ИСТ0РИКО' МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
домашняя
^р*овдв.
H-.V'I
Редактор A. 3, Рывкин.
Техн, редактор P. А. Негримовская.	Корректор E. А. Белицкая.
Подписано к печати 10/XI 1951 г. Бумага 82х 108/82. 8 бум. л. 26,24 печ. л.+ 3 вклейки 0,3 печ. л. 26,46 уч.-изд. л. 40 150 тип. 8Н. в печ. л. Т-09503.
Тираж 3000 акз. Цена 15 р. 90 к. Переплёт 2 р. Заказ № 1318.
16-л типографии Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Трёхпрудный пер., 9.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................ о
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
Е.	Я. Ремез (Киев). О математических рукописях академика М. В. Остроградского...........'.................. 9
§ 1.	Введение................................. 9
§ 2.	Рукописи М. В. Остроградского по алгебре и арифметике .......................................... 16
§ 3.	Рукописи по геометрии, тригонометрии и по общим вопросам элементарной	математики	...	49
§ 4.	Рукописи по математическому	анализу.........	58
§ 5.	Рукописи, посвящённые математическим методам
вообще, и фрагменты разного содержания ....	86
/». В. Гнеденко (Киев). О работах М. В. Остроградского по теории вероятностей................................... 99
И. А. Марон (Москва). Общие педагогические взгляды М. В. Остроградского................................. 124
И. Я. Депман (Ленинград). Дополнительные сведения о педагогической деятельности М. В. Остроградского ....	160
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
С. А. Яновская (Москва). О мировоззрении Н. И. Лобачевского ............................................... 173
В. Л. Лаптев (Казань). Теория параллельных прямых в ранних работах Н. И. Лобачевского.................. 201
В. В. Морозов (Казань). Об алгебраических рукописях Н. II. Лобачевского.................................•	230
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
А. В. Сушкевич (Харьков). Материалы к истории алгебры в России в XIX в. и в начале XX в.................... 237
I. Алгебраические знания в России к концу XVIII в. 237
СОДЕРЖАНИЕ
IL Преподавание алгебры в России в начале XIX в.
Учебники алгебры начала Х1Хв................. 246
111.	Алгебра в России во второй четверти XIX в. . .	256
IV.	Алгебра в русских университетах во второй поло вине XIX в. Учебники и монографии ио алгебре 296
V.	Научные работы но алгебре русских математиков во второй половине Х1Хв......................... 352
VI.	Алгебра в России в начале XX в.............. 413
Указатель авторов, алгебраические работы которых упоминаются в тексте..................... 450
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
А. Ц. Юшкевич (Москва). О математике народов Средней Азии в IX — XV вв..................................... 455
Б. А. Розенфельд (Баку). О математических работах Наснр-эддппа Туси .......................................... 489
ОТ РЕДАКЦИИ
В 1951 г. исполнилось сто пятьдесят лет со дня рождения знаменитого русского математика Михаила Васильевича Остроградского (24 сентября 1801—1 января 1862). Первый раздел настоящего выпуска «Историко-математических исследований» посвящается указанной юбилейной дате и открывается статьёй «О математических рукописях академика М. В. Остроградского», содержащей •анализ богатого рукописного наследия Остроградского. * В следующей статье рассмотрены работы Остроградского ио теории вероятностей, которые, наряду с трудами В. Я. Буняковского, сыграли немалую роль в пробуждении интереса к этой математической дисциплине в нашей стране. Дальнейшие две статьи, тесно примыкая к материалу, опубликованному в предыдущем выпуске нашего сборника, содержат дополнительные сведения о педагогических воззрениях М. В. Остроградского.
В этом же году научная общественность СССР отмечала и другую важную дату в истории науки—125-летие открытия неевклидовой геометрии. 23 февраля 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому отделению Казанского университета свой мемуар «Краткое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Второй раздел настоящего выпуска мы посвящаем великому русскому геометру. Первая статья является продолжением исследования С. А. Яновской о мировоззрении Н. И. Лобачевского. Две другие статьи воспроизводят тексты докладов на юбилейной научной конференции Казанского университета в феврале 1951 г. о теории параллельных в раннпх рукописных работах Лобачевского и о его алгебраических
ОТ РЕДАКЦИИ
рукописях (часть докладов этой конференции опубликована в вып. 3 журнала «Успехи математических наук» за 1951 г.).
Несомненным пробелом в нашей литературе является иочтп полное отсутствие работ по истории отдельных математических дисциплин. Между тем создание полноценной истории отечественной математики предполагает наличие трудов о развитии в нашей стране различных областей математики. В третьем разделе мы публикуем материалы к истории алгебры в Росспи в X IX и начале XX столетий. Это ещё не полная история отечественной алгебры, это именно материалы к ней, которые, однако, принесут серьёзную пользу всем, занимающимся историей русской математики, и смогут лечь в основу дальнейших исследований по истории алгебраических идей. Редакция призывает специалистов математиков продолжить работы по истории отдельных отраслей нашей науки.
В первой статье последнего раздела выпуска ставится принципиального значения вопрос о характере* математики народов Средней Азии: хорезмийцев, таджиков, узбеков и др., которая до настоящего времени неправомерно именовалась арабской математикой и глубокая оригинальность которой обычно отрицалась историками науки. Помещая эту статью, редакция надеется, что поставленные в ней вопросы привлекут внимание историков математики. Особенно важно приступить к изучению тех богатейших рукописных фондов на арабском, таджикском и других языках, которые хранятся в архивах советских библиотек и научных учреждений. Последняя статья сборника посвящена замечательному математику п астроному Насирэддпну Туси, 750-летие со дня рождения которого отмечалось в этом году в Советском Союзе.
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(24 СЕНТЯБРЯ 1801—1 ЯНВАРЯ 1862)
К 150-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ РУКОПИСЯХ АКАДЕМИКА М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
Я. Ремез
§ 1. Введение
О научных рукописях, оставшихся после смерти. М. В. Остроградского, впервые говорится (без указания места их нахождения) в «Очерке жизни и учёной деятельности Михаила Васильевича Остроградского», составленном акад. И. II. Сомовым и напечатанном в «Записках Академии наук», т. III, кн. I, 1863, стр. 1—29. Согласно заключению Сомова, из них «трудно извлечь, для издания в свет, что-либо целое; большая часть пз них состоит из рукописей мемуаров уже напечатанных и выкладок без текста—следы приготовления к лекциям, и начальных листов статей, оставленных без дальнейшей обработки».
В книге И. Трипольского «Михаил Васильевич Остроградский, Празднование столетия дня его рождения Полтавским кружком любителей физико-математических наук» (Полтава, 1902) на стр. 62—63 говорится о рукописях Остроградского, переданных в распоряжение кружка внуком его Михаилом Викторовичем Остроградским: «Рукописи эти, в количестве 185 полулистов, представляют большею частью отрывки пз учёных и преподавательских работ Остроградского. Пз них 160 полулистов писаны на русском языке и 25 на французском, причём 77 полулистов посвящены элементарной геометрии, 60—низшей алгебре, 16—прямолинейной тригонометрии, 16—механике, 2—теории вероятностей, 2—вариационному исчислению, 3 полулиста представляют выкладки без текста, 3—программу «Геометрии трёх измерении»,
Е. Я. РЕМЕЗ
10
2—темы для пробных лекций по математическим наукам (6 тем из арифметики и И1)—из начальной геометрии) и 4 полулиста заключают в себе официальную переписку».
После Великой Октябрьской социалистической революции рукописи Остроградского хранились в Полтавской научной библиотеке, откуда позднее, уже в количестве 1367 занумерованных полулистов, были перевезены в Киев и переданы в Рукописный отдел Центральной библиотеки Академии паук УССР (ныне Государственная Публичная библиотека УССР, в ведении Академии наук УССР). О времени поступления их в Рукописный отдел приблизительно можно судить по сохранившейся краткой описи, помеченной датой 7 июля 1934 г. и подписанной ответственным сотрудником Рукописного отдела. Значительно позднее, уже после Великой Отечественной войны, к этим материалам добавились поступившие из заповедника «Киево-Печерская лавра» по акту от 24 декабря 1948 г. две папки красного коленкора: одна—с документами об избранил М. В. Остроградского членом иностранных академий наук (Парижской, Римской и др.) наряду с извещениями о получении от Остроградского его мемуаров, другая—с грамотами о пожаловании Остроградскому отечественных орденов2).
Из упомянутых 1367 занумерованных полулистов, хранящихся в Рукописном отделе Государственной Публичной библиотеки УССР, около 1250 полулистов (2500 страниц большого формата) составляют научные и научно-педагогические рукописи Остроградского3), о которых будет речь в дальнейшем. Остальные 117 полулистов содержат, наряду с письмами адъюнкта Харьковского университета М. К. Робуша (преподавателя военных наук, у которого Михаил Васильевич Остроградский жил на
*) В действительности 12.
2) Эти папки поступили по общему акту с некоторыми экспонатами (Пересопницкое евангелие п др.), о "которых известно, что они до Великой Отечественной войны хранились в Полтавском музее.
3) Таким образом, мы ныне располагаем гораздо большим рукописным фондом, чем тот, который был в распоряжении Полтавского кружка в 1901—1902 г. Откуда и когда были взяты остальные научные рукописи, нам пока выяснить не удалось.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО Ц
—---------
квартире в 1816 1817 г., в первый период своего обучения в университете) к отцу Михаила Васильевича и одним письмом (значительно позднейшпм) самого .Михаила Васильевича к отцу, выписку на четырёх страницах из инструкции Штаба военно-учебных заведений от 15.XII 1851 г. об изменениях в плане преподавания математических дисциплин в общих п специальных классах (кадетских корпусов) в связи с введением 3-го специального класса, материалы о праздновании в Полтаве столетия со дня рождения Остроградского, в частности—записи научных обзорных докладов Тпхомапдрпцкого, Ляпунова, Стеклова, полностью воспроизведённых в книге П. Трипольского, а также разные отчётные материалы Полтавского физико-математического кружка, частью никакого отношения к Остроградскому не имеющие, кем-то составленную биографическую справку о Георге Вега и пр.
Что касается двух с половиною тысяч страниц, составляющих фонд научных и научно-дидактических рукописей Остроградского, то из них фактически должно быть исключено около 460 страниц (т. е. примерно 18%), являющихся пустыми. Мы условимся в дальнейшем при обозначении страниц рукописей лицевую сторону каждого занумерованного полулиста (т. е. сторону, на которой проставлен номер полулиста) обозначать тем же номером, оборотную же сторону—этим же номером с добавлением значка «и» (страницы 1а, 2а, За и т. д. наряду с 1, 2, 3 п т. д.). В нескольких случаях обнаружены незануме-рованные полулисты—например, между полулистами 164 и 165, 184 и 185, 692 и 693. Соответствующие страницы мы обозначаем 164ь, 164е, 184ь, 184е, 692ь, 692е. С другой стороны, имеются случаи дублирования (наличие полулистов с одинаковыми номерами): наряду с полулистами 757—764 в разделе геометрических рукописей,—обозначенные теми же номерами полулисты в разделе математической физики, которые мы условно обозначим номерами со звёздочками (страницы 757*, 757J:, 758*, 758#, ...» 764*, 764°). Следует заметить, что выполненная ещё до передачи рукописей в Государственную Публичную библиотеку УССР нумерация полулистов носит, вообще, случайный характер. Последовательность расположения рукописных
12
Е. Я. РЕМЕЗ
тетрадей и разрозненных листов и полулистов* ни в какой мере • не соответствует какому-нибудь хронологическому порядку (кстати, обозначения дат встречаются в рукописях Остроградского крайне редко). Весьма мало соблюдается и логическая последовательность по содержанию: так, например, в рукописной тетради стр. 443—466° (по теории вероятностей) начало рукописи в действительности находится не па стр. 443, а на стр. 466—466п, где формулируется постановка рассматриваемой задачи; в ряде случаев разрозненные фрагменты и полулисты, относящиеся к одному изложению, оказываются разъединёнными. Видно, что рукописи не изучались ранее.
Содержание данной статьи составляют некоторые результаты изучения рукописного наследия М. В. Остроградского (Киевског о фонда) в части, касающейся главным образом его собственно-математических работ. Кроме 834 страниц математических рукописей, разобранных лично мною, и 85 страниц, посвящённых вопросам теории вероятностей (содержание которых освещено в специальной статье Б. В. Гнеденко), в рукописном фонде Остроградского имеется 1111 страниц, посвящённых вопросам механики, включая гидромеханику и теоретические основы баллистики1), разбор которых ещё не закончен. Следует отметить большие заслуги действительного члена Академии наук УССР Б. В. Гнеденко в деле организации в Киеве изучения научного наследия М. В. Остроградского. Я лично обязан Б. В. Гнеденко ценными указаниями и товарищеской помощью.
Внимательное ознакомление с рукописным фондом и анализ изученных нами рукописей М. В. Остроградского, с одной стороны, подтвердили отчасти общее заключение Сомова в том смысле что среди них не обнаружено какого-нибудь ещё не издан ого при жизни автора цельного сочинения, хотя бы в полуоформленном виде. Но, с другой
х) К гидромеханике относятся 72 страницы рукописей, к баллистике—63 страницы (стр. 100—123’ посвящены внешней баллистике, стр._12—19—внутренней). Отметим также наличие фрагмента стр. 757*—764? (ср. выше в тексте) переписанной чьим-то каллиграфическим почерком рукописи по теории распространения тепла в жидкости, авторство которой требует установления.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТГОГР АДСКОГО
13
стороны, они с несомненностью убедили нас в том, что систематическая разработка рукописного наследия М. В. Остроградского представляет большую важность не только для выявления ещё не опубликованных фрагментарных исследовательских материалов великого математика, непосредственно имеющих значительную научную пли педагогическую ценность (см., например, ниже, в § 2, предлагаемый им общий метод представления иррациональных чисел знакочередующимися рядами), но и для более глубокого и полного понимания его опубликованных трудов, его методологических и педагогических взглядов, для восстановления некоторых не реализованных им до конца замыслов и, наконец, для освещения самого процесса и метода его работы—научной и педагогической. Для всех этих целей имеется обширный, лишь в первом приближении и частично изученный нами материал, который ждёт дальнейшего более детального и всестороннего исследования.
* * *
Разобранные нами собственно-математические рукописи Остроградского в объёме 834 страниц (не считая рукописей по теории вероятностей), ин-кварто, несколько увеличенного формата, по содержанию могут быть распределены следующим образом:
I. Алгебра и арифметика—202 стр.;
И. Геометрия элементарная и аналитическая — 156 стр.;
III.	Прямолинейная тригонометрия—32 стр.;
IV.	Элементарная математика вообще—4 стр.;
V.	Математические методы вообще—47 стр.;
VI.	Математический анализ и его геометрические приложения—384 стр.;
VII.	Фрагменты разного содержания—9 стр.
Большая часть рукописей представляет собой если не разрозненные фрагменты черновиков, то черновые тетради, в которых за несколькими страницами связного изложения идут страницы выкладок без текста или с отрывочными пояснениями, сменяясь далее опять текстовыми фрагментами и т. д., часто с неоднократными возвращениями и изложению одного и того же вопроса. При этом нередко
и
E. Я. РЕМЕЗ
отрывки выкладок или текстовые фрагменты, скажем, по вопросам математического анализа или дифференциальной геометрии оказываются вкрапленными в тетради по алгебре или по механике (или наоборот); иногда отдельные черновые фрагменты оказываются написанными «вверх ногами» с порядком следования страниц (ио содержанию фрагмента), обратным порядку нумерации полулистов. Многие страницы в этих черновых тетрадях и фрагмен тах написаны местами крайне неразборчивым почерком. В некоторых полулистах уголки отгрызаны мышами.
Наряду с этим мы встречаем здесь и ряд рукописей или частей рукописей (иногда отдельных листов), содержащих цельное изложение, в полуоформленном, а иногда и вполне (или почти вполне) оформленном виде, отдельных лекций, статей, глав учебных руководств, программ, конспектов и т. д. Интересно, однако, отметить, что хотя некоторые из этих изложений возможно квалифицировать как подготовительные или даже вполне оформленные рукописные тексты определённых опубликованных работ Остро-градского, ближайшее сличение текстов обнаруживает более пли менее существенные различия между ними. Любопытным примером может служить в этом отношении фрагмент стр. 755—756°. Он представляет собой подготовленную к печати рукопись последней из опубликованных академических статей М. В. Остроградского «Sur uno integrate definie» (Bulletin de I’Academie Imperiale des Sciences de St-Petersbourg, 1861, t. 3, стр. 65—68; чит. 15 июня 1860 г.). При ближайшем сличении обнаруживается, однако, существенное различие между рукописной и печатной редакциями вступительного абзаца статьи. В рукописи этот абзац гласит (в русском переводе): «В последнем заседании Академии г. Чебышев мне показал адресован ное ему письмо г. Эрмита, в котором этот известный математик формул п-р у е т теорему, аналогичную той, которая имеет место для лапласовых функций, по значительно более общую, поскольку она относится к любому числу независимых переменных. Однако, теорема, о которой идёт речь, сама заключается в предложении ещё более общем,
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТГОГГЛДСКОГО 15
которое установлено было памп много лет тому назад...»1)’ В напечатанном же тексте статьи об этом сказано более глухо и без указания имен: «Пз частной переписки мне стала известна формулировка теоремы, аналогичной той, которая и т. д.». Некоторая неравнозначность обеих редакций совершенно очевидна.
Отметим ещё (ср. конец подстрочного примечания на стр. 12), что в нескольких случаях между рукописями самого Остроградского мы находим каллиграфически переписанные но его почерком небольшие фрагменты, представляющие извлечения из изложений Эйлера и других авторов.
* * *
Переходя в дальнейшем к обзору математических рукописей по отдельным разделам, мы, естествен по, остановимся подробнее на тех рукописях и фрагментах, которые представляются нам наиболее интересными и важными с точки зрения изложенных выше целей и которые, с другой стороны, по тем или иным причинам привлекли наше внимание в первую очередь. В отношении других рукописей нам придётся ограничиться здесь более суммарным описанием. Мы хотим надеяться, что настоящая статья послужит общему ознакомлению широких кругов нашей математической общественности с математическим рукописным наследием одного из корифеев отечественной и мировой науки первой половины прошлого столетия и тем самым поможет развитию дальнейших исследований по всестороннему изучению и разработке материалов этого наследия.
Многие из рассматриваемых рукописей Остроградского написаны на французском языке2). Мы будем давать соответствующие цитаты пз них в переводе на русский
х) Далее показывается, что теорема, формулированная Эрмитом, является непосредственным следствием известной формулы Остроградского для преобразования n-кратного объёмного интеграла в поверхностный, содержащейся в его мемуаре 1834 г. по вариа двойному исчислению.
„ ) Это относится к большинству рукописей, которые позднее ~псь к первоначальному рукописному фонду Полтавского
16
Е. Я. РЕМЕЗ
язык, иногда нс оговаривая этого особо: цитаты же из русских текстов рукописей будут приводиться по возможности дословно. Неразборчиво написанные слова или пропуски слов, которые приходилось восполнять по смыслу, мы будем заключать в квадратные скобки.
§ 2. Рукописи М. В. Остроградского по алгебре и арифметике
Вопросам алгебры (в основном элементарной) и арифметики (включая теорию чисел) в рукописях Остроградского1 2) посвящены страницы 10я, 60 -62я, 78—99, 148— 174я, 177я- 184е, 185—189я, 195, 209—210, 213я—215я, 322—323я, 326—328я, 496—496я, 503, 835, 958—959я, 968—969я, 974—975я, 989, 995-995°, 1003—1003я, 1057я— 1058я, 1078, 1079, 1092-1096, 1162-1165°, 1166 1166я, 1167-1167я2).
Рукописные материалы по элементарной алгебре представляют отчасти особенный интерес ввиду того, что Михаил Васильевич Остроградский—автор учебных руководств и конспектов по геомстртнг и тригонометрии,— невидимому, подготовлял к изданию и учебник элементарной алгебры3), но осуществить такое издание он не успел. Таким образом, алгебраические рукописи Острэградского, несмотря на их фрагментарный характер, могут рассматриваться как основной источник для суждения о научнометодологических и дидактических взглядах его по ряду принципиальных вопросов элементарной алгебры.
х) Мы здесь и в дальнейшем, разумеется, имеем в виду исключительно киевский фонд рукописен, хранящихся в Государственной Публичной библиотеке УССР.
2) При обозначении промежутков странпчноГ нумерации мы всегда считаем и правый конец промежутка включённым, так что, напрпмер, 60—621 обозначает стр. 60, 60я, 61, 61я, 62, 62°.
3) В рукописи по тригонометрии, а также и в печатном руководстве «Программа и конспект тригонометрии» М. В. Остроградского, в связи с рассмотрением логарифмов тригонометрических величин, имеются ссылки на VI и VIII отделы «Алгебры». До сих пор, однако, не выяснено, какие именно учебно-методические материалы по алгебре имел здесь в виду Остроградский, и в каком виде они были доведены до военно-учебных заведений, для которых был издан упомянутый конспект тригонометрии (1851).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В ОСТРОГРАДСКОГО
17
Остроградский в своих рукописях несколько раз возвращается к определению самого предмета алгебры, подчёркивая его большую общность и абстрактность по сравнению с арифметикой (на стр. 60—61, 148, а также на стр. 1086—1087п в связи с общей классификацией математических наук). Арифметику он называет «техническою или исполнительною частью» алгебры. Формулировка определения предмета алгебры на стр. 10(87—1087аособенно достойна внимания: «Алгебра есть наука об алгебраических операциях» («I’Algebre est science des operations algebri-ques»),—она звучит совсем по-современному. Правда, при расшифровке этого определения оказывается, что Остро-градский имел в виду по сути лишь операции над аддитивными скалярными величинами (по употребительной ныне терминологии) и над измеряющими их числами, но саму формулировку нельзя не признать достаточно примечательной для того времени.
Очень определённо Остроградскпй высказывается о существенности момента арифметизации алгебраических символов: под буквами Л, В, С, D понимаются (стр. 60— 61) абстрактные числа—отвлечённая мера тех или других конкретных величин, и это делает их «сравнимыми» между собой, независимо от однородности или неоднородности измеряемых ими величин. Ничто не мешает, говорит он, например, в механике определять отношения пространства ко времени (rapport de 1’espace au temps), что даёт новую величину sui generis, называемую скоростью, и т. п. Впрочем, как замечает Остроградский в другом месте (стр. 712— 719а), лишь в случае однородных величин их отношение не зависит от выбора единицы измерения.
В связи со сказанным здесь, мы хотели бы чётко оттс-нить один весьма существенный момент различия между известным трактованием отношения однородных величин у Ньютона (и последующих математиков ближайшего после Ньютона столетия с лишним1)) и трактованием его у Остроградского: по Ньютону (Arithmetica universalis,
*) Ср., в частности, JI. Э й л е р, Универсальная арифметика, 1768, т. I, § 4, а также Н. II. Лобачевский, Алгебра или вычисление конечных, 1825—1832—1834, см. Полное собрание сочинений, т. IV, 1948, стр. 29, строки 7—14 сверху.
2 исторпко-матем. исследования
18
Е. Я. РЕМЕЗ
1707), число есть отношение однородных величин, Остроградский же (ср. его статью в журнале «Маяк», 1840, ч. 1, стр. 7—17) говорит скорее о том, что отношение однородных величин есть число, и это, конечно, не одно и то же. Мы увидим при разборе раздела V рукописей (§ 5), что понятие действительного числа, по воззрениям Остроградского, требует самостоятельного арифметического обоснования, независимого от понятия отношения.
Мы должны теперь особенно подчеркнуть то обстоятельство, что, отмечая абстрактный характер алгебры, Остроградский в то же время ярко выражает свои взгляды на практику, как на критерий не только важности и необходимости, но, в известном смысле, также истинности или состоятельности алгебраических правил. «Она (т. е. алгебра.—Е. Р.) служит важным пособием промышленности, сельскому хозяйству, политической арифметике и самому высокому искусству». Чтобы изложить теорию отрицательных и положительных величин «самым естественным образом, нужно дать почувствовать её необходимость, что можно усмотреть только пз приложений математики» (стр. 162).
Остроградский многократно возвращается к основным вопросам теории отрицательных чисел, и тут мы находим у него наряду с оттенением (ср. соответствующую цитату в конце этого параграфа) условного характера определений, каковыми являются в сущности правила действий над отрицательными числами, различные методические подходы к мотивировке этих правил1). С одной стороны, мы здесь встречаемся с подходами, приближающимися по существу (хотя бы и в начальной форме) к применяемым широко и ныне способам мотивировки соответствующих алгебраических определений или правил на основе «принципа перманентности» формальных свойств алгебраических действий. Мы имеем
*) Это разнообразие подходов, ориентированных, очевидно, на молодых воспитанников кадетских корпусов, представляя несомненный дидактический интерес, невидимому, свидетельствует о том, что изложение рассматриваемого вопроса в рукописях Остроградского ещё не вышло окончательно пз стадии методических исканий.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 19
в виду здесь, в частности, встречающийся в рукописях Остроградского (см. стр. 989) подход к трактованию отрицательного числа, как разностного отношения. «Когда нужно отнять большее [число] 12 из меньшого /, перед результатом ставят знак— (7—12= —5), это условие допустимое, его можно было о ы з а м о и и т ь и другим1). Смысл его в том, что р е-з у л ь т а т такого в ы ч и т а и и я с л у ж и т к у м е и ь ш е н и ю других ч и с е л».
Мы бы позволили себе расшифровать последнюю мысль автора с помощью записи вида
а -]- (— 5) —- а 4~ (7 — 12)= а 4- 7 — 12 = ci 4- 7— / —5 = л—5, где последовательные преобразования могут быть довольно просто мотивированы именно соображениями упомя нутой формальной перманентности2). С другой стороны, мы находим у Остроградского и неоднократные пояснс ния в духе принципа «прикладной перманентности» алгебраических формул, заключающегося в том, что, если некоторая формула даёт решение известной конкретной задачи в случае положительных значений соответствующих величин (например, решение задачи объединения двух капиталов с помощью алгебраического действия сложения), то та же формула должна давать решение аналогичной задачи и в том случае, когда под соответствующими оуквами разумеются величины противоположного смысла, например, вместо капитала—долг и т. п. (стр. 968—969п, 1162 — 1165а и др.; в последнем из этих фрагментов мы на ходим н некоторый, быть может, особенно интересный синтез обоих основных подходов—ср. ниже).
При трактовании труднейшего понятия элементарной алгеоры-—понятия иррационального числа, М. В. Остроградский систематически проводит единую методическую линию, рассматривая это понятие в теснейшей связи
2\ ЕазРядка в этом абзаце наша
,	) Имеющиеся фрагменты рукописей Остроградского не заклю-
пп1?7’ однако» последующей проверки того, что при устанавливаемых равилах действий в области относительных чисел действительно операций^ СИЛУ 0cn0Rm>ie формальные свойства алгебраических
2*
/с ^gg-/oo
** rC4>U^»4jK/> /У	^*Н
Фотокопия стр. 185 рукописи М. В. Остроградского.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ рукописи М. в. ОСТРОГРЛДСКО1Т)
21
с п р а к т и к о и н р и о л и ж ё и н ы х n ы ч и с я е н и п. Его принципиальные взгляды ио этому вопросу довольно отчётливо выявляются, например* на <тр. I о, где речь идёт о выяснении понятия логарифма и установлении существования логарифма для всякого положительного числа:
«Возьмём наудачу какое не есть положительное число, например 17, и рассмотрим, имеет ли оно логарифм. Когда окажется, что его логарифм существует, то надобно будет сообразить если в пашем исследовании, приведшем к заключению о существовании логарифма числа 17, что-либо, основанное на частностях, принадлежащих этому одному числу, или исследование, о котором говорим, может быть приложено ко всякому другому числу. В первом случае мы не достигнем своей цели, а в последнем существование логарифма всякого положительного числа будет факт несомненный. В настоящем исследовании мы для краткости, вместо log 17, будем писать букву х, и сообразно с духом Аналитического способа, предположив .10х = 17, будем рассуждать на основе этого предположения, цока не приидем к заключению, которое нас оправдает, или к явному противоречию, и таким образом окажется, что 17 имеет логарифм или что этого логарифма нет».
(Далее указывается замечательный способ вычисления логарифма с произвольной точностью, о котором подробнее будет еще речь ниже.)
Из этих высказываний Остроградского и дальнейшего изложения (стр. 185—189а) видно, что он здесь считает аналитическую концепцию определенною, когда для неё указан в ы ч и с л и т е л ь п ы й а л г о р и ф м, а доказательство существования соответствующего объекта понимает как доказательство сходимости алгорифма. Мы не можем ставить ему в упрёк то, что он тут не входит в олижайшее разъяснение логической обусловленности указываемого алгорифма основными, наиболее глубоко лежащими свойствами определяемых объектов (в данном случае — соответствующими структурными и алгебраическими свойствами показательной функции): тут он остаётся в согласии с общим стилем современной ему математики.
22
Е. Я. РЕМЕЗ
Из математических рукописен Остроградского мы узнаём об одной мало известной, но весьма примечательно]! его черте, позволяющей полнее и ближе понять характер научно-методических устремлений и интересов знаменитого математика. Мы имеем в виду то чрезвычайное внимание, какое он систематически уделяет в своих рукопн <ях вопросам рационализации элементарных действии над приближёнными числами, к которым, в конечном счёте, как правило, сводится реализация любого аналитического метода решения прикладных задач,—вопросам у чёта погрешностей и обоснованию принципов целесообразного округления приближённых чисел на каждом этапе вычислительного процесса (стр. 83—94а, 180°—184а н в ряде других мест). В этом можно, несомненно, усмотреть нечто характерное для века интенсивно прогрессирующей техники. Мы не обнаружим ещё этой тенденции у математиков XVIII столетия, не исключая и знаменитого предшественника Остроградского в Петербургской Академии наук—Леонарда Эйлера. У Эйлера мы в численных подсчётах имеем обычно 14—18 значащих цифр; мы у нею не находим постановки вопроса о целесообразном ограничении количества цифр, сообразно с потребностью обеспечения наперёд установленного порядка точности в решении той пли иной конкретной задачи прп возможно экономной затрате вычислительной работы.
В первой пз указанных рукописей (стр. 83—94я) Остроградский очень подробно останавливается на исследова нии вопросов, фактический смысл которых заключается в выяснении условий корректности поста-н о в к иг) задач элементарного приближённого вычисления в смысле непрерывного (или даже равномерно-непрерывного) характера зависимости точности результата (определяемой на основе определённого критерия) от точ ности данных. Этому требованию мы не удовлетворим, если будем рассматривать в качестве, казалось бы, естественного критерия точности количество значащих цифр
д) Самый термин, конечно, принадлежит значительно более поздней эпохе, но мы позволим себе употребить его здесь, поскольку он очень хорошо выражает суть вопроса, который интересовал Остроградского.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТ РОГ Р АДГ КОГО	23
приближённого числа, совпадающих с соответствующими цифрами точного изображения числа бесконечной десятичной дробью: скольугодно малое изменение, скажем, сомножителей или одного из сомножителей может приводить к изменению даже всех до единой цифр произведения, как это и выясняется в рукописи, с одной стороны, на простых примерах в роде сравнения произведений
0,111 111 111 • 9 = 0,999 999 999
И
0,111 111 1119 . 9 = 1,000 000 0071,
а с другой стороны и на теоретически проведённых исследованиях вопросов определения ц е л он част и произведений вида ах, ах • 10п, ху, где х, у—бесконечные десятичные дроби (в конкретных иллюстрациях автор берёт для примера тс или ]/2 ), а а—конечное десятичное число (например, 17). Если сделать окончательные выводы (которых Остроградский в своих черновых набросках не формулирует), то общее заключение свелось бы к тому, что, скажем, требование определения приближённого численного значения произведения ху (1<л’, у<10) с л десятичными знаками п с точностью д о 10-п по недостатку не принадлежит к числу задач корректно поставленных (что не противоречит законности постановки такого рода задач в специальных вопросах «точной математики», выходящих за пределы практики обычных расчётных вычислений). Мы теперь знаем, что корректно поставленными будут, вообще, вычислительные задачи, в которых для «/г-значного» (в вышеуказанном смысле) приближённого значения результата допускается либо погрешность неопределённого знака д о i 10~п (или ±	+ г • 10~7г),
лиоо погрешность определённого знака (по недостатку,, например) до 2.10"п (или 1+7’ 10~п).
Насколько важное значение придавал Остроградский распространению знаний по теории приближённых вы
24
Е. Я. РЕМЕЗ
числений1), можно видеть хотя бы нз того, что в составленной им программе по арифметике для военно-учебных заведений (стр. 179“—177“)2) он в разделе программы для 1-го общего класса кадетских корпусов (т. о. для одиннадцатилетних мальчиков) включает 24-м пунктом такие вопросы: «Способы для сокращения умножения п деления на очень большие числа. Нахождение произведении деся тпчных дробей с данною точностью». В составленном им же списке тем для пробных лекций по математическим наукам (стр. 906—907“, подробнее об этом см*, ниже в § 3) в разделе I («Из Арифметики») под номером 5 формулирована тема: «Показать, с каким приближением должны быть известны слагаемые, множители, делимое и делитель и подкоренное число, чтобы сумма, произведение, частное и корень имели бы данную точность».
В ходе своих исследований по дидактическому построению теории иррациональных чисел на основе приближённых вычислений Остроградский пришёл к весьма замечательному по своей простоте и эффективности общему алгорифму для определения иррационального числа с помощью быстросходящегося знакопеременного ряда специального вида. Этот алгорифм Остроградского не нашёл отражения ни в одном нз ею опубликованных сочинений. В своих рукописях он несколько раз возвращается к нему в связи с определением конкретных иррациональностей (log 5 на стр. 173“—174“, log 17 на стр. 185—189“; см., кроме того, менее оформленные черновые наброски на стр. 1057“— 1058“ и 170“), затем он в общем виде резюмирует свой алгорифм в рукописном фрагменте стр. 326—327“. Этот последний фрагмент, озаглавленный «Approximations» (приближения), написан на двух развёрнутых пн-фолио листах, сложенных вместе с третьим листом (стр. 328“— 328)3) одинакового с ними внешнего вида (размеры листа,
Э В этой связи следует отметить, что ученик Остроградского В. Беренс напечатал специальное пособие: «Теория численных приближений»—одну из первых монографий по теории элементарных приближённых вычислений.
2) Здесь нумерация страниц идёт в обратном порядке, так как соответствующий текст в рукописи расположен «вверх ногами».
3) Здесь начало текста—на оборотной стороне, а конец—на лицевой.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
25
цвет чернил и пр.), посвящён своеобразной теме: «Найти день недели, отвечающий данной дате». Тут представляет интерес не столько сама несложная формула, которую Остроградский получает для рассматриваемого календарного расчёта, сколько те примеры, к которым он её применяет: 1) 12.IX 1800 (Остроградский родился 12.IX 1801 нестарому стилю), 2) 11.XI1861; 3) «31 декабря т с к \ щ его 1861 года». Поскольку 11.XI 1861 оыл как раз тот день, когда Михаил Васильевич уже тяжело больной приехал в последний раз в Полтаву (где и скончался 20.Х II), то естественно думать, что рассматриваемый лист вместе с первыми двумя был написан им в последние не дели жизни (вероятно, в начале декабря или конце ноября, когда, по биографическим данным, в ходе его болезни на ступило временное улучшение: «больной начал, невидимому, поправляться, принимал посетителей и поговаривал о предстоящих занятиях»—см. II. Трипольский, цпт. книга, стр. 84). Но вернёмся к рассмотрению содержания первых двух листов (стр. 326—327“), заключающих изложение алгорифма Остроградского (цитируем в переводе с французского).
«Пусть будет а целая часть несоизмеримого количества со и а остаток <1. Сравним а с единицей; допустим, что а содержится в ней р раз, и что получается остаток ,3, так что 1=/?а 4- Р; сравним р с единицей, и пусть будет
1 = <7р4-у; 1 —ry-f-o и г. д.
— количества а ...р ... у ... о ... всё более малые; мы будем иметь w = a-|-ot, но а = —> следовательно,
, 1	3
со = а Д----1- ;
Р Р
110	следовательно,
ш = а + —---- + — ;
р pq pq
но у = —_ значит,
со = а 4- —-—4— ------— ».
р pq pq? pqr
26
Е. Я. РЕМЕЗ
Далее автор вводит более общие обозначения: ш = а4-а, 1 = ра + аь 1 =	+ а2,
1 = ?2а2 + а3, . .., 1 = рм + ап+1.
«Мы будем иметь
. 1 —а1	।	1 «j	,1	1 —а2
(Л) = d -|----— 6!-]---— — -=. d ------------
Р	Р Р Р РР1
= а-р--------- +-----------—
Р PPl PPlP'2 РР\РЧ
вообще, будем иметь
,11.1 1 , со=а-4--------------------------h . ..
Р РР1 РР1Р2 РР1Р2Р3
	(~1)п	, (-ir-ian-H
* ’ ‘ * РР1Р2 ... ptl РР1Р2 ... Рп
Из соотношения 1 — рпяп 4-ап+п где 0 < ап+1 < ап, автор выводит двойное неравенство
1	1 1 1
----г < ап < — или ---------—г < аП4.1 <---, Рп + 1	Рп	Рп+1 +1	Рп+1
откуда Лц+1 =--гт» и, таким образом, для w можно
Рп+1 + о
принять
U)==fl + l_X+...+	(-D- Ц)
Р РР1	РР1---РП PPl Pn(Pn+i+G)
(0<е<1)1).
Если же воспользоваться простым соображением, кото-
рое Остроградский применяет в другом фрагменте (стр. 185—189°), подставляя в равенство 1 = рпап + an+i,
вместо ап, число
1
/’n + i
что даёт немедленно
!> ?Гм+“п+1’ап+1<рГн ил“ ап+1=^Гн
*) Число 0, конечно, зависит от п.
2) Ещё проще было бы, пожалуй, для получения дальнейшего подставить, вместо ап, ап+1 < ап.
3) Остроградский пишет везде 0 без индекса; мы здесь вводим обозначение 0п во избежание смешения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТГОГГАДСКОГО
27
•го придём к формуле с другим видом остаточного члена (которую Остроградский и устанавливает в этом фрагменте применительно к частной задаче вычисления log 17):
10 “ а + р РР}+' ‘+ РР! Рп РРх  Рп (Рп+1)
Этой формулой естественнее всего пользоваться, когда известны лишь числа р, plf ..., рп, но о числе pn+i точнее 1 ничего неизвестно. Заметим, что из неравенства ап+ *<
Рп "Г 1 непосредственно следует /м+i ~>Рп + 1 > Рп, т. е. целые числа р, рг, р2, ... идут, во всяком случае, строго возрастая:
Р < РХ < Pl < • •  < Рп < • • • •
Сам Остроградский вовсе не касается бесконечного разложения, получаемого из (В) или (Л) при п —> оо, и мы отложим до другого случая ближайшее рассмотрение этого вопроса, представляющего, пожалуй, некоторый интерес не только педагогический. Но мы приведём здесь ещё в качестве поучительного примера применение алгорифма Остроградского и формулы (В) к конкретному элементарному вопросу приближённого вычисления log 17, составляющему (ср. выше), собственно, предмет фрагмента стр. 185—189я.
Полагая log 17 = х= 1 4- v (стр. 185я), М. В. Остроград-скип получает, прежде всего,
10v = l,7 или (1,7)1^=Ю.
«Будем возвышать число 1,7 в степени, пока следствие возвышения нс превзойдёт 10»: (1,7)2 = 2,89; (1,7)4 = = (2,89)2 = 8,3521; 5-я степень числа 1,7 уже, очевидно, > Ю. Итак, 4 < -^- < 5, и мы положим, следуя Остро-1 радскому,
4 = 4 + 4- (v,<v)	(1)
или, что то же, l = 4v-h v, (vr < v).
28
Е. Я. РЕМЕЗ
Возвышая уравнение 10v = 1,7 в 4-ю степень и заменяя 4v = 1 — v,, найдём 101""''1 = (1,7)4 = 8,3521 пли (0,1)^ = 0,83521. «Посмотрим, сколько раз vt заключается в I, для чего напишем предыдущее уравнение в виде (0,83521)1/V1 — 0,1». Полагая для краткостиг) 0,83521 = а, имеем2) а2 = 0,6975757441; л4 = 0,48661191875; а8 = 0,23679115947; л12 0,11522540042; л13 < 0,84 • 0,116
O.O97/i4 < 0,1; 12 < - < 13;
•'1
J-=I2 + ^ UIU 1	12,1 + 72	(2)
Из (0,l)V1 = 0,83521 = а имеем (0,1)‘-^ = (0,1)12''1 = л12— 0,11522540042; 10''-= 1,1522540042. Обозначая 1,152254 6. имеем приближённо 6*/v-=10. Но b2 = 1,327681; 64= 1,762758; 68 = 3,107317;	61<5 = 9,655420;	617 > 10.
Итак, 16 < — <17,
’*2
1	16+ — или l=16v2 + v3 (v3<v.,).	(3)
'*2	'^2
Далее, подобно предыдущему, из 10l-v3 = 61G = 9,655420 получаем (0,1)^« = 0,9655420 = с; с*^з = 0,1. Но с2 = 0,9323063; с4 = 0,8691950; с8 = 0,7555002; с16 = 0,5706801; г32 0,3257901; с64 = 0,1060124; с65 0,1023594;
с66[ <с65 - 0,97] <0,13).
Значит, 65 < — < 66,	в
- = б5+ или 1 = 65v3 + v4 (v4 < v3).	(4)
Подобно предыдущему, теперь из (0,1)1-^ = с65 = = 0.1023594 имеем 10V4 — 1,023594 = к, kify,i~10. Но А2 = 1,047745; А’4 = 1,097769; Л8= 1,205095; А’16= 1,452256;
’) В рукописи Остроградского без сокращённых обозначений этого рола записи получаются несколько громоздкими.
2) В рукописи в десятичных изображениях приближённых численных значений а2, а4, а8, а12 последние 4 десятичных знака и е р с ч ё р к и у т ы.
3) В рукописи описка: берётся для сравнения е65 • 0,9, что,
конечно, не имеет убедительной силы.
М АТЕ МАТПЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. UCT РОГ Р АДСКОГО	29
Л-32 _ 2 109048-	Л64 = 4,447057;	= 9,381222:	-
= 9^82912; I®® >	* !’02 = 10>02570 > 10- Итак
98 < — < 99, 7 4
J- = 98 + — или J =98v44-v5 (v- < v4).	(5)
7 4	74
Возвращаясь к обозначениям фрагмента стр. 326 — 327°. имеем здесь р = 4, рх = 12, р2= 16, Рз = 65, рт=98; а_ =	(0 < 65 < 1), и нам остаётся применить фор-
мулу (В) при /?=4, л==1. Имеем:
А = 0,2500000000 '1	0,2500и000и0
’ = ‘ :12 = 0,0208333333 4 • 12	4	0,9791666607 1-1)
	,]	=О,0013020833 4 • 12 Н»	0,0013020833
,	1	г =0,1)0( )02( )032( > 4 • 12 • 16 • 65	0,9999799680 |-1|
- о	= °-0000002044 4 • 12 • 1(> • Ь.) • 98	0,0000002044
	1		9 1 . 10~п 4 • 12 • 16 • 65 -98-99	’	0,2304489224 х)
	log 17 =
	= 1,2304489224-
	-0 -2,1 • 10-° =
	= 1,23044892 с по-
	грешностью положи-
	тельного знака, мень-
	шей 4  10"8. 4
«Нетрудно впдеть, что вычисление, которое привело нас к логарифму 17, приложится ко всякому числу».
*) «Произведём над первыми пятью десятичными числами тре-оуемые сложения п вычитания, которые при помощи Арифметического дополнения приведутся к одним сложениям».
30
Г. Я. РЕМЕЗ
Пояснив это в кратких словах на примерах чисел 213; 2,23; 0,00357 (в последнем случае полагая log 0,00357	— х;
(0,1)^ = 0,00357; ж = 2 + у и т. д.), автор констатирует: «Итак, мы пришли к заключению, что логарифмы всех положительных чисел существуют» (ср. выше).
К числу вопросов, трактуемых более или менее подробно в данном разделе рукописей М. В. Остро! радскою, принадлежат ещё логический анализ алгебраических формул и связанный с этим вопрос об «алгебраическом языке» (ряд фрагментов на стр. 148 — 163, также отрывок на стр. 1090—1090“, вкрапленный в раздел V — ср. § 5).
Ознакомление с алгебраическим языком, приобретение навыков сознательного чтения и записи алгебраических формул Остроградский рассматривает как существенный самостоятельный начальный этап в изучении элементар пой алгебры, предшествующий ознакомлению с вычисли тельными методами и правилами выкладок над различ ными численными и буквенными выражениями. По дидак тическим взглядам Остроградского усвоение молодыми учащимися алгебраического языка должно простираться вплоть до понимания некоторых логических тонкостей например, различия оттенков мысли, заключающихся в записи равносильных неравенств а>Ь и b а, -«первый элемент математического языка, которого авторами я в ляемся мы сами, и который тем ие менее бывает подчас труден для нашего понимания» (стр. 1090).
«Встречая в самом начале Алгебры1) различные выражения одного и того же числа, мы заключаем, что язык Алгебраический, подобно обыкновенной речи, доставляет возможность разнообразить изложение наших понятий. Такое заключение совершенно справедливо, даже можно прибавить, что и в Алгебре есть оттенки, заставляющие предпочесть одно выражение какой-либо мысли другому. Например, сравнивая два числа—большее а с меньшим b если первое из них почему-либо играет важнейшую роль, то его превосходство [по величине] перед последним следует показать знаком а Ь, в противном случае лучше
J) Здесь мы начинаем цитировать фрагменты рукописной тетради, стр. 148—163.
MAI EM ATM ЧЕСКИЕ РУКОПИСИ M. В. ОСТРОГРАДСКОГО	31
употребить выражение b<a, т. с. надобно поставить на первое место число более значущее не по величине, но по влиянию на рассматриваемый предмет1).
Прибавим однакож, что соблюдение подобных оттенков служит украшением Алгебраического изложения, но не составляет необходимости; оно в Алгебре то же, что удачное расположение слов и приличный выбор выражений в речи ооыкновенной.
Мы с намерением употребили выражение Алгебраический язык, желая показать, что Алгебру можно рассматривать как речь особого свойства, имеющую ей приличные идеи и условные для их изображений знаки. Речь эта во многом сходна с языком обыкновенным, и её с ним сравнение может принести пользу во многих случаях и, во-первых, для правильного расположения предметов Алгебраического изложения. В самом деле, подобно изучению языков, изучение Алгебры должно начать чтением и изображением алгебраических знаков, которые, как и обыкновенные письмена, читаются и пишутся от левой руки к правой. Далее, в Алгебре рассматриваются различные над числами действия, их можно сравнить с грамматическими частями речи. Совокупление этих действий п исследование свойств этих совокупностей есть Алгебраический синтаксис. Наконец, употребление Алгебры для различных изысканий чистого и прикладного Анализа можно уподобить правильному изложению наших мыслей о каком-нибудь предмете языком обыкновенным».
«Для изображения числа, состоящего из нескольких частей, пишут в строку, одна за другой в произвольном порядке, все части, ставя после каждой знак +, называемый плюс. Таким образом, а-\-Ь или Ь-} а выражает число, состоящее из двух частей а и Ь, а-\-Ь-\-с или a-J-c-4-б или б+c-j-a и проч, есть число, состоящее из трёх частей а, Ь и с. По числу частей, на которые признаём полезным разложить их, числа называют двучленными, тричлен-ными, четыречленными и проч. Часто для краткости
В одном случае название числа а служит и о д л е ж а-Щ и м (в соответствующем грамматически анализируемом предложении), в другом же случае—название числа Ь. Ср. дальнейшие высказывания Остроградского.
32
Е. Я. РЕМЕЗ
говорят двучлен, тричлен, четыречлеи и проч. Если же не знают, сколько составных частей или не желают того показать, то говорят многочлен пли число многочленное. Таким образом, а-[-Ь будет число двучленное или двучлен,	есть число трпчленное пли тричлон и проч.
Многочлен можно выразить знаком a-\-b--|-c-}-d-Н4-..., где точки за последним плюсом занимают место тех частей многочлена, которые не доставлены на вид.
Как двучлен, трпчлен п проч., так и многочлен представляют каждый одно только число, и эти числа можно бы выражать особенными буквами, во должно предпочитать изображения а +6, а-)-6-|-с и проч, в том случае когда необходимо пли полезно иметь на виду составные части рассматриваемых количеств. Впрочем, может случиться, что одно и то же число означено п особенною буквою и посредством своих составных частей; очевидно, что различные его изображения в сущности между собой тождествен ны, так что одно пз них всегда может быть употреблено вместо другого. Такое тождество пли равенство должно показать приличным знаком; пишется [он] двумя горизон тальными чертами, которые ставят между различными изображениями рассматриваемого числа, и называется знаком равенства или тождества...».
«Когда два количества ап b суть части одного числа .1, то по третьей Аксиомех) каждое пз них равно всему числу . i без другой части, т. е. а=А без Ъ и Ь—Л без а. По в алгебраической речи не применяют слова пз обыкновенной и вместо «без» пишется горизонтальная черта — называемая минус. Таким образом предыдущие равенства пзобра жаются знаками а=А—Ь, Ь=А—а и будут необходимые следствия равенства пли уравнения* 2) а-\-Ь— А.
Теперь можем видеть, насколько более как разнообразен Алгебраический язык. В самом деле, мысль, что число . I
г) Такая своеобразная ссылка на аксиому Евклида там, где мы бы прибегли только к явной форме определения (понятия вычпта ния), как мы увидим далее (ср. также § 5), является в рукописях Остроградского не единственным случаем довольно неожиданных по своему характеру ссылок па евклидовы аксиомы в вопросах алгебры пли анализа.
2) Подчёркнуто у автора.
Математические рукописи м. в. остроградского 33 состоит из двух частей а и 6, имеет, во-первых, тропно выРажеНпе, Гилл]1) может быть представлено которым-ниоудь из Tpgx уравнений А=а-\-Ь, А—а==Ь, А—Ь=а, но число выражений той же весьма простой идеи можно увеличить по произволению. Разложим, например, число а на две части а и р, т. с. напишем вместо а, то получим четвёртое выражение той же мысли Л=а-гЗ-}-&. К этому выражению однако должно присовокупить, что Вместо двух частей можно разбить а па три, четыре и проч, части, то же самое можно бы сделать с числом 6; можно также рассматривать а как часть числа с, которого другую часть назвав d, получим а=с—d, А=с— —d-{~b и проч. Во всех этих изображениях будет заключаться мысль, что А состоит из двух частей а и Ь, однакож опа будет сопровождаться другими мыслями и, стало быть, не представится в простейшем виде. Но что сказано о разнообразии её выражений прилично и другим алгебраическим идеям, которых однакож мы приобрели ещё очень немного. В математическом анализе [далее строка неразборчивая] почти во всех исследованиях величин принимаются в соображение несколько различных выражений их приличными знаками. Само собой разумеется, что из многоразличных способов их выражения надобно выбрать простейшие. Но если это требованпе не выполнимо для всех идей, то надобно ему удовлетворить для главнейших из них, т. е. для тех, которые в рассматриваемом предмете играют важнейшие роли. Заметим однакож, что решение вопросов, какпе из нескольких понятий важнее прочих и какое простейшее пх выражение, принадлежит соображению и искусству выкладчика, подобно тому как соответствующие вопросы в языке обыкновенном решаются образованностью и вкусом писателей (изучение образцовых творений)».
«Свойства чисел, которые мы рассматриваем, принадлежат и всем прочим величинам и изображаются темп же знаками, которые мы приняли для чисел. Только превосходство одних величин перед другими, их равенство п
. ’) Здесь у автора, собственно, написано (не предшествуемое занятою) украинское слово «або», что означает «или».
3 Историко-матем. исследования
34
Е. Я. РЕМЕЗ
разложение на части познаются различно для различных величин. Например, для протяжений одно из них больше другого, если последнее может поместиться па первом, не наполнив его. Протяжение мысленно разлагается на части, которых совокупность совершенно его наполняет, нигде не удваиваясь. Наконец, два протяжения равны, когда они совмещаются, т. е. когда все части одного могут наполнить другое без промежутков и удвоений.
Но, оставляя все прочие величины, мы будем продолжать наши исследования об одних числах».
* * *
Мы перейдём теперь к дополнительному обзору перечисленных в начале этого параграфа рукописей и фрагментов, чтобы несколько ближе охарактеризовать содержание каждого пз них в отдельности и вместе с тем достигнуть большей степени полноты в описании основного содержания данного раздела рукописей в целом.
1.	На стр. 10“—занимающий 2/з страницы отрывок незаконченного исследования общего характера пз области вопросов делимости чисел с припиской (на французском языке): «нужно продолжить позднее, сейчас времешг нет».
2.	Фрагмент стр. 60—62а с заголовком Algebre elementaire наряду с разъяснением предмета алгебры при особом оттенении момента арифметизации алгебраических символов (на стр. 60—61, ср. выше) содержит на стр. 62а доказательства коммутативного свойства произведения натуральных чисел—по методам спуска и перехода от т к /и +1 для случая двух множителей, с дальнейшим более лёгким переходом от двух множителей к трем.
3.	Фрагмент стр. 78—99. На стр. 78—80 под заголовком Recherches sans aucune importance (т. e. «Исследования, не имеющие значения»)—пробы вычисления A log х~log 120005—log 120004 с повышенной (по сравнению с данной 10-значной таблицей) точностью. Выкладки обрываются. Отсутствует окончательное заключение, которое должно было бы сводиться к тому, что наивыгоднейшим значением табличной разности является именно то, которое получается из данной таблицы, а не из более
МДТЕМ АТПЧЕСКПЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТГОГРАДСКОГО___35
точной. Далее, па стр. 80е—82Л,— элеменгарный вывод приближённой формулы интерполирования
/(х 4- А) = /(.г) + А/(.г) • А - Д7(ж2~ ^ Л( 1-А) ’)
(совпадающей в случае целой рациональной функции 2-н степени с трёхчленной интерполяционной формулоп Ньютона), с проверкой на примерах логарифмических вычислений и < элементарным исследованием, также в основном на примерах, влияния округления численного значения h при вычислении 3-го члена формулы. Самый вывод интерполяционной формулы, полученный элементарным путём на основе допущения разложимости /(жЧ-Л)по степеням 7г, с учетом лишь членов до 2-й степени включительно, является как бы комментарием к соответствующему пункту инструкции о преподавании мате магических паук, составленной М. В. Остроградским в 1853 г. для Института путей сообщения, где об упомянутом степенном разложении, рассматриваемом как п о-1 р а н и ч и ы й вопрос между а л г е б р о й и м а т е м а т и ч е с к и м а н а л изо м, говорится следующее:
«Вид развёртывания, о котором говорим, следует допустить без предварительного доказательства, как истину, оправдываемую впоследствии всеми из неё выводимыми заключениями, которые вообще не приведут к противоречию, что непременно бы случилось, если бы предположенный вид развёртывания был несправедлив. Не приступая к изложению правил дифференциального исчисления, преподаватель покажет способ параболического интерполирования, приняв в основание вид сейчас упомянутого развёртывания... и приложит этот способ к употреблению математических таблиц логарифмических и тригонометрп чески х».
На последующих стр. 83—99 данного фрагмента автор занимается уже охарактеризованными мною выше изысканиями, относящимися к задаче определения приблп-
*) Полагая / (х + h) = /(ж) + ph + qh*, мы заметим, что /(£.1 ГД® + *) ~ /(*) = Р + 9.	- 1) = К* + 1) -2/(®) +
' -7, остается выразить отсюда р и q через разности.
3*
36
Е. Я. РЕМЕЗ
жённого значения произведения двух положительных чисел (пз которых одно или оба—иррациональные) по недостатку, с некоторым наперёд устанавливаемым числом точных десятичных знаков. С одной стороны, тут речь идёт об оценке погрешности н е о к р у г л ё и по г о произведения .ту а'6'1), причём снижение величины этой погрешности до значения, заведомо меньшего произвольно малой десятичной доли 10 ™, осуществляется следующим образом: если [.?]=«, [у]=6, то, боря приближённые значения Ь' для сомножителей под условиями
+	’=6' + 5^i>y <»<••’.«).
будем иметь
a'b' < ху <ab' +(а + 1)--------- 4-
J	v 2(а + 1) Ю™
_|_(6+ 1)----°----<a'b'-]--L-
V 7 2(64-1) 10™	Ю™
(ряд дальнейших страниц здесь занят также менее оформленными попытками установления более уточнённых неравенств). С другой стороны, автору приходится констатировать те неустранимые в общем случае принципиальные усложнения, которые обусловливаются наложением не поддающейся предварительному определению добавочной погрешности от окончательного округления самого значения а'Ь' с точностью до 10-п(/г < т), и которые заставляют различать в области вопросов элементарного приближённого вычисления (как мы себе позволили выше выразиться) задачи корректно и некорректно поставленные.
4.	Фрагмент стр. 148—174“. На стр. 118—157 разбитое на нумерованные рубрики 1°—9 изложение начальных вопросов курса алгебры.
Из рубрики 1°: «В Алгебре преимущественно рассматриваются числа вообще, т. е. независимо от их величины, и исследуются свойства алгебраических действий. Арифметика занимается данными числами... Предмет первой из них отвлечённее предмета последней, хотя
2)	Знак я- , как и знак целой части [ ] далее,—наши.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ Ы. В. ОСТРОГРАДСКОГО 37
оследняя также рассуждает о предметах отвлечённых. В самом деле, чисел два, три п проч, нет в природе, есть а три таких-то предмета, числа же сами по себе суть величины идеальные, т. е. существуют только в наших понятиях. Ясно однакож, что идея о числе каком не есть оТВлечённее идеи о каждом числе в особенности...»
II з рубрик и 2°: «Для избежания сбивчивости при изображении общих чисел Алгебра должна принять знаьчг, отличные от цифр, употребляемых в Арифметике. Знаки, о которых говорим, кроме цифр, могут быть взяты по произволению; естественно однакож принять известные, т. е. употребляемые для других целей изображения, которые несмешиваемых понятии облегчают память и самое письмо. Такие изображения суть, например, буквы, и потому математики все согласно употребляют буквы и 1 Латинского и Греческого Алфабетов, и понятия о числах общих изображают знаками Л, В, С, a, b, с, d,... ..., а, р, у, о и проч.
Но, кроме знаков для самих чисел, необходимо иметь изображения их свойств и различных над ними действий...».
Из р у б р и к и 3°: «Первое свойство чисел, общее всем величинам, есть то, что мы можем собе представить числа как большие, так и меньшие других, так и им равные, можем также разлагать их на части...». Далее говорится о знаке неравенства, который «ставят между сравниваемыми числами, обращая отверстие к большему из них...».
Содержание р у б р и к 4°—8°, где говорится об алгебраическом языке и проч., о знаках сложения, равенства, вычитания, об аналогичных операциях над величинами, отличными от чисел, мы уже выше подробно цитировали.
В рубрике 9°— формулировка коммутативного свойства суммы («суммы не зависят от порядка совокупления их частей»), якобы вытекающего из «четвёртой аксиомы». Затем—так же, как не требующее, невидимому, доказательства,— правило перестановочности последовательных слагаемых и вычитаемых членов (здесь изложение становится явно эскизным, с переходами с русского
38
Е. Я. РЕМЕЗ
языка на французский и обратно, с повторениями сказанного уже раньше). О значении скобок: «Скобки выражают, что надобно совершить сперва те действия, которые между ними Заключаются», простейший случай раскрытия скобок, перед которыми знак минус. Изложение обрывается на незаконченном выяснении возможности упрощения выражений видал +«+•«4- ... (очевидно, с помощью введения коэффициента).
Стр. 157а—IGO—отрывок изложения ио теории сравнений.
Стр. 161—161“—повторение содержания рубрики 8 выше.
Стр. 162 высказывания об алгебре и о теории отрицательных чисел методологического характера, уже цитированные выше (стр. 18). Далее—ещё об обобщающей роли отрицательных чисел (мало разборчиво) и небольшой абзац на французском языке о роли дробного количества
6	L	Y
— в решении уравнения ах—Ь или, вернее, в форму-1 лпровке (для начинающих) вопроса, выражаемого этим уравнением, без употребления самого названия «уравнение» .
Стр. 163 (полстраницы)—отрывок фразы: «...приведи иие к другим понятиям, которые им... предшествуют, оказывает замечательную услугу науке мыслей» и далее-начало рубрики «2» какого-то изложения — опять о величинах, как предмете математики, и о желательности определения понятия величины.
Стр. 164, 164а, 164ь, 164е —замечание о том, что зависимости между количествами, рассматриваемые в алгебре, всегда определяются некоторыми операциями, затем—под заголовком «Algebre—article detache,.. . (неразборчиво) succession naturelie» — параграф, посвящён иый интересному выводу формулы бпнома Ньютона в слу -чае (1 +ж)п, и отрывок под названием Combinaisons. Разложение (1 + х)п Остроградский находит по методу неопределённых коэффициентов, исходя из равенства
(14- х)п = 1 -р Агх А2х2 4- ... 4- А1:хк +- ... 4- Апхп.
Методом полной индукции он предварительно устава в-
математические рукописи м. в. остроградского 39
чивает, что А==п. Умножая на (14-я), он находит (14- я)п+1 — "Ь (Д 4-1) я 4- (^2 "г Д) х2 4-
4- (Д 4- Д) я3 4- • • • 4- (Д + Д-1) я* + • • •
Заменяя х на х 4- у и записывая слева 1 4- я 4- 3/ = = (1 4- х) (1 + 1 + 7) ’ сРавнпвая затем коэффициенты при первой степени у, он получает
(п + 1)(1+^)п=(Д + Д) + 2(Д + Д)^ + 4-3(Д4-Д)яа4- ...+Л(Д+ Д-О^-^
где Д=1. Развёртывая теперь левую часть и сравнивая коэффициенты при хк~*, получаем
Л(Д + Д-1) = (п + 1) Д-1
или
=	(Л=1,2......«).
На основе этого рекуррентного соотношения, исходя из Д==1, и определяются все искомые коэффициенты: (^4j == ^), ^2> • • • > ^71*
Стр. 165 — треугольник Паскаля.
Стр. 165а —«более общий» вид формулы Ньютона:
Л2
(х 4- h)n = хп 4- nxn~4i 4- n (п — 1) хп~2 -у—4-
/.з
+ »(« —1)(п-2)хп-3	„	+ ... +
1 * £ * О
+ п (п -1) (п _ 2) ... (и - к + 1)Ж”-*	U. .. + ... ,
Л	1 • £ • и ... Л
причём обращается внимание на общин закон перехода от какого-нибудь одночлена вида схт к «производному» одночлену тсхт~1.
На стр. 166ь, 166е, 167—170 Остроградский, после замечания о недопустимости безоговорочного применения «невтонового разворота» для (14-^)”, скажем, к случаю Л==—1, получает непосредственным применением метода неопределённых коэффициентов ряд для , далее—
40
Е. И. РЕМЕЗ
разложение для __________________1________— л _ . ... -1__ 1+л; + Х2_|--------------------------------U Ж>» Vх	1 —х'”*1
1
и затем для -^=,прпчем предполагается все же заранее 1 1 — X
само существование соответствующих разложений п законность выполнения действия умножения бесконечных степенных рядов по обычным правплам. На стр. 169—170 автор предупреждает неискушённых в анализе учащихся о необходимости быть осмотрительными при употреблении метода неопределённых коэффициентов для развёртывания функций: «надобно непременно быть уверенным, что предлагаемое развёртывание	действительно имеет
место и прилично развёртываемой функции»—для всех значений [приращения I переменного или хотя бы для достаточно малых значений. Впрочем, здесь предполагается, что когда разложение не может выражать функцию «ни для одного значения» переменного, тогда это должно [вообще] выявиться в самом процессе решения вопроса: «тогда определение коэффициентов окажется невозможным».
Стр. 170а—174а начинаются краткими соображениями (в виде программного наброска) о порядке изложения элементарной теории логарифмов п кончаются замечанием: «Нельзя ли в главе, предшествующей логарифмам, доказать, что всякое число имеет свой логарифм, а именно— средствами приближения...» Автор начинает определять log 5 способом, напоминающим как будто алгорифм непрерывных дробей, но намеченный уже в этом направлении второй шаг вычисления остаётся невыполненным, автор изменяет вид намеченной подстановки, вычисление обрывается: «voyez une autre page» (т. е. «смотрите на другой странице»). Действительно, автор возвращается к тому же примеру на стр. 173а—174а и развёртывает вычисления, причём выкрпсталпзовывается алгорифм, фактически эквивалентный уже рассмотренному нами выше замечательному алгорифму Остроградского, хотя внешне оформленный несколько сложнее, в более искусственной форме. В промежутке между этими вычислениями—заме-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 41
чанпе о различных системах мер и связанных с ними употребительных дробях; затем—некоторые высказывания о природе величин, об их отношении к объективной действительности, на которых нам удобнее будет остановиться в § б.
5.	Фрагмент стр. 177а—184е (опрокинут «вверх ногами», с обратной последовательностью страниц по содержанию: 184е—177а). Наряду с некоторыми вопросами рационализации приближённых вычислений и оценки их точности, с особенно детальным сравнительным рассмотрением теоретически тождественных выражений а ]/ 6 п У а~Ь (из которых второе по окончательной оценке автора имеет, вообще, некоторые преимущества с точки зре нпя выполнения приближённого вычисления), здесь содержится (на стр. 179—177) написанная Остроградским программа по арифметике для военно-учебных заведений, которую мы считаем целесообразным привести здесь полностью.
«Программа арифметики I класса общего курса (три лекции в неделю)
Введение. 1) Именованные единицы, именованное число. Число отвлечённое, предмет арифметики.
Отдел I. 2) Счисление изустное и письменное. 3) Сложение, его знак, слагаемые числа и сумма, сложение двух однозначных чисел. Сумма двух многозначных чисел, трёх и более многозначных чисел. 4) Вычитание, его знак, уменьшаемое, вычитаемое, разность пли остаток. Производство вычитания. 5) Поверка сложения и вычитания. 6) Умножение. Его знак. Множимое, множитель и произведение. Таблица умножения. Умножение на число, содержащее единицы одного только порядка. 7) Умножение чисел каких не есть. Число знаков в произведении двух множителей. 8) Квадрат, куб и высшие степени чисел. Число цифр в квадрате и кубе данного числа. 9) Деление. Его знак. Делимое, делитель, частное. Деление на число, содержащее единицы одного только разряда. Остаток. 10) Деление при каком не есть делителе. Число цифр частного. И) Поверка умножения и деления. 12) Четыре действия, рассматриваемые в совокупности. Задачи, требующие совокупного употребления этих действий. 13) Признаки делимости чисел на делителей от 1 до 20. Числа простые. Примеры разложения чисел на простые множители. 14) Общий делитель и общий наибольший делитель двух чисел. Нахождение последнего делителя. Числа взаимнопростые. Наибольший делитель нескольких чисел. 15) Наименьшее кратное двух цлп нескольких чисел.
42
Е. Я. РЕМЕЗ
Отдел II. 16) Происхождение дробей. Числитель, знаменатель, члены дроби. Изображение дробей. Правильная, неправильная и смешанная дробь. Обращение неправильной дроби в смешанную и обратно. 17) Изменение дроби от перемены числителя и знаменателя. Сокращение дробей. 18) Приведение дробей к общему знаменателю и к общему числителю. Наименьший общий знаменатель и наименьший общий числитель. 19) Сложение и вычитание дробей. 20) Умножение, возвышение и деление.
Отдел III. 21) Десятичные дроби. Их изображение. Четыре действия над десятичными дробями. 22) Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Периодическая десятичная дробь. 23) Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. 24) Способы для сокращения умножения и деления на очень большие числг!. Нахождение произведений десятичных дробей с данным приближением.
Программа арифметики II класса общего курса (четыре лекции в неделю)
Отдел IV. Именованные числа. 1) Именованные числа простые и сложные. Русские меры. Французская метрическая система. 2) Раздробление и превращение именованных чисел. Нахождение общей меры между двумя или более именованными числами. 3) Сложение и вычитание именованных чисел. 4) Умножение имено- * ванных чисел. 5) Деление именованных чисел.
Прибавление. 6) Римские и славянские цифры.
Примечание. На выполнение предыдущей программы и на повторение всего курса Арифметики назначаются первые два месяца учебного года».
6.	Фрагменты стр. 185—189а и 974—975а. Первый содержит изложение применения вычислительного алгорифма Остроградского к определению log 17 в связи с общим вопросом о доказательстве существования логарифма для всякого положительного числа, уже подробно цитированное нами в первой части данного параграфа. На стр. 974—974а мы находим, очевидно, более ранний вариант этого же вычисления, выполненный менее тщательно и содержащий ошибку на пятом шаге вычисления (р4=110 вместо 98), за которым здесь еще следует шестой шаг (/>5=3125). На стр. 975—975а—довольно скрупулёзно предпринятое исследование погрешностей при последовательных возведениях в квадрат с округлением промежуточных результатов, имевших место при вычислении log 17: именно, оценивается по методу абсолютных погрешностей, а также и путём сравнительных вычислений погрешность приближённого значения я8=(п4)2 (н=0л83521),
7-с	*3? «.*
/ л4
Фотокопия стр. 195 рукописи М, В. Остроградскоро
44
E. Я. РЕМЕЗ
проистекающая от принятия округлённого значения а4 =0,48661191875, вместо 0,48661191875666868181. Результат этого исследования (проведённого не без недосмотра) во всяком случае подтверждает правильность глазомерной опенки, фактически применённой автором при округлении найденного (см. выше) значения а8.
7.	Стр. 195 содержит под заголовком «Логарнфмиче скпе таблицы (для военно-учебных заведений)» проспект— оглавление (не совсем закопченное) семи-и восьмизначных логарифмических таблиц, которые М. В. Остроградский, очевидно, имел в виду составить для нужд военно-учебных заведений (см. фоторепродукцию па стр. 43).
8.	Стр. 209- 210 -опять вывод разностно-иптерполя ционной формулы 2-го порядка на основе допускаемого разложения в степенной ряд (ср. стр. 80—82а в и. 2).
9.	Ф р а г м е и т стр. 213а—215а. Наряду с подысканиями по логарифмическим и логарифмо-тригонометри-чзским таблицам и т. п. на стр. 213°—214, имеем на стр. 215“ составленный Остроградским список простых чпсел между 120000 и 121000 с распределением их по сотням этого промежутка (см. фоторепродукцию на стр. 45), а на стр. 214а —две колонки: «Nombres, Logarithmes»; в одной выписаны простые числа между 120000 п 120100, против первого (120011) —его 14-значный логарифм, против следующих четырёх — их 10-значные логарифмы с припиской в скобках «Ыеп» («хорошо»); па стр. 215
N
под заголовком «Найти число цифр в — » вводится в рассмотрение величина оЛ/ (соответственно оА), невидимому— число цифр в целой части десятичного числа, п решается поставленный в заголовке вопрос, причём в случае SA7 <	, чтобы не вводить понятия отрицательного числа
цифр, N заменяется па N • 10п, где п — ЪМ — S/V, и вылету • 10п
няется, что о ——— = 0, и л и 1 (ср. практику логарифмической линейки).
10.	Фрагменты стр. 322-323а, 496-496“, 503. В первом некоторые сведения из теории определителей:
(ж, Ц,	z, ..., Z \
........................1
Уп—1, Zn_|, .

/fo С>Оо
/?о 72 а
«•> no /Ю
no / z о /lo
/io llo_ IU /to
он 017 о И
Of у об? о77
о // °JL юз in
/ /io vy /Ю
/1 о no
Ito tlo )to /to HO
Jl° /Ю
JU ‘1J1.
/V №
jgs
J?Z J77
^0/
V" $3/
I to fay I 'to} 07
(io W 77
no (is /юy/s
6Ц
И7 бб/
По
Цо
П°
По
Но
l63 №
1Ъ1
1)3

Цо*^
1Ю
И»
}1U /10
110 Ito I IO . Ito
Ю’)
il)
<Lt^
141
i7/ (,)
?63
2^3
по
П<>
<T3J гг/
no По no (to
Ho ^7
ГГ7
110 lia
Цо
Цо ^7 По £77 Ho ( Ho 6%
7oj
1/3 \/:^ 71/
•io^3
Ни / 77
бу^/!а |Z’
7^
7?.о 710 710 ЦО
\ю к у
/2fl™7 fl
Г77
/to 7t>3
ho 7^7	\
_____L
Цо Ы/ ll" \
Ho W il" W fl
Ho ill 077 4 \f^ Ho gлу w г/9 л if'/ 1
Iй
и
ZI
Фотокопия стр. 2!5rt рукописи АГ. В. Остроградского
46	Е. Я. РЕМЕЗ
и конденсированное эскизное изложение ряда свойств вплоть до умножения. В двух других — некоторые выкладки по линейной алгебре (на стр. 496° —вперемежку с отрывком какого-то рассмотрения по интегральному печи слеплю).
11.	Фрагмент 326 —328° на трёх листах пи-фолио, написанный, повидимому, в последние недели жизни Остроградского, был уже описан в первой части этого параграфа.
12.	Фрагменты стр. 835, 968 — 969а, 989, 1003 1003а, 1162 — 1165а, 1167 — 1167° посвящены вопросам элементарной алгебры. Четвёртым из этих фрагментов содержит начальный отрывок изложения главы о квадратных корнях, которая, как известно х), более подробно пре;', ставлена в одной пз ленинградских рукописей Остроградского. Другие посвящены, в основном, вопросам, связанным с изложением теории относительных чисел в элементарной математике, различным подходам к моти впровке правил действий над ними, общая характеристика которых уже была дана нами выше, в первой части параграфа. На последних двух фрагментах (стр. 1162—1165". 1167 — 1167°) стоит, однако, дополнительно несколько остановиться.
Наверху стр. 1162, наряду с общим заголовком «Algebre elementaire», имеется выделенный особо абзац, написанный мелким шрифтом (по-французски): «Идея такова:-отрицательное число есть собрание единиц особой природы, называемой отрицательною. Исходя пз этого определения доказать все свойства отрицательных [чисел]...»
Формулированная здесь Остроградским дидактическая идея такова, что она не утратила, повидимому, некоторой педагогической актуальности и в XX в., в чём можно убедиться, если сравнить хотя бы изложение вопроса в книге К. Фербера «Арифметика» (перевод Бема и Струве, ГИЗ, 1925). Самый текст изложения рукописи начинается так:
«1. Отрицательные количества. Чтобы сократить своп вычисления, алгебраисты допускают
х) Ср. статью И. А. Марона об Остроградском в вып. III «Историке-математических исследований», 1950, стр. 235—237.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ рукописи м. в. острогг адского 47
так называемые отрицательные количества. Отрицательное количество или число составлено из отрицательных единиц так же, как [обыкновенное] число из единиц положительных. Добавить к числу отрицательную единицу— это значит отнять от него единицу положительную» и т. д.
В изложении этого фрагмента момент апелляции к конкретным истолкованиям локализуется в мотивировке правила с л о ж е и и я чисел, составленных* из единиц двоякой природы; в дальнейшем же развёртывании системы правил теории относительных чисел мотивировки скорее исходят уже из принципа сохранения основных формальных свойств действий. Тот факт, что в конечном счёте, скажем, правило знаков при умножении является не чем иным, как существе иной частью самого определения этого действия, подчёркивается Остроградским неоднократно (стр. 1167—1167°): «Скажут, что это только определения! Но определение умножения [не] может быть осуществлено иначе, как с [некоторым] доказательством1). Мы знаем, что значит умножить на положительное число. Мы но знаем, что значит умножить на число отрицательное. От нас зависит определить последнее действие2)... Мы могли бы обойтись без умножения на отрицательные [числа]. Можно было бы всегда избегать его, но употребляя его, как оно было определено, мы сократим вычисления и никогда не ошибёмся. Итак, умножение на о т р и ц а т е л ь-н ы е [числа] является только определением, которое упрощает, или, лучше сказать, служит к упрощению вычисления».
Говоря о таких фактах, как перестановочность последовательных сложений и вычитаний, с учётом и таких
J) То обстоятельство, что доказательства свойств, определяемых известными правилами действий (над относительными числами), в рукописях Остроградского отсутствуют, может быть, с одной стороны, объяснено незаконченным эскизным характером этих фрагментов, а с другой стороны, необходимо учитывать и то. ’ito изложение Остроградского предназначалось не*для студентов Университета, а, невидимому, для молодых воспитанников кадетских корпусов.
2) Разрядка в этой цитате—наша.
48
Е. Я. ГЕмЕЗ
случаев, как 7+6—10 = 7 —10+6, Остроградскпй подчёркивает, что только введение отрицательных чисел сообщает алгебраическим выкладкам общность и единообразие, а следовательно, и большую простоту. Попутно отмечаются некоторые приложения алгебры к арифметике: па стр. 1164 — 1164“ указывается приём употребления арифметических дополнений (нс только до 1, по и более общим образом — до 10п) для сведения вычитаний к сложениям; на стр. 1165“, по поводу рассмотрения умножения многочленных выражений, отмечается целесообразность умножения многозначных чисел, начиная с высших разрядов множителя—приём, который нам и сейчас приходится пропагандировать для применения на соответствующих этапах обучения.
13.	Фрагменты стр. 958 — 959“ и 995 — 995“ представляют паппсанное чьпм-то каллиграфическим почерком извлечение пз эйлеровой теории исключения (на французском языке).
14.	Фрагменты стр. 1057“— 1058“ и 1079 посвящены вопросам вычислительной математики. В первом пз них па примере решения уравнения х2 = 2 применяется ещё один эскизно намеченный способ представления корня знакопеременным рядом1) (не совпадающий с знакомым уже нам алгорифмом Остроградского). Во втором указывается известный приём «крестообразного» умножения многозначных чисел с непосредственным определением полного произведения (начиная с низших разрядов),, который здесь приводится под названием «Multiplications de Fourier» («Умножение по Фурье»).
15.	На стр. 1078 отмечаются некоторые простые факты, касающиеся рациональных функций — целых и дробных.
16.	Фрагменты стр. 1092—1096 и 1166—1166“ содержат изложение некоторых элементарных вопросов теории чисел.
*) Расшифровку и некоторую разработку этого второго алгорифма Остроградского см. в нашей статье, опубликованной в VTJH, г. VI, вып. 5, 1951. Этот алгорифм оказывается наиболее быстро сходящимся, хотя, пожалуй, и уступает отчасти первому в элементарности п простоте.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
49
§ 3. Рукописи по геометрии, тригонометрии
и по общим вопросам элементарной математики.
Вопросам геометрии, в основном — элементарной и в очень скромной мере —аналитической, посвящены стр. 11, 24 —24% 373 —374, 375, 557 —560, 563 —568, 687, 689 —692е, 696а —697, 698-701, 702-711% 726п-759% 762, 763 - 764% 768 - 769% 775а—776% 782 782% 788—788% 918, 919, 920 - 920% 960 - 961% 963 - 963й, 970, 1246—1246% прямолинейной тригонометрии — стр. 216 —23Г1; «элементарной математике вообще» —стр. 906 — 907".
1°. Рукописные материалы по э ле м е н та р ио й геометрии имеют очевидную прямую связь с опубликованным при жизни Остроградского сочинением его — «Руководство начальной геометрии для военно-учебных заведений» (в трёх частях: курс II, III и V общих классов, СПб., 1855, 1857, 1860), а также с «Программой и конспектом начальной геометрии», составленными комиссией под председательством М. В. Остроградского в 1851 г. (в рукописном фрагменте стр. 726а—759'1 имеются указания на сношения Михаила Васильевича с издательством относительно печатавшихся листов «Руководства»). Однако сопоставление печатных текстов с рукописными позволяет и здесь обнаружить ряд интересных и поучительных моментов различия. Это в особенности относится к изложению принципиальных вопросов теории параллельных линий (стр. 689 —692е), которое в рукописном варианте радикально отличается от напечатанного. Поскольку указанный фрагмент, как нам кажется, представляет существенный интерес, мы основную его часть (стр. 689—692) приведём текстуально.
Стр. 689 начинается с заглавия «III. Параллельные линии», после которого следует текст:
«§ Параллельными линиями мы звали прямые, нигде не встречающиеся. Таковы наклонные, образующие с секущею по одну её сторону внутренние углы, которых сумма равна двум прямым, ибо (...зачёркнуто). Для встречи прямых требуется, чтобы эта сумма была менее 2D. Если бы мы могли доказать, что упоминаемое необходимое условие в то же время достаточно, тогда теория парал-4 Исторпко-матем. исследования
50
Е. Я. РЕМЕЗ
лельных линий имела бы всю строгость прочих геометрических истин, т. е. проистекала бы без всякого нового предположения нз допущений относительно простейшей из линий. Но все усилия геометров доказать достаточность предыдущего условия для пересечения прямых остались без успеха, и мы должны прибегнуть к новому предположению для дальнейших исследований, па что уже были сделаны намеки во 2-м параграфе введения.
Простейшее из допущении, которое мы можем сделать, будет пли
1-е. Согласно с Евклидом1), что прямые непременно пересекаются, если образуют с секущею внутренние углы, по одну её сторону, которых сумма менее двух прямых пли
2-е. Наклонная прямая встречает перпендикуляр или 3-е. Чрез точку можно провести одну только прямую, параллельную данной линии, илп
4-е. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собою, пли, наконец,
5-е. Если сумма внутренних углов для одной секущей равна двум прямым, то она будет в два прямых п для всякой другой.
Самое простое предположение, кажется, будет третье, и потому мы его допустим, присовокупив однакож, что одна часть четвёртого предположения может быть доказала.
Действительно, положим, что линия, которой две другие должны быть параллельны, проходит между ними. Тогда они, конечно, не пересекутся, ибо для встречи их необходимо, чтобы они или одна нз них встретила параллельную себе линию. Но обе эти линии могут лежать по одной стороне общей их параллельной, тогда по видно [заключения относительно] их встречи.
Впрочем, все приведённые предположения так между собою связаны, что, допуская одно из них, весьма легко будет доказать прочие.
Ч «Знаменитый греческий Геометр, живший за 300 лет до Р. X. Он оставил Начала Геометрии—единственный по этой науке остаток древности, дошедший до нас».
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
51
Итак, мы допускаем предположение1):
Чрез точку вне прямой можно провести тРеб‘ одну только ей параллельную.
Из этой гипотезы тотчас следует, что п р я м ы е, составляющие по одну сторону с е к у ш е й внутренние углы, которых пРед’ сумма менее двух прям ы х, по до статочном продолжении ио п р е-м е н п о встретятся.
Чтобы удостовериться, допустим противное, т. е. предположим, что прямые, о которых говорим и которые для удобства назовём Л и В, взаимно параллельны; чрез точка встречи одной из них, положим В, с прямою секущею вообразим линию С под внутренним углом к последней пополнительным того, который составляет с нею линия Л, образуя внутренние углы, которых сумма 2D. Прямые А и С будут параллельны, и вы имеете две липин, пара.i лельные прямой А и проходящие чрез одну точку, что противно допущенной гипотезе. Т. о. предположение па раллельности линий, образующих по одну сторону секущей внутренние углы, не составляющие двух прямых, ведёт к противоречию, откуда следует заключить, что такие линии непременно пересекаются.
Вторая из упомянутых нами гипотез есть частный слу чай первой, потому, что наклонная и перпендикуляр обра зуют с секущею на одной из её сторон, первая — прямой, а вторая острый угол, доставляя сумму внутренних углов, очевидно, меньшую 2D2).
Четвёртое допущение при нашей гипотезе делается очевидным, ибо если бы две линии zl и В, параллельные третьей С, не были параллельны между собою, ю они пересекались бы и значит чрез точку их встречи проходили [бы] две прямые, обе параллельные С! Итак, иред Линии, параллельные одной прямой, параллельны между собою.
Обозначения «треб.» и «пред.» слева от соответствующего текста—сокращения названий: «требование» и «предложение».
2) «Эта гипотеза заменяет в некоторых курсах допущен и эвклидово, причём обыкновенно говорят, что она как частями случай ему предпочтена».
52
Е. Я. РЕМЕЗ
Что касается до пятой из нами упомянутых гипотез, то, предположив её несправедливость, мы тотчас встретим противоречие предложению (...неразборчиво), которое на основании допущения невозможности проведения двух или более параллельных прямых чрез одну точку делается доказанною истиною.
Как липин параллельные суть только те, которые доставляют сумму внутренних углов именно в 27), то из § следует, что из восьми образуемых ими с секущею углов каждые два пли равны или пополнительные. Равные суть углы соответствующие, внутренние противоположные или перекрестные и внешние противоположные, разумеется, каждые между собою. Остальные будут пополнительные. Присовокупим, что говорится об углах, из которых один принадлежит одном, а другой относится к другой линии.
Наоборот, одно из сейчас названных условий влечёт параллельность прямых.
§ Определивши таким образом условия параллельности прямых, займёмся исследованием их свойств».
Сравнение этой рукописи с соответствующим печатным текстом «Руководства» (раздел III, § 27), от которого она коренным образом отличается по своему основному содержанию, показывает, на наш взгляд, несомненные преимущества рукописного вариантах) не только в отношении большей обстоятельности в освещении принципиальных вопросов, но и, главное, в отношении большей простоты, ясности и дидактической убедительности.
В печатном тексте «Руководства начальной геометрии» М. В. Остроградский, как известно, принимает постулат параллельных в виде допущения транзитивно-с т и свойства параллельности прямых (4-я из пяти приведённых в рукописном тексте возможных формулировок). Как ни расценивать с научной стороны этот способ изложения в смысле своеобразного эксперимента, его методическая эффективность является более чем сомнительною. Анализируя этот методический эксперимент, мы склонны видеть в нём обобщающий подход искусного аналитика,
Ч Мы оставляем, конечно, в стороне явно слишком эскизно сформулированную сноску об Евклиде.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
53
стремящегося и здесь через введение своеобразного понятия о д п я а к о в ости и а п р а в л с н и й перенести «естественным образом» на это понятие требование транзитивности, присущее понятию р а в е н-с т в а величин. Фактом является то обстоятельство, что дальнейший прогресс методических идей в области элементарной геометрии выдвинул на первое место в учебной литературе именно тот способ формулировки постулата параллельных (3-я из приведённых возможных формулировок), который избрал М. В. Остроградский в своём рукописном варианте изложения1), в то время как современные Остроградскому и даже позднейшие составители курсов геометрии придерживались, как правило, более близкой к традиционному евклидову изложению формулировки: «наклонная прямая встречает перпендикуляр» (вплоть до длинного ряда издании известного курса геометрии А. Давидова), причём в современных Остроградскому учебниках пользовалась особенным распространением, по примеру Лакруа, ещё курьёзная аргументация с помощью нсевдодоказатсльства Луп Бертрана.
* *
Переходим к краткому описанию отдельных фрагментов.
1.	Стр. 11. Некоторые вопросы ортогонального проектирования на ось и на плоскость.
2.	Стр. 24—24а. Уравнение поверхности, образованной движением линии.
3.	Стр. 373 — 374. Написанная аккуратным почерком полная программа по стереометрии с разбивкой на отделы: IX, X, XI, XII.
4.	Стр. 375. Некоторые карандашные формулировки отдельных пунктов программы.
5.	Стр. 557 — 560. Заглавие «Стереометрия». Черновой набросок конспекта геометрпп (ср. выше, начало этого параграфа), начиная от исходных определений стереометрии до вопросов определения объёмов.
х) Само предложение о замене аксиомы параллельных Евклида допущением 3 восходит, впрочем, ещё к Will в.
54
Е. Я. РЕМЕЗ
6.	Стр. 563 -- 568 (с пометкой «31 Juillet 1850»). Заглавие опять: «Стереометрия». Черновой набросок, заключающий, после определения плоскости, различные теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей.
7.	Стр. 687. Определения, относящиеся к прямой линии и её частям (лонгпметрия).
8.	Стр. 689 —692е. «Параллельные линии». Основная часть этого важного фрагмента текстуально цитировалась выше (стр. 49—52). В заключительной части фрагмента — теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.
9.	Стр. 702 — 703% 918, 919, 920, 920“. Продолжение по теории параллельных линий. На стр. 918 эскизная попытка выяснения картины количественно измеряемого постепенного сближения перпендикуляра и наклонной к одной прямой, с надписью наискось в правом верхнем углу страницы «bien mauvais» (очень плохо); на следующих . двух страницах —дальнейшие подходы к этому вопросу.
Чо. Стр. 696“- 697, 733-733“, 699-700, 700“ —701, 706“-707“, 709-709% 710, 711-711% 726“-730% 731 — 731“. Разные предложения: теоремы об отрезках, отсекаемых биссектрисой угла треугольника — с чертежами; перпендикуляры и наклонные; линии в круге; углы, образуемые двумя пересекающимися прямыми; взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве, пучок плоскостей; пропорциональность прямых линий, подобие фигур; построение поперечного масштаба, зачёркнутая фраза: «Подобие равноугольных треугольников составляет одно пз важнейших предложений во всей геометрии».
И. Стр. 698-698“, 704-706, 708-708“, 963-963“. Нахождение общей меры двух отрезков (пли однородных ^4 величин вообще) Л, В и разложение отношения в непре-
4 А'
рывпую дробь; сравнение двух отношений ~ и в связи
с применением к каждому алгорифма Евклида.
12.	Стр. 732 — 732“. Прямые указания на сношения с издательством в связи с печатанием листов учебника Остроградского: «Отосланная тетрадь кончается так: Можно изменить предыдущее построение, чрез точку А прове
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 55
дем...» 11 т- Д- (четыре строки); «В печатающемся 9-м или 18-м листе последнее предложение было 10-е, именно — перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла. Последняя фигура была 91-я. Она относилась к свойствам отрезков...» и т. д.; «в последней корректуре...» и т. д.
13.	Стр. 734 — 759а. Среднее геометрическое чисел пли отрезков, численные соотношения в прямоугольном и косоугольном треугольниках; конкретный показ гомотетии двух «полигонов» (многоугольников) и затем —вообще о подобии многоугольников; деление прямой на части, пропорциональные частям другой прямой; «деление по наружной и средней пропорции» (золотое); опять и более подробно о построении поперечного масштаба, построение 4-го пропорционального отрезка, построение на данной стороне многоугольника, подобного данному, построение круга, который проходит через две данные точки и касается другого круга. Произвольность выбора единиц измерения и вопросы удобства: выбор единиц для измерения площадей. Площади подобных круговых секторов или сегментов; соотношение между площадями кругов, имеющих радиусами пли диаметрами стороны прямоугольного треугольника: средство «совокупить» два круга в один.
14.	Стр. 762, 763-764% 768-768% 769-769% Некоторый подход к начертательной геометрии. Прямые и плоскости в пространстве. Подход к формуле Герона для площади треугольника. Начальные материалы из стереометрии: вопросы, относящиеся к изображению стереометрических объектов.
15.	Стр. 775а — 776% 782% 1246 — 1246°. Карандашные геометрические наброски. Стереометрическая теорема трёх перпендикуляров.
16.	Стр. 961 — 961°, 970, 960 — 960% 782. Объяснение предмета аналитической геометрии и места, занимаемого ею средн математических дисциплин. Выкладки, связанные с уравнением некоторой параболы. Выкладки из аналитической геометрии прямой линии.
* * *
2°. Некоторым вопросам прямолинейной тригонометрии посвящён один фрагмент стр. 216 —231я,
56
Е. Я. РЕМЕЗ
имеющий, несомненно, близкую связь с процессом подготовки опубликованной М. В. Остроградским в 1851 г. «Программы и конспекта тригонометрии т^ля руководства в военно-учебных заведениях».
17.	Стр. 216 — 216“, 217 — 217“. Начало изложения тригонометрии, с повторениями. Первый полулист по длине оборван с края, написан бледными выцветшими чернилами. «Бока и углы треугольника обыкновенно называются его частями, название неправильное, однако мы его примем, потому что оно [употребляется всеми?]». Поясняется, почему неудачно название «части»: сам треугольник-часть плоскости... (сноска частью совсем оборвана).
18.	Стр. 218 —222а. Об употреблении таблиц логарифмов тригонометрических величин.
19.	Стр. 223 — 229“. Отдельное рассмотрение случаев малых углов. Общие соображения и примеры, использование приближённой формулы
.	со3
sin (D = (о-— ;
6
своеобразные записи:
где, очевидно, нужно подразумевать arc 1", и т. п.
20.	Стр. 230 — 231“. Вначале —всё о таблицах логарифмов тригонометрических величин, об их пользе. На стр. 230“ —231 ссылки па «VIII и VI отделы» алгебры в отношении некоторых общих свойств логарифмов. Ссылки эти совершенно подобны тем, которые сделаны и в печатном тексте упомянутой «Программы и конспекта тригонометрии» на стр. 30 (ср. соответствующие наши замечания в начале предыдущего § 2, касающиеся материалов по элементарной алгебре). На стр. 231“ —обрывки черновых численных выкладок.
* * *
Зэ. К отделу «элементарной математики вообще» здесь отнесён один фрагмент стр. 906—907“, имеющий, очевидно, ближайшее отношение к деятельности М. В. Остроградскою как главного наблюдателя за преподаванием
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
57
математических наук в военно-учебных заведениях; эту должность он занимал на протяжении 14 лет (1847 — 1861). Приведём содоЛкание текстуально.
«Темы для пробных лекций по математическим наукам
I	. Пз Арифметики.
1.	Изложить для начинающих десятичное исчисление изустное и письменное. Четыре начальные действия над целыми и дробными десятичными числами. Извлечение корней, квадратных и кубических, из целых и дробных десятичных чисел.
2.	Начальные действия над дробными и составными числами. Корни из дробей.
3.	Признаки делимости чисел, разложение целых чисел на множителей. Общий наибольший делитель двух или нескольких чисел.
4.	Различные системы нумерации и переход от одной из них к другой. Обращение обыкновенных дробей в десятичные и наоборот.
5.	Показать, с каким приближением должны быть известны слагаемые, множители, делимое и делитель и подкоренное число, чтобы сумма, произведение, частное и корень имели бы данную точность.
[№?] (уголок оторван). Решение вопросов главнейших [для] пропорциональности прямой и обратной посредством способа приведения к единице. Правило произвольных предположений.
11	Пз начальной геометрии.
1.	Предмет геометрии. Прямая линия и плоскость, об углах и прямых наклонных, перпендикулярных и параллельных, различные теории параллельных линий. Прямолинейные фигуры.
2.	Теория пропорциональности. Подобие прямолинейных фигур. Измерение углов.
3.	Круг, хорды, касательные и секущие, их свойства, отношение между углами, бока которых стоят па окружности или касаются к ней.
4.	Правильные многоугольники. Измерение окружности круга
5.	Измерение площадей прямолинейных фигур и круга.
G. Теория секущих.
7.	Прямые, рассматриваемые в пространстве, и плоскости. Двугранные углы.
8.	Многогранные углы и многогранники, простейшие виды многогранников. Ейлеровы теоремы относительно выпуклых многогранников.
9.	Подобие многогранников и в особенности призм и пирамид. Измерение поверхностей и объёмов многогранников.
10.	Шаровая поверхность, пересечение её с плоскостями, большие и малые круги. Сферические треугольники, их свойства относительно сторон и углов. Сферические многоугольники. Кратчайшее расстояние между точками шаровой поверхности. Пересечение
58
Е. Я. РЕМЕЗ
и касание двух шаровых поверхностей. Измерение поверхности и объёма шара.
11.	Цилиндр и конус. Их поверхности и объёмы. Объёмы усечённого цилиндра и усечённого конуса. Поверхности и объёмы тел, произведённых вращением прямолинейных фигур.
12.	Правильные многогранники. Многогранники симметрические.
[Ещё приписано:] Прямолинейная и сферическая тригонометрия».
§ 4. Рукописи по математическому анализу
К этому разделу относятся следующие фрагменты: стр. 1-2, 4% 8% 19“ —20, 22, 25 — 25% 46“ —48, 49 —50% 124-129, 144-147, 196-204, 205-206, 298-317, 324— 325“, 383-384“, 492-495% 497-502, 503% 514-519, 537“ —538, 541“ —542, 544% 545-550% 569-573, 576“, 577-577% 616-686, 755 - 756% 759-759% 767, 770-771, 773-774, 775, 780-780% 781% 783-785, 788-788“, 900-901, 902-903“, 908-908% 913-913% 921-921% 953, 954“, 991,1000-1002“, 1028,1056-1057,1069-1074“, 1111 — 1112“, 1247“. Хотя большая часть этих фрагментов может быть поставлена в непосредственную связь с различными опубликованными при жизни работами М. В. Остроградского, изучение рукописей этого раздела обнаруживает в них ряд весьма ценных материалов для характеристики творческого пути нашего славного аналитика и его дидактических приёмов.
1.	Фрагмент стр. 492 — 495“ под заголовком «Calcul integral ou Analyse transcendante. Be Le^on». Это, без сомнения, черновой вариант первой из двух публичных лекций М. В. Остроградского но трансцендентному анализу, опубликованных по записям двух его слушателей, поручиков Собко и Агамонова, в «Журнале путей сообщения» за 1841 г. (т. II, кн. 1, стр. 30 — 42; кн. 2, стр. 92 —ЮЗ)1). Однако сравнение черновика с опубликованным текстом обнаруживает, как мы увидим, несмотря
0 Поучительно отметить, что во второй из этих лекций, между прочим, Остроградский фактически вводит концепцию симметрической производной, которая много позднее, в работах математиков XX в., приобрела значение одного из важных инструментов исследования вопросов метрической теории функций.
фотокопия стр. 492" рукописи М. В. Остро градского.
60
Е. Я. РЕМЕЗ
на частичную эскизность оформления, ряд серьёзных преимуществ оригинального рукописного варианта самого Остроградского.
«Трансцендентный анализ имеет своим предметом изучение трансцендентных функций, т. е. функций, которые получаются в результате бесконечного числа алгебраических операций. Мы прежде всего рассмотрим функции, происходящие от повторённого бесконечное число раз простейшего из алгебраических действий —именно, сложения. Для этого обозначим через / (х) функцию икса, естественно, алгебраическую1), поскольку предполагается, что мы пока иных не знаем, и наметим себе найти среднюю арифметическую всех значений, принимаемых / (х) для значений переменного х, заключённых между двумя данными пределами а и 6».
Из дальнейшего разъяснения следует, что автор имеет в виду нахождение средней арифметической конечного числа равноудалённых ординат
/ (ai) +•••+/ (aj) + •••+/ (<*v)	(J)
где а; = + (/ — 1) Л, аг = a, h =	, с последующим пере-
ходом к пределу при у—>оо. В опубликованной лекции автор, исходя из «факта существования» таких конкретных величин, как средняя температура за какой-либо промежуток времени, считает возможным ограничиться ссылкой на этот «факт» для установления существования и соответствующей величины рассматриваемого предела. В рукописном же варианте мы находим мастерски намеченное доказательство существования искомого предела
M=Mbaf(x)
(а следовательно, и интегра л а, равного М (Ь— а)), хотя и оформленное несколько эскизно. Основное значеппе
*) Все дальнейшие рассуждения автора, предполагая лишь определённое структурное свойство /(я), именно её непрерывность, в действительности, конечно, в одинаковой мере применимы и к непрерывным неалгебраическим функциям.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
61
в развиваемой автором теории имеет следующая формула для среднего арифметического ряда чисел, разбитых на несколько групп, в виде взвешенного среднего из средних арифметических, взятых по отдельным группам:
Л1 + • • • + Лт +	+ • • • + Вп Ct + • • . + С/ + • • • _
7тъ -р п -J- i -р . . .
-р п В -р iC -р ...	/ 9 \
/?г-р л + i + ...	’
где Л=Л1+ ;п+Л"‘, Д = -Д<+;- + В", с = С1 ~ + С| п т. д.
Мы приведём здесь в несколько модернизированном и уточнённом виде доказательство существования «средней арифметической всех ординат» Мьа / (х) для непрерывной /(ж), следуя эскизно изложенной в рукописи Остроградского схеме доказательства.
Рассмотрим два разбиения сегмента [а, 6] соответственно на п п на N = кп равных частей, где целое число &> 1. Обозначим через fx(a, b) величину (1) при у = Лт и через р.;- —среднюю арифметическую для к последовательных ординат / (as) при
5=Л(/-1) + 1, А’(/— 1) 4-2, ... , k(j-\) + k = kj.
Применение формулы (2) даёт здесь:
/ {„ 1Л _	+ •• + Л'Ип _ Н1 4- Р2 + ••• 4- ’Ли
о)- А + А+ ±А. -	~	•
Иначе, полагая яЛ(;_1)4 j (/—1,2,..., п), имеем:
М (о 6) =	+ £1 + ..• +/ (ап) + s„
 /(«1) + ... +/(Дп) , Ч + ...+гп
Обозначая через наибольшее возможное колебание f(x) на частном сегменте длины сегмента [а, 6], имеем вп е2, ... , гп < г<п> и, следовательно.
Л°1)+ '-+/(«ri) =yxV(0) 6) + os(n) (_1<0<1). (4)
62
Е. Я. РЕМЕЗ
Пусть теперь имеем два достаточно мелких разбиения • сегмента [а, 6] соответственно на пх и п2 равных частей, > п, тг2 > л, где п— достаточно большое натуральное число. Беря для сравнения третье разбиение на Лг равных частей, где N — общее кратное чисел и п2, мы легко убедимся, что две средние арифметические величины (1) при у = Н1 и при v = n2, различаясь каждая от /n(«, b) менее чем на будут между собой различаться менее чем на 2г<7г>. По s<n>—>0 при я —» со . и, в силу известного общего критерия сходимости, существование искомого вполне определённого предела величины (1) при v—>оо доказано.
Следует оговорить, что в рукописи Остроградского, вследствие неожиданного перехода от эквидистантного разбиения к разбиению более общего вида с заменой чисел in, п, i, ... в формуле (2) уже не на постоянное число Л, а па неравные, вообще, между собой числа, приближённо-пропорциональные длинам частных промежутков [ап а2], [а2, а3], . .., [ап, 6], в общем случае уже неравных между собой, мы в действительности имеем подробно намеченную канву доказательства существования интегрального среднего	в более общем
понимании.
Произведение (6 — a) Mbaf (х), равное, очевидно, пределу и и т е г р а л ь н о й суммы (как мы сейчас её назы-п
паем) 2 / ((ij) • (при равных или неравных между собой приращениях Да; = а;^— а;, которые должны все стремиться к нулю, т. с., как мы сейчас подчёркиваем, равномерно), Остроградский обозначает как «м е ж д у-предельный и н т е г р а л»
ь
f (х) dx = (b —a) Maf (х)1).	(5)
а
0 Остроградский, собственно, пишет в своей рукописи не dx, ъ
а дх и М (Jx).
а
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
63
На основе фундаментальной формулы (2) устанавливается аддитивное свойство интеграла (5) относительно промежутка интегрирования, а затем, если обозначить X
f (х) dx = F (х), получается1) соотношение «большой важности» (d’unc haute importance)
=	(6)
Зафиксированное в рукописи доказательство существования определённого интеграла с ясностью показывает, что лекционное изложение М. В. Остроградского—крупнейшего мастера в классических областях вычислительной математики, аналитической механики и математической физики—также и в трактовании тонких концепций теории интеграла стояло вполне па уровне наиболее передовых сочинений своего времени (1836—1841 гг.). В этой связи здесь будет не лишним также отметить, что в предисловии к капитальному для того времени двухтомному курсу математического анализа Коши-Муаньо (т. II, 1844) редактор этого издания Муапьо писал, что при переработке предыдущего издания курса ему пришлось затратить много труда и времени на то, чтобы учесть новейший прогресс интегрального исчисления, интенсивно продолжавшийся в последнее время благодаря трудам выдающихся учёных, в числе которых Муаньо называл Остроградского и Бу-няковского.
2.	Фрагмент стр. 616—686, озаглавленный «Integration des fonctions», представляет собою незаконченный черновик систематического изложения интегрального исчисления, осуществлённого здесь, главным образом, в частп, касающейся теории интегралов неопределённых. Оно предназначалось, очевидно, к опубликованию, о чём свидетельствуют, в частности, обращения к «читателю» (например, па стр. 648а—649), а также развёрнутый
г) Что касается интегральной теоремы о среднем значении, то она здесь отмечается попутно как факт очевидный па основе самого равенства (5).
64
Е. Я. РЕМЕЗ
план изложения с разбивкой на разделы I и II и каждого пз них па главы (стр. 625а—626):
Раздел I. Глава 1. Основные теоремы интегрирования функции. Глава 2. Интегрирование рациональных дробей. Глава 3. Интегрирование иррациональных функций. Глава 4. Интегрирование логарифмических и показательных функций. Глава 5. Интегрирование круговых и тригонометрических функций. Глава 6. Интегрирование посредством строк. Глава 7. Кратные интегралы.
Раздел II. Глава 1. Интегрирование дифференциалов о нескольких переменных. Глава 2. Кратные интегралы относительно двух и трёх переменных.—Вопросы раздела II в рукописи фактически но затрагиваются.
В дополнительном разъяснении относительно 1-й главы раздела I говорится: «В конце первой главы объясняется цель следующих шести глав, затем будет показано, что составляет основу и особенность (le caractere) того, что принято называть интегрированием». Имеется ещё (стр. 630) подробный перечень вопросов, составляющих содержание этой же главы (эти вопросы в рукописи фактически почти полностью рассмотрены; вопросы глав 3—5 рассмотрены частично), кроме того- более кратки и перечень вопросов, подлежащих изложению в главе 2 (об интегрировании рациональных дробей): «Выделение, если возможно, целой части. Проверяют возможное наличие общего множителя у числителя и знаменателя. Интеграл не может содержать целых членов. Исследование случая, когда интеграл алгебраический. Определение ал гебраической части интеграла». К сожалению, последние вопросы, разработке которых Остроградскпй посвятил ряд своих оригинальных мемуаров, в рукописи фактически очень мало затрагиваются. Мы перейдём теперь к более детальному обзору основного содержания рукописи.
«Операци я,известная вод названием интегрирования, применяется лишь к функциям—дифференциалам [т. е. дифференциальным выражениям соответствующего вида]. Целью является нахождение функции, имеющей своим дифференциалом функцию [вернее, дифференциальное выра женпе], подлежащую операции. Так, имея дифференциал f(x)dx, его интеграл —это функция, которая, будучи про
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 65
дифференцирована по ж, даёт / (х) dx. Интегрирование обозначают, помещая букву 5 перед функцией, которую нужно интегрировать. Этот интеграл — функция от х,
/ (х) dx = <? (х),
и мы имеем
d<? (х) = f (ос) dx.
Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, может быть взята за j(x)dx. Интегрирование функций есть действие, обратное их дифференцированию ’).
Данный дифференциал может относиться к одному или к нескольким числам [переменным] и может быть первого, второго пли высших порядков. Таким образом, лптегриро-ванию функций предстоит решение нескольких вопросов, которые, как мы увидим, приводятся к одному простейшему из них, которое состоит в нахождении интеграла дифференциальной функции [выражения?] первого порядка одной переменной. Мы начнём с этого вопроса.
Пусть /(ж, у, z,...)dx будет данный дифференциал относительно х. Требуется [определить], какую функцию ?(#, У у 2,...) должно продифференцировать относительно х, чтобы получить /(ж, у, z,...)dx».
Поскольку переменные у, z,... «в рассматриваемом предмете не играют никакой роли», автор предлагает ппсать проще: j(x)dx и соответственно 'f(-r). После довольно длинного «философского отступления», автор выясняет, что если (х) и ф (х) — два интеграла, то 9 (х) — ф (х) = Z, где Z — величина, от х не зависимая, в остальном совершенно произвольная, — следовательно, «она может заключать столько переменных у, z,..., сколько угодно, но не должна вовсе зависеть от ж, т. о. она при всех значениях х удерживает одну и ту же величину».
«Итак, интегралов одного и того же дифференциала бесчисленное множество, и если имеем один пз них
*) Эти исходные определения, с которых начинается рукопись, повторяются ещё в нескольких её местах.
5 Исторпко-матем, исследования
66
Е. Я. РЕМЕЗ
то тотчас можем написать произвольное число других — например,
<Р (*) + 1 • <Р (®) + 1.0002, <р (ж) + sin(yZ+z) ит. д.
Общий их вид есть ср (х) 4- в котором заключается п интеграл ср (х), соответствующий Z = 0».
«Теорию интегралов имеем изложить вместе с приложениями, и таким образом интегралы ср (х) + Z выражают свойства -предметов, как-то площадь или длина кривых. [Далее почти вся страница 619а очень неразборчива. 1 ...Когда ищется площадь определённой фигуры и т. п., искомая величина по сути вопроса не будет зависеть от переменных, отличных от х,— их не должно заключаться и в величине Z... Мы в общем выражении интеграла будем употреблять [в дальнейшем] букву С, но называть её не произвольною постоянною, а просто произвольною величиною», подразумевая, что произвольность её ограничена тем, что она не может заключать переменную, по которой производится интегрирование».
«Из бесчисленного множества интегралов функции / (ж) dx надобно заметить тот, который обращается в нуль при данном численном значении величины х»:
ср (a)-f-C = 0, С— — ср (а), <р(х)4-С = <р(х) — <р (а).
«Если f(x) не содержит других букв, кроме х, то результат подстановки в ср (х) — ср (а) какого-нибудь определённого значения х = Ь даёт нам «определённый» или «предельный» интеграл ср (Ь) — ср (а), в котором числа а и b называются пределами; а —нижний предел, Ь — верхний; причину этого мы сейчас узнаем [в связи с изображением интеграла]».
Автор замечает, что «название интеграла не совсем прилично интегралу предельному», ибо дифференциал постоянной величины ср (6) — ср (а) по х есть 0, а не f(x)dx. Название это всё же оправдывается тем, что предельный интеграл получается через интегрирование. Отмечается возможность более прямого способа получения предельно
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
67
го интеграла двойной подстановкой, которая может быть непосредственно выполнена в любом из выражений о(я)4-С' с одним и тем же результатом <р(6) — <р (а).
«Интегрированию, как и всем прочим действиям, присвоили особый знак.. . Пишут /(x)dx и под этим знаком иногда разумеют какой не есть интеграл, а иногда —один из них, выбранный по желанию, и тогда интеграл какой не есть будет / (х) dx-\-C... Предельный интеграл ср (6)—ср(а) ь
изображают чрез ^j(x)dx ... Интеграл, исчезающий при а
данном численном значении величины х, можно рассматриас
вать как интеграл предельный, именно, / (х) dx.
а
В силу уравнения
ь
/ (х) dx =
а
а
— yf(x) dx, b
мы можем сделать, что верхний предел будет более нижнего... Если для всех значений х функция / (х) сохраняет
х
знак, то интеграл j(x)dx будет [при х > а] иметь одина-
а
х
новый знак с / (х) ... Если F (х) > / (х), то F (х) dx >
а
х
> f(x)dx».
а
Вводя особое обозначение av, gv+i для среднего значения аргумента между ау и
gv, gv+i =Gv-t-0(av+1 —(0 < 0 < 1),
5*
68
Е. Я. РЕМЕЗ
автор устанавливает интегральную теорему о среднем значении:
ь
«Интеграл f (х) F (x)dx, в котором одна из функций
а х
/ (х} сохраняет постоянный знак, равен F (а, х) ^f(x)dx. а
В самом деле, назовём М и т наибольшее и наимень шее значение величины F (и) между а и х»... Произведение f(x)F(x) содержится всегда между Jf/(x) и т/(х), значит, разности f (х) F (х) —М f (х) и f (х) F (х) — mf (х) будут с противоположными знаками, и то же справедливо относительно
f(x)F(x)dx-M f(x)dx а	а
И х	х
f(x)F (х) dx — т / (х) dx, а	а
откуда и получается требуемое заключение.
Следующий отмечаемый факт:
Ь	с	I)
/(x)dx=^ / (х) dx+^/ (х) dx. 'а	а	с
Вообще,
Ъ	aL	а2	f>
j (x)dx / (x)dx± f (х) dx-\- ... +	/ (x) dx
a	a	an—i
или же
b
j (x)dx — (aj — a) / (a, «1)4-
4- (a2~~ai) /(^i, «2)4- • • • + (6 —a?1-i) /(«n-i, b).	(7)
Для получения этой важной формулы, выражающей «предельный» интеграл в виде интегральной суммы специального вида, автор, таким образом, использует
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
69
частный случай доказанной только что интегральной теоремы о среднем при F(z)=l;
Отметив на стр. 626 дистрибутивное свойство интеграла:
(р + (l + r) dx — р dx + q dx 4- г dx,
Остроградский замечает: «Но можно интегрировать по частям более общим образом»1). Вслед за тем он даёт весьма интересный метод интегрирования на основе некоторого общего приёма «раздвоения переменного» (так мы позволим себе назвать его, чтобы сжато охарактеризовать его суть), который, как весьма частные случаи, заключает в себе и обычный метод интегрирования п о частям, и также (по крайней мере формаль но) интегрирование разбиением на слагаемые. Сущность его заключается в следующем.
Допустим, что мы подинтегральную функцию /(х' каким-нибудь образом представили в виде
/{x) = [F(x,
Считая z зафиксированным, найдём сначала
F (х, z) dx = ^(x, z).
