Историко-математические исследования. Выпуск XVII - Рыбкин Г.Ф.

Автор: Рыбкин Г.Ф.

Теги: математика алгебра естественные науки история математики точные науки

Год: 1966

Текст

ИСТОРИКО'
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
51(09)

11 90

УДК&И09)

со

(Г
00

4 мешеного р-| *

Ч^^НСТИТ^/

2-2-1

82-66
СОДЕРЖАНИЕ

От редакции:............................................ 7

РАБОТЫ ПО ИСТОРИИ ПОВОЙ АЛГЕБРЫ

Г. Вуссинг (Берлин, ГДР). О генезисе абстрактного понятия
группы............................................... И

Любош Новый (Прага). К вопросу о возникновении система-
тических исследований ио теории групи............... 31

II. Ф. Канунов (Владимир). О работах Ф. Э. Молппа по тео-
рии представлений конечных групп.................... 57

СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ

С. С. Демидов (Москва). К истории проблем Гильберта . . 91

А. II. Юшкевич (Москва). О развитии понятия функции . . 123

С. А. Яновская (Москва). О роли математической строгости
в творческом развитии математики и специально о «Гео-
метрии» Декарта.................................... 151

II. Г. Башмакова (Москва). Диофант и Ферма (к истории
метода касательных и экстремумов) .................... 185

В. II. Антропова (Тула). О геометрическом методе «Матема-
тических начал натуральной философии» И. Ньютона 205

Ф. А. Медведев (Москва). Раппяя история теоремы эквивалент-
ности ............................................. 229

С. Г. Ибрагимов (Москва). О забытых работах Эрнста Шрёдера,
пограничных между алгеброй и логикой ................. 247

ДОКЛАДЫ НА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ ПЛЕНУМ \
СОВЕТСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ ИСТОРИКОВ

ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ II ТЕХНИКИ

(МОСКВА, МАЙ 1965 г.)

Б. II. Березкина (Москва). Об одном древнекитайском матема-
тическом трактате ................................. 261

7. И. Матвиевская (Ташкент). К истории учения о числе па

И Яред“евсковом Ближнем п Среднем Востоке............ 273

• д. Беспамятных (Вильнюс). К истории инструменталь-
ных вычислений в XVII и XVIII вв. ........ 281
И. Г. Мельников (Ленинград). Леонард Эйлер о математиче-
ской строгости....................................... 239

В. 14. Лысенко (Москва). Геометрические работы Якоба Гер-
мана .................................................... 299

Ф. Д. Крамар (Алма-Ата). От универсальной арифметики

Ньютона к алгебре кватернионов Гамильтона .... 309

II. Г. Башмакова (Москва). О некоторых особенностях разви-
тия алгебры XVIII в.................................. 317

Е. С. Шатунова (Москва). Теория пределов Симона Люилье 325

II. И. Симонов (Москва). О развитии теории линейных диф-
ференциальных уравнений от Эйлера до Пеано .... 333

Л. Е. Майстров (Москва). Даламбер и теория вероятностей 339

10. М. Гайдук (Харьков). К оценке в России научных заслуг
К.-Г. Я. Якоби....................................... 345

В. 11. Бычков (Тирасполь). О развитии геометрических идеи
И. Л. Чебышева........................................... 353

М. Б. Налбандян (Ростов-на-Дону). Теория эллиптических
функций и ее приложения в трудах русских математи-
ков XIX и начала XX вв............................... 361

С. Л. Дахия (Харьков). Вклад Фр. Шура в исследования по
основаниям геометрии .................................... 371

Е. II. Ожигова (Ленинград). Математика в Академии паук
в первые годы советской власти....................... 381

В. Л. Минковский (Орел). Методико-математические идеи
Д. II. Писарева...................................... 391

ТЕКСТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Ибн ал-Хайсам. [Трактат об изопериметрических фигурах].
Перевод с арабского Джамаля ад-Даббаха (Багдад; Мо-
сква) ............................................... 399

Джамаль ад-Даббах. Примечания к трактату об изоперимет-
рических фигурах ибп ал-Хайсама ..................... 441

II. Г. Хайретдинова (Фергана). Тригонометрический трактат
исфаханского анонима ................................ 449

Именной указатель....................................... 465
50ММА1КЕ

ЕН11«)па1................................................. 7

Ш8Т01ВЕ ВЕ Ь’АЬОЕВВЕ МОВЕВЫЕ СОХТЕМРОВА1ХЕ

Н. \\гизз1п” (ВегПп — К. В. Л.), Биг 1а ГогтаНоп Не 1а поНои
Не р'голре аЬя!гаП.................................... 11

X. 1\!оиу (Рга&ие), Ьез НёЬиЬз Нея гссЪегсЬез зуз^ётаНдиез 11аиз

1с Поташе Нс 1а Итоне Нез дгопроз.................... 31

У. Е. Сапоипоо (\1асНпйг), Ьа Итоне Не 1а гсргёзепЪаНоп
Нез ^гоирез (пнз Наиз Гоеилтс Не Т. Е. МоПеп .... 57

УАВ1А

8. 8.1.)етк1о» (Мозсои), РгоЫётез Но 11ИЬег1: арегри 1нз1опдие 91

А.Р. УоизсккепИск (Мозсои), Биг 1е Нё\с1оррстеп1 Не 1а по-
Иоп Не ГопсНоп....................................... 123

8. А. Уапогзкага (Мозсои), Ье г61е Не 1а п^иеиг таНттаНдис

Нал 1 ето1иНол сгёаИчсе Нея таИттаНдиез е! зрёсхак-
тел! Налз 1а «СёопиЧпе» Не 1)езсаг!ея............... 151

7. С. Нагктакога (Мозсои), 1)10р1шп!е. еЬ Кеппа! (зиг 1ез он-
&1Л08 (1с 1а тёИю(1е Не 1ал§ел!ез е! Нез ех1 гетит я) . . . 185

V. 7. А/Игорора (Тои1а), Ьа теИюНе ^ёотсЧндис Налз 1ез
«РплС1р1а та Нюта Иса р1н1ояор1пае па1игаКз» Не ЛелхЧоп 205

7’. А. Мес1ие<1е» (Мозсои), Ргепйёгез Нётопз1гаНопз Ни Ито-
ге те Н’ёди1Уа1епсе.................................. 229

8. С. 1Ъга^кйпои (Мозсои), Ьез 1гагаих оиЬКёз Не Егпз!
БскгоеНег вйсппёсПапез ел!гс Га1^ёЬгс е! 1а 1о«рдие . . 247

( ОМЛШХ1САПО1Х8 ЕА1ТЕ8 ВАК'8 ЬА 8ЕСТЮХ НАГНЕМ АТКИНЕ

ВЕ Ь‘А88ЕМВЬЙЕ РЬЁШЕВЕ ВЕ Ь’ПМОХ ХАТЮХАЬЕ
8ОУ1ЁТ10ПЕ ВЕЯ Ш8ТОВ1ЕНЯ ВЕЗ 8С1ЕХСЕ8 КАТОВЕВЬЕЗ

ЕГ Г)Е8 ТЕСНХ101ТЕ.Я. (МОЗСОИ, МА1 1%5)

7^- I Пегюъкта (Мозсои), 8иг ил 1гаИё таИттаНдие Ис 1а
Стле антенне............................................ 261

^11, (Тасккеп!), Биг 1а поНоп Не лотЬгс Нале

с1» рауз Ни РгосЪс е! Ни Моуеи ОпеиС аи Моуеп а$е 273
Л. 1). ВвьратлаЛпукк (УИптпз), Ье са!си! тёсашдие аи XVIIе
с1 аи XVIIIе Я1ёс1ея.................................... 281

I. С. МеВикоу (Еетп^гаН), Ьёопагй Еи1ег с( 1а п^иеиг таЕЬб-
таИдие................................................... 289

V. 1. Ьуззепсо (Мозсои), Ь’осиуге §ёотё1пдис с!е 1асоЬ
Негтапп.................................................. 299

Р. Б. Сгатаг (Л1та-АШ, Бе ГагИПтеИдие иттегзсИе <1е
Хе\\'1оп а Га1"ёЬге йез диаТспнопз с!е Папи Коп . . . 309

/. С. Васктакога (Мозсои), 8иг дие1диоз рагрсЫагПёз йи
Йёуе1орретеп( йе Га1геЬге аи XVIIIе 81ес1е .... 317

Е. *У. Ска1оипоуа (Мозсои), ТНёопе Йез ПтИез Йс 81 топ Ыш-
ППег.................................................... 325

М. I. Ейпопоу (Мозсои), Ье йёус.1орретеп( йе 1а (Пеоне йез
ёдиаНопз йШёгепНеПез Ппёапсз йе Еи1сг а Реапо . . 333

Ь. Е.гМа181гоу(Мо$со\1), Р’А1ет1)ег1 е( 1а (Пётче йеяргоЬаЫИ-
1ёя ..................................................... 339

1и. М. СаЫоик (КНагкоу), Соттеп( арргёс1аИ-оп еп В115310

1ез тёгПез ятегйШдиез йс С.-О. .1. .1асоЫ . .... 345

V. Р. Ву/еккоо (Т1газро1), 8иг 1е йёуе1оррстеп( йез 1йёсз $ё-
отёЫдиез йс ТсНеЬусПеу .................................. 353

М. В. ЩаГЪапсИап (В оз (оу зиг 1е Рои), Ьа (Пеоне Йсз ГопсИопз^
еШрНдпез е( зез аррКсаИоиз йапз 1ез гесНсгсПез йеэ та(Ьё-
таНсхопз гиззезйи XIXе с1 йи соттепсетсп! йи XXе 81-
ёс!е..................................................... 361

Е. А. Еакк1а (КНагкоу), Ьез гесПегсИез йс Рг. 8сЬиг зиг 1сз
ГопйстепСз (1с 1а дёотёШс............................... 371

Е. Р. О$1$оуа (Ееи1и^гай), Ьез пиНПётаНдиез а ГАсайёпис йсз
зс1епсез йе 1’11. В. 8. 8. репйап1 1ез ргспйёгез аппёез йи
гё^рте зоухёНине......................................... 381

У.Е. М1пкоУ8к1 (Огс1), Ьез 1йёсз <1о 1). I. Ргззагсу зиг Гелзещие-
тсп! йез та 1Ьё та И диез ............................... 391

ТЕХТЕ5 ЕТ РЪВГЛСАТГОКЗ

1Ъп аЕНаИкат. [ТгаПё зиг 1ез Пригез 1зорёптё1пдиез].Тгайш1
й’агаЬе раг 1ата1 ай-БаППа.^Н (Вадйай; Мозсои). . . . 399

Зата1 ас!-ВаЪЬа$к, Хо1сз аи (гаВё зиг 1сзП§игез 1зорёптё1п-
диез йе 1Ьп аВИаИПат................................*. . 441

С. Кка1ге1сНпоуа (РегиЬапа), Ье 1гаВё 1пдопоте1ндие
й’ип зауап! а попу те йс 1зра11ап.................... 449

1пйех йез потз .......................................... 465
ОТ РЕДАКЦИИ

13 первом разделе настоящего выпуска публикуются
три статьи по истории повой алгебры, до спх пор освещен-
ной далеко не достаточно. В первой из них рассматривает-
ся проблема возникновения абстрактного понятия группы
пз трех основных источников: геометрпп, теории чпсел
и теории решения алгебраических уравнений. Во второй
подробно анализируется цикл исследований Коши по
группам подстановок, положивших начало систематиче-
ской разработке этой области. В третьей статье рассмат-
риваются фундаментальные изыскания Ф. Э. Молина,
столь высоко оцененные в свое время Г. Фробениусом,
по все еще мало известные современным ученым.

Раздел «Статей различного содержания» открывается
работой по истории знаменитых проблем Гильберта, по-
ставленных им на Международном конгрессе математи-
ков в Париже (1900) и оказавших большое влияние на
развитие математики XX столетия. Здесь кратко харак-
теризуются основные результаты, полученные в разреше-
нии каждой из 23 гпльбертовских задач вплоть до наших
дней и приведена обширная библиография вопроса. Зна-
чение этого доклада Гильберта огромно, и следует на-
деяться, что подготовляемый сейчас его русский пере-
вод скоро выйдет из печати. Далее идет статья
о развитии попятил функции до XIX в.-— вопрос, кото-
рый заслуживал бы в дальнейшем специального моно-
графического исследования. В следующей статье дана
оригинальная трактовка системы универсальной мате-
матики, построенной Декартом, и на ее примере рассмат-
ривается роль математической строгости в творческом раз-
витии математики. Проблема связей между античностью
и математикой XVII в. не раз уже подвергалась пзуче-
пию на страницах наших выпусков. В следующей работе
этого выпуска совершенно по-новому освещается история
метода максимумов и минимумов Ферма и возникновение
этого метода ставится в пепосредственную зависимость от
своеобразной разработки им приемов решения в рацио-
нальных числах неопределенных уравнений, предложен-
ных в «Арифметиках» Диофанта. Затем печатается статья
о геометрико-аналитпческих методах, примененных в «Ма-
тематических началах натуральной философии» Ньютона,
которому при решении ряда задач теории притяжения
потребовалось фактически вычислять некоторые кратные
интегралы. В двух последних статьях этого раздела речь
идет о теореме эквивалентности в трудах Каптора и дру-
гих и о теории алгоритмов Э. Шредера.

В третьем разделе помещены тексты докладов, сделан-
ных на математической секции пленума Советского нацио-
нального объединения историков естествознания и тех-
ники в Москве в мае 1965 г. К сожалению, объем данного
выпуска пе позволил опубликовать все доклады сразу
и часть их пришлось временно отложить. Мы не будем
перечислять названия всех 16 печатаемых здесь сообще-
ний. Содержание их весьма разнообразно: от истории уче-
ния о числе па средневековом Востоке до а лгебры У. Гами-
льтона, от инструментальных вычислении в XVII —
XVIII вв. до изысканий Фр. Шура во основаниям гео-
метрии.

Наконец, в «Текстах и публикациях» читатель най-
дет комментированный перевод хранящихся в Стамбуле
рукописей арабского трактата ибн ал-Хайсама об изопе-
риметрических фигурах, до сих пор никем пе изученного
и не напечатанного, и затем описание и анализ аноним-
ного арабского сочинения по тригонометрии, автором
которого, вероятно, был Омар Хайям.

Во время подготовки к печати настоящего выпуска
советская история ма ематпкп понесла тяжелую утрату:
скончалась Софья Александровна Яновская (31.1.1896—
24.10.1966), профессор Московского университета, мно-
гие труды которой печатались в наших сборниках, в
том числе и в данном.
РАБОТЫ

ПО ИСТОРИИ НОВОЙ АЛГЕБРЫ
о ГЕНЕЗИСЕ АБСТРАКТНОГО ПОНЯТИЯ ГРУППЫ*)

Г, Вуссинг

Понятие «математической структуры» с некоторых пор,
несомненно, становится одним из основных в современ-
ной математике. Исследование взаимосвязи алгебраи-
ческих структур как целевая установка так называемой
«общей алгебры», а также стремление к аналогичной си-
стематизации структур порядка и топологических струк-
тур объявляются в настоящее время центральными зада-
чами математики. Сознательное обращение к структур-
ному мышлению приводит к попыткам дать определение
даже самому понятию математики: наиболее крайних
взглядов этого направления придерживается коллектив
французских математиков, выступающий под псевдони-
мом II. Бурбаки; по их мнению, математику следует рас-
сматривать как иерархию структур.

При этом сознательное исследование структур пи в
коем случае не является сегодня типичным для одной ма-
тематики п понятие структуры вообще стало руководя-
щим при оценке и прогнозах современного естествозна-
ния. Так, например, доклад французского физика-атом-
ника Пьера Оже (род. 1899) «Современные направления
научных исследований», представленный им ЮНЕСКО
совместно с большой группой ведущих ученых и науч-
ных учреждений, основывается на концепции, что иссле-
дование структур является центральной проблемой сов-
ременного естествознания и математики.

*) Перевод с немецкой рукописи сделан А. В. Дорофеевой.
Что касается математики, то в пен с некоторых пор
прочно укоренилось понятие «алгебраической структуры»
в смысле множества, в котором задается одна или не-
сколько операций вместе с правилами их выполнения.
При объяснении содержания понятия «алгебраической
структуры» современные учебники приводят в качестве
образцового примера группу. Почти общепризнанным
является мнение, что столь успешно развившаяся в двад-
цатых годах нашего столетия новая концепция сущности
алгебры, в Германии связанная с именами Э. Нётер,
Е. Артина, X. Хассе, В. Круля и Б. Л. Ван-дер-Вардена,
основывается па разработке таких основных структур-
ных понятий, как группа, модуль, поле, кольцо, идеал,
алгебра (гиперкомплексная система) и т. д., и что направ-
ление, выступившее в то время с программным названием
«современная алгебра», действительно открыло сущест-
венно новый период в развитии алгебры.

Эта новая концепция сущности алгебры утвердилась
тогда пи в коем случае не стихийно. Интересно, что в про-
тивовес возражениям, направленным против повой кон-
цепции, ссылались именно на теорию групп, которая уже
тогда приняла характер абстрактной теории структур, не
зависящей от специального «конкретного» вида элементов
группы. Действительно, развитие теории групп могло слу-
жить лучшим свидетельством тех важных и плодотворных
результатов, которых следовало ожидать в случае все-
общего признания новой концепции (как это показало
будущее).

С этой точки зрения ретроспективный взгляд на исто-
рию теории групп оказывается ретроспекцией истории
математической дисциплины, которая выступила в каче-
стве движущей силы в современной алгебре двояким
образом: как наиболее ранний пример абстрактной алгеб-
раической структуры и как повивальная бабка современ-
ной алгебры, имеющей целью исследование алгебраиче-
ских структур.

Насколько правильна была в 20-е годы, да и сейчас
ссылка на методический пример, доставляемый развитием
теории групп, настолько же недостаточным в общем яв-
ляется использован ное при этом наше представление об
образовании абстрактного понятия группы, если только
обратиться к действительному историческому процессу.
Почти всегда утверждается, или по крайней мере прямо
подразумевается, что абстрактное понятие группы воз-
никло в конце XIX в. из понятия группы подстановок,
которое в свою очередь обязано своим возникновением
теории решении алгебраических уравнений.

По мнению автора, при изучении математических
источников выясняется, что абстрактная теория групп
имеет исторически три корпя. Конечно, теория решения
алгебраических уравнений является одним из них,—
достаточно, прежде всего, назвать имена Лагранжа, Руф-
фини, Гаусса, Абеля, Коши, Галуа, Серре и К. Жордана,—
по пе единственно определяющим, и уж, конечно, не
единственным. Два других источника, оказавших столь
же плодотворное влияние, как и теория решения алгеб-
раических уравнений,— геометрия и теория чисел,Х1Х в.—
до сих пор пе осознавались как таковые в значитель-
ной степени потому, что теоретико-групповые формы
мышления применялись в этих областях неявно, вов-
се без употребления термина «группа» и вначале вне
связи с параллельно развивающейся теорией групп под-
становок.

Поэтому историк поставлен перед необходимостью си-
стематически изучить обширные области математики, в
которых применялись рассуждения, методы и понятия,
равносильные нынешним теоретико-групповым, и затем
проследить процесс перехода такого неявного теоретико-
группового образа мышления в явную теорию групп.
Поиски неявных форм теоретико-группового мышления
трудны, ио есть одна довольно верная отправная точка:
так как автоморфизмы структур образуют группу, то
приступать следует там, где рассматриваются автомор-
физмы теоретико-числовых, или геометрических, пли же
алгебраических совокупностей. Решающим критерием в
оценке исторических факторов может быть, разумеется,
критерий только исторический. В историческом исследо-
вании речь не должна идти о проецировании развитого
хеоретико-группового мышления в прежние математиче-
ские результаты. Дело скорее в том, чтобы установить те
пути становления неявной теории групп, которые причин
по способствовали возникновению явной теории групи.
Таким образом, речь идет не об исторических формах
проявления некоторого логического развития, а о логи
ческпх формах проявления исторического развития

Недостаток места при огромном количестве материала
ио истории абстрактной теории групп требовал строгого
принципа отбора. Принцип этот двоякого рода. Во-пер-
вых, автор ограничивается в основном историей возник-
новения абстрактного понятия группы, причем история
теории группы слуншт здесь только необходимым фоном.
Во-вторых, в работе даются преимущественно оценки ис-
торико-математического развития, и лишь ври случае,
так сказать, симптоматически, оказывается возможным
привести доказательство на конкретном историческом
материале.

В конце XVIII в. геометрия вступила в период бурного
расцвета, когда, наконец, удалось преодолеть античные
воззрения на сущность геометрии, правда, несколько за-
поздало по сравнепию с анализом и алгеброй. Достойно
внимания, что в развитии геометрии имело место нс пос-
ледовательное развитие какого-то одного направления, не
линейное развитие, но самостоятельное развертывание
отдельных, присущих геометрии тенденций в направле-
ниях, на первый взгляд, расходящихся. Фундаменталь-
ные формы мышления в геометрии и над геометрией не
могли больше основываться па, так сказать, праве при-
вычки. Такие понятия, как координата, длина, парал-
лель и расстояние, традиционное понимание точки как
исходного элемента всей геометрии, да и концепция гео-
метрии в целом могли и должны были бы выступить как
пригодные к обобщению и соответственно как нуждаю-
щееся в критике, раз уже эта геометрия, понимаемая по
содержанию, методам и целям в духе тысячелетней евкли-
довой традиции, пришла в движение. На смену, казалось
бы, прочному единству «геометрии» пришел целый ряд
определимых только атрибутивно геометрий п геометри-
ческих методов. Развитие неевклидовых геометрий, преж-
де всего, в начале столетия гиперболической (Гаусс, Ло-
бачевский и Я. Бойаи), далее, в середине столетия эллип-
тической (Риман), поставило также сложные теоретико-
познавательные проблемы. Мощный импульс, исходивший
от Монжа и Попсоле, привел к созданию проективной
геометрии, вскоре расколовшейся на два враждующих
направления: синтетическое и аналитическое.

Результатом развития геометрии явилось в середине
XIX в. следующее:

1) отказ от казавшейся ранее обязательной связи гео-
метрии п метрики;

2) расширение традиционного понятия координат (при-
меняются не только точечные координаты, по и пло-
скостные, линейные, тетраэдрические, т. е. самые различ-
ные параметры геометрического многообразия, имеющие
совершенно разный геометрический смысл) и

3) обращение к абстрактному путем перехода к сколь
угодно большому, хотя и конечному числу измерений
(А. Кэли и Г. Грассман в начале сороковых годов).

Геометры того времени ясно ощущали происходящий
процесс коренной ломки всей геометрической концепции.
Просмотр соответствующих монографий показывает, сколь
часто встречаются размышления о предмете геометрии,
а также некоторую беспомощность в вопросе о внут-
ренней связи различных «геометрий» и геометрических
методов. Особенно показателен в этом отношении знаме-
нитый «Исторический обзор...» (Арег^н ЫзЬопцие, 1837)
М. Шаля. Ссылаясь на новейшее развитие геометрии, осо-
бенно проективной, Шаль отвергает традиционное опре-
деление геометрии как пауки, предметом которой являет-
ся мера протяженности (1а шезиге с1е ГЬепйц), и требует
вместо этого, выражаясь современным языком, исследо-
вать внутреннюю структуру геометрических многообра-
зий, причем «простая идея меры/протяженности — Г. 77.)»
должна быть заменена «сложной идеей меры и порядка
(протяженности— Г. В.), необходимой, чтобы придать
слову геометрия истинный и полный смысл» I1].

Начало выяснению трудностей сложившейся в геомет-
рии ситуации положило направление, которое возникло
в ходе изучения в проективной геометрии взаимосвязи
геометрических фигур, обусловливаемой различными
преобразованиями, и принялось изучать самые преобра-
зования и их классификацию. А. Ф. Мёбиус, находив-
шийся в некотором смысле вне школ в науке, обнаружил
по сравнению со своими современниками наиболее глубо-
кое понимание дела; он назвал это «изучением геометриче-
ского родства». Соответствующие работы его начались с
широко задуманного произведения «Барицентрическое
исчисление...» (Бег ЬагусепЬпзсйе Са1сн1...) 1827 г. Кро-
ме исследовавшихся ранее конгруэнтности и подобия гео-
метрических фигур, Мёбиус включил в круг типов гео-
метрического родства упомянутую Эйлером, по забро-
шенную после аффинность и, наконец, коллинеацию.
В преклонном возрасте, с 1858 г., оп занимался так назы-
ваемыми «элементарными видами родства», предметом,
который сегодня мы относим к топологии [2]. Отсюда
возникают, как выражался Мёбиус, «различные классы
геометрических задач». Сам Мёбиус выяснил условия пе-
рехода от одного класса к другому и, например, конгру-
энтность выступает у пего как специальный случаи по-
добия, аффинность — как особый случай коллинеации
и т. д. При ближайшем рассмотрении — частности завели
бы здесь слишком далеко — оказывается, что в своем гео-
метрическом творчестве Мёбиус как бы инстинктивно
предначертал позднейшую так называемую Эрлангенскую
программу 1872 г., не имея пи малейшего представления
о понятии группы [3]. Это чрезвычайно сильный аргу-
мент в пользу наличия внутренней логики в развитии ма-
тематики.

Из-за недостатка формальных и особенно алгебраиче-
ских средств программа классификации преобразований
не могла быть выполнена Мёбиусом. Так произошло, что
хотя бы частичного решения проблемы — указать каж-
дой отдельной «геометрии» логически определенное место
в геометрическом здании — впервые фактически доби-
лась британская теоретико-инвариаптпая школа Дж. Буля,
А. Кэли и Дж. Дж. Сильвестра, отправлявшаяся от
одного вопроса, восходящего к Лагранжу [4]. Десять
новаторских статен Кэли о формах, опубликованных на-
чиная с 1854 г., содержат решение вопроса о взаимоотпо-
шепни проективной и метрической геометрии, получен-
ное посредством теории инвариантов с помощью мерооп-
ределения, названного по имени Кэли. «Таким образом,
писал он,— метрическая геометрия есть часть геометрии
проективной» I5].

Из исследований по теории инвариантов выросло у
Кэли его понимание группы. В том же 1854 г. он заимство-
вал слово «§гонре» (группа) у Галуа, использовал таб-
лицу умножения группы, вывел теорему, что любая ко-
нечная группа представима группой подстановок, и,
наконец, в 1878 г. определил группу как систему, задавае-
мую определяющими соотношениями между абстракт-
ными элементами. Переход Кэли и Сильвестра к построе-
нию конечной фундаментально]'! системы инвариантов и
ковариантов для каждой формы (соответственно для лю-
бого конечного числа форм) по содержанию совпадает с
✓'более поздними теоремами теории идеалов и в методиче-
3-ком отношении послужил важным прообразом для уста-
ювления в 80-е гг. основной теоремы о конечных абеле-
рлу>1Х группах.

Итак, (алгебраическая) теория инвариантов историче-
$йки является переходной стадией к абстрактной теории
Фр у пн по двум причинам. В теории инвариантов уже весь-
ма рано возникло абстрактное понимание элементов груп-
пы и была подчеркнута роль определяющих соотноше-
ний. Кроме того, эта теория явилась последним этапом на
пути к созданию Клоппом так называемой Эрлангеиской
программы, которая в свою очередь заменила понятие
группы подстановок более общим — группой преобразо-
ваний — и тем самым могла способствовать переходу
к абстрактному пониманию группы также н с другой
стороны.

Особенно богатый материал для доказательства суще-
ствования раннего неявного теоретико-группового мыш-
ления дает история развития теории чисел [6].

Как известно, после продолжительной паузы, на-
ступившей со времени П. Ферма, теория чисел снова
утвердилась в качестве серьезной, достойной изучения

2 Пстор.-матсм. исслсд., вып. ХАШ

♦ ЮСГОвСКОГО н-Д.
дисциплины, главным образом благодаря Эйлеру. У Эйле-
ра неявные формы теоретико-группового мышления мы
встречаем в большом объеме особенно в его «Теоремах о
вычетах, остающихся при делении степеней» (Тйсогеша 1а
схгса гезхйпа ех сНуЫопс ро1ез1а1иш геИс1а) 1761 г. Эйлер
исследует [7] последовательность остатков г, получаемую
от деления последовательности т — натуральное, на
простое число р такое, что (а, р) 1, причем важны для
него вовсе нс просто остатки 0 < г р; для Эйлера, по
его собственному выражению, все остатки г + пр «рав-
нозначны». Тем самым он уже пришел к понятиям срав
нения и разбиения па классы, введенным позднее Гаус-
сом. Рассматривая конечное число неравнозначных остат-
ков, Эйлер приходит к процессу расщепления, который,
если его интерпретировать на языке теории групи, озна-
чает разложение группы на смежные классы по подгруппе
и тем самым соответствует теореме, что порядок подгруп-
пы делит порядок группы.

Вообще история развития теории степенных вычетов
богата неявными теоретико-групповыми рассуждениями
и умозаключениями. Кроме Эйлера, мы находим их сре-
ди других также у А. М. Лежандра в связи с открытием
квадратичного закона взаимности и в «Арифметических
исследованиях» (ВтздихзШопез агШнпеПсае, 1801) К. <0.
Гаусса. Изучение условии разрешимости сравнения хк = а
(той тп), (а, т) = 1 составило большую часть «Исследо-
ваний» и привело Гаусса к изучению первообразных кор-
ней, а тем самым к рассмотрению циклических групп.

«Исследования» оказались настоящей сокровищни-
цей неявных теоретико-групповых рассуждений. Теория
деления круга идентична исследованию внутренней струк-
туры циклических групп, изучение так называемых «пе-
риодов» идентично определению подгрупп группы Галуа
уравнения деления круга I8].

Одна из частей «Исследований» заслуживает особого
внимания. Из гауссовой теории композиций форм прямой
путь ведет к хотя и пеявной, по полнот! системе аксиом
для конечных абелевых групп. Гаусс подразделяет (двоич-
ные) квадратичные формы / — ах2 + 2Ъху + су2, где п,
Ъ, с — целые, с дискриминантом Б = Ъ2 —ас па классы
эквивалентных форм и показывает, что равенство дискрн
мпнантов является необходимым, но пе достаточным ус-
ювпем эквивалентности форм. Затем формы с фиксиро-
ванным дискриминантом делятся на классы эквивалентных
форм, и Гаусс доказывает, как до него Лагранж, конеч-
ность числа классов.

Далее дается правило сочленения классов форм, ко-
торое Гаусс называет «композицией форм». Доказывает-
ся что результат композиции не зависит от выбора пред-
ставителей классов форм, т. с. находится в каком-то оп-
ределенном классе форм. Эту теорему, а вместе с ней и
замкнутость конечного множества классов форм Гаусс
доказывает в следующем виде: если / — # и ~ то
/’ = //' и # = эквивалентны. В примечании доказы
вается перестановочность операции композиции. Закон
ассоциативности выступает в форме: если образованье
классы //', 3 = > ~ Ъ' = А'/', то

формы 3 п эквивалентны, так что «безразлично, в ка-
ком порядке производится композиция трех форм» I9].
Тем самым доказано, что, выражаясь современным язы-
ком, классы форм образуют конечную абелеву группу.
Роль единицы выполняет «главный класс», т. е. класс
форм, эквивалентных «главной форме»

х2— А/2.

Теории деления круга и композиции форм непосред-
ственно привели к изучению алгебраических числовых
полей. В связи с этим следует особо упомянуть работу
Е. Е. Куммера 1850 г., в которой подсчитано число А клас-
сов идеалов в поле р-х корней единицы, р — нечетное
простое. Позднее Куммер исследовал число к на дели-
мость на два п в 1870 г. доложил об этом в заседании Бер-
линской академии. Здесь же выступил Л. Кронекер;
его доклад «Обсуждение некоторых свойств числа клас-
сов идеальных комплексных чисел» (Ап8е1пап(1ег8еишщ
ешщег ЕщепзсЬаКеп (1ег К1а88епап2аЫ 1йеа1ег Котр1е-
хег ХаЫеп) по времени и содержанию непосредственно
примыкал к докладу Куммера.

Пуристски-арифметическая концепция Кронекера, ко-
торую, по его мнению, надлежало противопоставить
чужеродным приемам, введенным Лежен-Дирихле (ана-
литические методы в теории чисел), определила его воз-
врат непосредственно к «Исследованиям» и композиции
форм. Кронекер выражает уверенность в несомненной
выгоде формализации и аксиоматизации: «Чрезвычайно
простые принципы, лежащие в основе метода Гаусса (ком-
позиции форм.— Г. В.), находят... разнообразное приме-
нение уже в элементарнейших разделах теории чисел.
Это обстоятельство указывает, и в этом легко убедиться,
па то, что упомянутые принципы принадлежат более об-
щей, более абстрактной сфере идей. Коатому представ-
ляется уместным освободить развитие этих принципов от
всех несущественных ограничений с тем, чтобы потом из-
бавиться от повторения одних и тех же форм вывода в раз-
личных случаях. Это преимущество выступает уже в са-
мом развитии, и изложение только выигрывает. если
дается в возможно более общем виде; к тому же простота
и ясность существа обеспечат обозримость» I10].

Вслед за этим Кронекер указывает законы абстракт-
ной композиции «элементов», природа которых не уточ-
няется. Эти законы эквивалентны полной системе аксиом
конечной абелевой группы. «Пусть О', О", 0'",...— ко-
нечное число таких элементов, что ио каждым двум эле-
ментам с помощью определенной операции (УегГайгеп)
можно получить третий. Следовательно, если обозначить
через / результат этой операции для двух любых элемен-
тов 0' и 0", которые могут быть также тождественными, то
существует элемент О'", равный / (О', 0"). Св°рх того,
должно быть

/(О', О") /(О", О'),

/(О',/(0", 0’")) =/(/(О', О"), О'"),

и если 0" и О'" различны, то / (О', 0") не тождественно
/ (О', О'"). При этих предположениях операцию (Орега-
Нон), обозначенную через / (О', 0"), можно заменить ум-
ножением элементов О 0", если при этом вместо полного
равенства ввести просто эквивалентность [п].

Из этой системы аксиом Кронекер выводит — прежде
всего все еще абстрактным образом — следствия, напри-
существовании единичного элемента, и получает
ЛИ>ко1пи концов теорему, которая, если ее интерпрстпро-
“ в терминах теории труни, соответствует основной
В<‘ поме П только после этого он конкретизирует «элемен-
ты7 посредством системы неэквивалентных идеальных чи-
се 1 соответственно неэквивалентных сочленяемых форм,
смыкаясь в этом месте с Гауссом, выводит осповополагаю-

щую теорему о мультипликативном представлении клас-
сов идеалов в любых полях алгебраических чисел и полу-
чает одновременно полное представление о внутренней
структуре группы классов форм, исследованной Гауссом.

Таким образом, развитие неявного теоретико-группо-
вого мышления привело в 1870 г. к созданию системы
аксиом для конечной абелевой группы. Однако, удивитель
иым образом, Кронекер в это время пе применил ее отчет-
ливо к группам, хотя и был знаком с теорией Галуа са-
мое позднее с 1856 г.

111

Теория решения алгебраических уравнений, напротив,
не привела к аксиоматизации, хотя именно в пей возникло
слово «группа» в смысле группы подстановок. От нее от-
делилась теория групп подстановок, которая в 60-е гг.
оформилась в самостоятельную область исследования.

Знаменитый «Мемуар об алгебраическом решении урав-
нена I» (Мешоке япг 1а гёяо1и11оп ай^ёЬпцие без ёднаНопз»,
1771) Ж. Л. Лаграпжа знаменовал собой поворот в про-
дола авпшхея с конца XVI в. усилиях решить в радика-
лах уравнения выше 4-й степени. Анализируя приемы
решения уравнений общего вида пе выше 4-й степени и
специальных уравнений высших степеней, а также неу-
дачные попытки решения уравнений общего вида высших
степеней, Лагранж пришел к выводу, что, во всяком слу-
чае, решение уравнений высших степеней не может быть
найдено с помощью методов, аналогичных тем, которые
применялись к уравнениям степени ниже 4-й. Гаусс в дис-
сертации 1799 I. ив «Исследованиях» 1801 г. высказал
мысль о ирппцшшал ыгой неразрешимости уравнений
оощего вида в радикалах, после того как он понял, что
алгебраическая разрешимость основывается па возможно-
сти сведения к двучленным уравнениям. Первое коррект-
ное доказательство было дано И. Г. Абелем в 1824 г. для
5-й степени, в 1826 г.—для всех степенен > 4.

«Мемуар» Лагранжа имел огромное значение именно
для теории групп, так как там впервые установлена связь
между теорией решения алгебраических уравнений и
подстановками. В резюме говорится: «Вот, если я пе оши-
баюсь, истинные принципы р’ешения уравиеппй и наибо-
лее подходящий ведущий к этому анализ, все сводится,
как оказывается (па основе данного Лагранжом анали-
за - Г. В.), к некоторого рода исчислению комбинаций,
с помощью которого а рпоп получаются результаты, ко-
торых следовало ожидать» [12].

Другая, появившаяся в том же 1771 г. работа А. Ван-
дермонда, также связывает поиски методов решения ал-
гебраических уравнений с соображениями теории подста-
новок. По Лагранж продвинулся дальше: в связи с тео-
рией симметрических функций он показал, что каждый
полипом Р от корней х-х алгебраического уравнения при
всех возможных перестановках хг принимает п (Р) значе-
ний, равных частному от деления п\ на число подстано-
вок, оставляющих инвариантным полипом Р. Эта теорема
соответствует в теории групп разложению симметриче-
ской группы па смежные классы по некоторой подгруппе.

От этого круга идей отправился вскоре П. Руффини.
В ряде работ, начиная с учебника по теории уравнении,
вышедшего в 1799 г., он привел несколько доказательств
невозможности решения уравнения 5-й степени в радика-
лах, которые хотя и содержали пробелы, но пе в части,
касающейся теории групп I13]. Доказательство основы-
валось па утверждении, что пе существует функций 5
переменных, которые при всевозможных перестановках
этих переменных принимают 8, 4 или 3 значения. Том са-
мым Руффини, по существу, определил все подгруппы
симметричной группы ®б. При этом он постоянно пользо-
вался теоремой, что последовательное применение двух
перестановок образует перестановку, т. о. использовал
замкнутость множества перестановок, свойство группы.
Замкнутую совокупность всех перестановок, т. с. группу
подстановок, Руффини называет «регтн1аг1опе»; постоян-
ные термины ввел он и для циклической, транзитивной и
импрпмптпвной, транзитивной и примитивной, а также
пптрапзитпвной групп.

Труд Руффини не получил в свое время должного при-
знания отчасти в силу трудного для понимания изложе-
ния, отчасти вследствие пробелов в доказательствах.
Долгое время основателем теории подстановок и соответ-
ствующей терминологии считался Коши, выступивший
с работали! по этому вопросу в 1815 г. Современное слово
«группа» (подстановок) Коши обозначал выражением «си-
стема сопряженных подстановок». Хотя Кошп, собствен-
но, и не принадлежит приоритет в этой области, он ока-
зал большое влпяппе на дальнейшее развитие теории
групп подстановок, прежде всего, своим резюмирующим
изложением теорпп подстановок в 3 томе «Этюдов по ана-
лизу...» (Ехсгсшсз (Гапа1у5е, 1844) [14].

Поучительное слово 1е §гонре было введено Э. Галуа.
Он употреблял его сначала совершенно стихийно, взяв
его из французского словарного запаса (как. может быть,
и Абель) в смысле «множества», «комплекса». Соответст-
венно употреблялись глагольные формы от §гонрег (груп-
пировать, собирать). Поэтому отнюдь не все «группы»,
о которых говорит Галуа, действительно являются груп-
пами. Вплоть до последней своей работы, письма, напи-
санного накануне столь трагически окончившейся дуэли,
Галуа остался непоследовательным в употреблении слова
1е дгопре. Для определенной им «группы уравнения» он
поетояппо использовал мультипликативную замкнутость,
хотя это фундаментальное свойство никогда пе было им
доказано. Этот важный пробел общей теории Галуа был
заполнен лишь Э. Бетти в 1852 г.

В теоретико-групповом развптип, для которого раз-
витие теории Галуа явилось как бы лишь фоном, Галуа
принадлежат две основные заслуги. Во-первых, он уста-
новил решающую роль нормальных делителей в теории
Репгепия алгебраических уравнений; два совпадающих
определенным образом разложения группы на смежные
классы по подгруппе он назвал «собственным разложе-
нием» (с!ёсотрояШоп ргорге). Во-вторых, Галуа первый
сознательно объявил, что направлением исследований ма-
тематики будущего явится изучение математических
структур, что он называл «анализом анализа» (Гапа1у8С
бе ГапаК-зе).

Предвосхищение будущего, необычная абстрактность
его теории, совершенно «структурное» мышление — вот
те моменты, которые вместе с чрезмерной сжатостью из-
ложения затрудняли признание Галуа. Издание основных
его трудов Ж. Лиувиллем в 1846 г. вначале также не ока-
зало существенного влияния. Только в 50-е годы начи-
нается время возрождения идей Галуа. Оно было отме-
чено появлением целого ряда работ различных авторов
с характе] ным названием «Комментарии к Галуа». Са-
мая значительная и глубокая из них принадлежит
К. Жордану п датируется 1869 г.

В 60-е годы из теории решения алгебраических урав-
нении выделилась как самостоятельное направление ис-
следовании теория групп подстановок, причем в Вели-
кобритании — особенно благодаря Т. П. Киркману —
раньше, чем во Франции. В лучшем для того времени
учебнике высшей алгебры Ж. А. Серре, в третьем изда-
нии 1866 г., говорится, что определение всех групп под-
становок — задача будущего, имеющая сама по себе, без-
относительно к теории Галуа, основное значение. Во
французской школе термин «группа» должен был преодо-
леть сначала влияние терминологии Коптп, его оконча-
тельное закрепление произошло с появлением обширного
труда «Трактата о подстановках...» (ТгатЬе (1еь зиЬзНЬн-
Попз, 1870) К. Жордана. Группа — это множество п о д-
с т а и о в о к, произведение двух подстановок которого
принадлежит множеству.

Итак, около 1870 г. эти три направления теоретико-
групповой мысли в геометрии, теории чисел и теории ре-
шения алгебраических уравнений достигли, каждое в от-
дельности, относительного завершения. Процесс абстра-
гирования в направлении создания абстрактного понятия
группы мог идти лишь по мерс того, как выяснялось прип-
ципиальное сходство форм мышленья и становилась оте-
ли щой плодотворность постепенно углубляемого и неэ-
томз становившегося пригодным к распространению по-
нятия группы.

Первым шагом в этом направлении явилась выработ-
ка понятия группы преобразовании, причем были уточ-
нены два основных свойства абстрактного попятил группы:
было отброшено условие конечности группы и признано
необходимым явно требовать наличия обратного для
каждого элемента бесконечной группы.

Эти решающие достижения — результат процесса аб-
страгирования в теории уравнений и геометрии связа-
ны в основном с именами Ф. Клейна и С. Ли. Клейн,
изучая математику, входил в соприкосновение со всеми
направлениями геометрии, с линейной проективной у
10. Клюкера, с теорией инвариантов но Кэли, с неевклидо-
вой геометрией у О. Штольца. Оба, и Клейн и Ли, нахо-
дились в 1868/70 гг. под глубоким впечатлением внутрен-
него раздробления геометрии. Позднее Клейн писал, что
еще в бытность ассистентом у Клюкера он заинтересовал-
ся проблемой «устранения ... противоречий между враж-
дующими математическими школами в рамках единой
общей концепции. В этом смысле, для меня в геометрии
предстояло сделать еще многое» [151.

Во время пребывания в Париже Клейн и Ли познако-
мил! сь в 1870 г. -с только что вышедшим «Трактатом»
Жордана, который им поначалу показался «книгой за
семью печатями». Затем они обнаружили, что в своих сов-
местных работах о так называемых II кривых они со
своей «замкнутой системой преобразований» стихийно
пришли к идее группы. Опи усмотрели здесь общую идею
и осознали возможности, заложенные в последовательном
применении теоретико-групповых представлений к гео-
метрии и анализу.

В ходе выполнения намеченной Клейдом и Ли прог-
раммы «вообще рассматривать такие геометрические и
аналитические образы, которые преобразуются сами в
сеоя посредством группы изменений (Аепйегипдеп)» [1С]
ИР< и. < шло — вместе с распадом их дружбы в каксм-то
смысле и разделение между ними труда.
Клейп прежде всего поставил перед собой задачу раз-
работать понятие группы как схему упорядочивания
геометрии. Всего лишь за два года были выработаны все
основные идеи Эрлангенскон программы, подлинное ха-
рактерное название которой было «Сравнительное обоз-
рение новейших геометрических исследований» (Уег^1еь
сйспбе ВеЬгасЫип^еп йЬег пеиеге ^еотеЬпзсйе Рогзсйип-
8’еп). Сообразно с этим «различные геометрии... характе-
ризуются соответствующей группой преобразований».
Другим важным вкладом в теорию групп преобразований
явились исследования Клейна об отображении правиль-
ных многогранников и проведенные в соперничестве с
Пуанкаре работы об автоморфных функциях, в которых
была сделана попытка превратить понятие группы в прин-
цип упорядочения теория функции, аналогично его роли
в геометрии.

Со своей стороны, Ли, исходя из теории дпфффереп-
циальных уравнений, обратился к непрерывным (беско-
нечным) группам, причем он воспринимал это направле-
ние исследований как своего рода аналог теории реше-
ния алгебраических уравнений Галуа.

Выступая по случаю юбилея Галуа в 1895 г., Ли про-
анализировал происшедшее расширение понятия группы
в его абстрактном содержании и выдвинул следующие
требования к понятию группы (преобразований): замкну-
тость множества, закон ассоциативности, существование
единицы и обратных элементов. Позднее, однако^ ни
Клейн, пи Ли пе приняли абстрактного, теоретпко-мпо-
жественпого подхода к понятию группы. Опп считали
малообещающим начинавший завоевывать признание в
конце столетия строги]! аксиоматический метод, который
пропагандировали в Германии М. Паш, Д. Гильберт и
Е. Штейппц. Клейна, в частности, пугало, что, как ему
казалось, отпадает «всякое обращение к фантазии», т. е.
собственно продуктивному элементу математического
творчества, поскольку в этой концепции отказываются
от какого-либо представления о специальном характере
элементов группы. Это тем более удивительно, что и
Клейн, и Ли в своих работах прекрасно отдавали себе от-
чет в основном значении доказательства изоморфности
групп, состоящих пз элементов различной природы и
столь же хорошо понимали плодотворность развпваю-
щепся тоорпи представлений, далеко продвинутой с 90-х гг.,
главным образом Г. Фробениусом п И. Шуром.

В последней фазе абстрактное понятие группы возник-
ло в результате переноса на теорию подстановок абстракт-
ной формальной концепции, в том впде, какой она полу-
чила в теории чисел. Здесь заслуживает, например, упо-
минания учебник «Теория подстановок и ее применения к
алгебре» (ЗиЪзНЬнЫопепЬйеопе ипс! П1ге Ашуепйипц ап Г
сПе \1»еЬга, 1882) Э. Нетто, в котором автор, указывая
на плодотворность абстрактной формализованной кон-
цепции группы, тесно примкнул к вышеупомянутой ак-
сиоматизации Кронекера. Тот факт, что Нетто был уче-
ником Кронекера,— историческая случайность; за этим
стоит целый ряд отдельных факторов внутрпматемати-
ческого развития, действовавших в том же направле-
нии: постепенное признание теории множеств, развитие
топологии, аксиоматизация системы натуральных чисел
Дж. Пеано, аксиоматизация геометрии, проведенная
Пеано, а позднее М. Пашем и Д. Гильбертом.

Результатом явилось стремление выделить логически й
остов основных понятий и способов вывода независимо
от специального конкретного вида элементов и связен.
Для этого поворота в теории групп характерна одна ра-
бота Фробениуса 1887 г., в которой Фробениус, созна-
тельно но обращаясь к теории подстановок, доказал в
общем впде для абстрактных групп теорему, доказанную
в 1872 г. Л. Силовым для групп подстановок: всякая (ко-
нечная) группа, порядок которой делится на у-ю степень
некоторого простого числа р, всегда обладает подгруп-
пой порядка

Разумеется, эта работа Фробениуса — лишь одна из
ряда подобных работ, направленных на слияние возник-
шей в теории чисел абстрактной концепции с теорией
гРУпп подстановок. К ним относятся, среди других,
раоота Фробениуса и Л. Штпкельбергера «О группах
перестановочных элементов» (0 Ъе г С» тир реп мои уеНаинскЬа-
геп Е1ешеп1еп, 1879) и работа О. Гёльдера 1889 г., в ко-
торой вторая часть теоремы Жордана — Гёльдера о ком
позиционных рядах была доказана уже на абстрактной
основе.

Эта установка, представленная в начале 80-х гг. Нет-
то, Фробениусом, а также Г. Вебером, О. Гёльдером,
Р. Дедекиндом, Г. А. Миллером и другими исследовате-
лями, еще нс означала слияния всех трех исторических
компонент генезиса абстрактного понятия группы. В и ди
мо, В. ван Дик первый сознательно объединил все три
компоненты в своих «Теоретико-групповых исследова-
ниях» (Сгнрреп111еогеН<с110п 8БкИеп) 1882—1883 гг. В са-
мом деле, В. ван Дик находился в сфере действия всех
влияний, необходимых для выработки широкого абстрак-
тного понятия группы. У Кэли он заимствовал взгляд па
группу как па задание абстрактных элементов с помощью
определяющих соотношений. Тесной связью с Клейном
объясняется привлечение дискретных групп преобразо-
ваний. Давая свое абстрактное определение группы,
В. ван Дик ссылается, кроме того, па «Элементы теории
кватернионов» (Е1етепЬ о! (Д1а(-етп1о1Ш, 1866) У. Га-
мильтона, на Г. Грассмана, Г. Гаикеля, Р. Дедекинда, а
также особенно на ранние труды по математической ло-
гике Дж. Буля, Г. Фреге и Э. Шредера.

Абстрактное п о и я т и с группы полностью вступи-
ло в свои права благодаря тому, что вскоре затем абст-
рактная те о р и я групп выступила как самостоятель-
ная дисциплина: сперва для конечных групп в 1904 г.
с выходом учебника Ж. де Сегьс «Элементы теории аб-
страктных групп», затем для бесконечных групп впервые
в 1914 г. с изданием «Абстрактной теории групп» старей-
шины русско-советской теоретико-групповой школы
О. 10. Шмидта. При этом, конечно, не требуется особо
подчеркивать, что наряду с этими работами появились
и другие в своем роде тоже очень хорошие учебники но
теории групп подстановок. Поначалу эта теория разви-
валась довольно быстро, что продолжалось до 1920 г.,
после чего наступил некоторый застой, вызванный постоян-
ным наложением жесткого условия конечности.
Разработка и признанно абстрактного понятия группы
сопровождались аксиоматическими исследованиями, па
пример, в поисках «слабейшей системы аксиом». Эти иссле-
дования представлены главным образом трудами северо-
американских математиков: Е. Н. Мура, Л. Е. Диксона
и Е. В. Хантингтона.

Признание группы как основной алгебраической
структуры завоевывало между тем все большее призна-
ние. Например, в 1893 г. Г. Вебер высказал мысль, что
понятие поля сводится к абстрактному понятию группы,
поскольку (абелево) поле определяется как группа с
двойной коммутативной композицией. В соответствии с
этой концепцией (и с учетом развития теории групп) была
затем создана теория нолей как самостоятельная и осно-
вополо кная математическая дисциплина в «Обзоре но
теории чисел» (/аЫЬспсМ, 1897) Гильберта и в «Алгеб-
раической теории полей» (А1оеЬгаЬс11еТ11еог1е бег Кбгрег,
1910) Штейннца.

В результате признания теории нолей и теории групп
в их абстрактном виде возникла все более усиливающая-
ся тенденция к созданию подобного же рода построений
в других областях алгебры. Эта концепция благодаря
работам Э. Нетер, Е. Артина, Л. Брауэра, Г. Хассе,
II. Александрова, Б. Л. Ван-дер Вардена и других при-
вела в 20-е годы к созданию так называемой «современной
алгебры».

II В II М Е Ч \ II И Я

I. Арегри 111з1опцне зцг Гогццпе е! 1е йёус1оррстеп€ с1ез тё-
1Ьос1сзеп СёотёЬде, рагОсиИегетеп! <1е сеПез цы зе гаррогТеп! а 1а
СёотёЬпе тос!егпе.- Мёпилгез соигоппёз раг ГАсайёппе Воуа1е
Нея ЙС1СЧ1СС8 с1 ВсПез-БсЙгез с!е ВгихсПез, Тоте XI, ВгихеПез
1В37, р. 290. Русский перевод: III а л ь, Исторический обзор проис-
хождения и развития геометрических методов, т. I —II, М , 1883.

2. Характер самостоятельной дисциплины этому предмету
соо.)|цил, непосредственно примыкая к Мёбиусу, II. Б. Листинг в
своих «Предварительных исследованиях по топологии» (УогзШсНеи.
чЬег Ше Торо1о$ре, 1847. Русский перевод: II. Б. Л и с т и и г,
Предварительные исследования по топологии, перев. с нем. под
рс‘Д. и с предисловием Э. Кольмана, М.— Л., 1932). В Эрла итонской
программе Клейна топология определяется как теория инвариантов
всех непрерывных преобразований пространства.
3. Ср. II. \Уизз 11Ц, Л. Г. МбЫиз.— 1_>ес1еи1е11<1е Се1е11г1е
111 Ьетрод, Вй. 2, Ей. С. Нанд, Глйр?.]^, 1965, Я. 1 — 12.

4. Ср. Л. Ь. Ьа^гап^е, кесксгскез й’АгЦЬтёИдие (1773),
рагк1. Здесь Лагранж систематически производит преобразование
переменных двоичных квадратичных форм.

5. А. С а у 1 е у, Т1ю Со11ес1ей Ма1Ьеша11са1 Рарегз, Вй. 2,
СатЬпй^е, 1889, р. 592.

6. Ср. Р. В асЬтап и, Ма1ег1а11еп Гиг ете ^зяснзсйаГШсЬе
Вк^гарЫе уоп Саизз. Ней 1. ОЬег СаиВ’гаЫепНюогеНзсЪс Аг1мн-
1еп, Ье1р21^, 1911; II. \У и 8 з 1 в ОЬег йен ЕхпПизз йог ХаЫеп-
(Ьеопе аиГ сЦе НсгаизЪНйипд йег аЬз1гак1еп СгиррспНюопе.— ВеПюй
ЯсИнНепгеНю ИТМ, Ьетрг!#, 1964, 8. 71—88.

7. Ср. А. Зрехзег, К1азз1зс11е 81йске йег МаНютаМк, 7й
пс1», 1927.

8. Эти и другие примеры современного алгебраического, в том
числе теоретико-группового мышления, превосходно разобраны в
юбилейном сборнике памяти Гаусса, изданном Г. Райхардтом:
С. К. С а из я, СсйепкЬапй ап1аззИс11 без 100. Тос1ез1а»ез ат’ 23.
ГеЪг. 1955, Ей. II. кскЪапк, Ье1р21$, 1957.

9. С. Г. Сан з з, НвЬегзискип^еп йЬсг кокете АгШипеНк,
01зск. ей. II. Мазсг, ВегИп, 1889, 8. 248.

10. Ь. К г о п е с к е г, АизетапйегзеЬгип^ спишет Е1$еп-
зскайеп йег ЮаззепапгаЫ 1йеа1ег сошр1ехег ХаЫеп.— МопаЬзЬеп-
с11(е йег Ке1. Ргеизз. Акай. й. \У1зз. ги ВегИп (1870), ВегИп, 1871,
8. 882.

11. Там же, стр. 882—883.

12. Оеиугез йе Ьа§гап^е. РиЬИёез раг 1ез зошз йе М. I.—
Л. 8 е г г е I, Т. III, Рапз, 1869, р. 403.

13. Н. В и г к 11 а г й €, В1е АцГап^е йог (ЗгиррепЬЬеопе ипй
Рао1о ВиШп1.— ЛЫ). СезсЬ. МаПн, Вй. 6 (1892), 8. 119—159.

14. Ср. Ь. Дг о V у, Зиг Гоп"1пе йез еЬийез зуз^ётпаЫдиез йез
ргоЫёшез йе 1а 111ёопе йез ^гоирез.— Зотшакез йе XIе Сопдгёз
1нЬегпаНона1е й’ШзЬоке йез Яшспсез, ХУагз/алха, 1965, р. 170, 171.

15. Е. К 1 е 1 в, Сезаттеке таНютаНзсЬе АЬЬавй1ип^ен,
Вй. I, ВегИп, 1921, 8. 52.

16. Р. К 1 е 1 п, Сезаттекс таШетаНзсйе АЬЪапйкишеп,
Вй. III, ВегИп 1923, 8. IV.
к ВОПРОСУ О ВОЗНИКНОВЕНИИ
СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

ПО ТЕОРИИ ГРУПП *)

Любош Новый

1. Введение. В течение XVIII в. математики, изучая
различные вопросы, во все возрастающей мере фактиче-
ски рассматривали отдельные свойства групп п с этим
было непосредственно связано дальнейшее развитие всей
теории групи. Однако, лппть много позднее, примерно во
второй половине XIX в., была понята, по крайней мере
в главных чертах, общая основа таких исследований и
создана теория групп, опирающаяся на определение по-
нятия группы, которая со временем приобретала все бо-
лее и более общий характер. История теории групп, нес-
мотря на свое важное значение для изучения процесса
возникновения современной математики, до сих дор мало
исследованная, разделяется на несколько этапов и про-
текает в отдельных областях математики раздельно и в
различной форме.

Важные изменения, касающиеся значения и концеп-
ции теории групп, произошли примерно в половине прош-
лого века. В те времена под влиянием различных побуж-
дений, среди которых важную роль играло распростра-
нение основных алгебраических идеи Галуа, стало быстро
развиваться изучение групп подстановок. Начало здесь

*) Цифрами в круглых скобках ( ) указаны ссылки на

примечания, помещенные па стр. 47—51, цифрами в прямых
скобках [ ] указаны ссылки па литературу, помещенную на

стр. 52—55.
положили обширные тру ря Коши, вышедшие в 1844—
1846 гг. и послужившие отправным пунктом работ мате-
матиков в дальнейшем. Десять ют спустя Кэли (1854)
сформулировал свое определение абстрактной группы,
в котором он сделал попытку выделить общие черты
групп, до тех пор изучавшихся в различных областях ма-
тематики .

Целью настоящей статьи является не рассмотрение
всех главных изменений, происшедших в теории групп
примерно в середине прошлого века, но попытка объяс-
нить, исходя из накопленного материала, содержание
и форму исследований по группам подстановок в 40-е гг.,
а затем выяснить значение этих исследовании для даль-
нейшего развития теории групп, а также сравнить наш
подход к этому вопросу с подходом других авторов. Речь
по существу идет о том, в каком смысле можно говорить
о возникновении систематических исследований но груп-
пам подстановок, начиная с издания упомянутых трудов
Коши в сороковые годы XIX в. (г).

2. Литература. Все труды по истории математики
XIX в. уделяют теории групп вполне заслуженное вни-
мание, однако работ Коши периода 40-х гг. они почти не
касаются (2). В общем точные, но весьма краткие сведе-
ния сообщает Вилейтпер ([°2], стр. 380), который упоми-
нает и о доказательстве известной теоремы о порядке под-
группы, приведенном Коши. Интересно, хотя подробно
и не объяснено следующее утверждение Вилейтпера:
«Коши сделал также первые шаги в переходе от групп
подстановок к абстрактным группам».

Э. Т. Белл (I2], стр. 240), высоко оценивая статью
Коши I13] о его трудах 1844—1846 гг., замечает только:
«однако отсутствовала основная теорема Л. Сплова (1872)».
Говоря о последующих годах, Белл упоминает лишь два
имени. Это, прежде всего, Кэли, которому^ приписывается
создание первой системы аксиом группы (1854), и затем
Т. П. Киркман, который сделал одну из самых ранних
попыток (1858) определить все группы подстановок за-
данной степени. Бурбаки, подчеркнув важное значение
для распространения идей Галуа и развития теории групп
трудов Серре и ТгаНе йен ЗпЬнЬКпНопз Жордана, говорит
далее: «определение „абстрактной" группы было дано
Кэли в 1854 г. ... в такой форме, которая является кор-
ректной только для конечных групп» ([с], стр. 71—72).
Много конкретных данных о теории групи в период 40-х
п 50-х и - содержится в немецком и французском изданиях
известной «Энциклопедии математических наук» |8|, |(51|,
однако, за некоторыми исключениями, эти данные выр-
ваны из исторической связи и приведены лить в логиче-
ском порядке. Основные сведения о трудах Коши можно
найти в его научной биографии, составленной Вальсо-
вом ([со1, стр. 55 и сл.)

Историей теории групп специально занимался Г. А.
Миллер, обобщивший результаты своих долголетних ис-
следований в собрании своих произведений, в частности
в [45], [4С1. Особенно ценны его идеи о возникновении и
обобщении попятил абстрактно]'! группы, приведенные в
статьях I43], I44]; в них содержится также анализ трудов
Кэли, вышедших в свет в пятидесятых годах. Полезна
статья Миллера I42] о погрешностях в литературе о ко-
нечных группах. Для целей нашей работы важнее всего
статья I41], в которой на основании обширного историче-
ского материала непосредственно обсуждается вопрос о
возникновении теории групп. Миллер отмечает резуль-
таты работ Коши, предвосхищающие теорему Силова.
В этой связи утверждается, что Коши впервые занимал-
ся систематическим изучением групп подстановок; это ут-
верждение Миллер подробно не осветил (3). По-видпмо-
му, в связи с исследованиями Миллера появилась статья
Джозефины Бернс [®], которая считает время между из-
данием труда Лагранжа (1770—1771) и появлением тру-
дов Кошп (1844—1846) периодом создания теории групп,
так как, ио ее мнет по, в конце этого времени теория
групп уже существовала в виде самостоятельного раздела
науки (4). За этим, в принципе правильным утверждением
следует лишь перечисление основных результатов работ
(теорем) авторов упомянутого выше периода, по преи-
муществу работ Коши. Дж. Бернс пе рассматривает пи
формы рассуждений Коши, ни метода его доказательств,
а также по приводит никаких последующих откликов па
труды Коши.

3 Нстор.-матсм. псслсд., пып. XVII
Таким образом, в упомянутой выше литературе приво-
дятся основные факты, а также несколько общих утверж-
дений, имеющих иногда противоречивый характер и пе
обоснованных историческим анализом.

3. Теория групп подстановок до начала сороковых
годов. Главным направлением, в котором протекало изу-
чение свойств групп, была так называемая теория пере-
становок или подстановок. Сильный и целеустремленный
импульс ее разработке сообщил примерно в 1770 г. Лаг-
ранж, который стремился выяснить, почему методы реше-
ния в радикалах уравнений второй, третьей и четвертой
степеней но дают положительных результатов при реше-
нии уравнений высших степенен и в этой связи указал на
принципиальное значение теории подстановок. В резуль-
тате вопрос о разрешимости алгебраических уравнений
в радикалах был надолго связан с прогрессом теории под-
становок и, таким образом, с исследованием различных
свойств групп подстановок. Результатами работ Лагран-
жа математики воспользовались для оригинальных ис-
следований впервые тридцать лет спустя. Руффини, ре-
зультаты которого исправлял и дополнял Аббати, разра-
батывал теорию алгебраических уравнений, в которой
важная роль отводилась доказательству неразрешимости
уравнения пятой степени. Эта последняя задача стала от-
правной в алгебраическом творчестве Абеля (начиная с
1824 г.).

Составной частью тогдашней теории алгебраических
уравнений являлось учение об извлечении /г-го корня
из единицы. После ознакомления с замечательными ре-
зультатами Эйлера Гаусс создал свою теорию деления
круга, опубликованную в седьмом разделе его «Пхзцтзх-
Попез апШтеНсае» (1801). Учение о корнях из единицы
явилось для Гаусса, пожалуй, одним из случаев, в кото-
рых он ясно себе представлял главные свойства абелевых
групп; здесь Гаусс подошел к представленпю об изомор-
физме (которым пользовался, по-видимому, не выделяя
его явно). Однако если теоретико-числовое содержание
трудов Гаусса, равно как значенпе и важность сформу-
лированных алгебраических результатов, было схвачено
почти мгновенно, то на интересующую пас сейчас сторону
метода, касающуюся изучения структуры конечных
010 ЦЦ пр обратили внимания. Вплоть до 50-х гг. прош-
века лишь один математик вполне постиг эти резуль-
таты работ Гаусса использовал их для собственных це-
лен" Это — Эварист Галуа (5). Галуа, по-видпмому, созна-
на ч что разрешимость некоторых двучленных уравнений
заключается нс в том, чтобы группа уравнений была спе-
циальной (циклической), а в том, чтобы все ее делители
были нормальными делителями. Поэтому он ввел в тео-
рию групи подстановок важное попятно инвариаптной
нодгрунпы, которое одновременно представляло собой
У цю из исходных средств создания так называемой тео-
рии Галуа (с).

Изучение групп подстановок развивалось далее и
в большинстве случаев применялось как средство реше-
ния других задач, в частности при разработке теории ал-
гебраических уравнений. Поэтому основную роль, выра-

жаясь по-современпому, играло определение того, какие
подгруппы и какого порядка принадлежат данной группе
подстановок (например, теорема Лагранжа, теорема Руф-
фини (7) и т. д.). В связп с рассмотренпем этого круга
вопросов Руффини выдвинул (правда, в недостаточно от-
четливом виде) и представление о транзитивной и прими-
тивной группах подстановок и, опираясь на примеры,
пришел к заключению, что нормальный делитель должен
быть безусловно транзитивным (8). Из этого круга идей
исходит также труд Коши [13], вышедший в свет в 1815 г.,
в котором доказано, что число различных значений не-
симметрической функции п букв пе может быть меньше
самого большого простого чпела р, содержащегося в п,
не приобретая притом значения, равпого двум (9). Путем
более детального анализа можно было бы показать, что
специальные теоремы формулировались без осозпапия
взаимосвязи, часто даже без приведения надлежащего
Доказательства и только для специальных случаев. За
эти пределы (кроме рассуждеппй Гаусса, касающихся
абелевых групп, которые в те времена не были поняты),
выходили лишь результаты (иногда высказанные лишь в ви-
де намеков) работ Галуа. Одпако эти результаты вплоть
До 40-х гг. не были использованы другими авторами.
4. Работы Коши по группам подстановок. Коши за-
нимался разработкой теории групп подстановок в 10-е гг.
XIX в., а также в 1844—1840 гг. Первая статья [13], опуб-
ликованная в 1815 г., была непосредственно связана с
усилиями итальянцев и имела целью главным образом
доказать уже упомянутую теорему, которую \бель исполь-
зовал для установления неразрешимости общего урав-
нения пятой степени (10). Непосредственное историческое
значение этих работ Коши заключалось в том, что он на
страницах известного н распространенного научного
журнала привел доказательство ряда теорем о свойствах
функций н букв, необходимых тогдашней теории алгеб-
раических уравнений (11). В трудах Коши, помимо новых
доказательств и утверждений, содержалось несколько
важных ^моментов. Прежде всего, Котпп первый, по-вн-
дпмому, стал разрабатывать тематику, связь которой с
теорией уравнений не является непосредственной. Он
поясняет, что к этой тематике его привело изучение алге-
браических уравнений; сами приводимые Коши цитаты
из Руффини свидетельствуют, что Коши сознавал важное
значение доказываемых теорем для доказательства нераз-
решимости уравнений степени п 5; на этом непосред-
ственные упоминания Коши о теории уравнений заканчи-
ваются, причем не указывается, какие последствия могла
бы вызвать его главная теорема. Другим существенным
моментом является стремление привести обобщенное и
ясное изложение (12) всех тогдашних сведений о подста-
новках. Эта черта, характерная и для других трудов
Коши, имеет важное значение для классификации всего
материала и его очищения от лишних и чуждых идей и для
создания подходящей терминологии. Число значений
функций Коши называет указателем (шбех), а порядок
группы, т. с. количество различных подстановок, которые
не изменяют данной функции,— «указательным делите-
лем» (Лхшеиг хшКсаШ). Одновременно Кошп изучал
свойства подстановок. Он определяет для пнх умноже-
ние, а это приводит его к понятию степени подстановок;
он утверждает также, что существует всегда такая наи-
меньшая степень подстановок, которая равна тожде-
ственной подстановке и называется степенью (йё^ге) под-
ь- |>,ОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ ПО ТЕОРИИ ГРУПП 37
ановки. Таким образом, в результате обобщения своей
С\стерпротации подстановок он подходит, собственно го-
1орЯ, к изучению циклических групп (13). В качестве
важного средства для своих рассуждений он пользуется
понятием циклической подстановки (пыне принятой сим-
воликой он пока не пользуется (14). О труде Коши 1815 г.
можно, таким образом, сказать, что автор, стремясь до-
биться полноты своей интерпретации, отходит от изуче-
ния подстановок как лишь вспомогательного средства п
ставит, хотя лишь неявно, вопросы, ведущие к дальней-
шему обобщению и к анализу дальнейших свойств под-
становок (15). Однако на эти идеи Коши никто не отклик-
нулся; Коши сам вернулся к своему труду в сороковые
годы.

Труды Коши о подстановках, опубликованные в 40-е гг.,
уже по одному объему превосходят все то, что было
опубликовано в этой области ранее. Однако Коши зани-
мался этим кругом вопросов недолго, и это привело к не-
которым поспешным и незрелым формулировкам (16),
попытку улучшения которых он сделал позднее. Сначала
Коши опубликовал обширную статью в «Ехегстсе^ сГапа-
1уье с( бе ркуз^цие таЬйёшаЫцио». Затем он решил напе-
чатать главные результаты своей работы и в СошрЬез
Кс11<1н8 (17). Сперва он придерживался принятого реше-
ния и лишь сокращал первоначальное изложение (18),
но вскоре приступил к изменению способа изложения и
пришел к новым результатам и новым темам. Таким об-
разом, появился ряд его статей, опубликованных с 15
сентября 1845 г. до начала февраля 1846 г.

В исторической литературе с полным основанпем от
мечается изобилие, новых конкретных результатов Коши
(19). Отсылая за подробностями к этой литературе, мы
рассмотрим более общие черты изложения Коши и обра-
тим внимание па их отличпя от взглядов предшественни-
ков п на оказанное ими влияние. Отличительные черты,
отмеченные нами в труде Коши 1815 г., выдвигаются те-
перь на первый план еще отчетливое и в более детальной
обработке. Исходными здесь, по-впдпмому, являются
потребности теории алгебраических уравнений (20). Об
этом свидетельствует стремление Коши опереться на
сочинения 1815 г. ([15], стр. 277) и некоторые дальнейшие
высказывания ([1б], стр 278; I17] и т. д.). Поэтому Коши также
подчеркивает, что целью новых статей является ответ на
два следующих вопроса: «1) Каково число значении, ко-
торые может получить функция п букв; 2) Как можно эф-
фективно составлять функции, для которых числа раз-
личных значений были бы найденными числами» (21)
Если в формулировке исходных вопросов связь с тогдаш
ним состоянием теории алгебраических уравнении замет-
на, то в самом тексте прямую связь уже найти нельзя. На
передний план выдвигается стремление Коши обобщить
наличные результаты и па их основании представить в
цельной системе идей, понятий и терминологии по воз-
можности наглядное решение упомянутых выше вопро-
сов. Такое стремление остается, однако, скорее лишь
попыткой, и Коши главным образом сформулировал про-
грамму и наметил разные пути исследований. Не желая
признавать своп неуспех и не приведя удовлетворитель-
ного решения вопросов, Котип расстается с этой пробле-
матикой. С такой незавершенностью связаны, по-впди-
мому, различия интерпретации между работой [14] и
статьями, напечатанными в СК [15] и в дальнейших. Ко-
ротко говоря, работа [п] имела целью дать цельное изло-
жение теории перестановок пли, по Коши, «подстановок».
Здесь основным и исходным понятием является сама под-
становка, ее свойства и выражение; п наоборот, во втором
изложении на первый план непосредственно выдвигается
функция п букв и число значений, приобретаемых этой
функцией при подстановках п букв. Коши сознавал, что
он здесь использовал два возможных подхода к одной
и топ же исследуемой проблематике (22); однако внутрен
няя логика, обусловленная стремлением к обобщению,
приводит его к другим приемам и проблематике.

В первом изложении прием Коши сводится примерно
к следующему: начальная идея «подстановок» и их выра
жеппе наводит его на мысль о существовании «регуляр
пых подстановок» и главным образом «подобных подста
новок» (2Ч). Эти понятия в ходе дальнейшего изложения
имеют важное значение для исследования, так сказать,
сопряженных подстановок. Коши указывает, что для
лЮбоп пары подобных подстановок Р и 7? существуют
такие подстановки () и 5, для которых (*) Р

д = 5 1Р8. Однако он приводит и обратное доказатель-
ство того, что если имеет место (*), то Р и подобны
/[14], стр. 190—191). В связи с этим оп определяет число
подобных подстановок для заданной подстановки. И лишь
после такого долгого систематпческого изложения упо-
мянутых выше (и дальнейших) свойств подстановок, за-
нимающего треть его труда, Коши формулирует понятие
группы подстановок. Его прием заключается в следую-
щем ([141, стр. 206). Пусть заданы одна или несколько
подстановок (п или менее чем п букв). Производными
он называет такие подстановки, которые образуются из
заданных подстановок путем их умножения или возве-
дения в степень. Производные подстановки, включая
заданные, называются системой производных подстано-
вок (24). Коши здесь обозначает подстановки просто боль-
шими буквами (2б) (однако группы содержат их произве-
дения и степени) и поэтому приходит к трактовке группы
как совокупности произведений исходных подстановок
пли ими образованных подгрупп. Таким образом, Коши
в некоторых случаях в своих «формальных» уравнениях
по существу выражает соотношения, аналогичные позд-
нейшим формулировкам Кэли (26). В дальнейшем изло-
жении Коши опирается па предположение, согласно ко-
торому подстановки создаются посредством непрекра-
щающпхся циклов, что допускает изучение заменяемости
подстановок и установление признаков разложения групп
па прямые произведения. В изложении никоим образом
не подчеркиваются пи значение, пи возможности изуче-
ния инвариантных подгрупп.

Но одновременно способ изложения, принятый Коши,
вызывает ряд затруднений. Систематическая разбивка
подстановок на регулярные, подобные н т. д. подстанов-
ки, далее, рассуждения об элементах групп подстановок
с циклами, созданными посредством различных групп
букв, все это приводит к изучению многих отдельных
случаев, что требует не только специальной формулиров-
ки соответствующих теорем (27), по (и это главное) услож-
няет доказательства и лишает их наглядности.
Поэтому здесь делаются лишь поясные указания на
средства, способствующие изучению примитивных систем
и разработки линейных групи. Это касается тон части
трудов Коши, где он из л букв создает различные системы
и исследует подстановки, изменяющие либо буквы в си-
стемах, либо системы полностью. Для этой целп он вво-
дит кратную систему индексов, причем подстановки он
ределяются при помощи замены индексов.

Несмотря на свое тематическое родство, способ изло
женпя статей, опубликованных в СК, довольно различ
ный. Быть может, Коши пе был вполне удовлетворен до-
стигнутой общностью результатов и искал новых путей
(28). В статьях, опубликованных в СВ, па первый план
выдвигается изучение функций п букв и исследование
условий, при которых функции в результате подстанов-
ки букв приобретают различные значения. Такое измене-
ние влечет за собой много последствий. Так, например,
сейчас же после начальных определений подстановок,
представления подстановок, а также групп вводится по-
пятно транзитивности в [15] (стр. 293, 294): «Пусть Ф есть
функция п букв, которая при подстановке может прини-
мать самое большее Л> - ?/! значений. Буквы можно раз-
бить на группы с таким расчетом, чтобы в одну и ту же
группу вошли две буквы при условии, что их замена была
осуществлена в результате подстановки, которая ие ме-
няет величины функции Ф. Если образуется лишь одна
группа, то функция будет называться транзитивной, в
противном случае — «интранзитивпой». Подчеркивая
и в приведенном выше случае факт изучения функции /.
букв, Коши приблизился к традиционной терминологии
и к идеям, вытекающим из теории уравнений; такая тер-
минология оказала влияние и на дальнейшие статьи,
опубликованные в СВ, где понятия транзитивной, интрап
зитпвной и импрпмптивной (29) функции были применены
для сложной классификации функций различных видов
и, таким образом, для различения подгрупп симметриче-
ских групп. Здесь важным инструментом является пзуч
иие транзитивных функций относительно //, (// — 1)....
(I 4- 1) букв и ишрацзитивных функций относительно I
букв (г < и), что создает основу для сложных и мало
наглядных исследований большого висла специальных
случаев, которые с помощью вычислительных средств
часто приводят к определению числа одинаковых и раз-
личных значений функции 7? букв. В этих исследованиях
Коши иногда подходит даже к понятию кратной транзи-
тивности (30), не определяя ее в явном виде.

Во втором изложении Коши содержатся также основ-
ные идеи первоначального изложения, в одних случаях
лишь перефразированные, а в других — существенно до-
полненные. В новом впде здесь представлены рассужде-
ния относительно числа подобных подстановок ([16],
стр. 368—371; I19], стр. 423 и т. д.) и относительно условий
заменяемости подстановок [20]. Однако такие рассужде-
ния отходят па задний план и одновременно проводятся
при помощи новых средств. Поэтому здесь, папример, ста-
вится следующая задача: определить подстановки, подоб-
ные заданной подстановке, которые пе изменяют числа
значений функции п букв ([21], стр. 467 и след.) (31). Это
приводит к подчеркиванию иного определения группы,
чем мы привели. Теперь группа выступает как совокуп-
ность подстановок, которые нс изменяют числа значений
функции т? букв. Такая формулировка часто затрудняет
изучение свойств подгрупп, определение которых нуж-
дается в более детальной классификации различных ти-
пов функций 7/ букв, для чего средства, которыми распо-
лагал Коши, были недостаточны. Поэтому он, за исклю-
чением некоторых случаев, ограничивается изучением
подгрупп симметрических групп. Здесь имеются в виду
прежде всего изоморфные подгруппы с симметрическими
группами (или с некоторыми их подгруппами) степени
I 7г, так как для таких случаев вполне достаточно прп
определении пользоваться функциями, а также некото-
рыми импрпмитивными подгруппами. Здесь почти пол-
ностью отсутствуют средства для изучения свойств под-
ГРУИП, в том числе н для инвариантных подгрупп, что,
возможно, оказало сильное влияние иа исследователей,
работы которых непосредственно связаны с трудами Коши.

5. Изучение групп подстановок современниками Котип
и его последователями (1844—1869 гг.) Еще в 40-е гг.
прошлого века, когда появились статьи Коши о группах
подстановок, этой проблематикой начали заниматься и
другие ученые и сам Коити немедленно реагировал на их
работы (32). Таким образом, было положено начало си
стоматических и интенсивных исследовании, в которые
включалось все возрастающее число математиков. Через
25 лот эти исследования были завершены в ТгаЧё с1оз
зиЪзНСиНопя К. Жордана. В это время кристаллизовав
лись представления о группах также и в некоторых дру-
гих разделах математики. Если оставить в стороне влия-
ние последних, которое в те времена еще мало отражалось
на развитии теории групп, то можно сказать, что в ходе
изучения групп у современников и последователей Коши
обнаруживаются три следующих основных момента. Во-
первых, это дальнейшая разработка теории алгебраиче-
ских уравнений, связанная с изданием трудов Галуа.
Во-вторых, это тематика, которую изучал Коши. И
в-третьих, это обобщенный взгляд на понятие группы, появ-
ляющийся в первую очередь в трудах Кэли. В рамках
настоящего последования полученные при этом отдель-
ные конкретные результаты для пас пе столь существен-
ны; нас интересует скорее значение и характер отдель-
ных тенденций и их связь с работами Коши.

К разработке теории алгебраических уравнений при
ступили уже в начало 40-х гг. Так, например, Эрмит в
1842 г., ио-видимому, не будучи еще знаком с трудами Га-
луа, дал весьма краткое доказательство алгебраической
неразрешимости уравнения пятой степени [30] (33). Вско-
ре на проблематику алгебраических работ влияние ока-
зывает выход в свет трудов Галуа (34). В 1848 г. основные
идеи Галуа обсуждаются на лекциях Серре в Парижском
университете. Из материалов этих лекций возник курс
алгебры Серре, содержащий среди прочего основы теории
Галуа в том виде, как они’ следуют из его трудов; здесь
приведен также гауссов метод решения задачи о делении
круга и коротко изложена теория групп подстановок
(35). В связи с лгэбранческим контекстом здесь важным
пунктом является изучение числа различных значений
функции, приобретаемых при подстановке содержащихся
в функции «букв». При этом автор в большой мере опи-
рается на статью Коши 1815 г. [13]. Однако Серре не при-
водит ясной формулировки, степенен подстановки (нс го-
воря уже о системе сопряженных подстановок, отвечаю
щеп представлениям Коши). Это обстоятельство, по на-
шему мнению, существенно потому, что последующее
изложение гауссовой теории деления круга не было соз-
нательно и определенно связано с представлениями о
группах подстановок. Таким образом, курс Серре 1849 г.,
несмотря на всю свою тогдашнюю новизну, свидетель-
ствует о понимании лишь некоторых основных идей Га-
луа; этот факт согласуется с тем, что Галуа, собственно
говоря, только открыл путь к созданию цельной теории.
Вместе с тем книга Серре сыграла значительную роль
в быстром распространении идей Галуа, несмотря на то,
что изложение теории групп подстановок является в пей
лишь вспомогательным средством изучения алгебраиче-
ских уравнений (Зс).

Тогда же начинает проявляться стремление обобщить
и дополнить результаты Галуа. В свое время большие от-
клики вызвала работа Бетти (37). Однако, по существу,
ее вклад в изучение теории групп подстановок был до-
вольно невелик. В литературе Бетти приписываются
лишь некоторые формальные дополнения п определен-
ный прогресс в исследовании линейных подстановок (38).
Столь же малое влияние на дальнейшую разработку тео-
рии групп подстановок оказали остальные работы того
времени по вопросу о разрешимости уравнений (39). По-
водимому, теория групп подстановок в те времена уже да-
вала авторам алгебраических трудов широкий базис.
Однако понятие инвариантной группы отступало па зад-
пи и план, и в различных статьях встречается лишь поня-
тие простой группы. Дальнейший прогресс в изучении
общих свойств подгрупп связан с именами Силова и глав-
ным образом Гёльдера, однако результаты их работ отно-
сятся к 70-м и главным образом 80-м гг.

Итак, в те времена разработка идей Галуа и Абеля о
разрешимости уравнений, обнаруживая значение групп
подстановок, нс выдвинула более существенные вопросы
самой теории групп, которые еще пе изучались.

Несмотря па это, изучению теории групп подстановок
уделялось с 40-х гг. неуклонно возрастающее внимание
В течение 25 лет в пределах этой довольно узкой проб-
лематики более десятка математиков опубликовало около
семидесяти работ, содержащих более 700 страниц (40).

Эти данные подчеркивают лишь одну сторону того
факта, что в этот период начинается систематическое изу-
чение групп подстановок. Более важно здесь содержа-
ние и методика преобладающей части таких публикаций.
Предмет публикаций ограничивается изучением конеч-
ных групп подстановок; в них рассматриваются главным
образом транзитивность и примитивность групп подста-
новок и значительное внимание уделяется группам невы-
соких степеней, главным образом 5-й, 6-й и 7-й.

Проблематика формулируется точно так же, как и в
трудах Коши I15] и дальнейших. В этом смысле Парижская
академия наук поставила в 1858 г. задачу: «Каково возмож-
ное число значений хорошо определенных функций (йеь
ТопсНопь Ыен йёйшеь), содержащих данное число букв».

Эта задача вызвала отклики Киркмана, Матье и др.
(41). В некоторых работах этих авторов проявляется
стремление найти метод определения функций п букв,
приобретающих заданное число значений (42). В связи
с этим перечисляются все случаи, которые могут встре-
титься для функции и букв, т. е. устанавливается суще-
ствование? функций, приобретающих различные значения
при подстановках п букв. Решения некоторых специаль-
ных случаев привел сам Коши; этой же проблематикой
занимался Серре в 184.9—1850 гг. |51], рб], которому уда-
лось установить все возможные классы функции 1,5 и 6
букв. Серре говорит всегда о функциях п букв; при кон-
кретном перечислении классов таких функций он разли
чает их не только по различным значениям, но и ио свой-
ствам подстановок, которые не изменяют значений функ-
ций (43). Таким путем он, правда, в довольно неясной
форме, подходит к определению различных подгрупп симме-
трической группы п-й степени, а в некоторых случаях
и к определению их внутренней структуры. Важным
средством различения отдельных классов функций, ко-
торым пользовался также Коши, является определенно
инвариантности функции п букв относительно подстано-
вок I букв (I лг), их транзитивности и анализ различ-
пых возможностей имирпмптивпых систем. Эти средства
при перечислении различных классов функции играют
важную роль в работах Матье конца пятидесятых и на-
чала шестидесятых годов. Опираясь на отдельные заме-
чания Коти и, Матье разработал и широко применил по-
пятно кратной транзитивной функции. Аналогично были
разработаны и другие средства теории подстановок, как.
например, часто применяемое аналитическое выражение
подстановок и т. д. Сходные вещи встречаются также в
работах английских авторов, в частности у Киркмана
[33|, [341 и т. д., где в несколько иной форме делается
попытка перечислить все возможные классы функций за-
данного числа букв (’*).

В литературе, приведенной нами, обнаруживается от-
четливая связь с трудами Коши. Из трудов Коши постоян-
но приводятся выдержки, и они сообщают импульсы к
обобщению теории пли к упрощению доказательств. Впол-
не понятно, что это проявляется, в частности, в работах
более молодых парижских сотрудников Кошм. Интерес-
ны и отклики на труды Коши в Англип. Кэли еще в 1848 г.
I10] разрабатывает идеи Коши, приведенные в работе [и].
В 1861 г. Сильвестер [5В] публикует свое первое обобще-
ние одной теоремы Коши, за которым последовали и даль-
нейшие I57], I59]. Глубокое влияние Коши оказывал и на
Киркмана (45).

Продолжатели работ Коши в большинстве случаев
придерживались в целом терминологии и понятий, при-
менявшихся в его статьях, опубликованных в Сотрись
Вепйиз. Исключением была одна из наиболее глубоких по
идейному содержанию работ, именно Мстоке зиг 1е пот-
Ьге йез уа1епгз без ГонсНопз Жордана I82], вышедш пг в
свет в 1861 г. В первой главе статьи, являющейся пред-
вестником будущего Тгаке, в обобщенной форме воспроиз-
водятся идеи Коши. Исходным пунктом здесь является
сама теория подстановок, а в пей особое внимание уделя-
ется изучению лрупп подстановок. Задача заключается
в нахождении ряда возможных подгрупп симметрической
группы степени п; па передний план выдвигается
изучение заменяемости подстановок, выделение их
подгрупп и т. д.
Третьей отличительной чертой обследуемого периода
является стремление Кэли найти более общую концеп-
цию н формулировку группы. В литературе (4<!) в этой
связи высокую оценку получила работа Кэли 1854 г. I11],
I12], где под групп ой понимается уже пе группа подстано-
вок, а совокупность элементов, в которой определена не-
которая операция, удовлетворяющая известным прави-
лам. В работах Кэли изучаются уже абстрактные конечные
группы, притом с помощью новых средств. Исследо-
вание Кэли, как на это указывалось и в литературе, яв-
ляется одной из составляющих течения, в котором в
Англин принимали участие Сильвестер и Киркман (47).
Кэли уже ранее был знаком с работами Коши. Тенден-
ции творчества Кэли с исторической точки зрения, конеч-
но, интересны; однако в рассматриваемое время его ра-
боты никому пе сообщили повых импульсов (48). .Это по-
казывает, что исследование свойств групп после выхода
в свет трудов Коши 40-х гг., сознательно велись почти
исключительно в области групп подстановок (4Э).

6. Заключение. Работы Кошм, опубликованные в
1844—1846 гг., вышли в свет на границе двух существен-
но различных периодов развития изучения групп. Ранее
свойства групп подстановок изучались в отдельных слу-
чаях и лишь в тесной связи с проблематикой теории
уравнении. Общей целью, объединявшей большинство
авторов, было изучение вопроса об алгебраической раз-
решимости алгебраических уравнений степени п 5.
Положение существенно изменилось в результате появ-
ления обширных трудов Коши, в которых были обобщены
и упорядочены до тех пор рассеянные результаты. Коши
создал определенную систему понятий и терминов, в ко-
торой важное место занимают и его собственные идеи.

Таким образом, изучение групп подстановок было по-
ставлено на прочное основание, па котором далее разви-
валась теорпя. В целом необходимость такого изучения
обусловливалась разработкой теории Галуа, по все это
пе выходило еще за рамки проблематики, уже ранее из-
вестной Коши. Труды Коши представляли собой обобще-
ние предшествующей проблематики. Поэтому в них рас-
сматриваются пе только вопросы, связанные с изучением
конечных групи подстановок и их свойств, включая опре-
деление подгрупп и заменяемость элементов, но прово-
дятся и рассуждения, касающиеся вида функций /г букв
и возможного числа их значении. Но-видимому, он стре-
мился получить общие результаты, одиако формулиров-
ка задач п их конкретный, иногда весьма частным харак-
тер как у него, так и у его продолжателей, приводили к
второстепенным деталям, которым тогдашняя теория
уравнений, лишь начинавшая оценивать богатство тео-
рии Галуа, еще приписывала большое значение. Этот
двойственным характер трудов Котип, указывающий на
их положение па границе раздела двух этапов развития,
наложил глубокую печать на многие дальнейшие работы.
Можно показать, что многие импульсы, содержавшиеся
в работах Коши и еще более в работах Галуа, почти не
отразились па ряде трудов 1844—1869 гг. Толчком к соз-
нательной разработке свойств групп (неизменно еще
групп подстановок) явилась работа Жордапа [321, напе-
чатанная в 1861 г. Аналогично н в том же направлении на
развитие представлений о группе влияли английские ма-
тематики (Киркман, Сильвестер), причем Кэли в 1854 г.
сделал важный шаг на пути к более абстрактному пред-
ставлению о конечной группе и более общему изучению
ее структуры. Одиако изыскания Кэли долгое время оста-
вались незамеченными.

Если вернуться к вопросу, сформулированному во
введении настоящей статьи, то можно сказать, что, начи-
ная с выхода в свет статей Коши сороковых годов, уже
существует систематическое изучение теории групп. Воз-
никает собственная проблематика теории групп, которая
развивается уже самостоятельно, выдвигает новые вопро-
сы, создает систему основных понятий и оказывается при-
годной для применения в других разделах математики.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Большой материал, относящийся к этому вопросу, приведен
в статье па чешском языке I47]; некоторые основные идеи были авто-
ром доложены на 11 Международном конгрессе истории паук [48].
«ти статьи дополняет подготовляемая работа о формулировке Кэли
Опре деления абстрактной конечной группы [49]; в этой работе автор
стремится вскрыть другие мотивы и направления развития в первой
половине XIX в., которые способствовали более абстрактной кон-
цепции теории груин; в ней говорится также о связи между трудами
Коши и Кэли в этой области. Хотя эти вопросы и имеют важное
значение для полного понимания обстановки, сложившейся в сере-
дине XIX в., по мы оставляем их далее в стороне.

2. Интересно отметить, что о них но упоминается даже в «. Сек-
циях» Ф. Клейна |зв] ничего. См. Миллер I41], стр. 164—165.

3. Аналогичное утверждение можно найти и в более поздней
работе Миллера [4С], стр. 436—437, где, между прочим, приводится
количественное сравнение трудов Коши с работами его предшествен-
ников.

4. «В начале этого периода теория групп была открытием, по-
лезным в теории уравнений; в конце она существовала как отдельная
наука, пока еще, правда, пе вполне самостоятельная, ио все же
настолько, что здесь можно говорить о завершении периода ее
основания». (Бернс р], стр. 141).

5. См. Б. Делоне [26], стр. 100; к аналогичным заключениям при-
водит изложение Кохепдорфера I37], стр. 86 п след.

6. Точно так же, как и в случае других авторов, мы приводим
только те результаты Галуа, которые нам нужны. У Галуа обнару-
живается, между прочим, стремление к более абстрактному пред-
ставлению группы, осознанию изоморфизма групп и т. д.

7. Теорема, сформулированная Руффини, утверждает, что в
группе порядка п для каждого натурального к/п может и не су-
ществовать подгруппа порядка к.

8. Об этом и дальнейших результатах Руффини и итальян-
ской школы ср. Буркгардт |7] и [8], в частности примечания 38,
39, 40.

9. К этой работе Коши мы вернемся далее, так как некоторые
ее моменты имеют важное значение как предвестник идей Коши,
проявившихся в 40-е гг.

10. Абель приводит теорему Коши уже в сокращенном изложе-
нии своего доказательства, напечатанном в 1824 г. ([х], стр. 31), а
также н в работе, опубликованной в 1826 г. (I1], стр. 79). Неуди-
вительно, что выдержки из работ Коши приводит также Галуа
(I28], стр. 46).

11. Работы итальянской школы (Руффини, Аббати) были, по-
видимому, в те времена весьма мало известны, несмотря даже на
то, что сокращенное доказательство Руффипи неразрешимости
уравнения пятой степени было опубликовано также и на немецком
языке [30], правда, в мало распространенном журнале.

12. Ясность изложения была, между прочим, достигнута в
результате исключения излишних усложнений, связанных с рассуж-
дениями о свойствах корней, как это было, например, в ис-
следованиях аналогичных проблем, проведенных Руффинп.
Буркгардт (I7], стр. 133) критиковал работу Руффипи с этой точки
зрения.

13. Эта часть текста ([13], стр. 9—15) достигает кульминацион-
ной точки при проведении параллели между этими подстановками и
мю потом правильных и-уголышков. Отсюда вытекают некоторые
бедствия, например если п — простое число. В тексте не упомина-
ется ни о ’йлере, ни о Гауссе. В исторической литературе остав-
лены совсем без внимания возможные связи с некоторыми тогдаш-
геометрическими работами, в частности трудами Пуансо;

’"М Деспейру (14, стр. 417-419).

1 14. Вероятно, не треоустся подчеркивать, что методическое

богатство и число доказанных теорем намного превышает приведен-
ие нами данные.

15. Укажем один пример. Мы считаем, что стремление Коши
пантп все возможные функции шести букв, т. с. функции, опреде-
ляющие, как сказали бы мы, подгруппы группы порядка 61, стиму
пировало развитие математики в 40-е и 50-е гг. прошлого века; сам
Коши устанавливает, таким образом, подгруппы с индексами 6, 15,
90 и 10.

К;. ( р. Миллер |42], ст]). 17.

17. ( р. Коши I15], стр. 178.

18. Целые страницы просто перепечатаны: ср., например, |14].
стр. 172—176 и стр. 281—284 из работы [15]. Хналогично, стр. 177
179, 180—181 и т. д. из [14] совпадают со стр. 287—288 и т. д. из |15].

19. Отдельные теоремы Коши приведены в [9], стр. 144—147,
хотя и в несколько модернизированном виде. Некоторые теоремы
можно лапти и в Ц], [61] и т. д

20. Здесь было бы интересно выяснить, в какой мере Коши оз-
накомился или мог ознакомиться до 1846 г. с теми частями трудов
Галуа, которые были напечатаны в .Тойгна! с!е ТлопхШе именно в
том году, когда Коши перестал интересоваться проблематикой тео-
рии групп подстановок. Уместно обратить внимание на тот факт, что
Лиувилль еще 4. VII 1843 г. сообщил Академии паук в Париже
следующее: «Я надеюсь, Академии будет интересно узнать, что я
нашел в бумагах Эвариста Галуа столь же точное, как и глубокое
решение следующей красивой задачи: дано неприводимое уравнение
простой степени; требуется установить, разрешимо ли оно в ради-
калах». Ср. [29], стр. XXI. Поэтому можно предполагать, что выдаю-
щиеся французские математики могли познакомиться с главными
рукописями Галуа еще в 1844 г., т. е. в том году, когда Коши снова
начинает заниматься группами подстановок.

21. [15], стр. 278. Здесь Коши также обращает внимание па тот
факт, что вплоть до его времени внимание сосредоточивалось на
том, чтобы показать отсутствие функций, которые приобретают
определенное число значений. По-видимому, Коши здесь намекает,
ие говоря об этом определенно, па изменения, вызванные появле-
нием трудов Абеля и главным образом Галуа. Если ранее вопрос
шел о доказательстве неразрешимости уравнения степени п 5
(а с этим была связана главным образом также работа Коши 1815 г.),
то теперь ставится вопрос о дальнейшем развитии теории Галуа.

22. Еще во введении [15], стр. 278 Коши говорит, что он зани-
мается изложением тех же теорем.

2 . Регулярная подстановка слагается из циклов одинаковой
Длины. Подобные подстановки слагаются из одинакового числа

4 Истор.-матем. псслсд.» вып. XVII
циклов, причем взаимно соответствующие циклы—одинаковом длины
([14], стр. 186). Очень важно, что циклы Копш рассматривает всегда
без общих букв, т. е. как непересекающиеся.

24. Мы обращаем специальное внимание на эту формулировку
еще потому, что, по нашему мнению, можно указать па генети-
ческую связь между приемами Коши и Кэли. Этот факт упустила
из виду Бернс, которая приводит как первую трактовку формули-
ровки I9], стр. 145 лишь более позднюю формулировку I15], стр. 290.
Для простоты систему производных подстановок Коши мы будем
называть группой или группой подстановок.

25. Это обозначение Коши употребляет уже в статье 1815 г.

26. Ср., например [14], стр. 205. Об этом более подробно гово-
рится в [49].

27. Ср., например, теорему на стр. 220 в [14].

28. В течение шестимесячной публикации трудов Коши в СВ
он неизменно искал новые пути. Об этом свидетельствуют, напри-
мер, его работы, опубликованные в январе 1846 г. [24], [25], где
он без особого успеха стремится найти повое «исчисление», которое,
по его словам, «упростит и расширит теорию подстановок». Одиако
вскоре после такой попытки Коши полностью расстается с этой проб-
лематикой.

29. Об пмпрпмитнвпой функции, которую Коши называл ком-
плексно-транзитивной функцией, подробно говорится в [15], стр. 310
и след.

30. В частности, в [18], стр. 413; далее также в [22], стр. 496,
где он даже пользуется термином йоиЫетеп! 1гапзШуе и определяет
функцию п букв как дважды транзитивную при условии, что опа
транзитивна при подстановках как п букв, так и (п — 1) букв.

31. Здесь мы снова обращаем внимание па то, что многие кон-
кретные результаты этих обширных трудов Коши были нами опу-
щены. Коши удалось, например, определить степени и форму неко-
торых групп подстановок, а также разработать специальные методы
определения таких степеней и провести вычисления для некоторых
невысоких степеней. Он определяет, например, группы пятой и
шестом степеней [23].

32. Кошп, папример, пишет ([20], стр. 458, 459), что Эрмит неза-
висимо от него получил ряд результатов и установил, между прочим,
существование «транзитивной функции шести переменных, которая
приобретает шесть различных значений». Немного ранее Коши [17]
дал отзыв о работе Бертрана [3].

33. Двадцатилетии!! Эрмит был внимательным читателем трудов
Лагранжа.

34. В 1846 г. впервые были изданы, в частности, работа Мё-
пюхге зиг 1ез сопсННопз йе гёзо1иЫ1Нё без едиаНопз раг гасНсаих
([28], стр. 33—50), к которой, по-видимому, относится заявление
Лиувилля, цитированное в (20), и фрагмент Без ёдиаЦонз рппцНхез
ди! зон! зо1пЫез раг гасЦсапх ([28], стр. 51 61).

35. Теория групп подстановок изложена, в частности, в 19-й и
20-й лекциях [31], стр. 248 и след.; в 26-й и 28-й лекциях изложение
• тсории достигает высшего пункта при приведении результатов
Галуа п 1 аусса.

36. В дальнейших изданиях своего учебника Серре постепенно
.- гублял и уточнял изложение теории групп и теории Галуа.

37. Клейн писал 1зв], стр. 415, прим. 1 (по русскому изданию):
Бетти «вообще принадлежит крупная заслуга, заключающаяся в
том что он впервые своими глубокими рассуждениями сделал теорию
Гг/уа доступной математическому миру». Основное значение здесь
имели, по-видимому, работы |4], р].

38. Ср., например, [»], стр. 215, прим. 57, 60, 62 и т. д.

39. К этому утверждению можно было бы собрать довольно
обширный материал. Эго относится и к работам Л. Кронекера, кото-
рый сообщил новые пмиульсы развитию алгебры в 50-е и 60-е гг.
Хотя Кронекер опирался па труды Галуа (ср. работу от 1853 г. |38],
стр. 3) и Абеля, ио средства изучения теории подстановок, которые
ему иесомиепио были известны (ср. [38], стр. 51), он применял в
весьма ограниченном объеме и скорее в качестве технических пособий
(ср. I38], стр. 41, 42, работа 1858 г.); см. также, конечно, приме-
чания издателя № 10 и 11 к [38], стр. 498.

40. К тому же при этом подсчете учтены лишь те работы, в ко-
торых разрабатывалась проблематика теории групп подстановок в
собственном смысле слова; работы же, в которых результаты теории
групп, полученные при разрешении иных проблем, лишь исполь-
зуются или в которых общие результаты лишь конкретизируются,
оставлены в стороне.

41. Ср. Киркман I34], стр. 74, Деспейру [27], стр. 418, Матье [зэ],
[40], Сильвестер [58], стр. 280, |5в, 57] и др.

42. Это стремление, сформулированное как часть программы в
работах Коши, было связано с усилиями добиться ибо алгебраиче-
ского решения некоторых типов уравнений, либо по крайней мере
понижения степени разрешающего уравнения. Ср. Эрмит [31], где
упоминаются также работы некоторых других авторов.

43. С этой точки зреппя говорится, например, в [54], стр. 65—67
о 19 классах функций, приобретающих 10 различных значений,
далее, о трех типах с 20 зпачениями, трех типах с 30 значениями в
г. д.,

И. Киркман [34], стр. 93—97; интересна с этой точки зреппя
работа Сильвестра [58].

К Киркман в [33], стр. 278 цитирует выдержки из работ
оши [ ] и придерживается его способа изложения, терминологии и
роолематикп. Ио-видимому, ему были известны прочие работы
[331’ СтР- -80); 011 анализирует также и остальную фран-
У лГ°/ПтератУРУ 133]’ 8нрр1ешеп1, 352 и след.

>ТР 168 Р’’ папРимеР> БУРбаки [в], Мпллер [43], стр. 226, [44],
и.и> к'п Миллер [4з], стр. 225, 226 обращает внимание па идеи, кото-
пгМог ПочеР,,1,Уть из работ Гамильтона.

ос откликах па работы Кэли ср. Миллер [43], стр. 96, 227.
начопйт а ^Дробностями о влиянии работ Коши на Кэли и о

1 исследований работ Кэли мы отсылаем к [4в].
Л И Т Е РА Т УРА

I. X. II. Л к е 1, Оеиугез сотр1ё!ез, т. I, Христианин, 1881.

2. Е. Т. В е 1 1, ТЬе Беуе1оршеп! оЕ МаЕЬетаНсз, 8есопс1
ЕсИНон, Нью-Йорк — Лондон, 1945.

3. .1. В е г I г а п <1, Мевюйе зиг 1е нотЬге с!е уа1еигз дие
реп! ргеш1ге ине ЕопсЦоп диаш! оп у регтиЕе 1ея 1еЕЕгез дп’еПе
гепГогте.— 1оигпа1 (1с ГЙсо!е ро1уЕес1ицдие, т. XVIII, Париж
(1845), стр. 123—140.

4. Е. I > е Е Е1, 8орга 1а пзоШЫНЕа рог гасИсаЦ <1е11е едиапот'
а1"еЬпсЬе нтйкйНЫЦ сП дга<1о рпшо.— ЛппаП сП зсЕеп/о та Еста-
НсЬе с НзЕсЬе, т. II, Рим (1851), стр. 5—19.

5. Е. В е I И, 8и11а пзоЕихЕопе беП’сдиа/дощ а1§еЪпс1ю.—
ЛпиаН сП зсЕеп/.е шаЕстаНсйо с ПзЕсЬе, т. III, Рим (1852), стр. 49
115.

6. №со!аз В о и г Ь а к Е, Е1ешеп!з с1’111яЦнге без 1паН|ёта11-
диея. Париж, 1960, цпт. но русскому изданию: 11. Бурбаки,
Очерки по истории математики, персв. II. Г. Башмаковой,
под род. К. А. Рыбникова, Москва, 1963.

7 Н. В и г к Ь а г с! Е, В1'е АпГаи^с с!сг Сгирреп! Неоне инб
Рао1о 11иШн|. АЬЬашПип^еп гиг СезсЫсЫс с1ег Ма Пи* та Б к,
Ней VI, Лейпциг (1892), стр. 119—159.

8. II. В и г к к а г с! I, ЕшЩсЬе сПзсгеЕе Сгирреп,— Енсук
1ора<Пе с1ег тпаЕЬетаЕЕзсЬеп МаззепзЪаЙеп, Вс1. 1, ТеН 1, Лейпциг
(1899), стр. 208—226.

9. .ТозерЫне Е. В и г п я, Т1ю Гоипс!аНоп Репос! 1’н Ню Ш-
зЕогу оЕ Огоир ТЬсогу.—ТЬе Атепсап МаНютаНса! МопЕЫу,
уо1. XX (1913), стр. 141-148.

10. А. С а у 1 е у, Хо1е оп Е1ю Ткеогу оЕ РегтиЬаПопз.— РЫ1о-
зорЫса! Ма^аг'те, уо1. XXXIV (1849), стр. 527—529; СоПесЕес!
МаЕЬ. Рарегз 1, статья 72, стр. 423—424.

11. А. С а у 1 е у, Оп Ню Ткеогу оЕ Огоирз, аз йерсшЦп^ оп
11ю зуткоПс едиаНоп 1.— РкНозорЫса! Ма^ацпе, уо1. VII
(1854), стр. 40—47; СоПссЕес! Ма(Л. Рарегз 2, статья 125, стр.
123-30.

12. А. С а у 1 е у, Оп Ню Ткеогу оЕ Огоирз, аз берепйшд оп Ню
зуткоПс сдиаПоп О” 1.— 8есоп6 РагН— РЪНозорЫса! Ма^а-
71‘пе, уо!. X II (1854), стр. 408—409; Со11ес1ес1 МаНь Рарегз 2, статья
126, стр. 131-132.

13. А. Ь. С а и с к у, Мепнцгс зиг 1е пошЬге йез уа!еигз ди’ипс
ГонсНоп реи! асдиспг, 1огзди’ои у регшиЕе йе 1ои!ез 1сз тащегег
роззНЯез 1ез диап!1!ез ди’еПе гепЕеппе.— 1оигпа1 бе ГБ сок ро!у-
1ес111цдие, Гцх-зерНёте саЫег, т. X, Париж (1815), стр
1-28.

14. А. I. С а и с к у, Мёпилге зиг 1ея аггап^ешепЕз цие Рои
роиЕ Еогтег аусс с!ез 1еЕЕгез боппёез сЕ зиг 1ез регтиЕаЕЕопз ои зик*
Е1ЕиНовз а Га1с1е бездиеПез оп разве (Тип аггап^сиюп! а ип аиЕге
Ехегс1сез с1’апа1узе еЕ с!е ркузЕцис таЕкетаНдие, т. III, 1844, цпт
но Осиугея, з. II, т. XIII, стр. 171—282.
45. А. I. С а и с И у, Зиг 1е потЪге йез уа1еигя ёда1ез ои гпсда-
. реи! асдиёгк ипе ГопсЫоп йе гапаЫся !пйёрепйап1ез, диапй
е пегпиНе ссз уапаЫея еп1ге е11ез (Типе тагпеге дие1сопдие. -
9,'1 п т. XXI (15. 8ер!етЬге — 6. Ос1оЬге 1845), Оеиугез, я. I,
IX* стР- 277—341.

т' 16. А. Ь. СаисЬу, Метопе зиг (Цуегзез ргорпё1ёя ге-
тагаиаЫез йез яиЬзШийопз гё^иЦёгез ои кгергиЦсгея, с! йез зу-
Г»Лп1РЗ Не яиЬзШиЦопз соп]и$иёсз.— С. В., т. XXI (13. ОсЬоЬге —
Д ХоуетЬге 1845); Оеиугез, з. I, т. IX, стр. 342—405.

17 А. I С а и с 11 у, Варрог! зиг ип Метопе ргёяеШё а
г лгайёпио раг М. ВсгНапй.— С. В., т. XXI (10. ИоуетЪге 1845);
Оеихгс , з. I, т. IX, стр. 405-407.

18. А. I- С а и с И у, Метопе зиг 1сз ргспцегя 1егтсз ио 1а
чепе йез диапШёз ди! зон! ргоргез а гергёяеп1ег 1е потЬге йез
\а1еигз ЛзВпсЪея й’ипс СопсНоп йез п хапаЫез !ийёрепйап1ез.—
С. В., т. XXI, (17. ХоуетЬге 1845); Осиугея, я. I, т. IX, стр. 108—
117

19. А. I. С а и с 11 у, Мётокс зиг 1а гёяо1иНоп йез ёдиаНопя
Нпёапсз яутЬоЦдиез.— С. В., т. XXI (24. ЫоуетЪге 1845);
Оеиугез, я. I, т. IX, стр. 417—430.

20. А. 1 . С а и с Ъ у, Мётоке зиг сПусгясз ргорг!с1ёя йез яу-
я1ётеяйе зиЬзШпИопз, е1раг1!си1!ёгстси€йе,сеих ди! зон! регпнНаЬ-
1сз еп1ге сих.— С. В., т. XXI (8. ВёсстЬге 1845); Оеиугез, з. I,
г. IX, стр. 449—465.

21. А. Ь. С а и с 11 у, Метокс зиг 1е потЬге е! 1а Гогте йез
яиЪзШиНопз дщ п’аИсгепЬ раз 1а уа1сиг Й’иие ГопсЫоп Йе р1из!еигя
уапаЫез кйерспйагИез.— С. В., т. XXI (15. ОёсстЬгс 1845);
Оеиугез, я. I, стр. 467—481.

22. А. Ь. С а и с 11 у, АррПсаНопз сНхсгзея йез рнпс!рся ёЬаЪ-
НяйапякзргссёйсЩзМётокез.— С. В., т. XXI (22. ОёсстЬгс 1815);
Оеиугез, я. 1, т. IX, стр. 482—496.

23. А. I.. С а и с 11 у, Мётоке зиг 1ез ГопсВопя Йе с! ид ои
я|’х уапаЫея, с! ярёс|а1стсп1 зиг ссПеяд 1 нои! йоиЫетспЬ 1гапз!-
Вуся. - С. В., т. XXI (29. 1)есетЬге 1845); т. ХХП (5. 1апх!ег
1846);

Оеихгея, з. I, т. IX, стр. 496—505; т. X, стр. 5—35.

24. А. к. С а и с 11 у, Мешоке зиг ип поихеаи са!си1 ди!
рсгтс! Йе 3|тр1!Пег с! й’ё1еийге 1а 111ёоп‘с йез рсгтсИаИопз.—
9: ’ Т- XXII (12. 1апу!ег 1846); Оеихгея, з. I, т. X, стр.

ла—4()#

1 С а и с Ъ у, АррПсакопз й!хегзез йи поихеаи

а си! ион! 1ез рппирсз ои! ё1ё ё1аЫ|з йаиз 1а зёапсе ргёсёйеп1с.—
г’- т' ^^11. (18. !апу!ег 1846); Оеиугез, я. I, т. X, стр.

26.

К а п ' Б/ Д е Л 0 11 е» Работы Гаусса по теории чисел, в со.

л /Р РиДр их Гаусс, Сборник статей. 100 лет со дня
С'"Р™ 18->-г>-1955, Москва, 1956, Ар. 13-113.

тп1о»-‘ ' е 8 Р е у г о и я, Зиг 1а Итоне еёпёга1с йез рсг-

417 ^оигпа^ йе МаИттаидиез,

41'—439. 1

2, т. VI, 1861, стр.
28. Ёуапз^о О а 1 о I 8, Оеиугез таЬЪётаИциез, Раг!з, 1897.
Русское издание: 3. Галуа, Сочинения, перев. с франц. II. II.
Меймана под род. и с примечаниями II. Г. Чеботарева. С при
ложонием статьи П. Дюпюи «Жизнь Эвариста Галуа», М.— I
1936.

29. ЁУапяЪе С а 1 о 1 з, ЕсгНз е! тётоп-ез ташётаКдиез
ЁдШоп сгШдие 1п!ё§га1е, раг. К. Воиг§пе е! I. Р. Ахга, Равз,
1962.

30. СИ. И с гт 1 I е, СопзхдёгаИопз зиг 1а гёзо1и11оп а!§ёЬп-
^ие де ГёдиаИоп ди тпдшёте де^гё.— КоиуеПез Лппа1ея де Ма-
(ЬётаИдиез, т. I (1842); Оеилтез, т. I, стр. 3—9.

31. СИ. II е г т 1 I е, 8иг 1ез ГопсКопз де зер! 1еМгез.— С. В.,
т. ЬУН, (1863) (II) Оеиугез. т. II, стр. 280—288.

32. СатШе I ог Лап, Мётогге зиг 1е потЬге дез уа!еигз дез
Гопе,Ноля.— 1оигпа1 де 1’Ёсо1е ро1у1ес1т1дие, т. XXII, СаЫег
XXXVIII, Равз (1861), стр. 113-194.

33. Т. Р. К 1 гкт а п, Он Ше Июогу о! дгоиря апд тапу-га-
1иед ВтсНопя.— Метотгз о! Ше Шегагу апд Р1и1озор111са1 8о-
с1е!у о! Манс11ея1ег. ТЫгд 8епез, Г1гз1 Уо1ите, Ьопдоп, 1862, статья
XXII, стр. 274—397.

34. Т. Р. К 1 гкт а п, ТЪеогетз оп Сгоирз.— Ргосеодхп^я о!
[Не Шегагу апд РЬПозорЫса! 8ос1е1у о! МапсЬез1ег, уо1. II, 1860—
1862, МапсЬез1ег, 1862, стр. 73—97, Заседание 16.4.1861.

35. Т. Р. К 1 г к П1 а п, Он 1\топ-Моди1аг Сгоирз, РгосеедФ^з
о! 111е ЬИегагу апд Р1п1о5орЫса1 8ос1е1у о! Мапс11ез1ег,
Уо1. II, 1860—1862, Мапс11ез1ег, 1862, стр. 245—253, Заседание
29.4.1962.

36. Г. К 1 е 1 п, Уог1езип^еп йЬог д!е Еп1\у1ск1ипр дог Ма-
ИюшаНк йп 19. 1а11г1шпдег1 I, ВегИп, 1926. Русский перевод:
Ф. Клей и. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. I,
М.- Л., 1937.

37. ВидоИ К о с 11 с п д о г 11 е г, Саизз’а1§еЬга18с11е АгЬсн
1оп, в сб.: С. Г. С а и з я СедепкЬапд ап1аязПс11 дез 100. ТодояЬадез
ат 23. ГеЬгиаг 1955, ТеиЬпег, 1957, стр. 80—91.

38. Ь. К г о п е с к е г, АУегке, В. IV, Ье1рг12 - ВегПн,
1929.

39. Е. М а 1111 е и, 8иг 1е потЬге де уа!еигя дне реи! асдиёпг
ине ГопсНоп диапд оп у регти!е дез уаваЫез де 1ои1сз 1ез таш
ёгез розз^Ыея.— 1оигпа1 де МаНттаНдиез, я. 2, т. V, стр.
9-52.

40. Е. М а 111 1 е и, 8иг Гё!иде дез ГопсИопз де р1из!еигз
диапШёз, зиг 1а ташеге де 1ез Гогтег е! зиг 1ез зиЬзШиИопз ди!
1ея кйззеп! туаваЫез.— 1оигпа1 де МаШётаКдиез, з. 2, т. VI
(1861), стр. 241-324.

41. О. А. М 1 1 1 е г, Т11е Гоипдег оГ ^гоир Т1юогу.— Ткс
Атпевсап МаОютаНса! МоШЫу., уо1. XVII (1910), стр. 162—
165.

42. С. А. М 11 1 е г, Еггогз 1п 1ке Ы1ега!иге оп Сгоирз
ВпИе Огдег.— Т1ю Атевсап МаЧютаВ'са! Моп!111у, уо1. XX (1913)-
стр. 14—20.
43 С. А. М 1* I 1 е г, БеЕшШоп оЕ аЬз!гас!з ^гоирз.— Аппа1з
0Г МайютаНсз, 8. II, уо1. 29 (1927-1928), стр. 223-229.

44. С. А. М 11 1 е г, Еаг1у йеЕтШопз оЕ !Ье та!кета!1са1
(епп аЬя!гас! §гоир.— Зсхепсе, Иеху 8епез, уо1. ЬХХП (1930),
стр. 168—169.

45. С. А. М 1 1 1 е г, Н1з!опса1 по!е оп !ке йе!егт!па!1оп
0( аЬзТгас! дгоирз о! ^Уеп огйегз, ТЬе Со11ес!ей У/огкз, уо1. I, стр.
91—98.

46. С. А. М 1 1 1 е г, ШзГогу оЕ !ке !кеогу оЕ ^гоирз !о 1900,
ТЬе Со11ес!ей ХУогкз, уо1. I, стр. 427—467.

