Текст
                    Р. ДОРФ, Р. БИШОП
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИЙ	УНИВЕРСИТЕТ
MODERN CONTROL SYSTEMS
Eighth Edition
Richard C.Dorf
University of California, Davis
Robert H.Bishop
The University of Texas at Austin
ADDISON-WESLEY
ТЕХНИЧЕСКИЙ
Л УНИВЕРСИТЕТ
б Я 5 £699
Р. ДОРФ, Р. БИШОП
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Перевод с английского Б.И.КОПЫЛОВА
Москва Лаборатория Базовых Знаний ЮНИМЕДИАСТАЙЛ 2 0 0 2
M5i
УДК 62-52-ББК 32.965
Д59
Дорф Р.
Д 59 Современные системы управления/ Р. Дорф, Р. Бишоп. Пер. с англ. Б. И. Копылова. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 832 с.: ил.
ISBN 5-93208-119-8
В книге излагаются методы анализа и синтеза современных систем автоматического управления. Показано, как с использованием принципа обратной связи могут быть созданы высокоэффективные системы управления различного назначения (аэрокосмическая техника, промышленные роботы, автомобилестроение, медицинская аппаратура и др.).
Значительное место в книге уделено применению для анализа и синтеза систем управления интегрированной среды MATLAB и программы Simulink.
Книга содержит большое количество примеров и около 800 задач для самостоятельного решения и предназначена для студентов, преподавателей и аспирантов вузов, а также инженеров-практиков, занимающихся проектированием систем управления.
УДК 62-52
ББК 32.965
По вопросам приобретения обращаться: В Москве «Лаборатория Базовых Знаний» (095) 955-03-98, e-mail: lbz@aha.ru
В Санкт-Петербурге «Диалект» (812) 247-93-01, e-mail: dialect@sndlct.ioffe.rssi.ru
ISBN 0-201-30864-9
ISBN 5-93208-119-8
Original English language title:
Modern Control Systems, Fourth Edition by Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, © 1998
© Издание на русском языке
Лаборатория Базовых Знаний, 2002
Когда уходят выдающиеся учителя, их студенты могут сказать: «Это сделали мы сами»
С признательностью посвящается:
Линде Феррера Бишоп и
Джой Макдональд Дорф
Содержание
Предисловие...........................................................14
Глава 1. Введение в	системы управления..............................21
Обзор..............................................................21
1.1.	Введение......................................................21
1.2.	История автоматического управления............................23
1.3.	Два примера использования обратной связи......................26
1.4.	Управление на практике........................................28
1.5.	Примеры современных систем управления.........................29
1.6.	Автоматическая сборка и роботы................................35
1.7.	Перспективы развития систем управления........................37
1.8.	Техническое проектирование....................................38
1.9.	Синтез системы управления.....................................39
1.10.	Пример синтеза: управление скоростью вращения диска..........41
1.11.	Пример синтеза: система управления введением инсулина........43
1.12.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. ... 44
Упражнения.........................................................45
Задачи.............................................................46
Задачи на синтез систем............................................52
Ключевые термины и понятия ........................................53
Глава 2. Математические модели систем.................................55
Обзор..............................................................55
2.1.	Введение......................................................55
2.2.	Дифференциальные уравнения физических систем..................56
2.3.	Линеаризация физических систем................................60
2.4.	Преобразование Лапласа........................................63
2.5.	Передаточные функции линейных систем..........................69
2.6.	Структурные схемы............................................ 82
2.7.	Модели в виде сигнальных графов...............................87
2.8.	Компьютерный анализ систем управления.........................91
2.9.	Примеры на синтез систем управления...........................93
2.10.	Моделирование систем управления с помощью MATLAB.............99
2.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 111
2.12.	Резюме.......................................................114
Упражнения.........................................................114
8
Содержание
Задачи.............................................................121
Задачи повышенной сложности........................................134
Задачи на синтез систем............................................135
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................136
Ключевые термины и понятия.........................................138
Глава 3. Модели в переменных состояния................................139
Обзор..............................................................139
3.1.	Введение....................................................  139
3.2.	Переменные состояния динамической системы.....................140
3.3.	Дифференциальные уравнения состояния..........................143
3.4.	Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа.145
3.5.	Альтернативные модели в виде сигнальных графов................151
3.6.	Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния.....155
3.7.	Временные характеристики и переходная матрица состояния.......156
3.8.	Дискретный способ вычисления временных характеристик..........159
3.9.	Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера .... 164
3.10.	Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB.......168
3.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 172
3.12.	Резюме.......................................................175
Упражнения.........................................................175
Задачи.............................................................178
Задачи повышенной сложности........................................187
Задачи на синтез систем............................................189
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................190
Ключевые термины и понятия.........................................192
Глава 4. Характеристики систем управления с обратной связью...........193
Обзор..............................................................193
4.1.	Разомкнутые и замкнутые системы управления....................193
4.2.	Чувствительность систем управления к изменению параметров.....195
4.3.	Воздействие на переходную характеристику систем управления....199
4.4.	Возмущения в системах управления с обратной связью............202
4.5.	Установившаяся ошибка.........................................206
4.6.	Издержки обратной связи.......................................208
4.7.	Пример синтеза: бурильные машины для тоннеля под Ла-Маншем....209
4.8.	Пример синтеза: автономный самоходный аппарат для исследования Марса.............................................212
4.9.	Определение характеристик систем управления с помощью MATLAB .... 214
4.10.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 220
4.11.	Резюме.......................................................222
Упражнения.........................................................224
Задачи ........................................................... 226
Задачи повышенной сложности........................................234
Содержание
9
Задачи на синтез систем............................................237
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................239
Ключевые термины и понятия.........................................242
Глава 5. Качество систем управления с обратной связью.................243
Обзор............................................................. 243
5.1.	Введение......................................................243
5.2.	Тестовые входные сигналы . .'.................................244
5.3.	Качество системы второго порядка..............................246
5.4.	Влияние третьего полюса и нуля на характеристики системы второго порядка .......................................................... 252
5.5.	Оценка коэффициента затухания.................................256
5.6.	Связь между переходной характеристикой и положением корней на s-плоскости.....................................................257
5.7.	Установившаяся ошибка систем управления с	обратной связью.....259
5.8.	Установившаяся ошибка систем с неединичной	обратной	связью....263
5.9.	Оценки качества...............................................265
5.10.	Упрощение линейных систем....................................272
5.11.	Пример синтеза: управление ориентацией телескопа «Хаббл».....275
5.12.	Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink.........................................................278
5.13.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 286
5.14.	Резюме.......................................................289
Упражнения.........................................................291
Задачи ........................................................... 295
Задачи повышенной сложности........................................301
Задачи на синтез систем............................................303
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................305
Ключевые термины и понятия.........................................307
Глава 6. Устойчивость линейных систем с обратной связью...............308
Обзор..............................................................308
6.1.	Понятие устойчивости..........................................308
6.2.	Критерий устойчивости Рауса-Гурвица...........................312
6.3.	Относительная устойчивость систем управления с обратной связью.320
6.4.	Устойчивость систем, описываемых переменными состояния........321
6.5.	Пример синтеза: управление поворотом гусеничной машины........324
6.6.	Анализ устойчивости с помощью MATLAB..........................326
6.7.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . . 333
6.8.	Резюме........................................................336
Упражнения.........................................................336
Задачи.............................................................339
Задачи повышенной сложности........................................343
Задачи на синтез систем............................................344
10
Содержание
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................347
Ключевые термины и понятия.........................................348
Глава 7. Метод корневого годографа....................................349
Обзор..............................................................349
7.1.	Введение......................................................349
7.2.	Понятие корневого годографа...................................350
7.3.	Построение корневого годографа................................353
7.4.	Пример анализа и синтеза системы управления с помощью метода корневого годографа................................................366
7.5.	Выбор параметров с помощью корневого годографа................370
7.6.	Чувствительность системы и корневой годограф..................374
7.7.	Трёхканальные (ПИД) регуляторы................................380
7.8.	Пример синтеза: система управления лазерным манипулятором.....382
7.9.	Синтез системы управления роботом.............................384
7.10.	Построение корневого годографа с помощью MATLAB..............386
7.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . 391
7.12.	Резюме.......................................................393
Упражнения.........................................................395
Задачи ........................................................... 399
Задачи повышенной сложности........................................411
Задачи на синтез систем............................................414
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................421
Ключевые термины и понятия.........................................422
Глава 8. Метод частотных характеристик................................423
Обзор..............................................................423
8.1.	Введение......................................................423
8.2.	Графики частотных характеристик...............................426
8.3.	Пример построения диаграммы Боде..............................441
8.4.	Измерение частотных характеристик.............................445
8.5.	Требования к качеству системы в частотной области.............446
8.6.	Логарифмические амплитудно-фазовые диаграммы..................449
8.7.	Пример синтеза: система управления гравировальной машиной.....451
8.8.	Использование MATLAB в методе частотных характеристик.........453
8.9.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска. . . . 458
8.10.	Резюме.......................................................460
Упражнения.......’.................................................464
Задачи ........................................................... 467
Задачи повышенной сложности........................................477
Задачи на синтез систем............................................478
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................481
Ключевые термины и понятия.........................................483
Содержание
11
Глава 9. Анализ устойчивости методом частотных характеристик.... 484
Обзор..............................................................484
9.1.	Введение......................................................484
9.2.	Отображение контуров на 5-плоскости...........................485
9.3.	Критерий Найквиста............................................490
9.4.	Относительная устойчивость и критерий Найквиста...............499
9.5.	Критерии качества во временной и частотной областях...........506
9.6.	Полоса пропускания системы....................................512
9.7.	Устойчивость систем управления с запаздыванием................514
9.8.	Пример синтеза: дистанционно управляемый разведывательный аппарат. . . 517
9.9.	Частотные характеристики ПИД-регуляторов......................520
9.10.	Анализ устойчивости с помощью MATLAB.........................521
9.11.	Пример синтеза с продолжением: систра чтения информации с диска. . . 529
9.12.	Резюме.......................................................531
Упражнения.........................................................538
Задачи ........................................................... 543
Задачи повышенной сложности........................................554
Задачи на синтез систем............................................557
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................562
Ключевые термины и понятия.........................................564
Глава 10. Синтез систем управления с обратной связью..................565
Обзор..............................................................565
10.1.	Введение.....................................................565
10.2.	Подходы к синтезу системы....................................567
10.3.	Схемы последовательной коррекции.............................568
10.4.	Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде . . 572
10.5.	Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью корневого годографа..........................................................578
10.6.	Синтез систем с применением интегрирующих устройств..........584
10.7.	Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью корневого годографа..........................................................587
10.8.	Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде. . . 591
10.9.	Синтез с помощью диаграммы Боде и использования аналитических методов и компьютеров..............................................595
10.10.	Системы с предшествующим фильтром...........................597
10.11.	Синтез систем с апериодической реакцией.....................600
10.12.	Пример синтеза: система управления намоткой ротора..........602
10.13.	Пример синтеза: двухкоординатный графопостроитель...........606
10.14.	Синтез систем с помощью MATLAB..............................609
10.15.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска............................................................616
10.16.	Резюме......................................................617
Упражнения.........................................................619
12
Содержание
Задачи.............................................................622
Задачи повышенной сложности........................................636
Задачи на синтез систем............................................638
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................643
Ключевые термины и понятия.........................................644
Глава 11. Синтез систем с обратной связью по состоянию................646
Обзор..............................................................646
11.1.	Введение.....................................................646
11.2.	Управляемость................................................646
11.3.	Наблюдаемость................................................648
11.4.	Оптимальные системы управления...............................650
11.5.	Размещение полюсов с помощью обратной связи по состоянию.....658
11.6.	Формула Аккермана............................................663
11.7.	Ограничения обратной связи по состоянию......................664
11.8.	Синтез внутренней модели.....................................664
11.9.	Пример синтеза: система автоматического	контроля.............668
11.10.	Применение MATLAB и Simulink для синтеза систем с обратной связью по состоянию................................................670
11.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска............................................................677
11.12.	Резюме......................................................679
Упражнения.........................................................679
Задачи ........................................................... 680
Задачи повышенной сложности........................................684
Задачи на синтез систем............................................686
Задачи, решаемые с помощью MATLAB..................................690
Ключевые термины и понятия.........................................692
Глава 12. Робастные системы управления................................693
Обзор..............................................................693
12.1.	Введение.....................................................693
12.2.	Робастные системы управления и чувствительность..............694
12.3.	Анализ робастности...........................................698
12.4.	Системы с неопределенными параметрами........................700
12.5.	Синтез робастных систем управления...........................702
12.6.	ПИД-регуляторы...............................................708
12.7.	Синтез робастных систем с ПИД-регуляторами...................709
12.8.	Пример синтеза: автопилот....................................714
12.9.	Синтез системы управления орбитальным телескопом.............715
12.10.	Синтез робастного привода катушки...........................717
12.11.	Робастная система с внутренней моделью......................720
12.12.	Синтез сверхпрецизионной системы управления токарным станком с алмазным резцом..................................................722
12.13.	Псевдоколичественный метод синтеза системы с обратной связью.725
Содержание
13
12.14.	Синтез робастных систем с помощью MATLAB...................727
12.15.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска ......................................................... 730
12.16.	Резюме.....................................................732
Упражнения........................................................733
Задачи............................................................735
Задачи повышенной сложности.......................................741
Задачи на синтез систем...........................................746
Задачи, решаемые с помощью MATLAB.................................754
Ключевые термины и понятия........................................756
Глава 13. Цифровые системы управления................................756
Обзор.............................................................756
13.1.	Введение....................................................756
13.2.	Применение цифровых систем управления.......................757
13.3.	Дискретные системы..........................................759
13.4.	^-преобразование............................................762
13.5.	Замкнутые дискретные системы................................766
13.6.	Анализ устойчивости на z-плоскости..........................768
13.7.	Качество дискретных систем второго порядка..................769
13.8.	Замкнутые системы с цифровой коррекцией.....................771
13.9.	Система управления движением рабочего стола.................774
13.10.	Корневой годограф цифровых систем управления...............776
13.11.	Реализация цифровых регуляторов	. .........................779
13.12.	Анализ цифровых систем управления с помощью MATLAB.........780
13.13.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска . . 784
13.14.	Резюме.....................................................786
Упражнения........................................................787
Задачи .......................................................... 789
Задачи повышенной сложности.......................................791
Задачи-«а синтез систем...........................................793
Задачи, решаемые с помощью MATLAB.................................795
Ключевые термины и понятия........................................796
Приложение А. Основы MATLAB..........................................797
А.1. Введение.....................................................797
А.2. Инструкции и переменные......................................798
А.З. Матрицы......................................................802
А.4. Графика......................................................805
А.5. Скрипты......................................................807
Основы MATLAB: задачи.............................................814
Приложение. Основы Simulink..........................................815
Предметный указатель.................................................823
Предисловие
Об этой книге
4 декабря 1996 г. с помощью ракеты-носителя Дельта-П был запущен космический аппарат «Патфайндер» (в переводе — следопыт), который в течение семи месяцев должен был достичь красной планеты — Марса. Спустя 20 лет после того, как со своей задачей успешно справился «Викинг», это был первый из запланированных НАСА запусков аппарата с посадкой на Марс. Пролетев более 497 418 000 км, космический аппарат 4 июля 1997 г. столкнулся с поверхностью Марса при скорости около 18 м/с. После столкновения аппарат подпрыгнул почти на 15 м, затем подпрыгивал еще 15 раз, пока не остановился примерно в 1 км от первоначальной точки касания. Место посадки известно как Мемориал Сагана, и расположено оно врайоне Долины Ареса с координатами 19°33' с. ш. и 33°55' з. д. На борту «Пат-файндера» находился автономный самоходный аппарат под названием «Соджорнер», который предназначался для исследования района места посадки. Он имел массу 10,5 кг и должен был за 30 дней обследовать район площадью 300 м2. Его солнечные батареи площадью 0,25 м2 были рассчитаны на энергию в 16 ватт-часов, а основной блок питания обеспечивал около 150 Втч. Высокоточная система управления движением этого аппарата в то же время должна была ограничивать потребляемую мощность.
В успешном выполнении программы исследования планет ведущая роль принадлежит инженерам по управлению. По мере совершенствования аппаратной части и операционных систем бортовых компьютеров будет постоянно возрастать и роль систем управления автономных космических станций-зондов. Так, упомянутый выше «Патфайндер» имел на борту выпускаемую серийно 32-разрядную защищенную от радиации рабочую станцию с памятью в 1 Гб, с многозадачной операционной системой, запрограммированной на языке С. Это значительно превосходит компьютеры кораблей «Аполлон», имевшие ПЗУ емкостью 36864 и ОЗУ емкостью 2048 16-разрядных слов. Языком их программирования был псевдокод, а написанные на нем и хранящиеся в памяти команды программой-интерпретатором переводились в последовательность выполняемых подпрограмм. В данной книге в качестве полезных иллюстративных примеров рассматриваются реальные задачи по управлению автономными космическими аппаратами. Такова, например, задача по синтезу системы управления движением аппарата по поверхности Марса (разд. 4.8).
Техника управления — это очень увлекательная и творческая область деятельности. По своей сути она является междисциплинарным предметом и играет роль стержневого курса в учебных планах технических университетов. Естественно ожидать различных подходов к овладению искусством техники управления и ее практическому применению. Поскольку этот предмет имеет солидные математические основы, им можно овладевать
Предисловие 15
строго теоретически, делая акцент на формулировку и доказательство различных теорем. С другой стороны, т. к. конечной целью является практическая реализация регуляторов в реальных системах, то при синтезе таких систем допустим и специфический метод, в основе которого лежат интуиция и личный опыт. Наш подход состоит в том, чтобы методика изучения данной дисциплины, имея солидные математические основы, в то же время делала акцент на моделирование реальных физических систем и их практическое проектирование с учетом накладываемых ограничений.
Мы убеждены, что наиболее эффективным является такой метод изучения определенной дисциплины, когда каждый еще и еще раз задает себе одни и те же вопросы и при этом постоянно открывает что-то новое. Идеальным было бы предложить студенту набор вопросов и задач, снабдив некоторые из них ответами, полученными за последние десятилетия. Использовать традиционный метод — не поставить перед студентом проблему, а дать сразу ее конечное решение — это значит лишить его творческого интереса, побудительного импульса, снизить тягу человечества к изобилию различных теорем. Поэтому наша книга предлагает читателю ряд задач, с которыми мы продолжаем сталкиваться в повседневной жизни, оставив их без ответов — чтобы каждый мог в итоге сказать: «Все, чему я действительно научился и что понял, сделал я сам».
Цель данной книги — представить четкую структуру теории систем с обратной связью, последовательно на протяжении всего материала побуждая читателя делать для себя ряд маленьких открытий. Если книга поможет студенту познать теорию и практику систем управления с обратной связью, мы будем считать свою задачу выполненной.
Круг читателей
Эта книга задумана как вводный курс по системам управления для студентов технических специальностей. С точки зрения практического использования систем управления в ней почти нет никакого разграничения между такими областями, как аэрокосмические исследования, химическая технология, электротехника, механика, промышленное производство; поэтому она написана сознательно без акцента на какую-то одну дисциплину. Мы надеемся, что книга будет одинаково полезна для изучения всех технических дисциплин и поможет проиллюстрировать преимущества, достигаемые применением систем управления. Многочисленные примеры и задачи взяты из самых разных областей (социология, биология, экология, экономика) и имеют целью дать читателю ясное представление об универсальной применимости теории управления ко многим аспектам нашей жизни. Мы убеждены, что разбор студентами одной специальности примеров и задач из других дисциплин позволит им с общих позиций взглянуть и за пределы своей узкой области. В результате многие студенты, специализирующиеся в каком-то одном направлении (скажем, механике или электротехнике), смогут успешно сделать карьеру и работать в дальнейшем бок о бок с инженерами, например, в аэрокосмической промышленности. Мы надеемся, что этот вводный курс даст студентам более широкое представление о методах анализа и синтеза систем управления.
Первые 8 изданий книги «Современные системы управления» с успехом использовались студентами старших курсов более чем 400 технических колледжей и университетов, а также их выпускниками, не имевшими базовой подготовки в области техники управле
ния.
16
Предисловие
Новое в девятом издании
Для студентов, использующих девятое издание книги, был создан специальный Web-сайт, который содержит все упражнения, задачи, m-файлы MATLAB и программы Simulink, приведенные в книге, а также таблицы преобразований Лапласа и z-преобразований, основные сведения по алгебре матриц, комплексным числам, список принятых обозначе-ний, таблицы единиц измерения и их перевода из одной системы в другую. В случае ссылки на Web-сайт на полях книги будет появляться соответствующий значок. Кроме того, поскольку Web-сайт может постоянно обновляться и пополняться материалами, представляющими интерес для студентов и преподавателей, рекомендуется регулярно посещать его в течение семестра при изучении соответствующего курса. Web-сайт «Современных систем управления» имеет адрес http://www.prenhall.com/dorf.
В девятом издании мы по-прежнему делаем акцент на синтез систем управления. Для этого мы воспользуемся реальной практической задачей, связанной с проектированием регулятора для системы считывания информации с диска. Эту задачу мы назвали приме-□ ром синтеза с продолжением (в тексте он отмечается на полях значком стрелки), который последовательно рассматривается в каждой главе с применением изложенных в ней методов и понятий. Дисководы компьютеров представляют собой весьма интересный объект с точки зрения техники управления. В каждой главе рассматриваются различные аспекты проектирования регуляторов для систем чтения информации с диска. Например, в главе 1 мы сформулируем цели управления, выявим переменные, на которые необходимо воздействовать, перечислим необходимые ограничения и изобразим начальную конфигурацию системы. Далее, в главе 2, мы разработаем модели объекта управления, датчиков и исполнительных устройств. В остальных главах мы продолжим процедуру синтеза, используя основные положения соответствующей главы.
В том же самом ключе, как и пример синтеза с продолжением, мы подготовили сквозную задачу на синтез (СС) (в тексте она отмечается на полях значком тройной стрелки), □ чтобы дать студентам возможность от главы к главе последовательно синтезировать прецизионную систему управления перемещением скользящей части металлообрабатывающего станка. При решении данной задачи для того, чтобы удовлетворить все предъявляемые к системе требования, студенту придется последовательно использовать методы, излагаемые в каждой главе книги.
Мы продолжили модернизацию разделов книги, посвященных компьютерным мето-
@дам анализа и синтеза систем управления. На задачи, решаемые с помощью MATLAB, указывает специальный значок. Кроме того, различные аспекты примера синтеза с продолжением также проиллюстрированы соответствующими программами MATLAB.
В 9-м издании мы предлагаем использовать пакет Simulink как эффективный инструмент имитационного моделирования и анализа систем управления. Поскольку Simulink является интерактивным средством, использующим графический интерфейс, мы считаем, что лучший способ его изучения — это непосредственное решение на его основе различных практических задач. Основы Simulink излагаются в Приложении Б, где студенту дается возможность последовательно пройти ряд этапов, связанных с проектированием и имитационным моделированием простой системы управления. Мы попытались дать только основные сведения, касающиеся Simulirfk; чтобы не привязываться к какой-то конкретной версии пакета. Во время подготовки девятого издания книги самой последней являлась версия Simulink 3.0. По мере появления следующих версий Simulink вся предыду
Предисловие
17
щая информация по его основам будет размещаться на Web-сайте — имейте это в виду, если у вас возникнут проблемы совместимости с моделями Simulink из этой книги.
Примеры использования Simulink приведены в главах 5 и 11. В гл. 5 исследуется задача управления креном самолета, а в гл. 11 программа Simulink применяется для анализа системы, модель которой представлена в переменных состояния.
Основные особенности книги
Книга охватывает фундаментальные понятия теории систем управления в том виде, как они применяются в частотной и временной областях. Предпринята попытка отобрать для обсуждения, а также для примеров и задач такие системы, которые в истинном смысле являются современными. Именно поэтому в книге идет речь о робастных системах управления, о чувствительности систем, о моделях в переменных состояния, об управляемости и наблюдаемости, о цифровых системах управления, о регуляторах с внутренней (встроенной) моделью, о робастных ПИД-регуляторах, о компьютерном анализе и синтезе систем управления. Вместе с тем в книге сохранены и подробно изложены классические принципы теории управления, убедительно доказавшие свою практическую полезность.
Основные принципы построения материала: от классических методов к современным. Наша цель — дать четкое представление об основных методах синтеза систем в частотной и временной областях. В книге детально рассматриваются классические методы теории управления: преобразование Лапласа и передаточные функции; синтез с помощью метода корневого годографа; анализ устойчивости с помощью критерия Рауса-Гурвица; частотные методы Боде, Найквиста и Никольса; определение установившейся ошибки при типовых внешних воздействиях; аппроксимация системы в виде модели второго порядка; понятия запасов устойчивости по модулю и по фазе и полосы пропускания. Кроме того, существенно расширен раздел, посвященный методу переменных состояния. Обсуждаются фундаментальные понятия управляемости и наблюдаемости и их связь с сигнальными графами. Приводится формула Аккермана, определяющая заданное расположение полюсов с помощью полной обратной связи по состоянию; обсуждаются также ограничения метода синтеза путем обратной связи по состоянию.
Наряду с перечисленными выше основными методами в книге излагаются и многие вопросы, выходящие за рамки классической теории. Так, в главе 12 приводятся последние достижения в теории робастного управления, а в главе 13 рассматриваются способы реализации цифровых систем управления. В каждой главе, кроме первой, имеется раздел, знакомящий студента с применением среды MATLAB для анализа и синтеза систем управления.
Последовательное развитие навыков решения задач. Процесс обучения включает в себя чтение книги, посещение лекций и их конспектирование, а также разбор иллюстративных примеров. Настоящее же испытание подстерегает студента в виде задач в конце каждой главы. Решению задач в книге уделяется очень серьезное внимание. Каждая глава содержит 5 типов задач:
□	Упражнения (У)
□	Задачи (3)
□	Задачи повышенной сложности (П)
□	Задачи на синтез систем (С)
□	Задачи, решаемые с помощью MATLAB (М)
18
Предисловие
Например,' набор задач, завершающих 3 главу (Модели в переменных состояния), включает в себя 19 упражнений, 36 обычных задач, 6 задач повышенной сложности, 5 задач на синтез и 7 задач на применение MATLAB. Упражнения позволяют студенту на относительно несложных примерах прочувствовать применение на практике основных методов и понятий, рассмотренных в данной главе, прежде чем переходить к решению более сложных задач. К третьей части всех упражнений приведены ответы. Обычные задачи требуют применения основных положений главы к новым, нестандартным ситуациям. Далее, начиная с 7-го издания, следуют задачи повышенной сложности и задачи на синтез систем. Наконец, последняя группа позволяет студенту приобрести опыт решения задач на компьютере с помощью MATLAB. Всего в книге имеется более 800 задач. Большое количество задач повышенной сложности позволяет студенту приобрести уверенность в своей способности применять на практике полученные знания.
Акцент на синтез систем управления. Красной нитью через всю книгу проходит важнейшая тема синтеза реальных сложных систем управления. Каждая глава содержит по меньшей мере один пример на синтез, включая следующие:
Система управления введением инсулина (раздел 1.11)
Синтез фильтра низких частот (раздел 2.9)
Перемещение приводного ремня принтера (раздел 3.9)
Автономный самоходный аппарат для исследования Марса (раздел 4.8) Управление наведением космического телескопа «Хаббл» (раздел 5.11) Управление поворотом гусеничного транспортного средства (раздел 6.5) Система управления лазерным манипулятором (раздел 7.8) Система управления гравировальной машиной (раздел 8.7) Дистанционно управляемый разведывательный аппарат (раздел 9.8) Двухкоординатный графопостроитель (раздел 10.13) Система автоматического контроля (раздел 11.9)
Сверхпрецизионный токарный станок с алмазным резцом (раздел 12.12)
Система управления движением рабочего стола (раздел 13.9)
Разделы, посвященные применению MATLAB, помогут студентам освоить компьютерную поддержку анализа и синтеза систем и, возможно, заново решить многие задачи. Каждая программа содержит блоки с комментариями, обращающими внимание на ее важные фрагменты. Результат выполнения программы (обычно в виде графика) также снабжается комментариями, указывающими на существенные элементы. Эти программы с некоторыми изменениями могут быть использованы и для решения других подобных задач.
Дополнительные удобства. Каждая глава начинается с обзора, где кратко излагается то, с чем встретится студент при ее чтении. Завершается же каждая глава коротким резюме и разделом, в который сведены ключевые термины и понятия. Эти разделы акцентируют внимание на важнейшие положения главы и играют роль справочника для дальнейшего использования.
Структура книги
Глава 1. Введение в системы управления. Глава содержит историческую справку о развитии теории и практики автоматического управления. Она также имеет целью описать общий подход к синтезу и конструированию систем управления.
Глава 2. Математические модели систем. В этой главе разрабатываются математические модели физических систем в виде передаточной функции, связывающей вход и
Предисловие 19
выход системы. Рассматривается широкий круг систем, включая механические, электрические и гидравлические.
Глава 3. Модели в переменных состояния. В этой главе разрабатываются математические модели систем в переменных состояния. С помощью матричных методов исследуются переходные процессы и качество систем управления.
Глава 4. Характеристики систем управления с обратной связью. Здесь рассматриваются характеристики систем управления с обратной связью. Обсуждаются преимущества использования обратной связи, вводится понятие ошибки системы.
Глава 5. Качество систем управления с обратной связью. В этой главе исследуется качество систем управления. Показатели качества связываются с расположением на 5-плоскости полюсов и нулей передаточной функции.
Глава 6. Устойчивость линейных систем с обратной связью. В главе исследуется устойчивость систем с обратной связью. Устанавливается связь между устойчивостью системы и ее характеристическим уравнением. Вводится критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
Глава 7. Метод корневого годографа. Здесь рассматривается движение корней характеристического уравнения на s-плоскости при изменении одного или двух параметров. Графическим методом определяются траектории корней Has-плоскости. Рассматривается также популярный ПИД-регулятор.
Глава 8. Метод частотных характеристик. Здесь исследуется установившееся движение системы при подаче на ее вход синусоидального сигнала и изменении его частоты. Рассматривается графическое представление частотных характеристик, называемое диаграммой Боде.
Глава 9. Анализ устойчивости методом частотных характеристик. В этой главе анализируется устойчивость систем с использованием частотных характеристик. Обсуждается критерий Найквиста, вводится понятие относительной устойчивости.
Глава 10. Синтез систем управления с обратной связью. Здесь описываются несколько методов синтеза и коррекции систем управления. Предлагаются различные варианты корректирующих устройств и показывается, как с их помощью можно улучшить показатели качества.
Глава 11. Синтез систем с обратной связью по состоянию. Основной вопрос этой главы - синтез систем управления на основе моделей в переменных состояния. Рассматривается проверка системы на управляемость и наблюдаемость, а также обсуждается метод синтеза с использованием внутренней модели.
Глава 12. Робастные системы управления. Эта глава посвящена синтезу высокоточных систем управления при наличии существенной неопределенности. Рассматриваются пять методов решения данной задачи: метод корневого годографа, метод частотных характеристик, методы синтеза робастных ПИД-регуляторов на основе взвешенных интегральных оценок, использование внутренних моделей и метод псевдоколичественной обратной связи.
Глава 13. Цифровые системы управления. Здесь рассматриваются методы математического описания и анализа качества цифровых систем управления. Обсуждаются вопросы устойчивости и качества дискретных систем.
Приложения. В качестве приложений приводятся следующие:
А. Основы MATLAB.
Б. Основы Simulink.
20 Предисловие
Благодарности
Мы хотим выразить искреннюю благодарность всем оказавшим нам помощь в подготовке девятого издания книги. Среди них: Махмуд А. Абдаллах, Центральный государственный университет (Огайо); Джон Н. Чиассон, Питтсбургский университет; Сами Эль-Савах, Калифорнийский государственный политехнический университет, Помона; Питер Дж. Гор-дер, Канзасский государственный университет; Дуэйн Ханзельман, Университет штата Мэн; Ашок Айер, Университет штата Невада, Лас-Вегас; Лесли Р. Ковал, Университет Миссури-Ролла; Л. Дж. Крафт, Университет штата Нью-Гэмпшир; Томас Курфесс, Технологический институт штата Джорджия; Хулио К. Мандоджана, государственный университет Манкато; Джури Меданик, У ниверситет штата Иллинойс, Урбана-Шампейн; Эдуардо А. Мисава, Оклахомский государственный университет; Медхат М. Моркос, Канзасский государственный университет; Марк Начурка, Университет Маркетт; Карла Шварц, корпорация MathWorks; Д. Суббарам Найду, Государственный университет, Айдахо; Рон Перец, Университет Висконсин-Милуоки; Мурат Таньел, Дордтский колледж; Хол Тарп, Аризонский университет; Джон Валасек, Техасский университет; Пол П. Вонг, Университет Дьюка; Рави У орриер, Институт техники и управления корпорации Дженерал Моторе.
Ричард К. Дорф Роберт X. Бишоп
Об авторах
Ричард К. Дорф — профессор электротехники и вычислительной техники в Калифорнийском университете, Дэвис. Он известен главным образом как преподаватель курса электротехники и ее применений в общественной и экономической сферах. Им написано и издано несколько получивших признание учебников и справочников, в том числе Технический справочник и Справочник по электротехнике. Проф. Дорф является членом Совета IEEE и работает в области проектирования систем управления и робототехнических систем. Д-р Дорф обладает патентом на оригинальный ПИД-регулятор.
Роберт X. Бишоп является стипендиатом Майрона Л. Биджмена на факультете аэрокосмической техники и механики Техасского университета в Остине. Будучи талантливым педагогом, проф. Бишоп заслужил признание за высокое качество преподавания, отмеченное премией компании «Локхид Мартин». Являясь активным членом Американского института аэронавтики и астронавтики (AIAA), IEEE и Американской ассоциации преподавателей технических дисциплин (ASEE), он был удостоен премии Джона Леланда Этвуда, периодически присуждаемой ASEE и AIAA «ведущему ученому, сделавшему весомый вклад в подготовку специалистов в области аэрокосмической техники». Д-р Бишоп известен своими работами в области аэронавигации и управления космическими аппаратами.
Глава 1
Введение в системы управления
Обзор
В этой главе мы рассмотрим в общих чертах процесс синтеза системы управления, т. е. системы определенного назначения, состоящей из взаимосвязанных элементов. Для понимания целей систем управления полезно будет обратиться к некоторым примерам таких систем, появлявшихся в различные исторические эпохи. Эти самые первые системы управления работали по тому же принципу обратной связи, который используется и в наше время.
Проектирование современных систем управления позволяет среди многих других задач решать и такие, как совершенствование производственных процессов, повышение эффективности использования энергии, оптимизация управления автомобилем путем регулирования скорости. Ниже мы разберем эти интересные с практической точки зрения приложения техники управления.
Мы обсудим также причины расхождения между свойствами сложного реального физического объекта и его модели, служащей основой для синтеза системы управления. Итеративный характер процедуры синтеза позволяет эффективно сглаживать эти расхождения путем принятия компромиссных решений в отношении сложности, качества и стоимости системы, причем критерием здесь служат выдвинутые ограничения.
В заключение мы приступим к разбору примера синтеза с продолжением: управление системой чтения информации с диска. Этот пример последовательно будет рассматриваться в каждой главе книги. Он наглядно иллюстрирует практические приемы синтеза и одновременно является полезным средством закрепления материала главы.
1.1.	Введение
Прикладные науки занимаются изучением предметов материального мира и сил природы и управлением ими в интересах человечества. Сходные задачи решают и инженеры, занимающиеся проектированием систем управления. Разница лишь в том, что для инженера представляют интерес фрагменты окружающей его обстановки, часто называемые просто системами, а его целью является производство товаров и услуг, приносящих пользу обществу. Процессы изучения и управления неотделимы друг от друга, поскольку эффективное управление каким-либо процессом невозможно без его исследования и моделирования. Более того, в качестве объектов управления часто выступают плохо изученные процессы, например химические. По-настоящему трудной задачей для инженера является моделирование и управление современными сложными взаимосвязанными системами, такими как транспортные потоки, химические процессы, робототехнические комплексы. В то же время опытный инженер в состоянии проектировать многие весьма полезные и оригинальные промышленные системы управления. По-видимому, наиболее яркая особенность техники
22
Глава 1. Введение в системы управления
управления—это возможность целенаправленного воздействия на механизмы, производственные и экономические процессы в интересах общества.
Техника управления базируется на теории обратной связи и анализе линейных систем; она включает в себя также основные положения теории цепей и теории связи. Поэтому она не ограничивается только какой-то одной технической дисциплиной, а в равной степени применима к аэронавтике, химической технологии, механике, экологии, строительству, электротехнике. Очень часто, например, система управления включает в себя элементы электрической, механической и химической природы. Более того, по мере более глубокого понимания динамики бизнеса, социальных и политических процессов будет повышаться и способность управления этими процессами.
Система управления — это соединение отдельных элементов в определенную конфигурацию, обеспечивающую заданные характеристики. В основе ее анализа лежит теория линейных систем, предполагающая наличие причинно-следственных связей между элементами. Поэтому процесс или объект, подлежащий управлению, может быть представлен в виде блока, изображенного на рис. 1.1. Связь между входом и выходом — это, по сути, преобразование одного сигнала (причины) в другой (следствие), причем довольно часто с усилением мощности. В разомкнутой системе управления для получения желаемой реакции объекта обычно используется регулятор или исполнительное устройство, как показано на рис. 1.2. В разомкнутой системе обратная связь отсутствует.
В разомкнутой системе для непосредственного управления объектом применяется специальное исполнительное устройство, а обратная связь отсутствует.
Рис. 1.1
Объект управления
Вход
Объект управления
>Выход
Рис. 1.2
Разомкнутая система управления
(без обратной связи)
Желаемое значение выхода
В отличие от разомкнутой, в замкнутой системе производится измерение действительного значения выходного сигнала, которое затем сравнивается с его желаемым значением. Измеренное значение выхода называют сигналом обратной связи. Простейшая замкнутая система управления изображена на рис. 1.3. Замкнутая система стремится поддержать заданное соотношение между двумя переменными путем сравнения функций от этих переменных и использования их разности в качестве управляющего сигнала. Чаще всего разность между заданным значением выходной переменной и ее действительным значением усиливается и используется для воздействия на объект управления, в результате чего эта разность постоянно уменьшается. Принцип обратной связи лежит в основе анализа и синтеза систем управления.
Желаемое значение выхода
Рис. 1.3. Замкнутая система управления (с обратной связью)
1.2. История автоматического управления
23
В замкнутой системе производится измерение выходной переменной и его результат в виде сигнала обратной связи сравнивается с эталонным входным сигналом, несущим информацию о заданном значении выходной переменной.
В связи с возрастающей сложностью объектов управления и желанием добиться оптимальных показателей качества, за последнее десятилетие резко повысилась роль автоматического управления. К тому же во многих случаях возникает необходимость учитывать взаимное влияние выходных переменных друг на друга, что неизбежно отражается на структуре системы. Конфигурация такой многомерной системы управления приведена на рис. 1.4.
Желаемое значение выходных переменных
Выходные переменные
Рис. 1.4. Многомерная система управления
Типичным примером разомкнутой системы управления может служить кухонный электротостер. В качестве примера замкнутой системы можно рассматривать ситуацию, когда водитель автомобиля при движении по дороге наблюдает за его положением и осуществляет необходимые воздействия на органы управления (рулевое колесо и педали).
1.2.	История автоматического управления
Использование обратной связи для целей управления имеет увлекательную историю. Впервые принцип обратной связи был применен при создании поплавковых регуляторов в Греции за 300 лет до н. э. Такой регулятор был использован Ктесибиосом в водяных часах (см. задачу 1.11). В масляном фонаре, изобретенном Филоном приблизительно в 250 году н. э., поплавковый регулятор позволял поддерживать постоянный уровень масла, игравшего роль горючего. Херон из Александрии, живший в первом столетии н. э., написал книгу под названием Пневматика, в которой привел несколько чертежей поплавковых регуляторов уровня воды.
Первой системой с обратной связью, изобретенной в современной Европе, был регулятор температуры Корнелиуса Дреббеля (1572-1633) из Голландии. Дени Папен (1647—1712) в 1681 г. изобрел первый регулятор давления для паровых котлов, работавший по принципу предохранительного клапана.