Положим теперь
/ (х) dx = [<? (я, z)]-=x + и.	(8)
Остаётся найти U. Дифференцируя обе части уравнения (8) но х, имеем
l(x)dx-	+
или
О = с/ (х, х) dx 4- dU,
Разрядка наша.
2) Например, чтобы притти к обычному случаю ннтегрирова ния по частям в тесном смысле, положим
«СО и' (rr) = [u(z) V' (x)]z_x
70
Е. Я. РЕМЕЗ
откуда
U = — ср' (х, х) dx.
Итак1),
/ (х) dx = <& (х, х) — ср' (ж, х) dx.	(9)
Рассмотренное широкое обобщение метода интегрирования по частям с первого взгляда могло бы показаться несколько формальным. Действительное его значение как эффективного подхода к решению не только элементарных задач становится очевидным, если сопоставить этот рукописный набросок с опубликованною статьей М. В. Остроградского «Заметка о методе последовательных приближений» (Мемуары Академии наук, СПб., VI сер., т. 3, 1838, стр. 233 — 238), где он распространяет аналогичный приём интегрирования на случай граничных задач дифференциальных уравнений, встречающихся в вопросах небесной механики.
Вопросы основного принципиального значения рассматриваются на стр. 643а— 649 этой же рукописи под заголовком: «Доказать, что для всякого непрерывного дифференциала существует интеграл».
В противополо/кпость порядку изложения во фрагменте стр. 492 —495а, здесь в первую очередь ставится вопрос о существовании, для произвольно заданной непрерывной функции /(ж), интеграла в смысле первообразной функции, п уже на основе этого трактуется вопрос о существовании «средней арифметической - всех
1) В упомянутом простейшем случае обычного интегрирования по частям имеем
® (л, з) = н. (z) v (х);	((х, х) = и/ (х) v (х):.
следовательно,
\ w (х) V' (г) dx = u (х) v (х)— \ и' (х) г (х) d.r.
чю я совпадает точно с обычной формулой.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГР АДСКОГО
71
значений функции /(х)» при а<ж<д, т. е. среднего интегрального её значения и связанного с ним «между-предельного интеграла».
Замечая, что при фиксации значения иодъиптограль-ной функции (/(ж) = const. —/(ж0)) интегралом может служить любая из линейных функций ах + Ь, где a==f(x0), автор заключает, что интеграл ф(х) «всегда существует» для f(x), если только допускать в качестве функции «разрывные», «c'est-a-dire une fonction dont les operations dependent de la valeur de la variable»1) [функции, не имеющие единого конечного аналитического выражения на различных элементарных участках ?]. Если несколько расшифровать выраженные здесь в эскизной форме мысли автора, то окажется, что он в максимально сжатом стиле сразу как бы устанавливает существование интеграла (т. е. первообразной) для всякой непрерывной f (х) с помощью подразумеваемого предельного перехода от полигональной (кусочно-линейной) функции приближённого интегрирования. Он продолжает:
«Как бы там ни было (quoi qu’il soit), мы имеем
<?' (х) = / (ж), ..., 4(x + h) = 4(x)±h'f' (x + tih),
(х 4- Л) = (х) 4- hj (х 6Л),
где 6 между Он 1. Мы должны заключить из этого уравнения, что ср (ж) изменяется непрерывным образом ежи, сверх того, когда изменение h переменного ж весьма мало, мы можем вычислить [соответствующее] изменение ср (ж) с большою точностью»: величина ср (ж 4- h) — ср (ж) содержится между mh и Mh, где т и М — наименьшее и наибольшее значения / (X), когда значение X заключено между ж и ж 4-7г. «Но можно вычислить изменение ср (ж) для любого Л»: тут дело сведётся, как нетрудно догадаться, к использованию формулы (7) при а = х, b = x^-h при условии неограниченного сближения последовательных значений a, av а2, ..., ап_1, Ь, что сделает сколь угодно малою погрешность от замены f(ay, av+i)
*) Т. о. «функцию, для которой операции зависят от значения переменной».
72
Е. Я. РЕМЕЗ
на И действительно, полагая
h = со 4- Wj 4- со2 4- ... 4- шп>
X 4-10 = ^, ж14-<О1 = ж2,^n_14-u)n-i = ^n>
+ ^п = .т4-Л, автор получает:
ср (я 4- Л) — ? (я) =0)/ (я + М 4-
4- <«1/ (ху 4- OjCDi) + ... 4- о)п/ (хп 4- 6пшп), (7') «что даёт средство вычислить с любою точностью» (иначе говоря — установить тождественность «предельного интеграла» (х 4- h) — ср (х) с «междупредельным интегралом» (ср. выше), т. с. пределом интегральной суммы]. Автор предпочитает, однако, развернуть дальнейшие уточняющие соображения для эквивалентной задачи вычисления среднего интегрального значения функции /(X) на промежутке значений X между х и х 4- h:
ср (ж 4-Л) — ср (я) = Л/(я 4-ХА),	(10)
_ и>/ (х 4- Осо) nJ (zt + QiCOt) 4- ... 4- соп/ (хп + 6по>л)
<° +	4- •  • + °>л
(11)
«Если [в частности] все со равны между собой, будем иметь
у (^ ।	 / (х О'°) х / (Ж1 6i(Oi) + ••.+/ (хп + Onton) (j2)
... Но, когда ш бесконечно мало, /(a?4-6u)), f
и т. д. будут отличаться весьма мало от /(ж), /(a?i) и т. д.,	/ (ж 4- л/г) будет отличаться сколь угодно
мало от
/(*) + /(*!)+. ..+/(*п\ п
Развёртывая рассуждение несколько подробнее, даже при со не обязательно равных между собой, автор оформляет окончательное заключение с наибольшей строгостью: /(^г4-^)=/(^) + з7,
у (х 4- ХА) =	+	+ • • • + <0«/ (*п)	4- о>1514- ...+<дп^п
/ (а; 4- /
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
73
</где последняя величина содержится между наименьшею и наибольшею из величин s^» [и, следовательно, бесконечно мала при стремлении наибольшей из величин ш к нулю]1).
На стр. 648а — 649 Остроградский останавливается дополнительно на разъяснении некоторых принципиальных моментов, касающихся природы интегралов, существование которых установлено на предыдущих страницах:
«Для разрешения сомнений относительно существования интегралов мы должны сперва сказать несколько слов о функциях вообще. Очень может случиться, что не всем нашим читателям известны все названия и разделения, в теории функций употребительные». Далее автор разъясняет «приступающим к изучению интегрального исчисления», что следует «тщательно различать» разрывность функции «относительно к её численным величинам», т. е. в структурном смысле, от «разрывов сплошности в действиях её [т. е. функцию] составляющих». (Последнее, повидимому, имеет в виду нарушение непрерывности, понимаемой в некотором смысле, близком к суженному эйлеровскому и означающем здесь фактически существование единого аналитического выражения, притом—в конечном виде.) Резюме изложения предшествующих страниц рукописи сводится, очевидно, к различному решению вопроса о существовании интеграла в общем случае в зависимости от характера требований непрерывности, предъявляемых к искомому интегралу: для функции /(я), непрерывной даже в о б о и х указанных смыслах, обеспечено суще-
ъ
9 Определение J / (х) dx как приращения первообразной а
функции F (х) (без постановки вопроса о прямом доказательстве существования самой F («)) мы встречаем также в относящемся примерно к тому же времени изложении основ интегрального исчисления у Пуассона (ср., например, его Traite de Macanique, т. I, 1833, стр^ 17 — 18). Однако сопоставление обоих изложений немедленно убеждает в том, что выяснение основного вопроса о совпадении определённого таким образом интеграла с пределом интегральной суммы проведено в рукописном наброске М. В. Остроградского несравненно более основательно.
74
Е. Я. РЕМЕЗ
ствование интеграла, непрерывного в перво м (структурном) смысле (с допущением структурных «разрывов сплошности» «для некоторых частных значений переменного», как говорит автор на стр. 649), но ни в коем случае не обеспечено существование интеграла, «непрерывного» во втором смысле1).
Не останавливаясь на имеющемся ещё в данной рукописи ряде набросков рассмотрений более частного характера, относящихся к изложению отдельных выкладочных вопросов элементарной теории интегрирования функций2) и некоторых других вопросов3), мы отметим ещё здесь стоящее особняком фрагментарное исследование на стр. 653—654 этой же рукописи, посвящённое следующей
х) Правильность истолкования памп смысла не выраженных здесь с полною ясностью и законченностью резюмирующих мыслей автора подтверждается, между прочим, следующей припиской Остроградского на полях стр. 626: «ct quand on не pent pas integrer, il faut dire que Г integration donne une fonction a part» (т. e. «когда же невозможно проинтегрировать, следует сказать, что интегрирование доставляет особую функцию»), а также аналогичным, несколько более развёрнутым разъяснением на стр. 663"'.
2) По определению автора, «интегрирование трансцендентных функций считается произведённым, когда оно сведено к интегрированию алгебраических функций» (стр. 674«). При рассмотрении интегралов ydx, где у— алгебраическая функция от х, Остро-градский в некоторых случаях обращает внимание па размерность величины у, обозначаемую у него специальным знаком под которым он разумеет здесь показатель главного члена в разложении у по степеням (вообще—дробным) переменного х (стр. 649". 684я—686). Другие рассмотрения имеют здесь, вообще, более элементарный и частный характер.
3) Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в виде интеграла (стр. 682я—683я), вычисление полного эллиптического инте-
п
грала первого рода и более общего
d.c
(1 —A-2sin2i)w
посредством
разложения подънптегралыюй функция в ряд по степеням sin х (стр. 678—679); некоторые замечания о случаях, требующих осторожности, при вычислении определённых интегралов способом подстановки и с помощью непосредственного использования первообразной функции (стр. 684 , 630—630«).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
75
своеобразной задаче (связанной, возможно, с разысканием наилучшего решения системы несовместных линейных уравнений?):
«Имея ряд линейных функций [в конечном числе)
ах а'х + Ь', а"х + Ь", а'"х + Ь"', . ..,
где а > а' > а” > а'" > ...,	(13)
т р е б у е т с я найти значение х, п р и к о-тором две л и н с й н ы е ф у н к и и и о к а-зываются равными между собой и превыше то щ и м и [хотя бы в смысле >] в с е другие». Автор придаёт этой задаче характер экстремальной задачи дискретного анализа, определяя искомые значения х в определённом порядке—именно, начиная с наибольшего.
Записывая заданные линейные функции в виде
ах + b, ах + Ь + (а'— а)х + Ь'— Ь, |
ах-[-Ь + (а" — а) х-}-Ь" — 6, ..., ]
обозначим через а', а", а'" и т. д. значения х, обращающие в нуль выражения (а' — а) х + Ъ’ — 6, (а" — а) х 4-+ (6" — Ь) и т. д.
Мы получим одно из решений (наибольшее), взяв наибольшую пз величин a'-, а",‘а'", ...; пусть это будет а^>. При а = а({> наибольшими и равными между собой оказываются функции ах 4- b и a(i) х 4-
Другое решение (второе по величине) мы получим, определяя таким же образом наибольшее решение аналогичной задачи для функций
aWx + b^ а^+^х-}-Ъ^\ а^ 2> х 4- 6(i+2>, ..., (13')
и это будет такое значение x — tf\ для которого выравниваются и оказываются наибольшими значения функций
а(0 х -}-#й и х 4- и т. д.
Легко уяснить себе модификации, необходимые, в о-первых, в случае, когда оказывается, скажем,
а(й) = a(i2) = ... = a(i') (Zt >	> ... > ir),
76
Е. Я. РЕМЕЗ
—тогда нужно взять i — ir, и, в о-в торы х, в случае, скажем, а—а': тут мы предположим 6 >6'.
Автор отмечает (стр. 654) возможность проведения решения п в другом порядке,—располагая линейные функции в порядке возрастания угловых коэффициентов и, соответственно, определяя искомые значения .г, также начиная с наименьшего.
3.	Ф р а г м е и т ы стр. 46°—48, 770—771, 22, 1 — 2, 4" посвящены вопросам преобразования переменных в крат пых интегралах. Из них последние два относятся, вероятно, к наиболее раннему времени, и в них не видно ещё окончательной постановки основного вопроса. Первые же три являются, невидимому, черновой подготовкой замечательной статьи Остроградского: «Sur la transformation des variables dans les integrates multiples», доложенной им 12 августа 1836 г. в заседании Академии наук и напечатанной в её мемуарах (серия VI, т. I, 1838, стр. 401—407). Рассматриваемый здесь вопрос—один из основных вопросов всей теории кратных интегралов— имел значительную историю. Для простейших случаев— двойных и тройных интегралов, формулы преобразования переменных были указаны ещё Эйлером (1769 г., для двойных интегралов) и Лагранжом (1773 г., для тройных интегралов), но с выводом лишь чисто формальным. При этом мотивировка предложенной ими формальной схемы имела такой характер (у Лагранжа в особенности), что более пли менее непосредственное её истолкование легко могло привести к результатам грубо ошибочным. Михаил Васильевич Остроградский нс только нашёл ещё в начале 1834 г. общую формулу для преобразования переменных в /г-кратном интеграле, построенную с помощью функционального определителя, которому позднее было присвоено не совсем чёткое название «якобиан» (это Остроград-скпп сделал в своём знаменитом мемуаре «Sur le calcul des variations des integrates multiples»), но и первый нашёл (в указанной статье 1836 г.) методы настоящего обоснования всех этих формул—методы, ныне применяемые во всей соответствующей литературе по математическому анализу. Указанная статья вместе с рассматриваемыми черновыми рукописными набросками (в частности—фраг
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
77
ментом стр. 46“—48, который содержит проведённое до конца рассуждение для произвольного п1), в то время как в опубликованной статье имеется лишь указание на «очевидную» общность метода доказательства, применённого в ней фактически к случаю п = 2) доказывает с полною убедительностью приоритет М. 13. Остроградского в установлении теоремы о преобразовании переменных в кратных интегралах. Эта теорема и с о о т в стет в у ю щ а я ф о р м у л а с по л и ы м о с нов а-н и ем мо г у т б ы т ь и а з ван ы и моном О с-т р о г р а д с к о г о.
4.	Фрагменты стр. 514—519, 569—573, 577— 577“ относятся к области вариационного исчисления, с которой связан также небольшой фрагмент стр. 22 предыдущего раздела. Первый фрагмент (стр. 514—519), с пометкой «fini le ler juin 1858», представляет собой черновой экземпляр части статьи, перевод которой полностью вошёл в виде добавления в книгу В. Беренса «Дифференциальное исчисление», СПБ, 1858. Рассматривая здесь вариации функций нескольких переменных с дальнейшим применением к определению вариации элемента кривой поверхности, Остроградскпй даёт образец точного трактования вопроса, обходясь средствами соответственно обобщённого лагранжевского формализма исчисления слабых вариаций с эйлеровым уточнённым различением чистой, или «усечённой», и смешанной вариаций. По своему содержанию этот фрагмент, как и упомянутый отрывок стр. 22, довольно близко примыкает к кругу рассмотрений
Э Преобразование переменных в « кратком интеграле здесь осуществляется как результат п последовательных простейших преобразований, в каждом из которых подлежит замене лишь одна пз переменных,—и это делается (при несколько эскпзном внешнем оформлении) не формально, но с содержательным пояснением, глубоко проникающим в суть дела. В опубликованной статье, наряду со сжатым, ио до конца отшлифованным изложением принципиальной стороны этого рассуждения, даётся и другой, ныне достаточно известный метод обоснования формулы преобразования, в котором наиболее непосредственно выявляется значение функционального определителя как отношения соответственных объёмных элементов первоначальной и преобразованной областей кратного интегрирования.
78
Е. Я. ГЕМЕЗ
знаменитого мемуара М. В. Остроградского (1834) о вари ациях кратных интегралов.
Фрагмент стр. 569—573, к которому, невидимому, примыкают и малоразборчивые выкладки на стр. 577—577“, содержит различные соображения и подходы, относящиеся к обоснованию основных алгорифмов вариационного исчисления. По сути дело здесь заключается в двух различных способах све де нпя к дифференциальному исчислению: по определению Остроградского, это—единственный путь, на котором можно «хорошо понять эти вещи». Подходя к вопросу в духе эйлеровых работ, Остроградский сначала определяет последовательные вариации функции нескольких переменных как производные соответствующих порядков (при а = 0) по параметру а, в зави симости от которого варьируются эти переменные (и, возможно, вид самой функции); характерно, что при этом производная именуется старо-ньютоновским названием «последнее отношение» (derniere raison). Во вторую очередь, переходя к вопросам о максимуме пли минимуме интеграла, Остроградский развивает другой эйлеров подход (всё для той же основной цели—сведения к дифференциальному исчислению), исходя из замены интеграла суммой, а производных—разностными отношениями, с тем, чтобы через последующий предельный переход прит-ти к решению заданной задачи, которую автор обозначает звучащим отчасти по-современному термином, как задачу с «бесконечным числом переменных» (такими переменными Остроградский считает, в простейшей задаче вариационного исчисления, значения г/, соответствующие всевозможным значениям х из заданного промежутка, трактуемым как «индексы»—в бесчисленном множестве!). Рукописный фрагмент обрывается на предварительных эскизных рассмотрениях.
Излагаемый здесь отчёт о рукописных фрагментах по вариационному исчислению был бы неполным, есди бы мы не упомянули ещё об одной любопытной детали. На стр. 515 первого фрагмента мы неожиданно наталкиваемся на авторскую карандашную пометку на русском языке, в скобках, сделанную среди французского текста после написания первых трёх членов довольно длинного выра-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
79
жеиня смешанной вариации 3-го порядка: «скучно писать, напишите вы сами». Эта отчасти характерная пометка объясняет кое-что в отношении уже дважды упомянутого выше знаменитого мему ара М. В. Остроградского о вариациях кратных интегралов (1834). В этом мемуаре он решает ряд фундаментальных принципиальных вопросов вариационного исчисления, связанных с функциями многих переменных и их интегралами, по не считает нужным развернуть во всех деталях некоторые выкладки, по его мнению -технического порядка, которые могут быть сделаны по известным правилам интегрального исчисления. Курьёзным образом это обстоятельство послужило основной причиной того, что парижские академики, вообще высоко оценивавшие научные заслуги Остроградского (как известно, он в числе немногих иностранцев был избран членом-корреспондентом Парижской академии наук), не поняли в достаточной мере его мемуара и спустя 6 лет (в 1840 г.) объявили конкурс па'вопросы, которые фактически уже были решены в его мемуаре, причём премию получил французский математик Саррюс, который не без погрешностей повторил по существу результаты М. В. Остроградского, но с большой детализацией выкладок.
5.	Фрагменты стр. 324—325, 325а, 773—773а, 49—50а относятся к области вопросов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом фрагменте, рассматривая уравнение
у(п) Ду<п i) 4.	... 4- Ку" + Ly' + Му = N, (15)
где А, В, ..., М, N—функции от х, Остроградский при N = 0 предлагает своеобразные подстановки для понижения порядка уравнения на соответствующее число единиц, когда известны одно или несколько частных решений. Подстановки эти сходны с теми, которые применяются в известном классическом способе вариации произвольных постоянных для определения решения уравнения с правой частью. Так, в случае трёх известных решений р, q, г он полагает у — ри + qv + rw, где w, у, w подчинены добавочным услови ям
ри' 4- qt' 4- rw' = 0, р'и' 4- q’v' -f- г'щ' — О,
80
Е. Я. РЕМЕЗ
Это даёт возможность свести вопрос к на хождению функции У, полагая
и' — (qr' — rq') У, г/ = (гр' — рг’) У, wf = (pq' — qp') У
и т. д.
Во втором фрагменте (стр. 325а) выводятся выражения 1-й и 2-й производных определителя Вронского Д системы (А 4-1) функций одного переменного, на чём фрагмент и обрывается. Непосредственное соседство с предыдущим фрагментом наводит на мысль, что и данное рассмотрение имело связь с изучением линейного дифференциального уравнения, для которого функции данной системы являются решениями при N = 0,	Д #0. Сопоставле-
ние с однородным линейным дифференциальным уравнением в детерминантной форме позволило бы непосредственно проверить справедливость классической формулы:
Д'4-АД = 0, откуда Д =аСе~$Adv,	(16)
•
которую, кстати сказать, впервые установил именно Остроградский в своей «Note sur les equations differentielles lineaires» (Бюллетени Академии наук, т. V, № 3, кол. 33—35; чит. 26.Х 1838). Судя по более близкому к современным способам записи обозначению определителей в рукописном фрагменте, можно думать, что он относится к более позднему времени, чем упомянутое печатное сообщение. В этом последнем формулы (16) были получены Остроградским исходя из конкретного вопроса, связанного с алгорифмом вариации произвольных постоянных. Как известно, формуле (16) (второй) присвоено без достаточного основания имя Лиувилля. В действительности Лиувилль в том же 1838 г. независимо от Остроградского пришёл в порядке общих рассмотрений к соотношению значительно более сложного характера, из которого результат (16) может быть получен, однако, отнюдь не как бросающееся непосредственно в глаза тривиальное следствие. Остаётся неоспоримым фактом, что столь важное в теории линейных дифференциальных уравнений соотношение (16) впервые в явном виде было установлено М. В. Остроградскпм, и следует говорить не
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТГОГРА ДСКОГО 81
о «формуле Л иу ви л л г», а о формуле Остроградского или Остроградског о—Л и у в и л л я.
Фрагмент стр. 49—50° посвящён уравнению Рпккати («частного вида» dy+y2dx axndx). На стр. 773 — 773а выкладки почти без текста: системы линейных дифференциальных уравнении, детермпнантные рассмотрения.
6.	Фрагменты -стр. 124—129, 780—780% 783— 785, 991 относятся к области общей теории уравнений с частными производными. Первые два представляют, вероятно, следы подготовки к лекциям (уравнения с частными производными 1-го и 2-го порядков, характеристики; отрывки выкладок, относящихся к уравнениям в частных производных 1-го порядка, п к уравнениям в полных дифференциалах). На стр. 991—написанный в довольно живом стиле конец рецензии на изложение проф. Зернова, посвящённое разным видам интегралов нелинейного уравнения с частными производными 1-го порядка.
7.	Рукопись, стр. 298—317, под заголовком: «О построении географических карт» (па французском языке), повидимому, представляет собою черновую подготовку какого-то лекционного изложения. В начале рукописи—формулировка задачи конформного отображения одной заданной поверхности (или её части) на другую заданную поверхность (или её часть) и далее—ряд проб различных методических подходов к разрешению этой задачи в более общих случаях, в чередовании с применениями к случаю отображения сферы на плоскость. Ряд методических проб заканчивается констатацией, что рассматриваемый путь «не ведёт ни к чему». Так, на стр. 300 подвергается рассмотрению • проба разрешения вопроса для сферы и плоскости путём ортогонального проектирования полусферы на стягивающий её большой круг, с заключительным замечанием: «это уравнение, повпд: -мому, не разрешимо».
Переходя к конструктивной части изложения, Остроградский даёт для общего случая регулярных аналитических поверхностей вывод, примыкающий к известному гауссову, двух общих решений, заключающих ка; <-Дое произвольную аналитическую функцию комплексного переменного. Применение к случаю сфера—плоскость 6 Историко-матем. исследования
82
Е. Я. РЕМЕЗ
обрывается после нахождения проекции Меркатора (стр. 316—317). В процессе более общих рассмотрении выделяются случаи поверхностей вращения и «сфероидов»— общего вида конечных поверхностей без особых точек и линий (стр. 312 — 315°). Кое-где автор пользуется пояснительными графическими схемами—например, криволинейных четырёхугольников па стр. 314—314°.
8.	Ф р а г м е и т ы стр. 545—550% 788—788% 759 759% 767, 1001—1002° представляют собой отдельные отрывки изложений или выкладки по дифференциальной геометрии: теория пространственных кривых в связи с фактами кинематики и с применением формул сферической тригонометрии; асимптоты плоских кривых и пр.
9.	Фрагменты стр. 1000—1000й, 1056—1057, 774 посвящены некоторым вопросам определения вида функций на основе функциональных уравнений или неравенств. Первый фрагмент после общего заголовка (на французском языке): «Материалы для курса дифферен-ц и а л ь н о г о псчнслбн и я», содержит иод рубрикой «1» решение задачи определения непрерывного решения функционального уравнения
/(а=+?/) = /(®) + /(Ь')-
Второй фрагмент (к которому примыкает п маленький отрывок третьего) под заголовком «Смесь» (Melanges) содержит небольшое исследование, посвящённое определению натуральной системы логарифмов (кг) на основе её характеристического свойства, выражаемого неравенством
1 (0 < х < со)	(17)
(точнее говоря, речь идёт об определении основания о
натуральной системы логарифмов на основе неравенства
(17)). Выведя пз
(17) немедленно (заменой х па
т)
гое неравенство: 1а:	-,
автор показывает, что осно-
1
ванне а должно равняться пределу (1 + со) ш при со—>0. Это исследование Остроградского вошло в уже упоминавшийся курс дифференциального исчисления для воен-
м \ТЕМАТПЧЕСКНЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 83
ио-учобныл шведский его ученика В. Беренса (СПб, 1858, стр. 23—25).
Па вопросе возможно простого и естественного определения элементарных трансцендентных функций Остро-градскнн останавливается в своих «Заметках по разным вопросам математического анализа, а) Об экснопеицпаль яых функциях» (Бюллетени Академии наук, 1838, т. Ill,
[% кол. 209 -218, а) кол. 209 -212). Замечая, что, вообще говоря, естественнее всего выводить свойства раз личных трансцендентных функции «из общего источника», именно, из интегрального печи Ленин, М. В. Петроградский в этой заметке останавливается особо па логарпф мпческоп и показательной функциях. За 70 лет до Таи-нерн и Клейна он здесь подчёркивает, что «теория лога рпфмпческпх функций выводится с наибольшей и р о с т о той из \ у». Получая на основе этого определения функциональное уравнение логарифмической функции п вытекающее пз него функциональное уравнение обратной функции, он в немногих словах поясняет, как устанавливается, на основе второго функционального уравнения, тождествен ность обратной функции с е% где степень для рациональных значений х определяется алгебраически, а для иррациональных—так или иначе формулируемым требованием непрерывности.
10.	Ф р а 1 м е и т ы, стр. 908 - 908а, 913 — 913% 781% 900 - 901, 902 - 903% 1111-1112% 383 - 384° содержат отрывки рассмотрении пли выкладок по дифференциальному исчислению. Первый из них заключает своеобразный вывод формулы производной от {(х) ах па основе установления функционального соотношения
f Г И . /М •	/(т) ’
«торой — также своеобразные выводы формул дифференцирования для 1г’[ - loge;r] и хп. Стр. 1111 — 1112° посвящены преобразованию переменных в дифференциальных выражениях с частными производными (преобразование полных дифференциалов и дифференцирование сложных Функций). Подойдя далее к задаче преобразования иере-
84
Е. Я. РЕМЕЗ
менных в кратном интеграле, Остроградский ограничи вается здесь констатированием своеобразия этой задачи и существенного различия между задачами преобразования неопределённого кратного интеграла и интеграла определённого. Наконец, фрагмент стр. 383— 384'1 содержит написанный чьим-то мелким каллиграфическим почерком отрывок изложения вывода формулы производной высшего порядка функции от функции (в частности, для и = / (logх)) с применением сумматорных символов Варпнга; авторство этого фрагмента требует установления.
11.	Фрагменты стр. 497 — 502, 503а, 953, 954*, 144—147, 19* —20, 25, 755 —756а, 1028, 25а посвящены отдельным вопросам интегрального исчисления. Первые два фрагмента содержат предварительные наброски исследования по вопросу об определении вида интеграла от алгебраической функции, когда он и сам является алгебраической функцией,—вопросу, который в основном был разрешён М. В. Остроградским в нервом его мемуаре об интегрировании рациональных дробей (1833) и к которому он дополнительно возвращался и в некоторых позднейших работах; содержание стр. 953, 954а имеет некоторую связь с этим же вопросом. Фрагменты стр. 144 147 и 19а—20 посвящены некоторым несложным задачам на вычисление площадей с помощью простого пли двойного интеграла. Стр. 25 посвящена сумматорной формуле Эйлера. Содержание фрагмента стр. 755—756* («Sur ши* integrate definic») было нами охарактеризовано во введении к данной статье (§ 1).
12.	Фрагменты стр. 196 204, 205 -206, 1069— 1074а посвящены некоторым приложениям математического анализа к табличным вычислениям. В нервом фраг
х
С z” dz
менте из рассмотрения \	> к которому здесь двумя
о
различными способами применяется первая теорема о среднем значении, получаются, прежде всего, два выражения остаточного члена для степенного разложения 1(1+г)=^.
о
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГ Р АДСКОГО
85
Затем, после вывода у потреби тельного ныне разложения 1'' =1*±5
<7	1—х
р—
по степеням х ~ 'р д’ 0,10 применяется к случаю
if =	+ =
= - Д-1 (/) - 1) (х = 2^31)
для получения 1(« 4- 1), когда известны 1(/г—1) и 1/i, в частности, при «=120 000 (ср. выше § 2, п 9); далее—пробы аналогичного применения к вычислению высших разностей логарифмической функции. Во втором фрагменте— эскизно оформленные применения формулы конечных приращений к выражениям вида Д log sin х. В третьем фрагменте—вычисление логарифма модуля М с 20 десятичными знаками путём последовательного выделения множителей 0,4296 и 1,01092, для которых логарифмы могут быть взяты пз наличных таблиц, и вычисления логарифма остающегося множителя, весьма близкого к единице, разложением в ряд пли разностно-интерполяционным способом.
13.	Маленькое фрагментарное исследование на стр. 8а . показывает подход М. В. Остроградского к трактованию разрывных функций. Отталкиваясь от применяемого Коши псевдоаналитического выражения р===, Михаил Васильевич предлагает ввести специальное обозначение в, I = (ж)] для простейших разрывных функций, которые мы ныне обозначаем через sign (х — а^, и затем выводит выражение через линейную комбинацию таких функций для произвольной «ступенчатой» разрывной функции, принимающей (п -г 1) различных численных значений на («+!) последовательных частных промежутках числовой
14.	Фраг м е и т ы стр. 537а— 538, 541а— 542, 544% 921—921% 1247а содержат отрывочные аналитические выкладки не вполне ясного назначения,
для произвольной «ступенчатой» разрывной
осп.
86
Е. Я. РЕМЕЗ
§ 5. Рукописи, посвящённые математическим методам вообще, и фрагменты разного содержания
К первому из этих разделов .мы относим рукописные фрагменты стр. 712- 726,993°- 991“, 996 997". 1086 1091, ко второму фрагменты стр. 10, 10", 376. 686°, 760, 886—887".
Рукописный фрагмент стр. 1086 1091 настолько богат интересными высказываниями (па которые частично нам пришлось уже ссылаться и в § 2), что мы позволим себе процитировать часть этого фрагмента текстуально (в переводе с французского), выделяя при этом разрядкой некоторые моста—преимущественно те, па которых мы имеем в виду далее несколько остановиться.
«Говорят, что математика трактует, вообще, о величинах. Величина ость всё то, что может быть больше или меньше, пли всё то, что состоит из частей. О б а о и р е деления сводятся к о д и о м у и тому же.
Математику разделяют па чистую и прикладную. Чистая математика трактует, как говорят, величины вообще.
Анализ этого	мнения. О и о	и е д о и	у с т и	м	о.
Р а з д е л е п и е	мате м а т и	к	п< и а	ч и с т	у	ю
и п р и к л а д н у	ю п е я в л я	е	т с я и е	о б х о	д	н-
м ы м, и м ы б ы	ничего не	и о т е р	я л и,	о	б-
х о д я с ь б е з него [, оно] нс затрагивает существа дела. [Если всё же следовать этому разделению,] мы скажем, что чистый анализ есть наука о числах».
«П о ня т п с полого ч и с л а я в л я е т с я и е р в в ч и ы м. Д р у г л е ч и с л а и р о и с \ о д я т от о и е р а ц и й и а д ц е л ы м и ч и с л а м и и не предполагают ничего о природе величин. Математн ческий анализ мог бы нс предполагать измерения величин. Е с л и б ы м ы о н р с д о л я л и ч и с л а# чрез о т и о in е и н я в е л и ч и и, в это м з а-к л ю ч а л о с г» б ы н е д о и у с т и м ос емс ш е-н и е между различными частями математических наук.
Прикладной анализ рассматривает разные величины отличные от чисел. Так, геометрия трактует протяжения’ механика материю вообще, движение и время и т. д.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОС ТгО! РЛДСКОГО
87
Прикладной анализ сводится к анализу чистому чрез это [?] сведение [величии к измеряющим их числам].
Цз [частей]. чистого анализа А л г с б р а о с т ь и а у к а о б а л г е б р а и ч е с к их о п е у а и и я \ . Арифметика [,хотя] её пытаются представить ь качестве [совсем особой науки?], [её нужно рассматривать] лишь как техническую часть алгебры.
Алгебраические операции, функции, их обозначения; мнимые количества. О взаимно обратных частях алгебры: одна изучает алгебраические операции, другая открывает, посредством каких операций можно было бы выразить [неизвестное количество] из данных условий...
Дифференцирование, рассматриваемое как а л г е б-раи чес кая операцпя. Его природа, отличная от других о п с р а ц и и.
Трансцендентный анализ. Его определение. Как тригонометрия могла бы быть отнесена к чистому анализу. Круг там не является необходимым. О логарифмах, дугах круга [радианная мера?], о тригонометрических таблицах.
О прикладном анализе. После того как рассматриваемые им величины сведены к числам, этот анализ превра-щается в изучение функций и разыскание неизвестных. Условия, служащие для нахождения неизвестных, получаются через сравнение различных выражений одних и тех же величин. Примеры, взятые из алгебры; при
меры, взятые пз теории теплоты.
Механика, материя, движение, покой, время. Измерение времени, различные способы фиксировать движение. Механика состоит, главным образом, в переходе от одного способа представления движения к другому.
Математические пауки трактуют о величинах вообще. Под величинами разумеют всё т о, ч т о можно м ы с л и т ь боль ш и м и м е и ь ш и м, и л и всё то, что состоит из чаете й, на которые его можно разложить в де йст в и-тельиостп или мысленно. Эти дваопреде-л е нп я сводятся к о д н о м у и т о м у ж е. Ибо всё то, что состоит из частей, может быть мыслимо большим и меньшим...; точно также всё то, что может мыслиться большим и меныппм, может разлагаться на
88
Е Я. РЕМЕЗ
части, поскольку большее можно представить себе составленным пз двух пли нескольких меньших».
Далее автор говорит о разделении математики на несколько ветвей соответственно «природе величин, которыми в ней занимаются». Первая из них — «общий или чистый анализ занимается числами». Он служит основой для других частей математики. Далее идёт геометрия, трактующая о протяжениях. Третья часть, называемая механикой, заимствует у геометрии рассмотрение протяжений, трактует о времени и материи. Но механика рассматривает материю лишь со стороны её подвижности, непроницаемости и инерции.
«Если же допускают и трактуют другие свойства материи, тогда предмет рассмотрения принадлежит к математической физике, небесной механике и т. д., там стремятся вывести различные явления, представляемые материей, исходя из её свойств, полученных из опыта, из наблюдения пли допускаемых в виде гипотезы.
Механика, применённая к нуждам общественной жизни, носит назвапие прикладной пли индустриальной механики.
Есть ветвь математики, занимающаяся тем, что называется вероятностью, и называемая поэтому анализом, теорией или наукой о вероятностях.
Военное дело само является не чем иным, как одним пз важнейших применений математической науки».
Сведенце любой из этих наук к чистому анализу осуществляется через выбор единицы измерения и установление способа для суждения, сколько раз единица содержится в любой величине того же рода. Понятие самой единицы является первоначальным (premiere), как и понятие целого числа. Никакие размышления, направленные к разъяснению понятия целого числа, не являются достаточными, не делают идею о нём более ясною.
«Следует, однако, согласиться, что идея весьма большого чпела не является столь же ясною, как идея обыкновенного числа. Но большое число постигают, разлагая его на [меньшие] числа, величина которых такова, чго мы её представляем себе с ясностью. Нужно было бы. что"ы ч 1сло. показывающее, сколько раз эти
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 89
[меньшие] числа [содержатся в большем], само допускало ясное представление, т. е. не было слишком большим...
Сама запись чисел не может быть осуществлена иначе Как на основе обдуманных принципов, которые подчиняют её известному закону, ибо иначе как можно изображать бесконечное множество чисел? Представить бесконечное множество пли, по крайней мере, весьма большое количество понятий—я говорю весьма большое количество понятий, так как [фактический счёт всегда осуществляется] в известных границах. Но способ записи чисел должен давать возможность выражать числа [в тех или иных границах], каковы бы ни были эти границы. Мы естественно приходим к необходимости введения такого обозначения, которое представляло бы число вне всяких ограничений [невидимому, буквенное обозначение?]».
«Чистый математический анализ выводит всё своё содержание из аксиом, а именно: 1) Целое больше каждой из своих частей, а эти последние меньше целого. 2) Все части, вместе взятые, дают целое. 3) Два числа, порознь равные третьему, равны между собой. 4) При отнятии одного и того же числа от каждого из двух других чисел большее из них остаётся большим, а если они были равны, то и останутся равными.
Для прикладного анализа можно добавить следующую аксиому: если два числа, представляющие две [однородные] величины, равны, то равны и самые величины, большему же числу соответствует и большая величина».
Цитированные высказывания М. В. Остроградского дают повод к несколькшм замечаниям.
В о-п е р в ы х, существенное сужение понятия о математике, характеризуемое её определением как паук п о величинах, может, с одной стороны, быть объяснено личными склонностями великого аналитика; с другой же стороны, мы из рассматриваемого далее фрагмента его рукописей (стр. 993°—99zia, 99G—997°) увидим, что в Действительности ему не было чуждо и значительно более широкое понимание математики (см. ниже).
В о-в торы х, весьма знаменательно заявление автора об условности и ненужности разделения математики
90
Е. Я. РЕМЕЗ
на чистую п прикладную. Здесь ярко отражена творческая индивидуальность М. В. Остроградского—одного из виднейших основоположников математической физики и аналитической механики, для которого вся математика в целом является прежде всего могущественным орудием познания природы, и который менее всего склонен допускать создание каких иибудь непроницаемых перегородок между абстрактными областями матсматп ческой науки и её приложениями...
В-т р е т ь п х, заслуживают существенного внимания весьма определённые высказывания Остроградского о необходимости чист о а р и ф м е т п ч е с к о г о об о-снования учений о различных родах чисел, возникающих из расширения первоначального понятия о числах ц е л ы х (и положительных): ньютоново определенно числа как отношения однородных величин Остроградский считает совершенно недостаточным для целей действительного обоснования учения о (вещественных) числах. В этих высказываниях он значительно опережает состояние современной ему математической мысли 30-х—50-х г!. XIX в.1).
Что касается высказываний автора об аксиоматике чистого и прикладного анализа, то они носят явно эскизный характер. Приводимые им аксиомы чистого анализа, являющиеся как бы вольным изложением древних форму лпровок аксиом евклидовой геометрии (ср. выше в § 2), способны вызвать недоумение: допустимо ли, например, без ближайшего разъяснения давать формулировку: «Целое больше своей части» в изложении, которое, невидимому, должно учитывать также отрицательные числа и соот ветствующпе значения конкретных величин? Выдвигаемая же им аксиома для обоснования прикладного авали за, говорящая о подобии скалярного расположения значений конкретной величины и соответствующих им числовых характеристик, очевидно, слишком неполно характеризует соотношения изоморфизма между двумя сопостав-
*) Но некоторым данным (ср. ниже) можно думать, что данный фрагмент но времени его написания близок к статье автора в журнале «Маяк» за 1840 год, где, кстати, имеется и аналогичное высказывание (менее развёрнутое) по вопросу о задаче обоснования учении о числе.
МАТЕМ АТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М  В. ОСТРОГ1»АДСКОГО
91
ляемымн в пей совокупностями объектов. Кстати, как мы пп/КС отметим, Остроградс гин в своих «прикладных» рассмотрен! 1 я х (и рож до всего—геометр и чес к и х) до пу с каст и действительности (ср. фрагмент стр. 712—726) ещё одни общий принцип, равносильный некоторой неявной форме аксиомы непрерывности ыя измеримых величин.
Можно критически подойти и к некоторым высказываниям Остроградского в связи с определением понятия величины. Отмечая два существенных свойства измерп мой величины- скалярность и разложимость на части, автор дважды в этой рукописи высказывается в том смысле, что «оба определения сводятся к одному и тому же». Это утверждение может, конечно, показаться слишком наивным в наше время в свете простых и общеизвестных ныне фактов теории множеств, в свете новейших глубоких исследований советских математиков о природе величин. По оно находит опровержение и в печатных ра ботах самого М. В. Остроградского. Действительно, в своей статье «О страховании» (Финский вестник, 1847, т. 13, № 1) он довольно едко критикует сочинение по теории вероятностей одного «учёного автора», считающего возможным утверждать, что «правдоподобие есть математическая величина и о т о м у т о л ь к о О, что правдоподобия одно могут превосходить другие и быть меньше других» и со своей стороны замечает: «Мнение это по совсем правильно. II действительно, по говорим ли мы п, говоря, нс ясно ли понимаем, что такой-то учёный совестливее другого, что француз храбрее немца, что читатель благоразумнее писателя и проч. Таким образом совесть, храбрость, благоразумие и т. д. могут быть и больше п меньше, следовательно, они суть математические величины, их можно измерять, выражать в числах, производить различные над ними действия... могли бы появиться основания математических теорий бессовестности, нелепости и проч.».
Сопоставление высказываний заставляет думать, что рассматриваемый рукописный фрагмент Остроградского по времени во всяком случае предшествова i 1847 г.
Э Разрядца наша.
92
Е Я. РЕМЕЗ
Фрагмент стр. 712—726 кое в чём дополняет рассмотренный. Говоря о специфических для каждого рода величин способах количественного их определения, автор здесь обращает особое внимание на то, что наряду с прямыми измерениями приходится весьма часто прибегать к непря-мым пли косвенным измерениям величин на основе (функциональных) зависимостей, изучение которых составляет «одни из главнейших предметов» математического анализа. На простейших зависимостях—прямой и обратной пропорциональности (а также на ряде свойств пропорций) автор останавливается здесь подробно, причём подчёркивает, что обычно зависимости формулируются не для самих величин, а для их числовых характеристик. Прямую и обратную пропорциональность Остроградский характеризует постоянством в одном случае отношения величин (или, вернее, отношения отношений каждой из них к соответствующей определённой единице—«содержания содержаний»), а в другом случае—произведения (численных значений величин). Во второй половине фрагмента Остроградский намечает, кроме того, некоторый общий тип рассуждения для доказательства факта пря мой пропорциональности некоторых двух величин, после того как он уже установлен для случая соизмеримости пары значений одной из величин, также и для случая несоизмеримости. В последнем случае он предлагает применять следующий общий способ рассуждения от противного, заимствованный из геометрии: предположив, что дока-зываемая пропорция (где Л В—значения одной вели чины, С ul)—соответствующие значения другой), неверна, вводится в рассмотрение четвёртая иропор-ц и о н а л ь и а я Е к трём величинам А, В, С, и р и ч ё м молчаливо д о п у с к а е т с я, ч т о таковая непременно с у щ е с т в у с т; затем, взяв какое-нибудь промежуточное между Е и D значение F второй величины, соизмеримое с С, выводят (на основе доказанной уже пропорциональности для соизмеримого случая) явно противоречивую пропорцию, в которой одно отношение больше единицы, а другое меньше. Допускаемое Остроградским существование четвёртой пропорциональ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. 0СТГ0Г1'АДСКОГО	93
ной при общем его истолковании, когда под А и В позволительно, в частности, разуметь и два произвольно заданных абстрактных числа, не могло означать ничего иного, как принятие постулата непрерывности для рассматриваемых измеримых величин в его полной форме, включающей не только архимедову, но и «капторову» непрерывность. Самый тип рассуждения от противного, который здесь предлагается Остроградским, применялся не только в современных ему учебниках геометрии, но и в значительно позднейших учебниках проф. А. Давидова (1823—1885)—одного из выдающихся московских последователей М. В. Остроградского (см. например, даже 32-е издание его «Элементарной геометрии в объёме гимназического курса», 1912). Любопытно отметить, что позднейшие представители петербургской математической школы А. 11. Коркин и его ученик Д. А. Граве оценивали как «грубоотппбочные» 1) эти выводы в геометрии Давидова— только за то, что он м о л ч а л и в о опирался па непрерывность тех геометрических величин (длина отрезка прямой пли дуги окружности, величина угла и т. п.), которые и фактически по современным воззрениям трактуются как величины непрерывные, и подчёркивали преимущество изложения этих вопросов у Евклида. Действительно, евклидово учение об отношениях и пропорциях позволяет провести рассматриваемые доказательства прямой пропорциональности п без допущения «канторовской» непрерывности. По ведь хорошо известно, что и у Евклида далеко не все фактически принимаемые постулаты явно формулируются, а кроме того, n сам Евклид, в ряде случаев искусно избегая использования допущения о существовании четвёртой пропорциональной, опирается, однако, па такое же допущение, например, во 2-м предложении 12-й книги 2) при доказательстве предложения: «Круги будут друг к другу как квадраты на диаметрах».
В качестве приложения теорем о прямой пропорциональности величин Остроградский отмечает некоторые
См. Д. А. Граве, Трактат ио алгебраическому анализу, т. J, Киев, 1938, § 13 («Ошибка у Давид ва»).
2) См. Начала Евклида, кн. XI—XV, М.—Л., Гостехиздат, 1950, стр. 65.
91
Е. Я. 1‘Е МЕЗ
конкретные случаи «измерения одних величии другими», им пропорциональными; в частности, он останавливается на градусных измерениях и упоминает об у» юморных инструментах, которые «было бы правильнее называть дугомернымн».
*
Мы выше отмечали, что в нервом пз разобранных памп фрагментов данного раздела рукописей Остроградский допускает явно суженное определение математики как «науки о величинах», которая как будто занимается исключительно лишь анализом к о л и ч е с т в е л и ы х отношении. В этой связи представляют значительный интерес другие два небольших фрагмента стр. 993°—991" п 996—997а, где он, обращаясь к какому-то «Вашему превосходительству», в .весьма ярких выражениях подчёркивает огромное воспитательное н практическое значение с и и т е т и ч е с к и х методов в математике наряду с методами аналитическими и настаивает па восстановлении в правах синтетического метода в трактовании тео рем конических сечений в курсе математики военно-учебных заведений и гимназий. Считаю нелишним процитировать часть этих высказываний Остроградского текстуально:
«... не только перестали употреблять геометрические способы в чистой математике, но и геометрию и механику совершенно подчинили Анализу. Писали сочинения, в которых эти науки излагались чисто аналитически п даже без чертежей. Синтетические же способы оставались в пренебрежении, и древние учения о сечениях перестали преподавать. Таково влияние великого Ейлера, оно продолжается п теперь, но впрочем, многие геометры заметили неудобства этого направления и часто в важных исследованиях употребляют синтетические способы, к изучению которых первые шаги и первое пособие после Эвклидовой геометрии [—] древнее учение о конических сечениях, и все согласны, что оно по крайней мере весьма полезно при изу чении начертательной геометрии п наук от неё зависящих, как, например, черчение карт... линейная перспектива, теория сооружений различных родов и проч. Но незавл симо от великих пособий, которые упомянутые пауки
MVl'EM.VllJ’IE 1Л1Г РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКО! О «5
находят в синтетической теории конических сечений, я постараюсь доказать, что эта теория полезна даже л для чистого Анализа.
Всем известно, что начинающие никогда в полной мере не понимают дифференциальное исчисление. Они удостоверяются в справедливости его правил, решая вопросы, уже решённые но другим приёмам, и находя, что дифференциальные способы доставляют те же самые выводы. Вачи наюшис не иначе как чрез поверку получают доверие к дифференциальному исчислению и не прежде как получив доверие, начинают его употреблять и уже чрез употреб лен и о совершенно знакомятся с его духом и правилами. Отсюда видно, как важно для начинающих запастись несколькими истинами строго с очевидностью доказанными, которые могли бы служить поверкою дифференциальных исчислений. Такого рода истины доставляют проведение и определен не касательных, нормальных, подкасательных, поднормальных, радиусов кривизны п проч, конических сечений. Петин этих нигде приличнее почерпнуть нельзя как в синтетической теории конических сечений...»
«К неоспоримой пользе синтетического изложения кони ческих сечений нельзя не прибавить, что оно необходимо при чтении творении Геометров прошедших веков. Я сомневаюсь, чтобы кто-либо, не зная синтетически сечений конуса, мог понимать великое творение Ньютона Математические начала натуральной философии. Кто же не читал этого Альмажеста семнадцатого столетня, тот не в право считать себя геометром».
«Я полагаю, что i ыключенпе из преподана пня в корпусах и в гимназиях синтетических исследований конических сечений есть большая потеря для учащихся О. Учение
г) Перед последним абзац м имеются ещё высказывания Остро -градского о том, что, если быть последовательными, то «следовало бы уже и Эвклидову геометрию заменить аналитическим изложением свойств прямой линии и круга, с чем, я думаю, никто не согласится». Учитывая то, что в своём «Руководстве начальной геометрии» (1855—1860 гг.) М. В. Остроградский сам делает некоторые шаги в направлении приближения элементарной геометрии к алгебре, можно думать, что данный фрагмент относится к более раннему периоду.
96
Е. Я. РЕМЕЗ
это доставляет важное пособие для изучения математики и наук от неё зависящих, и в то же время служит превосходным средством к изощрению способностей молодых людей».
* * *
Последним ещё не рассмотренный памп раздел содержит несколько совсем небольших фрагментов различной ценности. Так, в одном из них (стр. 686") имеется написанный карандашом и перечёркнутый черновик незаконченного письма на французском языке, касающегося выполнения какой-то консультации по вопросу балпстики; на стр. 10" имеется небольшой отрывок, в котором даётся определение синтеза и анализа в обычном общелогическом смысле. Два фрагмента представляют значительно больший интерес.
Па стр. 10 мы имеем весьма любопытное «вольнодумное» рассуждение Михаила Васильевича, антирелигиозного содержания, которое неожиданно вклинивается между изложением вопроса пз области механики сплошных сред п наброском по вопросу теории делимости. Мы процитируем его с сохранением своеобразных особенностей стиля (в переводе с французского языка):
«Мы иногда непреодолимо (irresistiblement) верим в вещи, не доказанные точно. Это зависит от расположения нашего организма, от наших чувств. Следует верить лишь в то, что доказано, ибо вора, о которой была речь, меняется с нашим расположением, с нашим организмом. Прожорливость не заслуживает осуждения божественного закона, ибо верховное существо не вмешивается в такие низкие вещи как наш желудок. Это неверно, для бога нет ни малых, ни больших дел. Сказанное нами заключает противоречие. Следует верить лишь в доказанные вещи. Но мы не можем доказать существование верховного существа, отсюда следует, что мы не должны верить в бога» и т. д.
Этот отрывок довольно убедительно характеризует М. В. Остроградского как человека далеко не религиозного.
Остроградский был несомненным стихийным материалистом в своем богатом и полнокровном творчестве, которому
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
17
науки о природе обязаны открытием важных закономерностей и математических истолкований в таких трудных областях исследования, как теория распространения тепла в жидкости и пр. Мейес изучен Остроградский со стороны его высказываний по принципиально философским вопросам.
В этом отношении, наряду с уже цитированными выше отдельными его высказываниями, может представить существенный интерес его рукописный фрагмент стр. 886—887а, к которому мы сейчас подошли. В этом фрагменте речь идёт о вопросе, имеющем кардинальное значение для характеристики философского мировоззрения,—это вопрос о существовании или несуществовании материи, как объективной реальности, вне и независимо от нашего сознания. Фрагмент этот, несомненно, представляет собой черновой набросок части уже упоминавшейся нами статьи Остроградского, напечатанной в журнале «Маяк»1) за 18zi0 г., ч. 1, стр. 7—17, под названном «Начала аналитической механики». В начале фрагмента Остроградский предупреждает относительно «трудности, чтобы по сказать невозможности определить точно, что такое материя». Приведя «обычное» (напоминающее гольд-баховское) определение материи («материя—всё то, что мы можем воспринимать чувствами, т. е. всё то, существование чего мы можем обнаружить через посредство чувств»), Остроградский говорит в своей рукописи: «Мы не будем пытаться определить материю. Для нас достаточно будет знать, что она существует и обладает двумя общими свойствами—подвижностью и непроницаемостью...».
Констатируя далее, что существуют различные взгляды по вопросу об объективном существовании и познаваемости материи, как причины наших ощущений, Остроградский хотя и проявляет здесь чрезмерную терпимость в отношении точки зрения идеалистов, как якобы одной пз принципиально возможных наравне с материалпсти-
х) Болес полное название: «Маяк современного 'просвещения п образованности (Труды учёных и литераторов, русских и иностранных, Редакторы 11. Корсаков и С. Бурачок, СПб.)». <•>
Исторпко-матем. исследования
98
Е. Я. РЕМЕЗ
ческой (ср. упомянутую статью в журнале «Маяк»1)), всё же в заключение своих высказываний (после нескольких перечёркнутых абзацев) заявляет себя сторонником последней: «Мы будем рассматривать её (материю.—Е. Р.) как реальную, т. е. будем приписывать напит ощущения воздействию реальных предметов... Итак, мы признаём существование материи...».
С этим можно сопоставить другое знаменательное высказывание Остроградского, уже нами упоминавшееся, в одном из его алгебраических фрагментов (стр. 172 рукописного фонда). Дав одну из своих формулировок понятия величины («Величиною называют всё то, что можем представить составленным из частей и мысленно разложить па частп совершенно по произволению пли без всякого ограничения»), Остроградский добавляет:
«Величины могут быть идеальные и действительные, т. е. могут иметь место только в нашем понятии или, подобно пространству и в р с м е н и, б у-д у т существовать и вне нас»2).
В этом высказывании, где отчётливо сформулировано вполне материалистическое положение об объективном существовании пространства и времени, Михаил Васильевич Остроградский опять-таки выступает перед намп как убеждённый сторонник философского материализма. В этом высказывании виден также достойный воспитанник выдающегося русского математика и мыслителя-материалиста первой четверти XIX в., беспощадного критика столь влиятельного в те времена кантианства—харьковского профессора Тимофея Фёдоровича Осиповского.
2) Любопытно, что «рассуждения», на которые опираются идеалисты, в печатной статье Остроградского обозначены более выразительным термином: «умствования». В более подробное изложение их аргументации он ire входит пи в печатной статье, ни в рукописном фрагменте.
2) Разрядка паша.
О РАБОТАХ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Б. В. Гнеденко
1.	Имя замечательного нашего соотечественника Михаила Васильевича Остроградского, 150-летие со дня рождения которого исполнилось в текущем году1), прочно вошло в историю науки, п прежде всего в историю механики, математической физики и математического анализа. Имеются прекрасные обзоры его работ, относящиеся к этим направлениям науки, сделанные Н. Е. Жуковским, А. М. Ляпуновым, В. А. Стекловым, Л. К. Лахтиным, Е. Ф. Сабининым и М. А. Тихомандрпцкпм2).
Работы Остроградского по теории вероятностей до сих пор рассматривались лишь мельком. Это объясняется тем, что в них он разрешил лпшь отдельные, частные
l) М. В. Остроградский родился 12 (24) сентября 1801 г.
2) II. Е. Я{у ко век и й, Учёные труды М. В. Остроградского по механике, Матем. сб., т. 22, вып. 4, 1901, стр. 555—573; Поли, собр. соч., т. IX, 1937; т. VII, 1950.
А. М. Ляпунов, Заслуги М. В. Остроградского в области механики; доклад в Полтаве, помещён в книге П. И. Трипольского «Михаил Васильевич Остроградский», Полтава, 1902, стр. 115— 118.
В. А. Стеклов, О работах М. В. Остроградского в области математической физики; помещено в книге II. И. Трипольского, стр. 118—127.
Л. К. Лахти и, Работы М. В. Остроградского в области анализа, Матем. со., т. 22, вып. 4, 1901, стр. 540—554.
Е. Ф. Сабини н, Михаил Васильевич Остроградский, Матем. сб., т. 22, вып. 4, 1901, стр. 499—531.
, М- А. Тихона н др пцки й, Очерк учёных трудов п ОстРОградского в области чистой математики, помещён в книге П. II. Трипольского, стр. 92—115.
*
100
Б. В. ГНЕДЕНКО
вопросы, оставшиеся в стороне от того большого направления развития теории вероятностей, которое придал ей впоследствии П. Л. Чебышев. Если работы Остроградского в области механики, анализа и математической физики вошли составной и неотъемлемой частью в современную пауку, то его результаты в области теории вероятностей такого значения не имеют. Невнимание к работам М. В. Остроградского с точки зрения задач и целей современной пауки довольно естественно, но едва ли оно может быть полностью оправдано, так как необходимо учитывать также п то, представляли ли эти работы интерес во время их возникновения.
В известных мне обзорах математического творчества М. В. Остроградского упоминаются лишь три его работы по теории вероятностей: «Извлечение из мемуара о вероятности ошибок трибуналов», «Об одном вопросе о вероятностях», «О вероятности гипотез после исхода испытаний»1). Иногда упоминается ещё одна неопублпковап пая работа, хранящаяся в рукописном виде в Архиве Академии наук СССР, в которой дано решение следующей задачи: определить вероятность выигрыша одного из двух игроков, условившихся сыграть определённое число партий и сыгравших уже некоторое их число, предполагая при этом различными вероятности выигрыша игроками отдельной партии. При этом совершенно забывают ещё две его популярные статьи, имеющие самое непосредственное отношение к теории вероятностей— «О страховании»2), «Игра в кости»3). Эти статьи представляют большой интерес для более полной характеристики деятельности Остроградского, а также его методологических взглядов. К теоретико-вероятностным работам
*) Extrait (Tun memoire sur la probability des erreurs des tri" bunaux; Bulletin scientifique, № 3, 1834, стр. XIX—XXV;
Sur une question des probabilities; Bulletin scientifique, т. VI, № 21—22, 1846, стр. 321—346:
Sur la probability des hypotheses d’apres les evenements; Bulletin scientifique, т. XVII, 1859, стр. 516—522.
2) Журнал «Финский вестник», т. 13, 1847; Лн 1, стр. 29—34; № 2, стр. 40—44.
3) Там же, т. 13, 1847, № 3, стр. 29—32.
РАБОТЫ ОСТРОГРАДСКОГО ЦО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН 101 можно отнести также «Мемуар о производящих функциях» х).
Настоящая < гатья написана на основе только что перечисленных шести работ, а также черновых набросков, хранящихся в отделе рукописей Государственной Пуолпч-ной библиотеки Академии наук Украинской СС1 . Рукописи Остроградскою, хранящиеся в других архивах, при этом мной не изучались. Имеются указания, что были изданы записи трёх лекций из 20 по теории вероятностей, прочитанных Остроградский в 1858 i. Это издание мне не удалось найти.
Наконец, в записке А. И. Крылова «Памяти М. В. Остроградского» (Архив Академии наук СССР, разряд V, опись 1—0, № 11), представленной Президиуму Академии наук СССР с целью организовать издание полного собрания сочинений Остроградского, имеются указания на работы Остроградского в области теории страхования. Крылов, по его словам, сам широко использовал эти работы, когда служили эмеритальной кассе морского ведомства. Приведу подлинные слова А. Н. Крылова: «В 1856 г. но Парижскому трактату Россия была .лишена права иметь флот на Чёрном морс. Предстояло увольнение большого числа служащих и для улучшения их положения было рошено учредить в Морском ведомстве эмеритальную кассу, которая должна была начать выдачу пенсий с 1859 г. Страхование жизни было тогда дело новое, а тем более расчёт эмеритальных касс и установление размеров пенсий в соответствии с размерами вычетов из содержания, поэтому в комиссию, которая должна была выработать положение о кассе, вошли оба академика по математике, т. е. Остроградский и Буняковский, которые и произвели все необходимые расчёты и теоретическое их обоснование. Труды этой комиссии тогда же были напечатаны и в них находится замечательная записка Остроградского и ряд совместных его записок с Буняковскнм».
Последнее замечание А. П. Крылова неточно—в трудах комитета, изданных в 1858 г. под названием «Пред-
. *) Memoire sur le calcul des fonctions generatrices; Bulletin scientifique, т. 1, 1836, стр. 73—75.
102
Б. В. ГНЕДЕНКО
положение об учреждении в Морском ведомстве эмеритальной пенсионной кассы», СПб., 1858, совместных статей М. В. Остроградского и В. Я. Буняковского нет. В них имеются несколько статей Буняковского, одна статья Остроградского (под названием «Заметка академика Остроградского об эмеритальной кассе с тремя таблицами» (стр. 93— 101+3 таблицы, приложение 7) и официальные материалы.
Остановлюсь несколько подробнее на этой статье М. В. Остроградского.
В предисловии ко всему сборнику было отмечено исключительно добросовестное отношение Остроградского и его коллег к работам комитета, о важности н актуальности учреждения которого было указано мной выше. Я считаю полезным привести подлинные слова этого предисловия: «... приглашены были известные в науке Академики наши: Остроградский, Буняковскпй и Веселовский принять участие в трудах Комитета, на что они не только изъявили полную готовность, jho не переставали во всё время занятий комитета деятельно участвовать в качестве постоянных членов его, при обсуждении и изготовлении всего проекта».
Содержание работы Остро градского может быть лучше всего охарактеризовано его собственными словами: «Мы представляем решение вопроса о наименьшей пенсии идо-водим его до такой степени простоты, что оно нс затруднит и наименее свсдующих в арифметике; достаточно будет знать одно сложение чисел . Три таблицы доставляют такие решения». В примечании к этой фразе Остроградский добавил: «Мы предполагаем, что пенсионер не имеет семейства, в противном случае нужно бы ещё три таблицы, подобные последней из составленных; мы готовы составить их по первому требованию».
Содержание только что упомянутых таблиц таково:
Таблица 1. Подсчёт суммы, в которую превратятся 1, 2,..., 9 рублей, положенных нз расчёта 4% через 1, 2, ..., 52 года.
Таблица’ 2. Во что превратятся взносы, вносимые через 4 месяца: по 1 р. в год,..., 9 рублей в год через 1, 2, ..., 52 года?
РАБОТЫ ОСТРОГРАДСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЮЗ
Таблица 3. Минимальные пенсии на взносы оТ 1 до 9 рублей ежегодно для лиц от 41 года до 80 лет.
Общие положения статьи, а также правила пользования таблицами пояснены подробно разобранными примерами расчётов.
Выбор темы раооты, а также вычисленных таолиц Остро-градский объяснял тем, что важно, чтобы «пенсии соразмерялись с количеством лет взноса и с летамп пенсионера: первое обстоятельство очевидно, а второе потому принято, что величина пенсии, конечно, должна также зависеть от её продолжительности».
Работа Остроградского явилась ценным вкладом в теорию страхового дела и долгие годы использовалась в практике работы эмеритальных касс.
2.	Первая половина XIX в. ознаменовалась в теории вероятностей таким выдающимся событием, как появление трактата П. Лапласа (1749—1827) «Theorie analy-tique des probabilites», в течение короткого срока выдержавшего три издания (1812, 1814 и 1820, 4-е издание—1886). В этом произведении впервые было дано чёткое определение вероятности, которое мы теперь называем классическим, впервые были систематически изложены основные элементарные теоремы, дано доказательство теорем, получивших название теорем Муавра-Лапласа, построена теория ошибок наблюдения и использованы основные теоретические результаты для целей статистики народонаселения. Значительный интерес представляют общие философские установки Лапласа, ярко выраженные в его сочинении «Опыт философии теории вероятностей», помещённом в качестве введения к «Аналитической теории вероятностей». Думаю, что эти взгляды можно назвать механпстпчески-материалистическими. В ряде мест книги он, несомненно, ведёт борьбу с теологическими и телеологическими объяснениями явлений природы. Собственное его мировоззрение ярко сформулировано им следующими словами:
«... мы должны рассматривать настоящее состояние вселенной как следствие её предыдущего состояния и как причину последующего.
104
В. В. ГНЕДЕНКО
Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех её составных частей, еелп бы он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел вселенной наравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, даёт нам представление о слабом наброске того разума. ...Наступит день, когда благодаря длившемуся несколько столетий изучению, вещи, ныне скрытые, явятся со всей своей очевидностью; и потомки наши удивятся, что столь очевидные вещи ускользали от пас»1).
Наряду с этой уверенностью в силе человеческого разума, в неограниченности его познавательной способности, в отсутствии непознаваемых вещей и явлений, у Лапласа порой встречаются идеалистические тезисы. В отдельных задачах его книги можно найти определения вероятности событий, основанные на идеалистическом принципе «отсутствия основания». Этот принцип состоит в следующем: вероятность некоторого события нам неизвестна, назначаем тогда некоторое число, которое по нашим внутренним соображениям представляется разумным значением неизвестной вероятности, и принимаем его .за значение вероятности. Так, например, Лаплас говорит:
«Если в монете существует неравенство, заставляющее одну пз сторон выпадать преимущественно перед другой, и неизвестно, которой стороне благоприятствует это неравенство, то выпадение креста при первом бросании всё ещё будет т/2 потому, что при пашем незнании стороны, которой благоприятствует это неравенство, вероятность простого события настолько же увеличивается, если это неравенство ей благоприятствует, насколько она уменьшается, если неравенство ей не благоприятствует».
 &1) Лаплас, Опыт философии теории вероятностен, М.
РАБОТЫ ОСТРОГГАДСКОГО По ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН 105
Понятно, что ни при первом, ни при втором и ни при каком бросании монеты нельзя говорить, что вероятность выпадения монеты равна половине; она попросту неизвестна. Определение же её, оценку её значения нужно производить не такими сомнительными средствами, отнимающими у самого понятия вероятности его объективную роль числовой характеристики определённых реальных явлении.
Я отмечаю этот дефект в рассуждениях Лапласа потому, что 011 'ке повторяется и у Остроградского. Оба они видели, что смысл теории вероятностей состоит не в тех логических спекуляциях, которые можно производить, играя на недостаточно]! определённости сё понятий, не в том, что она позволяет из полного незнания какого-либо явления выводить с помощью аналитических выкладок его знание, а в том, что теория вероятностей представляет собой важное средство изучения закономерностей особого рода, которые возникают в массовых явлениях. Они видели оправдание этой теории в её возможности решать важные практические и научные задачи. Именно этим объясняется то, что Лаплас применял теорию вероятностей для решения астрономических задач и задач статистики народонаселения, а Остроградский говорил о том, что одна решённая им задача имеет непосредственное отношение к уменьшению работы при приёмке больших партий поставок для военного ведомства. Они это впделп, по в то же время оба допускали такой способ выражения своих мыслей, который может привести к мнению, что они находили философские предпосылки использования теории вероятностей в «недостаточности знаний».
Курс Лапласа был основным источником, откуда черпал Остроградский темы своих теоретико-вероятностных работ. Известные мемуары Пуассона (1781—1840) «Мё-moire sur la probabilile du Lir a la cible» и «Recherches sur la probabilite des jugements, on matieres criminelles el en matiere civille» (1837) уже не оказали на Остроградского серьёзного влияния, хотя бы потому, что некоторые результаты были им получены раньше Пуассона и мемуары эти были опубликованы тогда, когда научные интересы Остроградского сложились достаточно прочно.
106
Ъ. В. ГНЕДЕНКО
3.	Остроградский работал и тот период, когда физика ещё ие поставила перед теорией вероятностей серьёзных проблем: работы Клаузиуса и Максвелла по кинетической теории газов были опубликованы лишь в последние годы его жизни, а идеи Ломоносова о молекулярном строении материи и его кинетическая теория теплоты были в ту пору основательно забыты, и никто не только пе думал об их математическом оформлении, по попросту их не вспоминали. Приложения к теории стрельбы также находились только в зачаточном состоянии. 1» результате огромное внимание уделялось приложению теории вероятностей к «нравственным наукам». Лаплас мотивировал важность этих применений тем, что «большая часть наших суждений основана па вероятности свидетельских показаний, поэтому очень важным является подчинить их исчислению». Одна из важнейших задач, стоящих перед нравственными пауками, по Лапласу состоит в определении, «какова вероятность того, что решение суда, который может осудить только при данном большинстве, будет справедливо, т. с. будет соответствовать истинному решению поставленного вопроса».
Решению подобных задач в конце XVIII и начале XIX вв. было посвящено большое число работ. Не избежал этого и Остроградский. Первая ого работа по теории вероятностей посвящена как раз вычислению вероятностей ошибок судебных трибуналов. Одним из основных принципов, положенных в основу решения, было предположенпе независимости выводов, делаемых различными судьями, и постоянство вероятности, с которой они приходят к правильному решению вопроса. Если в решении вопроса принимает участие большое число судей, то судебный трибунал, решающий вопросы простым большинством, должен быть практически непогрешимым. Ошибка подобного утверждения, как я отмечал в другом месте, заключается, прежде всего, в игнорировании того положения, что всякий суд, будучи классовым, ие судит с закрытыми глазами. Кроме того, как замечает С. II. Бернштейн, «это утверждение очевидно неверно, потому что здесь пе припимастя во внимание, что все судьи судят на основании тех же самых свидетельских показаний и вещественных доказа
РАБОТЫ ОСТРОГРАДСКОГО 110 ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 107
тельств, так что в простом деле все они более пли менее одинаково разберутся, а если запутанные обстоятельства вводят в заблуждение одних, то п для других судей ошибка становится более вероятной, иначе говоря, в случае судебного приговора отсутствует условие независимости между суждениями отдельных судей, и это коренным образом изменяет положение вещей»1).
4.	Русской литературы но теории вероятностен в то время совершенно по было, а необходимость в её создании для привлечения внимания к решению вполне практических вопросов теории страхования и статистики уже ощущалась.
Недаром в речи профессора 11. Д. Брашмана, произнесённой им в торжественном собрании Московского университета 17 июня 1841 г. и называвшейся «О влиянии математических наук на развитие умственных способностей», было об этом сказано достаточно определённо. Говоря об организации в России страховых обществ, он остановился на необходимости строгого математического обоснования их расчетов п сказал: «Кто не видит с крайним сожалением совершенное небрежение в учебных заведениях одной из важнейших частей математики? Едва в некоторых университетах дают понятие о теории вероятностей, и до сих пор нет на Русском языке нн одного сочинения, ни перевода нс только учёной, но даже элементарной теории вероятностей. Правда, записки Академии содержат важные рассуждения об исчислении вероятностей, но богатые сокровища, заключающиеся в этих записках, со времён Эйлера, составляют больше собственность просвещённого мира вне нежели в самой России. Надеемся, что скоро русские учёные восполнят этот недостаток...».
Действительно, русский учебник «Основания математической теории вероятностей» появился лишь в 1846 г.; он был написан крупным математиком и статистиком В. Я. Буняковскпм (1804—1889). До этого времени в России были изданы, повидимому, только речь профессора Харьковского университета А. Ф. Павловского «О вероят-
О С. Н. Б ер д шт ей н, Теория вероятностей, изд. 4-е, Аостехиздат, М.—Л., 1946, стр. 192.
108
Б. В. ГНЕДЕНКО
ности», прочитанная им 30 июля 1821 г., затем статья князя Козловского «О надеждах», напечатанная в томе III журнала «Современник» (1837). В 1845 г. вышла из печати магистерская диссертация П. Л. Чебышева «Опыт элементарного анализа теории вероятностен». Кроме того, в журналах Академии наук, а также в общественных журналах , стали появляться статьи Остроградского и Буняковского.
Замечательная статья 11. Л. Чебышева «О средних величинах», которую можно считать началом нового периода развития теории вероятностей, появилась в печати спустя шесть лет после смерти Остроградского.
5.	В работе «Извлечение из мемуара о вероятности оши бок трибуналов» (1834) Остроградский решает задачу, уже решённую в частном случае Кондорсе и Лапласом: предполагая правдивость каждого судьи известной, найти вероятность вынесения ошибочного приговора трибуналом, состоящим из данного числа судей. Вопреки Кондорсе и Лапласу, Остроградскпн показал, что в предположении одинаковой правдивости у всех судей, эта вероятность зависит только от большинства голосов, а не от числа судей. Впоследствии в 1837 г. этот результат подтвердил Пуассон в уже упомянутом нами трактате.
Остроградский начал свой мемуар с постановки задачи, сформулированной им следующим образом: «Предположив, что пределы правдивости каждого судьи известны, автор даёт аналитические выражения, относящиеся к различным случаям, которые могут произойти, для вероятности ошибки трибунала, состоящего из данного числа судей». Он «... при условии, что правдивости всех судей заключены в одних и тех же пределах, находит, что вероятности зависят лишь от большинства голосов, т. е. от разности между числами судей, придерживающихся противоположных мнений. Лаплас и Кондорсе считали, что подобный результат противоречит здравому смыслу». Затем Остроградский перешёл к критике мнения Лапласа «о крайнем различии между вероятностью ошибки суждения, полученного единогласным решением трибунала, состоящего из 12 судей, и вероятностью ошибки суждения, полученного болЁШПпством в 12 голосов, в трибунале, состо-
РАБОТЫ ОСТРОГРАДСКОГО НО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 109
ядем из двухсот двенадцати судей». Дальше Остроградский приводит своё решение, основанное на использовании формул Байеса и на предположен ин, что распределение вероятностей правдивости каждого судьи равномерно в пределах между крайними пределами допустимой для него правдивости. Равномерностью распределения Остроградский существенно пользуется, но нигде" нс считает нужным явно отметить это обстоятельство.
Я нс стану приводить здесь найденные Остроградским формулы, так как их получение в указанных условиях нс представляет труда, а сама задача не представляет в паше время интереса. О том, что опа плохо поставлена, мы уже говорили.
6.	В работе «Мемуар о производящих функциях» (1836) Остроградский исправил неточности, допущенные Лапласом в его «Аналитической теории вероятностей».
Пусть ух есть функция целочисленного переменного х, принимающего только неотрицательные значения; тогда, согласно Лапласу, сё производящая функция (жепсратрнса) и определяется посредством равенства
«и Уо + У^ +	+ • • • + Vntu + в т. д.
По производящая функция yx±i по будет, как он сказал,
, она будет . Производящая функция ух\ 2 будет г	t
——, и, вообще, производящая функция yx+i вместо того, чтобы быть, как писал Лаплас, , равна
ц—Уо—У1<——У»-/"1
Отсюда следует, что производящая функция конечной разности 2ух будет нс (у- — 1^) w, a	— у0; также
12 _ Уо _ У1 —2Уп ' t2 t
находим, что для №ух она равна
вместо и
I2 и Т. д.».
110
В. В. ГНЕДЕНКО
Далее Оитроградский указал на ошибку Лапласа при определении производящей функции суммы zx = 3 ух и показал, что эта ошибка приводит к нелепостям при решении разностных уравнений. Действительно, пусть требуется определить ух из уравнения
О = ауг -г а1ух i -f- п2?Лг+2.4- • • • + апУх+п>
в котором а, а1г а2, ... , ап — постоянные величины. Тогда писал в указанной статье М. В. Остроградский, «воспользовавшись производящими функциями в форме Лапласа, мы приходим к уравнению
°="С+т + ?+---+?О
или к уравнению
0=" + т+? + ••+>
из которого можно определить /. По это переменное, ио своей природе, должно оставаться совершенно иеоиределёи пым».
После этого Остроградскиii указал, что его формулы приводят к равенству
и _ «пУэ+ (Дд-1Уо+ДпУ1) *+ • • • +(Д1.Уо+Д2.У1 + .. + (hiUn-1) t""1 Дп + Д/1-1^+ • • • + «*"
В заключение заметки Остроградский заявил, что он применил полученные им формулы к задачам интерполя ции, распространил их па случай двух аргументов и разрешил многие вопросы теории вероятностей, сводящиеся к решению уравнений в конечных разностях.
7.	В работе «Об одном вопросе о вероятностях» (1846), самой большой по объёму из рассматриваемых нами, Остроградский занимался решением следующей задачи: в урне содержатся белые и чёрные шары, общее число которых известно. Пз неё наудачу вынимается некоторое число шаров и определяется, сколько среди них будет того и другого цвета. Спрашивается: 1) чему равна вероятность того пли иного состава урны, после того как результаты опытов становятся известными? 2) чему равна вероятность того, что число белых ига ров в урне не произойдет заданных пределов?
РАБОТЫ ОСТГОГРЛДСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 111
Остроградский в данном случае не изменяет своим научным принципам и рассматривает своё исследование не как простое аналитическое упражнение, а как задачу, могущую иметь важные приложения в практической жизни. Вот его подлинные слова: «Чтобы попять важность этого вопроса, заметим, что постановка его будет иметь место, когда будут затруднения при получении большого числа предметов, обладающих некоторыми качествами, и для того чтобы убедиться в этих качествах, должно затратить некоторое время на каждый предмет. Армейские поставщики часто вынуждены производить действия такого рода. Для них шарами, заключёнными в урне, служат получаемые предметы—белые, например, суть предметы, обладающие требуемыми условиями для приёмки, а чёрные суть те, которые им не удовлетворяют. Извлечение некоторого числа предметов для проверки их цвета сводится к ревизии части получаемых предметов с целью выяснения их качества. Зафиксируем эту часть в пять, шесть или семь предметов на сотню и эту долю станем выбирать случайно нз всей совокупности. После того, как они будут извлечены, изучены и подсчитаны, те из них, которые могут быть приняты, определяют вероятность того, что общее число приемлемых предметов не выходит из пределов, которые назначены наперёд. Это определенно производится так же как если бы определялось число белых и чёрных шаров в урне... Таким образом, решение предложенного нами вопроса может служить поставщикам для сокращения, приблизительно, до двадцатой части, механической п чаще всего очень утомительной работы, по проверке очень большого числа мешков с мукой пли кусков сукна».
Решение, которое было предложено Остроградским, нас не может удовлетворить, так как он исходил из порочных представлении о вероятности как мере нашего незнания. Это привело к тому, что он считал однозначно определёнными вероятности там, где мы не смогли бы о них ничего сказать пли же выводы Остроградского приняли бы в качестве повой гипотезы. Для примера приведём первое из рассуждений Остроградского, проведённое им при решении следующей предварительной задачи.
112
Б. В. ГНЕДЕНКО
Общее число шаров в урне известно, но число белых и чёрных шаров в ней неизвестно. Из урны извлечено I шаров; чему равна вероятность того, что средн вынутых шаров имеются т чёрных и п белых?
Рассуждение Остроградского таково: так как среди I извлечённых шаров могут содержаться
О, 1, 2, ... , п, ... , Z— 1, I белых и соответственно
Z, Z— 1, Z-2, ... , ш, ... , 1,0
чёрных, то вероятность каждой из этих возможностей равна . Того обстоятельства, что эти возможности не обязательно должны быть равновероятными, Остроградский, невидимому, не замечает.
Для упрощения вычислений он вводит обозначение [z]* = z(z-l)
При вычислении одно)! и той же вероятности двумя разными приёмами он приходит к равенству
и специально его отмечает как «небольшую теорему исчисления конечных разностей». В привычных нам терминах это равенство запишется таким образом:
s—т	, ,.
Spn рт ____pm-t-n+1
vs_x — с-' s+1 х=п
Окончательное выражение условной вероятности того, что урна, содержащая s шаров, содержит х белых и у чёрных, при условии, что при извлечении наудачу Z шаров средн них оказалось п белых и т чёрных, таково:
и +ip* И" [У1”‘ egey [**]“ [*«]"*[« + Ip* с1+1
РАБОТЫ ОСТРОГГАДСК0Г0 110 ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
113
Для численных расчётов Остроградский рекомендует пользоваться следующей формулой:
, a (26+l)lg(26+l)-(2rt+1)1g(2a + l)-
lg е] =-----’------------2	"
-0,73532447756723302286 (6-«)h
|х Г 1	13  7 Iх Г 1__________1	1
+ 12[2а+1	26 + 1 J 360 I (2« + I)3	(26+I)3 J
31;х Г 1	11	127;л Г 1	1	1
+ 1260 L (2«-t I)5	(26+ 1)5) J 1680 L (2/7+ I)7	(26+1)7 |
,	. (_ 1У+1 (22{-'-1)^ Г_____1___________!_____1
+	f	L (2а t-i)21-1	(26+I)2'-1 I
(22H1-l)Z?t-0 + l)(2a"+ 1, 26+ l)2i
+ (-l)i+2
(6 —fl).
Здесь введены такие обозначения:
Р = 9,63778 43113 00536 78913
Bt—числа Бернулли, (2а +- 1, 26 +- 1) число, заключённое между 2а + 1 и 26 +- 1.
Далее Остроградский приводит небольшую табличкл чисел Бернулли, а в конце статьи рассматривает пример числовых расчётов и даёт довольно большие расчётные таблицы для практического использования.
8.	Неоконченная статья «О страховании» (1847) не содержит каких-либо аналитических выкладок, её интерес преимущественно методологический. На примере этой статьи мы лишний раз убеждаемся в том, что основные научно-методологические установки Остроградского были материалистическими, однако далеко но последовательно-материалистическими. Б этой статье содержатся отдельные критические замечания на работу Б. Я. Буня-ковского «Основания математической теории вероятностей», незадолго перед тем (1846) вышедшую из печати. Для ознакомления с характером этих возражений, а также для того, чтобы представить себе возможно ярче Остроградского как популяризатора, приведём слова самого Остроградского, которыми он начинает статью:
«Теория страхования не может быть изложена без помощи анализа теории вероятностей, на котором она 8 Историко-матем. исследования
ш
Б. В. ГНЕДЕНКО
основана,—и потому мы постараемся сперва дать ясное представление о том, что такое вероятность, а потом обратимся к теории страхования и, рассматривая её, будем говорить и о началах, которые она заимствует из науки о вероятностях.
Конечно, можно бы по говорить о последних, но сославшись па сочинения по этому предмету, прямо присту пить к теории страхования. Мы делаем иначе, полагая, что подобные ссылки почти всегда неприятны для читателя, которого пришлось бы отослать к сочинениям ипостран ным, потому, что в известных вам русских сочинениях тео рпя вероятностей изложена не совсем ясно и правильно.
Мы могли бы подтвердить наши слова критическим разбором упомянутых сочинений, но разбор этот здесь не у места. Скажем, однакож, несколько слов, прося извинения за отступления, о введении в одно из этих сочинений. Автор хочет показать, что вероятность, которую он называет правдоподобием, есть величина. Для доказательства он старается убедить нас, что правдоподобия могут быть одни других и больше, и меньше. Потом, когда приведены все доводы, по его мнению достаточные для полного убеждения, то он заключает, что правдоподобие, как и всякая м а т е м а т и ч е-с к а я величина, подлежит и з м е р е и и ю и допускает меру.
И так, по мнению учёного автора, правдоподобие есть математическая величина потому только, что правдоподобия одни могут превосходить другие и быть меньше дру гих. Мнение это не совсем правильно. II действительно, но говорим ли мы и, говоря, не ясно ли понимаем, что такой-то учёный совестливее другого, что француз храбрее немца, что читатель благоразумнее писателя и проч. Таким образом совесть, храбрость, благоразумие и т. д. могут быть и больше, и меньше, следовательно, они суть математические величины, их можно измерять, выражать в числах, производить различные над ними действия. Рассуждая таким образом, круг математических паук весьма бы расширился, могли бы появиться основания математических теорий бессовестности, нелепости и проч.» (стр. 29 п 30).
г квоты ОСТРОГ Р АДСКОГО НО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 115
Эта резкая критика вне всяких сомнении направлена против «Оснований математической теории вероятностей» В Я. Буняковского и, нужно сказать, направлена не на основной её порок—субъективный подход к вероятности, так как в этом последнем повинен и сам Остроградскпй, как мы сейчас увидим.
«... Слово вероятность,—пишет далее Остроградский,— само по себе не имеет значения; оно непременно относится к какому-нибудь явлению пли происшествию. Обыкновен но явление считают вероятным, когда полагают, что оно скорее случится, чем не произойдёт. Напротив, явление находят невероятным, если причины думать, что оно не сбудется, считают убедительнее причин ему благоприятных.
Заметим мимоходом, что разбор и оценка обстоя тельств, сопровождающих явление, могут быть весьма различны для различных лиц. Явление, принимаемое одним лицом за вероятное, даже достоверное, другое найдёт невероятным. От такого различия в мнениях происходят почти все пари, азартные игры и проч. Мы говорим почти, потому что иногда держат пари и за явления, когда желают проиграть особам, в которых имеют надобность.
Слову вероятность геометры дают значение, отличное от обыкновенно ему приписываемого, т. е. от того, о котором мы сейчас говорили. Для них вероятно всё, чего как невозможность, так и достоверность строго не доказаны. Таким образом, в глазах геометров может иметь некоторую вероятность и то явление, которое все прочие, не геометры, почтут необычным; но и наоборот, явление, принимаемое за несомненное, может быть только вероятным для геометра. Правда, говоря вообще, оно будет вероятным в высокой степени.
...В природе нет вероятности. Всё, что происходит в мире, несомненно и непременно. Вероятность есть следствие слабости человеческой; она относится к нам, существует для нас и может быть только для нас. Рассматривание её есть важное, даже необходимое дополнение к тем немногим истинам, которые мы знаем с относительной достоверностью.
• •• Если явление совершенно зависит от нескольких Других явлений или случаев, из которых одни могут его
8*
116
г.. В. ГНЕДЕНКО
произвести, другие ему противны, и если при этом они таковы, что для пае, мы повторяем, для нас, нет причины одни из них предпочитать другим, то вероятность ожидаемого явления измеряется дробью, которой числи тель равен числу случаев, доставляющих явление, азна менатель числу всех случаев, как благоприятных, так и противных явлений. Из определения меры вероятности следует, что можем найти вероятность тех только явлений, коп непосредственно или посредственно разлагаются на случаи, в появлении которых мы не знаем или ио видим никакого преимущества одних перед другими.
... Пять шаров находятся в вазе... Мы не знаем прими ны, отчего один шар выйдет скорее нежели другой. При чипа, о которой говорим, несомненно есть, но она нам со вершенно неизвестна и как мы не можем дать одному шар\ преимущество перед другими, то все шары представляют д ля на с случаи равновозможные. Тот, кто знал бы расположение шаров в урне и мог бы вычислить движение вынимающей руки, тот сказал бы наперёд, какой именно выйдет шар,—для пего нс было бы вероятности».
Для Остроградского, таким образом, вероятность есть не что иное, как мера уверенности познающего субъекта. Все выводы теории вероятностей при этом лишаются объективного, не зависящего от познающего субъекта, содержания. Интересно заметить, что в то же время, когда Остроградский занимается конкретными задачами, имеющими практическое содержание, он совершенно отказывается от своих субъективно-идеалистических трактовок вероятности и подходит к ней, как к вполне объективной числовой характеристике явлений определённого рода. Достаточно, например, вспомнить его убеждённость относительно реальной возможности сократить до одной двадцатой утомительную работу по проверке качества ’принимаемой продукции, чтобы убедиться, что Остроградский в вопро сах естествознания был материалистом, как мы теперь говорим,— стихийным материалистом.	/
В первой части статьи Остроградский полемизирует с последователями Сен-Симона, которые утверждали, как это следует из цитаты, приведённой в статье, что если все шары идеально сходны и урна такова, что все они имеют
РАБОТЫ ОСТРОГГАДСКОГО ПО I ЕоРИП ВЕРОЯТНОСТЕЙ
117
одинаковые шансы оыть вынутыми, то вся теория вероятностен теряет смысл, так как шар никогда не будет вынут. В этом утверждении мы встречаемся в другой формулировке с известным рассказом о Буридановом осле. Мы не станем воспроизводить критических замечаний Остроградского, так как они, в сущности, ужо были даны в предыдущих цитатах.
Во второй части статьи Остроградский даёт популярное изложение понятия математического ожидания. В качестве пояснения он спрашивает: «... Вы, например, взяли лотерейный билет, разумеется, не даром: он чего-нибудь стоит, с ним вы купили надежду на выигрыш. Но не дорого ли вы заплатили? Нс худо бы знать, чего она стоит?». П сам же с иронией отвечает: «Скажем мимоходом, что в объявлениях о лотереях, публикуемых в газетах, всегда пропускается одно весьма важное обстоятельство, без которого ист средства оценить надежду на выигрыш. Вы обыкновенно читаете: „Лотерея состоит из стольких-то отличного качества выигрышей, билеты по такой-то цепе можно получить в таком-то месте**. Никогда не упоминается о числе всех билетов, а без этого числа вы не имеете средства вычислить вероятность выигрыша, т. е. не можете найти одного из элементов, необходимых для оценки подверженных случайности. Таким образом, вы платите за надежды на выигрыш, не зная её цены, и всегда платите слишком дорого».
После подобного рода вводных пояснений о смысле математического ожидания на примерах лотерей и ожидаемого выигрыша, Остроградский переходит собственно к страхованию. Здесь он сделал немногое: поставил вопрос о методах вычисления цены страхования вещи, рассмотрел численный пример и, определив в одном случае эту пену, посоветовал: «Больше не давайте; напротив, старайтесь дать меньше, чтобы иметь некоторую выгоду. Не заботьтесь о страховом обществе: оно в убытке не останется».
Обещанного продолжения статьи «О страховании» найти мне не удалось в следующих номерах «Финского естннка» как за 1847 г., так и за последующие годы.
9.	Короткая статья «Игра в кости» (1847) близка в сущности к статье о страховании. Она вновь посвящена
118
D. В. ГНЕДЕНКО
разъяснению широкой публике того, что всякого рода предприятия азартного характера—лотереи, игры—невыгодны публике, но приносят верный и лёгкий доход предпринимателям. Эту же мысль развивал несколько раньше, в 1840 г., В. Я. Буняковскпй, назвав лотереи «налогом на невежество».
Остроградский подробно рассматривает ш ру «крене», в которой на стол бросают несколько костей и о выигрыше судят ио сумме очков «номеров», выпавших на костях: производит вычисления вероятностей выпадения того пли иного числа очков в сумме при бросании от двух до двенад наги костей одновременно; в конце статьи на специальной большой вклейке даёт таблицу вероятностей выпадения того или иного числа очков в сумме. Затем он обращается к читателю п спрашивает: «В Павловске вы, без сомнения, видели игру пз восьми костей. Хотите знать, выгодна ли она?». Настоящей таксы на выпадение того или иного числа очков Остроградсклй не знает и ограничивается чисто теоретп ческими подсчётами и введением простейшего представления о математическом ожидании. В конце статьи фор мулируется правило для определения наивыгоднейшего числа очков (наиболее вероятного):
«Если вы не боитесь деления на два, то руководствуйтесь следующим правилом: оно легче для памяти:
Число костей умножьте на семь и произведение разделите на два. Частное покажет вам наивыгоднейшпй нумер, который будет один, если деление произведено без остатка, в противном случае будет другой нумер, одинаково выгодный с найденным и одной единицей его превышающий».
Вывод для общественности, который Остроградский делает и в этой статье, тот же, какой был им ярко сформулирован в статье «О страховании»:
«Такой то, говорите вы, получил первую ставку и вдруг приобрёл состояние,—почему такая же ставка не достанется и мне? Вы невольно сравниваете себя с выигравшим и не хотите подумать, что гораздо естественнее поместить себя в число проигравших, потому что их несравненно более».
10.	В 1858 г.. Учёный совет Михайловского артиллерийского училища, в котором много лет преподавал
РАБОТЫ ОСТРОГРАДСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОС ГЕП 119
Остроградский, постановил организовать чтение необязательных курсов для развития научной инициативы слушателей и для выработки широты их кругозора. Остро-градский с осени объявил необязательный курс теории вероятностей!. Краткий отчёт об этом курсе имеется в книге А- Платова и Л. Кириичёва1). Мы приводим оттуда соответствующую цитату.
«На первую лекцию знаменитого профессора собрались сотни слушателей. Остроградский, принарядившись во фраке со звездой, с необыкновенным изяществом и удивительною простотою, почти не прибегая к мелу и губке, изложил пропс хождение теории вероятностей и основные её начала. Все были в восторге. Явилось сразу несколько желающих записывать и издавать лекции. На вторую лекцию собралось всё ещё очень много слушателей, но на этой лекции приходилось уже прибегать к мелу, да и Остроградский читал уже с меньшим увлечением. На третьей лекции слушателей было уже мало. На четвёртую пришло только пять человек и это число уже не возрастало. На последней лекции (всех лекций было 20) было три человека. Издание записок прекратилось на третьей лекции».
То обстоятельство, что к концу курса число слушателей резко уменьшилось,— явление довольно обычное, наблюдающееся и в наше время. Для нас существенно замечание, что были изданы, невидимому литографским путём, три его лекции. Этого издания я не видел, а оно заслуживает подробного изучения, так как первоначальные лекции особенно интересны в методологическом отношении; они кроме того позволяют до некоторой степени судить о содержании всего курса.
Весьма возможно, что краткий исторический обзор » некоторые общие рассуждения о вероятности, хранящиеся в рукописном отделе Государственной Публичной библиотеки Украинской ССР (Рукописи Остроградского, лист 904), представляют собой не что иное, как набросок
„ 0 А. II л а т о в и Л. К и р и и ч ё в, Исторический очерк ^ризопания И Развптпя аРтпллсРп“ского училища, (’116., 1870,
120
В. В. ГНЕДЕНКО
вводной лекции курса 1858 г. Так как этот набросок может иметь для нас интерес, то я воспроизвожу его содержание полностью. Те места, которые мне не удалось разобрать, я воспроизвожу по смыслу и ставлю их в скобки.
«Теорию вероятностей должно отнести к наукам но-* во го времени, ибо настоящее её начало не восходит дальше половины 17 столетия. Правда, некоторые предметы, относящиеся к этой пауке, были известны во времена весьма отдалённые и постоянно делались расчёты, основанные на продолжительности средней жизни, известны были морские страхования, знали число случайностей в азарт ных играх, но только в самых простых, найдены были величины ставок илп закладов безобидных для игроков, но подобные выводы не были подчинены никаким правилам. Однакож теорию вероятностей считают наукой нового времени и сё начало относят к половине семнадцатого столетия, ибо прежде этой эпохи вопросы о вероятностях • не были подчинены математическому анализу и не имелось никаких точных общих правил для решения их.
Паскаль, а за ним Фермат, геометры 17 столетия, по справедливости считаются основателями науки о вероятностях. Первый вопрос, относящийся к этой науке и довольно .сложный, решён Паскалем, вопрос, о котором говорим, был предложен Паскалю кавалером де-Мере и состоял в следующем условии. Два игрока начали игру, состоящую пз данного числа партий, положим 30-ти, розыгрыш каждой партии непременно выигрывается одним из игроков, п тот из них, кто выиграл бы прежде другого тридцать партий, считался бы окончательно выигравшим, и взял бы обе ставки, внесённые в начале игры. Йо игроки согласились прекратить игру, не окончив ее, т. е. одному не доставало до выигрыша тридцати партий некоторого числа, например 3-х партий, а другому, положим, пятнадцати партий. Внесённые ставки для безобидности конечно должны быть разделены между игроками так. чтобы тот, кому недостаёт до выигрыша большого числа партий, получил бы меньшую сумму, а противник его большую, именно, безобидный раздел требует, чтобы каждый игрок получил часть внесённой суммы, пропор-кропальную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно
Р КВОТЫ ОСТРОГР ХДСКиГО По ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 121
найти эту вероятность. Паскаль нашёл сё, а потом вопрос кавалера Моро предложил Фермату. Последний немедленно нашёл решение и даже для случая более сложного, когда игра пропс ходит нс между двумя только, а между произвольным числом игроков.
Замечательно, что имя кавалера де-Мере, человека светского и не имевшего никакого [преуспеяния па поприще] математических наук, остаётся навсегда в истории этих наук.
Но нам следует говорить не об истории исчисления вероятностей, ио о самой пауке. Здесь представляется первый вопрос, что должно разуметь под именем вероятности? Разберём несколько фраз, где это название встречается, и посмотрим, какой смысл ему следует приписать.
Завтра, говорят нам, вероятно, будет хорошая погода. Объявивший такое мнение, без сомнения, хотел ска зать, что у него есть причины, на основании которых он полагает, что завтра будет скорее хорошая, нежели дурная погода. Итак, он считает явление вероятным, когда полагает, что есть больше причин убедительных в пользу этого явления, чем в пользу другого явления, которое то же может быть.
За мнением, что завтра [утром] будет хорошая погода, другое лицо может сказать, что завтра будет не хорошая, а дурная когда. Здесь смысл того, что больше причин в пользу дурной погоды, нежели хорошей, а потому первая вероятнее, по очевидно, что и последняя [имеет некоторую вероятность и есть причины думать, что и она может иметь место]. Только эти причины не так убедительны, как те, которые заставляют предполагать дурную погоду.
Таким образом на языке обыкновенном явление называется вероятным, когда полагают, что оно произойдёт скорее, нежели [не случится], и [на том же языке] употребляют выражение более пли менее вероятно, следовательно, в вероятности различают некоторые степени»?.
В этих набросках мы снова встречаемся с тем же методологическим подходом к понятию вероятности, какой МЫ уже имели возможность наблюдать в статье <<О страховании»?.
И. Последняя статья Остроградского но теории вероятностей «О вероятности гипотез после исхода испытаний»
122
В. В. ГНЕДЕНКО
была напечатана в 1859 г., т. с. в самом конце его творческого пути.
На примере этой работы видно* как более общие точки зрения упрощают изложение и делают предельно ясным вопрос, на выяснение которого в прошлом лучшие ’ умы тратили много остроумия и усилий. Теперь формулы Байеса относятся к самым элементарным результатам теории, получающимся почти тривиальным приёмом из определения условий вероятности и из формулы полной вероятности. Во времена же Остроградского приходилось рассматривать многочисленные случаи, формулировать принципы и только после этого получать формулу Байеса в той или иной форме, в тех или иных условиях. Рассматриваемая статья посвящена как раз выводу формулы Байеса.
Остроградский указывает, что Лаплас без показатель ства рассмотрел только тот случай формул Байеса, когда априорные вероятности гипотез одинаковы, сформулиро вав эти формулы в виде принципа. Позднее принцип Лапласа был доказан Гауссом в уже указанных услови ях. Остроградский даёт вывод формул Байеса без предположения равенства априорных вероятностей гипотез. В заключение статьи было сказано, что доказательство тех же формул было дано также Пуассоном, но вывод Пуассона Остроградскому представляется недостаточно прямым.
12. В Государственной Публичной библиотеке УССР средн рукописей Остроградского имеются страницы, по свящённые теории вероятностей. Содержание одного из. листов мы воспроизвели полностью. Листы 443—466 содержат черновые наброски работы «Об одном вопросе о вероятностях». Помимо вычислений, вошедших в окончательный текст работы, имеется много страниц, на кото рых содержатся многочисленные разнообразные попытки доказательства тождественности некоторых выражений; ио расчёты не были доведены до конца. Имеются страницы, содержащие первоначальные формулировки, задачи, исследование возрастания и убывания вероятности в зависимости от некоторых параметров (это включено и в окончательный текст), намётку вывода формулы, которую мы привели в конце и. 7, а также рассмотрение число вых примеров.
ГАВОТЫ ОСТРОГРЛДСКОГО ПО ТЕОРИИ ВЕГоЯТПОСГЕП 12.1
На листах 520—525 имеются лишь отрывочные наброски которые, повидимому, предшествовали написанию статьи «О вероятности гипотез после исхода испытаний». Эта группа листов объединена общим заголовком «Вероятности будущих событии»).
13. Мы рассмотрели работы Остроградского в области теории вероятностей и убедились, что все они написаны на темы, глубоко волновавшие в то время пауку. Искра вленне ошибочных выводов Лапласа, получение результатов, впоследствии повторенное Пуассоном, достаточно говорит за то, что Остроградский и в теории вероятностей шёл в ногу со временем, хотя эта дисциплина и находи лась на периферии его научных интересов.
Несмотря на то, что в определении вероятности Остро градский допускал ошибки методологического характера, скатываясь па позиции субъективизма, общая направ ценность его творчества в теории вероятностей должна быть оценена как стихийно-материалистическая. Для Остроградского теория вероятностей имеет ценность лишь как орудие познания материального мира, и этого вывода не могут затемнить даже его философские шатания, до пускаемые в даваемых им определениях. Действптель но, темы его работ тесно связаны с вопросами практики. Эти вопросы он решал и приводил к виду, надёжному для практического использования, снабжал свои работы таблицами. Согласно Остроградскому, «все паши понятия приобретаются от совокупного влияния чувств и размыш ления» («О страховании»), все наши знания, в том числе и математические, имеют «только относительную достоверность».
Работы ио теории вероятностей дают дополнительный штрих для научной характеристики Остроградского, показывают широту его интересов, а также и то, что современная математическая литература достаточно хорошо была ему известна, даже в областях науки, далёких от основных областей его научного творчества.
ОБЩИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
Л. А. Ларой
Г> статье «Академик М. ТЗ. Остроградский как организатор преподавания математических паук в военно-учеб пых заведениях России», опубликованной в предыдущем выпуске «Историко-математических исследований» (1950), мы лишь кратко остановились на общих педагогических взглядах М. В. Остроградского. В настоящей статье мы имеем в виду подробнее и полнее охарактеризовать общие педагогические воззрения знаменитого математика.
1
В систематическом и собранном виде общие недагогиче < кпе взгляды Остроградского были изложены в снецналь ном сочинении «Размышления о преподавания» (Considerations sur Penseignemenl, СПб., Париж, 1860), написанном им совместно с французским математиком А. Вл\ мом в 1860 г.
Ужо сам факт, что Остроградский, занятый научной работой, а также огромной организационно-методической и преподавательской деятельностью, посвятил общим вопросам педагогики специальное сочинение, свидетель ствует о его большом интересе к этим вопросам. Появление «Размышления о преподавании» в 1860 г. находилось в тесной связи с теми важными общественными задачами, которые выдвинулись в России того времени.
Шестидесятые годы прошлого столетия вошли в историю России как время реформ, представлявших собой шаг но пути превращения феодальной монархии в буржуаз
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСГРОГР АДСКОГО	125
Ную- «Если бросить,—писал В. 11. Ленин,—общий взгляд на изменение всего уклада российского государства в 1861-м году, то необходимо признать, что это изменение было шагом по пути превращения феодальной монархии в буржуазную монархию»1).
Шестидесятые годы явились вместе с тем временем усп леппя борьбы различных общественных классов и нараста ния революционного движения среди крестьян и передо вой демократической интеллигенции. «Оживление демокра тпческого движения в Европе, польское брожение, недовольство в Финляндии, требование политических реформ всей печатью и всем дворянством, распространение по всей России «Колокола», могучая проповедь Чернышевского, умевшего и подцензурными статьями воспитывать настоящих революционеров, появление прокламаций, возбуждение крестьян, которых «очень часто» приходилось с помощью военной силы п пролитием крови заставлять принять «Положение», обдирающее их, как линку, коллективные отказы дворян мировых посредников применят!» такое «Положенно», студенческие беспорядки, при таких условиях самый осторожный и трезвый политик должен был бы признать революционный взрыв вполне возможным п крестьянское восстание опасностью весьма серьёзной»2).
Эпоха 60-х годов характеризовалась, далее, подъёмом прогрессивных сил страны и быстрым ростом русской культуры, нашедшим своё выражение в великих произведениях литературы и искусства этой эпохи и прежде всего в публицистических произведениях русских революционных демократов.
Больших успехов достигают в это время естественные науки, в частности математика. К этому периоду относится расцвет творческой деятельности П. Л. Чебышева, в эти же годы было создано Московское математическое общество.
В общем подъёме великой русской культуры педагогика 60-х годов заняла видное место. Именно в этот период началось энергичное и необычайно богатое новыми идеями об-
*) В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4-е, том 17, стр. 88.
2) Там же, том 5, стр. 28—27.
II. к. MU’Ull
126 щественно-педагогическое движение, создавались деятельные педагогические общества и кружки. С 1857 г. начали выходить журналы: «Воспитание», «Учитель», «Народная школа», «Русский педагогический вестник» и др.
Педагогическое движение 60-х годов отразило различные оригинальные направления русской педагогической мысли и борьбу этих направлений. Общими чертами различных течений прогрессивной педагогики этого периода являлись её народность, пламенная любовь к родине, непоколебимая вера в науку и бережное отношение к личности воспитуемого. Педагогика и педагогическая деятельность были окружены особым ореолом, и многие виде ли в них лучшее средство служения народу.
А. Н. Острогорский вспоминал об этом периоде: «...пишущему эти строки привелось видеть, что люди меняли свою профессию—юридическую, научную, врачебную и т. д. на педагогическую, как только обнаружилась возможность работать в школе разумно. Воспитание юношества считалось задачею высокою. То же мы замечаем н на вершинах педагогической мысли: Пирогов был хирург, Редкин—профессор-юрист, Ушинский начал с доцентуры» 1).
В передовой печати того времени, наряду с наболевшими экономическими и политическими вопросами, живо обсуждались проблемы воспитания и образования молодого поколения. Появилась нашумевшая статья Н. И. Пирогова «Вопросы жизни», страстно осуждавшая недостатки воспитания и образования юношей. Школа н общепринятые в ней методы воспитания и обучения подвергались жестокой критике. «Вся Россия,—рассказывал П. А. Кропоткин,—говорила тогда об образовании. После того, как заключили мир в Париже и цензурные строгости несколько ослабли, стали с жаром обсуждать вопрос о воспитании. Любимыми темами для обсуждения в прессе, в кружках просвещённых людей и даже в великосветских гостиных стало невежество народа, препятствия, которые ставились до сих пор желающим учиться, отсутствие школ в дерев
‘) А. Н. О с т р о г о р с к и й, Пирогов и его педагогические заветы, СПб., 1914. стр 13.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГ П1ДЫ М. В. ОСТРОГ Г АДСКОГО
127
нях, устарелые методы преподавания и как помочь всему этому»1)-
Это бурное развитие педагогической мысли захватило л М. В. Остроградского. Именно в этот период и вышли его «Размышления о преподавании». Появление этой книги было обусловлено также задачами реорганизации кадетских корпусов, особенно интересовавших Остроградского, как деятеля военной школы.
Положение с кадетскими корпусами в то время было следующее. После Крымской войны становилось всё очевиднее, что военные училища и особенно кадетские корпуса перестали отвечать новым требованиям общего и военного образования. Кадетские корпуса того времени представляли собой, по образному выражению одного военного педагога (генерала Алексеева), заведения «осуждённые обществом, литературой, педагогией». Военный министр того времени Милютин о выпускниках кадетских корпусов писал: «Выпущенные пз кадетских корпусов офицеры отличаются совершенным неведением военного быта и воинской дисциплины, не имеют основательных научных познаний, пренебрегают исполнением служебных обязанностей и самой службой...»2). В другом месте он говорил: «Военно-учебные заведения обходятся правительству очень дорого, но пе приносят ожидаемой от них пользы, ни в числе, ни в качестве выпускаемых ими на службу офицеров» 3).
Созрела необходимость коренной! реформы военноучебных заведений, требовалось продумать всю систему воспитания и образования в военной школе и в связи с этим решить ряд педагогических проблем. К этому времени и относится обширная реформаторская деятельность военных педагогов и, в частности, печатное выступление М. В. Остроградского по общим проблемам воспитания в образования подрастающего поколения.
«Размышления о преподавании» представляли собой пламенный призыв ко всем «людям науки, преданным
х) П. А. Кропоткин, Записки революционера, 1933, стр. 59—60. .
2) «Педагогический сборник», 18(39, кн. 3, стр. 180—181.
я) Там же.
128
11. Л. МАРОН
родине», немедленно заняться назревшей и неотложной задачей воспитания и обучения молодого поколения, призыв к пересмотру и изменению всей системы образования в России и в особенности школьного обучения.
Подобно многим педагогам того периода, не поднявшимся до правильного понимания законов общественного развития, Остроградскпй смотрел на образование, как на основной фактор, определяющий полностью устройство общества.
«Размышления, которые мы развиваем далее,—писали авторы в предисловии,—имеет целью дать исторический обзор преподаванию, подвергнуть критике устаревшие методы и показать, каким может быть будущее общество, которое захочет выработать усовершенствованные приёмы обучения, распространить их и применить последовательно, энергично и настойчиво. Предмет, правда, может показаться сухим, но он касается судьбы будущего общества и нам кажется, что не будет большой требовательностью просить читателя уделить нам внимание».
Остроградского не удовлетворяла постановка обучения детей в современной ему школе, и он подверг её резкой критике. Большим злом для школы, утверждал Остроградский, является то, что там не учитывают психологические и возрастные особенности детей. Ребёнка, едва научившегося читать и писать, заставляют сразу же в абстрактной и сухой форме изучать математику, физику, географию, ботанику, зоологию и др., не предпослав этому изучению наглядное ознакомление с реальными предметами и их свойствами.
«Поставьте себя на место матери, которая должна передать педагогам своего ребенка, едва умеющего писать и читать. Ей говорят, что скоро её сын будет изучать геометрию и алгебру, химию и минералогию и т. п. Эти слова сулят непомерную нагрузку. Первым её движением будет схватить своего ребёнка в руки, чтобы защитить его от непомерной нагрузки.
Бедная женщина, опасающаяся за разум своего сына! Она бы ещё не так испугалась, если бы знала одну ты сячнуго долю тех неприятностей, усталости, бпаспостеп, которые его ожидают, если из этого ребенка хотят, во что
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
129
бы то ни стало, сделать военного инженера, инженера-механика, артиллериста и др. ...»
Эта абстрактность—отсутствие наглядности, отрыв обучения от детской психологии—приводит к тому, что у детей уже на начальной ступени образования пропадает интерес к учёбе, они лишь стараются вызубрить «от и до», не воспринимая ничего ни душой, пи умом.
«Необходимо ли мучить ум бесконечными и ненужными упражнениями под предлогом формирования ума и памяти?—спрашивает Остроградскпй.—Счастлив будет ребёнок, освободившись от этого! Здесь ие место входить в детали и давать примеры, которые легко найти. Без преувеличения скажем, что инстинкт матери, заставляющий её бояться трудностей, стоящих иа пути обучения её ребёнка, подтверждает тяжеловесность и педантичность наших методов обучения».
Следует, однако, отметить, что критика Остроградского современной ему школы была классово ограниченной, ибо он не указывал на те общественные условия, которые породили такую школу, т. е. па монархо-крепостнический строй.
Остроградскпй не только подверг критике методы обучения в современной ему школе, но и предложил свою систему школьного обучения, чтобы «сделать его более простым, ясным, блестящим», чтобы «привить вкус, страсть к учёбе». Суть его предложений сводится к тому, что обучение, особенно на первых его ступенях, должно быть максимально активным, творческим и нагляднымх). Первые сведения о буквах, о счёте, о геометрических фигурах, о механических и физических свойствах окружающих предметов и т. п. ребёнок должен получить не пз уст учителя или из книги, но занимаясь под руководством учителя в специальной мастерской, созданной при каждой школе.
Ребёнок, по плану Остроградского, начинает обучение с шести лет. Значительную часть учебного времени он проводит в мастерской, созданной при каждой школе. Занимаясь там лепкой, вырезая из картона и дерева буквы,
См. об этом подробнее в сборнике «Историко-математические исследования», вып. III, 1950, стр. 300—312.
® Историко-матем. исследования
130
II. А. МАРОН
цифры, геометрические модели и т. д., он создаст в своём воображении твёрдые представления о них. В этих* элементарных трудовых операциях состоит первоначальная ступень обучения.
На следующей ступени обучения выдвигается уже отвлечение от конкретных образов изображение их на бумаге и рассмотрение их в различных сочетаниях. Ребёнок за классной партой рисует, по созданным им моделям, буквы, цифры, геометрические образы и др., рассматривает и изучает их в различных комбинациях, учится письму, чтению, счёту и т. д.
Задача третьей ступени обучения состоит в систематизации накопленных ребёнком понятий, представлений л навыков, в их углублении и закреплении. Л здесь Остроградский предлагает широко прибегнуть к наглядности. Для при ведения в порядок и закрепления знаний детей он рекомендует пользоваться синоптическими таблицами таблицами, в которых в систематизированном виде приведены основные сведения и положения определённого раздела науки.
Интересно, что Остроградский не ограничился общим начертанием программы школьного обучения, а проверял её на практике. «Мы, писали авторы,- - нс касаемся сельских школ и небольших объединений детей больших городов, где образование ограничено самыми скромными элементами чтения, письма и счёта. Позднее, в сочинениях, уже давно приготовленных, мы коснёмся этой интересной части обучения. В данный момент мы хотим заняться лишь детьми, помещёнными в гимназиях, военных школах и в специальных начальных учебных заведениях. Всё, о чём мы говорим, было испробовано па большом количестве опытов и с полным успехом».
Что же характерно для педагогических воззрений Остроградского? Прежде всего следует отмстить, что Острш радскип придерживался в целом правильных методологических взглядов в понимании процесса обучения. Процесс обучения Остроградский понимал как постепенное восхождение от чувственно воспринимаемого предмета к образованию отвлечённых суждений и понятий. Он справедливо отмечал, что верные ощущения и восприятия—
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТГОГРАДСКОГО 131
непременные условия правильности познания окружающего мпра. Характерно, что на обложке подаренного академику В. Я. Буняковскому экземпляра «Considerations sur 1’enseignement» Остроградский, идеализируя роль чувств, написал: «Поскольку идеи происходят от чувств, так постараемся воспитать эти чувства» х).
