2 + 1)

K(s^a + 1)
Диаграмма Никольса

Корневой годограф

Примечания

Сервопривод с управлением по
цепи возбуждения: согласно при-
веденным характеристикам систе-
ма устойчива, но может стать не-
устойчивой при увеличении коэф-
фициента усиления

Простой сервопривод совместно
с регулятором с опережением по
фазе: система устойчива

Система изначально на границе
устойчивости; необходима кор-
рекция

Система изначально неустойчива:
необходима коррекция

Система устойчива при любых К
Таблица 9.6 (продолжение)

ОД

Частотные характеристики
в полярных координатах

Диаграмма Боде
9.12. Резюме

Диаграмма Никольса

Корневой годограф

Примечания

Диаграмма Боде

Запас

по фазе

М

О дБ



-270°

-180°

-90°

Система изначально неустойчива

Система изначально неустойчива

Система условно устойчива; ста-
новится неустойчивой при очень
малых коэффициентах усиления

Система условно устойчива;
устойчива при малых К,
при увеличении К становится
неустойчивой, затем снова
становится устойчивой, и при
очень больших К опять оказыва-
ется неустойчивой

Система условно устойчива:
становится неустойчивой
при больших значениях К
Упражнения

У-9.1. Система имеет передаточную функцию

G(s) =

4(1+5/З)
s(1+2s)(1+s/7+?/49) '

Постройте диаграмму Боде в диапазоне 0.1 < со < 10. Покажите, что запас по фазе приблизите-
льно равен 30. а запас по модулю — около 16 дБ.

У-9.2. Система имеет передаточную функцию

С(.) =

ЛГ(1 + ^/5)
5(1 + s72)(l + 5/10)'

где К ~ 6,14. С помощью компьютера или калькулятора покажите, что амплитудная характе-
ристика на диаграмме Боде пересекает уровень 0 дБ на частоте 3,5 рад/с и что запас по фазе ра-

вен 45°.

У-9.3. В качестве регулятора выходного напряже-
ния источника питания может быть использо-
вана интегральная схема. При этом диаграмма
Боде для разомкнутой системы с передаточ-
ной функцией GH(j&) имеет вид, приведенный
на рис. 9.3(У). Оцените значения запасов
устойчивости по модулю и по фазе.

Ответ: запас по модулю = 25 дБ, запас по
фазе = 75°.

У-9.4. Рассмотрите систему с единичной отрицате-
льной обратной связью, которая в разомкну-
том состоянии имеет передаточную функцию

Частота (Гц)

О(5) =

100

5(5+ 10)

Пусть в замкнутой системе максималь-

ное значение амплитудной характери-

стики Мр должно быть равно 3,0 дБ.

Однако в действительности это значе-

ние составляет только 1,25 дБ и имеет
место на частоте между 6 и 9 рад/с. По-
стройте диаграмму Никольса для диа-

пазона 6 < (о < 15 рад/с. Покажите, что

для достижения заданного значения
Мр коэффициент усиления системы
надо увеличить на 4,6 дБ, т. е. сделать
его равным 171. Определите резонанс-
ную частоту полученной системы.
Ответ: со,. = 11 рад/с.

У-9.5. На рис. 9.5(У) изображена диаграмма
Боде для цифровой интегральной схе-
мы. (а) Определите запасы устойчиво-
сти по модулю и по фазе, (б) Оцените,
насколько надо уменьшить коэффици-
ент усиления (в децибелах), чтобы за-

Рис. 9-3 (У). Частотные
характеристики регулируемого
источника питания

Рис. 9.5 (У). Частотные характеристики
КМОП-интегральной схемы

пас по фазе был равен 60°.
У-9.6. Система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

G (*) =

К (5 + 100)
5(5+ 1 0)(5 + 40)

При К = 500 замкнутая система неустойчива. Покажите, что если коэффициент усиления уме-
ньшить до значения К = 50, то максимум амплитудной характеристики составит 3,5 дБ. Опре-
делите запас по фазе при К = 50.

У-9.7. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

С(5) =

Изобразив частотные характеристики в полярных координатах, определите диапазон значений
К, при которых замкнутая система будет устойчива.

У-9.8. Рассмотрите систему с единичной обратной связью, для которой

С(5) =

К

s(s + 1)(j? + 2)

(а) Покажите, что при К = 4 запас по модулю равен 3,5 дБ. (б) Определите значение X, при ко-
тором запас по модулю будет равен 16 дБ.

Ответ: (б) К = 0,95.

У-9.9. Определите запас по фазе для системы из упражнения 9.8 при Л'^3.

У-9.10. Рассмотрите систему управления скоростью потока воздуха в аэродинамической трубе из
задачи 7.31. Постройте диаграмму Боде и покажите, что запас по фазе равен 25°, а запас по мо-
дулю равен 10 дБ. Покажите также, что полоса пропускания замкнутой системы равна 6 рад/с.

У-9.11. Рассмотрите систему с единичной обратной связью, для которой
=	40(1+0,4*)

7 5	5(14- 2s)(l + 0,24s+0.04?)

(а)	С помощью программы MATLAB или иным способом постройте диаграмму Боде.

(б)	Определите запасы устойчивости по модулю и по фазе.

У-9.12. В замкнутой системе, изображенной на рис. 9.1. H(s)= 1 и

G(5) =

К

s(T\S+ 1)(т25 + 1)

где Т[ = 0,02 с и т2 ~ 0.2 с. (а) Выберите значение К так. чтобы при линейном входном сигнале
r(t) ~ At, t> 0 установившаяся ошибка составляла 10% от скорости А входного сигнала, (б) По-
стройте диаграмму Боде, соответствующую G(y), и определите запасы по фазе и по модулю,
(в) С помощью диаграммы Никольса определите полосу пропускания замкнутой системы сод,
максимум ее амплитудной характеристики Ми резонансную частоту (о,..

Ответы: (а) Х=10;

(б)	Запас по фазе = 32°, запас по модулю = 15 дБ;

(в)	С0о= 10,3; М„ =1,84; со = 6,5.

У-9.13. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-

цию

6(*) =

150

*(у+ 5)

(а) С помощью диаграммы Никольса определите максимальное значение амплитудной харак-
теристики замкнутой системы, (б) Определите полосу пропускания и резонансную частоту
этой системы, (в) Используя найденные показатели, оцените величину перерегулирования при
ступенчатом входном сигнале.

Ответы: (а) 7,5 дБ; (б)	19, о,. = 12,6.
Рис. 9.14 (У)

Диаграмма Никольса
для функции б?(/ш)

Фазовый сдвиг разомкнутой системы, град.

У-9.14. На рис. 9.14(У) изображена диаграмма Никольса с нанесенной на нее частотной характери-
стикой G(/co). Используя приведенную ниже таблицу, определите (а) величину Л/ в децибе-
Г (И

лах; (б) резонансную частоту со,; (в) полосу пропускания (по уровню 3 дБ); (г) запас устойчи-
вости по фазе.

У-9.15. Рассмотрите систему с единичной обратной связью при

G(s) =

1000
s+ 100

Определите полосы пропускания разомкнутой и замкнутой систем и сравните полученные ре-
зультаты.

Ответы; В разомкнутой системе (ой = 100, в замкнутой системе сой = 1100.

У-9.16. Идеально запаздывание по времени е'я1 можно аппроксимировать выражением

1	— Ts/2
е  ~	

l+Ts/2

в диапазоне 0 < со < 2/Т. Постройте диаграммы Боде для действительной передаточной функ-
ции звена запаздывания и ее аппроксимации при Т~ 2 и 0 < со < 1.
Виг разомкнутой системы, град.

У-9.17. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

i

i
।

G(5) =

K(s + 10)

53 + 2s2 + 15.У

(а) Постройте диаграмму Боде и (б) определите значение коэффициента К, при котором запас
по фазе будет равен 40°. Чему равна установившаяся ошибка при линейном входном сигнале и
I коэффициенте усиления, найденном в п. (б)?

; У-9.18. Для подавления колебаний с частотой около 60 Гц в дисководах применяется специальная
амортизирующая подвеска. На рис. 9.18(У) приведена диаграмма Боде, соответствующая пе-
редаточной функции G(s) системы управления подавлением колебаний, (а) Определите ожи-
даемое относительное перерегулирование в замкнутой системе при ступенчатом входном сиг-
нале. (б) Оцените полосу пропускания замкнутой системы, (в) Оцените время установления
(по критерию 2%).

X: 486.93

геенной на нее частотной характерн-
еелите (а) величину Л/ в децибе-

/ГЛ

(по уровню 3 дБ); (г) запас устойчи-

 систем и сравните полученные ре

системе со^ = И 00.

всамировать выражением

ействительной передаточной функ
€<о<1.

X: 486.93 Y: 36,215	Y:0.0

Рис- 9-18 (У). Диаграмма Боде для системы управления дисководом
У-9.19. В системе с единичной обратной связью Gc(s) = K и

-ОД

5 4-10

Выберите коэффициент Л так, чтобы запас по фазе в системе был равен 50°. Определите, чем}
равен в этом случае запас по модулю.

У-9.20. Рассмотрите упрошенную модель системы управления скоростью автомобиля, изображен-
ную на рис, 9.20(У). Водитель движется по шоссе с большой скоростью вслед за другим авто-
мобилем. В системе учтено время реакции водителя. Т. У одного водителя Т~ 1 с, а у другого
Т- 1,5 с. Определите реакцию системы ЯО для обоих водителей, если входной сигнал систе-
мы отражает ситуацию резкого торможения впереди идущего автомобиля, т. е. Л(5) = -Ais.

У-9.26. С помощью да

из упражнения 5

У-9.27. Система с едм
цию

Рис. 9,20 (У)

Определите маю
запас по модули
пасов устойчив*
У-9.28. Система с еда
мкнутом состоя

У-9.21. Система с единичной обратной связью имеет в разохмкнутом состоянии передаточную функ-
цию

G(5) =

(а) Определите
денному значеи
и предскажите..

(в) Вычислите
ристику и пров
У-9.29. Задана перс]

s{s + 2)(s 4- 50)

К

Определите запас по фазе, частоту при которой амплитудная характеристика пересекает
уровень 0 дБ, и запас по модулю, если К~ 1300.

Ответы: Запас по фазе = 16.6°, сос. = 4,9, запас по модулю = 4 (или 12 дБ).

У-9.22. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-

цию

G(5) =

/ф+1)
(5-2)(5-4)'

(а)	С помощью диаграммы Боде определите запас по фазе, если К = 6. (б) Выберите значение Л
так, чтобы запас по фазе был по крайней мере равен 30%.

У-9.23. Рассмотрите систему из упражнения 9,21 в случае, когда К - 438. С помощью диаграммы
Никольса определите полосу пропускания замкнутой системы, ее резонансную частоту и мак-
симальное значение амплитудной характеристики Мр .

Ответы:	= 4,25 рад/с. оу, = 2,7 рад/с. Л/ = 1.7.

У-9.24. Система с единичной обратной связью имеет в разомкну-
том состоянии передаточную функцию

G(-0 =

где К = 1/2 и т = 1, Частотная характеристика G(/co) в полярных
координатах приведена на рис. 9.24(У). С помощью критерия
Найквиста определите, устойчива ли замкнутая система.

У-9.25. Система с единичной обратной связью имеет в разомкну-
том состоянии передаточную функцию

Рис. 9.24 (У)

G(s) =-------—----------.

5(1+0,055)(1+0.В)

Определите запас по фазе и частоту, при которой амплитудная характеристика системы пере-
секает уровень 0 дБ.

Ответы: Запас по фазе = 27,7°, сос = 8,31 рад/с.

На 5-плоскосп
9.29(У). Опред
СН(5)-плоскос

Задачи

3-9.1. По частотны]
исследуйте ус

3-9.2. Для заданный
ристики и с пс
кнутом COCTO1
(a)GH(5) = -
я

, *

(б) GH{s} = “
j

Если система
годограф GH\

3-9.3. (а) Найдите!
всем ли корн
вышаюший з
можно было (
ные части м©
имеет ли с лес
ньше, чем s =
и равен 50°. Определите, чем}

У-9.26. С помощью диаграммы Никольса определите значения Мр„. со,, и сой для замкнутой системы
из упражнения 9.25.

У-9.27. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

ктъю автомобиля, изображен-
Иростъю вслед за другим авто-
В водителя 1 с. а у другого
В. если входной сигнал систе-
автомобиля, т. е, АШ = —Л/s.

Определите максимальное значение К, при котором запас по фазе по крайней мере равен 40°. а
запас по модулю — по крайней мере 6 дБ. Чему при этом равны действительные значения за-

“> Ил)
Скорость
автомобиля

пасов устойчивости?

У-9.28. Система с единичной обратной связью имеет в разо-
мкнутом состоянии передаточную функцию

С(5) =

s(s + 0.2)

стоянии передаточную функ-

(а) Определите запас по фазе при К =0,16. (б) По най-
денному значению запаса по фазе оцените величину С*
и предскажите, чему будет равно перерегулирование,
(в) Вычислите действительную переходную характе-
ристику и проверьте оценку, полученную в п. (б).

У-9.29. Задана передаточная функция

я характеристика пересекает

{млн 12 дБ).

стоянии передаточную функ-

GH (у) =

1
у+2

На у-плоскости задан контур, изображенный на рис.
9.29(У). Определите соответствующий ему контур на
С//(у)-плоскости. Точка В имеет координаты -1+/.

Рис. 9.29 (У)

К

Задачи

= 6. i o) Выберите значение А'

138, С помощью диаграммы
резонансную частоту и мак-

3-9.1. По частотным характеристикам, полученным в задаче 8.1, с помощью критерия Найквиста
исследуйте устойчивость замкнутых систем. Для каждого случая определите N, Р и Z.

3-9.2. Для заданных передаточных функций постройте в полярных координатах частотные характе-
ристики и с помощью критерия Найквиста определите, устойчива ли каждая из систем в зам-

Рис. 9.24 (У)

кнутом состоянии.

(a)GH(s)=—--------

s(? + s+4)

(б)	GH (s) =	2) .

s (г + 4)

•жтеристика системы пере-

Если система устойчива, определите максимально допустимое значение А’ по точке, в которой
годограф	пересекает действительную ось.

3-9.3. (а) Найдите такой контур ГЛ. нау-плоскости, с помощью которого можно было бы определить,
всем ли корням характеристического уравнения соответствует коэффициент затухания, пре-
вышающий значение (б) Найдите такой контур Гл на s-плоек ости, с помощью которого
можно было бы определить, все ли корни характеристического уравнения имеют действитель-
ные части меньше, чем у = -Стр (в) С помощью контура из п. (б) и теоремы Коши определите,
имеет ли следующее характеристическое уравнение корни, действительная часть которых ме-
ньше, чем у = -1:

<?($) = ?+ 11?+ 56s + 96 = 0 .

II
3-9.4. На рис. 9.4(3) приведена частотная характери-
стика условно-устойчивой системы, построен-
ная в полярных координатах при некотором
значении К. (а) Определите, является ли систе-
ма устойчивой, и укажите, сколько корней ее
характеристического уравнения расположены в
правой половине s-плоскости (если таковые
имеются). Передаточная функция GH(s) не
имеет полюсов в правой полуплоскости, (б)
Определите, устойчива ли система, если коор-
дината и = -1 занимает положение, отмеченное
точкой на оси.

3-9.5. На рис. 9.5(3) изображена система управления
числом оборотов (скоростью) двигателя внут-
реннего сгорания. Ограничение на впрыск го-
рючего в карбюратор и пропускную способ-
ность трубопровода обусловливает появление

Рис. 9.4 (3). Частотная
характеристика условно-устойчивой
системы в полярных координатах

постоянной времени тг = 1 с. Двигатель имеет

постоянную времени = ЛЬ = 3 с. Постоянная времени датчика скорости т,н = 0.4 с. (а) Опре
делите значение К, при котором установившаяся ошибка не будет превосходить 10% от задан
ного значения скорости, (б) При найденном значении К с помощью критерия Найквиста иссле
дуйте устойчивость системы, (в) Определите запасы устойчивости по фазе и по модулю.

Рис. 9.5 (3)

Система управления
числом оборотов
двигателя внутреннего
сгорания



3-9.6. Одна из новых разработок — механическая рука с непосредственным приводом — отличает-
ся тем, что в ней между двигателями и соответствующими нагрузками отсутствуют редукто-
ры. Благодаря этому каждый привод характеризуется отсутствием люфта, малым трением и
высокой механической жесткостью, что очень важно для быстрого и точного позиционирова-
ния рабочего органа при выполнении сложных операций.

Подобная-механическая рука, проектируемая в Массачусетском Технологическом Институте,
должна обладать скоростью перемещения звеньев около 10 м/с и развивать момент до 660 Нм.
Привод каждого звена реализован с использованием обратной связи и системы датчиков поло-
жения и скорости. На рис. 9.6(3), (д), приведены частотные характеристики системы управле-
ния положением одного из звеньев руки. Двум полюсам системы соответствуют частоты 3.7
Гц и 68 Гц. На рис. 9.6(3), (б), приведена переходная характеристика системы управления, в
которой использована обратная связь по положению и по скорости. Постоянная времени зам-
кнутой системы равна 82 мс. Разработайте структурную схему этой системы и докажите, что
82 мс — это вполне приемлемый результат.

3-9.7. Самолет с вертикальным взлетом является неустойчивым объектом, поэтому необходима си-
стема его автоматической стабилизации. На рис. 9.7(3) приведена структурная схема системы
стабилизации положения самолета К-16В. Динамику самолета в первом приближении можно
представить передаточной функцией

£(*) =

10
s2+ 0,36
к 9.4 (3). Частотная
встика условно-устойчивой
л в полярных координатах

ка скорости тш = 0.4 с. (а) Опре-
вет превосходить 10% от задан-
жью критерия Найквиста иссле-
воети по фазе и по модулю.

Скорость

венным приводом — отличает-
гр>зками отсутствуют редукто-
вием люфта, малым трением и
|юго и точного позиционирова-

м Технологическом Институте,
и развивать момент до 660 Нм.
связи и системы датчиков поло-
вактеристики системы управле-
эсы соответствуют частоты 3.7
ркстика системы управления, в
•сти. Постоянная времени зам-
। этой системы и докажите, что

истом, поэтому необходима си-
гма структурная схема системы
в первом приближении можно

а)

Рис. 9.6 (3). (а) Частотные характеристики системы управления рукой;

(б) Изменение положения руки под влиянием ступенчатого входного сигнала

Регулятор и исполнительное устройство имеют передаточную функцию

G,(5) =

s+ 3

(а) Постройте диаграмму Боде, соответствующую передаточной функции разомкнутого кон-
тура G।(у)G(s)H(s) при = 2. (б) Определите запасы по модулю и по фазе в этой системе, (в)
Определите установившуюся ошибку, вызванную возмущением (ветром) 1/5. (г) опреде-
лите максимальное значение амплитудной характеристики замкнутой системы и ее резонанс-
ную частоту, (д) По значениям М и запаса по фазе оцените величину коэффициента затуха-
ния системы.

Рис. 9.7 (3). Система стабилизации положения самолета
с вертикальным взлетом и посадкой



3-9.8* Электрогидравлические сервомеханизмы используются в системах управления тогда, когда
необходимо иметь высокое быстродействие и большие развиваемые усилия. Такой сервомеха-
низм может обладать выходной мощностью 100 кВт или более. На рис. 9.8(3), (а), приведена
о)

Рис. 9.9 (3)	а)

(а) Фото космического
челнока Колумбия
на фоне черного неба,
сделанная со спутника
22 июня 1983 г.

Из раскрытого
грузового отсека
выдвинут
дистанционный
робот-манипулятор.

(5) Система

управления скоростью
снижения

Регулятор

Космический
челнок

G(j)

Скорость

снижения

цельного устройства. По-
помощью датчика и срав-
фавляет положением кла-
аьное устройство. На рис.
Ервомеханизма, в котором
лению. Типичные значе-
1О-2тг,	= 0.05. Коэф фи-

Боде и определите запас
ir затухания до величины
ия в плунжере. Постройте
ги по фазе.

юставки на орбиту полез-
шмерно с само лег DC-9 и
иьев и тормозным двига-
к его полетом. На рис.
1>стью снижения. Датчик
редаточная функция соб-

3-9.10. Управление инструментами металлорежущих станков часто производится автоматически,
как показано на рис. 9.10(3). Такие системы обычно называют системами с ЧПУ (числовым
программным управлением). Если рассматривать перемещение инструмента только по одной
координате, то его желаемое положение сравнивается с действительным и разность между
ними используется для воздействия на катушку соленоида и вал гидравлического исполните-
льного устройства. Это устройство имеет передаточную функцию (см. табл. 2.5)

.¥(5) Ка

GO Т7Т --------------Г? ’

У(5)	S(T„S+1)

сния. либо передаточной
ри CHs) = 2 и определите
Lin Gjs) =: X'] н- Л2/У где
был равен 10 дБ.

Рис. 9.10 (3). Система управления положением инструмента металлообрабатывающего
станка
где Ка = 1 и - 0,4 с. Выходное напряжение дифференциального усилителя (по Лапласу j рав-
но

E0(s) - ВДя) - Л/*)].

где x^t) есть заданное положение инструмента. Сила, действующая на золотник, пропорцио-
нальна току i, так что F=K2i(t), где K2 = 3J). Коэффициент жесткости пружины /Q = 1.5:
R = 0,1 и /, = 0,2.

(а) Определите значение К1? при котором система будет иметь запас по фазе 30°. (б) При коэф-
фициенте из п. (а) определите показатели замкнутой системы М, сог и сов. (в) Оцените ве-

Рис. 9.12 (3)

Система
управления
апертурой зрачка
человеческого
глаза

личину относительного перерегулирования при ступенчатом входном сигнале, = lAs\ а
также время установления (по критерию 2% от конечного значения).

3-9.11. На рис. 9.11(3) изображена система управления концентрацией продукта химической реак-
ции. В системе производится измерение потоков смешиваемых компонентов, а на выходе же-
лательно иметь постоянную концентрацию продукта реакции. Передаточная функция химиче-

ского реактора имеет вид:

С(5) =

5

55+ Г

а регулятор имеет передаточную функцию

Gc(s)=K} + — .

S

Подача реагента по транспортеру обусловливает появление запаздывания Г= 1,5 с.

(а) Изобразите диаграмму Боде в случае К[ = К2 “ 1 и исследуйте устойчивость системы,
(б) Изобразите диаграмму Боде при = 0,1 и К2 = 0,04 и исследуйте устойчивость системы,
(в) Положив ~ 0, с помощью критерия Найквиста определите максимально допустимое зна-
чение К2» при котором система еще будет оставаться устойчивой.

Рис. 9.11 (3)

Система
управления
концентрацией
химического
продукта

3-9.12. На рис. 9.121
человеческого
Время запахли
(а) Изобразите
запас устойчив
ном запаздыва

3-9.13. При произво
туры изложит
9.13(3). Время
чивость систсти
шее запас по <

Рис. 9.13 (3)

Система
регулирования
температуры

Дозатор

Я(5)

3-9.14. В системам
устройства. Н
автомобиля, е
пичного води
при котором
будет меньше
значению А/л
ются, объясна
3 дБ.

Рис. 9.14 (3)

Система
управления
поворотом
автомобиля
ш*аого > силителя (по Лапласу) рав-

йстэуюшая на золотник, пропорцио-
вкэт жесткости пружины Кх = 1.5:

Ш запас по фазе 30°. (б) При коэф-
ктеяы , о?г и сой. (в) Оцените ве-

вгом входном сигнале. Xc£s) = 1А\ а
ко значения).

грацией продукта химической реак-
юсых компонентов, а на выходе же-

F

а. Передаточная функция химиче-

ме запаздывания Т~ 1,5 с.
исследуйте устойчивость системы.
I исследуйте устойчивость системы,
риле максимально допустимое зна-
ийчивой.

Заданная
концентрация

Измерение
концентрации

----► К(5)

Концентрация

Рис. 9.12 (3)
Система
управления
апертурой зрачка
человеческого
глаза

Интенсивность
света

3-9.12. На рис. 9.12(3) представленная упрощенная модель системы управления апертурой зрачка
человеческого глаза. Коэффициент передачи зрачка К = 4. а его постоянная времени т = 0,5 с.
Время запаздывания Т-0,1 с.

(а) Изобразите диаграмму Боде в предположении, что запаздывание отсутствует. Определите
запас устойчивости по фазе, (б) Добавьте к фазовой характеристике сдвиг, создаваемый зве-
ном запаздывания, и определите запас устойчивости по фазе.

3-9.13. При производстве деталей из пластмассы возникает необходимость регулирования темпера-
туры изложницы. Структурная схема предназначенной для этого системы изображена на рис.
9.13(3). Время запаздывания Т~ 1,2 с. (а) С помощью критерия Найквиста исследуйте устой-
чивость системы, если Ка = К~ 1. (б) Считая, что К = 1, определите значение Ка, обеспечиваю-
щее запас по фазе более 50°.

Рис. 9.13 (3)

Система
регулирования
температуры

Я(л)

3-9.14. В системах управления автомобилем все чаще встречаются компьютеры и электронные
устройства. На рис. 9.14(3) изображена система управления поворотом экспериментального
автомобиля, в котором вместо руля используется управляющая рукоятка. Время реакции ти-
пичного водителя Т= 0,2 с. (а) С помощью диаграммы Никольса определите коэффициент К,
при котором максимальное значение амплитудной характеристики замкнутой системы Мр
будет меньше или равно 2 дБ. (б) Оцените величину коэффициента затухания системы (1) по
значению Мр^ и (2) по запасу устойчивости по фазе. Сравните результаты и. если они отлича-
ются, объясните почему, (в) Определите полосу пропускания замкнутой системы по уровню
ЗдБ.

Рис. 9.14 (3)
Система
управления
поворотом
автомобиля
Рис. 9.15 (3)

Система автоматического
управления курсом корабля

Заданное
направление
Направление
движения

Корабль

Угол
поворота
руля

Обратная
связь
по производной

Ключ 5

3-9.15. Рассмотрите систему автоматического управления курсом корабля из задачи 8.11. Частот-
ные характеристики разомкнутой системы приведены на рис. 8.11(3). Отклонение танкера от
заданного направления движения измеряется радаром, в результате чего формируется сигнал
ошибки, как показано на рис. 9.15(3). Этот сигнал используется для управления углом поворо-
та руля 5(5).

(а) Является ли данная система устойчивой? Что является признаком неустойчивости, если
рассматривать переходную характеристику системы? Напомним, что целью системы является
обеспечение движения танкера строго по прямой линии, (б) Возможно ли сделать систему
устойчивой путем уменьшения коэффициента усиления, входящего в передаточную функцию
G(y)? (в) Возможно ли вообще сделать эту систему устойчивой? Можете ли вы предложить
подходящий для этого регулятор, который должен находиться в цепи обратной связи?

(г) Повторите пп. (а), (б) и (в), если ключ 5 замкнут.

3-9.16. На рис. 9.16(3), (а), изображен электрокар, который автоматически движется вдоль дорожки
на полу складского помещения. Направление и скорость движения обеспечиваются с помо-
щью замкнутых систем управления. Электрокар распознает путь движения при помощи мат-
рицы из 16 фототранзисторов. Структурная схема системы управления движением изображе-
на на рис. 9.16(3), (б). Выберите значение коэффициента К так. чтобы запас по фазе был при-
близительно равен 30°.

Рис. 9.16 (3)

(а) Автоматически
управляемый
электрокар.

(б) Структурная
схема системы
управления
Заданное
;	направление

[ Налоавленис

Ц-0

ввсоиой

If и	I



Рис. 9.17 (3)

Система
управления
химическим
реактором

Ключ 5'

Ви корабля из задачи 8.11. Частот-
VPC- 8.1113 k Отклонение танкера oi
ввлыгате чего формируется сигнал

3-9.17. Основная цель многих систем управления состоит в поддержании заданного значения вы-
ходной переменной при наличии действующих на систему возмущений. На рис. 9.17(3) изоб-
ражена типичная структура системы управления химическим процессом. Возмущение пред-
ставлено в виде U(s), а химический процесс — передаточными функциями G3(s) и G4(51). Дат-
чик в цепи обратной связи имеет передаточную функцию H(s), но везде в дальнейшем будем
считать H(s)= 1. Передаточные функции G2(s), G3(s) и G4(51) имеют одинаковую форму:

цжсжхтя управления утлом поворо-

(ркшаком неустойчивости, если
ивсм. что целью системы является
Возможно ли сделать систем)
Шжшего в передаточную функцию
Ижж? Можете ли вы предложить
в цепи обратной связи?

шически движется вдоль дорожки

гения обеспечиваются

с помо-

’Жуть движения при помоши мат-

F

fi-hi

пения движением изображс-

1Вк_ чтобы запас по фазе был при-

мика
рокара

1

-* У(>)

Направление
движения

где т3 = т4 - 4 с, и К3 = К4 = 0.1 с. Параметры передаточной функции вентиля К2 ~ 20 и т2 = 0.5 с.
Система должно поддерживать установившуюся ошибку не более 5% от заданного значения
выходной переменной.

(а) Полагая G{(s) ~ К19 определите значение этого коэффициента, удовлетворяющее ограниче-
нию на величину установившейся ошибки. При найденном значении К{ оцените ожидаемую
величину перерегулирования реакции системы на ступенчатый входной сигнал г(/). (б) Если в
системе используется ПИ-регулятор, т. е. G((s) = ATj(l+l/s), определите значение при кото-
ром перерегулирование будет менее 30%, но более 5%. В пп. (а) и (б) воспользуйтесь аппрок-
симацией коэффициента затухания £ = 0,01(pw, где ср7м — запас устойчивости по фазе. Во всех
вычислениях считайте, что U(s) = 0. (в) Оцените время установления переходной характери-
стики системы при регуляторах из пп. (а) и (б), (г) Система подвержена ступенчатому возму-
щению, т. е. U(s) -A/s. Для простоты предположите, что r(t) = 0. Определите реакцию системы
из п. (б) на возмущение.

3-9.18. На рис. 9.18(3) изображена модель водителя автомобиля, пытающегося изменить направле-
ние движения, где К~ 5,3. (а) Постройте частотные характеристики и определите запасы по
модулю и по фазе, если время реакции Г=0. (б) Определите запас по фазе, если Г=0Л с.
(в) Определите время реакции водителя Г, при котором система окажется на границе устойчи-
вости (запас по фазе будет равен нулю).

Боковое
смешение

Рис, 9,18 (3), Система управления, образованная взаимодействием
водителя и автомобиля

3-9.19. В США ежегодно более 5 млрд долларов тратится на сбор и утилизацию твердых бытовых
отходов. Одна из систем для сбора отходов, в которой используется дистанционно управляе-
Рис. 9.19 (3). Система

сбора бытовых отходов

мая механическая рука, изображена на рис. 9.19(3). Система управления рукой в разомкнутом
состоянии имеет передаточную функцию

GH(s) =

(а) Постройте диаграмму Никольса и покажите, что запас по модулю приблизительно равен
19 дБ. (б) Определите запас по фазе и максимальное значение амплитудной характеристики
замкнутой системы Мр . Определите также полосу пропускания замкнутой системы.

3-9.20. Летательный аппарат Белл-Боинг V-22 может функционировать как обычный самолет и как
вертолет. Его преимущество заключается в том, что при взлете и посадке двигатели могут по-
ворачиваться на 90°, как показано на рис. 7.33(3), (а), а в режиме крейсерской скорости они за-
нимают горизонтальное положение и аппарат ведет себя как самолет. На рис 9.20(3) изображе-
на система управления положением аппарата, когда он ведет себя как вертолет.

(а) Постройте частотные характеристики системы при К = 100. (б) Определите запасы устой-
чивости по модулю и по фазе, (в) Найдите значение К, при котором запас по фазе будет равен
40°. (Это требует уменьшения коэффициента усиления по сравнению со значением К- 100.)
(г) Определите реакцию системы на ступенчатый входной сигнал при значении К из п. (в).

Регулятор

А(5)

K(s2+ 1.5у+0.5)

5

Динамика
аппарата
1

(205+1)(105+1)(0.5s+1)

П-0
Положение

Рис, 9,20 (3), Система управления положением в воздухе самолета-вертолета

3-9.21. рассмотрите систему с единичной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии имеет
передаточную функцию

О(5) =

5(5+ 1)(5+ 4)

(а) Постройте диаграмму Боде при К = 4. Определите (б) запас по модулю, (в) значение К при
котором запас по модулю будет равен 12 дБ, и (г) значение К, при котором установившаяся
ошибка будет равна 25% от величины скорости Л линейного входного сигнала r(t) -At, t> 0.
Будет ли система при таком коэффициенте обладать приемлемым качеством?

3-9.22. На рис. 9.22(3) приведена диаграмма Никольса с частотной характеристикой	Точ-

кам, отмеченным на кривой, соответствуют следующие частоты:

точка 1234	5	6789

(о	1	2,0	2,6	3,4	4,2	5,2	6,0	7,0	8,0
ОТХОДОВ

Рис. 9.22 (3)

Диаграмма
Никольса

фавления рукой в разомкнутом

модулю приблизительно равен
№ амплитудной характеристики
и замкнутой системы.

гь как обычный самолет и как

Ш посадке двигатели могут по-
Гкрейсерской скорости они за-
падет. На рис 9.20(3) изображе-
себя как вертолет.

и (6) Определите запасы устой-
вром запас по фазе будет равен
тению со значением К ~ 100.)
жал при значении К из п. (в).

Фазовый сдвиг разомкнутой системы, град.

Положение

Определите (а) резонансную частоту замкнутой системы и (б) ее полосу пропускания, (в) запас
по фазе и (г) запас по модулю, (д) Оцените перерегулирование и время установления (по кри-
терию 2%) реакции системы на ступенчатый входной сигнал.

3-9.23. Контур замкнутой системы образован передаточной функцией

Gtf(s) =------------.

s(s + 2)(s + 3)

Не самолета-вертолета

разом кнутом состоянии имеет

(а) Определите значение К. при котором запас по фазе равен 60°. (б) При Л, найденном в п. (а),
определите запас устойчивости по модулю.

3-9.24. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функ-

цию

G(s)H (s) =

К (s + 10)

р модулю, (в) значение К, при
при котором установившаяся
«иного сигнала r(t) = At. t> 0.
мм качеством?

Ифактеристикой G//(/co). Точ-
ы

7	8	9

6,0	7.0	8,0

(а) Определите значение К, при котором запас по фазе будет равен 60°. (б) При К, найденном в
п. (а), определите запас по модулю, (в) Предскажите, чему будет равна полоса пропускания
замкнутой системы.

3-9.25. В замкнутой системе передаточная функция контура имеет вид

GH (О ==	.

(а) Считая Т= 0,2, определите значение К, при котором запас по фазе будет равен 60°. (б) При К.
найденном в п. (а), постройте график зависимости запаса по фазе от времени запаздывания Г.
Рис. 9.26 (3)

Система управления
шлифовальной
машиной

3-9.26. В мастерских по ремонту металлоизделий может быть использован шлифовальный станок,
позволяющий повысить качество обработки поверхности. Существующие станки обладают
механической надежностью, но управляются вручную. Автоматизация станка освободит опе-
ратора для других задач и позволит увеличить пропускную способность мастерской. В шлифо-
вальном станке, изображенном на рис. 9.26(3), (я), перемещение абразивного круга по всем
трем осям осуществляется автоматически при помощи электродвигателей и систем с обратной
связью. Система управления перемещением круга по оси у изображена на рис. 9.26(3). (б). Что-
бы минимизировать установившуюся ошибку при линейном входном сигнале, выберем значе-
ние К = 10. Изобразите диаграмму Боде для разомкнутой системы и перенесите данные на диа-
грамму Никольса. Определите запасы устойчивости по модулю и по фазе, а также полосу про-
пускания замкнутой системы. Оцените величину коэффициента затухания Q и предскажите
значения перерегулирования и времени установления (по критерию 2%).

Задачи повышенной сложности

П-9.1. За время существования на орбите космического аппарата происходит изменение его массы
и геометрической конфигурации. Например, может произойти существенное изменение мо-
мента инерции. На рис. 9.1(11) изображена структурная схема системы ориентации космиче-
ского аппарата.

Рис. 9.1 (П). Система управления ориентацией космического аппарата
(а) Изобразите диаграмму Боде и определите запасы по модулю и по фазе, если со* -15267,
(б) Повторите п, (а) при со^ = 9500. Обратите внимание на эффект, связанный с изменением
на 38%,

П-9.2. Серьезной проблемой в хирургии является разная восприимчивость пациентов к введению
анестезирующих средств. К тому же, во время операции может меняться и реакция пациента.
На рис. 9.2(П) изображена система управления вводом анестезирующего препарата. Показате-
лем глубины наркоза является артериальное кровяное давление,

(а) Полагая Т~ 0,05 с. постройте диаграмму Боде и определите запасы устойчивости по моду-
лю и по фазе, (б) Повторите п. (а) при Т~ 0,1 с. Оцените эффект от увеличения времени запаз-
дывания в 2 раза, (в) По величине запаса по фазе предскажите значение перерегулирования в
случае ступенчатого входного сигнала для условий пп, (а) и (б).

Рис. 9.2 (П). Система управления кровяным давлением при анестезии

П-9.3. В последние десятилетия достигнут определенный успех в автоматизации процессов сварки.
Однако при сварке отсутствует возможность непосредственного измерения качества сварного
соединения. Поэтому необходим какой-то косвенный способ контроля за качеством сварки.
Наиболее полную текущую информацию о качестве сварного шва можно было бы получить
как по его геометрическим параметрам (в поперечном сечении это ширина, глубина и высота
шва), так и по температурным характеристикам (таким как ширина зоны разогрева и скорость
охлаждения). Глубину сварного шва, которая в большинстве случаев является основным гео-
метрическим параметром, очень трудно измерить непосредственно, но существует метод его
оценки, основанный на температурных измерениях. Модель системы управления качеством
сварного шва изображена на рис, 9,3 (П),

(а) Определите запасы по модулю и по фазе в системе при К= 1. (б) Повторите п. (а) при
К~ 1,5. (в) С помощью диаграммы Никольса определите полосу пропускания системы при
К = 1 и при К — 1,5. (г) Предскажите время установления переходной характеристики (по кри-
терию 2%) при К = 1 и при К= 1,5.
ад

Рис. 9-4 (П). Система управления машиной для производства бумаги

П-9.4. Управление машиной для производства бумаги — очень сложная задача. Цель управления
состоит в том, чтобы нужное количество древесной массы (пульпы) вводилось с соответству-
ющей скоростью и в нужной концентрации. Последовательно выполняются операции обезво-
живания, осаждения древесной массы, проката и сушки. Очень важно выдерживать постоян-
ный вес бумаги на единицу площади. В системе управления, изображенной на рис. 9.4(П), вы-
берите такое значение К, при котором запас по фазе был бы не менее 40°. а запас по модулю —
не менее 10 дБ. Постройте график переходной характеристики при найденном значении К.
Определите полосу пропускания замкнутой системы.

П-9.5. В проекте НАСА — несколько запусков на Марс автономных исследовательских аппаратов.
Типичный самоходный аппарат оснащен солнечными батареями питания, имеет шесть колес,
весит 10 кг и наблюдает за окружающей средой с помощью двух миниатюрных телекамер, а
расстояние до объектов измеряет с помощью пяти лазерных дальномерных устройств. Он спо-
собен преодолевать подъем в 30° и оснащен спектрометром для определения химического со-
става камней на поверхности Марса. Управление аппаратом производится дистанционно с
Земли. Система управления положением аппарата изображена на рис. 9.5(П). Определите зна-
чение К' при котором запас по фазе будет максимальным. При найденном значении К опреде-
лите величину перерегулирования реакции системы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 9.5 (П)

Ж*)

П-9.6. Кислотность воды, отсасываемой из угольной шахты, часто определяется путем добавления
в нее извести. Подача извести регулируется с помощью вентиля, а кислотность измеряется
установленным ниже по течению датчиком. Модель системы управления кислотностью изоб-
ражена на рис. 9.6(П). Определите значения К и Р, при которых система является устойчивой.
Расстояние D должно быть более 2 метров, чтобы произошло полное перемешивание до мо-
мента измерения кислотности.

Рис. 9.6 (П). Система управления кислотностью воды
Регулятор

Я(л’) -

Заданное
положение
лифта

A(s+4)

D(s)

Возмущение

Лифт и
линейный привод

-> ЯО
Положение
лифта

Рис, 9,7 (П), Система управления положением лифта

П-9.7. Использование лифтов в зданиях-небоскребах ограничено высотой 800 м, т. к. в противном
случае тросы становятся слишком толстыми и тяжелыми. Решение состоит в отказе от исполь-
зования тросов и переходе на линейный привод, аналогичный тому, который применяется в
транспортных системах с магнитной подвеской. Один из проектов предусматривает использо-
вание линейного синхронного привода, обеспечивающего движение пассажирской кабины
вдоль направляющей по оси шахты. Принцип действия такого привода основан на взаимодей-
ствии электромагнитного поля, создаваемого катушками на направляющей, с магнитами,
вмонтированными в кабину лифта.

Если пренебречь трением в таком приводе, то систему управления положением кабины лифта
можно представить в виде структурной схемы на рис. 9.7(П). Определите значение К. при ко-
тором запас по фазе будет равен 45°. Определите полосу пропускания системы при найденном
значении К. Вычислите также максимальное значение выходной переменной при данном К в
случае единичного ступенчатого сигнала.

Рис. 9.8 (П)
К выбору
коэффициента
усиления

П-9.8. На рис. 9.8(П) изображена замкнутая система управления, в которой коэффициент К больше
500. но меньше, чем 3000. Найдите такое значение К, при котором переходная характеристика
системы будет иметь перерегулирование, не превышающее 18%. Постройте диаграмму Нико-
льса и определите запас по фазе.

П-9.9. Рассмотрите систему с ПИ-регулятором из задачи П-7.13. Считая, что Kj/Kp = 0,2, определи-
те коэффициент Кр. при котором запас по фазе будет максимальным.

Задачи на синтез систем

СС-9.1. В системе из задачи СС-4.1 использован регулятор с передаточной функцией Gc(s) = Ка.
Q Определите значение Ка, при котором запас по фазе будет равен 70°. Получите график реак-
—
ции этой системы на ступенчатый входной сигнал.

С-9.1. На рис. 9.1(C), (а), изображен мобильный робот для сборки токсичных отходов. Замкнутая
система управления скоростью движения робота имеет структуру, представленную на рис. 9.1,

где H(s) = 1. Диаграмма Никольса на рис. 9.1(C), (о), соответствует годографу 6(/со)/К, где от-

меченные точки характеризуются следующими значениями частоты со:

точка

(О

1	2	3	4	5

2	5	10	20	50

(а) Определите запасы устойчивости по модулю и по фазе при К- 1. (б) Определите значение
Мр в децибелах и резонансную частоту замкнутой системы при К = 1. (в) Определите полосу
пропускания системы и оцените время установления (по критерию 2%) и относительное пере-
регулирование реакции системы на ступенчатый входной сигнал, (г) Найдите такое значение
К, при котором перерегулирование составит 30%, и оцените, чему будет при этом равно время

установления.

Рис. 9.1 (С)

(а) Мобильный робот
для уборки токсичных
отходов.

(б) Диаграмма Никольса

Фазовый сдвиг разомкнутой системы, град.
<ri Найдите такое значение
^дет при этом равно время

Рис. 9.2 (С)

Система управления
гибкой рукой робота

мй системы, граа.

ад

С-9.2. Гибкие руки роботов изготавливаются из легких материалов, а управляющие ими системы в
разомкнутом состоянии обладают слабым демпфированием. На рис. 9.2(C) изображена струк-
турная схема системы управления гибкой рукой робота. Выберите такое значение X, при кото-
ром система будет иметь максимально возможный запас по фазе. На основе найденного запаса
по фазе предскажите величину перерегулирования при ступенчатом входном сигнале и срав-
ните его с действительным значением. Определите полосу пропускания замкнутой системы.
Предскажите время установления (по критерию 2%) переходной характеристики и сравните
его с действительным значением. Обсудите практическую пригодность данной системы

управления.

9.3. Пациентам, страдающим от сердечной
недостаточности, может помочь система
автоматического введения лекарственно-
го препарата. Такая система предназна-
чена для поддержания стабильного со-
стояния пациента в достаточно узких
границах. На рис. 9.3(C) изображена сис-
тема управления кровяным давлением за
счет введения лекарственного препарата.
Выберите такое значение коэффициента

ад

Динамика
пациента
Ке 10'
(40s-1)

ад

Кровяное
давление

Рис. 9.3 (С). Система управления вводом
медицинского препарата

К, при котором отклонение кровяного давления от заданного было бы по возможности мини-
мальным и одновременно обеспечивалась бы хорошая динамика переходного процесса.

Рис. 9.4 (С)

(а) Робот с двумя
сочленениями,
играющий в теннис.
{б) Упрощенная
система
управления

С-9.4. На рис. 9.4(C), (д), изображен робот, играющий в теннис, а на рис. 9.4(C), (б). — упрощенная
система управления углом 0?(/). Система управления должна обеспечивать наилучщий вид пе-
реходной характеристики путем настройки коэффициента Kv. Выбрав значения Kv = 0,325 и
Kv = 0,45, определите запасы устойчивости по модулю и по фазе, а также полосу пропускания
замкнутой системы. Для каждого значения Kv оцените вид переходной характеристики и выбе-
рите наилучшее значение коэффициента К.

С-9.5. В системах, где требуется развитие значительных усилий, используются электрогидравличе-
ские исполнительные устройства. Структурная схема такой системы изображена на рис.
9.5(C). Желательно, чтобы при ступенчатом входном воздействии установившаяся ошибка
была минимальна. Однако при этом перерегулирование не должно превышать 10%, Время за-
паздывания Z-0.8 с.
Рис. 9.5 (С)

Электрогидравлический
сервопривод

ад

(а) Полагая (Jc(s) ~ К, выберите значение К и определите действительные значения перерегу-
лирования, времени установления (по критерию 2 %), а также установившуюся ошибку,
(б) Повторите п. (а) при Gc(s)=	+ т- е- выберите значения и К2. Постройте диаграм-

му Никольса при найденных значениях К} и К2.

ОД

ад

Рис. 9.6 (С). Система управления толщиной стальной полосы

С-9.6. Прокатный стан для производства стальной ленты физически можно представить в виде мо-
дели, собственное движение которой имеет характер затухающих колебаний. Датчик толщины
ленты расположен очень близко к выходу из прокатного стана, а цель системы управления со-
стоит в поддержании толщины как можно ближе к заданному значению. Любое изменение
толщины ленты на входе прокатного стана рассматривается как возмущение. Система имеет
неединичную обратную связь, как показано на рис. 9.6(C). В зависимости от условий эксплуа-
тации прокатного стана параметр b изменяется в пределах от 80 до 300.

Определите запасы устойчивости по модулю и по фазе для двух крайних значений параметра b
при номинальном значении К = 170. Коэффициент усиления К рекомендуется уменьшить так.
чтобы запас по фазе был более 40°, а запас по модулю — более 8 дБ во всем диапазоне измене-
ния параметра Ь.

С-9.7. Аппараты, которые будут заниматься исследованием поверхности Луны и созданием на ней
различных сооружений, столкнутся с условиями, принципиально отличными от земных. Кро-
ме того, управляться они будут дистанционно. Структурная схема системы управления таким
аппаратом изображена на рис. 9.7(C). Полагая Т- 0,5 с, выберите значение К, исходя из того,
что система должна иметь как можно большее быстродействие и при этом перерегулирование
не должно превышать 20%.

Рис. 9.7 (С). Система управления лунным аппаратом
Исполнительное
устройство

Рис. 9.8 (С)

Система управления
прокатным станом

Динамика

ОД -

Заданная
толщина

К

ф+25)(?+100^+2600)

* W

Толщина
полосы

даительные значения перерегу-
|*же установившуюся ошибку,
да К, и К2. Постройте диаграм-

10000

► ад

дальней полосы

 можно представить в виде мо-
дах колебаний. Датчик толщины
В. а цель системы управления со-
му значению. Любое изменение
как возмущение. Система имеет
даисимости от условий эксплуа-
М 80 до 300.

рх крайних значений параметра b
S' рекомендуется уменьшить так,
г 8 дБ во всем диапазоне измене-

С-9.8. Управление скоростным прокатным станом представляет собой весьма непростую задачу.
Система управления толщиной стальной полосы должна обладать высокой точностью и быть
легко настраиваемой. На рис. 9.8(C) изображена структурная схема такой системы. Осущест-
вите синтез этой системы, выбрав такое значение К, при котором реакция на ступенчатое воз-
действие имела бы перерегулирование не более 0,5% и время установления (по критерию 2%)
менее 4 с. Для выбора К воспользуйтесь корневым годографом, после чего вычислите значе-
ния всех корней. Укажите доминирующий корень (или корни) системы.

С-9.9. На рис. 9.9(C), (а), изображена система из двух проточных емкостей с подогревателем, а на
рис. 9.9(C), (б), — соответствующая ей структурная схема. На схеме TQ — температура жидко-
сти, втекающей в первую емкость, а Т2 — температура жидкости на выходе из второй емкости.
Нагреватель находится в первой емкости и создает регулируемый поток тепла Q. Постоянные
времени Tj ~ 10 с и т3 = 50 с.

(а) Выразите 72(s) через T0(s) и T2Js). (б) Если T2Js), соответствующее заданному значению
температуры на выходе, мгновенно изменяется от T2/s) = Ais до T2/s) ~ 2A/sf определите пе-
реходную характеристику T2(t) при Gc(s) - К- 500. По предположению, до скачка заданного
значения температуры система находилась в стационарном состоянии, (в) Определите величи-
ну установившейся ошибки evs для системы из п. (б), считая E(s) = T2Js) - T2(s). (г) Повторите
пп. (б) и (в), если Сад = K/s. Значение К выберите так, чтобы перерегулирование не превыша-
ло 10%. (д) Считая, что



проведите синтез регулятора, обеспечивающего время установления (по критерию 2%)
Тх< 150 с и относительное перерегулирование менее 10%. (е) Для сравнения сведите в таблицу
значения относительного перерегулирования, времени установления и установившейся ошиб-
ки, полученные в пп. (б)—(д).

даости Луны и созданием на ней
дао отличными от земных. Кро-
зпц системы управления таким
sprre значение К. исходя из того,
вс и при этом перерегулирование

даи ванне
ржала

Рис. 9.9 (С)

Система
управления
температурой
в двухъемкостном
объекте

е

► W

б)
562

Рис 9.10 (С)

Система
управления
роботом для сбора
горячих брусков



В системе определяется
разность между положе-
ниями захвата и бруска
по координатам * и у

а)

УИ
Положение
захвата
по оси х

С-9.10. На рис. 9.10(C). (а), показан регулятор для робота, который захватывает горячие бруски и
помещает их в корыто для охлаждения. Робот находится над конвейером и способен совер-
шать движения по осям х и у. Система управления положением захвата изображена на рис.
9.10(C). (б), где

а Т~ л/4 с. Регулятор имеет передаточную функцию



Проведите синтез регулятора, исходя из того, что установившаяся ошибка не должна превы-
шать 10% от величины ступенчатого входного сигнала, а перерегулирование должно быть ме-
нее 10%.

Ml Задачи. решаемые с помощью MATLAB

М-9.1. Рассмотрите систему с единичной отрицательной обратной связью, которая в разомкнутом
состоянии имеет передаточную функцию

6(5) =

100

s2 + 45 + 10

С помощью MATLAB убедитесь, что запас по модулю равен со, а запас по фазе составляет 24°.

М-9.2. С помощью nyquist постройте в полярных координатах частотные характеристики для сле-
дующих передаточных функций:

(а) 6(5) =--:

5+1

(6)6(5) =

15

52 + 85 + 5
М-9.3. С помощью функций nichols и logspace постройте в соответствующих координатах диа-

граммы Никольса для следующих передаточных функций:

(a)	G(s) =

(б)	(7(5) =

(В)	(7(5) =

5 + 0,1

1

53 + 9s2 + 265 + 24

По диаграмме Никольса определите приблизительные значения запасов устойчивости по мо-
дулю и по фазе и отметьте их на диаграмме.

М-9.4. Система с отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную
функцию

Ж)

Положение
захвата
НО ОСИ X

(а) Воспользовавшись функцией margin и полагая Т= 0Л с, определите такое значение К. при
котором запас по фазе будет равен 45°. (б) Изобразите графически зависимость запаса по фазе
от Г, где 0 < Т< 0,2 с, при К. найденном в п. (а).

М-9.5. Рассмотрите систему управления машиной для производства бумаги, изображенную на рис.
9.4(H). С помощью MATLAB постройте график зависимости полосы пропускания замкнутой
системы от коэффициента К, 1 <К< 50.

^захватывает горячие бруски и
конвейером и способен совер-
ем захвата изображена на рис.

Заданное
значение

Рис, 9,6 (М), Система управления ускорением ракеты

ися ошибка не должна превы-
н? лирование должно быть ме-

К> MATLAB

жжзыо. которая в разомкнутом

В запас по фазе составляет 24°.
иные характерно тики для сле-

10
lr-3j+l ‘

М-9.6. На рис. 9.6(М) изображена структурная схема системы управления ускорением ракеты при
совершении ею маневра, связанного с изменением курса. Входной и выходной сигналы есть
соответственно заданное и действительное значения ускорения (в единицах g). В системе ис-
пользован ПИ-регулятор. Номинальное значение параметра h0 равно 0,5.

(а) Предполагая, что bQ имеет номинальное значение, с помощью функции margin вычислите
запасы устойчивости по фазе и по модулю, а также частоту, при которой амплитудная характе-
ристика разомкнутой системы пересекает уровень 0 дБ. (б) Используя значение запаса по мо-
дулю из п. (а), определите максимально допустимое из соображений устойчивости значение
параметра h0. Проверьте ответ, применив к характеристическому уравнению системы крите-
рий Рауса-Гурвица.

М-9.7. Научно-исследовательская лаборатория подготовила программу выполнения задач спутни-
ком на околоземной орбите. Управление спутником предполагается осуществлять с наземной
станции. Структурная схема системы управления представлена на рис. 9.7(М). Сигнал с Земли
достигает спутника через Т секунд и столько же времени необходимо для получения ответного
сигнала центром управления. В системе предлагается использовать ПД-регулятор. находя-
щийся в наземном центре управления, т. е.

Gc(s) = К} т K2s .

(а) В предположении, что запаздывание отсутствует (т. е. Т~ 0), проведите синтез регулятора,
удовлетворяющего следующим требованиям: (1) относительное перерегулирование при сту-
пенчатом входном сигнале не более 20% и (2) время максимума переходной характеристики
не более 30 с. (б) Вычислите запас по фазе при отсутствии запаздывания. На основании полу-
Рис. 9.7 (М). Система управления спутником с наземной станции

ценного результата найдите предельно допустимое из соображений устойчивости время запаз-
дывания. (в) Аппроксимируйте каждое звено запаздывания с помощью функции Паде второго
порядка. Подготовьте программу MATLAB, включающую использование функции pade. ко-
торая вычисляла бы полюсы замкнутой системы как функцию времени запаздывания Т. С по-
мощью этой программы определите максимально допустимое время запаздывания 7шах и срав-
ните результат с данными, полученными в п. (б). Для расчетов примите J= 150 кг • м~.

Ключевые термины и понятия

Диаграмма Никольса. Сетка кривых, устанавливающая связь между частотными характеристика-
ми разомкнутой и замкнутой систем.

Запаздывание по времени. Чистая задержка на время Т, приводящая к тому, что некоторое собы-
тие в момент t в одной точке системы проявляется в том же виде в другой точке системы по-
зже, в момент t т Т.

Запас по модулю. Величина, определяемая при фазовом сдвиге -180° и показывающая во сколько
раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на грани-
це устойчивости, т. е. диаграмма Найквиста пройдет через точку -1+/0.

Запас по фазе. Величина, определяемая на частоте, при которой	= 1 и показывающая, ка-

кой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она ока-
жется на границе устойчивости, т. е. диаграмма Найквиста пройдет через точку -1+/0.

Контур. Замкнутая траектория на одной плоскости, отображаемая на другую плоскость с помощью
функции F(s).

Конформное отображение. Отображение контура с ^-плоскости на /^-плоскость.

Критерий устойчивости Найквиста. Замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда
контур на G(s)-плоскости не охватывает точку (-1,уО) при условии, что функция G(s) не имеет
полюсов в правой полуплоскости. Если G(s) имеет? полюсов в правой полуплоскости, то что-
бы замкнутая система была устойчива, контур на (7(^)-плоскости должен охватывать точк\
(-1, /0) Р раз в направлении против часовой стрелки.

Принцип аргумента. См. Теорема Коши.

Теорема Коши. Если некоторый контур охватывает Z нулей и Р полюсов функции ?(>?) в направле-
нии по часовой стрелке, то соответствующий ему контур на F(s)-пл ос кости охватывает начало
координат этой плоскости N = Z — P раз в направлении по часовой стрелке.

Частотная характеристика замкнутой системы. Зависимость от частоты передаточной функции
замкнутой системы, Д/ю).
Спутник

Глава 10

Синтез систем управления
с обратной связью

Обзор

Иемной станции

й устойчивости время запаз-
вмиью функции Паде второго
жзование функции pade, ко-
|Ехени запаздывания Т. С но-
во запаздывания Г1Пах и срав-
: примите J = 150 кг • м2.

частотными характеристика-

I е тому, что некоторое собы-
е в другой точке системы гю-

1 и показывающая во сколько
не чем она окажется на грани-
? ~ 1Л7‘0.

= 1 и показывающая, ка-
истеме, прежде чем она ока-
1жет через точку -1+/0.

фугую плоскость с помощью

В данной главе мы основное внимание уделим синтезу корректирующих устройств. Испо-
льзуя материал предыдущих глав, мы рассмотрим несколько методов синтеза в частотной
области, позволяющих обеспечить заданное качество систем управления. На ряде приме-
ров мы проиллюстрируем положительные стороны регуляторов с опережением и с отста-
ванием по фазе. Будет показано, что синтез таких регуляторов можно выполнить как с по-
мощью корневого годографа, так и с помощью диаграммы Боде. Применение ПИ-регуля-
торов будет рассмотрено в контексте обеспечения высокой точности воспроизведения
входных сигналов. Синтез систем управления методами пространства состояний рассмат-
ривается в главе 11. Настоящая глава завершается примером синтеза ПД-регулятора для
системы чтения информации с диска.

10.1.	Введение

FUJ-плоскость.

тогда и только тогда, когда

- что функция G(s) не имеет
равой полуплоскости, то что-
№ должен охватывать точку

сов функции F(s) в направле-
юоскости охватывает начало
юй стрелке.

хоты передаточной функции

Понятие качества систем управления детально обсуждалось в главе 5, где были введены
основные количественные показатели качества. Мы установили, что система управления
должна быть устойчивой и обладать адекватной реакцией на входные эталонные сигналы,
она должна быть как можно менее чувствительной к изменению параметров, иметь по воз-
можности минимальную установившуюся ошибку и, наконец, быть в состоянии компенси-
ровать влияние нежелательных возмущений. Замкнутая система, которая изначально обла-
дала бы оптимальным качеством, без дополнительной коррекции ее характеристик - это
весьма редкий случай. Обычно бывает невозможно удовлетворить одновременно все тре-
бования, предъявляемые к качеству системы, поэтому возникает проблема поиска компро-
мисса между рядом требований, среди которых могут быть и противоречащие друг другу.

В предыдущих главах мы уже частично касались вопросов синтеза и настройки пара-
метров системы, имея целью обеспечить желаемые показатели качества. В главе 5 мы вве-
ли в рассмотрение некоторые важные количественные оценки качества. Далее, в главе 6,
мы рассмотрели метод анализа устойчивости систем управления, поскольку если система
неустойчива, то она просто неработоспособна. В главе 7 мы применили метод корневого
годографа к синтезу автоматически уравновешивающихся весов (разд. 7.4), а затем пока-
зали, как с помощью того же метода можно подобрать нужные параметры системы (разд.
7.5). Далее, в главах 8 и 9, мы установили связь между качеством системы и ее частотны-
ми характеристиками и воспользовались этой связью для синтеза ряда систем управле-
ния. Таким образом, в предыдущих главах мы касались отдельных вопросов, имеющих
отношение к синтезу систем управления. Задачей настоящей главы является более глубо-
кое изучение различных методов синтеза и коррекции систем, базирующихся на рассмот-
ренном ранее материале.

В предыдущих главах было показано, что иногда желаемое качество системы можно
обеспечить просто путем настройки ее параметров. Однако часто этого оказывается недо-
статочно, и для достижения желаемого результата должна быть изменена структура сис-
темы. Поэтому в общем случае синтез системы связан с выбором ее типа и структуры
и последующей настройкой параметров. Например, если мы хотим, чтобы несколько
показателей качества были меньше заданных значений, то мы часто можем попасть в кон-
фликтную ситуацию. Так, если относительное перерегулирование не должно превышать
20 % и при этом юпТр = 3,3, то это накладывает противоречивые требования к коэффици-
енту затухания как можно видеть из рис. 5.8. Поэтому, если нельзя ослабить ограниче-
ния на указанные показатели качества, необходимо каким-то образом изменить саму сис-
тему. Подобное изменение системы, имеющее целью обеспечение желаемых показателей
качества, называется коррекцией.

Для получения требуемых показателей качества в структуру системы вводится до-
полнительный элемент, корректирующий ее характеристиками. Такой корректирующий
элемент или устройство может быть электрическим, механическим, гидравлическим,
пневматическим или иным, называемым обычно регулятором. Наиболее часто в систе-
мах управления в качестве регуляторов используются электрические схемы.

Корректирующее устройство — это элемент или схема, дополнительно вводи-
мые в систему управления с целью исправления ее динамических характери-
стик.

Передаточная функция регулятора (корректирующего устройства) обозначается как
Gc(s) = E^{s)/Ej(s), а место его расположения в структуре системы определяется исходя из
конкретных соображений. Для простой одноконтурной системы управления несколько
вариантов коррекции приведены на рис. 10.1. Корректирующее устройство, введенное в

Я(5)

в)

б)

A(.v)

6’)	г)

Рис. 10.1. Виды коррекции, (а) Последовательная коррекция, {б) Корректирующее
устройство в цепи обратной связи. (5) Коррекция по выходу, или по нагрузке.

(Д Коррекция по входу
:i

1шпей главы является более глубо-
астем, базирующихся на рассмот-
h

желаемое качество системы можно
Ико часто этого оказывается недо-
на быть изменена структура сис-
г с выбором ее типа и структуры
если мы хотим, чтобы несколько
то мы часто можем попасть в кон-
|глирование не должно превышать
фечивые требования к коэффици-
у. если нельзя ослабить ограниче-
рн-то образом изменить саму сис-
|еспечение желаемых показателей

i структуру системы вводится до-
стиками. Такой корректирующий
механическим, гидравлическим,
Шпором. Наиболее часто в смете-
эзектрические схемы.

В схема, дополнительно вводи-
П ее динамических характерн-

ого устройства) обозначается как
е системы определяется исходя из
I системы управления несколько
фующее устройство, введенное в

Из)

г)

фрекция, {6} Корректирующее
ю выходу, или по нагрузке.

I прямую цепь передачи сигнала [как показано на рис. 10.1(a)], называется последователь-
I ным. Аналогично, другие варианты носят название корректирующих устройств в цепи
| обратной связи, на выходе системы (или по нагрузке) и на входе системы, как соответст-
| венно показано на рис. 10.1(6), (в) и (г). Выбор места размещения корректирующего
к устройства зависит от конкретных требований к качеству системы, от уровня мощности
I сигнала в различных точках системы и от имеющихся в наличии конкретных технических
I устройств. Обычно выход системы У(^) — это выход объекта управления G(s) и поэтому
I схема на рис. 10.1(e) вряд ли может считаться реализуемой. Мы не можем рассмотреть
| здесь все возможные способы коррекции, поэтому заинтересованного читателя отсылаем
к главам 11 и 12 после изучения им основных положений данной главы.

|<

10.2.	Подходы к синтезу системы

|г

Качество системы управления может быть описано каке помощью ее временных, так ичас-
| тотных характеристик. Требования к качеству могут быть заданы, например, в виде вели-
: чины максимального перерегулирования, времени максимума переходной характеристи-
>	ки и времени ее установления. Кроме того, обычно необходимо задать максимально допус-

тимую установившуюся ошибку при различных тестовых входных сигналах и внешних
возмущениях. Все эти требования к качеству можно связать с желаемым расположением
полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы Г(з). Как было установлено в
главе 7, достаточно просто можно построить корневой годограф замкнутой системы при
изменении какого-либо ее параметра. Однако, если корневой годограф не позволяет найти
желаемое расположение корней, то в систему необходимо ввести корректирующее устрой-
ство (рис. 10.1), которое повлияет на вид корневого годографа и даст возможность, варьи-
руя параметр системы, разместить корни в соответствии с требованиями к ее качеству.

Качество замкнутой системы управления можно также оценить по ее частотным ха-
рактеристикам, главным образом по таким показателям, как максимальное значение амп-
литудной характеристики М , резонансная частота сог полоса пропускания и запас
устойчивости по фазе. Чтобы удовлетворить требования, предъявляемые к качеству сис-
темы, при необходимости в нее вводится корректирующее устройство. Синтез этого
устройства можно произвести, пользуясь любой формой представления частотных харак-
теристик — в полярных координатах, в виде диаграммы Боде или в виде диаграммы Ни-
кольса. В случае последовательной коррекции предпочтительнее использовать диаграм-
му Боде, т. к. в этом случае частотные характеристики корректирующего устройства про-
сто складываются с соответствующими характеристиками исходной системы.

Таким образом, синтез системы предполагает изменение вида ее частотных характе-
ристик или корневого годографа так, чтобы удовлетворить требования, предъявляемые к
качеству системы. Некоторые методы синтеза были проиллюстрированы нами в преды-
дущих главах. Так, в примере 7.5 было показано, как применяется метод корневого годог-
рафа к синтезу корректирующего устройства, а в главе 9 мы выяснили, как путем измене-
ния коэффициента усиления системы можно обеспечить требуемое значение запаса по
фазе и, следовательно, получить удовлетворительные показатели относительной устой-
чивости.

С практической точки зрения наилучшим и наиболее простым способом улучшения
качества системы является, если это возможно, изменение самого объекта управления.
Иначе говоря, если проектировщик способен в процессе синтеза изменить передаточную
функцию объекта управления G(s), то тем самым можно улучшить и качество системы.
Например, чтобы улучшить динамику сервопривода, часто бывает достаточно выбрать
двигатель с наилучшими параметрами. При проектировании системы управления самоле-
том разумнее всего сначала изменить его аэродинамические свойства так, чтобы улуч-
шить полетные характеристики. Поэтому проектировщик систем управления должен
ясно понимать, что улучшение качества системы в первую очередь связано с изменением
свойств собственно объекта управления. Однако часто объект либо вообще невозможно
изменить, либо он уже был изменен настолько, насколько возможно, но качество системы
все еще остается неудовлетворительным. Тогда остается единственная возможность —
добиться желаемого качества системы за счет введения корректирующего устройства.

В следующих разделах мы будем предполагать, что передаточная функция G(5), со-
ответствующая объекту управления, не может быть изменена. Сначала мы рассмотрим
так называемую коррекцию с опережением по фазе и разработаем методы синтеза соот-
ветствующего корректирующего устройства с помощью корневого годографа и с помо-
щью частотных характеристик. Затем мы покажем, как теми же методами можно решить
задачу синтеза корректирующих устройств, обладающих интегрирующими свойствами.

10.3.	Схемы последовательной коррекции

В этом разделе мы рассмотрим процедуру синтеза последовательного корректирующего
устройства или корректирующего устройства в цепи обратной связи, как соответственно
показано на рис. 10.1 (а) и 10.1 (б). В любом случае корректирующее устройство Gc(s) вклю-
чается последовательно с неизменяемым объектом G(s), и в итоге передаточная функция
контура приобретает вид Gc(s)G(s)H(s). Корректирующее устройство (или регулятор) вы-
бирается так, чтобы изменить либо вид корневого годографа, либо форму частотных харак-
теристик. В любом случае можно подобрать такое устройство, передаточная функция ко-
торого будет иметь вид:

м

Gc(s) = -^-----•	(Ю-D

Далее задача сводится к надлежащему выбору полюсов и нулей функции Gc(^). Для иллю-
страции основных свойств схем коррекции мы ограничимся рассмотрением корректирую-
щих устройств первого порядка. Разработанный на этой основе метод коррекции можно
будет распространить и на более сложные схемы, например, соединяя последовательно не-
сколько корректирующих устройств первого порядка.

Сначала параметры корректирующего устройства выбираются так, чтобы система
удовлетворяла заданному ограничению на величину установившейся ошибки. После это-
го параметры настраиваются таким образом, чтобы изменить динамику системы в желае-
мом направлении, не влияя при этом на установившуюся ошибку.

Рассмотрим корректирующее устройство первого порядка с передаточной функцией

Gc(s) = ^-^.	(10.2)
у со

рипить и качество системы.
Бывает достаточно выбрать
®стемы управления самоле-
I свойства так, чтобы улуч-
смстем управления должен
гредь связано с изменением
ст либо вообще невозможно
ложно, но качество системы
ветвенная возможность —
ректирующего устройства.
Шточная функция G(s), co-
в.. Сначала мы рассмотрим
Наем методы синтеза соот-
вевого годографа и с помо-
ike методами можно решить
грирующими свойствами.

Рис. 10.2

Расположение полюса и нуля
для схемы с опережением по фазе

-Z

К, обеспечивающих заданное ка-

Проблема синтеза заключается в выборе параметров z,p и

чество системы. Если |z|<|p|, то соответствующее устройство обладает опережением по
фазе, и относительное расположение нуля и полюса на 5-плоскости приведено на рис. 10.2.
Если полюсом можно пренебречь, т. е. |р| \z

а нуль находится в начале координат, то

Ge (s)



(Ю.З)

и мы имеем дело с дифференциатором. Корректирующее устройство с передаточной функ-

цией (10.3) имеет следующую частотную характеристику:

Z' Т7 \	( If \

коррекции



— со

J 90°

(Ю.4)

гельного корректирующего
i связи, как соответственно
лее устройство Ge(s) вклю-
юге передаточная функция
юйство (или регулятор) вы-
форму частотных харак-

, передаточная функция ко-

(Ю.1)

i функции Gc(s). Для иллю-
хмотрением корректирую-
ве метод коррекции можно
яиняя последовательно не-

ются так, чтобы система

>1

ейся ошибки. После это-

виамику системы в желае-
мо ку.

с передаточной функцией

откуда следует, что создаваемый им фазовый сдвиг равен +90°. Аналогично, частотная ха-
рактеристика, соответствующая передаточной функции (10.2), имеет вид.