Первым автоматическим регулятором промышленного назначения общепризнанно считается центробежный регулятор Джеймса Уатта, разработанный в 1769 г. для управления скоростью вращения вала паровой машины. С помощью этого полностью механического устройства, изображенного на рис 1.5, производилось измерение скорости вращения вала машины. При увеличении скорости металлические шарики за счет центробежной силы расходились, что, в свою очередь, приводило к перемещению втулки вверх по оси регулятора. Это перемещение с помощью рычажного механизма передавалось на кла-
24
Глава 1. Введение в системы управления
Рис. 1.5
Центробежный регулятор Уатта
^Измеренная Паровой котел 4 Пар
Регулятор
Выходной вал
Металлические шарики
Клапан
Паровая машина
пан, который уменьшал подачу пара в машину и, следовательно, скорость вращения вала. Для приведения регулятора в действие от машины отбиралась некоторая мощность, поэтому измерение скорости проводилось не точно.
В России первой в истории системой с обратной связью был поплавковый регулятор уровня воды в паровом котле, изобретенный И. Ползуновым в 1765 г. (рис. 1.6). С помощью поплавка измерялся уровень воды, а рычажный механизм воздействовал на клапан, регулировавший подачу воды в котел.
Период до 1868 г. характеризовался появлением систем автоматического управления, главным образом, благодаря интуиции и изобретательству. Попытки увеличить точность управления приводили к медленному затуханию колебаний во время переходных процессов и даже к потере системой устойчивости. Именно тогда и возникла необходимость разработки теории автоматического управления. Дж. Максвелл, используя дифференциальное уравнение как модель регулятора, заложил математические основы теории управления. Его работа была посвящена исследованию влияния изменения параметров системы на ее поведение. В те же годы И. А. Вышнеградский сформулировал математическую теорию регуляторов.
Рис. 1.6
Поплавковый регулятор уровня воды
Клапан
1.2. История автоматического управления 25
Перед Второй мировой войной развитие теории и практики управления в США и Западной Европе шло по несколько иному пути, нежели в России и Восточной Европе. В США в это время основные усилия были направлены на применение обратной связи в системах телефонии и электронных усилителях. Главные достижения здесь принадлежат Боде, Найквисту и Блэку, которые предложили описывать работу усилителей с обратной связью с помощью частотных характеристик. Напротив, в бывшем Советском Союзе известные математики и механики опережали западных ученых в области собственно теории управления, причем акцент делался на анализ систем во временной области с использованием дифференциальных уравнений.
Большой толчок развитию теории и практики автоматического управления дала Вторая мировая война, когда возникла потребность в создании автопилотов, систем орудийной наводки, станций радарного слежения и других устройств военного назначения, работающих на основе принципа обратной связи. Сложность систем военного назначения и ожидаемые выгоды от их применения побудили расширить круг технических средств и обострили интерес к системам управления и разработке новых методов их синтеза и анализа. До 1940 г. в большинстве случаев синтез систем управления проводился методом проб и ошибок и являлся своего рода искусством. В 40-е годы значительно выросло число аналитических методов синтеза, и теория управления по праву стала настоящей инженерной дисциплиной.
После Второй мировой войны в теории управления по-прежнему преобладали частотные методы, но наряду с этим возросла роль преобразования Лапласа и комплексной s-плоскости. В 50-е годы акцент в теории управления был сделан на разработку методов, связанных с использованием s-плоскости, в частности, метода корневого годографа. В 80-е годы обычным делом стало применение цифровых компьютеров в системах управления. В настоящее время в США в системах прямого цифрового управления задействовано более 400000 компьютеров, благодаря чему появилась возможность одновременного измерения и управления многими переменными.
Запуск первого искусственного спутника Земли и начало космической эры дали новый толчок развитию техники управления. Возникла необходимость создания сложных, высокоточных систем управления для ракет и космических зондов, а возросшие требования к точности этих систем и желание минимизировать массу спутников обусловили повышенный интерес к теории оптимального управления. Именно поэтому в последние два десятилетия стали популярными методы анализа и синтеза во временной области, разработанные Ляпуновым, Минорским и другими учеными, в особенности Л. С. Понтрягиным в СССР и Р. Веллманом в США. Теперь не вызывает сомнения, что при решении задач анализа и синтеза систем одновременно должны использоваться как частотные, так и временные методы.
Некоторые этапы истории автоматического управления отражены в табл. 1.1.
26
Глава 1, Введение в системы управления
Таблица 1.1. Избранные этапы развития теории и систем автоматического управления
1769	Дж. Уатт разработал паровую машину с регулятором. Это считается началом Промышленной Революции в Великобритании. За время Промышленной Революции достигнуты большие успехи в механизации процессов, считающейся предшественницей автоматизации
1800	Эли Уитни предложил концепцию взаимозаменяемости деталей при производстве мушкетов. Это считается началом эпохи массового производства
1868	Дж. Максвелл создал математическую модель регулятора для паровой машины
1913	Генри Форд на своем предприятии внедрил механизированную сборку автомобилей
1927	Г. Боде занимается анализом усилителей с обратной связью
1932	Г. Найквист разработал метод анализа устойчивости систем
1952	В Массачусетском технологическом институте разработаны станки с числовым программным управлением
1954	Джорж Девол создал «устройство для переноса предметов», считающееся прообразом
1960	промышленных роботов	 На основе идей Девола создан первый робот «Юнимейт». В 1961 г. такие роботы начали применяться для обслуживания штамповочных станков
1970	Предложены модели систем в переменных состояния; разработана теория оптимального управления
1980	Подробно исследуются робастные системы управления
1990 Предприятия, работающие на экспорт, широко внедряют автоматизацию
1994 Системы управления с обратной связью устанавливаются в автомобилях.
В производстве появляется спрос на надежные робастные системы управления
1.3.	Два примера использования обратной связи
Принцип обратной связи используется для создания замкнутых систем управления, обладающих заданными характеристиками. Конфигурация системы с обратной связью представлена на рис. 1.7. Как ясно из рисунка, в системе вычисляется разность (иначе -— ошибка) между желаемым значением выходной переменной и ее достаточно точно измеренным действительным значением. Приводимые ниже два примера показывают, как с помощью обратной связи можно улучшить свойства системы.
Действительное значение выходной переменой
Рис. 1.7. Система с обратной связью
1.3. Два примера использования обратной связи
27
Гарольд С. Блэк в 1921 г. окончил Вустерский политехнический институт и поступил на работу в фирму «Белл лабораториз» корпорации AT&T. В то время главной задачей, над которой работала фирма, было улучшение качества телефонной связи и используемых при этом усилителей сигналов. Блэку было поручено заняться линеаризацией и стабилизацией усилителей, устанавливаемых в тракте передачи голосовых сообщений на расстояния в тысячи миль.
Блэк вспоминает:
Было утро вторника 2 августа 1927 г., когда во время переправы на пароме через Гудзон по дороге на работу мне внезапно в голову пришла мысль об использовании в усилителе отрицательной обратной связи. Более 50 лет я размышлял, как и почему возникла эта идея, но даже и теперь я не могу сказать, как всё произошло. Я знаю только то, что после нескольких лет работы над проблемой я неожиданно понял, что если подать сигнал с выхода усилителя на его вход, причем в обратной фазе, и воспрепятствовать самовозбуждению усилителя (свисту, как мы позже назвали этот эффект), то я получу именно то, что хотел — способ устранения искажений выходного сигнала. Я раскрыл утреннюю газету Нью-Йорк Таймс и на полях набросал соответствующую схему, дополнив ее формулой для коэффициента усиления с учетом обратной связи. Я подписался под этой схемой, а 20 минут спустя, когда я прибыл в лабораторию на Уэст-стрит, 463, ее также заверил своей подписью ныне покойный Эрл К. Блессинг.
Я представил себе, что это решение может привести к разработке усилителей с высокой степенью линейности (при отрицательной обратной связи от 40 до 50 дБ), но оставался один важный вопрос: как я узнал, что смогу избежать самовозбуждения подобной схемы в широком частотном диапазоне, хотя многие вообще сомневались в ее устойчивости? Моя уверенность основывалась на работах, которые я проделал два года назад, занимаясь исследованием оригинальных осцилляторов, и три года назад, когда проектировал оконечные каскады и разрабатывал математические основы телефонной системы для междугородных переговоров.
Другим примером инженерного решения проблемы управления является создание системы наведения орудия, выполненное Дэвидом Б. Паркинсоном из «Белл Телефон Лабораториз». Весной 1940 г. 29-летний инженер Паркинсон занимался модернизацией автоматического самопишущего прибора, предназначенного для регистрации на диаграммной бумажной ленте изменяющегося напряжения. Самым капризным элементом в приборе был маленький потенциометр, с помощью которого через исполнительный механизм производилось управление перемещением пера самописца.
В мыслях у Паркинсона было орудие, которое чувствовало бы приближение самолета и уничтожало его. Вот что описывает Паркинсон:
После трех или четырех выстрелов один из членов орудийного расчета улыбнулся и попросил меня подойти поближе. Когда я это сделал, он указал мне на левую цапфу орудийной турели, и я увидел, что там установлен такой же потенциометр, что и в моём самописце!
На следующее утро Паркинсон воплотил свои мечты в реальность:
Если мой потенциометр был способен управлять перемещением пера самописца, то нечто похожее могло бы, с соответствующими техническими изменениями, управлять наводкой зенитного орудия.
После напряженной работы в этом направлении вооруженным силам США 1 декабря 1941 г. была предложена инженерная модель соответствующего устройства. В начале 1943 г. было налажено промышленное производство подобных систем, и на вооружение было принято около 3000 систем орудийной наводки. На вход регулятора поступал сигнал от радиолокатора о текущем положении самолета, а в системе управления вычислялось его будущее положение.
28
Глава 1. Введение в системы управления
1.4.	Управление на практике
Современная теория управления имеет дело с системами, которые обладают качествами самоорганизации, приспосабливаемое™, робастности, обучаемости и оптимальности. Эти признаки постоянно поддерживают творческую инициативу инженеров, работающих в сфере автоматического управления.
Управление производственным процессом без непосредственного участия человека обычно называется автоматизацией. Среди прочих отраслей промышленности автоматизация преобладает в химической технологии, энергетике, в производстве стали, бумаги, автомобилей. Автоматизация играет ключевую роль в нашем индустриальном обществе. Различные автоматические устройства позволяют увеличить выпуск продукции в расчете на одного работающего, чтобы сбалансировать инфляционные издержки и рост заработной платы. Поэтому в промышленности используется термин производительность (в первую очередь — производительность труда), которая определяется как отношение выпуска продукции к реальным затратам в расчете на один час рабочего времени. Кроме того, промышленные предприятия стремятся постоянно улучшать потребительские качества выпускаемой продукции. За последнее десятилетие это наиболее заметно проявилось в автомобильной промышленности.
За сравнительно короткую историю Соединенных Штатов механизация и автоматизация резко изменили структуру рабочей силы, в результате страна из аграрной республики превратилась в мощную индустриальную державу. В 1820 г. более 70% рабочей силы было занято в сельском хозяйстве. К 1900 г. эта цифра составила уже менее 40%, а в настоящее время она меньше 5%.
В 1925 г. почти 558000 человек — около 1,3% всей рабочей силы страны — требовалось для добычи 520 млн т каменного и бурого угля, причем практически полностью из подземных разработок. К 1980 г. добыча угля выросла до 774 млн т, но количество рабочих при этом уменьшилось до 208000. Более того, только 136000 человек из общего количества было занято на подземных работах. Что же касается открытых разработок, то благодаря высокой степени механизации всего 72000 рабочих обеспечили добычу 482 млн т, или 62% от общего объема.
Процесс облегчения труда человека за счет технических достижений, начавшийся еще в доисторическую эпоху, вступает в новую фазу. Ускорение темпов технических нововведений, начавшееся с Промышленной Революции, до недавних пор сводилось главным образом к устранению физического труда из производственных процессов. В наши дни выдающиеся достижения в компьютерной технологии вызывают не менее важные социальные изменения: по способности собирать и обрабатывать информацию компьютеры всё больше приближаются к человеческому мозгу.
Автоматизация позволяет увеличить производительность и повысить качество выпускаемой продукции. Термин автоматизация впервые стал популярен в автомобильной промышленности. Полностью автоматизированные станки были связаны с помощью конвейера в длинную линию, способную производить детали двигателя, например, такие как блок цилиндров, без вмешательства оператора. При производстве кузовов высокоскоростные штамповочные прессы были связаны автоматическими подающими механизмами, что позволило повысить производительность формовки металлических листов. На многих других операциях, где процесс отличался достаточной стабильностью, например при изготовлении радиаторов, ручную работу заменили полностью автоматизированные линии.
1,5, Примеры современных систем управления
29
В 90-е годы возникла потребность в производстве мелких партий заказных изделий, а это стимулировало создание гибких автоматизированных систем и промышленных роботов.
В США, Японии и Европе в сфере автоматического управления занято около 150000 инженеров. Только в США за счет автоматизации извлекается доход более 50 млрд, долларов в год! Теория и практика автоматического управления — это многогранная, увлекательная и чрезвычайно полезная инженерная дисциплина, и каждый может легко осознать необходимость ее изучения.
1.5.	Примеры современных систем управления
Управление с использованием обратной связи—это неоспоримый факт нашей повседневной жизни. Управлять автомобилем очень приятно, когда машина мгновенно реагирует на действия водителя. Многие автомобили с этой целью оснащены гидроусилителями руля и тормозов. Простая блок-схема системы управления движением автомобиля изображена на рис. 1.8 (а). Желаемое направление движения сравнивается с результатом измерения действительного направления и в итоге образуется ошибка, как показано на рис. 1.8 (6). Информация о действительном направлении поставляется за счет визуальной и тактильной (телодвижение) обратной связи. Дополнительная обратная связь образуется ощущением рулевого колеса руками водителя (датчиком). Эта система с обратной связью является аналогом хорошо известных систем управления курсом океанского лайнера или большого пассажирского самолета. На рис. 1.8 (в) изображена типичная реакция автомобиля на действия водителя.
Системы управления функционируют по замкнутому циклу, как показано на рис. 1.9. Если датчик является точным, то измеренное значение выхода системы равно его действительному значению. Разность между желаемым и действительным значениями выходной переменной, т. е. ошибка, поступает на управляющее устройство (например, усилитель). С его выхода сигнал поступает на исполнительное устройство, которое воздействует на объект управления таким образом, чтобы уменьшить ошибку. Например, если корабль пытается отклониться от курса вправо, руль приводится в движение так, чтобы повернуть корабль влево. Система на рис. 1.9 — это система с отрицательной обратной связью, т. к. выходной сигнал вычитается из входного, а разность подается на вход усилителя.
На рис. 1.10 изображена замкнутая система ручного управления уровнем жидкости в баке. Входом является заданное значение уровня жидкости, который оператор обязан поддерживать (это значение он держит в памяти). В качестве усилителя выступает сам оператор, а датчиком являются его глаза. Оператор сравнивает действительное значение уровня с желаемым и открывает или закрывает вентиль, изменяя тем самым в нужном направлении отток жидкости.
Многие другие хорошо знакомые системы управления состоят из тех же основных элементов, которые показаны на рис. 1.9. Так, бытовой холодильник имеет устройство задания желаемой температуры, термометрический датчик, определяющий действительное значение температуры и величину ошибки, и компрессор, играющий роль усилителя мощности. Другими примерами могут служить духовой шкаф, электропечь, водяной нагреватель. В промышленности повсеместно используются системы управления скоро-
30
Глава 1. Введение в системы управления
Желаемое направление движения
Действительное направление движения
направление движения
Реакция автомобиля (направление движения)
Желаемое направление движения
Действительное направление движения
О
Время, t
Рис. 1.8. (а) Система управления автомобилем с помощью рулевого механизма;
(б) Водитель определяет разность между желаемым и действительным направлением движения и воздействует на рулевое колесо;
(в) Типичная реакция автомобиля на действия водителя
Рис. 1.9. Система с отрицательной обратной связью (управляющее устройство часто называют регулятором)
1.5. Примеры современных систем управления
31
Рис. 1.10
Система ручного управления уровнем жидкости в баке
Приток жидкости
стью, температурой, давлением, положением, толщиной, составом вещества, качеством изделий.
На современном этапе автоматизацию можно определить как технологию, использующую запрограммированные команды, воздействующие на некоторый объект или процесс, и обратную связь, с помощью которой определяется, правильно ли исполнены эти команды. Автоматизация часто применяется к процессам, в управлении которыми ранее участвовал человек. После автоматизации процесс может функционировать без помощи или вмешательства человека. Фактически, большинство автоматизированных систем способны выполнять свои функции с большей точностью и намного быстрее, чем это было при ручном управлении. Встречаются и частично автоматизированные процессы, в управлении которыми участвуют и люди, и роботы. Например, многие работы на линии сборки автомобилей требуют совместных действий человека-оператора и интеллектуального робота.
Робот — это управляемая компьютером машина, функционирующая фактически на тех же принципах, которые используются в системах автоматизации. Робототехнику можно определить как отдельную ветвь автоматизации, в которой проектируются автоматические машины (т. е. роботы), призванные заменить труд человека. Поэтому роботы обладают определенными характеристиками, присущими человеку. Примером может служить механический манипулятор, воспроизводящий движения человеческой руки и кисти. Отметим, что некоторые задачи автоматическая машина выполняет лучше человека, тогда как с другими лучше справляется человек. Это отражено в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Трудность задач для человека и автомата
Задачи, трудные для автомата	Задачи, трудные для человека
Наблюдение за саженцами в питомнике	Обследование системы в опасной токсичной
Вождение автомобиля по пересеченной	среде
местности	Однообразная сборка часовых механизмов
Определение наиболее ценных алмазов	Посадка самолета ночью, в плохих погодных
на лотке	условиях
Еще одной практически важной задачей является управление современным автомобилем. Уже разработаны и внедряются системы управления подвеской, рулевым механизмом и двигателем. Новые автомобили оснащаются также системами привода на все четыре колеса и системами, препятствующими заносу.
32
Глава 1, Введение в системы управления
Рис. 1.11. Трехкоординатная система управления для контроля полупроводниковых пластин
На рис. 1.11 изображена трёхкоординатная система управления для контроля отдельных полупроводниковых пластин. Для перемещения элементов установки в заданное положение по всем трем осям используются соответственно три электродвигателя. Система предназначена для обеспечения плавного и точного перемещения по каждой оси. Она выполняет очень ответственные функции в производстве полупроводниковых приборов.
Не так давно разгорелась серьезная дискуссия по поводу разрыва между теорией и практикой управления. Совершенно естественно, однако, что во многих областях деятельности теория опережает ее практические применения. Тем не менее, интересно, что в электроэнергетике — крупнейшей отрасли США — этот разрыв не столь значителен. Эта отрасль главным образом связана с преобразованием, контролем и распределением энергии. Поэтому естественно, что для повышения эффективности использования энергетических ресурсов всё шире внедряются компьютерные системы управления. Кроме того, особую важность приобретает задача управления электростанциями с целью уменьшения выбросов в окружающую среду. В современных крупных электростанциях, мощность которых превышает сотни мегаватт, системы автоматического управления крайне необходимы для поддержания такого соотношения между отдельными переменными, при котором оптимизируется процесс производства энергии. Обычно скоординированное управление производится более чем 90 переменными. На рис 1.12 показана упрощенная схема системы управления важнейшими переменными крупного парогенератора. Этот пример показывает важность измерения многих переменных, таких как давление и содержание кислорода, что дает компьютеру информацию для вычисления управляющих воздействий. По оценочным данным, в США функционируют более 400000 цифровых систем управления.
1.5. Примеры современных систем управления
33
Желаемые значения температуры, давления, содержания О2, мощности
Рис. 1.12. Скоординированная система управления режимом парогенератора
На рис. 1.13 приведена блок-схема цифровой системы управления, в которой роль управляющего устройства выполняет компьютер. Именно в электроэнергетике находят практическое применение все новейшие достижения в технике управления. По-видимому, основным фактором, обусловливающим разрыв между теорией и практикой управления, является отсутствие достаточно надежных средств измерения всех существенных для процесса управления переменных, включая качество и состав производимой продукции. По мере появления этих средств значительно возрастает и применение в промышленности современных систем управления.
Другой важной отраслью, где достигнут значительный успех в автоматизации производства, является металлургическая промышленность. Здесь во многих случаях решение прикладных задач опережает теорию. Например, на стане горячей прокатки стального листа одновременно осуществляется управление температурой, шириной, толщиной и качеством листа.
Быстрый рост стоимости энергии и угроза сокращения ее потребления заставляют предпринимать новые усилия по эффективному автоматическому управлению энергетическим комплексом. С помощью компьютеров удается регулировать использование энер-
Рис. 1.13. Цифровая система управления
34
Глава 1. Введение в системы управления
гии в промышленности, а также стабилизировать и равномерно распределять нагрузку в целях экономии топлива.
В последние годы значительно повысился интерес к применению принципа обратной связи к управлению товарно-материальными запасами и их складированием. Растет также интерес к автоматизации управления сельскохозяйственным производством (фермами). Разработаны и прошли испытания автоматически управляемые силосные башни и тракторы. Важное значение имеют современные системы автоматического управления ветряными электрогенераторами, солнечными установками нагревания и охлаждения, автомобильными двигателями.
Теория систем управления имеет много практических приложений в биологии и биомедицине, в диагностике и протезировании. В организме человека иерархия систем управления простирается от клеточного уровня до центральной нервной системы и включает в себя регуляцию температуры, сердечно-сосудистой деятельности и дыхательного ритма. Большинство физиологических систем управления являются замкнутыми, но в то же время внутри каждого контура можно обнаружить цепь вложенных контуров. Таким образом, моделирование биологических процессов приводит к построению систем высокого порядка и достаточно сложной структуры. В США устройства протезирования помогают миллионам инвалидов преодолеть их физические недостатки. На рис. 1.14 показана искусственная рука, использующая обратную связь по усилию, которая управляется био-
Рис. 1.14. Робот типа «Искусственная рука». Является совместной разработкой Центра технического конструирования Университета штата Юта и Лаборатории искусственного интеллекта Массачусетского технологического института. Рука имеет 18 степеней свободы, управляется пятью микропроцессорами Motorola 6800, приводится в действие 36-ю прецизионными электропневматическими исполнительными механизмами через особо прочные полимерные сухожилия. Рука имеет 4 пальца и оснащена тактильными датчиками усилия
1,6, Автоматическая сборка и роботы
35
Поступления от частного бизнеса
Желаемое значение дохода
Национальный
доход
Рис. 1.15. Система управления статьей дохода национального бюджета в виде модели с обратной связью
электрическими (электромиографическими) сигналами, направляемыми к ампутированной конечности.
Наконец, большой интерес представляют попытки построения моделей процессов с обратной связью, имеющих место в социальной, экономической и политической сферах. Эти методы разработаны пока недостаточно, но, скорее всего, будут востребованы в ближайшие годы. Любая общественная формация состоит из множества систем с обратной связью и органов управления, руководящих движением общества в желаемом направлении. На рис. 1.15 изображена обобщенная модель системы управления статьей дохода национального бюджета. Подобная модель помогает аналитику лучше понять роль правительства в управлении экономикой и динамику государственных расходов. Конечно, существуют и другие контуры, не показанные на схеме, хотя бы потому, что государственные расходы теоретически не могут превышать собранные налоги из-за опасности создания дефицита. В социалистическом государстве контур, включающий в себя потребителей, имеет меньшее значение, а основная роль принадлежит правительственному управлению. При этом блок «измерение» должен точно и быстро отслеживать все изменения поступлений, однако в бюрократической системе это сделать чрезвычайно трудно. Подобная модель политической или социальной системы, хотя и является не очень строгой, но дает достаточно информации для понимания протекающих процессов.
Системы управления с обратной связью широко применяются в промышленности. На рис. 1.16 показан лабораторный робот. В настоящее время в промышленных и лабораторных условиях используются тысячи роботов. Роботы-манипуляторы способны поднимать предметы весом в сотни килограмм и перемещать их с точностью до миллиметра.
1.6.	Автоматическая сборка и роботы
Для выполнения опасных, однообразных, простых или шаблонных операций при сборке бытового или промышленного оборудования особую важность приобретают автоматические устройства. Машины для автоматической погрузки и разгрузки, резки, сварки или отбраковки позволяют повысить точность обработки, безопасность, экономичность и произ-
36
Глава 1, Введение в системы управления
Рис. 1.16
Лабораторный робот для работы с медицинскими препаратами. Он манипулирует небольшими предметами, такими как бюретки, и с высокой скоростью помещает их в узкие сосуды и вынимает оттуда
водительность труда. Некоторые писатели предвидели создание машин, оснащенных компьютерами и способных действовать наподобие человека-оператора. В своей известной пьесе Р. У.Р., написанной в 1923 г., Карел Чапек назвал таких искусственных рабочих роботами (от чешского слова robota, т. е. работа).
Как уже говорилось, робот представляет собой комплекс из механизма и программируемого компьютера, и он часто заменяет труд человека при выполнении простых повторяющихся операций. Некоторые роботы даже имеют антропоморфные механизмы, которые можно рассматривать как механические руки, запястья и кисти. Пример антропоморфного робота приведен на рис. 1.17.
Рис. 1.17
Антропоморфный робот Хонда РЗ.
Робот способен ходить, подниматься по ступенькам и изменять направление движения
1.7. Перспективы развития систем управления
37
1.7.	Перспективы развития систем управления
Развитие систем управления идет по пути совершенствования их гибкости и обеспечения высокой степени автономности. Как показано на рис. 1.18, в достижении этих целей можно наметить два разных пути. Считается, что современный промышленный робот является абсолютно автономным, т. к. будучи изначально запрограммированным, он не требует дальнейшего вмешательства в его работу. Из-за ограниченных возможностей чувствительных органов робототехнические системы обладают недостаточной гибкостью в приспособлении к изменению условий эксплуатации. Это, в свою очередь, стимулирует разработку устройств технического зрения. Системы управления обладают достаточной приспосабли-ваемостью, но лишь при участии человека-оператора. Совершенствование робототехнических систем идет за счет оснащения их чувствительными элементами обратной связи с улучшенными характеристиками. Исследовательские работы в области искусственного интеллекта, датчиков, компьютерного зрения, программирования комплексов компьютеризированного проектирования и производства должны сделать эти системы более универсальными и экономичными. Чтобы уменьшить нагрузку на человека-оператора и повысить эффективность его работы, ведутся интенсивные исследования в области супервизор-ного управления, человеко-машинного интерфейса и управления компьютерными базами данных. Многие исследования одинаково полезны для совершенствования как роботов, так и систем управления; их цель состоит в снижении затрат на изготовление и расширении области применения. Они связаны также с улучшением методов передачи информации и дальнейшим развитием языков программирования.
Высокая
Интеллектуальные системы
Низкая
Жесткая автоматизация
Станки ° сЧПУ
Механизмы с использованием вспомогательной мощности
Однонаправленные Ручное манипуляторы управление о________J 1
Усовершенствованные средства
Улучшения:
. Искусственное зрение
• Человеко-машинный интерфейс
• Супервизорное управление
Повышенная гибкость и автономность
Улучшения:
Роботы *Датчики
• Искусственное зрение
• Языки программирования
• Искусственный интеллект
Цифровые
системы управления
Программируемые системы управления Механические манипуляторы типа «хозянн-раб»

Низкая
Гибкость
Высокая
Рис. 1.18. Перспективы совершенствования роботов и систем управления
38
Глава 1. Введение в системы управления
1.8.	Техническое проектирование
Техническое проектирование — основная задача деятельности инженера. Это сложный процесс, в котором главная роль принадлежит творческим навыкам и умению анализировать.
Проектирование — это процесс придумывания или изобретения таких компонентов системы, которые позволяли бы ей выполнять определенные задачи.
Процесс проектирования подразумевает планирование деятельности по созданию некоторого изделия или системы. В результате этой инновационной деятельности инженер творчески применяет свои знания и навыки для определения типа системы, ее функционального назначения и составных элементов. Основными этапами проектирования являются:
1)	определение запроса на создание системы, основанного на оценках мнений различных общественных групп — от политиков до рядовых потребителей;
2)	детальная проработка возможного решения проблемы на основе объединения различных мнений;
3)	оценка альтернативных вариантов решения проблемы, удовлетворяющих выдвинутым требованиям;
4)	выбор конкретного варианта и его реализация.
В реальной жизни проектирование ведется с учетом ряда ограничений, одним из которых является фактор времени. Проектирование обычно ведется по жестко установленному графику, поэтому в конечном счете выбирается такой вариант системы, который не является идеальным, но может рассматриваться как достаточно хороший. Во многих случаях выигрыш во времени является единственным определяющим фактором.
Главная задача проектировщика — это составить перечень требований, которым должно удовлетворять техническое устройство. Под требованиями имеются в виду точные формулировки того, каким должно быть устройство и что оно должно делать. Техническая система проектируется таким образом, чтобы удовлетворялись все выдвинутые требования. При этом неизбежно приходится иметь дело с такими объективными факторами, как сложность проектирования, возможные компромиссы, расхождения с практикой в процессе проектирования, а также определенные риски.
Сложность проектирования обусловлена широким диапазоном используемых для этого методов, знаний и литературы. И здесь при определении требований к системе необходимо учитывать очень много факторов, не только классифицируя их по относительной важности, но также задавая их либо в числовой форме, либо в виде словесного описания, либо обоими этими способами.
Под компромиссом понимают возможность выбора между двумя конфликтующими критериями проектирования, каждый из которых является приемлемым.
При создании технического устройства его окончательный вид бывает далеко не похож на то, как оно было задумано. Например, наше умозрительное представление о проблеме, подлежащей решению, не всегда совпадает с ее словесным описанием, в конечном счете выливающимся в задание требований к системе. Эти различия внутренне присущи процессу движения от абстрактной идеи к ее практической реализации.
Отсутствие абсолютной уверенности в том, что проектируемый технологический объект будет функционировать заранее предсказанным образом, есть причина для некоторой неопределенности. Эта неопределенность связана с возможностью появления не
1.9, Синтез системы управления 39
предвиденных последствий, или риска. Следовательно, процесс проектирования системы есть деятельность, сопряженная с риском.
Сложность, компромисс, расхождение с практикой и риск — всё это факторы, неотъемлемые от процесса создания новых систем и устройств. Иногда влияние этих факторов на процесс проектирования можно свести к минимуму, но исключить их полностью невозможно.
В процессе технического проектирования участвуют два типа мышления — анализ и синтез, между которыми имеется принципиальное отличие. При анализе основное внимание уделяется построению моделей физических систем. Целью здесь является более глубокое понимание процессов, происходящих в этих системах, и указание путей уточнения их моделей. Напротив, синтез — это деятельность, в результате которой создаются новые физические структуры.
Процесс проектирования может идти по многим направлениям, прежде чем окончательно будет выбрано какое-то одно из них. Это тщательно продуманный процесс, с помощью которого проектировщик создает нечто новое, удовлетворяющее определенным потребностям несмотря на практические ограничения. По своей природе этот процесс является итерационным — ведь с чего-то надо будет начать! Опытные инженеры обычно прибегают к упрощению сложных систем с целью их анализа и синтеза. При этом неизбежно возникает различие между сложной реальной системой и ее моделью. Подобные различия объективно присутствуют на всём пути От исходной концепции до конечного изделия. Интуитивно понятно, что намного проще постепенно совершенствовать исходную концепцию, чем пытаться сразу создать конечное изделие. Иными словами, техническое проектирование никогда не идет по жестко установленному пути. Это — итерационный, нелинейный, творческий процесс.
Основной метод, используемый в большинстве задач технического проектирования, — это метод анализа и оптимизации параметров. Он основан на (1) идентификации ключевых параметров, (2) формировании конфигурации системы и (3) оценке того, насколько данная конфигурация отвечает предъявляемым к системе требованиям. Эти три этапа образуют замкнутый цикл. Как только установлены ключевые параметры и синтезирована структура системы, проектировщик может приступить к оптимизации параметров. На практике число таких настраиваемых параметров обычно стремятся свести к минимуму.
1.9.	Синтез системы управления
Синтез системы управления — это уникальный пример технического проектирования. Еще раз подчеркнем, что цель проектирования состоит в определении конфигурации системы, требований, которым она должна удовлетворять, и задании основных параметров, удовлетворяющих предъявляемым к системе требованиям.
Первый шаг процесса синтеза — это определение назначения системы. Например, мы можем заявить, что целью управления является поддержание заданного значения скорости вращения электродвигателя. Второй шаг — это указать те переменные, которые подлежат управлению (в нашем случае это скорость вращения). На третьем шаге мы должны предъявить требования к точности, с которой необходимо поддерживать скорость вращения электродвигателя. Последнее определяет выбор датчика, с помощью которого измеряется переменная, подлежащая управлению.
40
Глава 1. Введение в системы управления
Поставив себя на место инженера, первое, что мы должны сделать, — это попытаться создать конфигурацию системы, которая обладала бы желаемым качеством. Такая конфигурация обычно включает в себя датчик, объект управления, исполнительное устройство и регулятор, как показано на рис. 1.9. Следующий шаг состоит в выборе кандидата на роль исполнительного устройства. Принятие решения здесь зависит от типа объекта управления, но в любом случае выбранное устройство должно быть способно эффективно влиять на поведение объекта управления. Например, если мы хотим управлять скоростью вращения махового колеса, то в качестве исполнительного устройства нам надлежит выбрать электродвигатель. При этом датчик должен быть способен измерять скорость с высокой точностью. Наконец, мы должны получить модель для каждого из этих элементов.
Следующий шаг состоит в выборе регулятора, который часто представляет собой сумматор, выполняющий операцию сравнения желаемого и действительного значений выходной переменной объекта, и следующий за ним усилитель сигнала ошибки.
Заключительный шаг процедуры синтеза состоит в настройке параметров системы, которые обеспечивали бы желаемые показатели качества. Если в результате подбора параметров мы сможем достигнуть желаемого качества, то процесс синтеза на этом заканчивается и нам остается оформить рабочую документацию. В противном случае, возможно, потребуется заменить конфигурацию системы или выбрать исполнительное устройство и датчик с улучшенными характеристиками. После этого мы должны будем повторять все этапы синтеза до тех пор, пока не будут удовлетворены требования, предъявляемые к системе, или пока мы не решим, что эти требования являются слишком жесткими и их необходимо ослабить. Процесс синтеза системы управления наглядно изображен на рис. 1.19.
Требования к качеству замкнутой системы управления должны затрагивать ее основные характеристики, к которым относятся (1) хорошая компенсация возмущений, (2) желаемый вид реакции на задающее входное воздействие, (3) адекватные выходные сигналы исполнительного устройства, (4) малая чувствительность к изменению параметров и (5) робастность.
На техническое проектирование сильное влияние оказало появление мощных и сравнительно недорогих компьютеров, а также высокопроизводительных программных средств анализа и синтеза систем управления. Например, самолет Боинг-777, оснащенный самой современной бортовой аппаратурой, был почти полностью спроектирован с помощью компьютерных технологий. Высокоточное компьютерное моделирование крайне важно для проверки результатов синтеза систем. Во многих случаях сертификация системы управления путем натурного моделирования требует значительных затрат времени и денег. Тот же Боинг-777 около 2400 раз был испытан с помощью компьютерного моделирования, прежде чем был построен первый самолет этой серии.
Другим замечательным примером анализа и синтеза с применением компьютеров является создание экспериментальной ракеты DC-Х Дельта Клиппер корпорации МакДон-нелл Дуглас, которая была спроектирована, построена и испытана в полете всего за 24 месяца. Это позволило сэкономить примерно 80% финансовых вложений и 30% времени.
Подводя итог, можно дать следующую формулировку задачи синтеза регулятора: дана модель объекта управления (вместе с датчиком и исполнительным устройством), а также установлены цели управления; требуется определить соответствующий регулятор либо прийти к заключению, что таковой создать невозможно.
1.10. Пример синтеза: управление скоростью вращения диска
41
Рис. 1.19. Процесс синтеза системы управления
1.10.	Пример синтеза: управление скоростью вращения диска
Во многих современных приборах используется диск, который должен вращаться с постоянной скоростью. Это, например, проигрыватель компакт-дисков или грампластинок, дисковод компьютера, требующие вращения с постоянной скоростью, несмотря на износ и изменение характеристик электродвигателя и вариацию других параметров. Наша задача состоит в синтезе системы управления скоростью вращения диска, которая гарантировала бы, что действительная скорость отличается от желаемой не более, чем на заданную величину. Мы рассмотрим два варианта решения этой задачи: разомкнутая система и система с обратной связью.
Чтобы обеспечить вращение диска, мы должны в качестве исполнительного устройства выбрать электродвигатель постоянного тока, скорость вращения которого пропорциональна приложенному напряжению. Этот входной сигнал двигателя должен иметь достаточную мощность, поэтому нам также потребуется выбрать усилитель.
42
Глава 1. Введение в системы управления
Батарея
Задание скорости
Усилитель постоянного тока
Рис. 1.20. (а) Разомкнутая система управления скоростью вращения диска; (б) Функциональная схема системы
Разомкнутая система (без использования обратной связи) изображена а рис. 1.20 (о). В этой системе для задания напряжения, пропорционального желаемой скорости, использована батарея. Затем это напряжение усиливается и подается на двигатель. Функциональная схема данной системы изображена на рис. 1.20 (б).
Чтобы реализовать систему с обратной связью, нам необходимо выбрать датчик. Одним из возможных решений является тахогенератор, выходное напряжение которого пропорционально скорости вращения его вала. Тогда замкнутая система будет иметь вид, изображенный на рис. 1.21 (а). Функциональная схема этой системы приведена на рис. 1.21 (б). Сигнал ошибки образуется как разность между входным напряжением и напряжением тахогенератора.
Рис. 1.21. (а) Замкнутая система управления скоростью вращения диска; (б) Функциональная схема системы
1.11. Пример синтеза: система управления введением инсулина
43
Можно ожидать, что замкнутая система по своим характеристикам будет превосходить разомкнутую, т. к. она всегда будет стремиться свести ошибку к минимуму. Если элементы системы обладают стабильными характеристиками, то в замкнутой системе можно добиться точности поддержания заданного значения скорости, в 100 раз превышающей аналогичный показатель разомкнутой системы.
1.11.	Пример синтеза: система управления введением инсулина
В этом и последующих примерах на синтез мы воспользуемся процедурой, представленной на рис. 1.19. В данной главе мы подготовим предварительный план синтеза, выполнив этапы 1-4 схемы рис. 1.19, т. е. (1) установим цель управления, (2) определим переменные, на которые необходимо воздействовать, (3) сформулируем требования к системе и (4) разработаем одну, или несколько возможных конфигураций системы.
Системы управления широко используются в медицине для автоматического введения препаратов в организм пациента. Подобные системы могут применяться для регулирования кровяного давления, уровня сахара в крови, частоты сердечных сокращений. Наиболее распространены разомкнутые системы введения медицинских препаратов, в которых используются математические модели, описывающие связь между дозой введенного препарата и соответствующим эффектом. Имплантированная в тело человека система является разомкнутой, т. к. пока еще не разработаны миниатюрные датчики содержания глюкозы в крови. Наилучшим из известных решений является запрограммированный под конкретного пациента миниатюрный насос, который вводит в организм инсулин в соответствии с показаниями на основании истории болезни. Более сложные системы должны будут использовать обратную связь по результатам измерения содержания глюкозы в крови.
Наша цель (этап 1) заключается в синтезе системы регулирования концентрации сахара в крови больного диабетом. Изменение концентрации глюкозы и инсулина в крови здорового человека показано на рис. 1.22. Система должна вводить инсулин в кровь из баллончика, имплантированного в организм больного.
Таким образом, переменной, подлежащей управлению (этап 2), является концентрация глюкозы в крови. Требование к системе управления (этап 3) сводится к тому, чтобы
Рис. 1.22
Уровни глюкозы и инсулина в крови здорового челолвека
Время
44
Глава 1. Введение в системы управления
а)
на входе
микродвигателя
Скорость	Действительный
Желаемый уровень глюкозы в крови
Рис. 1.23. Разомкнутая (а) и замкнутая (б) системы управления содержанием глюкозы в крови
она была способна поддерживать содержание глюкозы в крови диабетика, близкое к тому, как это имеет место для здорового человека (рис. 1.22).
На этапе 4 мы можем предложить предварительную конфигурацию системы управления. Разомкнутая система должна содержать заранее запрограммированный генератор сигнала и микродвигатель с насосом, регулирующий скорость введения инсулина, как показано на рис. 1.23 (о). Замкнутая система, изображенная на рис. 1.23 (б), должна содержать датчик, измеряющий действительное содержание инсулина в крови. Это измеренное значение затем сравнивается с желаемым, и, если есть необходимость, включается микродвигатель с насосом.