Система обучения, предложенная Остроградским и Блумом, подчинена была задаче развития у обучающихся целенаправленного, анализирующего восприятия н наблюдательных способностей. Система Остроградского должна была поднимать учащихся от конкретных эмпирических представлений к суждениям, заключениям, понятиям, приучать их анализировать, группировать факты и устанавливать причи ино-следственные зависимости между явлениями природы. Весьма важная черта этой системы заключалась в неразрывной связи обучения и труда, в постоянном показе приложений науки к практике.
Таким образом мы видим, что Остроградский придерживался материалистическою понимания процесса обучения и тем самым способствовал укреплению материалистического направления в русской педагогике.
Придерживаясь принципа воспитывающего обучения (на чём мы подробнее остановимся ниже), Остроградский придавал большое значение воспитанию. В основу воспитания, по мнению Остроградского, должен быть положен труд’, к труду следует приучать детей с самого раннего возраста. Идея трудового воспитания, выдвинутая Остроградским, находится в тесной связи с его взглядами иа цели воспитания. Школа должна воспитать, по мнению Остроградского, всесторонне развитых людей, способных к творчеству и желающих приложить сноп знания к кош кретной и полезной деятельности.
Остроградский подчёркивал, что задача воспитания заключается не только в том, чтобы приучить к труду, но и в том, чтобы убедить учащегося, что все знания и вся ——.------------
х) Этот экземпляр хранится в Фундаментальной библиотеке «Ленинградского государственного университета среди прочих Книг, принадлежавших академику В. Я. Буняковскому.
9*
132
И. 4. МАРОН
человеческая культура достигнуты трудом. «Нужно, чтобы ребёнок знал, что не всегда так легко путешествовали, • жили с такими удобствами... Нужно, чтобы ребёнок понимал пользу цивилизации, и чтобы он знал, какой ценой она достигнута».
Мысли Остроградского о трудовом воспитании близки ко взглядам К. Д. Ушинского. Известно, что великий русскиц педагог учил, что физический труд, требующий усилия мысли, и умственный труд, сопровождающийся творчеством, оказывают благотворное влияние на формирование личности.
Касаясь взглядов Остроградского на содержание образования, следует прежде всего сказать, что Остроградскпй был сторонником реального образования.
Будучи одним из создателе]'! русской инженерной школы, Остроградскпй считал, что направление русского просвещения должно быть связано с потребностями страны, т. е. с развитием промышленности. Естественно поэтому, что он являлся сторонником реальной школы, за которую боролись представители революционной демократии.
Остроградский не ограничился общими высказываниями, направленными против так называемого классицизма в образовании, но во всей своей педагогической деятельности добивался претворения своих педагогических взглядов в жизнь. Борясь за реалпзм, Остроградскпй также способствовал укреплению материалистических тенденции в русской педагогике.
Русский язык Остроградскпй считал основой всех наук и ему предлагал он уделить в школе наибольшее время и внимание. Вместе с тем он высказывался в пользу изучения иностранных языков, необходимых для расширения познаний в географии, истории, литературе и т. д. Остроградский при этом имел в виду не древние, а современные иностранные языки1).
х) Весьма интересно, что Остроградский считал необходимым ввести в школьный курс предмет «Основы гигиены». «Скажем к случаю,—писал он,—что основы гигиены должны преподаваться детям с раннего возраста».
педагогические взгляды м. в. остроградского
133
Педагогические высказывания Остроградского проникнуты гуманными идеями воспитания, верой в способности ребёнка. Ребенок в понимании Остроградского—это живой носитель неисчерпаемых потенциальных возможностей усовершенствования: «У детей есть вполне определённый метод занятий, они умеют слушать и отвечать, они умеют анализировать своп знания, у них есть способ прибегнуть к памяти для восстановления забытых знаний». Задача воспитания, по Остроградскому, заключается в том, чтобы усовершенствовать и дать полезное направление естественным способностям ребёнка. Из глубокой веры Остроградского в способности ребёнка п возможности его усовершенствования вытекало и его уважение к личности ребёнка.
Интересны мысли Остроградского относительно работы с одарёнными детьми. Если замечены дарования отдельных учеников, то задача учителя во-время и правильно дать им верное направление. «Если среди учеников найдётся такой выдающийся,—указывает Остроградский,— который требует внимания учителя, то будет хорошо выдать этому ученику специальную научную литературу. Только занятия таких одарённых детей нужно направлять, контролировать, предлагать некоторые вопросы для самостоятельного исследования». Отмечая, что одарённые дети чрезмерно предаются умственным занятиям в ущерб здоровью, Остроградский предлагал разнообразить их занятия физическим трудом.
В связи с этой проблемой Остроградский ответил на весьма важный вопрос, суть которого передаём словами самого Остроградского:
«Изучение наук рассматривают с двух точек зрения. С одной стороны, хотят иметь людей, практически полезных во всех областях деятельности цивилизованной нации. Хотят иметь земледельцев, фабрикантов, коммерсантов, мореплавателей, механиков, офицеров, инженеров, медиков и др. С другой стороны, желают иметь учёных, занятых отвлечёнными изысканиями, не дающих погибнуть ни одному достижению предшествующих веков. Одним словом, хотят иметь геометров, естествоиспытателей, астрономов, изобретателей с могучей логикой, сильным рассуд
13 i
II. A. MA 1*011
ком и настойчивых при любых испытаниях, неутомимых * наблюдателей. Другими словами, хотят иметь учёных, которые продолжат традиции тех, кто создал теорию дни женин небесных тел, оптику, прикладную механику, электротехнику, химию, минералогию, теорию вероятностей, медицину. В этом, если не ошибаемся, два способа, две манеры подхода к преподавании».
Как же вести преподавание для того, чтобы решить одновременно обе задачи образования? Нужно ли в процессе преподавапля ориентироваться па одарённых учащихся, имеющих призвание к научной работе?
Остроградскпй отвечает на этот вопрос отрицательно. Преподаватель должен сообразовываться со средним уров нем обучающихся. Преподавание должно быть строгим, по максимально доступным.
«Подготовьте вначале солдат и офицеров, генералы придут потом и пополнятся из первых. Создайте вначале инженеров, земледельцев, рабочих. Среди них встретятся люди, которых охватит научный энтузиазм, которые почувствуют безграничное, ничем не сравнимое удовлетворение в изучении сложной и полезной проблемы, которые отдадут 20 лет для изучения того или иного вопроса, ободрённые народом, способным понять их усилия. Итак, мы предлагаем излагать начала науки в наиболее доступной форме, мы скажем даже, в наименее учёной, наиболее попятной, и приспособленной к детскому разуму форме».
❖ * *
В упомянутой выше нашей статье мы показали, какое большое значение Остроградскпй придавал личности учи теля, какие требования он предъявлял к его общему кругозору и его специальным познаниям и с какой тщательностью и заботой он отбирал преподавателей для военно-учебных заведении.
Остроградскпй нс мог, конечно, требовать от препода вателей высокого уровня знаний во всех областях, ио он требовал, чтобы каждый преподаватель в совершенстве
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
135
владел материалом, составляющим предмет его преподавания, чтобы знания учителя вошли в его плоть и кровь л стали его личным убеждением, тем убеждением, о котором К- Д- Ушинский писал:
F «Всякаяпрограмма преподавания, всякая метода воспитания, как бы хороша опа пи была, по перешедшая в убежденно воспитателя, останется мёртвою буквою, не имеющей- никакой силы в действительности. Самый бдительный контроль в этом деле не поможет. Воспитатель никогда не может быть слепым исполнителем инструкций: несогретые теплотой его личного убеждения, они не будут иметь никакой! силы» *)•
Учитель, по мнению Остроградского, должен владеть и практическими приложениями своего предмета, с тем, чтобы уметь увлекательно показывать ученикам применения научной теории:
«Ему [учителю. 11. Л/. J должны быть известны самые непосредственные приложения физики и геометрии к практической жизни. Он должен уметь измерить иоле, произвести нпвеллировку уровня воды, уметь измерять углы с помощью угломера, он должен уметь пользоваться гер-ниером и нониусом почти так же легко, как читать письмо. Нужно, чтобы учитель смог во( хвтпть учеников удивительной простотой способов нпвеллпровки и показать, как прибегают к пей при орошении земель, при построении дорог, каналов, железных дорог и т. д.».
Но учитель должен по только владеть специальными знаниями по преподаваемому предмету. Остроградский самым решительным и положительным образом отзывался о важности педагогической пауки для общественного развития и о необходимости её изучения учителями.
Мы не нашли прямых высказываний Остроградского о моральных качествах учителя. Но косвенные указания на его взгляды по этому вопросу имеются.
Остроградский требовал, чтобы учитель ближе узнал ученика, следил за его духовным развитием. Учитель, говорил Остроградский, должен помочь ученику «познать самого себя»,—привить ему чувство и потребность к само-
х) К. Д. Ушинский, Собрание сочинений т. II, 1948, стр. 28.
136
И. А. МАРОН
контролю, к анализу своего поведения, научить его делать разумные выводы из этого анализа.
Несомненно поэтому, что к учителю как воспитателю Остроградский предъявлял высокие моральные требования.
Высказывания Остроградского об учителе в некоторой частп близко подходят к воззрениям Добролюбова и Чернышевского. Выдающиеся представптелп русской революционной демократии отводили учителю первенствующую роль в учебно-воспитательном процессе. «Если десятилетний мальчик не любит учиться,—писал Чернышевский,—причиной тому не он, а его воспитатель, заглушающий в нём любознательность дурными приёмами преподавания, пли непригодным для воспитанника содержанием его. Надобность тут не в принуждении воспитанника, а в том, что воспитателю должно перевоспитать самого себя и переучиться: ему следует сделаться из скучного, бестолкового, сурового педанта добрым и рассудительным преподавателем, отбросить дикие понятия, которыми загромождён здравый смысл в его голове, приобрести взамен их разумные»1).
Великие русские революционные демократы хотели видеть в лице учителя высокообразованного, всесторонне развитого человека, способного разбираться в различных областях человеческого знания п умело пропагандировать его среди детей и взрослых. Н. Г. Чернышевский и Н. А. Добролюбов несравненно более широко представляли себе кругозор учителя, чем Остроградский, ибо учитель, утверждали они, кроме обширных общих и специальных знаний должен иметь «ясность, твёрдость и непогрешимость убеждений»2). Убеждения, конечно, имелись в виду революционно-демократические. Учитель должен, по их мнению, являться образцом моральной чистоты; только обладая такими качествами, он может справиться с основной своей задачей—задачей подготовки общественных деятелей, борцов с крепостничеством, самодержавием. Школь
J) Н. Г. Чернышевский, Полное собранпе сочинений, т. X, ч. 2, стр. 173.
2) Н. Г. Чернышевский и Н. А. Добролюбов, Избранные педагогические высказывания, 1945, стр. 12.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТ1 ОГРАДСКОГО	137
ный учитель, в представлении Чернышевского п Добролюбова, должен быть народным просветителем, призывающим народ к борьбе за свободную и культурную жизнь угнетённых масс.
До таких взглядов на роль учителя Остроградскпй не поднялся. Воззрения его более ограничены. Но в своей практической, организационно-методической деятельности Остроградскпй положил много труда для воспитания в преподавателях ряда лучших деловых качеств, необходимых для обучения подрастающего поколения. Остроградскпй был тесно связан с преподавательской массой, внимательно следил за ростом подчинённых ему преподавателей, любовно и заботливо выдвигал наиболее достойных из них. Стремясь пробудить инициативу преподавателей, он всячески старался привлечь их к творческой, научной и методической работе. Остроградскпй находился в творческом общении со многими рядовыми преподавателями математики столицы и провинции, занимавшимися самостоятельными научными изысканиями. В большом количестве к нему стекались пх научные работы, для отзыва, для консультаций, и он с готовностью и доброжелательством поддерживал всякую попытку научной деятельности.
В документах и воспоминаниях современников можно нередко встретить сообщения вроде следующего: «Слушатель академии генерального штаба А. Н. Шляков написал работу по математике «Traite sur les minimes», которую высоко оценил Остроградскпй, прочитавший её в рукописи» 1).
При своих инспекторских посещениях военно-учебных заведений Остроградскпй выступал с научными докладами, с тем чтобы ввести учителей в круг новейших проблем математики п теоретической механики. Он внимательно следил за пополнением библиотек кадетских корпусов новейшей литературой.
Вопреки установкам начальства военно-учебных заведений, стеснявшим преподавание рамками официальных наставлений и руководств, Остроградский, насколько это
х) «Русский архив», 1883, кп. Ш, стр. 149.
138
II. МАРОН
зависело от него, предоставлял известную свободу учителям в выборе материала и в порядке прохождения его. Он подчёркивал, что как в преподавании, так и в составлении учебных руководств инициатива должна принадлежать прежде всего самому учителю.
Остроградский поощрял инициативу рядовых преподавателей в работе над составлением учебных руководств. С полным основанием можно утверждать, что он, буквально, вырастпл из преподавателей целую плеяду известных авторов учебных и методических руководств по математике. Многие авторы известных учебников— Ф. И. Симашко, В. II. Беренс, А. II. Тихомапдриккпй, И. Борткевич, Е. Пржевальский, С. Сухонин, П. II. Рощин,Ф. Г. Ожаровскнй, II. Оландер, А. Мешков и др.—были учениками Остроградского и находились с ним в творческом общении.
* * *
Выше мы отмечали, что «Размышления о преподавании» появились в 1860 г., в период широкого увлечения интеллигенции общими педагогическими вопросами. Как же отзы вался Остроградский на важнейшие п актуальные педагогические проблемы?
Известно, что в 1856 г. вышла статья II. II. Пирогова «Вопросы жизни»1), вызвавшая живой и сочувственный отклик со стороны передовом педагогики того времени. В этой статье Н. И. Пирогов выступил с требованием общего образования, которое должно предшествовать специальному. Протестуя против раннего профессионализма в образовании, он выдвигал па первый план общее образование и отстаивал гуманитарный характер его.
Н. А. Добролюбов весьма сочувственно отнёсся к статье Пирогова и отметил, что она поразила всех «и светлостью взгляда, и благородным направлением мысли автора, и пламенной живой диалектикой, и художественным представлением затронутого вопроса»2). Добролюбов так же,
х) «Морской сборник» за 1856 г., № 7.
2) И. А. Добролюбов, Педагогические сочинения под ред. И. М. Духовного, М., 1949, стр. 84.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
139
как п Пирогов, решительно высказывался в пользу общего образования как предпосылки специального.
II. I. Чернышевский также выступил против ранней специализации в образовании. Он указывал, что если с ранних лот готовить детей к узкой специальности, то последствия такого воспитания вредно отразятся на общественном развитии1). Гаковы же были воззрения и Ц. II. Писарева.
Остроградский прямо ис высказал своего отношения к этой нашумевшей проблеме. Однако, судя по некоторым его высказываниям, а также но его педагогической деятельности, можно утверждать, что Остроградский тоже был противником раннего профессионализма в образовании. Он резко осуждал современную ему школу за то, что в пей хотят из «ребёнка во что бы то ли стало [подчёркнуто мною. II. J/.] сделать военного инженера, инженера-механика, артиллериста и др.», т. е., другими словами, дать ему сразу профессиональное образование.
Остроградский был преимущественно деятелем военной школы, т. е., по сути дела, профессиональной школы. Однако и здесь он стремился дать воспитанникам широкую общематематпческую подготовку, несмотря на строгие указания начальства вводить в курс математики только то, что необходимо для специальной подготовки офицерских кадров.
Таким образом, есть серьёзные основания утверждать, что Остроградский разделял взгляды II. И. Пирогова и революционно-демократической педагогики о вреде ранней специализации и о необходимости общего образования в качество предпосылки специального.
В годы, когда писались «Размышления о преподавании», среди передовой интеллигенции и на страницах печати поднимался вопрос о повышении грамотности народа, о более широком развитии народного образования. Представители передовой! педагогики требовали такой системы просвещения, которая способна была бы обслу
х) Н. Г. Чернышевский, Сочинения, т. II. 1906, стр. 526—527.
140
И. А. МАРОН
живать широкие массы крестьянства и трудящихся, которая посла бы в народную массу научные знания.
Каково же было отношение Остроградского к этой второй актуальной проблеме педагогики его времени?
Мы находим у Остроградского слова, проникнутые глубоким уважением к характеру и творческим возмож ностям простого русского парода, к «людям, не имеющим образования, не пишущим водевилей и поэм, но способ ным, обладающим здравым умом, возделывающим поля, кующим железо, умело извлекающим богатства из недр земли». Он с презрением отзывался о молодых людях, «испорченных слишком сентиментальной литературой, скучающих и никому ненужных, научившихся позировать, красиво говорить...».
Имея в виду людей, испорченных безделпем, довольством п богатством жизни, Остроградский писал: «Полезные люди [простой народ.—И. МД могут сказать им:-удивительно, что вы знаете лишь немного больше пас, вы, которые окружены заботой и образованием. Если бы мы имели хоть одну десятую долю той помощи, которую вам оказывают, мы были бы гораздо более полезными для себя и для других и не были бы такими отчаявшимися и высокомерными, как вы».
Казалось бы, что после таких проникновенных слов последует призыв к широкому народному образованию, к ломке препятствий на пути народного просвещения, но такой призыв от Остроградского не последовал. Он не говорит о просвещении народа, о ликвидации его неграмотности, и приведённые нами сочувственные слова Остроградского о простом народе были в значительной мерс данью либеральным влияниям эпохи интеллигента, любящего народ, но не словами борца за интересы трудового народа.
Если революционные демократы отчётливо понимали зависимость образования от общественных отношений и призывали к революционному измененпю этих отношений для подлинного просвещения народа, то Остроградский до такого понимания общественных явлений не поднялся в силу классовой ограниченности своей идеологии.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
141
Таким образом, изучение общих педагогических взглядов М. В. Остроградского приводит пас к следующим выводам.
Несмотря на классовую ограниченность общих педагогических взглядов Остроградского, в них имелось много прогрессивных моментов. Некоторые высказывания Остро-градского не потеряли своего интереса и сегодня.
Критика Остроградским современной ему школы была весьма прогрессивной, поскольку была направлена против официальной педагогики, избравшей основными предметами обучения древние языки и фальсифицированную историю, орудием воспитания—катехизис и закон божий, а методом обучения—догматизм и схоластические построения.
Высказывания Остроградского о наглядном обучении на основе работы детей в мастерской, о способах оборудования мастерской, о методах систематизации л закрепления материала с помощью синоптических таблиц и различных графических работ и т. и. сохранили своё значение и ценность до наших дней.
Высказывания Остроградского об учителе, его постоянная практическая деятельность по отбору и воспитанию преподавателей математики для военно-учебных заведений способствовали повышению уровня математического образования в военно-учебных заведениях России.
Высказывания Остроградского о необходимости изучения теории педагогики прозвучали тогда особенно прогрессивно.
Не потеряли своей актуальности и мысли Остроградского о необходимости помочь ученику «познать себя», о работе с одарёнными детьми п т. п.
Сам факт, что Остроградский занялся общими педагогическими проблемами, имел благотворное влияние, ибо высказывания Остроградского явились призывом крупнейшего и авторитетнейшего учёного заняться проблемами воспитания и образования.
Этот призыв встретил отклик среди математиков и механиков России. Не случайно ближайшие ученики Остроградского живо интересовались и занимались общпмп педагогическими вопросамп.
142
И. Л. МАРОН
11
Принцип воспитывающего обучения является одним из важнейших дидактических принципов. Мы уже отмечали, что Остроградскпй постоянно придерживался принципа воспитывающего обучения и подчёркивал неразрывную связь обучения и воспитания. Только то образование имеет право на жизнь, утверждал он, которое развивает ум человека, делает его суждения более здравыми, развивает его наблюдательность, внимание, эстетические чувства и т. п. Образование же, дающее лишь определённую сумму формальных знаний и пе преследующее воспитательных целей, оценивалось им весьма низко.
Остроградскпй неоднократно подчёркивал, что обуче ние математике имеет большое воспитательное значение. Будучи главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-учебных заведениях, Остроградскпй требовал от учителей, чтобы они в процессе преподавания неизменно преследовали две цели: во-первых, приобретение учащимися систематизированных знаний и навыков, а во-вторых, воспитание у учащихся определённых качеств ума, воли, характера. Всё содержание сочинения «Размышлений о преподавании» проникнуто идеей единства воспитания и образования.
Предлагая сообщить учащимся определённую сумму знаний из математики, механики, физики, химии и т. д. на основе предварительного и наглядного ознакомления их с реальными объектами в мастерской и в классе, Остро-градский неизменно заботился о развитии у детей силы воли, наблюдательности, внимания. «Скажем откровенно зло в воспитании детей состоит в том, что не вырабатывают их волю, не приучают их наблюдать, не учат их наира влять своё внимание».
Остроградский заботился о развитии у детей чувства симметрии, чувства красоты. Он, например, предостере гал учителя от того, чтобы давать в руки детей некрасивую, грубо и безвкусно сделанную вещь, ибо это портит их вкус:
«Если у учителя в руках имеется какое-нибудь произведение, плохо выполненное, или гравюра, плохо выгра
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТ1ЮГРАДСКОГО	143
вированная, тяжёлая и безвкусная, то мы, взрослые, цх понимаем, так как наше воображение может дополнить то, чего похватает с точки зрения исполнения. Взрослый понимает, что при некотором расходе можно сделать лучше, но ребёнок, видящий плохо отпечатанные книги, топорно сделанные вещи, остаётся в недоумении и презирает несовершенное искусство...».
Представляет интерес рассуждение Остроградского относительно необходимости развития в учениках чувства «точности». Что такое чувство «точности», Остроградский поясняет следующими словами: «они узнают, как надо довольствоваться в зависимости от обстоятельств, грубым или более точным расчётом, у них будет столь необходимая привычка уметь довольствоваться тем, что возможно, не бросаясь на бесполезные поиски». Пет сомнения, что такое указание для преподавателей математики является чрезвычайно интересным и полезным.
Мы видим, таким образом, что Остроградский признавал органическое единство воспитания и образования. И в этом направлении он укреплял материалистические черты передовой русской педагогики.
Однако нельзя не отметить, что Остроградский понимал принцип воспитывающего обучения весьма ограниченно. Революционные демократы ставили перед обучением цель воспитания людей с твёрдыми нравственными устоями, со стойкими убеждениями и твёрдой волей, людей принципиальных, готовых защищать общественную правду и стать на защиту интересов трудового народа.Такое понимание целей обучения не было свойственно Остроградскому.
В высказываниях Остроградского нигде не подчёркнута необходимость воспитания мировоззрения учащихся. Другими словами, задачи обучения, по Остроградскому, заключались в воспитании дельного умного специалиста, а не борца за интересы народа против крепостничества. В этом состояла классовая ограниченность педагогических взглядов Остроградского.
Требования показа учащимся в процессе обучения того пли иного предмета или процесса реальной действительности для того, чтобы облегчить им познание мира,
144
И. А. МАРОН
выдвигалось еще педагогами античного мира. Уже Аристотель предлагал показывать ученикам модели геометрических тел. Классики педагогической науки высоко ценили принцип наглядности в обучении и всячески подчёркивали необходимость его применения в педагогическом процессе. Ян Амос Коменский постоянно требовал, чтобы детей учили познавать и исследовать самые вещи, а не только чужие свидетельства о них. Н. А. Добролюбов в своих педагогических высказываниях обрушивался на школу за то, что в преподавании мало наглядности, а имеется «отвлечённость и соединённая с ней сухость, мертвенность, формализм». Он указывал, что интересные науки преподаются так, что в них нет ничего, что говорило бы сердцу или воображению. Слова, цифры и определения, смысл которых не всегда ясен учащимся, изнуряют их память и не дают пищи ни мысли, ни воображению, ни чувству1).
М. В. Остроградский был горячим сторонником принципа наглядности. Мы видели, что этот принцип был положен в основу его системы обучения, изложенной в книге «Размышления о преподавании». Вспомним, с какой досадой Остроградский говорил о современной ему школе, как он осуждал её именно за то, что там в обучении прибегают к мёртвым, сухим, отвлечённым рассуждениям, «сухим, непонятным определениям» вместо того, чтобы их «сделать понятными с помощью примеров, взятых из практической жизни». В своей работе в военно-учебных заведениях он боролся за внедрение наглядности в преподавание математики, механики, космографии.
Остроградский, однако, сознавал, что наглядность— не самоцель, а лишь средство успешного обучения, и что не всегда и не на всех ступенях обучения к ней полезно прибегать. Наглядностью следует пользоваться лишь тогда, когда у учащихся ещё нет реального представления об изучаемых объектах и когда они ещё не в состоянии распорядиться своими представлениями для того, чтобы обра-
х) И. М. Духовный, Принципы советской дидактики, М., 1945, стр. 33.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОП’АДСКОГО
145
зовать новые. Но но следует пользоваться наглядностью тогда, когда у обучающихся имеется уже достаточный запас представлении для образования новых представлений и понятий.
Злоупотребление наглядностью, указывал Остроградский, особенно вредно в математических доказательствах: чрезмерное обращение к наглядности воспитывает в обучающихся потребность апеллировать к интуиции там, где уже требуются строгие логические умозаключения.
Из этих дидактических воззрений и вытекали взгляды Остроградского на преподавание геометрии. В своём учебнике «Руководство начальной геометрии» Остроград-скип стремился избежать рассуждений и доказательств, построенных на интуитивных представлениях. Он стремился к строго логическому изложению геометрии. В этой связи интересны высказывания Остроградского относительно роли чертежа в геометрии.
«Вы, например, спросите,—писал Остроградский,— начерченная линия прямая, пли нет? „Нет", отвечают Вам —, Это видно". В практике такое решение достаточно, но в начале науки свидетельство глаз не принимается. Где был бы конец допущениям, основанным на показаниях чувств? Пусть докажут, что приведённая линия не имеет свойств прямой, и тогда только убедят пас неоспоримо, что опа но прямая»* 1).
Несколько далее, возвращаясь к вопросу об использовании чертежа и при изложении геометрии, Остроградский предупреждал читателя о тех ошибках и нестрогих заключениях, к которым можно прнтти, прибегая к чертежу, зависящему от частного выбора и расположения элементов рассматриваемого геометрического образа. Замечание Остроградского настолько интересно, что мы приведём его целиком:
«Не бесполезно поместить здесь замечание, довольно важное, относительно употребления геометрических фигур. Мы сказали в введении (§ 6), что употребление это не должно считать необходимостью, но вспомогательным средством,
2) М. В. Остроградскпй, Руководство начальной геометрии, СПб., 1855, стр. 2.
1 о
и Историко-матем. исследования
146
И. А. МАРОН
при котором зрение содействует умственным соображениям. Допуская такую помощь, необходимо остерегаться, чтобы она не ввела нас в заблуждение. Очень нередко случается, что вспомогательная фигура имеет различные виды, сообразные с величиною и с положением рассматриваемых точек, прямых линий и углов; тогда непременно нужно знать и разобрать все эти виды фигур, ибо если некоторые из них будут опущены, и заключение сделано на основании остальных, которые однп рассмотрены, то конечно такое заключение может быть не полным и даже неверным.
Действительно, каждый вид фигуры отвечает некоторому частному случаю рассматриваемого вопроса, т. е. известной величине пли известному положению точек, прямых и углов, составляющих предмет и средство этого вопроса. Опущение некоторых из таких видов очевидно равносильно предположению, что эти виды места не имеют, предположению неправильному, которого следствием будет вообще неточное и всегда неполное изложение, или даже несправедливое заключение»1).
* * *
В сознательном восприятии учебного материала Остро-градский усматривал важнейший фактор успешности обучения. В силу этого, в своей работе по руководству преподаванием математики в военно-учебных заведениях оп обращал большое внимание на борьбу с формализмом в преподавании математики.
Догматизм, схоластическая форма обучения были нередкими явлениями в практике кадетских корпусов. В этом Остроградский усматривал главный недостаток постановки преподавания математики.
Какими же средствами, по мнению Остроградского, можно осуществлять принцип сознательности обучения?
Прежде всего, преподаватель должен создать у учащихся отчетливые представления о целях, которые стоят
х) М. В. Остроградский. Руководство начальной геометрии, СПб., 1855, стр. 71.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
147
перед ними при изучении того или иного раздела программы, и тем самым добиться положительного отношения к этому разделу. Последнему указанию Остроградский придавал большое значение. На своих лекциях Остро-градский, прежде чем изложить фактическую сторону вопроса, обращал внимание аудитории на цель и необходимость изучения данной темы, затем он вкратце обрисовывал сущность проблемы, пути её решения.
В методическом руководстве «Программа и конспект тригонометрии» (СПб., 1851) Остроградский рекомендует учителям сначала объяснить, зачем нужна тригонометрия, какие задачи она решает, почему нельзя обойтись для решения треугольников методами начальной геометрии, что принципиально нового даёт тригонометрия по сравнению с геометрией. Затем следует в общих чертах указать, какими методами тригонометрия решает основные свои задачи, и лишь после этого переходить к систематическому изложению материала. Таким способом изложения Остроградский широко пользовался и в своём учебнике «Руководство начальной геометрии».
Сознательность усвоения материала определяется, по мнению Остроградского, также качеством изложения материала, качеством объяснений учителя. Изложение учебного материала должно быть доступным, предельно ясным, убедительным, соответствующим возрасту учеников г).
Однако, требуя, чтобы изложение было ясным, соответствующим уровню знаний и запасу реальных представлений учащихся, Остроградский подчёркивал, что преподавание математики должно быть подчинено, одновременно, требованию строгости и систематичности:
«Преподаватель, при доказательстве различных предложений или решений задач, должен делать полное исчисление всех обстоятельств, относящихся к вопросу, соблюдать везде строгую последовательность в заключениях, указывать по возможности на различные виды употребляемых суждений, и даже изредка предлагать воспитанникам
г) Ср. цитату из «Размышлений о преподавании», приведённую нами в конце стр. 134.
10*
148
II. А. МАРОН
паралогизмы, наводя потом их самих на открытие ложных предположений или заключений»1).
Было бы, однако, ошибочным думать, что Остроградскпй отождествлял строгость, необходимую для изложения научной системы, как таковой, со строгостью, необходимой в школьном преподавании. Последнюю он обусловливал реальными возможностями учеников сообразно их возрасту и развитию.
Если у детей младшего возраста сознательное восприятие математики, по мнению Остроградского, достигается максимальной наглядностью и конкретизацией материала, то па toil ступени математического обучения, когда ученики уже оперируют отвлечёнными понятиями, оно обеспечивается ясностью изложения, чёткостью вводимых понятий и определений. Остроградскпй особо подчёркивал необходимость полноты, подробности и ясности в объяснении основных начал науки, основных её понятий и определений. В «Предуведомлении» к «Руководству начальной геометрии» Остроградскпй писал: «Что касается до подробностей в объяснении предметов и оснований пауки, предположений, па которых она основана, и начальных её истин, то некоторые из этих подробностей, а может быть и все, могут показаться бесполезными. Автор имел в виду избежать недостатка противного, т. е. неполноты объяснений. Он полагает, что составители курсов начальной геометрии, по примеру Эвклида, слишком сократили этот важный предмет, и тем самым могли породить неясность в идеях и неправильные взгляды па основные начала науки. Эвклид не подлежит упрёку, в его время геометрия была предметом изучения в возрасте зрелом, но подобное оправдание не относится к писателям нашего времени, когда наука вошла в состав преподавания элементарного»2). Руководствуясь этой мыслью, Остроградскпй снабдил свои учебники очень подробными введениями.
х) «Программа и конспект начальной геометрии», СПб., 1851, стр. 41. —Эта книга составлена комиссией, председателем которой был М. В. Остроградский, а редактором В. Я. Буняковский.
2) М. В. Остроградски й, Руководство начальной геометрии. Курс второго общего класса, СПб., 1855, стр. 2.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 14<)
Н. Г. Чернышевский, дав высокую оценку научным п педагогическим достоинствам «Руководства начальной геометрии» Остроградского, обращал внимание читателей на следующее: «Очень важны—и без всякого сомнения полезны в преподавании—и другие изменения, вносимые г. Остроградским в изложение начальной геометрии, именно: подробное развитие объяснений о предмете н основаниях науки и введение в курс новых предложений для сообщения совершенной научной строгости выводам»1).
Академик А. Н. Крылов также высоко оценил научные и педагогические достоинства «Введений» Остроградского к его учебным руководствам.
Сознательность обучения, подчёркивал Остроградский, зависит в большой мере от ясности изложения, от языка преподавателя.
Остроградский сознавал, какие трудности возникают здесь перед преподавателями математики. «Математический язык,—писал он,—переводится на язык обыкновенный несравненно труднее, чем переводы с одного из языков общеупотребительных на другой, ибо самые предметы математического анализа требуют для изложения особых средств, особого языка, незаменимого никаким другим языком»2). Именно поэтому Остроградский обратил особое внимание на стиль изложения при составлении своего учебника геометрии. Многие части «Руководства» (хотя не все!) написаны хорошим доходчивым языком, в форме, приближающейся к повествовательной.
* ♦ *
Остроградский совершенно справедливо считал, что отрыв теории от практики в процессе обучения является наиболее вредным проявлением формализма. Поэтому,
х) Н. 1. Чернышевский, Полное собрание сочинений, т. II, М., 1949, стр. 739—741.
2) М. В. Остроградский, Разбор сочинения профессора Миндинга «Изыскания, относящиеся к интегрированию дифферен циальных уравнений первого порядка с двумя переменными» в XXX присуждении демидовских наград. ISGI, пр. 49.
150
И. А. МАРОН
указывал Остроградский, устранение такого отрыва, постоянное разъяснение ученикам прикладного значения изучаемых теоретических положений, развитие умения прилагать теоретические знания к решению практических задач являются важнейшими моментами педагогического процесса, способствующими сознательному восприятию учебного материала.
Постоянный интерес к решению прикладных задач, продиктованных практической жизнью, являлся характерной чертой научного творчества нашего знаменитого математика и его многочисленных учеников. Эта материалистическая черта характерна и для педагогической концепции Остроградского, и для его деятельности в ведомстве военно-учебных заведений. Говоря о недостатках преподавания в современной ему школе, Остроградский писал: «Действительно, на уроках арифметики, алгебры, геометрии ничто не напоминает необходимость их изучения для практической жизни».
Отрыв теории от практики в процессе обучения, по мнению Остроградского, ведёт к тому, что математика выступает перед учениками как сугубо отвлечённая наука, ничего общего не имеющая с практической деятельностью людей. Остроградский обратил особое внимание на развитие у воспитанников кадетских корпусов навыков в решении прикладных, задач:
«Решение разнообразных практических вопросов, изощряя с одной стороны способности учащихся, а с другой увеличивая итог полезных в общежитии истин, должно также считать необходимым условием в преподавании начальной геометрии»1). Будучи главным наблюдателем за преподаванием математики в учебных заведениях Главного управления путей сообщения, Остроградский составил инструкцию для преподавателей математики и механики учебных заведений этого ведомства. В этой инструкции он несколько раз возвращается к вопросу о необходимости развития у обучающихся прикладных и вычислительных навыков.
J) «Программа и конспект начальной геометрии», СПб., 1851, стр. 12.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГГАДСКОГО
151
Излагая свои указания авторам учебных руководств по механике, он писал:
«Составителю руководства предстоит обширнейшее поле в выборе приложений механики, которые он отнесёт к мелкому шрифту. Волосные явления, дрожательное движение систем, распространение волн и звука, явления упругости и другие, не менее важные предметы, найдя место в его курсе, составят руководство, которому нет подобного и па иностранных языках»1).
В другом месте «Инструкции» Остроградскпй обращает внимание преподавателей на необходимость развития у учащихся умения находить численные значения функций, заданных аналитически:
«Преподаватель отнюдь но должен упустить пз виду нахождение численных величин функций при помощи логарифмических и тригонометрических таблиц, и постараться, напротив, пояснить это нахождение примерами, прилично выбранными и в достаточном числе»2).
Эта же забота о развитии вычислительных навыков у учащихся чувствуется и в учебнике геометрии Остроградского. В разделе «Измерение круга» решается задача: «По данному радиусу найти длину окружности и площадь», и спрашивается, с какой точностью надо взять число к, чтобы длина окружности и площадь круга были вычислены с заданной точностью.
Конечно, можно взять к с большим числом десятичных знаков, найти ответ с большой точностью и, отбросив излишние цифры, получить нужный результат. Но, замечает Остроградскпй, «нахождения излишних цифр без сомнения следует избегать, как труда бесполезного, во всех арифметических вычислениях, для чего алгебра предлагает нужные соображения, т. е. показывает, как достигнуть назначенной точности результата всякой данной совокупности действий, нс употребляя излишних вычислений» (стр. 401).
Программа по тригонометрии, составленная специальной математической комиссией под председательством
0 ЦГИА, ф. 448, on. 1, № 20, лл. 31—67.
2) Там же.
152
II. Л. МАРОН
М. В. Остроградского, предусматривала решение следующих прикладных задач:
1)	Найти высоту, к которой можно подойти. Найти расстояние двух предметов, из которых один недоступен.
2)	Найти недоступную высоту. Найти расстояние двух недоступных предметов.
3)	Найти расстояние вершин двух недоступных высот.
4)	По данным трём точкам найти четвёртую, в одной с ними плоскости лежащую, из которой бы три первые были видны под данными углами.
5)	Известны все углы и одна из сторон нескольких треугольников, прилежащих один к другому, т. с. имеющих один с другим общий бок, найти все прочие стороны этих треугольников* 2).
Программа по геометрии также предусматривала решение значительного числа чисто практических задач непосредственно на местности2). Для закрепления знаний по геометрии, тригонометрии, космографии и приобретения практических навыков воспитанники кадетских корпусов проходили летом специальный практикум в поле, где с помощью землемерной цепи, астролябии, буссоли, компаса и других инструментов производили измерения и решали практические задачи.
Настойчивая борьба Остроградского за ликвидацию отрыва теории от практики в школьном преподавании дала положительные результаты. Об этом свидетельствуют и сохранившиеся документы и воспоминания воспитанников кадетских корпусов. Так, П. А. Кропоткин писал: «Вообще, я объясняю себе сравнительную успешность прохождения этой обширной программы конкретным характером этого преподавания. Как только мы познакомились теоретически с элементарной геометрией, мы тотчас применяли её в поле, при помощи вех, землемерной цепи, а потом с астролябией, компасом и мензулой»3).
х) «Программа и конспект тригонометрии», СПб., 1851, стр. 2.
2) М. В. О с т р о г р а д с к и й, Руководство начальной геометрии. Курс третьего общего класса, СПб., 1857, стр. VIIf.
") л. V К’ропот кин, Записки революционера, М., 1933, с гр. 81. (Н \ Кропоткин говорит о 1855—1860 гг.)
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
153
Понятно, что вводя в преподавание практические задачи, Остроградский укреплял материалистические тенденции в русской педагогике.
Следует отметить, что, борясь за единство теории п практики в преподавании, Остроградский имел в виду не только чисто методическую цель—повышение усвояемости. Это требование вытекало более всего пз его убеждения в том, что задача школы заключается в воспитании активного деятельного работника, «полезного себе и другим».
* * *
Важным средством, повышающим качество обучения, является умение учителя возбудить интерес учеников к изучаемому предмету, вызвать в нём страсть к учению. Это дидактическое требование играет очень большую роль в системе нового построения школьного обучения, предложенной Остроградским. «Заинтересовать ум ребёнка,— писал он,—вот что является одним пз главных пунктов нашей доктрины».
Характеризуя преподавание в современной ему школе, Остроградский отмечал, что оно часто нс вызывает интереса у детей, дети страдают там от скуки, учение их не захватывает, «употребляемые методы являются устарелыми, они требуют невероятных усилий со стороны учителей, а в учениках они вызывают усталость, нервозность, скуку. Учение представляется им настоящим мучением п вредно отражается на их здоровье». И далее: «Дети изобретательны и в хорошем настроении до того момента, пока школа нс разрушит большую часть драгоценного зародыша, который можно было бы в них наблюдать. Конечно, многие сопротивляются скучному влиянию школы. Онп прилежно занимаются, становятся полезными себе и другим, выполняют добровольно п одарённо свои задачи. Но большинство становятся тяжеловесными, апатичными. Испытывая отвращение к умственному труду, они требуют от жизни вредных развлечений. Молодые люди становятся невыносимыми для других и ещё более Для самих себя. Скука—самый сильный яд, его действие непрестанно. Она, возрастая, овладевает личностью и
154
И. А. МАРОН
доводит её до самых больших крайностей. Человек, которому что-то наскучило, способен па всё, чтобы освободиться от своего врага. Сколько порочных вещей придумали взрослые и дети для того, чтобы убить скуку... Если бы можно было избавиться от скуки, пли показать взрослым, как можно честно развлекаться, была бы оказана большая услуга нашему современному обществу. Следовательно, мы видим, что нужно завладеть вниманием учащихся, направить его, но при условии, чтобы умственная нагрузка возрастала постепенно, пе вызывая усталости и отвращения».
Это высказывание Остроградского о роли интереса в педагогическом процессе перекликается со следующими замечательными словами К. Д. Ушинского: «В школьно]! скуке скрывается источник множества детских проступков и даже пороков: шалостей, лени, капризов, отвращения от-учения, хитрости, лицемерия, обманов и тайных грехов. Уничтожьте школьную скуку—и вся эта смрадная туча, приводящая в отчаяние педагога и отравляющая светлый поток детской жизни, исчезает сама собой»1).
На ранней ступени обучения у детей младшего возраста воспитание активного внимания и пробуждение интереса достигается, по мнению Остроградского, максимальной конкретизацией процесса обучения. У детей старшего возраста интерес к учению достигается умелым раскрытием красоты самой науки и неисчерпаемых возможностей её практического применения.
Не потеряли интереса и в наше время высказывания Остроградского о необходимости, в целях возбуждения интереса учеников, оживлять и обогащать содержание урока примерами пз истории народов и особенно из исто рип развития науки и техники.
На своих лекциях Остроградский при изложении той или иной проблемы часто освещал также и её историю. В его руководствах мы находим много исторических сведений и справок. Так, например, излагая в книге «Руководство начальной геометрии» тему «Измерение пло-
9 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. I, М., 1939, стр. 75.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 155
щадей», Остроградский приводит историческую справку 0 зарождении геометрии в Египте1). Касаясь вопроса 0 вычислении длины окружности, Остроградский даёт справку об Архимеде и его исследованиях в этой области.
Требуя вести обучение живо, интересно, увлекательно, Остроградский, конечно, нс имел в виду достигать этого методами «потешающей педагогики», которую так осудил до. Д. Ушинский. У Остроградского нет той переоценки педагогического значения фактора интереса, какая характерна для педагогических воззрений Жан-Жака Руссо, считавшего, что возбуждение интереса ученика—единственный двигатель в учебном процессе, и сделавшего поэтому вывод, что всё обучение и воспитание нужно строить исключительно на основе интереса. По мнению Остроградского, не следует питать умы учеников исключительно лёгкой пищей и непременно в привлекательных формах, не следует излишне упрощать и облегчать процесс получения знаний. Преподавание должно вестись на таком уровне, чтобы вызвать умственную активность обучающихся; нужно преподавать так, чтобы самый материал науки привлекал умы учащихся, чтобы он захватил их. И эти взгляды Остроградского близки к взглядам К. Д. Ушинского, утверждавшего: «Если зубренье часослова и псалтыря действовало вредно на умственное развитие, то шутливая, потешающая детей педагогика разрушает характер человека в самом зародыше. Ученье есть труд и должно остаться трудом, но трудом, полным мысли, так чтобы самый интерес учения зависел от серьёзной мысли, а не от каких-нибудь не идущих к делу прикрас2»).
* * *
Чрезвычайно важным, с точки зрения Остроградского, Дидактическим требованием является самостоятельность учащихся в процессе обучения, развитие навыков само-
г) «Руководство начальной геометрии», СПб., 1857,- стр. 317.
2) К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. I, М., 1939, стр. 69.
156
И. Л. МАРОН
стоятельного мышления. Этому требованию Остроград-ский уделил много места в своих педагогических высказываниях п практической деятельности. При своих инспекторских посещениях кадетских корпусов он обращал особенное внимание на наличие у обучающихся навыков к самостоятельному мышлению.
Примером учебного руководства, подчинённого требованию развития навыков самостоятельного мышления, является учебник Остроградского «Руководство начальной геометрии». Почти каждый раздел книги снабжён задачами п геометрическими предложениями, которые автор предлагает доказать самостоятельно, причём необходимые указания содержатся в предыдущих параграфах.
Так, например, в конце главы об окружности Остроградский решает ряд задач на построение. Указав способ построения прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, Остроградский предлагает читателю самому доказать, что такое построение даёт именно искомую прямую (стр. 219).
На стр. 223 «Руководства» Остроградский прямо обращается к ученикам с советом побольше заниматься самостоятельными доказательствами геометрических предложений и решением задач.
«Предложенный вопрос и почти все вообще геометрические задачи допускают различные решения. Для начинающих было бы полезно самим находить решения, отличные от помещаемых в «Руководстве»; такое занятие изощряло бы их способности, утверждало в памяти геометрические истины и, конечно, заставило бы полюбить науку, правилами которой они действуют с некоторой самостоятельностью. Подобное занятие в Геометрии есть то самое, что упражнение в численных примерах в арифметике. Не менее полезно для учащихся доводить до копий решения, нами только указываемые. В «Руководстве», когда вопрос приведёт к решению другого вопроса, уя<с решённого, то для сокращения дальнейшее исследование не производится, но учащийся не должен остановиться вместе с руководством, пусть он решит вопрос окончв' тельно, т. е. непременно найдёт все искомые» (подчёркнуто мною.—II. М.).
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ JL В. ОСТРОГРАДСКОГО
157
♦ * *
Преподавание, основанное на систематическом повторении пройденного, придающем полученным знаниям должную прочность, устойчивость, как известно, К, Д. Ушинский называл «органическим». «Органическое преподавание», по мнению Ушинского, подобно росту дерева, приобретающего с каждым годом новые ветви и вместе с тем [укрепляющего свой корень. За такое «органическое преподавание» боролся и Остроградскпй.
Обеспечение прочности, основательности обучения, по мнению Остроградского,— самое трудное в учебном процессе: «Это не всё—узнать, надо запомнить. В этом, на наш взгляд, самое трудное в обучении». Как мы видели, предложенная им система в значительной степени подчинена этому важнейшему требованию дидактики. Синоптические таблицы, к которым, по мнению Остроградского, следует широко прибегать в процессе обучения, должны содействовать закреплению знаний.
Мощным средством, способствующим достижению прочности обучения, является, по мнению Остроградского, систематическая проверка знаний учеников. Здесь Остроградский придерживается весьма крайних взглядов. Так, например, он считал, что систематические проверки в форме экзаменов должны проводиться каждый месяц. Оценки, выставленные на этих ежемесячных экзаменах, должны служить основанием для перевода учащихся в старшие классы и для выпуска. «Экзамены бывают каждый месяц и проводятся учителем и его помощником в городах. В других школах учителю должен ассистировать какой-нибудь коллега, пли инженер, или офицер. Полученные отметки сохраняются и служат позже для подтверждения способностей учеников и для того, чтобы перевести их в старший класс, пли для получения дипломов, для поступления в специальные учебные заведения».
Трудно, конечно, согласиться с мнением Остроградского о целесообразности столь частых экзаменов, но заслуживает внимания его забота о постоянном и систематическом контроле успеваемости учащихся.
158
И. А. МАРОЙ
В практической работе в качестве главного наблюдателя за преподаванием математики в военно-учебных заведениях Остроградский требовал, чтобы военная школа давала своим воспитанникам твёрдые, основательные математические знания и навыки. Он рекомендовал преподавателям начинать урок с краткого обзора пройденного, а на текущих опросах предлагать ученикам вопросы пз предыдущих глав. В «Инструкции преподавателям математики и механики учебных заведений Главного управления путей сообщения» Остроградский указывал на пользу повторения пройденного материала:
«Приступая же к самой аналитической геометрии, не бесполезно повторить из начальной геометрии о свойствах прямых и плоскостей, рассматриваемых в пространстве, и потом уже показать, каким образом алгебраический анализ выражает прямые и плоскости посредством координат п какой разрешает относящиеся сюда вопросы...»1).
Заботясь о закреплении знаний по геометрии, о систематизации их, Остроградский прибегает в своём учебнике геометрии к весьма интересному методическому приёму. После изложения того пли иного раздела он приводит краткое повторение рассуждений if выводов данного раздела. Так, например, изложив в разделе «Линии перпендикулярные и наклонные» свойства наклонных и перпендикулярных прямых, он в конце раздела замечает: «считаем неизлиш ним сделать краткий свод этих свойств, для памяти», и па двух страницах резюмирует материал этой темы (стр. 61).
Аналогично поступает автор при изложении вопроса о равенстве треугольников. Рассмотрев все признаки равенства треугольника, автор продолжает: «мы повторим без доказательства все условия равенства треугольников, и кратко резюмируем всё изложенное». Такими краткими резюме Остроградский завершает многие разделы курса, так он поступает на стр. 20, повторяя свойство прямой, на стр. 34—говоря о свойствах угла, на стр. 141— говоря о протяжениях, на стр. 205—говоря о взаимном положении окружности, на стр. 211—говоря о прямой и окружности, на стр. 282—говоря о подобии фигур и т. Д.
’) ЦГИА, ф. 447, on. 1, № 20.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
159
* * *
Дидактические взгляды Остроградского, в частности, его соображения о наглядности, как орудии упражнения мозга и органов чувств, о расширении запаса реальных представлений, его мысли о конкретности обучения, о связи теории с практикой—не потеряли значения и сегодня. Весьма ценны также высказывания Остроградского о роли интереса в обучении, о необходимости создавать его, умело раскрывая красоту самой науки, но не приукрашивая её, не методами «потешающей» педагогики, которую так решительно осудил К. Д. Ушинский.
Для нас представляют большой интерес соображения Остроградского о сознательности обучения, о развитии самостоятельного мышления, о приучении к преодолению трудностей, о строгости изложения, о недопустимости излишнего «разжёвывания» материала и т. п.
В общем дидактические принципы Остроградского были для его времени весьма передовыми и противостояли догматизму и схоластпческц-словесному построению обучения в школе,—методам, ревностно насаждавшимся тогда официальной педагогикой. Прогрессивной была и сама деятельность Остроградского, направленная на внедрение этих дидактических принципов в практику преподавания.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ деятельности М. В. ОСТРОГРАДСКОГО
II. Я. Денман
В статье II. А. Марона «Академик М. В. Остроградскпй как организатор преподавания математических наук в военно-учебных заведениях России» (Историко-математические исследования, вып. III, 1950) дан весьма обстоятельный обзор трудов и деятельности М. В. Остро-градского не только непосредственно в военно-учебных заведениях, но и вне их.
В настоящей статье мы даём некоторые дополнения к названной статье.
Прежде всего мы коснёмся переводных руководств по математическим наукам, изданных с методическими предисловиями М. В. Остроградского. Выраженные в этих предисловиях, а частью и в рекомендуемых Остроградским сочинениях, мысли существенны для более полной характеристики педагогических взглядов знаменитого математика.
Мы рассмотрим предисловия М. В. Остроградскою к двум таким книгам. Обе рассматриваемые ниже книги были переведены одним и тем же лицом—моряком Михаилом Лениным по инициативе директора Морского кадетского корпуса, знаменитого русского кругосветного мореплавателя и учёного океанографа и географа Ивана Фёдоровича Крузенштерна х). Изданы они были Морским кадст-
*) Адмирал Иван Фёдорович Крузенштерн (1770—1846)—члеп-корреспондент Петербургской Академии наук с 1803 г.
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 161
ским корпусом в качестве руководств для воспитанников этого учебного заведения.
1
В 1831 г., а затем вновь в 1842 г. вторым изданием вышла книга:
Начальные основания статики. Сочинение Л. Поансо1), члена французского Института, кавалера ордена Почётного Легиона и пр. Сочинение, принятое для публичного преподавания. Перевел М. Ленин, мичман офицерского класса, состоящего при Морском кадетском корпусе. Сапктпетсрбург, при Морском кадетском корпусе. 1831 (и 1842 соответственно).
В предисловии к первому изданию (его пет во втором издании) переводчик разъяснял, что «Статика» Пуансо «есть образец ясности и простоты изложения, усовершенствовавшая науку о равновесии, так как теория пар, введённая в науку Пуансо в этом сочи пепин, представляет уму весьма ясно всё то, что происходит в системе, побуждаемой многими силами».
Указав, что перевод предпринят по предложению директора Морского кадетского корпуса II. Ф. Крузенштерна и напечатан для употребления в классах офицерском и гардемаринском, и выразив благодарность инспектору классов Морского корпуса М. Ф. Горковенко2)
ный член её с 1806 г., почётный член Российской академии с 1832 г. С 1827 по 1842 гг.—директор Морского кадетского корпуса и офицерского при нём класса, И. Ф. Крузенштерн сделал много для улучшения преподавания наук в корпусе и его офицерском классе, в особенности по математике. Он привлёк к преподаванию в офицерском классе академиков П. Н. Фусса, В. Я. Буняковского, М. В. Остроградского, Э. X. Ленца, А. Я. Купфера и др., а изданием руководств, им выбранных, оказал влияние на поднятие уровня преподавания математики и в других учебных заведениях, как будет видно из дальнейшего.
х) Луи Пуансо (1777—1859) принадлежал к числу крупнейших французских механиков XIX в.
2) Марк Филиппович Горковенко (1770—1856), вице-адмирал. Получив по окончании Морского корпуса звание учителя математики, заменил в корпусе известного П. Я. Гамалею (1766—1818) и при 6 директорах корпуса занимал должность инспектора классов и преподавателя математики (А. К р о т к о в, Морской кадетский корпус, Краткий исторический очерк, СПб., 1901).
II Исторпко-матем. исследования
162
II. Я. ДЕНМАН
и академику 13. Я. Буняковскомух) за полезные советы, переводчик заявлял:
«Как сей перевод есть первый мой шаг на поприще наук, то я пе смею думать, чтобы мои слова [о ценности книги Пуансо.— II. Д.] могли иметь вес в глазах почтенной публики. По для убеждения читателей в превосходстве сего сочинения перед всеми в сом роде произведениями, я прилагаю в конце сего предисловия письмо, полученное мною от г. Академика Остроградского по случаю окончания сего перевода, и которое я теперь предлагаю, как свидетельство о достоинстве сего сочинения».
Письмо это следующее:
«Милостивый Гос уда рь!
Я с большим удовольствием узнал об окончании вами перевода Начальных оснований статпкп г. Поансо. Я сейчас говорил о сем самому автору, который просил меня поблагодарить вас от его имели и доставить вам последнее издание его сочинения, дабы сделанный вамп перевод сего сочинения был сообразен с епм последним изданием, рассмотренным и значительно пополненным.
Желая, чтобы ваш перевод ввёл в Статику Поапсо в России во всеобщее употребление, как опа принята во Франции, и чтобы спя отличная книга была принята в курс публичного преподавания,
Честь имею быть преданным вам слугою
Париж.	Михайло Остроградский.
5 августа 1830 г.»	77
К первому русскому изданию «Статики» Пуансо переводчик добавил «Примечание переводчика» к § 77, содержавшее аналитическое рассмотрение вопроса о равновесии неизменяемой системы под действием произвольного числа
Ч Академик В. Я. Буняковский преподавал в офицерском классе высшую математику и механику в течение 37 лет (в последние годы — совместно с академиком А. 11. Савичем), передав кафедру в 1864 г. А. II. Коркину (II. К о р г у е в, Описание празднества, данного в честь академика В. Я. Буняковского 30 декабря 1864 г., Кронштадт, 1865).
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 163
сил, на которое Пуансо в тексте только намекает (стр. 305— 30*9 издания 1831 г.).	•
Во втором издании (1842 г.) это добавление переводчика, равно как его «Предуведомление от переводчика», были опущены и заменены более подробным предисловием М. В. Остроградского. Приведём предисловие М. В. Остроградского, выражающее его точку зрения па учебник механики и её преподавание.
«11 р е д у ведом ie и и е.
Начальные основания статики Поансо (Poinsot) содержат простое и ясное изложение преобразования сил, приложенных к твёрдому телу пли так называемой неизменяемой системе; условия равновесия этой системы при различных обстоятельствах; определение центров тяжести простейших геометрических фигур п тел; теорию простых машин, которую должно считать частным случаем неизменяемой системы и, наконец, исследование равновесия простейших из систем изменяемых, известных под именем сложных машин.
Самый важный пз приведённых предметов есть без сомнения преобразование и условия равновесия сил, действующих на неизменяемую систему. Условия эти в нер вый раз найдены д’Аламбертом в сочинении о предварении равноденствий, потом они были предлагаемы с некоторыми упрощениями различными авторами; но Поансо доказал их с такою ясностью и простотою, которые превзойти трудно. Что же касается до преобразования спл, то до появления в свет исследований Поансо, геометры не имели об этом предмете надлежащего понятия. Подтверждением наших слов может служить всем известное сочинение Лапласа Exposition du systeme du monde. Знаменитый автор сделал и повторил во всех изданиях этого сочинения ошибку, относящуюся до равнодействующей трёх спл, приложенных к твёрдому телу. Он пола-гает, что три силы тогда только будут иметь одну равнодействующую, когда их направления пересекутся в °Дной точке. Ошибка Лапласа повторена и другими сочинителями...
11*
1Ь4
И. Я. ДЕПМАН
Истинная и ясная теория преобразования сил, приложенных к неизменяемой системе, принадлежит Поансо; его новая и остроумная идея о парах, или усилиях особенного рода, упростила, пояснила предшествовавшие ей теории и показала их недостатки. Чрез рассматривание пар, аналитические преобразования сил производятся с очевидною целью и так сказать рисуются в воображении, ни сколько его не обременяя; вытесненная же парами теория моментов рассматривала алгебраические произведения сил на линии, произведения, о которых не знали, какие усилия на систему они представляют, а следовательно, не видели причины, по которой их вводили в статику; они могли затемнить задачу, для решения которой рассматривались.
Поапсо первый показал, что моменты суть алгебраические изображения пар, т. е. усилий, производимых парами, п, следовательно, рассматривание их так же необходимо, как и рассматривание сил; таким образом, для выражения, например, условий равновесия, ‘нужно, чтобы кроме равно действующей всех сил уничтожались взаимно п все .моменты или усилия пар: иначе остались бы силы, которые вращали бы систему около её центра пнер ции, а следовательно, не было бы равновесия.
В главе о центрах тяжести помещено всё, что об пик сказать можно, не выходя из пределов эвклидовой геометрии; что же касается до машин, то достаточно заметить, что истинное их определение принадлежит Поансо, и что до его сочинения даже не знали настоящего различия простых машин от сложных.
Начальные основания статики Поансо на французском языке имели семь изданий; автор в виде прибавления поместил в них приложение пар к динамическим теориям систем и к определению плоскости, названной им экватором солнечной системы. Эти важные и с большим искусством сделанные приложения выходят из круга элементарных понятий, п потому не помещены в русском переводе, назначенном для общего образования. В коши* последнего, седьмого издания, находим теорию равно веспя и движения систем, которая уже была напечатана в журнале политехнического училища, но о которой,
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. в. ОСТРОГРАДСКОГО 165
к сожалению, с похвалою отозваться не можем; мы считаем её пе выше посредственности.
Изданием на русском языке Статики Поансо мы обязаны Адмиралу Крузенштерну; по его поручению она переведена воспитанником офицерских классов Морского кадетского корпуса г. Лениным, и потом издана в 1831 году. Теперь, по приказанию того же знаменитого мореплавателя, перевод г. Ленина издаётся в другой раз с весьма значительными поправками; в самом тексте мы позволили себе одно прибавление (смотри н° 1), чтобы по возможности ослабить неточность определения силы, данного автором.
М. Ост роградски й».
Добавление М. 13. Остроградского к тексту Пуансо, о котором говорится в последней фразе «предуведомления»?, заключается в следующем.
В первом параграфе книги Пуансо (и в русском её переводе) разъяснялось понятие силы, как причины, приводящей покоящееся тело в движение. Параграф заканчивался положением, напечатанным курсивом: «Итак, сила есть причина, производящая движение».
В таком виде этот параграф сохранился и в позднейших изданиях книги Пуансо (например, в десятом, 1861 г.).
Во втором русском издании М. В. Остроградский добавил к этому такое разъяснение:
«Заметим также, что если не покоящееся, а движущееся тело будет предоставлено самому себе, то-ссть, будет находиться вне действия посторонних причин, то движение не изменится ни в направлении, пп в величине переходимых пространств, и тело будет двигаться по прямой линии, переходя в равные времена равные пространства; откуда опять заключаем, что изменения в движении тела, точно так же, как переход от покоя к движению, Должно приписать не самому телу, а действию на него посторонней причины.
Не худо прибавить, что причина, о которой говорим, 11 которую называют силою, в продолжение очень малого времени переменяет движение тела: именно на столько и по тому направлению, на сколько и по какому направлению
166
II. Я . ДЕНМАН
сдвинула бы тело с места, если бы нашли его в покое. Таким образом, внешняя причина пли сила производит в теле, как движущемся, так и покоящемся, одинаковое движение, и это движение в теле покоящемся одно только и существует; в теле же движущемся оно совоку пляется с движением, которое тело уже имеет, и которое оно удержало бы, если бы было предоставлено самому себе. Необходимо составить ясное понятие о значении слова сила, которое мы сейчас, употребили и которое впредь весьма часто употреблять будем.
Обыкновенно говорят, что сила есть внешняя причина, производящая движение тела. Это определение допустить можно, и оно совершенно ясно, когда идёт дело о теле покоящемся; когда же говорится о теле движущемся, то надобно подразумевать, что сила производит нс всё движение, а только часть его, имеющую место сверх движения, которым тело переносилось бы без действия силы» т).
Несомненно, что добавление М. В. Остроградского имеет педагогическое оправдание.
II
В 1839 г. вышла книга:
Геомепгрическое изложение конических сечений 1. Балласа, профессора математики в Эдинбургском университете. Перевёл с английского М. Л е и и и, Корпуса корабельных пп/ксперов капитан и бывший воспитанник офицерского класса, состоящего при Морском кадетском корпусе. Санктпетербург, при Морском кадетском корпусе, 1839.
Тексту перевода предшествует здесь «Предуведомление от переводчика», из которого становятся ясными причины, почему книга была переведена и издана.
В своём предисловии М. Ленин, между прочим, писал: «Сочинение профессора Балласа состоит пз четырёх частей: в трёх первых изложены все свойства параболы, эллипса п гиперболы, основываясь па происхождении
1) «Начальные основания статики Л. Поансо», изд. II, 1842, стр. 2—3.
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО 167
этих кривых из главных их свойств на плоскости, подобно тому, как в геометрии свойства круга выводятся из его определения; в четвёртой части показано происхождение этих кривых па конусе чрез пересечение ого поверхности плоскостями, различно наклонёнными к оси, и даны средства определять радиусы кривизны и площади конических сечений. Каждая часть представляет непрерывную цепь истин, которой первое звено — определения. Доказательства предложений ясны, просты, строги и требуют только знания свойств пропорций и первых начал геометрии. Словом сказать, *это сочинение о конических сечениях служит необходимым продолжением геометрии о прямой линии, плоскости и круге, и которого до спх пор недоставало па русском языке. Все истинные любители математики вероятно с удовольствием прочитают геометрию Архимеда и Аполлония, и поспешат дать ей место возле геометрии Эвклида...»
Большой интерес представляет предпосланное книге «предуведомление» М. В. Остроградского, которое восполняет наши сведения о взглядах его на преподавание геометрии. Хорошо известно, с каким интересом М. В. Остроградский относился к преподаванию именно этой математической дисциплины в средней и в!яс-шей школе.
Приведём это краткое «Предуведомление» полностью.
«11 р е д у в е д о м л е в и е.
Синтетическая теория конических сечений имеет так много полезных приложений, что преподавание сё принесёт несомненную пользу. Эта наука, плод остроумней тих греческих геометров, есть превосходное средство к изощрению способностей молодых людей, и иритом опа прилагается к строению кораблей, к артиллерии, минному искусству, начертательной геометрии, черчению карт и проч., а также может служить введением в аналитическую геометрию и во многих случаях окажет ей важное пособие. Даже можно прибавить, что опа полезна и для преподавания разных частей чистой математики, например днффе Ренциального исчисления. II действительно, всем известно,
168
И. Я. ДЕПМАН
что начинающие не совершенно понимают это псчпслеппе: они уверяются в справедливости его правил чрез приложение к вопросам, которые умеют решать без дифференцирования. Начинающие не иначе, как чрез проверку, получают доверие к дифференциальному анализу, и тогда только начинают употреблять его для решения новых для них вопросов, когда совершенно уверяются в справедливости его выводов; чрез употребление же они совершенно усваивают дух и правила этого анализа. Итак, для начинающих весьма важно знать несколько вопросов строго, с очевидностью решённых, и могущих служить поверкою дифференциальному исчислению. Такие вопросы встречаются на каждом шагу в синтетической теории конических сечений, н ни в каком другом исследовании нельзя найти их в таком числе, и так прямо ведущих к пели.
Мы думаем, что, по крайней мере, очень полезно заменить аналитическое изложение конических сечений синтетическим и ввести последнее в военно-учебные заведения и гимназии. Тем смелее предлагаем это мнение, что его разделяет знаменитый автор Атласа Тихого океана [адмирал И. Ф. Крузенштерн.—II. Д.]. Он поручил Корпуса Корабельных инженеров капитану Ленину, бывшему воспитаннику офицерского класса в Морском кадетском корпусе, перевести на русский язык статью о конических сечениях Эдинбургского профессора Вал-ласа (Wallace), п пздаёт её для руководства в вверенном ему Морском корпусе.
Очень желательно, чтобы между начальствующими учебными заведенпямп в России нашлпсь такие, которые разделили бы мнение нашего знаменитого мореходца и, по его примеру, воспользовались исправным и точным переводом г. Ленина.
М. Остроградский».
Взгляды М. В. Остроградского на педагогическое значение синтетической теории конических сечений нашли отклики в русской методической литературе. Вот что писал по этому поводу автор капитального и оригинального
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО ЦИ)
русского курса линейного геометрического черчения А. П. Орлов1):
«Сочинений, посвящённых синтетическому изложению свойств конических сечений, а равно и прочих плоских кривых линий, вычерчиваемых по точкам, наша русская литература представляет весьма мало, да и те, которые имеются, как, например, геометрическое изложение конических сечений Валласа (перевод с английского М. Ленина. С.-Петербург, 1839 г.), сделались уже библиографической редкостью; а между том именно такое синтетическое, как наиболее конкретное, преподавание свойств прочих плоских кривых линий представляется не только возможным, но и в высшей степени желательным в наших средних учебных заведениях, как прямое и непосредственное приложение начал евклидовой геометрии, приложение, являющееся, так сказать, венцом последней. Только после такого синтетического обзора криволинейной геометрии учащемуся становятся вполне доступными отвлечённые основы аналитической геометрии, столь много способствующей к расширению умственного горизонта. Вот почему на синтетическую обработку учения о плоских кривых линиях мы п желали бы обратить особенное внимание в предполагаемом третьем выпуске этого сочинения, выход которого в свет будет находиться в зависимости как от того внимания, с которым будет встречена эта книга
х) Александр Петрович Орлов (1840—1889), воспитанник Казанского университета, был выдающимся представителем русского учительства XIX в. Он работал учителем Пермской гимназии, инспектором Иркутской гимназии, инспектором народных училищ Пермской губернии, директором Сарапульского реального училища, а с 1875 г. директором Казанского реального училища; помимо педагогической деятельности, занимался статистическими и этнографическими исследованиями, имел золотую медаль Русского географического общества; был также крупным специалистом по сейсмологии: в течение 20 лет тщательно собирал сведения о сейсмических явлениях в России и Сибири и напечатал в Казани работы: 4(0 землетрясениях вообще и о землетрясениях Южной Сибири и Туркестанской области в особенности», I, II, III, Казань, 1873— 1о76, «О землетрясениях в приуральских странах», 1873. Оставшийся незаконченным его труд «Каталог землетрясений Российской империи» был дополнен и издан в 1893 г. проф. И. В. Мушкетовым, Записки Русского Географического о-ва, т. XXV.)
170
П. Я. ДЕНМАН
моими сотоварищами педагогами и учебной критиков, так равно п от материальных средств»1).
Мы привели две книги, в издании которых М. В. Остроградский принял участие, снабдив их своими «предуведомлениями». Есть основания предполагать, что таких выступлений М. В. Остроградского было больше. Поэтому было бы весьма важно разыскать и остальные аналогичные его выступления. Они несомненно способствовали бы расширению наших сведений о плодотворной педагогической деятельности М. В. Остроградского.
х) См. «Руководство к геометрическому линейному черчению. Составлено для реальных училищ, применительно к учебным пла нам Министерства народного просвещения, директором Казанского реального училища Л. П. Орловы м, Выпуск II, Издание почетного попечителя Казанского реального училища К. II. Рома нова, Казань, 1883», стр. V. Выпуск I вышел в Казани в 1877 г Книга представляет богатый источник сведений по теории черчения и о различных кривых. Обещанный автором III выпуск книги во был издан. Выпуск II заканчивается вопросами об окружности Русская педагогическая литература поистине может гордиться этой книгой.
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ.
портрета маслом, приписываемого художнику Л. Д. Крюкову. (Геометрически!! кабинет Казанского университета.)
О МИРОВОЗЗРЕНИИ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО1)
С. Л. Яновская
§ 4. Математическая строгость в понимании Лобачевского
1.	Нот такого вопроса в области методологии математики, останавливаясь па котором Лобачевский со всей ясностью не подчеркнул бы, что отнюдь не «чистая» логика, как таковая, а именно познание материальной действительности является определяющей задачей научного творчества математика (при решении которой ему, конечно, приходится пользоваться и логикой, как вспомогательным средством).
Казалось бы, никакого прегрешения против логики ие совершил Евклид, поместив постулат о параллельных именно как таковой в своих «Началах», т. е. не сделав обречённой на неудачу попытки доказать его. Больше того, с логической точки зрения, пз непротиворечивости геометрии Лобачевского как раз и следует правота Евклпда, сформулировавшего постулат о параллельных именно как постулат, а не как теорему.
И тем не менее Лобачевский не удовлетворён Евклидом, которого он обвиняет в... недостатке строгости. Ибо строгость, по Лобачевскому, не сводится к формальной правильности. Строгость неотделима у него от ясности и понятности, от полноты и всесторонности исследования, от умения не просто констатировать факты, но и объяснить
х) Начало статьи см. в «Историко-математических исследованиях», вып. III, 1950, стр. 30—75.
174
Л. ЯНОВСКАЯ
их — ответить на вопрос: почему? И с этой точки зрения не один только постулат о параллельных (способ его введения!) но удовлетворяет Лобачевского в «Началах» Евклида. Ещё в 1826 г., т. с. как раз в то время, когда он создавал неевклидову геометрию, Лобачевский писал:
«Во-первых, троякое измерение тел толкуется обыкновенно недостаточно. Нельзя дать ясного понятия о длине, ширине, толщине тел, когда с этого начинают геометрию1). Естьлп собственные чувства предохраняют от ложных заключений в продолжении геометрии, то всё остаётся желать избавить одну пз частей математики от нарекания погрешать против обыкновенной своей строгости, быть тёмной и недостаточной в самых основаниях. К тому ж, кто знает, какие от нас скрыты истины в том, чего мы не понимаем?» «...Начальные понятия применяются прямо к природе и тем самым отличаются от составных, которые необходимо требуют существо вания других, откуда бы они происходили. Поверхности и линии не существуют в природе, а только в воображении: они предполагают, следовательно, свойство тел, познание которых должно родить в нас понятия о поверхностях и линиях. Никто до сих пор не предпринимал труда восходить к сим источникам, и основания гео-
Об этом же Лобачевский говорит и в «Новых началах геометрии» (1835): «Геометрию начинают обыкновенно, придавая телам три протяжения, поверхностям два, линиям одно, в точке не допуская никакого. Называя три протяжения: длина, ширина, вы сота п разумея под этими названиями собственно три коордонаты, спешат, таким образом, преждевременные понятия сообщить словами, к которым разговорный язык придаёт уже какое-то, хотя для точной науки ещё неопределённое значение. В самом деле, как можно с ясностью себе представлять измерение в длину, когда не знаем ещё, что такое прямая линия? Как можно говорить о ширине, высоте, ничего не сказав наперёд о перпендпкулах, о плоскости, как бывают нерпендпкулы в одной п в разных плоскостях? Наконец, если в точке нет пи одного протяжения, то что же в ней остаётся за тем, чтобы она могла быть предметом суждения?.. Короче: пространство, протяжение, место, тело, поверхность, линия, точка, направление, угол — слова, которыми начинают Геометрию, но с которыми никогда по соединяют ясного понятия» (Полное собрание сочинении, т. II, 1949, стр. 162—163).
О МИРОВОЗЗРЕНИИ П. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
175
метрии остаются тёмными} а после этого пе мудрено, что в ней и многое но выдержит строгого разбора»1).
Итак, в началах геометрии, как они трактуются у Евклида и его последователей, нет надлежащей строгости именно потому, что «никто до сих пор не предпринимал труда восходить» к источникам геометрии, которыми являются свойства материальных тел природы, тех самых тел природы, оперирование с которыми на практике и должно было породить в нас абстрактные понятия геометрии. Такое отсутствие строгости но состоит при этом обязательно в каких-нибудь ложных заключениях. От таковых предохраняют пас «собственные чувства». Отсутствие строгости состоит уже в темноте и недостаточности оснований, в том, что нам преподносят нечто догматически, не выяснив его происхождения и источника в материальной действительности — в природе, не раскрыв его подлинного содержания, пе сделав его понятным (и, следовательно, познанным). Замечание И. И. Бронштейна2) по поводу слов Лобачевского: «К тому ж, кто знает, какие от нас скрыты истины в том, чего мы не понимаем?», состоящее в утверждении, что когда Лобачевский писал эти слова, скрытые истины стали уже раскрываться для пего, представляется мне, безусловно, правильным. Лобачевский не мог удовлетвориться простым допущением правильности евклидова постулата о параллельных, но должен был выяснить суть этого постулата: прежде всего ответить на вопрос о том, является лп он действительно необходимым3), — не возможна лп, иными словами, такая геометрия, где этот постулат неверен? И когда оказалось, что возможна, то истина стала раскрываться перед ним.
Но каков бы ни оказался ответ на этот вопрос, Евклид во всяком случае заслуживал от Лобачевского упрёка в нестрогости. Ибо если бы евклидов постулат оказался
г) «Материалы для биографии II. II. Лобачевского», собрал и редактировал Л. Б. М о д з а л е в с к и й, М.—Л., 1948, стр. 177. — Курсив мой.
2) См. «Историко-математические исследования», вып. III, стр. 186.
_ 3) Если источником геометрии служит движение твёрдых тел в оесконечном пространстве.
176
С. А. ЯНОВСКАЯ
необходимым, то его нужно было бы доказать, и тогда Евклид был бы неправ, поместив его в числе постулатов. Если же оп пе является необходимым, то возможны и другие геометрии, и тогда Евклид опять-такп неправ, произвольно устранив пх пз рассмотрения и отказавшись от исследования других возможностей. В обоих случаях его можно упрекнуть в недостаточной строгости, состоящей именно в невыясненности действительного положения вещей, в односторонности и неполноте изложения. II такой упрёк Евклиду в недостатке строгости Лобачевский действительно делает: «... нигде в Математике,— пишет он в 1829 г., — нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий»1). В том, что этот упрёк относится именно к недостаточной обоснованности основных понятий геометрии Евклида, к отказу от выяснения прпчпн, побуждающих принимать без доказательства истины, вроде постулата о параллельных, к устранению самого вопроса о том, является ли этот постулат действительно необходимым, убеждают нас уже слова, которые сопровождают это место. «В самом деле, кто не согласится, — пишет здесь Лобачевский, — что никакая Математическая наука по должна бы начинаться с таких тёмных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию...». « Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в Геометрии предостерегает нас представление самых предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства убеждаемся простотою их и опытом, например астрономическими наблюдениями: однакож всё это нисколько не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению, К тому и не в праве пренебрегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем, не послужит ли оно ещё к чему другому»2).
Начиная ещё с 1822 г., т. е. с того времени, когда он считал «параллелизм линий» «трудностью», «до *спх пор
9 «О началах геометрии» (Полное собрание сочинений, т. I, 1946, стр. 185). — Курсив мой.
2) Там же, стр. 185—186,—Курсив мой.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. Л0БАЧЕВСК01 О
477
непобедимой»1), вплоть до «Пангеометрии», где, помимо утке приводившихся нами (в § 2) слов о недопустимости произвольных допущений2), идёт речь о недостаточности и неполноте «большей части определений, даваемых в началах геометрии, потому что эти определения не только не указывают на происхождение геометрической величины, которую хотят определить, но даже не доказывают, что такие величины существовать могут»3), Лобачевский неизменно делает упрёки Евклиду по поводу недостаточной обоснованности основных понятий его «Начал», по поводу отсутствия в нпх поэтому необходимой строгости. Ясно, таким образом, что это не случайное высказывание, а глубоко продуманная материалистическая линия, состоящая в требовании выяснить происхождение абстрактных понятий математики из материальной действительности, из природы, чтобы таким образом выявить скрытые в ней закономерности и возможности. Понятно в этой связи также, почему даже подтверждённая на опыте истинность принятого без обоснования допущения не удовлетворяет ещё полностью Лобачевского с точки зрения предъявляемых им требований научной строгости. Истина не должна быть случайной, по Лобачевскому. Недостаточно простой констатации некоторого обстояния или факта: его нужно уметь правильно объяснить, вскрыв его происхождение и источники. В противном случае мы не предохранены даже от возможности прямых ошибок в наших допущениях, от которых в таком случае ещё не гарантирует нас полностью даже то обстоятельство, что основанные на этих допущениях выкладки не ведут к противоречию ни друг с другом, ни с имеющимися уже в нашем распоряжении наблюдениями. Ибо при этом не исключена возможность, что «... наши вычисления могут быть строго верны; зато основания их ложны, понятия наши искус
1) Модзалевский, стр. 205. По поводу датировки цитируемого конспекта см. упомянутую выше статью И. Н. Бронштейна.
стр *44^М’ «Историко-математические исследования», вып. III, мой ^олное с°брание сочинений, т. III, 1951, стр. 436.— Курсив
Исто; ино-мн м и-следоваппя
178
С. А. ЯНОВСКАЯ
ственны и только случайно счастливы, по неизвестным причинам способны заменять истинные»1).
Достаточно сопоставить этот подход Лобачевского с утверждениями всевозможных современных логистов, логических позитивистов, формалистов, неоформалистов и прочих реакционных идеалистов, чтобы увидеть, насколько существенную роль в борьбе с идеалистическими извращениями в математике играют и в наши дни убо ждённые материалистические мысли Лобачевского. Если для Лобачевского отсутствие обоснования правильности (в данных условиях 2)) евклидова постулата о параллельных и произвольное устранение других возможных постулатов является совершенно нетерпимым недостатком строгости, то для современного неоформалиста Карри вопрос об обосновании приемлемости той или иной формальной системы «не существенен для проблемы математической строгости»3). «Как математики, мы должны знать, к какому роду систем принадлежат — будучи формализованными наши теоремы; но исключать системы, которые не удовлетворяют тому или другому критерию приемлемости [в том числе теперь даже (о, прогресс!) требованию непротиворечивости.— С. ЯЛ есть педантизм»4).
Иными словами, математик «свободен» в выборе постулатов для своих теорий, подчинённых таким образом только... случаю. «Наука», «развивающаяся» на таких «основах», не есть больше наука, а прекрасные аргументы для борьбы с реакционными проповедниками этой лженауки мы и сейчас ещё можем почерпать в оригиналь-
х) М о д з а л с в с к и й, стр. 173. — Курсив мой.
2) Говоря о том, что результаты астрономических наблюдений, рассматриваемые в свете его геометрии, ведут к заключению, что «следовательно до сих пор употребительная Геометрия... более чем достаточна в измерениях на самом деле», Лобачевский добавляет: «К такому заключению можно даже притти с помощью предложений довольно простых и приличных началам науки» (Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 1Q2).
3) Н. В. Carr у, Some aspects of the problem of mathematical rigor (Некоторые аспекты проблемы математической строгости), «Bull, of the Amer. Mathem. Soc.», t. 47, № 4, 1941, стр-24).
4) Там же, стр. 241.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
179
пых творениях великого русского математика И. И.' Лобачевского, на открытии которого тщетно пытаются паразитировать идеалистические мракобесы.
2.	Чтобы ещё раз удостовериться в том, что недостаток строгости в евклидовой теории параллельных Лобачевский видел прежде всего в догматическом — без надлежащего обоснования — введении постулата о параллельных, полезно сопоставить отношение его к этому постулату с отношением к одному из важнейших принципов механики, так называемому началу возможных перемещений, согласно которому необходимым и достаточным условием для равновесия системы служит равенство нулю, для каждого возможного перемещения системы, суммы работ активных приложенных к пой спл. Материал, относящийся к этому принципу, я заимствую из «Конспекта Н. И. Лобачевского по преподаванию аналитической механики в Казанском университете в 4824—1825 учебном году».
Конспект представляет особый интерес потому, что он написан в то самое время, когда Лобачевский работал над созданием неевклидовой геометрии. Так же, как Лобачевского не удовлетворяет в геометрии догматическое введение какого бы то ни было постулата о параллельных — евклидова пли противоположного евклидову — в виде «произвольного допущения», т. е. без выяснения подлинного существа дела, без «строгого разбора» (без критического анализа) различных имеющихся возможностей и условий их осуществления, т. е. без всякого объяснения п ответа на вопрос: почему! — его не удовлетворяет и аналогичное введение в механику начала возможных перемещений, и он ищет обоснования (доказательства) этого принципа. [Напомним в этой связи ещё раз, что свой первый доклад по неевклидовой геометрии (11 февраля 1826 г.) Лобачевский озаглавил: «Сжатое изложение пачал геометрии со строгим доказательством теоремы 0 параллельных линиях». «Доказательством» и «теоремы», потому, конечно, что он действительно доказывал в нём возможность геометрии, отлпчной от евклидовой, и рассматривал свою теорию параллельных, как — в отличие
12*
ISO
С. Л. ЯНОВСКАЯ
от евклидовой — полную (общую)1) и доказанную (обосно ванную) с помощью обращения к свойствам твёрдого тела, абстрагируемым нами при изучении движения тел природы, хотя бы и «невообразимо уточнённой в своих началах»2). ]
Аналогично тому, как все теоремы геометрии должны были выводиться, по Лобачевскому, исходя из сё основных понятий, понятия же эти, которые «мы приобретаем в природе посредством наших чувств»3), были отражениями свойств материальных тел, почему л заключали в себе истинные с у ж д е и и я, — все положения механики должны были также вытекать из её основных понятий. «Понятия о сило, движении, скорости, массе полегаю я в основание механике, откуда вся наука выво дптся уже прямо суждением», писал он4). Никаких недоказуемых — необоснованных — принципов в механике поэтому не должно быть. Но именно поэтому же исход ные понятия механики должны быть, с одной стороны, глубокими и содержательными, с другой стороны, они должны вводиться с полною строгостью и ясностью, позволяющей выявить всю глубину их содержания, все заключённые в них трудности. «От ясности первых поия тий зависит успех всего учения, — продолжает свою мысль Лобачевский, — а потому и почитаю лучше утвер дпть в них всякого лишним повторением, нежели допустить тёмность, предположив, что они легко были при обретены»5).
*) Содержащую в себе, в частности, и евклидову.
2) М о д з а л е в с к п й, стр. 183.
3) Полное собрание сочинении, т. II, стр. 164.
4) М о д з а л е в с к и й, стр. 186.
5) Там же, стр. 186—187. Ср. со следующими словами из конспекта по геометрии на тот же год: «Начала геометрии казались некоторым столь легки, что они предлагали проходить их прежде арифметики и алгебры. Однакож, есть ли в математике строгость необходима, то начала геометрии представляют трудности, которые должно встретить зрелому уму суждением, укреплённым предшествовавшим уже учением математики. Не указать на них значило бы сделать важное упущение в преподавании, потому что воспитанники университета готовятся сами быть наставниками, через них ожидают распространения просвещения, что они могут вести его и далее, а следовательно, они должны учиться всему основательно».
о МИРОВОЗЗРЕНИИ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО	181
Одной из основных трудностей, заключённых уже в исходных понятиях механики, и является, по Лобачевскому , трудность, связанная с началом возможных перемещении. Вот как сам Лобачевский объясняет возникновение и сущность этой трудности. «Я начинаю механику, пишет он, — с соединения сил, действующих па одну точку. Перехожу к равновесию твёрдой системы и твёрдых тел, каковы они в природе; но это только предварительное учение, которое должно служить впоследствии приме ром и подтверждением общею способа. Снова обращаюсь к равновесию одной точки под особенными условиями, откуда рождаются силы сопротивления и которые можно представлять поверхиостню или линией, ограничивающею свободу движения точки. Прихожу к уравнению, которое одно заключает в себе всё нужное для определения обстоятельств, сопровождающих равновесие. Не оставаясь при одних аналитических выражениях, толкую правило получаемых скоростей (principe des vitesses virtuelles) на чертеже, чтобы сделать ощутительнее представление, и, наконец, объясняю, как обнаруживается это правило во всяком случае равновесия, над всякою связью при всяких условиях, ('лишком большая обширность [общность. — С. Я.] сего правила и бесконечное различие возможных условий, которым подчиняются тела в своём движении, представляли столь много затруднения обнять их в доказательстве, что должно откровенно сказать: совершенно удовлетворительною объяснения нет»1).
Итак, в курсе, читавшемся Лобачевским, начало возможных перемещений или, как его называет Лобачевский, правило получаемых скоростей появлялось отнюдь не как бог из машины в греческих трагедиях. Он подготовлял его введение на частных примерах, толковал его, «чтобы сделать ощутительнее представление», на чертеже, объяснял с ого помощью как случаи равновесия, так и случаи нарушения равновесия, и всё же считал этот принцип недостаточно обоснованным, поскольку необходимость его
(М о д з а л е в с к и й, стр. 177. Курсив мой). Научная строгость, по Лобачевскому, состоит таким образом не в замазывании труд костей, а в их раскрытии и преодолении.
*) М о д з алев с к и и, стр. 187
182
С. А. ЯНОВСКАЯ
не была доказана во всей её общности. Поясняя, почему он считает, что «совершенно удовлетворительного объяснения нет», Лобачевский критиковал прежде всего Лагранжа и Лапласа. Лагранжа за то, что он «начинает прямо отсюда [т. е. с начала возможных перемещений.—С. Я.\ свою Механику»1), иными словами, поступает по существу так же, как Евклид, который начал свою геометрию прямо с таких производных понятий, как точка, линия и поверхность, но выяснив их происхождения и источника. Лапласа за то, что он, «кажется, хотел уклониться от огвета п скрыться в выражениях неопределённых»2). Больше того, Лобачевского но удовлетворяют полностью даже Пуассон и Фурье, хотя они «сделали более и даже - все необходимое: они рассмотрели все случаи, какие действительно могут встретиться в природе»3). Это явствует не только из того, что Лобачевский считает, что «совершенно удовлетворительного объяснения нет», но и из следующих, вслед за приведёнными, слов его: «Я думаю, что могу пополнить недостаток, одпакож хочу ожидать прежде суждения других и до времени следовать в препо давании примеру знаменитых математиков Пуассона и Фурье»4). Таким образом, даже в том случае, когда необ
l) М о д з а л е в с к и й, стр. 187.
2) Там же.
3) Там же. Пуассон и Фурье сводили вопрос о равновесии си (•темы к вопросу о равновесии точки, заменяя при этом связи си стемы реактивными силами (силами связи), которые затем требо валось исключить из полученного уравнения. Но, как популярно объясняет В. Л. Кирпичев в своих «Беседах о механике» «...чтобы исключить силы связи, нужно хотя бы что-нибудь знать о них. Необходимо сказать, в чём состоит связь двух точек, нужно определить, описать её, и тогда исключение возможно... В большом числе случаев связи можно подвести под следующие типы: а) расстояние между двумя точками не изменяется; б) какая-нибудь точка системы принуждена при своих перемещениях оставаться на определённой поверхности (па шаре, на плоскости и т. д.); в) два тела, входящие в состав системы, должны непременно соприкасаться между собою. Для этих типов исключение сил связи делается без труда, и в результате получается начало возможных перемещений.
Подобным путём доказали начало возможных перемещений Фурье, Пуассон..*.» (стр. 26).
4) Там же. Заметим, что Фурье принадлежал к числу математиков, близких к матерпалпзму. Недаром Якоби в письме к Лежандру
и МИРОВОЗЗРЕНИИ И. 11. . 1О1.ЛЧЕВСКОГО
1ЬЗ
ходимость принципа Уже доказана посредством обследования всех частных случаев, которые «действительно могут встретиться в природе», Лобачевский не считает вопрос исчерпанным. Его нс удовлетворяет простая проверка правильности рассматриваемого начала, выполненная по особому для каждого отдельного случая; он хочет знать не только, правильно ли оно (с этой стороны Пуассон и Фурье сделали «всё необходимое»), но и почему оно правильно. Ио именно поэтому же, как мы видели, не удовлетворяла Лобачевского и та форма, в которой был преподнесён постулат о параллельных в «Началах» Евклида, форма, в которой не раскрывалась подлинная сущность этого постулата, не выяснялись условия его применимости и правильности, и он выступал как безапелляционный догмат, без всякого объяснения отсекающий все другие возможности.
3.	Если попытаться кратко сформулировать, в чём именно должна была состоять математическая строгость по Лобачевскому, то нужно будет сказать:
а)	в полном и всестороннем исследовании начал науки с точки зрения их происхождения и источника в материальной действительности — в природе;
б)	в устранении всякой неясности и темноты, обусловленных, по Лобачевскому, именно тем, что остались невыясненными материальные основы наших абстрактных понятий;
в)	не в замазывании, а в выявлении трудностей, скрывающихся часто даже за такими понятиями, которые на первый взгляд представляются очень лёгкими;
писал о нём: «Фурье действительно полагал, что главная цель математики состоит в служении обществу и в изъяснении естественных явлений; во такой философ, как он, должен был бы знать, что единственной целью знания является слава человеческого разума, и что с этой точки зрения вопрос о числе имеет такую же ценность, как и вопрос о мировой системе». Но как раз в вопросах философии Фурье стоял неизмеримо выше не только Якоби, но даже Гаусса, который — не ради славы ли человеческого разума? — считал математику царицей всех наук, а арифметику царицей математики (см. А. Фосс, Сущность математики, Гос. изд., 1923, стр. 107).
184
С. А. ЯНОВСКАЯ
* т) r соблюдении строгой .последовательности выводов, раскрывающей связи между истинами и таким образом служащей средством не только их формально-логического доказательства и проверки, — даже не только выявления пх подлинного содержания и смысла, — но и открытия новых истин;
д) в установлении правильного соотношения между логически строгой и точной математической теорией и ёе практическими приложениями.
На последнем пункте нам придётся остановиться особо. Что касается первых четырёх, то я позволю себе ограничиться, в дополнение к уже приведённому материалу, несколькими цитатами, подтверждающими правильность пх формулировки.
Прежде всего, одна совсем короткая фраза*. «Строгость», говорит Лобачевский, — это «существенная принадлежность всякого Математического учения»1).
Строгость особенно необходима в началах науки, необоснованность которых всегда является препятствием к её развитию.
«Алгебру и Геометрию постигла одинаковая участь. За быстрыми успехами в начале следовали весьма медленные и оставили науку на такой степени, где она ещё далека от совершенства. Это произошло, вероятно, от того, что Математики всё своё внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою.
Всякий, надеюсь, согласится с справедливостью моего замечания, что первые понятия во всех отраслях Математических наук приобретаются легко; но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и впоследствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей. Где-нибудь, однакож, надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места»2).
г) «Алгебра или вычисление конечных» (Полное собрание сочинений, т. IV, 1948, стр. 23).
2) Там же, стр. 24. — Курсив мой.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ 11. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
к 5
Это место пз «Алгебры» Лобачевский почти полностью воспроизводит в дальнейшем в «Новых началах геометрии». Здесь идёт речь об авторах курсов геометрии, предполагающих «развитие, хотя бы неполное, тех понятий, которые составляют природный ум наш и которым остаётся придать только названия, не распространяясь много в объяснениях и не затрудняясь точностпю в определениях. Если лёгкость п простота заставляют избирать такой способ преподавания, то на стороне строгой истины всегда будет своё преимущество, которым когда-нибудь надобно пользоваться. Первый опыт этому сделал я с Алгеброй, и теперь предпринимаю то же с Геометрией»1).
О роли логического доказательства и строгой последовательности логических выводов в математике с особою яркостью говорит Лобачевский в том самом «Конспекте на 1824—1825 учебный год», который мы уже неодно кратно цитировали. «Точные науки,—пишет он здесь,-отличаются тем, что в начале их полагаются те понятия, откуда производится всё учение сплою нашего суждения»2). «...В математике... нельзя довольствоваться одним изложением истин, а должно утвердить их неоспоримо, убедить в них пссомпительно; наконец, чтоб прптти к последним, нельзя миновать на пути ни одной; даже для понятия математической истины надобно знать ей предшествующие, строго в них увериться»3). Вспомним, что это было написано в то самое время, когда Лобачевский создавал неевклидову геометрию. Строжайшая логическая последовательность выводов нужна была ему при этом не только как орудие доказательства уже открытой истины — средство проверки её правильности, но и как инструмент самого открытия новых истин: «Чтоб притти к последним, нельзя миновать на пути ни одной». Но и для желающего понять математическое предложение, строгое логическое доказательство выполняет функции не только Проверки. Без такого доказательства, раскрывающего связи между истинами, невозможно самоё их понимание,
*) «Новые начала геометрии» (Полное собрание сочинений, • П, 1949, стр. 165).—Курсив мой.
л М од за леве кп й, стр. 177.
3) Там же, стр. 175.
186
С. А. ЯНОВСКАЯ
выяснение пх подлинного содержания: «Даже для понятия [понимания.—С. Я.] математической истины на добно знать ей предшествующие, строго в них увериться». Самое же это понимание истин математики необходимо, конечно, тоже не ради самого себя. Оно должно служить целям практического приложения математики и её дальнейшего теоретического развития. Именно об этом смысле требования математической строгости говорит Лобачев скпй в «Наставлении учителям математики в гимназиях». «Ясность предмета и порядок, в котором строгое суждение связывает все истпны, — пишет он, — служат единственным средством, чтобы постигнуть и удержать общие правила. Польза от сего рода учения бывает двоякая', применение его к потребностям в нашей жизни и дальнейшее развитие самой науки»1).
Само собою разумеется, что такое понимание математи ческой строгости но имеет ничего общего с чисто формальным соблюдением определённых правил и исключением геометрической наглядности. Лобачевский жестоко критикует тех математиков, которые гоняются «за вообра жаемой какою-то строгостью» и без нужды стараются «освободить себя от геометрического воззрения»2).
Больше того, в отличие от современных беллов, карнапов и других идеалистов всевозможных толков, «освобождающих» математика не только от необходимости оправдывать введение тех пли иных постулатов, но теперь уже (опять «прогресс»!) и от соблюдения требований логики, поскольку «произвольными соглашениями» провозглашаются самые правила вывода, согласно которым математику надлежит оперировать с произвольно же вводимыми им аксиомами,—для Лобачевского математическая строгость есть инструмент, направленный против всякого произвола. «Здесь ничего не может быть произвольно»—говорит он; «всё строго, ясно, определённо»3).
II если математик-материалист, соблюдающий требования логической строгости, стремится уменьшить число
х) См. «Труды Института истории естествознания АН СССР»» т. II, 1948, стр. 555.—Курсив мой.
2) М о д за л евскп й, стр. 184.
3) Там же стр. 186.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО	187
своих исходных положений, то это опять-таки обусловлено желанием нс просто констатировать истину, но п понимать её причину. «...Усилие человеческого ума всего знать причину... заставляет математиков приводить их начальные понятия к самому меньшему числу»1).
Множество идеалистических спекуляций связано с противопоставлением внутренней логической строгости математики приближённому характеру её приложений. В борьбе с этими спекуляциями и сейчас не утеряли значения высказывания Лобачевского о соотношении логической строгости и точности математики с её практическими приложениями. Однако этот вопрос будет освещён в параграфе, посвящённом мыслям Лобачевского о роли анализа и синтеза в математике.
4. Предварительно остановимся ещё па некоторых вопросах, связанных с математической строгостью. Прежде всего отметим еще раз, что оригинальность творчества Лобачевского отнюдь не предполагает в нём одиночку, оторванного от борьбы мировоззрений, происходившей в его время. Наоборот, Лобачевский был органически включён в эту борьбу, которую он вёл со всею страстью и притом на стороне передового естественно-научного материализма его времени. Материалистическую линию в русском естествознании, на стороне которой стоял и за которую боролся Лобачевский, нетрудно проследить в связи со всеми основными моментами его мировоззрения, в том числе и в связи с отношением Лобачевского к вопросам математической строгости. Здесь я позволю себе ограничиться только сопоставлением взглядов Лобачевского на математическую строгость со взглядами основоположника русского естествознания М. В. Ломоносова, отнюдь не претендуя при этом на полноту освещения вопроса.
Заметим прежде всего, что так же, как и Лобачевского, математическая строгость привлекала Ломоносова не ради самой себя, а как инструмент познания природы, вспомним знаменитые его слова из «Слова о пользе Х11мии»: «Не такой требуется математик, который только
г) М одза л е в с к и й, стр. 204.
188
С. А. ЯНОВСКАЯ
в трудных выкладках искусен, но который, в изобретениях и в доказательствах привыкнув к математической строгости, е натуре сокровенную правду точным и непо-поязновенным порядком вывесть умеет» *).
Мы неоднократно останавливались уже на отношении Лобачевского к началам науки: на его требовании не пре небрегать их кажущейся лёгкостью, но вскрывать скрывающиеся в них трудности: и притом вскрывать, обращаясь к исследованию происхождения в природе самых, казалось бы, простых, обычных, всем известных понятий, таких, как точка, линия, поверхность, длина, ширина, объём и др.: на борьбе Лобачевского с установками тех математиков и механиков, которые предпочитают отказываться от трудной задачи обоснования принятых ими начал; на его возмущении («нельзя терпеть такого недостатка строгости») математиками, которые в тех случаях, когда в наличии имеется несколько различных возмож костей, без всякого объяснения причин, руководящих ими, без обращения к опыту и наблюдению выбирают, в порядке «произвольного допущения», одну из них, не заметив существования других.
Замечательно, что многие черты этого отношения к началам науки мы находпм уже у М. В. Ломоносова. Пе приходится сомневаться в том, что установки Лобачевского но праву могут быть названы дальнейшим развитием тех же взглядов, которыми руководился на этот счёт и М. В. Ломоносов. В подтверждение привожу несколько цитат из «276 заметок по физике» М. В. Ломоносова:
«В конце, — пишет Ломоносов, — надо обещать трактат о началах»* 2). «Если бы я захотел читать, ещё по зная букв, это было бы бессмысленно.Точно так же, если бы я захотел судить о явлениях природы, не имея никакого представления о началах вещей, это было бы такой же бессмыслицей»3). Иными словами, в основу науки — в сё начала — должно быть положено исследование начал вещей.
г) М. В. Л о м о и о с о в, Избранные философские произведши!, 1950, стр. 169.— Курсив мой
2) М. В. Ломоносов. Сочинения, т. I, 1950, стр. 15».
3) Там же, стр. 145,
О МИРОВОЗЗРЕНИИ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
189
«Элементы природных вещей столь же необходимы, как ,, их познание»1).
Но выполнение этого требования — отнюдь не лёгкая задача. «Сколь трудно полагать основания! Ведь [при этом! мы должны как бы одним взглядом охватывать совокупность всех вещей, чтобы нигде не встретилось противопоказаний»2). Трудность задачи не означает, однако, будто ею можно пренебрегать. Задача правильного исследования начал имеет исключительную важность. «Из-за не вполне правильной системы начал много вредного вкрадывается в медицину и в другие науки»3).
Не приходится поэтому пренебрегать и исследованием самых простых понятий. «Заблуждались бы математики, если бы, отбросив самые простые понятия, стали исследовать трудные; заблуждаются физики, когда пренебрегают тем, что даёт повседневный опыт, и ставят изысканные и трудные опыты»4) (само собою разумеется, в том случае, если они это делают, пренебрегая повседневным опытом, а отнюдь не вообще). ь
По Ломоносову нельзя положить в основу науки никаких постулатов или гипотез, не подлежащих строгому обоснованию и проверке; и притом не только принимаемых просто в качестве произвольных допущений, но даже представляющихся сколь угодно вероятными; особенно, если идёт речь о таких вещах, которые непосредственно недоступны нашим чувствам. «В деле, столь глубоко скрытом и непосредственно недоступном чувствам,—пишет Ломоносов, — я постараюсь двигаться самым осмотрительным образом...; я не признаю никакого измышления и никакой гипотезы, какой бы вероятной она ни казалась, без точных доказательств, подчиняясь правилам, Руководящим рассуждениями»5).
Не внутри самой науки достигается, однако, доказательство основных её положений. Оно получается в результате их применения к объяснению явлений природы.
Ч М. В. Ломоносов. Сочинения, т 1 1950, стр. 135.
2) Там же.	1
3) Там же, стр. 143.
Ч Там же, стр. 153.
) Там же, стр. 115. Курсив мои.
190
С. А. ЯНОВСКАЯ
«Надо напомнить, что я прп объяснении явлений буду поступать так, чтобы не только они легко объяснялись из основного положения, но и доказывали самое это положение»1). Отчасти об этом же говорит Ломоносов и в следующем месте: «Пусть не выставляют здесь трудно объяснимых явлений в качестве доказательств для защиты противной стороны или для ниспровержения моей системы, ибо всё это я объясню в своё время и тем же. самым дамсе докажу моё основное положение»2).
Прп всей специфике приведённых положений, отри панне которой было бы отнюдь не правомерно, близость ряда основных установок Ломоносова по вопросам, относящимся к исходным положениям («началам») науки, со взглядами Лобачевского не подлежит сомнению. И Лобачевский, п Ломоносов подчеркивают как важность, так и трудность исследования начал науки. Оба хотят начинать науку с исходных понятий или положений, подтверждаемых не внутри самой науки, а посредством обращения к явлениям природы (только у Лобачевского, у которого идёт речь о более простой науке— геометрии, началами должны быть чувственно воспринимаемые свойства тол; у Ломоносова же, у которого идёт речь о физике и химии, началами вещей, которые «столь же необходимы, как и их познание», являются уже непосредственно недоступные чувственному восприятию молекулы и атомы). Оба предлагают не пренебрегать при этом самыми простыми, обыденными понятиями, самым обычным, повседневным опытом. Оба считают необходимым обосновывать свои исходные понятия и положения; оба не допускают построения науки на основе каких-нибудь необоснованных измышлений пли принципиально не поддающихся проверке гипотез.
В этой связи стоит ещё отметить, что в тех случаях, где,—как позднее и для постулата о параллельных,— речь шла о таких вещах, которые оказывались но единственно необходимыми, Ломоносов, как впоследствии и Лобачевский, требовал выявления причин, объясняю
!) М. В. Ломоносов, Сочинения, т. I, 1950, стр. 131.— Курсив мой
2) Там жр, стр. 135.—Курсив мой.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
191
щих осуществление именно одной из имеющихся возможностей. Так, известно, что, с точки зрения Ломоносова, вес тела (тяжесть) не является неотделимым от пего (от тела) признаком, но «может отсутствовать во всяком теле, как отсутствует движение, рождающееся от ускорений падающих тел» х).
Та или иная тяжесть тела предполагает поэтому некоторую причину, нуждающуюся в выяснении. «Я не согласен с теми, кто считает тяжесть тел существенным их признаком и но находит нужным исследовать её причины... Так как должно быть достаточное основание, по которому чувствительные тела преимущественно напра вляются к центру земли, то следует поискать причину тяжести» * 2).
Тела на земле действительно падают, будучи предоставлены самим себе, по направлению к центру земли. Не естественно ли поэтому провозгласить вместе с пери патетикамп это свойство тел их неотъемлемой природной сущностью, нарушаемой лишь противодействием других тел, таких, например, как натянутая тетива лука, которая заставляет стрелу лететь в желательном для охотника направлении?.
Геометрия Евклида с её постулатом о параллельных ещё лучше соответствует нашему повседневному опыту: не выражает разве постулат о параллельных неотъемлемую и ненарушимую сущность прямой линии?
Письмо Л. Эйлеру. См. М. В. Ломоносов, Избранные философские произведения, 1950, стр. 159.—Для перипатетиков тяжесть тела—стремление его к «центру вселенной»—являлась не результатом взаимодействия двух тел, а собственной сущностью, неотделимым естеством всякого тела, взятого само по себе и спонтанно стремящегося к своему естественному месту, где реализуется его совершенство, —к центру мира. Действие других тел может состоять только в том, что они могут воспрепятствовать осуществлению этого «естественного» стремления. Против такой концепции тяжести, как «нерушимой [противодействующими влияниями.—С. Я.\ сущности» тела и возражает Ломоносов.
2) Там же. Ср. с этим слова Лобачевского: «Люди без всякого образования почитают за необходимое условие существования тел и то, что они падают вниз, то есть, они считают такое качество тел между начальными понятиями; но малейшая тень просвещения заставляет видеть здесь одно явление и рассуждать о его причине» (М о д з а л е в с к и й, стр. 204).
192
С. А. ЯНОВСКАЯ
Доктрина перипатетиков была отвергнута, правда, ещё Ньютоном. Но Ньютон, сформулировавший закон тяготения, избегает ставить вопрос: почему? Ломоносов смело ставит этот вопрос. II хотя в то время на него ещё нельзя ответить, вопрос будит научную мысль, направляет её в сторону материализма.
Лобачевский идёт в этом направлении ещё дальше. Он хочет полностью разобраться в том, выражает ли действительно постулат о параллельных ненарушимую сущность прямой линии; если выражает, то почему? Если пе выражает, то какие ещё существуют возможности, и почему все-таки в «измерениях па самом доле» постулат Евклида верен? На все эти вопросы Лобачевский добивался ответа и ответ действительно получил1). То обстоятельство, что при этом должны были возникнуть новые вопросы, которые, в свою очередь, требовали ответа, свидетельствует только о том, насколько существенную роль в развитии пауки играет правильный, материалистический подход к ней.
5. Приведённым материалом можно было бы ограничиться, если бы в связи с рассмотренным нами подходом Лобачевского к вопросам, связанным с математической строгостью, не напрашивался естественный вопрос о том, почему всё-таки Лобачевский называл построенную им геометрию «воображаемой». Сам Лобачевский неоднократно, правда, сопровождал этот термин дополнительными пояснениями пли оговоркой. Так, уже в первом печатном изложении своей системы, в сочинении «О началах геометрии», Лобачевский противополагает свою геометрию употребительной геометрии не просто как воображаемую, но как более обгцую2).
Эту же черту своей геометрии подчёркивает Лобачевский п в «Новых началах геометрии». «Способ употребительной Геометрии, —пишет он,—приводит, следовательно,
х) В частности, оказалось, что вопрос об истинности постулата о параллельных не может быть решён в пределах геометрии как математической науки, но требует привлечения средств физики п астрономии.
*-) См. Полное собрание сочинений, т. I, стр. 194.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ И. И. ЛОБ КИЕВСКОГО
193
всегда к заключениям верным, однако же не в таком обширном [общем.—С. Я.] виде, в каком даёт их общая Геометрическая система, которую назвал я Воображаемая Геометрия»1). В другом месте (в тех же «Новых началах геометрии») Лобачевский уже прямо называет свою геометрию не просто воображаемой, но «Обгцей или Воображаемой2)', а в своём последнем произведении, в «Пангеометрии», он, как известно, уже совсем отбросил термин «воображаемая» и сохранил только «общая», переименовав свою геометрию в nai (геометрию, т. с. «всеобщую геометрию».
Но тем нс менее термин «воображаемая» принадлежит самому Лобачевскому. Почему же он ввёл его, если считал свою геометрию основанной па таких началах, источник которых находится в материальной действительности, в природе, если сам неизменно подчёркивал, что речь идёт именно о «более общей» геометрии, включающей в себя употребительную геометрию, как частный (предельный) случай?
Мотивы, побудившие Лобачевского назвать свою геометрию «воображаемой», нетрудно проследить. Лобачевский неоднократно подчёркивает, что если даже «принятая всеми» геометрия не абсолютно верна, но является лишь приближённо верным отображением физического пространства3), то приближение это настолько близко к действительности, «что в измерениях на самом деле принятая всеми Геометрия более нежели достаточна»4). Наоборот, хотя его, «воображаемая», геометрия более обща, а в природе не исключены возможности осуществления — в разных условиях (например, в микро- или, наоборот, макромире) — разных геометрий, данных в пользу претворения этих возможностей в действительность у него ещё нет. Различие между обеими — возможными, по
х) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 160.
2) Там же, стр. 277.
3) Т. е. если в этом пространстве действует на самом деле геометрия Лобачевского, но при весьма большом значении парамет-₽а> от которого зависят её формулы.
4) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 160.
13
Историке-матем. исследования
194
С. А. ЯНОВСКАЯ
Лобачевскому, — геометриями и состоит таким образом «в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдении должны предполагать ум, ственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений»1). И хотя эти наши «умственные предположения» отнюдь не беспочвенны, ибо соответствуют научно обоснованным возможностям, подо тех пор, пока последние остаются только возможностями, проверить которые «при недостатке наблюдений» мы ещё не в состоянии, соответствующая им геометрия принуждена быть в некотором смысле «воображаемой». Однако такой «воображаемой», которую мы не только можем, но даже обязаны вообразить себе, если хотим бьпь научно строгими, хотим разобраться в теории параллельных.
Прежде всего здесь следует ещё раз напомнить, что, как геометрическая теория, «воображаемая» геометрия ио зависит, по Лобачевскому, ни от каких «умственных предположений», возможность которых ничем не обоснована. «Умственные предположенпя» относятся, собственно, ие к самой «Общей или Воображаемой» геометрии, не менее строгой и правомерной, по Лобачевскому, чем математический анализ2), а к вопросу о том, где можно ожидать возможных осуществлений геометрии, отлпчной от употребительной. Поскольку теоретически такие осуществления возможны, их следует ожидать, по мнению Лобачевского, и практически. Пока они, однако, не найдены, геометрия, отличная от употребительной, остаётся ещё воображаемой.
Далее, согласно Лобачевскому, дело здесь обстоит так: мы «одолжены чувствам» всеми нашими основными понятиями о телах3), познаваемых нами в их двп-
*) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 160.
2) Чего, как мы видели, с его точки зрения, нельзя сказать про традиционную геометрию, отказывающуюся от исследования различных возможностей, заключённых в теории параллельных линий.
3) «Первыми данными без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств» (Полное собрание сочинений, т. II, стр. 164).
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
195
жении1). Но «начальными понятиями» науки могут быть только такие, которые представляют собой «необходимое следствие существа вещей», изучаемых этой наукой. В числе исходных понятий геометрии2), изучающей метрические свойства твёрдых тел, проявляющиеся в их движении, должны быть поэтому лишь такие, которые имеют смысл при любых физических условиях, допускающих движение твёрдого тела как такового. Именно таковы, согласно Лобачевскому, те «начальные понятия» геометрии, которые мы заимствуем в природе непосредственно с помощью наших чувств. Но в таком случае мы совершаем недопустимое прегрешение против строгости, если пытаемся чисто логически—не прибегая к дополнительному опыту—вывести из исходных понятий геометрии такие геометрические свойства тел, которые могут быть разными в разных физических условиях, или если по произволу объявляем их необходимыми истинами.
Этого прегрешения не совершает геометрия Лобачевского. Но она и не ограничивается рассмотрением «абсолютных» свойств, не зависящих от особенностей физического пространства. Она исследует не только вопрос о том, какими геометрическими свойствами обладают тела па самом деле (в данных физических условиях), но и какими свойствами они могут обладать3); и поэтому она
г) «В природе мы познаём собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны» (Полное собрание сочинений, т. II, стр. 158).
2) На вопросе об исходных понятиях геометрии, по Лобачевскому, среди которых основным является понятие соприкосновения, мы остановимся особо в дальнейшем.
8) В этой связи мне представляется уместным привести очень хорошую с методологической точки зрения цитату из доклада В. Н. Делоне «Геометрия Н. И. Лобачевского и некоторые её применения» на общем собрании Академии наук СССР 5—И января 1949 г. «Только после того, как Лобачевский построил свою геометрическую систему—первую неевклидову геометрию — стало ясно, что можно и нужно исследовать, каким может быть наше пространство с точки зрения математики, для того чтобы в нём была возможна полная группа движений, т. е. чтобы можно было любое тело, не растягивая его и не сжимая, передвигать в любое место и при том любым образом его поворачивать. Оказывается, что это возможно не только в геометрии Евклида, но и ещё в двух других
13*
196
и. \. ЯНОВ СКАЯ
во всяком случае «должна быть принята в Аналитике»1), изучающей наиболее общие свойства всяких, в том числе и геометрических, величии. С этой стороны она и заслуживает названия общей геометрии.