47. Ь. Моу у, Ке ухшки яуз!ета!1скёЬо гкошпат у !еогп
дгир._ 8Ьогп1крго йёрпу ргпойтсЬ уёй а !есктку, т. II, Ргака,
1966.

48. Ъ. Моу у, 8иг 1ез опдтез йез ё!ийез зуз!ста!1дие5 йез
ргоЫётез с!с 1а !кёог(е йез §гоирез, Ас!ез йи XI,— Соп^гёз ш!сгпа-
1[опа1 й’киЕопе йез зс!епсез, в печати.

49. Ь. Моу у, Сау1еу1ю йеЕзтсе копеспё §гиру.— 8Ьогшк
рго йёдпу рпгойтск уёй а !ес11шку, т 14, в печати.

50. В и Е Е1 п 1, Ве\уе1Я йег Ппто^КсЬкеИ ете уо11з!апй1^е
а1§еЪга'18с11е СйекЬип^ тИ етег ипкекапп!еп Сгбззе, йегеп Сгай йен
У1ог!еп иЬегзйл^!, йшсЬ ете ^езсЫозяепе а!^еЬга1зс11е Гогте! аиЕ-
7Л11ёяеп.— ХеИзскпЕ! Ейг РЬузхк ипй Ма!кетаНк, Вй. I, УУ1еп (1826),
стр. 253—262.

51. I. А. 8 е г г с !, Соигз й’А1^ёЬге бирёпеиге, Iе ёй. Раня,
1849; 2е ей., Рапз, 1855.

52. I. А. 8сгге!, Метопе зиг 1е потЬге йе уаЕеигз дие реи!
ргспйго ипе ЕопсНоп диапй оп у регти!е 1ез 1е!!гез ди’еПе геп-
Геппе.—С. В.,’ т. XXIX, 1ш11е! — ВёсстЬге 1849, Рапз (1849),
стр. 10—11.

53. I. А. 8 егге 1, Ветагдие зиг иптётопе йе М. Вег!гапй.—
1оигпа1 йе Ма!Ьёта!1диез, т. XIV, Аппёе (1849), стр. 135—136;
1оигпа1 йе ГЁсо1е ро1у!есЬп!дие, т. XIX, СаЫег XXXII, Рапз
(1848), стр. 147—148.

54. I. А. 8 е г г е !, М топе зиг 1а ЕопсНоп йе диаЕгс, стд
е! Я1х 1еНгез.— 1оигпа1 йе МаШётаИдиез, т. XV, Аппёе (1850),
стр. 45-70.

55. I. А. 8 е г г е I, 8иг 1е потЬге йе уа!еигз дие реи! ргепйге
гте ЕопсМоп диапй оп у регти!е 1ез 1е!!гез ди’еПе гешегте.— 1оигпа1
йе Ма!ЬётаИдиез, т. XV (1850), стр. 1—44.

->6 . 1. 1. 8 у ] у е з ! е г, СёпёгаИзаНоп й’ип !Ьёогёте йе
л1. СаисЬу.— С. В. ЫП (1861); Со11ес!ей Ма!Ь. Рарегз, уо1. II,
стр. 245—246.

57. 1. I. 8 у 1 у е з ! е г, АййШоп а 1а по!е 1пН!и1ёе Сёпё-
гапзаНоп й’ип !Ьёогёте йе М. СаисЬу е! тзёгёе йапз 1е Сотр!е
неп(1и йе 1а зёапсе йи 7 ос!оЬге йегтег.— С. В. ЫП (1861); Со11е-
Ма!Ь. Рарегз, уо1. III, стр. 247—249.

8 у 1 у е з ! е г, Ыо!е оп !1ю Ыз!опса1 оп^т оЕ !ке
м.,‘2тп1еЬг1са1 81х-уа1ией ЕипсИоп оЕ з!х 1е!!егз.— РЬПозорЫса!
а8а21пс XXЬ (1861); Со11ес!ей Ма!Ь. Рарегз, уо1. II, стр. 264—
59 I. I. 8 у I V е 5 I е г, Оп а СепегаИхаНоп оЕ а ТЬеогедп
о! СаисЬу оп аггаи^етепЕ-я.— Р1н1озорЫса1 Ма^ахше XXII (1861);
Со11ес1ей Ма111. Рарегз, уо1. II, стр. 290—293.

60. С. А. V а 1 я о и. Ьа \йе е1 1сз 1гауаих йи Ьагоп СаисЬу,
т. II, РагНе зстепНПдие, Рапз, 1868.

61. II. V о & I, 8иг 1ез дгоирез Пп13 сПзсопНпиз (й’аргёз
1’аг1|с1е аПешапй йе Н. Вигкпагй!).— Епсус1орёй1е йеззшепсез
таШётаНдиез, т. I, хо1. 1, Рапз — Ье1р21д( 1909), стр. 532—
616.

62. II. \У 1 е 1 с I I п о г, СезсЫсЫе йег МаНютаИк, Уоп
1700 Ыз хиг МШе йез 19. 1а11г1птйег1з, ВегИп — Ье1рх1§. Русское
издание: Г. Вп л ейтпе р. История математики от Декарта до
середины XIX столетия, нерев. с нем. под ред. А. II. Юшкевича,
2с изд., Москва, 1966.
О Р КВОТАХ Ф. Э. МОЛШТЛ ПО ТЕОРИИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Н. Ф. К ан у нов

1. Биография Ф. Э. Молина. Федор Эдуардович Мо-
лин родился 11 сентября (29 авг.) 1861 г. в семье препо-
давателя Рижской гимназии. Окончив последнюю в 1880 г.,
он поступил на физико-математический факультет уни-
верситета в Дерите (Юрьеве, ныне, Тарту). По окончании
Дерптского университета в 1883 г. па основании работы
[1] получил звание кандидата (диплом с отличием) и ре-
шением Совета факультета был оставлен при кафедре
астрономии для «подготовления к профессорскому зва-
нию». С этой целью в том же 1883 г. Ф. Э. Молин был ко-
мандирован в Лейпцигский университет, где прослушал
двухсеместровый курс эллиптических функций и теории
поверхностей у Ф. Клейна и аналитическую механику
у профессора Неймана. Одновременно Молин сдавал ма-
гистерские экзамены и иод руководством того же Клейна
написал магистерскую диссертацию «О линейных преоб-
разованиях эллиптических функций», которую защитил
в марте 1885 г. в Дерпте Р1. В том же году Молин утверж-
ден доцентом Дерптского университета. Еще в Лейпциге
Молин мог познакомиться с основными проблемами и ме-
тодом теории непрерывных групп, которую тогда с успе-
хом и интенсивно начал разрабатывать С. Ли, заинтере-
совавший вскоре перспективами новой области ряд спо-
собных исследователей [31.

Идея создания новой дисциплины — теории гпперкомп-
•чексных систем отдельно, а не в рамках самой теории
непрерывных групп, как это думали в школе С. Лп, ув-
лекла Молина. Весле 1885 г. он принимается за изуче-
ние исследований по гпперкомплекспым системам и до-
стигнутых в них результатов,’ заполнением пробелов в
связях между ними и отысканием единого метода, свя-
зывающего все полученное в единую теорию алгебр.

Его научные интересы от прикладной математики сме-
щаются в область гиперкомплексных систем настолько
основательно, что в 1892 г. оп выступает с докторской
диссертацией [4] и защищает ее в Дерпте в декабре 1892 г.
Царское правительство, верное своей русификаторской
политике, пе удовлетворяло желание Ф. □. Молина за-
нять вакантную должность заведующего кафедрой чи-
стой математики в Дерптском университете. После неу-
дачной попытки устроиться в Харьковском университете
Молин в 1900 г. переехал в Томск, где п работал до конца
жизни сначала в Томском технологическом институте
(ныне Политехнический институт), затем с 1918 г. в Том-
ском университете. Умер Ф. Э. Молин 25 декабря 1941 г.

И. Докторская диссертация Ф. Э. Молина. К концу
последнего десятилетия XIX века усилиями ряда ученых
таких, как У. Р. Гамильтон, А. Кэли, Дж. Сильвестр,
Б. Прис, Ч. Пирс, Г. Грассман, К. Вепертптрасс, Р. Де-
декинд, Г. Фробепмус, А. Пуанкаре, Э. Штудп, Г. Шеф-
фере и др., накопилось большое количество фактов, по-
нятий, частных исследований и утверждений в области
гиперкомплексных систем (алгебр). Назрела настоятель-
ная необходимость создания общей теории, общего мето-
да, который позволил бы объяснить все разрозненные
результаты, соединить их в единое целое и получить
новые. Попытки создания общей теории гипоркомплокс-
ных чисел (алгебр), предпринятые многими пз вышеупо-
мянутых ученых, не увенчались успехом. По отзыву Фро-
бениуса «только Молину удалось рассеять мрак, который
окутывал этот вопрос и дать одним ударом почти полное
разрешение всех наиболее важных проблем, касающихся
этой области» [5].

Докторская диссертация Ф. Э. Молина «О системах
высших комплексных чисел [4], защищенная им в Дерпт-
ском (Юрьевском) университете в 1892 г., действительно
явилась качественным скачком в развитии теории гп-
неркомплексных систем (алгебр). В других своих работах
Фробениус называет ее «выдающейся работой», «проклады-
вающей новые пути», «полным мысли, основополагающим
исследованием», паписапным «с пронизывающим остроу-
мием». Ее высоко оценивали Э. Нетер, Н. Г. Чеботарев,
Г. Вейль, II. Джекобсон, Н. Бурбаки, А. И. Мальцев и др.

Докторская диссертация Молина состоит из четырех
частой: «Числовые системы и билинейные формы», «Чис-
ловые системы и алгебраические уравнения», «Числовые
системы и им принадлежащие группы», «Числовые систе-
мы ц матрицы».
Основной метод диссертации Молина — метод регуляр-
ных представлений. Общему элементу и = ие*) алгебры
А с единицей и базой е2,.. ., еп над полем К = к (ии
и ,... где К получено пз ноля комплексных чисел к
присоединением к нему неизвестных иь и ип, являю-
щихся К( ординатами числа и = и е-, Молин сопоставляет
матрицы (а^и), (а^-и,-), соответствующие линейному
преобразованию 67 алгебры А, переводящему элемент
х = х^ в элемент х = хи а^х^и ;е( или в элемент
х = их = ацих^, где ац являются пл структурными
постоянными алгебры А. Представления (а^щ) и (а^и )
Молин берет в виде билинейных форм х^ = а^щх^
пли XI а\]Х и и называет их «уравнениями произве-
дений» алгебры А. Если после подходящего выбора базы
(соответствующего линейному преобразованию Р 167Р,
где Р — матрица перехода к новой базе) алгебры Л «урав-
нения произведений ее» распадутся на уравнения

х. а11Чх}.иг I, к, I 1,2,.. ., г;

х. =а\^х1.иг I 1,2,...,?? — г,к,1 1,2,...,??.

/ т I М К I

т. е. представление алгебры Л приводимо или выбранная
база ее такая, что все при 7г, I г выражаются через
. . ., с,., а при 7г, г — через ег+1,. .е„, то первые
г «уравнений произведений» определяют представление
фактор-алгебры А ,1 порядка г (по идеалу .7 с базой с, ъ...
. . ., с„), которую Молин называет «сопровождающей алгеб-
рой» алгебры /I. Понятие идеала в явном виде Молин не
выделяет. Элементы алгебры А, отличающиеся на идеал
ее, оп отождествляет. Таким образом, если А, как модуль
представления, содержит инвариантный подмодуль ./
(двусторонний идеал алгебры А) с базой ег (, . . ., то г
первых «уравнений произведений» Молина являются
лредставлепием, соответствующим фактор-модулю А,77

*) В целях краткости изложения некоторых результатов Мо-
шна, необходимых для дальнейшего, будем во всех выражениях,
•одержапц1Х нары одинаковых индексов, опускать знак суммы,
таня 1ГО только там, где суммирование идет по одному индексу,
ели множество значений, пробегаемых индексами, пе указывается
•собо,всегда будет подразумеваться,что оно состоит из чисел 1.2,.. ,п.
в базе ./ + сь..., А~ сг. «Сопровождающая» алгебра
1 / алгебру Л у Молина является, очевидно, подалгеброй
алгебры Л. Тем самым алгебра Л у него выступает как
алгебра, элементы которой представляются матрицами,
и в то же время она является модулем представления.
Заметим, что «сопровождающая» алгебра, имеющая по-
рядок, равный порядку алгебры Л, совпадает с пос-
ледней; «сопровождающая» «сопровождающую» — снова
«сопровождающая» алгебры Л и что среди «сопровождаю-
щих» алгебру А должна существовать такая, которая ни-
какой алгебры, кроме самой себя, не сопровождает. Мо-
лин выделяет последнюю и называет се «первоначальной
сопровождающей» алгеброй алгебру А. Таким образом,
на первый план при изучении строения алгебр Молин вы-
деляет понятия «сопровождающей» и «первопачальнэп
сопровождающей», равносильные понятиям фактор-алгеб-
ры и простой алгебры, а пе понятие идеала. Понятие соп-
ровождающей Л/У алгебру Л, как подалгебры Л, позво-
лило Молину в основном сосредоточить внимание па изу-
чении простых и полупростых алгебр над полем А. Введя
основные попятил «сопровождающей» и «первоначаль-
ной» алгебр, изучая по существу максимальную цепь под-
модулей алгебры Л, рассматриваемой в качестве модуля
ее представления, Молин устанавливает (см. диссерта-
цию I'1], теорему 5 и ее следствия), что «база всякой ал-
гебры Л может быть выбрана так, что первых уравне-
ний произведений ее будут уравнениями произведений
некоторой первоначальной сопровождающей, г> следую-
щих - уравнениями произведений второй первоначаль-
ной сопровождающей и т. д. до тех пор, пока среди урав-
нений произведений алгебры А нс памдутся произведения
каждой первоначальной сопровождающей ее алгебры».
Для полупростых алгебр эта теорема является первым
наброском теоремы о строении полупростой алгебры как
прямой суммы простых алгебр (над нолем комплексных
чисел у Молина первоначальные алгебры — тела), с од-
ной стороны, и теоремы о разложимости приводимого
представления такой алгебры — с другой. Полное обос-
нование второй части этого утверждения Молин приво-
дит во II и III частях своей диссертации. Далее Молин
получает признак полупростоты алгебры Л, а именно:
если дискриминант алгебры <1еЪ (а*г а<р) =/= 0, то алгеб-
ра А полупростая, если же он равен пулю п дефект дис-
криминантной матрицы равен п — г, то алгебра А содер-
жит фактор-алгебру Л// порядка г (следовательно, дву-
сторонний идеал порядка п — г). Выводится этот при-
знак, по существу, из рассмотрения кронекерова произве-
дения (а^ иё) (агР1 рр) = аР1 и3 рО, представлений
(а^и8) и (йр/Рр). Изучение правого х —> хи и левого
х —> их регулярных представлений в части II диссерта-
ции Молина связано с глубоким изучением уравнений
сох — хи, сох — их, сох = хи — их или соответственно
характеристических уравнений йеЬ (ащщ — б^со) = О,
йеЬ (ак1 ик — со) = 0 и названного Молппым по имели
Киллинга уравнения йеЬ [(а^ — а1щ )щ — бйсо] — 0 от
неизвестного со над полом К, причем б к — символ Кро-
некера, аш — структурные константы алгебры Л.

Изучив детально свойства линейных коэффициентов
(следов) и свободных членов (норм) левого Д/ к{ (и, со)
и правого /гг = кг (и, со) характеристических многочленов
и их делителей, введя понятия минимального многочлена
г а — гл (п, со) общего элемента и алгебры Л над полем А,
названного Молиным «ранговым» многочленом алгебры
Л, Молин устанавливает ряд свойств и связей их между
собой и многочленом Киллинга кА = кА (и, со), являю-
щимся левой частью уравнения Киллинга: 1) гА — дели-
тель и кг; 2) корпи кА состоят из всевозможных попар-
ных разностей обоих характеристических многочленов
к[ и кг\ 3) число нулевых корней кА равно порядку (ран-
гу) а центра алгебры Л; 4) характеристические многочле-
ны сопровождающей алгебру Л алгебры являются делите-
лями характеристических многочленов Л; 5) ранговый
многочлен сопровождающей алгебру Л алгебры — дели-
тель рангового уравнения последней; 6) оба характери-
стических многочлена первоначальной алгебры Л являют-
ся степенями одного и того же неприводимого многочлена.
А именно, если ранговый многочлен гА имеет степень,
равную т, то кг = (гА)т = кг; 7) ранговый многочлен
первоначальной алгебры неприводим и, наоборот, ал-
гебра, ранговый многочлен которой неприводим, являет-
ся первоначальной (простои); 8) различные неприводи-
мые делители любого характеристического многочлена
]1 алгебры .1 являются только ранговыми многочленами
всех первоначальных алгебр, сопровождающих алгебру
I т. с. /и = . гт"а, где А — сопровождаю-

- > * М Аз Х

щпе первоначальные алгебры Л, гАг — их ранговые мно-
гочлены, т1 — степень гА.; 9) многочлен Киллинга кА
первоначальной (простой) алгебры Л является степенью
многочлена, имеющего своими корнями всевозхможпые
разности корней рангового уравнения гА алгебры Л;
10) рапг центра первоначальной (простой) алгебры Л равен
степени многочлена гА*>.

Опираясь на изученные в части III отношения групп
п полугрупп линейных преобразований к алгебрам и
только что перечисленные результаты, Молин показал:
1) первоначальная (простая) алгебра А изоморфна пол-
ному кольцу матриц над К. Если степень гА равна т, то
представление ее (и^.), г, к = 1, 2,.. ., ш, точное п непри-
водимое. Элементы и-,к матрицы (п^) независимы над К.
Ее база имеет т2 элементов ец, I, / = 1, 2,..., умно-
жающихся по правилу: е^к — ек, = 0; / =/= к.
Соответственно характеристическому многочлену кА =
— га ее регулярное представление (ак1 щ) после пере-
хода к базе е ] будет ш-кратным представлению (и1к), т. е.
(агк1 и{) является клсточно-диагопалыюй матрицей,
в которой (щк) повторяется т раз. В аддитивной записи,
таким образом, (а^Н/) эквивалентна т (и1к). 2) Приводи-
мое представление полупростой алгебры А, имеющей
сопровождающие первоначальные (простые) подалгебры
Л г, Л2, . . ., Аа (а — порядок центра Л) разложимо. Каж-
дая неприводимая часть представления Л эквивалентна
неприводимому представлению одной из Л . В соответ-
ствии с разложением Л = Лх + Л2 + ... + Ла в прямую
сумму Л1, Л2,..., Ла ее характеристическое уравнение

*) Заметим, что первоначальная алгебра Л над А' ио Молину
является алгеброй с дслеппем с центром, изоморфным полю А'.
имеет вид кА — ДА1 • к 1л ... кЛа = гЛ1-г^ .. . гл“ = 0.
Регулярное представление (а^н/) общего элемента и, ал
гебры А над К после перехода к базе, составленной из
баз А вида /, / = 1, 2, . . ., яг , эквивалентно аддитивно
записанному представлению + яг2 (н .

...+(н(/.)а, где под разумеется аддитивно за

писанное т -кратное представление алгебры Л. Поря-
док алгебры А равен пъ{ + 1г% + . . . + тп\ — п\ п эле-
ментов матриц (ил.)ь (гг^)2, ...,(н.^)а линейно незави-
симых над К.

Ш. Работы Ф. Э. Молина в области теории представ-
лений групп. Если достижения Ф. Э. Молина в области
теории алгебр, благодаря высказываниям Г. Фробениуса,
Э. Нетер, Г. Вейля, II. Г. Чеботарева, II. Джекобсона,
краткому описанию А. И. Мальцева, Н. Бурбаки и дис-
сертации М. Тамм [6* а) ~ к>] оценены по достоинству,
то историческая значимость его работ по теории групп
выяснена недостаточно. Его самые важные первые две
работы «Одно замечание к теории однородных групп под-
становок» [7] и «О числе переменных неприводимых групп
подстановок» I8] остались неизвестными или не приняты
во внимание большинством исследователей, касавшихся
истории развития и становления современной теории
представлений групп, что, несомненно, привело к несколь-
ко неточному освещению этого вопроса. Неверным, по-
видпмому, было бы утверждение, что упомянутые работы
Молина, отличающиеся богатством содержания и широ-
той охвата различных вопросов по теории представлении
групп, не оказали влияния па развитие этой теории. Фро-
бениусу и школе Э. Нётер обе эти работы вместе с доктор-
ской диссертацией Молина были хорошо известны. Папи
саны они, ио-видимому, в 1895—1896 гг., т. е. в то же
время, когда Фробениус от своих работ по общей теории
конечных и разрешимых групп переходил к созданию
теории представлений групп. Третья работа [9] Молина
«Об инвариантах группы липейных подстановок» наибо-
лее известна, так как опа была опубликована в весьма
распространенных «Докладах» Берлинской академии наук
в 1897 г.
В работе [7] Молин исторически первым изучает
в явном виде групповое кольцо над полем К [10]. Для
группы 8 порядка п с элементами $х,$2,. • (51 — еди-

ница группы 5) Молин рассматривает п-мерное векторное
пространство ип с базой $2>. • •, 8п всех линейных форм
и = + и2$2 + .. .+ ип8п над полем К. Вводится

умножение в уп по правилу: 8к81 = ак18к, где ак1 = 1
или 0, смотря ПО тому 8к§1= 8к ИЛИ 8к8[ =)= 8(. Из ассо-
циативного закона для элементов группы 5 Молин нахо-
дит, что п3 величин ак[ удовлетворяют соотношению
ак1 а11т — аша1т> й, к, 1,т, I — 1, 2,. .п, т. е. опре-
деляют групповую алгебру: А3 = К81 + ...+ К8п над
полем К.

Произведение элементов и = ик8к и х = хк8к алгеб-
ры Аз, соответствующее ее линейному преобразованию
П, переводящему элемент х в элемент х' = их =
= «к/Ц/ДО/и определяет (по Молину) «уравнения произве-
дений»

О аиикх1 (!)

или левое регулярное представление р (и) = (ак1ик) об-
щего элемента и алгебры Ла над полем К. Базисным эле-
ментам 8к сопоставляются линейные преобразования Тк,
переводящие 8к в = ак1Х[8к, где ак1

равно 1 И 0, смотря ПО тому 8к81 = 8к ИЛИ 8к81 ф 8к. До-
казав, что группа линейных преобразований Тк

х11 — ак1иЦХ1 (Н)

изоморфна группе 8, Молин затем подсчитывает дискри-
минант алгебры А3. Взяв след матрицы р (и), т. е. линейный
коэффициент (при со71^1) характеристического уравнения
беЬ (а’м ик — бпгю) = 0 матрицы р (и), он находит, что
йеЬ (а}1к 0,^1,) = + пп. Тем самым, опираясь па свои
критерий полупростоты алгебры, он доказал, что А3 --
полупростая алгебра. Следовательно, применяя выше-
описанный процесс выделения сопроводи дающих алгебр
алгебру 45} Молин устанавливает, что после надлежа-
щего выбора базы она распадается в прямую сумму пер-
5 Пстор.-матем. исслед.» вып. XVII
воначальных алгебр Аг, А2, • • Аа, где а— порядок цен-
тра Л$ и подчеркивает единственность этого разложения.
Вместе с тем в соответствии с результатами его докторской
диссертации им доказана разложимость регулярного пред-
ставления Аз Р1]. Неприводимое и точное представление
каждой А/ имеет вид (и(ц), где все тп* элементов 11$,
I, ] — 1, 2,. . линейно независимы над К Р2]. Харак-
теристическое уравнение кА5 алгебры Аз над полем Л
имеет вид кАо = г™*-г™* . . . где гА. — ранговое

О Аг 1

уравнение Аь пц — степень гАг В соответствии с
результатами докторской диссертации Молин получает,
что «уравнение произведений» = ак1 икх1 (представ-
ление (ей ик) групповой алгебры Аз распадается на
«уравнения произведений»

4* = • г, 7 = 1 - 2,. . .,

(1)

Хп =и*“>жЙ-). г, / = 1, 2,. . та,

2 1 2

где т1 + . . . + та п, а — порядок центра илн число
неэквивалентных неприводимых представлений алгебры
/1$. Иначе говоря, матрица регулярного представления
(ей ик) общего элемента и = и-^ групповой алгебры
Аз над полем К после перехода к базе, в которой А
= Л1 + . . . + А а, будет иметь вид клеточно-диагональ-
ной (аддитивно записанной) матрицы т^и^) + ....+
+ та (и^), в которой: каждое неприводимое представле-
ние (и к) алгебры Л$, соответствующее простому слагае-
мому является клеткой, повторяющейся в пей раз.
Группы лилейных преобразований, соответствующие про-
стым слагаемым А-, алгебры Лй, Молин называет «непри-
водимыми группами подстановок» Р3]. Далее, беря любое
(невырожденное) представление групповой алгебры Лч и
по одному из каждых т{ повторяющихся неприводимых
представлений, т. е. + тп2 + . . . + та представлении
вместо п = 7П1 + .. их, он записывает представление
алгебры Л з в виде
...................*’ / = Ь 2, . . 7??!,

я<“> = /Д“) (г/р . . ип)х^\ /,7 = 1,2.та,

(III)

где Ь(г? (иь. • г/п) — линейные формы от щ,. . ., ип над
полем К. Тем самым каждой простой подалгебре алгебры
Дя он сопоставляет одно ее неприводимое и точное пред-
ставление, отбрасывая остальные, эквивалентные с ним.

В силу линейности (щ,.. -,ип) Молин из (III) на-
ходит группу линейных преобразований Тк(к !,...,«)

дЬа )

хФ = 1 хФ, I, ] 1,2,...???!, |

1 3 I

...................................; (IV)

дЬ(^

-гс(а), г, / = 1, 2, . . ., ??га, ।
? дик 1 ;

изоморфную группе (II), и заключает, что каждая отдель-
ная неприводимая группа последней определяет группу
линейных преобразований, гомоморфную группе 5, если
последняя не проста. Если же 5 — простая группа, то
указанная неприводимая группа является точным пред-
ставлением 5. Иначе говоря, если Н( — нормальный де-
литель группы 5, являющийся ядром отображения од-
ной из неприводимых групп Сц системы (IV) при гомо-
морфизме 8 на 67, то последняя изоморфна с 8/П{; если
Я/ = «1, очевидно, изоморфна с 8.

Сумма «уравнений произведений» или билинейная
форма х± + х2 -Ь . . . + хп а1к1икХ1 = (щ-|-. . .+ ип) X
X (Х1 + . . . -|- х„) является инвариантом рассмотрен-
ного гомоморфизма, т. е. инвариантна относительно ли-
нейных преобразований группы (IV). В последней, за-
мечает Молин, содержатся определяющие уравнения всех
гРУпп линейных пребразований, гомоморфных данной
группе. Если линейным преобразованиям ,.. .,8а соот-
ветствует представление Гь 8а, 8а 1 ,..з2а — представ-

5*
ленпе Г2 и т. д., то х{^1)а + я0_1)а<1 + ... + ж'к-1 =
= (и) (я(К_1)а + ^(/с-1)а+1 + • . • + хка-1 инвариантно отно-

сительно линейных преобразований, входящих в Гх,
Г2»... и т. д.

Далее Молин ставит следующий вопрос. Если конеч-
ная группа 5 дана в виде линейного представления над
К, то в каком отношении последнее будет находиться с
рассмотренными выше представлениями группы? Взяв
представление группы

= с1^ук, I, к = 1,. . .,т;1 = 1,. . ., /г, (2)

где с\к — числа из к, обозначив с^и) = он
рассматривает преобразования:

^ = с4к(“)^’ к> 1 (3)

и доказывает, что последние образуют группу линейных
преобразований над/С При этом: «Если группа(2) изоморф-
на группе (II) и такая, что группа (3) транзитивна (т. е.
посредством (3) произвольная система значений ..,
может быть переведена в произвольно заданную си-
стему значений?/^,.. у^), то уравнения (3) могут быть

получены из уравнений (1) при помощи линейных преоб-
разований переменных» (Молин [7], стр. 271). Тем самым
Молин доказал, что «никаких других однородных (линей-
ных) подстановок транзитивного вида данной дискретной
группы (представляющих группу 8) пе существует, кроме
тех, которые можно получить из (1) заменой переменных
и части их нулями». Особым приемом случай интранзи-
тивной группы представлений группы 8 сводится к пре-
дыдущему. Таким образом, в рассматриваемой работе I7]
Молина дана исторически первая формулировка теоремы
о том, что всякое линейное представление конечной груп-
пы содержится в ее регулярном представлении.

Перейдем к рассмотрению второй работы Молина
«О числе переменных неприводимых групп подстановок»,
посвященной исследованию дальнейших свойств пред-
ставлении конечных групп. Взяв регулярное представ-
ление групповой алгебры А в уже во вполне разложенном
впде (Ш), Молин замечает, что характеристическое урав-
нение с!еЪ (Ь[;} (щ,- . ., ип) — ду(о) = 0 каждой неприво-
димой группы (неприводимого представления) 6? из (III)
неприводимо над К. Линейные коэффициенты этпх харак-
теристических многочленов или характеры^ = Ъ$ (и-1,. . .
.. .,и«), * = 2>- • тп1}. • .;ЬЙ° = М? (и ,..гг„), г = 1,

2 . . тпа, являются линейными функциями от ии и2,...,
Иа, линейно независимыми над К. Поэтому задания их,
отмечает Молин, достаточно для соответствующей непри-
водимой группы (неприводимого представления) из (III).
Представив характеры в форме (гг) = (и) =

= ч^и 2,. . ., л, надполем А и рассматривая ха-

йеЦ^ — соду) = 0, со-

рактеристические уравнения

ответствующие представлению (IV), Молин находит, что
= ч^, I = 1, 2,..., а; к = 1, 2,..., /г, т. е. ч^ =
= % ($к) являются следами матриц Тк. Ссылаясь на из-
вестную (от Дедекинда!14] и др.) теорему о том, что корни
этих характеристических уравнений являются корнями из
единицы, Молин заключает, что = % (5Й) будут «це-
лочисленными» функциями корней из единицы, т. е. це-
лыми алгебраическими числами. Единичному элементу
группы 8 соответствует тождественное линейное преоб-
разование (III) х = 1 = 1,2,..., 7П1, имеющие харак-

теристическим уравнением (со — 1)™’ = 0, откуда %1 («1) =
= 'й = Щ], п аналогично %к ($х) = = тк, к = 1, 2,...

...» а. Поэтому коэффициенты при в = V Зи , I =
= 1, 2,..., а; / = 1, 2,. . ., тг, равны степеням соответствую-
щих неприводимых представлений или числу переменных
тех неприводимых групп из (III), для которых % являет-
ся следом соответствующих матриц. Таким образом,
Ь(и) = ($2) гг2 + .. . +%1 («„) ип ,..., %а (и) =

- + Ха($2) и2 + . . . + %а (зп)ип. Эти свойства Х1 (и)»

%2(и),. • Ха (гг), замечает Молин, делают удобным их
употребление вместо неприводимых групп (представлений),
определяемых ими, а так как выведенные свойства х? (гг),
г = 1, 2,. . .,«, не опирались на неприводимость соответ-
ствующих им групп (представлений), то след общего эле-
мента и = ще^ во всей неприводимой группе (III) запи-
шется в виде «1 Х1 (и) + а2 (п) + . . .- х* (и), где
а, — целые положительные числа. Таким образом, Молин
доказал, что представление групповой алгебры и соот-
ветствующей группы с точностью до эквивалентности
вполне определяется следами представлений. После это-
го Молин рассматривает кронекерово произведение пред-
ставлений. Произведению представлений (аггк ик) и (аГ[ щ)
двух элементов и и V алгебры А соответствует представ-
ление (аГ1каг^кщ). Следом последнего является били-
нейная форма И а являющаяся следом ди-
скриминантной матрицы регулярного представления ал-
гебры Аз. По критерию полупростоты, найденному Моли-
ным, для каждой первоначальной (простой) подалгебры
ЛЬ', неприводимое представление которой (и1к),1,к—1, 2,. . .,
т(, ее след О х (н)х (у) и,/, к 1, 2,. ..,
Для групповой алгебры1 Ля, регулярное представление
которой распадается па а неприводимых представлений,
форма (след) □ распадается на а (следов) <>ь О2,- • • ,
соответствующих неприводимым представлениям перво-
начальных (простых) подалгебр алгебры Л я. Поэтому для
групповой алгебры Ль получается И = х (и)%- (^), & = I,
2,. . ., а. Далее Молин доказывает теорему о том, что число
неэквивалентных неприводимых представлений группы
8 равно з — числу классов сопряженных элементов, т. е.
последнее равно порядку а центра групповой алгебры Ля.
Рассматривая след И — ак1 а1г{ икуг дискриминантной
матрицы, Молин замечает, что пщ = ак1а\ - 1 только
для тех элементов группы 5, для которых и

пк1 — 0 в остальных случаях. Отсюда, обозначая через
П/ индекс нормализатора элемента 5/ в группе 8, через
Сг (и) сумму членов в О с теми п, которые соответствуют
классу сопряженных элементов с элементом а через С^и)
сумму членов с теми р, которые соответствуют классу
сопряженных с $“1, он получает формулы О (у)Х

ХС/ (и), I = 1, 2,.. ., з; п= П[ к , где з — число классов соп-
ряженных элементов в группе 5, к< — порядок нормали-
затора элемента 5/ в группе 8. Сравнивая выражение
О Х;(^) 1=1, 2,. . а, с последним, Молин

находит, что з а. В частности, для 5 — 5Т — единич-
ного элемента группы 5, он получает, что п = пъ
С[(и) С1 (и). Далее, заметив, что после замены вй =
= Хг(и) X* (^),(*= 1> 2,...,а), характеров их выражениями

Х1 (и) + Х1 (5-2) и. 4- . .. +Х1 (5П) ип,

Ха (и) Шли1 + Ха ($•’) и2 + . • • + Ха 0») ип,

след дискриминантной матрицы перейдет в О п/С,/(п)С/(н),
Молин линейно выражает характеры неприводимых пред-
ставлений через С[(и) и С/(г>), а именно:

Х;(«) Х^(“)СЛ(“).

х,(0 х^(ОсДр).

(4)

гдр I — помер неприводимого представления, /с — но-
мер класса сопряженных элементов в5;хг ($1) Хгк(51) =

= т\, I, к 1, 2,..а.

Далее Молин находит соотношения

^Зх^СОХ^Ч") пЬы, 1,к,1 1,2,

(5)

2 М° (р) ХГ’ (“) 'гб.1-> 1’к'1 1.2. •••>«.

и после этого доказывает теорему о том, что число пере-
менных неприводимой группы линейных преобразований,
представляющей группу 8, является делителем порядка
представляемой группы, или, иначе говоря, степени не-
приводимых представлений конечной группы являются
делителями порядка группы.

Наиболее известна специалистам третья (по-видимо-
му, не самая значительная) работа Молина «Об инвариан-
тах групп линейных подстановок» [9].

Здесь Молин рассматривает множество линейных под-
становок х\ = Ьл (пь..ип )хК\ I, к 1, 2,..., т,
образующих группу линейных преобразований группового
кольца, когда п систем

дЬт

8 : х = -— , г, к = 1, . . т,
к г

(6)

в которых Н], и2 ,• • ип рассматриваются как независимые,
образуют группу.

Характеристическое уравнение для им записывает-
ся в виде СЛ(со) = йеЬ (6^------со) = 0. Величину

с)ик

В (и) = Ъц(и) он, вслед за Фробениусом, называет ха-
рактером группы. Характер, с другой стороны, будет
коэффициентом при со в первой степени и в С{1 (со). Харак-
тер есть линейная форма относительно Пх ,..., и„ т. е.
В (и) = щ + . . . + 6п ип, а всякая рациональная функ-
ция В от характера будет иметь вид В (Ьк) ик. Как было
показано в предыдущих работах Молина, в случае при-
водимости рассматриваемой группы в а неприводимых
групп В (и) = Кк /к (и), к = 1, 2,.. .,а, где Хх, Х2 ,. ..,
— положительные числа, /х (н),. . ., (и) — харак-

теры неприводимых групп. Обозначая через /{(и) ха
рактер, обратный к Л(и), Молин вводит операцию:

©(/<-, А)

П ^и11

дик

применение которой к В (и) дает 0 (/,, В) = Эту опе-
рацию, показывающую сколько раз неприводимая со-
ставляющая повторяется в матрице представления, он
называет анализатором. Последний известен в современ-
ной теории характеров под названием скалярного произ-
ведения характеров ^2^ п^А^1. Далее Молин, рассмот-

<>ик

рев ]э-ю кронекерову степень группы С, получает
группу линейных однородных форм степени р
с числом переменных, равным тпр. Из критерия Молина
следует приводимость группы (представления) Ор. Далее
ставится задача отыскания характеров Ор. Рассмотрение
характеристического уравнения Ор по характеристиче-
скому уравнению С позволяет Молину найти простое ре-
шение. Характер группы С-р оказывается р-й степенью ха-
рактера группы В. Затем Молин получает следующий ре-
зультат. Групповой характер группы, образованной из
всех независимых целых рациональных функций р-й сте-
пени переменных некоторой группы линейных однород-
ных преобразований, есть коэффициент при со₽ в разло-
жении й = нл/Ск(«) по возрастающим степеням со. После
этого Молин посредством анализатора 0 (/, И) =

1 1 г т/»

——— —исследует полученное представление Вр. Ко-

эффпциентпри «^разложения анализатора по степеням со'да-
ет частоту представления неприводимой группы с характе-
ром /г(и)через рациональные однородные функции р-й степе-
ни переменных групп В, Среди этих групп, изоморфных с

данной группой, найдется тождественная, характер кото-
рой равен Угг/1- Наличие тождественной неприводимой
К

группы означает существование инварианта. Таким ин-

вариантом

выражение, дающее ин-

вариант для любой степени преобразования переменных

группы.

Наконец, Молин доказывает, что анализатор не яв-
ляется тождественно равной нулю функцией.

IV. Теория представлений в работах Фробениуса
1896 года. Сравнение теорий Фробениуса и Молина. Иной
подход к теории представлений конечных групп мы ви-
дим в работах Г. Фробениуса «О групповых характерах»
I1 ] п «О простых миожителях группового детерминанта»
опубликованных в 1896 г. Нет необходимости оста-
навливаться на истории создания этих работ [15] и [16],
весьма полно освещенной в них и достаточно полно в
«Очерках» Н. Бурбаки [6П].

В первой работе [15] Фробениус классам (0), (1),. ..
••♦,(& — 1) сопряженных элементов группы Н порядка к
с элементами А, В,. .. сопоставляет систему /с чисел:

Хь-ь которую называет характером % группы Я.

II может иметь несколько характеров, поэтому

Группа
характеры нумеруются, например $-н характер х* —
(-:) (я) (8)

это система чисел Х-» = Хо » Х1 = XI ’ • • •> Хл-г = Хк-г
Если (а) — класс сопряженных элементов с А, а (а(1)) —
класс сопряженных с А-1, кЛ’&у — число решении урав-
нения А 1 ВС = Е, когда А 1 пробегает к** элементов
класса (а'), В и С пробегают соответственно к$ и кх эле-

/Г

ментов класса ф) и (у), то Ха = у—, где га решение систе-
ма

мы однородных уравнений глгу = а^-(гх второй степени,
«азу — постоянные, определяемые по формулам =
= у и обладающие свойствами: ах$г — аатз;

2 «аХт^хзв = У «хзт, причем здесь и в дальнейшем
X ‘ X

греческие строчные буквы означают некоторые фиксиро-
ванные номера 0, 1,. . ., к — 1 классов сопряженных пли
пробегают их, если являются индексами суммирования.
В более ранней работе Фробениус показал, что систе-

ма гяГр = при указанных выше условиях для

а.

аХ ( и невырожденности матрицы (ра^) порядка к, состав-
ленной из элементов —5] аххх «ххз =2 «х^х^ха имеет точ-

х, х х х

но к решений и составленный из них определитель отличен
от нуля. Тем самым он показал существование характеров

I \ ,

и определил вид их: Ха -т—, так как система к^кх%^ =

Па

^ка'^Ха имеет точно к различных систем решений: Х» —
(*)

= Х(хх),/=/(х); х = 1,2, , к—1,1 де йе1. Хах)ф 0. Коэффици-

енты пропорциональности / определяются по формулам:
/ “ Хо’ /(х)— Х«Х)» поэтому не вполне определены.Введя в рас-
смотрение характеристическое уравнение матрицы (рх.д),
имеющее степень км корни Фробениус доказывает, что
последние вещественны и положительны, связаны с коэф-
фициентами / соотношениями § = е/, причем числа е яв-
ляются коэффициентами пропорциональности так назы-

ваемой дополнительной системы чисел

(га). Другие соотношения между си/ остаются непзвест-

е(*)у(*)\

Ла' | к системе

Л )
ными, и в этом смысле они здесь до известной степени
произвольны. Выбирая различными способами /, Фро-
бениус получает различные заключения о характерах;
например, если / взять реальными, то в каждом харак-
тере взаимно обратным классам (а) и (а') отвечают
комплексно сопряженные значения и Ха' и т. д. Таким
образом, в описанной части (§§ 1—4) работы I15] Фробениус
ввел понятие о характерах конечной группы как функции
классов сопряженных элементов, отвечающих неприводи-
мым представлениям группы Я, в форме весьма общей,
не зависящей от понятия представления группы, которое
он вводит во второй части описываемой работы и в част-
ном случае. Если Д элементов Л, Я, С,. . . группы Я ис-
пользовать в качестве индексов для к независимых пере-
менных Хд»Х/р Хс» • • -так» что при Я Л/Дг, и

образовать матрицу (хр = (.гр$_,) от к2 элементов
хр ц — Ярз-о в которой номера строк указаны индексом Р,
пробегающим группу Я в некотором порядке, а номера
столбцов — индексом (), пробегающим элементы Я в том
же порядке, то в силу группового свойства индексов
в каждой из к строк и каждом из к столбцов (<гр0_,) нахо-
дятся все к переменных, отличаются они друг от друга
только порядком и среди к2 элементов (хр^ ,) имеется
только к различных. Множество матриц (хр^_,), назы-
ваемых Фробениусом в последних работах групповыми,
замкнуто относительно операции их умножения.

Понятие группового детерминанта йеЬ (хр^) (термин
Фробениуса), обобщенного в последующих работах, его
свойства и вытекающие отсюда свойства характеров ста-
ли, начиная с этого момента, основными в подходе Фро-
бениуса к теории представлений конечных групп. Ха-
рактеры здесь рассматриваются как функции элементов

Я, С,. . ., обозначаются через х М)» X С#)>- • • и ока-
зываются коэффициентами линейных множителей
5---у-2АаХа^а, па которые (и только на них) пазла-

гается <1е(, (х^.,) в рассматриваемом частном случае
хлв = хва по формуле 4еЬ (.гр(? х) = II (^(х))^(х>. Число
линейных множителей % х) группового детерминанта равно
числу к классов сопряженных элементов. Числа
#00 — — целые положительные. Свойство характе-

ров быть коэффициентами линейных множителей по
существу является новым определением их, сводящимся,
как показывает Фробепиус, к исходному определению.
Одновременно в новых обозначениях х (Л), % (В),. .соот-
ветствующих новому определению, Фробениус получает
свойства характеров такие, например, как % (Е) = /
(Е — единица Я), % (Л), % (Л-1) — сопряженные комп-
лексные числа; х (Л) — ^(В^АВ), % (АВ) = % (ВА)
и др. В работе [161 групповой детерминант (1еЬ обоб-

щается и па те случаи, когда не обязательно % (АВ) —

-- % (ВА) для любых Л п В из Я, и она посвящена разложе-
нию с!еЪ (хр$ ,) па неприводимые множители и тем след-
ствиям, которые вытекают отсюда.

Воспроизведем некоторые из результатов работы [16].
В силу свойств элементов йеЬ (хр(^) после прибавле-
ния к элементам первой строки соответствующих эле-
ментов всех остальных строк все элементы первой строки
становятся равными % = 2хп. Следовательно, с!еЬ (гср$^),
как целая однородная функция от Л переменных хА, хв,. ..,
делится на т. е. с!еЪ (.тр$ ,) для к>1 всегда разлагается
на неприводимые множители (функции у Фробениуса)
Ф степеней / < к. Число различных неприводимых мно-
жителей Ф, группового детерминанта равно числу к классов
сопряженных элементов в Я. Степень каждого Ф$ равна
Л = ег — Уёг (ёг — / ^)\ и этому же числу равен показа-
тель с которым Ф* входит в разложение беЬ на
неприводимые множители Ф,; таким образом, с!еЪ (?Ро-1) =
7г-1

= 11 Ф'з, где степень Ф8 равна Каждый линейный
8=0

множитель содержится в беЬ (хр$ ,) только в первой сте-
пени; коэффициентами таких множителей будут характе-
ры (первой ступени) данной группы, число линейных
множителей в скД (хр$ ,) равно частному от деления порядка
группы па порядок ее группы коммутаторов. Линейное
преобразование переменных Ф* переводит Ф» снова в мно-
житель степени /$; если линейно преобразовать все пере-
/с 1

менные определителя йеЬ ,), то 2 /? = к новых пере-
г=о

менных все независимы между собой. В случае хАВ = хВА
для любых А, В, т. е. в случае равенства всех перемен-
ных с индексами, принадлежащими одному и тому же
к—1 2
классу сопряженных элементов, йеС(.ъ’ _,)= П

Здесь к линейных функций 5 линейно независимы и зави-
сят от к независимых переменных и коэффициенты каждой
из & составляют характер группы Н. По к значениям

(В) можно вычислить коэффициенты неприводимых
множителей йеС (Хр^) в общем случае (без ограниче-
ния %АВ = %ВА для любых Ау В), т. е. теорию группо-
вого детерминанта можно свести к теории рассматривае-
мого частного случая его.

Рассматривая любой простой множитель Ф (х) груп-
пового детерминанта в общем случае, Фробениус вводит
еще одно определение характера % (В) как коэффициента
при х^1 хп в Ф (х) для В =/= Е и % (Е) = /, причем по
обозначению полагается (хр^) = (х). После

доказывается равносильность этого нового опредслепия
характеров с определением, введенным в предыдущей ра-
боте. Одновременно, исходя из нового определения харак-
теров группы /I, Фробениус получает, кроме указанных
выше, ряд соотношений и свойств характеров, например
понятие характера степени / (характера, соответствующе-
го неприводимому представлению степени /); любой ха-
рактер степени / для элемента Л порядка т является сум-
мой / корней из единицы степени пг\ каждый характер —
целое алгебраическое число; степени Д суть делители
порядка к группы Н\ еще ранее было доказано свойство:
%(ЛВ) = % (Л) •%(/?). Не касаясь других столь же важ-
ных результатов (например, некоторых из так называемых
основных соотношений характеров), содержащихся в ра-
оотах [1о]—[1С] Фробениуса, перейдем к сравнению их с
работами [7]—[8] Молина. Естественно, что Молин и
Фробениус, решая одну и ту же проблему, пришли во
многом к одинаковым результатам. Групповой матрице
у Фробениуса, очевидно, соответствует матрица
щ) Молина, т. е. оба они изучают регулярное пред-
ставление группы. Неприводимому представлению (не-
приводимой группе) в работе [7] или системе линейных
коэффициентов матриц неприводимых представлений ра-
боты [8] у Молина соответствует система (простых) ха-
рактеров в работах Фробениуса. Совершенно аналогичны
выводы обоих авторов о разложении групповых детерми-
нантов (термин Фробениуса) на неприводимые множители
и последующие выводы, относящиеся к представлениям,
связанным с этим результатом. Таковы, в частности, заклю-
чения: о числе неэквивалентных представлений и соответ-
ственно о числе неприводимых множителей, на которые
разлагается групповой детерминант; о степени каж-
дого неприводимого множителя группового детерминанта
(рангового многочлена — у Молина) и показателе степени,
с которой он входит в групповой детерминант. Оба автора
к—1

выводят формулу 2 = к и приходят к одинаковым

1=0

заключениям; оба доказали, что степени неприводимых
представлений конечной группы являются делителями ее
порядка. Формулы (4) и (5) работы [8] имеются и у Фро-
бениуса. Этим перечисление сходства результатов, полу-
ченных Мол иным и Фробениусом в 1896—1897 гг., еще
не исчерпывается, но в то же время нельзя говорить и о
полной тождественности их методов и результатов и
прежде всего о какой-либо зависимости работ [7]—В]
Молина от работ I15] -[16] Фробениуса и каком-либо
влиянии их друг на друга до осени 1897 г., несмотря на
то, что упомянутые работы Фробениуса увидели свет на
несколько месяцев раньше указанных работ Молина. Об
этом свидетельствует сам Фробениус. В письме к Кнезе-
ру [5] от 16 мая 1898 г., говоря о работах [7]— [8] Молина,
он пишет: «Весь способ исследования не оставляет ни
малейшего сомнения, что он (Молин.— Н. К.) провел его
совершенно самостоятельно, независимо от моих работ»,
и в другом месте того же письма: «Что выделяет работы
Молина, так это то, что знаток больше всего ценит в
достижениях науки и искусства, это — исключительная
оригинальность их исполнения». В предисловии к работе
«О представлении конечных групп через линейные подста-
новки II» I17], подводя итоги своих исследовании по
теории представлений гр^пп, Фробениус указывает, что
«иным путем получил их Молин». Более того, в письме
к Молину от 14 декабря 1897 г. [5] Фробениус пишет, что
если бы он ознакомился с диссертацией [4] Молина рань-
ше, то не затратил бы лишнего труда на переоткрытие
результатов, уже имеющихся в диссертации Молина.
«С другой стороны, конечно, является плюсом то, что мы
независимо друг от друга работали в одной области;
ибо, таким образом, появились совершенно различные
методы исследования групповых детерминантов»,— пишет
там же Фробениус. С работами Молина и прежде всего
с его диссертацией Фробениус ознакомился осенью 1897 г.
по рекомендации Э. Штуди, о чем он пишет на страницах
одной из своих работ [18]ив цитированных выше письмах
к Молину и Кнезеру. Из того же письма Фробениуса к
Молину выяснилось, что журналов, содержащих статьи
Молина, в библиотеке Берлинской академии наук не
оказалось. С другой стороны, Молин до получения упо-
мянутого письма от Фробениуса также не знал о работах
I15]—I16] Фробениуса, о чем он (Молин) заявил во введе-
нии к работе [°], опубликованной по представлению
Фробениуса в «Докладах Берлинской академии наук» в
1897 г. Фробениус, бывший очень строгим в вопросах
приоритета, не боявшийся иногда весьма резко высказать,
что он думает о качестве работы, как это он, например,
делал относительно некоторых работ ученых школы
Ли [1э], никогда и нигде не оспаривал этого заявления
Молина.

Взаимное ознакомление Фробениуса и Молина с их
работами оказало влияние на последующие работы каж-
дого из них. Проследил! это отчасти, оттеняя одновременно
и различие в их подходе к теории представлений. В рабо-
те I15] Фробениус сосредоточивает свое внимание на поня-
тии характера группы как системы чисел, соответствующей
классам сопряженных элементов или соответствующих
элементам группы, считая его важной характеристикой
группы. Понятие же представления остается в тени, вы-
ступая ©посредственно и в частном случае хАВ = хВА через
понятие группового детерминанта ЬеЬ (ярр-1), которое ему
было нужно только для получения новых свойств харак-
теров. Непосредственно понятпе представления не «рабо-
тает» и во второй работе [16] Фробениуса. Однако косвенно
(через понятие группового детерминанта) оно выдвигается
на передний план. II хотя для получения с!еЬ в

общем случае группе сопоставляется матрица (хр§-х),
главная цель работы — разложение с!еЬ (хрц-*) на непри-
водимые множители и отыскание отсюда дальнейших
свойств характеров. Основная цель этих работ — изуче-
ние арифметики и алгебры характеров, связанных с
группой. В процессе написания третьей работы «О пред-
ставлении конечных групп через линейные подстановки»
[20] в 1897 г., результаты которой, касающиеся дальней-
ших арифметических свойств характеров, были сообщены
Дедекинду в апреле того же года, Фробениус ознакомился
с работами Молина. В этой работе понятие представления
выступает так же ясно и с той же значимостью, как н в
работах Молина. Вместо терминов и соответствующих им
понятий: «группа линейных подстановок», «приводимая и
неприводимая группа линейных подстановок», «группа ли-
нейных подстановок, принадлежащая числовой системе»
у Молина, в этой работе Фробениуса употребляются тер-
мины и соответствующие им понятия: «представление»,
«разложимое и неприводимое представления», «матрица,
принадлежащая группе». Четкое различение изоморфных
и гомоморфных с данной группой групп линейных преоб-
разований (термины «голоэдрическп-изоморфпый», «ме-
роэдрически-изоморфный»), имевшееся в работах Молина,
имеет место п в работе [20] Фробениуса. Кронекерово про-
изведение представлений, употребляемое Молиным в ра-
боте [8], Фробениус использует после (в 1899 г.) в своей
работе «О композиции характеров группы» I21]. Отметим,
что речь идет о творческом восприятии Фробениусом
этих новых идей и понятий с целью обогащения и разви-
тия его собственного и оригинального метода и теории
представлений групп. Впоследствии, после тщательного
изучения докторской диссертации Молина и других работ
по теории алгебр, Фробениус в 1903 г. выступает с тремя
работами 16б)’ в> ], имевшими целью показать достаточ-
ность метода рассмотрения группового детерминанта для
исследования алгебр.

С другой стороны, и Молин в своей работе [9], опубли
кованной по рекомендации Фробениуса, воспринимает от
последнего термин «характер» и решает задачу отыскания
характеров кронекеровскоп р-п степени представления
группы. Однако, как показывает анализ работ [8]—[91,
основным методом АТолипа является метод регулярных
представлений, разработанный им в докторской диссерта-
ции [41 Для алгебр и примененный после введения понятия
групповой алгебры для развития теории представлений
групп. Иначе говоря, основным в работах Молина яв-
ляется «гиперкомплексный аспект» теории представлений
групп [22].

Отметим различие стилей работ Фробениуса и Молина.
Работы Фробениуса подробны. Он тщательно, не торопясь,
исследует все частные случаи и все следствия, вытекаю-
щие из каждого утверждения, иллюстрирует их приме-
рами. Каждая следующая работа обобщает частный слу-
чай, подробно рассмотренный в предыдущей, доводя его
до возможной степени общности или даже целой теории,
или же в последующей работе освещается та сторона
предмета исследования, которая не была затронута в пре-
дыдущей работе. Наоборот, язык Молина весьма краток,
лаконичен. Он далеко пе исчерпывает всех следствий
(иногда важных), которые мог бы легко получить из своих
утверждении. Наконец, обычно его первая работа начи-
нается с создания общей теории предмета исследования
и только последующие касаются более частных вопросов.

V. Судьба работ Ф. Э. Молина по теории представле-
ний групп. Теория представлений алгебр над нолем
созданная и глубоко разработанная Молпным, после
применения ее к открытой им групповой алгебре стала
теорией, в которой единство и общность подхода к пробле-
ме представлений алгебр и конечных групп были доведены
До такого уровня, который не был превзойден никем из
последующих авторов конца XIX в. В школе Эми Нётер
6 Истор.-матем. исслед.» вып. XVII

в 20-х гг. работы Молина были хорошо известны. Э. Нётер
характеризует работы Ф. Э. Молина как глубокие иссле-
дования. Поэтому едва ли можно согласиться с замечанием
Холла, что «исторически теория представлении групп и
структурная теорпя колец развпвалпсь отдельно и только
в сравнительно недавнее время была осознана тесная
связь между этими двумя теориями» (Г23], стр. 272).

В своих «Очерках по истории математики» П. Бурбаки
неполно осветили достижения Молила в теории представ-
лений групп. Его самые важные работы [7], [8] оказались
вне поля зрения Н. Бурбаки. Изучив вышеупомянутые
«Очерки», мы должны были бы заключить, что только
Фробениус решил проблему разложения группового детер-
минанта на неприводимые множители, ввел понятия
неприводимого и разложимого представления групп,
показал, что регулярное представление содержит все
неприводимые представления, и осознал родство теории
представлений групп с теорией алгебр. Очевидно, что
Фробениус с самого начала сознавал родство теории пред-
ставлений с теорией алгебр, так как сама задача, служив-
шая отправной точкой исследований Фробениуса, была
предложена ему Дедекиндом, у которого в свою очередь
она возникла в 80-х гг. в результате занятий и работ,
посвященных отдельным вопросам теории алгебр. Однако,
как мы видели, Фробениус в работах 1896 г. детально
развивал теорию характеров, изучал разложение груп-
пового детерминанта, не заботясь п, видимо, не нуждаясь
в осознании «гиперкомплексного аспекта» до тех пор,
пока в 1897 г. не познакомился с работами Молина. Так-
как этот вопрос полностью был исчерпан теорией Молпна,
то Фробениус в 90-х гг. не возвращался к нему [24].
Поэтому в «Очерках» Н. Бурбаки исторпя возникновения
«гиперкомплексного аспекта» в теории представлений
групп освещена неточно и неполно. Хотя исследования
Молпна по теории представлений групп должны быть
отнесены к разряду классических, они не получили долж-
ной оценки специалистов и историков математики. В нал
более известных курсах и работах, посвященных или
касающихся теории представлений групп, таких, как книги
Г. Вейля, Д. Е. Литтлвуда, О. 10. Шмидта, А. Шпайзера,
мы не встречаем упоминания о работах [7], [8] Молина,
а чаще всего л его имени. В списке литературы к сборнику
работ Фробениуса и в крупной исторической работе «Мате-
риалы к истории алгебры в России» [25] А. К. Сушкевича
эти работы также не упомянуты. В курсе истории матема-
тики К. А. Рыбникова, книгах Б. В. Гнедепко, Д. Стройка,
ф. Клейна о работах Молпна не упоминается. Имеются,
но-впдимому, как субъективные, так и объективные при
чины незаслуженного забвения научного наследия Мо-
лина.

Работы Молина оказались трудными для его современ-
ников. Понимание работ [8], [9] Молина в 90-х гг. воз-
можно было только для ученого, изучившего его доктор-
скую диссертацию [4]. Первым, кто это сделал, был
Фробениус, но и он в цитированных выше письмах к Мо-
лину и А. Кнезеру и в работе [6*б)] сетовал на трудность
их изучения. Ученым того времени легче было понять
теорию представлений по Фробениусу, чем ио Молину.
Отчасти именно поэтому большинство исследователе]’!
теории представлении групп пошли по пути, намеченному
Фробениусом.

Работы [8], [9] были опубликованы в малораспростра-
ненном журнале, который, как мы видели, пе лопал
даже в крупные библиотеки Европы. После защиты док-
торской диссертации А1олин не имел благоприятных
условий для ведения научной работы в Дерпте, где был
обременен учебной работой и находился в тяжелой обста-
новке, которую ему создали на факультете чиновники от
пауки [26]. Его вынужденный переезд в Томск в 1900 г.
в качестве руководителя кафедры математики во вновь
открывшемся Томском технологическом институте поста-
вил его в условия, при которых возможность вести серьез-
ную научную работу была совершенно исключена [27].
Естественно, сслаблп, а затем оборвались его научные
связи, осведомленность о том, что происходит на переднем
крае развивающейся теории алгебр и теории представле-
ний групп. Поэтому Молин не продолжил своих исследо-
ваний и не имел последователей. Лишь в Гёттингенской
Школе 3. Пётер его идеи были оценены по достоинству и
были продолжены па новом уровне. Особенности стпля
исследований ЛТолина: лаконичность изложения, крат-
кость доказательств, порождавшие трудности и поясности
понимания некоторых его утверждений, сомнения в их
пстпнности или корректности их доказательств, на что
жаловался еще Фробениус, называя эти недостатки иссле-
дований Молина «маленькими» (кЫпс Мап$е1), впослед-
ствии, особенно Л. Диксоном I28], были преувеличены.
Это также не располагало новые поколения алгебраистов
к более глубокому изучению, а следовательно, продолже-
нию идеи н методов Молина в теории представлений групп
и теории алгебр. Сам же Молин, оказавшийся в духовной
изоляции, далеко в Сибири, куда редко и со значительным
опозданием доходили новые достижения математических
наук, не мог своевременно опровергнуть преувеличенные
оценки недостаточности своих работ.

Итак, национальная обособленность математических
школ разных стран, слабость обмена научной информа-
цией, оригинальность л глубина и особенности стиля
работ Молина, не способствовавшие их популярности,
особо неблагоприятные условия и вызванный ими отход
от научной работы в области алгебры самого Молина —
вот, по-видимому, неполный перечень причин, способст-
вовавших малой известности исследований и имени Мо-
лина. 13 исследовании научного наследия Молина оста-
ется еще немало белых иятсн. Научная биография Молина
не написана. Пе существует достаточно обстоятельного
анализа его докторской диссертации [’], если не считать
кандидатской диссертации [к] М. Тамм, по своим целям
не являющейся работой по истории теории алгебр, но в
то же время четко вскрывшей сущность некоторых важ-
ных утверждений Ф. Э. Молина [29]. Совершенно не изуче-
ны влияние работ Ф. Э. л\1 олива на аналогичные исследо-
вания в школе Э. Нетер, а также его ранние работы
по эллиптическим функциям.

О РАБОТАХ (1). Э. МОЛИНА

1. Ва1ш йеяНнипип^ бея КотеЩц 1880ш напечатана в АзИогют.
КТас11г., № 2519 за 1883 г. Работа написана в бытность Молина
студентом и получила лестную оценку известного астронома
Крюгера.
2. В 1880—1886 гг. Ф. Клейн работал в Лейпцигском универ-
ситете. Молин за два года пребывания в Лейпцпгс под руководством
Клейна опубликовал две работы: Ойег ^емйззе 1п с!ег Тйеопе йег
еШрКзсйеп ЕнпсНопеп аи(1ге1спйе Е1ПЙеП,з\уигге1п.— Веней, йег
Зазейз СезеПзсй. йег МЧззепзсй., 1885. Цйег (Не Тяпеаге ТгапзГогша-
Ноп йег еШрКзсйеп ЕппсНопен, Дерпт, 1885 (.магистерская дис-
сертация).

3. Софус Ли, друг Клейна, принял приглашение на должность
ординарного профессора Лейпцигского университета в 1886 г. и
работал там по 1898 г. Оба опи оценили значение теории групп для
своих исследований (Клейн — для геометрии, Ли — для теории
дифференциальных уравнений), проведя зиму 1869/70 г. накануне
франко-прусской войны в Париже в тесном общении с К. /Корда-
ном и Г. Дарбу. Во второе пятилетие 80-х гг., по существу,
уже сложилась школа Ли, включившая Ф. Энгеля, В. Киллинга,
Ф. Шура, Г. Шефферса, Э. Штудп и позже Э. Картава. По-
следние четверо выступали со статьями по гиперкомплекспым
числам.

4. Т. М о I I е п, Ойег 8уз1ете йбйегег сотр1ехег 2ай1еп.—
Ма1й. Апп. Вй. 41, 1893. Имеется дерптское пздаппе диссертации
Молппа под тем же названием, вышедшее в 1892 г. Дополнение к
диссертации: Т. М о И е п, 2иза1г гшп АпГза1гййег йбйеге сотр1схс
2ай1еп.— Ма1й. Апп. Вй. 42, 1893.

5. Из отзыва Г. Фробениуса от 16 мая 1898 г., посланного про-
фессору физико-математического факультета А. Кнезеру. Отзыв вы-
слан в связи с желанием Молина добиться звания профессора и за-
пять вакантную после Мп иди и га кафедру математики. Попытка
окончилась неудачей.

Автору данной работы известны следующие письма, освещающие
творчество Ф. Э. Молина:

а) вышеприведенный отзыв Г. Фробениуса; б) отзыв Ф. Шура
от 5 мая 1898 г.; в) отзыв А. Кнезера (без указания даты); послед-
ние два отзыва даны ио тому же поводу, что п отзыв Фробениуса;
г) письмо Фробениуса к Молину от 14 декабря 1897 г.; оно на-
писано в связи с представлением Г. Фробениусом работы Молина
[9] к печати в 811гипдзЬепсй1е йег Акайеппе йег МИззепзсйаПеп ги
ВегИп; д) письмо от А. Гурвица из Цюриха от 26 августа 1899 г.
к Молину. Письма находятся в личном архиве Ф. Э. Молина, при-
надлежащем его дочери Э. Ф. Молиной, работающей доцентом Том-
ского университета.

6. Под номером 6 объединены ссылки па работы ио теории
представлений и характеров групп, а также их истории:

а) Сборник работ Фробенпуса, изданный под названием:
А • Ф р о б е н п у с, Теория характеров и представлений групп, пе-
ревод с немецкого под редакцией А. К. Сушкевича, ДНТВУ, Харь-
ков, 1937 (о Молино см. стр. 116, 154).

б) С. Е г о й е и I и 8, Ийег (Не РптГак1огеп йег Сгиррепйе-
ргттапи II, Тйеопе йег курегкотр1ехеп Сгбззеп.— ЗПгии^зйе-
псМе, Акай. й. МНззепзсй., ВегИп, 1903, XIX XXIV (о Молине
См- СТР- 1-6, 7-11, 16-19, 25, 27, 29, 30-32, 34-38).
в) 6. Г г о Ь е п I и 5, Тйеопе (1ег йурегкошркхев Сгбззеп II.—
ЗНгип^зйепсйЬе, АкасЙ с1. АУ1ззепзсй., ВегПп, 1903, XXX (ййегг.
V. УеНазз.) (о Молине см. стр. 1, 5).

г) X о е I Ь е г Е., Нурегкошр1ехе СгбВеп ипб Багз1е11ип^з-
(йеопе.— Ма1й. 2еНзсйг., Вс1. 30, 1929, 8. 644- 692.

д) Г. Вейль, Классические группы, перев. с апгл. Д. А. Рай-
кова, ИЛ., 1947, Москва, стр. 48.

е) Н. Г. Чеботарев, Дискретные бесконечные группы и
их место в общей теории групп.— УМЫ, т. VIII, 1952.

ж) Н. Д ж е к о б с о и, Теория колец, перев. с англ. II. Я. Ви
лснкпна, ИЛ., 1947, Москва, стр. 6.

з) А. И. Мальцев, Группы и другие алгебраические си-
стемы.— Математика, ее содержание, методы и значение, пзд-во
АН СССР, т. III, 1956, Москва, стр. 319.

и) II. Бурбаки, Очерки по истории математики, перевод с
французского И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, ИЛ.,
1963, Москва, стр. 115—116.

к) М. Там м, Классификация алгебр конечного порядка в
связи с трудами Ф. Э. Молпна, 1954 г. (кандидатская диссертация,
на эстонском языке).

7. Т. М о 11 е п, Е1пе Ветегкип^ иЬег ешШсйеп Пнеагеп 8нй-
зШпНонз^гирреп.

8. Т. МоНеп. О йог (Не Апгай! Дет УанаЬекп ешег 1гге(1исЫ-
Ье1еп ЗиЬзШиЫопз^гирреп.

Обе работы опубликованы в ЗИгап^зйепсй! бег Ха(пгГогзсй.,
СезеПзсйаН, 1иг]еИ (Богра!), № И. Дата издания: па обложке от-
мечен 1898 г., па титульном листе 1896 г. Точная дата издания,
как это следует из письма Фробениуса, 1897 г.

9. Т. М о И е и, ОЬег сВе 1пгапап1еп Нет Ниеагеп ЯийзЫЬиЫопз-
^гирреп.— ЗНгпп^яЬег. (1. Акай. Н. ААЧззепзсй. хи ВегПп, 1897,
Ы1. Опубликована по представлению Г. Фробениуса.

10. Для этого понятия распространены названия: «групповое
кольцо», «групповая алгебра», «групповая алгебра Фробениуса».
Иногда просто: «алгебра Фробениуса». В явном виде Фробениус
употребляет это понятие в работах [с» 6 в 1903 г.

11. В специальной литературе считается, что впервые факт
полной проводимости групповой алгебры установил X. Машке в
1899 г. См. работу М а з с й к е, Ма1й. Анп., В(1. Ы1, 1899, 8. 363.
Как видно из приведенного анализа докторской [4] и работы [7],
Молин получил этот результат для полупростых алгебр над К
в 1892 г., для групповой алгебры в 1897 г.

12. В специальной литературе считается, что эту теорему
первым доказал У. Бернсайд. См. В и г и з 1 й е АУ., Он 1йе сопсП-
Яоп о! гейшлЫШу Гог апу §гоир о! Кпеаг ЗпйзШиНопз.— Ргос.
Ьопйоп. Ма1й. 8ос., III. 1905, стр. 430—434. Однако на наличие
этой теоремы в диссертации Молпна обратил внимание еще Фро-
бениус. См. сборник [в. а)], стр. 116. См. также: АУ. В и г и з I й е,
Тйе 1йеогу о! §гоирз о( Пш1е огйег, Сатйгй1ёе, 1911.

13. Впоследствии (в 1897 г.) у Фробениуса вместо этого появ-
ляется термин: «неприводимое представление».
14. К. В е (1 е к 1 п д, Хиг Ткеопе с!ег аиз п Наир1еткеИеп
сеЫ1йе1еп сотр!ехеп Сгбззеп.— СоШп^ег №скг., 1885, 8. 141 — 159;
В. Э е И е к 1 п а, Ег1аи1егип^еп хиг Ткеопе аег зоеепаппЬеп аПе-
^ететеп сошр1ехеп Сгоззеп.—СбШп^ег Иаскг., 1887, 8. 1—7.

15. См. сборник [6,а)]. стр. 21—64.

16. Сборник [6’а)], стр. 64—106.

17. Сборник [6,а)], стр. 152—170.

18. Сборник [6,а)], стр. 116.

19. В цитированном письме к Л. Кнезеру Фробениус, говоря о
диссертации Молина, пишет: «Я взялся за чтение работы, не ожи-
дая от нее много потому, что я незадолго до этого просмотрел работы
1ПеффеРса» в которых ни автор не знает, чего ему нужно, ни чита-
тель ничего но может понять. И из этой, бедной мыслями, непло-
дотворной школы Ли выходит Молин!» и далее: «тем более велико
было мое удивление при чтеппп этого исследования, полного мы-
слями, богатого будущим, основополагающего труда!».

20. Сборник [6,а^1, стр. 106—127.

21. Сборник стр. 142—152.

22. Термин, употребляемый Н. Бурбаки, в [в,п)].

23. М. Холл, Теория групп, ИЛ, Москва, 1962.

24. В работе «О представленпп групп через линейные подста-
новки» (см. сборппк [6,а)] от 1897 г., сообщив (на стр. 116), что оп
недавно ознакомился с работами Молина, Фробениус (на стр. 122)
дает явное толкование групповой алгебры (по Молину) и, в терминах
последней, некоторых своих формул теории характеров. Во всех
последующих работах, касающихся представлений групп, Фробе-
ниус к их «гинеркомплекспому аспекту» пе возвращается. В рабо-
тах [в’а>’б>] оп обобщает свой метод до теории представлений
алгебр.

Последние работы вместе с упомянутым выше местом (стр. 122)
работы [6,а>] и отсутствие сведений о работах [7], [8] Молина и
явились причиной неточного освещения истории теории представ-
лений.

25. А. К. С у ш к е в и ч, Материалы к теории алгебры в Рос-
сии.— Историко-математические исследования, вып. IV, 1951.

26. Продвижение по службе в Дерпте Ф. Э. Молина соверша-
лось необъяснимо медленно. Несмотря па то, что по существующим
правилам он уже с 1888 г. имел право на получение звания экстра-
ординарного профессора, а с 1892 г.— ординарного, его попытки
добиться этого терпели неудачу. На должности экстраординарного
профессора назначались последовательно Л. К. Лахтин — в 1892 г.,
затем В. Г. Алексеев — в 1895 г. Безукоризненно честный в отноше-
ниях с людьми, независимый в суждениях, оппозиционно настроен-
ный к царскому правительству и его приспешникам, Молин жил в
нервпой обстановке постоянных столкновений. Изучавший этот
вопрос профессор И. Я. Депман в работе «Из истории математики в
Дерптском (Юрьевском) университете» («Ученые записки» ЛГПИ,
т. XIV, вып. 1, 1955) и в устных своих выступлениях на IV Все-
союзном съезде отмечал ту обстановку интриг, доносов и склок,
которая окружала Молина.

27. Томский технологический институт (ныне политехниче-
ский), где Молин только что занял кафедру математики, был открыт
в 1900 г. Не было ни преподавателей, пи учебников. Молин вынуж-
ден был выполнять большую учебную нагрузку и восполнять недо-
статок учебников (с 1901 г. по 1905 г. оп написал 8 учебных кур-
сов, кроме нескольких томов задачников, изданных литографским
способом). Он не скрывал своих симпатий к молодежи и ее требо-
ваниям во время волнений и демонстраций томских студентов в
1901—1905 гг. Это было причиной личной ненависти к нему со
стороны душителя революционного студенческого движения попе-
чителя Западносибирского учебного округа Лаврентьева. См. об
этом, например, книгу II. Лясоцкого, Записки старого то-
мича, Томск, 1954 г.

28. См., например, Ъ. Е. ГНскзоп Ыпеаг а!§еЬгаз, Саш-
ЬгИ&е, 1914 и русский перевод: Л. Э. Диксон, Линейные
алгебры, ОПТИ, Харьков, 1935.

29. В своей диссертации [6,к^] М. Тамм вслед за Фробениусом
(отметившим это в работе [6,в^| показала, что теорема 43(докторской
диссертации [4] Ф. Э. Молина) является первым наброском струк-
турной теоремы о том, что любая алгебра равна прямой сумме полу-
простой алгебры и радикала. Опа описала метол Молппа, введенные
им нормальные (треугольные) формы матричных алгебр, восполнила
отсутствующее в диссертации доказательство теоремы 45 и рас-
смотрела ряд других вопросов, необходимых ей для классификации
конечных алгебр по Молину.
СТАТЬИ

РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
К ИСТОРИИ ПРОБЛЕМ ГИЛЬБЕРТА

С. С. Демидов

В 1900 г. Д. Гильберт с трибуны Международного
математического конгресса в Париже сформулировал ряд
важнейших нерешенных задач математики. С тех пор про-
шло уже две трети века. Проблемы Гильберта в течение
всего этого срока не теряли актуальности, к их решению
были приложены усплпя лучших математиков. Развитие
идей, связанных с содержанием указанных проблем, со-
ставило значительную часть математики XX в. Изучение
истории проблем Гильберта представляет необычайную
важность, так как оно существенно пополняет представле-
ния о путях развития математики начиная со второй поло-
вины прошлого века. Однако информация здесь рассредо-
точена во множестве работ, зачастую узко специальных.
Насколько автору известно, была предпринята всего лишь
одна попытка (1930, Бибербах I4]) дать общий обзор
положения дел с решением проблем.

Настоящая статья содержит: очерк обстановки, в кото-
рой был сделан знаменитый доклад Д. Гильберта; краткие
справки о том, как далеко продвинуто решение каждой
из проблем; сводный список соответствующей литературы.
Вполне понятно, что нельзя исчерпать в одной статье
со шржание этой огромной задачи. Но историей проблем
Гильберта интересуются широкие круги ученых, и автор
надеется, что настоящий обзор, не взирая на его непол-
ноту, принесет некоторую пользу *).

*) Автор выражает глубокую благодарность на у чно-иссл едо-
ка гельскому семинару по истории математики и механики механико-
математического факультета МГУ и особенно К. А. Рыбникову
за цепные замечания и советы.
*
* *

Д. Гильберт произнес доклад «Математические пробле-
мы» 8 августа 1900 г. на 2-м Международном конгрессе
математиков (Париж, 6—12 августа 1900 г.). Первое засе-
дание конгресса проходило на территории Всемирной
выставки, остальные в Сорбонне. В работе конгресса при-
няли участие 226 человек: 90 человек из Франции, 25 из
Германии, 17 из Соединенных Штатов, 15 из Италии,
13 из Бельгии, 9 из России, по 8 из Австрии и Швейца-
рии, по 7 из Англии и Швеции, 4 из Дании, по 3 из Голлан-
дии, Испании и Румынии, по 2 из Сербии и Португалии,
4 из Южной Америки, по одному делегату прислали
Турция, Греция, Норвегия, Канада, Япония и Мексика.
Основными языками конгресса были английский, фран-
цузский, немецкий и итальянский. Председателем конгрес-
са был избран Анри Пуанкаре, почетным председателем —
отсутствовавший Шарль Эрмит (1822—1901), вице-предсе-
дателями Е. Чубер (Вена), К. Гейзер (Цюрих), К. Жордан
(Эрланген), А. Гринхилл (Лондон), Л. Липделёфф (Гель-
сингфорс), Ф. Линдеман (Мюнхен), М. Миттаг-Леффлер
(Стокгольм), отсутствовавший Э. Мур (Чикаго), М. А. Тп-
хомандрицкии (Харьков), В. Вольтерра (Турин), Г. Цей-
теп (Копенгаген), секретарями конгресса — И. Бендиксон
(Стокгольм), А. Капелли (Неаполь), Г. Минковский
(Цюрих), 11. Л. Пташицкпй (Петербург), отсутствовавший
А. Уайтхед (Кэмбридж). Генеральным секретарем конгрес-
са был избран Э. Дюпорк (Париж). Работали 6 секций:

1. Арифметика и алгебра (председатель Д. Гильберт,
секретарь Э. Картап).

2. Анализ (председатель П. Пенлсве, секретарь
Ж. Адамар).

3. Геометрия (председатель Г. Дарбу, секретарь Б. Ни-
венгловскпй).

4. Механика и математическая физика (председатель
Ж. Лармо, секретарь Т. Леви-Чивита).

5. История и библиография (председатель принц Ро-
ланд Бонапарт, секретарь М. Окань).

6. Преподавание и методология (председатель М. Кан-
тор, секретарь Ш. Лезан).
5 и 6 секции заседали вместе. В день открытия конгрес-
са на общем заседании состоялись два часовых доклада:
М. Кантора «Об историографии математики», в котором
он сделал обзор работ по истории математики, начиная
с Ж. Монтюкла и Ж. Л пори, и В. Вольтерра о научной
деятельности Э. Бетти, Ф. Брпоски п Ф. Казорати. Затем
начались секционные заседания, на которых было сделано
46 сообщении, в том числе Л. Дпксоном, М. Митта г-Леф-
флером, Д. Гильбертом, Ж. Адамаром, А. Капелли,
П. Фредгольмом, И. Бендиксоном, В. Вольтерра и др.
Русские ученые были представлены на конгрессе единст-
венным сообщением М. А. Тихомандрицкого «Об исчезно-
вении функции Н нескольких переменных». По истории
математики, кроме упомянутых докладов В. Вольтерра
и М. Кантора и сообщения проф. Р. Фуджизава (Япония)
об истории японской математики, на заключительном
общем заседании М. АТиттаг-Леффлер сделал доклад
«Страница из жизни Вейерштрасса», в котором он рас-
сказал о последних годах жизни К. Вейерштрасса по его
письмам к С. В. Ковалевской. Слабая активность исто-
риков математики на конгрессе объясняется тем, что неза-
долго до его начала в Париже проходил Конгресс истори-
ков науки, на котором история математики занимала
одно из ведущих мест. На заключительном заседании,
кроме А1. Миттаг-Леффлера выступил Анри Пуанкаре с
докладом «О роли интуиции и логики в математике». Так
проходил конгресс, на котором на совместном заседании
5 и 6 секций Д. Гильберт прочитал свой доклад «Матема-
тические проблемы». Как пишет Д. Синцов I1] в своей
статье о конгрессе, «сообщение Гильберта вызвало ряд
замечаний со стороны присутствовавших, указывавших,
что некоторые из перечисленных Гильбертом задач вполне
или 01 части ими разрешены». Опубликованный текст до-
клада Гильберта [4] распадается на две части: первая часть
вводная, во второй содержатся 23 проблемы, относящиеся
к различным областям математики. Мы не имеем воз-
можности дать здесь подробный анализ общих замеча-
ний и методологических позиций, высказанных Гильбер-
том в докладе. Ограничимся лишь некоторыми замеча-
ниями.
«Если мы хотим получить представление о развитии
математического знания в ближайшем будущем,— пишет
Гильберт,— то мы должны рассмотреть как до сих пор
нерешенные вопросы, так и задачи, которые наука ставит
в настоящем в решения которых мы ждем от будущего».
Ценность проблемы’—! польза, которую получит мате-
матика в результате'ее^решенпя.^Одпако существуют каче-
ства присущие любой хорошей проблеме:

1) ясность («ясность и доступность нас привлекает,
а запутанность отпугивает»);

2) достаточная трудность («проблема должна быть труд-
ной, чтобы привлекать нас, но не быть совершенно недо-
ступной, чтобы пе издеваться над нами»). Далее Гиль-
берт пишет об источниках, из которых математика чер-
пает свои проблемы, о требованиях, которые должны
быть предъявлены к их решению. Говоря о трудностях,
которые могут возникнуть при решении математических
задач, он выделяет следующие:

1) недостаточность обобщения — мы еще не усвоили
ту общую точку зрения, с которой эта «задача становится
отдельным звеном в цепи родственных проблем»;

2) неумение решать некоторую более простую задачу;

3) попытки решить задачу при недостаточных предпо-
ложениях пли в неверном смысле.

Вот вкратце содержание вводной части доклада. Затем
Гильберт формулирует проблемы. Первые 6 проблем отно-
сятся к обоснованию различных математических дисцип-
лин, остальные — к более специальным вопросам алгебры
и теории чисел (7—15), теории функций, дифференциаль-
ных уравнений и вариационного исчисления (16—23).
Уже с первого взгляда делается заметным, что не все
проблемы поставлены четко. Трудно подчас понять при-
чины, почему именно эти задачи выбрал Гильберт. Эти
вопросы, во всяком случае, требуют специального изуче-
ния, в котором немалую роль будут играть и такие сооб-
ражения, как личные научные склонности Гильберта.

1. Первая проблема — проблема континуума: сущест-
вует ли кардинальное число между числом, соответствую-
щим континууму, и числом, соответствующим счетному
множеству, т. о. будет ли 2х»? В 1920 г. Т. Сколем
р] получил результат, из которого следует, что мощность
как числовая характеристика есть понятие относитель-
ное и зависит от/ той аксиоматики, в пределах которой
мы находимся. Таким образом, ясно, что континуум-гипо-
тезу следует рассматривать лишь в пределах аксиомати-
зированных систем. К. Гёдель [2] в 1940 г. исследовал
этот вопрос с точки зрения некоторых специальных
аксиоматизаций теории множеств и пришел к выводу,
что в<> многих таких аксиоматизациях гипотеза Г. Кантора
пли верпа, пли составляет независимое утверждение.
Продолжая исследования в этом направлении, 11. Коэн
I1] в 1963 г. показал, что континуум-гипотеза — утвержде-
ние независимое от системы аксиом Цермело — Френкеля.
Таким образом, получилась ситуация, аналогичная поло-
жению с неевклидовой геометрией.

2. Под номером 2 Гильберт выдвигает следующую
задачу: доказать непротиворечивость аксиоматики ариф-
метики, не выходя из рамок так называемого «финитизма
Гильберта» (см., например, введение к книге П. С. Нови-
кова I2]). Открытие в конце XIX в. парадоксов теории
множеств вселило в математиков неуверенность в право-
мерности пользования понятиями, которые до сего дня
считались интуитивно ясными и никаких вопросов ие
вызывали. Такой ревизии подверглась и арифметика.
Важность поставленного Гильбертом вопроса была тем
более очевидна, что непротиворечивость многих аксиома-
тических систем доказывалась посредством построения
арифметических моделей. С большим энтузиазмом, несмот-
ря на некоторое недоверие и даже насмешки со стороны
многих математиков (например, А. Пуанкаре), Гильберт
сам взялся за дело и уже в 1904 г. на 3-м Международном
конгрессе математиков выступил с докладом о возможных
путях решения этой задачи. В 1920—1930 гг. совместно
с группой сотрудников (В. Аккерман, П. Бернаме, Д. Ней-
ман, Ж. Эрбран) он продолжает разрабатывать свою
теорию доказательств. Он и его ученики доказывают
непротиворечивость некоторых частных формализмов,
включающих часть арифметики. Более того, у них возникает
уверенность, что им удалось доказать непротиворечивость
всей арифметики и даже теории множеств. Однако извест-
ный результат К. Гёделя (1931 г.) положил конец этому
направлению в вопросах обоснования арифметики. Из
результатов К. Гёделя I1] следует, что вопрос о непроти-
воречивости арифметики не может быть доказан в рамках
«финитизма Гильберта». Однако оказалось возможным
доказать непротиворечивость арифметики при отказе от
некоторых ограничений, накладываемых Гильбертом в
его работах. Так Г. Гентцен I1] в 1936 г. доказал непро-
тиворечивость с применением трансфинитной индукции
до счетного порядкового числа в . В 1913 г. II. С. Нови-
ков [’] дал доказательство непротиворечивости арифме-
тики конструктивными методами, отличными от гептце-
новских.

3. 3-я проблема состоит в следующем: существуют ли
два тетраэдра с равными основаниями и высотами, кото-
рые нельзя разложить на конгруэнтные тетраэдры или
дополнить конгруэнтными тетраэдрами до таких полиэд-
ров, которые разлагаются на попарно конгруэнтные
тетраэдры. Еще К. Гаусс I1] в своих письмах к X. Герлин-
гу сокрушался по поводу того, что многие теоремы стерео-
метрии доказываются с применением инфинитезимальных
методов, например теорема Евклида о том, что объемы
двух треугольных пирамид с равными высотами относятся,
как площади их оснований. Что касается плоскости, то на
ней аналогичный результат получается без применения
инфинитезимальных методов. Это было показано Фарка-
шем Бойаи (1832) и П. Гервином (1833), доказавшими
следующий результат: два многоугольника, имеющие рав-
ные площади, равносоставлены. Герлингу удалось дока-
зать равносоставленность симметричных полиэдров. Но
Гильберт считал, что такое доказательство в общем
случае, по-видимому, невозможно. В 1901 г. М. Ден I1]
ответил на вопрос, поставленный Гильбертом, положи-
тельно, построив искомые тетраэдры. М. Ден доказал
также такую теорему: куб и правильный тетраэдр, имею-
щие одинаковый объем, не равносоставлены. Тем самым
была показана невозможность построения стереометрии
без применения инфинитезимальных методов. В 1903 г.
13. Ф. Каган I1] сократил и упростил доказательство
М. Дена.
4. 1-я проблема — проблема определения всех проек-
тивных метрик. Пусть Л — подмножество проективного
пространства не принадлежащее ни одной его гипер-
плоскости. Функция р (х, р), х, у С Л, называется проек-
тивной метрикой па Л, если:

1) /? — метрическое пространство с расстоянием р (х, у);

2) для любых трех несовпадающих и иеколлинеарных
точек выполняется строгое неравенство

Р (*, У) + Р (</- 2) > р (х, 2)-,

3) если х и у — различные точки Л, то пересечение
прямой, проходящей через эти точки, с Л — либо метри-
ческая прямая, либо большой круг.

Первое решение этой проблемы получил Г. Гамель
в своей диссертации, представленной в Геттингенский
университет. Эти результаты были им опубликованы в
1903 г. Г. Гамель 14 дал аналитический метод построения
всех проективных метрик. Однако ого результаты обла-
дали существенным недостатком: оп использовал аналити-
ческий аппарат (аппарат вариацпоппого исчисления),
что привело к различного рода ограничениям, пе вызван-
ным существом задачи. Общая ситуация рассматривалась
многими авторами, например II. Функом I1]. В последнее
время она стала объектом изучения американского мате-
матика Г. Буземана [Ч, [2], который рассматривал более
общую задачу, а именно так называемую «геометрию
геодезических». Подробный обзор круга вопросов, связан-
ных с 4-й проблемой, см. в статье Г. Буземана [3].

5. Под номером 5 Гильберт сформулировал следующую
задачу: построить теорию непрерывных групп без пред-
положения о дифференцируемости функций, определяю-
щих группу. В современной терминологии ее можно сфор-
мулировать так: требуется доказать, что всякая связная
локально-евклидова топологическая группа топологически
изоморфна некоторой группе Ли. История решения этой
задачи и обзор полученных результатов содержатся в
статьях В. М. Глушкова I1] и Ж. Серра [Ч.

Решение 5-й проблемы тесно связано с проблемой
строения произвольных локально-бикомпактных групп.
После длинного ряда исследований, в том числе Дж. Пей-

7 Псгор.-матсм. исслед.» вып. XVII
мана I1], Л. С. Понтрягина [х], К. Ше валле [х], А. И. Маль-
цева Р], в 1952 г. А. Глисон Р], Д. Монтгомери I1] и
Л. Цпппип решили проблему в общем случае в положитель-
ном смысле. Вскоре X. Ямабе В], [2] усилил их результаты.
Один из наиболее общих результатов в этой области при-
надлежит В. М. Глушкову I1].

6. 6-я проблема — проблема аксиоматизации физики
и теории вероятностей. В конце XIX в. в определенных
кругах ученых сложилось убеждение, что все основные
положения физики уже сформулированы и настало такое
время, когда физику можно рассматривать как единую
теорию, опирающуюся па незыблемый аксиоматический
фундамент. Руководствуясь этими идеями, Гильберт и
предлагает аксиоматизировать физику. Однако дальней-
ший ход развития физики и в первую очередь появление
теории относительности показали несостоятельность тако-
го рода взглядов. В наше время нс может быть и речи о
построении аксиоматической теории, которая охватывала
бы всю физику. Тем не менее аксиоматический метод для
построения различных частных физических теорий при-
обрел в настоящее время большое значение. В качестве
примера можно привести работы Г. Гамеля и Р. Марколон-
го по аксиоматизации механики, недавние работы В. Пол-
ла по обоснованию механики сплошных сред, работы
К. Каратеодори по аксиоматизации термодинамики, рабо-
ты Д. Гильберта, Л. Нордхайма, Дж. фон Неймана и
Г. Биркгофа по квантовой механике. Что касается мате-
матического обоснования теории вероятностей, то первое
такое обоснование дал в 1917 г. С. Н. Бернштейн [8].
Основным объектом в его аксиоматизации выступают нор-
мированные булевские алгебры. В 1919 г. Р. Мизес I1]
дал свое аксиоматическое обоснование теории вероятно-
стей. При этом Р. Мпзес рассматривал вероятность как
предел частот в бесконечной последовательности испытаний.
Однако аксиоматика, построенная Р. Мизесом, наталкива-
лась на серьезные логические трудности. Критика кон-
цепции Р. Мизеса содержится в статье А. Я. Хинчина I1].
Наконец, в 1933 г. А. Н. Колмогоров [х] дает свое, ныне
общепризнанное, аксиоматическое построение теории веро-
ятностей, которое основывается на понятиях теории меры.
7. 7 я проблема — проблема выяснения природы чисел
вида ар при алгебраическом а =/= 0, 1 и алгебраическом и
иррациональном (3. Гильберт ставит вопрос так: доказать,
чго числа подобного вида всегда трансцендентны или по
крайней мере иррациональны. Вопрос о трансцендентно-
сти некоторых классов чисел ставился уже давно, напри-
мер, У Л. Эйлера, однако математических средств для
решения подобных задач недоставало. Лишь в 1844 г.
Ж. Лиувилль смог доказать сам факт существования
трансцендентных чисел. Созданный во второй половине
XIX в. аппарат теории множеств позволил пе только
элементарно псрсдоказать этот факт, но и показать, что
трансцендентные числа составляют «основную часть» мно-
жества всех комплексных чисел, в то время как множе-
ство алгебраических чпеел всего лишь счетно. В 1873 г.
Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа е, а в 1882 г.
Ф. Линдеман, усовершенствовав метод III. Эрмита, дока-
зал трансцендентность числа л, тем самым получив отри-
цательное решение проблемы квадратуры круга. В даль-
нейшем появилось много работ различных математиков,
передоказывавших теоремы Ш. Эрмита и Ф. Линдемана.
Среди них можно отметить работу А. А. Маркова 1883 г.
Таково было состояние теории трансцендентных чисел к
1900 г. В 1929—1930 гг. К. Зигель I1] создал весьма об-
щин метод исследования арифметической природы значе-
ний достаточно широкого класса функций. В 1929 г.
А. О. Гельфонд Р] дал частичное решение проблемы
Гильберта: при алгебраическом ос число (ос =/= 0, 1,
р — положительное, рациональное и не являющееся пол-
ным квадратом) будет числом трансцендентным. Р. О. Кузь-
мин р] в 1930 г. сумел усилить результат А. О. Гельфон-
Да: при алгебраическом а число аУ? (а =/= 0, 1, р — поло-
жительное рациональное и не является полным квадра-
том) будет числом трансцендентным. Наконец, в 1934 г.
А- О. Гельфонд [2], [3], [4], [5] совершенно новым мето-
дом окончательно решил проблему, показав трансцендент-
ность всего рассматриваемого класса чисел. В 1936 г.
Г. Шнейдер Р] дал иное доказательство результа-
та А. О. Гельфоида, идея которого близка к идеям К. Зи-
геля.
Крупных успехов в теории трансцендентных чисел до-
бился А. Б. Шидлонский [1], р], [3].

8. 8-я проблема — совокупность проблем теории про-
стых чисел. Первая из них проблема нулей дзета-функции
Римана. Еще в своем знаменитом доказательстве беско-
нечности числа простых чисел Л. Эйлер рассматривал
дзета-функцию

ОО

(5) 1 + • • • = ~
- ’* п.= 1 п

для вещественных 8. Б. Риман в 1859 1. Р1, рассматривая
эту функцию при комплексном 5, показал, что дзета-функ-
ция может быть распространена на всю плоскость как
аналитическая функция комплексного переменного 5

о + И с полюсом при 5- 1. Ввиду тесной связи между

(5) и л (х) для успешного разрешения проблемы распре-
деления простых чисел важное значение имеет изучение

(я) и главным образом нулей дзета-функции. В полу-
плоскости а > 1, (х) =[= 0. При а < 0 дзета-функция

обладает лишь так называемыми тривиальными нулями
-----2, —4, —б, ... , —2/г, ... Таким образом, все пули,
кроме тривиальных, должны лежать в полосе 0 а 1.
Б. Риман в упомянутой работе выдвинул гипотезу, что
все эти нули лежат на прямой о Эту гипотезу п
внес в число своих проблем Д. Гильберт. В 1914 г. Г. Хар-
Ди Н установил, что па прямой о лежит бесконечное
число нулей («). Л. Сельберг I1! получил следующий
результат: если Лги (71) — количество нулей р + 1г,
для которых 0 т Г, то Ло сТ 1о§ Т, Еще в 1896 г.
Ж. Адамар I1] и Ш. Валле-Пуссен I1] независимо друг от
друга доказали, что ($) пе имеет нулей па прямых о 1
л о = 0. Они показали, что это эквивалентно асимптоти-
ческому закону распределения простых чисел:

л (х) —' К х(х-> оо)
Важным вопросом является оценка остаточного члена в

равенстве

л (х) И х 4- 7? (х).

Для точности этой оценки важ-
но насколько возможно рас-
ширить область, не содержа-
щую нулей ($)• Сейчас изве-
стно, что (5) для 0 < о < 1
не содержит нулей в области

и в области, симметричной с
нои относительно а = (эти

Рпс. 1.

области на рис. 1 заштрихованы). Показатель у улучшал-
ся различными авторами, и в зависимости от его зна-
чений были получены следующие оценки для Н (х):

| Л (х) | <

где:

1) Р — 9 (НС Валло-Пуссеи, 1896),

2) И ~ + 8» 8>0 (Н. Г. Чудаков, 1936),

3) р = | + 8, е > О (И. М. Виноградов, 1958),

4) р = ^ — 8, 8 0 (II. М. Коробов, 1958).

Ряд вычислений, которые проводились Е. Титчмаршем,
Л. Комри и др. (последние результаты принадлежат
Н. А. Меллеру I1], получившему их па быстродействую-
щей машине «Стрела» в ВЦ АН СССР в 1958 г.), показал,
что пули в полосе 0 а 1 с положительной мнимой
частью 35 337 лежат на прямой а = |.

Вторая задача из поставленных в 8-й проблеме —
проблема X. Гольдбаха, сформулированная им в письме
от 7 июля 1742 г. к Л. Эйлеру. Эта проблема выглядит
следующим образом:

А. Всякое целое число 6 может быть представлено
в виде суммы трех простых чисел. Это утверждение
эквивалентно следующему:

Б. Каждое четное число > 2 представимо в виде
суммы двух простых чисел.

Многие математики проверяли истинность гипотезы
на примерах. Так, Г. Кантор проверил истинность Б до
1000, Обри до 2000, Е. Мелле (в 1911 г.) до 9*106 ( с неболь-
шим числом возможных исключении). Однако долгое время
не удавалось получить каких-либо конкретных сдвигов
в решении проблемы, что дало Э. Ландау повод для пес-
симистических высказываний о проблеме Гольдбаха на
Международном конгрессе математиков в 1912 г. В 1923 г.
Г. Харди и Дж. Лптлвуд I1], используя обобщенную
гипотезу Римана, показали, что каждое достаточно боль-
шое нечетное число представимо в виде суммы трех про-
стых чисел. Для четных чисел, используя обобщенную
гипотезу Римана, был получен такой результат: если чис-
ла, для которых Б певерпо, и существуют, то их беско-
нечно мало по сравнению с темп, для которых Б выполня-
ется. В 1930 г. Л. Г. Шпирельмап I1] (при помощи создан-
ного нм интересного метода) доказал следующий резуль-
тат: каждое натуральное число кроме единицы, есть сум-
ма не более чем С простых чисел, где С отАпе зависит.

С = 800 000

С 2208

С = 67

С = 20

(Л. Г. Шнпрельман)

(II. II. Романов, 1935)

(Д. Риччи, 1936)

(Г. Шапиро и Д. Варга, 1950)

В 1937 г. И. М. Виноградов [Ч, I2], [3] нолучпл результат
Харди и Литлвуда вне зависимости от гипотезы Римана;
оп доказал, что существует такое число Ао, что любое
нечетное число Лг 3> Ао имеет А (А) 0 представ тений

в впде суммы трех простых чисел. Для Л (А) И. М. Ви-
ноградов получил приближенное значение. К. Г. Борозд-
кин в 1939 г. показал, что А(» е 1 , а позднее, что
Ао ее' °8. В 1946 г. Ю. В. Линник 14 дал другое
доказательство теоремы Виноградова с привлечением ме-
тодов теории функций комплексного переменного. Из
результатов, связанных с гипотезой Б, следует отметить
следующий (Н. Г. Чудаков I1], Т. Эстермап I1] и И. вап-
дер-Корпут I1]): пусть В (х) — количество таких четных
л х, которые нельзя представить в виде суммы двух
простых; тогда

11111

х->оо

Ь’(^)
X

= О,

т. о. гипотеза Б верна почти для всех четных чисел.

Третья задача теории простых чисел из поставленных
Гильбертом — проблема близнецов: бесконечно ли число
близнецов, т. е. простых чисел с расстоянием 2? Пробле-
ма эта до сегодняшнего дня пе решена. Следует отметить
результат В. Бруна, полученный в 1919 г.: ряд из вели-
чин, обратных близнецам, либо обрывается, либо схо-
дится. В. Брун также показал, что для достаточно боль-
ших М число близнецов, не превышающих АГ, не больше
К*1П2 у- В заключении текста проблемы Гильберт ставит
задачу о перепесеппп результатов, полученных для рас-
пределения рациональных простых чисел па теорию рас-
пределения идеалов в данном числовом поле. Больших
успехов в изучении дзета-функции Дедекинда добились
Э. Ландау п Э. Хекке. Обобщение теоремы Дирихле о
бесконечности простых чисел в арифметической прогрес-
сии принадлежит II. Г. Чеботареву I1], [2]. Несмотря на
большое количество работ, ни одна из задач, поставлен-
ных в 8-й проблеме, до сих пор не решена до конца.

9. 9-я проблема — проблема нахождения общего за-
кона взаимности. Квадратичный закон взаимности был
эмпирически найден Л. Эйлером в 1783 г. и независимо от
пего А. Лежандром в 1785 г. и, наконец, доказан К. Гаус-
сом в 1786 г.; оп теспо связан со следующей задачей:
В — поле рациональных чисел, р — простое число этого
поля, В (] а) - квадратичное расширенно поля В; в ка-
ких случаях р будет простым в поле В (]/а), т. е. как
арифметика поля В ()Ла) зависит от арифметики поля А?
Гаусс, доказав квадратичный закон взаимности, нашел
необходимые и достаточные условия того, чтобы р явля-
лось простым в Л (| а). Гильберт ставит проблему нахож-
дения общего закона взаимности, который в свою очередь
тестю связан с такой задачей. Имеется К — ноле алгебрап-
г

ческмх чисел п-ы степени, а ЕЕ К, |/аЁ А". Как арпфме-
г

тика поля К (|/ а) зависит от арифметики поля А? Част-
ные случаи закона взаимности были получены Г. Эйзенш-
тейном, Э. Куммером, Д. Гильбертом, Э. Артином, Г. Хас-
се и др. Однако решить этот вопрос для любых полей
алгебраических чисел удалось лишь в 1948 г. И. Р. Ша-
фаревичу I1], I2], I3].

10. 10-я проблема относится к области диофантовых
уравнений. С диофантовыми уравнениями 1-й степени с
двумя неизвестными были хорошо знакомы еще в древно
сти. П. Форма, Ж. Лагранж, Г. Дирихле, Э. Куммер и
Ш. Эрмит смогли добиться некоторых успехов в теории
диофантовых уравнений высших степеней. Гильберт ста-
вит вопрос об алгоритмической разрешимости диофанто-
вых уравнений произвольных степеней с любым числом
неизвестных. В 1908 г. А. Туэ |1] получил следующий
интересный результат: если форма /(х, у) а^хп + агхп~ху -Г
+ ... + ЛпУ' от двух переменных с целыми рациональ-
ными коэффициентами неприводима и п 3, то уравнение
/ (х, у) с имеет конечное число решений в целых чис-
лах. В 1921 г. К. Зигель I2] перенес результаты А. Туэ
в произвольные алгебраические моля. Однако пи метод
доказательства теоремы, данный самим А. Туэ, ни методы
доказательства его теоремы, которые впоследствии были
получены другими математиками, по давали алгоритмов
для нахождения самих решений. Крупных успехов в тео-
рии диофантовых уравнений высших степеней добились
Б. II. Делоне, Э. Нагель, К. Зигель, Д. К. Фаддеев, В. А.
Тартаковскнй и др. Все эти результаты, однако, относятся
к поискам алгоритмов для отдельных классов диофанто-
вых уравнений. Задача, поставленная Гильбертом, отно-
сится скорее к математической логике, чем к теории
”нсел. В послсдпее время благодаря результатам, которые
получили в математической логике М. Дэвис I1], [2],
а также Д. Робинсон, Дж. Майхилл и X. Путнам (см.
«Математика», сб. переводов, 8 : 5, 1964), укрепилось
мнение, что искомого алгоритма решения в общем случае
не существует. Им удалось построить такое показательно-
диофантово уравнение с целыми коэффициентами (пока-
зателыю-диофаитово уравнение — это уравнение вида
Р где Ри @— функции, получающиеся из ...,
хп и целых натуральных чисел с помощью операций сло-
жения, умножения и возведения в степень, папрпмер:
ху = 22 + ху) Р (Х1, хп, у) ~ 0, для которого нель-
зя построить алгоритм, указывающий для любого у,
разрешимо это уравнение в целых числах относительно
х пли нет.

И. 11-я проблема — проблема построения теории квад-
ратичных форм с любым числом переменных и коэффициен-
тами из произвольного поля алгебраических чисел. Здесь
в первую очередь следует отметить работы К. Зигеля и
Г. Хассе. Знаменитая теорема Г. Минковского о квадра-
тичных формах сводит решение вопроса о существовании
представления нуля квадратичными формами к случаю
р-адпческих полей: если / - квадратичная форма с ра-
циональными коэффициентами, то опа представляет пуль
тогда и только тогда, когда опа представляет его над
р-адпчсскими полями (для всех простых р) и над полем
вещественных чисел («р ос»). Г. Хассе I1], I2] обобщил

результаты Г. Минковского на произвольные ноля алгеб-
раических чисел, он показал, что для представления нуля
квадратичной формой с коэффициентами из алгебраиче-
ского поля К необходимо и достаточно, чтобы оно имело
место в каждом локальном пополнении поля К.

12. 12-я проблема - проблема обобщения теоремы Кро-
некера — Вебера на квадратичные поля, а затем и на про-
извольные поля алгебраических чисел. Пусть А, Ь —
поля алгебраических чисел и 1\ Ь\ Ь называется абеле-
вым полем (над А’), если группа Галуа Сг (Б/К) — с белена
группа Очень важным является вопрос о построении для
не ля А системы «элементарных» абелевых полей, содер-
жащих вы- есталы ые абел гы поля. Первым шагом в этом
направлении была теорема Кронекера — Вебера: всякое
абелево над ((? — поле рациональных чисел) поле
п

содержится в поле вида (] 1). Гильберт предлагает в
качестве следующего шага исследовать абелевы расшире-
ния квадратичного поля () (] —с/), причем он предпола-
гал, что отш будут содержаться в полях (]Л—сТ) (со))
(<оее(Г=й)), где / (со) — модулярная функция. Р. Фю-
тср I1] и Т. Такаги I1] показали, что этих функций для
описания абелевых расширений квадратичных полей не-
достаточно и нужно привлечь еще значения эллиптичес-
ких функций. Окончательное решение этого вопроса
принадлежит Г. Хассе [’|. Обобщение теоремы Кропе-
кера — Вебера на произвольные тюля алгебраических
чисел получено в последнее время Г. Симура и 10. Тапп-
яма I1].

13. В 13-й проблеме Гильберт выдвигает предположе-
ние о невозможности решения уравнения 7-й степени в
общем случае посредством функции только двух аргумен-
тов. Для доказательства этого факта достаточно показать,
что «уравнение 7-й степени

/7 + */3 + У/2 + 2/ + 1 = О

иевозмол ио разрешить посредством каких-либо непре-
рывных функций только двух переменных». В 1954 г.
Л. Г. Витушкин I1], [2] показал, что все / раз непрерывно
дифференцируемые функции трех переменных нельзя
9

представить в впде суперпозиции 1^/1 раз дифференци-
руемых функций двух переменных, все частные пропзвод-
пые порядка [$/] от каждой из которых удовлетворяют
условию Липшица. Таким образом, результат А. Г. Ви-
тушкина косвенно подтверждал гипотезу Гильберта. Од-
нако А. II. Колмогоров [2] и В. И. Арнольд I1], используя
одномерное дерево компонент множеств уровня функции,
введенное Л. II. Кропродом, опровергли ее. Тем пе менее
па сегодняшний момент нет никаких способов, позволяю-
щих представить решение нашего уравнения 7-й степени
в впде суперпозиции достаточно гладких функций. Са-
мыми сильными результатами в этом направлении явля-
ются отрицательные результаты А. Г. Витушкина. Суть
вопроса весьма обстоятельно изложена в статье В. И. Ар-
нольда [2].

14. 14-я проблема относится к теории инвариантов.
Понятие инварианта появилось впервые, по-видимому,
у Гессе (1844). К концу XIX в., благодаря трудам А. Кэли,
Д. Сильвестра, Дж. Сальмона, К. Якоби, Ш. Эрмита и
др., выросла целая теория инвариантов. Первыми резуль-
татами, решавшими общие проблемы теории инвариантов,
явились работы Гильберта, которые по словам Г. Вейля,
«знаменуют поворотный пункт в истории теории инва-
риантов». В 14 проблеме Гильберт ставит следующую
задачу: имеется группа С линейных преобразований про-
странства 2?п, требуется доказать, что существуют инва-
рианты этой группы <21, ..., ()5 такие, что для любого

инварианта Р группы найдется многочлен Р (хъ ..., хп)
такой, что

Р (<21, .... <?8) = Р-

(Инвариантом группы & называется полиномиальная функ-
ция па Кп, инвариантная относительно преобразований
из С; например, симметрические многочлены являются
инвариантами группы перестановок.) Сам Гильберт I1]
решил проблему в положительном смысле для так назы-
ваемых «классических групп» над полем комплексных
чисел, т. е. для ортогональных, симплектпческих и упи-
модулярпых групп. Как известно, эти группы являются
основными примерами полуиростых групп Ли, кроме ко-
торых полупростымп является еще конечное число особых
групп. В 30-х—40-х гг. стало ясно, что проблема анало-
гичным образом решается для любых полуиростых групп
над комплексным полем. Такой же результат для произ-
вольных алгебраических замкнутых полей был получен
уже после войны. Однако в общем случае гипотеза ока-
залась неверной, как показал М. Нагата I1], [21 в 1958 г.,
построив контрпример.

15. Под номером 15 Д. Гильберт выдвигает задачу
обоснования псчислптельпой геометрии Г. Шуберта. Г. Шу-
берт изложил свою исчислительную геометрию на 330 стр.
в I1]; впоследствии он расширил и усовершенствовал
свой символизм. Задача, стоящая перед Г. Шубертом,—
вычисление размерности многообразий кривых, поверхно-
стей и других объектов, удовлетворяющих различного
рода геометрическим условиям, например, размерности
многообразия поверхностей, проходящих через заданную
кривую и касающихся данной плоскости. Г. Шуберт ввел
многообразия, носящие ныне его имя, и выяспил, что
собой представляет пересечение таких многообразий в ча-
стных случаях. Эти многообразия состоят из флагов (по-
следовательности подпространств, вложенных друг в дру-
га), удовлетворяющих некоторым размерностным усло-
виям. При этом Г. Шуберт недостаточно обосновывал
свою геометрию, что явилось причиной ожесточенной по-
лемики (краткое изложение основных положений иечнели-
телыюй геометрии Шуберта и историческую справку по
этому вопросу можно найти в книге Д. Кулиджа I1]).

Основным пунктом, вызывавшим особые возражения
многих математиков, был так называемый принцип Шу-
берта, который в общем случае оказался неверным. Обос-
нование геометрии Г. Шуберта было получено в работах
Ф. Северп I1], I2], а также Б. Ван-дер-Вардена I1], Г2],
привлекшего к рассмотрению топологические методы.

16. В 16-й проблеме ставятся два вопроса. Первый -
об изучении топологии алгебраических кривых и поверх-
ностей. В 1876 г. А. Гариак показал, что число компонент
алгебраической кривой порядка п па проективной пло-

।

скости меньше либо равно ,(п - 1) (п — 2). Одпако
вопрос о взаимном расположении этих кривых оставался
открытым. Гильберт высказал гипотезу, что алгебраиче-
ская кривая 6-го порядка пе может состоять из И овалов,
расположенных друг вис друга.

Первое доказательство этого факта было дано К. Ро-
лом I1], I2], но его доказательство, как выяснилось позд-
нее (см. Д. А. Гудков I1]), нельзя считать вполне точным.
Наконец, И. Г. Петровский I1], Г1 получил общие резуль-
таты о поведении алгебраических кривых на проективной
плоскости, из которых данный результат получается как
частный случай. Эти результаты И. Г. Петровским и
О. А. Олойппк [Ч, ГЧ обобщены на случай алгебраических
поверхностен любого порядка.

Второй вопрос, поставленный в 16-й проблеме: сколько
предельных циклов имеет дифференциальное уравнение

<1у _ Р (у, у/)
(1х <2 (.т, у) ’

где Риф - многочлены степени п. Для п = 2 Е. М. Лан-
дисом и И. Г. Петровским [Ч доказано, что это уравнение
не может иметь более трех предельных циклов. Для про-
извольного п вопрос остается открытым.

17. В 17-й проблеме спрашивается: любая ли рацио-
нальная функция Р (х1? ..., хн) с рациональными коэффи-
циентами, принимающая положительные значения при
всех действительных значениях переменных, представима
в впде суммы квадратов от рациональных функций с ра-
циональными коэффициентами? Для п == 1 эту проблему
решил Д. Гильберт [2], [3]. Э. Ландау I1], [2], [31 доказал
результаты Гильберта при помощи элементарных методов.
Наконец, в 1927 г. Э. Артин [Ч окончательно решил про-
блему, доказав возможность такой представимости.

18. 18-я проблема связана с теорией дискретных групп
движений евклидовых пространств. Е. С. Федоров и
А. Шенфлпс показали, что существует лишь конечное
число дискретных групп движений плоскости и трехмер-
ного пространства, обладающих ограниченной фундамен-
тальной областью (фундаментальной областью группы
движений п-мерпого пространства называется область этого
пространства, удовлетворяющая двум условиям: 1) все
внутренние точки области неэквивалентны относительно
данной группы, 2) каждая точка пространства эквивалент-
на некоторой точке области). Этот результат имел большое
значение для кристаллографии. Гильберт поставил такую
задачу: обобщить результат Е. С. Федорова и А. Шепфлпса
на случай п-мерного пространства. Эта задача была ре-
шена Л. Бибербахом [Ч, [Ч, [31 в 1910 г. Г. Фробениус 14
значительно упростил доказательство Л. Бибербаха.

Вторая задача, поставленная Гильбертом, следующая:
каждая фундаментальная область группы движений, яв-
ляющаяся полиэдром (такая область всегда существует),
может служить для заполнения всего пространства кон-
груэнтными полиэдрами, не имеющими общих внутренних
точек (это непосредственно следует из определения фун-
даментальной области). Спрашивается, верно ли обрат-
ное — могут ли полиэдры любого наперед заданного раз-
биения пространства служить фундаментальными обла-
стями некоторой группы движений На этот вопрос
К. Рейпгардт [Ч в 1928 г. дал отрицательный ответ.

19. В 19-й проблеме речь идет о природе решений
эллиптических дифференциальных уравнений. На тесную
связь между аналитическими и гармоническими функция-
ми обратил внимание еще О. Коши. В 1890 г. Э. Пикар
доказал, что все дважды непрерывно дифференцируемые
решения уравнения

д:г д-2 . д2 7дг п

+ -т-т- + «^- + 6^-4-СИ = 0,
дх2 * ду2 дх ду

где а, Ь и с — аналитические функции от х и у, аналитич-
ны. Гильберт спрашивает: будут ли решения эллиптиче-
ских дифференциальных уравнений аналитическими, если
аналитичны функции, определяющие уравнения? Впослед-
ствии задачу стали понимать более широко: доказать, что
гладкость решении эллиптических уравнений в частных
производных внутри области их существования определя-
ется гладкостью функций образующих уравнения. Г. Лют-
кемейером I1] и Э. Гольмгреном I1] в частном случае
г, д22 . 32г , , дг с 2 \

для Р = л? + У' ~дх' ~дЦ) накоиоц,

С. II. Бернштейном I1] для общего случая было доказано
следующее: если 2 — трижды непрерывно дифференци-
руемая функция х и у, удовлетворяющая уравнению

у / 5г дх д22 д'2 2 д2х \ 0

У' дх ’ ду ’ дх2 ’ дх ду ’ ду2 /

где Р — аналитическая функция, для которой выполня-
ется неравенство

4-Лк ~(<о^)3>О,

дх3 ду- дх ду
то 2 аналитична. Впоследствии Г. Леви, Э. Хопф и 10. Ша-
удер показали, что этот факт верен для решений нелиней-
ных уравнений, имеющих непрерывные по Гельдсру про-
изводные 2-го порядка. О. А. Ладыженская и II. II. Ураль-
цева I1] сумели таким образом определить обобщенное
решение краевой задали, что в случае аналитичности
функций, образующих эллиптическое уравнение, это ре-
шение будет аналитично впутри области существования,
причем им удалось показать, что ослаблять далее требо-
вания, предъявляемые к обобщенному решению, нельзя.
Таким образом, результаты по 19-й проблеме сомкнулись
с результатами по 20-й проблеме, проблеме граничных
значений.

20. В 20 проблеме утверждалось: вариационная
задача для регулярных функционалов, т. о. для
полу ограниченных выпуклых функционалов вида ( & (х->
й

п, их) Их, всегда разрешима, как только выполнены
определенные предположения относительно заданных
граничных условий, если искать это решение в доста-
точно широком классе функций. Впоследствии эта про-
блема переросла в более общую, поставленную для
краевых задач эллиптических квазилинейных уравнений:
если имеется априорная оценка некоторой слабой нормы
всевозможных решений краевой задачи, то отсюда следует
разрешимость этой задачи.

Для решения вариационной задачи в работах Д. Гиль-
берта, А. Лебега, Р. Куранта создаются так называемые
прямые методы. Большое значение имел также топологи-
ческий метод Лерэ — Шаудера. В двумерном случае круп-
ных успехов добились С. И. Берппттепп [2], А. Г. Сигалов,
Ч. Моррн н др. В многомерном случае возникли большие
затруднения. Здесь следует отметить работы Ч. Морри
[Ч, Э. Де Джорджи [Ч и Дж. Нэша I1]. Наконец, Лады-
женская [Ч п Уральцева изучили многомерный случай
при довольно естественных предположениях (подробнее
о вопросах, связанных с 19-й и 20-й проблемами см. в
книге Ладыженской и Уральцевой [2]).

