Историко-математические исследования. Выпуск XIII - Юшкевич А.П., Рыбкин Г.Ф.

Автор: Юшкевич А.П. Рыбкин Г.Ф.

Теги: математика история математики

Год: 1960

Похожие

Жемчужина Эйлера. Формула Эйлера для многогранников и рождение топологиии

История математики

Имена бесконечности: правдивая история о религиозном мистицизме и математическом творчестве

Утраченное Просвещение: Золотой век Центральной Азии от арабского завоевания до времен Тамерлана

Текст

ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК XIII
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫБКИНА и А. II. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗПКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литературы
МОСКВА 1960
Историко-математические исследования
Выпуск XIII
Редактор А. П. batea
Тени, редактор И. Ш. Аксельрой Корректор А. С. Бакулева
Сдано в набор 13/IX i960 г. Подписано к печати 9/XI i960 г.
Бумага 84X108/3J. Физ. печ. л. 17,625. Условн. печ. л. 28,91.
Уч.-иад. л. 28,36. Тираж 2200 ака. Т-08980. Цепа кнпги 16 р. 20 к.
С 1/1 1961 г. цена 1 р. 62 к. Заказ 573.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография Л1 5 Мосгорсовнархоза Москва. Трехпрудный пер., 9
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции......... ............................ 7
из истории отечественной математики
//. Я. Деп.ыан (Ленинград). С.-Петербургское математическое
общество............................................. 11
П. Матвиевская (Ташкент). О неопубликованных рукопи-
сях Леонарда Эйлера по диофантову анализу........... 107
//. Г. Мельников (Ленинград). Открытие Эйлером удобных
чисел............................................... 187
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СТРАНАХ АЗИИ
Э. II. Березкина (Москва). О математическом трактате
Сунь-цзы............................................ 219
I/. Л. Выгодский (Тула). Происхождение «правила двух
ложных положении»................................... 231
М. И. Медовой (Красноярск). Об арифметическом трактате
Абу-л-Вафы.......................................... 253
Э. Я. Нахмутская (Харьков). Степенные ряды длн sin 0 и cos 0
в работах индийских математиков XV—XVIII нв......... 325
В. И. Левин (Москва). Жизнь и творчество индийского ма-
тематика С. 1’амапужаиа............................. 335
Л. А. Вайман (Ленинград). Вавилонские геометрические ри-
сунки пространственных фигур........................ 379
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
В. II. Зубов (Москва). Трактат Ерадварднна «О континууме» 385
.1/. В. Чириков (Москва). Из истории асимптотических рядов 441
4
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕКСТЫ II ДОКУМЕНТЫ
/>'. .1. Розенфельд (Коломна) п Л. П. Юшкевич (Москва).
О трактате Насир ад-Дина ат-Туси о параллельных
литых .............................................. 475
Насир ад-.1ин atn-Туси. Трактат, исцеляющим сомнение по
поводу параллельных липни. (Перевод /». А. Розен-
фельда) ........................ 483
/>. А. Розенфельд и А. П Юшкевич. Примечания к трак-
тату Насир ад-Дина ат-Туси о параллельных линиях . . 525
11 .1. Розенфельд и А. II. Юшкевич. О трактате Кази-заде
ар-Руми об ощхзделении синуса одного градуса .... 533
Кази-заде ар-Руми. Трактат об определении синуса одного
градуса (Перевод />. Я. Розенфельда)................ 539
/> Л. Розенфельд и Л. II. Юшкевич. Примечании к тракта
ту Кази-заде ар-Руми ............................... 552
Письмо в редакцию............................. 557
Указатель имен . ............................. 559
SOMMAIRE
Editorial..................................................... 7
" UISTOIRE DES M KTlIfiMATIQUES EN LESS
I. Ya. Dipman (Leningrad). La societc* matliematique debl.-
I’etersbourg............................................... 11
G. P. Malvievskaia (Taschkenl). L’aualyse diophantine dans
les manuscrits inedits de L. Euler..................... 107
I. G. Melnikov (Leningrad). La decouverle des «nomhres
commodes» par L. Euler.................................... 187
UISTOIRE DES MATIIftM \TIQL ES EN ASIE
/ . I. Beriozkina (Moscou). Lo traite matliematique de Souen-
tseu .................................................... 219
Д/. Ya. Vygodski (Toula). L’origine de la regie de deux
fausses positions......................................... 231
.V. I. Medovoi (Krasnoyarsk). Le traite arithmftique d’Abu-
l-Wafa ........................................•.......... 253
/?. Ya. Bakhmoutskaia (Kharkov). Le developpement de sinO
et de cos 0 en series de puissances de 0 dans les travaux
des mathematiciens indiens des XVSme—X\IIl6me
siecles..................................................... 325
V. I. Levine (Moscou). La vie et I’oeuvre scientifique du tna-
tbematicien indien Ramanujan.............................. 335
A. 1. Vaiman (Leningrad). Les dessins des figures й trois
dimensions chez les mathematiciens habyloniens.............. 379
VARIA
I. P. Zoubov (Moscou). Le Iraite «De conlinuo» de Bradwardin 385
M. f. Tchirikov (Moscou). Sur I’histoire des series asympto-
tiques.................................................... 441
6
СОДЕРЖАНИЕ
TEXTES ЕТ DOCUMENTS
В. A. Rosenfeld (Kolomna) et A. P. Youschkevitch (Moscou).
Le traite de Nasir al-Din al-Tusi sur la theorie des paral-
leles ..................................................... 475
A'asir al-Din al Tusi. Traile qui guerit des doutes en matiere
des lignes paralleles (traduction russe)................... 483
B. A. Rosenfeld et .1. P. Youschkevitch. Notes au trails de
Nasir al-Din al-Tusi sur les lignes paralleles................ 525
В. Л. Rosenfeld et A. P. Youschkevitch. Le traite de Kazi-
zade al-Ki'inii sur la determination du sinus d’uu degre 533
[fiazi-zade al-Rumt], Traite sur la determination du sinus
d’uu degre (traduction russe).............................. 539
В. A. Rosenfeld et A. P. Youschkevitch. Notes au traite de
Kazi-zade al-Ruini......................................... 552
Lettre a la redaction......................................... 557
Index dos nonis............................................... 559
ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящий выпуск «Историко-математических иссле-
дований» открывается группой статей по истории мате-
матики в нашей стране. Первая из них посвящена Петер-
бургскому математическому обществу, которое развило
в конце прошлого столетия плодотворную деятельность.
В Обществе выступали с докладами II. Л. Чебышев,
А. Л. Марков и его младший брат В. А. Марков, Н. Я. Со-
нин, Д. Л. Граве, Ю. В. Сохоцкий, II. В. Мещерский,
К. А. Поссе и др. (Между прочим сообщение Чебышева
о приближенном вычислении одного определеппого интег-
рала не попало в полное собрание его сочинений.)
В следующей статье разобраны неопубликованные руко-
писи и наброски Л. Эйлера по диофантову анализу, в неко-
торой части существенно дополняющие печатные его
труды, а в целом представляющие большой интерес для
понимания путей его творчества. К этому примыкает статья
об открытии Эйлером удобных чисел.
Следующий цикл работ посвящен истории математики
в странах Азии. Он начинается статьей о малоизученном
трактате выдающегося китайского jneiioro III—1\ вв.
Сунь-цзы. Трактат является одним из двух известных
в настоящее время сочинений, непосредственно следую-
щих за древнекитайской «Математикой в девяти книгах»
(другим является комментарий Лю Хуэя 263 г., изуче-
ние которого принадлежит к числу актуальных задач
истории науки). До сих пор остается неясным происхож-
дение метода двух ложных положений, впервые описан-
ного в только что названной «Математике в девяти кни-
гах». Этому вопросу посвящена вторая статья, содержа-
8
ОТ РЕДАКЦИИ
щая гипотезу о возникновении этого метода. Далее следует
анализ почти неисследованного арифметического трактата
Абу-л-Вафы (X в.). В четвертой работе даны сведения
об одном из наиболее замечательных достижении ин-
дийских математиков средних веков, именно о разложе-
нии в степенные ряды синуса и косинуса. О новом расцвете
математики в Индии говорится в статье о жизни и твор-
честве С. Раманужаиа (1887—1920), самобытные откры-
тия которого в теории чисел и анализе поразили ученый
мир. Цикл заканчивается сообщением об изображении
пространственных фигур в древнем Вавилоне.
К данному циклу работ примыкают две публикации,
помещенные в конце сборника. Обе—комментированные
переводы с арабского. Первый из них—«Трактат, исце-
ляющий сомнение по поводу параллельных линий» Насир
ад-Дииа ат-Туси. На этот трактат 25 лет назад обратил
внимание Д. 10. Смит, по полное содержание его остава-
лось неизвестным. Со*.епие ат-Туси весьма важно для
истории учения о параллельных, особенно в арабских
странах. Второй—«Трактат об определении синуса одного
градуса» Кази-заде ар-Руми, коллеги ал-Каши по работе
в Самаркандской обсерватории Улугбека. Кази-заде
излагает с улучшениями вывод уравнения трисекции
угла и метод численного его решения, предложенный
ал-Каши. Оба трактата публикуются впервые.
Все эти статьи и публикации по истории математики
в странах Азии как бы дополняют некоторые сообщения
на происходившем в этом году в Москве XXV Между-
народном конгрессе по востоковедению.
В отделе различных статей помещена работа о сочпне-
нип Т. Брадвардипа «О континууме» (с приложением важ-
нейших выдержек на латинском языке), а также работа
по истории асимптотических рядов в XVII—XIX вв.
ИЗ П(ТОРИН
ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
.МАТЕМАТИКИ
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
И. Я. Денман
1
Научные математические общества в России возникли
во второй половине XIX в.: Московское — в 1867 г.1),
Харьковское — в 1879 г., Казанское — в 1890 г.2), Физи-
ко-математическое общество при Киевском университете —
в 1890 г., С.-Петербургское — в 1890 г. При Дерптском
(Юрьевском) университете, как и при Новороссийском
(Одесском), математики входили в секции обществ естест-
воиспытателей. Для сравнения отметим, что Германское
объединение математиков (Deutsche Mathematiker-Vereini-
gung) возникло в 1889 г., что первое заседание Берлинского
математического общества при 41 участвующем происходи-
ло 31 октября 1901 г. (секретарем был избран бывший
профессор прикладной математики Юрьевского универси-
тета А. Кнезер (18G2—1930), а первое заседание Гёттин-
генского математического общества — 29 апреля 1902 г.3 * s).
*) Это, собственно, год официального утверждения общества:
фактически группа его учредителей начала регулярные научные
собрания в 1864 г.
2) С 1880 г. существовала секция физико-математических наук
Общества естествоиспытателей при Казанском университете.
В 1890 г. она выделилась в самостоятельное физико-математическое
общество.
s) Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung,
1902, стр. 71, 302. Интересные данные по организации математичес-
ких объединений Германии содержатся в статье: W. L о ге у
Das Studium der Matliematik an den deutschen Uni\ersitaten
12
И. Я. ДЕПМАН
Настоящая статья посвящена недолгой, но весьма
плодотворной деятельности С.-Петербургского математи-
ческого общества. Если история Московского, Харьков-
ского, Казанского обществ освещалась в печати по раз, то
о СПб. математическом обществе имеется лишь сборник
кратких протоколов, охватывающий 1890—1899 гг.1),
и некоторые сведения в журналах того времени. Протоко-
лы эти печатались только для членов общества и, очевид-
но, кроме обязательных экземпляров, распространения не
получали. В СПб. обществе работали самые выдающиеся
математики конца XIX в. (включая П. Л. Чебышева,
Л. А. Маркова, В. Л. Маркова и др.). Их сообщения,
сделанные в Обществе, во многих случаях отдельно нс
были опубликованы, и поэтому сохранившиеся протоколь-
ные записи представляют большой интерес. Эти записи
дают в ряде случаев материал для установления приори-
тета отечественных математиков в отдельных вопросах,
а также могут оказаться полезными для математика-ис-
следователя наших дней.
В связи с обзором деятельности СПб. математического
общества мы сообщаем сведения о ряде отечественных
математиков. Для наиболее выдающихся членов Общества
даются подробные характеристики, если таковые до сих
пор не появились в печати. В тех случаях, когда о данном
seit Anfang des 10. Jahrhunderts. Abhandlungen iiber den mathemati-
srhen llnterricht in Deutschland, herausgegeben xon F. Klein,Band
III, Heft 9, 1916. Впрочем, нужно отметить, что до учре-
ждения указанных «академических» математических обществ в Гер-
мании существовали общества любителей математики. Старейшим
из них является Гамбургское, основанное в 1690 г. и носившее на-
звание Kunst-Rechnungs-lieb-und iibende Societal in Hamburg. Чле-
нами его состояли «мастера счета» (Rechenmeister) не только разных
германских городов, но и зарубежных; среди них умерший в 1710 г.
москвич «мастер письма, счета и итальянской бухгалтерии
и усердствующий в математических искусствах» Петр Грен (Graen)
и автор первой «ревельской арифметики» (Arithmetischer Wegwei-
ser oder Erstes Revahches Rechenbnch, 1736) Иоганн Дапппл Иптель-
мап, «в математических науках усердствующий». О последнем
и его кппге автор настоящего обзора имел случай писать иодробпее
в эстонском издапии «Рассказов о математике» (Таллин, 1956)
и в «Истории арпфметпкп», М., 1959.
Ч Протоколы С.-Петербургского математического общества,
1890—1899, СПб.. 1899.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
13
лице имеются уже печатные статьи или брошюры, делают-
ся ссылки па эти материалы и сообщаются лишь новые
дополнительные сведения.
Поиски подлинных протоколов СПб. .математического
общества не увенчались успехом. В этом нет ничего удиви
тельного. Общество возникло из кружка лиц, собирав-
шихся на частной квартире, где хранились и дела Об-
щества. Своего помещения Общество никогда не имело.
Деятельность Общества замерла в период реакции, после
1905 г., без какого-либо специального акта о ликвидации.
Дела песобиравшегося уже в течение ряда лет Общества
хранились, очевидно, у секретаря. Возможно, что дела
эти погибли в годы революции вместе с другими бумагами
хранившего их лица. В звании секретаря в официальных
сведениях об обществе в 1902—1903 гг. упоминается про-
фессор университета Д. Ф. Селиванов, в дальнейших
сведениях перечисляются только члены совета общества
без упоминания о секретаре, поэтому неизвестно, у кого
хранились дела Общества. Дело об основании его (Лен.
Центр, ист. арх., ф. 733, опись 112, .V 1208) нашел
А. А. Киселев.
2
Возникновение С.-Петербургского математического об-
щества, согласно сохранившимся выдержкам из его про-
токолов, произошло следующим образом.
20 октября 1890 г.1) па квартире В. 11. Шифф, препода-
вательницы математики Петербургских высших женских
курсов (в дальнейшем В7КК; в обиходе Курсы обычно
назывались «бестужевскими», но имени одного из учреди-
телен академика-историка К. Н. Бестужева -Рюмина), н ее
мужа профессора П. А. Шиффа собрались следующие
лица, заинтересовавшиеся мыслью о создании Общества:
академики В. Г. Имшенецкнй, О. А. Баклунд н А. А. Мар-
ков, профессора 10. В. Сохоцкий, П. Е. Рощин, Д. А. Гра-
ве, В. В. Внтковскпп, II. Л. Пташицкий, Д. Ф. Селива-
нов, II. А. Забудскнй, приват-доценты и преподаватели
*) Все даты в этой статье приведены но старому стилю.
14
И. Я. ДЕПМАН
И. В. Мещерский, И. А. Клейбер, В. И. Стаиевич,
И. И. Иванов. О своем согласии быть членами-учредите-
лями письменно известили профессора II. Я. Цингер1),
К. А. Поссе, А. II. Коркин, Д. К. Бобылев, А. М. Жданов.
Можно сказать, что в число членов-учредителей нового
Общества вошел почти весь наличный состав матема-
тиков Петербурга того времени. Собравшиеся избрали
председателем заседания академика В. Г. Имшенецкого
и просили его информировать собраппе о том, как по его
инициативе и при его содействии возникло Харьковское
математическое общество2).
По вопросу о желательности учреждения Общества
большинство высказалось утвердительно, хотя были голо-
са н против. Было решено, что Общество будет слушать
сообщения по чистой математике, теоретической механике,
теоретической астрономии и, ио предложению Д. К. Бобы-
лева, но математической физике. Заседания решено было
проводить одни раз в месяц, прием новых членов произ-
водить по рекомендации членов Общества. В бюро Обще-
ства были выбраны: председателем В. Г. Имшепецкнй,
товарищем председателя 10. В. Сохоцкнй, секретарем
II. А. Шифф. В. Г. Имшепецкнй участвовал в работе
Общества недолго: он скончался в середине 1892 г. Предсе-
дателем Общества после этого был избран Ю. В. Сохоцкнй,
который оставался на своем посту до конца существования
Общества. II. А. Шифф состоял секретарем Общества до
1903 г. и уступил это место Д. <0. Селиванову, когда
деятельность Общества фактически прекращалась. II. А.
Шифф составил четкие протоколы 72 заседаний. Довольно
значительная часть протоколов содержит резюме докладов,
иногда весьма обстоятельные. Лишь два заседания пз
72 прошли без докладов: первое организационное заседа-
ние 20.10.1890 г. и заседание 17.2.1890 г., протокол кото-
*) Николаи Яковлевич Цингер (1842—1918)— астроном и
геодезист, генерал, профессор Академии генерального штаба, член-
корреспондент Академии наук.
2) В. Г. Имшепецкнй, кроме того, был одним из членов-учреди-
телей Общества естествоиспытателей при Казанском университете,
возникшего в 1869 г. Таким образом, В. Г. Имшенецкого нужно счи-
тать инициатором создания трех математических обществ в России.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
15
рого гласит: «Заседание (т. е. доклады) не состоялось по
случаю беспорядков в университете».
Ко второму заседанию число членов Общества состав-
ляло 30 человек, к концу четвертого года жизни Общества
оно возросло до 82 и к концу восьмого года до 100 человек.
Среди них было 13 женщин и 2 иностранных математика:
стокгольмский профессор Г. Мпттаг-Леффлер, хорошо из-
вестный нам по биографии С. В. Ковалевском, и профес-
сор Тулузского, позднее Бордоского, университета
Владимир Николаевич Танненберг, являвшимся также
членом Казанского физико-математического общества.
Протоколы 70 заседаний Общества содержат 172 сооб-
щения 50 членов, так что на долю каждого «активного»
члена Общества падает в среднем 3,/2 сообщения. Коли-
ество прочитанных докладов:
д. А. Граве -20 А. А. Марков — 5
Н. Я. Сонин -16 О. А. Баклунд -4
ю. в. Сохоцкий -14 11. В. Мещерский -4
11. А. Шифф -11 Д. К. Бобылев -3
/ Б. М. Кояловпч - 11 И. С. Аладов -3
Д. ф. Селиванов - 9 Г. В. Колосов -3
Н. Б. Делопе - 8 К. А. Поссе -3
И. И. Иванов - 8 Е. С. Федоров -3
В. А. Марков - 6 М. М. Филиппов -3
Остальные докладчики сделали по 1 или по 2 сообщения.
Особо отметим, что с одним докладом выступил
П. Л. Чебышев; об этом докладе мы скажем далее.
О деятельности Общества за 1900 и дальнейшие годы
никаких документальных данных пет. По капитальней
тему справочнику «Весь Петербург» (изд. А. С. Суворина)
в списке обществ за все годы до революции числилось
«С.-Петербургское математическое общество» с председа-
телем Ю. В. Сохоцкн.м; членами совета указывались:
О. А. Баклунд, Д. К. Бобылев, К. А. Поссе, И. Л. Пта-
шнцкий, Д. Ф. Селиванов, В. И. Шифф, Д. А. Граве,
И. В. Мещерский; секретари: сначала П. А. Шнфф, позд-
нее Д. <0. Селиванов. В первые годы сообщались еще число
членов, которое из года в год уменьшалось на одного чело-
века, и число заседаний и сообщении, также уменьшающее-
Ki II. Я. (ЕПМАН
ся из года в год. За 1904—1905 гг. указано в последний
раз: 3 заседания, 5 сообщений. 13 дальнейшие годы даются
только сведения о председателе н членах совета. Не-
видимому, Общество не действовало, а сведения повторя-
лись автоматически. Об этом говорит тот факт, что секре-
тарь общества Петр Алекс пдровнч Шифф иногда
назывался 11 а влом Александровичем, и это продол-
жалось в дальнейшие годы. Если бы сведения сообщались
секретарем Общества, то ои, наверное, исправил бы ошибку
в собственном имени. Член СПб. математического общества
Н. С. Михельсон ’), скончавшийся в 1955 г., ничего по
мог сообщить о деятельности Общества после 1900 г.
Можно считать, что с 1905 г. СПб. общество существо-
вало только на бумаге — в списке обществ в градоначаль-
стве. Так как оно никаких хлопот властям не причиняло,
то и власти, по-видимому, не интересовались вопросом,
существует ли оно в действительности или только на
бумаге.
3
По содержанию сообщения, сделанные в Обществе,
распределяются следующим образом: к анализу относятся
около 50 сообщений, к теории дифференциальных уравне-
ний — около 35 сообщений, к алгебре и теории чисел —
35 сообщении, к механике — 21 сообщения, к геометрии —
12 сообщений. Остальные сообщения посвящены юбилей-
ным датам.
Вопросы анализа и механики занимают, как видим,
2/3 общего числа сообщений.
Такое явление совершенно естественно для петербург-
ских математиков, учеников 11. /1. Чебышева и отчасти
М. В. Остроградского. Отголоском в шяння Чебышева
является и значительный интерес ч ichob Общества к воп-
росам теории чисел, и почти полное отсутствие работ по
геометрии. 12 геометрических сообщении почти все отпо-
*) Николай Семенович Михельсон (1873 1955), доктор
технических наук, профессор Технологического института нм. Леи-
совета, в котором он прослужил 58 лет. Автор краткого курса выс-
шей математики. Окончил Петербургский университет в 1895 г.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
17
сятся или к дифференциальной геометрии, или к теории
кривых н поверхностей.
Примечательным исключением является сообщение
В. Л. Маркова по аксиоматике геометрии, сделанное в двух
заседаниях 1893—1894 гг. (см. ниже). Отсутствие инте-
реса к геометрии было характерно для Петербургского
университета и в последние предреволюционные годы.
До 1JI17 г. оканчивающий Петербургский университет не
слыхал о курсах оснований геометрии, о топологии, ис
слыхал имени II. II. Лобачевского. Читавшиеся приват-
доцентом С. Е. Савичем курсы высшей геометрии и начер-
тательной геометрии, чередуясь через год, около 1910 г.
прекратились н вообще не были обязательными. О векто-
рах студент этих лет узнавал только в курсе механики.
Несколько удивляет отсутствие сообщений по одной
из основных областей интересов II. Л. Чебышева — но
теории вероятностей. Единственными в этой области были:
доклад 1>. М. Кояловпча «О так называемом петербургском
парадоксе», который, по-впдимому, носил популярный
характер, так как в протоколе заседания пет его изложе-
ния, п доклад II. II. Пирогова, посвященный приложени-
ям теории вероятностей в физике.
СПб. математическое общество отмечало памятные дни
пауки пактуальные новые явления математической жизни.
Па заседании 19.2.1897 г., посвященном памяти
К. Вейерштрасса, были заслушаны сообщения Д.Ф. Сели-
ванова «О теории аналнтнческпхфункцнй Вейерштрасса»1)
н <1*. Э. Фрнзендорфа «О вариационном исчислении по
Вейерштрассу»2).
*) Д- Ф- Селиванов с 1880 г. слушал лекции Вейерштрасса
и Б'ронекера в Берлине.
2) Феофил Эдуардович Ф р и з е п д о р ф (1871—1911) окон-
чил Петербургский университет и 1898 г., в 1903 г. защитил магис-
терскую диссертацию «Теория сжатии соприкасающихся твердых
тел и опре [еление твердости тела», в которой развивает идеи Гертца.
Он перевел па немецкий язык -курс теории конечных разностей
А. А. Маркова; в 1904 г. напечатал в Журнале Министерства народ-
ного просвещения (Л» 10) статью «О реформе преподавания матема-
тики в средних учебных заведениях». В 1902—1910 гг. Ф. Э. Фрилен-
дорф— хранитель кабинета механики в университете, с 1910 г.—
профессор механики в Электротехническом институте.
2 Истор.-татем. послед , выв. XIII
18
II. Я. ДЕНМАН
В заседании 17.3.189G г. по случаю 300-летпя со дня
рождения Декарта были сделаны доклады: Д. Ф. Селива-
нова «О работах Декарта по анализу» ц С. Е. Савича
«О работах Декарта по геометрии» 1 2).
В заседании 20.10.1893 г. председательствующий
Сохоцкнй напомнил, что через 2 дня исполнится 100 лет
со дня рождения знаменитого русского геометра Лобачев-
ского и предложил посвятить заседание его памяти2).
Секретарь Общества прочел письмо ректора Казан
ского университета с приглашением СПб. математического
общества принять участие в праздновании столетия со
дня рождения Н. 11. Лобачевского. Вместе с тем был про-
читан приветственный адрес, посланный СПб. математи-
ческим обществом Казанскому университету но случаю
этого многозначительного для русской науки дня3).
Затем Савич, сообщив некоторые биографические све-
дения о жизни II. II. Лобачевского, изложил содержание
работ последнего, преимущественно по геометрии, н ука-
зал на высокое их научное и философское значение.
Заседание 14.1. 1895 г. с 10 докладами было посвящено
памяти II. Л. Чебышева (см. стр. 23), который был един-
ственным почетным членом Общества, единогласно избран-
ным 15.2. 1893.
1) Сергей Евгеньевиче а в и ч (1861—1936) окончил Петербург-
ский университет в 1886 г., получив золотую медаль за работу
«Методы вычисления определенных интегралов, полного и прибли-
женного». В 1892 г. защитил диссертацию «О линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнениях с правильными интегралами».
С. Е. Савич впоследствии был профессором Электротехнического
института и ВЖК и недолго выборным директором этих курсов.
Он был крупным специалистом по страховой математике и предсе-
дателем объединенной математической комиссии страховых обществ
Петербурга. В Математическом обществе С. Е. Савич сделал еще
сообщение 15.10. 1893 «О рациональных интегралах одного нели-
нейного дифференциального уравнения 3-го порядка (прием Pepin'a)».
г) Днем рождения И. И. Лобачевского ошиоочио считалось
22 октября старого стиля. В последние годы установлено, что днем
рождения 11. II. Лобачевского нуж*но считать 2<> ноября ио старому
стилю, т. е. 1 декабря по нынешнему календарю.
3) Текст адреса см. в юбилейном издании: 1793—1893. Празд-
нование Императорским Казанским Университетом столетней
годовщины дня рождения II. II. Лобачевского, Казань, 1894,
стр. 48—49.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
19

Из сообщений, которые имели целью ознакомить чле-
нов Обществ с новыми течениями в математике, можно
отметить: сообщения П. А. Шиффа «О теории совокупно-
сти» (очевидно, о теории множеств) и В. Д. фон Дервпза
«Об одной теореме в теории ансамблей»; два сообщения
10. В. Сохоцкого «О теории групп» и сообщение II. А. Шиф-
фа «О женерализацнопном исчислении Ольтрамара».
Последнее сообщение было вызвано, очевидно, выходом
в свет книги швейцарского профессора Ольтрамара1), пе-
реведенной В. II. О б р е п м о в ы м (1843—1910), извест-
ным своими сочинениями по занимательной математике.
В. И. Обреимоп с 1892 г. в течение четырех лет работал
в Женевском университете.
Остановимся подробнее на двух заседаниях Общества,
которые были тесно связаны с именем II. Л. Чебышева.
4
Сообщение П. Л. Чебышева в СПб. математическом
обществе было сделано на заседании 16.12.1892 г., па
котором присутствовал и выступал ректор Стокгольмского
университета Г. Миттаг Леффлер.
10. В. Сохоцкнй предложил собранию попросить П. Л.
Чебышева председательствовать в этом заседании. Пред-
ложение это было встречено громкими рукоплесканиями,
и П. Л. Чебышев занял место председателя.
Председательствующий сообщил собранию о громадной
потере, которую понесла паука, Академия наук, С.-Петер-
бургское математическое общество и артиллерия в лице
скончавшегося члена Общества академика Акселя Виль-
гельмовича Г а д о л и и а (1828—1892).
Затем были сделаны следующие сообщения (на фран-
цузском языке):
1) Г. Митта г-Л е ф ф л е р «О иеалгебраических особен-
ностях дифференциального уравнения, не зависящих от постоянной*
(из; жепне в протоколах отсутствует).
2) П. Л, Чебышев «О приближенном вычислении одного
определенного интеграла».
.pjg*) О л ь т р а м а р, Опыт женерализацпопного вычисления,
2
11. Я. ДЕПМXII
По-впдпмому, Чебышев не успел оформить свое сооб-
щение в виде статьи, п в собрание сочинении великого
математика оно не было включено. Поэтому мы приведем
полностью изложение его по протоколу. Укажем предвари-
тельно, что статья, на которую ссылается в самом начале
Чебышев, переиздана в его Полном собрании сочинении,
т. Ill (М. —Л., 19'18), а цитируемая формула находится
на стр. 247. Протокол заседания, но исправлении А.
Киселевым ряда погрешностей, получает вид:
«Исходя из формулы, давпон Пафпутпем Львовичем, для при-
ближенного выражения квадратного корня ил единицы, деленной
па переменную, через простые дроби (приложение к 1.XI тому .запи-
сок Ими. Академии паук А: 1, 1889, стр. 10), именно:
можно, заменяя переменную х другой! переменною, получить
приближенные выражении для некоторых определенных интегралов.
Если, например, положить
1 Ч-г2 — 2г cos<p
х~ Й~'-)г
то будем иметь:
—т 1 — - = .14----------------------------------.... (1)
) 1-рг2— 2rcos<p Xj Cj (1 — r)=-|-l-l-r-» — 2rcos<p
i—1
где
Jt =-------
/2Bsi,s
2|/>|1п^ТГ
!l±r£. »_ f 'т
(I —r)2 ) j 1 —A2sin2<p
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 21
Разлагая в ряд по косинусам кратких дуг функцию:
| i-J-r*—2r cos <j>
будем иметь:
—ш- - —=^-*0+^1 cos . + Нт cos .... (2)
) 1 -pr2—2rcos <р *
при этом коэффициенты выразятся следующим образом:
„ 1 С COSHKf .
вт=— \
я J | 1 -f г2 — 2г cos <f
поэтому, принимая во внимание равенство (1), будем иметь для „<>(.:
4 л п
п _ 1 Гу__________ 1; (1—r)cosmqprf<r
т~ л \ — Cj(l —г)2-|-Ь}-г2—2rcos<p ’
—Л i—1
С другой стороны, известная формула Пуассона дает:
V yj—
.) 1 — siiiacoscp
- п
полагая в равенстве (3)
2г
SIH Qj _ ._
cos а
поэтому,
(4)
получим:
t£rn>f?±_
. 2Л,(1-г) lg 2
1 C’i(l — r)2-H + r2 COS Qi ’
или
Bm=
. . m oll
tga, tg -=-=
2
dn2^tgai'g"4r:sn2
2iK
Sin Oi =
Z2®|
2r
. 2iA
СП ------
sir ---—
II. Я. ДЕПМАН
22
Погрешность Е при этом вычислении будет меньше
_________32К__________
Г(2п+1)Л>
л (/+!)[« к-16]
где
dtp
) 1 — Afsin’tp

Смеете с тем Пафнутин Львович показал формулу, служащую
для приближенного выражения дроби
1
11 — х
в пределах от —Л до -f-Л, при помощи полинома (п — 1)-й степени;
именно, обозначая
F(H)=(1I-] J wTZp’)n_|.(Z/_j у/2_л*)п
будем иметь:
где через Е
ГЛ(П) -] г ,
—5—- обозпачепа целая часть этом функции.
L 7/fc J
В частном случае, полагая Л — 0, будем иметь: Е(Н)=2п7/,,1
п тогда
1 _ 1 ; X
Н—х~
— известное разложение.
Помножив равенство (5) на f(x)dx и интегрируя в пределах
между —h и -ph, будем иметь:
/ (®) dx
Н — х
^1+» ErZ(//)iy
лвг^ /и*+Лт^Х’'<’>Л’+••
с погрешностью, не превосходящею
2Л»
± F(И)*'
Протокол констатирует: «оба сообщения: г. Мнттаг-
Леффлера и П. Л. Чебышева были встречены собранием
громкими п продолжительными рукоплесканиями».
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
23
5
14.1.1895 г. состоялось заседание, посвященное памяти
П. Л. Чебышева, умершего 2fi.ll.1894 г.
Заседание открыл Ю. В. Сохоцкпй, который обратился
к собранию с речью, содержавшей краткий очерк жизни
п творчества П. Л. Чебышева. Сохоцкпй закончил речь
следующими словами:
«С течением времени значение трудов П. Л. будет воз-
растать, потому что вопросы, в них затрагиваемые, имеют
принципиальный характер и большую практическую
важность. Окончательная научно-критическая пх оценка
потребует еще не мало времени. Мы пе намерены, да н не
можем резюмировать последнего слова пауки, не намере-
ны рассуждать о заслугах, которые оценены по достоинст-
ву давно.
Находясь под впечатлением педавпо угасшей жнзпп
П. Л., под обаянием живых его слов и разговоров с нами,
ученики п почитатели его заслуг,— мы собрались сегодня,
чтоб в тесном семенном кругу побеседовать о том, что
узнали от него и чем остаемся лично обязанными.
Будем верить, что П. Л. присутствует здесь вместе
с нами п выразим убеждение, что труды его жизни нашли
себе надежное и верное помещение на его родине, у нас;
ничего пе пропущено н ничего не будет забыто. Мы изучаем
их всесторонне; снабдив необходимыми дополнениями
и надлежащим освещением, своевременно мы передадим
их следующему поколению в залог дальнейшего, самосто-
ятельного развития математических паук в России и в за-
лог сохранения неизменной признательности ученому
соотечественнику, имя которого будет жить столько,
сколько будет жить сама наука.
Предлагаю почтить память П. Л. п приглашаю всех
присутствующих здесь встать».
После этого былп сделаны краткие очерки трудов
П. Л. Чебышева:
1) Д. Л. Граве. Задача о географических картах.
2) И. И. И напои. Постулат Бертрана.
3) . В. И. Стапевич. О числе простых чисел.
4) Д. Ф. Селивапов. Работы по теории вероятности.
24
И. Я. ДЕПМ\Н
5) И. Л. Пташнцкпй. Об интегрировании иррациональных вы-
ражении.
6) В. II. III пфф. О разности интеграла произведения двух функ-
ции и произведения интегралов этих функции.
7) II. II. Сопим. Приближенное вычисление определенного
интеграла.
8) В. А. Марков. О функциях наименее уклоняющихся от
пуля.
9) Д. К. Бобылев. О параллелограммах.
10) II. Б. Делоне. О механизмах.
Мы приводим но протоколам изложение двух последних
докладов *).
Доклад Д. К. Бобылева «О параллело-
граммах»:
«Работы П. Л. Чебышева по механике относятся к прикладной
механике и преимущественно к теории механизмов. Он сам говорил,
что еще с ранней юности интересовался устройством различных
машин п строил из дерева некоторые простые механизмы; поэтому
нельзя с уверенностью утверждать, что известный мемуар
Theorie des mecanismes conn us sous le noni parallelogrammes, на-
ходящийся в VII томе Memoires de 1'Acad. Itnperiale des Sciences
de S-t. Peteisbourg (1853). был действительно норным трудом Чебы-
шева по мехапнке. В этом мемуаре, говоря об известном параллело-
грамме Уатта, автор замечает, что некоторым изменением в устрой-
стве механизма можно достигнуть того, чтобы наибольшие откло-
нения оконечности штанги поршня от прямолинейного пути умень-
шились бы более чем вдвое; однако в этой первой части мемуара
только изложены первые основания теории функций, наименее
уклоняющихся от нуля, п в конце сказано, что в дальнейших пара-
графах множенная теория будет применена к определению эле-
ментов пара челограмма, удовлетворяющего условиям наибольшей
точности. Об устройстве п размерах такого параллелограмма гово-
рится позже, в 1861 г. в 1\ томе Bulletin de I'Academie Imperiale
des Sciences de S-t. Petersbourg, p. 433; отсюда взято описание этого
1 механизма, помещенное в механике Бура.
В 1868 г. в XIX томе записок Академии паук помещена статья
II. Л. «Об одном механизме», в которой автор дает теорию нового
параллелограмма, отличающегося от параллелограмма Уатта видом
кривой, вычерчиваемой при полном обороте механизма. В парал-
лелограмме Уатта и в первом параллелограмме Чебышева эта кри-
вая имеет вид цпфры 8, а в новом механизме опа имеет вид сечения
капли ртути, лежащей па стекле.
Самый механизм представляет собой плоский четырехсторон-
ник CCiAiA состоящий из неподвижного основания CClt двух
4 В протоколах есть еще только изложение доклада . (. Ф. Се-
ливанова, не представляющее интереса.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
сторон -r4iCj и АС равной длины, вращающихся вокруг точек С
н и четвертой стороны ЛЯ,, соединяющей оконечности А п А±.
Длины АС и Я,С, можно принять за единицу длин, а длины сторон
ЛЯ, и СС, означим буквами а и к. Если а менее единицы, а механизм
находится в таком положении, что стороны Л,С, н ЯС взаимно
скрещены, образуя разные углы с основанием (Сх, то сторона ЛЯ,
будет иметь положение (Л.1,)о, параллельное основанию С(\,
и будет отстоять от пего па длину
‘-/’-(4-7-
При полном обороте механизма точка Л', находящаяся па сере-
дине стороны Л I,, опишет замкнутую кривую, прикасающуюся
в точке V, к прямой, совпадающей с положением (А. 1,)0 этой сто-
роны; точка 7V0 находится но середине длины (zLl,)0.
Нетрудно доказать, что если А более или равно —— , т. е. одно»
о
трети суммы трех подвижных сторон, то вся кривая, описываемая
точкою Л', будет вне прямой, проведенной через (zlzl,)0.
II. Л. Чебышев доказал, что при к, равном . и при а, боль-
ших 1 4, по не больших 0,546, нижняя часть кривой касается к пря-
мой (Л 1,)0 не только в точке А’о, по и еще в двух точках А', и А’„
равноотстоящих от А’и по обе стороны ее на длину, меньшую
.1/ (5—2а)(1+2а)(4а—1)
I 4(2+н)2
и на протяжении расстояний Ч-Л и —Л от точки А’о кривая эта
отступает от прямой па расстояния, не большие величины
Г 12(2+fl)*
Взяв длины АС и Л,С, равными одному метру, а равным
0,327 метра, П. Л. Чебышев получает по этим формулам 2Л равным
0,64 метра и наибольшее уклонение £ равным 0,00029 метра, между
тем как в параллелограмме Уатта при одинаковой длине хода 2h
получаются уклонения от 0,00079 до 0,002 метра.
В 1878 г. на Парижской всемирной выставке были выставлены
различные механизмы и снаряды, придуманные П. Л. Чебышевым
и основанные на свойствах найденной -им системы параллелограм-
мов. 29 августа того же года в заседании конгресса Association
Fran^aise pour 1’ax’ancement des sciences И. Л. сообщил о вышеска-
занном параллелограмме 1868 г. и о целой системе более новейших
параллелограммов, в которых наименее уклоняющаяся от прямой
линии точка 41 находится не в середине А плеча ЯЛ,, но па перпен-
дикуляре, восставленном из А* к длине Л Л,. Если обозначить через
26
II. Я. ДЕПМАН
ф угол, составляемый плечами СА и CiAi с основанием CCt в том
положении сочленения при котором плечо AAt параллельно осно-
ванию СС|, через с — расстояние ИЛ’, через Т — некоторую вели-
чину, равную
Т= |/ 2cosT—°
V cos ф — а ’
где а есть длина AAi (длины 1С и А,(\ равны единице), и опреде-
лить с:
с= 27—(7»-1-1) sin ф
° 2(7*—1) cos ф ’
то точка .И будет описывать лппию, отклоняющуюся от прямой па
расстояния, не большие
, г _ , 21» (1+21 ыпф-Н*)
х Т2(1—12)*
па протяжении длипы 2Л хода, которая равна:
о, 2а fT— sin ф . 2(1+218’шф + 1»)1 \
созф\_ Т*— 1 ' (1 — 1»)» 7
где щ определяется по формуле
а величина t есть корень уравнения 3-н степени:
1»+212 sin Ф4-31 -f-2 sin ф—7(1 —t»)=0.
Теория этих параллелограммов ихтожепа в XXXIV томе запи-
сок Академии внук.
В том же 1878 г. в IX томе Математического сборника, издавае-
мого Московским математическим обществом, П. Л. Чебышев
в статье «О простейших сочленениях» (стр. 310), показал, что пока-
занные им па Парижском конгрессе механизмы могут быть заменены
другою суставчатою системою, доставляющей те же симметричные
кривые, которые вычерчиваются точкою .1/ вышесказанного парал-
лелограмма. В 1889 г. в приложении к LX тому записок Академии
наук он пзложпл полную теорию этих систем. Еще рапее, в 1880 г.,
в приложении к XXXVI тому записок в статье «О параллелограм-
мах, состоящих из трех каких-либо элементов», он рассматривает
мехавнзмы, в которых плечи СА и CtAt tie равны между собою,
а также ие равны между собою расстояния точки V or точек
А и А,.
Тщательное изучение движений разнообразных видоизменений
простейших сочленений дало П. Л. возможность подметить многие
особенности движений тех или других элементов ее; основываясь
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
27
па этом, он построил весьма много механизмов, описание и объясне-
ние которых потребовали бы много времени. Есть придуманные
Чебышевым механизмы, основанные на других соображениях;
так, папрнмер, счетная машина с непрерывным движением основана
на некоторых свойствах систем зубчатых колес. Насколько прак-
тичны придуманные ГЕ Л. механизмы — покажет будущее».
Доклад Н. Б. Д е л one. «О механизма х»:
«Исследуя вопрос о преобразовании вращательного движения
в прямолинейное, Чебышев пришел к блестящим результатам и,
можно сказать, покончил с этим вопросом, дав необыкновенно про-
стые трех рычажные механизмы, преобразовывающие непрерывное
вращение в прямолинейное движение, и обратно, с высокою сте-
пенью приближения; и едва ли этого рода механизмы могут поду-
чить после Чебышева какое-либо дальнейшее усовершенствование.
1Го этого мало — на пути к достижению таких важных результатов
Чебышев поднял другой, близко стоящий к первому, вопрос капи-
тального жачеипя в учении о преобразовании движения: Чебышев
первый обратил внимание на возможность устропства передачи вра-
щения помощью суставчатых систем без мертвых положений и с уве-
личением числа оборотов. Этот вопрос совершенно новый и пред-
ставляет собою обширное поле для изучения; по, едва подняв его,
Чебышев уже успел и па этом поприще достигнуть весьма многого.
Пользуясь тем же трехрычажным механизмом, который известен под
именем кинематического четырехсторонника, прилагая к нему тот
же самый метод функций, наименее отклоняющихся от нуля, Че-
бышев покасал, что при известных размерах такого четырехсторон-
ника и при непрерывном вращении одного из его плеч некоторая
точка его описывает замкнутую кривую, умещающуюся между
двумя концентрическими окружностями, которых эта кривая по-
очередно касается. Воображая себе третью окружность, концентри-
ческую с двумя первыми и имеющую радиус, равный среднеариф-
метической от радиусов двух ограничивающих кривую окружно-
стей, Чебышев принимает за функцию, наименее уклоняющуюся
от нуля, разность между’ радиусом-вектором кривой, чертимой меха-
низмом, н радиусом упомянутой средней окружности и показывает,
что эта разность может быть сделана менее всякой данной величи-
ны, хотя п не может быть обращена в нуль, потому что при этом
вся кривая обращается в точку и длина вращающегося плеча
четырехсторонника тоже обращается в нуль. По всегда можно
выбрать по формулам Чебышева такие размеры механизма, что кри-
вая, чертимая им, уклоняется от окружности на сотые доли милли-
метра, имея довольно значительный поперечник (демонстрируются
модели механизмов различного приближения). Этим механизмом
Чебышев пользовался трояким способом: 1) Предполагая, что
механизм приводится в движение рукою, Чебышев удивительно
находчива избегал прибавления к своему трехрычажному меха-
низму каких-либо еще рычагов, рассуждая, что для рабочего со-
вершенно нечувствительна разница между вращением рукоятки
по окружности и вращением рукоятки по кривой, весьма мало
уклоняющейся от окружности; между тем это вращение прекрасно
28
И. Я. ДЕПМАН
преобразуется механизмом во вращение одного из плеч четырехсто-
ронника. Такая передача применена была Чебышевым к изобретен-
ному им креслу-самокату. 2) Если механизм должен приводиться
в движение не рукою, а вращением какого-нибудь вала, получаю-
щего движение от паровой машины, гидравлического двигателя
и т. д., то в центре упомянутых концентрических кругов укрепляется
кривошип, который уже не прямо надевается на шарнир, устроен-
ный в точке, описывающей приближенную кривую, по соединяется
с этим шарниром добавочным рычажком. Таким образом, одни
конец этого рычажка идет по проб жженной кривой, а другой его
конец идет по окружности, описываемой концом кривошипа, п вра-
щение одного нз плеч четырехсторонника преобразуется, следова-
тельно, во вращение кривошипа пятпрычажным механизмом. По
формулам Чебышева можно выбрать такие размеры рычагов, при
которых при равномерном вращении плеча четырехсторонника полу-
чается вращение кривошипа, весьма близкое к равномерному.
3) Наконец, давая кривой, чертимой механизмом, форму, наиболее
отличающуюся от окружности, по принуждая ее (выбором размеров
по формулам) заключаться между концентрическими окружностями
и касаться их, Чебышев соединяет кривошип, вращающийся около
центра этих окружностей, добавочным рычажком с точкою механиз-
ма, описывающею упомянутую кривую, и дает этому рычажку та-
кую длину, чтобы он мог в местах наибольшего отклонения кривой
вытягиваться в одну прямую с кривошипом. В таком механизме
существуют мертвые положения, так что он требует маховика;
по зато па один оборот плеча четырехсторонника получается два
или четыре оборота кривошипа, смотря по тому, при каком поло-
жении добавочного рычажка перейдено было мертвое положение.
Замечательно, что формулы, данные Чебышевым для прибли-
женного ведения точки четырехсторонника по окружности, совер-
шенно идентичны с формулами, данными им же для того п.з изобре-
тенных пм преобразователей вращательного движения в прямоли-
нейное, которому, беэ сомнения, следует занять первенствующее
место среди всех известных в пауке прямых. Здесь мы имеем в виду
тот удивительный механизм Чебышева с ломаным рычагом, который
с помощью трех рычагов, превращает в прямолинейное движение не
колебание плеча, а непрерывное его вращение. Практика еще не до-
статочно знакома с этими механизмами Чебышева, по не может быть
никакого сомнения, что они получат широкое применение и распро-
странение; и именно их удивительная простота служит верным зало-
гом будущего их успеха. Но для науки наиболее важное значение
представляет ис то, что уже вылилось в законченную форму, а имен-
но новый поднятый Чебышевым вопрос о передаче вращения су-
ставчатыми системами. Пусть рутина па первых порах относится
с недовернем к этому делу; может быть н первые шкпвы и зубчатые
колеса были встречены таким же недовернем. Путь намечен смело,
но он памечеп твердою рукою п верным глазом. Чебышев любил
говорить, что природа, величайшая наша учительница, широко
применяет суставчатые системы в органах передвижения животных
и что поэтому можно надеяться на приобретение этими системами
С-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
29
в будущем большого значения. Пожелаем же, чтобы падеж iu вели-
кого геометра оправдались, чтобы суставчатые системы пе переста-
вали быть предметом всестороннего изучения на благо и пользу
будущих поколений*.
6
Дадим краткие сведения о некоторых членах СПб.
математического общества. Среди них есть и такие, кото-
1
рые совсем или почти совсем забы-
ты, хотя в свое время были доста-
точно видными учеными.
В. Г. 11 м ш е н е ц к и и
(1832—1892)1)
В Петербургском математиче-
ском обществе Василий Григорь-
евич Имшенецкии сделал сооб-
щения:
20.11.1890. «Об интегрировании
общих линейных однородных дифферен-
циальных уравнений и о способе на-
хождения вспомогательных уравнений,
из которых одно есть известное союз-
ное уравнение Лагранжа, другие же
аналогичны уравнению Лагранжа».
15.10.1891. «О способах определения рациональных дробных
решений дифференциальных уравнений*.
В. Г. Имшепецкпй
(1832 1892).
Последняя работа вызвала острую полемику между
петербургскими математиками (Л. Л. Марков, К. А. Пос-
се, Л. И. Коркин, Д. К. Бобылев и др.) и московскими
(П. В. Бугаев, П. Л. Некрасов, К. Л. Андреев и др.).
Москвичи утверждали преимущество метода Имшеиецкого
перед методом Лиувил.тя, петербуржцы против этого
•) Общую оценку деятельности В. Г. Пмшепецкого дали
К. Л. Андреев в «Сообщениях Харьковского математического обще-
ства (серия 2, том 3,1893) и в «Записках Харьковского университета»
(1895, Л« 3, ’стр. 85—149) п Я. .1. Героппмус в книге «Очерки о рабо-
тах корифеев рхсской механики* (Москва, 1952). Этому же вопросу
посвящена диссертация В. \. Кочева «Академик В. Г. Имшепецкий.
Жизнь и творческое наследие» (Свердловск, 1953).
30
И. Я. ДЕПМАН
возражали. В Петербургском обществе этому вопросу
посвятили затем доклады Л. А. Марков (18.11.1891,
17.1.1892) и К. Л. Поссе (20.10.1893).
Оба сообщения В. Г. Пмшенецкого представляют резю
ме напечатанных им работ.
Д. К. Бобылев (1842— 1917)
Дмитрий Константинович Бобылев родился 11 ноября
1842 г. в селе Печенегах Харьковской губернии. В 1852 г.
он поступил в первый кадетский корпус, из которого в i860 г.
вышел прапорщиком в лейб-
Д. К. Бобылев
(1842 -1917).
гвардии Павтовскнй полк с при-
командированием к Михатов-
ской артиллерийской академии;
в 1862 г. окончил Академию.
Прослужив два года в гвар-
дейской копно-а ртяллерийскоп
бригаде, он в 1865 г. поступил
вольнослушателем Петербург-
ского университета на физико-
математический факультет. В
1867 г. он после предваритель-
ного приобретения аттестата зре-
лости сдал экзамены на звание
ка пдпдата фнзн ко- математн ве-
ских наук н был оставлен про-
фессором физики <1*. Ф. Петру-
шевскпм при университете для
подготовления к профессорскому
званию. В 1870 г. Бобылев защи-
тил кандидатскую диссертацию «Поляризующие призмы,
устроенные напвыгодпепшпм образом» и в 1871 г. был
зачислен приват-доцентом Петербургского университета,
в котором затем работал непрерывно 45 лет. В 1873 г.
Бобылев защитил магистерскую диссертацию «О распре-
делении электрпчсства на двух шарах и о рассеянпп*элек-
трнчества в газах» и в 1876 г. после ухода из университета
академика II. 11. Сомова был назначен штатным доцентом
кафедры теоретической механики. С тех пор он в течение
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
31
40 лет читал все курсы механики в Петербургском универ-
ситете. В 1877 г. Бобылев защитил докторскую диссерта-
цию «Исследование о распределении статического электри-
чества на проводниках, состоящих из разнородных частей»,
в 1878 г. получает зваппе экстраординарного, а в 1886 г.—
ординарного профессора. С 1871 г. он также профессор
физики Института инженеров путей сообщения, в котором
после смерти Е. И. Золотарева (1878) занимает кафедру
механики. В 1896 г. Бобылев был избран членом-коррес-
нондентом Академии наук. Скончался Д. К. Бобылев
20 февраля 1917 г. в Петрограде1).
К сказанному о Д. К. Бобылеве прибавим, с согласия
автора, выдержку из неопубликованного обзора академика
В. И. Смирнова «История физико-математических паук
в Петербургском — Ленинградском университете», напи-
санного в 1945 г.
«С самого возникновения Петербургского университета
специальность механики пользовалась особым вниманием,
и в те времена одпо и то же лицом преподавалоп научно
занималось одновременно с механикой и физикой или
математикой. В первый период существования Петербург-
ского университета преподавание механики и направление
научной работы были в основном не только теоретически-
ми, ио и прикладными. По обозрениям преподавания того
времени мы видим также, что преподавание стояло на
должной высоте в смысле приближения его к уровню пауки
того времени. В этих обозрениях упо шнаются имена
Пуансо, Лагранжа, Пуассопа, Павье. В то время, когда
я вступал в университет, кафедрой механики уже долгое
время ведал Д. К. Бобылев. Его предшественник Окатов2)
положил начало механическому кабинету в университете.
Он имел, по-видимому, широкие интересы в пауке н зани-
мался теорией машин, механической теорией теплоты
*) О Бобылеве см. некролог, написапный его учеником
А. М. Ляпуновым в Известиях Академии наук за 1917 г.,
стр. 301—303.
*) Михаил Федорович Окатов (1829—1901)— воспптаппик
Московского университета, магистр (1865) и доктор (1867) приклад-
ной математики, с 1866 г. доцент и в 1868—1878 гг. экстраординар-
ный профессор Петербургского университета.— И. Д.
32
II. Я. ДЕНМАН
п главным образом теорией упругости; в частности, он
занимался и теоретически и экспериментально теорией
стержней.
Д. К. Бобылев многое сделал для дальнейшей организа-
ции кабинета механики. Ему мы обязаны тем, что в нашем
университете имеются хорошие традиции аналитической
механики. Ему принадлежал первый в России большой и
оригинальный курс механики. Этот курс служил основным
руководством в течение долгого времени пе только у нас
в университете. За свою многолетнюю деятельность в на-
шем университете Д. К. Бобылев выпустил много круп
иых механиков1), которые затем с большим успехом зани-
мались наукой.
Собственные работы Д. К. Бобылева относились к во-
просам аналитической механики,гидромеханики и теории
упругости. Отмечу, что еще в 1881 г. Д. К. Бобылев решил
плоскую задачу об обтекании клина с отрывом, струн.
В одной из своих работ он рассматривал принципиально
новую задачу движения точки в деформирующейся среде.
Ряд интересных его работ относится к теории (вижеиия
твердого тела и к исследованию катания без скольжения
одной поверхности но другой. Д. К. Бобылев придал рабо-
те ио механике более теоретическое направление. Его
время было временем расцвета аналитической механики
в машем университете».
В Математическом обществе Д. К. Бобылев сделал
сообщения:
15.2.1891. *(> движении по шероховатой горизонтальной пло-
скости полого шара, заключающего в себе враншиицинся волчок,
ось которого неподвижна по отношению к шару».
*) Кроме А. М. Ляпунова и отдельно упомянутых и в дальней-
шем упоминаемых в нашем очерке профессоров: И. В. Мещерского,
Г. В. Колосова, А. С. Домогарова. Т. Э. Фрилендорфа. К. В. Ме-
ликова — нужно нажать еще Александра Александровича Я’ р и д-
м а п а (1888—1925), академика Николая Ивановича М усхе.ч н ш-
в ил п, киевского и одесского профессора Гавриила Констаптиноинча
Суслова (1857 1935). ленинградского профессора Евгения
Леопольдовича II И к о л а u (1889—1950), варшавского и петербург-
ского профессора Павла Осиповича Сомова (1852—1919) и
других.— Я. Д.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
33
«Предполагая, что катание шара совершается без скольжения,
будем в этом случае иметь шесть связей обыкновенных и два условия
к ганпя без скольжения, так что число интегрирований, кото-
рые придется выполнить для решения вопроса, будет равно де-
сяти. Все этн интегрирования можно выполнить. Движение сис-
темы выразится помощью эллиптических вейерштрассовых функ-
ций п о».
15.2.1893. «Об одном частном решении дифференциальных
уравнений вращения твердого тяжелого тела вокруг неподвижной
точки, если центр инерции находится па наименьшей главной оси
эллипсоида инерции».
«При этом частном решении проекция угловой скорости на на-
правление средней осн эллипсоида равна пулю, ио для этого надо,
чтобы наибольший главный момент инерции был вдвое более наи-
меньшего. В том случае, когда вращение вокруг наименьшей оси
эллипсоида инерции совершается без остановок, каждая точка
этой осн оппсывает сферическую кривую с точками возврата на одном
из предельных кругов».
14.1.1895. «О параллелограммах* (в заседании памяти П. Л. Че-
бышева).
10. В. С о х о и к п й (1842 — 1927)
Юлиан Васильевич Сохоцкий, фактический председа-
тель Петербургского математического общества за все
время его деятельности, окончил Петербургский универ-
ситет в 18G5 г. С. П. Глазеиап рассказывает о нем, как
о своем любимейшем профессоре:
«Сохоцкий был поляк, а в Петербургский университет
принималось только 12% поляков. Сохоцкий не попал
в этот процент, и чтобы посещать аудиторию, он каждый
раз платил шинельному известную мзду н, таким образом,
прослушал первые курсы университета ’). Впоследствии
он был оставлеп при университете для подготовления
к профессорскому званию»* 2).
*) Каждый студент имел в гардеробе свой помер. Войти в уни-
верситет можно было только сдав верхнее платье на свой номер
в гардеробе. По гардеробу проверялась и посещаемость студентом
университета.
2) С. "П. Глазеиап, Некоторые эпизоды из моей жизни,
«Мпроведепие», т. XXV, вып. 1, 193С, стр. 57—67. Член СПб. мате-
матического общества Сергей Павлович Г л а з е п а п (18!8—1937)—
с 1880 г. профессор астрономии Петербургского университета,
почетный член Академии наук СССР. Перу его принадлежат, кроме
ряда астропомическпх и геодезических работ и таблиц, выдержавшие
* Истор.-матем. исслед., вып. Хш
34 И. Я. ДЕ1ШМ1
В 1868 г. 10. В. Сохоцкнй защитил магистерскую дис-
сертацию «Теория интегральных вычетов с некоторыми
приложениями», в 1873 г. докторскую диссертацию «Об
определенных интегралах и функциях, употребляемых при
разложениях в ряды».