Вопрос о том, какие (пли какая) пз существующих в пей, но ещё ие определяемых её исходными понятиями, возможностей действительно осуществляются в природе, принадлежит уже нс к области геометрии как таковой, а к астрономии и физике, и может быть решён лишь с помощью опыта и наблюдений. Этот опыт («измерения на самом дело») и астрономические наблюдения неопровержимо свидетельствуют в пользу употребительной гео метрии. Нс исключена, однако, возможность, что в новых физических условиях— например, в микро- или в макромире — будет иметь место и новая геометрия, поскольку теоретически опа является возможной. До тех пор, однако, пока это - как известно, пророческое!2) — предвидение Лобачевского ещё но подтверждено развитием физики геометрия его, рассматриваемая как физическая геометрия, должна была оставаться воображаемой. В качестве математической геометрии опа есть полная геометрическая система, изучающая все допускаемые её основными понятиями, заимствованными в свойствах движения твёр-
виолкс определённых геометриях, начало исследованию которых положил Лобачевский. Для решения вопроса, каково в действительности наше пространство, в котором мы живём, в котором расположены звёзды нашего Млечного Пути и другие галактики, ближайшие из которых лежат в миллиардах миллиардов километров от нас, совершенно необходимо сначала рассмотреть математические возможности. Только после этого уже можно будет исследовать, какая пз них имеет место в действительности. Ведь если бы две тысячи лет назад, когда Эратосфен выяснял вопрос о сферичности Земли, у геометров не были ещё выработаны самые понятия «плоскость» и «сфера», нельзя было бы даже поставить этого вопроса» («Вопросы истории отечественной науки», стр. 113).
Здесь нужно отметить только, что такая постановка вопроса возникла в основном ие после Лобачевского. В наиболее существенных чертах опа принадлежит уже самому Лобачевскому. {Поскольку Лобачевский рассматривал движение тел в бесконечном пространстве, возможных геометрий было только две.)
Э «Воображаемая геометрия» (Полное собрание сочинений, т. III, стр. 16).
2) В применении к неевклидовым геометриям вообще-
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
197
пых тел, возможности; в качестве физической геометрии, и которой из различных имеющихся возможностей осуществляется какая-нибудь одна, истинность которой при этом «поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения»2), она__именно как отличная от употребительной геомет-
рии 2)—остаётся ещё воображаемой геометрией, осуществление которой только можно предполагать. Здесь существенны оба слова: и «можно», и «предполагать». Возможность такого предположения доказывается общей геометрией: научное же значение строящейся па нём воображаемой геометрии для решения вопроса о природе физического пространства не может возбуждать сомнений!.
6. Итак, с помощью одних только исходных понятии геометрии твёрдого тела нельзя решить, по Лобачевскому, вопрос обо всех вообще геометрических свойствах тел природы. «Понятия, па которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым3)».
Для решения вопроса о том, какой постулат о парагт-лельных (и в каких физических условиях) имеет место в природе, нужно выйти уже за пределы математической геометрии, опирающейся лишь на непосредственные чувственные данные, и обратиться к более сложному опыту: «...если затруднительную задачу параллелизма надобно решить опытом, то предложенный Лежандром, укладывать шесть раз полупоперечнпк по кругу, без сомнения должен почитаться слишком недостаточным»4). «...для убеждения в том, как далеко оправдываются такие положения геометрии, надобно было бы прибегать к наблюдениям астрономическим и к пособию других частей математики»5). Поэтому, с точки зрения Лобачевского, старания тех людей, которые, подобно Лежандру, хотели решить во-
х) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 147.
2)	Т. е. при конечном значении параметра.
3)	Полное собрание сочинений, т. III, стр. 435.
4)	Там же, т. II, стр. 163—164.
5)	«Наставления», стр. 557.
198
С. А. ЯНОВСКАЯ
прос, не выходя за рамки математической геометрии, были заведомо обречены на неудачу. Они «заключили себя в такой тесный круг, что все усилия их не могли быть вознаграждены успехом»1).
К числу этих же людей, пытавшихся логически вывести теорему о сумме углов прямолинейного треугольника, не опираясь на постулат о параллельных, подлежавший прп этом доказательству, принадлежал, как мы знаем, и Саккери, дальше других продвинувшийся в построении неевклидовой геометрии и тем не менее не открывший се. В отличие от Лобачевского, Саккери не искал в природе источника основных понятий геометрии и не собирался видеть в теореме о сумме углов треугольника физический закон, поверить который, «подобно другим физическим законам, могут лишь опыты»2). Его средства должны были ограничиваться логикой: он хотел «очистить Евклида от всех пятен», доказав евклидов постулат о параллельных от противного.
На разборе ошибок, допущенных Саккери, мы уже останавливались выше3). Здесь для нас существенно подчеркнуть один момент, связанный с вопросом о математической строгости.
По сравнению с Лежандром, Саккери и всеми другими математиками, логически «доказывавшими» евклидов постулат о параллельных, сам Евклид поступил, конечно, более правильно и строго, поместив свой постулат именно как таковой, т. е. без доказательства. Это подчёркивает и Лобачевский, который в своём «Наставлении учителям математики в гимназиях»,—для гимназии Лобачевский считал «совершенную строгость» в преподавании геометрии преждевременной и неуместной,—рекомендуя «Геометрию» Лежандра как лучший (для его времени) учебник геометрии, добавлял: «за исключением теории параллельных, которая ошибочна и должна быть заменена Евкли довой» 4).
Э Полное собрание сочинений, т. I, стр. 185.
2) Там же, т. II, стр. 147.
3) См. «Историко-математические исследования», вып. III, стр. 59—64.
4) «Наставления», стр. 559.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
199
Но это превосходство евклидовой теории параллельных над ошибочными теориями математиков, пытавшихся логически доказывать евклидов постулат о параллельных, исходя пз остальных аксиом геометрии Евклида, не делает ещё, как мы видели, подход Евклида к началам геометрии вообще и к теории параллельных в частности достаточно строгим в глазах Лобачевского. Между тем в буржуазной литературе по истории математики мы встречаем немалое число попыток свести значение открытия Лобачевского к «очищению Евклида от всех пятен», к «доказательству» того, что «возникновение геометрии Лобачевского есть не столько отправная точка [дальнейшего развития геометрии. — С. Я.1, сколько конечный пункт. Оно представляет собой разрешение кризиса, начавшегося ещё в древности, и в течение которого медленно вырабатывались понятия, которые должны были руководить неевклидовой геометрией»1).
Эта фальсификация действительной истории — не одной только математики, но и физики, в развитии которых создание неевклидовых геометрий играло роль подлинно революционного переворота, — имеет своим основанием трактовку великого открытия Лобачевского, как осуществления мечты Саккери об «очищении Евклида от всех пятен», как установления «творческой силы методологии Евклида», состоящей-де в «строгом выводе пз явно введенных допущений, принимаемых за таковые 2), спречь без всякого обоснования и проверки, без обращения к материальной действительности.
Значение материалистического подхода Лобачевского как нельзя лучше видно из сопоставления его установок с этими идеалистическими измышлениями. Показав, что Евклид не напрасно отказался от доказательства своего V-ro постулата, Лобачевский тем не менее не сделал вывода, что геометрию нужно строить методологически по образцу Евклида. Евклид не удовлетворял его именно в
х) Л. Б р у нш в иг, «Этапы философии математики» (L. Brunschvicg, Les etapes de la philosopie mathematique),
2) Белл, Развитие математики (E. T. Bell, The development of mathematics), 1945, стр. 336.
200
С. А. ЯНОВСКАЯ
том, за что его хвалят современные идеалисты: догматическое введение постулата о параллельных как такового без выяснения вопроса о том, является ли он, и при каких именно физических условиях, действительно необходимым, и рассмотрения других имеющихся возможностей было, по Лобачевскому, пе достоинством методологии Евкли щ, а «нетерпимым недостатком строгости». Не назад к Евклиду—от Лежандра!—а вперёд от геометрии Евклида к новой геометрии и физике и шёл поэтому Лобачевский.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ В РАННИХ РАБОТАХ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО1)
Б, Л. Лаптев
В истории создания неевклидовой геометрии особенный интерес представляют первые этапы формирования новой геометрической системы Н. И. Лобачевского.
Как известно, Н. И. Лобачевский впервые изложил основные идеи своей геометрии в докладе «Exposition succincto des principes de la Geometric avec uno- demonstration rigoureuse du theoreme des paralleles» («Сжатое изложение принципов геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»), представленном 7 (19) февраля 1826 г. в Отделение физико-математических наук Казанского университета и рассмотренном там И (23) февраля того же года. Лобачевский хотел опубликовать этот доклад в составляемых «Учёных записках Физико-математического отделения», и доклад этот был передан профессорам И. М. Симонову, А. Я. Купферу и адъюнкту Н. Д. Брашману, чтобы они «мнение свое сообщили Отделению» 2), однако, как установлено в 1950 г. И. Н. Бронштейном на основании изучения архивных документов, отзыв ими не был представлен3). Хотя доклад до нас не
V---------------
х) Статья написана на основе доклада, прочитанного 25 февраля 1951 г. в Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова Ленина на конференции, посвящённой 125-летию со дня открытия Н. И. Лобачевским неевклидовой геомстрпп.
2) Н. И. Л о б а ч е в с к и й, Полное собрание сочинений, т- I, Гостсхиздат, 1946, стр. 411—412 (в дальнейшем цитируем это издание как Поли. собр. соч.).
3) Предположение об этом было высказано ранее В. Ф. Каганом в его книге «Лобачевский», Изд. АН СССР, 1944, стр.. 137.
202
Б. Л. ЛАПТЕВ
дошёл, но в своей первой публикации, посвящённой новой геометрии, т. е. в работе «О началах геометрии» (1829— 1830) Лобачевский указывает1), что материал, предшествующий уравнению (17), уже входил в его доклад 1826 г. Следовательно, к началу 1826 г. геометрическая система Лобачевского в существенных чертах была закончена, так как была разработана теория параллелей, введено понятие об угле параллельности, изучены свойства предельной поверхности, найдена основная формула (12), выражающая зависимость угла параллельности от отрезка, и установлены тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников, как прямолинейных — формула (14), так и сферических — формула (15)2).
Ближайшей предшествующей по времени геометрической работой Лобачевского, если ио учитывать его «Обозрений преподавания чистой математики», о которых речь пойдёт в конце настоящей статьи, является его ру копись учебника геометрии, представленная к печати в 1823 г., по оставшаяся в то время неопубликованной вследствие отрицательного отзыва академика Н. Фусса. Впоследствии эта рукопись была обнаружена проф. Н. П. Загоскиным в архиве Казанского университета и опубликована ироф. А. В. Васильевым в 1909 г.3).
В этом сжатом курсе элементарной геометрии, сложившемся на основе тех лекций, которые Лобачевский читал студентам младших курсов в университете, и носившем обзорный характер, отсутствуют прямые указания на возможность существования иной, отличной от евклидовой, геометрии. Однако уже расположение материала указывает на особое внимание, которое Лобачевский уделял теории параллелей. Те вопросы, которые опираются на постулат параллельности, по возможности отодвинуты в конец, и первые пять глав (из тринадцати) содержат материал, не зависящий от этого постулата, т. е. материал абсолютной геометрии. Постулат параллельности Евклида
г) Поли. собр. соч., т. I, сноска Лобачевского на стр. 207.
2) Номера формул даны по сочинению «О началах геометрии» (Поли, собр соч., т. I, стр. 194—206).
з) Н. И. Лобачевский, Геометрия, Казань, 1909, и Поли. собр. соч. т. II, стр. 3—134.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 203
появляется в начале главы VI «О измерении прямоугольников» в следующей формулировке, употреблявшейся й Лежандром:
«Линии АВ и CD должны сходиться по достаточном продолжении, если одна из них АВ перпендикулярна к ВС, а другая CD наклонена к ВС под острым углом С, обращённым к перпенди-кулу АВ» (рис. 1).
Далее следует очень важное для выяснения взглядов Лобачевского замечание:
«Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать. Какие были даны, могут назваться только пояснениями, по нс заслуживают быть почтены в полном смысле Математическими доказательствами».
Как лучшее из них, приводится известное псевдо доказательство, принадлежащее Л. Бертрану (1778)х), ошибку которого разъяснил позже сам Лобачевский в «Но
вых началах геометрии с полной теорией параллельных» (1835)2).
Естественное предположение, что Лобачевский встал на путь создания повой геометрической системы только после ряда неудачных попыток доказать евклидов постулат параллельных, находит окончательное подтверждение в сохранившихся записках лекций Лобачевского от 1816—1817 учебного года, о которых впервые опубликовал сообщение А. В. Васильев в предисловии к «Геометрии» Лобачевского в издании 1909 г. В этих записках приведена одна такая попытка, причём ошибочность своего доказательства Лобачевский к 1822—1823 гг. уже осознал, так как, не включив его в «Геометрию», он тем самым показал, что его прежние рассуждения тоже «не заслуживают быть почтены в полном смысле Математи
г) Это доказательство воспроизведено во вводной статье Ф. Кагана к «Геометрическим исследованиям» Лобачевского, Помещённой в Поли. собр. соч., т. I, стр. 54—55.
.	2) Поли. собр. соч., т. I, стр. 152 и примечание р] на стр.
458—460.
204
Б. Л. ЛАПТЕВ
ческими доказательствами». Вместе с тем эти записи лекций свидетельствуют об упорных исканиях молодого Лобачевского, о напряжённой работе его мысли. Они показывают, что даже в те ранние годы он уже стоя i в первых рядах современных ему геометров, причём во многом опередил пользовавшегося заслуженным авторитетом известного французского математика А. М. Лежандра.
Действительно, Лежандр в своих «Началах геометрии» («Elements de geometric») с 1800 г. (т. е. с третьего издания) возобновляет попытки доказать постулат параллельности, от которых он отказался во втором издании, и, наконец, в 1833 г. в мемуаре «Размышление о разлпч ных доказательствах теории параллелен...»1) собирает те из своих результатов, которые кажутся ему наиболее удовлетворительными. Однако ошибки Лежандра в этих доказательствах гораздо более очевидны п более легко обнаруживаемы, чем допущения, сделанные Лобачевским в ого доказательстве постулата параллельности в лекциях 1816—1817 г., анализ которого мы дадим в настоящей работе. Притом оказывается, что Лобачевский вполне строго доказал уже в этих лекциях замечательную теорему: «Сумма углов во всяком треугольнике равна т:, если она равна тс в каком-нибудь одном», — теорему, к которой Лежандр пришёл только в 1833г.2), т. е. через 16 лет после рассматриваемых лекций и через 4 года после опубликования сочинения «О началах геометрии», где Лобачевский приводит формулировку этого предложения.
Наконец, доказательства ряда теорем, данные Лобачевским в этих лекциях, показывают, что он был близок уже в те годы к созданию новой геометрической системы.
Упомянутые выше студенческие записки лекций Лобачевского, вместе с другими записками и конспектами, написанными разными почерками и на разной бумаге,
1) А. М. Legendre, Reflexions sur differentes maniercs de demontrer la theorie des paralleles ou le theoreme sur la somme des trois angles du triangle, Paris, Mem. Acad. Sci., Inst. 12, 1833, стр. 367—410.
2) Там же, стр. 375—378.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ у Ц. Ц. ЮБАЧЕВСКОГО 205
переплетены в один сборник, получивший условное название «Тетрадей Темникова», который хранится в Казани в библиотеке им. Лобачевского1).
Интересующие нас записки имеют заголовок «Лекции Г. П. Лобачевского2) от 1816—1817. Михайлы Темникова». Они содержат два раздела: «О логарифмах» (§§ 1 9) п «Геометрия» (§§ 1 -21). Оба раздела написаны одинаковым почерком на серовато-голубой бумаге формата тетрадки, причём «Геометрия» — на бумаге более тёмного оттенка. Им предшествуют «Лекции Г. П. Лобачевского от 1815 по 1816. Михайлы Темникова», написанные тем же почерком и содержащие основы арифметики и алгебры (глава 1, §§ 1—3 — «О коликих. Вообще». Глава 2, §§ 4—12 — «О четырех действиях арифметических». Глава 3, §§ 13— 18 — «О степенях и корнях»)3). В конце сборника переплетены две тетради, содержащие тоже геометрический материал. В 1942 г. проф. П. А. Широков обнаружил, что первая из этих тетрадей является почти дословной копией «Введения к Лонгпметрнп» (§§ 1—75) из известного «Курса математики» харьковского профессора Т. Ф. Оспповского (1814)4), и таким образом исправил ошибку А. В. Васильева, который во вступлении к изданию «Геометрия» 1909 г. считал эту тетрадь (называя её «тетрадью № 2») тоже тетрадью записок лекций Лобачевского5 6). Последняя тетрадь («тетрадь № 3», по А. В. Васильеву) написана другим почерком и содержит материал по элементарной геометрии, разбитый на 40 параграфов. Она не имеет ни особого заголовка, ни указания на время составления. В теории параллелей в пей дано доказательство постулата Евклида по Л. Бертрану. Весьма сомнительно, что эта тетрадь является записью лекций Лобачевского, как это безоговорочно утверждал А. В. Васильев.
х) Геометрический кабинет Казанского университета имени В. И. Ульянова-Ленина, № 1067.
2) Т. с. «господина профессора Лобачевского».
3) Сюда включён также бином Ньютона и биномиальный ряд.
4) Т. О с и п о в с к и й, Курс математики, часть II, изд. 2,
ПРИ Академии наук, СПб., 1814.
6) Н. И. Лобачевский, Геометрия, Казань, 1909, стр. I—HI, и Р. Б о н о л а, Неевклидова геометрия, СПб., 1910, стр. 157—159.
206
Б. Л. ЛАПТЕВ
Прежде всего следует окончательно выяснить вопрос, являются лн упомянутые нами тетради М. Темникова от 1815—1816 гг. и от 1816—1817 гг. действительно записками лекции Лобачевского? Какие факты подтверждают это? Перечислим эти факты.
Во-первых, из списков студентов Казанского университета1) известно, что студент Михаил Григорьевич Темников обучался с 10 июля 1816 г. по 4 июля 1819 г. и окончил университет, получив установленное в те годы звание действительного студента2).
Далее известно, что магистр Н. И. Лобачевский, после того как он был произведён, согласно распоряжению министра просвещения от 26 марта 1814 г., в адъюнкт-профессоры чистой математики (протокол заседания Совета Казанского университета от 18 апреля 1814 г.3)), получил от Физико-математического отделения университета 23 мая того же года указание занимать студентов практическими частями математики. Ему было поручено читать: «1. Плоскую тригонометрию, наиболее уча употреблению таблиц логарифмических для тех студентов, коп учатся практической геометрпп; 2. Тем же, кои хотят усовершенствовать себя в чистой математике, преподавал бы теорию числ (Theoria n итого rum)»4). Эти курсы числились за ним в 1814—1815 и в 1815—1816 учебных годах. В 1816—1817 учебном году он, после утверждения 7 пюля
г) А. И. Михайловский, Преподаватели, учившиеся и служившие в Императорском Казанском Университете (1804— 1904), часть 1, выпуск 1 (1805—1854), Казань, 1901, стр. 61. В этом издании год поступления М. Г. Темникова содержит опечатку: должно быть 1816 вместо 1815.
2) Следует отметить, что в статьях А. В. Васильева М. Г. Темникову ошибочно приписаны инициалы М. М. Эта ошибка А. В. Васильева объясняется тем, что сборник тетрадей побывал впоследствии в руках мальчика Митрофана Михайловича Темникова (невидимому, сына М. Г. Темникова), который детским почерком и другими чернилами повторил некоторые заголовки, вписывая их рядом, а в конце лекций Лобачевского за 1815—1816 гг. приписал «Конец арифметики ученика Митрофана Михайлова Темникова».
3) «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского». Собрал и редактировал Л. Б. М о д з а л е в с к и й, Изд. АН СССР, 1948, стр. 58. В дальнейшем цитируется как Л. Б. М о д з а л е в с к и и.
4) Там же, стр. 61—62.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 207
1816 г. в звании экстраординарного профессора, должен был читать ещё плоскую и сферическую тригонометрии х).
Известно, что летом 1814 г. Лобачевским уезжал в г. Макарьев в отпуск для поправления здоровья, а 7 октября он отмечен в дневнике инспектора студентов К. Броннера как не читавший лекций* 2).
Дальнейшие сведения о чтении Лобачевским курсов в 1814—1815 учебном году можно получить пз его ежемесячных рапортов, правда, сохранившихся лишь начиная с января 1815 г.3). У Лобачевского было только 4 слушателя (тогда как у Г. Б. Никольского 38 слушателей), и читал он им в одни часы тригонометрию, а в другие алгебру и элементы теории чисел. В январе он пропусти л 4 занятия «за болезнпю», в марте тоже 4 и далее по болезни совсем не занимался со своими слушателями, а в июне ушёл в отпуск4).
31 августа 1815 г. Совет университета поручил Лобачевскому по предложению К. Броннера замещать отсутствующего проф. Г. Б. Никольского, читавшего курс элементарной математики, а по возвращении Никольского предложил им разделить студентов математиков5).
Начиная с октября 1815 г.6) у Лобачевского, как видно из его рапортов, было уже от 28 до 20 слушателей, и читал он им в этом учебном году начала арифметики и алгебру, кончая уравнениями высших степеней7).
Однако М. Темникова среди его слушателей не было. Михаил Темников появляется только в следующем учебном году, начиная с сентября 1816 г.8). Следовательно, записки по лекциям Лобачевского за 1815—1816 учебный год он переписал впоследствии у кого-нибудь из других
х) Л. Б. М о д з а л е в с к п й, стр. 63—64, 72 и 75.
2) Там же, стр. 62—63.
3) ЦГА ТАССР, фонд 977, .V 478 св. № 14, листы 14, 59, 9э, 149.
4) Там же, листы 45, 90, 114, 135, 189, 234.
5) Л. Б. М о д з а л е в с к и й, стр. 65.
®) Рапорта за сентябрь 1815 г. не сохранилось.
7) ЦГА ТАССР, фонд 977, № 478, св. № 14, листы 280, 325, 373 и за 1816 г. № 658, св. № 20, листы 16, 59, 105, 144, 184.
8) ЦГА ТАССР, фонд 977, № 658, св. № 20, листы 225, 265, 310, 352.
208
Б. Л. ЛАПТЕВ
слушателей. Эти записки содержат материал, который был прочитан Лобачевским (согласно рапортам), кончая январём 1816 г. Этим, может быть, и объясняется заголовок записок: «Лекции Г. П. Лобачевского от 1815 по 1816».
В1816—1817 учебном году Лобачевский фактически продолжал начатый им курс элементарной математики (хотя состав слушателей был новым), читая теорию логарифмов и геометрию. Действительно, об этом прежде всего свидетельствуют его рапорты1), а также и жалоба двух студентов Ф. С. Иконникова и А. П. Евреинова, поступивших в августе 1816 г. в университет2). С этой жалобой они обратились 31 октября того же года к инспектору К. Брон-неру, сообщив, что они «не могут понимать чтений профессора Лобачевского, так как он объясняет не применение логарифмов, а их происхождение», а потому студенты просили разрешения перейти в слушатели к проф. Г. Б. Никольскому3). Далее пз рапорта Лобачевского за март 1817 г. известно, что в этом месяце им пройдена теория параллелей4), а с 7 июня Лобачевский, согласно его просьбе, уже уволен для лечения в г. Сергпевск на минеральные воды5).
Таким образом, содержание записок М. Г. Темникова за 1816—1817 учебный год вполне соответствует приведённым выше данным о лекциях, читанных Лобачевским в этом учебном году.
Далее, в апреле 1817 г. М. Темников «мало ходил» и в мае -остался пе аттестован у Лобачевского, так как пропустил 7 занятий. Его записки действительно обрываются на теореме Пифагора п не включают стереометрию, которую Лобачевский проходил в мае.
Итак, можно считать твёрдо установленным, что рассматриваемые нами записки М. Темникова представляют действительно записи лекции, читанных Лобачевским
!) ЦГА ТАССР, фонд 977, № 658, св. № 20, листы 225, 265, 310, 352 и за 1817 г. № 812, св. № 26, листы 247—251.
2) A. II. М и х а й л о в с к и й (работа, цитированная на стр. 206), стр. 59—60.
3) Л. Б. М о д з а л с в с к и й, стр. 77.
4) ЦГА ТАССР, фонд 977, № 812, св. № 26, лист 249.
5) Л. Б. М о д з а л о в с к и й, стр. 80.
университете.
J Особый интерес
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 209 
в 1815—1816 и в 1816—1817 учебных годах в Казанском представляет для пас в этих лекциях
попытка Лобачевского доказать евклидов постулат параллельности, попытка, свидетельствующая о напряжённых исканиях, завершившихся в 1826 г. созданием первой повой отличной от евклидовой геометрической системы, названной впоследствии геометрией Лобачевского.
Чтобы дать анализ и критику этой попытки, необходимо обратиться к тексту соответствующе! о раздела записок М. Темникова, т. е. к §§ 12—17 1). Рассмотрим подробнее эту часть заппсок М. Темникова, содержащую теорию параллельных прямых.
§ 12 этого раздела содержит евклидово определение параллельных прямых и предложение о параллельности двух прямых в случае равенства соответственных углов.
В § 13 дана теорема, доказанная ранее Лежандром, что сумма углов в треугольнике не может быть более
§ 14 содержит три предложения:
В о-п е р в ы х, замечательную теорему: «Если сумма углов в каком нибудь треугольнике равна двум прямым, то во всяком другом треугольнике будет тоже». Доказательство состоит пз 4 частей.
В о-в торы х, теорему о сложении дефектов треугольников, в предположении, что сумма углов треугольника меньше к.
В-т р е т ь и х, теорему (уже неверную?), что сумма углов во всяком треугольнике должна быть более - , доказанную на основании предшествующей ей леммы о ломаной с прямыми углами, в которой и кроется ошибка. Эта ошибка заключается в произвольном допущении, незаметно введённом Лобачевским.
х) Этот раздел записок был опубликован А. В. Васильевым в виде приложения к «Геометрии» Лобачевского, изданной в 1909 г. (Доказательство А, стр. 57—65). Однако малая раснрост| шёнпость этого издания и, главное, необходимость исправить некоторые* очевидные неточности, вкравшиеся в студе нчсскш записи лекций «9 оба невского, делают желательным повторное воспроизведение* рэкета этого раздела. Мы даём его в виде приложения к настоящей с*атье (см. стр. 220—229).
Исторнко-матем. исследования
210
В. I. ЛАНГ ЕН
Теорема § 15 о том, что перпендикуляр, восставленный па ооку угла, равного R , должен но продолжении ветре тнть другой бок, является естественным следствием теоремы «сумма углов треугольника не может быть меньше >>.
В § 16 устанавливается, как следствие теоремы § 1“)> существование треугольника, в котором сумма углов равна и, таким образом, согласно первой теореме § 14, Лобачевский находит, что сумма углов в любом треуголь пике равна ~.
В § 17 дано доказательство евклидова постулата парал лельписти, опирающееся па последнее предложение.
Из этого обзора мы видим, что если в § 13 доказатель ство теоремы «сумма углов в треугольнике не может быть больше z» совпадает с доказательством Лежандра, опубликованным в 3-м издании его «Начал геометрии» (1800), то первая половина § 14 содержит совершенно строгое доказательство замечательной повой теоремы: «Если сумма углов в каком-нибудь треугольнике равна двум прямым, то и во всяком другом треугольнике будет тоже» (эта теорема, как отмечено нами выше, была доказана Лежандром лишь в 1833 г., т. е. через 16 лет после Лобачевского)1).
Следующее далее за лежапдровоп же теоремой о дефектах сумм углов треугольников предложение, которое мы назвали леммой, касается ломаной с прямыми углами и имеет важное значение, так как оно служит основой для последующих теорем. Но в этом-то предложении Лобачевский и вводит незаметно для себя в процессе доказательства произвольное допущение. Правда, эта ошибка скрыта очень глубоко и чтобы обнаружить сё, нужно, собственно говоря, уже быть основательно знакомым
х) Ранее Лобачевского эта теорема доказывалась на основе совсем иного хода рассуждений итальянским геометром Саккерп в 1733 г. (G. Saccheri, Euclides al) omni Haevo vindicates, Милан, 1733). Изложение рассуждений Саккерп приведено в книге: Б о н о л а, Неевклидова геометрия, СПб., 1910, стр. 19—36. Но к книге Саккерп внимание было привлечено лишь в конце XIX в., после опубликования Е. Бельтрами заметки о ней (Rend Accad Lincei (4) 5, 441—448, 1889).
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. II ЛОБАЧЕВСКОГО 211
С
Д
Н
D
Рис. 2.
с геометрией Лобачевского. Проанализируем это доказательство
В записках А1. 1 емкикона лемма и ее доказательство приведены в следующем виде (рис. 2):
«Естьли на лииеи возставится X, а к этому X проведется другой X на той же стороне, на которой находится 1-я линея, к этой 3-й линей проведется опять X по ту сторону, на которой находится 2-я линея, наконец к сей последней естъли проведется X по ту сторону, где лежала предыдущая линея, то сей последний по^достаточном продолжении должен пересечь либо 1, либо 2-ю линею.
Пусть АС х АВ, CD х АС, ED X CD, FE X ED, то EF по продолжении должна пересечь либо АВ, либо АС.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Продолжаем EF в противную сторону п на продолжении из какой-нибудь точки G
опускаехМ X GH па АВ, то лпнея EF будет заключаться в ограниченном пространстве ACDEGHA, след, по продолжении должна выдтн пз сего пространства вон, что не иначе может произойти, как когда EF пересечет АН или АС».
В
Необоснованным в этом доказательстве является утверждение, что «линея EF будет заключаться в ограниченном пространстве ACDEGHA», утверждение, всегда верное только в евклидовой геометрпп.
Чтобы выявить произвольность допущения, введённого Лобачевским, мы рассмотрим, как обстоит дело с расположением отрезков ломаной BACDEF на плоскости Лобачевского и покажем, что здесь возможно такое расположение частей, при котором многоугольник ACDEGHA будет иметь самопересечение, и потому полупрямая EF пе будет заключена в ограниченном пространстве.
Итак, пусть на плоскости Лобачевского прямые В А, АС и CD последовательно перпендикулярны одна к другой (см. рпс. 3, на котором дужками отмечены прямые
212
В. Л. 1A11TEB
углы); тогда, как известно, существует такая прямая Л/д t которая, будучи перпендикулярной к АВ, будет парад дельной к CD в направлении CD. Проведя, далее, прямую PQ, параллельную одновременно прямым М V и J//;,
Рис. 3
в указанных порядком букв направлениях, мы для каждой точки S, лежащей с той стороны от прямой PQ, которая не содержит точки М, будем иметь две параллели к пря-мой PQ, проходящие через 5: прямую T'ST, параллель-ную QP, и прямую U'SU, параллельную PQ. Тогда кажда}1
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У Ii. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 21^
прямая FG, проходящая через S внутри угла TSL' (следовательно, л внутри вертикального с ним угла UST'), 5/дет прямой, расходящейся и с АВ и с CD. Поэтому она будет иметь общин перпендикуляр DE с прямой CD п общий перпендикуляр АТ с прямой АВ.
Таким образом, мы получи ли такую ломаную BACDEE, что полупрямая EF, подчинённая условиям леммы, не будет пересекать ин АВ, ни ЛС, в противоречии с утверждением Лобачевского, так как ЕЕ не будет заключаться в ограниченном пространстве, поскольку перпендикуляр СН, опущенные па АВ нз точки G, взятое на продолжении EF в обратном направлении, расположится иначе, чем на чертеже Лобачевского. Основание 11 этого перпен дпкуляра упадёт между J/ и основанием перпендикуляра, опущенного из Е на АВ\ следовательно, в этом случае многоугольник ACDEGH А будет иметь самопересечение сторон DE н GJI.
Итак, допустив, что такого роба самопересечения в многоугольнике ACDEGH А быть не может, Лобачевский этим самым ввёл незаметно новый постулат, исключающий возможность гиперболической геометрии.
В дальнейшем Лобачевские, опираясь на эту .лемму о ломаной с прямыми углами, которую он считает дока занной, приходит путём вполне строгих рассуждений к теореме, что сумма углов произвольного треугольника равна ~. Таким образом, эту лемму о ломаной с прямыми углами, или, точнее, постулат о невозможности самопересечения в многоугольнике ACDEGHА, можно считать эквивалентным постулату параллельности Евклида, так как он приводит к евклидовой теории параллелей.
В заключение заметим, что не легко выявить неправильность, допущение ю Лобачевским в его цепи изящных и тонких рассуждений. Особенно это заметно, если сравнить её с ошибками Лежандра, вводившего с 3-го по 8-е издание «Начал геометрии» (I8UU— 1809) предложение «через точку, лежащую внутри угла, всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла», равноценность которого постулату Евклида почти непосредственно очевидна. С 12-го издания (1823) Лежандр делал грубые ошибки в рассуждениях, касающихся предельного положения
214
Б. Л. ЛАПТЕВ
вершины треугольника, два угла которого стремятся к нулю, а стороны растут неограниченно. При этом, начиная с 1-го издания (1794), Лежандр в замечаниях приводил ещё доказательство постулата параллельности, опирающееся на принцип однородности, нс замечая порочного круга в своих рассуждениях х).
Записки М. Темникова, составленные но лекциям Лобачевского, дают очень ценный материал. Они знакомят
Рис. 4.
нас с творческими исканиями молодого Лобачевского, подтверждают его упорную самостоятельную глубокую исследовательскую работу в период, предшествующий созданию повой геометрической системы, и показывают насколько он уже тогда опередил Лежандра.
Очень ярко проявилась смелость и строгость его мысли в последней теореме § 14, в первой части её доказательства.
Эта теорема и первая часть её доказательства имеют в записках М. Темникова следующий вид:
«13о всяком А-е сумма /_/_-ов должна быть более .
Доказательство [рис. 4]. Пусть в Д АВС
Z^ + Zb + ZC<|;
делаем АО = ОС; 130 = DO, потом проводим лнпею DC
г) Ошибки Лежандра полностью вскрыты Н. II. Лобачевским в «Новых началах» (см. Поли. собр. соч., т. И, стр. 149—161). Доказательства Лежандра текстуально воспроизведены во вводной статье к «Геометрическим исследованиям» Лобачевского в Поли, собр. соч., т. I, стр. 56—64.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. II ЛОБАЧЕВСКОГО 215 п делаем DQ = QC, BQ QE, то Д ADC будет ~ д АВС1), д ВСЕ н Д BDC, посему Z ЛОЕ = д. -4 + z. В + z С. Поступая подобным образом со многими вновь выходящими д-камп получим ряд соединенных линей под 2>°м равным
/ А 4- / В -}- С, пз коих каждая ВС и который никак нс могут пересечь продолжения линей ВС, а того менее линею АВ пли продолжение ея. Из сего также следует, что когда проведутся липсп пз точек соединений _4, 1), Е п т. д. в какую ппбудь точку произвольно взятую па АВ или сё продолжении, то сип л пней составят с лился ми AD, DE и т. д. острые углы».
Лобачевский получает бесконечный ряд конгруептпых прямолинейных отрезков, образующих последовательно равные острые углы, т. е. бесконечную правильную простую ломаную с острыми углами, лежащую в то же время по одну сторону некоторой прямой, заключённой целиком я бесконечной выпуклой области, ограниченной этой ломаной (рис. 5). Однако этот факт, противоестественный с точки зрения мышления, привычного к евклидовой геометрии, Лобачевский егцё не считает противоречием
2) * —знак конгруситностп (/>. <,?.).
216
Б. Л. ЛАПТЕВ
и добивается формального противоречия во второй части доказательства.
Таким образом, у нее в те годы Лобачевскому были известны особенные свойства, которые должны иметь прямые, если допустить, что сумма углов треугольника меньше т. е. ему были известны, в сущности, некоторые факты новой, геометрии.
Если ещё обратить внимание на замечательную первую теорему §11, па вторую теорему § 14, на теорему § 13 и на ход доказательств в теоремах §§ 16 и 17, то приходится признать, что Лобачевский уже в 1817 г. имел в своём распоряжении многие теоремы и методы, введённые им впоследствии в новую геометрическую систему* 1), т. е., что он был близок к созданию этой системы, правда, ещё подозревая её в противоречивости.
Представление о дальнейших этапах на пути Лобачевского к созданию воображаемой геометрии можно получить из рассмотрения теории параллелей в его учебнике
’) Поскольку в сочинении «О началах геометрии»—первой работе, посвященной новой геометрической системе,—многие доказательства опущены, в нём имеются лишь формулировки первой теоремы § 14 и теоремы § 17, причём последняя высказана в вредно. ложеппп, что сумма углов треугольника равна к (см. Поли, собр. соч., т. I, стр. 194—195).
Но в «Новых началах», где даны развёрнутые доказательства, мы находим, что
1) в статье 91 приведена первая теорема § 14 с доказательством, переработанным и значительно упрощённым; при этом вторая теорема § 14—о получении дефекта целого треугольника путём сложения дефектов его частей—входит как составная часть в это доказательство (Поли. собр. соч., т. II, стр. 262—264);
2) ход доказательств и построения, применявшиеся в § 16, полностью использованы в теореме статьи 102, в которой доказывается, что каждый острый угол можно рассматривать как угол параллельности некоторого отрезка (там же, стр. 276—277);
3) ход доказательств и построения, применённые в § 17, использованы в теореме статьи 98, в которой доказывается, что из данной точки можно провести] рямую под сколь угодно малым углом к данной прямой (там же, стр. 271—272): сама теорема § 17 доказана в статье 101 в предположении, что сумма углов треугольника равна г, (см. там же, стр. 274—275).
В «Геометрических исследованиях по теории параллельных .тинпн» использование упомянутых теорем и методов совершенно JHлогично (Поли. собр. соч., т. I, стр. 87—89, 91—93, 89—91).
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 217
«Геометрия» (1823), что сделано в начале настоящей статьи, и из его «Обозрений преподавания чистой математики на 1824—1825 и на 1825—1826 гг.», в которых излагаются как общие установки, так и программы математпче скпх курсов, чтение которых было поручено Лобачевскому .
Недавно 11. II. Бронштейну1) па основании анализа архивных документов удалось с полной определённостью установить, что «Обозрение», помеченное 1825—1826 г.2), было первоначально представлено Лобачевским в 1822 г. под названием «Об обозрении преподавания чистой математики па 1822/23 г.» и препровождено в копии попечителю Казанского учебного округа М. Л. Магницкому. Это «Обозрение I»3) получило у неизвестного нам референта отрицательный отзыв, который был сообщён Лобачевскому. На 1824—1825 г. Лобачевский представил новое «Обозрение»4). Это «Обозрение 2»4) существенно отличается от «Обозрения 1» и отражает дальнейшую эволюцию мысли Лобачевского. Но оригинал «Обозрения 1» Лобачевский вновь представил отделению в 1825 г. в качестве обозрения на 1825- 1826 гг., не изменив ни одного слова п только подчистив цифры единиц годов 2 н 3 и заменив их па 5 и 6.
Эти факты имеют очень большое значение, так как разъясняют многие парадоксы, возникавшие ранее при сличении текстов рассматриваемых обозрений.
Использование старого текста можно объяснить тем, что занятый, по видимому, вплотную развитием идей своей новой геометрии, а также многообразными прочими обязанностями, Лобачевский по имел времени для составления нового рассуждения о преподавании, и, поскольку он считал общие установки «Обозрения 1» правильными,
х) И. Н. Бронштейн. К истории «Обозрений преподавания чистой математики» И. II. Лобачевского, см. «Историко-математические исследования», вып. III, Гостсхиздат, 1950, стр. 171—194.
2) Л. Б. М о д з а л е в с к и й, стр. 201—216.
3) Согласно сокращённому названию, принятому И. II. Бронштейном в цитированной выше статье.
4) Л. Б \| о д з а л е в с к и и, стр. 173—185.
218
U. Л. ЛАПТЕВ
он решил, наперекор М. Л. Магницкому, вновь к ним вернуться. Причём он пренебрег даже поправкой тех частей своего текста, которые отражали уже пройденный им этап в теории параллелей.
Пз «Обозрения I», как и пз учебника «Геометрия», мы видим, что в 1822 г. Лобачевский уже обнаружил дефект доказательства евклидова постулата параллельности, рассмотренного в настоя щей статье. Дсйствпте 1ыю, об этом свидетельствуют его слова, что параллелизм лилии представляет «трудность до сих пор непобедимую», за которыми следуют общие критические замечания, отмечающие ошибочность попыток Бертрана, Лежандра и других геометров.
В «Обозрении 2» (1824) о теории параллелен пе сказано открыто ни слова. Одно это уже говорит о многом. У мол чанпе по такому важному разделу является прямым указанием на совершающийся коренной нерилом в трактовке самой проблемы теории параллелей. Далее, в его выска зываннях можно уловить как бы намёк па открываемую им новую систему геометрииJ). * (обачевский, указав, что «... естьли в Математике строгость необходима, то начала геометрии представляют трудности, которые должно-встретить зрелому уму, суждением укреплённым предшествовавшим уже учением Математики», говорит далее о необходимости нового выбора основных понятий, рекомендуя принимать в качестве начального понятия, характеризующего геометрическое тело, прикосновение и выводить отсюда понятия поверхности, линии и точки. Этому проекту полной перестройки изложения начал геометрии предшествует следующее замечание:
«Во-первых, троякое измерение тел толкуется обыкновенно недостаточно. Нельзя дать ясного понятия о длине, ширине, толщине тел, когда с этого начинают геометрию.
г) В этом мы присоединяемся к мнению II. II. Бронштейна, высказанному в его цитированной выше работе, правда, не воспринимая этот намёк в столь прямом смысле. Действительно, чтоогл не искажать смысла цитаты, следует учесть также фразу, предшествующую тому абзацу, на который ссылается 11. II. Бронштейн, что мы и делаем в дальнейшем.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У 11. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 219
Если собственные чувства предохраняют от ложных заключений в продолжении геометрии, то всё остаётся желать избавить одну пз частей математики от нарекания погрешать против обыкновенной своей строгости, быть тёмной и недостаточной в самых основаниях. К тому ж, кто знает, какие от нас скрыты истины в том, чего мы не понимаем?».
Следовательно, в первую очередь в этих словах Лобачевского с 1сдуот видеть критическое высказывание, относящееся к неудачному выбору основных понятий у Евклп да, представляющих слишком высокую ступень абстракции от реальных тел, чтобы служить строгими начальными основаниями геометрии.
Но вместе с тем известно, что Лобачевский считал, наряду с евклидовыми определениями точки, липин, поверхности, также и евклидов постулат параллельности именно нарушением строгости в геометрии, недостаточностью в её началах, так как вместо возможной общей теории, вытекающей из постулата параллельности Лобачевского, Евклидом рассматривался лишь частный её случай. Так, в сочинении «О началах геометрии» (1829) мы читаем: «... нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий»1). А в «Новых началах» Лобачевский писал, что в его трактовке «...параллельность уже рассматривается во всей обширности.. Евклид, не будучи в состоянии дать удовлетворительное доказательство, допускал в употребительной Геометрии тот частный случай, когда две параллельные должны быть вместе перпеп-Дикулами к одной прямой... Евклидовы последователи затрудняли только предмет дополнительными положениями, либо произвольными, либо совсем тёмными, стараясь убеждать в справедливости принятой истины, которую по существу самой Геометрии доказывать невозможно»2).
Поэтому мы имеем право усматривать в приведённой выше цитате пз «Обозрения 2» также и некоторый намёк па открытую Лобачевским более общую и строгую, чем У Евклида, теорию параллелей.
х) Полы. собр. соч., т. Т, стр. 185.
2) Там же, т. 1 Г, стр. 267.
220
Б. Л. ЛАПТЕВ
Таким образом, «Обозрение 2» убеждает нас в том, что работа по перестройке всех начал геометрии и в частности по построению новой теории параллелей производилась Лобачевским уже в 1824 г. Окончательным завершающим итогом этой работы и явился его исторический доклад, полученный Отделением физико-математически а паук Ка запского университета 7 (19) февраля 1826 i
ПРИЛОЖЕНИЕ
Извлечение из студенческих записок М. Г. Темникова,
содержащее теорию параллелей (§12—§ 17), изложенную И. И. Ло бачевским в марте 1817 г. в курсе лекций по элементарной математике, читанных для студентов Казанского университета в 181(1-1817 учебном году1).
§ 12. Две линеи при пересечении третьем, < тъли делами уг. внешний равный уг. внутреннему на той же стороне, то такая две линеи по продолжении их ни чуть не сойдутся. 11 называются параллельными. Две линеи АВ и СО при пересечении третьем 1.1 естъли делают /^EOI3 —/_EQD. то они параллельны.
Д о к. Пусть оно сходятся в точке М, тогда разделяя OQ пополам в Р, и проводя линею РМ получим тр к ОРМ, которому
х) Оригинал записок хранится в библиотеке им. И. И. Лиоа-чевского в геометрическом кабинете Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.
Орфография, пунктуация и сокращения подлинника, за исключением букв ъ, 1ь, г, сохранены. Формулировки теорем выделены нами курсивом для удобства читателя; в оригинале они не выделены. Для пояснения нами дано несколько подстрочных примечании.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У И. П. ЛОБАЧЕВСКОГО 221
должен быть необходимо одпнаким с треугольником по другую сторону линей OQ и который произведёт линею PL, встречаясь с лпниею CQ, а след, две прямыя линсп LPM и LQM пересеклись бы в двух точьках, что не возможно.
§ 13. Сумма углов в Д-е не может быть более двух прямых или Т-
Д о к а з а те л ьство. Продолжим сторону ВС и полагаю на продолжении несколько раз Д ЛЯС так, чтоб точька Я была в С, в С в С", пт. д. Пусть Л будет в А', потом в А", в А'" н т. д. Естьли бы сумма углов I Я р С была более f\ Z/'	Z7"	Д'" 'д'"'
двух прямых. Тогда бы /г	д------▼—
/ АС Л был бы менее </.-!:	/\	' \	'/
а след. ЯС > .4. Г (см. § 11;.	/ \	/ \	/ \	/ \	/
Повторивши ДЛЯС п раз /	\ /	'	\	/	'	/
на продолжении липеп ВС /	\ !	\ ;	\ ;	\ /
н соединяя точькн Л, А', / у с у у А", А'" прямою лпниею, р	пи>
получится многоугольник в котором число сторон п 4- 3,	Рис. 2.
одна сторона будет п • ВС, а сумма остальных сторон 2 • ЛЯ -п • АЛ', следовательно 2 • ВЛ -f-n • А А' > п • ВС, но как ВС более АА', то полагаю ВС =АА' -t п, что вставив вместо ВС получим 2- ЛЯ > п • р. Условие которое должно бы было сохраниться, какое бы число п ни было, но очевидно, что п всегда можно взять так велико, что наоборот пр будет более 2 • ЛЯ следов, положение, что в Д-е сумма / более двух прямых', доводит нас до двух противоречивых заключений; а посему пе может иметь места.
§ 14. Встъли сумма	в каком нибудъ Д-е равна двум
прямым, то и во всяком другом Д будет тоже1).
г) Доказательство этой замечательной теоремы разделено Лобачевским па четыре последовательных предложения, пронумерованных римскими цифрами от I до IV.
Формулировка первого предложения отсутствует. В нём доказывается в предположении, что в некотором треугольнике сумма углов равна существование прямоугольника, т. е. четырёхугольника с четырьмя прямыми углами. Во втором предложении при том же предположении доказано, что перпендикуляр к одной
стороне угла, равного-^-, обязательно пересечёт другую сторону.
В третьем отсюда выведено, что во всяком прямоугольном пли тупоугольном треугольнике сумма углов равна В четвёртом предложении доказательство теоремы завершается рассмотрением произвольного остроугольного треугольника.
222
Б. Л. ЛАПТЕВ
Доказательство. I. Пусть о Д АВС /Л + /В + ^/С=«. Продолжаем ВС и воображаем на её продолжении /\DCE, FEG и т. д. одинаковые с Д АВС и непрерывно друг за другом следуе мне, тогда лиисн AD, DF и т. д., соединяющие^ вершины сих ДД, будут составлять одну прямую. Треуг. ABC ~ DEE и т. д. одинаковых с /\АВС, следов.
/ ADC + Z CDE / Е1)Р=</ DFE / EFG + GF FI равно Л В С = ъ. Нериепдикулы опушенные пз вершин Л, />, F, и пр. па лпнею BG будут очевидно равны; наконец, они будут
Рис. 3.
вместе иерпеидикулами к линем АН. Чтоб доказать сие, то надобно показать, что </ADN = </NDF’, для сего полагаем □ 2VPFP па □Л£>ЛЛ/, они друг друга закроют, имея NM = -NP. т. е. ^NDF~</NDA.
II. На боку ^/_= —
перпендикул должен встретить другой бок,
на достаточном продолжении. Естьли / САВ = у , то как бы велика лиися АЕ ни была, перпендикул РЕ, будучи продолжен, должен пересечь другой бок АС.
Доказательство. Из тр-ка в котором предполагается сумма углов равною двум прямым, беру я основание пли высоту и кладу его столько раз по лпнее В А, чтоб В А было более Л£ потом восставляю перпепдпкулы BN и Л Л п делаю BA = AD, потом в точке D восставляю перпендикул DC, который ио продолжении своем должен пересечь _L BN в какой нибудь точке С1); естьли мы
г) В рассуждениях осталась необоснованной необходимость пересечения DC и BN. Это объясняется, повидимому, искажением рассуждения в студенческой записи. Действительно, прямоугольник NDAM (стороны которого равпы соотвстствснйо высоте и основанию данного треугольника; см. рпс. 3), существование которого доказывалось в пункте I, остаётся не использованным как в пункте II, так п ниже; т. е. пункт I оказывается как бы пзлпш-
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У II. П. ЛОБАЧЕВСКОГО 223
теперь соединяем липпсю точьку С и 1, то виду 1 два треугольника и ВС А, одинаковые между собою1), след. ^С АВ =/^CAD, то есть ^ХСАВ— . Итак точька С должна находится на боку данного угла, а нернепдикул РЕ будучи заключаем внутри Д ВСА,
должен из него выдти вон, и в сем случае не может пересечь никакой другой линеи, кроме ЛС2).
III. Во всяком прямоугольном или тупоугольном треугольнике сумма углов равна т..
Рис. 5.
D м'
ним. Исходя из этого, истинный ход рассуждений Лобачевского мы восстанавливаем в следующем виде:
Откладывая прямоугольник NDAM (см. рис. 3) основанием пли высотой столько раз по липни АВ (см. рис. 4), чтобы АВ было больше АЕ, получаем полоску из этих прямоугольников, образующую одни прямоугольник AM'N'B (рис. 5) со стороной JZ>.‘ Откладывая этот прямоугольник- другой его стороной ЛУГ по линии >13/ столько раз, чтобы получить AM большее, чем ЛО,’’получим прямоугольник AMNB (см. приводимый памп рисунок 5). Перпендикуляр ВС входит внутрь этого прямоугольника, а потому должен пересечь BN в точке С, так как с Другими двумя сторонами 1/W, АВ он пе-
ресечься не может (два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются).
г) По гипотенузе и катету.
2) Так как два перпендикуляра к одной прямой не Пересе-
224
Ь. Л. ЛАПТЕВ
Доказательство. Пусть в £±АВС А > 11.111 = ^- и 4/Л+г/В + г/С = ^ — а. где а какое нибудь положительное количество. Делаю ЛО=ОС, ВО = ОЭ, то в £\В^С сумма / / будет также = 7г — a. £BCD есть угол тупой, след. J_ LE упадет в отверстие острого угла 1СЕ\ а как £±LCE может иметь сумму
Рис. 6.
ХХ’ОВ либо = г. плп < к, следовательно сумма XZ?0B в /\BDE~n — а пли < п — а. Теперь естьли ВВЕ—-^- плп более, то прибавляя £\DEF с £±DEB\ естьли же нет, то делаю /_GDE~y г), присоединяю после к J\GDE одинаковый с ним /^DEF, получим в обоих случаях Д-к, которого сумма углов = или < л — 2 а и у которого ^/1) есть пли прямой, или тупой. Поступая с спм А также как и с ДЛВС, мы найдём новый Д. которого сумма Xzi'0B = плис?: — 4а и один X будет прямой пли тупой. Продолжая таким образом мы можем дойти до такого Д. в котором один / будет прямой или тупой, а сумма всех / Х’ов будет — или < -—па, и где п так велик, что г.—па < что невозможно * 2).
JV. Во всяком остроугольном /\ сумма XZ?0B==7:-
Доказательство. В Д АВС опускаем 1 Л’>, которым Д разделится на два прямоугольных Д-ка АВ В и АБС.
Отложив при отрезке DE угол EDG, равный можно, согласно предшествующему предложению, утверждать, что ЕС,
являясь перпендикуляром к стороне Т)Е угла, равного
пересе-
4 ’
чёт другую сторону этого угла в некоторой точке G.
2) Эта ссылка на предложение, помещённое в конце § 14, повп-днмому, является искажением. Заключение следует изменить так: сумма всех углов будет равна или меньше -—па и где п может быть так велико, что т: — па < 0, что невозможно (сумма неотрицательных величин не может быть отрицательной).
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ У Н. П. ЛОБАЧЕВСКОГО 22
В каждом из сих прямоугольных Л сумма углов составляет ~, т. с.
Отсюда
Z^+Z^+Z?—х)-
Птак или надобно полагать, что сумма Z Z‘0B в0 всяком треугольнике = ", или что она во всяком Д-ке <
Предполагая сумму Z Z~0B во всяком 2) Д < ”
Рис. 7.
Рис. 8.
Сумма ZZ-06 Д-ка будет меньше суммы углов другого £\-ка который в нем вмещается и имеет с ним один / равный и одну сторону при этом угле.
Доказательство. Сумма z2Z-ob в Д ДгС пусть будет = тс— а, в ДЛ2)В = тс—3, то в £\АВС сумма ZZ"0B будет =л—а—3 т- с. менее нежели сумма zl-ов в ДЛ и Д ADB.
[Л е м м а]3). Естьли на линеи возставится _L, а к этому | проведется другой JL на той же стороне, на которой находится 1-я линея, к этой 3-й линеи проведется опять _L по ту же сторону на которой находится 2-я линея, наконец к сей последней естьли проведется _1_ по ту сторону где лежала предыдущая линея, то сей последний по достаточном продолжении должен пересечь либо 1, либо 2-ю линею.
Пусть АС 1 АВ. CD J_ AC, ED 1 CD, FE 1 ED то EF по продолжении должна пересечь либо АВ, либо АС.
2) На этом доказательство теоремы «Еслп сумма углов в каком нибудь треугольнике равна двум прямым углам, то во всяком Другом треугольнике будет тоже» завершено. Далее Лобачевский Делает из неё вывод о возможности только двух геометрий: одной евклидовой, в которой сумма углов в каждом треугольнике равна и другой новой геометрии, в которой сумма углов в каждом треугольнике меньше ”.
2) «Во всяком» является искажением. Должно быть по смыслу *в некотором».
3) Заголовок «Лемм а» введён нами.
Историко-матем. исследования
226
Г>. Л. ЛАПТЕВ
Доказательство. Продолжаем EF в противную сторону п на продолжении пз какой выбудь точки G опускаем J. G// на АВ, то линея ЕЕ будет заключаться в ограниченном пространстве ACDEGHA, след, по продолжении должна выдти пз сего про-nmnn илггпл г»ли	ил тгтгоил МАМ,’ГУГ ттплтт^л-1’_
Л
н
странства вон, что не иначе может произойти, £ как когда ЕЕ пересечет АН или АС.
Во сс.чко.и Д-е сумма--------ов должна
' п быть иол ее — .
Д о казака ьс т во. 1. 11усть в Д АВ(_ , q _ Д 4- - В + _ С < у , де. I аем АО ОС; ВО DO. потом проводим липею LC и делаем/ Q QC, BQ = QE. тоД ADC будет - Д АВС, Д DCE -~/\ВЭС посему 2. А ;Е~ - А + z. В -г ZC. Поступая подобным образом со многими вновь выходящими Д-ками получим ряд соединенных линей иод — -ом равным _ А + Z-B 4- _с, из коих каждая =ВС и который никак не могу т пересечь продолжения линеи ВС, а того менее липею АВ или продолжение ея. Из сего также следует, что когда проведутся линеи из точек соеди нений A, В, Е н т. д. в какую выбудь точку произвольно взятую на \В или ее продолжении, то ноями А >. DE и т. д. острые углы.
в
Гис. 9.
сии линсп составят с ли
Рис. 10.
II. Пусть АВ — ВС — CD, утлы составляемые сими линеямп пусть будут острые, то всегда можно так взять точьку О на линеи AM, что OD составит тупой угол с С Э по ту сторону, на которой находится острый — DC В Ибо делая АЕ порпендикулом к Л-V
TKOI'IIH II Vl’A. 11К1Ы1ЫХ ПРЯМЫХ У 11. И. ЛОВ VI EB<’кого 227
том опуская из точькп В J_ па ЛЕ, из точькп С па продолжение периендикула BE, из точькп I) па продолжении CG нернендику-. (;/? получим последний 1 I G *) которой должен пересекать или 4 шею ЛМ пли липою ЛЕ* 2): и 1-ом случае всякая линея OI) с DC т составлять Z > ". во 2-ом случае будет тоже естьли точька возьмется ниже точькп пересечения периендикула DG с .14/ 3).
§ 15. Периендикул, восставленный на боку угла равный -2, должен по продолжении встретить другой бок.
Доказательство. I. Делаем В/) JL ЛС в равно I/) л DC, то А ЛВС будет иметь сумму углов >	4), а след,
сумма___он в А В DC > 2	-2- 5), т. е. Z DBC так-же как и
— С>~. Отсюда следует, что в прямоугольном Д-с у коего два
катета равны, гипотенуза
с катетом составляет _
> 8 '
!) Точнее,—полупрямую GD.
2) Здесь нужно заменить ЯЛ/ на ЛЕ, а ЛЕ на ЛМ. »
3) Поскольку предложение II противоречит результату, установленному в конце 1, то следует считать, что принятое в 1 допущение _ .1 л- _ В + _ С < неверно, и, следовательно, сумма углов в треугольнике должна быть более -2- . Конечно, это заключение имеет место, если признать правильной предшествующую теорему о ломаной с прямыми углами, на которую опирается Доказательство.
4) Нокольку, согласно § И, сумма углов каждого треугольника больше -2-.
э) 1ак как эта сумма состоит из угла -2 и половины суммы углов ДЯ7?С.	2
228
II. Пусть LCAB--о
В. Л. ЛАПТЕВ
то 1 ВВ должен пересечь липою С.4;
ибо делая BD=BA и соединяя точькп В и А л пи ною, будет

посему линея С.4 будет заключаться в Л ВВ 1 п j
коего она не иначе может пыдти, как перерезать ВВ.
§ 16. В прямоугольном /\-ке, коего один _	o', сумма
*_ -ОВ = ТС.
сумма же углов пусть будет
нею ЛС, делаем В А—АС, то сумма возставляем 1BE в котором <~—2а;
должен быть
Д о к а з а т е л ь с т в о. IIусть в Д ABC, Z С=-^-, а — Л = а, продолжаем л инею ВС п ли
-ов в Л ВВС = ~ — 2у. на DC произойдет Л DEC сумма ________-ои
делаем снова DC — DE, то сумма ZZ-ов в /\ЕЕС есть < тс — 4а, возстав-ляя наконец 1 ЕН, то в прямоугольном Д-ке EUC сумма - Z -ов будет < тс —4а; продол жая^таким образом мы можем дойти до прямоугольного тре угольника, в котором сумма L ^_-ов < у, что не возможно II так во всяком Д-ке сум ма Z Z -ов должна быть = тс. Отсюда следует, что в 4Z \) сумма Z -ов должна составлять 2тс, в 5Z = Зтс, вообще в п— = (л — 2)тс. В правильном nZ каждый „ я-2
—~Г-, папр. в тр-ке л = 3. а каждый угол
— ~ ; в квадрате каждый Z =~ * 2). в 5Z =^ = 108.
о	5
§ 17. Естьли две линеи пересекаются третьей так, что3} угол внешний больше угла внутреннего, то такия две линеи сойдутся на той стороне, где Z внешний > Z внутреннего.
Пусть Z АВС > Z А)Е, то линеи ВС и DE—сойдутся.
Доказательство. Проводим липою DE так, чтоб — Л/^Л'^^ЛВС и называем для краткости — ЛВС буквою а,
х) Т. е. в четырёхугольнике.
2) Должно быть ~ .
3) Пз двух соответственных углов.
ТЕОРИЯ 11 Vl'A. 1ЛЕЛо11ЫХ ПРЯМЫХ У 11. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 229
целаем BG = BD. п ведем липею DG, то L UGF' — — *), делаем
а
нова GH — GD, то - ИDF =	. делаем опять ПН —НК, то
__ KDF
_г
Рис. 1Ь.
линеи, которая соединяя точку В с ВС составит с DF угол меньший 2 FDE, а следовательно DE находясь между такою лпниею и лпниею DB должна будет пересечь ВС.
Отсюда следует, что лился пересекающая две параллельный делает Z внешний = <_ внутреннему, иначе оне были бы сходящиеся.
*) Должно быть: _ G7JF-— .
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РУКОПИСЯХ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
В. В. Морозов
Эта краткая заметка является результатом первых шагов в исследования тетради II. II. Лобачевского, хра нящейся в геометрическом кабинете Казанского государ ственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина. Описание этой тетради было сделано нроф. А. В. Насилье вым в его работе о Лобачевском, не вышедшей в свет и хранящейся там же. Попытки систематического изучс пня тетради мне неизвестны.
Тетрадь содержит 180 страниц большого формата (поллиста), частично чистых, по большей частью исписан ных. Начинается она списком книг по математике, астро помни, физике и химии: па 11-й странице содержится алфа витпый список терминов от Abaissenienl до Aimanl с ука занием литературы ио каждому термину. В конце дано оглавление (неполное) тетради, сделанное Лобачевским: страницы указаны в беспорядке.
Большая часть тетради заполнена математическими выкладками (алгебра, анализ, механика, астрономия), причём выкладки, не законченные на одной странице, переходят на другую, подчас весьма удалённую от первой: переход осуществляется иногда в направлении возрастания страниц, иногда в обратном направлении, по как правило, выкладка проводится либо только на чётных, либо только на нечётных страницах.
Начало заполнения тетради можно достаточно достоверно отнести к 1822 г., ввиду наличия в пой ссылок’ на журналы за 1821 г., а также вследствие наличия в ней алгебраического материала, который должен был поиадо-
ХЛГЕБРАПЧЕСКПЕ РУКОПИСИ II И. ЛОБАЧЕВСКОГО 231
Гпться Лобачевскому для чтения лекций в 1823 г., но не 1 1821—1822 плп 1822—1823 гг.1). Нуж|ю отметить, что применяемое в тетради обозначение для п(п 1)... (п—т 4-1) посредством п'1" совпадает с обозначением в рукописи «Алгебра»?, относящейся к 1825 i , в то время как в напечатанном в 1834 г. сочинении «Алгебра или вычисление конечных» применено обозначение п^т 2).
Алгебраический материал тетради в основном касается трёх разделов: 1) непрерывные дроби—сур. 15, 17, 19, 21 и т. Д-; 2) исследование характера корней уравнения— стр. 141, 135, 133, 131, 49, 51, 53 и т. д.; 3) симметрические функции и преобразование Чпрпгаузеиа—стр. 8, 10, 12, 14, 16 и т. д. Так как есть все основания считать, что нечётные страницы те гради были использованы в первую очередь, то мне представляется, что это расположение соответствует хронологии заполнения тетради.
1. Н е п р е р ы в и ы е дроби. Иа стр. 15, 17 рассматривается разложение по степеням I функции
и --(1-г0"1+^7(14-0,нН,Н /м’2 V(*+/)n'+2,l+...	3).
Устанавливается функциональное уравнение, связывающее коэффициенты этого разложения: для тех значений т, п, для которых это функциональное уравнение содержит только три члена, оно позволяет представить отношение последовательных коэффициентов в виде непрерывной дроби. Интересно, что при этом самые коэффициенты нередко представляются всюду расходящимися рядами.
На стр. 19, 21 рассматривается разложение в непрерывную дробь функции и = А—АА'А"1~—... Некоторые из полученных результатов вошли в статьи 197—198 сочинения «Алгебра плп вычисление конечных»4).
х) См. «Материалы для биографии II II. Лобачевского». Собрал и редактировал Л. Б. Модз а леве к и й, Изд. АН СССР, 1948, Документ № 266, стр. 241- 242.
2) Сочинение II. II. Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных» напечатано в Полном собрании сочинений, т. IV, Хостехиздат, М.—Л., 1948, на стр. 23—356. Рукоиис  «Алгебра» напечатана там же на стр. 368—430.
’ 5:P’Qtt +	+	О'/)-
) н. 11. Л о о а ч с в • к и и, Полное собрание сочинении, т- JV, стр. 247 -252.
232
В. В. МОРОЗОВ
Дальнейшая часть, посвящённая разложению корней уравнения в непрерывную дробь, является конспектом статей 1 п 2 i л alibi 6 книги Лагранжа «Trait ё de la resolution des equations nunieriquesetc».
2. Исследование характера к о p н e ii у p а в и с и и я. Изложение вопроса о вещественности корней уравнения (стр. 53) есть конспект статьи 3 главы 5 । примечания 3 той же книги Лагранжа. На стр. 135 доказано, что при вещественности всех корней уравнения / (л) 0 вещественны и корни уравнения f'(x) = 0; в обобщённой форме этот вывод дан в статье 236 сочинения «Ал-гебра нт вычисление конечных» 1).
Как мне кажется, наибольший интерес представляет материал о вещественности корней, изложенный на стр. 137, 131, 49, а именно:
а)	если веще зтвенпы все корни уравнения / (х) = 0, ти вещественны и все корни уравнения со/ -р f' .= 0 при любом со;
б)	если уравнение
хп + к'хп~' +
не имеет вещественных корней и п—чётное, то уравнение
гП к'хП~Х
- ••• +-— - °
ID	и) —|— 1	<0 Д
не имеет вещественных корней.
3. Симметрические ф у н к ц и и и п р е-образование Ч и р н г а у з е н а. Эти записи, видимо, более позднего происхождения и оригинального характера. На стр. 8 выведена общая формула для сим метрической функции
*4 ^2 ^3 • • •
сН Ъ t-... = mt
корней уравнения хт — 1 — 0 при т простом. Функцию эту Лобачевский обозначает через
1а 2Ъ 3е...
mt
Н. П Лобачевский. Поли. собр. соч. т. IV, стр. 313—316.
\. 1ГЕБРЛ 11ЧЕСКПЕ РУКОПИСИ И. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
233
На стр. 10 этот результат применён к нахождению коэффициентов уравнения, корни которого суть т-о степени корней заданного уравнения. Идея этого приёма, без деталей выкладок, указана в статье 248 сочинения «Алгебра или вычисление конечных»1)- Далее, общее уравнение я-й степени подвергается преобразованиям Чпрнгаузена 2-й и 3-й степени. Выкладки ие доведены до конца, но явно предназначены для упрощения уравнения (уничтожения 2-го и 3-го коэффициентов). Повиднмому, встретившись с необходимостью вычисления степенных сумм, Лобачевский переходит (стр. 14) к выводу соотношений между степенными суммами корней Sm и коэффициентами уравнения
л" — /\ лм~1 4- Р2 хп~2 0.
Соотношения эти получаются из формул 1 - Р2 х~ - 2/>3 .гз _ ... _ _ 1) Рп
1	1\ х t JP2 г2 .. . + Рп Xй
1\— 2Р2.г4 ЗР3.г2
1
— 1 — X	*5 2 Х~ ~~~ . • • ,
(стр. 14)
РхХ j. р2Х2_	+ • • • (стр. 15)
Переходом к показательным функциям устанавливается выражение S через Р. Обратное не нужно для преобразования Чирнгаузена, но в статьях 246 и 217* сочинения «Алгебра или вычисление конечных»2) дано то и другое.
Далее проводится общее преобразование y—ax-\-bx2^ ••• Коэффициенты полученного уравнения суть формы от а, Ь,... с коэффициентами, зависящими от Р. Лобачевский делает попытку определить эту зависимость; в простейших случаях это удаётся, по затем выкладки разрастаются и обрываются.
Естественно предположить, что в качестве конечного результата своих исследований Лобачевский ожидал получить способ решения уравнений высших степеней. Что он оыл уверен в существовании такового, говорит статья 232 сочинения «Алгебра или вычисление конечных»: «Общее решение уравнений далее четвёртой степени ещё
х) Н. II. Л о б а ч с в с к и и, Полное собр. соч., т. IV, стр. 336.
2) Там же, стр. 334-336.	’ Г
234
в. в. морозив
до сих пор не найдено»1). П.Г. Чеботарёв высказал мнение, что Лобачевскому была известна статья Абеля, где доказывается невозможность такого решения, но что Лобачевский отнёсся к результату Абеля скептически 2). Однако это неверно. Статья Абеля появилась в 1 м томе журнала Крелля; библиотека же Казанского университета начала выписку журнала Крелля с 'i-ro тома, который был полу чсн в 1829 г.; 1—3-й тт. журнала были куплены библиотекой уже во второй половине X IX в. Равным образом Лобачевскому остался неизвестным другой мемуар Абеля о доказательстве формулы бинома, помещённый в том же 1-м томе журнала Крелля3).
13 связи с упоминанием о сочинении «Алгебра или вычисление конечных» я хочу указать здесь на две ошибки счётного характера, замеченные bJ нём нроф. Е. И. Григорьевым (его статья «Повое издание Алгебры Лобачевского» посмертно печатается в «Известиях Казанского физико-математического общества»). Па стр. 352 4) Лобачевским неверно вычислены значения /(ул) и т. д. Должно быть:
ilvBvpilU ВЫЧНI »1С11 Ы о ltd ЧС1 II НЯ ] \Ул\) и *• Д« IrlxiiU UM 1b. /(Уз) = — 126 133, /1(Уз) = 20 517 967, /2(^) = 18613457,
и окончательно
— я = 4 Н--j------
163 + ... ’
3591
в связи с чем последняя подходящая дрооь оудет
На стр. 3564) в таблице для г—\ должно быть А, = —493, Л =+27.
Па результате это, впрочем, не отражается.
х) Н. И. Лобачевский, Полное собр. соч., т. IV, стр. ЗОГ
2) Там же, стр. 17—18
3) Ср. вводную статью И. Г. Чеботарёва, там же, стр. 14.
4) Страницы указаны по Поли. собр. соч., т. IV.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ В XIX в. И В НАЧАЛЕ XX в.
Л. 7»’. С угии ев и и
I. Алгебраические знания в России к концу XVIII в.
В настоящем сочинении я имел в виду собрать материалы, дающие возможно более полную картину развития алгебраических знаний и алгебраических исследовании в нашей стране в XIX в. и в начале XX в. Я, конечно, далёк от мысли, что мне удалось исчерпать все русские работы по алгебре, относящиеся к этому времени. Но всё же я думаю, что и того довольно богатого материала, который мне удалось достать и использовать в настоящем сочинении, достаточно, чтобы представить себе верную картину развития aaieopbi в России. Я рассмотрел здесь русские работы по алгебре разнообразного типа: п учебники, начиная от элементарных и кончая солидными курсами, п отдельные мемуары п статьи в журналах, как научно-математических, так и математико-педагогических. Ценность этих работ различна: среди них встречаются и просто компилятивные работы пли изложения статей иностранных авторов и оригинальные мемуары, вносящие ценный вклад в науку, и небольшие заметки в одну страницу, и монографии в несколько сотен страниц,— всякая работа представляет в данном случае известный интерес. Я рассказываю об алгебраических работах Русских математиков, и математиков, работавших в Рос-СИ1Т»—работах, написанных как на русском языке, так 11 на иностранных языках (этих последних, конечно, 1 ораздо меньше, чем первых). С другой стороны, я
V lx СУШКЕВПЧ
рассказываю обо всех известных мне работах по алгебре на русском языке как оригинальных, так и переводных. Большинство называемых мною работ и учебников я сам просмотрел, по, к сожалению, ие всё мне было доступно. О некоторых работах я почерпнул сведения только пз журнала Jahrbuch uber die Fori sc licit le dor Mathemalik. Наконец, есть упоминания о работах, которые мне из не стпы только по заглавию; о содержании таких работ, конечно, ничего нельзя было сказать.
Неполными являются н те части моей работы, где я говорю о преподавании алгебры в наших университетах: пе обо всех университетах России мне удалось собрать сведения.
Приступая к изучению развития алгебры в России в XIX в., мы должны рассмотреть, какое наследие в области алгебраических знании получил XIX в. от щи i, шествующего.
Некоторые относящиеся к алгебре сведения имелись у русских математиков и в допетровское время: но они пе были систематизированы. 1, математических рукописях XVII в. встречаются задачи на уравнения l it степени и их системы со многими неизвестными, встречаются (в свя зи с геометрическими вопросами) задачи на извлечение квадратных и кубических Kopjteii, а также задачи на вычисление суммы членов геометрической прогрессии. Эти отдельные разделы алгебры излагались и в арифметп чес.кпх, и в геометрических рукописях XVII в.
С начала XVIII в.,—после того как были оргапизова ны государственные школы разных типов, в которых преподавание математики играло важную роль,—по являются в нашей стране печатные руководства ио математике вообще или ио отдельным её отраслям. Б эти руководства сразу же включаются и сведения по алгебре.
Уже в знаменитой книге Л Ф. Магницкого (1669—1739) «Арифметика, сиречь наука числительная*,-изданной в 1703 г. и в течение полувека бывшей основным руководством для изучающих математику, имеется
МАТЕРИАЛЫ К Ш’ТОГНП \ЛГЕГ»РЫ В РОССИИ	23‘J
и алгебраически ii отдел; правда, этот отдел был небольшой (всего 40 страниц) и несамостоятельный (он находится в части: «О геометрических через арифметику действующих»), но в нём приводились символика коссистов и символика Вьета и правила решения квадратных уравнений. Квадратные и кубические корни и прогрессии (трёх родов: арифметические, геометрические и гармонические) рассмотрены были ещё в собственно арифметической части труда Магницкого.
* В XVIII в. в России преподавание алгебры не выходило за рамки так называемой элементарной алгебры и имело, можно сказать, подсобный характер. В военно-технических учебных заведениях, основанных при Петре I (школа математических и навлгацких паук в Москве, инженерная и артиллерийская школы, Морская акаде мня в Петербурге), алгебра, как и вся математика, есте ствснно, играла подсобную роль. В университете прп Академии наук среди других математических дисциплин преподавалась и элементарная алгебра. Но и здесь обучение ею рассматривалось скорее как введение в курс дифференциального н интегрального исчисления. В объявлении о лекциях проф. С. К. Котельникова на 1757 г. было сказано, что «нроф. Котельников слушателям своим, в простой геометрии и алгебре довольно упражнявшимся, подавать будет наставление о дифференциальных и интегральных выкладках, предложив наперёд некоторые основания алгебры и кривых линий, кои могут служить вместо введения к помянутым выкладкам». Как видно, и большие паши математики XVIII в., такие, как С. К. Котельников, смотрели на тогдашнюю алгебру, как на вспомогательную дисциплину для изучения анализа бесконечно малых. Наконец, в основанном в 1755 г. Московском университете, где с самого начала было введено разделение на факультеты1), обучение математике играло главным образом подсобную роль для других специальностей: в период 1755 1803 гг. там препода вались арифметика, геометрия с плоской тригонометрией,
0 Эти факультеты были: медицинский, юридический, философский; специализации по математике вначале не было.
240
А. К. СУШКЕВИЧ
элементы алгебры,—«что необходимо медику, философу вообще образованному человеку».
Но и в Западной Европе в университетах дело с преподаванием математики обстояло в то время не лучше-в частности, по алгебре излагались только элементарные сведения. Конечно, в XVIII в. бы гп великие математики, двинувшие сильно вперёд и алгебру,— средн них следует назвать жившего и работавшего в России Эйлера и французского математика Лагранжа,—но результаты их исследовании, помещённые в записках академий наук, в частности и нашей, ещё не вошли в курс тогдашнего университетского преподавания.
Возвращаясь к рассмотрению учебной алгебраической литературы в XVI11 в. в России, следует, в первую очередь, назвать знаменитую «Универсальную арифметику» Л. Эйлера; она написана (вернее, продиктована) около 1767 г.; вышла в свет на русском языке в Петербурге в 1768—1769 гг. (немецкое издание «Vollstandige Anloi-tung zur Algebra», S* Petersburg 1770), была переиздана в 1787—1788 гг., и в новом, неполном переводе—уже в XIX в.-в 1812 г.
Эта книга имеет мировое значение; она была переведена на французский, английский, голландский и латинский языки. Это—не только учебник, но и научный труд; с другой стороны, эта книга не является полным трактатом алгебры, хотя и выходит за рамки общей элементарной алгебры. Поскольку эта книга определила во многом содержание университетского курса алгебры и в XVIII в., и в начале XIX в., сообщим вкратце её содержание.
В I части 1-й отдел посвящён действиям над числами и над одночленами; сюда же включены и радикалы, и мнимые числа, и логарифмы; 2-й отдел трактует о многочленах; сюда же входят простейшие разложения в ряды алгебраических дробей, извлечение квадратных и кубн ческих корней из многочленов и чисел, наконец, разложение в ряды биномов с дробными и отрицательными степенями (по формуле «бинома Ньютона»). В 3-м отделе речь идёт об арифметических и геометрических пропор циях и прогрессиях, о многоугольных числах, о нахождении общего наибольшего делителя двух чисел последова
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
241
тельным делением (алгорифм Евклида), о периодических десятичных дробях, о задачах иа проценты.
Во II части 1-й отдел посвящён уравнениям. Рассматриваются уравнения 1-й степени, системы таких уравнений с несколькими неизвестными, причём для их решения применяется способ сравнении. Затем рассматриваются квадратные, кубические уравнения и уравнения 4-й степени; даётся формула Кардано; уравнения 4-й степени решаются разложением левой части на два квадратных множителя пли представлением левой части в виде разности квадратов (этот способ Эйлер называет именем Бом-белли), а также и собственным, принадлежащим Эйлеру способом. Заканчивается этот отдел приближенным вычислением корней алгебраического уравнения, причём Эйлер и тут даёт свои способ. 2-й отдел озаглавлен: «О неопределённой аналитике». Здесь рассмотрены разнообразные случаи неопределённых уравнений 1-й и высших степеней и ищутся их решения в целых числах. Попутно приводятся подстановки, обращающие квадратный трёхчлен в точный квадрат (известные «подстановки Эйлера»); рас-
сматривается и решается так называемое уравнение Пел-ля; доказывается, что сумма двух 4-х степеней не может быть квадратом, а сумма двух кубов не может быть кубом (частный случай так называемой «великой теоремы Ферма»).
Отсюда видно, во-первых, что в рассматриваемом трактате алгебра сильно перемешана с арифметикой; а последний отдел мы в настоящее время вообще относим не к алгебре, а к теории чисел. Во-вторых, чисто алгебраический материал выходит за рамки элементарной алгебры: уравнения 3-й и 4-й степени, приближённое вычисление корней не относятся к элементарной алгебре. II, в-третьих, наконец, имеются вещи, относящиеся собственно к ана-
лизу, это—логарифмы (которые в курсах средней школы До сих пор остаются в алгебре) и некоторые разложения в ряды.
в
в преподавании алгебры и в учебниках и монографиях по
Тесное сплетение алгебры с теорией чисел (особенно— области неопределённых уравнений) сохранилось затем \ _____________________v ________________1Л______)
нлгеоре в течение сотни лет. Конечно, материал по алгебре
J л
Историко-матем. исследования
242
Л. К. СУШКЕВПЧ
с течением времени обогащался, как мы увидим,—уже на протяжении первой половины XIX в.; но элементарные вещи ещё долго оставались в курсах и монография х по алгебре, равно как и логарифмы, и разложения в ряды.
Леонард Эйлер (род. в 1707 г. в Базеле, ум. в 1783 г* в Петербурге), швейцарец по происхождению, большую часть своей жизни проживший у нас, в Петербурге, напечатавший в трудах нашей Академии весьма значительную часть своих работ и монографий, с полным правом считается нашим учёным. Именно в нашей стране развивался его талант, именно в нашей стране нашёл он наиболее благоприятные условия для своей весьма продуктивной научной работы. Он является одним из самых гениальных математиков всех времён и народов, оказавшим громадное влияние на всё последующее развитие мировой математики.
Наряду с Эйлером, алгебру у нас культивировали в XVIII в. и другие учёные. Первая русская книга по алгебре была написана Николаем Ерофеевичем М у-равьёвым (1724—1770) и издана нашей Академией в 1752 г.; интересно, что её автор был по специальности не математик, а военный инженер. Заглавие книги Муравьёва: «Начальное основание математики», ч. 1 (ч. 2 не вышла); она состоит из 8 отделов («книг»), причём в 1-м отделе (философского содержания) речь идёт о математике вообще, а в остальных 7 отделах—об алгебре. Там приводятся алгебраические обозначения и правила действий с алгебраическими выражениями; есть бином Ньютона; есть дробные и иррациональные выражения; пропорции, в том числе и гармоническая. В 7-м отделе рассмотрены простейшие уравнения («сравнения», как писал автор) и приводящиеся к ним задачи. Имеется своеобразная символика. Разбираются и системы уравнений 1-й степени, и квадратные уравнения. 8-я «книга» посвящена уравнениям высших степенен. Даны формулы Вьета, правило Декарта, вычисление корней, «правило Ньютона»; есть формула Кардано, тригонометрическое решение кубического уравнения в неприводимом случае. Сказано: «Сравнение имеет в Себе столько радпкеов, сколько экспонент 1-го члена единиц».
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
243
Поскольку книгу эту писал не теоретик-математик, а практик, военный инженер, постольку и предназначалась она, повидимому, для математического образования будущих инженеров. Может быть, именно специальностью автора объясняется отсутствие в книге разделов, относя щихся к теории чисел и практических приложении не имеющих.
Далее следует назвать «Универсальную арифметику» Николая Гавриловича Курганова (1725 пли 1726—1796 гг.); эта книга вышла в 1757 г., переиздана в 1794 г.; она представляет собой учебник арифметики и алгебры (арифметическая часть переиздавалась отдельно несколько раз). Пз алгебры в ней содержатся извлечение корней, уравнения, логарифмы. Курганов был профессором математики в Морской академии (преобразованной в 1752 г. в Морской шляхетский кадетский корпус), и, повидимому, главным образом для этого учебного заведения предназначался его учебник.
Следует упомянуть и четырёхтомный «Теоретический и практический курс чистой математики» Ефима В о й т я-ховского, вышедший в 1787—1790 гг. Это—смешанное практическо-теоретическое руководство, 4-й том которого (М., 1790) был посвящён алгебре. В 4-м томе даётся решение уравнений до 4-й степени включительно, приводятся некоторые сведения об уравнениях высших степеней, формулы Вьета, правило Декарта. На книге сказалось влияние Эйлера. В арифметической части изложены и непрерывные дроби.
Отметим ещё курс математики из четырёх частей профессора Московского университета Дмитрия Сергеевича Аничкова (ум. в 1788 г.); последнюю часть этого курса составляли «Начальные основания алгебры или арифметики литеральной, служащие для удобнейшего и скорейшего вычисления как арифметических, так и геометрических задач, в пользу и употребление российского юношества, упражняющегося в математических науках, собран-НЫе из разных авторов» (Москва, 1781 г.). Здесь сначала изложены терминология, обозначения, относительные чп-сла; затем—действия над одночленами и многочленами, алгебраическими дробями, радикалами, степени бинома;
16*
244
А. К. СУШКЕВИЧ
далее—уравнения 1-й степени с одним и двумя непзве стными и, весьма неполно, теория квадратных уравнении Затем идут задачи и приложения к геометрии и тригонометрии .
Целый ряд сведений по высшей алгебре был изложен в «Новой алгебре» (М., 1797) магистра философии и свободных искусств Московского университета Але кеа и дра Барсова. Собственно алгебре отведены были первые три главы этой книги; остальное принадлежало к математическому анализу. В главе I автор знакомил с буквой ным псчисленпем вообще, формулой бинома Ньютона для натуральных показателей, извлечением квадратных и кубических корней. Глава II посвящена была алгебраическим уравнениям. Здесь, в частности, приводились выражения коэффициентов через корни, приём отыскания целых корней, теорема о существовании по крайней мере одного корпя между двумя числами, сообщающими многочлену противоположные знаки, приём Ньютона прибли жённого вычисления корней. В главе III разбирались некоторые неопределённые системы линейных уравнений и так называемое правило параллелограмма Ньютона, служащее для разложения в ряд по степеням г велнчи ны у, заданной уравнением f(x,y) — O, где f(xt у) целый алгебраический многочлен.
В Академическом университете математику сначала преподавали по курсу X р. Вольфа (1679—1754; 1-е изд. 1713) в переводе С. К. Котельникова под заглавием «Сокращение первых оснований мафиматпки» (СПб., 1770— 1771). В этом курсе есть и раздел алгебры, кончая квадратными уравнениями. Этот учебник, «модный» в своё время и имевший большое распространение в Германии,—невысо кого уровня, и автор его, известный философ-идеалист и педагог, пе был математиком-исследователем. Учебник Вольфа был позже ненадолго заменён «Начальными основаниями математики» (ч. I, СПб., 1792; ч. И, СПб., 1791) А. Г. Кестнера (1719—1800; 1-е изд. 1758—1760). В 90-х годах XVIII в. этот учебник тоже был переведён на русский язык академиком А. Б. Иноходпевым; есть там н часть алгебраическая. Это руководство, более содержа тельное, чем учебник Вольфа, не получило у пас распро-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
245
хранения, так как появились новые, более подходящие курсы •
Созданная в 1793 г. для разработки нового плана преподавания математики в академических гимназии и университете комиссия в составе академиков Иноходцева, румовского, Крафта и Шуберта повысила уровень требований к студенчеству; в частности, алгебру рекомендовалось проходить по «Универсальной арифметике» Эйлера. Однако в 90-е же годы XVIII в. Академический университет оыл закрыт.
В 1786 г. в Петербурге была учреждена Учительская семинария—для подготовки учителей разного рода училищ. Программа там была весьма многообразна, но математике было уделено солидное место—проходились и начала анализа и теории кривых. Каков был здесь курс алгебры— неизвестно. Это учебное заведение дало в числе своих питомцев ряд хороших математиков-педагогов; среди них следует отметить Т. Ф. Оспповского, к которому мы ещё вернёмся позже1).
Какие же замечания можно сделать об алгебраических знаниях в России в конце XVIII в.?
Во-первых, алгебра была тесно связана снизу с элементарной арифметикой, а сверху (у Эйлера) с некоторыми частями теории чисел (неопределённым анализом); кроме того, в алгебру включались и логарифмы.
Во-вторых, преподавание алгебры носило в больший стве случаев ещё вспомогательный характер не только в военно-технических учебных заведениях, но и в Академическом университете, где алгебра была подготовительным курсом к анализу, и в Московском университете.
В-третьих, кроме работ Эйлера, специальных научных работ по алгебре в XVIII в. в России не появлялось: алгебраистов не было ни среди русских математиков XVIII в., ни среди работавших у нас иностранцев.
В дальнейшем, излагая развитие алгебры в России в XIX в., мы для удобства изложения различим три
Э В 1804 г. Петербургская учительская семинария была пре-в ?о?0вана в Педагогический институт, на основе которого возник 1819 г. Петербургский (ныне Ленинградский) университет.
246
А. К. СУШКЕВИЧ
момента: преподавание алгебры в учебных заведениях (главным образом в университетах), учебники и монографии по алгебре и, наконец, научные исследования в области алгебры.
Конечно, по существу эти три момента неотделимы друг от друга: ведь, с одной стороны, издаваемые учебники отражали преподавание своей эпохи; с другой стороны, в монографиях имеется немалый элемент творческой работы автора; вообще научная работа идёт рука об руку с преподаванием (имеются, конечно, в виду высшие учебные заведения типа университета); оба стимулируют друг друга. Таким образом, повторяю, паше разделение несколько искусственно, и нам самим придётся не всегда строго его придерживаться.
Далее, хотя теория чисел не входит в область нашей работы, но, как мы уже видели, алгебра в иных своих частях так тесно связана с теорией чисел, что нам поневоле придётся коснуться и последней.
Наконец, на протяжении 117 лет—от начала XIX в. до 1917 г.—алгебра и её преподавание в нашей стране претерпели столь большую эволюцию, что, излагая их историю за это время, придётся выделить здесь несколько отдельных периодов.
И. Преподавание алгебры в России в начале XIX в. Учебники алгебры начала XIX в.
Начало XIX в. ознаменовалось в области просвещения в России открытием ряда средних и высших учебных заведений, в частности университетов. В 1802 г. был открыт университет в Дерите (Юрьеве, теперь Тарту), в 1803 г.—в Вильно (надолго закрытый после польского восстания 1830 г.), в 1805 г.—в Казани и Харькове, в 1819 г.—в Петербурге, в 1827 г.—в Гельсингфорсе (Финляндия), в 1834 г.—в Киеве1). Ещё в 1774 г. был основан Горный институт в Петербурге; в 1810 г.—Институт
*) Позднее в старой России были открыты университеты: в 1865 г.—в Одессе («Новороссийский»), в 1868 г.—в Варшаве, П 1888 г,—в Томске, в 1909 г.—в Саратове,
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
247
путей сообщения, в 1828 г.—Технологический институт1), У1830 г.—Институт гражданских инженеров,—все три в Петербурге. В 1804 г. был утверждён новый устав для .университетов; по этому уставу от профессоров требовалась не только учебная, но и научная работа; вместо философских факультетов были учреждены историко-филологический и физико-математический факультеты. На физико-математических факультетах были учреждены: кафедра чистой математики и кафедра прикладной математики (механики). Таким образом, математика («чистая») официально не дифференцировалась; конечно, в дальнейшем количество лиц, преподающих различные отделы «чистой» математики на физико-математическом факультете, увеличилось: было п по нескольку профессоров «чистой» математики, но официально кафедра чистой математики в данном университете была одна—вплоть до Великой Октябрьской социалистической революции.
Не только кафедра, но и курс чистой математики в наших университетах вначале был единый, и алгебра составляла только один из отделов общего курса математики. Конечно, элементы алгебры отошли в курс гимназий, но вначале, из-за недостаточной подготовки студентов, в университетах читались и элементарные «подготовительные» курсы по математике; эти курсы поручались молодым преподавателям.
С течением времени общий курс высшей математики в университетах разделяется на отдельные курсы, которые начинают читать различные преподаватели. Так, в Московском университете в 1814—1825 гг. преподавание высшей математики вёл профессор Тимофей Иванович Перелогов; его курс начинался с теории уравнений высших степеней, которые учащиеся не успевали пройти в средней школе, затем шли конические сечения и, наконец, анализ. Но уже в 1818 г. Перелогов стал читать только анализ, а высшую алгебру и аналитическую геометрию передал адъюнктам Перевощпкову и Щепкину.
А) Другие технологические институты в старой России были открыты: в 1885 г.—в Харькове, в 1900 г.—в Томске; Московское высшее техническое училище было организовано в 1868 г
248
А. к. СУШКЕВИЧ
Дмитрий Матвеевич Перевощиков (1788—1880) читал алгебру в Московском университете в 1818—1825 гг.—по учебнику Франкера и по собственным руководствам1). С 1826 г. он сделался профессором астрономпп. Павел Степанович Щепкин (с 1826 г.—профессор) после 1820 г. тоже читал алгебру в Московском университете.
В Харьковском университете в 1816—1817 гг. курс профессора Андрея Федоровича Павловского состоял пз таких частей: алгебра, геометрия, тригонометрия (плоская и сферическая), конические сечения, теория аналитических функций (т. е. анализ); читался этот курс 2 года по 4 часа в педелю.
В Казанском университете в 1808—1819 гг. преподавание математики вёл ироф. М. X. Бартельс, а с 1814 г. также и Н. И. Лобачевский (с 1816 г.—экстраординарный, а с 1822 г.—ординарный профессор), который стал читать лекции по теории чисел; это, насколько мне известно,— первые по времен и лекции во теории чисел в наших университетах. В дальнейшем Лобачевский читал и курс алгебры «по своим тетрадям»2).
Рассмотрим теперь наиболее употребительные книги по алгебре того времени.
Первым ио времени выхода следует упомянуть учебник П. Ф у с с а3), переиздававшийся несколько раз. В первый раз этот учебник появился на французском языке под заглавием: «Logons d’algebre a I’usage du Corps imperial des cadets nobles» (СПб., 1783). В 1798 г. он был переведён на русский язык. Автору данной статьи известно издание 1821 г. под заглавием: «Начальные основания алгебры, выбранные пз Алгебры знаменитого Эйлера Николаем Фуссом, Санктпотербургской Импер. Академии наук и разных других обществ Членом, в пользу воспитанников 1-го кадетского корпуса» (СПб., 1821).
Кнпга разделена на четыре «отделения»: отделение 1— «О разных родах исчисления простых плп несложных колп-
9 О них см. ниже, стр. 259—264.
2) О курсе алгебры Лобачевского—см. ниже, стр. 265—272.
3) Николай Иванович Фусе (1755—1826), швейцарец по происхождению, в 1772 г. приехал в Россию, стал личным секретарём и учеником Эйлера; с 1783 г.—академик.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
249
чес-тв>>; отделение 2—«О способах исчисления составных или сложных количеств»; отделение 3—«Об алгебраических уравнениях и решении оных»: отделение 4—«Об отношениях, пропорциях и прогрессиях, арифметических и геометрпчес кп х •>.
В отделении 1 изложены элементы алгебры одночленов, причём, как обычно в то время, алгебра переплетается с арифметикой. Здесь излагаются действия с положительными и отрицательными числами; дроби («ломаные» числа); десятичные дроби; извлечение квадратных корней н в связи с этим, понятия о «глухих пли непзвлекаемых» (иррациональных) числах и «невозможных» пли мнимых числах; далее—действия с радикалами, извлечение корней кубических и корпи высших степеней; теория логарифмов, их употребление.
Отделение 2 посвящсии «сложным пли составным» количествам, т. с. многочленам; изложены действия с многочленами, разложение дробей в бесконечные ряды делением, извлечение корней из многочленов, бином Ньютона и его обобщение для дробных и отрицательных показателей, разъяснённые только па примерах.
В отделении 3 глава 1 названа: «О решении вопросов вообще». Там даётся такое определение алгебры: «Алгебра
есть наука, которая показывает, как находить неизвестные величины помощью известных». II далее: «...сие равенство, которое изображается некоторою формулою, называемою уравнением, служит потом к определению величины неизвестного количества, следовательно, к решению вопроса». Далее изложено решение уравнений 1-й степени с одним и с несколькими неизвестными (даны способ сравнения и способ подстановки); разбирается и даётся Для упражнения много задач на составление уравнений. Далее идут неопределённые уравнения 1-й степени (отыскиваются только целые положительные решения). Затем изложены квадратные уравнения, кубические уравнения (вывод формулы Кардано), уравнения 4-й степени (способ Феррари); далее идёт «решение уравнений по приближению» (находится подбором целая часть а корня отбрасываются члены с р2, ps ...). Ко всем правилам даются примеры.
250
К. СУШКЕВИЧ
В отделении 4 говорится об отношениях, пропорциях, прогрессиях арифметических и геометрических, о многоугольных числах, о простых и сложных процентах. И здесь даётся много задач.
Как видно из этого перечня, киша Фусса—учебник элементарной алгебры; за пределы элементарного курса выходят только уравнения выше 2-й степени, да некоторые разложения в бесконечные ряды.
В университетском преподавании в начале XIX в. большим успехом пользовался «Курс математики» французского математика Этьена Безу (1730—1783), в 5 томах, полный перевод которых В. А. Загорского был напечатан в 1804—1806 гг. В части III этого курса «Алгебра с приноровкою её к геометрии и коническое сечение» (Москва, 1801) собственно алгебре посвящены 192 страницы. По материалу собственно алгебраическая часть курса Безу не отличалась от курса Фусса (хотя последний предназначался для средней школы).
Рассмотрим теперь алгебраическую часть курса мате матикп проф. Т. Ф. Осиповского. Тимофей Фёдорович Осиповский (1765—1832) учился в Петербургской учи тельской семинарии; в 1803 г. он был назначен профессором математики вновь открываемого Харьковского университета; он был прекрасным педагогом и высоко поставил преподавание математики в Харьковском уни верситете. Как известно, учеником его был М. В. Остроградский. Осиповский написал весьма серьёзный «Курс математики» в 3 томах (1802—1823); 1-й том его содержит «общую и частную Арифметику» (изд. 1802 г.)т). Мы изложим вкратце содержание этого 1-го тома; он составляет 357 страниц in 4°.
Первую часть (66 стр.) рассматриваемого тома составляет арифметика. Вторая часть озаглавлена: «Общая арифметика или алгебра», она занимает 290 страниц и разделяется на три «отделения»: отделение I — о величинах вообще под разными видами рассматриваемых; отде-
х) Следуя Ньютону, алгебру долгое время именовали «обшеи арифметикой».
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	251
чение П—об уравнениях; отделение III—о суммировании рядов и преобразовании формул.
В отделении I изложены действия над одночленами и многочленами, относительные числа, действия над радикалами, извлечение квадратного и кубического корня из многочленов и из чисел, бином Ньютона для отрицательных и дробных показателей (без доказательства; с последующей проверкой). Далее указывается, что бином Ньютона верен и для иррациональных, и для мнимых (с этим термином) показателей; доказательство этого нестрогое.
Статья 4-я отделения I посвящена логарифмам. Ряд для логарифмов натуральных или гиперболических выводился, вслед за Эйлером, следующим образом: пусть ш — бесконечно малое количество; тогда aw — 1 4- кт, где к — постоянная;
апш -- (1 кт)п — 1 + пкт 4-	—- к2т2
пусть п — бесконечно велико; тогда п — п — 1 » п — 2 — ...;
апш = 1 -f- кпт 4- -т— nW 4- -j—-—у- nV 4- ...
1 • Л	1 * £ * и
Пусть nm=z, где z—конечное количество; тогда
az - 1 + kz +	2 z2+	;
пусть
az = b; z = lgfr; 6= J + Alg6 b^(W+ •. ;
При z= J
а = 14"^+'^р + ’«-
(т. е., в наших обозначениях, а = ек) при а 1, к ' 0; при Л==1 получаем натуральные логарифмы. Далее в том же духе выводится ряд для In (1 4- х), а затем получаются ряды для 1п(1- х),	.
Статья 5-я называется: «О содержаниях, пропорциях 11 прогрессиях» («содержание» значит отношение). Попутно говорится о фигурных числах.
232
А. К. СУШКЕВПЧ
Статья 6-я озаглавлена: «О тройных правилах». Кроме обычного простого и «сложного тройного правила (назы ваемого также «золотым правилом»), сообщаются цепное правило, правило товарищества, пропорциональное деле нпе, вычисление «интересов», т. е. процентов, в том числи и сложных. Все правила иллюстрируются рядом примеров и задач.
В отделении II даётся такое определение: «Уравнение не что иное есть, как определение взаимного отношения двух пли нескольких количеств. Сие взаимное отношение обыкновенно определяется, приводя оное в состояние равенства... Хотя через уравнения можно изображать взаимное отношение и известных количеств, но они почти всегда назначаются для определения через оные отношения неизвестных количеств к известным».
Статья 1-я «Определённые уравнения». Здесь изложено решение уравнений 1-й степени с одним и несколькими неизвестными (способ подстановки); для решения двух уравнений с двумя неизвестными даются общие формулы. Подробно разбирается «правило фальшивое», или «правя ло положений» (одного и двух). Изложены решения квадратных уравнений и исследование решения; уравнения, приводящиеся к квадратным, частные случаи системы двух квадратных уравнений с двумя неизвестными.
Далее изложены свойства уравнений высших стопе ней. Говорится, что «каждое уравнение имеет столько корней, какой оно степени», что каждая целая рациональная функция и-й степени раскладывается на п линейных множителей; как следствие, выводятся так называемые формулы Вьета; существование корней не доказывается.
Вслед за тем излагаются свойства уравнений с вещественными коэффициентами (чётность числа мнимых кор ней, разложение на линейные и квадратные множители и т. п.), теорема Декарта (в частном случае, когда все корни вещественны; дано довольно кропотливое доказа тельство); нахождение рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами (даётся так называемая схема, обратная к «схеме Горнера»).
Далее выводится формула Кардано решения кубического уравнения (способом Гудде), Для решения уравне
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
253
ния 4-й степени даются: «правило Декартово», «правило Бомбеллиево» (по существу—то же, что Феррари), «правило Ейлерово».
Далее говорится «о нахождении корней уравнения через приближение»; метод по существу — тот же, что if у Эйлера: пусть т целая часть корня; положим х^т + р, подставим и отбросим высшие степени р.
Далее говорится: «Пусть на пр. предложено будет уравнение ж4 — Зя2 4- 2х — 6 — 0, в котором один из положительных корней .с < 2. Положим на пр. я = —, и получится уравнение
___^2_i_^_g = 0
10000	100^10
или
у* - 300 у2 + 2000 у - 60000 = 0.
Пробуя здесь числа 18 и 19, откроется, что корень сего уравнения содержится между 18 и 19, но к 19 ближе подходит; посему назначим у = 19 — р и будет
А == 194 - 300 • 192 4- 2000 • 19 - 60000 = 21,
В = 4 • I93— 2.300 • 19 4- 2000 - 18036,
а ио сему будет 21 —18036/? = 0 и /? =	= 0,00101.
Следовательно
у = 19-0,00101 = 18,99899 и х = ^?/= 1,899899».
Даётся другой пример, где с самого начала уравнение приводится к такому виду, чтобы его корень оказался между нулём и единицей.
Это, по существу,—так называемый способ Горнера (правда, без его схемы вычислений)1), который комбинируется со способом Ньютона.
х) В книге Уиттекера и Робинсона «Математическая обработка результатов наблюдений» (ГТТИ, 1933) говорится, что 1орнер его открыл в 1819 г., а Руффини в 1804 г. Мы видим, что У Осиповского этот же, по существу, способ встречается уже в 1802 г.
254
А. К. СУШКЕВИЧ
Далее разъясняется на примере способ Д. Бернулли: «Находят ряд чисел a, b, с, d,..., из коих каждый после дующий член, разделён будучи на предыдущий, отчасу ближе подходит к искомому корню уравнения».
Затем указывается разложение корней в непрерывную дробь (способ Лагранжа). Наконец, «четвёртой спосой находить корни уравнений через приближение состоит в приложении правила фальшивого». На каждый спосой даются примеры.
Далее говорится о решении уравнения, не имеющею ни одного вещественного корня, и предлагается выделять квадратные множители из левой части уравнения по способу неопределённых коэффициентов.
В статье 2-й отделения II говорится о решении в целых числах неопределённых уравнений. Сначала изложены уравнения 1-й степени, даётся общий способ их решения (по существу—способ непрерывных дробей). Затем рассматриваются различные типы уравнений 2-й степени, в частности и уравнение Пелля: ауу -р 1 = zz. Рассматрива ются и некоторые случаи кубических уравнений. Под конец решаются четыре задачи в духе Диофанта, например, найти число .т, которое, будучи приложено к данному числу а, так же как и будучи из него вычтено, производило бы в обоих случаях квадратные числа.
В отделении III рассматриваются такие задачи:
1. «Суммованпе степеней чисел в Арифметической прогрессии простирающихся». Выводятся формулы:
с ।	с хх + х с 2	4- Зх2 4- х
S • 1 = гг; S • х = —— ; S-x2=----;
и т. д. Выводится и общая формула для S-xn.
' 2. «Суммование пирамидальных чисел».
3.	«Суммование степеней чисел из других оснований». Здесь выводятся формулы Ньютона, связывающие степенные суммы с элементарными симметрическими функ днями (только без этих названий).
4.	«Превращение дробей в бесконечную строку». на зывается способ деления и способ неопределённых коэффициентов—на частных примерах.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
255
5.	«Превращение непрерывных дробей в бесконечную строку; и на оборот». Рассматриваются (по Эйлеру) непрерывные дроби вида
их свойства, закон составления подходящих дробей, которые называются «приближающимися к истинной величине». Далее говорится о представлении непрерывной дроби бесконечным рядом; приводится пример:
= 1 + у — уу -ь 5 J2 — [у-уу + 29 . 70"“70 • 169
Обратно, бесконечный ряд
-L - 4- —__- -J-
Р Q ' R S ' ' преобразовывается в непрерывную дробь 1
/Ч —-------QQ-
6. «Превращение строк». Говорится о преобразовании степенного ряда посредством подстановки х = Ay -р By2 -f--р С?/3 4- ... , приводятся примеры.
7. «Разложение дробей на частные дроби» («частные» значит простейшие). Это разложение проводится эмпирически, только для случаев линейных множителей и их степеней в знаменателе.
Из этого краткого обзора видно, что учебник Осипов-ского был гораздо полнее, чем рассмотренные выше учебники Фусса и Безу. Это был первый русский учебник алгебры, материал которого в значительной своей части относился к высшей алгебре. Университетский курс алге-оры, как мы видим, оформляется, как теория и практика
256
А. К. СУШКЕВИЧ
решения алгебраических уравнений любой степени—определённых п неопределённых (в целых числах).
Мы видели, что у Осиповского приведён способ, известный под именем «способа Горнера», ещё за 17 лет д0 Горнера; правда, у Осиповского пет ещё «схемы Горнера» деления на линейную функцию и разложения по степеням двучлена—схемы, которая играет на практике существен ную роль. Но зато, как мы видели, у Осиповского есть так называемая «обратная схема Горнера», правда, излагаемая прп рассмотрении другого вопроса (нахождения рациональных корней уравнения).
В дидактическом отношении учебник Осиповского тоже стоит высоко. Конечно, в нём ость и промахи (например, «обоснование» того, что формула бинома Ньютона верна и для мнимых показателей); по промахи были и в других учебниках того времени, и это не удивительно: ведь только к средине XIX в. математика стала на твёрдую основу.
III. Алгебра в России во второй четверти XIX в.
Во второй четвертп XIX в. обучение высшей алгебре в русских университетах значительно расширяется. Как мы увидим, в учебники высшей алгебры того времени включаются новые вопросы: отделение корней по способу Штурма и способу Фурье,—эти вопросы были тогда новыми в науке, по они почти сразу вошли в преподавание. Вводится также теория симметрических функций и пх приложения. С другой стороны, от университетского курса алгебры отпадают элементарные части, включаемые всецело в курс средней школы. Но высшая алгебра (пли «алгебраический анализ», как её позже стали именовать) продолжает считаться одним пз начальных отделов университетского курса высшей математики, подготовительным к курсу анализа бесконечно малых, и читается вместе с аналитической геометрией па I курсе. Специальных курсов по алгебре тогда ещё не было.
По уставу 1835 г. на I курсе «2-го философского отделения»—как назывался тогда физико-математический факультет—по математике читались аналитическая геометрия п высшая алгебра, на II курсе—дифференциальное
МАТЕРН V 1Ы К ИСТОРИИ ХЛГЕВРЫ В РОССИИ
237
п интегральное исчисления, иа Ш и IV курсах дифференциальные уравнения (обыкновенные и с’ частными производными) п вариационное нечш iciiiie. Кроме того, с III курса студенты разделялись на математиков и осте ствонпиков. По общее число часов по математике было весьма невелико: в среднем за 4 года всего лишь 23/4 часа в неделю.
В Московском университете в конце 20-х годов про грамма по высшей алгебре была следующая: соединения, бином Ньютона с распространением (нестрогим) па случав любого показателя л с приложением к извлечению корней, разложение многочлена иа мшенные множители, отыскание рациональных корней, выделение кратных корней, приближённое вычисление корней—способы Ньютона, Лежандра, Лагранжа, теорема Декарта, исключение неизвестного из двух уравнений, решение двучленных уравнений, уравнений 3-й и 4-й степени, применение непрерывных дробей к определённым и неопределённым уравнениям 1-й и 2-й степени, разложение рациональных дробен на простейшие.
С уходом нз университета Щепкина (в 1833 г.) математические курсы, в том числе и высшую алгебру, стал читать Николай Ефимович Зернов(1804 1862; с 1835 г.-профсссор), опираясь главным образом на «Ручную математическую энциклопедию» Перевощнкова (см. ниже). Зернов читал аналитическую геометрию и высшую алгебру в J-м и 2-м семестрах I курса по 3 часа в неделю.
В Харьковском университете в середине 30-х годов курс высшей алгебры читал Никита Андреевич Дьяченко (он в 1829 1. окончил Харьковский университет; в 1839— 1867 гг. был профессором Киевского у ни вере цтета). В отчёте за 1834—1835 учебный год сказано: «Высшую алгебру, тригонометрию и конические сечения преподаёт канд. Дьяченко на русском языке, 4 ч. в неделю, но собственным тетрадям, придерживаясь Коши, Бурдона, Лежандра, Немцовского». Вот краткая программа его курса алгебры: ньютонов бином; теория логарифмов и приложение их к решению разных вопросов; общая теория уравнений: Решение уравнений 3-й и 4-й степени. С 1839 по 1846 г. «окончание алгебры, плоскую и сферическую геометрию
Псторпло-матсм. исследовании
258
А. К. СУШКЕВИЧ
п конические сечения» по 4 часа в неделю на I курсе читал проф. А. Ф. Павловский.
С 1846 г. чтение лекций по математике на I курсе Харьковского университета переходит к исполняющему должность адъюнкта Евгению Ильичу Бейеру, который в 1846—1847 учебном году читал по 6 часов в недолю ца I курсе в 1-м семестре алгебру—по сочинениям Лагранжа, Фурье, Коши, во 2-м семестре—тригонометрию и аналитическую геометрию. Курс алгебры Бейер продолжал читать и в дальнейшем (до конца 50-х годов), сокращая его до 4 часов, а иногда и до 3 часов в поделю.
В Киевском университете в 40-х годах курс высшей алгебры (пли «алгебраического анализа») читал тот же И. А. Дьяченко, переехавший из Харькова. Вот краткая программа его курса: отделение корней способами Штурма и Фурье; вычисление корней способом непрерывных дробей, способом Ньютона с поправкою Фурье; определение недействительных корней; симметрические функции; решение систем уравнений; способ неопределённых коэффициентов и его применение; теория рекуррентных рядов; разложение рациональной функции на элементарные дроби; сходимость рядов; решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах; невозможность общего решения уравнений в радикалах; решение двучленных уравнений и неопределённых уравнений 1-й и 2-й степени.
В Петербургском университете, основанном па базе Педагогического института в 1819 г, преподавание математики до середины 40-х годов стояло на невысоком уровне, хотя читались все полагавшиеся по тогдашним планам курсы, в том числе и курс алгебры. Первым профессором математики Петербургского университета был Д. С. Чижов, воспитанник Петербургского педагогического института. С середины 40-х годов, когда в университете стали преподавать Буняковскпй, Чебышев, Сомов, преподавание математики в нём сразу поднялось па очень большую высоту.
В Дерптском университете преподавание математики стало на должную высоту лпшь с переходом туда Бартельса в 1821 г. С 1843 г. в Дерпте стал преподавать Ф. Г. Миндинг; он же читал затем и высшую алгебру.
материалы к истории АЛГЕБРЫ В РОССИИ 259
Перейдём к рассмотрению учебников и монографий алгебре того времени. Очень распространён был «Курс П°стой математики» французского математика Ф р а и к ё-ЧИ (Francoeur,1773—1849), профессора алгебры Парижского университета; курс этот был переведён па русский язык д М. Перевощиковым (в 1819—1825 гг.); книга V второй части этого курса (355 стр.) посвящена высшей алгебре.
Вот её краткое содержание:
Глава 1. С о ч е т а н и я и переложения. Бином Ньютона с любым показателем. Малая теорема Ферма (как следствие); фигурные числа; вероятности.
К Глава 2. Р е ш е п п е уравнений. Разложение
многочленов на линейные множители (в предположении, что всякое уравнение имеет корень). Преобразование уравнений. Пределы корней. Соизмеримые корни. Равные корни и пх выделение. Исключение неизвестного из двух уравнений. Существование корней (только в частных случаях; выявляется геометрически).
Несоизмеримые корни; их вычисление по способу Ньютона-Фурье и Лагранжа. Правило Декарта. Способ Фурье. Теорема Штурма.
Мнимые корни. Доказательство существования корней (нечто вроде леммы Даламбера).
Глава 3. Р е ш о п и е особенных уравнений. Возвратные уравнения; двучленные уравнения, корни из единицы; трёхчленные уравнения. Алгебраические решения уравнении 3-й и 4-й степени.
Глава 4. С и м м е т р и ч е с к и е функции. Формулы Ньютона. Доказательство основной теоремы посредством степенных сумм (способ Жирара). Приложения к уравнениям; исключение.
Глава 5. Н е п р е р ы в п ы е дроби. Их свойства. Неопределённые уравнения 1-й степени, а также 2-й и высших степеней (вкратце). Решение численных уравнении при помощи непрерывных дробей.
Глава 6. Способ неопределённых коэффициентов. О рядах и пх сходимости; «возвращающиеся» ряды. Ряды для показательной функции, логарифма, тригонометрических функций. Обращение Рядов.