21. В 21-й проблеме Гильберт ставит вопрос о сущест-
вовании системы линейных дифференциальных уравнений
с заданной группой моиодромпп. Пусть

-^-=3 г = 1,2,...,«, (1)

1=1

— система линейных дифференциальных уравнений 1-го
порядка с рациональными коэффициентами, причем Пц (г)
имеет конечное число полюсов: аь Образуем фунда-
ментальную систему решении щ = (ун (г), у,а (г)),
I — 1, 2, п. Тогда прн обходе вокруг точкиак вектор
п

щ переходит в (2 а*и;), I — 1, 2, п. При этом мат-
рица (а13) невырожденная и имеет место так называемое
соотношение Римана

Л(,,)-Ла)... Л{8) = Е

(А<Ю (к 1, 5) —матрица, соответствующая точке

сингулярности «к, А(о) — бесконечно удаленной точке).
Гильберт ставит следующую задачу: даны точки хи ..., х3
и 8 невырожденных матриц п-го порядка А(1), ...,
требуется доказать, что существует система линейных
дифференциальных уравнений вида (1) с точками сингу-
лярности Жь ..., хЯ1 при обходе вокруг которых решение
преобразуется с помощью матрицы Этот вопрос был
поставлен еще Б. Риманом [2] в 1957 г. В том же году
Риман I1] решил эту проблему для п — 2 и 5 = 2. Позднее
этой проблемой занимались А. Пуанкаре I1], Л. Шлезин-
гер I1], [2], однако доказательства их неполны. В 1905 г.
Гильберт р], [6] решает этот вопрос утвердительно для
п = 2 и любого 8. Доказательство Гильберта опирается
на теорию интегральных уравнений И. Фредгольма. На-
конец, в 1908 г. И. Племель I1] дает первое безупречное
решение 21-й проблемы для любых п и 8. В 1913 г. Г. Бпр-
кгоф I1] получил результаты И. Племеля методом после-
довательных приближений. Впоследствии результаты об-
общались различными авторами; здесь можно назвать
работы И. Л. Лаппо-Даиилевского, И. И. Привалова,
Ф. Д. Гахова, О. Хаупта и др. Следует отметить, что эти
работы привели к созданию теории краевых задач, чрез-
вычайно богатой результатами и еще далеко пе закопчен-
ной. Ее изложению посвящены книги 11. И. Мусхелпшвп-
ли I1! и Ф. Д. Гахова I1]. Историческую справку по 21-й
проблеме можно найти в интересной работе Г. Рёрля I1].

22. В 22-й проблеме речь идет об униформизации ана-
литических отношений посредством автоморфных функ-
ций. Задача униформизации многозначной функции ш =
— / (г) ставится следующим образом: найти такие одно-
значные аналитические функция ш = ю (I), г = г (I), не
равные тождественно постоянной, чтобы ш (I) — / (г (/)).
Например, рассмотрим уравнение окружности т2 + г2 =1.
Это уравнение определяет и) как двузначную функцию г,
однако уравнение окружности можно задать другими
способами:

1) 2 = 51П I, IV = соз I

или

1 + «2 ’

2 =

1 — I*

1 + '2

Нас будет интересовать унифор мизация функций по-
средством автоморфных функций. Функция называется
автоморфной относительно группы преобразований Г,
если / (у (2)) = / (2) для любого г С Г. Например, зхп I —
функция автоморфная относительно группы сдвигов па
2&л. Проблемы униформизации возникли из теории авто-
морфных функций, у истоков которой стоят К. Гаусс и
Б. Риман. Значительных успехов в этой области добились
Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Э. Пикар и др. Наконец, А. Пу-
анкаре [3] доказал возможность униформизации любой
алгебраической функции посредством автоморфных. Гиль-
берт ставит задачу: решить проблему униформизации для
аналитических функций. Опираясь на методы, созданные
К. Нейманом и Г. Шварцем, П. Кёбе I1] и А. Пуанкаре
I2] почти одновременно к 1907 г. решили эту задачу.
П. Кёбе довольно полно разработал данный вопрос в [2],
[3], [4] и в других работах.

Поставленная Гильбертом проблема униформизации
алгебраических и аналитических отношений между тремя
и более переменными привела к такой задаче: задана

8 Истор.-матем. мсслед.» вып. XVII
область Б в п-мерном комплексном пространстве и Г —
некоторая дискретная группа автоморфизмов области Б —
исследовать фактор-прострапство Б1У. Это и составляет
основную задачу современной теории автоморфных функ-
ций многих переменных. Своими успехами эта теория во
многом обязана работам К. Зигеля и И. И. Пятецкого-
Шапиро.

23. В 23-й проблеме Гильберт призывает развивать
методы вариационного исчисления. Ответом на этот при-
зыв явились блестящие успехи этой дисциплины в XX в.
Большое количество важных и интересных результатов
этой теории требует отдельного обстоятельного обзора.

Таково в общих чертах положение дел с историей ре-
шения проблем Д. Гильберта. Мы отчетливо сознаем,
что тема, которой посвящена статья, едва затронута.
В связи с ней встает огромное количество историко-мате-
матических проблем. Последние, по-видимому, могут быть
сгруппированы вокруг следующих вопросов:

а) Какие направления и тенденции развития матема-
тики XIX в. привели к постановке той или иной из проб-
лем Гильберта и как они в ней отражены?

б) Действительно ли та или иная из проблем являлась
одной из важнейших к началу XX в.?

в) Подтвердил ли ход истории математики в XX в.
характеристику и выбор проблем Гильбертом?

г) В какой степени история проблем может помочь
решению более общей и сложной задачи о возможностях
и методах исторического анализа развития науки и пред-
угадывания ее перспектив?

Таких вопросов можно поставить много. Отвечать на
них очень трудпо. Но важность их несомненна и история
проблем Гильберта дает широкие возможности и материал
для их решения.

ЛИТЕРАТУРА

Адама р Ж. (Надашагд I.) 1. 8нг 1а Лз^пЬиНоп дез
гёгоз де 1а ГопсНоп (з) е! зез сопзёдиепсез агИЬтёНаиез.— Ви11.
8ос. Ма1Ь. Ггансе 24 (1896), 199—220.

Арнольд В. И. 1. О функциях трех переменных. — ДАН
СССР 114, № 4 (1957), 679-681.
2. О представлении функций нескольких переменных в виде
суперпозиции функций меньшего числа переменных. —Матем. иросв.
3 (1958), 41-61.

А р т н н Э. (А г И п Е.) 1. ОЬег (Не 2ег1е§ип§ бШпНег Гнпк-
Нопеп 1п риабга!е. —АЬЬ. а. б. та!Ь. 8ет. 6. НатЬигеег Ышу. 5,
(1926), 100—115.

Берн штейн С. Н. 1. 8иг 1а па!иге апа1уНдие без 8о1иНопз
без ёдиаНопз анх бёпуёез рагНеПез би зесопб огбге.— Ма1Ь. Анн.
59 (1904), 20—76.

2. Исследование и интегрирование дифференциальных уравне-
ний с частными производными второго порядка эллиптического ти-
па.— Сообщ. Харьк. матем. о-ва, сер. 2, И (1908—1909), 1—164.
(См. также Собр. соч. т. 3, М., 1960, стр. 24).

3. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей.—
Зап. Харьк. матем. о-ва (2), 15 (1917), 209—274.

БиоербахЛ. (В1еЬегЬасЬБ.)1. ОЬег б!е Вехуе^ип^з^-
гирреп без п-б1тепз1опа1еп ЕикИб1зсЬеп Ваитез тИ, етет епб-
ПсЬеп ЕипбатепШЬегекЬ.— СёН. ИасЬг. (1910), 75—84.

2. ОЬег б!е Веууе^ип^гирреп бег ЕикИб1зсЬеп Вайте.
1.— МаШ. Апп. 70 (1911), 297—336.

3. ОЬег 616 Вехуе^ип^з^гирреп бег ЕикИбгзсЬеп Вайте.
II.— Ма1Ь. Апп. 72, 3 (1912), 400—412.

4. ОЬег б1е Е1пЛир уоп НПЬеНз Рапзег Уог1га§ иЬег «МаЬкета-
НзсЬе РгоЫете», аиГ сНе ЕпШчсккт^ бег МаШетаНк ш беп 1е1геп
бге!’Р1^ 1аЬгеп,— На1иг\У155епзсЬаНеп 18 (1930), 1101—1111-

Б и р к г о ф Г. (В 1 г к 11 о П С.) 1. ТЬе ^епегаНгеб В1етапп
ргоЫет Гог Ипеаг бШегепНа! ециаНопз...— Атег. Асаб. Ргос. 49
(1913), 251—268; Атег. Ма1Ь. 8ос. Ви11. (2), 19 (1913), 508—509.

Буземан Г. (Визетапп II.) 1. Оп зрасез 1п хуЫсЬ Ьуо
ро1п1з беЬегтпю а яеобезк. — Тгавз. Атег. Ма1Ь. 8ос. 54, № 2
(1943) ,171-184.

2. ТЬе деотеку оГ Сеобеякя, Неху Уогк, 1955.— Русский пере-
вод: Геометрия геодезических, М., Гостехнздат, 1957.

3. О четвертой проблеме Гильберта.— УМП 21 : 1 (1966),
155—164.

Валле-Пуссен Ш. (УаПёе-Ронззт С.) 1. ВесЬегсЬез
апа1уНдиез зиг 1а Шёопе без потЬгез; Ргепиёге рагПе: Ба ГопсНоп
(з) бе Шета пн е! 1ея потЬгез ргеппегз еп ^ёпёга!.— Анн. бе 1а
8ос. зшепПНдпе бе ВгихеПез 20 (1896), 183—256.

Ван-дер-Варден Б. (\У а е г б е п уап б е г В.)
1. Бег МиШрИгНа^яЬе^пЙ бег а1ёеЬга15сЬеп Сеоте1пе.—Ма1Ь. Апп.
97 (1927), 756-774.

2. Торо1о^1зсЬе Ве§гйпбип§ бея Ка1кй1з бег аЬгаЫепбеп Сео-
те1пе.— Ма1Ь. Анн. 102, И. 3 (1929-1930), 337—362.

В н н о г р а д о в И. М. 1. Представление нечетного числа
суммою трех простых чисел.— ДАН СССР, и. с. 15, № 6—7 (1937),
291-294.

2. 8оте 1Ьеогетз сопсеппп^ 1Ье ЬЬеогу о! рптея.— Матем.
сб. 2 (44) (1937), 179-196.
3. Новый метод в аналитической теории чисел.— Труды матем.
ин-та им. Стеклова 10 (1937), 5—122.

В и т у ш к и и А. Г. 1. К тринадцатой проблеме Гильберта.—
ДЛИ СССР 95 (1954), 701—704.

2. О многомерных вариациях, М., 1955.

Г а м е л ь Г. (Наше! 6) 1. ОЬег сКе СеошеЪпеп, 1п йепеп
сНе Сегайеп (Не кйггез1еп зЫ- МаВх. Апп. 57 (1903), 231—264.

Гаусс К. (Саизз К.) 1. ХУегке 8, 240—246.

Г ах о в Ф. Д. 1. Краевые задачи, М., Фпзматгпз, 1963.

Гельфонд А. О. 1. 8иг 1е.з потЬгез 1гапзсеш1ап1з.—
С. В. Асай. зсх. 189 (1929), 1224—1228.

2. О седьмой проблеме Гильберта.— ДАН СССР 2 (1934), 1—6.

3. 8пг 1е зерПёте ргоЫёте йе НПЬеН.— ИАН СССР, сер. физ.-
мат. 4 (1934), 623-630.

4. Трансцендентные числа.— Труды 2-го Всесоюзп. матем.
съезда 1 (1934), 141—163.

5. О приближениях трансцендентных чисел алгебраическими.—
ДАН СССР 2 (1935), 177-182.

Г е н т ц е п Г. (Сеп1геп С.) 1. Н1е ХУхйегзргпсЬзГгеПхеИ
бег гетеп 2аЫеп1Ьеопе.— МаВх. Апп. 112 (1936), 493—565.

Гёдель К. (Сг б 6 е 1 К.). 1. ОЬег Госта! ипеЫзсЬехйЬаге
8а1ге бег Рппсхрха МаНхетаПса ипй \епуапй1ег 8уз1ете. — МопаЬ-
зЬеНе Гйг МайхетаНк ипй РЬузхк 38 (1931) 173—198.

2. ТЬе сопз]'з1епсу оГ 1Ье аххот оГ сЬохсе апй оГ Мхе ^епегаИгей
сопНпиит-ЬуроВхезхз.— Апп. МаВх. зВиПез, № 3, Рппсе1оп,
(1940), 66.— Русский перевод: УМН 3, № 1 (1948), 96—149.

Гильберт Д. (II 1 1 Ь е г I Н.) 1. ИеЬег йхе ТЬеопе Лег
а!беЬга1зс1хеп Гоппеп.— МаВх. Апп. 36 (1890), 473—534.

2. ОЬег 1егпаге йеГхпИе Гоппеп. — АсЬа таНх. 17 (1893),
169-197.

3. СггипсИа^еп йег СеотеМе. ЕезЬзскпН хиг Гехег йег ЕпВхй!-
1ип^ йез Саизз—УУеЬег — Вепкта!з хп СбНлпдеп, Ьехрхх^, 1899,
стр. 82—85.— Русск. перевод: Основания геометрии, М., 1948.

4. МаВхетаНзсЬе РгоЫете.— СбН. КасЬг., 1900, 253—297;
АгсЬ. й. МаВх. ппй РЬ., Зй зет., 1 (1901), 44—63 п. 213—237.—
Английский перевод: МаВхетаИса! ргоЫетз.— ВиП. Атег. МаВх.
8ос. 8, № 10 (1902), 437-479.

5. Сгипйхй^е ехпег аП^етехпеп ТЬеогхе йег Ипеагеп Ше^га^еЬ
Ьип^еп (НпНе МхН.).— СбН. ИасЬг. 1905, 307—338.

6. ОЬег ехпе Апхуепйип^ йег Шедга^ЫсЬшхд аиГ ехп РгоЫет
йег ГипкВопепШеопе.— УеЬг. 3 т1егпа1. МаВх. Копиг. Не1йе1Ьег2,
1904, 233-240.

Г л и с о и Л. (0 1 е а з о п А.) 1. Сггопрз хУхВхои! зтаИ зиЬ^го-
прз.— Апп. МаВх., 8ег. 2, 56, К 2 (1952), 193—212.

Глушков В. М. 1. Строение локально-бикомпактных групи
и пятая проблема Гильберта.— УМН 12, в. 2 (1957), 3—41.

Голь м грен Э. (II о 1 т » г е п Е.) 1. ОЬег ехпе К1а8зв
уоп рагПеПеп НхГГегепПа^ГехсЬпп^еп йег х\уех1еп Огйпипи.— МаВх.
Апп. 57, Н. 3 (1903), 409-420.
Г у д к о в Д. А. 1. Полпая топологическая классификация
неособых действительных алгебраических кривых шестого порядка
в действительной проективной плоскости.— ДАН СССР 98, № 4
(1954) 521-524.

Д е п М- (Б е 11 п М.) 1. ОЬег йен КаипппЬаИ;.— Ма!1т. Апп.
55 (1901), 465—478.

Де Джорджи Э. (Бе СИ о г $ I Е.) 1. 8п11а й1Иегеп21*а-
ЫИ!а е РапаИНсНб НеПе езВетаИ йе&К 1п1е^гаП тнШрН ге^о!ап.—
Метоне йеПе Асе. 8с Е Топпо, Зег. 3, I. 3, р. 1 (1957), 25—43.—
Русский перевод: См. Матем., сб. перев 4:6 (1960), 25—38.

Дэвис М. (Б а V 1 5 М.) 1. АгНЬтеПса! ргоЬ1етзапй геепг-
Я1Уе1у епитегаЫо ргей1са!ез.— I. 8утЬ. Ьо^рс 18, № 1 (1953),
33—41.—Русский перевод: см. Матем., сб. перев. 8:5 (1964),
15-22.

2 . Сотри!аЫН!у апй ипзоКаЬПИу, Неху Уогк, ТогопТо, Ьоп-
йоп, 1958.

3 п г е л ь К. (8 1 е & е 1 С.) 1. ОЬег ст^с Апхуеийип^еп
ГИор11ап1л5с11ег АрргохттаНопеп АЬЬ. ргоияз. Асай. АУ 188. № 1
(1929—1930), 70.

2. АрргохштаНоп а1§еЬга1ЯсЬег 2аЫеп.— Ма!к. 2. 10, ПО 3—4
(1921), 173—213.

Каган В. Ф. 1. ОЬег сПе ТгапзГогтаОоп йог Ро1уейег.—
МаШ. Апп. 57 (1903), 421-424.

К ё б е П. (К о е Ь е Р.) 1. 2иг ОпИогпизтегип^ бег а1^еЬ-
гатзскеп Кигуеп.— СбН. Каск. 410, 1907.

2. ОЬег Фе ОпИогпиз]егип^ бег а1&еЬга18скеп Кигуеп. АЫ1.
I—IV.— Ма1й. Апп., Вй. 67—75, 1909—1914.

3. ОеЬег Й1е ПпДогт131егип2 ЬеПеЫ^ег апа1уНзс11ег Кигуеп.—
1оигп. Г. й. гетпе ипй ап^еху. МаОт., Вй. 138 и. 139 (1910 и.
1911).

4. АП^етете Ткеопе йог Нгетаипзскеп МапшдГаШдкеНеп
(КопГогте АЬЬНйип^ ипй ОпИопшзтегипн).— Ас!а Ма1к. 50 (1927),
29-157.

Колмогоров А. Н. 1. Основные понятия теории вероят-
ностей, М.— Л., 1936.

2. О представлении непрерывных функций нескольких пере-
менных суперпозициями непрерывных функций меныпего числа
переменных.— ДАН СССР 108, № 2 (1956), 179—182.

Корпут И. ван дер (Сотри! уап йег 1.) 1. ОЬег
Зшпшеп уоп РпшгаЫеп ипй РптгаЫдиайга!еп.— Ма!к. Апп.
116, Н. 1 (1938), 1-50.

Коэн П. (С о к е п Р.) 1. Тке тпйерепйепсе о! !ке сопНпишп
11уро1кез18.— Ргос. о! !11е К. Ас. оГ 8с. о! Вте 118А, у. 50, № 6
а. у. 51, № 1.— Русский перевод: Матем., сб. перев. 9 : 4 (1965),
142—155.

Кузьмин Р. О. 1. Об одном новом классе трансцендентных
чисел.— ПАП СССР, сер. матем., 3 (1930), 585—597.

Кулидж Д. (С о о 11 й и е I.) 1. А 1из!огу о! яеотс1г1са1
теПтойз, ОхГогй, 1940.
Ладыженская О. А. пУральцева Н. Н- 1. О ва-
риационной задаче и квазилинейных эллиптических уравнениях со
многими независимыми переменными.— ДАН СССР 135, № 6
(1960), 1330—1333.

2. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.
М., 1964.

Ландау Э. (Ь а п 4 а и Е.) 1. ОЬег сНе Вагз1е11ипЕ
йеНпИег Ыпагег. Когтей бигсЬ (^иаДга^е.— Ма1Ь. Апп. 57 (1903),
53-64.

2. ОЬег 2ег1едип^ йеЙпНег ГипкНопеп т ОиаНга^е.— АгсЬ.
Ма1Ь. и. РЬуз. (3), 7 (1904), 271—277.

3. ОЬег гНе Вагз^еПип^ йеНпНег ЕипкНопеп дигсЬ (}иас1га1е.—
Майи Апп. 62, (1906), 272—285.

Ландис Е. М. и Петровский И. Г. 1. О числе пре-
йу Р (х, у) л л

дельных циклов уравнения , где Р и О — много-

члены 2-й степени.— Матем. сб. 37 (79) (1955), 209—250.

Линник Ю. В. 1. Новое доказательство теоремы Гольд-
баха — Виноградова.— Матем. сб., н. с., 19 (61), № 1 (4) (1946),
3-8.

Л ю т к е м е й е р Г. (Ь й I к е т е у е г С.) 1. ОеЬег Леи апа-
1уНзсЬеп сЬагак!ег йег 1п1едга1е уоп рагНе11еп В1Негеп1]’а1^1е1сЬип-
&еп. СбШп^еп, ВгззегМоп, 1902.

Мальцев А. И. 1. Топологические разрешимые группы.—
Матем. сб. 19 (61), № 2 (1946), 165—174.

Меллер Н. А. 1. О вычислениях, связанных с проверкой
гипотезы Римана.— ДАН СССР 123, № 2 (1958), 245—247.

Мизес Р. (М 1868 В.) 1. СгишПадеп йег \УаЬгзсЬе1пИсЬ-
кеНзгесЬпип^.— Ма1й. 2. 5 (1919), 52—99.

Монтгомери Д.(Моп12отегУ^-) пЦпнппнЛ.
(2 1 р р 1 п Ь.) 1. 8та11 яиЬ^гоирз 1п ПпНе Лтепзюпа! ^гоирз.—
Апп. Ма1Ь., 8ег. 2, 56, № 2 (1952), 213-241.

Морри Ч. ( М о г г е у С.) 1. Зесопс! огйег еШрНс едиаНопз
ш зеуега! уапаЫез апй НбМег сопНппИу.— МаШ. 2. 72 (1959),
146-164.

Мусхелптвплп Н. И. 1. Сингулярные интегральные
уравнения, М-, Физматгиз, 1962.

НагатаМ. (Иар 1а М.) 1. Оп 1Ье 141Ь ргоЫет о( НН-
Ьег!.— См. «Ргос. о! 1Ье 1п1егп. Соп&г. о! МаН1.», ЕйтЬигд, 1958.

2. Оп 1Ье 141Ь ргоЫет о! НПЬег!.— Атег. I. МаЙ1. 81, № 3
(1959), 766-772.

фон Н е й м а п Д. (Иеитапп I.) 1. В1е Е1п1и11гипё
апа1уНзсЬег Рагате1ег т 1оро1о^13сЬеп Сгирреп.—Апп. МакЬ., 8ег.
2, 34, № 1 (1933), 170—190.

Новиков П. С. 1. Оп ЬЬс сопзтзЬспсу оГ ссг1ат 1о^1са1 саки-
1из,— Мат сб., п. с. 12(54) (1943), 231—261.

2. Элементы математической логики^ М., Физматгиз, 1959.

Нэш Дж. (И а зЬ I.) 1. СопНпиНу о! зо1иНопз о! рагаЬоИс
апй еШрНс едиаНопз.— Атег. Д. Ма1Ь. 80, №_4 (1958), 931—954.
Петровский И. Г. 1. 8пг 1а 1оро1о^'1е йез соигЬез р!апез
гёе!ез ё! а^ёЬпдиез.— С. г. Асад. зсь 197 (1933), 1270—1272.

2. Оп 1Ье 1оро1о^у о! геа! р1апе а1ееЬга!с сигуез.— Апп. Ма1Ь.
39 (1938), 187-209.

Петровский II. Г. и Олейник О. А. 1. О топологии
действительных алгебраических поверхностей. — ДАН СССР 67,
№ 1 (1949), 31-33. _

2. О топологии действительных алгебраических поверхностей.—
ИАН СССР, сер. матем., 13 (1949), 389—402.

П л е м е л ь И. (Р 1 е т е 1 ] I.) 1. ШетаппзсЬе ЕнпкНопеп-
зсЬагеп тН де^еЬепег Мопойгопцег^гирре.— Мопа1зЬ. ГйгМаНь и.
Ркуз., 1908, 211—245.

ПонтрягппЛ. С. 1. ТЬе 1Ьеогу о! 1оро1о21са1 сотти1аНуе
егоирз.— Апп. Ма1Ь. 35 (1934), 361—388.— Русский перевод:
УМН 2 (1936), 177-195.

Пуанкаре А. (Р о 1 п с а г ё Н). 1. Метопе зиг 1ез Гоп-
сНопз 2е1а 1изсЬз1еппез.— Ас1а та!Ь. 5 (1884), 209—278.

2. О е и у г е з, I. I, Рапз, 1916.

3. Зиг ГипИоптзаНоп йез ЬпсНопз апа1уНдиез.— Ас1а Ма1Ь.
31, 1 (1908), 1-63.

РейнгардтК. (Ве1пЬагй1К) 1. 2иг 7ег1е&ип& йег
ЕикИсПзсЬеп Вайте 1п коп^гиеп1е Ро1у1оре. — ЗВг^зЬег. ргеир.
Акай. АУгзз., РЬуз1к.-та1Ь. К1. (1928), 150—155.

Рёрль Г. ( В б Ь г 1 Н.) 1. Оаз Шетапп-НПЬегЬзсЬе РгоЫет
йег ТЬеопе йег Йпеагеп О1НегепНа1§1е1сЬипееп.— МаШ. Апп. 133,
№ 1 (1957), 1-25.

Риман Б. (В 1 етапп В.) 1. Сочинения, М.— Л., Гостех-
издат, 1948, 159—175.

2. Сочинения, М.— Л., Гостехиздат, 1948,176—186.

3. Сочинения, М.—Л., Гостехиздат, 1948, 216—224.

Р о н К. (В о Ь и К.) 1. П1в ЕЬспе Кигуеп зесЬзЪег Огйпищ;
тИ еИ Оуа1еп.— Вег. й. й. Уег. й. засЬз. Сез. й. ДУгзз. 63 (1911),
515-533.

2. Охе Мах1таЫгаЫ ипй Апогйпип^ йег Оуа1е Ьех йег еЬепеп
Кигуе 6. Огйпип^ ипй Ье5 йег Г1асЬе 4. Огйпип^.— Майи Апп. 73,
Н. 2 (1913), 177—229.

Севери Ф. (Зе V е г у Г.) 1. 8и1 рпптрго йеПа сопсегуа-
г1опе йе! питего.— Вепй. йе! Сисо1о та1. Й1 Ра1егто, у. 33, 1912.

2. 8ш Ьтйатепй ЙеПа ^еотеШа пптегайуа.— АШ йе! В.
ГпзШ;. Уепе1о (8), у. 18, 1916.

СельбергА. (8е1Ьег^А.) 1 Оп 1Ье гегоз о! В1етапп’з
ге!а ГипсНоп.— ЗЬг. ИогзЬе У1й. Асай. Оз1о, № 10, 1942.

С е р р Ж. ( 8 е г г е I.) 1. Ье стдшете ргоЫёте йе НПЬегй
Е1аЫе 1а диезйоп еп 1951.— Ви11. Зое. Ма1Ь. Егапсе 80, № 1 (1952),

Синцов Д. М. 1. Второй Международный математический
конгресс. Физ. мат науки (2), 1, № 5, 1901, * 129—137.

С и м у р а Г. ( 8 Ы т и г а С.) п Т а и и я м а 10. ( Т а п I-
1 а т а У.). 1. Сотр1ех тиПлрПсаСюп о! аЬеПап уапейез апй Из
аррИсаЫопя 1о питЬег 1Ьеогу.— Ма1Ь. 8ос. 1арап, Токуо, 1961.
Сколем Т. (8 к о 1 е ш Т.) 1. ЬодЕзск котЫпа1опзске
ОпГегяискнп^еп йЬег Фе ЕгГйПЬагкеН одет ВеххтнзЬагкеИ. таШетаН-
зскег 8а1хе пеЬз! е'тет Тцеогете иЬег д1сЫе Мепдеп.— ЗкпНег
и1дИ ау УЗдепкаряяеккаре! 1 КпзНата, № 4 (1920), 36.

Такаги Т. (Така#! Т.) 1. ОЬег е1пе Ткеопе дез ге1а(лу
АЬе1ясйел ЯаЫкбгрегя.— 1оигп. о Г 1Ье соПеде оЕ 8с1. Ттрг. оЕ То-
куо 41 (1920).

Туэ А. ( Т к и е Л.) 1. ОЬег АппаЬегипдзхусгЕе а1деЬга1зскег
7ай1ел.— 1оигп. Гиг (Не ге1пе ипд апцеху. Ма1к. 135 (1909).

Фробениус Г. (Р г о Ь е п 1 и з С.): 1. ОЬег (Не ипгег1с$-
Ьагеп ФзкгеГеп Вехуедшщвдгирреп.— ЗИхдяЬсг. ргеи{3. Акад. ИЧзз.,
Ркуз1к.— та 1Ь. К1. (1911), 654—665.

ФункП ( Ринк Р.) 1. ОЬег С.еопиЧпел, Ье1 делен д)е
Ссгадеп (Не Кйгхе§1еп я1лд.— МаИь Алл. 101, Н. 2—3 (1929), 226—
237.

ФютерР. (Г и о I с г К.) 1. ЛЬе!яс11с СЫсЬип^еп 1п
диадгаНясМтаФпагсл ХаЫ-кбгрогп. — Майк. Апп. 75 (1914),

177-255.

Харди Г. (II а г д у С.) 1. 8иг 1ез хёгоя де 1а ГопсНоп^ (з)
де Юеталп. С. г. Асад, зек 158 (1914), 1012—1014.

X а р д и Г. (Н а г д у С.) нЛптлвуд Д. (11111с-
хх’о о д I.), 1. 8оте ргоЫетз оЕ «РагННо питегогит», III. Оп Ию
схргеяяюп оЕ а питЪег аз зит оЕ рптез.— Ас1а Ма1Ь. 44 (1923),
1-70.

Хассе Г. (II а я я е II.) 1. ОагяГеПЬагкеН гоп /аЬ1еп дигск
диадгаНяске Рогтсп 1л етет ЬеНеЫ^еп а1^еЬга1зсЬеп ХаЫкогрег.—
СгеПез I. 153 (1923), 113—130.

2. ВепсМ иЬег леиге Оп^егяисйип^еп ипд РгоЫете аия дег
Ткеопе дог аЬ^еЬгаГзскеп ХаЫкогрег. — 1акгеяЬепс1Д (I. Оеи1.
Ма1к. УегеГтдипд. ТеН I, 35 (1926), 1—55; Те11 1а, 36 (1927),
233-311.

ХлпчпнА. Я. 1. Учение Мизеса о вероятностях и прин-
ципы физической статистики.— У ФИ 9, в. 2 (1929).

Ч е б о т а р е в II. Г. 1. 1Э€е ВсзЫттипд дег В1скН$кеИ стог
Меп^е хтон РптгаЫсл, ххе1ске хи с1пег ^е^еЬепеп 8иЬзШийоп»к1аяяс
^екбгеп.— Ма1Ь. Апп. 95 (1925), 191—228.

2. 81ид1еп иЬег РптхакктдГскО^кеИ, 1. ОЬег Сгепгеп, гххз-
зскеп депеп деххчззе РптгаЫеп Не&еп д>е хи еГпег ^е^сЬепеп АЫеГ-
1ип$ хтоп 8иЬяНГиНопсп ^екбгеп.— Изв. Казанского Физ.-матем.
о-ва (3), 2 (1927), 14—20.

Ч у д а к о в И. Г. 1. О проблеме Гольдбаха.— ДАН СССР
17, № 7 (1937), 331-334.

Шафаревич!!. Р. 1. Общпй закон взаимности.— УМН
3 : 3 (25) (1948), 165.

2. Общпй закон взаимности.— ДАН СССР 64 (1949), 25—28.

3. Общий закон взаимности.— Матем. сб. 26 (68), № 1 (1950),
113-146.

Ш е в а л л е К. (С й е хг а 1 1 е у С.) 1. Тххо (йеогетя оп
яо1хаЫе 1оро1о$1са1 §гопрз, Ьес1игез 1л Торо1о#у.— Оп1х. оЕ МГсй.
Ргезз. Апп. АгЬог., 1941.
Ш и д л о в с к и й А. Б. 1. О трансцендентности значений
одного класса целых функций, удовлетворяющих лилейным диффе-
ренциальным уравнениям.— ДАН СССР 105 (1955), 35—37.

2. О новом критерии трансцендентности и алгебраической не-
зависимости значений одного класса функций.— ДАН СССР 106
(1956), 399—400.

3. Об алгебраической независимости трансцендентных чисел
одного класса.— ДАН СССР 108 (1956), 400—403.

III л е з и и г е р Л. (8 с 11 1 с 1 з 1 п е г Ь.) 1. 7нг ТЪеог1е
йог Ипеагеп ОИГегепИа^Ысйип^еп 1п АпзсЫнЗ ап Даз ШешаппзсЬе
РгоЫет (III).- 1оигп. I. МаШ. 130 (1905), 26-46.

2. Ветегкип^еп хи Дет копНпшШзЬехшз- Гйг Д 1с Т.озЬагкеИ
Дез Шетапнзскеп РгоЫетз.— Ма1Ь. Апп. 63 (1906), 273—276.

Шнейдер Т. (8 Ь п е 1 Д е г Т.) 1. АгИЪтеНзсЬе Нп1ег-
зисйип&еп еАИрЫвсЪег 1п1е$га1е.— ЫаЫи Апп. 113, II. 1 (1936),
1-13.

III н и р е л ь м а н Л. Г. 1. Об аддитивных свойствах чисел.—
Изв. Допск. политехи, ин-та 14 : 2—3 (1930), 3—28.

Шуберт Г. (8 с 11 и Ь е г I II.) 1. Ка1кй1 Дег аЬгаЫепДеп
СеотеВле, Ее1рп$, 1879.

Э стерла п Т. (Е з I е г т а и п Т.) 1. Он Со1ДЬас1Гз
ргоЫет: РгооГ (Ьа! а1тозЬ а!1 еуеп розНгуе 1п1ецегз аге яитз о!
Иго рптез.— Ргос. ЬопДоп. Ма111. 8ос., Зег. 2, 44, № 4 (1938),
307—314.

Я м а б е \. (ТатаЬе II.) 1. Он сон]ес(иге о! Нуазаиа апД С1еа-
зоп.— Апп. Ма111. 58, № 1 (1953), 48—54.

2. А ^епегаИхаИоп оГ а ЬЬсогет о! СДсазоп.— Апп. Ма(11. 58г
№ 2 (1953), 351—365.
О РАЗВИТИИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

А. Л, Юшкевич

1. История понятия функции до сих пор остается недо-
статочно изученной. Эта важная проблема, по существу,
обойдена даже в книге К. Бойера по истории основных
понятий анализа [х], несколько лет назад вышедшей уже
"третьим изданием. Разумеется, в этом, как и в других
сочинениях цо истории математики, имеется ряд высказы-
ваний об отдельных моментах эволюции идеи функцио-
нальной зависимости и о ее трактовке отдельными учены-
ми. При всей ценности такие высказывания, даже взятые
вместе, пе дают цельной картины. Кроме того, мнения
нередко расходятся, в частности, в том, когда возникло
понятие функции. Наиболее распространенное, в том числе
среди математиков, далеких от истории своей науки,
убеждение, выражено, например, в известном труде Д.Ю.
Смита, который около сорока лет назад писал, что подлин-
ная идея функциональной зависимости была впервые ясно
и публично выражена с помощью метода координат Декар-
том ([2], стр. 376). Однако К. Бойер по поводу трудов
Ферма заявлял, что у математиков того времени еще не
обнаруживается ни понятие функции, ни мысль о симво-
лическом представлении переменных величин (I1], стр.
156). С другой стороны, по мнению В. Гартнера и М. Шрам-
ма, вопрос о происхождении и развитии понятия функции
обычно трактуется поразительно односторонне: при этом
рассматривают почти исключительно декартов анализ,
который в свою очередь ошибочно объявляется поздним
плодом схоластического учения о шпротах форм. Согласно
Гартнеру и Шрамму, оперпрование функциями достигло
высокой степени совершенства задолго до первых попыток
формулировать самое попятие; оно имелось в астрономи-
ческих вычислениях древних, скажем Птолемея, и затем
в арабской науке у ал-Бируни, которому посвящена статья
этих авторов ([3], стр. 215). В более поздней, чем I1],
книге по истории аналитической геометрии К. Бойер
указывает на другие прообразы функций у древних греков,
именно па их оперирование пропорциями, которое «в не-
которой степени равносильно современному выражению
функциональных соотношений при помощи уравнений,
хотя и значительно более ограничено» ([4], стр. 5). Бойер
же ([4], стр. 46), И. Э. Гофман ([5], стр. 102—103) и
другие находят геометрическое выражение функций и их
вычисление в «калькуляциях» и теории шпрот форм XIV в.;
впрочем, Г. Вилейтпер полагал, что наличная здесь идея
функции пе содержала «пи малейшего представления о
зависимости одной величины от другой, поддающейся ис-
числению» (Iе], стр. 145). Э. Т. Белл находил «инстинкт
функциональности (хпзПпс! 1ог ГппсНопаШу)» еще у ва-
вилонян ([7], стр. 32). Я нс стану продолжать перечень
таких суждений, то согласных, то несогласных между
собою, то верных, то певерпых или неполных. Добавлю
только, имея в виду XIX в., что классическое определение
функции, которое дается почти во всех нынешних руковод-
ствах по анализу, принято относить к Дирихле (1837)
или к Лобачевскому (1834). Действительно, именно фор-
мулировка Дирихле явилась отправным пунктом после-
дующих ученых и авторов руководств (определение Лоба-
чевского долго оставалось почти никому не известным).
Все же и это бытующее мнение исторически неточно, ибо
понимание функции как произвольного соответствия меж-
ду парами элементов двух множеств было со всей опре-
деленностью выдвинуто уже в середине XVIII в.

Важность и актуальность исторического анализа поня-
тия функции, особенно с точки зренпя современных дис-
куссий вокруг этого понятия, несомненны. Здесь требова-
лось бы весьма подробное исследование проблемы. Я все
же позволю себе предложить краткие замечания, в кото-
рых охарактеризованы основные этапы развития идеи
функции вплоть до ее определения как любого соответст-
вия. Эти этапы таковы: 1) древность, когда изучение от-
дельных зависимостей между величинами не привело еще
к осознанию и тем более формулировке понятий перемен-
ного аргумента и его функции; 2) средневековье с XIII
или XIV вв., когда эти понятия были впервые явно выра-
жены в механической или геометрической форме и когда
зависимости задавали только посредством словесных опи-
саний, на основе которых производились последующие
вычисления; 3) конец XVI в. и последующие двести
с лишним лет, когда доминирующим становится анали-
тическое выражение функции, в наиболее общем слу-
чае преимущественно в виде бесконечных степенных
рядов.

Именно аналитический способ задания функций про-
извел революцию в математике и математическом естест-
вознании и благодаря необыкновенной эффективности
позволил понятию функции стать центральным во всех
точных науках. При всей плодотворности трактовка функ-
ций как аналитических выражений оказалась в середине
XVIII в. все же недостаточной, и было предложено то
общее определение функции, которое стало в формулиров-
ке Дирихле классическим. Во второй половине XIX в.
это определение раскрыло широчайший простор для раз-
вития теории функций, но вместе с тем оказалось чреватым
трудностями, которые в XX в. повлекли за собой матема-
тико-логический пересмотр содержания понятия функции,
как и других основных понятий анализа. Борьба различ-
ных выявившихся при этом концепций продолжается.
Однако, как сказано, я оставляю здесь в стороне историю
вопроса па этом этапе или, лучше сказать, па двух послед-
них этапах: теоретико-функциональном и математико-
логическом.

Напомню, что, по классическому определению, под
функцией у независимой переменной х понимается какое-
либо соответствие (отображение) между парами элементов
двух данных множеств чисел или величин х и у. Правило
соответствия может быть выражено словесно, с помощью
таблицы значений х, у, посредством аналитического вы-
ражения, графически или иначе, при условии, чтобы оно
было определенным и позволяло находпть у по данному х.
Далее мы ограничимся функциями действительного пе-
ременного и, вообще говоря, не будем говорить о много-
значных функциях, функционалах, тем более об обобщен-
ных функциях и т. д.

Взятое в том илп ином указанном смысле понятие ф>нк-
цпи неявно содержится уже в предложенных на заре
цивилизации простейших правилах измерения наиболее
употребительных фигур и в первых же таблицах сложения,
умножения, деления и т. д., служивших для облегчения
вычислений (иногда это таблицы функций двух перемен-
ных). В так называемой элементарной математике на
каждом шагу встречаются соответствия между числами
пли величинами. Констатация этого тривиального факта
не ведет к чему-либо существенно полезному. Все разли-
чия при этом стираются. Весь интерес заключается в
становлении идеи, в ее постепенном осознании, в том конк-
ретном содержании, которое она приобретала с прогрес-
сом научной и философской мысли, наконец, в различной
ролп се на разных стадиях этого прогресса.

2. Свой первый этап идея функциональной зависпмо-
,сти прошла в античности. Ростки понятия функции, хотя
и неосознанного и невыделенного, имелись в греческой
математике и естествознании. Уже в попытках установить
простейшие законы акустики, приписываемых ранним пи-
фагорейцам, нашли выражение поиски количественных
взаимосвязей между различными физическими величина-
ми, такими, как длина и толщина струны и высота звука.
Позднее, в александрийскую эпоху, астрономы разработали
целую тригонометрию хорд, соответствующих дугам окруж-
ности фиксированного радиуса, и с помощью теорем гео-
метрии и интерполяции вычислили таблицы, равносильные
таблицам синусов, которыми несколько веков спустя стали
оперировать индийцы. Не забудем также таблицы эмпи-
рических «ступенчатых функций» и «зигзаговых функций»
вавилонской астрономии времен Селевкидов.

Но древность имела дело не только с табулированными
функциями. В теории конических сечений основную роль
играли так называемые симптомы кривых — зависимости
между прямыми отрезками диаметров и сопряженными
хордами (именно между построенными на них и других
данных отрезках прямоугольниками), формулировавшиеся
словесно. Если ввести систему координат и алгебраиче-
скую символику, эти симптомы, описания которых зани-
мают всякий раз до полустраницы текста, непосредственно
переходят в уравнения кривых 2-го порядка аналитиче-
ской геометрии. Сами конические сечения являлись по
существу графиками заданных словесным правилом зави-
симостей менаду непрерывно меняющимися отрезками или
площадями.

Стоит заметить, что, в отличие от таблиц значений
строго индивидуализированных функций, симптомы выра-
жают целые классы соответствий, скажем, для координат
любого эллипса, или параболы, или гиперболы. В некото-
рых случаях встречаются и другие общие классы объектов,
например в пред. I книги X «Начал» Евклида, где дока-
зано, что члены любой последовательности величин

о, адъ ад^, ..., адг... дп, ..

начиная с некоторого, оказываются меньше любой задан-
ной величины.

Объем множества функций, изучавшихся в античной
математике, не был велик, но оперировали с ними в ряде
задач довольно сходно с тем, как это стали делать много
позднее: изучали их ход, вычисляли значения, интерполи-
ровали, определяли экстремумы, интегрировали. Я упот-
ребляю современную терминологию, понимая, например,
под интегрированием квадратуру или кубатуру, осуществ-
ляемую посредством вычислений, равносильных отыска-
нию предела интегральной суммы для функции х или х2.
Былп сделаны также первые шаги в классификации соот-
ветствий. Различали плоские задачи, которые можно по-
строить с помощью прямых п окружностей, пространствен-
ные, требующие применения по крайней мере одного кони-
ческого сечения, и линейные, для построения которых
необходимы еще другие, более сложные кривые.

Аппарат аналитических выражений и символические
формулы отсутствовали. Только у Диофанта, который обо-
значал неизвестную величину и ее несколько степеней спе-
циальными знаками, появляются зачатки алгебраической
символики, пе получившие, однако, дальнейшего разви-
тия еще в течение многих столетий.

Как пи значительны эти достижения, сыгравшие важ-
нейшую роль в последующем, греки не выделили общую
идею, присущую всем изучавшимся взаимозависимо-
стям, — идею функции или переменной величины. Сходная
ситуация имела место в античной инфинитезимальной
математике. Довольно многочисленные предельные пере-
ходы, задачи на квадратуры и кубатуры и другие инфини-
тезимальные процедуры не привели тогда к выделению
общих понятий последовательности, переменной, предела,
бесконечно малой, интеграла и т. д., которые оставались
скрытыми от сознания и для которых поэтому не имелось
наименований [8]. II было бы неправомерной модерниза-
цией видеть идею переменной в собственном смысле слова
у Диофанта, который при решении неопределенных урав-
нений в рациональных числах пользовался иногда под-
становками (быть может, восходящими к вавилонской ма-
тематике) и метод которого во многих случаях позволяет
найти бесконечное множество значений неизвестного не-
определенной задачи. Самое большее здесь можно вместе
с Д. Уайтсайдом говорить о понятии или, лучше, о факти-
ческом использовании «подстановочной переменной (зиЬ-
вНЬиНоп — уапаЫе)», а не о «вполне свободной перемен-
ной (ЫПу Ггее уапаЫе)» алгебры Виета ([9], стр. 197).

Идея изменения и переменной величины не была чужда
греческой мысли. Со времен Гераклита и Зенона обсужда-
лись проблемы движения, непрерывности, бесконечного.
Вся «Физика» Аристотеля, по существу, трактует об этом.
Стагпрпт различал три вида движения: «Движение в от-
ношении качества мы назовем качественным движением...
Движение в отношении количества не имеет общего назва-
ния, в частности же рост и убыль... Движение в отноше-
нии места не имеет ни общего, ни частного названия;
назовем его перемещением... Из сказанного ясно, что су-
ществуют только эти три вида движения» ([10], кп. V, стр.
226а—2266). Кроме того, проводилось различие между
равномерным и неравномерным движением, зависящее от
различных обстоятельств и, в частности, от скорости или
медленности: «движение с одинаковой скоростью равно-
мерное, с различной — неравномерное» (там же, 228&).
Но как раз «движение в отношении количества» и «пере-
мещение», которые позднее нашли выражение в понятии
переменной величины, не стали у греков объектом мате-
матического исследования. Это обстоятельство можно ча-
стично объяснить влиянием споров, вызванных апориями
Зенона. Бросается в глаза его связь с общим направлением
развития греческой механики и астрономии. Обе эти
науки пе вышли за границы равномерного движения,
неравномерные движения небесных светил сводились в
античной картине мира к совокупностям равномерных
круговых перемещений. Неравномерное движение как
таковое нс изучалось. Из математики по возможности
изгонялись кинематические представления. Несколько
предложений Евклида, в которых применяется движение
и наложение, как и отдельные случаи кинематического
определения кривых (скажем, спирали Архимеда), не
меняют общей картины.

Мы упоминали, что еще у так называемых пифагорей-
цев проступало представление о естественнонаучных зако-
нах типа функциональной зависимости. Эта концепция
закона природы пе получила, однако, в греческой мысли
ни господства, пн заметного развития. Это особенно отно-
сится к ведущей науке тех, да и позднейших времен —
астрономии.

Где бы ни лежала основная причина этого явления,
в философии пли в науке, или в их взаимодействии (и ка-
ковы бы ни были здесь глубинные социальные факторы),
остается фактом, что античная научная мысль не подошла
к формированию общего понятия переменной величины
и функции. Самые зависимости между величинами трак-
товали тогда скорее как соответствия между множествами
данных постоянных величин, чем как связи между «теку-
щими» переменными величинами. Такой подход можно
было бы сравнить с просмотром серии нескольких фото-
снимков явления,— даже не кинофильма, который создает
по крайней мере иллюзию непрерывного изменения. Можно
заметить известное сходство античных установок со ста-
тической концепцией теории множеств Кантора, сводя-
Цен интуитивную идею переменной к заранее данному

' Нстор.-матем. псслед., вып. XVII
множеству постоянных величин. Во всяком случае, мышле-
ние греческих математиков в целом было далеко от кинема-
тической или динамической концепции текущей величины
анализа бесконечно малых XVII—XIX вв.

Почти полное отсутствие символики и недостаточное
развитие понятия о числе служили дополнительными внут-
риматематпческими препятствиями для узрения в изучае-
мых зависимостях числовых соответствий и для перехода
к их аналитическому выражению.

3. Понятие функции впервые явно выступает в сре I,
невековой Европе. Его становление было связано с новыми
попытками математического анализа различных естествен-
ных явлений и особенно с своеобразным расцветом кине-
матических исследований. В. Гартнер и М. Шрам недавно
обратили внимание на замечательный анализ ускоренного
или замедленного движения в астрономических трудах
ал-Бируни (131, стр. 212—214). Все же, насколько изве-
стно, богатые возможностями идеи этого ученого не ока-
зали существенного влияния на его преемников, работав-
ших в странах Востока. Три века спустя понятие функции
появляется в математической натурфилософии Оксфорд-
ской и Парижской школ.

Эти две научные школы впервые в средневековой Евро-
пе со всей определенностью провозгласили математику
основным аппаратом познания физического мира и при-
ступили, отправляясь от учения Аристотеля об усилении
(ш1епй1о) и ослаблении (геппззю) форм, к математиче-
скому последованию перавномерного количественного и
местного движения. Интенсивности формы выступают как
связанные между собой каким-либо соотношением пере-
менные градусы (^габиз), т. е. степени качеств, таких, как
теплота, плотность, скорость и т. д. Это исследование при-
вело к понятию о мгновенной или точечной скорости (де1о-
схЬаз 1пз1ан1апеа, уе!ос1Ьаз рипсШаИз) и ускорении (шЬеи-
810 шо!из 1оса11з, также хе1ос1ЬаЫо), идеи переменной ве-
личины под видом градуса или течения качества (^гайиз
циаШаНз, Пихиз циаШаЫз), к представлению, что точки
при своем течении или движении описывают линии, ли-
нии описывают поверхности и поверхности — тела. Синтез
кинематической и математической мысли имел во всем
этом решающее значение. «Вся кинематика,— замечает
II Бурбаки,— опирается на интуитивную, а в некотором
поде и экспериментальную концепцию изменяющихся во
времени величин, т. е. функции времени» ([п], стр. 202).
Одновременно в натурфилософии понемногу вызревает
представление о законах природы как законах функцио-
нального типа.

Учение об интенсивностях формах или «калькуля
циях» (са1си1а1допе8) и, как важнейшая его часть, кпнема-
тика развивались в Англии Ричардом Суаннсхедом, Уилья-
мом Хейтесбери и другими в направлении преимущественно
кпнематическп-арифметическом, во Франции, где глав-
ным представителем его был Николь Орем, также и в
геометрическом. Теория конфигураций качеств (йе сопБ-
^игаИотЬиз циаШаЬит) или уннформностп и дифформно-
сти интенсивностей пли еще шпрот форм ((1е 1аШлпИп1Ьи8
Гогшагпш), разработанная Оремом в середине XIV в.,
представляет особый интерес. Всякая измеримая вещь,
кроме чисел (которые понимаются вслед за древними гре-
ками как множества единиц),— писал Орем,— представ-
ляется в виде непрерывной величины. Поэтому для ее
измерения нужны точки, липни, поверхности, в которых,
согласно Аристотелю, первично обнаруживается мера или
отношение (теи^ига .чей ргорогНо); в прочих вещах мера
или отношение познаются путем их умственного соотно-
шения с точками, линиями и поверхностями. Идея соот-
ветствия между величинами высказывается в следующем
предложении: «Какое бы отношение (ргорогЫо) ни оказы-
валось между одной интенсивностью и другой..., такое
же отношение обнаруживается между одной линией и
другой, и наоборот» ([12], стр. 637; лат. текст [131, стр. 368).
Здесь мы имеем дело с совершенно явным введением того
общего понятия, которое много позднее было наимено-
вано функцией. Различая затем в качествах интенсивность
и экстенсивность (ех1еп81о), которыми, например, могут
быть скорость и время движения, Орем изображает интен-
сивности пропорциональными им по длине отрезками —
«шпротами» (1а€Ки(1о), прилагаемыми в точках прямой
«долгот» (1опоКп(1о), отрезки которой изображают экстен-
сивности. Фигура, ограниченная «линией интенсивности»,
соответствующим отрезком прямой долгот и двумя край-
ними широтами, изображает данное качество и его «гра-
дусы». Здесь речь идет о «линейных» качествах, интенсив-
ности которых распределены по точкам линии, но сущест-
вуют еще «плоскостные» и «телесные» качества, распреде-
ляемые по точкам двумерного или трехмерного континуума.
Плоскостные качества изображаются телами с плоски-
ми основаниями; проблема геометрического выражения
телесных качеств, естествен и о ч представила для Орема
чрезвычайную трудность, и его замечания по этому поводу
далеки от ясности.

В рассматриваемых теориях мы находим уже, как
видно, вполне осознанное применение понятий о незави-
симой и зависимой переменной величине, причем каждое
из них обозначается с помощью специальных терминов.
Функция у Орема более всего сходна с нашей функцией
точки в пространстве одного, двух или трех измерении.
Н. Бурбаки в главном справедливо характеризует эту
концепцию как «рудиментарную теорию изменения вели-
чин, как функций времени, и их графического представ-
ления» (I11!, стр. 179); хотя и ошибается в том, что при
этом обходились «без инфинитезимальных рассмотрений».
Па самом деле такие рассмотрения неявно содержались
как в самих понятиях мгновенной скорости и ускорения,
так и в примерах на определение пройденного пути или
средней скорости (уе1осИа5 1оЬа1Ь), выражаемых площа-
дями фигур пли суммами бесконечных рядов. Задание
функции осуществлялось при помощи словесной форму-
лировки; например, указывался закон, по которому скач-
ками меняется скорость па бесконечном множестве интер-
валов данного промежутка времени, разделенного в гео-
метрической прогрессии со знаменателем 2. На основании
такого закона проводилось вычисление мути или средне?
скорости либо посредством суммирования соответствую
щего ряда, либо из чисто геометрических соображений
Правда, основным сродством арифметических выкладо*
являлось в конечном счете суммирование убывающей гео
метрической прогрессии; в случаях, когда этого недоста
точно, ограничивались оценкой снизу и сверху суммы
точное (как мы теперь знаем, трансцендентное) выражены
которой оставалось неизвестным (А. Томас, 1509). Наибо-
лее важным, если не в чисто математическом смысле, то
для механики, достижением было установление сродней
скорости равномерно ускоренного движения, хотя оно и
не было поставлено в связь с проблемой падения тяжелых
тел. Этот закон был выведен сперва в Оксфорде; Орем
доказывал его, изображая путь или среднюю скорость
площадью треугольника либо трапеции,— по существу
так же, как это сделал Галилеи без малого триста лет
спустя. Суайнсхед пытался даже изучить прямолинейное
движение, скорость которого пропорциональна расстоя-
нию от фиксированной точки (ср. [9], стр. 217).

Наконец, Орем разработал классификацию линейных
качеств, которых насчитывал 63, разделяя их на три
основных типа: 1) равномерные (ииИогпнз) с постоянной
широтой и линией интенсивности, параллельной линии
долгот, 2) равномерно-неравномерные (ппИогтИег йШог-
ппь), у которых разности широт любых пар точек пропор-
циональны соответственным разностям долгот ц линия
интенсивности есть прямая, наклонная к линии долгот,
3) неравномерно-неравномерные (сШГогшИег сНИогтш) —
все остальные, которые подразделяются еще по некоторым
признакам.

Теория конфигурации качеств пользовалась большой
известностью в XV и первой половине XVI в., особенно
в Англии, Франции, Италии и Испании. Ее излагали в
университетских курсах и, помимо большого числа руко-
писей, ей было посвящено несколько напечатанных книг.
Все же сколько-нибудь значительного дальнейшего обога-
щения она в это время нс получила. Применение ее мето-
дов к физике и механике ие вышло за границы отдельных
искусственно поставленных задач, да и незначительный
математический аппарат ее мог быть успешно использован
лишь для анализа узкого класса функций. Если в разра-
ботке названных основных понятий математики и меха-
ники обобщающая и абстрагирующая мысль средневеко-
вых ученых продвинулась гораздо дальше, чем мысль их
античных предшественников, то по богатству конкретных
математических открытий достижения Суайнсхеда или
Орема не могут идти в сравнение с блестящими резуль-
тагами Архимеда или Аполлония. Класс неравномерно-
неравномерных движении так и остался почти не изучен-
ным; проблемы квадратур, кубатур и касательных лежали
вне поля зрения; об алгебраическом исследованпп линий
при тогдашнем состоянии алгебры не было и не могло
быть речи.

Вопрос о влиянии теории калькуляций или широт
форм па математику XVII в. весьма сложен. Все еще пе
удается выявить фактическую в историческую роль этой
доктрины, столь богатой скрытыми в ней идейными воз-
можностями и в сравнении с ними столь бедной средст-
вами конкретного исследования. Однако сходство ряда
идей и приемов XIV и XVII вв. нс вызывает сомнений,
и представляется весьма вероятным прямое или косвенное
действие средневековых концепций на духовный рост
таких математиков, как Непер, Галилей, Кавальери, Де-
карт, Барроу, Ньютон, Лейбниц и др. Прямым свидетель-
ством этого служит ряд укоренившихся понятий и термп
нов механики и математики, которые мы находим у нско
торых только что названных ученых, например у Галилег
(вспомним и его вывод закона падения тел!), у английски
математиков с пх кинематическим подходом к идее пере
менной величины, у Декарта, некоторые исходные положе
нпя которого удивительно близки к высказыванпям Орема
Это не значит, что все названные математики XVII в
отправлялись прямо от сочинений калькуляторов; традпцтп
передаются различными путями, претерпевая при этол
большие изменения. Галилей, во всяком случае, знал I
упоминал Суайпсхеда и Хейтесбери, а Лейбниц читал I
ценил Суайпсхеда (Г1], стр. 88; [14], стр. 395—403).

4. Для последующего развития учения о функция
решающее значение имели бурный рост вычислительно
математики, с одной стороны, и возникновение буквен
ной, символической алгебры, с другой,— процессы, с кс
торыми было тесно связано расширение понятия о числе
к концу XVI в. охватившего всю область действительны
чисел и включившего даже мнимые и комплексные числе
Это были, так сказать, внутриматематическпе предпосылк
введения понятпя функции как непрерывного соответствп
между числовыми множествами и для их аиалигическог
выражения с помощью формул. Я могу лишь упомянуть
существенные для дальнейшего успехи тригонометрии и
особо' подчеркнуть важность появленпя и усовершенство-
вания знаков алгебраических неизвестных величин и па-
раметров, позволивших символически записывать алгеб-
раические уравнения не только с числовыми, но и произ-
вольными постоянными коэффициентами. Значение этой
символики, в конце XVI в. с наибольшим успехом разра-
ботанной Вистом, трудно переоценить. Данные величины
и буквенные коэффициенты Виета, которые' он’ обозна-
чал буквами 2?, С, Б, ..., в отличие от неизвестных, обоз-
начаемых Л, Е, /, ..., явились первыми символами пере-
меппых параметров. Однако творец новой алгебры не
использовал свое замечательное открытие для дальней-
шего развития понятия функции; ему пе присуще было
«функциональное мышление».

С другой стороны, в математическом естествознании
того времени, особенно с начала XVII в., во все возра-
стающей мере и со все большей отчетливостью укрепля-
ется упоминавшаяся новая концепция закона природы и
в ходе исследований быстро возрастает число подлежащих
анализу разнообразных зависимостей и кривых. При
этом, наряду с алгебраическими законами (например,
третий закон Кеплера) появляются п трансцендентные
(например, оптический закон Спелля — Декарта). Среди
естественных наук па первое место рядом с астрономией
выдвигается механика и в ней новая отрасль — динамика,
к которой вскоре присоединяется небесная механика.
Главной задачей математического естествознания стано-
вится изучение криволинейного неравномерного движе-
ния, а это ставит перед математикой целый ряд геометри-
ческих проблем инфинитезимального характера, решение
которых требовалось доводить до числового ответа.

Следствием всего этого явилось изобретение нового
способа задания функций, который па долгое время стано-
вится основным в математике и особенной ее приложе-
ниях. Как и ранее, функции все еще нередко задаются
словесно, графически, кинематически или таблично, но
эти приемы оттесняются на второй план аналитическим
выражением в форме символических уравнений.
Мы можем почти точно указать момент этого поворо-
та. Еще на рубеже XVI—XVII вв. функции задаются толь-
ко с помощью прежних средств. Так была введена важ-
нейшая, наряду с тригонометрическими, логарифмическая
функция. II. Бюрги вычислял свои логарифмические таб-
лицы (опубл. 1620), отправляясь от подчеркнутого ранее
Штифелем (1544) и известного еще Архимеду соответствия
между арифметической прогрессией показателен и геомет-
рическом прогрессией степеней фиксированного основа-
ния; применявшиеся им интерполяции свидетельствуют,
что соответствие интуитивно понималось как непрерыв-
ное. В то же время Дж. Непер исходил из сопоставления
двух непрерывных прямолинейных движений: точки Ь,
движущейся равномерно, и точки /V, скорость которой
пропорциональна ее расстоянию от некоторого начала
(ср. сказанное ранее о Суайнсхеде); в таком случае путь,
пройденный точкой Л, есть (неперов) логарифм пути точки
№ (опубл. 1617). Всего через 15—20 лет после этого Ферма
и Декарт, прилагая новую алгебру к геометрии кривых
линий, независимо друг от друга открылп аналитический
способ задания функций и тем самым новую эпоху в мате-
матике.

Во «Введении в изучение плоских и телесных^мест»,
написанном несколько ранее 1637 г., но изданном лишь в
1679 г., П. Ферма говорил: «Всякий раз, когда в заклю-
чительном уравнении пмеются две неизвестные величины,
налицо имеется место, п конец одпой из них описывает
прямую или же кривую линию» ([16], стр. 137). Здесь ар-
гумент и функция называются просто неизвестными ве-
личинами, причем этот термин означает прямой отрезок.

Более подробно идея аналитического задания функ-
ции была высказана в знаменитой «Геометрии» Р. Декарта
(1637). Ставя в соответствие плоской алгебраической кри-
вой уравнение между координатами ее точек (понимаемы-
ми опять-таки как прямые отрезки), Декарт писал: «При-
давая лпнпп у последовательно бесконечное количество
различных значений, мы найдем также бесконечное коли-
чество значений х и, таким образом, получим бесконечное
количество различных точек, вроде той, которая обозна-
чена С: они опишут требуемую кривую линию» ([15],
стр. 27). Здесь впервые с полной ясностью было указано,
что уравнение между х и у служит средством задания
зависимости между переменными величинами, позволяю-
щим вычислить все значения одной из них по данным
значениям другой при помощи формулы.

Несколько далее выделяется класс алгебраических
функций или же алгебраических кривых, которые Декарт
именовал геометрическими. Это кривые, которые выра-
жаются алгебрапческпмп уравнениями: «Чтобы охватить
совокупность всех встречающихся в природе кривых и
распределить их по порядку по определенным родам,
я считаю наиболее подходящим указать на то обстоятель-
ство, что все точкп лннмй, которые можно назвать гео-
метрическими, т. е. которые подходят под какую-либо
точную и определенную меру, обязательно находятся в
некотором отношении ко всем точкам прямой линии, ко-
торое может быть выражено некоторым уравненном, одним
и тем же для всех точек данной линии» ([15], стр. 32—33).
Говоря «уравнение», Декарт пмол в впду алгебраи-
ческое уравнение, другие он символически записывать не
умел. II тут же Декарт предлагает свою, еще несовершен-
ную классификацию геометрических кривых по родам,
относя к 1-му роду линии с уравнением двух измерений, ко
2-му роду — линии с уравненпямп 3-й и 4-й степени, к 3-му
роду — с уравнениями 5-й и 6-п степени и т. д. Негеометри-
ческпе кривые он назвал механпческпмп. Лейбниц, «ру-
ководясь важными основаниями», переименовал геометри-
ческие кривые в алгебраические и механические в тран-
сцендентные (1684) ([1с], стр. 173—174). Общепринятую
классификацию алгебраических кривых ввел около 1670 г.
Ньютон (опубл. 1704).

Введение функций под видом уравнений между двумя
переменными отрезками, множества которых, как это зна-
ли и Ферма и Декарт, изоморфны множествам действи-
тельных чисел, явилось поистине революцией в развитпп
математики. Употребление аналитических выражений,
позволяющих производить вычисления почти, так ска-
зать, непосредственно, легко обозримых и отлпчпмых друг
от друга, наконец, пригодных для бесчисленных преобра-
зований по определенным правилам, раскрывало совер-
тленно новые перспективы. Возникнув в ходе применения
алгебры к геометрии, это новое понятие о функции немед-
ленно распространилось на другие области и прежде
всего в сферу инфинитезимальных вычислений, которые
лишь на этой основе смогли перерасти в дифференциаль-
ное и интегральное исчисление. Энгельс в своих заметках,
опубликованных только в нашем столетии, но написанных
в 70-е п 80-е годы прошлого века, писал: «Поворотным
пунктом в математике была декартова переменная вели-
чина. Благодаря этому в математику вошли движение и
диалектика и благодаря этому же стало немедленно необ-
ходимым дифференциальное и интегральное исчисление,
которое тотчас и возникает и которое было в общем и
целом завершено, а не изобретено* Ньютоном и Лейбницем»
(I17], стр. 206). С этими словами великого мыслителя
перекликаются слова известного математика Г. Ганкеля,
в одной статье которого от 1870 г. мы читаем: «Новейшая
математика датирует с момента, когда Декарт от чисто
алгебраической трактовки уравнений перешел к иссле-
дованию изменений величин, которые испытывает алгеб-
раическое выражение, если одна из обозначенных в нем
общим образом величин пробегает непрерывную последо-
вательность значений» (цпт. по [18], стр. 219). Это не
значит, что представления о переменной и функции отсут-
ствовали ранее; но лишь теперь, с введением аналитиче-
ского выражения функций, к уже наличному алгебраи-
ческому исчислению могло и должно было быть присоеди-
нено исчисление бесконечно малых с его системой общих
понятий, символов и алгоритмов, и лишь теперь функцио-
нальное мышление становится преобладающим в матема-
тическом творчестве. Всего этого не было и не могло быть
ранее. Замечу попутно, что аналитическая геометрия Де-
карта и Ферма, при всей бедности первых сделанных в
псп открытий -в сравнении с достижениями теории кониче-
ских сечепий древних, по меньшей мере так же отлича-
лась от «аналитической геометрии» Аполлония п в потен-
ции превосходила ее, как повая алгебра от античной
«геометрической алгебры» (ср. [9], стр. 294).

Вначале круг аналитически выразимых функций огра-
ничивался алгебраическими; Декарт даже исключил из
своей геометрии все механические кривые, как не поддаю-
щиеся его методу исследования. Немного спустя откры-
тие, сделанное независимо друг от друга в середине
XVII в. П. Менголи, Н. Меркатором, Дж. Грегори и И. Нью-
тоном, позволило распространить аналитическое представ-
ление па любые изучавшиеся в то время зависимости.
Речь идет об открытии разложения функции в бесконечные
степенные ряды, к которым добавлены были затем другие
виды бесконечных выражений — произведения, непре-
рывные дроби и иные. И эта идея в зародыше имелась
ранее: с бесконечной убывающей геометрической прогрес-
сией знакомы были издавна. Но только во второй половине
XVII в. степенной ряд делается важнейшим и, как думали
еще долгое время, универсальным средством аналитиче-
ского выражения и исследования любых функций. П. Бут-
ру поставил это открытие чуть ли даже пе выше, чем вве-
дение других основных понятий исчисления бесконечно
малых ([19], стр. 17); во всяком случае, именно благодаря
степенным рядам понятие функции как аналитического
выражения заняло свое центральное место во всем ана-
лизе. Недаром одно из основных произведений Ньютона
называлось «Метод флюксий и бесконечных рядов».

От первых описании нового представления о незави-
симой переменной, последовательно и непрерывно прини-
мающей бесконечно много значении, и ее функции, отно-
сящихся к 30-м гг. XVII в., было ужо недалеко до форму-
лировки соответствующих определений. Еще довольно
долго при этом функция продолжает выступать в механи-
ческом пли геометрическом облачении. Здесь действовали
и традиции, восходящие, по крайней мере отчасти, к сред-
ним векам, и то обстоятельство, что анализ возникал па
почве механических и геометрических рассмотрении. Ос-
новные понятия анализа не были еще выделены в от-
влеченной арифметико-алгебрапческой форме. Логариф-
мическая функция — это была гиперболическая площадь,
эллиптическая — дуга конического сечения. Вообще
интегралы представлялись как пути, площади, дуги,
объемы; "дифференциалы — как координатные отрезки;
производные — как скорости илп как неявные составные
элементы некоторых отрезков вроде подкасательной и т. д.
Анализ бесконечно малых, только формировавшийся, еще
не стал автономным по отношению к тем наукам, нужды
которых требовали его разработки. У самого Декарта,
как и у Ферма, аналитическое выражение функции было
неразрывно связано с его геометрическим образом.

С особенной яркостью кипематическп-геометрическая
концепция анализа была высказана у Ньютона, развивав-
шего в этом направлении идеи своего учителя И. Барроу
(ср. I11], стр. 181—182). Как и Барроу, Ньютон берет
в качестве всеобщего аргумента время, а зависящие от
него переменные вводятся как непрерывно текущие вели-
чины, обладающие темп или иными скоростями измене-
ния. Эта концепция кратко, сформулирована Ньютоном
в письмах к другому его учителю — Дж. Валлису от
27 августа и 17 сентября 1692 г., напечатанных Валлисом
в выдержках в 1693 г. Здесь мы читаем: «Под текущими
величинами (Пиеи1е5 дпапНСаЬев) оп (т. е. Ньютон.—
А. 10.) разумеет неопределенные величины (шйеЬегпнпа-
1ае), т. е. те, которые постоянно (регреЬио) возрастают пли
убывают при образовании кривых посредством местного
движения, а под их флюксией (Ниххо) понимает скорость
возрастания пли убывания» ([20], стр. 256—257). Более
подробно те же идеи изложены в ряде других сочинении
Ньютона, например в упоминавшемся «Методе флюксий
и бесконечных рядов», написанном около 1670 г., но
опубликованном много позднее (1736).'Даже две основные
задачи исчисления бесконечно малых высказаны здесь на
языке механики: это отыскание скорости движения ио
данному закону пути (дифференцирование) и отыскание
пути ио данной скорости движения (интегрирование
дифференциального уравнения, в частности интегрирова-
ние функций). Впрочем, в этой кинематической в основе
концепции анализа Ньютона уже заметна тенденция более
отвлеченно поппмать геометрические и механические тер-
мины. Так, о всеобщем аргументе времени в «Методе флюк-
сий» говорится: «Но так как мы здесь привлекаем к рас-
смотрению время лишь в той мере, в которой оно выража-
ется и измеряется равномерным местным движением, и
так как, кроме того, сравнивать друг с другом можпо толь-
ко величины одного рода, а также скорости, с которыми
они возрастают или убывают, то я в нижеследующем
рассматриваю не время как таковое, ио предполагаю,
что одна из предложенных величин, однородная с други-
ми, возрастает благодаря равномерному течению, а все
остальные отнесены к ней как ко времени. Поэтому по
аналогии за этой величиной нс без основания можно
сохранить название времени» ([20], стр. 45). И несколько
далее флюэпту, играющую роль независимой переменном,
Ньютон именует соотнесенной величиной (цнанШан сог-
ге!а(а), а зависящую от нее — отнесенной величиной
(цнавШаь гс!а1а) ([20], стр. 55). При этом кинематически
вводятся лишь основные понятия, фактически метод
флюксий строится для флюэнт, выраженных аналитиче-
ски либо в конечном виде, либо через суммы бесконечных
рядов, этих десятичных дробей анализа.

Лейбниц также вначале подходил к понятиям разра-
батывавшегося пм дифференциального и интегрального
исчисления, отправляясь от геометрии кривых линий.
Достаточно напомнить, что еще в основоположном ме-
муаре по дифференциальному исчислению 1684 г. диффе-
ренциал функции (1у был определен как отрезок, отноше-
ние которого к с?я, произвольному приращению абсциссы
какой-либо кривой, равно отношению ее ординаты к под-
касательной ([16], стр. 166).

Слово функция впервые появляется в рукописях Лейб-
ница от 1673 г., в частности в рукописи, озаглавленной
«МеВюбнз Ъап^епНит хпуегза, вей бе ГипсНотЬиз», т. е.
«Обратный метод касательных, пли о функциях». Сперва
здесь идет речь об отыскании касательной к кривой,
заданной каким-либо «геометрическим» пли «негеометри-
ческпм» отношением (Не1аНо) между аппликатой (орди-
натой) п абсциссой, а затем Лейбниц переходит к обратной
задаче отыскания «аппликат» по заданному свойству под-
касательной или поднормали. В этой связи Лейбниц и
говорит о функции как об отрезке, связанном с некоторой
точкой данной кривой, именно выполняющем относитель-
но нее некоторую функцию (ех аШз Нпеагцт 1п Н^ига
ба1а {ипсНопез ГасхепНит ^епепЬиз аззитНз) (I21],
стр. 47). Напомним, что латинский глагол Гип^ог, ^ипс1ия
вит, [цп§1 означает осуществлять, выполнять, выражать
и т. п. В том же дифференциально-геометрическом смысле
слово функция появилось в статье Лейбница, напечатан-
ной в 1оигна1 йез 8ауаи1з за 1694 г.: «Я,— писал здесь
Лейбниц,— называю функциями (ГопсНопз) всякие части
прямых линий, которые получают, проводя бесконечные
прямые, соответствующие неподвижной точке и точкам
кривой, каковы: абсцисса..., ордината..., хорда..., каса-
тельная..., нормаль..., подкасательная..., поднормаль... и
бесчисленное множество других, построение которых более
сложно...» (Рв1, стр. 180). Еще ранее этот термин мимо-
ходом был употреблен в одной статье Лейбница, опубли-
кованной в АсЬа ЕпкПЬогшп, 1692.

Однако такое определение функции по соответствовало
ни более широкому фактическому объему этого понятия,
ни приемам оперирования им, ни свойственной анализу
Лейбница и его школы широте и общности в трактовке
основных понятий. Вскоре после выхода только что наз-
ванной работы понятие функции становится предметом
обсуждения в переписке между Лейбницем и его учеником
И. Бернулли. Еще в одной работе, напечатанной в том
же 1694 г. в АсЬа ЕгисШогнт, Бернулли, не употребляя
правда, слово функция, обозначил мимоходом буквой и
любое «количество, как-либо образованное из неопреде-
ленной (величины.— А. 10.) и постоянных (розИо п еззе
циаиШаЪет диотойосиидие 1огта1ат ех хпйекиттпаИз
е! согйапБЬиз) (цпт. по [22], т. II, стр. 267). Три года
спустя в том же журнале Бернулли для этой цели употре-
бил символы X и и в письме к Лейбницу от 26 августа
1698 г. указал, что эти символы лучше, так как тогда
«сразу видно, от какой переменной является функцией» X 1
или (там же). Лейбниц одобрил преложение И. Бернул-
ли, со своей стороны предложив особые знаки для разли-
чения нескольких функции аргумента ж, или для функций
двух и большего числа переменных,— знаки, пе появив-
шиеся тогда в печати н не вошедшие в употребление.
В 1698 г. в переписке обоих ученых слово функция при-
меняется уже в смысле аналитического выражения. Входят
в обиход в введенные Лейбницем слова «переменная ве-
личина» и «постоянная величина», хотя, как мы видели, в
ходу остается и термин «неопределенная величина».
Прошло, однако, еще 20 лет, прежде чем новое опре-
деление функции появилось в печати. В течение этого
времени и самый термин функция оставался мало кому
известным, хотя термины «постоянная» и «переменная»
рке получили распространение. Слова «функция» нет еще
в «Математическом словаре» Хр. Вольфа, вышедшем в
1716 г., хотя в нем мы находим статьи «Постоянная вели-
чина ((ЗпапШаз сопзЬанз, ете иптегапйегПсйе Сгёззе)»
и «Переменные величины (риапП1а1ея уапаЬПея, уег.ш-
йегПсйе Сгоззеи)». Последние определяются, как те, что
«постоянно (хштег) увеличиваются или уменьшаются,
когда другие увеличиваются или уменьшаются», причем
для примера указана зависимость между абсциссами и
ординатами (у Вольфа «полуординатами») кривой линии
и добавлено, что различение между обеими категориями
величин «очень нужно» в новом анализе Лейбница ([23],
стр. 1149—1150). Об аналитическом выражении зависимой
переменной величины через независимую здесь пе упоми-
нается, по об этом говорится в другой связи в статье
«Абсцисса (АЬзсхзза, (Не АЪзсгззе)»: «Кривые линии при-
нято отличать друг от друга с помощью отношения (Ке-
1аНоп) абсциссы АР к половине ординаты РМ» (I23],
стр. 4). В определении переменной величины Вольф ха-
рактеризует идею соответствия между переменными весь-
ма общим образом, но вряд ли он сам придавал этому
какое-либо особое значение.

Определение функции как аналитического выражения
было впервые со всей отчетливостью сформулировано в
печати в одной статье И. Бернулли, опубликованной в
Мёшохгез (Зе ГАсайёпне йез зсхенсез с!е Рапз за 1718 г.
Здесь И. Бернулли писал: «Определение. Функ-
цией переменной величины здесь называется количество,
составленное каким угодно способом из этой переменной
величины и постоянных» (I2 Ч, т. II, стр. 241). И здесь же ои
предложил в качестве «характеристики» функции (термин
Лейбница) греческую букву ф, записывая при этом аргумент
еще без скобок, так: фя. Скобки, как и знак функции /,
употребил впервые Эйлер в 1734 г. (1221, т. II, стр. 268).

На протяжении XVIII в. отношения анализа бесконеч-
но малых с геометрией и механикой, более того, со всей
математической физиков все более решительно изменя-
ются. Его исходные понятия освобождаются от геометри-
ческой и механической окраски, формулируются в ариф-
метико-алгебраических терминах и постепенно начинают
восприниматься как принципиально предшествующие ана-
логичным понятиям других точных наук. Для Ньютона
флюксия величины была ее скоростью, для Ж. Лагранжа
(сто лет спустя) скорость есть всего лишь производная
пути по времени. Этот процесс высвобождения, автономи-
зация анализа, перешедший в XIX столетии в процесс
все более сознательной арифметизации, был долгим.
Сперва он подчинил анализу механику, и лишь много
позднее потребовалось аналитически определить такие
понятия геометрии, как площадь, длина кривой и другие,
которые до того казались интуитивно очевидными и даже
пригодными для обоснованного определения через их по-
средство понятий самого анализа. При этом главным пред-
метом анализа становится понятие функции как аналити-
ческого выражения. Этот факт можно иллюстрировать,
сравнив первый курс дифференциального исчисления,
изданный по обработанным им лекциям И. Бернулли
Г. Лоппталем в конце XVII в., с руководствами по анализу
Л. Эйлера, вышедшими в середине XVIII в. Уже само
название книги Лониталя отражало зависимость исчисле-
ния бесконечно малых XVII в. от геометрии: на титуле
ее стоит «Анализ бесконечно малых для изучения кривых
линий» (1697). Эйлер предпослал изучению анализа «Вве-
дение в анализ бесконечных» (1748) из двух отдельных
частей.

В первой иЪ них строится чисто аналитическими
средствами теория элементарных функций, вторая посвя-
щена аналитической геометрии. Аналитическим является
изложение в «Дифференциальном исчисленпп» (1755) Эйле-
ра, где нет пи одного чертежа, ни одной ссылки на геомет-
рические представления или приложения.

5. В творчестве Эйлера понятие функции получило
дальнейшее существенное развитие. В предисловии к
«Введению в анализ бесконечных» он впервые выразил
только что упомянутый факт, что математический анализ
есть в сущности общая наука о функциях. «Весь анализ
бесконечных,— писал Эйлер,— вращается вокруг перемен-
них количеств и их функций» ([“1, т. I, стр. 19).

В главе 1 тома I Эйлер впервые же подвергает более
подробному исследованию общее понятие функции, факти-
чески применяемое в анализе. Прежде всего определяются
исходные понятия. Постоянной называется количество,
всегда имеющее одно и то же значение, а переменная
вводится, в сущности, как числовое множество. «Перемен-
ное количество,— писал Эйлер,— есть количество неопре-
деленное или всеобщее, которое содержит в себе решитель-
но все определенные значения» ([2>], т. I, стр. 24), причем
пояснял, что «переменное количество охватывает все числа
некоторого рода. Как пз понятии индивидов образуются
понятия видов и родов, так переменное количество явля-
ется родом, в котором содержатся все определенные ко-
личества» (там же). Под числом, добавляет Эйлер, пони-
мается и мнимое — мы бы сказали комплексное — число.

В определении понятия функции Эйлер сперва после-
довал за своим учителем II. Бернулли, заменив, впрочем,
слово «количество» на «аналитическое выражение»: «Функ-
ция переменного количества есть аналитическое выраже-
ние, составленное каким-либо образо.м из этого перемен-
ного количества и чисел или постоянных количеств» (там
же). Каков, однако, объем термина «аналитическое выра-
жение», о каких способах его составления идет речь?
Этот вопрос — в иной терминологии — возникал еще в
XVII в. Дж. Грегори в 1667 г. высказывался в том смысле,
что математика имеет дело с величинами, образованными
из других величин с помощью пяти операций алгебры,
включая извлечение корней (к которому, как он думал,
сводится решение алгебраических уравнений), «или любых
других операций, которые можно вообразить» (цит. по
I11], стр. 203). Конкретно, к действиям алгебры добавляет-
ся еще шестая операция, в сущности являющаяся предель-
ным переходом. Эйлер, перечисляя операции, с помощью
которых образуются аналитические выражения, к дейст-
виям алгебры добавляет так называемые теперь элемен-
тарные трансцендентные, а также интегрирование, которое
доставляет бесчисленное множество новых трансцендент-
ных. Далее по характеру операций производится класси-
математической физикой все более решительно изменя-
ются. Его исходные понятия освобождаются от геометри-
ческой и механической окраски, формулируются в ариф-
метико-алгебраических терминах и постепенно начинают
восприниматься как принципиально предшествующие ана-
логичным понятиям других точных наук. Для Ньютона
флюксия величины была ее скоростью, для Ж. Лагранжа
(сто лет спустя) скорость есть всего лишь производная
пути ио времени. Этот процесс высвобождения, автономи-
зация анализа, перешедший в XIX столетии в процесс
все более сознательной арифметизации, был долгим.
Сперва он подчинил анализу механику, и лишь много
позднее потребовалось аналитически определить такие
понятия геометрии, как площадь, длина кривой и другие,
которые до того казались интуитивно очевидными и даже
пригодными для обоснованного определения через их по-
средство понятий самого анализа. При этом главным пред-
метом анализа становится понятие функции как аиалити
ческого выражения. Этот факт можно иллюстрировать,
сравнив первый курс дифференциального исчисления,
изданный по обработанным им лекциям И. Бернулли
Г. Лопиталем в конце XVII в., с руководствами по анализу
Л. Эйлера, вышедшими в середине XVIII в. Уже само
название книги Лониталя отражало зависимость исчисле-
ния бесконечно малых XVII в. от геометрии: на титуле
ее стоит «Анализ бесконечно малых для изучения кривых
линий» (1697). Эйлер предпослал изучению анализа «Вве-
дение в анализ бесконечных» (1748) из двух отдельных
частей.

В первой из них строится чисто аналитическими
средствами теория элементарных функций, вторая посвя-
щена аналитической геометрии. Аналитическим является
изложение в «Дифференциальном псчисленпи» (1755) Эйле-
ра, где нет ни одного чертежа, ни одной ссылки на геомет-
рические представления или приложения.

5. В творчестве Эйлера понятие функции получило
дальнейшее существенное развитие. В предисловии к
«Введению в анализ бесконечных» он впервые выразил
только что упомянутый факт, что математический анализ
есть в сущности общая паука о функциях. «Весь анализ
бесконечных,— писал Эйлер,— вращается вокруг перемен-
ных количеств и их функций» ([“^1, т. I, стр. 19).

В главе 1 тома I Эйлер впервые же подвергает более
подробному исследованию общее понятие функции, факти-
чески применяемое в анализе. Прежде всего определяются
исходные понятия. Постоянной называется количество,
всегда имеющее одно и то же значение, а переменная
вводится, в сущности, как числовое множество. «Перемен-
ное количество,—писал Эйлер,— есть количество неопре-
деленное или всеобщее, которое содержит в себе решитель-
но все определенные значения» (I2’], т. I, стр. 24), причем
пояснял, что «переменное количество охватывает все числа
некоторого рода. Как из понятий индивидов образуются
понятия видов и родов, так переменное количество явля-
ется родом, в котором содержатся все определенные ко-
личества» (там же). Под числом, добавляет Эйлер, пони-
мается н мнимое — мы бы сказали комплексное — число.

В определении понятия функции Эйлер сперва после-
довал за своим учителем И. Бернулли, заменив, впрочем,
слово «количество» на «аналитическое выражение»: «Функ-
ция переменного количества есть аналитическое выраже-
ние, составленное каким-либо образом из этого перемен-
ного количества и чисел пли постоянных количеств» (там
же). Каков, однако, объем термина «аналитическое выра-
жение», о каких способах его составления идет речь?
Этот вопрос — в иной терминологии — возникал еще в
XVII в. Дж. Грегори в 1667 г. высказывался в том смысле,
что математика имеет дело с величинами, образованными
из других величин с помощью пяти операций алгебры,
включая извлечение корней (к которому, как он думал,
сводится решение алгебраических уравнений), «плп любых
других операций, которые можно вообразить» (цит. по
I11], стр. 203). Конкретно, к действиям алгебры добавляет-
ся еще шестая операция, в сущности являющаяся предель-
ным переходом. Эйлер, перечисляя операции, с помощью
которых образуются аналитические выражения, к дейст-
виям алгебры добавляет так называемые теперь элемен-
тарные трансцендентные, а также интегрирование, которое
доставляет бесчисленное множество новых трансцендент-
ных. Далее по характеру операций производится класси-
фпкация функций, и особо выделяются неявное и парамет-
рическое задания. А в главе 4 все многообразие приемов
образования функций сводится к одному: Эйлер утверж-
дает, что все аналитические выражения, как показывает
практика, могут быть представлены степенным рядом пли
в крайнем случае рядом по каким-либо возрастающим
дробным степеням аргумента. Таким образом, функции
математического анализа оказываются, вообще говоря,
аналитическими — термин, восходящий к Лагранжу, у ко-
торого оп, впрочем, имел смысл, отличный от того, кото-
рый придается ему теперь.

Здесь не место задерживаться па истории вопроса об
аналитической выразимости функций и проблемы разло-
жимости функций в степенные пли обобщенные степенные
ряды (см. (2К1). В данной связи существенно другое: когда
Эйлер издавал «Введение в анализ бесконечных», ему уже
было известно, что аналитических функций недостаточно
для решения стоящих перед математикой задач, прежде
всего задач математической физики и, в частности, задачи
о колебаниях струны с произвольно заданной начальной
формой и произвольным начальным распределением ско-
ростей точек. Описанная свободным движением руки сплош-
ная кривая, даже ломаная, состоящая из двух прямых от-
резков, как считал Эйлер, не представима одним аналити-
ческим выражением. Называя функцию или кривую,
всюду заданную каким-либо одним аналитическим выра-
жением, непрерывной (ЫпсНо соиНина), в смысле неиз-
менности закона ее задания, Эйлер поэтому дополнил
класс этих функций классом разрывных пли смешанных
функций ((нпсНоиез сПзсоиНпиае пли гшх1ас), которые на
различных участках области своего определения состоят
«из частей различных непрерывных кривых» (I25], т. II,
стр. 21), т. е. определяются двумя или более различными
аналитическими выражениями. Разрывные функции необ-
ходимы для решения уравнений с частными производными
и входят, вообще говоря, в пх интегралы.

Как известно, с решением линейного гиперболического
уравнения в частных производных 2-го порядка был свя-
зал знаменитый спор о природе произвольных функций,
которые могут входить в интеграл этого уравнения, спор,
в котором заняли различные позиции Эйлер, Ж. Даламбер
и Д. Бернулли и в котором потом участвовали Лагранж,
Лаплас и многие другие крупнейшие ученые. Спор о стру-
не имел большое значение для глубокой разработки многих
понятий и целых отделов анализа — теории уравнений
с частными производными, теории тригонометрических
рядов и тем самым теории функций и т. д. Для понятия
функции разгоревшаяся полемика была особенно важна.
Мы не можем, однако, останавливаться на различных
высказанных тогда мнениях о допустимом объеме понятия
функции и средствах ее задания, об эффективности тех
млн иных приемов аналитического выражения функций
и пр. (см. I27], 1281). Было бы интересно осветить спор о
струне с позиций современных нам дискуссий по тем же
вопросам, дискуссий, которые ведутся, разумеется, на
другом уровне и с помощью гораздо более мощных средств
математического н математико-логического исследования.

Для нас сейчас важно другое. Эйлер ошибался, пола-
гая, что его смешанные кривые, которые в нашем смысле
слова непрерывны или кусочно непрерывны, аналитически
невыразимы. С другой стороны, Эйлер был нрав, считая,
что смешанная функция, вообще говоря, не представима
степенным рядом, т. е. пе аналитична (не аналитической
может быть и наша непрерывная функция)*). Получилось,
что важный и обширный класс функций не подходит под
определение, положенное Эйлером вслед за И. Бернулли
в основание всего математического анализа. Если отдель-
ные примеры, встречавшиеся Эйлеру еще ранее, вроде
функции у = (—1)х, о своеобразных свойствах которой
он писал И. Бернулли еще в 1728 г., могли казаться па-
радоксальными и не заслуживающими внимания исключе-
ниями из общего правила, то теперь определение, данное
в т. I «Введения», вовсе утрачивало свою общность. Эти

*) Неверно думать, как это часто полагают, что Эйлер ни-
когда не принимал в расчет непрерывность функций в нашем смысле
слова. Так, исследуя вопрос о приближенном вычислении опре-
деленных интегралов, он указывает, что рекомендуемый им прием
хорош лпшь для функций, бесконечно мало изменяющихся при
бесконечно малом изменении аргумента (I29], стр. 101—165). Однако
Эйлер не счел нужным выделить класс функций, непрерывных в
этом смысле, и изучить их свойства.
обстоятельства, как и некоторые другие примеры по ана-
литических функции, побудили Ойлера дать другое, белое
широкое определение функции. Такое определение должно
было обнять все известные математике случаи и его Эйлер
усмотрел в понимании функции как произвольного соот-
ветствия между двумя множествами количеств.

Такое представление о функции в скрытом виде име-
лось у многих предшественников Эйлера, по его никогда
ранее по выдвигали как осиовпое и даже не высказывали
достаточно отчетливо,— вероятно потому, что математика
в нем по нуждалась. Эйлер первый воспользовался этой
идеей для конкретного научного исследования. В той же
главе 1 тома I «Введения в анализ бесконечных», где функ-
ция определена еще только как аналитическое выражение,
впервые формулируются некоторые общпс теоремы о функ-
циях, например о существовапип неявной функции и др.
Рассуждения, с помощью которых Эйлер доказывает эти
теоремы, с современной нам точки зрения неубедительны;
но в их основе лежит понимание функции как соответст-
вия, а не как аналитического выражения. Это же понима-
ние функции имеется в главах II и III того же сочинения,
где выясняется, что одна и та же функция может быть
представлена с помощью различных преобразуемых друг
в друга аналитических выражений, общим субстратом
которых и служит соответствие между множествами. «Все
преобразование,— писал Эйлер,— состоит в выражении той
же функции другим образом, ибо, как известно из алгебры,
одно и то же количество может быть выражено во многих
различных формах» (I25], т. I, стр. 34; ср. [30], стр. 480).

Свое общее определение функции Эйлер сформулировал
в предисловии к «Дифференциальному исчислению» 1755 г.
Оно гласит: «Когда некоторые количества зависят от дру-
гих таким образом, что при изменении последних и сами
они подвергаются изменению, то первые называются
функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно
широкий характер; оно охватывает все способы, какими
одно количество может определяться с помощью других.
Итак... все количества, которые как-либо зависят от х,
т. е. определяются им, называются его функциями» (I31],
стр. 38).
К этому-то определению Эйлера и примыкают опредо-
пенпя, данные II. И. Лобачевским (1834) п II. Лежен-Ди-
пихле (1837), из которых второе вошло в позднейшие руко-
водства по анализу. При этом, разумеется, Дирихле и
последующие математики имели в виду функции гораздо
более сложной природы, чем Эйлер, хотя и он, как мы
видели, знал примеры функций, вроде у - (—1)х, опре-
деленной только для рациональных х, представимых как
дроби с нечетным знаменателем.

Определение функции, данное Эйлером в «Дифферен-
циальном исчислении», в некоторых отношениях опережа-
ло реальные потребности его времени и служило главным
образом для разрешения указанных выше трудностей;
фактическое же применение этой идеи, как мы сказали,
не было еще удовлетворительным. Определение Эйлера —
Лобачевского — Дирихле имеет и принципиальные недо-
статки. Еще Г. Гаикель отмечал чисто номинальный ха-
рактер формулировки Дирихле (I18], стр. 223). Современ-
ный математико-логический анализ раскрыл глубокие
трудности, кроющиеся в этом определении. При всем том
восходящее к Эйлеру определение сыграло огромную по-
ложительную роль, послужив,— если воспользоваться
словами, сказанными в другой связи,— «средой свободного
становления» всех сложных и смелых конструкций теории
функций второй половины XIX и первой половины XX в.

Л II Т Е Р А Т У Р А

I. С. В. В о у с г, Т1ю 1Й81огу оГ Ню са1сп1ия апй Ия сонсерНта!
йолчйортмН (1939), 3 ей., К. V., 1959.

1958^ 8 т 1 I И, П)я1огу о! таНютаНсз, V. I (1923), К. V.,

3. XV. На г 1пег апй М. 8 с й г а т т, А1.— Гйгшй апй Ню
Нюогу оГ Ню 5о1аг а родео: ап ехатр!е оГ опдта1Ну 1п АгаЫс 8с1епсе.
8с1епНПцие ейапде, ей. йу А. С. СготЫе, Ьопйоп, 1963.

4. С. В. В о у е г, ШзЬогу ей Апа1уНс Сеоте1гу, Ы. V., 1956.
, . I- П о Г т а п в, СезсЫсЫе йег МаПютаНк, т. I (1953),
2 АвП., ВегИп, 1963.

6 II. 1 е I о 1 I п о г, Бог «ТгасШпя йе 1аН1ий1п1Ьиз Гогта-
гптп^йоя Огеято. ВПй. АГаПютаНса, 3 Е., В. 13(1912/13).
м ^!‘ Е' Т- й с 1 1, Т1ю йг\т]орпюп1 о! таНютаНс-ч (1910), 2 ей.,

' •— Ьопйоп, 1915.

8л А- 1Э 4- У о и я с И к с V 1 1 с й, Нетагдиез зиг 1а тёПюйс апН-
рю (I ехйаизНоп. Ме1апдез А1охапйге Коугё, I, Рапз, 1964.
9. Б. Т. АУЫ^сзтйе, РаПегпз о! шаНюшаНса! Нюи$1П Ь
Ию 1а1ег зеуеп1еен1к сепЬигу.— ЛгсЫус Гог ЫзЪогу оЕ ехас! зшепсез,
ей. Ьу С. ТгиезйеП, уо1. 1, Н 3, 1961.

10. Аристотель, Физика, перев. В. П. Карпова, М., 1936.

11. II. Бурбаки, Очерки по истории математики, перев.
II. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, М., 1963.

12. Н. Оре м, Трактат о конфигурации качеств, перев.
В. П. Зубова.— Ист.-матем. исслед., XI, 1958.

13. М. С 1 а е 11, ТЬе Бшепсе оЕ тесЬатсз 1п №е М1йй1е Лдез.
МаФзоп, 1959.

14. Л. П. Юшкевич, История математики в средние века,
Физматгиз, М., 1961.

15. Р. Декарт, Геометрия, с приложением избранных работ
П. Ферма и переписки Декарта. Перев., прим, и статья А. П. Юш-
кевича, М.— Л., 1938.

16. Г. В. Л е й б и и ц, Избранные отрывки из математических
сочинений, перев. А. П. Юшкевича, УМН, III, I (23), 1948.

17. Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1952.

18. О. В е с к е г, Сгипй1а#еп йег Ма1ЬешаНк хп ^сясЫсЫ!
скег ЕпГ\у1ск1ип#, МйпсЬсп, 1954.

19. Р. В о и I г о и х, ЬЧйёа! зшепННдие Йез тпаПхётпаНаепз,
Рапз, 1920.

20. И. Н ь ю т о и, Математические работы. Перев. с лат. и ком-
ментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.— Л., 1937.

21. О. М а Ьпк е, Кене ЕхпЬНске тп Фе Еп^йескип^здезсЫсЫе
йег Ъойегеп Апа1уз!з. АЬЬ. Ргеизз. Акай. АУ1зз. РЬуз.-МаПк К1.,
1925, Ы 1 (1926).

22. Г. С а ] о г у, А 1пз1огу оЕ шаЕЪешаНса! поЕаНопз, у. I
II, 2 ей., СЫсадо — Ьонйоп, 1930.

23. С к г. АУ о 1 Е Е, МаНюшаНзсЬез ЬехЕсоп, йз^. ипй Ьеаг
ЬеИс1 уоп I. Е. ПоЕтаии (= СЪг. АУ о 1Е Е, СезаттеДс АУегкс,
1 АЪ1., В II), НПйезЪеЕт, 1965.

24. I о к. В е г и о и 1 И, Орега опнпа, уо1. II, Ьапзаппае
е! Сепеуае, 1742.

25. Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, перев.
с лат. Е. Л. Пацаповского, ред. И. Б. Погребысского, т. П, пе-
рев. с лат. В. С. Гохмапа, ред. И. Б. Погребысского, М , 1961.

26. А. И. М а р к у иг е в и ч, Элементы теории аналитических
функций, М. , 1944.

27. А. И. М а р к у ш е в и ч, Основные понятия математп
ческого анализа в трудах Эйлера.— Сб. «Леонард Эйлер», М., 1956.

28. А. Б. П а п л а у с к а с, Тригонометрические ряды от
Эйлера до Лебега, М., 1966.

29. Л. Э й л е р, Интегральное исчисление, т. Т. Перев. с лат
С. Я. Лурье и М. Я Выгодского, М., 1956.

30. II. Г. Б а ш м а к о в а и А. П. 10 ш к е в и ч, Леопард
Эйлер.— Ист.-матем. исслед., А II, 1954.

31. Л. Э й л е р, Дифференциальное исчисление, перев. с ла г
статья и примечания М. Я. Выгодского, М.— Л., 1949.
о РОЛИ М кТЕМ АТПЧЕСКОЙ СТРОГОСТИ
в ТВОРЧЕСКОМ РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ

II СПЕЦИАЛЬНО О «ГЕОМЕТРИИ» ДЕКАРТА*)

С. А. Яновская

§ 1. Издавна — еще с античной древности — отличи-
тельной чертой математики считалась ее строгость. Именно
математическая строгость — строгая логическая необхо-
димость математических доказательств и точность вычисле-
ний — делала математику образцом наук п рассматрива-
лась как обеспечивающая ей высшую степень достоверно-
сти и объективности-. Идеалистам рационалистического
толка это представлялось особенно привлекательным,
поскольку, казалось, давало возможность защищать тезис
о том, что критерием истины в математике является не
критерий практики, а формальная строгость. Но и материа-
листически мыслившие (в применении к своей науке) ма-
тематики,— даже в XVIII в., т. е. в эпоху, когда, как
писал Энгельс I1], «девственное состояние абсолютной
значимости, неопровержимой доказанности всего матема-
тического навсегда ушло в прошлое»,— не хотели отказать-
ся от претензий на математическую строгость, и притом
понимаемую по-прежнему, т. е. как гарантирующую абсо-
лютную надежность результатов математики. В подтверж-
дение достаточно еще раз привести неоднократно приводив-
шиеся в этой связи высказывания Л. Эйлера, направленные
против таких аргументов защитников актуально беско-
нечно малых Лойбница, которыми пользовался, например,

*) Часть (начало и конец) этой статьп с указанием, что полно-
стью опа еще будет опубликована, помещена в журнале «Вопросы
философии», № 3, 1966. Здесь статья печатается полностью.
Хр. Вольф. В своих «АпТап^з Сгипбе» Вольф (1710 г.)
писал: «Заметьте хорошенько, что бесконечно малая вели-
чина только по сравнению с другой может быть принимаема
за нуль; сама же по себе она не является нулем. В самом
деле, представьте, что вы желаете измерять высоту горы
и что во время этой работы ветер сдул песчинку с ее
вершины. Итак, гора стала ниже на диаметр песчинки.
Однако, так как измерение горы производится такт!
образом, что величина высоты окажется одной и той же,
лежит ли песчинка па ее вершине или сдута ветром, то
можно считать песчинку по сравпенпю с большой горой
за ничто п, таким образом, считать ее величину по сравне-
нию с высотой горы за бесконечно малую» [2].

В противоположность этому Эйлер вводил свое исчис-
ление дифференциалов как пулей («разных» нулей, нуж-
дающихся и в разных обозначениях, поскольку «два нуля
могут иметь друг к другу любое геометрическое отноше-
ние, хотя с арифметической точкп зрения их отношение
есть отношение равенства» [3]) и писал: «Поэтому само
собой отпадает возражение, ставящее в упрек анализу
бесконечно малых пренебрежение геометрической строго-
стью, все то, что отбрасывается, есть не что пное, как
подлинный нуль. II потому с полным правом можно утверж-
дать, что и в этой высшей пауке столь же тщательно соб-
людается величайшая геометрическая строгость, какую
мы находим в книгах древних авторов» [4].

Именно в этой строгости Эйлер и видел гарантию на-
дежи остп математики. «Что чувства часто пас обманы-
вают,— это, конечно, верно,— писал оп, — по такое воз-
ражение меньше, чем кому-нибудь другому, может быть
сделано математикам. Ведь именно математика в первую
очередь защищает пас от обмана чувств и учит, что одно
дело - как на самом деле устроены предметы, восприни-
маемые чувствами, другое дело — какими они кажутся;
эта наука дает надежнейшие правила; кто им следует,
тому пе опасен обман чувств» |б].

Вообще математикам трудно было примириться с тем,
что и в их строгой науке обнаруживалось неблагополучие.
То обстоятельство, что можно быть строгим математиком
и пе располагать тем пе менее объективным критерием
ценности новых математических открытии и теории, очень
удивляло их еще в конце прошлого века. Так, по поводу
своей знаменитой «Эрлангенской программы» (1872 г.) и
содержавшихся в ней идей нового тогда построения основ
геометрии Феликс Клейн уже в начале 20-х годов нашего
века писал: «Эти мои мыслп натолкнулись на жестокое
противодействие с совершенно разных и взаимно противо-
речащих сторон и по основаниям самого различного рода;
вот прекрасный пример того, как много приходится затра-
тить труда, даже в нашей, кажущейся объек-
тивной, пауке, для того чтобы провести новую
идею» Iе 1 •

§ 2. В своих «Лекциях о развитии математики в XIX
столетии» Клейн высказал ряд соображении, относящихся
к математической строгости. С некоторыми из них трудно
не согласиться. Так, он подчеркнул, например, что, как
это показывает история математики, понятие «строгости»
развивается лишь постепенно «в процессе общего пр и рос-
са науки»; что в ходе его развития оказываются превзой-
денными п представлявшиеся абсолютно безупречными
каноны строгости, характерные для таких математиков,
как Евклид, Гаусс и Вейерштрасс; что «и в этом отноше-
нии развитие науки столь же неограниченно, как и в
творческой силе создания нового» [7].

Но в то же время Клейн противополагал логическую
строгость творческой активности, и в соответствии с этим
выделял в истории математики периоды творческие и
критические. «В периоды неудержимого роста творческой
продуктивности,— писал он,— требование строгости часто
отступало на задний план, уступая стремлению к возмож-
но большему и быстрейшему обогащению научного достоя-
ния. В следующие же за тем периоды критики — периоды
просеивания и очистки достигнутых приобретений —
стремление к строгости начинало опять играть доминирую-
щую роль» [8]. В подтверждение он ссылался на эпоху
бурного развития дифференциального и интегрального
исчислений в XVIII в. и создание теории алгебраических
кривых в XIX в., с одной стороны, и на «эпоху схоласти-
ки, сочетавшую незначительную продуктивность с вели-
чайшей остротой критического ума», с другой.
Та же история математики, особенно более близкая к
современности, свидетельствует, однако, о том, сколь
важную роль для получения новых результатов в матема-
тике, для решения наиболее трудных ее задач, для созда-
ния новых, революционных, направлении в науке могут
иметь достижения в области, относящейся к проблематике,
связанной с требованиями логической строгости. В этой
связи достаточно напомнить, что Лобачевский пришел к
неевклидовой геометрии, исходя из того, что «никакая
Математическая наука не должна бы начинаться с таких
темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем
мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть
такого недостатка строгости, какой принуждены были до-
пустить в теории параллельных лпнпй» [9]. Достаточно
заметить, что важнейшие результаты в области математи-
ческого анализа в XIX в. были получены благодаря тому
и после того, как в ходе ряда дискуссий были уточнены
основные понятия анализа: понятия действительного и
комплексного числа, предела, непрерывности, функции.
(В результате дискуссии о понятии функции тригономет-
рические ряды стали играть роль одного из важнейших
средств выражения функциональной зависимости в ма-
тематике п математической физике. «Фундаментальные
последовательности» Коши [10] пе только вывели — для
области действительных чисел сначала — понятия «пре-
дела» и «действительного числа» из того порочного круга,
в котором «предел» определялся через «действительное
число», а «действительное число» через «предел», и позво-
лили, таким образом, точно определить основные понятия
математического анализа: «непрерывность», «производную»
«интеграл» п др., чтобы строго доказывать теоремы о них,
по и привели в дальнейшем к повой проблематике, связан-
ной с необходимостью различения «равномерной» и «не-
равномерной» сходимости п непрерывности, а затем и с
более общими проблемами современных топологии и функ-
ционального анализа.) Не говоря уже о той роли, и при-
том имеипо в творческом развитии математики копца
XIX — начала XX в., которую сыграло создание теории
множеств — науки, заведомо лежащей на границах логи-
ки п математики, о творце которой, Георге Канторе,
ф. Клейп писал, что оп «педаром учплся у схоластиков*),
у которых воспринял, очевидно, «дух критики, стремление
разложить на простейшпе элементы всякий логический
шаг, «идеал строгости»» [111. Хотя Клейн, по-впднмому,
считал теорию множеств нужной «только» для целей обос-
нования математики и хотя с этой задачей она заведомо
пе справилась, поскольку в пей были обнаружены про-
тиворечия, значение теории множеств для всей «класси-
ческой» современной математпкп — ее не только критиче-
ских, по и творческих направлений — трудно переоценить.
В сущности и современные конструктивные направ-
ления в математике своим возникновением во многом
обязаны... теории множеств, развитие которой вскры-
ло трудности, связанные с «теоретико-множественным
методом мышления»: с абстракцией актуальной беско-
нечности.

Значение логической строгости и вообще философских
проблем, связанных с логическим уточнением понятий и
методов математики и математической логики, для раз-
вития этих паук наиболее ярко видно, однако, на совре-
менном этапе этого развития. Здесь опять достаточно
ограничиться небольшим числом примеров.

Давно известно, конечно, какую роль сыграло строгое
уточнение постановки задачи для решения знаменитых
задач древности о квадратуре круга, трисекции угла и
удвоении куба. Более двух тысячелетий эти задачи не уда-
валось разрешить: неизвестно было даже, можно ли счи-
тать решениями многочисленные способы построения (с
помощью различных инструментов) квадрата, равновели-
кого данному кругу, угла, являющегося третью данного
угла, или куба, объем которого в два раза больше объема
данного куба, то и дело предлагавшиеся разными авторами,
также начиная еще с античной древности. Лишь когда
эти задачи были точно сформулированы как задачи на
построение именно циркулем п линейкой и была ио ше-
стью выяснена связь таких построений с решением квад-
ратных уравнений, оказалось возможным строго дока-
зать, что так поставленные задачи неразрешимы: цир-
кулем и линейкой требуемые в них построения нельзя
осуществить.
По особенно яркий пример того, сколь важную роль
для продуктивного творческого развития науки может
играть удовлетворяющее требованиям математической
строгости уточнение понятий, дает история понятия алго-
рифма. Начиная с 30-х гг. нашего вока это понятие
получило даже много таких уточнений. К числу их при-
надлежат: «машина Тьюринга», «Х-опредслпмость Чёрча»,
«конечные комбинаторные процессы Поста», «рекурсивные
функции Гёделя и Клини», «нормальные алгорифмы Мар-
кова», «алгоритмы по Колмогорову и Успенскому», «опе-
раторные алгорифмы Ершова», «алгорифмы, определяемые
граф-схемами Калужнпна» и многие другие. (Как известно,
все эти определения эквивалентны: каждое из них влечет
каждое другое. II в силу того, что все они удовлетворяют
требованиям математической строгости, их эквивалент-
ность может быть строго доказана.) Достигнутое таким
образом уточнение понятия алгорифма не только позво-
лило впервые доказать несуществование ряда алгорифмов,
над бесплодными поисками которых крупнейшие матема-
тики и логики бились много лет, не только легло в основу
ряда понятий и предложении теории автоматов, матема-
тической лингвистики и других разделов кибернетики.
Оно привело к созданию и к очень продуктивно]! творче-
ской разработке — прежде всего у нас в Советском Сою-
зе — нового, конструктивного, направления в математике,
все понятия и теоремы которого (часто весьма неожидан-
ные и трудные) всегда основаны на теории алгорифмов.
Вообще, по праву можно сказать, что лицо современной,
прежде всего машинной, математики все более и более
определяется именно тем, что в связи с развитием фило-
софских п логических оснований математики, а также ло-
гической теории математического доказательства было
строго уточнено понятие алгорифма (и эквивалентное ему
понятие рекурсивной, пли вычислимой, функции).

§ 3. Но если так, то в чем дело? Почему, если верно
утверждение Клейна, что «в очень редкие эпохи дух кри-
тики, стремление разложить на простевшие элементы вся-
кий логический шаг, «идеал строгости», были столь сильны,
как во времена схоластики» I12],— кстати, оно докумен-
тально подтверждается многочисленными выдержками из
трудов схоластов в «Формальной логике» Бохенского I13],—
столь незначительной была продуктивность «точных»
паук в этот период?

Суть дела в том, что математическая или логическая
«строгость» сама по себе отнюдь не является еще гаран-
тией истинности и надежности науки. Нетрудно привести
примеры, где строгая последовательность выводов могла
принести — и действительно принесла — только вред про-
грессивному развитию науки. Именно так это и бывало
неоднократно во времена схоластики, когда фплософпя
(логика в том числе) была призвана играть роль служанки
богословия. Действительно, если «усердие к истине»
1) требует «считать истинным все то, что содержится в
писании», и 2) запрещает «толковать священное писание
вразрез с тем смыслом, который общепринят святыми
отцами», то из того, что учение Коперника «противоречит
многим местам священного писания, буквальный смысл
которых, установленный согласно всеми святыми отцами,
свидетельствует о противном (этому учению)», следует,
что нельзя быть «движимым усердием к истине» и не
считать при этом учение Коперника ложным. В этом
рассуждении священнослужителя доминиканского ордена
Фомы Каччинп, заимствованном из протокола его допроса
по делу Галилея I14], нарушений логической строгости
заведомо нет: посылки, пз которых исходит брат Каччинп,
со всею строгостью влекут заключение о том, что учение
Коперника ложно. Вряд ли можно считать, однако, такое
заключение содействующим продуктивному развитию
науки.

Конечно, п схоласты знали, что из ложных посылок
можно вывести ложное заключение. Однако как обеспе-
чить истинность посылок, если запрещается сомневаться
11 догматах веры? Именно против этого догматического
способа мышления и выступили все прогрессивные ученые
эпохи Возрождения. Больше того, силлогистика Аристо-
теля и относящиеся к ней логические труды схоластов не
могли уже удовлетворить потребностей развивающейся
науки в средствах доказательства — в правилах логики
научного мышления. Математика, прежде всего, очень
нуждалась в таких правилах вывода, которые давали бы
ей возможность доказывать теоремы о любых объектах
какого-нибудь рода, даже если этих объектов сколь угодно
много ц теорема может быть доказана специально для
каждого из них, но доказательство этого объекта а отлично
от доказательства для объекта Ь, если Ъ отличен от </.
Как проверить, однако, что теорема действительно может
быть доказана для любого объекта какого-нибудь рода,
если это доказательство всякий раз другое, а объектов
бесконечно много? Ведь нельзя осуществить бесконечное
множество доказательств! Наиболее естественный выход
из затруднений такого рода даст правило полной индукции,
позволяющее сводить — при определенных условиях —
доказательства, которые должны выглядеть по-разному
для разных элементов какого-нибудь бесконечного множе-
ства,— хотя доказывают для всех них одно и то же,—
к доказательствам, которые осуществляются по-разному
только для конечного (чаще всего даже только единичного)
множества объектов и совершенно одинаково для всех эле-
ментов некоторого бесконечного множества (чаще всего для
всех натуральных чисел).

§ 4. В пояснение приведу пример, который нам еще
понадобится, но который здесь можно было бы опустить.

Пусть мы хотим доказать непротиворечивость некото-
рой формальной теории Т достаточно простого вида, со-
держащей лишь конечное число аксиом и правил вывода,
каждое пз которых дает заключение из какого-нибудь
конечного множества посылок, а вывод есть цепочка (ряд)
формул (быть может, и пустой ряд), члены которой суть
либо аксиомы, либо формулы, полученные пз каких-
нибудь предшествующпх формул цепочки по одному пз
правил вывода. Если в языке этой теории есть отрицание
и конъюнкция (союз «и»), то непротиворечивость ее можно
понимать как невыводимость в ней формулы вида ($1 и
не-%), где — формула этой теории*). Но выводимых

*) В обычных формальных теориях, где из противоречия сле-
дует все, что угодно, достаточно показать существование в языке
этой теории хотя бы одной формулы, невыводимой в ней. Еслп в
языке теории ист отрицания, то под непротиворечивостью се и
понимают обычно существование в се языке формулы, невыводимой
в ней.
Формул в Т бесконечно много (достаточно заметить, что
г ли А — аксиома, то выводимы и сама Л, и (Л & Л),
гДе & ___ знак конъюнкции, и ((Л & Л) & Л), и (((Л & Л)
&Д)& Л) И т. д.).

Выписать все выводимые формулы, чтобы уоедпться
в том, что среди них пет формулы вида (2( и ие-ЧЬ), поэтому
невозможно, но естественно поступить так: отыскать та-
кое свойство 5, для которого можно доказать:

(1) что каждая из аксиом обладает этим свойством
5 (чаще всего доказать по-разному для каждой пз этих
аксиом);

(2) что каждое пз правил вывода сохраняет это
свойство, т. е. если посылки обладают (все!) свойством 8,
то и заключение, получаемое по этому правилу, также об-
ладает свойством 8 (здесь опять приходится давать особое
доказательство для каждого пз правил в отдельности*));

(3) что никакая формула вида (21 и не-21) не обладает
свойством 8 (это доказательство, которое относится к бес-
конечному множеству различных формул, проводится
обычно для любой формулы этого вида, иными словами,
одинаково для всех таких формул).

После этого доказать, что никакая формула вида (21
и иг-21) невыводпма в 7, уже нетрудно: достаточно пока-
зать, что все формулы, выводимые в 7, обладают свойст-
вом 5. Это можно осуществить так: всякому выводу поста-
вить в соответствие его длину, т. е. число его шагов (шаг
вывода состоит в написании аксиомы или формулы, полу-
чаемой в результате применения одного из правил вывода),
и затем показать, что в каждом выводе любой длины
п(н>1) последняя (заключительная) формула непремен-
но обладает свойством 8. Такая теорема уже не будет до-
казываться одинаково для любого п. Но а) для п = 1 она
уже доказана в силу (1), поскольку первый шаг вывода
может состоять только в написании аксиомы, б) Если мы
Допустим теперь, что наша теорема доказана для любого

*) Но здесь уже не исключена возможность, что доказательство
южет потребовать в свою очередь применения правила полной
мьт ’КЦПИ' МЫ предполагать, одпако, что с этой трудностью

Уже справились, и пойдем дальше. Из дальнейшего будет видно,
стностн, что можно делать и в таких случаях.
выводе!, длина которого пе больше чем некоторое фикси-
рованное число п, то в силу (1) п (2) она будет доказана и
для каждого вывода длины н +1; ведь формула, которую
мы напишем на н+1-м шагу, есть либо аксиома (и, зна-
чит, обладает свойством 8 в силу (1)), либо же опа есть
формула, полученная по какому-нибудь правилу вывода
из формул, обладающих свойством 5 согласно нашему до-
пущению (почему и она должна обладать свойством 8 в
силу (2)).

Но в таком случае паша теорема будет уже доказана
для любого вывода любой длины п.

Мы видим, таким образом, что правило полной матема-
тической индукции, которое мы применили здесь, дейст-
вительно разрешает сводить доказательства, осуществля-
емые по-разному для разных а, к таким доказатель-
ствам, каждое из которых относится только к одном у
объекту: вполпс определенному (как, например, число 1)
или произвольному (как, например, «фиксированное на-
туральное число «»). Иными словами, оно позволяет сво-
дить (при определенных условиях) доказательства, осу-
ществляемые по-разному для разных а, к таким доказа-
тельствам, которые выполняются одинаково для любого
/г, если доказывают что-нибудь для всех п (например, «на-
следование» свойства 8 выводом длины п +1 от всякого
вывода длины тг, обладающего этим свойством).

Этот последили способ доказательства общих предло-
жений, называемый иногда «правилом Локка», и есть при-
нимаемое обычно в исчислении предикатов правило «обоб-
щения», или «введения квантора общности», позволяющее
из доказанности Р(а) сделать заключение о доказанности
УхР(х) (для всех хР(х) ). (Из того, что теорема доказана
для равнобедренного треугольника АВС, сделать заклю-
чение, что она верна для всех равнобедренных треуголь-
ников )

§ 5. Употребляемое как правило вывода, т. е. лог п-
ч е с к о е по своей природе, правило полной математи
ческой индукции прочно вошло в математический обчхол
уже в XVII в. В современной логике оно приняло более
общую форму, имеющую ряд подвпдов: структурная ин
дукция, дедуктивная индукция, натуральная (пли мате-
иатическая) индукция [15]. Значение его трудно переоце-
нить Дело в том, что всякая формальная система (исчис-
ление или дедуктивная теория) строится индуктивно. Это
значит, что индуктивный характер носят как правила об-
разования ее термов (объектов) и формул (высказываний),
так и правила преобразования, выделяющие среди фор-
мул доказанные (теоремы). И те и другие указывают
сначала, в чем состоит базис индукции (какие элементар-
ные термы и элементарные формулы вводятся правилами
образования и какие аксиомы — правилами преобразова-
ния), а затем, как проделывается индуктивный шаг
(из элементарных термов и формул строятся сложные тер-
мы и формулы; начиная с аксиом, выводятся теоремы).
Чтобы построить общую теорию таких формальных систем
(т. е. настоящую теоретическую «формальную логику»,
а не какую-нибудь специальную формальную систему,
которую объявить «логикой»), необходимо располагать
прежде всего правилом полной индукции. Именно это
правило позволяет доказывать общие свойства 8 любых
термов, формул или теорем формальной теории, 1) прове-
рив вероятность их для базиса (элементарных термов,
формул или аксиом) и 2) показав, что каждый шаг построе-
ния сохраняет свойство 5 (т. е. наследуется объектом,
строящимся на этом шагу, если объекты, из которых он
строится, обладают им).