Защита первой диссертации осуществилась не без
трудностей. «Теория интегральных вычетов» — первая
научная работа на русском языке, специально посвящен-
ная теории функции комплексного переменного. Известно,
что 11. Л. Чебышев пе был расположен к пользованию
этой теорией. По словам II. Л. Пташпцкого, ученика Со-
хоцкого, Юлиану Васильевичу пришлось два года «обха-
живать» 11. Л. Чебышева, прежде чем он допустил дис-
сертацию к защите.
Отзыв П. Л. Чебышева о магистерской диссертации
Ю. В. Сохоцкого неизвестен. Докторскую диссертацию
П. Л. Чебышев оценил как «вполне удовлетворительную»—
это была в то время высшая оценка *).
С 1873 г. 10. В. Сохоцкнй состоял профессором Петер-
бур! ского университета и в 1868 г. впервые в Петербург-
ском университете читал курс теории функции комплексного
переменного. В качестве профессора он читал сначала раз-
личные курсы, по с 1876 г. в течение 40 лет читал высшую
много изданий учебники тригонометрии (плоской и сферической);
таблицы логарифмов пяти- и шестизначных и другие справочники.
В автобиографии своей С. П. Глазепап пишет (указанное сочинение,
стр. 66—67): «Когда подросли дети, я познакомился с существую-
щими учебниками по математике для начальной и средней школы
и пришел в большое удивление от неудовлетворительности учеб-
ников. Поэтому я приступил к составлению «Народного задачника»,
в котором нет ип одной искусственной задачи и где все взято непос-
редственно из жизни. Задачник выдержал три тиража под разными
названиями*.
Профессор методики математики Иван Никитич К а в у и (1874—
1935) в рецензии на «Народный задачник» в одном из ленинградских
методических изданий 30-х годов писал, что автор его, по-видимому,
никогда сам пе учил детей. По рассказу И. Н. Кавуна вскоре после
этого рано утром его разбудил некий старик, отрекомендовался
Сергеем Павловичем Глазепапом и сказал: «Уверяю вас, вы ошибае-
тесь. У меня девять человек детей, и всех их я сам научил ариф-
метике».
*) П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V,
М.~Л., 1951, стр. 298—299.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
35
алгебру п, кроме того, с 1884 г. — теорию определенных
интегралов. Эти курсы (высшую алгебру: 4 часа в первом
и 3 часа во втором семестре 11 курса и теорию определен-
ных интегралов: 2 часа в течение двух семестров III кур-
са) Сохоцкпй читал до 20-х годов XX в. Кроме универси-
тета он в течение десятков лет занимал кафедру математи-
ки в Институте гражданских инженеров, начиная с 1875 г.,
когда этот институт еще носил название Строительного
училища Министерства внутренних дел. Сохранились
литографированные курсы лекций Сохоцкого по аналити-
ческой геометрии и дифференциальному и интегральному
исчислениям, читанных в этом институте. Ближайшим
сотрудником Сохоцкого по институту гражданских инже-
неров в течение десятков лет был также член Петербург-
ского математического общества Е. В. Борисов *).
В работах Л. И. Маркушевича «Вклад 10. В. Сохоцкого
в теорию аналитических функций» («Исторпко-математп-
*) Евгений Васильевич Борисов, защитивший в 1890 г.
магистерскую диссертацию «О приведении положительных трой-
ничных квадратичных форм по способу Зеллипга», многие годы до
1917 г. читал в университете курс высшей математики для химиков
и напечатал широко распространенный в те годы сокращенный курс
высшей математики. В СПб. математическом обществе Е. В. Бори-
сов сделал сообщение «О критических центрах кривых 3-го поряд-
ка» (15.2. 1893). О работах Е. В. Борисова А. А. Марков писал:
«Е. В. Борисов мне хорошо известен, так как я слушал одновремен-
но с ним лекции в С.-Петербургском университете у профессоров
П. Л. Чебышева, Е. II. Золотарева, А. II. Коркина и др. Без сомне-
ния, он принадлежит к числу лучших учеников упомянутых профес-
соров и не напрасно был в свое время награжден серебряной меда-
лью за рассуждение па предложенную факультетскую тему: «Инте-
грирование дифференциальных уравнений при помощи непрерыв-
ных дробей». В числе представленных па эту тему работ была и моя,
но я как тогда, так и теперь должен признать, что работа Е. В. Бо-
рисова была самою солидною из всех и обнаруживала как трудолю-
бие, так и большие сведения ее автора. Магистерская диссертация
Е. В. Борисова может служить новым доказательством того, как
трудолюбиво н серьезно относится он к научным воросам. Тот,
кто, как мой покойный брат, займется изучением тройничных (поло-
жительных) квадратичных форм, будет весьма благодарен Е. В. Бори-
сову за составленные им таблицы приведенных форм и за обсто-
ятельное объяснение способа составления подобных таблиц*. (Центр,
гос. истор. архив СССР в Ленинграде, фонд 733, оп. 150, д. 1542,
листы 96—98, дело о конкурсе па замещение должности профессора
Юрьевском университете).
3*
30
И. Я. ДЕПМАН
ческпе исследования» вып. 111) и «Очерки по истории
теория аналитических функций» (Москва, 1951) дана под-
робная характеристика богатого оригинальными идеями
творчества Ю. В. Сохоцкого. А. И. Маркушевич восстанав-
ливает приоритет 10. В. Сохоцкого в ряде вопросов. Мно-
гие открытия Ю. В. Сохоцкого приписывались зарубежным
авторам, несмотря на то, что его заслуги были отмечены
неоднократно и иностранными авторами. Так, например,
в известной книге Эипеисра об эллиптических фупкци
ях1) читаем: «Одним из самых ранних и самых значитель-
ных исследовании по преобразованию тета-функций
является мемуар Эрмита в журнале Лиувнлля (111, 1858,
стр. 26—36). Эрмит дает здесь полное определение коп,
стаит при помощи сумм Гаусса... Этот мемуар вызвал
появление ряда замечательных работ...». Среди них Эпне-
пер особо выделяет работу Сохоцкого «Определение посто-
I я иных множителей в формулах линейного преобразования
тета-фупкцнй. Гауссовы суммы п закон взаимности лежан-
дрова символа». Эта работа, напечатанная па польском
языке в изданном в Париже сборнике, у нас никем не
упоминалась, равно как прочие работы Сохоцкого на
/ польском языке, в том числе курс алгебры. Не использо-
ванной при оценке деятельности 10. В. Сохоцкого оста-
лась и посвященная его памяти статья известного поль-'
. ского историка математики, члепа Петербургского мате-
матического общества С. Р. Ди к штейна*).
В Обществе 10. В. Сохоцкий сделал ряд докладов:
21.12.1892. «Принцип наибольшего общего делителя в приме-
нении к теории делимости алгебраических чисел». Этому же вопросу
посвящена отдельная книга Сохоцкого, в названии которой лишь
слово «Принцип* заменено словом «Начала» (СПб., 1893).
>) Elliptische Funktionen. Theorie нпд Gescliichte. Akademi-
sche Vortrage von Alfred Enneper. Zw te Auflage. Neu bearbei
tet und heraiisgegeben von Dr. Felix M tiller. Halle a. S., 1890,
стр. 427.
2) S. П i ckstei n, Wspomnienie posmiertne о prof. JSo-
cliockiin. WiadomoSci Matemat. XXX, 1927—1928, стр. 79—85.
Самуиt Рафаилович Д и к ш т e й и (1851—1939)—крупный дея-
тель математического образования в Польше, философ и историк
математики, учредитель журналов «Wiadomosci Matematyczne» и
«Ргасе Matematyczno Fisyczne*.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
37
25.1.1895 и 16.12.1895 — обзорные сообщения по теории групп.
17.3.1896, 18.9.1896 и 15.1.1897 — обзорные сообщения об
эллиптических функциях.
19.11.1897 , 21.1.1898 и 22.2.1898 — об уравнениях 4-й и 5-й
степени.
16.3.1891 «О геодезических линиях*.
Но поводу сообщений об эллиптических функциях
С. Г- Петрович пишет:
«Почин в отношении элементарного изложения теории
эллиптических функции принадлежит профессору С.-Петер-
бургского университета 10. В. Сохоцкому, которому по-
средством рассмотрения свойств кривой третьего порядка
у2 = 4х3 — g2x —gs
удалось весьма легко п просто получить основные свойства
вейерштрассовоп функции tyw вещественного аргумента.
Приводя особый метод представления мнимых ветвей
плоских кривых н рассматривая мнимую ветвь приведен-
ной кривой!, нам удалось распространить результаты,
полученные профессором Сохоцким для случая чистомпи-
мого аргумента функции tyu, пополнить их и затем при
помощи теоремы сложения обобщить случай комплексного
аргумента и произвольного дискриминанта уравнения
4x» = g2.T = g3-0*.
С. Г. Петрович указывает, что основным источником для
него ирн составлении его книги были сообщения, сделан-
ные профессором Сохоцким в С.-Петербургском математи-
ческом обществе *).
В стороне от обычной тематики 10. В. Сохоцкого с.топт
его сообщение «О геодезических линиях», которое резюми-
руется в протоколах следующим образом:
*) С. Г. П е т р о в и ч. Опыт элементарной теории веиерштрас-
совых функций &.и, t,u и au с приложением статей об эллиптичес-
ких функциях snu, спин dnu, Москва, 1898, предисловие.
Сергей Георгиевич Петрович (1869—1926)— генерал, про-
фессор Михайловской артпттерпйской академии, член СПб. мате-
матического общества, автор ряда книг ио теории вероятностей
и приложениям ее к стрельбе, литографированных курсов по теории
Функций мнимой переменной, эллиптическим функциям, разным
разделам общего курса анализа.
38
И. Я. ДЕПМАН
Указав на условие необходимое и достаточное, чтобы все линии
в системе
x=<p(t, с),
у=ф(1, с),
z=6 (t, с)
были геодезическими, и сделав одно замечание относительно тео-
ремы, обратной теореме Гаусса, выражающей дифференциал длины
дуги геодезической липин, докладчик указат на аналитическое
выражение условия необходимого и достаточного, чтобы все липин
в системе
/(u, V, с) = 0
были геодезическими, причем обратил внимание собрания на неко-
торые важнейшие следствия. Затем докладчик дал новый вывод
дифференциальных уравнений Гаусса для геодезических липин
в криволинейных координатах. Эти уравнения представляются
как уравнения характеристик уравнения в частных производных
вида
Я) A cos 6__д cos (со — 6) /44
di di ’ ( J
где А и С означают коэффициенты известного выражения квадрата
дифференциала дуги, 6 изображает величину угла, образуемого
в данной точке геодезической кривой с координатной кривой г=
=const, а <о—угол между координатными линиями. Наконец, было
указано, как при помощи уравнения (1) интегрировать дифферен-
циальные уравнения геодезических кривых па поверхности вращ<*-
ння и па поверхности эллипсоида».
На следующем заседании 15.4.1891 Ю. В. Сохоцкпй предюжпл
желающим решить следующую задачу: дано семейство кривых,
определяемых параметром а; из некоторой точки плоскости нрове
депа к одной из кривых касательная, длина которой, положим,
есть s, длина же дуги, отсчитываемой от некоторой точки кривой
3(®4-а)
до точки касания, есть а; доказать, что —т-—- не изменяется вдоль
оа
касательной и изменяется при переходе от одной касательной к дру-
гой. Обобщить ту же теорему и для поверхности. Эта теорема имеет
большое значение при изучении некоторых свойств геодезических
линий.
Н. Н. Пирогов (1843—1891)
Николай Николаевич Пирогов, сын знаменитого хи-
рурга и педагога Н. И. Пирогова, родился в Петер-
бурге.
Учился он в Гейдельберге, где в то время находился его
отец, руководивший посланными в Германию для усовер-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МА ТЕМ ЭТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
39
шепствоваппя молодыми русскими учеными. Позднее
Н.Н. Пирогов учился в Берлине и Оксфорде. В 1867 г. он
получил в Киевском университете степень кандидата
физико-математических наук. Прослужив некоторое время
в Лондонском отделении Русского общества пароходства
и торговли, а затем в Петербурге в Министерстве финан-
сов, Н. Н. Пирогов оставил казенную службу в 80-годах
и вернулся к научным занятиям математикой и физикой.
Он принимал близкое участие в работе СПб. физико-хими-
ческого и математического обществ.
Н. II. Пирогов одновременно с Л. Больцманом зани-
мался статистическим обоснованием второго закона тер-
модинамики 1).
Из работ II. Н. Пирогова в протоколах СПб. математи-
ческого общества упоминаются Uber dasGesetz Boltzmann’s
(Repertorium der Physik, 1891) и его сообщение на заседа-
нии общества 15.1.1891 «О применениях счисления вероят-
ностей к аналитической механике», в котором докладчик,
но словам протокола, высказал теоремы:
1) бесконечно малое изменение начального состояния
системы N тел (или N частиц), если Л’>2, производит
конечное изменение траекторий ее частиц;
2) дифференциальпые уравнения движения системы Л
частиц, в общем случае, кроме известных десяти, уже
больше ие имеют аналитических интегралов;
3) траектории частиц такой системы, в общем случае,
имеют характер случайно начертанных кривых и потому
к исследованию их свойств приложимо счисление вероят-
ностей.
В заседании 17.1.1892 общество почтило вставанием
память II. Н. Пирогова, который скончался в 1891 г. от
разрыва сердца.
*) См. Б. И. С п а с с к и й, Некоторые методологические во-
просы истории физики, «Вопросы философии», № 5, 1952, стр. 213.
Об II. II. Пирогове см. также кандидатскую диссертацию Г. Г. Г op-
fl у н а «К истории термодинамики в России во2-й половине XIX ве-
ка» (Киевский гос. пед. ип-т, 1955) и статью II. М. Бергера
«Роль русских ученых в создании и развитии теории тепловых явле-
нии» (Уч. зап. Новозыбковского гос. пед. пп-та, вып. 2, Брянск
40
II. Я. ДЕШИН
О. А. Б а к л у и д (1846—1916)’)
К. А. Поссе
(1847—1928).
Оскар Андреевич Баклунд, академик и директор Пул-
ковской обсерватории, сделал следующие сообщения:
1G.3.1891. Демонстрация прибора Репсольда для изучения
фотографии частей неба.
17.4.1893. (.Общие выражении дли возущепий, производимых
внутренними планетами в движении комет по верхним частям их
орбит».
29.10.1894. «О сопротивляющейся среде в планетной системе».
23.4.1897. «Интегрирование дифференциального уравнения для
определения долготы в движении одной
группы малых планет».
К, А. Поссе (1847—1928)
Константин Александрович
Поссе в течение первых десяти-
летий нынешнего века был самым
популярным русским математиком
благодаря широкому распростра-
нению его известного учебника
анализа.
К. А. Поссе окончил в 1868 г.
Петербургский университет, в ко-
торый он сначала поступил воль-
нослушателем, так как к моменту
зачисления в университет пе имел
полных 17 лет. В 1873 г. Поссе за-
щитил диссертацию «О функциях,
Лежандра» на степень магистра
математики. Хотя положительный отзыв о диссертации
дал сам П. Л. Чебышев* 2), однако ее значение было оценено
лишь после работ Гильберта и В. А. Стеклова.
С 1880 г. Поссе был дгцептом и затем профессором Пе-
тербургского университета, из которого выбыл по болезни
глаз в 1899 г. Кроме университета он преподавал в Пнсти-
подобных функциям
*) См. его некролог, паписаппып А. А. Белопольским, в «Изве-
стиях Академии наук», 1916. стр. 1171 и след. *
2) П. Л. Ч е б ы ш е в, Полное собрание сочинений, т. V, 1951,
стр. 297—298.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
41
тутах инженеров путей сообщений (с 1871 г.), технологи-
ческом, позднее в электротехническом и на IvKK.
13 1883 г. оп защитил диссертацию «О функциях О от
двух аргументов и о задаче Якоби» па степень доктора
математики. В советское время К. Л Поссе был удостоен
звания почетного члена Академии наук СССР.
Поссе любил преподавание и был мастером этого дела1).
«Курс дифференциального и интегрального исчисления»
Поссе (1-е издание СПб., 19G3), выдержавший большое
число издании и дополнявшийся автором с каждым тира-
жом, являлся руководством, по которому учились матема-
тике несколько поколений. На одном из совещаний по
вопросу об учебниках математики для втузов покойный
академик С. Л. Чаплыгин как-то даже заявил, что при
наличии руководства Поссе пет надобности мудрить над
составлением новых.
Школьное преподавание математики многим обязано
К. Л. Поссе, который долгие годы состоял членом ученого
комитета Министерства народного просвещения н давал
отзывы об учебниках. Сам Поссе рассказывал, как он,
человек левых взглядов, находившийся всегда у министра
народного просвещения иод подозрением, попал в члены
такого охранительного органа, каким призван был слу-
жить этот ученый комитет. Министр граф Деляпов при
всей своей ретроградности любил иногда рисоваться своим
джентльменством. В один из таких моментов показного
джентльменства было поднесено Деляпову дело Поссе,
который пе мог продолжать службу из-за надвигающейся
слепоты и не мог выйтн па полную пенсию, так как пе хва-
тало одного года для выслуги. К удивлепнюдок.тадчика де-
ла Деляной дал Поссе годичную командировку за границу,
*) Проф. физики Б. 11. Вейнберг указывает: «Некоторые из пас
(студентов Петербургского университета) увлекались способам из-
ложения А. А. Маркова, каждым словом как бы заколачивавшего
гвоздь за гвоздем по одной прямой липни, с которой он не дввал
сходить.истине. Другие наслаждались изящною, стройною и спо-
койно-мелодичною речью К. Л. Поссе, которого слушали даже иные
юристы, не понимавшие зачастую содержания его лекций, но
проникавшиеся их «музыкальностью» и «убедительностью...»
(Г>. П. В е й и б е р г, П.з воспоминаний о Дмитрии Ивановиче.
Менделееве как лекторе, Томск, 1910, стр. 1— 2).
42
И. И. ДЕНМАН
после получения пенсии К. А. Носсе, кроме того, был
назначен членом ученого комитета, что давато ему допол-
нительные средства помимо пенсии.
Единственная известная нам статья, посвященная
К. А. Поссе (паписана после его копчппы), так характери-
зует эту светлую личность.
«24 августа 1928 года скончался К. А. Поссе. В могилу
сошел один из старейших русских математиков, у кото-
рого в топ пли иной форме учились почти все преподаю-
щие у пас в настоящее время математику в высшей школе.
Преклонный возраст и связанные с ним физические стра-
дания давно поставили К. А. Поссе вис пауки и жизни...
Он был человек чрезвычайно живой, и в пору разгара его
деятельности не было того академического начинания
в области, близкой научным и педагогическим интересам
К. А., в котором он пе принял бы участия. Нравственный
же облик этого человека, соединявшего в себе редкую
сердечную мягкость с твердой выдержанностью, вызывал
глубокое уважение всех, кто его знал»х).
В Математическом обществе К. А. Поссе сделал три
сообщения.
15.10.1892. «Maxima et minima функций двух переменных».
20.10.1893. «О доказательстве трансцендентности числа е,
предложенном Гордапом (Comptes rendus, № 19, Т. CXVI) п обоб-
щение Гордановскпх соображений, ведущее к доказательству
трансцендентности числа л».
«Равенство вида
+ Лгеа' + . • • + = 0, (1)
где а0, сц, . . ., ал — алгебраические числа, различные между
собою, а /10, Л,, . . ., Ль — целые обыкновенные числа, не равные
путю, преобразовывается к виду (см. А. А. Марков, Доказа-
тельство трансцендентности чисел е и л по статьям Эрмита п Лин-
демана, СПб., 1883):
Veli*:<,+ - - + ^2«tin:° =0. (2)
где Dp Dt....Dn и о—обыкновенные целые числа, a gift —целые
алгебраические числа, корпи неприводимых уравнений
Л (z)= 0, Ft(z)=0....Fn(z)=0.
*) Из предисловия В. Ф. Кагана к послереволюционному изда-
нию «Курса» Поссе, Госиздат, Берлин, 1932.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
43
Равенство (2) заменяется равенством
Ро+А V + Dt V Л* + ... +nn V :«i: ° = о,
где xit yi...uj— целые алгебраические числа, между которыми
нет чисел, равных нулю; суммирования, обозначенные знаком У,
распространяются:
первое па все корни уравнения Л’ = 0,
второе » » » * У = 0,
последнее * » » » U=0.
Полагая
Й (z)=XY ... U = zN+ PlzN~l + ... + />№
= (Z— «iX2 — X2)...(Z — J/1) ... (2—Up),
где Pi, pj...Pn—целые числа и Рк не = 0, составляем функцию
ap-izp-i
1-2 -.(р-1) [П(Ог)1Р'
где р есть простое число, большее наибольшего из чисел Рп,
DB и о. Введя символ Гордана, определяемый равенствами
= 1-2 ... к, для всякого целого и положительного А-, так что, если
Ф (*) =°о++“а«*+ • • + оп*п.
ТО
(Л) — а0 “I- сц 1 Ц- Оз’1’2 -|— 03 1 2’3 -|— ... -|- ап-1*2’3 ... п,
находим, что ср (h) есть целое число, не делящееси на р, а
+ ..........+
— числа, кратные р.
При р, достаточно большом, то<1<р(г)для конечного значе-
ния z можно сделать менее всякого заранее заданного положи-
тельного числа; то же самое справедливо для iiiodipfz), где ф(г)
есть целая ф>упкцпя от z, в которой коэффициенты при различных
степенях z имеют модули, меньшие чем соответствующие коэф-
фициенты в <р (z).
Из разложения ег в ряд выводится символическое равенство
<T(h)e:=<p(h + z) + Ф(г)ето<11,
а отсюда на основании равенства (1) следующее:
A>q> h -D V Ф + -^-^ + • • • +А»У Ф + ~о’")=
44
II. Я. ДЕПМАН
невозможность которого па основании свойств функций <р (:) и
4(2) очевидна».
В том же заседании Поссе выступил по вопросу о мето-
де решения линейных дифференциальных уравнений
В. Г. Имшенецкого (см. выше).
И. Я. Сонин (1849—1915)
Николай Яковлевич Сопнп впервые выступил в Обще-
стве 29.10.1894 г. За последующие 4 года он сделал еще
15 сообщений, оказавшись таким образом одним из самых
деятельных членов Общества.
II. Я. Сонину посвящена обширная литература (см.,
например, статьи В. В. Гуссова и С. Е. Белозерова
в «Историко-математических исследованиях», вып. \ и
\ I н статью А. И. Кропотова в «Научных записках (финан-
сово-экономического института», 13, Л., 1957). Мы доба-
вим здесь некоторые сведения о Сонине как педагоге и дея-
теле математического просвещения.
После 20 лет профессорской деятельности в Варшав-
ском университете II. Я. Сонин был в 1890 г. назначен
попечителем Петербургского учебного округа, а в 1891 г.
председателем ученого комитета Министерства народного
просвещения и оставался в этой должности до своей кон-
чины. Одновременно он вел курс интегрального исчисления
на Петербургских ВЖК следующим образом. Написав
строго научный курс, Сонни отлитографировал его и раз-
дал слушательницам. В дальнейшем ои лишь комментиро-
вал иаппсапное изложение, которое слушательницы по
определенным разделам должны были па дому предвари-
тельно прочитывать. По отдельным частям курса заслуши-
вались рефераты студенток. Аудитория сохранила лучшие
воспоминания о профессоре и его методе занятий.
И. II. Пирогов рекомендовал такой способ преподавания
своему младшему сыну Владимиру, доценту истории Ново-
российского университета (II. II. II и р о г о в. Письма
к сыну, СПб., 1917). К этому методу близок порядок препо-
давания в Парижской политехнической школе, где лек-
ции в литографированном или печатном виде вручаются
предварительно слушателям. Мы видели лптографпро-
с.-петербургское математическое общество
45
ванный курс лекций Эрмита, в котором ме ьду каждыми
двумя литографированными страницами вклеены чистые
листы для заметок слушателя. Любопытно, что наш устав
гимназий 1804 г. требовал, чтобы каждому ученику были
даны па руки печатные учебники с такими вклеенными
чистыми листами для заметок при слушании объяснений
учителя.
Из педагогических мероприятий II. Я. Сопипа нужно
отметить разработку учебных планов для реальных училищ
(с 1907/08 учебного года). Согласно этим планам в курс
VII и пасса были включены начала аналитической гео-
метрии и анализа. Сонин уделял много внимания составле-
нию учебников математики для средней школы, в частно-
сти он подверг (Журнал Мин. нар. проев., новая серия,
ч. LI, 1914, июнь, стр. 226—236) резкой критике учебни-
ки по началам высшей математики для реальных училищ,
составленные Д. II. Горячевым ’). Эта рецензия представ-
ляет интерес для характеристики не только II. Я. Сонина,
но и Д. II. Горячева и члена Общества В. М. Кояловпча,
о котором речь ниже. Так как эти книги Горячева пере-
издавались и после революции и распространены среди
учителей, приведем заключительную часть рецензии.
За обе книги Горячеву в 1909 г. была присуждена
половина большой премии Петра I (1000 руб.) но отзыву
комиссии, возглавлявшейся нроф. В. М. Кояловичем. ]
«В отзыве конкурсной комиссии,— писал Сонни,— были
указаны многочисленные, хотя пе исчерпывающие, ошибки
автора..., исправление которых в следующем издании
оставлялось на нравственной обязанности автора... Одна-
ко новые издания этих книг ничем пе отличаются от
первого... • В «Основаниях аналитической геометрии»
встречается довольно много ошибок, какое-то странное
оригинальничанье и очень неточное, а иногда прямо
неум юе изложение... Изложенные замечания заставляют
*) Дмитрий Ннкапорович Горячев (1867—1949)—магистр
(1899) и доктор (1912) Московского университета, профессор Вар-
шавского университета и Ростовского института инженеров желез-
нодорожного транспорта. Учебники Д. И. Горячева: «Основания
анализа бесконечно малых», М., 1907; 8-е н.зд., М., 1923; «Осно-
вания аналитической геометрии», М., 1908; 6-е изд., М., 1918.
46
II. Я. ДЕПМАН
признать учебник совершенно неудовлетворительным...
Пе более удовлетворителен и второй учебник... Изложе-
ние ведется в стиле начала XIX века... Мы вынуждены
признать, что, учась по такому учебнику, нельзя усво-
ить оснований анализа».
И. Я. Сонни возглавлял русскую делегацию в между-
народной комиссии по реформе преподавания математики,
руководимой Ф. Клейном. Членами русской делегации
состояли члены Петербургского математического общест-
ва профессор Петербургского технологического института
Б. М. Коялович и директор второго Петербургского реаль-
ного училища К. В. Фохт. При содействии приглашенных
лиц были составлены для международной комиссии 12 от-
четов па французском и немецком языках о состоянии
преподавания математики в разных типах русских школ.
Н. Я. Сонин смотрел скептически на возможность исполь-
зования в России планов реформы, разработанной между-
народной комиссией. «Вызывался его пессимистический
взгляд условиями, в которых в то время находилось дело
школьного образования в России, и недостатком педаго-
гического персонала, достаточно подготовленного для осу-
ществления широкой реформы преподавания математики»
(признание самого Н. Я. Сонина)х).
В СПб. математическом обществе Н. Я. Соппп сделал
сообщения:
29.10.1894. а) «Об одной символической формуле для п-й
производной функции»; б) «Приложение символического исчисления
к выводу формулы Эйлера для квадратур с остаточным членом
и к вычислению некоторых определенных интегралов».
19.11.1894. «О бернуллиевых полиномах и бернуллиевых
числах».
17.12.1891. «Об интегрировании уравнения
~^= 1-р * (2 сообщения).
14.1.1895. «Приближенное вычисление определенного инте-
грала» (2 сообщении).
18.3.1895. «Простой вывод формулы П. Л. Чебышева для раз-
1
ложеппя — » (к сообщению П. Л. Чебышева в Обществе).
*) См. К. А. П о с с е, Н. Я. Сонин, /Куриал Мни. пар. проев.,
новая серия, т. VII, 1915, № 6, стр. 123.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
47
21.4.1895. «Об остаточном члене в формуле Лагранжа для
и нтерпол нрования».
16.10.1896. «Решение разностных уравнений» (2 сообщения).
20.11.1896. «Заметки о двух параграфах курса анализа Жор-
дана» (2 сообщения).
19.2.1897. «Об одной системе линейных уравнений».
15.10.1897. «О ряде Ивана Бернулли».
19.11.1897. «О неравенстве П. Л. Чебышева».
В. И. Ш и ф ф и II. А. Шифф
Супруги Вера Иосифовна и Петр Александрович Шифф
принимали большое участие в создании СПб. математиче-
ского общества и в его работе. Вера Иосифовна играла роль
хозяйки на собраниях общества,
Петр Александрович был бес-
сменным секретарем и очень час-
тым докладчиком.
Вера Иосифовна Шифф,
дочь профессора военно-медицин-
ской академии Равича, окончила
ВЖК в составе первого выпуска
(1882) и всю дальнейшую жизнь
преподавала на курсах. На ра-
ботников Курсов, как не состо-
явших на государственной служ-
бе, личных дел не составлялось
и нам не удалось установить
многих дат жизни и деятельнос-
ти Шифф. Скончалась опа в
1919 г.1). На квартире В. И. Шиф^* В- И- Шифф.
как указано выше, состоялось
учредительное собрание математического общества, там
же в более поздние годы собирался кружок математиков,
объединявший представителей старшего поколения (Сонин,
Васильев, Коялович, Поссе, Боргман) с более молодыми
(Попруженко, Пиотровский, Богомолов, Фохт, Гернет,
Полосухина, Нарышкина, Афанасьева-Эрепфест и др.).
В. И. Шпфф принимала близкое участие в работах по ре-
*) См. бюллетень Академии паук «Наука п ее работники»,
№ 3, 1921.
48
И. Я. ДЕПМЛП
форме преподавания математики в школе (доклад на Пер-
вом Всероссийском съезде преподавателей математики,
1910). О В. И. Шифф говорится между прочим в воспоми-
наниях писательницы Л. А. Авиловой («А. П. Чехов в мо-
ей жизни», в сборнике «А. II. Чехов в воспоминаниях
современников», ОГПЗ, 1947).
Труды В. И. Шифф:
*06 осях симметрии кривых IV порядка» (Сообщения Харь-
копского математического общества, 1891).
«Доказательство одной геометрической теоремы Коши» (жур-
нал «Научное обозрение», 1881).
«Методы решения вопросов элементарной геометрии», СНб.,
1894.
«Сборник упражнений по дифференциальному и интегральному
исчислениям», ч. I и II, СПб., 1889, 1900; в 1915 — 4-е и 5-е
издания.
Сборник упражнений по аналитической геометрии», СПб.,
1904, 1908, 1910.
Учебник тригонометрии (несколько изданий, СПб., 1907—
1910).
«Сборник задач по прямолинейной тригонометрии СПб., 1915.
«Элементарное изложение некоторых сведений из теории опре-
делителей (с историей вопроса)», 1914.
Литографированные лекции по аналитической геометрии.
В СНб. математическом обществе В. II. Шифф сделала
15.10.1891 сообщение «О кривых четвертого порядка»,
в котором, исходя из определений криволинейных диаме-
тров кривых высших порядков, данных Салмоном, показа-
ла, каким образом, пользуясь уравнениями этих диамет-
ре, найти оси симметрии кривых четвертого порядка в как,
возможно просто, вычислить коэффициенты преобразован-
ного уравнения кривой четвертого порядка, отнесенной
к осям симметрии.
Другое сообщение В. И. Шифф сделала па заседании,
посвященном памяти П. Л. Чебышева.
Петр Александрович III п ф ф (1849—1910), поступив
в Петербургский университет, перешел из него в Артил-
лерийское училище и потом в Михайловскую артиллерий-
скую академию, которую окончил с отличием в ^876 г.
Всю свою жизпь П. А. Шифф занимался педагогическою
деятельностью — в артиллерийских училищах, в Михай-
ловской артиллерийской академики. на В7КК, читая курсы
C.-IIETEPIIi ГГСКОЕ.МЛТЕМ ГГИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
49
П. А. Шифф.
теоретической механики, теории упругости, теории опре-
деленных интегралов, вариационного исчисления, инте-
грирования дифференциальных уравнений в частных про-
изводных. Как отмечалось в не-
крологе его (Матем. сб. 27,
вып. 3, 1910), работы П. А. Шиф-
фа отличаются новыми методами
и возможно более общими точ-
ками зрения.
Список работ II. А. Шиффа:
1) Sur 1’equifibre d’un cylindre
elaslique, CH, 1883; Journal de mathe-
niatiqnes Liouville, 1883.
2) Sur I'integration d’un systeuie
d’equations diflerentielles lineaires
simultanees aux di-rivees naitielles
d’ordre superieur, Bulletin de Г Aca-
demic Imperiale des Sciences, St.-Pet.
Melanges matliemat iques el astronomi-
ques, 1891.
3) О некоторых следствиях тео-
ремы Ролля, Труды Отд. физических
наук общества любителей естество-
знания, антропологии и этнографии,
т. 5, вып. 2, М., 1893. В следующем выпуске Трудов помещено
дополнение автора с обобщением полученных результатов.
4) Краткий конспект долговременной фортификации, Изд.
Констант, арт. уч., СПб., 1895.
5) О некоторых соотношениях в теории определенных интегра-
лов, Матем. сб., т. 17, М., 1895.
6) Об уравнениях гидродинамики, Труды Отд. физических
паук (см. 3), т. 10, М., 1898.
7) Теория лафетов, СПб., 1899.
8) Об уравнениях движения тяжелого твердого тела, имеющего
неподвижную точку, Матем. сб., т. 24, М., 1904.
9) Интегральные инварианты и интегральные коэффициенты,
Матем. сб., т. 25, М., 1905.
II. А. Шифф сделал в обществе за 8 лет с 1891 по
1898 г. 11 сообщений. Для 7 из них в протоколах даны
только заглавия:
Об одной формуле в теории определителей.
О теореме Иарсеваля.
Приведение интегрирования линейного уравнения 2-го порядка
к интегрированию уравнения 2-го порядка однородного (работа
напечатана в журнале «Научное обозрение» за 1894 г.).
Истор.-матем. исслед., вып. XIII
50
И. Я. ДЕ1 IAII
О жепералпзационпом исчислении Ольтрамара.
Об уравнениях гидродинамики.
О теории совокупностеп (2 сообщения).
Указания о содержании имеем для следующих сооб-
щений:
15.12.1890. «Об интегрировании системы совокупных линей-
ных дифференциальных уравнений в частных производных второго
порядка вида
36 > a £**“i , г .
а^+Д*“1=-57г + Л1(а:1'
36 3*иа , „
“ 5^+Д»“»==-^г+Л»<»:1. *»....»п).
36 д2иг
а Зх„+Да“п- ЗР
где
в_()ц1 д“» , , дип .
dxt дхг "Г * ’ • "г дХп ’
* д* . . д*
А»=-дт+-а-г+---Ч—г-» J в—постоянное».
Зх{ 1 3xJ 1 1 Ox*
15.4.1891. «П. А. Шифф показал, что уравнение в частных
производных вида
дки . дки дки ди .
Vr+w + -"+ ТТ=О«“+О> -дг+---
дх\ дх* дх*
допускает интеграл удовлетворяющий уравнению
ди , ди , , ди ди
х' з^+*а з^+- • +х" з^+‘ зГ=
ди д^и
^и + b^+... + b^...
О°и
° 31®
(>)
(2)
(в частном случае —однородный) только в том случае, когда все
постоянные коэффициенты а0, аъ ..., за исключением а^, равны
пулю.
В самом деле, обозначая левую часть уравнения (1) через
AfcU и правую—через Р(и), будем иметь:
Afcu = P(u)... (Г)
Обозначая, далее, правую часть уравнения (2) через Q(u),
будем иметь:
ди , ди ди ди ,
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
51
Совершая над частями равенства (2’) операцию Ль, получаем:
£+ • • • £+^“=
= AhQ(u) = Q(Ahu)=Q[P(u)J
пли
*-р«)+”р (Д)+ +'р м+‘р (£)-«1Р '"«•
иначе
Л/ ди . ди . ди \ / ди X
+ кР (u) = Q[P(u)[;
принимая во внимание уравнение (2*). будем иметь:
р к? (u)]-p 4r)+tp(‘S’)+*p(u)=0 [P(u),:
совершая па самом деле действие, обозначенное символом Р, и
принимал во внимание, что Р [Q (ч)1 = Q IP (“)) (в виду того что
коэффициенты а0, at..b0, Ъ1... предполагаются постояппыми),
мы получаем:
Лао“+(Л- 1) ai ~d~t—h(^—2) аг + • • • +(*—Р)ар 3tp=G’ (3) '
равенство (3) непременно представляет собою тождество, т. е. все
коэффициенты равны пулю, поэтому, например, «(,=01=0,= . . .
. . . = аР-1=0, к=р; в противном случае мы из уравнепия (3)
получп и бы и = cieai* + с^Ор1 + Среар', где cp ct, . . ср
суть произвольные функции xj, хг, . . . , хп, а это противоречит
уравнению (2), в чем легко убедиться непосредственною подста-
новкою».
16.9.1891. «О некоторых формулах для вычисления определен-
ных интегралов*. Докладчик показал, каким образом из формул
Грипа для функций с двумя переменными получаются формулы:
Коши, Пуассона, Абеля, Фруляни, Фурье, Куммера, Парсеваля
и Давидова.
15.9.1892 г. П. Л. Шифф сделал сообщение «Некоторые след-
ствия теоремы Ролля н приложение теоремы Ролля к доказатель-
ству теоремы В. А. Маркова о распределении корней двух функций
и их производных*. Это сообщение было вскоре напечатано под за-
главием «О некоторых следствиях теоремы Ролля*. (См. выше список
работ П. А. Шиффа, № 3.) В статье рассмотрены различные обоб-
щения теорем о средних и теоремы В. А. Маркова на функции двух
и трех действительных переменных, а также иа комплексн}'Ю область.
В следующем выпуске «Трудов» было помещено дополнение автора
к предыд}щей статье, в котором формулы, полученные в первой ста-
тье для двукратных интегралов, были выведены для тройного и вооб-
ще дтя многократного интеграла.
4*
52
И. Я.ДЕПМАН
Ж то интересуясь новыми методами преподавания,
П. А. Шифф и его жена пе раз выступали перед учителями.
Перечень их докладов в Педагогическом музее военных
учебных заведении можно паити в «Указателе докладов
и сообщений в Пед. музее военно-уч. заведений» (изд.
Пед. музея, СПб., 1896).
Е. С. Ф е д о р о в (1853—1919)
Знаменитый кристаллограф и выдающийся геометр
Евграф Степанович Федоров сделал в Обществе три
сообщения:
15.2.1892. «О симметрии на плоскости».
15.4.1892. Демонстрация приборов, предназначенных для на-
глядного ознакомления с видами симметрии.
17.3.1893. «О проблеме minima в области учения о симметрии».
В заседании 25.4.1894 г. было прочитано письмо
Е. С. Федорова, в котором он сообщал, что вследствие
некоторых обстоятельств вынужден просить хотя бы
временно пе считать его членом общества.
Собрание постановило: 1) выразить Е. С. Федорову
глубокое сожаление о том, что обстоятельства временно
лишают его возможности принимать деятельное участие
в делах общества; 2) продолжать считать его членом
С.-Петербургского математического общества.
И. Л. П т а ш и ц к н и (1854—1912)
Иван Львович Пташицкий — очень деятельный член
С.-Петербургского математического общества, потяк
по национальности и уроженец Виленской губернии.
Он окончил в 1876 г. Петербургский университет,
получив учрежденную в память Первого» съезда рус-
ских естествоиспытателей и врачей премию за сочинение
«Об интегрировании алгебраических дифференциалов в ко-
нечном виде». В университете он был учеником Чебышева,
Коркина, Сохоцкого и Золотарева. По свидетельству
К. А Поссе Пташицкий с особенною благодарностью вспо-
минал Е. И. Золотарева, который оказывал ему деятель-
ную поддержку при первых шагах научной деятельности.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МХТЕМХТНЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
53
Пташпцкпп был оставлен на два года при университете
для подготовки к профессорской деятельности, после чего
прожил еще два года в Париже для усовершенствования.
В 1880 г. он был назначен преподавателем математики
в Петергофскую прогимназию. В этой должности он рабо-
тал до 1890 г., даже после защиты магистерской диссерта-
ции «Об пнтегрпроваппп в ко-
нечном виде иррациональных
дифференциалов» (СПб., 1881) и
докторской диссертации «Об ин-
тегрировании в конечном виде
эллиптических дифференциалов»
(СПб., 1888).
В 1891 г. Пташпцкпп был
приглашен читать лекции и Ми-
хайловские артиллерийские ака-
демию и училище. В училище
он перестал читать лекции в
1895 г., в академии же оставался
профессором и членом конферен-
ции до конца жизни, ограничи-
вая свою работу в ней миниму-
мом— чтением трехчасового кур-
са по интегрированию дифферен-
циальных уравнений и по неко-
торым дополнительным статьям
математики.
II. Л. Пташицкий
(1854 — 1912).
из различных отделов
В 1897 г., после 15 лет работы приват-доцентом (т. е.
без твердого оклада), И. Л. Пташицкий был назначен
сверхштатным профессором Петербургского университета,
а в 1899 г. зачислен в штат. В университете он все время
читал аналитическую геометрию, приложение интеграль-
ного исчисления к геометрии и теорию эллиптических функ-
ций, в начале деятельности иногда еще начертательную
геометрию.
Курсы, читавшиеся И. Л. Пташпцким, были им проду-
маны до последних мелочей. А. П. Чехов по поводу издан-
ных его знаменитым учителем Захарьиным лекций говорит,
что печатные лекции представляют только либретто той
оперы, которую он студентом слушал из уст Захарьина-
54
И. Я. ДЕПМАН
профессора. Лекции II. Л. Пташицкого были в полном
смысле слова оперой, художественным произведением.
Они не содержали ничего лишнего, ио давали все необ-
ходимое. Вспоминается, как мы, студенты, задали Ивану
Львовичу вопрос: почему вместо нашего краткого курса
теории эллиптических функций французские курсы зани-
мают по несколько томов? Иван Львович сказал: «лекцион-
ный курс должен давать только необходимое. Французы
же не могут обойтись без красноречия и словесности.
Возьмите их изящную литературу. Что ни автор, то та-
лант или гений. А что от них через двадцать лет останется?
Разве только десяток страниц Мопассана».
Характерен для И. Л. Пташицкого другой разговор.
Мой товарищ но университету, уже упоминавшийся про-
фессор II. В. Линин, не был оставлен при университете,
так как совет университета не располагал для этого стипен-
дией. Дело было еще до революции 1917 г. В. II. Липин
обратился к Ивану Львовичу как секретарю факультета
с вопросом, как мог бы он, не нуждающийся в стипендии,
сохранить связь с университетом. Тот ответил: «Я пе риск-
нул предложить вам остаться при университете ни со сти-
пендией, ни без стипендии, учитывая нищенское положе-
ние профессора. Но если вы сознательно идете на это,
я к вашим услугам».
Очевидно, Пташицкий вспомнил те десять лет, которые
он, будучи признанным математиком, прожил па жало-
ванье учителя Петергофской прогимназии, и те скромные
материальные условия, в которых он жил, не считая воз-
можным искать какого-либо источника дохода, кроме
профессорского оклада. В те годы даже среди студентов
университета было известно, как отрицательно относились
профессора к С. Е. Савичу, который в качестве председа-
теля Объединенной математической комиссии петербург-
ских страховых обществ получал оклад, много раз превы-
шающий профессорский.
Еще один эпизод, связанный с И. Л. Пташицким. при-
ходит на память. В 1911 г. защитил диссертацию «Неко-
торые приложения непрерывных параметров в теории
чисел» па степень магистра математики Яков Викторович
Успенский (1883—1947). Ему показалось, что защита
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
55
прошла недостаточно хорошо, что он мог бы выступать
лучше, поэтому обратился к секретарю факультета
И. Л. Пташнцкому с вопросом, нельзя ли счесть защиту
не имевшей места. И. Л. Пташицкий ответил: «Зачем вы
волнуетесь? Какое реальное, помимо формального, зна-
чение имеет защита вообще, в частности то, как она
прошла? В паши дни многие люди говорят, что они фор-
мально православные. Ну и вы будете формально магистр
математических паук. Все остальное зависит уже пе от
формальных прав, а от ваших реальных дел».
Оценка научной деятельности И. Л. Пташицкого была
дана профессором К. Л. Поссе на страницах «Журнала
Министерства народного просвещения». Приведем ее здесь,
чтобы спасти от забвения дорогое имя профессора, которого
любили самым пскренппм образом студенты Петербургского
университета.
«Имя Пташицкого в печати впервые появляется в
1879 г. в «Nouvelles Annales de mathematique», где поме-
щена маленькая его заметка «Sur un probleme de Mecani-
que». Затем в 1880 г. в «Matheinatische Annalen», т. XVI
помещена его заметка под заглавием «Extrait d'une lettre
а М. С. Neumann»,- в которой автор доказывает ошибоч-
ность правила Л. Кенигсбергера для решения следующе-
го вопроса: узнать, выражается ли данный гиперэллнп-
тическнй интеграл в конечном виде через алгебраическп-
логарнфмические функции или нет, и найти это выражение
в случае его существования. Указав источник ошибки,
автор дает и пример, опровергающий правило.
В 1881 г. Пташицкий напечатал магистерскую диссерта-
цию «Об интегрировании в конечном виде иррациональных
дифференциалов». В первой главе, основываясьнаработах
Абеля и Чебышева, автор показывает, что вопрос об инте-
грировании в конечном виде дифференциала, содержащего
Рационально хи Т R, где Л — целый полином, т — целое
положительное число, приводится к вопросу о выражении
Pdx
W р'
одним логарифмическим членом. Этот результат был вы-
сказан Чебышевым без доказательства и затем доказан
Q и 7? — целые полиномы,
интеграла вида
56
И. Я. ДЕПМЛН
итальянским математиком Пиума (Piurna), ио иным путем.
Последний вопрос сводится затем к некоторому алгебраи-
ческому вопросу, решением которого для случая т = 2
и занимается автор во второй главе. В прибавлении он
дает свои приемы для разыскания алгебраического выра-
жения интеграла от алгебраического дифференциала, более
простые, чем способ, данный Лмувиллем для решения того
же вопроса.
В 1884 г., в 1 томе «Сообщений Харьковского математи-
ческого общества» напечатана заметка Пташпцкого «О раз-
ложении в ряд Маклорепа некоторых функций со многими
переменными», в которой автор дает простой прием для
получения некоторых разложений, данных Эрмитом в его
«Coin's d’Analyse» на стр. (>4, и для многих других.
В 1888 г. напечатана докторская диссертация Пташиц-
кого «Об интегрировании в конечном виде эллиптических
дифференциалов». Рецензия об этом сочинении в «Jahrbuch
der Fortschritte der Mathematik» (т. XX, 1888, стр. 445)
говорит: «Настоящая работа имеет целью изложить как
прежние работы математиков, так и собственные исследо-
вания автора по вопросу об интегрировании в конечном
виде эллиптических дифференциалов. Она разделена на
пять глав.
Первая посвящена исследованиям Лнувплля и Чебы-
шева, относящимся к конечному интегрированию и при-
ведению эллиптических дифференциалов к виду
С _____(х-рЛ) dx_____
Во второй главе излагается с некоторыми упрощениями
метод Абеля для разыскания конечного выражения выше-
приведенного интеграла в логарифмах, если таковое суще-
ствует.
В третьей главе излагается собственная метода автора.
Но этой методе данный интеграл приводится к виду
/ = + в]-^= •
? L 2 — b J J s(z)
где s — полином третьей степени.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
57
Исходя из этого интеграла, автор составляет некото-
рый ряд интегралов
Л,/2./3.....Л. ••• (1)
и показывает, что необходимое и достаточное условие су-
ществования конечного выражения интеграла 1 в логариф-
мах состоит в том, чтобы ряд (1) был конечным или перио-
дическим.
Четвертая и пятая главы посвящены изложению допол-
нении к различным признакам интегрируемости в конеч-
ном виде, найденным частью Чебышевым и Золотаревым,
частью самим автором*.
В том же 1888 г. напечатаны статьи Пташнцкого:
a) Extrait (Типе lettre а М. Ch. Hermite («Bull, des
sciences math, et astron. G. Darboux» (2) XII, 262—270).
Здесь дается теорема, состоящая в том. что интеграл
J /’(х, Т R)dx,
где R — целый полипом, берется в конечном виде тогда
и только тогда, когда R имеет вид:
(х—л,)"1 или (х — л,)"1 (х — a2)m-n|.
<)та теорема встречается в магистерской диссертации
автора.
б) «Об алгебраическом интегрировании алгебраических
дифференциалов» н
в) «Об одной теореме относительно алгебраических
интегралов» (Сообщения Харьковск. матем. о-ва, 2-я се-
рия, т. I, 61—73, 74—77).
г) Sur 1'integration algebrique des different idles alge-
briques (Acta mathematica, t. XI, 1888, 395—400). В этих
статьях автор дает свою методу для решения вопроса об
алгебраическом интегрировании дифференциалов вида ydx,
гДе У—алгебраическая функция от х (впервые вопрос был
решен Лнувиллем), и на примерах показывает преиму-
щества своей методы.
Заметка по тому же вопросу помещена Пташицким на
польском языке в журнале «Peace mat. fizycz.», 1, 89—90.
В статье «Sur la reduction de certaines int^grales abeli-
ennes й la forme normate» (Math- Annalen, B. 33, 1889)
58
И. Я. ДЕПМАН
Пташицкий обобщает результаты исследований Эрмита
о гииерэллпптическнх интегралах (Bull, des sciences math,
et astron., 1883) на интегралы от дифференциалов, зави-
сящих от корня любой степени из целого полинома.
Тому же вопросу посвящена статья Пташицкого па поль-
ском языке в «Ргасе», II, стр. 57—74.
В 1900 г. напечатаны следующие етатьи Пташицкого:
a) «Sur la reduction d’un probleme algebriques* (Comptes rend us,
t. 130, стр. 105—Ю7);
6) «Allgemeine Salze uber die Integration abelscber Differentiale
in enalicher Form* (Prace mat. fiz., 11, 23—31, на польском языке);
в) «Общие исследования об интегрировании абелевых пффе
реициалов в конечном виде* (Матем. сб., т. 21, 387—430). В этих
статьях автор занимается различными алгебраическими вопросами,
связанными с вопросами о приведении абелевых интегралов.
В Jahresbericht de г deutschen Matlieinatiker-Vereinigung за
1909 г., № 1, помещена статья II. Л. Пташицкого под заглавием
«Sur un lheoreme d'Analyse, enonce par Jacobi*.
Автор здесь доказывает высказанную Якоби теорему:
«Дана целая рациональная функция f(x) степени
2п 4-1 или 2п 4-2. Если при некотором целом рациональ-
Д. Ф. Селиванов
(1855—1932).
ном значении х радикал ] /(.t)
также равен целому числу, то су-
ществует бесчисленное множество
уравнений степени и таких, что для
любого корпя уравнения ) дт)
выразится рационально в in ра-
циональных числах». Весьма про-
стое доказательство автора ос-
новано на разложении корня
квадратного из целого полинома
в непрерывную дробь.
Д. Ф. Се л и в а и о в (1855—1932)
Дмитрий Федорович Селива-
нов, магистр Петербургского уни-
верситета (диссертация «Теория
алгебраического решения урав-
нений», СПб., 1885) и доктор Московского университета
(диссертация «Об уравнении пятой степепи с целыми
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
59
коэффициентами», СПб., 1889), с 1886 г. состоял препода-
вателем Технологического института и В/КК и с 1905 г.
профессором Петербургского университета. Оценка дис-
сертации, как и других работ Селиванова но алгебре,
дана в обзоре Л. К. Сушкевича «Материалы к истории
алгебры в России в XIX в. и в начале XX в.», «Историко-
математические исследования», вып. IV, 1951). Оцепку
творчества Селиванова в целом см. у Р. Роте х).
Д. Ф. Селиванов сделал в Обществе 9 сообщений.
15.12.1890. «О периодических непрерывных дробях».
«Были изложены новые доказательства теорем, относящихся
к вопросу о разложении корня уравпеиия 2-й степени в непрерывную
дробь».
15.4.1891. «О разложении чисел на множители».
«Разыскание простых делителей чисел вида I1—Du* приводится
к решению уравпеиия
левая часть которого есть символ Якоби. Все решения этого урав-
нения легко найти при помощи следующих теорем, высказанных
Эйлером (несколько в иной форме):
*> <4-lDD-
* °>*
(4)-^). «<«=
4| = „р«
5) „ри Di+Kwodi);
«> (4)-----(гТй) Щ» Ра-1 (med 4).
Доказательство теорем 1) и 5) находим в сочинениях Дирихле и
KJ. В. Сохоцкого. Докладчиком было показано, как доказываются
все названные теоремы и как при помощи их разложить данное
число на множители».
15.4.1892. «О делимости чисел»
*) Deutsche Mathematil<er-VereiniKunn, Jahresbericht, 1935,
стр. 210—214.
60
II. Я. ДЕПМАН
«Были изложены с некоторыми изменениями и дополнениями
исследовании Люка (Lucas) о делимости чисел вида
ап-Ьп
ип=-—-, оп=аП-|-6п
где а и b—корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами
х* — Px+Q=0.
Кроме того, были перечислены случаи, указанные Пилером,
Первушиным и Зельгофом (Seelhof), в которых число
ап=2*"+1
оказывается составным, вопреки мнению Фермата».
И. 1.1895. «Работы П. .1. Чебышева по теории вероятностей».
17.3.1896. «О работах Декарта по анализу».
18.9.1896. «О числовой функции <р (л), выражающей число
чисел простых ели не превосходящих л».
«('одержание сообщения:
Рели числа
1. d, d', d", .... п
суть все делители числа л, то, как показал Гаусс, имеет место
соотношение
Ф (О+Ф (f0 + Ф (rf')+ф (rf') + • • -+ф (") = ".
которое для краткости обозначается следующим образом:
VV(rf)=n. (1)
Покажем, что отсюда можно вывести выражение для функ-
ции ф(л), пе пользуясь другими свойствами этой функции и не
обращаясь к символическим приемам.
Предположим, что раз южение числа л па простые множители
имеет вид
Делители числа л разделим па два класса: к первому отнесем
те, которые в разложении на простые множители содержат рЧр; все
же остальные делители причислим ко второму классу'. Делители
первого класса имеют вид p^d,, где rfj—делитель числа
nL = P?
делители же второго класса обозначим через rf' На этом основа-
нии (1) принимает вид
<F V<p(rf') = «.
Так как d' есть делитель числа
p“*-,p?pS3 . . р“’п.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
61
то по теореме Гаусса
и, следовательно,
V = - (2)
Числа rf,—делители числа л, можно снова разбить па два
класса. Повторив те же рассуждения, получим;
2 <₽ <₽ до;>=л
Здесь J2 есть делитель числа Рз3р?‘ ... />^, а </[ есть делитель
числа Ргг~1рза ... р“**.
Так как л то па осиоваипп формулы (2)
и, следовательно,
(3)
Рассуждай таким же образом далее, наконец получим:
При помощи изложенного метода можно папти функцию,
удовлетворяющую соотношению V / (d) = F (в), где F (л)—данная
функция».
19.2.1897. «О теории аналитических функции Веперштрасса».
18.3.1898. «О периодических непрерывных дробях».
16.9.1898. «Об уравнениях, корпи которых вещественны».
Несомненно, что содержание некоторых этих докладов
включено в статьи Селиванова, опубликованные в 15-м
томе «Математического сборника».
И. Е. Делоне (1856—1931)
Николай Борисович Делоне окончил Московский уни-
верситет в 1879 г. В 1894 г. защитил в Новороссийском
университете докторскую диссертацию «Передача вра-
щения и механическое черчение кривых шаринрно-рычаж-
иымн механизмами», затем состоял в 1898—1900 гг.
62
И. Я. ДЕПМАН
профессором в Новоалександрпйском сельскохозяйствен-
ном институте, Варшавском нс 1906 г. Киевском политех-
нических институтах по кафедре механики. Этой пробле-
ме Делоне посвятил также ряд статей. Он ознакомил
зарубежных ученых с работами Чебышева по механизмам
• в книге: N. Delaunay, Die Tschebyschefschen Arbei-
ten in der Theorie der Gelenkmechanismen, Leipzig, 1900.
Делоне был одним из пионеров планерного дела в России
и сам построил в 1908 —1909 гг. несколько планеров —
бипланов и написал книжку «Как построить дешевый
и легкий планер и выучиться летать па нем» (Киев, 1910).
В СПб. математическом обществе II. Б. Делове сделал
следующие сообщения:
16.9.1891. «К теории осей вращения*.
«Докладчик указал па следующее: 1) Удары, нормальные к пло-
ской стенке тела, ограниченного с прочих стороп какою бы то ни
было поверхностью, и имеющие одинаковую приведенную массу,
пересекают плоскую стейку в точках, расположенных по эллипсу.
2) Соответственные этим ударам радиусы эллипсоида инерции,
сопряженные с плоскостями удароа, лежат в некоторой плоскости А.
3) Соответстаепные тем же ударам винтовые оси лежат на ли-
нейчатой поверхности S десятого порядка, образующие коей парал-
лельны плоскости А и касательны к некоторому эллиптическому
цилиндру С.
4) Поверхность S пересекается с цилиндром С по кривой пере-
сечения этого цилиндра с поверхностью К третьего порядка, даю-
щей в пересечениях с плоскостями, параллельными плоскости А,
эллипсы — подобные, одинаково расположенные, проходящие через
нормаль к плоскости А, проведенной через центр тяжести тела,
в имеющие оси, направленные параллельно осям сечений теми же
плоскостями цилиндра С*.
29.2.1892. «О движении твердого тела, определяемом интегра-
лами С. В. Ковалевской» г).
«Докладчик показал, что:
1) Интегралы Ковалевской могут быть представлены в виде
2р»-|-2924-г»=2соу-|-М',
2ру+2?у'4-гу' = 21,
(/>*—9*+coY)*-H2/><7+coV')*=**.