17*
2(50
V. К. СУШКЕВИЧ
В большом ходу была также «Алгебра» Д. М. П е р о вощи к о в а, которая являлась частью его большого труда— «Ручной математической энциклопедии» в 13 томах, издававшейся в 182G—1837 гг. и содержавшей все курсы тогдашней элементарно]! и высшей математики, механики, физики, астрономии. «Алгебра» входила в книгу Щ этой энциклопедии (2-е изд.—1835 г.), размером в 604 страницы малого формата; она разделялась па три «отделения»: отделение I—«Главные основания исчислений,; отделение II—«Теория уравнений»; отделение III—«Частные исследования».
Во введении даётся такое определение: «Алгебра ecu, общая наука исчислений».
В отделении I изложены действия пад одночленами и многочленами («составными количествами»), относитель ные числа (при этом правило знаков при умножении «выво дптся» пз умножения разностей), бесконечные ряды, происходящие от деления, бесконечная геометрическая прогрессия. Далее изложены некоторые арифметические вопросы, причём буквы означают целые числа, хотя об этом ле говорится. Говорится о простых числах; о числе и сум ме делителей целого числа; о признаках делимости на 2, 9, 3, 5, И; о сложном признаке делимости на 7, о котором автор ппшет: «Из сего видно, что предварительное испытание труднее непосредственного деления». Говорится о различных формах чисел, например 6.г ± 1- Есть предложение: «Нет ни одной алгебраической формулы, которою бы выражались только простые числа»; это показывается на примере кубической функции. Весьма сложно доказывается теорема: «Если произведение целых количеств АВ делится на простое количество Р, то который-нибудь из производителей! А пли В должен делиться па /J»-Затем излагается алгорифм Евклида для многочленов и однозначное разложение многочленов на линейные множители, «если оно возможно».
Далее говорится о непрерывных дробях; подходящие дроби названы «приближёнными». Указано, что всякое количество разлагается в непрерывную дробь, ио воооше бесконечную. Далее говорится о степенях и корнях; рассматриваются отрицательные и дробные показатели, дон-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
261
пя с радикалами. Затем идут «сочетания, перемещения, распределения» и формула бинома Ньютона, которая Р спростраияется и на искусственные степени» (доказа-ечьство—нестрогое); извлечение квадратных и кубических корней из многочленов; логарифмы (также и натуральные, «исперовы»); приводятся примеры, в частности и на сложные проценты.
В отделении II вначале изложено приведение уравнения
t
к простейшему виду, составление уравнений в задачах (приводятся примеры), решение уравнении 1-й степени; для решения системы уравнении с двумя и тремя неизвестными даются способы сложения и вычитания, неопределённых множителей, сравнения и подстановки. Затем говорится о неопределённом уравнении t-й степени с двумя неизвестными, когда ищутся «прямые» (т. е. целые, положительные) решения; приведён способ непрерывных
дробей.
В главе IV говорится «о символических выражениях и о количествах мнимых». Действия над комплексными числами выводятся чисто формально. Сопряжённые ком
плексные количества называются «соответствующими». Даются теоремы о модулях; как приложение, выводится, что произведение сумм двух квадратов есть также сумма двух квадратов.
В главе V говорится «о разрешении уравнений 2-й степени». Начинается глава извлечением квадратного корня из комплексных чисел; в качестве примера находится Далее выводится н исследуется формула решения квадратного уравнения (включая зависимость коэффициентов от корней и разложение на множителей трёхчлена 2-й степени); разобраны частные случаи системы двух квадратных уравнений с двумя неизвестными. Далее идёт разложение корней квадратного уравнения в непрерывные Дроби; указано, что дроби при этом получаются периодические.
Вслед за этим разбираются некоторые специальные виды неопределённых уравнений 2-й степени с двумя неизвестными; именно
тху == ах + Ъу 4- с,	т.гу =з /и2 4- рх + уу 4“
262
Л. К. СУШКЕВИЧ
подробно исследуются различные частные случаи, приводятся примеры: Есть уравнение:
ах2 -|- 2Ъух + су2 = М;
разбираются случаи: Ь2 — ас < О, Ъ2 — ас — к2, 62 — яс > о и не квадрат; в последнем случае применяются непрерывные дробп. Приводится и уравнение х2 — ty2 = 1. Наконец, рассматривается и общий случай:
ах2 4- 2Ьху 4- су2 4- dx 4- еу 4- / = 0.
Глава VI—«Общая теория уравнений». Здесь излагают-ся теоремы, относящиеся к непрерывности целой рациональной функции (при этом теорема Больцано—чисто наглядно, со ссылкой на непрерывность функции), вводятся производные и ряд Тейлора (формально).
Затем идут частные случаи, когда можно заключить, что уравнение имеет корень; приводятся доказательство существования корпя уравнения xrn = a4-P|/r — 1 (громоздкое и нестрогое) и доказательство существовавши корня у всякого уравнения (нестрогое, по существу— только лемма Даламбера; говорится: «и так модуль R можно уменьшать произвольно, и наименьшая его величина будет = 0», а это не доказано).
Далее говорится о разложении многочлена на линейные множители, о формулах Вьета; приводится теорема Декарта; рассматриваются пределы корней, способы Ньютона и Маклорена (имён не названо), возрастание и убывание функций в связи со знаком производной и теорема о среднем значении.
Глава VII—«Определение действительных корней числовых уравнений с одним неизвестным». Изложено нахождение целых корней способом, обратным «схеме Горнера»; нахождение дробных корней (на примерах); выделение кратных корней (обычным способом); способ Штурма отделения корней (указано, что Штурм открыл этот способ в 1829 г.); перечпсляются только 2-е и 3-е свойства ряда Штурма; 4-е свойство (о знаках f (х) и /' (х) до и после корня) доказывается, как особая теорема. Даётся много примеров. Для вычисления корней указаны спосооы
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	263
Лагранжа (непрерывных дробей), Ньютона с дополнениями Фурье.
Н Глава VIII—«О понижении уравнении и об уравнениях двучленных». Различные случаи соотношении между корнями. Возвратные уравнения. Двучленные уравнения; очень мало сказано о корнях пз 1; разобраны только частные случаи: у3= 1, y4= 1, у5=1, у’ = 1пдр. Трёхчленные уравнения.
Глава IX—«О частных решениях уравнений 3-й и 4-й степени». Вывод способом Гудде формулы Кардано. Решение уравнения 4-й степени способом Эйлера. Говорится:4 <41 о предлагаем ни примера, ни исследования свойств корней: ибо частные способы для разрешения уравнений не только 4-й, но и 3-й степени бесполезны для практики».
Далее выводится формула преобразования
Глава X—«Об исключениях». Говорится об исключении одного неизвестного из двух уравнений с двумя неизвестными (на примере уравнений 3-й степени). Приводится способ Ньютопа,— по существу, нахождение общего наибольшего делителя. Даются примеры.
Глава XI—«О симметрических функциях». Степенные суммы; формулы Ньютона; моногенные функции (без этого названия); способ Жирара (без упоминания имени) на примере функции ^(а^у1); уравнение «по квадратам разностей». Исключение посредством симметрических функций (нечто вроде нахождения результанта).
В отделении III: глава I—«О суммировании чисел». Выводятся формулы:
S(x)=^+±,	,
далее—формулы для S(x2), S (х3), S (ж4) и вообще для S(xm).
Глава II—«О рядах вообще». Определения и примеры; признаки Даламбера, Коши (без имён) и логарифмический. Знакопеременный ряд (при этом упущено условие, что lim«H = 0); степенной ряд; примеры.
Глава III—«О способе неопределённых коэффициентов». Разложение рациональных' дробей на простейшие (без
264
А. К. СУШКЕВИЧ
общей теории; дроби с мнимыми сопряжёнными двучленами в знаменателях просто складываются; случая кратных мнимых корней нет). Разложение дробной рациональной функции от в бесконечный ряд посредством неопрсделёи пых коэффициентов. «Возвращающиеся» ряды. Примеры.
Мы видим, что эта «Алгебра» Перевощикова имела действительно энциклопедический характер, охватывая и элементарную алгебру, и тогдашний университетский курс алгебры с дополнениями. Несмотря па указанные выше промахи, книга эта по полноте и новизне материала и по своему изложению представляла шаг вперёд по сравнению с рассмотренными выше кишами но алгебре в XIX в.
Позже (в 1854 г.) Поревощиков издал «Основания алгебры» для гимназий (см. ниже, стр. 317—348).
Упомянем ещё об одной переводной книге того времени: Алгебра Б у р д о и а. Перевод Ф. Мена, при пятый в руководство для преподавания в Институте корпуса путей сообщения и в горном институте. Часть I, изд. 5-е, 1844 (278 стр.); часть II, 1833 (356 стр.).
Часть 1 представляет собой курс элементарной алгебры, кончая теорией прогрессий п логарифмов (глава \ I). Во введении даётся такое определенно алгебры: «Алгебра есть часть Математики, в которой численные вопросы решаются посредством общих и сокращённых знаков». Подробно говорится (в главах II и 111) об уравнениях 1-й и 2-й степени и об пх исследовании. В ыаве II имеется «задача о курьерах», которая позже перешла и в другие учебники элементарной алгебры. Имеется формула бинома Ньютона для произвольных показателей. Есть разложения в ряды; ряды для логарифмов.
Часть II состоит из четырёх глав: i.iana VII—общая теория уравнений; глава VIII—разрешение численных уравнений с одною или многими неизвестными; i лава IX дополнение к теории ypaBiienuii; глава \ -дополнение к теории строк.
Это курс высшей алгебры. В главе \ II излагаются общие свойства целых рациональных функций; основная теорема о существовании корней даётся без доказатель ства; изложены выделение кратных корней, теория сим
м КТЕРПЛЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	£65
угрцческих функций; в конце даётся теорема Безу Гпвух уравнениях с двумя неизвестными.
° Глава VIII содержит вычисление корней, способы Ньютона (без дополнений Фурье), Лагранжа.
3 главе IX говорится о двучленных уравнениях, о корнях из единицы, об алгебраическом решении уравнений 3-й и 4-й степени.
Б главе X излагаются возвратные ряды, разложение в ряды рациональных функций и т. п.
Книга заканчивается прибавлением переводчика: «Решение численных уравнений». Здесь изложены способы Штурма и Бюдана-Фурье отделения корней (без упоминания имён) и способ Ньютона вычисления корней с дополнением Фурье.
Мы переходим теперь к рассмотрению трёх классических монографий по алгебре того времени, принадлежащих трём знаменитым нашим математикам, -II. 11. Лобачевскому, М. В. Остроградскому, II. И. Сомову1).
«Алгебра или вычисление конечных. Сочинение Н. Л о-б а ч е в с к о г о», Казань, 1834 (528 стр.)2).
В предисловии Лобачевский говорит о предмете алгебры, делает ряд замечаний исторического характера и указывает на собственные открытия, содержащиеся в этой книге. Это, во-первых,—оригинальное решение системы п линейных уравнений с п неизвестными с помощью выражений, являющихся по существу определителями, которые в то время ещё не получили своего окончательного оформления (гл. IX, ст. 108—113).
Во-вторых, Лобачевский указывает на главу XV; эта глава носит название: «О приращении и суммовании функций» и является введением в исчисление конечных разностей, которое Лобачевский причисляет к алгебре. В этой главе определяются и находятся первые разности 11 суммы различных алгебраических, а также элементарных трансцендентных функций, выводятся отсюда многочисленные формулы, относящиеся к этим функциям,
х) Волос подробно о II. II. Лобачевском и М. В. Остроградском м. «Историке математические исследования», выл. II и III.
г 2) Переиздана в томе IV Полного собрания сочинений II. II. Ло-иачевского, М.— Л 1949.
266
А. К. СУШКЕВИЧ
разложения в непрерывные дроби (общего впда); многие из этих частных формул принадлежат самому Лобачевскому.
В-третьих, Лобачевский указывает на главу XVI («Решение двучленных уравнений»), где он даёт свой способ вычисления корней пз 1 при помощи первообразных корней простого числа р. Лобачевский сообщает, что ещё в 1813 г. он представил в Отделение физико-математических наук при Казанском университете рассуждение, содержание которого помещено в главе XVI. В этой главе он рассматривает неопределённое уравнение
ахп-\-Ь — рЦ,
где а, Ь—данные целые числа, р—простое число, Ц—неизвестное целое число, х ищется тоже, как целое число; рассматривает он и уравнение более общего впда:
хп 4- а1хп~[ + ... + ап = рЦ.
По существу, это—сравнения с простым модулем р\ Лобачевский развивает их теорию, выводит существование первообразных («основных») корней простого числа р, даёт их теорию, выводит пх число.
Переходя затем к уравнению хп — 1 — 0 с простым л, обозначая через со один из его «воображаемых» корней, через к один пз основных корней числа п п полагая
= И; И + ['' + «] + ['' +2а] 4- ... + к4-« —1~а] = [г, а],
где а—«дольное число» (т. о. делитель) от п— 1, Лобачевский строит теорию этих символов [г] и [г, а] и при помощи пх даёт возможность вычислять со. В конце главы он даёт примеры вычислений [г, 2] и [г, 4]. Наконец, он указывает, что тем же способом, как для уравнения хп = 1, можно решить в целых числах и уравнение хп — 1 = pH (т. е. сравнение хп= 1 (mod;;)).
Заметим, что дальнейшее развитие этого способа—для случая, когда п—1 (при п простом) делится на 8, —помещено в работе Лобачевского «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8», напечатанной в «Учёных записках Казанского университета» в том же 1834 г. (кн. 1, стр. 3—-32).
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	267
Наконец, Лобачевский упоминает в предисловии п свой особ вычисления корней (гл. XVIII, ст. 257,— самая С следняя), способ, ошибочно называвшийся «способом Гоеффе», хотя Греффе опубликовал его только в 1837 г.,— на три года позже выхода пз печати книги Лобачевского1). Как известно, этот способ является наилучшпм способом вычисления корней.
В конце предисловия к своей «Алгебре» Лобачевский писал: «Думая составить Алгебру для Гимназий и с этой целью написавши первые главы, я переменил однакож намерение, в котором ежели успел, то моё сочинение будет служить руководством для учителей и учебной книгой для слушателей в Университете».
Этой переменой намерения автора объясняется в некотором роде двойственный характер книги: с одной стороны, большая часть её содержания относится к элементарной алгебре, с другой стороны, в некоторых, особенно в последних главах, это уже не учебник, а научный труд.
Расскажем теперь вкратце о содержании всей книги. Во «Вступлении» разъясняются и определяются основные понятия (величина, мера, число, единица пт. п.); между прочим, алгебра определяется так: «Алгебра, или Общая Арифметика, предписывает правила для счёта всех чисел, целых и дробей, измеримых и неизмеримых, независимо от основания и не назначая точность вычисления. Вот почему в сей части Математики вместо цифр употребительны буквы, под которыми можно разуметь всякое число и выраженное, как угодно».
При этом Лобачевский весьма оригинально строит теорию действий над рациональными числами, выводя основные законы действий. В главе I он выводит коммута-
2) Книга Лобачевского вышла из печати в 1834 г., но разрешение цензуры на её печатание дано было уже 18 февраля 1832 г., т. е. уже и тогда Лобачевский знал свой способ вычисления корней.
Несколько раньше Лобачевского способ, близкий к способу Лобачевского, открыл бельгийский математик Данделен («Re-perches sur la resolution des equations numeriques, par Dandelin G.», напечатано в «Nouveaux Memories de ГАс. R. de Bruxelles», t. Ill, 1826).
Работа Данделена осталась неизвестной не только Лобачевскому, но и западноевропейским математикам того времени.
268
X. к. СУШКЕВПЧ
тивный закон сложения, определив сложение как цр1ь считывание единиц или долей единицы. Вычитание определяется как действие, обратное к сложению.
Главы II и III посвящены относительным числам (которые называются «коликие») и их сложению и вычитанию. Лобачевский определяет относительные числа отвлечённо—как такие, перед которыми поставлен знак-плюс или минус; правило их сложения даётся как оире деление.
Глава IV рассматривает умножение и деление «коли ких». Лобачевский определяет: «Умножить коликое иа другое значит найти третье, которое бы происходило из первого, как второе из единицы». Правило знаков при умножении Лобачевский даёт как определение—без всякого доказательства. Деление определяется как действие, обратное умножению. Подробно доказывается коммутативный закон для умножения. В главе V («Умножение скобок и включение в скобки») выводятся ассоциативный закон для умножения и дистрибутивный закон.
Главы VI—VIII посвящены дробям: обыкновенным и алгебраическим, десятичным и непрерывным. В главе VI попутно даётся способ последовательного деления (алгорифм Евклида) для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел или двух многочленов. В главу ЛИ включено п обращение обыкновенных дробей в периодические и обратное преобразование (как суммирование геометрической прогрессии). Под конец говорится об ошибке, получаемой при урезывании десятичной дроби. В главе VIII даётся довольно подробная теория непрерывных дробей; рассматриваются и непрерывные дроби с любыми частными числителями и знаменателями.
Глава IX посвящена определённым уравнениям и си стемам уравнений 1-й степени. Для исключения иеизвест ных применяется способ сложения и вычитания; даются общие формулы решений систем двух п трёх уравнении.
Наконец, как уже было сказано выше, даются общие выражения решений системы п уравнений в виде дрооеп; при этом подробно разбирается состав знаменателя и числителей этих дробей, т. е. определителей (хотя ни этого названия, ни современного обозначения нет).
M vrEPHA.Ibl К ИСТОРИИ ХЛГЕВГЫ В РОССИИ
26'.)
рлава X посвящена решению неопределённых уравнений 1-й степени в целых числах. Сначала говорится об одном уравнении с двумя неизвестными и даётся способ непрерывных дробей; затем на примерах показывается решение двух уравнений с тремя неизвестными, которое обобщается па любое число уравнений, если неизвестных больше, чем уравнений.
Глава XI. <<О степенях и корнях действительных»). Обобщение степени для всякого рационального показателя; радикалы и действия с ними; бином Ньютона для натурального показателя. Интересно обозначение биномиальных коэффициентов:
с	1-2...Г
Далее говорится об извлечении корня любой степени из чисел (аналогично извлечению квадратного корня). Затем рассматривается рйд
Г 1	<|	I со 3 О t СО О t
[w] = I 4- пх 4- пс х- 4- пс х* 4- ...
п доказывается его сходимость для я|< I; выводится, что [/>] [с/] = [/> + 71, а следовательно, для натурального т\
[р]"1=[’»р]-
Если теперь , то
[ир=[/Л = (1 + *)р;
следовательно,
у
W = (i + *)Q;
отсюда
[-n]H+z]f = [0]=l, следовательно,
[-/?] = (1 4-а?)" ‘‘ .
Глава XII. <<0 степенях и корнях воображаемых». Степени комплексных чисел с целыми показателями; квадрат
270
А. К. СУШКЕВИЧ
ный корень из комплексного числа; корни из 1 и пх свойства»; «главный» (первообразный) корень п-й степени из 1; доказательство ого существования.
Глава XIII. «О Логарифмах». Общая теория логарифмов; десятичные логарифмы; вычисление их в виде
loga = 2-n+2-f"+ ..
1
где а < 1, п < т < ..., если имеется таблица степеней 1О2’\ Далее вводятся натуральные логарифмы, определяемые рядом
L [ 1 -|- х ] = х — .у я2 + 4- я2 — • • • z о
при | ж | < 1; пз этого определения выводятся их свойства и связь с десятичными (модуль десятичных логарифмов); и только позже вводится число с, определяемое рядом
ex=i-[-z-{-xsc + zi+ ...(где
Глава XIV. «О Тригонометрических функциях». Глава интересная, хотя прямо к алгебре и нс относится. Берётся
и определяется
L — cosx, М = sin ж;
даются ряды для синуса и косинуса и на основании их выводятся свойства этих функций, а также свойства тангенса и котангенса. Приводятся формулы степеней синуса и косинуса в зависимости от синусов и косинусов кратных дуг и обратные формулы. Важно отметить, что Лобачевский первый дал чисто аналитическое определение тригонометрических функций.
Содержание главы XV («О приращении и суммоваиии функций») и XVI («Решение двучленных уравнений») уже было выше указано.
Большой интерес представляет глава XVII («Решение всякого алгебраического уравнения»), занимающая более 100 страниц. Начинается она с общих свойств алгебраичс-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ 271
----Травлений; в ней говорится об уничтожении второго сКИда* в качестве приложения выводится решение квадрат-ЧЛго уравнения; приводятся формулы Вьета.' Излагается Я°иёл1 нахождения целых корней уравнения с целыми Афпциентамп; устанавливается верхний предел поло-К м тельных корней по так называемому способу Макло-ена. Далее следуют решение кубического уравнения, вывод в исследование формулы Кардано, тригонометрическое решение кубического уравнения (во всех случаях); решение уравнения 4-й степени излагается оригинальным спо
собом, где используются все трп корня разрешающего кубического уравнения; даётся и другой способ решения уравнения 4-й степени—разложением левой части уравнения на два квадратных множителя; исследуются корпи уравнения 4-й степени. Далее говорится: «Общее решение уравнений далее 4-й степени ещё до сих пор не найдено», откуда видно, что Лобачевский в то время ещё не был знаком с доказательством Абеля неразрешимости в радикалах уравнений выше 4-й степени
Формулируется и доказывается так называемая теорема Больцано (конечно, без упоминания этого имени; работа Больцано 1817 г. Лобачевскому известна не была); она доказывается так: неограниченно сближаются пределы интервала, па концах которого функция F (х) имеет разные знаки; доказывается, что разность AF (х) при
этом стремится к нулю, отсюда делается заключение, что и F (х) стремится к нулю. Затем излагаются теоремы о кратных корнях. Доказывается такая интересная теорема:
«В уравнении могут быть все корни действительными только в том случае, когда при степенях неизвестного квадрат каждого из множителей1) более произведения Двух соседних», т. е. когда
П/п
atn.\ 1
Излагается и доказывается методом полной индукции правило Декарта о числе положительных корней (но только для случая, когда все корни уравнения действительны).
*) Т. е. коэффициентов.
272
А. К. СУШКЕВИЧ
«Недостающие корни уравнения,—говорится далее всегда могут быть пополнены воображаемыми под видом а+ь/.-~1 с действительными а, Ь, так что число всех кор. ней, действительных и воображаемых, бывает равно показателю высшей степени»). Даётся доказательство этой основ, ной теоремы о существовании корня; .идея его такая: если F (гг) = 0 — данное	уравнение, то берётся
P = F(p + q\/ - l)F(/>-	— 1);Р принимает только
действительные значения; доказывается, что Р должно обращаться в нуль (доказательство не вполне безупречное). Это доказательство родственно второму доказательству Гаусса; основная его идея принадлежит Эйлеру.
Далее говорится о степенных суммах корней уравнения; выводятся формулы Ньютона, дающие зависимость степенных сумм и коэффициентов уравнения, и формулы Баринга (Waring). Выводятся формулы для коэффициентов уравнения, корни которого равны квадратам корней данного уравнения. Выводятся выражения монотонных(двух-и трёхчленных) функций через степенные суммы. Д£1ее изложено исключение одного неизвестного пз системы двух уравнений с двумя неизвестными. Затем доказывается теорема Бюдапа-Фурье (названо только имя Фурье). Далее изложено вычисление корней уравнения при помощи непрерывных дробей, в частности, для квадратных уравнений, причём выявляется, что непрерывные дроби оказываются периодическими. Наконец, как уже было сказано, вкратце изложен способ вычисления корней самого Лобачевского.
Отметим, что во многих местах Лобачевский вводит в употребление русские буквы; так, в теории непрерывных дробен он обозначает числитель и знаменатель т-й подходящей дроби через Чт, 31п, а частные знаменатели через в главе о двучленных уравнениях он обозначает через Ц неизвестное целое число, и т. п.
Как уже было сказано, «Алгебра» Лобачевского во многих своих частях является не учебником, а- научным трудом, именно, первым по времени научным трудом русского учёного по алгебре, содержащим весьма значительные результаты.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
273
рассмотрим теперь книгу по алгебре другого знаменитого русского математика той эпохи—академика М. В. О с т р о г р а д с к о г о,—а именно, «Лекции алгебри-ческого и трансцендентного анализа, читанные в Морском кадетском корпусе Академиком Остроградским. Составлены Корп. Кораб. Инж. Кап. С. Бурачком и Лейтенантом С. Зелёным. Первый год», СПб., 1837.
Эта книга имеет ещё специальное заглавие: «Анализ алгебрпческий». Часть I—«Решение алгебрпческих уравнений». Часть II—«Теория алгебрпческих функции». (Всего 462 стр., изд. 1840.) В предисловии к части I сказано: «Настоящая цель этих лекций есть Трансцендентный Анализ, или Интегральное исчисление в нынешнем его состоянии, в особенности расширенное открытиями Г. Остроградского, с приложением к различным важнейшим вопросам Механики земной п небесной, Физики, исчисления Вероятностей, и проч.». II далее: «...Итак, чтобы поровнять познания всех своих слушателей, вывести их на один, ближайший к цели путь, и сделать себя понятным, он решился прочесть некоторые, существенно необходимые для переду, статьи Алгебрического Анализа, большею частпю служащие продолжением того, что уже известно на Русском языке».
Таким образом, во-первых, рассматриваемая книга написана не самим Остроградским, а двумя его слушателями, которые записали и издали лекции, читанные Остроградским; как сказано далее в предисловии, Остроградскпй не имел возможности просмотреть целиком все места рукописи. Во-вторых, курс этот является только введением к дальнейшим лекциям, уже именно по «трансцендентному» анализу, которые, за исключением первых двух, не были изданы.
Переходим к обзору материала в рассматриваемой книге.
Часть I. Лекция I—«Предварительные теоремы». Начинается эта лекция такими словами:
«Математический Анализ в самом обширном смысле Разделяется на три части: 1) Алгебрпческий Анализ— Алгебра, или учение о Алгебрпческих функциях. 2) Теория чисел. 3) Трансцендентный Анализ.
18
Историко-матем. исследования
Z/4
А. К. СУШКЕВИЧ
Алгебр и ческою функциею одного или нескольких количеств называется совокупление их через, конечное число Алгебрнческих действий: сложение, вычитание умножение, деление, возвышение в степень, извлечении корней и решение уравнений».
13 лекции I вводятся (формально) производные целых рациональных функции и ряд Тейлора; выводится теорема Лагранжа о среднем значении н остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа. Далее вводятся понятия об «иррациональных или несоизмеримых» величинах (на примере ]ЛЗ), о «мнимом знаке £ = |/ — 1», о комплексных числах («мнимые выражения») и действиях с ними, кончая извлечением квадратного корня и уравнениями хп — ± 1 пхп= ± i (полных решений этих уравнений пет).
Лекция II «Общий вид корней рациональных функций». Эта лекция посвящена доказательству существования корня всякой целой рациональной функции: доказывается лемма Даламбера (без упоминания имени) и на основании её заключается, что минимум модуля целон рациональной функции должен быть равен нулю (существование этого минимума считается очевидным). Говорится: «Эта теорема долго занимала прежних Геометров. Ейлер первый доказал её, но весьма продолжительными вычислениями. Д’Аламберт без успеха трудился над 1Тей. Коши очень много упростил. Мы дали здесь его дока за тельство». Гаусс здесь не упоминается.
Лекция III—«Разложение рациональных функции па линейные множители». Кроме того, в этой лекции определяются кратные корни и излагается употребительный в настоящее время способ пх выделения. В конце доказывается теорема о том, что при малом изменении коэффициентов целой рациональной функции простой корень не может перейти из вещественного в мнимый или наоборот.
Лекции IV -VIII -«Отделение корней». Корень уравнения
/ (х) = aQ хп 4- ах х11~1 + ... + ап = О
обозначается знаком V (а0, alt а2, ...), при этом сказано, что «знак V употреблён в первый раз на этих лекциях». Говорится, что «решение уравнений составляет особый род
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
275
лгебрапческого действия»; и далее: «Этот знак войдёт v нас в состав Алгобрпческих и Трансцендентных функций. Мы будем производить над ними сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степени, извлечение радикалов, решение уравнений и дифференцированно; мы его будем интегрировать». «... Пз всего этого заключаем, что решить уравнение значит найти, каким образом произвести действие, означенное через V. Это
действие найдено; оно довольно похоже тта извлечение радикалов и состоит в двух приёмах. Первый приём отделяет корни... Дpyroit приём, после отделения корней, есть собственно решение уравнений: в ы ч и с-
л е н и е корней и радикалов».
Далее излагается способ Штурма. Строится обычный ряд Штурма (алгорифмом Евклида), выводятся его свойства и доказывается теорема Штурма; даются некоторые практические упрощения и разбираются примеры.
Лекции V VIII посвящены способу Фурье отделения корней, который весьма подробно анализируется и иллю-
стрируется на примерах.
Лекции IX и X посвящены отделению и вычислению корней при помощи непрерывных дробей; способ этот тоже весьма подробно анализируется и разъясняется на числовых примерах. Далее излагаются свойства подходящих дробей, способ пх вычисления; это применяется к вычислению корней. Под конец указывается способ Коши отделения корней, основанный па звании предела наименьше]! разности корней.
Лекции XI и ХП («Линейное приближение») посвящены способу Ныотона-Фурье, который также разбирается очень подробно и разъясняется на примерах. Попутно Дается способ Фурье сокращённого деления. Даётся схема вычисления / (a -J- h), f (а -р Л), j" (a -J- Л), ..., по данным /(а), /' (а), /"(а), ..., являющаяся не чем иным, как нидоизменёнпою «схемой Горнера». Указывается погрешность при вычислении корня способом Ньютона; даются практическне указания о том, сколько будет верных десятичных знаков в результате.
Лекция XIII—«Приближение второго порядка». Оно тличается от способа Ньютона тем, что в ряде Тейлора
18*
276
А. К. СУШКЕВИЧ
удерживаются не два, а три члена. Если а—приближённое значение корня уравнения /(ж)=0, а у— «поправка» к а, то у вычисляется по формуле:
_ — f (а) 4- //' (а)2 — 2/ (а) /* (а) У~	f"(a)
Подробно исследуются условия применимости и погрешность этой формулы. Эти исследования принадлежат, повидимому, самому Остроградскому, ибо в лекции говорится: «Но этого ни Фурье, ни другой кто пз Геометров до сих пор не исследовал, и потому-то приближение второго порядка, несмотря на видимое преимущество перед линейным, оставалось без употребления». Получается, что если пределы для корня достаточно сближены, то применение приближения второго порядка гораздо успешнее линейного, ибо с каждым этапом число новых верных десятичных знаков корня возрастает в прогрессии: 1, 3, 9, 27, ...
Далее говорится: «Приближения третьего и высших порядков, судя по второму, конечно, ещё успешнее; но их сщё труднее подвести под простые формулы».
Лекция XIV—«Свод главнейших свойств целой рациональной функции»—добавлена издателями и представляет собой резюме изложенных ранее свойств целой рациональной функции и её корней и более подробное изложение свойств введённого ещё в лекции IV символа V. При этом коэффициент высшего члена уравнения или функции считается равным 1, и корень уравнения
хп + б?L хп~1 + ... 4- ап = О
обозначается через Г («ь я2> •••> ап)\ его 11 значений обозначены через V\, Г2, ..., Vn. Выводятся, например, формулы:
V («1,	• ••> «п)±а = Г(Л1, А2, ..., Л„),
где Alf ..., Ап—коэффициенты функции /(^ia);
1 У <an-l an-2	° 1	1 Л .
V (а1> а2> • • •> ап) \ аП ’ «П ’	’ ап ’ ап/
)/V (ап а2> ..., an) — V (0, av 0, а2, 0, ..., О, ««); и т.п.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	277
Переходим к обзору части II. Она состоит из 16 лекций ,-£у___ХХХ); им предшествует довольно длинное и написанное «высоким стилем» предисловие составителей, в котором выявляется важность «алгебрпческого анализа» как необходимого введения в «трансцендентный анализ», указывается на заслуги Остроградского, приводятся его определения алгебраической и трансцендентной функции: «Ежели функция может выразиться корнем уравнения конечной степени с коэффициентами рациональными, то она алгебрическая\ ежели функция не может быть выражена корнем алгебраического уравнения конечной степени, то она непременно трансцендентная».
Лекция XV—«Происхождение п разделение функций на разные роды и порядки». Дастся такое определение:
«Ежели над одним или многими какими-нибудь числами произведём одно, пли несколько, или все алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение встепенп, извлечение радикалов и решение уравнений, то такое совокупление действий называем слож-числом или функциею одного, двух, нескольких чисел».
Далее изложена классификация «алгебрнческих функций». Радикальные функции разделяются по различным «порядкам». Говорится (следуя Абелю): «Возьмём р = f(x) и ещё q, г, s, t, ... другие подобные рациональные функции. Извлечём радикалы:
|	V ч> Vг.......
получим простейшие радикальные функции, которые назовём радикалами 1-го порядка».
«Показатели т, п, к и проч, мы разумеем, и теперь и впоследствии, простые или первые целые числа... Означив через F совокупление всех или нескольких рациональных действий:, произведём эти действия над радикалами 1-го порядка
• /(F). Т(?)> VW) и ПР°Ч-
иад рациональными функциями р, q, г, ... и над х и, означив всё это через
F[”/(/>)> V (ч),	q,r,	x] = Ft(x),
278
А. К. СУШКЕВИЧ
получим общий впд „радикальной функции 1-го порядка" ОТ Л’».
Радикальная функция 2-го порядка определяется как выражение:
F[x, />, I/, г, р(/')> J (<?), 'К(г). ...
..., РДх), Ф^х), Ч\(х), ...
...,‘VPi, ”|/Ф1, V • ••]=/<(х),
где Фп Ч?\, ...—функции 1 -го порядка, а т', л', к’,..___ простые числа. Аналогично определяются последовательно радикальные функции 3-го, 4-го и т. д. порядков.
Далее рассматриваются корни /г-й степени (при п простом) пз 1, и при помощи пх показывается, как уничтожить радикалы в знаменателе радикальной функции.
Лекция XVI—«Симметрические функции». Доказы вается, что всякая симметрическая (целая рациональная) функция от всех значений радикальной функции от .г есть рациональная функция от х. А отсюда следует «главная теорема»: «Всякая самая обширная радикальная функ ция какого-либо числа может быть представлена корнем уравнения, которого коэффициенты рациональные функ ции того же числа».
Лекция XVII: I. «Разложение рациональных дробен на простые». Разбирается только общий случай функции в области комплексных чисел.
II. «Симметрические функции (продолжение)». Выводятся (двумя способами) формулы Ньютона, выражающие зависимость между степенными суммами и коэффициентами уравнения.
III. «Иррациональные функции вообще». Рассматрп ваются иррациональные функции, куда входит и действие V: эти функции разделяются по порядкам; доказывается, что и такие функции являются корнями алгебраических уравнений с рациональными относительно независимой переменной х коэффициентами; показывается, как уничтожить иррациональность в знаменателе.
Лекция XVIII «Пояснение общей теории частными случаями». Выводится ряд формул, относящихся к опера дням с символом V в частных случаях.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	279
Лекция XIX—«Определение числа равных и нс рав-между собою значении алгебраических функции». Рассматривается алгебрнческая функция от п перемен-* х: р (хп х2, ••• > *п), где х1} х2, ... , хн—сами рацно-гальные или иррациональные функции от х. Рассматрп ваются различные значения функции F при различных перемещениях xJf х2, ... , хи. Циклическое перемещение Остро! радскнй называет «постоянным, круговым»; рас
сматривает он оолее оощие «постоянные» перемещения (не что иное, как степени одной подстановки). Рассматриваются частные случаи.
Лекция XX—«Функции подобные». «Подобными» функ-
циями здесь называются функции, принадлежащие, говоря по-современному, одной и той же группе подстановок. Рассматриваются пх свойства.
Лекция XXI—«Неподобныефункции». Рассматривается случай, когда одна из двух данных функций, имеющая меньше значений, чем другая, выражается рационально через другую. Далее даётся понятие о резольвенте уравнения (без этого названия), которое применяется к решению кубического уравнения (способом Лагранжа). Затем обычным способом выводится формула Кардано. Указывается, что подобным методом можно было бы решить и уравнение 4-й степени, по что «тут гораздо больше трудности
и продолжительности вычисления, нежели пользы».
Лекция XXII—«Невозможность общего решения уравнений в радикалах». Сначала доказывается невозможность решения в радикалах уравнения 5-й степени в общем виде. Далее говорится:
«Эта теорема, доказанная знаменитым норвежским геометром Абелем, в том виде, как он предложил её..., с одной стороны, слишком недоступна для читателей, даже оолее нежели обыкновенных; а с другой стороны, доказательство её для одних уравнений 5-й степени, которыми только и ограничился Абель, так сложно, что, пе говоря уже о применении теоремы вообще к уравнению степени н (ft—простое число), по даже и для 7-й степени она представляет большие затруднения.
Напротив, М. В. Остроградский, основав то же доказательство па свойстве подобных функций, придал ему
280
А. К. СУШКЕВИЧ
всю возможную простоту и ясность, так что нам теперь достаточно нескольких слов, чтобы перейти от уравненnii 5-й степени прямо к доказательству невозможности решения в радикалах вообще какого ни на есть уравнения которого степень п—простое число».
Далее приведено доказательство Остроградского д.-И1 любого простого п\ доказательство, действительно, простое
В конце главы говорится:
«Множество есть случаев, и весьма примечательных в которых уравнения решаются в радикалах; мы займемся вкратце важнейшими из них, п прежде всего изложим гауссово решение двучленных уравнений, которые играют важную роль в анализе, что уже и в прежних лекциях отчасти впделп.
Но так как для этого нужно знание теории чисел, а с другой стороны, на русском языке так мало о вей писано, то мы посвятим несколько лекций на изучение основных теорем этой, весьма важной, частп анализа, дополнив из «Tlieorie des nombres» Лежандра и «Recher-ches Arithmetiques» Гаусса те статьи, необходимые для решения двучленных уравнений, которые М. В. Остроградский, ограничившийся самым малым числом теорем, лишь упомянул».
Лекции XXII—XXVIII содержат систематический курс элементарной теории чисел. Изложены: общая теория сравнений, степенные вычеты, первообразные корни, теория указателей (индексов), но нет теории квадратичных вычетов и закона взаимности.
Лекции XXVIII—XXX посвящены теории двучлен ных уравнений. Подробно разбирается способ Гаусса решения уравнений деления окружности. Попутно вводится резольвента Лагранжа и решение циклических уравнений в радикалах. Теория иллюстрируется подробно разбираемыми примерами.
В конце книги приведены таблицы первообразных корней и индексов простых чисел от 5 до 199 включительно.
Из этого обзора можно сделать следующие заключения. Курс алгебраического анализа Остроградского гораздо ближе к современным курсам высшей алгебры, чем все рассмотренные вами ранее. В нём уже совершенно нет
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	281
1 ементарной части; терминология в нём более современна Вопрос о решении алгебраических уравнений всех Цепеней, т. е. об отделении и вычислении корней, разработан подробно.
Весьма интересна вторая часть курса, где разоираются вопросы, относящиеся к решению алгебраических уравнений в радикалах. Здесь в первый раз на русском языке даётся доказательство невозможности решения в радикалах уравнений степени выше 4-й в общем виде. Интересны лекции, относящиеся к теории чисел; в них впервые на русском языке изложен курс элементарной теории чисел, при этом изложен весьма подробно,—на уровне тогдашнего развития этой математической дисциплины.
Если сравнить курс алгебраического анализа Остро-градского с алгеброй Лобачевского, то я сказал бы, что курс Остроградского имеет в большей мере характер учебника, нежели более оригинальная алгебра Лобачевского, являющаяся в некоторых своих главах скорее научной монографией, чем учебником. В курсе Остроградского оригинальными являются, во-первых, взгляд на решение алгебраических уравнений, как на новое, седьмое, и при этом самое общее алгебраическое действие, специальный символ V для этого действия и формулы для этого символа, во-вторых,—исследование применимости и точности «приближения 2-го порядка», а также данное Остроградскпм доказательство невозможности решения в радикалах общего уравнения степени выше 4-й. Впрочем, символ Остроградского V в дальнейшем применения не получил, и сам Остроградский позже от пего отказался.
Любопытно, что Остроградскпй в своём курсе ни слова не говорит о способе Лобачевского вычисления корней; это можно объяснить только тем, что Остроградский, будучи вообще недружелюбно настроен к Лобачевскому, нс поняв и не оценив его геометрических работ, не полюбопытствовал заглянуть п в его монографию по алгебре.
Интересно и то, что весьма ценный курс алгебраическо-| го анализа Остроградского не имел отношения к тогдашнс-I МУ Петербургскому университету, где Остроградскпй нп-КогДа не преподавал.
282
А. К. СУШКЕВИЧ
В дальнейшем эта монография Остроградского оказала у нас большое влияние на составителей монографий и учебников высшей алгебры.
Переходим к обзору третьей замечательной mohoi ра фин по алгебре того времени: «Теория определённых алгебраических уравнений высших степеней. Сочинение 11ми Московского Университета Кандидата II. Сомова», Москва 1838 (in 4J, 382 стр.).
И о с и ф (или Осип) II в а и о в и ч Со м о в (1815-1876), воспитанник Московского университета, позже был академиком и профессором Петербургского университета. За свою монографию по теории алгебраических уравие-ний он получил Демидовскую премию Академии наук.
В предисловии Сомов указывает на сочинения, которыми он преимущественно пользовался; это La g г а и ge, Traite de la resolution des equations numeriques; F о u \ i-e r, Analyse des equations determinees; С a u c li y, Analyse algebriquc; D г о b i s c h, Grundzugc der Lehre von den hoheren numerischcn Gleichungen и др., а также лекции Остроградского по алгебраическому анализу.
Вся книга состоит из введения, 6 глав и 6 «прибавлений». Рассмотрим содержание каждого из этих разделов.
Во введении изложена абслевская классификация иррациональных функций,—та же классификация, что и во второй части «Алгебраического анализа»? Остро-градского.
Далее говорится: «Алгебру естественно разделить на две отрасли: анализ о п р е д с л ё н и ы й, или т е о-р и я определённых алгебраически х у р а в н с и и п, и а и а л и з п е о и р е д с л ё и и ы й, заключающий теорию н е о п р е д е л ё и и ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а виси и й, неразлучну ю с теорией чисел и т е о р и е й и с р а в е н с т в».
Далее изложена теория пределов, бесконечно малых и производных; производная определяется как предел отношения приращений функции и аргумента. Далее выводятся основные теоремы о производных и ряд Тейлора для целых рациональных функций!. Говорится:.«Абель... доказал, что решение определённых алгебраических ура”' ионий есть особое действие, которое не может быть всегда
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
283
«ажено знаками... прочих алгебраических действий». ??далсе: «••• Основных алгебраических действии шесть, ™ именно: сложение, вычитание, умножение, деление, 3 влечение первоначальных степеней и решение уравие-яий" вида: аохт + ^хт~1 + ... + ат = О».
Глава I начинается теорией комплексных чисел; про чпс.та вида b ] — 1, где Ь действительное, говорится: «Это вь1ра?кепие, называемое мнимым, показывает несообразность вопроса; по может быть введено в вычисление как количество и тем доставляет, как увидим впоследствии, большую пользу Анализу».
Затем изложено доказательство основной теоремы
о существовании корня на основании леммы Даламбера, которая доказывается почти так же, как сейчас. Сначала
Ш /_________
доказывается существование у а + Р у 1, а затем уже— существование корпя общего алгебраического уравнения;
при этом считается очевидным, что минимум модуля целой рационально!! функции существует. Приводимое доказательство приписывается Коши. После этого выводится существование т корней у уравнения т-\\ степени и разложение левой части уравнения па линейные множители. Затем излагаются теоремы об уравнениях с действительными коэффициентами.
В главе II даются формулы Вьета, вводятся симметрические функции и доказывается основная теорема о них по способу Коши, подробно, с примерами; один из примеров—вычисление дискриминанта. Далее определяются степенные суммы, называемые «простыми симметрическими функциями», выводятся формулы Ньютона; затем через степенные суммы выражаются двойные и тройные моногенные функции; указывается и общий случай, но не разбирается случай равных показателей. После этого рассматриваются знакопеременные функции, их построение, произведение разностей, чётные и нечётные перестановки.
В главе III вначале говорится об исключении неизвестного из двух уравнений, т. е. о нахождении результанта jx°th этого термина нет); выявляется степень нолучаемо-0 Уравнения («теорема Безу»). Теорема обобщается и а
284
А. К. СУШКЕВИЧ
случай п уравнений: «Если имеем п уравнений степеней а, Ъ, с,..., к, I с /г неизвестными, то по исключении всех этих неизвестных, кроме одного, мы получим конечное уравнение степени не выше abc ... kl относительно оставшегося неизвестного. Вот в чём состоит замечательная теорема Безу».
Далее говорится «о преобразовании иррациональных уравнений в рациональные». Рассматривается самая общая радикальная функция, как левая часть уравнения и показывается, как постепенно уничтожать радикалы*. Попутно рассматриваются корни /г-н степени из 1 цри п простом, даётся понятие о первообразном корне (термина этого нет).
Вслед за этим говорится «о преобразовании мнимых уравнений в действительные», т. е. о разбиении уравнения с комплексными коэффициентами па два уравнения с действительными коэффициентами, с двумя действительными неизвестными.
Затем рассматривается «преобразование данного уравнения с одним неизвестным в другое, которого корни выражались бы одною и тою же рациональною функцией корней данного уравнения». Это—так называемое уравнение резольвенты. Строится уравнение для квадратов разностей корней данного уравнения. После этого излагаются преобразование Чирнгаузена (без упоминания этого имени) и различные частные случаи (уничтожение 2-го члена и т. п.).
В главе IV говорится о кратных корнях и их выделении по обычному способу. Далее даётся способ Лагранжа нахождения мнимых корней уравнения: разбиваем данное уравнение на два: £ (Г, и) — О, ф (£, гг) = О (где я-= = ^4-ш) и ищем общий наибольший делитель функций В и ф.
Глава V трактует о вычислении действительных норией. Сначала говорится о нахождении верхнего предела положительных корней. Здесь приводятся пять приёмов: 1) способ Ньютона; 2) способ Маклорена: если коэфф111111' ент ап (с каким-то индексом п)—отрицательный.с ианооль-шей абсолютной величиной, то искомый предел I ~ 1 -'°п' 3) способ Ролля: Z=1 4-— ап, где г—наименьший и11-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
285
екс отрицательного коэффициента; далее—два способа
<тО- 4) Z = 1 +	> ГД° ai> -наибольший из положи-
рена, •»/	ар
теЛьных коэффициентов, предшествующих первому отри-дательному члену огж,п-г; 5) I = 1 +	Даётся
ещё способ разбиения левой части уравнения на суммы
положительных членов, следующих отрицательных членов и т. д.
Для теоремы Больцано дается «доказательство» , iarpan-тка содержащее, однако, порочный круг.
После этого Сомов переходит к вычислению соизмеримых корней по способу, обратному «схеме Горнера», и к отделению корней. Автор пишет:
«Баринг первый показал возможность отделения корней помощью низшего предела положительных корней уравнения с квадратами разностей. Этот способ усовершенствован Лагранжем и потому получил название от имени знаменитого Геометра.
Лагранж, а потом Коши дали способы находить А не вычисляя уравнения с квадратами разностей корней; но значение А, выведенное по одному из этих способов, меньше, нежели то, которое выводится по предыдущему способу, так что вставок О, A, 2А, ЗА,... , в f (х) вместо х должно быть больше».
Далее изложен способ Штурма отделения корней (указано, что Штурм нашёл его в 1829 г.). Ряд Штурма строится, как обычно, посредством алгорифма Евклида; его свойства выводятся, но пе перечисляются явно, особенно 4-е. Теорема Штурма доказывается вполне строго. Рассматривается и случай кратных корней (но неполного ряда Штурма, т. е. без 4-го свойства, нет).
Переходя к способу Фурье, автор говорит: «Теорема, служащая основанием способу Фурье, в первый раз была обнародована Бюданом в 1807 г. в его сочинении: Noui'elle n^thode pour la resolution des Equations. Но письма По-асс°на к Фурье и Коранцеза к Навье, помещенные ИгСледним в его предуведомлении в начале Analyse des Rations determiners, несомненно доказывают, что эта
286
А. К. СУШКЕВИЧ
теорема была известна в Политехнической школе в 1797 г и принадлежит Фурье, который впоследствии основал на ней верный и удобный способ отделения корней. Этот способ явился в свет вместе с Analyse des equations de-terminees, рукописью, найденною по смерти Фурье и изданною Навье».
Доказывается теорема Бюдана-Фурье и, как следствие, выводится теорема Декарта. Подробно излагается способ Фурье отделения корней и теория «указателен (indices) Фурье», резюмируется общее правило отделения корней по способу Фурье.
Затем изложен способ Лагранжа отделения и вычисления корней при помощи непрерывных дробей. При этом Сомов отмечает, что «па отечественном языке теория непрерывных дробей превосходно изложена в Алгебрах: г. Бурдона и г. Перевощикова и в Лекциях Алгебраич. п Трансценд. Анализа г. Остроградского».
Выводятся основные свойства обычных непрерывных дробей, а также и непрерывных дробей с «отрицательными частными».
Далее подробно излагается «ньютонов способ вычисления корней, исправленный Фурье». Попутно рассматривается и способ «сокращённого деления» (division ог-donnee) Фурье. Подробно разъясняется практическое вычисление корней по способу Ныотона-Фурье. Если пределы корня а и b недостаточно близки, то предвари тельное их сближение рекомендуется производить но способу Лагранжа.
Упоминается случай иррациональных коэффициентов; взяв их приближённые значения, мы можем изменить свойства корней. Доказывается, что при бесконечно малом изменении коэффициентов «действительные неравные корни остаются действительными, а двукратные действительные корни могут сделаться мнимыми».
Главный предмет главы VI — доказательство невозможности «радикального» решения общего уравнения 5-й степени. В начале главы вводится знак Остроградского V для корня алгебраического уравнения. «Абель,—пишет автор,—первый дал определение, что Алгебраическая функция v нескольких количеств х, у, z, ... есть та,
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
287
•оторая удовлетворяет уравнению вида: ,/п _|_	_|_ ^н.-2	Ьпг = О,
9 , 0.,, ..., суть рациональные функции х, у, z, ...». ГД После этого говорится об уничтожении радикалов в знаменателе, причём берётся функция в общем виде:
v = <J> (?i, ?2, • • •, VОу V 02, • • •, П<	Ож)
F Gi, ?2, • • •, Vol, Vol, • • •, п<	0z„)
Доказывается, что если подставить в v для каждого радикала все его значения и комбинировать их друг с другом, то все получаемые значения функции у суть корни алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Это же обобщается на функции г, которые, кроме радикалов, зависят ещё от корней алгебраических уравнений.
Следующий раздел этой главы назван «О чпеле различных значений, принимаемых рациональною функциею нескольких количеств, от перестановки этих количеств всеми возможными способами». Тут вводятся в рассмотрение подстановки (называемые «перестановками»), разложение их на независимые циклы (без этого названия), транспозиции (называемые «перемещениями»). Доказывается теорема: если р — наибольшее простое число (где т — число всех независимых переменных), а число различных значений v при всех подстановках переменных: р < р, то у не изменится от двух транспозиций (т. с. число различных значений v: р<2).
Две функции от корней xlt х.>, ..., хп Сомов, как и Остроградскпй, называет «подобными», если, говоря современным кратким языком, они принадлежат к одной и той же группе подстановок. Доказывается, что такие функции выражаются рационально одна через другую. Если ’функции у и z неподобны, z имеет меньше значений, чему, причём всякая подстановка, допускаемая функцией у, допускается и функцией л, то г выражается рационально через у и можно составить уравнения, коэффициенты которых суть рациональные функции от 2, а корни — различные значения у.
288
А. К. СУШКЕВИЧ
Даётся способ Лагранжа решения уравнений 3-й п 4-й степени (с резольвентами Лагранжа); выводится формула Кардано.
Доказывается теорема: «Если Алгебраическое уравнение имеет радикальное решение, то все радикальные функции, входящие в состав этого решения, будут рациональные функции корней» (к этому следовало бы добавить: в поле коэффициентов уравнения и корней из 1).
Далее на основании предыдущих исследований доказывается невозможность радикального решения общего уравнения 5-й степени. После этого Сомов пишет:
«Совершенно тем же путём можно доказать невозмож ность радикального решения общего уравнения всякой первоначальной степени п (здесь ссылка на Остроградского: «Лекции алгебр, и транец, анализа», ч. II. — А. С.); в этом доказательстве важную роль играет теорема: всякая рациональная функция всех корней данного уравнения, принимающая п различных значений от перестановки этих корней всеми возможными образами, имеет вид
а -р bxr + сх\ -|- dx^ + ... 4- кх™,
где а, Ь, с. ..., к суть симметрические функции корней. Абель её доказал для п = 5 частным образом, а потому распространение доказательства невозможности радикального решения для п > 5 было затруднительно. Но это затруднение г-н Остроградский уничтожил, выводя ту же формулу из свойства подобных функций, независимо от частного значения л».
«Есть случаи, в которых радикальное решение возможно: это зависит от степени уравнения и от данного условия, существующего между корнями или между коэффициентами. Сюда принадлежат: двучленные уравнения и вообще уравнения, в которых все корни выражаются одною и тою же рациональною функциею одного какого-нибудь корня1), и множество других».
Желающие знать радикальное решение уравнения
ajH-t 4 xn-2+ _ . 4-^4-1 = 0
г) Тут, невидимому, имеются в виду циклические уравнения
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
289
до способу Гаусса могут его найти на Русском языке в Лекциях Алгебр, п Транец. Анализа Г-на Остроградского».
Переходим теперь к оозору «Приоавлении».
I-	Графическое изображение целой рациональной функции. Геометрическое значение производной; выпуклость, вогнутость, точки перегиба; максимум, минимум. Геометрическое представление способа Ньютона и правила ложного положения (без этого названия).
II.	Квадратное приближение ^если берём / (a)-\-hjr (а)-Ь у" (а) == О) . Обобщение, при котором в ряде Тейлора
удерживаются члены до г-го порядка включительно. Геометрическое представление Фурье квадратного приближения.
III.	Тригонометрическая форма комплексных чисел; теоремы для «модулей» и для «дуг». Извлечение корня; корни из 1. Разложение хп ± ап на линейные множители и геометрическое представление, которое приписывается «Котезу» (Cotes). Разложение выражения х2п^2апхп cos (p-h 4- а2п (приписывается Муавру).
IV.	Вычисление мнимых корней уравнения, выражение их в тригонометрической форме; нахождение первых приближённых значений по Лежандру.
V.	«Неразрешимый» (т. е. неприводимый) случай кубического уравнения; тригонометрическое решение.
«Этот случай, — пишет Сомов, — был замечен Карданом и назван неразрешимым. Кениг дал геометрическое объяснение этого случая и показал возможность получить действительные значения корней посредством деления угла на 3 равные части. Лейбниц и Николь разложили выражения х в ряды, не содержащие мнимых членов. Но самый простой способ получить истинные значения х есть тригонометрический.
Неразрешимый случай уравнения 3-й степени служит примером невыгоды радикального решения».
~VI. Новый способ Коши решения численных уравнений (ссылка на мемуар Коши в «
сентября 1837 г.). Этот способ сводится к следующему: 19 Псторпко-мс&тем. исследования
Comptes rendus...» от
290
А. К. СУШКЕВИЧ
если данное уравнение есть
/ (ж) = <?(ж) — у(ж) = 0, причём <?(#) — сумма всех членов с положительными коэффициентами в f(x), а — у(х) — сумма всех членов с отрицательными коэффициентами в / (х), и если в пределах от а до b лежит только одни корень уравнения / (.г) = 0} то за новые пределы корня можно принять
Я1 = Я + / (6)--//(a)’	61 = 6-F(b)-7.'(a);
если b —a —i, b1 — a1 = i1, то выводится формула
. i2 К h < 2	7'(«)’
где
К = min (2Z" (6) + (Ь) - у" (а), 2?" (Ь) - (а) + у” (6)).
Под конец приводится ещё другой способ Коши вычисления корней, зависящий от решения квадратного ура в нения.
Рассмотренная книга Сомова как учебник алгебры является очень ценной —выше всех предшествующих ей учебников алгебры. Она совсем не имеет элементарной части, не содержит также вопросов, относящихся к теории чисел (неопределённых уравнений, — хотя во введении они причислены к алгебре); зато книга содержит вопросы, относящиеся к анализу,— во введении и в прибавлении I. Книга свидетельствует о большой эрудиции автора; в ней помещены и совершенно новые для тою времени вопросы (например, в прпбавлении VI), даётся знакомство с классическими исследованиями Лагранжа, являющимися, можно сказать, преддверием к теории Галуа, подробно излагается классификация иррациопаль ностей и теорема Абеля о неразрешимости в радикалах общего уравнения 5-й степени. Но характерно, что и Сомов умалчивает о способе Лобачевского вычисления корней уравнений; видимо, и он этого способа «не заметил».
Переходим теперь к обзору научной литературы по алгебре в России во второй четверти XIX в. Как уже было
МАТ РИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
291
•азано, к научным монографиям могут быть причислены I рассмотренные уже три книги по алгебре — Лобачевского, Остроградского, Сомова, —в особенности алгебра Ло-
бачевского.
g то время отдельные университеты начали издавать «Учёные записки» —сборники научных трудов, рецензий, обзоры университетской жизни, часто и курсы лекций отдельных профессоров. В Московском университете такой печатный орган —еженедельные «Московские учёные ведомости»—существовал и ранее, по недолго, —в 1805 — 1807 гг. После большого перерыва, в 1833 г. начали издаваться «Ученые записки Московского университета», которые, конечно в изменённом виде, продолжают издавать
ся и в наше время.
В 1834 г. вышла книжка 1 «Учёных записок Казан-
ского университета», в которой была помещена рассмотренная уже выше (стр. 266) работа Лобачевского «Понижение степени в двучленном уравнении».
В «Учёных записках Московского университета» за 1835 г. помещена работа проф. П. Д. Б р а ш м а и а (1796—1866) «Приложение теории неравенств»; речь идёт в ней об исключении неизвестных из линейных неравенств
с несколькими неизвестными, о геометрическом значении неравенств, о приложении теории неравенств к статике;
приводятся задачи.
В тех же «Учёных записках», ч. 11, за 1836 г., помещена статья проф. П. Е. Зернова «Разбор рассуждения Коши о решении числовых уравнений и теории исчисления».
В тех же «Учёных записках», ч. 12, за 1836 г., помещена работа профессора Нежинского лицея К. Купфера1) «О решении числовых уравнений». Там приводится новый, оригинальный способ вычисления корней алгебраического уравнения: пусть один из корней х данного уравнения / (я) = о лежит в пределах —, -4 , где а и а' = а I —
1	а а
Целые числа; подставляем х = — Гее ли — и затем а \ a,	a' J
^=1Н-ж'; получим новое уравнение: /1(ж,) = 0; с ним
*) О Купфере см. далее на стр. 293—295.
19*
292
А. К. СУШКЕВИЧ
поступаем так же; получаем х в виде бесконечной суммы «основных» дробей: х =	+ ••• Если х > 1, То
предварительно подставляем х = с + z, где с — целое число, а | z | < 4- • Этот способ родствен т. н. «способу Горнера».
Статьи по алгебре помещались и в других журналах. Так, в «Соревнователе просвещения и благотворения» за 1825 г. была помещена статья Д. М. П е р е в о щ и_ к о в а «О разложении рациональных дробей», где критиковался способ Коши определения коэффициентов. В «Новом магазине естественной истории, физики и химии» за 1830 г. Перевощиков поместил статью «О разрешении неопределённых уравнений 1 степени».
В 1838. г. написал свою первую работу «Вычисление корней уравнении» П а ф и у т и й Львович Ч е б ы-ше в (1821 — 1894), будучи тогда ещё студентом 2-го курса. В этой работе1) говорится о разложении корней алгебраических уравнений в бесконечный ряд. Идея способа такова: пусть / (ж)=0—данное уравнение; положим y=j (х); пусть а — приближённое значение корня, и / (а) = f; обратная функция: x = F(y); следовательно, a = F(tB); ряд Тейлора даёт
x = F(0) = F(?-?) =
= F (3) -	(?) + F" (?) - F'" (?)+...;
&	V
или, если ввести функцию f(x),
r_a f(a) f/<g)Yr(g) </(a)Y И»2
/'(<*) W'(*V2/'(a)	| 2/'(a)* 6/'(a) J -
За эту работу Чебышев получил серебряную медаль.
В 1841 г. вышла в Киеве докторская диссертация А. Н. Тихомандрпцкого2) «Решение двучленных уравие-
Ч Она опубликована в т. V Полного собрания сочинении II. Л. Чебышева, М.—Л., 1951.
2) Александр Никитич Т и х о м а п д р и ц к и и (1800—1888) в 1838—1848 гг. был профессором Киевского университета; позже занимал административные должности по министерству народного просвещения. Написал «Начальную алгебру», В1Д* державшую 3 издания (1853, 1855, 1860 гг.).
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
293
Й»- но она представляла собой изложение уже известных тогда результатов, главным образом результатов
Якоби.
Скажем теперь несколько слов о первом русском математическом журнале, издававшемся в 1833 — 1834 п. Издателем его и почти единственным сотрудником был уже упоминавшийся Карл Генрих Купфер, доктор философии Дерптского университета. Он родился в Мптаве в 1789 г.; в 1820 г. был назначен приват-доцентом Дерпт-
ского университета, по по неизвестным причинам в декабре того же 1820 г. был переведён в Ревель (теперь Таллин) учителем местной гимназии; там он в 1833—1834 гг. и издавал «Учебный математический журнал». В 1835 г. он был назначен профессором чистой математики в Нежинский лицей; умер в начале 1838 г. Журнал Купфера, как показывает самое его название, имел учебно-педагогический характер; по высшей математике в нём было очень мало работ. Любопытна рецензия на русский перевод «Алгебры» Бурдона (см. стр. 261—265). Как видно из полного заглавия книги, эта «Алгебра» принята была в качестве руководства в Институте путей сообщения; перевёл её с 6-го французского издания штабс-капитан Меи (СПб., 1833). В этой книге довольно подробно излагались способ вычисления корней Ныотона-Фурье, а также так называемое правило ложного положения. Купфер делает несколько замечаний, четвёртое из которых представляет собою большую статью под заглавием «Издателев способ, как определять число и приближённую величину действительных корней численных уравнений с одним неизвестным», — нз двух отделений: I — «Определение числа действительных корней и пределов оных»; II — «Приблизительное вычисление самых корней уравнений».
В отделении I геометрически выводятся предложения: «Во всяком уравнении будет столько пар мнимых корней, сколько коэффициентов, равных нулю, будут следовать в нём один за другим» и «Во всяком уравнении будет столько пар мнимых корней, сколько раз между тремя последовательными коэффициентами средний будет равняться нулю, а прочие будут иметь одинаковые знаки»,
294
А. К. СУШКЕВИЧ
Из данного уравнения:
Хт = Ахт + Вж”1-1 + Сх,п~2 4- ... 4- I 'х + W = и
выводятся функции:
<?т_( = Bvm~l 4- 2Cvla~2 4-	4- ... 4- ('« — 1) Vv 4- wH ;
%n_2 = 2 • 1 • C"l“24- 3 • 2 • P^~34- • • •
... 4- (m — 2) (m — l)Vv -j-m (m — 1)H .
©1 = (m — 1)! Vv 4- mlW1).
Уравнения <?;«-!= О, <pm_2 = 0, ..., <?i = 0 Купфер называет «Уравнениями пределов». Применяя эти функции Купфер даёт свой способ отделения корней. Способ, следует сказать, довольно кустарный: определяется, между какими пределами лежат корни уравнения Хт — 0, вставляются между этими пределами все целые числа и для
V дХт
этих целых значении х вычисляются Хт, и, если требуется, по их знакам определяется, лежит ли корень уравнения Хт —0 между двумя данными целыми числами; в более сложном случае, когда имеется несколько очень близких друг к другу корней, приходится аналогично исследовать уравнение <рш-1 = 0 и т. д.
В отделении II даётся довольно странный способ вычисления самих корней: уравнение Хт = 0 приводится к виду:
(х 4- а)т 4- (Ря 4- Ь)т~' 4- Ср 4 с),п~2 4- ... = 0,
где а, р, Ь, у, с, ...—неопределённые коэффициенты. Раскрывая скобки и приравнивая получаемые коэффи циеиты при отдельных степенях х коэффициентам при тех же степенях х в функции Хт, получаем систему уравнений для fl, 6, с, ..., р, у, .причём число уравнений меньше чпсла неизвестных, так что некоторые из неизвестных можно выбрать произвольно; мы выбираем их так, чтобы
х) Здесь	; ?т_2 аналогично получается »3
?т-р п т. д.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
295
вычисления значений функции Ут были проще. Затем применяем способ ложного положения.
Купферу принадлежали ещё одна алгебраическая работа: «О методе распознавания мнимых корней и числа пХ в алгебраическом уравнении» (на немецком языке; Дерпт, 1819), а также «Учебник элементарной алгебры с упражнениями» (тоже на немецком языке; Ревель, 1832).
Резюмируя всё предыдущее, можно сказать, что во второй четверти XIX в. научная работа в области алгебры ещё не получила в России широкого размаха. В других областях математики русские учёные заняли уже к этому времени ведущие места — мы имеем в виду новаторские труды Н. И. Лобачевского по геометрии, замечательные исследования М. В. Остроградского по анализу, первые блестящие исследования П. Л. Чебышева по теории чисел и теории вероятностей. В области алгебры в эту эпоху у нас ещё не было столь выдающихся открытий; наиболее важным пз них являлся способ Лобачевского вычисления корней, но и он, к сожалению, прошёл незамеченным даже в России. Причиной относительно меньшего развития исследований в области алгебры в это время явился, быть может, сохранившийся ещё с XVIII в. взгляд на алгебру как на элементарную ветвь математики, имеющую только вспомогательное значение для изучения анализа бесконечно малых. Алгебра в то время у нас оформилась как теория алгебраических уравнений — определённых и неопределённых; причём последние постепенно отходили к теории чисел. Неудивительно, что появившиеся в ту эпоху работы в области алгебры как раз и относились к решению уравнений —к вычислению корней. Математиков—специалистов в области алгебры в то время мы в России ещё не встречаем. Вместе с тем наши передовые математики зорко следили за развитием алгебры, были в курсе последних её достижений и включали в свои монографии новейшие результаты. Так, способ Штурма отделения корней, появившийся в 1829 г., был изложен во 2-м издании алгебраической части «Ручной математической энциклопедии» Перевощикова, вышедшем в 1835 г.; этот способ приводился также в монографиях Остроградского и Сомова. Теорема о неразрешимости в радикалах
296
А. К. СУШКЕВИЧ
уравнений степени выше 4-й, для случая 5-й степени доказанная Абелем в 1826 г., оригинально доказывалась в лекциях Остроградского и у Сомова.
И почти каждый из значительных наших математикой той эпохи внёс свою лепту в дело развития у нас алгебры, в виде ли монографии, учебника или в виде отдельной статьи; это относится к Лобачевскому, Остроградскому, Сомову, Перевощикову, Чебышеву, Брашмащ и Зернову.
IV. Алгебра в русских университетах во второй половине XIX в. Учебники и монографии по алгебре
На протяжении второй половины XIX в. алгебра начинает занимать всё более и более прочное место в системе математического образования па физико-математических: факультетах наших университетов. Постепенно увеличи вается число часов на лекции по алгебре; вводятся отдельные практические занятия; из алгебры выделяется теория определителей, которая, как вспомогательный отдел для многих математических дисциплин, читается отдельно на 1-м курсе. В конце XIX в. в некоторых университетах уже появляются специальные курсы по высшей алгебре,— там, где средн преподавателей имеются лица, специально занимающиеся этим предметом. Теория чисел окончательно отделяется от высшей алгебры и читается как особая дисциплина. Появляется —особенно к кон цу XIX в. —довольно много учебников и монографий ио высшей алгебре. Но самое содержание университетского курса высшей алгебры на протяжении второй половины XIX в. больших изменений не претерпело. За исключением теории определителей, относящейся к алгебре, но выделившейся в наших университетах в особую вспомогательную дисциплину (а иногда включавшуюся в курс введения в анализ), университетский курс высшей алгебры представлял собой теорию численного решения алгебраических уравнений, включая решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени, теорию симметрических функций и применение пх к алгебраическим уравнениям*
31 АТЕ РИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
297
п учебниках и монографиях по алгебре ещё встречается симбиоз алгебры с теорией чисел, как, например, в учебнике М. Е. Ващенко-Захарченко «Алгебраический анализ или высшая алгебра» (1887; о нём см. ниже); вторая часть учебника высшей алгебры Ю. В. Сохоц-кого (1888) всецело посвящена теории чисел. При этом следует заметить, что это вовсе не теория алгебраических чисел, вполне уместная в курсе высшей алгебры; изложив нахождение корней алгебраических уравнении, естественно было бы изучить эти корни, их свойства. Но для этого следовало предварительно изложить более глубокую теорию алгебраических уравнений — теорию Галуа, теорию полей (тел), теорию групп. Во второй половине XIX в. у нас уже появляются монографии и по теории Галуа (Деларю, того же Ващенко-Захарченко, Селиванова), но это не были университетские учебники. В упомянутых руководствах высшей алгебры Ващенко-Захарченко и Сохоцкого изложен просто элементарный курс теории целых рациональных чисел, так что они одновременно служили и университетскими учебниками по курсу теории чисел.
В Петербургском университете в 50-х годах читал курс высшей алгебры П. Л. Чебышев; на этом курсе мы остановимся далее. Позже курс высшей алгебры читал проф. А. Н. Коркин; в 80 —90-х годах курс высшей алгебры читал проф. Ю. В. Сохоцкий; во второй половине 80-х годов Со-хоцкий читал и специальный курс высшей алгебры.
В Московском университете в 80-е и в начале 90-х годов общий курс высшей алгебры читал проф. В. Я. Цингер, а затем, в 90-х годах —проф. Б. К. Млодзеевский. Как пособия рекомендовались курсы Серре, Тихомандрпц-кого, Сохоцкого. В конце 80-х годов и в 1890 г. приват-доцент П. М. Покровский читал дополнительный специальный курс высшей алгебры. В 90-х годах приват-доцент, позже —профессор, Л. К. Лахтин читал курс теории бинарных алгебраических форм.
В Казанском университете в первую половину 50-х годов алгебраический анализ читал адъюнкт М. Мельников — 1 час в неделю на 1-м курсе, по Лобачевскому, Петроградскому, Коши, Фурье и др. Во второй половине
298
А. К. СУШКЕВИЧ
50-х годов и в 60-е годы алгебраический анализ чнтад адъюнкт, позже —профессор, Э. П. Яшппевский — 1 Ча'(. в неделю на 1-м и 2-м курсах, по Остроградскому, Коищ Серре, Лефсбюр де Фурси и собственным запискам. В пор! вой половине 80-х годов алгебраический анализ читал д0_ цент, позже —профессор, А. В. Васильев —на 1-м курсу 3 часа в неделю с 1 часом практических занятий. В 1889 — 1890 г. высшую алгебру читал приват-доцент А. К. Жби ковский —2 часа в неделю с 1 часом практических упражнений; он же читал и теорию определителей — 1 час в неделю. В 90-х годах высшую алгебру читал проф. II. С. Назимов—2 часа в неделю с 2 часами практических занятии в течение одного семестра; как пособия он рекомендовал курсы Ващенко-Захарченко, Сохоцкого и Лорана. Жби-ковскпй читал теорию определителей—1 час в педелю в течение одного семестра. Во второй половине 90-х годов приват-доцент, впоследствии — профессор и член Украинской Академии наук, Д. М. Синцов также читал дополнительный курс высшей алгебры —3 часа в педелю в течение одного семестра; как пособия он рекомендовал курсы Серре, Петто (Subst itutionentheorie), Фогта (Lemons sur la resolution algebrique des equations), Вебера (тт. I и II), Тихомандрпцкого, Тодгёнтера и др.
В Дерптском (Юрьевском) университете в 60-х года \ проф. Ф. Г. Мпндпнг читал теорию высших уравнений Зчаса в неделю, поШиузе (Theorie der Gleichungen) и Ф\ рье (Analyse des equations determinees); проф. П. Гельмлпнг читал теорию и применение определителей —2 часа в неделю, по Бальцеру (Theorie und Anwendung der Deter-minanten). В начале 90-х годов проф. А. Кнезер читал курс новейшей геометрии и алгебры —4 часа в неделю; в 1894 г. этот же курс читал доцент, позже —профессор, Ф. Э. Молин с практическими занятиями по 1 часу, а проф. Кнезер читал теорию определителей и начала высшей алгебры—3 часа в неделю. В 1893 г. приват-доцент П. Кадпк читал курс теории кватернионов —1 час в неделю; в 1897 г. курс с тем же названием читал Ф. Э. Молин-В 1895 г. Молин читал теорию алгебраических уравнен пн 4 часа в педелю. Наконец, в 1899 — 1900 гг. высшую алгео-ру читал проф. В. Г. Алексеев —4 часа в неделю, а теорию
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
299
определителей, совместно с введением в анализ, читал проф. П. П. Граве —3 часа в неделю.
В Харьковском университете в 50-х годах алгебру читал адъюнкт, позже— профессор, Е. И. Бейер для 1-го курса на 1-м семестре —3 — 4 часа в педелю. В 1859 и i860 гг. алгебру читал кандидат физико-математических наук М. Г. Котляров —в 1-м семестре 1-го курса 3 часа в неделю. В 60-х годах курс алгебры читал преподаватель, позже —доцент, а с 70-х годов —профессор, Д. М. Деларю—па 1-м курсе в 1-м семестре сначала 3 часа в неделю, позже — 5 и даже 6 часов в неделю. В 1871— 1872 гг. проф. Деларю на 1-м курсе читал дифференциальное исчисление и теорию алгебраических функций — 4 часа в неделю (весь год). В 70-е годы па алгебру отводилось меньше времени; так, в 1874—1875 гг. проф. Деларю читал курс: теория решений численных уравнений, 1 час в неделю (весь год).
В 1875 —1876 гг. проф. Деларю читал теорию определителей — 1 час в неделю (весь год), а доцент (позже — профессор) К. А. Андреев—высшую алгебру, тоже весь год по 1 часу в неделю. В 1876—1877 гг. курс алгебры читал опять проф. Деларю—1 час в неделю с 1 часом практических занятий. В 1877—1878 гг. курс алгебры и дифференциального исчисления читал проф. М. Ф. Ковальский—4 часа в педелю с 1 часом практических занятий (весь год). В 1878—1879 гг. курс высшей алгебры на 1-м курсе читал К. А. Андреев—2 часа в неделю (весь год). Во второй половине 80-х годов и в 90-е годы курс высшей алгебры читал проф. М. А. Тихомандрпцкий—по 4 часа в неделю на 1-м семестре. В 1899—1900 гг. высшую алгебру читал приват-доцент В. П. Алексеевский—в 1-м семестре 4 часа в неделю.
В Новороссийском (Одесском) университете в 90-х годах высшую алгебру читал приват-доцент, позже-профессор, И. Ю. Тимченко—в первом семестре по 3 часа в неделю, с практическими занятиями по 2 часа в неделю в следующем семестре.
В Варшавском университете в 90-х годах высшую ал-гебру
читал проф. Н. Н. Зинин—на 2-м курсе 2 часа в неделю,
300
А. К. СУШКЕВИЧ
В Киевском университете в 60-х годах курс алгебраического анализа читал доцент П. Э. Ромер—на 1-м курсе 2 часа в неделю (весь год). В 90-х годах курс алгебраического анализа читал проф. М. Е. Ващенко-Захарченко— 3 часа в неделю (один семестр) с практическими упражнениями по 2 часа в неделю.
Из этого краткого обзора видно, что к концу XIX в. на курс высшей алгебры в университетах отводилось в среднем 3—4 часа в неделю одного семестра на I курсе: иногда бывали и практические занятия по этому курсу— 1—2 часа в неделю. При этом теория определителей либо читалась отдельно, либо включалась в курс введения в анализ. Элементарная теория чисел в 90-х годах читалась во всех университетах как особый (семестровый) курс; число недельных часов колебалось от 1 до 4. В Петербургском университете её читал Ю. В. Сохоцкий, в Московском—Н. В. Бугаев, в Киевском—В. П. Ермаков, в Харьковском—К. А. Андреев, в Казанском- А. В. Васильев (включая её в курс введения в анализ) и П. С. Назимов (который читал специальный курс теории чисел), в Новороссийском (Одесском)—И. Ю. Тимченко, в Юрьевском (Дерптском)—Ф. Э. Молин.
В 90-х годах XIX в. в некоторых университетах, как мы видели, читались уже специальные курсы—по теории алгебраических уравнений, по теории кватернионов. Эти курсы предполагают наличие специалистов по алгебре. И такие специалисты во второй половине XIX в. появляются в наших университетах. К ним относились киевские профессоры П. Э. Ромер (60-е годы), М. Е. Ващенко-Захарченко (отчасти), юрьевский, а позже—томский, профессор Ф. Э. Молин, петербургский профессор IO. В. Сохоцкий и др.
Переходим теперь к обзору учебников и монографии по алгебре второй половины XIX в. В первую очередь скажем о лекциях по высшей алгебре П. Л. Чебышева, чи-тайных в 1856—1857 гг. Следует заметить, что сам Чебышев своих лекций не издавал; изданы они через 80 лет проф. М. К. Куренским по записям М. П. Авенариуса )
Ч М. II. Авенариус (1835—1895) был позже профессором физики Киевского университета и чл.-корр. Академии наук.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	301
неизвестного слушателя. «Этот «неизвестный слушатель», как говорит Куренский в предисловии к книге, был, невидимому, весьма небрежен и мало понимал содержание лекций; а между тем первая половина курса записана именно им—со многими пробелами и ошибками. Конечно, это сильно снижает ценность изданных лекций: мы не мо-жем достоверно судить ни о способе изложения Чебышевым того или иного вопроса, ни о строгости его доказательств; единственно, что более пли менее правильно можно установить, это—объём фактического материала, который излагался на лекциях.
Вначале давалась классификация алгебраических функций на рациональные, иррациональные, целые, дробные. Затем говорилось о действиях над комплексными величинами. Далее Чебышев приводил доказательство основной теоремы о существовании корня алгебраического уравнения. Доказательство это основано на лемме Даламбера, которая и доказывалась; затем остроумно, но недостаточно убедительно обосновывалось, что модуль R целой рациональной функции должен иметь минимум: если х, оставаясь действительным, изменяется от —со до 4- со, то R сначала уменьшается от 4"°°, а затеям увеличивается до ; следовательно, для какого-то конечного значения х модуль R должен иметь минимум. Ошибка здесь в том, что берутся только вещественные значения х\ ведь этак получилось бы, что всякое алгебраическое уравнение имеет вещественный корень, что, разумеется, неверно. Конечно, более, чем сомнительно, что именно такое «доказательство» давал сам Чебышев.
Далее следовали: разложение левой части уравнения на линейные множители; уравнения с действительными коэффициентами; строка Тейлора; возрастание и убывание функции в связи со знаком производной; теорема Штурма (свойства ряда Штурма специально не перечислялись, но выводились для ряда, построенного при помощи алгорифма Евклида); исследование корней кубического уравнения при помощи теоремы Штурма, теорема Бюдана-Фурье (называвшаяся «теоремой Фурье»). Затем излагался способ Фурье отделения корней и, как частный случай теоремы Фурье, выводилось «декартово правило знаков»
302
А. К. СУШКЕВИЧ
После этого Чебышев рассказывал об отделении и вычислении корней при помощи непрерывных дробей, при этом в заппсях лекций приведён пример и неалгебраического уравнения: 2х—10х —0. Далее выводились элементарные свойства непрерывных дробей. Затем изложен способ Ньютона-Фурье вычисления корней с геометрическим представлением и правило ложного положения (объяснение геометрическое); устанавливалось, сколько правильных десятичных знаков корня получается при одном применении способа Ньютона-Фурье, после чего Чебышев переходил к симметрическим функциям. Степенные суммы названы «простыми» симметрическими функциями. Здесь выводились формулы Ньютона, а основная теорема теории симметрических функций доказывалась для «двойных и «тройных» моногенных симметрических функций. Далее указывалось, как находить уравнение, корни которого являются квадратами корней данного уравнения. Затем сообщалась идея способа Лобачевского вычисления кор ней (фамилия Лобачевского не указана, по не указано и имя Греффе; трудно сказать, знал ли Чебышев, что указанный им способ принадлежит Лобачевскому). Под конец шла речь об исключении неизвестного пз системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
Как видно, по матерпалу этот курс мало отличался от курсов алгебры, рассмотренных в предыдущей главе: главное различие состояло в том, что количество этого материала здесь значительно меньше, чем в рассмотренных ранее курсах: пет решения в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней, нет выделения кратных корней, ничего не говорится о корнях из единицы и, конечно, ничего нет о теореме Абеля о неразрешимости в радикалах уравпе-ний степени выше 4-й. Возможно, что сохранившиеся записи лекций Чебышева неполны. Но с другой стороны, следует принять во внимание, что это—именно лекции, которые были фактически прочитаны студентам 1-го курса; конечно, они короче, чем монографии по алгебре, где авторы излагают предмет во всей его полноте.
Следуя хронологическому порядку, мы рассмотрим теперь «Курс высшей алгебры» (СПб., 1862), составлеинып А. Мешковы м, преподавателем Константиновского
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	303
оенного училища. Этот курс состоял из двух частей: Втдел I—«Начальные сведения из алгебры» (293 стр.); отдел II—«Начала теории функций» (283 стр.). Книга посвящена «памяти русского геометра Михаила Васильевича Остроградского». В конце предисловия к отделу I автор писал: «Составленный мною Курс был рассмотрен покойным академиком Остроградским и найден им, в официальном отзыве, весьма полезным учебным пособием при преподавании Высшей Алгебры в Военно-Учебных заведениях». В начале того же предисловия говорилось: «Предлагаемый мною Курс Высшей Алгебры содержит в себе те дополнительные сведения из Алгебры, знание которых необходимо для каждого, приступающего к изучению Дифференциального и Интегрального Исчислений».
Назначением рассматриваемого курса объясняется и его содержание. По существу он был введением в анализ, частью которого являются собственно алгебраические сведения, составляющие только первый отдел курса. Этот первый отдел начинается с весьма элементарных вещей.
Глава I содержит определения величины, количества, измерения величин и т. п. Интересны некоторые определения: «Предмет Математики состоит в исследовании свойств чисел, выражающих количества, и в производстве действий над ними». «Под математическим действием разумеют составление одного количества из нескольких других п разложение одного количества на другие». «Совокупность каких бы то ни было действий над одним или несколькими количествами называется функциею этих количеств>. «Предметом Чистой Математики или Анализа служит исследование свойств отвлечённых чисел и производство над ними различных действий». «Прикладная математика занимается приложением исследований Анализа к самому измерению величин, принимая в соображе-«ие и их численное значение, и их свойства, зависящие От сущности величин».
«Начальная алгебра изображает числа общими зна-Ками (буквами), которые могут иметь какое угодно значение. Она излагает способы, как выражать над общими Числами различные действия, которые она только обозна
304
А. К. СУШКЕВИЧ
чает, а на самом деле не производит; таким образом в алгебраическом результате видны не только данные числа но и последовательность тех действий, которые над ними’ должны быть выполнены для того, чтобы получить искомые числа». «Высшая алгебра или теория функций исследует свойства функций, зависящие от значения количеств входящих в эти функции».
«К прикладной Математике относятся: Геометрия—ца, ука о протяжении тел; Механика—наука о движении тел; Астрономия—наука об устройстве Вселенной; ф1ь зика—наука о взаимодействии тел без изменения их состава и прочие».
«Алгебра имеет целшо решение вопросов, касающихся каких бы то ни было количеств, в самом общем их смысле».
Здесь интересно, во-первых, весьма широкое понимание «прикладной математики», к которой причисляются и геометрия, и даже физика; во-вторых, отожествление «высшей алгебры» с «теорией функций». Конечно, название «теория функций» следует понимать не в современном смысле. Здесь имеется в виду элементарная теория элементарных алгебраических и трансцендентных функций, служащая необходимым фундаментом для изучения дифференциального и интегрального исчислений, т. е. имения то, что называлось «введением в анализ»1).
В главе II («О положительных количествах») говорится о биномиальных коэффициентах, которые вводятся чисто формально п обозначаются > о биноме Ньютона (с натуральным показателем), геометрических прогрессиях, неравенствах. Далее автор переходит к несоизмеримым количествам и определяет их следующим образом: «Несоизмеримая величина есть постоянное количество, не имеющее общей меры с единицею, но всегда содержащееся между двумя такими соизмеримыми количествами, разность между которыми может быть сделана произвольно малою».
*) Заметим, что в Западной Европе ещё в начале XX в. термп^ «алгебраический анализ» значил то же, что у нас «введение в ан лиз».
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
305
За этим следуют теоремы о несоизмеримых количествах, но не всегда правильные, например: «Произведение или частное двух несоизмеримых количеств имеет величину несоизмеримую», что явно неверно, так как например, ]/ 8 • |/"2 = 4. Рассматривая степени с несоизмеримым показателем, автор писал: «... степень с несоизмеримым показателем представляет количество, отличное от соизмеримых и несоизмеримых величин; мы назовём его количеством трансцендентными. Интересно, что в сноске автор указывает на число к как на пример трансцендентного числа. В то время это пе было ещё доказано1). Далее даётся такое определение: «Трансцендентное количество есть такое постоянное количество, которое может быть выражено степенью некоторого арифметического основания с показателем несоизмеримым и которое содержится между степенями того же основания с пере менными соизмеримыми показателями такими, что разность между ними может быть сделана произвольно малою».
Конечно, в качестве «определения» трансцендентного числа это не годилось. Автор здесь путает два понятия: определение трансцендентного числа и определение степени с иррациональным показателем. Для трансцендентного числа вовсе не характерно то, что оно представимо ь'ак степень с «арифметическим» (т. е. рациональным) основанием и с иррациональным показателем. С другой стороны, такая степень далеко не всегда—трансцендентное число: ведь десятичные логарифмы чисел 2,3, 4, ...—иррациональные числа. Правда, своп «несоизмеримые» числа автор понимал уже: по существу это — алгебраические числа; автор ие замечает только, что и его трансцендентные числа определимы совсем так же, как «несоизмеримые» числа.
Далее идут теоремы о степенях. Число е вводится, как то значение з, которое обращает в минимум выраже-НИе СО (РассУжДения тут наглядные, но нестрогие);
1) Трансцендентность числа я доказал Линдеман в 1882 г. 20
I Рст<>рико-матем. исследования
306
А. К. СУШКЕВИЧ
далее показывается, что
при всяком, даже несоизмеримом х, а отсюда делается заключение, что е—число трансцендентное1); результат верный, но способ заключения неправильный.
Затем говорится о средних величинах, доказывается несколько теорем о средних,—между прочим, теорема о том, что среднее арифметическое больше среднего геометрического. Далее берутся выражения
а , 1/а2 * *	»
ж=т+1/ ~т~ь
и доказывается,что первое—корень квадратного уравнения х2 — ах 4- b = 0, а второе — корень уравнения Xs— Ъх — а=0. Под конец «доказывается», что количество вида х = ал (при несоизмеримом а) не может быть корнем алгебраического уравнения конечной степени с целыми рациональными коэффициентами. Доказательство, конечно, неверное2).
В главе III («Об отрицательных количествах») даётся теория относительных чисел. Правило знаков при умножении и делении «выводится» на примере уравнения при различных соотношениях между (положи-
тельными) дробями у и у . Под конец говорится о степенях с отрицательными показателями.
Глава IV — «О мнимых выражениях». Мнимые числа вводятся чисто формально, как квадратные корни из отрицательных величин. Вводится модуль комплексного числа; правила действий с комплексными числами вводятся
]) Трансцендентность числа е доказал Эрмит в 1873 г.
2) Только в 1934 г. советский математик А. О. Гельфоид дока-
зал трансцендентность с^, где а—алгебраическое число, отличное
от 0 и 1, а —алгебраическое иррациональное число.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
307
тём простого переноса правил операций с действительный. Даются теоремы о модулях. Под конец даётся понятие о периодичности натурально)! показательной функции.
Глава V—«Решение уравнений». Даются основные определения; решение уравнений рассматривается как самое общее 7-е алгебраическое действие: вводится знак V Остроградского для корня уравнения. Далее говорится о делимости многочленов, о нахождении их общего наибольшего делителя (последовательным делением), о ряде Тейлора пт. п. После этого доказывается основная теорема о существовании корня,—сначала для двучленного уравнения, затем для любого (с комплексными коэффициентами). Доказательство обычное (при помощи леммы Даламбера); по считается очевидным, что минимум модуля существует. Затем рассказывается о разложении многочлена на линейные множители; выводятся формулы Ньютона, связывающие суммы степеней корней с коэффициентами уравнений, но о симметрических функциях ничего не говорится; разъясняется способ выделения кратных корней и излагается теория корней из 1, причём употребляется термин «первообразный корень».
Для решения общего уравнения л-й степени с действительными коэффициентами F (х) = 0 даётся такой общий способ: если 6—первообразный корень тг-й степени 1, то возьмём
х - А + Л/J 4- Л202 4- ... 4-
где коэффициенты A, Alf А2, ...,An—i зависят от коэффициентов данного уравнения. Подставив это значение х в данное уравнение, получим выражение вида:
N 4- А\0 4- А^б2 + ... А^б"-1 = 0.
автор заключает, что N = 0, А\ — 0, ..., A’n-j = 0 заключение, вообще, неверно); таким образом,
получаем п уравнений с п неизвестными
А, Alf A2i ..., Лп—р
Если мы сможем решить эти уравнения, то получим и искомый корень х. Этот способ автор применяет к уравне-20*
Отсюда (такое
30S
А. К. СУШКЕВИЧ
ниям 2-н, 3-й и 4-й степеней и в этих случаях получает правнльные результаты.
Далее говорится о возвратных уравнениях; как частный случай рассматриваются уравнения я’п = 1. Затем рассматриваются система двух уравнений и двумя неизвестными, неопределённые уравнения 1-й степени с двумя и с тремя неизвестными и два примера неопределённых уравнений 2-й степени. Наконец, рассматриваются различные, действия над символом V для корня уравнения.
Глава VI—«О вычислении количеств по приближению»-^ посвящена десятичным и непрерывным дробям; даётся элементарная теория непрерывных дробей; доказывается, что периодическая непрерывная дробь всегда—квадратная иррациональность.
Глава VII—«Решение численных уравнений». Вначале указывается, как находить корни-}-/? и —6 или + Ы и — Ы (если они есть): надо левую часть данного уравнения F(x) = 0 разделить на x2 + z; остаток будет иметь вид xcf(z) 4-6(z); находим общий наибольший делитель и <b(z); его корни и дадут нам искомые корни ±Ь или ± Ы данного уравнения.
Далее даётся способ Ньютона нахождения верхней границы положительных корней. Затем говорится об отыскании соизмеримых корней уравнений с целыми коэффициентами, после чего приводится способ Фурье отделения корней и способы Ньютона и Лагранжа (непрерывных дробей) вычисления корней; всё это излагается без теоретического обоснования, об исправлениях Фурье способа Ньютона упоминается только в сноске. Наконец, указывается способ вычисления мнимых корней: если F (а 4- bi) = Р 4- Qi, то из уравнений Р = О, Q = О исключаем, например, а,—получаем уравнение <р(6) = 0; его вещественные корпи подставляем, например, в = и определяем а.
Глава VIII—«О действиях над приближёнными величинами» — содержит элементарную теорию приближённых вычислений; выводятся абсолютные и относительные ио-грешности («ошибки») результатов действий (четырёх рациональных и извлечения корней) в зависимости от иогреш-ностей данных чисел; говорится и об обратной задаче.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
309
Отдел П озаглавлен: «Начала теории функций». В редисловии говорится, что при составлении этого отдела автор использовал «Введение в Анализ бесконечных»? Эйлера и «Курс Алгебраического Анализа» Коши. Сам арт°р Даёт в предисловии такой краткий обзор: «Гл. I заключает в себе разделение функций ио их сущности п по их виду на разные роды. Гл. II содержит обзор функций алгебраических... Гл. III излагает свойства функций трансцендентных... Гл. IV содержит теорию бесконечно малых величин... Гл. V предлагает отдельные признаки сходимости строк... Гл. VI представляет выражения различных функций посредством строк и непрерывных дробей... Гл. VII излагает основные правила употребления математических таблиц вообще if логарифмических в особенности».
Из этого поречия видно, что эта часть не относится собственно к алгебре. Только глава II и часть главы III (решение двучленных уравнений ц корни из 1, тригонометрическое решение кубического уравнения в неприводимом случае) принадлежат к алгебре. Всё остальное относится к анализу- вплоть до понятий о производной, дифференциале и интеграле, неопределённом и определённом, введённых в конце главы IV.
Отметим ещё практический уклон всей книги: к каждому вводимому определению даются численные примеры: главы VI и VIII первого отдела посвящены вообще приближённым вычислениям. Это вполне естественно: ведь учебник предназначался для будущих практиков—военных инженеров. Несмотря па отдельные существенные промахи, о которых было сказано выше, этот курс высшей алгебры обладал и положительными качествами; с дидактической точки зрения он был составлен удачно и написан хорошим языком. Надо полагать, что книга эта в своё время «пришлась к месту». В учебнике заметно сильное влияние Остроградского, на которого автор часто ссылается.
Наряду с только что рассмотренным курсом высшей алгебры для военных учебных заведений рассмотрим «Лекции алгебраического анализа, читанные в Институте Инженеров Путей Сообщения профессором Орловым.
310
А. К. СУШКЕВИЧ
Изд. студента В. Олендского», 1878—1879 г. (литограф изд., 371 стр.). Эти лекции разделяются на три отдела-отдел I—«Введение в анализ»; отдел II—«Алгебраические функции»; отдел III—«Трансцендентные функции». В отделе I даётся определение функции и рассматриваются главнейшие виды функций. Определение функции дано в самом общем виде. Различается семь алгебраических действии (7-е действие — решение уравнений). Алгебра» ческая функция определяется как такая, «которая зависит только от конечного числа семи основных алгебраических действий». Даётся классификация алгебраических функций, попутно определяются симметрические функции.
Далее изложена элементарная теория бесконечных рядов, включая признаки сходимости Даламбера, Коши, знакопеременный ряд и т. п. Затем следует теория комплексных чисел («мнимые выражения»), изложенная весьма подробно, включая тригонометрическую форму, теоремы о модулях и аргументах, формулу Муавра, извлечение корня иг-й степени, геометрическое представление. Далее говорится о рядах с комплексными членами, о степенных рядах, о круге сходимости.
Алгебре принадлежит по существу только отдел II. Здесь выводится (формально) ряд Тейлора для целой рациональной функции, определяются производные; доказываются теоремы о функциях с вещественными коэффициентами. Доказывается основная теорема о существовании корня при помощи леммы Даламбера. Неточность здесь та же, что и в записи лекций Чебышева: говорится о минимуме модуля функции, когда, ври х = а-\-Ы, а изменяется от —оо до 4-оо; т. е. по существу смешиваются понятия относительного и абсолютного минимума. Затем говорится о разложении целой рациональной функции на линейные множители, приводятся формулы Вьета; говорится о кратных корнях и об их выделении (обычный способ). Далее рассматриваются пределы вещественных корней, приводятся способы Ньютона и Ролля. Изложено нахождение «соизмеримых» корней уравнения с «соизмеримыми» коэффициентами («обратная схема Горнера»). Далее изложен способ Штурма
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
311
отделения корней; он применяется к исследованию уравнений 2-й и 3-й степени. После этого речь идёт о способе Ньютона с дополнениями Фурье; попутно даётся схема Горнера разложения функции по степеням x-t-h. Затем приводится тригонометрическая форма корней из 1, рассматриваются частные случаи. Изложены метод Гудде (с упоминанием этого имени) вывода формулы Кардано, исследование формулы Кардано, тригонометрическое решение в неприводимом случае, способ Феррари решения уравнений 4-й степени.
Отдел III относится к введению в анализ. Рассматриваются натуральная показательная функция и натуральный логарифм; доказывается, хотя и нестрого, существо-
1
ванпе предела lim (1 4- а)а = е; элементарным путём выво-ct->0
дятся ряды для этих функций. Затем рассматриваются тригонометрические функции, пз формулы Муавра выводятся формулы для синуса и косинуса кратных дуг, ряды для синуса и косинуса (нестрого), формулы для степеней синуса и косинуса. Далее рассматриваются обратные тригонометрические («круговые») функции, выводятся ряды для вычисления z. Под конец автор говорит об элементарных трансцендентных функциях для комплексных значений аргумента и выводит формулы Эйлера, связывающие тригонометрические функции с показательной, и другие относящиеся сюда формулы.
Несмотря на сравнительно небольшой объём, книга Орлова являлась довольно полным, хорошо составленным учебником начал высшей алгебры и введения в анализ. Этот курс лекций свидетельствует также о том, как хорошо было поставлено преподавание математики в Петербургском институте путей сообщения в 70—80-х годах XIX в.
Рассмотрим ещё «Элементарное изложение теории определителей» А. К. Жбико веко го («Вестник математических наук», т. II, 1862, № 30, стр. 41—44; № 32 и 33, стр. 57-59; № 35 и 36, стр. 81-82).
Хотя этот небольшой курс напечатан не отдельной монографией, а помещён в научном журнале (о котором
312
А. К. СУШКЕВИЧ
речь будет ниже, см. раздел V), мы разберём его сейчас ибо он является по существу начальным учебником теории определителей. В примечании редакции сказано: «Мы помещаем здесь это изложение первых оснований из теории определителей в том убеждении, что, по недостатку русских руководств по этому предмету, оно может быть интересным для многих из наших читателей».
Сначала рассматриваются системы линейных уравнений с двумя и с тремя неизвестными. Затем чисто формально строится определитель n-го порядка, выводятся его основные свойства, в частности, разложение по элементам ряда; далее даётся решение системы п линейных уравнений с п неизвестными (основной случаи) и следствие для системы однородных уравнений. После этого выводятся дальнейшие элементарные свойства определителей, говорится о минорах (п—1)-го порядка, доказывается теорема умножения определителей для случая /г—2 (для любого порядка п теорема умножения только формулируется). Наконец, выводится теорема для взаимного определителя («определитель дополнительной системы»), п эта теорема обобщается на случай определителя гп-й дополнительной системы.
Во второй половине XIX в. наряду с общими трактатами по высшей алгебре появляются у нас серьёзные сводные монографии по отдельным отраслям алгебры. Эти монографии часто являлись диссертациями их авторов на соискание магистерской или докторской степени; подчас они представляли собой компилятивные работы, свидетельствовавшие главным образом об эрудиции пх авторов и их умении объединить в одно целое ряд уже проведённых исследований. Такие работы мы будем рассматривать в этой главе, ибо они ещё не являются изложением результатов собственных научных исследований их авторов. Появление этих работ имело большое значение для развития алгебраических знаний в нашей стране, ибо они знакомили русских молодых математиков с новыми тогда алгебраическими теориями. Излагая новинки, заимствованные из разных математических журналов или книг, приводя пх в связное целое, авторы таких работ вносили известный собственный вклад в эти теории, а главное,
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
313
стимулировали дальнейшие алгебраические исследования в нашей стране.
Как пример такой монографии рассмотрим докторскую диссертацию киевского профессора П. Ромера: «Основные начала метода кватерненов» (Киев, 1868; 215 стр.). Работа эта состоит из введения (4 стр.), отдела I—«Начала вычисления кватерненов» (стр. 5—66), и отдела II—«Приложения к геометрии» (стр. 67—215). Как указывает автор, в основу диссертации им были положены классические «Lectures ои Quaternions» У. Гамильтона.
К алгебре относится отдел I. Начинается монография с изложения векторного исчисления (в пространстве трех измерений). Если г, /, к—три вектора длины 1 по осям координат, то вектор р из начала координат выражается в виде р — xi 4- yj' + zk, где х, у, z—числа, координаты конца вектора; 7р= + ]/ х2 + у2± z2—длина или «модуль» вектора. Если а, р—два вектора, то вводится в
символ —, называемый кватернионом; этот символ разъясняется геометрически; из геометрических же соображений выводится, что i2 = /2 = к2 = — 1, ij=k = — ji и т. д.; далее геометрически же выводится обычный вид кватерниона:
q
q =-7 = и + ™ 4- У] +
где и—«алгебраическая» величина, xi + yj 4- zk—«символическая», представляющая вектор. Далее выводятся все основные свойства кватернионов, даются различные формулы тождественного преобразования кватернионов, тригонометрические приложения, кватернионные уравнения 1-й и 2-м степени, дифференцирование функций от кватерниона; определяются показательная и тригонометрическая функции от кватернионов; наконец, рассматриваются и частные случаи интегралов.
Отдел II содержит геометрические приложения. Вторая часть этого отдела представляет собой основу дифференциальной геометрии в векторном изложении; здесь Рассматриваются соприкасающаяся плоскость, кривиз-ца, вторая кривизна кривых; нормаль и касательная
314
А. К. СУШКЕВИЧ
плоскость к поверхности; главные кривизны, теорема Менье, линии кривизны, пндикатрисса Дюпена, кривизна Гаусса, геодезические линии.
Значение этой монографии заключается в том, что она впервые на русском языке трактует о частном виде гнпер-комплексных чисел, теория которых тогда только начала появляться1), и содержит векторное изложение геометрии; только в XX в. такая трактовка геометрии получила всеобщее признание.
Перейдём теперь к монографии М. Е. Ващенко-Захарченко2) «Теория определителей и теория форм»: Киев, 1877 (501 стр.). В предисловии сказано, что эта монография представляет собой пополненные лекции, которые автор читал в КпевскОхМ университете; но эти лекции не составляли отдельного курса, а входили в состав лекций по алгебрапческохму анализу, теории чисел и аналитической геометрии. Книга разделяется на две части: часть I—«Теория определителей» (240 стр.); часть II «Теория двоичных форм» (261 стр.).
В части I изложена общая теория определителей п-го порядка, включая теорию общих миноров и теорему умножения, основную и обобщённую (доказываемую одновременно с основной), свойства симметрических и «левых симметрических» (т. е. полу симметрических пли косых симметрических) определителей. При изложении решения системы линейных уравнений рассматривается только основной случай, когда число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы отличен от пуля. Затем изложены многие относящиеся к алгебре вопросы, к которым определители имеют косвенное отношение: разыскание общего наибольшего делителя многочленов; разложение рациональных дробей на «простые», включая интерполяционную форхмулу Лагранжа; теория псире-
х) Позже наши мате.матики внесли большой вклад в теории1 гиперкомплексных чисел (см. ниже о работах Ф. Э. Молина А. П. Котельникова).	. 0
2) Михаил Егорович В а щ енко - 3 ахарчснь (1825—1912) был с 1867 г. профессором Киевского университе > известен своими многочисленными учебниками по самым раз образным отраслям математики.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
315
пивных дробей, включая и периодические дроби; симметрические функции; элиминация; «признанная» (дискриминант).
В части И весьма подрооно изложена теория инвариантов и ковариантов бинарных форм; разбираются частные случаи форм, даются приложения теории инвариантов и ковариантов к алгебраическим уравнениям.
Весьма интересны обширные таблицы: в конце части I таблицы выражений симметрических функций через элементарные симметрические функции, результантов (называемых «выводы») и дискриминантов («признанная»)— всего 21 страница; в конце части II—таблицы инвариантов и ковариантов—всего 81 страница.
Книга эта явилась первой капитальной монографией по теории определителей, инвариантов и ковариантов; она интересна и в настоящее время. К недостаткам её следует отнести некоторую небрежность, вообще свойственную её автору, и в связи с этим—отдельные промахи. Например, при изложении теоремы умножения определителей не сказано, что произведение определителей представляется многими способами в виде определителя (основных способов четыре, но вообще их гораздо больше); в связи с этим утверждение (в § 22): «Легко видеть, что квадрат определителя есть симметрический определитель», вообще неверно: следует сказать только, что квадрат определителя представим в виде симметрического определителя. При изложении решения системы линейных уравнений не ставится чётко условие, что определитель системы отличен от нуля,—это как бы само собою подразумевается; только позже мельком говорится о том, что система однородных линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений, если сё определитель равен нулю; но и то разбирается только случай, когда не все миноры (п—1)-го порядка равны нулю, хотя прямо об этом не говорится.
Интересна и другая монография Вашенко-Захарченко: «Алгебраический анализ плп высшая алгебра» (Киев, 1887, 608 стр.). В предисловии сказано, что эта книга представляет собой пополненные лекции, читанные автором в Киевском университете с 1865 по 1887 г.; она содержит
316
Л. К. СУШКЕВПЧ
«в полном объёме Высшую алгебру, за исключением теории перестановлений и приложения её к исследованию буквенных уравнений». Материал, содержащийся в этой книге, действительно велик. В главе I говорится об «общих законах количеств», об относительных числах несоизмеримых, мнимых числах и о кватернионах’ Глава II—«Действия над составными [т. с. комплексными] количествами». Глава III—классификация функции. Глава IV—«Свойства целой рациональной функции»; формально определяется ряд Тейлора и производные. Глава V—основная теорема о существовании корня, разложение целой рациональной функции па линейные множители, выделение кратных корней. Глава VI—«Преобразование уравнений». Глава VII—«Определители»; при решении системы линейных уравнений рассматривается только основной случай. Главы VIII и IX относятся к теории чисел и дают полную теорию сравнений, кончая законом взаимности квадратичных вычетов и некоторыми теоремами о формах. Главы X и XI посвяшены симметрическим функциям и их приложениям. Глава ХП— «Исключение—элиминация». Глава XIII—«Неизменные и соизменённые» (т. е. инварианты и коварианты). Глава XIV—«Двучленные уравнения и корни из 1». Глава XV посвящена классификации иррациональных (радикальных) выражений по различным «порядкам»; вводится понятие об «областях рациональности» (в частном случае), которые тоже распределяются но порядкам; вводится также понятие о неприводимой («несократимой») функции; доказываются некоторые теоремы об уравнениях, решаемых в радикалах. В главах XVT и XMI изложено алгебраическое решение уравнений низших степеней, при этом весьма подробно; например, для решения уравнения 4-й степени (называемого «биквадратным» и в общем виде) даются семь способов. Главы ХА 111 и XIX посвящены уравнениям деления окружности и их решению; здесь доказывается неприводимость уравнения деления окружности на простое число частей; даётся способ Гаусса решения уравнения деления окружности, геометрическое представление; решаются уравнения:
при />—5, 7, 11, 17; показывается, как разделить окруж
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
317
ность на 17 равных частой при помощи циркуля и линейки, [алее, в главе XIX излагается решение циклических уравнений; указывается связь с теорией чисел. Глава XX— «Преобразование уравнений по способу Чирнгаузена»: даются приложения этого преобразования к уравнениям 3-Йт 4-й п 5-й степеней. Последние главы, XXI—XXIV, посвящены решению числовых уравнений, т. е. отысканию пределов действительных корней уравнения с действительными коэффициентами, отделению и приближённому вычислению корней. Сначала даётся схема Горнера расположения многочлена по степеням х—а\ затем 5 способов нахождения верхнего предела положительных корней; показывается способ нахождения целых корней уравнения с целыми коэффициентами. Приводится способ Штурма отделения корней; при этом рассматривается и случай кратных корней. Доказываются теоремы Бюдана и Декарта; подробно говорится о способе Фурье отделения корней. Для вычисления корней даются способы Ныотона-Фурье, Горнера (подробно изложенный) и Лагранжа, т. е. способ непрерывных дробей.
Таким образом, рассматриваемая книга Ващенко-Захарченко по своему материалу явилась более полным курсом высшей алгебры, чем все предшествующие рассмотренные нами руководства. В ней пет только теоремы Абеля о неразрешимости в* радикалах уравнения степени выше 4-й в общем виде, нет и теории Галуа, из которой эта теорема вытекает как следствие. Но в предисловии Ващенко-Захарченко обещал выпустить и вторую часть высшей алгебры; она действительно вышла в 1890 г. Впрочем, изложение теории Галуа на русском языке появилось ещё раныце: в 1864 г.—в диссертации Д. Деларю и в 1885 г.—в диссертации Д. Ф. Селиванова.
Курс алгебры Ващенко-Захарченко составлен был небрежно, материал дан некритично, в некоторых местах имелись недопустимые упрощения. Так, в главе I в самом начале автор приводит три основных закона действий, именно: «закон перестановптельный» (коммутативный), «закон распределительный» (дистрибутивный) и «закон повторительный» (выражаемый формулой: ап • ат = ап+т).
318
Л. К. СУШКЕВИЧ
Обычно этот последний закон не причисляется к основным. Но главное состоит в том, что автор ничего не упомянул о самом важном законе—ассоциативном, или сочетательном, который в современной алгебре играет первенствующую роль,—да и в 80-х годах XIX в. важность этого закона была известна. В той же главе I, в § 12 автор, говоря о геометрическом представлении комплексных чисел, «доказывает», что число i «надо» откладывать по осп у (при прямоугольной системе координат) вверх от точки О на расстояние, равное единице. Это, конечно, по меньшей мере наивно. При доказательстве основной теоремы о существовании корня автор, доказав лемму Даламбера, писал (глава V, § 36, в конце):
«Мы только что показали, что если / (zQ) пе равна нулю, то можно найти такое значение z1 = z0-|-/i, что М. / (zt) < М. / (z0) (М.—обозначение модуля), и если / (zT) не равна нулю, то опять можно найти такое значение для z z2 = z1+ hu что: М. / (z2) < М. / (zj; продолжая такое рассуждение, найдём неопределённый ряд значений переменного z: Zo, Zx, z2, z3, z4, z5, z6, ..., для которых модули функции / (z) будут уменьшаться неопределённо, но так как модуль функции есть величина всегда положительная, то, уменьшаясь неопределённо, должна, наконец, сделаться равной пулю».
Прямо удивительно, что такой эрудит, как Ващенко-Захарченко, мог допустить та^ой промах. В этом пункте он сделал большой шаг назад по сравнению со всеми его предшественниками, у которых, как мы видели выше, при доказательстве основной теоремы о существовании корней по крайней мере говорилось о минимуме модуля целой рациональной функции и ошибка заключалась лишь в том, что существование минимума или совсем не доказывалось (считалось очевидным), или доказывалось, но пестрого. Есть в книге Ващенко-Захарченко и другие, более мелкие промахи. По, несмотря на все эти промахи, книга интересная и весьма полная по своему содержанию.
Прежде чем перейти к третьей монографии Ващенко-Захарченко, посвящённой теории Галуа, рассмотрим монографии Д. Деларю и Д. Селиванова, посвящённые
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
319
тому я;е вопросу, по появившиеся раньше, чем книга ращенко-3ахарченко.
Первой из них вышла «Общая теория алгебраического решения уравнений. Рассуждение Даниила Деларю, написанное для получения степени Магистра Математики» (Харьков, 1864, 114 стр.). Во введении (20 стр.) автор даёт исторический обзор вопроса об алгебраическом решении алгебраических уравнений, прпчём довольно подробно останавливается па результатах Абеля, упоминает об Остроградском, Мальмстсне, затем об исследованиях Галуа, Кронекера, Эрмита. В конце введения автор вкратце резюмирует своё сочинение.
В § 1 даётся классификация Абеля радикальных функций, указывается, как уничтожить радикалы в знаменателе, доказывается, что всякая радикальная функция есть корень алгебраического «несократимого» уравнения с рациональными коэффициентами.
В § 2 выводится общий вид корней разрешимого алгебраически, «несократимого» уравнения простой степени и в связи с этим доказывается (по Мальмстену) неразрешимость в радикалах уравнения простой степени большей 3 в общем виде. ЗатехМ (весьма сложно, при помощи трёх предварительно доказанных лемм) доказывается теорема Галуа: «Для того, чтобы несократимое алгебраическое уравнение простой степени разрешалось в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы каждый из корней его определялся рационально в двух других корнях его».
§ 3—«Исследования Галуа касательно разрешимости алгебраических уравнений в радикалах». Здесь по существу излагаются основные теоремы теории Галуа, хотя, конечно> в форме, сильно отличающейся от современной. I Вводится и группа Галуа данного уравнения, говорится и о «понижении» этой группы от «причисления к уравнению» подходящим образом выбранной численной величины. Выводятся условия разрешимости в радикалах алгебраических уравнений простых степеней. Заканчивается этот параграф уже приведённой выше теоремой Аалуа, которая здесь выводится новым путём, исходя из исследований Галуа.
320
А. К. СУШКЕВИЧ
§ 4—«Исследование абелевских уравнений». «Абелев-сними» уравнениями называются здесь циклические уравнения и их обобщения: уравнения, которые разбиваются на п циклических уравнений после того, как решено вспомогательное уравнение /г-й степени. Даётся решение в радикалах циклических уравнений.
Работа заканчивается пятью «тезисами», имеющими очень малую связь с самой работой. Приведём некоторые из них:
Тезис I: «Общепринятое разделение математического анализа на анализ конечных—алгебру—п анализ бесконечно малых—calcul infinitesimal—не удовлетворяет современному состоянию науки. Гораздо удобней разделять анализ на алгебраический—теорию алгебраических функций—и на трансцендентный—теорию трансцендептных функций».