Индуктивный характер всякой точной дедуктивной
науки был, конечно, уже известен в XVII в. и особенно
подчеркивался Декартом, который неустанно говорил о
том, сколь важно в науке расположить все предметы, нуж-
дающиеся в исследовании, в определенном порядке, начи-
ная с простейших, по ступеням (или «как бы по ступеням»*))
с тем, чтобы, «исходя из интуиции простейших, восходить
по тем же ступеням к позпашпо всех остальных» («Прави-
ла для руководства ума» [17]). Такое расположение он

*) Третье правило «Рассуждения о методе» требует «придержи-
ваться определенного порядка мышления, начиная с предметов
наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя посте-
пенно к познанию наиболее сложного, предполагая порядок
Даже и там, где объекты мышления вовсе не даны в их естественной
связи» [1в].

И Пстор.-матем. исслед., вып. XVII
даже часто называл при этом «энумерацией или индукцией»
[18] и сравнивал с цепью, в которой, если она слишком
длинная, «мы не можем различить одним взглядом все
кольца», «но тем не менее, если мы видели соединение
каждого кольца с соседним порознь, то этого нам уже бу-
дет достаточно, чтобы сказать, что мы видели связь по-
следнего кольца с первым» [19].

Замечательно, что конструктивный характер такого
построения дедуктивной пауки также подчеркивался уже
Декартом. Действительно, говоря о том, как сводить труд-
ное к простому, Декарт писал:

«Не следует с первого раза приступать к изучению
трудных и недоступных вещей, но необходимо начинать
с самых легких и простых и главным образом таких, в
которых более всего господствует порядок. Примером
последнего может служить искусство ткачей и обойщи-
ков, искусство женщин вязать спицами или переплетать
нити тканей в бесконечно разнообразные узоры; таковы
все действия над числами и вообще все, что относится к
арифметике, и т. п» р°].

Для сравнения приведу теперь слова, которыми один
из видных представителей современной конструктивной
математики и логики, Пауль Лоренцен, начинает раздел
«Логика» в своей книге «Введение в оперативную логику
и математику»:

«Схематическое оперирование с фигурами знакомо каж-
дому. Например, при построении стены кирпичи кла-
дутся друг на друга по некоторой схеме. При вязании
спицами схематически делаются и связываются друг с
другом петли. Сложение и умножение натуральных чи-
сел — это не что иное, как схематические операции.
Вообще в математике все снова и снова выступают и на
высших стадиях ее развития схематические операции»
I21]. Именно общую теорию такого «схематического»
оперирования по определенным — конструктивным —
правилам и представляет собой «оперативная» логика
Лорснцена.

Больше того, именно эти — логические! — идеи Де-
карта, находящиеся, так сказать, на подступах к точной
формулировке правила полной индукции (как известно,
леднее, в форме полной математической индукции, было
Почно сформулировано уже Б. Паскалем), определяют
т0 следуя которому, Декарт построил свою «Геомет-
ПЛ10>>’_труд» приведший к созданию принятой нами и

^ейчас буквенной алгебры и аналитической геометрии и
лежащий в основе всего дальнейшего исторического разви-
тия математики.

Логика Декарта но оыла еще строго сформулирована
им. Пи «Правила для руководства ума», ни «Рассуждение
о методе» не содержат еще точных формулировок правил
этой логики. Однако она уже была достаточно осознана
(и достаточно попятно изложена), чтобы действительно
позволить науке выйти за пределы тех средств логическо-
го вывода, которые были доступны даже весьма тонким
(в логике!) схоластам, прежде всего позволить это самому
Декарту.

Декарт был горячим противником схоластики, об узах
которой он неоднократно говорил. Это отнюдь не означает,
однако, будто его «Рассуждение о методе» имеет только
методологический, а не логический (т. е. относящийся не-
посредственно и к способам логического вывода) характер.
Нетрудно показать, что творческая продуктивность Де-
карта в области математики была обусловлена именно тем,
что его «Правила для руководства ума» содержали и новые
правила логического вывода, — в частности, близкие уже
к методу полной математической индукции. Таким обра-
зом, и здесь логическая строгость математики шла не враз-
рез с творческим развмтиехМ этой науки, а, наоборот, со-
действовала ему. Но только другая логическая строгость,
такая, в которой действительно нуждалась наука.

Само собою разумеется, что если «нетрудно показать»
что-то, то нужно хотя бы намекнуть, как именно делается
это. Останавливаться на этОхМ во всех деталях в настоящей
статье вряд ли имеет смысл. Мы поэтому ограничимся
некоторыми пояснениями в следующем параграфе.

§ 6. Как известно, в «Началах» Евклида все задачи ре-
шаются не вычислением, а построением, и притом именно
Циркулем и линейкой (правда, не реальными, а идеаль-
ными циркулем и линейкой), т. е. сводятся к построению
прямых и окружностей.
Суть дела в том, что эта геометрия метрическая: в нем
имеются понятия длины отрезка, площади поверхности,
объема тела.

Но уже «длина отрезка» приводит к трудностям: диа-
гональ квадрата оказывается несоизмеримой с его сто-
роной; и если принять сторону квадрата за единицу,
то диагональ должна будет иметь длину )Л2, что невы-
разимо никаким рациональным числом (как это было ши-
роко известно уже во времена Аристотеля). Между тем
построить квадрат (идеальными!) циркулем п линейкой
можно с абсолютной точностью. А тогда не менее точно
будет строиться и его диагональ, вычислить длину кото-
рой можно только приближенно.

Однако уже задача построить куб, объем которого в
два раза больше объема данного куба, приводит к необ-
ходимости построить отрезок, длина которого должна
з_

быть равна ]/2. Строго доказать, что такая задача цирку-
лем и линейкой неразрешима, Декарт еще не сумел. Но он
уже пытался доказать это и, главное, знал, что достаточно
допустить, помимо окружности и прямой, конические се-
чения, чтобы задача стала разрешимой. Какие же инстру-
менты (и соответствующие им кривые) можно допускать в
геометрии, «если, как это и делают, почитать геометриче-
ским то, что определенно (ргесш) и точно (ехас1), а меха-
ническим то, что не таково» [22].

Заметим, что и Декарт не допускал в математике ир-
рациональных чисел, поскольку их нельзя вычислить с
полной точностью. Приближенные вычисления уместны,
правда, с его точки зрения, в механике, но неуместны в
такой «строгой» науке, как математика. Как и Евклид,
Декарт полагал поэтому, что алгебраические задачи нужно
решать не вычислением, а построением. Однако Евклид
ограничивался только задачами, сводящимися к квадрат-
ным уравнениям, а Декарт хотел решать алгебраические
уравнения любого порядка. Свою алгебру он строил как
геометрическое исчисление отрезков, в котором, в отличие
от того, как это делал Виетт, произведение двух отрезков
было также отрезком (а не площадью) и строилось (цирку-
лем и линейкой) на основе теории пропорций с помощью
поведения параллельных прямых *). Эта алгебра была,
аким образом, изоморфна арифметической алгебре, в
которую ее и перевели в дальнейшем Ньютон и Лейбниц;
однако в ней еще уравнения должны были решаться, и
пиитом не приближенно, а точно, с помощью построения,
аРне вычисления. Но для этого требовалось расширить
запас средства построения. Спрашивается, как?

В ответ на этот вопрос Декарт дает сначала правило
(схему) последовательного построения ряда шарнирных
механизмов (некоторое обобщение мезолабии Эратосфена),
позволяющее ему, в частности, считать решенной задачу
вставить любое число средних пропорциональных между
двумя данными отрезками.

Больше того, Декарт знает уже, что с помощью пло-
ских шарнирных механизмов можно строить дуги любых
плоских алгебраических (и только алгебраических) кри-
вых (любого порядка). (Доказательство было предложено
в 1876 г. Кемпе, имя которого и носит теперь эта теорема.)
Он особо подчеркивает при этом, что шарнирный механизм
состоит из ряда звеньев, последовательно соединенных
друг с другом так, что движение исходного звена опреде-
ляет последовательно движение всех остальных. «Геомет-
рические» (алгебраические) кривые он характеризует тем,
что их «можно представить себе» описанными «непрерыв-
ным движением или же несколькими такими последова-
тельными движениями, из которых последующие вполне
определяются им предшествующими, — ибо этим путем
всегда можно точно узнать их меру». В отличие от этого
такие (трансцендентные) кривые, как спираль, квадрат-
риса и им подобные «действительно принадлежат только
механике и не относятся к тем, которые должны, на мой
взгляд, быть здесь допущены, так как их представляют се-
бе описанными двумя отдельными движениями, между
которыми не существует никакого отношения, которое
можно было бы точно измерить» [24]. (Спираль описывается

нам «ВСе задачц геометрии можно легко привести к таким терми-
неко ЧТ° ДЛЯ их П0СТР°еиия нужно будет затем знать лишь длину
лени1°₽?Х ПРЯМЫХ линий». Этими словами (вслед за «Предуведом-
здесь » пачинается «Геометрия» Декарта [23]. Под «прямой линией»
поступательным движением точки по прямой, которая
при этом вращается — оба эти движения происходят одно-
временно, но независимо одно от другого; точка пересече-
ния двух прямых, из которых одна движется поступатель-
но, оставаясь параллельной исходному положению, а
другая вращается, описывая квадратрису. Утверждение,
что между двумя движениями, с помощью которых пред-
ставляют себе описанными спираль и квадратрису, «не
существует никакого отношения, которое можно было бы
точно измерить», основывается, по-видимому, у Декарта,
на том, что равномерное движение точки по прямой поро-
ждает отрезок, а по окружности — дугу окружности, за-
дача же измерить единичным отрезком длину окружности
или ее дуги конструктивно неразрешима по Декарту,
так как не сводится к решению^ алгебраического урав-
нения.)

В эпоху Декарта исключение приближенных вычисле-
ний из математики было уже, конечно, анахронизмом.
Математики еще, правда, не умели точно ответить на во-
прос о том, когда можно считать действительное число вы-
числимым с любой наперед заданной степенью точности.
Но в их распоряжении была уже теория отношений Евдок-
са—Евклида, на которую, в противовес Декарту, и ссылал-
ся Ньютон, определяя число как отношение, И хотя во-
прос о том, как вычислять эти отношения, еще не ставился
в общем виде, но на примерах с ним благополучно справ-
лялись. Так, еще в античной древности был известен алго-
ритм (антпфарейзис), позволявший, говоря на более близ-
ком нам языке, по любому, сколь угодно малому, положи-
тельному числу е вычислять рациональное число ае,
квадрат которого отличался бы от числа 2 не более чем на
е. В этом смысле и можно было считать У2 сколь угодно
точно вычислимым. Аналогично обстояло дело после ра-
боты Архимеда «Об измерении круга» с трансцендент-
ным даже числом л (отношением длины окружности к ее
диаметру).

Декарту была нужна, однако, строгая общая теория.
По-видимому, именно поэтому он предпочел иметь дело с
решением математических задач не вычислением, а по-
строением, т. е. аналогично тому, как это делал еще Евк-
ид*)- Но Декарт уже не мог ограничиться циркулем и
Лпнейкоп (окружностью и прямой), как это было у Евк-
лида. Чтобы уметь решать алгебраические уравнения
любой степени, ему нужно было расширить запас средств
построения, и притом так, чтобы решение можно было по-
лучать эффективно.

Дело в том, что, как это явствует из «Правил для руко-
водства ума», Декарт представлял себе, что всякое, до-
ступное человеческому уму решение задачи (с помощью
математики) должно состоять в следующем**):

1) хорошо поняв вопрос и освободив его от всех излиш-
них представлений, свести ёго к определению некоторых
неизвестных величин (Правила XIII—XVI);

2) приняв задачу за решенную, т. е., «не обращая вни-
мание па то, что некоторые из ее терминов известны, а
некоторые неизвестны», выяснить, какие зависимости
должны иметь место между теми и другими (Правило
XVII);

3) попытаться выразить эти зависимости в виде ра-
венств, т. е. отыскать такие величины, выражая которые
(каждую из них) двумя разными способами, получить
столько уравнений, «сколько неизвестных терминов мы
предполагаем известными» (Правило XIX);

4) «если имеется много таких уравнений, то нужно их
привести все к одному» (Правило XXI, последнее).

Так как при этом полагались в основу «только четыре
действия: сложение, вычитание, умножение и деление»
(Правило XVIII)***), то Декарт оказывался в состоянии

*) Как отмечает А. П. Юшкевич, еще комментатор Декарта
Ф. Дебон (1695) подчеркивал, что «общие отношения величин нужно
рассматривать как отношения отрезков, ибо «этого не дают числа,
которые не в состоянии выразить отношения, имеющиеся между
несоизмеримыми количествами» [25].

**) Аналогичную трактовку «Правил» Декарта мы находим,
например, в книге Попа [2в]. На стр. 22 Попа резюмирует правила
Декарта так: «во-первых, своди любой род проблем к математиче-
ской проблеме», «во-вторых, своди любой род математической про-
блемы к проблеме алгебры», «в-третьих, своди любую проблему
аЛГе***\ ? решению одного только уравнения».

) Эти действия должны были выполняться геометрически:

11 линейкой. По и такое выполнение их Декарт называл
01 да «вычислением». Вообще оп считал, что, в отличие от древ-
искать решения для таких (и только таких) задач, которые
сводятся к алгебраическим уравнениям (любых степеней)
с одной неизвестной. Это значит, что он должен был дать
еще правила решения таких уравнений. В «Правилах для
руководства ума» Декарта таких правил нет. Это сочине-
ние осталось незаконченным. Оно обрывается на Правиле
XXI. Предлагаемые Декартом способы решения алгебра-
ических уравнении содержатся, однако, в его приложен-
ной к «Рассуждению о методе» «Геометрии».

Как известно, уравнения третьей и четвертой степени
в общем случае не решаются уже циркулем и линейкой.
Однако решение их сводится к отысканию точек пересе-
чения конических сечений, т. е. алгебраических кривых
второго порядка. Достаточно иметь поэтому в качестве
инструментов построения кривые второго порядка, чтобы
можно было — теоретически с абсолютной точностью —
решать любые уравнения третьей тг четвертой степени.
Нельзя ли это, однако, обобщить: расположить все алгеб-
раические кривые как бы по ступеням так,
чтобы лестница начиналась с прямой и окружности и имел-
ся бы общий способ перехода с одной ступени на следую-
щую, который позволил бы, таким образом, обозреть всю
совокупность алгебраических кривых, не добавляя к цир-
кулю и линейке ничего, кроме единого принципа построе-
ния кривых порядка п + 1 с помощью уже имеющихся
кривых, не более высоких чем и порядков! Именно это
Декарт и делает. «Чтобы охватить совокупность всех
(«геометрических», т. е. алгебраических) кривых и рас-
пределить их по порядку по определенным родам»; он
вводит свои (декартовы) координаты и замечает, что «все
точки линий, которые можно назвать геометрическими,
т. е. которые подходят под какую-либо точную и опреде-
ленную меру, обязательно находятся в некотором отно-
шении ко всем точкам прямой линии (оси абсцисс, напри
мер), которое может быть выражено некоторым уравне
нием, одним и тем же для всех точек данной линии» [281
По степени этого уравнения, инвариантность которой от

них, не нужно бояться «употреблять в геометрии арифметически
термины) [27].
носительно выбора осей координат уже известна Декарту*),
и определяется затем порядок кривой. Ступени этого по-
рядка включают, правда, у Декарта кривые с уравнениями
двух (последовательных) степеней: 1-й и 2-й на первой
ступени, 3-й и 4-й на второй, 5-й и 6-й — на третьей
и т. Д. Суть дела в том, что на первой ступени он должен
поместить не только линейку, но и циркуль, уравнения же
прямой и окружности имеют степени 1-ю и 2-ю. Чтобы
справиться с этой трудностью, Декарт рассуждает так:
циркулем и линейкой можно решить всякое квадратное
уравнение, т. е. построить (и притом в принципе одинако-
во: мы бы сказали — с помощью одного и того же алго-
ритма построения) любую точку конического сечения.
(Чтобы по абсциссе точки кривой 2-го порядка найти ее
ординату, нужно решить квадратное уравнение с одной не-
известной (ординатой), получающееся из уравнения кри-
вой при подстановке на место другой неизвестной данного
значения (абсциссы).) Это Декарт хочет истолковать как
означающее, что если мы допустили уже прямую и окруж-
ность (линейку и циркуль), но их оказалось недостаточ-
но, то в качестве новых инструментов построения мы мо-
жем ввести теперь, как допустимые, конические сечения,
и притом именно потому, что линейкой и циркулем можно
построить всякую (безразлично какую) точку конического
сечения. Декарт специально подчеркивает при этом, что
уменье построить всякую точку кривой не равносильно
уменью построить все ее точки, которое требует введения
новых инструментов, а только делает такое введение до-
пустимым. Это свое право считать введение (в качестве
инструмента построения) новой алгебраической кривой

♦) «Я выбираю некоторую прямую, например АВ, чтобы к
различным ее точкам отнести все точки... кривой ЕС, и выбираю на
ней некоторую точку, допустим А, чтобы начать с ное вычисление.
Я говорю, что выбираю и ту и другую, потому что их можно брать
произвольным образом. Действительно, хотя и существует много
способов сделать уравнение более коротким и удобным, но все же,
какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так,
линия оказалась того же самого рода; это легко доказать»
I Хотя историки математики сомневаются в том, что Декарт
действительно умел доказать это,— существенно, что он понимал
необходимость доказательства инвариантности порядка кривой.
допустимым, если с помощью уже имеющихся у нас кри-
вых мы можем построить единообразным способом любую
точку вводимой кривой, Декарт пытается обосновать тем,
что в таких случаях кривые «могут быть описаны также
правильным и непрерывным движением» (теорема Кем-
пе), почему и могут быть допущены в геометрии именно
как непрерывные кривые, и притом точно определенные.

Действительно, Декарт пишет: «Показав способ на-
хождения бесконечного количества точек, через которые
проходят линии, я полагаю, что вместе с тем дал средства,
достаточные для их описания». Но бесконечного количе-
ства точек, хотя бы и строящихся одинаково, построить
все равно нельзя (поэтому и приходится расширять запас
допустимых средств построения), и Декарт специально
останавливается на том, нельзя ли ограничиться (в таких
случаях) построением ряда отдельных точек (исследовать
график кривой с помощью отыскания точек максимума,
минимума, перегиба и др. Декарт еще не умеет). В разде-
ле «Какие из кривых, которые описывают, находя ряд их
точек, могут быть допущены в геометрии», непосредствен-
но следующем за приведенными словами, он пишет:

«Следует, кстати, заметить, что существует большое
различие между этим способом нахождения ряда точек
для проведения кривой и тем способом, которым пользу-
ются в случае спирали и подобных ей кривых. При помо-
щи последнего способа находят пе все без различия точки
искомой кривой, а только те, которые могут быть опреде-
лены какой-либо более простой мерой, чем та, которая
требуется для получения всей линии; при этом, собствен-
но говоря, не находят ни одной из точек линии, т. е. ни
одной из точек, настолько для нее специфических, что их
нельзя найти иначе, как через нее. Между тем линии, при-
меняемые в предложеппом вопросе, не имеют ни одной та-
кой точки, которая не могла бы быть определена по только
что изложенному способу. И хотя этот способ нахожде-
ния искомой кривой линии посредством отыскания не-
скольких, безразлично каких, ее точек распространяется
только на те линии, которые могут быть описаны также
правильным и непрерывным движением, его все же не
следует целиком исключить из геометрии» [30].
Иными словами, нельзя вообще заменить построение
кривой построением нескольких отдельных ее точек, хоть
бы п «безразлично каких»*), но «признание непрерывной
кривой допустимой в геометрии», если мы умеем строить
любую ее точку, не является только произвольным допу-
щением: оно может иметь и эффективны]'! смысл оператив-
ного инструмента построения.

Располагая же этим принципом расширения запаса
средств построения, Декарт уже может индуктивно пост-
роить (и обосновать!) общий способ решения алгебраиче-
ских уравнений любых степеней. Действительно, с помо-
щью линейки и циркуля можно построить любую точку
кривой 2-го (по-нашему) порядка, т. е. можно считать эти
кривые уже имеющимися в нашем распоряжении. Далее,
решение всякого уравнения степени п(тг>2) с одной неиз-
вестной может быть сведено к решению системы двух урав-
нений с двумя неизвестными степенен более низких чем
п. [Это можно осуществить многими способами. Так,
уравнение а{хп 4" яр;71-1 +...+ап_га; -р лп = 0 можно пред-
ставить, например, в впде

х («ож"-1 + агхп~2 . -|- ап_2х 4- ап^) + ап = О
и свести к решению двух уравнений

доя71-1 д^71-2 4- ... 4- ап_2х 4- а,г_! = у,

ху + ап = О

степеней п — 1 и 2. Если п^> 3, то можно сделать и так:
представить исходное уравнение в виде

х2 (а0я:п-24- а^71-3 4- . .. +ап_3х 4- сп^2)4-ап_1ж 4- ап = О
и свести его к решению двух уравнений

а хп~2 4- д^71-3 4-... 4- 'ап_3х 4- ап_3 у,

х2у + ап.хх + ап = 0,
степеней п — 2 и 3.

*) По поводу задачи Паппа Декарт пишет: «Так как поставлен-
ым здесь условиям всегда может удовлетворять бесчисленное
количество различных точек, требуется еще узнать и провести лп-
ю, на которой все они должны находиться»^!81].
Какую-нибудь аналогичную возможность ограничить-
ся (при п > 3) кривыми порядка не выше чем п — 2. Де-
карт, по-видимому, и имел в виду, помещая на одну сту-
пень кривые порядков 2п — 1 и 2 тг (п > 1).]

Но задача решить два уравнения с двумя неизвестны-
ми равнозначна задаче отыскать точки пересечения двух
кривых, изображаемых этими уравнениями; и если кри-
вые считаются нами уже построенными, то должны счи-
таться построенными и точки их пересечения. Геометри-
ческое отыскание (т. е. построение) корней уравнения тг-й
степени сводится, таким образом, к отысканию точек пере-
сечения кривых более низких (чем п) порядков.

В силу того же принципа, который позволил Декарту
добавить к циркулю и линейке все вообще кривые 2-го
порядка, он мог теперь, считая уже построенными кривые,
порядок которых меньше п(п >2), истолковать получен-
ную при этом возможность построить любую точку кривой
порядка п как право считать и эту кривую допустимой.

Действительно, для построения любой точки кривой
порядка п нужно решить уравнение (с одной неизвестной)
степени пе выше чем п, а это мы умеем делать с помощью
кривых более низких порядков, уже имеющихся в пашем
распоряжении. Мы можем теперь, следовательно, ввести
и кривые порядка п в наш арсенал геометрических средств
построения и, расположив все алгебраические кривые в
порядке их введения (удобнее, конечно, просто по степе-
ням п, хотя бы и начиная с /Г>3), формулировать (и дока-
зывать) для них общие теоремы.

Общий способ геометрического решения алгебраиче-
ских уравнений (и необходимого для этого последователь-
ного расширения запаса средств построения *)), который

♦) Эту необходимость Декарт не принимал на веру, а пытался
доказывать, сравнивая число точек пересечения уже допущенных
кривых данных порядков (меньших и) с числом корней неприводи-
мого уравнения степени п. Так, из того, что прямая и окружность
или две окружности пересекаются не более чем в двух точках, а ку-
бическое уравнение может иметь три (действительных) корня, он
делал заключение, которое формулировал, правда, не только для
такого уравнения, что решение неприводимого кубического урав-
нения «нельзя построить, не прибегая к более сложным линиям, чем
круговая» [а2].
должен был по плану Декарта завершать построение уни-
версальной математики, носил у пего, таким образом,
индуктивный характер: состоял в построении базиса ин-
дукции и в индуктивном шаге, позволявшем единообраз-
ным способом переходить с каждой уже построенной сту-
пени на следующую. И притом носил его не стихийно, а
осознанно: как сознательное использование некоторого
правила, по существу логического характера, — прави-
ла полной индукции. О том, что Декарт действительно
был уже близок к формулировке этого правила, говорят
и слова, непосредственно предшествующие заключитель-
ной фразе его «Геометрии»:

«После того как я дал построение всех плоских задач
(т. е. задач, приводящихся к уравнениям первой и второй
степени — С. Я.) посредством пересечения прямой линии
и окружности, всех телесных (приводящихся к уравнени-
ям третьей и четвертой степени — С. Я.) — посредством
пересечения снова окружности и параболы и, наконец,
всех задач, на одну степень более сложных (приводящих-
ся к уравнениям пятой и шестой степени — С. Я.), — по-
средством пересечения окружности и линии, на одну сте-
пень более сложной, чем парабола, — для построения
все более и более, вплоть до бесконечности, сложных за-
дач, нужно лишь следовать по тому же пути. Действи-
тельно, имея два или три первых члена математической
прогрессии, нетрудно найти все остальные» [33].

Намеченный Декартом план создания всеобщей мате-
матики потерпел неудачу. (Уже потому, что решение —
хотя бы только алгебраических — уравнений построени-
ем не давало такой возможности индивидуализировать
корни уравнений, какую дает их вычисление.) Тем не ме-
нее уже содержавшееся в письме Декарта Бекману от
26 марта 1619 г. сообщение о том, что им разрабатывается
«совершенно новая наука», было полностью верным.

Исторически из всеобщей математики Декарта депствп-
1з4]ЬН° ВЫРОСЛИ» как справедливо пишет А. П. Юшкевич
I 1, две науки: числовая буквенная алгебра и аналити-
ческая геометрия. И, конечно, прав и Г. Пойа, когда он
замечает: «Проект Декарта провалился, но это был вели-
чии проект, и даже в своей неудаче он оказал гораздо
большее влияние на развитие науки, чем тысяча и один
маленьких проектов, оказавшихся удачными» I35].

А новый метод логических рассуждений, который приш-
лось при этом разрабатывать Декарту, не только не мог
быть получен им из правил силлогистики Аристотеля,—
его Декарт не мог бы найти и в более глубоких логических
трудах схоластов.

§ 7. Не удивительно, что Декарт был невысокого мне-
ния о логике схоластов, которую он считал пригодной
только «для разрешения тех или иных школьных трудно-
стей», а не для того, чтобы ум человека «мог указывать
воле выбор действий в житейских случайностях» [36],
т. е. не для целей практической деятельности людей. Де-
карт не отрицал, конечно, логической корректности пра-
вил силлогистики. Однако он считал, что «диалектики»,
под которыми тогда имели в виду лотков-схоластов, «не
могут составить ни одного силлогизма, дающего правиль-
ное заключение, если они для этого не имеют материала,
т. е. еслн они уже пе знают выводимой ими таким образом
истины» [37].

Это обстоятельство очень не нравится, однако, И. М.
Бохенскому, который в своей истории формальной логики,
и особенно в статье «ЗрИ/БпсБокеН», изображает Декар-
та как подлинное «несчастье» для логики. «Этот большой
естествоиспытатель, математик и писатель,— пишет он,—
не был логиком; он имел, по-видимому, лишь смутное
представление о логике, несмотря па прилежную учебу
под руководством добрых отцов общества иезуитов в Ла
Флеш. Еще более скверным, чем это незнание, является
у него выраженный и подлинно варварский отказ от фор-
мализма в логике, т. е. от того, что является необходимым
инструментом этой науки и без чего никогда не было воз-
можно ее развитие. Декарт означает истинную катастро-
фу в истории логики, возврат к самому примитивному
уровню» [38].

К такому «заключению» Бохенского приводят слова
Декарта, из которых явствует, что он возражает против
претензий логиков «управлять человеческим разумом,
предписывая ему определенные формы рассуждения, с
такой неуклонностью приводящие к заключениям, что
разум, доверившись им, может, даже если он иной раз и
немного отвлекается от строгой и внимательной проверки
цепи доводов, делать благодаря одним только этим формам
правильные заключения» [39].

Очевидно, здесь Бохенский имеет в виду то обстоятель-
ство, что, говоря о «строгой и внимательной проверке»
каждого шага в «цепи доводов», Декарт требовал «только»
интуитивной (содержательной) ясности этого шага, его
конструктивной простоты, аналогичной той простоте, с
которой при вязании сложного кружева завязывается
каждая отдельная его петля. Но таким образом у Декарта
была вполне определенная (конструктивная) схема индук-
тивного построения дедуктивной пауки, которая и дела-
ла возможным ее обзор в целом с помощью правил, ана-
логичных правилу полной индукции. Конечно, простота
каждого отдельного шага вывода делала при этом возмож-
ной его формализацию, т. е. выполнение по определенным
логическим правилам, чего не заметил, по-видимому, Де-
карт, хотя он требовал самого внимательного изучения
наиболее простых вещей прежде всего. Но, с другой сторо-
ны, пока еще не было электронных вычислительных ма-
шин, которые должны выполнять и некоторые логические
выводы, не было и подлинной нужды строить эти выводы
в точности по формальным правилам какого-нибудь ло-
гического исчисления. Больше того, Декарт был совер-
шенно прав в том, что в конечном итоге не формальная
правильность заключения гарантирует его истинность, а,
наоборот, то обстоятельство, что правило корректно,
т. е. из истинных посылок позволяет вывести только ис-
тинные же заключения, гарантирует его формальную
правильность.

В отношении между формой и содержанием определяю-
щая роль принадлежит содержанию; форма же тогда хо-
роша, когда она соответствует содержанию. Даже прави-
ло полной индукции не всегда применимо. Оно хорошо
только там, где речь идет о системе объектов, которая
строится индуктивно — сначала строится базис, а затем
выполняется некоторая последовательность индуктивных
шагов построения. (Многочисленные парадоксы «кучи»
относятся как раз к случаям, где правило полной индук-
ции неприменимо. Так, один волос на подбородке еще не
есть борода. Если п волос на подбородке не образуют
еще бороды, то добавление к ним одного волоса также не
дает еще бороды. По правилу полной математической ин-
дукции никакое число волос на подбородке не дает, следо-
вательно, бороды. Но «борода» не есть объект, который
строится индуктивно, и правило полной индукции непри-
менимо к пей.) Таким образом, и здесь в основе формаль-
ной правильности логического правила лежит его содер-
жательная пригодность: корректность.

Как доказывается, однако, последняя?

В конечном счете всегда не формально, а содержатель-
но: с помощью критерия истины, т. е. практики. И спра-
ведливость такого утверждения нетрудно защитить. Не-
трудно привести достаточно убедительные аргументы в
его пользу. Но прежде чем браться за это, мне хотелось
бы заметить только, что задачу изобразить средневековье
начиная с XII в. как «Эльдорадо логики», а «Ренессанс,
или, точнее, Гуманизм», как «темный период логического
варварства», как «время без логпки, истинное средневе-
ковье между двумя великими периодами», как «катаст-
рофу» [40], кульминационным пунктом которой является
Декарт, Бохеискому облегчило то обстоятельство, что для
него в логике форма довлеет над содержанием, дик-
тует ему свои непререкаемые законы, не нуждающие-
ся, очевидно, в каких-либо содержательных
доказательствах корректности*). Не случайно поэтому
он просто не заметил в логике... правила полной индук-
ции. В его большой истории формальной логики этого тер-
мина вообще нет, хотя история логики доведена в труде
Бохенского до теоремы Гёделя (1931), которую он, правда,
относит «скорее к методологии, чем к формальной логике»,
но исключительно важного значения которой для послед-
ней не отрицает [42]. Между тем правило полной индук-
ции, и притом именно как правило логического вывода,
прочно вошло в науку еще в эпоху Декарта и Паскаля,
было предметом острых дискуссий между логицистами и

*) Поскольку де последние «логически несущественны» и от-
носятся уже к области методологии [41].
Пуанкаре на рубеже XIX и XX вв. и специально обсуж-
далось в «Алгебре логики» Шрёдера как один из «необхо-
димых мышлению законов» (сТепкиоИуепсН^еп ^езе^ге)
общей логики. Введение в логику этих, «отнюдь
не чуждых ей» элементов, Шрёдер считал оправданным
уже тем, что логике приходится иметь дело «с буквами
пли символами» 14 3 ].

Пользуясь неопределенностью термина «формальная
логика», можно сказать, конечно, что под «историей фор-
мально]'! логики» И. М. Бохенский имеет в виду т о л ь-
к о историю такой проблематики, которая относится к
структуре предложений, аналогичных аристотелевым сил-
логизмам, или к определениям логических постоянных
вроде «или», «и», «если — то», «всякий» и др. (примерно
это он и пишет па стр. 5 своей «Формальной логики»).
Вряд ли требуется доказывать, однако, что такое понима-
ние «формальной логики» отнюдь не соответствует под-
линной истории той науки о правилах вывода и спосо-
бах рассуждения, в истоках которой действительно лежат
силлогистика Аристотеля и дискуссии мегариков и стои-
ков о смысле связок «и», «или», «если-то», но которая (осо-
бенно в последнее время) настолько далеко ушла уже от
этих истоков, что и в истории проблем силлогистики и ло-
гических постоянных нельзя разобраться теперь, если ис-
ключить из псе вопросы, относящиеся, например, к пра-
вилу полной индукции (тоже связанные к тому же с кван-
тором общности, т. е. с одной из упоминаемых Бохенским
логических постоянных).

Но и при ограничительной трактовке (по Бохенскому)
истории формальной логики нельзя видеть в Декарте «не-
счастье» для логики, в том числе и для развития ее «фор-
мализмов». Ведь именно Декарт является одним пз пер-
вых создателей формального языка математики
(буквенной алгебры), которым все мы пользуемся и те-
перь и который уже Лейбниц перенес и в логику. Имен-
но на языке буквенной алгебры Декарта строилась и ал-
гебра логики Буля, Джевонса, Венна, Шрёдера, Иорец-
кого и др. Составление и решение уравнений сам Декарт
понимал уже как некоторый способ вывода логических
следствий (определенного рода) из данных задачи, а
12 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
создатели алгебры логики хотели сначала только распрост-
ранить эти методы на более широкий класс задач. Вся-
кую логическую задачу им хотелось научиться выражать
(на языке тон же буквенной алгебры Декарта) с по-
мощью уравнений или неравенств, к решению которых
(или к исключению неизвестных) они и пытались сводить
вообще вывод логических следствий.

Точку зреппя Бохенского нельзя поэтому охарактери-
зовать ипаче как заведомо предвзятую и искажающую под-
линную историю логики. Неверной мне представляется в
этой связи и концепция Ф. Клейна, относящаяся к роли
математической строгости в развитии математики. Дейст-
вительное творческое развитие математики, в том числе
и в эпоху Декарта, бывает п было связано не с отказом от
требований логической строгости, а с новым — п более
глубоким — пониманием этих требований: с признанием
того, что логическая строгость нужна не сама по себе ине
как служанка веры, а как вспомогательный инструмент
для критерия практики, т. е. для истины.

§ 8. Еще Аристотель не сомневался в том, что правила
логики нуждаются в обосновании. По он сводил с этой
целью одпи модусы силлогизмов к другим, казавшимся
ему — как, например, ВагЬага— более очевидными. Для
начала нашего века характерны уже попытки некоторых
идеалистических направлений в философских вопросах
математики (и логики) заменить требование истинности
для точных дедуктивных теорий требованием их непроти-
воречивости.

Как доказывать, однако, эту непротиворечивость?

Способ такого доказательства — с помощью правила
полной индукции — был намечен в § 4. Но как найти нуж-
ное для этого доказательства свойство 5, которым обла-
дают все аксиомы теории и которое сохраняется всеми
применяемыми в ней логическими правилами вывода?
Естественно, тут же приходит на ум, что такое свойство
заведомо должно существовать: должна иметься такая об-
ласть объектов, в которой аксиомы теории должны быть
истинными (зачем иначе может быть нужна теория?),
логические же правила вывода должны быть корректны-
ми, т. е. должны сохранять истинность— из истинных
лок должны выводптьтолько истинные же заключения.
?1°СЬмп словами, свойством 5 во всяком случае может
блть истинность. Но тогда непротиворечивость теории
•азывается следствием ее истинности, т. е. подменить
ОЬебовапие истинности требованием непротиворечивости
ТдКим образом пе удается. (Так, заметим, па самом деле
и проводится в большинстве случаев доказательство не-
противоречивости там, где опо удается). Истинность же до-
казывается в конечном счете только с помощью критерия
практики.

13 качестве примера, иллюстрировавшего исключитель-
ное творческое значение строгого математического и ло-
гического уточнения понятий для развития математики
и логики, мы приводили в § 2 уточнения понятия алгориф-
ма (или вычислимой функции). В связи с этим, равно как
и с другими уточнениями математических (пли логиче-
ских) понятии и предложений, нужно заметить, однако,
следующее.

Всякое такое уточнение заменяет неточное понятие
(или предложение) другим: точным, с которым можно
оперировать по строгим, формальным, правилам. По ведь
при этом мы считаем повое точное понятие (предложение)
равнозначным старому — неточному. Считаем, например,
всякую вычислимую «в обычном смысле» функцию рекур-
сивной функцией по Клини или формулируем «принцип
нормализации» по Маркову, т. е. утверждаем, что всякий
алгорифм «в обычном смысле этого слова» может быть
представлен в виде «нормального алгорифма» Маркова.
Как доказать, однако, такое утверждение? Ведь «алго-
рифм в обычном смысле слова» это — не точное математи-
ческое понятие, о котором можно рассуждать формально:
по точным правилам.

Такие утверждения формулируются поэтому пе как ма-
тематические теоремы, которые нужно строго доказывать,
а как «тезисы», обоснование которых состоит прежде все-
го в том, что на всех примерах, где попытки «нормализа-
ции» действительно предпринимались, они всегда оканчи-
вались успехом; найти же такой пример, где «нормализа-
ция» не удавалась бы, никто не смог. Математическая
практика, таким образом, подтверждает этот «тезис».
Его подтверждает и то обстоятельство, что — на этот ра,
уже с полной математической строгостью — удается дока
зать эквивалентность определения алгорифма (пли вы
числимой функции) как «нормального алгорифма) Марко
ва всем известным точным определениям алгорифма ил!
рекурсивной функции. По особенно существенно в это1
связи, что построенные с помощью определения «нормаль
него алгорифма» и связанного с ним «тезиса» математи
ческпе теории решают ряд трудных задач разработки но
вой, конструктивной, математики, прежде всего коиструк
тивного математического анализа. Все это означает, одна
ко, что «тезис нормализации» удовлетворяет критерию
практики в математике, почему им и можно пользоваться
в этой науке так же, как мы пользуемся естественнонауч-
ными законами в других науках, где их истинность под
тверждается опытом и практической применимостью уже
за пределами какой-нибудь одной пауки.

Но если так, если все равно «в конечном счете» прихо-
дится обращаться п в математике к критерию практики,
не претендующему, как известно, па полную определен-
ность, то зачем нужна вообще эта пресловутая математи
ческая строгость? Самый строгий вывод из не абсолютно
верных посылок не может ведь сделать заключение верным
в большей мере, чем это имело место для его посылок

Суть дела, однако, в том, что математическая строгость,
и вообще логика, расширяют возможность применения
критерия практики, позволяют заменить его применение
в случаях, непосредственно недоступных практической
проверке, применением к случая, доступным ей. Факти-
чески это нам приходится делать постоянно, когда, напри-
мер, мы хотим восстановить прошлое по его следам в на-
стоящем, доступным опытной, практической, проверке;
хотим узнать химический состав звезды по ее спектру пли
поставить диагноз по рентгенограмме, пли... да, в сущно-
сти, всегда п везде именно логика позволяет нам заменить
применение критерия практики в сложных и трудных слу-
чаях его применением в значительно более простых. «Про-
стота» при этом и состопт в доступности непосредственной
практической проверке, и поэтому сама зависит от техни-
ческих возможностей, которыми мы располагаем (хотя
- __ как в случае, когда мы допускаем, например, так
зываемую абстракцию потенциальной осуществимости,—
в обобщенном идеализированном виде [44]). Понятие
математической строгости само меняется в силу этого
вместе с развптием техники. Интересно было бы вниматель-
но проследить характер этого изменения в революцион-
ные эпохи в жизни человечества, и особенно в эпохи, свя-
занные с промышленными переворотами, такими, как соз-
дание паровой машины или современной электроники.

Роль математики в другпх науках, вероятно, не в ма-
лой степени связана с тем, что именно она имеет дело с объ-
ектами наиболее простой, и притом конструктивной, т. е.
доступной практической проверке, природы, такими, на-
пример, как буквы того или пного алфавита. То обстоя-
тельство, что математика с таким успехом служит науке и
технике, обусловлено, таким образом, тем, что она суще-
ственно расширяет возможности применения критерия
практики.

Из цитат, приведенных в § 6, мы имели возможность
убедиться в том, что значение сведения сложного к про-
стому для математики настойчиво 1п дчеркпвал уже
Декарт, который — вдобавок к уже приведенному —
в своих «Правилах» писал, что оп «решил в поисках позна-
ний упорно придерживаться такого порядка: всегда начи-
нать с самых простых и легких вещей и никогда не пере-
ходить к другим до тех пор, пока не увижу, что не могу
больше из пих ничего извлечь», и который прежде всего
предъявлял к математике требование, «чтобы у нее не бы-
ло недостатка в той высшей ясности и простоте, которую мы
предполагаем необходимой для истинной математики» [45].

Именно эту «высшую ясность и простоту», понимаемые
уже, однако, не в смысле картезианской интуиции, а в
смысле проверяемости с помощью материалистического
критерия практики (в конечном счете), и должна обеспе-
чивать математике математическая строгость.

Пригодность ее требований сама проверяется практи-
кой. Проверяется именно так, как, в применении к пра-
вилам логики вообще, писал об этом Ленин: «практиче-
ская деятельность человека миллиарды раз должна была
приводить сознание человека к повторению разных
логических фигур, дабы эти фигуры могли получить зна
чение аксиом» [4С].

Но такая математическая строгость является не заме-
ною критерия практики в математике, а могучим вспо-
могательным средством этого критерия, им же сампм г
проверяемым.

ПР II МЕЧ 1ППЯ

1. «Анти-Дюринг», гл. IX.— К. Маркс и Ф. Эн-
гельс, Соч., т. 20, стр. 89.

2. СЬ. XV о 1 П, П1е Ап1ап^8-Сгйпйс аПсг таЬЬетаНзсЬеп
МйззепзсЪаПен, 1710; перев. С. Я. Лурье в сб. «Л. Эйлер», изд.
АН СССР, 1935, стр. 60. См. также М. Я. Выгод ски й,
Математическая строгость в XVIII веке.— Труды совещания по
истории естествознания 24—26 декабря 1946 г., изд. АН СССР,
1948, стр. 189.

3. Леонард Э й л е р, Дифференциальное исчисление, перев.
М. Я. Выгодского, Гостехиздат, 1949, стр. 91. С помощью понятия
предела можно уточнить, конечно, и эйлерово исчисление пулой
разных порядков. Более подробно об этом см., например, в статье:
А. П. Ю ш к е в и ч, Ен1ег нпй Ьа^гап^е нЬег сПе Сгнпй1а^еп йег
Апа1уз18.— Сб. 8аттс1Ьапй хи ЕЬгеп йез 250. СеЬшТз 1аеез Ьеопагй
Ен1егз, ВегИп,1952.

4. Э й л е р, Дифференциальное исчисление, стр. 92.

5. Там же, стр. 90.

6. Ф. Клейн, Лекция о развитии математики в XIX ст.,
ОНТИ, 1937, стр. 189. (Подчеркнуто мною.— С. Я.)

7. Там же, стр. 84.

8. Там же, стр. 83.

9. И. Лобачевский, О началах геометрии.— Соч., т. I,
Гостехиздат, 1946, стр. 185.

10. Термин «фундаментальные последовательности» принадле-
жит Г. Кантору.

II. Ф. Клейн, Лекции..., стр. 83.

12. Ф. Клейн, Лекции..., стр. 83.

13. Капитальный труд И. М. Бохенского но истории формаль
ной логики представляет собой собрание текстуальных выдержек
из оригинальных трудов по логике, снабженных краткими коммен-
тариями автора. Помимо немецкого оригинала (I. М. ВосЬеп-
з к 1, Гогта1е Бо^1к, ГгеПэпг^ (МннсЪеп 1956, 640 стр.) имеется
п английский перевод (А 1нз1огу о! Гогта! 1о"1'с, 1гапз1а1ей апй ейИ.
Ьу 1хо ТЬотан, 1961).

14. Этот протокол приведен полностью в книге: М. Я. В ы-
г о д с к и й, Галилей и инквизиция, ГТТИ, 1934, стр. 144—149.

15. См., например, Н. С и г г у а. В. Г е у 8, СотЫпаФгу
1о§1с, Атз1егйат, 1958, стр. 48—49.

16. Р. Декарт, Избранные произведения, ГПП-1, 1950,
стр. 272.
17 Там же, стр. 95.

18* Там же, стр. 102.

19. Там же, стр. 103.

Там же, стр. 15.

91 Р Ьдгепгеп, Е]’п1ййгип^ 1п (Не орегаНхе Ьо^’к ипй
цЦЪстаЙк, 8рпп§вг - Уег1а?, 1955, стр. 9.

22 Р. Д е к а р т, Рассуждения о методе с приложением Дпоп-
пка" Метеорика, Геометрия, АН СССР, 1953, стр. 321. Мы будем
палее цитировать эту книгу просто как «Геометрия». (»чень сущест-
венное значение для понимаппя «Геометрии» Декарта имеют при-
ложенные к этому изданию комментарии А. П. Юшкевича: приме-
чания и статья «О „Геометрии** Декарта».

23. «Геометрия», стр. 301.

24. Там же, стр. 321.

25. Там же, стп. 547.

26. Оеог^е Р о 1 у а, МаШетаНса! сПзсоуегу, изд. I. У/Пеу,
т. 1, 1962, стр. 26—28.

27. «Геометрия», стр. 311.

28. Там же, стр. 323.

29. Там же, стр. 324—325.

30. Там же, стр. 340.

31. Там же, стр. 313.

32. Там же, раздел «Почему телесные задачи нельзя построить
без помощи конических сечений, а более сложные — без помощи
каких-либо других, более сложных линии», стр. 400 —401.

33. Там же, стр. 408.

34. Там же, стр. 546.

35. С- Ро1уа, цит. соч., стр. 22.

36. «Правила для руководства ума».— Декарт, Избранные
произведения, 1950, Правило I, стр. 81.

37 Там же, Правило X, стр. 117.

38. I. М. В о с 11 е н 8 к 1, 8р1Ы1пй1^ке1Л.— Сб. Рез^аЬе ап
(Це 8с11\уе|’гегкаию11кеп, ГгеПэиг^, 1954, стр. 339.

39. «Правила...».—Д е к а р т, см. в [16] стр. 116.

40. I. М. В о с к е п з к 1, цит. в [38], Соч., стр. 336, 337.

41. См., папрпмер цит. в [13], Соч., стр. 142.

42. Там же, стр. 472

43. См. Е. 8 с 11 г б й е г, УоНезип^еп йЬег (Пе А1^еЬга йег
Ьо§1к, Ьехр/дп, 1890, стр. 615 (подчеркнуто Шрёдером).

44. Об абстракции потенциальной осуществимости см., напри-
мер, А. А. Марков, Теория алгорифмов.— Труды Матем. ин-та
им. В. А Стеклова, ХЫ1, 1954, стр. 15 или Н. А. Ш а н и н, О кри-
тике классической математики. Приложение к статье «Конструктив-
ные вещественные числа и конструктивные функциональные про-
странства!. — Там же, в т. ЬХУП Трудов, стр. 284—293.

45. «Правила...».— Декарт, см. в [16] стр. 93, 94.

46. В И. Ленин, Философские тетради, М., 1947, стр. 164.
ДИОФАНТ П ФЕРМА

(к истории метода касательных и экстремумов)

II. Г. Башмакова

§ 1. Введение

Вопрос о решении неопределенных или диофантовых
уравнении в рациональных числах занимает одно из цент-
ральных мест в современной математике. С ним связаны
как проблемы теории чисел, так и проблемы алгебраиче-
ской геометрии. В последнее время диофантовы уравнения
послужили областью приложения математической логики:
с ее помощью была доказана алгоритмическая неразре-
шимость некоторых классов неопределенных уравнений.
Напомним, что и знаменитая Великая теорема Ферма
представляет одну из задач этой же теории.

Но несмотря на то, что усилия многих ученых и среди
них таких, как Гильберт и Пуанкаре, были направлены
на исследование проблем диофантовых уравнений, теория
их, по существу, только строится.

Поясним постановку вопроса. Пусть задано уравнение

Р(х,у) =0, (1)

где — многочлен с целыми пли рациональными
коэффициентами. Тогда относительно (1) ставятся следую-
щие проблемы:

1. Исследование разрешимости (1), т. е. исследование
того, существует ли пара рациональных чисел а,Ь такая,
что Р(а,Ь) = 0.

Ищутся общие критерии разрешимости того или иного
класса неопределенных уравнении.
2. Определение того, имеет ли (1) конечное или
бесконечное множество решений.

В первом случае требуется определить границы для
числа решений.

3. В случае конечного чпсла решений требуется найти
способ для их действительного нахождения. В случае бес-
конечного числа решений — способ для определения всех
решений, например, явные формулы, выражающие х и у
как рациональные функции параметра (пли нескольких
параметров).

4. Наконец, ставится задача об исследовании алгебраи-
ческой структуры множества всех решений.

Аналогичные вопросы ставятся и относительно системы
неопределенных уравнений.

Заметим, что каждое уравнение вида (1) можпо рассмат-
ривать как уравнение кривой на плоскости, уравнение
вида

/Чя, у, г) = О (2)

— как уравнение поверхности в трехмерном пространст-
ве и т. д.

Мы здесь будем заниматься уравнениями вида (1),
т. е. кривыми. Для этого нам понадобятся некоторые
сведения из алгебраической геометрии, которые мы и

приведем.

Порядком п кривой (1) называется максимальный по-
рядок члепов многочлена Р(х, у), где под порядком члена
понимается сумма степеней при х и у.

Геометрический смысл этого понятия заключается в
том, что прямая пересекается с кривой порядка п ровно
в п точках. При этом, разумеется, надо брать точки пере-

сечения вместе с их кратностями, а также учитывать
бескопечн ) удаленные точки.

Касательной к кривой (1) в точке Р(а, Ъ) называется
прямая, которая имеет с кривой (1) точку пересечения Р
кратности 2 или > 2.

Т7 дГ дГ л

Если одна из производных или л в точке Р отлпч-
на от нуля, то угловой коэффициент к касательной нахо-

дится обычным способом. Если же = 0 и = О,
точка Р называется особой. Особых точек на кривой
Т°еется только конечное число. Простейшими из них бу-
Нут двойные точки, в которых существуют две касатель-
ные Можно ограничиться рассмотрением кривых, имею-
их в качестве особых точек двойные.

Щ Пусть д — число двойных точек и п — порядок кри-
вой. Тогда число

(/ -1 (л-2 7

ь — — и

называется родом кривой. Род есть важнейшая характе-
ристика алгебраической кривой.

Простейшими кривыми являются кривые рода 0 и рода
1. Примером кривой рода 0 может служить кривая 2-го
порядка, а кривой рода 1 — кривая

№ = (* ~— р)(я — у),

где а, ₽, Т попарно различны.

Очень важным для всей теории диофантовых уравнений
является понятие бирациональной эквивалентности.

Две кривые Р(х,у) = 0 и у) 0 называются бп-
рационально эквивалентными дад поле^м 1СэН, если ко-
ординаты любой точки одной кривой являются рациональ-
ными функциями с коэффициентами из А координат точки
другой и, наоборот, т. е.

х у г2(и,у)

и= з1(х, у), и=з*(х,у).

Здесь гА, г2, 5а, 52 — рациональные с коэффициентами
из А.

Например, кривые х2 г/2 = 1 и х2 + у2 = 3 будут
бирациопально эквивалентны над полем 1\ = А()ЛЗ), но
не над полем К.

Имеет место следующая основная теорема: если две
кривые бирационально эквивалентны, то они имеют один
и тот же род.

Если две кривые бирационально эквивалентны над
полем рациональных чисел 7?, то рациональным точкам
одной кривой, за исключенном, быть может, конечного
числа их, будут отвечать рациональные точки другой и
наоборот. Значит, совокупность рациональных точек кри-
вой является в этом случае бпрацпоналытым инвариантом.

Основные результаты о рациональных точках кривых
были получены лишь в конце XIX—начале ХХв. Вот они.

В 1901 г. А. Пуанкаре показал *), что всякая кривая
рода 0 и порядка т бирационально эквивалентна над Я пря-
мой, если т нечетно, и коническому сечению, если щ
четно.

Таким образом, дело сводится к определению рацио-
нальных точек на кривых 2-го порядка, что, как мы пока-
жем, было сделано уже Диофантом.

В топ же работе А. Пуанкаре установил следующий
основной факт относительно кривых рода 1:

Рациональная кривая рода 1, имеющая рациональ-
ную точку, бирацпонально эквивалентна кривой 3-го по-
рядка.

Если кубическая кривая имеет рациональную точку, то
она будет бирацпонально эквивалентна кривой, уравнение
которой может быть приведено к вейерштрассовскоп нор-
мальной форме

у2 4х3 ах Ь.

Пуанкаре начал изучение алгебраической структуры
множества рациональных точек кривой рода 1. Он показал,
что в это множество можно ввести операцию сложения так,
что опо станет абелевой группой. ₽

Наконец, он высказал гипотезу, что эта группа имеет
конечное число образующих. Эта гипотеза была доказана
в 1922 г. М< рделлом, а затем обобщена А. Вейлем.

Процедура, с помощью которой Пуанкаре ввел сложе-
ние точек, была известна и до него. А. Сколем в своей кни-
ге «ПхорЬапНзсЬе СЫсйпп^еп» (ВегИп, 1938) приписыва-
ет эту процедуру Люка и Коши, а Люка в свою очередь —
Коши и Ферма. Мы покажем, что эта процедура применя-
лась уже Диофантом. Именно из «Арифметики» Диофанта
почерпнули ее Виет, Баше-де-Мезирак и Ферма.

*) РоИсаге И., Чиг 1рз ргорпё^ёз апНипёНдиез дезсоигЬеч
а^еЬпдиез, I. йс]Ма11|. 5« зоне, V. 7 (1901), рр. 161—233.
§ 2. Диофант и его «Арифметика»

Мы почти ничего не знаем о Диофанте. Время его жиз-
определяется на основании косвенных данных: соглас-
ПП Пселлу, Анатолий Александрийский, который в 270 г.
сделался епископом Лаодикпп, посвятил Диофанту одно
из своих сочинений. С другой стороны, сам Диофант по-
свящает свою «Арифметику» досточтимому Дионисию, ве-
роятно епископу Александрии, время жизни которого
также относится к середине III в. и. э. Кроме того, из од-
ной дошедшей до пас эпитафии мы знаем, что Диофант
прожил 84 года.

«Арифметика» состояла из 13 книг, но до нас дошло
только 6. Из послания к Дионисию ви що, что опа была
написана по его просьбе и, вероятно, служила пособием
для преподавания в школе при епископате. Стиль и содер-
жание книг резко отличаются от классических античных
сочинении ио теории чисел и алгебре, образцы которых
дошли до нас в «Началах» Евклида, его «Данных», леммах
из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика»,
несомненно, является результатом длительно развивав-
шейся традиции, которая, увы, осталась нам совершенно
неизвестной.

Мы можем только гадать о се корнях и изумляться
богатству и красоте ее плодов.

С первого взгляда кажется, что «Арифметика» не явля-
ется теоретическим произведением. Это — сборник задач,
каждая пз которых снабжена решением, часто с поясне-
ниями, как лапти тот или иной путь решения. Но более
внимательное чтение показывает, что задачи тщательно
подобраны и служат для иллюстрации вполне определен-
ных строго продуманных методов.

Язык книги — это язык повой алгебры, построенной
на основе арифметики, а не геометрии. Существенно по-
выл шаг по сравнению с числовой алгеброй Древнего Восто-
ка заключается во введении буквенной символики и явной
формулировке правил алгебраических операций. Все
построение проводится на основе более широкого поня-
тия числа.
Диофант принимает следующие обозначения *): неиз-
вестную оп называет «числом» (о7.р’9уо<;) и обозначает
символом с, квадрат неизвестной символом А° (первые
две буквы слова Дб'лхрис — спла, степень), куб неизвест-
ной — символом Л0 (первые две буквы слова КОрос—куб),
четвертую степень — А А°, пятую — АЛ0, шестую— Л °Л.

Образуя дроби с числителем единица и знаменателем
неизвестной и ее степенями, Диофант получает обозиаш
ния для шести первых отрицательных степенен. Символа
ми для отрицательных степеней служит косой крест х,
поставленный после записи знаменателя: например, х 2
имеет обозначение V

Диофант вводит также символ Д для обозначения от-
рицательного числа (мы подчеркиваем, что это не знак для
операции вычитания) и знак равенства, который он обоз-
начает I (первая буква слова 1го? — равный). Знака для
сложения еще пет — слагаемые члены просто пишутся
о

подряд. Свободный член снабжен символом М первые
две буквы слова нсла; — единица.

Итак, книга Диофанта свидетельствует о наличии до-
статочно развитой буквенной символики. Значение этого
шага огромно. Только после этого могло быть создано бук-
венное исчисление, развит формульный аппарат, позво-
ляющий часть наших мыслительных операций заме-
нить механическими преобразованиями. Завершение соз-
дания буквенного исчисления произошло только в конце
XVI — начале XVII вв. в трудах Виета и Декарта, т. е.
история вопроса растянулась почти на 14 столетий.

Одновременно с введением символики Диофант явно
формулирует основные правила алгебраических опера-
ций. Так, он подробно излагает правила умножения и де-
ления степеней неизвестного, как-то:

хтхп__хт'п

_!_ . хт~п

ХП

I I 1

гт гп хт+п ’

т + п 6, т 6,

*) См. В 1 о р 11 а н I и й А 1 с х а п (I г I п и а, О река Опнца
Сот §гоес1з соттеШагпз, ей Р. Таипегу, \. I 2, Ырь1а1, 1893.
После того он формулирует правило умножения от-
гптельпых чисел, т. е. расширяет ту числовую область,
Н°С которой строится алгебра. Хотя в начале книги Дио-
и повторяет, что число есть собрание единиц, по опе-
^а”1ет оп и с отрицательными в с рациональными чис-
рир Л

Ла Вот как оп формулирует правило знаков: «отрицатель-
ное умноженное на отрицательное, дает положительное,
го1 ца как отрицательное, умноженное на положительное,
цн'Т отрицательное; и отличительным знаком отрицатель
ного есть А».

Из приведенных слов ясно: что А пе является сим-
волом для операции вычитания, как это трактовали
раньше, а знаком, характеризующим отрицательное. Это
подтверждается и фразой из задачи 11 кп. II: «Прибавим
к обеим сторопахМ отрицательное».

Термином для отрицательного у Диофанта служит
слово Хейре, производное от глагола ХеГгсо, одно из зна-
чений которого недоставать, не хватать (или отсутство-

вать).

II. Вер Экке передает этот термин оборотом «то, чего
недостает» (се дшезЬ йе шапцпе)*), а мы могли бы пере-
дать словом «недостаток». Отметим, что для операции
вычитания Диофант употребляет термин (вычесть),

что является производным от глагола а'^УАоыо — отнимаю.

«Положительное» у Диофанта — отгарс.д, что означает

существование, причем во множественном числе слово
это может означать и достояние, имущество. Таким обра-
зом, терминология Диофанта для относительных чисел
олизка к той, которую в средине века употребляли на Во-
стоке и в Европе.

Перейдем к трактовке рациональных чисел. Основная
проблема «Арифметики» — это решение неопределенных
Уравнений в положительных рациональных числах. Не-
известное — напомним, что Диофант называет его числом,—
может быть как целым, так и дробным. Эти случаи не

„ 10 р И а п I е (ГА 1 е х а п й г 1 е, Ьез 81 х Нтгез апИппеН-

Я е1 . 1уге 1^ез потЬге* роКеопен, 1г. раг Р. Уег Еске. Коихеаи
Пгаее, рагЬ, 1959, р 7 1 1
различаются. Решение ищется во всей области рациональ-
ных чисел, больших нуля. Дпофапту пе чуждо и представ
ление об иррациональном числе: так, в задаче 9 кн. IV
он пишет, что «число» получается иррациональным. Одна-
ко, поскольку не имеет смысла ставить вопрос о решении
неопределенных уравнении в иррациональных числах,
Диофант, естественно, ищет только рациональные ре-
шения.

Отметим еще, что оба знаменитых правила арабов —-
алджебр и алмукабала, т. е. правило переноса (отрица-
тельного) члена с одной стороны уравнения в другую с
обратным знаком и правило приведения подобных членов,
также формулируются Диофантом.

Итак, в алгебру вводится символика, обращается су-
щественное внимание на правила алгебраических опера-
ций и по существу расширяется понятие числа.

Перед памп новая арифметика и новая алгебра. Но
сколь пи удивительны коренные перемены в построении
алгебры, еще более поражает круг проблем, которые ста-
вит и решает Диофант и которые до сих нор носят его имя.

§ 3. Кривые второго порядка

Наиболее древним известным нам уравнением 2-го по-
рядка является

+ У"- = г-. (3)

Его рассматривали еще вавилоняне, а пифагорейцы (VI в.
до и. э.) упиформпзировалп его, т. е. выразили все реше-
ния в виде рациональных функций параметра:

х = у = 2к, з =к2 1.

Другое неопределенное л равнение

х2 — аУ2 = 4:1

рассмотрели Евклид (П9 и П10) и Архимед («Задача о
быках»). Но первое систематическое исследование неопре-
деленных уравнений 2-го порядка принадлежит Дпо
фанту.
Начиная с книги II он занимается уравнениями 2-го
порядка от двух переменных

Рг&у) =0

(4)

и системами уравнении 2-го порядка от трех и более пере-
менных.

В декартовых координатах (4) является уравнением ко-
нического сечения. Рациональным решениям (4) отвечают
> чциональные точки кривой. В дальнейшем мы часто бу-
пем пользоваться геометрической терминологией, хотя
сам Диофант и не делал этого.

Для кривых вида (1) Диофант устанавливает, по су-
ществу, следующую теорему: кривая 2-го порядка либо
содержит бесконечно много рациональных точек, либо
не содержит их вовсе.

Это следует из метода, которым Диофант иаходит ра-
циональные точки кривой, если одна такая точка изве-
стна.

Если с, Ь— рациональная точка кривой (4), т. е.

&) = (5)

то Диофант делает подстановку у = Ь + к(х — а) или

У = Ь +
х = а + с
и получает

А2 («4-е, Ь + /с;) = Г2 (а, Ь) 4- сЛ (а, Ь) В (а, Ь) -р

-р <;2 С (л, &, к) = 0.

Свободный член этого уравнения обращается в нуль в
силу (5). Поэтому

Д (а, Ь) кВ (а, 6)
“ С (а. Ь, к)

т- е. рационально выражается через параметр к. Каждому
рациональному к будет отвечать рациональная точка кри-
вой. Геометрически это означает, что Диофант проводит
Через рациональную точку (а, Ь) прямую

у — Ъ — к(х — а)

13 Истор.-матем. мсслед., вып. XVII
и ищет ее вторую точку пересечения с кривой (4). Если
к — рационально, то и вторая точка пересечения необхо-
димо будет рациональной.

Если заданное уравнение имеет вид

/ = А2х2 + Вх + С,

то Диофант несколько видоизменяет прием, полагая
у = Ах + т;

тогда

С — гп2

Х 2Ат — В‘

Легко видеть, что этот прием соответствует случаю,
когда бесконечно удаленная точка кривой является ра-
циональной. Через нее-то и проводит прямую Диофант.
Иллюстрацией к первому приему могут служить задачи
П8 и П10, в первой из них требуется представить задан-
ный квадрат в виде суммы двух квадратов:

а2 = х2 + у2.

Одно из решений будет хп = 0, у„ = — а, поэтому
Диофант делает подстановку х = с, у = к$ — а. В силу
того, что Диофант имеет символ для обозначения только
одной неизвестной, он берет к = 2, а = 4 и проделывает
все для этих конкретных значений.

Тогда

а2 + е2 + (&5 — «)-
или

2ак 1 1

х = 5 = Т+7Г, У = ~ а

(у Диофанта х = -у-, у = -у).

Именно к этой задаче 14 веков спустя сделал свое зна-
менитое примечание 11. Ферма:

«Наоборот, совершенно невозможно разложить куб на
сумму кубов, биквадрат на сумму биквадратов и вообще
степень, большую квадрата, на сумму двух степеней того
показателя. Я дал этому поистине чудесное доказа-
Я'С ьство, НО поля книги слишком узки для него».
теЛпт0 предложение получило вскоре широкую извест-
ь под именем Большой илп Великой теоремы Ферма.

Побщем виде оно до сих пор не доказано, но с его исследо-
ваниями связано развитие всей теории чисел XVIII—
XIX вв. Второй прием Диофант употребляет, например,
в задачах П12, П13, П27 и Др.

$ 4. Рациональные точки на к] ивых рода 1

В книге IV Диофант переходит к рассмотрению неопре-
деленных уравнений 3-го и 4-го порядка. Мы уже юво-
рилп, что здесь дело обстоит гораздо сложнее. Если кри-
вые не имеют двойных точек, точнее не имеют рода 0, то
неизвестные нельзя выразить в виде рациональных функ-
ций одного параметра. Однако, зная одну или две рацио-
нальные точки кубической кривой рода 1

Рз(х, у) = О,

(6)

можно найти еще одну се рациональную точку.

Для этого можно применить одну из следующих про-
цедур:

1) в рациональной точке проводится касательная.
Она, вообще говоря, пересечет кривую (6) еще в одной точ-
ке, которая также будет рациональной.

2) Через две рациональные точки и Р2 проводится
прямая, которая пересечет кривую (6) еще в одной рацио-
нальной точке (X Это и есть те два приема, с помощью ко-
торых Пуанкаре определил в 1901 г. сложение рациональ-
ных точек на кривой рода 1. Если эта кривая имеет рацио-
нальную точку, то, как мы говорили, она эквивалентна
кривой

у2 = 4я3 — ах — Ь.

(7)

_ Пусть прямая, проведенная через Рг и Р2, встречает
кривую (7) в точке т/3); тогда суммой Рг и Р> Пуанка-
ре называет точку <2(х3,— у3). Аналогично, если касатель-
ная в пересекает кривую (7) в точке 5(5:, у), то точка
\ > у) называется удвоенной точкой Р^
§ 5. Диофант и Ферма

Не может быть и речи о том, чтобы осветить здесь все
значение трудов Диофанта для новой алгебры и теории
чисел. Мы остановимся только на вопросе о связи описан-
ного нами метода нахождения рациональных точек па ку-
бической кривой Диофанта с методом касательных и
экстремумов Ферма.

Отметим, во-первых, что этот метод Диофанта был за-
мечен п применен еще Ф. Виетой и Баше де-Мезпраком.
Так, с помощью метода Диофанта Вист нашел рациональ-
ные решения уравнений*):

1) +?/з = а2 __

2) х3—у3 = а3 + Ъ3,

3) х3 — у3 = а3 — Ь3

(ХеЬеНка, IV, 18—20). Одно решение здесь находится оче-
видным образом, а другие определяются путем проведения
касательной и нахождения ее точки пересечения с кривой.
Эти же задачи разбирал Баше. На них обратил внимание
и Ферма. На полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» в издании Баше дс-Мезпрака (1621) имеется
ряд замечании, относящихся пмсппо к этому методу. Так,
в примечании к задаче П9 Дпофапта оп пишет: «Число,
являющееся суммой двух кубов, может ли быть разбито
на два других куба?» В примечании к задаче IV., он воз-
вращается к этой проблеме и дает ее решение. Трудность
по сравнению с гремя задачами, решенными Вистом, здесь
состоит в том, что если провести касательную в точке
Р(я,&), то одна из координат ее точки пересечения с кривой
будет обязательно отрицательной, т. с. сумма двух кубов
представится не суммой, а разностью двух других кубов.
Чтобы избавиться от этого затруднения, Ферма решает сна-
чала задачу (2) Виета, т. е. находит разность двух кубов,
равную а3-\-Ь3, затем задачу (3) и, наконец, (1). Эту же
задачу Ферма сформулировал в 1657 г. в письме к Дигби**),
а также ее частный случай, соответствующий а =1, Ъ =3.

*) Решение этих уравнений было известно Диофанту. Так, в
задаче У™ он пишет: «а мы имели в Порпзмах, что разность любых
двух кубов есть сумма двух кубов».

**) Р. Ее г та I, Оеиугез, I. П, рр. 314, 376.
Э. Люка писал*), что первый пз указанных приемов
был впервые применен П. Ферма для решения уравнения
я3 + у3 = а3 + &3,
а второй — 0. Коши при исследовании уравнения

Ах3 + Ву3 + Ст3 — ЪВхуг,
где х, у, 2 — однородные координаты.

Покажем, что эти методы были открыты еще Днофан
том.

Первый пз них был применен Диофантом в задаче 24
книги IV, в которой требуется заданное число а разло-
жить на две такие части х и г/, что

ху = и3 — и. (8)

Обозначая первое из чисел с, второе а — д, Диофант по-
лучает

с(а <;) и3—и.

Одной из рациональных точек будет (0,1). Диофант по-
лагает

и=к$ — 1, (9)

что эквивалентно проведению прямо]! через Тогда
/Л3 + (1 _ з&2);2 + (2/. _ а) с о.

Диофант требует, чтобы 2к — а = 0, к = Тогда
_ ЗЛ2- 1 6а2 —8

5 Л'З а3

Это требование равносильно тому, что (9) есть каса-
тельная.

Второй прием Диофант применяет в задачах 1У25 н
1У26. В 1У27 требуется найти два таких числа х и у, что
ху + х и3,
ху + У = V3.

*) Е. Ь и с а 8, ^иг Гаиа1у8е ШеЧегпипёг би 1го181ете сТе&гё,
Моиу. апп. таН1., Е XVII, 1878.
Аант полагает х = а3с3 (он берет для а3 конкретное
Д00 ние 8), у = с2 — !• Тогда первое условие выполне-
но Второе условие дает

(10)

А3 + с2 — А — 1 = V3.

Диофант полагает г - а$ — 1 п находит

_ а3 4- За
€ “ 1 + За2 ’

Остановимся подробнее на примененном тут методе.
Одним из рациональных решений уравнения (10) будет
(0 - 1). Еслп мы проведем через эту точку прямую, то

получим

г = к$ —1.

Найдем точки пересечения этой прямой с (10):

А3 4-с2 — А — 1 = (& — I)3,

(а3 _ ку.з + (1 + ЗГ-)с2 — (а3 + ЗАг)с = 0. (10')

Диофант приравнивает нулю не коэффициент при с, а
коэффициент при с3 и получает

а3 — к3 = 0, к = а.

Что означает такое приравнивание с геометрической
точки зрения?

Для выяснения этого вопроса запишем уравнение (10)
в однородных координатах:

А3 + с2т] — А^2 — ц3 = А (11)

Это уравнение имеет две рациональные точки /\(0, — 1,1)
11 ^2 (1,а,0); соединяющая их прямая есть

и = ас — т].

Она-то и даст в пересечении с (И) третью рациональную
точку. Таким образом, этот метод Диофанта пре (ставляет
частный случай второй процедуры.
§ 5. Диофант и Ферма

1) +?/з = а2~ Ъ3,

2) х3—у3 = а3 + Ъ3,
3) х3 — у3 = а3 — Ь3

(ХеЬеНка, IV, 18—20). Одно решение здесь находится оче-
видным образом, а другие определяются путем проведения
касательной и нахождения ее точки пересечения с кривой.
Эти же задачи разбирал Баше. На них обратил внимание
и Ферма. На полях принадлежащего ему экземпляра
«Арифметики» в издании Баше дс-Мезпрака (1621) имеется
ряд замечаний, относящихся пмсппо к этому методу. Так,
в примечании к задаче П9 Диофанта оп пишет: «Число,
являющееся суммой двух кубов, может ли быть разбито
на два других куба?» В примечании к задаче IV., он воз-
вращается к этой проблеме и дает ее решение. Трудность
по сравнению с гремя задачами, решенными Вистом, здесь
состоит в том, что если провести касательную в точке
Р(я,&), то одна из координат ее точки пересечения с кривой
будет обязательно отрицательной, т. с. сумма двух кубов
представится не суммой, а разностью двух других кубов.
Чтобы избавиться от этого затруднения, Ферма решает сна-
чала задачу (2) Виета, т. е. находит разность двух кубов,
равную а3-\-Ь3, затем задачу (3) и, наконец, (1). Эту же
задачу Ферма сформулировал в 1657 г. в письме к Дигби**),
а также ее частный случай, соответствующий а =1, Ъ =3.

**) Р. Ее г та I, Оеиугез, I. П, рр. 344, 376.
Далее в примечаниях к задаче ТУ12 Ферма тем же ме-
одоа! Диофанта находит рациональные решения уравне-

пия

4//3 + бу2 4- + 1 = и8.

сь для того чтобы избавиться от отрицательных реше-
ний Ферма делает сдвиг кривой.

В Итак, Ферма хорошо понимал и искусно применял ме-
оц Диофанта. Однако Ферма этим не ограничился. Он
епвый увидел в методе Дпофанта совершенно общий при-
ем для нахождения чисто алгебраическим путем касатель-
ных и экстремумов.

Напомним, как Ферма применяет метод Диофанта для
нахождения экстремумов. Пусть требуется найти макси-
мум (или минимум) функции

У = /(*),

и пусть экстремум ?/п достигается при х = х0. Ферма под-
ставляет Хо + /г вместо х и получает

= /(^о + /г) =/Сто) + йЛ(.т0) + ... + йп<Ж)

(это разложение получается чисто алгебраически, потому
что /(я) является многочленом). Затем он полагает
ух = у^ т. е.

/(х0) 4- ММ 4-... 4- = /М. (12)

Это Ферма называет «приравниванием» по Диофанту:
«Такое сравнение я называю приравниванием (айаециай-
ЬаЬет), как говорит Диофант (если так можно перевести
греческое слово карюбт^с, которым он пользуется) *).

Заметим, что сам Диофант только дважды пользуется
выражением тсоергстотт^с и именно в двух задачах книги V
(Уи и У14), в обоих случаях в том месте, где речь идет о
разложении заданного числа в сумму трех или четырех
квадратов, каждый из которых должен удовлетворять не-
которому неравенству. Диофант пишет, что будет находить
эти квадраты «путем приравнивания» или «сопоставле-
ния» (лгхрюоттугос аусоут;). Сначала он находит, чему

*) Р. Е е г т а I, Оеиугез, 1. I, р. 140; I. III, р. 126.
лиКИ А ' И ТаКИ°’ ЧТ°

^'ОЧКИ

0Я'-№Р РУД"'!)

V ' МД'ДГ! “ Л7ЛГЛ’"/’ ’

да как минимальному значению /0 отвечает только одна
Т°Г V Лве точки А'' и X" в этом случае как бы слива-
точка м
ются в одну )•

Приведем сооствениые слова Ферма: «Б этом месте Пани
называет минимальное отношение рю'/аубу ххь Науьаго^
/сингулярным и минимальным), потому что если предло-
жить вопрос о заданных величинах и если он вообще удов-
летворяется двумя точками, то для значений максимума
пли минимума будет лишь одна удовлетворяющая усло-
вию точка. Поэтому-то Панн и называет минимальным и
сингулярным (т. е. единственным) самое маленькое отно-
шение из всех тех, которые могут быть предложены в дан
ном вопросе» **).

Ферма повторяет свое толкование в отрывке МёШюйе
Ие шахтшиш еЬ твитит»: «Максимумы и минимумы, —
пишет он, — действительно являются единственными и
сингулярными (втерев е1 чпдпИегн), как это говорит
Лани и как это знали уже древние»...***).

Ферма показывает, что задача \иоллоння может быть
без труда решена его методом. Мы нс будем на этом оста-
навливаться, так как вопрос был недавно с большой пол-
нотой исследован Гофманом****). Заметим, что Гофман,
в противоположность Ферма, считает, что древние поль-
зовались другим методом нахождения экстремума, что
представляется нам маловероятным. То, что древние име-
ли представление о связи задач на экстремумы и каса-
тельные с наличием двойной точки пересечения кривой
с соответствующей прямой, становится весьма вероятным
благодаря методам Диофанта. Видимо, той же концеп-

ттг . *) Ср., например, Е е г ш а I, Оеиугез, I. I, р. 147—148; I.

Ш/р. 131, 132.

**) Г ег та I, Оеиугез, 1. Т, р. 142; I. III, р. 127.

****) е г т а Г Оеиуегз, I. I, р. 147- 148; I. III, р. 131.
А *•*) С-И о Г пт апп, ОЬег счп Бх1гет\уег1ргоЬ1еш Нез
^роНопюз иш1 зетпе ВеЬапсПип" Ьеч ЕегптаЬ, Моуа Ас1а ЬеорокНпе,
г*епе Ео^е, № 167> ва 27> 1963, 3> Ю5-113.
202

дней руководствовался и Аполлоний. Древние могли за-
метить этот факт, изучая свойства касательных к кониче-

ским сечениям: они знали, что касательная параллельна
хордам, сопряженным с диаметром, проведенным в точку
касания.

Таким образом, касательная есть особая хорда, у ко-
торой обе точки пересечения с коническим сечением сли-

лись в одну.

Переходя от задач на экстремумы к задачам на каса-
тельные, Ферма пишет: «Теория касательных является
следствием метода» *). Разница состоит в том, что в зада-
чах на экстремумы известен угловой коэффициент прямой
(он равен нулю) и ищется ее кратная точка пересечения с
кривой, тогда как в задачах

на касательные известна точ-
ка М на кривой/, и требуется
пайти прямую, проходящую
через М и такую, для которой
1/ являлась бы кратной точ-
кой пересечения с Ь (кратно-
сти > 2). Ферма поясняет свой
прием на примерах определе-
ния касательной к параболе,
эллипсу II кривой X3 + 7/3 —
= аху. Воспроизведем этот
прием в общем виде: пустькрп-
вая Ь задана уравнением

/(.г, ?/) 0, и пусть требуется провести к пой касатель-

ную в точке .1/(а,Ь). Предположим, что касательная уже
проведена (см. рпс. 1) и возьмем па пей некоторую другую
точку Лг. Пусть абсцисса Лт будет х^ = а + В- Тогда ор-
динату точки ТУ можно найти пз пропорции

_ Ъ

где — подкасательная. Или

У я = Ъ

*) Еег та I, Оеиугсз, I. I, р. 158; I. III, р. 140.
I подставляет и ?/у в уравнение кривой Ь, т. е.
ФеР' ‘, совместно уравнение кривой и прямой ИХ Или
рспгает ьц
г {л Ъ} сЛ(а,Ъ) -к%В(а,Ь) Ъ, к).

1 1 ... + ^Сп_1(щ&, А:) 0.

И > Па^Ь) 0, поэтому один из корней полученного мно-
» чена* ^1 0. Ферма сокращает на | и требует, чтобы

еще один корень равнялся нулю, т. е. чтобы

А(а,Ь) ф кВ(а,Ь) = 0.

Что равносильно требованию, чтобы точка й/ пересечения
прямой с кривой Ь была двойной. Отсюда и определяется
угловой коэффициент к касательной, или, если угодно,
подкасательная

* = |-

. ЭР „ дР

При этом Л = дх и В — определяются алгеораи-
ческп. Никакой топологии здесь не требуется. Поэтому-то
этот метод имеет такое значение в современной алгебраи-
ческой геометрии, где кривые рассматриваются и над по-
лями, в которых но введены топологии.

§ 6. Заключение

Эпоха Диофанта, как мы говорили, еще мало изучена.
Но у ко теперь ясно, что для истории науки она ио была
временем застоя или упадка. Те отдельные факты, кото-
рые* нам известны: «Арифметика» Диофанта, арифметиче-
ские исследования Анатолия Лаодикийского, преподава-
ние ио Диофанту, книги которого весьма нетривиальны,
решительные изменения во взглядах на число, па соотно-
шение между алгеброй, арифметикой и геометрией, об-
ширные познания фактов алгебраической геометрии —
все это позволяет говорить о новом расцвете античной
мысли. Возникает грандиозная картина, которую наше
вооораженпе может дорисовать по тем фрагментам, кото-
рые от нее сохранились. Но, увы, пока это только паша
реконструкция. И делая ее, мы разрешаем себе предпо-
лагать только голодный минимум, необходимый для само-
го существования тех прекрасных произведений, которые
до нас дошли. А ведь действительность могла быть гораздо
богаче! Поэтому, как мне кажется, одна из первостепен-
ных задач истории науки состоит в изучении сочинений
ученых начала нашей эры. Прц этом не надо пренебрегать
и трудами философов — если понять по настоящему их
терминологию, которую до сих пор предоставляли одним
только филологам, то и они могут открыть много нового
и неожиданного в истории математики. Однако и те немно-
гие фрагменты, которые сохранились, как мы видели,
сыграли решающую роль в развитии математики нового
времени.
о ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕТОДЕ
«М ^ТЕМАТИЧЕСКИХ НАЧАЛ
НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ» И. НЬЮТОНА

В. Л. Антропова

Известно, что «Математические начала натуральной фи-
лософии» Ньютона изложены геометрическим языком.
Однако в историко-математической литературе этот гео-
метрический язык Ньютона, ого геометрические приемы
обрисованы до настоящего времени неполно. Внимание
различных математиков чаще всего привлекала теория
пределов Ньютона, изложенная в «Началах» в форме так
называемого метода «первых и последних отношений».
Важнейшим же приложениям теории уделялось недоста-
точное внимание. До сих пор мало известно, как эта тео-
рия у Ныотопа действует, какие математические идеи и
понятия на ней основаны, как она связана с его геометри-
ческими приемами. Между тем связь эта самая тесная и
лучше всего видна в приложениях.

На методе «первых и последних отношений» в «Нача-
лах» Ньютона основан такой важный отдел, как теория
притяжения тел (разделы XII и ХШ книги I, предложе-
ние 71)—93), которая с самого своего появления требовала
искусных математических приемов и в дальнейшем своем
развитии стимулировала совершенствование многих ма-
тематических методов и понятий. На базе этой теории воз-
никла современная теория потенциала.

Суть геометрических приемов Ньютона лучше всего
можно понять, анализируя именно теорию притяжения
«Начал», задачи которой являются в этом труде наиболее
трудными.

Часто можно слышать, что «Начала» Ньютона изло-
жены в стиле древнегреческих математиков. II может соз-
даться ложное представление, что геометрические методы
Ньютона вполне подобны методам древних геометров.
На самом деле это не так. В своих «Началах», особенно в
разделах, относящихся к теории притяжения, Ньютон в
геометрической форме применяет не что иное, как анализ
бесконечно малых, в частности интегральное исчисление,
причем развитое настолько, что оно содержит в себе мио
гие идеи будущей теории кратных интегралов.

Анализ теории притяжения Ньютона доказывает, что
с его именем следует связывать не только простейшие по-
нятия неопределенного интеграла и интеграла, взятого
по отрезку, но и, например, историю понятий поверхност-
ного п тронного интегралов, способы выражения опреде-
ленных кратных интегралов через повторные, а также по-
нятия так называемого простого слоя. Названные поня-
тия и методы еще не сформулированы у Ньютона явно,
но легко усматриваются в его труде. Основоположниками
общей теории кратных интегралов мы считаем, как извест-
но, Л. Эйлера и Ж. Лагранжа. Многое в этой теории сде-
лано К. Ф. Гауссом и М. В. Остроградским. Но чтобы по
казать, на какой базе была создана общая теория таких
интегралов, мы должны обращаться также и к трудам
Ньютона.

В подтверждение сказанного достаточно рассмотреть
несколько предложений теории притяжения и их доказа-
тельства Ньютоном.

В самом первом предложении названной теории (пред-
ложение 70 указанных выше разделов «Начал») рассмат-
ривается притягивающая сфера, на которой бесконечно
тонким слоем распределена однородная масса. Плотность
массы можно предполагать равпой единице. Распределе-
ние массы таким бесконечно топким слоем на произволь-
ной поверхности и при произвольной плотности массы
позднее получило название простого слоя. Таким обра
зом, здесь вводится в математику иовый объект — про-
стой слой. В предложении 70 доказывается, что однород-
- сферический простой слой нс притягивает материал ь-
нь1В точку своей полости. В притягиваемой точке молча-
о предполагается сосредоточенной масса, равная еди-
лИ Сферический простой слой рассматривается как со-
вИКУпность бесконечного числа материальных точек, каж-
я из которых притягивает внутреннюю точку по закону
Ньютона: величина силы притяжения двух материальных
точек ДРУГ ДРУГ0М ПРЯМО пропорциональна произведению
пх масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния
между ними.

В геометрическом доказательстве Ньютона предложе-
ния 70 нетрудно усмотреть ряд принципов анализа беско-
нечно малых.

«Пусть, — говорит он, — 11ТКЬ (фиг. 102) *) — сказан-
ная сферическая поверхность, Р — частица, внутри нее
находящаяся; проведем через Р две прямые ПК и
заключающие весьма малые ду-
ги III и КЬ\ так как треуголь-
ники НР1 и ЬРК (лемма VII,
следствие 3) подобны, то эти
весьма малые дуги будут про-
порциональны расстояниям ПР
и РЬ, и весьма малые части
сферической поверхности, при-
легающие к III и КЬ и ограни-
ченные прямыми, проведенными
через точку Р, будут находиться
в отношении квадратов длин РН
и РК; следовательно, силы при-

тяжения этих малых частей поверхности на точку Р меж-
ду собой равны, ибо эти силы прямо пропорциональны
этим частям поверхности и обратно пропорциональны
квадратам расстояний. Эти же отношения по перемноже-
нии дают 1, следовательно, эти притяжения, направлен-
ные в противоположные стороны, взаимно у ничтожают-
ся. Из этого рассуждения следует, что притяжение всей
сферической поверхности, как состоящее из противопо-
ложных элементов, уничтожается, следовательно, части-

*) Номера фигур даются по оригппалу.
да Р ни в какую сторон\ этим притяжением к движению
не побуждается»*).

Лемма VII, на которую ссылается здесь Ньютон, —.
это лемма из его теории пределов или метода «первых и
последних отношений». В ней рассматривается дуга АС В
некоторой заданной кривой, стягиваемая хордой АВ; в
предположении, что в точке А кривая имеет непрерыв-
ную кривизну, в этой точке проводится отрезок касатель-
ной АВ. Утверждается, что «предельное отношение дуга,
хорды и касательной друг к Другу равно единице», когда
точка В приближается к точке 1 до совпадения с нею;
при этом предполагается, что п точка О также определен
иым образом (указано па чертеже) приближается к П.
В третьем следствии из этой леммы утверждается, что
при рассмотрении пределов отношений длины дуги АВ,
стягивающей ее хорды АВ и отрезка касательной АВ при
указанных условиях можно брать одну вместо другой.

Итак, согласно следствию 3 леммы VII Ньютона при
доказательстве предложения 70 в предельном процессе
(в котором вся сфера образуется из бесконечно малых ее
участков) вместо дуг Л‘Л и НТ (см. фиг. 102 «Начал») бе-
рутся хорды НЬ п III п .рассматриваются подобные
треугольники 11Р1 и ЬРН. Из их подобия получается
отношение

И! _ Г1Р_
Ь’Ь ~ РЬ ’

в котором отрезок РВ затем заменяется, как мы бы сказали,
эквивалентной величиной РН (при условии, что ЬКРЬ
бесконечно мал), а хорды III и НЬ заменяются эквивалент-
ными им дугами. Таким образом, получается, что дуги
III н А7> пропорциональны соответственно расстояниям
И Р и РН. После этого рассматриваются бесконечно ма
лые элементы сферической поверхности, па которых ле
жат дуги /// и л'Ь и которые вырезаются конусами 11Р1

*) II. Ньютон, Математические начала натуральной фил >-
Софии. В книге: А. II. Крылов, Собрание трудов, т. VII,
/I., 1936, стр. В дальнейшем указанные в тексте страницы
даются но этому изданию.
.рг де силу эквивалентности отрезков РК и РЬ, Р1 и
ПрН эти сферические элементы можно считать образоаан-
1МИ вращением дуг Ш и РЪ вокруг оси конусов, откуда
11ЬтеКает прямая пропорциональность площадей указан-
сферических элементов соответственно квадратам
Расстояний РН и РН и, наконец, следует, что эти эле-
менты притягивают точку Р с силами, равными по вели-
чине. Но так как направления сил противоположны, то
тем самым предложение 70 доказано.

Приведенное доказательство основано на принципах
анализа бесконечно малых величин, которые выступают
зчесь в геометрической форме. В нем и, как увидим, в дру-
гих случаях, Ньютон пользуется эквивалентностью бес-
конечно малых величин, заменяя их одну другой в пре-
дельном процессе. Такая замена делает доказательства
Ньютона исключительно изящными.

Обратим внимание еще на то, что в приведенном дока-
зательстве множество точек сферы Ньютон разбивает на
множество пар, получающихся при пересечении сферы

всевозможными прямыми, проведенными через притяги-
ваемую частицу. Такой прием, который Ньютон применя-
ет и при выводе других теорем, был заимствован у него
позднейшими математиками, развивающими теорию при-
тяжения и теорию потенциала (Маклорен, Лагранж,
В. Томсон и др.).

Остановимся на замечательном во многих отношениях
предложении 71 (теорема XXXI) раздела XII книги I
«Начал» Ньютона. Оно гласит, говоря по нашему, что ма-
териальная частпца, находящаяся вне однородного сфе-
рического простого слоя, притягивается к центру слоя с
силой, обратно пропорциональной квадрату ее расстоя-
ния до центра слоя. Как и выше, плотность слоя и массу
притягиваемой частицы можно предполагать равными
единице.

Предложение 71 Ньютон доказывает исключительно
остроумно. О его доказательстве известный английский
Математик Дж. Литлвуд писал, что оно «по-видимому,
оставляло читателей в состоянии беспомощного восхище-
ния». Литлвуд считал, что это доказательство сначала было
найдено Ньютоном аналитически, а затем «переведено» на
14 Пстор-матем. исслед., вып, XVII
геометрический язык. Он рекомендует восстановить ана
литическое доказательство Ньютона и сам предлагает один
из вариантов*).

Разберемся в рассуждении Ньютона. Ньютон рассмат-
ривает одновременно две сферы одного и того же радиуса
и две притягиваемые частицы, удаленные от соответствую-
щих сфер на разные расстояния.

«Пусть, — говорит он, — АНКВ, аккЪ (фиг. 103) —
две равные сферические поверхности, описанные из цент-
ров 5 и 5 на диаметрах АВ и аЬ\ Р и р — частицы, лежа-
щие на продолжении этих диаметров. Проведем через Р

Фиг. 103.

и р прямые РНК, Р1Б, ркк, рИ, отсекающие от больших
кругов АПВ п акЬ равные дуги ПК и кВ, 1Б и И, и опу-
стим па эти прямые перпендикуляры 8Б и $с?, 8Е и зе,
1В п гг, из коих 8Б и 8(1 пересекают РЬ п р1 в Р и /.
Опустим также на диаметры перпендикуляры и
Когда углы Б РЕ и Аре бесконечно малые, то ввиду ра-
венств Б8 = Аз и Е8 = ез длины РЕ с РЕ п ре и р/ и
отрезочки Б/ с (И можно счесть за равные, ибо предель-
ные их отношения при совместном исчезновенпп углов
Б РЕ п д,ре равны единице. На основании этого будет:

РБ.РЕ =ВБ.БГ,

р/:р[ — (1{:г1 =БЕ:г1.

*) Дж. Л и т л в у д, Ньютон и притяжение шара. В книг :
Дж. Л и т л в у д, Математическая смесь, М., 1962, стр. 105—106.
Названная заметка Литлвуда впервые была напечатала в МаПюта-
Нса) Са/еНе, 1н1у, 1918, у. XXXII, № 300.
Отсюда
р1-р]-РР'Р1

= В1 : П — о Н1: о к1 (лемма VII,
следствие 3).

(I)

С ДРУг0“ стороны,

РГ.Р8 = 10:8Е,
рз:р1 = зеЛд ~8ЕЛд,

откуда

Р1*рз:Р8-р1 =1(2 Лд.

(2)

При перемножении (1) иа (2) получится

Р1~ 'Р!’Р8 •* Р^ ’ Щ

последнее же отношение равно отношению частей сфери-
ческих поверхностей (шаровых поясов), описываемых
дугами III и 1к при обращении полукругов АКБ и акЪ
около диаметров АВ и аЬ. Силы же, с которыми отдельные
элементы этих поясов притягивают к себе частицы Р н р,
по предположению, пропорциональны величине этих
элементов и обратно пропорциональны квадратам расстоя-
ний до нпх, т. е. относятся друг к другу, как

р/.рз-.РЕ-РВ.

Но эти силы так относятся к своим составляющим (след-
ствие II законов), направленным по прямым Р8 и рз к
центрам шаров, как Р1:Р(2 и как р1Лд, т. е. ввиду подо-
бия треугольников Р1 () и РЕЕ, р1д и рз/, как Р8:РЕ и
как р8'.р{. Отсюда следует, что притяжение частицы Р к
центру 5 относится к притяжению р к 5, как

РГ р1-р8 р/'РЕ-Р^ ____ рв2

РУ ' ~р8 ~~ Р&'

На основанпи такого же рассуждения и притяжения
поясов, описанных дугами КЬ и к1, относятся друг к дру-
гу в том же отношении рз2:Р82; следовательно, в этом же
отношении будут находиться и притяжения всех шаровых
поясов, на которые разобьется каждая из сферических
поверхностей, если брать постоянно зс! = 8Б и зе — 8Е,

14*
Слагая, получим, что и силы притяжения упомянутых
частпц Р и р, целыми сферическими поверхностями будут
находиться в том же отношении» (стр. 245—247).

В приведенном доказательстве Ньютон пользуется эк-
вивалентностью отрезков РЕ и РЕ, ре п р) при / КРЬ-^0
и /_кр1->0, которая видна из его построения; когда углы
КРЬ и кр1 стремятся к нулю, хорды ПК и 1Ь, кк и И стре-
мятся к совпадению, также и точки Е и Е, / и е. Непосред-
ственно пз черт. 103 видна п эквивалентность отрезков
ЕЕ и /5 при тех же условиях относительно углов. А отсю-
да сразу же вытекает эквивалентность отрезков ЕЕ = ЕЕ —
— ЕЕ и = (18 — /з, так как по построению ЕЕ — <18.

Равенства Ньютона:

Р1: РЕ = Ш : ЕР, р/ : р1 = : г1,

1Ч-.Р8 1(}-.8Е, ри:р1 зе-.1д 8Е:1д (*>

являются точными. Опи вытекают из подобия ДР/7? и
&РЕЕ, АР10 и АРЕЕ и одноименных треугольников на
другой сфере.

Равенства же

<7/ :г1 = ЕР :г1, Ш :г1 = о ИI: М (**)
справедливы с точностью до эквивалентности. Пользуясь
знаком эквивалентности со, первое из этих равенств точ-
нее было бы написать так:

г?/ : г I со ЕЕ : п’;

если же воспользоваться знаком предела, то так:

итЯ = пт^,

п п ’

при условии, что ^/АРР 0 и /_кр1 —> 0.

Точно так же следует переписать ньютоново равенство
(1) и результат перемножения (1) и (2). Последнему можно
прядать например, вид

рЯ-РЕ-РЗ '

при /_КРЕ —> 0 и / кр1 -> 0.
Знаков эквивалентности и предела у Ньютона еще нет,
он вместо соотношений эквивалентности пишет равенст-
11 оговаривая, при каких условиях они имеют место.
Ва’Поясним смысл правой части соотношения (***)

Если полукруги АКВ и акЪ повернуть вокруг дпамет-
в ц аЪ соответственно на малый угол Да, который
можно рассматривать как приращение произвольного угла
поворота а, то точки I и I опишут дуги, равные по длине
/(? Да и цу- Да- Произведения Да и х

X Да с точностью до бесконечно малых высших порядков
будут площадями бесконечно малых сферических четырех-
угольников, образованных при указанном вращении ду-
гами о/Ян При полном повороте полукругов послед-

ние произведения нужно просуммировать по а, от 0 до
2л, чтобы получить площади бесконечно малых сферичес-
ких поясов, описанных темп же дугами. При этом полу-
чатся выражения 1Н)1 ^•2л и (г7г) /#-2л.

Итак, правую часть соотношепия (***) можно считать
эквивалентной отношению площадей как бесконечно ма-
лых сферических четырехугольников, так и бесконечно
малых сферических поясов, описанных дугами о/Я и \угк
при повороте вокруг диаметров.

Но величины сил притяжения по закону Ньютона то-
чек Р и р к указанным бесконечно малым сферическим
четырехугольникам соответственно пропорциональны от-
ношениям

(о 7/Г)-Л?.Да
/V2

Да

Р'2

Следователыю, отношение этих величин пропорционально
выражению:

- РР ’

которое на основании (***) эквивалентно дроби

рГр^

РРРХ *

Умножив последнюю" дробь па отношение косинусов
>глов <^ГР() п <^1рс] (эти косинусы выражаются отпошспи-
ями РЕ/р$ и ре/рх и соответственно эквивалентными им
отношениями РЕ/Р8 и р/1рз), Ньютон получает величи-
ну, пропорциональную отношению проекций элементар-
ных сил притяжения относительно точек I и I на направ-
ления Р8 и рз. Отношение проекций оказывается
пропорциональным постоянному отношению р82/Р82,
К такому же выводу приводит п рассмотрение материаль-
ных точек Ь и I. Отсюда Ньютон заключает, что в том же
самом отношении рз2/Р82 будут находиться и проекции
(на те же направления) сил притяжения точек Р и р как
бесконечно малыми сферическими слоями, так и полными
материальными сферами.

Заметим, что рассуждения Ньютона не оставляли бы
читателя, по выражению Литлвуда, «в состоянии беспо-
мощного восхищения», если бы они были записаны несколь-
ко в другом порядке. Более естественно было бы начать с
составления проекций элементарных сил притяжения, дей-
ствующих па точку Ри р со стороны материальных точек
/ и /. Эти проекции были бы соответственно пропорци-
ональны выражениям

(у//77) 7(2Да РЕ (ч> ^)-й/-Да . р[_

Р1- Р8 11 рР рз ’

а их отношение — пропорционально выражению

рР (\Л1Гр1(2 РЕ рз

ЕР * ’ ~Р8 7/

Затем нужно было бы преобразовать полученное выраже-
ние, пользуясь эквивалентностью отрезков РЕ и РР, ре и
р/, ЕЕ и с//, равенствами (*), (**) и равенством 8Е - 8е.
Преобразования записываются следующей цепочкой, пз
которой ясно видны все переходы от одних величин к дру-
гим, логически вытекающие друг из друга:

Р18Е

рР (о/ //) 7 <2 РЕ рз рР 111 Р8 РЕ рз

ЕР * (о 1к) ' Р/ ’ Е8 р/ ^ЕГ- г1 рРзе Р8 р!^

рз

РЕЦЕ

р1 РЕ ЗЕ-рз РГ рз ЦЕ-рз2 рз^
°° ТТ ’ р1(Ц ' зе-Р8 ’ ~Р8~ ’ ’ ацР№ °° Р82 ’

/>/
Преобразования, относящиеся к первой и ко второй сфере,
лутся параллельно, и их можно, вообще говоря, отде-
В ть ДРУГ от ДРУга- Поэтому достаточно взять одну из сфер,
Лтобы понять смысл проделанных преобразований. Возь-
ем сферу» действующую на точку Р. Смысл преобразовав
пий величин, относящихся к ней, заключается в том, что
такие величины, как приращение дуги окружности АНКВ
в точке /, т. е.^1Н, и приращение дуги, перпендикуляр-
ной к АНКВ окружности в той же точке I (это приращение
пропорционально длине отрезка /0, выражаются через
величины Р1, Е8 и Р5, характеризующие положение точ-
ки I на сфере, и через приращение величины Е8 — отре-
зок ЕЕ-

Все указанные преобразования без труда переводятся
на аналитический язык, о чем еще скажем далее. И, как
нам представляется, за преобразованиями Ньютона не
следует искать, как это предлагает Литлвуд, еще какие-то
чисто аналитические рассуждения, «переведенные» Нью-
тоном на язык геометрии. Не забудем, что в конце XVII в.
обозначения анализа бесконечно малых были разработа-
ны плохо, общепринятой символики пе существовало, пе
было современных символов для тригонометрических
функций, в частности, для применяемых Ньютоном здесь
косинусов. Поэтому Ньютону легче всего было вести рас-
суждение на языке геометрии.

Доказывая теорему о притяжении однородным сфери-
ческим простым слоем внешней точки, Ньютон получил
величину, пропорциональную составляющей силы притя-
жения по направлению Р5,цо не равную этой составляю-
щей точно. По-видимому, такой результат его вполне
устраивал. При этом он осуществил своеобразное интег-
рирование функций двух переменных по сфере, прив-
лекая па помощь еще одну сферу того же радиуса.

Как нетрудно видеть из вышеизложенного, положение
переменной точки I на сфере диаметра АВ характеризует-
ся у Ньютона сферическими координатами: радиусом-
вектором Р1, углом 1Р8 наклона радиуса к направлению
ЕЕ и углом а поворота полукруга АНКВ вокруг диамет-
ра АВ ((последний угол можно отсчитывать от плоскости
чертежа). При этом / 1Р8 задастся его косинусом, гсомет-
Р Е

рически выражаемым отношением Подобным же об-
разом характеризуется положение точки I на второй сфе-
ре — диаметра аЪ.

Если ввести привычные для нас обозначения

Р1 = п, р[ = г2,
Х_1Р8 = Ъи ^1р8 = в,

и, следовательно,

4нг=СО5 01, — — СО502,

а сферы диаметров АВ п аЪ обозначить соответственно
знаками (2Х) и (22), то можно сказать, что, доказывая
предложение 71, Ньютон вычислил отношение интегралов

/ соя 01

СОЗ 02 С?О2

Д) г2

(2.) 1

г2

&) 2

где б/о! и б/бо — элементы сфер (2г) и (22), И — (91, а), г2 =

= г2 (9.,, а). Эти поверхностные интегралы — интегралы
первого рода. Действительно, к ним приводит суммирова-
ние выражений

(о777) • 7(2 Да РЕ (^гЛ) • 1д -&а, р/

РГ2 ‘ лГ 11 рЁ ’ ~рз

и им подобных выражений, относящихся к точкам Ь и /,
равных проекциям на направления Р8 и рз, соответствен-
но, элементарных сил, действующих на точки Р и р со
стороны материальных точек I и I, Ь и I (постоянная тяго-
тения принята за единицу).

Ньютон нашел, что

СР 'соз 01 ЙО:

«Н г2

(20 1

.2
2

СОЗ 02 6/бг’

р*2

Р8* •

Но его методом нетрудно вычислить и каждый интеграл в
отдельности. Возможно, Ньютон проделал такое вычисле-
ние, а затем выбрал для изложения результата приведен-
ный выше чрезвычайно изящный способ.
рот как можно вычислить, например, интеграл
соз0^1_ геометрическим методом Ньютона. Разобьем

АепУ (21)» как эт0 делается Ньютона, на две части,
С оводя из точки Р коническую поверхность, касающую-
ся нашей сферы. Часть (51), на которой постоянно нахо-
дится точка I, обозначим через (2^, оставшуюся часть —
через (21)- Тогда

Г Г* С05 01

к интегралу -С°и261-приводит суммирование по (20
(в?) Г1

бесконечно малой величины

III • Щ - Да РЕ

Р12 р$ •

Последнюю, еще до образования интегральной суммы и
последующего предельного перехода, предварительно
преобразуем, пользуясь равенствами и эквивалентностя-
ми, указанными Ньютоном.

Величина Р8 в последнем выражении рассматривается
как постоянная (точка Р зафиксирована). Остальные ве-
личины приведем в конце концов к переменной величине
8Е и ее приращению БЕ. Пределы изменения величины
8Е от 0 до радиуса сферы (обозначим его буквой а) видны
непосредственно из черт. 103 «Начал».

Дуга <7 III преобразуется па основании подобия тре-
угольников ДЛ/Я и Д1Е8 (первый треугольник прямо-
угольный, во втором /_1Е8 эквивалентен прямому углу
при /_БРЕ —> 0) и в силу эквивалентности 1Гоа1Е:

1/1 18 18

Ш °° 1Р 1Е ’

откуда

ттт П1 • 18 Е1 18

III = . - —— ,

1Е У182 — 8Е~

где /5 — радиус сферы.
Указанное преобразование, между прочим, скрывает-
ся за приведенным выше равенством Ньютона

(“>(*)),
так как, согласно аналогичному преобразованию, —

18 „ „ Г1

~ У Тз2 — уе2~* по п0 ПОСТРОСНИЮ = 18, 8е — 8Е.

На основании равенств (*) и соотношения РЕ со РЕ
имеем

Р1 -ЕЕ ]Т Р1•РЕ Р1-РЕ

- рз , Ш — рр с/о рр

Таким образом, можно написать

III • 1(2 - Да РЕ Да . П1 • 18 • Р1 • ЕЕ • РЕ
------нт,------тГо со--------7---------------- оэ

РР РЕ рр у752 _ 57/2 . р52

Да - Р1 РЕ • 1Е • ЕЕ - РЕ _ Ьа- 1Е -ЕЕ - РЕ
РЕ • Р1 У182 — ЕЕ2 - РЕ2 ~ РЕ2 У~182 — ЕЕ2

Напомним, что здесь Р8 и 18 — постоянные величины,
8Е меняется в пределах от 0 до 18, ЕЕ— приращение
8Е, Да — приращение в точке / сферического угла а,
па который полукруг Д1ПКВ поворачивается вокруг
диаметра А В.

Образуя из последнего выражения интегральную
сумму по поверхности (2Х) и переходя к пределу при
Да—>0 и БЕ->0, придем к интегралу

2а 18

с , с 18 • «Ь’Р • РР

3 г РЕ2 У1Е2 — ЕЕ2
о о

Если обозначить Р8 = сь 18 а, 8Е — д (тогда
ЕЕ — Ад = с1д — дифференциал переменной величины д),
то последний интеграл можно переписать в привычном
нам виде

2а

(?а

а-ц-с1д

4 /а2—/?2 ’
о «МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАЧАЛАХ...» II НЬЮТОНА

219

Точно так же получается, что

Таким образом,

Тем же путем можно было бы найти, что

ЙСО8 0 • Л 4лл3

—2"^ = —2— * гдо — Р8 — расстояние от при-

(Г.)

тягиваемой частицы р до центра 5 второй сферы (22)-

При подсчете отношения

постоянная величина

«</ Иц

в выраже-

ниях обоих интегралов сокращается. Опа равна площади
каждой из сфер, а также массе простого слоя, расположен-
ного на каждой из сфер, если плотность слоя принята
равной единице. Ввиду упомянутого сокращения назван-
ная постоянная величина Ньютоном не выписывается,
но им указано все, что необходимо для се вычисления.

Проанализированное нами предложение 71 книги I
«Математических начал» Ньютона излагалось позднее в
Работах различных математиков и физиков (например,
Мопертюи, Пуассона, В. Томсопа п др.). Выла получена
упомянутая выше величина 4л«2. В частности, эта по-
стоянная величина аналитически, но в точном соответст-
вии с геометрическими построениями Ньютона, была вы-
числена английским историком математики И. Тодганте-
ром*). К сожалению, по труду Тодгантера нельзя соста-
вить себе точное представление об оригинальном ньюто-
новом доказательстве предложения 71.

Итак, доказывая предложение 71, Ньютон фактически
показал один пз путей интегрирования некоторой функции
двух переменных (именно соз 0]/г2г и соз 02/г22 , где и =
— Г1(01, а), г, = г2(02,а)) по сфере, т. е. фактически указал
прием вычисления одного из поверхностных интегралов
первого рода, хотя символа таких интегралов у него еще
нет. Таким математикам, как Эйлер, Лагранж и Гаусс,
развившим в дальнейшем теорию кратных интегралов,
нетрудно было воспользоваться указаниями Ньютона.

Далее Ньютон определяет силу притяжения матери-
альной точки к однородному и неоднородному шару и
притяжение шаров друг к другу (предложение 72—78
книги I «Начал»). Рассматриваются такие случаи притя-
жения, которые по выражению самого Ньютона приводят
к «изящным выводам». При этом опять ищется нс сама си-
ла притяжения, а величина, ей пропорциональная. В вы-
ражении силы притяжения выделяется множитель, на ос-
новании которого Ньютон затем делает выводы относи-
тельно движения тел шаровой формы друг около друга
под действием силы притяжения. Для того чтобы найти
указанный множитель, Ныотоп выполняет своеобразное
интегрирование по объему тела, указывая лишь те его
моменты, которые приводят к нужному результату и остав-
ляя подробности в стороне.

Рассмотрим, например, доказательство предложения
72, формулируемого так: «Если к отдельным точкам како-
го угодно шара направляются равные центростремитель-
ные силы, убывающие пропорционально квадратам рас-
стояний до этих точек, и задается плотность шара и отно-
шение его диаметра к расстоянию частицы до его центра,

*) I. Т о Н Ъ и п I о г, А. П1я1огу оЕ Лю шаЛютаПса! Люопоя
оЕ аЦгасПоп апй Лю Ещше оГ Лю сагЛ». Ггот Лю Лпю оЕ 1Чс\у1оп (о Л<а1
оГ Елр1асо, Ьош1оп, 1873.
утверждаю, что частица притягивается пропорций-
г°пьно цолудиаметру шара» (стр. 247).

^Доказательство. «Вообрази, что две части-
каждая в отдельности, притягиваются двумя шарами,
дь1’ одним, другая—другим, что расстояния частиц про-
^опиональны диаметрам соответствующих шаров и что эти
П ары разделены подобным образом на весьма элементарные
Объемы, расположенные подобным образом относительно
притягиваемых частиц; тогда отношение притяже-
нпя одной частицы к отдельным элементам притягива-
ющего ее шара к притяжению другой частицы к соответ-

ствующим элементам другого шара равно произведению
прямого отношения этих элементарных объемов на обрат-
ное отношение квадратов расстояний до них. Но эти эле-
ментарные объемы пропорциональны объемам самих ша-
ров, т. е. кубам диаметров, расстояния же по условию
пропорциональны диаметрам, поэтому произведение выше-
упомянутых прямого и обратного отношений равно отно-
шению диаметров» (там же).

Доказательство прозрачно и не требует пояснений.
Заметим только, что идея интегрирования по объему шара
в этом доказательстве высказана очень ясно. Сначала вы-

числяются величины сил, действующих на притягивае-
мую частицу со стороны элементарных объемов, состав-
ляющих шар. Затем эти элементарные величины преоб-

разуются в им пропорциональную величину — диаметр
шара — постоянную для всех элементарных сил, что и
доказывает предложение 72. При этом, как и при доказа-
тельстве предложения 71, предполагается, что для опре-
деления притяжения частицы всем шаром проекции эле-
ментарных сил на направление прямой, соединяющей
притягиваемую частицу с центром шара, нужно в заклю-
чение просуммировать по всему шару.

Идею интегрирования по объему можно усмотреть и в
Доказательстве предложения 74, сформулированного
следующим образом: «При тех же предложениях (тот же
закон притяжения для точечных масс. —В, А.) утверж-
даю, что частица, расположенная вне шара, притягивает-
ся с силою, обратно пропорциональною квадрату ее рас-
стояния до центра шара». «Ибо, — говорит Ньютон,—
если рассматривать, что шар состоит как бы из бесчислен-
ного множества концентрических слоев, то притяжение
каждого слоя обратно пропорционально квадрату рассто-
яния частицы до центра шара (предложение ЁХХ1).
Слагая, получим, что и сумма этих протяжений, т. е.
полное притяжение частицы шаром, следует том же про-
порции» (стр. 248—249).

В этом доказательстве Ньютон фактически указывает,
что при интегрировании по шару сначала можно интегри-
ровать по сферической поверхности, а затем — по пере-
менному радиусу этой поверхности. Как уже сказано вы-
ше, интегрирование по шару Ньютон здесь в подробностях
не проводит (это оп, как увидим, проделывает несколько
далее), но находит лишь нужный ему множитель в выра-
жении величины силы притяжения — величину, обрат-
ную квадрату расстояния частицы до центра шара.

Доказав предложение 78 книги I «Начал», Ньютон
задается целью дать общий метод вычисления сил притяже-
ния тел, пригодный при любом законе притяжения
материальных точек. Этот общий метод заключается в све-
дении такого рода задач к явному вычислению интегра-
лов. Однократные интегралы, появляющиеся здесь в про-
цессе вычислений, не имеют символического изображения,
а фигурируют как площади криволинейных фигур. Тем
более мы не встретим здесь символов кратных интегралов,
хотя фактически такие интегралы вычисляются.

Чтобы показать, как Ньютон выполняет здесь кратное
интегрирование, мы остановимся на одном из первых пред-
ложений этой части теории притяжения — предложе-
нии 80.

«Предложение ЬХХХ. Теорема ХЬ. Если к отдельным
частицам шара АВЕ, коего центр 8, направляются рав-
ные центростремительные силы, и к оси шара АВ, на коей
лежит масса Р, проводятся в точках Б перпендикуляры
БЕ, пересекающие поверхность шара в Е, и по ним от-
кладываются длины Б1У, пропорциональные величине
БЕ2-Р8

—— и силе, с которою частица шара, лежащая на
оси в расстоянии РЕ, действует на массу Р, то я утверж-
даю, что полная сила притяжения массы Р шаром пропор-
.опальна площади АМ В, ограниченной осью АВ и крп-
ЛМВ, на которой постоянно лежит точка АГ» (стр. 256).

В предложении 80 шар предполагается однородным.
Вго плотность, для простоты, можно считать равной еди-
нице- Итак, утверждается, что сила притяжения однород-
ным шаром внешней частицы пропорциональна площади

криволинейной фигуры А8ВМА (см. фиг. 110), которую
нетрудно представить определенным интегралом. Дейст-
вительно, введем в плоскости фиг. НО прямоугольную де-
картову систему координат с началом в точке Р, осью х1
направленной по прямой РВ, и осью ?/, направленной
вверх. Тогда РВ = х и ВЕ = у будут координатами точ-
ки Е окружности АЕВ. Отрезок Вй есть приращение
или дифференциал координаты х. Пусть еще РЕ2
= х2 + у2 = г2, Р8 = с, Ф(г) — закон притяжения двух
материальных точек, находящихся па расстоянии г, и а —
радиус шара. Тогда отрезок ВМ, пропорциональный
1)Е2-Р$ У2’с \

—рр—, будет пропорционален -— Ф(г) и площадь
А8ВМА можно выразить интегралом

с+а
с (
•) г
с-а

в котором переменные у и. г можно выразить через х,
если воспользоваться уравнением окружности АЕВ

(х — е)~ + у~ -- а2.
Прежде чем доказать предложение 80, Ньютон сначала
доказывает лемму XXIX, которая в только что введенных
обозначениях заключается в равенстве

— пли г Аг -с с1х.
аг с

Вслед за леммой идет предложение 79, в котором под-
считывается притяжение частицы Р бесконечно тонким
сферическим телом, образованным вращением фигуры
ЕЕ{е малой ширины Е{ около прямой Р8 (см. черт. 109—
110 «Начал»).

«Предложение ЬХХ1Х. Теорема XXXIX. Если пло-
щадь ЕЕе), коей ширина /’/, уменьшаясь до бесконечно-
сти, почти исчезает, описывает при своем обращении около
оси Р8 сферически выпукло-вогнутое тело, и к отдельным
равным его частицам направляются равные центростре-

мительные силы, то я утверждаю, что это тело притяги-
вает массу, находящуюся в точке Р с силою, пропорцио-
нальною /ЭЕ2-/7/ и той силе, с которою заданная частица
тела, будучи помещена в /г/, притягивала бы массу Р»
(стр. 255).

Для доказательства сначала подсчитывается величина
силы притяжения точки Р сферической поверхностью, об-
разованной вращением дуги ЕЕ радиуса РЕ вокруг Р8.
Прямые с?е, перпендикулярные диаметру АВ, разбивают
дугу ЕЕ на мелкие части (одна из них — Ее), которые при
вращении вокруг АВ образуют шаровые пояса. Площадь
поверхности одного из таких поясов, образованного вра-
щением дуги Ег, говорит Ньютон, пропорциональна 1)(1,
когда точка Е зафиксирована (эта площадь, как известно,
равна 2л- АЕ-Б(1, где АЕ — радиус дуги ЕЕ), «Силы при-

тяжения элементов поверхности этого пояса, направлен-
ные по производящим конуса РЕ и Рг — рассуждает
далеее Ньютон,— пропорциональны поверхности пояса,
т. е. длине Бс1, составляющие же этих сил по направле-
РР

нию Р8 меньше самих сил в отношении -р^, т. е. эти
составляющие пропорциональны РБ-БсЬ) (стр. 255—256).
Если записать только что названные составляющие

точно, то они будут равны 2лФ(г)-Р/)-1)й, где Ф(г) — за-
и притяжения двух материальных точек, а множитель
ч-г' получается при интегрировании проекции элемеитар-
* х сил на Р8 по шаровому поясу; это интегрирование
водится к интегрированию названных проекций по
углу поворота полукруга ЛЕВ вокруг диаметра. Нью-
тон Опускает множитель 2л и говорит но о точном равенст-

ве, а о пропорциональности.