х	\	/	t \	.	11	т г J

Gc (J(q) =	~

(Ю.5)

где т = \/ру	К/a. Частотные характеристики такой схемы с опережением по

фазе приведены на рис. 10.3. Фазовая характеристика определяется уравнением

q>(со)=arctg асот- arctg (от .	(10.6)

со (логарифмический масштаб)

Рис. 10.3. Диаграмма Боде для схемы с опережением по фазе
Рис. 10.4

Четырехполюсник, обладающий
опережением по фазе

Корректирующее устройство с опережением по фазе можно реализовать с помощью

схемы, изображенной на рис. Ю.4. Эта схема имеет передаточную функцию

(Ю.7)

Полагая

мы получим передаточную функцию устройства с опережением по фазе

Gc (О =

1+ OtT5
a(l + T5)

(10.8)

J

которая совпадаете выражением (10.5) с точностью до дополнительного коэффициентах.

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте где соЛ1 — среднее гео-
метрическое значений /?= 1/т и z = 1/сст; если частоту откладывать в логарифмическом
масштабе, то фазовая характеристика имеет максимальное значение как раз посредине
между частотами, соответствующими нулю и полюсу передаточной функции. Таким об-
разом,

Чтобы получить выражение для максимума фазового сдвига, запишем аргумент функции
(10.5) в виде

шот - сот

Ф - arctg--------—

1 + (сот)' а

(10.9)

Подставив сюда значение частоты сот = 1/тл/а, получим:

(10.10)

Далее, используя соотношение между тригонометрическими функциями, можно записать,

sin ф„,
яо реализовать с помощью
ю функцию

Рис. 10.5

Зависимость максимального
фазового сдвига
от параметра а для схемы
с опережением по фазе

(10.7)

Выражение (10.11) очень полезно для вычисления требуемого соотношения а между по-
люсом и нулем корректирующего устройства, обеспечивающего заданный максимальный
фазовый сдвиг. График зависимости <pw от а приведен нарис. 10.5. Из графика, в частности,
видно, что фазовый сдвиг не может быть больше 70°. Кроме того, поскольку

а = (Aj+A^)/^, то существуют практические ограничения на максимально достижимое

значение а. Поэтому, если требуется иметь максимальный фазовый сдвиг больше, чем 70°,
то в этом случае придется использовать две схемы, соединенные последовательно. Тогда

по фазе

(Ю.8)

гельного коэффициента К.

где <ow — среднее гео-
ывать в логарифмическом
имение как раз посредине
энной функции. Таким об-

эквивалентная передаточная функция корректирующего устройства будет равна
Gc	при условии, что эффект нагрузки со стороны (л-)на Gq (s)незначителен.

Часто возникает необходимость использования корректирующего устройства, обла-

дающего отставанием по фазе. Схема с отставанием по фазе изображена на рис. 10.6. Ее

передаточная функция имеет вид:

Gc (Л =

Я2 + (1/Су)

7?! + R, + (1/Су)

Я,Су+1

(7?! + )Су + 1

(10.12)

Обозначив т -Я2Си а = С^+Яэ)//^, запишем (10.12) в виде:

(10.13)



шшем аргумент функции

(Ю.9)

где z - 1/т ир = 1/ат. В данном случае, поскольку а > 1, полюс расположен ближе к началу
координат, чем нуль, как показано на рис. 10.7. Схемы такого типа часто называют интег-
рирующими, поскольку их частотные характеристики в ограниченном интервале частот
близки к соответствующим характеристикам интегратора. Диаграмма Боде для устройства
с отставанием по фазе строится на основании выражения

=	(Ю.14)

1 + JCDCCC

(10.10)

вкшгями, можно записать:

У CD

Рис. 10.7. Расположение полюса и
нуля для схемы с отставанием по фазе

Рис. 10.6. Схема с отставанием по фазе
1

Рис. 10.8. Диаграмма Боде для схемы с отставанием по фазе

и приведена на рис. 10.8. Сравнивая рис. Ю.Яирис. 10.3, можно заметить, что амплитудные
характеристики симметричны относительно уровня 0 дБ, а фазовые — относительно зна-
чения 0°. Точно так же максимальный фазовый сдвиг устройства с отставанием по фазе
имеет место на частоте <оот = ^fzp.

В следующих разделах мы используем эти корректирующие устройства для получе-
ния желаемого вида частотных характеристик или заданного расположения корней на
.у-плоскости. Устройство с опережением по фазе обычно применяется для увеличения за-
паса устойчивости по фазе. Устройство с отставанием по фазе вносит дополнительный
отрицательный фазовый сдвиг, что обычно является дестабилизирующим фактором, поэ-
тому его применение скорее продиктовано необходимостью влияния на амплитудную ха-
рактеристику системы и уменьшения установившейся ошибки. Соответствующие методы
синтеза рассматриваются в последующих шести разделах.

10.4.	Коррекция с опережением по фазе:
синтез с помощью диаграммы Боде

При синтезе корректирующих устройств с опережением по фазе диаграмма Боде обладает
существенным преимуществом по сравнению с иными способами представления частот-
ных характеристик. Суть в том, что при этом частотные характеристики последовательно-
го корректирующего устройства просто складываются с частотными характеристиками
нескорректированной системы. Это значит, что если в системе на рис. 10.1(a) контур имеет
передаточную функцию Gc(j®)G(jto)H(jG)), то сначала надо построить диаграмму Боде для
функции	Анализ этой диаграммы должен дать ответ на вопрос, в каком интер-

вале частот необходимо скорректировать форму частотных характеристик. Иначе говоря,
таким образом определяются значения полюсар и нуля z передаточной функции корректи-
рующего устройства. Диаграмма Боде для нескорректированной системы изображается с
| учетом коэффициента усиления, обеспечивающего заданную точность системы в устано-
! вившемся режиме. Затем необходимо определить запас по фазе и ожидаемую величину
j М и оценить, удовлетворяют ли эти показатели требованиям к качеству системы. Если за-
пас по фазе является недостаточным, то к фазовой характеристике нескорректированной
системы необходимо в соответствующем интервале частот добавить положительные при-
ращения за счет вводимого корректирующего устройства. Чтобы обеспечить максималь-
ный дополнительный фазовый сдвиг, желательно, чтобы частота совпадала с частотой,
на которой амплитудная характеристика скорректированной системы пересекает уровень
। 0 дБ. (Вспомните определение запаса по фазе.) Величина дополнительного фазового сдви-
га позволит определить необходимое значение а по выражению (10.11) или по рис. 10.5.
Нуль z - 1/ат определяется из условия, что максимальный фазовый сдвиг, создаваемый
корректирующим устройством, имеет место на частоте -yjzp, т. е. посредине между

частотами, соответствующими полюсу и нулю. Поскольку наибольшее усиление коррек-
тирующего устройства равно 2 Olga, то на частоте <оот следует ожидать усиления в lOlga.
Таким образом, синтез корректирующего устройства с опережением по фазе сводится к

•мем по фазе

метить, что амплитудные
овые — относительно зна-
та с отставанием по фазе

не устройства для получе-
расположения корней на
няется для увеличения за-
5 вносит дополнительный
мрующим фактором, поз-
иция на амплитудную ха-
Соответствующие методы

следующим этапам:

1.	Оценить запас по фазе в нескорректированной системе при условии удовлетворе-
ния требований к коэффициентам ошибки.

2.	Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг ср№.

3.	Вычислить параметр а по выражению (10.11).

4.	Вычислить lOlgct и найти частоту, при которой амплитудная характеристика не-
скорректированной системы имеет значение -lOlga дБ. Поскольку на частоте <ат
корректирующее устройство обладает усилением lOlga, то эта частота одновремен-
но будет соответствовать пересечению амплитудной характеристикой скорректиро-
ванной системы уровня 0 дБ.

5.	Вычислить значения полюса =om7a и нуля z = р/а.

6.	Построить частотные характеристики скорректированной системы, проверить по-
лученное значение запаса по фазе и, если необходимо, повторить предыдущие эта-
пы. И, наконец, в завершение синтеза скомпенсировать уменьшение коэффициента
усиления за счет члена 1/а.

ю фазе:
вы Боде

диаграмма Боде обладает
ни представления частот-
истики последовательно-
гными характеристиками
рис. 10.1(a) контур имеет
оить диаграмму Боде для

Пример 10.1. Коррекция с опережением по фазе системы типа 2

Рассмотрим простую одноконтурную систему, структура которой имеет вид рис. 10.1(д). где

G(j) = ^	(10.15)

S

и H(s) = 1. Нескорректированная система относится к типу 2 и. казалось бы. обладает приемле-
мой точностью при отработке как ступенчатых, так и линейных входных сигналов. Однако в
замкнутом состоянии система является недемпфированной, т. к.

Г(5) =

У(5) _ К,
R(s) s2 + Kt
Следовательно, в систему надо ввести корректирующее устройство. Пусть к системе предъяв-
лены следующие требования: время установления Тх < 4 с, коэффициент затухания 0,45.
Используя выражение для времени установления (по критерию 2 %)

Л'



получим

Возможно, наиболее простой способ проверить значение — это использовать связь межд>
собственной частотой и полосой пропускания замкнутой системы сой. Согласно рис. 8.26 для
£ = 0,45 мы имеем = 1,33<оп. Следовательно, полоса пропускания замкнутой системы дол-
жна быть равна (о^ = 1,33 • 2.22 = 3,00. В нескорректированной системе со# = 1.33 1 где
. Следовательно, достаточно иметь коэффициент усиления К =	« 5. но чтобы с га-

рантией получить заданное время установления, примем К = 10. При этом значении К диа-
грамма Боде для нескорректированной системы с передаточной функцией

О)-

изображена на рис. 10.9.

Используя соотношение (9.58), определяем приблизительное значение требуемого запаса по
фазе:

0 45

(р„т =	= 45°.	(10.17,

р 0,01 0,01

мы нахе
полните
рис. 10.’
и нуля.
Полосу
Николь
ветству
*
статочи
ту, при

= 8.J
полосы
вы полн
мы име

В с о отв
нимает

В нескорректированной системе запас по фазе равен 0°, т. к. фазовая характеристика, соответст-
вующая двум интеграторам, на всех частотах имеет значение -180°. Следовательно, на частоте,
при которой амплитудная характеристика скорректированной системы будет пересекать уро-
вень 0 дБ. мы должны добавить к фазовой характеристике 45°. Найдем значение параметра а:
ct — 1
---------------------------------- sin (pw = sin45° ,	(10.18)
а + 1

Пос кол
ввести
фипиен*
Резулы
имеет 1

Переда

откуда а = 5,8. Выберем с запасом значение а = 6. Тогда 1 Olga = 7,78 дБ, т. е. корректирующее
устройство на частоте cow добавит к амплитудной характеристике 7.78 дБ. Поэтому надо по-
требовать, чтобы амплитудная характеристика скорректированной системы пересекала уро-
вень 0 дБ именно на частоте co7W. По амплитудной характеристике нескорректированной систе-

откуда
третий
пиром

Пример 1
порядка

Рассмс

Т ребуи
величан

Крампе
стоит 1
иней
Цгтво. Пусть к системе предъяв-
(рффициент затухания > 0.45.
R- ° о)

мы находим, что она имеет значение —7,78 дБ при = 4,95. Таким образом, максимальный до-
полнительный фазовый сдвиг мы должны иметь на частоте со = cow = 4,95, как показано на
рис. 10.9. На основании этапа 5 процедуры синтеза находим значения полюса р - (оП14а - 12,0

+ эти использовать связь межд>
Шы Согласно рис. 8.26 для
рання замкнутой системы дол-
кж системе 1.33 • ю,г где
юшя А = ш2 » 5. но ч тобы с га-
.1С. При этом значении А' диа-
юй функцией

и нуля z - р/а. = 2,0.

Полосу пропускания скорректированной системы можно определить с помощью диаграммы
Никольса. На рис. 9.26 линии -3 дБ для замкнутой системы принадлежит точка, которой соот-
ветствуют модуль GHfjto), равный —6 дБ, и фазовый сдвиг приблизительно -140°. Поэтому до-
статочно посмотреть на частотные характеристики разомкнутой системы и определить часто-
ту, при которой 201g|G/7(/(o)| = -6 дБ. Так, для нескорректированной системы мы получим
со £ = 8,4. В данном случае коррекция с опережением по фазе привела практически к удвоению
полосы пропускания, и требование со^>3,00 выполнено. Следовательно, коррекция системы
выполнена, и ее качество отвечает заданным показателям. В итоге для разомкнутого контура

мы имеем

Gc(jm)G(jm)H(jm) =

10[(/<i)/2.0)+ 1]

(»2[(joj/12,O)+ 1]

(10.19)

В соответствии с выражением (10.8) передаточная функция корректирующего устройства при-

нимает вид:

Значение требуемого запаса по

1+ CtTS
сс(1 + ts)

1 1+5/2>°

6 l+s/12,0 ’

(10.20)

(10.17)

Ввая характеристика, соответст-
SO~ Следовательно, на частоте,
системы будет пересекать уро-
1йдем значение параметра а:

(10.18)

Поскольку коэффициент передачи пассивной АС-схемы равен 1/6, то в контур необходимо
ввести усилитель с коэффициентом усиления, равным 6, чтобы в разомкнутой системе коэф-
фициент усиления остался равен 10, как того требует выражение (10.19).

Результирующая передаточная функция скорректированной системы [напомним, что H(s) = 1]
имеет вид:

СС 10(1+5/2) _ 6°(*+2)

7(1+5/12) 7(5+12)

Передаточная функция замкнутой системы

» Т78 дБ. т. е. корректирующее

Висе 7.78 дБ. Поэтому надо по-
ж	~

иной системы пересекала уро-
ке нескорректированной систе-

60(5+2)	_	60(5+2)

s3 + 12s2 + 60s+ 120	(s2+ 6s + 20)(s + 6)

откуда ясно, что на вид переходной характеристики будут оказывать влияние нуль s - -2 и
третий полюс s = -6. Построив переходную характеристику, можно обнаружить, что перерегу-
лирование составляет 34%, а время установления равно 1.4 с.

Амплигудкая

?— чарактсристн ка -
Jкоррекцией)

-120°

-15(7 |

— 180°

12 20	50

Пример 10.2. Коррекция с опережением по фазе системы второго
порядка

Рассмотрим систему, имеющую в разомкнутом состоянии передаточную функцию

GH(s) =—-—.	(10.21)

s(s + 2)

Требуется, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка была равна 5% от
величины скорости этого сигнала. Следовательно, необходимо иметь

х; = — = ^— = 20.	(10.22)

е 0.05Л

Л

Кроме того, желательно, чтобы запас по фазе был равен по крайней мере 45°. Первый этап со-
стоит в построении диаграммы Боде для нескорректированной системы с передаточной функ-
цией

GH(» =----------=--------------—------.	(10.23)

7«(0,5 7(0+ 1)	7со(0.5 7(0+ 1)


1

Результат построений приведен на рис. 10.10(a). Частота, при которой амплитудная характе-
ристика пересекает уровень 0 дБ, равна 6,2 рад/с. Фазовая характеристика определяется урав-
нением

(р (со) = argGHfja)) = -90° - arctg 0,5со,

что при G) =	~ 6,2 рад/с дает значение

(р(со) = -162°.

(10.24?

(10.25

Следовательно, запас по фазе равен 18°. Для определения запаса по фазе проще воспользовать-
ся уравнением (10.24) вместо того, чтобы строить всю фазовую характеристику, изображен-
ную на рис. 10.10(a). Ясно, что для увеличения запаса по фазе до нужной величины 45° необ-
ходимо ввести в систему корректирующее устройство с опережением по фазе. После введения
коррекции частота, при которой амплитудная характеристика пересечет уровень 0 дБ, будет
больше, чем в исходной системе. Соответственно, будет больше и отставание по фазе в не-
скорректированной системе. Учитывая это обстоятельство, следует потребовать, чтобы макси-
мальный фазовый сдвиг, создаваемый корректирующим устройством, был не 45° - 18° = 27°.
а. скажем, на 10% больше, т. е. 27° + 3° = 30°. Тогда можно вычислить параметр сс:

Д—! = sin 30° = 0,5.	(10.26)

а 1

откуда а = 3.

Корректирующее устройство обладает максимальным фазовым сдвигом на частоте (ow, поэто-
му она должна совпадать с частотой, при которой амплитудная характеристика скорректиро-
ванной системы будет пересекать уровень 0 дБ. Амплитудная характеристика корректирую-
щего устройства на частоте со,fI имеет значение 101ga = 101g3 = 4,8 дБ. Поэтому частоту сос. для
системы с коррекцией определить достаточно просто: это будет частота, где
201g|G//(;’co)| - -4,8 дБ, т. е. со,п = свс = 8,4. Построив амплитудную характеристику скорректи-
рованной системы так, чтобы она пересекала уровень 0 дБ при со = со6. = 8.4, находим, что
z~ 4,8 и р == az - 14,4. Тогда корректирующее устройство будет иметь передаточную функ-
цию

1 (1 +5/4,8)

3 (1+ 5/14.4)

(10.27)

Коэффициент усиления полученной системы надо увеличить в 3 раза, чтобы скомпенсировать

множитель 1/а = 1/3. Тогда скорректированная система в разомкнутом состоянии будет иметь
передаточную функцию

Gt.(sX7(s)//(s) =

24(5/4,8) + 1]

5(0,55+ l)[(s/14.4)+ 1]

(10.28)

Чтобы проверить, чему теперь равен запас по фазе, вычислим аргумент функции
Gt(/co)G(/co)Z/(/o>) при частоте со,,, = со,. = 8,4:

р(сос) = -90°- arctg 0,5сос - arctg+ arctg= -90°- 76.5 °- 30,0°+ 60,2°= -136,3°. (10.29)

14,4	4,8

Таким образом, запас по фазе в скорректированной системе равен 43,7°. Если требуется полу-
чить точно 45°, то необходимо повторить этапы синтеза при большем значении а — скажем,
при сс = 3,5. В этом случае отставание по фазе в нескорректированной системе увеличится на
7° между со = 6,2 и о = 8,4, поэтому допуск в 3° при вычислении а явно недостаточен. Пере-
ходная характеристика скорректированной системы имеет перерегулирование 28%. а время
установления равно 0,75 с.

Диаграмма Никольса для скорректированной и нескорректированной систем, приведенная на
рис. 10.10(6), отчетливо демонстрирует изменение формы частотных характеристик. Диаграм-
н амплитудная характе-
сгика определяется урав-

(10.24)

(10.25)

кэе проще воспользовать-
жтеристику, изображен-
шой величины 45° необ-
фазе. После введения
счет уровень 0 дБ, будет
ятставанис по фазе в не-
ггребовать, чтобы макси-
I. был не 45° - 18° - 27°.

ять параметр сс:

(10.26)

пы на частоте (%, поэто-
ггеристика скоррекгиро-
геристика корректирую-
Поэтому частоту оу. для
о будет частота, где
актеристику скорректи-
= cj == 8,4, находим, что
гтъ передаточную функ-

(10.27)

чтобы скомпенсировать
I состоянии будет иметь

(10.28)

км аргумент функции

60.2°=-136.3°. (10.29)

Г®. Если требуется полу-
L значении сс — скажем.
I системе увеличится на
то недостаточен. Пере-
мрование 28%, а время

систем, приведенная на
арактеристик. Диаграм-

Рис. 1O.1O

(а) Диаграмма Боде
к примеру 10,2.

(6) Диаграмма
Никольса к примеру
10.2

Фазовая характеристика
(с коррекцией)

Фазовый сдвиг разомкнутой системы, град.
ма показывает как увеличение запаса по фазе в скорректированной системе, так и уменьшение
М . максимума амплитудной характеристики замкнутой системы. В данном случае Мр
с +12 дБ в нескорректированной системе уменьшилось до приблизительно +3,2 дБ в системе с
коррекцией. Можно также видеть, что полоса пропускания замкнутой системы увеличилась до
12 рад/с в скорректированной системе по сравнению с 9,5 рад/с в системе без коррекции.

Примеры 10.1 и 10.2 показывают, что задача синтеза решается успешно, если ампли-
тудная характеристика 201g|C7C7c(/co)| пересекает уровень 0 дБ с наклоном -20 дБ/дек.

10.5.	Коррекция с опережением по фазе:
синтез с помощью корневого годографа

Синтез корректирующего устройства с опережением по фазе можно выполнить с помощью
корневого годографа. Такое устройство имеет передаточную функцию

, (|030)

[5 + (1/Т)]	5+ р

где а и т для /?С-схемы определяются из выражения (10.7). Нуль и полюс выбираются так.
чтобы корневой годограф скорректированной системы имел приемлемую форму. Желае-
мое положение доминирующих корней определяется исходя из требований к качеству сис-
темы. Данный метод синтеза включает следующие этапы:

1.	На основании требований к качеству системы определить желаемое расположение
доминирующих корней на ^-плоскости.

2.	Построить корневой годограф нескорректированной системы и определить с его
помощью, можно ли добиться желаемого расположения доминирующих корней.

3.	Если необходима коррекция, то поместить нуль корректирующего устройства не-
посредственно под одним из желаемых корней (или слева от двух первых вещест-
венных полюсов разомкнутой системы).

4.	Определить положение полюса корректирующего устройства так, чтобы сумма ар-
гументов векторов, проведенных из нуля и полюса к желаемому корню, составила
180° и, следовательно, этот корень действительно принадлежал корневому годогра-
фу скорректированной системы.

5.	Вычислить коэффициент усиления системы, соответствующий желаемому положе-
нию корня, и определить значение коэффициента ошибки.

6.	Если коэффициент ошибки не удовлетворяет требованиям к точности системы, по-
вторить процедуру синтеза.

Итак, сначала мы должны указать желаемое расположение доминирующих корней,
удовлетворяющих параметрам £ и сол, как показано на рис. 10.11(a). Затем необходимо по-
строить корневой годограф нескорректированной системы [см. рис. 10.11(6)]. Далее слева
от первых двух вещественных полюсов помещается нуль, за счет которого будет создано
опережение по фазе. При этом следует соблюдать осторожность, потому что этот нуль не
должен повлиять на желаемое положение доминирующих корней; нуль не должен находи-
ться ближе к началу координат, чем второй полюс на действительной оси, иначе реакция
системы будет определяться в основном вещественным корнем, расположенным вблизи на-
чала координат. Так, на рис. 10.11(e) показано, что желаемый корень находится прямо над
вторым полюсом, и мы поместим нуль z чуть левее второго вещественного полюса.
стеме. так и уменьшение
L В данном случае М
ельно +3.2 дБ в системе с
К системы увеличилась до
жстеме без коррекции.

успешно, если ампли-
вклоном ~20 дБ/дек.

фазе:
годографа

выполнить с помощью
цию

(10.30)

юлюс выбираются так,
ше.мую форму. Желае-
юваний к качеству сис-

сяаемое расположение

ы и определить с его
минирующих корней,
юшего устройства не-
г двух первых вешест-

а так. чтобы сумма ар-
юму корню, составила
ал корневому годогра-

ш желаемому положе-

шчности системы, по-

шинируюших корней,
Затем необходимо по-
10.11(6)]. Далее слева
второго будет создано
пому что этот нуль не
уль не должен находи-
юй оси, иначе реакция
вложенным вблизи на-
it находится прямо над
твенного полюса.

5) Корневой годограф нескорректированной
системы

а) Положение желаемого корня

Рис 10.11. Иллюстрация на s-плоскости коррекции с опережением по фазе

Если вещественный корень будет расположен близко к вещественному нулю, то в
разложении на простые дроби изображения по Лапласу выходной переменной коэффици-
ент при члене, соответствующем данному корню, будет достаточно малым и влияние это-
го корня на реакцию системы окажется незначительным. Однако проектировщик должен
постоянно помнить, что реакция скорректированной системы определяется не только
корнями ее характеристического уравнения, но и нулями передаточной функции. Поэто-
му всегда целесообразно во избежание ошибок при синтезе проверять показатели качест-
ва скорректированной системы путем компьютерного моделирования.

Поскольку желаемый корень должен принадлежать корневому годографу скорректи-
рованной системы, то надо потребовать, чтобы алгебраическая сумма аргументов векто-
ров, проведенных к этому корню, была равна 180°. Поэтому остается вычислить угол 0р,
соответствующий аргументу вектора, проведенного из полюса корректирующего устрой-
ства к желаемому корню, затем провести прямую линию, проходящую через желаемый
корень под углом 0р, и тем самым определить положение полюса корректирующего
устройства, как показано на рис. 10.11(г).

Преимущество метода корневого годографа заключается в том, что проектировщик
всегда может указать желаемое расположение доминирующих корней, определяющих ха-
рактер реакции системы. Недостаток данного метода в том, что он не позволяет непосред-
ственно определить коэффициенты ошибки (например, Kv), как это возможно при исполь-
зовании диаграммы Боде. Здесь после завершения синтеза надо сначала определить коэф-
фициент усиления системы, при котором корни занимают желаемое положение (а он бу-
дет зависеть от р и z), и только после этого вычислить соответствующий коэффициент
ошибки скорректированной системы. Если этот коэффициент окажется неприемлемым. |
то придется повторить процедуру синтеза, изменив положение желаемых корней, а также
полюса и нуля корректирующего устройства. Далее мы вернемся к примерам 10.1 и 10.2 и
покажем, как производится синтез корректирующего устройства с помощью метода кор-
невого годографа.

Пример 10.3. Синтез корректирующего устройства с опережением
по фазе методом корневого годографа

Рассмотрим систему из примера 10.1, которая при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом
состоянии передаточную функцию

GH(s) = ^±	(10.31)

S

Характеристическое уравнение нескорректированной системы имеет вид:

\ + GH(s) = 1 + ^ = 0.	(10.32)

S

и соответствующий корневой годограф совпадает с мнимой осью. Следовательно, в систему
необходимо ввести корректирующее устройство с передаточной функцией

gc(5) = -^£.	(Ю.зз)

J+ р

где |z| < [р|. Требования к качеству системы заключаются в следующем: время установления
(по критерию 2%) Ts < 4 с, относительное перерегулирование при ступенчатом входном сигна-
ле не более 35%. Следовательно, коэффициент затухания должен удовлетворять неравенству

t, > 0,32. Для времени установления мы имеем соотношение

4

и, следовательно, 1. Поэтому выберем желаемое расположение доминирующих корней
= -1± 72 ,	(10.34)

как показано на рис. 10.12 (это соответствует £ = 0,45).

Нуль корректирующего устройства мы разместим как раз под желаемым корнем, т. е.
5 =	= как показано на рис. 10.12. Для желаемого корня сумма аргументов векторов со-

ставляет

ср =-2 • 116° + 90° = -142°.

Следовательно, чтобы удовлетворялся угловой критерий для желаемого корня, аргумент век-
тора, соответствующего неизвестному полюсу, 0р. должен быть равен

др = 180°- 142° = 38°.

(10.35)

Прямая линия, проходящая через желаемый корень под углом 9^ = 38°, изображена на
рис. 10.12. Она пересекает действительную ось в точке s = -p = -3,6. Следовательно, коррек-

тирующее устройство имеет передаточную функцию

(10.36)

а передаточная функция скорректированной системы имеет вид:

^(5+1)

?(у+ 3,6)
Рис. 10.12

К синтезу корректирующего устройства
с опережением по фазе (пример 10.3)

Коэффициент^ определяется путем измерения длин векторов, проведенных из полюсов и ну-
лей в точку расположения желаемого корня, т. е.

(2,23)2 • (3,25)
2

(10.38)

Итак, мы можем вычислить все коэффициенты ошибки для данной системы. В нашем случае
для системы с двумя интеграторами в прямой цепи мы имеем нулевую установившуюся ошиб-
ку в случае ступенчатого и линейного входных сигналов. Коэффициент ошибки по ускорению
равен

Ка= — = 2.25.	(10.39)

3,6

В установившемся режиме качество системы является вполне приемлемым, поэтому можно
считать, что коррекция выполнена надлежащим образом. Если сравнить корректирующее
устройство, полученное с помощью метода корневого годографа, с аналогичным устройством,
полученным с использованием диаграммы Боде, то мы заметим, что их амплитудные и фазо-
вые характеристики несколько отличаются. Однако скорректированные системы обладают
одинаковыми показателями качества, поэтому не смысла останавливаться на некоторых раз-
личиях. Фактически эти различия объясняются тем, что на этапе 3 синтеза методом корневого
годографа нуль корректирующего устройства размещался точно под желаемым корнем харак-
теристического уравнения скорректированной системы. Если бы мы поместили нуль коррек-
тирующего устройства в точке 5 = -2,0, то оказалось бы, что полюс, найденный с помощью ме-
тода корневого годографа, приблизительно равен полюсу, полученному на основании диа-
граммы Боде.

Требования к переходной характеристике данной системы изначально были заданы в виде ве-
личины перерегулирования и времени установления. На основе аппроксимации системы моде-
лью второго порядка они были преобразованы в эквивалентные значения С и (о., и. следовате-
льно, в желаемое расположение корней на 5-плоскости. Однако исходные требования будут
удовлетворяться, только если эти корни являются доминирующими. За счет введения коррек-
тирующего устройства порядок системы повышается до третьего и при этом ее передаточная
функция приобретает нуль. Обоснованность аппроксимации такой системы моделью второго
порядка без нуля зависит от того, действительно ли два корня будут являться доминирующи-
ми. Поэтому проектировщику рекомендуется путем компьютерного моделирования получить
действительную переходную характеристику и проверить, удовлетворяются ли требования к
качеству системы. В данном случае моделирование системы показало, что перерегулирование
составляет 46%, а время установления (по критерию 2%) равно 3,8 с. Эти значения достаточно
хорошо согласуются с заданными показателями 35% и 4 с, что подтверждает обоснованность
гипотезы о наличии доминирующих корней. Отличие в величине перерегулирования объясня-
ется наличием нуля, которым нельзя пренебрегать. Таким образом, мы можем констатировать,
что синтез системы с использованием доминирующих корней является достаточно хорошим
методом, но пользоваться им следует с осторожностью и осмысленно. В разделе 10.10 будет
сделана вторая попытка коррекции данной системы с использованием предшествующего фи-
льтра, позволяющего исключить влияние нуля передаточной функции замкнутой системы.

рис. 10.13

(а) Иллюстра
на s-плоскос
коррекции
с опережение
по фазе

(к примеру

(б) Переходу
характерно™
скорректирсм
системы из
примера 10..

Пример 10.4. Синтез корректирующего устройства с опережением
по фазе для системы типа 1

Рассмотрим систему из примера 10.2 и синтезируем корректирующее устройство с помощью

корневого годографа. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

GH (s) =

(10.40)

Требуется, чтобы коэффициент затухания, соответствующий доминирующим корням, был ра-
вен £ = 0,45 и коэффициент ошибки по скорости равнялся 20. Требование к коэффициенту
ошибки по скорости сводится к необходимости иметь К = 40. При данном значении К характе-
ристический полином нескорректированной системы имеет вид:

s2 + 25 + 40 = (S + 1 + J6.25)(S + 1 - у 6,25).	(10.41)

Коэффициент затухания, соответствующий корням этого полинома, приблизительно равен
0,16 и, следовательно, система нуждается в коррекции. Чтобы получить малое время установ-
ления, выберем действительную часть желаемых корней = 4, таким образом получим
Тх = 1 с. При этом собственная частота = 9, и следует ожидать, что коэффициент ошибки по
скорости будет достаточно большим. Желаемое положение корней (одного из них) при
= 4. £ = 0,45 и (оп = 9 приведено на рис. 10.13(a).

Нуль корректирующего устройства поместим в точке s = -z = -4, т. е. непосредственно под
желаемым корнем. Тогда сумма аргументов векторов, проведенных к желаемому корню из
двух полюсов и нуля, будет равна

Ф = -116° - 104°+ 90° = -130° .	(10.42)

Следовательно, аргумент вектора, проведенного к желаемому корню из неизвестного полюса
корректирующего устройства, будет определяться уравнением

Вычисли

Это зна
значеша
ните я и
можнос
Kv = 22.
р == -11.
Поярче
*

-180° =-130° -	,

откуда 0р- 50°. Проведя под таким углом прямую, проходящую через желаемый корень, до
пересечения ее с действительной осью, находим, что 5 = -р=-10,6, как показано на
рис. 10.13(a). Тогда можно определить коэффициент К скорректированной системы:

К = 9 -8,25 -10,4 = % 5	(10 43)

Реализк
рой

В наши

Скорректированная система будет иметь передаточную функцию

Gc(s)GH(s) =

96,5(5+4)
5(5+ 2)(5+ 10,6)
> исходные требования будут
|да«м.. За счет введения коррек-
и при этом ее передаточная
В* системы моделью второго
рЗЭТ являться доминирую ши-
даго моделирования получить
щэетэоряются ли требования к
изало. что перерегулирование
Ц1 с. Эти значения достаточно
Вадтверждает обоснованность
греререгу пирования объясня-
ть мы можем констатировать,
ваяется достаточно хорошим
жшю. В разделе 10.10 будет
мшем предшествующего фи-
рощии замкнутой системы.

в опережением

шее устройство с помощью
» функцию

(10.40)

дайру юшим корням, был ра-
Гребование к коэффициенту
данном значении К характе-

Рис. 10.13	а)

(а) Иллюстрация
на s-плоскости
коррекции
с опережением
по фазе

(к примеру 10.4).

(б) Переходная
характеристика
скорректированной
системы из
примера 10.4

Время, t



(10.41)

Пиа. приблизительно равен
ртить малое время установ-
<. таким образом получим
иго коэффициент ошибки по
рней (одного из них) при

Вычислим коэффициент ошибки скорректированной системы:

96 5- 4

Kv = lims(G(s)H(s)Gc.(s)]=-^— = 18,2

*-»0	Z- Ш,о

(10.45)

выбрав другое

т е. непосредственно под
ых к желаемому корню из

(10.42)

о из неизвестного полюса

Это значение меньше заданного, поэтому процедуру синтеза надо повторить,
значение желаемого корня. Если взять 10, то коэффициент К увеличится, а также изме-
нится положение нуля и полюса корректирующего устройства. Читателю предоставляется воз-
можность в порядке упражнения убедиться, что при свп ~ 10 коэффициент ошибки по скорости
KV = 22J. а нуль и полюс корректирующего устройства соответственно равны z = -4,5 и

р = -11.6.	,

Полученное ранее корректирующее устройство имеет передаточную функцию

.т+4 s+1/ат

(10.46)

Реализовать такое устройство можно в виде ЛС-схемы, изображенной на рис. 10.4, для кого-

срез желаемый корень, до
«= —10,6, как показано на
юванной системы:

(10.43)

рой

[Л(Я2/(Л| + Я2)]С$ + 1

I

(10.47)

В нашем примере

1

= 4 и а =

а
Выбрав значение С = 1 мкФ, мы получим = 250 кОм и R2 = 152 кОм. Переходная характери-
стика скорректированной системы имеет перерегулирование, равное 32%. и время установле-
ния 0,8 с, как показано на рис. 10.13(6). Вид переходной характеристики можно проверить с
помощью компьютера.

Корректирующие устройства с опережением по фазе применяются для улучшения
показателей качества систем управления, в частности для увеличения запаса устойчиво-
сти по фазе. Такие устройства позволяют изменить форму корневого годографа на 5-плос-
кости и обеспечить желаемое расположение корней характеристического уравнения.
Если предъявляется требование к коэффициенту ошибки, то синтез предпочтительнее
производить с помощью диаграммы Боде, поскольку размещение нуля и полюса коррек-
тирующего устройства на 5-плоскости не позволяет непосредственно указать, чему равен
коэффициент усиления системы, и требуются дополнительные вычисления. Поэтому,
если при синтезе задается требование к коэффициенту ошибки, решение задачи с помо-
щью корневого годографа может представлять собой итерационный процесс. С другой
стороны, метод корневого годографа хорош тогда, когда требования к качеству заданы в
виде величины перерегулирования и времени установления. В этом случае можно найти
эквивалентные значения параметров £ и й)и и затем определить желаемое расположение
доминирующих корней на 5-плоскости. Применение корректирующих устройств с опере-
жением по фазе всегда расширяет полосу пропускания замкнутой системы, что может
оказаться нежелательным для систем, подверженных влиянию шумов. Кроме того, кор-
ректирующие устройства с опережением по фазе не позволяют обеспечить высокую точ-
ность системы в установившемся режиме, которая определяется соответствующими ко-
эффициентами ошибки. Для получения больших значений коэффициентов ошибки, обыч-
но Кр и Kv, как правило применяются корректирующие устройства интегрирующего типа.
Такие устройства являются предметом рассмотрения следующего раздела.

10.6.	Синтез систем с применением
интегрирующих устройств

Для большей части систем управления основной целью является достижение высокой точно-
сти в установившемся режиме. Следующей по значимости целью является поддержание в ра-
зумных рамках качества переходного режима. Как мы выяснили в главах 4 и 5, точность систе-
мы с обратной связью можно повысить за счет увеличения коэффициента усиления в прямой
цепи. Однако при этом переходная характеристика может оказаться совершенно неприемле-
мой или даже система может стать неустойчивой. Поэтому для достижения необходимой точ-
ности в прямую цепь часто бывает необходимо ввести корректирующее устройство.

Рассмотрим одноконтурную систему управления, изображенную на рис. 10.14. Необ-
ходимо выбрать корректирующее устройство так, чтобы получить большое значение коэф-
фициента ошибки. Установившаяся ошибка в данной системе определяется выражением

lim e(t) = lim 5

l —>да	л—>0

A(5)

1+GC (5)G(5)//(5)_

(10.48)

Рис. 10.14

Одноконтурная система
с обратной связью


В разделе 5.7 мы установили, что установившаяся ошибка зависит от числа полюсов
функции Gc(s)G(s)H(s\ расположенных в начале координат. Полюс в начале координат
соответствует операции интегрирования, поэтому можно сказать, что точность системы в
установившемся режиме зависит от количества интеграторов, входящих в передаточную
функцию Gc(s)G(s)H(s)- Если точность системы недостаточна, то необходимо ввести кор-
ректирующее устройство Gc(s) интегрирующего типа, чтобы скомпенсировать дефицит
интеграторов в исходной передаточной функции С(5)Я(<у).

Одним из типов широко используемых регуляторов является пропорционально-ин-
тегральный (ПИ) регулятор, имеющий передаточную функцию

(10.49)

В качестве примера рассмотрим систему регулирования температуры, в которой Я(^) - 1,
а тепловой объект имеет передаточную функцию

Если на вход нескорректированной системы подается ступенчатый сигнал, т. е. A(s) = A/s9
то установившаяся ошибка будет равна

Iime(r)=lims------------

5^0 Ц + G(s)H(s)

(10.50)

Чтобы получить малую установившуюся ошибку (например, менее чем 0,054), коэффици-
ент должен быть достаточно большим. Однако при этом вид переходной характеристи-
ки системы, скорее всего, окажется неприемлемым. Поэтому необходимо ввести в систему
корректирующее устройство Gc(s). как показано на рис. 10.14. Чтобы вообще исключить
установившуюся ошибку, можно применить корректирующее устройство с передаточной
функцией

, . z х _,	□ К э iS 4“ /С -1	„ „

Gc(s) = K,	----1 .	(Ю.51)

5	5'

Такую коррекцию можно реализовать с помощью ПИ-регулятора, соединив паралле-
льно интегратор и усилитель и просуммировав их выходные сигналы. Можно убедиться,
что при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка всегда будет равна нулю:

lim	lims-

} —>00	5—>0

A/s

\ + Gc(s)GH(s)

- lim

x->0

(т^-ь 1)(t2s+1)

“0 .

(10.52)

Требования, предъявляемые к виду переходной характеристики системы, можно
удовлетворить путем настройки коэффициентов К19 К2 и К3. По-видимому, лучше всего
это сделать с помощью корневого годографа, построив его в функции от варьируемого
параметраК2К{ после того, как Has-плоскости будет размещен нуль регуляторам = -К3/К2
(соответствующая процедура была рассмотрена в предыдущем разделе).

Введение дополнительного интегратора можно использовать также для уменьшения
установившейся ошибки при линейном входном сигнале r(f) - t,t>Q. Например, если не-
скорректированная система GH(s) содержит один интегратор, то за счет дополнительного
интегратора, входящего в передаточную функцию регулятора Gc(s), установившуюся
ошибку при линейном входном сигнале можно свести к нулю. Чтобы проиллюстрировать
синтез корректирующего устройства интегрирующего типа, рассмотрим более подробно
систему регулирования температуры.

Пример 10.5. Система регулирования температуры

Система регулирования температуры при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом состоя-
нии передаточную функцию

GH (j) -



причем коэффициент Л'( можно настраивать. Чтобы при ступенчатом входном сигнале устано-

вившаяся ошибка равнялась нулю, мы введем в систему ПИ-регулятор

Кроме того, требуется, чтобы переходная
характеристика системы имела перерегу-
лирование не более 10%. Поэтому домини-
рующие комплексные корни должны нахо-
диться на (или ниже) линии £ - 0,6, как по-
казано на рис. 10.15. Нуль регулятора мы
выберем так, чтобы действительная часть
комплексных корней была равна
= 0,75 и, следовательно, время уста-
новления (по критерию 2%) равнялось
Ту- 4/£соп = 16/3 с. Как и в предыдущем
разделе, положение нуля z = -К3/К2 мы
определим так, чтобы сумма аргументов
всех векторов, проведенных к желаемому
корню из трех полюсов и нуля передаточ-
ной функции, составила -180°. Получим
следующее равенство:

-180° =-127°- 104°-38°+ 0. ,

(10.541

Рис. 10.15. Иллюстрация на s-плоскости
синтеза корректирующего устройства
интегрирующего типа

где О.-— аргумент вектора, начало которого находится в точке, где должен располагаться неиз-
вестный нуль. Отсюда мы имеем = +89°. а это значит, что нуль занимает положение
z = -0,75. Наконец, чтобы определить значение коэффициента К{К2, при котором корень зани-
мает желаемое положение, вычислим длину векторов, проведенных в эту точку из полюсов и

нуля, и получим

- К[К2 ~

1,25 -1,03 1,6

1,0

= 2,08 .

к

Корневой годограф скорректированной системы и положение нуля ее передаточной функции
приведены на рис. 10.15. Следует заметить, что нуль z = -К3/К2 должен быть расположен левее
полюса 5 = -0,5 с тем, чтобы переходная характеристика в основном определялась комплекс-
ными доминирующими корнями. В действительности третий корень характеристического
уравнения скорректированной системы занимает положение 5 - —1,0. т. е. он в 4/3 раза больше
действительной части комплексных корней. И хотя комплексные корни являются доминирую-
щими, эквивалентный коэффициент затухания системы все же несколько меньше, чем £ = 0,60
из-за наличия третьего вещественного корня и нуля.

Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 10.14. равна

Gfifi (5)	2,08(5* + 0,75	(s')

T(s) = Л-f	= _:-------:—.	(10.55)

l + GcG(5j t	1V	\

6	(**+ !)(* +	q)
ы проиллюстрировать
птрим более подробно

гг в разомкнутом состоя-

(10.53)

входном сигнале устано-
тор

(10.54)

рация на s-плоскости
ующего устройства
эщего типа

;ен располагаться неиз-

яь занимает положение

фи котором корень зани-

вэт\ точку из полюсов и


с передаточной функции
и быть расположен левее
определялась комплекс-
ять характеристического
т. е. он в 4/3 раза больше
ни являются доминирую-
ща) меньше, чем £ = 0.60

Ю.14. равна

где = -0,75 + j\. Влияние нуля сводится к увеличению перерегулирования (см. рис. 5.13).
Если мы хотим добиться перерегулирования, равного 5%, то можно использовать предшеству-
ющий фильтр с передаточной функцией



0,75

5 + 0,75

5

(10.56)

с помощью которого удается исключить нуль из передаточной функции 7(5). Заметим, что об-
щий коэффициент усиления замкнутой системы (полагая 5 = 0) 7(0) = 1 в случае, если Gp(s) - 1
или если мы используем предшествующий фильтр с передаточной функцией (10.56). При от-
сутствии предшествующего фильтра перерегулирование составляет 17,6%. а при наличии та-
кого фильтра оно равно 2%. Более подробно проблема использования предшествующих филь-
тров будет рассмотрена в разделе 10.10.

10.7. Коррекция с отставанием по фазе:
синтез с помощью корневого годографа

2?С-схема, изображенная на рис. 10.6, обладает отставанием по фазе и может быть исполь-
зована для увеличения коэффициента ошибки системы управления. В разделе 10.3 мы вы-
яснили, что передаточная функция такой схемы имеет вид:

О(5-) = 1.Ш,	(Ю.57)

a s+p

где

Установившаяся ошибка нескорректированной системы



lim e(t) = lims

^00	5^0 |_1+С?Я(5)_

(10.58)

Тогда, например, для системы типа 1 коэффициент ошибки по скорости (как было показано
в разделе 5.7) равен

Kv =lims[G//(5)].

У—>0

Следовательно, если GH(s) записать в виде

то для коэффициента ошибки по скорости мы получим
м

v Q

Л/7;

7=1

(10.59)

(10.60)

(10.61)

Теперь введем в систему устройство с отставанием по фазе и определим коэффициент
ошибки по скорости в скорректированной системе. Если коэффициент ошибки нескоррек-
тированной системы (10.61) обозначить как^УН,

KVK =lim4Gc(j)G77(j)] = lini[Gc(^)XVH =

5^0	Л—>0

то для системы с коррекцией мы получим

Желаемому положению корней на годографе скорректированной системы теперь будет со-

ответствовать коэффициент К/a. Если полюс и нуль корректирующего устройства выбрать

так, что \z\ = а|/?| < 1, то в результате значение Kv, соответствующее желаемому расположе-
нию корней, увеличится в zip = а раз. Если, например, z - 0,1 и/? = 0,01, то коэффициент Ку
увеличится в 10 раз. Если полюс и нуль корректирующего устройства расположены на
5-плоскости близко друг от друга, то их влияние на положение желаемых корней будет не-
значительным. Поэтому, поместив полюс и нуль корректирующего устройства вблизи на-
чала координат 5-плоскости по сравнению с со„5 можно будет увеличить коэффициент
ошибки в а раз, практически не изменив при этом положение желаемых корней. Параметр

а имеет верхний предел, обычно порядка 100, т. к. в противном случае номиналы резисто-
ров и конденсаторов становятся слишком большими. Например, еслиг = 0,1 и/7 = 0,01, то

1	~ Я.

z = 0,1 =--- и ос — 100 — —---- .

r2c	r2

Выбрав С = 10 мкФ, мы получим R2 = 1 МОм и Я{ = 99 МОм. Если увеличивать а, то это по-
требует и увеличения номинала резистора R2. Следует, однако, заметить, что применение
пневматических регуляторов, частотные характеристики которых имеют вид рис. 10.8, по-
зволяет получить значения ос, достигающие 1000 и более.

Процедура синтеза корректирующего устройства с отставанием по фазе методом
корневого годографа включает следующие этапы:

1.	Построить корневой годограф нескорректированной системы.

2.	Сформулировать требования к качеству переходного режима системы и определить
на корневом годографе нескорректированной системы положение доминирующих
корней, удовлетворяющих этим требованиям.

3.	Вычислить коэффициент К, соответствующий желаемому положению корней, и,
следовательно, определить значение коэффициента ошибки.

4.	Сравнить полученный коэффициент ошибки с его желаемым значением и вычис-
лить параметр а, т. е. определить, во сколько раз необходимо увеличить коэффици-
ент К за счет надлежащего выбора полюса и нуля корректирующего устройства.

5.	При известном отношении zip = а определить соответствующее положение полюса
и нуля корректирующего устройства так, чтобы корневой годограф скорректиро-
ванной системы по-прежнему проходил через точки, в которых расположены жела-
емые корни. Для этого полюс и нуль корректирующего устройства должны быть
расположены близко к началу координат 5-плоскости по сравнению с юп.

Пятый этап имеет силу только в том случае, если нуль и полюс корректирующего
устройства по модулю значительно меньше, чем собственная частота сои, соответствую-
щая доминирующему корню, так что для него эти нуль и полюс практически сливаются в
одну точку. Это означает, что аргументы векторов, проведенных из нуля и полюса кор-
ректирующего устройства к желаемому корню, почти одинаковы. Практически считает-
ся, что если эти аргументы отличаются менее чем на 2°, то условия пятого этапа синтеза
будут удовлетворены. Сказанное выше проиллюстрируем следующим примером.

Пример 10.6. Синтез корректирующего устройства с отставанием
по фазе

Рассмотрим систему из примера 10.2. которая при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом
состоянии передаточную функцию

GH(s) =

(10.63)

Требуется, чтобы коэффициент затухания, соответствующий доминирующим комплексным
корням, был равен 0,45, а коэффициент ошибки по скорости равнялся бы 20. Корневой годог-
раф нескорректированной системы изображен на рис. 10.16. Вертикальный участок этого го-
дографа начинается в точке 5 = -1, а его пересечение с линией £ = 0.45 дает значение корня
5 = -1 +J2. Вычисление значения К, соответствующего этому корню, дает результат
К=(2,24)2 = 5. Следовательно, коэффициент ошибки по скорости для нескорректированной
системы равен



Требуемое отношение нуля корректирующего устройства к его полюсу

z

VK _ 20

(10.64)

VH

Если принять z= 0,1 пр - 0,1/8, то разность аргументов векторов, проведенных из нуля и по-
люса к желаемому корню, приблизительно будет равна 1°, поэтому доминирующие корни

практически останутся в точках 5 = -1 ±j2. Корневой годограф скорректированной системы
изображен на рис. 10.17. Скорректированная система имеет передаточную функцию

Gc(s}GH(s} =

5(5+ 0.1)

5(5+ 2)(j+ 0,0125)

(10.65)

где К/а = 5, или К =40, чтобы скомпенсировать ослабление, вносимое корректирующим

устройством.

Рис. 10.16. Корневой годограф
нескорректированной системы
из примера 10.6

Рис. 10.17. Корневой годограф скорректированной
системы из примера 10.6. Обратите внимание, что
действительное положение корня будет немного
отличаться от желаемого. Корневой годограф
отрывается от действительной оси в точке о = -0,95
Пример 10.7. Синтез корректирующего устройства с отставанием
по фазе

Теперь мы рассмотрим систему; для которой трудно подобрать корректирующее устройство с
опережением по фазе. Эта система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

GH(s) =-------- .

5(5 +10)2

(10.66)

Требуется, чтобы система имела коэффициент ошибки по скорости, равный 20, а коэффициент
затухания, соответствующий доминирующим корням, должен быть равен 0,707. Чтобы полу-
чить Kv ~ 20, коэффициент К должен удовлетворять условию

Xv = 20 = 7L

102

откуда К = 2000. Однако, применив критерий Рауса-Гурвица, легко убедиться, что при
X ~ 2000 корни характеристического уравнения находятся на мнимой оси и равны ±7'10. Эти
корни очень далеки от того, чтобы удовлетворять требованию к коэффициенту затухания, и их

очень трудно будет сдвинуть с мнимой оси на линию £ = 0,707 с помощью корректирующего
устройства с опережением по фазе. Поэтому попытаемся удовлетворить требования к Kv и . ис-
пользуя коррекцию с отставанием по фазе. Корневой годограф нескорректированной системы
изображен на рис. 10.18, откуда видно, что при £ = 0,707 желаемые корни занимают положе-
ние j = -2.9 ±7'2,9. Измерив модули векторов, проведенных в одну из этих точек (в верхней по-
луплоскости), мы получим значение К~ 236. Следовательно, требуемое отношение нуля кор-
ректирующего устройства к его полюсу согласно (10.64) равно

2000

236

Выберем 2 — 0,1 ир = 0,1/9 (с некоторым запасом). Анализ рис. 10.18 показывает, что разность
аргументов векторов, проведенных из нуля и полюса функции 6С(^) к желаемому корню, край-
не незначительна. Таким образом, скорректированная система будет иметь передаточную
функцию

г	.	236(5+ 0.1)

G (s)GH (s) —-------------------.	(10.67)

5(5 + 10)2(i + 0,01 11)

где К/a - 236 и а - 9.

Рис. 10.18

К синтезу корректирующего
устройства с отставанием
по фазе
В с отставанием

► корректирующее устройство с
кет передаточную функцию

(10.66)

всти. равный 20, а коэффициент
быть равен 0,707. Чтобы полу-

Синтез корректирующего устройства с отставанием по фазе очень хорошо иллюст-
рируется на ^-плоскости с использованием корневого годографа. Далее мы рассмотрим
еще один, не менее полезный, метод синтеза, связанный с применением диаграммы Боде.

10.8.	Коррекция с отставанием по фазе:

синтез с помощью диаграммы Боде

ка. легко убедиться, что при
мнимой оси и равны ±j!0. Эти
[коэффициенту затухания, и их
Рс помощью корректирующего
створить требования к Л\, и , ис-
иескорректированной системы
смые корни занимают положе-
из этих точек (в верхней по-
ребуемое отношение нуля кор-
ю

Синтез ЯС-схемы с отставанием по фазе, используемой в качестве корректирующего
устройства, достаточно просто можно осуществить с помощью диаграммы Боде. Преиму-
щество диаграммы Боде очевидно: чтобы получить приемлемые частотные характеристи-
ки, мы просто должны к частотным характеристикам исходной системы добавить соответ-
ствующие характеристики корректирующего устройства. Передаточная функция системы
с отставанием по фазе, записанная в виде, удобном для построения диаграммы Боде, имеет
вид:

Gf (» = 212^1.	(10.68)

1 + у'соат

10,18 показывает, что разность
jj'j) к желаемому корню, край-
№ будет иметь передаточную

Соответствующая диаграмма Боде изображена на рис. 10.8 для двух значений а. Заметим,
что полюс и нуль корректирующего устройства по модулю должны быть много меньше,
чем наименьший полюс нескорректированной системы. Отметим также, что отрицатель-
ный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством, в общем случае является де-
стабилизирующим фактором и поэтому нежелательным. Но вместе с тем такое устройство
вносит в контур ослабление, равное -201ga. За счет этого уменьшается частота, на которой
амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ, а это, в свою очередь, приводит к
увеличению запаса по фазе. Таким образом удается удовлетворить требования, предъявля-
емые к качеству системы. Процедура синтеза корректирующего устройства с отставанием
по фазе в данном случае сводится к следующим этапам:

1.	Построить диаграмму Боде для нескорректированной системы при коэффициенте
усиления, необходимом для получения требуемого значения коэффициента ошибки.

2.	Определить запас по фазе в нескорректированной системе и, если он недостаточен,
выполнить последующие этапы.

3.	Выбрать частоту, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по
фазе, т. е. частоту й\., на которой амплитудная характеристика скорректированной
системы будет пересекать уровень 0 дБ. (При этом необходимо учитывать, что на
данной частоте корректирующее устройство даст дополнительный фазовый сдвиг,
равный -5°.)

4.	Частоту излома, соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на
декаду левее новой частоты чтобы гарантировать, что корректирующее устрой-
ство добавит только -5° к результирующей фазовой характеристике (см. рис. 10.8).

5.	Определить, насколько нужно уменьшить усиление системы на частоте со'с, чтобы
амплитудная характеристика скорректированной системы на этой частоте действи-
тельно пересекала уровень 0 дБ.

6.	Вычислить параметр а, зная, что корректирующее устройство на частоте со'е вносит
ослабление, равное -201ga,
7.	Вычислить частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устройст-
ва, (Ор = 1/ат = со-/а. На этом процедура синтеза заканчивается.

Проиллюстрируем данную методику синтеза простым практическим примером.

Пример 10.8. Синтез корректирующего

по

азе

устройства с отставанием

Рассмотрим еще раз систему из примера 10.6, для которой синтезируем корректирующее
устройство с отставанием по фазе, исходя из заданного запаса устойчивости по фазе. Для не-

скорректированной системы мы имеем

GH(jco) = ;	——

jcd(;cd+ 2)

;'со + 1)

(10.69)

где Kv - КН. К системе предъявляются следующие требования: коэффициент ошибки по ско-
рости Kv — 20 и запас по фазе, равный 45°. Диаграмма Боде для нескорректированной системы
изображена сплошной линией на рис. 10.19. В системе без коррекции запас по фазе составляет
20°, поэтому он должен быть увеличен. С учетом того, что корректирующее устройство будет
вносить дополнительный фазовый сдвиг величиной —5°, в качестве новой частоты выберем

а)

б)

у(0

Рис. 10 19. (а) Синтез корректирующего устройства с отставанием по фазе
с помощью диаграммы Боде (к примеру 10.8). (б) Переходные характеристики
скорректированной (сплошная линия) и нескорректированной (штриховая линия)
систем из примера 10.8
(у корректирующего устройст-
шчивается.

И практическим примером.

|*а с отставанием

Мй синтезируем корректирующее
ка устойчивости по фазе. Для не-

(10.69)

и коэффициент ошибки по ско-
в* нескорректированной системы
|фрекиии запас но фазе составляет
врректирующее устройство будет
нестве новой частоты аг. выберем

частоту, где (р(со) - -130°. В нашем случае эта частота со'. = 1,5 (с некоторым запасом). На этой
частоте усиление системы уменьшится на 20 дБ. На рис. 10.19 изображены асимптотические
амплитудные характеристики скорректированной и нескорректированной систем. В действи-
тельности эти характеристики располагаются на 2 дБ ниже тех, что изображены на рисунке. На
частоте coj. - 1,5 усиление уменьшается на 20 дБ.

Таким образом, мы имеем 20 дБ = 201ga, или а = 10. Выбрав нуль корректирующего устройст-
ва так, чтобы соответствующая ему частота излома находилась на декаду левее частоты мы
получим (о. = со^/10 = 0,15 и соответственно для полюса (йр = ок /10 ~ 0.015. В итоге скорректи-
рованная система будет иметь передаточную функцию

ч 20(6,66/со + 1)	1ЛПЛ1

Gc(ju)GH(» = —	— 	(10.70)

дсо(0,5 дсо + 1)(66,6 yen + 1)

Частотные характеристики скорректированной системы изображены на рис. 10.19(л) штриховы-
ми линиями. Из диаграммы видно, что корректирующее устройство на средних и высоких часто-
тах вносит ослабление, за счет этого амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ на
более низкой частоте, нежели без коррекции, а это в свою очередь приводит к увеличению запа-
са по фазе. Заметим также, что отрицательный фазовый сдвиг, создаваемый корректирующим
устройством, почти полностью исчезает на частоте а)'.. В качестве проверки можно вычислить
запас по фазе на частоте со[. и убедиться, что он равен 45°, как и требовалось. С помощью диа-
граммы Никольса можно также установить, что полоса пропускания замкнутой системы умень-
шилась с 10 рад/с в системе без коррекции до 2,5 рад/с в скорректированной системе. За счет
этого следует ожидать более медленного нарастания переходной характеристики.

Переходные характеристики системы изображены на рис. 10.19(6). В скорректированной сис-
теме перерегулирование составляет 25%, а время максимума переходной характеристики рав-
но 2 с, поэтому можно считать, что качество системы вполне приемлемое.

Пример 10.9. Синтез корректирующего устройства с отставанием
по фазе

Рассмотрим еще раз систему из примера 10.7, для которой

GH(» =------------г =---,	(Ю.71)

710(7(0 + 10)2	7 (о( 0,1 Ju) + I)4

где Kv = К7100. Коэффициент ошибки по скорости должен быть равен 20. а доминирующим
корням должен соответствовать коэффициент затухания Q — 0,707. По рис. 9.21 можно оценить
требуемое значение запаса по фазе, оно равно 65°. Частотные характеристики нескорректиро-
ванной системы изображены на рис. 10.20, откуда видно, что запас по фазе равен нулю. Сделав
допуск в 5° на фазовый сдвиг корректирующего устройства, частоту со'. выберем там, где фазо-
вая характеристика нескорректированной системы имеет значение -110°. В нашем случае это
1,74 рад/с, но в целях осторожности мы примем со'. ~ L5. Измерив, насколько корректирующее
устройство должно уменьшить усиление на этой частоте, получим 23 дБ. Следовательно,
23 = 201ga, откуда a = 14,2. Частоту излома, соответствующую нулю корректирующего
устройства, выберем на декаду левее, чем со'., т. е,

со. = — = 0.15.

'	10

Тогда для полюса получим:

со_ 0.15
со = — =------.

р а. 14.2

I с отставанием по фазе
|)ехс1дные характеристики
виной (штриховая линия)

итоге передаточная

функция скорректированной системы будет иметь вид:

(ja>) =

20(6,66 /(о + 1)

7‘(о(0,1 /со-*- 1)(94,67©+ 1)
Рис, 10.20. Синтез корректирующего устройства с отставанием по фазе
с помощью диаграммы Боде (к примеру 10,9)

Соответствующие частотные характеристики приведены на рис. 10.20. Вычислив в качестве
проверки запас по фазе на частоте со'. - 1,5, получим значение 67°, что удовлетворяет выдвину-
тому требованию.

Таким образом, мы выяснили, что при помощи корректирующего устройства с отста-
ванием по фазе можно изменить вид частотных характеристик системы так, чтобы они
удовлетворяли требованиям к качеству системы. Примеры 10.8 и 10.9 еще раз показыва-
ют, что задача синтеза успешно решается тогда, когда амплитудная характеристика скор-
ректированной системы пересекает уровень 0 дБ с наклоном -20дБ/дек. Частота, на кото-
рой это происходит, за счет ослабления, вносимого корректирующим устройством, сдви-
гается влево — в точку, где запас по фазе является приемлемым. Кроме того, в отличие от
коррекции с опережением по фазе, при коррекции с отставанием по фазе происходит уме-
ньшение полосы пропускания замкнутой системы.

Возникает вопрос: почему бы не выбрать частоту, соответствующую нулю корректи-
рующего устройства, более чем на одну декаду левее новой частоты (см. этап 4 проце-
дуры синтеза) и тем самым сделать отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректи-
рующим устройством на частоте со'с., еще меньше, чем 5°? На этот вопрос можно ответить,
если рассмотреть требования, предъявляемые к номиналам резисторов и конденсаторов
7?С-схемы, реализующей корректирующее устройство. С уменьшением полюса и нуля
корректирующего устройства с отставанием по фазе пропорционально должны увеличи-
ваться номиналы элементов /?С-схемы, Согласно выражению (10.12) нуль корректирую-
щего устройства z = \/R2C, а параметр а =	Так, в примере 10.9 нуль z = 0,15

можно получить при С = 1 мкФ и R2 = 6,66 МОм. Однако при а = 14 нам потребуется ре-
зистор = R2(cl - 1) = 88 МОм. Это очень большая величина, поэтому проектировщику
не рекомендуется выбирать нуль корректирующего устройства далее, чем на одну декаду
левее частоты w'
Рис. 10.21

Четырехполюсник с опережением
и отставанием по фазе

Корректирующие устройства с опережением по фазе и с отставанием по фазе каждое
по-своему изменяет вид частотных характеристик. Первое добавляет положительный фа-

зовый сдвиг, второе уменьшает усиление, но в конечном счете и то и другое приводит к
увеличению запаса устойчивости по фазе. Поэтому было бы разумным реализовать поло-
жительные стороны каждого из этих устройств с помощью одной /?С-схемы. И такая схе-

ма, действительно, существует. Она называется схемой с опережением и отставанием

по фазе и имеет вид, изображенный на рис.

10.21. Передаточная функция такой схемы

И2 (s) ______(^C^+lX^C^+l)_________

HCs)	+	+ /?,С2+/?2C2)s + l

(10.73)

Если обозначить	₽т2 = /?2С2 и	то легко заметить, что

отставанием по фазе
Я 10.9)

10.20. Вычислив в качестве
fT3. что удовлетворяет выдвину-

ар = I и передаточная функция (10.73) принимает вид
К2(^) _ (1+ аТ|^)(1 + Рх25)
К((5)	(1 + т j ^)(1 + т 2^’)

(10.74)

₽} ющег о устройства с отста-
системы так, чтобы они

0-8 и 10.9 еще раз показыва-
вшая характеристика скор-
-20дБ/дек. Частота, на кото-
рующим устройством, сдви-

Кроме того, в отличие от
ем по фазе происходит уме-

лствующую нулю корректи-
стоты (см. этап 4 проце-
сдвиг, вносимый корректн-
ого? вопрос можно ответить,
Всзисторов и конденсаторов
кньшением полюса и нуля
ионально должны увеличи-
те 10.12) нуль корректирую-
примере 10.9 нуль z == 0,15
cl “ 14 нам потребуется ре-
I» поэтому проектировщику
а далее, чем на одну декаду

где а > 1 и р < 1. Первые сомножители в числителе и знаменателе, зависящие от соот-
ветствуют части схемы, вносящей опережение по фазе. Вторые сомножители, зависящие
отт?, обусловливают отставание по фазе. Параметр р выбирается так, чтобы обеспечить не-
обходимое уменьшение усиления в низкочастотной области частотных характеристик, а
параметр а выбирается исходя из условия создания дополнительного положительного фа-
зового сдвига на новой частоте, при которой амплитудная характеристика будет пересе-
кать уровень 0 дБ. Ту же задачу можно решить на 5-плоскости. Сначала полюс и нуль фазо-
опережающей части корректирующего устройства размещаются так, чтобы обеспечить
желаемое положение доминирующих корней. Затем синтезируется часть корректирующе-
го устройства, обладающая отставанием по фазе, с тем, чтобы желаемому положению кор-
ней соответствовало увеличение коэффициента ошибки в 1/р раз. Синтез обеих частей кор-
ректирующего устройства производится согласно описанным выше процедурам.

10.9.	Синтез с помощью диаграммы Боде
и использования аналитических методов
и компьютеров

Всегда, когда имеется возможность, желательно использовать компьютеры, чтобы помочь
проектировщику в выборе параметров корректирующего устройства. Разработка соответ-
ствующих алгоритмов и программ является альтернативой методам проб и ошибок, рас-
смотренным в предыдущих разделах. Большинство программ, созданных для выбора пара-
метров корректирующих устройств, основаны на удовлетворении требований, предъявля-
емых к частотным характеристикам системы, в частности к запасу по фазе.
Применительно к диаграмме Боде разработан аналитический метод выбора парамет-
ров корректирфощих устройств с опережением или с отставанием по фазе. Простое одно-
звенное корректирующее устройство с передаточной функцией

Сс(*) = ~----	(10.75)

1 + Т5

при ot < 1 обладает отставанием по фазе, а при а > 1 создает опережение по фазе. Из выра-
жения (10.9) можно получить формулу, определяющую вклад корректирующего устройст-
ва в фазовую характеристику на желаемой частоте с&с:

аоз .т-со.т

P = tg4> =----------

1 + (сост)~ а

(10.76)

Иа той же частоте сос вклад корректирующего устройства в амплитудную характеристику
составит

с=ЮЛ//1° _ 1 + (юсат)"
l + K'T)2

(10.77)

где М измеряется в децибелах.

Исключая (ост из (10.76) и (10.77), получим нетривиальное уравнение относительно ос:

(/?2 - с+ 1) сх2 + 2р2си + р2с2 + с1 - с = 0.	(10.78)

Для однозвенного корректирующего устройства с опережением по фазе необходимо, что-
бы выполнялось неравенство с > р2 + 1. Если решить (10.78) относительно ос, то можно бу-

дет получить выражение для т:

(10.79)

Процедура синтеза корректирующего устройства с опережением по фазе состоит из
следующих этапов:

1.	Выбрать желаемое значение частоты сос.

2-	Задать требуемое значение запаса по фазе, т. е. угол <р в выражении (10.76).

3.	Убедиться, что необходимо именно опережение по фазе: (р > 0 и М> 0.

4.	Определить, достаточно ли для коррекции одного звена при условии с >/?+!.

5.	Определить а по уравнению (10.78).

6.	Вычислить т по выражению (10.79).

Если необходима коррекция с отставанием по фазе, тоср<0иЛ/<0 (этап 3). На этапе
4 необходимо, чтобы выполнялось неравенство с < [ 1/( 1+р2)]. Остальные этапы остаются
без изменений.

Пример 1O.1O. Синтез с использованием аналитического метода

Рассмотрим систему из примера 10.1 и синтезируем аналитическим методом корректирующее
устройство с опережением по фазе. Обратимся к рис. 10.9 и посмотрим на частотные характе-
ристики нескорректированной системы. Выберем сос= 5 и, как и ранее, потребуем, чтобы за-
пас по фазе был равен 45°. Это значит, что такой фазовый сдвиг должно создавать корректиру-
ющее устройство. Отсюда имеем:
веский метод выбора парамет-
•анием по фазе. Простое одно-
икнией

(10.75)

.т опережение по фазе. Из выра-
ад корректирующего устройст-

(10.76)

В амплитудную характеристику

/? = tg45°-l.	(10.80)

Корректирующее устройство должно дать вклад в амплитудную характеристику, равный 8 дБ,
т. е. М = 8, поэтому

с= Ю8/|0 = 6,31 .	(10.81)

Подставляя с и р в (10.78), получим уравнение:

-4.31а2 + 12.62а + 73.32 = 0.	(10.82)

Решение этого уравнения дает а = 5,84. Далее из (10.79) находим т = 0,087. В результате полу-
чим передаточную функцию корректирующего устройства:

Gс(5) = —.	(10.83)

1+0,0875

Эта функция имеет полюс р = 11,5 и нуль z- 1,94. Результат синтеза близок к тому, что был
получен итерационным методом в разделе 10.4.

(10.77)

10.10. Системы с предшествующим фильтром

уравнение относительно сс
'с=0	(10.78)

tee.M по фазе необходимо, что-
| относительно а, то можно 6v-

В предыдущих разделах мы использовали корректирующие устройства с передаточной
функцией вида

Gc (5) =

5+ Z

S+ р

(10.79)

врежением по фазе состоит из

за счет которой изменяется положение корней характеристического уравнения замкнутой
системы. Однако передаточная функция замкнутой системы Г(у) в качестве нуля будет со-
держать и нуль функции Gc(s). Этот нуль будет оказывать существенное влияние на пере-
ходную характеристику замкнутой системы.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 10.22, где

G(5) = 1 .

5

Используем в данной системе ПИ-регулятор с передаточной функцией

Гс в выражении (10.76).
(р > 0 и М> 0.

вена при условии с > р~~\- 1

Передаточная функция замкнутой системы с учетом предшествующего фильтра равна

(Хр + Х^Щ

л^) = —5---------

S~ + K}S + К 2

(10.84)

| < 0 и М < 0 (этап 3). На этапе
Остальные этапы остаются

Будем считать, например, что время установления (по критерию 2%) должно быть равно
0,5 с, а перерегулирование — приблизительно 4%. Тогда зададимся значением Q = 1/V2 и

веского метода

®ским методом корректирующее
Ьсмогри.м на частотные характе-
к и ранее, потребуем, чтобы за-
W должно создавать корректиру-

Рис. 10.22. Система управления с предшествующим фильтром Gp(s)
|i
li

заметим, что

Отсюда получим = 8, или = 8д/2. Поэтому

К, =2Сш„ =16 и X, =0)2 =128.

X	~ * *	м*	г 

няются, noci
Чтобы в эта
синтезирован
| даточная фу
||
||

Если Gp(s) = 1, то передаточная функция замкнутой системы равна

? +1&+128

Влияние нуля на переходную характеристику весьма существенно. По рис. 5.13(a) опреде-
ляем, что при а/^шл = 1 и ^ = 1/V2 следует ожидать перерегулирования в 21%.