________________ Y2+y'*+y'*=L
*) Движение в случае С. В. Ковалевской и связанные с ним во-
просы былп изучены Делоне в магистерской дпссертацип «Алгебраи-
ческие интегралы движения тяжелого твердого тела около неподвиж-
ной точки. Геометрическое исследование», СПб., 1892.
с.-петербургское математическое общество 63
2) В случае к = 0 уравнения подвижного годографа суть
4р»+г»=6Г,
6/' (?*+ 9*)*+8соО' (/'’+?’) -НФ*= Ф*.
а неподвижный годограф лежит на поверхности вращения (около
вертикали) 8-го порядка.
3) Когда пе только к=0, но и Ы'=4Р, подвижный годо-
граф есть пересечение цилиндров кругового и эллиптического,
а неподвижный годограф лежит на поверхности вращения 4-го
иорядка.
4) Параллелепипед с ребрами 2а < 2 b < 2с, подвешенный, на-
пример, с помощью шарпира Гука за точку, лежащую на спице,
пропущенной через его центр параллельно ребру 2а, причем рас-
/
стояпие точки привеса от центра равно у —-— и между Ь и с
существует зависимость с* = 36*, движется по законам Кова-
левской.
5) Придав параллелепипеду такое положение, чтобы Ь и а
были горизонтальны, и сообщив ему начальную скорость около
вертикали, получим движение, указанное в положении 3-м.
6) Придав параллелепипеду определепиое начальное положе-
ние и определенную начальную скорость, получим движение, ука
за и ное в положении 2-м».
15.9.1892. Демонстрация нескольких моделей новых сочле-
нений.
17.3.1893. «О повом эллипсографе .
17.4.1893. «О механизмах с рычагами, шариирами и проре-
зами» !).
18.9.1893. «О сфероп ше и о черчении географических карт».
«Соединяя инверсор Peaucellier с пантографом, можно полу-
чить снаряд для черчения стереографических проекций кривых,
начерченных на глобусе».
«О новом способе механического черчения трохоид». «Если
имеются два кривошипа, вращающихся около двух неподвижных
центров с постоянным отношением угловых скоростей, то середина
расстояния между концами этих кривошипов чертит трохоиду.
Поэтому если соединить шариирами концы кривошипов с концами
равностороннего пантографа, то средняя вершина пантографа опи-
шет трохоиду».
21.1.1898. «О поверхностях, имеющих одну только сторону,
и об особенных точках плоскпх кривых».
*) Сообщения эти были опубликованы в работе «Sur quelques
nouseaux mecanismes: projecteur, ellipsographe, ellipsoidographe
et hyperbolographe». Bulletin des sciences mathematiques, 1895.
Позднее (1902) в этом же журнале была напечатана статья Делоне
«Sur les calculateurs cinematiques des fonctions elliptiques».
64
II. Я. ДЕПМАН
А. А. Марков (1856—1922)
Андрей Андреевич Марков сделал следующие сооб-
щения:
15.2.1891. «О доказательстве Сильвестером трансцендентно-
сти числа л».
«В CXI томе Comptes Bendus (-V 23, 8 декабря 1890 г.) Силь-
вестер, основываясь на формулах Ламберта длн числителя и зна-
менателя приближений непрерывной дроби вида
'(б)=е
1—б»
3-6»
5 —
именно
О
1— 6»
3-6»
5—
где
Лги=3-5-7 ... (2г— 1) X
v Г 1 —2r~2i 6< (2г—4)(2г—6)
XL 2 2r —1 2-3-4 (2с—1) (2с -3)
[„ 6» 2г —4 Т
6-ПГ32^1+-]'
старается доказать трансцендентность числа л, причем, пропустив,
вероятно случайно, численный множитель у выражения Лг+1 (6),
основывает свое доказательство на утверждении, что высшпй пре-
дел модуля отношения ПРИ достаточно большом г зависит
от 0,, между тем совершенно ясно, что в этом случае отношение
может быть сделано более венкой данной величины».
16.11.1891 «О разыска.... рациональных решений дифферен-
циальных уравнений».
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
G5
17.1.1892. Л. А. Марков в дополнение к своему сообщению,
сделанному на предыдущем заседании, указал па то, что сказанное
им относительно спосоиа Лиувилля, именно, что при употребле-
нии способа Лиувилля не требуется вовсе решении уравнений,
высказано самим автором в его статье, помешенной в 22-и тетради
Journal de ГЙсо1е Poly technique на 175 и странице.
15.2.1892. А. А. "Марков вывел соотношение между двумя
последовательными коэффициентами и ряда
у= V Hii!,/’(a4-2i, P4-2i, y+ i, e + 2i, x), (1)
V
удовлетворяющего дифференциальному уравнению вида
х*(1 — ж») х(1— х) у" + (cx*-\-dx+e)y'-±(fx-i-g) у = 0,
которому в частном случае удовлетворяет произведение двух ин-
тегралов уравнения, определяющего гипергеометрвческпи ряд.
Функция F в выражении (1) выражается следующим образом:
. 4 . Xpv . х(>-4-1)и(н4-1)v(v4-t)
Р, V, t, о, ж)-14-! £ох4- ь2.£ (£+1)о(о+1) *+• •
13.11.1892. «Случаи, когда интеграл вида
С xdx
J (х34-77) | хя — 1
выражается в логарифмах».
П. X. К а д и к (1857—1923)
25 апреля 1894 г. в члены Общества был принят по
предложению П. А. Шиффа и Д. Ф. Селиванова Петр
Христофорович Кадик, сделавший до этого в обществе два
сообщения о кватернионах (24.2.1891 и 21.3.1894). Сооб-
щения эти напечатаны как приложение к журналу «Научное
обозрение» под заглавием «Протоколы заседаний С.-Петер-
бургского математического общества 1893—1894 гг. О зна-
чениях знаков: =, —, 4-, Т, U, К, S, V в теории ква-
тернионов» (23 страницы и 2 листа чертежей).
Пз биографического словаря1) мы узнаем, что Кадик —
сын латвийского крестьянина, окончил Дерптский универ-
ситет в 1882 г. Весной 1884 г. он был оставлен мпнпстер-
*) «Биографический словарь профессоров преподавателей им-
ператорского Юрьевского, бывшего Дерптского, университета за
сто лет его существования (1802—1902), под редакцией проф.
Г. В. Левицкого» (т. 1, 1902, стр. 180—181).
5 Истор.-матем. исслед., вып. Х1П
fit; И. Я. ДЕНМАН
ством при Дерптском университете на один год для при-
готовления к профессорскому званию и командирован для
научных занятий в Петербургский университет. По защите
в Дерите диссертации «Theorie der sechsstelligen Charak-
teristiken» Кадик был удостоен степени магистра чистой
математики. В 1886—1891 гг. оп состоял преподавателем
математики в Томском Алексеевском реальном училище,
а с осени 1891 г. перемещен преподавателем математики
в училище при евангелическо-лютеранской церкви в Петер-
бург. С ноября 1892 г. до сентября 1891 г. был приват-
доцентом Юрьевского университета но кафедре чистой
математики, ио в сентябре 1894 г. был переведен препода-
вателем математики в Красноярскую губернскую гимна-
зию. Тем самым царское правительство надолго оторвало
Кадика от научных центров и от научной работы.
В архивном деле Министерства народного просвещения
имеется отзыв, по-видимому одного из дерптскнх профес-
соров, о диссертации П. X. Кадика. «Диссертация «Theorie
der sechsstelligen Charakteristiken», Dorpat, 1885, посвя-
щена существенной части теории тета-функций, имеппо
рассматривает зту теорию чистыми методами теории чисел,
применяя широко теорию групп. Автор указывает на
возможность применить его изложение без труда к п-знач-
ным характеристикам, что приводит легко к изложению
теории гиперэллиитпческих функций второго порядка.
Автор пе излагает теории Геиеля, так как она была нзло-,
жена в другой диссертации, ио применяет ее без обосно-
вания и дает таблицы преобразований. В последней главе
излагается вытекающий из теории групп метод, приводя-
щий чисто теоретико-числовыми средствами к системе
уравнений, идентичной той, которая получается из ри-
мановой тета-формулы; из этой системы автор получает
теоремы сложения тета-функций. В диссертации излагают-
ся основы теории групп. Использованы труды Фробениу-
са, Жордана, Нетера, Вебера, Римана, Прима и др.».
Оппонентами при защите диссертации выступали про-
фессора Гельмлппг, Вейраух и Молин.
Впоследствии П. X. Кадик (в 1918—1919 гг.) работал
в Петрограде в Главной палате мер и весов, затем в Лат-
вийском университете и умер в 1923 г. в Риге.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
67
М. М. Ф и л и п п о в (1858—1903)
Весьма замечательной фигурой является члеп СПб.
математического общества Михаил Михайлович Филиппов.
Получив образование на юридическом факультете
Петербургского, физико-математическом — Новороссий-
ского (Одесского) и философском-
Гейдельбергского университетов.
Филиппов в последнем защитил
диссертацию «Об инвариантах ли-
нейных дифференциальных урав-
нений» у профессора Лео Кеппгс-
бергера в 1892 г. С 1881 г. Фи-
липпов работал в разных про-
грессивных русских журналах
(«День», «Дело», «Северный курь-
ер», «Русское богатство»), а в
1894 г. основал свой научно-фи-
лософский журнал «Научное обо-
зрение» в Петербурге, в котором
сотрудничали В. И. Ленин,
Г. В. Плеханов, А. В. Луначар-
ский, Вера Засулич, М. М. Кова-
левский, Д. И. Менделеев1),
В. А. Стеклов, В. М. Бехтерев,
М. М. Филиппов
(1858—1903).
А. С. Трачевскнй и ряд других прогрессивных ученых.
В. А. Стеклов поместил в журнале ряд статей, частью
подписанных инициалами В. С. Ряд математических
статей в журнале принадлежит нору М. М. Филиппова,
в том числе серия статей в 5 номерах журнала за 1894 г.
под общим заглавием «Пространство Лобачевского и много-
мерное пространство». Ути статьи, как и некоторые
*) В предисловии к первому изданию своих «Заветных мыслей»
(1903) Д. И. Менделеев пишет: «Писать начал для журнала покой-
ного друга М. М. Филиппова п в майской книжке «Научного обо-
зрения» (1903) напечатал уже вступление. Но скопчиною уважаемого
редактора выход книжек журнала остановился, и я решился издать
свои «Заветные мысли* в ряде отдельных брошюр. 21. IX. 1903».
Д. II. М е и д е л е е в, Сочинения т. XXIV, Изд. АН СССР, 1954,
стр. 252.
5
68
II. Я. ДЕПМАН
другие, ие вошли в «Указатель литературы по геометрии
Лобачевского и развитию ее идей» В. М. Герасимовой
(М., 1952).
Обширное дело о М. М. Филиппове в архиве департа-
мента полиции следующим образом характеризует журнал
«Научное обозрение»:
«Редактируемый Филипповым журнал представляет
собою орган так называемых марксистов... Сначала, из
опасения закрытия, революционность журнала была очень
робкой, п редакция заботилась о том, чтобы изобилие
статей по социализму не бросалось в глаза. За последнее
время, несмотря на научность, журнал принял более
резкое и определенное направление, за что и удостоился
сочувственного адреса от рабочих, чем Филиппов, по име-
ющимся сведениям, очень гордится».
М. М. Филиппову было предъявлено обвинение в при-
надлежности к трем «крамольным» организациям: «Союзу
борьбы за освобождение рабочего класса», редакционной
группе «Рабочей социал-демократической библиотеки»
и «Рабочему знамени», и он в 1901 г. был выслан из Петер-
бурга с воспрещением жительства в столицах, университет-
ских городах и фабрично-заводских районах. Впрочем,
в конце 1902 г. Филиппову удалось вернуться в Петер-
бург.
Напряженная литературная и научная деятельность
Филиппова прервалась неожиданно. В Гейдельберге под
руководством известного химика Мейера он специально
изучал взрывчатые вещества, продолжая заниматься ими
и впоследствии. 13 июля 1903 г. он напечатал в«Русскпх
ведомостях» письмо об открытии нм способа передачи
взрыва на расстояние тысячи километров, обещая осенью
опубликовать подробности о своем открытии в мемуарах
Академии наук. В письме указывается на применение
весьма взрывчатых и частью крайне ядовитых веществ
(треххлористый азот).
На следующий день после опубликования ппсьма
Филиппов был найден мертвым в своей лаборатории, а
через несколько часов после катастрофы жандармы увезли
в департамент полиции все приборы, бумаги и мате-
иалы, оставшпеся от покойного.
С.-ПЕТЕРБУ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
69
Математические работы М. М. Филиппова, кроме
«Научного обозрения», печатались в «Journal de inathema-
tiqueelementaire», «Zeitschrift fur Mathematik und Physik»,
♦ L'lntennediaire des niathematiciens» и др. В последнем
(1894, стр. 149) М. М. Филиппов указывает, что аналити-
чески решил вопрос: из свойств мнимой сферы x2-|-i/2 +z2 =
= — 1 вывести геометрию псевдосферы и условия, при
которых псевдосфера будет поверхностью действительной
или мнимой, и предлагает вывести эти условия геометри-
чески. Некоторые дополнительные разъяснения он дает
в Л: 5 математического отдела «Научного обозрения».
В этом же математическом отделе журнала М. М. Филип-
пов поместил свой перевод «Общих исследований о кривых
поверхностях» К. Ф. Гаусса; там же печатались протоколы
заседаний СПб. математического общества. В биографи-
ческой серии Павленкова М. М. Филипповым написан ряд
биографий, в том чпсле Ньютона, Паскаля, Леонардо да
Винчи, Канта.
В СПб. математическом обществе М. М. Филиппов
сделал сообщения:
29.10.1894. «О спстеме дифференциальных линейных уравнений
в связи с вопросами кинематики».
17.12.1891. «Об арифметическом дифференцировании*.
25.2.1895. «Об одной формуле общего дифференцирования».
Эти сообщения в значительной части воспроизводят вышедшие
отдельными изданиями па французском языке работы М. М. Фи-
липпова (Stir les invariants des equations differentielles lineaires,
1892; Simplification du calcul algebrique, 1887), из которых части
были изданы позднее и па русском языке.
П. В. Мещерски й (1859—1935)
Иван Всеволодовпч Мещерский, автор классических
исследований но механике тел переменной массы ’), сде-
лал в Обществе следующие сообщения:
15.1.1893. «К задаче п тел».
«Содержание доклада. Природа и обыденная жизнь представ-
ляют нам такие случаи движения, в которых массы движущихся
9 См. Я. Л. Г е р о и и м у с. Очерки о работах корифеев рус-
ской механики, М., 1952, стр. 450—460.
70
И. Я. ДЕПМАН
тел изменяются с течением времени; поэтому рассмотрение движении
тез с изменяющимися массами должно иметь место в теоретической
механике.
Принципы возможных перемещении д’Аламбера, Гаусса со-
храняют свое значение и в этом случае, но другие принципы, вообще
говоря, пе имеют места; дифференциальные уравнения движения
получают такой вид, как будто бы массы были постоянны. Простей-
ший случай представляется тогда, когда массы точек системы изме-
няются по одному и тому же закону
т1=А-;/(/) (fci = const).
В этом случае задача о движении л точек, взаимно притягиваю-
щихся или отталкивающихся, допускает шесть интегралов центра
инерции и три интеграла, аналогичных интегралам площадей.
Теорем а. Задача о движении системы точек, массы которых
изменяются ио закону
mi = ki (a-|-az)—в~3 (л, a=const),
при действии сил притягательных или отталкивательных,пропор-
циональных массам и 3-п степени расстояния, приводится к задаче
о движении сист мы точек с постоянными массами при депствип тех
же сил.
Следствия, вытекающие из этой теоремы для случая трех
и двух тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. У ка-
занный прп этом случай задачи двух тел есть частный случай задачи
Гильдеиа (Astr. \achr., 2593), замечательный тем, что (опускает
точное решение*.
24.9.1894. «Задача о движении системы точек при дейитвпп сил,
обратно пропорциональных кубу расстояния, и центральных сил,
пропорциональных расстоянию*.
«Имеем систему, к точкам которой приложены силы взаимодей-
ствия, обратно пропорциональные кубу расстояния, и затем силы,
исходящие из неподвижного центра,— одни обратно пропорцио-
нальные кубу расстоянии, другие—пропорциональные рас-
стоянию.
Задача о движении этой системы приводится к задаче более
простои, в которой на точки системы действуют только вышеука-
занные силы, обратно пропорциональные кубу расстояния.
Это приведение будет сделало, если в дифференциальные jрав-
нения движения вместо декартовых координат ц точек системы
и времени I введем новые переменные: и т, полагая
*i = --. dt = . , , (1)
] ат»4-2йт4-с ат»4-2йт+с
где а, Ь, с суть постоянные, связаппые уравнением
ас—Ь*=к, (2)
если к обозначает пропорциональное расстоянию притяжение цент-
ром единицы массы па единице расстояния.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
71
Задача о движении по прямой трех точек, которые притя-
гиваются между собою силами, обратно пропорциональными кубу
расстояния, и к неподвижному центру па прямой сидами, пропор-
циональными расстоянию, приводится с помощью преобразования
(1) к пзвестиой задаче Якоби (Jacobi. Ges. AVerke, Rd. IV, стр. 533—
539) и, следовательно, решается в квадратурах».
19.11.1891. «Заметка по поводу статьи профессора Аппеля
относительно задачи о движении системы точек при действии сил,
обратно пропорциональных кубу расстояния, и центральных сил,
пропорциональных расстоянию».
14.3.1896. «Заметка об аналитических силах».
♦В заметке пзлагается: во 1-х, последовательное развитие того
приема для составления интегрирующихся в квадратурах систем
канонических уравнении, который основан на применении функций
от комплексных количеств; во 2-х, связь этого приема с динамикой».
Развитие это докладчик начинает с Имшенецкого.
«1. Первая статья В. Г. Имшенецкого, посвященная рассмат-
риваемому вопросу, «Интегрированно одной системы уравнений»
появилась в 1876 г. в А III томе Матем. сборника; прием, указанный
в этой статье для случая системы из четырех уравнений, несколько
обобщеп уже в следующей статье Пмшепецкого, напечатанной в том
же 1876 г. в «Bulletin ИагЬонх», t. XI, и затем распространен на
случай 4п уравнений в статье Имшенецкого, которая появилась
в 1878 г. в «Alemoires de la Societe des Sciences de Liege».
Дальнейшее развитие прием Имшенецкого получил в двух ста-
тьях проф. П. Л. Некрасова: «О совместных канонических днф.
уравнениях...» и «К статье о с вместпых канонических диф. ур...».
Статьп этп помещены в ХАШ томе Математического сборни-
ка (1896 г.).
2. В 1885 г. в «Journal de ГЕс. Polyt.» появилась статья «Sur
les forces analytiques» M. Lecomu; здесь в первых пяти теоремах
излагаются свойства «аналитических сил», т. е. сил, действ>ющих
в одной плоскости, проекции которых А и У удовлетворяют условию
Х-ЬУ)'^Т = /(х+з/) =1),
а в остальных тринадцати теоремах — свойства движения точки
при действии аналитических сил.
Легко показать, что диффер. уравнения точки при действии ана-
литической силы представляют частный случай той системы урав-
нений, которой .занимается Имшепецкнй в первой п.з упомяну-
тых статей 1876 года в А III томе Мат. сб.: они получаются нз
этой системы, если принять две из переменных; х и у за коорди-
наты точки, а две другие: д и р за проекции ее скорости и поло-
жить ф(г) = г.
Аналитические силы, за псключеппем единственного случая
Х = о-|-/и, У = Ь-{-А-у,
гДе а, Ь, к — постоянные, пе имеют потенциала; после статьи
М. Lecomu они встречаются в одном ил упражнений сборника задач
Saint-Geimain.
72
И. Я. ДЕЛMAH
Прием Пмшенецкого, если две из его переменных принимать
за координаты точки, а две другие за проекции ее скорости, может
привести только к случаю сил аналитических; по в этом обобщенном
виде, в каком этот прием представлен ироф. Некрасовым, ои может
дать диффер. уравпеиия движения при действии и иных сил, имею-
щих потенциал.
Важное значение рассматриваемого приема в динамике сде-
лается несомненным только тогда, когда он приведет к уравнениям,
до сих пор не проинтегрированным, если притом эти уравнения встре-
чаются при решении задач о движении при действии таких сил,
которые допускаются как причины дипжеппй, происходящих
в природе».
И. II. Иванов (1862-1939)
Иван Иванович Иванов происходил из бедной семьи,
которая могла дать ему только начальное образование.
С 14-летиего возраста, учеником уездного училища в Петер-
бурге, он жил уже на собственные средства, добывавшиеся
уроками. Поступив потом в Петербургский учительский
институт, готовиппгий учителей для высших начальных
училищ (соответствующих низшим классам теперешних
средних школ), И. И. Иванов по окончании его не имел
права поступления в университет. Преподаватель мате-
матики в Институте, известный методист В. А. Латышев
(1850—1912) советовал своему талантливому ученику само-
стоятельно подготовиться к экзамену на аттестат зрелости
п познакомил его с К. А. Поссе, который всячески под-
держивал стремление Иванова к высшему образовании).
В 1881 г., еще учеником Учительского института, Иванов
напечатал ряд статей в математическом отделе журнала
♦Семья н школа», издававшемся кружком передовых педа-
гогов во главе с известным физиком К. Д. Краевичем.
В статье ♦Один из приемов суммирования одинаковых
целых степеней чисел натурального ряда» (Л" 4—5, 1881,
стр. 298 и след.) Иванов применяет теорему Буняковского
к данному типу рядов н получает результаты, не пользу-
ясь методом математической индукции. В 1883 г. в том же
журнале (Л» 7, стр. 149 и след.) Иванов изложил по Абелю
теорию биномиального ряда. Статья ♦Повое доказатель-
ство теоремы Безу» того же года имеет подпись: ♦ученик
С.-Петербургского учительского института И. Иванов».
С.-ПЕТЕРБ* РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
73
В 1884 г. И. И. Иванов поступил вольнослушателем
в Петербургски!! университет. Это потребовало особого
ходатайства, подписанного, между прочим, П. Л. Чебы-
шевым *).
В два года И. И. Иванов, 24 лет от роду, блестяще окон-
чил университет и был оставлен для подготовки к профес-
сорскому званию. В 1891 г. он защищает диссертацию на
степень магистра и в 1902 г. дис-
сертации) на степень доктора
чистой математики.
С 1891 г. Иванов состоял при-
ват-доцентом университета, с
1902 г., с самого основания Пе-
тербургского политехнического
института, — его профессором, с
1912 г.—профессором универси-
тета; кроме того, он был долгие
годы профессором В7КК.
В университете с 90-х годов
Иванов читал курс теории чисел
н приложений дифференциаль-
ного исчисления к геометрии;
став профессором, он после смер-
ти И. Л. Пташицкого читал еще
курс аналитической геометрии,
передав курс приложении диф-
ференциального исчисления к геометрии А. А. Адамову,
другому профессору Политехнического института.
В 1924 г. Иванов был избран членом-корреспондентом
Академии наук СССР. Кроме того, он был удостоен почет-
ного звания заслуженного деятеля науки н техники.
Широко известны были в первые десятилетня руковод-
ства II. П. Иванова по дифференциальному исчислению
и многократно литографически издававшийся курс ана-
лиза. Под редакцией II. II. Иванова были изданы переводы
кУрса аналитической геометрии Салмона (1908) и триго-
нометрии Серре (1902); обе книги изданы в Петербурге.
*) См. П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений,
т- V, стр. 301—302.
74
II. Я. ДЕПМА11
Научная работа Иванова относится к теории чисел
н отчасти к анализу. Наиболее значительными являются
обе его диссертации• Первая из них «Целые комплексные
числа» (СПб., 1891) дает изложение основ теории алгебра-
ических чисел. В ней, а также в статье «К теории делимо-
сти целых комплексных чисел» (Приложение к запискам
Академии наук, т. 72, Л; 9, 1893) была доказана эквива-
лентность двух различных теорий делимости — Золотарева
и Дедекинда.
В докторской диссертации «О некоторых вопросах, на-
ходящихся в связи со счетом простых чисел» (СПб., 1902)
ясно и систематически изложены исследования по теории
простых чисел Эйлера, Лежеп-Дирихле, Чебышева, Мер-
тенса и др. Некоторые результаты принадлежат самому
автору диссертации. Автор не включил, однако, в свое из-
ложение метод Римана и теорему о распределении про-
Г стых чисел, полученных Адамаром и Валле-Пуссеном.
Одно из интересных открытий Иванова, содержащихся
в этой диссертации (впервые оно было опубликовано
в 1895 г.), состоит в обобщении результата, который акад.
А. А. Марков восстановил по обрывку, найденному в бу-
магах Чебышева. Согласно Чебышеву, если Ph есть наи-
больший простой множитель числа вида (12-|-1) (22+1)...
р.
...(х2Ч-1), то — —>оо при х—> оо. Иванов получил ана-
логичный результат для более общего произведения
(12-]-Л)(224-А)... (аг24-А), где Л — любое данное целое
число.
Дальнейшие оригинальные работы Иванова печатались
почти исключительно в изданиях Политехнического инсти-
тута и в трудах Ленинградского индустриального института.
Об одном числовом тождестве. Пзв. Петрогр. политехнического
института, 1919, XXXIII, Отд. техники, естествознания н матема-
тики. стр. 181 —183.
К теории квадратичных и пеквадратпчных вычетов по давнему
простому модулю. Там же, XXVIII, 185—189.
С lg (1—*n) dx
О вычислении определенного интеграла У 1 .
Пзв. Леппнгр. политехнического института им. М. И. Калинина,
1927, XXX, стр. 97—103.
С.-ИЕТЕРБЬ РГСКОЕ M XTEM АТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
75
О неравенстве двух интегралов. Там же, XXX, стр. 104—106.
Об обобщении одного тождества В. Я. Вупяковского. Там же,
1929, XXII, стр. 5—9.
Об интегрировании некоторых трансцендентных функции.
Там же, 1931. XXXIII, стр. 9—21.
О двух дифференциальных уравнениях. Труды Ленппгр. инду-
стриального института, 1938, № 5, стр. 24—27.
О некоторых суммах, зависящих от простых чисел. Там же,
1939, № 3, стр. 43—49.
Рапнне работы Иванова печатались в ряде других изданий.
Так, в «Записках физико-математического общества студентов С.-Пе-
тербургского университета» (3 выпуска, 1881—1887, под редакцией
студентов С. Е. Савича и Л. С. Домогарова) помещены статьи:
♦Суммирование трех рядов Эйлера» (в I томе), «Представление про-
стых чисел в форме жа-|- li/2», «Вывод двух формул Якоби» и «Не-
которые предложения о простых числах» (во II томе). В Сообще-
ниях Харьковского математического общества (серия 2, т. I, 1889)
появилась статья И. И. Иванова «Об интегрировании двух про-
изведений».
Интересна судьба одной теоремы, доказанной И. И.
Ивановым и носящей его имя. В журнале «L’lntermediaire
des matheinaticiens» (т. I, 1894, стр. 10) III. Брнсс (Ch.
Brisse) предложил доказать теорему: «Если целый поли-
ном от х при подстановке вместо х любого целого числа
всегда дает полный квадрат, то можно ли доказать, что
этот полипом есть квадрат некоторого другого целого
полинома от х. Тот же вопрос относительно степени выше
второй». В том же году журнал поместил доказательство
И. И. Иванова этой теоремы. Доказательство проведено
элементарными средствами. В следующем году в том же
журнале было опубликовало другое элементарное доказа-
тельство, даппоеЖ.Франелем(J. Franel, L’ Iiiterniediai-
re, 11,1895, стр. 94). В журнале «Archiv der Mathematik
und Physik» (серия III, т. 19, стр. 361, 1912) вновь был
предложен тот же вопрос, и В. Грош (W. Grosch) дал ре-
шение, пользующееся более сложным аппаратом (т. 21,
стр. 3G8 и еще т. 25, стр. 86). Наконец, в 1949 г. в жур-
нале «The American Mathematical Monthly» (стр. 338)
П. Бейтмен (Р. Т. Bateman, Institute for Advanced
Study) вновь поставил старый вопрос, на который по-
следовал ответ В. Фукса (Cornell University). Фукс
пользуется средствами более сложными, чем употреблял
И- И. Иванов.
76
II. Я. ДЕНМАН
Доказательство теоремы II. II. Иванова представляют
вопросы 114 п 190 второго тома из известного сборника
Г. II о л н а н Г. С е г е, «Задачи н теоремы нз анализа»,
ОНТИ, 1938 и последующие издания. Авторы не знали,
однако, что первое доказательство теоремы принадле-
жит И. II. Иванову.
Деятельность И. И. Иванова в Петербургском мате-
матическом обществе выразилась в следующих сообще-
ниях:
15.12.1890 г. «О некоторых суммах, зависящих от простых чи-
сел». Библиографические замечания сделал Г. Ф. Вороиой. Содержа-
ние доклада и замечаний в протоколах по зафиксировано.
15.9.1892 г. И. II. Иванов выступил с дополнением к докладу
П. А. Шиффа о теореме Ролля и ее связи с теоремой В. Л. Маркова.
И. И. Иванов дал свое доказательство теоремы В. Л.
Маркова, которое сводится к следующему.
«Пусть корни алгебраического уравнения
/(х) = 0 (1)
отделяются корпямп от уравнения
F(r)=0, (2)
причем все корни предполагаются вещественными и показатель
степени уравнения (1) равен плп на единицу менее показателя сте-
пени уравнения (2). Пусть, далее, корни уравнения (2) будут
*1. *г....Хп-
Имеем:
/м= V /(**) * +я, (3)
1
где А — число
Принимая
постоянное.
во внимание вышесказанпое о корпях и теорему
Ролля, легко убеждаемся, что все коэффициенты 1^—-: имеют оди-
•' \xk)
паковый знак.
Взяв производные по х от обепх частей равенства (3), находим:
f'(x)F(x)— f(x)F'(x)_ xi /(х*) 1
[F(r)p F'(xh)'(х-хкр '
Обозначим два смежных корпя уравиеппя F' (х) = 0 через у,п
и и подставим последовательно эти значсипя вместо х в ра-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
77
венство (4); тогда увпдпм, что /' (у,п) и /' (ymu) будут иметь раз-
ные знаки, что и доказывает теорему.
15.1.1894 г. II. II Иванов показал, как вычисляется интеграл
г dx
jZ(*-cos Д ) z-cos x-cos (2m^- )
Полагай
—К’+т)-
получаем:
„ С ____________________(у*-1)<*у__________________.
/1 — \ Jtl~ - — ' — ~ >
У I (у*-2у cos^+1).. .(у»-2у cos (2w^t-) Я +1)
НО
(у*-2у cos ^4-1) ... ( у»-2у cos ) =Уа'п+1,
поэтому
в= (—ydy- - ( -d-y . .
J ,^«'"4-1 J у / у’"1 + 1
Каждый из этих интегралов берется в конечном виде».
Указанный интеграл был предметом занятий студен-
ческого математического кружка при Петербургском уни-
верситете в годы студенчества пишущего настоящий обзор.
Болес изящные способы нахождения этого интеграла дали
Я. В. Успенский и II. А. Булгаков.
14.1 1895 г. II И Иванов па заседании общества, посвященном
памяти П. Л. Чебышева, сделал сообщение о постулате Бертрана,
содержание которого в протоколах пе отражено, равно как и не
изложено содержание сообщении 28.10.1898 г. «Об одном следствии
теоремы Ролля» п «О вычислении предела одного отношения».
Д. А. Граве (1863—1939)
Дмитрий Александрович Граве сделал наибольшее чис-
ло (20) сообщений в Обществе.
Жизни и творчеству Д. А. Граве (впоследствии — ака-
демика Украинской Академии наук и почетного члена
78
И. Я. ДЕПМАН
Академии нал к СССР) посвящено столько работ, что
здесь пет надобности давать обзор его деятельности.
Ограничимся перечислением сообщении, сделанных
Д. А. Граве в СПб. математическом обществе до 1899 г.,
до переезда Граве в Харьковский университет.
16.9.1891. «К пптегрцроваппю системы дифференциальных
уравнений линейных в частных производных высших порядков».
«Если дапа система уравнений вида
Ан (“1)4-Лц (“«) + • 4*Ain (un) = 0i
А 21 («1)4~Л22 (“») + • • • + ^211 (“п) = б,
А,и ("1)+Дп»(м2)+ • • 4~Лпп (un) = 0,
где
Д0(И) = У А
d^u
dxf dx%__dx^
причем A — постоянные, то, обозначая символом D следующую
операцию:
П(н) =
АцА1а ... Aiu
А21А22 • А1п
(“)
%iiAna ... Дпп
и имел в виду, что операции А имеют свойство переместпмостп,
т. е. что AffcAim (и) = AimAjh (и), легко убедиться, что система (1)
приводится к уравнениям следующего вида:
£>(u,)=0, D(uz)=O......... £>(ип)=0».
15.10.1891 (продолжение). «Докладчик, напомнив собранию
способ исключения неизвестных функций из уравнений, изложен-
ный им в предыду нем заседании, показал, как, пользуясь интег-
ралом Фурье, освободиться от членов, стоящих во вторых частях
уравнений
Ан (“i)-f*Ai2 (uf)+ ... +Ain (ып) = Л,,
Аг1 (“i) + A22 (««)+••. 4-Дгп (“п) = -Аг« ц)
АП1(и1)+ЛП2(“г)+ • • +Апп’(ип) = Л'„,
где
dxi dx% ... dxh
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
79
причем вопрос об интегрировании системы (1) приводится к интег-
рированию уравнения
D (а) = О,
где
1>(а)=
ЛцЛц • • А1п
Д21А22 — Aln
(а).
АП1АП1 • • • Апп
Далее, показав, каким образом интеграл составляется из
частных интегралов, докладчик обратил внимание собрания иа
интегрирование уравнений вихревого движения, именно:
dF dJV _
dz dy *’
(2)
dx dz
dU dV
dy dx a'
Так как символ D в этом случае обращается тождественно
в нуль, то функции A'n Л'г и А3 должны находиться между собою
в некоторой зависимости, именно, необходимо, чтобы
дх * ду ' dz
в этом случае функции Г, V и И из уравнении (2) все не опре-
деляются (одна из них остается ироишольной)».
Дальнейшие сообщения Д. А. Граве в Обществе:
18.9.1893. «О черчении географических карт».
25.4.1894. «Об ортогональных траекториях».
24.9.1894. «Об одном вопросе Чебышева».
14.1.1895. «О задаче Дирихле».
25.9.1895. «Об одной эллиптической функции».
Замечание Д. Л. Граве к последнему сообщепию:
«При изучении Чебышевской проекции 1), дающей изображе-
ние с подобием в бесконечно малых частях внутренней части
четырехугольника, образованного двумя меридианами и двумя
параллелями иа шаре, л встретился с необходимостью рассмотреть
*) Е i s е и 1 о h г, Cber die Flachenabbildung, Journal von
Crelle, LXXII, 1870.
80
II. Я. ДЕПМАН
свойства следующей эллиптической функции-
, , snxdnx
<о(х) =-------- .
' ' сп х
Свойства этои функции аналогичны свойствам тригонометри-
ческой функции tgx.
Обозначай через 4А', 2K'i периоды функции sn х, мы получаем
следующие соотношении:
1)
2)
sn2x 01(О)П1(2х)
14-cn2z — Пх (0) 0 (2аг) Н-6 (0) П, (2г)
(о(х+Л-)=------J- ;
' 1 2 * * ' <о (аг)
3) ю(х + ЛГ1)= ;
' ' 1 ' со(х) ’
,, / , К \ du 2x-|-A"sn 2х
4) <о ( х-]—г- ) =----Ц5------;
\ 1 7 сп 2х
5) ш = *sn 2x-J-idn 2х.
Последние два соотиошепия показывают, что модуль функции
<о(г4-1д) равен единице для всех точек прямых
х=~+пК, у=^+гпК',
где пит произвольные целые числа».
25.9.1895. «О задачах, предложенных в журнале «L’lnlerme-
diaiie des inatlii-maticiens».
18.12.1896. *06 уравнении х=ах»’).
19.3.1897. «Об интегрировании уравнений гидродинамики в слу-
чае установившегося движения».
23.4.1897. «О работах Карла Стермера:
а) Решение в целых числах уравнения
. 1 । . 1 . .1 л
m arctg— -J-narctg — -j-parctg — = у .
б) Некоторые теоремы, касающиеся уравнения Петля
ха—Dya= ± 1».
* ’) Обозначения литографпроваппого курса Эрмпта.
2) По поводу этого сообщения член общества Василий Федоро-
вич Гартц показал вывод рядов для вычисления Xs = у и ах = у.
В. Ф. Гартц изложил эти выводы позднее в брошюре «Новые ряды
в математическом анализе» (СПб., 1910). Некоторое время Гартц
был преподавателем Коммерческого училища в Петербурге.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
81
24.9.1897. «Об одной теореме теории функций двух веществен
пых переменных».
22.4.1898. «К теории функций двух вещественных переменных».
16.9.1898. «Об особенных линиях, состоящих из прямоли-
нейных частей».
28.10.18J8. «Продолжение пр-дыдущего сообщения и демонстри-
рование чертеже! ».
18.11.1898. «О работе Гульдберга о дифференциальном урав-
нении
Pdx+Qdy-±fidt=Ot.
16.12.1898. «Об одном вопросе Чебышева».
17.3.1899. а) «Об одном свойстве катания плоскости по шару»,
б) «О неявных функциях».
И. А. Клейбер (18G3-1892)
Астроном Иосиф Андреевич Клейбер окончил Петер-
бургский университет в 1884 г., защитил магистерскую
диссертацию «О сглаживании наблюдений» (Казань, 1889).
Статьи Клейбера по приложениям теории вероятностей
и некоторым другим вопросам печатались в журналах
Академии наук, Вестнике опытной физики и элементарной
математики и других изданиях. Он читал курс теории веро-
ятностен для студентов юридического факультета, не-
видимому единственный случай чтения такого курса
в Петербургском университете (в Московском университете
такой курс читал профессор А. К. Власов).
В Обществе И. А. Клейбер сделал два сообщения:
15.2.1891. «Об одном честном случае задачи о трех телах».
«Гаусс высказал мысль, что для определения вековых возму-
щении в движении какой-ппбудь планеты под влиянием притяже-
ния, оказываемого па нее другой планетой, можно заменить возму-
щающую планету эллиптическим кольцом, распределяя массу
притягивающей планеты вдоль ее орбиты пропорционально времени,
употребляемому планетой на прохождение каждого элемента.
Однако ппкто не пробовал применить этот принцип к действитель-
ному вычислению вековых возмущений.
Если во!мушающая планета описывает круговую орбиту, то ее
может заменить равномерное круговое кольцо, притяжение которого
имеет характер центральной епды. Таким образом может быть най-
дено в конечной форме, в квадратурах, уравнение промежуточной
орбиты тела весьма малой массы движущегося под влиянием двух
тел произвольных масс, оиисывающнх около общего центра тяжести
6 Истор.-матем. веслед., вып. XIII
82
И. Я. ДЕНМ vll
окружности кругов, если взятое тело движется в плоскости этих
кругов.
Притяжение кругового кольца радиуса Я на внутреннюю точку,
отстоящую па расстояние г от центра кольца, есть
г___________________ ___(1 )* t р_к»
лЯ» 2А'(1 —А') АК)’
U)
где т — масса кольца. Е и К — эллиптические интегралы, модуль
которых к н дополнительный модуль к' зависят от отношения
г : R, а именно:
к'
R — r
Л4-г-
Вековые возмущения в движении массы М сводятся к переме-
щению линии апсид. Для этого перемещения нз написанной формулы
получается следующее выражение:
4»=mkL£[4(1+Jr)_Jf], (2)
верное, если орбита М близка к кругу.
Прилагая эту формулу к определению перемещения перигелия
Земли под влиянием Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна,
получены числа весьма близкие во всех случаях, кроме Сатурна,
к тем, которые найдены Неверье обыкновенным разложением
пертурбационной функции в ряд, а именно перемещение перигелия
Земли под влиянием:
По формуле (2) По Leverrler
Марса.................. О',0187 О',0189
Юпитера................ 0,1182 0,1166
Сатурна..............". 0,0055 0,0031
Урана.................. 0,000098 0.0О009
Нептуна................ 0,000042 0,00004».
16.3.1891. «О некоторых интегралах от полных эллиптических
интегралов».
15.2.18У2 г. Общество почтило вставанием намять скон-
чавшихся его членов Иосифа Андреевича К л ей бе р а
п Николая Владимировича Мане в с к о г о (1823—
1892), крупнейшего специалиста по баллистике.
Членами Общества состояли и два других известных
русских ученых артиллериста Николаи Александрович
3 а б у д с к и й (1853—1917) и академик Аксель Виль-
гельмович Г а д о л п п (1828—1892).
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
83
Г. В. Колосов (18G7—193В)
Гурий Васильевич Колосов, уроженец Новгородской
губернии, окончил в 1885 г. с золотой медалью гимназию
Ф. Ф. Бычкова в Петербурге, а в 1889 г. Петербургский
университет с дипломом 1-й степени, получив во время
занятий в университете золотую медаль за работу «О кру-
чении призм» па тему, предло-
женную Д. К. Бобылевым. Остав-
ленный последним нрп универ-
ситете, Колосов в 1893/94 учеб-
ном году сдает магистерские
экзамены и назначается храните-
лем кабинета механики родного
университета. До этого он пре-
подавал в средних школах, а
с 1894 г. в высших технических
учебных заведениях, руководя
практическими занятиями но ме-
ханике в Институте инженеров
путей сообщения, Институте
гражданских инженеров и на
архитектурном отделении Акаде-
мии художеств. В мерном из
названных институтов Колосов
в 1895/96 учебном году читал
Г. В. Колосов
(1867—1936).
курс аналитической ме-
ханики.
Осенью 1902 г. Колосов был назначен приват-доцентом
Юрьевского (Тартуского) университета по кафедре при-
кладной математики, освободившейся после ухода из
университета профессора Адольфа Кнезера (1862—1930),
занимавшего эту кафедру в течение 10 лет. Ввиду не-
которых формальных причин окончательное назна-
чение Г. В. Колосова в Юрьеп состоялось только 31 ян-
варя 1903 г.1).
’) О возникших затруднениях рассказывает ученик Колосова,
профессор механики Тартуского университета Г. Ряго, в очерке
♦Из жизни и деятельности четырех замечательных математиков
Тартуского университета». Ученые записки Тартуского универси-
тета, вып. 37, Таллин, 1955.
. 6*
84
И. Я. ДЕПМАН
После защиты в Петербургском университете диссер-
тации на степепь магистра прикладной математики (*О не-
которых видоизменениях начала Гамильтона в примене-
нии к решению вопросов механики твердого тела») Коло-
сов назначается в том же 1903 году экстраординарным
профессором Юрьевского университета. В ноябре 1910 г.
он защищает в Петербургском университете диссертацию
«Об одном приложении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории
упругости» (Юрьев, 1909, последнее издание 1935 г.)
и в марте 1911 г. утверждается в звании ординарного про-
фессора по занимаемой им кафедре. Из очерка профессора
Г. Гяго, опирающегося па беседы с Колосовым, равно как
на основании рассказов близкого друга Колосова за
последнее десятилетие его жизни, хранителя кабинета
в Ленинградском университете II. 11. Образцова, известно,
что докторская диссертация проходила в факультете пе
без трений. По-видимому, ни факультет Петербургского
университета, ни сам автор пе предвидели, какое значение
идеи диссертации будут иметь для теории упругости
в ближайшем будущем.
В Юрьевском университете Колосов кроме курса меха-
ники читал разные дисциплины по Кафедре чистой мате-
матики: вариационное исчисление, теорию определенных
интегралов, теорию конечных разностей, теорию вероят-
ностей, теорию функций комплексной переменной, теорию
чисел. Одновременно с этим ои выполнил большое число
исследовательских работ, внеся свою долю в решение клас-
сических проблем движения твердого тела вокруг непо-
движной точки и движения твердого тела в жидкости. Кроме
этих классических проблем и предмета докторской диссер-
тации, ставшей также классической, Колосов увлекался
работами по приложениям математики в самых различ-
ных областях. Ои опубликовал статью о законе Бэра от-
носительно размывания берегов рек, несколько статей по
вопросам ботаники и медицины и другие.
13 1913 г. Колосов по конкурсу избирается профессо-
ром теоретической механики в Электротехническом инсти-
туте в Петербурге, а в 1916 г. становится ординарным
профессором механики Петроградского университета.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
85
В 1930 г. он берет на себя заведование кафедрой механики
упругих тел, а в 1931 г. избирается членом-корреспонден-
том Академии наук СССР.
Г. В. Колосов принимал деятельное участие в трудах
съездов математиков как на родине, так и на международ-
ных конгрессах за границей. После революции он рабо-
тал по заданиям заводов и военного ведомства, а также
участвовал во множестве комиссий, имевших целью реорга-
низацию высшей школы. Скончался Г. В. Колосов
в Ленинграде в 1936 г. Список работ Колосова насчиты-
вает 63 названия.
Главной заслугой Колосова является его метод решения
плоской задачи теории упругости.
Академик В. П. Смирнов в упомянутом неизданном
обзоре истории физико-математических наук в Петербург-
ском (Ленинградском) университете писал:
«Несмотря на то, что у нас работали крупные предста-
вители механики, все же мы не можем говорить о само-
стоятельной крупной научной школе, о самостоятельном
научном направлении по механике в Петербургском универ-
ситете до начала XX в. Одно пз таких направлений было
начато учеником Д. К. Вобылева и затем профессором
нашего университета Г. В. Колосовым. Им был дан новый
оригинальный метод исследования плоской статической
задачи теории упругости. Он впервые обратил внимание
на то, что основные величины, связанные с плоским, ста-
тическим упругим состоянием, могут быть выражены через
аппарат, который был чрезвычайно подробно разработан
в математике еще со .времен Коши. Таким аппаратом
является аппарат теории аналитических функций ком-
плексного переменного. Пользуясь этой связью теории
упругости и теории функции комплексного переменного,
Г. В. Колосов решил ряд важных задач теории упругости.
Эти работы Колосова были продолжены и широко разви-
ты его учеником Н. И. Мусхелншвплп, питомцем нашего
университета и бывшим его преподавателем, ныне прези-
дентом Академии наук Грузинской ССР. В работах
II. И. Мусхелишвили метод теории функций комплексного
переменного является не только аппаратом для решения
конкретных задач, по и принципиальной основой для
86
II. И. ДЕ11М \11
доказательства основных результатов теории статического
упругого состояния. Этот метод в дальнейшем развивался
как в школе II. И. Мусхелпшвылм в Грузин, так отчасти
и в Ленинградском университете».
В СПб. математическом обществе Г. В. Колосов сделал
сообщения:
14.3.1896. «Об одном случае вращения тяжелого твердого тела».
19.3.1897. «О движении волчка но гладкой поверхности».
18.2.1898. «О шаре с гироскопом Гесса внутри, катящемся по
гладкой плоскости без скольжения». Последний доклад напечатан
в Сообщениях Харьковского математического общества за 1898 г.
Б. М. К о я л о в и ч (18(57—1941)
Борне Михайлович Кояловнч окончил Петербург-
ский университет в 1889 г. Обе диссертации Кояловпча
Б. М. Коялович
(1867 — 1941).
«Исследования о дифференциаль-
ном уравнении ydx — xdy = Rdxt
(СПб., 1894) и «Об одном уравне-
нии с частными производными
4-го порядка» (СПб., 1903) были
предметом его сообщений в Об-
ществе. С 1891 г. Кояловнч пре-
подавал в Технологическом ин-
ституте; он читал лекции также
на ВЖК, в Женском педагогиче-
ском институте и (после Октябрь-
ской революции) в других пе-
дагогических институтах и Ин-
ституте коммунального строи-
тельства. До революции Б. М. Ко-
яловпч состоял членом ученого
комитета Министерства народ-
ного просвещения и членом рус-
ской делегации Международной
комиссии по реформе препода-
вания математики. Рецензии Коятовнча на новые учеб-
ники матем iTiiKii для средней п высшей школы вызвали
ряд столкновений с авторами, например с [I. В. Слешин-
скпм (по поводу алгебры логики Л. Кутюра), с Б. Л. Гер-
С--ПЕТЕРБХ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
87
ном (ио поводу оригинальных книг последнего по логике),
с И. А. Шапошниковым (по поводу его учебников). В по-
следние годы жизни (1930—1940) ]>. М. Коялович вел
долгую полемику («семилетнюю воину», ио выражению
академика A. II. Крылова) с членом-корреспондентом
Академики паук СССР, профессором Родионом Осспеви-
чем Кузьминым (1891 — 1949) о решении бесконеч-
ных систем уравнении. Полемика велась на страницах
«Трудов Математического института имени В. А. Стекло-
ва». Коялович был шахматистом первой категории. Его
партии с А. А. Марковым печатались в журнале М. II. Чи-
горина.
В Обществе В. М. Коялович сделал 10 сообщений:
29.2.1892. «Об одном способе интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений».
16.3.1892. «Приложение метода частных решений к одному
уравнению первого порядка».
15.10.1892. «О так называемом петербургском парадоксе».
21.3.1894. «О соотношениях между частными р< шеннямп диф-
ференциальных уравнений I порядка».
19.11.1894. «Некоторые применения теории канонических рсше
нин дифференциальных уравнений».
21.4.1895. «Несколько примечаний об интегрировании уравне-
ния уду — удг = Ндх» (полемика с академиком П. Я. Сониным).
13.11.1895. «О дифференциальных уравнениях с частными про-
изводными II порядка».
22.1.1896. «Об уравнении ydy— ydx = Itdx».
18.2.1898. «Об уравнении У — у — /7(.т)».
20.1.1899. «О методе Яванки для нахождения поверхностей
с постоянной крпвнзпой».
Изложение сообщений Б. М. Кояловича об интегрировании
уравнений в значительной части близко к соответствующим стра-
ницам его диссертаций.
В. А. Марков (1871—1897)
Владимир Андреевич Марков (брат академика) за три
года участия в работах Общества сделал 6 сообщений.
В последние годы жизни В. А. Марков, страдавший ост-
рой формой туберкулеза, уже не мог деятельно участвовать
в работе Общества. Так как биография В. А. Маркова но
••публикована, то сообщим здесь краткие сведения о нем.
88
И. Я. ДЕПМАН
В. А. Марков родился 8 мая 1871 г. Он учился в пятой
гимназии в Петербурге, затем в Петербургском университе-
те, где слушал лекции профессоров-математиков 11. С. Б у-
даева (1833—1902), Коркина, А. А. Маркова, Сохоц-
кого, Пташицкого, Селиванова, Бобылева. В отчете
деятельности Петербургского университета за 1891 г.
профессор К. А. Поссе сообщает, что студент \ П семестра
В. А. Марков написал сочинение «О функциях, наименее
D. А. Марков
(1871 — 1897).
уклоняющихся от нуля» н при-
ступил к печатанию его на сред-
ства университета согласно по-
становлению физико-математиче-
ского факультета. Работа эта бы-
ла (одновременно с работой дру-
гого соискателя на тему «Мате-
матические основания кометпых
явлений») представлена на со-
искание премии «в память пер-
вого съезда русских естество-
испытателей и врачей». В «За-
писке о наградах студентов С.-Пе-
тербургского университета» в
1892 г. (стр. 51) находим такой
отзыв о работе В. А. Маркова:
«Основной вопрос, которым
занимается автор, состоит в разы-
скании целон функции данной степени с коэффици-
ентами, удовлетворяющими данной линейной зависимости,
наименее уклоняющейся от нуля в данном промежутке.
Этот вопрос есть обобщение вопроса, поставленного
и решенного Чебышевым, о разыскании полинома данной
степени с данными коэффициентами при высшей степени
переменного, наименее уклоняющегося от нуля в извест-
ном промежутке. Для полинома второй степени автор дает
потное решение поставленного вопроса, для полиномов
3-й и 4-й степени приводит несколько частных примеров.
Переходя к подробному рассмотрению того случая, когда
дано значение производной данного порядка от искомого
полинома дтя частного значения переменной, автор при-
водит вопрос к интегрированию некоторых дифферепциаль-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
89
них уравнении, из которых одно совпадает с уравнением,
встречающимся в мемуарепокойного академика Е. И. Золо-
тарева «Приложения эллиптических функций к вопросу
о функциях, наименее уклоняющихся от нуля» и в мему-
аре академика А. Л. Маркова «Об одном вопросе Д. И. Мен-
делеева».
После этого автор переходит к следующей задаче: зная
наибольшее уклонение от нуля в данном промежутке
полинома п-й степени, найти максимум числового зна-
чения производной порядка к от этого полинома в том же
промежутке, и, указав связь этой задачи с основным
вопросом своего сочинения, дает решение ее для k=i,
к=2 н к = п — 1. Из этих результатов только первый был
известен, остальные принадлежат автору.
Из этого краткого обзора видно, что рассматриваемое
сочинение содержит в себе не только самостоятельные
выводы результатов, принадлежащих известным нашим
математикам, но и новые результаты, полученные самим
автором. На основании вышеизложенного автору его,
студенту \ III семестра Владимиру Маркову, и присуждена
премия, а сочинение его постановлено напечатать за счет
университета».
Много лет спустя проф. Л. П. Пшеборскип обобщил
результаты В. А. Маркова на случай двух соотношений*
аоРо + aiPi + — + а„рп = а,
Р0Р0 + Р1Р1 + ••• + ₽пРп — Р-
Пшеборскнй писал: «Мы попытаемся обобщить метод,
данный для решения аналогичных вопросов, относящихся
к полиномам рохп 4-р^"’1 + рп, коэффициенты кото-
рых связаны только с одним из соотношений, покойным
В. А. Марковым в его прекрасном, но, к сожалению,
мало известном сочинении «О функциях, наименее укло-
няющихся от нуля в данном промежутке». Настоящая
статья посЬящена обобщению первой главы указанного
сочинения В. А. Маркова»1).
191 ’) Сообщения Харьковского математического общества, т. XIX,
90
И. Я. ДЕНМЧН
Тогда же С. Н. Бернштейн выразил пожелание, чтобы
работа В. Л. Маркова была переведена на французский
язык * *).
В 1892 г. В. А. Марков окончил университет и был
оставлен при нем для приготовления к профессорскому
званию на два года со стипендией 50 рублей в месяц (одно-
временно с Г. Ф. Вороным, Б. М. Кояловичем и физиком
А. Гершуном). Через год он приступил к сдаче магистер-
ских экзаменов, которые закончил к весне 1894 г.
Профессор К. А. Носсе характеризует работу остав-
ленного при университете В. А. Маркова в следующих
словах:
«Тотчас по окончании университета В. А. Марков по
предложению профессора А. II. Коркина занялся вопро-
сом о счете классов положительных тройничных квадра-
тичных форм и в 1893 г. напечатал статью2) в «Сообщени-
ях Харьковского математического общества» (2-я серия,
т. XIV, 1, 1893, стр. 1—59), в которой дает доказатель-
ство формул Эйзенштейна, относящихся к этому вопросу.
Доказательство этих формул представляло очень большие
трудности и никем еще не было дано, несмотря на то, что
формулы Эйзенштейна были опубликованы более 40 лет
тому назад»3).
В октябре 1894 г. факультет, ио представлению профес-
соров А. II. Коркина и К. А. Поссе, ходатайствует о про-
длении па год В. А. Маркову стипендии для окончания
магистерской диссертации, присовокупляя, что «этот
молодой человек вполне достойный, весьма способный
и трудолюбивый». Ходатайство университета было удовлет-
ворено, н В. А. Марков пользовался 50-рублевой стипен-
дией по октябрь 1895 г. В 1895/96 учебном году В. А. Мар-
ков работает в Институте инженеров путей сообщения,
репетируя по аналитической геометрии, которую читал
*) S. Bernstein, Вётатдпез sur I'inegalite de W. Markoff,
там же.
г) «О числе классов положительных тройничных квадратичных
форм данного определителя».—И. Д.
*) Из предисловия к п.здаппой после смерти автора работы
В. А. Маркова «О положительных тройничных квадратичных фор-
мах», Петербург, 1897.
С.-ПЕТЕРБЬ PL’CKOE МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
9t
Д. А. Граве. Преподавал В. А. Марков и в V гимназии.
Результатом работы в пей осталось строгое изложение
теории иррациональных чисел как бесконечных неперио-
дических десятичных дробей, которое отразилось в книге
другого учителя той же гимназии В. М. Пирожкова
«Арифметика иррациональных чисел» (СПб., 1898) и
в «Началах алгебры» (Петроград, 1915) Д. А. Граве.
II Д. А. Граве, и В. М. Пирожков в своих книгах указы-
вают, что они излагают теорию иррационального числа
согласно методу В. А. Маркова.
В 189G/97 учебном году В. А. Марков уже не преподает
в связи с болезнью, а 18 января 1897 г. на 26-м году жизни
он скончался в лечебнице для чахоточных в Успкирко по
Финляндской железной дороге.
К. А. Поссе пишет в предисловии к работе В. А. Мар-
кова «О положительных тройничных квадратичных
формах»:
♦ Настоящее сочинение в рукописи вместе с статьей
автора, напечатанной в «Сообщениях Харьковского мате-
матического общества», было представлено в физико-
математический факультет в качестве магистерской дис-
сертации. Автор уже начал печатание своего труда, одоб
репного факультетом, как вдруг неожиданно подкравшаяся
болезнь уложила его в постель и менее чем в полгода свела
в могилу.
Наш университет потерял в нем молодого ученого,
успевшего уже оправдать возлагавшиеся па него надежды
и много обещавшего в будущем. Физико-математический
факультет постановил напечатать на средства универси-
тета его сочинение, желая этим почтить память покой-
ного и вместе с тем способствовать выходу в свет труда,
цепного дтя науки. Печатание было окончено под Наблю-
дением академика А. А. Маркова.
Первая глава сочинения заключает в себе тщательно
обработанное исследование основного вопроса арифмети-
ческой теории тройничных квадратичных форм, состояще-
го в том, чтобы узнать, содержится ли одна из двух данпых
тройппчпых форм в другой или нет, и если содержится, то
найти все представления одной формы другою. Этот
вопрос заключает в себе, как частные случаи, поставленные
92
Л. Я. ДЕПМАН
4 Гауссом вопросы о представлении данного числа и дан-
ной бинарной формы данною тройничною формою и об
эквивалентности форм. Результатом исследования являет-
ся сведение основного вопроса во всех случаях к вопросу
об эквивалентности двух тройничных форм, решение кото-
рого, как известно, дается при помощи так называемого
приведения форм.