’ Лайдя выражение составляющей притяжения точки
р бесконечно малым шаровым поясом, Ньютон интегрирует
затем это выражение по всем поясам сферической! поверх-
ности, образованной вращением дуги ЕЕ, что сводится
к нахождению интеграла от выражения РБ-Бс1 в пре-
делах от РБ до РЕ, или в наших обозначениях — интег-

рала

ре г

хдх ^хйх.

РИ х

Интеграл этот Ньютон называет «суммой всех произведе-
ний РБ-БсЪ>, соответствующей разбитому па части отрез-
ку БЕ. Значение этого интеграла

^РЕ- —-1-/Л02 = ^ВЕ-

Л Л л

Ньютон приводит как общеизвестное.

Таким образом, Ньютон получает, что материальная
поверхность, образованная вращением дуги ЕЕ, притя-
гивает точку Р «пропорционально БЕ2».

Умножив БЕ2 на закон притяжения и на Е/ — высоту
«сферически выпукло-вогнутого тела», о котором идет речь
в предложении 79, Ньютон и получает величину, пропор-
циональную силе притяжения этим телом точки Р. Точ-
ное выражение этой силы, действующей по прямой Р8,
получим, умножив произведение Ньютона еще на л:

лФ(г) у2с!г,

где у2 = БЕ2, г = РЕ, Нг . Е/.

Итак, в предложении 79 Ньютон, по существу, интег-
рирует выражение составляющих по Р8 элементарных сил
притяжения по сферической поверхности, образованной

15 Истор.-матем. исслсд., вып. XVII
по переменному радиусу г. Дифференциал 1г по лемме
XXIX, названной выше, предварительно заменяется на
, Где с Р8- Таким образом, получается интеграл
г ’
с+а

пс

с-а

о котором уже говорилось выше.

Заметим, что переменные г и х в рассуждениях Ньютона
меняются в одних и тех же пределах: от с — а до с + а.

Обозначим однородный шар радиуса «, но которому
Ньютон произвел интегрирование, через (7), часть сфе-
рической поверхности радиуса г, описанной из точки Р,
заключенную внутри шара,— через 5 (г), угол поворота
полукруга АЕВ вокруг Р8 — через а, элементарный объ-
ем и элементарную поверхность — соответственно через
1% и 1з. Тогда рассужденпя Ньютона, изложенные при
доказательстве предложений 79 и 80, а также леммы
XXIX, можно записать следующей цепочкой равенств:

с+а

Щф(г)-2-Л= 5 ($Ф(Г)Л-Й8рг

*Т) с-а 8 (г)

с+1 с+а 2п г

= г $ х!з = (1г хгд.хс1^

с-а /7 с^_а 0 х

с+а г с+а

= 2л Ф (г) с1г х!х == л Ф (г) (г2 — х2) 1г —

с-а х с-а

с+а

= ПС Ф (г) -у 1х,
с-а

из которых видно, каким образом тройной интеграл сво-
дится к повторным.

Излагая теорию притяжения далее, Ньютон произво-
дит интегрирование по объемам других сферических и
несферических тел. Например, он производит интегриро-
вание по объему однородного тела вращения, вычисляя

15*
величину силы, действующей со стороны этого тела на точ-
ку, помещенную на оси вращения (предложения 90 и 91).
При этом системой большого числа плоскостей, перпенди-
кулярных оси вращения, тело вращения разбивается на
топкие круговые цилиндрики. Только что указанные
предложения Ньютона вместе с его способами интегри-
рования прокомментированы в статье Л. II. Сретенского
«Ньютонова теория приливов и фигуры Земли» *).

Таким образом, в «Математических началах» Ньютона
мы встречаемся с кратным интегрированием, интегриро-
ванием по поверхности и но объему, хотя формулировок
определения понятий тройных и поверхностных интегра-
лов и символов для них у Ньютона еще пе было.

*) И. И ь ю т о и, Сборник статен к трехсотлетию со для рож-
дения, под ред. С. И. Вавилова, М.—Л., 1913.
РАННЯЯ ИСТОРИЯ
ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Ф. А. Медведев

В последующем речь будет идти об одной пз основных
теорем теории абстрактных множеств:

если А и 7? — два таких произвольных множества, что в
А имеется подмножество Аг, эквивалентное В, а в В име-
ется подмножество эквивалентное А, то множества
А и 7? эквивалентны, или о равпозпачп м ей предложении:

если для некоторого множества Л и его подмножеств

А-> справедливы утверждения, что п

А эквивалентно Л2, т0 А эквивалентно А1 I1].

Значение этой теоремы, помимо вопроса о сравнимости
мощностей, решавшегося до недавнего времени при п мо-
щи теоремы эквивалентности, состоит в следующем. Во
многих случаях для двух множеств, отп ептельно которых
возникает вопрос об их равиомощиости, только редк) мож
по прямо доказать, что между ними имеет место взаимно-
однозначное соответствие. Напротив, частэ значительно
проще доказывать, что налицо взаимнооднозначные со-
ответствия между одним мн )жеством и некоторым под-
множеством другого. Тогда теорема эквивалентности пэ-
зволяет утверждать равномощность рассматриваемых
множеств.

В математической литературе эта теорема называется
по-разному: теоремой эквивалентности, как в названии
статьи, теоремой Кантора, теоремой Кантора — Бери,
штейна, теоремой Бернштейна, теоремой Шредера Берн-
штейна. Если принять во внимание, что ею занимались
многие математики, например Дедекинд, Цермело, Пеано,
Банах, Тарский и другие, то и их имена с большим или
меньшим правом могли бы связываться с названием этой
теоремы. Поэтому лучше всего, пожалуй, остановиться
на нейтральном пменовании ее «теоремой эквивалентности».

В напечатанном виде данная теорема впервые встре-
чается у Г. Кантора в его работе «Основы общего учения
о многообразиях» в 1883 г. [2]. После того как он доказал,
что если М есть какое-либо множество чисел второго чис-
лового класса, то оно пли конечно, или счетно, или имеет
первую несчетную мощность [мощность по более позд-
ним обозначениям Кантора]; им, как непосредственные
следствия этого утверждения, формулируются два пред-
ложения:

1) если М имеет мощность и Мх — бесконечное под-
множество множества М, то или счетно, или — М;

2) если М имеет мощность с“ М, М2с2Мг и М2 ~
— М, то Мх — М.

Эти предложения действительно являются вполне оче-
видными следствиями доказанного Кантором утвержде-
ния, если принять во внимание, что множество М в обоих
предложениях Каптора эквивалентно множеству всех
порядковых чисел второго числового класса.

После формулировки этих следствий (без их очевидно-
го доказательства) он продолжает: «Я привожу здесь это
последнее предложение [т. е. 2) — Ф. М.] ввиду связи
его с предыдущим, исходя из предпосылки, что М имеет
мощность (II) [3]. Очевидно, что опо истинно и тогда, ког-
да М имеет мощность (I) [4]. Но мне кажется весьма за-
мечательным — и поэтому я и подчеркиваю это умышлен-
но,— что это предложение имеет общее значение, какова
бы ни была мощность множества М. К этому я еще вер-
нусь в одной позднейшей работе и тогда покажу то особое
значение, которое присуще этому общему положению»
(стр. 63—64 русского перевода).

Следующее возвращение Кантора к данному вопросу
состоялось в 1884 г., когда он подготовил очерк основ тео-
рии порядковых чпеел для одного математического журна-
ла. Однако, как указал оп сам, «после того, как уже был
набран первый лист, обнаружились к моему удивлению
некоторые обстоятельства, побудившие меня взять статьи
из редакции» [5]. Содержание этого очерка Кантор опуб-
ликовал только в 1888 г. в качестве раздела VIII его рабо-
ты «К учению о трапсфинитном» [6]. Этот раздел посвящен
в основном порядковым типам п-кратно упорядоченных
множеств. Но перед этим поясняется понятие мощности,
и здесь теорема эквивалентности прямо связывается с во-
просом о сравнении мощностей. Полагая, что если для
двух множеств М и ТУ каким-либо образом установлено, что
они не эквивалентны, Кантор утверждает, что тогда
возможны только два случая: или в Дг есть подмноже-
ство ТУ', эквивалентное М, пли в М есть подмноже-
ство М', эквивалентное ТУ. В первом случае мощ-
ность М он называет меньшей мощности ТУ, а во втором —
большей. Подчеркнув, что указанная дилемма существен-
но зависит от предположенпя неэквивалентности М н Ат,
он продолжает: «Если же оба множества эквивалентны,
то может отличным образом случиться, что существуют
такие составные части М' и ТУ', для которых как М

== ТУ', так и М' = ТУ [7]. Мы имеем также теорему: если М
и ТУ — два таких множества, что из них могут быть выделе-
ны составные части М' и ТУ', о которых можно показать,
что 01 = № я М' = М , то М и ТУ суть эквивалентные
множества» (стр. 137—138 русского перевода).

Таким образом, здесь палицо совершенно четкая фор-
мулировка общей теоремы эквивалентности в первой пз
указанных в начале статьи ее форм. Но в приведенных
словах интересно и следующее. Обычно теорему эквива-
лентности формулируют как достаточное условие эквива-
лентности двух бесконечных множеств. Кантор же в пер-
вом из приведенных выше предложений, утверждает и ее
необходимость. Это действительно справедливо, так как,
опираясь па аксиому произвольного выбора, в случае эк-
вивалентности бесконечных множеств М и ТУ, в М можно
выделить подмножество ЛГ, эквивалентное ТУ, а в № —
подмножество ТУ', эквивалентное М. Видимо, трудности,
связанные с аксиомой Цермело, обусловили то, что теоре-
ма эквивалентности формулируется до сих пор только как
достаточное условие. Никаких намеков на доказательство
Данных предложений здесь у Кантора не имеется.
13 опубликованных в XIX в. работах Кантор вновь
возвращается к теореме эквивалентности, в обеих се фор-
мах, в 1895 г. в его основном труде «К обоснованию уче-
ния о трансфинтттных множествах» 181.

Если приведенный выше ход рассуждений Кантора по-
зволял сделать предположение, что из поведения двух
множеств в отношении взаимно однозначного соответст-
вия можно заключать о сравнимости мощностей этих мно-
жеств, то теперь дело представляется иначе. §2 названной
его работы посвящен вопросу о сравнении мощностей.
Здесь он сначала показывает, что если для двух множеств
М и Лг выполнены условия: 1° в Л/ не существует подмно-
жества, эквивалентного Аг;

2° в М есть подмножество Ад, эквивалентное Л/, то это
означает, во-первых, что между мощностями множеств Л7
и А7 имеет место некоторое отношение [9], во-вторых, что
множества Л/ и Аг нс могут быть эквивалентными, и, нако-
нец, что между мощностями этих множеств не может быть
обратного отношения. Приведенные соображения служат
ему основанием для введения отношения «больше» для
мощностей. А именно, в указанном случае он принимает,
что мощность множества Аг больше мощности множества Л/,
или, что то же самое, мощность Л/ меньше мощности IV.
Казалось бы, что теперь следовало рассмотреть другие
возможные соотношения между двумя данными множест-
вами в связи со взаимно однозначным соответствием, т. с.
рассмотреть четыре логически возможных соотношения
между Л/ и

а) существует ЛДС1 1/ такое, что Л/1~ЛГ, но пе суще
ствует подмножества множества Аг, эквивалентного Л7;

б) существует А\ с Аг такое, что АГ1~Л/, но не су-
ществует подмножества множества Л/, эквивалентного Аг;

в) существует ЛЛ С Л/ такое, что ЛЛ —Аг, а также су-
ществует А\С2АГ такое, что А\V;

г) не существует пи Л/, о Л/, эквивалентного А, ни
А\С1ЛГ, эквивалентного Л/.

Такое предположение было бы тем более естественным,
что выделение этих четырех логически возможных случа-
ев приписывается обычно Кантору [10]. Действительно,
в письме к Дедекинду от ЗОЛ III 1899 г. Кантор их рассмот-
ел I11]- Одна ко за год до этого эти четыре случая сфор-
мулированы Э. Борелем [12], причем Борель не отмечает,
пто идея такого рассмотрения принадлежит Кантору. Но
паже если Борель почерпнул эту идею у Кантора (они
встречались в 1897 г. и разговаривали о теории множеств,

в частности о теореме эквивалентности, о чем несколько
далее), то правдоподобно предположение, что в 1895 г.
Кантор ею еще не владел. Поэтому, вместо того чтобы пред-

ставить теорему эквивалентности как один из логически

возможных случаев поведения двух множеств по отноше-
нию ко взаимно однозиачноххгу соответствию (случаи в) ),
который предстояло доказать, чтобы говорить далее о
сравнимости мощностей, он поступает с точностью до на-
оборот. А именно, отмстив исключение каждым пз соот-
ношений между мощностями а и Ь (соответственно мно-
жеств М II А)

а Ь, а<Ь, Ь<а

(1)

двух других, Кантор справедливо отмечает неочевидность
того, что для любых двух мощностей или кардинальных
чисел л, 6 должно иметь место одно пз соотношении (1).
Он утверждает, что последнее можно доказать лишь с
трудом, когда будет рассмотрена возрастающая последо-
вательность траисфинптных чисел и их взаимосвязь
(стр. 285), и обещает убедить читателя в справедливости
теоремы

\. Если а и Ь — .побыо два кардинальных числа, то
или а = Ь, или а <Г Ь, или а > Ь.

Фактического доказательства теоремы А Кантор пе
дал, так как для этого тогда не -доставало теоремы, что
каждое множество может быть сделано вполне упорядо-
ченным, высказанной им еще в 1883 г. [13], но доказанной
Е. Цермело только в 1904 г. I11]. Однако Кантор своим
предшествующим теореме А утверждением и построением
в той же работе теории вполне упорядоченных множеств
наметил ход рассуждений в доказательстве теоремы А,
которого математики придерживались до недавнего вре-
меня. А именно, поскольку всякие два алефа [15| сравни

и так как из теоремы Цермело вытекает, что всякая
мощность есть алеф, то действительно имеет место
теорема А. Различие состоит только в том, что если в совре-
менных руководствах по теории множеств одним из предва-
рительных условии доказательства теоремы А считается
доказательство теоремы эквивалентности и исключение
случая г) (при помощи теоремы Цермело [16]), то Кантор,
наоборот, получает теорему эквивалентности в обеих ее
формах как простые следствия теоремы А (его теоремы
В и С, стр. 285 указанной выше работы).

Лишь недавно вопрос о сравнимости двух произволь-
ных мощностей получил более короткое решение, состоя-
щее в том, что при помощи леммы Цорна, но без предва-
рительного построения теории вполне упорядоченных
множеств и доказательства теоремы Цермело, утвержда-
ется сравнимость любых двух мощностей [17], и оно уже
успело войти в учебную литературу [17а]. Отсюда и теоре-
му эквивалентности можно получить по способу Кантора
как простое следствие. Однако такой путь требует без-
условного признания аксиомы произвольного выбора (или
какого-либо ее эквивалента, например леммы Цорна), ко-
торая принимается далеко не всеми математиками. Между
тем теорема эквивалентности может быть доказана без
привлечения этой аксиомы. Кроме того, названная теоре-
ма имеет определенное математическое содержание поми-
мо связи ее с вопросом о сравнении мощностей множеств,
а потому различные ее доказательства явились предметом
изысканий многих математиков.

Первое, известное теперь доказательство принадлежит
Р. Дедекинду. В письме к нему от 5/Х1 1882 г. Кантор
писал: «Вспомните, что в Гарцбурге я говорил Вам, что
можно доказать следующую теорему:

«если М' — составная часть многообразия М, М" —
составная часть М', а М и М" могут быть связаны взаим-
но однозначным соответствием, т. е. М и М" имеют рав-
ные мощности, то М' имеет ту же мощность, что Л/и М".

Теперь я нашел ключ к этой теореме и могу ее строго
и с нужной общностью доказать, чем заполняется сущест-
венный пробел в учении о многообразиях» [18].

Последние слова Кантора были явным преувеличени-
ем: как мы видели выше, ни тогда, ни впоследствии оп не
нашел удовлетворительного доказательства данной тео-
ы Более того, он, по-видимому, в то время еще не осоз-
равнозначности приведенной формулировки теоремы
П • вивалентности с другой ее формой, так как в самом кон-

указанного письма [19], после изложения ряда своих
Результатов из теории абстрактных множеств, опублико-
ванных в следующем году в работе [2], он поставил перед
Дедекиндом задачу доказательства теоремы эквивалент-
ное ги как раз во второй ее формулировке, не делая ника-
ких намеков на связь ее с предшествующей.

Решение этой задачи было найдено Дедекиндом спустя
почти ровно пять лет после названного письма Кантора.
В его научном наследии Ж. Кавайе обнаружил рукопись,
датированную 7/ХТ 1887 г. и содержавшую доказатель-
ство теоремы эквивалентности в обеих ее формах. Прежде
чем говорить об этом доказательстве, напомним, что в это
время Дедекинд готовил к печати первое издание своей
книги «Что такое числа и для чего они служат?» [20],
где им были получены существенные результаты в теории
абстрактных множеств и, в частности, разработана теория
ценен множеств, легшая в основу его доказательства тео-

ремы эквивалентности; при доказательстве он прямо ссы-
лался на соответствующие места книги. Для дальнейшего
нам понадобятся только следующие определения из кни-
ги Дедекинда:

Множество А называется цепью относительно отобра-
жения ср, если ф(Л) с: Л. Пересечение всех цепей, содержа-
щих некоторое множество, называется цепью этого мно-
жества [21].

Обратим внимание на следующее. В определении цепи
множества М участвуют все те цепи ф(71/^), которые со-
держат это множество М, следовательно, определение
цепи множества М зависит от самого множества М и в то
же время, поскольку пересечение цепей является цепью
I22], содержащей 71/, то сама эта цепь множества 71/ вхо-
дит в множество рассматриваемых цепей. Данное замеча-
ние нам понадобится в дальнейшем.

Дедекинд формулирует теорему так [23]:

Пусть ф — взаимно однозначное отображение множе-
ства 8 в себя, т. е. 8' = ф(5) С2 8 и 8' — 8. Пусть далее
5' с Т с 5. Тогда Т ~ 8.
Отметив очевидность ее в случае Т = 5, отт рассматрц
вает тот существенный случай, когда Т ф 8. Полагая
тогда А 8 — Т и обозначая через Ао образ цепи мно-
жества А, соответствующей отображению <р, он строит
отображение ф, определяемое таким образом:

( <р(р), если рЕЕ/10,

(Р) | р, если

где р — любой элемент пз 5 , и доказывает, что так пост-
роенное отображение ф осуществляет взаимно одиозная
нос отображение множества 8 на множество Г.

Тем самым доказана теорема эквивалентности в одной
из ее форм. Как следствие он здесь же получает другую
ее формулировку.

По неизвестной причине это доказательство осталось
неопубликованным при жизни Дедекинда. Более того,
как заметила Э. Пётср в примечании к данной работе
Дедекинда [2 1 ], он забыл о существовании этого своего
доказательства. II когда, спустя двенадцать лет, при встре-
че с Ф. Бернштейном у них зашла речь о теореме эквива-
лентности, то Дедекинд лишь выразил убеждение, что дан-
ная теорема может быть доказана средствами его книги
«Что такое числа и для чего они служат?», но не сообщил
своему собеседнику, что он располагает таким доказатель-
ством I25]. Так как к этому времени в печати появилось
доказательство Бернштейна, н Дедекипд, по всей вероят-
ности, знал о нем. то, видимо, желая продемонстрировать
силу методов своей книги, он после встречи с Бернштей-
ном реконструировал прежнее свое доказательство, счи-
тая его вновь найденным, и послал его Кантору в письме
от 29. VIII 1899 [26]. В ответном письме Кантор [И1 ука-
зал, что теперь уже имеются доказательства Шредера и
Бернштейна. Мы перейдем теперь к ним.

Весной 1896 г. на заседании Общества естествонспыта
телей во Франкфурте па Маннс Э. Шредер сообщил свое
доказательство теоремы эквивалентности. Огю, ио-видп-
мому, было логико-математическим и впервые в печати
было упомянуто в том же году’ [27]. Вторично о подобном
доказательстве Шредер писал в 1901 г. Г28]. Но его указа-
СТоль кратки, что восстановить ход рассуждений Шре-
1 'ра довольно тру що. В 1898 г. он опубликовал также
^сорстпко-мпожественпое доказательство теоремы эквп-
ватентностп [29]. Оно было близко по своему содержанию
.* бернштейновскому, но содержало ошибку, вскрытую
несколько .чет спустя, о чем немного дальше.

Почти одновременно со Шредером доказательство тео-

ремы эквивалентности сообщил на семинаре Кантора в
Галле его ученик Ф. Бернштейн. С этим доказательством
Кантор ознакомил Э. Бореля во время встречи их на Меж
дународном математическом конгрессе в Цюрихе (1897),
а'в следующем году, с разрешения Кантора. оно появилось
в книге Бореля «Лекции но теории функций» Р°|. Доказа-
тельство Бернштейна достаточно широко распространено

[31], и мы ограничимся лишь двумя замечаниями.

В первоначальном рассуждении Бернштейна исполь-
зовались трапефшштные числа Кантора. Борель же пред-
почел обойтись без них, введя в это рассуждение пересе-
чение бесконечного множества множеств, строившихся
в ходе доказательства теоремы. II хотя он сам считал эго
несущественной модификацией хода мыслей Бернштей-
на [321, мы хотели бы подчеркнуть этот пункт, поскольку

здесь налицо одно из первых, если по самое первое, созна-
тельное исключение трансфииитных чисел из математи-
ческих рассуждений — исключение, неоднократно произ-
водившееся впоследствии в других случаях, вплоть до
разработки общей схемы такого исключения.

Второе замечание таково. При доказательстве теоремы
эквивалентности по методу Бернштейна строится после-
довательность множеств Ап, перенумерованных всеми
натуральными числами, при этом, вообще говоря, пост-
роение этой последовательности требует применения ме-
тода полной математической индукции, хотя последнее
обстоятельство обычно не отмечается, как это обстоит в
большинстве других аналогичных случаев.

Тактьм образом, к концу прошлого века ситуация с рас-
сматриваемой теоремой была такова. Более раннее дока-
зательство Дедекинда не было опубликовано. Логико-ма-
тематическое доказательство Шредера оставалось не рас-
крытым, а ошибочность его теоретико-множественного
доказательства, близкого, как уже говорилось, к бернцу
тейновскому, не была обнаружена.

Доказательство Бернштейна, усовершенствованное По-
релем, вошло в книгу, получившую широкое распрост-
ранение; оно же было изложено в упоминавшемся обзоре
Шенфлиса I27].

Имелись, однако, соображения против бернштейнов-
ского метода доказательства, о которых будет сказано не-
сколько далее. Они еще не были опубликованы в печати,
однако, по-видимому, фактически существовали и застав-
ляли математиков искать новых путей обоснования теоре-
мы эквивалентности. Успеху этих поисков способствова-
ло, в частности, распространение книги Дедекинда «Что
такое числа и для чего они служат?», вышедшей к тому
времени вторым изданием в Германии (1893) и переведен-
ной на английский язык (1901). Она содержала в себе весь
необходимый вспомогательный материал, требующийся
для реконструкции рассуждения Дедекинда. Не случайно
поэтому то, что в начале века появилось несколько вари-
антов доказательства теоремы эквивалентности, по суще-
ству воспроизводивших неопубликованное доказательст-
во Дедекинда.

Первым нашел его вновь А. Корселе в 1902 г. Вместе
с тем он тогда же вскрыл ошибку в рассуждении Шре-
дера, состоявшую в том, что последний допускал в своем
доказательстве, что предел последовательности экви-
валентных множеств имеет ту же мощность, что и каждое
из множеств последовательности. Корселе построил при-
мер такого типа последовательности множеств, когда
предельное множество имеет меньшую мощность. Об
этом он сообщил Шредеру. Последний признал правиль-
ность возражения Корселе в ответном письме и однов-
ременно сообщил ему, что он сам обнаружил эту ошибку
еще ранее и уже говорил об этом некоторым математикам,
но что он еще не имел возможности объявить в печати
о своей ошибке.

В своем письме Корселе одновременно предложил
другое доказательство. Вместе с тем оп послал это до-
казательство в МаЬЬетаНзсйе Аппа1еп для опубликования.
Тогда оно почему-то не увидело света. И лишь в 1911 г.
аметка Корселе «Об одном доказательстве теоремы
эквивалентности» была опубликована [33].

Между тем в 1906 г. появились доказательства
п Пеано и Е. Цермело, по существу совпадавшие с не-
опубликованными доказательствами Дедекинда и Кор-
селе, а также друг с другом. Однако прежде, чем говорить
о них, возвратимся к возражению против доказательства
Бернштейна, о котором мы уже упоминали. Чтобы сущ-
ность этого возражения была яснее, вспомним обстановку
в математике на рубеже XIX—XX вв.

Недавно созданная теория множеств уже станови-
лась основой многочисленных исследовании по самым
разнообразным вопросам математики (в частности, в
теории функций комплексного и особенно действитель-
ного переменного). Ряд математиков стал рассматривать
ее вообще как фундамент математики в целом. Из теории
множеств стремились получить и всю арифметику (Деде-
кинд, 1888, Кантор, 1895—1897 и др.). Такой взгляд на
теорию множеств предполагал построение ее без исполь-
зования в ней арифметических понятий и методов рас-
суждений; напротив, последние должны были найти свое
оправдание в общей теории множеств.

Теорема эквивалентности принадлежала к числу тео-
рем именно общей теории множеств, а потому с точки
зрения указанного выше подхода к соотношению теории
множеств и арифметики ее доказательство не должно
было опираться на арифметические понятия и рассужде-
ния. Между тем, как отмечалось выше, в ходе ее доказа-
тельства использовались как конечные порядковые числа,
так и принцип полной математической индукции, явно
не применявшийся, но все же необходимый при более
развернутом рассуждении.

Это-то обстоятельство и выявил в 1906 г. А. Пуан-
каре [34]. Проанализировав доказательство Бернштейна,
он отметил, что в формулировке теоремы речь идет исклю-
чительно о бесконечных кардинальных числах, следо-
вательно, в ходе рассуждений, казалось бы, не должны
были содержаться конечные порядковые числа и прин-
цип математической индукции. Доказательство теоремы
эквивалентности без указанного принципа оп готов был
рассматривать как важное математическое открытие,
по вместе с тем высказал убеждение, что такое доказа-
тельство невозможно.

Ответ на критику Пуанкаре доказательства Берн-
штейна со стороны Л. Кутюра |35] не отвергал главно! о
упрека — упрека в применении принципа ин уукциц
Он снимал разве лишь то менее существенное возражение,
которое было связано с использованием натуральных
чисел. Здесь Кутюра высказал мысль, повторявшуюся
впоследствии многими, что в доказательстве теоремы
эквивалентности числа играют лишь подсобную роль,
служа в качестве знаков, позволяющих различать
рассматриваемые множества. Применение принципа ин-
дукции он рассматривал как вспомогательны б прием,
вроде чертежа в геометрических доказательствах. По-
скольку, однако, Кутюра не мог противопоставить доводу
Пуанкаре какого-либо другого доказательства, обходя-
щегося без индуктивного рассуждения, то его возраже-
ние оставалось необоснованным. Впрочем, и утвержде-
ние Пуанкаре, что доказательство теоремы эквивалент-
ности невозможно без такого типа рассуждений, также
было необоснованным, на что и указал Кутюра, выдви-
нув предположение, что могут быть найдены иные до-
казательства (стр. 109—110 русского перевода).

И действительно, критика Пуанкаре доказательства
Бернштейна немедленно привела к тому, что различными
математиками был предложен ряд новых доказательств
теоремы эквивалентности. Доказательства Е. Цермело,
Д. Пеано, Ж. Кёнига и новоеФ. Бернштейна прямо сопро-
вождались указаниями па то, что они даются в ответ
на упрек Пуанкаре; доказательство Г. Гессенберга по-
добных указаний не содержало, но даже если автор его
и не был тогда знаком с возражениями Пуанкаре, оно
все же являлось определенным ответом на его критику.
Все они появились в печати в одном н том же 1906 г.

Начнем с доказательства Цермело. После ознаком-
ления с работой Пуанкаре оп, опираясь на дедекпндов-
скую теорию цепей, нашел доказательство рассматри-
ваемой теоремы, очень близкое к неопубликованным
тогда доказательствам Дедекинда и Корселе. Это дока-
ателье тво он не стал публиковать сам, а послал его
Пуанкаре. Последний сразу же напечатал это доказа-
тельство [36]. Но, публикуя его, Пуанкаре имел в виду
отнюдь не признание ошибочности своих заключений
относительно теоремы эквивалентности. Напротив, он
привел его с той целью, чтобы показать, что в доказа-
тельстве Цермело имеет место еще больший, по его мнению,
грех, нежели использование принципа полной матема-
тической индукции в первом бериштейновском варианте.
Прежде чем говорить об этом, сделаем небольшое от-
ступление.

В 1905 г. Ж. Ришар опубликовал парадокс, связан-
ный с понятием конечной определимости I37]. Из-
ложив его, он заметил, что рассматриваемое им па-
радоксальное множество таково, что решение вопроса
о том, принадлежит ли некоторый элемент этому мно-
жеству пли нет, приводящее к противоречивым заклю-
чениям, зависит от самого этого множества. Если такой
элемент считать не принадлежащим рассматриваемому
множеству, исключить его пз рассмотрения, то парадокс
устраняется. Это-то замечание Ришара и взял на воору-
жение Пуанкаре. Он обнаружил, что в известных тогда
парадоксах теории множеств налицо определения, содер-
жащие порочный круг. Назвав такие определения непре-
дикативными [38], Пуанкаре, в частности, показал, что
и в доказательстве Цермело теоремы эквивалентности
налицо непредикативное определение [39]. Действительно,
как мы уже заметили в связи с доказательством Деде-
кинда, определение цепи множества 1/ зависит от самого
множества Я/. Цермело же как раз основывал послан-
ное Пуанкаре доказательство на дедекиндовском поня-
тии цепи множества. Сам термин «цепь множества» в рабо-
те Пуанкаре не употреблялся, но это не меняло суще-
ства дела.

Пуанкаре также отметил, что доказательство теоремы
эквивалентности можно было бы вывести из теоремы
Цермело о полном упорядочении |40]. Такое доказатель-
ство в следующем году предложил И. П. Жегалкмп [п].
Однако Пуанкаре все в той же работе [*2] показал, что
11 в доказательстве теоремы о полном упорядочении
16 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
содержатся непредикативные определения, следовательно
и основанное на ней доказательство Жегалкпна теоремы
эквивалентности, не получившее, кстати, распростра-
нения, страдает тем же недостатком.

Д. Пеано свое доказательство опубликовал даже
дважды почти в одно и то же время [43]. Как мы отме-
чали, оно в основном совпадает с цермеловскпм, поэтому
говорить о нем нет необходимости. Заметим, что в до-
бавлениях ко второй из указанных в [43] работах Пеан<>
рассмотрел, наряду с прочим, вопрос о парадоксе
шара, а также решение его, предложенное последним
и особенно подчеркнутое Пуанкаре, состоявшее в том,
чтобы исключить непрсднкативные определения. Пеано
показал недостаточность такого решения, а также обнару-
жил, что парадокс Ришара имеет лингвистический
характер. В заключение он писал: «Пример Ришара
принадлежит не математике, а лингвистике; один из
элементов, существенный в определении Аг, не может
быть точно определен (по правилам математики). А пе
вполне правильно определенные элементы могут при-
вести нас ко многим заключениям, противоречащим друг
другу» [44]. Любопытно при этом то, что, зная из критики
Пуанкаре о наличии непредикативного определения
в цермеловском доказательстве (а значит, и в его соб-
ственном), т. е., говоря словами Пеано, о наличии «не
вполне правильно определенного элемента» в нем,
Пеано не стал рассматривать этот вопрос в связи с дока-
зательством теоремы эквивалентности. Не упомянул он
также существования доказательства теоремы Цермело, за
что последний спустя два года упрекал его [4б].

Остановимся теперь вкратце на других доказатель-
ствах теоремы эквивалентности, опубликованных в 1906 г.
Г. Гессенберг [4С] считал свое доказательство бернш-
тейновским, лишь измененным с целью более краткого
его изложения. Однако в его варианте существенную
роль играли последовательности суперпозиций взаимно
однозначных отображений, оказавшиеся полезными при
обобщениях теоремы эквивалентности [47]. Доказатель-
ство Ж. Кёнига [,8] было аналогично гессенберговскому
и также основывалось на последовательностях супер-
позиций отображений. При повторном изложении сво-
его варианта Кёниг отметил его близость к гессен-
берговскому [4а]. Наконец, во втором доказательстве
ф. Бернштейна [б0] пересечение бесконечного множества
множеств, введенное Борелем в первый его вариант,
было заменено суммой бесконечного множества мно-
жеств [51]- Первое и второе доказательства Бернштейна,
а также доказательство Пеано и Кёнига через несколько
лет были изложены А. Шеифлисом [52|. Цермело, не-
смотря на критику Пуанкаре, спустя два года дал более
подробное изложение своего доказательства, сохранив
в нем пспредикативность [53].

Вопрос о непредикативных определениях, связанный
также и с теоремой о полном упорядочении, был рассмот-
рен Цермело в другой работе [54]. Здесь Цермело, в ча-
стности, отметил, что требование Пуанкаре считать вся-
кое определение законным только тогда, когда в нем
исключено все то, что зависит от определяемого понятия,
т. е. требование предикативности определений, не вы
полыяется нс только в его теоремах о полном упорядо-
чении и эквивалентности, ио и в ряде других вопросов
математики. Впоследствии проблема непредикагивных
определений не раз обсуждалась математиками (тем же
Пуанкаре, Расселом, Вейлем и другими), и она до насто-
ящего времени нс получила исчерпывающего решения.

Мы не касались здесь различных обобщений теоремы
эквивалентности, продолжающихся до настоящего вре-
мени, а поэтому не упомянули о получении Цермело
этой теоремы как следствия некоторой другой теоремы
относительно кардинальных чисел [55] и об аналогичном
результате Ф. Журдена [6С]. Рассмотрение таких обоб-
щений могло бы явиться предметом отдельной работы.

ПРИ М Е ЧА Ц 11 Я

1. Эквивалентность двух множеств Д1 и .V здесь означает, что
между элементами множеств .1/ и Д' можно установить взаимно-
однозначное соответствие. Это обстоятельство символически будет
обозначаться как М ~ ДГ.

2. С. С а п I о г, СгипЛа^оп енкт МаппИаШ^кеМеЬге.—
^озаштеке АЬЬапЛин^еп. ВегНп, 1932, 8. 165—208; далее указы-
вается как Сей. Авй. Русским перевод: Г. Кантор, Основы об-
щего учения о многообразиях.— Сб. «Новые идеи в математике»,
№ 6, Спб., 1914, стр. 1—77. Формулировка теоремы приведена на
стр. 63 русского перевода.

3. Т. е. мощность в принятых здесь обозначениях.

4. Т. е. .1/ счетно, или мощности ^0-

5. Указанный в примечании [2] Сборник «Новые идеи в мате-
матике», стр. 134, сноска 1). Что это за обстоятельства, Кантор не
указал.

6. С. С а и I о г, АПНеПип^ен хиг Рейте хон ТгапнП п11еи
без. АЪЬ. Русский перевод: Г. К а н г о р, К учению о трансфи
нитном.— Тот же сборник, стр. 90 176. Раздел \ III помещен па
стр. 134—176 русского перевода.

7. Символом .1 Кантор обозначал мощность множества Я

8. С. С а и Ь о г, ВеПтаце хит Ведгйн(1пп$ Пег ТтанзЦпИеп
Мсн^еп1е11ге.— Сез. АЫь, 8. 282—351.

9. В логико-математическом смысле.

10. См., например, А. 8 с 11 о с п 1 11 е 8 Еп1дс1ске1ип$ бег
Мепдеп1е11гс ипй Ни’ег Апм’епбшщеп. Ьетрг!^ ипй ВегПп, 1913, 8. 33.

11. С. С а п I о г, без. АЫ>., 8. 450.

12. Е. В о г е 1, Ье^опз зиг 1а (Леоне Нез ГопсНопз. Ранз, 1898,
р. 102.

13. С. С а п 1 о г, СгипсПацеп етнег Мапщ^ГаШ&кеПзкйн'е.
В указанном в примечании [2] переводе формулировка этой теоремт.
помещается па стр. 11.

14. Е. 2с г те 1 о, ВемеЬ, йаЗ ]ейе Меп^е Мо111^еогйне1 детски
капп.- МаЫ1. Анн. 59 (1904), 514 516.

15. Алефом называется мощность вполне упорядоченного мно-
жества .

16. См., например, II. С. А л е к с а и д р о в, Введение в об-
щую теорию множеств и функций, Гостехиздат, М.— Л., 1948, стр. 37.
107 или 11. 11. Натансон, Теория функций вещественной пере-
менной, Физматгиз, М.— Л., 1957, стр. 35, 421.

17. А. АЫ а н, Он сошрагаЬППу о! че!з.— МаН1. Апп. 141
(1963), 276-277.

17 а. 1). К 1 а и а, АП^етеше Меи$еп1еЬге, ВегПп, 1964.
8. 241.

18. ВпеГмесйзе! Сап1ог— ПойеНнй, Ранз, 1937, 8. 56.

19. Там же, стр. 59.

20. В. 1) с й е к 1 п с1, \\аз щнй ипй \\аз зо11еп й]’е /аЫеп? Вга
ипзекудй#, 1888. Второе издание этой книги (1893 г.) было переве-
дено на русский язык: В. Д е д е к и и д, Что такое числа и дл>
чего они служат? Казань, 1905.

21. Стр. 22, 24 русского перевода книги Дедекинда [20].

22. Там же, стр. 22. Отметим, что в русском переводе Пересе
ченпе называется наибольшим общим делителем.

23. В. О е й е к 1 и й, А11 н Иске (йеиШсйе) АЬЬНйип^ шк
акпЦсЪе 8уз1еше. - СезапнпеВс ХУегке, Вй. 111, ВгаипзсЬхсе!^
1932, 8. 447—448.

24. Там же, стр. 448.
25. Там же.

26. С. Сап Юг, Сек. АЫк, 8. 449—451.

27. А. 8 с 11 о е п Г 11 е ч, П1е Еп1\у1ске1ип§ бег Ьейгс уов йеп
РипкНпапт'дГаШ^кеПеп. — .ТаЪгезЬепсМ йег ПеШзскеп МаНтета-
_ Уегепп^ип#, Вб. VIII, 1900, сноска на стр. 16. Здесь же
Шенфлис указывает, что упоминание о доказательстве Шредера
□публиковано в том же ЗаЬгекЪенсЫ, Вб. V, 1896, 8. 81, которым
мь! не располагали.

28. Е. 8 с Ъ г б (I е г, ОЬег С. СаШогзсйе 8а1хе.— .ТайгезЬег.
с]ег 1)еи1вс11сп МаНт.— Уегепв, Вб. \ (1901), 8. 81—82.

29. Е. 8 с 11 г б (I е г, Секее х\уе1 ОеЦпШопеп бег ЕпбЦсккеИ
ппб С. СаШогзсйе 8а1хе.— АЪйапбкшдеи бег Ьеоро1б. Сагок Акаб.
бег ХаШгГогзскег, 71, № 6 (1898), 303—362. Данной работой мы не
располагали.

30. См. примечание [121 стр. 103—106.

31. См., например, указанные в примечании [16] книги
П С. Александрова и II. П. Натансона, соответственно стр. 37—
39, 33-34.

32. См. [12], стр. 105, сноска.

33 А. К о г з е 1 е I, I Ьег еШе Вемтчз йез Адштакихзаиез.—
Ма111. Апп. 70 (1911), 294—296. Здесь же, кроме доказательства
Корселе, содержатся сведения о переписке со Шредером, указанные
в тексте.

34. И. Р о 1 в с а г е, Ьеята^ЪетаНдиезе! 1а 1о»1дие.— Ветие
бе тёШарЪуящие еЬ Йе июга1е, XIII (1905), 815—835; XIV (1906),
17—34. Русский перевод: А. II у а и к аре, Математика и логика.—
Сб. «Новые идеи в математике», № 10, Петроград, 1915, стр. 1—52.
Здесь им рассмотрено много вопросов; теореме эквивалентности
посвящены стр. 42—45.

35. Ь. С о п I и г а 1, Роиг 1а 1о§1зНдие.— Ветие бе тёШарйу-
81дие е1 бе тога!е, XIV (1906), 208—250. Русский перевод: Л. К у-
тюра, В защиту логистики.— Сб. «Новые идеи в математике»,
№ 10, Петроград, 1915, стр. 53—115. Возражения Кутюра, связанные
с теоремой эквивалентности, помещены на стр. 109—110.

36. И. Р о ]' п с а г е, Ьез таШетаНднез е1 1а 1о$]'дие. То же
Пеуне XIV (1906), 294 317. Русский перевод в том же сборнике,
стр. 116—148. Эта работа Пуанкаре являлась продолжением ука
заипой ранее одноименной работы [34], представляла собой развитие
прежних идей и содержала ответ па возражения Кутюра против
работы [34]. Доказательство Цермело теоремы эквивалентности по-
мещено на стр. 144—145 русского перевода.

37. I. Н 1 с Ь а г й, Ьез рппс1р1ез йез таН1ётаНдиез е! 1с
ргоЫете без епзетЫез. Пегие ^ёпёга1е йез зсь ригез е! арр1. 16
(1905), 541—543. Мы не будем останавливаться на самом этом пара-
доксе; он изложен, например, в книге: С. К. Клини, Введение в
метаматематику, ИЛ, М., 1957, стр. 41.

38. О непредикативных определениях см., например, указан-
ную в предшествующем примечании книгу Клини, стр. 44—45 или:
с *з Р и’ Вв— в математическую логику, ИЛ, М., 1960,
39. Стр. 145 работы, указанной в примечании [зв].

40. Там же.

41. И. И. Ж е г а л к н и, Трансфнннтныс числа, М., 1907,
стр. 209—210.

42. Стр. 145—146 работы, указанной в примечании |36].

43. С Р е а п о, 8нрег Нтогета бе СапЬог-Вегпз1е1п. Вепб.
бе1 С1гсо1о так сП Ра1егто 21 (1906), 360 366. Под тем же назва-
нием, по с добавлениями, доказательство было опубликовано в Ве-
У1з1а бе МаНтшаНса 8 (1902—1906), 136—157. Последняя перепе-
чатка второй публикации содержится в С.*Р са по, Орете зсеВе,
V. 1, Вота, 1957, р. 337—358.

44. Вторая пз указанных в [43] работ, стр. 157.

45. Е. 2 е г т е 1 о, К с и о г Веххесз Гиг сПе МбдЦсйкеИ ехпег
ХУоЫогбпип^. МаП1. Апп. 65 (1908), 107 128, сноска на стр. 118.

46. С. СеззепЬег^, СгипбЬе^гПГе бег Мепдеп1е11Ге. 061-
Нидеп 1906, 8. 36—38.

47. См., например, 8. В а п а с 11, IIп (Ъёогётс виг 1ез (гапзГог-
таНопз Ыипхуодиез.— Гипбатеп1а таПютаНсае 6 (1924), 236—
239.

48. I. К б п 1 Зиг 1а 1Ьёог|е без епзетЫез.— СотрЪез гепбиз
бе 1’Асаб. без зсь бе Рапз 143 (1906), 111, 112.

49. I. К б п 1 Кейс Сгипб1а^ев бег Ьо^Цс, АгПЬтеНк
ипб Меп"еп1е11ге, Ьесрх^, 1914. Доказательство теоремы эквива-
лентности помещено на стр. 216—219, указание на связь его с гес-
сенберговским — в сноске на стр. 219.

50. Е. В е г п 8 I е 1 п, 8нг 1а Пзёопе без епзетЫез.— Сотр1ез
гепбиз бе 1’Асаб. без зсь бе Рапз 143 (1906), 953—955.

51. В таком виде доказательство теоремы эквивалентности
изложено, например, в указанной в примечании [37] книге Кли-
ни, стр. 18—19.

52. В книге, указанной в примечании [10], стр. 34—39.

53. Е. Хег те 1 о, ПпЬегзисйип^еп йЬег <11е СгинсПа^еп бег
Меп$еп1еЬге.— Ма111. Апп. 65 (1908), 261—281. Доказательство
теоремы эквивалентности помещено па стр. 271, 272.

54. См. примечание I45], стр. 116 118.

55. Е. 2 е г т е 1 о, ПеЬег бхе Аббе Поп иапзПнПег СапП-Мй-
каЫеи. ХасйпсЫен уоп бег Кбтд!.— СезеПзсЬаН бег \У1ззопзс11.
хи СбШп^еп, МаНь-РЬуз. К1аззе 1901, Н. I, 8. 34—38.

56. РИ. Е. В. I о и г б а 1 п, Оп 111е (гапзНтЧе сагбспа! пит-
ЬсгзоГмеП-огбегеба^ге^аиз.— Р1н1оз. Ма§. (6), VII (1904), 61—75.
о ЗАБЫТЫХ РАБОТАХ ЭРНСТА ШРЁДЕРА,
ПОГРАНИЧНЫХ МЕЖДУ АЛГЕБРОЙ II ЛОГИКОЙ

С. Г. Ибрагимов

{. В современной математической логике все более
и более существенную роль играют новые дисциплины, ко-
торые можно назвать общей теорией алгоритмов и общей
теорией исчислений. Оба понятия — алгорифма и исчис-
ления — были уточнены, как известно, лишь во второй
половине 30-х гг. текущего века Э. Л. Постом, А. И. Тью-
рингом, С. К. Клини, несколько позднее А. А. Марковым,
А. Н. Колмогоровым и В. А. Успенским и др. Историю
общей теории алгорифмов и исчислений естественно было
начинать поэтому со второй половины 30-х гг. нашего века.

В современной алгебре, начиная с работ Р. Муфанга,
опубликованных в 1935 г., стала быстро развиваться
теория квазигрупп, т. е. множеств Е с бинарной опе-
рацией на Е, для которой существуют обе обратные ей
операции. Если область определения, т. е. Е, конечна
и задана списком ее элементов, то эта операция может
быть эффективно определена таблицей с двумя входами,
имеющей вид квадрата, в каждом столбце и каждой
строке которого помещены — без повторений — все
элементы из области Е. (Такие таблицы носят, как из-
вестно, название латинских квадратов.) Этой теории
посвящена уже в настоящее время большая литература
(см., например, статью В. Д. Белоусова [г] и цитиро-
ванную в пей литературу). Историю этой теории также
естественно было начинать с середины 30-х гг. текущего
столетия.
II то и другое, однако, является нс совсем правильным.
Первые попытки дать общие определения понятиям
«алгорифма» и «исчисления» и построить общую теорию
алгорифмов п исчислений принадлежат Э. Шрёдеру
и относятся еще к 70-м — 80-м гг. прошлого века. Ему
же принадлежит и некоторая — глубоко и тщательно раз-
работанная — теория бинарных операций с обеими об-
ратными т. с., по существу, теория квазигрупп, которую
оп строит как общую теорию «алгорифмов» и «исчис-
лений». Здесь речь идет о работах Э. Шрёдера [2] — [8]>
первая из которых относится к 1873 г., последняя — к
1890 г. Пи одна пз этих работ не упоминается в
литературе, цитируемой В. Д. Белоусовым в его ста-
тье р]. Работа [8] приводится, конечно, в известной
библиографии по символической логике А. Чёрча [9|;
но в приложениях 4—6 к [8] Шрёдер неоднократно
ссылается на своп работы [6], [7] как нс только алгебра-
ические, но и логические. В [6] и [7] в свою очередь име-
ются ссылки на предшествующие работы, которые
Шрёдер также относит не только к алгебре, но и к
логике.

Так, уже в работе [2], т. с. в 1873 г., говоря о взаимо-
проникновении областей логики и арифметики, он до-
бавляет: «как это имеет место в настоящем моем учебнике»
(стр. 146). Исчисление «алгорифмов», которое он строит
в 4-м приложении к «Алгебре логики» [8], он даже на-
зывает «логическим», в отличие от алгебры классов (от
логики классов как булевой алгебры), которую именует
«тождественным» исчислением (см., например, [8], стр.
622). Однако не только работы р], р], но и статьи |6],[7|
не упоминаются в р]. > нас эти работы также, по-видн-
мому, никем пе были продолжены или хотя бы освещены
с точки зрения современных алгебры и логики. Между тем
основную пз этих работ, фактически их подытоживающую
статью [7] «Об алгорифмах и исчислениях», опубли-
кованную в 1887 г., В. В. Бобынин уже в 1888 г. поме-
стил в русском переводе в своем журнале, издававшемся
им в Московском университете [7']. Пе объясняется ли
то обстоятельство, что опа не привлекла до сих пор вни-
мания алгебраистов и логиков, некоторым пренебреже-
иеМ п тех и других к истории науки (в частности, к исто-
рии смежных вопросов алгебры и логики)?

* 2. Что же могло побудить Шрёдера запяться общей
теорией алгорифмов и исчислений? Пам представляется,
что ответ на этот вопрос следует искать в том изменении
взглядов на сущность математических теорий, которое
было связано прежде всего с возникновением и разви-
тием неевклидовых геометрий и теории групп. Неевкли
довы геометрии привели, как известно, к возникновению
аксиоматического метода в математике, а теория групп—
к общему понятию алгебраической операции, облада-
ющей определенными свойствами, выражаемыми с по-
мощью системы равенств, верных (в данной предметной об-
ласти) при любых значениях входящих в них переменных.

Как известно, в связи с этим начал распространяться
взгляд на математическую теорию как на строящуюся
па системе произвольно выбранных аксиом или тождеств.
Мы знаем теперь, что Лобачевский пришел к своей неев-
клидовой геометрии отнюдь пе этим путем. Наоборот,
его целью было устранение из геометрии произвольных
допущений посредством построения такой — более общей—
геометрии, в которой подлежали бы исследованию оба
противоположных допущения, если каждое из пых явля-
ется возможным. Замечательно, что Шрёдер исходил из
аналогичной установки, но только теперь уже в приме-
нении не к геометрии, а к арифметике. Вопрос, который
встал перед ним, состоял в выяснении того, возможны
ли какие-нибудь другие «арифметики», отличные от обыч-
ной, всем известной арифметики натуральных чисел
и так же способные к обобщениям па более широкие об-
ласти объектов, как эта обычная арифметика. Т] если
возможны, то как обозреть их все или хотя бы такую
их часть, которую можно считать естественным обобщением
обычной арифметики. Эту задачу своих исследований
в области обобщенной арифметики («формальной алгеб-
ры») Шрёдер сформулировал с достаточной ясностью
уже в работе [2], т. е. в 1873 г. *). Здесь он пишет: «Как

*) Известные работы Дедекинда и Пеано по аксиоматике ариф-
метики натуральных чисел появились позднее и проследовали иные
Цели.
известно, в физических науках при изучении событий
(бег АУп-кип^еп) исключительное значение имеет сепа-
рирование причин, и этот, столь продуктивный в области
индуктивных наук метод может быть с пользою перенесен
и па область дедукции. И в случае чисто дедуктивных
выводов разумно производить по возможности строгое
выделение их допущений или посылок с тем, чтобы исследо-
вать последние, в том числе и каждое из них в отдельности,
с точки зрения вытекающих из них следствий. И как
главным образом этой тенденции обязана, например,
своим возникновением вся новая, так называемая аб-
солютная или «пан-геометрия» *), так она же лежит
в основании собственно формальной или абсолютной
алгебры...

Задачей этой области чистой математики является
прежде всего исследование различных допущений,
которые могут быть применены для определения вычис-
лительной операции, а вместе с тем и для построения
числовых систем; затем также обзор системы следствий,
которые может влечь за собой каждое из допустимых
(непротиворечивых. С. И.) допущении.

Формальная алгебра должна, таким образом, выпол-
нить общую подготовительную работу, нужную для рас-
смотрения самых различных специальных числовых си-
стем и вычислительных операций, которые могут быть
придуманы для различных целей. По эти допущения,
т. е. условия, которым могут быть подчинены любые
общие знаки чисел а, Ь. с, ..., конечно, не должны быть
взяты с потолка. Наоборот, нужно выбирать их так,
чтобы они находились в тесном контакте с уже имею-
щимся, данным, действительным; и вместо того чтобы
совершать наобум рискованный прыжок, нужно двига-
ться всегда просто с того места, где мы уже находимся»
([2], стр. 232—233).

Иными словами, Шрёдер считает необходимым выде-
лить аксиоматику, которой должны удовлетворять вы-

*) Здесь Шрёдер имеет в виду, очевидно, «абсолютную»
геометрию не в современном смысле этого слова, а в смысле
«пан-геометр л и» (т. е. «всеобщей» геометрии) Лобачевского.—
С. И.
числительные операции, с тем, чтобы получить возмож-
ность исследовать затем роль каждой из этих аксиом
в системе оперативных законов арифметики, связи между
ними (вопрос о независимости аксиом также исследуется им)
и осуществить обзор различных возможных «арифметик»,
получающихся в результате какого-нибудь изменения ак-
сиоматики, представляющегося достаточно естественным
(и являющегося допустимым, т. е. непротиворечивым).

3. С такого выделения допущений, лежащих в основе
арифметики рациональных чисел,— с аксиоматики поля,
как мы сказали бы теперь,— Шрёдер и начинает изу-
чение обобщенных арифметик в своей книге [2]. Здесь
он намечает и план исследования возможных изменений
каждого из этих допущений или какой-нибудь системы
их. В дальнейшем он однако отказывается от столь об-
ширной программы и ограничивается (для начала) слу-
чаем, когда все рассматриваемые им вычислительные опе-
рации являются бинарными, однозначно и всюду опре-
деленными вместе с обеими их обратными операциями
на какой-нибудь области. Говоря на современном
языке, он ограничивается исследованием квазигрупп
и соотношений между ними.

Именно в связи с этим исследованием Шрёдер и строит
затем свою теорию «алгорифмов» и «исчислений». Его по-
нятие «алгорифма» отнюдь не совпадает, конечно, с сов-
ременным, однако имеет с ним некоторые общие черты.

Шрёдер называет алгорифмом систему функциональных
уравнений, тождественно истинных для определяемой этой
системой операции (и ее обратных) на какой-нибудь
предметной («числовой») области. При этом все логи-
ческие следствия (определенного вида) из уравнений,
входящих в такую систему, также должны принадле-
жать ей; система функциональных уравнений, не удов-
летворяющая этому требованию замкнутости относи-
тельно логических следствий, называется им просто
«системой», а пе «алгорифмом». Графический вид формул,
которыми могут выражаться уравнения данного «алго-
рифма», а также правила логического вывода, которыми
можно пользоваться при выводе следствий нз этих урав-
нений, всякий раз явно формулируются Шрёдером.
Шрёдер сам оправдывает такое определение «алго-
рифма» тем, «что для функций, удовлетворяющих данному
алгорифму, формулы последнего могут быть исполь-
зованы вполне аналогично правилам вычисления, при-
меняемым для общего преобразования буквенных выра-
жений, как это делается в общей арифметике при помощи
таких формул, как а (Ьс) = (аЬ) с, = (ас):Ь и других
которые являются существенными для обыкновенного
умножения и употребляются в качестве правил (1\тогт)
буквенного исчисления» ([5|, стр. 196).

Заметим, что и современное определение алгорифма
также дается иногда с помощью системы функциональ-
ных уравнений и правил вывода из них. Таково, нап-
ример, эрбран-гёделевское определение рекурсивных
(вычислимых) функций (см. С. Клини [10|, стр. 246, 290—
291). Однако в этом определении предметно!! областью
может быть, по-существу, только область натуральных
чисел; в систему функциональных уравнений, опреде-
ляющих данную функцию, могут входить знаки для
любого числа вспомогательных функций (отнюдь не обя-
зательно обратных данной); логические следствия пз
уравнений системы не включаются в нее; в случае ча-
стично рекурсивных функций уравнения системы могут
определять и частичную, т. е. не обязательно всюду
определенную, функцию.

В соответствии с его определением «алгорифма», в пе-
речень правил логического вывода, которыми он пользует-
ся (п которые формулирует), Шрёдер включает не только
правила подстановки и замены равным, по также и неко-
торые алгебраические правила. Имеются в виду те пра-
вила, которые,— если прямую операцию обозначить точ-
кой, а обратные, левую и правую, двоеточием (знак ле-
вого деления) и дробной чертой (знак правого деления),—
могут быть выражены следующими формулами, рассмат-
риваемыми как тождественно истинные в любом «алго-
рифме»:

а • (Ь : а) — Ъ, — • а Ь, ~—т~ = Ь,

4 ' а ’ а: Ь

а:-?- = Ъ, ъ, (а-Ь):а = Ь.

Ь ’ а ’ 4 7
Допустимость правил левого, и правого сокращения также
явно формулируется.

Аналогично понятию алгорифма Шрёдер определяет
п понятие исчисления. Точнее, он определяет его так,
чго «исчисление» оказывается обобщением понятия «ал-
горифма» на случай систем функциональных уравнений,
тоже замкнутых относительно логических следствий из
них, но определяющих уже несколько (более чем одну)
операций вместе с их обратными. Говоря о том, как им
устава вливается общее понятие «исчисления», Шрёдер
пишет:

«В формальном отношении исчисление есть пе что
иное, как пополненная привлечением своих следствий
группа функциональных уравнений, относящихся самое
меныпее к двум функциям двух аргументов вместе с их
обращениями. | Всякую относящуюся только к одной
такой функции вместе с ее обращениями часть исчисления
мы называли алгорифмом]» ([7], стр. 80).

4. Чтобы сделать поставленную мм задачу эффективно
разрешимой, Шрёдеру приходится, как уже было от-
мечено, вводить всякий раз некоторые дополнительные
ограничения, относящиеся к виду формул, которые могут
входить в рассматриваемый алгорифм. Так как эти огра-
ничения не должны быть произвольными, Шрёдер начи-
нает с обзора всех вообще возможных ограничений,
относящихся к виду формул. С этой целью он устанавли-
вает некоторый общий способ приведения функциональ-
ных уравнений к каноническому виду и затем класси-
фицирует эти уравнения, относя к каждому из них пару
чисел: число вхождений переменных в левую часть его
канонической формы и аналогичное число для правой
части этой формы. Кроме того, он ограничивается рассмот-
рением только таких функциональных уравнений, кото-
рые содержат вообще пе более шести вхождении пере-
менных, мотивируя это тем, что сначала «следует об-
ратиться к таким исчислениям, которые в отношении
простоты и общности «основных» формул могли бы быть
поставлены на одну доек} с исчислением четырех ариф-
метических действий, пли, взаимно, с исчислением
семи алгебраических операций» (]7 ], стр. 83) и что
даже при семи операциях «ни один основной закон
[напомню (аь)с — (ас)ь] не содержит членов в большем
числе» (там же).

Это ограничение не относится, конечно, к формулам,
которые могут получаться по ходу логического вы-
вода следствий из каких-нибудь функциональных урав-
нений. Оно ограничивает только вид самих следст-
вий, включаемых в «алгорифм», и таким образом дей-
ствительно делает задачу отыскания всех следствии
именно такого вида эффективно разрешимой: дает Шрё-
деру7 возможность полностью выписать все формулы,
входящие в какой-нибудь данный «алгорифм» (пли в «ис-
числение»). Именно это и позволяет ему ставить перед
собою задачу «отыскать все возможные исчисления»
и получить «их полный обзор» (I7'], стр. 82). С этой за-
дачей, имеющей в основном методологическое значение,
оказался связанным ряд задач математического и ло-
гического характера.

5. Эти задачи прежде всего были комбинаторными:
нужно было обозреть конечные множества функциоиаль
пых уравнений, латинских квадратов, «алгорифмов» (или
«исчислений»); нужно было придумывать способы клас-
сифицировать их, чтобы сделать их обозримыми. Нужно
было думать о том, как уменьшить перебор, как док*!
зать, что данная система функциональных уравнений
замкнута относительно логических следствий из них,
какими способами можно выделить пз данной сис-
темы функциональных уравнений систему независимых
(«аксиом»), как обозреть все логические следствия (тре-
буемого вида) из этих аксиом и как доказать «полноту»
(т. е. замкнутость) полученной системы формул, не-
противоречивость этой системы; где и как, наконец,
можно использовать эти различные «алгорифмы» и «исчис-
ления».

На все эти вопросы работы Шрёдера дают ответ.
Он объясняет, что «решить» «алгорифм» — это значит
построить таблицу (латинский квадрат), которая определи
ет операцию, удовлетворяющую уравнениям «алгорифма».
Он толкует существование такой таблицы,—если послед-
няя не является вырожденной, т. е. содержит не менее
двух элементов,—как доказательство непротиворечиво
стп «алгорифма», и притом непротиворечивости в том
смысле, что из аксиом «алгорифма» иевыводима формула
д == б, т. е.что уравнения «алгорифма» могут выполняться
не только в предметной области, состоящей из одного эле-
мента. Он разрабатывает алгорифм — теперь уже в обыч-
ном смысле этого слова,— позволяющим ему по акси-
омам непротиворечивого «алгорифма» найти, какое наи
меньшее число элементов (большее единицы) должна
содержать предметная область, чтобы на иен можно
было построить операцию, удовлетворяющую данному
«алгорифму». В работе I5] он демонстрирует этот прием
на примере «алгорифма» с аксиомами аа - а и (сб) (Ъ(ас)) =

а и показывает, что наименьшей предметной областью
(отличной от одноэлементной), в которой могут быть
тождественно удовлетворены эти уравнения («тожде-
ственно», т. е. для всех элементов области), является
область из восьми элементов.

В работе [4] Шрёдер показывает — на примере, отно-
сящемся к вопросу о том, как преобразовать синтети-
ческое построение проективной геометрии фон Штаудта,
его теорию вурфов, в аналитическое исчисление вурфов,—
«сколь интересное реальное содержание [интерпретацию.--
С. //.] могут допускать рассматриваемые мною абстракт
ные операции» (I1], стр. 289).

Шрёдер специально ставит вопрос о том, как, по-
лучив «решения» «алгорифма» на какой-нибудь предмет-
ной области, распространить его на более широкую
область — вплоть до областей действительных и комплек-
сных чисел. В связи с этим он ставит и вопрос об оты-
скании арифметических (в обычном смысле слова)
моделей для его «символических операций» и специально
разрабатывает общие способы получения арифметиче-
ских решений в виде билинейной дробной функции, при-
менимые к большинству рассматриваемых им примеров
«алгорифмов» и «исчислений».

Особое внимание он уделяет «алгорифму», который
обозначается С70 п содержит — из 3064 возможных функ-
циональных уравнений, не являющихся тождественно
истинными во всех «алгорифмах»,— 2874 уравнения.
На примере, относящемся к этому «алгорифму», он до
называет в [8], что,— если можно сказать так на совре-
менном языке,— «подалгорифмы» всякого «алгорифма»
образуют структуру (решетку), если упорядочивающим
отношением является отношение включения (множества
всех з равнении одного «алгорифма» в множество всех
уравнений другого). Это позволяет ему решать во многих
случаях наиболее трудную для него задачу доказатель
ства «полноты» рассматриваемых им систем уравнений.
Так, если какая-нибудь система функциональных уран
нений представляет собой пересечение двух «подалгорит
мов» какого-нибудь «алгорифма», то она сама является
полной системой, г. е. «алгорифмом».

Хотя Шрёдер, как уже было отмечено, рассматривает
и случаи таких расширений предметной области, для
которых ее мощность становится континуальной, а по-
строение латинских квадратов теряет смысл, он при
этом тем не менее подчеркивает, что построенная им теория
«открывает мимоходом, и притом совершенно неожн
данно, вход в пренебрегаемое до сего времени математи
ками изучение всюду прерывных функций (с произволь-
ным числом переменных)» (I7'], стр. 372). К числу таких
функций принадлежат, конечно, прежде всего бинарные
операции, задаваемые латинскими квадратами, которыми
Шрёдер занимается с подлинным увлечением. Обзору
всех возможных латинских квадратов для областей
с не более чем четырьмя элементами Шрёдер посвятил
даже особую статью [6], в которой с помощью теории
групп подстановок и основанных на ней «естественных»,
как он их квалифицирует, принципов классификации
латинских квадратов, решает задачу уменьшения пере-
бора, необходимого для получения действительно пол-
ного обзора. Заметим, что и эта работа Шрёдера неодно-
кратно используется нм для получения уже чисто логи
ческих результатов,— прежде всего для доказательства
того, что «некоторый закон последовательного мышле-
ния: «вторая субсумцпя [импликация.—С. 11.\ закона
дистрибутивности» [(п& ф \/ с)) 2) ((«&/?)\/(«&е)).— С. Н.\
нр может быть доказана силлогистически» ([8], стр. 617].
(Эта независимость закона дистрибутивности конъюнкции
относительно дизъюнкции от системы более простых
логических законов, восходящих, по существу, к сил-
логистике Аристотеля, была доказана позднее Шрёдером
путем обнаружения того, что структура «подалгориф-
мов» некоторого «алгорифма» не дистрибутивна. То об-
стоятельство, что независимость закона дистрибутив-
ности была впервые обнаружена Шрёдером, было, конечно,
хорошо известно (см. например, [и], стр. 191). Однако путь,
которым он пришел к этому результату, оставался в тени )

6. В этой краткой заметке нет возможности осветить
сколько-нибудь подробно даже только результаты, полу
11РННЫС Шрёдером в работах [2]— (я]. В заключение
отметим лишь, что сам он придавал, ио-видимому, наи-
большее значение предложенным им остроумным способам
уменьшения перебора. Так, в работе [8], приведя пример
латинского квадрата, удовлетворяющего некоторому
функциональному уравнению, он пишет: «Как легко
ни оказалось показать на примере выполнимость неко-
торой определенной функции, однако уже для этого
примера было бы очень громоздко показать это для всех
систем значений аргументов из рассматриваемой число-
вой области, а полностью для всех 990 формул пз формаль-
ной области 17, это едва ли осуществимо в течение даже
всей жизни, если оставаться па том же эмпирическом пути.

Читателю, который отказывается верить моим утверж-
дениям, хотя они подтверждаются па любом произвольно
выбранном примере, нужно поэтому посоветовать обра-
титься к тем общим заключениям, с помощью которых я
в [7]( С. II.) и в других местах упростил эмпирический при-
ем или сделал его вообще излишним» ([8], стр. 634—635).

Хочется закончить пожеланием, чтобы этот п другие
советы Шрёдера, а также и вообще его работы привлекли
более глубокое внимание логпков, алгебраистов и исто-
риков математики *).

*) Настоящая работа была выполнена под руководством С.А.Янов-
ской, которой автор приносит глубокую благодарность. Автор
благодарен также А. В. Кузнецову, обратившему во время доклада
автора на семинаре в Московском университете его внимание на
связь содержания рассматриваемых работ Шрёдера с теорией квази-
гРУпп, а также давшему ряд ценных советов.

17 Пстор.-матем. послед., вып. XVII
Л^ТЫ’ЛТУРА

1. В. Д. Белоусов, Системы квазигрупп с обобщенными
тождествами.— Успехи математических наук, т. XX, вып. 1 (121),
1965, стр. 75—146.

2. Е. 8сЬгббег, БеЪгЪисЬ <1ег АгНЪшеНк ипй А1$еЬга,
Тщргш, 1873, 4-я глава, стр. 232—294.

3. 3. Е. 8 с 11 г б (1 е г, ИеЬег б!е Гогта1еп Е1етеп1е бег аЬ-
зо1и1еп а1деЬга, 81иМ&аП, 8сЬ\уе1гегЬаг1, 1874.

4. Е. 8сЬгб бег, ОеЬег V. 81аи1*8 ВесЬпип^ тИ ХУйгЕеп
ипб усг\уапб!е ргохеззе.— МаЪЪетаИзсЬе Аппа1оп, т. X, тетр. 3,
стр. 289—317, Ес1рх1$, 1876.

5. Е. 8 с Ъ г б б е г, 11еЬег е1не ег^епИштИсЬе ВезИттипо;
е1пег КипсНоп бигсЪ Гогта1е АнГогбепт^еп.— .Еоигпа! Шг (Бе ге!пе
ипб ап^едуапсИе Ма1ЬетаЦк, т. 90, 1881, стр. 189—220.

6. Е. 8 с Ь г б б е г, ГаГе1и бег ехпбеиИп^ иткеЬгЬагеп Гип-
сНопеп г\\е!ег УапаЬе1п аиЕ беп ехпЕасЪзЪеп 2аЫеп§еЫе1еп.— Ма1-
ЬетайзсЬе Аппа1еп, т. 29, Ье1рг1$, 1878, стр. 299—317.

7. Е. 8 с Ь г б б е г, ОЬег А1^оп1Ьтеп инб Ка1ки1н, Норре’з.—
АгсЫу Гиг Ма11). ипб РЬузхк, 2 НехЬе, ТеП 5, 1887, стр. 225—278.

Т. Русский перевод: Э. Шрёдер, Об алгорифмах и исчисле-
ниях.— Физико-математические науки в их настоящем и прошед-
шем, Журнал чистой н прикладной математики, астрономии и
физики, издаваемый В. В. Бобыниным, приват-доцентом Импера-
торского Московского университета, Москва, 1888, стр. 76—85,
163—168, 229—242, 345—374.

8. Е. 8 с 11 г б б е г, Уог1езип^еп иЬег 61с А1$еЬга бег Ьод1к,
т. 1, Тлпргцг, 1890, приложения 4, 5, 6, стр. 617—699.

9. А. С 11 и г с 11, А ЫЬПо^гарЬу оЕ ЗутЬоЦс 1о$1с.— ТЬе
]оигва1 оЕ 8утЬо11с 1о^1с, т. 1, 1936, стр. 121—218 и АббШопз анб
Соггесйопз 1о а ЫЬПо^гарйу о! ЬушЬонс 1о^1с, там же, т. 3,1938,
стр. 178—212.

10. С. Клип и, Введение в матоматематику, ИЛ, М., 1957.

11. Г. Б и р к г о ф, Теория структур, ИЛ, М., 1952.
ДОКЛАДЫ
НА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СЕКЦИИ

ПЛЕНУМА СОВЕТСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО
ОБЪЕДИНЕНИЯ ИСТОРИКОВ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

(Москва, май 1965 г.)
ОБ ОДНОМ ДРЕВНЕКИТАЙСКОМ
МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ

Э. и. Березкина

Этот небольшой «Математический трактат пяти ве-
домств» (У цао суань цзин) содержится в известном тай-
ском сборнике классических текстов по математике
«Десятикнпжье» ([1], т. ТТ, стр. 409—434), составленном
Чжепь Луаном в VI в. н. э. и окончательно прокоммен-
тированном Ли Чунь-фэпом в VII в. Как и большинство
трактатов,— анонимный, и время его составления точно
неизвестно. Оно определяется примерно IV в. и. э. по
следующим соображениям.

Известно, что Чжень Луань уже работал с текстом
трактата пяти ведомств, и Ли Чунь-фэн оставил его без
изменений. Текст трактата помещен в «Десятикнпжье»
без комментариев. С этпм текстом работал также некто
Хань Япь, современник Чженя, как об этом сообщается
в «Новой танскоп истории» ([3], стр. 27). Но о пом ничего
более неизвестно. Существует болое ранее упоминание о
данном тексте в предпсловил к трактату V в. из того
же «Десятикнпжья». Автор его Сяхоу Ян даже по-
заимствовал из «Математического трактата пяти ведомств»
одну характерную задачу о четырехстороннике, которую
ниже мы рассмотрим особо.

Согласно довольно поздним источникам (циньской
энциклопедии «Сы ку ти яо», правда со ссылкой на «Тай-
скую историю» ([3], стр. 27), рассматриваемое сочпненпе
было составлено одновременно с «Математическим трак-
татом Сунь-цзы» (не ранее III в. п. э.), также входящим
в «Дссятикнижье» ([4], стр. 5 70). Одиако в трактате
пяти ведомств есть задача, почти дословно совпадающая
с задачей! о нахождении стороны квадрата по его диагонали,
которая весьма характерна для Сунь-цзы и которая,
по всей видимости, запметвована у него, а пе наоборот.
При знакомстве с текстом сочинения достаточно ясно
также, что оно, как и трактат Сунь-цзы, было написано
под сильным влиянием «Математики в девяти книгах»
(II в. до и. о.— II в. и. а.) — главного по своему значению
текста в «Десятпкнижье» ([5], стр. 425—584). Заметим,
что эту же датировку принимают Дж. Нпдэм п Ван Лин
([2],стр. 33), в отличие от других историков математики.

«Математическому трактату пяти ведомств» в исто-
рико-математической литературе не повезло, его судьба
напоминает приключения «гадкого утенка». Трактат
был низко оценен И. Миками [б], а также Дж. Нидэ-
мом и Ван Лином ( [2], стр. 36— «И ш Ию хуогбЬ о! а!1),
которые особенно упрекают составителя за вычисления
площади по «неверным» формулам. После «Математики
в девяти книгах», где решаются, например, системы
линейных уравнений матричным способом, этот текст
кажется исследователям примитивным, и они теря-
ют к нему интерес. Более того,— это отмочено у Дж.
Нидэма и Ван Липа ([2], стр. 34),— некоторые историки
(Д. Е. Смит [8],стр. 141, ошибка повторяется у О. Бекера
и И. Е. Гофмана [9], стр. 134) вообще сочли, что трактат
Сунь-цзы и рассматриваемый — одна книга.

Что касается китайских авторов (Ли Япя. Цяпь
Бао-цзуна и др.), то у них мы не находим оценки данному
тексту. Опп почти не останавливаются па нем в своих
работах. Исключение составляет недавно изданная книга
Цяня ([7], стр. 91—92), с которой автор данной статьи
познакомился в процессе подготовки статьи к публикации.
В книге Цяня сделаны отдельные ссылки на «Матема-
тический трактат пяти ведомств», но все же и они не ри-
суют картины в полной мере. Между тем, оказывается,
рассматриваемое сочинение представляет несомненный
пптерес для исследователя.

Если внимательно прочесть этот текст, то можно оо-
наружить следующие незначительные, по новые факты.
При решении задач на объем груды зерна, тип которых
был специально рассмотрен еще в «Математике в девяти
книгах», вводится новый термин: «внетпнпй угол» (вай
цзяо). Он соответствует случаю, когда зерно ссыиано
не просто на пол, у стены или в углу («внутреннем углу»,
т е. пен цзяо), но, например, возле дома. Объели зерна
составляет три четверти объема полноте груды, вычисля-
емого как объем конуса вращения (прил= 3). Таким об-
разом, из практических задач на сыпучие тела воз-
никли представления о пространственных двугранных
углах в 90° и 270°, как, очевидно, дополняющих друг
друга до полного угла.

Среди задач па вычисление площадей появляется
еще один новый термин — «центральная» (чжун ян)
линия плоской фигуры, относительно которой опа сим-
метрична (см. фиг. I и II па рис. 1 стр. 268). Эта линия
является третьей «шириной», существенно отличной
от двух других, равых между собой. Их среднее ариф-
метическое входит в формулу площади этих фигур, к ко-
торой мы еще вернемся в конце статьп.

Новым является соотношение двух, не употребляв-
шихся рапсе в текстах по математике денежных единиц:
вэпей (грошей) и гуй (связок)

1000 вэней = 1 гую.

В «Математике в девятп книгах» и трактате Сунь-цзы
было только одно название — цяин, т. е. монеты, слово,
которое в данном сочинении приобретает общее значение
для денег. Например, в задаче 7 книги III говорится:
«Имеются цяни: 27 гуй 833 вэня» и т. д. (р], стр. 422).

Весьма интересным материалом представляются вы-
ражения десятичных дробей. В трактате Сунь-цзы наз-
вания • для десятых долей мер длины присваивались
десятичным разрядам любого, даже неметрологического,
числа. Там встречались выражения такие, как «37 тяглых
5 фэней» ([4], стр. 34, ответ к задаче^2), где фэнь — деся-
тая часть цуня, китайского вершка,* практически самой
маленькой единицы длины, примерно равной 3 см. Пли
выражение «319 бу 5 фэней» (Р],стр. 31, правпло к задаче
21), где бу — мора длины, равная 6 чп и не имевшая
никогда десятых долей. Эти дроби были получены в
результате конечного процесса деления целых чисел.

В «Математическом трактате пяти ведомств» этот способ
применен также, но несколько иначе. Здесь употреб-
ляются названия не только десятых, во и сотых (ли)
и тысячных (хао) долей цуня. Таким образом, метод
Сунь-цзы как будто развит далее. Но эти названия прила-
гаются но для выражения десятичных долей частного,
а для специального выражения остатка. Поясним это
на двух примерах, которые обнаружены в данном тексте.

Один из них - выражение «259 гуй 318 вэнеп и оста-
ток в 4 фэпя-4 лп» в ответе к самой последней задаче трак-
тата ([1], стр. 434). Хотя текст ее не совсем ясен, но содер-
жание задачи сводится к делению числа 238 гуй 573
вэпя на 0,92. Деление не производится нацело, в остатке
44 о
получается вэня. <)тот остаток и представлен, по су-
ществу, в виде десятичной дроби 0,44 вэня.

Другой пример — выражение «2287 ху 3 шэиа с ос-
татком 1 фэнь 1 лп 4 хао» в ответе к задаче 8 книги IV
трактата ([1], стр. 428). Такой объем проса помещает-
ся в амбаре длиной 1 чжан 9 чи, шириной 1 чжан 5 чп
и высотой 1 чжан 3 чи. Чтобы найти его, сначала под-
считали объем амбара (3705 куб. чи), а затем разделили его
на 1 чп 6 цуней 2 фэня, т. е., по существу, провели деле-
тше па десятичную дробь 1,62 куб. чп. Это число следует
понимать в качестве объема параллелепипеда с основанием
в 1 кв. чи и высотой в 1 чп 6 цуней 2 фэпя. Такой объем
занимает 1 ху проса. Этот коэффициент и деление на пего
много раз встречается в трактате Сунь-цзы. Соотношения
единиц объема, как известно из «Математики в девяти
книгах», следующие: 1 ху 10 доу = 100 шэнам. Деле-
ние в данном случае не выполняется в целых числах.
Целая часть частного, 228 703 шэиа, представлена в от-

вете метрологическим числом. Остаток, равный
шэна, как и в предыдущем рассмотренном примере,
выражен десятичной дробью 0,114 шэиа.

Первый пз приведенных двух примеров упомянут
в книге Цянь Бао-цуна ([7], стр. 92), но авто]) не от-
метил ошибки. Однако даже ошибочное выражение ос-
татка ярко показывает универсальность шкалы мер длины
в обозначении десятичных разрядов, меньших единицы.
Оба примера также показывают, что этот процесс осво-
ения десятичных дробей проходил с явными затрудне-
ниями. Здесь вычислитель столкнулся с бесконечным
делением и, видимо, по знал, как ему поступить. Он пре-
кратил деление после того, как выполнил его в целях
числах. Обычно остаток указывали также в целых числах,
тому есть много примеров и в данном тексте, и в других
книгах. 1То здесь вычислитель механически перенес спо-
соб обозначения дроби десятичной па дроби обыкно-
венные, так и не произведя самого процесса деления
с разрядами, меньшими единицы. Заметим, что в трактате
Сунь-цзы десятичные дроби обычно получались в резуль-
тате деления, процесс которого был конечным и коротким.

Следует отметить еще, что в «Математическом
трактате пяти ведомств», как и у Сунь-цзы, свободно
обращаются с метрологическими дробями. Здесь также
применяются весьма мелкие единицы емкости, десятые,
сотые доли самой маленькой на практике единицы —
шэпа. Например, в ответе к задаче 6 книги III
записано: «660 ху 3 доу 3 пгэна 3 хэ с остатком 3 шао».
13 задаче производился обмен 849 ху бобов на кунжут из
расчета, что каждые 9 доу бобов равноценны 7 доу кун-
жута. Следовательно, ответ получается в результате
деления произведения 849-70 = 59 430 ху на 90, как
об этом сообщается в правиле. Частное является пери-
одической дробью 600,333 (3), если за целую единицу
принять ху. Здесь остаток выражен в виде трех десяти-
тысячных основной единицы ху, но по существу он
равен 3 1 шао.

Однако значение «Математического трактата пяти
ведомств» определяется нс этой информацией о некоторых
элементах вычислительной техники и образовании, раз-
витии некоторых понятий. Осповпая ценность текста,
как мио представляется, заключается в том, что он
сильно отличается как от «Математики в девяти книгах»,
так и от трактата Сунь-цзы своей ярко выраженной
практической направленностью. Составитель текста сов-
сем не претендовал на более пли менее полное изложение
математических методов, тогда известных, как это сдела-
но в «Математике в девяти книгах». Он даже пе пресле-
довал целей Сунь-цзы дополнить и развить алгоритмы
«Математики», снабдив книгу новыми задачами и изложив
достижения вычислительной техники. Он ставил узко
практическую цель: научить, натренировать будущих
чиновников решать те задачи, которые им непосредственно
встретятся при работе в ведомствах. Названия ведомств
перечислены в заголовках: земельное, военное, торговое,
амбарное, финансовое. Служащим этих учреждений при-
ходилось исчислять площади полей, снаряжение и про-
виант для армий, проводить расчеты при обмене зерна
пли покупке вещей, раскладывать налоги, определять
объем зернохранилищ или груды зерна, ссыпанной либо у
степы, либо на землю, а также производить расчеты с шел-
ком, поставляемым в виде сырца или уже готовой ткани,
тафты. Для обороны крепости падо было через каждые три
шага расставить охрану и подсчитать число требующихся
для этого солдат. При устройстве военного лагеря необ-
ходимо было учесть место для установки повозок и т. д.
Естественно, что в этом круге чисто деловых задач нет та-
кого разнообразия, как, например, в «Математике в девя-
ти книгах». И по количеству их раза в четыре меньше—
всего 67. У Сунь-цзы задач примерно столько же, но
и у него опи охватывают более широкий круг вопросов.
Ведь в «Математическом трактате пяти ведомств» пет ни
квадратных уравнений, пи извлечения корней, пн линей-
ных систем, пн систем сравнений, нет ничего более слож-
ного, чем умножение и деление. Отсутствуют всякого рода
отвлеченные примеры и развлекательные задачи па трени-
ровку учащихся в области математики. Именно эти обстоя-
тельства, отмеченные И. Миками, прпвелпего и других
историков математики к низкой оценке сочинения.

Если же в действительности этот трактат расценивать
не как монографию, а как практическое руководство,
то мы получаем возможность выявить уровень матема-
тической практики в древнем обществе. И он не был та-
ким низким, как кажется на первый взгляд. Конечно,
применялась только часть и, естественно ожидать, наи-
более простая тех знаний, которые уже были накоплены.
Пусть по были только четыре арифметических действия.
По ведь при этом пользовались понятиями и вычислитель-
ными методами, которые не были тривиальными: напри-
мер, десятичные дроби или среднее арифметическое.

Прикладной характер текста интересен в общеисто-
рическом плане. Отдельные задачи рисуют конкретные
картинки социально-экономического уклада древнего об-
щества. Например, мы узнаем, что солдат (бин) снабжают
зерном из расчета 7 шэнов на человека, монетами (по 556
вэпей), холстом (но 1 чжану 2 чп 3 цуня), шелковой тафтой
(по 2 чжана 8 чи 5 цуней). Насколько реальны эти
данные, неизвестно, но они любопытны несомненно.
Почти] вся пятая книга трактата посвящепа расчетам,
связанным с шелком, которым и занимались в «золотом»
ведомстве (цзинь цао). Для данной эпохи характерно,
что общим эквпвавалентом обмена служило уже нс про-
со, как это зафиксировано в «Математике в девяти кни-
гах» и трактате Сунь-цзы, а шелк. Налог собирали так-
же главным образом шелком. Это подтверждает, кстати,
более позднее составление исследуемого текста, чем упо-
мянутых трактатов.

Рассмотрим теперь главныГг вопрос: каким был уро-
вень прикладной математики, пли математической прак-
тики? Здесь мы подробно рассмотрим первую книгу
трактата и со «неверные» формулы площадей полей.

Девятнадцать задач этой книги, вероятно, обобщают
опыт измерения земельных участков, представляя наи-
более типичные виды нолей. «Математика в девяти кни-
гах» начинается с аналогичной книги. Однако эта книга,
носящая название «Измерение полей» (фан тяпь, бук-
вально — квадрпрование полей), принципиально отли-
чается от рассматриваемой. Прежде всего «Измерение
нолей» начинается с определения мер площади, сначала
основной единицы 1 му=15х16кв. бу, а затем 1 кв. ли
и соотношения 300 кв. бу = 1 цпну. В первой книге
ведомственного трактата основная единица площади пред-
полагается известной, п кроме нее никаких других иро-
пзводпых единиц, вроде «кв. ли», нет.
Далее в первой книге «Математики» обстоятельно
изложены правила действий с обыкновенными дробями.
В «Математическом трактате пяти ведомств» обыкновен-
ных дробей вообще нет, и во всех задачах книги земель-
ного ведомства (тянь цао) размеры участков выражены
целыми единицами длины бу (двойными шагами, пример-
но равными 1,8 .к), а искомые площади — в «му». В стан-
дартном ответе содержится целое число му и «остаток»
в несколько бу, разумеется, квадратных.

Рис. 1.

Наконец, в «Измерении полей» вычисляются площади
прямолинейных фигур: прямоугольника, треугольника,
трапеции, в том числе равнобочной, а также круга с его
частями (сектором, сегментом) при л = 3. В первой
книге ведомственного трактата значительное внимание
уделяется криволинейным фигурам в виде барабана
с вогнутыми и выпуклыми боками (фиг. I и 11 рис. 1),
в виде змеи (фиг. III). в виде свирели (фиг. IV), ущерб-
ного месяца и рога буйвола (фиг. V и А I). Это задачи
5, 6, 8, 10, 15, 16 соответственно. Площади первых трея

V ** V р, й ,

фигур вычислены приолиженпо по формуле о =------$---п

где значения букв указаны на чертеже. Площадь фиг. Н
вычисляется по формуле площади для трапеции 8 = а к

а месяц и рог по формуле 8 = у А. Таким образом, фак
тическп применялось приближение самой геометрическо]
формы. Площадь рогообразпого ноля заменялась тре
угольником, серповидного — двумя треугольниками
участка в форме свирели — трапецией (см. рис. 1). Этот
прием был обычным в древней математике. В частности, в
индийском трактате Шридхары, относящемся к X в.,
вычисляются площади фигур, «имеющих форму бивня
слона» или «форму молодого месяца», которые «следует
рассматривать как треугольник» или «как два треуголь-
ника» [10].

Что касается фиг. I—III, то здесь замена криволи-
нейных фигур прямолинейными производилась иначе.
Пх площади пе приравнивались соответственным парам
трапеций, как можно было бы ожидать, но заменялись
площадью некоторого прямоугольника с усредненной
одной из сторон. Его другая сторона оставалась равной к.
Здесь использовалось понятие среднего арифметиче-
ского трех измерений «ширины» поля в характерных
местах—в самом широком (узком) и на концах поля.

Этот же принцип осуществлен при вычислении пло-
щади произвольного четырехугольника в задаче 14 пер-
вой книги «Математического трактата пяти ведомств»:

«Имеется поле с четырьмя неравными [сторонами].
Восточная 35 бу, западная 45 бу, южная 25 бу, северная
15 бу. Спрашивается, каково иоле? Ответ: 3 му с остатком
80 бу» ([1], стр. 414—415). Согласно правилу, приведенно-
му здесь же в тексте, площадь такого поля вычисляется
по формуле

л а —|— Ь с -}- с?

Л 2 ' 2

где а, &, с, (1 — стороны четырехугольника, указанные
на рис. 2. Этой формулой пользовались всюду: и егип-
тяне, и вавилоняне, и римляне, и индийцы, ее встречают
у Герона, в русских средневековых текстах и т. д. Кре-
стьяне и в паше время иногда пользуются ею. Необычай-
ная популярность и живучесть этой, вообще говоря,
неверной формулы, которая обычно не нравится матема-
тику, заключается в ее умелом применении. Она не будет
давать больших ошибок, если четырехугольное поле
пе будет значительно отклоняться от прямоугольного.
Вероятно, на практике это условие интуитивно, но соб-
людалось. В более поздние времена, например, у Шрид-
хары специально эго оговорено:
«Произведение полусуммы оснований и боковых сторон
треугольника и четырехугольника [дает] приближенную
площадь для тех [многоугольников], у которых разность
между боковыми сторонами ц
высотой мала. Для других фи
гур это в большей степени не-
верно...» [10].

Если мы обратимся даже к
самым древним аналогичным
задачам, древнеегипетским пе
речням размеров полей 111 ты
сячелетня доп. э., то и в этих
лаконичных записях величины
попарно противоположных сто-
рон мало отличаются друг от
друга либо они вообще равны.
В таких задачах, вероятно, име-
ла значение ориентация сторон

полей по странам

света. Как в китайской задаче, так

и в египетских перечнях это условие выполняется. Таким
образом, площадь произвольного четырехсторонника фак-

тпческп приравнивают к площадп некоторого прямоуголь-
а Ь п с (I
ника с усредненными сторонами а —— и Р

II если формулу площади четырехсторонника рас-
сматривать как первую попытку провести прибли-
женное вычисление с привлечением среднего ариф-
метического, но сначала только двух измерений при
соблюдении некоторых условий наименьшего отклонения
от точного значения, то эта формула, право, пе кажется
пугалом. Правда, в китайской задаче приводится фигура
не очень хорошо напоминающая прямоугольник. В за-
висимости от разного расположения фигуры с заданными
сторонами и в случаях наилучшего приближения к пря-
моугольнику значения площадей все же отличаются
от данного в ответе значительно, так что ошибка со-
ставляет 6—7%. Но, может быть, эта погрешность допу-
щена только в учебной задаче, пли чиновников удовлет-
воряла такая точность. Нам, к сожалению, неизвестна
точность измерительных инструментов того времени
Однако можно привести косвенные свидетельства.
13 ведомственном трактате в задаче 7 вычислена пло-
щадь поля «в виде лука», т. е. сегмента, по формуле

5 = ~2 где а ы 'г ~~ основание и высота сегмента
соответственно (рпс. 3). Здесь сегмент сочлп за треуголь-
ник с темп же основанием

и высотой, п этой точности
хватило. Тем не менее еще
500 лет назад в «Математике
в девяти книгах» в топ же
цервой книге была решена

аналогичная задача, но по

_ * Рис. Л.

более точной формуле

5 = 2 --, т. е. сегмент приравняли к трапеции с осно-

ваниями а и к и той же высотой.

Таким образом, все изложенное выше характеризует
«Математический трактат пяти ведомств» как практиче-
ское руководство к вычислительной работе в учрежде-
ниях древнего Китая.

ЛИТЕРАТУРА

1. Суаиь цзин, шп шу, под ред. Цянь Бао-цуиа, Пекин, 1963.

2. 3. Ы е е (1 И а ш \уИЬ со1. Ь. \У 11 а п, 8с1епсе аш! Стйяа-
Гюп 111 С1йпа, т. 3, Кэмбридж, 1959.

3. Л п Я п ь, Чжупго суаньсюс пш (История китайской мате-
матики), Шанхай, 1937.

4. Математический трактат С у в ь-ц з ы, перев. и примет.
3. И. Березкиной.— Из истории науки и техники в странах Во-
стока, выи. III, М., 1963.

5. Древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах»,
перев. и примет. Э. II. Березкиной.— ИМИ, X, М., 1957.

6. I. М 1 к а ш 1, Н1з1огу о! таНдетаНсз 1п СЫпа апй 7арап,
Лейпциг, 1913.

7. ЦяньБао-цуп, Чжупго шусюе пгп (История китай-
ской математики), Пекин, 1964.

8. Б.Е. 8 т 1 11ц ШзЮгу оШа (Лета Иса, т. 1, Нью-Йорк, 1923.

9. О. В е с к е г ипс! I. Е. Н о Г т а п, СеасШсЫе с1ег МаИк*-
таНк, Бонн, 1951.

10. III р п д х а р а, Патиганита, перев. и примет. А. И. Во-
лодарского.— Из истории физико-математических наук в странах
Востока, выи. 1(1У), М„ 1966.
К ИСТОРИИ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ

НА СРЕДНЕВЕКОВОМ БЛИЖНЕМ И СРЕДНЕМ
ВОСТОКЕ

Г. П. Матвиевская

До недавнего времени преобладало мнение, что мате-
матика Среднего и Ближнего Востока IX—XV вв. носи-
ла сугубо прикладной характер, а в области теории в
это время был сделан значительный шаг назад по срав-
нению 'с античной математикой, все идейное богатство
которой осталось будто бы непонятым восточными
учеными.

Односторонность такого взгляда доказана на примере
учения о параллельных линиях на Востоке в средние
века (Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич).

Другим примером такого рода является учение о числе
на средневековом Востоке. Как известно, одним из основных
положений греческой математики было строгое разгра-
ничение понятий «числа» — совокупности единиц — и
«величины», рассматривавшейся как геометрический объ-
ект. Именно поэтому греки должны были строить теорию
отношений отдельно для чисел (VII кн. «Начал» Евклида)
и для величин (V кн.) и дать классификацию квадратичных
и бпквадратичных иррациональностей (X кн.) в чрезвы-
чайно громоздкой геометрической форме. В этом про-
тивопоставлении арифметики и геометрии крылась одна
из причин, приостановивших развитие многих ветвей
античной математики. Исследования последних лет
(Е. Плуэй, Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич) показали,
что учения греков об отношениях и числе были не только

18 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
освоены, но и пересмотрены с новых позиций. Критике
подверглось само определение отношения в V книге
«Начал», так как оно не выявляло измерительной функ-
ции отношения. В сочинениях Омара Хайяма (XI—XII вв.)
и Насир ад-Дина ат-Тусп (XIII в.) отношение уже
выступало в роли действительного (положительного)
числа.

Этому теоретическому расширение понятия числа
предшествовало прочно вошедшее в практику опериро-
вание с числовыми иррациональностями как с числами,
явившееся результатом развития на Востоке числовой
алгебры.

Операции над квадратными корнями производились
математиками этого периода не в силу лишь их верного
чутья и свободы от греческой строгости, как это до сих
пор иногда считается, а на теоретической основе. Их
обоснование мы находим чаще всего в арабских коммен-
тариях к X книге «Начал» Евклида, которые до насто-
ящего времени фактически остаются неизвестными ввиду
отсутствия их переводов. Можно указать лишь на один
трактат такого рода, который подвергся основатель-
ному изучению, но он не является сочинением восточного
автора. Речь идет о комментарии Паппа, сохранившемся
только в арабском переводе ученого X в. ад-Димишки
и исследованном впервые Ф. Вёпке, который в 1850 г.
издал арабский текст, а в 1856 г. подробно изложил со-
держание трактата [г]. В (1922) появился немецкий перевод
Г. Зутера [2], а затем (1930) — английский, выполненный
Г. Юнге и В. Томсоном [3]. Кроме того, Юнге опубли-
ковал текст латинского средневекового перевода, суще-
ствование которого говорит о большой популярности
этого сочинения не только на Востоке, но и в Европе
[4]. Однако комментарий Паппа интересен скорее с фило-
софской, чем с математическом точки зрения и не вы-
ходит за пределы идей Евклида.

Некоторое представление о характере арабских ком-
ментариев к X кн. «Начал» дает латинский перевод араб-
ского трактата [5], автором которого считали Мухам-
мада Абд-ал-Баки ал-Багдади Iе], [7]; теперь появились
основания полагать, что это — ученый X в. Абу Абд-Аллах
ал-Хасан ибн ал-Багдади. Изучен был (Г. Зутером)
лишь отрывок из этого сочинения, содержащий всего
несколько числовых примеров I8].

Поэтому, естественно, встает вопрос о переводе и ис-
следовании сохранившихся арабских комментариев
к X кн. «Начал». В настоящем сообщении будут рассмот-
рены следующие сочинения:

1) «Трактат о соизмеримых и несоизмеримых вели-
чинах» упомянутого ибн ал-Багдади (арабским текст
опубликован в Хайдарабаде в 1948 г.) [®]; 2) Анонимный
трактат «О значении X книги» (парижская рукопись
2457,7°); 3) Трактат ал-Хашими «Об иррациональных
корнях» (парижская рукопись 2457,16°); 4) «Добавление
к X кн. «Начал» Назифа ибн Юмна (парижская рукопись
2457,18° и 161°); 5) Комментарий к X кн. ал-Махапп (па-
рижская рукопись 2457,39°); 6) Анонимный трактат
«Вычисление вычетов из X кн. Евклида» (парижская
рукопись 2457,41°); 7) «О рациональных п иррациональ-
ных величинах» Юханны ибн Юсуфа (парижская рукопись
2457, 48°); 8) Анонимный трактат из 3 кн. «Начал» (па-
рижская рукопись 2457, или 217—219 об.); 9) Коммен-
тарий а л-Х азина к X кн. (парижская рукопись 2467,17°);
10) Комментарий ал-Ахвази к X кн. (парижская рукопись
2467,18°); И) Комментарий ат-Туси к X кн. (по римско-
му изданию 1594 г.).

Восточные авторы, производя операции над радика-
лами, исходят из понятий числа и величины, по под
величиной понимают уже не геометрический объект,
а иррациональный корень из числа. Обоснование такой
новой трактовки понятия величины находится в четко
выраженном измерительном подходе к величине и от-
ношению. Так, Абу Джаффар ал-Хазпн (X в.) и вслед
за ним ат-Туси (XIII в.) определяют величину и отношение
следующим образом: «Непрерывность величин имеет ме-
сто, если одна из них находится в отношении к другой
или одна пз них измеряет другую». Величины могут нахо-
диться в отношении, если они однородны, а для измерения
однородных величин выбирается одна пз них, принима-
емая в качестве единичной. Если она содержится целое
число раз в другой величине пли последняя является
«долей» или «долями» от единичной, то ей со-
ответствует число; величина «выражается» через едя
ничную, произносится, а потому называется «выразимой»
или «произносимой» (мунтак). Ал-Маханп ппшет, что
«рациональная будет тогда, когда мы говорим: десять,
двенадцать, три с половиной, шесть и одна треть и т. д.,
потому что величина ее произносится или выражается
количественно». Если же величина пе может быть вы-
ражена с помощью единицы, т. е. в случае несоизме-
римости, она является «непроизносимой», или «глухой»
(асам); она выражается только с помощью корней. (Эти
термины в латинском переводе — гаНопаИв и зигйив —
перешли позднее в Европу и соответствуют нашим
терминам «рациональный»» п «иррациональный»). Особо
отмечается (ал-Хазин, ат-Туси, Юханна ибн Юсуф),
что если рассматривать иррациональные, то среди них
один могут выражаться через другие (например, |/45
= 3^ 1/1 4- = 4-/5 или 1/2 4- = 4-/10,
|/"1 однако они остаются иррацио-

нальными, потому что не выражаются через единицу.

После введения такого соответствия между вели-
чиной и числом, выражающим меру в случае соизмери-
мости, п между величиной и корнем в случае несоизмери-
мости вопрос об обосновании новой концепции величины
(и числа) считается исчерпанным. Наиболее последова-
телен в этом Ибн ал-Багдади, который говорит о необ-
ходимости «изображения» иррациональных величин кор-
нями из чисел, в большинстве же комментариев это
считается само собой разумеющимся. В трактате «О зна-
чении X книги» цель ее определяется следующим обра-
зом: «В этой книге естественным путем разъясняется во-
прос о корнях из чисел, о корнях корней из них, о сумме
корней из нпх и т. д.». В связи с этим становится понят-
ным часто встречающееся смещение терминологии: на
пример, применяются в качестве синонимов слова «число»,
«величина», «линия» или «квадрат» (как фигура) и «квад-
ратное число», иногда идет речь о «произведении линий»
л даже о «линии, являющейся корнем из числа».

Как известно, Евклид в X кн. рассматривает величины,
которые с помощью алгебраической символики выража-
ются следующим образом: допускаются (предложение
115) величины вида у а, где п = 2 ; кроме того, рассмат-
риваются иррациональности, полученные сложением и
вычитанием, вида Уа±]/\Уа±УЬ- Общее число
евклидовых иррациональностей 27. По выражению М. Ша-
ля, все содержание X кн. кроется в формуле уУа±уЬ=

1/ Уа + УТ^Ъ . -1/ У~а-УТ=Ъ „

= у ------------± у -------2----. Евклид класси-

фицирует все случаи, возникающие при различных зна-
чениях а и Ъ.

Арабские комментарии систематически переводят гео-
метрические предложения «Начал» на язык арифметики
и в большинстве своем ограничиваются случаями, рас-
смотренными Евклидом. Часто одновременно приводится
и геометрическое доказательство, которое считается более
строгим.

Например, в трактате ал-Ахвази после объяснения
с помощью чисел и корней таких понятий, как величины
рациональные и иррациональные, соизмеримые линейно
(]/2п |/8) и в степени (]/3 и ]/б), несоизмеримые линейно
(|/ 5 и У10) и в степени (У У2 и VУ5), строятся число-
вые примеры для шести биномиалей Евклида. Затем
даются правила извлечения корней из них (предложения
54—65 пз X кн. «Начал»). Вначале задача решается «ариф-
метическим» способом, т. е. указывается словесно, но
в самой общей форме, что если дана биномиаль У Л 4-
+ К Л (УЛ>/В), то следует разбить УЛ па два сла-
гаемых так, что У А = а аЬ = ~. Для решения
полученной системы с помощью «алгебры и алмукабалы»
предлагается двоякий путь: либо «простой», заключа-
ющийся в том, что, полагая одно слагаемое неизвестным
(•пап), сводим се к одному из «канонических» видов уран-
нения х (1^А — х) = -4 , решаемого либо стандартным
способом, либо «сокращенным», который предполагает
непосредственное применение формулы для обоих корней
^1, ^2 уравнения. Тогда Уул + ув = Х1 + х2. После
этого изложен «геометрический» способ решения задачи,
повторяющий, по существу, рассуждения Евклида. На-
конец, даются примеры:

У 32(5 + 28 /130" = 14 + /130;

/14 + /19Г = /6" + /8;

Уз + /гГ = । / +1/^;

/йгтг-/ф+/?.

В анонимном трактате «О вычислении вычетов» число-
выми примерами иллюстрируются предложения 91—96
X кн.:

/9-/45 /7 1 - /1 у ;

//45-5 = | ' / зТТ_ |/ /11;
//54-/30 =|/ /з7±-|//11 ;

/б — /24 = /3 + ]/Т — /З —/3";

//60 — 6 = У/15+ /6"— //15-/6".

Рассуждения проведены, как и в предыдущем трак-
тате, с помощью методов «алгебры и алмукабалы».

Наряду с сочинсииямп указанного характера (сюда
относятся также трактаты ибн ал-Багдади и ал-Хашими).
а также с сочинениями, повторяющими предложение
X кн. в стиле Евклида (трактат Назифа ибн Юмна, ано-
нимный трактат из рукописи 2456, лл. 217—219, ком-
ментарий ат-Туси в разделе «Предложения»), мы встре-
чаемся с трактатом, содержащим совершенно новые идеи.
Это относится к сочинению ал-Махани (X в.), который
дает следующую классификацию иррациональностей:
I. Плоские'. 1) плоские отдельные (]/а, V У а,...); 2) пло-
ские составные (]/а± У&, УУа± УуЪ,...). II. Телесные:

1) телесные отдельные (у^ а, У~ а, уТ а,. . .);

2) телесные составные (/а + у Ъ, I У а + 1
...Т^у^а ± Здесь мы имеем первый пример

теоретического рассмотрения числовых иррациональ-
ностей 3-й степени.

К сожалению, трактат ал-Махани сохранился лишь
в отрывке и обрывается после описания случаев, ана-
логичных евклидовым.

Таким образом, арабские авторы подошли близко
к операциям с кубическими корнями, а в отношении
преобразований числовых иррациональностей с помощью
формулы

Уут± уъ = УУ1+У<Е± ± УУ^-у^ъ
А Л

значительно опередили Бхаскару (XII в.), что позволяет
думать о возможном заимствовании индийцами резуль-
татов, полученных на Ближнем и Среднем Востоке.

ЛИТЕРАТУРА

1. АУ о е р с к е Г., Езза! (Типе гезЬИийоп йе 1га\аих регйиз
а АроНопшз зиг 1ез диапЫЬёз кгаНопеПез.— Мётопез ргёзепйез раг
щуегз зауапЬз а ГАсай. йез 8сь, 14, 1856, 658—720.

2. 8 и 1е г Н., Вег КоттепЬаг йез Рарриз гит X В иске йез
ЕикЦйсз.— АЬЬапсПип^еи /иг СезсЫсШе йсг КаЬигшзз. инй йог
Мейтп, НеН IV, Ейап^еп, 1922, 9 78.

3. 1ип^еС.,ТЬотзоп АУ., Тке соттсп1агу о! Рарриз оп
Ьоок X о! ЕисНй’з Е1етеп1з, СатЬпй^е, 1930.
4. 1 и п § е С-., Ваз Ега^шеп€ йег ШсЬизсЪсп. ОЬсгзеиип^ йез
Рарриз-Коттеп1агз гит 10. В иске ЕисНйз.— (}ие11еп иий 81исЦеп
гиг СезсЫсЫе йег Ма1ЬетаНк, Аз1гоп.» ипй РЬузк. АЫ. Вй. 3,
НеП 1, 1936.

5. С и г I г е М., АпагНп 1п йесет ПЬгоз рпогез е1етеп1огит
ЕисПсПз, Ырзхае, 1899, 252—386.

6. В ] б г п Ь о А., ОЬег гхуех та Нюта йзеке ПапйзсЬгШеп аиз
йет 14. 7аЬг11ипйегк— ВЦэПоШеса таШетайса, 3. К., Вй. Ш,
1902, 72.

7. 8 и 1 е г II., ОЬег еЬп^е пос!1 гцсЫ зкЬег ^ез1е111е Аи1огеи-
иатеп 1п йен ОЬегзе1гип$еп йез Сегкагй уоп Сгетопа.— В1Ы[о-
Нюса та1ЬетаНса, 3. Г., Вй. IV, 1903, 24—27.

8. 8 и 1 е г Н., СЬег йеп КоттеШаг йез МиЬаттей Ьеи’АЬйсй-
Ьад! гит геЬпЬеп Виске йез ЕикЦйез.— ВИЛоИтса таНютаПса,
Вй. 7, 1907, 234-251.

9. Аг-газаПи’1 — тиЫатда й’1-ЬаГаГ 1Г1-ти1адайй1пцп ма
ти’азкау П-В1гип1, Озтаща Опеп€а1 РиЬЦсаНоиз Вигеаи, Нуйе-
гаЬай-Оессап, 1948.
к ИСТОРИИ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В XVII и XVIII вв.

II Д. Беспамятных

В инженерной практике XVII и XVIII вв. в качестве
счетных инструментов широко применялись так называе-
мые пропорциональные циркули. Для истории матема-
тики, в частности вычислительной техники, эти инстру-
менты представляют интерес. Действительно, пропорцио-
нальный циркуль является, прежде всего, математическим
инструментом и исторически предшествует систематиче-
скому употреблению логарифмической линейки и приме-
нению номографических вычислений. Кроме того, учение
о функциональных шкалах па ранних ступенях его разви-
тия может рассматриваться как один из каналов, по кото-
рым формировалось понятие функции. Наконец, изуче-
ние пропорционального циркуля может иметь и педаго-
гическое значение, имея в виду ознакомление учащихся
школы (при соответствующих конкретных обстоятельствах)
с элементами теории математического моделирования.

Заметим сначала, что под названием «пропорциональ-
ный циркуль» встречаются инструменты двух различных
конструкций и разного назначения. В литературе их
нередко путают. В том п другом случаях основной частью
служат две линейки или два бруска. Различие в конструк-
ции заключается в том, что в одном из пропорционалов
линейки пересекаются, причем точка пересечения может
перемещаться (для этого па линейках имеются узкие
сквозные отверстия), в другом же, как в обыкновенном
циркуле, она постоянна. В первом случае пожки цир-
куля с обоих концов заострены. Как правило, этот инстру-
мент имеет одну равномерную шкалу л по своему назна-
чению находится ближе к мерительным инструментам,
нежели чисто вычислительным. Оп применяется в настоя-
щее время, например, в школьной практике, архитектуре

Рис. 1

и хорошо известен. Мы остановимся па пропорционале
второй конструкции (рис. 1 и 2).

Линейки (плечики) в этом пропорционале могут плотно
соединяться п развертываться по прямой, оставаясь неиз-
менно в одной плоскости. Кольцо, посредством которого
они соединены, в некоторых пропорционалах этого типа
Рис. 2<
градуировано в пределах от 0° до 180°. На обеих сторонах
линеек имеются различные шкалы, с помощью которых
и производятся вычисления.

Шкалы в целях описания целесообразно разделить
на два класса: шкалы основные и вспомогательные. Каж-
дая из основных шкал строилась на обеих линейках с одпой
стороны инструмента, причем строго симметрично относи-
тельно прямой, по которой линейки смыкаются. Поэтому
система основных шкал внешне производит впечатление
веера, пучка прямых отрезков, сходящихся в центре
инструмента. Что касается вспомогательных шкал, то
они единичны и использовались в качестве таблиц. При
работе па пропорционале применялся обыкновенный
циркуль.

Материалом для изготовления этих инструментов слу-
жили твердое дерево, латунь, бропза и даже серебро.
Изготовлялись они в различных странах Европы —
Италии, Германии, Голландии, Англии. По размерам
их можно разделить на настольные и карманные (порта-
тивные). Длина рабочей части пропорциона лов, храня-
щихся в некоторых музеях Ленинграда, заключена в пре-
делах от 16 до 42 см. Соответственно изменяется и ширина.
Крупные пропорционалы имеют преимущества: рас-
ширены границы применения шкал, увеличена их точ-
ность. Так, например, на инструментах малого размера
равномерная шкала имеет 120 основных делений, па боль-
ших 200. То же относится и к другим шкалам, для кото-
рых такое увеличение принципиально возможно.

Изобретателем пропорционального циркуля является
Галилео Галилей, который опубликовал его описание
в 1606 г. I1]. Вслед за этим появились комментарии М. Бер-
наггери, в которых с большой подробностью описывается
техника построения шкал [2]. Шкалы строились с по-
мощью предварительно составленных таблиц, отражаю-
щих рассматриваемую зависимость, или непосредственно
геометрическим построением.

По-видимому, с этого же времени начинается производ-
ство пропорциональных циркулей. В Государственном
Эрмитаже Ленинграда хранится один из ранних инстру-
ментов; он датирован 1628 г. Судя по немецким надписям,
относящимся к дополнительным шкалам, можно заклю-
чить, что он изготовлен в Германии [3]. Основные шкалы
имеют латинские надписи. Другие инструменты, храня-
щиеся в Эрмитаже, не датированы.

Усовершенствование инструмента шло, собственно,
в одном направлении: увеличивалось количество шкал.
Так, папример, были нанесены шкалы тригонометриче-
ских функций и их логарифмов. Появляется обширная
литература, в которой освещается устройство инструмента
и методика решения задач с его помощью. Укажем неко-
торые работы, выполненные в Прибалтике. Описание
пропорциопала встречается в работах профессора Асайепна
СийЬахчапа (Тарту) П. Шелепа (1611—1673) в XVII в. [4],
в Литве и Белоруссии оп описывается в учебниках прак-
тической геометрии и тригонометрии, изданных в XVIII
и даже начале XIX в. В Вильнюсском университете хра-
нится рукопись, представляющая собой монографию об
этом инструменте [б]. Наряду с другими в пей оппсапа
музыкальная шкала.

В литературе на русском языке, изданной в Петербур-
ге, описание дропорционала встречается с начала XVIII в.
Это были различные руководства по инженерным наукам.
В 1739 г. А. Д. Фархварсон посвятил ему особую моно-
графию. В пей рассматривается построение некоторых
шкал. Шкалы описываются галилеевские, тригонометри-
ческие натуральные и логарифмические. Показано их
применение к решению плоских и сферических треуголь-
ников [6].

Прежде чем перейти к теории рассматриваемого ин-
струмента, остановимся па формулировке одного прин-
ципа, который, по нашему убеждению, должен лежать
в основе исторического исследования математических
машин. Этот принцип заключается в требовании указать
ту математическую теорию, которую моделирует описы-
ваемый вычислительный механизм. Этот принцип согла-
суется со способом описания современных математических
машин. При историческом исследовании с точки зрения
этого принципа представляет интерес вопрос, каким обра-
зом сам изобретатель формулировал математическую тео-
рию своего изобретения.
В основу построения описываемого инструмента поло-
жен принцип пропорциональности. Он моделирует теорию
пропорций или теорию подобия треугольников. На эту
математическую основу указывали изобретатель и авторы
сочинений об инструменте, ссылаясь па соответ-
ствующие теоремы «Начал» Евклида. На инструменте
автоматически строятся подобные треугольники, пропор-
циональность сторон которых моделирует данную зада-
чу, что позволяет по трем известным величинам опреде-
лить четвертую.

Тот класс задач, для решения которых служил про-
порциональный циркуль, рассматривается в настоящее
время на так называемых пропорциональных номограм-
мах. Он может быть охарактеризован уравнением

Л(«) : А(?/) = /з(»): /л(№)>

в котором ж, у, V, т — переменные, /1, /2, /3, /4 — моно-
тонные функции. С точки зрения современной клас-
сификации пропорциональный циркуль можно назвать
плоской аналоговой машиной непрерывного и прерывного
(в зависимости от характера шкал) действия с парал-
лельной выдачей результатов.

Рассмотрим некоторые из шкал. Одной из основных
является арифметическая, равномерная. С ее помощью
можно решать следующие задачи: сложение и вычитание
отрезков, умножение отрезка на число, деление отрезка
па равные части, деление отрезка в заданном отношении,
построение треугольника но трем его сторонам и др.
Воспроизведем решение одной из задач. Построить
отрезок, равный некоторой части данного отрезка, напри-
мер 4/7. Раскроем пропорционал так, чтобы расстояние
между метками 140 и 140 было равно данному отрезку.
4/7 от 140 составляет 80. Следовательно, расстояние
между метками 80 и 80 равно искомому отрезку. Справед-
ливость вытекает из подобия двух равнобедренных тре-
угольников: 140—0—140 и 80—0—80, боковые стороны
которых находятся в отношении 80/140 или 4/7 *).

*) Метка «0», соответствующая точке пересечения носителей
шкал (центр инструмента), на пропорционалах отсутствует. Мы
вводим это обозначение для удобства объяснения.
Шкала хорд служит для определения численного
значения стороны правильного многоугольника по радиу-
су описанной окружности и для решения обратной зада-
чи. Решение опирается на теорему о подобии правильных
одн оименны х мног оу г о л ьник ов.

Шкала хорд имеет метки от 0 до 60 или 0 до 180, из
которых метка п означает величину центрального угла,
соответствующего стороне правильного вписанного много-
угольника, равной па шкале отрезку [0, п]. Радиус опи-
санной окружности равен на шкале отрезку [0, 60].
Чтобы найти сторону, соответствующую центральному
углу п, нужно циркуль раскрыть так, чтобы расстояние
между метками 60 и 60 было равно данному радиусу.
Тогда искомая сторона, по свойству пропорциональности,
будет равна отрезку между метками пп.

Чтобы не прибегать к вычислению центральных углов,
для построения некоторых правильных многоугольников
употреблялась особая шкала, полигональная, с метками:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И и 12. Шкала построена так, что
расстояние от ее начала до метки 6 выражает собой
радиус описанной окружности. Отрезок шкалы от ее
начала до метки п равен стороне вписанного в ту же
окружность правильного я-уголышка.

Имелась аналогичная шкала для определения ребер
правильного многогранника, вписанного в сферу данного
радиуса и для решения обратной задачи.

Метки па шкале площадей нанесены по закону квад-
ратной функции. Решение задач с помощью этой шкалы
опирается на теорему: площади подобных фигур относятся
как квадраты сходственных сторон.

Имеется аналогичная шкала для объемов — стерео-
метрическая.

к .Шкала металлов имеет небольшое число меток, вы-
ражающих диаметры металлических ядер одинакового
веса. Пусть диаметр цинкового шара поделен на 1000
частей, тогда диаметры ядер других металлов, учитывая
их удельный вес, выразятся числами: золотого 721,
серебряного 884, медпого 937 и т. д. Метки на шкале
металлов соответствуют этим числам. При помощи этой
шкалы можно, например, зная диаметр ядра, изготовлен-
кого из известного металла, определить диаметр ядра
такого же веса, ио из другого металла.

(Автор выражает признательность В. Л. Ченакалову и
В. II. Васильеву, которым он обязан знакомством с
пропорциональными циркулями, хранившимися в музе-
ях Ленинграда).

Л ИТЕРАТУРА

1. Ье орсгахмиц с!е1 сотраззо $еоте1псо~е тПИагс. Орете (Ц
О а 11 1 е о С а 1 । 1 е 1. 1п Й тенге, МБССХУШ, стр. 1—40.

2. Аппо1ацо:н Л М а I I1 а В е гп а^ он зорга Г 1га На 1о
6е1е 1пз1гитоп1о йеПс Ргоропиош йе! 81". 6аЦ1ео СаНГеь— Там же,
стр. 41—83.

3. Государственный Эрмитаж в Ленинграде, ЭРТ 734, V = 136.

4. 10. Г. Л у ми с те, Преподавание математики и математи
ческие руководства в Эстонии в XVII в.— Материалы V конфе-
ренции по истории науки в Прибалтике, Тарту, 1964, стр. 11.

5. ПнчНчипеиПип Ргоро|1клця. Рукопись № 967. Отдел руко-
писей Вильнюсского университета.