1.12.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска
□ Этот пример синтеза, обозначенный значком стрелки, будет последовательно рассматриваться в каждой главе. При этом мы будем следовать процедуре синтеза, изображенной на рис. 1.19. Например, в гл. 1 мы рассмотрели этапы 1- 4 данной процедуры, где мы (1) установили цель управления, (2) указали переменные, на которые необходимо воздействовать, (3) сформулировали ограничения, накладываемые на эти переменные, и (4) сделали набросок конфигурации системы.
Информация обычно легко накапливается на магнитных дисках. Составной частью портативных и более крупных компьютеров различных модификаций являются дисководы. В 1996 г. во всём мире согласно оценке было продано порядка 100 млн дисководов. Схематическое изображение дисковода представлено на рис. 1.24. Целью системы управления является позиционирование считывающей головки на определенной дорожке диска (этап 1). Переменная, которой нужно управлять с высокой точностью (этап 2), — это положение считывающей головки, закрепленной на конце рычага. Диск вращается со скоро-
Упражнения
45
Рис. 1.24
Схема дисковода
стью от 1800 до 7200 об/мин, а головка плавает над диском на расстоянии менее 100 нм. Исходное требование к точности позиционирования (этап 3) составляет 1 мкм. Кроме того, мы хотели бы, если это возможно, чтобы перемещение от дорожки а к дорожке b совершалось не более чем за 50 мс. Таким образом, мы выбираем исходную конфигурацию системы в виде рис. 1.25. В данной замкнутой системе для перемещения рычага со считывающей головкой в заданное положение относительно диска будет использован электродвигатель. Процедура синтеза этой системы будет продолжена в главе 2.
Рис. 1.25. Замкнутая система управления дисководом
Упражнения
(Упражнения являются простым применением основных понятий главы к практическим ситуациям.) Следующие системы могут быть представлены в виде функциональных схем, показывающих причинно-следственные связи между переменными и обратную связь (если она существует). Определите назначение каждого блока, а также входную, выходную и измеренную переменные. При необходимости используйте модель, представленную на рис. 1.9.
У-1.1. Прецизионный источник оптического сигнала способен устанавливать мощность излучения с точностью до 1%. Выходная мощность источника (лазера) определяется входным током, который, в свою очередь, формируется микропроцессором. Микропроцессор сравнивает желаемый уровень мощности с действительным, информацию о котором содержит сигнал с выхода датчика. Дополните функциональную схему замкнутой системы, представленной на рис. 1.1 (У), указав, что является входной, выходной, измеренной переменной, а также управляющим устройством.
У-1.2. Водитель автомобиля является частью системы управления, которая должна обеспечивать заданную скорость движения. Изобразите соответствующую данному случаю функциональную схему замкнутой системы управления.
46
Глава 1. Введение в системы управления
Рис. 1.1 (У)
Функциональная схема (частично) источника оптического излучения
переменная
У	-1.3. Ужение на муху — это спортивное состязание, при котором участник забрасывает небольшую муху с помощью удилища и лески. Цель заключается в том, чтобы забросить муху точно в заданную точку на поверхности реки. Разработайте модель забрасывания мухи.
У	-1.4. Поскольку парусная яхта не может двигаться непосредственно по ветру (ее движение в этом направлении обычно очень медленное), то кратчайший маршрут гонки редко представляет собой прямую линию. Поэтому яхтсмены попеременно перекладывают парус, переходя на другой галс, в результате движение имеет хорошо знакомый зигзагообразный характер. Исход гонки, таким образом, зависит от правильных тактических решений — когда именно и насколько надо изменить галс.
Опишите процесс изменения курса яхты в зависимости от изменения направления ветра. Изобразите функциональную схему, отражающую этот процесс.
У	-1.5. В наступившем столетии, по-види.мому, получат распространение автоматизированные автострады. Рассмотрите случай, когда две таких дороги сливаются в одну, и опишите, как должна работать система управления, обеспечивающая выезд автомобилей с двух дорог на одну с заранее установленным интервалом между машинами.
У	-1.6. Изобразите функциональную схему системы управления скоростью движения автомобиля, одним из элементов которой является водитель.
У	-1.7. Опишите процесс биологической обратной связи в организме человека, с помощью которого он может в известной степени сознательно регулировать частоту пульса, реакцию на болевые ощущения и температуру тела.
Задачи
(Задачи связаны с применением основных понятий главы к новым ситуациям.)
Следующие ниже системы могут быть представлены в виде функциональных схем, отражающих причинно-следственные связи между элементами и обратную связь (если она присутствует). Каждый блок должен соответствовать функциональному назначению элемента. При необходимо
сти используйте в качестве модели схему на рис. 1.9.
3-1.1. Многие автомобили высшего класса оснащаются автоматическими системами кондиционирования воздуха для создания пассажирам комфортных условий. Изобразите функциональную схему такой системы, в которой значение желаемой температуры в салоне устанавливается водителем на приборном щитке. Установите функциональное назначение каждого элемента системы.
3-1.2. В прошлом одним из элементов замкнутых систем управления являлся человек-оператор. Изобразите функциональ-
Поток жидкости
Рис. 1.2 (3). Система управления потоком жидкости
ную схему системы управления потоком жидкости, представленной на рис. 1.2 (3).
Задачи
47
Рис. 1.3 (3). Управление химическим составом продукта
Регулирующий стержень
Ионизационная камера
Рис. 1.4 (3). Управление ядерным реактором
3-1.3. В химической технологии очень важно уметь управлять составом продукта. Чтобы это сделать, необходимо производить измерение состава с помощью анализатора, использующего инфракрасное излучение, как показано на рис. 1.3 (3). Вентилем в канале дополнительного потока можно управлять. Дополните рисунок обратной связью и изобразите функциональную схему, иллюстрирующую работу контура управления.
3-1.4. На атомных электростанциях важное значение имеет управление ядерным реактором. Считая, что количество нейтронов в активной зоне пропорционально уровню мощности, для измерения последнего используется ионизационная камера. Ток ионизационной камеры i0 пропорционален уровню мощности. Положение графитовых регулирующих стержней позволяет поддерживать заданный уровень мощности. Дополните обратной связью систему управления ядерным реактором [рис. 1.4 (3)] и изобразите функциональную схему данной системы.
3-1.5. На рис. 1.5 (3) изображена система управления, предназначенная для слежения за положением Солнца. На выходной оси, которая приводится во вращение с помощью электродвигателя через червячный редуктор, находится пластина с закрепленными на ней двумя фотоэлементами. На каждый фотоэлемент попадает одинаковый световой поток, когда источник света расположен точно посредине, как показано на рисунке. Дополните систему обратной связью так, чтобы она непрерывно отслеживала изменение положения источника света.
Рис. 1.5 (3)
Система слежения за источником света
Источник
Редуктор
48
Глава 1. Введение в системы управления
Рис. 1.6 (3)
Система с положительной обратной связью
3-1.6. В системах с обратной связью последняя не всегда является отрицательной. Экономическая инфляция, признаком которой служат непрерывно растущие цены, может быть представлена в виде системы с положительной обратной связью, как показано на рис. 1.6 (3). В этой системе сигнал обратной связи складывается со входным сигналом, а результирующий сигнал поступает на вход объекта управления. Это — простая модель инфляционной спирали цены-зар-плата. Чтобы стабилизировать систему, введите дополнительные обратные связи, учитывающие, например, законодательное регулирование или регулирование налоговых ставок. Предполагается, что рост зарплаты трудящихся после некоторой временной задержки приводит к росту цен. При каких условиях можно было бы стабилизировать цены путем фальсификации или сокрытия данных о стоимости жизни? Как на данную систему с обратной связью могла бы повлиять общегосударственная экономическая политика в области цен и зарплаты?
3-1.7. Рассказывают историю об одном сержанте, который каждое утро в 9 часов останавливался перед ювелирным магазином, сверял свои часы с показаниями хронометра в витрине и подводил их. Наконец, однажды он вошел в магазин и похвалил владельца за точность его хронометра. — Наверное, вы устанавливаете его по сигналам точного времени из Арлингтона? — спросил сержант.
— Нет, — ответил владелец, — я устанавливаю его ежедневно в 5 часов вечера по выстрелу пушки в форте. А скажите мне. сержант, почему вы каждый день останавливаетесь перед витриной и проверяете свои часы?
—А я служу артиллеристом в форте! — отреагировал сержант.
Какая в данном случае преобладает обратная связь — положительная или отрицательная? Хронометр в витрине каждые сутки отстаёт на 2 минуты, а часы сержанта за 8 часов отстают на 3 минуты. Чему будет равна чистая ошибка по времени выстрела пушки в форте спустя 12 дней?
3-1.8. Процесс обучения, участниками которого являются студент и преподаватель, характеризуется наличием обратной связи, в результате чего ошибка должна быть сведена к минимуму. На основе рис. 1.3 постройте модель процесса обучения и определите назначение каждого блока системы.
3-1.9. Специалистам медицинских профессий существенную помощь оказывают модели физиологических систем управления. Одна из них — система управление частотой сердечных сокращений — приведена на рис. 1.9 (3). Эта модель включает в себя обработку мозгом нервных
Частота
Частота
Частота
Рис. 1.9 (3). Управление частотой сердечных сокращений
Задачи
49
импульсов. Фактически, она представляет собой систему со многими перемеными, т. е. х, у, и>, v, z и и — это векторные переменные. Иными словами, переменная х образована компонентами X), х2.х„, характеризующими деятельность сердца. Проанализируйте предложенную мо-
дель и, если необходимо, добавьте или удалите некоторые блоки. Разработайте модель одной из следующих физиологических систем управления:
1.	Система управления дыханием.
2.	Система управления содержанием адреналина.
3.	Система управления движением рук.
4.	Система управления зрением.
5.	Система управления деятельностью поджелудочной железы и содержанием сахара в крови.
6.	Система управления кровообращением.
3-1.10. По мере увеличения интенсивности полетов возрастает роль систем управления авиарейсами. Во избежание столкновения самолетов в воздухе разрабатываются системы управления полетами, в основе которых лежит спутниковая навигационная система GPS (Global Positioning System — глобальная система определения положения). GPS дает возможность каждому самолету точно определять свое положение в воздухе на этапе приземления. Приведите вариант функциональной схемы, описывающей, как диспетчер полетов может использовать GPS с целью избежания столкновения самолетов.
3-1.11. Автоматическое управление уровнем воды использовалось на Ближнем Востоке для создания водяных часов. Эти часы [рис. 1.11 (3)]находили применение с начала новой эры и до 17-го века. Поясните принцип действия водяных часов и то, как поплавок в качестве элемента обратной связи обеспечивает точность отсчета времени. Изобразите структурную схему системы с обратной связью.
3-1.12. Автоматический поворотный механизм для ветряных мельниц был изобретен Мейкле около 1750 г. Подобное устройство показано на рис. 1.12 (3). Малое ветряное колесо, установленное под правильным углом к основному колесу, автоматически поворачивает турель навстречу ветру. Передаточное число редуктора составляет порядка 3000 : 1. Проанализируйте действие ветряной мельницы и попытайтесь обнаружить обратную связь, за счет которой основное колесо постоянно поворачивается навстречу ветру.
Рис. 1.12 (3)
Поворотный механизм ветряной мельницы
50
Глава 1. Введение в системы управления
3-1.13. Типичным примером системы управления с двумя входами является бытовой смеситель с отдельными кранами для горячей и холодной воды. Он предназначен для получения (1) желаемой температуры воды на выходе и (2) желаемого расхода воды. Изобразите функциональную схему замкнутой системы управления указанными двумя переменными.
3-1.14. Адам Смит (1723-1790) в своей книге «Богатство народов» рассмотрел проблему свободной конкуренции между участниками экономического процесса. Можо сказать, что он для объяснения своей теории использовал механизм социальной обратной связи. Смит пришёл к заключению, что (1) работники сравнивают различные возможные предложения и нанимаются туда, где они могут получить наибольшее вознаграждение за труд, и (2) что на любом предприятии вознаграждение уменьшается с ростом числа конкурирующих рабочих. Пусть г — суммарное количество выплачиваемых денег, усредненное по всем видам деятельности, с — суммарные выплаты в отдельно взятой отрасли, a q — приток рабочих в эту отрасль. Представьте этот процесс в виде системы с обратной связью.
3-1.15. В автомобилях используются небольшие компьютеры, позволяющие управлять выбросом выхлопных газов и оптимизировать расход горючего. Система управляемой компьютером инжекции горючего, которая автоматически устанавливает соотношение бензина и воздуха в цилиндрах, позволяет улучшить показатель расхода горючего на километр пути и значительно снизить нежелательный выброс выхлопных газов в окружающую среду. Изобразите функциональную схему данной системы.
3-1.16. Все люди испытывают высокую температуру, которой сопровождается болезнь. Это связано с изменением управляющего сигнала на входе системы терморегуляции организма. Эта система, находящаяся внутри мозга, в нормальных условиях поддерживает температуру тела в районе 36,6 °C, несмотря на изменение температуры окружающей среды в диапазоне от -18 до +38 °С(или даже большем), В случае болезни входной сигнал системы, или желаемое значение температуры, увеличивается. Однако многие ученые часто не понимают, что повышение температуры не есть признак того, что что-то разладилось в системе терморегуляции, а всего лишь следствие того, что в хорошо отрегулированной системе просто увеличилось значение входного сигнала. Изобразите функциональную схему системы терморегуляции человека и поясните, как прием аспирина может помочь сбить температуру.
3-1.17. Игроки в бейсбол используют обратную связь, чтобы оценить полет мяча и попасть в подающего. Опишите метод, используемый отбивающим для того, чтобы он на основании оценки положения подающего мог правильно нацелить биту и ударить мяч.
3-1.18. На рис. 1.18 (3) показан в разрезе широко распростаненный регулятор давления. Желаемое давление устанавливается поворотом откалиброванного винта. Винт сжимает пружину и определяет силу, которая стремится выпрямить диафрагму вверх. Нижняя часть диафрагмы под-
Рис. 1.18 (3)
Регулятор давления
Клапан
Задачи
51
вергается давлению воды, которое должно регулироваться. Таким образом, перемещение диафрагмы соответствует разности между желаемым и действительным давлением, т. е. диафраг-ма играет роль компаратора. С диафрагмой соединен клапан, который перемещается в зависимости от разности давлений до тех пор, пока эта разность не станет равна нулю. Изобразите функциональную схему образовавшейся замкнутой системы, в которой регулируемой переменной является давление воды на выходе.
3-1.19. Ихиро Масаки из корпорации Дженерал Моторе запатентовал систему, которая автоматически регулирует скорость движения автомобиля так, чтобы поддерживать безопасное расстояние от впереди идущей машины. Эта система с помощью видеокамеры определяет и запоминает эталонное изображение автомобиля, находящегося впереди. Затем происходит сравнение этого изображения с серией живых картинок, фиксируемых камерой в процессе движения двух автомобилей по дороге, и на основани этого вычисляется расстояние между ними. Масаки считает, что такая система способна кроме регулирования скорости управлять также рулевым колесом, что позволит водителю пристроиться за впереди идущим автомобилем и образовать «компьютеризированную сцепку». Изобразите функциональную схему этой системы.
3-1.20. На рис. 1.20 (3) изображен гоночный автомобиль с настраиваемым (аэродинамическим) крылом. Разработайте функциональную схему, иллюстрирующую способность аэродинамического крыла поддерживать постоянную степень сцепления между шинами автомобиля и полотном гоночной трассы. Почему важно поддерживать хорошее сцепление с дорогой?
3-1.21, Возможность применения двух или нескольких вертолетов для транспортировки грузов, которые слишком тяжелы для одного вертолета, представляет интерес для областей гражданского и военного вертолетостроения. Разумеется, эта
Рис. 1.20 (3). Гоночный автомобиль с аэродинамическим крылом
задача может быть решена путем использования небольшого вертолета, много раз переносящего заданный груз. Но в то же время эту задачу можно решить гораздо проще — путем использования нескольких более мощных вертолетов. В частном случае для этого могут использоваться два вертолета, как показано на рис. 1.21 (3).
Рис. 1.21 (3)
Перемещение груза двумя вертолетами
52
Глава 1. Введение в системы управления
Разработайте функциональную схему, отражающую действия пилотов, положение каждого вертолета и положение груза.
3-1.22. Перед инженерами-строителями стоит задача— спроектировать такую систему управления, которая позволяла бы зданию или иному сооружению противостоять силе, возникающей во время землетрясения, лучше, чем это сделал бы человек. Эта система должна противостоять данной силе, но лишь до тех пор, пока она не превысит порог разрушения. Разработайте функциональную схему системы управления, позволяющей уменьшить влияние разрушающей силы землетрясения.
3-1.23. Модернизация автомобильного стеклоочистителя (дворника) состоит в том. что цикл его работы настраивается в зависимости от интенсивности дождя. Изобразите функциональную схему системы управления работой дворника.
3-1.24. За последние 40 лет на орбиту вокруг Земли было выведено более 20000 т различного оборудования. За тот же период более 15000 т оборудования было возвращено на Землю. Размер объектов, остающихся на орбите, колеблется от крупных космических аппаратов до крошечных частиц краски. На орбите находится около 150000 объектов размером более 1 см. Примерно за 10000 из них с Земли ведётся постоянное наблюдение. Актуальной задачей становится «управление космическим движением», особенно для компаний, выводящих коммерческие спутники на орбиты, которые уже заняты другими объектами и где может находиться космический мусор. Изобразите структурную схему системы управления космическим движением, которую компании могли бы использовать в целях предотвращения столкновения своих спутников с другими объектами.
Задачи на синтез систем
(Задачи на синтез подразумевают решение проблем, связаных с синтезом систем управления. Сквозная задача на синтез (СЗ) требует применения знаний, полученных при изучении последовательных глав.)
СС-1.1. В современных высокоточных металлообрабатываю-_ ших станках особые требования предъявляются к систе-Г 1 мам, обеспечивающим скольжение их стола. Такие сис-•Ии® темы должны с высокой точностью управлять желаемым перемещением стола, как показано на рис. 1.1 (СС). Изобразите функциональную схему системы с обратной связью, которая выполняла бы данную задачу. Как показано на рисунке, стол может перемещаться в направлении х.
С-1.1. Дорожная обстановка и шум от транспортных средств, проникающий в кабину автомобиля, приводят к быстрой утомляемости водителя и пассажиров. Разработайте функциональную схему противошумовой системы с обратной связью, которая снижала бы влияние нежелательных шумов. Укажите конкретное устройство, соответствующее каждому блоку.
С-1.2. Многие автомобили оснащены системой, которая позво-
Рис. 1.1 (СС). Станок со скользящим столом
ляет в результате простого нажатия на кнопку автоматически поддерживать заданную скорость движения. Таким образом, водитель может ехать с ограниченной или экономически выгодной скоростью, не контролируя показания спи-
дометра. Представьте данную систему в виде функциональной схемы.
С-1.3. На молочных фермах внедряются системы автоматического доения коров. Спроектируйте доильный апппарат, позволяющий доить коров 4-5 раз в день, когда для этого наступает время
Ключевые термины и понятия
53
(момент доения определяется самой коровой). Изобразите функциональную схему такой сис темы и укажите конкретное устройство, соответствующее каждому блоку.
С-1,4. На рис. 1.4 (С) показана размещенная на подставке большая рука робота, пред-назначеного для сварки крупногабаритных деталей. Разработайте функциональную схему замкнутой системы, которая должна точно управлять положением сварочного наконечника.
С-1.5. Автоматическое управление силой сцепления позволяет исключить появление юза при торможении и пробуксовку при ускорении, что существенно облегчает управление автомобилем. Цель подобной системы управления состоит в обеспечении максимального сцепления шины с дорогой. В качестве управляемой переменной выбирается пробуксовка колеса, т. е. разность между скоростью автомобиля и скоростью вращения колеса, поскольку именно эта величина оказывает наибольшее влияние на силу сцепления между шиной и дорогой. Коэффициент сцепления колеса с дорогой достигает максимума при низкой пробуксовке. Разработайте функциональную схему системы управления силой сцеления для
Рис. 1.4 (С). Сварочный робот
одного колеса.
С-1.6. В декабре 1993г. был отремонтирован космический телескоп «Хаббл». Но до сих пор остается нерешенной проблема устранения дрожания изображений, возникающего каждый раз, когда аппарат входит или выходит из тени Земли. Наиболее сильные колебания имеют период около 20 с, что соответствует частоте 0,05 Гц. Спроектируйте систему с обратной связью, которая была бы способна уменьшить колебания телескопа «Хаббл».
Ключевые термины и понятия
Автоматизация. Автоматическое управление объектом или процессом.
Замкнутая система управления. Система с обратной связью, в которой происходит измерение выходной переменной и сравнение с ее желаемым значением.
Компромисс. Решение о том, как можно удовлетворить нескольким конфликтующим критериям синтеза системы.
Многомерная система управления. Система управления с более чем одной входной и более чем одной выходными переменными.
Объект управления. Устройство, установка или процесс, подлежащие управлению.
Оптимизация. Подбор параметров системы, обеспечивающих её наилучшее функционирование согласно принятому критерию качества.
Отрицательная обратная связь. Канал, по которому выходной сигнал возвращается на вход системы и вычитается из входного сигнала.
Положительная обратная связь. Канал, по которому выходной сигнал возвращается на вход системы и складывается со входным сигналом.
54
Глава 1. Введение в системы управления
Производительность. Отношение реального выхода производственного процесса к его реальному входу.
Разомкнутая система управления. Система, в которой отсутствует обратная связь, т. е. выходная переменная объекта управления никак не влияет на вход этого объекта.
Расхождение при синтезе. Различие между сложной физической системой и ее моделью, выступающей в качестве основы для синтеза, объективно присущее движению от исходной концепции к конечному изделию.
Риск. Неопределенности, присущие процедуре синтеза системы управления.
Робот. Манипулятор со встроенным программируемым компьютером. Перепрограммируемый многофункциональный манипулятор.
Сигнал обратной связи. Результат измерения выходной переменной системы, используемый для формирования управляющего воздействия.
Синтез. Процесс, в результате которого создается новое физическое изделие. Объединение разрозненных элементов в единое целое.Щроцесс проектирования или изобретения элементов, частей или блоков системы определенного целевого назначения.)
Система. Соединение элементов и устройств в структуру определенного функционального назначения.
Система управления. Соединение элементов в структуру, обладающую заданными свойствами.
Сложность проектирования. Проблема, возникающая вследствие множественности привлекаемых для проектирования методов и технических средств.
Техническое проектирование. Процесс создания технической системы.
Требования. Формулировки, определяющие, каким должно быть устройство или изделие и что оно должно делать. Совокупность предписанных критериев качества.
Центробежный регулятор. Механическое устройство для регулирования скорости паровой машины.
Глава 2
Математические модели систем
Обзор
При анализе и синтезе систем управления мы используем математические модели физических объектов. Их динамика в общем случае описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Мы будем рассматривать широкий круг систем, включая механические, гидравлические и электрические. Поскольку большинство реальных систем являются нелинейными, мы рассмотрим методы их линейной аппроксимации, что позволит воспользоваться преобразованием Лапласа. Затем мы получим связь между входом и выходом элементов и систем в виде передаточных функций. На основании передаточных функций могут быть построены структурные схемы или сигнальные графы, отражающие взаимные связи между элементами систем. Структурные схемы (и сигнальные графы) являются очень удобным и естественным средством анализа и синтеза сложных систем управления. В завершение этой главы мы воспользуемся передаточными функциями в примере синтеза с продолжением (система чтения информации с диска).
2.1.	Введение
Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей, необходимо получить ее математическую модель. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы. Поскольку все реальные системы по своей природе являются динамическими, то для их описания естественно использовать дифференциальные уравнения. Если, кроме того, эти уравнения могут быть линеаризованы, то тогда можно воспользоваться преобразованием Лапласа. В действительности, сложность системы и игнорирование нами ряда привходящих факторов обуславливают возникновение некоторых допущений, связанных с функционированием данной системы. Поэтому часто бывает полезным игнорировать эти допущения и произвести линеаризацию системы. В результате на основании физических законов, описывающих поведение эквивалентной линейной системы, мы можем получить систему дифференциальных уравнений. Наконец, используя математический аппарат, такой как преобразование Лапласа, мы сможем получить решение, характеризующее поведение данной системы. В итоге алгоритм исследования динамики системы сводится к следующему:
1.	Определить систему и ее компоненты.
2.	Составить математическую модель и выдвинуть необходимые допущения.
3.	Записать дифференциальные уравнения, описывающие поведение модели.
4.	Решить уравнения относительно желаемых выходных переменных.
5.	Проанализировать решения и допущения.
6.	При необходимости провести повторный анализ или синтез системы.
56
Глава 2. Математические модели систем
2.2.	Дифференциальные уравнения физических систем
Дифференциальные уравнения, описывающие динамику физической системы, получаются на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени применим к механическим, электрическим, гидравлическим и термодинамическим системам. Рассмотрим крутящуюся систему пружина-масса, изображенную на рис. 2.1, к которой приложен момент Г„(Г). Предположим также, что упругий элемент (пружина) обладает пренебрежимо малой массой по сравнению с диском. Допустим, что нам необходимо измерить момент Ts(t), передаваемый массе т. Поскольку согласно допущению пружина не обладает массой, то сумма действующих на нее моментов должна равняться нулю, т. е.
та (О - т, (Г) = О,
откуда имеем Г, (/) = Ти (/). Мы видим, что внешний момент Ta(t), приложенный к концу пружины, передается сквозь этот упругий элемент. По этой причине мы будем называть момент сквозной переменной. Аналогичным образом, разность угловых скоростей концов упругого элемента равна
0)(/) = £0,(0 - (0а(Г).
Эта разность характеризует угловую скорость одного конца упругого элемента относительно другого, поэтому мы будем называть ее относительной переменной. Подобные рассуждения можно сделать и в отношении большинства известных физических переменных (таких как сила, ток, объем, поток и т. п.). В табл. 2.1 приведены сводные данные о сквозных и относительных переменных динамических систем. Информацию относительно Международной системы единиц СИ, применяемой ко многим переменным в этом разде-ле, можно найти на Web-сайте MCS (Modern Control Systems). Например, темпера-тура в системе СИ измеряется в градусах Кельвина, а длина — в метрах. На этом же Web-сайте приведена таблица соответствий между английской системой единиц и системой СИ. Дифференциальные уравнения линейных динамических элементов с сосредоточенными параметрами приведены в табл. 2.2. Заметим, что эти уравнения являются идеализированным описанием динамики элементов, т. е. представляют собой всего лишь аппроксимацию их реального поведения (например, когда элемент с распределенными параметрами аппроксимируется линейной моделью с сосредоточенными параметрами).
Рис. 2.1
(а)	Крутящаяся система пружина-масса;
(б)	Упругий элемент
2.2. Дифференциальные уравнения физических систем 57
Обозначения:
Сквозные переменные: F— сила, Т — момент, i — ток, Q — объемный расход жидкости, q — тепловой поток.
Относительные переменные: v — поступательная скорость, <о — угловая скорость, и — напряжение, Р — давление, Т— температура.
Индуктивные накопители: L — индуктивность, У к — обратный коэффициент жесткости, 1 — инертность жидкости.
Емкостные накопители: С — емкость, М—масса, J—момент инерции, Q —жидкостная емкость, С, — тепловая емкость.
Рассеиватели энергии: R — сопротивление, Ь — вязкое трение, Rf— гидравлическое сопротивление, Rt — тепловое сопротивление.
Таблица 2.1. Сквозные и относительные переменные физических систем
Система	Сквозная переменная	Интеграл от сквозной переменной	Относительная переменная	Интеграл от относительной переменной
Электрическая	Ток, i	Заряд, q	Разность напряжений. V21	Потокосцепление. Х21
Механическая с поступательным движением	Сила. F	Поступательный момент силы, Р	Разность скоростей. V?!	Разность перемещений, у?!
Механическая с вращательным движением	Момент, Т	Угловой момент, h	Разность угловых скоростей. o)2i	Разность угловых перемещений, 02|
Гидравлическая Тепловая	Объемный расход жидкости. О Тепловой поток, q	Объём, V Тепловая энергия. И	Разность давлений, /Д Разность температур.	Момент давления, Y21
Обозначение v(t) используется как для напряжения в электрических цепях, так и для скорости поступательного движения в механических системах, поэтому смысл этой переменной следует понимать в контексте каждого дифференциального уравнения. Для описания механических систем используются законы Ньютона, а для электрических систем — законы Кирхгофа. Например, простой механический амортизатор, изображенный на рис. 2.2(h), описывается вторым законом Ньютона. (Подобное устройство может, например, представлять собой модель автомобильного амортизатора.)
Рис. 2.2
(а) Система пружина-масса с демпфированием.
(б) Условное обозначение
Сила
58
Глава 2. Математические модели систем
Таблица 2.2. Дифференциальные уравнения идеальных элементов
Тип элемента	Физический	Дифференциаль-	Энергия E или	Обозначение
	элемент	ное уравнение	мощность P	
	Электрическая	- I di v2] - L—	E = -Li2	L i
		at	2	^2 Q_y V V V \—►—О
Индуктивные накопители	Пружина сжатия	1 dF 2 к dt	еЛЕ	£	vi
			2 к г IT2 Е -	 2 к	p 1 Q P —>—O-* j
	Пружина кручения Инерция жидкости	1 dT “21 " к dt P -1*Q 21 1 dt		
				
	Электрическая	i = C^	Е = -Cvl	/	1. C v,
	емкость	dt	2	V2O	►	1 |	О
	Масса	Av	1	
	с линейным	F = M—^-dt	E = -Mv} 2	
	перемещением			constant
Емкостные	Вращающаяся	„	. dto,	г 1 I 2 E = -	
накопители	масса	dt	2 2	constant
	Г идравлическая емкость	Q=cf^ 1 dt	£="C7p22	ri
	Тепловая емкость	..	F = C,Z2	q^c^=
				constant
	Электрическое	1 ' =— V21	^=-v22,	
	сопротивление	R	R	v2o-EZ_r-*-°v(
	Амортизатор линейного	F = bvi}	J°=bv21	F-*°—1	
	действия			V2
Рассеиватели	Вращающийся	T = btt>2i	J>- few2.	7’->°—1|	° co,
МОЩНОСТИ	амортизатор			10 2 ЛЬ
	Г идравлическое	Q = — P2I	p2l	Rf Q
	сопротивление	Rj	Rf		1	►“O-'l
	Тепловое	1	J>= — Z2.	A ?
	сопротивление	Rj	A, 21	1 ►
Схематическое изображение динамики массы М показано на рис. 2.2(6). В этом примере мы будем считать, что трение груза о стенки является вязким, т. е. сила трения линейно зависит от скорости движения груза. В действительности сила трения может описываться более сложной зависимостью. Например, трение о стенки может быть кулоно-вым. Сила кулонова, или сухого, трения является нелинейной функцией скорости груза, которая имеет разрывный характер вблизи нулевой скорости. Для хорошо смазанной гладкой поверхности наиболее адекватным является вязкое трение, поэтому в данном и всех последующих примерах, где рассматривается механическая система, состоящая из
2.2. Дифференциальные уравнения физических систем
59
массы и пружины, будет использоваться именно вязкое трение. В соответствии со вторым законом Ньютона, суммируя все силы, действующие на массу М, запишем:
+	+	=	(2.1)
dt' dt
где к — коэффициент упругости пружины, а b — коэффициент трения. Уравнение (2.1) есть дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Точно так же можно с помощью закона Кирхгофа для токов описать электрическую АТС-цепь, представленную на рис. 2.3. В результате мы получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
Рис. 2.3. /?2С-цепь

(2.2)
Решение дифференциального уравнения, описывающего динамический процесс, может быть получено классическим методом — путем интегрирования с использованием неопределенных коэффициентов. Например, если груз сместить в начальное положение y(t) = ХО) и затем отпустить, то движение такой недодемпфированной системы описывается выражением
y(/) = Kle-“',sm(P1r + ei).	(2.3)
Аналогичное решение имеет место для напряжения v(t) RLC-цегм, если она находится под воздействием постоянного тока г(/) = 7:
v(/) = A2e-“2' cos(p2r + 62).	(2.4)
Типичный характер изменения напряжения в недодемпфированой АТС-цепи показан на рис. 2.4.
Чтобы обнаружить более близкое сходство между дифференциальными уравнениями механических и электрических систем, перепишем уравнение (2.1) относительно скорости
dt
Рис. 2.4
Типичный характер изменения напряжения в недодемпфированной АТС-цепи
Напряжение
60
Глава 2. Математические модели систем
В результате получим:
A7-^™ + Z?v(/)+A Jv(/)tA =г(/).	(2.5)
Сразу же можно отметить эквивалентность уравнений (2.5) и (2.2), только в одном из них переменная v(t) обозначает скорость, а в другом — напряжение. Поэтому данные переменные обычно называют переменными-аналогами, а соответствующие системы — подобными системами. Следовательно, закон изменения скорости будет также иметь вид (2.4), которому соответствует кривая на рис. 2.4. Понятие подобия систем является очень полезным и эффективным методом при моделировании. Аналогия между напряжением и скоростью, часто называемая аналогией сила-ток, вполне естественна, поскольку она характеризует связь между подобными сквозными и относительными переменными электрических и механических систем. Однако часто используется и другая аналогия, называемая аналогией сила-напряжение, при которой рассматривается подобие скорости и тока.
Подобные системы с одинаковыми решениями можно обнаружить среди электрических, механических, тепловых и гидравлических систем. Наличие таких систем позволяет исследователю распространить решение, полученное для одной системы, на все подобные системы, описываемые аналогичными дифференциальными уравнениями. Следовательно, результаты, полученные, скажем, при анализе и синтезе электрических систем, сразу можно применить для представления о поведении гидравлических, тепловых и механических систем.
2.3.	Линеаризация физических систем
Подавляющее большинство физических систем являются линейными в некотором диапазоне изменения переменных. Однако при неограниченном возрастании этих переменных все системы в конечном счете становятся нелинейными. Например, система, образованная массой и пружиной (рис. 2.2), является линейной и описывается уравнением (2.1) лишь при условии малых отклонений y(f). Если же y(t) будет постоянно увеличиваться, то может наступить чрезмерное растяжение и разрыв пружины. Поэтому вопрос о линейности и диапазоне применимости этого понятия должен решаться индивидуально для каждой конкретной системы.
Систему можно определить как линейную, если воспользоваться действующим на нее возмущением и реакцией на это возмущение. В случае рассмотренной выше электрической цепи возмущением является входной ток r(Z), а реакцией — напряжение v(t). В общем случае необходимым условием линейности системы является соответствующая связь между возмущением x(t) и реакцией y(t). Если к системе, находящейся в состоянии покоя, приложить возмущение х,(г), то на выходе появится реакция у} (/). Если при тех же условиях подвергнуть систему возмущению х2(г), то она даст соответствующую реакцию у2(0- Необходимым условием линейности является то, чтобы при возмущении Х](Г) + х2(Г) система давала реакцию y\(t) +y2(f). Это положение обычно называют принципом суперпозиции.
Кроме того, в линейной системе должен выполняться фактор масштабирования. Опять-таки будем считать, что входом системы является переменная х, а выходом — переменная у. Тогда необходимо, чтобы при умножении входной переменной на константу
2.3. Линеаризация физических систем
61
Р реакция (выходная переменная) системы изменилась в такое же число раз, т. е. оказалась равна Ру. Это свойство носит название гомогенности.
Линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и гомогенности.
Если система характеризуется зависимостью у = х2, то она не является линейной, т. к. для нее не выполняется принцип суперпозиции. Система с уравнением у-тх + Ь также не является линейной, поскольку она не обладает свойством гомогенности. Однако последнюю систему можно считать линейной в окрестности рабочей точки х0, у0 относительно малых приращений Ах и Ду. Если х = х0 + Ах и у = у0 + Ду, то мы получим
у = тх + Ь, или
у0 + Ду = тх0 + /пАх + b
и, следовательно, Ду - тДх, что удовлетворяет необходимым условиям.
Многие механические и электрические элементы в достаточно широком диапазоне изменения переменных можно считать линейными. Этого нельзя сказать о тепловых и гидравлических элементах, которые чаще всего по принципу своего действия оказываются нелинейными. Однако к счастью нелинейные элементы часто удается линеаризовать при условии малых отклонений сигналов от их стационарных значений. Такой прием обычно используется для получения линейных моделей транзисторов и электронных схем. Рассмотрим общий случай, когда некоторый элемент характеризуется возмущением (сквозной переменной) х(/) и реакцией на него (относительной переменной) y(t). Некоторые примеры динамических систем с такими переменными приведены в табл. 2.1. Связь между переменными определяется уравнением
АО = «МОИ	(2.6)
где g[x(Z)] показывает, чтоy(t) является функцией x(z). Обозначим координату рабочей точки через х0. Непрерывную функцию в окрестности рабочей точки можно разложить в ряд Тейлора:
(2.7) ах х=хп 1! dx~ х=л, 2!
Значение производной:
^g_\ dx 'х=х“
характеризует наклон касательной к кривой функцииу=g(x) в рабочей точке х0. Эта касательная может служить хорошей аппроксимацией исходной кривой в случае малых значений (х -х0), т. е. отклонения от рабочей точки. В таком предположении можно записать:
y=g(Jo)+TL-, (х-х0) = у0 +т(х-х0),	(2.8)
dx ,х~Хп
где т есть тангенс угла наклона касательной к кривой в рабочей точке. Окончательно уравнение (2.8) можно записать в виде
(у - у0) = т(х - х0),
или
Ду = тиАх.
(2.9)
62
Глава 2. Математические модели систем
Масса М
Рис. 2.5. (а) Масса М, расположенная на нелинейной пружине; (б) Зависимость упругой силы от у
Рассмотрим случай, когда груз массы М расположен на нелинейной пружине, как показано на рис. 2.5(a). Рабочая точка имеет место в положении равновесия, когда упругая сила пружины равна весу груза Mg, где g — ускорение силы тяжести. Таким образом, f0 = Mg, как показано на рис.2.5(6). Если нелинейная пружина характеризуется зависимостью f = у2, то в положении равновесия у0 = -jMg. Для малых отклонений линейная мо
дель описывается уравнением
kf=m Ду,
где
dy
как показано на рис. 2.5(6). Следовательно, т = 2у0. Данную линейную аппроксимацию можно считать точной, поскольку допущение о малости приращений переменных полностью применимо к этой механической системе.
Если переменная у зависит от нескольких возмущений хь х2,..., х,„ то функциональная зависимость имеет вид:
у = g(xb х2, ..., х„).	(2.10)
К нелинейной функции нескольких переменных также можно применить разложение в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки с координатами х10, х20, ..., х„0. Пренебрегая членами высшего порядка малости, линейную аппроксимацию можно представить в виде:
3g	8g
y = g(xio>x2o, -,xno)+—	(xi-*10) +—	(x,-x20)+... +
5x1 x=x„	dXj
~ л-л(|
6x„
(Xn Хц0 i
(2.11)
где x0 — рабочая точка. Ниже приводится пример, иллюстрирующий применение метода линеаризации.
2.4. Преобразование Лапласа
63
Пример 2.1. Модель маятника
Рассмотрим колебания маятника, изображенного на рис. 2.6(a). Момент, действующий на массу, равен:
Т = MgLsinQ,	(2.12)
где g — ускорение силы тяжести. Условие равновесия маятника соответствует значению 0О = 0°. Нелинейная зависимость между Г и 0 графически представлена на рис. 2.6(6). Вычисление первой производной в точке равновесия дает линейную аппроксимацию уравнения (2.12), которая имеет вид:
(0-0о1 (70
где То = 0. Следовательно, мы имеем:
Т = Mg£(cosO°)(0 - 0°) = MgLf).
(2.13)
Подобная аппроксимация является достаточно приемлемой в диапазоне -л/4 < 0 < л/4. Например, колебания линейной модели в диапазоне ±30° от положения равновесия отличаются всего на 2% от действительных колебаний маятника.
Рис. 2.6
Колебания
маятника
б)
2.4.	Преобразование Лапласа
Возможность линеаризации физических систем предоставляет в распоряжение исследователя аппарат преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа позволяет заменить достаточно сложное решение дифференциальных уравнений относительно простым решением алгебраических уравнений. Определение реакции системы на входное воздействие подразумевает следующие действия:
1.	Получение дифференциальных уравнений.
2.	Преобразование по Лапласу этих дифференциальных уравнений.
3.	Решение полученных алгебраических уравнений относительно переменной, представляющей интерес.
Для того чтобы функция f(t) имела преобразование Лапласа, достаточно, чтобы выполнялось условие
ОО
<°о,
О’
т. е. данный интеграл должен сходиться для некоторого действительного положительного ст [. Если |/(1) | < Меа1 для всех положительных t, то интеграл будет сходиться принта.Таким образом, область сходимости определяется неравенством °о >	> а, где Qj известна
как абсцисса абсолютной сходимости. Все физически реализуемые сигналы имеют преоб-
64
Глава 2. Математические модели систем
разевание Лапласа. Преобразование Лапласа функции времени/}/) определяется выражением
F(s)=f /(Oe"edif=Z{/(O}. Jo~
Обратное преобразование Лапласа имеет вид
га+ 1<а
= F(s)e ds.