Вторая глава посвящена главным образом вопросу об
определении измерения (МааВ) данного порядка форм, вве-
денного в теорию форм Эйзенштейном (35-й том журнала
Крелле и Matheinatische Abhandlungen, 1847, стр. 180).
Эта глава предназначена служить переходом к 3-й, посвя-
щенной вопросу о счете классов, которая в первоначаль-
ном виде была напечатала, как уже упомянуто, в Сообще-
ниях Харьковского математического общества, по которую
автор намеревался переработать и значительно дополнить.
К сожалению, автор при жизни не успел вполне довести
до конца свое намерение и потому 3-я глава здесь и пе
перепечатана. Некоторые отрывки рукописи, оставленной
автором, доказывают также, что и исследования 2-й гла-
вы он намеревался еще расширить.
Таким образом, работа В. А. Маркова, хотя и нс окон-
ченная, заключает в себе все главные пункты теории
тройничных квадратичных форм, за исключением вопроса
о приведении форм, которому, между прочим, в пашей
литературе посвящена диссертация Е. В. Борисова т).
В протоколе за 29.2.1892 г. говорится, что В. А. Мар-
ков доказал следующую теорему:
«Если две алгебраические функции степени п имеют
все корни вещественные и перемежающиеся, то их произ-
водные одного и того же порядка имеют корни тоже пере-
межающиеся».
15.9.1892 г. П. А. Шифф и И. II. Иванов выступили
с докладами, непосредственно связанными с этим сообще-
нием В. А. Маркова (см. выше).
В следующем заседании 15.10.1892 г. В. А. Марков
сделал сообщение «Некоторые обобщения найденной до-
кладчиком теоремы о распределении корней двух функций
Ч О Е. В. Борисове см. стр. 35.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
93
и их производных». Приведем полностью резюме сообще-
ния, составленное докладчиком. Эти результаты в печат-
ные работы В. А. Маркова не вошли.
«Теорема 1. Пусть: 1) для каждого конечного значения
вещественной переменной х, которая не может получать значений,
меньших некоторого вещественного числа £, и получает все осталь-
ные (случай £= —оо ве исключается), вещественные функции /(х)
и /(х) от этой переменной имеют конечные производные и отношения
/(*) .
£(х)
где С(х) — некоторая дробная (meromorphe) функция от комплекс-
ной переменной z на некоторой части А плоскости, содержащей часть
оси абсцисс, лежащую справа от точки z=£, и не имеют на этой части
плоскости других бесконечностей, кроме корней функции /’(х);
2) между каждыми двумя последовательными корнями любой из
функций /(х) и /’(х) заключается только один корень ее производной,
который мы будем называть соответствующим большему из этих
двух корней самой функции; 3) каково бы ни было значение пере-
менной х, модуль интеграла
Г G (z) dz
J («—г)1 ’
сх, t
взятого по сомкнутой линии Сх, I, ве выходящем из части А пло-
скости, содержащей внутри себя точку х и зависящей от х и от
некоторого параметра t, который можно изменить так, что точки
пересечения линии Сх, t с осью абсцисс справа от точки z = x
будут удаляться в бесконечность, будет как угодно мал, если ли-
ния Сх, i не проходит через бесконечности функции G (z) и точки
пересечения ее с осью абсцисс, лежащие справа от точки z=x,
достаточно далеки от начала координат; 4) корни функций / (х)
и F (х) перемежаются между собою.
В таком случае корни производных /' (х) и F' (х), соответ-
ствующие корням самых функций, также перемежаются между,
собою, и притом если а—корень производной f (х), соответству-
ющий корню а функции /(х), 0—корень производном F' (х), соот-
ветствующий корню Ь функции F (х), то разности 0—а и Ь—а
одного знака.
Замечание 1. Мы здесь предположили, что кратность каж-
дого корня любой из функций / (х) и F (х) равна единице, во.
распространив некоторым образом понятие о перемежаемости кор-
нем двух функций от вещественной переменной и понятие о корне
производной, соответствующем корню самой функции, высказан-
ную теорему можно распространять и на тот случай, когда функ-
ции / (х) и F(x) имеют корни, кратность которых отлична от
едяппцы.
94
И. Я. ДЕНМАН
Замечание 2. Если функция G (z) дробная на всей пло-
скости и нс имеет других бесконечностей, кроме корней функции
F (х), и около каждой бесконечности функции G (z) можно описать
некоторый сомкнутым контур так, что контуры, соответствующие
различным бесконечностям функции С (z), не будут пересекаться
между собою и вне этих контуров модуль функции G(z) будет
постоянно менее некоторого положительного числа Л/, то условие
третье наверно выполнено. Второе ; тонне будет наверно выпол-
, Г (г)
пспо, если для каждого значения переменной х функции ' ~
и певозрастающие.
Л (X)
Пример. Пусть С(х)—какая угодно вещественная функция
вещественной переменной х, производная которой конечная и не-
возрастающая функции х для каждого конечного значения х; <р (z)
и хр (г)—целые рациональные функции комплексного переменного z,
не имеющие мнимых корней; <Pi (z), <Ps(z), ф] (z), ф2 (z)—такие
петые рациональные функции от z, что все корпи уравнений
w(z) = <p» (z)+<pl (z)(z— 1) = 0,
С Ю=И(*)+’Й (*).(*-i)=o
вещественные и заключаются между —1 и -}-1.
Пусть притом степень функции <р (z) не выше степени функ-
ции ф (z), а степень функции £(z) пе выше степени io(z).
Если корни функций
/ (x)=eG(x> [<pj (sin z)4-<Pi(sin x) cos x] <p (x),
F (x)= eG(x} [фх (sin х)+ф, (sin x) cos x] ф (x)
от вещественном перемеппои x перемежаются между сооою, то
и Корин их производных тоже перемежаются менаду собою.
Замечание 3. Если функции /(х) и F(х) удовлетворяют
условиям теоремы и второму условию, высказанному в замечании 2
Г , /' (х) F’ (х)
т- е- Функции и ни
растают , то и функции
X
J h(x) <u
еС / (х) и
для какого значения х пе воз-
J hWdx
где Л(х)—какая угодно возрастающая вещественная функция х,
конечная для каждого конечного значения х, также удовлетво-
ряют этим условиям. Отсюда получаем следующую теорему:
Если функции / (х) и F (х) удовлетворяют условиям теоремы 1
и второму условию замечания 2, то корни функций
/'(х)+й(х)/(х) и F'(x)+h(x)F(x),
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ М ITEM \TII4ECKOE ОБЩЕСТВО
95
где Л (ж)—какая угодно вещественная, иевозрастающан функция х,
конечная для конечных значений х, соответствующих корням
функций
J h'fxjdx J h(x)dx
f(x)e^ и /'(z)pt ,
перемежаются между собою.
Нетрудно распространить эту теорему па все корни функция
/’(х)+^(ж)/(-г) и (х)+Л(х)Л’(ж), а также и на тот случаи,
когда функция h(x) обращается в бесконечность для некоторого
значения х, отличного от корней функции f (х) и F(x).
Теорема 2. Пу сть
717 ф(*) ’ Л=п 4>(х)=~ П (®—Ол). h=n t(a^)= И Л=1 Л’(Х) = И^, w(x) A—n-f-m П (x-b„), °n,m fc=n+l A=n+m ы(х)= [j (ж —ak) h=n-f~I
и вещественные числа
ai< ati • • • • ап> en*i> • • •» ап+т* bj, b2,..., bn, bntt, ..bn,m
удовлетворяют неравенствам
1 fln fln,i ^n,l fln,m ‘-C ^n,m
(причем не исключаются случаи а,= —со, Ьп»т= +оо). Обозначим
корни уравнения
Ф ’ (*) Ф (*)~ ф’ (г) <р (ж) = ф* (ж) df~^= <Р2 (*) =0
буквами с с различными значками, а корни уравнения
£'(*)<> (ж) - ю- (ж) S (х) = со* (ж) (^= С’ (ж) = О
ах ах
буквами d с различными значками и предположим, что разности
Qi с*, dh — dk и h—к пе противоположных знаков В таком слу-
чае будем иметь:
1) при п~>т
^n+m-i сп*т-1»
96
И. Я ДЕПМАН
2) при п=т
С1 dl е1 сп-1 ^п-1 °п»1
dn сп ^ • • • ^ ^n*m-« cn*m-t>
3) при я < m
Ci<^ d^ ct rfj сп dn dn^i
сп»1 ^ • • ^ ^n+m-i ciwm-i>
и равенство Cfc = rffc прн n^m, Л^п — 1 имеет место только
тогда, когда оЛ = а/1,1 = Ь/1 = Ь|1,1; при п^т, п-^.к<п-]-т—1
только тогда, когда ailti = at{tt = biltl = bjitt-, при я < т, 1<Л<п
только тогда, когда a;l_1 = a/l = bfc_1 = b/l; при л<т, Л>п только
тогда, когда ah = akti = bk = bilrl (мы предполагаем, что Цх) не
= F (*)). Следовательно, перемежаются между собою отдельно
корни уравнений (1) и (2), меньшие Ь,„ и корни уравнении (1) и (2),
большие Ьп.
Эта теорема может быть распространена и па нерацпопальпые
функции, удовлетворяющие условиям, аналогичным условиям
теоремы 1».
Дальнейшие протоколы содержат только указания на
сделанные В. А. Марковым сообщения:
21.12.1892. *0 решении в целых числах уравнения zn-|-pn=zn».
20.12.1893. «Об аксиомах, лежащих в основания геометриче-
ских систем».
21.2.1894. Продолжение доклада под тем же названием.
14.1.1895. В заседании, посвященном помятп II. Л. Чебышева:
«О функциях, наименее уклоняющихся от нуля».
В заседании 19.2.1897 г. председательствующий
10. В. Сохоцкий сообщил собранию о кончине В. А. Мар-
кова. Протокол гласит: «Собрание с глубокою грустью
почтило память так рано угасшего В. А. Маркова вста-
ванием».
К. Стёрмер (1874— 1957)
Карл Стёрмер, позднее долголетний президент Норвеж-
ской академии паук и автор работ о механизме явления
северных сиянии1), прислал в СПб. математическое обще-
ство два сообщения, которые были доложены Д. А. Граве.
’) В 1890—1920 гг. Стёрмер разработал свой метод численного
интегрирования дифференциальных уравнений п применил его к вы-
числению сложных траекторий электронов, фигурирующих в явле-
нии северного сияиия.
С.-НЕ1ЕРБА РГСКОЕ МАТЕМ АТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 97
19.10.1895. «О решении в целых числах неопределенного урав-
нении
л 1 . ,1
— = m arcig — -f- п arctg —».
9.2.1896. *0 решении в целых числах неопределенного л равнения
1 . .1 , л
т arctg — + n arctg — = к
История вопроса, послужившего предметом сообщений
К. Стёрмера, следующая.
В 1894 г. Д. Л. Граве в «Intermediaire des mathfmati-
ciens» (стр. 228) предложил вопрос:
Найти все решения в целых числах этого уравнения,
л , 1 , .1
— = т arctg — + п arctg — ,
для которого были известны решения:
1) т = 1, 2) т = 2, п = 1, — 1, д = 2, р = 1, 9 = 3; 9 = -1;
3) т = 2, п = 1, р = 2, 9 = - 7;
4) т — 2, п = 1, р = 3, 9 = 7 (Эйлер);
5) т = 4, п = 1, Р = 5, 9= —239 (Мечип) ’)
Д. А. Граве из соображений, относящихся к делителям j
чисел вида ха-|-1, заключил, что других целых решений не .
имеется. Эту теорему доказал студент университета •
в Христиании (ныне Осло) Карл Стёрмер. Решение Стёр-
мера см. в Intermediaire, 1895, стр. 24G—247; там же
помещено решение Брокара. После этих доказательств
Граве считает установленным, что формула Мечина являет-
ся среди аналогичных паплучшей для вычисления числа я.
Потное решение вопроса Стёрмер дал в мемуарах:
«Solution complete en nombres entiers m, n, x, y, k de 1’equation
m arctg -i- -}- n arctg -i- = k Vidonskabs selskabcts Skriften,
Math.-Naturwiss. KI. Л". 11, Kristiania, 1895; «Sur 1'application
des nombres entiers complexes a la solution en nombres rationnels
’) Джон Мечип (Machin, ум. 1751), профессор астрономии
в Грешемском коллед-ке, секретарь Королевского общества.
7 Истор.-матем. исслсд., вып. XIII
98
И. Я. ДЕНМАН
х,, х....,xn, q, с8,..., сп, к de I’eqnatiou ct arctg Xi +
4- c, arctg x, 4- .,. 4-cn arctg xn = k-^-i, Archiv for Mat. og Natur-
x idenskab, К istiania, 1906.
Люнггрен в 1942 г. решил ту же задачу для уравнения
т arctg-L_£_ 4- п arctgl_£. = к
х у 6
при £>=3 и 1)—2, получив соответствеппо 14 и 10 групп
целых значений для х, у, т, п, к.
(\V. L jiinggren, Ober einige Arcustangensgleichungen,
die anf inleress.mte unbestimmle Gleichungen fiihren, Arch. for. Mat.,
Astr. auch Fysik, t. 29A, № 13, 1942).
В 1943 г. Стёрмер вернулся к задаче и показал, что
она может быть обобщена и сведена к эллиптическим инте-
гралам п сформулирована следующим образом.
Пусть g2 и g8—целые числа. Найти все целые значения
х, у, т, п, к, удовлетворяющие соотношению
СО со
С dt , С dt ,
Ш \ —7 4- п \ 7~-- = «ТО,
J ) it*—git—gf J yi^—git — gt
где to есть действительный полупериод соответственной
функции и Вейерштрасса.
Для ga = 252 и g8 = — 648, при каковых значениях
4z3-gat - g8 = 4 (t - 6) (t - 3) (t + 9)
и
to = f dt = 0,582808,
I ИЯ—git — gi
Стёрмер находит 9 решений уравнения (1), из которых он
считает особенно интересным решение
А’= 51, У =153, zra = 3, п = 2, А=1,
т. е.
оо со
С dt , о С ^t
3 \ —, — - 4- 2 \ ... - = to.
j 4t3 —252«4-648 15’3 J 4t*—252Z 4-648
С.-ПЕтЕРБУ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
99
Он заключает свою статью указанием, что для углубле-
ния вопроса необходимо изучить работы о рациональных
точках кубических плоских линий (Морделла, Нагелла,
Вейля, Биллинга и др.), что мо/кет дать интересные резуль-
таты.
(♦Sur un probleme curieux de la th£orie des nombres concernant
les fonclions elliptiques» par C. Stormer, Archiv for Malhematik og
Naturvidenskab, Oslo, 1943, t. 47, H. 1—2).
И. С. А Л а д о в
Член Общества Илья Семенович Аладов сделал три
сообщения по теории чисел:
13.11.1892. «О нахождении наивысшего предела числа решений
сравнения
zP-i—1=0 (mod />’),
меньших р, при р простом».
20.12.1893. »О распределении квадратичных и пеквадратичпых
вычетов простого числа р в ряду: 1, 2, 3, ... , р—1».
26.2.1895. «О числе классов бинарных квадратичных форм,
определитель которых равен отрицательному числу».
Содержание сообщений напечатано в протоколах. В русской
математической литературе имя И. С. Аладова в дальнейшем
встречается еще раз в «Матем. сборнике».
Скажем еще несколько слов о лицах, сделавших по
одному сообщению.
Георгий Феодосьевич Вороной (1868—1908) в нача-
ле 1891 г. был назначен профессором Варшавского универ-
ситета, в связи с этим покинул FIeTcp6jpr, успев сделать
в Обществе лишь одно сообщение и дать одну справку.
15.12.1890. Г. Ф. Вороной дает библиографические справки
по сообщению И. И. Иванова на тему: «О некоторых сушах, зави-
сящих от простых чисел».
15.1.1891. «Об определении суммы квадратичных вычетов
простого числа р вида 4m 3 при помощи чисел Бернулли» ’).
Виктор Иванович С т а н е в и ч, преподаватель Артил-
лерийского училища и Института инженеров путей сооб-
щения.
. ') См. Г. ф. Вороной, Собрание сочинений, т. III, Киев,
1953, стр. 7 и комментарии А. А. Киселева, там же, стр. 203.
7*
100
II. Я. ДЕПМкН
17.1.1892. Сделал сообщение, напечатанное в Comptes Rendus
114(1892, 109—112: «По поводу заметки А. Пуанкаре «О распре-
делении простых чисел вида 4п + 1», напечатанной в Comptes rendus,
Paris, 14 октября 1891 г.».
„ Исходя из приближенных выражений некоторых сумм,
находщпхся в статье Mertens'a (Ein Beitrag zur analyti-
schen Zahlen-Theorie, CrcIIe's Journal, t. 78), и применяя
к ним следующие две формулы:
X X
F(x)f'(x)dx =
-Pi Pj
И
S/(P) x
Pl Pl
докладчик доказал обе теоремы Пуанкаре, а также сле-
дующие более общие теоремы:
1) Число простых чисел впда кп + l, меньших х,
оесчисленное множество раз меньше —пп—, если а > 1,
1 4>Wlgx'
, г- ох _ .
и оесчислеппое множество раз оолыпе - ,—, если а < 1.
‘ <Р (Ч 1g *
Здесь Ли/ — взаимно-простые числа, а <р (к) обозна-
чает число чисел, простых с к и меныпнх к.
2) Сумма логарифмов простых чисел впда кп +1, мень-
_ ох .
шихх, бесчисленное множество раз меньше—гл .если а > 1,
1 <р(Л) "
и бесчисленное множество раз больше , если а < 1."
1 <Р(*)
В дальнейшем В. И. Станевич, который после револю-
ции работал в Виленском университете, продолжал исследо-
вания о простых числах вида 4 и -f-1 и 4 п — 1 (Сборник
Пн-та инж. путей сообщ., 50, 1899, стр. 433—439). Его рабо-
ты смыкаются с исследованиями II. II. Иванова. По-
дробное рассмотрение тех и других работ содержится
в обзоре II. Д. Беспамятных (Ученые заппскп Гродненско-
го Гос. пед. ин-та, 2,1957). См. также статью Л. О. Гельфон-
да о постулате Бертрана в I томе «Полного собрания
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
101
сочинении» П. Л. Чебышева, стр. 28G—287. Стапевнч
занимался еще асимптотическими формулами, сделав док-
лад на эту тему на VIII съезде русских естествоиспытателем
и врачей.
Член общества П. М. II о в и к о в сделал 1G.3.1892 г.
сообщение «О папвыгоднейшем числе проб при решении
трансцендентных уравнений п уравнений высших степе-
ней». Докладчик показывает, что наибольшее количество
проб S, которые могут потребоваться для достаточного
сближения границ, между которыми заключается корень,
будет наименьшим при условии, если последовательные
промежутки делятся на одно и то же число частей. Если
при десятичном и двоичном делении промежутков обозна-
чить количество проб соответственно через 5]0 н S2, то
>1,62, так что двоичная система испытаний прпблнзн-
•’ 2
тельио в 8/5 раза выгоднее десятичной. Начиная с 1885 г.,
П. М. Новиков сделал в Педагогическом музее военных
учебных заведений («Соляной Городок») около 20 сооб-
щений. Из них заслуживает особого внимания доклад
1897 г., в котором резко критиковались взгляды В. Я. Цнн-
гера и П. А. Некрасова г) на геометрию Лобачевского 2).
Новиков вскрыл идеалистическую подоплеку возражений
Цппгера, который, по словам Новикова, «выдает истинную
причину того, почему он так горячо восстает против новых
воззрений на основания геометрии. Очевидно, он опасает-
ся, что сомнение в приложимости аксиомы о параллельных
*) Василий Яковлевич Ц и н г е р (1836—1907)— профессор
Московского университета, доктор математики и почетный доктор
ботаники. Речь в дальнейшем идет о докладе В. Я. Цингера па IX
съезде естествоиспытателей и врачей в Москве в 1894 г. «Недоразу-
мения во взглядах па основания геометрии», послушать который
явится и Л. Н. Толстой. Доклад Цингера был напечатан в «Мате-
матическом сборнике» и в журнале «Вопросы философии и психоло-
гии» в 1894 г.
Павел Атексеевпч Некрасов (1853—1924)— профессор
и ректор Московского университета, позднее попечитель Москов-
ского учебного округа (с 1898 г.) и члеп совета при министре народ-
ного просвещения (с 1905 г.), крайний реакционер в политике и
науке.
а) См. Краткий обзор деятельности Педагогического музея
за 1897—1898 гг. (28-й обзор), СПб., 1899.
102
и. я. депман
к действительному миру и признание необходимости
доказать эту приложимость ссылкой на опыт может поко-
лебать веру в «духовное бытие». Острие полемики Нови-
кова было обращено против Некрасова, который, зани-
мая влиятельные посты, пропагандировал взгляды Цниге-
ра в споей, рекомендованной для школ, кппге «Прило-
жения алгебры к геометрии» (М., 1896). В ней, с
ссылкой на речь Цингера, утверждалось, что «отвлечен-
ные геометрические системы нисколько не поколебали
старых [каптнанских — И. Д.\ устоев оснований гео-
метрии». По мнению Некрасова, «совершенная логич-
ность и тем не менее недопускаемость неевклидовой геомет-
рии является новым доказательством против эмпириков».
Большая часть доклада Новикова была посвящена
опровержению глаппого выпада Цингера против Лобачев-
ского, именно, обвинения последнего в порочном круге,
якобы допущенном им при попытке «опытного определе-
ния действительного пространства».
Веньямпп Федорович Каган (1869—1953) сделал
22.1.1896 сообщение «О некоторых неприводимых полино-
мах») (обобщение теоремы Шенемана).
Приват-доцент Московского университета Анатолий
Иванович Богуславский 17.3.1896 сделал сообще-
ние «Понятие о количестве, как основание рациональной
механики (введение к курсу алгебры плоскости и про-
странства)». Сообщение является сводкою работы доклад-
чика «Алгебра плоскости и пространства» (Математиче-
ский сборник, т. 14—16, 1888—1891; работа вышла так-
же отдельным изданием, М., 1891).
Сообщение «О разложении рациональной дроби» сде-
лал 15.1.1897 профессор Новороссийского университета
Владимир Васильевич П р е о б р а ж е и с к и й (1846—
1905).
19.2.1897 с сообщением на тему «О способе Греффе для
численного решения уравнений» в обществе выступил
Алексей Николаевич Крылов (1863—1954).
Николай Максимович Гюнтер (1871—1941) при-
надлежал к молодому поколению члепов Общества. Он
окончил Петербургский университет в 1894 г. и первую,
магистерскую, диссертацию защитил в 1904 г.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
103
Подробная оценка работ Н. М. Гюнтера по математи-
ческой физике дана академиками В. II. Смирновым и
С. Л. Соболевым в «Ученых записках Ленинградского
университета», серия математических наук, вып. 15. Тут
?ке приведен список 138 работ II. М. Гюнтера.
В Обществе И. М. Гюнтер сделал сообщение 17.3.1899 г. *06
интегрировании уравнений 2-го порядка в гипергеометрическнх
функциях*. Работа Гюнтера под таким заглавием напечатана в том <ье
году в «Сборнике Института инжене-
ров путей сообщения», вып. 50, стр.
305—342.
7
Среди членов СПб. матема-
тического общества было 13 жен-
щин: Н. II. Акимова, Е. О. Борт-
кевич, В. П. Теплякова,
М. Л. Бропская, М. В. Шилова,
Л. Н. Запольская, Е. Ф. Лит-
винова, А. Д. Львова, Е. А. Мак-
симова, О. С. Ростовцева,
А. П. Стебппцкая, В. И. Шифф,
В. В. Щпглева.
Большинство из них — астро-
номы-вычислители Пулковской
обсерватории. Их, очевидно, во-
h. М. Гюнтер
(1871 — 1941).
влек в Общество акад. О. А. Баклунд, директор обсерва-
тории и профессор теоретической астрономии и небесной
механики па ВЖК.
Сообщим имеющиеся у нас сведения о некоторых из перечислен-
ных женщин-математиков.
Броиская Марианна Людвиговна окончила в 1893 г.
Физико-математическое отделение ВЖК (IX выпуск). Макси-
мова Евгения Александровна (IX выпуск ВЖК, 1893 г.).
Стебпицкая Александра Иеропимовпа (IX выпуск ВЖК,
1893 г.). Ж и л о в а Мария Васильевна (X выпуск ВЖК, 1894г.).
Все четверо из Пулковской обсерватории.
Литвинова Елизавета Федоровна (1845—1922 (?)) окон-
чила университет в Цюрихе и защитила диссертацию ♦Реше-
ние одной задачи отображения» па степень доктора философии
в Бернском университете. Вернувшись в Петербург, Е. Ф. Лит-
винова преподавала в гимназии Оболенской, где у нее училась
10’.
И. Я. ДЕПЫАН
II. К. Крупская, давшая ее преподаванию очепь высокую
оценку ).
Е. Ф. Литвинова проявила очень разностороннюю литературную
деятельность. П.з математических ее трудов отметим следующие:
Li twinowa-I waschkina , Elisab. v. Losung einer
Abbildungsaulgabe, Inaugural Dissertation, St .Peteisbuig, 1879
(Диссертация).
«К логике математических паук», Педагогический сборник,
1885, № 4.
«О влиянии точных наук на образование слога», там же, 1890,
№ 9; 1891, № 1, 2, 4, 5, 9.
♦Взгляд Лобачевского на преподавание элементарной матема-
тики*. там же, 1895, № 4.
«Из области высшей арифметики», там же, 1896, Л'. 1, 3, 7, 11:
1897, № 6.
В серии биографий в издании Павленкова Е. Ф. Литвинова на-
писала биографии С. В. Ковалевской (с которой опа была близко
знакома в Швейцарии), В. Я. Струве, II. II. Лобачевского, Эйлера,
Лапласа, Даламбера. Копдорсэ п ряда других лиц. Еще в 1914 г.
Е. Ф. Литвинова напечатала биографию Лапласа в издательстве
«Сотрудничество»* 2).
Появившиеся в печати биографические сведения о Литвиновой
(по мужу Ивашкиной) сбивчивы. По рассказам преподавательницы
математики Л. Д. Бронниковой, знавшей ее, Литвинова ра-
ботала в Петрограде до 1918 г., «затем уехала в г. Курмыш к сестре;
после смерти сестры жила в богадельне, где п скончалась в 1921 или
1922 г. (Уезжая,.'! нтвнпова оставила ряд рукописей.по они утрачены.)
Запольская Любовь Николаевна (1871—1943) окончила
В7КК в Петербурге в 1894 г., потом училась в Гёттингене, где под
руководством Д. Гпльберта написала диссертацию «Ober die Theorie
der relativ-Abelsclien Zahlkiirper» (Гёттинген, 1902, около 500 стра-
ниц); объем работы вызывал удивление в Германии, где докторские
диссертации редко имеют объем, превышающий 20—30 страниц;
диссертация Л. И. Запольской была защищена и ей присуждена
степень доктора философии по разряду «чистая математика* ’).
L) См. II. А. Константинов, Раннее детство и юность
Н. К. Крупской. «Советскаяпедагогика», 1945, № 1—2; Н. К. К р у п-
с к а я. Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 263.
2) О Е. Ф. Литвиновой имеется статья Л. II. Грацианской
в журнале «Математика в школе», 1953, № 4.
’) В жизнеописании, приложенном к диссертации, Л. П. За-
польская среди своих учителей упоминает с благодарностью:
Н. II. Билибина, В. Г. Имшенецкого, И. В. Мещерского, В. II.
Шифф и Д. Ф. Селиванова в Петербурге и Гильберта, Клейна, Фох-
та, Шура, Шёпфлпсса, Ринке и Бурхгарда в Германии. Следует
отметить, что Д. Гпльберт руководил занятиями ряда русских жен-
щин. В одпн и тот же год с Л. Н. Запольской у Гпльберта защитила
диссертацию по вариационному исчислению на степень доктора На-
дежда Николаевна Г е р и е т (1877—1943), впоследствии профес-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО
105
Л. Н. Запольская защитила в Московском университете дис-
сертацию па степень магистра математики. Диссертацией служила
работа «Теория алгебраических областей рациональности, образую-
щихся при решении уравнении 3-й степени», Москва, 1905.
С 1903 но 1919 г. Запольская читала математику на Московских
высших женских курсах, с 1919 по 1923 г.— в Рязанском Институте
народного образования. С 1923 по 1925 г. опа состояла профессором
Саратовского университета, с 1925 по 1930 г.— Ярославского педа-
гогического института, в 1930 г. стала профессором Кубанского
педагогического института.
Софья Васильевна Ковалевская, скончавшая-
ся 10 февраля 1891 г., не успела вступить в члены СПб.
математического общества. Па заседании Общества 15 фев-
раля 1891 г. председатель сообщил собранию о потере,
которую наука понесла в лице члена-корреспондента
Петербургской Академики паук, профессора Стокгольм-
ского университета С. В. Ковалевской. Собрание почтило
память скончавшейся вставанием. Отметим, что членом
СПб. математического общества состоял брат С. В. Кова-
левской — Федор Васильевич Корвпи-Круковский.
В письме, написанном 6.8.1950, дочь С. В. Ковалев-
ской — Софья Владимировна — незадолго до кончины
(1952) сообщила автору настоящего очерка, чтоФ. В. Кор-
вин-Круковский работал в Петербурге корректором в
каком-то издательстве.
8
Среди членов СПб. математического общества имелись любители
математики, преподаватели средней школы, а также специалисты
по другим дисциплинам. Отметим тех, которые выступали в нем
с сообщениями. Так, например, Михаил Захарович Образцов,
преподаватель гимназии К. Мая, делает сообщение «О приведении
ультраэллнптических дифференциалов к эллиптическим».
Членом СПб. математического общества состоял учптель сред
ней школы Александр Дмитриевич Дмитриев * *) (1820—1899),
сор в Ленинграде. В 1906 г. защитила диссертацию по интегральным
уравнениям окончившая Петербургские В/1»Н Вера Евгеньевна
Л ебедева (рожд. 1881); с 1910 г. она профессор университета
в Яссах. Недавно В. Е. Лебедева (по мужу Миллер) получила госу-
дарственную премию Румынской Народной Республики.
*) Старший учитель математики в Морском кадетском корпусе
и долголетний инспектор VII гимназии, позднее преобразованной
в реальное училище.
106
И. Я. ДЕПМАН
автор ряда учебных пособий для школы и сотрудник П. Л. Чебышева
по ученому комитету Министерства народного просвещения.
Другои автор учебников Александр Васильевич . М у р о м ц е в
(1846—?) также быт членом Общества, равно как учитель Василий
Федорович Г а р т ц (о нем была речь выше). Членом Общества
состоял профессор Павел Семенович Селезнев (1864—1925),
напечатавший позднее две статьи об оспованиях геометрии в «Из-
вестиях Петербургского технологического института». О сообще-
ниях членов Общества П. М. Новикова и П. С. Аладова, не бывших
профессиональными научными работниками, мы уже говорили.
Перечислим здесь членов Общества, являвшихся кратковремен-
ными участниками в его работе.
17.12. 1897 Р. М. Кревер1) делает сообщение «К общей
теории алгебраических уравнений», а 15.4.1892 о некоторых инте-
грал ьных тождествах док адывал член общества Люциан Юлиано-
вич М а т к е в и ч (ум. 1909), учитель гимназии Келлера в Петер-
бурге; его как своего учи: ля тепло вспоминает другой член Об-
щества геодезист Василий Васильевич В и т к о в с к и й (1856—
1924) в своих мемуарах («Пережитое», 3 выпуска, Ленинград,
1927—1930). Членом Общества состоял Дмитрий Дмитриевич
Ефремов (1859—1912) — автор большого числа статей в «Вест-
нике опытной физики и элементарной математики» но геометрии
треугольника (1896—1900) и геометрической теории кватернионов
(№ 349—352 в 1903 г.) и цепнон большой кипгп «Новая геометрия
треугольника» (Одесса, 1902, 340 стр.). Членами Общества состояли
еще: астроном Александр Маркеловпч Жданов (1858—1914),
впоследствии профессор и ректор Петербургского университета и по-
печитель Московского учебного округа, автор курса сферической
тригонометрии; астроном А. Д. П у т я т а, сделавший в обществе
сообщение «Замечания относительно формул, выражающих соот-
ношение между радиусами кривизны нормальных сечений поверх-
ности», в котором были получены мнемонические формулы
для суммы и произведения кривизн нормальных сечеипй. Николай
Александрович Булгаков (1867—1936), впоследствии профес-
сор физики в Петербургском университете, автор нескольких
математических трудов по теории шаровых функций, о кольцевых
функциях и др., сделал сообщение «О распространении электриче-
ских колебаний вдоль проволоки, окруженной кристаллическим
диэлектриком», являющееся чисто математическим (широкое при-
менение бесселевых функций).
Приведенные факты, которые можно было бы дополнить, сви-
детельствуют, что Петербургское математическое общество объеди-
няло весьма широкие круги любителей математических паук.
*) Воспитанник Петербургского университета, в котором в
1860/61 учебном году получил серебряную медаль за работу «Об
определенных интегралах».
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРДУ
ЭЙЛЕРА ПО ДИОФАНТОВУ АНАЛИЗУ
Г. II. Латвиевская
Попытки исследоваппя архива Эклера предпринима-
лись еще в XIX в. В 1843 г. правнуком Эйлера II. Н. «Ру-
сом была опубликована переписка ряда ученых XVIII в.
«Correspondance mathematique et physique de quelques
celebres geometres du XVIII fme siecle». Здесь в письмах
самого Эйлера п в письмах к нему трактуются различные
математические проблемы, причем мпого внимания уделено
теории чисел. Особый интерес в этом отношении представ-
ляет переписка с X. Гольдбахом (1690—1764), охватыва-
ющая периоде 1729 по 1764 г. и содержащая 177 писем1).
В 1844 г. в архиве Эйлера П. II. Фус обнаружил большое
число (61) неопубликованных рукописен Эйлера, считав-
шихся копиями уже напечатанных работ п потому не рас-
сматривавшихся ранее. На деле они оказались до тех пор
неизвестными работами из разных областей механики и
математики 2). Восемь работ по теории чисел вошли затем
в двухтомник «Commentationes arithmelicae collectae».
В 1862 г. Академия паук выпустила отдельным изда-
нием работы Эйлера, обнаруженные П. II. Фусом в 1844 г.:
«Leonhardi Euleri opera postuma mathematica et physica
anno 1844 dctecta». Сюда вошли, кроме уже опублпковаи-
*) Последнее письмо Эйлера к Гольдбаху, не вошедшее в это
издание, обнаружено в 19JA г. А. П. Юшкевичем. См. «Историке-1 .
математические исследование*, вып. VII, 1954, стр. 625. vnt.
2) Список этих рукотшеей приводится в предисловии L
П. Н. Фуса к Comm, aritlim. coll., 1849, т. I, X—XI. (V
108
Г. П. МЛТВИЕВСКАЯ
пых в «Commentationes» мемуаров, также выдержки
теоретико-числового содержания из трех больших томов
математических записей, сделанных учениками Эйлера
под его диктовку в течение второго петербургского пе-
риода его жизни (1766—1783), т. е. в период полной
слепоты.
После этого исследование архива Эйлера приостанови-
лось. Интерес к такому исследованию возродился лишь
в XX в., когда в Швейцарии началась подготовка к изда-
нию полного собрания сочинений Эйлера. На общем собра-
нии Академии 2 мая 1909 г. по предложению академиков
О. Л. Баклупда и II. Я.Сонина была избрана комиссия
«для рассмотрения подлежащего передаче в эйлеровскую
комиссию материала, хранящегося в Архиве Академии
и касающегося ученой деятельности Эйлера» *). Работа по
изучению и приведению в порядок рукописей Эйлера была
проделана в течение 1910 г. В декабре того же года все
материалы архива вместе с их описью, составленной
Б. Л. Модзалевскпм2), были отосланы в Цюрих в библио-
теку Союзного политехникума для Швейцарского общества
естествоиспытателей «с обязательством возвратить их
в определенное время»3 4). Псс юдовапием отправленных
материалов занялся Г. Эпестрем (1852—1923), автор списка
трудов Эйлера*), явившегося, по отзыву редактора Opera
omnia Ф. Рудпо, хребтом всего издания5). О полученных
результатах Эпестрем сделал доклад эйлеровской комиссии
в 1913 г.5).
*) Известия Пмп. Акад, наук, серия VI, т. III, 1909, Л» 14,
929—930.
*) Б. Л. Модзалевски н. Перечень рукописен Эйлера,
хранящихся в Архиве конференции Пмп. Акад, наук, 1910 (па пра-
вах рукописи).
•) Обозрение архпвпых материалов, вып. 1 (Архив АП СССР),
Л., 1933, стр. 73—74. F. Rudio, С. Schroter, Die Euleraus-
gabe, Vierteljahresschrift d. Naturforsch. Gesellschaft in Zurich,
X 55.
4) G. E n e s t г 6 m, Verzeichnis der Schriften L. Eulers, Jah-
resbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. der Erganzungs-
bande IV Band, 1—2, Lieferung, Leipzig, 1910—1913.
») F. Bud i o, Vorwort zur Gesammtausgabe der Werke von
Leonhard Euler, Opera omnia, I,.
•) Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Ver., Leipzig, 1913,191—205.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 109
Прежде всего он выделил рукописи Э11лера, относящие-
ся к уже опубликованным работам, пе проводя, однако,
ио его словам, точного сравнения их с соответствующими
печатными изданиями.
Далее Эпестрем отсеял материалы, пе принадлежащие
Эйлеру, и классифицировал остальные. Результаты своего
обзора он представил в виде сводной таблицы и списка
ненапечатанных рукописей. Одпако при этом Эпестрем
отмечает необходимость подробного изучения материа-
лов архива.
При издании полного собрания сочинений из архивных
документов были использованы только рукописи напеча-
танных работ, и изучение архива Эйлера оставалось
настоятельно необходимым для воссоздания возможно более
полной картины его творчества. Поэтому после возвраще-
ния в 1949 г. материалов архива в Академию наук СССР
они привлекли к себе внимание большого коллектива уче-
ных, который предпринял глубокое исследование этих
материалов. Такая работа потребовала значительного
времени, и она продолжается до сих пор.
Следует специально указать па то, что всего около 30 лет
назад, т. е. уже после пересылки архива Эйлера в Цюрих,
п рукописном отделе библиотеки Академии наук СССР
были обнаружены четыре беспорядочно переплетенных
тома, содержащих рукописи Эйлера1). Эти рукописи пред-
ставляют чрезвычайно интересный материал, оставшийся
неизвестным издателям Opera omnia2).
В пашу задачу входило изучение рукописей Эйле-
ра из Архива Академии наук, относящихся к теории
чисел.
В данной статье излагаются результаты этой работы
в той части, которая касается большого раздела теории
чисел — диофантова анализа.
*) Архив АН СССР, фонд 136, опись I, № 155—158.
*) См. стенограмму доклада, прочитанного акад. В. И.Смнрно-
вым 16/1V 1957 г. па юбилейной сессии АН СССР, посвященной 250-
летпю со дня рожден ня Эйлера, а также статью Г. К. Михайлова
И л Смирнова «Неопубликованные материалы Леопарда Эйлера
«Архиве Академии паук СССР» в сборнике «Леопард Эйлер», М.,
Д Ct/fft44|3
j (О Г-^Л^МАТВНВВСКАЯ
Диофантов анализ, или теория неопределенных урав-
нении, изучает решения (в целых или рациональных числах)
алгебраических уравнений или систем уравнений, Причем;
число неизвестных превосходит число уравнений. Свое
начало, как и свое название, эта теория ведет от Диофанта,
который посвятил ей значительную часть трактата «Ариф-
метика» н изучил некоторые простейшие виды неопределен-
ных уравнений. Однако содержание понятия «диофантов
анализ» не оставалось неизменным на протяжении исто-
рии развития науки. Сам Диофант искал лишь положи-
тельные рациональные решения и допускал недостаточную
их общность (удовлетворяясь отдельным численным реше-
нием); к XVII в. появилось требование решения неопре-
деленных уравнений в целых числах, что значительно
усложнило задачу и вызвало к жизни ряд новых проблем
и теоретико-числовых методов. В своем развитии теория
диофантовых уравнений привела с созданию новых ветвей
математики; отсюда ведут свое начало алгебраическая
теория чисел, теория квадратичных форм и другие направ-
ления, в которых находят применение результаты и мето-
ды диофантова анализа. Кроме этого теоретического
применения, теория неопределенных уравнений имеет
некоторые приложения и в практических областях науки,
например в физике.
В следующий за Диофаптом период добились интерес-
ных результатов в области неопределенных уравнений
мидийские математики, которые, обладая более усовер-
шенствованной по сравнению с Диофантом символикой,
уже умели решать уравнения и системы в целых числах
и владели, например, методом решения уравнения Пелля.
Большой вклад в диофантов анализ внесли ученые Средне-
го и Ближнего Востока. Следует назвать китайских матема-
тиков, которым принадлежит первенство в достижении
некоторых результатов (решение неопределенных уравне-
нии 1-й степени, магические квадраты). В эпоху средне-
вековья отдельные ученые (Леонардо Пизанский, XIII в.;
Региомонтап, XV в. п др.) занимались наряду с другими
вопросами и неопределенными уравнениями. Однако бы-
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДл ЭЙЛЕРА 111
строе развитие теории чисел и, в частности, диофантова
анализа начинается в XVI в., когда издания сочинений
Диофанта пробудили в Европе интерес к арифметиче-
ским исследованиям. Член Французской Академии паук
Ваше де Мезпрпак (1587—1638) в своих примечаниях
к изданию Диофанта завершил общую теорию неопределен-
ных уравнений 1-й степени; он потребовал значительно
большей общности в решении уравнений и, главное,
выделил вопрос о решении неопределенных уравнений
в целых числах.
В XVII—XVIII вв. в области теории чисел работают
и получают важные п интересные результаты как выда-
ющиеся математики (Ферма, Декарт, Паскаль, Валлис,
Лейбниц, Эйлер), так и ряд ученых, известных только
своими арифметическими исследованиями (Фрепикль
де Бесси, Мерсепи, Жак де Билли, Христиан Гольдбах).
Наиболее замечательных результатов достиг 'ретпкпп
французский ученый Пьер Ферма, после которого теория
чисел приобрела черты подлинной науки. Вопросы дио-
фантова анализа в трудах «Верма занимают лрезвичайно CN*' НЬ
большое место. Изучая Диофанта, он поставил новые
задачи, подобные задачам греческого математика, но
значительно более сложные. В своих письмах и оставшихся
неопубликованными при его жизни заметках он предло-
жил, не приводя доказательства, ряд теорем, что дало
стимул к занятиям диофантовым анализом как его совре-
менникам, так и математикам Ьяех! поздпейших времен.
Однако как пи велики заслуги Ферма в развитии тео-
рии чисел, творцом этой науки является Леонард Эйлер.
Теория степенных, в частности, квадратичных, вычетов,
теория делимости, аддитивная и аналитическая теория
чисел, начадо теории квадратичных форм,— основы всех
этих разделов теории чисел были созданы в работах
Эйлера._______________g i. _______ '
Особенный интерес Эйлер проявил к диофантовым
уравненияйу неизменно возвращаясь к ним на протяжении
всей своей "научной деятельности. Интерес этот можно
наблюдать в многолетней переписке Эйлера с Гольдбахом,
где почти в каждом письме-обсуждаются такого рода вопро-
сы. О нем свидетельствует и то, что почти треть своей
112
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
«АлгебрыТ^Эйлер
посвятил неопределенным уравнениям,
которые яв1яются предметом второй части сочинения,
наиболее интересной по содержанию. Об этом же, наконец,
говорят почти 50 йомуа^оц Эйлера, где решаются пробле-
мы анализа Диофанта. Такое внимание объясняется,
в частности, существованием многочисленных приложе-
ний диофаптова анализа к задачам неопределенного
интегрирования, что широко использовалось Эйлером в р з-
работке вопросов интегрального исчисления. Работы Эйле-
ра дали чрезвычайно много дтя развития теории неопре-
деленных уравнений. Результаты, полученные в этом
направлении в трудах Лагранжа, Коши, Гаусса и более
поздних математиков, можно смело считать возникшими
на почве, подготов шиной Эйлером.
Круг вопросов диофантова анализа, затронутых Эйле-
ром, необыкновенно широк. В «Алгебре» изложены основы
теории неопределенных уравнений. Впоследствии (1774)
к «Алгебре» были присоединены примечания Лагранжа,
и в таком виде эта работа сыграла большую роль в распро-
странении интереса к диофантовым уравнениям. В «Ал-
гебре» Эйлера дана теория уравнений 1-й степени, решают-
ся уравнения 2-й, 3-й и 4-й степени, а кроме того, доказана
великая теорема Ферма для случая п = 3. В ^иаде| дрл гпх
ттДрсгв Эитер решает общее уравнение 2-й степени
ах2-]-bxy-}-су2-[-dx-{-eyи рассматривает его частные
случаи. Так, решение неопределенного уравнения пх2-|-
-|-fcx-|-c=j/2сводится им к решению так называемого урав-
нения Пелля: ах2 -|-l=j/2, где а=/= квадрату. Это уравнение
решается методом разложения | а в непрерывную дробь
и находится связь решения с периодичностью этой дроби.
Кроме того, Эйлер дал таблицу наименьших решений
уравнения Пелля для всех а < 100 (а =# квадрату) и а =
= 103, 109, 113, 157, 367. Много внимания уделил Эйлер
доказательству теоремы Баше о представимости всякого
натурального числа в виде суммы не более чем четырех
квадратов ,1м—доказал ее. (ннрнд с_Лаграттжем)» Часто
Эйлер обращался к задачам диофантова анализа, постав-
*) Vollstaudige Anleitung zur Algebra, St. Pet., 1770 (2 части).
В дальнейшем в целях сокращения цит. просто: «Алгебра».
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 113
лепным в геометрической форме,— задачам о треуголь-
никах, элементы которых находятся в определенной свя-
зи. Среди них заслуживает внимания задача о нахожде-
нии целочисленного прямоугольного треугольника, у кото-
рого как оу мма катетов, так и гипотенуза являются квад-
ратами; опа была поставлена Ферма и явилась обобщением
теоремы Пифагора.
Эйлер в свою очередь обобщил ее на случай многих
чисел:
a:-f-?/-f-z-f-... =w2, x2-f-?/2-f-z2 + ... = v*
Нередко мы сталкиваемся в «иомуарах .Эйлера и с про-
блемами, касающимися так называемых многоугольных
чисел: здесь наряду с задачами, поставленными пред-
шественниками Эйлера, им выдвигаются и решаются но-
вые вопросы. Например, к этому разделу относится до-
ха-{-- х
казательство теоремы: треугольное число —— ни при
каких значениях, кроме а:=0, х=1, не может быть ни
кубом, ни биквадратом; или решение задачи: найти тре
угольное число, равное квадрату. Как уже упомянуто,
Эйлер доказал великую теорему Ферма для случая n=3; п
ему же принадлежит доказательство и для случая n=4.
Можно также упомянуть доказательство невозможности * '
решения уравнения л^-|-1={/2 ни в целых, пи в рациональ-
ных числах (кроме случаев а:=0, х=2). Помимо пере
численных результатов, Эйлеру принадлежит решение
огромного числа неопределенных уравнений 2-й, 3-й,
4-й степени. Нрп этом им применяются разнообразные
методы, папрнмер, широко используется так называемый Г
«метод сиуска»^введеппып в теорию чисел Ферма; |шюрЭ
fBiret в работах Эйлера ^гпЯ1СТЯсто| метод |грИ?Ш ГТПий Хл
непрерывных дробей рк решению задач диофантова / .
анализа. ь a
Неопубликованный фукоппсп . V рхнва-A+f- €€C1f. в ко
торых Эйлер рассматривает вопросы диофантова анализа,
распределяются по двум разделам: первый из них объеди-
няет заметки из недавно обнаруженных четырех томов
рукописей, второй включает записи но диофантову
анализу- в записных книжках Эйлера.
® Истор.-матем. исслед., вып. XIII

И
114
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
ВОПРОСЫ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА В ЧЕТЫРЕХ
ОБН М’УЖЕЦПЫХ В АРХИВЕ ТОМАХ
Материалы по теории чисел находятся главным обра-
зом в последнем из указанных томов (№ 158), рукописи
которого трактуют только вопросы анализа Диофанта
и могут быть естественно подразделены на следующие
три группы: 1) закопченные фрагменты, ранее не опубли-
кованные; 11) законченные фрагменты, относящиеся к опу-
бликованным работам Эйлера; III) незаконченные отрывки.
Наибольший интерес представляют рукописи первой груп-
пы, и поэтому они будут рассмотрены наиболее подробно.
1. Законченные фрагменты, ранее не опубликованные
В этой группе насчитывается девять отдельных отрыв-
ков различного объема. Прежде всего обращают па себя
внимание два больших фрагмента,
I. Первый законченный отрывок (л. 27—30 об.) отно-
сится к решению задачи: «найти треугольное число,
которое, будучи увеличено на данную величину, становится
квадратом целого числа». Если корень искомого треуголь-
ного числа есть а п данная величина d, то условие задачи
выражается следующим образом: ° <7 = Ь2; отсюда
—IzH 88»—8</-4-1
корень треугольного числа имеет вид а= ———•
Решение поставленной задачи проводится постепенно
(отдельно для частного случая <7=0 и отдельно для обще-
го случая). Изложение несистематично: весь фрагмент
распадается на четыре части.
1) Прежде всего Эйлер рассматривает случай <7—0
(т. е. задача может быть сформулирована проще: найти
треугольное число, которое в то же время есть квадрат).
В этом виде задача встречается в опубликованных статьях
ЭйлераГ «Пе solution? problematum Diophanteorum per
numeros inlegros-*^ «Regula facilis problemala Diophan-
’) Comm, drithm. coll., I, 4—10, E29; Op. omn., Is, 6—11^
Буква 1. означает ссылку на указатель сочинений Эйлера, состав-
ленный Энестремом. См. сноску *) на стр. 108.
9 9 Ё 73“
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА Ц5
ttorumTnT^mtteftt&4ulegm5-cxprrdttrriTSotveTidi*?-J- обеих
статьях задача приводится в качестве примера, иллюстри-
руя собой общие методы, изложенные в указанных рабо-
тах. В рассматриваемой же рукописи метод решения,приме-
няющийся также и в случаев =/= 0,совершенно оригинален.
При d 0 корень искомого треугольного числа имеет
вид
— (1)
Для уничтожения иррациональности в выражении для а ।
Эйлер применяет метод, называемый нм методом Пелля.
Сначала полагается I
1 8624- 1 = 26 4-е, (2)
откуда
462 = 4Ьс 4- с1 — 1 (3)
и, следовательно, 26 > 2с. Затем Эйлер полагает
Ь = с + е (4)
и значение для 6 подставляет в (2). Отсюда с*=4се 0е24~1
и, наконец,
с = 2е+/8е2+1. (5)
Вводится в рассмотрение некоторое треугольное число,
для которого предполагается, что корень его I и оно рав-
но квадрату числа е, т. е. —= е , тогда
-14 /8^+1
I- 2
Пользуясь выражениями (2), (4), (5), можно получить
искомые величины а и 6 в впде
д=-1+8е-3 1 8е«+1, =
или, выражая е через t,
о = 14~ 3/ -f- 4 | , 6 = 1 4- It 4 i | .
Coirrm. aTithm.coll., 11,283—269-Е739; Op. onm.,1,, 406= П7.
8*
116
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
Таким образом, может быть сделал вывод: еслп треуголь-
ное число, корень которого есть t, является квадратом,
то квадратом будет и треугольное число, корень которого
есть ___
1 +3Z + 4 j/Ц^-
Подставляя последнее в выражение для а и используя
формулу для Ь, получаем следующее выражение: 8 4-
4-17 t -f- 24 —5— , которое связано с 1 4- 3* + 4 |/ —%—
только что указанной зависимостью. Продолжая таким
образом далее и используя получающиеся последовательно
выражения для ап и Ьп, приходим к ряду
t- 14-3*4-4 84-17*4-24 ^/^;
49 4- 99* 4-140 |/—л т. д.,
для членов которого верно утверждение: если треугольное
число, корень которого есть ап_г, является квадратом, то
квадратом будет и треугольное число, корень которого
есть ап. Для образования членов ап этого ряда дается
следующая рекуррентная формула *): ап = 2 4- 6«п-! — яп-2-
Отсюда получен численный ряд корней треуголь-
ных чисел, удовлетворяющих условию задачи: а = 0, 1,
8, 46, 288, 1681 и т. д., а также ряд соответствующих
им корней квадратных: fc = 0, 1, 6, 35, 204, 1189 и т. д.
Этот результат приводится и в обеих упомянутых выше
статьях.
2) Далее Эйлер переходит к общему случаю, когда
d #= 0 и
а = —14-К8*>«—8<*4-1
Применяя опять «метод Пелля», аналогично предыдущему,
Эйлер вводит в рассмотрение величину е, квадрат кото-
>) Она вытекает из получаемых при решении выражений:
Оц_1= 14*3an_f4-46n-t; ^n-i= i 4"2®n-i-|-3fcn_»;
Оц= 1 +3an-i-b4bn_1; *’n= 14-2an_1-|-3bn_i.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 117
рой равен некоторому треугольному числу +</, при-
чем е, t связаны с исходными величинами а и b зависи-
мостью, аналогичной предыдущему случаю. Как и прежде,
он выражает а и b через е, а затем через t, получая
окончательно:
1 । ч/ 1 z । f t*+t+2d . ; . । -tf i о I f t2+z+2rf
a = 1 + oi-f-1 I/ -2-----’ 0 = 1+“I + o|/ ---5---.
(6)
После этого, как и раньше, получается рекуррентный ряд
для а и b и приводятся численные значения для частного
случая d = i.
3) В следующей части рукописи Эйлер возвращается
к первому случаю d = 0. Он приводит формулу общего
члена у полученного ранее ряда 0, 1, 6, 36, 204 и т. д.
(где Ц
(34-2/2)п * — (3—21 2)” 1
У =---------W~2----------
и общую формулу
_ (34-21 2)n-14-(3 —2К2)”’1—2
X- .
Эти формулы даются здесь без доказательства выве-
дены они полностью во второй упомянутой выше статье
и применены в ней для решения этой же задачи.
4) В последнем разделе статьи Эйлер выводит уже
полученные формулы (6) для случая d Ф 0 несколько
другим, более общим способом, ставя задачу: если выра-
жение а&24-рЬ4-у есть квадрат при b = х, найти все
значения Ь, при которых afc2-|-pb4-y будет также квад-
ратом.
Здесь дословно повторяются все рассуждения, встреча-
ющиеся в § 3 — 7 первой из названных статей, и те же выво-
ды: если аЬг 4- fib 4- у является квадратом в случае b = х, то
оно также будет квадратом в случае
b = -P+Pl/14-aX« + j j р-+ } -
118
Г. П. МАТВНЕВСКАЯ
3
где X выбирается так, чтобы 1 + аХ2 было квадратом,
т. е. X есть решение уравнения Нелля аХ2 + 1=р2.
Применяя этот результат к данной задаче, т. е. если
а = -^, p = y,y = d, Эйлер получает X = 4 u yf 1 + уХ2 =
= 3. 11 тогда: если выражение ——Ь« есть квадрат
в случае b = х, то оно будет квадратом и в случае Ь —
= 1 + 3x4-4 |Х* + d и при этом \f Ь + d — 1 +
г Л F Z
+ 2х + 3 + d. Таким образом потучается уже
найденный результат. Последним рассматривается слу-
чай, когда а в выражении аб2 + 06 + у равно квадрату.
Тогда возможно единственное решение в целых числах
ПРП Т = £-
Этой рукописи предшествуют замечания П. 11. Фуса
и копия, сделанная его рукой. Из замечаний видно, что
рукопись не была опубликована в 1849г., так как издатели
нашли- что по содержанию своему опа полностью повто-
ряет определенные части упомянутых выше опубликован-
ных мемуаров.
Однако это утверждение неверно, так как поставленная
задача была разрешена Эйлером в опубликованных ме-
муарах лишь для случая d=a2+a. Кроме того, в данном
фрагменте чрезвычайно интересен именно метод решения
(1-я и 2-я части рукописи), который в опубликованных
статьях но применяется. Время написания рукописи
(судя по почерку) можно ориентировочно определить, как
1736-1738 гг. '
II. Вторая рукопись (ji. 19—22 об.) представляет
собой отрывок неизвестной работы, в котором содержатся
17 параграфов (§ 32—48), посвященных исследованию тех
случаев, когда корень 3-й и 4-й степени из полинома
от х прп некоторых значениях х становится рациональным.
По содержанию своему этот фрагмент сходен с гл. X
(§ 147—161) второй части «Алгебры» Эйлера, но здесь
рассмотрен также ряд вопросов, которые в «Алгебре»
но затрагиваются.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА Ц9
Из первых слов § 32 можно заключить, что в отсутству-
ющей части статьи речь шла о приведении рациональных
выражений к квадрату и правилах этого приведения.
От этой части, очевидно, сохранился только один параграф,
именно § 32. В нем Эйлер упоминает особые случаи, кото-
рые, хотя и но подчинены какому-либо общему правилу
приведения, ио для которых это приведение не представ-
ляет трудностей. В качестве примера дается выражение
а24-6х-|- (^2асх1 -f--f- dx* 4 ex6,
становящееся квадратом при х = с . Действительно,
эта подстановка обращает данное выражение в следу-
ющее:
Г . Ь c*—d . с (с»—</)»-!»
В следующих параграфах Эйлер переходит к рас-
смотрению более сложных вопросов.
Так, §33 — 38«посвящепы приведению иррационально-
сти, содержащейся под злаком корня «к>бического».
Прежде всего ставится вопрос о приведении выра/ье-
ния ях24-6х-|-с к к>бу при различных значениях свобод-
ного члена (§ 33 и 34).
Сначала Эйлер рассматривает случай c = d3. On по-
лагает
ах3 4- Ьх 4- d3 = (d -f- ^)8.
Отсюда
, Ъ*х* . Ъ»х6
аХ ~ 3d» + 27d»
и, следовательно,
21 ad*— ММ*
х-------6» ‘
Приведение выражения ях24-6х4~с к кубу возможно
и при значении свободного члена
с = е8 — я/2.