Чтобы исключить нуль из передаточной функции Да), используем предшествующий
фильтр, сохранив в то же время коэффициент усиления системы на нулевой частоте. Тог-
да



8

5+ 8

и в результате мы получим



128

s2 + 16у+ 128

В данном случае перерегулирование составит 4,5%, как и требовалось.

Анализ рис. 5.13(a) показывает, что нуль s = - а оказывает существенное влияние на
переходную характеристику при а/^со;7 < 5, где есть действительная часть домини-
рующих корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Теперь рассмотрим еще раз систему из примера 10.3, для которой было синтезирова-
но корректирующее устройство с опережением по фазе. С учетом предшествующего фи-
льтра (рис. 10.22) передаточная функция замкнутой системы равна

Ж»-

8,1(5+1/7/5)

(5+ 1 + J2)(s + 1-у2)(5 + 1,62)

Если Gp(5) “ 1 (предшествующий фильтр отсутствует), то переходная характеристика име-
ет перерегулирование 46,6% и время установления 3,8 с. Если же использовать предшест-
вующий фильтр с передаточной функцией

G/5) = -— ,
5+ 1

то перерегулирование составит 6,7%, а время установления по-прежнему будет равно 3,8 с.
Вещественный корень 5 = -1,62 положительно сказывается на демпфировании переходной
характеристики. Предшествующий фильтр играет очень большое значение, т. к. он позво-
ляет проектировщику за счет нуля корректирующего устройства обеспечить желаемое по-
ложение корней (полюсов) передаточной функции замкнутой системы и в то же время иск-
лючить влияние нуля функции T(s) на переходную характеристику.

Обычно предшествующий фильтр используется в системах, содержащих корректи-
рующие устройства с опережением по фазе или ПИ-регуляторы. В системах, содержащих
корректирующие устройства с отставанием по фазе, предшествующие фильтры не приме-

Передаточн;

т. К. нуль 5 =

При пл:
что перерег
но 4,0 с. Ош
лько больш
люса 5 - -О
корректиру
няются.

! Пример 1

Рас смог

Синтез
более 2

Ш	gp^-

;	Вы берм

и найд

:	показа

Если

то nej

Выбр.
систе:
обесп
тоже

!	р - I.

i	метр,

I


= 128.

вггемы равна

ршественно. По рис. 5.13(a) опреде-
ререгулирования в 21%.

7V), используем предшествующий
V системы на нулевой частоте. Тог-

К и требовалось.

взывает существенное влияние на
ргъ действительная часть домини-
|^той системы.

13. для которой было синтезирова-
L С учетом предшествующего фи-
рстемы равна

И62)

няются, поскольку в них влияние нуля на переходную характеристику незначительно.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим систему из примера 10.6. Для этой системы было
синтезировано корректирующее устройство с отставанием по фазе, в результате ее пере-
даточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:

— '	Л

5(5+2)( л-0,0125)

Передаточная функция замкнутой системы

"	* л г 1\/

т. к. нуль 5 = -0,1 и полюс s - -0,095 приблизительно сокращаются.

При параметрах, заложенных в основу синтеза (£ = 0,45 и = 1), следует ожидать,
что перерегулирование составит 20%, а время установления (по критерию 2%) будет рав-
но 4,0 с. Однако действительная реакция системы имеет перерегулирование 26% и неско-
лько большее время установления — 5,8 с, что объясняется влиянием вещественного по-
люса 5 = -0,095 функции T(s). Этот пример проясняет, почему в системах, содержащих
корректирующие устройства с отставанием по фазе, предшествующие фильтры не приме-
няются.

Пример 10.11. Синтез системы третьего порядка

Рассмотрим систему, имеющую структуру рис. 10.22, в которой

-4

s(s+ 1)(5+ 5)

Синтезируем систему, переходная характеристика которой имела бы перерегулирование не
более 2% и время установления не более 3 с. Данную задачу решим, используя как Gc(s). так и

Gp(s).

Выберем корректирующее устройство с опережением по фазе,

/	1 Л

и найдем такое К, при котором комплексным корням будет соответствовать С, = 1 /Л. Можно
показать, что К = 78,7, при этом передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид.

’	-т 1 / „ х 1 О V"? / р 1

ю переходная характеристика име-

L Если же использовать предшест-

Т(5) =

Если принять

hu по-прежнему будет равно 3,8 с.
Вся на демпфировании переходной
> большое значение, т. к. он позво-
(юйства обеспечить желаемое по-
чтой системы и в то же время иск-
ктеристику.

системах, содержащих корректи-
«яторы. В системах, содержащих
ествуюшие фильтры не приме-

то передаточная функция замкнутой системы будет равна

7-(1|. ---------------------------

'	х с	, 1 л

in

Выбравр = 1,2, мы скомпенсируем влияние нуля. Показатели качества (во временной области)
системы с предшествующим фильтром приведены в табл. 10.1. Желаемые показатели можно
обеспечить выбором надлежащего значения р. Заметим, что при р — 2,40 реакция системы
тоже может оказаться приемлемой, т. к. она обладает меньшим временем нарастания, чем при
р = 1,20. Таким образом, предшествующий фильтр содержит еще один, дополнительный пара-
метр, который можно варьировать с целью достижения желаемого качества системы.
Таблица 10.1.

лияние предшествующего фильтра

характеристику

на переходную

___________________________________________= 1

Относительное перерегулирование	9.9%

Время нарастания (от 10 % до 90 %), с	1,05

Время установления, с	2,9

р = 1,20	р - 2,40

0%	4.8%

2,30	1.60

3.0_______________3,2

Чтобы определит»
при которых реакция б
даточную функцию к 1
порядка:

Разделим числитель и 1

10.11.	Синтез систем с апериодической
реакцией

Довольно часто от системы управления требуется, чтобы ее переходная характеристика
как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегули-
рованием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реак-
цией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению
принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают
время Ts, за которое переходная характеристика входит в указанную зону, как проиллюст-
рировано на рис. 10.23. Апериодическая реакция характеризуется следующими показате-
лями:

1.	Установившаяся ошибка = 0.

2.	Быстродействие минимальное время нарастания и время установления.

3.	0,1% < относительное перерегулирование < 2%.

4.	Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Показатели (3) и (4) требуют, чтобы после того как в момент Tv переходная характеристика
войдет в зону 2% от установившегося значения, она все время оставалась в пределах этой
зоны.

Введя обозначение 5 =

Выражение (10.88) —
= тьего порядка. Тем жв
I функции систем более
ния, при которых снег
денные в табл. 10.2, вь
минимизировать врем!
В выражении (10.88) ф
определяется по задам
стеме третьего порядзк
табл. 10.2 мы имеем н»

i
i

! Отсюда находим части

Таблица 10.2. Kos
сис

2-й	1,82

3-й	1,90	2.20

4-й	2,20	3.50

5-й	2,70	4.90

6-й	3.15	6,50

Примечание: все л
ктра на переходную

р — 1,20 р = 2,40

0%	4,8%

2.30	h60

3.0	3,2

щической

1‘ее переходная характеристика
о с минимальным перерегули-
вамн с апериодической реак-
и к установившемуся значению
смен ем установления считают

казанную зону, как проиллюст-

ется следующими показате-

и время установления.

1КНИЯ < 2%.

" Т; переходная характеристика
ма оставалась в пределах этой

Чтобы определить коэффициенты передаточной функции замкнутой системы T(s\
при которых реакция будет иметь апериодический характер, приведем сначала эту пере-
даточную функцию к нормированному виду. Покажем это на примере системы третьего
порядка:

T(s) = ---------(10.86)

ч-рю^ч-со;.,

Разделим числитель и знаменатель на ю;’:

П4 = ----------1----------.	(10.87)

Г S п S

—— ч- ос —— ч- р — Ч-1
со„ со;

Введя обозначение 5 = получим:

T(s) = ------%-—.	(10.88)

5 3 4- Ш’ ' Ч- р5 Ч- 1

Выражение (10,88) — это нормированная передаточная функция замкнутой системы тре-
тьего порядка. Тем же самым способом определяются и нормированные передаточные
функции систем более высокого порядка. Коэффициентам ос, Р, у и т. д. придаются значе-
ния, при которых система будет иметь апериодическую реакцию. Коэффициенты, приве-
денные в табл. 10.2, выбраны таким образом, чтобы получить апериодическую реакцию и
минимизировать время установления и время нарастания до 100% от заданного значения.
В выражении (10.88) фигурирует нормированная переменная 5 = s/ton. Поэтому частота со,;
определяется по заданному времени установления или времени нарастания. Так, если в си-
стеме третьего порядка необходимо иметь время установления, равное 1,2 с, то согласно
табл. 10.2 мы имеем нормированное время установления

= 4,04.

Отсюда находим частоту

4,04 4,04
=-----=------= 3,37.

Ts. 1,2

Таблица 10.2. Коэффициенты и параметры переходной характеристики
системы с апериодической реакцией



о

О

*

t







Коэффициенты

Е

2-й	1,82	0,10%					0,00%	3,47	6,58	4,82
3-й	1,90	2,20				1,65%	1,36%	3,48	4,32	4,04
4-й	2,20	3,50	2,80			0,89%	0,95%	4,16	5.29	4.81
5-й	2.70	4.90	5,40	3,40		1,29%	0,37%	4,84	5,73	5.43
6-й	3.15	6,50	8,70	7,55	4.05	1,63%	0,94%	5,49	6,31	6,04
После этого можно записать передаточную функцию замкнутой системы в виде (10.86).
При синтезе системы с апериодической реакцией выбирается тип корректирующего
устройства и записывается выражение для передаточной функции замкнутой системы. Эта
передаточная функция приводится к виду (10.86), после чего нетрудно определить пара-
метры корректирующего устройства.

Пример 10.12. Синтез системы с апериодической реакцией

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, корректирующим устройством Gjsi 
предшествующим фильтром (см. рис. 10.22).

Объект имеет передаточную функцию

s(s + 1)

а корректирующее устройство — передаточную функцию

S + Z

Cc(s) =------.

s + p

Предшествующий фильтр должен иметь передаточную функцию

В этом случае передаточная функция замкнутой системы равна

sJ + (1 + p)s2 + (К + p)s -ь Kz

С помощью табл. 10.2 находим требуемые значения коэффициентов: а = 1.90 и р = 2.20. Если
время установления (по критерию 2%) должно быть равно 2 с, то со„С = 4,04 и. следовательно.
= 2,02. Тогда желаемый характеристический полином замкнутой системы будет иметь вид

q(s) = s3 + аш?/52 + p(o2v + со,3, = у3 + .3,84 s2 + 4,44 s + 8.24.

Отсюда находим, что р - 2.84, z = 1,34 и К- 6,14. Переходная характеристика системы им ее:
значения Ts ~ 2 с, Тг = 2,14 с и Tr^Q = 1,72 с.

10.12.	Пример синтеза: система управления
намоткой ротора

Назначение данной системы состоит в исключении ручных операций при намотке медной
проволоки на роторы небольших электродвигателей. Каждый двигатель имеет три отдель-
ных обмотки по нескольку сотен витков. Важно получить высокое качество намотки, что-
бы каждая обмотка была достаточно плотной и однородной. Оператор просто вставляет в
машину пустой ротор, нажимает пусковую кнопку, а потом вынимает полностью намотан-
ный ротор. Для точной и быстрой намотки используется двигатель постоянного тока. Поэ-
тому задачей системы управления является обеспечение высокой точности отработки за-
данного положения и скорости ротора в процессе намотки. Система управления изображе-
на на рис. 10.24(a), а соответствующая ей структурная схема — на рис. 10.24(6). При
ступенчатом входном сигнале система обладает нулевой установившейся ошибкой, а при
линейном входном сигнале установившаяся ошибка равна

где


ткнутой системы в виде (10.86).
бирается тип корректирующего
функции замкнутой системы. Эта
* чего нетрудно определить пара-

кой реакцией
I

|ректирующим устройством и

О

функцию

Рис. 10.24	а)

(а) Система
намотки ротора.

(б) Структурная
схема системы

ниентов: а = L90 и р = 2.20. Если

2 с. то = 4,04 и, следовательно.

Жкнугой системы будет иметь вид:

Г 4.44s + 8,24.

Если Gc(s) = К, то Kv = К/50. Выбрав К = 500, мы получим Kv = 10, но при этом перерегули-
рование реакции системы на ступенчатый входной сигнал составит 70%, а время установ-
ления будет равно 8 с.

Сначала попытаемся использовать корректирующее устройство с опережением по
фазе, для которого

Gc(s)=K{S+Zv-2.	(Ю.89)

•*+ А

Ждя характеристика системы имеет

ма управления

Выбрав и полюс так, чтобы комплексным корням соответствовало значение

= 0,6, мы получим

Gc (5) =

191,2(5+4)

5+7,3

(10.90)

К операций при намотке медной
|ЫЙ двигатель имеет три отдель-
высокое качество намотки, что-
М£ Оператор просто вставляет в
I вынимает полностью намотан-
жгатель постоянного тока. Поэ-
высокой точности отработки за-
*: Система управления изображе-
схема — на рис. 10.24(5). При
рстановившейся ошибкой, а при

При этом переходная характеристика будет иметь перерегулирование 3%, а время у станов-
ления будет равно 1,5 с. Однако коэффициент ошибки по скорости будет равен

что явно недостаточно.

Теперь попробуем применить коррекцию с отставанием по фазе, при которой

Gс (з) =

5

чтобы получить значение Kv = 38. В этом случае коэффициент ошибки по скорости будет
определяться как

_ 4^2
V

С помощью корневого годографа определим значение К, при котором перерегулирование
переходной характеристики нескорректированной системы не будет превышать 10%. По-
лучим К - 105. Далее выберем отношение zip = а так, чтобы обеспечить заданное значе-

il
ние Kv:

50Kv 50-38 1О1
ос =---L =-----= 18,1

К 105

Выбрав z2 = 0,1, чтобы исключить его влияние на корневой годограф нескорректиро-
ванной системы, мы получим = 0,0055. В этом случае переходная характеристика бу дет
иметь перерегулирование 12% и время установления 2,5 с. Результаты, соответствующие
различным типам коррекции (различным регуляторам), приведены в табл. 10.3.

Таблица 10.3. Результаты, полученные при синтезе

Регулятор

Коэффи-
циент К

С опережением
по фазе

С отставанием
по фазе

С опережени-
ем и отстава-
нием по фазе

Перерегулирование
Время установления, с
Установившаяся ошибка
при линейном сигнале

70%
8

10%

10

3%

1,5

48%

2Д

12%

2,5

2,6%

5%

2,0

4,8%

21

Теперь вернемся к системе, в которой использовано корректирующее устройство
с опережением по фазе, и включим последовательно с ним корректирующее устройство
с отставанием по фазе. В результате регулятор будет иметь передаточную функцию

Gc(s) = K(S + Zl )(5+Z2).	(10.9И

(5+ Pi )(* + Pi)

Для фазоопережающей части выражения (10.91) К = 191,2, z1 -4 и/?! -7,3.При этом
корневой годограф системы имеет вид рис. 10.25. Напомним, что при коррекции с опере-

Рис. 10.25

Корневой годограф системы
с регулятором, обладающим
опережением по фазе

Л=191.2
годограф нескорректиро- :
пая характеристика будет
1ьтзты, соответствующие
сны в табл. 10.3.

шаннем

фазе

С опережени-
ем и отстава-
нием по фазе

5%

2.0

4,8%

21

актирующее устройство
ветирующее устройство
сдаточную функцию

(10.91)

= 4 и/?! = 7,3. При этом

Рис. 10.26

Реакции системы
управления намоткой
ротора

(5) на ступенчатый

и (б) на линейный сигналы

жением по фазе мы имеем Kv = 2,1 (см. табл. 10.3). Чтобы получить Kv = 21, примем зна-
чение ос = 10, выберем z2 = 0,1 и тогда найдем р2 = 0,01. Передаточная функция скоррек-
тированной системы примет вид:

G(5)Gc(S) =

191,2(5+4 )($+ 0,1)

s(5+5)(j+ 10)(5+ 7,28)(5+ 0,01)

(10.92)

Переходная характеристика и реакция системы на линейное воздействие изображены со-
ответственно на рис. 10.26(a) и (б), кроме того, результаты отражены также в табл. 10.3.
Очевидно, что синтез с использованием корректирующего устройства с опережением и от-
ставанием по фазе вполне отвечает поставленной задаче.

10.13. Пример синтеза: двухкоординатный
графопостроитель

Многие физические явления характеризуются параметрами, которые изменяются во вре-
мени. Зарегистрировав изменение этих параметров, результаты можно накапливать для по-
следующего анализа или сравнения. Для этой цели разработан ряд электромеханических
устройств, среди которых и двухкоординатный графопостроитель (плоттер). В этом
устройстве перемещение вдоль осиXсоответствует времени или некоторой переменной, а
перемещение вдоль оси Y— функции времени или какой-то другой переменной.
Рис- 10-27

Двухкоординатный
плоттер HP 7090А

Подобные самопишущие устройства можно встретить во многих лабораториях, за-
нимающихся регистрацией экспериментальных данных, таких как изменение температу-
ры, изменение выходных сигналов датчиков, зависимость деформации от приложенного
усилия и т. д. На рис. 10.27 в качестве примера изображен графопостроитель HP 7090А.

Назначение графопостроителя состоит в том, чтобы точно отслеживать изменение
входных сигналов. Мы будем рассматривать перемещение только по одной оси, т. к. ди-
намика движения по обеим осям одинакова, и поставим цель — с высокой точностью
управлять положением и движением пера вслед за изменением входного сигнала.

Потребуем, чтобы (1) реакция системы управления положением пера на ступенчатый
входной сигнал имела перерегулирование не более 5% и время установления (по крите-
рию 2%) не более 0,5 с и (2) чтобы при этом установившаяся ошибка равнялась нулю.
Если нам удастся удовлетворить эти требования, то можно будет считать, что система об-
ладает высоким качеством.

Поскольку нам нужно управлять движением пера, то в качестве исполнительного
устройства выберем двигатель постоянного тока. В цепи обратной связи используем оп-
тический кодовый датчик с 500 штрихами. С помощью такого датчика можно получить
2000 отсчетов на каждый полный оборот вала двигателя. Такое разрешение датчика соот-
ветствует перемещению кончика пера на 0,025 мм. Кодовый датчик закреплен на вал)
двигателя. Поскольку выход датчика представляется в виде цифрового кода, он сравнива-
ется со входным сигналом с помощью микропроцессора. Разность двух сигналов соответ-
ствует ошибке системы, а микропроцессор преобразует ее по алгоритму, который опреде-
ляется требуемой передаточной функцией регулятора. Затем выход регулятора (цифро-
вой код) преобразуется в аналоговый сигнал, используемый для управления двигателем.

Модель замкнутой системы управления положением пера изображена на рис. 10.28.
Поскольку скорость вычислений в микропроцессоре намного выше, чем скорость измене-
ния входного сигнала и выходного сигнала кодового датчика, можно считать, что модель
системы в непрерывных переменных является достаточно точной.

Передаточная функция двигателя вместе с кареткой пера равна

G(s) =---------------,	(10.93)

ф+10)(^ +1000)
Рис. 10.28

Модель
системы
управления
пером
плоттера

и сначала мы

попробуем использовать в качестве регулятора обыкновенный усилитель,



ю многих лабораториях, за-
к как изменение температу-
формации от приложенного
^©построитель HP 7090А.

ю отслеживать изменение

эко по одной оси, т. к. ди-

— с высокой точностью

км входного сигнала.

книем пера на ступенчатый
мя установления (по крите-
ея ошибка равнялась нулю,
кт считать, что система об-

I В этом случае мы имеем возможность варьировать только один параметр, а именно
коэффициент К. Чтобы получить переходный процесс, близкий к оптимальному, мы дол-
жны выбрать такое значение К, чтобы двум доминирующим корням на s-плоскости соот-
I ветствовал коэффициент затухания, равный 0,707, при этом перерегулирование составит
около 4,5%. Вид корневого годографа представлен на рис. 10.29 (обратите внимание на
разрыв действительной оси).

Выбрав значение К - 47200, мы получим систему, переходная характеристика кото-
рой имеет перерегулирование 3,6% и время установления 0,8 с. Так как передаточная
| функция разомкнутой системы имеет полюс в начале координат, то установившаяся
ошибка будет равна нулю.

Эта система не удовлетворяет нашим требованиям, поэтому попробуем подобрать
регулятор, который позволит уменьшить время установления. Возьмем регулятор с опе-

качестве исполнительного
иной связи используем on-
io датчика можно получить
в разрешение датчика соот-
i датчик закреплен на валу
фрового кода, он сравнива-
кть двух сигналов соответ-
игоритму, который опреде-
.выход регулятора (цифро-
I управления двигателем.

i изображена на рис. 10.28.
1йше. чем скорость измене-
ножно считать, что модель
Чвой.

к равна

(10.93)

Рис. 10.29

Корневой годограф
системы
управления пером
плоттера.

На годографе
указано положение
доминирующих
корней

Линия С--

-/10

которым
соответствует
коэффициент
затухания £ =

-1000

- -ую



- -/20
режением по фазе, для которого

(10,94 i

где р = az. Синтез регулятора проведем с использованием метода, описанного в разделе
10.5, где необходимые построения выполнялись на 5-плоскости. Нуль регулятора помес-
тим в точке 5 = -20 и определим положение полюсар, при котором доминирующие корни
будут лежать на линии, соответствующей коэффициенту затухания £ = 1/72. В результате

найдем, что р = 60, а = 3 и тогда

(7(5X7^) =

142600(5+ 20)

5(5+ 10)(5+ 60)(5+ 1000)

(10.95 >

Построив действительную переходную характеристику, найдем, что перерегулиро-
вание составляет 2%, а время установления равно 0,35 с. Это полностью удовлетворяет
выдвинутым требованиям. Третий вариант решения задачи синтеза основан на том, что с
помощью кодового датчика можно получить сигнал, пропорциональный скорости, для
чего достаточно определить скорость, с которой штрихи датчика пересекают фиксиро-
ванную точку. Это возможно сделать с помощью того же микропроцессора. Поскольку и
положение и скорость доступны измерению, мы можем описать регулятор передаточной
функцией

Gc.(5) =	+ А25,

(10.96)

где	— коэффициент усиления сигнала ошибки, а К2 — коэффициент усиления сигнала,

пропорционального скорости. Тогда мы можем записать:

G(W*) =

K2(s+Kl/K2)
s(s + 10)0 +1000)

Если выбрать KJK2 = 10, то произойдет сокращение с полюсом 5 = -10, и мы полу-
чим

С?0)С7с0) =

К,
5(5+1000)

Характеристическое уравнение замкнутой системы примет вид

s2 + 1 000л- + К2 = 0,	(10.97)

а нам необходимо иметь i^ = l/V2. Учитывая, что 2С,ап = 1000, мы получим ю„ = 707 и
К, = (о, = 5• 105. Скорректированная система будет иметь передаточную функцию

Л=

5 105

5(5+ 1000)

(10.98)

Переходная характеристика замкнутой системы будет обладать перерегулированием 4,3%
и временем установления 8 мс.

Результаты трех вариантов синтеза системы для сравнения приведены в табл. 10.4.
Наилучший результат получается при использовании обратной связи по скорости, и
именно такое решение реализовано в графопостроителе HP 7090А.
Таблица 10.4. Результаты трех вариантов синтеза

(10.94)

lit

метода, описанного в разделе
мсти. Нуль регулятора помес-
тором доминирующие корни
гулания £ = 1/л/2. В результате

Переходная характеристика

Настраиваемые параметры

Относительное
перерегулирование, %

Время установления, мс

(10.95)

найдем, что перерегулиро-
>го полностью удовлетворяет
синтеза основан на том, что с
юрциональный скорости, для
итчика пересекают фиксиро-
кропроцессора. Поскольку и
Всать регулятор передаточной

(10.96)

эффициент усиления сигнала.

Коэффициент усиления	3,6

Коэффициент усиления и корректирую-	q

шее устройство с опережением по фазе

Коэффициент усиления плюс коррекция
по скорости с помощью К2______________________

800

350

8

10.14. Синтез систем с помощью MATLAB

В этом разделе коррекция систем управления иллюстрируется путем применения частот-
ных характеристик и 5-плоскости. На примере системы управления намоткой ротора из
раздела 10.12 мы продемонстрируем, как с помощью программ MATLAB можно эффек-
тивно синтезировать системы, обладающие хорошими показателями качества. Мы рас-
смотрим применение в данной системе корректирующих устройств как с опережением, так
и с отставанием по фазе и научимся получать с помощью MATLAB изображение времен-
ных и частотных характеристик системы.

Пример 10.13. Система управления намоткой ротора

Рассмотрим систему управления намоткой ротора, изображенную на рис. 10.24. Цель синте-
за— обеспечить высокую точность при отработке системой линейного входного сигнала.
Если этот сигнал имеет единичную скорость, то R(s) = 1/г и установившаяся ошибка равна

полюсом 5 - -10. и мы полу-

1

(10.97)
1000, мы получим = 707 и
кредаточную функцию

(10.98)

рть перерегулированием 4,3%

кния приведены в табл. 10.4.
ратной связи по скорости, и
IP ~090А.

где

„ г Gc(S)
= lim- с .

'	50

Наряду с требованиями к установившейся ошибке при линейном входном сигнале надо учиты-
вать и ограничения на величину перерегулирования и время установления реакции системы на
ступенчатый сигнал. По всей видимости, регулятор в виде обычного усилителя не позволит
получить желаемое качество, поэтому мы рассмотрим также варианты коррекции с опереже-
нием и с отставанием по фазе. Для синтеза соответствующих корректирующих устройств мы
воспользуемся как диаграммой Боде, так и корневым годографом. С этой целью мы приведем
ряд программ MATLAB, облегчающих процедуру синтеза.

Рассмотрим сначала самый простой регулятор с передаточной функцией Gc(s) - К. В этом слу-
чае установившаяся ошибка при линейном входном сигнале будет равна

50
e,,v = — .

х К

Чем больше мы сделаем К, тем меньше будет установившаяся ошибка. Однако следует счита-
ться с тем, что увеличение К будет негативно сказываться на переходной характеристике, как
это видно из рис. 10,30. При К~ 500 установившаяся ошибка в случае линейного входного
сигнала составляет 10% от скорости этого сигнала, но при ступенчатом воздействии величина
перерегулирования равна 70%, а время установления — примерно 8 с. Такое качество, очевид-
но. неприемлемо, поэтому мы займемся коррекцией системы.
Рис. 10.30	а)

(а) Переходные
характеристики системы
с пропорциональным
регулятором.

(б) Скрипт MATLAB

plot(t,Ys(:I1),tfYs(:l2),t,Ys(:,3),t(Ys(:I4))
х!аЬе1(‘Время (c)‘),ylabel(‘y(t)’)

Процедура <

1.	Построить д
по фазе.

2.	Определить
устройство.

3.	Вычислить

4.	Вычислить
стика неско

5.	Провести И|
продолжил
системы, мп
вычислить !

6.	Построить j
запаса по 4

7.	Ввести в а
корректиру

8.	Проверить]
темы. Если
При решени
рис. 10.31—
ректирован
10.32 привк

Рис. 10.31

(а)	Диаграмма
Боде.

(б)	Скрипт

Сначала мы попытаемся использовать корректирующее устройство с опережением по фазе,
т. е.

где |z| < |р|. Такое устройство позволит нам изменить вид переходной характеристики в луч-
шую сторону, а для его синтеза мы воспользуемся частотными характеристиками.

Требование, чтобы установившаяся ошибка не превышала 10% от скорости линейного входно-
го сигнала, приводит к тому, что необходимо иметь Kv = 10. Кроме этого, предъявляются опре-
деленные требования к реакции системы на ступенчатый сигнал, а именно: время установле-
ния (по критерию 2%) Тх < 3 с и относительное перерегулирование < 10%. Имеем следующие
соотношения:

/1 _ -	4

Перерегулирование = 100е* 4 =10 и 1\ =--------

Из них находим Q = 0,59 и = 2,26. Следовательно, можно определить требование к запасу по
фазе;
-Время tv)

витание реакции у(/).

•етствующей /-му

^фициенту у силе ния

-Vs(:,4))

Процедура синтеза включает следующие этапы:

1.	Построить диаграмму Боде для нескорректированной системы при К - 500 и определить запас
по фазе.

2.	Определить, какой дополнительный фазовый сдвиг должно создавать корректирующее
устройство.

3.	Вычислить а по выражению sin<p,„ = (а - 1 )/(а + 1).

4.	Вычислить 1 Olga и найти на диаграмме Боде частоту при которой амплитудная характери-
стика нескорректированной системы имеет значение -lOlga.

5.	Провести прямую линию с наклоном -20 дБ/дек, пересекающую уровень 0 дБ на частоте и
продолжить ее влево до пересечения с амплитудной характеристикой нескорректированной
системы, чтобы тем самым определить положение нуля корректирующего устройства. Затем
вычислить положение полюса корректирующего устройства как р = az.

6.	Построить диаграмму Боде для скорректированной системы и проверить полученное значение
запаса по фазе. Если необходимо, выполнить повторно какой-либо из этапов.

7.	Ввести в систему дополнительный усилитель, компенсирующий ослабление 1/а, вносимое
корректирующим устройством.

8.	Проверить результат синтеза, получив путем моделирования переходную характеристику сис-
темы. Если необходимо, выполнить повторно какой-либо из этапов.

При решении данной задачи в среде MATLAB мы используем три программы, приведенные на
рис. 10.31-10.33. Первая программа предназначена для построения диаграммы Боде нескор-
ректированной системы и выполнения этапов 1-4 процедуры синтеза (см. рис. 10.31). На рис.

10.32 приведены диаграмма Боде для скорректированной системы и программа, осуществляю-

егво с опережением по фазе,

Мной характеристики в луч-
характеристик ам и.

скорости линейного входно-
Еэтого, предъявляются опре-
,а именно: время установле-
к < 10%. Имеем следующие

лить требование к запасу по

Рис. 10.31

(<?) Диаграмма
Боде.

(6) Скрипт MATLAB
Рис. 10.32

Регулятор
с опережением
по фазе:

(а) диаграмма Боде
скорректированной
системы,

{6) скрипт MATLAB

a)

Gm«15.51 dB (at 17.303 rad/sec), Pm«59.l9f> deq. (at 5,4134 rad/sec)

40

20

0

• 20

-40

 00

	1—			VIII I'J		1	1	1—ГГ	T 1 Г"Г"‘		I	""Г	"T“l	""ГП 1 1
			i	i । i	1			Illi		1		1	4 4 | 1
			1 i i i i i	1	1		Illi		1		1	Illi
" - * Я. - Ь *	_ i*		- *	* Я -	-	- 4 - » 4		’i * Г •	- -	h Г -	- 1-	- К *4	• H	h
			i I 1 i 1		1		Illi		1		1	Illi
			1 1 1 1 4 1				Illi		1		t	1 1 « 1
1		—L	J.LLUJ- . «	_ J •			JJ1L.	M *	L L		• U J	.Lill
			I I 1 l И	4	i	1 1 1					4	1114
			1 4 Illi	1	1	1 4 1	i 1 IT*"				1	' 1 * l
			1 1 1 1 1 1	1	1	1 1 1	i 1 1 4				1	till
			1 1 I « 1 «	4	1	—ГП	Ml*				1	1114
			I i 1 1 1 1	1	4	11 1	Illi		*			Illi
			1 t 1 1 J 1	1	1	1 4 1	J 1 1 4		l			4 111
			1-hr К ri - - •	- -	- 1 - -| * W-1		1 4 4 H -	- •	г b •	- r	• r -I	Xr r r r-
			I 14 111	4	4	i 9 *	11*1		i		I	i\i i
			4 1 1 1 1 1	1	F	1 1 1	4 1 1 1		1		1	1 1 «X
1			M I Hl			4 14	Illi	 	L-Д ..		- J .J	 1 1 1

шая ее посф
с помощью и
юшего устрш

0

Рис. 10.33

Регулятор
с опережением
по фазе:
(а) переходная
характеристика,
(б) скрипт MATU\B

б)

10	10	10	10

Чястога (ряД’С)

K=1800; ч_____________________

numg=[1]; deng=[1 15 50 0];

numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25];
sysg=tf(numg,deng);

sysgc=tf(numgc,dengc);
sys=series(sysgc,sysg);
marg in (sys)

Увеличение К с целью
компен сировать
ослабление 1/а

Корректирующее устройство
с опережением по фазе

К=1800;

%

numg=[1]; deng=[1 15 50 0]; sysg=tf(numg,deng);

numgc=K*[1 3.5]; dengc=[1 25]; sysgc=tf(numgc,dengc);

%

syso=series(sysgc,sysg);

sys=feedback(syso,[1]);

%

t=[0:0.01:2];

step(sys,t)

ylabel(fy(t)’)

где значеии
граммы.

С помощью
времени уст
ствии ч етам
«г
ожидалось,
фазе и улуяв
полнить КО]
Чтобы умея
щее устрой

где |р| < г-
равным у а
го рас пола:
цедура сив

1.	Построить

2.	Найти такс
мы, чтобы

3.	Вычислил
фициент с

4.	Вычислит

5.	Зная a. oi
чтобы КО|
мые корни

6.	Путем .ма
какой-лис
Методик}
вычислит
годограф
бы убеди
руюшего
яния на в
и нуль КС
и р = -О.'
В резуль
удов летя
далее, чт
ТОЧНО. 47
ем по ф:
фазе, пе
шая ее построение. На рис. 10.33 приведены переходная характеристика системы и программа,
с помощью которой она построена. В окончательном виде передаточная функция корректиру-
ющего устройства выглядит как

1800(5+3,5)

G^) =--------—--- >

где значение К = 1800 получено итеративным способом с помощью соответствующей про-
граммы.

С помощью синтезированного корректирующего устройства мы удовлетворили требования к
времени установления и перерегулированию, но Kv - 5. а это значит, что при линейном воздей-
ствии установившаяся ошибка будет равна 20% от скорости этого воздействия. Хотя, как и
ожидалось, корректирующее устройство с опережением по фазе позволило увеличить запас по
фазе и улучшить вид переходной характеристики, можно продолжить синтез и попытаться до-
полнить коррекцию устройством интегрирующего типа.

Чтобы уменьшить установившуюся ошибку за счет увеличения Kv, применим корректирую-
щее устройство с отставанием по фазе, имеющее передаточную функцию

где |р| < |z|. Для синтеза такого устройства воспользуемся методом корневого годографа, хотя с
равным успехом это можно было бы сделать и с помощью диаграммы Боде. Область желаемо-
го расположения доминирующих корней определяется параметрами £ = 0,59 и со„ = 2,26. Про-
цедура синтеза включает следующие этапы:

Построить корневой годограф нескорректированной системы.

Найти такое положение желаемых корней на корневом годографе нескорректированной систе-
мы. чтобы они находились в области, определяемой параметрами £ = 0,59 и о)я = 2,26.

Вычислить значение X, соответствующее желаемому положению корней, и определить коэф-
фициент ошибки по скорости нескорректированной системы KVii.

Вычислить а = KvJKvllt где = 10.

Зная а, определить требуемое положение полюса и нуля корректирующего устройства так,
чтобы корневой годограф скорректированной системы по-прежнему проходил через желае-
мые корни.

Путем моделирования проверить результат синтеза и, если необходимо, выполнить повторно
какой-либо из этапов.

Методику синтеза иллюстрируют рис. 10.34-10.36. С помощью функции rlocfind мы можем
вычислить коэффициент К. соответствующий выбранному положению корней на корневом
годографе нескорректированной системы. После этого мы можем вычислить параметр а, что-
бы убедиться в том, что коэффициент Kv принял желаемое значение. Полюс и нуль корректи-
рующего устройства необходимо разместить так, чтобы они не оказывали существенного вли-
яния на корневой годограф нескорректированной системы. На рис. 10.35 показано, что полюс
и нуль корректирующего устройства располагаются очень близко к началу координат, z ~ -0,1
и р = -0,01.

В результате синтеза требования к времени установления и перерегулированию практически
удовлетворены, и Kv = 10, как и было задано. Можно было бы продолжать процесс синтеза и
далее, чтобы еще более улучшить качество системы, но проделанных операций вполне доста-
точно, чтобы сделать вывод о роли корректирующих устройств с опережением и с отставани-
ем по фазе. По итогам синтеза мы получили корректирующее устройство с отставанием по
фазе, передаточная функция которого равна

_ ( ч 100(5+0,1)
Рис. 10.34

Регулятор
с отставанием
по фазе:

(а)	корневой годограф
нескорректированной
системы,

(б)	скрипт MATLAB

Действительная ось

numg=[1]; deng=[1 15 50 0];

sysg=tf(numg,deng);

elf; rlocus(sysg); hold on
%

zeta=0.5912; wn=2.2555;

%

x=[-10:0.1:-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zetaA2)/zeta)*x;

xc=[-10:0.1 :-zeta*wn]; c=sqrt(wnA2-xc.A2);

%

plot(x,y/:’,x,-y/:’1xc,c/:\xc,-c/:1)

axis([-15,1,-10,10]);

Построение области
желаемого качества

Рис. 10.35

Регулятор
с отставанием
по фазе:

(а)	корневой годограф
скорректированной
системы,

(б)	скрипт MATLAB

Действительная ось

numg=[1]; deng=[1 15 50 O];sysg=tf(numg,deng);

numgc=[1 0.1]; dengc=[1 0.01];

sysgc=tf(numgc,dengc);

sys=series(sysgc,sysg);

elf; rlocus(sys); hold on

%

zeta=0.5912; wn=2.2555;

x=[-10:0.1:-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zetaA2)/zeta)*x;

xc=[-10:0.1 :-zeta*wn]; c= sq rt(wnA2-xc. A2);

plot(x,y,';’,x,-y,‘:’,xc,c(,:’,xc,-c(,;’)
axis([-15,1,-10,10]);
I

шая ось

Рис. 10.36
Регулятор
с отставанием
по фазе:
(а) переходная
характеристика,
(б) скрипт MATLAB

строение области
юемого качества

№

*

eetaA2)/zeta)‘x;

|*2-хс.Л2);

К=100;

%

numg=[1];deng=[1 15 50 O];sysg=tf(numg,deng);

numgc=K*[1 0.1];dengc=[1 0.01];

sysgc=tf(numgc,dengc);

syso=series(sysgc,sysg);

sys=feed ba ck (sy so, [ 1 ]);

step(sys);

Основные результаты синтеза приведены в табл. 10.5.

Таблица 10.5. Результаты синтеза корректирующего устройства
с помощью MATLAB

пая ось

Регулятор

Перерегулирование при ступеичатом
входном сигнале

Время установления, с

Установившаяся ошибка при линей-
ном входном сигнале
_________________________________

Коэ

С отставанием
азе

С опережением

Т Т “ ”	’ " ’ “ “ *	по фазе	по ф
70%	8%	13%
8	1	4
10%	20%	10%
10	5	10

10.15. Пример синтеза с продолжением:

система чтения информации с

иска

Bg=tf(numg,deng);

□ В этой главе мы синтезируем ПД-регулятор, удовлетворяющий заданным требовани-
ям к переходной характеристике системы. Эти требования приведены в табл. 10.6.

Таблица 10.6. Заданные и действительные показатели качества
системы чтения информации с диска

-zetaA2)/zeta)*x;
пА2-хс.л2);

Показатель качества

Относительное перерегулирование
Время установления

Максимальное значение реакции
иа единичное возмущение

Заданное значение Действительное значение

Менее 5 %

Менее 150 мс

Менее 5 * 10 3

0,1 %

40 мс

6,9 • 10 5
ад

ф)

Рис. 10.37. Система управления дисководом с ПД-регулятором
(модель второго порядка)

Структурная схема системы управления изображена на рис. 10.37. Предшествующий
фильтр необходим для исключения нежелательного влияния члена (s + z) в числителе пе-
редаточной функции замкнутой системы. Мы зададимся целью получить систему с апе-
риодической реакцией (см. раздел 10.11), которая в замкнутом состоянии имеет переда-
точную функцию вида



______

CDnS+ СО"

Для системы второго порядка, изображенной на рис. 10.37, необходимо иметь а = 1,82 (см.
табл. 10.2). В этом случае нормированное время установления солТу = 4,82. Поскольку
время установления должно быть менее 50 мс, выберем значение сол = 120. Тогда можно
ожидать, что мы получим Ts = 40 мс. Знаменатель в выражении (10.99) принимает вид

? + 218,4* + 14400.	(10.100)

Замкнутая система (рис. 10.37) имеет характеристическое уравнение
?+(20+5X3)s+5X1 =0.

(10.101)

Сравнивая (10.100) и (10.101), имеем:

218,4 = 20 + 5К3 и 14400 = 5ХР
Следовательно, К{ = 2880 и = 39,68. Тогда

Gc(s) = 39,68(5+ 72,58),

и предшествующий фильтр должен иметь передаточную функцию

В данном примере мы пренебрегли инерционностью двигателя. Тем не менее, результаты
синтеза, отраженные в табл. 10.6, говорят о том, что все требования к качеству системы
удовлетворены.

10.16. Резюме

В этой главе мы рассмотрели несколько альтернативных методов синтеза систем управле-
ния. В первых двух разделах мы обсудили подходы к синтезу систем и выявили причины,
вызывающие необходимость коррекции их характеристик. Затем мы исследовали возмож-
ность введения последовательных корректирующих устройств в контур системы с обрат-
ной связью. С помощью таких устройств можно изменить форму корневого годографа или
вид частотных характеристик системы. В качестве претендентов на роль корректирующих
устройств были рассмотрены схемы с опережением и с отставанием по фазе. Далее деталь-


вегулятором

10.37. Предшествующий
ЧЬ’ -г z) в числителе пе-
волучить систему с апе-
остоянии имеет переда-

(10.99)

иимо иметь а = 1,82 (см.

~ 4,82. Поскольку
' <□- = 120. Тогда можно
0.99) принимает вид

(10.100)

но была изложена методика синтеза корректирующих устройств с опережением по фазе с
помощью как диаграммы Боде, так и корневого годографа. Было отмечено, что такие
устройства увеличивают запас по фазе и, следовательно, повышают устойчивость систе-
мы. Если предъявляются требования к коэффициенту ошибки, то синтез предпочтительнее
производить с помощью диаграммы Боде. Если же коэффициент ошибки не задан, а предъ-
являются определенные требования к перерегулированию и времени установления пере-
ходной характеристики, то синтез корректирующего устройства с опережением по фазе
проще выполнить с помощью корневого годографа. Если требуется иметь большие значе-
ния коэффициентов ошибки, то для коррекции систем обычно применяются устройства
интегрирующего типа, обладающие отставанием по фазе. Мы отметили также, что коррек-
ция с опережением по фазе приводит к увеличению полосы пропускания замкнутой систе-
мы, а коррекция с отставанием по фазе — наоборот, к ее уменьшению. Полоса пропускания
может быть очень важным фактором, если система подвержена влиянию внешних шумов
или если шум возникает внутри самой системы. Мы обратили внимание на то, что синтез
успешно выполняется только в том случае, если амплитудная характеристика скорректи-
рованной системы на диаграмме Боде пересекает уровень 0 дБ с наклоном -20дБ/дек.
Основные данные корректирующих устройств с опережением и с отставанием по фазе сум-
мированы в табл. 10.7. В табл. 10.8 приведены схемы на операционных усилителях, реали-
зующие различные типы регуляторов и корректирующих устройств. Применение таких ре-
гуляторов многократно было проиллюстрировано в этой и предыдущих главах.

Таблица 10.7. Основные данные корректирующих устройств

ше

Корректирующее устройство

(10.101)

И не менее, результаты
ия к качеству системы

штеза систем управле-
И и выявили причины,
I исследовали возмож-
нтур системы с обрат-
вневого годографа или
эоль корректирующих
по фазе. Далее деталь-

Назначение

Результаты

Преимущества

Недостатки

Применяется

Не
применяется

С опережением по фазе

С отставанием по фазе

Создание дополнительного положительно-
го фазового сдвига вблизи частоты, при
которой амплитудная характеристика на
диаграмме Боде пересекает уровень 0 дБ.
Обеспечение желаемого положения доми-
нирующих корней на 5-плоскости
1. Увеличивает полосу пропускания
2. Увеличивает усиление на высоких час-
тотах

1.	Обеспечивает желаемый вид характери-
стик системы

2.	Улучшает динамику системы

1.	Требует введения дополнительного
усилителя

2.	Повышает чувствительность к шумам
за счет увеличения полосы пропускания
3. Реализация может потребовать боль-
ших номиналов элементов АС-схемы
1. Когда необходимо-увеличить быстро-
действие системы

1. Когда фазовая характеристика резко па-
дает в окрестности частоты, при которой
амплитудная характеристика пересекает
уровень 0 дБ

Увеличение коэффициентов
ошибки при сохранении желае-
мого положения доминирующих
корней на s-плоскости или запаса
по фазе на диаграмме Боде

1. Уменьшает полосу пропуска-
ния

1.	Подавляет высокочастотный
шум

2.	Уменьшает установившуюся
ошибку

1.	Замедляет протекание переход-
ного процесса

2.	Реализация может потребовать
больших номиналов элементов
АС-схемы

1. Когда заданы требования к ко-
эффициентам ошибки

1. Когда не существует такой об-
ласти низких частот, в которой
обеспечивался бы заданный запас
по фазе
Таблица 10.8. Схемы на операционных усилителях, применяемые
в качестве регуляторов

Тип регулятора

ПД

ПИ

С опережением или
отставанием
по фазе
Опережение.

если А} С] > R2C2
Отставание,
если Л[С] < R2C2

G = Я4Я2(^+1)
с R^Rfi^s +1)

Упражнения

У-10.1. Система с отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную
функцию

G(s) =

Для обеспечения нулевой установившейся ошибки при ступенчатом входном сигнале выбран
регулятор с передаточной функцией

Gc(s)

s+ а

Выберите значения а и К так, чтобы переходная характеристика имела перерегулирование
около 5%, а время установления (по критерию 2%) равнялось приблизительно 1 с.

Ответ: К — 5, а= 6,4.

У-10.2. Система с единичной отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет пере-
даточную функцию

G(s) =

400

5(5 + 40)
к, применяемые

и в ней использован ПИ-регулятор

2

Заметим, что установившаяся ошибка этой системы при линейном входном сигнале равна
нулю, (а) Примите К2 ~ 1 и определите значение Ki9 при котором переходная характеристика
будет иметь перерегулирование, приблизительно равное 20%. (б) Чему равно ожидаемое вре-
мя установления (по критерию 2%) скорректированной системы?

Ответ: — 0,5.

У-10.3. Объект управления в системе с единичной отрицательной обратной связью имеет переда-
точную функцию

6(5) =

5+ 1

В системе предлагается использовать ПИ-регулятор с передаточной функцией

ОДЛ = к

чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулирование было равно 5%. Покажите, что
это возможно при К — 0,5 и т = 1.

У-10.4. Система с отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную
функцию

Gbj =------—------,

5(5 + 2)(5 + 3)

где выбрано значение К ~ 20, чтобы получить заданный коэффициент ошибки по скорости
Kv = 3,33. В системе использовано корректирующее устройство с опережением и отставанием
по фазе,

(5+ 0,15)(5+ 0,7)

с *	(5+0,015)(5+7)

Покажите, что в скорректированной системе запас по модулю равен 24 дБ, а запас по фазе со-
ставляет 75°.

У-10.5. Рассмотрите систему с единичной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии име-
ет передаточную функцию

G(s) = —--------- •

стоянии имеет передаточную

гом входном сигнале выбран

Q имела перерегулирование
риблизительно I с.

иутом состоянии имеет пере-

Желательно, чтобы доминирующим корням соответствовали параметры оуп - 3 и £ = 0,5. Кро-
ме того, необходимо иметь Kv= 2,7. Покажите, что для этого необходим регулятор с переда-
точной функцией

Gc(5) =

7,53(5 + 2,2)

5 + 16,4

Какое значение К должно быть выбрано?

Ответ: К = 22.

У-10.6. Рассмотрите систему управления из задачи 7.31. Определите Д5) при К = 326 и оцените
ожидаемую величину перерегулирования и время установления (по критерию 2%). Сравните
данные вами оценки с действительными значениями 60% и 4 с соответственно. Объясните, в
чем причина расхождений.

У-10.7. На рис. 10.7(У), (а) показано, как астронавты снимают с орбиты спутник н помещают его в
грузовой отсек космического челнока. Модель системы управления рукой робота изображена
на рис. 10.7(У), (б). Если Т = 0,5 с, определите значение К, при котором запас по фазе будет ра-
вен 50°.

Ответ: К - 11,7.
Рис. 10.7 (У)

Снятие спутника
с орбиты

Визуальная обратная связь



У-10.8. Объект управления в системе с единичной отрицательной обратной связью имеет переда-
точную функцию

6(5) =

2257

5(Т5 + 1)

где т = 2,8 мс. Выберите регулятор 6С(5) ~ Х1 + K2/s таким образом, чтобы доминирующим
корням характеристического уравнения соответствовал параметр 1/42. Получите график

реакции системы на ступенчатый входной сигнал.

У-10.9. Рассмотрите систему управления,
изображенную на рис. 10.9(У). Вы-
берите и К2 так, чтобы при сту-
пенчатом входном сигнале перере-
гулирование составляло 5%, а коэф-
фициент ошибки по скорости Kv
был равен 5. Проверьте результат
синтеза.

У-10.10. Рассмотрите систему управле-
ния, изображенную на рис.
10.10(У). Задано значение К2 = 4.
Определите коэффициент X,, при
котором запас по фазе будет равен
60°. Определите время максимума

Рис. 10.9 (У). К синтезу регулятора

ад

Рис. 10.10 (У). К синтезу ПИ-регулятора

переходной характеристики и величину перерегулирования.

У-10.11. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную ф> н-

кцию



6(5) =

1350

5(5+ 2)(5+ 30)

В системе используется корректирующее устройство с опережением по фазе.

1+0,255

1+ 0,0255
Определите максимальное значение амплитудной характеристики и полосу пропускания зам-
кнутой системы с помощью (а) диаграммы Никольса и (б) диаграммы Боде.

Ответ: М„ = 2,3 дБ, = 22.
гы	и

У-10.12. Управление зажиганием в двигателе автомобиля осуществляется с помощью системы с
единичной отрицательной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии имеет переда-
точную функцию 6С(5)6(5), где

G(s) = —-— hGc(j)=K. + —.

s(s+10) С 1	5

Проектировщик выбрал К2/К{ - 0,5 и просит вас определить КК{ так. чтобы доминирующим
корням соответствовал коэффициент затухания = \l419 а время установления (по критерию
2%) было менее 2 с.

У-10.13. В примере 10.3 было синтезировано корректирующее устройство с опережением по фазе.
Цель коррекции состояла в том, чтобы обеспечить желаемое положение корней характеристи-
ческого уравнения замкнутой системы со структурой, приведенной на рис. 10.1(а). Тот же ре-
зультат мы получили бы, если захотели включить корректирующее устройство в цепь обрат-
ной связи, как показано на рис. 10.1(5). Определите передаточную функцию замкнутой систе-
мы Т(5)=У(5)/А(5) для каждой из этих двух структурных схем и убедитесь, что результаты раз-
личны. Поясните, чем будут отличаться реакции двух систем на ступенчатый входной сигнал.

У-10.14. НАСА предполагает создать робот, который будет заниматься строительством постоянно
действующей лунной станции. Система управления положением захватывающего устройства
робота имеет структуру, изображенную на рис. 10.1(a), где H(s)= 1 и

3

s(s + l)(0,5jf + 1)

Синтезируйте корректирующее устройство с отставанием по фазе, которое будет обеспечи-

вать запас по фазе 45°.

Ответ: Gc(s) =

1+205

1+ 1065

У-10.15. Объект управления в системе с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

G(s) =

40

5(5 + 2)

Требуется, чтобы при линейном входном сигнале r(t) = At установившаяся ошибка была менее
0.05Л, а запас по фазе должен быть равен 30°. Кроме того, необходимо, чтобы частота со6„ при
которой амплитудная характеристика скорректированной системы пересекала бы уровень
0 дБ, равнялась 10 рад/с. Используя методы, описанные в разделе 10.9, определите, какое для
этого необходимо корректирующее устройство — с опережением или с отставанием по фазе.

У-10.16. Выполните упражнение 10.15, если частота сос = 2 рад/с.

У-10.17. Рассмотрите систему из упражнения 10.9. Выберите и К2 так. чтобы система обладала
апериодической реакцией на ступенчатый входной сигнал и время установления (по критерию
2%) было менее 2 с.

Задачи

3-10.1. На рис. 10.1(3) приведена структурная схема системы управления положением лунного ис-
следовательского аппарата. Затухание в динамике аппарата является пренебрежимо малым, а
управление положением осуществляется с помощью реактивных двигателей. Создаваемый
ими момент в первом приближении можно считать пропорциональным сигналу К(5), так что
7(s) == К2^О). Коэффициент усиления в контуре проектировщик может выбрать так, чтобы
обеспечить необходимое затухание. Требуется, чтобы коэффициент затухания £ был равен 0,6.
Рис. 10.1 (3)
Система
управления
положением
лунного модуля

а время установления (по критерию 2%) не превышало 2,5 с. Подберите передаточную функ-
цию Gc(s) корректирующего устройства с опережением по фазе, пользуясь (а) частотными ха-
рактеристиками и (б) методом корневого годографа. Для расчетов примите J= 90.

3-10.2. Система управления лентопротяжным механизмом накопителя в современных компьютерах
должна обладать высокой точностью и быстродействием. К такой системе могут быть, напри-
мер, предъявлены следующие требования: (1) время запуска ленты до полной скорости и
время ее остановки — 10 мс и (2) система должна обеспечивать считывание 45000 символов в
секунду. Эта система рассматривалась ранее в задаче 7.11. Требуется при J~ 510-3 выбрать
исходя из максимально допустимой ошибки по скорости ленты. В данном случае необхо-
димо поддерживать скорость с установившейся ошибкой менее 5%. Мы будем использовать в
системе тахогенератор и зададим значения Ка = 50000 и К2 ~ 1. Для обеспечения требуемого
качества в систему непосредственно после фотопреобразователя вводится корректирующее
устройство Gc(s). Выберите Gc(s) так, чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулиро-
вание не превышало 25 %. Будем предполагать, что т j =	= 0.

3-10.3. На рис. 10.3(3) изображена упрощенная модель системы управления скоростью самолета
типа F-94 или Х-15. При скорости полета, в 4 раза превышающей скорость звука, на высоте
10000 м передаточная функция самолета имеет следующие параметры: 1/\, - 1.0, К| = 1.0.

= 1,0, (ог/ = 4. Синтезируйте корректирующее устройство (7С(^) так, чтобы реакция системы
на ступенчатый входной сигнал имела перерегулирование менее 5% и время установления (по
критерию 2%) менее 5 с.

Рис. 10.3 (3)
Система
управления
положением
самолета

di

3-10.4. Электромагнитные муфты сцепления широко используются в качестве исполнительных
устройств благодаря тому, что они могут развивать на выходе высокую механическую мощ-
ность (до 200 Вт). Они обладают высоким отношением развиваемого момента к моменту инер-
ции и малой постоянной времени. На рис. 10.4(3) изображена система управления положением
стержня ядерного реактора, в которой используется такая муфта. Двигатель вращает в проти-
воположных направлениях две части сцепления, которые через параллельные редукторные пе-

ж -»<>-►

стержня

Рис. 10.4 (3). Система управления положением стержня ядерного реактора
редачи связаны с выходным валом. Направление вращения выходного вала зависит от того, ка-
кая муфта в данный момент активизирована. Постоянная времени 200-ваттной муфты равна
1/40 с. Остальные параметры таковы, что K^nU- 1. Требуется, чтобы при ступенчатом вход-
ном сигнале максимальное перерегулирование находилось в пределах от 10% до 20%. а время
установления (по критерию 2%) не превышало 2 с. Синтезируйте корректирующее устройст-
во, удовлетворяющее этим требованиям.



Рис. 10.5 (3). Система управления скоростью стола

3-10.5. В системе стабилизации скорости стола обрабатывающего станка используются прецизион-
ный тахогенератор и двигатель постоянного тока прямого действия, как показано на рис.
10.5(3). При управлении скоростью желательно поддерживать высокую точность в установив-
шемся режиме. Для получения нулевой установившейся ошибки при ступенчатом входном
сигнале выберите ПИ-регулятор согласно методике, описанной в разделе 10.6. Определите
надлежащие значения параметров, про которых система будет иметь перерегулирование око-
ло 10 % и время установления (по критерию 2%) от 0,4 до 0,6 с.

3-10.6. Повторите задачу 10.5, используя корректирующее устройство с опережением по фазе, и
сравните результаты.

3-10.7. Система регулирования температуры в первом контуре ядерного реактора содержит транс-
портное запаздывание, обусловленное движением теплоносителя из активной зоны до точки, в
которой измеряется температура [см. рис. 10.7(3)]. Регулятор имеет передаточную функцию

Gc(s) = K, + ^.

5

Передаточная функция реактора с учетом запаздывания равна

С(5) =

TS+ 1

где Т~ 0,4 с и т = 0,2 с. Используя частотные характеристики, определите параметры регуля-
тора, при которых величина перерегулирования будет менее 10 %. Оцените время установле-

Рис. 10.7 (3)
Система управления
ядерным реактором:
1 — парогенератор,
2 — активная зона
реактора, 3 —- регули-
рующие стержни,
4 — исполнительные
механизмы, 5 — изме-
ренная температура,
6 — заданная
температура
Рис. 10.8 (3)

Система
управления
химическим
реактором

ад

ния (по критерию 2%) синтезированной системы. Определите действительные значения пере-
регулирования и времени установления.

3-10.8. Производительность химического реактора непосредственно зависит от добавления катали-
затора, как показано на структурной схеме рис. 10.8(3). Время запаздывания Т- 50 с, а посто-
янная времени т » 40 с. Коэффициент усиления объекта К = 1. Требуется, чтобы при ступенча-
том входном сигнале, R(s) = Ais, установившаяся ошибка была меньше, чем 0,1А. С помошью
диаграммы Боде синтезируйте корректирующее устройство, обеспечивающее приемлемый
вид реакции системы. Для скорректированной системы оцените время установления.

Подвижная
часть станка

Рис. 10.9 (3). Система управления положением револьверной головки станка

3-10.9. Весьма актуальной задачей является достижение высокой точности позиционирования го-
ловки револьверного станка с числовым программным управлением. На рис. 10.9(3) изображе-
на структурная схема системы управления таким станком. Коэффициент передачи редуктора
п- 0,1, J- 10-3 и b- 10-2. Требуемая точность позиционирования составляет 12,5-Ю-4 см, и.
следовательно, при линейном входном сигнале установившаяся ошибка должна составлять
2,5% от скорости этого сигнала. Синтезируйте корректирующее устройство с отставанием по
фазе, предшествующее блоку тиристоров, исходя из того, что при ступенчатом входном сигна-
ле перерегулирование не должно превышать 5%. Коэффициент затухания скорректированной
системы должен быть равен 0,7. Блок тиристоров имеет коэффициент усиления KR - 5. Синтез
проведите двумя методами: (а) с помощью диаграммы Боде и (б) с помощью корневого годог-
рафа.

3-10.10. На рис. 10.10(3), (я), изображен паром «Авемар» водоизмещением 670 т, построенный для
обслуживания средиземноморских линий. Он способен развивать скорость в 45 узлов (при-
мерно 84,5 км/ч). Появление таких судов с подобными качествами стало возможным благода-
ря созданию обтекаемого корпуса, который ведет себя в воде подобно гоночному автомоби-
лю-болиду в обычных условиях. Помимо обычного корпуса паром имеет третий, скрытый кор-
пус, который обеспечивает дополнительную стабилизацию в условиях волнения на море. Пе-
ревозимый таким паромом груз, включая 900 пассажиров, экипаж, автомобили, грузовики и
автобусы, может быть равен его собственному весу. Паром «Авемар» может курсировать при
высоте волн до 2,5 м при скорости 40 узлов благодаря системе автоматической стабилизации.
Стабилизация осуществляется посредством крыльев, установленных на днище парома, глав-
ным образом с помошью кормовых крыльев. Система автоматической стабилизации обеспе-
чивает постоянный уровень парома над поверхностью моря в условиях волнения. С этой це-
лью была спроектирована система, минимизирующая отклонения от заданной подъемной
силы, или, что то же самое, угол килевой качки. Структурная схема системы управления гори-
зонтальным положением парома изображена на рис. 10.10(3), (б). В условиях волнения требу-
ется, чтобы паром сохранял при движении строго горизонтальное положение. Задайте необхо-
димые требования к качеству системы и синтезируйте регулятор Gc(j), который удовлетворял
«)

Л(®)

Рис. 1O.1O (3). (а) Паром «Авемар», построенный для обслуживания линии между
Барселоной и Балеарскими островами, (б) Система управления подъемной силой

бы этим требованиям, Считайте, что возмущающее воздействие, обусловленное волнением
моря, имеет частоту со = 6 рад/с.

3-ЮЛ 1.Объект управления в системе с единичной обратной связью, структура которой представле-
на на рис. 10.1(a), имеет передаточную функцию

4 19

(а) При Gc(s) = 1 получите переходную характеристику системы и определите время установ-
ления; найдите также установившуюся ошибку при линейном входном сигнале r(t) = /. t > 0.
(б) С помощью корневого годографа синтезируйте корректирующее устройство с отставанием
по фазе, позволяющее увеличить коэффициент ошибки по скорости до 8,4. Определите время
установления (по критерию 2%) скорректированной системы.

3-10.12. В системе с единичной обратной связью, изображенной на рис. 10.1(a), объект управления
представлен передаточной функцией

х I60
О(5) = —.

S

Подберите корректирующее устройство с опережением и отставанием по фазе так, чтобы при
ступенчатом входном сигнале перерегулирование было не более 5%, а время установления (по
критерию 2%) — не более 1 с. Также требуется, чтобы коэффициент ошибки по ускорению Ка
был более 7500 (см. табл. 5.5).

3-10.13. Объект управления в системе с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

20

5(1+ 0,Ь)(1+ 0.055)

Синтезируйте корректирующее устройство так, чтобы запас по фазе составлял по крайней
мере 75°. Для решения задачи воспользуйтесь двухзвенным устройством с опережением по
фазе,

Кроме того, требуется, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка состав-
ляла 0,5% от скорости этого сигнала (Xv = 200).
Рис. 10.14 (3)

3-10.14. Проблема испытания различных материалов требует создания систем управления, которые
правильно воспроизводили бы условия, в которых будут работать изделия из этих материалов.
Такую систему управления можно рассматривать как сервомеханизм, обеспечивающий закон
изменения нагрузки в соответствии с входным сигналом произвольной формы. Структурная
схема системы управления приведена на рис. 10.14(3).

(а) Считая Сс(5) = К, выберите такое значение К, при котором запас по фазе будет равен 50°
Определите, чему в этом случае равна полоса пропускания замкнутой системы, (б) Предъявля-
ется дополнительное требование, чтобы коэффициент ошибки по скорости Kv был равен 2.
Синтезируйте корректирующее устройство с отставанием по фазе так. чтобы запас по фазе
оставался равен 50°, но при этом обеспечивалось бы Kv = 2.

3-10.15. К системе из задачи 10.14 предъявляется дополнительное требование: кроме запаса по
фазе, равного 50°, необходимо, чтобы время установления (по критерию 2%) было менее 4 с
Синтезируйте корректирующее устройство с опережением по фазе, удовлетворяющее этим
требованиям. Коэффициент Kv. как и прежде, должен быть равен 2.

3-10.16. Нагрузку на руку робота можно рассматривать в качестве возмущения, как показано на рис.
10.16(3). Считая /?($) = 0, определите Gc(s) так, чтобы в замкнутой системе влияние возмуще-
ния было менее 10% от того эффекта, который оно оказывает при отсутствии обратной связи.

Рис. 10.16 (3)

Система управления
роботом

Рис. 10-17 (3)

Система управления
скоростью автомобиля

3-10.17. Систему водитель-автомобиль можно представить в виде упрощенной модели, изображен-
ной на рис. 10.17(3). Задача системы сводится к тому, чтобы при ступенчатом входном сигна-
ле. соответствующем заданной скорости, она устанавливалась (по критерию 2%) за 1 с с пере-
регулированием не более 10%. Выберите ПИ-регулятор, обеспечивающий выполнение этих
требований. Определите действительную реакцию системы (а) при Gp(s) = 1 и (б) при исполь-
зовании предшествующего фильтра Gp(s), устраняющего нуль из передаточной функции зам-
кнутой системы T(s).

3-10.18. Система управления подводным роботом имеет единичную обратную связь, а объект в ней
представлен передаточной функцией

s(s+ 10)(s+ 50)

Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулирование составляло примерно
7,5 %, а время установления (по критерию 2 %) было равно 400 мс. С помощью корневого го-
дографа синтезируйте корректирующее устройство с опережением по фазе. Считая, что нуль
корректирующего устройства находится в точке 5 =-15, определите положение полюса. Вы-
числите, чему в этом случае равен коэффициент Kv.
-* ад

Изменение
нагрузки

систем управления, которые

делия из этих

материалов.

вм, обеспечивающий закон

явной формы. Структурная

с по фазе будет равен 50°.
гой системы, (б) Предъявля-
№ скорости Kv был равен 2.
е так. чтобы запас по фазе

сбование: кроме запаса по
кгерию 2%) было менее 4 с.
ве. удовлетворяющее этим
(2.

иения, как показано на рис.
системе влияние возмуще-
гсутствии обратной связи.

Положение



-у Ф)

Скорость

киной модели, изображен-
упенчатом входном сигна-
ритерию 2%) за 1 с с пере-
дающий выполнение этих
6^(5) = 1 и (б) при ИСПОЛЬ-
средаточной функции зам-

ену ю связь, а объект в ней

вине составляло примерно
С помощью корневого го-
ло фазе. Считая, что нуль
е положение полюса. Вы-

а)

Рис. 10.19 (3). (а) Дистанционный манипулятор на поверхности Луны, управляемый
с Земли, (б) Структурная схема системы управления манипулятором

( Т - время запаздывания видеосигнала)

3-10.19. НАСА разрабатывает дистанционные манипуляторы для исследования Луны, которые
управляются человеком по радиоканалу, как показано на рис. 10.10(3). (а). Структурная схема
системы управления манипулятором изображена на рис. 10.19(3), (б). Поскольку среднее рас-
стояние от Земли до Луны составляет 384318 км, то время запаздывания Т. связанное с про-
хождением сигнала, равно 1,28 с. Управление манипулятором, находящимся на поверхности
Луны, оператор осуществляет с помощью рукоятки, а результат выполняемых действий на-
блюдает на экране монитора. Постоянная времени манипулятора равна 0,25 с. (а) Выберите ко-
эффициент так, чтобы система имела запас по фазе, приблизительно равный 30°. Вычисли-
те установившуюся ошибку (в процентах от амплитуды ступенчатого входного сигнала), (б)
Чтобы уменьшить установившуюся ошибку до 5 %, введите последовательно с корректиру-
ющее устройство с отставанием по фазе. Получите график переходной характеристики.

3-10.20. В последнее время достигнуты большие успехи в разработке роботов для обслуживания
ядерных энергетических установок. В первую очередь такие роботы используются при перера-
ботке выгруженного ядерного топлива и при работе с отходами производства. Сейчас они на-
чинают также применяться для контроля начальной загрузки, ремонтных работ на реакторной
установке, дезактивации оборудования и ликвидации последствий аварий. Применение таких
дистанционно управляемых роботов позволяет существенно снизить радиационное облучение
персонала и повысить качество регламентных работ на реакторе.

Сейчас разрабатываются специализированные робототехнические системы для выполнения
ответственных работ в реакторном помещении. Одна из таких систем, IRIS (Industrial Remote
Inspection System), предназначена для обследования ядерного реактора и выполнения на нем
различных работ, не подвергая персонал высоким дозам облучения. Эта система изображена
на рис. 10.20(3). Разомкнутая система имеет передаточную функцию

г. , ,	Ке''

G(s) = ----	•
Рис. 10.20 (3)
Дистанционно
управляемый робот
для обслуживания
ядерно-опасных
объектов

(а) Считая, что Т = 0,5 с, определите значение К, при котором перерегулирование, вызванное
ступенчатым входным воздействием, не будет превышать 30%. Определите также установив-
шуюся ошибку, (б) Синтезируйте регулятор с передаточной функцией

с помощью которого можно улучшить вид переходной характеристики системы из п. (а) и по-
лучить установившуюся ошибку менее 12%. Считайте, что структура замкнутой системы име-
ет вид рис. 10.1(a).

3-10.21. Объект управления в системе с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

Требуется получить коэффициент ошибки по скорости Kv- 20. запас по фазе приблизительно
45° и полосу пропускания замкнутой системы больше, чем со = 4 рад/с. Для решения задачи ис-
пользуйте два одинаковых корректирующих устройства с опережением по фазе, соединенных

последовательно.

3-10.22. Для системы из задачи 10.21 подберите корректирующее устройство с отставанием по
фазе, удовлетворяющее тем же требованиям за исключением того, что полосу пропускания до-
пускается иметь больше или равной 2 рад/с.

3-10.23. Для системы из задачи 10.21 требуется получить те же самые значения запаса по фазе и ко-
эффициента Kv, но полоса пропускания должна находиться в интервале от 2 рад/с до 10 рад/с
Для решения задачи используйте корректирующее устройство с опережением и отставанием
по фазе, имеющее передаточную функцию.

(1+ s/10a)(l + s/b)
(1+ s/a)(l + s/106)

где подлежат выбору параметр а для части устройства, обладающей отставанием по фазе, и па-

раметр b для части, обладающей опережением по фазе. Параметр а для обеих частей корректи-
рующего устройства должен быть равен 10.

3-10.24. В системе с единичной обратной связью [рис. 10.1(a)]

Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка приблизительно
была равна 4%, а запас по фазе должен быть около 45°. Синтезируйте корректирующее
устройство с отставанием по фазе, удовлетворяющее этим требованиям.
передаточную функцию

солирование, вызванное
иелите также установив-

нибка приблизительно
йте корректирующее

ки системы из п. (а) и по-
Iзамкнутой системы име-

ения запаса по фазе и ко-
е от 2 рад/с до 10 рад/с,
Жжением и отставанием

йство с отставанием по
>полосу пропускания до-

- по фазе приблизительно
-Для решения задачи ис-
Ем по фазе, соединенных

сгаванием по фазе, и па-
| обеих частей корректи-

Рис, 10.25 (3). Система управления положением робота

3-10.25. Серьезная проблема возникает при обеспечении устойчивости и высокой точности систе-
мы управления поворотом руки робота. Такая система должна иметь большой коэффициент
усиления, чтобы обладать высоким разрешением по углу; в то же время не допускается боль-
шое перерегулирование. На рис. 10.25(3) изображена структурная схема электрогидравличе-
ской системы управления поворотом руки. Динамика объекта управления представлена пере-
даточной функцией

ч6400+ 50 +

Скорректированная система должна иметь Kv = 20. Синтезируйте регулятор, который обеспе-
чивал бы при ступенчатом входном сигнале перерегулирование не более 10%.