(2.14)
(2-15)
• При решении большинства практических задач используются таблицы преобразо-ваний Лапласа, полученные на основании выражения (2.14). В табл. 2.3 приведены основные прямые и обратные преобразования Лапласа, а более подробную таблицу можно найти на Web-сайте MCS.
Таблица 2.3. Некоторые важные преобразования Лапласа
ДО
Ступенчатая функция, u(t)
F(s) 2
s
1
s+ а
sin((Df)
		cos(coz)	s
			2	2 S’ + CD
			n!
		/wW = ^2 dr	sk F(s)-sk-{ Д0")-
			
	Импульсная функция. 8(r)		1
		e a' sin(coC)	CD
			(s2 + a2) + to2
			(s+a)
		e cos(coi)	ч	(s2 + a2)+o>2
1	[(a -a)2 + co2]		ni • f	•.	CD -e sin(co/ + cp), cp = arctg	 a — a	s+ a
CD			(s + a)2 + w2
	e-	tB"'sin(<oJi-^2/), ;<i	
	Vi-c2		s2 + 2^<o„s + co2
	1 1	„П/ . ,	-CD	1
a2	+ Gj2	CO Vlo2 +	co2	a	s[(s + a)2 + (o2 ]
1 —		e 1’ш”' sin(<s..Jl-H2t + col co = arccost. t < 1		w2
Vi-^2			s(s2 + 2^wlfs + w2)
a	1	(a - a)2 + co2	2	• z .	ч	. GJ	. -®	(s+ a)
2	2 1 a + co co	a2 + U>2	e sin(cot + cp), cp = arctg	arctg— a — a	a	s[(s + a)2 + co2 ]
2.4. Преобразование Лапласа
65
Переменную 5 в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования, т. е.
s = —.	(2.16)
dt
Аналогично можно ввести оператор интегрирования
s •'о-
(2-17)
Обратное преобразование Лапласа обычно находят путем разложения F(s) на простые дроби с помощью правила Хевисайда. Этот метод, в частности, полезен при анализе и синтезе систем управления, т. к. он позволяет легко выявить влияние каждого корня характеристического уравнения системы.
Чтобы проиллюстрировать преимущества преобразования Лапласа, рассмотрим еще раз механическую колебательную систему, описываемую уравнением (2.1), которое имеет вид
А/^ + й^ + 4у = г(О	(2.18)
Л2
Нам необходимо получить решение этого уравнения, т. е. выражение Х0- Преобразование Лапласа уравнения (2.18) имеет вид:
М
s2Y{s)-sy(S) )-—,° ) dt
+ 6[дУ(5)-Х0 )] + kY(5) = R(s)
(2.19)
Еслиг(0 = 0, ХО У~Уо и — dt »=ir
= 0, то мы получим:
Ms2Y(s) - Msy0 + bsY(s) - by0 + kY(s) = 0.	(2.20)
Выражая отсюда У(л), получим:
у(д)= (22|)
Ms' +bs+k q(s)
Если полином q(s~), стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни определяют характер движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами системы. Корни полиномаp(s), стоящего в числителе, называют нулями системы; например, выражение (2.21) имеет нуль .v = - b/М. В полюсах функция У(а) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной 5-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.
Рассмотрим частный случай, когда к/М = 2 и ЫМ= 3. Тогда выражение (2.21) примет вид:
У («) =	.	(2.22)
(s+l)(s + 2)
Положение полюсов и нуля этой функции на 5-плоскости показано на рис. 2.7. Разложив (2.22) на элементарные дроби, получим:
У(5)=-^- + Д-,	(2.23)
5+1 5+2
66
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.7
Расположение полюсов и нуля на s-плоскости
-X-
-1
X — Полюс О — Нуль
где к{ и Л2 есть коэффициенты разложения. Коэффициенты к, называются вычетами и определяются путем умножения (2.22) на член знаменателя, соответствующий к» и присваивания переменной s значения, равного данному полюсу. Так, если положить у0 = 1, то вычисление коэффициента кх дает:
(s-s,)p(s)	= (s+l)(s+3)|	=2	(224)
q(s) •’=•'1 (s + l)(.v + 2)' 'i=-1
Аналогичным образом получим значение к2 — -1. Другой способ нахождения вычетов X(s) в соответствующих полюсах основан на графических операциях, производимых на s-плоскости. Так, например, (2.24) можно записать в виде:
ki =—	= ^-±2	=2	(2.25)
S + 2 Л’=А)=—1 ,S] + 2.V|=-1
Графическое представление выражения (2.25) приведено на рис. 2.8. Графический способ нахождения вычетов имеет особую ценность в тех случаях, когда характеристическое уравнение имеет высокий порядок и когда некоторые полюсы образуют комплексно-сопряженные пары.
Рис. 2.8
Графическое определение вычетов
Теперь применим обратное преобразование Лапласа к выражению (2.22):
y(t) = L~'l — 1+Z71/—I.	(2.26)
(s+lj	l-s + 2)
С помощью таблицы 2.3 находим:
y(t) = 2е~' - е2'.
(2.27)
Часто бывает необходимо определить установившееся, или конечное, значение y(t). Например, требуется найти установившееся значение положения уже знакомой нам механической колебательной системы. Теорема о конечном значении гласит, что:
Ит >>(/) = lim л-У (s),	(2.28)
I —>оо	.у—>0
2,4, Преобразование Лапласа
67
где допускается наличие простого полюса У(.\) в начале координат, но не допускается наличие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости, а также кратных полюсов в начале координат. Следовательно, для системы масса-пружина мы получим:
lim y(t) = lim.vy(.v) = 0,	(2.29)
l-*x>	,v->0
т. e. конечное положение массы соответствует положению равновесия у = 0.
Чтобы лучше продемонстрировать достоинства метода преобразования Лапласа, рассмотрим еще раз систему масса-пружина для случая недодемпфированного движения. Выражение для У(а) можно записать в виде:
у (s) =	(s+b/M)y0	= (s + 2fo„)y0 ,	(2 зо)
s1 +{Ы M)s+(k/М) s1 +2C,ans+aj,
где С, — безразмерный коэффициент затухания, а со„ — собственная частота колебаний системы. Корни характеристического уравнения равны:
±мид/^2 -1>	(2.31)
где, в нашем случае, со,, = -^к/М и С, = Ь/2-jkM. Если С, > 1, то корни являются вещественными; при С, < 1 корни являются комплексно-сопряженныМи. При = 1 корни являются вещественными и кратными, что соответствует так называемому критическому затуханию.
Если < 1, то реакция системы является недодемпфированной, и
(2.32)
На рис. 2.9 показано расположение полюсов и нуля функции У(.\), где 6 = arccos С,. При изменении Q и сохранении постоянным значения со„ комплексно-сопряженные полюсы перемещаются по окружности, как показано на рис. 2.10. Переходная характеристика все более приобретает колебательный характер по мере того, как полюсы приближаются к мнимой оси при Q -> 0.
Обратное преобразование Лапласа можно найти путем графического определения вычетов. Разложение (2.30) на элементарные дроби дает:
У(д) = -^—+ -^-.	(2.33)
5-^!	S-S-,
Поскольку а’[ и s2 являются комплексно-сопряженными, то вычет Л2 также является комплексно-сопряженным вычету kit и мы имеем:
у(^)=—+-^4-,
Рис. 2.10. Перемещение полюсов при изменении (, и условии а>„ = const
Рис. 2.9. Расположение на s-плоскости полюсов и нуля Hs)
68
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.11
Определение вычета к-\
7“
где звездочка обозначает комплексно-сопряженное значение. На основании рис. 2.11 вычет кг находится как
А = Уо(д + 2С%) = JpAfi ej6
S] — S|	М2^п12
(234)
где Мх есть модуль (s, + 2£со„), а М2 — соответственно модуль (s1 - s, ) Основные сведения по комплексным числам и операциям с ними приведены на Web-сайте MCS. В данном случае мы получим:

2^./(п/2—6)
Уо
(2.35)
где 9 = arccos^. Следовательно,
Л, = -.2°—е^/2~е).	(2.36)
2VR2
Окончательно, введя обозначение -Jl-^2 =₽, мы получим:
y{t) = kxe^ + к-,е* =	+ е'(я/2-е) е-О„<	) =
271-^
=-^=e-/“»'sin(®n71^Tr + e).	(2.37)
То же самое решение можно получить с помощью п. 11 таблицы 2.3. Переходные характеристики для случаев передемпфированной (^ > 1) и недодемпфированной (£ < 1) системы приведены на рис. 2.12. Переходной характеристике при С, < 1 свойственно уменьшение со временем амплитуды колебаний, поэтому она носит название затухающих колебаний.
Между расположением полюсов и нулей на s-плоскости и видом переходной характеристики существует прямая и однозначная зависимость. В то же время степень влияния каждого полюса, представляемая соответствующим вычетом, очень легко прослеживается, исходя из графического определения вычетов на s-плоскости. Преобразование Лапласа и использование s-плоскости являются очень ценными методами анализа и синтеза систем, когда акцент делается на определение переходных режимов и точность в установившемся состоянии. Поскольку при исследовании систем управления в первую очередь представляют интерес именно два указанных фактора, то в связи с этим трудно переоценить метод преобразования Лапласа.
2.5. Передаточные функции линейных систем
Рис. 2.12 Переходные характеристики системы масс а-пружина
2.5. Передаточные функции линейных систем
Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при условии, что все начальные условия равны нулю. Передаточная функция системы (или элемента) однозначно описывает динамическую связь между этими переменными.
Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем. В нестационарных системах один или несколько параметров зависят от времени, поэтому преобразованием Лапласа воспользоваться нельзя. Передаточная функция описывает поведение системы в терминах вход-выход и не несет никакой информации о внутренних переменных и характере их изменения.
Передаточная функция системы масса-пружина получается, если в исходном уравнении (2.19) все начальные условия положить равными нулю:
Ms2Y(s) + bsY(s) + kY(s) = R(s).
Отсюда находим передаточную функцию:
выход	У (а )	1
-----= G(s) =	= —------------ вход-R(s) Ms3 + bs+k
Передаточная функция 7?С-цепи, изображенной на рис. 2.13, получается путем записи в операторной форме уравнений Кирхгофа относительно напряжений:
И,(5)ф + ±
V Cs
(2.38)
(2.39)
(2-40)
и далее
+ о-
K2(S)=/(s)-L
Cs
Выражая /(.v) из (2.40) и подставляя его в (2.41), получим:
(2.41)
R

Рис. 2.13. АС-цепь
Г2(5) = -^гГ1(5) R + l/Cs
70
Глава 2. Математические модели систем
Тогда передаточная функция будет иметь вид:
ч	1	1
G(s) =----=--------=------=------,
^(.s) AC.s+1 Т5+1 5+1/т
(2.42)
где т = RC есть постоянная времени цепи. Единственный полюс функции G(,v) равен .у = - 1/т. Выражение (2.42) можно было бы получить сразу, если рассматривать цепь как обычный делитель напряжения, т. е.
,	(2.43)
^(5) Z,(S)+Z2(s)
где Z[(s) = R, Z2(s) = 1/Cs.
Многоконтурная электрическая цепь или подобная ей механическая система с неско-лькими массами описываются системой уравнений относительно переменной пре-образования Лапласа. Решать такие уравнения обычно удобнее с помощью матриц и определителей. С матрицами и определителями можно познакомиться на Web-сайте MCS.
Теперь рассмотрим поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид:
а у	d у	dr	dr	...
+	-Т^-+ -+Я0У = Рп-х +	(2.44)
at	at	at	at
где ХО есть реакция системы, a r(t) — входной сигнал, т. е. возмущающая функция. Если все начальные условия равны нулю, то вход и выход системы можно связать передаточной функцией:
Y(.v) = G(s)R(s) =	R(s) =	----+Pl’-2_S	+-+Ро	(2.45)
4(.s)	sn + qn-\ s'1 +...+q0
Реакция системы состоит из свободного движения (определяемого начальными условиями) и вынужденного движения, обусловленного входным сигналом. В результате можно записать:
ум = ^»РЧ’ад,
<7(s) q(s)
где q(s) = 0 есть характеристическое уравнение системы. Если изображение по Лапласу входного сигнала представляет собой дробно-рациональную функцию
ад=^.
ТО
у(,),^+£<£>ЧЛ.у1(а)+у,м+узМ,
(2.46)
где У, (л) — составляющая, характеризующая свободное движение, У2(.г) — составляющая, обусловленная сомножителями q(s), а У3(л-) — составляющая, включающая в себя сомножители d(s).
Обратное преобразование Лапласа дает:
У(0 = У1 (О + У2(0 + Уз(0-
2.5. Передаточные функции линейных систем
71
Переходный процесс в системе обусловлен составляющими^]^) +y2(f), ay3(t) есть установившееся движение системы.
Пример 2.2. Решение дифференциального уравнения
Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением d2y , dy ,	„ ,,
-f+4-^+3y=2r(/) dt2 dt
dy с начальными условиями j’(OJ = 1. — dt i=o
Преобразуя это уравнение по Лапласу, получим:
[?Г(5) - sy(0)] + 4[sT(s) - у(0)1 + 3T(s) = 2R(s).
Поскольку A(s) = - и у(0) = 1, то s
= 0 при r(t) = 1, t > 0.
2
K(s) =	,
sz+4s+3 s(sz+4s+3)
где q(s) = s2 + 4s + 3 = (s + 1 )(s + 3) — 0 есть характеристическое уравнение, a d(s) = s. Тогда разложение T(s) на простые дроби дает:
1/3	1
2/3
+--= ВД+ВД>+W
s
3/2	1/2
№) = ----7
_s+ 1 s+ 3_
Следовательно, реакция системы описывается уравнением:
у(О = Г-е-'~е-3' L2 2
/л 2 а в установившемся режиме пт ju) = ~ • /->«	3
-е~3'-е 3
2
3’
Пример 2.3. Передаточная функция операционного усилителя
Операционный усилитель (ОУ) относится к важному классу аналоговых интегральных схем, обычно используемых в качестве элементов систем управления и во многих других устройствах. Операционные усилители являются активными элементами (т. е. они имеют внешний источник питания) с высоким коэффициентом усиления при работе в линейном режиме. Модель идеального операционного усилителя приведена на рис. 2.14.
Для идеального ОУ характерным является следующий режим работы: (1) /| = i2 = 0, что соответствует бесконечному входному сопротивлению, и (2) v2 _ И = 0 (т. е. v, = vi)- Связь между входом и выходом идеального ОУ определяется соотношением:
v0 = K(v2 - V]) = -K(vi - v2),
где К —> от. В данном примере мы будем считать, что имеем дело с идеальным ОУ, работающим в линейном режиме.
Рассмотрим инвертирующий усилитель, изображенный на рис. 2.15. При указанных выше условиях можно считать, что q = 0, и для данной схемы справедливо соотношение
Рис. 2.14
Идеальный операционный усилитель
+11 2о =Q
Инвертирующий вход
72
Глава 2. Математические модели систем
Так как v, = v, (см. рис. 2.14) и v2 = О (см. рис. 2.15), отсюда следует Vj = 0. Таким образом,
_2±_1о =о,
Л, R2
откуда имеем
vo _
v, Aj
Рис. 2.15. Идеальный инвертирующий операционный усилитель
Если принять = R2, то данная схема просто инвертирует знак входного напряжения.
Пример 2.4. Передаточная функция системы
Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 2.16(c) и ее аналог в виде электрической цепи на рис. 2.16(6). Как было показано в табл. 2.1, сквозными переменными-аналогами в механической и электрической схемах являются, соответственно, сила и ток. Скорости v,(Z) и v2(Z) механической системы являются прямыми аналогами напряжений v,(Z) и v2(Z) в электрической цепи. Уравнения, описывающие движение механической системы, в случае нулевых начальных условий имеют вид:
MisVi(s) + (bi + Шй - biK2(s) = /?(s),	(2.47)
у М
M2sV2{s)+ ЭДК2(я)- El(s)]+ к-^ = 0.	(2.48)
s
Эти уравнения получены на основании сложения сил, действующих на элементы механической системы. Перегруппируя члены, входящие в (2.47) и (2.48), получим:
[М,5 + (b, + b2)]Ki(s) - biK2(s) = R(s), (	к\
—ijl7! (a) + M2s + bj + — K2(s) = 0,
или то же самое в матричной форме:
M}S + bj+ t>2
-ь.
ь Г W|
fc
M2s+bj + — y.(s)
/?(s) 0
(2.49)
Рис. 2.16. (а) Механическая система с двумя массами;
(б) Электрическая цепь с двумя узлами — аналог механической системы. Параметры-аналоги: Cj = Му, С?_ = М2, L = 1//г, /?, = 1/Лц, /?2 = 1//?2
2.5, Передаточные функции линейных систем
73
Считая выходной переменной скорость массы Л/(, с помощью обращения матрицы либо по правилу Крамера получим:
=------(^5+VAZ®)------------ (2.50)
(Л/,х + 4) + 4>2)(Л/2х + А) + k/s)- fcj2
Тогда передаточная функция механической (или электрической) системы будет равна:
G (S) =	=________(A/2s+fc,+АЛ)_______=_________(M^ + t^s + k)_____
R(s) (Mts + А)+ b2)(M2s + А) + k/s)-bf (Л/]Х+А)+4>2)(Л/2х2+Ajs+
Если за выходную переменную принять перемещение X](Z), то передаточная функция примет вид:
*i(s) =	= G(s)	(2 52)
R(s) sR(s) s
В качестве еще одного примера получим передаточную функцию очень важного элемента электрических систем управления — двигателя постоянного тока. Подобные двигатели используются для перемещения нагрузки и носят название исполнительных устройств.
Исполнительное устройство — это элемент системы управления, обеспечивающий поступление на вход объекта управления сигнала достаточной мощности.
Пример 2.5. Передаточная функция двигателя постоянного тока
Двигатель постоянного тока — это мощное исполнительное устройство, снабжающее нагрузку энергией, как показано на рис. 2.17(c); схематическое устройство двигателя показано на рис. 2.17(6). На рис. 2.18 изображена в разрезе конструкция такого двигателя. Двигатель преобразует электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию вращательного движения. Основная часть момента, создаваемого ротором (якорем) двигателя, используется для управления внешней нагрузкой. Благодаря таким качествам, как высокий вращающий момент, возможность регулирования скорости в широком диапазоне, компактность, хорошие нагрузочные характеристики и одинаковая способность быть использованными в различных системах управления, двигатели постоянного тока широко применяются в роботах-манипуляторах, лентопротяжных механизмах, дисководах, в машиностроении и исполнительных устройствах следящих систем.
Рис. 2.17. Двигатель постоянного тока: (а) эквивалентная электрическая схема и (6) схематическое устройство
74
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.18. Двигатель постоянного тока плоской конструкции с постоянными магнитами. Двигатели данного типа способны создавать высокий момент при малом моменте инерции ротора. Типичное значение механической постоянной времени — порядка 15 мс.
1 — защитная алюминиевая крышка, 2 — плоская форма, обеспечивающая компактность конструкции, 3 — подшипники со смазкой длительного действия, 4 — щетки с большим сроком службы, 5 — постоянные магниты из сплава алнико, обеспечивающие высокое отношение мощность/вес, 6 — принудительная вентиляция, 7 — обмотка, зафиксированная в эпоксидной среде с высоким диэлектрическим сопротивлением, 8 — медный коллектор, специально обработанный для увеличения срока службы, 9 — якорь с малой индуктивностью, не содержащий деталей из железа, 10 — тарельчатая форма якоря, обеспечивающая малый момент инерции, 11 — вал, изготавливаемый на заказ под специфические нужды потребителя
Передаточную функцию двигателя постоянного тока мы получим путем линейной аппроксимации реальных характеристик, пренебрегая такими второстепенными эффектами, как гистерезис и падение напряжения на щетках. Входное напряжение может быть подано на обмотку возбуждения либо на якорь. Если отсутствует насыщение, то магнитный поток в воздушном зазоре пропорционален току возбуждения, т. е.
Ф = К/ it.	(2.53)
Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, линейно зависит от Ф и тока якоря:
Тт =	’« (0 = К1Кf ifWu (0 	(2.54)
Из уравнения (2.54) вытекает, что для того чтобы двигатель можно было считать линейным элементом, один из токов должен быть постоянным, а второй следует рассматривать в качестве входного тока. Сначала мы рассмотрим двигатель, управляемый по цепи возбуждения, за счет чего обеспечивается значительное усиление по мощности. Преобразуя (2.54) по Лапласу, получим:
Ta(S) = (KlKfJu)IJ(S) = KmIf(S),
(2.55)
2.5. Передаточные функции линейных систем
75
где ia - 1а есть постоянный ток якоря, а К,„ носит название постоянной электродвигателя. Ток возбуждения связан с напряжением возбуждения соотношением
Vf(S)=(Rf+LfS)Jf(S).	(2.56)
Развиваемый двигателем момент прикладывается к нагрузке. При этом можно записать:
7„J(5) = 7/.(s)+7’</(5),	(2.57)
где T,(s) — момент нагрузки, a TJs) — возмущающий момент, которым часто можно пренебречь. Однако возмущающий момент в ряде случаев принципиально надо учитывать, например. когда на систему действуют внешние силы (скажем, сила от порыва ветра, действующая на антенну). Момент нагрузки в случае ее вращательного движения (см. рис. 2.17) записывается как
TL(s) - Js2Q(s)+ bsQ(s).
(2.58)
Из (2.55)-(2.57) имеем:
Tl(s) = T„,(s) - T^s), Tm(s) = K,„
>7(5)
(2-59)
(2.60)
7,(5) =
7 R, + Lfs
(2.61)
Следовательно, при T^s) = 0 передаточная функция двигателя равна 6(5)	К„,	_ Km!JLf
(2.62)
Vf (5) s(Js + i)(£zs + Rf) 5(S + Ы J)(s + RfILf)
Модель электродвигателя, управляемого по цепи возбуждения, в виде структурной схемы приведена на рис. 2.19. Альтернативное выражение для передаточной функции можно получить, если ввести в рассмотрение постоянные времени:
= G(J) =----KJ"lbRJ.----,
Vj (5)	5(Ty S+ 1)(Т/5+ 1)
(2.63)
где tf ~ Lf/Rj Vi iL = ЛЬ. Обычно тЛ > Xj, и постоянной времени обмотки возбуждения можно пренебречь.
В двигателе, управляемом по цепи якоря, входным (управляющим) воздействием является ток якоря ia. Поле, создаваемое статором, может быть образовано током в обмотке возбуждения или постоянными магнитами. В первом случае, если ток возбуждения является постоянным, момент, развиваемый двигателем, определяется как
7» = (KxKfIf)lu (5) = Knllo (s).	(2.64)
При использовании постоянных магнитов мы имеем:
ВД = W-
где Кт — коэффициент, зависящий от магнитной проницаемости. Ток в цепи якоря связан с напряжением, приложенным к якорю, соотношением
Ип(5) = (R, + £И5)7О(5) + Vb(s),	(2.65)
где Vb(s) — противоЭДС. пропорциональная скорости вращения. Следовательно,
r*(s) = Kb со(5)	(2.66)
Рис. 2.19. Структурная схема двигателя, управляемого по цепи возбуждения
76
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.20. Структурная схема двигателя, управляемого по цепи якоря
и ток якоря
f , х Г (s)-KAw(s)
W = - " р ,	(2.67)
+ Las
Из уравнений (2.58)-(2.59) получим выражение для момента нагрузки:
T/(s) = Л26(л) + bsQfs) = Tm(s) - T^s).	(2.68)
Связь между переменными, характеризующими динамику двигателя, управляемого по цепи якоря, схематически показана на рис. 2.20. С помощью уравнений (2.64), (2.67) и (2.68) или непосредственно по структурной схеме, полагая T/s) = 0, получим передаточную функцию двигателя:
G (S) =	-----------= — -----^2!-------	(2.69)
К, (S) 4(Я„ +	+ b)+ К bKm] s(s2 + 2^Ш);5 + со2)
Для многих двигателей, однако, постоянной времени якоря т = La /11а можно пренебречь. Тогда
G (5) =	-------- = K’"l^R‘>b+ KhKn:)	(2,70)
К, О	(-Л + Ь) + КьКт ]	+ 1)
где эквивалентная постоянная времени т, = RctJI(Rab + Л^т).
Интересно заметить, что Кт = Кь. Это можно показать, если рассмотреть установившийся режим работы двигателя и баланс мощностей в предположении, что сопротивлением якоря можно пренебречь. Мощность, подводимая к якорю, равна Kbu>ia, а мощность, сообщаемая валу, равна 7со. В установившемся режиме эти мощности равны, так что Kbatio = Ты: поскольку Т= Кт1а (см. 2.64), то отсюда следует, что Кь = Кт.
Электродвигатели применяются для перемещения нагрузки в тех случаях, когда не требуется высокого быстродействия и развиваемой мощности. Типичные параметры такого двигателя приведены в табл.2.4.
Таблица 2.4. Типичные параметры электродвигателя постоянного тока мощностью в доли л. с.
Постоянная двигателя, К„,	50 • 10“3 Н-м/А
Момент инерции ротора, J„,	10-3 Н-м с2/рад
Постоянная времени цепи возбуждения, т/	1 мс
Постоянная времени цепи якоря, то	100 мс
Максимальная выходная мощность	1/4 л. с. = 187 Вт
2.5. Передаточные функции линейных систем
77
Рис. 2.21
Сравнение по быстродействию и развиваемой мощности электромеханических и электрогидравлических устройств
500
400
300
200
100
70
50
40
30
20
Прокатные станы
Возможные? гидроприводы ;
10
7
5
4
3
2
Пока не
... -уПравлеН|4е антеннами 'Типичные	Роботы
электромеханические; устройства
^Регуляторы уровня
существующие устройства
Краны и подъемники;
Типичные: электрогидравлические устройства
Станки
1
0.7
0.5
0.4
0.3
0 2 5 7 10	20 30 40 50 70 100 200 300	1000
400 700
:  Регуляторы автбмббильйыхдвигателей
Быстродействие (в обратных единицах)
Более значительной нагрузочной способностью обладают гидравлические исполнительные устройства. На рис. 2.21 показаны в сравнении обычные сферы применения электромеханических и электрогидравлических приводов.
Пример 2.6. Передаточная функция гидравлического исполнительного устройства
Для линейного перемещения массы может быть использовано гидравлическое исполнительное устройство, приведенное в табл. 2.5 (поз. 9). Подобное устройство способно обеспечить значительное усиление по мощности. Будем считать, что жидкость подается от источника под постоянным давлением и что ее сжимаемостью можно пренебречь. Перемещение золотника вниз, обозначенное через x(t), приводит к поступлению жидкости в верхнюю часть гидроцилиндра и, соответственно, поршень также перемещается вниз. Малая мощность, необходимая для перемещения x(t), преобразуется в высокую мощность, связанную с перемещением поршня у(?). Объемный расход жидкости Q зависит то перемещения х(1) и разности давлений, действующих на поршень, т. е. Q = g(x, Р). Воспользовавшись методом линеаризации путем разложения в ряд Тейлора, запишем:
0 = 1 — 1 л+1 — 1 Р=кгх—крР.	(2.71)
И	J, \ЭР)Х ,	'
где g = g(x, Р) и (х0, Ро) — координаты рабочей точки. Сила, развиваемая поршнем гидроцилиндра, равна произведению его площади А на давление Р, т. е.
АР = М^+Ь^ .	(2.72)
dt2 dt
Подставляя (2.71) в (2.72), получим
±(кхХ-<2) = М^+Ь^	(2.73)
к„	dt dt
78
Глава 2. Математические модели систем
Кроме того, объемный расход жидкости связан с перемещением поршня соотношением
di
Тогда, подставляя (2.74) в (2.73) и перегруппируя члены, получим:
dt '
(2-74)
(2.75)
Далее, используя преобразование Лапласа, получим передаточную функцию
%(s) s(Ms+В)
где
Заметим, что по форме передаточная функция гидравлического исполнительного устройства совпадает с передаточной функцией электродвигателя. Кроме того, если это исполнительное устройство работает при высоких давлениях и от него требуется большое быстродействие, то в расчетах должен быть принят во внимание эффект сжимаемости жидкости.
Обозначения многих переменных в табл. 2.5 и единицы их измерения помещены на Web-сайте MCS. Там же можно найти таблицы взаимных преобразований единиц измерения между Международной системой СИ и английской системой единиц.
Понятие передаточной функции и основанные на нем методы являются очень важными, поскольку они предоставляют в распоряжение исследователя и проектировщика столь ценное средство, как математическая модель элементов систем управления. Следует признать, что передаточная функция оказывает неоценимую помощь в попытках получения моделей динамических систем. Особая ценность передаточной функции заключается в том, что ее нули и полюсы на s-плоскости дают полное представление о переходной характеристике системы. В табл. 2.5 приведены передаточные функции некоторых динамических элементов.
В технике часто требуется передавать вращательное движение от одного вала к другому. Например, в автомобиле мощность, развиваемая двигателем, передается вращающимся колесам через коробку передач и дифференциал. Коробка передач позволяет водителю выбирать то или иное передаточное отношение в зависимости от дорожных условий, тогда как дифференциал находится в неизменном положении. В этом случае скорость движения не является постоянной — водитель может менять ее по своему усмотрению. Другим примером является система редукторов, с помощью которой вращение вала электродвигателя преобразуется в поворот антенны вокруг ее оси. Примерами механических преобразователей данного типа могут служить зубчатые, цепные и ременные передачи. В электрических системах типичным преобразователем является трансформатор. Примером устройства, преобразующего вращательное движение в поступательное, является передача зубчатое колесо-рейка (см. поз. 17 в табл. 2.5).
2.5. Передаточные функции линейных систем
79
Таблица 2.5. Передаточные функции динамических элементов и цепей
Элемент или система
G(s)
1. Интегрирующая цепь, фильтр
И2(5) .	1
И,(5) RCs
2. Дифференцирующая цепь
-RCs
b'2)s)
З.Дифференнирующая цепь
V2(s)	R^Rp+l)
^(s)	Д
4. Фильтр с интегрированием
V2(s)_ (^,5+1)(Л2С>+1)
W	RP2s
5. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи возбуждения (вращательное движение)
6(5) _ Km
Vj(s) s(Js + b)(LfS + Rt)
80
Глава 2. Математические модели систем
Таблица 2.5 (продолжение)
Элемент или система
G(s)
6. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи якоря (вращательное движение)
6(s) ?	__________
r„(s) s[(Ra + LaS)(JS+b)+KhKm]
7. Двухфазный двигатель переменного тока (вращательное движение)
ад кт
ГДх) s(ts+1) т = J/(b - т) т - наклон линеаризованной зависимости скорости от момента нагрузки (обычно отрицательный)
8.	Электромашинный усилитель
K,(s) (K/RcRg)
Vc(s) (sxc + 1)(st9 + 1)
Tc Lc/Ra Lq/Rq
В режиме холостого хода id ~ 0. Тс » Xq 0,05 с < Тс < 0,5 с Г12=^, Г34=К,
9.	Гидравлическое исполнительное устройство
ад к
X(s) s(Ms + В)
 ЬР=^-р дР
kx=^ дх
S = g(x, Р) = поток А — площадь поршня
2.5, Передаточные функции линейных систем
81
Таблица 2.5 (продолжение)
Элемент или система
10.	Шестеренчатый редуктор (передача вращения)
G(s)
.V
Передаточное число п =
NiQl =N\Qm, 0/. = И0,„ ыь = пыт
11. Потенциометр
И2(5)	r2 r2
Pi(s)	R	Rt + R2
r2 _ e
12. Потенциометрическая схема формирования ошибки
Иг(5) = ks(fi\(s) - 02(j)) ISU) = A.,0e(.s)
13. Тахогенератор (датчик скорости)
V2(s) = Ktw(s) = KtsO(s) Kt = const
14. Усилитель постоянного тока
+ о				0 +
		
— ©				0 —
W. ka
K|(j) st + 1
Ro — выходное сопротивление Co — выходная емкость т = RoCo. т « 1 с и можно пренебречь, если усилитель предшествует сервоприводу
82
Глава 2. Математические модели систем
Таблица 2.5 (продолжение)
Элемент или система
15. Акселерометр (датчик ускорения)
GU)
sZ + (b/M)s+ к/М Для низкочастотных колебаний, где со < сол.
Л'оО'ы) to2
к/М
16. Система подогрева
Входной у поток —> жидкости
Нагревательный
Выходной поток жидкости
элемент
17. Зубчатое колесо и рейка
q(s) C,s+(QS +1/A)’
T- To- У — разность температур С, — теплоемкость
Q — расход жидкости = const 5 — удельная теплоемкость воды R, — тепловое сопротивление изоляции
q{s) — тепловая мощность нагревательного элемента
х = 7'0 преобразует круговое движение в прямолинейное
2.6.	Структурные схемы
Динамические системы, в том числе и системы автоматического управления, на языке математики описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Как было отмечено в предыдущих разделах, использование преобразования Лапласа сводит задачу решения дифференциальных уравнений к решению системы линейных алгебраических уравнений. Поскольку в системах управления путем изменения одних переменных производится целенаправленное воздействие на другие переменные, то необходимо установить связь между этими переменными. Данную связь обычно представляют в виде передаточной функции, которая является одним из основных понятий теории управления.
Преимущество передаточной функции заключается в том, что она позволяет изобразить причинно-следственную связь между переменными в наглядной схематической форме. В теории управления преобладает представление различных динамических систем в
2.6, Структурные схемы
83
Рис. 2.22
Структурная схема двигателя постоянного тока
Рис. 2.23
Система с двумя входами и двумя выходами
виде структурных схем. Структурные схемы состоят из блоков направленного действия, каждому из которых соответствует определенная передаточная функция. Так, на рис. 2.22 изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи воз
буждения, которая отражает связь между углом поворота 6(5) и приложенным напряжением Vf(s).
Для описания системы с несколькими управляемыми переменными используется структурная схема с перекрестными связями. Например, в системе на рис. 2.23 имеются две входных и две выходных переменных. С помощью передаточных функций мы можем
записали связывающие их уравнения:
ВД =	+ G12(s)/?2(s),	(2.77)
y2(S) = С21(5)ад + G22(s)tf2(s),	(2.78)
где G(/(s)—передаточная функция оту'-го входа к /-му выходу. Структурная схема, отражающая записанные выше уравнения, представлена на рис. 2.24. В общем случае, при наличии ./входов и/выходов, связывающие их уравнения можно записать в матричной форме:
(5)'		GH(S) .	• Gu(s)’	*/?, (5)'
Y, (s)	=	G2I (s) .	 G2J(s)	/?2(S)
Л (s)		Gzl(s) .	G/ y (s)_	Л (s).
(2.79)
или в компактном виде
Y = GR.
(2.80)
Здесь Y и R есть, соответственно, матрицы-столбцы, элементами которых являются 1 выходных и J входных переменных, a G — матричная передаточная функция размерности /х J.
Подобное матричное представление имеет особую ценность при анализе много-связных (многомерных) систем управления. Для читателей, не знакомых с алгеброй матриц, основные сведения из этой области приводятся на Web-сайте MCS.
Рис. 2.24
Структурная схема системы с перекрестными связями
84
Глава 2. Математические модели систем
Пользуясь определенными правилами, структурную схему сложной системы можно упростить, сведя ее к конфигурации с меньшим числом блоков, чем в исходной системе. Поскольку передаточные функции являются средством описания линейных систем, им присуще свойство коммутативности. Следовательно, для поз. 1 из табл. 2.6 мы можем записать:
-ВД = G2(^2(s) =
Если два блока соединены последовательно, то предыдущее уравнение можно записать также в виде
ВД = G2(s)G,(S)X1(s).
При этом предполагают, что если выход первого блока соединен со входом второго, то влияние нагрузки на первый блок является незначительным. Если же нагрузка оказывает существенное влияние на выходную переменную предшествующего блока, то инженер обязан учесть этот фактор и внести соответствующее изменение в передаточную функцию.
Таблица 2.6. Правила преобразования структурных схем
Преобразование
Исходная диаграмма
Эквивалентная диаграмма
1.	Последовательное соединение блоков
2.	Перенос сумматора через блок с передаточной функцией по ходу движения сигнала
3.	Перенос узла через блок с передаточной функцией против движения сигнала
4.	Перенос узла через блок с передаточной функцией по ходу движения сигнала
5.	Перенос сумматора через блок с передаточной функцией против движения сигнала
6.	Исключение контура с обратной связью
2.6. Структурные схемы
85
Методы преобразования структурных схем основаны на рассмотрении алгебраических соотношений между отдельными переменными. Например, рассмотрим структурную схему, изображенную на рис. 2.25. В этой системе с отрицательной обратной связью сигнал на входе объекта управления записывается в виде :
£„(s) = 7?(s) - B(s) = 7?(s) - //(х)У(х).	(2.81)
Поскольку выходная переменная связана с этим сигналом передаточной функцией G(s), то
У(х) = G(s)£„(s)	(2.82)
и, следовательно,
У(х) = G(5)[£(s) - //(х)У(х)].	(2.83)
Группируя члены при У(х), получим:
У(х)[1 + С(х)Я(х)] = G(s)R(s).	(2.84)
Отсюда получим передаточную функцию, связывающую выход со входом:
П£) =----^2------	(2.85)
/?(s) l+G(s)/7(s)
Это выражение, известное как передаточная функция замкнутой системы, представляет особую ценность, т. к. оно свойственно большинству реальных систем управления.
Сведение структурной схемы, представленной на рис. 2.25, к одному-единственному блоку является лишь одним примером элементарных преобразований, приведенных в табл. 2.6. Анализ систем путем преобразования структурных схем дает гораздо лучшее представление о роли каждого элемента, чем это было бы при рассмотрении уравнений. Правила преобразования структурных схем мы проиллюстрируем на примере сведения многоконтурной системы к более простому виду.
Рис. 2.25
Система с отрицательной обратной связью
Пример 2.7. Упрощение структурной схемы
На рис. 2.26 изображена структурная схема многоконтурной системы управления. Заметим, что сигнал /7]($)У($) подается на сумматор со знаком плюс, поэтому контур, образованный блоками G3(s)G4(s)H3(s), называют контуром с положительной обратной связью. Упрощение этой структурной схемы основано на применении правила 6 из табл. 2.6, которое связано с исключением изолированных контуров. Поэтому необходимо будет использовать и другие правила, чтобы подготовить схему к применению правила 6. Сначала, чтобы исключить контур G3G4H}, мы перенесем узел через блок G4 по ходу движения сигнала (см. правило 4) и получим схему, изображенную на рис. 2.27(a). Исключая контур G3G4Ht по правилу 6, мы получим схему рис. 2.27(6). Затем, исключая внутренний контур, содержащий H2/G4, получим схему рис. 2.27(e). Наконец, исключая контур, содержащий Н3, мы получим передаточную функцию замкнутой многоконтурной системы, как показано на рис. 2.27(a). Стоит обратить внимание на вид числителя и знаменателя этой передаточной функции. Можно видеть, что числитель образован произведением передаточных функций блоков, находящихся в прямой цепи от входа R(s) к выходу У($). Знаменатель равен единице минус сумма произведений передаточных функций блоков, образующих замкнутые контуры. Произведение G3G4Ht берется со
86
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.26. Многоконтурная система управления
знаком плюс, поскольку это контур с положительной обратной связью, а произведения и С2С3Нг — со знаком минус, т. к. в этих контурах обратная связь отрицательная.
Чтобы лучше это проиллюстрировать, знаменатель можно записать в виде
= 1 — (+G3G4//1 — G2G3H2 — G\G2G3G4H3).	(2.86)
Как мы увидим в следующем разделе, такой вид числителя и знаменателя характерен для многоконтурных систем управления.
Рис. 2.27. Упрощение структурной схемы системы рис. 2.24
21. Модели в виде сигнальных графов 87
Метод структурных схем широко распространен в теории и практике автоматического управления. Он дает очень наглядное графическое представление о взаимосвязи управляемых и входных переменных. Кроме того, проектировщик легко может обнаружить необходимость введения в существующую структурную схему дополнительных блоков с целью улучшения характеристик системы. Наряду со структурными схемами существует альтернативный метод представления модели систем в виде сигнального графа. Этот метод будет представлен в следующем разделе.