4а 1 '
120
Г. П МАТВИЕВСКАЯ
Тогда, полагая
а г ———г,
у 6х + ^+е8-а/2 = ^,
МОЖНО ПОЛ}ЧИТЬ
ж2+*?+*1=?'^+/«
а Ма* а '
Следовательно,
’+s“|/2=^-
Если при этом у = е, то х = / — Исходя из этого, под-
. 1 ъ
становкои х = у + / — — приводим данное уравнение к пре-
• дыдущем) случаю.
Далее Эйлер переходит к приведению выражения
|/ад3-р bx2-^-cx-\ d и посвящает ему четыре параграфа.
Эта часть интересна тем, что она почти потпостью
повторяет содержание § 147 — 131 «Алгебры» и дока-
зывает тем самым связь рукописи с данным сочи-
нением. А именно, здесь излагается метод приведения
выражения ах3bx2-Y exd к кубх для значений: а = с3,
d = g3. Он был введен Ферма, и Эйлер в «Алгебре», как
и здесь, излагает существо этого метода.
В § 33 выражение } ал3 + bx2 +• сх 4- d рассматривает-
ся при значении а = е3. В «Алгебре» эта задача решена
в § 150. Эйлер полагает
Уе3х3 + bx2 -^cx-b-d = ех-^
отсюда
cx + d — ^ + —
Зе3 27е*
и окончательно
_ Ь«— 21 de*
Х~ 21се*—9Ъ2е*'
Эта величина, подставленная в подкоренное выражение,
дает
/ 9Ьсе* — 27de«— 26* Xs
27сг» —26М J •
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 121
В § 36 разобран второй сл}чай: d = e3. Здесь, полагая
J ах9 -t- bx2 сх + е9 = е + ,
Эйлер потучает:
ах3 + Ьх2 = — + —
+ °х Зе» + 27е» '
Отсюда
_ 9с»е» — 21Ье*
Х~ 27ае«—с» '
В «Алгебре» этому параграфу соответствует § 149.
§ 37 посвящен рассмотрению случая, когда как коэф-
фициент ври Xs, так и свободный член являются кубами,
т. е. а = е3, d = f9. В этом случае полагается
Уе3х3 -р Ьх2 сх + /3 = ех + /.
откуда
Ьх2 сх = Зе2/ 2 + 3ej*x и х = ^_3еу •
Таким образом, при а = е3, d = /3, кроме двух поле-
ченных в § 35 и 36 решений, имеет место еще и х =
3^/2____с
= • В «Алгебре» этот вопрос рассматривается
в §151!
В § 38 Эйлер говорит, что из этих трех правил ни
одно не будет выполнено, если и Ъ и с равны 0. В этих
случаях он предлагает опытным путем найти одно част-
ное решение, с помощью которого далее следует искать
дрхгие. Такого рода примеры Эйлер рассматривает
в § 152—159 второй части «Алгебры», применяя этот
метод, новый, по сравнению с предложенным Ферма.
В данном же фрагменте он ограничивается указанным
замечанием.
Кроме того, здесь он упоминает также другой особый
случай, когда подкоренное выражение делится на квад-
рат. Тогда полагается
1 (х + а)2 (Ьх + с) = (х + а) у,
откуда
Ьх + с = ху9 -+ ау9, х = -°У2.~1С- •
122
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
§39 — 42 посвящены приведению корня четвертой сте-
пени, когда подкоренное выражение есть полином
2-й степени от х. Это приведение производится путем двух
последовательных приведений (сначала требуется, чтобы
подкоренное выражение стало квадратом, а затем корень
квадратным из него в свою очередь превращается в квад-
рат). В § 39 замечается, что такое приведение допускают
лишь формулы, в которые неизвестная входит не выше,
чем во 2-м степени (при этом разумеется, что фигуриру-
ет только одна неизвестная).
Первый пример рассматривается в § 40 и 41: требу-
ется привести к 4-й степени выражение
ах2-f- bx—bd — ad24- е2.
Сначала оно должно стать квадратом, для чего Эйлер
ссылается на отсутствующий § 1В и применяет метод,
изложенный в этом параграфе. Он полагает
ах2 -\-bx + bd — ad2 + е2 = [е 4- (z 4- J) у]2,
откуда легко видеть (здесь сделана ссылка на § 17), что
dj/s4-2ej/4-ad — Ь
ЗС «
а —у*
□
1 ’rax2 + bx + bd-ad2 + e2 = ;
последнее выражение в свою очередь должно быть све-
дено к квадрату. Эта задача решается в §41: прежде
всего выражение
ey2-\-2ady- by + ae
умножается и делится на а —у2; тогда получается, что
к квадрату должно быть сведено выражение
— еу* — 2ady3 4- 2a2dy 4- а2е 4- by3 — aby.
Эйлер утверждает, что это возможно, если е2 есть
4-я степень, и полагает e2 = f*. Отсюда делается вывод,
что первоначальное выражение может быть сведено к
4-й степени, если оно имеет вид
ах2 4- бх 4- bd — ad2 4- /*.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 123
В §42 рассматривается второй сличай (опять со ссыл-
кой на §16):
а bx + (bd — ad2 + е2) х2
должно стать биквадратом. Как и в § 40, оно сначала
сводится к квадрату. При этом, используя результат
§ 16, Эйлер получает
__ а—уг
Х~ ey-\-dy* — i>4-ad ’
J a + bx + (bd — ad2 + e2) x2 =
2ady - by-]-ae
ey + dyt — b-[-ad
Это выражение опять должно быть сведено к квадрату.
Рассуждая аналогично § 41, Эйлер приходит к за-
ключению: чтобы данное приведение имело место, необхо-
димо, чтобы в получающемся при этом выражении от-
сутствовал член, содержащий у2.
§ 43 и 44 посвящены случаям, когда известно одно
значение, при котором иррациональность уничтожается,
ио нахождение других представляет затруднения. Эйлер
предлагает избегать этих затруднении
_ту4~п
J/4-е
и приводит пример (§ 44): пусть
подстановкой
требуется све-
сти к квадрату
a -f- bx + сх2 Ц- dx3 -|- ex*,
прнчем один случай такого приведения
х=т). Подставляя х = > можно
жение, которое сводится к квадрату, если
а + bm + ст2 + dm3 + ст*
известен (при
полу чить выра-
равно квадрату, что выполнено по условию.
В § 45 начинается рассмотрение нового вопроса. До
сих пор, — говорит Эйлер, — давалась одна формула, для
которой определяется неизвестная, приводящая ее к ра
Цнональностп. Теперь же ищется величина неизвестной,
уничтожающая иррациональность у более чем одной
формулы.
Сначала (§ 46) рассматривается вопрос об одновре-
менном приведении к квадрату двух линейных функций
121
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
эт одной неизвестной: ах 4 b, cx-t-d. Для этого полагает-
. l в у*—Ъ
ся ах 4 b = у*, откуда х = , а следовательно,
с-г-М = -сУ,-Ьс+°<
а
Теперь квадратом должно стать выражение
асу2 — abc 4 a2d,
а каким образом это может быть сделано и в каких
случаях, ясно из § 16.
В § 47 и 48 речь идет об одновременном приведении
к квадрату трех выражений ах + Ь, сх 4 d, ex + /. Здесь
используются рассуждения предыд}щего параграфа, а
также отсутствующего § 16.
Па этом рукопись обрывается. Относительно того,
когда, с какой целью она была написана и каково содер-
жание отсутствующих параграфов, можно высказать не-
сколько предположений:
1) Из текста рукописи следует, что в отсутствующей
части (§ 1—31) шла, в частности, речь о решении урав-
нения J ах2 4 Ьх 4 с = у. При этом рассматривались слу-
чаи: а) а = f2; б) с = bd — ad2 4 еа. | В последнем из них
подкоренное выражение приравнивалось [е4 (z4 d) г/]2
и отсюда находилось
dy* + 2ey-[-ad— Ь
Х~ а —у*
I ax2+bx+bd-ad2 + e2 = .
2) Ориентировочно можно предположить, что этот от-
рывок есть часть первоначального наброска «Алгебры»,
задуманного более широко, чем осуществленный вариант.
3) Время написания можно отнести к 1735—1740 гг.,
так как почерк Эйлера в этой рукописи тот же, что и в
записной книжке № 131 (см.-стр,-136).
III. К разделу законченных фрагментов следует так-
, же отнести записи на л. 12 — 12 об., озаглавленные
«Решения арифметических задач, предложенных де Вил-
ли». Эти задачи были, очевидно, опубликованы в труде
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА ]2Е
Ж. де Билли «iliophentus. geometra—sive_ орнч-xanLexlum.
ex aritlimetiea el geetnel J ,
Записи относятся к решению шести задач, по ход ре-
шения излагается лишь для первой из них.
Задача I состоит в определении х, которое обраща-
ло бы выражение х* — х3 — х в квадрат.
Эйлер приводит решение этой задачи. Вначале пред-
полагается
из решения этого уравнения получается значение х = — 4.
, 1 IV
Х ~ 2Х~Ъ) ’
Наконец, полагая х = у — 4,
Далее х* — х3 — х предполагается равным
откуда полу чается а= — .
.... 2444
Эйлер прпходпт к зпачепию у = -т^- и, наконец, к х =
1296 .
= 287"’ что }Д°влетвоРяет условию задачи (при нодста-
. « 362-40 8792\
повке в выражение х* — х3 — х ^цолу чается —— \ .
Задачи II и III. Приводятся только условия
л,4 + я3 — а: = □, x4 + xs-|-x= □
и делается замечание: «решаются схо щым способом».
Дтя остальных трех задач после формулировки при-
водится только окончательное решение, ход же рассуж-
дения остается неизвестным. Ниже изложено содержание
этих записей.
Задача IV. Пусть даны числа a, ab, ab2, найти
число х, чтобы х2 + ах, х2 -f- abx, х2 4- оЛ>2х были бы квад-
ратами.
Полагая у = -^, Эйлер приходит к уравнениям
14-ау = С. 14аЬу=С, 14-fl&2y = C
и дает
___ —8(а-|-а6—ab2) (a — ab-^-ab2) (ab*-j-ab— а)
У~ (а»4-а*6*4-а»64—2а*Ь —2a*fc« —2a2fc»)« ’
126
Г. 11. МАТВИЕВСКАЯ
отсюда
а (1 + Ь» + 6*—2ft — 26*—26s)2
х~ 8(Ь*-Ь—1)(Ь*-Ь+1)(Ь»+Ь—1)
ИЛИ
ор+^ + Ь1)2^1—36-Н)1
Х~ 8(62—Ь— 1)(Ь2— ft+l)(ft*+ft-l) *
Для частного случая Ь = 2 имеем х = (При подста-
новке в исходные уравнения это значение дает
2 , 7*132а* , , , 7»-17»в» 2 . ,2 7223*а» .
Х ПХ==-Щ?-’ Х +аЬх = П2(Я-’ 1+Л = '12(? •)
Задача V. Пусть три числа, находящихся в гармо-
нической пропорции, суть a2 — ab, a2— b2, a2-\-ab. Найти
число х, чтобы
а2 + (я® — ab) х = □, а®4- (о2 — Ь2) х = □ ,
ar + (a® + ab) а-= □ .
Приводится ответ:
_ (Ь44-6а*Ь2—За4)»
Х~ 8(Ь» + 2аЬ —а»)(а» + Ь2)(а2+2а6-Ь*) ’
529
Для частного случая а — 2, b = 1 имеем х = .
Задача VI. Пусть три числа, находящихся в ариф-
метической пропорции, суть а—Ь, а, а-)-Ь. Найти число
х, чтобы было
х2 + (а — Ь) х = □, х2 + ах = □, х2 + (а + Ь) х = □.
Дается ответ:
_ (46*—За2)2
г —8(2Ь—a)a(2ft-f-a) '
121
Для частного случая а = 3, Ь = 2 имеем х = .
IV’. К законченным заметкам, не опубликованным ра-
нее, относится задача (л. 14 об.): «найти прямоугольный
треугольник в рациональных числах, чтобы как гипоте-
нуза минус площадь, так и один из катетов минус пло-
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 127
щадь образовали бы квадраты» или (вобозначениях Эйлера):
АСАС-ВС = {J,
где Л, В и С —вершины прямоугольного треугольника.
Подобные задачи, строящиеся на различных соотношениях
сторон прямоугольного треугольника и его площади, очень
часто встречаются в теоретико-числовой литературе до
Эйлера. Они ставились и решались Диофантом, Баше,
Билли, Озанамом и др. С
Данная задача была предложена и решалась Ферма*).
Среди опубликованных работ Эйлера (статья tSoIuHo
problematic diri'icillimi a Feimatio propositi»8)) есть сход-
ная задача, которая в приведенных выше обозначениях
может быть сформулирована так: найти прямоугольный
1
треугольник АВС, для которого АС—^-AC-BC = Oi
ВС— АС-ВС = [J. Но данная задача средн опублико-
ванных не встречается.
После формулировки задачи и чертежа Эйлер приво-
дит решение в общем виде:
АВ - р*+* - р*~1 -
р+ш2 (р2— 1) ’ />-}-т2(р2—1) ’
nr =_____?£_____
р+"«2(р2-1) ’
<*
причем в этих формулах следует брать лиоо р = ,
4-12т»-4-16 .. о
лиоо р=—g_L_—. Например, при значении т = 2.
лв=^, ле-’, вс-А;
3 /4\2
тогда площадь = gg , АВ — площадь = ( ? J , АС — пло-
—G)‘ г
L. Е. D i с k s о n, History of the theory of numbers, Washing-
ton, 1919, If, Chap. IV, стр. 177.
2) Comm, arithm. coll., 1, 62—72; E 167; Op. omn., 12, 223—240.
128
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
1С — —— вс — 16 •
° “ 1016 ’ G “ 1016 ’
При т = 4, р = 8
АВ = —
п Ю16 ’
63 г,
отсюда площадь = 12?-t . При подстановке этих значе-
32* <zi
площадь = , АС — площадь =
12«*
ппй получается: АВ —
_ 63*
- 127» •
гг л 29
При m=i, Р = -^2
j d 985
ЛВ=1б45’
АС 697
г>р___ 696
1<>45 ’ 1045
Далее оказывается:
887*
ЩЯДЬ = 1045*’
АВ — ПЛО-
697-348
площадь =--^52-
697я
АС — площадь = .
V. На этой же странице (л. 14) находится задача;
«найти бесчисленные прямоугольные треугольники в ра-
циональных числах, площади которых были бы равны
между собой». Зплер дает
Для одного треугольника:
гипотенуза = a (&2 + 1),
Г ( = а(Ь®-1),
катеты J
I = 2аЬ;
Тогда для решения задачи
следующее решение. Пусть
для другого треугольника:
гипотенуза = п (рг + 1),
1 = п (р* — 1),
катеты {
| = 2пр.
бе ретен
8лЬ»(6« —1)*
п~ (fc»+i)(b«—6&»4-i)
н »=
Р ЬЫЬ*-!) *
VI. К рассматриваемой группе рукописей можно так-
же отпести решение находящейся па л. 9 задачи: «пай-
тп два числа, из которых каждое минус их произведе-
ние дает квадрат». Если искомые числа обозначить
9 г
— , —, то условие задачи примет вид
п п
nq — qr = a®, nr — qr = b*.
О^НЕОПУБЛИКОВХННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 129
Произведя ряд преобразований над и, Эйлер получает,
что требование задачи выполняется при значении
(<7+'’)(92+67'’+г1)
(g-r)»
Действительно, первое выражение при этом оказывается
92(?+Зг)» г»(г + 39)«
равиим -, второе .
VII. Сюда относится и одна из задач, находящихся
в другом томе рукописей (№ 155, л. 426 об.). Под общим
заголовком «Solution des quelques questions du Livre VIII,
de 1’Algebre de Mr. ОхапатйЛшходятся три задачи, из
которых решенной можно считать вторую:
х14-хг/=С, у’ + хг/=О.
Для нее приводится решение: у = р(1 — п2)2, х = ^рп2.
\ III. Наконец, к этой же группе можно отнести и
находящиеся на листах 15 — 15 об. (№ 158) отрывки,
которые также не относятся к напечатанным работам.
В них рассматривается вопрос о нахождении значения
неизвестной, при котором полином 3-й степени обращает-
ся в квадрат. При этом получается результат, аналогич-
ный тому, к которому Эйлер приходит в отношении по-
линома 2-й степени: если известен один случай, в кото-
ром полипом 3-й степени обращается в квадрат, то из
него при помощи приводимой формулы оказывается воз-
можным получить другие значения, для которых вы-
полнено то же условие.
Хотя чпслепиые примеры подтверждают правильность
следующих результатов, однако ход рассуждения, кото-
рым Эйлер пришел к ним, остается совершенно неиз-
вестным:
а) Если ах2 + Ъх2 + 2cdx + d2 есть квадрат в случае,
когда x=q, то оно будет квадратом также в случае
___2d2-\-2cdq -{-2d l/ag*+feg^-f-2cd<7-|-g,
Х__5^ ‘
б) Если ау2 by2 + су 4 d является квадратом в слу-
чае у = р, то оно будет квадратом также в случае
а3р* — 2аср* — Sadp 4* с2 — ibd
У 4a2/>*4-4afc/>24-4a<7>4-4ad
9 Истор.-матвм. исслед . вып. XIII
/ммсЛй
, t рс» у CjARotwb
130
Г. П. НАТВПЕВСКАЯ
II. Законченные фрагменты, относящиеся
к опхблнковаппым работам
Здесь нужно упомянуть отрывочные заметки, находя-
щиеся на листах 17 17 об., 18 — 18 об., а также на
листах 29 об., 30 — 30 об. (Л» 158). Все они относятся
к уже названной ста1ье problcmatum IMo-EI
^htmtVDrum per ншпегдо integrosv1): нх содержание также
вое производи i ся в переписке Зп icpa^r Прежде всего
(л. 17) формулируется уже встречавшийся в рукописи
результат: «если л.г2 4- Ьх 4- с есть квадрат в случае х = т,
то [оно] также становится ква ратом в случае, где
х = т | al2 4- 1 + b * О<.,^~1—— +11 am2 -f- bm -f- с ,
если вместо t берется [такое] число, чтобы at24-1 сдела-
лось квадратом, и | ах2-р Ьх-}-с становится равным
alm + у + |' л/2 -р 1 1 ат2 -р Ьт-}- с ,
следовательно, величины, которые должны быть подстав-
лены вместо х, получатся (если положить ] aZ2-pl=s):
I. т.
II. sm + b -[-1 У ат2bm + с.
III. — т 2s2m 4- bt2 4- 2st ] am2-}- Ьт-}-с».
На листе 18 об. даются значения, получаемые самой
величиной ] ах2-}- Ьх + с.
Кроме того, иа листе 17 приводятся три примера,
иллюстрирующие сформулированную теорему. Например,
один из них: найти значения х, при которых 2z2-pl
станет квадратом; искомый ряд значений: 0, 2, 12, 70,
4U8 и т. д.
Листы 17 об,- 18 посвящены методу рационализации
выражения вида | лх24-Ь, который Ойлер называет «ме-
*) Comin. arilinn. coll., I, 4—10; E29; Op. omn., I.
2) Corr. math, et phys., I. 37.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА «31
•годом Пелля». Об этом методе идет речь в уже названной
статье и рассмотренной ранее рукописи (.V 158, л. 27 —
28). Здесь же под общим заголовком «Exempla Melhodi
Pel lii» ^приведены три примера применения этого метода.
О
111. Незаконченные отрывки
К последней группе рукописей былп отнесены те,
в которых задача ставится, но остается нерешенной. Она
в свою очередь может быть разделена на два раздела:
1) опубликованные отрывки; 2) отрывки, относящиеся
к опубликованным работам.
1) Сюда относится поставленная на листе 6 (№ 158)
задача, которая, как явствует из заготовка, была предло-
жена Ж. де Вилли. Она формулируется следующим обра-
зом: «найти прямоугольный треугольник, в котором
удвоенная площадь, будучи вычтена из отдельных сторон,
составляет квадраты».
Решение начато несколько раз, но пе закончено. Среди
опубликованных работ Эйлера эта задача не встречается.
Кроме тою, начата, во пе кончена задача (Л« 157,
л. 5G1): «найти четыре числа, чтобы сумма двух каких-
нибудь была квадратом».
2) К отрывкам, относящимся к напечатанным работам,
принадлежат находящиеся на листах 10 об. в 13 (Л° 158)
попытки решения двух зад »ч.
I. 2п4—1 =□. Эта задача решалась Эйлером не один
раз; в частности, в «Алгебре», II, § 140.
II. Найти два числа, сумма которых есть квадрат в сум-
ма квадратов — биквадрат.
Эта задача поставлена Ферма и решалась Лейбницем.
Эйлер приводит ее решение в нескольких мемуарах.
ЗАПИСНЫЕ КНИЖКИ ЭП.ТЕРА II ЗАМЕТКИ В ПИХ.
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ДИОФАПТОЮ АНАЛИЗУ
Г Е<А>' fVrt
Двенадцать записных книжек илера значатся в—Ар-
хиве АН-СССЙ под А« 129—140 описи I фонда 136. Они
представляют £обоп ценнейший материал для изучения
истории творчества великого математика. Только три по-
132 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
следппе из цих были известны по изданию «Opera postunia»
1862 г., остальные же долгое время находились вне поля
зрения исследователей.
Впервые на записные книжки обратил внимание
Г. Энестрем в 1913 г. при рассмотрении рукописей Петер-
бургского архива и в уже упомянутом докладе коротко, по
полностью охарактеризовал их н определил их значение.
Энестрем отмечает, что, рассматривая данные рукописи,
он с удивлением констатировал, что «это были записные
книжки, в которых Эйлер при случае отмечал предметы,
которыми он в то время запимыся» и что содержание нх
в преобладающем было математическим. «Две наиболее
старые записные книжки,— говорит далее Энестрем,—
содержат, в основном, упражнения и имеют поэтому под-
чиненное значение; однако с помощью других записных
книжек можно довольно хорошо ознакомиться с историей
эйлеровских открытий. Нужно было бы очень желать,
чтобы зти записные книжки были проработаны; для каж-
дой записи математического содержания нужно было бы
дать особую заметку о ее предмете». Одиако ввиду того,
что такая работа, по словам Энестрема, потребовала бы
много месяцев, сам он смог только бегло пролистать за-
писные книжки, в первую очередь для того, чтобы уста-
новить их хронологическую последовательность. Приве-
дем датировку записных книжек, данную Энестремом,
и его замечания.
1) Записная книжка А» 129. Большая часть заметок
(пли все?) относится к базельскому периоду жизни Эйлера.
2) Записная книжка А» 130. Даты начала и окончания
книжки не установлены; Энестрем отмечает только днев-
ник, относящийся к 1727 г.
3) Записная книжка А® 131. Начата 12/11 1736 г.,
завершена в конце 1739 г. пли в начале 1740 г.
4) Записная книжка А? 132. Начата в 1740 г.
5) Записная книжка А® 133. Заполнена около 1750 г.
6) Записная книжка А° 134. Очевидно, 1750—1755 гг.
7) Записная книжка А® 135. 1759—1760 гг.
8) Записная книжка А? 136. Начата в 1760 г.
9) Записная книжка А® 137. Хронологические границы
не установлены; отмечена запись 1764 г.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА ЦД
10) Записная книжка № 138. 1767 (?)—1775 гг.
11) Записная книжка As 139. 1775—1779 гг.
12) Записная книжка As 140. 1779—1783 (?) гг.
Кроме хронологическом последовательности, Энестре-
мом дано общее описание записных книжек.
Записные книжки Эйлера естественно привлекли внима-
ние издателей «Opera oinnia». В предисловии к первому
тому арифметических работ Эйлера1) Ф. Рудно особо
останавливается па этом вопросе и отмечает, что не только
записные книжки As 138—140, известные по «Opera post li-
ma», но и все остальные должны быть исследованы. При
этом он указывает, что заметки теоретико-числового со-
держания будут опубликованы в последнем томе арифме-
тических работ (15). Однако в дальнейшем планы редак-
ции изменились, и в 1944 г. в специально посвященном
записным книжкам предисловии к 5-му тому 1-ой серии
«Opera omnia» новый редактор А. Шпайзер пишет, что
они будут помещены полностью в конце всего издания
среди биографических материалов.
Таким образом, несмотря на знакомство эйлероведов
с записными книжками, содержание их, по существу,
оставалось совершенно неизвестным. Только в последнее
время они привлекли внимание советских исследователей.
В статье Г. К. Михайлова2) «Записные книжки Леонар-
да Эйлера в Архпве АН СССР» дается общее описание за-
писных книжек и выделяются места, посвященные зада-
чам механики. Помимо этого автор приводит более точную
по сравнению c Эпестремом датировку их, а именно
As 129—130 1725—1727
As 131 1736—1740
№ 132 1740—1744
№ 133 1749—1753
№ 134 1749—1757
(Математические заметки относятся к 1754—1757 гг.)
As 135—137 1759—1764
l)Leonhardi Е u 1 е г i, Opera omnia, 1915,1.; F. Rudio—
lorwort.
♦Историко-математические исследования», own. X, M.,
1957, стр. 67—9-1.
134
Г. II. МАТВИЕВСКАЯ
Все это дает возможность гораздо более свободно
ориентироваться в материале при исследовании записных
книжек.
Записные книжки представляют собой переплетенные
тома различного формата, количество страниц в которых
колеблется от 152 (№ 130) до 544 (№ 131), причем всего
насчитывается свыше 3000 страниц рукописного текста.
Заметки сделаны в большинстве своем на латинском языке,
реже па немецком и совсем редко на французском. Можпо
сказать, что записные книжки отражают в хронологиче-
ском порядке ход работы Эйлера над интересовавшими его
проблемами и показывают особенно полно, какой необыкно-
венно широкий круг вопросов был им охвачен. Здесь
ясно видно, с какой легкостью переходил он от одного
предмета к другому, от одной задачи к другой, совершен-
но не сходной с ней но характеру. Различные вопросы
механики сменяются геометрией, алгебра — математи-
ческим анализом и так называемыми «магическими квад-
ратами», заметки по теории музыки идут вслед за физикой
в дифференциальными уравнениями. Часто эти записи
являются черновыми к напечатанным работам Эйлера,
часто они отражают предмет его научной переписки того
времени, но иногда содержат в себе задачи, пе встречаю-
щиеся в опубликованных работах.
Все эти записи независимо от того, известны они или не
известны, представляют чрезвычайно большой интерес,
так как они являются незаменимым материалом для
изучения истории открытий Эйлера и позволяют глубже
заглянуть в творческую лаборатории» великого уче-
ного.
Нами была сделана попытка изучения записей по тео-
рии чисел, находящихся во всех двенадцати записных
книжках. Однако материал оказался столь большим,
что поместить его полностью в настоящую работу было
невозможно. Поэтому, помимо данного ниже очень обще-
го описания записных книжек с точки зрения находящихся
в них материалов ио теории чисел, приведены только
результаты исследования посвященных диофантовым
уравнениям записей, которые составляют примерно поло-
вину всего материала.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА К5
Удельный вес теоретико-числовых вопросов в записных
книжках весьма велик: задачи такого рода встречаются
па 787 страницах. Распределяются они по записным книж-
кам неравномерно (от 3 до 148 страниц).
Поскольку заметки, относящиеся к одной теме, разбро-
саны в различных местах одной и той же книжки пли,
еще чаще, в разных книжках, то прежде всего встал вопрос
о классификации всех записей. Для итого оказалось необ-
ходим им сначала отделить заметки теоретико-числового
содержания от остальных записей и собрать их воедино.
После этого весь материал был распределен но четырем
большим разделам по образцу подразделения, данного
В. Я. Вуняковскнм и 11. Л. Чебышевым в 1849 г. в списке
работ Эйлера по теории чисел ’): 1) диофантов анализ;
2) делимость чисел; 3) разложение чисел на суммы раз-
личных форм; 4) смешанные задачи, не вошедшие в пре-
дыдущие три раздела.
Следующем этапом работы явилась более подробная
классификация в каждом из этих разделов.
Только после этого стало возможно непосредственное
исследование отдельных записей. Оно заключалось в сле-
дующем: 1) расшифровка записи; 2) перевод ее с латинско-
го языка; 3) выяснение математического содержания;
4) сопоставление ее с опубликованными работами Эйлера,
близкими к ней по содержанию, что давало возможность
установить, относится ли заметка к напечатанной статье
пли является повой п имеет самостоятельный интерес;
5) наконец, краткие комментарии в наиболее интересных
моментах.
Чтобы возможно яснее представить общую картину
распределения материала по теории чисел в записных книж-
ках и характер его, ниже приводим обзор всех записных
книжек с этой точки зрения.
I. 3 а п и с н а я книжка А’_ 129, состоящая из
407 страниц и относящаяся к базельскому периоду, со-
держит сравнительно немного записей по теории чисел.
Они встречаются на 15 страницах. На пяти страницах
*) Comm, arithm. coll., 1849, I, p. IX—LXXIX, Index systema-
tique des memoires de L. Euler relatifs a la theorie des nombres.
136
Г. П. ЫАТВПЕВСКАЯ
(л. 50—52), частично между записями по теории музыки,
дается решение задачи о нахождении таких чисел, чтобы
разность двух из них была бы квадратом, причем это
решение так и остается незаконченным. Остальные за-
метки посвящены, в основном, магическим квадратам
(л. 27-34).
II. В записной книжке As 130, состоящей
из 152 страниц, записи по теории чисел встречаются всего
па трех страницах (л. 35 об., 37, 39 об.). Здесь решается,
например, задача о нахождении целочисленных решений
уравнения xv=yx, поставленная впервые в письме Д. Бер-
нулли (1700—1788) к X. Гольдбаху (1690—1764) в 1728 г.,
а затем решенная Эйлером в «Introductio in analysin
infin itorum».
III. Записная книжка As 131 содержит уже
большое число записей теоретико-числового содержания:
из 544 страниц им посвящено 82. Здесь прежде всего рас-
сматриваются вопросы делимости п простоты чисел (л. 18,
19 об., 55 об., 58 об.); имеются заметки, относящиеся
к доказательству малой теоремы Ферма (л. 18 об. — 20 об.,
(55 об. — 56); впервые встречается несколько записей о ре-
шении уравнения Пелля (л. 53, 54 «б. — 55); заметки
о совершенных числах (56 об.). Много записей относится
к различным вопросам диофантова анализа: например,
о разложении числа на четыре квадрата (л. 61 об.). — 62 об.,
116 об., 117 об.); задача о нахождении чисел х и у, для
которых x-}-y=v2, х2-\-у2=ы* (л. 60 об.); о невозможности
решения в целых числах уравнения х4 ± у1 — □ (л. 54 об.,
171 —172); о невозможности существования четырех квадра-
тов, находящихся в арифметической прогрессии (117 об. —
178 об., 182 об., 18 <), и много других вопросов.
IV. 122 страницы из 520 посвящено теории чисел в за-
писи о й к и и ж к е Л" 132. Тематика записей чрезвы-
чайно разнообразна: разбиение чисел (л. 17—18), эле-
менты аналитической теории чисел (л. 26, 31, 87—88),
вопросы делимости, связанные с малой теоремой Ферма
(л. 95—97 об.), дружественные и совершенные числа
(л. 98), различные задачи диофантова апалпиа, где, кроме
многих, фигурирующих и в записной книжке As 131,
можно перечислить следующие: задача о нахождении
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 137
четырех биквадратов, сумма которых есть квадрат
(л. 82об. — 83); о нахождении четырех кубов, сумма которых
равна данному числу (л. 83, 88 об. — 89); о представимо-
сти четного числа в виде суммы двух простых (л. 90—
91); первая попытка доказательства великой теоремы
Ферма для случая п=3 (л. 79—80, 145, 1G8); о представи-
мости простых чисел впда 4п-|-1 суммой двух квадратов
(л. 141 об. — 142, 143 об., 258 об. — 259); заметки о невоз-
можности решения в целых числах уравнения 4/ип—т—п=
=□ (л. 173 об., 197—197 об., 220, 243), которые, как легко
можно проследить, точно соответствуют по содержанию
некоторым письмам из переписки Эйлера с Гольдбахом,
и др.
В связи с последними записями можно сделать заме-
чание относительно датировки записной книжки .V» 132.
Г. Эпестрем пе указывает даты ее окончания, Г. К. Ми-
хайлов определяет эту дату как 1744 г. Заметка, относя-
щаяся к решению задачи етп—т—п #= □, находится на
л. 243— 244; соответствующие ей по содержанию письма
к Гольдбаху датированы 17 ноября 1744 г. и 16 февраля
1745 г. Так как на этой записи книжка пе заканчивается,
то можно предположить, что последние заметки внесены
в 1745 г.
V. В з а п и с н о й книжке № 133 теория чисел
занимает 77 страниц из 353. Заметки, как и прежде, охваты-
вают необыкновенно широкий круг вопросов. Можно
выделить следующие пз ник: о разложении чисел на сумму
четырех квадратов (л. 11 об. — 12, 52 об., 80 об.), уравне-
ние Пелля (л. 30, 134, 152 об.), дружественные числа
(л. 45), аналитическая теория чисел (л. 50—51), задача
нахождения четырех чисел a, b, с, d, для которых а3-|-63=
— с3 -}-d3 (л. 167—об. 168). Теории степенных вычетов по-
священы листы 169 об.—170. Представляет особый интерес
относящаяся к лету 1749 г. запись на листе 18 об., где
вводится функция Эйлера <[(п) и формулируется теорема,
которая в современных терминах гласит: если п — пе
простое число, (а, и)=1, а X есть наименьшее число, для
Которого а}~ (mod н), т=<р(п), тот делится на X. Работа,
в которой Эйлер рассматривает эти вопросы, появилась
только в 1758 г.
138 Г. II. MАТВПЕВСК VI
VI. В з а п п с н о и к и и ж к е Л» 134 задачи по тео-
рии чисел занимают 87 страниц из 519. Из них 27 посвя-
щены магическим квадратам. Предметом большей части
остальных записей является диофантов анализ, представ-
ленный задачами из разных его областей. Особого внимания
заслуживает запись, которая находится на листе 117
и имеет заголовок «Sciagraphia scientiae nuineroruBi (inte-
groruin)» (описание учения о целых числах). Опа представ-
ляет собой план изложения основ теория чисел, вернее
всего, план учебного пособия. Можно предполагать, что
эта запись относятся к незаконченной рукописи, опубли-
кованной впервые в 1849 г. под названием «Tractatus de
numerorum doctrina capita sedeciin, quae supersunt»1),
и является ее ранним черновым наброском. Об этом сви-
детельствует то обстоятельство, что при написании Тга-
ctatus’a Эйлер придерживался плана, приведенного
в данной заметке. Больше того, отдельные формулировки
плана полностью повторяются в статье. Время написания
обеих рукописей также совпадает: если Р. Фютер2)
определил 1748—1759 гг. как примерный срок создания
Tractatus'a, то заметка «Sciagraphia scientiae nuineroruin»
находится в первой половине записной книжки «V 134,
датированной 1749—1757 гг.. т. е. относится приблизи-
тельно к тому же периоду времени.
Записав первые четыре ну нкта плана, Эйлер заключает:
«Следовательно, в этой первой части содержится образова-
ние всех простых чисел». Сюда же оп относит и вопрос
о суммах делителей чисел (Tractatus, cap. 111). Во второй
части «обсуждаются только определенные классы чисел
с точки зрения делимости па какое-либо простое число,
например квадратов, кубов и степеней вообще» (Tractatus,
cap. X—XIII). Далее рассматриваются классы чисел, обра-
зованных из только что указанных (например, суммы
двх'х квадратов), которые имеют делителей (Tractatus,
cap. XV—XVI).
Па этих вопросах закапчивается рукопись Tractatus'a.
Следующие строки в заметке показывают дальнейшие
*) Comm, arithm. coll., II, 503—575; Е792; Op. omn., Is,
182—283.
•) Opera oinuia, Is, Vorwort des llerausgebers, XXV.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 139
намерения Эйлера. «К этому должны быть добавлены зада-
чи, в которых ищутся числа х, у, z, чтобы было ах-^-Ьу=
z=cz, а также, в каких случаях форма может
быть квадратом. И, таким образом, сюда бхдет приведен
весь анализ Диофанта». Отсюда можно зактючпть, чтопред-
метом второй части предполагаемого учебника по теории
чисел должен был явиться диофантов анализ.
VII. Записная книжка № 135 содержит 18G
страниц, из которых 20 посвящены теории чисел. Здесь
рассматриваются различные вопросы диофантова анализа
(в частности, уравнение Пелля), а также теории квадрат-
ичных вычетов.
VIII. В записной к н и ж к е № 136 задачи теории
чисел размещены па 26 страницах из 184. В пей опять
рассматривается большое число задач по диофантову
анализу (например, задача нахождения чисел х, у, для
которых х-Н/=V*, хг-}-уг = w* (л. 11), задача a1 -|~^4 = О
(л. 88), заметки о теории квадратичных вычетов (л. 88—
89) и др.
IX. В записной к н п ж к е Л» 137 содержится
только 6 страниц с заметками по теории чисел. Все они
относятся к диофантовым уравнениям. Часто они размеще-
ны на нолях между другими записями и математическими
текстами, не прнпад (ежащими Эйлеру, но объединенными
в этой книжке.
X—XI—XII. Три последние записные
книжки, идущие под номерами 138, 139, 140 и носящие
название «Adversaria mathematical», написаны учениками
Э1 лера (Н. И. Фус, 1755—1826: М. Е. Головин, 1756—1790;
А. И. Лексель, 1740—1784: Л. Ю. Крафт, 1701—1754;
И. А. Эйлер, 1734—1800) под его диктовку. Почти все
заметки по теории чисел вошли в первый том «Opera postii-
ша», однако некоторые остались неизвестными: это, боль-
шей частью, незаконченные отрывки или заметки — под-
готовительные к опубликованным позднее работам. Пуб-
ликация их была нецелесообразной, но в свете общей
задачи исследования записей по теории чисел они пред-
ставляют несомненную ценность.
Записная книжка .V 138 содержит 344 стра-
ницы, из них на 143 страницах встречаются задачи но
140
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
теории чисел: в з а н и с н о и книжке № 139 (263 стр.)
теоретико-числовые заметки находятся на 44 страницах;
в записной книжке № 140—на 73 страницах.
Следующая таблица схематически дает общую картину
интереса Эйлера к теории чисел.
книжки Годы Количество стра- ниц. посвящен- ных теории чисел
129 I 130 J 1725—1727 (1
131 1736-1740 82
132 1740— 1744 122
133 1749 1753 77
134 1749—1757 87
135 1 136 J 1759—1763 1 20 1 26
137 1760—4764 6
138 1767—1775 143
139 1775—1779 44
140 1779—1783 73
Отсюда можно сделать вывод, что периодами наиболее
интенсивной творческой деятельности в области теории
чисел являются годы с 1736 ио 1744 (в среднем 23 страницы
в год) и с 1767 ио 1783 (в среднем 15 страниц в год).
Сравнение с публикациями этих лет показывает, что даже
в те годы, когда из печати выходило сравнительно немного
работ Эйлера по теории чисел, он продолжал свои уси-
ленные занятия этим предметом. Так, 9 лет, с 1736 но
1744 г., когда было напечатано всего л ишь четы ре теоретико-
числовых мемуара, оказываются, судя по записным книж-
кам, самыми продуктивными в этом направленпн._______
Приступаем к освещению содержания заметок из за-
спых книжек, касающихся диофантова анализа.
Поскольку такое большое внимание было уделено
_ ..лером уравнениям Диофанта в опубликованных мемуа-
рах, неудивительно, что и в записных книжках ои воз-
вращается к вопросам диофантова анализа чрезвычайно
часто. Можно сказать, что из всех заметок теоретико-число-
вого содержания примерно половина, т. е. около 300

О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 141
записей, относится к этому разделу. Все эти записи могут
быть подразделены следующим образом1):
I. Многоугольные числа.
И. Уравнение az2 + fcz )-с = □; уравнение Пелля.
111. Задачи о треугольниках.
IV. Отдельные уравнения 2-й степени.
V. Системы неопределенных уравнении 2-й степепп.
УЧ. Неопределенные уравнения и системы уравнений
3-й степени.
УЧ1. Неопределенные уравнения 4-й степени.
У 111. Квадраты, находящиеся в арифметической про-
грессии.
IX. Великая теорема Ферма.
X. Целочисленные решения уравнения xv=yx.
I. Многоугольные числа
Определение многоугольного числа дано впервые во 11 в.
до и. э. Гипспклом Александрийским. Он называет п-м
m-уготьным числом (Pm) сумму п членов арифметической
прогрессии, первый член которой есть 1, а разность т—2,
т. е.
пп _ (m —2)л»—(т —4)л
------------g •
Название связано с геометрической интерпретацией.
Предшественники Эйлера, начиная с глубокой древно-
сти, проявляли к теории многоугольных чисел постоянный
интерес. Ей посвящали своп работы Ппкомах Геразскпй
(I в. н. э.), Диофант (III — IV вв.), Боэций (1470—1526),
Кардано (1501 —1576), Штпфель (1486—1567), Баше де
Мезпрпак (1587—1638), Ферма (1601—1665), Декарт
(1596—1650), Валлпс (1616—1703). Поэтому внимание, про-
явленное Эйлером к этой теория2), не вызывает удивления.
*) В качестве образца классификации использовано подраз-
деление материала по неопределенному анализу, данное во II томе
универсальной монографии Диксона (Dicks on L. Е., History
of the theory of numbers, Washington, II, 1919)£*
2) Задачи о многоугольных числах решаются в работах: Е29,
Е98, Е256, Е387, Е394, Г445, Е558, Е586, Е542, Е566, Е739, Е806.
142
Г. II. МАТВИЕВСКАН
Среди вопросов, рассматривавшихся в работах Эйле-
ра, можно назвать доказательство теоремы Ферма о том,
что никакое треугольное число, кроме 1, не может быть
кубом, исследование многоугольных чисел, являют хся
в то же время квадратами, и другие. В записных книжках
А“ 131, 132, 133, 138 многоугольным числам посвящен
ряд заметок, из которых опубликованы в «Opera poslnma»
только записи из книжки Л» 138.
В записной книжке № 131 (л. 21—21 об.) решается
следуют, >я задача: определить, сколько раз данное число А
содержится среди всех многоугольных чисел. Ей предпо-
слан заголовок «Задача Ваше, решенная другим способом».
Приведя обп х ю формулу для многоугольного числа,
Эйлер сводит вопрос к определению целых чисел т и п,
для которых
(т—2) л1—(т—4)п ।
2
Из последнего уравнения получается
о 2.1 , 2.4 — 2
ш = 2 ------------j-
п п —1
и дается следующее правило: пишутся в ряд все делптети
числа 2/1, затем делители числа 2А—2; из первого ряда
выделяются те числа, которые иа 1 больше какого-либо
числа из второго ряда; они и дадут те значения п, которые
нужно подставить в выражение для т. Отсюда: 1) всякое
число А содержится в ряду двууголыплх чисел; 2) число
Л всегда является вторым Л-угольным числом. В качестве
примера Эйлер рассматривает число 105 и находит
105 = = Pi1 = == Psa. = 7*10,.
Заметка относится, очевидно, к 1736—1737 гг.; только
в 1753 г., т. е. почти через 16 лет, в письме к Гольдбаху4)
Эйлер сообщил решение этой задачи.
В записной книжке № 132 (л. 110) Эйлер исследует
вопрос о нахождении пятиугольных чисел, которые в то
же время являются квадратами. Решена эта задача
в « Алгебре» (ч. 2, § 88), по в записной книжке решение
проведено другим способом; в то время как в «Алгебре»
•J) Corr. math. et phys., St.-Pet., 1843, I, 608—609-
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 14,3
задача решается непосредственно, здесь она рассматри-
вается как частный случай задачи
а + ₽ г + Y = □•
Вопрос сводится к отысканию
\ равнения (Lc5L— 2.r = □: так
, Т Si’-Х
выражается фирм хлоп --—
решения неопределенного
как пятиугольное число
и оно по условию должно
быть квадратом, то и б.г2— 2л должно быть квадратом.
Для решения уравнения az2-|-Pz 4-у = □ Ойлер всегда
исходит из одного известного решения и получает при
этом рекуррентные формулы для определения последую-
щих решений. Применяя такой метод в данном случае
и обозначая буквами а, Ь, с, ... ряд значений для т,
буквами А, В, С, ... ряд значений для ] ах2 + 0х + у»
Эйлер делает вывод: если прп х = а
] 'аа? 4- 0« + у = А,
то другие решения уравнения а.т24- 0.т4-у = □ даются
формулами:
Ъ = (аги2 4- и2) а 4- 0m2 4- 2л/?пу1 ;
В = 2am па 4- Р»ил 4- (ат2 4- и2) А
с = (ат3 4- и2) b 4- 0т2 4- 2тпВ\
С = 2атпЪ-\-$тп 4- (ат2 4- и2) В
и т. д., где п = ]7ат24- 1, т. е. т, п являются решениями
уравнения Пелля. Таким образом, оказывается возмож-
ным но двум последовательным решениям определить
третье. После ряда преобразований выражения с и С
принимают вид
с = 2 (2п2 — 1) 6 —а 4-20m2, С = 2 (2n2- 1) В —А.
Отсюда, находя для данного случая и = 5, т = 2, Эйлер
получает следующие частные и общее решение:
_______аг | 1 81 7921 а b с = 98Ь—о —16
I 6-х’—2г | 2 198 19402 А ВС = 9&В—А
144
Г. П. ЫАТВИЕВСКАЯ
Как общая формула, так и третье частное решение
в «Алгебре» отсутствуют.
Эта же записная кипи ка (№ 132) содержит па ли-
сте 149 об. теорему, в которой рассматривается часто
фигурирующее в переписке Эйлера с Гольдбахом выра-
жение kmn — m — n, для которого здесь утверждается,
что оно не может ни при каких тип стать треуголь-
ным числом. Доказательство ведется от противного. Пусть
irnn- т — п = р ,-р-. Тогда 32лт — 8т — 8п = 4р2—4р,
отсюда 32mn — 8т — 8n 4- 1 = (2р — 1 )2. Но 32тп — 8т —
— 8п + 2 — 2(4т — 1) (4н — 1). Таким образом, 2 (4m — 1) X
X (4п — 1) = 1 + (2р — I)2, но в то же время сумма этих
де х квадратов не делится на 4/n—1, так как по дока-
занной Эйлером теореме а2 + Ь2 делится iia число вида
4//»— 1 только в том случае, если а и b делятся на это число;
в данном же примере а=2р—1, Ь—1. Поэтому полученное
равенство невозможно, и теорема доказана. Заметка отно-
сится к письму Эйлера к Гольдбаху от 8 мая 1742 г., где речь
идет о данной теореме, но доказательство ее отсутствует.
В записной книжке Л» 133 (л. 19) ставится задача:
паитп все числа, которые могут быть представлены двумя
способами в виде суммы двух треугольных чисел. Эйлер
утверждает следующее: если А есть сумма двух неравных
треугольных чисел, то число п2-|-(1 -{-^пг)А представляется
в виде суммы двух треугольных чисел двумя способами.
Далее приводится ряд решений для значений Л = 1, 3,
4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 21, 22. IVроме этого, здесь
же Эйлер замечает, что числа 81 и 106 представляются
тремя способами в виде суммы двух треугольных чисел,
а именно: 81 =78-|-3=66 '-15= 454-36; 106=1054 1=91-|-
4-15 = 784-28.
Ряд заметок посвящен доказательству теоремы Ферма
о представимости натуральных чисел в впде сумм много-
угольных чисел: всякое число есть либо треугольное,
’ лпбо сумма двух пли трех треугольных; всякое число
есть лпбо квадратное, лпбо сумма двух, трех или четы-
рех квадратных чисел и аналогично для пяти-, шести-
и вообще n-угольных чисел. Эту теорему, которую дока-
зал в общем виде Коши в 1815 г., Эйлер доказал для с ту-
U НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 14;
чая квадратов, носящего обычно название теоремы Баше,
вопросы, связанные с доказательством, на протяжении
20 тет (с 1730 по 1751 г.) постоянно встречаются в пере-
писке Эйлера с Гольдбахом. Теореме Баше посвящены
также мемуары Е242^), Е415^. В записях 28 заметок,
касающихся этого вопроса, распределяются между книж-
ками № 131, 132, 133, 134, 138, т. е. приходятся на годы
с 1736 по 1757 (они чаще всего отражают предмет перепис-
ки с Гольдбахом), а затем с 1767 по 1775.
-На листах 61 об. —62 книжки 131 Зиле]) высказывает
утверждение: всякое число вида 8п—1 может быть разло-
жено иа четыре квадрата — н дает правило такого разло-
жения, иллюстрируя его примерами. Однако можно найти
примеры, опровергающие это утверждение, что, очевид-
но, было замечено самим Эйлером, так как в опубликован-
ных работах оно не встречается.
В записной книжке № 131 (л. 62—62 об.) Эйлер рас-
сматривает последовательно вопрос о разложении чисел
впда
(а2 + Ь2 + с2 + cP) (р2 + д2),
(а2 -|- Ъ2 + с2 + d2) (р2 + д2 + г2),
(а2 + Ь2 + с2 + d2) (р2 + q2 + г2 + s2)
па сумму четырех квадратов. Утверждая каждый раз воз-
можность такого разложения, он дает значения корней
из этих квадратов и приходит для последнего случая
в своей знаменитой формуле^:
(«® + Ъ2 + с® 4- d2) (р2 4- <7® 4- г® 4- s®) =
= (ар 4- bq 4- ст 4- ds)2 4- (bp -aq + dr-\- cs)2 4-
4- (ср — dq — «г 4- is)2 4- (dp + cq — br— as)2.
Эта заметка интересна тем, что в ней отчетливо виден
ход мысли Эйлера при выводе формулы, что уже не отра-
зилось в опубликованных мемуарах'^ При этом нужно
отметить, что если впервые Эйлер сообщает полученные
") Comm, arithm. roll.. ]., 210—233, Op. omn., I., 328—372.
) Comm, arithm. coll., I, 538—548, Op. omn., I3, 218—239.
<) См. мемуары E241, Г610, а также Corr. math, et phys., I, 452.
10 Пстор.-матем. псслед., вып. XIII
И6
Г. II. МАТВИЕВСКАЯ
результаты Гольдбаху в 1748 г., то в записных книжках
они появились значительно раньше (1736—1740).
Па листе 116 об. этой же книжки Эйлер снова возвра-
щается к рассматриваемому вопросу. Формулируется
(без доказательства) теорема: если все простые числа могут
быть разложены на четыре квадрата, то вместе с этим все
вообще числа допускают такое разложение. Далее дока-
зывается утверждение: если из четырех квадратов, па
которые может быть разложено число Р, два равны, то
и число /'-|-2 может быть разложено на четыре квад|>ата
(если Р = а2-|-й2-}-с24-с/2, где а=Ь, то Р-|-2=(а- 1)2 +
-р(а—1)2+с2+</2). Наконец, здесь же доказана теорема:
всякое число впда х24-х-1 1, x^-J-x3-)-!21» 3z2-|-x-|-l
может быть разложено па четыре квадрата. Действительно.
2 . -I f i . 1 V , *2 , х1 ,
x2+x-ri=Qi+-2J>) + 4’+т'+'4 ;
1+.с+х2+.гз+х1=(1+4-гУ+(4;г+-г2)а+?+?:
Зх2 + х4-1 = 2^х+-|-У+^х-уУ-|--^ .
Па листе 117 об. записной книжки Л: 131, а также
в книжке Л" 132 (л. 82) Эйлер ставит и решает задачу:
сумму четырех квадратов а2 + i2 + с2 4-с/2 представить
в виде суммы четырех других квадратов и24-т2 + ?/2 + z2.
Предлагается подстановка:
и = а — ри, х = b — qu, у = с — ги,
z = d — su.
Отсюда
0 = 2ар — р2и 2bq — q2u -|- 2сг — г2м + 2ds — s2u.
2а р -|- 2bq -L 2с г 2rfe
P,+92+»-»+s’ *
В заметке из записной книжки Л» 132 (л. 82—82 об.)
предлагается другая задача: найти в наиболее общем
виде (generalissime) четыре квадрата, сумма которых
я2 -р b2 -j- с2 + d2 есть квадрат. Решение проведено с помо
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ EXHOIlillHA ЛЕОНАРДА ОПЛЫ'Л 147
щью подстановки:
а = п* + р* — q* — гг — s2+ 2p(q + г-{-з2п)\
Ъ = п2 — р2 -г q2 — г2- № + 2</ (р 4- г + s + 2п);
с = И* р2 - q2 + г2 - S2 4- 2г (р + q 4- « 4* 2п):
d = п2 — р* — q2 — г2 4- № 4 2х (р 4* 9 4 г 4- -п)-
Тогда
| га2 4- Л2 4- с* 4- d2 = 2п2 4- 2р* - 2q2 4-
4- 2г2 4- 2s2 4- 2п (р 4- q 4- г 4- s).
Если рассматривать половины взятых значении для я, 1>,
г, d, то
У а2 4- Ь2 4- са 4 d2=n2 + p2 + q2 + r2 ±s2 + n(p + q + r + s).
Полагая п = р q — r — s, Эйлер получает:
а = pq + pr+ qr— s2, b = pq 4-ps4- qs— r2.
c = pr 4- ps 4- rs — q2, d= qr+ qs + rs — p2,
и тогда
| a2 4- b2-j-c2 4- d2 = p* 4- q2 4- r24- №.
На листах 99 об. п 102 записной книжки 132 сфор-
мулированы п доказаны следующие две теоремы:
1) Если 3/14- 1 есть простое число, то 3/14-1 4"2р2 может
быть разложено па четыре квадрата. Для доказательства
Эйлер ссылается на полученный им ранее результат:
если 3/14-1 есть простое число, то Зп 4- 1 = 3-г24-у2. Тог ia
3/14-1 4- 2р2 = .№ 4- у2 4- 2 (р2 4- т2) =
= э-2 4- У2 4- ( 4-р)2 4- (г - Р)2.
2) Если Зп 4-1 есть простое число, то выражение
Зн 4-1 2 (/2 4- jq 4- q2) р2 может быть разложено па
четыре квадрата.
Д о к а з а те л ь с т в о. Если Зп-J-1 есть простое число,
то Зп 1 = 3«2 4- Ь2; тогда
З/14-14-2 (/2 4- /g 4- R2) Р2 = h 4- (/ 4- g) р]2 +
+ (а - /р)2 4- (« — gp)2 4- Ъ2.
Обе эти записи относятся, очевидно, к 1741 1742 гг.
10*
lib
I . 11. MATB НЕВСКАЯ
На листе 102 этой же книжки приводится следмощая
теорема: если всякое число п разложимо на четыре
квадрата, то в уравнении
х* — 2ах3 + (2л2 — л) хг — сх 4- d = О
буквы «, с, d могут быть выбраны так, чтобы все корни
уравнения были рациональны; и обратно, сети л, с, d
могут быть выбраны так, чтобы все корпи, скажем, а, 0,
у, д, были рациональны, тогда 2п = а2 4- 02 4- у2 4- д2,
откуда
4п = (а 4- ₽)* + (а - ₽)2 + (Y + 6)г 4- (Y — «)г
и потому
т. е. п есть сумма четырех квадратов.
В записной книжке А" 132 на листе 142 об. формулирует-
ся и доказывается теорема: если дано число а, неразло-
жимое на четыре квадрата, которое, однако, является де-
лителем числа Рс=Л24-В24-С24-Р2, то существует число
b < а, также не разложимое па четыре квадрата, которое
является делителем суммы четырех квадратов Q < Р,
После доказательства теоремы дается corollarium, в ко-
тором па основании этого доказательства сделай вывод:
нет числа, неразложимого на четыре квадрата, которое
является делителем числа, разложимого па четыре квад-
рата (т. е. всякое число, являющееся делителем суммы
четырех квадратов, само есть сумма четырех квадратов).
Эта теорема (corollarium) и ее доказательство полностью
совпадают с теоремой 4 из мемуара «Novae demonstratio-
nes circa resolntionem numeroruin in quadrata» (E445),
на которой и основывается доказательство теоремы Баше,
приведенное в этой работе. В мемуаре теорема сформули-
рована следующим образом: если Л’ является делителем
какой-либо суммы четырех квадратов, т. е. формы рг 4-<?24~
4-г24-®2, в которой отдельные квадраты не делятся па N,
то JV есть точно сумма четырех квадратов. В несколько
измененном виде эта же теорема фигурирует и в «Opera
postuma»! (1,_197—201), где также доказывается теорема
д - '7!
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА >П.1ЕРЛ | !•>
Баше. Если сопоставить даты написания этих работ,
то оказывается, что мемуар Е445 относится к 1772 г.,
доказательство из «Opera posluma»—примерно к тому
же времени, а заметка пз записной книжки As 132—к
1740—1744 гг.
Таким образом, можно сделать вывод, что доказатель-
ство этой важной теоремы Ойлер имел уже в 1750-х годах,
т. е. почти за 30 лет до его опубликования. В то время по-
лученный результат не привел его к доказательству теоремы
Баию, но попытка в этом направлении была сделана,
о чем свидетельствует запись на той же странице: «Вообще
нет чисел, которые неразложимы на четыре квадрата».
Доказательство, начатое здесь с помощью метода «от .
противного», остается незаконченным. К своей теореме
Эйлер возвращается в 1772 г. после опубликования до-
казательства теоремы Баше, предложенного Лагранжом;
об этом свидетельствует упомянутая заметка из «Opera '
postuma», где вначале приведено доказательство Лагран-
жа. Эйлер вновь идет тем путем, что и в записи пз книжки
А'. 132, т. е. прежде всего возобновляет приведенное здесь
доказательство сформулированной теоремы, а затем па
ее основе получает доказательство теоремы Баше, более
простое, чем у Лаграпжа.
Кроме рассмотренных записей, к этому отделу отно-
сится еще ряд заметок из книжек № 132, 133, 134, предста-
вляющих собой черновики писем Эйлера к Гольдбаху и не
содержащих нового по сравнению с этими письмами.