Рис. 10.26 (3). Система управления величиной воздушного зазора

3-10.26. Во всем мире исследуется возможность борьбы с трением, износом и вибрацией, сопровож-
дающими движение пассажирских транспортных средств. Один из проектов предполагает ис-
пользование магнитной подвески за счет создания отталкивающей силы между вагоном и на-
правляющим рельсом. При этом требуется точно поддерживать величину воздушного зазора.
На рис. 10.26(3) приведена структурная схема управления величиной воздушного зазора, в ко-
торой используется корректирующее устройство в цепи обратной связи. С помощью корнево-
го годографа определите значения и Ьч при которых доминирующим корням будет соответ-
ствовать коэффициент затухания £ = 0,50. Если потребуется, полюсом корректирующего
устройства 5 = -200 можно пренебречь.

3-10.27, При выводе информации из компьютера на принтер важно точно управлять положением
бумаги при ее протяжке. Передаточная функция двигателя вместе с усилителем, входящих в
состав системы с единичной обратной связью, имеет вид:

G(s) =

0,15

5(5+ l)(5s+ 1)

Синтезируйте корректирующее устройство с опережением по фазе так, чтобы замкнутая сис-
тема имела полосу пропускания 0,75 рад/с. а запас по фазе был равен 30°. В корректирующем
устройстве примите параметр а= 10.

3-10.28. Группа инженеров пытается решить задачу управления объектом, изображенным на рис.
10.28(3). Предлагаемая ими система содержит регулятор, но они не в состоянии определить
его передаточную функцию Gc(.y). Они согласны только с тем, что система должна обладать за-
пасом по фазе в 50°. Вас просят помочь определить Gc(s).
Рис. 10.28 (3)

К синтезу регулятора

/ад

Сначала примите Gc(5) = К и определите (а) значение К, при котором запас по фазе будет равен
50°. и переходную характеристику системы при этом коэффициенте усиления, (б) Определите
время установления, относительное перерегулирование и время максимума переходной харак-
теристики. (в) Получите частотные характеристики замкнутой системы и определите Мр и по-
лосу пропускания.

Группа инженеров решила использовать регулятор с передаточной функцией



£(5+ 12)
j+20

и проделать пп. (а), (б) и (в). Определите значение К, при котором запас по фазе будет равен
50°. после чего получите переходную характеристику и частотные характеристики замкнутой
системы. Подготовьте таблицу, в которую сведите для сравнения следующие показатели, по-
лученные при использовании двух разных регуляторов: время установления (по критерию
2%). относительное перерегулирование, время максимума переходной характеристики. М и
полоса пропускания.

3-10.29. В аппарате с адаптивной подвеской используется принцип шагающего движения. Система
управления ногой такого аппарата имеет единичную обратную связь, а ее передаточная функ-
ция в разомкнутом состоянии равна

G(j) =---------------

ф + 10)(5+ 14)

Требуется, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка была равна 10% от
скорости этого сигнала, а доминирующим корням должен соответствовать коэффициент зату-
хания Q = 0,707. Синтезируйте необходимое корректирующее устройство с отставанием но
фазе и определите действительные значения перерегулирования и времени установления (по
критерию 2%).

3-10.30. Передаточная функция разомкнутого контура системы управления уровнем жидкости (см.
рис. 9.32) равна Gc(s)G(s)H(s), где H(s) - 1, Gc.(s) — передаточная функция регулятора, а объ-
ект управления имеет передаточную функцию

G(y) =

10e~sT
s2(s + 10)

где Т =50 мс. Синтезируйте регулятор так, чтобы максимум амплитудной характеристики
замкнутой системы Мр не превышал 3,5 дБ, а ее резонансная частота приблизительно была
равна 1,4 рад/с. Считая, что на вход системы подан ступенчатый сигнал, предскажите величи-
ну перерегулирования и время установления (по критерию 2%). Постройте график действите-
льной реакции системы.

3-10.31. Перевозка материалов на промышленных предприятиях и в складских помещениях может
осуществляться с помощью автоматически управляемых электрокаров. Для большинства та-
ких электрокаров необходима специальная система, обеспечивающая движение по заданному
маршруту. Проблема устойчивости таких систем управления до сих пор еще полностью не ре-
шена. В общем случае допускается небольшое «рыскание» электрокара относительно задан-
ной траектории движения, хотя это может служить признаком неустойчивости системы.
Большинство автоматизированных электрокаров должны обладать максимальной скоростью
движения около 1 м/с. но на практике их скорость обычно в два раза меньше. На полностью ав-
томатизированном предприятии персонал должен быть сведен к минимуму, поэтому от элект-
Рис. 10.31 (3)

Система
управления
транспортным
средством

Ж

рокаров требуется, чтобы они могли двигаться с полной скоростью. Но с увеличением скоро-
сти труднее обеспечить устойчивость системы управления и плавность движения электрокара.
На рис. 10.31(3) изображена структурная схема системы управления курсом электрокара, где
т, = 40 мс и т2 = 1 мс. Коэффициент ошибки по скорости Kv должен быть равен 100, чтобы при
линейном входном сигнале установившаяся ошибка составляла 1% от скорости этого сигнала.
Пренебрегая постоянной времени т2, синтезируйте регулятор с опережением по фазе так. что-
бы запас по фазе в системе находился в пределах от 45° до 65°. Попытайтесь решить задачу
для двух крайних значений запаса по фазе и сравните результаты синтеза, определив действи-
тельные значения перерегулирования и времени установления реакции системы на ступенча-
тый входной сигнал.

3-10.32. В системе из задачи 10.31 используйте регулятор с отставанием по фазе и попытайтесь
обеспечить запас по фазе приблизительно 50°. Определите действительные значения перере-
гулирования и времени максимума переходной характеристики.

3-10.33. Когда электродвигатель управляет перемещением гибкой конструкции, то основной вклад
в ошибку результирующего движения обусловлен собственными частотами Этой конструк-
ции, если сравнивать их с полосой пропускания сервопривода. В современных промышленных
роботах приводы относительно медленные, а управляемые ими конструкции достаточно жест-
кие. поэтому перерегулирование и другие показатели качества определяются в основном сер-
воприводом. Однако в зависимости от требуемой точности изгиб перемещаемой конструкции
может начать оказывать существенное влияние на качество управления. Гибкость конструк-
ции можно считать основной причиной ошибок при управлении движением манипуляторов и
элементов космических станций. Из-за ограничений на массу космических конструкций эле-
менты типа рычага, имеющие большую длину, объективно становятся гибкими. Кроме того,
промышленные роботы будущих поколений должны работать е более легкими и более гибки-
ми манипуляторами.

Рис. 10.33 (3)

Система
управления гибкой
рукой
манипулятора

нагрузки

(5+500)

5(5+0.0325)(/+2.575+6667)

У(5)
Чтобы исследовать влияние гибкости конструкций и оценить, как различные по структуре сис-
темы управления могут уменьшить нежелательные колебания, была создана эксперименталь-
ная установка, состоящая из двигателя постоянного тока, вращающего тонкий алюминиевый
стержень. Цель эксперимента заключалась в том, чтобы установить простую и эффективную
стратегию управления гибкой конструкцией.

Экспериментальная установка изображена на рис. 10.33(3), (а), а соответствующая система
управления положением стержня с укрепленной на его конце нагрузкой — на рис. 10.33(3), (б).
Требуется, чтобы система имела коэффициент Kv ~ 100. (а) Считая Gc(s) - Л', определите необ-
ходимое значение К и постройте диаграмму Боде. Найдите запасы устойчивости по фазе и по
модулю, (б) С помощью диаграммы Никольса определите со,.. Мр и сой. (в) Синтезируйте кор-
ректирующее устройство так, чтобы запас по фазе был больше 35°, и определите а>г, Мр и о»,
для скорректированной системы.

3-10.34. Способность человека выполнять различные задачи, требующие применения механиче-
ских усилий, ограничена не столько его интеллектуальными, сколько физическими возможно-
стями. Если связать в единое целое руку человека, управляемую его мозговой деятельностью,
и механизм, способный развивать большие механические усилия, то получится полностью ав-
томатизированный робот.

Особый класс роботов-манипуляторов составляют так называемые экстендеры, которые уси-
ливают действия руки человека, сохраняя всю последовательность выполняемых ею опера-
ций. Отличительным свойством экстендера является двухсторонняя передача сигналов за счет
физического контакта между ним и человеком-оператором. Благодаря такому оригинальному
интерфейсу управление движением экстендера выполняется без применения джойстика, кла-
виатуры или других подобных устройств. Человек для экстендера является своеобразной сис-
темой управления, тогда как экстендер дает человеку почувствовать, какие усилия надо прило-
жить для выполнения задачи. Человек как бы становится частью экстендера и в известном про-
порциональном отношении начинает «чувствовать» величину нагрузки, с которой имеет дело
экстендер. В то же время экстендер имеет принципиальное отличие от системы «хозяин-раб»:
в данном случае человек-оператор, независимо от того, находится ли он далеко от манипуля-
тора или в непосредственной близости от него, не имеет с ним прямого физического контакта
в смысле передачи мощности. Пример экстендера приведен на рис. 10.34(3), (а). Структурная
схехма системы управления экстендером изображена на рис. 10.34(3), (б). Система должна

Рис. 10.34 (3)

Система
управления
экстендером

человека
633

хтичные по структуре си с -
В создана эксперимента.чь-
вето тонкий алюминиевый
1Ь простую и эффективную
соответствующая система
кой — нарис, 10.33(3). (б)
Jfjij > = Л. определите необ-
рстойчивости по фазе и по
•*£. IB) Синтезируйте кор-
 определите ы М и ы 
/'fl!	*'

Рис. 10.35 (3)

Система управления
поездом
на магнитной
подвеске

зазора

не применения механиче-
» физическими возможни-
 мозговой деятельностью,
»иол^ чится полностью ав-
*

Вкстендеры, которые уеи-
выполняемых ею опера-
передача сигналов за счет
м такому оригинальном)
вменения джойстика, кла-
дется своеобразной сис-
какие усилия надо прило-
ашера и в известном дро-
жи. с которой имеет дело
г системы «хозяин-раб»:
в он далеко от манипуля-
го физического контакта
Э34(3). (а). Структурная
3). <б). Система должна

иметь коэффициент ошибки по скорости Kv - 80. время установления (по критерию 2%) 1.6 с.
перерегулирование 16% и коэффициент затухания, соответствующий доминирующим корням.
£ = 0,5. Синтезируйте с помощью корневого годографа корректирующее устройство, удовлет-
воряющее этим требованиям,

3-10.35. В Берлине действует линия, по которой поезда движутся с помощью магнитной подвески.
Эта линия имеет протяженность 1600 м и отражает текущее состояние данного направления
развития железнодорожного транспорта. Полностью автоматизированные поезда могут следо-
вать друг за другом с малыми интервалами и с высокой эффективностью использования элект-
роэнергии. На рис. 10.35(3) изображена структурная схема системы управления подвеской ва-
гона. Выберите регулятор так, чтобы запас по фазе в системе был в пределах от 45° до 55°.
Предскажите вид переходной характеристики и для сравнения получите действительную пе-
реходную характеристику.

3-10.36, Инженерная мысль работает над созданием новых датчиков для металлообрабатывающих
станков и других производственных процессов. Один из новых методов основан на получении
информации о процессе фрезерования с помощью акустических сигналов. Метод основан на
измерении слабых высокочастотных механических напряжений, возникающих при быстром
высвобождении энергии в однородной среде. Этот метод обладает чувствительностью к мате-
риалу, геометрии режущего инструмента, износу инструмента и параметрам процесса фрезе-
рования, таким как подача материала и скорость вращения фрезы. В качестве датчиков обычно
используются пьезоэлектрические кристаллы, чувствительные к частотам в диапазоне от
100 кГц до 1 МГц. Они обладают сравнительно низкой стоимостью и могут быть установлены
на большинстве фрезеровальных станков.

Последние исследования в данной области были связаны с извлечением из акустических сиг-
налов информации о глубине фрезерования. Была установлена связь между уровнем акустиче-

Рис. 10.36 (3)

Система
управления
фрезеровальным
станком

б)

а)



Акустический сигнал

Фреза

Пьезоакустический
датчик

Рабочий
стол станка

Обрабатываемая
деталь
ского сигнала и малыми изменениями глубины погружения в материал вращающейся алмаз-
ной фрезы. Фрезеровальный станок с использованием пьезоакустического датчика изображен
на рис. 10.36(3), (а). Система управления глубиной погружения фрезы приведена на рис.
10.36(3). (б). Синтезируйте регулятор так. чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегу-
лирование не превышало 20%. а коэффициент ошибки по скорости был не менее 8.

3-10.37. Разомкнутая система представлена звеном чистого запаздывания, где время запаздывания
Т = 0,5 с, так что G(s) = е”°,5л. Синтезируйте регулятор Gc(s)так. чтобы при ступенчатом вход-
ном сигнале установившаяся ошибка не превышала 2% от амплитуды этого сигнала, а запас по
фазе был больше 30°. Определите полосу пропускания скорректированной системы и получи-
те график ее переходной характеристики.

3-10.38. Система с единичной отрицательной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет пе-
редаточную функцию

G(s)-------------------

1у(у+ 10)(|У + 20)

Задача синтезом состоит в том. чтобы доминирующим корням соответствовал коэффициент
затухания £ = 0,707. а установившаяся ошибка при линейном входном сигнале равнялась бы
нулю. Выберите такой ПИ-регулятор, при котором удовлетворялись бы выдвинутые требова-
ния. Определите время максимума переходной характеристики скорректированной системы и
время ее установления (по критерию 2 %).

3-10.39. В системе с единичной обратной связью [ рис. 10.1(a)]



1

(*+ !)(*+ Ю)

Синтезируйте регулятор Gc(s) так, чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулирова-
ние было менее 10%, а установившаяся ошибка — менее 5% от амплитуды входного сигнала.
Определите полосу пропускания замкнутой системы.

3-10.40. Объект управления в системе с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

£(*) =

40

s(s + 2)

Требуется получить запас по фазе 30° и достаточно большую полосу пропускания. Выберите

частоту сос = 10 рад/с и синтезируйте корректирующее устройство с опережением по фазе ана-
литическим методом, рассмотренным в разделе 10.9. Проверьте результат синтеза, построив
диаграмму Боде для скорректированной системы.

3-10.41. Объект управления в системе с единичной обратной связью имеет передаточную функцию

G(j) =

40

у(у 4- 2)

Запас по фазе в системе должен быть равен 30°. Установившаяся ошибка при линейном вход-
ном сигнале, r(t) - /, должна быть равна 0,05. С помощью методики, рассмотренной в разделе
10.9. синтезируйте корректирующее устройство с отставанием по фазе, удовлетворяющее
этим требованиям. Проверьте результаты путем построения диаграммы Боде.

3-10.42. Для системы из задачи 10.41. сохранив те же требования, найдите корректирующее устрой-
ство, если необходимо, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка была
равна 0.02.

3-10.43. Проделайте пример 10.12, если требуется, чтобы время нарастания переходной характери-
стики до 100% от установившегося значения было равно 1 с.

3-10.44. Рассмотрите еще раз пример 10.4. Используя в системе, изображенной на рис. 10,22. регу-
лятор с передаточной функцией (10.46), найдите соответствующий предшествующий фильтр.
Сравните переходные характеристики системы при наличии и при отсутствии предшествую-
щего фильтра.
Задачи повышенной сложности

П-10.1. Задача, связанная с захватом и перемещением предметов, требует высокой точности движе-
ния руки робота в трех измерениях, как показано на рис. 10.1 (П). Рука должна совершать ли-
нейные перемещения так. чтобы избежать контакта с другими частями установки. При ступен-
чатом входном воздействии перерегулирование не должно превышать 13%.

(а) Полагая Gc(s) = К, определите значение К, удовлетворяющее выдвинутому требованию.
Определите, чему при этом будет равно время установления (по критерию 2%). (б) С помощью
корректирующего устройства с опережением по фазе добейтесь уменьшения времени установ-
ления до величины менее 3 с.

Рис. 10.1 (П)

Робот для захвата
и переноса
предметов

П-10.2. Система из предыдущей задачи по-прежнему должна иметь относительное перерегулирова-
ние менее 13%, но дополнительно требуется, чтобы при линейном воздействии, изменяющем-
ся с единичной скоростью, установившаяся ошибка была не более 0,125 (Kv = 8). Синтезируйте
корректирующее устройство с отставанием по фазе, удовлетворяющее этим требованиям.
Определите действительные значения перерегулирования и времени установления (по крите-
рию 2%) в скорректированной системе.

П-10.3. Сохраняя все требования к системе из задачи П-10.1 (т. е. перерегулирование меньше 13%и
коэффициент Kv — 8), синтезируйте ПИ-регулятор, удовлетворяющий этим требованиям.

П-10.4. На рис. 10.4(П) изображена структурная схема системы управления электродвигателем по-
стоянного тока. Выберите такие значения и К2, чтобы переходная характеристика системы
имела время установления (по критерию 2%) менее 0,6 с, а перерегулирование не более 5%.

П-10.5. На рис. 10.5(П) изображена система с единичной обратной связью. Требуется, чтобы пере-
ходная характеристика системы имела перерегулирование около 16% и время установления
(по критерию 2%) около 1,8 с. (а) Синтезируйте корректирующее устройство с опережением
по фазе, обеспечивающее желаемое расположение доминирующих корней, (б) При Gt,(s) = 1
определите переходную характеристику системы, (в) Выберите предшествующий фильтр и
получите соответствующую переходную характеристику.
Рис. 10.4 (П)
Система
управления
двигателем

/ад

Рис. 10.5 (П)

Система

с предшествующим
фильтром

П-10.6. Вернитесь к примеру 10.12 и решите его, если при условии К < 52 необходимо минимизиро-
вать время установления. Синтезируйте соответствующее корректирующее устройство. Полу-
чите график переходной характеристики системы.

П-10.7. В системе со структурой вида рис. 10.22. где

£(*) =

1

5(5 + 2)(s + 8)

используется корректирующее устройство с передаточной функцией

Gc(s) =

К(*+3)

s ч* 28

Определите значение К, при котором комплексным корням соответствует = 1 а/2. Предшест-
вующий фильтр имеет передаточную функцию

Р

GP СО =

(а) Определите перерегулирование и время нарастания в случаях, когда Gp(s) = 1 и р = 3. (б)
Выберите значение /л при котором перерегулирование будет равно 1%, и сравните это значе-
ние с полученным в результате построения действительной переходной характеристики.

П-10.8. Робот Manutec, изображенный на рис. 10.8(П), (а\ имеет длинную руку и большой момент
инерции, что создает определенные проблемы при управлении им. Структурная схема систе-
мы управления роботом приведена на рис. 10.8(П), (б). Динамика объекта управления пред-
ставлена передаточной функцией

________250________

5(л- 2)(s + 40)(^+ 45)

Рис. 10.8 (П). (а) Робот «Manutec». (б) Система управления роботом
637

При ступенчатом входном сигнале перерегулирование должно быть менее 20 %, время нарас-
тания — менее 0,5 с, а время установления (по критерию 2%) — менее 1.2 с. Кроме того, систе-
ма должна иметь коэффициент ошибки по скорости Kv > 10. Синтезируйте регулятор с опере-
жением по фазе, удовлетворяющий этим требованиям.

П-10.9. Динамика химического процесса представлена передаточной функцией

G(s) =

100

5(5 4- 5)(s 4- 10)

100

-1)(5+100)



Требуется, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся ошибка была достаточно
малой, поэтому задано значение Kv - 100. Запас по модулю должен быть не менее 10 дБ. а за-

веобходимо минимизиро-

*к>щее устройство. Пол\ -

ст 2 —

1Д/2. Предшест-

пас по фазе не менее 40°. Синтезируйте
регулятор с опережением и с отставани-
ем по фазе, удовлетворяющий этим тре-
бованиям. Считайте, что структура сис-
темы управления имеет вид рис. 10.1(a)
при H(s) = 1.

П-10.10. На рис. 10.10(П) изображена схема на
операционном усилителе, обладающая
опережением по фазе, (а) Определите пе-
редаточную функцию этой схемы, (б)
Изобразите частотные характеристики
схемы, если R{ — 10 кОм, R2 ~ Ю Ом,
С| ” 0,1 мкФ и С2 ~ 1 мФ.

Рис. 10.10 (П). Схема с опережением
по фазе на операционном усилителе

Задачи на синтез систем

гдз Gp(s) = 1 и/9 = 3. (б)
%, и сравните это значе-
ний характеристики,
•руку и большой момент
!гр?ктурная схема систе-
йьекта управления пред-

СС-10.1. В системе на рис. 4.1(СС) используется ПД-регулятор. Определите значения коэффициен-
тов ПД-регулятора. при которых система будет обладать апериодической реакцией. Кроме
того, необходимо, чтобы время установления (по критерию 2%) было менее 250 мс. Прове-
рьте полученные результаты.

С-10.1. На рис. 10.1(C) показана совместная ра-
бота двух роботов при введении длинного
стержня в отверстие блока, находящегося
на столе. Это наглядный пример того, ка-
кие преимущества можно получить от ко-
операции двух роботов. Система управле-
ния звеном одного робота имеет структу-
ру, изображенную на рис. 10.1(a), где
H(s) = 1 и

G(s) = -

вмнка рук

мя роботом

К системе предъявляются следующие тре-
бования: при линейном сигнале, изменяю-
щемся с единичной скоростью, установив-
шаяся ошибка должна быть равна 0,0125,
а реакция системы на ступенчатый сигнал
должна иметь перерегулирование не более
25% и время установления (по критерию
2%) менее 2 с. Синтезируйте регулятор с
опережением и с отставанием по фазе.

Рис. 10.1 (С). Взаимодействие двух
роботов
Рис. 10.2 (С)

(а) Биплан.

(б) Система
управления
самолетом

удовлетворяющий этим требованиям, и постройте графики реакций скорректированной и не-
скорректированной систем на ступенчатый и линейный сигналы.

С-10.2. Система управления курсом биплана [рис. 10.2(C), а] изображена на рис. 10.2(C). (б),
(а) Считая Gc.(s) = К, определите минимальное значение К, при котором эффект, производи-
мый единичным ступенчатым возмущением, D(s) = 1/5, в установившемся режиме не превы-
шал бы 5% [у(оо) = 0,05]. (б) Определите, устойчива ли система при значении К, найденном в
п. (а), (в) Синтезируйте однокаскадный регулятор с опережением по фазе, обеспечивающий
запас устойчивости по фазе 30°. (г) Синтезируйте двухкаскадный регулятор с опережением по
фазе, чтобы получить запас по фазе 55°. (д) Сравните полосы пропускания систем из пп. (в) и
(г), (е) Изобразите реакцииу(1) систем из пп. (в) и (г) на ступенчатый входной сигнал и сравни-
те значения перерегулирования, времени установления (по критерию 2%) и времени максиму-
ма реакции.

С-10.3. Космическая программа НАСА предусматривает создание крупных разворачиваемых кон-
струкций, изготавливаемых из легких материалов и состоящих из большого количества сочле-
ненных секций. К таким конструкциям могут быть предъявлены жесткие требования, касаю-
щиеся сохранения с высокой точностью их формы и подавления вибраций, возникающих при
работе на орбите.

Рис. 10.3 (С)

Система
управления
мачтовой
конструкцией

У стройство
развертывания
(свертывания)

Ферма

Космический
челнок

/ад


Одна из таких конструкций в виде многосекционной мачты изображена на рис. 10.3(C). (а).
Основным элементом конструкцииявляется ферма длиной 60,7 м, основанием прикрепленная
к космическому челноку. На конце фермы находятся исполнительные устройства, а по всей ее
длине расположены необходимые датчики. Предусмотрена вспомогательная система развер-
тывания/складывания, которая также служит для защиты конструкции во время запуска и при-

земления.

Система, обеспечивающая перемещение конструкции, в качестве исполнительного устройства
содержит электродвигатель большой мощности, а ее структурная схема изображена на
рис. 10.3(C), (б). Переходная характеристика системы должна иметь перерегулирование не бо-
лее 16%; поэтому коэффициент затухания системы £ должен быть равен 0,5, а запас по фазе
должен составлять 50°. Считая Gc(s) = К, проварьируйте К в диапазоне от 0,1 до 1,0 и зарегист-
рируйте величину перерегулирования, времени нарастания и запаса по фазе для выбранных
значений К.

С-10.4. На рис. 10.4(C) изображен моби-
льный робот, использующий в каче-
стве измерительного устройства сис-
тему технического зрения. Система
управления роботом имеет структу-
ру, изображенную на рис. 10.14, где



1

(s 4- 1)(0,5л-1)



а 6с(у) — ПИ-регулятор, выбранный
с той целью, чтобы при ступенчатом
входном сигнале установившаяся
ошибка была равна нулю. Таким об-
разом,

У	5

Робот

Компьютер

Система
технического
зрения

Рис. 10.4 (С). Робот и система технического
зрения

^окружающая

Определите параметры регулятора, исходя из следующих требований: перерегулирование не
более 5%, время установления (по критерию 2%) менее 6 с, Kv > 0,9 и время максимума пере-
ходной характеристики — по возможности минимальное.

С-10,5. По железной дороге в Техасе планируется пустить скоростной поезд, разрабатываемый на
основе французского прототипа TGV. Ожидается, что поезд будет развивать скорость до
300 км/ч. Чтобы сделать безопасным прохождение поворотов на такой большой скорости,
каждый вагон будет иметь независимые колесные тележки в сочетании с устройствами, обес-
печивающими его наклон. Гидроцилиндры, соединяющие пассажирский вагон с колесными
тележками, позволят ему на повороте наклоняться подобно мотоциклу на вираже. На передней
тележке каждого вагона установлен датчик, напоминающий маятник. Датчик реагирует на
вхождение вагона в поворот и передает соответствующую информацию гидравлической сис-
теме. Система наклона не делает поезд более безопасным, но создает более комфортабельные
условия пассажирам.

Рассмотрите систему управления наклоном вагона, изображенную на рис. 10.5(C). Синтези-
руйте регулятор Gl.(s) так, чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулирование не пре-
вышало 5%, а время установления (по критерию 2%) было менее 0.6 с. Кроме того, требуется,
чтобы при линейном входном сигнале, r(t) -At, t> 0, установившаяся ошибка не превышала
0,15А. Проверьте правильность выполненного синтеза.

Рис. 10.5 (С)

Система управления
скоростным поездом

наклон

12
5(^+10)(s+70)

Наклон
Рис. 10.6 (С)

Система
управления
положением
антенны

а)

б)

/ад

Привод
и антенна

10

ф;+5)(у+ 10)

Положение

С-10.6, На рис. 10.6(C). (а), изображена большая антенна, предназначенная для приема сигналов со
спутника. Антенна должна с высокой точностью следить за изменением положения спутника
на орбите. Система управления антенной включает в себя двигатель, управляемый по цепи
якоря, и регулятор, который подлежит выбору. Структурная схема этой системы приведена на
рис. 10.6(C), (б). Требуется, чтобы при линейном входном сигнале, r(t) = Bt. установившаяся
ошибка не превышала 0,015. В случае ступенчатого входного сигнала перерегулирование не
должно превышать 5 %, а время установления (по критерию 2 %) должно быть менее 2 с.
(а) Синтезируйте регулятор Gc(s) и постройте график переходной характеристики системы
(б) Полагая R(s) - 0, определите влияние возмущения D(s) = Qis на выходную переменную
ад.

С-10.7. В настоящее время разрабатываются высококачественные механизмы, осуществляющие
протяжку магнитной ленты через головки чтения/записи, в которых приемные катушки приво-
дятся во вращение с помощью двигателей постоянного тока. Скорость протяжки ленты дости-
гает 500 см/с, причем время с момента пуска до достижения полной скорости должно быть как
можно меньше, но при этом надо не допускать разрыва ленты. Поскольку требуется управлять
как скоростью, так и натяжением ленты, то в качестве датчика скорости мы используем тахо-
генератор, а в качестве датчика положения — потенциометр. Исполнительным устройством
будет служить двигатель постоянного тока. В этом случае при H(s} = 1 передаточная функция
разомкнутой системы может быть представлена выражением

Г(Л = G( =	£(3+4000)

£(з)	' 5 s(s+ 1000)(s+ 3000)(з+ д)(з+ Д)'

где = 2000 + j2000, а У(у) соответствует положению.

К системе предъявляются следующие требования; время установления менее 12 мс, перерегу-
лирование при ступенчатом входном сигнале менее 10 %, установившаяся ошибка при линей-
ном входном сигнале менее 5% от скорости этого сигнала. Синтезируйте корректирующее
устройство, удовлетворяющее этим достаточно жестким требованиям.

С-10.8. Последние несколько лет ознаменованы повышенным интересом к разработке моделей ав-
томобильных двигателей, что вызвано внедрением автоматических систем управления их ра-
ботой. В этих моделях представлены дроссель, явление сжатия, процесс подачи и впрыска го-
рючего, получение момента на валу и момент инерции вращения.
Рис. 10.8 (С)
Система
управления
автомобильным
двигателем

Я(5)

-► H.V)
Обороты
двигателя

В 1980-е годы, когда началась борьба за уменьшение выброса в атмосферу отработанных га-
зов. основной проблемой стало управление соотношением горючего и воздуха в автомобиль-
ном карбюраторе. Усилия инженеров были направлены на создание автоматических систем,
управляющих этим соотношением. Работа двигателя в заданном режиме требует управления
подачей как воздуха, так и горючего.

В системе управления, структурная схема которой приведена на рис. 10.8(C). за вход принят
расход горючего, а выходной величиной считаются обороты двигателя. Считая Т-0,066 с.
синтезируйте регулятор, обеспечивающий нулевую установившуюся ошибку при ступенча-
том входном сигнале и перерегулирование не более 10%. Время установления (по критерию
2%) не должно превышать 10 с.

Рис. 10.9 (С). Система управления углом крена реактивного самолета

С-10.9. На рис. 10.9(C), (а) изображен современный реактивный самолет, а на рис. 10.9(C), (б) — си-
стема управления углом его крена. Синтезируйте регулятор Gr(s) так, чтобы переходная харак-
теристика имела «хорошую» форму, а установившаяся ошибка была равна нулю.

С-10.10. Для демонстрации ПИ-закона управления радиометром типа ветряной мельницы была
предложена простая система с обратной связью. Этот радиометр изображен на рис. 10.10(C),
(а), а структурная схема системы управления — на рис. 10.10(C), (б). Управляемой перемен-
ной является угловая скорость со, с которой вращаются лопасти радиометра, когда на них на-

i

Рис. 1O.1O (С), (а) Демонстрационная модель с датчиком инфракрасного излучения,
(б) Система управления

21 — 1503
правлен поток инфракрасного излучения. Экспериментальная установка, включающая в себя
фотоэлектрический датчик и электронную схему, дает возможность синтеза и реализации сис-
темы управления с высокими показателями качества.

Передаточная функция источника излучения и радиометра равна



т

Т5 + 1

где г = 20 с. Синтезируйте ПИ-регулятор так, чтобы система обладала апериодической реак-
цией с временем установления менее 25 с.

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-10.1. Рассмотрите систему управления,
изображенную на рис. 10.1(М), где

G(s) =----- и G£,(j) =--

5+1	5+1

С помощью MATLAB покажите, что Рис. 10.1 (М). Замкнутая система управления
запас по фазе приблизительно равен

12°, а относительное перерегулирование при ступенчатом входном сигнале составляет 70%,
М-10.2. На рис. 10.2(М) изображена система с отрицательной обратной связью. Подберите П-регу-

лятор, Gc(5) = К, так, чтобы запас по фазе был равен 45°. С помощью MATLAB постройте диа-
грамму Боде и убедитесь, что выдвинутое требование удовлетворяется.

Рис. 10.2 (М)

Одноконтурная система
с пропорциональным регулятором



М-10.3. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 10.1(М), где

1

5(5 + 2)

Синтезируйте регулятор Gc(5) так, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся
ошибка равнялась нулю, а время установления (по критерию 2%) было менее 5 с. Получите ре-
акцию системы на линейный сигнал, Я(5) = 1/5“, и убедитесь, что выдвинутые требования
удовлетворяются.

М-10.4. Передаточная функция истребителя имеет вид:

0 _	-10(5+ 1)(5+ 0.01)

8 ~ (? + 2s + 2)(? + 0.02л- + 0.0101) ’

где 0 — угловая скорость самолета относительно поперечной оси (рад/с), а 5 — отклонение
руля высоты (рад). Структурная схема системы управления переменной 0 изображена на рис,
10.4(М).


(а) Пусть Gc(s) соответствует регулятору с опережением по фазе, т. е.

Gc(s) =

K(s+ z)

где \z\ < |р|. С помощью диаграммы Боде выполните синтез регулятора на основании следую-
щих требований к качеству системы: при единичном ступенчатом входном сигнале время
установления (по критерию 2%) должно быть менее 2 с, а относительное перерегулирова-
ние — меньше 10%. (б) Промоделируйте систему, считая, что входная ступенька имеет амлли-
туду 10%, и получите график изменения переменной 0.

М-10.5. Изменение углового положения жесткого спутника описывается уравнением JQ = ll где
J—момент инерции, аг/ — приложенный к спутнику вращающий момент. В системе управле-
ния угловым положением использован ПД-регулятор

Ge(s) = K' + K2s .

(а) Изобразите структурную схему системы управления. Выполните синтез системы в соответ-
ствии со следующими требованиями: полоса пропускания замкнутой системы должна пример-
но равняться 10 рад/с, а при ступенчатом входном сигнале с амплитудой 10° перерегулирова-
ние не должно превышать 20%. Синтез выполните в интерактивном режиме с помощью пред-
варительно подготовленной программы в среде MATLAB, (б) Проверьте результат синтеза,
получив путем моделирования реакцию системы на ступенчатый сигнал указанной величины,
(в) Постройте диаграмму Боде для замкнутой системы и проверьте, выполнено ли требование
к полосе пропускания.

М-10.6. Рассмотрите систему управления, изображенную на рис. 10.6(М). Вам предлагается с помо-
щью корневого годографа синтезировать регулятор с отставанием по фазе, исходя из следую-
щих требований: при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка системы не дол-
жна превышать 10%, запас по фазе должен быть более 45°, а время установления (по критерию
2%) должно быть менее 5 с.

(а) Выполните поставленную задачу, воспользовавшись методом корневого годографа. Для
облегчения процесса синтеза разработайте ряд программ MATLAB, (б) Проверьте результат
синтеза, получив с помощью моделирования переходную характеристику замкнутой системы,
(в) Применив функцию margin, вычислите действительное значение запаса по фазе.

М-10.7. На рис. 10,7(М) изображен внутренний контур системы обеспечения горизонтального по-
ложения самолета в воздухе. Динамика самолета представлена передаточной функцией

s+23 ‘

В контуре используется ПИ-регулятор

5

Рис. 10.7 (М)
Внутренний контур
радиолокационной
системы
определения
положения самолета

Рис. 10.6 (М)

Система управления
с единичной обратной
(а) Синтезируйте регулятор так, чтобы система удовлетворяла следующим требованиям: при
ступенчатом входном сигнале время установления (по критерию 2%) должно быть менее 1 с. а
при линейном сигнале, изменяющемся с единичной скоростью, установившаяся ошибка не
должна превышать 0,1. (б) Путем моделирования проверьте результаты синтеза.

М-10.8. Рассмотрите систему из примера 10.3. для которой было синтезировано корректирующее
устройство с опережением по фазе. Действительное значение перерегулирования в скорректи-
рованной системе равно 46%. Требуется уменьшить перерегулирование до 32%. С помощью
MATLAB определите необходимое для этого значение нуля функции Gc(s).

М-10.9. Постройте частотные характеристики схемы, изображенной на рис. 10.10(П).

Ключевые термины и понятия

Апериодическая реакция. Реакция системы на ступенчатый входной сигнал, при которой устано-
вившаяся ошибка равна нулю, а время установления и перерегулирование имеют минимально
возможные значения.

Корректирующее устройство. Элемент или схема, дополнительно вводимые в систему с целью
улучшения ее качества.

Корректирующее устройство с опережением по фазе. Устройство, создающее положительный
фазовый сдвиг в заданном интервале частот и применяемое для обеспечения в системе требуе-
мого запаса устойчивости по фазе.

Корректирующее устройство с опережением и отставанием по фазе. Устройство, характеристи-
ки которого соответствуют свойствам корректирующих устройств как с опережением, так и с
отставанием по фазе,

Корректирующее устройство с отставанием по фазе. Устройство, создающее отрицательный фа-
зовый сдвиг и уменьшающее усиление системы в заданном интервале частот.

Коррекция. Изменение вида частотных характеристик системы или настройка ее параметров с це-
лью обеспечения заданных показателей качества.

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный). Регулятор, содержащий два параллельных ка-
нала: один канал формирует сигнал, пропорциональный ошибке системы, другой канал фор-
мирует сигнал, пропорциональный интегралу от ошибки. Выходной сигнал регулятора равен
их сумме.
я»

Последовательное корректирующее устройство. Корректирующее устройство, помещаемое б
контур системы последовательно с объектом управления.

Предшествующий фильтр. Элемент с передаточной функцией Gp(s). помещаемый в цепь входно-
го сигнала /?(^) перед сумматором, формирующим сигнал ошибки системы.

Регулятор. См. Корректирующее устройство.

Синтез системы управления. Многоэтапная процедура, связанная с выбором структуры системы
и определением входящих в нее элементов и их параметров.

Устройство интегрирующего типа. Элемент или схема, которые действуют, хотя бы в некоторой
степени, подобно интегратору.
I

I
i

мним требованиям: при
должно быть менее 1 с. а
ановившаяся ошибка не
юты синтеза.

ровано корректирующее
улирования в скорректи-
ме до 32%. С помощью
Н 64s).

к Ю.Ю(П).

Синтез систем с обратной
связью по состоянию

Обзор

KL3. при которой устано-
риие имеют минимально
№мые в систему с целью
вьаюшее положительный
1гчения в системе требуе-
стройство. характеристи-
№ с опережением, так и с

шее отрицательный фа-
аде частот.

И'

ро-йка ее параметров с це-

|В(й два параллельных ка-
лпе.мьг другой канал фор-
i сигнал регулятора равен

jpjikiBO. помещаемое в

вешаемый в цепь входно-
шсте.мы.

юром структуры системы
ipcc. хотя бы в некоторой

Эта глава посвящена синтезу регуляторов с использованием обратной связи по состоянию.
Сначала мы рассмотрим проверку системы на управляемость и наблюдаемость, а затем
приведем одну процедуру синтеза оптимальной системы управления. Используя понятие
обратной связи по состоянию, мы рассмотрим метод синтеза, основанный на размещении
полюсов замкнутой системы. Мы покажем, как можно с помощью формулы Аккермана
определить матрицу коэффициентов обратной связи по состоянию, позволяющую размес-
тить полюсы в произвольно заданных точках s-плоскости. Будет доказано, что это возмож-
но только в том случае, если система является полностью управляемой по состоянию. Мы
рассмотрим, как производится синтез внутренней модели, с помощью которой обеспечива-
ется нулевая установившаяся ошибка при отработке системой входных сигналов заданно-
го вида. И, как обычно, главу мы завершим рассмотрением примера синтеза с продолжени-
ем, где покажем, как используется обратная связь по состоянию в системе чтения информа-
ции с диска.

11.1. Введение

Метод переменных состояния с успехом можно использовать для коррекции систем управ-
ления. Обычно это производится с помощью управляющего сигнала u(Z), который является
функцией нескольких доступных измерению переменных состояния. На основании ин-
формации об этих переменных реализуется регулятор состояния. Этот принцип коррекции
является мощным средством оптимизации систем управления, и он будет рассмотрен в
данной главе.

Сначала мы рассмотрим метод синтеза оптимального регулятора для системы, опи-
сываемой переменными состояния. Затем будет показано, как производится синтез обрат-
ной связи по состоянию, обеспечивающей заданное расположение корней характеристи-
ческого уравнения системы. После этого мы кратко рассмотрим метод синтеза внутрен-
ней модели и отметим ограничения, присущие обратной связи по состоянию.

11.2. Управляемость

Говорят, что система, описываемая матрицами (А, В), является управляемой, если суще-
ствует такое неограниченное управление и, которое может перевести систему из произво-
Матрица у правиле

646

льного начального состояния х(0) в любое другое заданное состояние x(Z). Управляемость
системы, описываемой уравнением

х = Ах + Ви,
можно определить, исследуя алгебраическое условие
ранг [В АВ А2В... А"-1В] = и.	(11.11

Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемо-
сти Рс, которая выражается через А и В как

Определитель мат
управляема.

Пример 11.2. Уп(

и

Рассмотрим с и ста
нениями

и имеет размерность лхл. Если определитель матрицы Рс отличен от нуля, то система явля-
ется управляемой.

Ответить на вопрос, является ли система управляемой, можно и другим способом.
Для этого надо изобразить граф системы в переменных состояния и определить, имеются
ли пути от управляющего сигнала и к каждой из переменных состояния. Если такие пути
существуют, то система может быть управляемой.

Система, структура которой представлена в форме фазовой переменной, всегда явля-
ется управляемой.

и найдем условие,
го на рис. I L2. вш
мой, если d* 0. П
Подтвердим этот

Следовательно.

Пример 11.1. Управляемость системы

Рассмотрим систему, описываемую передаточной функцией



определитель этой

Рис. 11.1. Модель системы третьего порядка в виде графа

]

U(s) О--------•

Модель этой системы в виде графа изображена на рис. I l.l. Видно, что существую! пути oi

u(t) ко всем переменным состояния, следовательно, система является управляемой.

Матричное дифференциальное уравнение имеет вид:

Отсюда имеем:

О

О

“«о

11.3. Набл1

Все корни характеры
сти только в том слу1
мость связана со спи
может быть наблюла
ной сигнал системы,
дой переменной сосп
Система являем
время Т такое, что и;
дения выходной пеу

Рассмотрим снс
Мние х(Г). Управляемость

Матрица управляемости

(11.1)
в матрицы управляемо-

(11.2)

I от нуля, то система явля-
жно и другим способом.
1Я и определить, имеются
ггояния. Если такие пути
переменной, всегда явля-

Определитель матрицы Рс отличен от нуля, тем самым мы еше раз убеждаемся, что система
управляема.

Пример 11.2. Управляемость системы с двумя переменными состояния

Рассмотрим систему, переменные состояния которой описываются дифференциальными урав-
нениями

Дд = -2xt + и.

х2 = -Зх9 +	.

и найдем условие, при котором система будет управляемой. Из графа системы, представленно-
го на рис. 11.2, видно также, что у = х2. Анализ графа показывает, что система будет управляе-

мой, если d* 0. При d = 0 сигнал и не имеет пути к переменной х2.
Подтвердим этот вывод, образовав матрицу Рс.

1 -2

0 -d

Следовательно,

С

определитель этой матрицы равен d, и

он будет отличен от нуля, только если d 0.

Рис- 11.2. Граф к примеру 11.2

виде графа

L что существуют пути oi
гсз оправляемой.

11.3.	Наблюдаемость

Все корни характеристического уравнения можно разместить в заданных точках s-плоско-
сти только в том случае, когда система является наблюдаемой и управляемой. Наблюдае-
мость связана со способностью оценивать переменные состояния. Говорят, что система
может быть наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в выход-
ной сигнал системы. Это эквивалентно тому, что на модели системы в виде графа от каж-
дой переменной состояния существует путь к выходной переменной.

Система является наблюдаемой тогда и только тогда, если существует конечное
время Т такое, что начальное состояние х(0) может быть определено в результате наблю-
дения выходной переменной Х0, t е Т, при заданном управлении w(z).

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями

х = Ах + Ви и у- Сх,
Имеем

где С есть вектор-строка, ах — вектор-столбец. Система является наблюдаемой, если опре-
делитель матрицы Q размерности 77x77 (называемой матрицей наблюдаемости) отличен от
нуля* где

Следовательно.

Система, структура которой представлена в форме фазовой переменной, всегда явля-
ется наблюдаемой.

det Рс - 0. т. е. а
Далее,

Следовательно.

Пример 11.3. Наблюдаемость системы	'

Рассмотрим систему из примера 11.1, модель которой в виде графа приведена на рис. 11.1.
Видно, что от каждой переменной состояния существует путь к у(/), поэтому система может
быть наблюдаема.

Подтвердим это, образовав матрицу Q.

Имеем:

О

и С = [1 0 0] .

Следовательно,

Таким образом,

СА = [0 1 0] и СА2 =[0 0 1].

detQ- 1. т. е. система является наблюдаемой.

Пример 11.4. Наблюдаемость системы

с двумя переменными состояния

Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

Модель этой системы в виде графа изображена на рис. 11.3. Анализ графа говорит о том. что.
казалось бы, система является управляемой и наблюдаемой. Проверим, так ли это. образовав
матрицы Р6 и Q.

Рис. 11.3

Граф
к примеру
11.4

det Q = 0, т. е. ск
Попробуем разок
заметить, что

Однако

Таким образом,,
выходу ~ т - .т-
и х2(0). Поэтому

11.4. Опт*

Синтез систем авто
лью синтеза являет
летворяла бы требу
ной области, напрт
ходной характернее
установившемся и
характеристикам. I
временной облает!

Качество сисз
которыми мы поэт
ван на минимизаш
мы, в которых обек
ют оптимальным
синтеза оптималы
шения задачи ост
управляющего сиг

В общем случ
оценкой
Имеем

Следовательно,

и

det Рс = 0. т. е. система не является управляемой.
Далее.

С = [1 1] и СА = [1 1].

Следовательно.

det Q - 0, т. е. система не является наблюдаемой.

Попробуем разобраться, почему это так. Если еще раз посмотреть на граф системы, то можно
заметить, что

Однако

Таким образом, переменные состояния не зависят от и, и система неуправляема. Аналогично,
выходу	зависит от суммы х ДО) + х2(0). а это не позволяет определить раздельного)

и х2(0). Поэтому система ненаблюдаема.

11.4.	Оптимальные системы управления

Синтез систем автоматического управления — одна из важнейших технических задач. Це-
лью синтеза является создание системы, состоящей из реальных элементов, которая удов-
летворяла бы требуемым показателям качества. Последние могут быть заданы во времен-
ной области, например, в виде величины перерегулирования и времени нарастания пере-
ходной характеристики. Когда представляет интерес поведение системы управления в
установившемся и переходном режимах, ее качество обычно оценивается по временным
характеристикам. Поэтому естественно, что процедуру синтеза мы будем выполнять во
временной области.

Качество системы управления можно характеризовать интегральными оценками, с
которыми мы познакомились в разделе 5.9. Поэтому синтез системы должен быть осно-
ван на минимизации оценки качества, такой, например, как ИКО (см. раздел 5.9). Систе-
мы, в которых обеспечивается минимум соответствующей оценки качества, часто называ-
ют оптимальными системами управления. В этом разделе мы рассмотрим проблему
синтеза оптимальной системы, которая описывается переменными состояния. Метод ре-
шения задачи основан на измерении переменных состояния и формировании из них
управляющего сигнала w(r), оптимизирующего качество системы.

В общем случае качество системы управления можно характеризовать интегральной
оценкой

t <

J = [Jg(x,(Н.4)

•’о
где х — вектор состояния, и — вектор управления, Гу— конечное время управления .

Мы заинтересованы в том, чтобы минимизировать ошибку системы; поэтому, если
желаемый вектор состояния обозначить как xd = 0, то мы можем считать, что ошибка тож-
дественно равна вектору состояния. То есть, если мы хотим, чтобы система находилась в
положении равновесия, х = xd - 0, то любое отклонение от этого положения следует рас-
сматривать как ошибку. Поэтому в данном разделе мы рассмотрим метод синтеза оптима-
льных систем управления с использованием обратной связи по состоянию и интеграль-

ных квадратичных оценок качества.

Рис. 11.4

Система управления, описываемая
переменными х и и

Переменные

Управляющие

М2

состояния

Рассмотрим систему управления, изображенную на рис. 11.4, которая описывается
векторно-матичным дифференциальным уравнением

х = Ах + Ви .

(В.5)

Выберем регулятор в цепи обратной связи так, чтобы и было некоторой функцией измеряе-
мых переменных состояния, т. е. u = к(х). Например, можно сформировать компоненты
вектора управления как

и

(Н.6)

Или:

Wj = ^(^ + х2), и2 =	+ хз) ,	(И-7)

Выбор управляющих сигналов является достаточно произвольным и зависит от конкретно-
го качества, которое необходимо обеспечить, и от того, сколь сложной допускается иметь
структуру обратной связи. Количество переменных состояния, используемых для форми-
рования управляющих сигналов, часто является ограниченным, т. к. не все они могут быть
доступны непосредственному измерению.

В нашем случае мы будем считать, что управление и является линейной комбина-
цией переменных состояния, т. е. и = Кх, где К — матрица размерности тхп. В разверну-
той форме это выглядит так:

(11-8)

Подставляя (11.8) в (11.5), получим:

х = Ах + ВКх = Нх ,

(11.9)

где Н — матрица размерности пхп, получаемая путем сложения элементов матриц А и ВК.

* Заметим, что для оценки качества мы здесь пользуемся обозначением J, а не /, как было в главе 5. Это
сделано с той целью, чтобы отличать оценку качества от единичной матрицы, которую мы будем
обозначать полужирной буквой I.
Возвращаясь к интегральным квадратичным оценкам качества, напомним, что со-
гласно разделу 5.9 в случае одной переменной состояния мы можем записать

J = j'Z[х, (О]2Л 	(Н.Ю)

В случае двух переменных состояния интегральная квадратичная оценка будет иметь вид:

J = [' (xf + х э )dt .	(И-11)

Jo

Поскольку мы собираемся представить оценку качества в виде интеграла от суммы квадра-
тов переменных состояния, то для этого можно воспользоваться следующей матричной
операцией:

где хт есть результат транспонирования матрицы х. Тогда оценку качества можно предста-
вить в функции от вектора состояния:

J = f (xTx)flfr .	(11.13)

Оценка качества общего вида (11.4) включает в себя также управление и, но пока этого де-
лать не будем, оставив для обсуждения в дальнейшем.

Теперь в (11.13) мы положим конечное время управления оо. Для получения ми-
нимального значения J будем считать, что существует производная

(11.14)

где матрица Р нуждается в определении. Чтобы упростить алгебраические преобразова-
ния, без потери общности матрицу Р можно выбрать симметричной. Симметричность этой
матрицы означает, что рц = р)г Выполняя дифференцирование в левой части выражения
(11.14), получим:

Подставляя сюда (11.9), запишем:

— (х'Рх) = (Нх)т Рх + хтР(Нх) = хтНтРх+ хТРНх = хт(НТР+ РН)х , (1115)
dtv 7

где (Нх)т = хтНт по правилу транспонирования произведения матриц. Если положить
(НТР + РН) =-1, то (11.15) примет вид:

— (хтРх) - -хтх ,	(11.16)

dt '

что совпадает с производной, которую мы определили в виде (11.14). Подставляя теперь
(11.16) в (11.13), получим:

J= Г-—(хтРх)Л=-хтРх“ =хт(0)Рх(0).	(11.17)

Jo dt	“
При подстановке верхнего предела интегрирования мы предполагали, что система
устойчива и, следовательно, х(оо) = 0. Таким образом, чтобы минимизировать оценку ка-
чества .Л мы должны рассмотреть два уравнения:

J— Г xTxdt = хт(0)Рх(0)

Jo

(11.18)

и

НтР + РН = -1

(11.19)

Таким образом, процедура синтеза сводится к двум этапам:

L Считая матрицу Н известной, определить матрицу Р, удовлетворяющую уравнению

(11.19).

2. Минимизировать J, найдя минимум выражения (11.18) путем настройки одного или

нескольких параметров системы.

Пример 11.5. Обратная связь по состоянию

Рассмотрим систему управления,
представленную в виде графа на рис.
11.5. Переменные состояния обозна-
чены как -Yj и Качество этой систе-
мы нельзя считать приемлемым, пото-
му что при ступенчатом входном сиг-
нале или при возмущении того же
типа реакция системы имеет неогра-
ниченно возрастающий характер. Си-
стема описывается дифференциаль-

Рис. 11.5. Граф системы к примеру 11.5

и О

1

ным уравнением

(11.20}

1

Управляющий сигнал выберем в виде линейной комбинации двух переменных состояния:
п(7) —	- А^2 	(11.21)

Обратите внимание, что знаки в правой части (11.21) выбраны так, чтобы обратная связь была
отрицательной. Тогда (11.20) примет вид:

или, в матричной форме.

(11-22)

(11.23)

Заметим, что если речь идет о системе управления положением, то переменная Т] соответству-
ет положению, передаточная функция системы Q(s) = 1/Л/г, где М = 1. а трение считается пре-
небрежимо малым. Чтобы избежать излишних алгебраических операций, выберем значение
(едполагали, что система
«Г

кимизировать оценку ка-

(11.18)

111.19)
ъ

I

йетворяющую уравнению

ЕЭ4 настройки одного или

к} = 1 и определим к2 так, чтобы минимизировать оценку

запишем:

или

Р\2

Р12

качества. Тогда, используя (11.19).

НТР+ РН =-1 .

Р\\

Р1\

О

(Н.24)

Произведя умножение и сложение матриц и учитывая, чторп ~Р2\ (матрица Р— симметрич-
ная), придем к системе уравнений

“^12 “ ТЙ2 =

Р11 “ ^2Р\2 “ Р22 =

Р12 — ^2Р22 "* Р\2 ~ ^-2Р22 — “ 1 	(11.25)

Эта система имеет следующее решение:

Р|2=Т- Р22 =

2к2

Интегральная оценка качества

J = хт(0)Рх(0),

(11.26)

темы к примеру 11.5

и мы рассмотрим случаи, когда в начальный момент времени каждая из переменных состояния
имеет отклонение от положения равновесия на 1, т. е. хт(0) - [1 1]. Тогда (11.26) примет вид:

j =	J =[Ц] Л| + А2 = (ptt + Pl2)+(Pl2 + p22) = p]i + 2pi2 + p22 . (11.27)

~Р\2 Р12J u 1J LP12 + P22_

Подставляя в (11.27) элементы матрицы Р, получим:

(11.28)

(И.20)

Чтобы найти къ соответствующее минимуму / продифференцируем / по к2 и приравняем про-
изводную нулю:

8J 2к2(2к2 +2)-2(к2 + 2к2+4)

=--------------5---------- = и 	U

5А,	(2к2)

Отсюда к2 = 4 и к2 - 2- Минимальное значение J найдем, подставив к2 = 2 в (11.28):

mm

переменных состояния:

Матрица Н для скорректированной системы примет вид:

1тоиь[ обратная связь была

(11.30)

Я 2

Следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы будет равно

(11.22;

detpj - Н ] = det

(11.31)

1

(11.23)

ременнаяXj соответствх-
1. а трение считается пре-
иний. выберем значение

Поскольку система имеет второй порядок, то ее характеристический полином имеет вид
(s2 + 2£cons + со^ откуда следует, что коэффициент затухания замкнутой системы £ = 1. Можно
считать, что скорректированная система является оптимальной, т. к. оценка качества в ней
имеет минимальное значение. Однако следует отдавать отчет в том, что система является оп-
тимальной только при определенном сочетании начальных условий. Граф скорректированной
системы изображен на рис. 11.6. Зависимость оценки качества от параметра кэ приведена на
рис. 11.7. Из графика видно, что система обладает малой чувствительностью к изменению к-,
Рис. 11.6. Система с коррекцией
из примера 11.6

к,

*

Рис. 11.7. Зависимость оценки
качества от параметра /г2

при малых отклонениях этого параметра от оптимального значения. Определим чувствитель-
ность оптимальной системы как

с ОПТ

\J/J

Ак / к

(И. 32.)

где к — параметр, выбираемый при синтезе. Тогда в нашем случае мы имеем А - А2 и

ОПТ

*2

» = 0.107.

(11.33)

Пример 11.6. Синтез оптимальной системы

Теперь мы рассмотрим ту же систему из примера 11.5, но будем считать, что неизвестны оба
коэффициента обратной связи, кК и к2. Не меняя сути проблемы, ради упрощения алгебраиче-
ских операций примем кх - к2 ~ к. Читатель может убедиться, что если неизвестны к{ и к3, то
минимум оценки качества (11.18) будет обеспечиваться при условии Aj = к2. Тогда уравнение
(11.23) примет вид:

(И.34)

Для определения матрицы Р воспользуемся уравнением (11.19):

НТР + РН = -I .

(11.35)

Решение системы уравнений, полученных на основании (11.35), дает следующий результат:

Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени только одна из переменных состояния
имеет отклонение на 1 от положения равновесия, т. е. хт(0) = [1 0]. Тогда оценка качества
(11.18) примет вид:

J - f xrxdt = хт (0)Рх(0) = /7ц .

Следовательно, необходимо минимизировать оценку

(11.36)

(11.37)

Ясно, что минимальное значение Умы получим при к —> оо, и ,/mm = 1. Г рафик зависимости J от
к приведен на рис. 11.8. Должно быть понятно, что при к —> оо сигнал обратной связи
u(t) - -А[Х](0 + х2(/)] будет очень большим. Однако величина этого сигнала физически всегда
ограничена. Поэтому мы обязательно должны накладывать ограничение на сигнал u(f), и, зна-

Рис. 11.8

Зависимость о»
от коэффициент
(пример 11.6)

чит. коэфф)
ограничен»

то максима

тогда мин>

что весьм.3
До сих nof
управляют
с ким и зат[
ным среде
гии от акве
льность пс
дем испод

где д —- ci
следует ш
со вклада:
ченные эн
состоянии

а уравнен

Подстава
Рис. 11.8

Зависимость оценки качества
от коэффициента обратной связи к
(пример 11.6)

к

чит. коэффициент к не может быть слишком большим. Например, если мы наложим на u(t)
ограничение

|и(/)| < 50 ,

то максимально допустимое значение к в нашем случае будет равно

= 50-

*,(0)

(11-38)

(11.39)

тогда минимальное значение J окажется равным

*An»n “ 1+ yj — LOL,
^max

(11.40)

что весьма близко к абсолютному минимуму.

До сих пор мы пользовались оценкой качества вида (11.13), которая не зависела от величины
управляющего сигнала и(1). Однако во многих случаях мы вынуждены считаться с энергетиче-
скими затратами на создание управляющего сигнала. Так, в системе управления транспорт-
ным средством, работающим на электроэнергии, [г/(Г)]~ представляет собой Потребление энер-
гии от аккумулятора и поэтому должно быть ограничено, чтобы обеспечить достаточную да-
льность поездки. Чтобы учесть затраты энергии на выработку управляющего сигнала, мы бу-
дем использовать оценку качества

(11.41)

где X — скалярный весовой коэффициент, а I — единичная матрица. Весовой коэффициент X
следует выбирать так, чтобы вклад переменных состояния в оценку качества был сопоставим
со вкладом в нее второго слагаемого подынтегрального выражения, учитывающего ограни-
ченные энергетические возможности системы. Как и ранее, мы представим обратную связь по
состоянию в виде матричного уравнения

u = Кх ,	(Н.42)

а уравнение системы с обратной связью в виде

х = Ах + Bu = Нх.	(Н.43)

Подставляя (11.42) в (11.41). получим:

J = Г[хт1х + Х(Кх)т(Кх)]Л = '[хт(I + ЖтК)хП = ГхтСМ .	(11.44)

Jo

где Q = (I + KTK) есть матрица размерности пхп. По образу и подобию выражений
(11.13)-(11.17) будем считать, что существует производная

— (хтРх) = -xTQx.	(11.45)

dt
Тогда в нашем случае мы придем к уравнению

НТР+ PH =-Q ,	(11.46i

и. как и раньше [см. (11.17)], получим;

J = хт(0)Рх(0) .	(11.47)

Дальнейшая процедура синтеза содержит те же этапы, что и при работе с уравнениями (11.18)
и (11.19). за исключением того, что левая часть (11.46) приравнивается матрице -Q. а не -1.
Конечно, если X = 0, то (11.46) сводится к (11.19). Ниже мы рассмотрим пример 11.5 в случае,
когда X 0. и учтем затраты энергии на формирование управляющего сигнала.

Пример 11.7. Оптимальная система с учетом затрат энергии
на управление

Рассмотрим еще раз систему из примера 11.5, граф которой изображен на рис. 11.5. В этой сис-

теме мы используем обратную связь по состоянию, так что

и = Кх =

= к\х.

(11.48)

Следовательно, матрица Q равна

Q = (1+ ZKTK)= (1 + И-21) = (1+ U2)I.

(11.49)

Как и в примере 11.6, зададим хг(0) = [1 0], поэтому J = p{\. Элементен найдем из уравнения
(11.46):

HTP + PH = -Q = -(1+U2)I.	(11.50)

В результате получим:

(11.51)

откуда видно, что при л = 0 правая часть этого выражения сводится к (11.37). Минимальное
значение J найдем, приравняв производную этого выражения по к нулю:

dJ I 1	4U3 + U2-1

-- — ZAa +---г- — --------
dk 2 2к2	2к~

(11.52)

Таким образом, минимум оценки качества будет иметь место при к = £П1Ш, где £ти1 есть реше-
ние уравнения (11.52).

Завершим пример рассмотрением случая, когда при оценке качества одинаково важно учиты-

вать как переменные состояния, так и ограниче-
ния, накладываемые на управляющие сигналы.
Тогда к = 1 и (11.52) принимает вид
4£3 + £'-1=0, откуда следует, что £min = 0,555.
При этом значение оценки качества значительно
больше, чем в предыдущем примере, потому что
появляются дополнительные издержки, связан-
ные с ограничением на затраты энергии. Зависи-
мость J от к для этого случая приведена на рис.
11.9, где для сравнения также изображена ана-
логичная зависимость для примера 11.6.

Из рассмотренных выше примеров ясно,
что действительный минимум оценки качества
зависит от начальных условий, от того, какой
вид оценки принят за основу, и от величины ве-
сового коэффициента X.

к

Рис. 11.9. Зависимость оценки
качества от коэффициента обратной
связи к (пример 11.7)
По методике, проиллюстрированной примерами, может быть выполнен синтез систе-
мы, связанный с выбором нескольких параметров. Похожим образом может быть также
решена задача синтеза в случае систем более высокого порядка. Однако при этом для
определения матрицы Р, входящей в уравнение (11.19), придется прибегнуть к помощи
компьютера. Компьютер может оказаться полезным и при вычислении минимального
значения J в случае настройки одного или большего количества параметров. Однако ре-
шение уравнения (11.46) может оказаться затруднительным, особенно если порядок сис-
темы достаточно высокий (и > 3). Альтернативный метод, ориентированный на использо-
вание компьютера, без доказательства приводится в следующем абзаце.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, которая описывается уравне-
нием

х - Ах + Bw,

и обратную связь, определяемую выражением

ц=-Ктх =-{А1 к2 ... к„]х .

Оценка качества принимается в виде

(xTQx + гп 2 )dt ,

•'о

где г— скалярный весовой коэффициент. Эта оценка имеет минимальное значение, если
К = РВг-1.

Матрица Р размерности и х и находится из решения уравнения
АТР + РА—PBBTPr-1 +Q = 0 ,

(11.53)

где во многих случаях Q = I. Уравнение (11.53), часто называемое уравнением Риккати,
легко может быть запрограммировано для решения на компьютере, а также решено с помо-
щью MATLAB. Оптимальная система, полученная таким образом, носит название линей-
ный квадратичный регулятор.

11.5.	Размещение полюсов с помощью
обратной связи по состоянию

В разделе 11.4 мы рассмотрели использование обратной связи по состоянию для оптимиза-
ции интегральной оценки качества системы. Теперь мы покажем, как с помощью обратной
связи по состоянию можно обеспечить заданное расположение полюсов передаточной
функции замкнутой системы T(s). Соответствующий метод основан на использовании об-
ратной связи по всем переменным состояния, т. е.

При этом корни характеристического уравнения размещаются так, чтобы переходная ха-
рактеристика системы удовлетворяла выдвинутым требованиям.

Пример 11.8. Синтез системы третьего порядка

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую дифференциальным уравнением

dd dt2 dt
В качестве переменных состояния мы можем выбрать фазовые переменные (см. раздел 3.4).
т. е. — у, х2 = dyldK х3 — тогда можно записать в матрично^ форме:

О

О

где у = хР Если матрица обратной связи по состоянию равна

и

и = - Кхч то х = Ах - ВКх = (А “ ВК)х.

Матрица системы с обратной связью имеет вид:

5

(Я~А+ ВК) =

а ее характеристический полином

det(sl - А + БК) = ? + (5 + k3)s2 + (3 + k2)s + (2 + AJ

Если мы хотим получить быстрое нарастание переходной характеристики и малое перерегули-
рование, то характеристический полином должен иметь вид [см. выражение (5.18) и табл. 5.2]:

(.У 4- 2(^С0,/5 + CD;j)(s+ •

Чтобы обеспечить минимальное перерегулирование, выберем С = 0.8 и соп, удовлетворяющее
требованию к времени установления. Если время установления (по критерию 2%) должно
быть равно 1 с. то

0,8-со,,

Если выбрать сом = 6, то характеристический полином будет иметь вид:
(s2 + 9.6s + 36)(s + 4,8) = 53+ 14,4s2 + 82,1s + 172.8.

Следовательно, необходимо выбрать = 9,4, к2 = 79,1 и к3 = 170,8. При этом переходная ха-
рактеристика не имеет перерегулирования, а время установления равно 1 с, как и требовалось.

В качестве практического примера использования обратной связи по состоянию рас-
смотрим систему, изображенную на рис. 11.10. В этой системе используется двигатель

xt 0

11отенциометр

Рис. 11.10
Система
управления
положением
с обратной связью
по состоянию
(выходная
переменная у - 0)

г (О

11.5. Ра

постояи
подучен

где К = j
содержа
и току в
как пока
ременнь

При А >
трем пе|
ной хар<

Гра
схемы. j
жение (

и

Л
вязью ПО состоянию

. . .

книые (см. раздел 3.4).

♦орме:

постоянного тока, управляемый по цепи возбуждения. Его передаточная функция была
получена в разделе 2.5, и она имеет вид:

G(s) =

________К________

s(s+b/jys + Rf/Lf)

где К = KJCjJLf. Будем считать, что b/J = 1 и RjILf = 5. Как показано на рис. 11.10, система
содержит обратные связи по трем переменным состояния: положению, скорости двигателя
и току возбуждения. Допустим, что коэффициент обратной связи по положению равен 1,
как показано на графе этой системы, приведенном на рис. 11.11. Если обратная связь по пе-
ременным х2 и отсутствует, т. е. К3 = К2 = 0, то мы имеем:

С(*) =

(П-55)

При К > 30 система будет неустойчива. Однако, если использовать обратную связь по всем
трем переменным, то можно сделать ее устойчивой и обеспечить желаемый вид переход-
ной характеристики.

not и малое перереп ли-
силе (5.18) и табл. 5.2]:

)довлетворяюшее
критерию 2%) должно

Рис. 11.11. Граф системы с обратной связью по состоянию

В'

он этом переходная ха-
I с. как и требовалось

IH по состоянию рас-
рхиз>ется двигатель

Граф системы, изображенный на рис. 11.11, можно перерисовать в виде структурной
схемы, как показано на рис. 11.12. Передаточная функция С(^) остается той же [см. выра-
жение (11.55)], a H(s) учитывает обратную связь по состоянию. Следовательно,

(11.56)

G(*W) =

(И-57)

ад

Ф)

Рис. 11.12. Представление системы с обратной связью по состоянию
в виде эквивалентной структурной схемы

К

X-V+ !)(•*+ 5)

и


где М = КК3 и Q	. Поскольку К2 и К3 можно выбрать независимо друг от дру га.

это позволяет проектировщику задать нули функции G(s)H(s) по своему усмотрению.

Для примера выберем нули G(s)H(s) так, чтобы они сократились с вещественными
полюсами 6(5). Для этого необходимо иметь

H(s) = K.

=	(5+ 1)(5+ 5)

(11.581

Отсюда очевидно, что К3 = 1/5, Q = 6 и, следовательно, К2 - 1. Тогда

6(5)77(5)

М(5 +1)0+ 5)

5(5+ 1)0+ 5)

(11.59|

где М - КК3. При этом передаточная функция замкнутой системы примет вид:

-_______К _______

R(s)	1 + С70Ж0) 0+1)0+ 5)0 + ^)

(11.60»

Таким образом, хотя мы могли бы выбрать М = 10, что гарантирует устойчивость системы,
тем не менее переходная характеристика замкнутой системы в основном будет определять-
ся полюсами 5 = -1 и 5 = -5. Отсюда следует вывод, что обычно нули функции 6(5)77(5) сле-
дует выбирать так, чтобы обеспечить желаемое положение корней характеристического
уравнения замкнутой системы в левой половине 5-плоскости.

I

!

f
5

г

I

j

t
i

L

I
i

I

i

Пример 11.9. Синтез обратной саязи по состоянию

Давайте еще раз рассмотрим систему, изображенную на рис. 11.12(6) и выберем нули функции

G(s)H(s) в точках д- --4 +J2 и s = -4 -j2. Тогда получим

Н(з) = К3

= K3(s + 4 + j‘2)(5 + 4 - /2) = K3(s~ + 8д + 20) .

(11 + 1*

I
s
t
s

4

E
!

i

Отсюда очевидно, что K3 — 1/20, Q — 8 и, следовательно, Х2 — 7/20. Корневой годограф, соот-
ветствующий функции

6(5)77(5) =

М(52 +85+20)
5(5+ 1)(5 + 5)

изображен на рис. 11.13. Система устойчива при всех значениях М = КК3. При М- 10 комп-
лексным корням соответствует Q - 0,73. но при этом ожидаемое перерегулирование со став лй-

Рис. 11.13

Корневой годограф
скорректированной системы
овисимо друг от друга,
юему усмотрению.

еись с вещественными

(11.58)

la

(11.59)

ет примерно 5%, а время установления приблизительно будет равно 1 с. Передаточная функ-
ция замкнутой системы

m ч 6(5)	200

---~ = 7 (5) =--------= —————— —------------------------.

Я(5)	1+ 6(5)77(5)	(5+3.45+ j3,2)(5 + 3.45 -J3,2)(5+9.1)

Альтернативный метод заключается в том, чтобы задать желаемое расположение корней ха-
рактеристического уравнения замкнутой системы 1 + G(s)H(s) ~ 0, а затем определить требуе-
мые значения коэффициентов К. К3 и К2- Например, если мы зададим значения корней харак-
теристического уравнения 5 = -10.5 = -5 +J и 5 = -5 -у, то это уравнение будет выглядеть так:
j) = (j + 10)(Г + 1 Oj + 26) = Г + 20? + 1 26j + 260 = 0 .	(11.62)

Поскольку

примет вид:

1+6(5)77(5) = 5(5+ 1)(5+ 5)+ М

------- .	(11.60)

5Ю-Л7)

стойчивость системы,
ом будет определять-
функции (3(s)/f(s) сле-
1 характеристического

«выберем нули функции

+ 8о + 20) .	(11.61)

горяевой годограф, соог-

При М = 10 комп-
рег. пирование составля-

(11.63)

то, приравнивая (11.62) и (11.63). мы получим Л7- 14. Q- 121/14,	- 14/260 и К2 - 0.41.