Тезис II: «Дифференцирование есть действие алгебраическое в том смысле, что оно всегда одни алгебраические функции изменяет в другие, также алгебраические; поэтому изложение правил дифференцирования входит в предмет алгебраического анализа. Интегрирование, напротив, может быть рассматриваемо, как средство для перехода от алгебраических функций к функциям трансцендентным...».
Тезис III: «Алгебраический анализ, как теорию алгебраических функций, всего удобней разделить на две части: на исчисление явных алгебраических функции и на исчисление неявных алгебраических функций теорию алгебраических уравнений».
Небольшая монография Деларю важна тем, что является, насколько мне известно, первым по времени изложением на русском языке основ теории Галуа. Конечно, Деларю не оценил ещё должным образом теории Галуа, во всей её полноте, да и не смог оценить её в то время, когда она и на своей родине, во Франции, была ещё мало известна. Только в 1870 г. появилась знаменитая монография К. Жордана «Traite des substitutions et des equations algebriques», разъяснившая и дополнившая весьма краткие и сжатые исследования Галуа и сделавшая их достоянием широких математических кругов-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
321
Харьковский математик Деларю в своей диссертации обнаружил серьёзное знакомство с исследованиями Галуа за шесть лет до выхода труда Жордана.
Перейдём теперь к рассмотрению монографии Д. Ф. Селиванова (1855—1932) «Теория алгебраического решения уравнений». Рассуждение на степень магистра математики Дм пт р пя Селиванова» (СПб., 1885, 232 стр.).
В предисловии автор пишет: «...При изложении настоящего сочинения мы имеем в виду расположить в систематическом порядке все важнейшие результаты, до сих пор полученные, и насколько возможно облегчить изучение теории алгебраического решения уравнений». Отсюда видно, что рассматриваемая работа компилятивная. Ценность ее определялась тем, что в ней содержалось изложение теории алгебраических уравнений Галуа. Разделяется она на две части, а каждая часть на две главы.
Часть I. Глава I—«О неприводимости уравнений». Автор с самого начала даёт определение области рациональности как совокупности всех рациональных функций с рациональными коэффициентами от данных величин А, В,... Затем излагается теория приводимых и неприводимых в данной области функций и уравнений. Сообщается понятие о преобразовании Чирнгаузена. Рассматривается рациональная функция от корня данного уравнения. Далее излагается способ Кронсксра разложения приводимой функции на множители. Рассматриваются способы расширения области, прп котором неприводимая функция делается приводимой. Указывается способ построения функции, меняющей своё значение от любой перестановки своих аргументов.
Глава II—«Свойства алгебраических выражений». Рассматриваются двучленные уравнения, корни из 1. Далее излагается решение в радикалах циклических уравнении, которые названы «абелевыми», а затем решение уравнений деления окружности па простое число частей. После этого рассматриваются радикальные («алгебраические») выражения и цепь двучленных уравнений, к которым сводится вычисление этих выражений. Заканчивается ГЛава выяснением вопроса, какие правильные мпого-
Историко-матем. исследования
322
А. К. СУШКЕВИЧ
угольники можно вписать в круг при ПОМОЩИ Циркуля и линейки.
Часть II. Глава I— «Решение буквенных уравнении^ Здесь рассматриваются подстановки п переменных; определяется группа подстановок. Определяется группа, при-, надлежащая данной функции; сопряжённые группы-циклические группы; доказывается теорема Лагранжа вводятся понятие инвариантной подгруппы («группа? не меняющаяся при всяком преобразовании пли особенная группа»), транспозиции (называемые «перестановками»), разложение подстановок на транспозиции, знакопеременная группа. Определяются простая и «сложная» группы. Доказывается, что знакопеременная группа степени выше 4-й—простая, и из этого выводится, что буквенное уравнение степени выше 4-й не решается в радикалах. Общая теория применяется для вывода решений в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени. Затем рассматриваются различные случаи расширения области рациональности, определяются транзитивная и иптранзптивная группы. После этого вводится понятие о композиционном ряде группы («разложение группы на составные части»); доказывается теорема Жордана (об инвариантности ряда индексов у композиционного ряда группы; индексы называются «показателями сложности» группы). Затем автор доказывает основную теорему: «Чтобы буквенное уравнение п-ii степени решалось алгебраически, необходимо и достаточно, чтобы показатели сложности симметрической группы были простые числа». Под конец рассматриваются уравнения простои степени; вводится линейная группа. Доказывается, что «буквенное уравнение простой степени решается в радикалах при помощи всякой функции, группа которой состоит из подстановок вида: (х., .тох+/,)-Алгебраическое решение уравнений простой степени при помощи других функций невозможно».
Глава II—«Алгебраическое решение численных уравнений». Эта глава и представляет собой в собственном смысле теорию Галуа. Здесь определяется группа Галуа; именно, выводится предложение: «Всякое алгебраическое уравнение имеет группу, обладающую том свойством, что всякая функция от корней, не меняющаяся прп под-
Материалы к истории Алгебры й России
323
становках этой группы, рационально известна, и обратно, всякая функция от корней, которая рационально известна, не меняется при подстановках этой группы». Доказывается теорема о том, что группа приводимого уравнения пнтранзитпвна, а группа неприводимого уравнения тран-зитивна, и рассматриваются другие свойства группы уравнения; доказывается основная теорема: «Для того, чтобы уравнение решалось в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы показатели сложности его группы были простые числа». Рассматриваются уравнения простой степени и доказывается теорема Галуа: «Если уравнение простой степени решается в радикалах, то каждый корень выражается рационально через два другие корня».
Рассмотренная книга показывает большую эрудицию её автора, который был основательно знаком с трудами Лагранжа, Абеля, Галуа, Коши, Кронекера по данному вопросу. Отмстим также хорошую, почти современную нам терминологию этой книги: «неприводимое» уравнение (а не «несократимое», как позднее у Ващенко-Захарченко), «подстановка» (а не «подстановлснис»), «область рациональности», «знакопеременная» группа и т. и.
Перейдём теперь к посвящённой тому же предмету монографии Ващенко-Захарченко «Высшая алгебра. Теория подстановлений и приложение её к алгебраическим уравнениям» (Киев, 1890, 420 стр.). Автор писал: «Настоящее сочинение составляет продолжение моего сочинения «Алгебраический анализ или высшая алгебра». В нём изложена теория подстановлений, приложение её к алгебраическому решению уравнений и решение уравнения 5-й степени с помощью эллиптических функций. В нашей математической литературе по этому предмету ничего не имеетсяа), поэтому я думаю, что этот труд будет полезен лицам, изучающим основательно и глубоко Высшую алгебру».
Монография состоит из двадцати двух глав. В первых пяти главах изложена теория групп подстановок («поддано влений»). Обозначение подстановки отличается от
х) В этом Ващенко-Захарчепко отчасти ошибался, как видно из предыдущего.
21*
324	А. К. СУШКЕВИЧ
обычного тем, что пижнес расположение символов сЧи тается начальным, а верхнее—конечным. Вводится ко*ь позиция подстановок, по ассоциативность её не указывается (считается очевидной, как, впрочем, и в монографии Селиванова). Рассматриваются степени подстановки разложение подстановок па «круговые» (циклы) и на «перемещения» (транспозиции). Рассматриваются группы подстановок—симметрическая и «перемежающаяся» (знакопеременная), циклические и другие тины групп подстановок. Далее говорится о связи между функциями п переменных и группами подстановок этих переменных. Рас сматрпваются группы транзитивные («переносные») и интранзнтивные («непереносные»), примитивные («первообразные»); вводятся «особенные» (инвариантные) подгруппы, простые и составные группы; доказывается, что «перемежающаяся» группа п элементов (символов) при п>4 простая; вводятся понятия составного (композиционного) ряда и главного ряда. Даётся понятие изоморфизма,—голоодрического и мернедрического (гомоморфизма).
В главах VI и VII рассматривается зависимость между функциями, принадлежащими к одной и той же группе, и доказываются различные теоремы о числе значений целых рациональных функций. В главе VIII изучаются частные случаи групп, между прочим, циклические и мета циклические группы и функции. Глава IX—«Аналитическое представление подстановлений». Между прочим, здесь рассматриваются так называемые линейные группы, состоящие из подстановок вида
М = lz>az + ?] (mod />), где р—простое, а также и дробно-липойные подстановки вида
Г оз 4~ В "I ,	. ч
« LJ’F+iJ (mod^’
где z = 0, 1,2,....у;—l.oo. Рассматриваются такжен линейные подстановки п церемонных (матрицы), где коэфф» циенты—целые, взяты по модулю т.
Глава X—«Решение алгебраических уравнений». Здесь вводится резольвента Галуа и группа уравнения, как
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
325
-nviina подстановок корней, допускаемых всеми соотношениями между корнями (которые сводятся к одному соотношению). Доказывается ряд теорем о iруппе уравнения; между прочим, и теорема о сведении решения данного уравнения к решению цени простых уравнении.
Глава XI—«Двучленные уравнения». Даётся решение
я радикалах уравнения деления окружности на ^равных частей (р—простое), устанавливается, на какое простое число равных частей можно разделить окружность при помощи циркуля и линейки; в частности, разбираются случаи р=5 и р=1/.
Глава ХП—«Абелевские уравнения». Как указывает автор, Кронекср назвал «абслевскпм» такое «несократимое» уравнение f(x) = 0, в котором два каких-нибудь корня х\ и Xi связаны уравнением ^=0 (х^, где 0—рациональная функция: «Это название Жордан, обобщая, даёт всем несократимым уравнениям более общим, которые
решаются по тем же началам, именно уравнениям, коих 1 руппы состоят только из. нодстановлений перемещающихся».
Автор сначала рассматривает и решает уравнения «абелевские» в смысле Кронексра; частный случай этих уравнений—обычные циклические уравнения; способ решения этих «абслсвских» уравнений такой же, как обычных циклических,—только предварительно нужно решить одно вспомогательное уравнение, которое может и не решаться в радикалах. В дальнейшем автор подробно рассматривает и решает абелевы уравнения в смысле Жордана.
Глава XIII—«Уравнения, в которых существует рациональная зависимость между тремя корнями». Здесь речь идёт об уравнениях, для корней .гх, х2, ..., хп которых:
— <?з (*^i> *^2),	91 (*^1» ^2),• • •>	*^2)»
где <р3,	...—рациональные функции. Если степень
такого уравнения—простое число, то это уравнение называется уравнением Галуа. Даётся решение уравнения Галуа. Далее рассматриваются «троичные» уравнения, т* е. такие, корни которых распределены по три, наири-МеР	так что каждые дна ив них определяют
326
А. К. СУШКЕВИЧ
третий *>. Разбирается частный случай, когда степень п=32; здесь имеется полное алгебраическое решение.
В главах XIV и XV говорится об алгебраически решаемых уравнениях; выводится необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах рассматриваются свойства разрешимых групп, рассматриваются уравнения, которых степень есть степень простого числа, наконец, доказывается, что общие уравнения выше 4-й степени неразрешимы в радикалах.
В главах XVI п XVII изучается общее уравнение 5-й степени, его' инварианты и коварианты, его преобразование Чирпгаузена в форму Вринга и Жеррара. Главы XVIII—XXI посвящены эллиптическим функциям и решению посредством них уравнения 5-й степени. Наконец, в последней, XXII главе изложены исследования Маль-фатти (1771 г.), который пытался решить уравнение 5-й степени теми же методами, которыми были решены уравнения 3-й и 4-й степени. Излагается также метод Кронекера решения уравнения 5-й степени с помощью эллиптических функции.
Как видно, материал в этой книге Ващенко-Захарченко весьма обширный, интересный и для тогдашнего времени новый в русской литературе. Конечно, изложение теории Галуа у Ващенко-Захарченко, как и в рассмотренной раньше монографии Селиванова, с современной нам точки зрения несколько устарело; оно слишком громоздкое; там нет ещё теоремы Жор даиа-Гель дера в общем виде, нет чёткого понятия о фактор-группе (рассматриваются исключительно группы подстановок); зато разобраны подробно многие специальные случаи, которые в современных учебниках отсутствуют.
Следует с сожалением отметить, что и в этой монографии Ващенко-Захарченко допустил большую небрежность: есть промахи в изложении, иногда весьма значительные.
Продолжаем наш обзор учебников и монографий по алгебре второй половины XIX в. Мы вернёмся несколько назад и рассмотрим «Лекции Алгебраического Анализа,
*) Например, уравнение 3-й степени всегда троичное.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	327
Выпуск первый» доцента Даниила Деларю. Это— изданный литографским способом курс лекций; всего 249 страниц 1П (Харьков, 1866). Мне неизвестно, выходило ли продолжение этого курса. Первые 15 лекций (84 стр.) составляют введение в анализ и дифференциальное исчисление; здесь изложены теория пределов и «неизмеримо малых и неизмеримо больших величин», классификация функций, дифференцирование функций, бесконечные ряды, формула Тейлора, учение о наибольших в наименьших значениях функций.
Лекции XVI—XXVII (стр. 85—248) посвящены «теории алгебраических уравнений». Лекция XVI трактует о «мнимых величинах»—довольно кратко; есть теоремы о модулях, тригонометрической формы нет. В лекции XVII излагается основная теорема о существовании корня алгебраического уравнения («теорема Гаусса», как её называет автор); доказательство, которое автор приписывает Коши, основано на лемме Даламбера; иестрогость его опять-таки в том, что автор считает очевидным существование минимума модуля целой рациональной функции. В лекциях XVIII и XIX говорится о разложении целой рациональной функции па линейные множители и приводятся формулы Вьета. Лекция XX—«О разложении рациональных дробей на частные дроби», причём рассматриваются все случаи. Лекция XXI—о выделении кратных корней. Лекции XXII—XXV—об отделении корней (способ Штурма, теорема Бюдана-Фурье, способ Фурье отделения корней). В лекциях XXVI—XXVII говорится о вычислении корней; изложен способ Лагранжа (непрерывных дробеП), «способ линейного приближения» (т- е. способ Ньютона-Фурье); указывается в общих чертах, как находить мнимые'корни и корпи уравнений с мнимыми коэффициентами.
Теории алгебраического решения уравнений посвящены лекции XXVIII—XXIX; там говорится о двучленных уравнениях, о корнях из 1, об алгебраическом решении уравнения 3-й степени (вывод формулы Кардано и исследование её) и, коротко, 4-й степени. Лекции XXX— XXXI—о «перемещениях» и «замещениях» (подстановках») и о числе значений функции при перестановках
328
А. К. СУШКЕВИЧ
переменных. Лекция XXXII—о функциях симметрических, включая основную теорему, и о функциях ради кальных. Лекция XXXIII—«Доказательство невозможности решения всех уравнений в радикалах». Лекция XXXIV- «Об иррациональных функциях», вводится символ Остроградского V, иррациональные функции классифицируются по «порядкам», и т. и. Лекции XXXV и XXXVI отведены определителям; выводятся их главные свойства, основная и обобщенная теоремы умножения, рассматриваются миноры (п—1)-го порядка, взаимный определитель.
Лекция XXXVII посвящена решению систем уравнений; разбирается основной случаи системы линейных уравнений. Затем рассматривается исключение одною неизвестного из системы двух уравнений любых степеней с двумя неизвестными, т. е. нахождение результанта; даны способы Клеро и Эйлера. Последняя лекция XXXVIII—посвящена нахождению «степени результата исключения» (теорема Безу), при этом рассматривается и случай исключения к—1 неизвестных пз системы к уравнений с к неизвестными.
Следует отметить полноту этого курса высшей алгебры при сравнительно небольшом его объёме (всего 164 стр. in 4°). Этот курс свидетельствует о том, как высоко стояло преподавание алгебры в Харьковском университете в 60-е годы XIX в.
Переходим теперь к рассмотрению книги Ю. В. С о х о ц-кого1) «Высшая алгебра, Часть первая, решение численных уравнении» (СПб., 1882, 315 стр.). Как сказано в предисловии, Ю. В. Сохоцкий изложил здесь только часть лекций по высшей алгебре, которые читал в Петербургском университете, но изложил эту часть гораздо подробнее, чем па лекциях.
Книга состоит из десяти глав. В главе I выводятся различные свойства целых рациональных функций; в койне лавы устанавливаются пределы вещественных корней
Ч Юлиан Васильевич Сохоцкий (1842—1927),—профессор Петербургского университета, автор выдающихся исследований по теории функций комплексного переменного. (Подроо-нее см. «Историко-Математические исследования», вып. Ш )
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	329
уравнения с вещественными коэффициентами. Глава II начинается формулой Тейлора, даётся схема Горнера разложения функции по степеням х—«, определяется непрерывность целой рационально]! функции и выводятся относящиеся сюда теоремы; особо рассматривается случай, когда и коэффициенты в / (х) и х комплексны; выводятся три леммы (первая—не что иное, как лемма Даламбера); заканчивается эта глава двумя доказательствами основной теоремы о существовании корней алгебраических уравнений: одно—обычное, основанное на лемме Даламбера (причём существование минимума модуля целой рациональной функции считается очевидным); другое основано на рассмотрении «аргумента» (т. е. аркуса) функции в области комплексных чисел для х. Глава III—разложение целой рациональной функции на линейные множители, выделение кратных корней, разложение рациональных дробей на простейшие. Глава IV—число вещественных корней между данными пределами, уравнения с вещественными и перемежающимися корнями; теорема Ролля, формула Лагранжа, теорема Фурье. Глава V—теорема Декарта (доказываемая независимо от теоремы Бюдана) и следствия из неё; теоремы Лагерра. Глава VI—теорема Бюдана и способ Фурье отделения корней; теорема Сильвестра (особый способ отделения корней) и теорема Ньютона о числе положительных корней уравнения (получаемая из теоремы Сильвестра так, как теорема Декарта получается из теоремы Бюдана). В главе VII вводится понятие «избытка» рациональной функции (по существу, это—не что иное, как интегральный вычет), разбираются свойства «избытков» и способ их вычисления; как следствие из этой теории выводится теорема Штурма; при этом перечисляются все четыре характерные свойства ряда Штурма. Глава VIII—определение числа корней внутри данного контура; отделение мнимых корней. Рассуждения, приводимые здесь, относятся к области Функций комплексного переменного; применяется теория «избытков».
Глава IX—о результанте; уничтожение иррациональности в знаменателе, преобразование Чирнгаузена (всё йт°—без применения симметрических функций); при
330
А. К. СУШКЕВИЧ
менение преобразования Чирнгаузена для решения уравнений 3-й и 4-й степени. Условие, при котором два уравнения имеют несколько общих корней. Дискриминант. Способ Лагранжа отделения корней, называемый также способом Кошп.
В главе X изложен способ Ныотона-Фурье вычисления корней и нахождения соизмеримых корней, когда коэффициенты уравнения—целые числа. Приведена обратная схема Горнера.
По своему материалу эта книга в некоторых своих частях значительно отличается от современных ей и ра смотренных уже нами учебников высшей алгебры; укажем, например, па главы IV—VIII, где изложены теоремы Лагерра, теорема Сильвестра, теория «избытков» и сё применения к алгебраическим уравнениям. Эта книга Сохоцкого полезна и сейчас для изучающих алгебру. Правда, как учебник алгебры книга эта всё же неполна; в ней нет теории симметрических функций с при ложениями, нет определителей и теории линейных уравнений, нет подробного изложения алгебраического решения уравнений 3-й и 4-й степени. Вторая часть «Высшей алгебры» Сохоцкого (СПб., 1888) не восполняет этого пробела; она посвящена «началам теории чисел» (336 стр.) и представляет собой весьма полный курс элементарной теории чисел; только её последние главы (глава IX «О функциональных сравнениях и неприводимых функциях» и глава X—«О функциях, абсолютно неприводимых ) принадлежат к алгебре, причём в главе IX излагается ио существу теория конечного поля.
Заметим, что и Сохоцкий употребляет термин «несократимая» функция, но в ином смысле, нежели Ващенко-Захарченко: «несократимою функциею» Сохоцкий называет целую рациональную функцию с целыми, взаимно-простыми коэффициентами.
Упомянем ещё о книге Ю. В. Сохоцкого «Решение численных уравнений» (т. 2, IV отд. «Физико-математической библиотеки», изд. М. А. Баранецкпм. Варшава, 1881, на польском языке). В этой книге подробно говорится об отделении корней алгебраических уравнении; упоминаются исследования Лагерра, Эрмпта, Сильвестра. Мно
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
331
гие доказательства упрощены или заменены новыми. Изложение строгое и ясное.
Переходим к обзору учебника профессора Харьковского университета М. А. Ти хоман дрпцкого1) «Краткий курс высшей алгебры» (Харьков, 1887, 296 стр.). В предисловии автор писал, что «этот курс содср;кит минимум того, что обыкновенно требуется у наб от всех студентов математического отделения физико-математических факультетов Университетов, и немного более того, что требуется от студентов высших Технических Институтов и Академий». Поэтому в этот курс нс вошли теория уравнений, решаемых в радикалах, и теорема Абеля о невозможности решения в радикалах уравнений степени выше 4-й в общем виде, а также теория инвариантов и ковариантов.
Курс состоит из введения и тринадцати глав. Во введении сообщаются основные определения. Глава I «Свойства комплексных величин». Действия над комплексными величинами вводятся без обоснования; вначале доказывается «теорема»: «комплексная величина а 4- b ]/ — 1 может быть лишь тогда равна нулю, когда порознь п=0 и 6=0». Заканчивается эта глава тригонометрическими приложениями формулы Муавра. Глава II—«Двучленные уравнения», содержит извлечение корня пз комплексных чисел в тригонометрической форме н теорию корней из 1—тоже в тригонометрической форме. Глава III— «Решение уравнений 3-й и 4-й степени». Выводится по способу Гудде и исследуется формула Кардано; в неприводимом случае даётся тригонометрическое решение; излагается способ Феррари решения уравнения 4-й степени. Глава IV—«Свойства полиномов». Выводятся теоремы, связанные со свойством непрерывности многочленов; формально выводится формула Тейлора; определяются производные; выводится остаточный член в форме Шлемпльха. Доказывается лемма Даламбера, называемая
F--------------
Ъ Матвей Александрович Тихомандри.цкий (1844—1921), сын Александра Никитича Тихомандрицкого (см. выше, стр. 292) с 1883 г. был доцентом, а с 1888 г.—ординарным профессором Харьковского университета.
332
Л. К. СУШКЕВИЧ
«теоремой Коши», и как следствие из неё—основная теорема о существовании корня; при этом существо панно минимума модуля многочлена считается очевидным. Далее приводятся схема Горнера деления на линейную функцию и «обратная схема Горнера». Затем говорится о раздо женин многочлена на линейные множители. В качестве приложения выводятся некоторые тригонометрические фор мулы. Глава V—«Определение соизмеримых корней дан ного уравнения». Глава VI—«Определение равных кор ней». Глава VII—«О вещественных корнях и их пределах». Доказывается теорема Декарта о числе положительных корней. Даётся несколько способов нахождения верхнего предела положительных корней,—между ними и способ Ньютона. Глава VIII—«Отделение корней. Способ Штурма». Глава IX—«Отделение корней. Способ Фурье». Доказывается теорема Бюдана-Фурье и подробно излагается способ Фурье. Глава X—«Вычисление корней. Способ Ньютона, исправленный Фурье».
Глава XI—«Симметрические функции корней уравнения». Выводятся формулы для вычисления «двойных» и «тройных» симметрических функций через «простые», т. е. через степенные суммы; далее выводятся формулы Ньютона, выражающие «простые» симметрические функции через коэффициенты уравнения. Даётся еще другой способ выражения однородной симметрической функции непосредственно, через коэффициенты уравнения, несколько напоминающий способ Гаусса. В качестве* приложений симметрических функций излагаются уничтожение иррациональности в знаменателе, преобразование уравнения, составление уравнения для данной функции от корней, в частности уравнения для квадратов разностей корней, нахождение дискриминанта данного уравнения.
Глава XII—«Теория определителей». Это—весьма оо-ширная глава. Определитель n-го порядка определяется формально; выводятся основные его свойства; определяются общие миноры, выводятся теорема Лапласа и общая теорема умножения; выводятся теоремы о взаимном определителе и о миноре взаимного определителя. Далее pat сматриваются симметрические и косые симметрические определители. Наконец, разбирается основной случаи
я 1ТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
333
системы линейных уравнении с примером системы, заимствованным из «Динамики» Якоби.
Глава XIII—«Системы совокупных уравнений». Здесь даются различные способы вычисления результанта двух уравнений, между ними способ Сильвестра, способ Безу, способ Кэли. Далее рассматривается система двух уравнении с двумя неизвестными и доказывается теорема Безу о степени уравнения, получаемого в результате исключения одного неизвестного. Затем говорится о симметрических функциях систем решений двух уравнений. После этого строится результант трёх уравнений с двумя неизвестными; доказывается для этого случая теорема Безу, которая также обобщается на случай системы к уравнений с к—1 неизвестными. Под конец даётся общая идея преобразования Чирнгаузена.
Книга М. А. Тпхомандрицкого по своему содержанию являлась именно университетским учебником высшей алгебры и для своего времени—учебником неплохим. Как учебник для студентов книга Тпхомандрицкого имела преимущества перед книгой Сохоцкого и стояла выше появившегося в том же году «Алгебраического анализа» Ващенко-Захарченко. В книге Тпхомандрицкого и терминология более современная, и пет тех промахов, которые имеются у Ващенко-Захарченко. В конце некоторых глав (главы VI, VIII, IX, X) Тихомандрицкпй привёл численные примеры для самостоятельных упражнений учащихся; это—очень хорошее нововведение. Следует заметить, что в прежних русских учебниках и моногра фиях по алгебре (Лобачевского, Остроградского, Сомова, Сохоцкого и др.) приводилось и разбиралось много численных примеров, но для самостоятельного упражнения учащихся примеров не было (очень небольшое их количество имелось в «Алгебраическом анализе» Ващенко-Захарченко). По содержанию наибольший интерес в учебнике Тихомандрипкого представляли последние главы, XI, XII, XIII, особенно глава XIII, где подробно изложены способы вычисления результанта и исключения неизвестного из системы уравнений. В предисловии указана довольно большая русская и иностранная литература, использованная автором прп составлении этих трёх глав.
334
А. К. СУШКЕВЙЙ
В 1892 г. появилось 2-е издание «Краткого курса высшей алгебры» Тихомаидрицкого, исправленное и допол ненное.
Д. Ф. Селиванов, монографию которого «Теория алгебраического решения уравнении» мы уже рассмотрели, также опубликовал «Курс высшей алгебры», изданный в 1892 1. литографским способом. Этот небольшой курс. всего в 144 страницы, предназначался для Петербур] ского технологического института, преподавателем которого Д. Ф. Селиванов тогда состоял.
Глава 1—«Определители». Даётся теория определи телей 2-го п 3-го порядков и кое-что говорится об определителе 4-го порядка. Понятие об определителях 2-го порядка выводится из рассмотренного решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель 3-го порядка определяется чисто формально. Глава 2—«О комплексных числах». После определения действий даётся геометрическое представление комплексных чисел, из которого (переходом к полярным координатам) выводится тригонометрическая форма комплексного числа. Изложено извлечение корня л-й степени из комплексного числа. Глава 3—«Свойства целых функций». Формально вводятся производные и ряд Тейлора; даётся схема Горнера. Основная теорема о существовании корня алгебраического уравнения принимается без доказательства. Как следствие из неё, выводится разложение целой рациональной функции на линейные множители. Определяется кратность корня. Глава 4—«Разложение рациональных дробей на простейшие». Рассматриваются все случаи. Глава 5—«О пределах корней». Доказывается теорема о верхнем пределе модулей корней. Приводится несколько способов нахождения верхнего предела положительных корней, между ними—способ Ньютона. Глава 6— «Вычисление соизмеримых корней». Даётся обратная схема Горнера.
Глава 7—«Вычисление несоизмеримых корней». Доказывается теорема Декарта о числе положительных корней. Выводится непрерывность целой рациональной функции и следствия пз неё. Доказываются теоремы Бюдана, Ролля и Штурма.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
335
Таким образом, рассматриваемая книга есть весьма краткий учебник высшей алгебры, представляющий собой курс лекций, читавшихся Д. Ф. Селивановым для студентов-технологов. В конце каждой главы даётся ряд примеров для самостоятельных упражнений.
Рассмотрим теперь монографию профессора Юрьевского университета Виссариона Григорьевича Алексеева (род. в 1866 г.) «Теория рациональных инвариантов бинарных форм в направлении Софуса Ли, Кэли и Аронгольда» (Юрьев, 1899, 232 стр.).
Эта особняком стоявшая область высшей алгебры в конце XIX в. была у нас по нова: вспомним рассмотренную уже выше монографию Ватценко-Захарченко по тому же вопросу (1877 г.). Во введении В. Г. Алексеев даёт исторический обзор развития теории инвариантов и ковариантов и излагает краткое содержание своей монографии. «... Я задался мыслью,—писал он,—изложить теорию инвариантов алгебраических форм в таком направлении, которое наиболее соответствует новейшим учениям о непрерывных группах—с одно]’! стороны, и об алгебраических телах или арифмизацпи функций—с другой стороны, т. о. тем учениям, которые можно сказать, сами зародились в теории инвариантов алгебраических форм».
Монография состоит из четырех глав. В главе I—«Инварианты бинарных форм»—рассматриваются инварианты одной бинарной формы; сначала изучается группа линейных подстановок бинарной формы и подгруппы бесконечно малых линейных подстановок; затем даётся новый вывод дифференциальных уравнений инвариантов бинарной формы; выводится число основных инвариантов бинарной формы. В главе II—«Совместные инварианты системы бинарных форм»—обобщаются предыдущие исследования на случай системы бинарных форм; определяется число линейно-независимых инвариантов данной системы бинарных форм; выводятся некоторые свойства генераторной функции, теорема Эрмита о взаимности бинарных форм и обобщение Гурвица этой теоремы. Глава III—«Коварианты и контраварианты бинарных форм». Здесь выводятся дифференциальные уравнения ковариантов и контра-
336
А. К. СУШКЕВИЧ
вариантов; доказывается теорема Кэли, сводящая построение ковариантов к построению так называемых полуинвариантов; рассматриваются целые рациональные соотношения («сидзпгни») между неприводимыми ковариантами; излагается теорема Гор дана о том, что система бинарных форм имеет конечное число неприводимых ковариантов; даётся доказательство Гильберта этой теоремы. Глава IV—«Различные способы построений и преобразований ковариантов бинарных форм». Здесь приводятся различные способы построения ковариантов, между про чим,—ковариантный процесс Гильберта; излагается преобразование ковариантов Эрмита; даётся понятие о типическом представлении форм. В начале книги приведена довольно обширная литература по теории инвариантов и ковариантов.
В общем, книга эта—весьма интересная; сильно от.тп чается от рассмотренной выше книги Ващенко-Захарченко («Теория определителей и теория форм»), изложение лучше, и материал, конечно, новое. Теория инвариантов и ковариантов—это как раз та область алгебры, которая сравнительно мало культивировалась у нас в XIX в.
Вернёмся теперь немного назад и рассмотрим книгу казанского профессора Э. П. Я н и ш е в с к о г о (1829 190G) «Алгебраический анализ. Теория численных уравнений» (1860, 168 стр.).
В этой книге сначала изложены «Общие понятия о функциях п пх непрерывности», затем—«Свойства целых рациональных алгебраических функций»; тут вводится (формально) ряд Тейлора; доказываются теоремы, относящиеся к непрерывности функции.
Следующий раздел—«О корнях рациональных алгебраических функций». Здесь доказывается основная теорема о существовании корней алгебраического уравнения; доказательство обычное,—основанное на лемме Далам-бера (которая тоже доказывается), причём существование минимума модуля целой рациональной функции считается очевидным; это доказательство приписывается Коши. Далее изложено разложение целой рациональной фупь ции на линейные множители и даются формулы Вьета.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
337
Затем идёт раздел—«Свойства целой рациональной функции относительно равных корней, отделение равных корней». Даётся способ замены данного уравнения двумя другими, из которых одно давало бы все кратные корни данного уравнения (каждый—по одному разу), а второе нее простые корни уравнения.
Следующий раздел—«Теория избытков рациональных алгебраических дробей». Избыток—по существу то же, что интегральный вычет, но интегралами автор не пользуется и не выходит из области действительных чисел. «Избытком» функции при переходе х от х0 до У называется разность п — п', если при этом прошла п раз через бесконечность, перейдя от отрицательных значений к положительным, и п' раз прошла через бесконечность, перейдя от положительных значений к отрицательным. {Выводится ряд свойств «избытков». Доказывается теорема: «Число различных действительных корней уравнения F(x) = 0, находящихся между границами х0 и X, равно изоытку Е дроон р между теми же границами». Это сводится к обычному построению ряда Штурма и к обычной теореме Штурма. Далее изложены теорема Ролля, теорема Бюдана-Фурье (названная теоремой Фурье) и, как следствие, теорема Декарта. Весьма подробно изложены способы Штурма и Фурье отделения корней (названные именами Бюдана и Фурье)—даётся и геометрическое представление. Доказывается теорема Де-Гюа (1741 г.): «Данное уравнение F(x)~ 0 не имеет воображаемых корней, 1) если результат исключения х из уравнений
F(x)-F"(x) = y, F'(z) = 0
не будет давать положительных действительных значений Для у или, иначе, если в этом результате все коэффициенты при у будут числа положительные (см. декартово правило знаков); 2) результат исключения х из уравнений
F'(x)F'"(x) = у, F"(x) = 0
22
Историко-матем. исследования
338
А. К. СУШКЕВИЧ
также должен иметь все коэффициенты при у положительные и т. д. Наконец, результат исключения х из уравнении
F^m-2\x)Fm(x) = y, F^m~^x = 0
должен иметь все коэффициенты положительные».
Затем даётся способ Ныотона-Фурье вычисления корней с его геометрическим представлением. Далее очень подробно излагается «способ Греффе» (т. е. Лобачевского), подробно разбирается случай, когда уравнение имеет мнимые корпи, и излагается способ вычисления этих мнимых корней.
Особенно интересны «Прибавления», занимающие 58 последних страниц книги; озаглавлены они: «Исторический обзор способов для решения численных алгебраических уравнений». Рассматриваются: способ Вьета (состоит в том, что, имея приближённое значение а корня, берём х—а -г/г, для ]> находим приближённое значение // (вообще, весьма сложно) и получаем новое приближение: а' = и -4-//; это, собственно, прототип почти всех дальнейших способов; способ Ньютона с добавлением Лагранжа; способ Ролля («способ каскад»); способ Фонтеия (способы Ролля п Фонтеня практического значения не имеют вследствие громоздкости вычислений); способ Лагранжа—отделение корней и их вычисление при помощи непрерывных дробей; применение способа Фурье к решению трансцендентных уравнений (здесь имеется в виду способ Фурье отделения корней); замечания на формулу Ньютона (некоторые уточнения способа Ньютона).
Этот небольшой ио объёму учебник высшей алгебры весьма интересен но своему содержанию; он свидетельствует о том, что в СО-х годах преподавание высшей ял-гебры в Казанском университете стояло на высоком уровне, он интересен своими разделами—об отделении корней (теория «избытков»), о вычислении корней («способ Греффе») и своими прибавлениями. Видно, что его автор, профессор Япншсвскпй, сам интересовался способами вычисления корней алгебраических уравнений и хорошо зпа иностранную литературу по этому вопросу, хотя собствен
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	339
пых исследований в области алгебры и по оставил. Тем более странно, что тот же Яппшевский не отметил, что так подробно излагаемый им «способ Греффе-Энке» с использованием работы Энке, появившейся в 1841 г., имелся уже в монографии по алгебре II. II. Лобачевского, издан ной ещё в 1834 г. в Казани же в, безусловно, известной Яншпевскому, который был учеником великого геометра п в 1856—1857 гг. читал лекции по алгебраическому анализу, пользуясь алгебраическими сочинениями своего учителя.
Перейдём теперь к курсу лекций другого профессора Казанского университета, А. В. Васильева (1853—1929): «Алгебраический анализ. Теория буквенных уравнении в связи с теорией субституций» (Казань, 1886, 191 стр.) с его же добавлением: «Теория деления круга» (70 стр.).
Во введении даются определения транспозиции (именно с этим термином), «субституции» (подстановки), как результата нескольких транспозиций, симметрической функции, «породы» функции (две функции—одной «породы», если они принадлежат к одной и toil же группе подстановок).
Далее идёт раздел «О симметрических или однозиачу-щих функциях». Употребляется, со ссылкою на Кроле-кера, термин «элементарные симметрические функции» вместо: «коэффициенты данного уравнения». Монотонные функции называются «простыми»; в частности, степенные суммы—«простыми симметрическими функциями 1-го порядка». Выводятся формулы Ньютона и выражения простых функций 2-го и 3-го порядков (т. е. «двойных» и «тройных») через степенные суммы. Далее говорится об уничтожении иррациональности в знаменателе. Затем даётся доказательство Кронскера основной теоремы теории симметрических функций, родственное доказательству Коши. Эта основная теорема распространяется и на дробные рациональные функции. Далее определяется и находится результант; рассматриваются два уравнения с двумя неизвестными. Определяется изобаричпая функция и находится вес её. Сообщается способ Гаусса представления симметрической функции через элементарные симметрические функции. Выводится дифференциальное уравнение,
22-
340
А. К. СУПШЕВПЧ
которому удовлетворяет всякая целая рациональная симметрическая функция.
Следующий раздел—«О двузначущпх и знакопеременных функциях». Вводится функция D= (хк — жЛ); даёт-л<л ся самый общин вид знакопеременной и двузначущен функций. Рассматривается дискриминант.
Следующий раздел—«Субституции и их группы». Выводятся основные свойства подстановок: разложение их на циклы и на транспозиции, композиция их, единичная подстановка, взаимно обратные подстановки. Далее рассматриваются группы подстановок; рассматриваются иные примеры конечных групп; доказывается теорема Лагранжа.
Следующий раздел—«Отношение групп субституций п м ного значу щи х функций». Доказывается, что все подстановки, допускаемые данной функцией, образуют группу и что для всякой группы подстановок существует принадлежащая ей функция. Далее говорится о сопряжённых (подобных) подстановках, группах и функциях, об «особенной» группе (инвариантной подгруппе); определяются простая и «сложная» группы. Доказывается, что «симметрическая группа есть группа сложная, так как содержит в себе знакопеременную». Даётся некоторое понятие о композиционном ряде группы («порядок сложности» группы) п о «факторах сложности» (т. е. ряде индексов композиционного ряда), но всё это—неполно, без доста точной отчётливости. Говорится: «...Нз исследований Галуа вытекает следующая теорема, в сущности как увидим—тождественная с теоремой Абеля: если есть симметрическая группа, то уравнение n-й степени решается в радикалах в том случае, когда факторы сложности суть числа абсолютно простые, в противном случае уравнение в радикалах не решается». Формулировка эта, правда, не точна; дело в том, что общего понятия о группе Галуа уравнения Васильев не даёт, а рассматривает уравнения только с буквенными коэффициентами, т. е. с симметрической группой. Далее доказывается, что знакопеременная группа при п —простая.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
341
Число различных значений функции Васильев называет «порядком» функции и её породы. Доказывается теорема Лагранжа: «Произведение порядка породы функции на порядок группы для той же функции равно /г!». Эта теорема, по существу,—частный случай так называемой теоремы Лагранжа в теории групп.
Следующий раздел—«Алгебраическая зависимость между функциями одной породы». Здесь доказывается теорема: «Две принадлежащие к одной и той же породе функции могут выражаться рациональными функциями друг друга», и обратная теорема: «Если две функции взаимно выражаются рациональными функциями друг друга,то они принадлежат к одной породе», и далее: «Функция породы объемлемой может быть рационально выражена функцией) породы объемлющей, по нс обратно».
Далее доказывается теорема Абеля о неразрешимости в радикалах уравнений степени выше 4-й в общем виде. Выводится общий вид радикального выражения для корня алгебраического уравнения, решаемого в радикалах, и, исходя пз него, доказывается невозможность решения в радикалах уравнения степени выше 4-й. Затем рассматривается решение в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени, упоминаются уравнения деления окружности, и, вообще, абелевы уравнения, как решаемые в радикалах; упоминается, наконец, теорема Галуа об уравнении простой степени, решаемом в радикалах.
Как видно, алгебраический курс проф. Васильева, читанный им в Казанском университете в середине 80-х годов XIX в., не был обычным начальным курсом высшей алгебры, который тогда читался на первых курсах университетов. Он представлял собой уже специальный курс, являющийся продолжением начального; но это ещё не курс теории Галуа, а изложение результатов Лагранжа и Абеля,—т. е. проблем, подходящих, так сказать, «вплотную» к теории Галуа, которая в то время ещё не проникла полностью в университетское преподавание. Во всяком случае, весьма важно, что курсы алгебры, подобные курсу Васильева, уже в 80-х годах начали питаться в наших университетах. Сам Васильев ссылается Па рассмотренную уже нами монографию Селиванова
342
А. К. СУШКЕВИЧ
(«Теория алгебраического решения уравнении», 1885) как на изложение на русском языке теории Галуа.
Дополнение к рассмотренному курсу—«Теория деления круга»—передавало содержание специального курса, читанного проф. Васильевым в 1887 г. в Казанском университете. Материал этого курса, но существу,—алгебраический, хотя многое в нём относится и к теории чисел.
§§ 1 и 2 посвящены теории корней пз единицы и уравнению деления окружности. В § 3 излагаются свойства неприводимых уравнений; в § 4 доказывается неприводимость уравнения деления окружноеги:
хр~1 4-хр~2 + ... + 1 = 0 (р—простое).
В §§ 5 и 6 приводится способ Гаусса решения этого уравнения. В §§ 7 и 8 излагается решение уравнения л17 1 и деление окружности на 17 равных частей. В § 9 показывается, что окружность можно разделить прп помощи циркуля и линейки па простое число частей, выражаемое формулой
/7 = 22‘4- 1,
и делаются некоторые дополнительные замечания-В §§ 10—13 излагается теория квадратичных вычетов, причём в доказательстве закона взаимности применяется теория деления окружности (суммы Гаусса).
Рассмотренные курсы А. В. Васильева свидетельствуют о том, что в 80-х годах в наших университетах читались интересные специальные курсы по высшей алгебре, п это служило стимулом для специализации по алгебре части нашей тогдашней математической молодёжи. Следует отметить хорошую, во многих случаях современную терминологию в лекциях А. В. Васильева.
Перейдём теперь к одной работе по симметрическим функциям, вышедшей в начале XX в., но относящейся к рассматриваемому времени: Д. Д. О б л о м и е в с к и й г), «Симметрические функции»; посмертное издание под род-Д. Ф. Селиванова, СПб., 1903 (163 стр.).
Эта книга была написапа в 90-х годах XIX в. Она состоит из одиннадцати тлав. Глава I—«Предварнтсль-
1) Дмитрий Дмитриевич Облом невский (1838—
1898)-—астроном и военный геодезист.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	343
е сведения». В главе II выводятся формулы Ньютона, тЯ10п1пе зависимость степенных сумм и «основных» ? е. элементарных) симметрических функций, и формулы Варинга. В главах III—VI даются доказательства (Коши, Гаусса, Жирара) основной теоремы теории симметрических функций и практическое её применение. Глава VII— «О дифференциальных уравнениях в частных производных, которым удовлетворяют симметрические целые функции корней». Глава VIII—«Симметрические функции разностей корней и их дифференциальное уравнение». Глава IX—«О сложных симметрических функциях». Здесь говорится об алгебраическом уравнении, которому удовлетворяет функция от корней, имеющая v значений, о приведении дробной рациональной функции от корней к целому виду; под конец доказывается одна теорема Коши. Глава X—«Прибавление». Здесь говорится о некоторых изменениях в обозначениях. Наконец, глава XI— «Примечание по поводу производящей функции Бор-хардта».
Книга элементарна, представляет собою хороший учебник по теории симметрических функций.
Обозревая учебники и монографии по высшей алгебре, мы считаем необходимым рассмотреть и конспективный «Краткий повторительный курс высшей алгебры» (изд. А. Ильин а, 1878). Такие конспекты для «облегчения труда учащихся» были выпущены в то время тем же издательством и но другим отделам математики, а также и но другим наукам. К сожалению, имена авторов этих конспективных курсов не были выставлены. Рассматриваемая книжка малого размера—in 16°, 109 страниц мелким шрифтом. Содержание ее следующее: комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение 2- и 3-членных уравнений (3-членные вида Ах2п -\-Вхп -\-С =0). Свойства целых рациональных функций (включая лемму Да ламбера); основная теорема о существовании корней. Разложение Целой рациональной функции на линейные множители; кратные корни. Формулы Вьета. Преобразования уравнения. Пределы вещественных корней. Теорема Ролля. Теорема Декарта. Теорема Бюдана—Фурье. Теорема
344
А. К. СУШКЕВПЧ
Штурма. Отделение корней способом Штурма и способом Фурье. Способ Ньютона-Фурье вычисления корней. Решение целого рационального алгебраического уравнения с одним неизвестным. Выделение кратных корней. Вычисление целых п дробных рациональных корней. Определение мнимых корней. Решение кубических уравнений (вывод формулы Кардано) и уравнений 4-й степени (способ Феррари). Система двух уравнений с двумя неизвестными. Приложение—разложение рациональных дробей на простейшие.
Как видно, материал рассматриваемой книги весьма большой сравнительно с её размером*. Изложен он крайне сжато; доказательства только намечены. Видимо, в целях экономии размера книжки допущено массовое сокращение слов, что делает текст неудобочитаемым. Вообще, изложение оставляет желать лучшего в смысле ясности. Вряд ли такой конспект достиг своей цели: облегчение труда учащихся. Невидимому, эта книжечка предназначалась не для студентов физико-математических факультетов: курс высшей алгебры в ней неполный—нет теории и приложений симметрических функций, нет теории определителей.
Конечно, наш краткий обзор учебников и монографий по высшей алгебре во второй половине XIX в. не исчерпывает всей русской учебной алгебраической литературы этого периода. Не всё мне удалось достать. Но п та литература, которую мы кратко рассмотрели, свидетельствует о её богатстве п разнообразии: в ней мы нашли и обширные монографии, в которых алгебра того времени излагалась во всей полноте, и научно-обзорные монографии по отдельным отраслям алгебры (некоторые из них явились диссертациями для получения учёных степеней) и учебники для студентов университетов, и учебники для студентов высших технических учебных заведений, вплоть до кратких конспектов.
Скажем ещё несколько слов о переводных монографиях и учебниках по алгебре того времени. Конечно, при наличии такого большого количества наших учео-ников и монографий переводы иностранных книг могли иметь только второстепенное значение. По сравнению
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
345
с количеством наших отечественных книг, переводных книг по алгебре немного; упомянем главнейшие пз них.
В первую очередь следует назвать «Алгебраически ii анализ О. Л. Коши. Переведён с французского Ф. Эвальдом, В. Григорьевым, А. Ильиным», Лейпциг, 1864 (546 стр. + 252 стр. примечаний и приложений А. Ильина).
Этот классический курс Коши относился не только к алгебре, но имел более широкое содержание; в нём говорилось и об общем учении о функциях, и о теории пределов, и о теории бесконечных рядов, и даже о функциях комплексного переменного, и т. п. вопросах, относящихся к так называемому введению в анализ. Но есть и вопросы специально алгебраические: понятие о симметрических и знакопеременных функциях, разложение рациональных дробен на простейшие, основная теорема о существовании корня всякого алгебраического уравнения (доказательство её то же, что и в русских учебниках алгебры того времени,—на основании леммы Далам-бера, прп этом существование минимума модуля целой рациональной функции считалось очевидным), решение двучленных уравнений и уравнений 3-й и 4-й степени.
«Курс высшей алгебры II. А. Сер ре. Перевод 10. Н. Россевпча, часть I. Общие свойства и численные решения уравнений; часть 11. Симметрические функции» (изд. т-ва Вольф, 1883, 605 стр.).
«Cours (Talgebre superieure» Серре, в двух томах (3-е изд., 1866) представлял собой классическую монографию по высшей алгебре. Названный выше русский перевод есть перевод только первого тома (хотя нигде в книге об этом не говорится). Этот том содержит обычный курс высшей алгебры: теорию решения численных уравнений и симметрических функций. Второй том «Курса высшей алгебры» Серре, наиболее интересный,—содержащий теорию подстановок и её применение к теории уравнений и исследования Галуа, повидимому, не был переведён на русский язык.
«Начальная теория уравнений с собранием примеров. Сочинение И. Т о д г е н т е р а. Перевёл с последнего английского издания Е. А. Предтеченский» (изд. С. О. Вой-тинского, СПб., 1890, 346 стр.).
346
А. К. СУШКЕВИЧ
Эта книга представляет собой полный университетский курс высшей алгебры, включая решение численных уравнений (отделение и вычисление корней), двучленные уравнения, решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени симметрические функции и их приложения, теорию определителей. Сам автор считал этот курс продолжением его «Алгебры» (т. с. элементарной алгебры), а для дальнейшего изучения теории уравнений отсылал читателя к курсу Серре. Язык перевода несколько тяжёлый.
«Теория и решение высших уравнений д-ра Дингера, профессора математики в политехнической школе в Карлсруэ». Перевод с немецкого (изд. Вольфа, 1871, 130 стр.).
Это—небольшой, конспективного характера, курс высшей алгебры,—собственно, решения алгебраических уравнений (отделение и вычисление корней, решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени: курс содержит много примеров; ость и примеры алгебраических уравнений для самостоятельного решения с ответамп). Последний «отдел» (6-й)—«Решение двух совместных уравнений с двумя неизвестными». Совсем нет симметрических функций, нет теории определителей, хотя определители применяются в последнем отделе.
«Начальные основания теории детерминантов или определителей. Сочинение, написанное орд. профессором Математики в Пражском Политехническом институте Фр. Студнпчкою, перевёл с чешского Раймунд Ма-цейовский» (Прага, 1870, 69 стр.).
Это—небольшая, элементарная книжка; в «прибавлении» (последних 13 страниц) даётся понятие о фунциональ-ных определителях. Перевод в некоторых местах плохой.
Если книги Коши и Серре представляли собой действительно ценные монографии, достойные быть переведёнными на наш язык, если, далее, книга Тодгентера являлась весьма известным во второй половине XIX в. учебником алгебры, то последние две упомянутые здесь книги не имели научной ценности, а в педагогическом отношении уступали нашим учебникам. Таким оора-зом, перевод этих книг на русский язык является чисто случайным.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	347
Скажем ещё несколько слов об учебниках элемента р-оЙ алгебры, появившихся в России во второй половине YIX в., хотя постановка преподавания алгебры в средней школе и ие входит в наше рассмотрение. Ещё в 30-х годах XIX в. произошло окончательное разделенно алгебры в преподавании на «элементарную», входящую в курс средней школы, и на «высшую», преподаваемую в университетах и высших технических школах. Во второй половине XIX в- срсдпее образование в России продолжало расширяться, несмотря на противодействие царского правительства, которое старалось всеми мерами задержать это расширение, особенно в 80-х годах, когда министр Делянов ввёл новые ограничения для поступления в гимназии и увеличил плату за обучение. Усиливается интерес и к методике преподавания, появляются педагогические журналы и книги по методике преподавания, в частности, и математических предметов. Обучением в средней школе интересовались и профессора университетов, которые нередко составляли учебники для средней школы. Содержание школьного курса алгебры с начала 30-х годов XIX в. изменялось незначительно.
В качестве примера курса элементарной алгебры мы рассмотрим книгу московского профессора, а затем академика Д. М. П е р с в о щ п к о в а «Основания алгебры» (СПб., 1854, 136 стр.). Вот краткое содсржапие этой книги в пятнадцати главах: предмет алгебры, алгебраические знаки; рациональные действия над одночленами и многочленами; признаки делимости целых чисел п некоторые теоремы, относящиеся к делимости; алгебраические дроби; вычисления со степенями и корнями; извлечение квадратных п кубических корней; уравнения 1-п степени с одним и с многими неизвестными; неопределённые уравнения 1-п степени; уравнения 2-п степени, пропорции и прогрессии, арифметические и геометрические; логарифмы; теория соединений; бином Ньютона; фигурные числа; главные формулы составления таблиц логарифмов.
Интересно, что относительные числа не выделяются в особую главу, а проходятся попутно с действиями над одночленами и многочленами. Интересно также, что
348
А. К. СУШКЕВИЧ
даётся глава («некоторые свойства чисел») о признаках делимости целых чисел и других вещах, относящихся к делимости,—глава, принадлежащая не алгебре, а арифметике. Теория непрерывных дробей не излагается, но пример непрерывных дробей встречается в «прибавлении» к главе IX о неопределённых уравнениях 1-й степени причём никаких оговорок или замечаний по этому поводу автор не делает. Формула бинома Ньютона нестрого выводится и для дробных и отрицательных показателей. О фигурных числах даётся только некоторое представление. Под конец также нестрого выводятся бесконечные ряды для показательной функции и логарифма и даётся понятие о числе е и о натуральных («неперовых» или «гиперболических») логарпфмах.
Мы видим, что материал рассматриваемой книги был всё же слишком велик для курса элементарной алгебры. В дальнейшем пз курса элементарной алгебры были исключены вопросы, относящиеся к арифметике (делимость целых чисел), исключены бесконечные ряды, в частности, формула бинома Ньютона для показателей, отличных от натуральных. Зато теория относительных чисел составила особую главу в начале курса, были введены сведения о неравенствах и теория непрерывных дробей. Наконец, в позднейшее время было введено в элементарную алгебру понятие о функции, а также понятие о комплексных числах. Следует отметить, что в книге Псрс-вощикова понятие о «мнимых количествах» имеется, но они излагаются весьма кратко, попутно,—при рассмотрении решения квадратного уравнения. Даётся там также и понятие о функции, тоже очень кратко,—при обобщении формулы Ньютона на любые рациональные показатели, причем автор говорят, что «небесполезно сообщить начинающим главные понятия о функциях и тем приготовить их к высшему анализу».
Вообще следует сказать, что учебник элементарной алгебры Перевощикова был весьма хорошей книгой для своего времени, несмотря на имеющиеся в нём недостатки (совершенно нестрогие выводы, относящиеся к бесконечным рядам, неверное определение сходящегося ряда).
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
349
В 1865 г. вышла «Начальная алгебра» профессора Московского университета А. Ю. Давидова1), которая дозя<е много раз переиздавалась вплоть до 1922 г. Я знакомился с 3-м её изданием (1868, 507 стр.). Это—весьма капитальный учебник элементарной алгебры, не потерявший своего значения и до настоящего времени. Содержание его выходит за рамки обычного курса элементарной алгебры: так, в нём изложено решение в радикалах уравнений 3-й л 4-й степени; в связи с решением системы уравнений 1-й степени со многими неизвестными вводятся определители и разбираются их основные свойства; при изложении логарифмов есть специальная глава о бесконечных рядах, даны некоторые признаки сходимости рядов.
Относительным числам посвящается начало второй главы, особая глава посвящена непрерывным дробям; есть глава о неравенствах. После каждой главы приводятся многочисленные примеры и задачи для упражнения; в конце книги даны ответы к этим упражнениям. Есть и кой-какие недочёты в изложении.
В 1875 г. вышло «Руководство алгебры в собрание алгебраических задач» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина2), позже много раз переиздававшееся. Я просматривал 8-е издание этой книги (Москва, 1890; 415 стр.). Книга весьма основательная; по сравнению с учебником Давидова в ней кое-что опущено, например уравнения 3-й и 4-й степени, определители; непрерывные дроби помещены в конце, после бинома Ньютона. После главы о непрерывных дробях идут главы, являющиеся дополнительными в курсе элементарной алгебры: способ пределов, о рядах, способ неопределённых коэффициентов, бином Ньютона при всяком показателе, ряды показательные, логарифмические, тригонометрические. Есть даже формула бинома Ньютона для иррационального показателя.
2) Август Юлиевпч Давидов (1823—1885) в 1845 г. окончил Московский университет, с 1850 г. преподавал в нём (с 1853 г.—профессор).
к 2) Александр Фёдорович Малинин (1834—1888) и Константин Петрович Буренин (ум. в 1882 г.) прервали математику в 4-й Московской гимназии.
350
Л. к. СУШКЕВИЧ 1
Конечно, выводы всех этих рядов элементарными сред, ствамп нс отличались строгостью. Все главы снабжены весьма большим количеством упражнений и задач; в конце книги даны ответы к ним; таким образом, рассматриваемый учебник является также и задачником по элементарной алгебре. Интересно определение алгебры, данное во введении: «Паука, занимающаяся составлением общих решений различных задач и вообще решением вопросов относительно чисел в общем виде, называется Алгеброю». Конечно, это определение пе выдерживает критики, ц0 оно интересно как образен исканий определения алгебры такими большими педагогами-математиками, как авторы рассматриваемой книги.
В 1876—1877 гг. вышел «Курс алгебры п собрание алгебраических задач > II. А. Шапошникова (1851 — 1920); часть I—226 страниц, часть II—311 страниц.
Это—весьма подробный курс элементарной алгебры. Часть I состоит пз трёх отделений п заканчивается уравнениями 1-й степени. В § 1 даётся такое определение: «Начальная алгебра имеет целью обобщать как способы для решения арифметических вопросов, так и самые вопросы». Часть II состоит пз девяти отделений; там изложены: возвышение в степень и извлечение корня, мнимые количества, уравнения 2-й степени, неопределённый анализ, прогрессии, соединения, бином Ньютона, логарифмы, непрерывные дроби; имеется кое-что о бесконечных рядах: разложение в ряды логарифмов, бином Ньютона для отрицательных и дробных показателей.
В 1889 г. вышла «Элементарная алгебра» Андрея II с т р о в п ч а Киселёва (1852—1940), получившая так же, как и его курс арифметики и курс элементарной геометрии, очень широкое распространение и издающаяся в наши дни (конечно, с большими изменениями). П° своему материалу этот учебник, пожалуй, наиболее строго выдержан как курс элементарной алгебры: теория уравнений заканчивается па квадратных уравнениях п приводящихся к ним (биквадратные, возвратные); окном Ньютона даётся только для целых положительных показателей; нет бесконечных рядов. Основной текст
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
351
составляет 348 страниц (во 2-м изд., 1890); после идут «дополнительные статьи» (114 стр); понятие о функции и о предмете алгебры; основные начала теории пределов; максимум и минимум некоторых функций; способ неопределенных коэффициентов; комплексные числа, выраженные тригонометрически; приложения комплексных чисел к решению двучленных уравнений и к делению окружности на равные части. 14 дальнейшем эти дополнения былп исключены пз курса.
Несколько раньше вышла книга: «Элементарная алгебра. Курс систематический в двух частях» преподавателя математики Н.Н. Маракуова (1847—1911), (часть!, Москва, 1886, 454 стр.; часть II, Москва, 1887, 506 стр.). Это—солидный курс элементарной алгебры, самый полный из всех имеющихся у нас курсов. Часть I состоит из двух отделов: отдел 1—«Алгебраическое исчисление» (главы I—XVII); отдел И—«Уравнения и неравенства первой степени» (главы XVIII—XXVII). Часть II состоит пз четырёх дальнейших отделов: отдел III—«Уравнения и неравенства второй и высших степеней» (главы XXVIII—XLI); отдел IV—«Анализ соединений и его приложения» (главы XLII—XLIII); отдел V—«Теория рядов и логарифмов» (главы XL1V—LI); отдел VI—«Непрерывные дроби» (глава LII).
Все отделы в этом курсе изложены весьма подробно; есть много задач, разобранных в тексте (между ними— много геометрических); в конце каждой главы дано много примеров н задач для упражнения. Но по своему материалу книга эта мало выходит за пределы обычного курса элементарной алгебры: пз уравнений выше 2-й степени рассматриваются только те, которые сводятся к квадратным. Имеется теория бесконечных рядов, формула бинома Ньютона обобщается для всякого действительного показателя. Понятие о производной не вводится.
Есть в книге и промахи: так, «доказывается» (как и У Ващенко-Захарченко), что мнимые числа вида Ы «Должно» откладывать по осп у, перпендикулярной к осп х\ исторические сведения, приводимые автором, в большинстве своём просто певерпы.
352
А. К. СУШКЕВИЧ
Упоминаем ещё переводную книгу по элементарной алгебре:
«Алгебра Иосифа Бертрана; с 4-го французского издания перевёл инженер В. Прохоров» (Москва, 1874, 568 стр.). Алгебра Бертрана состояла из двух частей (томов). Прохоров перевёл только первую часть и первую главу второй части.
Позже алгебра Бертрана ещё два раза переводилась на русский язык; именно:
«Ж о з е ф Бертран, Алгебра для гимназий и реальных училищ», перевёл и значительно дополнил П. Билибин (СПб., 1885, 725 стр.; 2-е издание, СПб., 1896, 673 стр.). Билибин тоже перевёл только первую часть, значительно переработав и дополнив её.
Жозеф Б е р т р а н, Алгебра, перевод без изменений с последнего французского издания М. В. Пирожкова, часть I, СПб, 1899; часть II, СПб., 1901. Этот перевод—полный, обеих частей. Вторая часть курса Бертрана содержала многие вопросы, выходящие за рамки элементарной алгебры: теорию производных с приложениями п ряды, а также общую теорию уравнений, включая выделение кратных корней, теорему Штурма, интерполирование, вычисление корней по методу Ньютона, решение трансцендентных уравнений, решение уравнений 3-й и 4-й степени, системы линейных уравнений (основной случай), т. е. многое, что относится к высшей алгебре.
V. Научные работы по алгебре русских математиков во второй половине XIX в.
Во второй половине XIX в. в связи с общим подъёмом экономической жизни в России, ростом демократического п революционного движения, с введением нового университетского устава (1863 г.), в связи, наконец, с открытием новых высших учебных заведений (университетов—Новороссийского (Одесского), Варшавского, затем Томского; Харьковского технологического института) усилилась в нашей стране и научная работа, в частности, в области алгебры. Рост интереса к науке, к научным занятиям выразился в учреждении во второй половине XIX в. науч-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ в РОССИИ	35?.
х обществ, в частности, математических и физико-математических. Эти общества возникали, конечно, в университетских городах, где имелось больше возможностей для занятия наукой (научные библиотеки, квалифицированные специалисты—профессора и т. и.), возникали вначале нередко в виде частных «кружков», которые потом уже официально оформлялись в «общества» при соответствующих университетах и приступали к изданию своих печатных органов. Кроме того, и сами университеты публиковали своп «университетские известия», где уделялось место и математическим исследованиям в даже целым монографиям по математике. В «Записках [в дальнейшем— «Известиях] Академии наук» также отводилось большое место математическим наукам.
15 сентября 1864 г. по почину проф. И. Д. Брашмапа в Москве начал свою работу частный математически и кружок. Этот кружок 9 февраля 1867 г., вскоре после смерти Брашмапа, был преобразован в Московское математическое общество, первым президентом которого был избран проф. А. Ю. Давидов. Но уже в октябре 1866 г. вышел первый том печатного органа общества—«Матема тического сборника». Как известно, этот журнал издаётся до сих пор и имеет мировое значение.
Второе по давности математическое общество в нашей стране—харьковское, возникло тоже из частного кружка математиков, группировавшихся около проф. В. Г. Имше нецкого. В апреле 1879 г. Харьковское математическое общество было официально утверждено. Первым его председателем был проф. Е. II. Бейер, тогда находившийся уже в отставке; в следующем году председателем был избран проф. Пмшенепкпй. С самого начала существо вания Харьковское математическое общество издавало «Сообщения и протоколы заседаний», а с 1887 г. начало издавать журнал «Сообщения Харьковского математн ческого общества», выходящий в настоящее время под несколько иным названием («Записки математических кафедр Харьковского государственного университета I Харьковского математического общества»).
4 апреля 1880 г. возникло Казанское физико-математическое общество — вначале как секция Казанскою 23
Историко-матсм. исследования
354
А. К. СУШКЕВИЧ
общества естествоиспытателей. Первым председателем секции был избран проф. М. А. Ковальский. Общество начало издавать «Собрание протоколов заседаний», а позже— «Известия Физико-математического общества при Казанском университете», издающиеся и до сих пор под несколько иным названием.
С начала 1890 г. стало функционировать «Физико-математическое общество прп университете св. Владимира» в Киеве; основатели его—профессора Б. Я. Букреев, М. Е. Ващенко-Захарченко, В. П. Ермаков, И. Рахманинов, П. Ромер и др. В 1890—1917 гг. Общество издавало свои «Отчёты и протоколы», печатавшиеся в «Киевских университетских известиях».
В конце 1890 г. было основано Петербургское математическое общество, имевшее тоже свой печатный орган; оно работало около десяти лет.
Но первым по времени русским научным математическим журналом был «Вестник математических наук», издававшийся с начала 1861 г. до мая 1863 г.; вышло всего 24 номера тома I и 16 номеров тома II. Это было предприятие частного характера: редактор-издатель этого журнала был астроном Матвей Матвеевич Гусев (1826— 1866), бывший с 1852 г. помощником директора Виленской обсерватории. «Вестник математических наук» печатал научные статьи по математике, механике, астрономии и геодезии, физике и физической географии; оп содержал и библиографический отдел, и отдел задач; помещались и переводные статьи.
В последней четверти XIX в. начали издаваться у и ас и журналы, посвященные элементарной математике и сё преподаванию. Для нашей темы и эти журналы представляют интерес. Вполне естественно, что элементарно-математические журналы, предназначенные главным оора-зом для преподавателей средней школы, изобилуют именно алгебраическим материалом, среди которого попадаются и небольшие чисто научные статьи.
Первой попыткой создания такого журнала оыло издание «Математического листка» (1879—1882). Это было тоже частное предприятие; издатель этого журнала Александр Иванович Гольденберг (1837—1902), москов-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
355
кий уроженец, являлся воспитанником Московскою уЯИверситета и работал преподавателем средних учебных заведений сначала в Москве, а с 1883 г. в Петербурге. Как заявлялось в № 1 журнала, «Математический листок» должен был содержать: 1) отдельные статьи элементарного курса, методически изложенные; 2) дополнительные статьи по различным отделам курса; 3) статьи п очерки по истории математики; 4) библиографически]"! отдел; 5) задачи ио всем отделам элементарной математики. Для нас интересен раздел второй, один из лучших в этом журнале. К сожалению, и этот журнал выходил недолго—всё по той же причине—из-за недостатка материальных средств; том 1 выходил два года: 1879—1880 (с февраля 1879 г.); том II прекратил своё существование в сентябре 1882 г. на № 7—S—9.
Более живучим оказался основанный В. П. Ермаковым в Киеве «Журнал элементарной математики»; он издавался в 1884—1886 п\ Э. К. Шпачииским; позднее, в 1887 -1915 гг. этот журнал под названием «Вестник опытной физики и элементарной математики» издавался в Одессе сначала Шпачииским, а затем В. Ф. Каганом.
Переходя к рассмотрению отдельных работ по алгебре русских математиков второй половины XIX в., я буду вести изложение не в хронологическом порядке и не по отдельным упомянутым выше журналам, «запискам» и «трудам», а в порядке постепенного рассмотрения работ, относящихся к отдельным отраслям алгебры. Я считаю такой порядок наиболее целесообразным и наиболее удобным для читателя; в то же время он имеет и свои недостатки; один из них заключается в том, что работы одного п того же автора, если только они принадлежат к разным отраслям алгебры, будут рассмотрены в разных местах. Краткие сведения о каждом авторе будут сообщаться при первом упоминании о нём.
Следует заметить, что относящиеся к алгебре пауч-НЬ1е работы русских авторов второй половины XIX в. весьма разнообразны: есть маленькие заметки по отдель-Нь1м вопросам, а есть и большие монографии па сотни СтРанцц, есть работы, содержащие новые, интересные Открытия, а есть и компилятивные работы, показывающие
23*
356
А. К. СУШКЕВИЧ
только солидную эрудицию автора; между этими крайними пределами имеется, конечно, ещё много градаций. Некоторые из монографий мы рассмотрели уже в предыдущей главе, относя их к разряду «учебников», ибо, с одной стороны, эти монографии имеют характер обзоров и новых открытий авторов не содержат (за исключением, быть может, нового расположения материала новых доказательств отдельных теорем, к т. и.), с другой стороны, главное значение этих монографий было, если так можно выразиться,—педагогическое: они знакомили нашу молодёжь с новыми тогда отраслями науки и служили стимулом для собственных дальнейших исследований наших математиков. Таковы рассмотренные уже выше «Основные начала метода кватернепов» П. Ромера (1868), «Общая теория алгебраического решения уравнений» Д. Деларю (1864), «Теория алгебраического решения уравнений» Д. Селиванова (1885), «Теория рациональных инвариантов бинарных форм» 13. Г. Алексеева (1899).
Напомнив, что почти на всём протяжении XIX в. алгебра рассматривалась обычно как теория алгебраических уравнений, мы и начнём наш обзор работ с тех, которые специально относятся к решению алгебраических уравнений; таких работ—большинство.
Мы начинаем с работ, относящихся к основной теореме о существовании корней алгебраического уравнения. В каждом из рассмотренных нами в главе IV учебников высшей алгебры эта теорема доказывалась и при этом всюду в этом доказательстве имеется одна и та же неполнота: не доказывается строго существование минимума целой рациональной функции. Мне удалось найти ещё две научные статьи, относящиеся к этой теореме:
1. 11. В. Бугае в1), Доказательство теоремы Коши, «Вестник математических наук», т. I (Вильно, 1862), стр. 118—119.
Если f (х)—целая рациональная функция, и f(p + qi) = P+Qi,
') Николай Васильевич Бугаев (1837— Lsi J г.—профессор Московского университета; автор многих ра0 по теории чисел (по теории числовых функций).
МАТЕРИАЛЫ к ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ в РОССИИ
337
где Р 11 Q не Равпы НУ«'1Ю» Д'0» как доказывается, можно найти такое x = p1 + q1i, что
/ (Pl + <ZiO = l‘i + <21»
и что численные значения РА и Qt соответственно меньше численных значений Р и Q. Если же, например, /(n-f-#Z) = ф, а Р— 0, то доказывается, что можно найти х = Р1^~^ так> чтобы численная величина Qr была меньше численной величины Q, а Рг было малой величиной 2-го порядка. Далее говорится, что, продолжая этот процесс, можно найти
/ (Рп + qni) = Рп + Qni
так, что Qn будет равна нулю, а Рп будет бесконечно малой как угодно большою порядка, откуда «очевидно» существование корня а -г (3Z уравнения / (.т) = 0. Утверждение, что конечным числом шагов можно Qn обратить в нуль, несостоятельно.
Оригинально, что автор обходится без рассмотрения модуля функции j(x). По упрощения в этом я нс вижу.
2. «О доказательстве существования корня всякого алгебраического уравнения. Сообщение, сделанное 17 февраля 1883 i. в заседании физико-математической секции Общества Естествоиспытателей прп Казанском университете В. П. М а к с и м о в и ч с м», Казань, 1883.
В доказательстве Аргана-Коши теоремы о существовании корня всякого ал1 ебраического уравнения / (z) = 0 показано, что, начиная от начального значения z0, можно определить бесконечный ряд значений z:
^о>	«2» • • • >	• • •
так, чтобы модуль / (zn) стремился к нулю, когда п возрастает беспредельно.
Автор замечает, что значения zM, оставаясь ограниченными, могут не стремиться ни к какому пределу, и, таким образом, всё доказательство нуждается в пополнении. Следуя идеям Мерз, автор доказывает, что можно выбрать такие целые положительные индексы щ < п2 <	< ... in
mf., что члены ряда zni, zn2, zn3,..., будут стремиться к определённому пределу. Этим уточняется доказательство теоремы о существовании корня. По существу автор доказывает
358
А. К. СУШКЕВИЧ
теорему о том, что всякое бесконечное ограниченное точечное множество на плоскости имеет точку сгущения
Переходим теперь к работам, трактующим об отделении и вычислении корней алгебраических уравнений
Н. Б у г а е в, К теории равных корней, «Вестник математических наук», т. II (1862), стр. 52.
Доказывается теорема: «Чтобы найти л-кратный производитель уравнения /я = 0 прямо, нужно найти общего наибольшего делителя между р-п~^х и (f^x)2; тогда qn—оощпи наиоолыппи делитель между ----------х.
— 1
и и будет этим /г-кратным производителем». Автор упоминает, что Остроградский дал иной способ нахож-
дения qn.
П. Ромер, Разыскание первых приближённых величии корней алгебраических уравнений (теория выделения корней), «Вестник математических наук», т. I (1861), стр. 93—107.
Вначале изложены теория и способ вычисления «интегральных индексов» (название Коши) или «эксцессов» (название Штурма и Лиувилля) функций (по существу это—интегральный вычет функций). Попутно говорится о построении обобщённого ряда Штурма. Далее нахо
/ (*, У) F(x,y)
дится эксцесс отношения
вдоль замкнутого контура
(/(.т, У) = ® 11 Р (х> = ®—Л13» алгебраических уравнения с двумя неизвестными). Это применяется к случаю, когда
/ и F суть действительная частьп коэффициент при — 1
целой рациональной функции от2 = ж-Ьур< — 1. Доказывается, что половина эксцесса вдоль контура равна числу заключающихся внутри контура корней уравнения. Рассматриваются частные случаи. Как следствия выводятся теорема Штурма, теорема Ролля, теорема Бюдана-Фурье, теорема Декарта, способ Ньютона нахождения пределов корней.
Эта работа является магистерской диссертацией П. Э. Ромера; она компилятивная, примыкает к исследованиям Коши,
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
359
Аналогична по своему содержанию следующая работа: А. Васильев, Об отделении корней совокупных voaBHeHiiii, «Учёные записки Казанского университета», год. (^74), стр. 631—656.
Рассматривается задача: определить число точек пересечения п систем (п—1)-го измерения
/1 (21> г2> • • • » 2п) = О, . . . , jn (zlt Z2, • • ., Zn) = О, лежащих в пространстве, ограниченном («4- 1)-й системой тоже (п— 1)-го измерения/0 (zu z2, ...» zn) — 0. Эта задача была рассмотрена Кронекером; и автор говорит: «Мы перейдём к изложению его (т. е. Кронекера) мемуара, причём постараемся представить доказательства некоторых теорем, которые только упомянуты у Кронекера и которые не всегда представляются очевидными, и сделать дополнения, способствующие, по нашему мнению, большему пониманию этого мемуара. В заключение мы выведем из теоремы Кронекера теоремы, относящиеся к отделению корней двух совокупных алгебраических уравнений и открытые ещё прежде Коши, Штурмом и Лиувиллем».
Таким образом, настоящая работа обзорная, но содержит и некоторые добавления автора. Определяется «характеристика» системы функций /0, Д, ..., fn и выводятся её свойства. Далее идёт применение к случаю двух совокупных уравнений и к отделению комплексных корней одного алгебраического уравнения. Результат здесь тот же, что и у Ромера.
А. Н. М я с о е д о в, Теорема о числе корней алгебраического уравнения, «Математический сборник», т. 10 (1882), стр. 56-62.
Доказывается теорема: «Пусть
= х"1 + АЯ"1-1 4- • • • + p,n-ix -|- рих есть целая рациональная функция х с вещественными коэффцциентами; если положим
А = pYxm-{ + р2хт~2 + ... -\-рт, = р2хт~2 4- р3хт~* 4- •. • 4-Рт,
An- 1 — Рт—\.Х 4" Рпц Vin, — Рт
360
А. К. СУШКЕВИЧ
и подставим в ряд г?1? г:2,...» от-ь '°т вместо х последовательно два положительных количества а и р, то число положительных корней у0 = 0, заключающихся между а и 3 будет на чётное число больше или меньше числа перемен знаков, приобретённых рядом при изменении х от а до 3»
Доказательство аналогично доказательству теоремы Штурма плп теоремы Бюдана. Упоминается, что всё сказанное применимо и к отрицательным корням.
А. Мясоедов, Две теоремы высшей алгебры, «Математический сборник», т. 11 (188-1), стр. 616—631'
Пусть
У0 = Я"г+ PiX,n~l + . . .
4- PyX"1-2 + .. . + Рт-1,
Г)п_1=ж4-/Л» Т7ш=1.
В таком случае:
Теорема 1. Если при х = я все Ео, ..., Fm > и, то а — верхний предел положительных корней уравнения Ео = 0.
Теорема 2. Если в ряд Vo, ..., подставить вместо х положительные числа а и р, то число корней уравнения Vo = O между а и р на чётное число больше или меньше разности чисел перемен знака в ряде при х = а и х = р.
Теорема 1 доказана Лагерром, но Мясоедов даёт другое доказательство. Теорему 2 Мясоедов доказывает аналогично теореме Бюдана. Выводится и теорема Декарта.
А. Мясоедов, Непосредственные способы определения низшего предела положительных корней и пределов отрицательных корней алгебраического уравнения, «Математический сборник», т. 12 (1885), стр. 22--41.
Эта работа примыкает к предыдущей; для определения низшего предела положительных корней берутся функции
у0 = Уо = х>п + Р&т~' + • • • +
^ = рххт-{Л- ... 4 рт,
— Рт •
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
361
Для определения верхнего предела отрицательных корней берутся функции
1VO=VO, W^xV^ ...,Wln = x"‘Vtll.
А. Н. Мясое д о в. К теории отделения корней, «Математический сборник», т. 12 (1885), стр. 433—460.
Используя функции Vo, I7!, ...,	— те же, что и в пре-
дыдущих работах, автор строит функции
Z71 = xV'ti - Го, U2 = xV,'f — 2Б0, ..., Um =	- mV0.
Доказывается теорема: Если TQ — 0 — данное уравнение zn-й степени, и мы, приравняв: Ultl = Tlt построим функции Utn_l = T2) ... — пока ряд TQ, Ть 7\, ... не оборвётся, то:
1) если в этот ряд подставить вместо х а > 0 п р > а, то число потерянных в этом ряду перемен знака равно или на чётное число больше числа корней уравнения 7^ = 0 в интервале (а, р);
2) если же подставить вместо х — а < — р (а, 3 > 0), то число приобретённых в этом ряду перемен знака равно или на чётное число больше числа корней уравнения То — 0 в интервале ( — а, — Р).
Эта теорема родственна теореме Бюдана: стоит только положить (при 7’0 = / (х))	= 7%, тогда
=	^=7^2^-
Z	Z	Z
А. Н. Мясоедов, Функции, подобные функциям Штурма, «Математический сборник», т. 12 (1883), стр. 461 — 482.
Пусть 7^= 0 —уравнение ni-ii степени без кратных корней; возьмём (как и в предыдущей работе) Tt = Um (Го); Делим То на Tlt у остатка переменим знак на обратный и после этого обозначим его через Т2; делим Tt иа Т2 11 т. д. Пусть Тп — const. Число действительных корней Уравнения 71о = О в пределах а, 3 одного знака равно разности чисел перемен знака в ряде То, Тъ ..., Тп при я==а и при х— р.
362
А. К. СУШКЕВИЧ
А. Н. Мясоедов, Произведённые функции и женпе их к числовому решению уравнений, «Математп ческий сборник», т. 12 (1885), стр. 757 — 786.
«Произведённая» функция по параметру к от целой рациональной функции тп-й степени получится, если'члены последней (начиная с высшего) помножить на
т — к, т — к—1, ..., —(Л—2), — (к — 1), — к.
Если / (х) — данная, а ср (ж) —сё произведённая функция ио к, то
?(«) 7л(ж)=с/а(/(ж))
(это то же ик, что и в предыдущих работах). Определяются и «произведённые высших порядков». Для ряда
/(^), 7(х) "f(x), f(x)
(эти обозначения относятся к случаю, когда берутся произведённые нот, т — 1, т — 2, ..., 1) верна теорема, аналогичная теореме Бюдана; пз неё выводится теорема Декарта. Доказываются ещё некоторые теоремы, аналогичные теореме Ролля и следствиям из неё. Даётся способ отделения корней, аналогичный способу Фурье.
П. Н а зимов1), Об одном видоизменении метода разделения корней Штурма, «Математический сборник», т. 13 (1886), стр. 119-128.
Пусть 70 = 0—данное уравнение n-й степени; можно выбрать такие коэффициенты а, 6, с, что функция У1 = ------------- оудет (п — 2)-и степени. Если взять
Fi за вторую функцию ряда Штурма, то 4-е свойство ряда Штурма будет вообще выполнено для функций Vo п Б (за одним исключением). Дальнейшие функции V2, V3, • • • строим, как в обычном ряде Штурма. Указаны ещё различные модификации построения ряда Штурма.
J) Петр Сергеевич Назимов (1851—1901) окончил в 1873 г. Московский университет; в 1885 г. получил степень доктора (миновав степень магистра) за работу «Приложение теории эллиптических функций к теории чисел». В 1886—1889 гг.—профессор Варшавского университета, с 1889 г.—профессор Казанского университета.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
363
А. А. Марков1), Sur lesracines de certaines equations (О корнях некоторых уравнении). «Mathcmatischc Anna-1еп», t. 27 (1886), стр. 143—150, 177—182 (две статьи). Первая из этих статей была напечатана и на русском языке под заглавием: «О распределении корней некоторых уравнении» («Сообщения и протоколы Харьковского математического общества», II (1886), стр. 89—98).
В первой статье речь идёт об уравнениях, получаемых при разложении в непрерывную дробь функции
b	d
f(z)
а
где а < b < с < d — вещественные числа, g (у) и / (у) все >0.
Пусть У~~ °Дна из подходящих дробей к функции F(z) и ©n(z) = pQ+ piZ+ ... + pnzn. Цель настоящей работы — определение числа корней уравнения <pn(z) = O, заключённых в интервалах (— оо, а), (а, Ь), (6, с), (с, d), (d, -Foo); об этом доказывается ряд теорем.
Во второй статье рассматривается функция
<?п (У. J) = /’оУ" АУ""* + • • • + /'П-1У + Рп,
где коэффициенты р0, plf р2, ..., рп — функции переменного £ и определяются условием:
ъ
?»(У> «)Г (у, С“(У)^У = О
а
при данной функции V (у, S) и для любого многочлена ®(у) степени п— 1. При этом предполагается, что (У, 5) > 0 прп а < у < b для всех рассматриваемых значений L В таком случае при каждом $ уравнение ?n(z, $) — 0 имеет п различных корней: z = xlf х2, ...» хп, —____________*
х) Андрей Андреевич Марков (1856—1922)—один из знаменитейших русских математиков; в 1878 г. он окончил Петербургский университет, с 1880 г. преподавал в нём; с 1890 г.—член Академии наук. Главные его работы относятся к теории чисел, теории вероятностей и теории непрерывных дробей.
364
А. К. СУШКЕВИЧ
содержащихся между а и Ь. В работе выводится несколько теорем об изменениях xt в зависимости от изменений
В. А. Стеклов1), О высших и низших пределах вещественных корней алгебраических уравнений и Пх отделении, «Сообщения Харьковского математическою общества», сер. 2, т. 3 (1893), стр. 103—125.
Пусть
f (х) = хп + А1хп~1 4- ... + А„ = 0
— данное уравнение; возьмём равенства
Ап -—ki(An-i + кп_i),
^’п-1 = ^’1 (Ап-2 + ^’п-г),
&п-2 :	(Ап-3-h А'п_з),
Л'2 = кг (Aj + ^i)-
Доказывается, что при таких условиях kY — один из корней уравнения / (х) = 0. Если кх больше наибольшего положительного корня уравнения, то
Ап > — к± (An—i 4* Лп—1).
Если в интервале (к\, Л’]) лежит чётное число корней данного уравнения или нет ни одного, то
Ап — k'Y (An-i 4“ Л’п-i),
Ап — к" (An-i 4- /сп-1);
1
если же в интервале (к{, к]) лежит нечётное число корней данного уравнения, то
—к[ (An-i 4- ^-i), An=s —к'{ (An_i 4~
Рассматриваются частные случаи и примеры.
П. И. Рахманов, О высших пределах корней алгебраических уравнений, «Сообщения Харьковского
х) Владимир А и д р о с в и ч Стекло в (1863— 1926)--один из крупнейших русских математиков; в 1887 г. он 0K0I.I'lIi}J Харьковский университет; с 1896 г. —профессор в Харько » с 1906 г.—в Петербурге, с 1912 г.—ординарный академик. 1с( тал в области математической физики.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
Зб5
математического общества», сер. 2, т. \ (1895), стр. 141 — 145.
Даются два новых спосооа нахождения высшего продета положительных корней численных уравнений.
1) Пусть
/ (ж) = аох11 4- ар;11-1 + ... 4- ап = О
__данное уравнение; ат — первый отрицательный коэффициент; — ар — наибольший (численно) отрицательный коэффициент. Искомый высший предел:
2) Пусть
F(х) = /1 (ж) - <?! (ж) + /2 (х) - а2 (ж) + ... + /„, (ж) - о,„ (ж), причём у функций /ь /2, ... все коэффициенты > О; если гк — показатель у х в последнем члене fk(x), а
— показатель у х в первом члене ък(х), то гк>рА. Пусть sk — сумма коэффициентов у функции fk(x), а ал.— у функции ?/<(ж). Тогда наибольшее пз выражений
Г1"?ук, r2~iZ^,..., Грг"?|/^г у .s*| ’ V s2 ’ V sm
можно принять за высший предел положительных корпев уравнения F{x) — (). Если все — < 1, то за высший пре-дел можно взять единицу.
На тему «Отделение корней» была написана в 1875 г. кандидатская диссертация известного составителя учебников по элементарной математике А. П. Киселёва (см. выше); содержание её мне неизвестно.
Работы, трактующие о вычислении корней уравнений, разделяются на три типа: способ последовательных приближений, графические способы и вычисление корней при помощи трансцендентных функций.
К первому из указанных типов относится работа: «Рассуждение о разложении в ряды функций от корней
Уравнений и о некоторых формулах приближения»,
А. К. СУШКЕВИЧ
366
В. П. Максимовича, доктора математических наук Парижского факультета, Казань, 1882 (50 стр.).
Работа состоит из двух глав и «прибавления». Пусть г —какой-либо корень уравнения /(z) = 0 (алгебраического или трансцендентного), a F (z) — некоторая данная функция. Обозначая через а произвольную комплексную величину, модуль которой не слишком разнится от модуля г, автор даёт разложение:
F(r) = A0 + AJ(a) + A2f(ay+ ...
Этот ряд выводится и исследуется в глава I; глава II относится исключительно к действительным величинам и посвящена исследованию ряда Эйлера:
1
(-1)п+1
/(а)П+4 (п + 1)!
rfn+1z \ dyn+i
где

составляющего частный случай ряда для F (г) при F (z) — z. Выводится правило для нахождения числа Лг членов формулы Эйлера, которые следует взять, чтобы получить на и лучшее приближение корня. Этим мы получаем формулу приближения, последовательное применение которой даёт значение корня г с какой угодно точностью («способ итераций»). Находятся условия, при которых выражение х Ц- 6 (х) при некоторой функции 6 (х) будет такой формулой приближения, начиная от х а: 1)6 (х) не уничтожается между си г (тогда как 0(т*) —0); 2) 1 -р 0' (х) > 0 в промежутке а ... г; 3) 0 (л) имеет знак разности г — а и | 6 (а) | < |г — а .
В «прибавлении» говорится о взаимном расположении пулен функции и её производной.
Кроме того, к работе прибавлены 9 «Положений», являющихся дополнениями к тексту. В положении I говорится, что известный ряд Лагранжа, дающий разложение функции F (ri) от корня 7i уравнения z = «1 +	(z)
есть частный случаи ряда для F (г), выведенного автором-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
367
И. В. Бугаев, Способ последовательных приближений- Его приложение к численному решению алгебраических уравнении высших степенен, «Математический сборник», т. 18 (1896), стр. 289-336.
Н. В. Бугаев, Способ последовательных приближений. Его приложение к разложению функций в непрерывные ряды, «Математический сборник», т. 18 (1896), стр- 471—506.
В первой из этих двух работ даются различные способы так называемых «итераций».
Пусть
а^ + т^-'Ч- . ...+ ри = 0
— данное уравненпе; а! —«первое приближение» корня,
а)! — погрешность (а	4- Wj); пусть | | < у ; имеем
а~=	(а~ai)2	(а —а1)н = (ои;
развёртывая эти биномы, определяем а в виде
а=/1(а1) + ’?1(ш1);	/1(^1) = «2, ,?i(®i)=®2
— приближение и погрешность 2-го порядка. Для определения приближения 3-го порядка берём
(а — 0^)3 = <1)3, . . ., (а — aj)»1 — со^, (а — a1)i1+1 = co^+I;
а!Х и а'х+1 выражаем через a, а2, ..., а^1 и получаем
a = ?i (ai) + Zi (°>i);
это—приближение и погрешность 3-го порядка, и т. д. Даётся и другой способ нахождения приближений высших порядков. Разбираются частные случаи. Эти «алгебраические» способы сравниваются со способами Ньютона. Даётся расширение способа Ньютона, «основной способ последовательных приближений», приводящий к формулам
а =	/ | /Г , 1 Г Г (//"-3/7") /'"~| ш,+
' /' +/'(//’-2/'2)+ 3! L //'—f J “1 + -или

Z(«i) 2/' (ai)
(«1(/'(«1) 1
368
А. К. СУШКЕВИЧ
if др. Работа весьма несистематична—пет единства, нет чётких установок.
Вторая работа—продолжение первой. «Разложение в непрерывный ряд»—это тот же способ итераций. Пусть 04 — приближение количества а; автор пишет: а / (04) f что означает:	аз = /(аг), •••, и а является
пределом этого ряда. Рассматривается и случай, когда % есть функция от переменного .г. Разбирается вопрос о «сходимости непрерывного ряда». Рассматривается «Основной способ последовательных приближений»— обобщение способа Ньютона—для неявной функции а, где /(а, гг) 0. Рассматриваются частные случаи (логарифм, показательная функция, тригонометрические функции и т. II.).
II. В. Бугае в, Способ последовательных прибли жений. Вспомогательные и дополнительные способы при блнжёииого исчисления, «Математический сборник», т. 19 (1897), стр. 421—468.
Даётся «вспомогательный способ приближённого исчисления 1-го порядка»: пусть а Ф (а)—данное уравнение, aj —первая приближённая величина для a, <0j — первая погрешность: а	тогда
a ^(ot^ioi) о (otj) 4- о),б' (04 -+ бац); следовательно,
а2 9(ai)’ 0)2	0)1’У (ai + ^i) (ai) 4-(34 4-Opoj).
Далее,
а:> '?(»>) = Ф(1?(а1))- • • '
Выводятся условия сходимости этого процесса.
Даются применения к извлечению квадратного и кубического корней, к решению алгебраических уравнений. Далее приводятся иные, более сложные способы нахождения приближений, которые иллюстрируются на примерах. Под конец разными способами решается уравнение Кеплера: А — э — «sins.
Д. Ф. С е л и в а и о в, Об уравнениях, все корни которых вещественны, «Известия Казанского физики математического общества» (2) 9, № 4 (1903), стр. 51—
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
369
Доказывается теорема, указанная П. С. Флоровым 0а Ю"м с’ьезде естествоиспытателем в Киеве в 1898 г.: «Если все корни уравнения
S(?)a,x"-* О
вещественны и ак 0, ал.+т 0, то и все корни уравнения
4-	. + ак¥т = О
тоже вещественны». Отсюда следует, что при ака — ак+2 = О уравнение имеет мнимые корни.
Рассмотрим теперь работу профессора Московского университета Павла Алексеевича Некрасова (1853—1924):
П. А. Некрасов, К вопросу о решении линейной системы уравнений с большим числом неизвестных посредством последовательных приближений, Приложение к т. LXIX «Записок Академии наук», № 5 (СПб., 1892), стр. 1—18.
Речь идёт об установлении практически удобных достаточных условий сходимости способа последовательных приближений Зейделя при решении системы п линейных уравнений с п неизвестными, когда число п очень велик’о. Некрасов приводит шесть практических «правил» сходимости способа Зейделя; первое из них дал Мемке, остальные пять принадлежат самому Некрасову; он их доказывает.
По этому вопросу у Некрасова была переписка с профессором Мемке (из Дармштадта), опубликованная в «Математическом сборнике». •
Р. М е м к е и П. А. Н е к р а с о в, Решение линейной системы уравнений посредством последовательных приближений, «Математический сборник», т. 16 (1892), стр. 437—459.
А. Ш а н-Г ирей и Г. Флоринский, Графическое решение уравнений. Способ Лилля, «Вестник ^Ыт«°й физики и элементарной математики», № 61 (1889),
Пусть
жп4-А1жп-14-А2жп'2+ ... 4-Ап = 0
24
Историко-матем. исследования
370
А. К. СУШКЕВИЧ
—данное уравнение с действительными коэффициентами. В прямоугольной системе координат на плоскости от точки — 1 строим коэффициент параллельно оси Y; вниз—прп > 0, вверх—при < 0; от полученной конечной точки строим А2 параллельно оси X: вправо—при А2 > 0, влево—прп А2 < 0; и т. д.; получим «ломаную коэффициентов». Далее, от точки О строим вторую ломаную под углом 45 к первой, если она последним коленом замкнет первую ломаную, то отрезок по линии Л! от оси X до вершины второй ломаной дает корень уравнения, который > 0 или < 0, смотря по тому, направлен он вверх пли вниз.
Г. К. Суслов1), Графическое решение уравнении, «Киевские университетские известия», 1894, октябрь, стр. 44—47.
Автор излагает прием Мемке: еслп
F (х, у) -- Схтуп 4- Сг хт* уП1-г ... = 0
—данное уравнение, то полагаем
£ = In х, = In у\ F ет') = 0
—«логарифмическое изображение» данного уравнения. Взяв
У\
Х=А' У = В’
можно выбрать .4 и В так, чтобы коэффициенты в трёх членах уравнения сделались = i 1. Таким образом, одна и та же кривая может служить для целого ряда уравнений.
Если Д (х) 4- /2 (ж) = 0—данное уравнение, то берём 11(х) = су, /2(ж) = -су, вещественные корни уравнения—абсциссы точек пересечения этих двух кривых.
х) Гавриил Константинович Суслов (1857 1936) с 1888 г. был профессором механики Киевского университета; позднее работал в Одессе.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
371
Последние две работы, как мы видим, реферативного характера, равно как и следующая работа:
Г.1), Основания теории гиперболических функций с приложением к извлечению корней и решению уравнений. По Грунерту («Archiv fur Math.», т. XXXVIII), «Вестник математических наук», т. II, №26 и 27 (1862).
Выводятся многочисленные формулы, относящиеся к гиперболическим функциям, выводится между прочим формула, аналогичная формуле Муавра, которая и применяется для извлечения корней; даётся решение кубических уравнений при помощи гиперболических функций.
А. И. Г о л ь д е н б е р г, Заметка о решении некоторых уравнений, «Математический листок», т. I (1880), стр. 109-112.
Выводится: если
А : В — а : Ь,
то
(mA ± пВ) : (рА ± qB) = (та ± nb) : (ра ± (7&);
если
и2 т D2 а uv Ъ ’
ТО
и  + 26 + jA* — 26 .
V }Az-|-26— )Az — 26 ’
и другие подобные соотношения. На них основаны упрощения некоторых уравнений. Приводятся примеры и задачи.
А. А р е ф ъ е в, Один из приёмов решения уравнений (способ отношений), «Математический листок», т. I (1880), стр. 379—382.
Рассматриваются некоторые случаи системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, когда удобно сначала вычислять отношение неизвестных. Это обобщается на систему линейных уравнений с несколькими неизвестными ц на систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными, если исключение одного неизвестного приводит к квадратному уравнению.
*) Установить фамилию автора этой работы не удалось.
2 *
372
А. К. СУШКЕВИЧ
А. И. Гольденберг. Заметка об уравнениях, содержащих неизвестное иод знаком квадратного корня «Математический листок», т. И (1882), стр. 110—141.
Заметка составлена по сочинению A. D е sbo ves, Questions d’Algebre elementaire. Methodes et Solutions’ 2-е изд. (1878). Автор пишет: «В некоторых учебниках алгебры говорится, что уравнение нельзя сделать вообще рациональным, если оно содержит более трёх радикалов 2-й степени. Настоящие строки имеют целью показать ошибочность этого положения».
Ф. X е в ц у р и а н и, Один пз приёмов решения уравнений. «Математический листок», т. I (1881), стр. 233—239. Этой статьи мне не удалось найти.
А. П. О х и т о в и ч, Новый неопределённый метод решения алгебраических уравнений. Часть I. Общее решение уравнений 1-й степени, неопределённых и определённых, Казань, 1900 (302 -р 18 стр.).
Книга весьма сумбурна и ничего нового не содержит.
Теперь перейдём к обзору работ, относящихся к решению уравнений низших степеней (кончая 4-й степенью); сюда же отношу и работы, касающиеся извлечения корней.
Н. Бугаев, Рациональная функция, выражающая два корня кубичного уравнения по третьему, и новый способ решения этих уравнений, «Вестник математических наук», т. I, № 22, 23 и 24 (1862), стр. 177.
Если
z3 + pz + q = 0
— данное кубическое уравнение, и ж —один из его корней, то, вычитая из z3 4- pz 4- q выражение ж3 4- рх 4- q, найдём уравнение для двух других корней:
z2, 4- zx 4- ж2 4 р — 0, откуда найдём (после исключения ж из-под корня)
х	У — (4р3 + 2?72) .	_ я , У — (4р3 + 27<72)
г1-~ Т 2 (&;* + />)	’ Z2--T + 2(Зх* + Я
Решение уравнения
ж3 4- рх 4- q = 0
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
373
таково: подставляем
а + Ьу + у8 e±dy п выбираем a, b, с, d так, чтобы было: 36 = 0,	362 + Р<Р + 3« = 0;
Зяб2 + За2 4- pad2 4- 2pbcd 4- pc2 4- 3qcd2 — 0;
За26 4- 2pacd 4- pbc2 4- 2>qc2d = 0;
найдём
b = c = 0, pd2 4- За = 0,	3a2 4- pad2 — 0,
откуда a = — у , d= 1, следовательно,
P х — у — ^г-, и уравнение примет вид ?/e+<7?/3-^ = 0.
FI. Бугаев, Решение уравнений четвёртой степени, «Вестник математических наук», т. II, № 30 (1862), стр. 44.
Можно положить, что уравнение ж4 4- /д ж3 4 р2 х2 4- р3 х 4- р± = 0 получилось из квадратного: х2 4- (а 4- ₽г) х 4- у 4- 5 г 0, после исключения мнимых величин. Именно, найдём
2a = /?i, 2у + а2 + р2 = р2, 2(а-/ —Р>) = />3, 724- 82 =Ра, откуда найдём разрешающее уравнение 3-й степени:
Д 3 -I- 4/>2у2 - 2 (4р4 + рх р3) { 4- р2 + р{ pt - 4р2 Pi = 0.
Этот способ можно варьировать. Например, если дан-ное уравнение
xi + Р1х2 + р2х + />3 = 0, и мы положим (х — И)г — а + Зг, то найдём 82-a = ^,	4138 = />2,	₽3+(i2 + a)2 = />3,
откуда получим разрешающее кубическое уравнение:
16a + 8Р1 + (2“ + т) =Рз'
374
А. К. СУШКЕВИЧ
А. Попов, Удвоение куба с каким угодно при. ближенпем, «Известна Казанского университета», т VJ (1870), стр. 233—235.
Автор исходит из формулы
» р г— п /— 4 \Г пг -р
|/ X = у X V у хр, заменяет в левой части х на \/~хр, подставляет выражение для хр в правую часть исходной формулы и т. д., д получает бесконечное произведение
1 Р р2 Р3
П \ X — Хп • хп2 • xni • жп4 . . .
гг	.	1	1 . р . Р2 .
Пусть п>р; тогда ряд -—- = — +тт + Ь+ ••• сходя-ft U ft It	ft
щпйся. При п = 4, р 1, х- 2 получаем
/2=р2- |Z/2. j/^p2 ...
Даются построения с помощью циркуля и линейки.
А. П. Г р у з и и ц е в, Об одном частном случае приведения уравнения 4-й степени к биквадратному, «Сообщения и протоколы Харьковского математического общества», I (1882), стр. 116—120.
Автор даёт два достаточных условия обращения уравнения 4-й степени
ж4 4- Ах? 4- Вх2 4- Сх 4- D — 0
в биквадратное:
1) Если 40 1
“ С Ц-2/
2) Если
у— 1
8AD2 — 4.BCD 4- С3 = 0, то подстановка х = переводит данное уравнение в биквадратное.
1__У -J Г С
A2D — С2 — 0, то подстановка х =	|/
пли х = р—|	переводит данное уравнение
в биква-
дратное.
А. Гольде ибер г, Заметка об уравнениях 4-й степени с одним неизвестным, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 18 (1887), стр. 129—131 и № 21 (1887), стр. 203—208.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
375
Уравнение взято в виде
ах4 4- 46х3 4- Ьсх2 4- ^dx 1- е = 0.
Излагается способ Феррари его решения и приводится несколько случаев, когда оно решается без кубической резольвенты; именно (жр х2, х3, я4 —корни уравнения):
1)	если хг + х2 = х3 4- 24 пли 2d3 — ЗаЬс i-a2d~0;
2)	если х±х2^= х3х4 или ad'1 — eb2 = 0 (частным случаем при этом являются возвратные уравнения 4-й степени);
3)	если — 4- — = — -j- — пли 2cZ3 — 3edc 4- e2b — 0;
'	л?! x2 x3 x±
4)	x3—xl: ^x^x'~ ~~~ 1* UJII1(^C — ad)2—(b2—ac)(c2—ae) =0.
Указывается, что эти четыре класса—не единственные, когда уравнения 4-й степени решаются без кубической резольвенты.
В. Е р м а к о в, Разложение корней квадратного уравнения в непрерывную дробь, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 15 (1887), стр. 61-63.
Это—элементарная статья, дающая разложение корней «приведённого» уравнения в (чисто периодические) непрерывные дроби. Даются указания и на общие случаи.
И1.1), Заметки о непрерывных периодических дробях, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 17 (1887), стр. 106-109.
Выводится формула
]/а2 ± b = а ±----Ц— ;
2а ± 7 v
2а 4~ • •
даётся разложение корней квадратного уравнения x2^px-tq = 0 и x2^px — q 0.
А. К. Ж б и к о в с к и и, О кубических уравнениях, корни которых—стороны треугольника, «Известия Физико-математического общества при Казанском университете», т. 5 (1887), стр. 182—1S5.
х) Установить фамилию автора этой работы пе удалось.
376
А. К. СУШКЕВИЧ
Выводится, что искомое кубическое уравнение имеет вид
х3 — 2рх2 4- (р2 +7,2 4- 4/?г) х — 4/? гр — О, где р—полупериметр треугольника, г—радиус вписанного круга, R—радиус описанного круга.
А. К. Ж б и к о в с к и й, К вопросу о нахождении верхнего предела вещественных корней уравнения «Известия Казанского физико-математического общества» т. 7 (1889), стр. 389-392.
Д. М. Синцов1), О работе С. Гирмана: «Решение кубического уравнения», «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 273 (1899), стр. 241—242.
Автор показывает, что метод Гирмана по существу тот же, что и метод Гудде.
Н. В. Бугаев, Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближённою извлечения квадратных корней, «Математический сборник», т. 10 1882), стр. 524—570.
Пусть )/ ТУ — п + «), | о) | < 1; тогда (j/ТУ —п)^ = ад’х;
развёртывая это по формуле бинома Ньютона, получим где
Pv.(n) = n^-ir(^n^N+
(л) = н«’1_| + (3)rall~3/V + ...,
Таким образом N =	— новое приближение.
О Дмитрий Матвеевич Синцов (1867—1946)— один из виднейших геометров нашей страны; в 1890 г. окончил Казанский университет, с 1894 г. был приват-доцентом Казанского университета, с 1899 г.—профессором Высшего горного училища в Екатеринославе (теперь—Днепропетровск); с 1903 г.—профессор Харьковского университета; в 1939 г. был избран членом Украинской Академии наук.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
377
р
Выводятся свойства функций Pv_, Q^; разложение
в непрерывную дробь; разложение ]/А в бесконечное произведение; извлечение квадратных дробей Нз многочленов.
Д. Ф. С е л и в а и о в, О периодических непрерывных дробях, «Математический сборник», т. 15 (1890), стр. 635-644.
Автор имеет в виду несколько упростить доказательство теорем о разложении корня уравнения 2-й степени в непрерывную дробь.
В. П р е о б р а ж с и с к и й, К теории квадратных уравнений, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 8 п 9 (1891), стр. 181—183.
Элементарная статья, имеющая методическиii характер. Приводится теорема о том, что целая и дробная рациональные функции от корня х квадратного уравнения могут быть приведены к целой линейной функ-
ции от х.
А. Кнезе р, Bemerkungen fiber don sogenannten casus irreducibilis bei cubischcn Gleichungen (Замечания о так называемом неприводимом случае у кубических уравнений), «Matlicmatische Annalen», т. 41 (1892), стр. 344—348.
Автор даёт своё доказательство того, что в так называемом «неприводимом случае» корпи кубического уравнения с вещественными коэффициентами не могут быть найдены путём конечного числа извлечений корней из вещественных количеств. В конце приводятся некоторые обобщения и доказывается теорема Гельдера о том, что неприводимое уравнение с вещественными коэффициентами, разрешимое посредством цепи вещественных радикалов, если все его корпи рационально выражаются через один из них, должно иметь степень 2т.
П. М. Покровский, О неприводимом случае в уравнениях третьей степени, «Киевские университетские известия», 1892.
Автор упрощает метод Гвидо Всйхгольда решения кубического .уравнения:
х* + ргх? -Ь р2х + /?з = 0.
378
А. К. СУШКЕВИЧ
Если положим
zi — xi 4 ах2 + а2я3,	z2 = хг 4- а2ж2 4- аж3;
tr = х2х2 -|-	4- a2XiX2t	12 = х2х2 4- а2#^ 4- аххх2,
то zYt2 и z2tr — корни квадратного уравнения:
“2 - (Р1Р1 — 9Я>) и + (/'? - 3/>2) (pl — Зр!Рз) = 0.
А. И. Коркин1), Отделение корней кубическою уравнения, «Журнал элементарной математики» Ермакова, т. II (1885), стр. 306.
А. С. В е р е б р ю с о в, Новый метод извлечения корня и решения уравнения всякой степени, Харьков, 1885.
Последние две работы мне не удалось найти.
Д. Ф. Селиванов, Extrait d’une lettre а ML Hermite (Извлечение пз письма к Эрмиту), «Darboux Bull.» (2), Vll (1883), стр. 246—247.
Речь идёт об обращении формы:
f У) = ах* 4- 4Ьх*у 4- бея:2?/2 4- ^dxy3 4- е?/4
в сумму двух квадратов. Вводится неопределённая величина и и выводится для неё условие:
а	b	с 4- 2и	
b	с —и	d	= 0.
с 4- 2и	d	е	
П. М. Покровский, К элементарной теории уравнений 3-й и 4-й степени, «Киевские университетские известия», год. XXXIII (1893, март), стр. 1—16.
Даются решения л исследования корней уравнений 3-й и 4-й степени с вещественными коэффициентами. Даётся довольно громоздкий способ нахождения рационального корня (если он есть) кубического уравнения. Способ этот принадлежит автору.
т) Александр Николаевич Коркин (1837 -1908)—известный математик, с *1868 г.—профессор Петербургского университета; его работы относятся к области дпффе-ренциаль ных уравнений с частными производными и к теории чисел.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
379
В. Г. Имшенецкий1), Решение уравнений 4-й степени на основании симметрического омографпчного соотношения, существующего между его корнями, «Сообщения Харьковского Математического общества», сер. 2, т< 3 (1893), стр. 257 — 264 (посмертн.).
Показывается, что корни а, р, у, о уравнения
/ (z) = z4 -|- az3 4- bz2 4- cz 4- d = О
можно разбить па две группы: а, 3 и у, В так, что корни каждой группы удовлетворяют соотношению
^ = н(^ + 2/) + '>
симметричному и «омографпчпому» относительно х и у. Коэффициент jx определится из разрешающего уравнения 3-й степени. Найдя <а, разобьём данное уравнение на два квадратных.
Г. К. Суслов, Дискриминантные поверхности уравнений 3-й и 4-й степени, «Киевские университетские известия», 1894, октябрь, стр. 41—43.
Уравнение 3-й степени:
и3 4- Зжа2 4- Зт/гг 4- z = 0;
х, у, z принимаем за координаты точки. Уравнение дискриминантной поверхности:
z2 — Зх2у2 4- 4x3z 4- 4у3 — ftxyz = 0;
это — развёртывающаяся поверхность.
Уравнение 4-й степени берётся в виде
н4 4- 6z«2 4- 4г/« -h z = 0;
здесь уравнение дискриминантной поверхности:
(z 4- Зя2)3 - 27 (xz -х3 - у2)2 = 0.
Работа несамостоятельная, реферативного характера.
4) Василий Григорьевич Имшенецкий (1832—1892)—один из известнейших русских математиков; в 1853 г. окончил Казанский университет; с 1868 г. был профессором Казанского, а с 1872 г.—Харьковского университетов; с 1882 г.—ординарный академик. Главные работы Имшепецкого— ь области дифференциальных уравнений.
380
Л. К. СУШКЕВИЧ
Г.4), Новое решение уравнений 4-й степени Шлбмнль. ха, «Вестник математических наук», т. I, № 5 п 6 (1862)' стр. 47.	’
Это—реферат работы Шлбмпльха в «Zeitschrift frlr Mathematik und 1 hysik», VI, Heft I.
Если
ж4 4- ax3 + bx2 -|- ex 4- d = 0
— данное уравнение, то делаем подстановку х — q\ 4- г причём для q и г ставим условия:
<74 = г4 -р аг3 4- Ьг2 4- сг 4- dy (4г 4- a) q2 = 4г3 4- Заг‘г -р 26г 4- с.
Для г (исключив q) найдём кубическое уравнение; в результате получим уравнение для Е:
a44-o^3+^24-aa + i = o, т. е. возвратное уравнение; здесь
4г 4- а а =-----,
Ч
g__6г2 + Заг + Ъ
i —
Таким образом, рассмотренные работы об уравнениях низших степеней в большинстве случаев элементарны; некоторые нз них реферативного типа. Гораздо интереснее п серьёзнее работы о различных типах уравнений высших степеней, к которым мы теперь перейдём.
П. А. Некрасов, Исследование уравнений вида: ит — рип — <7 = 0, «Математический сборник», т. 11 (1884), стр. 1 — 174.
Эта работа —магистерская диссертация Некрасова (который тогда был учителем московского Воскресенского реального училища) — была удостоена премии им. В. Я. Бу-няковского, получила известность и за границей (была напечатана в «Mathematische Annalen»). Рецензию па псе дал акад. В. Г. Имшенецкий («Записки Академии наук», т. 50 (1885), стр. 87—96). Я приведу некоторые выдержки из этой рецензии.
х) Фамилию автора установить нс удалось.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
381
«Обратив внимание на то, что свойства и особенности корней общего трёхчленного уравнения оставались ещё мало изученными, и желая по возможности пополнить этот пробел, автор выбрал пх предметом своего изучения. Обратившись к научно-литературным источникам, относящимся к этому вопросу, он пришёл к заключению, что «кроме общих свойств, одинаково относящихся ко всевозможным иррациональным функциям, и простейших частных случаев, когда трёхчленное уравнение разрешается в радикалах, тригонометрических и эллиптических функциях, математическая литература почти не доставляет материалов для подробного изучения свойств, относящихся к корням трёхчленного уравнения общего вида и характеризующих эти корни». Цитируемая г. Некрасовым, по этому поводу, работа недавнего времени: «Sur la fonction resolvante de Peqnation xm 4- px 4- q — 0», par A. Pu jet (C. R. t. 91)... представляет хотя осторожное, но лишь краткое соображение, не разработанное в подробностях... притом она относится к уравнениям не самого общего вида.
...Решение задачи исследования корней общего трёхчленного уравнения изложено в двух первых главах а в последней предлагаются некоторые аналитические применения бесконечных рядов, которыми выражаются корни.
В первой главе решается сначала главный предварп-тельный вопрос задачи: отделение корней трёхчленного уравнения посредством построения на плоскости переменной (пли на поверхности сферы Неймана) таких контуров, чтобы в каждом из них находилось только по одной из точек, представляющих корпи.
...Далее, критерий Кошп, выраженный интегралом от первой части трёхчленного уравнения, при комплексном значении переменной интегрирования, легко получается Для каждого из описанных выше сомкнутых контуров, а значение его, приводясь к единице, доказывает верность произведённого отделения корней. Достаточно под знаком того же самого интеграла умножить интегрируемую функцию на степень переменной, чтобы его значе-йие дало ту же степень корня трёхчленного уравнения,
382
А. К. СУШКЕВИЧ
отделённого контуром интегрирования. Затем этот новый интеграл, а следовательно, и самый корень или его степень разлагается в бесконечный ряд, сходящийся внутри контура интегрирования.
...Получив таким образом общие формулы, в виде сходящихся рядов, для выражения всех корней, или степеней корней, общего трёхчленного уравнения, автор выводит из них заключения о свойствах этих корней и не без основания рассматривает эти формулы как новый аналитический элемент, могущий иметь разнообразные полезные применения.