II. Уравнение ft jc2 + Ьзг }-с = □; уравнение Нелля
Одним из наиболее существенных вопросов диофантова
анализа является решение в целых числах уравнений
az2-[-fa:-|-c= □ и Dx2 -|-1 — у2 (при D > О, D =/= □), послед-
нее пз которых поспт название уравнения Пелля. Этим
задачам на протяжении развития теории чисел посвящено
оолыпое число работ. Объясняется это тем, что решение
многих других задач диофантова анализа сводится, в ко-
нечном счете, к решению указанных уравнений. Особый
интерес всегда вызывало уравнение Пелля (получившее
свое название от Эйлера, ошибочно приписавшего его
150
Г. II. М ХТВНЕВСКАН
решение Неллю). Сформулировал задачу в окончательном
виде Ферма в 1657 г. Он же утверждал, что если D есть
любое число, не равное квадрату, то существует беско-
нечное множество целыхррешеппн уравнения у2—Dx2~ 1.
Метод решения (сначала в рациональных, а затем в н целых
числах) этого уравнения был предложен Врупкером
п Валлисом.
Эйлер исследует у равнение Пелля в нескольких своих
мемуарах (Е29, Е279 Е323, Е559) и пе раз возвращается
к нему в переписке с Гольдбахом (Corr.-+Hathr~c4 рЬуя^
11, -37> 16—617 .—629—(>31). При этом он всегда исходит
из одного имеющегося решения и ставит цель — найти
при его помощи все остальные решения. Основной резуль-
тат Эйлера для уравнения Пелля приведен в работе «I)е
плн-novi algorithm! in Problemate 1‘elliano solvendo»
(E323, 1759)1), а именно дай метод решения уравнения
Dx2 -f- 1 = у2, основанный па разложении в непрерывную
дробь | Г). ТТа численных примерах Эйлер находит связь
периодичности этой дроби с решением уравнения в целых
числах, однако пе доказывает, что опа всегда периодична,
т. е. что уравнение имеет решение при любом D. (Это
было доказано в 17(>8 г. Лагранжом, что и завершило
решение проблемы Пелля.) Эйлер, кроме того, в своих
работах привел таблицы наименьших решений уравнения
Пелля: для всех £)^68 (¥= □) — в мемуаре Е292);
1 для всех D < 100 (J) и D ЮЗ, 109, 113, 157, 367 —
в мемуаре Е323.
В записных книжках имеется десять заметок, связан
ных с рассматриваемыми вопросами. Они распределяются
между записными книжками А» 131, 133, 134. 135, 138
и почти все относятся к опубликованным работам: это
лпбо небольшие отрывки из этих работ, лпбо иллюстри-
рующие их примеры. Наибольшее число заметок прихо-
дится па время с 1736 по 1753 г.
Шесть заметок (записные книжки № 131, л. 54 об.—
55; № 132, л. 109-109 об., 112-112 об., 247 об. — 248;
As 133, л. 134, 152 об, 148 об., 175 об.; As 135, л. 45) вос-
*) Comm, arithm. coll., I, 316—336; Op. опт., Is, 73—111.
*) Comm, arithm. coll., I, 4—10; Op. omn., It, 6—17.
О НЕОПУБЛИКОВ ХППЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРД X ЭЙЛЕРА 151
производят рассуждения из мемуара Е29, с помощью
которого находится решение в целых числах уравнения
ax2+0x-| Y =
Эйлер считает известным одно решение: ax2-|-0x-| у
есть квадрат в случае х~а. и утверждает, что это выраже-
ние будет квадратом и при
х = + £" + * 1 + ₽“ + Y’
где $ = | aX2 + 1 (т. е. А суть решения уравнения Нелля).
При этом дается общая формула, при помощи которой
по двум предыдущим значениям находится каждое сле-
дующее его значение:
а, b.......1. If, 2СЯ-.1+ Р(^П ,
а также формула для определения последовательных
значений для ) ах2 + 0 г + у:
р, q, ..., С, D, 2Ъ1) — С.
Кроме тоги, в этих заметках Эйлер рассматривает
примеры, не встречающиеся в опубликованных работах:
Зх2 + 2х + 1 == у2 (х = 0, ?/ = Г, 6, 11; «8, -153;
1230, 1231; ...)
2х2 + 2х = у2 (х = 0, ?/ = 0; 1. 2; 8,12; 49,70;
288, 408; ...)
Зх2 - 66 = у2 [х = Ш-1 (2 + /3)п + (2 - /3)п,
У = 5/^+3 (2 + /ЗГ- -5-^~3 (,_v 5)„] и др
В записной книжке № 133 (л. 30) Эйлер рассматри-
вает задачу отыскания значения х, которое при данных
« и b обратило бы выражение ax2-J-fe в квадрат.
Пасть ] ар2 +1 = q. Тогда решение \ равнения в общем
виде выражается с помощью формулы, выведенной Эйле-
ром в мемуаре Е279\: х = Л/ (q + р | "а)п- N(q — p] а)п.
д) Comm.arithm. coll,. I. 297—315; Op »шп., It, 576—611,
152
Г. II. МАТВИЕВСКАЯ
Подставляя это значение х в данное j равнение, он
получает:
ax' + b = аМ2 (q +/> | а)2п + a.N1 (q — р | с)2п —
— 2а.1AV+ /> = □.
Если положить b=-'iaMN, то отсюда
| ах* + b = М \ ra(q + р 1Ла)п + Л' |/а (q — р I а)”.
Пусть известно значение x=g, для которого J ад* 4- b = Л.
Положив при этом п=0, Эйлер получает: М—N=g,
М + Лг = , откуда
}'а
М = h + TV — h'-gVa
2 Va ’ 2 Га
Следовательно,
х = *t'i + р ~ (q~p ^)П;
21 а 2у а
1'^+1 = (q + p /а)" +—(? ~ Р I «)'*•
HI. «Задачи о треугольниках
Во многих &Boux_^jeAiyape4 Эйлер, подобно другим
математикам, обращается к теоретико-числовым задачам,
поставленным в геометрической форме. Чаще всего в них
фигурирует треугольник, прямоугольный или произволь-
ный, с целыми пли рациональными сторонами, для кото-
рого заданы определенные соотношения между элемен-
тами. Средн таких задач можно, например, указать зада-
чу отыскания чисел х, у, z, удовлетворяющих уравнению
х*-|-!/J=z2, т. е. задачу исследования прямоугольного
треугольника с катетами х, у и гипотенузой z. Такого
рода вопросам Эйлер посвящает много страпнц своих
записных книжек.
Одна пз наиболее интересных проблем данного разде-
ла—задача о нахождении двух положительных целых чи-
сел, сумма которых есть квадрат, а сумма квадратов — би-
квадрат, рассматривается в записных книжках № 131
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРДА ЭЛ IEPA 153
(л. 00 об.), № 132 (л. 76), As 136 (л. 11), As 140, (л. 64 об.).
Задача впервые была поставлена ферма в письме к Сен-
Мартеиу и Френиклю от 31 мая 1643 г. в геометрической
форме: найти прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого, равно как в сумма катетов, были бы полными
квадратами. При этом Ферма высказал мысль, что наи-
меньший треугольник такого вида есть треугольник с ка-
тетами: 4 565 486 027 761, 1061652 293520, После Ферма
решением этой задачи занимались Озавам, Лейбниц,
а затем Эйлер и Лагранж. Эйлер возвращается к ней
пе раз в £вонх опубликованных мемутрах, называя ее
то задачей Лейбница, то задачей Ферма: опа решается
в «Алгебре» (ч. 2, § 240) и в мемуарах ЕбвО^. Е763^),
Е769* *). Е7724), а также в «Opera postuma» [(4.-224—222-,
491 )J. В этих работах он дает решение задачи и подтвер-
ждает, что решение, предложенное Ферма, удовлетворяет
условию. (Что это решение наименьшее положитель-
ное, доказал позднее Лагранж, который дал метод
построения всех решений). Заметки нз записных книжек
воспроизводят рассуждение, известное по опубликован-
ным работам; ищутся положительные числа а, b такие,
что а4-б=с2, a2 -\-ba=d*. Сначала находится решение
уравнения а2-}4>2= □:
a = p2—92, b-=2pq,
тогда
а2 + Ь2>=(р2+72)2.
Затем решается задача: р 2 4-9 2= □, для чего принимается
р=х2 — У2, q=2xy, и отсюда a2-|-62=(х2-|-j/2)4. После
того как второму условию удовлетворено, ищутся х, у,
удовлетворяющие также первому условию; подставляя
полученные значения а, Ъ, Эйлер приходит к уравнению
а + b = х* 4хяу — б.г2?/2 — 4 л уя + у* = □
н утверждает, что решение его есть х=1469, {/=84, а тогда
р=2 150 905, 9=246 792, откуда а=4 565 486 047 761,
0 Comm, aiithm. coll., II. 47, Op. отпп., I4, 91—104.
’) Comm, arithm. coll., II, 397—399; Op. omn., Is, 61—70. A
•) Comm, aiithm. coll., II, 403—405; Op. omn., I5, 677—81.
*) Comm, arithm coll., II. 42-1—427; Op. omn., Is, 82—93.
151
Г, П. МАТВНЕВСКАЯ
6—1 061 652 293 520. В третьей заметке Эйлер, как и в
мемуаре Е560, сводит задачу к ново»: 2а4—64= □.
Три записи (записные книжки Л® 132, л. 148, об., 149:
Л? 140, л. 60—61), из которых две не закончены, а послед-
няя опубликована в «Opera postnnia» (I, 250—252), по-
священы задаче нахождения прямоугольных треуголь-
ников, имеющих равную площадь. Во второй заметке
Эйлер предлагает три треугольника с равной площадью:
Несколько заметоК касаются задачи: найти два прямо-
угольных треугольнина, площади которых находятся
между собой в данном отношении. Такого рода вопросы
Эйлер рассматривает ц мемуар. х Е466, Е773 и в «Opera
postuma» 224-=227): последние записи взяты из за-
писных книжек ЛЬ 138 (л. 148 об. — 149 об.) и ЛЬ 140
(л. 62, 72—72 об). Кроме того, в записной книжке ЛЬ 132
па листах 88 об. и 149 Эйлер также ставит эту задачу.
Рассматривая прямоугольные треугольники с катетами
2аЬ, а2—Ь2‘, 2тп, т2—п2, для которых площади соответ-
ственно равны ab(a2—62) и тп(т2—п2), он требует сделать
аЪ(аг — Ьг) , п
выражение ———у равным данному числу /. В ка-
честве решения предлагается:
я = (2/ — 1)(8/-1), 6 = 8/2 — 20/—1;
,n = 4(/+ 1)(2/ —1), « = 8/а—20/—1.
В записной книжке ЛЬ 132 (л. 146 об.) Эйлер решает
задачу, не встречающуюся в опубликованных мемуарах:
найти прямо) гольныи треугольник, в котором площадь
плюс гипотенуза есть куб, а периметр равен квадрату.
Пусть площадь треугольника есть 1, гипотенуза z, ка-
теты х, у, тогда 2.1 = ху. Если х = 2, то у = А,
z=| .12+4. По условию,
рв — 2.1/г3 — 4, откуда .1 =
z-)-Л — ря; подставляя z, имеем:
р® — <4
' 2рЗ— • Периметр треугольника
х+ у z = р8-)- 2 н, по условию, р3 + 2 = □. При р = q — 1
это условно принимает вид q3 — 3q2 + 2>q + 1 = □. Эйлер
полагает q3 — 3g2 + 3<? 4-1 = fl + у 7^ • а отсюда q = .
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 155
Тогда определяются значения .1, у, z, х, и задача, таким
образом, решена.
На этом же листе решается другая задача: найти
прямоугольный треугольник, у которого площадь в сумме
с одним катетом образует куб, а периметр есть квадрат.
2я*-|-2л 2л+ 1
Рассматривается треугольник с катетами —
„ 2«’ + 2а-|-1 2«’+л ..
и гипотенузой------; площадь его есть----------А—.Но
0+1 Л-т- 1
2а* 4-л , 2л 4- 1 <э,4 г
условию, ---А— Ч-----гг = + 1 = кубу, а периметр =
• а --1 л -г-1
= 4а + 2 = квадрату. Следовательно, 2а + I = 8/Д а отсюда
8/>« —1
а = -!-п—
Па листах 146 об.— 147 поставлена следующая зада
ча: найти
метр есть
зует ку б.
Пусть
и («2+1),
прямоугольный треугольник, у которого пери-
квадрат н, будучи сложен с площадью, обра-
катеты треугольника 2пан п (аа— 1), гипотенуза
тогда нлоща <ь равна п2а(а2 — 1), а периметр
равен 2на2-|-2па. Ио условию 2па2± 2па = D = a2g2. Отсюда
2л 4л2дг п
a = —s • — и периметр = 7~5—?== . Следовательно, мери-
у2-2л (q2 — 2л)3
, 2n2q2 (2л2 — 4л 4-4л* — по2) ' ,
метр 4- площадь =---- , .—тгА-------2— = куоу. -Ио по-
(<7’—2л)» -
лучится, еезн н = 1 или л = 2. Тогда должно быть: либо
2g = ку бу, либо q = кубу.
На листе 147 ставится задача: найти прямоугольный
треугольник, у которого периметр равен кубу и в сумме
с площадью образует кватраг. Предлагается следующее
16-252
численное решение: периметр = 64, стороны =,
16-275 16-373 512-77
—, а площадь = ——.
--> 22о 22э
Наконец, на листе 149 этой же книжки рассматри-
вается еще одна, сходная с предыдущими, задача: найти
прямоугольный треугольник . “) »
площадь которого, увеличенная на данное число а, будет
квадратом. По у словию, pq (р2 — q2) + п2а = Если по-
ложить р = qz2, то qAz2 (z4 — 1) + п2а = □.
156
Г. II. МАТВИЕВСКАЯ
Пусть п = mq2z2. Тогда предыдущее условие примет
вид: z4 — 1 + m~az2 = П; положим это выражение равным
(z2+ ё')2 = z4 + 2vz2 + v2. Таким образом, получим m2az2 =
= 2vz2 v2 + 1 или ni2a2z2 = 2avz2 4- a (i? 4- 1). Если при
этом v = 'lai2, то отсюда
m2a2z2 = 4a2t2z2 + а (4а21* +1).
Положим, далее,
4a2t2z2 4- a (4«2/4 4-1) = (2alz 4- z)2.
Тогда
a (4a2t4-|- U — х*
Z 4atx '
niaz = 2alz-\-x,
,4=4 + ^- ->f J.______ 4tl* - 2о<(4а«(« 4-1)4-2tx*
Tez Te(4oV+l)-z« a(4a2t‘4-l) —x« ’
Следовательно,
_2t [a(4u2P4-1)4-z2l _ a(Wt24-l) —z«
,l a(4a2t44"l) —xi ’ iatx ’
4a tx
9 —a(4a2tJ4-l) —x’ ’
Таким образом, задача оказывается решенной.
Кроме ряда записей, являющихся черновиками к опу-
бликованным мемуарам, к данному отделу может быть
отнесена также находящаяся в записной книжке Л‘ 134
(л. 191 об.) задача: «найти треугольник, в котором пря-
мые, делящие отдельные углы пополам, выражаются ра-
ционально*. Решение этой же задачи, поставленной не-
сколько более широко (требуется, чтобы, кроме биссе-
ктрис, и площадь была рациональной), опубликовано
в 1813 г. II. Фусом'‘f. В работах Вилера подобная за-
дача не обнаружена.
Обозначая стороны искомого треугольника а, Ь, с
и применяя формулы для биссектрисы
. _) ab (я -j-b-J-c) (я4-Ь— с)
lead, . 4. 1813 240— 247
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА УИЛЕРА 157
Эйлер получает три условия:
ab {а + b + с) (а 4- b — с) = □,
«с(а + /> + с) (« —fe + c) = □,
be (а + b + с) (— а 4- b 4- с) — □ .
Полагая
н =/'(г2+ /'<?),
ft=g(re + />9).
с = (Р+7) (f2-pq),
он получает:
1) ab (а + b 4- с) (а 4- b — с) =
= 2 2/АУ2г2 (г2 + pq)2 (р + 9)2 = □;
2) ас (а + b 4- с) (а — b 4- с) =
= 22р2г2 (г2 + pq) (р + q)2 (г2 - pq) (г2 - д2);
3) be (а 4- b + с) (— а 4- Ь 4- с) =
= 22q2r2 (р+pq) (г2 — pq) (г2-р2).
Для обращения в квадрат 2) и 3) Эйлер полагает
(г® 4- Р<1) (г2 - pq) (г2 - q2) = (г2 4- pq)2t2.
Отсюда
Г2 (Гг _ р2) _ pq [г2 - q2) = Г2/2 4- pqt2-, р = •
Придавая численные значения величинам, входящим в
полученные выражения, Эйлер приводит пример искомо-
го треугольника: а = 14, Ь= 25, с—25. Этот пример фигу-
рирует и в вышеупомянутой работе Фуса. Кроме этого,
даются еще два примера: a=G46, Z»=975, с=975; а = 1309,
6=1183, с=1914.
IV. Отдельные уравнения 2-й етепенп
В записной книжке № 131 (л. 174 об.) Эйлер доказы-
вает следующее утверждение: выражение 5а2-\-2Ь2 ни при
каких целых а, b не может быть квадратом. Доказатель-
ство ведется от противного методом «неопределенного
спуска». Пусть 5а2 4~2£>2 — □; тогда b должно делиться па 5,
IjS
Г. 11. MVIBHEBCKUI
гак как иначе левая часть была бы числом вида 5А- ± 2,
которое квадратом быть пе может. Таким образом, b—5d
и 5я2-|-2-25d2= Последнее справедливо лишь в случае
я=5с. После подстановки данное выражение будет иметь
вид 5с2-{-2d2, где с < a, d < b. Следовательно, если оно
может стать квадратом в больших числах, то также мо нет
стать квадратом и в меныпих, н это рассуждение можно
неограниченно продолжить. Поскольку это в целых чис-
лах невозможно, утверждение доказано.
Сходного типа задача решается на л. 26 записной книж-
ки Л» 135: выражение mt2-{-пи2 сделать квадратом, если
известно тпа2 -\-nb2—с. Эйлер полагает l=ax-{-rz, я=»
=bx-\-sz, а затем подстановкой этих выражений вт/!+ли*
получает решение t=mar2—2nbrs—nas2n u—mbr2 -\-2mars—
— nbs2, для которого | nit2 + пи2 = с (mr2 4- ns2).
Четыре заметки из записной книжки Л» 132 посвящены
доказательству теорем о том, что выражения Зя2-|-ЗА24-
-{-7с2 и 2а2 -{-652-|-21с2 не могут стать квадратами пи при
каких целых значениях а, Ь, с. Обе теоремы сформулиро-
ваны в письме Эйлера к Готьдбаху от 8 мая 1742 г., однако
доказательство их в письме отсутствует. Это доказатель-
ство мы находим в записной книжке средн подготовитель-
ных заметок к названному письму. На л. 147 доказывает-
ся первая теорема: За2-| 352-|-7с2 Ф
Рассматриваются три возможности: 1) я, b четные;
2) одно из чисел а, b нечетно; 3) а, b нечетны. В первом
случае а2-{-Ь2= \пг, если с четно, то 3(a2-|-fe2)-| 7с2=4и , 3
н квадратом быть не может; если с нечетно, то 7с2 есть
число вида 8n-f-7 или 4n-f-3 и все выражение 3(я2-|-52)4-
-|-7с2 опять имеет вид 4n-f-3, т. е. пе может быть квадра-
том. Во втором случае a2 -f-t>*=4»-f-1 и 3a2 J 3/i2= in -|-3.
Следовательно, если с четное, то 3(a2-|-62)- 7с2 — 4n-f-3
и не может быть квадратом: если же с нечетное, то с2—
= 8п -с 1,7с2=8п— 1=4пг -J-3, откуда Зя2 -|-ЗЬ2 -}-7с2=4п-|- 6—
число нечетно четное (impariter par), которое квадратом
стать не может. Наконец, в третьем случае я2-|-Ь2=8п-]-2
и 3я24-362=8п4-6. Если с четное, то получится почетно-
четное число: если с нечетное, то с2=8п^ 1, 7c2=8m-J-7,
откуда 3(я2-|-А2) -)-7с2=8п -|-5, что квадратом быть пе может.
Теорема доказана.
о HEUlIi Б.ШКОВАШ1ЫХ РХКОНШЯХ ЛЕоНАГДЛ .Н1.1ЕРЛ 1.Й)
На листах 83, 144. 147 об. Эйлер возвращается ко вто-
рой теореме. Он утверждает, что а должно делиться на 3:
действительно, иначе 2а2-Зп-}-2, 2а2 - 662 -j-21c2=3m 4-2,
т. е. не может быть квадратом. Пусть а—3d и 18d24Gfc2-|-
_ 21с2= □ = 9е2, откуда Gd242/>247c2—Зе2. Далее, пола-
гается е=Ь—f. Тогда Gd2-}-7c2=b2—G6/-J-3/2 и Ь—
= 3/ ± I б/2 + 6d2 + 7с2. Если положить / = ^-|г-, d = •
то, подставляя эти значения, получим, что подкоренное
выражение равно 3#243Л24?с2 и в то же время должно
быть квадратом, а это, по предыдущей теореме, невозможно.
Восемь записей относится к доказательству теоремы:
'ipmn—т—п =/= □ ни при каких целых положительных
р, т, п. Этот вопрос возник в переписке Эйлера с Гольд-
бахом; первое упоминание о нем (для случая р—1)
встречается в письме Эйлера от 9 сентября 1741 г.1)4,!
а затем его решение обсуждается нс менее чем в 30 пись-
мах, вплоть до 1745 г. При этом задача ставится все более
широко (например, утверждается, что 4 ртп—т—па =£
¥= □, или ищутся числа е, для которых етп—т—п= □ ).
Кроме того, Эйлер занимается решением этой задачи
в двух мемуарах: Е164, Е241. Первая запись находится
в записной книжке Л® 131 и относится ко времени начала
переписки Эйлера с Гольдбахом ио поводу эте го вопроса;
шесть записей содержится в записной книжке Л» 132.
Таким образом, все эти записи относятся к периоду пере-
писки с Гольдбахом, и, как показывает их изучение,
по существу, являются подготовительными к некоторым
письмам. Это позволяет уточнить датировку записной
книжки Л: 132.
Г. Эпестрем не указывает даты ее окончания,
Г. К. Михайлов^ определяет эту дату как 1744 г^Однако
заметка, отпосящаяся к решению задачи етп—т—п— □,
находится на листах 243 об. — 244 (всего в записной книж-
ке 2G1 лист). Письма же, соответствующие этой записи
по содержанию, датированы 17 ноября 1744 г. и 1G фев-
раля 1745 г. Поэтому можно предположить, что записная
*) Corr. math, et phys., I, 107.
’) «Историко-математические псследов ттттят, вытт. X, стр. 70.
хГГ
16U
Г. 11. МАТВИЕВСКАЯ
х'р'
книжка была закончена полностью не в 1744 г., а, по
крайней мере, в начале 1745 г. Последняя запись нахо-
дится в записной книжке Л° 139 (л. 10G—10G об.) и опу-
бликована в «Opera postuina» (1, 55). Как уже сказано,
шесть заметок (№ 131, л. 119; № 132, .1.^97^197 об.,
220, 221, 243 об. — 244) являются черновиками к ряду
писем Эйлера к Гольдбаху 1742—1745 гг. В них воспро-
изводятся рассуждения Гольдбаха и дана критика этих
рассуждений или приведено доказательство Эйлера, из-
вестное по письмам. Интерес представляет последняя
запись (записная книжка № 132, л. 243 об. — 244), которая
посвящена общему случаю рассматриваемой задачи:
найти все целые положительные значения е, при кото-
рых выражение етп—т—п может стать квадратом. Во-
прос впервые ставится таким образом в письме Гольдбаха
в декабре 1743 г.\г. Эйлер приходит к выводу, что эта
формула не может стать квадратом только для значений
е=4Л, е=8А—1, и сообщает этот результат в письме
от 17 ноября 1744 г А), но не дает доказательства. В сле-
дующем письме цГ (от 1G февраля 1745 г.) он замечает, что
свою теорему получил только по индукции. Доказатель-
ство, предложенное Гольдбахом, подтверждает правиль-
ность его вывода. В данной заметке из записной книжки
содержится, очевидно, именно то неопубликованное нигде
индуктивное рассуждение, которое привело Эйлера к его
результату. Предполагая етп—т—п—аР, он получает
а* 4-ли4-п лоо
отсюда е= —— и исследует частные случаи n=l, 2, 3,
5, 6. Например, для и=1 имеет е—1 = ° и, следова-
тельно, е—1 равно делителям формы а2-|-1. Но всякий
делитель формы а2-| 1 имеет вид рг-|-д2, таким образом,
е=Р2+<724-1-
Отсюда для е получаются следующие значения: 1, 2, 3,
5, G, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 2G, 27, 30, 35, 37, 38, 41,
42, 50, 51, 53, 54, 59, 62, G5, GG, G9, 73, 74, 75, 81, 82, 83.
Далее Эйлер рассматривает случаи п=2, п=3. п=5.
*)-Corr. -math, et phys., I, 266.
2) Там же, 306—307.
s) Там же, 311—312.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 161
п=6 и приходит к ряду числовых значении, которые
может принимать е, а отсюда — к ряду значений, которых
е принимать не может: 4, 7, 8, 12, 15, 1G, 20, 23, 24, 28,
31, 32, 3G, 39, 40, 44, 47, 48, 52, 56, 60, 63, G4, 68, 71, 72,
76 и т. д. Из этого сделан вывод, что выражение етп—т—п
никогда пе может стать квадратом, если е=8Аг—1 или
е= 4/г, в остальных случаях оно может быть сделано
квадратом.
V. Системы неопределенных уравнений 2-й степени
Задачи этого раздела чрезвычайно разнообразны по
характеру и многочисленны.
1. Три заметки (записные книжки Л» 132, л. 1G5 об.;
№ 138, л. 23 об. — 24, 24 об. — 25) посвящены задаче на-
хождения положительных чисел а и Ь, для которых ab ±
± а — □, ab b= [7 Эти заметки являются подготовитель-
ными к мемуару E4GG^. По ним можно проследить, как,
ньч »в решать данную задачу в 1740 г., Эйлер возвращается
к ней вновь уже в 1770 г. и заканчивает посвященный ее
решению мемуар в 1774 г. Во второй записи Эйлер полу-
чает частное решение, которое в мемуаре отсутствует:
25 . 1112 401 о
а= 7, ь— „ . Здесь же он дает решение х =
11/ OlrJ
811 1369 12 769 - - „
= 810 ’ У = 840 ’ Z = -3360 б0Лее ООЩе1’ 3ада',П:
л-у±а:=С; ху ±?/=С; xz±x = fj; xz±z=fj;
yz±y=[J, yz±z=[J.
2. Задача: найти такие целые положительные числа а,
Ь, для которых ab J- а ± b = □, — рассматривается в
записных книжках .V: 137 (л. 373), Л» 138 (л. 7—7 об.,
74 об. — 75, 76 об. —77). Эти заметки являются подгото-
вительными к мемуарам Е405’^, E774* s), Е793\. В них, как
и в опубликованном решении, задача сводится к новой;
пщхтся числа р, q, г, s, удовлетворяющие услоапю
*) Comm, aritlun. coll., II, 53—63; Op. omn., I3, 338 358.
*) Comm, arithm. coll., I, 411—426; Op. omn., I3, 148—171.
s) Comm, arithm. coll., II, 438—449; Op. omn. E, 116—130.
*) Comm, arithm. coll., II. 586—587; Op. omn., Is, 284—302.
И Истор.-матем. исслсл.. вып. XIII
162
Г. П. МАТВ НЕВСКАЯ
\р.—= Новыми являются таблицы численных
rs(r* -s‘) *—
значений выражения ху(х* — у*), которые приводятся в
первой и последней заметках.
3. В .записной книжке Л» 133, л. 141 об. Эйлер решает
задачу нахождения чисел г и s, для которых г + s2 = □,
г> + г2= □. Метод решения отличается от метода, которым
решена эта задача в «Алгебре» (ч. 2, § 23). Полагая
а Ь
г = —, s = — и подставляя гнев исходные уравнения,
имеем после почленного перемножения:
nbx2 -|- (а3 + b3) х-±-а2Ь2 = □.
Правую сторону Эйлер полагает равной (ab-± рх)2, откуда
X _ a 4-fe — 2abp у()ГДа ах _ yi _ (° ~~ ЬР) u так как по
ab — рг ab — р*
условию, должно быть а.т — fe2=Q, то должно быть п
ab — р2 = □.
, m пг (as-j-6s) -+-2mnab
Если положить р = 4-----, ТО X =---1-;—, .------, при-
' п m* —п1 ab 1
чем требуется, чтобы — n2ab-\-m2 = к2. (Эйлер говорит, что
это у равнение решается легко.) Отсюда
_________ЬА1_____________________оА1_____
п1 (n*-(-6s) 4; 2тпаЬ ’ Г п2 i 2mnnb
В частности, прн т = 5, Л = 1, л = 2, а = 2, /> = 3 полу-
2 3
чается: r = ^, s = ^.
4. Задача, сходная с предыдущей (ищутся числа х,
у, для которых y — x2=[J, х — у2 = О), в опубликован-
ных работах Эйлера не встречается; в записных книжках
ей посвящены четыре заметки. Первая заппсь находится
на л. 123 об. записной книжки Л* 131. Эйлер предпола-
гает, что искомые числа имеют вид у-, у-. Тогда усло-
вия задачи примут вид г—?*=□, qr — 1 = □. Пусть
далее 7-=<72 + s1; первое условие при этом окажется вы-
полненным, второе псреппшется: g3 + gs2 —! = □. Тре-
буется определить s. Эйлер замечает, что в общем виде
решить полученное уравнение невозможно, и утверждает,
что это можно сделать в следующих случаях: либо q есть
и НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЛЛЕРА 163
квадрат, либо известен случай а2д + д’— 1 = □, либо q
есть сумма двух квадратов. Так. если a2g+g3—1 = 62,
то, подставляя полученное отсюда зпаченпе q в уравне-
ние п приравнивая левую часть уравнения выражению
Гт’+Сг- ОФ пол>ч,|м:
а(1-|-1г—fl1) л (о1? — Ьа4 1а)
*’ — 1 — 6a4-Z» + 26Z —лг9 ’
а тогда, используя г=д24-«2, получаем значение г. Если
предположить д=1-|-«2, то получается решение:
1 14-а*
I _|-3aa_|_n< ’ 1 Зл2+«1’
В этом Mecie сделана приписка: <Ozanami ?olutio»,
пз которой можно заключить, что данная задача встре-
чается у /К. Озаиама.
Вторая заметка, касающаяся данного вопроса, нахо-
дится в записной книжке Лг 133 (л. 144 об.); задача ре-
шается методом, изложенным при рассмотрении преды-
-II а Ь
гущен задачи. При этом, предположив r = —, s=— ,
Эйлер, рассуждая, как и раньше, получает
______ла (аа-}-6а) 2тпаЬ
пгаЬ—ш2
где n2ab — т2 = к2-, отсюда окончательно:
акг Ькг
Г п* (л2-}- Ь3) ± 2mnab ’ * na (as4-ts) ± 2тпаЬ ’
__ к(па3-\-тЬ)
n2(fls4-fcs)i 2тпаЬ
В частности, для wi=l, к=1, п=1, «=1, Ь=2 либо
_ 1 2,12
г = Т » 5 = дг . лиоо г = —, s = — .
5 5 13 ’ 13
На л. 145 об. этой же записной книжки помещается
третья запись. Здесь формулируется теорема, которая
дает условие разрешимости поставленной задачи, а именно:
?/ —-та=П, х — у2=П, если (р2 4-д2) (.г2 4-у2) — 2 (р4—
— 94) л'У + 2<уа (р2 — д2) (х + у) -|- q* = 0. Полагая z=Z-f-u,
y—t ч. Эйлер подставляет эти зпаченпя в уравнение и,
11*
164
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
произведя ряд преобразований, получает
ma-|~2mn-|-5na 4_ ша—2mn-f-5na
Г ~ 10(та4-ла) ’ ?/ — 10(ma-f-na) ’
Последняя, четвертая запись, обнаруженная в запис-
ной книжке eV 136, л. 85 об., воспроизводит рассужде-
ние из первой заметки, относящейся к данному вопросу.
3. Три записи из записных книжек Эйлер посвящает
задаче: найти такие положительные числа х, у, z, для
которых £±z=O, y±z = Q. До Пилера
этой задачей занимался Лейбниц (в неопубликованных
рукописях)Решение Эйлера было опубликовано в «Ал-
гебре» (ч. 2, § 234) н в мемуаре Е753^ В записной
книжке № 132 (л. 143, 147 об.) имеются две заметки,
относящиеся к этому решению, 1де дается два численных
примера, которых пет в названных работах: 1) х = 77 764850,
« у = бб 473,230, z = 20 126 386; 2) х = 2 399 057, у = 2 288 168,
|5 z= 1873 4$2.
Дтя первого решения: з+у= 120102, а- —у = 3 3602,
x + z=9 8942. x-z = 7 5922, у + z_= 93062, y-z = 6 8082;
для второго решения: ,т 4- у — 2 1652, х — ?/ = 3332, x-f-z =
= 2 0672, х — z= 7252, у 4-z = 2 0402, у— z=6'i'i2.
В записной книжке Л" 140, л. 64 находится решение
этой же задачи. Запись можно прижать относящейся
к вышеупомянутому мемуару (очевидно, поэтому опа и не
была опубликована в «Opera postiima»), однако ход рас-
суждения здесь отличается от опубликованного решения.
11усть А 4- В — х2, А-\-С — у, В + С = z2-, тогда
В — С = х2 у2. Отс юда же 2В = х2 + z2 — у2, 2С = z2 4-
4-У2 — х2, 2.1 = х2 + у2 — z2, а также Л — В = у2 —
J — С = х2 — z2, В — С = х2 — у2, причем три последних
выражения должны быть квадратами. Чтобы были
квадратами х2— z2, х2 — у2, необходимо, чтобы х можно
было представить двумя способами в виде суммы двух
квадратов. Пусть х = р2 4- q2 = г2 + г>2 = («2 + Ь2) (с2 4- </2).
Если положить z= 2pq, у = 2rs, то х2 — z2 = {р2 — <?2)2; следо-
вательно, ) .1 — С = р2 — q2. Также х2—у2 — (г2 — *2)2, следо-
’) М a h n k е, Leibniz auf der Suche nach einer allgemeinen
Primzahlgleichung, Bibl. math., 133, 1912'13.
a) Comm, arithm. col)., II. 392—395: Op. omn., I.,. 20—27
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 165
вательно, J В — С=г® — s®. Остается: у2—z® = □ — 4 (А® —
— р®у2) = J — В. Из пре идущего p=ac-\-bd, q — ad — bc,
r = ad+bc, s=ac — bd. Поэтому rs + pq = 2cd («® — b2),
rs — pq = 2ab (c® — d2), откуда A — В = Iftabcd (a2 — b2) X
. (c2 — d2), и дело, таким образом, сводится к отыскания)
таких двух значении формулы /<?(/2 — g2), чтобы их про-
изведение было равно ^квадрату. Эти значения предла-
гается находить по таолице, находящейся на листе 61
этой же заниспоп книжки. После этого Эйлер рассма-
тривает пример: а=6, 6 = 1, с = 5, d = 2. Для этих зна-
чений Л-Я = 840®, Л + В= 1073®, А- С = 975®, А-[-С =
= 952®, В —С = 493®, В + С = 448®. Отсюда найдены
. 1856 929 ,, 445 729 „ 44 321
А =----г,---, В — —-----, С = —-—. В копие записи
замечено, что другим методом можно получить другие
значения: Л = 733 025, Л = 418 304, С = 488 000, т. е.
решение дайной задачи, приведенное в мемуаре Е733.
6. Две незаконченные заметки (записная книжка
№ 129, л. 50 — 51 об.; Л» 131, л. 61 об.) касаются этой
же задачи, поставленной для четырех переменных. Этот
случай в опубликованных работах Эйлера не рассматри-
вается. В первой записи предлагаются следующие значе-
ния для искомых величин: а, а-^-х2, а-\-у2, a-|-z® —и
2 2 z \2 P3~t~z2
ищутся их разности: z® — j® = (z — р), отсюда z = ;
таким же образом полагается z® — y®=(z—q)2, откуда
?/ = . , . Наконец,
| у® - Z® = I (Р ~ X2q)2 - z® (р + p2q) (р + pq2).
Запись пе окончена.
Во второй заметке дается решение: если a, b, с, d —
искомые числа, а
_rza-|-2rz— х ____ту*2гу—х
р Ар ’ 9 АН ’
то
p® + <z‘ —г® . р2— <7а+а.® 9®— Р2 + *3
2 2 * 2
, 2г2 — pb—q2 х2
а —-----.
166
Г. II. МАТВНЕВСК\Я
7. Задача: напти два числа х, у, чтобы было
х2 + т/2=П, а2 — 2/г + 2 = П, —не встречается в опубли-
кованных работах Эйлера. Ей посвящена заметка из за-
писной книжки Лг 133 (л. 29 об.— 30). Для решения
рассматривается прямоугольный треугольник с катетами
x=2nab, у = п((г—&) при различных значениях л.
В результате Эйлер приходит к выводу: из любого при
моуголыюго треугольника могут быть найдены бесчис-
ленные пары целых чисел х, у, решающих данную задачу.
8. Пять заметок (записные книжки Л» 133, л. 145,
146 об.; Л« 137, л. 338; Л» 138, л. 140 об., 142— 142 об.)
относится к решению различных случаев задачи: найти
четыре положительных числа a, b, с, d, для которых
при данном п выполняются условия at + п = □, ас + п = □,
«</+«=□, fcc + n = C, c</ + n=Q. Эта
задача решалась и до Эйлера. Баше рассматривал ее
/1 = 4. Эйлер решает
в «Алгебре» (ч. 2,
для п = 3, Ферма и де Билли для
ее в мемуарах Е793^), Е360*) и
§ 233 — 234). В первой заметке из записной книжки при-
водится ряд численных решений для случая п= 1: (2, 12,
4, 42(1), (2. 12. 24, 238(1), (3, 8, 1, 120), (3. 8, 21, 2080),
(3, 5, 16, 1008).
Во второй записи рассмотри! общий случаи, когда
число, прибавляемое, по условию, к произведениям двух
чисел, есть— п. Пусть c = a + fe-f2] ab— п, d = fc-f-c-f-
+ 2} be — n, ad — n = Пусть, далее, ab — n— jr. Тогда
I рг-\-П , Р2-|-Л о
^ = 4“’ c = a + ‘-^- + 2p,
l (/'24~л)2 , г . 2p . г . . r0j24-n)a । 12
fcc-n = v T. '.+/?2 + _2.(p2 + H)= [^У..Т.Б-1-pJ .
Следовательно, d=^+ 4p + а. Далее должно
быть выполнено условие
ad — п = 4p2-f- hap + аг-\- Зп = □ или (2р + а)2-|-Зп =
После этого Эйлер приводит «пример Диофанта» — случай
п = 10. Для этого случая (2р + а)г -j- 30 = □, н, решая
*) Comm. arithm. coll., II, 579—582; Op. omn., lo, 284—3U2.
г) Comm, arifhm. coll.. II. 45—46; Op. omn., I,, 91 —104.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЛЛЕРА 167
5 29
уравнение, Эйлер получает два решения: !)« = — , 6 = -^,
49 , 1G1 „. 3 , 22 41 , 161 "
f = i0’d = -10 • 2)Я = Т- Ь= з ’ с = -6 .«/“-б-.Втретьеи
заметке для случая п = 80 Эйлер дает решепне: а= 1,
6=41, с = 64, <7=209. Остальные две заметки являются
подготовительными к мемуару Е560.
9. В записной книжке № 132 (л. 145 об.) имеется
заметка, касающаяся задачи: найти такие три числа х,
у, z, чтобы ху ± (z-by + z) = 0, xz ± (x-j-y + z) = □,
yz ± (z+ y-\-z) = (В опубликованных работах эта за-
дача ставится для четырех неизвестных.) Эйлер полагает
х + у + z = 2abct2, после чего решепне оказывается най-
денным, если ху = (а2Ь2 + с2) I2, xz = (а2с2 + b2) t2, yz =
= (b2c2 + a2) I2. Произведя ряд преобразовании, он полу-
чает решение в с юдующем виде:
х = (1 + а2) I,
(1+а’)«-2(1-0’)^+л-\.
(1 + 0*)*+2(1-аг)р»+/.<
Z- 4 I,
оста-
Д а(1+0»-^) •
10. В записной книжке А: 132 л. 148 об. Эйлер
навливается па задаче: найти три квадрата, разности
которых суть квадраты («Алгебра», ч. 2, §236—237),—
и дает два численных решения. Он утверждает, что задачу:
z2 — £2=Q, z2 — у2 —□, у2 — -,2 = □— решают числа:
1) а;=-2040, у = 2067, z = 2165; 2) х = 75б, у = 756,
z = 925. Действительно, 1) z2 —х2 = 7252, z2 — у2 = 644s,
у2 - х2 = ЗЗЗ2; 2) z2 - z2 = 5332, z2 - у2 = 5332, у2 - х2 = 0.
11. Задача: найти три квадрата х2, у2, z2 так, чтобы
£2 + i/2=O, х2 + z2 = □, y2-|-z2=O. Этой задачей зани-
мался до Эйлера Саундсрсон (1682 — 1739), который полу-
чил решение х =117, у =44, z = 240. Эйлер решает ее
в «Алгебре» (ч. 2, § 238) в в мемуарах Е1271) и Е799Т).
О Comm, arithm. coll., I, 427; Op. omn., Ia, 172—210. 1
*) Comm, arithm. coll., I. 650: Op. omn., 15, 366—370.
168
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
В записных книжках он касается дайной задачи шесть
раз. В книжке № 131 (л. 61) дается решение, отличаю-
щееся от всех опубликованных. Искомые числа обозна-
чены а2, Ь2, с2.
Пусть « = /? — q2, b = 2pq\ тогда а2 + Ь2 = (р2 -}- q2)2,
b2 -|- с2 = 4/>2<?2 + с*. 11олагаем 4p2q2 + с2 = (с2 + 2г)2, откуда
Р2Ч2—г2 п
с = х—-----.Подставляем полученное в третье условие:
а2 + с2=|~1,— и приходим к уравнению p*r2 — 4p2q2r2 +
+ qir2 + piqi + rt= □ .
П\сть p — mq, r — nq2. Тогда уравнение примет вид
тп*п2 — 'ип2п2 4- п2 + п* = □.
Если, далее, положить m = n-j-x, то получится новое
уравнение:
п2 (П2 /1Из („г - 1) х + п2 (6п2 + 2) х2 +
+ 4п (п2 + 1) х3 + (п2 + 1) х4 = □.
И pain ю часть Эйлер полагает равной £ п (п2 — 1) + 2л2х-{-
, «(”24-1) 2Г 4ns—п п
4—х2 J н получает х = 1_3в« • Отсюда т =
л3—3л п3-3п 2 ,
= ~i —Tin2 ’ ? ~ Т— Зяа г ~ ' ^сли считать q = 1 — Air,
$*"|то р = п3 — 3/1, г = п — 6л3 + 9л® н окончательцол = л6 —
— 15л4 + 15л2—1, 6 = 6лв— 20л3-|- 6п, с = 8л5 —8л. При
л = 2 Эйлер приходит к известном'" решению л=177,
й = 44, с = 240.
Во второй заппсп (записная книжкй 132, л. 143)
зад ча решается методом, также отличным от опублико-
ванных. Ищутся числа х2, у2, z2. Flycib х2+ z2= (., -f-р)2,
откуда х = ; у2 4- z2 = (у + q)2, откуда у = —.
Следовательно,
т2 4- I/2 - ?2U2-r2)2+P2(z2-g2)2 _
х + У 4^2 - и-
В качестве решения последнего уравнения Эйлер при-
водят:
Р — (3 — /л2) ц, q = (3 — m2) mn, z = (Зш2 — 1) л.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОН УРДА ЭЙЛЕРА 169
Далее в этой заметке, как к в трех следующих (записные
книжки № 134, л. 211 об., Л® 140, л. 5 61), даются чис-
ленные решения рассматриваемой задачи, из которых
(сличаются от опубликованных следующие: (3120, 2035,
828), (16-33-100-29-131, 299-101-97-233, 12-33.10-97Х
X 233), (32-3-5, 4-5-7, 9-7-11), (16-9-11, 4-3-5-17,
И 17), (21-23-25, 48-41, 44-25). Последняя запись пе
закончена.
12. Одна заметка из книжки Л" 132 (л. 149—149 об.)
посвящена задаче: пайти такие три числа х, у, z, чтобы
х2 ± (-t + y + z) = □, у2 ± (i’+y+»)= □, z2 ± (x-|-y4-z) =
= □,— 110 встречающейся среди опубликованных работ.
21*^5. ЧЧ',(1 277
Эйлер дает численные решения: 1) .
2958-3929 ... 406 518 791
29Ь76оо; 2) -96”’ “ШТ’ -go-• НР11’^ отмечает, что вто-
рое решение папмепыпее.
13. Одна запись (записная книжка Л» 133, л. 152) по-
священа решению задачи: найти три такие числа а, Ь, с,
ч гобы, ab + ас -f- Ьс = □, а2 + Ь2 + с2 = □.
Пусть ab + ас be = р2, а2 + 62 + с2 = q2', тогда р — 2т п,
q = 2m2 — n2 (так как 2р2 -f- q2 = □), а + Ъ + с = 2т2 + и2.
Пусть, далее, b-\-c = 2t, b — c = 2u. Произведя ряд под-
становок, Эйлер пол}чает значения т, п, а затем сле-
дующее решение: а = х1 — 2х2у2 + 4у4, Ь = 2ху (.t2 + 2.<у —
-2//2),с = 2,гу(2у24-2зу —д-2), где | 3-1<^<| 3-J 1.
Остальные заметки из этого раздела (всего в нем на-
считывается 61 запись) в основном, за исключением не-
скольких незаконченных, othochich к опубликованным
работам Эйлера и не содержат нового но сравнению с этими
работами.
4 1. Неопределенные уравнения в системы уравнений
3-н степени
К данному подотделу относится 41 заметка из записных
книжек Эйлера. Из них 15 оказались касающимися за-
дач, либо ранее неизвестных, либо решенных новыми
методами. Приводим наиболее интересные.
170
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
1. Задача нахождения двух чисел т, у, для которых
а?3 + у3=С, решается Эйлером в ме.муаре E255',j. В за-
писной книжке Л: 134 (л. 118) имеется небольшая за-
метка, интересная не столько решением задачи (которое,
отличаясь от опубликованного, не является стро1 им и даже
не закончено), сколько тем, что здесь приведены некото-
рые вычисления и виден ход мысли Эйлера при решении
задачи; в других заметках чаще всего дается лишь гото-
вый результат. После формулировки задачи (.134-В3=П)
предлагается подстановка: А = , В = р~ч- ,|~йри
которой \словпе принимает вид^ P+Q = □
или р (р3 + 3<72) — □. Далее рассматриваются два случая:
1) р не делится па 3; 2) р делится на 3. В первом для вы-
полнения условия />2-|-3<72= □ предполагается: р2 + 3<у2 =
= (а2 Зб2)2; при этом Эйлер считает р= j- ° - = □,
q = . Во в юром случае р = Лг, и условие перепишется
в виде г (Зг2ц2) = □. Для этого последнего
Сначала Эйлер придает «, Ь, п различные численные зна-
чения и получает ряд значений для J, В, из которых
часть задаче пе удовлетворяет. После этого, записан
строку численных значений для «2, а под пей строку
значений для ЗЬ2, Эйлер производит иены гания для тех
значений выражения «3 —Зб2, которые являются квад-
ратами. Таким образом, он получает решения: 10, - 6;
8, — 7; 65, 56; 450, 34.
2. В записной книжке № 131 (л. 176 об., 177 об.)
приводятся следующие две теоремы (без доказательства):
1) если ах3-|-Рх2 ух-)- б стаповптся квадратом при х = а,
так чго ] а«3 +Ра2 + уа+в = й, то эта же формула также
„ (ааа—у)а—46 (аа-|-В)
отдел квадратом в случае х =------!— ,а ---, и тогда
’) Comm, arithm. coll., 1, 193—209; Op. omn., I2, 428—458.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 171
—= 5-5----------т 2Ь*+(х—а)(Заа*+2Ва + у) -н
J a.f3 + ₽i2 + YX4-fi = —------ 26 - 2) если
1 2яг+ bz2 4- 2cz3 становится квадратом при z = h, при
котором | 1 -р 2аи + Ьч* -+• 2сяя — s, то оно выполнено и для
с—2аи4-(с— 2аи — 4иги) I —пи—1+* >т
z = ---- \у2- -—— ’ р® У--------------• При атом
| 1 -t- 2яг + bz2 + 2 с z3 = 1 4- az 4- 2з2у.
3. В записной книжке Л» 131 (л. 174) Эйлер доказы-
вает теорему: выражение хя ± 1 не может стать квадра-
том ни при каком х, кроме х = 2. Этот вопрос рассмат-
ривается в «Алгебре», ч. 2, § 121, но данная запись
заслуживает внимания, так как доказательство в ней
проводится способом, совершенно от точным от опублико-
ванного. Пусть а3 4- 1 = □. т. с. (я 4-1) (а2 — а 4- 1) = □. где
оба сомножителя взаимно просты. Таким образом, должно
быть одновременно a 4-1 = 0, а2 — а 4- 1 = □• Это оказы-
вается выполнимым, если оба выражения равны, т. с.
я2 = 2я, откуда либо я=О, либо a = 2; теорема для этого
случая доказана. Рассматривается второй случай;
a3 — 1 = Тогда должно быть (a — 1) (а2 4- а 4-1) — □ , гдо
сомножители либо взаимно просты, либо равны. Первое
оказывается невозможным, так как тогда одновременно
должно быть я— 1 = □, я2-|-я4- 1 = □, но (я2-|- 1)г > а* +
4-я4-1 > я2 и, следовательно, я2-|-а+ 1 ¥= □• Остается
второе, откуда я2 4-2 = □, что невозможно. Теорема до-
казана.
Здесь же доказывается теорема, которая утверждает,
что выражение х3-|-х не может стать квадратом даже
при дробном значении х. Доказательство проведено мето-
дом неопределенного спуска.
4. Задача: найти числа х, у, z, для которых xyz ±
± (х 4-У 4--z) = кубу, — рассматривается нал. 149 — 149 об.
книжки № 133. Если искомые числа суть —, —, —
" 8 3 3
то, полагая abc 4: (а 4- b 4-с) s2 = (/> ± с/)3 и произведя ряд
операций, Эйлер получает следующие частные решения:
.. а _ 60-164 Ь _ 6529-164 с _ 3-164 .
~ 73-127 ’ s— 73М27 ’ « ~ 127 ’
а 24-73 Ь 313-73 с 3-73
s ~ 11-43 ’ з — 8-11-43 ’ s — 43 ’
172
Г. П. МАТВИЕВСК ХЯ
5. В записной книжке № 132 имеются две записи
(л. 83, 86), в которых Эйлер предлагает два решения
задачи, не встречающейся в опубликованных работах:
найти четыре куба Я3, В3, С3, D3, чтобы их сумма рав-
нялась бы данному числу’ п. Первое решение:
.1 = (3</2z + 'Лут? + и): 6</z; В = (— 3y2z — 3yz2 + п): (iyz;
С — — 3#z2 — п) : (iyz; D — ( — 3y2z -}- 3yz2 — n): 6//z.
Второе решение:
an-|- Gaj (od-|- be)2-}- \2ab3f* (ad-{-bc)2a/’ (a*—Z/e)
12afcf (ad-|-6c)
_ —an — Gaf (ad-]-bcf-\-i2ab3l3(ad-}-bc)—2a/s(oe— 6’)
12afc/ (ad-fbc) ’
„ bn — Gbf(ad-\-bcf—12a3bf3 (ad-\-bc)-]-2bf3 (a*—be)
12abf (ad-\-bc) '
r — bn-]-Gbf (ad-}-Ьс)3—Г2а3Ь]2 (ad-}-bc) -2bf3(a3 — b*)
‘ ~ I2abf (ad.-+be)
При этом отмечается особый случай:
6. В записной книжке № 132 (л. 103) Эйлер рассмат-
ривает две задачи, которые также в опубликованных ра-
ботах не обнаружены. Найти два числа х, у, чтобы нх
сумма, произведение и разность (сумма) квадратов на-
ходились бы в геометрической прогрессии. В качестве
решения первой задачи предлагается:
(т — я)(т+я)* . „ (т —л)(т + л)2 .
- тп2 ’ ' ~ т2п
решение второй:
_ (m-{-n)(m2+w2) _ (m + n)(m2+n2)
тп2 ’ •* т2п
7. Задачу нахождения трех чисел, для которых выпол-
нены условия: x — xyz=[J, у — xyz = □, z— xyz= [J, —
в опубликованных мемуарах Эйлера найти не удалось.
Она формулируется и решается в записной книжке Л° 131,
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 17з
л. 78 об. Сначала Эйлер полагает т — xyz = а2х2, отк>да
х — —• Второе условие примет вид у — xyz—у —
t/z - f
—-—— = □• Это выражение полагается равным b2y2.
Тогда у azyt___2г
b* — z *(a2 —г)(62—
a2b* — z2 ’ (аЧг-z1)2
Гретье условие теперь перепишется следующим образом:
z (a2b2 — z2) — z (а2 — z) (Ь2 — 2) = □.
Пусть Ь — па. Тогда тпяа* (1 — m2)2 — т (1 — тп) (п — т)
должно равняться квадрату, который Эйлер считает рав-
ним т-------—~—-
Производя соответствующие преобразования, он по-
лучает:
= тпа* (1 — т2)2-
Отсюда
1 . 1 , 1 1
П = ---Г , " = --Г , аЬ = ---Г » 2 =
шла* 4шла кто*
Пакопец, подставив полученные значения в выраже-
ния для г и у, он приходит к следующему:
ЛтРа* (4а*—1) 1—4т2л*
У 1 —т2 ’ Х ~ аг(\ — т*) '
Далее Эйлер приводит (Ва численные решения задачи:
.. 4 317 175
1) 2 — 9 , у — 4.,14.4 > ‘ — 3.4.<| »
9216 4131 33600
Z“ 9-9-16-16 ’ У~ 9-9-16-16 ’ ' “ 9-9-16-16 ’
8. За (аче: найти три положительных числа х, у, z,
для которых xyz ± х = □, xyz ± у = □, xyz ± z = □, — по-
священа заметка из записной книжки № 138 (л. 25 — 25 об.).
Вначале Эйлер полагает: yz — -^—^—, xz = - , ху =
_ . Тогча „ приаптасть
последнего равепства, следовательно, должна быть квад-
174
f. П. МАТВИЕВсКАЯ
ратом; таким образом, получено первое условие. Далее,
подставляя значение yz в условие задачи т (yz-|-1) = □,
•1" 1(Р+02 r-i х г—I т
Лидер получает: —-— = □ , т. е. = □. Таким же
образом оказывается
•^- = □. ^г= Тогда, используя
введенные ранее значения для yz н перемножая почленно
yz л2-4-1 ,_,
два последних равенства. • шпор получает □
р«+1 — „ g’ + l * г*+1 —
или — = П. 1 аким же ао разом — = П, > - = П.
2pqr 1 2pqr Zpqr
Эти три условия включают в себя первое. Далее, пола-
а»-Л* c»-d« /»—
ГЯЯ Р = ~ ~2аЬ~ ’ 9 = ’ Г = " 2/g ’ 1,МСеМ ДЛЯ иыпол’
2,1 (fl» + b2)2
нения полученных трех условии: 1 = ,
72+ 1 = —- , г2+ J — , т. е. числителя явля-
' 4«*сг 4а,Ь1
ются квадратами. Следовательно, квадратом должен быть
- - о (a2—^(c’-^X/2-?2)
м их оощии знаменатель, т. е. 2ijqr =---- , , ------- .
1 ‘ iabcdfg
Таким образом, вопрос сводится к нахождению трех зна-
чении формулы /пл(тн2 —л2), произведение которых есть
квадрат. Поэтому Эйлер приводит таблицу:
т п тпп (ml—п1)
2 1 2-3
3 2 2-3-5
4 1 2-2-3-5
5 3 2-2-2-3-5
5 2 2-3-5-7
5 4 2-2-3-3-5
6 1 2-3-5-7
В конце заметки приводится числепное решение. Пусть
3
а = 2, Ь = 1, с = 3, d — 2, f = 5, g = 4. Тогда Р = ~^
5 9 25 169 1681
9 — 12 ’ г~ 40 ’ VZ~ 24 ’ XZ~ 120 ’ Гу~ 720 "
1Л 13-41 13-41
Отсюда ^г/2= и, наконец, т у = - — ,
32-9-3 3-4-2о J 3-4-13
5-13 „
z — - . -Запись кончается проверкой этого решения.
5-41
2 41
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЗИЛЕРА J75
VII. Неопределенные уравнения 4-й степени
Заметки пз записных книжек, отнесенные к этому
разделу, охватывают широкий круг вопросов. Таких за-
меток насчитывается 64. Рассмотрение их показывает,
что, как и записи пз других разделов, по своему значе-
нию опи неравноценны: если одни пз них представляют
собой только черновые наброски к опубликованным ра-
ботам, то другие содержат вопросы, не встречающиеся
в этих работах, и поэтому имеют самостоятельный инте-
рес. Последних насчитывается 31 заметка. Остановимся
на тех, которые представляются панбоюе интересными.
1. Задача: найти целые числа х, у, z, дтя которых
34 + y4 + z4 = O. Эта задача впервые формулируется п ре-
шается Диофантом, который получает для нее решение:
ге= 12, у =15, z = 20 и 124+ 154 + 204 = 4812. Ею же за-
нимался Варпш (1736 — 1798), воспроизведя в 1770 г.
в своих «Medilaliones а1реЬга1сае»Урешенпе Диофанта.
В конце XIX в. к ней возвращаются Мартин и Адкок,
которые устанавливают, что решение Диофанта есть наи-
меньшее решение в целых числах. В опубликованных
работах Эйлера эта задача не встречается, но в своих
записных книжках он обращается к ней несколько раз,
а именно: № 132 (л. 144), Д® 133 (л. 151 об.), Д® 134
(л. 80 — 81), Д: 136 (л. 83, 84 об. —85). Первая запись
(записная книжка № 132, л. 144) представляет собою
повторение Диофанта. Предлагается подстановка: л-* +
yi [ -4_______________________________________________д!