6. Книжица о сочинении и описании сектора, скал плоской
гунтерской со употреблением оных инструментов, в решении
разных математических проблем. От профессора математики А п-
дрея Ф а р х в а р с о и а изданная. Напечатана в Морской
Академической типографии. Лета 1739.
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТРОГОСТИ

11. Г. Мельников

1. Вопрос о математической сторогости и ее роли
в развитии математики в последнее десятилетие рассма-
тривался с различных позиций многими авторами.

В статье известного польского математика Г. Штейн-
гауза I1] содержится ряд возражений, адресованных
выдающемуся ученому Франции, профессору Сорбонны
Л. Шварцу. «Кто уверует в тезисы профессора Шварца,—
пишет Штейпгауз,— должен будет прийти к заключе-
нию, что только современная математика полностью
заслуживает этого названия, математика вчерашняя за-
служивает его наполовину, математикам же, портреты
которых украшают последний номер «Математики» за
1957 г. [речь идет о Даламбере, Лагранже, Лапласе
и Коши.^ И. М.], нужно вообще отказать в этом титуле».
То, что Шварц называет строгостью, пишет далее Штейн-
гауз, ведет свое начало от Гильберта, впервые поставив-
шего вопрос радикально: это оп запретил усматривать
в геометрических понятиях, таких, как «точка» или «пря-
мая», а также в отношениях, таких, например, как «точка
лежит па прямой», какой-либо смысл, помимо того, кото-
рый сформулирован в аксиомах и определениях (после
«Оснований геометрии» Гильберта стало анахронизмом
ассоциировать с терминами «точка», «прямая», «пло-
скость» и т. п. определенные свойства, которые пытается
передать чертеж или пространственное воображение),—
и те, кто это запрещение нарушает, точно так же «пере-
стают быть математиками в сегодняшнем значении этого

19 Истор.-матсм. исслед., вып. XVII
слова». Полемизируя с профессором Шварцем, Штейигауз
замечает, что «достопамятному творчеству» Гаусса и
Дирихле ие помешало то, что коммутативный закон
сложения был для них естественным свойством конечных
множеств, а не следствием какой-нибудь системы аксиом
арифметики. На многих примерах Штейигауз убедительно
показывает, что пренебрежительное отношение к прин-
ципу исторической перспективы приводит к парадоксам,
ведет в тупик. Математическая строгость в понимании
Шварца, заключает профессор Штейигауз, является при-
обретением пашего века.

Подлинным математиком, по Шварцу, является тот,
кто, исходя из произвольной системы аксиом, выби-
рает себе игру по вкусу и разыгрывает интересные
партии.

Такая точка зрения на математику п математическую
строгость пе является новой. Имея ее в виду, А. Д. Алек-
сандров (I2], стр. 52) писал: «...Не следует обольщаться
па счет «абсолютной» и «окончательной» строгости совре-
менной математики. В науке, которая еще не умерла
и пе превратилась в мумию, нет п не может быть ничего
вполне завершенного... Строгость математики не абсо-
лютна: она развивается; принципы математики не засты-
ли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и слу-
жат предметом научных споров. В конечном счете источ-
ник жизненности математики заключается в том, что ее
понятия и выводы при всей своей отвлеченности исходят,
как мы убедимся, из действительности и находят широкие
применения в других науках, в технике, во всей жизнен-
ной практике; это — самое главное для понимания мате-
матики» (I2], стр. 7). Отношение к математике и к мате-
матической строгости, выраженное здесь словами
А. Д. Александрова, разделяется почти всеми математи-
ками и историками математики Советского Союза и в том
числе автором этих строк.

2. Об Эйлере пишут много и различно. Его называют
величайшим ученым всех времен и народов, творцом мате-
матических теорий и наряду с этим иногда ему приписы-
вают такие приемы работы, что невольно возникает вопрос:
а был ли Эйлер математиком?
Мне довелось познакомиться с теоретико-числовым
наследием Эйлера более подробно, чем это принято делать
в порядке «общего знакомства» с классиком.

Эйлера по праву следует называть отцом теории чисел.
В своих работах он, как никто другой, показывает про-
цесс поиска и установления математической истицы,
заботливо прокладывает дороги для арифметиков буду-
щего.

Эйлер ищет наиболее важные факты науки, заботясь
при этом о построении теории, отвечающей законам фор-
мальной логики, если это возможно (например, в теории
чисел, в сферической тригонометрии), или менее жестким
требованиям там, где специфика предмета по позволяет
следовать указаниям Аристотеля (например, в математи-
ческом анализе). Математическое рассуждение по Эйлеру
должно быть доказательным.

Можно говорить о различных формах строгости в рабо-
тах Эйлера, относящихся к разным ветвям математики.
Но нельзя забывать, что математическая строгость, де-
дуктивный характер математики всегда были предметом
заботы Эйлера.

Критикуя одно рассуждение Гольдбаха, Эйлер ([3],
стр. 391) в письме от 17 апреля 1756 г. писал, что опо
«могло бы сойти в качестве превосходного доказатель-
ства в метафизике, где обычно довольствуются доказа-
тельствами, которые пе столь убедительны. Однако в мате-
матике подобного рода заключения всегда представляют-
ся мне сомнительными... Отсюда ясно, что в подобного
рода рассуждениях следует проявлять величайшую
осторожность. Я в достаточной мере испытал это, дока-
зывая некоторые теоремы Ферма».

Добывание истины у Эйлера нередко складывается
из нескольких этапов, причем лишь на последнем этапе
ему удается получить окончательное, вполне убедитель-
ное доказательство. Иногда же он вынужден доволь-
ствоваться приблизительными доказательствами, опираю-
щимися на условную теорему. На первый случай и такие
Доказательства могут служить каким-то основанием для
практических приложений. Так добываются новые факты
и получает свое первое оформление теория чисел.
Современный стандарт строгости и даже те критерии
строгости, которые сложились в XIX в., нельзя приме-
нять при оценке творчества Эйлера. Эйлер хорошо пони-
мал несовершенство отдельных своих доказательств и
стремился улучшить их так, чтобы они отвечали всем
требованиям строгости, как ее понимали в XVIII в.
Во многих случаях ему это удавалось. Для своего времени
Эйлер был вполне строгим математиком, он весьма серьез-
но подходил к вопросам доказательства.

3. Новый, более высокий уровень строгости, при-
шедший в математику в 1801 г. с «Арифметическими
исследованиями» Гаусса, отдельные критические замеча-
ния тогда еще молодого Гаусса оказали существенное
влияние на оценки творчества Эйлера. В литературе
появляются замечания, характеризующие Эйлера как
нестрогого математика. Эйлер в ряде случаев, указывает
С. Смит ([4], стр. 192), «довольствуется индукцией без
строгого доказательства». Ф. Кеджори ([5], стр. 171, 172)
говорит о наивных приемах Эйлера и проводит параллель
между методом его работы в теории чисел и индуктивным
методом Ч. Дарвипа. Оба автора, подчеркивая индукти-
визм Эйлера, явно недооценивают его дедуктивную рабо-
ту. Впрочем, и индуктивная работа Эйлера не получает
у них надлежащей оценки (правильная оценка этой сто-
роны деятельности Эйлера была дана лишь недавно
Д. Пойа в его книге «Математика и правдоподобные рас-
суждения»). А между тем Эйлеру принадлежат крупные
открытия и интересные гипотезы, сделанные при помощи
эмпирической индукции. К их числу относятся, например,
квадратичный закон взаимности и обобщение великой
теоремы Ферма.

Роль индукции в процессе поиска истины трудно
переоценить. «Математика,— пишет А. Я. Хинчин ([61,
стр. 7),— индуктивна насквозь, и этого часто не заме-
чают, особенно те, кто не вел в этой науке творческой
работы...».

Понятно, что одной наивности и смелости должно
быть недостаточно, чтобы открывать истины науки. «Уме-
ние формулировать истинные утверждения, прежде чем
будут найдены их доказательства, является исключитель-
ной привилегией крупнейших представителей нашего
цеха,— пишет Г. Штейигауз (14, стр. 32),— но и те
не злоупотребляют этим правом, а подвергают свои
догадки контролю строгого доказательства, прежде чем
объявить их в качестве матемашческих истин».

Процесс становления математической истины доволь-
но сложен. Иногда он продолжается столетиями. При
этом первоначальные утверждения могут эволюциониро-
вать, получая новую трактовку. Так обстояло дело со
знаменитой гипотезой Гольдбаха. Приведу еще один
пример. В письме к Эйлеру от 18.XI 1752 г. Гольдбах
(131, стр. 361) высказал гипотезу, по которой каждое
нечетное число, большее единицы, есть сумма простого
и удвоенного квадрата целого числа. В ответном письме
Эйлер сообщил, что эта гипотеза верна для всех чисел
до 1000, а также для некоторых больших чисел, которые
он исследовал. Поэтому он склонен считать ее правиль-
ной, «хотя и не присягнул бы в этом». Примерно через
сто лет М. А. Штерн ([7], стр. 23, 24), проверив все числа
до 9000, нашел два исключения: числа 5777 и 5993. Итак,
для малых чисел гипотеза Гольдбаха неверна. Однако
она может оказаться справедливой для больших чисел.
В 1923 г. Харди и Литлвуд, опираясь на индуктивные
соображения, сформулировали ряд гипотез, относящихся
к аддитивной теории чисел. Одна из этих гипотез гласит:
каждое достаточно большое нечетное число есть сумма
простого и удвоенного квадрата целого числа. Эта гипоте-
за до сих пор не доказана и не опровергнута. Пока более
удачливой оказалась другая гипотеза Харди — Литлвуда,
согласно которой каждое достаточно большое натураль-
ное число есть сумма простого числа и двух квадратов
целых чисел. Опа была недавно подтверждена Ю. В. Лин-
ником при помощи аппарата теории вероятностей, допол-
ненного некоторыми арифметическими соображениями.
Результат Линника упрочил навечно ценность индуктивной
работы Харди и Литлвуда. Ф. Клейн (I8), стр. 335) счи-
тал, что «индуктивная работа того, кто впервые уста-
новил какое-либо предложение, имеет, конечно, такую
же ценность, как и дедуктивная работа того, кто его впер-
вые доказал, ибо то и другое одинаково необходимо».
Это указание одного из крупнейших математиков близ-
кой нам эпохи представляет определенный интерес.

Эйлер никогда не злоупотреблял правом формулиро-
вать гипотезы.

Переписка Эйлера с Гольдбахом [3] — яркое свиде-
тельство неутомимости Эйлера в поисках строгих («п§о-
гозе») доказательств *). С ней обязан познакомиться
каждый, кто желает знать, как Эйлер относился к мате-
матической пстипе. Эйлеру удалось доказать многие
теоремы Ферма и индуктивным путем открыть весьма
глубокие свойства целых чисел. Открытие Эйлером квад-
ратичного закона взаимности является торжеством индук-
тивного метода. В этой связи нельзя обойти молчанием
тот факт, что Лежандр и Гаусс, претендовавшие на
роль первооткрывателей этого закона, оставили без вни-
мания мемуар Эйлера, посвященный этой замечательной
теореме. Приоритет Эйлера в открытии закона
взаимности был установлен лишь в 1849 г. П. Л. Чебы-
шевым.

К наследию Эйлера нужно относиться бережно и вни-
мательно. Слова Гаусса «Изучение работ Эйлера остается
паплучшей школой в различных областях математики...»
ле утратили своего значения и сегодня. Оценивая вклад
Эйлера в теорию чисел, не следует ужасаться масштабам
его индуктивной работы. Последняя лишь предшествует
его огромной и плодотворной дедуктивной работе, харак-
теризуемой четкостью и логичпостыо рассуждений. Дости-
жения в области теории чисел создали Эйлеру вечную
мировую славу.

4. С большой откровенностью и доброжелательством
Эйлер показывает читателю, какую роль в его творческом
поиске играет наблюдение, неполная индукция, эвристика
и интуиция. Он не считает нужным убирать эти «леса»
и в тех случаях, когда математическая истина получает
у него логическое обоснование.

*) Это замечание находится в резком противоречии с утвержде-
нием М. Я. Выгодского ([9], стр. 16), согласно которому в XVIII в.
«проблема доказательства как таковая еще не возникала», так как
«идеал строгости в XVIII в. состоял в согласованности рассужде'
ний с законами природы».
Речь Эйлера пе столь сдержанна и сжата, как у совре-
менных нам математиков. Но от этого его творения ни-
сколько не проигрывают. Они, по выражению Кронекера,
являют нам пример «восхитительной математики».

Оценивая деятельность Эйлера в математике, пе следу-
ет становиться в позу обвинителя, выводы которого
покоятся чуть ли не на материалах судебного следствия,
не следует также и «защищать» Эйлера, выискивая обстоя-
тельства, смягчающие его вину в глазах «строгих» мате-
матиков.

История математики в своих оценках п заключениях
должна быть свободна от какой-либо предвзятости.
Выводы истории математики должны быть обоснованы и
точны.

В статье [10] я обратил внимание на весьма категори-
ческое и на мой взгляд необоснованное заключение
М. Я. Выгодского о приемах работы Эйлера. М. Я. Выгод-
ский ([9], стр. 23) писал: «...Когда Эйлеру нужно устано-
вить какой-либо закон, имеющий место для целочислен-
ных значений аргумента, он поступает не так, как посту-
пил бы математик нашего времени. Он ограничивается
наблюдением этого закона для некоторого (притом
довольно небольшого) числа значений, подобно тому,
как естествоиспытатель устанавливает всеобщий закон
природы из конечного числа наблюдений». Приведя
пример, иллюстрирующий высказанную мысль, М. Я. Вы-
годский далее заключает: «Не нужно думать, что Эйлер
не дает в таких случаях общего доказательства ввиду
его трудности или, наоборот, предоставляет проведение
легкого доказательства читателю. Нет, для пего самого
«неполная индукция» вполне убедительна».

Впрочем, еще до М. Я. Выгодского аналогичную мысль
высказал С. Я. Лурье ([П], стр. 11), который писал:
«...Эйлер вовсе и не стремился дать всюду логическое
доказательство выставляемых им положений: неполная
индукция, прием доказательства, до сих пор господствую-
щий в биологии и смежных с пей дисциплинах, вполне
его устраивает и кажется ему весьма убедительной».
Но и в этом и в других случаях к «слабостям»
Эйлера С. Я. Лурье проявлял большую терпимость, чем
М. Я. Выгодский. По его мнению, «Каждый гений работа-
ет в круге определенных, предуказанных ему историей гра-
ниц, в круге определенных понятий, из которого он не в со-
стоянии выйти, и эта предопределенность нисколько не
бросает тени па его гениальность» (стр. 9). Быть может,
С. Я. Лурье был прав, когда речь идет о высоких материях,
скажем, таких, как метафизика исчисления бесконечно ма
лых (ср. [121), по в таком простом вопросе, как отношение
к неполной индукции, Эйлеру можно было бы разрешить
выйти из круга понятий и представлений современников.
Эйлер — гений, и он па это имеет право.

Для Эйлера неполная индукция нигде и никогда не
была убедительна.

Уже в первом мемуаре по теории чисел I13] Эйлер со-
вершенно четко выразил свое отношение к неполной
индукции. Здесь оп опроверг мнимую теорему Ферма
о том, что все числа вида 22П + 1 (п — 0, 1, ...) про-
стые, которую Ферма мог получить только при помо-
щи неполной индукции. В статье I14] Эйлер дает доказа-
тельство малой теоремы Ферма, опирающееся на метод
математической индукции. Здесь он заявляет: «По-види-
мому, Ферма к большей части своих теорем пришел посред-
ством индукции... я мог бы па многих примерах показать,
как мало значения приходится придавать индукции в этих
вопросах... по указанной причине все такие свойства
чисел, которые опираются на одну только индукцию,
я считаю недостоверными до тех пор, пока они по будут
подкреплены аподиктическими доказательствами, либо
вовсе опровергнуты» (I14], стр. 34). В резюме к мему ару [151
Эйлер писал: «...познание, опирающееся только на наблю-
дения, до тех пор, пока оно не получило доказательства
необходимо тщательно отличать от истины и относить
к индукции. Между тем пет недостатка в примерах, когда
индукция сама по себе приводила к ошибкам. Итак, если
мы наблюдениями найдем какие-либо свойства чисел,
опирающиеся, следовательно, только па индукцию, то
надо всячески остерегаться принимать их за истину, по
тем самым мы получаем повод, внимательнее исследовав
их, показать либо истинность их, либо ложность, а полез-
но как то, так и другое». Можно было бы привести еще
ряд высказываний Эйлера, показывающих, как он па
самом деле относился к наблюдениям и неполной индук-
ции. Аналогия для Эйлера никогда не была методом дока-
зательства.

Метод математической индукции — одип из приемов
доказательства, которым Эйлер пользуется в своих иссле-
дованиях. Эйлер применяет его явно в форме перехода
от п к п + 1 и неявно в форме метода спуска.

В своих учебных книгах переход от п к п 4- 1 Эйлер
сознательно опускает (заметим, что и в паши дни препо-
даватели математики во втузах нередко вынуждены так
поступать из-за постоянной нехватки времени). Для Эйле-
ра это лишь методическая сторона дела. В предисловии
к «Введению в анализ бесконечно малых» ([16], стр. 27)
Эйлер писал: «Я дал все, по мере возможности, настолько
сжато, что всюду излагается — весьма, впрочем, ясно —
лишь основное; более же подробная разработка предо-
ставляется трудолюбию читателей, дабы они имели па чем
упражнять свои силы...». В конце предисловия Эйлер
повторяет: «Моей задачей было изложить все как можно
короче». И с этой задачей Эйлер справился паилучшим
образом. Думаю, что такого же мнения придерживался
и С. Я. Лурье. Иначе зачем бы оп стал приводить слова
Штекеля (I11 ], стр. 14): «в учебниках Эйлера математиче-
ские положения образуютедипуюстройную математическую
систему, и такая математическая строгость была
выдающимся фактом для ого временя».

Попытка представить Эйлера как эмпирика в мате-
матике обречена на неудачу. Эйлера интересовала логика.
Этот интерес нашел свое четкое выражение в его трехтом-
ном сочинении «Письма к немецкой принцессе». Знамени-
тые «логические круги» не случайно посят имя Эйлера.
Эйлер пе мог беззаботно относиться к вопросам доказа-
тельства.

В паши дни нетрудно критиковать и Эйлера, и Гаусса,
и Коши, и многих других крупнейших математиков.
Разумеется, это можно и нужно делать. Но при этом
не следует упускать из виду историческую перспективу
и всегда с благодарностью вспоминать, как многим мы
обязаны этим подлинным корифеям пауки.
ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Ш т с й и г а у з. О математической строгости.— Мате-
матика в школе, № 1,1960, стр. 29—36. Перев. спольск. 10. М. Гай-
дука.

2. Математика, ее содержание, методы и значение, т. I, Изд.
АП СССР, М., 1956.

3. ЬеопЬагй Е и 1 е г ипй СЬпзИап О о I й Ь а с Ь, ВпеКхесйзе!,
113". топ А. Р. 1изксх1с ипй Е. \У1п1ег, ВегЦп, 1965.

4. Н. 1. 8. 8 ш 1 I И, Со11ес1ей ххогкз, т. 1, ОхГогй, 1891.

5. К. С а ] о г 1, 2а111еп111еопе.— В кн.: М. С а п I о г, Уог-
1езип^еп йЬег СезсЫсЫе йег МаИютаНк, т. IV, Ьетрхтд, 1908.

6. А. Я. X ин чин, Роль и характер индукции в математике.—
Сборник работ математического раздела Коммунистической акаде-
мии, т. I, М., 1929.

7. М. А. 8 1егп, Моих. Анн. Ма(1)., 15, 1956.

8. Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения выс-
шей, т. I, ОНТИ, М.— Л., 1935.

9. М. Я. В ы г о д с к и й, Вступительное слово к «Дифферен-
циальному исчислению» Л. Эйлера.— В кн.: Л. Эйлер, Диффе-
ренциальное исчисление, перев. с лат. М. Я. Выгодского, Гостех-
издат, М.— Л., 1949.

10. И. Г. Мел ь и и к о в, Эйлер и его арифметические ра-
боты.— Историко-математические исследования, вып. X, Гостех-
издат, М., 1957, стр. 211—228.

И. С. Я. Лурье, Об эйлеровом «Введении в анализ беско-
нечно малых».—В книге: Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно
малых, т. I, перев. с лат. Е. Л. Пацаповского, ОНТИ, М.— Л.,
1936.

12. А. П. Юшкевич, Идеи обоснования математического
анализа в XVIII веке.—В кн.: Л. К а р и о,*Размышления о
метафизике исчисления бесконечно малых, 2-е изд., ОНТИ, М.—
Л., 1936.

13. Ь. Е и 1 е г, ОЬзегуаЦопез йе Н)еогета1а днойат ГсгтаИа-
поаШздне ай питегоз рптоз зрес1апНЬиз.— Орега опина, сер. 1,
т. II, стр. 1—5.

14. Ь. Е и 1 е г, ТЬеогешаПип диогипйат ай питегоз рптоз
зрес1апНит йетопз!гаНо.— Орега опина, сер. 1, т. II, стр. 33—37.

15. Ь. Е и 1 е г, Зростшеп йе изи оЬзегуаНопит 1п таНюз!
рига.— Орега отща, сер. 1, т. II, стр. 45.

16. Л. Э Й л о р, Введение в анализ бесконечно малых, т. I,
иерев. с лат. Е. Л. Пацаповского, ОНТИ, М.— Л., 1936.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ЯКОБА ГЕРМАНА

В. И. Лысенко

Якоб Герман (род. 16 июля 1678 г. в Базеле, ум.
11 июля 1733 г. по ст. ст. там же), ученик Я. Бернулли,
был первым членом Петербургской Академии наук и пер-
вым ее профессором математики [х]. До приезда в Россию
он с 1707 по 1713 г. был профессором математики в Падуан-
ском университете, а с 1713 по 1725 г. занимал профессор-
скую кафедру во Франкфурте-на-Одере.

Будучи уже известным математиком своего времени,
Герман прибыл в Россию 31 июля 1725 г. (по ст. ст.),
накануне открытия Академии, и проработал в ней 5 лет
(1725—1730), предусмотренных контрактом. Благодаря
приезду в Петербург уже опытного Германа, молодых
Д. и II. Бернулли, Л. Эйлера (при содействии Германа),
которые были учениками братьев Бернулли, а также
талантливых математиков X. Гольдбаха, Ф. X. Майера
и Г. В. Крафта, Петербургская Академия стала крупным
центром математической мысли.

Геометрические сочинения Я. Германа можно разде-
лить на две группы: работы о плоских кривых и их
свойствах, работы о пространственных кривых и по-
верхностях. Так мы их и рассмотрим.

Новые инфинитезимальные методы, получившие в кон-
це XVII — начале XVIII в. бурное развитие, опробова-
лись чаще всего на плоских кривых. Имел широкое рас-
пространение метод касательных и метод, обратный методу
касательных. Надо было уметь находить радиус кри-
визны, касательную и нормаль плоской кривой. Этим
вопросам посвящены были первые две геометрические ра-
боты Германа «Метод определения радиуса кривизны для
кривых, описанных из фокусов» (Ас1а ЕгисЦ 1702) и «Заме-
чание о самом новом правиле построения нормалей к кри-
вым, описанным из фокусов» (Моу. БИ. НеКе!., 1703).

По Герману, кривой, описанной из фокусов, называет-
ся такая линия, свойства которой определяются соотно-
шением между отрезками прямых (фокальными радиуса-
ми), соединяющих любую точку этой кривой с некоторыми
точками (фокусами), заданными на плоскости, в которой
лежит крпвая. Кривые с двумя фокусами (конические
сечения) былп уже известны. Для конических сечений
задачу определения радиуса кривизны решили Я. Бернулли
(Ас1а Егий., 1693) и Лопиталь (Апа1узе йез 1пПп1теп1
реШз..., Рапз, 1696). Герман выразил радиус кривизны
кривой через три фокальных радиуса в дифференциальной
форме. Его способ можно обобщить на любое число фокаль-
ных радиусов.

Тогда же Герман опубликовал статью «Доказательство
двух формул о делении угла или дуги окружности, пред-
ложенных без доказательства Йог. Бернулли в Ас1а Еги-
йкогит за апрель месяц 1701 г.» (Ас1а Егий., 1703.
стр. 345—352). Если принять хорду данной дуги равной «,
то хорду х п-кратной дуги можно представить в виде
следующего бесконечного ряда:

аЬп~1 (п — 2)аЬп~3 (п - 3) (п - к) аЬп~5

7П-Х ’ 7П-3 1 • 2 • 7П‘6

(п — 4) (п — 5)(п — 6) аЬп~"

1 • 2^1. 7^

(п _ 5)(п _ 6)(,г _ 7)(п _ 8) аьп-* _

1 • 2 • 3 • 4 • 7П“9 ”” 1 '

где д — радиус окружности, Ь — хорда дуги, дополняю-
щей данную до 90°; или в виде ряда

паЬп 1

п (п — 1)(п — 2) а3&п 3
1-2-3-7п~1

п (п — 1) (и — 2) (п — 3) (п — 4) л3Ь”“5
1-2-3.4-5-771"1

п(и — \)(п — 2)(п - 3)(/г — 4)(п — 5)(п — 6) 7

1-2-3-4-5-6-7-7П_1
где <7— диаметр, а остальные величины имеют то же зна-
чение, что в формуле (1). Если положить ц — 1, форму-
лы (1) и (2) примут такой вид, в каком они опубликованы
Бернулли. Формулы были выведены Германом до п =9,
после чего он заключил, что они верны для любого п.

Статья Германа привлекла внимание многих геометров
и побудила некоторых из них, в том числе работавших
в Петербургской академии X. Гольдбаха и Ф. X. Майера,
выполнить аналогичные исследования (Сотт. 1727 (1729),
I. II, р. 174-179; Сотт. 1728 (1732), Г III, р. 53-62) [2]).
В работе по диоптрике (Ас1а Егий. 1706, р. 256—263)
Герман впервые геометрическим путем вывел теоремы
сложения для тангенса и секанса I3].

Решению вопроса об определении уравнений семей-
ства ортогональных кривых посвящена «Статья о траек-
ториях, пересекающих данное семейство кривых под
прямым углом, содержащая общее решение задачи, впер-
вые поставленной в Ас1а Егий. 1698, стр. 471 и повторно
опубликованной в прошлом (1716) году па стр. 226 (Ас1а
Егий. 1717, стр. 348—353)». В начале статьи Герман под-
верг критике решение задачи об ортогональных траекто-
риях. выполненное одним анонимным автором и опубли-
кованное к тому времени в РйПозорЫса! ТгапзасНоп его
друзьями. По мнению Германа, изложенный там метод
применим лишь к отдельным алгебраическим и простейшим
трансцендентным кривым. Анонимный автор напрасно
увлекся вторыми дифференциалами. Решение можно свести
каждый раз к дифференциальному уравнению 1-го поряд-
ка. Для этого Герман предложил следующее общее пра-
вило: в дифференциальном уравнении данной кривой
надо поменять местами дифференциалы, причем у одного
из них изменить знак на противоположный, а затем из
уравнения, возникшего после такой перестановки, опре-
делить один пз параметров. Если подставить найденное
значение параметра в уравнение данной кривой, полу-
чится дифференциальное уравнение искомого семейства
кривых.

Первое решение задачи об ортогональных траекториях
было геометрическим п найдено для семейства логарифми-
ческих кривых Я. Бернулли (Ас1а Егий., 1698) вскоре
после того, как задача о траекториях вообще была постав-
лена Йог. Бернулли в одном из инеем 1697 г. к Лейбницу
и сообщена брату. Пользуясь одним правилом, имевшим-
ся уже у Лейбница, Йог. Бернулли в 1698 г. привел зада-
чу к дифференциальному уравнению 1-го порядка. В мемуа-
ре Германа это правило сформулировано более точно.
Следуя ему и стремясь показать его преимущества перед
другими способами решений, Герман рассмотрел четыре
уже известных примера. В первом он нашел уравнение
ортогональных траекторий семейства гипербол, совпадаю-
щее с тем, какое вывел Николай Бернулли (Ас1а Егпй.,
1716). В примерах 2 и 3 получил такие же уравнения,
как у Якова и Йог. Бернулли, а в 4-м — такое, как
у Лейбница и Н. Бернулли.

В «Дополнении к моим решениям задач об отыскании
траекторий кривых» (Ас1а Егпй., 1718, стр. 335—336)
Герман предложил иной способ интегрирования диффе-
ренциального уравнения, полученного в четвертом приме-
ре предыдущей статьи.

Наконец, в третьей работе на эту тему «Добавление
к статьям о траекториях» (Ас1а ЕгпсГ, 1719, стр. 68—77),
Герман отстаивает свое общее правило нахождения орто-
гональных кривых, возражая своим оппонентам Кандида-
ту и Потавину, один из которых считал, что оно примени-
мо только к алгебраическим и неприменимо к трансцен-
дентным кривым. Герман показал применимость общего
правила к любым кривым, уравнения которых допускают
перестановку дифференциалов.

Задача о траекториях открыла новую главу в дифферен-
циальном исчислении и привела к изучению дифференци-
рования под знаком интеграла и к исследованию уравне-
ний с переменным параметром, названных у Германа
модулярными уравнениями. А это оказало впоследствии
значительное влияние на разработку вопроса об условиях
интегрируемости обыкновенных дифференциальных урав-
нений.

В статье «Новый метод решения задач, которые могут
быть поставлены по отношению к тем или иным изопери-
метрическим фигурам» (Ас1а Егцй., 1718, стр. 32—38)
Герман решил две задачи, в которых при определенных
условиях требовалось построить изопериметрические фи-
гуры, имеющие либо максимальную, либо минимальную
площадь. В третьей, более оригинальной задаче надо
найти изопериметрическую фигуру, для которой бы центр
тяжести всех грузов, действующих на кривую в отдель-
ных точках вдоль всей ее длины, находился на максималь-
ном или минимальном расстоянии от данной прямой
(базиса фигуры).

До Германа начиная с 1700 г. Яков и Йог. Бернулли
опубликовали по два мемуара об изопериметрической
задаче.

В Петербурге первой была опубликована геометриче-
ская работа Германа «Два прямых способа деления полу-
круга в данном отношении, с помощью которых получает-
ся решение задачи Кеплера об определении места планеты
в некоторое данное время» (Сотт. 1726 (1728), 1.1, р. 142—
148) Гермап привел довольно большой перечень суще-
ствовавших уже тогда решений этой задачи. Первое из
них выполнил с помощью циклоиды Хр. Рен (известный
преимущественно как автор первого (1658) спрямления
циклоиды). Можно указать также на Ньютона, решивше-
го почти такую же задачу в I томе «Математических начал
натуральной философии» (задача 31) (1687). Помимо гео-
метрического он предложил приближенное решение, ис-
пользовав сходящийся ряд. Кроме упомянутых авторов,
задачу Кеплера решили также с помощью бесконечного
ряда Давид Грегори (1702) и Йог. Кейль. Без применения
рядов решения нашли Ф. де Лагир (1710) и Я. Кассини
(1719), П. Горребов (VI Т. 8ирр1. ай Ас1а Егий. Ырз.).

В оригинальном геометрическом решении Германа была
впервые использована для деления полукруга в данном
отношении квадратрпса Чирнгауза [4]. Затем Герман
нашел «арифметическое» решение, взяв для этого сходя-
щийся знакочередущпйся ряд, полученный Лейбницем
(Ас1а Егий., 1693, стр. 179).

Судить о содержании следующей работы можно по
ее названию «О вписании эллипса, одна из осей которого
известна, в данный угол так, чтобы его центр находился
в точке, заданной между сторонами угла» (Сотт., 1729
(1735), I. IV, р. 46—49). Задача решена чисто геометрически.
По словам Гормана, де Лагпр сообщил эту задачу
через Вариньона «одному выдающемуся геометру», доба-
вив при этом, что ему самому ие приходит на ум какое-
либо ее решение. «Великий учепый, которому задача была
послапа, сразу же нашел ос аналитическое решение,—
пишет Герман,— получив некоторое биквадратное урав-
нение». Кто был этот «выдающийся геометр» и как Герман
узнал о его результате, неизвестно, однако свое решение
Герман считал более простым и легким.

Не менее интересной, чем предыдущая, была статья
«Рассмотрение кривых, проектируемых в данную точку,
и об их особенностях, от этого зависящих» (Сотт., 1729
(1735), I. IV, р. 37—46). В ней впервые полярные коор-
динаты применены к исследованию произвольных плоских
кривых. До Германа полярные координаты применялись
только к исследованию спиралей.

Кривая А НИ называется проектируемой в точку Е,
если любую ее точку можно соединить отрезком прямой
с точкой Е. Эти отрезки Герман называл радиусами про-
екции (г), а углы между осью ЕГ) и радиусами проек-
ции — углами проекции. Синус произвольного угла СЕБ
проекции обозначался через т, а его косинус — через п.
Герман нашел формулы х — пт, у = тпт, определяющие
связь между прямоугольными и полярными координатами
точки на плоскости. Он писал, что с помощью полярных
координат «можно выводить свойства кривых не менее
изящно, чем обыкновенным способом», т. е. в декартовых
координатах, и показал это на нескольких примерах,
подтвердив некоторые свойства параболы и эллипса.

Полярные координаты использовал Г. В. Крафт
в статье о квадрируемых луночках (Сотт., 1732/33 (1738),
I. VI, р. 156—168); ему же принадлежит введение термина
«полярное уравнение».

Вторая часть статьи отводилась поискам кривой, для
которой совпадающие радиусы проекций ВЕ, СЕ находи-
лись бы в заданном отношении. Подобные задачи решали
И. Бернулли (1696), Лейбниц, Я. Бернулли, Лопиталь,
Ньютон (все в 1697, но без доказательства), Л. Эйлер (1748).

Опыт Германа, показавшего равные возможности по-
лярных и декартовых координат, использовали впослед-
ствии многие, в том числе петербургские математики
«П. Эйлер, И- Фус, Ф. Н. Шуберт, С. Е. Гурьев.

В статье «О геометрических местах, которые удобно
можно строить по методу Декарта» (Сотт., 1729 (1735),
I. IV, р. 15—25), Герман применил к исследованию кони-
ческих сечений первоначальный способ Декарта, изло-
женный во II книге его «Геометрии» (1637) — «великолеп-
ный способ четырех линий, называемых прямыми Паппа»,
как характеризовал его Герман р]. Способ Декарта, раз-
витый Германом, был дополнен и уточнен В. Риккати (1757).

Новым шагом в геометрии явилась работа Германа
«Об эпициклоидах, начертанных на шаровой поверхно-
сти» (Сотт., 1726 (1728), I. I, р. 210—217). До Германа
главным предметом исследований фигур па поверхности
шара была квадратура кривой Вивпани — линии пере-
сечения кругового цилиндра, касающегося внутренним
образом шара, радиус которого равен диаметру цилиндра.
Квадратурой области, ограниченной кривой Вивпани,
кроме самого Вивпанп («Образование и измерение всех
сводов», Флоренция, 1692), занимались Роберваль, А. Ла-
лубер (оба до Вивпани), Лейбниц, II. Бернулли, Валлис,
Лопиталь, Г. Гранди РГ Выяснилось, что кривая Вивиа-
пи, как и другие «клелии» (кривые, имеющие форму
цветочного лепестка), образует на поверхности шара квадри-
руемые области. Гораздо труднее, чем задача квадрн-
ровапия некоторых областей, оказалась задача нахожде-
ния спрямляемых линий на поверхности шара.

В Ас1а ЕгисГ, 1718 (стр. 175), К. Э. Оффенбургом была
поставлена задача: найти длину дуги овального отвер-
стия, проделанного в своде полусферы. Эта задача и побу-
дила Гермапа к исследованию сферической эпициклоиды —
траектории фиксированной точки производящей окруж-
ности радиуса 6, катящейся по неподвижной окружности
радиуса а па поверхности шара. У Германа получилась вся
„7т .. .. Уа' — 2/гаЬ Ь-

Дуга /сферическом эпициклоиды равной-------------------

(Л — косинус угла между плоскостями подвижной и не-
подвижной окружностей).

Однако И. Бернулли позже обнаружил, что Герман
был неправ, полагая будто сферическая эпициклоида

20 Пстор.-матем. лсслед., вып. XVII
алгебраически спрямляема, и указал ошпбку. Она состоит
в том, что секторы, которые Герман, рассматривая элемент
эпициклоиды, считал подобными (статья Германа, стр. 215,
предпоследняя п последняя строки), не являются таковы-
ми, поскольку лежат в разных плоскостях [7]. Берпулли
нашел элемент эпициклоиды, интеграл которого дает
длину всей дуги эпициклоиды, и проанализировал резуль-
таты, полученные Германом, показав, в частности, что
записанная выше длина всей эпициклоиды весьма далека
от той, какую получил он сам.

В Академии сферическую эпициклоиду исследовали
еще А. И. Лексель (1782) и Н. И. Фус (1821).

Последнюю геометрическую статью «О поверхностях,
соо1ветствующих уравнениям геометрических мест и раз-
личном их расположении» (Сотт., 1732/33 (1738), 1. VI,
р. 36—67) Герман прислал в Академию пз Базеля в 1733 г.
Причину того, что его предшественники и современники
мало занимались поверхностями, Гермап видел в много-
образии поверхностей н в громоздкости выкладок, сопут-
ствующих их исследованию. В его статье для некоторых
поверхностей решены вопросы о построении касательной
плоскости и нормали к ним, о кратчайшей липин между
двумя точками на поверхности, о точках экстремума.
Через всю статью проводится основная мысль: положение
поверхности определяется ее уравнением. Много внимания
уделено плоскости аг + Ъу + сх — е2 = 0, затем рас-
смотрены «клиновидный параболический цилиндр» я2 —
— ах — Ъу =0, «конусовидная поверхность» г2 — ху = 0,
«коноид» г2 — ах2 — Ьху — су2 — ех — {у =0, «эллипти-
ческий коноид» аг2 + Ъуг -{-су2 — ехг + (х2 + —

— кх =0, поверхности и2 — х2 — у2 =0, где и — { (г)
(рассмотрен один пример — так называемый конусо-клин
Валлиса).

Из линий двойной кривизны Герман исследовал лишь
кратчайшую линию между двумя точками на поверхности
и получил ее дифференциальное уравнение в виде сЫг =
2 (№ 7 V

= ——т------у-, где аз— элемент дуги, т, п — функции от

пг с1х -|- тг с1у' л

хну; г — радиус соприкасающейся окружности в одном
из концов проекции элемента кривой на плоскость х$у.
До него этим вопросом занимались II. Бернулли (1697),
Я. Бернулли (1697) и Л. Эйлер (1728).

За год до опубликования этой статьи Германа вышла
известная книга А. К. Клер о о кривых двойной кривизны
(1731), в которой были применены дифференциальные
операции к пространственным кривым и решены многие
вопросы из тех, над которыми независимо трудился Гер-
ман. Мы пе находим у Германа ни слова упоминания
об этом сочинении Клеро. Если учесть это, становится
очевидным, что Герман самостоятельно сделал свой соб-
ственный вклад в формирование аналитической геометрии
пространства.

Л И Т Е Р А Т У Р А II П Р II М Е Ч А 11 И’Я

1. О Якобе Германе см. II. II. II е к а р с к и й, История импе-
раторской Академии наук в Петербурге, т. I, СПб., 1870, стр. 69—71;
Русский биографический словарь, М., 1916, стр. 57—62 (статья
В. В. Бобынина).

2. Здесь и ниже сокращением Сотт, обозначены СоттеШагп
Асайепиас 8с1спНагит 1трепа11з Ре1горо1Папае.

3. А. В г а и п т й 111, Уог1езип$еп иЬег СезсЫсЫе Йег Тп^о-
нотситс, Вб. 2, Гдйрг!^, 1903, 8. 70—71.

4. Если равномерно вращать радиус около центра круга и одно-
временно равномерно смещать прямую, параллельную неподвижному
диаметру, совпадающему с осью абсцисс, то геометрическое место
точек их пересечения образует кривую, впервые исследованную
Чирпгаузом (МесИснш шеиНз, Амстердам, 1686) и названную впос-

ледствии его именем. Опа имеет уравнение у = гзш (г — радиус
круга) и может использоваться для квадратуры круга. Подробнее
о пей см., например, С. Бона, 8рег1е11е а1деЬга1зсЬе ипй 1гапз-
сспйеШе еЬепе Кигуеп, Ье1р7дд, 1902, 8. 116—117.

5. Подробное описание этого способа имеется в книге: Г. В и-
лейтнер, История математики от Декарта до середины XIX сто-
летия. Перев. с нем. под ред. А. П. Юшкевича, М., 1960, стр. 218—
219. Там же (стр. 237) содержится анализ этой статьи Германа.

6. См. Г. В и л е й т и е р, История математики..., стр. 287—288.

7. 1о11. В е г п о и 111, РгоЫете зиг 1сз Ер1сус1ои1ез зрЬёг!-
диез.— Орега опина, I. III, Ьаизапвае — Сепсуае, 1742, р. 220.
Впервые опубл, в Мёт. йе ГАсай. йез Зсхепсез йе Рапз, 1732,
р. 237.
ОТ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ НЬЮТОНА
К АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ ГАМИЛЬТОНА

Ф. Д. Крамар

Алгебра Виета и Декарта в своей основе была геоме-
трической. Алгебраические преобразования буквенных
выражений приобрели необходимую оперативность и гиб-
кость у Декарта (1637) I1] за счет того, что ему удалось
освободить геометрическую алгебру Евклида от тяже-
лого принципа однородности. Произведение двух отрез-
ков у Декарта представлено третьим отрезком, величина
которого однозначно определялась явно указанными гра-
фическими построениями. Решение уравнений Декарт
приводил тоже к определенной геометрической процеду-
ре — построению ординаты точки пересечения двух под-
ходящим образом выбранных плоских линий.

Новый весьма существенный шаг по линии арифмети-
зации алгебры совершили английские алгебраисты уже
во второй половине XVII в. Алгебраическая школа Вал-
лиса — Ньютона по существу возглавила перевод алгебры
на арифметическую основу. В алгебре Валлиса (1657, I2])
на первое место выдвигается арифметический подход
к алгебраическим задачам и тождественным преобразо-
ваниям.

Достойно внимания название упомянутого трактата
Валлиса — «Универсальная математика или полный курс
арифметики». У Декарта важнейшим составным элементом
«универсальной математики» была аналитическая геомет-
рия. Валлис под «универсальной математикой» понимал
«полный курс арифметики». Построен этот курс арифмети-
ки по следующему принципу. На языке действительных
чисел рассматриваются основные арифметические опе-
рации, их свойства, решаются задачи и т. п., и каждый
раз общее заключение записывается в виде буквенной
формулы. Под буквами подразумеваются «какие угодно
чпсла». Получилась своеобразная буквенная арифметика.
Например, Валлис сначала поясняет ([3], т. I, стр. 74)
поразрядный принцип сложения многозначных чисел и
тут же параллельно (в правой колонке) переносит это
правило на сложение алгебраических многочленов, упо-
рядоченных по ниспадающим степеням одной и той же
буквы, и т. д.

Чтобы убедить своих читателей в преимуществах
арифметической алгебры перед геометрической, Валлис
воспользовался еще одн ш методическим приемом. Вторую
книгу «Начал» Евклида он изложил параллельно в гео-
метрической и алгебраической форме ([3], т. I, стр. 123
и сл.) с использованием символики Виета — Декарта.
Кроме того, на каждое предложение II книги «Начал»
приведен конкретный числовой пример. Аналогично из-
ложена V книга «Пачал» (там же, стр. 183 и сл.). Еще
раньше (в 1652 г.) этим же методом им была изложена тео-
рия конических сечений Аполлония (опубликована в
1655 г. I4]).

Таким образом, получилась своеобразная буквенная
арифметика. К ней Валлис присоединил решение уравне-
ний, возведение в степень, пропорции и прогрессии, лога-
рифмы. Этот объем материала и составил содержание
«Универсальной математики» Валлиса.

Аналогии играли огромную роль в формировании
новой математики XVII в. Но те аналогии, которыми
пользовался Валлпс, не имели доказательной силы.
Их роль сводилась к тому, чтобы продемонстрировать
эффективность нового аппарата математики и этим при-
влечь на его сторону симпатии исследователей и внимание
практиков.

В общую структуру «Универсальной математики», есте-
ственно, входил метод численного решения алгебраиче-
ских уравнений. Поэтому Валлпс и подчеркивал, что
«всеобщая алгебра является поистине арифметической,
а нс геометрической» (I1), стр. 56). В соответствии с этим
коренным переустройством алгебры находились прогрес-
сивные взгляды Валлиса на те числа, в которых нужда-
лась тогда универсальная арифметика. Геометрические
образы и здесь играли роль наглядной иллюстрации.

Валлис не только не возражал против допуска в уни-
версальную арифметику отрицательных и комплексных
чисел, но п нашел правильный путь для разрешения
вопроса о непротиворечивости такого вида исчисления,
прибегнув к помощи геометрической модели. Рассматри-
вая возможные случаи корней квадратного уравнения,
Валлпс пришел к принципиально важному заключению:
«В случае отрицательных корней мы говорим, что точка В
будет находиться на той же прямой АС, но отрезок А В
в этом случае нужно чертить но вперед, а назад от точ-
ки А; в случае отрицательного квадрата (отрицательного
дискриминанта) точка В не может быть найдена на пря-
мой Л С; но она может быть найдена в той же самой пло-
скости выше этой прямой АС» ([6], § 67).

Валлпс правильно наметил подход к геометрическому
истолкованию не только мнимой единицы "У—1, но также
комплексного числа а 4- Ъ У—1, и суммы двух таких
чисел ([3], т. 2, стр. 289).

Кроме геометрического подхода к истолкованию мни-
мых чисел, Валлис указал еще один, так сказать, эври-
стический подход к истолкованию У —1 как «среднепро-
порцпонального между количеством положительным и
отрицательным» (Г3], т. 2, стр. 287). Известную силу этой
аргументации неоднократно признавал и Гаусс (1831,
[б], стр. 177).

Мы не касаемся здесь работ Валлиса по исчислению
бесконечно малых (см. [7]) и по усовершенствованию
математического аппарата механики (см. [8]).

Высшим достижением английской алгебры XVII в.
нужно считать фундаментальный труд по алгебре Ньюто-
на [9], определивший предмет этой науки на целое столе-
тие; написана эта книга в 1673—1683 гг., опубликована
в 1707 г. (о ней см. I10]). В «Универсальной арифметике»
Эйлера (1768 г.) арифметизация алгебры достигла своего
завершения. Как у Ньютона, так п у Эйлера «основной
целью арифметики являлось в конечном итоге численное
решение приводящихся к алгебраическим уравнениям
задач» ([10], стр. 377).

Но уже в алгебре Кардано (XVI в.) пр г решении куби-
ческого уравнения встретились комплексные числа, кото-
рые никак не удавалось уложить в рамки универсальной
арифметики на всем протяжении последующих двух сто-
летни. Мнимые числа постепенно проникали в различные
новые области математики и оказались особенно полезными
в анализе Эйлера. Под напором большого числа фактов,
оправдывавших использование мнимых чисел в алгебре
и анализе, английский алгебраист Вудхаус (1803) писал:
«Я пе берусь утверждать, что мне удалось найти ту логи-
ку, по правилам которой нужно выполнить выч юления
с воображаемыми количествами, но вполне очевидно, что
так как вычисления с этими количествами всегда достав-
ляют правильные результаты, то они должны иметь
и свою логику» (цит. по I11], стр. 41). Становилось ясным,
что дальнейшее развитие требует тщательного анализа
п обоснования комплексных чисел. Так возникло на рубе-
же XIX в. критическое направление во взглядах на пред-
мет алгебры. В числе зачинателей новых оригинальных
идей снова оказалась английская алгебраическая школа.
Мы имеем в виду труды Бюэ, Уоррена, Пикока, де Морга-
на, Гамильтона, Буля и других. На завершающем этапе
этого направления возникла алгебра кватернионов Га-
мильтона и так называемые булевы алгебры. Эти два
открытия сыграли решающую роль в коренном изменении
предмета алгебраической науки.

Первой серьезной работой в этом направлении можно
считать обширный мемуар Бюэ — «О мнимых числах»
(1806, [12]). Появлению этого мемуара предшествовала
переписка между Бюэ и автором известного в Англии
курса алгебры Френдом I13]. Об этой переписке упоми-
нает А. де Морган в «Двойной алгебре» [п], стр. 1), рас-
полагавший одним таким письмом Бюэ от 21 июня 1801 г.
Фрепд придерживался той точки зрения, что отрицатель-
ным и мнимым числам нет места в алгебре; па ряде при
меров он обнажает тс противоречия, которые сразу воз-
никают в алгебре при попытке распространить правила
универсальной арифметики и на область новых чисел.
Бюэ в упомянутом письме критикует взгляды Френда
па предмет алгебры и высказывается за расширение ее
числового базиса. Несколько позже Бюэ познакомился
с работами Л. Карно [14], I15], в которых обсуждалась
проблема отрицательных и комплексных чисел. Идеи
Карно сделались отправным моментом для собственных
изысканий Бюэ. Что касается концепций Френда, то они
подвергались критике и в трудах другого представителя
новой алгебраической школы Уоррена [16], примкнувше-
го в этой дискуссии к точке зрения Карно и Бюэ.

Бюэ соглашался с критикой Карно неудовлетворитель-
ного состояния теории отрицательных и комплексных
чисел (I12], стр. 25, 40, 48 и др.). Однако выход из этого
затруднительного состояния алгебры Карно и Бюэ усма-
тривали в различных направлениях. Карно, активный
сторонник Лейбница, предлагал сохранить за алгеброй
ее старое содержание универсальной арифметики, а отри-
цательные и мнимые количества отнести к «геометрическо-
му исчислению» (Лейбниц), где они найдут широкое при-
менение как характеристики положения. По мнению Бюэ,
трактовка алгебры как универсальной арифметики уже
не соответствует характеру тех задач, которые, естествен-
но, вознпклп в ней. Поэтому нужно расширить и изме-
нить сам предмет алгебраической науки. «Алгебру,— писал
Бюэ,— не следует рассматривать просто как универсаль-
ную арифметику; ее нужно рассматривать как некий ма-
тематический язык» ([12], стр. 25). На конкретных приме-
рах он показывает, что если под алгеброй понимать уни-
версальную арифметику, то противоречия неизбежны.
В такой алгебре «не будет места отрицательным и мнимым
количествам... и уравнение Карно — х2 + ах — у а2 = 0
не имеет никакого решения. В тех же принципах, котооые
я изложил и которые принадлежат алгебре-языку (аТ&ёЬге-
1ап§пе), каждое из трех уравнений Карно имеет по два
решения» ([12], стр. 44).

В другом месте ([12], стр. 86) Бюэ пояснял, что при
решении алгебраических уравнений «необходимо иметь
в виду три вещи: 1) вести изложение всего вопроса на
языке алгебры; 2) переходить от алгебраического условия
задачи к алгебраическому решению; 3) рассмотреть вопрос
о приложениях полученного алгебраического решения».
И если первые два элемента теории уравнений относятся,
по мнению Бюэ, собственно к алгебре, то третий элемент
должен быть отнесен к «практическим наукам», и в зави-
симости от области приложений эти решения могут ока-
заться «возможными пли невозможными».

В ряде мест Бюэ намекает на логический и гносеологи-
ческий аспект понятия истинности алгебраических заклю-
чений ([121, стр. 38, 86 и др.). К собственно алгебре он,
по сути дела, относит те истины, которые логически
вытекают пз правил применения -алгебраических опера-
ций к числам и буквенным выражениям. С этой точки
зрения —1 пи в каких интерпретациях не нуждается.
Поэтому Бюэ и пе изучает вопроса о геометрической интер-
претации комплексных чисел и операций над ппмп. В каче-
стве (приложений алгебры к геометрии» он представляет
числа вида а + Ъ — 1 соответствующими векторами на
плоскости п ]/"—1 называет «знаком перпендикулярности».

С мемуара Бюэ начинается новая страница в истории
английской алгебраической школы. Б. Гомпер в 1817—
1818 гг. опубликовал две кнпгп, посвященные алгебре
мнимых чисел и написанные под влиянием идей Бюэ.
В предисловии он писал: «Хотя мои размышления не
целиком совпадают с идеями остроумного аббата Бюэ,
я должен сказать, что я обязан ему многими моими сооб-
ражениями, изложенными в этой кппге» ([17], стр. VIII).

На мемуар Бюэ ссылались Уоррен, Пикок, де Морган,
Гамильтон и др. Все опп крптпковалп устаревшие взгля-
ды на алгебру как па универсальную арифметику и каж-
дый по-своему предлагали включать в предмет алгебры
вопросы аксиоматического изучения свойств алгебраиче-
ских операций, определяемых в множестве тех или иных
объектов. Влияние идей Бюэ признавал и Беллавитпс
([181, стр. 449), хотя отправным пунктом для его метода
эквиполенций послужила «Геометрия положения» Карно.

Уоррен в 1829 г. придерживался такой точки зрения
на предмет алгебры: «Необходимо создать другие опре-
деления и основные законы алгебры, более общего харак-
тера, чтобы их можно было применять к любому классу
количеств, подчиненных алгебраическим операциям...
Нужно исследовать сущность алгебраических операций и,
если удастся, достигнуть более общих определений и более
общих основных законов» ([16], стр. 241). Уоррен допускал
возможность различных моделей для доказательства не-
противоречивости аксиоматической алгебры ([1С], стр. 250).

Вскоре после Уоррена выступил с рядом интересных
работ Пикок. Он начал с того, что подверг критике уни-
версальную арифметику Ньютона. «Со времени Ньюто-
на,— писал Пикок,— алгебра считалась такой модифи-
кацией арифметики, которая возникает от применения
символического языка, и операции одной науки были
перенесены в другую без какого-либо расширения их
значений и применений» (I17], стр. VI). II далее: «Алгебра
может быть определена как наука об общих суждениях
с помощью символического языка... Ее часто определяли
как универсальную арифметику, по такое определение
ошибочно, так как оно приписывает алгебре в виде глав-
ного предмета то, что следует рассматривать лишь как
одно пз ее приложений» (I19], стр. 1). Пикок разделил
алгебру па «Арифметическую алгебру» [20] и «Символи-
ческую алгебру» I21].

В духе символической алгебры написана н «Двойная
алгебра» де Моргана I11], алгебра кватернионов Гамиль-
тона [22] и алгебра логики Буля [23].

В «Двойной алгебре» де Моргана (1849 г.) мы встречаем
уже довольно обширный список алгебраических произве-
дений, в которых так пли иначе обсуждался вопрос об
алгебраических операциях и о предмете алгебры. В каче-
стве зачинателя этого критического направления де Мор-
ган указывает Джона Валлиса и его «Алгебру».

Но если во времена Валлиса в центре внимания оказал-
ся арифметический характер приложений алгебры (оты-
скание арифметических значений корней уравнений),
то в начале XIX в. стала ясно вырисовываться тенденция,
весьма близкая к современным представлениям о предмете
алгебры как наукп об общих свойствах операций, лишь
напоминающих операции универсальной арифметики.
Интересно отметить, что все представители англий-
ской алгебраической школы прямо указывали на непо-
средственную зависимость идейного направления своих
исследований с попытками обоснования алгебры комплекс-
ных чисел. Комплексные числа сыграли важную роль в
формировании современных взглядов на предмет алгебры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Р. Декарт, Геометрия, М., 1938.

2. 1. XV а 1 1 1 з, МаНюз1з шнуегзаИз: вхуе АпНппеНспт ориз
1п1е&гит... охогпас, 1657.

3. 1. XV а 1 11 з, Орега МаНгетаНса, уо1. 1—3, Охотас, 1695—
1699.

4. I. XV а 111 з, Бе ЬссНотЬиз Сопклз, поха теПюйо ехрозь
118, 1655.

5. .7. XX а 1 1 1 з, А1$еЪга, 1гас1а1из 1пз1опсия еЬ ргасНсиз, 1685.

6. С. К. С а и в я, Апхеме хиг «ТЬеогёа гезЫиогит ЫдиайгаН-
согиш», Х\гегке, Вй 2, 1860.

7. Ф. Д. Крамар, Интеграционные методы Джона Валли-
са.—ИМИ, XIV, 1962, стр. 11—100.

8. Ф. Д. Кра м а р, Начала векторной алгебры в механике
Валлиса.— Сб. «Вопросы истории естествознания и техники»,
XXI, Изд. АН СССР (печатается).

9. И. II I» ю т о и, Всеобщая математика или книга об арифме-
тическом синтезе и анализе, М., 1948.

10. А. И. Ю 1н к е в и ч, О «Всеобщей математике» Ньютона.
См. в [»].

И. А. Б е М о г § а в, Тп§опоше1гу апй йонЫе А1§еЬга, Ьоп-
йоп, 1849.

12. Вн11. Метопе виг 1ев дианШёз ппа<ппапез.— Р1п1. Тгапв.
р. 1, 1806.

13. XV. К г е п й, Рп11С1р1е8 о! А1#сЬга, Ьопйоп, 1796.

14. Ь. С а г п о I, ОеотёНче йе РозШоп, Рапз, 1803.

15. Ь. С а г и о I, Бе 1а согге!аНоп йез Идтез йе ^еотсПге,
Рапз, 1801.

16. 1. XV а г г е п, СопзШсгаНоп о! Ню оЬ^есПопз гахяей а^анхв!
Ню ^еотеПчса! гергезеп1аНоп о! 1йе здиаге гоо!в о! пе^айхе циапН-
Нез.— Р1п1. Тгапз. Ьопйоп, 1829.

17. В. Сотрет! я, Т1ю рппс]р1ез апй аррЛсаИоп о! 1та-
еропагу днапННез. Воок I, II, Ьопйоп, 1817 -1818.

18. С- В е 1 1 а х 1 11 з, 8п11с ог^нц йе! те!ойо сдшроПепхс.
Хгевех1а 1вЬ Мет. XIX, 1876.

19. С. Р е а с о с к, А йеаНве он а!яеЬга, Ьопйоп, 1830.

20. С. Р е а с о с к, АпНппеНса! аТ^еЬга, Ьопйоп, 1834.

21. С. Р е а с о с к, ЗутЬоИса! а1<*еЪга, Ьопйоп, 1845.

22. XV. К. Н а т 111 о п, Ьсс1игез оп дпаСеппопз, БиЬИп, 1853.

23. С. В о о 1, Т1ю таПютаПса! апа1уз18оГ Ьо^с, СатЬг., 1847.
О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ
РАЗВИТИЯ АЛГЕБРЫ XVIII в.

II. Г. Б агама нова

Одной из основных проблем алгебры XVIII в. была
проблема решения уравнений «в радикалах». Эта пробле-
ма имеет два аспекта: общеалгсбрапческпй (функциональ-
ный) н арифметический (числовой). В первом случае изу-
чается уравнение с буквенными коэффициентами

/п (х) = хп + аххп~^ --Ь ап^х + ап = Ъ,

т. е. многочлен /п (х), по существу, рассматривается над
полем рациональных функций от п переменных Н а2,
..., ап) и ищутся формулы, выражающие корнп этого
уравнения через его коэффициенты с помощью рациональ-
ных операций и радикалов. В древности были найдены
такие формулы для п = 2, а в XVI в. для п = 3, 4. Все
попытки получить аналогичными методами решение урав-
нений высших степеней, предпринимавшиеся в XVII
и XVIII вв., окончились неудачей.

С развитием алгебраического направления были свя-
заны создание буквенного исчисления, формальное вве-
дение мнимых чисел, изучение различных подстановок
и открытие симметрических функций.

При арифметическом аспекте рассматривается уравне-
ние с заданными числовыми коэффициентами и исследует-
ся вопрос о разрешимости его «в радикалах» над заданной
областью рациональности Н. С самого начала это направ-
ление оказалось связанным с изучением числовых полей
и их подполей и с определением общего вида целых чисел
этих полей. Этот аспект привлек внимание ученых, когда
общеалгебраические методы оказались бессильными ре-
шить уравнение пятой степени.

Арифметические вопросы, как всегда, труднее алгебраи-
ческих. Иллюстрируем это следующим примером: извест-
но, что уравнение /п (х) = 0 с буквенными коэффициен-
тами имеет над полем В (аг, ..., ап) в качестве группы
Галуа всю симметрическую группу . Между тем построе-
ние уравнения с числовыми коэффициентами, имеющего
симметрическую группу, представляет отнюдь не легкую
задачу. Способ построения таких уравнении при любом п
был предложен лишь в 1892 г. Гильбертом.

Интерес исследователей обращался то к алгебраиче-
ской, то к арифметической стороне вопроса, причем идеи
и методы, возникшие при решении одного рода проблем,
помогали при изучении других. Мы проследим механизм
этого взаимодействия в развитии алгебры XVIII в.

Начало изучению арифметических проблем положил
Ньютон. Он поставил задачу, которую, несколько модер-
низируя, можно сформулировать так: пусть дано урав-
нение /2гп (х) = 0 степени 2т с целыми рациональными
коэффициентами и коэффициентом единица при старшем
члене, неприводимое над В. Требуется узнать, существует
ли такое целое Р, что над полем В (|ЛЬ) многочлен /2т (я)
распадается в произведение двух множителей степени т:

1'1т ($) = фт ($) ‘Фтп ($)•

Если такое разложение существует, то требуется найти
число В и коэффициенты многочленов срт (х) и яр™ (х).

Вопрос, поставленный Ньютоном, решается теперь
с помощью теории Галуа: для существования искомого
разложения необходимо и достаточно, чтобы группа задан-
ного уравнения имела подгруппу индекса два, которая
в свою очередь содержала бы подгруппу подстановок,
оставляющих инварпаптным одни пз корней.

Первый критерий для решения этого вопроса был дан
Ньютоном. Критерий Ньютона — это алгоритм, который
позволяет с помощью конечного числа проб либо найти
такое число I), что /2гп (х) распадается на множители
над В (^ЛР), либо установить, что такого числа не суще-
ствует. Этот же алгоритм дает способ вычисления коэф-
фициентов многочленов (я) и ф7)1 (х).

Хотя Ньютон и не дал никаких доказательств, все
же можно без труда восстановить способ, которым был
получен его алгоритм: Ньютон представлял заданный
многочлен в виде произведения двух многочленов с неопре-
деленными коэффициентами вида а + 6] 2), а затем,
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях не-
известной п привлекая теоретико-числовые рассмотрения
(а именно, вопросы делимости), получал нужные ему
условия. Эти методы Ньютона мы будем в дальнейшем
называть «прямыми методами».

Приведем алгоритм Ньютона для уравнения четвертой
степени. Итак, пусть дано уравнение

/п (т) = я4 + рх* + гл: + 5 = 0, (1)

где р1 д1 г, 5 — заданные целые числа, неприводимое над
полем В рациональных чисел. Ньютон вводит три вели-
чины :

л 1 •>

71 ч- 4г,

Ь’ = г —

(*)

и утверждает, что число В необходимо должно быть дели-
телем чисел В и 2/’, причем если р или г нечетны, то В
должно, кроме того, иметь вид + 1.

Если р — четное, то через Ь обозначим какой-нибудь
делитель числа , а если р— нечетное, то половину нечет-
ного делителя. Если же В = 0, то и Ъ положим равным
нулю.

Введем далее три величины
я 1 1 к # 1 ^14 РЬ- , ч/ с~ — 8

Ньютон утверждает, что если при каком-нибудь вы-
боре чисел В и Ъ значения (1 и / совпадают, то заданное
уравнение распадается на множители:

/4 (х) = х2 + у рх + с + у V (Ьх + х

X [г2+-Ьрх + г— + (2)

Мы перепишем это разложение в виде

/<(*) = Х-- + (1р + Ь ]гй]х +(с + <1 КР)] X

X [я- 4~ у Р Ь |ЛО ж + (с — <1 |/б)^ =

= (^ + ах + ₽)(^ + ах+Р). (2’)

Естественно предположить, что Ньютон брал пред-
ставление (2) за исходное, а затем уже находил, каким
условиям должны удовлетворять числа Р, 6, с и (I.

Заметим, что коэффициенты а, а, Р, р, на основании
теоремы Гаусса, будут целыми числами поля

Из алгоритма Ньютона следует, что числа 9 р и Ь, а также
с и д. будут либо целыми, либо половинами почетных
чисел, причем последнее возможно только при Р = 1
(той4). Итак, мы можем утверждать, что Ньютон
первый нашел общий вид целых чисел квадратичных
полей.

Напомним, что еще в середине прошлого века вопрос
об общем виде целых чисел алгебраических полой был
далеко не ясен. Долгое время понятие целого переносили
только на числа вида

&0 + ^16 -р Ь20" -Ь * ’ "Ь -1^ 1

где Ъс — целые рациональные, а 0 — корень неприводи-
мого над В. уравнения степени п с целыми коэффициентами
и коэффициентом единица при старшем члене. Только
исследования Дедекинда и Золотарева показали, что
такое определение недостаточно.

Ньютон знал больше, чем счел нужным изложить. Так,
он пишет, что мог бы «присоединить изложение приведения
уравнения при помощи извлечения иррационального ку-
бического корим». Эти слова показывают, что он нашел
и общий вид целых чисел поля 7? (| Л). Последняя задача
намного труднее предыдущей: вид целых чисел кубиче-
ского поля зависит от того, как раскладывается число 3
в произведение простых идеалов. То, что Ньютон сумел
справиться с проблемой, не имея в своем распоряжении
теории идеалов или какого-нибудь ее эквивалента, откры-
вает нам еще одну сторону его удивительного гения:
это был не только великий физик и апалист, но
и великий исследователь науки о числах.

Некоторыми пояснениями алгоритм Ньютона был
снабжен в «Алгебре» Маклорена (1748 г.), однако там
ему не придается большого значения: исследования пе
проводятся до конца и пе делается попытка обобщить их.
Баринг, по-видимому, первый оценил алгоритм Ньютона.
Он продолжил исследования Ньютона и пытался приме-
нить его методы для решения тех же проблем, которые
являются центральными в теории Галуа, например вопро-
са о том, в каких случаях корень заданного уравнения
выражается через иррациональности определенного вида
(через одни только квадратные радикалы или через
квадратные и кубические).

Одиако оперирование «прямыми методами» Ньютона
оказалось слишком сложным. Сам Баринг ошибся при
определении общего вида целых чисел бпквадратичного
поля. После него, насколько мы знаем, эти методы были
оставлены.

Между тем почти одновременно с Барингом Лагранж
положил начало новому мощному аппарату теории групп.
Анализируя и обобщая работы Чирпгаузепа, Эйлера и
Безу, целиком принадлежащие алгебраическому направ-
лению, Лагранж свел вопрос о решении уравнений с бук-
венными коэффициентами к рассмотрению симметрической
группы подстановок корней уравнения и ее подгрупп,
а также рациональных функций корней инвариантных
при подстановках этих подгрупп. Арифметическая точка
зрения была чужда Лагранжу. Так, например, решая
в радикалах уравнения с циклической группой, он опери-
ровал с корнями из единицы, пе заботясь о том, выражают-
ся ли они в радикалах.

21 Истор.-матем. исслсд., вьш. XVII
В том же обще алгебраическом плане было выдержано
доказательство неразрешимости в радикалах уравнений
выше четвертой степени с буквенными коэффициентами,
проведенное Руффини и Абелем. Но еще раньше было
обнаружено, что с помощью групп можно исследовать
и уравнения с числовыми коэффициентами. Так, в 1797 г.
Гаусс провел исчерпывающий анализ уравнений деления
круга (чем восполнил пробел в изысканиях Лагранжа),
•применив, по существу, разложение группы подстановок
рассматриваемого уравнения в прямую сумму цикличе-
ских подгрупп и построив подполя, соответствующие
каждой подгруппе. Это была первая модель для будущей
теорип Галуа и она была построена для уравнений спе-
циального вида с числовыми коэффициентами. В 1826 г.
Абель с помощью метода Гаусса нашел еще более обшир-
ный класс уравнений, разрешимых в радикалах.

Первый глубокий синтез обоих аспектов был получен
Эваристом Галуа, который создал теорию, одинаково
пригодную для трактовки и функционального и число-
вого случая. Синтез был достигнут с помощью понятия
поля, фундаментального для всей современной алгебры.
При этом основное поле, над которым рассматривалось
уравнение, могло означать как поле рациональных (или
алгебраических) чисел, так и поле рациональных (или
алгебраических) функций.

В XIX в. новые проблемы, поставленные относитель-
но числовых и функциональных полей, а именно построение
арифметики для первых и теории многозначных функций
и их интегралов для вторых, вновь привели к раздельному
изучению этих полей. Только в последней четверти прош-
лого века наметились пути для нового синтеза арифмети-
ческого и алгебраического направлений. Кронекер, Деде-
кинд и Вебер, заметив глубокую аналогию между полями
алгебраических чисел и алгебраических функций, сфор-
мулировали се явно и положили в основу дальнейшего
исследования и тех и других. Дедекинд и Вебер приме-
нили арифметические методы (теорию дивизоров Кроне-
кера) для трактовки римановой теории алгебраических
функций, Гензель создал для алгебраических чисел ана-
лог разложения в степенные ряды, Гильберт перенес
на числовые поля методы и терминологию, принятые для
функций: ему принадлежит термин «дивизор ветвления»,
введенный по аналогии с точкой ветвления, и конструкция
символа норменного вычета по аналогии с вычетом диф-
ференциала. Наконец, теория полей классов Гильберта
является аналогом неразветвлепного накрытия, причем
роль рода рпмановой поверхности играет число классов
идеалов. Формулируя в 1900 г. своп знаменитые пробле-
мы, Гильберт в качестве одной из проблем поставил
дальнейшее развитие арифметики числовых полей по ана-
логии с полями функций. Он отмечал, что решение постав-
ленных им вопросов дало бы возможность в свою очередь
существенно продвинуть теорию аналитических функций
многих переменных. Развитие математики XX в. пол-
ностью подтвердило прогнозы Гильберта: аналогия между
полями чисел и функций явилась одной из основных
пружин развития и теории чисел и алгебраической гео-
метрии.

Развитие алгебры не представляет исключения: такое
же взаимодействие различных направлений наблюдается
и в геометрии и в анализе. Например, в развитии теории
функций существенную роль играло взаимодействие двух
аспектов: алгебраического и топологического. Выделение
различных аспектов проблемы, которое обеспечивает воз-
можность взаимного обогащения идеями и методами,
и является, по-видимому, одним пз внутренних механиз-
мов, обеспечивающих плодотворное развитие теории.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ СИМОНА ЛЮИЛЬЕ

Е. С. Шатунова

Наряду с практическими успехами математический
анализ в течение XVIII в. прошел сложный путь усовер-
шенствования своих научных основ. В острых дискуссиях
была выяснена неудовлетворительность почти всех спосо-
бов обоснования, сколь бы авторитетными учеными они
ни выдвигались. Все более крепла уверенность в том,
что единственно пригодной основой анализа является
идея, заложенная в методе исчерпывания античных авто-
ров. К началу века эта идея появилась в несколько изме-
ненном виде в методе первых и последних отношений
Ньютона. В начале второй половины века у Даламбера
она уже приобрела очертания метода пределов. Одпако
и после появления работ Даламбера, которые были поме-
щены главным образом в «Энциклопедии» [1], проблема
рационального объяснения основных понятий и опера-
ций анализа оставалась нерешенной.

В 1784 г. Берлинская Академия наук, президентом
которой был в то время Лагранж, объявила конкурс,
в условиях которого говорилось: «Академия требует,
чтобы было объяснено, как из противоречивых предпосы-
лок вытекает так много правильных положений, и чтобы
были даны ясные и достоверные основные понятия, кото-
рые могли бы заменить бесконечность, не приводя к труд-
ным и длительным вычислениям» ([2], стр. 645).

Конкурсная комиссия под председательством Лагран-
жа (который сам, впрочем, держался иных взглядов
по этому вопросу) премировала сочинение «Элементар-
ное изложение принципов высших исчислений» [3], ав-
тором которого оказался Симон Люилье (Ь’НиШег,
1750-1840).

В истории математики имя швейцарца Люилье известно
сравнительно широко. Ему принадлежат работы по тео-
рии многоугольников и многогранников, по теории веро-
ятностей, по рядам показательных и круговых функций
и т. д. Он был членом-корреспондентом Берлинской,
Петербургской и Лондонской Академий наук.

Исследованию основ математического анализа Люилье
посвятил ряд работ, в которых настойчиво внедрял тео-
рию пределов. Анализ этой группы его сочинений пока-
зывает, что Люилье продвинулся в решении указанных
проблем дальше, чем это принято считать в историко-
математической литературе.

В 1780 г. был издан учебник геометрии для народных
школ Польши, представленный Люилье на конкурс учеб-
ников, объявленный комиссией по образованию [4].
В этом учебнике Люилье опирается па теорию пределов.
Изложение фактического материала главы «О квадратуре
круга или же о нахождении площади круга» он начинает
с леммы: «Всегда можно хотя бы мысленно поделить
какую-либо величину на столько равных частей, что каж-
дая из них в отдельности будет меньше, чем любая назна-
ченная величина» ([4], § 381). Назначенной Люилье назы-
вает данную (по пашей терминологии) величину. Далее
формулируется и доказывается теорема: «Около окруж-
ности можно описать и в нее вписать два таких правиль-
ных одноименных многоугольника, чтобы отношение их
периметров больше приближалось к отношению равен-
ства, чем любое другое назначенное отношение. Например,
в окружность можно вписать и около нее описать два
правильных подобных многоугольника, у которых разность
периметров была бы меньше 1/10 периметр а одного пз них»
(I4], § 382). В примечании автор говорит, что числовой
пример не умаляет ни точности, ни общности доказатель-
ства, так как рассуждения могут быть применены к любым
числам, и что числовой пример взят для более легкого
понимания вопроса учениками.
Затем рассматриваются два следствия из теоремы:

1. В окружность можно вписать и около нее описать
такие одноименные правильные многоугольники, что от-
ношение длины окружности к периметру одного из нпх
будет ближе к отношению равенства, чем любое назна-
ченное отношение.

2. Имея данный отрезок, прппимаемый равным длине
окружности, вписать в окружпость п описать около пео
многоугольники, разность между периметрами которых
п длиной окружности была бы меньше, чем даппый сколь
угодно малый отрезок.

Периметр правильного оппсаппого многоугольника прп
удвоепип числа сторон убывает, вписанного — возрастает,
длина окружности остается постоянной, разпость между
периметрами и любым из периметров и длиной окружности
может быть сделана меньше сколь угодно малой наперед
заданной величины а, следовательно, длина окружности
есть предел периметров правильных вписанного и описан-
ного многоугольников прп удвоении числа пх сторон.

Здесь и при решении других вопросов Люилье исполь-
зует предложение: если постоянная величина А заключе-
на между двумя монотонно изменяющимися переменны-
ми х и у А у) и разность между переменными
может быть сделана меньше любой заданной сколь угодно
малой величины, то постоянная является их общим пре-
делом, т. е. Пт х = Кт у = А. Это предложение позднее
применял также С. Е. Гурьев, а затем опо заняло прочное
место в учебной литературе. Д. Д. Мордухай-Болтовской
назвал его леммой Гурьева.

В учебнике алгебры [5] Люилье также пользуется
1 о

понятием предела. Разъясняя символы и 0 , оп пишет:
«Мне кажется, всякая трудность снимается, если ввести
идею предела» ([5], стр. 157). Понятие предела употребляет-
ся в главе о фигурных числах, при суммировании геоме-
трической прогрессии и т. д.

, Перейдем к рассмотрению конкурсной работы Люилье
по обоснованиям математического анализа [3].

I Первая глава работы — «Пределы переменных вели-
чин и отношений или первые принципы высших исчисле-
нип» начинается ‘с определении предела перемен но и вели
чипы и предела отношения. Предел переменной величины
Люплье определяет так: «Пусть переменная величина
всегда меньше или всегда больше некоторой данной
постоянной величины, по такая, что может отличаться
от последней меньше, чем па любую заданную величину,
эта постоянная величина называется пределом возраста-
ния пли убывания переменной величины» (I3], стр. 7)
и далее: «Пусть переменное отношение всегда меньше дан-
ного отношения, по может быть сделано больше некоторого
заданного отношения, меньшего, чем данное. Данное
отношение называют пределом возрастания переменного
отношения» ([3], стр. 7). Это несколько уточненная фор-
мулировка определения предела, данного Даламбером.
Уточнение здесь состоит в том, что Люилье четко указы-
вает на то, что предел есть величина постоянная.

В России подобное определение предела мы встречаем
значительно позднее у академика С. Е. Гурьева I6].
В отличие от Люплье, Гурьев включает в определение
утверждение, что переменная величина никогда не может
достигнуть своего предела. Рассмотрим теоремы о пре-
делах, данные Люилье.

Теорема 1. Если переменная величина всегда
больше или всегда меньше постоянной величины, по
может отличаться от нее меньше, чем от какой-нибудь
заданной величины, меньшей, чем опа, то отношение
равенства есть предел убывания или возрастания отно-
шения постоянной величины к величине переменно!!.

Теорема 2. Если две переменные величины имеют
пределы и находятся между собой в постоянном отношении,
то их пределы находятся в том же отношении.

Эта теорема есть не что иное, как основная теорема
метода исчерпывания древних.

Теорема 3. Если отношения двух переменных вели-
чин, имеющих пределы, к двум постоянным величинам
будут между собой равны, то будут равны и отношения
их пределов к тем же постоянным величинам.

Теорема 4. Если два переменных отношения
имеют пределы и всегда равны между собой, то отношения
их пределов также равны между собой.
Теорема 5. Предел сложного отношения некоторо-
го числа отношений, которые могут иметь пределы, равен
сложному отношению пределов их отношений (если
д * Д' В В' .. Д Д' .

1;п1 И 11П1 — , ТО 1Ш1 — = — ).

ши у с с с с •

Теорема 6. Если две переменные величины имеют
пределы, то предел отношения этих переменных равен
отношению их пределов.

Все теоремы доказываются отдельно для монотонно
убывающих и монотонно возрастающих величин.

У Даламбера применение метода пределов основыва-
лось всего на двух свойствах пределов:

1. Если две величины являются пределом одной и той
же величины, то они равны между собой.

2. Предел произведения величин А и В равен произве-
дению их пределов.

Параграф VII первой главы посвящен бесконечно
малым величинам, причем бесконечно малая определена
как переменная, «которая может быть сделана меньше,
чем любая заданная величина» ([3], стр. 22). Впрочем,
автор избегает пользования термином «бесконечно малая».

Доказав теоремы о сумме конечного числа бесконечно
малых слагаемых и сумме конечного числа и бесконечно
малой величины, Люилье нс рассмотрел других операций
пад бесконечно малыми. Поэтому бесконечно малые у него
еще пр становятся объектами исчисления, как у Коити.
Рассуждения Люилье о порядке малости бесконечно
малых близки к современным.

В 1795 г. вышел латинский перевод рассматриваемой
работы Люилье [7], содержащий многочисленные усо-
вершенствования.

Начинается I глава, как и в конкурсной работе [3],
с определения предела монотонно возрастающих и моно-
тонно убывающих величии.

В § 13 дается новое определение предела. Люилье
пишет: «Если переменное отношение может становиться
то больше, то меньше данного отношения, но изменяется
так, что может подойти к данному отношению ближе,
нем к пему подходит любое другое предложенное
отношение, большее или меньшее, чем первое данное
отношение, то данное отношение называется пределом пе-
ременного отношения. Здесь мы имеем дело с пределом как
возрастающего, так и убывающего отношения. То же
самое может иметь место в пределах переменных величии»
([’]. стр. 17).

В качестве примера рассматривается геометрическая
прогрессия 1 — р + р2 — р3 4- р4 — р5 + ... ± рп-1.

4 (_р\п

Сумма прогрессии - -----------в зависимости от п будет

1 -р р 1 р

1 1

то больше, то меньше 1 . Поэтому । не является

пределом монотонно изменяющейся величины. Но по-
скольку как излишек, так и недостаток, па который сумма
прогрессии отличается от своего предела дроби у—— ,
могут быть сделаны меньше любой заданной величины,
то дробь у у- - иа основании последнего определения
является пределом суммы заданной прогрессии.

Рассмотренное определение предела дает нам право
пе согласиться с Д. Д. Мордухай-Болтовскпм ([8], § 6),
К. Бойером ([9], стр. 255) и другими историками матема-
тики, которые утверждают, что Люилье рассматривал

только пределы монотонно изменяющихся величин.

Основой дифференциального исчисления Люилье счи-
тал производную, или, по его терминологии, дифферен-
циальное отношение, определяя его как предел отноше-
.. у Др Лр

ния приращении функции п аргумента 1ип — д— •
Дх->о ах

Монографии Люилье не приобрели широкого круга
читателей, но все же имели некоторое влияние на мате-
матиков конца XVIII и начала XIX в. Эти книги про-
двинули проблему обоснования математического анализа
на базе теории пределов. Последняя, несмотря на ее не-
развитость и недостатки, проистекающие главным обра-
зом пз отсутствия теории действительного числа и неал-
горитмпчности понятия предела ([10], стр. 40), к концу
XVIII 'в. стала приобретать признание. Актом такого
признания явилось, в частности, присуждение Люилье
премии Берлинской Академии паук.
Знаменитые лекции Коши, прочитанные им в Парижской
политехнической школе в 20-х гг. XIX в., ознамено-
вали новый этап в истории обоснования математического
анализа. Однако следует иметь в виду, что взгляды Коши
были выработаны с учетом опыта предшественников —
ученых XVIII в. В этом опыте работам Люилье принадле-
жит свое место.

ЛИТЕРАТУРА

1. Епсус1орёй1е оп ВйИоппайе гатзоппс йез зсхепсез, йез аг1з
е1 йез шёНегз, Ранз, 1751—1771.

2. М. С а п 1 о г, Уог1езнп^еп йЪег СезсЫсМе йог МакЬетаПк,
ВегИп, 1924, IV.

3. 8. Ь’ II и I Не г, ЕхрозШоп ё1ётсп1а1ге йез рпшйрез йез
са1си1з знрёпенгз, ВегПн, 1786.

4. 8. Ь.’НиН 1 е г, Сеотекпа Й1а зко! пагойомйсЬ, I, 1780.

5. 8. Ь’Н и 1 11 е г, Ё1ётеп1з тзоппёз й’а!^еЬге, С., 1804.

6. С. Е. Гурьев, Опыт о усовершепии элементов геометрии,
СПб, 1798.

7. 8. Ь’II и 11 1 е г, Рппшрюгат са1сн11 йШегепНаИз е! нИе^-
гаКз ехрозШо е1етап1апз, ТнЫп^ое, 1795.

8. Д. Д. Мордухап-Болто некой, Генезис и история
теории пределов.— Пзв. СКГУ, т. Ш(ХУ), 1928.

9. С. В. В о у е г, ТЬе сопсер! о! Ию са1зн1из, Мелу Тогк, 1949.

10. К. А. Рыбников, История математики, II, 1963.
О РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОТ ЭЙЛЕРА ДО ПЕАНО

7Г. И. Симонов

В исторпко-математической литературе нередко при-
ходится встречаться с мнением, что в области обыкновен-
ных дифференциальных уравнений прежде всего сформи-
ровалась теория линейных уравнений. Это не так. Выделе-
ние класса линейных уравнений потребовало значительного
времени и большой проницательности самых выдаю-
щихся геометров XVIII в. Полтора десятка лет отделяет
основополагающий мемуар Эйлера о линейных уравнениях
от его первой работы по дифференциальным уравнени-
ям I1]. Отражение этого можно видеть почти во всех
современных руководствах: изложению теории линейных
уравнений, как правило, предшествует рассмотрение част-
ных классов нелинейных уравнений. Аналогичным было
положение и в XIX в. Теория линейных уравнений и
систем таких уравнений получила известное завершение
лишь в последней четверти этого столетия. Характерной
чертой ее развития в этот период явилось следование
идеям линейной алгебры.

Основания алгебраического подхода были изложены еще
в трудах Эйлера, Даламбера и Лагранжа, где отчетливо
выяснилась роль характеристических уравнений.

Источники теории, лежащие в сфере математического
естествознания XVIII в., достаточно очевидны. В связи
с нуждами астрономических и гравиметрических наблю-
дений возникает необходимость в аналитической теории
математического и физического маятников, развивающей
результаты Гюйгенса. И если в XVIII в. вопрос ограни-
чивался изохронным движением одной точки, то теперь
требовалось изучение систем из конечного числа мате-
риальных точек. Отсюда берут начало и первые исследо-
вания систем с бесконечным числом степеней свободы.

Исследования Эйлера в области линейных уравнений
охватываются в основном четырьмя циклами его работ.
Во-первых, это решения множества линейных задач меха-
ники и физики, найденные во второй четверти XVIII в.
(колебания сложных маятников, тяжелой нити, распро-
странение колебаний в упругой среде, приливы и отливы
моря и др.). Здесь Эйлер приходит к методам интегриро-
вания не только отдельных линейных уравнений, но и
линейных систем с постоянными коэффициентами. Второй
цикл составляют работы об уравнениях с переменными
коэффициентами, выполненные до 1747 г. Третий цикл
образуют специальные работы о линейных уравнениях
высшего порядка с постоянными коэффициентами. Имеют-
ся в виду основополагающие мемуары 1743 [2] и 1750—
1751 [3] гг. В четвертую группу входят позднейшие рабо-
ты Эйлера вплоть до работ о сопряженных уравнениях,
явившихся также предметом изучения Лагранжа. В работе
1738 г. I4] рассматривается весьма интересное уравнение
второго порядка, заключающее как частные случаи урав-
нения специальных фупкций:

(а 4- Ьхп) х'(Ри 4- (г 4- /хп) х йи йх 4- 4- кхп) и йх2 0, (1)

где а, Ь, с, кя п — постоянные. При а — 1, Ъ = — 1,
с = 0, / = — 2, # = 0, п = 2 возникает уравнение
Лежандра с параметром к\ при соответствующих других
значениях коэффициентов получаются уравнения Чебы-
шева, уравнения Чебышева — Эрмита, гипергеометриче-
ское уравнение, уравнение цилиндрических функций.
При выяснении условий обрыва степенных рядов, дающих
решение уравнения (1), Эйлер приходит к соотношению

А = — }к — Ък(к—1). (2)

Можно показать, что в этой формуле содержатся одно-
временно спектры решений краевых задач для указанных
уравнений первых трех типов. Напомним, что при приме-
нении метода обрыва рядов в современной теории воз-
можность общего соотношения (2) пе учитывается. Для
исследования того же уравнения Эйлер предложил п дру-
гой метод, который можно назвать «методом канонических
преобразований». В. Г. Имшенецкпй в 1882 г. распро-
странил этот метод на линейные уравнения высшего по-
рядка I5].

Далее отметим некоторые общие теоремы Эйлера: если

Ь 1Г I II Л/ I

М п IV — частные интегралы уравнения —т + Р +

(^у = 0, причем отношение Л1 : IV не сводится к по-
стоянному, то у = аМ + рТУ будет полным интегралом
этого уравнения; если V — интеграл однородного урав-
нения, то полный интеграл уравнения +(?*/=

= X (х) имеет вид

е-8Рйх . ер. \

у = р\\———Ду ах I ах.

В работе о распространении колебаипи в упругой
среде Эйлер распространил свой метод характеристическо-
го уравнения па системы частного вида с постоянными ко-
эффициентами I6]. Большая общность этого результа-
та по сравнению с известным методом Даламбера совер-
шенно очевидна.

Непосредственным преемником Эйлера в теории диф-
ференциальных уравнений и, в частности, лппейпых был
Лагранж. Вопросам решения линейных систем посвящена
значительная часть мемуара «Решение различных про-
блем интегрального исчисления» I7]. Здесь дается общий
прием понижения порядка линейного уравнения с пере-
менными коэффициентами, основанный на обобщении
(для случая системы) определения сопряженного урав-
нения. Для систем с постоянными коэффициентами метод
Лагранжа сразу приводит к характеристическому урав-
нению. При рассмотрении здесь же задач динамики, при-
водящих к системам дифференциальных уравнений, Ла-
гранж в точности следует указанной выше работе Эйлера,
а не методу множителей Даламбера. Здесь же содержит-
ся общая теорема Лагранжа; если известно р частных
решений линейного однородного уравнения ш-го поряд-
ка, то полная интеграция этого уравнения осуществляет-
ся с помощью решения линейного уравнения порядка
т — р. Обобщениями этого результата явились теоремы
Либри и Брассине I8], стр. 343.

Проследим дальнейшую историю вопроса о построении
общего интеграла Линейных уравнений высшего порядка.
Понятие известного функционального определителя было
введено Вронским в 1821. г. Однако самому Вронскому
удалось выяснить лишь обращение вронскиана в нуль
для любой системы линейно зависимых функций.
Значительно сложнее оказался вопрос о критерии
линейной независимости произвольной системы функций.
Его решение было получено Дж. Пеано в самом конце
XIX в. I9].

Известная сложность была связана с проблемой суще-
ствования и единственности решения задачи Коши. В этой
связи особый интерес представляет трактовка этого во-
проса для линейного уравнения т-го порядка в курсе
анализа Штурма. Сначала отмечается, что условие, при
котором решение, заключающее т постоянных, будет
общим интегралом, состоит в том, что «постоянные должны
быть различными» 14, стр. 84. Ответ па вопрос о крите-
рии различия частных решений показывает, что уже
в этот период формировались основы современного опре-
деления общего решения. На топ же странице указывает-
ся: «Для того, чтобы быть уверенным, что постоянные
различны, достаточно выяснить: можно ли их определить
так, чтобы у п ее т — 1 первых производных получили
какие-либо заданные значения 6, Ь', ..., Далее

X
— Р1 (X)
отметим, что известная формула П' (х) = Се х° для
уравнения у" + рру' + р*у 0 была получена уже Абе-
лем [10], и несколько позже Остроградским и Лиувил-
лем (1938). В работах Фробениуса I11] отчетливо выра-
жено стремление следовать идеям алгебры: частные инте-
гралы он стремится представить в виде отношения некото-
рых функциональных определителей (по аналогии с фор
мулами Крамера). Термин фундаментальная система был
0 РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 337
введен в 1806 г. Фуксом, как и термин сопряженное
уравнение.

Плодотворной оказалась идея введения линейных сим-
волических дифференциальных операторов, обычно связы-
ваемая с именем Бриссона (1808 г.). Ее истоки восходят
к Лейбницу, не говоря уже об Эйлере.

Совершенствование теории систем линейных уравнений
происходило довольно медленно. Трудности, возникшие
при применении метода Эйлера, удал ос I, преодолеть лишь
в последней трети XIX в. Успех и здесь был достигнут
па пути применения алгебраических методов. Основы
современной теории линейных систем были даны Всйер-
штрассом, Жорданом и Эрмитом. Было показано, что
приведение системы к виду, допускающему последователь-
ное решение, определяется свойствами элементарных
делителей X-матрицы.

Принципиальное значение для всей теории дифферен-
циальных уравнений (не только линейных!) имела неболь-
шая работа Пеано 1887 г. I12]. Она интересна в различных
аспектах. Обоснование метода последовательных прибли-
жений для линейных систем с непрерывными коэффи-
циентами явилось существенным шагом к более общему
результату - известной теореме Пеано о существовании
решения (по крайней мере одного) для уравнения
у' = / (х, у) в предположении лишь непрерывности правой
части. Во-вторых, обоснование сходимости итерационного
процесса раскрывало большие возможности для развития
приближенных методов решения. В-третьих, эта работа
важна для истории функционального анализа: фактиче-
ски основные построения здесь проводятся в линейных
метрических пространствах, определяемых, по сути дела,
в той же работе. Введение «числовых комплексов и-порядка»
и операций над этими числовыми комплексами, соответ-
ствующих действиям над матрицами пз коэффициентов,
позволяет Пеано записать исходную систему в векторной
форме Ах/сН = Их. Для этого векторного уравнения и дока-
зывается сходимость процесса последовательных при-
ближений.

В заключение отметим, что уже в первой половине
XIX в. в теории линейных уравнений начинает интенсивно
22 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
развиваться новое большое направление — теория краевых
задач. Ойо было обусловлено математической физикой
в связи с решением граничных задач для гиперболиче-
ских, параболических и эллиптических уравнений.
Существенное значение здесь имели исследования
Ж. Лиувилля [13]пШ. Штурма I14]. Дальнейшие резуль-
таты связаны с именами Якоби, Чебышева, Робена,
Стеклова и многих других. История этого направления
является большой самостоятельной темой. Оно явилось
также одним из существенных источников функциональ-
ного анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ь. Еи1сп, Орсга опнйа, бег. 1, у. 22, 1лрз1ае, 1936,
стр. 87.

2. 1 а м ж с, стр. 108—149.

3. 1\тоу1 Сотт. ас. 5С. РегЬгор. 3 (1750 51) (1753), стр. 3—35.

4. Сотт. ап. зс. Ре1гор. 10 (1738) (1747), стр. 40—55.

5. В. Г. II м ш с и е ц к и й, Распространение на линейные
уравнения способа Эйлера.

6. \оу1 Сотт. ас. зс. Ре1гор. 1 (1747/48) (1750), стр. 67—105.

7. Мьчсс1. Танпп. 3 (1762/65), 1766.

8. СЬ. 8 I и г т, Соигз (Г а па! узе с!е ГЕсок' Ро1у111., Ранз,
I. 2, 4 ес!., 1873.

9. КенсйсопН Асаск Ыпсе1 (5), 6 (1897).

10. Ьшгп. Гиг МаЫ1. 2 (1827), 22.

11. .Гонги. Гиг МаИ1. 77, 2 и. 3, (1874).

12. Ма111. Апп. 32 (1888), 450—456.

13. .Гоигп. с!е Ма111. риг. е1 арр1. 1 (1836), 33—74.

14. Т а м ж е, стр. 106—146.
ДАЛАМБЕР И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Л. Е. М аист ров

Имя Ж. Даламбера (1717—1783) в литературе по тео-
рии вероятностей встречается только с целью иллюстрации
того, что даже очень крупные математики ошибались
иногда при решении самых элементарных вероятностных
задач. Приведем пример: «Монета бросается два раза.
Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится
герб? Даламбер по поводу этой задачи рассуждал сле-
дующим образом: герб появится либо при первом броса-
нии, либо при втором, либо совсем не появится. Всех слу-
чаев три, из них благоприятствуют ожидаемому событию
два, следовательно, искомая вероятность равна 2/3» (I1],
стр. 35—36). Даламбер здесьпе различает равповозмож-
иые и перавповозможные случаи. Эта ошибка Даламбера
приводится в литературе очень часто. Э. Кольмаи объяс-
нял ее происхождение тем, что основные идеи теории веро-
ятностей не свойственны математике, и поэтому математи-
ки, в частности Даламбер, допускали самые элементар-
ные ошибки ([2], стр. 230). Другие авторы вообще пе
касаются причин такой ошибки.

Среди богатого научного наследства Даламбера имеет-
ся целый ряд работ по теории вероятностей. Этих вопро-
сов он касается также во многих письмах.

Даламбер вместе с Д. Дидро начал с 1751 г. издавать
и редактировать знаменитую «Энциклопедию». После выхо-
да 7-го тома в 1757 г. Даламбер отошел от «Энциклопе-
дии». По в семи томах он поместил много статей по мате-
матике, философии, литературе и другим вопросам. Его
22*
введение. в «Энциклопедию» было выдающимся произве
деннем. Для «Энциклопедии» Даламбер написал ряд
статей, относящихся и к теории вероятностей. Первой
по времени была статья «Герб и решетка» (I3], стр. 512—
513). Именно здесь решается задача, аналогичная той,
которую сейчас так часто вспоминают. Даламбер ищет
шанс получить два раза герб при двух бросаниях монеты.
Оп считает, что следует учитывать три случая. Если в пер-
вом броске выпадает решетка, то делать второй бросок
пе имеет смысла, так как два раза герб выпасть уже нс
может — это, по Даламберу, первый случай. Второй слу-
чай состоит в получении герба в первом броске и решетки
во втором. Третий — в получении герба при обоих бро-
сках (+, +). Поэтому, по Даламберу, искомый шанс
равен 1/3. Даламбер пе придает значения тому, что ука
заипыо им три случая пе являются равповозможными.
Как легко видеть, здесь будут четыре равновозможпых
случая: ( + , +), (+, —), (—, +), (—, —), и пскомая
вероятность равна 1/4.

В этой же статье Даламбер ищет вероятность того,
что при трех бросаниях монеты герб выпадет по край-
ней мере один раз. Вместо 8 равповозможпых случаев
(+, +, +), (+, +, -), (+, +). (-, +, +). (+, -).
(—, +, —), (—, —, +), (—, —, —), из которых нашему
событию благоприятны 7, так что пскомая вероятность
равна 7/8, Даламбер составляет следующую табличку:
(+), ( +), (—, —, +), (—, —, —). Оп считает, что

после того, как при первом или втором броске появится
герб, остальные броски делать пе следует. Не придавая
значения тому, что эти четыре случая пе равновозможны,
Даламбер считает, что искомая вероятность равна 3/4,
а пе 7/8.

Кроме «Герба и решетки», Даламбером были написаны
статьи «Выгода», «Бассет» и «Плитка» (азартные игры),
«Кость», «Лотерея», «Пари», «Карты», «Отсутствующий»
(в этой статье речь идет о том, через сколько лет безвестно
отсутствующий должен считаться умершим) и другие,
относящиеся к теории вероятностей. Пз них видно, что
Даламбер знал все основные труды по теории вероятностей
от Кардано до Д. Бернулли.
Во втором томе «Математических произведений» Далам-
1е])а помещена работа «Размышления о теории вероятно
• гей» [41- Вначале дается определение математического
(якнДания (м. о. Л - т^Дг), ио поводу которого говорит-
ся что хотя оно принято всеми математиками, все же
имеются случаи, когда оно оказывается несостоятельным.
В первую очередь это относится к «Петербургской зада-
че». Зта задача состоит в следующем. В игре участвуют
^Ва липа А и В. В бросает монету, если выпадает герб,
то В платит А одну монету и игра кончается, а если выпа-
дает репгка, то монету бросают второй раз. В случае появ-
ления при втором испытании герба В платпт А две моне-
ты и игра прекращается, а если выпадет решка, то игра
продолжается, причем с каждым новым испытанием сумма,
которую В платит .4, удваивается. Чтобы игра была без-
ооидна, А должен для участия в пей заплатить В неко-
торую сумму. Требуется определить сумму предваритель-
ною взноса.

В безобидной игре эта сумма должна быть равна м. о.
выигрыша. Как легко подсчитать, м. о. выигрыша равно
1111

!•—-}-2- ,- + 4» + 8--^г +...= оо. В этом состоит

парадокс, так как нельзя вступить в игру, предварительно
сделав бесконечный взнос. «Неограниченная сумма яв
ляется химерой»,— пишет Даламбер ([4], стр. 2). В резуль-
тате Даламбер приходит к выводу, что само понятие мате-
матического ожидания несостоятельно.

За основу своего решения Даламбер принял совер-
шенно произвольные положения. Оп считал, что если герб
выла г при первом бросании, то для этого были какие-то
особые причины, поэтому шанс, что выпадет герб при
втором бросании, будет ио 1/2, а (1+а)/2. Если герб выпал
при нервом и втором бросании, то шанс на его появление
при третьем бросании будет (1 -|-а + р)/2 и т. д. а, р, ...—
положите 1Ы1ыс величины, причем их сумма меньше
единицы.

Даламбер значительно позже, в другой работе, излага-
ет' также это решение [5].

В «Размышлении о теории вероятностей» говорится
также о необходимости делать различие между мета-
физически возможным и физически невозможным. Для
разъяснения этих понятий Даламбер приводит следующий
пример. Метафизически возможно получить 100 раз под-
ряд 6 очков при бросании игральной кости, но физически
это невозможно. Это является для Даламбера подтвержде-
нием того, что очень малая вероятность должна считать-
ся равной нулю. Затем, возвращаясь к задаче, которую
он решал в статье «Герб и решетка», Даламбер опять
не различает равновозможпые и перавповозможпые
случаи.

В конце работы он пишет: «Из всех этих рассуждении
заключаем: 1) что если правило, которое я дал в «Энцикло-
педии» (пе зная лучшего) для определения отношения
вероятностей при игре в герб и решетку, пе является
строго точным, то общепринятое правило для определения
этого отношения является еще менее точным, 2) что для
того, чтобы прийти к удовлетворительной теории вычи-
сления вероятностей, нужно решить несколько задач,
которые являются, может быть, неразрешимыми, а имен
по: установить истинное отношение вероятностей в слу-
чаях, не являющихся равповозможпыми..., определить,
когда вероятность должна рассматриваться как несуще-
ствующая» ([4], стр. 24).

Несмотря на свое негативное отношение к теории
вероятностей, Даламбер поставил важные вопросы. Как
определить вероятность, когда нет равновозможных слу-
чаев? И хотя на этот вопрос, по существу, имелся ответ
уже у Я. Бернулли, ои ставился и обсуждался неоднократ-
но вплоть до XX в. Какой вероятностью можно прене-
брегать и что это означает? Этот вопрос также обсуждал-
ся в пауке неоднократно.

В том же втором томе содержится работа Даламбера
«О применении теории вероятностей к оспопрививанию» [6].
В одной пз своих работ Д. Бернулли высказался за оспо-
прививание, установив, что оно увеличивает среднюю
продолжительность жизни на 3—4 года. Даламбер высту-
пает с критикой этой работы Д. Бернулли. По мнению
Даламбера, Д. Бернулли рассматривает оспопрививание
с точки зрения государства п доказывает, что оно являет-
ся желательным, так как оно увеличивает среднюю про-
дол/кптельиость жизни. Даламбер же рассматривает во-
прос с точки зрения отдельного индивидуума и считает,
что выгода выиграть четыре года в вероятной продолжи-
тельности жизни может рассматриваться им как не оку-
пающая непосредственной опасности от прививки.

Даламбер обращает внимание на существование двух
различных способов оценки продолжительности жизни
для лиц данного возраста. Первая оценка — средняя про-
должительность жизни; вторая — вероятная продолжи-
тельность жизни — это такая продолжительность жизни,
которая имеет равные шансы как быть недостигну-
той так и быть превзойденной. Даламбер совсем пе пред-
лагает разграничивать эти понятия. Оп считает, что
каждое из них может служить для определения ожидае-
мой продолжительности жизни, и именно это соображе-
ние он выдвигает против теории вероятностей, указывая,
что она дает два ответа па один и тот же вопрос.

К вопросам теории вероятностей Даламбер обращается
позже в работах «Сомнения и вопросы относительно тео-
рии вероятностей» и «Размышления об оспопривива-
нии» [71. В этих работах он повторяет свои доводы против
теории вероятностей.

Вопросов теории вероятностей Даламбер касается во
многих письмах, всегда не доверяя ее основным поло-
жениям.

Работы Даламбера говорят о том, что он всегда оставал-
ся на позиции отрицания основных принципов теории
вероятностей. Поэтому ошибки, которые он допускал
при решении отдельных задач, не были случайными,
а вытекали из его отрицания теории вероятностей как
науки.

Очень интересно замечание Л. Эйлера относительно
позиции Даламбера. Рассказав содержание одной задачи
п поставив ряд вопросов, Эйлер в работе «Решение неко-
торых более трудных вопросов теории вероятностей» [8]
пишет: «Я намереваюсь решить эти трудные вопросы
на основании уже давно известных принципов «исчисле-
ния вероятностей». И меня но останавливают возраже-
ния знаменитого Даламбера, который пытался сделать
сомнительным это исчисление. После того как великий
математик оставил математические занятия,представляется,
что ои даже объявил им воину, так как оп приступил
к разрушению многих наиболее твердо установленных
основных положений. Хотя эти возражения должно
быть имеют большое значение для незнающих, однако
нечего бояться, что они принесут какой-нибудь ущерб
науке» ([8], стр. 408).

Против основных принципов теории вероятностей
выступал не только Даламбер. Вся история этой пауки
наполнена борьбой за становление ее как равноправной
математической дисциплины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. П. Боев, Теория вероятностей, М.— Л., Гостехиздат
1950.

2. Э. Кол ь м а и, Предмет и метод современной математики,
М., 1936.

3. Сго1Х ои рПс, ЕпсусДоресйе, т. 4, Ранз, 1754.

4. ЕёГ1ёх1опя зиг 1е са1си1 Дез РгоЪаЪПНез, в кн.: Б’А 1 е т-
Ь е г I, Оризси1ез таЩёшаНциея, т. 2, Раня, 1761.

5. Биг 1е са1си1 (1ез РгоЬаЬПИёз, в кн.: 1)’А 1 е т Ь е г I, Ориз-
си1ез таЩетаИоиея, т. 7, Раня, 1780.

6. Биг ГаррнсаБои Ди са1си1 (1ез РгоЬаЬПИез а ПпосиШшп
с1е 1а рсЩе \ ёго1е, в кн. [4].

7. ОоиЬез е1 (^исзПоиз зиг 1с са1си! без РгоЬаЬППёз; НёПех^опз
зиг 1’пюси1аНоп, в кп. П’А 1 е т Ь е г I, Оеиугез сотр1ё1ез, т. 1,
Ранз, 1821.

8. 8о1иПо циагинДат циае.зЦопит (ШйсЩогит 1н са!си1о рго-
ЬаЫНит (впервые опубликована в 1785 г.), в кн.: Ь. Е и 1 е г,
Орега опина, 1, 7, 1923.
к ОЦЕНКЕ В РОССИИ НАУЧНЫХ ЗАСЛУГ
К.-Г. Я. ЯКОБП

ТО. ЯГ. Гайдук

В работе [1] вопрос об отношении в России к научным
идеям и заслугам К.-Г. Я. Якоби получил хотя и доволь-
но полное, но все же не исчерпывающее освещение. Рас-
полагая сейчас некоторыми добавочными материалами,
мы можем несколько дополнить нарисованную там кар-
тину. Вместе с тем мы хотим исправить искаженные
в определенных моментах характеристики К. Якоби как
гражданина — характеристики, данные некоторыми преж-
ними его биографами.

Напомним, что первым актом официального призна-
ния в России научных заслуг К. Якоби, последовавшим
за его фундаментальными открытиями ученого в теории
эллиптических функции, явилось избрание германского
ученого в 1830 г. членом-корреспондентом Петербургской
\ка 1емии паук (корреспондентом Берлинской Академии
он был избран всего за год до этого). Новые выдающиеся
успехи, достигнутые вскоре Якоби в дальнейшей разработ-
ке теории эллиптических и абелевых функций, принесли
ему звание почетного члена нашей Академии (1833 г.).
Якоби в то время пе было и 30 лет.

Чем объясняется столь быстрое признание полномочны-
ми представителями русской пауки значения научной
деятельности тогда еще молодого германского математика?

Есть основания считать, что К. Якоби произвел впечат-
ление на русских академиков пе только силоб п плодо-
витостью своего таланта, но и тем, что проблематикой
и стилем своих исследовании этот аналитик живо воскре-
шал в памяти образ Л. Эйлера — этого доброго матема-
тического гения нашей академии, идейное наследие кото-
рого тогда — да и много лет спустя — еще далеко не было
исчерпано.

К. Якоби с чувством большой ответственности отнесся
к присвоению ему русских академических званий и стал
подлинным и деятельным другом нашей науки. Посредни
ком в его связях с Россией служил главным образом его
брат — известный физик Б. С. Якоби, с 1837 г. состояв-
ший действительным членом Петербургской Академии
наук [2].

В центре внимания К. Якоби к русским математиче-
ским делам находились личность и творчество М. В. Остро-
градского. Интерес этот был взаимным. Он особенно сти-
мулировался близостью творческих путей этих двух
ученых — в частности в таких областях, как аналитиче-
ская и небесная механика, анализ, теория чисел. Плодо-
творное для развития пауки соревнование обоих ученых
в вопросе интегрирования уравнений динамики в свое
время проанализировал А. М. Ляпунов.

Существовал также научный контакт между К. Якоби
и нашим знаменитым астрономом В. Я. Струве. Побуждае-
мый последним, Якоби, между прочим, критически рас-
смотрел работы дерптского астронома Мадлера и показал
необоснованность выдвинутой тСхМ — и тогда очень нашу-
мевшей — теории «центрального Солнца» системы всех
видимых звезд.

Большую помощь в развитии пашей математической
культуры К. Якоби оказал как научный руководитель
ряда молодых русских математиков, совершенствовавших-
ся в Кёнигсберге и Берлине. Это были ученики Остро-
градского И. Д. Соколов, А. Н. Тихомандрпцкий,
М. Ф. Спасский, Е. И. Бейер.

К. Якоби участвовал в работе Петербургской Академии
наук, направленной к полному выявлению, опубликова-
нию и изучению огромного паучпого наследия Л. Эйлера.
Результаты этой важной работы подытожены в изданном
томе переписки между К. Якоби и непременным секре-
тарем Петербургской Академии П. Фуссом [3].
Остановимся на той оценке, которую нашла его дея-
тельность на страницах петербургского «Современника»
в 1846 г. Редактором-издателем этого журнала был тогда
|[. Д. Плетнев — профессор Петербургского университета,
п журнал в какой-то мере отражал настроения нашего
«профессорского сословия» того времени.

Оценка, о которой идет речь, дана в статье [4], поме-
щенной в т. 43 журнала (стр. 269—278). Статья опублико-
вана без подписи автора, но с замечанием, что опа «пани-
сана пз Парижа». Начало статьи посвящено обзору чтений
в Парижской Академии наук «в конце учебного года»,
причем наибольшее внимание уделено наблюдениям Ле-
веррье за движением Урана и его гипотезе о существова-
нии «трансурановой» планеты.

Главное содержание статьи относится к К. Якоби —
«знаменитому прусскому геометру», тогда только что
избранному в иностранные члены Парижской Ккадемии
наук. Анонимный автор расценивает это избрание как
«самое значительное событие, случившееся в ученом мире
в последние три месяца», и поясняет, что «титул ино-
странного члена (Парижской Академии наук.—10. Г.) -
самая высокая награда, которую только можно оказать
ученому за все блестящие открытия в науках» (уже в силу
того правила, что число таких членов по всем отраслям
естественных наук не должно было превышать восьми.—
10. Г.). После исторической справки о носителях данного
звания в статье обращается внимание па то, что в настоя
щи и момент целых 6 мест иностранных членов принадле-
жит «германцам». «Пе останавливаясь на отыскании
причины этого факта,— говорится при этом,— мы не мо-
жем, одиако ж, обойтись без приглашения ученых других
народов удвоить усилия для получения венков, которые
не должны же быть исключительною принадлежностью
Германии».

В другом замечании в статье (по поводу национальной
принадлежности Якоби) затронут вопрос о роли евреев
в новейшем развитии научных званий и искусств. «Это
пробуждение парода, который так много способствовал
и средние века распространению между христианами
познаний востока, предсказывает много доброго. Плод
преимущественно философии, это новое возникновение
нации, несправедливо отверженной, есть явное следствие
терпимости п свободы мысли».

После этих общих соображений в статье популярно
характеризуются научные заслуги К. Якоби в теории
эллиптических функций, причем отмечается, что «он с пре-
восходным успехом занимался всеми частями математи-
ческого анализа». Сочувственно упоминаются и былые
увлечения К. Якоби классической фнлологней.

В конце статьи рассказывается о судьбе Абеля и его
открытий, так тесно переплетавшихся с трудами К. Якоби.

Имеющиеся в статье «астрономические» отступления
от главной темы (в том числе довольно специальные, вроде
замечания относительно плохого качества перевода с ла-
тинского па французский сочинения Фабрициуса о сол-
нечных пятнах) позволяют предполагать, что автором се
был скорее астропом, чем математик. Им мог быть, напри-
мер, профессор Петербургского университета А. II. Савич
(близкий ученик В. Я. Струве), в те годы сотрудничав-
ший в «Современнике». Возможно, что статья была ин-
спирирована или одобрена В. Я. Струве (ср. сделан-
ное выше замечание об отношениях между К. Якоби и
Струве).

Статья в «Современнике» любопытна пе только как
свидетельство заинтересованности образованного русско-
го общества той эпохи личностью и деятельностью
К. Якоби, по и довольно смело выраженными в пей — в
нору николаевской реакции — либеральными тенденция-
ми (пе из-за них ли статья не была подписана именем
автора?).

Обратимся ко второй теме нашего сообщения. Речь
идет об общественно-политической позиции К. Якоби
и его «русского брата» (Б. С. Якоби), особенно в период
революционных событий 1848 г. в Германии. Вопросу это-
му, обойденному по понятным причинам молчанием в пер-
вой биографии К. Якоби, составленной его другом и поли-
тическим единомышленником Л. Дирихле, посвящена
специальная брошюра В. Аренса Р1 и ряд страниц
в обширной биографии К. Якоби, написанной Л. Кепнг-
сбергером Р]. По наиболее падежным источником ио этому
^опросу может служить переписка братьев Якоби за
соответствующий период^Р1.

факты таковы. Еще в бытность в Кенигсберге (перевод
его в Берлин состоялся в конце 1844 г.) К. Якоби сбли-
зился — «город чистого разума» слыл тогда колыбелью
германской свободы — с либеральными и демократиче-
скими кружками и завязал дружеские отношения с одним
из руководителей последних — своим однофамильцем *)
Иоганном Якоби (1805—1877). О последнем имеется много
упоминаний в сочинениях К. Маркса и Ф. Энгельса, где
он характеризуется как «буржуазный радикал». В 1849 г.,
будучи избран депутатом второй палаты Прусского нацио-
нального собрания, И. Якоби принадлежал там к край-
нему левому крылу [7].

В разгар мартовских событий 1848 г. К. Якоби стано-
вится членом оппозиционного Конституционного клуба
н соглашается па то, чтобы последним была выставлена
его кандидатура в члены Прусского национального собра-
ния. Произнесенная К. Якоби при этом яркая речь про-
извела на слушателей, по многочисленным свидетельст-
вам, огромное впечатление и нашла широкую огласку
в газетах. Дело получило, однако, неожиданный оборот:
руководители клуба, напуганные, видимо, радикализмом
К. Якоби (который, между прочим, сказал, что, хотя он
и выступает за конституционную монархию, его не пугает
и перспектива республики), посеяли сомнения в искрен-
ности оратора н в его политическом прошлом. Несколько
бурных собрании клуба было посвящено обсуждению
«дела Якоби», прежде чем тот, незначительным большин-
ством, был оправдан в предъявленных ему обвинениях.
(Вопрос о выдвижении его кандидатуры в депутаты при
этом все же отпал.) После этого К. Якоби перешел в «Союз
народных прав», где был избран председателем.

Противоположную, воипствующе-реакцпонную пози-
цию занимал тогда Б. С. Якоби, который настойчиво стре-
мился в соответствующем духе повлиять па К. Якоби,
убеждая его примкнуть к «правому центру». Между братья-

*) Имеется, правда, небольшое различие в транскрипции фами-
лий: С. 1асоЫ и I. 1асоЬу. Тем по менее этих двух Якоби в то время
часто смешивали.
ми завязалась полемика, свидетельствующая о том, что
К. Якоби, вопреки всему, сохранил верность своим демо-
кратическим убеждениям. Так, в письме от 21.1 1849 г.
оп писал: «Что бы ты ни говорил..., я нахожу все же
у трудящихся классов столько здорового и трезвого
смысла, а у имущих — такую глубокую испорченность,
что считаю желательным произвести за счет первых осве-
жение последних».

Победившая в Пруссии реакция отомстила ученому
за его демократическую позицию в дин революции. Его
служебный оклад был урезан на 2/3 и была сделана попыт-
ка заставить К. Якоби перевестись из Берлинского уни-
верситета назад в Кёнигсбергский. Лишь угроза ученого
принять приглантенне в один из австрийских университе-
тов и вмешательство А. Гумбольдта позволили сорвать
эти планы реакции. По перенесенные гонения тяжело
отразились на состоянии здоровья К. Якоби и, вероятно,
приблизили его безвременную кончину в 1851 г.

Нужно заметить, что В. Аренс I2], I5] стремился при-
тупить остроту демократических высказываний К. Якоби
и представить его политическую деятельность как своего
рода «случайность». С такого рода оценкой согласиться
невозможно. II мировоззрение К. Якоби, ясно понимав-
шего значение социальных условии для прогресса науки,
п его темперамент необходимо должны были привести
его в стан участников революции. Добавим, что за ним
последовал в этом и ряд его учеников.

Л. Кенигсбергец [с], напротив, затушевывал реак-
ционную позицию, занятую по отношению к революции
1848 г. в Германии Б. С. Якоби. Обходится молчанием
эта позиция и в работе М. И. Радовского [8].

Как же отразилась политическая активность К. Якоби
в 1848—1849 гг. на его взаимоотношениях с Петербург-
ской Академией наук?

На первый взгляд может показаться, что ничто не
изменилось: как раз в эти годы К. Якоби интенсивно со-
трудничал с нашей Академией наук в деле «воскрешения»
научного наследия Эйлера, переписываясь по этому
вопросу пе только со своим петербургским братом, но
и с II. Н. Фуссом и с министром народного просвещения
С. С. Уваровым. Имя германского математика с неизмен-
ным высоким уважением упоминалось в нашей печати
тех и последующих лет.

С другой стороны, однако, бросается в глаза то обстоя-
тельство, что когда К. Якоби грозила потеря профессуры
в Берлине и он зондировал почву на предмет получения
таковой за пределами Пруссии, царское правительство
не пригласило его в Россию. На пять лот запоздало и
опубликование в России (1857) некролога К. Якоби, напи-
санного Л. Дирихле в 1852 г. Не было ли это реакцией
царских властей на дошедшие до них вести о политической
деятельности «красненького», по выражению А. Гумбольд-
та, германского ученого.