...Во второй главе изучаются непосредственно ряды, выведенные в первой главе. Здесь последовательно рассматриваются следующие вопросы: 1,—сходимость рядов; 2,—такие их свойства, из которых вытекает их способность удовлетворять общему трёхчленному уравнению и 3,—приёмы применения их к вычислению корней в определенных численных примерах.
...В последней, третьей главе... предложены некоторые аналитические приложения рядов, доказанных в двух предыдущих главах, для выражения степеней корней общего трёхчленного уравнения».
Таким образом, рассматриваемая работа Некрасова представляет собой самостоятельное исследование автора: при этом, как говорит далее Имшенецкий, «средством, наиболее отвечающим цели, прп умении воспользоваться им, какое обнаружил автор в своём исследовании, оказалось .заключающимся в прекрасных приёмах Коши, основанных на свойствах определённых интегралов от функций комплексного переменного».
Вся рассматриваемая работа состоит пз краткого введения, трёх глав и заключительного примечания. В главе I «отделяются» корни трёхчленного уравнения, т. е. строятся контуры (в плоскости комплексного переменного), содержащие по одному корню, п рассматриваются некоторые ряды. В главе II корни трёхчленного уравнения разлагаются в бесконечные ряды. В главе III даются некоторые приложения выведенных рядов к интегралам и дифференциальным уравнениям. В примечании указывается связь трёхчленных уравнений с рядом Лагранжа.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
383
П. А. Некрасов, Выражение корней трёхчленного уравнения посредством определённых интегралов, «Математический сборник», т. 13 (1888), стр. 739—748.
Эта сравнительно небольшая работа является некоторым дополнением предыдущей. Корни уравнения
ит — рип — q = 0] представляются в виде довольно сложных интегралов от логарифмов; вывод—функционально-теоретический,— в комплексной плоскости. Автор сообщает, что Гепман (в журнале «Mathematische Annalen», т. 28, 1886) тоже дал выражения корней трёхчленных уравнений в виде определённых интегралов, но из иных соображений, и не исследовал своих формул.
Л. К. Лахти н1), Выражение корней трёхчленного алгебраического уравнения посредством определённых интегралов, «Математический сборник», т. 15 (1890), стр. 61—82.
Автор ссылается на работу Джорджа Буля «On the Differential Equations which determine the form of the Roots of Algebraic Equations» («Phil. Transact.», t. 154, 1864), исправляет и дополняет метод Буля и посредством дифференциального уравнения m-го порядка находит выражения для корней уравнения zm—xzn—1=0 в виде определённых интегралов. Упоминается также и работа П. А. Некрасова.
Л. К. Л а х т и н, По поводу мемуара М. A. Pujet «Sur la fonction resolvante de F equation xm -f-px4-q=0», помещенного в 91 томе «Comp les rend us», «Математический сборник», т. 17 (1893), стр. 33±—336.
Автор находит ошибку в мемуаре Пюже, который, выведя дифференциальное уравнение, считал, что оно интегрируемо в гиперэллиптическпх функциях, тогда как получаемые им интегралы псевдогиперэллиптические и выражаются в логарифмах; вследствие этого у Пюже получился «порочный круг».
х) Леонид Кузьмич Лахтин (1858—1927), ученик Бугаева, был профессором сначала в Юрьеве, затем в Москве. Работы его—по теории дифференциальных резольвент алгебраических уравнений; работал и по математической статистике.
384
Л. К. СУШКЕВИЧ
Д. Ф. С е л и г> а п о в, Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами, Рассуждение на степень доктора математики, СПб., 1889 (X-f-162 стр.).
Работа состоит пз четырёх глав. Глава I—«О неприводимости уравнения 5-й степени с целыми коэффициентами». Эта глава довольно элементарная; даются указания для разложения функции 5-й степени па неприводимые множители или для выяснения её неприводимости; разбираются примеры. Глава II -«Об алгебраических выражениях». Здесь исследуется, какого вида должно быть алгебраическое решение данного уравнения, если оно существует; доказываются теоремы Абеля о виде корней неприводимого уравнения, решаемого в радикалах; общие теоремы применяются к уравнению 5-й степени. Глава III—«О функциях от корней уравнения 5-й степени». Здесь сначала излагается теория симметрических функций 5 букв (метод Варпнга вычисления таких функций); затем излагается теория подстановок 5 букв и групп подстановок; говорится о группе, допускаемой функцией из 5 букв, о сопряжённых функциях и группах; вводится понятие о группе Галуа данного уравнения, излагаются основные теоремы теории Галуа—применительно к уравнению 5-й степени. Подробно рассматриваются симметрическая группа 5-й степени и её подгруппы. Глава IV—«О решении уравнений 5-й степени при помощи радикалов». Здесь выводятся необходимые и достаточные условия разрешимости в радикалах уравнений 5-й степени; даются примеры уравнений с целыми коэффициентами, не разрешимых в радикалах; под конец рассматривается уравнение вида
x5+ux-\-v=0-
Эта весьма обстоятельная монография является в то же время почти целиком компилятивной; самому автору принадлежат только многие примеры, таблицы формул для вычисления симметрических функций и т. п.
Н. В. Б у г а е в и Л. К. Л а х т и н, Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах, Математический сборник», т. 15 (1890), стр. 83—-98.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
385
Для разрешимости неприводимого уравнения /?-и (простой) степени в радикалах необходимо и достаточно, чтобы резольвента степени (л — 2)! имела рациональный корень. В работе исследуется, как выражаются корни уравнения через корпи резольвенты в случае уравнения *5-п степени, которое берётся в форме Жеррара:
я5 4- ах 4- b = 0.
Упоминаются работы Рунге (в «Acta Math.», 1885) и Селиванова («Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами»). Приводятся три численных примера.
С. II. А н т а е в, Об уравнениях пятой степени, разрешаемых в радикалах, и о разлагаемости уравнения степе1Ш (ПРП Р простом) от симметрической функции двух корней данного уравнения, «Математический сборник», т. 17 (1893—1894), стр. 544—574.
Работа состоит пз двух глав. В главе I показывается, что в окончательное решение уравнения 5-м степени, решаемого в радикалах, входят радикалы 2-й и 5-й степеней. Упоминается, что подобные вопросы были изложены в «Математическом сборнике» (т. XV за 1890 г.) Бугаевым и Лахтиным, причём ими бралась жерраровская форма уравнения 5-й степени: ж5 4 ах -р b = 0, для приведения к которой приходится решать уравнение 3-й степени. Автор берёт форму:
У54-Ь3?/2 + ^4?/ + ^ = 0, для которой требуется решать только квадратное уравнение.
В главе II берётся «неразлагаемое» уравнение р-й степени (р — простое) и рассматривается уравнение Р(Р~1)	••	-гг
I ---2—~ -степени для произведения корней xtxk. Доказы-
вается, что если данное уравнение р-й степени -разрешимо в радикалах, то уравнение	-степени отно-
сительно х(хк или другой какой-либо симметрической функции двух корней данного уравнения распадается аа уравнений степени р каждое; коэффициенты
Историк о-матем. исследования
386
А. К. СУШКЕВИЧ
каждого из этих уравнений рационально зависят от корней уравнения —-степени с рациональными коэффициентами. II обратно: при этих условиях данное уравнение степени решается в радикалах.
Эта теорема прилагается к уравнению 5-й степени.
Л. К. Ла х т и п, Алгебраические уравнения, разрешимые в i ппергеометрпческих функциях, «Математический сборник», т. 16 (1892), стр. 597—812, и т. 17 (1893). стр. 1—216.
Это—весьма обстоятельная монография. Во введении подробно изложена история решения алгебраических уравнений в трапецендентных функциях. Упоминаются, кроме иностранных, следующие русские работы: В а-сильев, О функциях рациональных, аналогичных с функциями двоякопернодическимн1): Савпч, О линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях; Е р м а к о в, Круговое преобразование.
Далее говорится: «...Цель настоящего моего сочпис-непия—собрать, обработать и изложить в возможно более систематическом порядке все то, что касается свойств, вида и решения всех тех алгебраических уравнений, которые разрешимы в гипергсометрических функциях, причем радикалы могут входить в формулы... Прежде, чем приступить к постановке обшей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипер-гоометрических функциях, я останавливаюсь весьма подробно па изучении свойств, видов и решении двух отдельных классов относящихся сюда уравнений. Эти два класса суть:
1) уравнения, имеющие корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка;
2) уравнения, имеющие корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
...Эти уравнения служат ядром всей теории: всякое уравнение, разрешимое в гппергеометрпческпх фу11Ь‘-Йпях, может быть получено рациональным или пррацно-
J) О ней см. далее, стр. 390.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
387
дальним преобразованием одного из уравнений указанных классов».
Вся работа состоит из 11 глав; первые 8 глав посвящены двум указанным выше классам уравнений. В первых 2 главах изложены свойства этих уравнений. Глава III «О функциях Шварца». Глава IV—«Конечные группы линейных подстановок»; прп этом подробно рассматриваются группы многогранников. Главы V—VIII трактуют о решении уравнений двух вышеназванных типов. Глава IX—«Общая задача об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрпческих функциях». Глава X—«Резольвенты уравнений, имеющих группу линейных подстановок». Глава XI—«Решение уравнении 3-й, 4-й, 5-й степеней и уравнения Якоби 6-й степени».
Работа эта—весьма основательна; многое в ней принадлежит и самому автору.
Л. К. Лахтин, Дифференциальные резольвенты алгебраических уравнений высших родов, «Математический сборник», т. 19 (1896—1897), стр. 211—386 и 393-636.
Это—капитальная монография (в 420 стр.), представляющая собой дальнейшее развитие тех методов, которые автор применял в своём мемуаре «Алгебраические уравнения, разрешимые в гипергеометрических функциях». Для более удобного приложения теории функций автор выделяет один из буквенных коэффициентов, считая его за независимое переменное и обозначая буквой х\ остальные коэффициенты уравнения он рассматривает как произвольные, но постоянные параметры. Алгебраическое уравнение берётся в виде Ф (х, у) = 0, где у — неизвестное; его решение представляет у как функцию от х\ эти функции зависят от интегралов дифференциальных уравнений, называемых дифференциальными резольвентами алгебраических уравнений. Автор замечает, что ьопрос о решении алгебраического уравнения в такой форме ставится им впервые, хотя отдельные решения такого типа встречались и раньше. Невозможно в несколь-ких словах охарактеризовать всё содержание этой обширен монографии. Там широко используются теория Функций комплексного переменного и теория дифферен
25*
388
А. К. СУШКЕВИЧ
циальных уравнений. Монография разделяется на два отдела. Отдел I—«Общая теория»—состоит пз 4 глав-отдел II—«Применение общей теории к нахождению дифференциальных резольвент третьего порядка»—состоит из 9 1лав.
В заключении автор говорит:
«В виду сложности функций, служащих корнями алгебраических уравнений высших степеней, усилия алгебраистов должны быть, па мой взгляд, направлены главным образом к решению двух основных задач:
1) Следует искать такие типические уравнения по возможности с одним буквенным параметром, к которым приводились бы возможно более широкие и важные классы алгебраических уравнений.
2) Следует изучить свойства корней этих типических уравнений и лапти аналитические выражения этих корней помощью рядов или иными способами.
Вторая задача, понятно, может быть поставлена только тогда, когда решена первая.
...В своей работе я исхожу пз рассмотрения дифференциальных резольвент. При этом я преследую две пели:
1) Я стараюсь развить как можно полнее и шире общую теорию дифференциальных резольвент.
2) Применяю эту общую теорию к уравнениям рода 3. .„Методы, предлагаемые мною в настоящей работе, легко обобщаются и могут быть применены к более сложным случаям. Этому вопросу я надеюсь посвятить новую работу, в недалёком будущем».
В работе есть и промахи, па которые указал проф. Ермаков.
В. П. Е р м а к о в, Теорема Л. К. Лахтина, Доказательство её неверности, «Киевские университетские известия» за 1898 г.
Л. К. Лахти и, Дифференциальная резольвента некоторого вида уравнений 6-й степени с группою 360-го порядка, «Математический сборник», т. 20 (1897—1898), стр. 353—410.
Эта работа является дополнением к предыдущей монографии Лахтина; задачей её является приложение метода
МАТЕРИАЛ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
389
дифференциальных резольвент к уравнению 6-й степени. Автору удалось найти такое уравнение 6-й степени с группой 360-го порядка, корни которого—рациональные функции интегралов некоторой дифференциальной резольвенты 3-го порядка.
А. Кнезер, Ein neuer Beweis der Unmoglichkeit, allgemeine Gleichungen hoheren Grades algebraisch auf-zulosen (Новое доказательство невозможности алгебраического решения общих уравнений высших степенен), «Journ I. Math.» СVI (1890), стр. 48—64.
После ряда вспомогательных теорем доказывается теорема: «Еслп Ир w2, •••> Un — неопределённые величины, a <oi, <°2, •••» о)п —корни данного уравнения п-й степени (и > 4) и если выражение + w2w2 -f~ . . . + ип»п (после присоединения квадратного корня из дискриминанта данного уравнения) удовлетворяет неприводимому уравне-нию степени у п!> то данное уравнение неразрешимо в радикалах». Главный пункт доказательства состоит в том, что выводится предложение: еслп бы уравнение решалось в радикалах, то все нечётные чпсла между п и 1 (включая п) должны были бы делиться па одно и то же простое чпсло q > 1, а это прп п > 4 невозможно.
А. Кнезе р, Die Monodromiegruppe eincr algebrai-schen Gleichung bei Uneaten Transformationen derVariab-len (Группа моиодромии алгебраического уравнения при линейных преобразованиях переменных), «Mathematischo Annalen», т. 28 (1886), стр. 125—132.
Выводится следующий результат: еслп алгебраическая функция s от z с любой группой монодромпи удовлетворяет неприводимому уравнению F ($, z) = 0, то уравнение
F (as' 4- bz', cs' + clz') = О определяет алгебраическую функцпю s' от z' с симметрической группой моиодромии.
А. Кнезе р, Irrcducti hili tat und Monodromiegruppe algebraischer Gleichungen, Berlin, 1885. (Неприводимость и группа монодромпи алгебраических уравнений.)
Эту работу мне не удалось достать.
390
А. К. СУШКЕВИЧ
А. В. В а с п л ь е в, О функциях рациональных, ана-‘ логичных с функциями двоякопериодическпмп, «Учёные записки Казанского университета», год XLVII (1880 март —апрель), стр. 121—178.
Цель работы—изучить конечные группы линейных преобразований п рациональные автоморфные функции. Приводится литература вопроса. Работа состоит из 6 параграфов. § 1—«Общая теория линейных преобразований»; § 2—«Конечные группы линейных преобразований»; § 3— «Геометрическое значение линейных преобразований» (очень подробно разбирается каждый случай); § 4—«Рациональные функции, не изменяющиеся от конечных групп линейных преобразований» (строятся такие функ цип для каждого типа групп); § 5 —«Обратные функции и дифференциальные уравнения для них»; § 6 посвящён дифференциальным уравнениям.
Работа интересная, хотя и компилятивная.
В дальнейшем упомянем работы, относящиеся к различным главам алгебры.
Н. В. Бугаев, Замечание на одну статью сочи не-нпя «Cours d’Algebre superieure, par Serret», «Вестник математических наук», т. I, № 16 (1861), стр. 130 — 131.
Бугаев предлагает более простой способ определения 1	1
vn — хп 4--в функции z = х 4—, нежели те, которые
хп	х
даёт Серре. Способ Бугаева основан на исчислении конечных разностей.
Д. Ф. Селиванов, О функциях от разностей корней данного уравнения, «Математический сборник», т. 15 (1890), стр. 581-599.
Автор желает познакомить читателей с приёмом Кэли вычисления симметрических функций, зависящих от разностей корней, и применяет этот приём к вычислению дискриминантов уравнений 2-й, 3-й, 4-й и 5-й степени. Работа неоригинальная.
А. П. Г р у з инне в, К теории взаимных определителей, «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 3 (1893), стр. 94 — 102.
Рассматриваются взаимные определители разных рангов: взаимный определитель 2-го ранга для данного—
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
391
это взаимный определитель от взаимного определителя; 0 т. Д. Выводится ряд свойств этих взаимных определителей высших рангов.
И. М. 3 а п ч е в с к и й, Некоторые теоремы из теории определителей, «Математический сборник», т. 17 (1893 — 1894), стр. 587 - 597.
Пусть jD —данный определитель n-го порядка,
Z>nin2 ”'пр = (Dn} ттп ... тп 12 р
— его минор р-го порядка; если в последнем указатели тк,	• • • заменить указателями rk^ rktt, ..., то эту
замену обозначим
Выводится формула
г=р
(p"m).(pQ")=2(p47'TO,;-
Г=1
Выводятся аналогичные более сложные формулы и некоторые следствия пз них.
С. П. Ярошенко, Некоторые теоремы пз теории определителей, «Известия Новороссийского университета», LXI (1893-1894).
Излагаются некоторые преобразования определителей, ведущие к обобщению теоремы Нетто о произведении определителей.
Воронцов, Sur I’elimination (Об исключении), Nouvelles Annales des mathematiques (3) XI (1892), стр. 291 — 299.
Выводится новое условие существования общего корня У двух уравнений. Из пего выводятся формы результанта — Эйлера, Безу, Сильвестра.
Ц. К. Руссьян, Определение общих решений алгебраических уравнений с п—1 неизвестными, «Известия Новороссийского университета» за 1892 г.
Эту работу мне не удалось достать.
Д. Ф. С е л и в а п о в, Sur la recherche dos diviseurs des fonctions entieres (О нахождении делителей целых
392
Л. К. СУШНЕВИЧ
функций), «Bull, de la Societe Mathematique de France» XIII (1885), стр. 119- 131.
В работе даётся способ находить, разложима ли дац пая функция.
А. Старков, Две теоремы из теории определителей, «Известия Казанского физико-математического общества», III (1884), стр. 75—79.
Выводятся две формулы, применяемые при дифференцировании определителя, составленного пз частных интегралов линейного дифференциального уравнения и их производных.
С. II. А п т а е в, Заметка относительно теоремы: «Если группа функции О корней уравнения содержит в себе группу функции ср, то О может быть выражена рациона л ьной функцией от 9», («Математический сборник», т. 20 (1897), стр. 472—484.
Упоминаемая в заглавии теорема доказывается способом, отличным от обычного. Приведены примеры на уравнения 4-й степени. Язык довольно неточный.
А.	А. Р а д ц и г, Приложение теоремы Знлова к симметрической группе, «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 5 (1897), стр. 1—15.
Автор ссылается на свою диссертацию «Die An wen-dung dos Sylow’schen Satzcs auf die symmelrische und die alternicrcnde Gruppe» (Berlin, 1895), где он исследовал строение симметрической и знакопеременной групп иа основании теоремы Знлова. В настоящей работе излагается часть полученных автором результатов, именно, приложение теоремы Знлова к симметрической группе, которой степень (число переставляемых букв) ость степень простого числа.
В.	Е. С е р д о б и и с к и й, К теории детерминанта (задача о шахматных королевах), «Математический сборник», т. 10 (1882), стр. 74—86.
Рассматривается задача: на п местах, отмеченных нумерами 1,2,..., /г, разместить п чисел: 1, 2,..., п, таким образом, чтобы разность всяких двух пз этих чисел не была равна разности нумеров занимаемых ими мест. Сколько решений допускает эта задача? Ту же задачу можно выразить таким образом: на шахматной доске,
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
393
состоящей из /г2 клеток, расставить п королев так, чтобы нп одна из них не могла быть взята остальными. Говорится кратко об истории этой задачи и о том, что опа решается прп помощи детерминантов особого рода; указывается, что некоторые решения можно найти и без помощи детерминантов; эти решения различных случаях даются.
В. А. Марко в1), Теорема пз высшей алгебры, Петербургское математическое общество, 26 (1899).
IT. II. Иванов, Повое доказательство теоремы В. А. Маркова. Там же.
В. А. М а р к о в, Некоторые обобщения той же теоремы. Там же.
Доказывается теорема: еслп корпи двух многочленов перемежаются (и все они вещественны), то и корпи производных этих многочленов тоже все вещественны и перемежаются. Теорема обобщается на нецелые функции с вещественными по; смежающимися корнями, если эти функции удовлство| moi ещё некоторым условиям.
П. М. II о в и к о в, О паивыгоднсйшем числе проб при решении трансцендентных уравнений, а также уравнений высших степеней, Петербургское математическое общество, 1899.
Автор приходит к выводу, что бинарное деление практически выгоднее, чем десятичное.
Д. С. М и р и м а н о в (1861 — 1946), О приведении целых функций нескольких переменных к каноническому виду, «Математический сборник», т. 19, 1896 — 1897, стр. 629 — 647.
Автор показывает, что в случае метацпклпческой группы пяти переменных число элементарных инвариантов группы больше, чем индекс группы, еслп коэффициенты-целые числа; если же коэффициенты могут быть и дроби, то число инвариантов равно индексу группы. Кроме того, дастся способ приведения целой функции нескольких переменных к каноническому виду, — более Удобный, чем способ Кропскера.
|--------------
х) Владимир Андреевич Марко в (1871—1897)— брат академика А. А. Маркова—тоже очень талантливый математик.
394
Л. К. СУШКЕВИЧ
С. Н. А и т а е в, Изложение основных свойств уравнения /1-й степени в зависимости от системы п уравнений от корней данного уравнения, «Математический сборник» т. 20 (1897- 1898), стр. 33-91; т. 21 (1901), стр. 1-5з’.
Эта работа представляет собой оригинальное изложение теории Галуа. Данное уравнение берётся в виде о
хп-Ь 2	=
i=n- 1
пусть хп, Жд-ь •••> #i —его корни; вычитая тождество о
2 aiXn = 0
i=n-l
и деля на х — хп, получим
о
Жп-1 + 2	= Ф
г«=п—2
с этим уравнением, имеющим корни xn-i, ...» хи поступаем так же. Получим систему /г уравнений:
о
яп~14- aitixl = 0 (Z = 0, 1, 2, ...,/г —1; «г,о = fli).
i=n-1-1
Если какое-нибудь из этих уравнений разложимо, то можно его заменить неразложимым; в конце концов, одно данное уравнение заменится системой:
жп-7+ 2 ««^-<=0
‘“Рп-Г1
(Z = 0, 1, 2, .... re-1; рп = п);	(А)
здесь аи — целые рациональные функции от корней предыдущих уравнений, и каждое уравнение неразложимо в области предыдущих, т. е. xn-i не удовлетворяет ура13" нению степени < pn_i с коэффициентами — целыми рациональными функциями предыдущих корней.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
395
Далее вводятся «лпнейно-независимые комбинации»: п-1
2/s= II i=0
где ki — одно из значений: 0, 1, 2,	—1; число
таких комбинаций
п- 1
/У=П Аг-г-1.
г-0
Выводится ряд их свойств: например, если <рх, cpN суть N рациональных функций от корней, между которыми нет линейной зависимости, то всякое у& есть линейная функция от <р1э ..., (р2у. Группа уравнения определяется как группа подстановок корней, при которых получаем системы, равносильные системе (А); выводится, что порядок этой группы > N 4-1. Довольно сложным образом определяется простое уравнение; затем выявляется, что решение данного уравнения сводится к решению цепи простых уравнений, и выводится аналог теоремы Жордана (для уравнений) и необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах. Затем выводятся дальнейшие теоремы теории Галуа; приводятся примеры. Попутно доказываются теоремы Силова. Доказывается, что если порядок группы данного уравнения — степень простого числа, то уравнение решается в радикалах. Последняя (5-я) глава трактует об уравнениях простой степени; рассматривается линейная группа. Рассматривается уравнение 5-й степени вида х5 + 64я + = 0; приводятся примеры из работы Бугаева и Лахтина «Об уравнениях 5-й степени, разрешаемых в радикалах» (см. стр. 384).
И. П. Д о л б ня1), Sur lecriterium de Galois concernant la resolubilite des equations algebriques par radicaux («О критерии Галуа отноептельно разрешимости алгебраических уравнений в радикалах»), «Nouvelles Annales de Mathematiques», 3е ser., т. 7 (1888), стр. 467 — 485.
х) И ван Петрович Долбня (1853—1912) с 1897 г.— Профессор математики Горного института в Петербурге; его работы относятся главным образом к теории абелевых интегралов.
396
А. К. СУШКЕВИЧ
Основываясь на форме Абеля решения в радикалах уравнения простой степени, автор доказывает теорему Галуа о необходимом и достаточном условии разрешимости в радикалах уравнения простой степени с уточнением, которое дал Кронекер.
И. П. Долбня, Sur le developpement de УИ on fraction continue (О разложении VR в непрерывную дробь), «Nouvelles Annales des Mathematiques», 3е ser., т. 10 (1891), стр. 134 — 140.
Автор даёт простые доказательства некоторых теорем, изложенных в мемуаре Абеля «Sur I’integration de la formule differentielle...». Дело идёт о разложении |/ R в непрерывную дробь, где R — целая функция от х. Доказывается несколько теорем; разбирается случай, когда непрерывная дробь — периодическая.
И. П. Долбня, О форме радикального решения уравнений первоначальной степени, «Математический сборник», т. 17 (1893-1894), стр. 801-819.
Автор даёт более конкретную форму радикального выражения для корней алгебраического уравнения простой степенп, разрешимого в радикалах, по сравнению с той, которая дана Кронекером.
И. П. Д о л б н я, Sur la forme plus precise des racines des equations algebriques resolubles par radicaux (О более точной форме корней алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах), «Bull, des Sciences math.», 2е serie, т. 18 (1894), стр. 130-143.
Автор даёт способ вычисления корней уравнений простой степенп, разрешимых в радикалах, посредством особого рода метациклических функций.
И. П. Долби я, Sur la resolution algebrique des equations de degre premier (Об алгебраическом решении уравнений простой степенп), «Bull, des Sciences math.>, 2е serie, т. 19 (1895), стр. 27 — 32.
Доказывается теорема: «Если неприводимое уравнение простой степени п с целыми коэффициентами разрешимо алгебраически, то его решение зависит от уравнения
степени > которого коэффициенты имеют форму а +
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
397
где cl и Ь — целые числа; эти числа всегда могут быть определены посредством конечного числа операций».
Эта теорема применяется к уравнению 5-й степени.
II. П. Долби я, Об алгебраических уравнениях, имеющих дробно-линейную группу, «Бюллетени биологической лаборатории в СПб.», 1901.
П. М. П о к р о в с к и й, Об алгебраических уравнениях в связи с эллиптическими функциями Вейсрштрас-са, «Труды физического отделения Московского общества друзей естествознания», VI, № 1 (1890), стр. 25 — 43.
Две последние работы мне не удалось найти.
Особый тин работ, стоящих на грани между алгеброй и теорией чисел, представляют рассмотрения неопределённых уравнений, где неизвестные ищутся пе в виде чисел, а в виде многочленов. Таких работ несколько.
Е. И. Золотарёв1), Об уравнении
р-1
К2 —( —1) 2 z2 = 4X,
«Математический сборник», т. 6 (1872), стр. 83 — 90.
Здесь X =	— хР~* 4- хР~2 4- • • • 4- я 4-1; Р = 2/п 4-1
— простое. Доказывается, что многочлены У и Z могут быть найдены разложением в непрерывную дробь; даются линейные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты функции Z. Рассматривается ещё функция S(x) =
р-1
= 2	где (у) —символ Лежандра. раскла-
г=1
дывается в непрерывную дробь. Рассматриваются примеры: р = 5, 7, И.
А.	Н. Коркин, О невозможности решения при помощи целых функций уравнения Хп 4- Yn 4- Zn — 0, «Математический сборник», т. 10 (1882), стр. 54 — 55.
0 Егор Иванович Золотарёв (1847—1878)—один из крупнейших русских математиков, профессор Петербургского университета и адъюнкт Академии наук; создатель теории алгебраических чисел.
398
А. К. СУШКЕВИЧ
Пусть тп — степень Z и У, а тп — X (X >0) —степень Х\ дифференцируя уравнение
найдём соотношение
уп-1	= 2"-< (ZX'-XZ')-,
предполагая, выводим, что
что X, У, Z попарно взаимно простые,
XY'— YX' _ZX' — XZ’ Zn-i — yn-1
равно целой функции или постоянному, отличному от нуля. Но степень числителей меньше или равна 2/и —X —1, а степень знаменателей равна тп(п — 1); следовательно, 2m — к — 1 — тп (п —1)>0, т.е. тп(3 — п) > Х + 1, т.е. п < 3. Таким образом, при п > 2 наше уравнение нельзя решить при помощи целых функций.
Интересно, что так просто доказывается для целых функций невозможность уравнения Хп 4-Уп + Zn = 0 при п > 2.
В.	П. Ермаков1), Трёхчленные неопределённые уравнения (математическая задача), «Математический сборник», т. 20 (1897), стр. 293 — 298.
Ставится задача: определить три целые рациональные функции и, у, w одного переменного так, чтобы было: um -t- vn = wk, где m, п, Л; —целые числа, большие 1; при этом и, v, tv должны быть взаимно простыми.
Можно показать, что тп, п, к могут иметь только значения:
II to	3	4	5
II to	3	3	3
oq II	2	2	2
х) Василий Петрович Ермаков(1845—1922)—известный киевский математик, с 1877 г.—профессор Киевского университета; его работы—по теории рядов и теории дифференциальных уравнений; в 1870 г. он дал свой знаменитый признак сходимости рядов.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
399
Самый трудный — последний случай. Даются ещё кое-какие указания.
Полное решение этой задачи дал 13. П. Вельмпн в 1904 г. (см. ниже).
Н. В. Бугаев, Различные применения начала наибольших и наименьших показателей в теории алгебраических функций, «Математический сборник», т. 14 (1888 — 1889), стр. 553-590.
«Началом наибольших и наименьших показателей» Бугаев называет способ определять последовательные члены разложения алгебраических функций в ряды по убывающим или возрастающим степеням переменного. Указывается, что это — приём Ньютона, изложенный у Серре в его высшей алгебре. Далее излагается самый способ; затем даётся способ определения неприводимости многочленов. Работа довольно элементарна.
Рассмотрим далее ряд работ Бугаева, относящихся к изобретённому им «исчислению Еу(х)», поскольку эти работы имеют некоторое отношение к алгебре.
Н. В. Бугаев, Общие основания исчисления Еу(х)с одним независимым переменным, «Математический сборник», т. 12 (1885), стр. 579-612 и 725-756, т. 13 (1886-1888), стр. 1-98 и 167-228.
Вся работа состоит из четырёх частей: I. «Основные теоремы исчисления Еу (ж)», II. «Некоторые простейшие приложения исчисления Еу(х)», III. «Связь исчисления Еу(х) с исчислением дифференциальным и исчислением дериваций», IV. «Связь исчисления Еу(х) с исчислением конечных разностей и теорией интегральных остатков».
Здесь Еу(х) есть такая часть функции ср (ж), что lim [ср (я) — Еу (я)] =0. Если у(х) = Еу(х) + Оу(х), то Х-»ОО
lim Оср (я) = 0; Еу (х) — «целая часть», Оу (х) — «дробная х->со
часть» или «остаток» функции ср (ж). Выводится ряд формул для этих символов Е и О, например,
ЕОу(х) ~ОЕу(х) = 0, ЕЕу — Еу\ Е (у ± 0) Еу±ЕЬ, Ea'f = aE<f, ^E<f(x) = E^<f(x), и т. п.
400
А. к. СУШКЕВИЧ
Но самое определение Еу и Оу неточно и неоднозначно; по существу, Еу есть так называемая главная часть функции ср (х) в точке со (только в Е? входит и «свободный член» функции <р(я)). Вывод формул для символов Е и О не всегда безупречен.
В части II Бугаев делает следующие замечания: 1) Для алгебраических функций Ея должно быть конечно для конечных величин х (включая и х = 0); 2) существует конечное х=а, для которого Оу(х) обращается в со; 3) с предыдущими дополнениями определение Е<р (х) остаётся в силе только для тех трансцендентных функций, которые способны разлагаться по целым или дробным, положительным пли отрицательным степеням ж, т. с. для функций «похожих на алгебраические» (мы скажем: для аналитических функций).
Далее идёт опять целый ряд формул: разложение рациональных дробей на простейшие, интегральные вычеты, вывод формул Баринга, выражение для n-й производной сложной функции.
В части III выводится с помощью «исчисления Е? (я)» ряд Тейлора, причём дается «новая форма остаточного члена» (довольно очевидная):
Aa+1jE У.<м+А).
Затем устанавливается связь производных с символом Е; вводится символ
J = |“>=*Е
и выводятся его свойства. Вводится «символ деривации»
таким образом, Да0 = alf Да]--2а2, и т. д. (если Е(х) = = а0 4- а±х + а2х2 4- ...). Даются многочисленные формулы для этого символа и применения их к симметрическим функциям.
В части IV выводятся выражения разностей Дп функции при помощи символа J. Выводятся соотношения символа Е и интегральных вычетов.
МАТЕРИАЛЫ К ПСГОРПП АЛГЕБРЫ В РОССИИ
401
Н. В. Бугаев, Приложение исчисления Еъ (х) к определению целого частного двух полиномов, «Математический сборник», т. 20 (1897 - 1898), стр. 247 — 259.
В журнале «Interme.diaire des mat hematic ions» (т. Ill, стр. 248, задача 93G) Жамэ предложил задачу: «Определить целое частное от разделения целого полинома на (х — а) (х — Ь).. .(х — Z), как для случая, когда а, Ь,.. ., I различны, так п для случая равных корней». Бугаев решает эту задачу посредством своего «псчпслеппя Еъ (а?)». Работа эта не представляет чего-либо оригинального.
Следует считать, что введённое Бугаевым «исчисление £<?(#)» себя нс оправдало; самым слабым его местом, с моей точки зрения, являются его основы: нечёткое п неточное определение символа Е.
Рассмотрим теперь ряд работ, относящихся к уравнениям, в которые неизвестное х входит под знаком числовой функции Е («целая часть» числа). Эти работы весьма оригинальны; они стоят па грани алгебры и теории чпеел.
В. Е. С с j) д о б и и с к и й, Об одном вопросе числовой алгебры, «Математический сборник», т. 6 (1872), стр. 107 — 110.
Решается уравнение
ах = с j- Е (Ъх р /и),
где я, Ь, с — произвольные числа 0; Е (п) - наибольшее по абсолютной величине целое число, содержащееся в п\ у > 1. Решение даётся в виде
е 1 „ / сЪ 4 ат\ х = — -р — Е (---j— ) .
а а \a—b J
Приводится такая задача па применение рассмотренного уравнения: «Стенные часы А и В бьют одновременно, причём насчитано всего 19 ударов. Узнать, который iac, если известно, что часы Л отстают от часов В па 2 секунды, и что каждый удар часов Л происходит через 3 секунды, а каждый удар часов В через 4 секунды после предыдущего удара. Удары, промежуток между которыми менее секунды, считать сливающимися». (Ответ: И часов.)
26 Исторпко-матем. исследования
102
к. К. СЪ 1ПКЕВПЧ
В. Е. С е р д о б пн с к и й, Числовые уравнения, завися щпе от выражений 1-й степени, «Математический сборник», т. 7 (1874), стр. 263 — 281.
Исследуются решения уравнения
ах — с 4- Е(Ъх 4- т) при у>1,	& > 0;
выводится общий вид для всех решений: .	. г, fbc 4- ani\
йж=с+/)+А^—_ у
где —целое число.
Доказывается ряд теорем, в которых разбираются и случаи, когда
4- < 1, -т- = 1, а и b 0. Ь	Ь
В заключение приводится задача: «При выписке более 5 экземпляров некоего сочинения от самого автора на каждые 5 экземпляров 6-й прилагается бесплатно. Прп таком условии спрашивается, всякое ли число экземпляров можно получить, и за сколько экземпляров должно заплатить деньги» (можно получить всякое число экземпляров у, кроме случая, когда ?/ = 5(mod 6)).
В. Е. Сердобинскпй, Решение уравнения лж24-4- Ьх 4- с — Е (aYx2 + bxx 4- сД «Математический сборник», т. 7 (1875), стр. 437-459.
Бугаев (см. ниже) поставил вопрос о решении уравнения вида 6 (х) - E^j} (х)).
Пусть 0(я) = ?н; тогда x = i>(tn) (где q —обратная к О функция);
т = Е [Oj (р (???))] = Е [т 4-	(<? (m)) — т];
следовательно, необходимо: (q (?п)) — т < 1.
По этой схеме разбирается указанное в заглавии уравнение; различаются 11 случаев. В заключение приводятся три примера и задача:
«Путешественник проезжал каждый день столько вёрст, сколько дней он был в пути; если бы он проезжал каждый день по 5 вёрст, но останавливался па один час через каждые 10 вёрст, то время его езды увеличилось бы на один день. Определить время езды».
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
403
Если с — число диен езды, то задача сводится к уравнению
г+1 = Т + £Сю) •
В. Е. С с р д о б и и с к и и, К числовой алгебре [Об уравнении Ах + В ® (Сх + D)А)], «Математический сборник», т. 9 (1879), стр.’ 557-564.
Так как функция <р(л) имеет смысл только для целого 7? то Cxx-D — y должно быть целым числом
?/ — D .	Лу + ВС—Ab
‘ ~ С ’ с т. е. уравнение получает вид
Ly±M = N^(y),
где L, М, zV — целые числа. Доказывается что число простых решении этого уравнения пе больше 1. В заклто чеши? рассматривается задача:
«Определить число сторон правильных одноимённых (звёздчатых и пезвёздчатых) многоугольников так, чтобы двойное число пх было па 32 меньше утроенного числа сторон каждого пз них».
Это сводится к уравнению ср (х) Зх — 32, ибо <?(х) и есть двойное число одноимённых звёздчатых и незвёздчатых правильных многоугольников, имеющих по х сторон.
И. В. Бугаев, Некоторые вопросы числовой алгебры, «Математический сборник», т. 7 (1875), стр. 424 — 436.
«Числовой алгеброй» Бугаев называет теорию уравнений, зависящих от числовых функций.
Произвольное количество в пределах а, b обозначается: (а, Ь); Ь—а —размер изменения; (0, !) = (» — «произвольная единица»; всякое другое произвольное количество представляется в виде р -|- qw, где р, q — любые действительные величины. Уравнение 0(ж)	заме-
нимо таким: Ф (ж) = (х) — со, где со = (0, 1); здесь Т - 1 — г, г > 0 — бесконечно малая величина. Пусть 0 (со) — возрастающая пли убывающая функция; пусть EY (Ф (0 (со))) — все целые значения 0 (0 (со)) при со в интервале (0, 1— е);
*) ?(/»)—известная числовая функция Эйлера.
26*
404
А. К. СУН1КЕВИЧ
в таком случае 0 (х) = Е^ (6 (ш)). Это — «разрешающее» уравнение. Найдём ж = ф (£\ф0 (<»)), где q — обратная ко функция. Далее исследуется случай, когда ф п фх - рациональные функции, в частности — линейные функции:
ах -I- b = Е (сх + d); разрешающее уравнение здесь:
ах + Ь = Еа (-------) .
1 \ а—с	a — cj
Даётся ещё другой способ решения того же уравнения. В. В. Бугаев, Числовые уравнения второй степени, «Математический сборник», т. 8 (1876), стр. 239 — 253.
Довольно значительный класс уравнений этого рода имеет вид
ах2 -\-bx + c = E (atx2 4- bYx 4- q).
Полагая
ах2 4- Ьх 4- с = у,	Ду = \ау 4- Ъ2 — 'юс,
уравнение приводим к виду
У E(p + qy±r\ Ху)-, разрешающее уравнение будет вида у — Ег (М 4- Nw ± }/ P-t- Qw)-Даются выражения для М, N, Р, Q. Приводится пример.
В. И. А л ь б и ц к и й, Исследование уравнений вто рой степени с двумя переменными относительно их разложимости на два линейных множителя, «Труды Петер бургского технологического института», 1890.
Выводится условие разложимости функции
Ах2 4- Вху 4- Су2 4- Dx 4- Еу 4- F на линейные множители:
АЕ2 4- CD2A-FB2 - BDE -\ACF = 0.
А. К п е з е р, Bernerkungen zu der ausnahmslosen Auflosung dos Problems, cine quadra tische Form din’d) eine lineare orthogonale Substitution in cine Summo von
МАТЕРИАЛ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
405
Quad га ten zu verwandeln (Замечания к безусловному решению проблемы превращения квадратичной формы посредством линейной ортогональном подстановки в сумму квадратов), «Hoppe Archiv» (2), 15 (1897), стр. 225- 231.
Упомянем ещё три небольшие работы, относящиеся к теории инвариантов и ковариантов.
А. Бессель, О формах 3-й и 4-й степеней с двумя переменными, «Математический сборник», т. 3 (1868), стр. 123-131.
Выводятся соотношения между формами 3-й и 4-й степени с двумя переменными их ковариантами. Перед тем выводятся символические выражения инвариантов и ковариантов этих форм по способу Аропгольда и Клебша.
В. Г. А л о к с е е в, Grapliische Aufstellung des simul-tanen Systems einer cubisclien und einer biquadratischen Form, wodurcli die Uebereinstimmung der atomistischen Theoric und der symbolischen Invariantentheorie dar-gcstellt wird. (Графическое представление совокупной системы кубической и биквадратнчной формы, посредством которого устанавливается соответствие атомистической теории с символической теорией инвариантов), «Ученые записки Юрьевского университета», год 8 (1900), № 4, стр. 1 — 4.
П. Г о р д а л и В. А л е к с е о в, Uebereinstimmung der Formein der Cliemic und Invariantentheorie (Согласование формул химии с формулами теории инвариантов), «Sitzungsberichte Erl. phys. med. Soc.», 31 (1900), стр. 107 — 142.
В последующих рассматриваемых работах имеются уже зачатки новой алгебры как теории операций.
А. II. Л и в е н ц о в, Опыт систематического изложения функционального счисления с одним независимым переменным, «Математический сборник», т. 8 (1876), стр. 80 — 160.
Работа эта только отчасти относится к алгебре, поскольку здесь, по существу, рассматриваются действия над одним элементом — именно, над независимым переменным t — плп, как теперь принято называть, «операторы».
Пусть 0—функция от t\ определяем: 02 = 0(0(Q) и т. д. Пусть х — какое угодно число; определяем tyxt как аналитическую функцию F (.г, t) двух переменных % п I
406
А. К. СУШКЕВИЧ
при условиях:
'F(x+1, t) = F (х, OZ); F (1, t) t[>Z; F(fl,t) = t.
Эта функция находится как интеграл уравнения с конечными разностями. Даются примеры. Далее приводится способ Шрёдера («Ueber iterierte Funclionen», «Math. Annalon», т. 3): если OZ ^6s-1Z, to 6xt = oOx9-1Z; выбираем О так, чтобы 0х было известно, и находим ®. Приводятся примеры. Рассматриваются различные тины функциональных уравнений. В заключение приводится исторический обзор.
А. И. Лпвспцов, О функциональных индексах, «Математический сборник», т. 8 (1876), стр. 277 — 284.
Эта работа является дополнением предыдущей. В выражении МЧ п называется «функциональным индексом». Выводится формула ф«ф7 = флН27.
А. II. Вогу с л а в с кин, Алгебра плоскости и пространства, «Математический сборник», т. 14 (1888—1889), стр. 600-667; т. 15 (1890), стр. 683-788; т. 16 (1891), стр. 113-172.
Эта монография вышла и отдельной книгой иод заглавием: «Алгебра плоскости в пространства или исчисление положения» (Москва, 1891, 229 стр.).
В предисловии к монографии говорится:
«Настоящая работа, объединяя при помощи простых обозначении методы Аналитической и Высшей Геометрии, даёт:
1)	интересные выводы при установлении основных понятий и уравнений статики;
2)	общий приём для исследования вопросов «Геометрии треугольника»;
3)	объединение методов Барицентрического Исчнсле ния Мебиуса и теории Эквпполленц Беллавитиса;
4)	простое изложение Теории Детерминантов;
5)	способ изображения на плоскости мнимых элемеи тов в геометрии, совпадающий одновременно со способами Штаудта и Лагерра.
Кроме того, мы позволяем себе предварительно обра тить внимание читателя на зависимость между уравнениями числового характера и уравнениями векторными л на пх взаимный переход из одних в другие...
МАТЕРИАЛЫ It ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
407
Считаем необходимым указать, что, исполняя настоящую работу, мы руководствовались убеждениями:
1) что обобщение понятий об операциях должно иметь вообще наиболее важное применение в математике;
2) что те из операции математики, которые имеют простейшие конкретные представители, должны иметь важнейшее значение, как теоретическое, так и прикладное.
С этой точки зрения на предлагаемую статью можно смотреть, как на первую попытку, которая может быть распространена и па другие операции математики».
Работа состоит из четырёх ьтав: Т — «Основные понятия, определения и обозначения», II —«Действия над пространственными величинами первого порядка», Ш — «Действия над пространственными величинами высших порядков», IV —«Исчисление положения».
Вводятся следующие элементы исчисления: 1) в е к-т о р—величина, имеющая длину и направление; 2) м с р-и а я площадь —площадь, заданная величиной и направлением (положением) плоскости; 3) мерная т о ч к а — величина, заданная некоторым числовым фактором и положением в пространстве некоторой точки; 4) м е р и а я част ь и р я м о ii—величина, заданная положением прямой в пространстве и длиной некоторого отрезка иа ней; 5) мерная часть и л о с к о с т и— величина, заданная положением в пространстве плоскости и величиной некоторой площади на пей; 6) можно ещё рассматривать мери ы й объём и мери у ю часть пространства трёх измерений. 1) и 3)— величины 1-го порядка; 2) и 4)—2-го порядка; 5) мерный объём—3-го порядка; мерная часть пространства—4-го порядка.
Все операции распадаются на прямые, пли производительные, и обратные, или разрешительные. Разбираются основные законы действий. Излагаются действия над векторами; связь векторов иа плоскости с обычными комплексными числами; вводятся векторные уравнения; решаются различные геометрические задачи. Далее определяется «геометрическое умножение» двух векторов (обычное «внешнее произведение») и «дополните гьпое умножение» векторов (скалярное произведение) Рассма-
408
Л. К. СУШКЕВИЧ
трнваются действия и над другими элементами исчисления. Под конец даётся краткое обозрение всей работы.
В общем можно сказать, что работа очень интересна как попытка построения алгебры геометрических образов.
Ф. Э. М о л п н1), ПеЪег Systcme liolierer complexer Zalilen (О системах высших комплексных чисел), «Mathe-mat. Annalen», т. 41 (1892), стр. 83—156.
Это—весьма солидная монография по теории гиперкомплексных чисел. Во введении приводится литература рассматриваемого вопроса и резюмируются собственные исследования автора. Работа состоит из четырёх глав: глава I—«Числовые системы и билинейные формы»; глава II—«Числовые системы и алгебраические уравнения»; глава III—«Числовые системы и принадлежащие к ним группы»; глава IV—«Числовые системы и матрицы».
Автор устанавливает некоторую нормальную форму системы основных единиц для систем гнперкомнлексных чисел, даст классификацию систем гнперкомнлексных чисел, устанавливает пх связь с iруппами и с матрицами.
Ф. Э. М о л и и, Lieber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen (Об инвариантах линейных групп подстановок), «Sitzungsbcr. der Perl. Akad.», 1897, стр. 1152—1156.
Решается проблема о числе представлений переменных неприводимой группы подстановок посредством целых однородных функций переменных другой группы, изоморфной первой.
А. П. К о т е л ь н и к о в2), Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике, «Учёные записки Казанского университета», год LXII (1895), № 9 (сентябрь), стр. 1—90; № 11 (ноябрь), стр. 79—152; год LXIII (1896), № 1 (январь), стр. 139—158; № 2 (февраль), стр. 111—114.
Ч Федор Эдуардович Молин (1862—1941) был профессором в Юрьевском университете, затем—в Томском университете. Один из создателей теории гпперкомплексных чисел.
2) Александр Петрович Котельников (1865—1944) был приват-доцентом в Казанском университете, затем профессором математики в Киевском, а с 1903 г.— в Казанском университете; с 1924 г. был профессором механики в Московском высшем техническом училище.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
409
Рассматриваемая монография является магистерской диссертацией Котельникова. «Наша задача,—писал автор,—развить полнее, чем это было сделано до сих пор, связь, существующую между числами Клиффорда, с одной стороны, и теорией Бэлла, с другой, и воспользоваться ей для доказательства некоторых теорем геометрии и механики». Затем следует обзор литературы рассматриваемого вопроса.
Движение твердого тела в каждый момент определяется угловой скоростью й вращения его вокруг некоторой его точки О и скоростью V этой точки. Совокупность этих векторов Й и V автор называет «бивектором»; если р, <7, г—составляющие вектора £2, а а, Ь, с—составляющие вектора F, то бивектор а = (й, V) автор обозначает:
где Z, /, /1 известные единицы кватернионов, a w—новый символ, — такой, что («2=0.
Рассматриваются произведения бивекторов трёх родов: скалярное, векторное и просто «произведение», которое Клиффорд назвал «бпкватерппоном»; оно имеет вид 4-<о#1, где д0 и дг—обычные кватернионы.
В главе II изложена теория бикватершюиов, которые рассматриваются как кватернионы с коэффициентами вида а +	где а, b—обычные комплексные числа, <о2=0.
Рассматриваются функции от этих чисел В главе III продолжается изложение теории бикватернионов и бивекторов л их геометрических свойств. Показывается, что основные операции над бикватернионами интерпретируются при помощи теории винтов.
Часть II, глава I, начинается с резюмирования предыдущего: «Итак, каждая теорема геометрии или механики, которая может быть доказана помощью теории кватернионов, допускает обобщение в известном направлении. Мы приходим к желаемому обобщению, если выразим теорему в виде равенств между кватернионами и затем, заменив кватернионы бпкватериионамп, будем интерпретировать их с помощью теории винтов».
В дальнейшем делается заключение: «Итак, когда координаты точки становятся комплексными числами
110
А. К. СУШКЕВ11Ч
[т. е. вида а4-а)5], они определяют бивектор, и все фор мулы и уравнения геометрии пространства трёх измерений, основным элементом которого служит точка, преобразуются в формулы и уравнения пространства шести измерений, основным (исходным) элементом которого служит бивектор». Излагаются различные случаи такого преобразования, и даются многие обобщения.
В клаве II излагается теория групп винтов: даётся классификация групп, канонический вид группы; указывается связь бикватернионов с группой (в смысле С. Ли) евклидовых движений.
В главе Ш излагаются приложен ня винтового исчисления к механике.
Рассматриваемая монография имеет интерес для алгебры, пбо в ней изучается специальный случай системы гинеркомплсксных чисел (бикватернпонов) и даются при ложения этой системы к геометрии и механике.
Сделаем теперь некоторые общие заключения.
Пз рассмотренных нами многочисленных работ но алгебре видно, как возрос интерес к ней среди русских математиков второй половины XIX в. Правда, многие из рассмотренных работ были довольно элементарны, имелись работы компилятивного и реферативного характера. Это было вполне естественно: алгеброй начали интересоваться широкие круги математиков и любителей математики в России, в частности, и преподаватели средней школы, да и наиболее способные и любознательные из учащихся старших её классов. С одной стороны, эти молодые и начинающие математики не имели ещё большой квалификации, с другой стороны, для пих-то были нужны п полезны и элементарные исследования, и компилятивные и реферативные работы, сыгравшие немалую роль в распространении у нас алгебраических знаний и навыков исследовательской работы по алгебре.
Вместе с тем мы видим, что во второй половине XIX в. в нашей стране появились и весьма серьёзные и ценные алгебраические работы. Таковы были многочисленные работы об отделении корней и о пределах корней алгебраических уравнений Мясоедова, Назимова, Маркова, Стеклова, Рахманова; магистерская диссертация Пекра-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕВРЫ В РОССИИ
411
сова о трёхчленных уравнениях; работы Лахтина о решении алгебраических уравнений посредством гннергео-метрическнх функций и при помощи дифференциальных резольвент; оригинальное изложение теории Галуа Антаевым; небольшие ио объёму, но интересные статьи Золотарёва, Коркина и задача, предложенная Ермаковым, и, наконец, интересные и оригинальные работы Сердобплского об уравнениях, в которые входят арифметические функции Е и ср. Во всех этих работах алгебра представлялась ещё в старой концепции—как теория уравнений. Но в последней четверти XIX в. появился и ряд работ, где алгебра представляется уже в новой концепции—как теория операций: это—исследования Ли венцова, Богуславского, Молина, Котельникова. Два последних автора внесли особенно важный и ценный вклад в новую тогда отрасль алгебры—теорию гпперком-плексных чисел или «линейных алгебр»), дальнейший расцвет которой относится уже. к XX в. и во многом обязан советским математикам.
Следует заметить, что во второй половине XIX в. (равно как и в первой половине) почти каждый из крупных русских математиков внёс свой вклад в развитие алгебры: мы видели, что работы по алгебре писали и Золотарёв, и Коркнн, и Имшенецкий, и А. А. Марков, и Стеклов, и Ермаков, хотя ни одни пз этих математиков не являлся специалистом по алгебре. С другой стороны, во второй половине \ IX в. у нас появляются уже и специалисты по алгебре, как Некрасов,—в ранний период его деятельности, Селиванов, Лахтин, Сохоцкий, Молин. Но «алгебраической школы» никто пз них ещё не создал; каждый работал, так сказать, «в одиночку».
Следует отметить ещё важные исследования русских математиков второй половины XIX в., имеющие во вся ком случае косвенное отношение к алгебре. Сюда относятся, в первую очередь, работы Чебышева по ортогональным полиномам, где существенную роль играют алгебраические непрерывные дроби. 13 мемуаре «Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций» («Записки Академии наук», 1857), Чебышев попутно высказал ряд интересных теорем,
412
А. К. СУШКЕВИЧ
относящихся к алгебраическим уравнениям и пх корням. Отчасти касаются алгебры и совместные работы Коркина и Золотарёва о минимумах положительных квадратичных форм (1872, 1873 и 1877), и магистерская диссертация А. А. Маркова «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (1880), и дальнейшие работы Маркова о квадратичных формах, относящиеся уже к XX в.
В 1874 г. появилась докторская диссертация Е. II. Золотарёва «Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному исчислению»; эта работа, а также появившиеся в 1878 и в 1885 гг. дополнения к иен («Sur les nombres complexes» и «Sur la theorie dos nombres complexes») представляют собой построение общей теории алгебраических чисел, которое, таким образом, первый выполнил Золотарёв, опередивший на несколько лет Дедекинда с его теорией идеалов. Хотя эти работы отпо сятся к теории чисел, по по существу их содержание касается п алгебры, ибо в них строится теория алгебра] i ческих чисел, т. е. корней алгебраических уравнений. В главе I диссертации Золотарёв рассматривает разложение целочисленных многочленов на простые множи тели по простому модулю р и применяет эту теорию к так называемым многочленам деления круга. В главе II Золотарёв даёт новое доказательство теоремы Дирихле об алгебраических единицах. В главе III он строит общую теорию идеальных чисел, основанную на свойствах функциональных сравнений, изложенных в главе I. Эти исследования относятся как к теории чисел, так и к алгебре; в 1937 г. Н. Г. Чеботарёв включил пх (несколько видоизменив) во 2-ю часть своей монографии по теории Галуа.
К тому же типу работ, стоящих на грани алгебры и теории чисел, относится магистерская и докторская диссертации Г. Ф. Вороногог): «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) п «Оо одном обобщении алгорифма непрерывных дробей» (1897).
х) Георгий Федосеевич Вороной (1868^ 1908)—замечательный математик, создавший одновременно с Мин ковским геометрическую теорию чисел; в 1889 г. он окончил Петербургский университет, с 1894 г. был профессором Варшавского университета.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
413
VI. Алгебра в России в начале XX в.
В начале XX в. (до 1917 г.) в преподавании алгебры в русских университетах существенных изменений не произошло.
Первые годы в университетах ещё действовал реакционный устав 1884 г., который только после революции 1905 г. был несколько смягчён;—тогда же была введена предметная система в преподавании. В 1909 г. был открыт университет в Саратове—самый молодой из русских университетов до 1917 г.
Как и раньше, курс высшей алгебры читался на 1-м или иа 2-м курсе физико-математических факультетов. Это был сравнительно небольшой, семестровый курс с 2—4 часами в неделю (количество недельных часов по алгебре с течением времени прибавилось); теория определителей нс входила в этот основной курс алгебры и читалась либо отдельно (1 час в неделю), либо как часть «введения в анализ».
В Петербургском университете в начале XX в. курс высшей алгебры читал проф. Ю. В. Сохоцкнй, в Киевском—проф. Д. А. Граве, в Харьковском—приват-доцент В. П. Алексеевский (а теорию определителей—приват-доцент, позже профессор А. П. Пшебор-ский), в Юрьевском университете—проф. В. Г. Алексеев (а теорию определителей вместе с введением в анализ— проф. П. П. Граве), в Казанском университете—проф. А. П. Котельников.
В Московском университете в начале XX в. общий курс алгебры читал проф. К. А. Андреев; специальный курс—«Решение уравнений в радикалах»—читал приват-доцент И. К. Богоявленский; нерегулярно читались и такие относящиеся к алгебре курсы: «Основания теории гиперкомплекспых чисел» (читал приват-доцент С. П. Виноградов), «Теория инвариантов» (читал проф. Д. Ф. Егоров).
В начале XX в. продолжают появляться учебники и монографии, относящиеся как к высшей алгебре в целом, так и к отдельным её отраслям.
Рассмотрим вкратце важнейшие из них.
414
V. К. СУШКЕВИЧ
Б. Я. Б у к р с с в1), Элементы теории определителей, Киев, 1907 (99 стр.).
Книга состоит пз 11 глав, исторического очерка и «При бавленпя»>. Сразу вводится формальным образом определитель n-го порядка (без предварительного рассмотрения определителей 2-го и 3-го порядков); затем устанавливаются основные его свойства. Миноры определяются сразу в самом общем виде. Теоремы умножения определителей и «умножения прямоугольных магрис» (обобщённая теорема умножения) доказываются следующим образом: произведение двух определителей л-го порядка даётся в виде определителя 2/г-го порядка, который затем преобразовывается. Специально разбираются епмметрп ческио, косые и ортогональные определи гели. Как при ложения определителей рассматриваются: решение систе мы линейных уравнений, результант и дискриминант, определители Вронского, Якоби и Гессе. Интересен краткий исторический очерк теории определителей. В «При бавленип» говорится о разложении определителя но элементам строки и колонны одновременно. В общем, книга хорошо составлена, интересная и, несмотря па краткость, довольно полная.
А. П. Грузии ц е в, Теория определителей, Лито граф, издание, Харьков, 1907 (107 стр.).
Книга начинается с определения определителей 2-го и 3-го порядков, исходя из систем двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Затем формально определяется определитель n-го порядка и выводятся его основные свойства, причём попутно определяются миноры п—1 порядка. Затем вводятся общие миноры, доказывается теорема Лапласа. Далее рассматрн вается система п линейных уравнений с и неизвестными (основной случай). Для теоремы умножения определителей даются два доказательства: одно—основанное на линейных подстановках, другое—как у Букреева (см. выше). Рассматриваются взаимные определители, симметрические, косые определители. Под коней приводятся
!) Борис Яковлевич Б у к р с е в (род. в 1859 г.) ныне профессор Киевского государственного университета.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ ХЛГЕБРЫ В РОССИИ
41)
примеры. Книга эта менее полна и более элементарна, чем книга Букреева.
Рассмотрим теперь алгебраические главы следующей книги:
Д. Ф. С е л и в а н о в, Курс введения в анализ, СПб., 1913 (272 стр.).
Алгебраическим вопросам посвящены следующие главы: 1 лава I—«Определители», глава III—«Комплексные числа», глава IV—«Целые рациональные функции», глава V— «Дробные рациональные функции» (в общей сложности 100 стр.).
Глава I довольно элементарна. Понятие об определи тело 2-го порядка вводится при решении системы двух линейных уравнений! с двумя неизвестными; выводятся основные свойства этих определителей. Затем формально определяются определители 3-го и n-го порядков: выводятся их основные свойства, теорема Лапласа (в частном случае), теорема умножения определителей; рассматривается система линейных уравнений (основной случай).
В главе III комплексные числа рассматриваются как пары чисел или как векторы в плоскости. Рассматриваются действия над комплексными числами, включая извлечение корня (с геометрическими приложениями).
В главе IV даются: схема Горнера деления на линейную функцию; разложение по степеням х—а\ разложение целой рациональной функции па линейные множители. Приводятся разложение на множители функции и тригонометрические приложения. В заключение даётся формула интерполяции Лагранжа.
Глава V посвящена разложению рациональных дробей на простейшие.
Эта киша весьма элементарна,— она и предназнача лась для начинающих студентов.
С. П. В и п о г р а д о в, Основания теории детерминантов, Москва, 1915 (111 стр.).
Книга состоит из 6 глав. Глава I—«Инверсии, типы подстановок, транспозиции»: глава II «Детерминанты 2-го и 3-го порядков». Они определяются при решении системы линейных уравнений с двумя и тремя непзвест-
416
А. К. СУШКЕВИЧ
ными. Выводятся их основные свойства. Глава III «Детерминант /г-го порядка». Он определяется формально; выводятся его основные свойства. Глава IV—«Миноры. Расширение понятия об адъюнкте. Понятие о матрице. Разложение детерминанта по минорам (теорема Лапласа). Умножение детерминантов. Детерминант, сопряжённый данному. Умножение матриц. Теорема об умножении детерминантов». «Сопряжённым» детерминантом к данному автор называет взаимный детерминант. Под «умножением матриц» подразумевается обобщённая теорема умножения детерминантов.
Глава V—«Симметрические детерминанты». Рассматриваются симметрический и косой симметрический детерминанты.
Глава VI—«Решение системы линейных уравнений». Рассматривается сначала основной случай. Затем даётся понятие о ранге матрицы и о преобразованиях, не изменяющих ранга матрицы (по существу,—это так называемые элементарные преобразования матрицы). Затем подробно разбирается общий случай системы линейных уравнений.
В тексте имеется много примеров, а в конце каждой главы даются примеры для упражнения. Книга в общем довольно элементарная, представляет собой хороший учебник.
В. Ф. Каган1), Основания теории определителей, Госиздат Украины, 1922 (521 стр.).
Я рассматриваю и эту монографию, хотя она вышла уже после 1917 г.; но подготовлялась она к печати раньше (напечатана ещё старым правописанием) и является, таким образом, научным продуктом ещё до-советской эпохи. По своим размерам и по количеству материала эта монография не только далеко превосходит все рассмотренные нами выше учебники по теории определителей, по и вообще является одной пз самых полных монографий по этому вопросу в мировой литературе. Она состоит пз введения
х) Вениамин Фёдорович Каган (род. в 1869 г.)— один из виднейших советских геометров, в настоящее время— профессор Московского государственного университета; до революции был при ват-до цен том* Одесского университета.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	417
и 14 глав. Во введении даётся исторический обзор вместе с обзором литературы ио теории определителей. Первые 4 главы посвящены определителям низших (1-го, 2-го и 3-го) порядков; попутно вводятся бинарные формы и пх линейные преобразования. Глава V—«Учение о перестановках». Главы VI и VII посвящены определителям 71-го порядка, их основным свойствам и их вычислению. Глава VIII—«Решение и исследование системы линейных уравнений». Глава IX—«Умножение определителей». Сначала определяется умножение матриц; затем доказывается, что определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей (доказательство—синтетическое: строится определитель произведения матриц, и путём ряда преобразований он обращается в произведение определителей). Глава X—«Разложение Лапласа». Определяются миноры различных порядков; доказывается теорема Лапласа; под конец, как следствие, выводится снова теорема умножения определителей (то же доказательство, что п у Букреева). Глава XI—«Начала общей теории линейных и квадратичных форм». Здесь говорится о линейных преобразованиях, о билинейных и квадратичных формах, об инвариантах и ковариантах. Глава XII—«Функциональные определители». Глава XIII—об определителях бесконечного порядка. Глава XIV—«Дополнения». Здесь говорится о методе Грассмана и о методе Гензеля построения теории определителей. Даётся понятие об определителях высших измерений. В конце каждой главы помещены в большом количестве примеры и задачи для упражнения,—при этом не только вычислительные, но и теоретические. В конце ’последней главы приведены задачи на все отделы курса.
В общем, книга очень интересна; особенно интересны последние главы: 13-я и 14-я. Как на недостаток сё, следует указать на слишком большую растянутость изложения,— особенно в первых, элементарных главах.
Переходим теперь к рассмотрению учебников по всему курсу высшей алгебры.
Н. А. Шапошников, Основной курс математического анализа, 1-й выпуск тома I: «Введение в высшую 27 Историко-матем. исследования
418
А. К* СУШКЕВИЧ
алгебру и в анализ неременных» (2-е изд., Москва, 1904, 144 стр.); 1-й выпуск тома II: «Основания высшей алгебры п продолжение анализа переменных с приложениями аналитическими и геометрическими» (Москва, 1908, 238 стр.).
1-й выпуск тома I состоит из двух частей: первая часть—«Введение в высшую алгебру» (60 стр.); вторая часть—«Введение в анализ переменных». Нас интересует первая часть, заключающая в себе теорию определителей и теорию «комплексов» (т. е. комплексных чисел).
Вначале, исходя пз систем линейных уравнении с двумя и тремя неизвестными, автор даёт определения определителей 2-го и 3-го порядков. Затем после предварительных сведений о перестановках формально определяется определитель /г-го порядка и выводятся его основные свойства, включая и разложение по элементам ряда, но без теоремы умножения. Затем изложено решение системы п линейных уравнений с п неизвестными (основной случай) и условие совместности системы п линейных уравнений с п — 1 неизвестными.
Далее излагается теория «комплексов»; вводятся комплексные числа нестрого; подробно говорится о геометрическом представлении их и действиях над ними, о тригонометрической форме комплексных чисел. Даются некоторые геометрические применения и решение двучленных уравнений в тригонометрической форме.
После каждого раздела приводятся упражнения.
В 1-м выпуске тома II алгебре посвящены два раздела: «Основания высшей алгебры» (26 стр.) п «Решение численных уравнений» (50 стр.).
В 1-м разделе изложены элементарные свойства целых рациональных функций, основная теорема о существовании корня, называемая «теоремой Даламбера» (доказательство—нестрогое, состоящее почти только пз одной леммы Даламбера), разложение целой рациональной функции на линейные множители, формулы Вьета, и т. и., и алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степени, при этом исследуется формула Кардано; для уравнения 4-й степенп дан способ Декарта.
Во 2-м разделе говорится о кратных корнях п их выделении, доказывается теорема Декарта (без теоремы
МАТЕРИАЛЫ К ИСТ0РШ1 АЛГЕБРЫ В РОССИИ
419
Бюдана), даются способы Лагерра и Ньютона нахождения границ корней, способ нахождения «соизмеримых» корней, теорема Штурма и способы Лагранжа и Ньютона вычисления корней. В конце даны упражнения. Учебник элементарны й.
Проф. Ю. В. Со хоц к и ii, Высшая алгебра, Изд. Комитета при физико-математическом факультете Петербургского университета, 3-е изд., 1911 (литограф., 240 стр.).
Это руководство отличается от рассмотренной нами в разделе IV книги Сохоцкого «Высшая алгебра, ч. 1, Решение численных уравнений» (1882) том, что оно изложено более сжато, богаче материалом л представляет собой полный университетский курс высшей алгебры (за исключением теории определителей, которая тогда входила в курс введения в анализ). Книга состоит пз введения, двух частей и «добавления». Во введении и части 1 (состоящей пз четырёх глав) даются предварительные сведения, основная теорема о существовании корня, теоремы о делимости целых рациональных функций, выделение кратных корней, отделение корней (способ Фурье и способ Штурма), вычисление корней (способ Ньютона) и нахождение рациональных корней. В части II (три главы) изложены теория симметрических функций, приложения симметрических функций (резольвенты, преобразование Чпрнгаузена, результант, спстема двух уравнений с двумя неизвестными), решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени. В «добавлении» изложено нахождение вещественных корней уравнения с комплексными коэффициентами. Изложение ясное и простое; как учебник книга эта очень ценна.
Б. Я. Букреев, Элементы алгебраического анализа, Лекции, читанные на Высших женских курсах в Киеве, Киев, 1912 (224 стр.).
Весь курс состоит пз введения и 16 глав. Глава I— «Общие свойства целых рациональных функций». Глава II— «Разложение целой рациональной функции на множителей; формулы Вьета». Глава III—«Общий наибольший делитель полиномов. Кратные корни. Разложение рациональных дробей на простейшие». Глава IV—«Подстановки». Глава V—«Симметрические функции». Глава VI— 27*
420
А. К. СУШКЕВИЧ
«Преобразование уравнении». Глава VII -«Результант и дискриминант». Глава VIII—«Двучленные уравнения». Глава IX—«Решение уравнений 3-й и 4-й степеней». Глава X—«Области рациональности. Приводимость и неприводимость полиномов в данной области». Глава XI— «Радикальные выражения». Теорема Абеля. Глава XII— «Невозможность алгебраического решения общего уравнения степени выше четвёртой». Глава ХШ—«Некоторые свойства уравнений с вещественными коэффициентами». Глава XIV—«Границы корней». Глава XV—«Отделение корней». Глава XVI—«Вычисление корней». В конце приведены примеры для упражнений.
Проф. Д. А. Граве1), Курс алгебраического анализа, составлен студентом К. Ф. Абрамовичем, Киев. 1910 (литограф., 512 стр.).
Это—большой курс высшей алгебры, состоящий из 10 глав.
Глава 1. О целых ф у п к ц и я х. Здесь сообщаются предварительные понятия, и доказывается непрерывность целой функции и её модуля.
Глава 2. О корнях. Доказывается основная теорема о существовании корней (вполне строго, при помощи леммы Даламбера, называемой «теоремой Коши»); доказывается теорема о непрерывности корней алгебраического уравнения; излагается выделение кратных корней.
Глава 3. О р а ц и о п а л ь и ы х функциях. Приводится разложение их на простейшие дробя.
Глава 4. Си м м е т р и ч с с к и с ф у н к н и и. Формулы Ньютона. Для основной теоремы даются два доказательства (Жирара и Коши). Понятие о результанте, исключение переменных, теорема Безу, преобразование Чпрнгаузсна, понятие о дискриминанте; понятие о неприводимости, исключение иррациональности в знаменателе.
Глава 5. О подстановках. Здесь говорит! я о группах подстановок, о подгруппах, изложена теорема
х) Д м и т р п й А л е к с а и д р о в и ч Г р а в е (1863 -1939)—один из известнейших русских математиков; в 1899—1902 гг. был профессором Харьковского университета, а с 1902 г.—профессором Киевского университета; с 1918 г.—действительный член Академии наук УССР; почётный член Академии паук СССР.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
421
Лагранжа; далее—о сопряжённых группах, об инвариантной подгруппе, теоремы Лагранжа о функциях, принадлежащих к данной группе. Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени: Лагранжа, Гудде, Чпрнгау-зепа. Заканчивается глава доказательством теоремы Абеля о неразрешимости в радикалах уравнений выше i-й степени; дано доказательство Галуа в форме Петерсена.
Глава 6. Об отделении ко р п е и. Нахождение пределов вещественных корней. Для отделения корней даётся способ Баринга и Лагранжа, упрощённый Коши: доказываются теорема Бюдана п теорема Декарта: далее говорится о функциях с перемежающимися корнями п выводится теорема В. А. Маркова: «Еслп корни функций f(x) и ф(ж) перемежаются, то перемежаются также и корпи их производных». Затем излагается способ Штурма отделения корней: для примера приводится «уравнение вековых возмущений». После этого говорится об отделении мнимых корней, -излагается теория индексов Коши. В заключение излагается способ Фурье отделения корней.	•
Глава 7. О в ы ч и с л е и и и к орле й. Способы: ложного положения, Ньютона-Фурье, Лагранжа (непрерывных дробей). В заключение даётся способ нахождения соизмеримых корней.
Глава 8. Д в у ч л е и п ы е уравнения. Теория корней из 1, уравнение деления окружности; доказательство его неприводимости (в частном случае). Решение в радикалах «абелевых» уравнений («абелевыми» Граве называет циклические уравнения). Построение правильного 5-угольника и правильного 17-угольника прп помощи циркуля и линейки.
Глава 9. Об нива р и антах. Общая теория линейных уравнений и линейных форм. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов, закон инерции квадратичных форм. Понятия о группе линейных преобразовании, об инвариантах и ковариантах, о гессиане, о совокупных инвариантах.
Глава 10. П р и б а в л с и и е. Изложение «способа Греффе» вычисления корней уравнения по лекциям
422
Л. К. СУШКЕВИЧ
А. Н. Крылова «О приближённых вычислениях»). Далее приводятся задачи и кое-какие дополнения.
Несколько позже рассмотренного литографированного курса вышла п печатная монография:
Дмитрии Граве, Элементы высшей алгебры, Киев, 1914 (698 стр.).
Эта монография является самым полным и обстоятельным русским курсом высшей алгебры. Основой её является литографированный курс, о котором мы только что говорили. Но рассматриваемая монография гораздо полнее; она содержит и теорию Галуа. Состоит она пз 20 глав. Первые две главы в основном такие же, как и в литографированном курсе. Глава III—О б алгебраических функция х. Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степени. Разложение рациональных дробей на простейшие; разложение алгебраической функции в степенной ряд. Глава IV—О б определителя х. Теория определителей /г-го порядка, включая теорему умножения и теорему Лапласа; теория линейных форм; основы исчисления матриц и теории элементарных делителей. Глава V—Т еория подстановок. Вначале сообщается общее определение абстрактной группы посредством системы постулатов Диксона. Затем излагается теория подстановок и групп подстановок; говорится о нормальных делителях, о простых группах; доказывается, что знакопеременная группа степени выше 4-й простая. В заключение даётся представление абстрактной группы посредством подстановок. Глава VI—О с н о вы исчисления инвариантов. Начала теории инвариантов и ковариантов, ортогональные преобразования, билинейные формы. Глава VII— Квадратичные формы. Представление их в виде суммы квадратов, закон инерции, эквивалент тюсть форм. Понятие об арифметической теории квадратичных форм. Глава VIII—Д а л ь н е й ш и е с в о й-с т в а целых функций. Рассматриваются фуик цип от нескольких переменных, делимость, целые рациональные инварианты. Глава IX—С и м м е т р и ч е с к и е функции. Содержание здесь то же, что и в соответствующей главе литографированного курса. Глава X
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
423
Об отделении корней. Глава XI—Т е о-р е м а Штурма. Изложено то же, что и в литографированном курсе, с некоторыми добавлениями: о полиномах, наименее уклоняющихся от нуля, теоремы Ньютона и Сильвестра (о числе корней в данном интервале), теорема Гурвица об уравнениях, корни которых имеют отрицательную вещественную часть. Глава XII—О вычислении корне й.—Нахождение соизмеримых корней; способы вычисления корней— ложного положения, Ньютона, Лагранжа, «способ Греффе», метод Гаусса для 3-членных уравнений. Глава XIII—Д в у ч л е и н ы е уравнения. Здесь изложено то же, что и в литографированном курсе, с добавлениями: неприводимость уравнения деления окружности в общем случае; относительная приводимость целых функций. Глава XIV—Т е о р и я нолей. Даётся абстрактное определение поля; понятие о характеристике поля; присоединения—алгебраическое и трансцендентное; теорема Абеля о том, что несколько алгебраических присоединений равносильны одному присоединению. Глава XV—Т е о р и я Лагранжа. Эта глава служит введением к теории Галуа. Главы XVI—XIX посвящены теории Галуа, изложенной подробно и весьма своеобразно, и её приложениям. В частности, глава XVIII— Классические виды уравнений, решаемых в радикалах. Здесь говорится об абелевых уравнениях, о циклических уравнениях и их решении, об уравнениях деления окружности и их решении способом Гаусса, о построении правильного 17-уголышка. Глава XIX—Р с ш е н и е уравнения в радикалах. Здесь даётся понятие о разрешимой группе и выводится необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах; как следствие выводится теорема Абеля о неразрешимости в радикалах уравнений степени выше 4-й в общем виде. Далее говорится об аналитическом представлении подстановок, о линейной группе, об уравнениях простой степени, для которых доказывается теорема Галуа. В последней, XX главе рассматриваются специально уравнения 5-п степени,

А. К. СУШКЕВИЧ
Пз изложенного видно, насколько велик и разнообразии материал в рассмотренной монографии Граве; можно сказать, что он не оставил без внимания ни одной ветви алгебры: о каждой алгебраической отрасли он даёт понятие; поэтому монография Граве оказалась чрезвычайно ценной для молодых, начинающих математиков, желавших специализироваться в алгебре; она давала им хорошую ориентацию для дальнейших самостоятельных занятий, да и сейчас она не утратила своего значения как хороший учебник высшей алгебры. Заметим, что такого же типа и «Элементарный курс теории чисел» Граве, изданный в Киеве в 1913 г.; это—также очень ценное руководство.
В 1908 г. вышла книга: Д. А. Г р а в е, «Теория конечных групп», Киев, 1908 (204 стр.). Это—первая монография на русском языке, посвящённая специально теории групп. Она состоит пз двух частей: часть I—«Теория подстановок» (пять глав); часть II—«Начала общей теории групп» (восемь глав). В части I излагаются свойства подстановок и групп подстановок; интересна в этой части глава 4—«О делителях симметрической группы», где доказывается теорема: «Кроме знакопеременной группы не существует транзитивного и примитивного делителя симметрической группы м-й степенп, индекс которого не больше п; единственное исключение—при п =6».
В главе 1 части II отвлечённая конечная группа определяется постулатами: I—неограниченная применимость и однозначность действия; II—ассоциативный закон; III —закон однозначной обратимости. «Метациклической» группой автор называет (по Кронекеру) то, что в настоящее время называют «разрешимой» группой. В главе 3 доказывается теорема Жордана без обобщения Гельдера. В этой же главе говорится п об абелевых группах. Глава 4—«Теоремы Сплова»; тут же доказывается и теорема Фробениуса о том, что группа, порядок которой— произведение различных простых чисел,—«метацпклпче-ская». Интересны глава 7 («Группы многогранников») и глава 8 («Группы линейных преобразований. Инварианты групп»). Книга эта не потеряла интереса и в настоящее время.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
425
Перейдём теперь к рассмотрению другой монографии по теории групп:
О. 10. Шмидт1), Абстрактная теория групп, Киев, 1916 (214 стр.).
Эта монография—одна пз немногих в мировой математической литературе, посвящённых специально теории групп; для своего времени она весьма полная. В этой книге впервые в мировой литературе дано было нзложе-нпе теории групп, без условия пх конечности. Всего в книге 10 глав. Первые 4 главы содержат материал, относящийся как к конечным, так и к бесконечным группам; лишь с главы V излагается специально теория конечных групп. В первый раз на русском языке здесь была изложена также теория характеров п некоторые пх приложения. Подробно изложены теория конечных абелевых групп (в главе VII), теория «-групп (в главе VIII). Многие доказательства теорем принадлежат самому автору, в частности доказательство теоремы Ремака о разложении конечной группы в прямое произведение. Эта теорема позже была обобщена автором на бесконечные группы особого типа, — «с конечной цепью» (напечатана в «Mathematische Zeitschrifl», т. 29 (1929), стр. 34—41).
В 1915 г. вышел учебник С. С. Б ю ш г е н с а «Высшая алгебра». Ознакомиться с ним мне ие удалось.
Упомянем ещё о книгах, по своему материалу не относящихся прямо к алгебре, по стоящих с алгеброй в тесной связи, именно, о книгах, относящихся к теории алгебраических чисел.
Проф. Д. А. Граве, Арифметическая теория алгебраических величин, т. I. Квадратичная область, Киев, 1910 (литограф., 372 стр.).
Эта книга состоит из 10 глав и «Прибавления» В. П. Вельмнна: «Об идеалах квадратичной области». Собственно, именно это прибавление и трактует об алгебраических числах (в квадратичной области); основная же часть книги посвящена арифметической теории квадратич
J) О т т о Юльевич Шмидт (род. в 1891 г.), ученик Д. Л. Граве, специалист по теории групп, а также известный полярный исследователь и автор новой теории происхождения Земли и планет, действительный член Академий паук СССР и УССР.
426
А. К. СУШКЕВИЧ
ных форм. Глава VII посвящена абелевым группам и, таким образом, всецело относится к алгебре. Книга эта является изложением специального курса лекций, который Граве читал в Киевском университете в 1909— 1910 учебном году. Книга весьма интересна.
В. П. В е л ь м и н1), Введение в теорию алгебраических чисел. Из лекции, читанных в Варшавском университете в 1912—1913 учебному году, Варшава, 1913 (137 стр.).
Книга состоит из 5 глав: глава I—«Основные понятия об алгебраических областях», глава II—«Некоторые свойства комплексной области, определяемой числом i = ] — 1», глава III—«О квадратичных вычетах в комплексной области чисел», глава IV—«Некоторые свойства пропзволь ной квадратичной области», глава V—«Теория идеалов квадратичной области». Глава I содержит много чисто алгебраического материала. Книга тоже очень интересна; по своему содержанию она значительно отличается от предыдущей.
Упомянем ещё о переводных книгах по алгебре и её отраслям того времени:
Е. Нетто, Начала теории определителей, Перевод с немецкого под ред. С. О. Шатуновского, Одесса, 1912.
Д-р Горман Ган к ель, Теория комплексных числовых систем, преимущественно обыкновенных мни мых чисел и кватернионов Гамильтона вместе с их геометрическим толкованием, Перевод с немецкого под ред. проф. Н. Н. Парфентьева, Казань, 1912 (242 стр.).
Книга эта старая: оригинал появился в 1867 г. В пей много философских размышлений, в настоящее время для нас не представляющих интереса, но есть и полезные исторические и фактические сведения.
Эрнесто Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч. 1, Перевод с немецкого с примечаниями и дополнениями проф. К. А. Поссе, Одесса, изд. Matliesis, 1913 (632 стр.).
^Владимир! Петрович »В е л ь м и н, ученик Д. А. Граве, был профессором Варшавского’унпверслтета, сейчас профессор Ростовского уппверсптста.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
427
Далеко не все отделы этой книги относятся к алгебре; название «алгебраический анализ» за границей соответствовало нашему «введению в анализ». Книга и представляет собой именно введение в анализ с прибавлением краткого курса алгебраических уравнений. Рассматриваемая «часть первая» разделяется па 5 «книг»; к алгебре относятся: книга I—«Теория определителей. Линейные и квадратичные формы», книга IV—«Комплексные числа и кватернионы», книга V—«Алгебраические уравнения», о которых говорится довольно подробно; есть и теорема о существовании корней, называемая «теоремой Даламбера» (доказательство типа 2-го доказательства Гаусса плп Гордана), есть и теорема о невозможности решения в радикалах уравнений степени выше 4-й (называемая «теоремой Руффини»). Книга составлена хорошо.
Переходим к обзору руководств по элементарной алгебре. В средних учебных заведениях как руководство по элементарной алгебре продолжал господствовать учебник Киселёва. В 1911 г. появился «Курс алгебры» К. Ф. Ле-бедпнцева. Этот хороший учебник проникнут идеей функциональной зависимости и графического представления функции. Кроме того, появились хорошие переводные книги по элементарной алгебре, а именно:
Вебер пВельштейн, Энциклопедия элементарной математики, I, Элементарная алгебра и* анализ, Перевод с немецкого под ред. В. Ф. Кагана, изд. Mathesis, Одесса, 1911 (663 стр.).
Эта монография содержит наиболее полное изложение всех вопросов элементарной алгебры и прилежащих к ней математических разделов.
Рассматриваемый том I разделяется на 3 «книги»: I—«Основания арифметики», II—«Алгебра», III—«Анализ», последняя книга к алгебре уже не относится. В книге I изложены: начала теории множеств, теория целых чисел, дробей, иррациональных чисел, отношения, степени п логарифмы, уравнения 1 й степени, квадратные уравнения и мнимые числа, перестановки п сочетания, бином Ньютона и прогрессия; т. о. по существу почти всё, что относится к элементарной алгебре. Книга II ^одержит общую теорию алгебраических уравнений.
428
Л. К. СУШКЕВИЧ
включая п основную теорему о существовании корня, неопределённые уравнения 1-й и 2-й степени, непрерывные дроби, алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степени, приближённое вычисление корней, деление окружности п доказательства невозможности, включая и невозможность решения в радикалах общего уравнения 5-й степени; всё это относится уже к высшей алгебре и к теории чисел. Рассматриваемая монография, конечно, не учебник для начинающих; это—книга для преподавателей.
Ф. Клейн, Вопросы элементарной и высшей математики, ч. I. Арифметика, алгебра, анализ, Перевод Д. Крыжановского под ред. В. Ф. Кагана, изд. Mathesis, Одесса, 1912 (XIX 4-486 +16 стр.)1).
Эта книга—перевод лекций Клейна, читанных им для преподавателей математики, под заглавием: «Elemen-tarmathematik vom lioheren Standpunkte aus» («Элементарная математика с высшей точки зрения»). Конечно, это—тоже не учебник для школьников. Отличается эта книга от предыдущей тем, что она имеет методический характер, автор не только излагает материал, но даёт указания относительно его преподавания, исторические справки п т. п. По материалу и эта книга, конечно, выходит за рамки обычной элементарной алгебры. Как «приложения» приводятся доказательства трансцендентности чисел е и тс и учение о множествах.
Э. Борел ь, Элементарная математика, I. Арпфме тика и алгебра, Перевод с немецкого издания, обработан ного проф. П. Штеккелем, под ред. В. Ф. Кагана, изд. Mathesis, Одесса, 1911 г. (433 стр.) (2-е изд.—Госиздат Украины, 1923).
Алгебра занимает в этой книге 313 страниц—главы X—XX. Учебник этот—нового типа; здесь широко используется геометрическое представление; даётся понятие о функции и о графическом изображении функции, даются графики простейших функций и т. п. По материалу учоо пик не выходит за рамки обычного курса элемента!) ной алгебры. В начале книги помещена статья В. Ф. К а
Второе издание этой книги вышло в 1933 г. иод названием. «Элементарная математика с точки зрения высшей».
МАТЕРИАЛЫ 1 ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
42
гаиа: «Реформа преподавания математики в средних школах Франции и Германии».
В начале XX в. оживляется методическая работа средн преподавателей математики средних школ. Так, в Москве при Обществе распространения технических знаний в 1900 1908 гг. работал кружок преподавателей математики, из которого вырос Московский математический кружок; в нём насчитывалось около 150 членов; председателем его был проф. Б. К. Млодзесвский, заместителем проф. А. К. Власов: с 1911 г. этот кружок выпускал журнал «Математическое образование», редактором которого был приват-доцент II. II. Чистяков. В Петербурге ещё в 1885 г. был создай отдел математики при Педагогическом музее военно-учебных заведений. Математические кружки, подобные Московскому, возникли и в других городах: в Риге (1908), Новочеркасске (1908), Орле (1911) и др. Упомянем ещё о двух всероссийских съездах преподавателей математики—в январе 1912 г. и в январе 1915 г., в которых кроме преподавателей средней школы участвовали и многие профессора.
Переходим теперь к обзору русских научных работ по алгебре в начале XX в. Мы будем рассматривать работы в их хронологической последовательности.
Д. А. Г р а в е, О некоторых приложениях определителей, «Математический сборник», т. 22 (1901), стр. 243—253.
Даются приложения определителей n-го порядка к евклидову пространству п измерений; преобразование координат, гиперплоскости /е го порядка, мпоготочникп и т. п.
Б. Н е в э н г л о в с к и й, Сокращённый способ извлечения квадратного корня (заимствов. пз «Wiodomosci Matematyezne» за 1901 г.), «Вестппк опытной физики и элементарной математики», № 299 (1901), стр. 254— 257. (Перевёл Ц. Р.)
Если найдена часть корпя, то остальная часть находится делением остатка иа удвоенную найденную часть корня (это—способ Ньютона для случая квадратного корня). Даются кое-какие уточнения.
Препод. Вл. К о п т е р, Извлечение корпя какой угодно степени, Перевод статьи из «Методологии мате
430
К. СУШКЕВИЧ
матики» Доза, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 297 (1901), стр. 202—203.
Обобщение правила извлечения квадратного корня на извлечение корня т-ii степени (статья элементарная и неоригинальная).
Н. Р. (Одесса)1), Новые приёмы решения уравнений 3-й и 4-й степенп, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 305 (1901), стр. 102—108.
Автор излагает способ решения кубического уравнения /V. Плескб и обобщение этого способа на уравнения 4-й степени Гаяшп. Сущность этого способа в том, что уравнение приводится предварительно к особому виду посредством линейной подстановки.
Именно, кубическое уравнение
ж3 + рх + q - 0
подстановкой х = у , где р2/.2 — 9<у/. — Ър = 0, приводится к виду
з3— 3>bz -j- b -j-62 0,
где b	причём заранее найдены корни z:
О
21 = - V"Ь - / б5,	Z, = - s, 3/b - г2 У
Z3----г2
где ?! и г2 — первообразные кубические корни из единицы.
Уравнение 4-й степени:
х4 + рх2 + qx + г = 0
»	Z
подстановкой х — у- приводится к виду
z l - 2 (а + b) z2 - 8з + (Ь - а)"- -А = 0,
для которого
!) Автор этой статьи неизвестен.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
431
Здесь Z, a, b определяются из уравнений
= — 2 (я 4-6),	8, rZ4 (« —6)2—у.
Б. Я. Б у к р е е в, К вопросу о композиции групп, «Киевские университетские известия», год XL] (1901), № 3, стр. 1 — 4.
Небольшая заметка о сопряжённых подгруппах, об инвариантных, в частности, о максимальных инвариантных подгруппах.
В. П. Ермаков, Алгебраические уравнения, решаемые в радикалах, «Киевские университетские известия», год XLI (1901), № 5, стр. 1—101. (Есть и отдельное издание.)
Работа представляет собой своеобразное изложение теории Галуа. В предисловии автор ставит для решения 6 вопросов:
1)	Какие условия необходимы и достаточны для решения алгебраических уравнений в радикалах?
2)	Показать, что эти условия выполняются для уравнений первых четырёх степеней.
3)	Показать, что общее уравнение выше 4-й степени не решается в радикалах.
4)	Как узнать, решается ли данное уравнение в радикалах?
5)	Как находятся корни уравнения, решаемого в радикалах?
6)	Как составить общее уравнение данной степени, решаемое в радикалах? Иначе: как составить общее радикальное выражение, имеющее данное число значений?
Автор говорит далее: «Я задался целью изложить вопрос в самой простой, краткой и ясной форме. Композиция групп оказалась совсем излишнею. По этого мало: из теории подстановок понадобились лишь немногие начальные теоремы... Я указываю правила, как находить простейшую форму корня уравнения, решаемого в радикалах. Полагаю, что мне удалось найти простое решение всех указанных выше шести вопросов... Можно указать форму радикального выражения и расположение радикалов; остаётся ещё решить вопрос: как подобрать
432
А. К. СУШКЕВ11Ч
числа, стоящие под радикалами, чтобы всё выражение действительно имело данное число значений».
Излагается теория подстановок п групп подстановок, говорится о подстановках, допускаемых данной функцией, о резольвенте Галуа, о группе уравнения. Выводятся необходимые условия разрешимости уравнения в радикалах (формулируется сложно, но в конце концов дело сводится к разрешимости группы); только такую разрешимую группу Ермаков называет «группой Галуа». Далее определяется инвариантная подгруппа. Доказывается, что выведенные необходимые условия разрешимости уравнения в радикалах и достаточны. Рассматриваются уравнения 3-й и 4-й степени с точки зрения теории Галуа. Доказывается невозможность решения в радикалах уравнения степени выше 4-й в общем виде. Затем говорится о трап зитивных и нетранзнтивных группах, доказывается, что группа подстановок, соответствующая резольвенте Галуа, транзнтивна. Говорится о непримптивных уравнениях п соответствующих им группах; о циклических уравнениях; о метацнклическнх функциях корней уравнения; об уравнениях 5-й степени, решаемых в радикалах.
Изложение не вполне строгое. Автор почему-то избегает понятия поля (области рациональности) и тем вносит неясности. Имеются промахи.
В. Г. Алексеев, Новый способ определения числовых коэффициентов при разложении символических произведений в ряды по полярам их элементарных ковариантов и по возрастающим степеням (xy), (xz), (yz), . .., «Математический сборник», т. 22 (1901), стр. 143—153.
Работа относится к символической теории инвариантов Клсбша и Гордана. Излагается способ вычисления коэффициентов в разложениях символических произведений, который даёт возможность получить формулы для более сложных символических произведений.
Л. К. Лахти и, Решение алгебраического уравнения 6-й степени общего вида помощью дифференциальных резольвент 3-го порядка, «Математический сборник», т. 22 (1901), стр. 181-217.
«Всякое уравнение 6-й степени,—говорит автор,— действительно может быть разрешено в интегралах пеко-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
433
торого линейного дифференциального уравнения 3-го порядка. Правда, это решение, по существу дела, сложно и непригодно для практических целей; тем но менее я думаю, что оно заслуживает внимания, потому что обнаруживает те элементы, не выразимые в радикалах, которые способны дать решение уравнения 6-й степени».
Сначала вводятся линейные координаты в пространстве; указывается на взаимное соответствие между корнями уравнения 6-й степени, координатами точек в пространстве и координатами прямых некоторого линейного комплекса. Даётся группа коллинеаций точек пространства, изоморфная со знакопеременной группой Г3б0 уравнения 6-й степени, и т. д. В конце даётся общее заключение. Говорится, что «интерес этих исследований — в том, что они обнаруживают те функции с возможно меньшим числом аргументов, которые позволяют нам помощью аналитических формул выражать корни алгебраических уравнений. Эти функции оказываются интегралами дифференциальных уравнений плп резольвент. Кроме того, мы можем находить простейшие виды алгебраических уравнений, наиболее легко разрешаемых этим способом».
Л. К. Лахтин, Дифференциальная резольвента алгебраического уравнения 6-й степени общего вида, «Математический сборник», т. 22 (1901), стр. 589—657.
Эта работа представляет дальнейшее развитие предыдущей работы. Автору удалось построить довольно простую систему трёх линейных совокупных уравнений с частными производными 2-го порядка относительно двух независимых переменных. Из этих уравнений получаются весьма просто дифференциальные резольвенты 3-го порядка.
М. П о п р у ж е н к о, Заметка по поводу решений трёхчленных уравнений, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 333 (1902), стр. 206 — 208.
Речь идёт об уравнении вида
xQ рх3 + q3 О, которое решается весьма просто. Из этого уравнения выводим:
ж3 + /' + (1)8 = 0:
28 Историко-матем. исследования
434
А. К. СУШКЕВИЧ
пусть х 4- y = у\ тогда
У3 — ?>qy + р = 0;
п получаем для у формулу Кардано.
Даются некоторые исторические указания.
Прпв.-доц. Г. Пфейффер1), Разделение радикалов в решении абелевых уравнений, «Киевские университетские известия», год XLII (1902), № 5, стр. 1—6.
Сначала изложено «представление абелевой группы в виде щ опзведенпя групп, нс разлагающихся на множителей». Если группа Галуа G абелева уравнения j (х)~ 0 разложена на множители G— ГЛГ„ .. . Г,., и мы найдём уравне нпя с группами ГЛ, Гц, ..., Гг„ то корни данного уравнения /(?’)—0 выражаются рационально через корни этих вспомогательных уравнений.
Пр.-доц. Пфейффе р, Решение двучленных уравнений сложных степеней, «Киевские университетские известия», год XLII (1902), № 5, стр. 1 — 14.
После элементарных определений разбираются при меры:
Х30: <г'£0 — я15 + я10 — х5 4-1 = 0;
Х3(. = я12 — xG 4- I =0;	Х24 = ж8 — ж4 4-1 = 0;
решается каждое из этих уравнений. Эти решения преобразовываются на основании предыдущей работы.
Е. Л. Буницкий, Отделение вещественных корней алгебраических уравнений, «Труды математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей (в Одессе)», т. 20 (1902), XXXIX-XL.
Пусть Л—верхний предел абсолютной величины корней уравнения j(x) = O (без кратных корней), a F (х) и? (г)—два полинома таких, что
F(z) /(х) + <? (ж) /' (ж) = 1;
0 Георгий Васильевич Пфейффер (1872—1946), профессор Киевского университета, а в советское время—член Украинской Академии паук; специалист по теории дифференциальных уравнений с частными производными.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ	435
ср! (х) — функция, получающаяся из <р(ж), если коэффициенты заменить пх абсолютными величинами. Автор дока-
зывает, что модуль разности любых двух корней уравнения
/ (х) = 0 больше, чем g^p,-(Л)
(ш — степень
уравнения).
Г. П. К а ч е п о в с к и й, О решении уравнений 3-й и 4-й степени, «Труды математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей», т. 20 (1902), Х-ХП.
Уравненпе
ж3-|-Лх-} В 0
посредством подстановки
х =	— у A sin О
принимает вид
|/ — (4 ?Q3 sin (30) 4- 4 /? =0.
Еслп р,а — р,Ь р, с — /? —корпи уравнения х* -J- Ах2 + Вх + С — О, то а, Ь, с—корпи уравнения
хв - 2Ах4 р (4А2 - 16С2) х2 - В2 = 0, которое распадается па два кубических уравнения:
ж3 ± тх2 -г 4 х ± 1 = 0
с корнями (соответственно) а, Ъ, с и —а, — 6, — с. Даются квадратные уравнения для вычисления т, н.
А. А. М а р к о в, Об установленной Чебышевым алгебраической теореме, «Бюллетени Академии наук», (5), 18 (1903), стр. 1.-13.
Доказываются следующие теоремы:
1)	Еслп /(#) — целая рациональная функция /г-й степени, и в интервале (а, Ь) в ряде /(.г), /'(•**)> • • •,/(п) (#) не меняется число перемен знака, то точная нижняя
28*
436
А. К. СУШКЕВИЧ
граница для /(&) — /(«) есть
и
(п-1)!
(Ь — а)п
при п нечётном
2
прп п чётном.
2)	Два ряда: /(а), /'(а)....../(п)(«)	11 /(’»> /'(ь)-
/<п>(6), не могут пметь одно и то же число перемен
знака, если
fe-a=±7/“/(fl)< где
.	(п — 1)!
Л == г/» л й' ПРП 11 нечетном [(V)']
и а	(п—1)!
Л., = —— ---— прп п четном;
G)'m'
,	/(а)
знак ± тот же, что ну— v .
/ \а)
3)	’Если Вп = Мах	(Z — целое число), и если
/(ж) = 0 имеет только вещественные корни, то по крап ней мере один из этих корней лежит между а (а—любое) и
2П/ —’----- / )
а ± V	где знак ± тот же, что и у —	.
Д. С. М и р и м а нов, Sur I’equation (х 4- l)z — xl — — 1 = 0, «Nouvelles Annales de math.», (4), 3 (1903), стр. 385 — 397.
Это уравнение играет роль в теории чисел. В дайной работе оно исследуется алгебраически: определяются его вещественные и двойные корни, исследуется неприводимость остающегося множителя.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
437
Д. Граве, Свойства гессиана, «Киевские университетские известия», № 6 (1903), стр. 1 — 9.
Если (р(я, у), 6 (х, у) — бинарные формы с вещественными перемежающимися корнями, то и <pj, Ф£ и ф' имеют перемежающиеся корни; ^Ф^ — не имеет вещественных корней. Отсюда следует, что если форма /(я, у) имеет все вещественные корни, то её гессиан не
имеет вещественных корней, и т. и.
13. Алексеев, Ueber das Endlichkeitsproblem in der
Chemie (О проблеме конечности в химии), «Zeitschr. fiir physikal. Chemie» (6), 38 (1903), стр. 750—753.
Проводятся некоторые аналогии между теорией форм
(и их инвариантов) и теорией «изомеров» в химии.
Г. В. Пфейффер, Группы многогранников, «Киевские университетские известия», № 5, 6, 10 (1903), 128 стр.
Эта работа—магистерская диссертация автора. В главе I даётся литературный обзор. Глава II—«Основные
понятия теории групп», глава III —«Группы вращений многогранников», глава IV—«Конечные группы линей-
ных подстановок с комплексными коэффициентами»,
глава V—«Обобщение групп многогранников присоеди-
нением отражений от плоскостей симметрии и инверсий»,
глава VI — представление подстановки z'
az + b
посРед-
ством двух инверсий относительно двух кругов; исследование разных типов линейных подстановок. Глава VII —«Некоторые теоремы об инверсиях относительно кругов», и т. п.
В. П. В е л ь м и н, Решение неопределённого уравнения ит 4-	= wk, «Математический сборник», т. 24
(1903-1904), стр. 633-661.
Эта задача была предложена Ермаковым в 20-м томе «Математического сборника» (см. выше, раздел V); u, г>, w — целые рациональные функции одного переменного; щ, п, к — целые числа > 1. Вельмпн решил эту задачу в полном объёме. Он находит 6 видов таких уравнений:
1)	-|-г?2 = ср2;	2) w,n = y24-(p2;	3) и3 -Ь у3 = w2;
4) к4у3 = (р2;	5) y3 = zi4 + tp2;	6) к5 + у3 = w2.
Каждое из этих уравнений Вельмин отдельно решает; последние 20 страниц работы посвящены случаю 6);
438
А. К. СУШКЕВИЧ
Вельмин даёт его общее решение, но но доказывает, что оно —самое общее, ибо элементарного доказательства ему не удалось найти.
Д. К. Руссьян, О новом свойстве симметрического детерминанта, «Труды математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей», 26 (1904), X —XIV.
Доказывается теорема: еслп симметрический или кососимметрический определитель равеи нулю, а также равна пулю сумма его первых миноров, соответствующих диагональным элементам, то все первые миноры определителя равны нулю.
Г. Вороной, Sur une propriete du discriminant des fonctions entieres (Об одном свойстве дискриминанта целых функций), «Verh. d. 3. internationalen Mathem. Kongress in Heidelberg» (1904), стр. 186 — 189.
Еслп F (x) — целая функция с целыми коэффициентами и с дискриминантом D Ф 0, ар — простое число, не входящее множителем в D и
Р (®) = ¥1 (*) Ъ («)••• ?> И (mod />), где ©и о2, ..., фг — неприводимые функции, то
(у)
И. Ч е р н у ш е п к о, О некоторых свойствах лога-
рифмов, «Вестник опытной физики и элементарной математики» (1905), № 397, стр. 14—19; № 399, стр. 59—66; № 400, стр. 86 — 89.
Автор вводит новое обозначение для логарифма, по его мнению, более подходящее, если рассматривать логарифмирование как действие:
logt«-£
ат а тогда:
ь _	1
а / а X ’
а	с   а	с
d	Ь	b	d '
Выводятся и др. формулы.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
439
А.	С. В е р е б р ю с о в, О выражении радикалов и корней уравнений непрерывными дробями, «Математп ческий сборник», т. 26 (1906), стр. 95—104.
Даются некоторые практические приёмы разложения в непрерывную дробь радикалов и корней алгебраических уравнений. Приводятся примеры.
А. С. Веребрюсов, Обращение корня квадратного уравнения в непрерывную дробь, «Математический сборник» т. 26 (1906), стр. 105—109.
Даётся очень простое правило вычисления последовательных частных непрерывной дроби, выражающей квадратный корень. Приводятся примеры.
П. П. Граве1), К вопросу о тригонометрическом решении разрешимых алгебраических уравнений, «Математический сборник», т. 26 (1906), стр. 199 — 241.
Даются способы тригонометрического решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени; наиболее сложный случай представляют уравнения 4-й степени, где применяются и эллиптические функции. Уравнению 4-й степенп посвящены 28 страниц работы.
П. П. Граве, Дополнение к статье «О тригонометрическом решении разрешимых алгебраических уравнений», «Математический сборник», т. 26 (1906), стр. 491 — 495.
Некоторые формулы предыдущей работы приводятся к виду, более удобному для вычисления.
В.	П. Ермаков, Общая форма радикального выражения, имеющего 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 значений, Киев, 1904 (36 стр.).
Исходя из общей формы радикального выражения, имеющего 3 значения, выводится решение кубического уравнения в радикалах; рассматриваются циклические уравнения 3-й и 4-й степени; выводится необходимый и достаточный признак разрешимости уравнения 5-й степенп в радикалах (теорема Галуа); даётся общая форма неприводимого уравнения 5-й степени, решаемого в радикалах; рассматриваются циклическое уравнение 5-й
х) Платон П л а то но в и ч ]Г ра в е (1867—1919) был профессором математики Юрьсвского^университета.
440
А. К. СУШКЕВИЧ
степени, трёхчленное уравнение 5-й степени, циклическое уравнение 6-й, 7-й и 8-й степени, общая форма радикального выражения, имеющего 9 значений.
Делается заключение: циклическое уравнение всякой степени решается в радикалах. Если степень уравнения — произведение неравных простых множителей, то при мптивное уравнение такой степени не решается в радикалах. Если степень уравнения—простое число или степень простого числа, и уравнение решается в радикалах, то подкоренные выражения — корни циклического уравнения степени на 1 меньше, чем степень данного уравнения. Исключение представляет уравнение 4-й степени, пбо разрешающее кубическое уравнение может и не быть циклическим.
Способ изложения в работе — элементарный; автор сознательно избегает обычных понятий теории Галуа.
М. 3 н м и н, Приближённое вычисление корней квадратного уравнения, «Вестник опытной физики и элементарной математики» (1909), № 493, стр. 1—7 и № 494, стр. 32 — 41.
Применяется метод итераций; квадратное уравнение берётся в виде
х а 4- при а > 0 и Р > 0,
затем—в виде х а + при различных у. Как частный случай рассматривается извлечение квадратного корня. В конце даётся геометрическая интерпретация.
В. Каган, Что такое алгебра? «Вестник опытной
физики и элементарной математики» (1909), № 498, стр. 121-127; № 502, стр. 225-231, № 503-501, стр. 258 — 268. (Есть и отдельное издание.)
Очень интересная статья, содержащая разные определения алгебры, данные разными математиками и помещённые в разных учебниках; даётся также исторический очерк развития алгебры. Однако заключение автора: алгебра —отдел математики, изучающий алгебраические функции, — несправедливо.
Н. А. А г р о н о м о в, Числовые тождества, нахо
дящиеся в связи со свойствами символов, подобных сим-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
441
волу Е, «Математический сборник», т. 27 (1909)* стр. 452 -476.
Пусть ф (х) — аналитическая пли числовая возрастающая функция; х принимает целые значения в интервале (m, со); N — любое вещественное число. Пусть ф(л) <АТ < ф (а 4-1); тогда ЕЕ ф(л) (а —целое); Е — «числовой символ 1-го рода», ф (х) — «направляющая функция», ф (а) — значение числа А’ по функции ф(х)ъ, а—-«модуль числа N по функции ф(х)». Э^Х)Е означает число чисел формы ф(х) (х целое) в промежутке от х~-т до х а.
Рассматривается, далее, операция А’, совершаемая над числами а и Ь: аХЬ с; обратные операции обозначаются bYc=a, cZa = b. Рассматриваются только такие операции X, при которых с возрастает (или не убывает) с возрастанием а и 6; и, 6, с выражаются однозначно друг через друга.
Выводятся теоремы, относящиеся к введённым выше понятиям и символам. Рассматриваются частные случаи операций (сложение, умножение, возвышение в степень). Автор указывает, что многочисленные тождества, выведенные Н. В. Бугаевым в его работе «Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е», являются весьма частными случаями общей теоремы па стоящей работы.
М. И. А к н м о в, О первом гауссовом доказательстве основной теоремы алгебры и о доказательстве Коши, «Труды Горного института», 2 (1909), стр. 69 — 71.
Для доказательства существования комплексного корня уравнения и 4- iv — 0 (где и 4- w — функция от х 4- iy) достаточно доказать, что минимум и2 при условиях: ь — О, ди dv ди dv ъ	г	г,
х- • и--5- • д- = 0 не может оыть отличным от нуля. Это
дх ду ду дх	J
в работе и доказывается.
И. П. Долбня, Повое доказательство основной теоремы алгебры, «Труды Горного института», 1 (1908), стр. 275-276.
Если начало координат внутри контура, то прп обходе контура точкой х аргумент хт меняется на 2т~. Если
/' (Хо) = 1" (*о) = • • •	>(*0) = 0 ф (ж0),
442
А. К. СУШКЕВИЧ
то при обходе контура с точкой ж0 внутри его аргумент / (#о + ~ / (хо) меняется на 2гк. Следовательно, можно выбрать h так, что при / (ж0) # 0 будет | / (.г0 + Л) | < < | /(я0)|, —то, что требуется в лемме Даламбера.
Д. Граве, Sur les equations du cinquieme degre resoluble algebriquement, quand 1c produit des racines reste arbitraire (О разрешимых алгебраически уравнениях 5-й степени, у которых произведение корней остаётся произвольным), «Darboux Bulletin» (2), 34 (1910), стр. 23-29.
Автор ставит задачу: найти все алгебраически разрешимые уравнения вида
х5 + Юрх3 + lO^x2 4- 5гх Ь s — О,
где р, q, г — рациональные числа, a s произвольно: р, q, г надо выбрать так, чтобы резольвента 6-й степени имела корень, рационально выражаемый через $. Автор находит такие два решения: х5 4- s - 0; х5 + Юрх3 4- 20/;2я 4- s — О (это уравнение то же, что уравнение деления угла на 5 равных частей). Автор находит ещё такое уравнение (но не с произвольным $):
х5 4- 5 (ж3 4- ж2 + х) — 17,5 - 0.
И. И. Ч н с т я к о в, Решение одного трансцендентного уравнения, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 534 (1911), стр. 159—162.
Автор рассматривает уравнение 2ж = 4ж и сводит его к уравнению x — tgx = m.
В. Романовский, Заметка о симметрических функциях, «Математический сборник», т. 27 (1911), стр. 565-579.
Даются новые доказательства для некоторых формул, относящихся к симметрическим функциям, посредством определителей.
П. И. Свешников (директор Войскового реального училища в Уральске), Определение приближенных значений корней уравнений 4-й степенп с целыми коэффициентами при помощи последовательных вычптаннй. «Известия физико-математического общества при Казанском университете», 2-я сер., т. XVIII (1912), стр. 68—71.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
443
Автор исходит пз формул:
1 + 3 + 5 + ... + (2л — 1) = я2;
1 + 74- 194- ... +(3/г2-3« + 1) = п3;
1 + 15 + 65 + ... + (4//3 — 6я2 + 4я — 1) — /г4.
Пусть уравнение ж4 +	4- ДО2 4 гх 4- $ = 0 имеет целый
корень п > 0, тогда п* + рп3 + qn2 4- гп = — $•; но левая часть —сумма п членов ряда (1 + // + g т г), (15 + р • 7 + 4-# • 3 4-г)... Из — s вычитаем члены этого ряда, пока нс получим U или нс переменится знак остатка. Число
произведённых вычитаний равно искомому целому корню
(при остатке, равном 0), или целой части искомого корня. Для приближённого вычисления корня с точностью до
1 10п
надо составить уравнение, корни которого
в 10п раз
более корней данного уравнения; можно постепенно увеличивать корни в 10, 100, 1000, ... раз. Этот же способ применим и к кубическим уравнениям.
П. Свешников, Решение уравнений пятой степени способом последовательных вычитаний, «Известия физико-математического общества при Казанском университете», 2-я серия, т. XVIII (1912), стр. 72 — 77.
Тот же способ, что и в предыдущей работе, применяется к уравнению 5-й степени. Кроме формул предыдущей работы, применяется ещё формула:
1 + 31 + 211+781+ ... +(5п1-10п3+ 10п2-5д + 1) = /г5.
Того же тина и следующие работы:
II. И. С в е ш и и к о в, Решение квадратного и кубического уравнения с целыми коэффициентами посредством вычитания, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 260 (1912), стр. 216 — 220.
П. II. Свешников, Метод вычисления положительных корней численного кубического уравнения, аналогичный методу извлечения кубических корней пз чисел, «Вестник Оренбургского учебного округа», № 3 (1912), стр. 5.
П. II. Свешников, Решение уравнений высших степеней, Уфа, 1912 (10 стр.).
444
А. К. СУШКЕВИЧ
А. П. II ше борский, О теореме Лагер'ра, «Записки Харьковского университета», 1912.
Доказывается в самом общем виде теорема, данная Лагерром (в соч. «Sur la theorie des equations numeriques», Oeuvres, I, стр. 3 — 50) при известных ограничениях.
В. Ф. Каган, О нахождении рациональных кор ней алгебраических уравнений, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 580 (1913), стр. 89 —91.
Автор доказывает элементарным способом, что если алгебраическое уравнение имеет рациональный кореш, — (??1, — взаимно простые), то т — делитель свооодпого члена, а /7 — делитель старшего коэффициента уравнения.
Дмитрий Граве, Об основных положениях теории Галуа, «Математический сборник», т. 29 (1913), стр. 153 — 170.
Работа представляет собой, как говорит автор, «опьп нового, более простого и в то же время совершенно Полного и строгого изложения основных положений теории Галуа».