4- у* + z4 = (х2 + а)2, и отсюда получается а:2 = ~ а-;
полагая а = у2—z2, имеем х = — уг- Далее, если поло
I
жить у = п (рг+ у2), z = n (рг у2), то а~= —"•
n = 2pq получим *4 + y4 + z4 = (ps -|- 14р4у4-|- у8)2. Если,
в частности, р = 2, q =1, получается решение х — 15, у=20,
z=12. Запись кончается словами: «Это предложение
Диофанта». В следующих, большей частью незакончен-
ных заметках Эйлер пытается решить задачу несколько
иными методами, которые приводят, однако, только к
уже найденному решении».
176
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
В записной кппжке № 134 (л. 81) дастся подстановка
х2 = 2п (я2 4- 6* — с2), у2 = 4пас, z2 = 'inbc и рассматри-
вается при п = -^-; для предлагаемых Эйлером значений
а — 25, b = 9, с =16 получается прежнее решение.
В записной книжке Л" 136 (л. 83) Эйлер приводит
повое решение, говоря, «чтобы было я4 + 6* 4-с* = □;
кроме решения а =15, 6 = 20, с = 12, имеется
я = 130111, а = 88639,
(*) 6 = 5-120-481, и 6 = 5-120.481,
с = 3-120-481 с=4-120-647.
Пакопец, в последней записи в этой же записной
книжке на л. 85 Эйлер замечает без доказательства, что
если известен случай а* + 64 4- с* — d2, то другие решения
задачи j4 4- у44- z* = v2 полз чаются пз него при помощи
следующих общих формул:
1) х = 2acd, у = 2bcd, z — а* 4- bi — с4.
Действительно, тогда j 4 4- у* 4- z4 = (d* 4- W2c4 — 4c8)2. Если
рассматривать решение а = 20, 6=12, с = 15 как извест-
ное, то эти формулы приводят к решению (♦).
2) х = 2асс/((/4-с2), у = 2bcd (</4- с2),
z = (<Z-c2)(d24-2c4).
Таким образом, записи данного раздела представ-
ляют несомненный интерес, особенно заметки из запис-
ной книжки № 136 (л. 83, 85), как не встречающиеся
в опубликованных работах Эйлера и содержащие новые
результаты.
2. Задача: найти числа х, у, z, v, для которых
т44-?/4 4*z44- V* = О, —встречается в записной книжке
№ 132, л. 82 об., 83, 143 об. Она формулируется на
листе 82 об., и здесь же приводится следующее решепне:
«чтобы было а* 4- 64 4- с44-^4 = □» следует взять
а = 7 g* 4- 30g2/r 4- 9А4,
6 = 7g4 4-12g3h 4- 30g262 — 12gh3 4- 964,
c = 7g4 - 12g3h 4- 30g262 4-12g634-964,
d = 7g* 4- 6g262 4- 33/Э.
Г I I ( I Т I I I ( I 7 I I Ь X Pl КОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЛИТЕРА
н будет
/л4 + />4 4- С4 4- с/4 = 2 (7g4 4- 3()g2//2 4- 9/i4) X
X (7g4 4- 18g2/? + 21 Л4) 4-144/г2 (3g2 4- 5Л2) (Л2 - g2)2».
Так, если четыре корня суть: л = 241, /> = 169, с = 313,
// = 169, будет J л44-Ь44-с4 4-d4= 120842 = 2-23-37-71;
другие четыре корня получаются, если положить g = 3,
Л = 1; тогда л = 141, />=189, с = 93, </ = 109. Каким
путем .Эйлер приходит к этим результатам, остается не-
известным.
На листе 143 об. дается короткая заметка: «Квад-
ратные числа, менылие, чем 3000, которые являются
совокупностями (agcrrepata) четырех биквадратов, суть
4, 49, 64, 289, 324, 529, 784, 1024, 2500>>. Кроме того, здесь
же приводится решение: 1994 4-2814 4- 34344-5594 = 344 1622.
Все это, очевидно, получено путем непосредственных
вычислении. В опубликованных работах ничего, связан
пого с даппон задачей, обнаружить не удалось, и по-
тому заметки этого раздела следует отметить особо.
3. В записной книжке №131, л. 176 предлагается сле-
дующая теорема: если х* -у ал2 у2 4- $у* есть квадрат, то
квадратом будет также форма л4 -|- о-а2Ъ2 -|- р/>4, если
а = .г4 — Ру4, b — 2гу | х* 4- ах2у2 4- Ру4.
На листе 179 этой же книжки формулируются еще
две теоремы: 1) если а* 4- та2Ь2 -|- Ь* пе может быть квад-
ратом, то нс будут квадратами и следующие выражения:
азр ^2 — т) р* — 2а2р2/лр2у2 — <ф3 (2 4- т) у4,
а3Р/>4 — 2а3Р2нгр2у2 — (т2 — 4) арзу4;
2) если ар* 4- °Я = □ >то Должно
е , рг mn4-d р* с—п*
СЫТЬ лпбо -— =------Цг- , Л11ОО ----т—Т .
q2 а—т2 q* mn-f-a
4. В нескольких записях Эйлер рассматривает от-
дельные уравнения 4-н степени п предлагает ряд ре-
шении:
1) х* 4- 2лх3 4- b г2 4- 2сх 4- d2 = □, x=-^7^ad _ а~
ппсная книжка № 132, л. 196 об.);
12 Истор.-матгы. исслсд., вып. XIII
178
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
2) а*-'т3Ь-(ш2Ь2-\аЬ3 + Ь*=С, а = 39, Ь = 2;
а = 64, £>=1469 (записная книжка Л° 133, л. 135 об.);
3) а2х* + 2аЬх3у-\-сх2у2 + 2Деху3 + е2у* = □, х = 2ех
X(d + b), y=b2 — c — 2ae (записная книжка № 133, л.
142 об.);
4) д4 + 1)* + с* — a2b2 — а2с2 — Ь2с2 = □ (записная книж-
ка Л£ 134, л. 94; Л» 137, л. 314 об.);
5) «z4-(- \abx3y-$ib2-}-2ac—4тп) х2у2-у 4Gcxy3+c2y*= □
(записная книжка № 140, л. 68—68 об.);
6) (а2 - х2у2) (х2 - у2) = □, х = ’ У =
_ а*— 6а/>’-)-/>* . ~ а*—2а*рг-\-Ьар* Лар(а-\-р3)
Ьр(а-\-рг) ’ Х Ъагр—2ар*-1гръ' У а*—6арг-\-р*
5. Ряд заметок Эйлер посвящает доказательству двух
утверждении: 1) выражение а* — а2Ь2 + Ь* не может быть
квадратом, кроме случаев а = 0, £> = 0 и а = Ь\ 2) выра-
жение а* + а2Ь2 + Ь* не может быть квадратом, кроме
случаев а = 0, £> = (). Первая теорема доказана попутно
с другими вопросами в мемуаре Е758$, однако в запис-
ных книжках доказательство проводится иным способом.
В первой заметке (записная книжка № 133, л. 146)
дано доказательство первого утверждения. Предполагая,
что одно' пз чисел а, Ь четно, другое почетно, Эйлер
считает
а* — а2Ь2 + Ь* = □ = (а2 —^-b2 'j .
Отсюда ^-=~Г7^——тг. и так как (с, с?)= 1, то d нечетно.
Ь* а (2с—а) ' ' ’
Тогда берегся а2 = с2 — d2, b2 = d(2c — d). Чтобы было
с2 — с£2=О, Эйлер полагает c = p2 + q2, d — p2— q2,
а потому 2с — d = р2 + 3<?2. Таким образом, должно быть
одновременно р2 — q2 = (>, p2-|-3g2=O. Отсюда, пропз-
в< ,я подстановку p+q = r2, p—q=s2, Эйлер получает
р2 + 3</2 = г* — r2s2 -j- s4 = 0. Следовательно, если бы
а4—a2b2-rb* было квадратом, то также квадратом стало
бы выражение г4 — r2s2-|-s4, причем г, s меньше, чем
а, Ь. Отсюда, как обычно, сделан вывод, что решение
в целых числах невозможно, кроме случаев а = 0, £> = 0
и а = Ь.
*) Comm, arithm. coll., II, 406—413; Op. omn., ly 48—60
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 179
В следующей заметке (записная книжка .V. 134, л.
214 — 214 об.) методом неопределенного спуска доказана
вторая теорема, а также сделала новая попытка дока-
зать первую теорему несколько иным способом. Здесь же
(л. 215) Эйлер рассматривает общее уравнение а2444-
-|-Х.12/12 + Р2Л4 = □ п доказывает (тем же методом), что
его частные случаи
J4 + 3.I2/?2 + В* = □, I4 + 4.12/?2 + /;4 = □
неразрешимы.
В записной книжке № 136 (л. 9 об. —10) Эйлер
снова возвращается к обеим теоремам. Он предполагает,
например, что
а* — а2Ь2 + Ь* = □ = (p2q2 — r2s2)2 + 4p2g2r2s2.
Тогда оказывается, что будет справедливо и следующее
уравнение: /4 — /2w2 + w4= □, где t, и — числа, значи-
тельно меньшие, чем а, Ь, а отсюда предположение не-
верно. Так же доказана и вторая теорема.
6. В завис ной книжке № 134 (л. 77 об.) решается
задача: найти числа т, у, z, для которых (z2 4-гг2)2 4-
+ (z2 4- у2)2 = □, если известен случай (а2 + Ь2)2 4-
4- (с2 -|- d2)2 = □. Эйлер полагает:
z2 4- х1 = (я2 4- Ь2) (т2 -|- я2), z2 4- у2 — (с2 4- d2) (т2 4- я2).
Отсюда z = am -\-bn — cm -\-dn,x = an — bm, у=сп—dm,
т___b—d
п с—а
Тогда получаются два решения:
I z=bc — ad, ( z = bc + ad,
{ х = а2 4- b2 ;£ (ас 4- bd) ( х = а2 4- Ь2 4: (ас — bd),
I у = с2 4* с?2 ± (яс 4- bd). ( у = с2 4- d2 ± (ас — bd).
4 III. Квадраты, находящиеся в арифметической
прогрессии
Задача: найти четыре числа, квадраты которых на-
ходятся в арифметической прогрессии, — была постав-
лена Ферма (в 1640 г.), высказавшим утверждение, что
она неразрешима в целых числах. Доказательство этого
180
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
утверждения принадлежит Коллинсу (1625—1683), Эйле-
ру, Барлоу (род. 1776). Эблер получил своп результат
попутно при решении других вопросов в .мемуаре Е7581).
Как показывает изучение записных книжек, интерес
к данной задаче сохранялся у него на протяжении
14 лет; записи, к ней относящиеся, встречаются в книж-
ках № 131, 133, 136. Посвящено этой задаче пять за-
меток; пз них первая и последняя содержат полное
решение задачи, отличное от опубликованного.
1. В первой записи (записная книжка Л» 131, л.
177 об. — 178) дается доказательство невозможности
существования четырех квадратов, находящихся в ариф-
метической прогрессии. Сначала идет неудачная попытка
решения задачи, далее дано строгое доказательство.
Г Обо начал искомые квадраты 2а2 — Ь2 = Qjj а2; Ь2;
262 —а2=С2, Эйлер получает отсюда:
□i+a2 = a’+fca,
iP’ □1-aa = 3(a2-i2).
Таким образом, число a2-j-b2 оказывается представ-
ленным в виде суммы двух квадратов двумя способами.
ч Тогда по доказанной Эйлером теореме
а2 -|- Ь2 = (т2 + п2) (р2 4- q2).
Полагая a — mp-\-nq, b — np — mq, получаем:
У 2а2 — Ь2 = пр + mq, J 2b2 — а2 — тр — nq.
Подставляя в ]г2Ь2 — а2 значения а и Ь, имеем:
(н2 — m2) (р2 — q2) = 2mnpq.
, 2mnpg-4-n1gt—т2д*
Отсюда р~ —-----п2_щ»-----“ 111 решая квадратное
уравнение, окончательно получаем:
р тп J I п*—т2п2-]-т*
д . п2—т*
Таким образом, вопрос сводится к доказательству
того факта, что подкоренное выражение пе может быть
л l) Comm, arithm. coll., II, 411—413; Op. omn., I6, 48—60.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 181
квадратом; это доказано Эйлером особо и доказательство
приведено в предыдущем разделе статьи. Здесь оно про-
водится еще раз. L ।
2. Во второй заметке (записная книжка № 131, л. /
об.) продолжается рассмотрение этой задачи, причем
сделана ссылка на предыдущую запись. i тверждается,
что равенство (н2 — т2) (р2 — q2) = 2mnpq невозможно,
однако доказательство остается незаконченным. \
3. В записной книжке А'- 131 (л. ТЯ4) дано другое ||
доказательство. Рассматриваются четыре квадрата А, В, '
С, D, находящиеся в арифметической прогрессии, с раз-
ностью = mabc. Для этого квадраты берутся равными
А = -у (mab — с)2; В = (mab + с)2 = -у (тас — 6)2;
11 1
С = -у (mac + b)2 — (mbc — a)2; D = (nibc-j- о)2,
причел! (а, Ь, с) = 1. Сравнивая оба выражения для В,
л г"1 •» Ь —|— с а ~| Ъ
а затем для С, du лер получает: та = , тс = »
чтобы эти выражения были целыми, должно быть
с — Ь*\ и Ь = а*2 или a = b~*. с ~
Рассматривая затем каждый случай в отдельности
(четыре случая), Эйлер приходит к выводу, что ни один
из них невозможен. Запись кончается замечанием о том,
что при данном доказательстве рассмотрен только част-
ный случай.
4. В записной книжке А: 133 (л. 145 об.) имеется не-
большая незаконченная заметка, идущая под заголовком
«Tentamen denionstrationis non dari quadrata in progres
sione arithmetical».
5. В последней записи (записная книжка As 136, л. 10
об.) Эйлер формулирует и доказывает утверждение: два
выражения 2а2—b2, 2Ь2—а2 одновременно квадратами
стать не могут. Другими словами, он доказывает, что не-
возможно найти четыре квадрата 2а2—b2, a2, b2, 2Ь2—а2,
11 в заметке 1). Метод решения полностью совпадает
с методом, применявшимся в этой заметке.
находящиеся в арифметической прогрессии (с разностью
=а —Ь2). Таким образом, решается та же задача, что
182
Г. U. МАТВИЕВСКАЯ
IX. Неликая теорема Ферма
Из имеющихся в записных книжках пятнадцати за-
писей по поводу доказательства великой теоремы Ферма
(уравнение х"-\-yn=zn не может быть разрешено в целых
числах для п>3) восемь опубликованы в «Opera postiima».
Остальные семь находятся в записных книжках № 131, 132,
133, 134 п относятся, следовательно, к 1736—1757 гг.
Все они касаются доказательства теоремы для случая
и=3. Две заметки (записные книжки Лс 132, л. 335—336;
№ 133, л. 147) воспроизводят рассуждения, которые при-
менил Эйлер при доказательстве теоремы в «Алгебре»
(ч. 2, § 243). Две заметки (записные книжки Л» 134, л.
206, Л» 136, л. 322) представляют собой незаконченные
наброски. В записях из книжек № 131 (л. 1711), „V 132
(л. 80—80 об.), № 133 (л. 146) доказательство проведено
одним и тем же способом, причем оно полностью завер-
шено в двух последних заметках.
Если ищутся ан b такие, чтобы а3-|-Ь3= кубу, то долж-
ны выполняться два условия:
«2 — ab + Ь* — кубу,
а + b — кубу.
Для выполнения первого условия Эйлер предлагает под-
становку:
1) а = х8 + у3 — ‘ix2y, b = х3 + у3 — Зху2
(тогда а2—ah-\-Ь*=(хг—ху ^-у2)3) пли
2) а = х3 — хгу + хуг, Ь = у3 — ху2 + х2у.
Теперь нужно удовлетворить второму условии». Для пред-
ложенных подстановок получаются следующие значения:
1) а + (»= 2х3 + 2у3 — Зх*у — З.г у2 = кубу;
2) а Ъ = х8 + у3 = кубу.
Рассмотрение второго случая приводит к исходной задаче,
а потому Эйлер останавливается только на первом.
Как и раныпе, вводится подстановка y=z—х. Тогда
требуемое условие приобретает вид 2z3—9xz2—9x2z—кубу.
Это выражение полагается равным u3z3. Отсюда
_ 9z±3xl 4u»+l
2 — 4—2u’
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЛПЛЕРА (83
С.- т
Если положить и=—, то получается новая задача
п (4»<’ + я3) = П.^ Далее полагается |' iu* -р 1 = ; отсю-
. - г’ — s1 «. 3 2s (г1 — s1)
да 4м3 =—= -------------^5---, а тогда выражение
2а (г — л) (г + л) должно быть кубом п (г, л) = 1.
Исходя из этого, Эндер рассматривает случаи, когда
из чисел г и s одно четно, другое нечетно, и считает
о* е*_ ft
r — s = f3, r+s = g3. Отсюда r = - , s = 8 , и усло-
вие 2б = кубу будет выглядеть так: q3 — /3=кубу, т. с.
получена исходная задача для чисел, мепыпнх, чем
данные. Рассуждение кончается словами: «Так как для
того, чтобы «3-|-б3 могло стать кубом, требуется, чтобы
имелись дна мепыннх куба, сумма которых есть куб, то
следует, что так как такого рода двух мепыпнх kjoob
не име тся, то и большие не существуют». Таким обра-
зом, здесь доказательство проведено методом неопреде-
ленного спуска.
X. Целочис iCHiibie решения уравнения л,у = ух
Относительно данного вопроса в записных книжках
имеются две заметки ( аинсная книжка А» 130, л. 37, 39),
которые являются подготовительными к § 519 первой
части «InlrotlucLio in analysin iitf initorum»
ЗАКЛЮЧЕИПУ
+
Наше исследование рукописных материалов Эйлера по-
зволяет сделать следующие выводы: все рукописи Эйлера
по теории чисел могут быть разделены иа три группы:
а) конин опубликованных работ; б) недавно обнаружен-
ные рукописи, оставшиеся поэтому неизвестными редак-
ции «Opera omnia»; в) заметки теоретико-числового со-
держания из записных книжек Эйлера.
В первой из перечисленных групп не обнаружено
ничего нового по сравнению с отмеченным редакцией
«Opera omnia».
184 Г. п» МАТВИЕВСКАЯ
Вторая группа включает в себя два больших неизвест-
ных ранее фрагмента теоретико-числового содержания
(относящихся к анализу Диофанта). В одном из них, ко-
торый можно датировать примерно 173G—1738 гг., как
показало сравнение с другими работами Эйлера, метод
решения задачи совершенно оригинален и представляет
самостоятельный интерес. Относительно второго отрывка
(1735—1740 гг.) можно предположить, что он является
частью первоначального наброска «Алгебры» Эйлера,
задуманного более широко, чем осуществленный вари-
ант. Кроме этих двух отрывков, группа рукописей вклю-
чает решение восемнадцати задач, также относящихся
к диофантову анализу; часть из них закончена, часть
представляет незаконченные наброски решений.
Третья группа рукописей содержит наиболее обширный
материал по рассматриваемому вопросу — число заметок
теоретико-числового содержания превышает 770;
работе! представлен разбор записей по диофантову ана-
лизу, что составляет примерно половину всего мате-
риала.
Прежде всего были выявлены заметки, относящиеся
к задачам, которые встречаются в опубликованных рабо-
тах. Среди них, в свою очередь, можно выделить: 1) записи,
являющиеся черновиками опубликованных работ и пол-
ностью воспроизведенные в этих работах; 2) записи,
в которых известные задачи решаются повым (по сравне-
нию с опубликованным решением) методом; 3) записи,
содержащие новые результаты относительно известных
задач (например, новые численные решения). Но наиболее
интересными, естественно, являются заметки, которые
содержат вопросы, не встречающиеся в опубликованных
работах. Таких заметок обнаружено 92. Средн них встре-
чаются как полностью завершенные решения поставлен-
ных задач неопределенного анализа, так и незаконченные.
К данной группе рукописей относится обнаруженный
в записной книжке № 134 план изложения основ теории
чисел, вернее всего, план учебного пособия. Судя по одно-
типности изложения, а также по одному и тому же времени
написания, можно предположить, что эта запись имеет
непосредственное отношеппе к незаконченной рукописи,
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 185
впервые опубликованной в 1849 г. под названием «Тгас-
tatus de numerorum doc tri па capita sedeciin quae guper-
sunt». Запись ценна тем, что но ней можно познакомиться
с неосуществленным планом Эйлера относительно пред-
полагаемого учебника: предметом второй его части дол-
жен был явиться анализ Диофанта.
Записные книжки показывают, что периодами наиболее
интенсивного творчества Эйлера в направлении теоретико-
числовых исследований были годы 173G—1744 и 17G7—
1783. Сопоставление полученных данных с публикациями
этих лет еще раз подтверждает, что даже в те годы, когда
из печати выходило немного работ Эйлера по теории
чисел, он продолжал усиленные занятия этим предме-
том.
На большом числе примеров молено убедиться, что
многие известные результаты Эйлер получил намного
раньше их опубликования. Одним из таких примеров
является доказательство леммы, на основе которой
в 1772 г. Эйлер доказал теорему Ваше: оказывается,
что в записных книжках это доказательство появилось
па 30 лет раньше, чем было опубликовано. То же мож-
но сказать и по отношению к задаче: определить, сколько
раз данное целое число содержится среди всех много-
угольных чисел,— которая была решена в записной
книжке за 1G лет до того, как ее решение было изложено
в письме Эйлера к Гольдбаху.
Изучение заметок позволило в ряде случаев устано-
вить, когда у Эйлера возник интерес к определенному
вопросу и, более того, на протяжении скольких лет шла
его работа над тем или иным теоретико-числовым мемуа-
ром. В частности, можно утверждать, что подготовку
к написанию мемуара «De resolutione formularum quadra-
ticarum indeterminatum per numeros integros» (1759)
Эйлер начал в 1740 г.; первые записи, непосредственно
относящиеся к мемуару «РгоЫеша Diophanteum singulare»
(1774), датируются .1740 г. и т. д.
На основе исследования записных книжек можно
придти к некоторым выводам относительно методов, при-
менявшихся Эйлером в его теоретико-числовых исследо-
ваниях, и глубже понять эти методы.
1Вб
Г. If. МАТВИЕВСКЧЯ
Прежде всего записные книжки показывают, что весьма
часто Эйлер приходил к своим результатам чисто экспе-
риментальным путем, производя вычисления, которые
поражают своей сложностью. Подтвердив свой окончатель-
ный вывод рядом таких числовых примеров, он констати-
рует полученный математический факт и зачастую этим
и ограничивается на первой стадии работы. Иногда он
намечает пути дальнейшего исследования, а затем возвра-
щается к заинтересовавшему его вопросу много раз на
протяжении* ряда лет. В соответствующих заметках из
записных книжек Эйлер делает попытки доказательства
высказанного утверждении, пробуя для этого различные
пути и способы. Некоторые из полученных доказательств
не являются строгими, и Эйлер обычно сам указывает
на эту нестрогость. Но после нескольких попыток он
приходит к окончательному строгому доказательству
и тогда только считает вопрос исчерпанным. Такую осо-
бенность творческого метода можно наблюдать и при
чтении опубликованных мемуаров Эйлера.
Записные книжки дают возможность убедиться, что
методы, которые Эйлер применял для решения задач
высшей арифметики, были чрезвычайно разнообразны;
это иногда видно на примере одной и той же задачи. Осо-
бенно часто в заметках Эйлера приходится встречаться
с методом неопределенного спуска, которым был получен
ряд важных результатов, что нашло отражение и в опу-
бликованных работах Эйлера.
Иногда к открытию того или иного математического
факта Эйлер приходит путем обобщения частпых случаев.
Это, например, касается вывода его замечательной формулы:
(а2 + Ь* + с2 -h d2) (р2 4- q2 + г2 4- «*) =
= (ар -|- bq + cr -J- ds)2 + (bp -aq-)-dr — cs)2 4-
+ (ср — dq— ar + bs)2 +(dp + cq — br — as)2.
Записные книжки позволяют проследить весь путь, кото-
рым Эйлер пришел к своему выводу.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОЙНЫХ ЧИСЕЛ
И. Г. Мельников
§ 1. Разделение натуральных чисел па простые и со-
ставные было известно уже древним египтянам1). Наиболее
ранние исследования, посвященные простым числам, при-
надлежат греческим математикам античного периода.
В «Началах» Евклида теории простых чисел получила
свое первое офо! пенне. Особое значение простых чисел
уясняется посредством основной теоремы арифметики,
в силу которой каждое составное число однозначно пред-
ставляется в виде произведения простых множителей.
Хотя у Евклида отсутствует явная формулировка этой
теоремы, однако опа, несомненно, была известна древне-
греческим математикам. Эратосфен выдвинул метод полу-
чения всех простых чисел, ие превосходящих заданное
число. Этот метод, основанный на предварительном исклю-
чении состанных чисел, теперь носит название «эратосфе-
нова решета».
Задача распознавания простых и составных чисел
и нахождения делителей последних в случае больших
чисел до сих пор является труднейшей задачей математики.
В древности и в средние века основным приемом решения
этой задачи был метод проб. Он состоит в том, что задан-
ное число N делят по порядку на все простые числа, ие
превосходящие ] А'. Если число N ни на одно из них не
делится, то оно простое. Но для больших чисел этот прием
*) О. Neugebauer, Die Grundlageu der agyptischen Bruch-
recbnung. Berlin, 1926, стр. 23, цримеч. 4.
188
II. Г. МЕЛЬНИКОВ
оказывается практически неприменимым, так как требует
значительного числа делений.
Новый метод установления простоты или сложности
числа был выдвинут в одном из писем Ферма за 1G43 г.1).
В основе этого метода лежит теорема:
Если нечетное число N представимо в виде разности
двух квадратов натуральных чисел только одним способом,
то оно простое, если же более чем одним способом, то
оно составное.
По способу Ферма к числу N нужно прибавлять квад-
TV—1
раты всех целых чисел, меньших ——, и каждый раз
проверять, получится в сумме квадрат пли нет. Если
получится квадрат, то N есть составное число и его сразу
же можно разложить на два множителя, в противном слу-
чае N простое.
Этот способ факторизации чисел, способ разности двух
квадратов, вновь был открыт в конце XVIII в. Кауслером2).
Иногда этот метод приписывают Эйлеру3), однако, на-
сколько нам известно, в работах Эйлера он нс встречается.
Способ Ферма освобождает от необходимости произ-
водить трудную операцию — деление, но в большинстве
случаев он требует огромного числа сложений и нуждает-
ся в большой таблице квадратов чисел. Впрочем, иссле-
дования, выполненные в XIX—XX вв., показали,
что вычислительная работа при использовании метода
Ферма может быть значительно уменьшена.
В 1770 г. Баринг4) под названием «теорема Вильсона»
опубликовал новый критерий для определения простоты
или сложности числа:
Число N есть простое или составное, смотря по тому,
делится ли на N или нет число 1-2.....(N—1)-|-1.
Спустя три года теорема Вильсона была доказана
Лаграижем. Этот критерий и некоторые другие, получен-
*) Oeuvres de Fermat, 2, Paris, 1894, стр. 256.
2) С. F. К a u s 1 е г, Leonhard Fillers vollstiindige Anleitung
zur Algebra, Frankfurt ain Main, 1796, III. 2 Anhang, стр. 269—283.
*) II. В. A p n о л ь .л. Теория чисел, М., 1939, стр. 64.
•) Е. Warin g, Meditationes algebraicae, Cambridge, 1770,
стр. 218.
ОТКРЫТЫЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
189
пые позднее, не имеют практической ценности, так как при-
менение их при большом N сопряжено с огромной вычис-
лительной работой.
§ 2. Вопросами теории степенных вычетов и тео-
рии квадратичных форм Л. Эйлер занимался прежде
всего в связи с задачей установления простоты или слож-
ности числа, отыскания делителей числа или, выражаясь
его словами, в связи с «задачей исследования природы
числа» («Naturain numcroruin indagandi problema»).
Эта задача обусловила появление многих замечатель-
ных работ Эйлера по теории чисел.
Заметив, что очепь часто исследуемое число Л’ можно
рассматривать как число какого-то определенного вида,
например вида ak-[-bh, al-\-b2 или а2-[-2Ь2 и т. д., Эйлер
выдвигает и решает вопрос о форме простых делителей
чисел некоторых видов. Метод проб, дополненный сообра-
жениями о форме делителей, оказался хорошим средством
для исследования 'природы числа. С его помощью Эйлер
сумел, например, подтвердить предположение Ферма
о простоте числа 2^^—1, показал, что 22*-|-1 есть составное
число, и таким образом, опроверг гипотезу Ферма, по
которой все числа вида 22“4-1, n=0, 1, 2,..., простые.
Уже эти примеры показывают силу приемов, выдвинутых
Эйлером.
Отметим здесь несколько интересных фактов, связан-
ных с последним примером.
В известием письме к Робервалю от августа 1G40 г.
Ферма, указав, что желанно проникнуть в «тайны чисел»
(«mysteres des nombres») возникло у него под влиянием
Френпкля, сообщал, .что владеет доказательством теоремы:
«Ни одно простое число вида in—1 не может быть дели-
телем суммы двух взаимно-простых квадратов*. Оп отме-
тил, что эта теорема будет полезна при отыскании простых
чисел. Так, для решения вопроса, является ли число
10 000 000 001=100 0002+1 простым или составным,
не иужпо будет делить его на 3, 7, 11 и т. д.1). Доказатель-
ство Ферма неизвестно.
*) Oeuvre* de Fermat, т. 2, 1894, стр. 202.
190
II. Г. МЕЛЬНИКОВ
Первое дошедшее до нас доказательство этой теоремы
было дано Эйлером в письме к Гольдбаху от С марта 1742 г.1)
и впервые опубликовано в 1750 г. в работе А» 134 «Теоремы
о делителях чисел»2 *). Воспроизведем это доказательство.
Пусть числа а и b не делятся иа простое число р; тогда
на основании малой теоремы Ферма число ар~1—If'1
делится на р и, следовательно, ар 1 -\-Ьр~1~(ар'1—&р'*) +
4-2tp'1 нс делится па р. Поэтому, если р=4и—1, то
а4П~2-р?'1-2 не делится на р. А так как д4'1'14-fr*n-t=
= (а24-Ь2) (а*а 4 4-...), то и a2-j-bs не будет делиться на
р=4п—1. Таким образом, нечетные делители суммы
двух взаимно-простых квадратов могут быть только вида
4п-|-1. Последнее заключение, разумеется, было известно
Ферма. Эйлер пошел далее и рассуждениями, аналогич-
ными предыдущим, показал, что все нечетные делители
суммы двух взаимно-простых биквадратов могут быть
только вида 8п-}-1 и что вообще сумма а2 -{-Ь2 при взаимно-
простых а и Ь может иметьнечетные делйтели только вида
2"”1и4-1. Применяя последний результат к числу 22<l4^ 1,
Эйлер установил, что оно может иметь делителями только
числа вида 64п4-1. Испытывая простые числа 193, 257,
449, 577, 641, он обнаружил, например, делителя 641
при пятой пробе.
§ 3. Эйлер в течение ряда лет безуспешно пытался до-
казать знаменитую теорему Ферма о том, что всякое про-
стое число вида 4н -|-1 есть сумма двух квадратов. Одна-
ко, еще не владея доказательством, но используя этот
факт, он уже поставил и решил проблему факторизации
чисел вида 4п4-1 методом суммы двух квадратов.
*) Corre-pondance matbematique et physique de quelques cele-
bre: geometres du XVIII siecle, т. I, СПб., 1843, стр. 114.
2) L. Euler, Theoremata circa divisores numerorum, Novi
Commontarii Acad. Sc. Petrop., т. I за 1747—1748 гг. (1750),
стр. 20—48; Comm, arith. coll., т. I, стр. 50—61; Opera oninia,
сер. I, т. II, 1915, стр. 62—85.
Здесь и в дальнейшем в тексте мы даем название мемуара в рус-
ском переводе, а в сноске — на языке подлинника. В тексте перед
названием указывается помер мемуара по списку Эпестрема
(G. Е nest rom, Verzeichnis der Schriflen Leonard Eulers, 2 вы-
пуска, Лейпциг, 1909 и 1913).
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
191
Именно тогда Эйлер фактически положил начало
теории бинарных квадратичных форм, в которой впо-
следствии сделал одно из интереснейших открытий:
обнаружил удобные числа.
Систематическому изучению квадратичной формы x* 2+j/*
Эйлер посвятил специальный мемуар Л» 228 «О числах,
которые представляют агрегат двух квадратов»1). Основ-
ные факты этой работы Эйлер изложил в письме к Гольд-
баху от 6 мая 1747 г.2).
Мемуар начинается таблицей чисел до 2и0, представля-
ющих собой сумму двух квадратов. В нее вошли также
и точные квадраты: они рассматривались как сумма двух
квадратов, одни из которых есть 0. После нескольких
простых, но важных замечаний, пз которых отметим
утверждение: Если число р есть сумма двух квадратов,
то число 2р также есть сумма двух квадратов, и наоборот,
Эйлер формулирует п доказывает теорему:
Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма
двух квадратов, также является суммой двух квадратов.
Действительно, если р=а2 -f-fc2, q=c* -|-d2, то pq=
=а2с2 ±/2abcd-{-b2d2 a2d2 2abcd-}-b2c2 и для иронзве-'
деипя pq, вообще говоря, получаются две различные
формулы:
pq = (ас + bd)2 -f- (ad — be)1,
pq = (ас — bd)2 -f- (ad -f- be)2 3).
Обе формулы, замечает Эйлер, сводятся к одной лишь
в тех случаях, когда а=Ь или c—d.
*) L. Euler, De numeris, qui sunt aggregate duorum quad-
ratorum. Novi Comment. Petr., т. IV за 1752—53 гг. (1758), стр.
3—40; Comm, arith, coll., т. 1, стр. 155—173; Opera omnia, cep, 1,
т. Il, стр. 295 — 327.
2) Correspondence..., т. I, стр. 413.
*) Эта теорема, по-внднмому, была известна математикам древ-
ности. В «Арифметике»'Диофанта (книга 111, задача 22) приводятся
оба представления числа 65 в виде суммы двух квадратов: 65= 5Х
' 13=7,4-4* Р+81. Позднее в «Универсальной арифметике»
(т. 11, СПб., 1788, 2-е изд., стр. 380—382) Эйлер доказывал эту теоре-
му, опираясь на простейшие свойства чисел вида а+М —1, где а
и о обыкновенные целые числа (теперь их иногда называют целыми
192
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
Далее впервые формулируется и доказывается теорема:
Если сумма двух квадратов аг-\-Ьг, где а и Ь—числа вза-
имно-простые, делится на простое число c2-|-d2, то част-
ное такмсе есть сумма двух квадратов. Эйлер предостере-
гает читателя: этут теорему нельзя рассматривать как
следствие предыдущей; ведь, например, из того, что
произведение двух четных чисел есть число четное, не
следует, что частное от деления четного числа на четное
есть четпое.
Затем после некоторых предварительных замечании
формулируется и доказывается методом спуска одна из
замечательнейших теорем арифметики: Всякий делитель
суммы двух взаимно-простых квадратов также есть сумма
двух квадратов1).
Теперь для доказательства теоремы Форма оставалось
сделать один шаг: нужно было показать, что каждое про-
стое число вида 4п-|-1 является делителем суммы двух
взаимно-простых квадратов. Тогда на основании последней
теоремы следовало бы, что оно п само есть сумма двух
квадратов. Но именно этот шаг Эйлер не сразу смог
осуществить. В мемуаре vV 228 он дал лишь «Попытку
доказательства» («Tentanien demonstrationis»).
Она состоит в следующем. Для любого простого р=
= 4п-|-1 и чпсел а и Ь, не делящихся на р, число
а4П_64п = (а2П_Ь2П) (а2П+Ь2П)
на основании малой теоремы Ферма делится иа р. Поэто-
му, если можно будет выбрать а и b так, чтобы число
числами Гаусса). Это доказательство можно представить следу-
ющим образом:
pg= (a2-f- Ь2) (c2-]-d2)=(a-]-fei) (a — bi) (c-[-di) (с—di);
«) W = I(fl+W) («+#)] [(e —M)(c —di)] =
= [(ac— fed)-|-i (ad-j-fec)] ](ac — bd) — i (ad + fec)] =
= (ac—fed)2-|-(ad-|-fec)2;
6) Z4 = [(“4-W) (с — di)] l(a — M (c+di)] =
= ](ac-|-fed) — i (ad — fee)] ](ac-f-bd)-|-i (ad — fec)] =
= (ac-|- fed)2-]-(ad — fee)2.
!) Доказательства этих теорем приведены в статье И. Г. Мель-
никова «Леопард Эйлер и элементарная математика», «Математика
в школе», № 4, 1957, стр. 1—15.
ОТКРЫТИЕ ЭЛЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
193
а2П—Ь2П пе делилось па р, то р будет делителем
(а*1)2+(£>")* «» следовательно, само будет суммой двух
квадратов.
Чтение мемуаров Эйлера, посвященных одному или
близким вопросам, дает читателю во можность увидеть
различные этапы установления истины, увидеть, с каким
упорством преодолеваются трудности.
Уже в следующем арифметическом мемуаре Эйлера
Л° 241 «Доказательство теоремы Ферма о том, что всякое
простое число вида 4n 4 1 есть сумма двух квадратов»1)
«попытка доказательства» превращается в строгое доказа-
тельство. Этот мемуар пользуется особой и иестностью.
В нем даны первое доказательство теоремы Ферма и пер-
вое применение метода конечных разностей к решению
теоретико-числовой задачи. Впоследствии Эйлер, создавая
теории квадратичных и степенных вычетов, нашел новые
весьма простые доказательства теоремы Ферма2).
Заметим теперь, что предложение о возможности пред-
ставления простого числа 4и4-1 в виде суммы двух квад-
ратов, обычно называемое теоремой Ферма3), впервые
было высказано Л. Жираром (1595—1632). В примечаниях
к «Арифметике» Стевпиа*), опубликованной в 1G25 г.,
Жирар указывал, что в виде суммы двух квадратов пред-
ставимы: каждый квадрат, каждое простое число вида
4n-f-l, произведение этих чисел и, наконец, любое удвоен-
ное пз названных чисел.
>) L. Е u I е г, Demonstratio theorematis Fermatiani omnem
nunierum primum formae 4n-|-l esse suinmain duorum quadratorum,
Novi Comment. Petr., t. V ла 1754—1755 rr. (1760), стр. 3—58;
Comm, arith. coll., т. 1, стр. 210—233; Opera omnia, cep. 1, т. II,
стр. 328—337. •
2) Вообще существует много различных доказательств этой
теоремы. См., например, В. А. Венков, Элементарная теория
чисел, 1937, стр. 48, 191 и др.
•) Ферма сформулировал это предложение в примечаниях к
«Арифметике» Диофанта (III, 22), а также в письмах к Мерсеину
(25 декабря 164 I г.), Фреииклю (15 июня 1641 г.), Паскалю (25 сен-
тября 16:,4 г.) и Дпгби (19 июня 1658 г.).
См. Oeuvres de Fermat, т. 1, 1891, стр. 293; там же, т. II, 1894,
стр. 213, 221, 313, 403.
.„ _ ) L’arith. de Simon Stevin... annotations par A. Girard, Leide,
1625, стр. 622.
13 Пстор.-матем. иссаед.. вып. XIII
194
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
В дальнейшем, следуя Диксону1), указанное предло-
жение мы будем называть теоремой Жирара2).
Ферма дополнял теорему Жирара. В примечаниях
к «Арифметике» Диофанта (111, 22) он писал: «Любое
простое число вида есть гипотенуза лишь одного
прямоугольного треугольника, его квадрат—двух, куб —
трех, биквадрат — четырех и т. д.
Такое простое число и его квадрат единственным спо-
собом разлагаются на два квадрата, его куб и биквадрат—
двумя, пятая н шестая степень — тремя и т. д.
Произведение двух различных простых чисел, каждое
из которых есть сумма двух квадратов, также разлагается
иа два квадрата и притом двумя способами»3).
Пифагоровы треугольники Ферма ввел здесь не только
в связи с желанием иметь краткие и удобные формули-
ровки арифметических теорем; для него пифагоровы тре-
угольники представляли своего рода область приложении
этих теорем.
В письмах к Мерсенну и Френпклю Ферма указывал,
что теорема Жирара будет играть основную роль в тео-
рии пифагоровых треугольников4).
В то жт время Ферма даже пе пытался поставить эти
теоремы на службу «задаче исследования природы числа».
Он оставляет без внимания вопрос Френпкля5), как
*) L. Е. Dickson, History of the theory of numbers, t. 2,
1920, стр. 230—231.
г) В знаменитом письме к Каркави от 11 августа 1659 г. Ферма
указывал, что доказательство теоремы, которую мы условились на-
зывать теоремой Жирара, он получил с помощью метода спуска:
«Если простое число 4n-]-1 не есть сумма двух квадратов, то найдет-
ся меньшее простое число, обладающее таким же свойством, затем
еще мепыпее и т. д., пока не-получится 5». Доказательства Ферма
не сохранилось. См. «Oeuxres de Fermat», т. II, стр. 432.
Средн имеющихся доказательств теоремы Жирара наиболее близ-
ким к доказательству Ферма, по-видимому, является доказатель-
ство Кармпхаэля, в котором применяется метод спуска с использо-
ванием того факта, что каждое простое число р=4п-|-1 есть делитель
числа вида 12ф1. См. В. D. Carmi ch ас 1, Diophantine analysis,
1915, стр. 39—40.
*) «Oeuvres de Fermat», I, 1891, стр. 293.
*) Там же, H, 1894, стр. 212, 221.
s) Там же, стр. 232.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
обнаружить множители числа 221, зная, что
221= 10» + 11* = 14*+ 5*.
§ 4. Вернемся к мемуару Эблера At 228. Особый инте-
рес для нас будет здесь представлять предложение (>:
«Если число вида 4n-pl разлагается на два взаимно-простых
квадрата единственным образом, то это число простое».
Это утверждение неверно. Итце Ферма заметил, что
не только простые числа p=4n-f-l, по и их квадраты пред-
ставляются единственным образом в вп щ суммы двух ква-
дратов. Здесь речь идет о собственном представлении
р=х2-}-у2, т. е. с взаимно-простыми х и у. Это обстоятель-
ство Эйлер отмечает в своей формулировке, а Ферма мол-
чаливо предполагает. Поэтому, например, из двух пред-
ставлений числа 25 : 25 —32+42=02+52 мы должны при-
нимать во внимание лишь первое, так как Он 5 ие явля-
ются взаимно-простыми числами.
Как ни странно, эта ошибка получила «обобщение».
С ней в известной степени связана неправильная трактов-
ка удобных чисел, широко распространенная в литературе.
Остановимся на некоторых деталях.
Эйлер рассуждал так: если сложное число 4я-}-1 есть
сумма двух квадратов, то делители его также суть суммы
двух квадратов. Поэтому, положив 4zt-|-l = (a2-|-/>2)(c24-d2),
найдем два различных разложения:
1. 4я -f-1 = (ас + bd)2 + (ad — be)3.
II. 'tn +1 = (fld + ta)2 + (ac — bd)2.
Ila этом основании Эйлер заключил, что единственность
разложения числа in-f-1 может служить критерием его
простоты.
Разложения I и 11, подчеркивает Эйлер, действительно
являются различными. Если допустить, что ac-f-fcd=
=ad-f-6c, то можно будет заключить, что либо а — Ь, либо
c—d и, значит, хотя бы одно из чисел а2-[-Ь2 или c2-\-d2
окажется четным. По это исключено, так как их произве-
дение есть нечетное число. Если предположить, что «с-|-
+ bd=ac—bd, то будет либо Ь=0, либо d =0 н, следова-
тельно, 4н- 1 будет равпо либо я2(с24 d2), либо с2(а2-{-Ь2).
13*
196
11. Г. МЕЛЬНИКОВ
По и это исключено, ибо ио условию 4п-|-1 разлагается
на взаимно-простые квадраты.
В этом рассуждении молча шво предполагается, что
с a, d =# b. Если жес=а, d = b, т. е. 4п -{ 1 есть квадрат,
то разложения I и II принимают вид
III. 4ге + 1 = (а* 2 + б2)2 + О2.
IV. (4п+1) = (2«Ь)2+(«2-^2)2.
Так как речь идет о разложении па два взаимно-про-
стых квадрата, то мы должны признать, что здесь имеется
лишь одно разложение, а именно разложение IV, и, сле-
довательно, единственность разложения нечетного числа
на два взаимно-простых квадрата означает, что это число
простое или квадрат простого.
В наброске предложения (>, содержащемся в письме
Эйлера1) к Гольдбаху от 16 февраля 1745 г., требование
взаимной простоты квадратов не выдвигалось. При таком
подходе к делу можно было бы считать, что квадраты про-
стых чисел впда 4и-|-1 имеют два представления в виде
суммы двух квадратов. По в таком случае возникли бы
другие трудности: существует сколько угодно составных
чисел вида4н-р1, которые только единственным образом
можно представить в виде суммы двух квадратов, напри-
мер 9=32+02, 45=32+62, 117 92-j-62 в т. д. Требование
взаимной простоты квадратов является совершенно триви-
альным и Эйлер учел его, формулируя предложение 6.
Неточность, допущенная Эйлером в формулировке
предложения 6, насколько нам известно, никем не обсуж-
далась. Многие авторы воспроизводили эту формулировку
без каких-либо изменений, а иные даже ухудшали ее.
Например, Барлоу в своей «Теории чисел», вышедшей
в 1811 г., писал: «Число 4n-|-1 есть простое, если оно
единственным способом разлагается на два квадрата2)».
Эту же формулировку можно обнаружить в книге Перт-
гейма3) и в других литературных источниках. Менее рас-
*) Correspondance..., т. 1, стр. 313.
2) Р. Bari ом, Theorj of numbers, London, 1811, стр. 205.
•) G. Wertheim, Elemente der Zahlentheorie, Leipzig,
1887, стр. 295.
ОТКРЫТИЕ ЭИ IEPOM УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
197
простраиенноп является формулировка, прпттпсаппая Эй-
леру Фуэтером: «Всякое число, которое представляется
в виде суммы двух квадратов лишь одним способом, есть
простое»1). С помощью последней «теоремы» можно,
например, заключить, что 10-124-32 есть простое число.
Отметим здесь также, что в очень интересной книге
Э. Троста приводится следующий «критерий»: «Нечетное
число вида 'ип 4-1 тогда и только тогда является простым,
ко^да оно лишь единственным образом представимо в виде
суммы двух взаимно простых квадратов»2).
§ 5. Уже Диофанту было нзвестпо, что если число
можно представить в виде суммы двух квадратов более
чем одним способом, то оно составное. Это предложение
было сформулировано Мерсепном3) в работе, напечатанной
в 1647 г., и впервые доказано Эйлером в мемуаре А» 228.
Эйлер рассуждал следующим образом. Если
N = а2 + Ь2 = с* * + d2, (1)
причем а > b, с > d, а > с и, следовательно, b < d, то,
положив а=с-\-х, d=b^-y, на основании (1) получим:
я2 + 2сх = у2 + 2Ъу. (2)
Так как левая часть равенства (2) делится на х, а
правая на у, то можно положить
х2 + 2сх = у2 + 2Ъу == хуъ. (3)
Далее, не обращая внимания на то, что z может оказать-
ся дробным числом, Эйлер находит с = f _ — ~~'J и
затем получает а = d = Таким образом.
и, следовательно, лпбо x2-j-y2, либо какой-то делитель
этого числа окажется одним из множителей числа N.
*) R. Fueter, Leonhard Euler, Basel, 1918, стр. 19.
*) Э. Трос т. Простые числа, М., 1959, стр. 37.
. ), • Marini Me г sen n i. Novarum Observatioiiiini Phy'-i-
co-Matheinaticarum, t. Щ, Parisis, 1617, Cap. 21, p. 182.
198
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
Но Эйлер дал и строгое доказательство рассматриваемой
теоремы. Ойо содержится в записи иа полях его .незакон-
ченного «Трактата»1). Воспроизведем эту запись:
(а + с) (а — с) = (b + d) (d — b) -= pqrs, a-\-c = pq,
a — c — rs, b-\-d = pr, d—b= qs, a = t
. l>r—qs
2»
a»+b2=^(pS+s2)(92 + z.2).
В работе As 228 Эйлер разработал весьма удобный
в практическом отношении способ получения всех разло-
жений числа \п-|-1 па два квадрата. Он показал, как
можно найти множители этого числа, имея различные
представления его в виде суммы двух квадратов.
Здесь Эйлер впервые выдвинул метод исследования
чисел вида 4м 4 1 посредством суммы двух квадратов.
В оспове этого метода лежит принцип: Если число 4п 4 1
имеет лишь одно и притом собственное представление
в виде суммы двух квадратов, то оно простое. Если же не-
сколько представлений или ни одного, то оно составное
(в последнем случае число hn 4-1 имеет четное число дели-
телей вида 4п4-3).
§ 6. Методы исследования простейшей квадратичной
формы x*4-j/2, развитые в мемуаре № 228, Эйлер пытался
распространить на другие формы. Ему это удалось сделать
только для форм х24-2^2 и x2+3j/2.
Форме х2 4- 2у2 посвящен мемуар №256 «Пример упо-
требления наблюдений в чистой математике». В резюме
к этому мемуару Эйлер писал: «... в пауке о числах, кото-
рая доныне весьма несовершенна, надо ожидать весьма
многого от наблюдений, ибо они постоянно приводят нас
к новым свойствам, над доказательством которых прихо-
дится работать»2).
*) L. Euler, Tractatus de numerorum doctrine Capita XVI,
ques supersunt, Comm, arith. coll., t. 2, стр. 573; Opera postuma,
т. I, 1862, стр. 73.
2) L. E u 1 e r. Specimen de usu observationum in inatliesi
pura, Novi Comm., т. VI за 1756—1757 гг. (1761), стр. 19; Opera
omnia, серия 1, т. II, стр. 45.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
199
Первые страницы мемуара № 25G (так же как п ме-
муара Л’г 228) могут служить яркой иллюстрацией к этому
высказыванию. Составив таблицу всех чисел вида 2a2-f-b2,
где (a, Ь) = I1), от 1 до 500, Эйлер осуществляет свою про-
грамму: вначале производит наблюдения (Ohservatio,
1—8), а затем формулирует и доказывает теоремы.
Порядок теорем тот же, что н в мемуаре № 228. Дока-
зывается, что вместе с N=2a2-]-b2 число 2N представляет-
ся топ же формой, н наоборот. Произведение двух чисел
вида 2a2-f-b2 выражается той же формой двумя способами.
Число, представимое’формой 2a2-f-b2 двумя способами,
пе может быть простым. Если число 2а2-}-Ь2 делится на
простое число того же впда, то и частное будет такого же
впда. Далее, после нескольких теорем, имеющих вспо-
могательное значение, методом спуска устанавливается,
что все делители чисел впда 2a2-f-b2 с взаимно-простыми
а и b суть числа того же впда. Затем утверждается и до-
казывается, что если число Л’ только одним способом
представимо формой 2a2-f-b2, где (а, Ь) =1, то оно простое.
Доказывая эту теорему методом от противного, Эйлер
рассматривает два случая: либо число N есть произведение
различных простых чисел того же впда, либо оно — сте-
пень простого числа. Для 7V=(2a2-fр2)2 получается два
разложс1п1я:
I. .V = 2-02-f-(2a2 + p2)2.
II. N = 2 (2a0)2 -f- (2a2 - 02)2.
Так как речь идет лишь о собственных представлениях
числа N, то учитывать следует только разложение II. Од-
нако Эйлер считает, что здесь дело обстоит так же, как
в случае, когда N есть произведение двух различных мно-
жителей, и учитывает оба разложения. Чтобы завершить
доказательство, он показывает, что для А ==(2а2-' р2)3
11 ->V=(2a2-[~р2)4 получаются соответственно два и три
разложения.
Заметим, что в число разложений Л’ = (2a2 +02)1 Эйлер
включает п такое: JV=2-02-f-(4a4-f-4a2b2-f-b4)2. В этом
*) Кроме требования взаимном простоты чисел а и Ь, здесь все-
гда предполагается, что число b нечетное.
200
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
исследовании, так же как и в мемуаре А; 228, любые два
числа, и.) которых одно 0, Уилер считал взаимно-простыми.
Теорему Эйлера нужно формулировать следующим обра-
зом: Число, единственным образом представимое формой
2аа-]-Ь2, где (2а, b) = 1, есть простое или квадрат просто-
го числа.
Этой теоремой Эйлер пользовался уже в мемуаре
№ 152 «Дружественные числа»1). Там (§55), указав, что
соотношение 198 899=2-472-1-4412 дает единственно воз-
можное разложение числа 198 899 на квадрат и удвоенный
квадрат, Эйлер заключил, что это число простое.
В конце мемуара № 256 Эйлер развивает практически
удобные приемы исследования чисел вида 8п-)1 и 8п-)-3.
Правда, здесь Эйлер еще не владеет доказательством
теоремы Ферма2) о том, что всякое простое число вида
8п-}-1 или 8zz-f-3 выражается формой 2а2-|-Ь2.
Доказательство последней теоремы, которое обычно
ставят в заслугу Лагранжу, было дано Эйлером в работе
А» 419 «Доказательства, относящиеся к вычетам, проис-
ходящим от деления степенен на простые числа»3), опу-
бликованной незадолго до появления соответствующей
работы Лагранжа4).
§ 7. Квадратичная форма х2ф-3^2 была изучена Эйле-
ром в мемуаре А» 272 «Дополнение некоторых арифмети-
ческих теорем, которые нередко кладутся в основу дока-
зательств»5). Изучение этой формы проводится в общих
*) L. Euler, De numeris amicabilibus, Opuscula varii argu-
ment!, t. 2, 1750, стр. 23—107; Comm, ariih. coll., т. I, стр. 102—
145; Opera omnia, cep. 1, т. II. 1915, стр. 86—162.
г) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 403.
*) L. Euler, Demonstrationes circa residua ex division© po-
testatum per numeros primos resultantia, Novi Comment., т. XVIII
за 1773 г. (1774), стр. 85—135; Comm, arith. coll., т. I, стр. 516—
537; Opera omnia, cep. 1, т. HI, 1917, стр. 240—281.
4) J. L. Lagrange. Recherches d'arithmetique, Nouveau
mem. de 1'Acad. de sci. de Berlin за 1773 г. (1775), стр. 349, 351;
см. также Oeuvres de Lagrange, т. III.
•) L. Euler, Suppiementum quorundam theorematum arith-
meticorum quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur. Novi
Comment., т. VIII за 1760—1761 гг. (1763), стр. 105—128; Comm,
arith. coll., т. I, стр. 287—296; Opera omnia, cep. 1, t. 11, стр. 556—
575.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
201
чертах по такой же схеме, как и изучение форм i2-|-y2
и х2-^2у2. Правда, здесь «задача исследования природы
числа» уже не является ведущей. Е ;е в мемуаре Ле 255
«Общее решение некоторых диофантовых задач, которые
обычно считаются допускающими только частные реше-
ния»1)’ посвященном решению неопределенного уравпеиия
j?-]-y3-]-za=v3 в целых числах, Эйлер пользовался теоре-
мой: Простыми делителями чисел вида а2-|-362, где а и b
взаимно-простые, могут быть только числа этого же вида
и число 2.
В мемуаре № 272 Эйлер возвращается к указанному
неопределенному уравнению и доказывает последнюю
теорему. Доказательство проводит методом спуска, рас-
смотрев предварительно комплекс необходимых для этого
теорем. Эта работа примечательна п в другом отношении.
В пей впервые дается пример эквивалентных форм.
Эйлер показывает, что формы а2-|-362 п т2-[-тп 'и2
выражают одни и те же числа (нетрудно показать, что
эти формы являются эквивалентными ио Гауссу). Именно:
если п четное, то т2 + тп + пг = т +
если же тип нечетные, то т--[-тп + п2 = ( ——J +
ч з(2±г)!.
С помощью этого факта Эйлер, применив метод ко-
нечных разностей, доказал теорему Ферма2): Всякое про-
стое число вида бтг —1 представимо формой а2-|-ЗЬ2.
§ 8. Замечательные теоремы о том, что все делители
чисел вида х2-\-ту2, где х и у— взаимно-простые числа,
имеют тот же вид при т=1, 2. 3 (кроме делителя 2 в слу-
чае ш=3), Эйлер доказал в мемуарах Ле 228 , 25G, 272
но одной и той же схеме.
Еще в мемуаре Ле 272 (§ 4G) Эйлер заметил, что эта
схема оказывается непригодной для доказательства ана-
*) L. Euler, Solutio generalis quorundam problematum dio-
phantlieorum quae vulgo nonnisi solutioncs speciales admittere viden-
tur, Novi C mment., t. VI за 1756- 1757 гг. (1761), стр. 155—184;
Lorain, arith. coll., т. I, стр. 193—209: Opera omnia, cep. 1, т. II,
стр. 428—459.
’) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 403.
202
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
логичных теорем при дальнейших значениях т. Она при-
менима лишь в тех случаях, когда пе больше 1. Позд-
4
нее, в работе № 445 «Новые доказательства относительно
разложения чисел на квадраты»1) Эйлер предложил новые,
очень красивые доказательства теорем о квадратичных
делителях чисел вида х2-[-у2, х2А-2у2, i24-3y2. Но
и новый метод, как заметил там Эйлер (§ Г»), имел ту же
область применения, что и прежний: он не позволял
перейти к вопросу о квадратичных делителях дальп innix
форм.
Полное решение этого вопроса было найдено Ла-
гранжом2), оно вытекало пз его общего результата: Всякий
делите 1Ь чисел, выражаемых формой А х2А-Вху -\-Су2, (х, у)—
= 1 (его называют делителем формы), может быть пред-
ставлен в виде Lx2 -f- Мху 4- Ny2, где 4LN — М2 = 4.4(7 — В2.
Формы a:2 4~i/2, £24-2i/2, j'24-3</2, всесторонне изучен-
ные в мемуарах № 228. 25G, 272, оказались весьма полез-
ными при решении задачи о природе числа. Существу-
ют лп другие формы, обладающие подобными качест-
вами? Этот вопрос привел Эйлера к открытию удобных
чисел.