2.7.	Модели в виде сигнальных графов
Структурные схемы адекватно представляют взаимосвязь между управляемыми и входными переменными. Однако для систем достаточно сложной конфигурации процедура упрощения их структурных схем является весьма трудоемкой и часто трудно выполнимой. Мейсоном был предложен альтернативный метод представления взаимосвязи между переменными системы, основанный на использовании сигнальных графов. Преимущество этого метода состоит в том, что по сигнальному графу, без каких-либо его преобразований, с помощью специальной формулы сразу можно установить связь между переменными системы.
Сигнальный граф представляет собой диаграмму, состоящую из узлов, соединенных между собой отдельными направленными ветвями, и является графическим средством описания линейных соотношений между переменными. Сигнальные графы особенно важны для систем управления с обратной связью, поскольку теория этих систем в первую очередь рассматривает распространение и преобразование сигналов. Основным элементом сигнального графа является однонаправленный отрезок, называемый ветвью, который отражает зависимость между входной и выходной переменной наподобие того, как это делает отдельный блок в структурной схеме. Например, ветвь, связывающая выход двигателя постоянного тока 6(s) с напряже-
нием возбуждения Vf(s), изображенная на	q q
рис. 2.28, подобна структурной схеме на
рис. 2.22. Точки входа и выхода, на рисун- Рис. 2.28. Сигнальный граф двигателя ке похожие на клеммы, называются узла-	постоянного тока
ми. Аналогично, сигнальный граф, соот-
ветствующий уравнениям (2.77), (2.78) и рис. 2.24, изображен на рис. 2.29. Преобразование каждой переменной охарактеризовано надписью около направленной стрелки. Все ветви, выходящие из узла, предают сигнал другому (выходному) узлу каждой ветви, причем однонаправленно. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу переменную. Путь — это ветвь или последовательность ветвей, которые могут быть проведены от одного узла к другому. Контур — это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем вдоль этого пути ни один другой узел не встречается дважды. Некасающимися называются такие контуры, которые не имеют общего узла. Два касающихся контура имеют один или более общих узлов. Рассмотрев еще раз рис. 2.29, мы можем записать:
У,(5) = 6п(5)ад + G12(S)7?2(S),	(2.87)
y2(s) = G2l(s)J?t(s) + G22(s)7?2(s),	(2.88)
88
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.29. Сигнальный граф для системы
Рис. 2.30. Сигнальный граф для двух алгебраических уравнений
с перекрестными связями
Сигнальный граф — это просто наглядный метод записи системы алгебраических уравнений, показывающий взаимосвязь между переменными. В качестве еше одного примера рассмотрим следующую систему алгебраических уравнений:
ЯцХ, + а12х2 + Г] = х1,	(2.89)
«21х1 + а22х2 + г2 = х2.	(2.90)
Здесь Г] и г2 — входные переменные, a Xj и х2 — выходные переменные. Сигнальный граф, соответствующий уравнениям (2.89) и (2.90), изображен на рис. 2.30. Уравнения (2.89) и (2.90) можно записать в ином виде:
*1(1 - «п) + х1(- «12) = П,	(2.91)
х1( - «21) + хг0 - «22) = г2 	(2-92)
Решая последнюю систему по правилу Крамера, получим:
X, =----(lZ«22>i +q12>b---=(1.-q22)ri +^2.	(2 93)
(1-«п )(1—а22)—а12а21	Д Д
= О-».,	= (1^+
(1-Яц )(1—а22)—n12n21	Д	" Д
В этих решениях знаменатель равен определителю, составленному из коэффициентов при неизвестных, и его можно записать так:
Д = (1 — «ц)(1 — а22) — <2i2n21 = 1 — <jh — а22 +	— «12а21.	(2.95)
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффициенты передачи отдельных контуров at ], «22 и «12«21 плюс произведение коэффициентов передачи двух некасающихся контуров aj 1 и а22. Контуры а22 и п12а21 являются касающимися, так же, как и контуры (и «21«12-
В решении для X! по отношению ко входу г1 числитель равен единице, умноженной на (1 - а22), т. е. значению определителя некасающегося пути от rj к xt. В решении для X] по отношению ко входу г2 числитель просто равен а13, т. к. этот путь касается всех контуров. Числитель выражения для х2 симметричен соответствующему числителю для хР
В общем случае линейная зависимость Т,} между независимой переменной х, (часто называемой входной переменной) и зависимой переменной х, определяется по формуле Мейсона:
Л/*
---->	(2-96)
2.7. Модели в виде сигнальных графов
89
где Рчк — коэффициент передачи к-го пути от переменной х, к переменной х;,
Д — определитель графа,
Л,/(1 — дополнительный множитель для пути Р,/А, а суммирование производится по всем возможным к путям от х, к х}. Дополнительный множитель Д,/А равен определителю всех касающихся контуров при удалении к-го пути. Определитель Д находится как
N	М,О
Д = 1-£1„ + &,VW+--	(2.97)
И=1	т=1,0=:1
где L(J есть коэффициент передачи g-го контура. Таким образом, правило вычисления Д через значения L2, L3,..., LN таково:
Д = 1 - (сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров) +
+ (сумма произведений всех возможных комбинаций из 2 некасающихся контуров) -- (сумма произведений всех возможных комбинаций из 3 некасающихся контуров) + + ...
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном виде для определения связи между выходной переменной K(s) и входной переменной R(s), т. е.
(2.98)
•j'___ к__________
Л
где 7(s) = Y(s)/R(s). Коэффициент передачи пути Рк (или Р,;А) определяется как непрерывная последовательность ветвей, простирающихся в направлении, указанном стрелками, причем ни один узел не встречается в этой цепи более одного раза.
Простоту и удобство применения данного метода мы проиллюстрируем несколькими примерами. Хотя формула (2.96) на первый взгляд кажется трудно воспринимаемой, всё же следует помнить, что она представляет обычный процесс суммирования, а не сложных преобразований.
Пример 2.8. Передаточная функция системы с параллельными путями
На рис. 2.31 изображен сигнальный граф с двумя параллельными путями. Примером системы управления, граф которой имеет несколько путей, может служить шагающий робот с несколькими конечностями. От входа R(s) к выходу K(s) ведут следующие пути: путь 1 — Pt = G^GgG,, и путь 2 — Р2 = G5G6G7Gg.
Граф содержит четыре контура:
Л, = G2H2, L2 = G3H3, L3 = Cl6Hb, Л4 = G2H2.
Рис. 2.31
Сигнальный граф с двумя параллельными путями
90
Глава 2. Математические модели систем
Контуры Lt и Ь2 не касаются контуров £3 и Д4. Следовательно.
Д = 1- (L) + Lq + Lq + L4 Х+ (ДДз +	+ LqLq + LqLq ).	(2.99)
Дополнительный множитель определителя для пути 1 вычисляется в результате удаления из Д контуров, касающихся пути 1. Поэтому
Д, = L2 = 0 и Л, = 1 - (L3 + L4).
Аналогично, дополнительный множитель для пути 2 принимает вид
Д? = 1 — (Д| ч- Д2).
Таким образом, передаточная функция системы
T(s) =	+ ^2^2 _	(1 - Д - Д,) ч- GgGgG^g (1 - Д - Д)
Д(з) Д 1 Д Lj2 L, — £4 + ДДз Ч* ДД4 Ч* Д2Д ч* /^Д4
(2.100)
Пример 2.9. Двигатель, управляемый по цепи якоря
На рис. 2.20 изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря. Схема отражает связь между переменными в виде уравнений (2.64)-(2.68). Сигнальный граф может быть получен либо на основании тех же уравнений, либо непосредственно по структурной схеме. Этот граф изображен на рис. 2.32. Полагая T/s) = 0. получим передаточную функцию 0(s)/ Va(s) с помощью формулы Мейсона. Граф имеет прямой путь Р । (s), касающийся одного контура Lt(s), где
/j(s) = -G,(s)G2(.s) и Д,Д) = -KhGi(s)G.,(s). s
Следовательно, передаточная функция имеет вид гм = J&L. =	=
1-Д(5) 1+ад(5)С2(5) 4(яа + до5)(л+/,)+дАдт]'
что полностью совпадает с выражением (2.69). полученным ранее.
Формула Мейсона дает достаточно простой метод анализа сложных систем. Чтобы сравнить этот метод с методом упрощения структурных схем, который является ненамного более сложным, рассмотрим еще раз систему из примера 2.7.
Кт
Пример 2.10. Передаточная функция многоконтурной системы
На рис. 2.26 приведена структурная схема многоконтурной системы. Здесь нет особой необходимости перерисовывать эту схему в виде графа, поэтому мы сразу применим формулу Мейсона (2.98). Схема имеет один прямой путь Д, = G}G2G3G^ . Контуры в схеме таковы:
Li - — G2G3/A. 1^2 — G3G4H1, Lj = — G1G2G3G4//3.	(2.101)
Рис. 2.32. Сигнальный граф двигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря
2.8, Компьютерный анализ систем управления
91
Все контуры имеют общие узлы, поэтому они являются касающимися. Кроме того, путь Pt касается всех контуров, поэтому Д( = 1. Тогда передаточная функция замкнутой системы определяется выражением
Т(з) = — =---------------=---------------------------------,	(2.102)
Пример 2.11. Передаточная функция сложной системы
В заключение мы рассмотрим достаточно сложную систему, для которой метод упрощения струю урной схемы представлял бы значительные трудности. Такая система с несколькими контурами и прямыми путями изображена на рис. 2.33. Прямые пути следующие:
= GjG2G3G4G3G6, /*2 =	^3 = ^|^2^3^4^8-
Кроме того, имеем следующие контуры:
Z.] = - G2G3G4G5£/2, £2 = _ G>sGbH\> = — GgH^ L4 = - GjHjG^, Ls = - G^H^, Lf, = — G ^G^G-^G ^G 3G^H3^ Lj ~ — G&Н3, L% — — G|G2G3G4Gg£/3.
Контур Ls не касается контура £4 или контура £7; контур L3 не касается контура £4; все остальные контуры являются касающимися. Поэтому определитель графа
Л = 1 — (£| + £2 + £з + Ьд + £5 + £& + Lj + Lg ) + (£j£7 + L5L4 + £з£д).	(2.103)
Дополнительные множители:
Л| = Д3 = 1 и Д2 = 1 - £5 = 1 + G^H^.
Окончательно, передаточная функция имеет вид:
2.8.	Компьютерный анализ систем управления
В процессе проектирования, еще до создания реального образца системы управления, для исследования различных ее характеристик может быть использована компьютерная модель, основанная на математическом описании системы. При имитационном моделировании модель ставится в те же условия и подвергается тем же внешним воздействиям, при которых будет работать реальная система.
В распоряжении инженера имеются различные уровни достижимой точности моделирования. На первых этапах синтеза весьма эффективным являются интерактивные прикладные пакеты САПР. При этом не так важно быстродействие компьютера, как то, сколько времени потребуется инженеру для получения начального решения и доведения его
92
Глава 2. Математические модели систем
итеративным путем до окончательного проекта. Решающее значение здесь имеют качественные графические средства. В данном случае моделирование характеризуется невысокой точностью, т. к. при построении модели обычно делаются различные допущения и упрощения (например, линеаризация). В данной книге в качестве программного средства моделирования мы используем MATLAB, хотя существуют и с успехом могут применяться и другие похожие пакеты прикладных программ.
По мере совершенствования процедур синтеза возникает потребность в проведении числовых экспериментов в условиях, наиболее приближенных к реальности. Например, если вы проектировали систему управления положением космического аппарата, предполагая, что аэродинамическое сопротивление отсутствует, то было бы чрезвычайно полезно учесть этот эффект на заключительной стадии моделирования. В результате вы сможете получить количественные оценки поведения космического аппарата, находящегося на орбите. В данном случае быстродействие компьютера приобретает особую важность, т. к. чем продолжительнее время моделирования, тем меньше можно провести компьютерных экспериментов и тем, соответственно, больше будут затраты. Обычно подобное моделирование высокой точности связано с программированием на языках Фортран, С, C++, Ада или им подобных.
Следует отметить основные преимущества компьютерного моделирования:
1.	Поведение системы можно пронаблюдать при самых разных условиях.
2.	Путем исследования модели можно предсказать, как поведет себя реальная система при натурных испытаниях.
3.	По данным испытаний можно сделать некоторые умозаключения относительно систем, которые еще предстоит синтезировать.
4.	Всесторонние испытания системы можно выполнить за сравнительно короткий промежуток времени.
5.	Результаты моделирования можно получить с гораздо меньшими затратами, чем при натурном эксперименте.
6.	Можно изучить поведение системы в таких гипотетических условиях, которые в настоящее время вряд ли могут реально иметь место.
7.	Компьютерное моделирование часто является единственным или безопасным методом анализа поведения системы.
Анализ и синтез системы управления осуществляется более эффективно, если этот процесс сопровождается имитационным моделированием, как показано на рис. 2.34.
Рис. 2.34
Анализ и синтез с использованием модели системы
2.9. Примеры на синтез систем управления
93
2.9.	Примеры на синтез систем управления
Пример 2.12. Управление устройством электрической тяги
Большинство современных поездов дальнего и пригородного сообщения работают на электрической тяге. На рис. 2.35(a) изображена функциональная схема системы управления приводом электровоза, предназначенная для обеспечения заданной скорости движения. Цель синтеза состоит в получении модели системы, ее передаточной функции в замкнутом состоянии. co(s)/co^s), выборе надлежащих номиналов резисторов Rt. R2, R-j и R4 и предсказании характеристик системы.
Первый шаг состоит в получении передаточной функции каждого блока. В качестве датчика скорости мы используем тахогенератор, выходное напряжение которого. пропорциональное скорости, подадим на один из входов дифференциального усилителя, как показано на рис. 2.35(6). Усилитель мощности обладает нелинейной характеристикой, которая приближенно может быть описана зависимостью v2 = 2е3"‘ = 2exp(3v1) = g(v,). Рабочей точке на этой
Рис. 2.35. Система управления скоростью электропривода
94
Глава 2, Математические модели систем
характеристике соответствует значение v,0 = 1.5 В. Воспользовавшись методом, изложенным в разд. 2.3. получим линейную модель усилителя мощности:
dg(y})
(2.105)
Av, = 2[3exp(3vl0)]Avl = 540Av, . vio_
Далее, отбрасывая символы приращений и воспользовавшись преобразованием Лапласа, получим:
Ду-
rfv,
(2.106)
K2(s) = 540F,(s).
Для дифференциального усилителя можно записать: 1 + R7/R,	r7
v. =-----~у0 —- Vl-
l+R3/R4	Rt
Потребуем, чтобы входной управляющий сигнал v() численно был равен заданному значению скорости, т. е. =v0, где измеряется в рад/с. a v0 — в вольтах. Тогда, если v0 = 10 В. то установившееся значение скорости должно быть равно 10 рад/с. Заметим, что в установившемся режиме v, = К/ <od и следует ожидать, что выходное напряжение дифференциального усилителя будет равно
(2.107)
1+ R7i Rt R7 v. =------—Lv0 -K,v0 
1+R3/R4 ° Rt
Когда система находится в равновесии, то v, = 0 и если К, = 0,1. то
1 + R2/Ri _ R2 & _ ।
1+Я3/Я4 R, '
Это условие выполняется, если Д,/Я, = 10 и R3/R4 = 10. Параметры двигателя и нагрузки приведены в табл. 2.7.
Таблица 2.7. Параметры мощного двигателя постоянного тока
Кт = 10	7=2
R., = 1	b = 0,5
Lo=l	К,, = 0,1
Полная схема системы изображена на рис.2.3 5(6). Используя формулу Мейсона, по сигнальному графу на рис.2.35(г) получим:
f.>(s) _	540 G,(s)G2(s)	=	540G,G2	=
<s>d(s) ~ 1+ 0,10,0,4-5400,0, - 1+ 540.1G,G, "
5400	5400	2700	1ПОА
=--------------------= —---------------— —-----------------.	(2.10о)
(s-ь l)(2s + 0.5)4- 5401 2? 4- 2,5s4- 5401,5 s2 4- 1,25s4- 2700,75
Поскольку характеристическое уравнение имеет второй порядок, то можно видеть, что со„ = 52 и С, = 0,012, т. е. следует ожидать, что реакция системы будет сильно колебательной.
Пример 2.13. Механический акселерометр
На рис. 2.36 изображен механический акселерометр, предназначенный для измерения ускорения салазок, подвешенных на магнитной подушке. Эти салазки от направляющего рельса отделяет зазор величиной 8. Измерение ускорения салазок a(t) обеспечивается за счет того, что положение у массы М относительно корпуса акселерометра пропорционально ускорению этого корпуса (и, соответственно, салазок). Задача состоит в синтезе акселерометра, обладающего заданными динамическими характеристиками. В частности, желательно, чтобы результат измерения, y(t) = qa(t), где q = const, был достигнут за приемлемое время.
2.9. Примеры на синтез систем управления
95
Рис, 2.36. Акселерометр на базе салазок с реактивным двигателем
Сумма сил. действующих на массу, равна , dy . d2 z	.
-b— -ky=M—y(y+x), dt	dt
или ,, d2y , dy	,, d2x
M—%-+b—+ky=-M—z-.	(2.109)
dt2 dt	dt2
Поскольку сила, развиваемая реактивным двигателем, равна
F{t) = Ms^. dt"
то
Niy+ by+ ky = -^-F(t), или М М Ms
Зададимся значениями ЫМ= 3, к!М= 2, обозначим F(t)/M1. = Q(t) и примем начальные условия у(0) = -1 и у(0) = 2. Если внешнее воздействие и, следовательно, Q(t) есть ступенчатая функция, то преобразование Лапласа последнего уравнения дает:
(?У(5)- sy(0)- 5<0)) + 3(sK(s)- Я0)) + 2K(s) = -g(s).	(2.111)
Поскольку (?(s) = P/s. где Р — амплитуда ступенчатой функции, то
(s2K(s)+ s- 2)+ 3(sK(s)+ 1)+ 2Г($) = -- ,
5 ИЛИ
(?+35+2)Г(5) = -(Д +s+P\	(2.112)
5
96
Глава 2. Математические модели систем
Таким образом, преобразование Лапласа для выходной переменной имеет вид:
V/-A (s2+s+P)	(s2+s+P)
г (s) =--=-------=-------------.
s(s2 + 3s + 2)	s(s + l)(s + 2)
Разложение этого выражения на простые дроби дает:
У(,)=*1+2з_+_*3_.
s s+1 s+ 2
Дальнейшие действия дают следующее:
s1 + S+ Р	Р
(s + l)(s + 2)	д=о	2
Аналогично, к2 = Р и к2 =-----. Таким образом.
T(s) = -—+ —----------
2s s + 1 2(s + 2)
(2.113)
(2.114)
(2.115)
(2.116)
Следовательно, измеряемое значение выходной переменной равно ЯО = ±[~Р + 2Ре~' - (Р + 2)е*а ], t > 0.
График y(t) для Р = 3 представлен на рис. 2.37. Как видно из графика, y(t) становится пропорциональным величине силы спустя 5 секунд. Если это время считается недопустимо большим, то следует увеличить жесткость пружины к и коэффициент трения b с одновременным уменьшением массы М. Если выбрать значения ЫМ= 12 и к/М= 32, то акселерометр будет обеспечивать правильные показания через 1 секунду. (Читателю предоставляется возможность убедиться в этом самостоятельно.)
Рис. 2.37
Реакция акселерометра
Пример 2.14. Синтез лабораторного работа
В этом примере мы попытаемся показать все сложности реального проектирования лабораторного устройства. Одновременно мы представим ряд элементов, которые обычно входят в состав систем управления.
Робот, предназначенный для использования в лабораторных условиях, показан на рис. 1.16. Рабочее пространство робота должно позволять ему достигать любой точки и манипулировать имеющимися в распоряжении приспособлениями. Кроме того, должна быть предусмотрена достаточная площадь для складирования материалов, не участвующих в текущих операциях. Лабораторный робот может выполнять три типа задач в процессе исследований. Первая задача состоит в том, что роботу поручается захватывать различные подносы, каркасы и контейнеры
2,9, Примеры на синтез систем управления
97
и вносить их в рабочую зону. Второй круг задач включает в себя транспортировку образцов между пунктами приготовления химических препаратов и их анализа. В третьей группе задач роботу предоставляется возможность имитировать работу человека-оперетора в процессе различных лабораторных экспериментов.
Фирма Хьюлетт-Паккард создала лабораторный робот ORCA, смонтированный на рельсовых направляющих, имеющий антропоморфную руку, оптимально приспособленную для аналитических операций. Рельс может быть расположен как спереди, так и сзади рабочего пространства. либо по его центру, если необходим доступ по обе его стороны. С помощью простой программы рука робота может перемещаться с одной стороны рельса на другую, сохраняя ориентацию кисти (чтобы переносить открытый контейнер) или фиксируя угловое положение кисти (при переносе объектов с произвольной ориентацией). Прямолинейная геометрия, в отличие от цилиндрической геометрии многих роботов, дает больше возможностей для размещения предметов в рабочем пространстве и установки самого робоза в лаборатории. Движение всех сочленений координируется программными средствами, которые облегчают использование робота, задавая его ориентацию в более привычных декартовых координатах.
Основные технические характеристики робота ORCA приведены в табл 2.8.
Таблица 2.8. Технические характеристики робота ORCA
Рука	Сочлененная на направляющем рельсе	Обучающее устройство	Джойстик с аварийным выключением
Степени свободы	6	Время цикла	4 с (движения: 1 дюйм вверх. 12 дюймов в сторону. 1 дюйм вниз, возврат)
Предел досягаемости	±54 см	Максимальная скорость Время задержки	75 см/с Типичное значение 50 мс
Высота	78 см	Полезная на-	(для движений в пределах зоны действия) Постоянная — 0,5 кг. кратковре-
Длина рельса	1 и 2 м	грузка	менная — 2.5 кг (с ограничениями)
Масса	8,0 кг	Отклонение по вертикали	Менее 1,5 мм при постоянной нагрузке
Точность Размер захвата Вращение захвата	± 0,25 мм 40 мм ± 77 оборотов	Площадь рабочей зоны	1 м2
Синтез лабораторного робота ORCA заключался в выборе компонентов, необходимых для сборки всего устройства. Робот в разобранном виде изображен на рис. 2.38. В нем использованы шесть двигателей постоянного тока, редукторы, ременные передачи, рельс и тележка. При синтезе основной задачей проектировщика являлась разработка точных моделей компонентов системы и исследование их взаимодействия.
Пример 2.15. Синтез фильтра низких частот
Цель состоит в синтезе низкочастотного фильтра первого порядка, который пропускал бы сигналы с частотой менее 106.1 Гц и ослаблял сигналы с частотой выше указанной. Кроме того, фильтр должен иметь коэффициент передачи по постоянному току, равный 1/2.
98
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.38. Элементы робота ORCA в разобранном виде:
1 — ячеистая платформа, 2 — рельс и тележка, 3 — привод тележки, 4 — шасси,
5 — литой корпус, 6 — привод плеча, 7 — ременные передачи, 8 — крышка предплечья, 9 — литое предплечье, 10 — захват руки в сборке, 11 — литая рука, 12 — локтевое сочленение, 13 — плечевое сочленение, 14 — печатная плата управления корпусом,
15 — печатная плата и двигатели, управляющие локтем и запястьем, 16 — крышка руки
В качестве искомого фильтра может служить двухзвенная цепь с одним реактивным элементом, изображенная на рис. 2.39(a). Заметим, что эта схема действительно будет иметь требуемый коэффициент передачи, поскольку конденсатор для постоянного тока представляет собой разомкнутую цепь. Выражения для токов и напряжений имеют вид:
Л = (Г, - Г2)С.
Л = (^2 - W
Г, = (/, - I2)R,
И3 = I2Z.
где G = l/R. Z(s) = 1/Cs и J{(s) = /, (опуская зависимость от s). Эти четыре уравнения отражает сигнальный граф, приведенный на рис. 2.39(6). Граф содержит три контура: = -GR = -1. L2 = -GR = -1 и L3 = -GZ. Все контуры касаются прямого пути, а контуры Lt и £3 'не касаются друг друга. Поэтому передаточная функция равна
Л	_ GZ	1	1/3RC
+ Ц +	3+2GZ 3RCs+2 S+2/3RC
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
99
Рис. 2.39. (а) Двухзвенная цепь и (б) ее сигнальный граф
Заметим, что коэффициент передачи равен 1/2 , как и ожидалось. Желаемое значение полюса р= 2л  106,1 = 666,7 = 2000/3. Отсюда следует, что RC = 0.001. Выберем Л = 1 кОм и С = 1 мкФ. Тогда фильтр будет иметь передаточную функцию
T(s) =
333,35
s + 666,7
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
Многие программные средства анализа и синтеза систем управления (как классическими, так и современными методами) основаны на использовании математических моделей. При описании систем передаточными функциями для этих целей может быть использован MATLAB*.
В этом разделе мы сначала покажем, насколько полезным может оказаться MATLAB при анализе математической модели механической системы масса- пружина. Используя нотацию MATLAB, мы создадим программу, позволяющую в интерактивном режиме исследовать влияние собственной частоты колебаний и коэффициента затухания на свободное движение массы. При этом мы воспользуемся аналитическим решением, описывающим свободное движение массы.
Далее мы рассмотрим, как MATLAB оперирует с передаточными функциями и структурными схемами. В частности, будет показано, как MATLAB работает с алгебраическими полиномами, вычисляет полюсы и нули передаточных функций, определяет передаточные функции замкнутых систем, производит упрощения структурных схем, вычисляет реакцию систем на единичное ступенчатое воздействие. В заключение мы проиллюстрируем применение MATLAB к синтезу системы управления устройством электрической тяги из примера 2.12.
Введение в MATLAB — см. приложение А
Глава 2, Математические модели систем
100
В этом разделе мы познакомимся с функциями MATLAB roots, tf, series, parallel, feedback, pole, zero, poly, conv, polyval, minreal, pzmap, step.
Система масса—пружина. На рис. 2.2 изображена механическая система масса-пружина с демпфированием. Перемещение массы ХО описывается дифференциальным уравнением
My(t)+ by(t)+ ky(t)=r(t).
Движение системы при отсутствии внешней силы г(Г) описывается выражением
	~^-e sin(co,J 'l-^2	i-^2r+e)
где 0 = arccos ау(О) — начальное отклонение. При < 1 реакция системы является недодемпфированной, при С, >1 — передемпфированной, а при С, = 1 — критически демпфированной. С помощью MATLAB мы можем пронаблюдать характер изменения положения массы как реакцию на начальное отклонение ХО)- Рассмотрим случай недодемпфированной системы:
ХО) = 0,15 м, <о„ = 72 рад/с, С=—(к/М = 2, ЫМ = 1).
27 2
Программа MATLAB для построения графика свободного движения системы приведена на рис. 2.40. Прежде всего, перед запуском программы, в качестве входных данных для основного блока должны быть заданы значения ХО), <о„, t и С>. После этого выполняется основная программа unforced.m, которая представляет результат в графической форме. Если возникает необходимость исследовать влияние на свободное движение собственной частоты колебаний и коэффициента затухания, то просто необходимо ввести новые значения со,, и и еще раз выполнить программу. На рис. 2.41 приведен график свободного движения системы. Заметим, что программа автоматически указывает на графике значение коэффициента затухания и собственной частоты колебаний. Это позволяет избежать недоразумений при многократном проведении моделирования.
Рис. 2.40
Скрипт анализа движения системы «пружина-масса»
»y0=0.15;		
»wn—sqri(Z;, »zeta=1/(2*sqrt(2)); •<—_________		
»t=[0:0.1:10J;			 »unforced		

unforced.m_____________________________________
%Вычисление реакции на начальное условие % с= (yO/sq rt( 1 -zeta А2)); <-	
y=c*exp(-zeta*wn*t).*sin(wn*sqrt(1-zetaA2)*t+acos(zeta)); % bu=c*exp(-zeta*wn*t); bl=-bu; <—________ % plot(t,y,t,bu,'—',t,bl,'—'), grid х1аЬе1('Время (c)'), ylabel(’y(t) (метры)’)
Iegend(['\omega n=',num2str(wn),’ \zeta=',num2str(zeta)]);
е огибающая
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
101
Рис. 2.41 Свободное движение системы «пружина-масса»
Время (с)
В рассмотренной выше задаче мы воспользовались известным аналитическим решением однородного дифференциального уравнения. В общем случае, при моделировании замкнутых систем управления, подверженных влиянию различных внешних воздействий, а также при разных начальных условиях, аналитическое решение бывает получить очень трудно. Здесь можно прибегнуть к помощи MATLAB, который численно решит поставленную задачу и представит результат в графической форме.
MATLAB позволяет исследовать системы, описываемые передаточными функциями. Поскольку передаточная функция имеет вид отношения двух полиномов, мы сначала рассмотрим, как MATLAB оперирует с алгебраическими полиномами. При этом не будем забывать, что в передаточной функции должны быть заданы оба полинома — ив числителе, и в знаменателе.
Полиномы в MATLAB представляются в виде векторов-строк, состоящих из коэффициентов в убывающем порядке степеней. Например, полином р(з) = у + З.у2 + 4 задается так, как показано на рис. 2.42. Обратите внимание, что даже если коэффициент при какой-то степени равен нулю, он все равно включается в представление полинома p(s).
Рис. 2.42
Ввод полинома p(s) = s3 + 3s2 + 4 и вычисление его корней
102
Глава 2. Математические модели систем
Если р есть вектор-строка, состоящая из коэффициентов p(s) в порядке убывания степеней, то функция roots(p) определяет вектор-столбец, содержащий корни этого полинома. И наоборот, если г — вектор-столбец, содержащий корни полинома, то функция poly(r) дает вектор-строку из коэффициентов полинома в убывающем порядке степеней. На рис. 2.42 показано, как с помощью функции roots вычисляются корни полинома p(s) = = s3 + 3 s2 + 4. На рис. 2.42 показано также, как можно восстановить полином по его корням с помощью функции poly.
Умножение полиномов производится с помощью функции conv. Предположим, что мы хотим получить полином n(s) в развернутой форме, где n(s) = (3.v“ + 2.у + l)(.v + 4). Эта процедура выполняется так, как показано на рис. 2.43. В результате умножения получаем полином n(s) = 3s3 + 14.V2 + 9s + 4. Для вычисления значения полинома при заданном значении переменной используется функция polyval. Как показано на рис. 2.43, полином n(s) имеет значение и(-5) = -66.
В пособиях по применению MATLAB модели линейных стационарных систем рассматриваются в качестве объектов, позволяя манипулировать ими как единым целым. При использовании аппарата передаточных функций модели систем создаются с помощью функции tf; если модель должна быть представлена в переменных состояния, то применяется функция ss (см. главу 3). Применение функции tf проиллюстрировано на рис. 2.44(a). Благодаря возможностям объектно-ориентированного программирования, присущим MATLAB, модели систем обладают свойствами объектов, которые легко можно изменять; аналогично, функции, применяемые для работы с объектами, принято называть методами. Например, если вы имеете две модели систем,
=	--- и
S2 +2л+5
5 + 1
то вы можете сложить их с помощью оператора «+»:
G(5) = GI (5) + G2 (5) =	.
s + 3s' +7s+5
Соответствующая программа MATLAB приведена на рис. 2.44(5), где sys1 представляет передаточную функцию G{(s), a sys2 — G2(.v). Вычисление полюсов и нулей передаточной функции производится при работе с ней как с объектом путем применения функций pole и zero. Это проиллюстрировано на рис. 2.45.
В следующем примере мы покажем, как с помощью функции pzmap (рис. 2.46) можно указать расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей передаточной функции. Нули на диаграмме обозначаются кружочками, а полюсы — крестиками. Если функция pzmap вызывается без аргументов, то диаграмма строится автоматически.
Рис. 2.43
Использование функций conv и polyval для умножения полиномов (3s2 + 2s + 1 )(s + 4) и вычисления значения произведения
»р=[3 2 1]; q=[1 4];
»n=conv(p,q) <—
п =
3 14 9 4 *
»value=polyval(n,-5) value =
-66
Умножение р и q
n(s) = 3s3 + 14s2 + 9s + 4
Вычисление n(s) при s = -5
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
103
Рис. 2.44
(а) Функция tf;
(б) Применение функции tf для образования передаточных функций объектов и их сложение с помощью оператора «+»
				»num1=[10J; den1=[1 2 5] »sys1=tf(num1,den1) Transfer function: 10 	 -4			G](s)	
Передаточная функция объекта		„, ч num GM = -— den		sA2 + 2 s + 5 »num2=[1]: den2=[1 1]; »sys2=tf(num2,den2) Transfer function: 1		Gj(5)	
S)	к /s = tf(num,d		г en)				
				s.1 »sys=sys1 +sys2 Transfer function: sA2 + 12 s + 15			
					G,(5) + G2(5)		
							
				sA3+ 3 sA2 + 7 s + 5			
Рис. 2.45
(а) Функции pole и zero;
(б) Применение функций pole и zero для вычисления полюсов и нуля линейной системы
а}
Пример 2.16. Передаточные функции
Рассмотрим передаточные функции
GM =
6?+1 № + 3s2 + З5+1
и
/7(5) =
(?+!)(?+2) (5 + 2i)(5- 2i)(5 + 3)
С помощью программы MATLAB мы можем вычислить полюсы и нули G(s). получить характеристические уравнение для H(s), разделить G(s) на H(s), а также получить на комплексной плоскости картину расположения полюсов и нулей функции
104
Глава 2, Математические модели систем
Рис. 2.46
Функция pzmap
Р: полюсы в виде вектора-столбца Z: нули в виде вектора-столбца
[P,Z]=pzmap(sys)
Рис. 2.47
Расположение полюсов и нулей функции G(s)/H(s)
Расположение полюсов и нулей передаточной функции G(s)/H(s) показано на рис. 2.47, соответствующие инструкции MATLAB приведены на рис. 2.48. На картине ясно видно расположение пяти нулей и всего двух полюсов. В действительности этого не может быть. т. к. известно, что число полюсов дожно быть больше или равно числу нулей. Используя функцию roots, мы можем убедиться, что на самом деле четыре полюса находятся в одной и той же точке s = -l. Таким образом, функция pzmap не позволяет различить кратные полюсы или нули.
Модели в виде структурных схем. Предположим, что мы получили математические модели объекта управления, регулятора и, возможно, многих других элементов системы, таких как датчики и исполнительные устройства, причем эти модели представлены в виде передаточных функций. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы объединить все эти элементы в единую структуру, создав тем самым систему управления. С помощью MATLAB можно выполнить все необходимые преобразования структурной схемы.
Простейшую разомкнутую систему управления можно получить, соединив последовательно объект управления и регулятор, как это показано на рис. 2.49. Как с помощью MATLAB определить передаточную функцию, связывающую R(s) и L(.s), будет продемонстрировано в следующем примере.
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
105
Рис. 2.48
Операции с передаточными функциями G(s) и H(s)
»numg=[6 0 1]; deng=[1 3 3 1]; sysg=tf(numg,deng);
»z=zero(sysg)
z=	<			Вычисление
0 + 0.40821		полюсов и нулей G(s)
О - 0.4082i
»p=pole(sysg)
Р =
-1.0000
-1.0000 + O.OOOOi
-1.0000 - O.OOOOi
Представление H(s) в развернутом виде
»n1=[1 1]; n2=[1 2]; d1 =[1 2*i]; d2=[1 -2*i];d3=[1 3]; »numh=conv(n1 ,n2); denh=conv(d1 ,conv(d2,d3));
»sysh=tf(numh,denh)
Transfer function: sA2 + 3 s + 2
sA3 + 3 sA2 + 4 s + 12
»sys=sysg/sysh
H(s)
G(s)
—— = sys W(s)
Transfer function:
6 sA5 + 18 sA4 + 25 sA3 + 75 sA2 + 4 s + 12
sA5 + 6 sA4 + 14 sA3 + 16 sA2 + 9 s + 2
» pzmap(sys) -<
Картина расположения полюсов и нулей
Рис. 2.49
Разомкнутая система управления
Пример 2.17. Последовательное соединение
Пусть объект управления задан передаточной функцией G(s) = 1/500 s2. а регулятор имеет передаточную функцию GJs) = (s + l)/(s + 2). На рис. 2.50 изображено последовательное соединение двух систем с передаточными функциями G((s) и G2(s), а также проиллюстрирован смысл функции series, а на рис. 2.51 показано, как с ее помощью определяется произведение Gc(s)G(s). Результирующая передаточная функция имеет вид
Gc(s)G(s) =
5+ 1
500s3 + 1000s2
= sys,
где sys есть обозначение передаточной функции в программе MATLAB.
В структурных схемах очень часто встречается параллельное соединение элементов. В таких случаях для определения передаточной функции соединения используется функция parallel. Смысл этой функции поясняет рис. 2.52.
106
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.50
(а)	Структурная схема;
(6)	Функция series
Рис. 2.51
Применение функции series
Рис. 2.52
(а) Структурная схема;
(б) Функция parallel
Мы можем ввести в рассмотрение сигнал обратной связи, замкнув контур единичной обратной связью, как показано на рис. 2.53. В этом случае Eu(s) есть изображение по Лапласу сигнала ошибки, a R(s) — эталонного входа. Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением
Г,г)_ сс(^)
(l+Gc(s)G(s))'
С помощью функции feedback мы имеем возможность упростить структурную схему, вычислив передаточную функцию замкнутой системы. Эта функция применима как к одноконтурным, так и к многоконтурным системам управления.
2.10. Моделирование систем управления с помощью MATLAB
107
Рис. 2.53
Система управления с единичной обратной связью

У(5)
Часто встречается случай, когда замкнутая система имеет единичную обратную связь, как показано на рис. 2.53. Применение функции feedback в данном случае проиллюстрировано на рис. 2.54.
На рис. 2.55 изображена система с неединичной обратной связью и проиллюстрировано применение к ней функции feedback. Если в аргументах этой функции не указан знак обратной связи sign, то по умолчанию она предполагается отрицательной.
Рис. 2.55
(а)	Структурная схема;
(б)	Функция feedback
Рис. 2.54
(а) Структурная схема;
(6) Применение функции feedback в случае единичной обратной связи
Пример 2.18. Применение функуции feedback к системе с единичной обратной связью
Пусть передаточные функции объекта и регулятора на рис. 2.51(a) соответственно равны G(s) и Gc(s). Чтобы воспользоваться функцией feedback, сначала нам необходимо применить функцию series, чтобы вычислить произведение G(s)Gc(s). Эта последовательность действий приведена на рис. 2.56(6). В соответствии с рис. 2.56(6), передаточная функция замкнутой системы равна
„. , GAs)G(s)	5+1
T(s) =--v =-------------------------= Sys.
l + Gc(s)G(s) 500s3+ 1000?+ 5+1
108
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.57
Система с регулятором в цепи обратной связи
Рис. 2.56	.
(а) Структурная	'
схема;
(б) Применение
функции feedback
б)
Другая конфигурация системы с обратной связью приведена на рис. 2.57. В данном случае регулятор находится в цепи обратной связи. Замкнутая система имеет передаточную функцию
T(s) =
G(s) l+G(s')H(s')
Пример 2.19. Функция feedback
Пусть объект и регулятор имеют, соответственно, передаточные функции G(s) и H(s), как показано на рис.2.58(а). Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользуемся функцией feedback. Соответствующая программа приведена на рис. 2.58(6). В результате получим
Т (л) =---т--------------= sys.
500? + 1000?+ j+1
Рис. 2.58
Применение функции feedback: (а) Структурная схема;
(б) Скрипт MATLAB
а)
б)
2.10, Моделирование систем управления с помощью MATLAB
109
Функции MATLAB series, parallel и feedback могут оказаться полезными при упрощении структурных схем многоконтурных систем.
Пример 2.20. Упрощение многоконтурной системы
Многоконтурная система изображена на рис. 2.26. Наша цель — определить передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s), если
1	1	v2 +1	с +1
Gi^ = —G2(5) = -i-, G3(5) = ^—-------С4(у) = —, ВД=2. H3B)=L
5+10	5+1	5 +45+4	5+6
В данном примере все действия сводятся к пяти этапам:
□	Этап 1. Ввести все передаточные функции в программу MATLAB.
□	Этап 2. Перенести узел через блок G4 в направлении движения сигнала.
□	Этап 3. Исключить контур G^GJR.
□	Этап 4. Исключить контур, содержащий Нг.