Во многих случаях все переменные состояния доступны для измерения, и, используя
обратную связь по состоянию, мы можем получить устойчивую систему с хорошим каче-
ством.

Пример 11.10. Управление перевернутым маятником

Формирование управляющего сигнала u(f) в функции от переменных состояния может слу-
жить эффективным средством обеспечения устойчивости системы. При синтезе системы
управления большое значение также имеет правильный выбор ее структуры. Так. в задаче с те-
лежкой и неустойчивым перевернутым маятником (см. рис. 3.19), чтобы маятник всегда сохра-
нял вертикальное положение, надо измерять переменные состояния системы и использовать
соответствующие сигналы для управления тележкой (см. пример 3.3). Для измерения перемен-
ной состояния ~ 0 можно использовать потенциометр, связанный с осью вращения маятни-
ка. Скорость изменения углового положения маятника, л4 - 0, можно измерить с помощью та-
хогенератора. Использовав соответствующие датчики, можно также измерить переменные х, и
представляющие соответственно положение и скорость тележки. Если все эти переменные
доступны измерению, то их можно использовать для синтеза регулятора, описываемого урав-
нением и - Кх, где К — матрица коэффициентов обратной связи. Вектор х представляет со-
стояние системы; поэтому, если известны х(0 и уравнения, описывающие динамику системы,
то этой информации достаточно для синтеза устойчивой системы управления.

Чтобы проиллюстрировать использование обратной связи по состоянию, рассмотрим неустой-
чивую часть системы, состоящей из тележки с перевернутым маятником, и синтезируем
устойчивую систему управления. Таким образом, мы будем рассматривать систему понижен-
ного порядка. Если считать, что управляющий сигнал пропорционален ускорению и что мас-
сой тележки можно пренебречь, то нас будет интересовать только динамика перевернутого ма-
ятника. Если «(/) соответствует ускорению, то уравнение (3.61) принимает вид

§х3-/л4 = .ь = y=u(t).

Для системы пониженного порядка, где управляющим сигналом является ускорение, скорость
и положение тележки получаются последовательным интегрированием г/(0. Нас же интересу-
ет часть вектора состояния с компонентами [х3,х4 ] = [0,0]. Поэтому для данной подсистемы

матричное дифференциальное уравнение состояния имеет вид:

g/l о

0 1

(11.64)

В уравнении (11.64) матрица А — это просто правый нижний блок матрицы А в уравнении
(3.65). Характеристическое уравнение системы /•/ - (g/l) ~ 0 имеет один корень в правой поло-
вине 5-плоскости. Чтобы сделать систему устойчивой, мы сформируем управляющий сигнал в
функции от двух переменных состояния, х3 и л4. Тогда получим:

u(t) ~ Кх - [£; Л2]

= kfa + к^х

Подставляя это выражение в (11.64), имеем:

О

Далее объединим два слагаемых в правой части:

Теперь получим характеристическое уравнение системы с обратной связью по состоянию:

Чтобы система была устойчивой, должно быть (A2/Z) > 0 и > g. Таким образом, измерив пере-
менные состояния х3 ил4 и образовав управляющий сигнал и = Atx3 + к^, мы получили устой-
чивую систему. Если желательно иметь переходную характеристику с быстрым нарастанием и
малым перерегулированием, то можно выбрать со„ = 10 и £ = 0,8. Тогда необходимые коэффи-
циенты к} и к2 найдем из уравнений

— = 16 и ~—— - 100.
Z	Z

Можно убедиться, что при этом переходная характеристика имеет перерегулирование 1.5% и
время установления 0,5 с.

11.6.	Формула Аккермана

Для системы с одним входом и одним выходом матрицу коэффициентов обратной связи по
состоянию К=[^1 к2 ... &„], с помощью которой формируется управляющий сигнал
и = Кх. можно определить с помощью формулы Аккермана.

Если задан желаемый характеристический полином замкнутой системы

q(s) = sn +atsn 1 + ... + а„ ,

то матрица коэффициентов обратной связи по состоянию определяется выражением
К = [0 0 ... 1]РС-|?(А),	(11.66)

где <?(А) = A" + а,А'’“1 +...+а„_1 А + аД

a Р6 — матрица управляемости [см. выражение (11.2)].

Пример 11.11. Система второго порядка

Рассмотрим систему второго порядка с передаточной функцией

G(j) = 4
S

и определим коэффициенты обратной связи, позволяющие разместить полюсы замкнутой сис-
темы в точках 5 = -1 ±у. Следовательно, q(s) = s2 + 2s + 2 и осj = а2 = 2. Матричное уравнение
состояния исходной системы имеет вид:

Матрица управляемости

О

1

1

О

РС-[ВАВ] =

Следовательно,

где

Окончательно получим:

К = [01]

О

О

^(А) =

О

О

1

О

= [22].

Я Г2
о о

I—

2

2_



и

О

11.7.	Ограничения обратной связи

по состоянию

Есть две причины, по которым обратную связь по состоянию нецелесообразно использо-
вать. Первая заключается в том, что эта обратная связь по своему действию эквивалентна
ПД- или ПИД-регуляторам, которые имеют бесконечную полосу пропускания, тогда как
реальные элементы и регуляторы всегда имеют конечную полосу пропускания. Вторая
причина в том, что обычно просто невозможно измерить все переменные состояния и испо-
льзовать их в качестве сигналов обратной связи. Реально измерению доступны только не-
которые из переменных состояния или их комбинации. Поэтому на практике любой регу-
лятор использует информацию только о входных, выходных сигналах системы и ограни-
ченном числе переменных состояния.

11.8.	Синтез внутренней модели

В этом разделе мы рассмотрим проблему синтеза регулятора, который позволяет асимпто-
тически отслеживать изменение эталонного входного сигнала с нулевой установившейся
ошибкой. В качестве эталонных входных сигналов могут выступать ступенчатые, линей-
ные и такие периодические сигналы, как, например, синусоидальный. Нам известно, что
при ступенчатом входном сигнале нулевую установившуюся ошибку можно обеспечить,
если использовать систему управления типа 1. Эта идея лежит в основе введения в структу-
ру регулятора внутренней модели эталонного сигнала.
Рассмотрим модель объекта, описываемого уравнениями состояния

х = Ах + Bw, у-Сх.	(11.67)

где х — вектор состояния, и — входная переменная объекта,у— его выходная переменная.
Будем считать, что входной эталонный сигнал генерируется линейной системой, описыва-
емой уравнениями

xr=A,.xr, r~drxr	(11.68)

при неизвестных начальных условиях. Эквивалентная модель эталонного входного сигна-
ла r(t) имеет вид:

= а. 3_|7'(л*,) + сс	+...+ос,г+сс(}/;	(11.69)

г f 1	ft	L	v

где г{>1) есть п-я производная сигнала r(t).

Начнем с хорошо знакомой задачи, а именно, с задачи синтеза регулятора, при кото-
ром система отрабатывает ступенчатый эталонный сигнал с нулевой установившейся
ошибкой. В этом случае входной сигнал генерируется системой с уравнениями

хг =0, г—хг ,	(11.70)

или, что то же самое,

г = 0,	(11.71)

а ошибка воспроизведения этого сигнала равна

е - у - г.

Дифференцируя сигнал ошибки, получим

ё = у = Сх ,
где были использованы модель входного сигнала (11.71) и модель объекта в виде (11.67).
Если ввести две вспомогательные промежуточные переменные, z им; как

z = х и w - й ,

то можно записать:

е

z

(11.72)

Если система, описываемая уравнениями’(11.72), является управляемой, то можно сфор-
мировать сигнал обратной связи

w - -К{е ~ K2z

(11.73)

таким образом, чтобы при этом система (11.72) была устойчивой. Это значит, что и ошиб-
ка е будет асимптотически стремиться к установившемуся значению, равному нулю, т. е.
цель синтеза будет достигнута. Управляющий сигнал, поступающий на вход объекта, по-
лучим путем интегрирования уравнения (11.73):

I

е(т )ch - К2х(/).


о

Структурная схема полученной таким образом системы управления изображена на рис.
11.14. Мы видим, что регулятор включает в себя внутреннюю модель (т. е. интегратор)
эталонного ступенчатого входного сигнала.


1(5)

Рис. 11.14. Синтез внутренней модели в случае ступенчатого входного сигнала

Пример 11;12. Синтез внутренней модели при единичном ступенчатом
вкадаам сигнале

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями

W1 0]х.

(Н.74)



Требуется в системе управления этим объектом синтезировать такой регулятор, который обес-
печивал бы отработку эталонного ступенчатого сигнала с нулевой установившейся ошибкой.

На основании (11.72) мы имеем:

О w .

(11-75)

Проверочный расчет показывает, что система, описываемая уравнениями (11.75). является
управляемой. При А'1 = 20 и К2 = R0 10] корни характеристического уравнения замкнутой си-
стемы будут занимать желаемые положения s = —1 ±J1 и s = -10. В данном случае система яв-
ляется асимптотически устойчивой, поэтому при любом начальном значении ошибки е(0)
можно гарантировать что e(t) —> 0 при t —> со. График изменения ошибки при единичном сту-
пенчатом входном сигнале изображен на рис. 11.15.

Рис. 11.15

Изменение ошибки системы
с внутренней моделью при единичном
ступенчатом входном сигнале

Рассмотрим структурную схему системы управления, изображенную на рис. H.14,
где объект представлен передаточной функцией G(s), а соединенный последовательно с
ним регулятор имеет передаточную функцию	Принцип внутренней модели

утверждает, что если G(.s)Gc,(.s) содержит А(Д то реакция системыy(f) асимптотически бу-
дет стремиться к г(г). В данном случае R(s) = 1/5, и этот сомножитель входит в выражение
G(5)Gc(5), как и ожидалось.
Рассмотрим проблему синтеза регулятора, обеспечивающего отработку линейного
входного сигнала, r(t) = Mt, t > 0, с нулевой установившейся ошибкой. В этом случае мо-
дель генерирования эталонного линейного сигнала описывается уравнениями:

Го Г
xr =Агхг = хг,
г г г 0 0

/=drxr = [1 0]хг ,

(Н.76)

или, в терминах вход-выход модели, г ~ 0. Как и ранее, определим ошибку в виде е = у -- ги.
продифференцировав это выражение дважды, получим:

е -

Введя вспомогательные переменные z = х и w = й, запишем:

(Н.77)

Если система, описываемая уравнениями (11.77), является управляемой, то можно найти
такие коэффициенты К}, г = 1,2,3, при которых в случае

vv = 4^l к2 KJ ё

(11.78)

она будет асимптотически устойчивой и, следовательно, ошибка e(t) —> 0, t оо. Управля-
ющий сигнал и находится путем двукратного интегрирования выражения (11.78). На рис.
11,16 мы видим, что полученный таким образом регулятор содержит два интегратора, ко-
торые представляют собой внутреннюю модель эталонного линейного входного сигнала.

Метод внутренней модели можно развить применительно к эталонным сигналам
иного вида, при этом процедура синтеза остается той же самой, как это было проиллюст-
рировано на примере ступенчатого и линейного сигналов. Кроме того, данный метод
можно использовать также с целью компенсации возмущений, для чего в регулятор необ-
ходимо включить внутреннюю модель генерирования возмущения.

А(5)

Рис. 11.16. Синтез внутренней модели в случае линейного входного сигнала.
Передаточная функция G(s)G^s) содержит сомножитель 1/s2, соответствующий
изображению по Лапласу входного сигнала /? (s)
667

11.9.	Пример синтеза: система
автоматического контроля

На рис. 11.17 изображена автоматическая система приемочного контроля, в которой пере-
мещение тестируемых щупов осуществляется с помощью двигателя постоянного тока. При
ручном контроле различных панелей с переключающими реле и индикаторными лампами
очень низка производительность и велика вероятность ошибок. При автоматическом конт-
роле от системы требуется подвести тестирующие щупы к испытываемой детали и прове-
рить ее на отсутствие обрыва цепи, сопротивление или общую работоспособность. Для из-
мерения положения и скорости на валу двигателя закрепляется кодовый датчик, как пока-
зано на рис. 11.18. Параметры системы указаны на структурной схеме (рис. 11.19), где К
есть коэффициент усиления усилителя мощности.

В качестве переменных состояния выберем хг = 0, х2 = d&ldt их3 = как показано на
рис. 11.20. Все эти переменные состояния доступны измерению, поэтому можно записать
уравнение обратной связи как

z/ = [-X1 -К2 -Х3]х ,

или

u = -~Kix[ ~К2х2 ~К3х3 ,	(11.79)

как показано на рис. 11.21. В результате синтеза необходимо найти такие значения коэффи-
циентов обратной связи, при которых реакция системы на ступенчатый входной сигнал
имела бы время установления (по критерию 2%) менее 2 с и перерегулирование менее 4%.

Кодовый
датчик

Рис. 11.17

Система
автоматического
контроля

Червячная
передача

Направляющий
стержень

Напряжение возбуждения



Декодирующее
устройство

Двигатель

Тестирующие щупы

Панель с переключателями

Рис. 11.18
Двигатель
постоянного тока
с встроенным
кодовым
датчиком

Двигатель

Напряжение возбуждения

Кодовый
датчик

Декодирующее
устройство

Рис. 11.19
Структурная
схема

ОД
Рис. 11.20

Сигнальный граф

3

С/(5)О

Рис. 11.21. Система с обратной связью

Чтобы в установившемся режиме взходной сигнал (положение) точно соответство-

вал заданному, выберем = 1 и определим А, К2 и Характеристическое уравнение си-

стемы можно получить несколькими способами.

На основании рис. 11.20 запишем:

О

х - Ах + Ви = 0 -1

О О

(11.80)

Подставив сюда и, определяемое уравнением (11.79), и учитывая, что Кх = 1, получим:

0

(11.81)

1

-К -КК2

-(5 + ХХ3)

Характеристическое уравнение также можно получить на основании рис. 11.21, считая, что
С(у) есть передаточная функция прямого пути, a H(s) ~ эквивалентная передаточная функ-
ция цепи обратной связи (см. рис. 11.22). В нашем случае

G(5) =-----------

s(5+ l)(s+ 5)

и

Н(.у) -К| + A.7S + X3(S + 1 )s — Х3

(11.82)

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

1 KKn(s2 +as+b) Л

1 +---------------- = 0

5(5 + 1)(5 +5)

(И. 83)

где параметры а и b определяются выбором коэффициентов К2 и Х3. Теперь мы можем по-
строить корневой годограф в зависимости отЛХ3. При Л) = I можно выбрать а = 8 и 6 = 20.

Рис. 11.22

Эквивалентная модель системы,
изображенной на рис. 11.21
Рис. 11-24

Переходная
характеристика

Рис. 11.23

Корневой годограф
системы автоматического
контроля

Время (с)

чтобы нули находились в точках s = -4 ±у2 и корневой годограф закручивался влево на
5-плоскости. Тогда мы имеем:

следовательно, ^ = 1, К2 = 0,35 и Л^ = 0,05. Вид корневого годографа изображен на

рис. 11.23. При КК3 ~ 12 корни расположены на линии £ = 0,76, как показано на рисунке.
Поскольку К3 = 0,05, то К ~ 240. При этом корни имеют значения 5 = -10,62 и
5 = -3,69 ±уЗ,00. Переходная характеристика системы изображена на рис 11.24. Перерегу-
лирование составляет 3%, а время установления равно 1,8 с, что полностью удовлетворяет
выдвинутым требованиям.

11.10.	Применение MATLAB и Simulink
для синтеза систем с обратной связью
по состоянию

Управляемость и наблюдаемость систем, описываемых уравнениями состояния, можно
определить с помощью функций MATLAB ctrb и obsv, соответственно. Как показано на
рис. 11.25, аргументами функции ctrb являются матрица коэффициентов А и матрица входа
В, а результатом применения этой функции является матрица управляемости Рс. Аналогич-
но для функции obsv аргументами являются матрица коэффициентов А и матрица выхода
С, а результатом применения этой функции является матрица наблюдаемости Q.
Рис. 11.25

Функции ctrb и obsv

Матрица х^Ах+Вг/ j
управляемости y-CxWz; j

Pc=ctrb(A,B)

Q=obsv(A,C)

L

Матрица x-Ax+Bz [
наблюдаемости y-Cx+Dz/ |

Заметим, что матрица управляемости Рс зависит только от А и В, а матрица наблюда-
емости Q — только от А и С.

Пример 11.13. Управление траекторией спутника

Рассмотрим спутник, находящийся на экваториальной круговой орбите на высоте 450 км над
поверхностью Земли, как показано на рис. 11.26. Движение спутника (в плоскости орбиты)
описываются нормированными уравнениями состояния:
'О 10 0
За)2 0	0	2(0

х =
О 0	0	1

0	-2(0	О	О

где вектор состояния х соответствует отклонениям от экваториальной круговой орбиты, и
и{ — входные сигналы, характеризующие соответственно тягу двигателей в радиальном и тан-
генциальном направлениях, а со = 0,0011 рад/с (приблизительно один оборот за 90 мин) есть
орбитальная скорость спутника на указанной высоте. При отсутствии возмущений спутник все
время остается на заданной круговой экваториальной орбите. Однако возмущения в виде аэро-
динамического торможения будут стремиться отклонить спутник от номинальной траектории.



Z

Рис. 11.26

Спутник
на круговой
экваториаль-
ной орбите

/

1

Круговая экваториальная орбита
Матрица х=Ах+Вг/

Рфавляемости i-CxDz

Pc=ctrb(A,B)

Oobsv(A.C)

Матрица x=Ax+Bz/

блюдаемости v

ж В. а матрица наблюда-

Поэтому возникает проблема синтеза регулятора, который заставлял бы корректирующие дви-
гатели включаться с тем, чтобы действительная орбита оставалась близкой к заданной. Преж-
де чем начинать синтез, мы исследуем управляемость спутника, причем независимо для радиа-
льного и тангенциального двигателей.

Предположим, что тангенциальный двигатель отключен (т. е. и, = 0), и работает только радиа-
льный двигатель. Является ли спутник управляемым за счет сигнала «,.? На этот вопрос мы от-
ветим с помощью MATLAB. Выполнив программу, приведенную на рис. 11.27, мы обнару-
жим, что определитель матрицы Р6 равен нулю. Это значит, что при использовании только ра-
диального двигателя спутник не является полностью управляемым.

Теперь предположим, что отключен радиальный двигатель (т. е. 0) и что тангенциальный
двигатель работает надлежащим образом. Является ли спутник управляемым за счет сигнала
и/? Выполнив программу, приведенную на рис. 11.28 мы обнаружим, что спутник является
полностью управляемым при использовании только тангенциального двигателя.

Далее мы рассмотрим задачу синтеза регулятора для системы автоматического конт-
роля, используя ее модель в переменных состояния. Для решения задачи воспользуемся
корневым годографом, построение которого выполним с помощью MATLAB.

a)	radial.m

«биге на высоте 450 км над
ика (в плоскости орбиты)

вой круговой орбиты. и}. и
лелей в радиальном и тан-
ин оборот за 90 мин) есть
и возмущений спутник все
й возмущения в виде аэро-
шюминальной траектории.

Рис. 11-27. Проверка управляемости при использовании только радиальных
двигателей: (а) скрипт MATLAB, (б) результат выполнения скрипта

Пример 11.14. Система автоматического контроля

Система автоматического контроля описывается уравнением

х = Ах т Вг/,

(11.85)

где

0 1	0

0 0-5

0

К качеству системы предъявляются следующие требования: реакция на ступенчатый входной
сигнал должна иметь время установления (по критерию 2%) менее 2 с и перерегулирование
менее 4%. Предполагается, что все переменные состояния доступны измерению и можно
сформировать управляющий сигнал согласно уравнению

г/ = [-Л'{ ~К2 —= Кх .

(11.86)
a) tangent.m

% Этот скрипт определяет управляемость спутника с помощью только

% тангенциального двигателя (т.е.при выключенном радиальном двигателе)

%

w=0.0011;

А=[0 1 0 0;3*wA2 0 0 2*w;0 0 0 1 ;0 -2*w 0 0];

Ь2=[0;0;0;1]; ◄----------------------------

Pc=ctrb(A,b2); ◄---------------------------

Матрица входа, соответствующая
работе тангенциального двигателя ।

Ч|

Вычисление матрицы управляемости*

n=det(Pc); ч

if abs(n) < eps

—
n — определитель матрицы управляемости;

dispfnpn работе только тангенциального двигателя спутник неуправляем!1)

else

I

dispf При работе только тангенциального двигателя спутник управляем!’)
end

б) »tangent ◄-------------------------------------------j Выполнение скрипта tangeni.m

При работе только тангенциального двигателя спутник управляем! --------1

tangent.m output

Рис. 11.28. Проверка управляемости при использовании только тангенциальных
двигателей: (5) скрипт MATLAB, (5) результат выполнения скрипта

Подлежат определению коэффициенты/С К2 иХ3, удовлетворяющие выдвинутым требова-
ниям. Используя приближенные соотношения

4	Л—с2

7\. «---< 2 и перерегулирование « 100е*	< 4,

находим ^>0,72 и (о„>2.8. Это определяет область требуемого расположения доминирую-
щих корней на 5-плоскости, как показано на рис. 11.29. Подставляя (11.86) в (11.85), получим:

0	1

0

х =	0	-1	1 х = Нх ,

(11.8'!

~кк{

-кк2

—(5 +	)

где Н = А — ВК. Характеристическое уравнение замкнутой системы, det(sl - Н) = 0, приводит-
ся к виду;

5(5+ 1)(5+ 5) + КК3

(11.88,1

Если выбрать КК3 в качестве варьируемого параметра и принять К| = 1, то (11.88) можно запи-

сать в виде:

2	^2 +	1

5 +	... 5 +

1 + КК-. ---------------------У- = 0.

5(5 + 1)(5 + 5)

Поместим нули в точках 5 = —4 ±/2. чтобы корневой годограф закручивался влево на 5-плоско-
сти. Тогда полином в числителе примет вид 5“ + 85+ 20. Сравнивая коэффициенты при степе-
нях s, находим, что (К2+К2)/К3 ~ 8 и 1/Х3 = 20, следовательно, К2 = 0,35. и К3 = 0,05. Корневой
годограф изображен на рис. 11.29.

Характеристическое уравнение системы принимает окончательный вид:

5(5+1 )(5 + 0)
только

и двигателе)

соответствующая
г'

«ального двигателя

— !

1шы управляемости)

——— ।

Ц>ины управляемости |

ртравляемГ)

Рис. 11.29	а)

(а) Корневой
годограф системы

автоматического
контроля.

{б) Скрипт MATLAB

Область, удовлетворяющая
параметрам (о/7 = 2.8, С = 0.7^

эавляем!')

шие скрипта tangent, m

И:	ч------1

I tangent.m output

тангенциальных
и скрипта

с выдвинутым требова-

пложения доминирую-
ft,! в 111.85), получим:

(11.87)

(si - Н) - О, приводит-

DI	(11.88)

то 111,88) можно запи-

ияся влево на 5-плоско-
|фидиенты при степе-
и А: = 0.05. Корневой

и;

6 -

8 .

J

.10 ---------------ь

to	•$

Демеtwirv . imkoi ись

% Скрипт для построения корневого годографа

% для системы автоматического контроля с указанием

% области желаемого качества

num=[1 8 20]; den=[1 6 5 01; sys=tf(num,den);

elf; rlocus(sys); hold on Сохранение построений с целью

%	— добавления области желаемого качества

zeta=0.72; wn=2.8;

х=[-10:0.1 :-zeta*wn]; y=-(sqrt(1-zetaA2)/zeta)*x;

xc=[-10:0.1 :-zeta*wn]; c=sqrt(wnA2-xc.A2);

plot(x,y/:’,x,-y/:’,xc,c,:’,xc,-c)1:’)

Если выбрать KK3 = 12. то доминирующие корни будут находиться в области желаемого каче-
ства. как показано на рис. 11.29. Это значение КК3 можно найти, указав желаемое расположе-
ние корней на годографе и воспользовавшись функцией doefind. Окончательно получим коэф-
фициенты К = 240, Х'| = 1, К2 = 0.35 и К3 = 0.05. В результате синтеза получим время установ-
ления около 1,8 с и перерегулирование 3%, как показано на рис. 11.30.

Пример 11.15. Моделирование систем управления с помощью Simulink

Рассмотрим систему, заданную в переменных состояния уравнением
х = Ах + Вг/,

где

Рис. 11.30

Переходная характеристика
системы автоматического контроля

Время (с)

22—1503
Рис. 11.31

Моделирование
в Simulink системы
с полной обратной
связью
по состоянию



S>gnel
Gene/ator

fie:; Yew Simulation: Format : Jock :

^automatic

Scope

□□□a
oo

* Ах*-Ви
у = Сх+ ри

State- Space

Модель в переменных
состояния помещается
в библиотеку
Continuous Library

Источник входного
сигнала может быть
помещен в библиотеку

Sources Library

k’u 4

Matrix
Gain

Ready





Матрица коэффициентов |
помещается в библиотеку

Math Library I

При моделировании в Simulink’e может возникнуть потребность использовать полную обрат-
ную связь по состоянию, что означает, что все компоненты вектора состояния (в данном слу-
чае Л[ и х?) должны быть доступны для заведения по ним обратной связи. Один из способов,
как этого добиться, заключается в выборе таких матриц С и D, чтобы выполнялось равенство

"4
0

0

. D-

0

0

Закон управления с полной обратной связью по состоянию записывается в виде

где v — эталонный входной сигнал. Структурная схема замкнутой системы управления при
моделировании ее в Simulink’e изображена на рис. 11.31. Эталонный входной сигнал задается
блоком Signal Generator.

Выходные сигналы блока State-Space соответствуют двум переменным состояния, X] и х2. Эти
сигналы поступают на вход блока Matrix Gain, который формирует сигнал обратной связи Кх.
Он, в свою очередь, суммируется (со знаком минус) с эталонным входным сигналом , в резуль-
тате чего образуется сигнал и =-Кх + у, поступающий на вход объекта управления.

Рис. 11.32

Выбор входного
сигнала в окне
параметров блока
Signal Generator

£fe £diLYiew ^«тййюп Format IoobE H*lp

Block Paiameteis; Signal Geneialt»

x

ooaa
Oo

Signet
Generetat

Signal Geneva -;

Gdtpu* various wave fams-

Г Paramelefj

-Wave form:

; Amplitude:



Задайте параметры -—
входного сигнала

FHoady



Frequency 

,! [I

: Unfcs; | H ertz

Т7 Intttpcet vector parameter as 1

OK I <  Cancel

Завершите прецедуру
щелчком на ОК

Выберите

форму сигнала:
синусоидальный
прямоугольный
пилообразный
случайный
Иодель в переменных
кстояния помешается
в библиотеку

Continuous Library

грина коэффициентов !
рм тает с я в библиотеку

Math Library
шьзовать полную обрат-
истояния (в данном слу-
гой. Один из способов,
выполнялось равенство

велся в ваде

истемы управления при
входной сигнал задается

И состояния, х, и х2- Эти
гнал обратной связи Кх.
мым сигналом , в резуль-
жта управления.

Выберите

форму сигнала:

синусоидальный
прямоугольный

пилообразный
случайный

Вы можете выбрать вид и параметры эталонного входного сигнала, как показано на рис. 11.32.
В случае, приведенном на рисунке, таким сигналом является синусоидальный сигнал. Другим
часто используемым сигналом являются колебания прямоугольной формы, пилообразной
формы и случайный сигнал.

Элементы матрицы коэффициентов обратной связи К и матриц системы А, В С hD задаются с
помощью всплывающих окон, как показано на рис. 11.33 и 11.34. В данном случае матрица К
выбрана в виде

К = [1 1].

Это позволяет разместить полюсы замкнутой системы (т. е. собственные значения матрицы
А-ВК) в точках 5| = -1 и s2 = -3. Simulink обеспечивает легкость доступа к матрице обратной

связи и тем самым дает возможность исследовать поведение модели при различных парамет-

рах цепи обратной связи.

Обратите внимание, что на рис. 11.34 в качестве входных данных заданы также начальные

условия. В данном конкретном примере задано

х(0) =

Л|(0)

х2(0)_

^automatic



Рис. 11.34

Задание модели
в переменных состояния
Рис. 11.35

Результат моделирования,
отражающий изменение
переменных состояния

Если вы задали все параметры, то можете приступить к моделированию (за дополнительной
информацией о начале моделирования и установке параметров при необходимости обратитесь
к приложению Б и главе 5). Результат решения данной задачи, отражающий изменение пере-
менных состояния, приведен на рис. 11.35. Simulink позволяет легко выполнять численные эк-
сперименты и исследовать качество замкнутой системы при самых разных условиях.

11.11.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ В этой главе мы синтезируем систему с обратной связью по состоянию, которая
удовлетворяла бы выдвинутым требованиям к ее качеству. Эти требования приве-
дены в табл. 11.1. Структурная схема разомкнутой системы изображена на рис.

11.36. Сначала мы реализуем обратную связь по состоянию для этой модели второго по-
рядка, а затем проверим результат синтеза как для этой модели, так и для модели третьего
порядка.

Таблица 11.1. Требования к системе чтения информации с диска
и действительные показатели качества

Показатель качества

Желаемое Реакция модели Реакция модели

значение

второго порядка третьего порядка

Относительное
перерегулирование

Время установления

Максимум реакции на единичное
ступенчатое возмущение

<5%

< 50 мс

< 5  IO’3

<1%

34,3 мс

5,2- 105

0%

34,2 мс

5.2- 1(Г5

Сначала мы выберем в качестве переменных состояния xI(r) = y(z) и x2(t) = dytdt =
= dx^dt, как показано на рис. 11.37. На практике действительно возможно измерить поло-
жение и скорость перемещения считывающей головки. Именно эти переменные мы и ис-


У(5)

Положение
головки

Рис. 11.36. Разомкнутая система управления дисководом

ад

Рис. 11.37. Система с обратной связью по двум переменным состояния

пользуем для образования обратной связи (см. рис. 11.37). Выберем коэффициент ~ 1,
поскольку выходная переменная у(0 должна по возможности точно отслеживать измене-
ния сигнала г(г). Разомкнутая система описывается следующим уравнением в перемен-
ных состояния:

“О 1

Х“ 0 -20

На основании рис. 11.37 замкнутая система будет описываться уравнением

0	1

лКа -(20+5£2К„)_

о

5КО

КО •

Характеристическое уравнение замкнутой системы при = 1 имеет вид:
? + (20 + 5K2Ka)s + 5Ка =0.

Чтобы удовлетворить требования, предъявляемые к качеству системы, выберем С, - 0,90 и
Qo)n =125. Тогда желаемое характеристическое уравнение примет вид:

? +2^,5+и; =s2 +2505+ 19290 = 0.

Отсюда имеем 5Ка - 19290, или Ка = 3858, а также 20 + 5К2Ка - 250, или К2 = 0,012.

Система с моделью второго порядка удовлетворяет предъявляемым требованиям,
как это отражено в табл. 11.1. Если учитывать индуктивность обмотки возбуждения дви-
гателя, равную 1 мГн, то мы получим модель третьего порядка, в которой

/ ч 5000
G, (s) =---— .

1	5+1000

Сохранив все остальные параметры системы, полученные ранее, можно проверить
показатели качества с учетом того, что модель имеет третий порядок. Соответствующие
данные также приведены в табл. 11.1, откуда следует, что и в этом случае все выдвинутые
требования выполнены. Этот пример также показывает, что модель второго порядка явля-
ется вполне адекватной для синтеза системы с обратной связью по состоянию.
11.12. Резюме

В этой главе кратко были рассмотрены основы синтеза систем управления во временной
области. Особое внимание было уделено синтезу оптимальных систем на основе интегра-
льных оценок качества. Кроме того, были затронуты проблемы синтеза регуляторов с ис-
пользованием обратной связи по состоянию с привлечением для этой цели корневого го-
дографа, а также синтеза внутренней модели.

Упражнения

У-11.1. Способность сохранять равновесие является ключевой проблемой для устройства, передви-
гающегося прыжками на одной подрессоренной ноге, как показано на рис. 11.1(У). Управле-
ние положением этого устройства осуществляется с помощью гироскопа и обратной связи по

состоянию с уравнением и = Кх. где

В-1

Определите значение А, при котором система управления
будет обладать критическим демпфированием.

У-11.2. Поведение стального шарика, подвешенного в магнит-

ном поле, описывается уравнением

Обе переменные состояния (положение Х| и скорость х2)
доступны измерению. Найдите вид обратной связи, при
котором система управления шариком будет обладать кри-
тическим демпфированием, а время установления (по кри-
терию 2%) будет равно 2 с.

У-11.3. Система описывается уравнениями

. Го 1

Определите, является ли система управляемой и наблюда-
емой.

Рис. 11.1 (У). Управление
устройством,
передвигающимся
на одной ноге:

1 — воздушные клапаны, 2 —
подвес, 3— компас, 4 —
сервоклапан,

5 — двухосевой гироскоп,
6— гидропривод и датчики
положения/скорости, 7 —
нога, 8 — поворот ноги

Ответ: управляема, но не наблюдаема.

У-11.4. Система описывается уравнениями

и

И

Определите, является ли система управляемой и наблюда-
ем ой.

У-11.5. Система описывается уравнениями

и и у=х1.

Определите, является ли система управляемой и наблюдаемой.

У-11.6. Система описывается уравнениями

и и

Определите, является ли система управляемой и наблюдаемой.
Ответ: управляема и наблюдаема.

Задач

3-11.1. Сисг

Треб>t
ног о с«
честна

Найди
реализ
пиенту
3-11.2. Что’с
упраьл
чества

(а) По$

МИЗИГ}

3-11.3. Сие-

Обе пе
шин СW
миним.
ЧУВСТВ!

Являет

3-11.4. В пр
ст в а

Начали

3-11.5. В пт:
.

ства

Начлть
3-11.6. Для;
мальнд
качеств
3-11.7. Си с т

м е н н ы
Задачи

3-11.1. Система описывается дифференциальным уравнением первого порядка

Л' = х + и.

Требуется синтезировать регулятор с уравнением u(t) = —кх. переводящий систему из началь-
ного состояния л(0) - д/2 в положение равновесия х(/) = 0 при г —> оо. Интегральная оценка ка-
чества задана в виде

J = ргУт
о

Найдите значение к, обеспечивающее минимум оценки J. Является ли это значение физически
реализуемым? Выберите реальное значение к и вычислите соответствующую этому коэффи-
циенту интегральную оценку качества. Является ли устойчивой система без обратной связи?

3-11.2. Чтобы учесть расход энергии и ресурсов, в интегральную оценку качества включают также
управляющий сигнал, поскольку он всегда является ограниченным. Одна из таких оценок ка-
чества имеет вид:

J = j[/2(0+ u2(t)]dt.

о

(а) Повторите задачу 11.1, используя эту оценку, (б) Полагая X — 2, найдите значение к, мини-

мизирующее оценку У, и вычислите ее минимальное значение.
3-11.3. Система управления роботом описывается уравнением

Обе переменные состояния доступны измерению, поэтому можно сформировать управляю-
щий сигнал u(t) =-к(х} + хэ). Используя метод, описанный в разделе 11.4, найдите значение к.
минимизирующее интегральную оценку качества. Вычислите минимум оценки У. Определите
чувствительность оценки качества к параметру к. Начальные условия заданы в виде

х(0) =

Является ли устойчивой система без обратной связи?

3-11.4. В примере 11.6 определите коэффициент обратной связи к, минимизирующий оценку каче-
ства

ОС:

У = jxTx dt.

о

Начальные условия заданы в виде хт(0) = [1 1]. Изобразите графически зависимость У от к,
3-11.5. В примере 11.7 определите коэффициент обратной связи А, минимизирующий оценку каче-
ства

У = j(xTx + uTu) dt.

о

Начальные условия заданы в виде хт(0) = [1 1]. Изобразите графически зависимость У от к.
3-11.6. Для решений задач 11.3, 11.4 и 11.5 определите корни характеристического уравнения опти-
мальной замкнутой системы. Обратите внимание, что эти корни зависят от выбранной оценки
качества.

3-11.7. Система описывается векторно-матричным уравнением (11.20). Требуется, чтобы обе пере-
менные состояния были использованы для формирования сигнала обратной связи
u(t) - -к{х^ — кух2- Кроме того, собственная частота (ол полученной таким образом системы
должна быть равна 2. Определите коэффициенты и к2. при которых в случае выбранной
оценки качества (11.13) система была бы оптимальной. Начальные условия заданы в виде
хт(0) = [1 0].

3-11.8. Для системы из примера 11.5 определите оптимальное значение к2, если к} ~ 1 и
хт(0) = [1 0].

3-11.9. С точки зрения управления очень интересной является задача о шарике, находящемся на ко-
ромысле [см. рис. 11.9(3)]. Жесткое коромысло может врашаться относительно своего центра,
а шарик катается по канавке вдоль коромысла. Проблема состоит в том. чтобы можно было
остановить шарик в заданной точке коромысла, используя в качестве управляющего сигнала
1момент. прикладываемый к коромыслу относительно точки его вращения.

В линейной модели этой системы предполагается, что измерению доступны угол (р и угловая
скорость dty/dt. Реализуйте такую обратную связь, чтобы при ступенчатом входном сигнале в
замкнутой системе перерегулирование было равно 4 %, а время установления (по критерию
2%) составляло 1 с.

3-11.10. Динамика ракеты представлена передаточной функцией

U Is}

а в системе управления используется обратная связь по состоянию. raext ~ y(t) и и = -2х2 - лг
Найдите корни характеристического уравнения этой системы и ее реакцию на начальные усло-
вия Xj(O) - 0 и х2(0) = 1.

3-11.11. Объект управления задан передаточной функцией

С помощью обратной связи по состоянию добейтесь того, чтобы при ступенчатом входном
сигнале установившаяся ошибка была равна нулю. Коэффициенты обратной связи выберите
так. чтобы время установления (по критерию 2%) было менее 1 с. а перерегулирование состав-
ляло примерно 1%.

3-11.12. Двигатель постоянного тока имеет передаточную функцию

G(s) = -2----у--------.

5 ($ + l)(s +25+2)

Определите, является ли данный объект управляемым и наблюдаемым.

Рис. 11.9 (3)

(а)	Шарик
на коромысле.

(б)	Модель шарика
на коромысле

л)

Заданное
положение

3-11.13. о

Треб?

К. - 2
»

соотв

нов ле

с о ст о

3-11.14. Oi

Опре:
(по .*р
граф г
дом ?

шаяся

3-11.15. Cfc

(а) Од
мен.Нл
с я ли

3-11.16. В

исло.т
описи

П о лк».

ратной

мерена

3-11.17. С»

Опред;

ем ой. :

3-11.18. Об]

(a i' 3m
пеоеме

-I

KOTCI-pbJ

бы эда

3-11.19. На :

I.

ли эта
ким образам системы
х в случае выбранной
словия заданы в виде

ние к?, если к} - 1 и

ке, находящемся на ко-
иггельно своего центра,
им, чтобы можно было
управляющего сигнала
гния.

упны угол (р и угловая
гом входном сигнале в
ювления (по критерию

JT =y(t) И и = -2д? - Л],
цию на начальные усло-

1 ступенчатом входном
ратной связи выберите
урегулирование состав-

ив.

Коромысло

Момент

1

3-11.13. Объект управления имеет передаточную функцию

G(s) =

К
5(5+70)'

Требуется, чтобы система управления объектом имела коэффициент ошибки по скорости
Kv = 35. а перерегулирование при ступенчатом входном сигнале составляло примерно 4%. что
соответствует коэффициенту затухания Q = 1/42. Кроме того, желательно иметь время уста-
новления (по критерию 2%) 0,11 с. Определите необходимую обратную связь по переменным
состояния.

3-11.14. Объект управления имеет передаточную функцию

П*) _	1

U (5)	5(5 + 10)

Определите коэффициенты обратной связи по состоянию, при которых время установления
(по критерию 2%) было бы равно 1 с. а перерегулирование составляло около 10%. Изобразите
граф полученной системы и выберите необходимый коэффициент усиления в цепи между вхо-
дом Я(5) и переменной U(s), исходя из того, что при ступенчатом входном сигнале установив-
шаяся ошибка должна равняться нулю.

3-11.15. Система управления роботом описывается уравнениями

0

-2

0

[1

О 2]х.

(а) Определите передаточную функцию G(s)= Y(s)/U(s). (б) Изобразите граф системы в пере-
менных состояния, (в) Определите, является ли система управляемой, (г) Определите, являет-
ся ли система наблюдаемой.

3-11.16. В фильме «Парк юрского периода» динозавры передвигались при помощи гидравлических
исполнительных механизмов большой мощности (до 1,2 кВт). Движение одной конечности
описывается передаточной функцией

G(s) =

Полюсы замкнутой системы управления конечностью требуется разместить в точках
5 = -2 + /2. С помощью формулы Аккермана определите соответствующие коэффициенты об-
ратной связи. Считайте, что обе переменные состояния (положение и скорость) доступны из-
мерению.

3-11.17. Система имеет передаточную функцию

У(5) _	5+47

Л(5) ” 54 + 5? + 1 Os2 + 10s + 4 ‘

Определите значение вещественного параметра а, при котором система будет либо неуправля-
емой, либо ненаблюдаемой.

3-11.18. Объект управления имеет передаточную функцию

2+>=g(s)=—Ц.

/?(S)	(S + I)2

(а) Запишите матричное дифференциальное уравнение для объекта. Изобразите граф объекта в
переменных состояния, (б) Выберите такие коэффициенты обратной связи по состоянию, при
которых реакция системыy(t) на начальные условия хэ(0) = 1 их2(0) = 0. где.Т] = >*(0, обладала
бы критическим затуханием. Кратные корни должны находиться в точке 5 -~^41.

3-11.19. На рис. 11.19(3) изображена структурная схема системы управления. Определите, является
ли эта система управляемой и наблюдаемой.
Рис. 11.19 (3)

А(5)

И 5}

3-11.20. Рассмотрите систему автоматического управления курсом корабля из задач 8.11 и 9.15. Си-

стема описывается следующим уравнением в переменных состояния:

*(*) =

-0,05

-10’3

1

—6

-0.15
0

1

0

0

0

0

-0,2'

0,03
0

3(0 -

0

где х1 (/) = [v су у 0]. Переменные состояния имеют следующий смысл: х, = v — скорость в

поперечном направлении. х2 = wv — угловая скорость корпуса корабля. х3 =у — отклонение
корабля по оси, перпендикулярной курсу, х4 = 0 — угловое отклонение от курса, (а) Определи-
те, является ли система устойчивой, (б) Дополните систему обратной связью с уравнением

8(г) = -Ару - Аг3л’3. Определите, будет ли система устойчивой при надлежащем выборе и А3.

3-11.21. На рис. 11.21(3) изображена АЛ-схе-
ма. (а) Выберите две переменных со-
стояния и запищите векторно-матрич-
ное дифференциальное уравнение, счи-
тая выходной переменной v0(/).
(б) Определите, являются ли перемен-
ные состояния наблюдаемыми при
R\/Lx =R2/L2. (в) Определите условия,
при которых характеристическое урав-
нение схемы имеет два одинаковых

Рис. 11.21 (3). RL-схема

корня.

3-11,22. В системе управления манипулятором объект с передаточной функцией

ч

1
s(s + 0,4)

67(j) =

охвачен единичной отрицательной обратной связью. Представьте эту систему в виде графа б
переменных состояния и в виде векторно-матричного дифференциального уравнения, (а) По-
стройте график реакции системы на ступенчатый входной сигнал, (б) Для управления объек-
том используйте обратную связь по состоянию так. чтобы перерегулирование составляло 5° у.
а время установления (по критерию 2%) равнялось 1,35 с. (в) Постройте график реакции систе-
мы с обратной связью по состоянию на ступенчатый входной сигнал.

3-11.23, Рассмотрите еще раз систему из примера 11.11 при условии, что установившаяся ошибка
при ступенчатом входном сигнале должна быть равна нулю, а характеристическое уравнение
должно иметь корни s = -2 ±j\ и .v = -10.

3-11.24. Рассмотрите систему из примера 11.11 при условии, что установившаяся ошибка при ли-
нейном входном сигнале должна быть равна нулю, а характеристическое уравнение должно
иметь корни 5 = -2 ±/2 и 5 = -20.
Задачи повышенной сложности

П-11.1. На рис. 11.1 (П) изображена система управления двигателем постоянного тока. Все три пере-
менных состояния доступны измерению; выходной переменной является положение Л|(/). Вы-
берите такие коэффициенты обратной связи, чтобы установившаяся ошибка при ступенчатом
входном сигнале равнялась нулю, а перерегулирование не превышало 3%.

Рис. 11.1 (П)

Двигатель
постоянного тока,
управляемый по
цепи возбуждения

ОД

П-11.2. Объект управления имеет передаточную функцию

<ОД =

3? + 4j-2

? + 3?+7s+5 '

Введите обратную связь по состоянию так, чтобы замкнутая система имела полюсы s —4. -4
и -5.

П-11.3. Система описывается матричным дифференциальным уравнением

Как должны быть выбраны коэффициенты и Ь2, чтобы система была управляемой?
П-11.4. Перевернутый маятник из примера 3.3 описывается уравнением

Считая, что все переменные состояния доступны измерению, реализуйте обратную связь по
этим переменным так, чтобы характеристическое уравнение системы имело корни s = -2 ± j.
-5 и -5.

П-11.5. Система автомобильной подвески имеет три физических переменных состояния, как пока-
зано на рис. 11.5(П). В системе использована обратная связь по состоянию, причем = 1. Вы-
берите коэффициенты К2 и К3 так, чтобы характеристическое уравнение системы имело три
вещественных корня, расположенных между 5 = -3 и 5 - -6. Выберите также Кр, чтобы устано-
вившаяся ошибка при ступенчатом входном сигнале была равна нулю.

/?(5)

Рис. 11.5 (П). Система автомобильной подвески
П-11.6. Система описывается дифференциальным уравнением
d2 у _ dv du
—-L + 2™ + у - — + и .
dt2 dt ' dt

где у — выходная переменная, и — входная переменная.

(а) Представьте систему в форме фазовой переменной и покажите, что она является управляе-
мой. (б) Примите в качестве переменных состояния Л] =у и х2 = dy/dt- и и определите, являет-
ся ли в этом случае система управляемой. Обратите внимание, что управляемость системы за-
висит от выбора переменных состояния.

П-11.7. Новое судно «Radisson Diamond» оснащено понтонами и стабилизаторами, сглаживающи-
ми бортовую качку, как показано на рис. 11.7(П). (а). Структурная схема системы стабилиза-
ция качки приведена на рис. 11.7(П), (б). Определите коэффициенты К2 и К3 так, чтобы харак-
теристическое уравнение системы имело корни$ =-15 as = -2 ±jl. Постройте график измене-
ния угла качки ф(г) при единичном ступенчатом возмущении.

П-11.8. Рассмотрите систему управления уровнем жидкости, описанную в задаче 3.36.

(а) Синтезируйте систему с обратной связью только по одной переменной состояния. /?(/). так
чтобы переходная характеристика имела перерегулирование менее 10% и время установления
(по критерию 2%) не более 5 с. (б) Синтезируйте систему с обратной связью по двум перемен-
ным состояния — уровню жидкости h(f) и положению вала двигателя 0(/). Система должна
удовлетворять требованиям, указанным в п. (а), (в) Сравните результаты пп. (а) и (б).

П-11.9. Систему управления движением больничной каталки можно представить в виде модели из
двух масс и пружин, как показано на рис. 11.9(П), где т} = т2 - 1 и к} = к2 = 1.

(а)	Запишите векторно-матричное дифференциальное уравнение, (б) Определите корни харак-
теристического уравнения системы, (в) Требуется стабилизировать систему за счет обратной
связи и = -кх}> где и — сила, действующая на нижнюю массу, ах, — одна из переменных состо-
яния. Выберите соответствующую переменную состояния х;. (г) Изобразите вид корневого го-
дографа в зависимости от параметра к.

Вид сбоку

Вид спереди

A(s)=0

Z)(5)

Риск 11.7 (П). (а) Паром «Radisson Diamond».

(б)	Система управления, ослабляющая влияние возмущения
сила

Рис. 11.9 (П). Модель

Рис. 11.10 (П). Двигатель и перевернутый
маятник

больничной каталки

П-11.10. Рассмотрите перевернутый маятник, закрепленный на валу двигателя, как показано на
рис. 11.10(П). Предполагается, что трение в подшипниках отсутствует. В одном корпусе с дви-
гателем находится тахогенератор, поэтому измерению доступна скорость вращения, но ин-
формация об угловом положении отсутствует. Если на двигатель не подано напряжение, то ма-
ятник займет обычное положение, а при небольшом возмущении будет совершать незатухаю-
щие колебания. Если же маятнику придать вертикальное (перевернутое) положение, то это по-
ложение будет неустойчивым. Придумайте такой регулятор в цепи обратной связи, Gt,(s),
который использовал бы только информацию о скорости, получаемую от тахогенератора.

Рис. 11.11 (П)

Система управления
с внутренней
моделью

Ж



П-11.11. Определите регулятор с внутренней моделью, Gc(s), для системы, изображенной на рис.

11.11 (П). Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равня-
лась нулю, а время установления (по критерию 2%) должно быть менее 5 с.

П-11.12. Повторите задачу П-11.11, если требуется, чтобы при линейном входном сигнале устано-
вившаяся ошибка равнялась нулю, а время установления (по критерию 2%) было менее 6 с.

Задачи на синтез систем

СС-11.1. Систему управления положением скользящей части стола требуется реализовать с исполь-
□зованием обратной связи по состоянию. Для этой цели воспользуйтесь моделью в перемен-
ных состояния, разработанной в задаче СС-3.1. Переходная характеристика должна иметь
перерегулирование менее 2% и время установления менее 250 мс.

С-11.1. Рассмотрите устройство, позволяющее удерживать стальной шарик в подвешенном состоя-
нии в магнитном поле, как показано на рис. 11.1 (С), (а) и (б). Считая, что переменные у и dyldt
доступны измерению, синтезируйте систему управления, которая обеспечивала бы заданное
положение шарика с точностью 10%.
Эле ктр о м а г' н ит

Фотодатчик

£ Источник
света

Ток------

электромагнита

-J5

ЛГ784

—>Y(s)
Вертикальное
положение

шарика

д)	о)

Рис. 11.1 (С), (а) Подвеска шарика с помощью электромагнита.

(5)	Модель электромагнита и шарика

С-11.2. Борьба за уменьшение выброса в атмосферу выхлопных газов привела к тому, что в 1980-е
годы в автомобильной промышленности задачей первостепенной важности стало управление
соотношением горючего и воздуха в карбюраторе. И конструкторы автомобильных двигате-
лей решили использовать для этой цели системы с обратной связью. В выхлопную трубу поме-
шался датчик, выходной сигнал которого подавался на вход регулятора. Последний управлял
степенью открытия жиклера, через который горючее поступало в карбюратор.

Подберите необходимые технические устройства и разработайте линейную модель системы
управления. Считайте, что датчик практически без запаздывания определяет действительное
соотношение горючего и воздуха. На основании этой модели синтезируйте оптимальный регу-
лятор, если система должна обладать нулевой установившейся ошибкой при ступенчатом
входном сигнале, а перерегулирование не должно превышать 10%.

С-11.3. Коэффициент полезного действия дизельного двигателя сильно зависит от скорости враще-
ния вала. Поэтому задача управления этой скоростью весьма актуальна для железнодорожных
дизельэлектровозов. Локомотив приводится в движение с помощью мощных электродвигате-
лей постоянного тока, связанных с каждой из его осей. Рассмотрите модель такого электро-
привода, приведенную на рис. 11.3 (С), где степень открытия дросселя соответствует смеще-
нию движка потенциометра.

Скорость вращения вала электродвигателя со0 измеряется с помощью тахогенератора, выраба-
тывающего сигнал обратной связи v0. Тахогенератор может быть связан с валом электродвига-
теля ременной передачей. Сигнал ошибки v,.-v0 усиливается электронным усилителем и в
виде напряжения ту подается на обмотку возбуждения генератора постоянного тока.

Якорь генератора вращается с постоянной скоростью сообщаемой ему дизелем. Напряже-
ние генератора подается на якорную обмотку двигателя и для последнего играет роль управ-
ляющего сигнала, а ток i в обмотке возбуждения двигателя поддерживается постоянным. Дви-
гатель развивает вращающий момент Т и приводит в движение нагрузку на своем валу, так что
скорость ш0 стремится сравняться с ее заданным значением со,..

Известно, что коэффициент передачи генератора Kg = 100. а коэффициент передачи двигателя
К,п = 10. Коэффициент противоЭДС Кь = 31/50. Параметры двигателя J= 1. b = 1, La ~ 0.2 и
Ra - 1. Параметры обмотки возбуждения генератораRj- 1 nLj = 0.1. Кроме того, известно, что
коэффициент передачи тахогенератора Kt = 1, а якорная обмотка генератора имеет Lg = 0,1 и
Rg~ 1. Все три параметра заданы в соответствующих единицах СИ.

(а) Разработайте линейную модель системы и исследуйте ее качество в зависимости от общего
коэффициента усиления К. Чему равна установившаяся ошибка при фиксированном положе-
нии дросселя, т. е. при v,. = Д? (б) Учтите в модели системы влияние возмущающего момента
Td со стороны нагрузки и определите, как он отразится на скорости (D0(s). Для результатов
—►Y(s)
Вертикальное

F

положение

шарика

пгз

что в 1980-е
V-

стало управление
5»«_ть ных двигате-
жу ю трубу7 поме-
Эедний управлял
Гор

модель системы
Г действительное
пммальный регу-
ири ступенчатом
II

скорости враше-
жлезнодорожных
.. электрод вигате-
»такого электро-
(етствкет смете-
*

«ратора. выраба-
пм электродвига-
I усилителем и в
Ьго тока.

ведем. Напряже-
грает роль управ-
йстоянным, Дви-
нем вале. так что

Йсдачи двигателя

= 1. 4, = 0.2 и
го. известно, что
имеет I.. = 0.1 и

г?

выюсти от общего

v0 = Н *н 1 ряже 1111 еi ахо i ci i еря i ора

Рис. 11.3 (С). Система управления скоростью дизельэлектровоза

п. (а) оцените установившуюся ошибку, обусловленную возмущением, (в) Выберите три пере-
менных состояния, которые легко могут быть измерены, и запишите векторно-матричное диф-
ференциальное уравнение системы. Затем введите обратную связь по состоянию, обеспечива-

ющую приемлемое качество системы.

С-11.4. На рис. 11.4(C) изображен современный вертолет, для которого управляемой переменной

является угол наклона 0, изменяемый за счет углового положения несущего винта 8.

ДвзЛкение вертолета описывается урав-
нениями

d29	dft	dx

—- = -а,------а,----F по .

dt2	dt	dt

•41

где л — перемещение в горизонтальном
направлении. Вертолет боевого назначе-
ния характеризуется следующими пара-
метрами:

0.415, о2 = 0.0198, oij = 0,0111
а2 = 1,43, п = 6.27. g = 9,8.

Все параметры заданы в соответствую-
щих единицах СИ.

Получите (а) модель системы в перемен-
ных состояния и (б) передаточную фун-

вошего момента

Для результатов

Рис. 11.4 (С). Управление углом наклона
вертолета 9 относительно поперечной оси.

кцию 0(s)/8(,y). (в) С помощью обратной
связи по состоянию обеспечьте требуе-

мое качество системы.
Требуется, чтобы (1) при ступенчатом изменении заданного угла наклона 0^ установившаяся
ошибка составляла менее 20% от амплитуды входного сигнала; (2) перерегулирование при
ступенчатом входном сигнале было менее 20%; и (3) время установления (по критерию 2%) не
превышало 1.5 с.

С-11.5. На одном из этапов производства бумаги из жидкой пульпы формируется струя диаметром
2 см, которая распределяет пульпу по ячеистой ленте. Чтобы обеспечить желаемое качество
бумаги, пульпа должна заполнять ленту как можно равномернее, а для этого необходимо под-
держивать заданное соотношение между скоростью струи и скоростью движения ленты. Од-
ной из основных управляющих переменных является давление в распределительной камере,
которое определяет скорость истечения струи жидкой пульпы. Давление в этой камере скла-
дывается из давления слоя жидкой пульпы и давления сжатого воздуха, нагнетаемого в каме-
ру. Поскольку камера с пульпой, находящаяся под давлением, представляет собой объект со
сложной динамикой, то при ручном управлении нельзя обеспечить высокое качество бумаж-
ной полосы.

Модель распределительной камеры в переменных состояния, линеаризованная в окрестности
рабочей точки, имеет вид:

-0,8

-0,02

0,05 1

0.001 о

И y=[^ Л2].

Переменными состояния являются уровень жидкой пульпы Xj и давление хэ, а управляющими
переменными — поток пул brill щ и степень открытия клапана и7. Синтезируйте систему с об-
ратной связью по состоянию, характеристическое уравнение которой имело бы корни, по мо-
дулю большие пяти.

С-11.6. На рис. 11.6(C) изображен механизм со связанным вра-
щением. Он состоит из двух шкивов, соединенных элас-
тичным ремнем, натяжение которого обеспечивается тре-
тьим шкивом, подвешенным на пружине, так что вся систе-
ма оказывается недодемпфированной. Один из основных
шкивов, шкив А, приводится во вращение двигателем по-
стоянного тока. Шкивы А и В снабжены тахогенераторами,
напряжение которых пропорционально скорости вращения
шкивов. Если включить двигатель, то шкив А приобретет
ускорение, определяемое обшим моментом инерции всей
системы. Шкив В на другом конце эластичного ремня так-
же начнет вращаться с ускорением, но с некоторым запаз-
дыванием, обусловленным эффектом эластичности ремня.
Интегрирование сигналов, пропорциональных скорости
каждого шкива, дает информацию об их угловом положе-
нии.

Данная механическая система описывается следующими
уравнениями:



Пружина > Шкив,
?> задающий

Г натяжение

Шкив А

Шкив В

Рис. 11.6 (С)

Эластичный
ремень

Реализуйте обратную связь по состоянию, при которой в случае ступенчатого входного сигна-
ла система обладала бы апериодической реакцией (см. раздел 10.11) с временем установления
(по критерию 2%) менее 0,5 с.

С помощью ф

М-11.2. Рассмотри

Определите, ла

Пию, связывая
М-11.3. Система оп

Используя обрд
кнутая система
М=11.4. Модель яви;
ми

(а) С ПОМОЩЬЮ фт
яяется управляем
(б) Получите мод£
найдите передало
знаменателе. Зале*
Ниро ванную моде:
(в) Убедитесь, что
(г) Является ли дщ
(Д) Поясните, какал
ных состояния (где
М-11.5. Линеаризованна
нениями

где

-0.0366 'I

0,0482 =-

0.1002 (

0

Компонентами векто
нал скорость (в узлщ.
Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-11.1. Рассмотрите систему, описываемую уравнениями

-1

1

О

8

4

и и у-[1 2 1] х.

С помощью функций ctrb и obsv покажите, что система является управляемой и наблюдаемой.
М-11.2. Рассмотрите систему, описываемую уравнениями

О

и и у = [1

0] х.

Определите, является ли система управляемой и наблюдаемой. Найдите передаточную функ-

цию, связывающую и и у.

М-11.3. Система описывается уравнениями

0

Используя обратную связь по состоянию и - -Кх, найдите такую матрицу К, при которой зам-

кнутая система будет иметь полюсы 5| =-1 и s2 = ~-2.

М=11.4. Модель движения с постоянной скоростью управляемой ракеты представлена уравнения-

ми

0

-0.1

-0.5

0

0

0

0
0

0

10
0

(а)	С помощью функции ctrb получите матрицу управляемости и убедитесь, что система не яв-
ляется управляемой.

(б)	Получите модель в переменных состояния, которая была бы управляемой, для чего сначала
найдите передаточную функцию от и ку и сократите одинаковые сомножители в числителе и
знаменателе. Затем к полученному выражению примените функцию ss и определите модифи-
цированную модель системы в переменных состояния.

(в)	Убедитесь, что система, полученная в п. (б), является управляемой.

(г)	Является ли движение ракеты с постоянной скоростью устойчивым?

(д)	Поясните, какая связь существует между управляемостью и сложностью модели в перемен-
ных состояния (где сложность определяется числом переменных состояния).

М-11.5. Линеаризованная модель самолета с вертикальным взлетом и посадкой описывается урав-
нениями

х = Ах + Bjiq + В2г/2 ,

где

-0,0366
0,0482
0.1002
о

0,0271
-1,0100

0,3681
0

0,0188
0.0024
-0,7070

1

-0,4555'

-4,0208

1.4200

0

0.4422

3.5446

-5,5200

0.1761

-7.5922

4,4900
0

0

Компонентами вектора состояния являются горизонтальная скорость Xj (в узлах)*, вертикаль-
ная скорость (в узлах) х2, скорость изменения угла наклона относительно поперечной оси
Предл

(градусы/с) и сам угол наклона х4 (градусы). Входной сигнал i/j используется, главным обра-
зом, для управления движением в вертикальном направлении, а и2 - для управления движени-

ем в горизонтальном направлении.

(а) Вычислите собственные значения матрицы А. Является ли система устойчивой? (б) С по-
мощью функции poly определите характеристический полином, соответствующий матрице А,

Вычислите корни характеристического
уравнения и сравните их с собственными
значениями, найденными в и. (а), (в) Явля-
ется ли система управляемой, если исполь-
зовать только сигнал А если только иП
Прокомментируйте результаты.

М-11.6. Желание сделать доступной для изуче-
ния обратную сторону Луны стимулировало
работы по исследованию возможности запу-
ска спутника связи, который вращался бы за
Луной вокруг точки равновесия (центра
масс) системы Земля-Солнце-Луна. Такая
орбита спутника, известная как гало-орбита,
изображена на рис. 11,6(М). Цель системы
управления состоит в удержании спутника
на гало-орбите, видимой с Земли, так, чтобы
связь с ним действовала бесперебойно. Ка-
нал связи должен быть направлен от Земли к
спутнику и от него к обратной стороне
Луны, как показано на рис. 11.6(М).

Линеаризованные (и нормированные) урав-
нения движения спутника по гало-орбите
имеют вид:

Земля

на гало-орбите

0

0	0	0	1

0	0	0	0

0	0	0	0

7,3809	0	0	0

0	-2.1904	0	-2

-3,1904	0

п3.

Компоненты вектора состояния х характеризуют положение спутника и его скорость, а вход-
ные сигналы ?/,, / = 1.2. 3, соответствуютускорению. создаваемому двигателями соответствен-

но в направлении осей г| и

(а) Устойчиво ли движение спутника по гало-орбите? (б) Является ли система управляемой
при использовании только сигнала (в) А только сигнала п2? (г) А если используется только
и3? (д) Предположим, что мы можем наблюдать перемещение спутника вдоль оси г|. Опреде-
лите передаточную функцию от и2 к ту (Подсказка', примите у == [0 1 0 0 0 0]х.) (е) на основании
передаточной функции из п. (д) с помощью функции ss получите модель системы в перемен-
ных состояния. Убедитесь, что система является управляемой, (ж) Используя обратную связь
по состоянию ih =-Кх, синтезируйте регулятор (т. е. определите матрицу К) для системы из
п. (е) так, чтобы характеристическое уравнение имело корни <sIt2 = -l ±7 и 5з4

М-11.7. Рассмотрите систему, описываемую уравнениями

0	1	0

х(г) = 0	0

1 х(/), у(/)= [1 0 0]х(Ц

Ис пол
Я НИЯ с
ния ;1 j
кот ар
мод ел
что х«|

М-11.8. Си

Ис пол

Н) ю

М-11.9. См»

с нала

ко торс

имела
(а । Прв
постр<
ние =

П. I tblji.i I
Z. где

КЛЮЧ!

Наблюдаем
ное со
терво

Обратная i
объект

Оптималы
оценка

Управляем
рыдьщ
систем
Предположим, что известны три значения у(к), i = 1,2,3:
Х^) = 1 при t} = О,

Хб)=““М256 при г2 = 2.

ХУ = -0,2522 при /3 = 4.

Используя эти три наблюдаемых значения, разработайте метод определения начального состо-
яния системы х(г0), при котором ее моделирование с помощью функции Isim даст те же значе-
ния Хб)- (б) Основываясь на заданных значениях ХУ, вычислите x(f0) и обсудите условия, при
которых эта проблема может быть вообще решена, (в) Подтвердите результат, получив путем
моделирования реакцию системы на вычисленные начальные условия. [Подсказка: напомним,
что х(0 - еЛ{/7(! )x(t0).]

М-11.8. Система с одним входом описывается уравнением состояния, в котором

Используя метод, рассмотренный в разделе 11.4 (уравнение 11.19), и единичную отрицатель-
ную обратную связь, синтезируйте оптимальную систему, если х!(0р-'[1 0].

М-11.9. Система первого порядка задана уравнением

х = -х+и

с начальным условием х(0) = х0. Требуется синтезировать регулятор с уравнением и = -кх, при
котором оценка качества

J - [х2(/) + к u2(j)]dt

о

имела бы минимальное значение.

(а) Примите к = 1. Получите формулу для вычисления J в функции от А и с помощью MATLAB
постройте график зависимости J/xq от к. По этому графику найдите приблизительное значе-
ние к = к^, которое минимизирует Лх2. (б) Проверьте аналитически результат, полученный в
п. (а), (в) С помощью процедуры, разработанной в п. (а), получите график зависимости Агат от
к, где Л,П1П — значение коэффициента к, минимизирующее оценку качества.

Ключевые термины и понятия

Наблюдаемая система. Система является наблюдаемой на интервале [/о, */], если любое ее началь-
ное состояние х(Го) однозначно определяется наблюдением выходной переменной ХО на ин-
тервале [го, //].

Обратная связь по состоянию. Обратная связь, при которой сигнал поступающий на вход
объекта управления, является непосредственной функцией всех переменных состояния.

Оптимальная система управления. Система, параметры которой выбраны таким образом, что
оценка качества принимает экстремальное значение.

Управляемая система. Система является управляемой на интервале [Го, tj], если существует непре-
рывный входной сигнал u(t) такой, что из любого произвольного начального состояния х(/о)
систему можно перевести в любое наугад заданное состояние х(0 за конечное время tf-> 0.
Глава 12

Робастные системы управления

Обзор

В предыдущих главах мы показали, как с помощью регуляторов и корректирующих
устройств можно обеспечить желаемое качество системы управления с обратной связью.
Теперь мы уделим внимание понятию робастности. Проектировщик, перед которым стоит
задача синтеза высококачественной системы в условиях значительной неопределенности,
вынужден искать решение в классе робастных систем. В этой главе мы рассмотрим пять
методов синтеза робастных систем, основанных наиспользовании корневого годографа,
частотных характеристик ищите тральных оценок качества. Многие современные подходы
к синтезу делают акцент на робастность систем — робастность устойчивости и робаст-
ность качества—в условиях неопределенности. Эти подходы прежде всего учитывают тот
факт, что реальные физические системы и окружающие условия, в которых они работают,
не могут быть смоделированы абсолютно точно, они могут изменяться непредсказуемым
образом и могут подвергаться всевозможным возмущениям. Однако мы должны также по-
нимать, что и классические методы синтеза могут привести к созданию робастных систем
управления. Инженеры, владеющие этими методами, успешно могут решать задачи синте-
за робастных ПИД-регуляторов,фобастных корректирующих устройств с опережением и
отставанием по фазе и т. д. В этой главе мы также обсудим синтез робастных систем cS|icno-
льзованием внутренней модели йпсевдоколичественного метода. Глава завершается при-
мером синтеза системы чтения информации с диска, робастность которой обеспечивается
надлежащим выбором ПИД-регулятора.

12.1. Введение

Методы синтеза систем управления, рассмотренные в предыдущих главах, предполагали,
что модели объекта и регулятора известны и они имеют постоянные параметры. Однако
модель реальной физической системы всегда будет неточной по следующим причинам."

□	Изменение параметров в силу тех или иных обстоятельств

□	Динамические свойства, не учтенные в модели

□	Не учтенное запаздывание по времени

□	Изменение положения рабочей точки (положения равновесия)

□	Шум датчика

□	Непредсказуемые внешние возмущения
НИЯ

Целью синтеза робастной системы является гарантия требуемого качества независи-
мо от погрешностей и изменения параметров модели. Система, обладающая допустимы-
ми изменениями качества при изменении или неточности ее модели, называется робаст-
ной.

Робастная система управления обладает требуемым качеством несмотря на су-
щественную неопределенность характеристик объекта управления.

Структура системы, включающая потенциальные неопределенности, изображена на
рис. 12.1. Данная модель учитывает шум датчика УУЦ), непредсказуемое возмущение £>Ц)
и объект управления G(s) с неучтенной динамикой или параметрами, подверженными из-
менению. Все эти факторы могут быть весьма значительными, поэтому проблема заклю-
чается в том, чтобы синтезируемая система сохраняла желаемое качество.



жтируюших
1ЮЙ связью
горым стоит
{елейности.
OipiLM пять
в годографа,
вые подходы
ги и робаст-
итываюттот
ши работают,
{сказуемых
иы также по-
тных систем
дачи синте-
шрежением и
гтем сзи с по-
мается при-
хпечивается
II

Вход

Рис. 12.1. Структурная схема замкнутой системы управления

редполагали.
лры. Однако

in

12.2. Робастные системы управления
и чувствительность

Синтез систем высокой точности в условиях неопределенности является классической
проблемой теории управления. Основы решения этой проблемы были заложены в начале
1930-х годов Г. С . Блэком и X. У. Боде в связи с анализом чувствительности систем с об-
ратной связью. С тех пор было опубликовано большое количество работ, затрагивающих
данную проблему. От проектировщика требуется, чтобы создаваемая им система функцио-
нировала надлежащим образом в широком диапазоне изменения неопределенных пара-
метров. Говорят, что система является робастной, если она обладает достаточной^адежно-	; Р

стью,?грубостью ^гибкостью.

От робастной системы требуется, чтобы она (1) обладала низкой чувствительно-
стью, (2) сохраняла устойчивость и (3) удовлетворяла требованиям, предъявляемым к ее
качеству, в достаточно большом диапазоне изменения ее параметров. Робастность по
сути дела характеризуется чувствительностью системы к факторам, которые не учитыва-
лись на этапах анализа и синтеза — например, к возмущениям, шуму датчика и не отра-
женным в модели системы параметрам, влияющим на ее динамику. Система должна быть
способна противодействовать влиянию этих факторов при выполнении задач, ради кото-
рых она проектировалась.