ЛИТЕРАТУРА

1. 10. М. Г а й д у к, Карл Густав Якоб Якоби в его связях с
русскими математиками. —Историко-матем. исследования, вы и. XII,
1959.

2. ВпсКуесЬне! 7ау. С.-С. I. I а с о Ь 1 и. М. II. I а с о Ы,
ИегаияцереЬеп топ XV. АЬгепз, Тхчргщ, 1907.

3. ВпеЬуесйзе! 7ау. С.-Ст. I. 1 асоЫ и. Р. II. уоп Г и 8 8...,
Пегаиз^едеЬеп уоп Р. 81аске1 и. XV. АЪгепз., Бетр/щ, 1908.

4. Парижская Академия наук и прусский геометр Якоби.—
«Современник», т. 43, СПб., 1846 (стр. 269—278).

5. XV. А 1) г е п з, С. 1асоЫ а!з РоПНкег, Гхлргщ, 1907.

6. Еео Ко111$зЬсг$ег, Саг! Сиз1ау 1асоЬ 1асо1л, Ье1р-
215, 1904.

7. К. М а р к с, Ф. Энгель с, Сочинения, т. 5, т. 12, т. 13,
Москва.

8. М. II. Р а д о в с к и й, Борис Семенович Якоби, Москва,
1953.
О РАЗВИТИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИДЕИ
И. Л. ЧЕБЫШЕВА

В. ТГ. Бычков

Научное наследие П. Л. Чебышева исследовано до-
вольно подробно. Его творчеству посвящены работы
таких видных математиков, как Н. Е. Жуковский,
Л. Н. Крылов, А. А. Марков, В. А. Стеклов, А. М. Ляпу-
нов, С. Н. Бернштейн, Н. Г. Чеботарев и др. Детально
исследованы пути развития идей П. Л. Чебышева в теории
рядов, теории вероятностей, теории чисел, теории меха-
низмов и другие. Но вопрос о развитии геометрических
идей П. Л. Чебышева освещен до сих пор недостаточно.
Это объясняется тем, что среди трудов П. Л. Чебышева
единственная работа, которая относится к области гео-
метрии «О кройке одежды» была опубликована впервые
лишь в 1936 г. [10].

В статье [2] была изложена история этого вопроса
и высказаны соображения о значении этой работы для
геометрических исследований. Там же было указано
на неверную трактовку этой работы во многих статьях,
особенно научно-популярных, посвященных творчеству
П. Л. Чебышева. Наглядным примером является хотя
бы такое утверждение В. Болховитинова: «Заинтересован-
ность его (П. Л. Чебышева.— В. В.) в практике так
велика, что он даже излагает парижским портным резуль-
таты исследований, проведенных им в работе «О кройке
одежды», учит их наиболее разумному и экономичному
способу расчерчивать ткань для раскройки» I1].

23 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
В настоящей заметке будут изложены более подробно
отдельные вопросы, связанные с исследованием чебышев-
ских сетей.

Как ранее указывалось [2], впервые «задача Чебыше-
ва» появилась в трактате Дарбу [141 в 1891 г. Рассматри-
вая формулу Лиувилля, выражающую полную кривизну
поверхности с помощью геодезической кривизны двух
координатных линий, Дарбу применяет ее к задаче Чебы-
шева, т. е. к нахождению полной кривизны поверхности,
линейный элемент которой представлен в виде

с?$2 __ с/а2 о сов (р йа + с/р’2. (I)

К задаче Чебышева, или, как ее еще называет Дарбу, оде-
вания поверхности (ЬаЫ1а§е йез знгГасез), он возвращает-
ся еще раз в этом же трактате. Рассматривая линейный
элемент

с&2 = соз2 а йр2 + 81 н2 а (1(р,

Дарбу указывает, что подстановкой р = р' + д'; д
= р' — д' он приводится к форме

(Из2 = с!р'2 + 2соз а с1р' с1д' + с1д'2.

Серван в 1902—1903 гг. [18] поставил задачу одева-
ния поверхности в более общем виде, а именно: заданный
элемент

с?$2 = ЕЛи2 + 2Е йи йи + С (№
привести к виду

Й52- йа2 + 2^йайр + ф2

Серван использует для этого систему из двух диффе-
ренциальных уравнений в частных производных, полу-
ченную до него Кристофелем.

Задача Чебышева получила законченную форму в 1-й
части 1-го тома «Лекций по дифференциальной геометрии»
Л. Бианки [12]. В издании 1922 г. этих лекций содержит-
ся целый раздел, посвященный сетям Чебышева. Раздел
содержит следующие параграфы: § 60. Сети Чебышева
на поверхности; §61. Уравнение Сервана для сетей Чебы-
шева; § 62. Существование сетей Чебышева; § 63. Сети
Чебышева на плоскости и иа шаре — всего сорок стра-
ниц. В общих чертах задача представлена следующим
образом.

Задана поверхность, линейный элемент которой имеет
вид

с/$~ - Е (1и2 + 27^ с1и (1л? + С (1р-; (2)

требуется выполнить замену переменных и, V на перемен-
ные а, р таким образом, чтобы линейный элемент принял
вид

№ - (1а2 -р 2Е (1а с/р + с/р2, (3)

где Е (а, Р) =созср, а ф — сетевой угол.

Для решения задачи используются следующие фор-
мулы Кристофеля. Если дапы дифференциальные квад-
ратичные формы

Ес1и2 + 2Е(1и с/г + (7с/у2 0)

Е'йа2 + 2Е' с/а с/р + С с/р2, (5)

то для того, чтобы онп представляли линейный элемент
одной и той же поверхности, нужно перейти от формы (4)
к форме (5), т. е. нужно найти две функции и (а, р),
V (а, р), которые переведут (4) в (5). Для этого функции и
и V должны удовлетворять следующим уравнениям в
частных производных:

д2и . 1 1] ди ди

да “г 1 1 ) да дЗ"1"

. р 21 I Эи ау , 1 । Г 2 2 1 др др

т 1 1 11 аа ар ар да з [ 1 ] да д$ ”
Здесь { } — символы Кристофедя для формы (4), а
{ }' — аналогичные символы для формы (5).

Для того чтобы (5) привести к виду (3), должны
выполняться условия Е' 1; С/ 1. Следовательно,

Тогда уравнения (6) примут вид
д~и . [ 1 I ] ди ди .

~дадЗ “Г [ 1

। Г 1 21 Г ди ду . ди ду ~1 . Г 2 2 ] ду ду __ д

I 1 дЗ "^“дЗ” ‘ да_П I 1 {"да Ж"

д2У . Г 1 11 ди ди .

о>а 53 * [ 2 ] да д$

! [ 1 2 ] I ди ду . ди ду 1 . [ 2 2 ] ду ду ~

+1 2 / [ДлГ аз "* аз ‘ ~да ] + { 2 ] ~да аз"

Следовательно, для того чтобы (4) привести к чебышев-
ской форме (3), нужно решить систему (7). Эта система
имеет единственное решение и (а, р) и V (а, р), если зада-
ны значения этих функции на двух характеристиках,
т. е. если

и — Д (а); а = ф1 (а) при р = О,
и = /2(а); V — (р2(ос) при а 0.

Таким образом, Бианки, обобщив и расширив полу-
ченные до него результаты, нашел необходимые и доста-
точные условия, которым должна удовлетворять систе-
ма координатных сетей для того, чтобы быть чебышевской
(обращение в нуль соответствующих символов Кристофе-
ля) и показал условия, при которых система (7) имеет
единственное решение.

Бианки принадлежит еще один интересный результат,
связанный с сетями Чебышева. В 1917 г. итальянский
математикТЛеви-Чивита ввел понятие параллельного
переноса в римановом пространстве, известное как поня-
тно параллелизма в смысле Леви-Чпвита. Оказалось, как
это доказал в 1922 г. Л. Бианки [13], что противополож-
ные стороны криволинейных четырехугольников чебы-
нтввской сети параллельны в смысле Леви-Чивита. Это
дало возможность распространись понятие чебышевских
сетей на всякую неметрическую геометрию (аффиппой
связности).

В 1881—1882 гг. немецкий математик Фосс [1У] также
рассмотрел преобразования, которые приводят форму (2)
к виду

дз2 = Е'да2 + 2Е'(1а сф - С'ф (5)

и показал, что для этого надо решить систему урав-
нений

, / да 2 । 9 пг да ЭЗ I Эр \2____________ р

Л (ж + + 6 ~д^} -Е'

да да р да Эр . да Эр Эр Э,3

ди др \ ди др "* др ди / ' ди ди

Эа Эр । с> 1^_\2
др ср "Т" \дг /

В этой же работе рассмотрен переход от формы (2)
к виду

дз2 (1а2 + 2Е'(1а <ф + бф2

показано, что для этого надо решить систему
,1 ди \2 . от-, ди др / др \2 .

да / г “ да да
ди % 9 г ди др

эр "эр < р

= 1

л перейти от (2) к форме

е?52 — Ли2 Ц- 2и соз ф д.и сЬ и1^2.

В частности, Фосс рассматривает случай сетей, у кото-
рых длины сторон криволинейных четырехугольников
определяются формулами

(18» = Е (1и\ д8и = (ЛСб/у

(при Е С 1 получаются обычные чебышевские сети).
Эти сети румынский математик Миллер I17] в 1925 г.
Назвал обобщенными чебышевскими и показал, что про-
тивоположные стороны этих сетей параллельны в смысле
Вейля.

В 1931 г. Я. С. Дубнов [151 ввел понятие «тензора Чебы-
шева». Этот тензор оп широко использовал в дальнейших
исследованиях по теории сетей. Работы Я. С. Дубнова
послужили началом целого ряда исследований советских
математиков, связанных с исследованием чебышевских
сетей. О них сказано в [2], поэтому здесь мы ограничи-
ваемся лишь их перечислением. Это работы [3], I4], [5],
[6], I7], I8], I11]. Из них в р] Я. С. Дубнов и С. А. Фукс
перенеслп на трехмерное пространство понятие чебы-
шевских сетей, понимая под этой сетью совокупность
трех таких кривых, что через каждую точку рассматривае-
мой части пространства проходит по одной кривой из
каждого семейства. В. М. Чернышенко в 1956 г. [и]
обобщил понятие чебышевской сети, распространив его
на случай пары семейств поверхностей многомерного
риманова пространства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Болховитинов В., Русские математики,— Сб. «Рас-
сказы из истории русской науки и техники», Изд-во Молодая Гвар-
дия, М., 1957, стр. 57.

2. Бычков В. П., К вопросу о значении работы И. Л. Че-
бышева «О кройке одежды» для дальнейших геометрических иссле-
дований.— Сб. «Из истории науки и техники», Изд-во Картя молдо-
вепяскэ, Кишинев, 1963, 170—178.

3. Д у б и о в Я. С., К дифференциальной геометрии сетей.
ДАН СССР 4, 1—2 (1935), 7—10.

4. Дубнов Я. С., II. В. Ефимов, Об особенных геоде-
зических сетях и поверхности Ые.— ДАН СССР 15, (1937), 415—416.

5. Дубнов Я. С., Ф у к с С. А., О пространственных ана-
логах чебышевской сетп.— ДЛИ СССР 28 (1940), 102—104.

6. Дубнов Я. С., Диагональные свойства сетей.— Труды
семинара по векторному и тензорному анализу 9 (1952), 7—42.

7. Норде и Л. И., Об особенных геодезических сетях в не-
метрической геометрии.— Труды семинара ио векторному и тензор-
ному анализу 5 (1941), 226—245.

8. Н о р д е и А. И., О внутренних геометриях поверхностей
проективного пространства.— Труды семинара по векторному и тен-
зорному анализу 6 (1948), 125—224.

9. Стеклов В. Л., Теория и практика в исследованиях
Чебышева, Петроград, 1921.
10. Ч ебышев П. Л., О кройке одежды.— Архив Истории
пауки и техники 9 (1936), 347—363.

11. Чернышенко В. М., Тензорные характеристики
некоторых типов пар конгруэнций поверхностей риманова простран-
ства — Труды семинара по векторному и тензорному анализу 10
(1956), 279—283.

12. В 1 а п с Ь I Ь., Ьег71оп1 Й1 "еотеШа йШегенг1а1е, V. 1,
р 1, Во1оцпа, 1922, 153—192.

Р 13. ВЕапсЫ Ь., Ье геН сП ТсйеЫсЪеЕЕ зи11е зирегПте ей 11 рага!
1еПзто пе1 зепзо сП Ьеу1-Свч1а-Ви11. й’Итоне Ма1. Иа1., анпо 1,
п. 1, 1922, 1-6.

14. Ба гЬонх С., Ьеропз зиг 1а 1Ьёопе $ёнёга1е йез знгГасез,
3-ете рагйе, Рапз, 1891, 132—133.

15. ВиЬпоЕЕ I., Зиг 1ез са гас 1ёпзП диез ЕензопеПез йез
сегйипез с1аззез йе зигЕасез е!йе 1еигз гезеаих.— СВР, I. 192, 1931,
261—264.

16. М у 11 е г А., Виейоп! сопсоггепН зорга ипа зирегПсде
зр!есаН йас рипИ сП ипа сигхга, Непй. Асай. Инсе!, Вота, I. 33,
8. 5, Г. 9, 1924, 339-341.

17. М у 1 1 е г А., Ьез гёзеаих йе ТсЪеЬусЪеЕЕ ^ёпёгаПзёз е1 1е
рагаИёЦзте аи зепз йе \Уеу1.—Апп. Зев, йс ГЕИцу. йе 1епу, Ь. 14,
В 1-2, 1925, 8-12.

18. Зегу а п I, зиг ГЬаЪПаре йез зигЕасез.— СВР, I. 135, 1902,
575-577; СВР, I. 137, 1903, 112—115.

19. V о з з М., ВеЬег сЕп пеиез РппсЕр Йег АЬЬИйипд кгитпеп
ОЪегПасЪеп. - Ма(11. Апп., Ьй. 19, 1881—1882, 1—26.
ТЕОРИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТРУДАХ
РУССКИХ МАТЕМАТИКОВ

XIX И НАЧАЛА XX вв.

М. Б. Налбандян

В математических исследованиях XIX в. теория
эллиптических функций занимала одно из центральных
мест. Основы различных наир ав лени и этой ветви мате-
матики были заложены в трудах Абеля, Якоби, Гаусса,
Лиувилля, Вейерштрасса; в разработке ее принимали
участие Эйзенштейн, Эрмит, Коли, Альфап, Кенигсберг-
гер, Клейн и др.

Ценные результаты в теории эллиптических функций
и особенно в ее приложениях к актуальным проблемам
математики и механики получили многие русские уче-
ные: О. И. Сомов, 10. В. Сохоцкпй, Е. И. Золотарев,
И. П. Долбня, С. Г. Петрович (Петербург), А. Ю. Дави-
дов, Н. И. Алексеев, Н. В. Бугаев, П. С. Назимов (Моск-
ва), М. А. Тихомандрпцкий, Д. А. Граве (Харьков)
П. М. Покровский, Б. Я. Букреев (Киев), Ф. Э. Молин,
Ф. Э. Брунс (Тарту), П. П. Граве, В. Г. Имшенецкпй
(Казань). Но вклад русских математиков не нашел еще
достаточного освещения в историко-математической лите-
ратуре.

Первые, очень сжатые сведения о достижениях Абеля
и Якоби сообщили русским читателям Н. Д. Брашмап I1]
п В. Я. Бупяковскпй в «Лексиконе чистой и прикладной
математики» (СПб., 1839). В магистерскую диссертацию
О. И. Сомова I2], в целом посвященную интегрированию
алгебраических иррациональных дифференциалов, в ка-
честве составной части вошел ряд вопросов пз теории
эллиптических функций. А в 1850 г. были опубликованы
его «Основания теории эллиптических функций» (СПб.)
первое достаточно полное для того времени и системати-
ческое изложение этой дисциплины. Трудности, которые
были связаны с созданием такой книги, хорошо вырази-
ли В. Я. Буняковскпй и П. Л. Чебышев. Онп писали,
что для этого необходимо было «создать полное целое
из отдельных изысканий, пополнить те пробелы, кото-
рые остались между различными изысканиями различных
геометров, имевших в виду отдельные задачи об эллипти-
ческих функциях, привести к единству разнообразие
их приемов и, наконец, показать наиболее удачные мето-
ды выкладок. . . И это сделано нашим профессором
О. И. Сомовым» [3].

Потребность в книге по эллиптическим функциям
у нас была велика, ибо с середины 40-х гг. в России
началось преподавание этого предмета. Впервые его
включил в учебные планы профессор Дерптского универ-
ситета Ф. Г. Мтшдинг в 1845 г.; с 1847 г. О. И. Сомов,
а потом — II. Л. Чебышев читали этот курс в Петербург-
ском университете. Со временем теория эллиптических
функций заняла прочное место во всех университетах и
ряде других высших учебных заведений в России.

Архивные документы, обозрения преподавания паук,
литографированные лекции, учебники и учебные пособия
позволяют составить представление о характере и эволю-
ции преподавания теории эллиптических функций в Рос-
сии, хотя и с некоторыми пробелами, так как иногда
о курсе приходится судить только по спискам рекомендуе-
мых пособий.

Три основных метода в теории эллиптических функций
определили и три направления в преподавании этой дис-
циплины, а также в подборе и создании учебной литера-
туры. Об этом свидетельствуют сочинения Н. Н. Алексее-
ва, В. П. Ермакова, П. М. Покровского, М. А. Тпхо-
мапдрпцкого, литографированные лекции А. 10. Давидова,
Н. В. Бугаева, А. А. Адамова, И. Л. Пташпцкого и др.
Педагогическая деятельность русских математиков на-
ходилась в тесной связи с исследовательской работой
в области теории эллиптических функций и нередко
выступала в качестве своеобразного стимула. Так было,
например, с проблемой элементарно-геометрического пред-
ставления эллиптических интегралов и функций. Помимо
желания подтвердить законность сложившейся термино-
логии, в решении этой проблемы существенную роль
сыграли стремление к наглядности, необходимость изло-
жить теорию в форме, доступной для лиц, знакомых лишь
с элементарными основами высшего анализа. В работах
А. Ю. Давидова, В. Г. Импюнецкого, П. С. Назпмова,
П. П. Граве. 10. В. Сохоцкого, С. Г. Петровича по этому
вопросу получены результаты, далеко продвинувшие его
в сравнении с исследованиями зарубежных математиков.

Стремление улучшить методику изложения теоремы
сложения в курсах теории эллиптических функций про-
явилось в работах О. И. Сомова, В. А. Анисимова,
Б. Я. Букреева, И. П. Долбни в этом направлении.
Но уже многочисленные статьи П. М. Покровского по-
священные теореме Абеля, вызваны его исследованиями
в области теории ультраэллиптических функций. Успех
М. А. Тихомандрицкого в установлении естественного
перехода от эллиптических интегралов к 0-фуикциям
Якоби и а-функциям Вейсрштрасса связан с введенной
им новой формой теоремы сложения для эллиптических
интегралов 2-го рода.

Теорема сложения является частным случаем общей
проблемы преобразования, которая была поставлена глав-
ным образом трудами Абеля и Якоби. В русской литера-
туре к этому направлению относятся немногие работы,
и все онп решают разные вопросы, поэтому их трудно
характеризовать вместе.

Так, О. И. Сомов [4] несколько видоизменял форму-
лы преобразования для эллиптических интегралов 3-го
ьида, что позволило ему достаточно просто провести
их вычисления, а это имело существенное значение для
прикладных вопросов. Маленькая заметка К. Герца
(Матем. сб., 1868, стр. 139—142) и статья II. М. Покров-
ского (Матем. сб., 1882, стр. 63—73), посвящены очень
частным вопросам преобразования эллиптических функ-
ции в форме Якоби. Положительную оценку Ф. Клейна
получила магистерская диссертация Ф. Э. Молина (1885),
в которой оп занимался линейным преобразованием
0-функций. Одни из вариантов определения постоянного
множителя в формулах линейного преобразования 0-функ-
цпй указал 10. В. Сохоцкий [5]. Оп предполагал, что
избранный им метод приведет к интересным приложе-
ниям эллпптпческпх функций к теории чисел, но просле-
дить влияние идей Сохоцкого пока не удалось.

Н.П. Долбпя в ряде работ начиная с 1903 г. [6] решает
некоторые вопросы преобразования интегралов с опре-
деленным, конкретным полиномом под радикалом и пока-
зывает их связь с приведением абелевых и ультраэллппти-
ческих интегралов к эллиптическим. Эта последняя про-
блема занимала большое место в творчестве Долбни
и, так же как и предыдущая, решалась им с помощью
эллиптических функции Веперпттрасса. До него в России
этим же ё опросом в одном частном случае занимался
А. Бессель в магистерской диссертации [7], которая
по методам близко примыкает к исследованиям Врио
и Буке. Большое число конкретных примеров приведе-
ния абелевых интегралов дано в работах зарубежных
математиков (Серре, Ринка, Альта, Келп, Эрмита). Заслу-
га Долбни в том, что оп значительно пополнил список
примеров, найденных этими учеными. При этом, в отли-
чие от предшественников, оп выполнял приведение и к
эллиптическим интегралам 2-го рода.

К этому же направлению относится статья С. В. Кова-
левской (1884), в которой она указала более сложный
по сравнению с данным Кенпгсбергером пример приводи-
мости ультраэллпптического интеграла 3-го ранга. Особый
интерес представляет сопоставление результатов Долбни
и Ковалевской с современными исследованиями в этой
области.

Приведением эллиптических интегралов к канониче-
ским видам, классификацией их мы обязаны Лежандру.
И в этом вопросе русские математики нашли возможность
внести своп вклад. Н. II. Алексеев указал [8] свой способ
определения коэффициентов в применявшейся Лежандром
ТЕОРИЯ 9ЛЛИПТНЧЕС1ШХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ,;65
подстановке; 10. В. Сохоцкий [9] для приведения интегра-
ла к эллиптическому в форме Вейерштрасса применял
подстановку, пз которой легко получалось преобразова-
ние. указанное Альфаном. Долбня продолжил и углубил
исследования французского математика и показал (1891,
см. I6]) простые приемы для выражения эллиптических
интегралов в функциях Вейерштрасса.

Возможности применения теорпп эллиптических функ-
ций для решения разнообразных задач геометрии, анали-
за, механики, теорпп чисел были выявлены уже в ранних
работах по созданию этой теории. Русские математики
придавали этой стороне вопроса особое значение и полу-
чили интересные и важные результаты. Начало их иссле-
дования в этом направлении положил О. И. Сомов
в своей книге и ряде последующих статей. Он указал,
например ([10], 1851), способ приближенного построения
полых эллиптических интегралов 1-го и 2-го видов и тем
самым осуществил графическое спрямление эллипса. Сомов
использовал эллиптические функции и интегралы для
решения вопросов о квадратуре некоторых поверхностей,
в частности, конуса, эллиптического параболоида [п].
Проблема вычисления площадей кривых поверхностей
и ограниченных ими объемов позже привлекла внимание
И. II. Долбнп, который при этом применял функции Вей-
ерштрасса (Изв. С.-Петерб. биолог, лабораторпи, 1901).

Сомов занимался и задачей о вращении твердого тела
вокруг неподвижной точки. Для случая Эйлера — Пуан-
со Якоби дал без доказательств выражения девяти направ-
ляющих косинусов эйлеровых координат углов посред-
ством эллиптических и 0-функций. Сомов опубликовал [12]
доказательство формул Якобн и указал некоторые неточ-
ности в них. Для этого ему прпшлось вывести формулу
разложения на простые дроби бесконечного произведения,
выражающего отношение двух 0-фупкций. Это разложе-
ние имело большое значение в общей теории эллиптических
функции. Блестящее знание Сомовым теории эллиптиче-
ских функций помогло ему довести до конца решение
задачи и в случае Лагранжа — Пуассона [13], 1856.
Третий интегрируемый случай был найден в 1888 г.
С. В. Ковалевской. Интегрирование квадратур она пропз-
36В
водила при помощи ультраэллпптических функций вре-
мени, причем исследования и вычисления велись посред-
ством сложных, но очень остроумных и интересных
операций с функциями Вейерштрасса. Одновременно в
той же работе Ковалевская получила новые формулы,
связанные с обращением эллиптических интегралов,
формулы, которые позже были доказаны П. М. Покров-
ским I14].

Известно, что интегральное исчисление являлось мощ-
ным источником порождения новых классов функций,
в частности, эллиптических. Интересно проследить, как
в дальнейшем применение эллиптических функций спо-
собствовало решению одного из вопросов анализа —
о возможности интегрирования в конечном виде алгебраи-
ческих иррациональных дифференциалов. Вопрос этот
в математике возник еще в начале XVIII в. Важно было
найти признаки, с помощью которых можно для любого
данного интеграла эллиптического типа выяснить, пред-
ставляется лн он в конечном виде. Начало исследованиям
в этом направлении положил Абель. Оп связывал реше-

С р (ж) с1х

ние проблемы для интеграла с периодичностью

непрерывной дроби, в которую разлагается УН (х).
Но его результат не давал ответа в том случае, когда
эта периодичность не проявлялась после нескольких
операций. Искомые условия для случая, когда коэффи-
циенты подрадикального полинома — целые, указал
П. Л. Чебышев (1861). Вывод установленных Чебышевым
формул дал Е. И. Золотарев (1872), который в доктор-
ской диссертации (1874) [15] распространил теорему на
случай любых вещественных коэффициентов. Успех Золо-
тарева в этом трудном вопросе во многом определялся
тем, что он применил к его решению аппарат эллипти-
ческих функций (в форме Якоби). Позже (1896) Долбня
сделал попытку использовать для этой целп эллиптиче-
ские функции Вейерштрасса, но он остался в рамках
задачи Абеля. Долбня же (1896 и позже) продолжил
исследования Чебышева относительно выражения в конеч-
ном виде некоторых видов абелевых интегралов [16]. При
этом он рассматривал те из них, относительно которых уже
ТЕОР11Я ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 367
показал возможность приведении к эллиптическим. Здесь,
как и в указанных выше вопросах, Долбим был сторонни-
ком эллиптических функции Войерштрасса.

Широкое поле для приложения эллиптических функ-
ции предоставила теория чисел. Вслед за Якоби в работу
в этом направлении включились многие видные зарубеж-
ные ученые (Дирихле, Эйзенштейн, Кронекер, Эрмит,
Лиувилль), а затем и русские математики.

Е. И. Золотарев (1871), используя разложение яко-
биевых функций 0, доказал одну пз многочисленных ариф-
метических теорем Лиувилля I17].

Результаты исследований Лиувилля, относящиеся к
свойствам числовых функций, в частности, к простейшим
квадратичным формам со многими переменными, были
разбросаны ио различным статьям, а многие оставались
без доказательств. Н. В. Бугаев в обширном труде «Неко-
торые приложения теории эллиптических функций к тео-
рии функций прерывных» (1884—1885) I18] не только
во многом восполнил этот пробел, но и привел ряд новых
теорем, иногда более общих, чем теоремы Лиувилля.
При этом он опирался на методы Якоби, применявшего
разложения эллиптических и 0-функций в ряды.

Почти одновременно была опубликована большая рабо-
та П. С. Назимова, посвященная рассматриваемому вопро-
су [191. Назимов сделал в ней попытку собрать воедино
и систематизировать по методам разрозненные исследо-
вания, касающиеся приложений теории эллиптических
функций к теории чисел, дал краткий исторический очерк
вопроса. Он значительно пополнил результаты предше-
ственников своими, которые включены в Н151огу о! ЪНе
Ткеогу оЕ ИитЬегз (1919—1923) Диксона. Основные
из ппх относятся к определению числа различных реше-
ний уравнения

*1 + +------Ь Хр П

для Р = 8 и р =- 12.

Через 30 лет аппарат эллиптических функций помог
П. В. Булыгину указать формулы, практически прпгод-
ные для любого четного числа р [2°].
Как ужо сказано, эллиптические функции в форме
Якоби широко и плодотворно использовал для решения
ряда вопросов Е. И. Золотарев. Ему принадлежит и заслу-
га расширения области приложения этих функций. В пер-
вой же научной работе (1868) I21] и позже (1876) I22] он
впервые применил испытанный аппарат к решению некото-
рых частных проблем из теории приближения функций.
Работы в этом направлении были продолжены Н. И. Ахпо-
зером.

В рукописных тетрадях Золотарева, хранящихся в ар-
хивах Академии паук, можно найти много примеров, кото-
рые показывают, что он предпринимал исследования
по различным вопросам теории эллиптических функций
и ее приложений. Ранняя смерть не позволила ему дове-
сти свои начинания до конца. Изучение рукописного
наследства Золотарева позволит составить наиболее пол-
ную характеристику ого научной деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ученые записки Московского университета, ч. VI, 1934, 325—
340.

2. Сомов О. И., Рассуждение об интегралах алгебраических
иррациональных дифференциалов с одною переменною, Москва, 1841
(магпет. диссертация).

3. Гос. истор. архив Ленингр. области, ф. 14, оп. 1, № 4737,
л. 172-173.

4. 1опгпа1 Гиг Й1е ге!пе ипй апдеху. Ма№. 47 (1854), 269—288.

5. РапцеЬйк ТохуаггузЬуа Каик зсГезНск хуРагуги, X (1878),
1—37.

6. Оеиугез таПютаНциез Йе 1еап ВоПлца, Рапз, 1913.

7. Бессель А., Приведение интегралов иррациональных
функций к эллиптическим, СПб., 1864.

8. Сотр1ез гепйиз 59 (1864), 244—248.

9. Ргасс таЩтаЬусхпо-ГГхусхпе, X, ХУагзгахуа, 1899—1900,
135-177.

10. Ви11. йс с!аззе рЬ.-шаПь, йе ГАсай йез зсГепссз, 9,1851, 97—
100.

11. См. «Основания...» и Мет. йе ГАсай, 1тр. йез зсгепсез
йе 81.— Ре1егзЬ., V, № 9, 1863, 1—22.

12. 1оигп. Гйг й)е ге!пе ипй ап^еху. Ма1Ь. 42 (1851), 95—
116.

13. Ви11. рЬ.-та1Ь йе ГАсай. йез заепсез. 14 (1856), 113—135.

14. Труды отд. физических наук Общества любителей естество-
знания, М., 1893, т. 6, в. 1, 23—42.
15. См. Золотарев Е. И., Полное собрание сочинений,
в 1, 1931, 161—310.

16 Долбня II. Л., Исследование но теории абелевых интег-
рал эв,’ СПб., 1896.

17. См. Золотарев Е. И., Полное соораппе сочинений,
в 1, 1931, 63-65.

‘ 18. Матем. сб. XI, 201—312; /115-456; 515-602; XII,

3-21.

19. Ученые записки Московского университета, отделение фи-
зико-математических наук 5 (1885), 69—490.

20. Известия Акад, наук VIII (1914), 389—404.

21. Золотарев Е. И., Об одном вопросе о наименьших
величинах. Диссертация рго хеша 1с§еш11.— Полное собрание
сочинений, в. 2, 1932, 130—166.

22. Золотарев Е. И., Приложение эллиптических функ-
ций к вопросам о функциях, наименее отклоняющихся от нуля.—
ТахМ же, стр. 1—59.

24 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
ВКЛАД ФР. ШУРА В ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ

С. А. Дахин

До настоящего времени в литературе не получило
сводной характеристики многообразное научное творче-
ство Фридриха Шура (1856—1932).

Между тем этому ученому принадлежат важные работы
в таких областях, как синтетическая проективная геомет-
рия, геометрия римановых пространств, теория непрерыв-
ных групп преобразований, аксиоматика геометрии. Его
исследования затронули начертательную геометрию и
графостатику. Шур проявлял также интерес к вопросам
истории математики.

В предлагаемой статье освещена главная сторона
творчества Шура, которая относится к основаниям гео-
метрии.

Фридрих Шур (Ег. 8сЬпг) родился 27.1 1856 г. близ
г. Кротошпна (в тогдашней прусской провинции Познань).
Окончив местную гимназию, оп в 1875 г. поступил в Бре-
слав льский университет, где предполагал специализиро-
ваться по астрономии, но, увлекшись лекциями извест-
ного проектпвиста Шрётера, посвятил себя математике.
Свое образование Шур продолжал в Берлинском универ-
ситете, где занимался у Куммера, Вейерштрасса, Кроне-
кера. Пройденная у таких учителей школа открыла
перед Шуром творческие пути в различных направлениях.

В 1879 г. Шур защитил в Берлине диссертацию «Гео-
метрические исследования о комплексах лучей 1-й и 2-й
степени», па которой отразились идеи Куммера.
В 1881—1888 гг. Шур состоял преподавателем Лейпцигского
университета, где в 1884 г. он получил звание
экстраординарного профессора. Здесь он общался с таки-
ми ведущими математиками того времени, как Клейн и Ли.

В 1888 г. Шур принял приглашение занять кафедру
чистой математики в Дерптском университете. Здесь он
продолжал начатые им незадолго до этого исследования
по геометрии римановых пространств, по теории групп
преобразований Ли, по теории дифференциальных урав-
нений и начал свои работы в области аксиоматики гео-
метрии. Прекрасный лектор, Шур очень способствовал
повышению уровня преподавания геометрии в Дерптском
университете. Один из его слушателей, будущий ботаник
А. Купфер, был приобщен Шуром к разработке логиче-
ских оснований элементарной геометрии.

Некоторое представление о Шуре педагоге дает его
учебник аналитической геометрии I1]. Это небольшое
по объему учебное руководство наряду с педагогическими
достоинствами привлекает свежестью изложения и вдум-
чивым вниманием автора к истории предмета; в основе
этого учебника лежали курсы, прочитанные Шуром в Лейп-
циге и Дерпте.

Преобразование в 1892 г. Дерптского университета
в Юрьевский вынудило Шура возвратиться в Германию,
где он занял кафедру начертательной геометрии в Выс-
шем техническом училище в Аахене. Спустя 5 лет он
перешел в такое же училище в Карлсруэ, где получил
возможность, кроме начертательной геометрии, читать
курс оснований геометрии, на подготовку которого он
затратил много труда, и который лег затем в основу
его монографии [2]. Тогда же у Шура усиливается инте-
рес к истории математики: его речь при вступлении
в должность ректора этого учебного заведения в 1904 г.
была посвящена теме «Ламберт как геометр».

Так как преподавание в техническом учебном заведе-
нии мало отвечало вкусам Шура, он в 1909 г. перешел
на работу в Страсбургский университет, где преподавал
до 1918 г. в качестве преемника известного геометра Репе.
Среди коллег Шура мы встречаем здесь такие имена,
как Вебер, Велыптейн, Мизес. В 1910 г. Шур был пред-
седателем Германского математического общества.
В связи с событиями первой мировой войны Шуру
пришлось покинуть Страсбург и переехать в Бреславль.
Там в университете Шур преподавал до своего выхода
в отставку в 1924 г. Последние годы жизни Шура были
омрачены болезненным состоянием, которое вызвало рез-
кое ослабление его творческой деятельности. Смерть
Шура последовала 18 марта 1932 г. Его памяти был посвя-
щен некролог, составленный Ф. Энгелем (коллегой Шура
по Лейпцигу) [3] и статья К. Фладта [4].

Отметим, что немецкие математики Фр. Шиллинг,
В. Людвиг и Г. Морман, работавшие в области оснований
геометрии, были учениками Шура.

Первые работы Шура в области оснований геометрии
были выполнены им в бытность в Лейпциге в 1886—1887 гг.
Предыдущие работы Шура общим числом 16 относились
к синтетической проективной геометрии. Их содержание
относилось к дальнейшей разработке оснований общей
римановой геометрии, начало чего как известно восхо-
дит к трудам Бельтрами (1868—1869), Шлефли (1871—73),
Ф. Клейна (1873).

Наиболее значительная из этих трех работ была опуб-
ликована в 1886 г. под названием «О связи пространств
постоянной римановой кривизны с проективными про-
странствами» [5]. В этой работе, кроме методически-
упрощений некоторых ранее полученных в данном во-
просе результатов Р. Липшица раскрываются замеча-
тельные свойства этих пространств, в частности сле-
дующие:

1) если в некотором римановом многообразии трех
или более измерений геодезические поверхности, исхо-
дящие из какой-либо точки Р, содержат каждая 2 гео-
дезические линии пространства, многообразие обладает
по отношению ко всем исходящим из Р элементам поверх-
ности постоянной кривизной;

2) если такое свойство присуще всем исходящим пз
Овух точек Р и Р' геодезическим поверхностям, то оно
присуще всем вообще геодезическим поверхностям, и мно-
гообразие имеет постоянную кривизну. Эти результаты
Шура исключают существование многообразий трех пли
более измерений с кривизной, постоянной вокруг каждой
точки, он изменяющейся от одной точки к другой. В 1902 г*
Бианки подтвердил результаты Шура более строгим ана-
литическим выводом. В дальнейшем эти классические
результаты Шура получили далеко идущее обобщение
в работах Г. Вейля (1921) [®], Э. Картана (1927) [7],
В. Ф. Кагана (1930) [8], П. К. Рашевского (1933) [9],
Г. М. Шапиро (1933) [10], П. Широкова (1934-1935) [“]
и др. Меныпее значение имеют две другие работы Шура
пз рассматриваемого цикла. В одной из них [12] даются
примеры деформации пространств постоянной римановой
кривизны, другая [13] посвящена специально вопросу
0 деформации трехмерного пространства постоянной рима-
новой кривизны. Обе работы были опубликованы непо-
средственно вслед за появлением исследований в той
же области немецкого математика Киллинга и англий-
ского Монро, причем Шур, высоко оценивая мало заме-
ченную тогда работу Монро, критически отнесся к неко-
торым результатам Киллинга.

Следующий цикл работ Шура относился к теории групп
преобразований Ли, которая заинтересовала его ввпду
ее значения для проблем оснований геометрии. Шур
близко познакомился с теорией Ли в Лейпциге, где в те
годы Софус Ли при сотрудничестве Энгеля и Шефферса
работал над систематизацией и подготовкой к печати
своих исследований. В работах [14], [15], [1с] Шур стре-
мился дать новое упрощенное обоснование теории конеч-
ных групп преобразований Ли путем рассмотрения только
таких групп, которые содержат тождественное преоб
разование. Об этих работах Ли говорит [17], что «всем им
присущи добросовестность и серьезность» и что «Шур при-
шел в них к замечательным результатам, имеющим пе
только теоретико-групповой, по и теоретико-функциональ-
ный интерес», и предсказывал, что они «несомненно при
ведут к дальнейшим важным результатам». Эти похвалы
Ли относились собственпо к результатам, полученным
Шуром в проблеме определения всех транзитивных групп
заданного состава. Однако Ли по считал, что изложено
Шура упрощало сами основания его теории. К сожалению,
Шур ограничился некоторыми приложениями своих
результатов по теории групп преобразований к теории
ПОСЛЕДОВЛППЯ ФР. ШУРА ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ 375
дифференциальных уравнений ([181, [19]) и не дал их
приложений к проблемам оснований геометрии.

Работа I14] была написана по случаю празднования
50-летнего юбилея Пулковской обсерватории; автор прп
этом выразил надежду, что теория групп преобразований,
приведшая к полной реформе теории дифференциальных
уравнений, некогда сослужит службу и в небесной ме-
ханике.

К концу пребывания в Дерпте начались исследования
Шура по аксиоматическому построению геометрии. Пер-
вая его работа в этом направлении [2П] касалась пробле-
мы обоснования учения о площадях многоугольников.
Шур показал, что учение о величине многоугольника
может быть строго построено на тех же основаниях,
на которых строится учение о конгруэнтности много-
угольников и теория пропорциональных отрезков. При этом
Шур определял равенство площадей многоугольников
как разложимость их на конгруэнтные части и доказывал,
что между площадями многоугольников и совокупностью
прямоугольников с наперед заданной высотой можно
установить соответствие, при котором сохраняются отно-
шения суммы, равенства и неравенства. Из этого резуль-
тата Шура, в частности, вытекает так называемый «посту-
лат Де Цольта».

В 1898 г. Шур впервые доказал теорему Паскаля —
Паппа без использования аксиом непрерывности (и аксиом
параллельности) [211. Прп этом ему пришлось «выйти
в пространство», рассмотреть системы прямолинейных
образующих однополостного гиперболоида и развить отно-
сящуюся к последним пдею Данделена. Этот результат
явился важным моментом в аксиоматпзацпп проективной
геометрии.

В одной из дальнейших работ [22] Шур исследовал
вопрос об отношении постулата Архимеда к теорпп парал-
лельных с целью н зависимого от аксиом непрерывности
построения гиперболической геометрии. При этом он
установил следующее: существование прямых в гипер-
болической плоскости, пересекающихся на основном об-
разовании, может быть доказано внутри плоскости без
помощи аксиом непрерывности, если, кроме обычных
аксиом конгруэнтности, порядка и инцидентности принять
еще тот постулат, что окружность и прямая, отстоящая
от ее центра на расстоянии, меньшем радиуса, имеют
две общие точки. Обратно, из существования таких
прямых при допущении первых трех групп аксиом выте-
кает утверждение о точках пересечения прямой и окруж-
ности .

Не вдаваясь в рассмотрение многих других частных-
результатов, полученных Шуром при разработке проблем
аксиоматики, остановимся на его монографии [2]. Это
сочинение было по замыслу сходно с вышедшей впервые
в 1899 г. одноименной книгой Гильберта [23], но отли-
чалось от него во многих отношениях. Сам автор считал
свою монографию модернизированной переработкой «Но-
вейшей геометрии» Паша (1882) [241 — первого опыта
строгоаксиоматического построения геометрии в духе
реализации одной из установок Эрлангенской программы
Клейна. В соответствии с этим у Шура, как и у Паша,
проективные аксиомы не разделяются на две группы
(принадлежности и порядка, как у Гильберта), и основ-
ным понятием считается не бесконечная прямая, а ее
конечный отрезок. Понятия прямой и бесконечной пло-
скости в годятся дефиниторно и т. п.

Стоит отметить, что такое стремление обойтись аксио-
мами, относящимися к ограниченной части пространства,
диктовалось и определенными (материалистическими
в своей основе) воззрениями Паша, которые разделял и
Шур-

Важным отличием аксиоматической системы геометрии
у Шура по сравнению с конструкцией Гильберта являет-
ся выделение группы аксиом движения вместо аксиом
конгруэнтности. Такому порядку следуют теперь многие
книги по основаниям геометрии, в частности некоторые
советские учебники.

Порядок изложения в монографии Шура таков: сна-
чала строится геометрическая система па основании
одних проективных постулатов на прямой, в плоскости
и в пространстве; пз них при помощи теоремы Дезарга
выводятся идеальные точки, прямые и плоскость; далее
формулируются постулаты движения и устанавливается
406

теорема Паскаля — Паппа; из нее выводится основная
теорема проективной геометрии и законы исчисления
отрезков. Далее на проективной основе излагаются ме-
трические соотношения неевклидовой геометрии, после
чего дается анализ аксиомы параллельности в связи
со свойствами движений. Отдельный раздел затем посвя-
щается вопросам обоснования общей геометрии плоско-
сти в ней самой по исследованиям Ельмслева. Заклю-
чительный отдел трактует о постулате Архимеда и его
значении во всей геометрической системе.

В своей монографии Шур использовал, наряду с но-
вейшими открытиями других представителей немецкой
и итальянской школ оснований геометрии (особенно
Гильберта), целый ряд своих собственных результатов.
Так, ему принадлежат такие оригинальные результаты,
как: 1) построение перпендикуляра к данной прямой,
независимое от постулата Архимеда; 2) неархимедово
доказательство теоремы Паскаля; 3) вариант неархи-
медова исчисления отрезков; А) независимый от аксио-
мы непрерывности вывод основной теоремы проективной
геометрии; 5) простая конструкция параллелей по Лоба-
чевскому; 6) доказательство теоремы Паскаля в евклидо-
вой геометрии без постулата Архимеда; 7) доказатель-
ство независимости постулата параллельности при помо-
щи сведения движений к обращениям.

Монография «Основания геометрии» была представ-
лена Шуром в 1912 г. Казанскому физико-математиче-
скому обществу в порядке соискания международной
премии имени Н. И. Лобачевского. Кроме работы Шура
(отзыв на которую дал Б. К. Млодзеевский), на этот кон-
курс была подана монография американского математи-
ка Кулиджа «Элементы неевклидовой геометрии» (отзыв
проф. Киллинга (Мюнстер) об этой работе был неодобри-
тельным). Соответствующий доклад Обществу от имени
его правления по этому поводу гласит:

«Вполне соглашаясь с тем, что работа Шура по выпол-
нению и научным достоинствам выше работы Кулиджа,
нельзя, однако, не признать, что по своей теме и содер-
жанию вторая работа ближе к тем целям, которые имелись
в виду при самом учреждении премии... Эти соображения
были, по-видимому, причиной того, что голоса при голо-
совании разделились поровну между Шуром и Кулиджем
и пришлось обратиться к жребию. По жребию премия
была присуждена Шуру, а Кулиджу был присужден
почетный отзыв» I25].

В последующие годы Шур почти не занимался вопро-
сами аксиоматики геометрии, возвратившись к исследо-
ваниям по синтетической проективной геометрии.

Последней работой Шура в интересующей нас области
была небольшая статья, помещенная в Казанском сбор-
нике в 1927 г. [26], посвященная вопросу о построении
параллелей Лобачевского.

Изложенное показывает, что Шур внес значительный
вклад в разработку проблем обоснований геометрии;
целый ряд его результатов сохранил непреходящее зна-
чение, и они по праву занимают видное место в нашей
современной литературе предмета (ср. монографии [27]
и I28]).

ЛИТЕРАТУРА II ИСТОЧНИКИ

1. Г. 8 с 11 и г, ЬеЬгЬисЬ Нег аиа1уНйс1юп СеотеИте, Ьехргщ,
1898, 1912.

2. Г. 8с Ь иг, Сгипй1а^еп (1ег СеошеИте, Ье1ргщ, 1909.

3. Г. Еп$е1, ГпеЗпсй 8Ьиг.— 1аЬгезЬег1сЫе а. с1еи1зсЪеп
МаЪЪетаНкег — Уегешщип^, 1935, Вй. 45, Н. 1.

4. К. Г 1 а (11, Хит 100 СеЬигз!а^. — МаНютаИзсЬ-рЬуз^ка-
НзсЬе 8етез1егЬег1сМ 5 (1957).

5. Г. 8 с Ь и г, ОеЬег Деп ХизаттепЬап^ Дег Вайте сопз1ап1еп
В1етапп1зсЬеп Кгйттипезтаззез. — Ма1ЬетаНзсЬеп Аппа1еп,
Ва. 27, 1886.

6. Н. е у 1, Хиг 1пйт1ез1та!^еоте1г1е. Е1пог$апип^ аег
рго]екП\еп ипа аег коп€огтеп АиГГаззип^.— ОбЩгмтп МасЬпсМеп,
1921.

7. Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств, М.— Л.,
1936.

8. В. К а § а п, 8иг 1ез езрасез зоиз-рго]есШз.— С. В. ае
ГАсааепце аез 8с1епсез, 1930, 191.

9. И. К. Рашевский, Сагас!егез 1епзопе1з ае Гезрасс
зоизрго]есШ.— Труды семипара по вект. и тепз. анализу, вып. I,
1935.

10. Г. М. Ш а п и р о, ОЬег а1с Ме1цк аег зиЬрго]’екЬ1Уеп Вай-
те.— Там же.

Н.П. Широков, О пространстве Шура.— Известия физ.-
матем. общества при Каз. ун-те, т. VII, 1934—1935 гг.
12. К. 8 с 11 и г, ОЬег (1. ВеГогтаНоп й. Вайте сопз1. Рпет.
Кгйттип^зтаззез.— Ма1Ь. Апп., Вс1. 27, 1886.

13. Г. 8 с Ь и г, ВеЬег й. ВеЕогтаИоп ейгез йгеИхтепз. Наи-
теМа1Ь. Апп., Вй. 28, 1887.

14. К. 8 с Ь и г, Мейе Ве^гйпйип^ 6. ТЬеопе й. епй1. ТгапзГог-
таНопз^гирреп.— Ма1Ь. Апп., Вй. 35, 1889.

15. Г. 8 с Ь и г, Ве\уе1з Гиг сИе Вагз1е11ЬагкеИ Й. ГпПпНезТгапз-
ГогтаИопеп.— ВепсЫе й. К. 8асЬз. Сез. й. М., 1890.

16. Г. 8 01 иг, Хиг ТЬеопе й-епй1. ТгапзГогтаИопз^гирреп.—
Ма1Ь. Апп., Вй. 38, 1891.

17. 8. Ь 1 е, ТЬеопе й. ТгапзЕогтаПопз^гирреп, Вй. III, 1893.

18. Г. 8 с Ь и г, ОЬег й. 2игйскШЬгипг егпез уо11з1апйщеп
зуз1етз аиЕ ей) е1пг1"сз зуз!ет $е\у. ВИ. СГеккипдеп.— ВепсЫе
й. К. 8асЬз. Сез. й. 1892, II.

19. Г. 8с Ь и г, ОЬег рагЦеПе ВЦ. СкчсЬипдеп 1 огйпип^.—
Там же, 1894, I.

20. Г. 8 с Ь и г, ЫеЬег й. ГТасЬещпЬаИ ^ега^1. Ье^геп/Леп
еЬепеп Н^игеп. — 811гип"зЬег. Вагр. 1\та1иг. Сез. 1892.

21. Р. 8 с Ь и г, ОеЬег Й. ГипйашепШзаи й. рго]’ек1. Сеот.—
Ма1Ь. Апп., Вй. 51, 1898.

22. Г. 8 с Ь и г, Хиг Во1уа1 — ЬоЬа!зсЬ. Сеот.— Ма1Ь. Апп.,
Вй. 59, 1904.

23. Д. Гильберт, Основания геометрии, М.— Л., 1948.

24. М. Р а з с Ь и. М. В е Ь п, Уог1езип<юп йЬег пеиего Сеот.,
1926.

25. 6-Й конкурс на премию им. Лобачевского.— Известия фпз.-
матем. общества при Казанск. ун-те, 1912.

26. К. 8 с Ь и г, КопзГтикЦоп топ ЬоЬакясЬеузк!] зРага11е1еп.—
1и тетопат ЬоЬа1зсЬеузк1], Казань, 1927.

27. Р. В а с Ь т а п п, АиГЬаи Й. Сеоте1пе аизйет брхепскнщя-
Ье^пИ, ВегЦп, 1959.

28. р..В а с Ь т а п п, К. Г 1 а й I, IV. 8 й з з, Сгипйгй^е Й.
МаИютаНк, Оби] п^еп, 1960.
МАТЕМАТИКА В АКАДЕМИИ ПАУК
В ПЕРВЫЕ ГОДЫ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ

/7. П. Ожигова

К 1917 г. в Академии наук было, как и во времена
Чебышева, четыре академика математика. Все они явля-
лись яркими представителями петербургской математи-
ческой школы: А. А. Марков и А. М. Ляпунов были
непосредственными учениками П. Л. Чебышева, А. Н. Кор-
кина, Е. И. Золотарева, В. А. Стеклов — учеником
А. М. Ляпунова, а А. Н. Крылов — учеником А. Н. Кор-
кина по Николаевской морской академии. Деятельность
А. М. Ляпунова почти не входит в рассматриваемый
период (он погиб в 1918 г.). В. А. Стеклов в 1918 г. стано-
вится вице-президентом Академии наук и на его плечи
ложится тяжелый труд по организации работы Академии
и в дальнейшем по созданию Физико-математического
института. Он печатает «Основные задачи математической
физики» (тт. 1—2, 1922—1923), статьи о квадратурах.
А. А. Марков печатает в Известиях Академии наук пять
статей по теории вероятности (шестая выходит уже после
его смерти — в 1924 г.). А. Н. Крылов, в основном зани-
мавшийся прикладными вопросами математики, внес свой
вклад в теорию дифференциальных уравнений, в ряды
Фурье.

После смерти Ляпунова его кафедра оставалась ва-
кантной до 1921 г., когда по представлению Маркова,
Стеклова и Крылова был избран академиком профессор
Петроградского университета Я. В. Успенский. С этого
времени выборов действительных членов не было до
1929 г. Члены-корреспонденты в деятельности Академии
паук участия почти не принимали, иногда лишь печатали
свои труды в изданиях Академии.

В этом сообщении мне хотелось остановиться на неко-
торых менее известных сторонах деятельности первых
советских академиков-математиков и некоторых органи-
зационных вопросах этого периода.

Для первых советских академиков-математиков харак-
терен большой интерес к истории математики и забота
о сохранении памяти своих великих предшественников.
Еще в 1918 г. Стеклов и Крылов подают записку о необ-
ходимости издания собрания сочинений классиков мате-
матики: Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского,
Е. И. Золотарева и А. II. Коркина ([х], стр. 743—744).
В 1919 г. Марков, Стеклов и Крылов предлагают создать
при Академии паук Математический кабинет с показа-
тельным музеем им П. Л. Чебышева (позднее — им. Че-
бышева и Ляпунова) и составляют примерную смету
кабинета [2]. Основой кабинета-музея должна была стать
коллекция механизмов П. Л. Чебышева. Приобретается
библиотека А. М. Ляпунова, перевозится библиотека
А. Н. Коркина. В. А. Стеклов и А. А. Марков жертвуют
кабинету своп математические библиотеки. А. Н. Крылов,
посланный в 1921 г. в длительную заграничную коман-
дировку, приобретает для Математического кабинета кни-
ги и приборы. После организации Физико-математиче-
ского института Математический кабинет вошел в его
состав. В 1930 г. библиотека Математического кабинета
пополнилась библиотекой Я. В. Успенского, переданной
его сестрой.

Другое свидетельство интереса к истории — книги,
статьи, выступления по вопросам истории математики.
А. А. Марков, начиная с 1918 г., неоднократно напоми-
нал о необходимости возобновления прерванной войной
связи с швейцарскими издателями сочинений Эйлера.
Вскоре после выезда в командировку А. Н. Крылов
сумел установить эту связь, достал деньги, приобрел
и выслал в Россию по 40 экземпляров каждого тома сочи-
ненпй Эйлера, из вышедших во время войны. Русские
математики снова предложили свои услуги для редакти-
рования последующих томов работ Эйлера.
В марте 1921 г. Марков напоминает о приближении
столетия «со дня рождения незабвенного Пафнутия Льво-
вича Чебышева» [3]. Он предлагает отметить день рожде-
ния Чебышева торжественным собранием и привлечь к
участию в нем «одного из старейших учеников Чебышева
Александра Васильевича Васильева, который первый
обратил внимание на этот день». Об этой годовщине гово-
рил и Стеклов. Он же предложил ко дню празднования
столетия Чебышева окончить печатание статьи А. В. Ва-
сильева для «Русской науки» по истории математики
в России [4]. Было решено просить типографию печатать
в первую очередь работу А. В. Васильева. В июне 1921 г.
состоялась расширенная сессия Академии паук, посвя-
щенная столетию Чебышева. А. А. Марков выступил
на ней с докладом о работах Чебышева по теории вероят-
ностей и с воспоминаниями о нем. Я. В. Успенский сделал
доклад о работах Чебышева по теории чисел. Выступили
с докладами гости: А. И. Некрасов, Н. Н. Лузин и
П. С. Урысон ([5], стр. 49).

В. А. Стеклов выпускает книгу «Математика и ее
значение для человечества» [6], участвует в праздновании
столетия открытия Лобачевским неевклидовой геометрии.
Я. В. Успенский издает научно-популярные книги:
«Введение в неевклидову геометрию» и «Очерк истории
логарифмов» [7]. А. Н. Крылов являлся непревзойден-
ным знатоком истории математики, часто применяя давно
забытые и усовершенствованные им самим математиче-
ские методы для решения различных технических задач.
Ему принадлежат переводы сочинений Ньютона, Гаусса,
Эйлера па русский язык. К сожалению, многие академи-
ки более позднего поколения уже не проявляют такого
интереса к истории математики.

В трудное время послевоенной разрухи по предло-
жению академика В. А. Стеклова [8] создается Физико-
математический институт. Было решено учредить инсти-
тут, назначить его директором В. А. Стеклова, просить
о выдаче средств для него и подыскать здание. В первое
время ФМИ состоял из двух отделов: Математического
(из бывш. Математического кабинета) и Физического
(на основе бывш. Физической лаборатории). Директор
института являлся в то же время и директором Математи-
ческого отдела. В июле 1921 г. в Математическом отделе
числились директор и одна вычислительница [®]. В Физи-
ческом отделе было кроме директора (П. П. Лазарева)
и заместителя (А. Н. Крылова) еще шесть сотрудников.
Из математиков в новом институте был один Стеклов.
По постановлению правительственной комиссии по сокра-
щению штатов от 21.Х 1921 г. были переданы ФМИ со-
трудники Постоянной центральной сейсмической комис-
сии и Магнитной комиссии I10]. Общее число служащих
всех трех учреждений было при этом сокращено с 22
до 17. В связи с этим в Физическом отделе ФМИ образо-
вались три отделения: чистой физики, сейсмологии и
земного магнетизма [п]. На следующий год в институте
появился еще сейсмологический отдел. К институту
были присоединены также сейсмические станции.

В первый же год своего существования ФМИ по пред-
ложению академика Лазарева принял участие в экспе-
диции по исследованию Курской магнитной аномалии
(КМА) I11], I12]. Был организован отряд под руковод-
ством П. М. Никифорова (бывшего сотрудника Б. Б. Го-
лицына) по определению силы тяжести в Северном райо-
не КМА. В. А. Стеклов взял на себя заведование теоре-
тической и вычислительной частью работы экспедиции.
В районе г. Щигры были получены интересные результа-
ты. В отчете ФМИ за 1921 г. [и] отмечалось: «Одними
магнитными измерениями невозможно решить вопроса,
имеющего весьма важное практическое значение, а имен-
но: происходит ли магнитная аномалия от залегающих
под землею магнитных руд или от каких-либо иных при-
чин, например от возникновения подземных токов и т. п.».
Дальше в отчете было сказано, что, несмотря на корот-
кий срок работ и многие неблагоприятные обстоятель-
ства, произведенные Никифоровым наблюдения обнару-
жили несомненные признаки аномалии силы тяжести
как раз в местах магнитной аномалии, «что с опреде-
ленностью свидетельствует о залегании под землей тяже-
лых магнитоносных слоев...». Теоретической обработкой
полученных результатов и строгой теорией вариометра
Этвеша занимался Стеклов. По словам авторов книги
«Курская магнитная аномалия» «Изучение силы тяжести
в районе Щпгров явилось первым в мире опытом приме-
нения гравитационного вариометра к решению задач
о распределении и общем характере скопления больших
масс в верхних слоях земной коры» (I13], стр. 205).

ФМИ посылал экспедиции в район КМА еще два раза —
в 1922 и 1923 гг. Позднее ФМИ участвовал в экспедициях
по исследованию месторождений платины, залежей ка-
менной соли ит. д.

Наряду с гравиметрическими исследованиями ФМИ
начиная с 1922 г. главные усилия направлял на восста-
новление сети русских сейсмических станций. Станции
сильно пострадали во время войны, многие прекратили
работу из-за отсутствия необходимых материалов, фото-
бумаги. Осенью 1922 г. был восстановлен Международ-
ный союз геофизики и геодезии с отделом сейсмологии [14].
Заведующий Центральным бюро этого отдела профессор
Турнер обратился в Академию наук с предложением
возобновить совместную работу в области сейсмологии.
В. А. Стеклов вошел с докладом в Отделение физико-
математических наук. ФМИ было поручено принять
меры к скорейшему восстановлению сейсмических стан-
ций. В декабре 1922 г. Стеклов представил в Главнауку
проект положения о сейсмических станциях при ФМИ,
докладную записку о необходимости срочного восстанов-
ления сейсмической сети, проект штатов и смету. В апреле
1923 г. Совнарком постановил отпустить нужную сумму.
Начинаются восстановительные работы. Для подготовки
кадров в области сейсмологии в ФМИ были приняты
практиканты, велся семинар по геофизике. В сентябре
1923 г. русскими сейсмическими станциями было заре-
гистрировано уже 149 землетрясений. Бюллетени сейсми-
ческих станций рассылаются за границу. Многие ино-
странные учреждения обращаются в ФМИ с предло-
жениями об обмене изданиями и сотрудничестве. В ме-
ханической мастерской ФМИ изготовляются и ремон-
тируются сейсмографы и другие приборы. Она принима-
ет и заграничные заказы. К 1927 г. 19 станций Европы
и Америки были снабжены сейсмографами системы Го-
лицына.

25 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
Расширяются связи с другими странами и в других
областях. Так, на заседании ОФМН 18 июня 1923 г.
Стеклов читает письмо от профессора Леви-Чивнта, в ко-
тором сообщалось, что сделано распоряжение о высылке
в Академию наук изданий римской Асайепна йе! Гипсе!,
«причем в заседаниях Академии профессор СазГеГпиоуо
указал на ряд весьма важных работ, опубликованных
в последнее время в изданиях РАН [15] и на важное науч-
ное значение восстановления обмена учеными трудами
двух Академий, связанных с бессмертными именами
Эйлера и Галилея» [16].

В 1928 г. Сейсмологический отдел ФМИ становится
самостоятельным Сейсмологическим институтом, во главе
которого остается П. М. Никифоров. На следующий год
в нем создается теоретический отдел. Заведование им
поручается В. И. Смирнову. Разрабатывая математиче-
ские методы для решения задач сейсмологии (упругие
колебания, диффракция), В. И. Смирнов и молодой
сотрудник института С. Л. Соболев заложили основы
одного из важнейших направлений современной мате-
матики.

Среди практикантов ФМИ были и математики: рано
погибший М. А. Зарецкий, Е. А. Нарышкина, Н. Н. На-
заров. В 1928 г. на стипендию им. В. А. Стеклова в ин-
ститут был принят Б. А. Венков.

7 августа 1926 г. ФМИ постановлением Совнаркома
было присвоено имя В. А. Стеклова. После смерти Стек
лова (1926) директором ФМИ стал А. Ф. Иоффе, а с 1928г.—
А. Н. Крылов, которого сменил в 1932 г. И. М. Вино-
градов. Когда в 1934 г. Академия наук переехала в Мо-
скву и ФМИ окончательно разделился на два института,
Математическому институту оставили имя В. А. Стек-
лова.

В 1932 г. академик А. С. Орлов писал в Вестнике АН
([17], стр. 2—30), что первые 7—8 лет Академия наук
работала как бы по инерции. Работа не прерывалась,
но шла в полном отрыве от боевой советской действи-
тельности. Академия замыкалась в еще более тесных
границах. Международные связи оставались невосста-
новленными.
Мы видели, что в отношении первых советских акаде-
миков-математиков и Физико-математического института
это совершенно неверно. Они сразу же включились в рабо-
ту по строительству новой жизни, причем особенно много
сделали академики В. А. Стеклов и А. Н. Крылов и про-
фессор П. М. Никифоров.

После смерти В. А. Стеклова единственным академи-
ком по чистой математике остался Я. В. Успенский.
Так как о нем в нашей литературе почти нет сведений,
а в сборниках «Математика в СССР за 30 лет» и «Матема-
тика в СССР за 40 лет» В8] не указаны его сочинения,
остановимся кратко на его деятельности.

В записке о его ученых трудах [19] говорилось, что
Я. В. Успенский успел уже приобрести известность как
глубокий знаток задач современного математического
анализа и талантливый изобретатель новых приемов для
решения их. Значительная часть его трудов относится
к теории чисел. В своей диссертации «Некоторые прило-
жения непрерывных параметров к теории чисел» (1910)
Успенский проявил себя талантливым продолжателем
исследований Вороного и Минковского. В работах «О не-
которых теоремах 8Нек]ез’а» и «О числе представлении
чисел некоторыми квадратичными формами с 4 и 9 пере-
менными» он дает «свои прекрасные и весьма простые
приемы для доказательства ряда предложений Лиувилля
и Стилтьеса и подобных этим предложениям». В статье
«Об асимптотическом выражении числовых функций,
встречающихся в задачах о разбиении чисел на слагаемые»
он «путем весьма тонкого анализа... устанавливает в ней
замечательные асимптотические выражения...». Вопро-
сам иных отделов математики посвящены работы Успен-
ского «О сходимости механических квадратур между
бесконечными пределами» и «О разложении функций
ехс1п (хпё~х)

в ряды, расположенные по полиномам ——». В запи-
ке говорится о них: «Вопросы эти ввиду важности и труд-
ности их привлекали внимание многих математиков,
однако эрудиция и талантливость Я. В. дала ему воз-
можность прийти к выводам более общим, чем достигну-
тые его предшественниками» Р9]. С июля по ноябрь 1924 г.
Успенский находился в заграничной командировке в Ка
наде и США как делегат Академии па Международном
математическом конгрессе в Торонто (10—18 августа),
где выступил с докладом. После конгресса он ездил
в Чикаго, посетил Мичиганский университет, где прочел
три лекции, посвященные достижениям русских ученых
в области теории чисел ([20], стр. 201). Второй раз ои
едет за границу на год в 1926 г. Перед поездкой он пере-
писывается с А. Н. Крыловым относительно кандидатур
на вакантные места в Академии [21]. В Америке Успен-
ский женится и, поехав в 1929 г. в новую заграничную
командировку, остается в Америке. 29.XI 1930 г. он
был исключен из числа академиков решением общего
собрания Академии наук.

Кроме указанных работ, ему принадлежат и другие,
опубликованные в наших и иностранных изданиях.
Среди них выделяются пять мемуаров, напечатанных
в 1925—1926 гг. в Известиях Академии наук. В них
Успенский паходит ряд соотношений между числами
классов бинарных квадратичных форм. Метод его дока-
зательств состоит в построении некоторых общих
числовых тождеств для произвольной числовой функции,
из которых при конкретном выборе функции получают-
ся конкретные результаты. Творчество Успенского нуж-
дается в исследовании и справедливой оценке.

В 1929 г. в Академии происходят выборы, в результа-
те которых в Академию вливаются новые силы.

ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ

1. А. Н. Крыло в,$ Воспоминания и очерки, 1956.

2. Протоколы заседаний Отд. физ.-матем. наук Академии паук
(ОФМН), 1919, § 25, 18 января 1919 г. Архив Акад, паук, Ф. 162,
оп. 3, № 55, Дело Математического кабинета.

3. Протоколы заседаний ОФМН, § 86, 1921, 23 марта.

4. А. В. Васильев, Математика, Петроград, 1921.

5. А. Ф. Л а п к о, Л. А. Л ю с т е р п и к, Математические
съезды и конференции в СССР.— Успехи матем. наук, т. 12, в. 6,
1957.

6. В. А. Стеклов, Математика и ее значение для челове-
чества. Берлин, 1923.

7. Я. В. Успенский, Введение в неевклидову геометрию.
Петроград, 1922; Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923.
8. Протоколы заседаний ОФМН, § 18, 20 января 1921 г.;
Приложение к § 19, § 22, § 97 ОФМН, § 78 протоколов заседаний
Общего собрания Академии.

9. ААН, ф. 162, оп. 3, Лё 55, л. 18.

10. ААН, ф. 164, оп. 1, № 21, 13. XI 1922.

11. ААН, ф. 164, оп. I, № 11, 1921.

12. Курская магнитная аномалия. Сборник документов и мате-
риалов. Белгород, 1—2, 1961, 1962.

13. Там же.

14. ААН, ф. 164, оп. 1, № 67. Отчет ФМИ за 1923 г.

15. Российской Академии наук.

16. Протоколы заседаний ОФМН, § 297, 18Л I 1923.

17. Всесоюзная Академия наук за 15 лет.— Вестник АН, № 11,
1932.

18. Математика в СССР за 30 лет, М., 1948; Математика в СССР
за 40 лет, М., 1—2, 1959.

19. Записка об ученых трудах профессора Петроградского уни-
верситета Якова Викторовича Успенского. Подписана Марковым,
Стекловым, Крыловым.— Протоколы заседаний Общего собрания
РАИ, Петроград, 1921, стр. 13—15.

20. Отчет о деятельности Академии паук за 1924 г.

21. ААН, ф. 759, оп. 3, № 258, 1926 г.
МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИДЕИ
Д. И. ПИСАРЕВА

(к 125-летию со дня рождения)

В. Л. Минковский

Идеи и деятельность Д. И. Писарева (1840—1868) —
яркого революционного демократа, выдающегося лите-
ратурного критика и публициста изучались многими
исследователями и широко освещены в литературе. Это
относится к его общепедагогическим взглядам и талант-
ливой критике старой школы с ее гнетущим режимом
и архаической программой. Значительно менее известны
идеи Писарева в области методики преподавания матема-
тики. Между тем в его методико-математических идеях
много оригинального, подлинно прогрессивного, значи-
тельно опередившего свое время.

Д. И. Писарев был убежденным сторонником изуче-
ния проблем естествознания и математики. Под непо-
средственным влиянием его глубоко содержательных
выступлений эти науки стали объектом постоянного
общественного внимания.

Исключительно интересна статья «Наша универси-
тетская наука». Она была написана двадцатитрехлетним
Писаревым, в бытность его узником Алексеевского раве-
лина Петропавловской крепости.

В этом произведении дана сокрушительная критика
классического образования.Убедительно показано,что клас-
сическая гимназия — вредный пережиток, что ее необхо-
димо заменить реальной школой, тесно связанной с жизнью.

Не будучи математиком по образованию, молодой
публицист весьма высоко оценивает роль математики
в развитии человеческого общества. В частности, он
пишет: «...математика — наука великая, замечательней-
ший продукт одной из благороднейших способностей
человеческого разума» (I1], стр. 133). В то же время его
глубоко удручает тот факт, что с преподаванием этой
науки в гимназиях дело обстоит из рук вон плохо.

Основной порок в постановке преподавания матема-
тики в русских гимназиях 50—60 гг. прошлого века
Писарев видит в «профанировании математики», которое
он квалифицирует как «преступление перед разумом».
Здесь речь идет о таком сугубо отрицательном явлении
в области математического образования, которое в наши
дни принято называть формализмом. «Доказывая гео-
метрическую теорему,— утверждаает Д. И. Писарев,—
гимназист только притворяется, будто он выводит доказа-
тельства одно из другого; он просто отвечает заученный
урок; вся работа лежит на памяти, и там, где изменяет
память, там оказывается бессильною математическая
сообразительность, которую вы, благодушный педагог,
уже готовы были предположить в вашем речистом учени-
ке» (I1], стр. 132). В приведенном отрывке очень вы-
пукло обрисован формализм в ученических знаниях и
навыках, выражающийся в отрыве словесной формы от
содержания и явном преобладании этой формы над содер-
жанием [2].

Но каковы причины этой «местной тупости» учеников?
Не создается ли их бессилие «искусственными средства-
ми»? Не является ли оно естественным следствием «свое-
образных достоинств системы преподавания»?

«У нас математика,— заявляет Писарев,— есть не что
иное, как собрание сочинений Боско или Пинети; это
ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает
зачем и бог знает какою эквилибристикою человеческого
мышления» (I1], стр. 132). Боско и Пинети — это имена
популярных итальянских фокусников, гастроли которых
в России в 1850—1860 гг. пользовались успехом. Выраже-
ние «собрание сочинений Боско или Пинети» употребле-
но, конечно, иронически, означая: «различные фокусы».

Чем же было вызвано такое обидное уподобление
школьного курса математики случайному набору балаган-
дых фокусов? Оно было вызвано обычной в гимназиях
того времени подменой содержательного изучения мате-
матики бессмысленной зубрежкой; забвением того факта,
что «математические науки представляют непрерывную
цепь истин, вытекающих одна из другой по логической
необходимости» (I1], стр. 132), а не бессистемный набор
неизвестно откуда взявшихся предложений для трени-
ровки механической памяти; отрывом науки от жизни,
отсутствием межпредметных связей и даже наличием
«бедственных междоусобий» между арифметикой, алгеб-
рой, геометрией и тригонометрией.

Не мудрено, что подобная постановка преподавания
математики постоянно и во множестве порождала «врагов
математики», обычно именуемых математиками, из уст
которых очень часто можно было слышать: «...математику
ненавижу и в жизни своей пе возьму больше в руки
ни одного математического сочинения» (I1], стр. 136).

Почему же примирялись с таким положением? Разве
учителя математики не осознавали плачевных результа-
тов собственной деятельности? Неужели у них не воз-
никало желания как-то изменить существующее поло-
жение?

Конечно, не все примирялись. Были отдельные исклю-
чения. Существовали учителя, которые раскрывали своим
ученикам красоту и величие математической мысли.
Но они в такой степени не соответствовали общей официаль-
ной традиции в преподавании математики, что «я,—
с убийственным сарказмом пишет Писарев, прозрачно
намекая на существующее положение вещей,— не шутя
советую старшему педагогу, имеющему власть, обратить
все свое внимание па (такого.— В. 71/.) учителя матема-
тики и отметить его в своих начальнических соображениях
как опасного человека и беспокойного реформатора»
(Р1, стр. 132-133).

В обучении математике должны достигаться материаль-
ная и формальная цели преподавания. И это необходимо
осуществлять не только при воспитании мужчин. В ре-
цензии на одну из методических работ известного педа-
гога-математика П. С. Гурьева Д. И. Писарев утвержда-
ет, что к числу образовательных средств и при воспита-
нии женщин следует «отнести рациональное, системати-
ческое преподавание математических наук в том объеме,
в каком они нужны каждому образованному человеку,
сколько для приложения к жизни, столько и для фор-
мирования правильного, последовательного мышления»
([8], стр. 86).

В шестидесятых годах предыдущего столетия эта
защита прав женщин на математическое образование
наравне с мужчинами звучала новаторски и смело.

Математические знания, согласно Писареву, должны
излагаться так, «чтобы самодеятельность ученика была
постоянно возбуждена, чтобы мысль его, творя по своим
естественным законам, постоянно убеждала его в непре-
ложности истин, постоянно говорила его сознанию: это
так и иначе быть не может» ([3], стр. 84).

В пробуждении умственных потребностей и активно-
сти ребенка, в осознании необходимости учения большую
роль призвана сыграть история науки, ознакомление
«с процессом деятельности человеческой мысли в лице
ее лучших, самых развитых представителей» ([3], стр. 85).

Высоко оценивая значение математического образо-
вания, Писарев выступал за повышение удельного веса
математики в учебном плане школы. Он предлагал отве-
сти на изучение этого предмета 6 часов в неделю в каж-
дом классе, что значительно превосходило число ежене-
дельных уроков математики в реальных гимназиях того
времени.

Методико-математические взгляды Д. И. Писарева
разоблачали антинародную деятельность в области про-
свещения помещичье-дворянской бюрократии, ее стрем-
ление оградить школу от «вредоносного» влияния есте-
ственнонаучных знаний с их основной опасностью —
материализмом и тем самым закрыть народным массам
дорогу к подлинно научному образованию.

Читателю нетрудно видеть, как близки многие из
конструктивных предложений Писарева современной прак-
тике преподавания математики. Это относится и к дози-
ровке математики в учебном плане школы и, главное,
к основным принципиальным установкам при осуществле-
нии математического образования.
Среди высказываний Писарева о развитии и препода-
вании математики есть и ошибочные. Так, например,
нельзя согласиться с тем, что «время великих открытий
и радикальных переворотов окончательно миновало для
математики» ([4], стр. 278—279), что эта наука «никогда
не будет давать никакой пищи ни чувству, ни воображе-
нию», что она «не может сделаться эстетически привле-
кательной» ([5], стр. 352).

Влияние Д. И. Писарева на передовых деятелей мате-
матического образования дореволюционной России было
весьма значительным. Ярко выраженным сторонником
его идей, талантливо преломившим их в своей учитель-
ской и литературно-методической деятельности, был заме-
чательный русский педагог-математик и революционер
В. И. Обреимов [6].

Методико-математические воззрения революционного
демократа Д. И. Писарева, сыгравшие выдающуюся
роль в формировании передовых идей русской и советской
методики математики, не должны быть забыты.

II Р II М Е Ч А IIII Я

1. Д. II. Писаре в, Паша университетская наука.— Сочине-
ния в четырех томах, т. 2, М., 1955.

2. Интересно сопоставить сказанное Д. И. Писаревым с опре-
делением формализма в школьном преподавании математики, дан-
ным А. Я. Хинчпным (А. Я. Хин ч и п, О формализме в школь-
ном преподавании математики.— Педагогические статьи, М., 1963,
стр. НО).

3. Д. II. Писарев, Подробный конспект преподавания пер-
воначальной математики малолетним детям П. Гурьева.— Избран-
ные педагогические высказывания, М., 1938.

4. Д. И. Писарев, Педагогические софизмы.— Избранные
педагогические сочинения, М., 1951.

5. Д. И. Писарев, Школа и жизнь.— Избранные педа-
гогические высказывания, М., 1938.

6. В. Л. М и н к о в с к и й, Василий Иванович Обреимов.—
Математика в школе, 1951, № 5.
ТЕКСТЫ
И
ПУБЛИКАЦИИ
[ТРАКТАТ ОБ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ]*)

Ибн ал-Хайсам

182 об. ] Трактат ал-Хасана ибн ал-Хасана ибн ал-Хай-
сама о том, что шар — наибольшая из телесных фи'
гур, имеющих равные поверхности, и круг — наи-
большая из плоских фигур, имеющих равные пери-
метры I1].

Одной из геометрических идей, на которые опи-
раются при указании па сферичность неба и на ок-
руглость мира в целом является то, что из всех те-
лесных фигур с равными поверхностями, состоящи-
ми из равных частей, наибольшая по объему — фи-
гура шара и что из всех плоских фигур с равными
периметрами, состоящими из равных частей, наи-
большая по площади — фигура круга. Та из телесных
и плоских фигур, [форма] которой ближе к круглой]
больше по объему или площади, чем та, [форма,
которой дальше от круглой. Я имею в виду подоб-
ные поверхности или периметры, части которых по-
добны друг другу. Из телесных фигур это — шар
и прямолинейные фигуры, грани которых — подоб-
ные равносторонние [многоугольники], из плоских
фигур это — круг и прямолинейные фигуры с рав-
ными сторонами и углами. Из многогранных телес-
ных фигур, грани которых подобны граням других,
ближе к сферичности та, у которой больше граней, а
из плоских фигур ближе к круглости та, у которой
больше сторон.

*) Перевод с арабского и примечания Джамаля ад-Даббаха.
В скобках [ ] указаны примечания, помещенные на стр. 441—448.
Математики [2] упоминали эту идею и пользова-
лись ею. Однако до нас не дошло ни одно их доказа-
тельство или убедительный довод в пользу этой
идеи I3]. Это обстоятельство вынудило нас исследо-
вать ее, и мы нашли общее доказательство, охваты-
вающее все ее случаи. Об этом мы и составили на-
стоящий трактат.

1. Площадь всякого круга, окружность которого
равна периметру прямолинейной фигуры с равными
сторонами и углами, больше площади этой фигуры
Р]. ]

Пример этого: круг АВ, окружность которого
равна периметру прямолинейной фигуры СБЕОН

183 с равными сторонами | и углами (рис. 1). Я утверждаю,
что площадь круга АВ больше площади фигуры
СБЕЕН.

Докзательство: поскольку фигура СБЕВН с
равными сторонами и углами, в нее можно вписать
круг, который касается всех ее сторон, так как если
разделить пополам все ее углы и продлить линии,
которые разделяют их, то они встретятся в одной
точке внутри этой фигуры и все треугольники, ко-
торые образуются с вершинами в этой точке, будут
равные и подобные; поэтому перпендикуляры, опу-
щенные из этой точки на все стороны фигуры, равны.
Если сделать эту точку центром и на расстоянии
одного пз перпендикуляров описать круг, то оп кос-
нется всех сторон фигуры. Пусть КК (Д)Р — круг,
который касается сторон этой фигуры, и пусть Г —
его центр. Соединим две линии ГМЕ, ЕБС и
опустим перпендикуляр ГК. Тогда произведение
перпендикуляра ГК па половину ЕС будет равнять-
ся площади треугольника ГЕО. Произведение ГК,
который является полудиаметром круга, па поло-
вину дуги МБ равно площади сектора ГМКБ. По
треугольник ГЕО больше сектора ГМКЬ. Поэ-
тому линия ЕС больше дуги МБ. Таким же обра-
зом докажем, что каждая из сторон этой фигуры боль-
ше дуги, которую ограничивают две линии, прове-
денные из точки Г до двух концов той стороны.
Поэтому периметр фигуры СБЕСН больше окружно-
сти круга КК(Д)Р. Но периметр фигуры СБЕСИ
равен окружности круга АВ. Поэтому окружность
круга АВ больше окружности круга ККфОР.
183ог». Поэтому полудиаметр круга \АВ больше линии ГК.

Произведение полудиаметра круга АВ на половину
его окружности равно его площади, а произведение
линии ГК па половину периметра фигуры СБЕСН
[равно площади этой фигуры. Следовательно, пло-
щадь круга АВ больше площади фигуры СБЕСН].
Это то, что мы хотели доказать.

2. Для всяких двух прямолинейных фигур с рав-
ными периметрами, каждая из которых с равными
сторонами и углами, 1если1 число сторон одной из
которых больше числа сторон другой, то ее площадь
больше другой площади.

Пример этого: две фигуры АВСБЕ, СПБ КЕМ,
каждая из которых с равными сторонами и углами,
и число сторон фигур СНБКЕМ больше числа сторон
фигуры АВСБЕ, а их периметры равные (рис. 2).
Я утверждаю, что фигура СНЕ КЕМ больше по пло-
щади, чем фигура АВСБЕ. Пусть точка К — центр
круга, вписанного в фигуру АВСБЕ и точка С> —
центр круга, вписанного в фигуру ОН Б КБМ. Про-
ведем линии КА, КВ, КС, КБ, КЕ и линии ^С,
(^Н, (^Е, (^К, (^Е, ()М и опустим перпендикуляр
26 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
МР, и опустим перпендикуляр (^2. Если из точки А
опустим перпендикуляры на все стороны фигуры
АВСБЕ, то образуются треугольники с равными
основаниями, каждый из которых равен треуголь-
нику ШЭЕ и в которых угол при центре равен углу

* Рис. 2.

ЕЦР. Также , если из точки мы опустим перпен-
дикуляры на стороны фигуры (ЛЫКЬМ, то обра-
зуются треугольники с равными основаниями, ^каж-
дый из которых равен треугольнику М()% и в кото-
рых угол при центре равен углу М ()%. Число осно-
ваний треугольников в каждой из двух фигур равно
числу углов при ее центре. Поэтому угол ЕКР от-
носится ко всем углам при центре № [вместе взятым],
как линия ЕР ко всему периметру фигуры АВСВЕ,
так как эти углы равные, и основания треугольни-
ков равные, и число углов равно числу оснований,
а все основания [вместе взятые] образуют периметр
184 фигуры. Также | угол 71/(27 относится ко всем углам
при центре () [вместе взятым], как ко всему пе-
риметру фигуры СгНВКЬМ и наоборот, все углы при
центре [вместе взятые] относятся к углу Л/^7,
как весь периметр к стороне 7И7. Все углы при точ-
ке № [вместе взятые] равны всем углам при точке
() [вместе взятым], так как все [углы вместе взятые]
образуют четыре прямых угла. Периметр АВСВЕ
равен периметру (ЛПКЕМ.
Поэтому угол ЕХР относится ко всем углам при
[вместе взятым], как линия ЕР к всему перимет-
ру фигуры ОШКЬМ. Все углы при [вместе взя-
тые] относятся к углу 71/^7, как периметр фигуры
ОШКЬМ к линии М2. Поэтому «в отношении по
равенству» [5] угол ЕХР относится к углу М(^2,
как линия ЕР к линии 7И7. Так как фигура ОШ КБМ
имеет больше сторон, чем фигура АВСВЕ, то каж-
дый из углов при [точке] (?, которая является вер-
шиной треугольников, меньше, чем каждый из уг-
лов при ТУ, поскольку, если каждая из этих двух
фигур будет вписана в круг, то одна сторона фигу-
ры ВЕН КБМ отсечет от [окружности] ее круга часть,
отношение которой к [окружности] ее круга меньше
отношения части, которую отсечет сторона фигуры
АВСВЕ к [окружности] ее круга. Поэтому угол
М(?2 меньше угла ЕХР. Отсечем от угла ЕХР
[угол] РХХ, равный углу М(?2. Угол ЕХР будет
184 об. относиться к углу | РХХ, как линия ЕР к линии М2.

Сделаем ТУ центром и на расстоянии, [равном] ли-
нии ТУХ, опишем дугу НХ1. Тогда угол ЕХР будет
относиться к углу ХТУР, как сектор ВХ1 к сектору
XXI, Но угол ЕХР относится к углу ХТУР, как ли-
ния ЕР к [линии] ТИ2, поэтому сектор КХ1 отно-
сится к сектору ХТУ/, как линия ЕР к линии М2.
Но отношение линии ЕР к [линии] РХ больше от-
ношения сектора НХ1 к сектору XXI, так как от-
ношение треугольника ЕХР к треугольнику ХТУР,
которым является это отношение, больше отношения
сектора НХ1 к сектору XXI. Поэтому отношение
линии ЕР к линии РХ больше отношения линии ЕР к
линии М2. Поэтому линия ХР меньше линии М2.
Отсечем [отрезок] РЕ, равный М2, и проведем ЕО
параллельно линин XX. Тогда угол ЕОР будет рав-
ным углу М()2, так как каждый из них равен углу
XXР. Два угла при двух точках 2, Р прямые. По-
этому другой угол треугольника ОЕР равен углу
()М2. Но сторона ЕР равна стороне М2, поэтому
треугольник ОЕР равен треугольнику (}М2 и ли-
ния ОР равна перпендикуляру (^2. Но ОР больше
перпендикуляра ХР. Поэтому перпендикуляр рх
больше перпендикуляра ХР. Произведение пер-
пендикуляра (72 на половину периметра фигуры
СНУКЬМ есть площадь фигуры СгЕПКЬМ. Произ-
ведение перпендикуляра ХР на половину перимет-
ра фигуры АВСВЕ есть площадь фигуры АВСВЕ.
Но периметры обеих фигур равные и псрпен
дикуляр ()% больше перпендикуляра ХР. Поэто-
му площадь фигуры СЕМКЬМ больше площа-
ди фигуры АВСВЕ. Это то, что мы хотели дока-
зать [6].

Этот факт доказывается [еще] другим способом,
а именно: если доказательство привело к тому, что
линия ХР меньше линии 71/2, то ясно, что линия ХР
меньше линии @2, потому что угол РХХ равен углу
185 2()М | и каждый из двух углов при двух точках Р,
7 прямой, поэтому остальные два угла равны и треу-
гольник подобен треугольнику XXР. Но ли-
ния МА больше линии ХР, поэтому перпендикуляр
(2% больше, чем ХР. Но периметр фигуры СН/КЬМ
равен периметру фигуры АВСВЕ. [Поэтому пло-
щадь] фигуры СНУКЬМ больше площади фигуры
АВСВЕ. Это то, что мы хотели доказать.

Мы доказали, что круг — наибольшая из фигур
с равными периметрами и что та из прямолинейных
фигур, [форма] которой ближе к круглой, больше
той, [форма] которой дальше от круглой.

3. Мы также утверждаем, что для всяких двух
фигур, вписанных в один круг, каждая из которых
с равными сторонами и углами, и число сторон од-
ной из которых больше [числа] сторон другой, пло-
щадь той фигуры, у которой больше сторон, боль-
ше площади другой фигуры и периметр [первой]
больше периметра [другой].

Для этого мы сначала приведем предварительное
предложение, а именно:

4. Для всяких двух неравных дуг, сумма которых
не больше двух третей [окружности] круга, отноше-
ние большой дуги к малой дуге больше отношения
хорды большей дуги к хорде малой дуги [7].
Пусть АВ, ВС — две неравные дуги и их сум-
ма — дуга АВС пе больше двух третей [окружности]
круга и АВ, ВС — их хорды (рис. 3). Я утверждаю,
что отношение дуги АВ к дуге ВС больше отноше-

ния хорды АВ к хорде ВС.

Доказательство: соеди-
ним АС и сделаем угол
С ВБ равным углу ВАС, ко-
торый меньше угла АВС,
поскольку дуга ВС меньше
дуги СА, так как дуга ВС
меньше трети круга, а ду-
га СА не меньше трети
круга. Тогда угол ВВС
будет равным углу АВС.
Поэтому два треугольника
АВС, ВВС будут подоб-
ные, и АС относится к

Рис. 3.

, как ВС к СВ. Но АС

185 об.

больше СВ, поэтому линия ВС больше линии СВ.
Сделаем С центром и на расстоянии СВ опишем ду-
гу круга, она пересечет линию АС между двумя точ-
ками А, В. Пусть она пересечет ее в точке К.
Сделаем угол ВСЕ равным углу СВВ, который ра-
вен углу ВАС, который меньше угла ВС А. Тогда
точка Е будет в секторе дуги ВК. Продолжим СЕ
до пересечения с этой дугой. Пусть она пересечет
ее в точке Н; тогда СВ относится к СЕ, как ВВ к
ВС и как СВ к ВЕ, так как два треугольника ВСВ,
ВСЕ подобны. Проведем НС параллельно линии ВВ,
тогда НС будет относиться к ЕВ, как НС к СЕ, т. е.
как ВС к СЕ, т. е. как СВ к ВЕ. Поэтому линия НС

равна линии ВС. Но ВВ больше СВ, так как она
относится к пей, как АВ к СВ, поэтому липия ВВ
больше линии НС и они параллельны. Соединим ВН
и продолжим ее по прямой; она пересечет линию АС.
Пусть она пересечет ее в точке Е, тогда ВЕ относится
к РН, как ВВ к НС, т. е. как ВВ к ВС, т. е. как АВ-
к ВС. Отношение сектора СВН к сектору С НК
больше отношения треугольника СВН к треуголь-
нику СНЕ. Поэтому отношение дуги ВН к дуге НК
больше отношения линии ВН к линии НЕ или от-
ношение угла ВСН к углу НСК больше отношения
линии ВН к линии НЕ. Присоединяя [8], [получим],
18б что отношение угла | ВСА к углу АСН, равному
углу ВАС, больше отношения линии ВЕ к линии
ЕН, т. е. отношения ВВ к НС, т. е. отношения ВВ
к ВС, т. е. отношения линии АВ к линии ВС. По
отношение угла ВСА к углу ВАС есть отношение
дуги АВ к дуге ВС. Поэтому отношение дуги АВ
к дуге ВС больше отпо-

Рис. 4.

шения хорды [АВ к хор-
де] ВС. Это то, что мы хо-
тели доказать [9].

После того как это уже
доказано, пусть АВС —
круг, в который [вписаны]
две фигуры с равными
сторонами и углами, одна
из которых имеет больше
сторон, чем другая. Пусть
ими будут АВС В, ВЕСШ
(рис. 4). Я утверждаю, что

площадь фигуры ВЕСШ
больше площади фигуры АВСВ и периметр [первой]
больше периметра [второй] [10].

Доказательство: в круг не может быть вписана
равносторонняя фигура, у которой меньше сторон,
чем у треугольника, сторона которого противопо-
ложна [дуге, равной] трети круга. Из равносторон-
них фигур, кроме треугольника, в [круг] пе может
быть вписана [фигура], у которой меньше сторон,
чем у квадрата, сторона которого противоположна
[дуге, равной] четверти круга. Поэтому в один и тот
же круг не могут быть вписаны две равносторонние
фигуры, две стороны которых противостоят [дугам!
круга» [сумма которых] больше его трети и четверти
[вместе взятых]. Поэтому для всяких двух равно-
сторонних фигур, вписанных в один и тот же круг,
их две стороны противостоят двухМ дугам круга,
Iкоторые вместе взятые] меньше двух третей круга.
186 об.

Поэтому две дуги АВ, ВЕ [вместе взятые] меньше
двух третей круга. Но дуга АВ больше дуги ВЕ,
Поэтому отношение дуги АВ к дуге ВЕ больше от-
ношения хорды АВ к хорде ВЕ и отношение дуги
АВ к дуге В/ больше отношения хорды АВ к хорде
В}. Птолемей доказал эту пропорцию в первой статье
«Атмагеста» методом, отличным от этого. Мы повто-
рили доказательство этой пропорции прежде, чем
читать книгу «Алмагеста». Отношение дуги АВ к
дуге В} составлено из отношения дуги АВ | к окруж-
ности круга [ и отношения окружности круга к ду-
ге В/. Но дуга АВ относится к окружности круга],
как сторона АВ к периметру фигуры АВСВ, так как
дуги и стороны равны по числу, и окружность круга
относится к дуге В/, как периметр фигуры ВЕЕН}
к стороне В/; поэтому отношение дуги АВ к дуге В/
составлено из отношения стороны АВ к периметру
фигуры АВСВ, и из отношения периметра фигуры
ВЕЕН} к стороне В/. Но отношение дуги АВ к дуге
В/ больше отношения стороны АВ к стороне 7?./.
Поэтому отношение, составленное из отношения АВ
к периметру фигуры АВСВ и из отношения пери-
метра фигуры ВЕЕН} к стороне В7, больше отно-
шения АВ к В}, Отношение АВ к В} составлено из
отношения АВ к периметру АВСВ и из отношения
периметра АВСВ к В/. Поэтому отношение, состав-
ленное из отношения АВ к периметру АВСВ и из от-
ношения периметра ВЕЕН} к В/, больше отношения,
составленного из отношения АВ к периметру АВСВ
и из отношения периметра АВСВ к В/. Отбросим
общее отношение АВ к периметру АВСВ, останется,
что отношение периметра ВЕЕН} к В} больше от-
ношения периметра АВСВ к В/. Поэтому периметр
ВЕЕН} больше периметра АВСВ. Перпендикуляр,
опущенный из центра круга на линию В/, больше
перпендикуляра, опущенного из центра па линию
АВ, так как В/ меньше АВ. Произведение перпен-
дикуляра, опущенного из центра на В}, на полови-
ну периметра фигуры ВЕЕН} есть площадь этой
фигуры и произведение перпендикуляра, опущенного
из центра на линию АВ, на половину периметра фи-
гуры АВСВ, есть площадь этой фигуры. Поэтому
площадь фигуры ВЕСЕ} больше площади АВСВ и
периметр фигуры ВЕСЕН больше периметра фигу-
ры АВСВ. Это то, что мы хотели доказать.

)87 15. Мы также утверждаем, что объем всякого

шара, охваченного поверхностью, равной поверхно-
сти телесной фигуры с равными гранями, грани ко-
торой равносторонние и подобные, больше объем,а
этого равногранного тела.

Сначала приведем предварительные предложе-
ния: благородный Архимед доказал в своей книге
«О шаре и цилиндре», что шар есть две трети ци-
линдра, основание которого — большой круг, имею-
щийся в шаре и высота которого — диаметр шара,
и что поверхность шара есть учетверенный большой
круг, имеющийся в шаре, и объем цилиндра есть
произведение его высоты на его основание. Из этого
вытекает, что произведение диаметра шара на две
трети его большого круга есть объем шара и что про-
изведение половины диаметра шара на один с третью
его большого круга есть треть всей поверхности ша-
ра, так как поверхность шара равна его учетверен-
ному большому кругу. Из всего этого [следует, что!
объем шара должен быть [равен] произведению
половины его диаметра на треть его поверхности.
[Если] из центра любого вписанного в шар тела, гра-
ни которого равпые и равносторонние, провести
плоскость до сторон одной грани, то они отсекут
187 об. от шара | сектор, который относится ко всему шару
как сферическая поверхность, являющаяся основа-
нием сектора, ко всей поверхности шара и как телес-
ный угол при центре шара, составленный плоскостя-
ми прямолинейного конуса, основанием которого
является одна грань тела, к восьми прямым телес-
ным углам, т. е. ко всем телесным углам при центре
шара или при любой точке в середине [вписанного]
тела, так как шар и его поверхность делятся этими
плоскостями па равные части. Что касается углов,
то это потому, что если в шаре провести большой
круг и в этом круге — два диаметра, пересекающих-
ся под прямыми углами, и из его центра восставить
перпендикуляр к его плоскости и продолить его в
обе стороны до поверхности шара и из его концов
провести линии до двух концов двух диаметров, то
в шаре образуется восемь равных конусов, вершины
которых в центре шара и углы которых при их вер-
шинах равны. Каждый из этих углов называется

Рис. 5.

прямым телесным углом, и сумма этих углов есть
сумма углов любого тела, вписанного в шар и охва-
ченного этим шаром. Из этого вытекает, что произ-
ведение половины диаметра шара на треть сферичес-
кой поверхности, которая является основанием сфе-
рического сектора, есть объем сферического секто-
ра РЧ.

Поскольку это уже доказано, пусть А — шар и
В — тело с равными гранями и его грани равносто-
ронние, какова бы пи была форма тела и какова бы
ни была форма его гранен. Пусть поверхность этого
тела, которая охватывает его, равна поверхности
шара А (рис. 5). Я утверждаю, что объем шара боль-
ше объема тела.

Доказательство: [пусть дано] любое тело с рав-
ными гранями, имеющими равные стороны и углы,
и около него описан шар. Пусть точка В есть центр
шара, описанного около тела 7?, и плоская фигура
БОЕ — одна из граней тела В. Соединим линии ВБ,
ВЕ, ВС; они равны. Из точки В опустим перпенди-
куляр на плоскую фигуру Б СЕ; пусть им будет ВС.

188 Тогда точка С будет в середине | фигуры Б СЕ, так
как точка С является центром круга, описанного око-
ло фигуры БСЕ. которая находится в шаре, описан-
ном около тела В. Представим себе шар с полудиамст-
ром ВС. Этот шар касается всех граней фигуры В,
так как перпендикуляры, опущенные из точки В
па все грани этой фигуры, равны, потому что
фигура В вписана в шар и ее равные грани вписаны
в равные круги, пересекающие шар; поэтому линии,
проведенные из центра шара до центров этих кругов,
равны и перпендикулярны к их плоскостям. Плос-
кости конуса ВБЕС [12] отсекают от этого шара часть,
которая [находится] внутри этого конуса, поэтому
конус ВБЕС больше сферического сектора, кото-
рый [находится] внутри его и является такой частью
шара, какой частью всей многогранной телесной
фигуры является конус. Произведение ВС на треть
плоской фигуры БЕС есть объем конуса, и произве-
дение ВС на треть сферической поверхности, кото-
рая является основанием сферического сектора, на-
ходящегося внутри прямолинейного конуса, есть
объем сектора. Так как поверхность сектора отно-
сится ко всей поверхности шара, как сектор ко все-
му шару, то произведение половины диаметра шара
на треть основания сферического сектора относится
к произведению половины диаметра шара па треть
всей поверхности шара, как сферический сектор
ко всему шару. Но произведение половины диаметра
шара на треть всей поверхности шара есть объем ша-
ра, и произведение половины диаметра шара на треть
основания сферического сектора есть объем сфери-
ческого сектора. Поэтому произведение линии ВС
на треть плоской фигуры БЕС больше произведения
(88 об ВС па треть | основания сферического сектора. Поэ-
тому плоская фигура БЕС больше сферической по-
верхности, которая является основанием сектора.
Также каждая из граней телесной фигуры больше
сферической поверхности, которую [отсекают] плос-
кости конуса, проведенные пз центра шара до сто-
рон этой грани. Из этого следует, что поверхность,
окружающая все тело В, больше поверхности шара,
вписанного в это тело, полудиаметр которого — ли-
ния ВС. Но поверхность, окружающая тело В, рав-
на поверхности шара А, поэтому поверхность шара
А больше поверхности шара, полудиаметр которо-
го — линия ВС. Поэтому полудпаметр шара А
больше линии ВС. Произведение линии ВС на треть
поверхности, окружающей тело В, есть тело В и
треть поверхности шара А равна трети поверхности,
окружающей тело В, и полудиаметр шара А больше
линии ВС. Поэтому объем шара А больше объема
тела В. Это то, что мы хотели доказать [13].

Мы также утверждаем, что если для двух любых
равногранных тел с равносторонними и подобными
гранями, грани одного из которых подобны граням
другого и число граней одного из которых больше
[числа] граней другого,— это бывает в телах, грани
которых равносторонние треугольники [14], поверх-
ность, окружающая одно из них, равна поверхности,
окружающей другое, т. е. сумма граней одного из
них равна сумме граней другого,— объем тела, число
граней которого больше, больше объема другого тела.

Мы также утверждаем, что для всяких двух равно-
гранных тел с равносторонними и подобными граня-
ми, грани одного из которых подобны граням друго-
го и число граней одного из которых больше [числа]
граней другого, если они вписаны в один и тот же
шар, поверхность, окружающая тело, число граней
которого больше, больше поверхности, окружающей
189 &РУгое тело и объем тела, | число граней которого
больше, больше объема другого тела. Для этого сна-
чала приведем предварительные предложения.

Для всяких двух прямолинейных конусов, находя-
щихся в шаре, вершины которых в центре шара, угол
[первого] конуса относится к углу [второго] конуса
I15], как часть поверхности шара, противоположная
углу [первого] конуса, к части поверхности шара,
противоположной углу другого конуса, и, как сфе-
рический сектор основание которого — [первая]
часть поверхности шара, к сферическому сектору,
основание которого — другая часть.

Доказательство: если мы возьмем любые одина-
ковые кратные каждого из двух конусов, то кратные
конусов отсекут от шара равные секторы, углы ко-
торых равны и сферические поверхности которых
равны. Если часть шара, которую отсекают все
кратные одного конуса, больше части шара, кото-
рую отсекают кратные другого конуса, то угол, ко-
торый является кратным угла [первого] конуса,
больше угла, который является кратным другого
конуса и часть поверхности шара, противополож-
ная [большому углу, больше части поверхности ша-
ра, противоположной] малому углу. Если же часть
шара, которую отсекают кратные одного конуса,
меньше части шара, которую отсекают кратные дру-
гого конуса, то угол [первой] части меньше угла
[второй] части и сферическая поверхность, про-
тивоположная малому углу, меньше сферической
поверхности, противоположной большому углу. Ес-
ли же часть равна части, то и угол равен углу, и по-
верхность равна поверхности. Поэтому, [если] угол,
который является кратным [угла одного из двух
конусов, больше угла, который является кратным]
угла другого конуса, то сферическая поверхность
больше сферической поверхности и сектор,который
является частью шара, больше другого сектора, ко-
торый является частью шара. Если же угол, который
является кратным, меньше угла, который является
кратным, то сферическая поверхность меньше сфе-
рической поверхности и сектор меньше сектора.
189оо.^сли же I Угол> который является кратным, равен
углу, который является кратным, то сферическая
поверхность равна сферической поверхности и сек-
тор [равен] сектору. Если кратные не существуют
вводном шаре, то образуем их в двух шарах и про-
должим доказательство, как выше, так как эти ша-
ры равны. Поэтому угол одного из двух конусов от-
носится к углу другого конуса, как сферическая
поверхность, противоположная тому углу к сфери-
ческой поверхности, противоположной другому углу,
и, как сектор к сектору I16]. Это то, что мы хотели
доказать.

6. Если из вершины любого прямолинейного кону-
са I12], основание которого — треугольник и одно из
ребер которого, проведенное из его вершины до од-
ного из углов его основания, составляет с каждой из
двух сторон угла, к которому оно проведено, угол не
меньше прямого, провести до одной из упомянутых
двух сторон основания линию, которая пересечет эту
сторону, а затем из конца этой линии до конца дру-
гой стороны провести линию, которая отсечет от
основания треугольник, являющийся его частью а от
конуса отсечет конус, являющийся его частью так,
чтобы один из двух углов при основании полученного
треугольника был не меньше прямого, то отноше-
ние большого конуса к основанию малого конуса больше
отношения угла большого конуса к углу малого конуса.

Пример этого: конус АВСБ, его вершина — точ-
ка Л и его основание — треугольник СВБ и ребро
АВ составляет с каждым из двух ребер ВС, ВБ угол
не меньше прямого. Из его вершины проведена ли-
ния АЕ, соединенная с ЕС и образован конус АВЕС
так, чтобы один из двух углов АЕС, АСЕ был не
меньше прямого. Я утверждаю, что отношение тре-
угольника БВС к треугольнику ЕВС больше отноше-
ния угла конуса АВСБ, который при точке А, к уг-
лу конуса АВЕС, который при точке А (рис. 6) [171.

Доказательство: сделаем А центром и на расстоя-
нии АВ опишем часть шара; на каждой из плоско-
стей конуса она образует дугу круга. Пусть дуга ВН
будет дугой, которая образуется на плоскости АВС,
юз | и дуга ВЫ — дугой, которая образуется на плоско-
сти АВБ, и дуга НБ — дугой, которая образуется
на плоскости А СБ, и дуга НСЬ — дугой, которая
образуется на плоскости АСЕ. Соединим линию ВБ
и продолжим ее по прямой. Она встретит линию АБ,
так как угол В АБ острый и угол АВБ острый,
поскольку АВ равна АБ. Пусть она встретит ее в точ-
ке /<; тогда точка К будет на плоскости треугольни-
ка АСБ и ниже точки Б.

Каждая линия, проведенная пз точки В до точки
из дуги НСБ, если продлить ее по прямой, встретит

Рис. 6.

плоскость А СБ, так как плоскость, в которой [на-
ходятся] эта линия и линия АВ, пересекает плос-
кость АСЕ и образует на ней линию, составляющую
с линией АВ острый угол. Представим себе конус
[18] с вершиной в точке Вис основанием — секто-
ром АНСБ и представим себе, что оп продолжен со
стороны его основания. Он пересечет плоскость АСБ
и образует на ней кривую линию, концы которой —
две точки Н, К. Пусть ею будет линия 1ШК. Эта
линия будет вне сферической поверхности, так как
каждая линия, проведенная из точки В до точки
дуги БОН, если продолжать ее по прямой, выходит
из сферической поверхности. Вследствие этого сфе-
рический сектор, вершина которого — точка А и
основание которого — сферическая поверхность, ко-
торую ограничивают дуги Я/, НБ,БР, будет внутри
поверхности конуса АНИКЕ. Но конус АНСЕВ
[находится] внутри сферического сектора, вершина
которого — точка А и основание которого — сфери-
ческая поверхность, ограниченная дугами ЯЯ, ЯЯ,
ЬН. Поэтому отношение конуса к конусу больше от-
ношения сферического сектора к сферическому сек-
тору. Присоединяя, [получим, что] отношение сфе-
рического конуса АНИ КВ I18], вершина которого —
точка Я и основание которого АНИК, к сферичес-
кому конусу АНСБВ, вершина которого — точка Я
и основание которого — сектор АНСБ, больше от-
ношения сферического сектора, вершина которого —
точка А п угол которого — угол конуса АВСБ
при точке Л, к сферическому сектору, вершина ко-
торого — точка А и угол которого — угол конуса
АВСЕ при точке А.

Я утверждаю, | что отношение треугольника
АЕС к сектору АБСН не больше отношения треуголь-
ника АБС к сектору АКЫН и оно не может быть
[больше].

Если возможно, пусть отношение треугольника
АЕС к сектору АЬСН больше отношения треуголь-
ника АБС к сектору АКИН. Тогда треугольник
АБС относится к сектору АКИН как треугольник
АЕС к плоской фигуре, которая больше сектора
АЬСН.

Пусть ею будет плоская фигура IV и пусть плос-
кая фигура I есть избыток плоской фигуры IV над
сектором АЬСН. Около дуги БСН мы можем описать
прямолинейную фигуру, стороны которой касаются
дуги БСН так, чтобы плоская фигура, являющаяся
ее избытком над сектором АЬСН, была меньше плос-
кой фигуры I [19]. Пусть фигура, стороны которой
линии БХ, ХЕ, РН, и будет этой фигурой, и пусть
эти линии касаются дуги БСН в точках Б, С, Н.
Если продлить по прямой линию, проведенную из
точки В до точки 6г, то она дойдет до кривой линии
НИК. Пусть она дойдет до точки Лг. Соединим линии
ВН, ВР, ВХ\ тогда образуется конус, вершина ко-
торого — точка В и основание которого — многосто-
ронняя фигура АЬХРН. Если продлить плоскости
копуса ВАЬХРН, то они встретят плоскость АС1)
и образуют на ней линии, касающиеся липни IIХК
в точках Н, X, К, так как плоскости многогранного
конуса встречают плоскости круглого копуса только
в линиях ВЬ, ВХ, ВР, ВН-, поэтому стороны этого
конуса на плоскости АСБ встречают линию НИК
только в одной точке. Пусть этими сторонами будут
Нф, РК, тогда точками касания будут точки
Н, X, К\ поэтому две точки (), Р будут вне кругово-
го конуса. Соединим линию АХ и продолжим ее по
прямой; она встретит линию ЕС. Пусть она встре-
тит ее в точке В. Соединим линию АР и продолжим
ее по прямой; она встретит линию ЕС. Пусть она
встретит ее в точке 7. Соединим АР и продолжим
ее по прямой; она встретит линию БС. Пусть опа
191 встретит ее в точке 8. Соединим Л и продолжим
ее по прямой; она встретит линию БС. Пусть опа
встретит ее в точке О. Так как линия ВХР пересе-
кается с линиями АР, АХ, АВ, эти линии [находят-
ся] в одной плоскости. Поэтому точки В, В, 8 [на-
ходятся] в плоскости этих линий и в плоскости тре-
угольника СВБ. Поэтому точки В, В, 8 [находятся]
на [одной] прямой линии. Проведем эту линию, и
пусть ею будет ВВ8. Таким же образом мы докажем,
что линия ВАО прямая. Пусть угол А ЕС сначала
будет прямым, тогда линия ЕС будет параллельна
линии ЬХ. Из точки В проведем линию, параллель-
ную линии ВХР\ она пересечет линию А8 между
двумя точками Р, 8, так как она будет внутри тре-
угольника ВР8. Пусть она пересечет ее в точке Б.
Из точки Е проведем линию, параллельную линии
ВЬК\ она пересечет линию АБ между двумя точка-
ми К, Б. Пусть она пересечет ее в точке V. Соединим
БУ. Так как ЕУ параллельна линии ЬК, то ЕА от-
носится к АЬ, как УА к АК, так как ЕВ параллельна
линии ЬХ, то ЕА относится к АЬ, как НА к АХ,
и так как Н V параллельна ХР, то НА относится
к АХ, как ГА к АР. Поэтому ГА относится к АР,
как УА к АК, и поэтому линия ГУ параллельна
линии РК. Поэтому треугольник АГУ относится
к треугольнику АРК, как треугольник АНЕ к
треугольнику АХЬ, так как двойное отношение
УА к АК есть двойное отношение ЕА к АЬ I20].
Поэтому отношение треугольника А8Ь к треуголь-
нику АРК больше отношения треугольника АНЕ
к треугольнику АХЬ. Из точки Н проведем линию
НУ, параллельную линии ХЕ; она пересечет линию
А7 между Двумя точками Е, 7, так как угол
тупой и угол А ХЕ острый. Пусть опа пересечет ее
в точке У. Из точки У проведем линию УТ, парал-
лельную линии ВЕ(); она пересечет линию АО.
Пусть она пересечет ее в точке Т. Соединим ТГ;
тогда ТА относится к А(}, как У А к АЕ, и У А отно-
сится к АЕ, как НА к АХ, и НА относится к АХ,
191 об как ГА к АР. Поэтому ГА относится к АР, | как

ТА к. А(^, и поэтому линия ТГ параллельна линии
()Р и треугольник АКТ относится к треугольнику
АР(<), как треугольник АНУ к треугольнику АХЕ.
Из точки 7 проведем линию ЯГ, параллельную ли-
нии В(); она пересечет АО между двумя точками (?,
О. Пусть она пересечет ее в точке Г, тогда точка Г
[находится] между двумя точками Т, О, так как
УГ параллельна УТ. Соединим ГГ ; тогда тре-
угольник АГ Г относится к треугольнику АГТ, как
ГА к АТ, и ГА относится к как 2Л к АУ,
и 2Л относится к АУ, как треугольник АНУ к
треугольнику АНУ. Поэтому треугольник АГ Г
относится к треугольнику АГТ, как треугольник
АНУ к треугольнику АНУ. Но треугольник А НУ
относится к треугольнику АХЕ, как треугольник
АГТ к треугольнику АР(), поэтому треугольник
АГ Г относится к треугольнику АР($, как треуголь-
ник АНУ к треугольнику АХЕ. Поэтому отношение
треугольника А80 к треугольнику АР(^ больше от-
ношения треугольника АКУ к треугольнику АХЕ.

27 Истор -матем. исслед., выгг. XVII
Из точки У опустим перпендикуляр к линии АС.
Пусть им будет УТ'; тогда точка Г будет между дву-
мя точками Л, С, так как угол АЕС прямой. Линия
У/' параллельна линии РН, так как угол АИР
прямой, поскольку ИР — касательная. Соединим
ПТ, ГГ, Т'Я, тогда ТА относится к Л(?, как УЛ
к АР и УЛ относится к АР, как Т'А к АН. Поэтому
Т'А относится к ЛН, как ТА к Л <2, п поэтому ли-
ния Т'Т параллельна линии Н(}. Поэтому треуголь-
ник АТТ' относится к треугольнику А^Н, как
треугольник ЛУУ' к треугольнику АРП. Треуголь-
ник АГГ относится к треугольнику Л ТУ', как ГА
к АТ, и ГА относится к АТ, как 2 Л к Л У, и 2Л
относится к Л У, как треугольник Л2У' к треуголь-
нику ЛУГ. Поэтому треугольник АГГ относится
к треугольнику А()Н, как треугольник Л2У'
к треугольнику АРН. Соединим ГС; тогда треуголь-
ник АГ С относится к треугольнику АГГ, как С А
к АТ', и С А относится к АТ', как треугольник Л УС
к треугольнику АЯТ'. Но треугольник АЯТ' отно-
сится к треугольнику АРН, как треугольник АГГ
192 об. к треугольнику А(^Н,\ поэтому треугольник Л ГС
относится к треугольнику Л (^Н, как треугольник АЯС
к треугольнику АРН. Поэтому отношение треуголь-
ника АОС к треугольнику Л ОН больше отношения
треугольника АЯС к треугольнику АРП. Поэтому от-
ношение всего треугольника АИС к многосторонни-
ку АКРОН больше отношения треугольника АЕС
к многостороннюю АЬХРН [21]. Но отношение
треугольника АЕС к многостороннику АЬХРН боль-
ше отношения треугольника АИС к сектору АНИК.
Поэтому отношение треугольника АИС к многосто-
роннику АКР(}Н больше отношения треугольника
АИС к сектору АНИК. Поэтому многосторонний
АКР(^Н меньше сектора АНИК, а это невозможно.
Поэтому отношение треугольника АЕС к сектору
АПСтЬ не больше отношения треугольника АИС
к сектору АНХК [22].

Треугольник АЕС относится к сектору АНСЕ,
как конус АВЕС, вершина которого — точка В,
к конусу АНСЬВ, вершина которого — точка В.
Поэтому отношение копуса ЛВЕС, вершина кото-
рого — точка В, к конусу ЛНСЬВ, вершина кото-
рого — точка В и основание которого — сектор
АНСЬ, не больше отношения конуса АВСБ, вер-
шина которого — точка В, к конусу ЛН1УКВ, вер-
шина которого — точка В и основание которого —
сектор АНХК [23]. Поэтому отношение копуса
АВСБ к конусу АНХ КВ либо равно отношению
конуса АВСЕ к конусу АНСЬВ, либо больше него.
С помощью перестановки получается, что отношение
конуса АВСБ к конусу АВСЕ либо равно отношению
копуса АВНХК к конусу АВНСЬ, либо больше него.
Но отношение копуса ЛНХКВ к конусу ЛНСЬВ
больше отношения сферического сектора, угол ко-
торого — угол копуса АВСЕ при точке А к сфери-
ческому сектору, угол которого — угол копуса
АВСЕ при точке А. Поэтому отношение копуса
АВСБ к конусу АВСЕ больше отношения сфери-
ческого сектора к сферическому сектору. Конус
юз АВСБ относится] к конусу АВСЕ, как треугольник

СВБ к треугольнику СВЕ. Большой сферический
сектор относится к малому сферическому сектору,
как угол конуса АВСБ к углу конуса АВСЕ, кото-
рые при точке А. Поэтому отношение треугольника
СВБ к треугольнику СВЕ больше отношения угла
конуса АВСБ при точке Л к углу конуса АВСЕ
при точке А.

Если угол ЛЕС тупой, то сделаем угол АЕБ'
прямым и из точки Б' проведем линию Б'М, парал-
лельную линии ВХР', опа будет параллельной ли-
нии В1Ь. Поэтому НА относится к АБ', как БА к
АМ. Соединим УМ; тогда треугольник АУБ отно-
сится к треугольнику ЛУЛ/, как треугольник АЕВ
к треугольнику АЕБ'. МА относится к АР, как
Б'А к АХ, и Б 'А относится к АХ, как ЕА к АЕ,
и ЕЛ относится к ЛЬ, как УЛ к ЛК; поэтому УЛ
относится к ЛК, как МА к АР. Поэтому линия УМ
параллельна линии КР и треугольник АУМ отно-
сится к треугольнику АКР, как треугольник АЕБ'
к треугольнику АЬХ. Поэтому отношение треуголь-
ника Л/9 5 к треугольнику АКР больше отношения
треугольника АЕВ. к треугольнику АЬХ I24]. Про-
ведем из точки Б' линию, параллельную линии ХЕ,
и проведем доказательство, как указано выше. Та-
ким образом, доказывается, что отношение треуголь-
ника АБС к многостороннику, который внутри
него, больше отношения треугольника А ЕС к мно-
гостороннпку, который внутри его.

Если угол АСЕ является прямым или тупым, то
мы начинаем построение со [стороны] точки С и
проводим доказательство, как указано выше, так
как, если угол АСЕ прямой, то линия СЕ параллель-
на линии 11Е; если ясе угол тупой, то [линия], па-
раллельная [НЕ], делит угол АСЕ. Поэтому во всех
случаях, когда один из двух углов А ЕС, АСЕ не
меньше прямого, отношение треугольника СЕБ
к треугольнику СВЕ больше отношения угла кону-
юз об. са АВСБ при точке | А к углу конуса АВСЕ при
точке А. Это то, что мы хотели доказать.