□	Этап 5. Заменить оставшийся контур одним блоком и записать выражение T(s). Соостветствующие операции показаны на рис. 2.27, а программа, выполняющая их, приведена на рис. 2.59. Выполнение программы дает следующий результат:
55 + 454 + б55 + б52 + 55 + 2
SyS ” 12s6 + 20555 + IO6654 + 251753 + 312852+ 21965 + 712 ’
При определении передаточной функции замкнутой системы следует соблюдать осторожность. Передаточная функция определяет соотношение между входом и выходом после сокращения одинаковых нулей и полюсов. Если мы вычислим полюсы и нули T(s), то обнаружим, что полиномы в числителе и знаменателе имеют одинаковый сомножитель (5 + 1) . Эти сомножители необходимо сократить, прежде чем утверждать, что мы действительно получили передаточную функцию. В сокращении нуля и полюса нам может помочь функция minreal. Ее смысл поясняет рис. 2.60. Заключительная процедура в упрощении структурной схемы состоит в удалении одинаковых сомножителей из числителя и знаменателя Tts), как показано на рис. 2.61. Итоговый результат также приведен на этом рисунке. После применения функции minreal можно видеть, что порядки полиномов в числителе и знаменателе уменьшились на единицу за счет сокращения одного полюса и одного нуля.
Рис. 2.59
Упрощение многоконтурной системы
»ng1=[1); dg1=[1 10]; sysg1=tf(ng1,dg1); »ng2=[1]; dg2=[1 1]; sysg2=tf(ng2,dg2); »ng3=[1 0 1 ]; dg3=[1 4 4]; sysg3=tf(ng3,dg3); »ng4-[1 1]; dg4-[1 6 ]; sysg4-tf(ng4,dg4); »nh1=[1 1J; dh1=[1 2]; sysh1=tf(nh1,dh1);		
	Этап 1	
»nh2=[2]; dh2=[1]; sysh2=tf(nh2,dh2); »nh3=[1]; dh3=[1 ]; sysh3=tf(nh3,dh3); »sys 1 =sysh2/sysg4; »sys2=series(sysg3,sysg4);		
	Этап 2	
»sys3=feedback(sys2,sysh1 ,+1); »sys4=series(sysg2,sys3); »sys5=feedback(sys4,sys1); »sys6=series(sysg1 ,sys5);	Этап 3	
	Этап 4	
»sys=feedback(sys6,[1])	Этап 5	
Transfer function: sA5 + 4 sA4 + 6 sA3 + 6 sA2 + 5 s + 2		
12 sA6 + 205 sA5 + 1066 sA4 + 2517 sA3 + 3128 sA2 + 2196 s + 712		
110
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.60
Функция minreal
Одинаковых сомножителей нет
Возможны одинаковые сомножители
T(s) = sys
sys=minreal(sys1)
G(s) = sys
Рис. 2.61
Применение функции minreal
»num=[1 4 6 6 5 2]; den=[12 205 1066 2517 3128 2196 712];
»sy s 1 =tf(num, den);
»sys=minreal(sys1);
Сокращение одинаковых сомножителей
Transfer function:
0.08333 sA4 + 0.25 sA3 + 0.25 sA2 + 0.25 s + 0.1667
sA5 + 16.08 sA4 + 72.75 sA3 + 137 sA2 + 123.7 s + 59.33
Пример 2.21. Управление устройством электрической тяги
В заключение мы еще раз вернемся к системе управления устройством электрической тяги из примера 2.12. Структурная схема этой системы приведена на рис. 2.35(g). Здесь мы вычислим передаточную функцию замкнутой системы и исследуем реакцию скорости со(.у) на задающее воздействие ы/з). Первый этап, проиллюстрированный программой на рис. 2.62, состоит в определении передаточной функции T(s) = си(.у)/ш(/.у). Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет второй порядок, причем а>„- 52 и £ = 0,012. Поскольку коэффициент затухания очень мал, следует ожидать, что реакция системы будет иметь сильно колебательный характер. Реакцию <и(Г) на эталонный вход сог//) можно исследовать с помощью функции step. Эта функция, смысл которой поясняет рис. 2.63, вычисляет реакцию линейной системы на единичное ступенчатое воздействие. Ступенчатая функция имеет важное значение потому, что качество систем управления обычно оценивается по их реакции на воздействие данного вида.
Если единственной целью исследований является получение графика у(/), то функцию step можно использовать без указания аргументов в левой части инструкции. График будет получен автоматически с указанием переменных по осям координат. Если жеу(г) необходимо для каких-то других целей кроме построения графика, то функцию step надо использовать с указа-
Рис. 2.62 Упрощение структурной схемы системы электрической тяги
»num1=[10]; den1=[1 1]; sys1=tf(num1,den1); »num2=[1]; den2=[2 0.5]; sys2=tf(num2,den2); »num3=[540]; den3=[1]; sys3=tf(num3,den3); »num4=[0.1]; den4=[1]; sys4=tf(num4,den4); »sys5=series(sys1 ,sys2); ч	 »sys6=feedback(sys5,sys4); »sys7-series(sys3,sys6);			Исключение внутреннего контура	
»sys=teedback(sys7,[1J) ч	 Transfer function:	Определение передаточной функции замкутой системы			
5400		<o(s)		
2 sA2 + 2.5 s + 5402				
2.11. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска 111
Рис. 2.63
Функция step
нием всех аргументов в левой части инструкции, после чего вывод графика осуществляется с помощью функции plot. Переменная t определяется как вектор-строка, состоящая из моментов времени, в которые мы желаем получить значения выходной переменной y(t).
В программе MATLAB можно также задать значение t = tp так что переходная характеристика будет вычислена на интервале от t = 0 до t = tj, и кроме того указать число точек в этом интервале.
Переходная характеристика электропривода приведена на рис. 2.64. Как и ожидалось, выходная переменная у(/) = со(г), т. е. скорость вращения, имеет сильно колебательный характер.
Время (с)
mresp.m
%Эта программа вычисляет %переходную характеристику %электропривода
%
num=[5400J; den=[2 2.5 5402];
sys=tf(num,den);
t=[0:0.005:3];
[y,t]=step(sys,t);
Plot(t,y),grid
х1аЬе1('Время (c)’)
у!аЬе1(‘Скорость вращения')
Рис. 2.64. (а) Переходная характеристика электропривода; (6) Скрипт MATLAB
2.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска
□ В разд. 1.12 мы поставили исходную задачу управления дисководом: позиционировать считывающую головку точно на заданную дорожку и при возможности обеспечить переход от одной дорожки к другой в пределах 10 мс. В этой главе мы выполним этапы 4 и 5 процесса синтеза (см. рис. 1.19).
Нам необходимо выбрать исполнительное устройство, датчик и регулятор (этап 4). Затем следует разработать модель объекта, G(s), и датчика. Для приведения в действие
112
Глава 2, Математические модели систем
Рис. 2.65
Считывающая головка дисковода
рычага считывающей головки используется двигатель с постоянными магнитами (см. рис. 1.24). При производстве дисководов его называют двигателем со звуковой катушкой. Головка считывания закреплена на скользящем элементе, закрепленном на рычаге, как показано на рис. 2.65. Гибкая пластина дает возможность головке плавать над диском с зазором менее 100 нм. Тонкопленочная головка воспринимает магнитный поток и формирует сигнал, поступающий на усилитель. Сигнал ошибки на рис. 2.66(a) формируется на основании заданного номера дорожки. Полагая, что положение считывающей головки определяется точно, можно считать, что передаточная функция датчика H(s) = 1, как показано на рис. 2.66(6). На этом рисунке также приведены модели двигателя с постоянными магнитами и линейного усилителя. Двигатель, управляемый по цепи якоря, достаточно хорошо представляется в виде модели на рис. 2.20 при Кь = 0. В полной модели системы на рис. 2.66(6) предполагается, что пластина является жесткой, а не слишком гибкой. В гл. 4 мы рассмотрим модель, в которой это допущение не имеет силы.
Рис. 2.66. Структурная схема считывающей системы дисковода
2.11. Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска 113
Таблица 2.9. Типичные параметры дисковода
Параметр	Обозначение	Типичное значение
Момент инерции рычага и считывающей головки	J	1 Н • м  с2/рал
Коэффициент трения	b	20 кг/м/с
Коэффициент усиления	Ни	10-1000
Сопротивление якоря	R	1 Ом
Коэффициент передачи двигателя	кт	5 Н  м/А
Индуктивность якоря	L	1 мГн
Типичные параметры дисковода приведены в табл. 2.9. Следовательно, мы имеем:
G(s) =----------------=-------— --------.	(2.117)
s(Js+ b)(Ls + R) s(s+2(f)(s +1000)
Выражение G(s) можно также представить в виде
(2.118)
S(T£S+1)(Т5+1)
где xL = J/fe = 50 мс и т = L/R = 1 мс. Поскольку т «: т£, мы можем пренебречь величиной т. Тогда
С(,).. WS.— 5(Т£5+1) 5(0,055+1)
или
1 J I —---- •
s(s+20)
Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 2.67. На основании правил преобразования структурных схем (см. табл. 2.6) можно записать:
KoG(s)
R(s) l+KaG(s)
Используя аппроксимацию G(s) вторым порядком, мы получим
Г(Д)_ 5Ка
R(s) s2+20s+5Ku
Если Ка = 40, то
У(5) =
200
s2 + 20s+ 200
A(s).
Полагая r(t) = 0,1 рад, т. е. R(s) = 0,1 Is, с помощью функции step мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 2.68.
Рис. 2.67
Структурная схема замкнутой системы
А(5)
114
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.68
Реакция системы, изображенной на рис. 2.67, на воздействие f?(s) = 0,1/s
2.12.	Резюме
В этой главе были рассмотрены количественные математические модели систем управления и их элементов. При построении этих моделей в основу были положены дифференциальные уравнения, описывающие поведение физических систем. В числе этих систем были рассмотрены механические, электрические, гидравлические и термодинамические. В отношении нелинейных элементов был применен метод линеаризации, основанный на разложении нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки. После такой линеаризации к системе применимо преобразование Лапласа и вытекающее из него понятие передаточной функции. С помощью передаточной функции исследователь может определить реакцию системы на различные входные воздействия. Было также показано, как образуются модели систем в виде структурных схем и сигнальных графов. Продемонстрировано, как с помощью формулы Мейсона можно получить связь между отдельными переменными системы сложной конфигурации. Преимущество моделей в виде сигнальных графов заключается в том, что формула Мейсона позволяет получить связь между переменными системы, не прибегая к сложным преобразованиям. Итак, в этой главе мы получили такие ценные средства описания систем управления, как их математические модели в виде передаточных функций, структурных схем и сигнальных графов. Мы оценили также преимущества компьютерного моделирования для исследования поведения систем при различных комбинациях их параметров и внешних воздействий. И, наконец, мы продолжили разработку системы управления считыванием информации с диска, получив передаточные функции элементов этой системы.
Упражнения
У-2.1. В системе с единичной отрицательной обратной связью, изображенной на рис. 2.1 (У), нелинейный элемент описывается зависимостью у =fie) = е~. При задании входного сигнала в диапазоне от 0 до 4 постройте график зависимости у(г) как для разомкнутой, так и для замкнутой системы и покажите, что при наличии обратной связи характеристика становится более линейной.
Обратная связь действует при замыкании ключа
Рис. 2.1 (У). Разомкнутая и замкнутая система
Упражнения
115
У-2.2. Сопротивление термистора R описывается зависимостью R = Лое'0’17',
где Rq = 10 кОм, а 7'—температура в градусах Цельсия. Получите линейную модель термистора для случая малых отклонений температуры от номинального значения Т = 20 °C.
Ответ: AR = -135 АГ.
У-2.3. Механическая система пружина-масса, изображенная на рис. 2.2, имеет зависимость между силой и перемещением как на рис. 2.3(У). Графическим путем определите коэффициент упругости в точке равновесия у= 0,5 см при отклонениях Ду = ±1.5 см.
У-2.4. Для быстрого вывода на печать документов из компьютера используется лазерный принтер. Положение луча принтера задается управляющим воздействием r(f), так что y(j) = ^±ioo) ? +60s+500
(а)	Если r(f) — единичное ступенчатое воздействие, то каков закон изменения положения луча И0?
(б)	Чему равно конечное значение у(7)?
Ответ: (a) y(t) = 1 - 1,125е"10' + 0,125е-50'; (б) ум
У-2.5. На рис. 2.5(У) изображен неинвертирующий усилитель на ОУ. Считая операционный усилитель идеальным, определите v0/v,.
1.
Рис. 2.5 (У). Неинвертирующий усилитель
Ответ: — =
Vj
У-2.6. Нелинейное устройство описывается зависимостью у = f(x) = -Jx . Рабочая точка задана значением входной переменной х0 = 1/2. Получите линейную аппроксимацию характеристики в случае малых отклонений Ах. Ответ: Ду = Иьх/Л.
У-2.7. Для поддержания постоянной яркости свечения лампы накаливания используется фототранзистор, включенный в цепь обратной связи. При уменьшении напряжения в сети яркость лампы также уменьшается и фототранзистор вырабатывает меньший ток. В результате увеличивается проводимость мощного транзистора, управляющего зарядом конденсатора. Напряжение конденсатора подается непосредственно на лампу. На рис. 2.7(У) изображена структурная схема этой системы. Определите передаточную функцию l(s)/R(s), где l(s) — яркость лампы, a R(s) — управляющий сигнал, соответствующий желаемому значению яркости.
У-2.8. В 1930-е годы инженер Н. Минорский разработал для ВМС США новую систему управления курсом судна. Эта система представлена на рис. 2.8(У) в виде структурной схемы, где Г(х) —
а)
ад
б)
Фильтр
Диафрагма
Непрозрачная трубка
Рис. 2.7 (У). Регулятор яркости
116
Глава 2, Математические модели систем

Рис. 2.8 (У). Система управления курсом судна курс судна, R(s) — заданное значение курса, a A(s) — угловое положение руля. Определите передаточную функцию Y(s)/R(s). F(s)	KG}(s)G2(s)/s
Ответ-.------ =-----------------------—.
R(s) 1 + G1(j)//3(j) + G1(sX'2(j)[^i(-s')+ H2(s)]+ KGt(s)G2(s)/s
У-2.9. В системе торможения автомобиля применяется электронная цепь обратной связи, с помощью которой автоматически вырабатывается тормозное усилие на каждое из колес. На рис. 2.9(У) приведен упрощен-	________ ?
ный сигнальный граф этой систе-	—Hx(s)	'
мы, где Ff(s) и Fpfs) есть, соответ-	/
ственно, тормозные усилия на пе-редкие и задние колеса, a R(s) —	/	/ G,(j)
желаемая реакция автомобиля на	।	/	G,(j)	_/
скользкой дороге. Определите пе- R(s) Q------*	Q----- ►
редаточную функцию Ff(s)/R(s).	X	X.
У-2.10. Опыт эксплуатации внедорож-	х, G,(j)
ных автомобилей показывает, что при движении по пересеченной местности они подвергаются дей-	~H2(s)	-------\
ствию многих возмущений. В этом случае может быть примене- Рис. 2.9 (У). Система управления торможением на система активной подвески, управляемая с помощью датчика, который предвидит изменение дорожной обстановки. Пример такой простой системы, смягчающей влияние неровностей, приведен на рис. 2.10(У). Определи-
Подпрыгивание автомобиля или отклонение от горизонтали
Рис. 2.10 (У). Система активной подвески
Упражнения
117
те значение коэффициента Kt, при котором автомобиль не подпрыгивал бы при действии возмущения D(s) и при желаемом отклонении R(s) = 0. Ответ: К^2 = 1.
У-2.11. Зависимость упругой силы от деформации пружины показана на рис. 2.11 (У). Определите значение коэффициента упругости при малых отклонениях от рабочей точки х0, если
(а) х0 = - 1,4; (б) х0 = 0; (в) х0 = 3,5.
У-2.12. Одной из наиболее полезных автомобильных систем является система управления активной подвеской. В такой системе используется амортизатор, состоящий из цилин-
4
Рис. 2.11 (У). Характеристика пружины
дра, заполненного сжимаемой жидкостью, которая обеспечивает возникновение упругой и демпфирующей сил. Цилиндр включает в себя плунжер, управляемый электродвигателем, поршень и датчик, измеряющий перемещение поршня. Перемещение поршня вызывает появление упругой силы, которая сжимает жидкость. Для целей управления демпфированием используется разность давлений по обе стороны поршня, возникающая при его перемещении. Плунжер изменяет объем внутренней полости цилиндра. Данная система с обратной связью изображена на рис. 2.12(У).
Рис. 2.12 (У). Амортизатор
Разработайте линейную модель амортизатора в виде структурной схемы.
У-2.13. Определите передаточную функцию Y^sj/R^s) для многомерной системы, изображенной на рис. 2.13(У).
У-2.14. Запишите дифференциальные уравнения относительно токов q и i2 для схемы, изображенной на рис. 2.14(У).
Рис. 2.13 (У). Многомерная система
118
Глава 2. Математические модели систем
У-2.15. Система управления положением космической платформы описывается сле-
дующими уравнениями:
d2p „ ф _ —£-+2—+ 4р=0. <*2 dt
v\=r-p ,
dB
— = 0,6v9, v9 = 7v..
dt 2	21
Рис. 2.14 (У). Электрическая схема
Переменные в уравнениях имеют следу-
ющий смысл:
г(0 — желаемое положение платформы. p(t) — действительное положение платформы,
v](/) — напряжение на входе усилителя, v2(/) — напряжение на выходе усилителя,
0(0 — положение вала двигателя.
Изобразите сигнальный граф системы, обозначив все элементы и указав связь между ними; затем определите передаточную функцию системы P(s)/R{s) .
У-2.16. Пружина, используемая в автомобильном амортизаторе, создает силу f определяемую уравнением f=kx\ где х—деформация пружины. Получите линейную модель пружины при х0 = 1.
У-2.17. Выход у и вход х устройства связаны соотношением
у = X + 0,79х3.
(а)	Определите значения выходной переменной в двух рабочих точках: л0 = 1 и х0 = 2.
(б)	Получите линеаризованные модели устройства в этих рабочих точках и сравните их.
У-2.18. Передаточная функция системы имеет вид:
У(5)	10(5+2)
7?(s) ~ j2 + 8j+15 ’
Определите y(t), если r(t) имеет вид единичной ступенчатой функции.
Ответ: у(р) = 1,33 + 1,67е-3/ — Зе-5'.
У-2.19. Определите передаточную функцию Ко($)/И($) для схемы на операционном усилителе, изображенной на рис. 2.19(У). Считайте, что операционный усилитель — идеальный. Вычислите передаточную функцию при А1 = Л2 = 100 кОм, С] = 10 мкФ и С2 = 5 мкФ.
У-2.20. На рис. 2.20(У) изображена скользящая каретка, обеспечивающая прецизионное позиционирование щупа. Определите передаточную функцию Хр (s)IXt (sj, если коэффициент трения приводного вала bd = 1, коэффициент упругости приводного вала kd = 3, тс = 2/3 и коэффициент трения скольжения bs = 1.
Рис. 2.19 (У). Схема на операционном усилителе
Рис. 2.20 (У). Каретка с прецизионным позиционированием
Упражнения
119
Рис. 2.21 (У). Спутник
У-2.21. Угловая скорость вращения спутника со, изображенного на рис. 2.21(У), зависит от длины штанги L. Передаточная функция, связывающая co(s) и приращение длины штанги ДЛ(л ), имеет вид:
сф) _ 2,5(5+2)
М(л) ~ (л + 5)(л + I)2 ’
Изменение длины штанги происходит в соответствии с выражением AL(j) = 114s. Определите закон изменения скорости со(С).
„	,,	1	з -5/	35	5
Ответ: (Mt) =—I------е--------е------te .
4 128	128	32
У-2.22. Определите передаточную функцию замкнутой системы T(s) = Y(s)/R(s), соответствующую сигнальному графу на рис. 2.22(У).
У-2.23. На рис. 2.23(У) изображена структурная схема системы. Определите переда-
точную функцию системы T(s) = = Y(s)/R(s).
У-2.24. Усилитель может обладать зоной нечувствительности, как показано на рис. 2.24(У). Для линейного участка характеристики воспользуйтесь аппроксимацией вида у = ах3. Выберите значение а и линеаризуйте характеристику усилителя
Рис. 2.23 (У)
в окрестности рабочей точки х = 0.6.
У-2.25. Определите передаточную функцию X2(s)/F(s) для системы, изображенной на рис. 2.25(У). Оба груза скользят по повехности без трения, а коэффициент жесткости пружины к= 1 Н/м.
Рис. 2.24 (У). Усилитель с зоной нечувствительности
Рис. 2.25 (У)
120
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.26 (У)
Система при наличии возмущения
У-2.26. Определите передаточную функцию Y(s)/D(s) для системы, изображенной на рис. 2.26(У).
У-2.2 7. Определите передаточную функцию V0(s)!V(s) для схемы на операционных усилтелях, изображенной на рис. 2.27(У). если R} = 167 кОм, Т?2 = 240 кОм, R3 = 1 кОм, Т?4 = 100 кОм и С = 1 мкФ. Операционные усилители считаются идеальными.
Рис. 2.28 (У)
Рис. 2.27 (У)
Схема на операционных усилителях
Ф)
б)
У-2.28. Для стуктурной схемы на рис. 2.28(У)(б) определите G(s) и H(s) так, чтобы эта схема была эквивалентна структурной схеме на рис.2.28(У), (а).
Для схемы на рис. 2.28(У), (б) запишите передаточную функцию Y(s)/R(s).
У-2.29. Для системы на рис. 2.29(У):
(а)	Определите передаточную функцию
Y(s)/R(s), если	R(s)
Рис. 2.29 (У)
10
G(s) = 2----
(? + 2s+10)
(б)	Запишите выражение У($), если входной сигнал г(/) есть единичная ступенчатая функция.
(в)	Найдите выражение у(1).
У-2.30. Найдите вычеты для разложения 1/(л) на простые дроби путем (а) вычислений и (б) графических построений на ^-плоскости:
Г(*) = 2 400---
s2+8s+400
Задачи
121
Задачи
3-2.1. Запишите систему интегродифференциальных уравнений, характеризующую процессы в электрической схеме на рис. 2.1(3).
3-2.2. На рис. 2.2(3) изображен динамический поглотитель вибраций. Подобная схема типична для многих ситуаций, связанных с вибрацией механизмов, содержащих несбалансированные компоненты. Параметры М2 и кх2 можно подобрать так, что основная масса Мх будет избавлена от вибраций при F(t) = osinco0r. Запишите дифференциальные уравнения, описывающие поведе-
ние системы.
3-2.3. На рис. 2.3(3) изображена система из двух масс, соединенных пружиной. Предполагается, что массы и пружины одинаковы. Запишите дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы.
Сила до
y.W
Рис. 2.2 (3). Поглотитель вибраций
Рис. 2.
1 (3). Электрическая схема
Рис. 2.3 (3). Система с двумя массами

3-2.4. Нелинейный усилитель описывается следующей зависимостью:
vo(O =
v,2, v, > О, -у,2, у, < 0.
В рабочей точке входное напряжение изменяется в диапазоне ± 0.5 В. Получите линейную аппроксимацию усилителя, если рабочей точке соответствует (a) у, = 0 или (б) v, = 1 В. Для каждого случая изобразите график нелинейной функции и ее линейной апроксимации.
3-2.5. Поток жидкости через трубку можно описать нелинейным уравнением Q = К(РХ - Р2)т.
где К = const, а смысл остальных переменных ясен из рис. 2.5(3).
(а)	Получите линейную аппроксимацию для уравнения по- Q тока жидкости.
(б)	Что произойдет с полученной аппроксимацией, если рабочей точке будет соответствовать Рх - Р2 = 0?
3-2.6. С помощью преобразования Лапласа получите выражение для тока l2(s) из задачи 2.1. если считать, что все начальные условия равны нулю, напряжение у(1) = 0, а начальные значения напряжений на конденсаторах С, и С2 соответственно равны 0 и 10 В.
122
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.7 (3). Дифференцирующая цепь
Рис. 2.8 (3). Мостовая Т-образная схема
3-2.7. Получите передаточную функцию для дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 2.7(3).
3-2.8. В системах управления, работающих на переменном токе, в качестве фильтра часто применяются мостовые Т-образные схемы. Одна из таких схем приведена на рис. 2.8(3). Покажите, что передаточная функция этой схемы равна
Ц, (5) _	1 + 2Rps + Rfi^s2
V, (s) - 1 + (2R} + R2)Cs + R}R2C2s2 '
Укажите расположение на комплексной плоскости полюсов и нулей, если Rx = 0,5, R-, = I и С =0,5.
3-2.9. Получите передаточную функцию Xl(s)/F(s) для системы с двумя связанными массами из задачи 2.3. Определите положение на s-плоскости полюсов и нулей, если М = 1. Ык = I и
3-2.10. Определите передаточную функцию Yx(s)/F(s) для поглотителя вибраций из задачи 2.2. Установите, при каких значениях параметров М2 и к12 в случае F(t) = a sincoof вибрация массы Мх будет отсутствовать.
3-2.11. В электромеханических системах, требующих значительного усиления по мощности, часто применяются электомашинные усилители (ЭМУ). Такой ЭМУ и сервопривод изображены на рис. 2.11(3). Определите передаточную функцию 0(s)/rc,(s) и изобразите структурную схему системы Считайте, что vcl = k2iq и vq = kxic.
Цепь управления
Рис. 2.11 (3). Электромашинный усилитель и двигатель, управляемый по цепи якоря
Задачи
123
3-2.12. На рис. 2.12(3) изображена емкость, в которую поступает несжимаемая жидкость. Можно считать. что изменение расхода на выходе из емкости, A(92- пропорционально изменению уровня жидкости АН. В установившемся режиме Qt = Q2 и Q2 = k^fH. Используя линейную аппроксимацию, получите передаточную функцию объекта де^/де^).
3-2.13. На рис. 2.13(3) изображена разомкнутая электромеханическая система управления. Генератор. якорь которого вращается с постоянной скоростью, вырабатывает напряжение, поступающее на обмотку возбуждения двигателя. Двигатель обладает моментом инерции Jm и коэффициентом трения Ьт. Определите передаточную функцию 0L(s)/V j(s) и изобразите структурную схему системы. Предполагается, что напряжение гене-
с потоком жидкости
ратора vg пропорционально току возбуждения if.
Рис. 2.13 (3). Система генератор-двигатель
3-2.14. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи возбуждения через редуктор приводит во вращение нагрузку. Характеристика двигателя предполагается линейной. В результате испытаний при подаче на обмотку двигателя ступенчатого напряжения величиной 80 В нагрузка через 0.5 с достигает скорости 1 рад/с . Установившееся значение скорости равно 2.4 рад/с .
Определите передаточную функцию двигателя 0(s)/l^(s) с размерностью рад/В . Индуктивностью обмотки возбуждения можно пренебречь (см. рис. 2.17).
3-2.15. Рассмотрите систему масса-пружины, изображенную на рис. 2.15(3). Получите дифференциальное уравнение, описывающее движение массы т. Найдите реакцию системы на начальное условие х(0)= 1.
3-2.16. Постройте сигнальный граф для следующей системы алгебраических уравнений, считая Х| и х2 зависимыми пере-меными, а 6 и 11 — входами:
Рис. 2.15 (3). Масса на пружинных подвесках
+ 1,5л2 = 6, 2х1 + 4х2 =11.
124
Глава 2, Математические модели систем
По формуле Мейсона определите значение каждой зависимой переменной. Решение для х.
проверьте с помощью правила Крамера.
3-2.17. На рис. 2.17(3) изображена механическая система. в которой задается смещение х3(1) известного вида относительно стационарного значения этой переменной.
(а)	Запишите два независимых уравнения движения.
(б)	Получите уравнения движения в виде преобразований Лапласа, считая начальные условия нулевыми.
(в)	Изобразите сигнальный граф, соответствующий этой системе уравнений.
(г)	С помощью формулы Мейсона найдите связь между X](s) и A"3(.s). /|3(s). Сравните трудоемкость получения Ti3(s) с помощью матриц и с помощью формулы Мейсона.
3-2.18. На рис. 2.18(3) изобажена каскадная АС-цепь, для которой справедливы следующие уравнения:
А = (И - к, )У„ 1'я = (7, - 7Я )Z2.
4 = (с„-г2)У3, r2 = /„z4.
Изобразите сигнальный граф, соответствующий этим уравнениям, и определите передаточную функцию ^(sJ/Kjfs).
Рис. 2.18 (3)	д
Каскадная АС-цепь	о—►
+
Г,(5)
3-2.19. На рис. 2.19(3) изображен повторитель напряжения (буферный усилитель). Считая операционный усилитель идеальным, покажите, что Т- v0/v, = 1.
3-2.20. Повторители напряжения используются для существенного уменьшения выходного сопротивления источника сигнала. Схема такого повторителя на полевом транзисторе с коэффициентом усиления, практически равным единице, приведена на рис. 2.20(3) (а), а его малосигнальная эквивалентная модель — на рис.2.20(3) (б). Предполагается, что для создания смещения выбрано » Л, и что Rg » R,.
(а)	Получите выражение для коэффициента усиления схемы.
(б)	Вычислите коэффициент усиления, если gn, = 2000 мкмо и Rs = 10 кОм, где R, = Л, + Л2 .
(в)	Изобразите сигнальный граф, отражающий уравнения для данной схемы.
Рис. 2.19 (3). Схема
на неинвертирующем операционном усилителе
Задачи
125
Рис. 2.20 (3) Повторитель напряжения на полевом транзисторе (схема с общим стоком).
Я)
3-2.21. На рис. 2.21(3) изображен гидравлический сервопривод с механической обратной связью. Площадь поршня силового гидроцилиндра равна А. Когда золотник перемещается на малую величину Az, то масло потекает через гидроцилиндр со скоростью y?Az, где р— степень открытия отверстия. Давление масла предполагается постоянным. Из геометрических соображений ясно, что Az = к -—- (х - у) - — у.
l}	lt
(а)	Изобразите сигнальный граф замкнутой гидромеханической системы.
(б)	Определите передаточную функцию замкнутой системы y(s)Z¥(s).
Рис. 2.21 (3). Гидравлический сервопривод
Рис. 2.22 (3). Стержни длиной L, соединенные пружиной в точках Z./2
3-2.22. На рис. 2.22(3) показаны два маятника, соединенные пружиной точно в середине стержней, причем в их точках подвеса трение отсутствует. Предполагается, что каждый маятник представляет собой массу М на конце стержня длиной L, а массой стержня можно пренебречь. Кроме того, считается, что отклонения от положения равновесия являются малыми, поэтому для sin0 и cos0 применима линейная аппроксимация. При 0] = 02 деформация пружины отсутствует. Внешняя сила fit) приложена только к левому стержню.
(а)	Запишите уравнения движения и представьте их в виде структурной схемы.
(б)	Определите передаточную функцию T(s) = Ox(s)/F(s).
(в)	Изобразите расположение на 5-плоскости полюсов и нулей T(s).
3-2.23. На рис. 2.23(3) изображена малосигнальная эквивалентная схема транзисторного усилителя с общим эмиттером. Обратная связь в усилителе осуществляется с помощью резистора Rj. Определите отношение vce/v,.
126
Глава 2, Математические модели систем
Рис. 2.23 (3)
Усилитель с общим эмиттером
Рис. 2.24 (3). Усилитель с обратной связью
3-2.24. На рис. 2.24(3), (а) изображен усилитель напряжения с обратной связью на двух соединенных последовательно транзисторах. В эквивалентной схеме для переменного тока опущены резисторы, необходимые для задания смещения, и шунтирующие конденсаторы. Соответствующий этой схеме сигнальный граф приведен на рис.2.24(3), (б). На графе не отражено влияние h,.e. обычно достаточно точно аппроксимируемого, а также предполагается, что (R, + Rt) » Я,, (а) Определите коэффициент усиления по напряжению v0/v,.
(б) Определите коэффициент усиления по току i^Hbx-
(в) Определите входное сопротивление
3-2.25. Часто не обращают внимание на тот факт, что Г. С. Блэк, предложивший в 1927 г. идею разработки усилителей с отрицательной обратой связью, тремя годами раньше изобрел метод синтеза схем, известный как метод коррекции по возмущению. Дальнейшие эксперименты показали. что этот метод открывает богатые возможности для создания усилителей с высокостабильными характеристиками. Усилитель Блэка изображен на рис. 2.25(3) (а) в том виде, как он был предложен им в 1924 г. Соответствующий сигнальный граф приведен на рис. 2.25(3). (б). Определите передаточные функции от входа R(s) к выходу y(s) и от возмущения D(s) к выходу У(л). Каждому усилителю, обозначенному как р на схеме (а), соответствует D(s) на графе.
д)	б)
Рис. 2.25 (3). Усилитель Г. С. Блэка
Задачи
127
3-2.26. Если рука робота захватывает тяжелый груз, то в ее сочленениях появляется значительная гибкость. На рис. 2.26(3) изображена соответствующая данному случаю модель руки робота. Определите передаточную функцию Y(s)/F(s).
3-2.27. Транспортные средства на магнитной подушке отличаются большей скоростью и меньшим трением по сравнению с
Рис. 2.26 (3). Модель руки робота в виде демпфированной системы «масса-пружина»
традиционным железнодорожным транс-
портом. На рис. 2.27(3) схематически изображен поезд, плавающий над магнитным рельсом с воздушным зазором. Сила левитации FL регулируется током i в катушках подвески и может быть аппроксимирована выражением
где z — величина воздушного зазора. Эта сила направлена навстречу силе тяжести F= mg. Определите линеаризованную зависимость между воздушным зазором z и управляющим током в окрестности точки равновесия.
3-2.28. Многоконтурная модель экологической среды обитания в городских условиях может включать в себя следующие переменные: количество населения (Р), благоустройство (Л/), приток населения в город (Q, санитарные возможности (5), количество заболеваний (£>), число бактерий на единицу площади (В) и количество отходов на единицу пло-
Рис. 2.27 (3). Поезд на магнитной подушке (в разрезе)
щади (G). В скобках указан символ каждой переменной. Можно предположить наличие следу-
ющих замкнутых причинно-следственных цепочек:
1. P->G^>B->D^>P;	3.
2.Р->М-*С^>Р;	4. P-+M^»S^>B^»D-*P.
Изобразите сигнальный граф, отражающий эти связи, и укажите на нем соответствующие коэффициенты преобразования. Поясните, почему вы считаете каждое преобразование положительным или отрицательным. Например, преобразование 5 —> В является отрицательным, т. к. улучшение санитарных условий ведет к уменьшению числа бактерий на единицу площади. В каком из четырех контуров обратная связь является положительной и в каком — отрицательной?
3-2.29. Мы хотим удержать в равновесии шарик, который может катиться по вращающемуся брусу, как показано на рис. 2.29(3). Предположим, что вращающий момент двигателя определяется входным током I и при этом трением можно пренебречь. Будем также считать, что брус можно удержать в равновесии вблизи горизонтального положения (<р = 0), так что от-
Момент двигателя
Рис. 2.29 (3). Шарик на вращающемся брусе
клонения угла <р являются малыми.
128
Глава 2. Математические модели систем
Определите передаточную функцию A(s)//(s) и приведите структурную схему, на которой обозначьте <p(s), X(s) и /(s).
3-2.30. Точность систем управления в значительной степени определяется типом датчика, используемого в цепи обратной связи. Особенно важную роль играют динамические свойства датчика. Большинству датчиков свойственна передаточная функция
Я(5) = -Ц.
TS+ 1
Рассмотрите некоторые из современных промышленных датчиков и выявите, какой точностью и постоянной времени они обладают. Как пример, возьмите по два из следующих датчиков: (1) линейного перемещения. (2) температуры, (3) деформации, (4) давления.
Рис. 2.31 (3). Система управления скоростью сматывания кабеля с катушки
3-2.31. В системе, управляющей скоростью, с которой кабель сматывается с катушки, в качестве датчика используется тахогенератор. Выходное напряжение тахогенератора используется для управления скоростью двигателя, вращающего катушку. На рис. 2.31(3) изображена соответствующая система управления. Радиус катушки равен 4 м. когда она заполнена, и 2 м — когда она пустая. Момент инерции катушки J = 18.5R4 - 221. Скорость изменения радиуса
dR _ Р2а
dt 2nlV
где IV— ширина катушки, a D — диаметр кабеля. Действительная скорость сматывания кабеля v(f) = Rd>. Заданная скорость сматывания равна 50 м/с . Разработайте схему моделирования этой системы на цифровом компьютере и определите ее реакцию на интервале 0-20 с для трех значений коэффициента К = 0,2; 0.4 и 0,6. Угловая скорость катушки со = dQ/dt равна интегралу
от момента с коэффициентом 1/J. Обратите внимание, что момент инерции изменяется по мере
разматывания кабеля, однако при моделировании это будет учтено приведенным выше выражением. Выберите коэффициент К так. чтобы ограничить перерегулирование величиной 9% и в то же время добиться максимального быстродействия. Для моделирования примите, что при t = 0 И' = 2.0, D = 0,1 и R = 3,5.
3-2.32. На рис. 2.32(3) изображена система с двумя входами и двумя выходами. Полагая R, = 0. определите У](а)//?|(л') и r2(s)/R,(s).
Рис. 2.32 (3). Многомерная система
Задачи
129
Рис. 2.33 (3). Модель связанных электродвигателей
3-2.33. Система состоит из двух электродвигателей, соединенных между собой непрерывным гибким ремнем. Ремень также проходит через специальное приспособление, измеряющее его скорость и натяжение. Задача управления состоит в регулировании скорости и натяжения ремня путем изменения вращающих моментов двигателей.
Практическим примером такой системы может служить перемотка пряжи в текстильном производстве с одной бобины на другую с высокой скоростью. В промежутке между двумя бобинами пряжа подвергается определенной обработке, при которой может потребоваться регулирование в заданных пределах скорости и натяжения. Модель подобной системы приведена на рис. 2.33(3). Определите Y2(s)/Rl(s). Определите также, при каких условиях, предъявляемых к системе, У2 не будет зависеть от Rt.
3-2.34. Определите передаточную функцию Y(s)/R(s) для системы регулирования скорости (числа оборотов) на холостом ходу автомобильного двигателя с инжекцией топлива, изображенной на рис. 2.34(3).
Рис. 2.34 (3). Система регулирования числа оборотов автомобильного двигателя
130
Глава 2. Математические модели систем
3-2.35. На рис. 2.35(3) изображена система подвески колеса автомобиля-пикапа. Масса автомобиля равна тх, а масса колеса — т2. Коэффициент упругости рессоры равен к1г а коэффициент упругости шины — к2. Амортизатор обладает коэффициентом демпфирования Ь. Определите передаточную функцию y((5)/X(s), характеризующую реакцию автомобиля на неровности дороги.
3-2.36. Система управления с обратной свя-
Рис. 2.35 (3). Подвеска колеса автомобиля-пикапа
зью имеет структуру, изображенную на рис. 2.36(3). Определите передаточную функцию Y(s)/R(s): (а) путем преобразования (упрощения) струк-турной схемы и (6) с помощью формулы Мейсона по сигнальному графу. (в) Выберите коэффициенты и К2 так, чтобы реакция замкнутой системы на ступенчатое воздействие была критически демпфированной и оба полюса располагались в
точке 5 = -10. (г) Для последнего	Рис. 2.36 (3)
случая изобразите график переходной функции системы. Через какое
время переходная функция достигает 90% от своего установившегося значения? 3-2.37. Для системы, представленной на рис. 2.37(3):
(а) Разложите передаточную функцию на элементарные дроби и определите реакцию y(t) R(s)--------►
на линейное входное воздействие, r(t) = t.t>0.
12
?+8?+ 195 +12
>У'(5)
(б) Постройте график полученной функции
Рис. 2.37 (3)
y(t) и найдите значение y(t) при t = 1.5 с.
(в) Определите импульсную переходную функцию системы у(() для
1>0.
(г) Постройте график импульсной переходной функции и найдите ее значение при t = 1,5 с.
3-2.38. На систему с двумя массами, изображенную на рис. 2.38(3), действует внешняя сила ?/(/). Считая т । = т2 = 1 и = К2 = 1, запишите систему дифференциальных уравнений, характеризующих движение системы.
3-2.39. Крутящийся маятник, изображенный на рис.2.39(3), состоит из двух
стальных шариков, находящихся на концах тонкого длинного стержня.
Стержень подвешен
на тонкой проволочке, __________________________________
которая выдерживает много оборотов без разрушения. Маятник закручивают на 4000 градусов. Сколько времени потребуется, чтобы возникшие колебания затухли до
А
I и
Рис. 2.38 (3)
Система с двумя массами
Рис. 2.39 (3). Крутящийся маятник
Задачи
131
амплитуды 10 градусов? Проволочка имеет коэффицент упругости при скручивании, равный 2  10-4 Н • м/рад, а коэффициент вязкого трения шариков в воздухе также равен 2 • 10-4 Н • м/рад. Масса каждого шарика равна 1 кг.