Проводится строгое разграничение «буквенных» и «численных» уравнений. «Я докажу, — говорит автор,— знаменитые теоремы Лагранжа для буквенных уравнений, а затем, при помощи приёма, заимствованного у Кронекера, я покажу сразу, что все эти теоремы будут иметь место п для численных уравнений, если вместо всей симметрической группы рассматривать подстановки только пз группы Галуа». За корень резоль вентыГалуа автор берёт функцию £ =	+t2x2 + ... + tnxni
где яр я2, ..., яп —корни данного уравнения, a t2, ... ..., tn -независимые переменные (изложение то же, что п в учебнике Граве «Элементы высшей алгебры»).
М. С. Б р пт м а н, О делимости выражения (я + у)т — хп — у.п на трёхчлен я2+xyJry2i «Вестник опытной физики и элементарной математики», №622 (1914), стр. 240 — 248.
Эта делимость была доказана Коши. Автор приводит доказательство Коши и даёт ещё своё собственное.
В. Ф. Каган, О законе тождества целых функций, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 622 (1914), стр. 225-231.
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
445
Автор приводит ряд теорем о тождественном равенстве нулю целом рациональной функции и о тождественности двух целых рациональных функций.
О. 10. III м и д т, Ueber die Zerlegung endlicher Grup pen in direkte unzerlegbarc Faktorcn (О разложении конечных групп на прямые неразложимые множители), «Отчёты и протоколы Физико-математического общества прп Киевском университете» за 1912 г., стр. 1—6.
‘ Автор даёт повое доказательство теоремы Ремака. Это доказательство автор позже поместил в свою монографию «Абстрактная теория групп» (см. выше).
В 1929 г. О. 10. Шмидт обобщил эту теорему (называемую теперь теоремой Ремака-Шмидта) на так называемые бесконечные группы с конечной цепью (в работе: «Ueber unendliche Gruppen mit endlicher Kette», «Math. Zeitschrift», t. 29 (1929), стр. 34—41.
0. 10. Шмид т, Об уравнениях, решаемых в радикалах, степень которых есть степень простого числа, «Киевские университетские известия», № 9 (1913), стр. 1 — 60. (Сочинение, удостоенное золотой медали физико-математическим факультетом Киевского университета.)
Во введении (7 стр.) даётся хороший исторический обзор вопроса. Далее следуют три главы. В главе I отыскивается общая группа подстановок в поле, подгруппой которой должна быть группа всякого примитивного разрешимого уравнения степени рп, и рассматриваются её свойства. В главе II рассматриваются примитивные разрешимые группы геометрических подстановок. В главе III отыскиваются примитивные разрешимые группы степени р2. Пользуясь своим методом, автор получает результаты Жордана. Автор находит, что существуют три типа общих примарных разрешимых групп степени р2.
О. 10. Шмидт, Sur les produits directs (О прямых произведениях), «Bulletin de la Soc. Math, de France», t. 41 (1913), стр. 161 — 164.
Автор находит неточность в доказательстве де-Сегье теоремы Ремака и даёт своё доказательство этой теоремы.
Д. Г р а в е, Sur les sommes de Gauss (О суммах Гаусса), Сообщения Харьковского математического общества, сер. 2, т. 14 (1915), стр. 202-208.
44G	А. К. СУШКЕВИЧ
Выводится ряд свойств сумм
ф (2а, п) 2 е " ’
8 = 0
где п — целое нечётное число >0, а и—взаимно простое с п.
Дмитрий Граве, О периодических непрерывных дробях, «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 14 (1915), стр. 239—246.
Рассматривается квадратное уравнение с коэффициентами из данного алгебраического поля 9 н-й степени. Если х — его корень, то пусть aY — целое число пз 9, возможно более близкое к х\ х = а1-\- — ; находим целое число а2 из 9, возможно более близкое к ху; и т. д.; разложим х в непрерывную дробь. Как частные случаи рассматриваются гауссово поле рациональных комплексных чисел, затем —поле с базисом 1, i, О, 0Z, где О2 -/(О — корень 8-й степени из единицы); в этих случаях получаются периодические непрерывные дроби.
Профессорский стипендиат университета св. Вл а димира Борис Д е л о и е, К определению алгебраической области при помощи сравнений (с приложением к абелевым уравнениям), «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 14 (1915), стр. 271-274.
Для случая, когда степень п абелева уравнения — простое число, выводится, что всякий корень такого уравнения выражается рационально через некоторый корень из 1. Это —теорема Кронекера, которую автор доказывает при помощи закона взаимности Эйзенштейна.
Студент университета св. Владимира К р а в ч у к, О группах перестановочных матриц, «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 14 (1915), стр. 169—176.
«Группой перестановочных матриц» автор называет совокупность перестановочных друг с другом матриц данного порядка с условиями: 1) выполнено групповое
МАТЕ1ЫАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
447
свойство; 2) нет матрицы (того же порядка), перестановочной со всеми матрицами группы и не принадлежащей ей.
В журнале Crelle за 1905 г. ость статья Шура «Zur Theorie der vertauschbaron Matrizen» («К теории перестановочных матриц»), где доказывается теорема о том, что число t линейно-независимых матриц группы перестановочных матриц < j + 1 11 указываются случаи, "I
+ 1.
Автор даёт более простое доказательство и обобщение этой теоремы.
К’роме того, доказываются две теоремы о так называемых «корневых группах» (Wurzelgruppe) Фробениуса.
М. И. Лагутине к и й, Об измерении алгебраических форм, «Сообщения Харьковского математического общества», сер. 2, т. 14 (1915), стр. 113 — 138.
«Измерением» формы /(xj, ..., др) автор называет число q — 1, еслп эта форма необратимым линейным преобразованием переводится в форму от q, по не меньше q, переменных; такая форма есть функция от q независимых линейных форм от .ть ..., Даётся самое общее линейное преобразование формы в форму с наименьшим числом переменных. Далее приводятся приложения к геометрии и к дифференциальным уравнениям.
С. О. Шатуновский1), Алгебра, как учение о сравнениях по функциональным модулям, Одесса (год издания не обозначен; по имеющимся сведениям, книга эта напечатана в 1917 г.) XLVIII+205 стр.
Рассматриваемая монография — докторская диссертация автора. В большом введении (48 стр.) автор отрицает всеобщность логического закона исключённого третьего; он приводит различные примеры применимости или неприменимости закона исключённого третьего п ставит такое определение: «предмет А называется логической единицей относительно сказуемого плп предмета В, если
^Самуил Осипович Шатуновский (1859—1929)— выдающийся математик, профессор Одесского университета: имеет важные открытия в разных областях математики.
448
А. К. СУШКЕВИЧ
эти предметы так определены, что из двух предложений: „А есть В“ и „А не есть В“ одно принимается». Далее, во введении даётся понятие о функциональном модуле, о системе модулей и о сравнении по системе модулей.
В главе I автор вводит попятие о «системе» /<0 элементов, содержащей, как часть, систему В. всех рациональных чисел. Эта «система», которую автор в дальнейшем называет «область»,—не что иное, как частный случай «кольца» (именно «кольцо», содержащее, как часть, абсолютную область рациональности). Область, не содержащую «особенных элементов» (т. е. делителей нуля), автор называет «корпусом* (таким образом, «корпус»—не что иное, как область целости). В дальнейших главах рассматриваются различные случаи областей п затем, с применением этих понятий, даётся своеобразное построение теории Галуа. В последней главе (8-й) даётся оригинальное доказательство существования корней алгебраических уравнений.
* *
На этом мы заканчиваем обзор русских работ по алгебре в начале XX в., доведя его до Великой Октябрьской социалистической революции. Мы видим, что в начале XX в. алгебраические знания в России продолжают развиваться, научная работа по алгебре становится ещё интенсивнее. Наряду с работами довольно элементарного содержания появляются в большом количестве работы по теории Галуа, по теории групп. По теория Галуа следует отметить работы В. К. Ермакова, Д. А. Граве и в особенности последнюю пз рассмотренных нами работ,— диссертацию С. О. Шатуновского, который предвосхитил то, что на несколько лет позже было сделано в Западной Европе (отрицание всеобщности закона исключённого третьего и введение понятия о кольце,—в чём Шатуновский имеет несомненный приоритет). По теории групп следует отметить работы О. 10. Шмидта,— тогда ещё совсем молодого учёного, только что окончившего университет. В этот период создаётся первая в нашей стране алгебраическая школа—в Киевском университете, у Д. А. Граве (весьма разносторонний математик; в тот период увле-
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
449
кался алгеброй и пропагандировал ее среди своих учеников). Из этой школы вышли большие алгебраисты— О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарёв, Б. Н. Делоне, М. Г. Крейн (математик весьма широкого диапазона, которого можно отчасти причислить и к алгебраистам); их научная и педагогическая работа развернулась уже в советскую эпоху.
В настоящее время в нашей стране алгебра стоит очень высоко; она развивается по многим направлениям. Укажем на главнейшие из них. По теории Галуа в первую очередь следует назвать работы Николая Григорьевича Чеботарёва (1894—1948), работы Б. 11. Делоне и Д. К. Фаддеева, приложивших к теории Галуа геометрические методы. Относительно расположения корней уравнений имеются интересные работы Н. Г. Чеботарёва и его учеников Н. Н. Меймана и Л. II. Гаврилова о так называемых «продолжаемых» полиномах. По теории групп исследования учёных нашей страны весьма разнообразны: по классической теории конечных групп есть ряд работ О. Ю. Шмидта, А. А. Кулакова, С. А. Чунихина, В. К. Туркина и др. По теории бесконечных групп следует назвать работы О. Ю. Шмидта, А. Г. Куроша, А. И. Мальцева. По обобщённым группам- работы А. К. Суш-кевпча и его учеников и Е. С. Ляпина. По топологическим группам—исследования Л. С. Понтрягина и его известную монографию «Непрерывные группы».
По теории колец и алгебр следует назвать работы А. И. Узкова, А. И. Мальцева, А. Г. Куроша и др. По теории структур —работы А. Г. Куроша и А. II. Узкова. По группам и алгебрам Ли отметим теорему II. Д. Адо о том, что всякая алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой матричной алгебры Лп (1935 г.).
Это, конечно, далеко не полный перечень всех алгебраических отраслей, которые разрабатываются советскими алгебраистами. Я не имею возможности изложить всё это более подробно. Желающим подробно ознакомиться с алгеброй в СССР можно рекомендовать книгу: «Математика в СССР за тридцать лет» (Гостехиздат, 1948), раздел «Алгебра», статьи П. Г. Чеботарёва, А. Г. Куроша, А. 11. Мальцева.
29 Пстормко-матсм. исследования
450
А. К. СУШКЕВИЧ
Указатель авторов, алгебраические работы которых упоминаются в тексте
Агрономов Н. А. 440
Акимов М. И. 441
Алексеев В. Г. 335. 405, 432, 437
Альбицкий В. И. 404
Аничков Д. С. 243
Антаев С. Н. 385,392, 394
Арефьев А. 371
Барсов Ал. 244
Безу Э. 250
Бертран Ж. 352
Бессель А. 405
Богуславский А. И. 40G
Борель Э. 428
Брашман Н. Д. 291
Бритман М. С. 444
Бугаев Н. В. 356, 358, 367, 368, 372, 373, 376, 384, 390, 399, 401, 403, 404
Букреев Б. Я. 414, 418, 431
Буницкий Е. Л. 433
Бурдон 264
Буренин К. П. 349
Бюшгенс С. С. 425
Васильев А. В. 339, 342, 359, 390
Ващенко-Захарченко М. Е. 314, 315, 323
Вебер 427
Вельмин В. II. 426, 437
Вельштейн 427
Веребрюсов А. С. 378, 439
Виноградов С. П. 415
Войтяховский Е. 243
Вольф Хр. 243
Вороной Г. Ф. 412, 438
Воронцов 391
Ганкель Г. 426
Гольденберг А. И. 371, 372, 374
Гордан П. 405
Граве Д. А. 420, 422, 424, 425, 429, 437, 442, 444, 445, 446
Граве П. П. 439
Грузпнцев А. П. 374, 390, 414
Давидов А. Ю 349
Деларю Д. 319, 327
Делоне Б. Н. 446
Дингер 346
Долбня II. П. 395,396. 397,441,
Ермаков В. П. 375, 388,398,431 439
Жбиковский А. К. 311,375,376
Занчевский И. М. 391
Зернов Н. Е. 291
Зимин М. 440
Золотарёв Е. II. 397, 412
Иванов И. II. 393
Ильин А. 343
Имшенецкпй В. Г. 379
Каган В. Ф. 416, 440, 444
Каченовский Г. П. 435
Кестнер А. Г. 244
Киселёв А. П. 350, 365
Клейн Ф. 428
Кнезер А. 377, 389, 404
Контер В. 429
Коркин А. Н. 378, 397, 412
Котельников А. П. 408
Коши О. Л. 345
Кравчук 446
Купфер К. 291, 295
Курганов Н. Г. 243
Лагутинский М. Н. 447
Лахтин Л. К. 383, 384, 386, 387, 388, 432, 433
Лебединцев К. Ф. 427
Ливенцов А. И. 405, 406
Лобачевский Н. II. 265
Магницкий Л. Ф. 238
Максимович В. П. 357, 366
Малинин А. Ф. 349
Маракуев Н. Н. 351
Марков А. А. 363, 412, 435
МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ В РОССИИ
451
Марков В. А. 393
Мемке Р. 369
Мешков А. 302
Мприманов Д. С. 393, 436
Молин Ф. Э. 408
Муравьев Н. 1	242
Мясоедов А. II. 359,360, 361, 362
Назимов II. 362
Невэнгловский Б. 429
Некрасов П. А. 369, 380, 383
Нетто Е. 426
Новиков П. М. 393
Обломпевский Д. Д. 342
Орлов 309
Осиповский Т. Ф. 250
Остроградскпй М. В. 273
Охптович А.	II. 372	
Перевощпков	Д. М. 260,	292,
347		
Покровский	П М. 377,	378,
397
Попов А. 374
Попруженко М. 433
Преображенский В. 377
Пфейффер Г. В. 434, 437
Пшеборский А. П. 444
Радциг А. А. 392
Рахманов II. II. 364
Романовский В. 442
Ромер П. Э. 313, 358
Руссьян Ц. К. 391, 438
Свешников 11. II. 442, 443
слпванов Д. Ф. 321, 334, 368, 377, 378, 384, 390, 391, 414
Сердобинский В. Е. 392, 401, 402, 403:
Серре II. А. 345
Синцов Д. М. 376
Сомов II И. 282
Сохоцкий Ю. В. 328, 330, 419
Старков А. 392
Стеклов В. А. 364
Студничка Фр. 346
Суслов Г. К. 370, 379
Тихомандрицкий А. И. 292
Тихомандрпцкий М. А. 331, 334
Тодгептер II. 345
Флоринский Г. 369
Франкёр 259
Фусс Н. 248
Хевцуриани Ф. 372
Чебышев П. Л. 292, *300, 411
Чезаро Э. 426
Черпушепко И. С. 438
Чистяков II. II. 442
Шан-Гирей А. 369 .
Шапошников Н. А. 350, 417
Шатуновский С. О. 447
Шмидт О. К). 425, 445
Эйлер Л. 240
Янишсвский Э. П 336
Ярошенко С. И. 391
29*
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
О МАТЕМАТИКЕ НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВЕКАХ
Л. ZT. Юткевич
I
Одним пз наименее изученных этапов развития математики является, без сомнения, средневековая математика народов Востока и, в частности, так называемая «арабская» математика. Сколько-нибудь серьезно ученые приступили к исследованию математических сочинений на арабском языке или их латинских переводов только в начало XIX в. За истекшие 150 лет паши знания в этой области значительно обогатились, а работы последних лет проливают новый свет па достижения средневековых учёных, писавших па арабском языке. В своей совокупности данные, которыми мы теперь располагаем, заставляют существенно пересмотреть концепцию «арабской» математики, господствующую до сего времени в историко-математической литературе. По существу речь идёт даже не о пересмотре, а о коронном изменении этой концепции.
Оценка «арабской» математики, установившаяся к концу прошлого века, состояла, коротко говоря, в следующем. Считалось, что «арабские» учёные довольно механически соединили или, в лучшем случае, «синтезировали» часть достижений индусов с достижениями древних греков. При этом не отрицали за «арабами» некоторых малозначительных собственных открытий, но подчёркивалось, что новых путей восточные математики не прокладывали и что главной заслугой их явилась передача европейским математикам Средних веков античного и индусского наследия. Лишь немногие историки науки
456
Л. П. ЮШКЕВИЧ
усматривали оригинальность «арабов» в отдельных направлениях. Так, Браунмюль, изучивший тригонометрические труды ал-Баттанп, Абуль-Вафы, Насирэддина и Улугбека, возражал против того, что «арабы сыграли в истории математики роль только сохранителей и передат чиков», и указывал, например, что Насирэддпн во многом опередил почти на 200 лет основоположника европейской тригонометрии Региомонтана * 2).
Обрисованная концепция почти безраздельно преобладала п в сочинениях по истории математики текущего столетия. В 1923 г. Г. Вилейтнер, соглашаясь с тем, что мы обязаны «арабам» не одной лишь передачей греческих сочинений, находил у них только «развитие в некоторых направлениях греческого и частью, быть может, индусского знания»2), т. е. по существу опять-таки отрицал самостоятельность «арабской» науки. В 1929 г. Дж. Лорна в главе с высокопарным названием «Арабское чудо» сравнивал «арабскую» математику со «спокойным спутником Земли», сияющим лишь отражённым светом солнечной науки греков, а также индусов3). Подобный же итог «арабской» математике подводил Фл. Кеджори, хотя и отмечал «некоторые существенные усовершенствования» в учении о кубических уравнениях и в.тригонометрии 4). И совсем недавно американский историк математики Белл с развязным высокомерием писал: «Если человек не вносит чего-либо нового в математику, то он нс математик. С точки зрения этого критерия мусульмане в своей крайне полезной переводческой и комментаторской работе математиками не были»5).
Единственно верной в старой концепции «арабской» математики была высокая оценка исторического значения
г) A. v. В г a u n m u h 1, Vorlesungen liber Geschichte der Trigonometric, Leipzig, 1900, ч. I, стр. Ill—IV.
2) H. W i e 1 e i t n e r, Geschichte der Matbematik, Berlin und Leipzig, 1923, я. I, стр. 45.
3) G. Loria, Storia delle matematiche, Torino, 1929, t. J, стр. 372.
4) F. C a j о r y, A history of mathematics, N.— Y, 1929, стр. Ill—112.
5) E. T. Bel 1, The development of mathematics, N. Y.—Lon don, 1943, стр. 101.
М VFEMATIIKA НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX-XV ВВ. 457
переводов и переработок на арабском языке греческих и индусских математических трудов. Это—вещь несомненная, и на ней мы задерживаться не станем. Всё прочее в старой концепции глубоко ошибочно, начиная с самого термина «арабская» математика, который мы сознательно все время заключали в кавычки.
Действительно, так называемая арабская математика вовсе не была математикой арабов,—подобно тому, как не была латинской математикой наука писавших по-латыни француза Ферма, итальянца Торичелли, англичанина Ньютона, немецкого учёного Лейбница и русского академика Эйлера. Под названием «арабской» науки неправомерно скрывались достижения учёных различных народов, пользовавшихся в научном обиходе преимущественно, хотя п не исключительно, арабским языком, который в мусульманском средневековом мире играл роль, сходную с ролью латыни в средневековой католической Европе. Политическая власть арабов и мусульманство распространились в VII—VIII вв. на огромных территориях Ближнего Востока, Средней Азин, Северо-Африканского побережья, Сицилии и Пиренейского полуострова. С этим связано было и широкое распространение арабского языка во многих областях общественной деятельности. Преимущественным, хотя, повторяю, не единственным языком научной литературы арабский язык служил и долгое время после того, как уже в VIII -IX вв. арабский халифат начал распадаться под совместными ударами национальных движений в покорённых странах и феодальных распрей. Но между тем как арабский язык стал и долго оставался официальным языком науки, роль самих арабов в прогрессе науки вообще, и, в частности, математики, была весьма незначительной. Приобщаясь к более высокой культуре завоёванных стран, арабы приняли некоторое участие в её дальнейшем развитии,—особенно в мавританских государствах Пиренейского полуострова. Ведущая роль в этом отношении им, однако, никогда не принадлежала. Неоспоримые исторические данные показывают, что первое место в продвижении математики и других наук на протяжении более чем полутысячелетия с IX по XV в. неизменно занимали
458
А. П. ЮШКЕВИЧ
учёные народов Средней Азии и Закавказья—хорезмийцы, таджики, узбеки, азербайджанцы и др. Так называемая арабская математика была развита прежде всего и более всего среднеазиатскими народами1). Уже простое перечисление крупнейших восточных математиков IX—XV вв. подтверждает правильность сказанного2).1
Учёными народов Средней Азии были: Мухаммед бен Муса ал-Хорезми (ок. 830 г.) из Хорезма; ал-Ход-женди (ум. ок. 1000 г.) из Ходжента, ныне Ленинабада; Абуль-Вафа (9zi0—ок. 997) из Кухистапа, к югу от Ншпа-пура; а л-Ку хи (ок. 990) из Табаристана, к юго-западу от Каспийского моря; ал-Бнрунп (973—1048) пз Хорезма; ал-Кархп пли ал-Карагп (ум. ок 1025) из местечка близ Багдада; ан-Насави (ок. 1030) из Хорасана; Омар ал-Хайям (ок. 1048—ок. 1122) из Хорасана; Гиясэддпн Джемшид (ок. 1427) из Кашана, между Тегераном и Исфаханом; самаркандский государь Улугбек (1434—1449) и др. Наспрэддин ат-Тусп (1201—1274) из Хорасана был по происхождению азербайджанец. В этом сипске круп нейших математиков и астрономов Ближнего и Среднею Востока не хватает, пожалуй, только двух-трёх имен, вроде сирийца ал-Хайтама (ок. 965—ок. 1039). Математики мав-
х) Даже некоторые буржуазные учёные указывали ла «условность», по нх мнению, термина «арабская наука». Так, сохраняя этот термин за неимением, по его словам, лучшего. А. Мисли писал: «Под этим следует прежде всего разуметь, что эти учёные пользовались в своих сочинениях • арабским языком, по крайней мере обычно, ибо, например, многочисленные иранцы, которых относят к числу арабских учёных, весьма часто, а иногда исключительно, пользовались персидским» (см. А. М i е 1 i, La science arabe et son role dans revolution scientifique mondiale, Leyden, 1939, стр. 76). Добавлю к этому, что персидский язык возник из разговорного языка таджиков, так называемого дари (см. Б. Гафуров, История таджикского народа, 1949, стр, 174). См. также подстрочное примечание на следующей странице.
2) «После полного упадка и длительного периода застоя науки в Западной Европе (на протяжении почти шести веков) она вновь получает своё развитие на новой почве—па Востоке, преимущественно в Средней Азии... На протяжении семи веков можно насчитать более ста среднеазиатских астрономов и математиков—узбеков, таджиков, туркменов и др., которые своими трудами обогатили сокровищницу мировой наукп (Т. П. Кар ы-Н и я з о в, Астрономическая школа Улугбека, М.—Л., 1950, стр. 41).
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX-XV ВВ. 459
рптанских государств на Пиренейском полуострове были гораздо менее значительными и оригинальными учёными.
Достижения среднеазиатских математиков IX—XV вв. принадлежат, таким образом, в подавляющей своей части народам нашей страны и поэтому должны привлечь особое внимание советских историков науки 1). Правильная пх оценка—прямая паша обязанность. Между тем, как было сказано, прежняя концепция среднеазиатской математики являлась в корне ошибочной.
В корне ошибочным, именно, является мнение, будто среднеазиатская математика IX—XV вв. была ученической и подражательной; будто учёные Средней Азин только усвоили математику греков и индусов и, синтезировав их достижения, дополнили последние лишь незначительными усовершенствованиями в прежних направлениях. Конечно, изучение трудов греков и мндусог—греков в особенности— имело большое значение для математиков Средней Азии, как, впрочем, и для европейских учёных XVI XVII вв., создававших новую алгебру, аналитическую геометрию и исчисление бесконечно малых. Конечно, идейная преемственность, к счастью для прогресса науки, в обоих случаях имела место 2. Главное, однако, в том, что матсма-
х) Иные буржуазные историки науки приписывают основную роль в развитии так называемой «арабской» науки иранцам, относя к последним и ал-Бируни и знаменитого философа и учёного ибн-Сину (см., например, цитированное сочинение Мисли, стр. 76). Ал-Бируни был хорезмийцем, а ибн-Сина (Авиценна, 980—1037) родился близ Бухары, и оба они иранцами не являлись. Вообще следует иметь в виду, что «история таджиков с древнейших времён протекала на территории Средней Азии, преимущественно в области среднеазиатского междуречья (Аму-Дарьи и Сыр-Дарьи), Хорасана и к западу от Гиндукуша» (Б. Г а ф у р о в, цит. соч., стр. 5); часть этой территории входит ныне в состав Ирана.
2) Недостаток данных не позволяет нам осветить вопрос о корнях среднеазиатской математики. Наряду со связями с античностью и Индией, несомненно существовали связи и с высокоразвитой математикой Китая, с сирийскими, бактрийскими и другими традициями, восходящими, быть может, ещё к древнему Вавилону. Столь же несомненно существование глубоких национальных научных традиций в Хорезме, без которых нельзя представить себе необыкновенную быстроту усвоения античной науки. Здесь мы имеем большую и почти совершенно неизученную проблему.
460
Л. И. ЮШКЕВИЧ
тики Средней Азии не просто продолжали дело своих предшественников, содействуя его некоторому количественному росту, но придали математическим исследованиям новое идейное направление, приступили к созданию качественно новой математики и как раз поэтому обогатили нашу науку открытиями первостепенной важности.
Развиваясь в условиях феодального общества, роста городской культуры, ремёсл и торговли, развиваясь в тесной связи с астрономией и географией1), среднеазиатская математика с самого начала, и чем далее, том в большей! мере, выступала как вычислительная математика, в которой преобладала практическая арифметика с её средствами счёта и решения прикладных задач, измори тельная геометрия, тригонометрия и числовая алгебра на службе измерительной геометрии и тригонометрии. И несмотря на большое место, которое в математике Средней Азии занимали переводы и комментирование греческих классиков, среднеазиатская математика являет гораздо больше общих черт с математикой средневековой феодальной! Европы, чем с наукой Гредин. И в Средней Азии, и в Европе ранних средних веков на базе родственных общественных укладов, частью при идейном воздействии первой на последнюю, частью независимо, начиналось становление новой математики, главной чертой которой являлось создание разнообразных вычислительных алгоритмов арифметики и алгебры с целью их приложения к задачам торговли, государственного управления, землемерии, географии, астрономии, календаря и ир. Само развитие некоторых античных идей, на первый взгляд кажущееся их простым продолжением, как в случае построения корней кубических уравнений с помощью конических сечений, было непосредственно связано с новыми устремлениями среднеазиатской науки,—в данном случае с ростом значения алгебры2).
х) Об успехах среднеазиатской астрономии и усовершенствовании средств наблюдений см. указанную ранее книгу Т. II. Кара-Ниязова.
2) В античной науке эпохи эллинизма, а затем первых веков и. э. также намечалось некоторое изменение направления матема
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ.
461
Новое направление всего математического исследования имело решающее значение для дальнейшего прогресса и явилось предпосылкой целого ряда отдельных замечательных открытий. Мы нередко бываем склонны недооценивать роль общих идейных потоков мысли, капля по капле собирающихся в недрах общественной практики и питающих ту почву, на которой вырастают затем Архимеды, Ньютоны и Лобачевские. Как ни скромными нам теперь представляются безымянные творцы десятичного счёта или люди, открывавшие тройные правила, их работа являлась необходимым условием гигантских достижений современной математики. Но математики Средней Азин не только сообщили общее новое направление развитию математики в целом,—они произвели ряд фундаментальных открытий. К числу капитальных их достижений относятся:
В области арифметики и к омой н а-т о р и к и.
1.	Усовершенствование позиционной шестидесятиричной системы.
2.	Открытие десятичных дробей.
3.	Разработка приёмов извлечения корней из чисел.
4.	Первое точно установленное в истории математики применение формулы бинома Ньютона для любого натурального показателя.
5.	Расширение понятия о действительном (положительном) число.
В области а л г е б р ы.
6.	Выделение алгебры в особую математическую дисциплину.
7.	Применение числовой алгебры в измерительной геометрии и тригонометрии и открытие замечательного
тических исследований, вызванное потребностями астрономических и географических работ и усилением связей с Востоком. Однако, новые идеи измерительной геометрии, тригонометрические и вычислительные приёмы, числовая алгебра Диофанта и пр. не смогли получить в античности надлежащего развития; это были живые, во обречённые па скорую гибель ветви на иссыхавшем древе пауки рабовладельческого общества.
462
А. П. ЮШКЕВИЧ
итерационного приёма численного решения одного впда кубических уравнений.
8.	Создание геометрической теории решения кубических уравнений.
В области тригонометрии.
9.	Создание системы плоской и сферической тригонометрии.
10.	Вычисление чрезвычайно точных и полных тригонометрических таблиц.
Это—далеко не полный список, в который не включены, например, важные в предистории неэвклидовой геометрии исследования по теории параллельных, открытия по теории чисел и многое, многое другое.
II
Роль среднеазиатских математиков, и, в частности, ал-Хорезми, в распространении десятичной позиционной системы счёта целых натуральных чисел достаточно хорошо известна, и я не буду рассказывать ни о ней, ни об излагаемых в сочинениях на арабском языке правилах одного и двух ложных положений и т.п. Для нас здесь представляет интерес дальнейшая разработка позиционных систем счисления как основы всех точных и приближённых вычислений.
Первым крупным достижением математиков Средней Азии явилось создание абсолютной шестидесятиричной позиционной системы для целых и нецелых положительных чисел.
Как известно, неабсолютная шестидесятиричная позиционная система возникла в древнем Вавплоне; непол нота её была связана с отсутствием знака нуля. За несколько веков до начала н. э. появился и знак нуля, который применялся, однако, лишь для обозначения отсутствия каких-либо внутренних разрядов числа. Запись—в наших цифрах—32; 0; 5 могла означать 32-60п + -4-5-60п"2, где п—любое целое число; система оставалась неабсолютной позиционной. В эпоху эллинизма шестидесятиричные дроби приняты были в астрономических вычислениях и греками, которые стали пользоваться смешанным счётом: целые они записывали в десятичной
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ. 463
системе, дроби (минуты, секунды, терции...)—в шестидесятиричной, причём для записи чисел от 1 до 59 применяли буквы греческого алфавита. С такой же системой мы встречаемся и у части среднеазиатских учёных. Наряду с этим, не позднее конца X в. некоторые из них сделали принципиальный шаг вперёд и ввели единую шестидесятиричную позиционную систему счисления целых и дробей с применением пуля. Ею пользовался уже Абуль-Вафа, а первое описание её было дано в руководстве арифметики астронома Кушиара беп Лабана из Джилана (к югу от Каспийского моря) ок. 1000 г.1). Запись вроде 43; 0; 16; 4-8; 37 (которую более подробно писали: 43 дважды возвышенное 0 возвышенное 16 градусов 8 минут 37 секунд) означала, таким образом, 43 *6024-0-604-16-60°+8*60'14-37-60-2. Числа от 1 до 59 писались с помощью знаков арабского алфавита. Вычисления велись при этом так же, как в десятичной позиционной системе, причём пользовались таблицей произведений до 59-59, выраженных, конечно, в шестидесятиричной системе, а также таблицей для определения разрядов произведений плп частных2).
Создание абсолютно]'! позиционной шестидесятиричной системы счисления явилось предпосылкой открытия десятичных дробей, которое сделано было позднее замечательным таджикским математиком Гпясэддпном Джем-шидом, приглашённым ок. 1420 г. Улугбеком для работ в самаркандской обсерватории. В сочинении об окружности круга, написанном до 1427 г., Гпясэддпн выразил отношение длины окружности к диаметру не только в шестидесятиричных, но и в десятичных дробях,—с целью, как он указывал, сделать результат своих вычислений доступным для лиц, незнакомых с применявшейся в астрономии шестидесятиричной системой. Здесь же он систематически разъяснил правила умножения и деления чисел, выраженных в созданной им повой системе. Более
Ч Я опираюсь здесь и далее на статью Р. Luckey, Zur isla-mlschen Rechenkunst und Algebra des Mittelalters, «Forschungen und Fortschritte», 24 г., тетр. 17/18 (за сентябрь 1948).
2) Шестидесятиричная система, в связи с её употреблением в астрономии, применялась и некоторыми европейскими математиками XV—XVI вв.
464
Л. П. ЮШКЕВИЧ
подробно он описал систему десятичных дробей в «Ключе к арифметике, законченном 2 марта 1427 года х), где изложил приёмы перевода чисел из шестидесятиричной системы в десятичную и обратно, а также правила сокращённых вычислений, показывая, какими разрядами следует пренебрегать в приближённых выкладках. Для обозначения разрядов десятичных чисел Гиясэддин пользовался разными приёмами: отделял целые от дробей длинной чертой, надписывая над первыми «целые», пли же писал цифры целой части числа чёрными чернилами, а цифры дробных разря дов—красными; иногда он полностью выписывал над каждой цифрой наименование её разряда* 2).
Огромное значение открытия десятичных дробей подчёркивать, разумеется, не требуется. Насколько известно, Гиясэддин первый понял их практическую и научную пользу, изложил правила действий над ними и стал широко применять их в расчётах. В Европе систематически начал применять десятичные дроби только С. Стевии. Это произошло на полтораста дет позднее Гиясэддина; сочинение Стевина «О десятой» вышло в 1585 г.3).
Потребности измерительной геометрии и астрономии содействовали не только усовершенствованию системы счисления, но и развитию различных вычислительных алгоритмов, Мы пока коснёмся алгоритма извлечения корнейг, принадлежащего к числу выдающихся результатов среднеазиатской математики.
г) См. В. Бартольд, Улугбек и его время, Петроград,
2) Об открытии Гпясэддипом десятичных дробей упоминают D. Smith, History of mathematics, т. II, 1925, стр. 238—240, и J. Т г о р f k е, Geschichte der Elementarmathematik, т. I, 1930, стр. 175. См. также И. Юсупов, Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке, Казань, 1933, стр. 83—84. Перевода текста Гиясэддина или подробного изложения его на каком-либо европейском языке до сих пор не имеется. Я основываюсь на цит. статье Люкея.
3) С. Ганди обнаружил рукопись на древнееврейском языке тарасконского математика середины XIV в. Э. Бонфиса, автор которой высказал мысль о полезности десятичных дробей; однако из приводимых Гандцем текстов не видно, чтобы Бонфис эту идею развил детально и дал ей какие-либо практические применения.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ.
465
Общеизвестный приём извлечения квадратного и куби ческого корней пз квадратных или кубических чисел» основанный на употреблении правил: (аЧ~6)* 2= а2-\-2ab-\-Ь2 и (a4-6)3 = a34-3a264-3fl6?+63, был знаком ещё индусам и от них попал к учёным Средней Азии. Среднеазиатские математики вскоре пошли далее и овладели действием извлечения корня при любом натуральном показателе. Уже Абуль-Вафа составил сочинение об извлечении корней 3-й, 4-й п 5-й степеней; затем ал-Бируни и ал-Хайям написали специальные труды об извлечении корней с любым натуральным показателем. К сожалению, эти труды до сих пор не обнаружены. С приёмами извлечения корней при любом натуральном показателе лишь недавно познакомился П. Люкей по главе 5 книги I «Ключа к арифметике» Гиясэддинах).
Анализ Люкея, на подробностях которого здесь нет возможности задерживаться 2), привёл его к следующим выводам. Среднеазиатским учёным были известны два приёма извлечения корня /г-й степени из числа. Первым, и по всей вероятности более ранним, являлся способ, ныне именуемый способом Руффини-Горнера. Если, скажем f q— aybc..., то последовательное разыскание цифр корня требует, как известно, нахождения разностей вида
'?-(а + Й"’ 1-[(а + й+ 15б]" и т-п-т- е-фактически разложения степени двучлена по степеням слагаемых. Такое разложение можно получить по готовой формуле «бинома Ньютона», но результат можно находить и с помощью расположенных в определённую схему последовательных умножений и сложений и не зная правила образования членов биномиальной формулы; эта-то схема в современной литературе и известна под именами Горнера (1814) и Руффини (1804)3). Гиясэддпн применил эту схему
г) См. Р. Luckey, Die Ausziehung der n-ten Wurzel und der binomische Lehrsatz in der islamischen Mathematik, «Mathematische Annalen», t. 120, тетр. 2, 1948
2) Этому вопросу следовало бы посвятить отдельную статью, и я надеюсь к нему ещё вернуться.
3) Известно, что так называемый способ п схема Горнера применялись к численному решению многочленных кубически х 30 Псторико-мате.м. исследования
4(>()
A. II. ЮШКЕВИЧ
для извлечения корней из чисел, записанных как в шестидесятиричной, так и в десятичной системе. Но наряду с этим у Гиясэддина встречается при извлечении корней и формула бинома Ньютона для любого натурального показателя. Ввиду большого интереса, который представляет этот факт, я приведу (в переводе с немецкого) соответствующий текст самаркандского математика.
В этом тексте вместе с тем словесно высказано правило -составления внутренних биномиальных коэффициентов, jKOTopoe мы теперь записываем формулой
рт___pm , pm— 1
— Ьп—1 т ^п— 1 •
«Знай, что элемент степени квадрата [«элементы» — это коэффициенты внутренних членов биномиального разложения.—Л. Ю.] есть одно единственное число, именно 2; для куба это два числа, именно 3, 3. Для каждой следующей степени мы увеличиваем его число на 1 в силу прибавления волн [см. нижеследующую таблицу.—А. Л7.|. Так поступаем мы, увеличивая конечные числа. Складывая каждые два стоящих одно под другим числа элементов какой-нибудь степени, мы получаем одно из внутренних чисел следующей за ней степени.
Пример. Числа степени куба суть 3, 3; их сумма есть 6. Значит, это есть внутреннее число для квадрато-квадрата и чпсла квадратоквадрата суть 4, 6, 4. Далее 4 плюс 6 есть одно из двух внутренних чисел квадрато-куба, т. е. 10, а 6 плюс 4 есть другое внутреннее число.
По этому правилу неограниченно составляются элементы, как видно из следующей таблицы»:
уравнений китайскими математиками ок. 1300 г., а может быть и ранее. Здесь возникает важная проблема о связях между среднеазиатской и китайской математикой, для решения которой, однако, мы не располагаем какими-либо материалами. О применении среднеазиатскими математиками способа Горнера к решению кубических уравнений более общего вида, чем x3=q, пока ничего неизвестно.
, С приёмом извлечения У? по способу Горнера можно озна комиться по статье А. П. Д о м о р я д а, Численные и графические методы решения уравнений, «Энциклопедия элементарной математики», кн. 2, Алгебра, М.—Л., 1951, стр. 374—375.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИН В 1Х-Х\ ВВ. 46/
к надратокубокуба
квадратоквадрато-куба
кубокуба
квадратокуба
квад ра то кнад рата
куба
квадрата
стороны
13о. ш ы
Далее Гиясэддин словесно формулирует и иллюстрирует на примере общее правило биномиального разложения вида
(«4-J)n-a" CA<i"-' + C“«n 2+ •••+СГ'«+1:
«Если мы хотим определить разность двух последовательных рациональных степеней [т. е. степеней двух соседних натуральных чисел.—Л. 10.], то мы умножаем меньшую сторону [меныпее пз оснований. — Л. 10.] на элемент волны стороны её степени, сё квадрат—иа элемент волны её квадрата, её куб- на элемент волны её куба пт. д., пока мы не перемножим все степени, лежащие ниже данной степени, с соответствующими им элементами; всё складываем и к этому прибавляем 1. При этом получается разность степеней».
30*
468
A. II. ЮШКЕВИЧ
В примере вычисляется 55 —45 ио схеме:
	Элемент степени кв.-куба	Степень меньшей стороны	Произведения
волна к в.-к в.	5	256	1280
волна куба	10	64	640
волна квадрата	10	16	160
волна сторопы	5	4	20
т. е. 55 — 45 = 1280 + 640 + 160 + 20 + 1 = 2101 -
Наконец, Гиясэддин приводит и правило: (a-}-b)n-an = Clnan-lb-]-C2an 2Ь2+ ... + Q- 1аЬп-'±Ьг1>
которое поясняет примером вычисления 75 —45; выкладки расположены в схему:
	Элементы степени кв.-к у ба	Степени меньшей стороны	Произведения	Степени разности	Вторые произведения
Волна кв.-кв.	5	256	1280	3	3840
Волна куба	10	64	640	9	5760
Волна квадрата	10	16	160	27	4320
Волна стороны	5	4	20	81	1620
т. е. 7б— 4б = 3840 + 5760 + 4320 + 1620 + З5— 15783 *).
Гиясэддин не заявляет своих прав на первенство в открытии правпла возведения в степень двучлена, и возможно, что опо было сделано ранее. Пока что, однако, «Ключ к арифметике» является первым известным нам математическим сочинением, в котором была высказана теорема о бпноме для любого натурального показателя2).
0 См. цпт. статью Люкея в <AIath. Annalen», стр. 269—2/2.
2) В связи с рассмотрением некоторых комбинаторных задач, так называемый треугольник Паскаля и правило составления его элементов С™ = Сп™ t	были найдены индусами примерно за
два века до начала н. э. Сообщая об этом, Синг (A. N. Singh, On
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ.	469
В европейской математике общий приём извлечения корней и таблица биномиальных коэффициентов (до 17-й степени) были впервые опубликованы М. Штпфелем в 1544 г.
Для приближённого извлечения иррациональных корней среднеазиатские математики применяли два приёма. Один пз них, восходящий к индусам, основан на употреблении правила
к?=4^
где z есть либо 10*’, либо 60< Для /г — 2 такой приём использовал ещё ал-Хорезми, для п — 2 плп л = 3 — ан-Насавп; этот приём получил широкое распространение и в средневековой европейской математике. Другой способ основан был на линейном интерполировании. В случае извлечения квадратного корня | д, где д — 712Ч-г и Т — целое, применяли правило, известное, быть может, ещё грекам и выражаемое приближённой формулой:
К? j +
У Гпясэддпна второй приём распространён был на приближённое и г лечение корней с любым натуральным показателем. Он именно, применял правило
I д I Тп + г ~ Т {-	•
the use of scries in Hindu mathematics, Osiris 1, 1936) утверждал, ню индусские математики располагали и общей теоремой о биноме для натурального показателя. Синг, однако, не приводит примеров, в которых этот показатель превосходил бы 3, и его утверждение остаётся неподтверждённым. Правило бинома для п=4 Люксй нашёл в трудах учёных, предшествовавших Гиясэддину, только у ал-Кархи(начало XI в.). См. статью Люкея в «Forschungen und Fortschritto».
Люкей полагает, что теорема о биноме возникла пз применения способа Горнера. В пользу этого предположения говорят как то обстоятельство, что—судя по изученным материалам—способ этот применялся ещё ок. 1000 г., так и естественное возникновение биномиальных коэффициентов прп извлечении q на бумаге по способу Горнера.
470
А. П. ЮШКЕВИЧ
Европейские математики нашли тот же общий приём в середине Х\ I в. (например, Шейбл ь, 1545)х); лишь для ii — 2 и 3 он применялся ещё Леонардо Пизанским, кото рый, как известно, был очень хорошо знаком с научной литературой на арабском языке* 2).
Развитие техники приближённых вычислений легло в основу по истине поразительных успехов среднеазиатских математиков в области геометрических и тригонометрических расчётов. Последних мы ещё коснёмся далее, а здесь отметим лишь произведённое все тем же Гпясэд дпном вычисление отношения длины окружности к её диаметру, которое, без сомнения, является одним пз лучших достижений вычислительной математики Средних веков.
Сочинением Гиясэддина об измерении длины окружности наука народов Средней Азии имеет полное основание гордиться. В этом труде, применяя извлечения квадратных корней, связанные с удвоением числа сторон правильных многоугольников, Гиясэддин вычислил не римстры вписанного, а затем и описанного 3 • 228-уголь ника, т. е. многоугольника с 800 335 1G8 сторонами (Архи мед, отправляясь от шестиугольника, дошёл до 96-уголь нпка). Каждое извлечение корпя Гиясэддпп сопровождал проверкой возведением в квадрат, а некоторые этапы выкладок—проверкой с помощью 59, аналогичной проверке с помощью 9 прп вычислениях в десятичной системе. Промежуточные результаты он округлял в соот ветствип с требуемой точностью окончательного резуль
’) Правило Гиясэддина основано, как сказано выше, на ли неином интерполировании. Действительно, положив уп=х, имеем: прп aj— Тп, = прп а'2 = (71+1)", ?/2 = Т4-1 и прп z — Zj 4-г
2) Отмечу попутно, что 1 пясэддпн ясно разработал понятие „ 1
о показателе степени прп люоом основании а для ап п—г; <л< пони-
мал также а0 как единицу (см, статью Люкея в «Foischiingen uml Fortscbrittc»). Эти идеи одновременно развивались и в Европе.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ. 471
тата. Итогом вычислений Гиясэддина было приближённое значение для 2~ в шестидесятиричной системе: 2^6,16 59 28 01 34 51 46 14 50,
которое он выразил также и в десятичных дробях: 2к —6,283 185 307 179 586 5.
Все 17 десятичных знаков здесь верные. Мы лучше оценим блестящий результат самаркандского математика, указав, что в Европе Ф. Виет в 1593 г., вычислив стороны вписанных и описанных 3 • 217 * * * *-угольников, нашёл для к значение с 9 верными знаками, А. ван Ромеи в 1597 г. с помощью 230-угольников—с 17 знаками и только Лудольф ван Цейлон ок. 1600 г. превзошёл результат Гиясэддина,, найдя сначала - с 20 (опубл. 1596), а затем и с 32 знаками (опубл. 1615)J).
Выдвижение на первый план вычислительной математики отразилось и на трактовке алгебраических иррациональностей. Подобно индусским учёным, среднеазиатские математики сплошь и рядом производили выкладки над иррациональными количествами; более того, теоремы X книги евклидовых «Начал» они поясняли на примерах числовых иррациональностей.
Так, ал-Хорезми, определяя число по-античному, как собрание единиц, вместе с тем оперировал над простейшими квадратичными числовыми иррациональностями, вроде У10 • ( 5 ] 50 или \f у • i/Q- = р/*!..
„ .. 22
0 Ал-Хорезми знал три прполпженных значения для у-и индусские 3,1416 и V10. Он, впрочем, не считал эти значения, как иногда полагают, точными, а лишь близкими друг к другу.
Первое известное нам вычисление я из математиков Сроднен Азии произвёл Абуль-Вафа, нашедший шестидесятиричное значение, равное 3,1416. См. F. W о е р с k е, Rcchcrches sur 1’liistoire dos, sciences mathematiques chez les orient aux, Париж, 1860.—Кптаы-
355
ский учёный Тсу-Чунг-Ши в V в. получил для ъ. приолпжение ,
вновь открытое А. Меняем в начале XVII в.; оно даёт 6 верных десятичных знаков
т
А. П. ЮШКЕВИЧ
Ал-Кархи производил уже гораздо более сложные преобразования радикалов и словесно выражал такие тождества, как j/54-V 2 = ^16 и у/ 54+ |/2=>/ 128. В сочинении ал-Кархи «Замечательные свойства арифметики» целый отдел посвящён был арифметико-алгебраическому изложению греческой теории квадратичных и биквадратичпых иррациональных величин —X книге «Начал» Евклида; в частности, здесь словесно выражалось и пояснялось числовыми примерами тождество
]/А±В- /±	(
где A tl В суть квадратные корни пз чисел. У индусских математиков это важное соотношение встречается веком позднее. Багдадский учёный Мухамед ал-Бакп (ок. 1100), комментируя X книгу «Начал», также пояснял её теоремы многочисленными числовыми примерами, вроде
j/12 ± j- 3-=l I 27 ± Р24 = Гб1±Г 25§2
ИЛИ
V] 8+1 6 = ‘|/4А+1/А
. Ал-Кархи расширил область иррациональностей, включив в неё корни любой степени из таких двучленов.
Много позднее и европейские математики занялись переводом теорем X книги Евклида, относившихся к геометрическим величинам—прямым отрезкам и площадям— на язык арифметики. При этом и у них, как у ал-Кархи и других среднеазиатских математиков, несоизмеримые величины Евклида стали постепенно сливаться в представлении с иррациональными числами1).
х) Отмечая лёгкость и свободу, с которыми ал-Кархи оперировал над ^иррациональными радикалами, Цсйтсн писал: «Мы видим таким образом, что Алькархи производит вычисления с иррациональными радикалами или, иными словами, что он их рассматривает тоже как числа» (Г. Ц е й т е н, История математики в древности и в Средние века, пер. П. С. Юшкевича, М.— Л., 1938, стр. 202).
О первых шагах европейских математиков в направлении арифметизации X книги «Начал» (Мавролик, XVI в.) см. в примечаниях Д. Д. Мордухай-Болтовского к его переводу «Начал» (книги VII—X, М,—Л., 1949, стр. 469—470).
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ.	473
Широкая практика в обращении с числовыми иррациональностями и развитие приближённых вычислений привели восточных математиков к результату большого теоретического значения: к расширению самой концепции действительного положительного числа. Как известно, древние греки понимали под числом собрание единиц; в теории подобия и в так называемом методе исчерпывания роль действительного положительного числа играли у них отношения непрерывных величин, которые греки, однако, строю отличали от чпсел; на отношения к тому же распространены были далеко не все операции арифметики. У знаменитого Наспрэддин а, как заметил Б. А. Розенфельд1), отношение становится числом. Если ал-Кархп и другие учёные переставали фактически отличать несоизмеримые величины от арифметических иррациональностей, то Наспрэддин в «Трактате о четырёхстороннике» уже отчётливо высказал мысль, что отношение есть число. Развивая в начале этого трактата учение о «составлении» отношений'2), Наспрэддин писал, что составное отношение есть то, «значение» которого равно произведению «значений» составляющих отношений. «Значение» отношения он определял прп этом как величину, отношение которой к некоторой единице равно данному отношению3). О произвольном — соизмеримом или несоизмеримом — отношении Наспрэддин писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов».
2) См. статью Б. А. Розенфельда в этом же выпуске «Историко-математических исследовании», стр. 501.
2) Греки говорили, что отношение а : Ь составляется (или складывается) из отношении а : с и с : Ь; для образования составного отношения из а : Ъ и с : d следовало предварительно уравнять последующий член одного отношения с предыдущим членом другого.
3) Представление о количестве (или значении) отношения, чуждое Евклиду, возникло в позднегреческой математике и, например, встречалось у Феона (ок. 370); оно использовалось для попыток определения «составления» отношений через перемножение их «количеств». Наспрэддин развил эту идею также в дополнениях к своему изданию «Начал». См. прибавления И. К). Тимченко к цит. ранее кн. Кеджори, стр. 402—406.
471
A. II. ЮШКЕВИЧ
13 Европе концепция действительного положительного числа развивалась аналогично, только с отставанием во времени. Именуя алгебраические иррациональности «глухими» или «немыми» числами (перевод греческого ’’адс-р;), европейские математики долгое время сохраняли всё же античную концепцию числа как собрания единиц. Бурное развитие вычислительной математики и частое применение приближённых значений иррациональностей привели в XVI—XV11I вв. к признанию равноправности иррациональных чисел с дробями и целыми. На такой позиции стоял уже С. (левин. В XVII в. ряд математиков подходит к трактовке отношения как чисел1) (Григории Сен-Винцент, у которого мы также находим идею о количественном «знаме новации» отношения, А. Такэ, Р. Декарт и др.) по только Ньютон в лекциях 70-х годов XVII в., опубликованных под названием «Всеобщая арифметика» (1707), впервые сформулировал положение: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённее отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное кратной долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей»2).
Как видно, Насирэддпн опередил новую европейскую концепцию действительного положительного числа примерно на четыреста лет.
Ш
Не менее существенными были достижения среднеазиатских математиков и в области алгебры. Ещё в древнем Вавилоне умели решать квадратные уравнения и— с помощью подбора -задачи, приводящиеся к кубическим уравнениям вида х3 + х2 а в случае целых положительных корней. Математики Греции также владели решением
') В этом отношении несомненно некоторое влияние идей Иасирэддина, арабский перевод «Начал» которого вышел в латинском переводе в 1594 г. («Euclid is demon! orum geometricorurn libri XIII ex traditione Nasiridini Tusini», Romae, 1594).
2) И. Ньютон, Всеобщая арифметика, Изд-во АН СССР.
1948, стр. 8.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В 1X-XV ВВ. 475
квадратных уравнений, а в так называемой «геометрической алгебре» разработали теоретические приёмы построения отрезков, выражающих положительные корпи таких уравнений. Греки решили и несколько задач, приводящихся к кубическим уравнениям: задачи о трисекции угла, об удвоении куба, о рассечении шара плоскостью на два сегмента с заданным отношением обт>ёмов (Архимед). Вторая н третья пз этих задач были по существу даже выражены уравнениями (третья, говоря точнее, пропорцией), а для решения пх был использован приём, получивший позднее весьма широкое распространение: искомый отрезок — корень уравнения — строили, как координату точки пересечения двух надлежащим образом подобранных конических сечений. Задачи, в которых искомые отрезки строятся с помощью пересечения конических сечений, греки назвали «пространственными» в отличие от «плоских»,- по нашему задач второй степени. Однако, в то время, как в геометрической алгебре были выделены п исследованы канонические типы квадратных уравнений с положительным корнем, какой-либо общей теории кубических уравнений греки не создали. И пи у вавилонян, ни у греков, ли у индусов, которые, между прочим, впервые явно установили наличие двух корней квадратных уравнений (с действительными корнями) и не отступили перед случаем отрицательных корней, алгебра не стала особой математической дисциплиной. Выделение алгебры в науку об уравнениях определённого вида явилось первостепенной заслугой среднеазиатской математики.
Трактовка алгебры как самостоятельного раздела математики красной нитью проходила уже в знаменитом сочинении но алгебре ал-Хорезми, которое явилось главным, если нс единственным, источником ознакомления европейских математиков раннего средневековья с решением квадратных уравнений и их простейшими приложениями. Общие тенденции развития среднеазиатской математики нашли достаточно отчётливое выражение в этом основоположном труде хорезмпйского математика, который на оригинальной геометрической основе строил алгоритм решения уравнений второй степенп с числен пымп коэффициентами и явно выражал уравнениями
476
A. IL ЮШКЕВИЧ
задачи измерительной геометрии и практической арифметики г).	•
После ал-Хорезмн среднеазиатские математики при ступают к интенсивной разработке задач третьей степени. Характерными чертами их исследований в этом направлении являются явнсе сведение задач к кубическим уравне ниям и поиски как геометрического, так и числового решения последних. Ал-Маганп (ум. ок. 874—884 г.) свёл архимедову задачу о рассечении шара плоскостью к уравнению вида я3 4- q—-px22); хорасанец ал-Хазип (ум. ок. 961—971 г.) дал его построение с помощью конических сечений; ал-Кухи привёл к такому же уравнению новую задачу об определении сферического сегмента, по объёму равного данному сегменту, а по поверхности— другому сегменту (решение он получил с помощью гиперболы и параболы). Ряд математиков, в том числе ал-Бп руни и ал-Кухи, свел к кубическому уравнению задачу о трисекции угла; ал-Бирунп же привёл разыскание стороны правильного девятиугольника к уравнению х3 4- 1 — Зя; задача о построении стороны правильного семи угольника была выражена уравнением я3 4-1 = 2я 4-я2-Одна из задач геометрической оптики была сведена даже к уравнению четвёртой степени3).
Обилие задач, сведённых к кубическим уравнениям различных видов, естественным образом стимулировало
х) Анализ сочинения ал-Хорезми привёл ещё Ганкеля к убеждению в том, что прямыми источниками ал-Хорезми но могли быть ни греческие, ни индусские труды. Ганкель подозревал здесь влпя ние сирийско-персидской традиции, задолго до «арабов» сложившейся под воздействием и греческой, и индусской культуры (см. Н. Hankel, Zur Gcschichtc der Mathematik im Alter! uni und Mittelalter, Лейпцпг, 1874, стр. 263—264). Вопрос о предшествен никах ал-Хорезми остаётся открытым до сих пор. Новейшие исследования по истории Хорезма побуждают искать источники ал Хорезми прежде всего на его родине; есть основания подозревать и корни, восходящие к древнему Вавилону.
2) Следует отметить, что уравнения записывались прн этом словами, без символики.
3) Это известная задача ал-Хайтама: найтп на данной окруж ности точку так, чтобы луч, падающий из данной точки А, отра зился в другую данную точку В (углы, образованные лучами с радиусом, проведённым в искомую точку, должны быть равны). Ал-Хайтам решил задачу с помощью окружности и гиперболы
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ. 477
разработку их общей теории, содержащей классификацию канонических типов, исследование условий возможности решения (т. е. наличия положительных корней), правила выбора подходящих кривых для построения корней. Высшим достижением среднеазиатской математики в этом направлении явилась «Алгебра» ал-Хайяма, у которого мы находим вместе с тем и наиболее яркое выражение воззрений восточных математиков на алгебру как на особую математическую науку, целью которой является изучение уравнений, а наиболее общим методом — построение их корней.
«Алгебра,—писал ал-Хайям,—есть научное искусство. Её предмет—это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определённое отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условие задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных... Алгебраические решения, как это хорошо известно, производятся лишь с помощью уравнения, т. е. приравниванием одних из этих степеней другим»г).
Я не буду входить здесь в разбор классификации уравнений у ал-Хайяма, определявшейся тем, что он рассматривал уравнения, на обеих сторонах которых стоят те плп иные члены с положительными коэффициентами. В данной связи нам важны общие идеи ал-Хайяма: его концепция алгебры как наукп об определении неизвестных из уравнений, установление им общего приёма решения уравнений с помощью построения корней и выявление кривых, необходимых для тех или иных видов кубических уравнений. Разумеется, на взглядах Хайяма
х) F. W о о р с к с, L’algebrc d Omar Alkhayyami, Париж, 1851, стр. 5 и след.
II. ЮШКЕВИЧ
47<S
отразились воззрения классиков греческой математики, например, строгое различение «абсолютного», т. е. натурального числа от «измеримой», непрерывной величины, под которой понимались линия, поверхность, тело и время. Совершенно оригинальными были, однако, и концепция алгебры и классификация уравнений. Здесь мы имеем дело с мыслями, предвосхищавшими ту систему «универсальной математики», которую разработал, нс подозревая о своем далёком предшественнике, Декарт в «Геометрии» (1637). II Декарт, обобщая опыт науки XVI и начала XVII вв., усматривал в алгебре общин математически]'! метод решения всяких вопросов, и у Декарта наиболее общим средством определения корней уравнений любой степени служило знакомое от античных авторов построение с помощью кривых. Декарт пошёл много далее ал-Хайяма: не говоря уже о том, что он уста повил ряд важных теорем самой алгебры и создал совре менную её символику, он дал необходимую для методичс с кого построения корней уравнений любой степени клас фпкацпю алгебраических кривых; Декарт заложил основы аналитической геометрии. Тем не менее, поразительна идейная близость между взглядами па сущность алгебры и её приёмов у таджикского учёного XI в. н жившего в XVII в. автора «Рассуждения о методе»1).
Как было упомянуто, самые устремления среднеазнат ских математиков при создании теоретических основ алгебры связаны были с темп новыми функциями, которые выполняла создававшаяся ими новая наука. Именно потому, что в алгебраических уравнениях они увидели сред
г) Эту точку зрения на алгебру среднеазиатских математиков я подробнее изложил в статье «Омар Хайям и его алгебра» («Труды Института истории естествознания», т. IT, 1948).—Ещё II. ТО. Тим ченко указывал, что «... у арабов уже появилась идея общей абстрактной алгебры, приложимой к анализу как арифметических, так и геометрических задач... Общая абстрактная алгебра так же мало существовала у греков, как абстрактная геометрия у египтян» (См. прибавления И. Ю. Тимченко к книге Фл. К е д ж о р и История элементарной математики, 2 изд., Одесса, 1917, стр. 390). Ср. у Т. II. Кары-Ниязова (цит. соч., стр. 48): «...благодаря именно работам среднеазиатских учёных на Востоке алгебра впервые выделяется в особую математическую пауку».
МАТЕМАТИК V ПАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX XX ВИ. 479
ство решения новых задач как самой математики, так и её приложений1), внимание их так приковано было к теории уравнений. При этом они не ограничились и не могли ограничиться чисто геометрической теорией, которая, давая в известном смысле прпинициальное решение проблем, не позволяла находить корпи численных уравнений с любой степенью точности. Мы знаем со слов того же Хайяма, что он сам искал л для кубических уравнении приём числового решения. В этом направлении поиски среднеазиатских учёных не увенчались успехом; в то время как построения «геометрической алгебры» пли самобытные приёмы ал-Хорезми допускали непосредст венное выражение корня квадратного уравнения с помощью квадратичных радикалов, построение кубических уравнений с помощью конических сечений ие открывало пути к выражению их корней через радикалы кубические2). Но если решение уравнений третьей степени в радикалах было найдено только в XVI в. итальянцами, то математики Средней Азии разработали приём приближённого вычисления корнем, вызывающий восхищение и в наши дни.
Первые попытки численною решения кубических уравнений начались весьма рано. Уже ал-Бирупи нашёл с большой степенью точности шестидесятиричное приблп женпе для корня уравнения .г3 4-1 = 3#, к которому, как было сказано, он свёл задачу о построении правильного девятиугольника. Невидимому, ал-Бнрунп получил своё приближение путём проб. Промежуточно этапы
4 «В приложениях алгебры арабы оставили далеко позади себя позицию греков: они сбросили оковы, которые налагало на греческую науку строгое различение чисел от величины; они смогли поэтому применять арифметические действия к линиям и площадям, короче говоря, алгебру к геометрии и богато использовали эту возможность» (Н. Hankel, пят. соч., стр. 265). Однако Ганкель ошибочно объяснял применения алгебры в геометрических и тригонометрических задачах индусским влиянием.
2) Как характерное для среднеазиатской математики явление следует отметить, что ал-Кархи в одном труде привёл и чисто алгебраический вывод правил решения квадратных уравнений: он же, как говорилось, дал арифметическую трактовку X книги евклидовых «Начал». (Ср пит. статью Люкея в «Foisc hungen und
Forlschriite».)
480
А. П. ЮШКЕВИЧ
дальнейшей разработки численных методов пока неизвестны, но у Гиясэддпиа мы находим блестящее применение одного систематического итерационного процесса к вычислению тригонометрических таблиц.
Таблицы хорд Птолемея, как известно, составлены были через 1° с точностью до Г'. Эта точность таблиц явилась неудовлетворительной в Хв., п Абуль-Вафа вычислил новые, более точные таблицы синусов через 10' с точ-ностью до 6Q4 . Еще более совершенные таблицы трпгоно метрических линий составлены были в Самарканде кой обсерватории Улугбека, располагавшей исключительными для своего времени по точности’ наблюдений инструментами. В основу таблиц было положено вычисление sin 1°, для которого Гиясэддин нашёл в шестидесятиричной системе значение
sinl° = 0; 1, 2, 49, 43, 11, 14, 44, 16, 26, 17 1);
в результате таблицы синусов Улугбека, вычисленные до 45° через Г, содержали погрешностп не более чем в 1 • 10-9.
Прежде всего, исходя из синусов 72° и 60°, Гиясэддин нашел sin 3°, а это дало ему для определения sin 1° = я кубическое уравнение2)
х3 * 4-0,785 039 343 364 400 6 = 45я, которое он решил следующим итерационным процессом. Пусть уравнение с буквенными коэффициентами записано в виде
и искомое значение корпя будет, как в данном случае, некоторой малой дробью. Первое приближение а получается, если пренебречь в правой стороне членом х3\ до
х) Т. е. в десятичных дробях sin 1°= 0,017 452 406 437 283 5; все 17 знаков здесь верные!
2) Подробное описание приёма составления указанного урав-
нения, а также самих тригонометрических таблиц Улугбека см.
в цит. книге Т. П. Кары-Ниязова, стр. 144 и след.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ. 481
пустим, ЧТО
-2- = а+^; R = Q — aP', здесь а — первая значащая цифра частного в десятичных или шестидесятиричных дробях. Полагая
я=:а-}-р,
имеем
o+p=(^±Q
и
о (a4"?)3 + Q—аР	(а + ?)3 + R
I —	р	— р
Заменяя в правой части равенства (а +- В,)3 на а3, получаем приближённое значение для первой поправки
при этом b берётся уже с точностью до единицы следующего разряда. Полагая затем
? = 6 + у. находим
т , _+ 6 7)3 4- Д
v (а+6 + '()3 + Д — ЬР _{а±Ь+ ()э -	.
‘	Р	~	Р
или, заменяя аналогично (а 4-6 4-у)3 на (а-рб)3: (g + fe)3_fl3 + ty	г
I	р	с-г р у
Т = (а 4- 6)3 — а3 5 - cP;
здесь с берётся с точностью до единицы очередного следующего разряда. Далее полагаем
т = с+г,
31 Историко-матем. исследования
482
А. П. ЮШКЕВИЧ
что, после сходных выкладок, даёт приближённое значение поправки 6:
? (а + Ь + е)3-(а 1-Ь)3 + Г >. U
"------------р---------= d + 7>
и т. д. В результате вычисления приближённых значений поправок искомое значение корня х выражается суммой:
х — л + 6 + c-f- d + •••
Нетрудно показать, что последовательные приближения корня в виде частных сумм ряда а -f-б -|-с +<? + ... получаются по способу Гиясэддина в виде:
Q
*1 а ,
а + b =& “ р® , x3 = a + b + c^(^—b^ -2, ,	*ап_1 -t <2 г
т. е. вообще хп—-----. Сам процесс, наверное, схо-
дится при Зя* 2 < г < 1, что в случае уравнения Гиясэддина, очевидно, имеет место.
Итерационный приём Гиясэддина заслуживает очень высокой оценки, и ещё Ганкель ппсал о нём: «Этот прекрасный метод решения численных уравнений не уступает по тонкости и изяществу всем открытым на Западе после Виета методам приближения»1). К этим словам следует добавить, что европейские математики только в конце XVI в. сумели поставить точность и методы приближённых вычислений на ту высоту, которой достиг на полтораста лет ранее замечательный самаркандский учёный2).
!) См. Н. Н ankel, цит. соч., стр. 292.
2) Ср. II. Н а п к е 1, цит. соч., стр. 290—292, и Т. Н. К а р bill и я з о в, цит. соч., стр. 150—152.—Единственным примером весьма точного вычисления в средневековой математике было определение ок. 1200 г. Леонардо Пизанским корня уравнения я3+
4-2х2 -г10х=20 с точностью до ; Леонардо, как было сказано выше, был хорошо знаком с математикой Востока.
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX-XV ВВ. 483
Слабым пунктом среднеазиатской алгебры являлось отсутствие символических обозначений, которое, несомненно, задерживало успешное развитие этой науки. Алгебра народов Средней Азии была, по терминологии Пессельмана, «риторической»; все предложения и вычисления в пей выражались словесно. Математики Средней Азии явно недооценивали значения той символики, которая, хотя бы в зачаточной форме, имелась у Диофанта и у индусовт). Тем поразительнее достигнутые с помощью столь недостаточных технических средств и теоретические и вычислительные результаты ал-Хайяма, Гиясэддипа и других алгебраистов народов Средней Азин.
IV
Открытия среднеазиатских учёных в тригонометрии были достаточно подробно описаны ещё Браунмюлем, Цейтепом и др. Для целей настоящей статьи достаточно будет ограничиться немногими напоминаниями. В этой области математики учёные Средней Азии отправлялись частью от трудов Птолемея и Менелая, создателя сферической геометрии, частью от индусов, заменивших употреблявшиеся греками хорды линиями синуса и косинуса. Блестящие открытия среднеазиатских учёных вскоре, однако, оставили далеко позади достижения пх предшественников и привели к созданию весьма полной системы плоской и сферической тригонометрии. Подобно алгебре, тригонометрия стала особой математической дисциплиной только в трудах учёных Средней Азии.
Одппм пз важнейших результатов было введение всех основных тригонометрических линий. Сирийский учёный ал-Баттани (ум. в 929 г.) в связи с задачей об определении высоты Солнца по тени вертикального шеста первый пришёл к мысли об определении угла в прямоугольном треугольнике по отношению между катетами
х) Только в середине XIII в. у математиков мавританских государств на Пиренейском полуострове намечается создание алгебраической символики. (См. Фл. К е дж о р и, История элементарной математики, Одесса, 1917, стр. 117—118.)
484
A. II. ЮШКЕВИЧ
и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°. Абуль-Вафа присоединил к линиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса линии секанса и косеканса и словесно выразил алгебраические взаимозависимости между всеми тригонометрическими функциями,—в частности, для случая, когда радиус круга принят равным единице (в Европе мысль положить г = 1 пришла па ум Брадвар-дину в 1325 г.). Широкое применение линии тангенса побудило Абуль-Вафу вычислить наряду с уже упоминавшимися таблицами синусов и таблицы тангенсов; наряду с ал-Ходженди он обогатил тригонометрию также теоремой синусов для сферического треугольника (синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов).
Ряд частных новых теорем найден был со временем другими математиками, но наиболее важным явилось постепенное изменение роли самой тригонометрии н эволюция её приёмов. Сохраняя глубокие связи с астрономией, тригонометрия именно в силу её огромной практической полезности приобретает характер самостоятельной пауки. Учёные приступают к изучению свойств и приёмов решения плоских и сферических треугольников по тем пли иным данным уже вне прямой зависимости от частных задач астрономии. Вершиной достижений математики Средней Азии в этом направлении было овладение всеми шестью случаями решения косоугольного сферического треугольника. Два труднейших из них были впервые исследованы Насирэддином, который решил треугольник по трём сторонам и с помощью полярного треугольника свёл к этому случаю решение треугольника по трём углам. В Европе только Региомонтан двести лет спустя сумел найти решение этих задач, а идея полярного треугольника вновь появилась лишь у Спелля в начале XVII в.
Превращение тригонометрии пз подсобной главы астрономических курсов в особую пауку, подготовленное усилиями многих учёных, было осуществлено также Насирэддином. Об этом важнейшем в истории тригонометрии до Эйлера событии Браунмюль писал: «Труд Насирэддина действительно заслуживает названия си стемы тригонометрии, ибо хотя его предшественники
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX —XV ВВ.	485
Абуль-Вафа, Абу-11 аср, ал-Бпрунп и др. предпосылали своим астрономическим сочинениям главу, в которой приводили сводку и обоснование тригонометрических правил, но у них тригонометрия выступала всё же только как наука, вспомогательная для астрономии, но не имеющая самостоятельного значения. Иасирэддпн, напротив, понял её собственное математическое значение и стремился поэтому обосновать её, как самостоятельную дисциплину, положив в основу полный четырёхсторонник. Все его фундаментальные теоремы совершенно последовательно выводятся пз этой фигуры»1).
Вместе с тем изменялся облик самой тригонометрии. Хотя геометрические построения продолжали лежать в основе её системы (у Наспрэддина, например, теорема Менелая о полном четырёхстороннике), всё более видное место начинали занимать алгебраические зависимости между тригонометрическими функциями элементов треугольников и вычислительные методы, оказавшие, как мы видели, самое плодотворное влияние н на развитие арифметики и алгебры2). Чисто аналитическое построение тригонометрии явилось делом позднейшего времени; начато оно было, по существу, Эйлером и завершено Н.П. Лобачевским.
V
Я ограничился выше .тишь беглым и неполным nepe-численпем наиболее ярких результатов, полученных Maje-матпкамп Средней Азии в области арифметики, алгебры п тригонометрии. Думается, однако, что и это краткое перечисление достаточно убедительно подтверждает положения, высказанные в начале статьи, и показывает, что в Средней Азии IX—XV вв. складывалось новое и целостное направление математической мысли. Арпфме-
Ч См. А у. В г a u и m u h 1, цит. соч., стр. 71.
2) «Вся тригонометрия арабов свидетельствует о том, сколь большим успехом явился отказ от геометрического способа выражения теорем и превращение пх в формулы, которые показывают связь между величинами в арпфметпко-алгебрапческой форме» (It II а в k е 1, пит. соч., стр. 266).
486
Л. П. ЮШКЕВИЧ
тпческпе, алгебраические и тригонометрические исследования, развивавшиеся здесь в тесной взаимосвязи, сливались в мощный поток вычислительной математики. Сравнение среднеазиатской математики с европейской математикой X—XV вв. позволяет особенно отчётливо оценить достижения нашего средневекового Востока. И здесь, и там на первое место выдвигается практическая арифметика, п создание позиционной системы счёта завершается открытием десятичных дробей. II здесь, и там полностью овладевают основными операциями арифметики и труднейшей среди них—извлечением корней. И здесь, и там параллельно с арифметикой совершенствуются приёмы решения квадратных и кубических уравнений, алгебраический аппарат ставится на службу вычислительной геометрии и тригонометрии, а алгебра выделяется в ведущую и самостоятельную науку. И здесь, и там обособляется от астрономии тригонометрия и усилиями многих учёных составляются для нужд астрономии таблицы тригонометрических функции. Среднеазиатская математика в течение столетий плодотворно воздействовала на развитие европейской, которая тем легче и быстрее усваивала её достижения, что проникнута была сходными устремлениями. Можно пожалеть только, что в силу разобщения, которое с XI в. всё усиливалось между мусульманским миром и Европой и даже между мусульманами Запада и Востока, многие крупнейшие открытия среднеазиатских математиков, как ал-Хайяма, Гиясэддипа, Улугбека, отчасти Наспрэддина, получили известность в' Европе лишь тогда, когда уже были заново получены европейской наукой.
В дальнейшем пути развития математической мысли в Европе и в Средней Азии разошлись: в условиях развивавшегося капиталистического общества европейская математика продолжала интенсивное развитие, между тем как в задержавшейся па феодальной стадии и раз дираемой неурядицами Средней Азин научный прогресс был задержан па ряд столетий, до Великой Октябрьской социалистической революции.
Предлагаемая здесь концепция среднеазиатской математики, частично перекликающаяся с высказываниями
МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX —XV ВВ.
487
других историков науки1), намечена мной лишь в самых общих чертах. Разумеется, она нуждается и в значительных уточнениях, и в критическом рассмотрении. Дело не только в том, что здесь кратко высказаны и проиллюстрированы немногими примерами лишь самые основные положения. Дело ещё и в том, что я вынужден был опираться на весьма и весьма ещё недостаточные материалы. Неопубликованных и неизученных рукописей имеется гораздо больше, чем опубликованных и даже частично описанных. Многие важные вопросы сейчас не могут получить сколько-нибудь удовлетворительного решения. Мы не знаем, какие научные традиции существовали на территории наших среднеазиатских республик до VIII— IX вв.2) и, в частности, что собой представляла математика Хорезма. Мы не знаем, какие нити протянуты были между наукой Средней Азии и Китая. Мы не знаем многих промежуточных звеньев в цепи исследований, предшествовавших трудам ал-Хайяма, Иаспрэддина, Гиясэддина и др. Даже сочинения таких крупных учёных, как те же Наспрэддин, Гиясэддин, ал-Кархи и др., известны нам неполностью, а иногда—в незначительных отрывках. Несомненно, однако, одно: каждая новая изученная рукопись и даже фрагмент раскрывает новые и новые блестящие достижения средневековых математиков восточных народов нашей страны.
*) Г. Ганкеля, И. Ю. Тимченко, А. Браунмюля, Т. II. Кары-Ниязова, П. Люкея. Последний также подчёркивает «арифметизацию и алгебраизацию» и «сбрасывание геометрической формы» в математике Ислама (см. его статью в «Forschungen und Fortschrilte», стр. 203). Замечу, что ещё М. Шаль около 100 лет назад писал: «Арабы сообщили математическим наукам тот особый и оригинальный характер, который перешёл к Европейцам и в руках их послужил в XVI столетии основою быстро развивавшегося превосходства перед наукою древних» (Шаль, Исторический обзор происхождения и развития геометрических .методов, М , 1883, т. II, Примечания, стр. 227). Правда, Шаль, располагая ещё весьма недостаточными материалами, всё сводил к исследованию «арабами» «геометрии Греков и алгебры Индийцев одной при помощи другой». Интересно, однако, что он провёл параллель между европейской и восточной математикой Средних Веков и так или иначе подчеркнул «особый и оригинальный характер» последней.
2) Именно поэтому я сознательно оставил в стороне вопрос о состоянии математики народов Средней Азии в VIII в.
488	А. П. ЮШКЕВИЧ
Перед советскими учёными стоят, как я полагаю, большие п важные задачи в области истории науки Средней Азии, а также Закавказья. Необходимо каталогизировать богатейшие рукописные фонды на арабском, таджикском и иных восточных языках, хранящиеся в архивах советских библиотек и научных учреждении. Необходимо затем приступить к пх планомерному изучению, описанию и—частичному или полному—изданию. Необходимо издание трудов классиков среднеазиатской математики,—в первую очередь, быть может, ал-Хорезми, Абуль-Вафы, ал-Хапяма, Насирэддина, Гиясэддина, Улугбека,—на русском языке, на котором эти труды станут доступными всем советским историкам науки.
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАБОТАХ НАСИРЭДДИНА ТУСИ
J5. Л. Розенфельд
В 1951 г. исполнилось 750 лет со дня рождения выдающегося азербайджанского учёного XIII в.—Насир эддпна Туси.
Здесь мы дадим краткий очерк биографии этого учёного и характеристику его двух важнейших математических сочинений: комментариев к «Началам» Евклида и трактата «Шакл-ул-Кита», относящегося к теории отношений и сферической тригонометрии. Работа по изучению жизни и творчества Насирэддина Туси в настоящее время находится только в стадии развёртывания; настоящую статью следует рассматривать как предварительное сообщение об этой работе.
1. Биография Наспрэддина Туси1)
Центром передовой науки в IX—XIII вв. был Ближний Восток и, в частности, Узбекистан, Таджикистан и Азербайджан. Философия, математика и астрономия многим обязаны выдающимся учёным этих стран: узбекскому алгебраисту, основателю алгебраической науки— Мохаммеду ибн Муса Хорезми (IX в.), известному па Западе под латинизированным именем Algorithmus;
J) См. также Г. Д. Мамедбейл и, Из истории Марагин-ской обсерватории, «Труды Всесоюзного совещания по истории естествознания», Изд-во АН СССР, 1948, стр. 150—160; Г. Д. М а м е д-б е й л п, Выдающийся азербайджанский учёный, «Известия АН Азербайджанской ССР» 9 (1951), стр. 9—1/
490
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
узбекскому философу, астроному и геометру Абу Рейхану Бпруни (973—1048); таджикскому философу и астроному Абу Али ибн Сино (980—1037), известному на Западе иод латинизированным именем Avicenna; таджикскому философу, алгебраисту, геометру и поэту Омару Хайяму (1040—1123); геометру Табрпзп (X в.), имя которого свидетельствует о его происхождении из азербайджанского города Тавриза,—этот геометр известен на Западе под латинизированным именем Anaritius (от «Найризи», весьма близкого по написанию к «Табрпзп»).
Ходжа Мохаммед ибн Мохаммед Абу Джафар Иасир-эддин Туси, обычно известный под именем 11 а с и р-эддин Туси (арабизированная форма этого имени— Nasir-ad-din at-Tusi или Ходжа Наспрэддин, родился в 1201 г. в городе Тусе. По свидетельству летописца Рашидэддина х) род Наспрэддина происходит пз Хамадана (Азербайджан).
Город Тус, находящийся в Хорасане (восточный Иран), был в то время одним пз центров таджикской культуры. В этом городе жили великий таджикский поэт Фердоусп, а также ряд учёных, являющихся учениками таджикского философа и астронома Ибп Сино. Своё образование Наспрэддин получил под руководством одного из этих учёных—Кемалэддпна Мусы пбн Юниса.
Большое влияние оказала на Наспрэддина Туси геометрическая работа таджикского учёного Омара Хайяма «Комментарии к трудным местам Евклида» * 2), в которой рассматриваются теория параллельных линий и теория отношений. Результаты Омара Хайяма послужили исходным пунктом для изложенных нпже исследований Наспрэддина Туси по этим вопросам.
J) Р а ш и д-а д-д и н, Сборник летописей, т. III, Изд-но АН СССР, И.—Л., 1947, стр. 31.
2) RisaJt fi sarhi ma askala min musadarati kitabi I’qlidas П-1-hakimi ‘Umar bin Ibrahim Al-Hajjami, «Discussion of difficulties of Euclid by Omar Khayyam», Tehran, 1936 (44 стр.). Экземпляр этой работы находится в республиканском рукописном фонде Азербайджанской ССР в Баку. Об этой работе см. также Г). Е. Smith, Euclid, Omar Khayyam and Saccheri, «Scripta mathematical 3:1 (1935), стр. 5 —IQ.
НЛСШ'ЭДДПП ТУСИ.
С портрета работы азербайджанского художника Газанфара Ализаде (1949).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСИРЭДДИНА ТУСИ
491
Написав ряд научных трудов, Насирэддин поехал Багдад, где представил эти труды халифу Мустасиму; следний, однако, эти труды не одобрил.
В 50-х годах XIII в. Насирэддин находился в Кухи-ане (северо-восточный Иран) при дворе Насира, пра-теля изуверской секты «хашашин» (от «хашаш», т. с. шиш), известной па Западе под именем ассасинов ^бийц»). Здесь он написал своё известное философское опзведеиие «Эхлаки Насиры» («Мораль Насира»).
В результате ссоры с преемником Насира, Насирэддин л заточён в крепость Аламут, откуда был освобождён шь после завоевания Кухпстана монголами во главе Хулагу-ханом, внуком Чннгис-хана. Хулагу-хан при-ёк Насирэддина в качестве советника, и с этого момента [знь Насирэддина тесно связана с двором Хулагу-хана.
Насирэддин участвовал в известном походе Хулагу-на на Багдад. После того как Хулагу-хан сделал своей )лицей азербайджанский город Марагу под Тавризом, , по настоянию Наспрэддина, построил в 1258—1259 гг. городе Мараге астрономическую обсерваторию, научим руководителем которой стал Насирэддин. В эту серваторию Насирэддин пригласил ряд видных учёных го времени: Мобэддина Урзи из Дамаска, Фахрэддина iparn из Мосула, Наджмэддпна Дибл рани пз Казвина, (хрэддина Ихлати пз Тбилиси и др.
При Марагпнской обсерватории была создана богатей-1Я библиотека рукописей. Марагинская обсерватория, □чествовавшая до конца XIII в., была одной из крупней-[х научных школ того времени.
Марагинская обсерватория была оснащена лучшими своего времени астрономическими наблюдательными иборамп. В обсерватории производились как наблюдс-я и пх обработка1), так и большая работа по развитию 1занных с астрономией разделов математики—геомст-и и тригонометрии.
Насирэддин перевёл с греческого на арабский язык набдил комментариями и добавлениями важнейшие мате-х) Результаты наблюдений Марагинской обсерватории сведены звёздном каталоге, известном под названием «Зидж Элханд» тьханские таблицы»).
492
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
магические, астрономические и физические труды древних авторов: «Начала», «Феномены» и «Оптику» Евклида, «Об измерении круга» и «О шаре и цилиндре» Архимеда, «Алмагест» Птолемея, «Конические сечения» Апо ыолия и «Сферику» Феодосия; он составил комментарии к книге «Ишарат» («Обозначения») Ибн Си ио, а также написан целый ряд оригинальных произведении, важнейшими из которых являются «Шакл-ул-Кита»—трактат по теории отношений и о сферической тригонометрии, «Каваид-ул-Хандаса»—трактат по геометрии и «Тазкнра»—трактат по астрономии.
Насирэддпн умер в 1274 г. в Марате.
2. О развитии Насмрэдлиной Туси теории параллельных линий
До нас дошли две редакции «Тахрир Уклидас»—пере вода «Начал» Евклида с комментариями и добавлениями Наси рэдди на. Первая из них содержит перевод 13 книг, вторая —15 книг. Во второй редакции, помимо добавления 14-й и 15-й книг (более позднего происхождения) было произведено некоторое сокращение материала. Первая редакция была напечатана в Риме в 1594 г. на арабском языке и там же в 1657 г. на латинском языке не полностью х). С этими изданиями были знакомы английский математик Валлис и итальянский математик Сак-кери; содержащаяся в этих изданиях попытка Насирэд-дпна доказать так называемый V постулат Евклида сыграла большую роль в подготовке создания неевклидовой геометрии* 2). Экземпляр второй редакции, напечатанный также на арабском языке в 1881 г. в Тегеране 3), имеется
9 «Kitabu tahriri usfllu 1-L'qlidas min talifu Hirza Nasir-ad-din at-Tfisi», «Euclidis elementorum geometricorum libri iredecim ox traditione doctissimi Nasir’idini Tusini nunc primum arabice impress!» Roma, 1594, «Euclidis elementorum libri tredecim, studio Nassere-dini», Roma, 1657.
2) Выдержка из издания 1657 г., относящаяся к V постулату Евклида, в переложении Валлиса переведена на русский язык; см. В. Ф. Каган, Основания геометрии, т. I, Гостехиздат, М.—Л.т 1949, стр. 119—122.
а) «Tahriri Uqlidas fi ’ilmi 1-handasa». Tahran, 1298 (по летоис-чис lenino Хиджры; это соответствует 1881 г. н. э.).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ 11 АСИ РЭДДИ II V ТУСП
493


»^L^!^/$iijiw£Uw>icMJ4wii
тЬ i>r
,	lJ>i wAh ы
•	«	•	»'	’ *	»J *
Q*b*J	ax^/-£t
". • hZ‘!L'O3 iiu^lsU	Vvi*'
* •	*	.
hj^i	)' (^/
r	’ •
ty&'jlty ^iii^^JtiiJli^ UU> |А«Й ЙЦ^ЬО^ у^нй ^^ииц ^-bj^a?eXi>c^tt»<y^bwpx
Постулаты из наспрэддиновского перевода «Начал» Евклида. Фотография с рукописи J-и редакции, обнаруженной автором в библиотеке Казанского гос. университета им. В. И. Ульянова-Пенина.
494
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
в распоряжении Института физики и математики Академии наук Азербайджанской ССР в г. Баку * 2).
Основным различием этих двух редакций, как можно
предполагать, является изложение теории параллельных
линий, т. е. вопросов, связанных с V постулатом Евклида (постулатом о параллельных2).
В первой редакции Насирэддин, как мы уже указывали, пытался доказать V постулат. Проследим ход мысли
Насирэддина и найдём ого ошибку.
Прежде всего Пасирэд-днн принимает без доказательства две леммы:
1) Если АВ и CD (рис. 1) две прямые, расположенные таким образом, что перпендикуляры EF, GH, KL, опущенные из точек прямой АВ на CD,
всегда образуют с прямой АВ неравные углы, которые всё время остаются острыми со стороны В и тупыми со стороны А, то прямые АВ и CD, до тех пор пока они не пересекаются, постоянно
сближаются со стороны острых углов и расходятся со сто
роны тупых углов, т. е. перпендикуляры уменьшаются в сторону точек В и D и возрастают в сторону точек А и С.
2) Обратно, если проведённые таким образом перпендикуляры становятся короче в направлении к точкам В, D и длиннее в направлении к А и С, так что прямые линии
г) Русский перевод комментариев Насирэддина из второй редакции, относящихся к V постулату Евклида, приведён в работе Р. М. Султанова «Насирэддин Тусп о постулате параллельности» (Известия АН Азербайджанской ССР 1951). Институтом фи зики и математики Академии наук Азербайджанской ССР подготовлен к печати полный перевод на азербайджанский язык второй редакции комментариев Наспрэддина.
2) О V постулате Евклида п попытках его доказательства, приведших к открытию неевклидовой геометрип, см. В. Ф. К а г а и, цпт. соч., стр. 56—60 и 111—153.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСИРЭДДПНА ТУСИ
495
АВ и CD постоянно солижаются в сторону В, D и расходятся в противоположную сторону, то каждый перпендикуляр образует с прямой АВ два угла, один пз которых острый, а другой тупой; при этом все острые углы обращены в сторону В, D, а тупые—в противоположную сторону.
Эти леммы не зависят от V постулата Евклида.
Далее Наснрэддип доказывает следующую, третью,
лемму:
Еслп из концов отрезка АВ (рис. 2) восставим к нему перпендикуляры AC, BD, отложим на них равные отрезки AC, BD и приведём прямую CD, то каждый из углов ACD и В DC бу- 5_ дет прямым, а отрезок CD будет равен АВ.
С помощью третьей леммы На-сирэддип без труда доказывает V _____________________
постулат; с другой стороны, эта В	Д
лемма эквивалентна теореме о том,	Рис. 2.
что сумма углов треугольника равна двум прямым. Третья лемма не эквивалентна V постулату, а сильнее его, так как V постулат исключает только неевклидову геометрию Лобачевского, а третья лемма исключает как неевклидову геометрию Лобачевского, так и неевклидову геометрию Римана.
Проследим ход мысли Наспрэддина, который мы восстанавливаем с помощью сравнения переложения Валлиса
соответствующего места первой редакции комментариев с имеющейся в нашем распоряжении второй редакцией.
Углы ACD и CDB равны друг другу, так как правая половина четырёхсторонника ABCD может быть наложена на его левую половину х).
Пусть эти углы тупые (рис. 3). Восставим из точки С перпендикуляр СЕ к прямой CD до пересечения с прямой АВ в точке Е. Угол СЕВ — тупой, как внешний угол прямоугольного треугольника САЕ. Восставим из точки Е перпендикуляр EF к прямой АВ до пересе-
1) Если перегнуть четырёхугольник по прямой Л/TV (рис. 3), проходящей через середины сторон АВ и CD.
496
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
чения с прямой CD в точке F. Угол EFD — также ту пой, как внешний угол прямоугольного треугольника ECF. Точно так же восставим пз точки F перпендикуляр FG к прямой CD, в точке G — перпендикуляр GH к прямой АВ, в точке Н—перпендикуляр НК к прямой CD, в точке К — перпендикуляр KL к прямой АВ и т. д. Этот про
цесс можно продолжать без конца, причем все углы FGB, GHD, НК В, KLD, ... являются тупыми. В силу нашей леммы перпендикуляры AC, EF, GH, KL, ... к прямой АВ и перпендикуляры СЕ, FG, НК, ... к прямой CD увеличиваются, что видно и непосредственно, так
как СЕ больше С А как гипотенуза прямоугольного треугольника АСЕ, FE больше СЕ как гипотенуза прямоугольного треугольника EFC, и т. д.
Из того, что этот процесс можно продолжать без конца, Насирэддин делает вывод, что мы дойдём до сто-
роны BD, а так как перпендикуляры, восставленные
к прямой^/?, при нашем процессе увеличиваются в направ-
лении В, то пз второй леммы следует, что BD больше АС. Проводя тот же процесс в обратном направлении (т. е. начиная со стороны BD), получаем, что АС больше BD. Полученное противоречие доказы-
вает, что углы ACD и	рис
BDC не являются тупыми.
Пусть эти углы острые (рис. 4). Опустим пз точки А перпендикуляр АЕ на прямую СУ). Угол ЕАВ острый, как часть прямого угла САВ. Опустим из точки Е перпенди куляр EF на прямую АВ. Угол FED острый, как часть прямого угла DEA. Точно так же опустим из точки F перпендикуляр FG на прямую CD, из точки G—перпендикуляр
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСПРЭДДИНА ТУСИ
497
ft г ч
F v-^^—h tv
&l.i ' |L	iJ.c
*^*i>5u^ ^tlH J^£*f г*'М*-лЦс/ ^Atli-^rMJ1	V>WU'£Jj?j!
^ШЛr^jHVx<t^^V^1^*» Vy^/Hr %<л^У9^<54^
1. '. Л J-	' ..	»t.. tz.u ( h«.
Страница комментариев Наспрэддина к «Началам» Евклида по вопросу о V постулате. Фотография с литографированного теге-райского издания, хранящегося в физико-математическом институт Академии наук Азербайджанской ССР.
32 Историко-матем. исследования
498
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
GH на прямую А В, пз точки Н—перпендикуляр НК на прямую CD, пз точки К—перпендикуляр KL на прямую АВ, и т. д. Этот процесс можно продолжать без конца, причём все углы EAB, FED, GFB, HGD, КН В, LKD, ... являются острыми. В силу второй леммы перпендикуляры С A, EF, GH, KL, ... к прямой АВ и перпендикуляры АЕ, FG, НК, ... к прямой GD уменьшаются, что видно и непосредственно, так как С А больше АЕ как гипотенуза прямоугольного треугольника АСЕ', АЕ больше EF как гипотенуза прямоугольного треугольника AFE и т. д.
Из того, что этот процесс можно продолжать без конца, Насирэддип также делает вывод, что мы дойдём до стороны BD, а так как перпендикуляры, опущенные на прямую АВ, прп нашем процессе уменьшаются в направлении В, то пз второй леммы следует, что BD меньше АС. Проводя тот же процесс в обратном направлении, получаем, что АС меньше BD. Полученное противоречие дока зывает, что углы ACD и В DC не являются острыми.
Таким образом, углы ACD и BDC могут быть только прямыми,—первое утверждение третьей леммы доказано. Равенство отрезков АВ и. CD доказывается легко: проводится диагональ четырёхугольника АВ DC.
Ошибка Наспрэддина заключается в следующем: из того, что указанные процессы можно продолжать без конца, он делает вывод, что мы дойдём до противоположной стороны. На самом деле здесь упускается возможность того, что отрезки EG, GK, ... и FH, HL, ... становятся всё меньше, и ряд, состоящий из этих отрезков, сходится, так что бесконечная ломаная EFGHKL ... не пересекает перпендикуляра MN к основанию АВ, восставленного к нему в его середине.
В геометрии Лобачевского, где V постулат не имеет места, углы ACD и В DC являются острыми; в этом случае ломаная EFGHKL ... имеет такой вид, как на рис. 4х).
г) Рассматриваемый Насирэддином четырёхугольник с двумя прямыми углами впервые, повидимому, рассматривался Омаром Хайямом (см. цит. соч., стр. 10 И). Как было указано выше, Насирэддин ссылался на указанную работу Хайяма. Однако в литературе часто этот четырёхугольник неправильно называют четырёх-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСИРЭДДИНА ТУСИ 499
Ошибка Наспрэддина была замечена, невидимому, им самим и исправлена им во второй редакции, где Паснр-эддпн, приводя V постулат Евклида, помещает следу тощий заменяющий г) его постулат:
«Если несколько прямых линий, расположенных в одной плоскости, расходятся в одном .направлении, то они ие могут в этом направлении сходиться» * 2).
Этот постулат Наспрэддина также исключает обе геометрии, т. е. сильнее \ постулата Евклида. Для вывода V постулата пз своего Насирэддин пользуется тем же четырёхсторонником ABCD (см. рис. 2 — 4).
Мы видели, что в случае, когда углы ACD и ВВС — тупые (см. рис. 3), перпендикуляры AC, EF, GH, KL, ... увеличиваются, т. с. прямые АВ и CD в направлении точек В и D расходятся; проводя тот же процесс, начиная со стороны DB, мы виде.in, что эти прямые в том же направлении сходятся; это противоречит постулату Насирэддина. В том же случае, когда углы ACD \\BDC острые, перпендикуляры С A, FE, GH, KL, ... уменьшаются, т. е. прямые АВ п CD в направлении точек В и D сходятся; проводя тот же процесс, начиная со стороны DB, мы видим, что эти прямые в том же направлении расходятся, — это также противоречит постулату Наспрэддина.
При выводе V постулата из того, что углы ACD и BDC четырёхугольника Насирэддина прямые, Насирэддин показывает, что:
1)	если провести два перпендикуляра к одной прямой и пересечь их четвёртой прямой, то образующиеся при этом пересечении соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна двум прямым;
2)	перпендикуляр и наклонная обязательно пересекаются;
угольником Саккери, по имени итальянского математика XVII— XX III вв., цитировавшего рассматриваемую нами работу Насирэддина.
*) «Vazu’tu badalaha qazijjatan uhara»—«я предложил взамен его другой постулат» (курсив наш)—цит. соч. Насирэддина, стр. 4.
2) Этот постулат часто приписывается шотландскому математику XVIII в. Р. Спмсопу (см. например, комментарии (. Д Мордухай-Болтовского к «Началам» Евклида, ч. I, М —Л. 1948, стр. 244).
32*
500
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
3)	если отложить на одной пз сторон острого угла равные отрезки и опустить пз пх концов перпендикуляры на другую сторону острого угла, то эти перпендикуляры отсекают на второй стороне равные отрезки;
4)	из точки внутри угла всегда можно провести пря мую, пересекающую обе стороны этого угла.
Утверждения 1) и 3), так же как утверждение о том, что все углы четырёхугольника Наспрэддина—прямые и что сумма углов треугольника равна двум прямым, сильнее V постулата; утверждения же 2) и 4) эквивалентны V постулату.
Эти результаты Наспрэддина представляют собой существенное развитие теории параллельных линий.
3.	О развитии Иасмрэддпном Туси теории отношений
Другим важнейшим добавлением Наспрэддина в его «Тахрир Уклндас» являются результаты по теории отношений (V и VI книги).
Теория отношений несоизмеримых величин впервые разрабатывалась древними греками и изложена в «Началах» Евклида. Особенность точки зрения греков на несоизмеримые величины состоит в том, что если отношение двух соизмеримых величин может быть измерено с помощью отношения двух целых чисел, показывающих сколько раз содержится в этих величинах их общая мера, то отношение двух несоизмеримых величин не может быть представлено таким образом. Поэтому древние греки отдельно рассматривали теорию отношений соизмеримых величин, которую можно свести к теории отношений целых чисел, и теорию отношений несоизмеримых величин, которую нельзя свести к этой теории.
Современная теория иррационального числа, т. с. вещественного числа, не представимого в виде дроби с целыми числителем и знаменателем, является результатом длительной эволюции понятия числа, на первой стадии которой за числа считаются только целые положительные числа («натуральные числа»), на второй—к ним присоединяются рациональные положительные числа (дроби с натуральными числителем и знаменателем),
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСИРЭДДИНА ТУСИ
501
на третьей—нуль и отрицательные целые и рациональные числа, и, наконец, на четвёртой—иррациональные числа.
Теория отношений Насирэддина, сыгравшая важную роль в этой эволюции понятия числа, имелась уже в первой редакции «Тахрир Уклпдас»1). В наиболее совершенном виде эта теория изложена в 1 книге трактата «Шакл-ул-Кита». Необходимость теории отношений для тригонометрии следует пз того, что значения тригонометрических функций являются отношениями отрезков, за редкими исключениями ^sin 30° = -тр> 18 7i^° “ 1) несоизмеримых. Поэтому мы изложим результаты теории отношений Насирэддина по его трактату «Шакл-ул-Кита».
В распоряжении Института физики и математики Академии наук Азербайджанской ССР имеются фотокопии экземпляров трактата Шакл-ул-Кита, напечатанных в Константинополе в 1891 г. на арабском и французском языках 2).
Название этого трактата «Шакл-ул-Кита» означает дословно «фигура, составленная из секущих»; под этой фигурой понимается то, что мы в настоящее время называем полным четырёхсторонником, т. е. совокупность четырёх прямых линий или дуг больших кругов на сфере, каждая из которых пересекается с остальными тремя в трёх точках. Эта фигура является в этом трактате основным средством вывода всех соотношений сферической тригонометрии.
Этот трактат является первым из дошедших до нас трактатов, специально посвящённых изложению трпго-
х) См. 13-е прибавление II. Ю. Тимченко к книге Ф. Кед-жорп, История элементарной математики, 2 пзд., Одесса, 1917, стр. 403—404.
2) «Kitabu as-saklu-l-qita’». Quslantinija, 1309 (по летоисчислению Хиджры, что соответствует 1891 г. п. э.); «Traitc du quadri latere», trad, par Alexandre Pacha Caratheodory. Constantinople, 1891. Эти экземпляры находятся в библиотеке Академии наук СССР в Ленинграде; Институтом физики и математики Академии наук Азербайджанской ССР под редакцией Г. Д. Мамедбейлп и автора настоящей статьи подготовлены к печати переводы этого трактата на азербайджанский и русский языки.
502
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
нометрпп: раньше тригонометрия излагалась только в книгах по астрономии1).
Первая книга трактата «Шакл-ул-Кита» посвящена развитию теории отношений.
Паспрэддпн начинает свою теорию с определения умножения отношений. Древние греки применяли умножение только к целым числам и пх отношениям, в случае же отношений несоизмеримых величин они говорили только о составлении отношения из двух других отношений. Например, еслп нам даны три однородные величины <7^/1	Л.	<. А С
J, В, С, то отношение составлено из отношении— и-=г ; zj	с а
A	L)	С
если отношение у—	равно отношению	„	, а отношение	-=-
0	Б	И
F	А
равно	отношению	, то отношение -у составлено также
..	Г)	F
из	отношении	—	н -тг •
А	Сг
Пасирэддип определяет составное отношение как такое отношение, значение (miqdar) которого равно произведению значений двух других отношений, а значение отношения—как величину, отношение которой к некоторой единице (valiid) равно данному отношению. Паспрэддпн рассматривал отношения несоизмеримых величин как числа2). Заметим, что в Западной Европе единичные отрезки впервые рассматривались Декартом в его «Геометрии» (1637)3), теория значений отношений несоизмеримых величин была построена Сент-Вппцептием в 1647 г. 4), а взгляд на отношения несоизмеримых величин как па числа был в отчетливой форме сформулировав
2) Эта заслуга Наспрэддина часто приписывалась немецкому математику XV в. Региомонтану.
2) Дословно: «vazalika likavni kulli nisbatin samljjatin \\A-'adadi Mazi juqaddiruhu al-v&hidu kafaqdiri 1-avvai min haddaj titkan n-nisbati lisani»—«поэтому каждое пз этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один пз членов отношения определяется другим из этих членов» (курсив наш.—Б. Р.). См. цит. соч. Наспрэддина, стр. 4.
3) Р е и э Д е к а р т, Геометрия, М.—Л., 1938.
4) G г е g о г i п s’ St. V i п с с n t i u s, Opus geometricum quadrat urao circuit et sectionem coni. Antwerpen, 1647.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСИРЭДДИНА ТУСИ
503
только Ньютоном в его «Всеобщей арифметике» (1707) 1).
В 14 предложениях 1-го трактата Насирэддин выясняет ряд свойств составных отношений, важнейшим пз
которых является то, что для того, чтобы отношение —
было составлено пз отношений
Е
п -рг, неооходимо и
достаточно, чтобы произведения Ах Dx F п ВхС X Е были равны друг другу. Это свойство даёт возможность получить из одного составного отношения целый ряд новых составных отношений, например, из составного отноше-А С ч Е	АВЕ
пня D =-тгХ-^г—составное отношение 7г- = -7г X-и-. Лиг	С и г
4.	О развитии Наспрэддпном Туси тригонометрии
Основная часть трактата «Шакл-ул-Кита» посвящена тригонометрии. Этот трактат в основном завершает развитие сферической тригонометрии. Результаты Наспрэддина, изложенные в этом трактате, часто приписывались немецкому математику XV в. Региомонтану и голландскому математику XVI—XVII вв. Спеллю.
Вторая книга посвящена плоскому полному четырёхстороннику и доказательствам теоремы о составном отношении, связанном с этой фигурой, принадлежащей, повпдпмому, древнегреческому геометру Менелаю.
Для Наспрэддина характерно исчерпывающее описание всех разновидностей этой фигуры и всех вариантов сё доказательства.
Рассмотрим, например, шесть доказательств соотношения
BF ПС ЕА~~ FDX СА
для полного четырёхсторонника ABCDEF (рис. 5).
г) И. Ньютон, Всеобщая арифметика, перевод Л. П. Юшкевича, пзд-во АН СССР, 1948, стр. 8.
504
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
Для этого из точек А, В, D проведём прямые АН, ВН п СИ, параллельные одной пз сторон, не проходящих через эти точки, до пересечения с другой из этих сторон (рис. 6). 13 случаях а) и б) будем называть допол-/	х.	пенном соответственно от-
/	резки HF и АН. Из по-
/	добпй треугольников сле-
/	X. дует, что
/	Х£	FD DC
/	X.	дополнение СА ’
О}—--------1	BF
/	s' г	дополнение EA'
/	/	Поэтому, в силу теории
/.s	составных отношений,
„BE _ BF —BF С	EA~~ дополнение FD
Рис. 5.	FD _____BF DC
дополнение ' FD X CA ’
В случаях в) и г) будем называть дополиепнем’соот-ветственпо отрезки ВН и СН. Пз подобий треугольников следует, что дополнение BF дополнение_________________BE
DC ~FD’ АС ~ЁА'
Поэтому, в силу теории составных отношений,
BE _ дополнение
ЕА~ АС~
дополнение DC _ BF DC ~DC XAC~FDXCA'
В случаях д) и е) будем называть дополнением соответственно отрезки DH и ЕН. Пз подобий треугольников следует, что
BE _____BF дополнение	DC
дополнение — FD ’ EA	С А '
Поэтому, в силу теории отношений, BE BE	дополнение BF DC
ЕА	дополнение EA	— FD CA ’
Третья книга посвящена тригонометрическим соотношениям в круге на плоскости. Здесь определяется синус
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСПРЭДДИНАТУСИ
505
дуги—то, что мы теперь называем линией спнуса угла, соответствующего этой дуге, и доказывается, что отношение синусов двух дуг, имеющих общий конец, равно отношению отрезков хорды, соединяющей два других конца
е)
Рис. 6.
этих дуг, па которые эта хорда делится диаметром, проходящим через общий конец дуг, т. е. для дуг АВ п АС , г,х синус АВ BD
(1’пг-7)йЛ^лс = сл-
В самом деле, в обоих случаях синус АВ равен FB, си-нус У1С равен ИС, нопз подоопя треугольников: =	•
506
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
С помощью этой теоремы решается задача нахождения двух дуг по их сумме плп разности и отношению их синусов.
Четвёртая книга посвящена теории сферического полного четырёхсторонника. Здесь доказываются аналогичные теоремы о составных отношениях, также, невидимому, принадлежащие Менелаю, отличающиеся от соответственных теорем для плоскости только тем, что здесь
вместо отношений отрезков рассматриваются отношения синусов дуг.
Рассмотрим, например, доказательство соотношения
синус BE __ синус BF синус DC синус ЕД ~~ синус FD * синус С А
для сферического полного четырёхсторонника ABCDEF (рис. 8).
Проведём хорды АВ, ADnBD и радиусы НЕ, НС и HF. Эти хорды и радиусы соответственно пересекаются в точках G, L, К на прямой пересечения плоскостей ABD и ECF. Мы получили плоский полный четырёхсторонник ABDCKL, для которого, в силу результатов, полученных во 2-й книге,
BG ВК / L
имеем — = — х y-z. Но в силу доказанной теоремы пз
3-й книги эти отношения соответственно равны отношениям, входящим в доказываемое нами составное отношение.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСПРЭДДИНА ТУСИ
507
Пятая и последняя книга трактата посвящена классификации сферических треугольников по пх углам и сторонам и решению этих треугольников.
Классификация треугольников производится Иаспр-эддином в зависимости от того, являются лп их углы острыми, прямыми и тупыми и являются ли их стороны меньшими, равными или большими четверти окружности,
причём устанавливается, какие типы треугольников в классификации по углам соответствуют различным типам треугольников в классификации по сторонам, и обратно.
Далее Насирэддин вводит косинус дуги (синус душ, дополнительной до четверти окружности), тангенс дуги (по его терминологии «тень дуги», причём под тангенсом дуги он понимает то, что мы называем линией тангенс а угла, соответствующего этой дуге), котангенс дуги (тангенс дуги, дополнительной до четверти окружности), секанс дуги и косеканс дуги.
Для решения треугольников Насирэддин доказывает теоремы синусов и тангенсов. Приведя сначала доказательства этих теорем, данные его предшественниками Абу Насром ибн Праком, Абул Вафа Бузджапи, Абу Рейха-ном Бпрупп и др., Насирэддин даёт чрезвычайно простые доказательства этих теорем с помощью теоремы полного четырёхсторонника.
508
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Для доказательства теоремы синусов Наспрэддин дополняет прямоугольный сферический треугольник АВС с прямым углом В до полного четырёхсторонника ABCDEF, у которого дугп АЕ, AD, BF, EF равны четверти окружности
(рис. 9).
Если
теперь АВС—непрямоугольный
Д
Тогда, в силу теоремы о полном четырёхстороннике,
синус FE _ синус DE ~
_ синус FB	синус АС
“ синус ВС	синус AD *
Но здесь
синус FE — синус FB —
— синус AD — радиус, откуда
синус ВС__ синус DE__
синус АС радиус
_ синусЛ
~~ синус В ’ треугольник, то
Рис. 10.
разделим его на два прямоугольных треугольника АВЕ п АСЕ (рпс. 10).
В силу доказанного синус АЕ  синус С
синусу1С радиус ’
синус АЕ _ синус Б синус АВ~~ радиус ’
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСПРЭДДИНА ТУСИ
509
откуда
синус АВ _ синус С синус АС синус В*
Для доказательства теоремы тангенсов Насирэддип дополняет прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С до такого же полного четырехсторонника ABCDEF, как на рис. 9, и в силу теоремы о полном четырёхстороннике получает:
синус ВС синус В А	синус ЕГ>
синус CF~~ синус АЕ А синус DF ‘ '
Но
синус CF — косинус ВС и
синус ВС тангенс ВС
синус CF радиус
п точно так же
синус ED _ тангенс ED синус DF радиус
синус АЕ = радиус,
откуда
тангенс ВС х радиус = синус В А х тангенс ED,
т. е.
тангенс ВС х радиус = синус В А X тангенс А.
Из всех случаев решения сферических треугольников, изложенных Наспрэддином, приведём два последних случая: решение непрямоугольного треугольника но трём сторонам и по трём углам.
Если даны три стороны треугольника АВС, то продолжим его стороны АВ, АС до дуг AD, АЕ, равных четверти окружности, проведём дугу DE и продолжим дуги ВС и DE до их пересечения в F (рис. И). Здесь известны дуги АВ, АС, ВС и дополнения BD и СЕ дуг АВ, АС до четверти окружности. Из теоремы синусов, применённой к прямоугольным треугольникам FBD и FCE, мы найдём, что
синус FB _ синус FC _ радиус синус BD ~~ синус СЕ ~~ синус F '
510
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
откуда
синус FB _ синус BD синус FC ~ синус СЕ
Таким образом, нам известно отношение —. синус FC ' с другой стороны, известна разность этих дуг ВС (рис. 11). В силу приведённых выше результатов пз 3-й книги мы найдём отсюда дуги FB Л	п FC\ том самым нам будут
/ /	известны треугольники FBD
/	I	и FCE и, в частности, ду-
/	I	ги FD и FE. Но разность
/	I	этих дуг DE измеряет угол
/	А. Таким образом мы пай-
I	I	дём и остальные углы на
ft	1	шего треугольника.
U	Если даны три угла
'	\ -	Г треугольника, то Паспрэд-
\	----- диц сводпт задаЧу к преды-
£4 _	\	' дущей с помощью следующего
'---р"'	оригинального приёма. Он
продолжает все стороны тре-Рпс. 11	угольника АВС до дуг AD,
АЕ, BF, BG, СН, СК, равных четверти окружности, затем соединяет точки D и Е. F и G, Н и К большими кругами п находит точки пересечения этих кругов L, М, N (рве. 12). Полученный треугольник’ LMN обладает тем свойством, что дополнения сю стороны до полуокружности измеряются угла ми А, В, С; в самом деле, дуги DM и EN равны доиол нениям дуги DE, измеряемой углом Л, до четверти окружности, откуда получим, что сумма дуг DM, EN и удвоенной дуги DE равна полуокружности; но DM + EN + 4-DE = MN, откуда видно, что дуги ED и J//V дополняют друг друга до полуокружности. Поэтому нам известны все три стороны треугольника LMN, и задача сведена к предыдущей.
Треугольник LMN называется полярным треугольником треугольника АВС.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НАСПРЭДДИНА ТУСИ 511
Решение сферического треугольника по трём его углам (невозможное в случае плоских треугольников) не было известно до Наспрэддина и является одной из важнейших его заслуг. В Западной Европе полярный треугольник впервые рассматривался лишь голландским математиком XVI XVII вв. В. Снеллом.
Мы проследили за ходом мысли Наспрэддина Туси по теории параллельных линий, теории отношений и сферической тригонометрии—трём существенным вопросам математики.
Заметим, что, невидимому, именно занятия сферической геометрией и тригонометрией послужили причиной того, что Наспрэддин нашёл свою ошибку в доказательстве V постулата, так как, если построить на сфере четырёхугольник Наспрэддина из дуг больших кругов, то углы ACD и BDC будут тупыми, а ломаная EFGHKL .... так же как в геометрии Лобачевского, в этом случае имеет вид, упущенный Насирэддином в его первой редакции перевода «Начал».
512	Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Из приведённых нами примеров видно, что Насир эд-дпн Туси, как математик, решал наиболее тонкие задачи, стоявшие перед наукой его времени. К этому следует прибавить, что свои научные результаты Паспрэддпн тесно связывал с задачами астрономической практики и что научное творчество Наспрэддина дополнялось большой организаторской работой по руководству целой научной школой, возникшей вокруг Марагннской обсерватории.
Всё это даёт полное основание считать Наспрэддина Туси одним из наиболее выдающихся учёных своего времени.