При малых изменениях параметров в качестве меры робастности можно использо-
вать дифференциальные чувствительности, о которых речь шла в разделах 4.2 (чувствите-
льность системы) и 7.6 (чувствительность корней).
Чувствительность системы определяется как

(12.1)

где а -- параметр, а Т— передаточная функция системы.

Чувствительность корня определяется как

(12.2)

Для системы л-го порядка ранее было показано, что если нули функции TV) не зави-
сят от параметра а, то

(12.3)

Например, если в замкнутой системе, изображенной на рис. 12.2, а есть варьируемый
параметр, то T(s) = l/[s + (а + 1)] и

(12.4)

Кроме того, корень Г; = + (а + 1) и

=-а.

Следовательно,

(12.5)

(12.6)

Исследуем чувствительность системы второго порядка, изображенной на рис. 12.3.
Замкнутая система имеет передаточную функцию

T(s) = —-^-------.	(12.7)

{s2 + s + K)

Согласно выражению (4.12) чувствительность системы к параметру К равна

1 + 67ЭД s2 +S + K

(12.8)

На рис. 12.4 изображены в виде асимптот диаграммы Боде для 201g |Т(/со)| и
20 1g |5(/ю)| при К = 1/4, что соответствует критическому затуханию. Заметим, что на низ-
ких частотах чувствительность является малой, тогда как передаточная функция соответ-
ствует полному пропусканию этих частот. Интересно также, что в данном случае T(s) -
-1 - эд.

ЭД

Рис. 12,2. Система первого порядка

Рис, 12,3, Система второго порядка
Рис. 12.4. Асимптотические	Рис. 12.5. Переходные характеристики

характеристики для функции	при трех значениях коэффициента К

чувствительности и 2О1д|Д/Ьз)| системы,
изображенной на рис. 12.3, при К~ 1/4

Разумеется, чувствительность S характеризует робастность системы только при ма-
лых изменениях коэффициента К. Если изменить Л? от 1/4 до К - 1/16 в одну сторону и до
А?- 1 в другую, то мы получим переходные характеристики, изображенные на рис. 12.5.
Поэтому, если ожидать, что коэффициент К будет изменяться в широком диапазоне, то,
очевидно, такую систему нельзя считать робастной. Робастная система должна обладать
реакцией на выбранный входной сигнал, достаточно близкой (в пределах оговоренных
допусков) к той, которая соответствует номинальному значению параметра.

Пример 12.1. Чувствительность системы управления

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.6. в которой G(s) = 1Д2 . а передаточная функ-
ция ПД-регулятора Gc(s) = bx + b2s. В этом случае чувствительность системы к изменению
G(^) равна

S}; =---—- = -5—^------•	(12.9)

1 + GGC (5) s2 + ^5 +

и



b^s +

(12.10)

Пусть при нормальных условиях
- 1 и со„ -	. Тогда, чтобы полу-

чить £ = 1, надо иметь Ь2 = 2ш„. На
рис. 12.7 изображены диаграммы
Боде, соответствующие 20 1g |5(До)| и
20 1g |)|. Заметим, что частота
является границей между областью

А(5)

У(5)

Рис. 12.6. Система с ПД-регулятором

частот, в которой важным критери-

ем синтеза является чувствительность системы, и областью, в которой важную роль играют за-

пасы устойчивости. Поэтому, если должным образом задать частоту принимая во внимание

возможные погрешности модели и частоту внешнего возмущения, то можно ожидать, что систе-
ма будет обладать приемлемой степенью робастности.
Рис. 12,7

Характеристики для функции
чувствительности и 2О1дД$)
системы, изображенной на рис. 12.6

Рис. 12.8

Система второго порядка

Пример 12.2. Система с нулем в правой полуплоскости

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.8, в которой передаточная функция объекта
имеет нуль в правой полуплоскости. Передаточная функция замкнутой системы

Т (5) = -2--------

?+(2+О+(1-£)

(12.11)

Система устойчива при -2 < К < 1.

Обратим внимание, что Г(0) = - К/( 1 - К) и для значений 0 < К < 1 коэффициент передачи зам-
кнутой системы отрицателен. Поэтому, если считать, что требуемое значение выходной пере-
менной X00) = Ь т0 на вход сиситемы необходимо подать единичный ступенчатый сигнал со
знаком минус, т. е. Я($) - 1/5. В этом случае установившаяся ошибка будет равна

(12.12)

На рис. 12.9 изображена реакция системы на сигнал /?(s) - - 1Лу при К = 1/2. Видно, что evv = 0.
а при /—1с реакция имеет отрицательный выброс. Показатели качества системы в зависимо-
сти от параметра К сведены в табл. 12.1. Как следует из таблицы, система весьма чувствитель-
на к изменению К, и ее качество можно считать приемлемым только при изменении К всего на
+ 10%. Поэтому данную систему нельзя считать робастной.

Рис. 12.9

Переходная характеристика
системы, изображенной
нарис. 12.8, при К = 1/2
Таблица 12.1. Результаты примера 12.2

К	0,25	0,45	0.50	0,55	0,75
W	0,67	0,18	0	0,22	2,0
Отрицательный выброс	5%	9%	10%	11 %	15 %
Время установления (с)	15	24	27	30	45

12.3.	Анализ робастности

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.1. Требуется, чтобы ошибка воспроизведе-
ния входного сигнала r(t), e(t) = r(t) -y(t), была достаточно малой, а возмущение d(t) дол-
жно по возможности мало сказываться на выходной переменной у(Г). Шум датчика n(f) дол-
жен быть малым в сравнении с r(t), т. е. | г | » | п |.

Функция чувствительности равна

s(s) = [1 + ададг1,

а передаточная функция замкнутой системы при G,,(s) = 1 имеет вид

Gc 0X7(5)

l + Or(5)G0)

Таким образом,

ад + ад = 1.

(12.13)

Функцию ^(s) желательно иметь малой. В физически реализуемых системах коэффи-
циент усиления контура L(s) = GcG(s) на высоких частотах должен быть малым. Это зна-
чит, что на высших частотах ^(/(о) —> 1.

Аддитивное отклонение характеризует набор возможных передаточных функций
объекта управления [здесь мы предполагаем, что Gc(s) = 1]:

ад = ОД + Л(5),

где G(s) есть номинальная передаточная функция, aA(s) ее изменение, ограниченное по мо-
дулю. Предполагается, что Ga (s') и G(s) имеют одинаковое число полюсов в правой полови-
не 5-плоскости (если таковые существуют). Тогда устойчивость системы не изменится,
если

A(j&) | < |1 + G(/to)l всех

(12.14)

Это условие гарантирует только устойчивость, но не относится к динамическим по-
казателям качества.

При мультипликативном отклонении передаточная функция объекта управления
принимает вид:

Gn}(s) = G(5)[1 + лад].

Изменение M(s) также считается ограниченным по модулю и по-прежнему предпола-
гается, что Gm(s) и GU) имеют одинаковое число полюсов в правой полуплоскости. Тогда
устойчивость системы не изменится, если

|A/(jo>)!<	1+—5— СО'ш)	

для всех от

(12.15)

Рис. 12.
Критерий
робастна
устойчив
к пример1

Выражение (12.15) называют робастным критерием устойчивости. Он служит про-
веркой робастности по отношению к мультипликативному отклонению. Такой вид откло-
нения используется довольно часто благодаря его следующим интуитивным свойствам:
(1) он является малым на низких частотах, где номинальная модель объекта обычно хоро-
шо известна и (2) он является большим на высоких частотах, где номинальная модель
объекта всегда неточная.

Пример 12.3. Система с мультипликативным отклонением

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.1, где Gp(s) - 1, Gc(s)~ К и
ч 170000(5+ 0,1)

G (s) ------------------.

5(5 + 3)(? + 105 + 10000)

При К = 1 эта система неустойчива, но ее можно сделать устойчивой, уменьшив коэффициент
К до значения К = 0,5. Теперь оценим влияние не учтенного в модели полюса, кот орому соот-
ветствует о - 50 рад/с. В этом случае мультипликативное отклонение имеет вид

1+W) =

50
5+50

или M(s) = -5/(5+50). Для модуля Л/(/со) имеем:

AYfyco)

~jv
j(D + 50

Графики | Л/(/а>) | и 11+l/AZ7(/u>)| приведены на рис. 12.10 (а), откуда видно, что критерий
(12.15) не удовлетворяется. Поэтому система может и не быть устойчивой.

Если взять регулятор с отставанием по фазе, имеющий передаточную функцию

0,15(5+25)
5+2,5

то это позволит изменить вид частотнай характеристики GcG(j(o) в диапазоне частот 2 <со < 25.
Тогда график для нового значения

GCG(»

примет вид, изображенный на рис. 12.10 (б). При этом неравенство для робастного критерия
устойчивости удовлетворяется и система остается устойчивой.

При синтезе системы со структурой, изображенной на рис. 12.1, есть две степени сво-
боды, а именно выбор такого предшествующего фильтра Gp(s) ифегулятора Gc(s), удов-
летворяющих требования к переходному и ^становившемуся режимам, а также к частот-
ным характеристикам системы. При этом, однако, полоса пропускания регулятора дол-
жна быть достаточно малой. Это условие вызвано, главным образом, тем, что при измере-
нии выходного сигнала системы неизбежно возникает шум, а в случае большого уровня
шума может произойти насыщение последних каскадов регулятора или входных
устройств объекта управления.

12.4.

Многие с
находятс
уравненм

Известна

где =1

ЧтЫ
сочетали
го числа
шей харт

достаток
Рис. 12.10

Критерий
робастной
устойчивости
к примеру 12.3

а)

б)

12.4.	Системы с неопределенными
параметрами

Многие системы имеют ряд параметров, которые являются постоянными, но их значения
находятся в некотором диапазоне. Например, рассмотрим систему с характеристическим
уравнением

/ + а,,./4 + а,,^2 + ...+а0 = 0.	(12.16)

Известно только, что коэффициенты этого уравнения находятся в интервалах

а} < а} < р, , i = 0,... г?,
где а„ =1.

Чтобы исследовать устойчивость системы, надо было бы перебрать все возможные
сочетания параметров. Но, к счастью, задачу можно свести к исследованию ограниченно-
го числа полиномов наихудшего вида. Например, для системы третьего порядка, имею-
щей характеристическое уравнение

+ a2s2 +	+ а0 = 0,	(12.17)

достаточно исследовать четыре полинома:

q}(s) = s3 +	a2s2	+	pj-s	+ р0	,

q2(s) = s3 +	p2<	+	ct|5	+ ct0	,

q3(s) = s3 +	p2<	+	Pi-v	+ ot0	,

q^s) ~ f +	cu?	+	djS	+ Po	.
Один из этих четырех полиномов будет представлять наихудший случай и может
указать на то, что система либо неустойчива, либо, по крайней мере, имеет наихудшее ка-
чество.

Пример 12.4. Система третьего порядка с неопределенными
коэффициентами

Рассмотрим систему третьего порядка с неопределенными коэффициентами, где
8 < а0 < 60 => а0 = 8, р0 — 60 ,

12 < й] < 100 => ctj = 12, Pj = 100 .

7 < а2 < 25 => а2 = 7. р2 = 25 .

Образуем следующие четыре полинома:

q^s) = s3 + 7s2 + 100s + 60,

g,(s) = s3 + 25s2 + 12s + 8,
g3(s) = s3 + 25s2 + 100s + 8,
g4(s) = s3 + 7s2 + 12s + 60.

Исследовав эти четыре полинома с помошью критерия Раус а-Гур вица, можно убедиться, что
система устойчива во всем диапазоне неопределенных параметров.

Пример 12.5. Устойчивость системы с неопределенными параметрами

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, в которой объект управления имеет пере-
даточную функцию (при номинальных значениях параметров)

\ 4'5

G(s) =----------.

s(s+l)(s+2)

В этом случае характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
q(s) = s3 + 3s2 + 2s + 4,5 = 0.

Применение критерия Рауса-Гурвица показывает, что данная система устойчива. Однако, если
параметры системы являются неопределенными, так что

то мы должны исследовать следующие четыре полинома:

Q\(s) = s3 + 2s2 + 3s + 5.

q2(s) ~ s3 + 4л-2 + Is + 4,
g3(s) = s3 + 4л-2 + 3s + 4,
g4(s) = s3 + 2s2 + Is + 5.

По критерию Рауса-Гурвица полиномы qx(s) и q2(s) соответствуют устойчивой системе, а по-
лином q2(s) — системе . находящейся на границе устойчивости. Для q4(s) составим таблицу Ра-
уса:

I I

2	5

-3/2

5
Следовательно, при ot? = min. а; - min и Ро = max система является неустойчивой. Эта ситуа-
ция будет иметь место при наихудшей передаточной функции объекта вида



5(5 4- l)(s + 2)

Заметим, что при этом третий полюс переместился к мнимой оси до своего крайнего значения
5 ~ -1, а коэффициент усиления увеличился до крайнего значения К = 5. Часто бывает доста-
точно исследовать передаточную функцию G(s), чтобы предсказать наихудшую из возможных
ситуаций.

12.5.	Синтез робастных систем управления

Синтез робастных систем управления включает в себя две задачи: ^определение структуры
регулятора ифастройку его параметров с целью получить «оптимальное» качество систе-
мы. Процедура синтеза обычно выполняется в предположении о наличии «полной инфор-
мации об объекте». Кроме того, объект обычно представляется в виде линейной непрерыв-
ной модели с постоянными параметрами. Структура регулятора выбирается так, чтобы ре-
акция системы удовлетворяла определенным критериям качества.

При постановке задачи синтеза одно из возможных требований может заключаться в
том, чтобы выходная переменная системы мгновенно и точно воспроизводила все измене-
ния входного сигнала. Это означает, что передаточная функция системы должна быть
равна единице:

T(s) = ^ = l

(12.18)

Иными словами, на диаграмме Боде амплитудная характеристика такой системы при всех
частотах должна иметь значение 0 дБ ( что соответствует бесконечной полосе пропуска-
ния), а фазовая характеристика при всех частотах должна равняться нулю. На практике это
невозможно, поскольку любая система содержит элементы емкостного и индуктивного
типа, накапливающие энергию того или иного вида. Именно эти элементы в сочетании с
элементами, рассеивающими энергию, обусловливают динамику системы управления. Та-
кие системы одни входные сигналы могут воспроизводить достаточно точно, в то время
как другие могут вовсе не суметь воспроизвести — и все это потому, что полоса пропуска-
ния реальной системы не является бесконечной.

Сознавая, что динамику системы нельзя игнорировать, мы должны цель управления
выбрать несколько иначе. Один из вариантов постановки задачи предполагает, что ампли-
тудную характеристику системы надо стремиться сделать как можно ближе к единице в
как можно большем интервале частот.

Другой вариант постановки задачи может включать требование минимизировать
влияние возмущений на выходную переменную системы. Здесь уже надо минимизиро-
вать Y(s)/D(s) в как можно большем интервале частот.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.11, где G(s) =	есть переда-

точная функция объекта управления, a D(s) - возмущение. Тогда мы имеем:

GcGrG2(s)

R(s) l+GcGtG2(s)

(12.19)


Рис. 12.11

Система при наличии
возмущения

и

У(3)_	С72(5)

D(s) 1 + G{G2(s) '

(12.20)

Заметим, что передаточные функции как по отношению к эталонному входному сиг-
налу, так и по отношению к возмущению имеют один и тот же знаменатель, т. е. система
имеет одно характеристическое уравнение:

1 + Gc(s)G\(s)G2(s) = 1 + L(s) = 0.

Напомним также, что чувствительность T(s) к изменению G(s) равна

(12.21*

(12.22)

1

UG^G^sY

т. е. характеристический полином оказывает существенное влияние на чувствительность
системы. Выражение (12.22) показывает, что для получения малой чувствительности 5 не-
обходимо иметь большое усиление в контуре но, как известно, это может привести к
неустойчивости системы или к существенному ухудшению ее качества. Поэтому проекти-
ровщик должен стремиться обеспечить следующее:

1.	T(s) с широкой полосой пропускания и правильным воспроизведением

2.	Контур L(s) с большим усилением, чтобы минимизировать чувствительность S.

3.	Большое усиление в контуре L(s) главным образом за счет Gc(^)Gi(^), поскольку
Y(s)/D(s)« \/GcGi(s).

Задача синтеза робастной системы в частотной области связана с определением тако-
го регулятора Gc(.y), при котором чувствительность замкнутой системы была бы меньше
некоторого допустимого значения, а минимизация чувствительности требует выбора та-
кого регулятора, чтобы эта чувствительность была равна или достаточно близка к мини-
мальному значению. Аналогично, задача обеспечения заданного запаса устойчивости по
модулю связана с отысканием соответствующего регулятора, а максимизация запаса по
модулю опять-таки требует выбора такого регулятора, при котором этот запас был бы
наиболее близок к максимальному. Иллюстрируя подход к синтезу робастной системы с
помощью диаграммы Боде для GcG(/to), изображенной на рис. 12.12, можно сформулиро-
вать следующие требования, которым должны удовлетворять частотные характеристики:

1.	Для получения хороших показателей относительной устойчивости амплитудная ха-
рактеристика 20 lg|GcG(/co)| в определенном интервале частот, прилегающем к wt.
должна иметь наклон не более, чем -20 дБ/дек.

2.	Точность системы в установившемся режиме должна быть обеспечена за счет над-
лежащего усиления на низких частотах.

3.	Динамическая точность, определяемая полосой пропускания должна быть га-
рантирована тем, чтобы |GcG(ja))| в этой полосе был не менее заданного значения.

4.	Компенсация возмущения должна обеспечиваться за счет большого значения
|Сч(/со)| в полосе пропускания системы.
»)

Высокое усиление для определения
точности воспроизведения
входных сигналов

(12.20)

ийвому входному сиг-
Вватель, т. е. система

Рис. 12.12

Диаграмма Боде
для 20lg|GcG(/w)|

Частота и асимптота, определяющие
законы по модулю и по фазе

Граница
робастности

Малое усиление для уменьшения
чувствительности к шуму датчика
и неопределенности модели

Нижняя 1раница,
определяющая
требования к качеству

(12.21)

(12.22)

юа чувствительность
вствительности 5 не-

иго может привести к

Используя понятие чувствительности корней, необходимо потребовать, чтобы чувст-
вительность 5 у имела минимальное значение, тогда как расположение доминирующих
корней T(s) должно обеспечивать надлежащую реакцию системы и минимизировать вли-
яние D(s). И снова мы приходим к выводу, что необходимое усиление в контуре в первую
очередь должно быть обеспеченно за счет Gc(«y). Предположим, например, что в системе
на рис. 12.11 Gc(s) = К, G^s) = 1 и G2(s) = 1/5(5 + 1). Характеристическое уравнение систе-
мы имеет два корня, и мы выберем коэффициент К так, чтобы минимизировать Y(s)/D(s),
минимизировать SrK и чтобы доминирующие корни занимали желаемое положение. В



- Поэтому Проект!!"

этом случае чувствительность корня

ведением fi(s).

даствительность 5.

поскольку

&

а характеристическое уравнение имеет вид:

dr К __ ds
~dK~7^~dK

(12.23)

: определением тако-
мы была бы меньше
s требует выбора та-
снно близка к мини-
ic а о стойчивости по
химизация запаса по
к этот запас был бы
юбастной системы с

Отсюда К - -s(s + 1) и dKlds = -(25 + 1). Тогда

Если Q < 1э то корни являются комплексными и г = -0,5 + усо. Тогда

4 со'

(12.24)

(12.25)

(12.26)

можно с формул про-
ще характеристики:
сти амплитудная ха-

спечена за счет над-

должна быть га-
кжного значения.

Большого значения

На рис. 12. 13 изображена зависимость модуля чувствительности отХ в диапазоне от
К = 0,2 до К' = 5. Там же приведен график для относительного перерегулирования при сту-
пенчатом входном сигнале. Чувствительность желательно уменьшить, но при этом огра-
ничить К значением 1,5 или даже меньше. В этом случае мы достигнем определенного
компромисса, поскольку одновременно с уменьшением чувствительности сохраним при-
емлемое качество при отработке ступенчатого входного сигнала. В общем случае проце-
дуру синтеза можно свести к следующим этапам:

1.	Изобразить корневой годограф скорректированной системы, выбрав Gc(s) так, что-
бы обеспечить желаемое положение доминирующих корней.

2.	Сделать коэффициент усиления Gc(s) максимально возможным, чтобы уменьшить
влияние возмущения.
Рис. 12.13

Чувствительность и относительное
перерегулирование системы
второго порядка

3.	Определить 5^ и добиться минимального значения чувствительности при сохране-
нии требований к переходной характеристике, соответствующих этапу 1.

Пример 12.6. Чувствительность и коррекция системы.

Рассмотрим систему из примера 10.1. в которой G(s) = 1/л’2, H(s) - 1 и Gc(s) должно быть вы-
брано с помощью частотных характеристик. Корректирующее устройство должно обеспечить
надлежащие запасы устойчивости по модулю и по фазе, а также минимизировать чувствитель-
ность системы и влияние возмущения. Коррекцию реализуем в виде



K(s/z+ 1)
s/p+ 1

(12.27;

Как и в примере 10.1. выберем К ~ 10, чтобы уменьшить влияние возмущения. Чтобы обеспе-
чить запас по фазе 45°, выберем z = 2.0 и р = 12,0. В результате получим диаграмму Боде для
скорректированной системы, которая приводится еще раз на рис. 12.14. Напомним, что полоса
пропускания замкнутой системы = 1.6о>г Поэтому с помощью корректирующего устройст-
ва мы увеличим полосу пропускания и улучшим качество воспроизведения входных сигналов.

Рис. 12.14. Диаграмма Боде к примеру 12.6
Чувствительность на частоте можно оценить по выражению



(12.28)



Для нахождения этой оценки можно воспользоваться диаграммой Никольса, которая позволя

ет определить

Т(»1=

Gfi(JOi)

1+GC.G(»

(12.29)

Мы можем нанести на диаграмму Никольса несколько точек функции GcG(j(o) и прочитать со-
ответствующие значения |7’(/о>)|. Тогда

1^(>,)|=

|Г(7<о|)1

|GcG(jcot)|

(12.30)

где со ] выбрано произвольно как cd t = сос /2,5. ДиаграммаНикольса для скорректированной си-
стемы приведена на рис. 12.15. Для со ] = сое /2,5 = 2 мы имеем 201g |GC.G| = 9 дБ и 201g |7] = = 2,5
дБ. Следовательно,

1^(7Ч)1=

= 0.47.

Пример 12.7. Чувствительность при коррекции с опережением по фазе

Рассмотрим еще раз систему из примера 12.6 и используем в ней корректирующее устройство,
полученное с помощью корневого годографа в примере 10,3:

(12.31)

Доминирующие корни имеют значения s = -1 ± J2. Так как у корректирующего устройства
К = 8,1, то влияние возмущения ослаблено и переходная характеристика системы удовлетво-
ряет выдвинутым требованиям. Чувствительность корня г можно определить, полагая, что при
наличии доминирующих корней систему можно аппроксимировать моделью второго порядка

71 (5) = -----—-------=	-----.

s2 + 2С,а>,/! + К s2+2s+K

поскольку £ct)„ - 1. Характеристическое уравнение системы имеет вид

Отсюда К = —(s24-2.s) и dK/ds - — (254-2). Следовательно,

к ~~

(12.32)



где г = -1 4-/2. В результате подстановки s = г получим:

Й1=0,56.

Если увеличить коэффициент К до 10, то корни займут положение г * -1,1 ± /2,2. В этом слу-
чае чувствительность будет равна

|S£|= 0.53.

Таким образом, при увеличении К чувствительность уменьшается, но качество переходного
режима ухудшается.
Усиление разомкнутой системы

Фазовый сдвиг разомкнутой системы, град.

Рис. 12.15. Диаграмма Никольса кпримеру12.7

£>(0

Рис. 12.16. Система управления с обратной связью. R (s) - заданный эталонный
сигнал, D (s) - нежелательное возмущение
12.6.	ПИД-регуляторы

ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

Gc(s) = Kl +-~^ + K3s.

s

Популярность ПИД-регуляторов можно в какой-то степени объяснить их робастно-
стью в самых разных условиях работы и с другой стороны их функциональной простотой,
облегчающей инженерам их эксплуатацию. Чтобы применить такой регулятор в системе
управления конкретным объектом, надо просто настроить три параметра: коэффициент

пропорциональности, коэффициент в канале интегрирования и коэффициент в канале

дифференцирования.

Рассмотрим ПИД-регулятор

Gc(s) = Kt

(12.33)

где a-KJK3 и Ь-KjKy Таким образом, ПИД-регулятор вносит в передаточную функцию
разомкнутой системы один полюс, расположенный в начале координат, и два нуля, кото-
рые мо^но разместить в любом месте в левой половине s-плоскости.

Напомним, что корневой годограф начинается в полюсах и заканчивается в нулях пе-
редаточной функции разомкнутой системы. Если в системе на рис. 12.16 считать, что

G(s) =

1

(s + 2)(s+5)

и использовать ПИД-регулятор с комплексными нулями, то мы можем получить корневой

годограф, изображенный на рис. 12.17. При увеличении коэффициента К$ комплексные

корни движутся в сторону нулей. Замкнутая система имеет передаточную функцию

G(s)Gc(s)Gp(s)

/(s) ~--------------

Kyjs+Zi )(? + Z[ )
(j+r2)(J+n )O+n )

s + r2

(12.34)



так как нули и комплексные корни приблизительно равны (rj » Zj). Полагая (^(s) ” 1, полу-
чим:

(12.35)

Корневой годограф

при наличии нуля zi = - 6 +
если Ку 1. Единственным ограничивающим фактором является допустимая величина
сигнала u(f) (см. рис. 12.16) при больших К3.

Если взять К3 = 100, то система будет обладать высоким быстродействием и нулевой
установившейся ошибкой. Кроме того, существенно будет уменьшено влияние возмуще-
ния.

Вообще следует заметить, что ПИД-регуляторы особенно полезны с точки зрения
уменьшения установившейся ошибки и улучшения вида переходной характеристики, ког-
да объект управления G(iV) имеет один или два полюса (или может быть аппроксимирован
моделью второго порядка).

12.7.	Синтез робастных систем
с ПИД-регуляторами

Выбор трех коэффициентов ПИД-регулятора по сути есть задача отыскания нужной точки

в трехмерном пространстве. Каждая точка этого пространства соответствует различным
комбинациям трех параметров ПИД-регулятора. Выбирая различные точки в пространстве

параметров, мы можем, например, получить различный вид реакции системы на ступенча-
тый входной сигнал. ПИД-регулятор можно подобрать путем поиска нужной точки в про-
странстве параметров методом проб и ошибок.

Главная проблема в выборе указанных трех коэффициентов заключается в том, что
этим коэффициентам не так-то просто поставить в соответствие показатели качества и ро-
бастности, которые хотел бы иметь проектировщик. Для решения этой проблемы был
предложен ряд правил и методов. В этом разделе мы рассмотрим методы, связанные с ис-
пользованием корневого годографа и оценок качества.

Первый метод синтеза основан на использовании оценки качества ИВМО (см. раздел
5.9) и оптимальных значений коэффициентов характеристического полинома замкнутой
системы (см. табл. 5.6 для ступенчатого и табл. 5.7 для линейного входных сигналов). Та-
ким образом мы можем выбрать три коэффициента ПИД-регулятора, минимизирующие
оценку ИВМО, при которой система обладает прекрасной реакцией на ступенчатый
(рис.5.30, в) или линейный сигнал. Процедура синтеза включает в себя следующие этапы:

1-	По заданному времени установления определить параметр замкнутой системы.

2.	Используя соответствующее выражение из табл. 5.6 и значение со„ из этапа 1, опре-
делить три коэффициента передаточной функции Gc(s).

3.	Определить предшествующий фильтр G?(^) так, чтобы передаточная функция зам-
кнутой системы не имела нулей, как этого требует выражение (5.47).

Пример 12.8. Робастная система регулирования температуры

Рассмотрим систему управления, изображенную на рис. 12.16, и синтезируем регуля-
тор температуры объекта, имеющего передаточную функцию

G(5) = —(12.36)
(j +1)2

Если Gc(s)=l? то при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка состав-
ляет 50%, а время установления (по критерию 2%) равно 3,2 с. Требуется, чтобы время
установления было менее 0,5 с, а система была оптимальной по критерию ИВМО. Для
юпустимая величина

риействием и нулевой
ю влияние возмуще-

нны с точки зрения
карактеристики, ког-
ггь аппроксимирован

жания нужной точки
гтствует различным
точки в пространстве
жстемы на ступенча-
мужной точки в про-

жючается в том, что
ители качества и ро-
згой проблемы был
иды, связанные с ис-

в ИВМО (см. раздел
полинома замкнутой
оных сигналов). Ta-
ft, минимизирующие
рей на ступенчатый
 следующие этапы:
вскнутой системы.

: из этапа 1, опре-

гачная функция зам-
ft (5.47).

втуры

синтезируем регуля-

(12.36)

ся ошибка состав-
ляется, чтобы время
ктерию ИВМО. Для

этой цели мы используем ПИД-регулятор

_ K3s2 + К^+К2

5

При отсутствии предшествующего
иметь передаточную функцию

г У(5)_ GcG(s)

R(s) \ + GjG(s)

(12.37)

фильтра [6^(? = 1] замкнутая система будет

(12.38)

Оптимальные значения коэффициентов характеристического полинома, обеспечива-
ющие минимум оценки ИВМО, найдем по табл. 5.6:

? + 1,75ю„? + 2,15о&+о>* .	(12.39)

Параметр со„ надо выбрать, исходя из требования к времени установления. Посколь-
ку Ts = 4/^со„ , a Q неизвестно, но близко к 0,8, выберем сол =10. Тогда, приравнивая знаме-
натель (12.38) выражению (12.39), найдем значения коэффициентов К{ = 214, К3 = 15,5,
К2 = 1000.

Тогда (12.38) примет вид:

15,5?+ 2145+ 1000 = 15,5(5 + 6.9+ ;4,1)(5 + 6,9- >4,1)
1(S ” ? + 17,5? + 2155 + 1000 ”	? + 17,552 + 2155+ 1000

(12.40)

Реакция этой системы на ступенчатый входной сигнал имеет перерегулирование
32%, как указанно в табл. 12.2.

Выберем предшествующий фильтр Gp(s\ чтобы получить желаемую реакцию, соот-
ветствующую минимуму оценки ИВМО. Для этого передаточная функция замкнутой сис-
темы должна иметь вид:

7(5) =

GcGGp(s) __________1000________

l + GcGGr(5)” ?+ 17,5?+ 2155+ 1000

(12.41)

Следовательно, чтобы исключить из (12.40) нули и обеспечить в числителе T(s) ко-

эффициент 1000, надо иметь

64,5
G (5) = -----------.

р ?+ 13,85+ 64,5

(12.42)

Показатели качества системы с передаточной функцией T(s) приведены в табл. 12.2.
Система имеет малое перерегулирование, время установления меньше, чем 0,5 с, и нуле-
вую установившуюся ошибку. Кроме того, при возмущении D(s) = 1 /s максимальное зна-
чение выходной переменнойХ0 составляет всего 0,4 % от амплитуды возмущения. Мож-
но считать, что синтез дал прекрасные результаты.

Таблица 12.2. Результаты примера 12.8

Регулятор

Относительное перерегулирование
Время установления, с
Установившаяся ошибка
__________I ХО'ХО I шах________

о

3,2

50,1 %

52 %

ПИД-регулятор,	ПИД-регулятор

________при наличии Gp(s)

31,7 %	1,9 %

0,20	0,45

0,0 %	0,0 %

0,4 %	0,04	%
Пример 12.9. Синтез робастной системы

Рассмотрим еще раз систему из примера 12.8, но будем считать, что объект управления под-
вержен значительным изменениям, так что

(12.43)

где 0,5 <т < 1 и 1 X < 2. Требуется синтезировать робастную систему, т. е. добиться того,
чтобы она при наличии предшествующего фильтра была оптимальной по критерию ИВМО и
имела перерегулирование менее 4 % и время установления (по критерию 2 %) менее 2 с, если
параметры передаточной функции G(s) могут принимать любые значения в указанных диапа-

зонах. Чтобы удовлетворить требование к времени установления, выберем = 8 и определим
коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, соответствующие мини-

муму оценки ИВМО, при К ~ 1 и т = 1. Произведя необходимые вычисления, для системы без

предшествующего фильтра (6^(5) = 1] получим:

т,/ Л 12(s2 + 11,38s + 42,67)

7] (5 ) —	х

s3 + 14s2 + 137,6s + 512

И

Gc(s) =

12(s2+ 11,38s+ 42,67)
s

Выбрав предшествующий фильтр с передаточной функцией

Gp(s) =

42,67
s2+ 11,38s +42,67 ’

мы получим передаточную функцию системы, оптимальной по критерию ИВМО:

7(5) =

__________512___________
s3 + 14s2 + 137,6s +512’

(12.44)

(12-45)

(12.46)

(12.47)

Кроме значений К- 1, т = 1, можно также задать и другие комбинации этих параметров: К = 1.
т = 0,5; Л = 2, т = 1; К = 2, т = 0,5. Соответствующие показатели качества приведены в табл.
12.3, откуда следует, что система действительно является робастной.

Таблица 12.3. Результаты примера 12.9 при сол = 8

Параметры объекта	II II	К= 1, т = 0,5	II II и-* Ы	2  т — 0,5
Относительное перерегулирование	2 %	0 %	0 %	1 %
Время установления, с	1,25	0,8	0,8	0,9

Значение параметра сол , которое должно быть выбрано при решении задачи, должно
быть ограничено максимально допустимой величиной u(t) — выходного сигнала регуля-
тора, как показано на рис. 12.16. Если максимальное значение e(t) равно 1, то сигнал u(t)
должен быть ограничен величиной 100 или менее. Например, рассмотрим систему на рис.
12.16 с ПИД-регулятором, где G(5)=l/5(5+1), и предшествующим фильтром Gp(s\ необхо-
димым для обеспечения требуемого качества в соответствии с критерием ИВМО. Если
задать значения =10, 20 и 40, то сигнал u(t) будет иметь максимальные значения, при-
веденные в табл. 12.4. Если u(t) должно быть ограничено максимальным значением 100,
то в выборе со„ мы не не можем превышать значения 16. Таким образом, мы приходим к
необходимости ограничить достижимое время установления.
Таблица 12.4. Максимальное значение входного сигнала объекта
управления

Максимум u(t) при it(s) = 1/s
Время установления, с

10	20	40

35	135	550

0.9 0,5 0.3

Далее мы рассмотрим проблему синтеза ПИД-регулятора для системы, содержащей
запаздывание, и решим задачу с помощью частотных характеристик. В данном случае
объект управления имеет передаточную функцию

G(s) = ——.	(12.48)

Т5 + 1

Такая передаточная функция характерна для многих производственных процессов. Выбе-
рем ПИД-регулятор, передаточная функция которого имеет два одинаковых нуля:

Gc(j)=*(T£t1)2.	(12.49)

5

Процедура синтеза заключается в следующем:

1.	Построить диаграмму Боде для K2G(s)/s при коэффициенте К2, удовлетворяющем
требованию к установившейся ошибке.

2,	Выбрать два нуля Gc(s) совпадающими с частотой сос, при которой амплитудная ха-
рактеристика из этапа 1 пересекает уровень 0 дБ, или близкими к этому значению.

3.	Проверить результаты синтеза и, если необходимо, изменить К2 или положение ну-
лей.

Пример 12.10. ПИД-регулятор в системе с запаздыванием

Рассмотрим систему, структура которой имеет вид рис. 12.16, где

<7(5) =

Ke'QXv

0.15 + f
л

(12.50)

причем К - 20. чтобы обеспечить малую установившуюся ошибку при ступенчатом входном
сигнале, и Gp(s)~ 1. Требуется, чтобы переходная характеристика имела перерегулирование
менее 5 %.

Построив диаграмму Боде для 6(/со), можно убедиться, что система имеет отрицательный за-
пас по фазе и, следовательно, неустойчива.

Зададимся желаемым запасом по фазе 70° и для достижения этого используем ПИД-регулятор
вида (12.49). Тогда передаточная функция разомкнутой системы примет вид:

GGc(s) =

20e“°'ls(Tls+ I)2

5(0,15 + 1)

(12.51)

J

где К2К = 20. Построив диаграмму Боде без учета двух нулей (рис. 12.18), мы найдем, что за-
пас по фазе равен -32°, т. е. система неустойчива.

Поскольку введение ПИД-регулятора добавляет в передаточную функцию разомкнутой систе-
мы полюс в начале координат, то это обеспечит нулевую установившуюся ошибку, и мы имеем
право уменьшить Из Рис- 12.18 следует, что cort = 11, поэтому выберем нули так, чтобы они
были близки к этому значению, например, примем со =16,7. Тогда ij = 0,06, и, уменьшив коэф-
фициент усиления до К2К = 4,5, получим передаточную функцию скорректированной системы

GcG(5) =

4,5(0,06s + l)2e“°-Lv

s(0,ls + 1)
Рис. 12.18

Диаграмма Боде
для G(s)/s
к примеру 12.10

Рис. 12.19

Диаграмма Боде
для GcG(s)
к примеру 12.10

Соответствующая диаграмма Боде приведена на рис. 12.19. Теперь мы имеем новое значение
соп = 4,5 и запас по фазе 70°. Переходная характеристика системы не имеет перерегулирования,
а время установления (по критерию 2 %) равно 0,8 с, что удовлетворяет выдвинутым требова-
ниям. Однако, если продолжить синтез, то можно было бы увеличить К2К до 10 и несколько
повысить быстродействие системы, а перерегулирование при этом оставалось бы менее 5 %.
Завершая рассмотрение синтеза робастных систем с ПИД-регуляторами, отметим,
что для этой цели можно воспользоваться также корневым годографом. Соответствую-
щая процедура включает в себя следующие этапы:

1.	Разместить на s-плоскости полюсы и нули функции G(s)/s.

2.	Выбрать положение нулей Gc(s) таким образом, чтобы обеспечить надлежащий вид
корневого годографа и желаемое расположение доминирующих корней.

3.	Определить вид переходной характеристики скорректированной системы и, если
необходимо, повторить этап 2.

Применение метода корневого годографа проиллюстрируем ниже на примере синте-
за автопилота.

12.8.	Пример синтеза: автопилот

Типичная система управления самолетом с помощью автопилота состоит из электриче-
ских, механических и гидравлических устройств, осуществляющих перемещение закрыл-
ков и рулей высоты, регуляторов расхода топлива и других элементов, влияющих на режим
полета. Датчики обеспечивают информацию о скорости и направлении полета, о скорости
вращения относительно осей и о других переменных. Эта информация вместе с заданными
полетными характеристиками в виде электрических сигналов вводится в автопилот. По-
следний должен быть способен удерживать самолет на заданном курсе ив режиме, задавае-
мых пилотом. При синтезе автопилота основной задачей часто является обеспечение дви-
жения самолета прямо по курсу на заданной высоте с компенсацией небольших отклоне-
ний вверх или вниз, без поворота вправо или влево и без вращения относительно
продольной оси (характерного покачивания крыльями). Такую задачу называют обычно
стабилизацией самолета относительно поперечной оси. Динамику системы в этом случае
можно представить передаточной функцией

G(s) =--------(12.53)

s(s + 1/т)(s' + 2£j CD! s + COj" )

где т — постоянная времени исполнительного устройства.

Будем считать т = 1/4, coj = 2 и = 1/2. Тогда на s-плоскости мы будем иметь два ком-
плексных полюса, полюс в начале координат и полюс в точке s = -4, как показано на рис.
12.20. Комплексные полюсы, соответствующие динамике собственно самолета, могут
дрейфовать в пределах областей, обозначенных пунктирными линиями. Нули регулятора
мы выберем в точках s = - 1,3 + /2, как показано на рисунке. Затем коэффициент К выберем
так, чтобы комплексным корням г2 и г2 соответствовал коэффициент затухания 1/72.
Другие комплексные корни гх и будут расположены рядом с нулями. Поэтому передаточ-
ную функцию замкнутой системы приблизительно можно представить выражением

Г(5)«-----(12.54)

s' + 2£cons + io“ s'+3,16s+5

поскольку сол = 75 и £ = 1/72. В результате реакция системы на ступенчатый входной сиг-
нал имеет перерегулирование 4,5 % и время установления (по критерию 2 %) 2,5 с, как и
следовало ожидать.
Рис. 12.20

Корневой годограф
для системы управления
самолвтом с помощью
автопилота. Комплексные
полюсы могут занимать
любое положение внутри
областей, отмеченных
штриховыми линиями

12.9.	Синтез системы управления
орбитальным телескопом

Ученые предложили создать в космосе специальную платформу, на которой производи-
лись бы испытания различной аппаратуры, предназначенной в дальнейшем для использо-
вания на обитаемой космической станции. Эта платформа должна все время оставаться на
орбите, а астронавты смогут работать с ней только когда к ней пристыкован космический

челнок.

Мы рассмотрим ситуацию, когда на платформе в космосе проводится некоторый экс-
перимент, но управление им осуществляется с Земли. Суть эксперимента в том, чтобы
управляя небольшим телескопом, направить его точно в определенную точку планеты.
Система управления должна иметь нулевую установившуюся ошибку, а в то же время как
можно большее быстродействие и перерегулирование менее 5 %. Модель телескопа вмес-
те с маломощным исполнительным устройством изображена на рис. 12.21. Командный
сигнал принимается с наземной стан-
ции с запаздыванием на я/16 с. Дат-
чик с высокой точностью определяет
направление на точку, в которую на-
целен телескоп, но информация об
этом возвращается обратно на Землю
также с запаздыванием на л/16 с. Та-

ким образом, общая передаточная функция телескопа, исполнительного устройства, дат-
чика и двойного запаздывания (рис. 12.22) имеет вид:

-5Пу8

---------►ОД

Угловое
положение
телескопа

ад---------------

Управляющий
сигнал
с наземной станции

Рис. 12.21. Модель маломощного
исполнительного устройства и телескопа
Рис, 12.22. Система управления телескопом

В системе предлагается использовать ПИД-регулятор с передаточной функцией

х К.-) K}s+K3 +K-1S2	п .

Gc(s) = K{ +	11.	(12.56)

S	S

Использование только пропорционального канала регулятора неприемлемо, поско-
льку нам необходимо иметь нулевую установившуюся ошибку при ступенчатом входном
сигнале. Поэтому коэффициент К2 должен иметь конечное значение, и мы можем вы-
брать либо ПИ-закон, либо ПИД-закон регулирования.

Сначала попробуем использовать ПИ-регулятор с передаточной функцией

Gc(s') = Kl +^- = K^s+-2 .	(12.57)

Л*	S

Второй производи-
вшем для использо-
ремя оставаться на
гован космический

Так как система содержит чистое запаздывание ето для синтеза регулятора мы
воспользуемся частотными характеристиками. Ограничение на величину перерегулиро-
вания трансформируем в эквивалентное требование в частотной области. Если характери-
стическое уравнение имеет два доминирующих корня, то перерегулированию 5 % соот-

ветствуют коэффициент затухания £ = 0,7 или запас по фазе около 70°.
Если выбрать = 0,022 и Л?3 = 0,22, то мы получим

Gc(s}G(s)~

гся некоторый экс-
снта в том, чтобы
точку планеты.

в в тоже время как
ь телескопа вмес-
12.21. Командный

0,22(0,Is + l)e~CT/g
ф+1)2

(12.58)

Соответствующая диаграмма Боде изображена на рис. 12.23. Нуль s = -10 был добав-
лен в передаточную функцию, чтобы создать дополнительный положительный фазовый
сдвиг и обеспечить заданный запас по фазе. Методом итераций можно попытаться зада-

Угловое
положение
телескопа

ИКХ40ЩН0Г0
а и телескопа

т> > стройства, дат-

Рис. 12.23

Диаграмма Боде
для системы
с ПИ-регулятором


вать разные значения К[ и К') до тех пор, пока не будет достигнут нужный запас по фазе.
Заметим, что в нашем случае запас по фазе составляет около 63°. Была построена дейст-
вительная переходная характеристика, которая имеет перерегулирование 4,7 % и время
установления ( по критерию 2 %) 16 с, как это отражено в табл. 12.5.

Можно использовать ПИД-регулятор с передаточной функцией

(12.59)

Теперь в нашем распоряжении имеются три параметра, которые можно варьировать,
чтобы добиться желаемого запаса по фазе. Если после нескольких итераций мы выберем
= 0,8, К2 - 0,5 и К3 - IО-3, то получим запас по фазе 64°. Перерегулирование при этом
составит 3,7 %, а время установления (по критерию 2 %) будет равно 5,8 с. Возможно, са-
мый простой способ выбора коэффициентов заключается в том, чтобы задать малое нену-
левое значение К3 , после чего построить частотные характеристики при = К2 = 0. В
данном случае было заданно К3 = 10 3 и построена диаграмма Боде. Затем мы приняли

К2 и методом итераций получили подходящие значения этих коэффициентов.

Показатели качества системы с ПИ- и ПИД-регуляторами приведены в табл. 12.5.
ПИД-регулятор является более приемлемым, поскольку он обеспечивает меньшее время
установления.

Таблица 12.5. Показатели качества системы управления орбитальным
телескопом

Установившаяся ошибка Перерегулирование Время установления, с

ПИ-регулятор	0	4,7 %	16,0

ПИД-регулятор 0 3.7 %5,8

12.10.	Синтез робастного привода катушки

Нейлоновая нить производится путем выталкивания ее из соответствующего отверстия с
постоянной скоростью. Нить наматывается на катушку, которая вращается с максималь-
ной скоростью 2000 об/мин. Натяжение нити должно удерживаться в пределах от 80 до
240 г, чтобы не допускать ее удлинения. Диаметр намотки изменяется от 5 до 10 см.

Нить укладывается на катушку с помощью рычага, перемещаемого механизмом чер-
вячного типа в ту и иную сторону с постоянной скоростью, как показано на рис. 12.24 (<з).
Рычаг должен быстро менять направление движения в конце рабочего пути. Требуемая
скорость червяка составляет 60 об/мин. Основное требование, предъявляемое к приводу
катушки — обеспечивать управляемое натяжение нити. Поскольку диаметр намотки из-
меняется в 2 раза, натяжение будет уменьшаться на 50 % от начала к концу процесса.

Структурная схема системы управления приводом изображена на рис. 12.24 (б). В
ней мы впоследствии используем ПИД-регулятор. Номинальные значения параметров
Кт = 2 ир = 4, а диапазоны их изменения соответственно 1,5 < Кт < 2,5 и 3 <р < 5. Кроме
того, в модели объекта управления не учтен третий полюс 5 = -50. Требуется, чтобы пере-
регулирование не превышало 2,5 %, а время установления (по критерию 2 %) должно
быть менее 0,4 с. Величина сигнала u(f) должна быть меньше 100.
Рис- 12,24

Намотка нити
на катушку

а)

Пить

ОД

Используя ПИД-регулятор, оценку качества ИВМО и номинальные значения пара-
метров, на основании требований к времени установления определим частоту При
ожидаемом значении £ « 0,8 имеем:

4

Л =	<0,4.

О,8со„

Выберем сол = 23, как максимально допустимое значение при ограничении | и
Тогда при

100.

получим = 568,68, К2 = 6083,5 и К3 = 18,13. При использовании предшествующего фи-
льтра реакция системы на единичный ступенчатый сигнал будет иметь показатели, приве-
денные в табл. 12.6. Система не является робастной, т. к, требование к величине перерегу-
лирования не удовлетворяется при наихудшем сочетании параметров.

Исследуем также качество системы при номинальных значениях параметров, но до-
бавив в передаточную функцию объекта не учтенный в предыдущей модели третий по-
люс, так что

cw-—1»—

s(5+4)(s+ 50)

(I2.60)

(Заметим, что коэффициент усиления системы, limsG^), остается равным 0,5.) Показате-
ли качества системы с ПИД-регулятором и с учётом третьего полюса также приведены в
табл. 12.6. Как видим, система вновь не удовлетворяет требованию робастности.

Необходимо внести такие изменения, чтобы качество системы было приемлемым
даже при самом худшем сочетании параметров.

Посмотрим на корневой годограф системы, построенный при номинальных значени-
ях параметров, который изображен на рис. 12.25. Введем перед регулятором Gc(s) допол-
нительный коэффициент усиления К, так что передаточная функция разомкнутой систе-
Действительная ось

Рис. 12.25. Корневой годограф для случая номинальных параметров
и для худшего случая при К - 1 и К - 3

мы будет равна KGcG(s). На годографе показано положение корней при К = 1 и при К = 3.
Поскольку наихудшее качество мы получаем, когда коэффициент передачи двигателя Knt
уменьшается до 1,5, то задав К= 3, мы передвинем корни влево на 5-плоскости, чтобы они
оказались в желаемой области.

Таблица 12.6. Показатели качества системы управления приводом
катушки при единичном ступенчатом воздействии
(предварительный синтез)

Параметры

Относительное
перерегулирование

Время уста-
новления, с

max

Номинальные параметры

Наихудшее сочетание па-
раметров
Номинальные параметры
с учетом третьего полюса
5 = -50

1,96 %

7,48 %

9,82 %

0,318	98

0,375	95

0,732	90

Показатели качества системы при К- 3 приведены в табл. 12.7. В данном случае сис-
тема удовлетворяет всем требованиям. Прием, связанный с введением правильно выбран-
ного дополнительного усилителя, позволяет переместить доминирующие корни ближе к
комплексным нулям ПИД-регулятора. Тогда, даже если параметры системы изменятся в
худшую сторону, ее качество все равно будет удовлетворять заданным требованиям.
г

|мы управления

г

i
i

12.11. Робастная система с внутренней моделью

719

I

1.5

*5(5+5)

5	10

ветров

К = 1 и при К - 3.
ни двигателя КП{
гости, чтобы они

|ивводом
Вствии

w(r)

ф)

max

98

95

90

йном случае сис-
Шильно выбран-
в корни ближе к
емы изменятся в
? требованиям.

Таблица 12.7. Показатели качества системы управления приводом
катушки при единичном ступенчатом воздействии
(с дополнительным усилителем А=3)

Номинальные параметры

Наихудшее сочетание
параметров
Номинальные параметры
с учетом третьего полюса

Относительное перерегулирование Время установления, с

0,12%	0,218

0,47 %	0,214

0,50 %	0,242

12.11. Робастная система с внутренней
моделью

На рис. 12.26 изображена система управления с внутренней моделью, назначение которой
рассматривалось ранее в разделе 11.8. Здесь мы еще раз займемся синтезом внутренней мо-
дели, имея целью обеспечить робастность системы. Принцип внутренней модели утвер-
ждает, что если Gc(s)G(s) содержит 7?(s), тоу(0 будет асимптотически воспроизводить сиг-
нал г(0 (в установившемся режиме) и это воспроизведение будет робастным.

Анализ системы, изображенной на рис. 12.26, показывает, что в случае объектов не-
высокого порядка обратная связь по состоянию может не потребоваться и требуемого ка-
чества можно добиться только за счет надлежащего выбора регулятора Gc(s). Однако ког-
да объект имеет достаточно высокий порядок, может потребоваться введение обратной
связи по всем переменным состояния.

Рассмотрим простой случай, когда С7(^) = 1/5, а система должна отрабатывать линей-
ный входной сигнал с нулевой установившейся ошибкой. Для этого достаточно использо-
вать ПИ-регулятор, и мы положим К = 0 (обратная связь по состоянию отсутствует). Тог-
да мы получим

GcG(s) = (Xl+^-)-- = ^Ht^..	(12.61)

5	5	5“

Заметим, что для линейного входного сигнала А(5) = 1А2, и этот сомножитель содер-
жится в выражении (12.61). Передаточная функция замкнутой системы равна

(12.62)

В соответствии с оценкой ИВМО для линейного входного сигнала (табл. 5.7) находим:

Рис. 12.26

Система управления
с внутренней моделью

Т(5) =

3,2ш„5+ со2

52 + 3,2со„5+ со2

(12.63)

ад
Частоту сол выберем так, чтобы она удовлетворяла требованию к времени установле-
ния. Если это время (по критерию 2 %) должно быть равно 1 с, то можно принять = 5.
Тогда мы получим = 16 и К2 ~ 25. Реакция системы входит в установившийся режим
через 1 с и затем отслеживает линейный входной сигнал с нулевой ошибкой. Если на вход
этой системы (рассчитанной применительно к линейному сигналу) подать ступенчатый
сигнал, то ее реакция будет иметь перерегулирование 5 % и время установления 1,5 с. Си-
стема обладает робастностью по отношению к параметрам объекта управления. Напри-
мер, если G(s) = K/s и коэффициент К получит отклонение от номинального значения
К = 1 на ± 50 %,то реакция системы на линейный входной сигнал изменится очень незна-
чительно.

Пример 12.11. Синтез системы управления с внутренней моделью

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.27, в которой использованы обратная связь по
состоянию и регулятор Gc(s). Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале установив-
шаяся ошибка была равна нулю. Поэтому мы выберем ПИД-регулятор с передаточной функ-
цией

чтобы функция G(s)Gc(s) содержала в качестве сомножителя /?($) = 1/s. изображение по Лап-
ласу входного сигнала. Заметим, что в данном случае мы используем обратную связь по обеим
переменным состояния и соответствующие сигналы добавляем (со знаком минус) к выходно-
му сигналу регулятора, чтобы сохранить интегратор в составе Gc(s).

Требование к системе сводится к тому, чтобы она обладала апериодической реакцией (см. раз-
дел 10.11) с временем установления (по критерию 2 %) менее 1 с и одновременно являлась ро-
бастной. Предполагается, что два полюса передаточной функции G(s) могут изменяться на
± 50 %. Тогда худшему случаю будет соответствовать выражение

6(5)-

1
(5+0,5)(5+1)’

К решению данной задачи есть два подхода. В первом случае можно выполнить синтез систе-
мы, ориентируясь на наихудшее сочетание параметров. Второй способ, которым мы здесь вос-
пользуемся, основан на том, что синтез проводится при номинальных значениях параметров,
но время установления принимается в два раза меньше заданного. Это позволяет ожидать, что
таким образом мы получим робастную систему с высоким быстродействием, удовлетворяю-
щую требованию к времени установления. Заметим, что в системе предусмотрен предшеству-
ющий фильтр Gp(s\ с помощью которого передаточной функции T(s) придается желаемая
форма.

Объект G(s)

Л(5)

Рис. 12.27. Система управления с внутренней моделью, обратной связью по
состоянию и регулятором 6c(s)

Ф)
Система третьего порядка будет обладать апериодической реакцией, если ее передаточная
функция согласно табл. 10.2 имеет вид:

T(s} =--------------—______________

S3 + 1.9<о,/ + 2,20(0,> + <о’ ’

(12.64)

а время установления (по критерию 2 %) ТА, = 4,04/ <о„. Задав Ts = 0,5 с, получим со„ = 8,08.

После выбора надлежащего предшествующего фильтра Gp(j) замкнутая система на рис. 12.27
будет иметь передаточную функцию

T(s) = --------------------------------------

? + (3 + К3 + Кь)? + (2 + + Ка + 2Kb )з + К2

(12.65)

Задав два коэффициента, Ка = 10 и Кь = 2, получим значения остальных: Кх = 127,6,	= 527,5

и К3 = 10,35. Заметим, что нужное выражение T(s) можно получить и при других значениях ко-
эффициентов, в том числе и при Кь = 0.

Переходная характеристика синтезированной системы имеет апериодический вид с перерегу-
лированием 1.65 % и временем установления 0,5 с. Если Полюсы G(s) изменятся на ± 50 %, то
перерегулирование увеличится до 1,86 %, а время установления будет равно 0,95 с. Поэтому
можно считать синтез завершенным, а полученная система обладает высокой робастностью и
апериодической реакцией.

12.12.	Синтез сверхпрецизионной системы
управления токарным станком
с алмазным резцом

Задача создания сверхпрецизионного токарного станка с алмазным резцом решалась в Ли-
верморской Национальной Лаборатории им. Лоуренса. Этот станок предназначен для при-
дания с очень высокой точностью заданной формы поверхностей оптических деталей, та-
ких, например, как зеркала. В данном случае мы рассмотрим задачу управления положени-
ем резца только по одной координате. Экспериментально, с помощью подачи
синусоидального сигнала на вход исполнительного устройства, была получена передаточ-
ная функция объекта управления

G(5) =

4500

5+ 60

(12.66)

Столь большой коэффициент усиления для системы не представляет опасности, т. к. вход-
ной эталонный сигнал r(t) представляет собой последовательность ступенек очень малой
амплитуда (доли микрона). Внешний контур системы образован за счет обратной связи по
положению, датчиком которого является лазерный интерферометр с точностью измерения
0,1 мкм. В системе также имеется внутренний контур, образованный за счет обратной связи
по скорости, как показано на рис. 12.28.

Требуется выбрать регуляторы G^s) и G2(s) так, чтобы система обладала высокой
робастностью, широкой полосой пропускания и при этом имела большой коэффициент
затухания. Робастность системы должна позволять ей приспосабливаться к изменению
нагрузки, обрабатываемых материалов и условий резания. Поэтому мы должны потребо-
вать, чтобы она обладала достаточными запасами устойчивости по модулю и по фазе во
внутреннем и внешнем контурах и малой чувствительностью корней. Требования к каче-
ству системы приведены в табл. 12.8.
Рис. 12.28. Система управления токарным станком

Таблица 12.8. Требования к системе управления токарным станком

Передаточная функция

Требования

Минимальная полоса пропускания
Установившаяся ошибка при ступенчатом
входном сигнале

Минимальный коэффициент затухания,
Максимальная чувствительность корней, |5£|
Минимальный запас по фазе
Минимальный запас по модулю

По скорости,

950 рад/с

0

0,8

1,0

90°

40 дБ

По положению,
У(у)/Я(у)
95 рад/с

0

0,9

1,5

75°

60 дБ

Поскольку мы желаем получить нулевую установившуюся ошибку в контуре управ-
ления скоростью, то выберем регулятор G2(5) = G3 (5)64(5) , где G3(s) есть передаточная
функция ПИ-регулятора, a G4(s) соответствует корректирующему устройству с опереже-
нием по фазе. Тогда примем

G2 (5) = G3 (5)G4 (5) =

и выберем К3 = 0,00532, К4 = 0,00272 и а = 2,95. В результате получим

G2(s)=K2

5+188

5 + 368

5+1085 '

Корневой годограф, соответствующий функции G2(s)G(s), изображен на рис. 12.29.
При К2~2 передаточная функция внутреннего контура с обратной связью по скорости
примет вид:

г , ч И(5)	9000(5+188)(5+ 368)

Т2	Z

U(s) (s+205)(s+305)(s+104)

10

(12.67)

3

что соответствует системе с очень большой полосой пропускания. Действительные значе-
ния полосы пропускания и чувствительности корней приведены в табл. 12.9. Заметим, что
требования к контуру управления скоростью выполнены с большим превышением.
Рис. 12.29

Корневой годограф внутреннего
контура системы (выходная
переменная — скорость)
в зависимости от /<2

Таблица 12.9. Результаты синтеза системы управления токарным
станком

Полученный результат

Полоса пропускания
Установившаяся ошибка
Коэффициент затухания
Чувствительность корней ,|5£|
Запас по фазе

Запас по модулю

Контур управления
скоростью, V(s)/U(s)
4000 рад/с

0

1,0
0,92
93°

00

Контур управления
положением, /($)//?($)
1000 рад/с

0

1,0

1,2

85°

76 дБ

В контуре управления положением мы используем корректирующее устройство с

опережением по фазе:

Gi (s) = Kl

причем выберем а = 2,0 и К5 = 0,0185, так что

G! (5) =

£i(s+54)
5+108

Затем построим корневой годограф для системы с передаточной функцией
GI(5>r2(5)l.

5

Если использовать приближенное выражение для T2(s) [см. (12.67)], то мы получим корне-
вой годограф, изображенный на рис. 12.30 (а). Если же взять действительное выражение
для Г2(5), то мы получим картину, изображенную на рис. 12.30 (б). Выбрав значение
= 1000, мы получим результаты, приведенные в последнем столбце таблицы 12.9. Син-
тезированная система обладает большим запасом по фазе, малой чувствительностью, ши-
рокой полосой пропускания и затуханием выше критического, т. е. она является в сильной
степени робастной.
-io4

| Увеличение

Рис. 12.30. Корневой годограф для Ку > 0 при (а) аппроксимации T2(s}
и (б) при точном значении 72(s)

12.13.	Псевдоколичественный метод синтеза
системы с обратной связью

В количественной теории обратной связи робастность системы управления достигается за
счет надлежащего выбора регулятора Gc(s), как показано на рис. 12.31. Цель синтеза при
этом заключается в обеспечении широкой полосы пропускания замкнутой системы за счет
большого значения коэффициента усиления К. Типичные методы синтеза при этом вклю-
чают в себя графические и численные процедуры в сочетании с использованием диаграм-
мы Никольса. Обычно количественные методы синтеза систем приводят к необходимости
иметь большой коэффициент усиления в контуре и достаточный запас по фазе, которые и
должны гарантировать робастность системы.

В этом разделе мы обсудим простой метод реализации количественной обратной свя-
зи, позволяющий с помощью корневого годографа выбрать коэффициент усиления К и
регулятор Gc(s). Этот метод, очень похожий на псевдоколичественный, включает в себя
следующие этапы:

1.	Разместить на 5-плоскости п полюсов и т нулей передаточной функции G(s), имею-
щей и-й порядок. Дополнить картину какими-либо полюсами Gc(s).

2.	Начиная с области, ближайшей к началу координат, разместить нули Сс(5) непо-
средственно слева от каждого из (и - 1) полюсов в левой половине 5-плоскости.
Один полюс должен остаться далеко слева.

3.	Увеличить коэффициент К так, чтобы корни характеристического уравнения (поло-
сы передаточной функции замкнутой системы) оказались близко к нулям функции
GcG(s).

Рис. 12.31

Система с обратной
связью

А(5)
pje системы управления

12.13.	Псевдоколичественный метод синтеза системы с обратной связью 725

BQ -200 -100 0 100 200

Ивительная ось

Этот метод позволяет задать нули таким образом, чтобы все ветви корневого годог-
рафа кроме одной заканчивались в конечных нулях. Если коэффициент К будет достаточ-
но большим, то полюсы 7(s) окажутся почти равными нулям GcG(s). В результате при раз-
ложении Дя) на простые дроби останется практически один член, коэффициент при кото-
ром, найденный с помощью вычетов, будет иметь наибольшее значение, и именно этот
член будет в основном определять реакцию системы. Ясно, что в этом случае запас по
фазе будет приблизительно равен 90° (в действительности около 85°).

Пример 12.12. Синтез системы псевдоколичественным методом

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.31, в которой

G (s)-----.

(s+fl)(j+P2)

Юксимации Г2($)

причем номинальные значения р} = 1 ир2 = 2, а отклонения этих параметров могут составлять
±50 %. Худшему случаю соответствуют значения = 0,5 и = 1. Требуется, чтобы при сту-
пенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равнялась нулю. Для решения задачи мы
используем ПИД-регулятор с передаточной функцией

GcW = (, + z.)(, + z2)

5

год синтеза
D

правления достигается за
- 12.31. Цель синтеза при
шкнутой системы за счет
и синтеза при этом вклю-
ктюльзованием диаграм-
йкводят к необходимости
запас по фазе, которые и

ветвенной обратной свя-
^фициент усиления К и
венный, включает в себя

юй функции G(s), имею-
ами Gc(s).

юстить нули Gc(s) непо-
i половине s-плоскости.

Здесь мы воспользовались принципом внутренней модели и включили ЯЦ) = 1/s в состав пере-
даточной функции GcG(s). Согласно этапу 1 процедуры синтеза разместим на s-плоскости по-
люсы GcG(s), как показано на рис. 12.32. Эти три полюса находятся в точках s = 0. -1 и -2. Со-
гласно этапу 2 один нуль поместим слева от полюса в начале координат, а другой — слева от
полюса в точке -1, как показано на рис. 12.32.

Передаточная функция регулятора примет вид:

(s+0,8)(s +1,8)

Gc.(s) =-------------.	(Iz.oo)

s

Рис. 12.32

/со

Корневой годограф для KGcG(s)

еского уравнения (поло-
Ьжизко к нулям функции
Выберем К= 100, чтобы корни характеристического уравнения оказались вблизи нулей. Тог-
да передаточная функция замкнутой системы будет равна

r =	100(у+0,80)(5+ 1,80)

5	(s+ 0,798)(s + l,797)(s + 100,4)

100

(5+ 100) ’

(12.69)

Полученная система обладает высоким быстродействием, а запас по фазе в ней приблизитель-
но равен 85°. Основные показатели качества приведены в табл. 12. 10.

Таблица 12.10. Показатели качества системы, синтезированной
псевдоколичественным методом

Относительное
перерегулирование

Время установления

Номинальная 67(5)

Худший случай 67(5)

0,01 %

0,97 %

40 мс

40 мс

Если взять худший случай (р{ - 0,5 ир-? = 1), то, как видно из табл. 12.10, качество системы су-
щественно не изменится. Таким образом, псевдоколичественный метод позволяет синтезиро-
вать систему с высокой степенью робастности.

12.14.	Синтез робастных систем с помощью
MATLAB

Этот раздел мы посвятим исследованию робастных систем с помощью MATLAB. В част-
ности, рассмотрим систему со структурой вида рис. 12.1, в которой используется ПИД-ре-
гулятор. Заметим, что в этой системе присутствует также предшествующий фильтр C7p(s).
Назначение такого фильтра и его роль в оптимизации качества были рассмотрены в разде-
ле 10.10.

ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

5

Отметим, что это выражение не соответствует физически реализуемой рациональной
функции (т. е. степень полинома в числителе выше, чем степень полинома в знаменателе).
Целью синтеза является выбор таких параметров К2 и Х3, которые удовлетворяли бы
требованиям к качеству системы и обеспечивали ее робастность. К сожалению, сразу не-
льзя дать однозначный ответ на вопрос, как именно должны быть выбраны параметры
ПИД-регулятора, чтобы система была робастной. На конкретном примере мы покажем,
что эти параметры можно подобрать методом итераций, а робастность системы проверить

путем имитационного моделирования.

Неоценимую поддержку здесь способен оказать MATLAB, с помощью которого наи-

более эффективно выполняются итерационные процедуры синтеза.

Пример 12.13. Робастный регулятор температуры

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 12.1, в которой объект имеет передаточную функ-
цию

^(5) ~ ~	“2 ’

(J + Q))
причем номинальное значение с0 = 1 и Gp(s) = 1. Проведем синтез регулятора при с0 - 1 и пу-
тем моделирования проверим робастность системы. Требования к качеству системы таковы:

1.	Время установления (по критерию 2 %) Ts < 0,5 с.

2.	При ступенчатом входном сигнале оценка качества ИВМО должна быть минимальной.
При синтезе мы не будем использовать предшествующий фильтр, с помощью которого обыч-
но удовлетворяется требование 2. Вместо этого мы покажем, что приемлемое качество (в дан-
ном случае малое перерегулирование) можно обеспечить за счет введения в контур дополни-

тельного усилителя.

Замкнутая система имеет передаточную функцию

(12.70)

Этой функции соответствует уравнение корневого годографа

где К = К3 + 2. а = b = К-2 - .

2 + К3 З+А'з

Требование к времени установления Тх < 0,5 приводит нас к тому, что корни полинома
(s2 + as + b) должны находиться слева от линии s-~	= -8, как показано на рис. 12.33. для

того чтобы корневой годограф был направлен в область желаемого качества. Выберем а = 16 и
Ъ - 70, чтобы корневой годограф прошел влево через линию s = -8. Далее выберем на годогра-
фе желаемое положение корней в соответствующей области и с помощью функции rlocfind
найдем значения параметров К и со„ . Для выбранного положения корней (см. рис. 12.33) мы
имеем К = 118. Затем, зная К, а и 6 получим уравнения для определения коэффициентов
ПИД-регулятора:

К3 = К-2 = 116

= а (2 + К3)- 1 = 1187 ,

К2 = b (2 + К3) = 8260 .

Чтобы удовлетворить требование, предъявляемое к перерегулированию, мы используем уси-
литель с коэффициентом К, включенный последовательно с ПИД-регулятором. а значение К
найдем методом итераций с помощью функции step, как показано на рис. 12.34. При К= 5 пе-

Рис. 12.33

Корневой годограф
системы
управления
температурой
с ПИД-регулятором
в зависимости от К

»а=16; b=70; num=[1 a b]; den=[1 0 0 0]; sys=tf(num,den);

»rlocus(sys)

»rlocfind(sys)
реходная характеристика имеет приемлемое перерегулирование, равное 2 %. Передаточная
функция ПИД-регулятора с учетом дополнительного коэффициента К - 5 принимает оконча-
тельный вид:

„ кУ + Ks+K, 116?+1187s + 8260

Gc(s) = К -------!----- = 5----------------

(12.71)

Напомним, что мы здесь не использовали предшествующий фильтр, как в примере 12.8, а вме-
сто этого для получения приемлемого вида переходной характеристики увеличили коэффици-
ент усиления К. Теперь можно рассмотреть вопрос о робастности системы по отношению к из-
менению параметра объекта управления с0.

Анализ робастности предполагает построение переходных характеристик системы с ПИД-ре-
гулятором (12.71) при изменении параметра объекта в диапазоне 0,1 <с0< Ю- Результаты ото-
бражены на рис. 12.35. Программа написана для построения переходной характеристики при
конкретном значении с0. Чтобы сделать программу более интерактивной, можно было бы пре-
дусмотреть ввод значений с0 на уровне командной строки.

Результаты моделирования показывают, что синтезированный ПИД-регулятор делает систему
робастной по отношению к изменению параметра с0. Отличия переходных характеристик при
0.1 < с0 < 10 на графике являются едва заметными. Если бы результаты получились иными, то
процедуру синтеза можно было бы продолжить и методом итераций добиться приемлемого ка-
чества системы. MATLAB позволяет легко проверить робастность системы путем имитацион-
ного моделирования.

Рис. 12.34

Переходные
характеристики
системы управления
температурой
с ПИД-регулятором

K3=Ks-2, К1=а*(2+КЗ)-1, К2=Ь*(2+КЗ) ◄--------------------

numgc=K*[K3 К1 K2J; dengc=[1 0]; sysgc=tf(numgc,dengc);

numg=[1]; deng=[1 2 1]; sysg=tf(numg,deng);

%	Коэффициенты

syso=series(sysgc,sysg);	ПИД-регулягора

%

sys=feedback(syso,[1J);
step(sys)
Рис. 12.35

Анализ влияния
параметра Cq
на робастность
системы
управления
температурой
с ПИД-регулятором

сО=Ю <—_____________________________

numg=[1 ]; deng=[1 2*с0 сОл2];

numgc=5*[116 1187 8260]; dengc=[1 0];

sysg=tf(numg,deng);

sysgc=tf(numgc,dengc);

%

syso=series(sysgc,sysg);

%

sys=feedback(syso,[1]);

%

Задание
параметра
объекта

step(sys)

12.15.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

В этой главе мы синтезируем ПИД-регулятор, обеспечивающий желаемый вид ре-
акции системы. Во многих реальных дисководах такой регулятор применяется для
того, чтобы движение головки к заданной дорожке осуществлялось с максимально
возможной скоростью. Это соответствует отработке системой линейного эталонного сиг-
нала r(f). В то же время сигнал r(t) может иметь и ступенчатую форму. Поэтому от системы
требуется, чтобы она обладала нулевой установившейся ошибкой как при линейном, так и
при ступенчатом входных сигналах. В системе, изображенной на рис. 12.36, прямая цепь
содержит два интегратора, поэтому резонно ожидать, что при входном сигнале r(t) - At,
t > 0 установившаяся ошибка будет равна нулю.

ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

Gc^ = &\

Параметры обмотки возбуждения двигателя таковы, что ее передаточная функция

5000

5+1000
D(s)

R(s)

Рис. 12.36. Система управления дисководом с ПИД-регулятором

Используя такую аппроксимацию, мы понизим порядок передаточной функции дви-
гателя вместе с нагрузкой до второго и при синтезе регулятора будем рассматривать

именно такую модель.

Задачу мы будем решать с помощью корневого годографа методом, рассмотренным
в разделе 12.6. Нарис. 12.37 показано расположение полюсов и нулей разомкнутой систе-
мы с передаточной функцией

GcGxG2(s) =

5К3 (5+ zx	)

?(s + 20)

Выберем z = -120+/40 и определим 5К3 так, чтобы корни характеристического урав-
нения замкнутой системы находились слева от линии 5 = -100. Если выполнить это тре-
бование, то мы будем иметь

v 100

а перерегулирование при ступенчатом входном сигнале составит менее 2 %, потому что
комплексным корням будет соответствовать коэффициент затухания приблизительно
равный 0,8. Разумеется, построения нарис. 12.37 — это только предварительный набросок.
Далее с помощью MATLAB мы можем путем итераций определить значение К3. На рис.
12.38 изображен корневой годограф, построенный с помощью MATLAB приЛ3 = 800. По-
казатели качества системы приведены в табл. 12.11, откуда следует, что система удовлет-
воряет всем требованиям.

Рис. 12.37
Примерный вид
корневого
годографа при
увеличении Аз
и оценка
положения корней
при заданном
качестве системы
Нагрузка

1

«у(«у+20)



"Регулятором

сдаточной функции дви-
В будем рассматривать

ггодом, рассмотренным
Тлей разомкнутой систе-

Рис. 12.38

Действительный вид
корневого годографа
для модели второго
порядка

вжтеристического урав-
5сли выполнить это тре-

Таблица 12.11. Показатели качества системы управления дисководом

Показатель качества

Желаемое значение Действительное значение

менее 2 %, потому что



ы приблизительно

дарительный набросок.
п» значение К3. На рис.
ГЪАВ приЛ3 = 800. По-
It что система удовлет-

Относительное перерегулирование
Время установления реакции
на ступенчатый входной сигнал
Максимальное значение реакции
на единичное ступенчатое возмущение

< 5 %

4.5 %

< 50 мс

< 5  Ю“3

6 мс

7,7- 10'7

12.16. Резюме

Синтез систем высокой точности при наличии существенной неопределенности объекта
вынуждает проектировщика искать решение в классе робастных систем. Робастная систе-
ма обладает малой чувствительностью и сохраняет устойчивость при изменении ее пара-
метров в широком диапазоне.

Мы показали, как можно обеспечить робастность системы путем использования в
ней ПИД-регулятора. Синтез ПИД-регулятора состоит в выборе его коэффициента усиле-
ния и двух нулей передаточной функции. Мы рассмотрели три метода синтеза ПИД-регу-
ляторафиетод корневого годографа,"метод частотных характеристик иЗМетод, основанный
на использовании оценки качества ИВМО. На рис. 12.39 приведена схема на операцион-
ных усилителях, которая может выполнять функции ПИД-регулятора. Вообще ПИД-ре-
гулятор - это мощное средство в руках проектировщика, позволяющее синтезировать ро-
бастные системы управления.

Мы показали, как можно получить робастную систему, используя внутреннюю мо-
дель и обратную связь по состоянию. И, наконец, мы выяснили, что с помощью псевдоко-
личественной обратной связи также можно обеспечить робастность системы управления.

На рис. 12.40 показано, как с увеличением неопределенности параметров и возмуще-
ний совершенствуется тип систем управления и возрастают требования к уровню необхо-
димого для их реализации машинного интеллекта.
Глава 12. Робастные системы управления

Рис. 12.39
Схема
на операционных
усилителях,
используемая
в качестве
ПИД-регулятора

+ 1)(/г2с> + 1)

- о—

Рис. 12.40

Зависимость между требуемым
уровнем машинного интеллекта
в современных системах
управления и неопределенностью
параметров и возмущений

Низкая Средняя Высокая

Неопределенность параметров и возмущений

Упражнения

У-12.1. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 12.16, где



Используя оценку качества ИВМО при ступенчатом входном сигнале, определите необходи-
мую передаточную функцию Gc(s). В соответствующем полиноме из табл. 5.6 примите

= 20. Получите переходную характеристику при наличии предшествующего фильтра
и без него.

У-12.2. Для системы, синтезированной в упражнении 12.1, получите реакцию на возмущение

D(s) - 1/j.

У-12.3. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ-
цию

<Ф) =—— ,
Ф + Р)

где параметр р имеет номинальное значение 3. Определите Sj и постройте диаграммы Боде
для |Г(/'со)| и (»|.

Ответ: S? = —z—.

s2 4- ps+ q
У-12.4. В системе, изображенной на рис. 12.16, используется ПИД-регулятор. причем

1

(х + 2)(s + 8) ’

Коэффициент^ регулятора [см. (12.33)] ограничен значением 180. Выберете нули регулятора
так, чтобы пара корней характеристического уравнения замкнутой системы примерно равня-
лась этим нулям. Получите переходную характеристику системы для ее аппроксимации вида
(12.35), а также действительную переходную характеристику и сравните их.

У-12.5. В системе с единичной отрицательной обратной связью объект управления имеет переда-
точную функцию

G(^) =

15900

s(s/100 + l)(s/200+l)

и в системе используется ПД-регулятор

(7r(s) = К, + K^s.

Требуется определить такие параметры передаточной функции Gc(x), чтобы при ступенчатом
входном сигнале перерегулирование не превышало 20 % и время установления ( по критерию
2 % ) было менее 60 мс. Определите передаточную функцию регулятора Gt.(s) .

У-12.6. Рассмотрите систему управления, изображенную на рис. 12.6 (У), где (7(5) = l/(s+4) и выбе-
рете ПИ-регулятор, чтобы при ступенчатом входном сигнале и оценке качества ИВМО время
установления (по критерию 2 %) было менее 1 с. Постройте график реакции y(t) на ступенча-
тый входной сигнал г(г) при наличии предшествующего фильтра и без него. Постройте график
реакции системыу(0 на ступенчатое возмущение. Сделайте выводы по поводу эффективности
системы.

ад

Вход

Возмущение

Рис. 12.6 (У). Система с регулятором

У-12.7. В системе, изображенной нарис. 12.16, передаточная функция объекта управления равна
GO) =---------------------------------------Ц.

Выберите такой ПИД-регулятор, чтобы при ступенчатом входном сигнале и оценке качества
ИВМО время установления (по критерию 2 %) было менее 1 с. Получите график реакции у(/)
при наличии предшествующего фильтра и без него. Постройте график реакцииy(t) на ступен-
чатое возмущение. Сделайте выводы относительно эффективности системы.

У-12.8. Повторите упражнение 12.6, пытаясь получить минимальное время установления при нали-
чии ограничения |и(г)| < 80, t> 0. в случае единичного ступенчатого воздействия r(/) = 1. / > 0.

3600+ 80s

Ответ'. Gc(s) ---------.

У-12.9. Система имеет структуру вида рис. 12.6 (У), где
причем номинальное значение К = 1. Синтезируйте ПД-регулятор. позволяющий поместить
доминирующие полюсы передаточной функции замкнутой системы в точках j = -1.5 ± j'2.
Определите переходную характеристику системы. Предскажите, как отразится на этой харак-
теристике изменение К на ± 50 %. Получите переходную характеристику, соответствующую
худшему случаю.

У-12.10. Система имеет структуру вида рис. 12.6 (У), где

6(0 =

К
s(s + 1)(5+ 4)

причем номинальное значение К= 1. Синтезируйте ПИ-регулятор, позволяющий поместить
доминирующие корни в точках 5 = -0,365 ± j’0,514. Определите переходную характеристику
системы. Предскажите, как отразится на этой характеристике изменение К на + 50 %. Получи-
те переходную характеристику, соответствующую худшему случаю.

Задачи

3-12.1. В последние годы значительно возрос интерес к созданию автоматических подводных аппа-
ратов различного назначения. Они могут быть использованы для доставки со дна предметов,
обнаружения мин, наблюдения за прилегающим пространством. Независимо от назначения та-
ких аппаратов, системы управления ими должны обладать высокой надежностью и робастно-
стью. Один из таких подводных аппаратов изображен на рис. 12.1(3), (п). Он имеет длину око-
ло 10 м, в его носовой части установлено вертикальное крыло. Управление положением аппа-
рата осуществляется с помощью кормовых крыльев, руля направления и гребного винта. В
данной задаче речь идет об управлении углом наклона аппарата относительно продольной оси
с помощью кормовых крыльев. Структурная схема системы управления изображена на рис.
12.1 (3), (б), где заданное значение угла/?(5) = 0, a D(s) = 1/s. Выбран регулятор с передаточной
функцией 6c(s) = К(з+2), где К = 4,

(а) Изобразите диаграмму Боде для 20 ЩГ(/о>)| и 201g|5^(yco)|, где Д5)=У(5)/Т?(5). (б) Оцените
чувствительность |5£| при частотах со^, со^/2 и (о#/4 (со5 — полоса пропускания системы).

3-12.2. На рис. 12.2 (з), (п) изображена дистанционно управляемая подвешенная видеокамера, со-
зданная для обслуживания профессиональной футбольной лиги. Камера может перемещаться
в любом из трех направлений, за счет чего ее обзору доступно все поле. Система управления
приводом каждого рычажного блока изображена на рис. 12.2 (3), (б), где Т| = 20 мс и т2 = 2 мс.

Рис. 12.1 (3)
Система
управления
подводным
аппаратом

D(s)

б)

Я(5)=0

> ПО

Угол
крена
Рис. 12.2 (3)
Дистанционно
управляемая
видеокамера

Шкив

б)

*0)



(а) Выберите коэффициент К, обеспечивающий максимальное значение амплитудной харак-

теристики замкнутой системы Мр

= 1,84. (б) Изобразите диаграмму Боде для 20 1g |Г(/со)|

и

20lg|5'^(/w)|. (в) Оцените | при частотах (0^/2 и сов /4 . (г) Считая R(s) - 0, оцените влия-

ние возмущения D(s) = 1/s на выходную переменную у(г), построив ее график при коэффици-
енте К, найденном в п. (а).

3-12.3. Поезда на магнитной подвеске могут заменить самолеты при перевозке пассажиров на рас-
стояние до 350 км. Один из таких поездов, разработанный в Германии, способен перевозить до
400 пассажиров со скоростью 480 км/ч. Однако очень трудно поддерживать постоянный зазор
между днищем поезда и направляющим рельсом, величина которого составляет всего 6 мм.
На рис. 12.3(3), (а) схематически изображен поезд на магнитной подвеске, а на рис. 12.3(3). (б)
приведена структурная схема системы управления величиной воздушного зазора. Регулятор

имеет передаточную функцию

Рис. 12.3 (3)
Система
управления
поездом
на магнитной
подвеске

рельс

величина
зазора

—

Воздушный
зазор


Кодовый датчик

ШИМ

идропрнвод

Кодовый датчик
положения стола

* Конвейер

шамшн

Стол с ропотом

► Компьютер

Червячный

механизм

м*

Вход

Ж*)

Р(5)

ад

(s+4)









Компьютер

Рис. 12-4 (3), Робот для покраски автомобилей

(а)	Определите диапазон значений К. при которых система является устойчивой.

(б)	Выбрав К в 2 раза меньше значения, предельно допустимого из соображений устойчиво-
сти, определите реакцию системы y(t) на единичный ступенчатый входной сигнал.

(в)	Определите y(t), если К отклоняется на ±10 % от значения, полученного в п. (б).

3-12.4. На рис. 12.4 (3), (я) изображена система управления роботом, осуществляющим покраску
корпуса автомобиля. Требуется исследовать поведение системы при значениях К = 1, 10 и 20.
(а) Для указанных трех значений К определите 4, относительное перерегулирование, время
установления (по критерию 2 %) и установившуюся ошибку при ступенчатом входном воздей-
ствии. Оформите результаты в виде таблицы, (б) Определите чувствительность |5^-| при трех
значениях К. (в) Выберите наилучшее из трех значений К. (г) При значении К из п. (в), считая
7?(л-) = 0. найдите реакцию системы у(0 на возмущение D(s)~ 1/s.

3-12.5. На рис. 12.5 (3), (а) изображено автоматически управляемое транспортное средство, а на рис.
12.5(3), (б) — структурная схема системы управления. Система должна обеспечивать движе-
ние точно по заданному маршруту, быть нечувствительной к изменению коэффициента и
эффективно ослаблять влияние возмущения. Номинальные значения параметров - 1 и
т- 1/25 с.

(а)	Выберите регулятор Ос(^)так, чтобы при ступенчатом входном сигнале перерегулирование
не превышало 10 %, время установления (по критерию 2 %) было менее 100 мс и коэффициент
ошибки по скорости Ку равнялся 100.

(б)	При регуляторе, полученном в п. (а), определите чувствительность системы к малым изме-
нениям К\, или (в) При том же регуляторе ОДД считая, что Kt увеличивается до 2.
определите переходную характеристику системы и сравните показатели качества с заданными
в п. (а), (г) Считая K(s) - 0, получите график реакции системы y(t) на возмущение D(s) = 1/5.

3-12.6. На бумажных комбинатах специальная машина принимает, обертывает и маркирует боль-
шие роли бумаги. Эта машина состоит из нескольких основных станций: станции позициони-
рования, станции ожидания, станции обертывания и т. д. Мы рассмотрим только станцию по-
зиционирования, изображенную на рис. 12.6(3), (а). Эта станция является первой из всех, кото-
рые имеют дело с бумажным ролем. Она должна принять и взвесить роль, измерить его диа-
О)

Вмонтированная в пол

Рис. 12-5 (3). Автоматически управляемое транспортное средство

метр и ширину, определить желаемую обертку, позиционировать роль для обработки на
следующем этапе и, наконец, выдать его на этот этап.

С функциональной точки зрения данную машину можно рассматривать как сложный объект, по-
тому что каждая операция (например измерение ширины роля) требует большого количества от-
дельных действий со стороны оборудования и использования соответствующих датчиков.

На рис. 12.6(3), (б) изображена система управления позиционированием роля для измерения
его ширины. Параметр р передаточной функции объекта управления (устройства измерения
ширины) в номинальном режиме равен 2, но он может изменяться под влиянием нагрузки и не-
правильной настройки машины, (а) Прир ~ 2 синтезируйте регулятор так, чтобы комплексные
корни замкнутой системы имели значения «у = -2 ± у2л/3. (б) Получите график y(t) при ступен-

чатом входном сигнале R(s) = 1/s. (в) Считая /?Су) = 0, получите график реакции y(t) на ступен-
чатое возмущение D(s) - 1Ау. (г) Повторите пп. (б) и (в), если р изменяется до 1, а регулятор
Gc(s) остается тем же, который был получен в п. (а). Сравните регуляторы, полученные для
двух значений параметра р.

и

Рис. 12.6 (3)

Система управления
машиной для обертки
бумажных ролей

а)

Измерение диаметра

Бумажный
*

Измерение
ширины

рол ь

\ 30 -270 см

Лазер

р Устройство

позиционирования

Вид спереди



24—1503
а)

Пластина

Позиция № 2 Позиция К« I

б)

Выравнивающее
устройство

Возмущение D(s)

Рис- 12-7 (3). Система управления слябингом

3-12.7. Обжимный прокатный стан (слябинг) предназначен для превращения разогретых заготовок
в стальные пластины заданного размера и толщины. Конечным продуктом являются пластины
прямоугольной формы шириной до 3300 мм и толщиной 180 мм.

Схематически слябинг изображен на рис. 12.7(3), (я). Он имеет две основных позиции с валка-
ми, обозначенные номерами 1 и 2. Валки, диаметр которых достигает 508 мм. приводятся во
вращение мощными (до 4470 кВт) электродвигателями. Необходимый зазор между валками и
развиваемое ими усилие обеспечиваются с помощью больших гидроцилиндров.

Работу слябинга кратко можно описать следующим образом. Заготовки, выдаваемые из печи
для разогрева, сначала проходят через позицию №1, которая должна довести их до заданной
ширины. Затем они проходят через позицию №2, которая обеспечивает заданную толщину, и.
наконец, попадают на выравнивающее устройство, которое придает пластине гладкую поверх-
ность.

На рис. 12.7 (3), (б) изображена структурная схема системы управления валками, обеспечива-
ющими заданную толщину пластин. Объект управления имеет передаточную функцию

5(52 +45+5)

Передаточная функция ПИД-регулятора Ge(s) имеет два одинаковых вещественных нуля,
(а) Выберете нули и коэффициенты ПИД-регулятора так, чтобы характеристическое уравне-
ние замкнутой системы имело две пары одинаковых корней, (б) Считая, что предшествующий
фильтр отсутствует, т. е. Gp(s) ~ 1, получите переходную характеристику системы, синтезиро-
ванной в п. (а), (в) Повторите п. (б) при наличии надлежащего предшествующего фильтра,
(г) Считая, что r(t) = 0, определите реакцию системы на единичное ступенчатое возмущение.

3-12.8. На рис. 12.8(3) изображена система управления, в состав которой входят двигатель и нагруз-
ка с пренебрежимо малым трением, а также преобразователь напряжения в ток с коэффициен-
том Ка. Инженер решил использовать в этой системе ПИД-регулятор

Gc(s) = Kt +— +K3s,

s

где К1 = 5, /С2 = 500 и К3 = 0.0475.

А(5)

У(5)

Рис. 12.8 (3)
(а) Определите значение Ка, при котором запас по фазе в системе будет равен 42°. (б) Построй-
те корневой годограф системы и определите положение корней, соответствующее коэффици-
енту Ка, найденному в п. (а), (в) При Ка из п. (а) определите максимальное значение у(г). если
D(s) = 1/s и Я($) - 0. (г) Определите реакцию системы на ступенчатый входной сигнал r(t) при
наличии и при отсутствии предшествующего фильтра.

3-12.9. Система с единичной обратной связью в номинальном режиме имеет характеристическое

уравнение

q(s) = 53 + 35' + 35 + 6 = 0.

Коэффициенты уравнения изменяются в следующих пределах:

2 < а2 3, 1 < а1 < 3, 3 < а0 < 5.

Определите, является ли система устойчивой при этих неопределенных коэффициентах.

3-12.10. В будущем астронавты смогут передвигаться по луне в герметизированном аппарате, изоб-
раженном на рис. 12.10(3), (а). Этот аппарат будет иметь радиус действия 1000 км и может
быть использован в экспедициях длительностью до шести месяцев. Инженеры корпорации Бо-
инг, изучив лунный вездеход, использовавшийся в программе «Аполлон», разработали новый
аппарат, внеся улучшения в системы радиационной и тепловой защиты, в противоударные и
антивибрационные устройства, в системы смазки и герметизации.

На рис. 12.10(3), (б) изображена система управления движением лунного вездехода. Система
должна обеспечивать отработку ступенчатого задания на изменение курса с нулевой установив-
шейся ошибкой, с перерегулированием не более 20 % и временем максимума менее 0,3 с при |
u(t) | < 50. Необходимо также исследовать реакцию на ступенчатое возмущение D(s) = 1 /5 при
Я($) = 0, чтобы оценить и по возможности минимизировать влияние неровностей лунной повер-
хности. Синтезируйте сначала ПИ-регулятор, затем ПИД-регулятор, и оформите в виде таблицы

Рис. 12.10 (3)
(а) Лунный
самоходный
аппарат.

(б) Система
управления
поворотом
аппарата

угол

аппарата
Рис- 12.12 (3). (а) Трехкоординатный копир.

(5) Система управления перемещением по оси х

основные результаты, характеризующие качество системы. Сравните соответствующие показа-
тели качества. В случае необходимости используйте предшествующий фильтр Gp(s).

3-12.11. Объект управления имеет передаточную функцию

В системе управления с единичной отрицательной обратной связью должен быть использован
ПИД-регулятор. Предусмотрено также применение предшествующего фильтра. При оценке
качества ИВМО время максимума переходной характеристики должно быть равно 0,75 с.
Предскажите величину перерегулирования и время установления (по критерию 2 %).

3-12.12. На рис. 12.12 (3), (а) изображен трехмерный копир, позволяющий реализовывать функ-
цию двух переменных. Переменные л и 0 можно изменять с помощью соответствующих сис-
тем управления положением. Система управления перемещением по координате х изображе-
на на рис. 12. 12(3), (б), где двигатель постоянного тока вместе с нагрузкой имеет передаточ-
ную функцию

G(s) = ----К....- .

5(5+ P){S+ 4)

причем 1 < К < 3 и 1<р < 3. Номинальные значения К = 2 пр - 2. Используя оценку качества
ИВМО, синтезируйте ПИД-регулятор так, чтобы в наихудшем случае время максимума пере-
ходной характеристики было менее 2,5 с.

Задачи повышенной сложности

П-12.1. Чтобы минимизировать влияние вибраций на положение телескопа, используется магнит-
ная подвеска. Благодаря этому также исключается трение в системе управления азимутальной
ориентацией. Фотодатчики этой системы вместе с электрическими соединениями можно смо-
делировать в виде пружины, имеющей коэффициент упругости 1 кг/м. Масса телескопа равна
100 кг. Структурная схема системы приведена на рис. 12.1 (П). Синтезируйте ПИД-регулятор

Рис. 12.1 (П)

Система управления
положением телескопа
на магнитной подвеске

Динамика
объекта

К
l0052+l


так, чтобы коэффициент ошибки по скорости Kv был равен 100, а максимальное перерегулиро-
вание при ступенчатом входном сигнале не превышало 5 %.

П-12.2. Возможным решением проблемы пробок на автодорогах является использование автопоез-
дов на магнитной подвеске. Такие поезда движутся вдоль специального направляющего рель-
са над автомагистралью за счет электромагнитных сил, обеспечивающих как подвеску, так и
поступательное движение. В идеале поезд на магнитной подвеске сочетает в себе преимущест-
ва отдельных видов транспорта: экологичность и безопасность обычных скоростных поездов,
скорость и отсутствие трения, присущие самолету, и комфортность автомобиля. Благодаря
этим факторам, системы магнитной подвески становятся действительно новым видом транс-
порта, снимая проблему перегруженности автомагистралей. Поезда на магнитной подвеске
смогут развивать скорость от 250 до 500 км/ч.

Рис. 12.2(П), (а) и (б) иллюстрируют задачу управления наклоном вагона поезда на магнитной
подвеске. Динамика объекта управления подвержена изменениям, так что 1 < К < 2. а полюсы
передаточной функции (7(5) могут находиться в затененных областях на рис. 12.2(П), (в).
Цель синтеза состоит в том, чтобы получить робастную систему, реакция которой на ступенча-
тый входной сигнал имела бы перерегулирование менее 10 % и время установления (по крите-
рию 2 %) менее 2 с при ограничении |w(f)| ^100. Проведите синтез, используя ПИ-, ПД- и
ПИД-регуляторы, и сравните полученные результаты. При необходимости используйте пред-
шествующий фильтр (7р(5).

П-12.3. Система, препятствующая пробуксовке автомобиля с точки зрения теории управления
представляет большой интерес, т. к. ее параметры могут существенно изменяться (например,
за счет изменения коэффициента трения тормозных дисков, изменения уклона дороги или пло-
хих дорожных условий). Такая система должна обеспечивать максимальное трение между ши-
ной и дорогой при любом качестве поверхности последней. Нетрудно догадаться, что это тре-
ние будет наибольшим при сухом асфальте, немного уменьшится при мокром асфальте и су-

щественно уменьшится при гололеде.

Упрошенная модель системы управления торможением имеет структуру, изображенную на
рис. 12.16, где

G(5) =

Г(*)	1

U(s) (s+a)(s+b)'

а номинальные значения а = 1 и b = 4.

(а) Считая, что параметры а и b могут изменяться на ±50 %, и используя ПИД-регулятор, син-
тезируйте систему с высокой степенью робастности, которая при ступенчатом входном сигна-
ле обладала бы перерегулированием менее 4 % и временем установления (по критерию 2 %),
равным 1 с или менее. Установившаяся ошибка при этом должна быть менее 1 %, (б) Синтези-
руйте систему, удовлетворяющую требованиям из п. (а), используя оценку качества ИВМО.
Предскажите величину перерегулирования и время установления.

П-12.4. Для помощи в проведении хирургической операции по замене берцовой кости протезом
был создан робот, названный РоБоДок. Этот робот предназначен для того, чтобы с высокой
точностью позиционировать инструмент, с помощью которого производится сверление отвер-
стия для последующей фиксации протеза. Ясно, что система управления положением хирурги-
ческого инструмента должна обладать высокой степенью робастности, т. к. второй возможно-
сти просверлить кость уже не будет. Система управления имеет структуру, изображенную на
рис. 12.16, где

G(s) = 2 - ,>
5 4- as + b

причем 2<а<4и5<Ь<9.

Выберите ПИД-регулятор, обеспечивающий высокую степень робастности системы. Для ре-
шения задачи воспользуйтесь методом корневого годографа. Выберите необходимую функ-
цию G?(s) и постройте график реакции системы на ступенчатый входной сигнал.
Рис. 12.2 (П)

(а) и (б) Система
управления
наклоном вагона
на магнитной
подвеске.

(г) Области
расположения
полюсов объекта
управления

Об мо гк и, обе с г I еч и ваю щ и е
подвеску и движение

Поддерживающий усгой

-12.5. На рис. 12.5 (П) изображен космический аппарат с установленной на нем телекамерой. Ка-
мера может наклоняться на 16° относительно своего основания. Реактивные двигатели обеспе-
чивают стабилизацию основания камеры, противодействуя моментам реакции, возникающим
при вращении камеры. Система управления скоростью вращения камеры имеет структуру,
изображенную на рис. 12.16, где

g(5) =---------!-------.

(5+ l)(s+ 2)(5+ 4)
Рис. 12.5 (П)

Космический аппарат
с телекамерой

В системе используется ПИД-регулятор с передаточной функцией

Gc(s) =

K(s+ <5+ Jl)(s + <т - У1)

5

Всем корням характеристического уравнения замкнутой системы должен соответствовать ко-
эффициент затухания Q < 1/41 при 1 < о < 2 (с изменяется с шагом 0.25). Определите соответ-

шроводя шая рам а

вспенивающие

Видение

Bli* ЧТОЙ
г

t

L

ем телекамерой. Ка-
ве двигатели обеспе-
книи. возникающим
В имеет структуру.

ствующее этому требованию значение коэффициента К и вычислите корни характеристиче-
ского уравнения. Определите чувствительность корней к изменению К.

П-12.6. В системе на рис. 12.16

G(s) =

st? + io)

где номинальное значение = 1. Синтезируйте ПИД-регулятор. при котором запас по фазе в
системе будет равен 50°. Регулятор имеет передаточную функцию

.... K(s2 + 205+Z>)

Ge(s) ---------------,

5

причем нули являются комплексными. Выберете надлежащий предшествующий фильтр. Ис-
следуйте влияние изменения К\ на ± 25 %, представив в табличной форме основные показате-

ли качества системы.

П-12.7. В системе на рис. 12.16

G(s) =

s(ts + 1)

где = 1и т = 0,001 с (этой постоянной времени можно пренебречь — проверьте, что это дей-
ствительно так, в процессе синтеза). Синтезируйте ПИД-регудятор так, чтобы при ступенча-
том входном сигнале время установления (по критерию 2 %) было менее 0,8 с, а перерегулиро-
вание не превышало 5 %. Кроме того, реакция выходной переменной на возмущение не дол-
жна выходить за рамки 5 % от амплитуды возмущения. Выберете частоту и используйте ме-
тод синтеза, основанный на оценке качества ИВМО.

П-12.8. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 12.16, где

G(s) = -.

Используя Оценку качества ИВМО, выберите ПИ-регулятор, который при единичном ступен-
чатом входном сигнале обеспечивал бы его отработку системой с учетом ограничения |w(f)| <1.
Определите время установления (по критерию 2 %). При решении задачи используйте предше-
ствующий фильтр.
П-12.9. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 12.16, где

Синтезируйте ПИД-регулятор, чтобы получить (а) коэффициент ошибки по ускорению Кп = 2.
(б) запас по фазе 45° и (в) полосу пропускания больше, чем 2,8 рад/с. Выберите необходимый
предшествующий фильтр и постройте график реакции системы на ступенчатый входной сигнал.

П-12.10. На рис. 12.10 (П) изображена система управления положением инструмента станка. Пере-
даточная функция усилителя мощности, первичного привода и оправки с инструментом равна

G(5) =

________50

5(5+ l)(s + 4)(s+ 5)

При ступенчатом входном сигнале система должна иметь перерегулирование менее 25 % и
время максимума реакции менее 3 с. Рассмотрите варианты с использованием ПД-регулятора,
ПИ-регулятора и ПИД-регулятора и выберите наилучший из них.

П-12.11. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 12.16, где

“ 2	2 ’

5 4- 2as 4- а

причем 1 <я<3и2</к<4. Синтезируйте ПИД-регулятор для случая наихудшего сочетания
параметров. Требуется, чтобы при оценке качества ИВМО время установления (по критерию
2 %) было менее 0,8 с.

П-12.12. В системе, изображенной на рис. 12.16,

G (5) =---------------

(5 4- p)(s + q)

где 3<р<5,0<^< 1 и 1 < г <2. Регулятор имеет передаточную функцию

X(5 + Z|)(5+ z2)
(s4-/7|)(s + p2)

причем все полюсы и нули являются вещественными. Выберите параметры регулятора так.
чтобы система была робастной.

Рис. 12.10 (П). Система управления положением инструмента:
1 — эксцентрик, 2— дифференциальный усилитель, 3— усилитель мощности,
4— внешний источник энергии, 5— первичный привод, 6— червяк,
7 — перемещаемая оправка с инструментом, 8 — блок редукторов,
9— инструмент, 10 — обратная связь по положению


П-12.13. В системе, изображенной на рис. 12.31, объект имеет передаточную функцию

G (5 ) =------J.

(i + 2 )(J + 4 )(s + 6)

Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка была по возмож-
ности минимальной. Используя псевдоколичественный метод синтеза, выберите регулятор
Ge(s) и коэффициент К и определите качество системы, если все полюсы С(5) изменятся на
-50 %. Убедитесь в том, что система является робастной.

Задачи на синтез систем

СС-12.1. Синтезируйте ПИД-регулятор для использования в системе управления положением ско-
_ льзяшей части стола, изображенной на рис. 4.1(СС). Реакция системы на ступенчатый вход-
j ной сигнал r(t) должна иметь относительное перерегулирование менее 3 % и время установ-
МВИ ления (по критерию 2 %) менее 250 мс. После завершения синтеза определите реакцию сис-
темы на ступенчатое возмущение.

С-12.1. На рис. 12.1(C), (а) изображена система управления положением большого поворотного сто-
ла, а на рис. 12.1(C), (б) — структурная схема этой системы. Вращающий момент создается
мощным электродвигателем с коэффициентом передачи Кт ~ 15. Система должна удовлетво-
рять следующим требованиям: при ступенчатом изменении нагрузки ее влияние на выходную
переменную в установившемся режиме должно составлять 5 % от амплитуды возмущения, в
то же время реакция системы на ступенчатый входной сигнал r(t) должна быть достаточно бы-
строй с перерегулированием менее 5 %. Выберите коэффициент и регулятор, если
(a) Gc(s) = К и (б) Gc(s) -Az2 f K3s (ПД-регулятор). Получите графики реакции системы как
на ступенчатый входной сигнал, так и на возмущение в случае двух разных регуляторов. Опре-
делите, необходим ли предшествующий фильтр, чтобы удовлетворить требование к перерегу-
лированию.

С-12.2. Цифровое записывающее устройство (ЦЗУ) способно накапливать информацию объемом
1,3 гигабайта в кассете размером с кредитную карту — это примерно в 9 раз больше, чем кату-
шечный накопитель с лентой шириной полдюйма или кассетный накопитель с лентой в чет-
«)

В ратаю п i и й с я б араб а н

Ф(7)

Ведущий ролик (па входе)

Фиксатор положения

Место н атяжен и я

Ф и ксатор пол о жен и я

Головка
зал не и

Вал

- Ведущий ролнк-

Ф и кеш ор пол о ж е । < и я

ролик

Прижимной

О)

В е д \ ши й рол и к (11 а в ы х о де)
Фиксатор положения

Головка
чтения



Рис. 12.2 (С). Система управления лентопротяжным механизмом

верть дюйма шириной. Стоит такое устройство несколько долларов — примерно столько же,
сколько гибкий диск, хотя на нем умещается в 1000 раз больше информации. Запись на ЦЗУ
может продолжаться в течение двух часов (больше, чем на любой катушечный или кассетный
накопитель). А это значит, что оно проще в эксплуатации и требует меньше замен и прерыва-
ний при передаче данных. Доступ к любому файлу данных в ЦЗУ занимает не более 20 с, тогда
как в катушечных или кассетных накопителях это время может достигать нескольких минут.

Приводные механизмы управляются с помощью электроники так, чтобы выдерживать задан-
ные относительные скорости барабана и ленты, как показано на рис. 12.2(C), (а). Система
управления в данном случае гораздо более сложная, чем в случае компакт-диска, так как необ-
ходимо точно поддерживать скорость большего числа двигателей: барабана, приемной и пода-
ющей катушек, тонвала и обеспечивающего натяжение ленты.

Рассмотрим систему управления скоростью, изображенную на рис. 12.2 (С), (б). Параметры
передаточной функции двигателя и нагрузки изменяются в процессе перемотки ленты с одной
катушки на другую. Эта передаточная функция имеет вид

& G(s) =

т



где номинальные значения Кт = 4, р{ = 1 ир2 = 4. Однако эти параметры изменяются в следую-
щих диапазонах: 3 < К)п< 5, 0,5 <р} <1,5 и 3,5 <р2 < 4,5. Реакция системы на ступенчатый вход-
ной сигнал должна быть достаточно быстрой, с перерегулированием менее 13 % и временем
установления (по критерию 2 %) менее 0,5 с. Поскольку допускается перерегулирование, а мо-
мент его наступления должен быть как можно раньше, поэтому передемпфирование системы не
допускается. Синтезируйте ПИД-регцлятор, который обеспечивал бы заданное качество во всем
диапазоне изменения параметров. Дополнительное условие: произведение К)пК3 должно быть не
более 20, если номинальное значение К>„ = 4, а К3 — коэффициент из выражения (12.33).

С-12.3. К предстоящему максимуму солнечной активности НАСА готовит эксперимент, связанный
с установкой гамма-телескопа на воздушном шаре, находящемся на большой высоте и рассчи-
танном на длительный период полета. Такой гамма-телескоп способен качественно улучшить
Рис. 12.3 (С)
Система
управления
гамма-телескопом

а)

Подвеска
к воздушному
шару

Солнечный

датчик

с гам ми-
телескопом

б)

регистрацию жесткого рентгеновского излучения, возникающего при вспышках на Солнце,
при «сверхгорячих» термических явлениях, исходящего от солнечной короны и сопровождаю-
щего микровзрывы. На рис. 12.3 (С), (а) изображена платформа с гамма-телескопом, подве-
шенная к воздушному шару. Основными компонентами, участвующими в эксперименте, явля-
ются высотный воздушный шар, гондола с установленным на ней гамма-телескопом и трос,
соединяющий гондолу с воздушным шаром. В процессе эксперимента наведение прибора на
Солнце должно выдерживаться с точностью 0,1 градуса при его тенденции к изменению со
скоростью 0,2 угловых секунды за 4 мс.

Оптический солнечный датчик обеспечивает измерение угла между ориентацией телескопа и
направлением на Солнце и может быть представлен в виде модели первого порядка с коэффи-
циентом усиления и полюсом 5 = -500. Двигатель создает момент, заставляющий поворачива-
ться гондолу. На рис. 12.3 (С), (о) изображена система управления азимутальным углом, (а)
Коллектив инженеров решил использовать в системе ПИД-регулятор с передаточной функ-
цией

Г1	+ as+ Ъ)

где а = 6, а параметр b подлежит выбору. В системе также используется предшествующий
фильтр. Определите К3 и b так, чтобы доминирующим корням соответствовал коэффициент
затухания -0.8. а перерегулирование при ступенчатом входном сигнале было менее 3 %.
Определите действительные значения перерегулирования, времени установления и времени
максимума переходной характеристики, (б) Синтезируйте ПИД-регулятор, используя оценку
качества ИВМО и значение соп = 8. Сравните показатели качества с полученными в п. (а).
С-12.4. Во многих университетах и научных лабораториях созданы роботы - искусственные руки,
способные захватывать различные предметы и манипулировать ими. Но обучение таких робо-
тов выполнению даже самых простых операций требует составления очень сложных компью-
терных программ. Теперь, однако, разработано устройство, названное Dexterous Hand Master
(DHM), которое можно надеть на руку человека и зарегистрировать разведение и сгибание су-
ставов пальцев. Каждый сустав снабжен датчиком, выходной сигнал которого зависит от поло-
жения сустава. Сигналы от всех датчиков оцифровываются и вводятся в компьютер, который
впоследствии управляет рукой робота.

На рис. 12.4 (С), (а) и (б) изображено устройство DHM, а в части (в) этого рисунка приведена
структурная схема управления положением сустава. Номинальное значение Кт = 1. Требуется
синтезировать ПИД-регулятор так, чтобы при линейном входном сигнале установившаяся
Регулятор

Двигатель
и сустав

«+5)(Ж0)

►У(5)

Новое

положение

сустава

Рис. 12.4 (С). Система управления искусственной кистью руки робота

ошибка была равна нулю, а время установления (по критерию 2 %) было менее 3 с. Передаточ-
ная функция регулятора имеет вид

Х3(?+ 6i+18)

Gc(s) =-------------•

5

(а)	Выберите коэффициент^ и постройте график реакции системы на линейный входной сиг-
нал. Изобразите корневой годограф, считая варьируемым коэффициент К3. (б) Найдите реак-
цию системы на линейный входной сигнал, считая, что Кт уменьшилось вдвое по сравнению с
номинальным значением, а регулятор остался неизменным. Сравните результаты пп. (а) и (б) и
сделайте выводы относительно робастности системы.

С-12.5. Современная наука и техника проявляет особый интерес к объектам, размеры которых ме-
ньше длины волны видимого света. Биологи изучают отдельные молекулы протеинов или
ДНК: материаловеды исследуют дефекты и включения атомных размеров в кристаллах; спе-
циалисты по микроэлектронике создают схемы, элементы которых составляют десятые доли
от размера атомов. Совсем недавно этот микромир можно было сделать видимым только с по-
мощью сложных, а часто и разрушающих методов, таких как электронная микроскопия и гам-
ма-спектроскопия. Этот мир лежит вне пределов доступности для таких простых приборов,
как хорошо всем известные оптические микроскопы. Но теперь на вооружении науки появи-
лись совершенно новые установки — сканирующие туннельные микроскопы.

Система управления позиционированием туннельного микроскопа должна обладать точно-
стью порядка нанометров. Одним из основных ее элементов является пьезодатчик, который
изменяет свой размер в зависимости от приложенного к кристаллу напряжения. «Апертура»
туннельного микроскопа обеспечивается тончайшим вольфрамовым зондом, конец которого
заточен так, что он может состоять только из одного-единственного атома и иметь ширину
0,2 нм. Пьезоэлектрическая система управления подводит конец зонда к поверхности проводя-
щего образца на расстояние одного-двух нанометров — так близко, что электронные облака
атома на конце зонда и ближайшего к нему атома образца частично перекрываются. Датчик
► )(5)
Новое

вожение

пстава
V

Рис- 12,5 (С), Система управления туннельным микроскопом.

руки робота

ю менее 3 с. Передаточ-

обратной связи определяет изменение туннельного тока и преобразует его в напряжение, испо-
льзуемое для управления перемещением по осин. Пьезоэлектрическое управляющее устройст-
во перемещает зонд по вертикали так, чтобы стабилизировать туннельный ток и поддерживать
постоянным зазор между концом зонда и поверхностью образца. Система управления положе-
нием зонда изображена на рис, 12.5 (С), (а), а ее структурная схема приведена в части (б) этого
рисунка. Объект управления имеет передаточную функцию

яинейный входной сиг-
1гА'3. (б) Найдите реак-
X вдвое по сравнению с
гзчльтаты пп. (а) и (б) и
м_ размеры которых ме-
екулы протеинов или
кров в кристаллах; спе-
вставляют десятые доли
& видимым только с но-
вая микроскопия и гам-
ких простых приборов,
сужении науки появи-
роскопы.

юлжна обладать точно-
 пьезодатчик, который
пряжения. «Апертура»
эондом. коней которого
1 пома и иметь ширину
поверхности проводя-
кто электронные облака
перекрываются. Датчик



17640

5(№ + 59,4$ + 1764)

а регулятор выбран так, что Gjs) имеет два различных вещественных нуля, т. е.

(а) Определите Gc(s), используя метод синтеза, основанный на оценке качества ИВМО.
(б) Определите переходную характеристику системы при наличии предшествующего фильтра
и без него, (в) Определите реакцию системы на возмущение, если D(s) = 1/$. (г) При регулято-
ре Gl.(s), полученном в п. (а), и при использовании предшествующего фильтра найдите дейст-
вительную переходную характеристику, если передаточная функция объекта станет равна

GG) =

16000

s(?+ 40s + 1600)

С-12.6. Система из задачи С-12.5 должна быть синтезирована с помощью метода, описанного в раз-
деле 12.6. Регулятор имеет передаточную функцию

Gc(5)

Выберите параметры Gc(s) так, чтобы запас по фазе в системе был примерно равен 70°. Опре-
делите переходную характеристику системы при наличии предшествующего фильтра Gp(s) и
без него.

si
li
Рис. 12.7 (С). Система управления движением частично парализованного человека

С-12.7. Применение теории управления для понимания нейрофизиологических процессов имеет
давнюю историю. Еще в самом начале XX века многие исследователи описали явление управ-
ления мускулами за счет обратной связи от мускульных волокон и биодатчиков, определяю-
щих длину мускулов и скорость их сокращения.

Анализ управления мускулами основан на теории систем с одним входом и одним выходом.
Одно из предложений основывалось на экспериментальном наблюдении и сводилось к гипоте-
зе о том. что управление длиной отдельного двигательного мускула осуществляется мускуль-
ными волокнами. Позже другие исследователи предложили рассматривать процесс изменения
напряженности отдельного мускула (измеряемой датчиками как длины, так и силы) как стра-
тегическую задачу управления двигательной реакцией.

На рис 12.7 (С) изображена модель механизма сохранения равновесия человека в положении
стоя. Рассмотрим случай с человеком, у которого парализованы нижние конечности и он не
может без посторонней помощи сохранять равновесие. Предлагается снабдить его искусствен-
ным регулятором, который даст человеку возможность стоять и управлять движениями ног.
(а) Считая, что номинальные значения параметров К= 10, а - 12 и b = 100, синтезируйте регу-
лятор, который при ступенчатом входном сигнале обеспечивал бы перерегулирование менее
10 %, установившуюся ошибку менее 5 % и время установления (по критерию 2 %) менее 2 с.
Попробуйте использовать пропорциональный, ПИ-, ПД- и ПИД-регуляторы. (б) У уставшего

человека параметры могут измениться до зна-
чений К= 15, а - 8 и b = 144. Определите ка-
чество этой системы при использовании регу-
ляторов из п. (а). Подготовьте таблицу для
сравнительной оценки показателей качества,
полученных в пп. (а) и (б).

С-12.8. Система управления лифтом должна обес-
печивать высокую скорость его движения и
остановку точно на заданном этаже, как пока-
зано на рис. 12.8 (С). В лифту может находи-
ться от одного до трех пассажиров, однако вес
лифта должен быть больше, чем вес всех пас-
сажиров. Считайте, что кабина лифта весит
400 кг, а вес каждого пассажира равен 60 кг.
Синтезируйте систему управления положе-
нием кабины лифта, обладающую точностью
1 см. В качестве исполнительного устройства
используйте мощный двигатель постоянного
тока, управляемый по цепи возбуждения.
Считайте, что постоянная времени двигателя
вместе с нагрузкой равна 1 с, постоянная вре-
мени усилителя мощности, предшествующего
двигателю, равна 0,5 с, а постоянная времени

Рис. 12,8 (С), Система управления
положением кабины лифта
обмотки возбуждения пренебрежимо мала. Требуется, чтобы при ступенчатом входном сигна-
ле перерегулирование не превышало 6%, а время установления (по критерию 2 %) было менее
4 с.

С-12.9. Кардиологическим больным, у которых ослаблена деятельность сердечной мышцы, может
оказывать помощь искусственное электрическое устройство, выполняющее функции желу-
дочка сердца. Это устройство преобразует электрическую энергию в поток крови за счет дей-
ствия клапана, заменяющего желудочек сердца. Этот клапан возвратно-поступательного дей-
ствия нагнетает кровь в фазу систолы, позволяя желудочку наполняться в фазу диастолы.
Устройство может быть имплантировано последовательно или параллельно с естественным
сердцем без операции на последнем, как показано на рис. 12.9 (С), (а). Это устройство питает-
ся от аккумуляторов, заряжающихся с помощью системы передачи энергии через кожу. Благо-
даря этому ограничивается накопление энергии в аккумуляторах и минимизируется ее расхо-
дование.

Входным сигналом устройства является напряжение, подаваемое на двигатель, а выходным —
скорость циркуляции крови. Система управления данным устройством выполняет две основ-
ные задачи: она обеспечивает такое напряжение на входе двигателя, при котором клапан рабо-
тает с заданным тактом, и устанавливает скорость циркуляции крови, соответствующую есте-
ственному ритму сердечных сокращений.

На рис. 12.9 (С), (б) изображена модель системы управления кардиостимулирующим устрой-
ством. Двигатель, насос и желудочек сердца представлены блоком запаздывания с временем
Т= 1 с. Задача системы состоит в том, чтобы переходная характеристика имела перерегулиро-
вание менее 10 %, а установившаяся ошибка составляла не более 5 %. Кроме того, чтобы про-
длить срок службы аккумуляторов, их напряжение ограничено величиной 30 В. Синтезируйте
(а) регулятор с передаточной функцией = K/s (б) ПИ-регулятор и (в) ПИД-регулятор.
Сравните результаты синтеза трех разных регуляторов, отразив в виде таблицы следующие

Рис. 12.9 (С)

(а) Электрическая
система
стимуляции
кровообращения;

(5) Система
управления
потоком крови
752

показатели качества: относительное перерегулирование, время максимума переходной харак-
теристики, время установления (по критерию 2 %) и максимальное значение v(f).

С-12.10. На рис. 12.10(C), (а) изображена одна рука космического робота, а на рис. 12. 10(C), (6) —
структурная схема системы управления рукой. Электродвигатель и рука имеют передаточную
функцию



1

^(^ +10)

(а) Полагая 6(5) == К, определите коэффициент К, при котором перерегулирование будет рав-
но 4,5 %, и постройте график переходной характеристики, (б) Синтезируйте ПД-регулятор.
применив оценку качества ИВМО и считая, что со„ = 10. Подберите надлежащий предшеству-
ющий фильтр Gp(s). (в) Синтезируйте ПИ-регулятор и подберите предшествующий фильтр,
используя оценку качества ИВМО. (г) Синтезируйте ПИД-регулятор и предшествующий
фильтр, используя оценку качества ИВМО при = 10. (д) При использовании каждого из ре-
гуляторов определите эффект, вызванный единичным ступенчатым возмущением, для чего за-
регистрируйте максимальное и установившееся значения y(t). (е) При использовании каждого
из регуляторов определите в случае ступенчатого входного сигнала r(t) величину перерегули-
рования, время максимума переходной характеристики и время установления (по критерию
2 %), (ж) Параметры объекта управления подвержены изменению за счет влияния нагрузки.
Определите модуль чувствительности (jco)| при частоте (о = 5, где

T(s) =

GGc(s)

1 + GGc(s)

(з) На основе результатов пп. (д), (е) и (ж) выберите наилучший регулятор.

С-12.11. Обеспечение космической станции электроэнергией осуществляется с помощью солнеч-
ных батарей. Панели солнечных батарей с высокой точностью должны следить за положением
Солнца, чтобы максимизировать выработку электроэнергии. В системе управления использу-
ется двигатель постоянного тока, так что его передаточная функция вместе с панелями батарей
равна

5(5+ 25)

Необходимо выбрать регулятор 6С(5) в предположении, что фотодатчик точно отслеживает
положение Солнца, т. е. H(s) ~ 1.

Рис. 12.10 (С)

Управление
космическим роботом

а)

Вь

*
он
фа
С-12.12

СВК
ме
рС1!

гл
нм
пои
Си
VC1
це<
С-12.13

СИЙ
Си
нм

ИЛ1

*5’1
н«
С-12.14

СИЙ

ЕЖ
рея
нм
рои
По
ш
ла
OMU
шс

гж
тома переходной харак-
: значение v(r).

а на рис. 12. 10(C). (б) —
|гка имеют передаточную

регулирование будет рав-
аезируйте ПД-регулятор.
идлежаший предшеству-
редш е ств ую щ ий ф ил ьтр,
пор и предшествующий

Выполните синтез регулятора, исходя из того, что (а) при ступенчатом входном сигнале перере-
гулирование должно быть менее 7 % и (б) при линейном входном сигнале установившаяся
ошибка не должна превышать 1 %. Выберите наилучший вариант регулятора с опережением по
фазе. Определите робастность системы при изменении постоянной времени двигателя на 10 %.

С-12.12. В поездах на воздушной подушке используются системы электромагнитной подвески со
сверхпроводящими катушками. Такой подвеске объективно присуща неустойчивость, и связь
между величиной воздушного зазора х(г) и напряжением v(Z), приложенным к катушке элект-
ромагнита, характеризуется передаточной функцией

G(j) =

уд
К (5)

К

(Т|5+ 1)(№-СО^)'

где Tj — постоянная времени электромагнита, а со j — собственная частота. В системе управле-
ния используется датчик величины зазора с пренебрежимо малой постоянной времени. Для

^зовании каждого из ре-

р использовании каждого
величину перерегули-
Вновления (по критерию
В счет влияния нагрузки.

поезда, движущегося со скоростью 250 км/ч, характерны параметры Tj = 0,75 с и со j - 75 рад/с.
Синтезируйте регулятор так, чтобы система управления величиной воздушного зазора была
устойчивой и обладала высокой точностью при наличии возмущений, возникающих в про-
цессе движения. Структура системы управления имеет вид рис. 12.1.

С-12.13. Вернитесь к задаче об управлении аппаратом доля исследования Марса (задача С-6.2). В
системе должен быть использован ПИД-регулятор и желательно, чтобы она была робастной.
Система должна удовлетворять следующим требованиям: (1) максимальное перерегулирова-
ние — 18 %, (2) время установления (по критерию 2 %) менее 2 с, (3) время нарастания больше

утя тор.

ктся с помощью солнеч-
ы следить за положением
Ж > правления использу-
1>есте с панелями батарей

или равно 0,2 с, исходя из ограничений на расходуемую энергию. (4) запас по фазе более 65°,
(5) запас по модулю более 8 дБ, (6) максимальная чувствительность комплексных корней ме-
нее 1. Выберите наилучшее значение коэффициента усиления К.

1гчик точно отслеживает

С-12.14. На рис. 12.14 (С) изображена
система из двух масс и пружинь!,
где тх = т2 = 1 и 0,5 < к < 2,0. Пе-
ременные Xj и х2 доступны измере-
нию, и на их основе можно сформи-
ровать управляющий сигнал и(г).
Получите описание этой модели,
выберите структуру системы управ-
ления и синтезируйте ее так, чтобы

I
t

Рис. 12.14 (С)

она обладала робастностью. Определите реакцию системы на единичное ступенчатое возму-
щение. Считайте, что выходной переменной системы, подлежащей управлению, является х2(0-

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-12.1. На рис. 12.1 (М) изображена система с обратной связью. С помощью MATLAB постройте
график зависимости |S£| от со, а также совмес-

тите с ним график зависимости |Т(/со)| от со,
где T(s) — передаточная функция замкнутой
системы.	^Су)

М-12.2. Элерон самолета можно представить
в виде объекта первого порядка:

Рис. 12.1 (М). Система управления
с обратной связью

где параметр р имеет разное значение для раз-

ных самолетов. Получите семейство переходных характеристик системы управления положе-
нием элерона, изображенной на рис. 12.2 (М).
Элерон
1
s+p

ф-> У (у)

Рис. 12.2 (М). Система управления Рис. 12.3 (М). Система управления
элероном самолета	с регулятором Gc(s)

Номинальное значение р = 10. Найдите значение К, при котором переходная характеристика
(в случаер = 10) имела бы перерегулирование менее 5 % и время установления менее 0,1 с. По-
сле этого, при найденном значении К, с помощью MATLAB получите переходные характери-
стики для ОД < р < 20.

М-12.3. Рассмотрите систему управления, изображенную на рис. 12.3 (М), где
g(j) = 2_ .

Js1

Известно, что значение J медленно изменяется стечением времени, однако для синтеза систе-
мы принято J = 10. (а) Синтезируйте ПИД-регулятор GJs), чтобы обеспечить запас по фазе бо-

лее 45° и полосу пропускания менее 5 рад/с. (б) Используя регулятор, полученный в п. (а), раз-
работайте скрипт MATLAB, который позволял бы строить график зависимости запаса по фазе

от параметра J для диапазона 1 < J < 30.

М-12.4. Рассмотрите систему управления,
изображенную на рис. 12.4 (М). Точное
значение параметра b неизвестно, одна-
ко при синтезе принято номинальное
значения Ь = 4. Что касается параметра

Рис- 12.4 (М). Система управления
с неопределенным параметром b



а, то достоверно известно, что он равен
8. (а) Синтезируйте П-регулятор так,
чтобы реакция замкнутой системы на
единичное ступенчатое воздействие

имела время установления (по критерию 2 %) менее 5 с и перерегулирование менее 10 %. При
синтезе используйте номинальное значение b = 4.

(б)	Исследуйте влияние изменения параметра b на переходную характеристику замкнутой сис-
темы. Задайте значения b = 0, 1, 4 и 40 и постройте семейство переходных характеристик. Во
всех случаях считайте, что в системе используется П-регулятор, синтезированный в п. (а). Сде-

лайте выводы из полученных результатов.

М-12.5. Модель гибкой конструкции имеет передаточную функцию

G(,) =

(1+ km2)s2 + 2^у + со2
№(№ + 2l/d„j + со2)

где со„ — собственная частота, а £ — коэффициент затухания. В общем случае нельзя указать
точное значение коэффициента затухания, тогда как собственная частота известна достаточно
точно. В качестве номинальных значений примите со„ = 2 рад/с, = 0,005 и к = 0,1.

(а)	Синтезируйте регулятор с опережением по фазе, удовлетворяющий следующим требовани-
ям: (1) реакция замкнутой системы на единичный ступенчатый входной сигнал должна иметь
время установления (по критерию 2 %) менее 200 с и (2) перерегулирование менее 50 %.

(б)	При регуляторе, синтезированном в п. (а), получите переходные характеристики замкнутой
системы для£ = 0; 0,005; 0,1; 1. Совместите их на одном графике и проанализируйте результа-
ты. (в) С точки зрения системы управления, какой, по вашему мнению, предпочтительнее
иметь коэффициент затухания конструкции — больше или меньше номинального? Поясните
ваш ответ.
Я(5)

*Ъ)

Рис. 12.6 (М). Система управления производственным процессом при наличии
запаздывания в контуре

М-12.6. Известно, что в системе управления промышленным объектом, изображенной на рис.
12.6 (М), имеется запаздывание. На практике часто случается так, что точное значение запаз-
дывания неизвестно. Оно может меняться непредсказуемым образом в зависимости от усло-
вий работы объекта. От робастной системы управления требуется, чтобы она функционирова-
ла в соответствии с заданными требованиями при наличии изменяющегося запаздывания,
(а) Подготовьте скрипт MATLAB, позволяющий вычислить и построить график зависимости
запаса по фазе в системе на рис. 12.6 (М), если время запаздывания Т изменяется в пределах от
О до 5 с. Элемент запаздывания аппроксимируйте дробно-рациональным выражением с помо-
щью функции pade. Изобразите график указанной зависимости.

(б)	Определите максимально допустимое время запаздывания, исходя из соображений устой-
чивости системы. Для приближенной оценки этого времени воспользуйтесь графиком, полу-
ченным в п. (а).

М-12.7. Контур системы с единичной отрицательной обратной связью имеет передаточную функ-

цию

GH(s) =

Известно, что из физических соображений параметр а может изменяться только в диапазоне
О < а < 1. Разработайте скрипт MATLAB, позволяющий получить следующие графики:
(а) Зависимость установившейся ошибки от параметра а при отработке системой отрицатель-
ного единичного ступенчатого сигнала [т. е. = - 1/$].

(б)	Зависимость максимального относительного перерегулирования от параметра а.

(в)	Зависимость запаса по модулю от параметра а,

(г)	На основании результатов, полученных при выполнении пп. (а)-{в), сделайте выводы отно-
сительно робастности системы. В качестве критерия используйте степень влияния параметра а
на установившуюся ошибку, относительную устойчивость и вид переходной характеристики.

Ключевые термины и понятия

ПИД-регулятор. Регулятор, передаточная функция которого образована тремя слагаемыми, соот-
ветственно пропорциональным звеном, интегратором и дифференциатором, выходные сигна-
лы которых суммируются. При этом коэффициент усиления в каждом из трех каналов может
настраиваться.

Предшествующий фильтр. Фильтр с передаточной функцией Gp(s), преобразующий входной сиг-
нал /?(.?), прежде чем будет образован сигнал ошибки.

Робастная система управления. Система, обладающая заданным качеством при значительной не-
определенности характеристик объекта управления.
Глава 13

Цифровые системы управления

Обзор

В системе управления с обратной связью функции регулятора или корректирующего
устройства может выполнять цифровой компьютер. Поскольку ввод информации в компь-
ютер осуществляется через определенные интервалы времени, то необходимо разработать
специальный метод математического описания и анализа качества цифровых систем
управления.

Цифровая система оперирует с данными, получаемыми из непрерывного сигнала пу-
тем выборки его значений в равноотстоящие моменты времени. В результате получается
временная последовательность данных, называемая дискретным сигналом. Эту последо-
вательность можно преобразовать в область переменной s и, в конечном счете, в область
переменной z с помощью соотношения z = esT. Область комплексной переменной z обла-
дает свойствами, очень похожими на свойства области переменной j преобразования
Лапласа.

Для анализа устойчивости и качества цифровой системы можно использовать z-npe-
образование передаточной функции. Таким образом достаточно просто можно опреде-
лить характеристики замкнутой системы управления, в которой компьютер выполняет
функции корректирующего устройства (или регулятора). Для определения положения
корней характеристического уравнения также можно использовать метод корневого го-
дографа. Цифровые системы управления находят широкое применение в промышленно-
сти. Они играют важную роль в управлении производственными процессами, в которых
совместная работа компьютера и исполнительного устройства обеспечивает выполнение
ряда ответственных операций. Данная глава по традиции завершается примером синтеза с
продолжением, где будет синтезирован цифровой регулятор для системы чтения инфор-
мации с диска.

13.1.	Введение

Последние два десятилетия были ознаменованы резким повышение надежности и удешев-
лением цифровых компьютеров. В связи с этим они все шире стали применяться в качестве
регуляторов (корректирующих устройств). На рис. 13.1 приведена функциональная схема
одноконтурной цифровой системы управления. Компьютер в этой системе по определен-
ной программе обрабатывает представленную в цифровой форме ошибку и выдает на вы-
ходе сигнал также в цифровой форме. Программа может быть написана так, что качество
системы в целом будет равно или очень близко к заданному. Многие компьютеры способ-
Выходной
сигнал
(аналоговый)

Рис. 13.1. Функциональная схема цифровой системы управления, содержащая преоб-
разователи сигналов. На схеме указаны типы сигналов (аналоговые или цифровые)

ны принимать и обрабатывать несколько входных сигналов, поэтому цифровые системы
управления часто бывают многомерными.

Компьютер получает и обрабатывает сигнал в цифровом (численном) виде, а не в
виде непрерывной переменной. В цифровой системе управления обязательно присутст-
вует компьютер, входной и выходной сигнал которого представлены в виде числового
кода. Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму осуществляет анало-
го-цифровой преобразователь (АЦП), как показано на рис. 13.1. Выходной сигнал компь-
ютера (цифровой) преобразуется в непрерывную форму с помощью цифроаналогового
преобразователя (ЦАП).

13.2.	Применение цифровых систем
управления

За последние тридцать лет общее число цифровых систем управления, используемых в
промышленности, значительно выросло, и сейчас их насчитывается около 100 миллионов,
хотя имеется большой разброс по размеру и производительности компьютеров, входящих
в состав этих систем. Если учитывать только достаточно сложные системы управления, на-
пример системы управления химическими процессами или самолетами, то число таких си-
стем составляет примерно 20 млн.

В состав компьютера входит центральный процессор (ЦП), устройства ввода - выво-
да и запоминающее устройство. Размер и производительность компьютера зависят от раз-
мера, быстродействия и производительности ЦП, а также от объема, быстродействия и
структуры запоминающего устройства. После 1980 г. получили широкое распростране-
ние небольшие компьютеры, называемые миникомпьютерами, а в настоящее время по-
льзуются популярностью мощные и недорогие 16- или 32-разрядные микрокомпьюте-
ры. В качестве ЦП в микрокомпьютерах используется микропроцессор. Выбор типа
компьютера, используемого в системе управления, определяется характером поставлен-
ной задачи, объемом данных, подлежащих запоминанию, и требуемой скоростью вычис-
лений.

Габариты компьютеров и стоимость логических элементов, используемых для их со-
здания, уменьшаются по экспоненте. Количество активных элементов в одном см3 вырос-
ло настолько, что это позволило создать сравнительно недорогие и высокопроизводите-
льные портативные компьютеры, вычислительные возможности которых вполне могут
удовлетворить как студентов, так и специалистов-профессионалов, и которые по сути мо-
гут заменить традиционные настольные микрокомпьютеры. Быстродействие компьюте-
ров также имеет экспоненциальный характер роста. На рис. 13.2 показано, как в послед-
ние 30 лет увеличивалась плотность транзисторов (а вместе с ней и производительность)
Рис. 13.2

Темпы совершенствования микропроцессоров
корпораци INTEL. На оси ординат указано
количество транзисторов (в млн шт.) в одном
микропроцессоре

в микропроцессорах корпорации INTEL. Фактически, в соответствии с «законом Мура»,
плотность транзисторов удваивается каждый год, и по-видимому эта тенденция сохранит-
ся в течение следующих 20 лет. Простые подсчеты показывают, что к 2012 году микро-
процессоры будут содержать более миллиарда транзисторов, а их рабочая частота достиг-
нет 10 ГГц! Со времени появления в 1976 г. популярного тогда процессора серии 8086, со-
держащего всего 29 000 транзисторов и работавшего с частотой 10 МГц, был достигнут
небывалый прогресс в увеличении вычислительной мощности микропроцессоров, и этот
процесс продолжается и поныне. Все эти достижения буквально внесли переворот в при-
менение теории управления и в проектирование современных цифровых систем управле-
ния. Благодаря наличию быстродействующих, недорогих и миниатюрных микропроцес-
соров появилась возможность автоматизировать многие производственные процессы, ис-
пользуя компьютер непосредственно в контуре системы управления.

Цифровые системы управления применяются во многих областях — при управлении
металлорежущими станками, в металлургии, в химических процессах, при управлении са-
молетами и движением автомобилей и других. На рис. 13.3 приведен пример использова-
ния цифровых систем управления в авиастроении. Цифровые системы применяются для
столь различных целей, как, например, объективное измерение коэффициента преломле-
ния зрачка человеческого глаза и управление моментом зажигания в автомобильном дви-
гателе или соотношением горючего и воздуха в карбюраторе. Последнее необходимо для
снижения вредных выбросов в атмосферу и уменьшения расхода горючего.

Цифровое управление имеет ряд преимуществ, куда относятся: повышенная точ-
ность измерений; использование цифровых сигналов (кодов), датчиков и преобразова-
телей и микропроцессоров; меньшая чувствительность к шумам и помехам; возмож-
ность легко изменять алгоритм управления в программном обеспечении. Повышенная
точность (чувствительность) измерений объясняется тем, что цифровые датчики и
устройства работают с маломощными сигналами. Наличие цифровых сигналов дает воз-
можность использовать широкий спектр цифровых устройств и линий коммуникации.
Цифровые датчики и преобразователи способны эффективно измерять, передавать сиг-
налы и связывать между собой различные устройства. Кроме того, многие системы объ-
ективно являются цифровыми, потому что они работают с импульсными сигналами.
Примерами таких систем могут служить радиолокационные системы слежения и систе-
мы управления спутниками.
устройства

767. Все

и

Рис. 13.3. Приборная доска

кабины самолетов Боинг 757

индикации и органы управления доступны каждому из двух пилотов. Цифровая система
управления полетом выполняет функции навигации, пилотирования и обработки
информации. В совокупности с автопилотом эта система оптимальным образом
устанавливает режим работы двигателей и обеспечивает точное выдерживание курса
и высоты на всех фазах полета — непосредственно с момента взлета и до приземления
в конечном пункте. Система способна также выдавать рекомендации относительно
наиболее выгодных с точки зрения экономии топлива скорости и высоты полета

ши с «законом Мура»,
ж тенденция сохранит-
|го к 2012 году микро-
рбочая частота достиг-
рссора серии 8086, со-
Р МГц, был достигнут
ропроцессоров, и этот
гели переворот в при-
ювых систем управле-
^орных микропроцес-
1венные процессы, ис-

13.3. Дискретные системы

вьх — при управлении
Юи при управлении са-
В1 пример использова-
Екы применяются для
ффициента преломле-
* автомобильном дви-
КДнее необходимо для
горючего.

гея: повышенная точ-
чиков и преобразовав
и помехам; возмож-
гчении. Повышенная
иифровые датчики и
их сигналов дает воз-
кний коммуникации,
ряты передавать сиг-
многие системы объ-
иьсными сигналами,
мы слежения и систе-

Компьютеры, используемые в системах управления, соединяются с объектом и исполни-
тельным устройством при помощи преобразователей сигнала. Выходной сигнал компью-
тера поступает на цифроаналоговый преобразователь. Мы будем считать, что все числа во-
дятся в компьютер и выводятся из него с одним и тем же фиксированным периодом Т, на-
зываемым периодом квантования. Например, на рис. 13.4 эталонный входной сигнал
представляет собой последовательность дискретных значений г(кТ). Переменные г(кТ),
т(кТ) и и(кТ) являются дискретными сигналами, в отличие от m(t) иу(0> которые суть не-

yft)
Выходной
сигнал
(аналоговый)

Рис. 13.4. Цифровая система управления
Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты вре-
мени и обозначаемые какх(ЛТ), называются квантованными данными или ди-
скретным сигналом.

Квантователь можно рассматривать как ключ,
который замыкается каждые Т секунд на бесконеч-
но малый отрезок времени. Рассмотрим идеальный
квантователь, изображенный на рис. 13.5. Его вход-
ной сигнал обозначен как г(/)> а выходной — /(/) ,
где пТ есть текущий момент замыкания, а текущее
значение г (t) равно г(пТ). Тогда можно записать
г (Г) ~ г(иТ)5(/ - пТ), где 5 — единичная импульсная

Квантователь

Непрерывный
сигнал

Квантованный
сигнал

Рис. 13.5. Идеальный
квантователь

функция (5-функция).

Предположим, что мы квантуем сигнал r(t\ как показано на рис. 13.5, и получаем
г (/). Тогда сигнал г (/) можно представить в виде последовательности импульсов, начи-
нающихся при / = 0, разделенных интервалами в Т секунд и имеющих амплитуды г(кТ).
Например, если квантуется сигнал г(/), изображенный на рис. 13.6 (а), то полученный ди-
скретный сигнал можно изобразить в виде импульсов с амплитудами г(кТ), условно обо-
значенных вертикальными стрелками на рис. 13.6 (б).

Рис. 13.6

(а) Входной непрерывный сигнал r{t) и
(6) дискретный (квантованный) сигнал

r'(t) = Zr(kT)&(t-kT).

k-V

Вертикальными стрелками отмечены

импульсы на выходе квантователя

а)

Цифроаналоговый преобразователь — это устройство, которое преобразует дискрет-
ный сигнал г (t) в непрерывный сигнал p(t). Обычно его можно представить в виде фикса-
тора (экстраполятора нулевого порядка, ЭПО), как показано на рис. 13.7. Экстраполятор
воспринимает значение г(кТ) и сохраняет его постоянным на интервале kT<t < (А+1)Г.
как проиллюстрировано на рис. 13.8 для к = 0. Таким образом, значение г(кТ) имеет место
на выходе экстраполятора в течение всего периода квантования.

Квантователь и фиксатор могут достаточно точно воспроизводить входной сигнал,
если только он незначительно изменяется за время, равное периоду квантования Т. Реак-

Рис. 13.7

Квантователь и фиксатор
(экстраполятор нулевого
порядка)	r(t)

Квантователь

Экстраполятор
нулевого порядка

► хо
p(i)

Время

Рис. 13.8. Реакция экстраполятора
нулевого порядка на единичный
импульсный входной сигнал г{кТ} - 1
при к = 0 и /\к7) = 0 при к ф О,
т. е. /*(0 = /\0)3(Л

Время

Рис. 13.9. Реакция квантователя и
экстраполятора нулевого порядка на
линейный входной сигнал r{t) - t

ция квантователя и фиксатора на линейный входной сигнал изображена ни рис. 13.9. Ана-
логичная реакция на убывающий сигнал экспоненциальной формы при двух значениях
периода квантования приведена на рис. 13.10. Ясно, что при Т —> 0 (при очень высокой ча-
стоте квантования) выходной сигнал p(t) будет приближаться ко входному r(f).