Рис. 2.40 (3)
Электрическая схема
3-2.40. В схеме, изображенной на рис. 2.40(3), определите изображение по Лапласу выходного напряжения Ио($). Предполагается, что при t < 0 схема находится в установившемся состоянии.
а в момент t = 0 ключ мгновенно переводится из положения 1 в положение 2.
3-2.41. Для уменьшения нежелательных вибраций механизмов применяются демпфирующие устройства. На рис. 2.41(3) показано одно из таких устройств: между двумя колесами помещается вязкая жидкость, например густое масло. Когда вибрация становится значительной, движение колес относительно друг друга создает демпфирующий эффект. Если механизм вращается без вибрации, то относительное движение колес отсутствует и демпфирования не происходит. Опре-
Рис. 2.41 (3). Демпфирующее устройство в разрезе
делите 0|(s) и 02(s). Коэффициент упругости вала равен К, коэффициент вязкого трения — Ь. а
вращающий момент, передаваемый нагрузке — Т.
3-2.42. На рис. 2.42(3) изображена ракета, оснащенная двигателем с изменяемым вектором тяги. Отклонение ракеты по горизонтали от заданной траектории равно h, а скорость ее движения в направлении оси равна К. Момент, развиваемый двигателем (управляющий момент), равен Тс, а возмущающий момент — Td. Запишите уравнения, описывающие линейную модель системы, и изобразите соответствующую структурную схему.
3-2.43. На рис. 2.43(3) схематически изображен оптический сканер, который часто используется для считывания штрих-кодов с товаров в супермаркетах, а также в полиграфии и ряде отраслей производства. При вращении зеркала возникает сила трения, пропорциональная угловой скорости. Коэффициент трения равен 0,06 Н • с/рад , а момент инерции — 0,1 кг  м2. Выходной переменной является угловая скорость (<>(/). (а) Запишите дифференциальное уравнение для двигателя, (б) Определите реак-
Заданная	Действительная
траектория траектория
Рис. 2.42 (3). Ракета с двигателем с изменяемым вектором тяги
132
Глава 2. Математические модели систем
Рис. 2.43 (3)
Оптический сканер
Зеркало
Рис. 2.45 (3). Электродвигатель, редуктор и нагрузка
цию системы на единичное ступенчатое изменение вращающего момента, если при t = 0 начальное значение скорости равно 0,7 рад/с.
3-2.44. В поз. 10 табл. 2.5 изображен идеальный шестеренчатый редуктор. Пренебрегая моментом инерции и трением между шестернями, а также считая, что обе шестерни выполняют одинаковую работу, докажите справедливость приведённых в таблице соотношений. Определите связь между моментами Тт и TL.
3-2.45. Электродвигатель через идеальный шестеренчатый редуктор вращает массивную цилиндрическую нагрузку, как показано на рис. 2.45(3). Момент инерции вала двигателя с закрепленной на нем шестеренкой G2 равен Jm. Определите (а) момент инерции нагрузки JL и (б) момент Т на валу двигателя. Коэффициенты трения нагрузки и вала двигателя соответственно равны bL и bm. Плотность материала диска равна р.
3-2.46. Робот по сравнению с человеком-оператором способен развивать гораздо большие усилия: в свою очередь, человек по сравнению с роботом способен совершать разумные действия. Объединение этих положительных качеств приводит к созданию класса манипуляторов, называемых экстендерами. Экстендер определяется как активный манипулятор, управляемый человеком и увеличивающий прикла
Рис. 2.46 (3)
Модель экстендера
Корректирующий фильтр
Задачи
133
дываемые им усилия. Человек задает входное воздействие U(s), как показано на рис. 2.46(3). Выходом экстендера является P(s). Определите P(s) как функцию U(s) и F(s) в виде
Л$) =	+ 7’2(s)F(s).
3-2.47. Груз, перевозимый автомобилем, приводит к появлению силы F. действующей на пружину амортизатора и деформирующей шину, как показано на рис.2.47(3), (а). Модель данной системы изображена на рис. 2.47(3), (б). Определите передаточную функцию X^sj/Fis).
Рис. 2.47 (3)
Модель опоры автомобиля
2
3-2.48. Уровень воды в баке регулируется с помощью разомкнутой системы, изображённой на рис.2.48(3). Двигатель постоянного тока, скорость вращения которого определяется током якоря ia, изменяет степень открытия вентиля. Индуктивностью якорной обмотки двигателя Lir а также коэффициентом трения при вращении его вала и вентиля, Ь, можно пренебречь. Уровень воды в баке определяется уравнением
h(f) = J[l,6t)(Z) —
Рис. 2.48 (3). Разомкнутая система управления уровнем воды в баке
Постоянная электродвигателя Кт = 10, а момент инерции его ротора совместно с вентилем J =6 • 10-3 кг • м". Получите дифференциальное уравнение, связывающее h(t) и v(Z), а также определите передаточную функцию Pf(s)/F(s).
3-2.49. Схема, изображеная на рис. 2.49(3), представляет собой фильтр, обладающий как опережением, т ак и отставанием по фазе.
(а)	Определите передаточную функцию ^(syK^s). считая, что операционный усилитель является идеальным.
Рис. 2.49 (3). Фильтр с опережением и отставанием по фазе
134
Глава 2. Математические модели систем
ад
Рис. 2.50 (3)
______14000____ ?+45?+3100s + 500
R(s)
+ Y(s)
(б)	Вычислите	если R} = 100 кОм, R2 = 200 кОм, Ct = 1 мкФ и С2 = 0,1 мкФ.
(в)	Разложите выражение K2(s)/K|(s) на элементарные дроби.
3-2.50, На рис. 2.50(3) изображена замкнутая система управления.
(а)	Определите передаточную функ-
цию T(s) = Y(s)/R(s).
(б)	Вычислите полюсы функции T(s).
(в)	Считая, что входной сигнал есть единичная ступенчатая функция, т. е.
R(s) = 1/s. разложите У($) на элементарные дроби с помощью вычетов.
(г)	Постройте график y(t) и проанализируйте влияние вещественного и комплексных полюсов T(s). Какие полюсы — вещественный или комплексные оказывают преобладающее влияние на вид у(/)?
3-2.51, На рис. 2.51(3) изображена замкнутая система управления.
(а)	Определите передаточную функ-
цию T(s) = Y(s)/R(s).
(б)	Вычислите полюсы функции T(s).
(в)	Считая, что входной сигнал есть единичная ступенчатая функция, т. е. R(s) = 1/s, разложите K(s) на элементарные дроби с помощью вычетов.
(г)	Постройте график y(t) и проанализируйте влияние вещественного и комлексных полюсов T(s). Какие полюсы — вещественный или комплексные оказывают преобладающее влияние на вид у(/)?
(д)	Предскажите конечное значение у(г) в случае единичного ступенчатого входного воздействия.
Рис. 2.51 (3)
Задачи повышенной сложности
П-2.1. Электродвигатель постоянного тока, управляемый по цепи якоря, приводит во вращение нагрузку. Входное напряжение равно 5 В. Спустя 2 секунды после включения двигателя его скорость равна 30 рад/с, а ее установившееся значение (при t —> °о) составляет 70 рад/с. Определите передаточную функцию <o(s)/K(s).
П-2.2. На рис. 2.2(H) изображен сигнальный граф системы. Определите передаточную функцию T(s) = Y2(s)/R}(s). Желательно, чтобы У2('')не зависело от A|(s), т. е. чтобы T(s) = 0. Найдите зависимость G5(s) от остальных C,(s), при которой будет выполняться данное условие.
Рис. 2.2 (П)
-Щ5)
Задачи на синтез систем
135
Задачи на синтез систем
СС-2.1. Перед нами поставлена задача:
обеспечить точное позиционирование скользящей части стола металлообрабатывающего стан-
ка, как показано на рис. 2.1(СС). Преобразование угла поворота
электродвигателя в линейное пере-
мещение с помощью вращающегося барабана и рейки обладает опре-
деленными премушествами по сравнению с более распростране-ной системой винт-гайка. В частности, такой привод характеризуется малым трением и отсутствием
люфта, однако он чувствителен к возмущениям. Необходимо разработать модель привода, изображенного на рис. 2.1(СС), (а), используя
Рис. 2.1 (СС). (а) Электродвигатель, барабан и скользящая часть стола.
(6) Модель в виде структурной схемы
параметры, приведенные в табл. 2.1(СС). В приводе применен двигатель постоянного тока, управляемый по цепи якоря, с валом которого соединен вращающийся барабан. Рейка обеспе-
чивает линейное перемещение скользящей части стола, удерживаемой воздушной подушкой, благодаря чему трение при движении практически отсутствует. На данном этапе решения задачи нам необходимо получить передаточную функцию системы без обратной связи в виде структуры на рис. 2.1(СС). Обратная связь будет введена позже.
Таблица 2.1 (СС). Типичные параметры двигателя с управлением по цепи якоря, барабана и скользящей части
М,	Масса скользящей части	5,693 кг
Мь	Масса рейки	6,96 кг
	Момент инерции барабана, якоря	10,91 • 10'3 кг • м2
	электродвигателя и тахогенератора	
Г	Радиус барабана	31,75- 10"3 м
Ьт	Коэффициент демпфирования двигателя	0,268 Нм- с/рад
кт	Постоянная электодвигателя	0,8379 Н  м/А
Кь	Коэффициент противоЭДС	0,838 В • с/рад
Rn	Сопротивление якоря	1,36 Ом
Lm	Индуктивность якоря	3,6 мГн
С-2.1. На рис. 2.1(C) изображена структурная схема системы управления. Передаточные функции G,(s) и H2(s) заданы. Определите, как надо выбрать G](s) и чтобы передаточная функция замкнутой системы Y(s)/R(s) была равна единице.
Рис. 2.1 (С). К выбору передаточных функций
136
Глава 2. Математические модели систем
С-2.2. На рис.2.2(С) изображена схема управления лучом кинескопа. Выберите неизвестную проводимость G так, чтобы напряжение v было равно 24 В. Каждая проводимость измеряется в сименсах (5).
С-2.3. На вход «черного ящика» с передаточной функцией G(s) подан сигнал r(f) = t, t > 0 . При нулевых начальных условиях выходной сигнал описывается выражением y(t) = 1 + sin t + 1ё~2‘, t>0.
Определите передаточную функцию G(s).
С-2.4. На рис. 2.4(C) изображена схема на операционном усилителе, которая может выполнять функции фильтра. Определите передаточную функцию схемы, считая операционный усилитель идеальным. Найдите v0(r), если v^/) = At, t > 0.
Рис. 2.2 (С). Схема управления лучом кинескопа
Задачи, решаемые с помощью MATLAB
М-2.1. Рассмотрите два полинома:
p(s) = s2 + 2s + 1,
q(s) = s + 1.
С помощью MATLAB вычислите следующее:
(a) p(s)q(s), (б) полюсы и нули G(s) =	, (в) /Д-1).
P(s)
М-2.2. Рассмотрите систему с обратной связью, изображенную на рис. 2.2(М).
(а)	Вычислите передаточную функцию замкнутой системы с помощью функций MATLAB series и feedback.
(б)	Определите реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие с помощью функции step и убедитесь, что конечное значение выходной переменной равно 2/5.
Рис. 2.2 (М). Система с отрицательной обратной связью
М-2.3. Дано дифференциальное уравнение у+4у+4у=г<, где у(0) = у(0) = 0 и u(t) есть единичная ступенчатая функция. Получите решение этого уравнения аналитически и проверьте результат с помощью MATLAB, одновременно построив график y(t) с помощью функции step.
М-2.4. Рассмотрите механическую систему, изображенную на рис. 2.4(М), где входом является fit), а выходом —y(t). Определите передаточную функцию, связывающую fit) uy(t), а также с помощью MATLAB получите график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие. Параметры системы: т = 10, к = 1 и b = 0,5. Убедитесь, что максимальное значение выходной переменной равно 1.8.
Рис. 2.5 (М) Структурная схема системы управления положением спутника по одной координате
М-2.5. Система управления положением спутника по'одной координате может быть представлена структурной схемой, изображенной на рис. 2.5(М). Переменные к,аиЬ являются параметрами регулятора, a J есть момент инерции спутника. Примите следующие значения: J = 10.8Е+08. к= 10.8Е+08, а = 1 и b = 8.
(а)	Напишите программу MATLAB, вычисляющую передаточную функцию замкнутой системы T(s) = 0(s)/0f/(s).
(б)	Вычислите и постройте график реакции системы на ступенчатое изменение входного сигнала величиной 10°.
(в)	Точное значение момента инерции спутника в общем случае неизвестно и может медленно изменяться во времени. Сравните реакции системы в случаях, когда J уменьшается на 20% и на 50%. Параметры регулятора при этом остаются неизменными. Проанализируйте полученные результаты.
М-2.6. Рассмотрите структурную схему системы, представленную на рис. 2.6(М).
(а)	С помощью MATLAB упростите структурную схему и определите передаточную функцию замкнутой системы.
(б)	С помощью функции pzmap определите положение полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы.
(в)	С помощью функций pole и zero вычислите точные значения полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы и сравните результат с данными, полученными в п. (б).
Рис. 2.6 (М). Структурная схема многоконтурной системы управления
138
Глава 2, Математические модели систем
М-2.7. Связь между выходом y(Z) и входом х(1) нелинейной системы определяется уравнением у(х) = х2 + xsinx.
Линейная аппроксимация этой зависимости имеет вид:
у = ах,
где а — коэффициент, подлежащий определению. Определите параметр а экспериментально, разработав программу MATLAB, которая вычисляет и строит график разности между у и у в зависимости от переменного параметра а. Параметр а подбирайте так, чтобы максимальная разность между у и у не превышала значения 20 при 0 < х < 10. Когда будет найдено соответствующее значение а, постройте графики у(х) и у(х) в диапазоне 0 < х < 10.
М-2.8. Система имеет передаточную функцию
A(s) _ (15/z)(s + z) Л(я) ” s2+ 3s+15
Постройте график реакции системы на сигнал г(/) в виде единичной ступенчатой функции при значениях параметра z = 3, 6 и 12.
Ключевые термины и понятия
Затухающие колебания. Колебания, характеризующиеся убыванием амплитуды во времени.
Имитационное моделирование. Эксперимент, при котором исследуется поведение математической модели системы в условиях реальных входных сигналов.
Исполнительное устройство. Устройство, осуществляющее непосредственное воздействие на объект управления с целью обеспечения заданного значения его выходной переменной.
Коэффициент затухания. Безразмерный параметр, входящий в характеристическое уравнение второго порядка и определяющий степень затухания.
Критическое демпфирование. Случай, которому соответствует граница между недодемпфирова-нием и передемпфированием системы.
Линейная аппроксимация. Приближенное представление модели физического устройства в виде линейной зависимости между его входной и выходной переменными.
Линейная система. Система, удовлетворяющая условиям суперпозиции и гомогенности. Математическая модель. Описание поведения системы математическими средствами. Передаточная функция. Отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при нулевых начальных условиях.
Правило Мейсона. Правило, позволяющее получать передаточную функцию, прослеживая пути и контуры распространения сигналов внутри системы.
Преобразование Лапласа. Преобразование функции времени /(/) в функцию комплексной переменной F(s).
Сигнальный граф. Графическое представление системы линейных уравнений, состояшее из узлов, соединённых направленными ветвями.
Структурная схема. Конфигурация системы управления, образованная совокупностью блоков однонаправленного действия, каждому из которых соответствует определенная передаточная функция.
Характеристическое уравнение. Уравнение, получающееся приравниванием нулю знаменателя передаточной функции.
Электродвигатель постоянного тока. Электрическое исполнительное устройство, входным сигналом которого является напряжение.
Глава 3
Модели в переменных состояния
Обзор
В предыдущей главе мы воспользовались преобразованием Лапласа для получения передаточных функций линейных стационарных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Этот метод привлекателен тем, что он дает практическое средство анализа и синтеза систем и позволяет использовать структурные схемы для установления связей между подсистемами. В настоящей главе мы рассмотрим альтернативный метод моделирования систем, основанный на их представлении во временной области. Как и раньше, мы будем рассматривать физические системы, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнением и-го порядка. Используя набор (неединственный) переменных, называемых переменными состояния, мы сможем перейти к системе из и дифференциальных уравнений первого порядка. Записав эти уравнения в компактной матричной форме, мы получим так называемую модель системы в переменных состояния. В таком виде модель уже вполне пригодна для компьютерного анализа. Мы рассмотрим также связь между моделями систем в виде сигнальных графов и моделями в переменных состояния. Будут описаны и исследованы некоторые интересные физические системы, включая ременный привод печатающего устройства принтера. Глава завершается дальнейшим развитием примера синтеза с продолжением, где будет получена модель в переменных состояния для системы чтения информации с диска.
3.1.	Введение
В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые методы анализа и синтеза систем с обратной связью. В частности, мы воспользовались преобразованием Лапласа, чтобы перейти от дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, к алгебраическому уравнению относительно комплексной переменной 5. На основании этого алгебраического уравнения мы смогли получить передаточную функцию, связывающую вход и выход системы.
Повсеместное применение цифровых компьютеров побуждает нас обратиться к описанию систем управления во временной области. Соответствующие методы могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления — это система, в которой один или более параметров являются функциями времени. Например, масса ракеты изменяется по мере расходования топлива в процессе полета. Многомерная система, как это было отмечено в разд. 2.6, — это система с несколькими входами и выходами. Для систем управления, описание которых представлено во временной области, решение многих задач облегчается путем примене-
140
Глава 3. Модели в переменных состояния
ния цифровых компьютеров. Поэтому нам имеет смысл еще раз обратиться к дифференциальным уравнениям как к средству описания систем во временной области. Временная область — это область, в которой поведение системы рассматривается как функция переменной t (времени).
Описание систем во временной области лежит в основе современной теории управления и методов оптимизации. Так, в гл. 11 мы рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы управления с использованием методов временной области. А пока, в настоящей главе, мы ограничимся общим описанием систем управления во временной области, а также проиллюстрируем некоторые методы определения временных характеристик систем.
3.2.	Переменные состояния динамической системы
Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы—это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамической системы ее состояние описывается набором переменных состояния [Х[(?), х2(?). - Лл(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение системы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, гдеиy2(t) есть выходные переменные, a ux{f) и u2(f)— входные переменные. Для этой системы переменные (хь х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [Х[(70), х2(?0), ...,x„(Z0)] и входные сигналы ux(t) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.
Рис. 3.1
Структурная схема системы управления
Входные сигналы
Ц(0 -
<4(П -
Система
Выходные сигналы
— y2(t)
Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.
Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.
Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений — «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значений. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.
Рис. 3.2
Динамическая система
х(0)
Начальные условия
u(Z)
Вход
_____iz____
Состояние т/ системы x(t)
-К 1/(0 v Выход
3.2. Переменные состояния динамической системы
141
Понятие о переменных состояния, описывающих динамическую систему, можно проиллюстрировать на примере механической системы «масса-пружина» с затуханием, изображенной на рис. 3.3. Число переменных состояния, выбираемых для описания системы, должно быть по возможности минимальным, чтобы среди них не было излишних. Для данной системы вполне достаточно иметь две переменные состояния — положение и скорость движения массы. Таким образом, мы примем в качестве переменных состояния совокупность (хь х2), где
*1(0 =Л0 и *2(О=^р-
at
Трение о стенки
Рис. 3.3. Система «масса-пружина» с затуханием
Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде
M^ + b^ + ky = u(t).	(3.1)
dt2 dt
С учетом введенных выше переменных состояния это уравнение примет вид:
dx
M~^- + bx-, + кх^ =u(t).	(3.2)
dt
Следовательно, исходное дифференциальное уравнение второго порядка мы можем представить в виде эквивалентной системы двух дифференциальных уравнений первого поряд-
ка:
dx->	к	b 1
—- =------------JC,-------Х-, ч-------w.
dt	М	м - М
(3.3)
(3.4)
Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния.
Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, является АЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4. Состояние системы характеризуется двумя переменными (хь х2) где Xj есть напряжение на конденсаторе vc(Z), и х2 — ток через индуктивность iL(t). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за
пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как
E=(V2)Zz£ +(V2)Cvc2.	(3.5)
Таким образом, xj(z0) и x2(z0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, следовательно, о состоянии системы в момент t = t0. Для описания пассивной 7?/,С-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливающих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе: ic=C^- = u(J)-iL .	(3.6)
at
142
Глава 3. Модели в переменных состояния
Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, определяющее скорость изменения тока через индуктивность:
L^~=-RiL+vc.	(3.7)
Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:
vo =	(О-
Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния xt и х2:
^-=-lx2(3.8) at С С
dx2	1	R
— =-Х1--х2.	(3.9)
dt	L	L
Тогда выходной сигнал будет равен
У1(0 = vo(O = Л х2.	(3.10)
Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия [%|(/0), х2(/0)], мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.
Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и всегда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для системы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации лД/) и x2(f). Так, для АТС-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и vL(f), где v, — напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, их*2, будут связаны со старыми переменными и х2 соотношениями:
x\=vc=xx,	(3.11)
х2 =vL = vc -RiL =х} -Rx2.	(3.12)
Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций переменных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовательно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.
Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на использовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механических, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций элементов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относительно переменных состояния.
Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую очередь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но также биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состояния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным состояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описывающие будущее поведение системы.
3.3. Дифференциальные уравнения состояния
143
3.3.	Дифференциальные уравнения состояния
Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния. Эти уравнения в общем случае имеют следующий вид:
*	1 =0!]%! + «12*2 +—+«1л*л + *11м1 +  +bl„d<nl ’
*	2 =«21*1 + «22*2 ++ «2»*л + fc21«l +•••+ fe2»,«m>
*	л “ «л!*1	«л2*2 "*'' ’*' «ли*» + fe»lMl +•+ ^»m«m >
где х = dx/ dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме:
Матрица-столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния
и имеет вид:
*1
*2
(3.15)
где полужирное начертание символа означает вектор. Вектор входных сигналов обозначается как и. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравнением состояния 
х = Ах + Ви .	(3.16)
Уравнение (3.16) часто называют просто уравнением состояния.
Матрица А является квадратной размерности п х и, а матрица В имеет размерность г*т . Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим состоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы
связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода y = Cx + Du,	(3.17)
где у — совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора-столбца.
Воспользовавшись уравнениями (3.8) и (3.9), запишем уравнение состояния для
ЯАС-цепи, изображенной на рис. 3.4:
О
2 .L
1
С
R
L
(3-18)

Полужирные строчные буквы обозначают векторы, а полужирные прописные — матрицы. Введение в матрицы и элементарные матричные операции см. на Web-сайте MCS.
144
Глава 3. Модели в переменных состояния
Уравнение выхода будет иметь вид:
у=[0 R] х.
(3-19)
Если /? = 3, £ = 1иС = 1/2, то
и
Т = [0 3] х.
Решение дифференциального уравнения состояния (3.16) можно получить точно так же, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение
х = ах + Ьи,	(3.20)
где х(/) и u(f) — скалярные функции времени. Решение будем искать в виде экспоненты еа1. Преобразуя уравнение (3.20) по Лапласу, получим:
sX(s) — х(0) = aX(s) + bU(s), откуда
X(s) = ^ + —U(s).	(3.21)
s-a s-a
Обратное преобразование Лапласа уравнения (3.21) дает искомое решение:
x(t) = eal х(0) + Г еа^' }о
(3.22)
Аналогично получается и решение дифференциального уравнения состояния. Прежде всего введем в рассмотрение матричную экспоненциальную функцию, представив ее в
виде ряда
*2.2	ДЛ к
ем = ехр( А/) = I + А/+------------!-•••+-------+••,
2! к\
(3.23)
который сходится для всех конечных t и любой А. Тогда решение уравнения состояния будет иметь вид:
х(/) = ехр(А?)х(0)+ |ехр[А(Г-т)]Ви(т)с/т .	(3.24)
о
Решение (3.24) можно также получить, применив преобразование Лапласа к уравнению
(3.16) и сгруппировав члены. В результате получим:
X(s) = [si - А]"1 х(0) + [si - A]'1 BU(s),	(3.25)
где можно ввести обозначение [sI-A]~1= Ф(я), что является преобразованием Лапласа функции Ф(0=ехр(А/). Применив к (3.25) обратное преобразование Лапласа и учитывая, что второе слагаемое в правой части содержит произведение <J>(s)BU(s), мы и получим решение (3.24). Матричная экспоненциальная функция Ф(/) описывает свободное движение системы и называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния. Таким образом, решение (3.24) можно записать в виде:
t
х(/) = Ф(/)х(0)+ |ф(/-т)Ви(т)с/т.
о
(3.26)
3,4. Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа
145
В результате для свободного движения системы (в случае, когда и=0) решение можно запи-
сать очень просто:
*i (0		<Pii(0 	 Ф1„(0’		\ (0)’
*2 (О	—	Ф21 (0 •	• Ф2»(0		х2(0)
		_<Ри1(0 •	 Фпи(0.		А (°).
(3.27)
Отсюда легко можно видеть, что для того чтобы определить переходную матрицу состояния, необходимо начальные значения всех переменных состояния кроме одной положить равными нулю и вычислить реакцию каждой переменной состояния на это ненулевое значение. Иначе говоря, элемент <р(/ (/) представляет собой реакцию i-й переменной состояния на начальное значение J-й переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю. Мы воспользуемся этим свойством в последующих разделах при вычислении элементов переходной матрицы состояния. Однако сначала мы рассмотрим несколько моделей систем в переменных состояния, представленных в виде сигнальных графов, и покажем, как с их помощью можно исследовать устойчивость систем.
3.4. Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа
Выше мы рассмотрели случай, когда состояние системы и ее динамика описываются рядом дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве альтернативы может быть использовано уравнение состояния вида (3.16). В любом случае будет полезно получить модель системы в виде сигнального графа, узлы которого соответствовали бы переменным состояния, а затем установить связь между таким графом и уже известным нам представлением системы в виде передаточной функции.
Как было показано ранее, система может быть полностью описана передаточной функцией G(s), связывающей ее входную и выходную переменные. Например, если нас интересует связь между входным и выходным напряжением в схеме на рис 3.4, то мы можем получить передаточную функцию
G(s)
Передаточная функция RLC-цепи на рис. 3.4 имеет вид
G(s) № + p.s + у
(3.28)
где а, Ри у являются функция ми параметров цепи R,LnC. Значения а, Р и у можно определить по сигнальному графу, отображающему дифференциальные уравнения, описывающие электрическую цепь. Для нашего случая (см. уравнения 3.8 и 3.9) мы имеем:
1	1	/ X
*1 =~^х2 +qU^
1 R
Х2 = — *1--Х2,
v0 = Rx2.
(3.29)
(3.30)
(3.31)
146
Глава 3. Модели в переменных состояния
Рис. 3.5. Сигнальный граф для /РЛС-цепи
Граф, отражающий эту систему уравнений, изображен на рис. 3.5, где l/.v есть символ интегрирования. По формуле Мейсона мы получим передаточную функцию:
?о(з) = RILCs2 = R/LC	(з
U(s) 1 + R/Ls+l/LCs2 s2 + (R/L')s+l/LC
К сожалению, многие электрические цепи, электромеханические системы и другие системы управления не так просты, как схема на рис. 3.4, и часто очень трудно получить дифференциальные уравнения первого порядка, описывающие динамику системы. Поэтому бывает проще получить передаточную функцию системы (хотя бы методами, изложенными в гл. 2) и затем на ее основании построить модель в переменных состояния.
Модель системы в виде графа с переменными состояния в узлах легко получить по передаточной функции. Но, как мы заметили в разд. 3.3, возможны несколько комбинаций переменных состояния и, следовательно, можно изобразить несколько различных сигнальных графов. В общем случае передаточную функцию можно представить в виде +-+blS + b0,	(3 зз)
sl: +	1 +...+ арч а0
где и > т и все коэффициенты а и Ъ есть вещественные числа. Умножив числитель и знаменатель на s~n, мы получим:
-(и-m)	.	-(и-m+l) ,	, t	Л -и
G(s) =  ---.	(3.34)
1+л,1 -ь.-.+ я^ 11 + aos n
Мы уже знакомы с формулой Мейсона, поэтому легко можем увидеть в знаменателе коэффициенты передачи контуров с обратной связью, а в числителе — коэффициенты передачи прямых путей. Напомним формулу Мейсона, приведенную в разд. 2.7:
Y( х ЕЛД*
G(s) = 7^=jL-r--	0.35)
U(s) Д
Если все контуры с обратной связью являются касающимися, а все прямые пути в свою очередь касаются этих контуров, то выражение (3.35) сводится к следующему:
Ел
л _ Сумма коэффициентов передачи прямых путей
J —------------------—	—— -------------.
А 1-Сумма коэффициентов передачи контуров
1 - 2-, Л
9=1
Передаточную функцию можно представить различными графами. Представляют интерес два частных случая таких конфигураций, основанных на формуле Мейсона, и мы рассмотрим их более подробно. В следующем разделе мы приведем еще две дополнительных конфигурации графов.
3.4, Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа
147
Чтобы проиллюстрировать получение сигнального графа в терминах переменных состояния, рассмотрим сначала передаточную функцию четвертого порядка:
r,x	b°	b°s~4	ГТТЛ
G(s) = —-7 = ------г------5----------=--------------Т2------5------ (3 -37)
U(s) s + a3s + a2s~ + axs+ a0 l+fljs + a2s + a3s + a^s
Прежде всего мы заметим, что система имеет четвертый порядок и поэтому нам потребуются четыре переменных состояния (хь х2, х3, х4). Имея в виду формулу Мейсона, напомним, что знаменатель можно рассматривать как 1 минус сумма коэффициентов передачи контуров, а числитель передаточной функции есть коэффициент передачи прямого пути графа. Сигнальный граф должен содержать минимальное число интеграторов, равное порядку системы. Следовательно, для графического представления данной системы нам потребуются четыре интегратора. Соответствующие узлы и интеграторы сигнального графа отображены на рис. 3.6. Наиболее простая конфигурация из этих элементов, соответствующая передаточной функции, представлена на рис. 3.7. Анализируя этот рисунок, мы можем заметить, что все контуры являются касающимися и, следовательно, передаточная функция имеет вид (3.37). Читатель легко может убедиться, что коэффициент передачи прямого пути действительно равен £>0А4, а знаменатель равен единице минус сумма коэффициентов передачи всех контуров.
Рис. 3.7. Граф состояния для G(s), соответствующей выражению (3.37)
Теперь рассмотрим передаточную функцию четвертого порядка, в которой числитель является полиномом переменной s, т. е.
х- b2s3 + b2s2 4-^s+feo b3s~'+ b2s~2 + bxs~3 + b0s~4
4	3	2	,	-1	-2	-3	-4 ’	C3-3^)
s + a3s + a7s +axs+a0 i+a3s + a-,s	+ aos
Слагаемые в числителе представляют собой коэффициенты передачи прямых путей в формуле Мейсона. Прямые пути касаются всех контуров, поэтому сигнальный граф выглядит так, как представлено на рис. 3.8. Прямые пути имеют коэффициенты передачи b3/s, b2ls2, hx/s3 и b0/s4, что соответствует числителю передаточной функции. Еще раз напомним, что в числителе формулы Мейсона всегда содержатся члены числителя передаточной функции, т. е. сумма прямых путей от входа системы к ее выходу. Общий вид графа, представляющего передаточную функцию (3.3 8) на рис. 3.8, включает в себя п контуров с коэффициентами ап и т прямых путей с коэффициентами передачи Ьт. Такое изображение сигнального графа называется представлением в форме фазовой переменной.
148
Глава 3, Модели в переменных состояния
Рис. 3.8. Граф состояния для G(s) вида (3.38) в форме фазовой переменной
Переменные состояния на рис. 3.8 — это выходы каждого из элементов, накапливающих энергию, т. е. выходы интеграторов. Чтобы получить систему дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующую графу на рис. 3.8, мы введем в граф дополнительные узлы, непосредственно предшествующие каждому интегратору. В этом случае каждый такой узел будет соответствовать производной выходной переменной интегратора. Сигнальный граф с дополнительными узлами изображен на рис. 3.9. По этому графу мы теперь можем записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка, характеризующих состояние модели:
X] = х2, х2 =х3, х3 = х4,
х4 =-аох1 -а{х2 ~а2х3 -а3х4 + и,	(3.39)
Выход определяется уравнением
Х^) = ^ох1 + Ь\х2 + ^2Х3 + &3Х4-
Те же уравнения в матричной форме имеют вид:
х = Ах + Ви,
или
(3.40)
(3-41)
(3.42)
d	v х2		' 0 0	1 0	0 1	0 ' 0		V х2	+	'o’ 0	г<(/)
dt	*3		0	0	0	1		*3		0	
	.*4.		—а0	-«1	-«2	-«з.		.*4.		1	
3.4. Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа
149
и
y(z) = Cx=[fe0 b\ b2 Ь3]
(3-43)
1*4 J
Структура графа, изображенная на рис. 3.8, не является единственно возможным представлением выражения (3.38); другая конфигурация графа, соответствующая той же передаточной функции, изображена на рис. 3.10. В этом случае коэффициенты передачи прямых путей образуются за счет заведения сигнала U(s) на вход каждого из интеграторов. Такую модель мы будем называть структурой с многомерным входом.
Для графа на рис. 3.10 выходной сигналy(t) равен первой переменной состояния (/). Коэффициенты передачи прямых путей равны b0/s4, b}/s3, Ь2/^, b3/s и все эти пути касаются контуров. Поэтому передаточная функция действительно соответствует выражению (3.38).
По графу, изображенному на рис. 3.10. можно записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:
Те же уравнения, но в
(3.44)
(3.45)
Хотя графы в виде структуры с многомерным входом и в форме фазовой переменной соответствуют одной и той же передаточной функции, но переменные состояния в них не равны друг другу. Это объясняется тем, что графы имеют разную структуру. Заметим также, что начальные условия в системе можно представить в виде начальных условий для интеграторов, Х](0), х2(0), ... , х„(0). Ниже мы рассмотрим систему управления и получим для нее уравнения состояния, воспользовавшись двумя разными конфигурациями модели.
Рис. 3.10. Альтернативный вид графа, соответствующего передаточной функции (3.38)
150
Глава 3. Модели в переменных состояния
Пример 3.1. Две модели в переменных состояния
Рис. 3.11
Одноконтурная система управления
ад
2(s + l)(s + 3) ' J s(s + 2)(s + 4)
Y(s)
На рис. 3.11 изображена одноконтурная система управления, которая в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию
r(s)=2^ =
2s2 + 8s + 6
J
R(s) s3 + 8s2 + 16s + 6
Умножая числитель и знаменатель на s’3, получим:
T(S) = 2^2 = 2s '+ 2 + 6s 3
R(s) 1+8s~’+ 16s“2 +6s“3 ’
(3.46)
Первая модель в виде графа в форме фазовой переменной изображена на рис. 3.12. В этой модели выходной сигнал образуется как линейная комбинация переменных состояния. Для данного графа уравнение состояния имеет вид:
(3.47)
а уравнение выхода
ЯО = [6
(3.48)
Вторая модель имеет вид графа со структурой с многомерным входом	(рис. 3.13). Для нее
уравнение состояния имеет вид:	
'-8 1 01 Г2	
х = —16 0 1 х + 8 u(t\	(3.49)
-6 о oj [б	
а выход y(t) = xl(t).
-6
3.5. Альтернативные модели в виде сигнальных графов
151
Заметим, что оба сигнальных графа, соответствующих передаточной функции T(s), строятся достаточно просто, без разложения числителя и знаменателя на множители. Это позволяет избежать трудоемких вычислений, а по структуре графа легко можно записать уравнение состояния. Каждый из двух сигнальных графов является основой для компьютерного моделирования передаточной функции. Поскольку система имеет третий порядок, то для ее моделирования необходимы три интегратора. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что переменные состояния в модели на рис. 3.12 не идентичны соответствующим переменным в модели на рис. 3.13. В то же время одна комбинация переменных состояния связана с другой соответствующим линейным преобразованием. Используя соотношение z = Мх, мы можем преобразовать вектор х в вектор z с помощью матрицы М. В заключение отметим, что передаточная функция вида (3.33) описывает линейную систему с постоянными коэффициентами, имеющую один вход и один выход, связанные дифференциальным уравнением и-го порядка
dny	d”~l у	dmu L dm~lu	.
	яп-1-;—1-...+ «о y(t) —-1- bm_i---— +...+ bqu(j).	(3.50) dt”---------------------------------------------------------dt”~l	dtm dt"-1
В этом разделе на примере сигнальных графов было показано, как можно перейти от одного дифференциального уравнения л-го порядка к системе из п дифференциальных уравнений первого порядка и тем самым — к уравнению состояния.
3.5.	Альтернативные модели в виде сигнальных графов
Очень часто при проектировании систем управления специалисту приходится иметь дело со структурной схемой, в которой каждый блок соответствует реальному устройству, а все переменные суть физические величины. Примером может служить разомкнутая система управления скоростью вращения двигателя постоянного тока, изображенная на рис. 3.14. В качестве переменных состояния желательно выбрать реальные физические переменные. Поэтому мы будем использовать следующие переменные: Xj = y(f), скорость вращения (она же — выходная переменная); х2 = i(t), ток возбуждения; и х3 = u(t), напряжение возбуждения. Сигнальный граф, содержащий эти физические переменные, изображен на рис. 3.15. Такая модель полезна, в частности, если физические переменные состояния могут быть измерены. Заметим, что на графе каждый блок структурной схемы представлен отдельно. Например, регулятор имеет передаточную функцию
U{s)	5(s+1) 5+5s-1
----— Crr (5) =	=------ , R(s)	s+5-1+5S-1
и на графе она представлена фрагментом между R(s) и U(s).
Регулятор	Двигатель и нагрузка
Рис. 3.14. Структурная схема разомкнутой системы управления скоростью электродвигателя
152
Глава 3, Модели в переменных состояния
Рис. 3.15. Сигнальный граф с физическими переменными состояния
Уравнение состояния записывается непосредственно по графу на рис. 3.15:
(3.51)
а выходная переменная
у = [1 0 0] х.
(3.52)
Второй способ получения сигнального графа основан на разложении передаточной функции на элементарные составляюшие. Передаточная функция, связывающая вход и выход структурной схемы на рис. 3.14, имеет вид:
m = т,} =	зо(5+1)	=	д(5)
R(s)	(5 + 5)(5 + 2)(5 + 3) (5 - 5( )(5 - 52 )(5 - 53 ) ’
а переходная функция имеет три составляющие, определяемые полюсами 5Ь 52 и 53. Разложение передаточной функции на элементарные дроби дает:
^=r(5)=-^-+A-+^_.
Т?(5)	5+5 5 + 2 5 + 3
(3.53)
Используя прием, описанный в гл. 2, мы находим, что к} = -20, к2 = -10 и к3 = 30. Сигнальный граф, соответствующий выражению (3.53), представлен на рис. 3.16. Уравнения состояния и выхода для этого графа, записанные в матричной форме, таковы:
Я0 = [-20 -10 30] х.	(3.54)
Заметим, что переменную состояния х( мы связали с полюсом 51 = -5, х2 — с полюсом 52 и х3 — с полюсом 53, как показано на рис. 3.16. Индексация переменных состояния в данном случае является произвольной; например, х, мы могли бы выбрать связанной с полюсом
5 =-2.
Развязывание переменных состояния в случае различных полюсов -5Ь -52, ...,-5„ приводит к тому, что в уравнении состояния матрица А приобретает диагональную, или каноническую форму. Если же среди полюсов системы имеются кратные, то все, что можно сделать, — это представить матрицу А в блочно-диагональной форме, известной как жорданова каноническая форма.
Рис. 3.16. Сигнальный граф с развязанными переменными состояния
3.5. Альтернативные модели в виде сигнальных графов
153
Пример 3.2. Распространение эпидемического заболевания
Распространение эпидемического заболевания можно описать системой дифференциальных уравнений. Исследуемое население делится на три группы — х,, х, и х3, так что группах, восприимчива к эпидемическому заболеванию, группах, инфицирована, а группа х3 исключается из первоначального числа исследуемых. Исключение х3 происходит по причине иммунизации, смерти или изоляции отх,. Данная система содержит обратные связи и может быть описана следующими уравнениями:
dx,
—L = - ах, - рх2 + г<,(/), dt
dx-,
= Рт, - ух2 + u2(t).
at
dx,
—- = ах, + ух,.
dt
Скорость, с которой появляются новые восприимчивые к заболеванию, равна г<,(/), а скорость, с которой появляются новые инфицированные, равна u,(t). В изолированном сообществе «,(/) = = u2(t) = 0. Интересно отметить, что эти же уравнения могут описывать и распространение в обществе информации или новой идеи.