7. Если из вершины любого прямолинейного ко-
нуса, основание которого — треугольник, один из
углов которого не меньше прямого и одно из двух ре-
бер которого, проведенное из его вершины до одного
из двух острых углов его [основания], перпендикуляр-
но к плоскости основания, провести линию, которая
пересечет сторону основания, противоположную то-
му острому углу, до [вершины] которого проведен
перпендикуляр, и соединить конец этой [линии]
с точкой падения перпендикуляра, и этим разде-
лить основание на два треугольника и конус на два
конуса, то отношение большого треугольника к ма-
лому треугольнику, примыкающему к большому
углу, больше отношения угла большого конуса к углу
малого конуса, примыкающего к большому углу.

Пример: [дан] конус АВСБ с вершиной в точ-
ке Л и с треугольным основанием ВСБ и угол ВСБ
не меньше прямого, а ребро АВ перпендикулярно
к плоскости основания. Из точки А проведена линия
АЕ и соединена ЕВ (рис. 7). Я утверждаю, что
отношение треугольника ВВС к треугольнику ЕВС

больше отношения угла конуса АВСБ к углу конуса
АВСЕ. Доказательство: продлим перпендикуляр А В

в сторону В и построим прямой угол на линии АЕ.

Пусть им будет АЕВ\
тогда линия ЕВ встре-
тит линию АВ, так как
угол ЕЛ В острый. Пусть
она встретит ее в точке В.
Соединим СВ и БВ. Так
как угол ВСБ не мень-
ше прямого, линия ЕВ
больше линии ВС и так
как АВ перпендикуляр-
на к основанию, АЕ
больше линии АС [251-
Поэтому, если продлить
ВС в сторону С и от-
сечь от нее [часть], рав-

Рис. 7.

ную ВЕ, и соединить ее

конец с двумя точками

Л, В, то образуется прямой угол, равный углу АЕВ.
Поэтому угол АСВ тупой, так как он [находится]
внутри прямого угла и угол ВСБ не меньше прямого.
Плоскость АВС стоит к плоскости ВСБ под прямым
углом. [Поэтому] угол АС Б не меньше прямого,
так как, если бы угол ВСБ был прямым, то БС
была бы перпендикулярна к плоскости АВС, и
194 поэтому угол АСБ был бы прямым; но поскольку |
угол ВСБ тупой, линия СБ [находится] за перпен-
дикуляром, восставленным к плоскости АВС из
точки С, и поэтому угол АСБ тупой. Поэтому угол
АСБ во всех случаях не меньше прямого и угол АСВ
тупой. Итак, [получается] конус АСБВ с вершиной
в точке Лис треугольником СВБ в основании и реб-
ро АС, проведенное из его вершины до угла ВСБ,
составляет с каждой пз двух линий СВ, СБ угол не
меньше прямого, и из его вершины проведена линия
ЛЕ до одной из двух сторон основания, которые со-
ставляют угол ВСБ и из ее конца, которым является
точка Е, проведена линия ЕС и получился прямо и
угол А ЕЕ. Поэтому отношение треугольника ЕСЕ
к треугольнику ЕСЕ больше отношения угла кону-
са АСЕВ при точке А к углу конуса АЕСЕ при точ-
ке А. Но треугольник ЕСВ относится к треугольни-
ку ЕСЕ, как ВС к СЕ, и ВС относится к СЕ, как
треугольник ВВС к треугольнику ЕВС, и угол
копуса А ЕСВ при точке А является углом конуса
АВСВ, п угол копуса АЕСЕ при точке А является
углом конуса АВСЕ. Поэтому отношение треуголь-
ника ВВС к треугольнику ЕВС больше отношения
угла копуса АВСВ при точке А к углу конуса АВСЕ
прп точке А. Это то, что мы хотели доказать.

8. Если через вершину любого прямолинейного ко-
нуса, основание которого — равнобедренный тре-
угольник и ребро которого, проведенное из его вершины
до вершины равнобедренного треугольника, перпендику-
194 об. лярно к плоскости основания, провести | плоскость, пе-
ресекающую его основание по линии, параллельной сто-
роне основания, противоположной углу при [точке]
падения перпендикуляра и эта [плоскость] отсечет
от конуса — конус, являющийся его частью, то от-
ношение основания большого конуса к основанию ма-
лого конуса больше отношения угла большого конуса
[при вершине конуса] к углу малого конуса при вер-
шине конуса [2С].

Пример: [дан] конус АВСВ с вершиной в точке /1
п с треугольником ВСВ в основании. Из его верши-
ны проведена плоскость А ЕЕ, которая пересекает
треугольник ВСВ по линии ЕЕ, [где] ЕЕ параллель-
на линии СВ (рис. 8). Я утверждаю, что отношение
треугольника СВВ к треугольнику ЕВЕ больше от-
ношения угла копуса АВСВ при точке А к углу ко-
нуса АВЕЕ при точке А.

Доказательство: разделим ЕЕ пополам в точке У
и соединим В/; она будет перпендикулярна к липни
ЕЕ. Продолжим В! до [точки] II, [которая] разде-
лит линию СВ пополам в точке II. Соединим л пип и
А!, АН, С/. Так как АВ перпендикулярна к плоско
сти треугольника ВСВ, плоскость АВН стоит к
плоскости треугольника СВБ под прямыми углами.
Так как плоскость АВН стоит к плоскости треуголь-
ника СВБ под прямыми углами и линия /С перпенди-
кулярна к линии ВН, по которой пересекаются эти
две плоскости, то }С перпендикулярна к плоскости
АВИ. Поэтому угол А} С

прямой и угол А} С ту-
пой. Поскольку конус
АВИС прямолинейный и
ребро АВ перпендикуляр-
но к двум линиям ВС, ВН
и проведена линия А}, и
соединена }С и получился
тупой угол А}С, то отно-
шение треугольника ВСН
к треугольнику ВС} боль-
ше отношения угла конуса
АВСН к углу конуса А ВС}
[27]. Поскольку конус
АВС} прямолинейный п
его основание — треуголь-
ник ВС} и ребро АВ пер-

Рис. 8.

пендикулярно к двум ли-

ниям ВС, В} и линия А} составляет с }С прямой
угол, то отношение треугольника С}В к треугольни-
ку }ВС больше отношения [угла конуса АВС}

195

при точке Л к углу конуса АВС} при точке А [27[.
Поэтому отношение треугольника ВСН к треуголь-
нику ВС} больше отношения }\ угла конуса АВСН
к углу конуса АВ} С. Но треугольник Б ВС — уд-
военный треугольник НВС и угол копуса АВСБ —

удвоенный угол конуса АВСН, и угол конуса
АВЕС —удвоенный угол конуса АВ}С и треуголь-
ник ЕВС — удвоенный треугольник }ВС. Поэтому
отношение треугольника Б ВС к треугольнику ЕВС
больше отношения угла конуса АВСБ [при точке А]
к углу конуса АВЕС при точке А. Это то, что мы хо-

тели доказать.

9. Для двух любых прямолинейных конусов, ос-
нования которых — две подобные плоские фигуры,
одна из которых больше другой, находящихся в [ог7-
ном] шаре таким образом, что их вершины [нахо-
дятся] в центре шара, отношение угла большого
конуса к углу малого конуса больше отношения
основания большого конуса к основанию малого
конуса I28].

Пусть центром шара будет точка А. Представим
себе, что плоскость основания большого конуса пере-
секает шар и образует в нем круг; пусть точка В
будет центром этого круга. Соединим АВ; она будет
перпендикулярна к плоскости круга, который яв-
ляется плоскостью основания конуса, так как ребра
конуса равны. Представим себе линии, проведенные
из точки В до углов основания конуса; они делят ос-
нование на равные треугольники. Пусть треугольник
ВСБ будет одним из этих треугольников (рис. 9).
Представим себе также, что плоскость основания
)95 оГ> малого конуса пересекает шар и образует в нем |
круг, и представим себе линию, проведенную пз
точки А до центра этого круга; она будет перпенди-
кулярна к плоскости этого круга и к плоскости ос-
нования конуса, которое [находится] в этой плоско-
сти. Так как основания двух конусов подобны и од-
но из них больше другого, круг, описанный около
малого основания, [меньше круга, описанного около
большого основания]. Поэтому линия, проведенная
пз центра шара до центра малого круга, больше ли-
нии, проведенной из центра шара до центра боль-
шого круга. Но этими двумя линиями являются два
перпендикуляра, опущенных к плоскостям двух ос-
нований. Поэтому перпендикуляр, опущенный из
точки А на малое основание, больше линии АВ.
Пусть линия АЕ равна этому перпендикуляру.
Представим себе линии, проведенные из центра это-
го круга до углов [вписанного] в него основания;
они делят основание на равные треугольники, по-
добные между собой и подобные треугольнику ВСБ.
Представим себе плоскость, проведенную через точ-
ку Е и параллельную плоскости треугольника ВСБ;
она образует в шаре круг, равный малому кругу,
описанному около основания малого конуса. Из точ-
ки Е проведем две линии, параллельные двум ли-
ниям ВС, ВИ и доходящие до окружности круга,

Рис. 9.

центр которого есть точка Е. Пусть ими будут ли-
нии ЕС, ЕН. Соединим С1Г, тогда образуется тре-
угольник ЕСН, подобный треугольнику ВСЕ и
равный каждому из треугольников, на которые было
разделено основание малого конуса. Если из точки
Е проведем линии, составляющие равные между
собой углы и равные углу СЕН, и соединим концы
этих линий, то в круге, центр которого точка Е,
образуется фигура, равная основанию малого кону-
са и подобная ему. Если из точки Л проведем линии
до углов фигуры, образованной в круге Е, то обра-
зуется конус, равный малому конусу и подобный
ему, и его угол при точке А равен углу этого кону-
са. Проведем линии АС, АБ, АН, АС и из точки В
опустим перпендикуляр на линию СВ', он разделит
196 ее пополам. | Пусть им будет ВР. Также пз точки Е
опустим перпендикуляр на НС; оп разделит ее по-
полам. Пусть им будет ЕМ. Тогда ВР будет больше
ЕМ, так как два треугольника ВСБ, ЕСИ подобны
и треугольник ВСБ больше треугольника ЕСН.
Соединим АР и продолжим ее по прямой до поверх-
ности шара; пусть она встретит поверхность шара
в точке Ь. Представим себе, что плоскость треуголь-
ника АСЕ пересекает шар; она образует на его по-
верхности дугу круга. Пусть ею будет дуга СЬЕ.
Также соединим линию АМ и продолжим ее до тех
нор, пока она не встретит поверхность шара; пусть
она встретит ее в точке /V. Продолжим плоскость
треугольника АСН, пусть опа образует на поверхно-
сти шара дугу СНП. Соединим РМ и продолжим ее
по прямой. Она встретит линию АЕ, так как две
линии ВР, ЕМ параллельны и ВР больше Е \1.
Пусть она встретит ее в точке К, тогда ВК относится
к КЕ, как ВР к ЕМ. Но ВР относится к ЕМ, как
ВС к ЕС, так как два треугольника подобны; поэто-
му ВК относится к КЕ, как ВС к ЕС. Но ВС и ЕС
параллельны, поэтому они [находятся] в одной плос-
кости и линия ВЕК [лежит] в их плоскости. Поэто-
му, если мы соединим С и С прямой линией и продол-
жим ее по прямой, то она дойдет до точки К. Сое-
диним ее, и пусть ею будет линия ССК. Также если
мы соединим В и Н прямой линией [и продолжим
ее], то она дойдет до точки К. Соединим ее, и пусть
ею будет БНК. Тогда треугольник КСЕ будет [ле-
жать] в плоскости, которая пересекает две параллель-
ные плоскости ЕСН, ВСЕ', поэтому линия СП па-
раллельна липин СБ. Из точки М проведем линию,
параллельную линии РА; она встретит линию КА.
Пусть она встретит ее в точке О, тогда точка О
будет между двумя точками /1, Е. Соединим ОС,
ОН; тогда треугольник ОСН будет [лежать] в одной
плоскости [88а]. Так как СП параллельна линии СВ
п МО параллельна линии ГА, плоскость треуголь-
ника НОС параллельна плоскости треугольника
АСБ. Плоскости двух треугольников АКС, АКО
пересекают плоскости двух треугольников АСБ,
ОСН, поэтому линия АС параллельна линии ОС
и линия АБ параллельна линии ОН и угол СОН
равен углу САБ. Продолжим плоскость треуголь-
ника ОСН до тех пор, пока она не пересечет шар,
она образует на его поверхности дугу, подобную
дуге СЬБ.

19боб. Пусть ею будет дуга СЯН- тогда сектор ОС | ЯН
подобен сектору АСЬБ и отношение сектора АСЬБ
к сектору ОСЯН равно двойному отношению ЯС
к ОС. Но двойное отношение Л С к ОС равно отношению
треугольника А СБ к треугольнику ОСН. Поэтому сек-
тор АСБ относится к сектору ОСН, как треугольник
АСБ к треугольнику ОСН и как остающийся сегмент
СЬБ к остающемуся сегменту СЯН. С [помощью]
перестановки: треугольник АСБ относится к сег-
менту СЬБ, как треугольник ОСН к сегменту СЯН.
Поэтому конус КАСБ относится к конусу КСЬБ,
как конус КОСН к конусу КС7Л1. С [помощью]
перестановки: конус К АС Б относится к конусу
КОСО, как конус КСЬБ к конусу КСЯН. Но от-
ношение конуса К АС Б к конусу КОСН больше от-
ношения конуса КАСБ к конусу КАСН, поэтому
отношение конуса КСЬБ к конусу КС7Л1 больше
отношения конуса КАСБ к конусу КАСН. Предста-
вим себе, что плоскость треугольника АКБ пересе-
кает шар; она образует на его поверхности дугу кру-
га, проходящую через две точки Я, И, так как эти
две точки [находятся] на плоскости треугольника
АКЬ. Пусть ею будет дуга ЬТЛГ, тогда точка И бу-
дет между двумя точками Я, Ь. Так как треугольник
А СБ подобен треугольнику ОСН, то треугольник
АС Г подобен треугольнику ОСМ. Поэтому АС от-
носится к ОС, как А Г к ОМ и как остаток, т. е.
ГЬ, к остатку, т. е. к МЯ. Но ГК относится к КМ,
как АГ к ОМ, поэтому ГК относится к КМ, как ГЬ
к МЯ. Поэтому, если мы соединим Ь, Я прямой
линией и продолжим ее по прямой, то она дойдет до
точки К. Соединим ее, и пусть ею будет линия ЬЯК,
Но две точки Ь, 2 [находятся] на дуге 2^7/, поэтому
линия ЬЯК пересекает шар и выходит из него. По-
этому точка К, которая [находится] на дуге 2АТ/
197 и между двумя точками 7, У, будет ниже линии [ ЯК.

Проведем прямую линию из точки К до точки К
и продолжим ее по прямой; она пересечет линию РЬ
в точке между двумя точками Р, Ь, так как точки
Л/, К, Я [находятся] на плоскости треугольника
РКЬ и точка Аг — на плоскости этого треугольника
и между двумя линиями КР, КЬ. Пусть линия КК
пересечет линию РЬ в точке Р и эта линия пересе-
чет плоскость сегмента СЯН в точке внутри дуги
СЯН, т. е. в точке на стороне [точки] Е. Пусть она
пересечет ее в точке I. Представим себе конус с
вершиной в точке /Гис сектором АКСН в основа-
нии. Если этот конус продолжить, то он пересечет
плоскость сектора АСЫ), так как пройдет через
точки С, Р, В; она образует кривую линию на плос-
кости сегмента СЬВ. Пусть этой линией будет ли-
ния СРВ. Он также пересечет плоскость сектора
ОСЯт, он образует кривую линию в сегменте СЯН.
Пусть сю будет линия С1Н. Тогда конус КСЬВ от-
носится к конусу КСЯП, как конус КСРВ к кону-
су КСТН, так как плоскости двух оснований па-
раллельны. По отношение конуса КСЬВ к конусу
К СЯН больше отношения конуса КАСВ к конусу
КАСН, поэтому отношение конуса КСРВ к конусу
КС111 больше отношения конуса КАСВ к конусу
КАСН и отношение всего конуса КАСРВ к конусу
КАСКИ больше отношения конуса КАСВ к ко-
нусу КАСН [29]. Часть конуса, которая [находится]
между двумя поверхностями АС РИ, АСКИ, [ле-
жит] внутри сферического сектора, который [нахо-
дится] между двумя секторами АСЬВ, \АСКН\,
и сферический сектор, который [находится] между
точкой У и сектором АСКИ, [лежит] внутри КСКН.
Поэтому отношение сектора АСЬВИСК к сектору
АУ ИСК больше отношения части конуса АСРВНКС
к конусу КАНУВ. Присоединяя, [получим], что
отношение сферического сектора, угол которого —
угол конуса АВСВ при точке А, к сферическому
197об. сектору, угол которого — угол конуса | АЕОН при
точке А, больше отношения конуса КАСРВ к кону-
су КАВУН. Но отношение конуса КАСРО к кону-
су КАВУН больше отношения прямолинейного ко-
нуса К АСО к прямолинейному конусу КАВИ,
поэтому отношение сферического сектора, угол ко-
торого — угол конуса АВСВ при точке А к сфери-
ческому сектору, угол которого — угол конуса
АЕВН при точке А, больше отношения прямолиней-
ного конуса АКСВ к прямолинейному конусу
АКВН. Но сферический сектор относится к сфери-
ческому сектору, как его угол при точке Л, являю-
щейся центром шара, к углу другого сектора при
точке Л, и конус АКСВ относится к конусу АКВН,
как треугольник КСВ к треугольнику КВН, и от-
ношение треугольника КСВ к треугольнику КВН
равно двойному отношению СК к КВ, и двойное от-
ношение СК к КВ равно двойному отношению ВС
к ЕВ, и двойное отношение ВС к ЕВ равно отноше-
нию треугольника ВСВ к треугольнику ЕВН. По-
этому отношение угла конуса АВСВ при точке Л
к углу конуса АКВН при точке А, больше отноше-
ния треугольника ВСВ к треугольнику ЕСН. Угол
конуса, частью которого является конус АВСВ,
[лежащий] при точке А относится к углу конуса
АВСВ при точке А как все основание конуса к тре-
угольнику ВСВ. Угол конуса АЕВН относится к
углу конуса, частью которого является конус
АЕВН, как треугольник ЕВН ко всему основанию
конуса. Поэтому отношение угла большого конуса
при точке А к углу малого конуса при точке Л
больше отношения основания большого конуса
к основанию малого конуса. Это то, что мы хотели
доказать.

10. Для двух любых прямолинейных конусов, на-
ходящихся в одном шаре, основание одного из кото-
рых меньше, но имеет больше сторон, чем основание
ние каждого из них на

Рис. 10.

другого, отношение угла конуса с большим основанием
193 об. к УглУ I конуса с малым основанием больше отноше-
ния основания к основанию. Это бывает в случае
куба и двенадцатигранника [30].

Пусть точка А — центр шара. Сделаем с этими
двумя конусами то же самое, что мы сделали с дву-
мя предыдущими конусами, т. е. разделим основа-
треугольникп (рис. 10). Так
как одно из двух основа-
ний меньше другого, то ес-
ли бы два основания были
подобными, то круг, опи-
санный около малого осно-
вания, [был бы меньше
круга, описанного около
большого основания. По-
этому круг], описанный
около [основания], имею-
щего большое [число] сто-
рон и равного малому осно-
ванию с меньшим [числом]
сторон, намного меньше
[круга, описанного около
большого основания с мень-
шим числом сторон]. По-
этому, перпендикуляр, опу-
щенный на малое основа-
ние, больше перпендику-
ляра, опущенного на большое основание. Пусть точка
В будет центром основания конуса с большим основа-
нием и треугольник ВС В — одним из его треуголь-
ников. Соединим АВ, АС, АВ; тогда АВ перпенди-
кулярна к плоскости треугольника ВСБ. Продол-
жим АВ и сделаем АЕ равной перпендикуляру
другого конуса. Пусть треугольник ЕСН равен од-
ному из треугольников другого конуса и параллелен
плоскости треугольника ВСВ, и пусть ЕС парал-
лельна линии ВС. Тогда ЕН не параллельна линии
ВВ, так как угол СЕН меньше угла СВВ. Сделаем
угол СЕК равным углу СВВ. Пусть точка К [ле-
жнт| на окружности круга, описанного около ос-
нования. Соединим АС, АП, АК, СИ, СК. Разде-
лим СБ пополам в точке М и соединим ВМ; она бу-
дет перпендикулярна к линии СБ. Разделим СИ
пополам в точке Л/ и соединим ЕМ; опа будет пер-
пендикулярна к линии СИ. Разделим СК пополам
в точке Р и соединим КР', она будет перпендикуляр-
на к линии СК. Соединим линии АМ, АМ, АР',
они делят пополам углы трех конусов, т. е. конус
АВСБ, конус АЕСП и конус АЕСК. Так как тре-
угольник ЕСК подобен треугольнику ВСЕ, отно-
шение угла конуса АВСБ к углу | конуса АЕСК
больше отношения треугольника ВСБ к треуголь-
нику ЕСК, как это доказано в предыдущем предло-
жении. Поэтому отношение угла конуса АВСИ к
к углу конуса АЕСР больше отношения треуголь-
ника ВСМ к треугольнику ЕСР. Так как угол СЕК
больше угла СЕН, угол СЕР больше угла СЕМ.
Поэтому угол ЕСР меньше угла ЕСМ. Поэтому
линия СР пересекает линию ЕМ. Пусть она пересе-
кает ее в точке О. Соединим АО. Так как линия А С
равна линии АК, поскольку каждая из них являет-
ся полудиаметром шара, и линия СР равна линии
РК, то угол АРС прямой. Поэтому угол А ОС ту-
пой. Поэтому отношение треугольника СЕМ к
треугольнику ЕСО больше отношения угла копуса
АЕСМ к углу конуса АЕСО, как это доказано в ше-
стом предложении этого трактата. Так как угол
АРС прямой, то отношение треугольника ЕСР к
треугольнику ЕОР больше отношения угла конуса
АЕСР к углу конуса АЕОР, как это доказано в
седьмом предложении этого трактата. Поскольку
отношение треугольника ЕСР к треугольнику ЕОР
больше отношения угла конуса АЕСР к углу кону-
са АЕОР, то отношение треугольника ЕСО к тре-
угольнику ЕСР больше отношения угла конуса
АЕСО к углу [конуса] АЕСР. Отношение треуголь-
ника ЕСМ к треугольнику ЕСО больше отношения
угла конуса АЕСМ к углу копуса А ЕСО и отношение
треугольника ЕСО к треугольнику ЕСР больше от-
ношения угла конуса ЛЕСО к углу [конуса] АЕСР.
Поэтому, согласно «отношению по равенству», от-
ношение треугольника ЕСМ к треугольнику ЕСР
больше отношения угла конуса АЕСМ к [углу]
конуса АЕСР и наоборот, отношение угла конуса
АЕСР в [углу] конуса АЕСМ больше отношения
треугольника ЕСР к треугольнику ЕСМ. Отноше-
ние угла конуса АВСН к углу конуса АЕСР боль-
ше отношения треугольника ВСЕ к треугольнику
юз об. ЕСР и отношение угла конуса АЕСР к углу | кону-
са АЕСМ больше отношения треугольника ЕСР
к треугольнику ЕСМ. Поэтому, [согласно] «отно-
шению ио равенству», отношение угла конуса АВС^
к углу конуса АЕСМ больше отношения треуголь-
ника ВС№ к треугольнику ЕСМ. [Отсюда], так же
как было доказано в предыдущем предложении, до-
казывается, что отношение угла всего конуса с боль-
шим основанием к углу конуса с меньшим основа-
нием больше отношения всего основания конуса ко
всему основанию конуса, так как весь угол конуса
является таким же кратным угла [конуса ЛВСТУ],
каким кратным треугольника ВСИ является [все]
основание. То же самое и в другом конусе. Поэтому
отношение угла прямолинейного конуса с боль-
шим основанием к углу прямолинейного конуса,
основание которого меньше, но имеет больше
сторон, больше отношения основания к основанию.
Это то, что мы хотели доказать. Поскольку мы
уже привели эти предварительные предложения,
мы вернемся к доказательству того, что мы пред-
положили.

11. Мы говорим: для двух любых многогранных
тел, грани которых равны, подобны и с равными
сторонами, и грани одного из которых подобны гра-
ням другого и поверхность, охватывающая одно из
которых равна поверхности, охватывающей другое,
объем того тела, у которого больше граней, больше
объема другого тела [31].

Пример: [даны] два тела А, В, грани каждого
пз которых равны, подобны и с равными сторонами,
и грани одного из которых подобны граням другого
и поверхность, охватывающая одно пз которых, рав-
на поверхности, охватывающей другое и число гра-
2о ней тела В больше [числа! граней | тела Л (рис. 11).

Я утверждаю, что объем тела В больше объема
тела А.

Доказательство: перпендикуляр, опущенный пз
центра шара, описанного около тела В, на одну пз
граней тела В, больше перпендикуляра, опущенно-
го из центра шара, описанного около тела А, [на
одну из граней тела Л]. [Пусть точка А — центр
шара, описанного около тела Л.] Пусть точка В —
центр шара, описанного около тела В и пусть тре-
угольник ЕСБ — один из треугольников, на кото-
рые делится одна пз граней тела Л и треугольник
ОН} — один из треугольников, на которые делится
одна из граней тела В. Соединим АЕ, ВС\ они будут
перпендикулярны к плоскостям этих двух треуголь-
ников, как это доказано раньше. Если возможно,
пусть перпендикуляр ВВ равен перпендикуляру АЕ
пли меньше него. Так как грани двух тел подобны
ДРУГ Другу, треугольник ЕС Б подобен треуголыш-

28 Истор.-матем. исслед., вып. XVII
ку СНЕ. Так как число граней тела В больше [чис-
ла] граней тела А и сумма граней одного из них рав-
на сумме граней другого, треугольник ЕСВ больше
треугольника СНЕ. Но каждый из этих двух
[треугольников] равнобедренный, поэтому каждая
из двух линий ЕС, ЕБ больше каждой из двух ли-
ний СН, СЕ. Отсечем две линии ЕК, ЕЬ, равные
двум линиям СН, СЕ. Соединим КЬ, АК, АЬ. Если
перпендикуляр ВС [равен перпендикуляру АЕ\,
то конус АЕКЬ равен конусу ВСНЕ п угол конуса
АЕКЕ [при точке А равен углу конуса ВСНЕ\ при
точке В. Так как грани тела А равны и подобны,
угол конуса АЕСБ при точке А относится к восьми
прямым углам, как конус АЕСБ ко всему много-
гранному телу и как треугольник ЕСБ ко всем гра-
ням тела [вместе взятым], т. е. к поверхности, ох-
ватывающей тело. Также угол конуса ВСНЕ прп
точке В относится к восьми прямым углам, как ко-
нус ВСНЕ ко всему телу и как треугольник СНЕ
ко всей поверхности, охватывающей тело. Но по-
верхности, охватывающие два тела, равны, поэтому
треугольник ЕСБ относится ко всей поверхности,
2эо об. охватывающей тело В, как угол | конуса АЕСБ
прп точке А к восьми прямым углам, и поверхность,
охватывающая тело В, относится к треугольнику
СНЕ, как восемь прямых углов к углу конуса ВСНЕ
при точке В. Поэтому, [согласно] «отношению по
равенству», треугольник ЕСБ относится к треуголь-
нику СНЕ , как угол конуса АЕСБ при точке Л
к углу конуса ВСНЕ при точке В. Но конус АЕКЬ
равен конусу ВСНЕ, и его угол при точке А равен
углу при точке В, п треугольник ЕКЬ равен треуголь-
нику СНЕ. Поэтому треугольник ЕСБ относится
к треугольнику ЕКЬ, как угол копуса АЕСБ при
точке А к углу конуса АЕКЬ прп точке А, а это не-
возможно, так как в восьмом предложении этого
трактата было уже доказано, что отношение треуголь-
ника ЕСБ к треугольнику ЕКЬ больше отношения
угла конуса АЕСБ прп точке А к углу конуса
АЕКЬ при точке А. Поэтому перпендикуляр АЕ
но равен перпендикуляру СВ. Если перпендикуляр
ВС меньше перпендикуляра АЕ, то мы отсечем ЕМ,
равную ВС, и соединим две линии МК, МЬ. Тогда
конус МЕКЬ равен конусу ВС1П и его угол при
точке Л/ равеп углу при точке В. Поэтому треуголь-
ник ЕСВ относится к треугольнику ЕКЬ, как угол
конуса АЕСВ при точке Л к углу конуса МЕКЬ при
точке М. Однако плоский угол ЕМК больше угла
ЕАК, п угол ЕМЬ больше угла ЕАЬ и угол КМЬ
больше угла КАЬ, так как два треугольника [КМЬ,
КАЬ] равнобедренные, и две стороны АК, АЬ боль-
ше двух сторон МК, МЬ и основания этих двух тре-
угольников одинаковы и поэтому угол КМЬ боль-
ше угла КАЬ. Поэтому плоские углы, составляющие
2о1 телесный угол конуса МЕКЬ при точке М, больше |
плоских углов, составляющих телесный угол АЕКЬ
при точке А. Поэтому телесный угол конуса МЕКЬ
при точке М больше угла конуса АЕКЬ при точке А.
Отношение треугольника СЕВ к треугольнику КЕЬ
больше отношения угла конуса АЕСВ при точке А
к углу конуса АЕКЬ при точке А. Поэтому отноше-
ние треугольника СЕВ [к треугольнику КЕЬ на-
много больше отношения угла конуса АЕСВ] при
точке А к углу конуса МЕКЬ при точке М. Но эти
два отношения были равными. Это невозможно.
Поэтому перпендикуляр ВС не меньше перпендику-
ляра АЕ. Было доказано, что он не равен ему. Поэ-
тому перпендикуляр ВС больше перпендикуляра
АЕ. Произведение перпендикуляра ВС на треть
всех граней тела В [вместе взятых] есть объем тела
В и произведение перпендикуляра АЕ на треть всех
граней тела А [вместе взятых] есть объем тела А.
По предположению, все грани тела В [вместе взя-
тые] равны всем граням тела А [вместе взятым]
и перпендикуляр ВС больше перпендикуляра АЕ.
Поэтому объем тела В больше объема тела А. Это
то, что мы хотели доказать.

12. Мы также говорим, что для любых вписан-
ных в один шар двух тел с равными гранями, грани
которых имеют равные стороны и подобны и гра-
ни одного из которых подобны граним другого, а
число граней одного из которых больше [числа] гра-
201 об. ней другого, | поверхность, охватывающая все тело,
число граней которого больше, больше поверхности,
охватывающей другое тело, и объем тела, [имеющего]
больше граней, больше объема другого тела [32|.

Пусть имеется шар с центрохМ в точке Л, и пусть
в него вписаны два тела, обладающих свойствами,

которые мы привели

(рис. 12). Я утверждаю, что
тело, которое имеет больше
граней, больше ио поверхно-
сти и больше но объему.

Доказательство: грани

этих двух тел [подобные и
грани одного из них] подоб-
ны граням другого. Поэтому
телесный угол прп центре
шара, которому противостоит
грань тела, число граней ко-
торого больше, меньше те-
лесного угла при центре ша-
ра, которому противостоит
грань тела, [имеющего] мень-
ше граней, потому что каждый
из двух телесных углов относится к восьми телесным
прямым углам, как грань, противоположная этому
углу, ко всем связанным с ней граням [вместе взя-
тым], т. е. к поверхности, охватывающей тело, и
отношение грани тела, число граней которого боль-
ше, ко всем его граням [вместе взятым] меньше от-
ношения грани тела, [имеющего] меньше граней, ко
всем его граням [вместе взятым], и поэтому телес-
ный угол, которому противостоит грань тела, число
граней которого больше, меньше телесного угла,
которому противостоит грань тела, [имеющего] мень-
ше граней. Число плоских углов, составляющих
один из этих двух телесных углов, равно числу
плоских углов, [составляющих] другой телесный
угол, и плоские углы, составляющие каждый пз
этих двух телесных углов, равны. Поэтому каждый
202

из равных плоских углов, которые составляют ма-
лый телесный угол, меньше каждого из равных плос-
ких углов, составляющих большой телесный угол,
так как, если бы плоские углы, составляющие ма-
лый телесный угол, были равны плоским углам,
составляющим большой телесный угол, малый те-
лесный угол [был бы равен большому телесному
углу, и если бы равные плоские углы, составляющие
малый телесный угол, были больше равных плоских
углов, составляющих большой телесный угол, ма-
лый телесный угол] был бы больше большого телес-
ного угла, а это невозможно.

Поэтому каждый | из плоских углов, составляю-
щих малый телесный угол, меньше каждого из плос-
ких углов, составляющих большой телесный угол.
Поэтому весь малый телесный угол может находить-
ся внутри большого телесного угла. Если это так,
то круг, описанный около грани, противоположной
малому телесному углу, находится ниже круга,
описанного около грани, противоположной большо-
му телесному углу. Если круг находится ниже дру-
гого и они в одном шаре, то нижний круг меньше
верхнего круга. Если же он меньше, то линия, про-
веденная из центра шара до центра малого круга,
больше линии, проведенной из центра шара до центра
большого круга. Линия, проведенная из центра шара
до центра любого круга, [находящегося] в нем, ок-
ружность которого на поверхности шара, является
перпендикуляром к плоскости этого круга и пер-
пендикуляром к плоскости любой фигуры, вписан-
ной в этом круге.

Поэтому перпендикуляр, опущенный из центра
[шара] на плоскость грани тела, число граней ко-
торого больше, больше перпендикуляра, опущенного
из центра [шара] на плоскость грани тела, [имею-
щего] меньше граней. Из этого следует, что каждая
из граней тела, число граней которого больше, мень-
ше каждой из граней тела, [имеющего] меньше гра-
ней, так как грани одного из двух тел подобны гра-
ням другого тела и круг, описанный около грани
тела, [имеющего] больше граней, меньше Iкруга,
описанного около грани тела, имеющего меньше
граней]; поэтому грань, вписанная в малый круг,
меньше грани, вписанной в большой круг. Пусть
большой гранью будет ВС и малой гранью — ВЕ,
и пусть [перпендикуляр АС будет перпендикуляром,
опущенным из центра шара к грани ВС, а] перпен-
дикуляр АН — перпендикуляром, опущенным из
центра шара к грани ВЕ. Отношение большого те-
лесного угла к малому телесному углу составлено
из отношения большого угла к восьми прямым углам
и из отношения восьми углов к малому углу.

об. | Большой угол относится к восьми прямым углам,
как грань ВС ко всем связанным с пей граням [вме-
сте взятым], т. е. ко всей поверхности тела, так как
число углов и число граней равны, и углы равны,
и грани равны. Восемь прямых углов относятся к
малому углу, как все грани тела, связанные с гранью
ВЕ, [вместе взятые] к грани ВЕ. Поэтому отноше-
ние большого угла к малому углу составлено из от-
ношения грани ВС ко всем связанным с ней граням
[вместе взятым] и из отношения всех граней, свя-
занных с гранью ВЕ, [вместе взятых] к грани ВЕ.
Но отношение большого угла к малому углу больше
отношения грани ВС к грани ВЕ, как это было до-
казано в девятом предложении этого трактата. По-
этому отношение, составленное из отношения гра-
ни ВС ко всей поверхности тела, грань которого ВС,
и из отношения всей поверхности тела, грань кото-
рого ВЕ, к грани ВЕ, больше отношения грани ВС
к грани ВЕ. Но отношение грани ВС [к грани ВЕ]
составлено из отношения грани ВС ко всей поверх-
ности тела, грань которого ВС, и из отношения всей
поверхности этого тела к грани ВЕ. Поэтому от-
ношение, составленное из отношения грани ВС ко
всей поверхности тела, грань которого ВС, и пз от-
ношения всей поверхности тела, грань которого
ВЕ, к грани ВЕ, больше отношения, составленного
из отношения грани ВС ко всей поверхности тела,
грань которого ВС, и пз отношения всей поверхности
эт<^го тела к грани БЕ. Отбросим общее отношение,
останется, [что] отношение всей поверхности тела,
грань которого БЕ, к грани БЕ больше отношения
всей поверхности тела, грань которого ВС, к грани
БЕ. Поэтому вся поверхность тела, грань которого
БЕ, больше всей поверхности тела, грань которого
ВС. Ио перпендикуляр АН больше перпендикуля-
ра АС; поэтому произведение перпендикуляра АН
па треть всей поверхности тела, грань которого БЕ,
203 больше произведения | АС па треть всей поверхно-
сти тела, грань которого ВС. Но произведение пер-
пендикуляра на треть всех [вместе взятых] граней
фигуры с равными гранями и вписанной в шар есть
объем этого тела. Поэтому [объем] тела, число гра-
ней которого больше, больше объема тела, число
граней которого меньше. Поэтому для всяких двух
тел, вписанных в шар и [имеющих] равные и подоб-
ные грапи, и грани одного из которых подобны гра-
ням другого, и число граней одного из которых
больше [числа] грапей другого, поверхность, охва-
тывающая тело, число грапей которого больше,
больше поверхности, охватывающей тело, число
граней которого меньше, и объем тела, [имеющего]
больше граней, также больше объема тела, [имею-
щего] меньше грапей. Это то, что мы хотели доказать.

Если грани тела, число грапей которого больше,
имеют больше сторон, чем грапи другого тела, а пер-
пендикуляр, опущенный па грани тела, число гра-
пей которого больше, больше перпендикуляра, опу-
щенного на грань другого тела, то поверхность
тела, число грапей которого больше, также больше
поверхности другого тела, а его объем больше объе-
ма другого тела [33]. Так же, как было доказано в
предыдущем предложении, доказывается, что от-
ношение телесного угла к телесному углу составлено
из отношения грани ко всем [вместе взятым] гра-
ням, связанным с пей, и из отношения всех [вместе
взятых] граней, связанных с другой гранью, к дру-
203 об. гой грани. | Но отношение телесного угла к телес-
ному углу больше отношения грани к грани, как это
было доказано в предложении 10 этого трактата.
Поэтому, так же как было доказано выше, доказы-
вается, что поверхность, охватывающая тело, число
граней которого больше, больше поверхности, ох-
ватывающей тело, [имеющее] меньше граней, и что
объем тела, число граней которого больше, больше
объема другого тела.

Все приведенное нами в этом трактате доказывает,
что шар — наибольшая из [всех] телесных фигур
с равными поверхностями, и что круг — наиболь-
шая из [всех] плоских фигур с равными перимет-
рами, и что те из фигур, форма которых ближе к
круглой, больше тех, [форма] которых дальше от
круглой. Это и есть то, что мы стремились доказать
в этом трактате.

Трактат полностью окончен.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ
ОБ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ
ИБН АЛ-ХАПСАМА

Джама л ъ ад-Даббах

Изопериметрические задачи интересовали многих древнегре-
ческих ученых, в том числе и Архимеда, который в заключительном
предложении своего сочинения «О шаре и цилиндре» доказал, что
полушар — наибольший из всех изопериметрических сферических
сегментов (см. [г]*), стр. 165).

Первое известное нам сочинение, в котором излагается элемен-
тарная теория изопериметрических фигур, принадлежит греческому
ученому Зенодору, жившему между Архимедом (287—212 гг. до н.э.)
и Квинтилианом (35—95 гг. н. э.). Сочинение Зенодора «Об изопери-
метрических фигурах» пе сохранилось, однако полное изложение
его теории дошло до нас в комментариях Теона Александрийского
к «Алмагесту» Птолемея, а также в 5-й книге «Математического соб-
рания» Паппа (см. [2], т. 1, стр. 237—278).

Основными двумя задачами элементарной теории изоперимет-
рических фигур являются: 1) из всех плоских фигур с равными
периметрами найти наибольшую по площади, 2) из всех телесных
фигур с равными поверхностями найти наибольшую но объему.
Древним грекам было известно, что этими двумя фигурами являются
соответственно круг и шар. Доказательству этого утверждения и
посвящен трактат «О том, что шар — наибольшая из телесных фигур,
имеющих равные поверхности, и круг — наибольшая из плоских
фигур, имеющих равные ’ периметры», принадлежащий одному из
крупнейших ученых средневекового Востока Абу Али ал-Хасану
ибн ал-Хайсаму (965—1039). До сих пор этот трактат, который яв-
ляется единственной известной нам работой арабских ученых об
изэперпметрмческих задачах, не переводился и не изучался. Руко-
пись трактата, хранящаяся в Стамбуле (библиотека Атиф Эфенди,
•V 1714/18, лл. 183—203 об.), по-видимому, является единственной.
Как видно из замечания автора во введении трактата,^сочинение

*) Цифрами в скобках [ ] указаны ссылки па литературу,
помещенную на стр. 448.
Зенодора, в котором содержится доказательство двух упомянутых
теорем, ему ле было известно. Так же как Зенодор, ибн ал-Хайсам
доказывает теорему о том, что пз двух правильных изопериметри-
ческих многоугольников больше по площади тот, у которого боль-
ше сторон. Несмотря на то, что ибн ал-Хайсаму, так же как Зено-
дору, не было чуждо представление о круге как о многоугольнике с
бесконечно большим числом сторон, его доказательство теоремы о
том, «то круг больше любого изопериметрического с ппм многоуголь-
ника, не исходит из этого представления.

В дополнение к теории Зенодора ибн ал-Хайсам сравнивает
между собой правильные изопериметрические многогранники.
Такое сравнение до ибн ал-Хайсама провел Папп (р], т. I, стр. 350—
364). Наряду с упомянутыми задачами в трактате решается еще одна
задача, не являющаяся изопериметрической; проводится сравнение?
правильных многоугольников (многогранников), вписанных в одни
и тот же круг (шар), между собой. Трактат содержит шесть основных
теорем, три из которых плоские, а три — пространственные. Для
доказательства этих теорем приводятся многочисленные леммы,
сами по себе очень интересные. Отметим, что как Зенодор, так п ибн
ал-Хайсам дают лишь частичное решение поставленных ими задач,
а именно доказательство того, что круг — наибольшая из всех
изопериметрических плоских фигур и шар — наибольшее из всех
изопериметрических тел. Решение Зеподора более полное, чем
решение ибн ал-Хайсама; если Зенодор сравнивает круг со всеми
изопериметрическими с ним многоугольниками и шар — с изопе-
риметрическими с ним правильными многогранниками и с телами
вращения, то ибн ал-Хайсам сравнивает круг только с изоперимет-
рическими с ним правильными многоугольниками и шар — только
с изопериметрическими с ним правильными многогранниками. Но
решение Зенодора также имеет недостатки: 1) Зенодор не сравнивает
круг с изопериметрическими с ним плоскими фигурами, ограни-
ченными кривыми линиями; 2) оп пе доказывает, что среди всех
изопериметрических фигур существует максимальная фигура.

Ученые средневековой Европы познакомились с греческой теори-
ей изопериметрических фигур по комментариям Теона к «Алмаге-
сту». Мы пе имеем указаний о том, то трактат ибн ал-Хайсама
был известен в средневековой Европе. Изопериметрические задачи
интересовали многих, в том числе и Галилея (1564—1642), который
дал новый метод доказательства основной теоремы плоских пзопери
метрических фигур (см. |3], стр. 161 и след.). Первая попытка срав-
нения круга со всеми изопериметрическими с ним плоскими фигу-
рами, как прямолинейными, так и ограниченными кривыми лини-
ями, принадлежит Я. Штейнеру (1796—1863).

Штейнер приводит пять элементарно-геометрических доказа-
тельств основной теоремы плоских изопериметрических фигур.
Однако во всех этих доказательствах Штейнер не устранил того
логического недостатка, который имеется во всех доказательствах
древних и средневековых ученых. Он ищет свойства, которые дол-
жна иметь максимальная фигура из множества всех плоских фигур
данного периметра, но он пе доказывает существования этой мак-
симальпой фигуры. Указывая, что упомянутое множество неогра-
ничено снизу (т. е. существует как угодно малая площадь, ограни-
ченная данным периметром), оп, однако, не доказывает, что оно
ограничено сверху.

Первое полное элементарно-геометрическое доказательство
теоремы о круге, свободное от ссылок на очевидность существования
максимальной величины, принадлежит Эдлеру (1882). Эдлер сначала
доказывает, что для любого неправильного многоугольника можно
(с помощью конечного числа преобразований) построить правиль-
ный многоугольник, изопериметрический с данным и имеющий
большую площадь. Затем, используя данный в первом пз пяти
упомянутых доказательств Штейнера прием увеличения площади
любой плоской фигуры, ограниченной кривой линией, пе изменяя
ее периметра, и с помощью античного метода исчерпывания Эдлер
доказывает, что площадь круга больше площади любой изоперимет-
рической с нпм фигуры. В 1910 г. Каратеодорп решил эту задачу
строгими методами математического анализа.

Полное решение основной пространственной задачи впервые
было дано также Штейнером. В этом решении Штейнер повторяет
логическую ошибку, заключающуюся в ссылке на очевидность суще-
ствования максимального тела данной поверхности. Подробнее о
работах древнегреческих математиков см. статью К. А. Рыбникова,
а о работах Штейнера и позднейших ученых — книгу Д. А. Кры-
жановского; обе указаны в [4].

1. Слово «ихатат»— (дословно — охват) у ибн ал-Хайсама оз-
начает и периметр, и поверхность. Мы переводим его «периметр»,
когда оно относится к плоской фигуре, и «поверхность», когда оно
относится к телу. Там, где это слово относится одновременно к пло-
ской фигуре и к телу, мы переводим его «поверхность пли пери-
метр».

2. Математики — дословно «обладающие математикой». Сло-
вом та’лим, дословно (учение) пбн ал-Хайсам переводил греческое
слово таШетаНкё, первоначально имевшее тот же смысл.

3. Это замечание пбн ал-Хайсама показывает, что он пе был
знаком ни с сочинением Зенодора, ни с его изложением у Теона
или Паппа. Здесь автор имеет в впду как древнегреческих ученых,
так и своих современников. Одним из ученых стран ислама, упоми-
навшим этот факт, является Абу-р-Райхан ал-Бируни (973— ок.
1050). В своем «Каноне Масуда» он пишет: «сфера подчиняется тому
же закону, что и другие телесные фигуры, потому что в этом случае
он (т. о. Птолемей.— Д. ад-Д.), рассматрпвает ее только с точки
зрения ее геометрических свойств таких, как преимущество сферы
над другими фигурами, например многогранниками, в объеме и вме-
стимости, ио небо ограничивает то, что находится внутри пего, но-
этому-то оно и является сферой. Это общее свойство фигур, ограни-
ченных поверхностями, равными по площади поверхности сферы»
(см. [5], стр. 27).

4. Эту теорему Зенодора он приводит после теоремы о срав-
нении изопериметрических правильных многоугольников между
собой.
Так же как Зенодор, ибн ал-Хайсам сводит сравнение круга А В
с изопериметрическим правильным многоугольником СВЕСН
(рис. 1, стр. 400) к сравнению радиуса г круга с апофемой ГК мно-
гоугольника. Тот факт, что г > ГК, Зенодор получает, описывая
около круга АВ правильный многоугольник, подобный многоуголь-
нику СВЕСН', при этом он опирается на первую теорему «О шаре
и цилиндре» Архимеда (см. [1], стр. 97). Ибн ал-Хайсам поступает
иначе, он вписывает в многоугольник СВ ЕС Н круг К К ОР. Предпола-
гая, что площадь многоугольника больше площади вписанного в
него круга, он доказывает, что окружность круга АВ больше окруж-
ности круга КИОР, а это значит, что г > ГК.

5. «В отношении по равенству» (фи нпсбат ал-Мусават) — пере-
а А Ь В а А

ход от пропорций у = -д-, — = уг к пропорции — — (см.
17 определение у книги «Начал» [в], т. I, стр. 144).

6. Доказательство ибн ал-Хайсама несколько отлично от до-
казательства этой теоремы у Зенодора (в изложении Паппа) (см.
[2], т. I, стр. 239—242). Однако оба доказательства основаны па
одной и той же лемме, содержание которой эквивалентно утвержде-
нию, что тангенсы острых углов растут быстрее самих углов, т. е.

(см. рис. 2, стр. 402). Доказательство этой лем-
РХ РИХ

мы у ибн ал-Хайсама неполное; он не объясняет, как получает иера-
рх? сект ВК1

венство --->------:-----. У Зенодора оно следует из того, что

РХ сект. ХИ1

/\ХИЕ > сект. ХВИ, &РХИ < сект. 1ХИ, поэтому сект>Л/?7У <
сект. I ХИ

[\ХЕИ пл1 сект. 1ВП Д РЕП _ РЕ

&РХИ 1 сект. 1ХП Д РХП РХ *

7. Эта лемма эквивалентна тому, что синусы углов растут мед-
леннее самих углов; действительно, если мы обозначим большой
угол через 2<р п малый — через 2ф, то в этой лемме утверждается,
2ф - 2 5Ш ф ф^ 81Пф ту

что - 4 >----X, т. е. д. >-х.. При доказательстве этой леммы, дан-

2ф 2зтф ф зшф

ном ибн ал-Хайсамом, необходимо, чтобы сумма углов 2ф + 2ф
была не больше , т. е. (р + ф < —; однако нетрудно убедиться
3 3

в том, что утверждение леммы справедливо для всех ф и ф, ф>ф.

8. Присоединение отношения (таркиб ан-нисба) — переход от
отношения к отношению а (см. 14 определение V книги
Ь Ь

«Начал» [в], т. I, стр. 144).

9. В этом доказательстве ибн ал-ХайсахМ фактически пользуется
не хордами, а полухордамп. Действительно, если мы положим АН =
— 2гф, СВ = 2гф, где г — радиус круга АВС (рис. 3), то <Х ВС А —
~ ф, НС А — ф и , так как ВВ, НС параллельные.

НС 8Ш ф
6 > Для любых острых углов 01, 02, где 01 > 02

6).2

Прием ибн ал-Хайсама для доказательства того, что .____<Г —

ЯС ф
несколько напоминает прием Зенодора для доказательства
того, что
(см. прим.

10. Эта задача не является изопериметрической (поэтому она
отсутствует у Зенодора), но она тесно связана с поставленной авто-
ром (во введении трактата) целью, точнее, она связана с доказа-
тельством того, что чем ближе плоская фигура к круглой форме, тем
больше ио площади. Эта теорема на первый взгляд кажется оче-
видной; на самом деле она очевидна только в тех случаях, когда число
сторон одного из данных многоугольников делится па число сторон
другого.

11. Архимед в своем сочинении «О шаре п цилиндре» выражает
объемы шара и его сектора как равновеликие некоторым конусам (см.
Р], стр. 129 и 140). В этой лемме ибн ал-Хайсам преобразует эти
выражения Архимеда в другой вид; он доказывает, что объем шара
равен произведению радиуса на треть поверхности, а объем сектора
равен произведению радиуса на треть сферической поверхности сек-
тора. Такое распространение арифметических операций на геомет-
рические величины и рассмотрение отрезков, площадей и объемов
как чисел характерно для арабских ученых, которые постепенно
приближались к расширению понятия числа (см. [7], стр. 421 и
прим. 15 на стр. 423).

12. Прямолинейным конусом (махрут Мустаким ал-хутут),
а иногда просто конусом, ибн ал-Хайсам называет пирамиду. Это
переносное название встречается и у других арабских математиков,
как ал-Каши (см. [8], стр. 141).

13. Доказательство этой теоремы у ибн ал-Хайсама очень по-
хоже на доказательство Зенодора в изложении Паппа (см. [2],
т. I, стр. 271—277). Как Зенодор, так и ибн ал-Хайсам сводят эту
теорему к сравнению радиуса шара с апофемой многогранника, од-
нако ибн ал-Хайсам доказывает, что поверхность правильного мно-
гогранника больше поверхности вписанного в пего шара, тогда как
Зенодор считает это очевидным фактом.

14. То есть в случае трех нзоповерхностных правильных много-
гранников: пирамида, октаэдр и икосаэдр.

15. Углом конуса называется телесный угол при вершине пи-
рамиды (ср. прим. 12).

16. Это заключение справедливо в силу определения 5 книги V
«Начал» (см. [®], т. 1, стр. 142).

17. Мы приводим этот рисунок, который отсутствует в рукописи
трактата.

18. Тела ВАНСЬ, ВАНН К иби ал-Хайсам называет конусами,
т. е. конусом он называет всякое тело, образованное движением
прямой линии по границе замкнутой плоской фигуры так, чтобы
эта линия все время проходила через данную точку, находящуюся
вне плоскости этой фигуры.
19. То есть около сектора АНЬ можно описать многоугольник
д„, имеющий достаточно большое число сторон п, для того чтобы
разность дп — а (где а — площадь сектора) была меньше величины I.
Это утверждение можно доказать подобно тому, как Архимед дока-
зывает первую теорему «Измерения круга» (см. [1], стр. 266—267),
опираясь па первое предложение книги X «Начал» (см. [в], т. II,
стр. 102).

20. Двойное отношение эквивалентно нашему квадрату отпоше-
△УС7Л ЙД2 ЁА* АЛКЕ

,гая- Яспо- ,то ДЙРК = ^ = = дЛТЕ .

21. Здесь автор предполагает, что если

А + Л+--+ЛП
«1 + «2 + ' ’ *

то

Это

как

В1 + в> + • • • + Вп
б1 + б2+--------\-ьп

3 17 9 26

неравенство, поскольку, например, ’ Т0ГДа

3 + 9 _ 2 43

1 5 ~ 1 < 21 ’

1 В

22. Для доказательства того, что ~р~^ > где А—площадь треу-

гольника АВС, Р — площадь фигуры АНМК, В — площадь треу-
гольника АЕС и <2 — площадь сектора АНСЬ пбн ал-Хайсам, по
существу, строит две монотонно убывающие последовательности

А В

{Рп) п {7п}> таких, что —— > —; затем с помощью античного метода
Рп Чп

исчерпывания оп доказывает общую теорему теории пределов, заклю-
чающуюся в том, что если Кт рп = Р и Пт дп = (), то — > -5- .

71->СО П->ОО Р С

23. Фигура А НМ К не может быть сектором, так как фигура АНЬ
является сектором и точка К не находится на окружности большого
круга шара.

о, п /\АВ8 ААЕК

24. Неравенство > д получается в силу того, что
ААУВ АЛЕН ~ ААУИ

— ^\АЬХ ’ так как выше было доказано, что д^уд/ =
_ /\АЕВ &АУМ = ААЕВ'

/\АЕИ' и &АКР &АЬХ *

25. Это легко получить с помощью теоремы Пифагора.

26. Этой теореме соответствует на плоскости лемма, приведен-
ная прп доказательстве 2 предложения трактата и эквивалентная
тому, что тангенсы острых углов растут быстрее самих углов (см.
прим. 6).

27. См. предложение (5.

28. Этой теореме соответствует па плоскости лемма, приведенная
п 4 предложении трактата и эквивалентная тому, что синусы углов
растут медленнее самих углов (см. прим. 7).

28а. Неясно, зачем автор высказывает это очевидное утвержде-
ние. Быть может, это вина переписчика.

КСРБ КАСБ КСРБ КАСБ

29* КС1Н > КАОН ’ поэтому КСИН > КАОН ’ так как

КСРБ КОИ II КСРБ К АС Б

КОШ> К01ХН. Отсюда клс[) > КЛОН илп КАСБ >

КСИН КАОН КАСРБ КАСБ

> К ЮН ’ т’ с- КАСИН > КАОН ’

30. Здесь утверждается, что предыдущая теорема справедлива
и в том случае, когда малое основание имеет больше сторон, чем
большое. Замечание автора «это бывает в случае куба и двенадцати-
гранника» означает, что условиям этого предложения удовлетво-
ряют две пирамиды, вершины которых в центре шара и основания
которых — грани куба и додекаэдра, вписанных в этот шар. Ясно,
что этим условиям удовлетворяют также пирамиды, основания ко-
торых — грани пирамиды и куба или пирамиды и додекаэдра или
октаэдра и додекаэдра, вписанных в шар. Однако пирамиды, осно-
вания которых—грани додекаэдра и икосаэдра, вписанных в шар,
не удовлетворяют упомянутым условиям, так как угол, которому
противостоит грань икосаэдра, меньше угла, которому противопо-
ложна грань додекаэдра, в то время как грань икосаэдра имеет
меньше сторон, чем грань додекаэдра.

31. В этой теореме автор сравнивает между собой изоперимет-
рические правильные многогранники, грани каждого из которых
подобны граням других, т. е. по существу в общей теореме доказы-
вается, что икосаэдр — наибольший из трех изопериметрических
правильных многогранников с треугольными гранями и пирамида—
наименьший из них. Как мы уже упомянули, эта задача отсутствует
в сочинении Зенодора «Об изопериметрических фигурах»; однако в
5 книге «Математического собрания» Паппа доказано, что можно
упорядочить изопериметрические правильные многогранники сле-
дующим образом: икосаэдр > додекаэдр > октаэдр > куб > пира-
мида.

Папп доказывает каждое неравенство пз этой цепи в отдельной
теореме. Метод Паппа для сравнения этих многогранников между
собой совершенно отлпчеп от метода ибн ал-Хайсама.

32. В этой теореме приводится сравнение между собой трех пра-
вильных многогранников: пирамида, октаэдр и икосаэдр, вписанных
в один и тот же шар.

33. Здесь приводится доказательство предложения 12 для сле-
дующих пар правильных многогранников: пирамида и куб, пирамида
и додекаэдр, куб и додекаэдр, октаэдр и додекаэдр.
ЛИТЕРАТУРА

1. Архимед, Сочинения, перевод, вступительная статья и
комментарии И. Н. Веселовского, М., 1962.

2. Рарриз (ГА 1ехапс1г1е, Ьа соПесНон та (Ле та Ист не,
Ранз, 1933.

3. Г. Галилей, Беседы и математические доказательства,
касающиеся двух новых отраслей пауки.— В книге Галилео Г а-
лило й, Избранные труды, т. 2, М., 1964.

4. Д. А. Крыжановский, Изопсримстры. Максималь-
ные и минимальные свойства геометрических фигур, М., 1959.

К. А. Рыбников, Первые этапы вариационного исчисле-
ния.— Ист,-матем. пссл., вып. II, 1949.

5. А Ь и - 1-К а у 11 а п а1-В1гйп1, Абанин аЬ-Маз’исЦ
(Саион МазисПсиз), уо1. I, ПауЗагаЬас!, 1954.

6. Евк л и д, Начала, перев. и коммент. Д. Д. Морду хай-
Болтовского, М.— Л., 1948.

7. Джамаль ад-Даббах, Примечания к «Книге изме-
рения фигур» Бану Муса.— Ист.-матем. иссл., вып. XVI, 1965,
стр. 419—426.

8. ДжемшидГия сэддинал-Каши, Ключ ариф-
метики. Трактат об окружности. Перев. с араб. Б. А. Розенфельда,
ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича, коммент. А. П. Юшкевича
и Б. А. Розенфельда, М., 1956.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ТРАКТАТ
ИСФАХАНСКОГО АНОНИМА*»

Н. Г. Хаиретдинова

1. Рукопись трактата. М. Краузе в своем каталоге
стамбульских математических рукописей (I1], стр. 511)
обратил внимание на анонимную рукопись библиотеки
Топкапы-сараны № 3342/1 [2], озаглавленную «Собра-
ние. правил науки астрономии». Фотокопия этой ру-
кописи имеется в университете г. Уппсала (Швеция)
и микрофильм рукописи прислан нам библиотекарем
этого университета д-ром К. Толлем.

Том № 3342 библиотеки Топкапы-Сарайы содержит
11 трактатов, написанных разными почерками в разное
время: 1) рассматриваемый нами трактат, содержащий
54 листа и переписанный в 1234/35 г., 2) ас-Сура, «Книга
о свойствах проектирования сферы на плоскость», 3) ал-
Махани. «Книга об определении азимута в любой час и
в любом месте», 4) ас-Сагани, «Книга о совершенной про-
екции», 5) Камал ад-Дин ибн Юнус, «Трактат о доказа-
тельстве предпосылки, примененной Архимедом в его
книге «Измерение круга», 6) ал-Кухп, «Трактат о совер-
шенном циркуле», 7) Шараф ад-Дин ат-Туси, «Трактат
о линейной астролябии», 8) ас-Сагани, «Книга о приме-
нении астролябии», 9) ас-Сиджпзи «Книга о применении
астролябии», 10) Насир ад-Дин ат-Тусп, «Трактат, ис-
целяющий сомнение по поводу параллельных линий»

*) Автор выражает глубокую благодарность ад-Даббаху,
Б. А. Розенфельду и А. П. Юшкевичу за ряд ценных советов при
подготовке работы к печати.

29 Истор.-матем. исслед.» вып. XVII
(переписан в 1271/72 г.), 11) Сабит ибн Корра, «Речь
о причине того, что вода в море соленая».

«Собрание правил науки астрономии» состоит пз трех
«книг» (джумла): I) «О составных отношениях», II) «О фи-
гуре секущих», III) «О предложении, освобождающем от
секущих». «Фигурой секущих» (шакл ал-кита) в арабской
математической литературе называют плоский или сфе-
рический полный четырехсторонник (рис. 1 и 2); тем же

термином называли теорему Менелая о секущих, которая
для плоскости имеет вид

АЕ ~ ВЕ Л СЕ ’ О)

а для сферы
синус АВ_____________синус ВВ синус СЕ ,9.

синус АЕ синус ВЕ 4 синус СЕ *

Отношения типа (1) и (2) древние и средневековые
ученые называли «составными отношениями» и, напри-
мер, равенство (1) формулировали: отношение АВ к АЕ
составлено из отношения ВБ к БЕ и из отношения СЕ
и СЕ, Операции составления отношений, игравшей роль
умножения действительных чисел, посвящена I книга
трактата. Равенство (2) позволяет решать ряд задач сфе-
рической тригонометрии. III книга трактата посвящена
другим теоремам сферической тригонометрии, позволяю-
щим решать ее задачи, не обращаясь к теореме Менелая
Структура трактата близка к «Трактату о полном четы-
рехстороннике» Насир ад-Дина ат-Тусн [3], посвящен-
ному тем же вопросам и состоящему из пяти книг: I) о со-
ставных отношениях, II) о плоском полном четырехсто-
роннике, III) введение в теорию сферического полного
четырехсторонника, IV) о сферическом полном четырех-
стороннике, V) о методах, заменяющих четырехсторонник.

Краузе высказал предположение, что этот трактат
написан предшественником ат-Тусн Хусам ад-Дином ас-
Саларом. В «Трактате о полном четырехстороннике» ат-
Туси упоминает ас-Салара два раза: изложив 12 видов
плоского полного четырехсторонника, ат-Тусн говорит:
«Хусамэддин Али ибн Фазлулла Салар, считающий себя
знатоком этой науки, упустил из виду три последних
случая. Он утверждал, что эта фигура имеет девять ви-
дов, ни одного больше, ни одного меньше», а также, что
«некоторые геометры утверждают, что имеется двенад-
цать видов этой фигуры, но я не вижу для этого оснований»
([ ], стр. 44). В другом месте ат-Тусп говорит: «По этому
вопросу я не нашел ничего лучшего, чем то, что сказал
об этом вышеупомянутый Хусамэддин Али ибн Фазлул-
ла Салар» ([3], стр. 52). Хусам ад-Дин Салар — пред-
шественник ат-Тусп на посту придворного звездочета
монгольского хана Хулагу, неоднократно упоминаемый
в «Собрании летописей» Рашид ад-Дина ([Ч, стр. 38,
39 и 52). Так как, однако, в нашем трактате не 9, а 12 ви-
дов плоского полного четырехсторонника, очевидно, что он
написан не ас-Саларом, а одним из тех геометров, кото-
рые считали, что имеется двенадцать видов этой фигуры.

2. Предисловие к трактату. В предисловии к тракта-
ту (ГЧ, лл. 2 об.— 3) говорится: «Цель этой книги — речь
о ближайших предпосылках астрономии, относящихся
к тому же роду науки. Это предпосылки, без которых
нельзя обойтись в науке астрономии, все ее понятия мож-
но получить только после их установления. Обладающие
наукой математики называют их правилами науки
астрономии (каванин ’илм ал-хайа), некоторые из них —
ее ключами, а большинство их — отверзающим ее.
Глубоко изучали ее разделы и доказательства ее прин-
ципов многие выдающиеся древние н позднейшие ученые,
такие как Менелаи во второй книге его «Сферики», Клав-
дий Птолемей в книге «Алмагест», Абу-л-’Аббас ал-
Фадл ибн Хатим ан-Найрпзи в его комментариях к «Ал-
магесту», Абу-л-Хасан Сабит пбн Корра в книге, посвя-
щенной этому, Сулейман ибн ’Усма в отдельном трак-
тате об этом вопросе, ибн ал-Багдади в специальной книге
об этом, Абу Са’пд Ахмад пбн Мухаммад ибн ’Абд-ал-
Джалил ас-Спджизп в его книге, написанной с целью
разъяснения этого, Абу-л-Вафа Мухаммад пбн Ахмад
ал-Бузджани в его «Алмагесте», Абу Мухаммад Хамид
ибн ал-Хпдр ал-Худжанди в его кппге о прошедших ча
сах ночи, Абу Наср Мансур ибн ’Алп ибн "Ирак в
его книге, озаглавленной «Математическое воспитание»,
Абу-р-Рейхан Мухаммад ибн Ахмад ал- Бпрунп в его
книге «Ключи науки астрономии» и в различных его кни-
гах и Абу-л-Хасан Кушияр ибн Лаббан ал-Джилп в чет-
вертой книге его зпджа. Каждый из них излагает это
в соответствии с тем, в чем оп нуждается из этого в соот-
ветственных местах, и никто из них не рассматривал это
с целью охватить сущность разновидностей этого и пол-
ностью изложить все необходимое для него и все его
разделы» ([2], л. 2 об.)

«Сфсрпка» Менелая и «Алмагест» Птолемея — класси-
ческие сочинения, первое из которых сохранилось только
в арабском переводе. Комментарии ан-Найрпзи (X в.)
к «Алмагесту» не обнаружены. Упоминаемые здесь: книга
Сабита ибн Корры (836—901) — «Книга о фигуре секу-
щих» I5], трактаты Сулеймана пбн Усмы и ибн ал-Баг-
дадп (X в.) не обнаружены, трактат ас-Сиджизп (951—
1024) — «Трактат о фигуре секущих» [6] «Алмагест»
Абу-л-Вафы ал-Бузджанп изучал Корра де Во [7], сочине-
ния ал-Худжанди и пбн ’Ирака (X в.) и ал-Бирунп
(973 — ок. 1050) не обнаружены, «зпдж» (астрономиче-
ские таблицы) Кушияра ибн Лаббана (ум. 1024) напп-
сан в 1010 г. [в]; ат-Туси указывает, что ал-Худжанди
называл теорему синусов («предложение, освобождающее
от секущих») «правилом астрономии» (канун ал-хайа) ([3],
стр. 167).
Далее в трактате сказано: «Я долго раздумывал о
доказательстве каждого пз них и внимательно рассматри-
вал их и глубоко исследовал. Мне отверзлись двери, че-
рез которые я смог найти другие пути доказательства их
принципов и смог установить многие их разновидности,
необходимые для этого, а также многие разновидности
его разделов и почти охватил все разделы этого. Я собрал
в этом сборнике доказательства утверждений каждого
пз упомянутых выдающихся ученых. После упрощения
и сокращения их текстов я изложил все это в этой книге
и назвал ее «Собранием правил науки астрономии»,
в которой объединены их разделы, так как каждый позд-
нейший не должен писать книги, похожие на написанные
до него. Особенно оп не должен так писать, если его со-
чинение предназначено для обогащения библиотеки на-
шего выдающегося ученого господина Муаййид ’Амид
ал-Мулка ва-д-Дина Абу-Насра Мансура ибн Мухам-
мада — клиента повелителя правоверных, да продлит
Аллах его жизнь, облегчит его трудности, продолжит
свою поддержку п возвышение, сделает вечным его здо-
ровье и вознесет его величие до наивысшего исба. Раб
закончил этот впд математической пауки, охватил все
необходимое для него и придал ей достаточное совершен-
ство в Исфахане с усталым умом и разбитым сердцем из-
за различных препятствий, которые он встречал в те-
чение этих двух лет вследствие малых возможностей рук,
неустойчивости положения и изменений в жизни и иму-
ществе, так как его отстранили от службы при высокой
резиденции, да возвеличит Аллах его высоту, и запрети-
ли ему созерцание высокого трона. Но он спасся от про-
маха, хотя это такая вещь, которой людп пе избегают.
Он сделал это по искреннему желанию добиться благо-
склонного упоминания о нем в высоком собрании, да
увековечит Аллах его высоту, и по сильной жажде
пребывания вблизи него. Если высокое мнение, да
увековечится его высота, позволит закончить наблю-
дения, то эта книга будет одной главой полного «Ка-
нона ’Амид ал-Мулки», который мы хотим сочинить
в дни этого правления, да продлит их Аллах (I2], л. 2
об.—3).
3. Автор трактата — Омар Хайям? «Канон ’Амид ал-
Мулки», который хотел сочинить автор, несомненно,
имеет своим образцом знаменитый «Канон Мас’уди» ал-
Бируни, законченный в 1030 г. Значит, трактат написан
между 1030 г. и 1234/35 г. его переписки. Тот факт, что
автор впервые собрал воедино все доказательства, отно-
сящиеся к теории составных отношений, теории плоской
и сферической фигуры секущих и к теоремам сфериче-
ской тригонометрии, доказываемым как с помощью этой
фигуры, так и без ее помощи, показывает, что автор был
крупным математиком. В указанный нами промежуток
времени на Ближнем и Среднем Востоке был только один
математик такого масштаба — выдающийся алгебраист
и геометр Омар Хайям. Как известно, Хайям руководил
астрономической обсерваторией в Исфахане с 1074 по
1092 г., когда после смерти покровительствовавших ему
сельджукского султана Маликшаха и везира Низам ал-
Мулка он впал в немилость и его обсерватория была зак-
рыта ([9], стр. 24—26). В годы руководства обсерваторией
он должен был много заниматься вопросами тригономет-
рии и, следует думать, работал в этой области столь же
творчески, как и в других частях математики. Заклю-
чительные фразы приведенного нами отрывка из преди-
словия к трактату как будто прямо указывают на от-
странение Хайяма от руководства обсерваторией и имеют
назначением добиться согласия на продолжение его
астрономических работ. Поэтому мы считаем наиболее
вероятным автором этого трактата Омара Хайяма. В
таком случае упоминание в трактате о двух годах
«неустойчивости положения и изменений в жизни и
имуществе» говорит о том, что трактат был написан в
1094 г.

Слова «клиент повелителя правоверных» означают,
что человек, которому посвящен трактат, получил бла-
гословение багдадского халифа. Имя ’Амид-ал-Мулк Абу
Наср Мансур ибн Мухаммад встречается в истории седьд-
жуков как имя Кундури (1024/25—1064) — везира при
дворе основателя этой династии Тогрул-бека (1056—
1063) ([10], стр. 42—43). Тот факт, что при дворе Тогрул_
бека не было крупных ученых, делает невероятным, что_
бы этот трактат был посвящен этому везиру. Однако,
имея в виду несомненные отличия имеющегося в нашем
распоряжении текста от оригинала (достаточно указать
на отсутствие в нашем тексте имени автора, несомненно
имевшегося в оригинале) следует допустить возможность
небольшого искажения имени везпра, которое могло
быть «подправлено» переписчиком, знавшим имя Кун-
дури и считавшим отклонение от этого имени ошибкой.
В 1094 г. имелся везир с похожим именем: это ’Амид
ад-Даула Абу Мансур Мухаммад ибн Фахр ад-Даула ибн
Джахир (1043/44—1100), который с 1079 по 1083/84 г.
и с 1092 по 1100 г. был везиром у багдадских хали-
фов ал-Мухтадп (халиф с 1075 по 1094 г.) и его сына ал-
Мустазхира (халиф с 1094 по 1118 г.); заметим, что и
«’Амид ал-Мулк» и «’Амид ад-Даула» имеют один и тот
же смысл «старейшина государства». В пользу предпо-
ложения, что трактат посвящен ’Амид ад-Дауле говорит то,
что он с 1070 по 1079 г. жил при дворе сельджукских
султанов Али-Арслана и Маликшаха, был женат на до-
чери везпра этих султанов Низам ал-Мулка, а после ее
смерти — на внучке этого везпра, племяннице первой
жены, и что пост везпра у халифа он получил по хода-
тайству Низам ал-Мулка (см. I11]). После закрытия об-
серватории в Исфахане для Хайяма было бы весьма есте-
ственно обратиться за помощью к занимающему высокое
положение зятю своего бывшего покровителя, несом-
ненно, хорошо знакомому ему лично. Возможно, что
именно об этом путешествии Хайяма в Багдад (и Мекку)
писал Ибн ал-Кифтп (см. I9], стр. 30).

Отсутствие имени Хайяма, если он был автором трак-
тата, неудивительно, так как Хайям считался крамоль-
ным ученым и его имя многие старались предать забве-
нию, в результате чего многие его открытия были извест-
ны без упоминания его имени. Если имя Хайяма было
опущено преднамеренно, то не исключено, что имя везп-
ра также преднамеренно было заменено сходным именем
везира, жившего на 30 лет раньше.

В пользу предположения об авторстве Хайяма гово-
рит также большая близость стиля предисловия к рас-
сматривавшемуся нами трактату и предисловия к его
большому алгебраическому трактату и заключения к ма-
лому трактату (см. [9], стр. 70 и [12], стр. 461).

4. Предпосылки и I книга трактата. I книга и поме-
щенные перед ней шесть «предпосылок» посвящены тео-
рии составных отношений.

I предпосылка ([2], лл. 3 об.-4 об.): если имеются три
однородные величины, то отношение первой и третьей
составлено пз отношений первой ко второй и второй
к третьей. Аналогичное предложение формулируется для
пяти однородных величин. Приводятся шесть способов
доказательства. Наиболее интересны V и VI способы.
В V способе говорится: «умножим отношение Л к С на
отношение С к В, произведением будет отношение, со-
ставленное пз отношений, как указал Евклид во введе-
ниях к шестой книге его сочинения «Начала» ([2], л. 4).
Здесь, следуя Сабиту ибн Корре п другим ученым Восто-
ка, автор применяет к геометрическим величинам ариф-
метический термин «умножение» (дарб.). Ссылка на Ев-
клида относится к 5 определению VI книги «Начал» (Р3],
стр. 174), добавленному, по-видимому, Теоном. В VI
способе говорится: «Отношение Л к С, пусть это В, ум-
ножается на отношение С к В, пусть это В. Произведе-
ние [В на Е] — С. Я утверждаю, что величина С —
отношение А к В ([2], л. 4 об.). Эти рассуждения, отож-
дествляющие отношения с величиной, весьма близки к
рассуждениям в геометрическом трактате Хайяма, где
понятие числа расширяется дополнительно до действи-
тельного числа (Р], стр. 145), по-существу, они также сов-
падают с I — III предложениями I книги «Трактата о
полном четырехстороннике» ат-Тусп ([3], стр. 20—21).

Во II предпосылке ([2], лл. 4 об.) приводится новое
доказательство 23 предложения VI книги «Начал» Ев-
клида (Р31, стр. 203) о том, что отношение площадей
равноугольных параллелограммов составлено пз отно-
шений их сторон.

III предпосылка ([2], лл. 4 об.—5), приписываемая
Абу-Джа'фару ал-Хазину: если имеется шесть однород-
ных величин, обозначенных А, В, С, В, В, В, и отношение
А СЕ

у составлено из отношений и -у, то произведение
А Х/) х/7 равно произведению ВхСхЕ. III предпосыл-
ка совпадает с IX предложением ат-Тусп (I3], стр. 29).

IV предпосылка ([2], лл. 5—6 об.): если отношение
... 1 С
составлено из отношении-^ и то оно составлено и из
>1 С
отношений-^- и совпадает с VIII предложением ат-
Туси ([3], стр. 28). Приводится 5 различных способов
доказательства этой предпосылки.

V предпосылка ([2], лл. 6—6 об.): если отношение~

.. С Е с

составлено пз отношении и у-, то отношение & со-
ставлено из отношения и пз отношения V предпо-
сылка совпадает с X предложением ат-Туси ([3], стр. 34).

VI предпосылка ([2], лл. 6 об.): если отношение
Л С Е

-—составлено из отношения и из отношения то
произведение Ах/), называемое здесь «плоской фигурой»,
относится к произведению В х С, как Е к В. Доказы-
вается с помощою III предпосылки.

В I главе I книги ([2], лл. 6 об.—10 об.) рассматривает-
ся 6 однородных величин, отношение одной из которых
к другой составлено из двух отношений четырех осталь-
ных и указывается, какие 9 из 15 возможных попарных
отношений этих величин могут быть представлены в виде
составных отношений, являющихся следствиями данного
составного отношения; этот вопрос рассматривается в
«Книге об индийских рашпках» ал-Бпруни ([141, стр. 151).
Далее приводятся различные доказательства возможно-
сти этих 9 способов и невозможности остальных 6 спосо-
бов. Приводится таблица 36 возможных составных от-
ношений (каждая пара величин определяет 4 составные
отношения). Это утверждение совпадает с X предложе-
нием ат-Туси ([3], стр. 35—36), который приводит ту же
таблицу.

Во II главе (I2), лл. 10 об.—И) доказывается, что
Я „СЕ

если отношение составлено из отношении — и — и

Истор.-матем. послед., вып. XVII
„ Л с о

величина 6 такова, что — -ут, то —
о и а»

Л’ Л 7

7 . Утвержде-

ние совпадает с XII предложением ат-Туси ([3], стр. 38—
39)]; в русском переводе формулировка этого предложе-

ния искажена, но его содержание видно пз примеров.

В III главе ([2], лл. 11—11 об.) автор увеличивает
число составных отношений, полученных пз исходного,

за счет замены некоторых величин на их произведения на
одни п те же величины, до 24-180 =4320. Прп доказа-
тельстве автор прямо называет геометрические величины
числами: «Примем плоскую фигуру А на С за С, плоскую
фигуру А на Б за Я, а плоскую фигуру В на С за Т, Я ут-
верждаю, что С относится к Я, как С к Я, а С относится к
Т, как А к В. Это можно сделать совершенно очевидным,
если говорить, что произведение А на два числа С и Я —
это С и Я ...» ([2], л. 11).

В IV главе ([2], лл. 12—13 об.) доказываются предло-
жения о том, что получается из исходного составного от-
ношения при равенстве двух величин, входящих в его со-
став. Приводится таблица. Предложение совпадает с XI
предложением ат-Туси (I3], стр. 37—38), приводящим ту
же таблицу.

В V главе ([2], лл. 13 об.—16) приводятся различные
способы определения неизвестных величин в составном
отношении. В VI способе неизвестная величина находится

как частное от деления произведения трех известных ве-
личин одного ряда на произведение двух известных вели-
чин другого ряда. Предложение совпадает с IX предло-
жением ат-Туси ([3] стр. 30—32).

VI глава ([2], лл. 16—17 об.) посвящена составлению
задач на составные отношения для тренировки в этом ис-
кусстве.

В VII главе ([2], лл. 17 об.— 24 об.) рассматриваются
составные отношения, полученные из исходного за счет
замены величин на их произведения или «плоские фи-
гуры», и приводится таблица некоторых из этих отно-
шений.

5. II книга трактата. II книга трактата посвящена тео-
рии плоского и сферического полного четырехсторон-
ника.
В I главе ([2], лл. 24 об.— 28) II книги рассматри-
вается теорема Менелая о плоском полном четырехсторон-
нике (1). У ат-Туси различные доказательства этой теоре-
мы приведены в VI — IX главах II книги. Приводятся
6 способов доказательства этой теоремы.

Во II главе ([-], лл. 28—29 об.) находятся всевозмож-
ные следствия из этой теоремы, получаемые из нее пере-
становками величин, входящих в составное отношение,
о котором говорится в этой теореме. У ат-Туси этому воп-
росу посвящена X глава II книги ([3], стр. 76—79).

В III главе, называемой в трактате IV, ([2], лл. 30—
31 об.) рассматриваются следствия теоремы Менелая при
равенстве двух из 6 расматриваемых в ней отрезков. У ат-
Тусп этот вопрос рассматривается в XI главе II книги
([3], стр. 79-80).

В IV главе ([3], лл. 31—31 об.), не имеющей заголов-
ка, определяются линии синуса, тангенса («тень»), коси-
нуса («синуса дополнения») и котангенса («плоская тень»)
и указываются способы определения углов и дуг по отно-
шениям тангенсов дуг и отношениям тангенсов и сину-
сов дуг. У ат-Туси линия синуса определяется в I главе III
книги ([3], стр. 81), а линия тангенса — в VI главе V кни-
ги ([з], стр. 168—169), где он определяет также линии се-
канса и косеканса.

V глава ([2], лл. 31 об.—33 об.) посвящена сфериче-
ской теореме Менелая (2). Здесь доказываются леммы, не-
обходимые для доказательства этой теоремы; ат-Туси до-
казывает эти леммы в I главе III книги (I3], стр. 82—84).
Далее приводится лемма Сабита ибн Корры (|21, лл. 33
об.—35 об.) из его «Книги о фигуре секущих», с помощью
которой доказывается теорема. У ат-Тусп это доказа-
тельство приведено во II — III главах IV книги (стр.
101-124).

VI глава ([2], лл. 36—39 об.) посвящена разновидно-
стям сферической теоремы Менелая.

6. III книга трактата. III книга посвящена решению
сферических треугольников.

В I главе ([2], лл. 39 об.—40 об.) решаются задачи об
определении двух дуг по их сумме или разности и отно-
шению их синусов. У ат-Туси эти задачи решаются в
III главе III книги ([3], стр. 90—98). Здесь же доказы-
вается теорема о трех перпендикулярах. У ат-Туси эта
теорема доказана в V главе V книги (Г3], стр. 149—
151), где приведены доказательства ибн Ирака и ал-
Бируни; здесь доказательство близко к первому из них.

Во II главе ([2], лл. 40 об.—44 об.) доказывается тео-
рема синусов для сферического треугольника АВС

синус АВ __синус ВС __ синус СА

синус С ' синус А синус В ' '

и теорема тангенсов для сферического треугольника АВС
с прямым углом В

.синус АВ _ тангенс ВС

синус В тангенс С ’ ' '

называемые предложениями, освобождающими от секу-
щих. Указывается, что эти теоремы принадлежат ал-
Бузджани, доказавшему в своем «Альмагесте» обе эти тео-
ремы для прямоугольных сферических треугольников.
Приводятся доказательства сферической теоремы сину-
сов для прямоугольных треугольников, принадлежащие
ал-Худжанди, ибн Ираку, ал-Бируни и ал-Хазину. Эти
теоремы приведены ат-Туси в V главе V книги ([3], стр.
151—160). Далее приводятся доказательства сфери-
ческой теоремы тангенсов, принадлежащие ал-Бузджани,
ал-Джили и ибн Ираку. Эти теоремы приведены ат-Туси
в VI главе V книги ([3], стр. 173—178).

В III главе ([2], лл. 44 об.—46 об.) доказывается сфе-
рическая теорема синусов (3) для произвольных сфериче-
ских треугольников. Автор приводит 5 доказательств
этой теоремы, в том числе доказательства ибн Ирака и ал-
Бируни. Ат-Туси доказывает эту теорему в V главе V кни-
ги ([3] стр. 162—164).

В IV главе ([2], лл. 46 об.—48) находятся 14 триго-
нометрических соотношений в прямоугольном сфериче-
ском треугольнике.

V глава ([2], лл. 48—49) посвящена определению не-
известных сторон и углов прямоугольных сферических
треугольников по известным сторонам и углам. Приво-
дятся 10 случаев определения неизвестных с помощью тео-
ремы синусов и теоремы тангенсов; 6 из этих случаев
приведены ат-Туси в VII главе V книги ([3], стр. 185—
189].

В VI главе ([2], лл. 49—49 об.) рассматривается клас-
сификация сферических треугольников по их углам и сто-
ронам. У ат-Туси этот вопрос изложен в VI главе V книги
(I3], стр. 145—148).

VII глава ([2], лл. 49 об.—52) посвящена определению
неизвестных сторон и углов произвольных сферических
треугольников по известным сторонам и углам.

Из шести случаев решения сферических треугольни-
ков наиболее интересным является V случаи, когда тре-
буется определить стороны по его углам ([2], лл. 50 об.—
51). Автор продолжает сторо-
ну АВ сферического треуголь-
ника АВС в обе стороны до
таких точек Е и С, что дуги
АЕ и ВС равны четверти боль-
шого круга и проводит под
прямым углом’к этим дугам
дуги больших кругов ЕН и
СЯ, пересекающиеся в полю-
се Н круга ЕС (рис. 3).
Дуги ЕН и СН также равны
четверти большого круга.
Стороны АС и ВС продолжа-
ются до точек Е и М дуги ЕЕ
и СН. Дуги ЕЕ и МС продолжаются до таких точек К и ДГ,
что дуги ЕК иМН равны четверти большого круга. Точки
К и Я соединяются дугой большого круга и стороны СВ
и С А продолжаются до точек О и Ь этой дуги. Величины
дуг ЕЕ, МС и ЬО соответственно равны углам А, В и С,
а дуги ЕК, ЕН, МН, СП, ОК и ЬП равны дополнениям
этих дуг до четверти большого круга. Поэтому, если из-
вестны углы А, В и С, известны и все три стороны тре-
угольника НКИ. Для определения стороны ВС треуголь-
ника АВС автор продолжает дуги КН и МО до пересе-
чения в точке X. Так как треугольники IIМХ и КОХ
имеют общий угол X и прямые углы М и О в силу
теоремы синусов

синус Д7/ синус МП
синус ЛК синус КО ’

но так как дуги МП и КО известны, отношение
синус А П гр

СИНуС известно. 1ак как известна разность дуг

ХК — ХН = КН, в силу леммы, доказанной во
II книге, известны и сами дуги ХК и ХН. Так
как в прямоугольном треугольнике НМХ теперь из-
вестна гипотенуза ХН и катет МП, то по теореме синусов
определяется угол X, а по «теореме Пифагора» для пря-
моугольного сферического треугольника

косинус гипотенузы косинус 2-го катета ,г,

косинус 1-го катета радиус ' '

определяется второй катет МХ. Далее из прямоуголь-
ного треугольника СЕХ с прямым углом Р и известными
углом С и катетом РХ XII А- IIР определяется дуга
СХ и разность дуг МС = ХС — ХМ. Но так как дуга
ВМ равна четверти большого круга, становится извест-
ной сторона ВС. Аналогично определяются стороны АВ
и АС треугольника АВС. Построенный здесь треуголь-
ник НКМ — полярный треугольник для треугольника
АВС.

Далее на том же чертеже излагается VI случай решения
сферического треугольника — определение углов по сто-
ронам. В настоящее время VI и V случаи решаются с по-
мощью сферической теоремы косинусов и двойственной
сферической теоремы косинусов, которые в общем виде не
формулировались математиками средневекового Востока,
за исключением частного случая первой пз этих теорем —
«сферической теоремы Пифагора» (5). VI случай решался
многими математиками средневекового Востока, вслед-
ствие чего сферическую теорему косинусов иногда назы-
вают «теоремой Альбатегпия», т. е. ал-Баттани (X в.);
V случай, по-видимому, решен в рассматриваемом трак-
тате впервые. Все шесть случаев решеппя сферических
треугольников рассматриваются ат-Туси в VII главе
V книги ([:Ч, стр. 196—198), причем ат-Туси меняет мс-
стами V и VI случаи. V случай ат-Туси решает значитель-
но проще, так как замечает, что понятие полярного тре-
угольника взаимно и стороны треугольника АВС опре-
деляются по углам его полярного треугольника, опре-
деление же углов треугольника по его сторонам ат-Туси
рассматривал раньше.

В VIII главе ([2], лл. 52—55) рассматриваются раз-
личные задачи на определение неизвестных дуг и углов
в сферических треугольниках.

7. Значение трактата. Сравнение рассматриваемого на-
ми трактата с сочинением ат-Туси показывает, что как по
общему плану, так и в деталях сочинение ат-Туси напи-
сано под сильным влиянием этого трактата, причем, как
видно из предисловия к нему, этот трактат является пер-
вым трудом, написанным по такому плану. Важнейшим
открытием автора трактата является применение поляр-
ного треугольника для определения сторон сферического
треугольника по его углам. В то же время сравнение обо-
их трактатов показывает, что многие вопросы изложены
у ат-Туси значительно более просто и изящно. Вероятно,
что между обоими трактатами имелись посредствующие
звенья, одним из которых был упоминавшийся ат-Туси
трактат ас-Салара. Пока этот трактат не обнаружен, мы
не знаем, что внесено в развитие теории ас-Саларом, что
ат-Тусп, а что — возможными другими его предшествен-
никами.

Изучение трактата исфаханского анонима проливает
новый свет на историю сферической тригонометрии в те-
чение двух столетий, предшествующих появлению трак-
тата ат-Тусп.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. К г а и 5 с, 81ашЬи1ег ИапбзсЬпНеп 181апп8сЪег Ма№еша-
Икег, риеПсп ипс! 81исЦен гиг СсзсЫсМе бег МаМешаИк, Аз^гопопце
шн! Р1|уз1к, АЫ, В, Вб. 3, ВегПп, 1936, 8. 437—532.

2. Д ж а м п’ кавапип ’илм ал-хайа, рукопись № 3342/1 стам-
бульской библиотеки Тоикапы-Сарайы (па араб, языке).

3. Л а с и р э д д п и Т у с и, Трактат о полном четырехсторон-
пике, перев. под ред. Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда,
Баку, 1952.
4. Раш и д а д- Д и и, Сборник летописей, т. 3, перев.
Л. К. Арендса, М.— Л., 1946.

5. А. В ] б г и Ь о, ТйаЬПз \Уегк йЬег беи Тганзуегзак'пзаЬх,
Ег1ап^еп, 1924.

6. Абд а л- Д ж а л и л а с- С и д ж и з и, Рисала фи шакл
ал-кпта’, в сб.: «ар-Расаил ал-мутафаррика фи-л-хайа ли-л-мутака-
димин ва му’асирай ал-Бируни», Хайдарабад, 1367 X (1948).

7. С агга с! е V а их, Ь’а1та$езЬ й’АЬи-ИуеГа А1Ьоигс1]а1ц-
1оигпа1 АзхаНдие, 8-ёте зепе, I. 19, 1892, рр. 408—471.

8. Кушиярибн Л а б б а п а л -Д ж и л и, Зидж ал-
джамп’, рукопись Сой. оч. 8 Лейденской университетской библио-
теки (па араб, языке).

9. О м а р Хайя м, Трактаты, перев. Б. А. Розенфельда.
Вступ. статья и коммент. Б. А. Розенфельда и П. А. Юшкевича.
Ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича, М., 1961.

10. А б б а с II к б а л, Вазарат дар ахд-исалатин-и бузург-и
Салджуки, Тегенерап, 1338Х (1959) (па перс, ‘языке).

11. К. V. 2 е Ь I е г з Ь е е и, 1Ьп П]а1пг, Епсук1орасИе без
1з1ат т. II, ЕеМеп-Глйрхщ, 1927, стр. 393—394.

12. ОмарХайя ы (Первый алгебраический трактат], перев.
С. А. Красновой и Б. А. Розенфельда. — Ист.-матем. пссл.,
вып. 15, 1963, стр. 145—472.

13. Евклид, Начала, перев. Д. Д. Мордухай-Болтовского,
т. I, М.— Л., 1948.

14. А б у - р-Р а й х а н а л-Б и р у п и, Книга об индийских
рашиках, перев. Б. А. Розенфельда.— Сб. «Из истории науки и
техники в странах Востока», вып. 3, под ред. А. Т. Григорьяна
и А. П. Юшкевича, М., 1963, стр. 148—162.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аббати 34, 48

Абель Н. Г. 13, 22, 23, 34, 36, 43,
48, 49, 51, 52, 322, 336, 348, 361,
363,366

Абиан А. 244

Абу-л-Вафа 452

Адамар Ж. 92, 93, 100, 114

Адамов А. А. 362

Аккерман В. 95

Александров А. Д. 290

Александров И, С. 29, 244, 245

Алексеев В. Г. 87

Алексеев Н. Н. 361, 362, 364

Альт 364

Альфан 361, 365

Анатолий Александрийский 189

Анисимов В. А. 363

Антропова В. И. 205

Аполлоний 134, 138, 189, 200—202

Аренде А. К. 464

Аренс В. 348, 350, 351

Аристотель 128, 130, 131, 150, 164,
174, 177, 178, 257, 291

Арнольд В. И. 106, 107, 114

Артин Е. 12, 29, 104, 109, 115

Архимед 129, 134, 136, 166, 189, 192,
375, 377, 408, 441, 444—446, 448,
449

ал-Ахвази 275, 277

Ахиезер 368

ал-Багдади 274—276, 278, 452

Банах С. 230, 246

Бану Муса 448

Барроу И. 134, 140

ал-Баттани 462

Бахман 30, 379

Баше-де-Мезирак 188, 198

Башмакова И. Г. 150, 185, 317

Безу 321

Бейер Е. И. 346

Беккер О. 150, 262, 271

Бекман 173

Белл Э. Т. 32, 52, 124, 149, 150

Беллавитис 314, 316

Белоусов В. Д. 2Д7, 248, 258

Бельтрами 373

Бендиксон И. 92, 93

Березкина Э. И. 261, 271

Бернаггери М. 284, 288

Бернайс П. 95

Бернс Дж. 33, 48, 50, 52

Бернсайд У. 86

Бернулли Д. 147, 299, 340, 342

Бернулли И. 142—145, 147, 150, 300—

305, 307

Бернулли Н. 302

Бернулли Я. 299—304, 307, 342

Бернштейн С. Н. 98, 110, 111, 115,
353

Бернштейн Ф. 229, 236—240, 243,
246

Бертран 50, 52

Беспамятных Н. Д. 281

Бессель А. 364, 368

Бетти Э. 23, 43, 51, 52, 93

Бианки Л. 354, 356, 359, 374

Бибербах Л. 91, 109, 115

Биркгоф Г. 98, 112, 115, 258
ал-Бирупи 124, 130, 443, 448, 452,
454, 460, 464

Бобынин В. В. 248, 258, 307

Боев Г. П. 344

Бойаи Я. 15

Бойан ф. 96

Бойер Н. 123, 124, 149, 330 331

Болховитинов В. 353, 358

Бонапарт Р. 92

Борель Э. 233, 237, 238, 243, 244

Бороздкин К. Г. 102

Боско 392

Бохенский 157, 174 178, 182, 183

Брассине 336

Браунмюль 307

Брауэр Л. 29

Брашман Н. Д. 361

Врио 364

Брноски Ф. 93

Бриссон 337

Брун В. 103

Брунс Ф. 3. 361

Бугаев И. В. 361, 362, 367

Буземан Г. 97, 115

Буке 364

Букреев Б. Я. 361, 363

Буль Дж. 16, 177, 315, 316

Булыгин Н. В. 367
Буняковский В. Я. 361, 362
Бурбаки Н. 11, 32 , 51, 52, 59 , 64 , 73,
82, 86, 87, 131, 132, 150
ал-Бурджини 460
Буркгардт Г. 30, 48, 52, 55
Бутру П. 139, 150
Бхаскар 279
Бюрги И. 136
Бычков В. П. 353, 358
Бюэ 312—314

Валле-Пуссен Ш. 100, 101, 115
Валлис Дж. 140,305, 306,309—311,
315, 316
Вальсон 33, 56
Валыптейн 372
Ван-дер-Варден Б. Л. 12, 29, 108,
115
Вандермонд А. 22
Ван Лин 262, 271
Варга Д. 102
Баринг 321
Вариньон 304
Варрен 316
Васильев А. В. 383, 388
Васильев В. Н. 288
Вебер Г. 28, 29, 106, 322, 372
Вейерштрасс К. 58, 93, 153, 337,
361, 363—367, 371

Вейль Г. 59, 64, 82, 86, 107, 243,
374, 378

Венке Ф. 274, 279

Венков Б. А. 386
Венн 177
Вер Эккс II. 191
Вивпани 305

Виет Ф. 128, 135, 164, 188, 190,
198, 309

Вилейтпер Г. 32, 56, 124, 149, 307,
Виноградов И. М. 101, 102, 115,
386

Витушкин А. Г. 106, 107, 116
Володарский А. И. 271
Вольтерр В. 92, 93,
Вольф Хр. 143, 150 152, 182
Вороной 387
Вронский 336
Вудхаус 312
Буль Дж. 28
Вуссинг Г. И, 30

Выгодский М. Я. 150, 182, 294—296,
298

Гайдук Ю. М. 298, 345, 351

Галилей 133, 134, 157, 284, 288, 386,
442, 448

Галга Э. 13, 17, 18, 21, 23, 24, 26,
3*1, 32, 35, 42, 43, 46—49, 51, 54,
105, 318, 321. 322

Гамель Г. 97, 98, 116

Гамильтон У. 8, 28,51,5^,309—316

Ганкель Г. 28, 138, 149

Гар на к 4. 108

Гартнер В. 123, 130, 149

Гаусс Н. Ф. 13, 15, 18—21, 30, 34,
35, 49, 51, 53, 54, 96, 103, 104,
ИЗ, 116, 153, 206, 220, 292, 294,
297, 311, 316, 320, 322, 361, 383

Гахов Ф. Д. 112. ИЗ, 116

Гедель К. 95, 96, 116, 156, 176

Гейзер К. 92

Гельдер О. 28

Гельфопд А. О. 99, 116

Гензель 322

Гептцен Г. 96, 116

Гераклит 128

Гервин II. 96

Герлинг X. 96

Герман Я. 299—307

Герои 269

Герц К. 363

Гессе 107

Гессенберг Г. 240, 242, 246

Гильберт Д. 7, 26, 27, 29, 91—121,185,
289, 318, 322, 323, 376, 377, 379

Глисон А. 98, 116

Глушков В. М. 97, 98, 116

Гнеденко Б. В. 83

Голицын Б. Б. 384, 385

Гольдбах X. 101. 102 , 291, 293, 294,
298, 299, 301

Гольмгрен Э. 110, 116

Гомпер Б. 314, 316

Горребов П. 303

Гофман И. Э. 124, 149, 150, 201,
262, 271

Граве Д. А. 361

Граве П. П. 361, 363

Гранди Г. 305

Грассман Г. 15, 28, 58

Грегори Дж. 139, 145, 303

Гринхилл А. 92

Гудков Д. А. 108, 117

Гумбольдт А. 350, 351

Гурвиц А. 85

Гурьев П. С. 393

Гурьев С. Е. 305, 327, 328, 331

Гюйгенс 334

ад-Даббах Д. 399, 441, 448, 449

Давидов А. Ю. 361—363

Даламбер Ж. 147, 289, 325, 328, 329,
333, 335, 339—344

Данделен 375

Дарбу Г. 85, 92, 354, 359

Дарвин Ч. 292

Дахия С. А. 371

Дебон Ф. 167

Дедекинд Р. 28, 58,80 , 82, 87, 103 , 22 9,
232, 234 — 236, 238—241, 244,
249, 320, 322

Дезарг 37 б

Декарт 7, 56, 123, 134, 136—138,
140, 150—183, 190, 305, 307, 369,
316

Делоне Б. Н. 48, 53, 104

Демидов С. С. 91
Ден М. 96, 117, 379

Депман II. Я. 87

Деспейру 49, 51, 53

Джевоне 177

Джекобсон Н. 59, 64, 86

ал-Джпли 452, 460, 464

де Джорджи Э. 111, 117

Дидро Д. 339

ван Дик В. 28

Диксон Л. Е. 29, 84, 88, 93
ад-Димишки 274
ад-Дип 451, 464

Дионисий 189

Диофант 8, 127, 128, 185—204

Дирихле 20, 104, 124, 149, 290, 367

Дирихле Л. 348, 351

Долбня И. П. 361, 363—369

Дубнов Я. С. 358, 359

Дэвис М. 105, 117

Дюпорк Э. 92

Дюпюч П. 54

Евдокс 166

Евклид 96, 127, 129, 153, 163, 164,
166, 189, 192, 273—275, 277, 279,
286, 309, 310, 448, 456, 464

Ермаков В. П. 362

Ефимов Н. В. 358

Жегалкин И. И. 241, 242, 246,
Жордан К. 13, 24, 28, 32, 42, 45, 47,
85, 92, 337

Жуковский Н. Е. 353

Журден Ф. 243, 246

Зарецкий М. А. 386

Зенодор 441—445, 447

Зенон 128, 129

Зигель К. 99, 104, 105, 114, 117

Золотарев Е. И. 320, 361, 366—369,

381

Зутер Г. 274, 275, 279, 280

Ибрагимов С. Г. 247

Икбал А. 464

Пмшенецкий В. Г. 335, 338, 361,

363

Иоффе А. Ф. 386

ибп'Ирак 452, 460

Кавайе Ж. 235

Кавальери 134

Каган В. Ф. 96, 117, 374, 378

Казоратп Ф. 93

Калужнин 156

Кантор Г. 8, 95, 102, 129, 154, 182,
229-234, 236, 237, 239, 243—
245

Кантор М. 92, 93, 331

Канунов И. Ф. 57

Капелли А. 92, 93

Каратеодори К. 98, 443

Кардано 312, 340

Карно Л. 298, 313, 314, 316

Картан Э. 85, 92, 374, 378

Кассини Я. 303

Каччини Ф. 157

ал-Каши 445, 448

Квинтилиан 441

Кебе И. ИЗ, 117

Кеджори Ф. 150, 292, 298

Кейль И. 303

Кемпе 165

Кениг Ж. 240, 242, 243, 246

Кенигсбергер Л. 348, 350, 351, 361

Кеплер 135, 303

Киллинг В. 62, 63, 85, 374, 377

Киркман Т. П. 24, 32, 44—47, 51,
54

ал-Кифтп 455

Клагет М. 150

Клана Д. 244

Клейн Ф. 25, 26, 28—30, 48, 51,
54, 57, 83-85, ИЗ, 153, 155, 156,
178, 182, 293, 298, 361, 364, 372,
373, 376

Клеро А. К. 307

Клини С. К. 156, 179, 245—247, 252,
258

Кнезер А. 83, 85, 87

Ковалевская С. В. 93, 364, 365

Колмогоров А. Н. 98, 106, 117, 156,
247

Кольман Э. 29, 344

Коммапдино 200

Комри Л. 101

Коперник 157

Кора де Во 452, 464

Коркин А. Н. 381

Коробов Н. М. 101

Корпут Ван-дер- И. 103, 117

Корсель А. 238—240, 245

Кохендерфер 48, 54

Коши Л. 7, 13, 23, 24, 31—33, 35—
53, 55, 154, 188, 289, 297, 329—331,
336

Коэн П. 95, 117

Крамар Ф. Д. 309, 316

Крамер 336

Краузе М. 449, 451, 463

Крафт Г. В. 299, 304

Кристофель 354—356

Кронекер Л. 19, 20, 27, 30, 51, 54,
80, 105, 106, 295, 322, 367, 371

Круль В. 12

Крыжановский Д. А. 443, 448

Крылов А.Н. 253, 381—389

Кузьмин Р. О. 99, 117

Кулидж Д. 108, 117, 377, 378

Куммер 19, 104, 371

Купфер А. 372

Курант Р. 111

Куртце М. 280

Кутюра Л. 240, 245

ал-Кухи 449
Кэли А. 15—17, 25, 28, 30, 32, 33, 39,
42, 45—48, 50—52, 58, 107, 361,
364

Лаврентьев 88

де Лагир Ф. 304

Лагранж Ж. Л. 13, 16, 19, 21, 22,
30, 33—35, 50, 104, 144—147,
206, 209, 220, 289, 321, 322, 325,
333—335, 365

Ладыженская О. А. 111, 118

Лазарев П. П. 384

Лалубер А. 305

Ламберт 372

Ландау Э. 102, 103, 109, 118

Ландис Е. М. 109, 118

Лаодикийский А. 203

Лапко А. Ф. 388

Лаплас 147, 289

Лапцо-Данилевский И. А. 112

Лармо Ж. 92

Лахтин Л. К. 87

Лебег А. 111, 150

Леви Г. 111

Леви-Чивита Т. 92, 356, 357, 386

Лежандр А. М. 18, 103, 294, 334,
364

Лезан Ш. 92

Лейбниц 134, 137, 138, 141—143,
150, 151, 165, 177, 302—305,
313, 337

Лексель А. И. 306

Ленин 181, 183

Лерэ 111

Ли С. 25, 26, 57, 79, 85, 87, 97, 107,
372, 374, 379

Ли Чунь-фэн 261

Ли Янь 262, 271

Либри Ж. 93, 336

Линделефф Л. 92

Линдеман Ф. 92, 99

Линник Ю. В. 102, 118, 293

Липшиц Р. 373

Листинг И. Б. 29

Литлвуд Дж. 82, 102, 120, 209, 210,
214, 215, 293

Лиувилль Ж. 24, 49, 99, 336, 338,
354, 367, 387

Лобачевский 15, 124, 149, 154, 182,
249, 250, 377—379, 382, 383

Лопиталь Г. 144, 300, 304,305

Лоренцен П. 162, 183

Лориа Г. 307

Лузин Н. Н. 383

Лумисте Ю. Г. 288

Лурье С. Я. 150, 182, 295—298

Лысенко В. И. 299

Людвиг В. 373

Люилье С. 325—331

Люка Э. 188, 196

Люстерпик Л. А. 388

Люткемейер Г. ПО, 118

Ляпунов А. М. 346, 353, 381, 382

Лясоцкий И. 88

Мадлер 346

Майер Ф. X. 299, 301

Майстров Л. Е. 339

Майхилл Дж. 105

Маклорен 209, 321

Мальцев А. И. 59, 64, 86, 98, 118

Мамедбейли Г Д. 463

Манке Д. 150

Марков А. А. (мл.) 179, 183. 247

Марков А. А. (СТ.) 99, 353, 381—383,

389

Марколонго Р. 98

Маркс К. 182, 349, 351

Маркушевич А. И 150

Матвиевская Г. П. 273

Матье 44, 45, 51, 54

ал-Махани 275, 276, 279, 4ч9

Машке X. 86

Мегноли П. 139

Медведев Ф. А. 229

Мелле Е. 102

Меллер Н. А. 101, 118

Мельников И. Г. 289, 298

Менелай 450—452, 459

Меркатор Н. 139

Мёбиус А. Ф. 16, 29, 30

Мизес Р. 98, 118, 372

Миками И. 262, 266, 271

Миллер Г. А. 28, 33, 48, 49, 51, 54.

55, 357, 359

Миндинг Ф. Г. 85, 362

Минковский В. Л. 391, 395

Минковский Г. 92, 105, 387

Миттаг-Леффлер М. 92, 93

Млодзеевский Б. К. 377

Молин Ф. Э. 57—88, 361, 364

Молина Э. Ф. 85

Монж 15

Монро 374

Монтгомери Д. 98, 118

Монтюкла Ж. 93

Мопертюи 219

де Морган А. 312, 314—316

Морделл 188

Мордухай-Болтовской Д. Д. 150,

327, 330, 331, 464

Морман Г. 373

Морри Ч. 111, 118

ал-Мулка 453, 454

Мур 29, 92

ал-Мусават 444

Мусхелишвили Н. И. ИЗ, 118

Муфанго Р. 247

Нагата М. 107, 118

Нагель Э. 104

Назаров Н. Н. 386

Назимов И. С. 361, 363, 367

ан-Найризп 452

Налбандян М. Г>. 361

Нарышкина Е. А. 386

Натансон И. II. 244. 24 а

Нейман Д. 57, 95, 97. 9^, 118

Неймап К. 113

Некрасов А. 11. 383
Непер Дж. 134, 136

Нетер ё). 12, 29, 59, 64, Ы, «2 84,
86, 236

Нетто Е. 27, 28

Нивенгловский Б. 92

Нидэм Дж. 262, 271

Никифоров И. М. 384, 386, 387

Новиков П. С. 95, 96, 118

Новый Л. 30, 31, 55

Нолл В. 98

Норден А. II. 358

Нордхайм Л. 98

Ньютон 8, 134, 137—140, 144, 150,
165, 205—228, 303, 304, 309—316,
318—321, 325, 383

Нэш Дж. 111, 118

Обреимов В. И. 395

Оже И. И

Ожигова Е. II. 381

Окань М. 92

Олейник О. А. 109, 119

Орем Н. 131—134, 150

Орлов А. С. 386

Остроградский М. В. 206, 336, 346,

382

Оффенбург К. О. 305

Пуассон 219, 365

Путнам X. 105

Пятецкий-Шапиро И. И. 114

Радовский М. И. 350, 351

Рассел 243

Рашевский П. К. 374, 378

Рейс 372

Рейнградт К. НО, 119,

Рейхард Г. 30

Рен Хр. 303

Рерль Г. 113, 119

Риман 1$, 100, 102, 112, ИЗ, 119

Ринк 364

Рихард 245

Риччи Д. 102

Ришар Ж. 241, 242

Робен 338

Роберваль 305

Робинсон Д. 105

Розенфельд Б. А. 273, 448, 449,463,464

Романов Н. П. 102

Рон К. 108, 119

Руффини П. 13, 22, 23, 34—36, 48,
55 322

Рыбников К. А. 83, 86, 91, 150,
331, 443, 448

Паплаускас А. Б. 150

Папп 171, 200, 201, 274, 305, 375,
377, 441—448

Паскаль Б. 163, 176, 375, 377

Паш М. 26, 27, 376, 379

Пеано Дж. 27, 229, 239, 240, 242,
243, 246 , 249 , 333 —338

Пекарский П. П. 307

Пен леве И. 92

Петрович С. Г. 361, 363

Петровский И. Г. 108, 109, 118, 119

Пикар Э. ИЗ

Пикок 312, 314—316

Пинети 392

Пирс Ч. 58

Писарев Д. И. 391—395

Пифагор 446, 462

Племель И. 112, 119

Плетнев П. А. 347

Плуэй Е. 273

Плюкер Ю. 25

Пойа Д. 167, 173, 183, 292

Покровский П. М. 361—363, 366

Понселе 15

Понтрягин Л. С. 98, 119

Порецкий 177

Пост Э. Л. 247

Привалов И. И. 112

Прис Б. 58

Пселл 189 Ч

Пташицкий И. Л. 92, 362

Птолемей 124, 443, 452

Пуанкаре А. 26, 58, 92, 95, 112, 113,
119, 177, 185, 188, 195 239, 240—
243, 245

Пуапсо 49

Сабит ибн Корра 450, 452, 456, 459

Савич А. Н. 348
ас-Сагани 449
ас-Салар 451, 463
Сальмон Дж. 107
Севери Ф. 108, 119
де Сегье Ж. 28
Сельберг А. 100, 119
Серван 354, 359

Серр Ж. 13, 24, 32, 42—44, 51, 55,
97, 119, 364,

Сигалов А. Г. 111
ас-Сиджизи 449, 452, 464
Силов Л. 27, 32, 33, 43

Сильвестр Дж. Дж. 16, 17, 45—47,
51, 55, 58, 107

Симонов Н. И. 333
Симура Г. 106, 119
Синцов Д. М. 93, 119
Сколем Т. 94, 120
Смирнов В. И. 386
Смит 123, 149, 262, 271, 292, 298
Снелль 135

Соболев С. Л. 386

Соколов И. Д. 346

Сомов О. И. 361—363, 365, 368
Сохоцкий Ю. В. 361, 363—365
Спасский М. Ф. 346
Сретенский Л. Н. 228

Стеклов В. А. 338, 353, 358, 381, 382,
384, 385, 387—389

Стилтьес 387

Стройк Д. 83

Струве В. Я. 346, 348

Суайнсхед Р. 131, 133, 134, 136
Сунь-цзы 261—267, 271

ас-Сура 449

Сушкевич А. К. 83, 85, 87

Сяхоу Янь 261

Такаги Т. 106, 120

Тамм М. 64, 84, 86, 88

Танияма Ю. 106

Тарский 230

Тартаковский В. А. 104

Теон 441—443

Титчмарш Е. 101

Тихомандрицкий 92, 93, 346, 361—

363

Тодгентер И. 220

Толль К. 449

Томас А. 133

Томсон В. 209, 219, 274, 279

Турнер 385

ат-Туси 274-276, 279, 449, 451, 452,

456—463

Туэ А. 104, 120

Тьюринг А. И. 156, 247

Уайтсайд Д. 128

Уайтхед А. 92

Уваров С. С. 351

Уоррен 312—315

Уральцева Н.Н. 111, 118

Урысон П. С. 383

ибп'Усма 452

Успенский В. А. 156, 247

Успенский Я. В. 381—383, 387—389

Хань Янь 261

Харди Г. 100, 102, 120, 293

Хассе 12, 29, 104—106, 120

Хаупт О. 112

ал-Хашими 275, 278

Хейтесбери У. 131, 134

Хекке Э. 103

Хинчин А. Я. 98, 120, 292, 298, 395

Холл М. 82, 87

Хопф Э. 111

ал-Худжанди 452, 460

Хундури 454, 455

Цейтен Г. 92

Цермело Е. 229, 231, 233, 234, 239—

241, 243—246

Ципппн Л. 98

де Цольт 375

Цорн,234

Цянь 262 ’

Цянь Бао-цун 262, 264, 271

Чеботарев Н. Г. 54, 59, 64, 86, 103,
120 353

Чебышев П. Л. 8, 294, 334, 338, 353—
359, 362, 366, 381—383

Ченакал В. Л. 288

Чернышенко В. М. 358, 359

Черч А. 156, 245, 248, 258

Чжень Луань 261

Чирнгауз 303, 307, 321

Чубер Е. 92

Чудаков Н. Р. 101, 103, 120

Фабрициус 348

Фаддеев Д. К. 104

Фархварсон А. Д. 285, 288

Федоров Е. С. 109

Ферма И. 8, 17, 104, 123, 137, 138,
140, 185—204, 291, 292, 294, 296

Фладт К. 373, 378, 379

Фогт 56

Фосс 357, 359

Фреге Г. 28

Фредгольм И. 93, 112

Френд 312, 313, 316

Фробениус Г. 7, 27, 28, 58, 59, 64,

72—87, 109, 120, ЗЭ6

Фуджизага Р. 93

Фукс С. А. 337, 358

Функ И. 97, 120

Фурье 381 .

Фус Н. И. 305, 306

Фусс П. Н. 346, 350

Фютер Р. 106, 120

ал-Хазин 275, 276, 456, -460

Хайретдипова Н. Г. 449
ибн ал-Хайсам 8_ 399—448

Хайям О. 8, 274, 454-456, 464

Хантингтон Е. В. 29

Шаль М. 15, 29

Шанин Н. А. 183

Шапиро Г. М. 102, 374, 378

Шатунова Е. С. 325

Шаудер Ю. 111

Шафаревич И. Р. 104, 120

Шварц Г. ИЗ

Шварц Л. 289, 290

Шевалле К. 98, 120

Шелен И. 285

Шенфлис А. 109, 238, 243—245

Шеффере Г. 58, 85, 87, 374

Шидловский А. Б. 100, 121

Шиллинг Ф. 373

Широков! П. 374, 378

Шлезингер Л, 112, 121

Шлефли 373

Шмидт О. Ю. 28, 82

Шнейдер Т. 99, 121

Шнирельман Л. Г. 102, 121

Шпайзер А. 30, 82

Шрамм М. 123, 130, 149

Шредер Э. 8, 28, 177, 183, 229, 236

238, 245, . 247—258

Шретер 371

фон Штаудт 255

Штейигауз Г. 289, 290, 293, 2

Штейнер Я. 442, 443
Штеп ниц Г. 26, 29

Штекель 297

Штерн М. А. 293, 298

Штикельбергер Л. 27

Штпфель 136

Штольц О. 25

Штуди Э. 58, 85

Штурм Ш. 336, 338

Шуберт 107, 108, 121, 305

Шур И. 8, 27, 85

Шур Ф. 371 -379

Эйзенштейн Г. 104, 361, 367

Эйлер Л.16, 18, 34, 49, 99, 100,102 103,
143—152, 182, 206, 220, 289—299,
304, 305,307, 311, 312, 321, 333—
338, 343, 344, 346, 350, 365, 382,
383, 386

Энгель Ф. 85, 373, 374, 378

Энгельс Ф. 138, 150, 151, 182, 349,
351

Эратосфен 165

Эрбран Ж. 95 „

Эрмит Ш. 52, 50, 51, 54, 92, 99, 104,
107, 334, 337, 361, б4, 367

Эстермап Т. 103, 121

ибн Юмна 275, 279

Юнге Г. 274, 279

ибн Юнус 449

ибн Юсуф 275, 276

Юшкевич А. II. 56, 123, 149, 1:>0,
167 173 182, 183, 273, 298, 307,
316, 448, 449, 464

Якоби Б. С. 346, 348, 349—351

Якоби И. 349

Якоби К. 107, 338, 345—351, 361,

363—368

Ямаба X. 98, 121

Яновская С. А. 151, 257
Историко-математические исследования
Выпуск XVII

М., 1966 г., 472 стр. с итл.

Редактор Г, Ф. Рыбкин

Техн, редактор А. А. Благовещенская
Корректор О. А. Сигал

Сдано в набор 11/УП1 1966 г. Подписано к печати
14/Х1 1966 г. Бумага 84x108*Физ. печ. л. 11,75.

Условп. печ. л. 24,78. Уч.-изд. л. 25,12.

Тираж 2859 экз. Т-15906. Цена книги 1 р. 88 к.

Заказ № 1266.

Издательство «Наука»
Главная редакция
фи игко-математической литературы.

Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

2-я типография издательства, «Наука».

Москва Г-99, Шубинский пер., д. 10