Рис. 13.10

Реакция квантователя и
экстраполятора нулевого
порядка на сигнал f\t) - e~f
при двух значениях периода
квантования

а} Т= 0.5 с

Время (с)

Время (с)

б) Т=0.2с
Реакция экстраполятора нулевого порядка на единичный импульсный сигнал приве-
дена на рис. 13.8, а его передаточная функция имеет вид

(13.1)

Цифровой компьютер и соответствующие преобразователи сигналов обладают огра-
ниченной точностью. Под точностью в данном случае следует понимать разрешение, с
которым определяются отдельные переменные. Так, точность компьютера ограничена ко-
нечной длиной машинного слова. Точность АЦП ограничена конечным числом двоичных
разрядов его регистра. Поэтому говорят, что преобразованный сигнал т(кГ) включает в
себя ошибку квантования по амплитуде. Если эта ошибка, а также ошибка, обусловлен-
ная конечной длиной машинного слова, малы в сравнении с амплитудой сигнала, то циф-
ровая система является достаточно точной и эффектом квантования по амплитуде можно
пренебречь.

13.4.	^-преобразование

Поскольку выходной сигнал идеального квантователя г *(/) представляет собой последова-
тельность импульсов с амплитудами г(кТ), то его можно описать выражением

r*(.t)=Yr^kT^t-kT^	(13.2)

л=о

где предполагается, что сигнал r(t) существует для t > 0. Преобразовав (13.2) по Лапласу,
получим:

Цг* (О) = J г(ЛГ)е"ЬГ .	! >	(13.3)

jt = O

v У

Это выражение представляет собой бесконечный ряд по степеням члена е . Введем

переменную

(13.41

которая осуществляет конформное отображение с 5-плоскости на z-плоскость. Тогда мы
можем определить новое преобразование, называемое z-преобразованием:

Z{r(f)} = Z{r *(?)}=£ r(kT)z~k.	(13.5)

£=0

В качестве примера найдем z-преобразование единичной ступенчатой функции u(ti
[не путать с обозначением управляющего сигнала п(/)]. Имеем:

Z[u(t)]=Yu(kT)z-k = ^z~k ,	(13.61

Jt = o	л = о

т. к. и(кГ)= 1 для всех £>0. Этотряд можно представить в замкнутой форме, используя вы-
ражение для суммы членов геометрической прогрессии :

U(z) = -L-=—	(13.-.

1-Z 1 Z- 1

* К тому же результату можно придти, воспользовавшись известным разложением (1 - Ах) 1 - I + Ьх
+ (Ьх)2 + (Ьх)3 + ... при условии (Ьх)2 < 1.
|ые системы управления

импульсный сигнал приве-

(13.1)

I сигналов обладают огра-
Г понимать разрешение, с
•мпьютера ограничена ко-
нечным числом двоичных
сигнал т(кТ) включает в
иске ошибка, обусловлен-
шитудой сигнала, то циф-
вния по амплитуде можно

ставляет собой последова-

Ь выражением

(13.2)

ював (13.2) по Лапласу,

‘ г-н:- (вз)

епеням члена ё'1. Введем

(13.4)

ка j-плоскость. Тогда мы
вованием:

(13.5)

1упенчатой функции u(t)

(13.6)

гой форме, используя вы-

(13.7)

миеч 11 - Нг)'1 = 1 Ъх +

В общем случае мы будем определять z-преобразование функции/(0 как

Z{f(t)} = F(z)=Xf(kT)z-k.

к = 0

Пример 13.1. Преобразование экспоненты

Получим ^-преобразование функции fit) - e~af для t > 0. Имеем

Z{e-at} - F(z) -	= JW)*

A-0	JbO

Этот ряд можно представить в замкнутой форме:

Z{e‘"flt)} = F(ealz) .

Можно показать, что

Пример 13.2. Преобразование синусоиды

Получим z-преобразование функции Д/) = sinco? для t > 0.

Прежде всего представим sinco/ в виде

_ е-№
sin со/  -----.

Иначе,

sin со/ =



Тогда

(13-8)

(13.9)

(13.10)

(13.11)

z(e/u/

zsinco/
z2 - 2ZCOSCO/ + 1

(13.12)

Таблица 13.1 содержит z-преобразования часто встречающихся функций, а с более полной
таблицей можно познакомиться на сайте MCS. Основные свойствам-преобразований приве-
дены в табл. 13.2. Как и в преобразовании Лапласа, нас в конечном счете интересует выход-

ная переменная системы y(t). Поэтому нам необходимо научиться находить обратное z-преоб-
разование, позволяющее определять y(t) по У(з). Это можно сделать (1) путем разложения l’(z)
в степенной ряд, (2) разложением Y(z) на простые дроби и нахождением с помощью табл. 13.1

обратного z-преобразования для каждого слагаемого или (3) с помощью формулы обращения.

В этом разделе мы используем только первые два метода.

Таблица 13.1. ^-преобразования

5(/-АТ) =

*(0_________

/= о,
/ = к7\ к Ф 0

t = kl\
t*kT

u(i), единичная ступенчатая функция	1/5

1

Z

z- 1

см. продолжение
Таблица 13.1 (продолжение)

*(0

t

eai

1 - е я/

sincor

coscor

еС1Т sincor

е~°т coscd/

A(z)

Tz
(z -1)2

(1- e-a7 )z
(z - l)(z - e~“r)
zsincoT

z2 - 2zcoscoF + 1
z(z - coscdT)

z2 - 2zcoscoT + 1
ze~al sin со Г
z2 - 2ze~"7 coscoT + e”2"7

z2 - ze	cos со Г

z2 - 2ze~aT cos^T + e~^T

Таблица 13.2. Свойства ^-преобразования

________________x(0___________

1.	kx(t)

2.	Л1(Г) + X7(t)

3.	x(t + T)

4.	tx(t)

5.	e a'x(t)

6.	л(0), начальное значение

7.	л(оо), конечное значение

kX(z)

Xi(z) + A?(z)

zX(z) - zx(0)

dX(z)
dz

X(zeaT)

A(z)

lim X (z\ если предел существует

lim(z - l)Jf (zX если система устойчива и предел существует,
т. е. если все полюсы (z -l)2f(z) находятся внутри единич-
ной окружности |z| ~ 1 на z-плоскости

Пример 13.3. Передаточная функция разомкнутой системы

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 13 Л1, где Т= 1 с. Экстраполятор имеет передаточ-
ную функцию

1 -
Go (*)-----•

Следовательно, передаточная функция, соответствующая отношению Y(s)/R (5). равна

K(s)	1-е-’7

^l.=G(s^(s} = G(s)= ------- (13.13;.

R*(s) р	?(s+l)

Рис. 13.11

Разомкнутая дискретная
система

г(7)

ЭПО	Объект
Разложение этого выражения на простые дроби дает:

-2&L

Tz
(z -1)2

G($) = (1-е’А'7'

Выбирая из табл. 13.1

G(z) - Z{G(s)} =

У

(13.14)

(13.15)

^-преобразования для каждого слагаемого, окончательно получим:

rsincoT

r* - 2zcoscoT + 1

G(z) = (l-z"1

Tz

G - I)2

Поскольку T - 1, то

G(z) =

zU- coscoT)

Г1- 2j cos to Г + 1

ze'jl sin to Г

h ~jT	~2j&T

pe cosco/ + e

2 -uT „ т

z-ze	cos co Г

i —aT	rrt —2u7

se coscoT + e 

ze 1 + 1 — 2е 1
(z—l)(z—е"1)

0,3678z + 0,2644

(z-l)(z-O,3678)

0,3678z+ 0,2644
z2-1.3678z+ 0,3678

(13.16)

Реакцию этой системы на единичный импульсный сигнал можно найти, положив R(z) = 1, так
что Y(z) = G(z) • 1. У(г) мы можем получить путем деления числителя на знаменатель:

0,3678z + 0,2644	| z2 - l,3678z + 0,3678

0,3678z -0,5031 + 0,1353g"1	0,3 678z"1 + 0.7675z’2 + 0,9145z 3 + ...

0,7675-0,1353a*1	(13.17)

0,7675 - 1,0497z~1 + 0,2823z~2

0,9145г"1 - 0,2823a"2

Итак,

K(z) = 0.3678a"1 + 0.7675z"2 + O,9145a"3 + ...

Эти вычисления дают реакцию системы в моменты квантования и могут быть продолжены на-
сколько это необходимо. В соответствии с (13.5) мы имеем:

к=0

Следовательно, в нашем случае мы получаем следующие значения у(кТ): у(0) = 0:
у(7) - 0,3678; у(2Т) = 0,7675; у(3 Г) ~ 0,9145 ит. д. Заметим, чтоу(£7) соответствуют значениям

у(0 при t ~ кТ.

Мы получили выражение для У(г), т. е. z-преобразования выходного сигнала системы

я и предел существует,
йятся внутри единич-

в моменты квантования. Входной сигнал имеет z-преобразование R(z). Поэтому можно
определить передаточную функцию системы в z-области как

У(*)

ад

= G(z)

(13.18)

пемы

юлятор имеет передаточ-

♦

ю b’j) R (s). равна

Поскольку значения непрерывного входного сигнала берутся только в моменты
квантования, то мы можем отразить этот факт, введя дополнительный (фиктивный) кван-
тователь, как показано на рис. 13.12. При этом предполагается, что оба квантователя ра-
ботают синхронно с одним и тем же периодом. Тогда очевидно, что

Y(z) = G(z) R(z) .	(13.19)

Соотношение (13.19) можно отобразить в виде одного блока, как показано на
рис.13.13.

(13.13)

r(r)

R(z)

Рис. 13.12. Система с квантованием
выходного сигнала

Рис, 13.13. Изображение дискретной
передаточной функции в виде блока
структурной схемы
13.5.	Замкнутые дискретные системы

Рассмотрим замкнутую дискретную систему, изображенную на рис. 13.14 (а). Поскольку
значения входного и выходного сигналов берутся точно в дискретные моменты времени
(моменты квантования), то структуру системы можно изобразить в более простом виде, как
показано на рис. 13.14(6). Тогда передаточная функция замкнутой системы T(z) будет
иметь вид:



7?(z)	1 + G(z)

(13.20)

где предполагается, что G(z) есть z-преобразование функции G(s) = G0(s)	, т. е. произ-

ведения передаточных функций экстраполятора нулевого порядка Go(^) и объекта управ-
ления Gp(-S).

г(/)

7?(z) +

О—► }(-)

У(з)

Я(2)

£(z)

G(z)

► Пг)

Рис. 13.14. Система управления с единичной обратной связью. G (z) есть
z-преобразование передаточной функции G (sj, представляющей объект совместно
с экстраполятором нулевого порядка

На рис. 13.15 (а) изображен робот — собачка Эйбо, а на рис. 13.15 (б) приведена
структурная схема замкнутой цифровой системы управления одним звеном лапы собач-
ки. Модель системы, в которой все сигналы представлены в виде своих z-преобразований,
изображена на рис. 13.15 (в). Замкнутая система имеет передаточную функцию

G(z)£(z)

(13.21)

A(z)	l + G(z)Z)(z)

Пример 13.4. Определение реакции замкнутой системы

Рассмотрим замкнутую дискретную систему, изображенную на рис. 13.16. В разомкнутом со-
стоянии эта система (рис. 13.11) при Т- 1 с имеет передаточную функцию, которая была полу-
чена в примере 13.3 [см. выражение (13.16)]. Тогда для замкнутой системы

Х(^) _ G(^)

G(z) 1+G(z) ’

и подставляя сюда выражение для G(z), получим:

Y(z) _ 0,3678z + 0,2644

7?(z) z2-z + 0.6322

Если входной сигнал задан в виде единичной ступеньки, то

Я(2) =

(13.22)

(13.23)
Цифровой
регулятор

Z(z)

Рис. 13.15. (а) Эйбо — игрушечный робот с большими возможностями. Он очень
напоминает собаку породы чихуахуа, способен вилять хвостом, ходить вперевалку и
играть с мячом. Эйбо оснащен большим количеством датчиков — осязания, зрения
(с помощью миниатюрной цветной видеокамеры), обнаружения шарообразных
предметов, скорости. Внутри робота находится 64-разрядный микропроцессор RISC
и запоминающее устройство емкостью 16 Мб. Органы передвижения имеют
18 сочленений и управляются 18 микродвигателями. {6) Замкнутая система с цифровым
регулятором, (в) Структурная схема системы, где G (z) - Z{Gq(sjGp(s)}

Рис. 13.16

Замкнутая дискретная
система

и

г(/)

ЯО

у (г) =

z(0,3678g+0,2644) _	0,3678z2 + 0,2644г

(2-l)(z2-z+ 0,6322) ~ г3 - 2г2 + 1.6322г-0.6322

Выполнив деление числителя на знаменатель, получим:

У(г) = 0,3678г-1 + 2~2 + 1.4г-3 + 1.4г-4 + 1,147г-5 + ...	(13.25)

Значения у(кТ) отмечены на рис. 13.17 символом □. На этом же рисунке приведена полная ре-
акция системы, полученная с помощью MATLAB (см. раздел 13.12), а также для сравнения —
реакция непрерывной системы (при Т = 0). В дискретной системе перерегулирование равно
45%, тогда как в непрерывной системе оно составляет всего 17 %. Кроме того, в дискретной
системе время установления в два раза больше, чем в непрерывной.
Рис. 13.17
Переходные
характеристики
системы второго
порядка:

(а) непрерывная
система (Т =0),
(б) дискретная
система {Г = 1 с)

Время (с)

13.6.	Анализ устойчивости на z-плоскости

Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее переда-
точной функции Т(я) расположены в левой половине 5-плоскости, z-плоскость и 5-плос-
кость связаны преобразованием

(а + yw)'/’

(13.26)

Отсюда следует, что

|z| = и arg z =	.

(13.27)

В левой половине 5-плоскости ст < 0, поэтому 0 < | z | < 1. Мнимая ось 5-плоскости
отображается в единичную окружность на z-плоскости, а область внутри этой окружно-
сти соответствует всей левой половине 5-плоскости.

Следовательно, можно утверждать, что замкнутая дискретная система устойчива,
если все полюсы ее передаточной функции T(z) расположены на z-плоскости внутри
единичной окружности.

Пример 13.5. Устойчивость замкнутой системы

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 13.18, где Т - I и

С?(5) =

(13.28)

Используем выражение (13.16), записав его в виде:

G = К (0?3678z+0,2644) = K(az+b)
JZ ~ z2-l,3678z+ 0,3678 z2-(1+ a)z+ a'

(13.29)

где a - 0,3678 и b ~ 0,2644.

Полюсы передаточной функции замкнутой системы T(z) — это корни характеристического
уравнения [1 + G(z)] = 0. Уравнение q(z) = 1 + G(z) = 0 называется характеристическим.

Рис. 13.18

Замкнутая дискретная
система

ЭПО Объект
U.i

Итак, мы имеем:

q(z) ~ 1 4- G(z) = z~ - (1 + a) z + а + Kaz + Kb = 0 .

При К = 1 получим:

q(z) = ? - z + 0,6322 - (z - 0,50 + /0.6182) (z - 0,50 -/0.6182) = 0 .

(13,30)

(13.31)

Оба корня расположены внутри единичной окружности, следовательно, система устойчива.
Если К = 10, то

q(z) = z2 + 2,310z + 3,012 = (z + 1,155 + /1,295) (z + 1,155 -/1,295) = 0 .	(13.32)

и система неустойчива, потому что оба корня расположены вне единичной окружности. Эта
система устойчива при 0 < К < 2,39.

Отметим, что дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличе-
нии коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при
любых значениях коэффициента усиления (разумеется, в предположении, что оба полюса ра-
зомкнутой системы находятся в левой половине 5-плоскости).

юскости

ш все полюсы ее переда-

ги. z-плоскость и 5-ПЛОС-

13.7. Качество дискретных систем второго
порядка

(13.26)

Исследуем качество дискретной системы второго порядка, содержащей экстраполятор,
как показано на рис. 13.18, где объект имеет передаточную функцию

g/5) = —Ц-.	(13.33)

5(Т.У+1)

(13.27)

1нимая ОСЬ 5-ПЛОСКОСТИ
& внутри этой окружно-

Передаточная функция G(s) при произвольном периоде квантования Т имеет вид:

£{(z-£)[£-t(z-1)] + t(z-1)2}
(z-l)(z-£)

(13.34)

система устойчива,

на z-плоскости внутри

где Е = е 7/\ Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

q(z) ^z2 + z{K [Т - т(1 -£)]-(! + Е)} + К [т(1 - £) - ТЕ} + Е = 0 .	(13.35)

Поскольку полином q(z) имеет второй порядок, а его коэффициенты вещественны, то
чтобы его корни находились внутри единичной окружности, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:

i!

i

С



(13,28)

<?(!)> О,

7(-1) > 0.

Эти условия были получены путем перехода от характеристического уравнения
q(z) = 0 к уравнению q(s) = 0 и проверки коэффициентов полинома q(s) на положитель-
ность. Применив эти условия к уравнению (13.35), мы получим:

(13.29)

/Ст <----------

1-£-(77т)£

(13.36)

орни характеристического
з характеристическим.

.	2(1+£)

АТ <-----------------,

(77т)(1+£)-2(1-£)

(13.37)

1?(0)| < 1,

Объект



при К > 0 и Т> 0. Для данной системы можно вычислить максимально допустимое из сооб-
ражений устойчивости значение коэффициента усиления. Соответствующие результаты
приведены в табл. 13.3 для нескольких значений отношения 77т. Если используемый в сис-
теме компьютер имеет достаточно высокую скорость вычислений и обработки данных, то
можно установить 77т = 0,1 и получить характеристики системы, очень близкие к соответ-
ствующим характеристикам непрерывной системы (при отсутствии квантования).
Таблица 13.3. Максимально допустимый коэффициент усиления
для дискретной системы второго порядка

Т/т	0	0,1	0,5	1	2
К/т	00	20,4	4,0	2,32	1,45

На рис. 13.19 приведены кривые, соответствующие максимальному перерегулирова-
нию дискретной системы второго порядка при единичном ступенчатом входном воздей-
ствии.

Рис. 13.19

Максимальное
перерегулирование |у [
дискретной системы второго
порядка при единичном
ступенчатом входном сигнале

Оценку качества в виде интеграла от квадрата ошибки можно записать в виде:

е> (t)dt .

(13.38)

о

Кривые, соответствующие постоянным значениям У, приведены на рис. 13.20. Задав-
шись отношением 77т, можно определить минимальное значение / и необходимое для это-
го значение Ал. Этому случаю соответствует оптимальная кривая на рис. 13,20. Например,
если Т/т = 0,75, то чтобы минимизировать оценку качества 7, необходимо задать Ат = 1.

Кривые значений установившейся ошибки при линейном входном сигнале r(j) = /
приведены на рис. 13.21. Задавшись отношением 77т, мы можем уменьшить величину
установившейся ошибки, но при этом система будет иметь большее перерегулирование и
время установления в случае ступенчатого входного сигнала.

Рис. 13.20

Кривые постоянных значений
оценки качества ИКО
для дискретной системы
второго порядка
внт усиления
мдка

иьному перерегулирова-
ячатом входном возлей-

ью записать в виде:

Рис. 13.21

Кривые постоянных значений
установившейся ошибки
для дискретной системы
второго порядка при
линейном входном сигнале
ЛО = t, Г > О

Пример 13.6. Синтез дискретной системы

Рассмотрим замкнутую дискретную систему, изображенную на рис. 13.18. где

G.(s) = —----—---------.	(13.39)

р s(O,ls+ l)(0,005i+ 1)

(13.38)

рны на рис. 13.20. Задав-
ши необходимое для это-
1Ш рис. 13.20. Например,
то дим о задать Кх = 1.

входном сигнале r(t) = /
04 уменьшить величину
ее перерегулирование и

и необходимо выбрать Т и К, чтобы получить приемлемое качество системы. Влиянием посто-
янной времени т? = 0.005 с мы пренебрежем, т. к. она составляет всего 5% от постоянной вре-
мени Т[ = 0.1 с. Для выбора параметров К и Тмы воспользуемся рис. 13.19. 13.20 и 13.21. Огра-
ничившись величиной перерегулирования 30% при ступенчатом входном сигнале, выберем
Пт = 0.25, что дает Кх ~ 1,4. При этом установившаяся ошибка в случае линейного входного
сигнала, имеющего единичную скорость, составляет примерно 0,6 (см. рис. 13.21).

Так как т = 0,1, примем Т = 0,025 с и К = 14. Квантование сигналов при этом должно произво-
диться со скоростью 40 выборок в секунду.

Перерегулирование при ступенчатом входном сигнале и установившуюся ошибку в случае ли-
нейного входного сигнала можно уменьшить, если выбрать 77т -0,1. Тогда при Лт = 1,6 пере-
регулирование при ступенчатом сигнале составит 25%. а на основании рис. 13.21 установив-
шаяся ошибка при линейном входном сигнале, имеющем единичную скорость, будет равна
0,55.

13.8. Замкнутые системы с цифровой
коррекцией

В дискретной системе, изображенной на рис.13.15, компьютер используется в качестве
корректирующего устройства, улучшающего показатели качества. Замкнутая система
имеет передаточную функцию

G(z)P(z)

R(z)	\ + G(z)D(z)

(13.40)

Компьютер представлен передаточной функцией

= D(z).

(13.41)

Во всех предыдущих рассуждениях мы полагали, что D(z) = К. Теперь, чтобы проде-
монстрировать преимущества использования компьютера в качестве корректирующего
устройства, мы еще раз рассмотрим систему второго порядка, содержащую экстраполя-
тор, в которой объект управления имеет передаточную функцию



а период квантования Т= 1 с. Тогда (см. выражение 13.16)
С( т) = 0,3678(z + 0,7189)
(z-l)(z-0,3678) ‘

(13.42)

Если выбрать



(13.43)

то мы сократим полюс функции G(z) в точке z = 0,3 678 и останется определить два парамет-

ра, К и г. Если принять



l,359(z-0,3678)
z + 0,240

(13.44)

то мы получим

G(z)D(z>

0,5Q(z + 0,7189)
(z— l)(z+ 0,240)

(13.45)

Вычисление реакции системы на единичный ступенчатый сигнал показывает, что
выходной сигнал становится равным входному в четвертый момент квантования и далее
остается неизменным. На рис. 13.22 приведены реакции системы без коррекции и с кор-
рекцией. Перерегулирование в скорректированной системе составляет 4 %, в отличие от
45 % в системе без коррекции. Изложение аналитического метода выбора параметров

D(z) выходит за рамки этой книги, тем не менее мы уделим внимание двум методам син-
теза регулятора: (1) методу преобразования Gc(s) в D(z), который рассматривается ниже, и
(2) методу корневого годографа на z-плоскости (в разделе 13.10).

Первый метод заключается в том, что сначала в непрерывной системе, изображен-
ной на рис. 13.23, при заданном объекте управления Gp(s) синтезируется регулятор Gcis).
Затем при заданном периоде квантования Т передаточная функция Gc(s) преобразуется в

эквивалентную D(z). Непрерывный регулятор Gc(s) синтезируется одним из методов, рас-
смотренных в главе 10, после чего определяется соответствующий цифровой регулятор в
системе со структурой рис. 13,15.

Рис. 13.22
Переходные
характеристики
дискретной системы
второго порядка

Время (с)

13.8.

Рис.

Непр
дисад

f

И цн<|

1

1
НИЯМ!

При»

F

Ci

£

л

о

л

J

It
ды см
бирал
комли
есть ]
рпкащую экстраполя-

(13.42)

(13.43)

еделить два парамет-

(13.44)

(13.45)

нал показывает, что
квантования и далее
з коррекции и с кор-
in 4 %, в отличие от
। выбора параметров
к двум методам син-
сматривается ниже, и

системе, изображен-
ется регулятор Одл).
л.й) преобразуется в
ршм из методов, рас-
вфровой регулятор в

5Т 6Г 7Г

Рис. 13.23

Непрерывная модель
дискретной системы

А(5)

Рассмотрим регулятор первого порядка

и цифровой регулятор



(13.46)

(13.47)

Найдем ^-преобразование Gc(s) и приравняем его передаточной функции D(z):

Z{Gc(s)} = D(z) .	(13.48)

Тогда связь между двумя передаточными функциями будет определяться соотноше-
ниями А = е~аТ и В = ё~ьт и, полагая 5 = 0,

(13.49)

Пример 13.7. Синтез по требованию к запасу по фазе

Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функцию

I740	/it

=.	(13.50)

Попробуем синтезировать регулятор Gc(s), обеспечивающий запас по фазе 45° на частоте среза
сос= 125 рад/с. Построив диаграмму Боде для Gp(s), мы увидим, что запас по фазе равен 2°.
Воспользовавшись методом, изложенным в разделе 10.4, определим требуемое отношение по-
люса Gc(s) к нулю, которое будет равно а = 6,25. Поскольку задано (+ - 125 и известно, что
(ос = 4аЬ, то мы получим д = 50и/? = 312. Таким образом, регулятор с опережением по фазе бу-

дет иметь передаточную функцию



XQ + 50)

5 + 312

(13.51)

Коэффициент К выберем так, чтобы выполнялось условие |С7 С7с.(7<:о)| = 1 при О) = cot. =
= 125 рад/с. т. е. К- 5,6. Далее передаточную функцию Gc(s) необходимо преобразовать в D(z).
используя приведенные выше соотношения. Выбрав Т~- 0,001 с, получим:

А = е~^ = о,95; В = £?“°’312 = 0.73;	С = 4.85 .

Тогда

= 4.85(.- 0.95)	(

z-0,73

Разумеется, если выбрать другое значение периода квантования, то и параметры D(z) будут
другими.

Как правило, следует выбирать достаточно малый период квантования, чтобы мето-
ды синтеза непрерывных систем были адекватны и Haz-плоскости. Однако не следует вы-
бирать и слишком малое значение Т из-за ограничений на вычислительные возможности
компьютера. Рекомендуется выбирать период квантования Т~ 0,1 где/^ = со^/2л и сод
есть полоса пропускания замкнутой непрерывной системы.
В системе, синтезированной в примере 13.7, полоса пропускания =180 рад/с, или
= 28,6 Гц. Следовательно, мы должны выбрать период квантования Т= 0,03 с. Заметим,
что в примере 13.7 было выбрано значение Т- 0,01 с.

13.9. Система управления движением
рабочего стола

В ряде производственных процессов важно обеспечить точное позиционирование рабоче-
го стола. Предположим, что по каждой из осей стол перемещается с помощью двигателя и
червячной передачи, как показано на рис. 13.24 (а). Мы рассмотрим только систему управ-
ления движением по осих, изображенную на рис. 13.24 (б). Система должна обладать до-
статочно высоким быстродействием с как можно меньшим временем нарастания и перере-
гулированием при ступенчатом входном сигнале, не превышающем 5 %. Время нараста-
ния Т, определяется в соответствии с рис. 5.7.

Для проектирования системы выберем усилитель мощности и электродвигатель, так
что структура системы примет вид рис. 13. 25. С учетом передаточных функций двигате-
ля и усилителя мощности мы получим:

GB(s) =--------------.	(13.53)

Р 5(5+20)(5+ 10)

Заданное положение

0

Рис, 13.24. Система управления положением рабочего стола: {а) исполнительное
устройство и стол; (б) структурная схема системы

Рис. 13.25. Модель системы управления положением рабочего стола

Снам

было о

возьмем ]
темы на i

нирую

ТТг!

дователы

рования э
тания ра
результат

Таблицу

Perv.i


1.	к

2.	Kis

В ю

В си
5=-11.1
ь-
корнями
фициеш
чение К
время на
значите^
тора.

Тея
ле 13.8.

0.25 с. п
обходик

Тон

где J .

На

ОЖИДЖИ
теме.
Сначала мы рассмотрим непрерывную систему и синтезируем регулятор, как это
было описано в разделе 13, 8, а затем перейдем от Gc(s) к D(z). В качестве первой попытки
возьмем регулятор в виде простого коэффициента усиления К и определим реакцию сис-
темы на входной сигнал. Построив корневой годограф, мы найдем, что при К = 700 доми-
нирующим комплексным корням соответствует коэффициент затухания = 0,707 и, сле-
довательно, можно ожидать, что перерегулирование составит 5 %. Далее путем модели-
рования можно убедиться, что перерегулирование действительно равно 5 %, время нарас-
тания равно 0,48 с, а время установления (по критерию 2 %) составляет 1,12 с. Эти
результаты приведены в табл. 13.4.

Таблица 13.4. Качество системы при двух регуляторах

Регулятор Gc(s)

1, К

Относительное	Время	Время

перерегулирование, % установления, с	нарастания, с

700	5,0	1.12	0.48

2. K(s + 11)Л> + 62)

8000

5,0

0,60	0,25

В качестве следующей попытки используем регулятор с опережением по фазе:



K(s + a)
s + b

(13.54)

В соответствии с методикой, изложенной в разделе 10.5, выберем нуль регулятора
№-11, чтобы он был расположен непосредственно под доминирующими комплексными
корнями. Тогда полюс регулятора должен занимать положение 5 = -62. Вычислив коэф-
фициент усиления, соответствующий положению доминирующих корней, получим зна-
чение К = 8000 . При этом реакция системы на ступенчатый входной сигнал будет иметь
время нарастания 0,25 с, а время установления (по критерию 2 %) 0,60 с. Эти показатели
значительно лучше, чем в предыдущем случае, и мы остановимся на данном типе регуля-

тора.

Теперь остается выбрать период квантования и, используя метод, описанный в разде-
ле 13.8, найти D(z). Время нарастания в скорректированной непрерывной системе равно
0,25 с, поэтому чтобы получить практически такую же реакцию дискретной системы, не-
обходимо выбрать Т Тг Примем Т = 0,01 с. Мы имеем

Gc(5) =

8000Q +11)

5+ 62

Тогда

D(z)=C

гдеЛ = е ,,т= 0,8958 и В = е 627' = 0,5 3 79 .

Далее,

д(1-В) _ 800041 0,462 = 6293
6(1-Л)” 62-0,1042

Используя цифровой регулятор с найденной передаточной функцией D(z\ можно
ожидать, что показатели качества будут очень близки к полученным в непрерывной сис-

теме.
13.10.	Корневой годограф цифровых систем
управления

Рассмотрим систему, изображенную нарис. 13.26. Напомним, что G(s) = G0(j) Gp(s). В зам-
кнутом состоянии система имеет передаточную функцию

(13.55)

У(2)_ KG(z)D(z)

R(z)~ l + KG(z}D(z) ’

Рис. 13.26. Замкнутая система с цифровым регулятором.

Характеристическое уравнение системы имеет вид

I + KG(z) D(z) - 0 ,

что по форме аналогично характеристическому уравнению непрерывной системы, имею-
щей в разомкнутом состоянии передаточную функцию KG(s). Поэтому мы можем, варьи-
руя коэффициент усиления К, построить корневой годограф дискретной системы. Правила
построения корневого годографа приведены в табл. 13.5.

Таблица 13.5. Корневой годограф на z-плоскости

1.	Корневой годограф начинается в полюсах и заканчивается в нулях передаточной
функции G(z)D(z).

2.	Корневой годограф включает в себя отрезки действительной оси, расположенные слева
от нечетного числа полюсов и нулей.

3.	Корневой годограф симметричен относительно действительной оси.

4.	Корневой годограф может отрываться от действительной оси и возвращаться на нее.
Точки отрыва и точки входа определяются из уравнения

К =-^Zl^F{Z)

при z ~ ст. Значения ст находятся путем решения уравнения

do

5.	Точки, принадлежащие корневому годографу, должны удовлетворять уравнению
1 + KG(z)D(z) - 0 ,

или

| KG(z)D(z) 1=1 и arg G(z)P(z) = 180° + £360°, А = 0, 1, 2, ...

Пример 13.8. Корневой годограф системы второго порядка

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 13.26, при D(z) = 1 и Gp(s) = 1/'Г. Тогда

KG (z) =

KT2(z+ 1)
2(z-l)2

Примем Т = 41 и построим корневой годограф. Мы имеем:

KG (z) =

K(z + 1)

(z-l)2
систем

1(5)

ром

Рис. 13.27

Корневой годограф к примеру 13.8

Увеличение К

Im {z}
Корневой
годограф

2 полюса

в точке

Единичная

окружность

Один нуль



Положение на z-плоскости полюсов и нуля этой функции показано на рис. 13.27.
Характеристическое уравнение системы имеет вид:

ой системы, имею-
у мы можем, в а рви-
ш системы. Правила

Положим z = о и выразим отсюда К‘.

в. передаточной

гположенные слева

ЕН

извращаться на нее.

Из условия dF(u)/da = 0 найдем корни Q] = ~3 и сь = 1- Корни выходят из двух по-
люсов при сгз = 1 и возвращаются на действительную ось в точке at = -3, как пока-
зано на рис. 11.27. На этом рисунке изображена также единичная окружность. Оба
корня всегда расположены вне единичной окружности, поэтому система неустой-
чива при любых значениях К > О

Теперь мы вернемся к синтезу цифрового регулятора £>(z), обеспечивающего задан-
ное качество системы, и воспользуемся для этого методом корневого годографа. Выберем
регулятор с передаточной функцией

= О .



ржть уравнению

Числитель (z-a) выберем так, чтобы сократить один из полюсов, лежащих на положитель-
ном направлении действительной оси. Затем выберем (z - b) так, чтобы обеспечить желае-
мое положение комплексных корней скорректированной системы внутри единичной
окружности.

Пример 13.9. Синтез цифрового регулятора

Вернемся к системе из примера 13.8, где Gp(s) = 1/У , и синтезируем регулятор,
обеспечивающий устойчивость и заданное качество системы. Если D(z) = 1, то, как
мы видели, система неустойчива. Выберем D(z) в виде

.. z “ а

так что

KG(z)D(z) =
Рис. 13.28. Корневой годограф к примеру 13,9

Если принять а = 1 и b = 0,2, то мы получим:

KG(z)D(z) =

Л (z + 1)
(z - l)(z - 0~2)

Используя выражение для F(o), мы найдем точку входа корневого годографа на
действительную ось z - -2,56, как показано на рис. 13.28. Единичную окружность
корневой годограф пересекает при К = 0,8. Таким образом, система устойчива при
К < 0,8. Если принять К = 0,25, то реакция системы на ступенчатый входной сигнал
будет иметь перерегулирование 20 % и время установления (по критерию 2 %), рав-
ное 8,5 с.

Если полученное качество является неудовлетворительным, то можно изменить вид
корневого годографа, выбрав а = 1 и b = -0,98, так что

KG(z)D(z) =

K(z+\)
(z- l)(z + 0,98)

В этом случае корневой годограф будет расположен на действительной оси. При
К = 1 корень характеристического уравнения находится в начале координат и T(z) =
= 1/z = z[. Реакция дискретной системы на ступенчатый входной сигнал (в момен-
ты квантования) равна этому сигналу, но с задержкой на один период квантования.

На z-плоскости можно изобразить линии постоянных значений Связь между
5-плоскостью и z-плоскостью определяется соотношением z - e'J. Линии постоянных
значений С, на 5-плоскости представляют собой пучок прямых, выходящих из начала ко-
ординат и определяемых уравнением

- = - tg0 = -tg(arcsinC) = —.

“	л/1-С
ичная

аость

t

Гонка отрыва
при «=0.55

Рис. 13.29

Кривые
постоянных
значений Q
на z-плоскости

Re{j‘

rt >	' f 1

Поскольку 5 = с + то z = е 	, где



Семейство линий постоянных значений Q на z-плоскости приведено на рис. 13.29. Во
многих практических случаях при синтезе систем задаются значением £=1/V2. Тогда
о = - О) и z = е™т •	= е’юГ ' /6, где 9 = соТ.

евого годографа на
иичную окружность
ктема устойчива при
жгый входной сигнал
• критерию 2 %), рав-

»можно изменить вид

13.11.	Реализация цифровых регуляторов

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией

(13.56)

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать диск-
ретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования. Для производ-
ной по времени мы воспользуемся правилом обратной разности:

и(кТ)-

лвительной оси. При
ие координат и Д ") =
вюй сигнал (в момен-
иериод квантования.

экий 2. Связь между
tf. Линии постоянных

кодяших из начала ко-

т --{х(АГ)-х[(А- 1)П)•
dt t=kT Т

Применив к (13.57) z-преобразование, получим:

X(z).

(13.57)

Операцию интегрирования можно аппроксимировать с помощью формулы прямо-
угольников:

и(кТ) = и [(А - 1) Т\ + Тх(кТ) ,

(13.58)

где и(кТ)~выход интегратора в момент Г = А7’. Применив к (13.5 8) z-преобразование, полу-
чим:

U(z) = zU(z) + TX{z) ,

I
откуда передаточная функция дискретного интегратора

Щ?) „ Tz

^(5)	2~Г

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД-регулятора имеет вид:

(13.59)

На основании этой передаточной функции можно получить разностное уравнение,
описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора [мы используем обозначение
х(кТ) = х(£)]:

и(к) = Кхх(к) + К2[и(к-\) + Тх(к)] + -—^-[х(к)-х(к- 1)] =

(13.60)

Вычисления по уравнению (13.60) можно выполнить с помощью компьютера или
микропроцессора. Разумеется, можно реализовать также ПИ- или ПД-регулятор, устано-
вив соответствующий коэффициент усиления равным нулю.

13.12.	Анализ устойчивости систем
управления с помощью MATLAB

Анализ и синтез дискретных систем управления значительно облегчается при использова-
нии интерактивных компьютерных средств. Многие функции MATLAB, применяемые к
непрерывным системам, имеют аналоги, разработанные специально для дискретных сис-
тем. Модели объектов в виде дискретных передаточных функций получаются в MATLAB с
помощью функции tf. Подобно тому, как это делалось в непрерывных системах (см. гла-
ву 2). Применение функции tf проиллюстрировано на рис. 13,30. Там же показано, как с по-
мощью функций c2d и d2c можно выполнить преобразование модели системы. Функция
c2d преобразует непрерывную систему в дискретную, а функция d2c — наоборот. Напри-
мер, рассмотрим объект управления с передаточной функцией

как показано на рис. 13.16. Ранее [см. выражение (13.16)] при периоде квантования 1 с

была получена передаточная функция

0,3678(2 + 0,7189) _ 0,36782 + 0,2644

(z-l)(z-0,3678) z2-l,3678z+ 0,3678

(13.61)

На рис. 13.31 показано, как та же самая передаточная функция может быть получена
с помощью MATLAB.

При моделировании дискретных систем также используются функции step, impulse и
Isim. Применение функции step, с помощью которой определяется переходная характери-
стика системы, проиллюстрировано на рис. 13.32. Реакция системы на единичный импу-
льсный сигнал находится с помощью функции impulse, а функция Isim позволяет найти
реакцию системы на произвольный входной сигнал. Применение функций impulse и Isim
я)

Рис- 13.30. (а) Функция tf. (б) Функция c2d. (а) Функция d2c

Рис.13,31

Использование
функции c2d
для преобразования
G(s) = GQ(s)Gp(s)
bG(z)

% Этот скрипт преобразует передаточную функцию

% Gp=1/s(s+1) в дискретную форму при периоде

% квантования Т=1с.

%

num=[1]; den=[1 1 0]; sysc=tf(num1den);

Период
квантования

[sysd]=c2d(sysc,T,‘zoh’)

Экстраполятop
нулевого порядка

Выход

Передаточная функция:
0.3679 z + 0.2642

zA2- 1.368 z +0.3679

Период квантования: 1
проиллюстрировано соответственно на рис. 13.33 и 13.34. Эти функции применительно к
дискретным системам действуют по сути так же, как аналогичные функции для непре-
рывных систем.

Далее мы вернемся к примеру 13.4 и покажем, как можно получить переходную ха-
рактеристику, не прибегая к утомительной процедуре деления числителя на знаменатель.
Рис. 13.32
Применение
функции step
для определения
реакции
системы у(кТ}
на единичный
ступенчатый
сигнал

Ступенчатый --------

сигнал Система
* ОД

Выход

у - реакция системы
Т- вектор времени
моделирования

fy,T]=stcp(sys,T)

Г должно быть задано
в виде Т^Т^'Тр где Г, —
период квантования

Рис. 13.33
Применение
функции impulse
Для определения
реакции
системы у(кТ)
на единичный
импульсный
сигнал

Импульсный
сигнал

Система

Выход

Рис. 13.34
Применение
функции Isim
для определения
реакции системы
у(кТ) на сигнал
произвольного
вида

Пример 13.10. Переходная характеристика дискретной системы

В примере 13.4 мы рассмотрели задачу определения переходной характеристики замкнутой
дискретной системы. В этом примере мы получили ответ путем утомительного деления числи-
теля на знаменатель. Тот же результат, но гораздо проще, можно получить с помощью ф\ нк-
ции step, как показано на рис. 13.32. На рис. 13.35 показано, как находится переходная харак-
теристика замкнутой системы с передаточной функцией

У(з) _ 0,3678z + 0,2644

R(z)~ z2 —z +0.6322

Соответствующая переходная характеристика дискретной системы изображена на рис. 13.17.
Для определения действительной реакции системы в виде непрерывной функцииy(t) был ис-
пользован скрипт MATLAB, приведенный на рис. 13.36. В этом скрипте член е si был аппрок-
симирован дробно-рациональным выражением с помощью функции рабе второго порядка
при периоде квантования Т =\ с.

Использование компьютера в качестве цифрового корректирующего устройства
было рассмотрено в разделе 13.8. В следующем примере мы рассмотрим ту же задачу, но
решим ее с помощью MATLAB.

Рис. 13.35

Реакция у(кТ)
дискретной
системы второго
порядка
на единичный
ступенчатый
входной сигнал

% Этот скрипт вычисляет переходную характеристику у(кТ)
% дискретной системы из примера 13.4.

%

num=[1]; den=[1 1 0];

sysc=tf(num,den);

sysd=c2d(sysc,1,‘zoh’);

sys=feedback(sysd,[1]);

T=[0:1:20J; step(sys,T)

0.8

0.6

s
ч
и
8

У(з) 0.36782+0.2644

Я(г) z2“2+0.6322

10

15

20

0 L

0

Номера тактовых моментов

Пример 13.11. Корневой годограф цифровой системы управления

Напомним, что выражение (13.16) соответствует передаточной функции объекта управления
0,3678(z+0,7189)
(z-l)(z-0.3678)

Выберем регулятор с передаточной функцией

Л- (- 0.3678)

z + 0,2400

где К — параметр, подлежащий определению. Если

G(z)D(z) = K-

0,3678(z+ 0,7189)

(z-l)(z + 0,2400)

(13.62)
Рис. 13.36
Реакция y(f}
системы,
изображенной
на рис. 13.16,
на единичный
ступенчатый
входной сигнал

% Этот скрипт вычисляет переходную характеристику
% непрерывной системы из примера 13.4.

numg=[1]; deng=[1 1 O];sysg=tf(numg,deng); ◄

[nd,dd]=pade(1,2); sysp=tf(nd,dd);

sysi=tf([1],[1,0]);	j

sys1=series(1-sysp,sysi); J

<^0) =

Рис. 13,
Функция
примени*
к дискрет
систем»

%

syso=series(sys1 ,sysg);

sys=feedback(syso,[1]);

t=[0:0.1:20];

step(sysj)

Аппроксимация
функции

то мы сталкиваемся с задачей, для решения которой непосредственно можно воспользоваться
методом корневого годографа. Функция rlocus применительно к дискретным системам дейст-
вует точно так же. как и для непрерывных систем. На рис. 13.37 показано, как с помощью этой
функции можно построить корневой годограф, соответствующий выражению (13.62). Напом-
ним. что область устойчивости находится внутри единичной окружности наз-плоскости. Так
же как и в непрерывных системах, функцию rlocfind можно использовать для определения ко-
эффициента усиления, соответствующего любому заданному положению корней на годогра-
фе. Используя эту функцию, мы можем установить, что корни характеристического уравнения
замкнутой дискретной системы будут находиться на единичной окружности при К ~ 4,639

Снач

13.13.	Пример синтеза с продолжением:
система чтения информации с диска

□ В данной главе мы синтезируем цифровой регулятор для системы чтения информа-
ции с диска. При вращении диска соответствующий датчик, связанный с головкой,
определяет номер дорожки и позволяет вычислить сигнал ошибки. На основании
этого сигнала дисковод узнает, что дорожка найдена неверно, и возвращается назад. Так
как диск вращается с постоянной скоростью, то время Тмежду изменением положения го-
ловки является постоянным. Период квантования обычно находится в пределах от 100 мкс
до I мс. Таким образом, мы получаем информацию об ошибке в дискретные моменты вре-
мени. Чтобы обеспечить желаемое качество системы, мы можем использовать цифровой
регулятор, как показано на рис. 13.38. В этой главе мы поставим целью определить D{-\.

Посколыс



то

Рис. IX
Замкнута
с цифрой
где
1

15	20

Рис. 13.37

Функция riocus
применительно
к дискретным
системам

। можно воспользоваться
ретным системам дейст-
вье < как с помощью этой
вожению (13.62). Налом-
ости наз-плоскости. Так
вать для определения ко-
иию корней на годогра-
рнстического уравнения
ужности при К = 4,639.

мием:

с диска

гемы чтения информа-
гвязанный с головкой,
шибки. На основании
^вращается назад. Так
вением положения го-
IB пределах от 100 мкс
кретные моменты вре-
яюльзовать цифровой
яью определить D(z),

-2-1012
Действительная ось

Сначала найдем G(z):

G(-) = Z{Gob)G (5)}.

Поскольку

G (5) = ——— ,
5(5+ 20)

(13.63)

то

Go (sXj (s) =

s Js(s+20)

Рис. 13.38

Замкнутая система
с цифровым регулятором,
где G (z) = Z{6b(s)^(s)}
Учтем, что при а = 20 и Т~ 1 мс е = 0,98. Тогда очевидно, что полюс s =-20 в выражении
(13.63) имеет незначительный эффект, поэтому можно приблизительно считать, что

r , А 0,25

Тогда мы получим

0,25Т_ 0,25-10"3

2-1 Z-1

Ос
разовая
с интеза

Цифровой регулятор D(z) мы должны выбрать так, чтобы удовлетворить требовани-
ям, предъявляемым к качеству системы. Если принять D(z) = К, то мы получим:

, К-0,25-10-3
D(z yj(z) =-----------

Упр«

У-13.1.

ifi

<1
t

У-13Л

Корневой годограф данной системы изображен на рис. 13.39. Если К = 4000, то

D(Z)G(7) =

От

Следовательно, замкнутая система имеет передаточную функцию

У-13.3. I

D(z)G(z) _ 1
l + D(z)G(z)”z’

т. е. следует ожидать, что время реакции данной системы на ступенчатый входной сигнал
будет минимальным. Действительно, перерегулирование равно 0 %, а время установления
составляет 2 хмс.

Рис. 13.39

Корневой годограф

Единичная

Положение корня
при К =4000

У -13.4. J

Мао
У-13.5.1
руЖ!

для.
ком
У-13.6Л
1ЬС
к

13.14. Резюме

Последние два десятилетия были ознаменованы резким повышением надежности и уде-
шевлением цифровых компьютеров. В связи с этим они все шире стали применяться в сис-
темах управления в качестве регуляторов (корректирующих устройств). За время, равное
периоду квантования Г, компьютер способен выполнить большое количество вычислений
и сформировать выходной сигнал, который затем используется для управления объектом.
Цифровые системы управления в настоящее время используются в самых разных областях,
в том числе в химическом производстве, в авиации, в металлургии и металлообработке и во
многих других.


Основным математическим аппаратом теории дискретных систем является z-преоб-
разование. С его помощью решаются задачи анализа устойчивости и качества, а также
синтеза систем управления, в состав которых входит цифровой компьютер.

Упражнения

У-13.1. Укажите, какие из следующих величин являются непрерывными, а какие дискретными.

(а)	Линии равной высоты на географической карте.

(б)	Температура в помещении.

(в)	Показания цифровых часов.

(г)	Счет в баскетбольной игре.

(д)	Выходной сигнал громкоговорителя.

У-13.2. (а) Определите значения у{кТ) для к = 0, 1, 2, 3, 4, если

(б) По полученным значениям у(кТ) найдите общий вид этой зависимости как функции к.
Ответ'. у(0) = 0; у(Т) = 1; у(27) = 3; у(3 Г) = 7; у(4Г) = 15.

У-13.3. Реакция системыу(кТ) = кТ при к> 0. Найдите соответствующее z-преобразование У(д).

Ответ-. У(г) =

У-13.4. Дана функция

Ш	~

5(5 + l)(s + 5)

Используя разложение на простые дроби и табл. 13.1, найдите X(z) при Т - 0,2 с.

У-13.5. На рис. 13.5 (У), (а) изображен космический челнок с рукой робота. Астронавт управляет
рукой робота и захватом, пользуясь визуальным наблюдением через иллюминатор и изобра-
жением на экране монитора, получаемым от телекамер. Обсудите возможность использования
для этих целей цифровой системы управления и изобразите ее функциональную схему, где
компьютер участвует как в управлении, так и в формировании изображения на экране.

У-13.6. На рис. 13.6 (У) изображена система управления роботом, осуществляющим покраску кор-
пуса автомобиля. Структура системы имеет вид рис. 13.26, где

KG (s) =--------.

Р 5(0.55+1)

Рис. 13.5 (У), (а) Космический челнок и рука робота.
(б) Астронавт управляет рукой робота
положения стола

---------► Ко м i । ь юте р
Вход —►

Рис. 13.6 (У). Система покраски корпуса автомобиля

В системе должен обеспечиваться запас по фазе 45°. Непрерывный регулятор для данной сис-
темы был синтезирован в разделе 10.8. Определите D(z), считая Т = 0.001 с.

У-13.7. Задано z-преобразование сигнала

^4-7г2+1

Найдите первые четыре значения сигнала, т. е. у(0), у(1), у(2) и у(3).

У-13.8. Определите, устойчива ли замкнутая система, если ее передаточная функция

,2

Г(2) =	.

г2+ О.к-0.2

Ответ: устойчива.

У-13.9. (а) Определите у(кТ) для к = 0. 1. 2, 3. если

(б)	Получите общее выражение для у(кТ) как функцию к

У-13.10. Передаточная функция системы (7(z) задана выражением (13.34). где Т - 0,01 с и т -
- 0,008 с. (а) Определите значение К, при котором перерегулирование в замкнутой системе не
будет превышать 40 %, (б) Определите установившуюся ошибку при линейном входном сиг-
нале. изменяющемся с единичной скоростью.

(в)	Определите значение К, минимизирующее интеграл от квадрата ошибки.

У-13.11. Объект управления имеет передаточную функцию

Gp(s) =

100

?+ 100

(а) Определите соответствующую функцию G(z) с учетом того, что объекту управления пред-
шествует экстраполятор нулевого порядка. Период квантования равен 0.05 с. (б) Определите,
устойчива ли цифровая система, (в) Изобразите импульсную переходную характеристику сис-
темы для первых 15 моментов квантования, (г) Изобразите график реакции системы на синусо-
идальный сигнал той же частоты, что и собственная частота системы.

У-13.12. Определите z-преобразование для

если период квантования равен 2 с.

У-13.13. Дискретная система имеет характеристическое уравнение
z2 + (К- 1.5)z + 0.5 - 0.

Определите диапазон значений К. при которых система устойчива.
Ответ: 0 < К < 3.
У-13.14. В системе, изображенной на рис. 13.18. объект имеет передаточную функцию

Gp Ю =

5(5 + 3)

а период квантования Т= 0.5 с. Определите, устойчива ли система, если К - 5. Найдите макси-
мально допустимое значение К из соображений устойчивости.

Задачи

3-13.1. Сигнал r(t) ~ sinto/, где to = 1/л, подвергается квантованию с периодом 0,25 с. Представь-
те графически этот сигнал и выходной сигнал квантователя г (t) для первых 2 секунд.

3-13.2. Сигнал r(t) = since/, где to = 1/л. подвергается квантованию с периодом 0,25 с. Квантован-
ный сигнал поступает на вход экстраполятора нулевого порядка, как показано на рис. 13,7.
Представьте графически выходной сигнал экстраполятора p(t) для первых 2 секунд.

3-13.3. В системе, изображенной на рис. 13.3 (3). G(s) = 1/(5 + 1). а входной сигнал r(f) = t, t > 0.

Определите у(кТ) для первых 4 моментов квантования. Период квантования Т- 0,2 с.

3-13.4. В замкнутой системе, содержащей экстраполятор. объект имеет передаточную функцию

Gp(s) =

Определите G(z). если Т~ 1 с.

3-13.5. В системе из задачи 3-13.4 r(t) есть единичный г(/)
ступенчатый сигнал. Вычислите реакцию системы

путем деления числителя на знаменатель.	Рис. 13,3 (3). Дискретная система

3-13.6. Для системы из задачи 3-13.4 найдите начальное

и конечное значения выходного сигнала непосред-
ственно по Y(z).

3-13.7. В системе, изображенной на рис. 13.18. объект управления имеет передаточную функцию
Gp(s) -K/[s (0,55 + 1)]. Выберите коэффициент усиления К и период квантования /’так. чтобы
при единичном ступенчатом входном сигнале перерегулирование не превышало 0.3, а при ли-
нейном входном сигнале, изменяющемся с единичной скоростью, установившаяся ошибка
была менее 1,0.

3-13.8. Рассмотрите систему с цифровой коррекцией, изображенную на рис. 13.26. где Т = 1 с и

KGp(s)-

5(5 + 10)

Считая, что

P(z) =

z — 0,3678

Z + г

выберите параметры Л' и г из диапазонов 1<К<2и0<г< 1 . Определите реакцию скорректи-
рованной системы на ступенчатый входной сигнал и сравните ее с реакцией системы без кор-
рекции.

3-13.9. На рис. 13.9 (3) изображена дистанционно управляемая подвешенная камера, созданная для
обслуживания профессиональной футбольной лиги. Система управления позволяет переме-
щать камеру по любой из трех координат и делает возможным обозревать все поле. Система
управления приводом каждого рычажного блока имеет структуру, изображенную на рис.
13.18, где

G „(5) --------------.

Р 5(5 + 1)(0.15 + 1)
Рис. 13.9 (3)

Видеокамера для наблюдения
за футбольным полем

В случае непрерывной системы необходимо подобрать Gc(s) так, чтобы запас по фазе был рав-
ным 45°. Выберите необходимое значение частоты среза и периода квантования, чтобы перей-
ти к D(z). Воспользуйтесь методом преобразования Gc(s) в D(z).

3-13.10. Рассмотрите систему, изображенную на рис. 13.15, в состав которой входит экстраполятор
нулевого порядка, а объект имеет передаточную функцию

Gp(s) =-------

р s(s + 10)

Период квантования Г - 0,1 с.

(а) Примите D(z) = К и определите передаточную функцию G(z)D(z). (б) Определите характе-
ристическое уравнение замкнутой системы, (в) Вычислите максимально допустимое значение
К из соображений устойчивости системы, (г) Найдите значение К, при котором перерегулиро-
вание было бы менее 30 %, (д) При значении К, найденном в п. (г), определите передаточную
функцию замкнутой системы T(z) и постройте график ее переходной характеристики,
(е) Определите положение корней характеристического уравнения замкнутой системы и вели-
чину перерегулирования, если коэффициент К будет в 2 раза меньше значения, найденного в
п. (в), (ж) Постройте график переходной характеристики при значении К из п.(е).

3-13.11. (а) Предположите, что система, описанная в задаче 3-13.10, является непрерывной и. испо-
льзуя методы главы 10, синтезируйте регулятор с отставанием по фазе Ge(s). обеспечивающий
при ступенчатом входном сигнале перерегулирование менее 30 % и установившуюся ошибку
при линейном входном сигнале менее 0,01. (б) Теперь считайте, что система является цифро-
вой, содержит квантователь и экстраполятор, и путем преобразования Gc(s) bD(z) определите
цифровой корректор, обеспечивающий показатели качества, указанные в п. (а). Период кван-
тования Т= 0,1 с. (в) Изобразите переходные характеристики непрерывной системы с регуля-
тором Gt,(s) из п. (а) и цифровой системы с D(z) из п. (б). Сравните полученные результаты,
(г) Проделайте задание п. (б) при Т = 0,01 с, а затем повторите п. (в), (д) Получите реакцию
цифровой системы на линейный входной сигнал при 7’= 0,1 с и сравните ее с аналогичной ре-
акцией непрерывной системы.

3-13.12. Передаточная функция объекта управления совместно с экстраполятором нулевого поряд-
ка (рис.13.18) равна

z(z-l)

(а) Постройте корневой годограф системы, (б) Определите диапазон значений К, при которых
система устойчива.

3-13.13. Система управления ориентацией космической станции, описанная в упражнении У-7.6,
реализована с использованием квантователя и экстраполятора и имеет передаточную функ-
цию (рис. 13.18)

X'(z2+ l,1206z-0,0364)
?- 1,7358z2 + 0,871 lz — 0.1353

(а) Постройте корневой годограф системы, (б) Определите значение К, при котором характе-
ристическое уравнение будет иметь два одинаковых корня, (в) Определите все корни характе-
ристического уравнения при коэффициенте X, найденном в п. (б).
3-13.14. В дискретной системе, изображенной на рис. 13.18, период квантования Т= 0.05 с. а ее пере-
даточная функция

K(z3 + 10,3614г2 + 9,758г + 0,8353)
г4 - 3.7123г3 + 5,1644г2 - 3,195г + 0,7408

(а) Постройте корневой годограф системы, (б) Определите значение К, при котором два веще-
ственных корня отрываются от действительной оси. (в) Определите максимально допустимое
значение К из соображений устойчивости системы.

3-13.15. В системе, структура которой имеет вид рис. 13.18, объект управления имеет передаточную
функцию

Вычислите и изобразите графически значения у(кТ) на интервале 0 < t < 0,6 с. если период
квантования Т — 0,1 с. Входной сигнал системы — единичная ступенька.

3-13.16. В системе, изображенной на рис. 13.18, объект имеет передаточную функцию

На вход системы подан единичный ступенчатый сигнал. Вычислите и изобразите графически
значения у(кТ) для 0 < к < 8, если период квантования Т - 1 с.

3-13,17. В системе, изображенной на рис. 13.18, объект имеет передаточную функцию

Gp(s) =

а период квантования Т = 1 с. Постройте корневой годограф при К > 0 и определите значение
К, при котором два корня характеристического уравнения оказываются на единичной окруж-
ности (на границе устойчивости).

3-13.18. В системе, изображенной на рис. 13.18, объект имеет передаточную функцию

Если система является непрерывной (Т= 0), то при К = 1 переходная характеристика имеет пе-
ререгулирование 16% и время установления (по критерию 2 %) 8 с. При К= 1 постройте се-
мейство переходных характеристик дискретной системы, варьируя период квантования в диа-
пазоне 0 < Т < 1,2 с с шагом 0,2 с. Отразите в виде таблицы зависимость перерегулирования и
времени установления от периода квантования Т.

Задачи повышенной сложности

11-13.1. В системе, изображенной нарис. 13.18, объект управления имеет передаточную функцию

Ср (5)

£(1+ as)

где параметр а может настраиваться, исходя из требований к качеству системы. Постройте
корневой годограф системы при а = 10. Определите диапазон значений К, при которых систе-
ма устойчива. Период квантования Т = 1 с.

П-13.2. Ужесточение требований к весу, расходу горючего, надежности и эксплуатационным каче-
ствам систем управления полетом самолетов стимулировало поиск принципиально новых ре-
шений. Одна из таких разработок отличается от традиционных тем, что взаимодействие отде-
льных элементов системы управления осуществляется электрически, а не механически, при-
чем все основные задачи по сбору информации, координации действий и непосредственному
Рис. 13.2 (П) а)
(а) Система
привода
управляющей
плоскости
самолета.

(б) Структурная
схема системы

Дшп шель

Усилитель
мощности

/?(.Д
Заданны и угол О


Измеренный у гол
отклонения плоскости.

Регулятор

0(/)

ЯМ

управлению выполняет компьютер. Этот новый принцип позволяет реализовывать цифровые
системы управления, обладающие высоким уровнем надежности и отличным качеством.

Рабочие характеристики системы управления полетом существенно зависят от динамики ис-
полнительного устройства, в частности, от его способности поддерживать заданное положе-
ние управляющей плоскости несмотря на случайные возмущения со стороны внешних сил.
Одна их таких систем включает в себя усилитель мощности, специальный двигатель постоян-
ного тока и насос, соединенный с любой из камер силового гидроцилиндра. Шток гидроцилин-
дра с помощью механической передачи соединен непосредственно с управляющей плоско-
стью. как показано на рис. 13.2 (П), (а).

На рис. 13.2 (П), (б) приведена структурная схема системы управления углом отклонения
плоскости. Требуется, чтобы переходная характеристика системы имела перерегулирование
менее 5 % и время установления (по критерию 2 %) не более 4 с. (а) Синтезируйте регулятор
D(z) и постройте корневой годограф системы, (б) Изобразите график переходной характери-
стики системы, синтезированной в п. (а).

3-13.3. На рис. 13.3 (П) показано, как в швейном производстве вместо обычного шва осуществляет-
ся склеивание материала, Очень важно, чтобы клей во избежание брака наносился на ткань
равномерно. Однако скорость, с которой ткань проходит под головкой, распределяющей клей,
не является постоянной. Клей должен выдавливаться из головки со скоростью, пропорциона-
льной скорости движения ткани. Эта задача решается с помощью специальной системы управ-
ления.

Система управления имеет структуру, изображенную на рис. 13.15, где Gp(s) = 2 / (0.03s + 1) и
объекту предшествует экстраполятор нулевого порядка. Передаточная функция цифрового ре-
гулятора имеет вид
Рис. 13.3 (П)

Система управления склеиванием

что соответствует операции интегрирования. Найдите G(z)D(z) при Т = 30 мс и постройте кор-
невой годограф системы. Выберите приемлемое значение К и изобразите график переходной

характеристики системы.

П-13.4. В системе, структура которой имеет вид рис. 13.15, D(z) = К и

6р(з-) =

27

5(s+ 27)

Полагая Т- 0,1 с. определите значение К, обеспечивающее по возможности быстрое нараста-
ние переходной характеристики с перерегулированием менее 10%.

П-13.5. В системе, изображенной на рис. 13.18, объект управления имеет передаточную функцию

Определите диапазон значений периода квантования 1\ при которых система устойчива. Затем
выберите подходящее, по вашему мнению, значение Т, при котором система была бы устойчи-
вой и обладала высоким быстродействием.

Задачи на синтез систем

СС-13.1. Синтезируйте цифровой регулятор для системы управления положением скользящей час-

ти стола.

Электродвигатель, барабан и скользящую часть представьте в виде модели второго поряд-
ка, как было описано в задачах СС-2.1 и СС-4.1. Структура системы при этом имеет вид рис.
13.15. При заданном периоде квантования Т= 1 мс выберите передаточную функцию D(z).

обеспечивающую приемлемое качество системы. Найдите реакцию синтезированной системы

на ступенчатый входной сигнал r(t).

С-13.1. Система регулирования температуры имеет структуру, изображенную на рис. 13.15, где пе-
редаточная функция объекта

а период квантования Т — 0,5 с.
(а) При D(z) == К выберите значение К, чтобы система была устойчива, (б) Система может ока-
заться передемпфированной и иметь большое время установления, поэтому возникает необхо-
димость синтеза регулятора с опережением по фазе. Используя метод, описанный в разделе
10.8. синтезируйте регулятор Gc(s) и затем перейдите к D(z). (в) Проверьте правильность син-
теза. построив график переходной характеристики системы при D(z), полученной в п. (б).

С-13.2. Структурная схема системы позиционирования головки чтения/записи дисковода имеет вид
рис. 13.15. Объект имеет передаточную функцию

, 1°

Gy>(s) — —л	.

s2+0,8.5+800

Рис. IX
Система
управленн
экструзис
установке

Система должна обладать высокой точностью позиционирования. Примите Т= 10 мс и синте-
зируйте регулятор D(z) (а) методом преобразования Gc(s) в D(z) и (б) методом корневого го-
дографа.

С-13.3. Качество управления движением автомобиля можно значительно повысить, если использо-
вать систему, оптимизирующую сцепление шины с дорогой, которая препятствует заклинива-
нию колес при торможении и их пробуксовыванию при ускорении.

В качестве управляемой переменной в подобных системах обычно выбирается проскальзыва-
ние колеса, т. е. разность между скоростью движения автомобиля и скоростью колеса (за эта-
лон принимается скорость автомобиля при торможении и скорость колеса при ускорении).
В большинстве случаев именно эта переменная влияет на качество управления движением, по-
скольку в основном она определяет силу сцепления между шиной и дорогой.

Система управления проскальзыванием для одного колеса изображена на рис. 13.3 (С). Цель
системы — минимизировать проскальзывание, вызванное возмущением из-за изменения до-
рожных условий. Синтезируйте регулятор D(z) так. чтобы система имела коэффициент затуха-
ния Q = 1/V2, и найдите соответствующее значение К. Период квантования 7’= 0.1 с. Получите
график переходной характеристики и определите величину перерегулирования и времени
установления (по критерию 2 %).

BblXQJ
упраи
лее А
Нарви
Выбер
ле пер

И <

М-13.1. Ди

С-13.4. Система управления положением инструмента металлорежущего станка имеет структуру,
изображенную на рис. 13.15, где передаточная функция объекта

С пом!

По гра

М-13.2. При
мощь*
тора и
(a)

Я

М-13.3. Пе

Период квантования Т= 1 с. Требуется, чтобы переходная характеристика имела перерегули-
рование не более 16 % и время установления (по критерию 2 %) не более 12 с. Кроме того, при
входном сигнале r(/) = t установившаяся ошибка не должна превышать 1. Синтезируйте регу-
лятор D(z), удовлетворяющий этим требованиям.

С-13.5. При производстве полимеров широко используется хорошо отработанный метод выдавли-
вания пластмассы. Такие эктрузионные установки обычно представляют собой большой ци-
линдр, разделенный на несколько температурных зон с загрузочным бункером на одном конце
и фильерой на другом. Пластмасса загружается в цилиндр из бункера в виде твердого полу-
фабриката и проталкивается вдоль него при помощи шнека. При прохождении этой массы че-
рез различные температурные зоны происходит ее нагревание с последовательным увеличени-
ем температуры. Тепло, выделяемое нагревателями, а также образующееся при трении пласт-
массы о стенки цилиндра и шнек, приводит к ее плавлению, после чего эта масса выдавливает-
ся шнеком наружу и используется далее для различных целей.

(а) Вы"
период
ную фр
р актер
М-13.4. Пои

О пр еде
б)

Рис. 13.5 (С)
Система
управления
экструзионной
установкой

Полимер

II а i ревател ы i ы Й и пл и ил р

Ь)

Ш иск

ад -

Заданная

► ЭПО

Действительная

Фильера jjjF



► W

температура

температура

Выходными переменными являются поток массы через фильеру и ее температура. Основной
управляющей переменной является скорость вращения шнека, поскольку ее изменение наибо-
лее быстро сказывается на качестве ведения процесса.

На рис. 13.5 (С) изображена система управления температурой полимера на выходе установки.
Выберите коэффициент А' и период квантования Ттак, чтобы при ступенчатом входном сигна-
ле перерегулирование составляло 10 % и в то же время при линейном входном сигнале устано-
вившаяся ошибка была как можно меньше.

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-13.1. Дискретная система имеет передаточную функцию

0.2145z + 0,1609
z2-0.75z + 0.125

С помощью MATLAB постройте график реакции системы на единичный ступенчатый сигнал.
По графику убедитесь, что установившееся значение выходного сигнала равно 1.

М-13.2. Преобразуйте следующие непрерывные передаточные функции в дискретную форму с по-
мощью функции c2d. Считайте, что период квантования Т~ 1 с и учтите наличие экстраполя-
тора нулевого порядка G0(s).

(a) G ($) = -; (б) G (s) =-Л—(b)G(s) = ^2; (г) с, (s) = —-1— .

5	S + 4	5+1	5(5+1)

М-13.3. Передаточная функция замкнутой дискретной системы имеет вид:

ад =

i'(z) _ l,7(z + 0,46)

R(z) z2 +z+0,5

(а) Вычислите переходную характеристику системы с помощью функции step, (б) Считая, что
период квантования Т= 0,1 с, с помощью функции d2c определите непрерывную передаточ-
ную функцию, эквивалентную T(z). (в) С помощью функции Step вычислите переходную ха-
рактеристику полученной непрерывной системы и сравните ее с результатом из п. (а).

М-13.4. Постройте корневой годограф системы, имеющей передаточную функцию

G(z)D(z) = K —-------~

z - z + 0,1

Определите диапазон значений А, при которых система устойчива.
М-13.5. Постройте корневой годограф
системы, изображенной на
рис. 13.5 (М), и определите диапа-
зон значений Л\ при которых сис-
тема устойчива.

Л(2)

Регулятор

Объект

z-0.2

Y(z)

М-13.6. Рассмотрите дискретную сис-
тему. передаточная функция ко-
торой в разомкнутом состоянии
имеет вид:

Рис. 13.5 (М). Система управления с цифровым
регулятором

G(z)D(z) = K-

z1 + 4z + 4.25

2-0.1z-1,5

z+1

(а) С помощью функции riocus постройте корневой годограф системы, (б) По построенном)
корневому годографу с помощью функции rlocfind определите диапазон значений К. при кото-
рых система устойчива.

М-13.7. Шлифовальный станок имеет передаточную функцию

Для повышения качества обработки поверхности предлагается использовать цифровую систе-
му управления, в которой компьютер представлен передаточной функцией D(z). В синтезируе-
мой системе запас по фазе должен составлять не менее 45°, а время установления (по крите-
рию 2 %) должно быть менее 1 с.

(а)	Чтобы удовлетворить выдвинутым требованиям, синтезируйте регулятор с передаточной
функцией

Gc(s) - &

(б)	Считая, что период квантования Т~ 0,02 с, преобразуйте Gc(s) в D(z). (в) Промоделируйте
непрерывную систему при единичном ступенчатом входном сигнале, (г) Промоделируйте ди-
скретную систему при единичном ступенчатом входном сигнале, (д) Сравните результаты, по-
лученные в пп. (в) и (г) и сделайте соответствующие выводы.

Ключевые термины и понятия

Дискретная система. Система, в которой некоторая ее часть оперирует с дискретными данными
(с дискретными значениями переменных).

Дискретные данные. Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты
времени, с определенным периодом квантования.

Ошибка квантования по амплитуде. Ограниченная точность, с которой получается дискретный
сигнал. Разность между действительным (непрерывным) сигналом и его дискретным пред-
ставлением.

Период квантования. Период, с которым числа вводятся в компьютер или выводятся из него. Пе-
риод. в течение которого дискретные значения переменных сохраняют постоянные значения.

Устойчивость дискретной системы. Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы
ее передаточной функции T(z) находятся на z-плоскости внутри единичной окружности.

Цифровой корректор. Компьютер, используемый в качестве корректирующего устройства.

Цифровая система управления. Система, в которой для управления объектом используются циф-
ровые сигналы и цифровой компьютер.

z-плоскость. Плоскость комплексной переменной z, где ось абсцисс соответствует действительной
части, а ось ординат — мнимой части z.

^-преобразование. Конформное отображение с 5-плоскости на z-плоскость с помощью соотноше-
ния z = е'7. Преобразование из области переменной 5 в область переменной z.