В данной системе мы имеем физические переменные состояния х,, х2 и х3. На рис. 3.17 изображен сигнальный граф, отражающий систему дифференциальных уравнений. Уравнение состояния в векторно-матричной форме имеет вид:
Рис. 3.17. Сигнальный граф, отражающий распространение эпидемического заболевания
(3.55)
Анализ уравнения (3.55) и сигнального графа показывает, что переменная состояния х3 зависит от х, и х2, но не оказывает на них влияния.
Рассмотрим изолированное сообщество, в котором г<,(?) = u2(t) = 0. Положению равновесия системы в пространстве состояний соответствует dx/dt = 0. Анализ уравнения (3.55) показывает, что система будет находиться в равновесии прих, =х, = 0. Чтобы определить, прекратится ли в сообществе эпидемическое заболевание, нам необходимо получить характеристическое уравнение системы. Сигнальный граф на рис. 3.17 содержит три контура, два из которых не касаются друг друга, поэтому определитель графа
A(s) = 1 - (- as~1 - ys“’ - p2s“2) + ays”2 .	(3.56)
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:
q(s) - s2A(s) = s2 + (a + y)s + (ay + p2) = 0.	(3.57)
Поскольку (a + y)>0 и (ay + p2)>0, то корни этого характеристического уравнения лежат в левой половине s-плоскости и, следовательно, свободное движение системы при t —> со стремится к нулю.
154
Глава 3. Модели в переменных состояния
Пример 3.3. Управление перевернутым маятником
На рис. 3.18 проиллюстрирована проблема балансирования палки с шариком, находящейся на ладони человека. Палка будет находится в равновесии только если 0(f) = 0 и dtildt = 0. Эта проблема по сути ничем не отличается от управления положением ракеты на начальной стадии полета. Эта проблема классически моделируется в виде перевернутого маятника, смонтированного на тележке, как показано на рис. 3.19. Тележка должна двигаться таким образом, чтобы масса т всегда занимала вертикальное положение. В качестве переменных состояния естественно принять угол отклонения маятника 0(f) и перемещение тележки y(t). Дифференциальные уравнения, описывающие движение данной системы, можно получить.-записав выражения для суммы сил, действующих в горизонтальном направлении, и суммы моментов относительно точки вращения. Будем считать, что М~» т и угол отклонения от вертикали 0 является малым, поэтому уравнения являются линейными. Сумма сил, действующих в горизонтальном направлении, равна
Му + mlQ - u(t) = 0,	(3.58)
где u(f) — сила, приложенная к тележке, а /—расстояние от массы га до точки вращения. Сумма моментов относительно точки вращения равна
ml у + га/20 - mlgQ = 0.	(3.59)
Переменные состояния для двух уравнений второго порядка выберем как (х,. х2. х3. х4) = (у, у, 0, 0).Тогда уравнения (3.58) и (3.59) можно записать с учетом этих переменных состояния:
Мх2 + mlx4 - u(t) = 0	(3.60)
и х2 + /х4 - gx3 = 0.	(3.61)
Чтобы получить необходимые дифференциальные уравнения первого порядка, выразим из (3.61) I х4 и подставим его в (3.60):
Мх2 + mgx3 = u(t\	(3.62)
где учтено, что М» т. Далее, подставляя х2 из (3.60) в (3.61), получим:
Mlx4 - Mgx3 + u(t) = О	(3.63)
Рис. 3.18. Перевернутый маятник на ладони человека. Для простоты полагают, что движение происходит в одной плоскости
Рис. 3.19. Перевернутый маятник на тележке
3.6, Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния
155
Таким образом, четыре дифференциальных уравнения первого порядка будут иметь вид: mt? 1 . , х, = х-,, х-,=--------------------х, ч--u(t),
12	2 М М
х3 ~х4.		х4 =уХ3 -		— и(/). Ml		(3.64)
Отсюда получаем матрицы	системы: 0 1	0	О’		0	
А =	0 0- 0 0	(mglM) 0	0 1	; в =	мм 0	(3.65)
	0 0	gH	0		-и Ml	
3.6.	Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния
Если задана передаточная функция G(s), то, изобразив модель системы в виде сигнального графа, мы затем можем получить уравнения состояния. Теперь мы решим обратную задачу, т. е. покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом определить ее передаточную функцию. Напомним еще раз уравнения (3.16) и (3.17):
х = Ах + Вы	(3.66)
и	
у = Сх.	(3.67)
Преобразуя эти уравнения по Лапласу, получим:	
$Х($) = AX(s) + BG(s)	(3.68)
И T(s) = CX(s),	(3-69)
где В — матрица размерности их1, поскольку и есть единственный вход. Заметим, что в преобразовании Лапласа мы не учитывали начальные условия, поскольку определению подлежит передаточная функция. Группируя члены в уравнении (3.68), получим:
(Я - A)X(s) = BG(s).
Так как (sl-A)-1 = Ф(л), то
X(s) = Ф(4)В6/(5).
Подставляя X(s) в (3.69), получим:
У(л) = СФ($)В6/(л).	(3.70)
Поскольку передаточная функция G(s) = Y(s)/U(s), то окончательно имеем:
G(s) = СФ(л)В. ,	(3.71)
156
Глава 3. Модели в переменных состояния
Пример 3.4. Передаточная функция Я£С-цепи
Определим передаточную функцию G(s) = Y(s)/U(s) для ALC-цепи. изображенной на рис. 3.4. Для этой цепи ранее были получены уравнения (см. уравнения 3.18 и 3.19):
-1/С'
-R/L
'1/С О

у=[0 /?] х.
Следовательно,
1/С (s+R/L)
Далее находим
<D(s) = (Я-АД1
1 s+R/L -1/С
4(s) [ 1/C s
где
A(s) = s2 +
R 1 — s+---
L LC
Тогда передаточная функция будет равна
G(s) = [0 А]
s+ R/L
A(s)
1
L\(s)
-1
CA(s)
S’ A^j.
R/LC _ R/LC
L LC
1
О
что совпадает с результатом (3.32), полученным с помощью формулы Мейсона по сигнальному графу цепи.
3.7.	Временные характеристики и переходная матрица состояния
Довольно часто возникает необходимость оценить изменение переменных состояния во времени и тем самым судить о качестве системы управления. Переходные характеристики системы легко можно получить путем решения уравнения состояния. В разд. 3.3 такое решение было получено, и оно имеет вид:
х(/)=Ф(/)х(0)+ |ф(г-т)Ви(т)Л.	(3.72)
о
Если известны начальные условия х(0), вектор входных воздействий u(r) и переходная матрица состояния Ф(/), то реакция системы х(/) может быть вычислена тем или иным способом. Таким образом, задача сводится к вычислению матрицы Ф(/), которая в основном и определяет реакцию системы. Один из способов вычисления переходной матрицы состояния базируется на использовании сигнального графа системы. Но, прежде чем рассматривать этот способ, следует упомянуть и некоторые другие методы, в частности вычисление ряда
со д к fk
Ф(О=ехр(А?)=£——	(3.73)
л=о А!
с ограниченным числом членов. Известны также весьма эффективные методы вычисления Ф(/) с помощью компьютерных алгоритмов.
3.7. Временные характеристики и переходная матрица состояния 157
В уравнении (3.25) было показано, что Ф(л) = (si- А)1. Тогда, если вычислить обратную матрицу, то мы сможем найти и Ф(/) как обратное преобразование Лапласа для Ф(д), т. е. Ф(/) = Т-1[Ф(^)]. К сожалению, для систем высокого порядка операция нахождения обратной матрицы является очень трудоемкой.
Преимущества сигнального графа при получении переходной матрицы состояния становятся очевидными, если рассмотреть преобразование Лапласа уравнения (3.72), считая входные сигналы равными нулю. Тогда при и(т) - 0 из (3.72) мы имеем:
X(s) = Ф(х)х(0).	(3.74)
Это означает, что мы можем определить преобразование Лапласа для переходной матрицы состояния по сигнальному графу, установив связь между переменной состояния X,(s) (в виде изображения по Лапласу) и начальными условиями [хДО), х2(0),..., х„(0)]. Тогда переходная матрица состояния просто будет обратным преобразованием Лапласа от Ф(д), т. е.
Ф(Г) = Г'[Ф(х)].	(3.75)
Зависимость переменной состояния X, (s) от начальных условий х(0) определяется с помощью уже известной нам формулы Мейсона по сигнальному графу. Так, для системы второго порядка мы получим:
И = Ф11	(0) + Фи С*>2 (0>
Х2 (s) = ф21 (5>! (0) + <р22 (s)x2 (ОХ	(3.76)
где связь между X2(s) их,(0) определяется с помощью формулы Мейсона по сигнальному графу. Все элементы переходной матрицы состояния, <py(s), могут быть получены путем установления связи между A,(s) и х;(0) по структуре сигнального графа. Данный способ определения переходной матрицы состояния иллюстрирует следующий пример.
Пример 3.5. Вычисление переходной матрицы состояния
Рассмотрим RLC-цепь. изображенную на рис. 3.4. и вычислим Ф(з-) двумя способами: (1) путем нахождения обратной матрицы Ф($) = (si - АТ* и (2) с помощью формулы Мейсона по сигнальному графу.
Сначала воспользуемся первым способом. Из уравнения (3.18) нам известна матрица А:
Тогда
Обратная матрица равна
,	1 F(s+3) -21
ф(5) = (si- АГ > = ---	'	,	(3.78)
A(s) [	1 s
где A(s) = s(s + 3) + 2 = s2 + 3s + 2 = (s + l)(s + 2).
Сигнальный граф для этой цепи был приведен на рис. 3.5, где в качестве переменных состояния приняты Xj = vc и х2 = iL. Начальные условия xf(0) и х2(0) представляют собой соответственно начальное напряжение на конденсаторе и начальный ток через индуктивность. Сигнальный граф с учетом этих начальных условий изображен на рис. 3.20. Начальные условия учтены в виде начальных значений переменных состояния на выходе каждого интегратора.
158
Глава 3. Модели в переменных состояния
Рис. 3.20
Сигнальный граф для /?£С-цепи
Для вычисления Ф($) положим U(s) = 0. При R = 3, L - 1 и С = 1/2 сигнальный граф примет вид, изображенный на рис. 3.21. Входной и выходной узлы исключены, т. к. они не участвуют в вычислении Ф($). С помощью формулы Мейсона выразим зависимость A'i(s) от х,(0):
=	(3.79)
Д(5)
где A(s) — определитель графа, a A((s) — дополнительный множитель для пути. Определитель графа
A(s) = 1 + 3s’1+ 2s’2,
а дополнительный множитель A|(s) = 1 + 3s ’, потому что путь otxj(O) к A)(s) не касается контура с коэффициентом передачи -3s’1. Таким образом, первый элемент переходной матрицы состояния равен
. ,	(1 + 3s”')(l/s) s + 3
4)11 5	1 + 3s’1 + 2s“2 ~ s2 + 3s + 2 ’
(3.80)
Элемент <p12(s) вычисляется как реакция A'i(s) на начальное условие х,(0):
(-2s’‘)[x2(0)/s] 1 + 3s'1 + 2s”2 ’
2f,(s) =
откуда	<p12(s) =	2	(3.81)
		s2 + 3s + 2 ’	
Аналогичным образом находим элементы <p2i(s) и			Ф22^)’
	<p2l(s) =	(s-'Xl/sr)	= —7	(3.82)
		1 + 3s 1 + 2s 2	s2 + 3s + 2
	<p22(s) =	1 (1AQ	=		(3-83)
		1 4- З.У 1 + 2s 2	s2 + 3s + 2
Итак, переходная матрица состояния в виде изображения по Лапласу равна
®(s) =	(s + 3)/(s2 + 3s + 2) -2/(s2 + 3s + 2)	(3.84)
	l/(s2 + 3s + 2)	s/(s2 + 3s + 2)	
Рис. 3.21
Сигнальный граф для /?£С-цепи при U{s) = О
3.8. Дискретный способ вычисления временных характеристик
159
Характеристический полином s2 + 3s + 2 = (j + l)(s + 2), поэтому окончательно получим:
Ф(/) = £-’{Ф(5)} =
(2е”' - е”2') (-2е"' + 2е-2')’ (е-'-е’2')	(-е“' + 2е’2')
(3.85)
Реакцию RLC-цепи на различные начальные условия и входные сигналы можно получить с по-
мощью выражения (3.72). Например, при х,(0) = х2(0) = 1 и u(t) = O мы имеем:
*,(<) х2(0
= ФЮ
ё~2'
е~2'
(3.86)
1
1
Реакция системы на эти начальные условия изображена на рис. 3.22. а на рис. 3.23 приведен годограф вектора состояния в координатах (х|5 х2).
Определение временных характеристик системы, как мы видели, значительно упрощается в результате вычисления переходной матрицы состояния. Необходимо, однако, заметить, что применимость этого метода ограничена только классом линейных систем.
Рис. 3.23
Годограф вектора состояния в координатах (х^ х2).
Рис. 3.22. Реакция переменных состояния /?£С-цепи на начальные условия х,(0) = х2(0) = 1
3.8.	Дискретный способ вычисления временных характеристик
Временные характеристики системы, описываемой векторно-матричным дифференциальным уравнением состояния, можно получить, воспользовавшись дискретной аппроксимацией этого уравнения. Подобная аппроксимация основана на разбиении временной оси надостаточно малые отрезки. Тогда значения переменных состояния будут вычисляться в дискретные моменты времени t = О, Т, 2Т, ЗТ,..., где Тесть шаг дискретности по времени. Этот метод широко используется при численном анализе и при вычислениях на цифровых компьютерах. Если шаг дискретности Тявляется достаточно малым по сравнению с постоянными времени системы, то точность вычислений будет вполне приемлемой.
160
Глава 3. Модели в переменных состояния
Уравнение состояния линейной системы имеет вид: х = Ах + Ви.
Воспользуемся классическим определением производной: ...	.. x(t + At)—x(t)
x(t) = 1ш1 —-------——.
Д/-»0 Дг
(3.87)
(3.88)
Этим определением мы воспользуемся для вычисления значений x(t) при разбиении t на малые отрезки Д/ = Т. Тогда, приняв аппроксимацию производной
x(t + T)-x(t) Т
(3.89)
подставим ее в уравнение (3.87) и получим:
x(r + 7’)-x(r)	Л
—-----« Ах(/) + Bu(Z ).
Выразим отсюда x(t+T):
x(t + T)~ TAx(t) + х(/) + 7Bu(Z) = (ТА + I) x(t) + 7Bu(/),	(3.91)
где t разбито на малые отрезки длительностью Т. Поэтому время t принимает дискретные значения t = кТ, к = 0, 1,2,3,... Тогда (3.91) будет записано в виде:
х[(А + 1)У]» (ТА + 1)х (кТ) + ТВи (кТ).	(3.92)
Таким образом, значение вектора состояния в (Л+1)-й момент времени выражается через значения х и и в к-й момент времени. Выражение (3.92) можно записать иначе:
х(к + 1) ® \ii(T)x(k) + 7’Bu(/c),	(3.93)
где у(Т) = (ТА +1), а символ Тв аргументах переменных опущен. Выражение (3.93) показывает, что определение x(f) сводится к вычислению его дискретной аппроксимации х(к+1) на основании предыдущего значения х(Л). Эта рекуррентная операция, известная как метод Эйлера, представляет собой последовательную цепочку вычислений и очень просто реализуется на цифровых компьютерах. Для вычислений по формуле (3.87) могут быть использованы и другие методы численного интегрирования, например методы Рунге-Кутта. Некоторые методы интегрирования реализованы в среде MATLAB. Метод дискретного (численного) определения временных характеристик мы проиллюстрируем ниже на примере Л'АС-цепи (рис. 3.4).
Пример 3.6. Временные характеристики RLC-цепи
Вычислим временные характеристики /lLC-цепи с помощью дискретной аппроксимации уравнения состояния, не прибегая к определению переходной матрицы состояния. Как и в примере
3.5, положим А = 3, L = 1 и С = 1/2. Тогда векторно-матричное уравнение состояния примет вид (см. уравнение 3.18):
О
1/L
-1/С
-RIL
'VC о
w(0 =
О -2
1 -3
«(О-
(3.94)
х =
2
О
Шаг дискретности Т мы должны выбрать достаточно малым, чтобы получить приемлемую точность аппроксимации производной (3.89) и, следовательно, как можно лучше приблизить вычисления по рекуррентной формуле (3.92) к точному решению уравнения состояния. Обычно Т выбирают так, чтобы он был по крайней мере вдвое меньше самой малой постоянной времени системы. Учитывая то, что наименьшая постоянная времени системы равна 0,5 с [напомним, что характеристический полином системы имеет вид (s + l)(s + 2)], выберем значение
3.8. Дискретный способ вычисления временных характеристик
161
Т = 0,2 с. Заметим также, что с уменьшением шага дискретности пропорционально увеличивается количество вычислений. Итак, при Т- 0,2 с уравнение (3.92) принимает вид:
х(А + 1)» (0.2А+1)х(А) + 0,2Ви(Л).	(3.95)
Следовательно, ' 1 -0,4 у (7') =	(3.96)
[0,2 0,4
и
	0.4'	
7В =	0	(3-97)
Предположим, что нас интересует реакция системы при Х|(0) = х2(0) = 1 и «(/) = 0. Реакция системы в первый момент времени, т. е. при t=T, или при к = 0, равна
Г 1 -0,41	Г0,61
х(1)«	х(0) =	(3.98)
0.2 0,4 j	[0,6
Далее, при 1 = 2Т= 0,4 с, или при к = 1:
Г 1	-0,41	ГО,361
х(2)«	х(1)=	.	(3.99)
0,2 0,4	0,36
Дальнейшие значения при к =2, 3, 4. ... вычисляются аналогично.
Сравним теперь точное значение реакции системы, полученное в предыдущем разделе с помощью переходной матрицы состояния, с приближенным значением, вычисленным в результате дискретизации времени. В примере 3.5 при х((0) = х2(0) = 1 мы получили точное решение для переменных состояния: x}(t) = x2(t) = e~2'. В табл. 3.1 приведены вычисленные точные значения Х|(0, а также приближенные значения при Т= 0,2 с и при Т = 0.1 с. В случае Т= 0.2 с ошибка остается приблизительно постоянной и равной 0,07, что составляет 7% от начального значения переменных состояния. При уменьшении Т до 0,1 с ошибка также уменьшается приблизительно до 3.5% от начального значения переменных состояния. Если взять Т = 0,05 с, то аппроксимация решения в момент t = 0,2 с дает значение Х](/) = 0,655, и ошибка уменьшается до 1,5% от начального значения переменных состояния.
Таблица 3.1
Время, t (с)	0	0,2	0,4	0,6	0,8
Точные значения xt(t)	1	0.67	0,448	0,30	0,20
Аппроксимация Xi(t), Г=0,1 с	1	0,64	0.41	0,262	0.168
Аппроксимация ж,(Г). 7’= 0.2 с	1	0.60	0,36	0.216	0,130
Пример 3.7. Динамика эпидемического заболевания
Рассмотрим еще раз модель в переменных состояния, отражающую распространение эпидемического заболевания, с которой мы познакомились в примере 3.2. Полагая в уравнении состоя-
ния (3.55) а = р = у = 1, получим:
(3.100)
Характеристическое уравнение системы [см. (3.57)] имеет вид s2 + 2s + 2 = 0, и, следовательно, его корни — комплексные. Определим динамику распространения заболевания, считая, что скорость появления новых восприимчивых к нему равна нулю, т. е. и, = 0. Скорость появления
162
Глава 3. Модели в переменных состояния
новых инфицированных определим как к2(0) = 1 и к2(Л) = 0 при к > 1; это означает, что в начальный момент времени появляется только один инфицированный (что эквивалентно импульсному входному воздействию). Постоянная времени, соответствующая комплексным корням, 1/^<о„ = 1 с, поэтому выберем Т = 0,2 с. (Заметим, что в действительности время может измеряться месяцами, а входное воздействие — тысячами человек.)
Запишем уравнение состояния в дискретной форме:
х(к + 1) =
’0,8 -0,2 О'		’ 0 '	
0,2 0,8 0	х(Л) +	0,2	и^к).	(3.101)
0,2 0,2 1		0	
t = Т, т. е. при к = 0 и при условии, что
Реакция системы в первый момент времени Х](0) = х2(0) = х3(0) = 0, равна
х(1) =
0 0,2 0
(3.102)
После этого вход и2(к) при к > 1 становится равным нулю, и в момент t = 2Т реакция системы определяется как
	'0,8	-0,2	О'	' 0 '		-0,04	
х(2) =	0,2	0,8	0	0,2	=	0,16	(3.103)
	.°’2	0,2	1	0		0,04	
Аналогично в момент t = 3T получим:
	'0,8 -0.2	О'	'-0,04'		'-0.064'
х(3) =	0,2 0,8	0	0,16	=	0,120
	0,2 0,2	1	0,04		0.064
Последующие значения вычисляются так же просто. Разумеется, в действительности величина X! не может принимать отрицательные значения, но в нашем примере так получается из-за неадекватности модели.
Метод дискретизации уравнения состояния оказывается чрезвычайно полезным при вычислении временных характеристик нелинейных систем. В этом случае уравнение состояния имеет общий вид:
x = f(x,u,rX	(3.104)
где f есть функция (не обязательно линейная) вектора состояния х и вектора входа и. Вектор f представляет собой матрицу-столбец функций от х и и. Если система является линейной по отношению к входным сигналам, то уравнение (3.104) принимает вид:
x = f(x,Z) + Bu.	(3.105)
Если система является стационарной, т. е. описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, то уравнение (3.105) принимает вид:
x = f(x) + Bu.	(3.106)
Рассмотрим уравнение (3.106) для нелинейной системы и получим его дискретную аппроксимацию. Используя аппроксимацию производной в виде (3.89), запишем:
) = f[x(f)] + Bu(t)	(3.107)
T
Полагая t = кТ, выразим отсюда х(А+1):
х(А +1) = х(Л) + Z[f (х(/с)) + Ви(Л)].	(3.108)
3.8. Дискретный способ вычисления временных характеристик
163
Аналогично, для уравнения общего вида (3.104) дискретная аппроксимация записывается как
х(к +1) = х(к) + Tf [х(Л), и(к), &]..	(3.109)
Далее мы рассмотрим систему из предыдущего примера с учетом того, что она является нелинейной.
Пример 3.8. Уточненная модель распространения эпидемического заболевания
Распространение эпидемического заболевания более точно описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений:
Х| = - oct] - рлул‘2 + ц(0,
х2 = Pxpc2 - Ух2 + 112^\	(3-110)
Х} = OCX] + ух2 ,
где взаимодействие между группами населения представлено нелинейным членом xtx2. Как и в предыдущем примере, будем считать, что а = Р = у=1, ut(t) = 0, и2(0) = 1 и и2(к) = 0 при к > 1. Выберем шаг дискретности Т- 0,2 с и зададим начальные условия в виде хт(0) = [1 0 0]. Тогда, подставляя в уравнения (3.110) t- кТ и
((|д (ЗШ)
получим:
х,(* + 1)-х,(*) =	_ Х1(Л>2(ЛХ
х2(к + 1) - х2(к) =	+ ^(Л) ,	(3,112)
х3(Л+1)-х3(Л)=лД)+л2(п
Выражая из этих уравнений x,(fc+l) и помня, что Т= 0,2 с, получим: хх(к + 1) = 0,8х](к) - 0,2х}(к)х2(к) ,
х2(к+ 1) = 0,8х2(Л) + 0,2xi(kyx2(k) + 0.2и2(к),	(3.113)
х3(к + 1) = х3(к) + 0,2х,(А) + 0,2х2(А).
Тогда в первый момент времени, при /= Т имеем:
х,(1) = 0.8х ,(()) = 0,8,
х2(1) = 0,2и2(0) = 0,2,
х3(1) = 0,2х,(0) = 0,2.
Еще раз используя уравнения (3.113) и учитывая, что н2(1) = 0, получим:
xi(2) = 0,8xi(l) - 0,2xi(1)x2(1) = 0,608.
х2(2) = 0,8х2(1) + 0,2х1(1>2(1) = 0,192,	(3.114)
х3(2) =хз(1) + 0,2х,(1) + 0,2х2(1) = 0,40.
Аналогично, при t=3T имеем:
х,(3) = 0,463, х2(3) = 0,177, х3(3) = 0,56.
Дальнейшие вычисления не вызывают проблем. Нетрудно видеть, что реакция нелинейной системы существенно отличается от реакции ее линейной модели, рассмотренной в предыдущем примере.
164
Глава 3. Модели в переменных состояния
Вычисление временных характеристик линейных систем легко производится путем либо (1) использования переходной матрицы состояния, либо (2) с помощью дискретной аппроксимации уравнения состояния. Для нелинейных систем наиболее подходящим является метод дискретизации уравнения состояния, тем более, что он очень удобен при численных вычислениях на компьютере.
3.9.	Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера
В обыкновенном недорогом принтере для компьютера горизонтальное перемещение печатающего устройства вдоль страницы осуществляется с помощью ременного привода. Печатающее устройство может быть струйным, матричным или термическим. Пример ременного привода принтера с исполнительным устройством в виде двигателя постоянного тока изображен на рис. 3.24. В данной конструкции положение печатающего устройства измеряется с помощью фотодатчика, а натяжение ремня изменяет его коэффициент упругости. Целью синтеза является выбор надлежащих параметров электродвигателя, шкива, регулятора и анализ влияния коэффициента упругости ремня на характеристики системы. Для решения поставленной задачи сначала нам потребуется разработать модель привода и выбрать многие из его параметров. На основании этой модели мы построим сигнальный граф и выберем переменные состояния. После этого определим передаточную функцию системы и выберем ее остальные параметры, кроме коэффициента упругости ремня. И, наконец, исследуем влияние коэффициента упругости, проварьировав его в разумных пределах.
На рис. 3.25 изображена модель ременного привода. Предполагается, что коэффици
ент упругости ремня равен А, радиус шкива — г, угол поворота вала двигателя — 6, угол
поворота правого шкива — Qp, масса печатающего устройства — т, а его положение — y(t). Выходом фотодатчика является напряжение vb пропорциональное перемещению у, т. е. V] = к^у. Регулятор вырабатывает выходное напряжение v2, являющееся функцией Напряжение v2 подается на обмотку возбуждения двигателя. Предположим, что мы можем использовать линейную зависимость
,	I
— К') --------1~
dt
и выберем параметры к2 = 0,1 и к3 = 0 (т. е. будем использовать обратную связь по скорости).
Рис. 3.24 Ременный привод принтера
3.9, Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера 165
Момент инерции двигателя вместе со шкивом ./ = ./дв + 7ШК. Если мы выберем двигатель средней мощности в 1/8 л. с. (чуть менее 100 Вт), то для него J= 0,01 кгм2, индуктивностью обмотки возбуждения можно пренебречь, сопротивление обмотки возбуждения равно 2 Ом, постоянная двигателя Кт = 2 Н-м/А, а коэффициент трения совместно со шкивом b = 0,25 Н мс/рад. Радиус шкива г = 0,15 м. Все эти параметры сведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2. Параметры устройств принтера
Масса Фотодатчик Радиус шкива Электродвигатель Индуктивность Коэффициент трения Сопротивление Постоянная электродвигателя Момент инерции двигателя и шкива	m = 0,2 кг кх = 1 В/м г = 0,15 м £«0 Ъ = 0,25 Н  мс/рад /? = 2 Ом Кт = 2 Н  м/А J= 0.01 кг • м2
Перейдем к записи уравнений движения системы; заметим, что у = г0р. Тогда сила натяжения Тх равна:
1\ = к(гв - г0р) = Л(г0 - у).
Сила натяжения Т2 = к(у - гб). Сила, действующая на массу т:
Тх-Т2=т^-	(3.115)
dt~ и Тх -Т2 =k(rf)~ у)-k(y-r&) = 2k(rQ - у) = 2кхх,	(3.116)
(3.117)
где %] = (гб - у) примем за первую переменную состояния. Пусть второй переменной состояния будет х2 = dy/dt, тогда из (3.115) и (3.116) мы получим: dx, 2к ----------------------------- =-Xi . dt m
Если в качестве третьей переменной состояния выбрать х3 = dQ/dt, то dxx	dQ dy
	=r	= ГХ? — X,. dt------dt	dt
(3.118)
166
Глава 3, Модели в переменных состояния
Теперь нам потребуется дифференциальное уравнение, описывающее вращение электродвигателя. При L = 0 ток возбуждения г = v-,/R и момент на валу Тт = K„,i. Следовательно, Т =^L.V
m R 2’
т. е. момент, развиваемый двигателем, должен быть равен моменту, обеспечивающему движение ремня, плюс возмущающий момент нагрузки:
Tm = T+Td.
Момент Т обуславливает вращение шкива, поэтому
Т — J —— + Ъ — + r(7j -Ту). dt2 dt
Таким образом, мы замечаем, что
dx3 _ d2Q
dt ~ dt2 ’
из чего следует:
dx3 Т„,—Td b 2kr
—- =—-------x3-----x.
где
Tm= — v2 и v, =-kxky — =-k}kyXy. R -	~	dt
В результате мы получаем: dx2	К mkxk2	b 2kr Td
----- — ----------ЗС'у Хэ '--------Xi dt JR - J J J
(3.119)
Уравнения (3.117—3.119) полностью описывают динамику нашей системы. Дифференциа-
льное уравнение состояния в векторно-матричном виде т				аково:			
	0	-1	Г		0		
X =	2к m 2кг . J	0 JR	0 ь J.	X +	0 _2 j.	Td-	(3.120)
Сигнальный граф, соответствующий этому уравнению, изображен на рис. 3.26, где дополнительно включен узел, отражающий наличие возмущающего момента Td.
По графу мы теперь можем определить передаточную функцию Xx(s)/TJ(s). По этой передаточной функции легко можно будет установить, как уменьшить влияние возмущения Td на характеристики системы. С помощью формулы Мейсона находим:
_ r
___________J!___________
Td (5) 1- (Л + Т2 + Л3 + Л4 ) + L} L2
Рис. 3.26
Сигнальный граф для ременного привода принтера
3,9. Пример синтеза: ременный привод печатающего устройства принтера 167
где
2k _> — s '
т
L2 =
2Ь'2 -2 г _ 2ЛЛтА1Л2 з
—------Л , Ъл —------------5
J	mJR
Следовательно,
*,(*)____________________~С/)д__________________
Td(s) 3 (ъ\-у ( 2к 2кг2 \	(2kb 2кКткхкэг\
\J) ут J j \Jm JmR J
С учетом численных значений параметров из табл. 3.2 получим:
X, (s) _________________-15s___________________
Td (s) s3 + 25s2 + 14,5/cs + 1000/c (0,25 + 0,15A2) ’
(3.121)
Нам желательно иметь такой коэффициент упругости к и коэффициент регулятора к2, при которых переменная состояния как можно быстрее принимала бы малое значение после появления возмущения. Для проверки примем возмущение в виде ступенчатой функции, т. е. 7j(s) = a/s. Имея в виду, что xt = г0 -у, упомянутое выше требование эквивалентно тому, чтобы переменная у стала практически равной заданному значению г0. Если ремень является абсолютно жестким, т. е. к —> <х>, то у в точности будет равно тб. При ступенчатом возмущении T/s) = a/s мы имеем:
2/1 (s) = --------------—----------------------.	(3.122)
s3 + 25s2 + 14,5/cs + 1000/с (0,25 + 0,15Л2)
По теореме о конечном значении lnnx1(z) = limsA'1(s) = 0,	(3.123)
Г—>00	5—>0
т. е. установившееся значение Xj(z) будет равно нулю. Зададимся реалистичным значением к в диапазоне 1< к < 40. Пусть это будет 20. Тогда при к2 = 0,1 мы получим:
, х	-15a	-15a
Jf! (s) — -----------------------------------------------------.	(3.124)
s3 + 25s2 + 290s + 5300 (s + 22,56) (s2 + 2,44s + 234,93)
Характеристическое уравнение имеет один вещественный и два комплексных корня.
Разложение 2f](s) на простые дроби дает:
--------------+--------(3.125) a s +22,56 (s+1,22)2 +(15,28)2
где вычисление неопределенных коэффициентов приводит к результатам: А = -0,0218, В = 0,0218, С = -0,43 81. Очевидно, что при таких малых значениях вычетов реакция системы на единичное возмущение будет незначительной. Так как А и В существенно меньше, чем С, то 2/((s) можно аппроксимировать выражением:
2/t(s)_	-0,4381
а ~ (s+1,22)2 + (15,28)2 ’
Найдем оригинал этого выражения, воспользовавшись табл. 2.3:
==-0,0287е’1-22' sin 15,28z.	(3.126)
168
Глава 3, Модели в переменных состояния
Рис. 3.27
Реакция переменной x?(t) на ступенчатое возмущение: максимальное значение = - 0,0325
График этой функции приведен на рис. 3.27, откуда следует, что влияние нежелательного возмущения является весьма незначительным. Таким образом, поставленная задача синтеза нами выполнена.
3.10.	Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB
Анализ систем управления во временной области предполагает задание ее модели в пространстве состояний:
x=Ax+B?z и y=Cx + D?z.	(3.127)
Вектор х характеризует состояние системы, матрица А есть матрица коэффициентов размерности их/?, В — матрица входа размерности пхт, С — матрица выхода размерности рхп, D — матрица обхода размерности рхт. Мы ограничиваемся рассмотрением систем с одним входом и одним выходом, поэтому в данном случае т=р = 1, а у» и и являются скалярными переменными (полужирное начертание для них не используется).
Основными элементами модели в пространстве состояний (3.127) являются вектор х и матрицы (А, В, С, D). Подобное описание как нельзя лучше подходит для использования среды MATLAB, в которой основной рабочей единицей является матрица. В действительности MATLAB охватывает так много различных методов, базирующихся на пространстве состояний, что рассмотреть их все мы просто не имеем возможности. В данном разделе мы познакомимся с двумя новыми функциями: ss и Isim. Кроме того, мы рассмотрим функцию ехрт, с помощью которой вычисляется переходная матрица состояния.
Если задана передаточная функция, то мы можем получить эквивалентную модель системы в переменных состояния и наоборот. Для этого в MATLAB имеются две функции: функция ss позволяет перейти от передаточной функции к представлению системы в пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу. Смысл этих функций раскрывает рис. 3.28.
Например, рассмотрим систему третьего порядка:
У (О	2?+8.5 + 6
---= —------------ .	. IZOJ
A(s) s3+8?+16^+6
3.10. Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB
169
Рис. 3.28
(а)	Функция ss.
(б)	Преобразование модели линейной системы
Объект в переменных состояния
х = Ах + Ви у = Сх + Dn
sys=ss(A,B,C,D)
б)
а)
На рис. 3.29 показано, как с помощью функции ss происходит переход от передаточной функции (3.128) к описанию системы уравнениями (3.127), где
А =
-8
8
0
-2
0
1
, С = [1 0,5 0,375], D = [0].
Представление передаточной функции (3.128) в виде модели в переменных состояния приведено на рис. 3.30.
Рис. 3.29
Преобразование передаточной функции (3.128) в форму фазовой переменной в пространстве состояний: (а) Скрипт MATLAB.
(6) Распечатка результата
а)
convert.m
%Преобразование
G(s)=(2sA2+8s+6)/(sA3+8sA2+16s+6) %в модель в переменных состояния % num=[2 8 6]; den=[1 816 6];
sys_tf=tf(num ,den); sys ss=ss(sys tf)
»convert			
a =	x1	x2	x3
x1	-8	-2	-0.75
x2	8	0	0
x3	0	1	0
b =	u1		
x1	2		
x2	0		
x3	0		
c = x1 x2 x3
y1 1	0.5	0.375
d =
u1
y1 0
170
Глава 3, Модели в переменных состояния
Рис. 3.30. Структурная схема системы, где л, есть самая левая переменная состояния
Решение первого из уравнений (3.127) имеет вид:
x(Z)=exp(AZ)x(O) + |ехр[А(Г-т)]Вг/(т)с?т .	(3.129)
о
Матричная экспоненциальная функция в (3.129) есть переходная матрица состояния Ф(Г), т. е. Ф(Г) = ехр(АТ). Для вычисления переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности по времени используется функция ехрт, как это показано на рис. 3.31. Функция ехрт(А) вычисляет еА. Напротив, функция ехр(А) вычисляет для каждого элемента я,у матрицы А.
Рассмотрим, например, RLC-цепь на рис. 3.4, описываемую уравнением состояния (3.18), где
А =
О -2
1 -3 ’
С = [1 0], D = [0].
Зададимся начальными условиями х/0) = х2(0) = 1 и будем считать, что входной сигнал i^t) = 0. При шаге дискретности 0,2 с вычисленная переходная матрица состояния приведена на рис. 3.31. На основании этих данных можно определить состояние системы в момент времени t = 0,2 с:
\	_ Г0,9671 -0,29681 ГX]'
x2J,=0>2 "L°>1484 °’5219J [X2j,=0
0,6703
0,6703
Временные характеристики системы, заданной передаточной функцией (3.128), можно также получить с помощью функции Isim. Эта функция допускает как задание ненуле-
Рис. 3.31
Вычисление переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности Д/ = dt
» А=[0 -2; 1 -3]; dt=0.2; Phi=expm(A*dt)
Phi =
0.9671 -0.2968
0.1484 0.5219
Переходная матрица состояния при А/ = 0,2 с
3.10. Анализ моделей в переменных состояния с помощью MATLAB
171
Рис. 3.32
Функция Isim для вычисления состояния и выходной переменной
u(t)j 
Произвольный входной —►
t сигнал
Система
х = Ах + Ви у = Сх + Du
—► Выход
у(Г) — выход в момент t, Т: вектор времени, x(t) — состояние в момент t
t — моменты времени, в которые вычисляется реакция
Начальные условия (по выбору)
и = вход
[y,T,x]=lsim(sys,u,t,xO)
вых начальных условий, так и входной функции, что проиллюстрировано на рис. 3.32. На рис. 3.33 показано, как с помощью функции Isim вычисляется реакция /iLC-цепи. Состояние цепи в момент времени t = 0,2 с, вычисленное с помощью функции Isim, равно х,(0,2) = х2(0,2) = 0,6703. Как видим, этот результат полностью совпадает с данными, полученными ранее путем умножения переходной матрицы состояния на вектор начальных условий.
Рис. 3.33
Вычисление с помощью функции Isim временных характеристик при ненулевых начальных условиях и отсутствии входного сигнала
А=[0 -2;1 -3]; В=[2;0]; С=[1 0]; D=[0]; sys=ss(A,B,C,D); <— х0=[1 1]; ч--------- .
t=[0:0.01:1];	_
u=O*t; 4--------------------1
[y,T,x]=lsim(sys,u,t,xO);	| 
subplot(211),plot(T,x(:,1))
xlabelfBpeMH (c)’),ylabel(‘X_1 ’) subplot(212),plot(T,x(:,2)) х!аЬе1(‘Время (c)'),ylabel(‘X 2’)
Модель в переменных состояния
Начальные условия
Нулевой входной сигнал
172
Глава 3. Модели в переменных состояния
3.11.	Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска
□ Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обычно порядка 1 мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к другой. В этой главе мы разработаем модель дисковода в переменных состояния, которая будет учитывать эффект изгиба пластины.
Рассмотрим еще раз конструкцию считывающего устройства, изображенную на рис. 2.65. Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой упругой стальной ленты. Еще раз отметим, что нам необходимо с высокой точностью управлять положением головки y(t), как это показано на рис. 3.34(a) (шаг 2 процедуры синтеза на рис. 1.19). Прежде всего мы попытаемся разработать модель системы, изображенной на рис. 3.34(a). Обозначим массу двигателя через Л/ь а массу головки через М2. Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости к. Сила u(f), приводящая в движение массу Му, создается двигателем постоянного тока. Если пластина является абсолютно жесткой (не подверженной изгибу), то мы получим упрощенную модель, изображенную на рис. 3.34(6). Типичные параметры этой системы с двумя массами приведены в табл. 3.3.
Масса
u(t)
Сила
!/(*)
Масса ' Положение
двигателя		пластина головки		ГОЛОВКИ	
—	м2	—7WAW— k	М2		М = Мх+ М2
	Ьг		ь2		Ъг
		а)			6)
Рис. 3.34. (а) Модель системы с двумя массами и упругой пластиной. (6) Упрощенная модель с жесткой пластиной
Таблица 3.3. Типичные параметры системы с двумя массами
Параметр	Обозначение	Величина
Масса двигателя	М}	20 г = 0,02 кг
Коэффициент упругости пластины	к	10<Л<оо
Мас