§ 9. Удобным числам посвящены следующие мемуары
Эйлера:
1) А° 498 «Извлечение из письма Эйлера к 1>еглену»3);
2) А: 708а «Извлечение пз письма Фусса к ТЗеглону»4);
*) L. Euler, Novae demonstrationes circa resolutionem nnme-
rorum in quadrata. Nova Acta Eruditorum, 1773, стр. 193—211;
Acta Acad. Sci. Petrop., 1777, II, 1780, стр. 48—69; Comm,
arilh. coll., t. 1, стр. 538—548; Opera omnia, cep. 1, t. Ill,
стр. 218—239.
2) T. L. Lagrange, Recherches d’arithmetique Nouveau
mem. de I’Acad. de sci. de Berlin за 1773 г. (1775), стр. 265—312;
см. также Oeuvres de Lagrange, т. Ill, стр. 695—795.
•) Extrait d'une lettre de m. Euler a m. Beguelin en mai 1778.
Nouv. mem. del’acad. des sci de Berlin, 1776, 1779, стр. 337—339;
Comm, arith. coll., т. II, стр. 270—271; Opera omnia, cep. 1, t. Ill,
стр. 418—420.
4) Extrait d’une lettre de m. Fuss a m. Beguelin ecrite de Pe-
19
tersbourg le ^juin 1778, Nouv. mem.de 1’acad. des sci de Berlin,
1776, 1779, стр. 340—346; Opera omnia, cep. 1, t. Ill, стр. 421—428.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
203
3) № 708 «О выражениях вида тпхх- пуу, удобных для
исследования простых чисел и об их удивительных свой-
ствах»1):
4) № 715 «О различных способах исследования ооль-
И1ИХ чисел для определения, простые они или нет»2);
5) .Xj 718 «Простой метод нахождения весьма больших
простых чисел»3);
(») № 719 «Более общий метод исследования любых
достаточно больших простых чисел для определения,
простые они или ист»4 *).
7) № 725 «Разъяснение парадокса относительно удоб-
ных пли подходящих чисел»3).
Обсуждение этих работ лучше всего начать с мемуара
№ 715. В нем достаточно полно раскрывается содержание
понятия удобного числа, дается обоснование критерия,
служащего для нахождения удобных чисел, и сообщаются
приемы отыскания удобных чисел.
В первых параграфах этой работы доказывается, что
если число N двояким образом представимо квадратичной
формой ах2Ру2, где а, р —целые положительные числа6)
*) De fomiulis speciei тхх—пуу ad numeros primes exploran-
dos idoneis carumque mirabilibus proprietatibus, Nova Acta Acad. Sc.
Petrop., t. 12 за 1794 г. (1801), стр. 22—46; Comm, arith. coll.,
t. 11, стр. 249—260; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 269—289.
*) De variis mcxlis numeros praegraudes exaniinandi utruin sint
prinii песне, Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 13 за 1795—1796 rr.
(1802), стр. 14—44; Comm, arith. coll., t. 11, стр. 198—214; Opera
omnia, cep. 1, t. 4, стр. 303—328.
s) Facillima methodus idurimos numeros primes praemagnos
inveniendi.— Noxa Acta Acad. Sc. Petrop., t. 14aa 1797—1798 rr.
(1805), стр. 3—10; Comm, arith. coll., т. II, стр. 215—219; Opera
omnia, cep. 1, t. 4, стр. 352—359.
4) Methodus generalior numeros quosvis satis grandes pers-
crutandi utrum sint primi necne. Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 14
за 1797—1798 гг. (1805), стр. И—51; Comm, arith. coll., т. Il,
стр. 220—242; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 360—394.
*) Illustratio paradoxi circa progressionem numerorum idoneo-
rum sive congruorum. Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 15 за 1799— / u
1802 rr. (1806), стр. 29—32; Comm, arith. coll., т. II, стр. 261—262;
Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 395—398.
•) В дальнейшем мы пе будем специально оговаривать, что
форма вида mxt-\-nyt рассматривается только при условии: т и п—
натуральные числа.
204
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
и ах, Ру — взаимно просты, то они составное. Дастся спо-
соб получения делителей такого числа. Приводится ряд
иллюстративных примеров.
Далее раскрывается связь между квадратичными фор-
мами az2-,фу2 и aPz2-|-y2. Произведешь двух чисел вида
ах2-] Ру2 есть число вида сфх2-{-у2. Произведение двух
чисел, из которых одно вида ахг--Ру2, а другое вида
aPz2-{-y2, есть число вида ах2-| Ру2. (В обоих случаях дтя
произведений получается по два представления.) Форма
az24-Py2 при х= pz переходит в p(apz2-|-y2), а форма
apx2-j-y2 при y=av—в а (Pz2-f-ao2). Обе формы обладают
столь близкими свойствами, замечает Эйлер, что доказан-
ное об одной можно применить и к другой.
Затем выдвигается «вопрос величайшей важности»:
можно ли всегда считать простыми те числа, которые лишь
единственным образом представляются формой az2-|Py2?
Ответ Эйлера гласит (§ 18): «Это зависит от природы
формулы ахх- Руу, то есть от чисел а и р, которых надо
различать два рода. Существуйте такие значения этих
букв, при которых все числа, содержащиеся в такой фор-
муле единственным образом, непременно будут «простые»;
по существуют и такие значения а и р, при которых подоб-
ное заключение было бы ошибочно; такова формула
1хх~ 2уу, которая при z=l и у =2 дает «составное» число
15, хотя оно лишь единственным образом содержится
в этой формуле».
Мы процитировали слова Эйлера, внеся в них одно из-
менение: слова простые и составные Эйлер не выделял
кавычками. Эти слова мы взялп в кавычки, так как Эйлер
У’потреоил их здесь в особом, условном смысле. Содержание
терминов «простые» и «составные» числа будет раскрыто
ниже.
Итак, существуют формы az2-|-Py2 (и вместе с ними
формы apz2-)-y2), которые единственным образом выра-
жают только «простые» числа, и такие, которые наряду
с «простыми» могут единственным образом представлять
и «составные» числа.
Критерий, позволяющий различать такие формы, Эйлер
получает с помощью теоремы: «Если сколь угодно большое
«составное» число представляется формой ах2-]-^у2 (или
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
203
арх»_|_у*) единственным образом, то всегда можно указать
меньшие «составные» числа, представляемые этой формой
также единственным образом». Он указывает прием, по-
зволяющий осуществлять переход к меньшим «составным»
числам, и иллюстрирует его на примере числа 7729 = 59-131,
которое представляется формой 7z2-|2y2 только одним
способом: при х—19, у=51. Первый переход дает число
59и=7.624-2-132. От пего Эйлер приходит к числу 100==
=7-22-{-2-62 и, пакопец, после третьего перехода—
к числу 15=7 • 12-{-2-22—наименьшему «составному»
числу, представимому формой 7i2-|-2y2 единственным
образом.
Полагая, что спуск к мепыпнм «составным» чпслам,
представимым формой сфа:2 +р2 (или ах2-| ру2) единствен
иым образом, должен всегда приводить к числам, мепыпнм
4сф (а последние могут получаться только при z=l),
Эйлер приходит к важному заключению: Если форма
а$х2-$-у2не выражает ни одного «составного'» числа, мень-
шего 4сф, то таковых не может быть и среди чисел, боль-
ших 4сср, и, значит, каждое число, представляемое этой
формой единственным образом, является «простым».
Какие же числа считаются здесь «простыми»? В приме-
чании к § 36 Эйлер указывал: «если р — простое число, то
в этом исследовании но шло самого числа р должны рас-
сматриваться как простые числа его квадрат рр и его двой-
ное кратное 2р; кроме того, должны рассматриваться как
простые числа и все степени двойки».
В работах Эйлера по теории чисел подстрочные приме-
чания встречаются очень редко. Все понятия, которыми
он пользуется, как правило, весьма обстоятельно раскры-
ваются в тексте — сопровождаются подробными объяс-
нениями и многочисленными примерами.
В рассматриваемой работе, как и в остальных мемуа-
рах, посвященных удобным числам, Эйлер пе ввел спе-
циального термина для указанных нм квазппростых чисел.
В этих работах он употреблял названия простые и состав-
ные числа в условном смысле и, по-видимому, считал, что
это пе может вызвать каких-либо недоразумений. Воз-
можно, что приведенное выше примечание было сделано
Эйлером после того, как статья была уже набрана.
20«
11. Г. МЕЛЬНИКОВ
Теперь ясно, что введенный нами другой термин—
«составные» числа означает составные числа в обычном
смысле за исключенном квадратов простых чисел, удво-
енных простых чисел и степенен двойки.
Итак, чтобы решить вопрос, можно ли считать «про-
стыми» все числа, выражаемые формой афт2-}-!/2 (пли
ссх2-|-Ру2) единственным образом, нужно рассмотреть
только числа вндасф-|-у2, где у принимает значения,
меиыппе | Зар и взаимно-простые с ар.
Так, например, чтобы исследовать форму 7х2-[2у2,
нужно рассмотреть числа, выражаемые формой 14 -| у2,
только при трех значениях у=1, 3, 5. Это исследование
Эйлер проводит с помощью таблицы:
14-1-1, 3, 5
15, 23, 39
с, р, с
В ней буквой с он отмечает «составные» числа, а буквой
р — простое. Присутствие буквы с в таблице означает,
что формы 14т2 4-у2 и 7т2-]-21/2 не могут служить для уста-
новления простоты или сложности чисел, представляемых
ими единственным образом. Заметим, что к этому заклю-
чении» можно было придти уже после первого испытания,
приведшего к «составному» числу 15.
Аналогичным образом проводится исследование формы
13т2 +у2:
134-1, 2, 3, 4, 5, 6
14, 17, 22, 29, 38, 49
2р, р, 2р, р, 2р, рр
Так как в таблице отсутствует буква с, то все числа,
представляемые формой 13т2 4-1/2 единственным образом,
будут «простыми». Таким образом, форма 13т2 4у2 ока-
зывается в известном смысле удобной для решения вопроса
о простоте или сложности всех чисел, выражаемых ей».
Покажем на нескольких простых примерах, как можно
пользоваться этой формой.
1. Для числа 77 легко отыскиваются два представле-
ния: 77= 13-124-82= 13-22 4-52. Следовательно, 77—со-
ставное число.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
207
2. Для числа 94 имеется только одно представление:
94= 13.12-|-92. Следовательно, 94 есть «простое» число.
цо 94=2-47, значит, 47—простое число.
3. Число 3481 выражается формой 13т2 4-у2 (собствен-
но) только одним способом: 3481 = 13-32-(-582. Поэтому
3481—«простое» число. Но это число есть квадрат:
3481 =592, следовательно, 59 есть простое число.
4. Для числа 61 имеется лишь одно представление:
61 = 13-22-|-32. Следовательно, 61—«простое» число. Ио это
число не есть квадрат, значит, оно простое.
Форма 13х2-{-у2, оказавшаяся удобной для испытания
простоты или сложности всех чисел, представимых ею
(и даже многих, ею не представимых, как, например,
*7 и 59), характеризуется лишь одним параметром: чис-
лом 13.
Его мы и должны отнести к классу чисел, которые
Эйлер называл подходящими (numeros cougrnos) пли чаще
удобными (numeros idonens).
Итак, число ар называется удобным, если все числа,
однозначно представимые формой афт2 -Н/2, где (арх, у) -1,
являются или простыми, или удвоенными простыми,
или квадратами простых, или, наконец, степенями 2,
т. е. являются «простыми» числами.
Если аР — удобное число, причем (а, Р) =1, то для
исследования чисел (в смысле их простоты пли сложности)
наряду с формой аРх2-|-у2 можно использовать н форму
ах2+Ру2 при условии (ах, р«/) = 1.
Проверив все числа до 10 000, Эйлер обнаружил
65 удобных чисел. Вот эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8
9, 10, 12, 13, 15, 16. 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30. 33, 37,
40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105,
112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253,
273, 280. 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840,
1320, 1365, 1848.
Не следует думать, что эта таблица возникла в резуль-
тате испытания каждого числа до 10 000 с помощью одного
лишь критерия: Число п будет удобным, если для каждого
значения у, меньшего ] Зп и взаимно-простого с п, число
будет «простым». Такой путь был бы очень труден.
Эйлер заметил, что существуют целые классы чисел,
2U8
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
которые не могут быть удобными. Его прием основан на
предварительном исключении таких чисел. Можно пока-
зать, например, что все числа вида 4А:-|-3, кроме трех:
3, 7, 15, не могут быть удобными. Действительно, приме-
няя критерий удобного числа, уже после верного сложения
4А-+ 3+12=4(А:-| 1) получаем «составное» число 4(k- 1),
если только Zt-f-1 не есть степень двойки. Так же не могут
быть удобными все числа вида ЗА-[ 2, кроме трех: 2, 5 и 8,
ибо сумма ЗА:-f-2 + 12 = 3(А:-|-1) оказывается «составным»
числом при всех к, отличных от 0, 1, 2. Так обнару-
живаются формы чисел, подлежащих в этом процессе
исключению1). Составляется специальная таблица «форм
исключения», с помощью которой легко решается вопрос,
является ли данное число удобным пли ист. Показав на
нескольких примерах, как следует пользоваться табли-
цей «форм исключения», Эйлер закапчивает мемуар Л» 715
словами: «Этим методом нетрудно продолжить исследова-
ние чисел сколь угодно далеко. По когда я довел вычис-
ление до 10 000, мне ие встретилось ни одного нового
удобного числа, кроме тех, которые показаны в приведен-
ной таблице, так что представляется вероятным, что эта
таблица содержит решительно все удобные числа».
§ 10. Как ни странно, в литературе получило большое
распространение неправильное истолкование удобных
чисел.
Желая объяснить, что такое удобные числа в эйлеров-
ском смысле слова, иногда исходят из ложной теоремы
(приписываемой Эйлеру) о том, что всякое число, одно-
значно представимое в виде суммы двух квадратов, есть
простое. Затем трактуют удобные числа п как такие,
при которых форма пх2-\-у2 обладает тем же свойст-
вом, что и форма x2-f-i/a, т. е. выражает только простые
числа.
*) Подчеркнем еще раз, что Эйлер вовсе не рассматривал каж-
дое число до 10 000. Утверждение А. В. Васильева: «Он изучил
с необыкновенным для него трудолюбием с этой целью все целые
числа до 10 000 и дальше» — только дезориентирует читателя (см.
А. В. В а с и л ь е в. Целое число, 1919, стр. 118). Это исследование
выполняется сравнительно легко п быстро и, конечно, пе требует
от вычислителя каких-то особых качеств.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ ХДОБПЫХ ЧИСЕЛ
209
Приведем здесь несколько таких высказываний.
В книге А. В. Васильева «Целое число» об удобных
числах сказано следующее: «Такими числами являются те
числа, для которых, как, например, для чисел 1, 2, 3,
существует теорема: простое число единственным образом
представляется под видом тх2-±пу2, так как в таком случае
очевидно, что, найдя для какого-нибудь числа А' два раз-
ложения А’ = та2-[-nb2—mc2-\-nd2, мы заключаем отсюда,
что N есть число сложное»1).
Эта неряшливая формулировка ничего другого, кроме
путаницы и неразберихи, пе может породить.
В диссертации II. Мейера сообщается, что Эйлер нашел
некоторое количество чисел п, для которых имеет место
теорема: «Всякое число, которое только одним способом
представимо в форме р=х2+ пу2, есть простое»* *).
В содержательном очерке Г. Ригера, посвященном
вкладу Гаусса в теорию чисел, дается следующее опреде-
ление: «Удобные числа — название, исходящее от Экле-
ра,— суть натуральные числа т, обладающие следующим
свойством: Если натуральное число п представимо в форме
n=x2-j-my2, (х, у)=1 только одним способом, топ — про-
стое число»3).
Точно так же трактуются удобные числа в книге Э. Тро-
ста «Простые числа»: «Эйлер заметил,— пишет Трост,—
что x2-j-dy2 (d>l) для специальных значений d однозначно
и собственным образом представляет лишь простые числа.
Коэффициенты d ои назвал «подходящими» числами
(Nuineri idonei)...»4).
Можно было бы привести еще ряд подобных высказы-
ваний об удобных числах.
Первая публикация об j добных числах появилась в
связи с письмом Эйлера от G мая 1778 г. к берлинскому
*) Л. В. В а с п л ь е в, Целое число, Петроград, 1919,
стр. 118.
*) Р- Meyer, Beweis eines von Euler entdekten Satzes, bet-
reffend die Bestimmung von Primzahlen, Stras.-burg, 1906, стр. 6.
s) G. J. Rieger, Die Zahlenlheorie bei C. F. Gau®?. См. сбор-
ник статей: C. F. Gauss, Gedenkband anlasslich des 100, Todes-
tages..., Leipzig, 1937, стр. 71.
) Э. T p ост, Простые числа, перевод с немецкого H. II. Фельд-
мана под редакцией А. О. Гельфопда, М_, 1959, стр. 35.
Истор.-матсм. исслед., вин. ХШ
210
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
академику Николаю Беглену. В статье A’ W8, представ-
ляющей извлечение из этого письма, Эйлер, напомнив, что
числа, представимые единственным образом формой а:2-] у2
при взаимно-простых х и у, суть простые или удвоенные
простые, замечает, что существует много форм вида пх2 -{-у2,
обладающих таким же свойством; значения п, соответ,
ствующие им, он будет называть подходящими (\al£pr-
conveiiables). Последние могут быть найдены с помощью
правила: «Если каждое чисто вида п-{-у2, меиыиее Ап
(при у и п взаимно-простых), есть либо простое число р,
либо удвоенное простое 2р, либо квадрат простого рр,
либо, наконец, какая-нибудь степень 2, то число п, удо-
влетворяющее этим требованиям, есть подходящее».«Бла-
годаря этому правилу,— пишет далее Эйлер,— я смог
довольно легко определить все значения, которые можно
дать букве п, для того чтобы всякое число, содержащееся
одним единственным образом в форме пх2-\-у2, могло бы
считаться простым».
Эйлер несомненно имел здесь в виду числа простые в
особом, условном смысле этого слова. Это видно из анало-
гии с формой х2-\-у2, которую он проводит: он говорит,
что числа, представимые ею однозначно и собственным
образом, суть простые или удвоенные простые. Это выте-
кает и из его правила: ведь числа п-\-у2, о которых там
пдет речь, cjtb числа, содержащиеся единственным обра-
зом в форме пх2-1~у2, п уже поэтому они должны «считать-
ся простыми». Таким образом, мы ставим знак равенства
между фразами «считаться простым» и «будет либо про-
стым, либо квадратом простого, либо удвоенным простым,
либо степенью двойки».
Фраза «могло бы счит 1ться простым» допускает два
различных толкования. Ее можно рассматривать как со-
глашение об употреблении слова простое в расширенном
смысле, т. е. как утверждение о том, что все числа, одно-
значно представимые формой пх2-(-у2, где (пх, у)= 1,
будут здесь называться простыми. Такое содержание
вкладывал в эти слова Эйлер.
По фраза эта, как читатель уже имел возможность сам
убедиться, может быть истолкована буквально, в смысле
категорического утверждения «будет простым». Именно
ОТКРЫТИЕ ЭПЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
211
так большинство авторов восприняло цитируемые слова
Эйлера. Позволю себе привести еще один пример. В «Исто-
рии математики» Кантора утверждается, что Эйлер в пись-
ме к Беглецу «обратил внимание на тот факт, что общая
формула пх2-$-у2... прп надлежащем выборе п доставляет
только простые числа»1).
Такое толкование удобных чисел оказалось народность
жизнестойким: оио переходит пз одних книг и статей в дру-
гие, оно бытует и в паши дни.
Раскрытие понятия }добиых чисел в эйлеровском
смысле этого слова — одна из задач, поставленных авто-
ром в этой статье.
§ 11 Теперь мы очень кратко остановимся па ос-
тальных пяти мемуарах Эйлера, посвященных удобным
числам.
Мемуар А» 708а явился ответом Эйлера от 30 июня
1778 г. на просьбу Беглепа сообщить подробности об удоб-
ных числах. Составление ответа Эйлер поручил своему
ближайшему помощнику и другу II. II. Фусу. Хотя
письмо подписано «Русом, его автором следует считать
Эйлера. Именно поэтому мемуар А® 708а включен в полное
собрание сочинений Эйлера.
Мемуар № 708 был представлен в Петербургскую Ака-
демию наук 16 Majfa 1778 г. В первой части его делается
попытка дать систематические изложение учения об
удобных числах (в более совершенном виде эта цель была
осуществлена в мемуаре Ai- 715). Затем Эйлер доказывает
10 теорем, раскрывающих «замечательные свойства удоб-
ных чисел». Сформулируем их здесь.
I. В ряду удобных чисел не может быть квадратов,
кроме следующих пяти: 1, 4, 9, 16, 25.
И. Если i= iа—1—удобное число, то 4i — также удоб-
ное число.
III. Если 4/, где i — нечетное, есть удобное число,
то Пи — также удобное число.
IV. Если к21 — удобное число, то и i также есть
удобное число.
_ *) М. С a n t о г, Vorlesungen iiber Gescliichte dor Mathematik,
leipzig, 1908, t. IV, стр. 175.
212
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
V. Если i=3a—1—удобное число, то 9г—также удоб-
ное число.
VI. Если г'=4а-| 1 есть удобное число, то 4(4a-f-l)
пе будет удобным числом.
VII. Если i—Ьп 4-2—удобное число, то 4г также есть
удобное число.
VIII. Если 8г, где i нечетное, есть удобное число,
то 32г не будет удобным числом.
IX. Если 1<»г, где г нечетное, есть удобное число, то
(»4г не будет удобным числом.
X. Если i—удобное число и i-[-a2=p2, где р — про-
стое число, квадрат которого меньше 4г, то 4г не будет
удобным числом.
Среди удобных чисел, указанных Эблером в статье
№ 498. содержалось число 44. С помощью теоремы IV
можно легко показать, что это число пе является удобным.
Действительно, если допустить, что 44—удобное число,
то удобным должно быть н число И. Однако форма
11а:24_Уа однозначно представляет «составное» число 15,
следовательно, 11 не является удобным числом, а значит,
н 44 не есть удобное число.
В мемуарё Д° 708 эта неточность была устранена.
В списке удобных чисел вместо 44 появилось число 45.
По всей вероятности, причиной этой неточности была
описка. Мы воспользовались случаем, чтобы хотя бы на
одном примере показать, какую пользу можно извлечь
из 10 «замечательных» теирем Эйлера. Они прокладывают
пути для отыскания удобных чисел и во многих случаях
могут служить средством контроля.
Выше мы уже заметили, что проверка всех чисел от 1
до 10 000 с целью выявления удобных чисел оказалась
несложным делом. Авторы, указывающие на исключитель-
ное трудолюбие, проявленное Эйлером при изучении всех
чисел до 10 000, преувеличивают трудности и объем этой
работы, они изображают Эйлера только как старательного
и умелого вычислителя. Эйлер — прежде всего мыслитель.
На первом этапе исследования он пытается раскрыть ме-
ханизм явления и обосновать его законы. Затем ои ищет
пути для рационального решения задачи. Виртуозность
Эйлера в обращении с числовым материалом проявляется
ОТКРЫТИЕ ЭП.1ЕРОМ ЪДОБНЫХ ЧИСЕЛ
213
преимущественно на заключительном этане, когда дело
доходит до приложений.
В своих теоретико-числовых работах Эйлер иногда
придерживается следующего плана: вначале наблюдает
факты, затем формулирует теоремы доказывает пх и,
наконец, опираясь па установленные факты, приступает
к вычислениям. Наблюдения делаются на небольшом
числовом материале, с тем чтобы указать естественный
путь, приводящий к открытию того пли иного свойства
чисел. По-впднмому, этим наблюдениям придается н из-
вестное педагогическое зпачеппе.
Открытие удобных чисел произвело сильное впечатле-
ние на самого «Эйлера. С большой поспешностью он оформ-
ляет мемуары, посвященные удобным числам. Мемуар
№ 715, главным результатом которого является вывод
критерия удобности числа, был представлен в Петербург-
скую Академию наук 16 марта 1778 г., т. е. в тот же день,
когда и мемуар № 708. Одновременно с этими мемуарами
были представлены еще два: JV. 718 и 719. В первом из ппх
обсуждается вопрос об исследовании чисел в смысле их
простоты или сложности с помощью удобного числа 232.
Дается способ нахождения значений а, при которых форма
232а2+1 представляет составные числа. Отыскиваются
все такие значения а от 1 до 299. Таким путем обнаружи-
вается 121 значения а: 1,2, 3. 291, 294, 299, при кото-
рых эта форм<1 дает простые числа. Наибольшее из них
превосходит 20 миллионов. В мемуаре № 719 демонстри-
руются приемы исследования больших чисел в смысле пх
простоты или сложности, основанные па понятии удобного
числа. После предварительных указаний, имеющих прин-
ципиальный характер, рассматривается ряд примеров.
Указываются приемы, значительно облегчающие процесс
исследования. В последнем примере используется удобное
число 1818. В пределах первой сотни обнаруживается
22 значения а, прп которых выражение 1848а®-|-197® дает
простые числа. Наибольшее из ппх 18 518 809 получается
прп а=100. Далее приводятся новые доказательства тео-
ремы 1 II из мемуара № 708. Отмечается, что средн най-
денных 65 удобных чисел имеется 16 нечетно-четных (т. е.
вида 4п 4-2), а пменпо: 2, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78,
214
II. Г. МЕЛЬНИКОВ
102, 130, 190, 210, 330, 402, и в полном соответствии с тео-
ремой VII в таблице обнаруживаются пх учетверенные
кратные: 8, 24, 40, 72. 88, 120, 168, 232, 280, 312, 408, 520,
760, 840, 1320, 1848. Приводятся дальнейшие наблюдения:
в таблице удобных чисел содержится 6 простых чисел
(2, 3, 5, 7, 13, 37), 5 удвоенных простых чисел (4, 6, 10,
22, 58), 25 чисел, в разложения которых входит пе более
двух различных простых множителей, а в разложения
большинства удобных чисел входит три и более простых
множителей. Первые десять натуральных чисел являются
удобными числами. Между числами 520 и 760, 840 и 1320,
1365 и 1848 не встречаются удобные числа. В заключение
указывается, что до 16 000 пе может быть пн одного четно-
четпого числа, кроме найденных.
Десять теорем, доказанных Эйлером в мемуаре № 708,
можно разбить па две категории. К первой категории отне-
сем теоремы: If, III, IV, V, VII, ко второй — теоремы:
I. VI, VIII, IX, X. С помощью теорем первой категории
можно, имея удобные числа соответствующих видов, на-
ходить новые удобные числа. Однако легко можно заме-
тить, что при их посредстве придти к бесконечному мно-
жеству удобных чисел невозможно. Теоремы второй
категории указывают пути, которые от удобных чисел опрс-
деленноЕО вида приводят к числам неудобным. Оба обстоя-
тельства п достаточно большой числовой материал позво-
лили Эйлеру высказать в мемуаре № 715 (§ 41), а также
в копце мемуара № 719 гипотезу о конечности числа удоб-
ных чисел. Более того, Эйлер высказал предположение
о том, что 1848 есть наибольшее удобное число. Последнее
предположение является, по мнению Эйлера, «в высшей
степени вероятным» («maxime probabile») п вместе с тем
«необыкновенным парадоксом» («insigne рагайдхоп»).
В чем же Эйлер усматривал парадокс? В небольшой
статье А» 725, представленной в Петербургскую Академию
паук 20 апреля 1778 г., Эйлер отметил, что среди рядов
чисел, наблюдаемых в различных исследованиях, до снх
пор пе встречались обрывающиеся ряды, т. е. ряды с ко-
нечным числом членов. То обстоятельство, что ряд удоб-
ных чисел следует считать конечным, что число удобных
чисел равно 65, а наибольшее среди них есть 1848. Эйлер
ОТКРЫТИЕ ЭЛЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ
215
считал явлением, находящимся в противоречии с обыч-
ными представлениями о бесконечности множества чисел,
обладающих каким-нибудь определенным свойством. Имен-
но в этом Эйлер и видел парадокс.
§ 12. Расскажем теперь очень кратко об относящихся
к удобным числам изысканиях других авторов.
В гауссовой теории бинарных квадратичных форм
(1801 г.) вопрос об удобных числах находится в тесной
связи с распределением форм по классам и классов но ро-
дам. Доказывается, что число п является удобным тогда
и только тогда, когда в каждом роде чисто коренного
порядка определителя —п имеется лишь по одному классу
форм. Большая вычислительная работа, выполненная
Гауссом в связи с классификацией форм, позволила ему
выявить все (>5 удобных чисел Эйлера. Гаусс отметил, что
критерий Эйлера, содержащийся в статье № 498, может
быть легко доказан1).
Эйлеровскпе теоремы об удобных числах были рас-
смотрены в специальном исследовании Ф. Грубе (1874 г.)2).
Грубе, опираясь на гауссову теорию форм, весьма обстоя-
тельно раскрыл сущность удобных чисел. Ои дал критиче-
ский анализ доказательства критерия удобности числа,
предложенного Эйлером в мс,муаре .V> 715, обнаружил ряд
недостатков в доказательствах некоторых теорем мемуара
.V 708 (из тех десяти, которые мы перечислили в § 11) и
устранил их. Грубе не смог доказать эплеровскпй критерий
удобности числа, однако он сумел доказать другом крите-
рии. идея которого, впрочем, имеется у Эйлера в мемуа-
ре № 708.
Связь вопроса об удобных числах с комплексным
умножением эллиптических функций была отмечена в ра-
боте Г. Вебера (1889 г.)3).
*) К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел, перевод В. Б. Демь-
янова под редакцпеи И. М. Виноградова п с комментариями
Б. II. Делоне. М.. 1959, стр. 451—453.
*) F- Grube, Uber einige Euier'sche Siitze aus der Theorie
der quadratischen Formen. Zeit^clirifl fur Mathematik und РЬучк,
19, Leipzig. 1874, стр. 492—519.
n- Weber. Zur Theorie der Coniplexen Multiplication
elliptischer Functionen, Math. Annalen. t. 33. 1889, стр. 390—410.
216
И. Г. МЕЛЬНИКОВ
В дпссертацпп П. Мейера (1906 г.)1 *) обсуждался вопрос
о числах, однозначно представимых формой х3-}-пу3, где
п—удобное число, на основе гауссовой теории форм.
Кунннигем и Куллен (1901 г.)а) исследовали числа до
101 220 н все же пи одного нового удобного числа пе обна-
ружили. Отметим также, что с помощью формы ага4-1848уа
в промежутке от 10 000 000 до 10 100 000 они обнаружили
189 простых чисел.
В 1934 г. Човля®), опираясь па один результат, полу-
ченный Гельброном в том же году, доказал, что удобных
чисел может быть лишь конечное число. Таким образом,
гипотеза Эйлера поточила подтверждение.
Является ли 1848 наибольшим удобным числом? Этот
вопрос пока остается открытым.
Результаты Эйлера, относящиеся к удобным числам,
былп истолкованы па языке современной теории чисел —
языке теории идеалов в статье Р. Фузтера4).
Удобные числа — одно из интереснейших открытий
Эйлера в теории бинарных квадратичных форм. Обнару-
жив, начиная с 1745 г., удобные числа 1, 2 и 3, Эйлер
упорно искал пути, позволяющие найти другие пли, быть
может, все остальные удобные числа. Эйлер прошел боль-
шой н сложный путь, прежде чем построил свою довольно
своеобразнуютеориюудобных чисел. Доказательства, пред-
ложенные Эйлером, пе являются строгими, но вряд ли
это замечание может служить ему упреком. Ведь даже
средства современной математики, по-видимому, недо-
статочны для решения вопросов, выдвинутых Эйлером.
*) Р. М е у е т, Beweis eines von Euler entdecten Saties, betref-
fend die Bestimmung von Primzahlen, Strassburg, 1906. стр. 30.
*) A. Cunningham and J. C u I 1 e n. On Idoneal numbers.
Report of the British Association, 1901, стр. 552.
•) S. C h о w I a. Helbronn's classnumber theorem. Proceedings
of the indian academy of sciences, vol. 1, № 2, 1934. стр. 74—76.
4) L. E u 1 e r i. Opera omnia, cep. 1, t. Ill, 1941, Vorwort
des Herausgebers, стр. XV—XVIII.
ПЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ
В СТРАНАХ АЗИИ
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУПЬ-ЦЗЫ1)
.9. Jf. Березкина
Математический трактат Суиь-ц.зы (Sun-zi suan jing 2))
входит в состав дошедшего до нас ктассического Дссятн-
кипжья (Suan jing sbi shu), которое в эпоху Таи
(618—907 гг.) служило будущим чиновникам обязательным
пособием для сдачи экзаменов ио математике 3). Об авторе
трактата ничего не известно, а время составления сочине-
ния относят приблизительно к HI—IV вв. и. э4). Если не
считать комментария Лю Хуэя (263 г. и. э.) к «Математике
в девяти книгах» (Jiu zhang suan shu)5), составленной
в эпоху Ранпей Хань (206 г. до н. э.—7 г. н. э.) и также
входящей в Десятнкнпжье, то трактат Супь-цзы является
непосредственно следующим за «Математикой» текстом,
которым мы располагаем в настоящее время.
В «Математике в девяти книгах» обобщены знания древ-
них китайцев в области математики за многие века. Зада-
чи, пз которых состоит сочинение, распределены по девяти
*) Статья наппсана в связи с выполненным в Институте китае-
ведения ЛИ СССР переводом на русский язык текста указанного
сочинения.
2) Транскрипция дана по новому фонетическому алфавиту,
утвержденному правптельством КНР в 1958 г.
s) J. Needham, Science and Civilisation in China, t. Ill,
Кембридж, 1959, стр. 33.
4) Л и Янь, История китайской математики (Li Jan,
ZhonRsruo suanxueshi), 2-е изд., Шанхай, 1955, стр. 24.
ь) Древнекитайский трактат «Математика в девяти кппгах»,
перевод с примечаниями Э. II. Березкиной, Историко-математпче-
скпе исследования вып. X. Москва, 1957, стр. 423—584,
220
Э. И. БЕРЕЗКИНА
книгам па основании их тематической общности, а также
общности их методов решения. Выделяя класс задач и снаб-
жая его хороню разработанным алгоритмом решения (для
вычислений древние китайцы пользовались счетным при-
бором1)), составители «Математики в девяти книгах»
систематизировали основные имевшиеся в то время мате-
матические методы.
Математический трактат Суиь-цзы носит совсем другой
характер. Он состоит из трех книг (цзюапей), которые,
в отличие от «Математики», никак не озаглавлены. Первая
книга (shang jiuan) является вводной и содержит различ-
ные таблицы и краткое описание счета на доске.
Начинается опа с перечисления соотношений мер дли-
ны, веса н объема. Некоторые из них уже встречались
в «Математике в девяти книгах», но далеко пе все из них,
очевидно, употреблялись на практике. Системы мер кано-
низированы: они изложены систематически, с применением
десятичной шкалы для перехода от одних названий к дру-
гим, в основу каждой системы положена элементарная
единица (ху, толщина паутнпкп шелковичного червя,—
для мер длины; шу, зернышко клейкого проса,— для мер
веса: су, проспнка,— для мер объема). Опп применялись
в качестве десятичных дробей2). Ниже будет более по-
дробно сказано об этом. Эти соотношения также использо-
вались для построения системы наименований разрядов
больших чисел, в трактате Супь-ц.зы их две. В первой си-
стеме даются специальные названия (и, чжао, цзин и т. д.)
каждому новому разряду, начиная с 10е; во второй системе
«большого числа» (da shu) аналогпчпымп словами названы
каждая единица нового класса: 108; К)1®, 101®....
В первую книгу трактата Супь-цзы входят также ряд
числовых таблиц. Одна из них является таблицей, содер-
жащей произведения i2n® и in2 для п=9,..., 1; i=n,..., 1;
назовем ее расширенной таблицей умножения в отличие
от известной в истории китайской математики таблицы
умножения «девятью девять» (jiu jin), состоящей из про-
*) См. J. Needha ш, цпт. еоч., стр. 70 и след.
•) См. МаракуевА. В., Меры и весы в Китае, Владивосток,
(930, стр. 27.
и МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ ЦЗЫ
221
пзведенин in для тех же значений п и i. Для каждого п
в расширенной таблице умножения подсчитывается
{и (1 4-24-... +«)}’ « соответственно п (1 4-24-... 4-п)1 2,
а вся расширенная таблица умножения увенчивается
числами
п(14-2 4-... 4-п)}® = Л и Л:9 = В.
9
Сделаны эти подсчеты, очевидно, в подражание таблице
«девятью девять», которая заканчивалась суммированием
всех ее результатов
1
(14-24-... 4-п) = 1135*).
У
(Это число является контрольным: при произнесении таб-
лицы «девятью девять» результаты откладываются на сче-
тах, получившаяся при этом сумма 1155 показывает, что
таблица была произнесена без ошибки.) Кроме того, при-
водится таблица удельных весов некоторых металлов,
нефрита и камня и др.
Что касается описания техники счета, то опо заклю-
чается в кратком объяснении принципа представления
чисел с помощью счетных палочек н формулировке правил
умножения и деления. Вот это хорошо известное истори-
кам математики первое письменное свидетельство о счете
па доске, о которой почти не сохранилось сведений:
«Метод, который [употребляется] при обычном счете.
Сначала познакомься с разрядами. Единицы (распола-
гаются! вдоль, десятки — поперек; сотни стоят, тысячи
лежат; тысячи и десятки [располагаются] горизонтально;
десятки тысяч н сотни — вертикально».
Две другие книги трактата Супь-цзы содержат 64 за-
дачи самого различного содержания. Каждая из них снаб-
жена ответом и способом решения, подробно излагающим
ход вычислений, регулярно сообщаются даже промежу-
точные результаты вычислений. В «Математике в девяти
1) Эта таблица почти в таком же виде содержится в более позд-
нем тексте «Математического трактата» (Suan jing) из Дуихуапскпх
пещер, хранящемся в Париже. См. Ли Я п ь. Материалы по исто-
рии древнекитайской математики, Шанхай, 1934, стр. 28 и след.
3. И. БЕРЕЗКИНА
книгах» к ряду однотипных задач часто дается одно
правило, сформулированное в общем виде. Вообще язык
трактата Супь-цзы более красочен, менее лакони-
чен. Текст задач по стилю напоминает в некоторой
степени индийские задачи. Вот два примера. Задача 17
книги III:
«Женщина идет к реке мыть посуду. Перевозчик
у переправы восклицает: «Как много мисок!» Женщина
говорит: «Дома гости». Перевозчик: «Сколько гостей?»
Женщина: «Не знаю, сколько гостей, но каждые двое
пользуются 1одной миской] с вареным рисом; каждые трое
пользуются (одной миской] с бульоном; каждые четверо
пользуются (одной миской] с мясом, всего в употребле-
нии G5 мисок».
Задача 34 книги III:
«Когда выйдешь за ворота, взору открывается 9 плотин,
на (каждой] плотине по 9 деревьев, на (каждом] дереве
но 9 ветвей, на (каждой] ветви по 9 гнезд, в [каждом]
гнезде по 9 птиц, у [каждой] птицы по 9 птенцов, у (каж-
дого] птенца но 9 перышек, (каждое] перышко 9 расцве-
ток. Спрашивается, сколько каждого?»
Среди задач, содержащихся в трактате, имеется зна-
менитая задача теории чисел, с которой, как и с указанием
о счетных палочках, обычно связывают имя Супь-цзы—
этими двумя упоминаниями историки пауки обычно исчер-
пывают сообщение о трактате. Задача помещена в книге III
сочинения 20-й по счету; она сводится крещению системы
сравнений первой степени:
«Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их
тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то
остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2.
Спрашивается, сколько вещей?»
Задача широко известна в истории науки, не будем па
пен останавливаться1).
Тематика задач трактата Сунь-ц.зы в подавляющем
большинстве такая же, как в «Математике в девяти книгах».
*) См. А. П. Юшкевич, О достижениях китайских ученых
в области .математики, Историко-математические исследования,
вып. VIII. стр. 556—557.
о МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТР \KTATE CJ НЬ-ЦЗЫ 223
Это задачи на пропорции, проценты, прогрессии, вычисле-
ние площадей и объемов, извлечение квадратных корней,
решение систем линейных уравнений и др. Есть ряд задач,
заимствованных из «Математики» (задачи 1—8 на действия
с дробями и обмен зерна). Однако методы решения, столь
но, робно сообщаемые Cj нь-цзы, часто отличны от тех,
которые содержатся в «Математике», или в них есть новые
моменты. В той части, которая содержит задачи, аналогич-
ные задачам «Математики», тексты правил решения дают
материал для более детальной реконструкции методов,
высказанных в «Математике» в общем виде, сообщают
о подробностях счета на доске при действии данного
алгоритма.
Задачи подобраны, вероятно, с целью показать изу-
чившему «Математику в девяти книгах», что наряду с об-
щими методами, установленными в канонической «Мате-
матике», при решении задач можно пользоваться другими
частными методами, применяемыми в отдельных случаях
каждый по-своему. Например, следуя «Математике», си-
стемы линейных уравнений общего вида должны решаться
с помощью универсального метода «фап-чэн» (книга VIII).
Систему двух уравнений частного вида с коэффициентом
при у, равным —1, можно решать табличным способом,
названным в кпнге VII «избыток — недостаток», а также
с помощью исключения неизвестных, которое именуется
там же вторым правилом. Средн задач этой же книги VII,
решенных ио правилу двух ложных положений, также
встречаются несложные системы, содержащие два неизвест-
ных. В трактате Сунь-цзы встречаются и метод «фап-
чэн» в несколько усовершенствованном виде, и табличный
способ «избыток — недостаток», и исключение неизвест-
ных, примененных к различным системам. Разнообразные
преобразования уравнений свидетельствуют о развитом
аппарате алгебраических преобразований.
В задаче 27 кппги III (ради удобства будем пользовать-
ся современной символикой) коэффициенты 2-го уравнения
заданной системы
6х + 4у = 7б, |
; 2у = 46 J
224
Э. И. БЕРЕЗКИНА
удваиваются, из потучениого уравнения вычитается 1-е,
так что х определяется из
2z = 46-2 — 76; х = 8,
а у—из 2-го уравнения
46—4х
У = —2~-
В задаче же 31 книги III с системой
х + у = 35, 1
2х + 4у = 94 I
поступают наоборот: коэффициенты 2-го уравнения делят
на 2 и из пего вычитают 1-е уравнение. Таким образом,
94 о- л о
у = ——З.э= 12,
х = 35 — у.
В задаче 18 книги III, сводящейся к системе
у —т=4,5, ।
x-f=l, J
для нахождения искомой величины
х = (1 + 4,5) 2 — 4,5
складывают оба уравнения и находят сначала
у =(1+4,5) 2,
о котором в задаче не спрашивается.
Даже в задаче 26 книги III, где решается спстема
х + f+ | = Э°, j
| + !z + ± = 70, [
-J + | + z = 56, J
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ
225
не пользуются общим правилом «фан-чэп». Неизвестные
вычисляются по симметричным формулам, которые полу-
чаются, если данные уравнения привести к каноническому
виду х), сложить, а затем из этой системы вычитать по-
переменно каждое из уравнений системы
3-90 /70 . 56 \
= -2----И Т- Д'
Правило «фан-чэп» демонстрируется па задаче 28 кни-
ги III, которая почти одинакова с задачей 10 книги \ III
«Математики». В «Математике в девяти книгах» она
дана без решения, тогда как здесь оно подробно из-
ложено.
Заданная система
х-Ьу 18,
4х + У= i8
О
решается почти в уме, если привести систему к канониче-
скому виду
2 г 4- у = 96, |
2.r-|-3y=141 |
и из 2-го уравнения вычесть 1-е. Однако, следуя общему
правилу, Супь-цзы педантично выполняет положенные
действия с числами таблицы, которая составляется пз
коэффициентов заданной системы, приведенной к канони-
ческому вид}
2 2 \
3 1 ].
144 96/
*) Под каноническим видом системы нодраззмевается
°ii *14-----Fain хп — Ьь-
r<ie °i> — целые числа.
15 Истер.-матем. исслед., вып. ХП1
226
3. И. ЕЕРЕЗКПНА
Таблица претерпевает следующие преобразования:
4 2 \ / 4 4 \ / 0 2 ’
6 1 1’ 1 6 2 )• 4 1
.288 96/ \288 192/ <96 96.
Отсюда
По правилу «фап-чэп» таблица преобразуется к треуголь-
ному виду (верхний угол над диагональю таблицы —
нули) следующим образом: числа 2-го столбца справа умно-
жаются на верхнее число 1-го столбца справа п лз полу-
ченных произведений вычитаются числа 1-го столбца до
тех пор, пока па месте верхнего числа 2-го столбца не
образуется пуль. Далее аналогично. Как видим, здесь
многократное вычитание чисел правого столбца из произ-
ведений, полученных в левом столбце, Сунь-цзы заменяет
умножением этих чисел иа соответствующее число левого
столбца и однократным вычитанием полученных произве-
дении из преобразованного левого столбца. Этот укорочен-
ный способ «фап-чэн», как указал Цянь Бао-цун, приме-
нил еще Лю Хуэй в комментариях к задаче 7 книги VIII
«Математики» х).
По-разному решены и две задачи типа задач 1 —8 книги
VII «Математики» на системы вида
alx-\-bl = y, |
a2x+b., — y. J
Это задача 15 книги III
3 (х - 2) = у,
2х + 9 = у
п задача 28 книги 111
6х + 6 = у,
_______________ 7х - 7 = у.
*) См. Цянь Ба о-ц у и. Из истории китайской матема-
тики (Qian К a o-z о ng, Zhongguo shuxueshi hua), Пекин, 1957
стр. Ю.
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ
227
В первой из них Сунь-цзы, исключая у, определяет
х=2-3-|-9. Во второй он пользуется табличным методом,
изложенным в книге VII «Математики», но не причисляет
его к методу «избыток — недостаток». Правилом с этим
названием, понимая под ним метод двух ложных положе-
ний, он пользуется при решении задачи 29 книги III с за-
данным уравнением 100.
На примере решения линейных систем видно, что древ-
ние китайские математики наряду с замечательным общим
методом решения таких систем применяли многие другие
частные приемы, которые встречаются также и у других
народов древних цивилизации (например, у вавилонян
и греков* 1)). Трактат Су нь-цзы позволяет более широко
осветить одну пз основных проблем древнекитайской мате-
матики, которой занпмалпсьна протяжении всей ее истории.
Сопоставление трактата Сунь-цзы с «Математикой в де-
вяти книгах» позволяет выяснить дальнейшее развитие
математики в древнем Китае. Остановимся прежде всего
на приближенных вычислениях.
В «Математике в девяти книгах» величины и формулы
должны были быть точными н только точными, или пола-
гались таковыми, как в случае формул, содержащих
л 3; более точных приближений тогда не знали. Округ-
ление производится в порядке исключения всего в не-
скольких случаях. Результаты вычислений в общем случае
выражались смешанными числами, иногда с многознач-
ными знаменателями в дробпой части. Например,ответ в за-
даче 5 книги III содержит число 135 человека и
т. д. Такие случаи в трактате Сунь-цзы пе встречаются
(кроме одного, о котором ниже будет идти речь особо),
их избегают, очевидно, либо с помощью округления, либо
специальным подбором числовых данных задачи.В трак-
тате пользуются приближенным значением} 2=-^-. Оно
- „ и
1 См. О. Н е й г е б а у е р, Лекцпи по исторпп античных мате-
матических наук, перевод С. Я. Лурье, М.—Л., 1937, стр. 196
и след. См. также Б. .1. В а и-д е р-В а р д е и, Пробуждающаяся
наука, перевод II. II. Веселовского, М., 1939, стр. 162.
15'
228
Э. II. БЕРЕЗКИНА
сообщается читателю трактата еще во вводной части вместе
с приближенным значением числа л=3 ’) и применяется
в задаче 14 книги II для вычисления площади квадрата по
заданной полудпагопалп. Неизвестно, как была получена
эта пара значений так называемых боковых и диагональ-
ных чисел (5 и 7, первой парой будут 2 и З)* 2). В 19 и 20 за-
дачах книги 111 квадратный корень пз неквадратпого числа
приближенно выражается правилом
J а2 + г = « + -£-,
которое могло быть получено, например, как среднее
арифметическое приближений с недостатком а и с избыт-
ком ——.
а
Сунь-цзы часто применяет метрологические десятич-
ные дроби. Еще Лю Хуэй употреблял десятичные меры
длины — доли цуня (фэнь, ли, мяо, ху) при вычислении
чпсла л, когда он уточнял грубое приближение л = 3,
употребляемое в «Математике в девяти книгах». У Сунь-
цзы обозначение дробных количеств с помощью более
мелких десятичных единиц распространяется на другие
меры. Так в задаче 8 книги II для выражения количества
проса, кроме широко употребляемых в «Математике»
единиц емкости доу и шана, еще употребляются их доли:
шао н гэ (1 шао=10 гэ 100 Н1Энам = 1000 доу). Супь-цзы
вообще употребляет ботее развитую систему десятичных
мер, чем составители «Математики». Например, единица
емкости проса доу в единицах объема в «Математике»
выражена: 1 чн G-i-цуня3), а у Сунь-цзы выражается так:
*) В это время уже знали более «точные» значения л. После
составления «Математики в девяти книгах» вычислением л занима-
лись Лю Ци (л=3,1547); Чжан Хэп (л ) 10); Цай Юн (л=3,125);
Ваи Фапь (л=3,155); Лю Хуэй (л=3,14). См. Л и Я и ь, Развитие
математики в Китае, Шусюэ туябао, 1959, № 10, стр. 8.
2) Рациональные значения отношения диагонали квадрата к его
стороне были известны вавилопяпам и грекам. См. В. Л. В а и-
д е р-В арден, Пробуждающаяся паука, стр. 175 и след.
») 1 цупь=10 чи=100 чжанам, эти соотношения употребля-
ются в «Математике в девяти книгах».
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ
229
1 чп 6 цуней 2 фэня (задача 10—12 книги II, задача 3
книги Ill), т. е. по существу в виде десятичной дроби
1,62 куб. чи. В задаче 2 книги III название «фэнь», деся-
тые доли цуня, служит для выражения числа дворов,
которые облагаются воинской повинностью: 37 дворов
5 фэней (т. е. 37,5 двора) выставляют одного рекрута.
Задачи метрологии занимали большое место в математике
древних китайцев. При нахождении наименьшего общего
кратного знаменателей (задачи 1 —11 книги IV «Математи-
ки в девяти книгах») толкование этой проблемы получали,
исходя из воззрения на дробь как именованное число.
В трактате Супь-цзы, кстати, такая задача выделена в са-
мостоятельную (задача 35 книги III)— находится наимень-
шее общее кратное чисел 5, 4, 3—вне прямом связи со
сложением дробей.
Задачи на вычисление площадей и объемов, собранные
в трактате Супь-цзы как бы случайно, на самом деле пред-
ставляют решение одной проблемы: как выразить получен-
ные результаты пзмерепия объемов и площадей в неодно-
родных с данными единицах.
Подобная проблема в «Математике в девяти книгах»
не ставилась. В пей при вычислении площадей и объемов
размерность единиц не указывалась. Например, здесь
говорится о «поле в 1 му Шу бу»1) (задача 25 книги VI)
или об объеме рва в «10 943 чп 8 цуней» (задача G книги V),
который следует понимать как куб со стороной в 10 943 чи
и параллелепипед с основанием в 1 кв. чп и высотой
в 8 цунеп, па что указывал Лю Хуэй в комментарии
к задаче.
Иначе обстоит дело у Сунь-цзы, например в задачах
9 и 15 книги II. В первой из них дан фундамент дома в виде
прямоугольника со сторонами в 3 и 6 чжанов, который
вымащивается кирпичом. Каждые 5 кирпичей составляют
- кв. чп. Определяется число уложенных в фундамент
кирпичей
(3 6-100) 5
) «Му» мера площади, «бу» — мера длины.
230
Э. И. БЕРЕЗКИНА
Во второй задаче деревянный куб со стороной в 3 чн рас-
пиливается на кубики со стороной в 5 цуней. Ход вычис-
лений следующий: х=33-8, т. е. сначала находится число
кубиков в 1 куб. чи, в единице объема, а потом общее число
заданных единиц в данном объеме. Пересчет объема в дру-
гие единицы производится в задачах 17, 18 книги II, где
вычисляются объемы трапециевидного тела и паралле-
лепипеда по формулам, известным пз «Математики в де-
вяти книгах». Размеры тел — они названы «плотиной»
и «каналом» — подобраны, видимо, специально, так что
длина в 2 раза больше ширины: у капала верхняя ширина
5 чжанов, нижняя ширина 3 чжана, высота 2 чжана,
длина 6 чжанов; у параллелепипеда ширина 10 чжанов,
длина 20 чжанов, высота 5 чжанов. В задачах задана еди-
ница «фап»=1ООО чи, в которых требуется выразить объем
данных тел. Интересно здесь заметить, что эту единицу
«фан» отличают от 1 куб. чжана=(10 чи)3= 1000 куб. чн.
В задачах 10—12 книги II п задаче 3 книги III, где вы-
числяются объемы зернохранилищ в виде цилиндра и па-
раллелепипеда, а также кучи зерна в виде конуса, объемы
этих тел выражаются по существу с помощью единиц
емкости зерна. Иначе говоря, производится пересчет куб.
чи в доу (1 доу=1,С2 куб. чи). В задачах 22, 23 книги II
вычисляется объем степы и канавы, имеющих форму тра-
пециевидного тела. Он представлен числом рабочих, кото-
рые нужны для постройки этих сооружении, с известной
нормой труда для каждого. Даже в задачах 13, 14 книги II,
где по заданным лнпейпым размерам определяется площадь
поля (круг и квадрат), найденпые величины выражаются
в общеупотребительных единицах площади «му» (1 му =
= 240 кв. бу) и при этом специально подчеркивается,
что число «бу» является остатком от деления полученного
числа па коэффициент 240. Например. «31 му с остатком
в 60 бу» (задача 13).
Этим кругом вопросов, конечно, не исчерпывается со-
держание математического трактата Сунь-цзы. Мы затро-
нули некоторые из них, представляющиеся нам наиболее
интересными.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВНЯЛ ДВУХ ЛОЖНЫХ
ПОЛОЖЕНИН»
Я. ВыгоПский
§ 1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
«Правило двух ложных положений» играло важную
роль в европейской математической литературе, начиная
с ее возрождения в XII в. н вплоть до XVIII в. В послед-
ние полтора стотетия этого периода оно служило преиму-
щественно дидактическим целям, позволяя решать широ-
кий круг задач единообразным методом, не пользуясь
средствами алгебры. Однако еще в XVII в. это правило
использовали в своей вычислительной работе многие
выдающиеся ученые, как, например, Питиск1).
Рассматриваемое с чисто математической точки зрения,
правило двух ложных положений есть не что иное, как
линейная интерполяция, и метод, которым Питиск и дру-
гие астрономы при составлении таблиц решали уравнения
высших степенен, теоретически совпадает с «методом
хорд», излагаемых в наших руководствах. Одпако дей-
ствия, которые надо выполнять по правилу двух ложных
положений, отличны от тех, которые выполняем мы при
линейном интерполировании. Если еще добавить, что
«современный» процесс интерполирования систематически
применяется в «Альмагесте» Птолемея — сочинении,
*) Образец его вычислений приведен Кантором (М. Cantor,
Vorlesungen Ober Geschicbte der Mathematik, В. I, 4-te Auflage,
стр. 646).
232
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
которое было хорошо известно астрономам XVI—XVI1 вв.,
то станет ясно, что алгоритм правила двух ложных поло-
жении обладал в глазах ряда вычислителей некоторыми
техническими преимуществами. Этот алгоритм оставался
неизменным у всех европейских авторов, начиная с Лео-
нардо Пизанского, который посвятил правилу двух лож-
ных положений целую главу в своей «Кинге Абака» (1202).
Конечно, для математика, владеющего техникой тож-
дественных преобразований (будь то в символической форме
илп в словесной, или в геометрической), не соста-
вляет большого труда вывести правило ложных положений
пз линейной интерполяции. Так и поступает автор «Книги
Абака». В начале XIII главы он рассматривает следующую
типовую задачу: 100 ротулов1) стоят 13 лир (1 лнра= 20
сольдн; 1 сольдн=12 динаров). Что стоит 1 ротул?* *).
В качестве первого (ложного) положения принимаем,
что искомая цена составляет 3 сольдн. Тогда 100 ротулов
стоят 300 сольди = 15 лир. Получается избыток 2 лиры
против истинной цены.
В качестве второго положения берем 2 сольдп. Тогда
100 ротулов стоят 200 сольдп = 10 лир. До истинной цепы
недостает 3 лпр.
Далее Леонардо рассуждает так: вследствие снижения
цены одного ротула на 1 сольдп ( = 12 динаров) цена всей
денежной суммы снизилась па 5 лпр, т. е. на результат
сложения двух допущенных ошибок (2 лиры и 3 лиры).
А нам надо снизить ее с 15 лпр до 13 лпр, т. е. на 2 лиры.
Теперь выполняется пропорциональный расчет (12 умно-
жается на 2 п произведение делится па 5), и найденный
результат 44/6 динара вычитается из первоначально най-
денной цены 15 лир. Истинная цена 1 ротула оказывается
равной 2 сольдп 5L,'S динара.
• Как мы видим, задача решена с помощью пропорцио-
нального расчета, т. е. с помощью линейной интерполяции.
Но общее правило, формулируемое вслед за приведенным
рассуждением, устанавливает иной способ расчета. Это
правило сначала представлено такой таблицей:
L) Ротул (rotulus)— монетная единица.
*) Cantor, Vorlesungen .... В. II, 2-te Auflage.CTp. 27—29.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «.ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛ ОЖЕНИП» 233
Сложенное пз умножений L)
13
4 9
сольди сольди
2 з
меньше 8) больше 3)
3 2
5
Сложенное из ошибок4)
)то вычислительная схема для форм} ты
epia-j-ea”!
где П1 (=3) и пг (=2) — первое и второе «ложные положе-
ния», ei (=2) — ошибка первого (избыточного) результата,
ег (=3) — ошибка второго (недостаточного). Формулу (1)
Леонардо выражает, конечно, словесно: «Надо, —гово-
рит он,— умножить первую ошибку па второе положение,
вторую ошибку — н«ч первое положение, произведение
сложить и разделить на сумму ошибок». Затем доказы-
вается, что интерполяция, проделанная ранее на чис-
ловом примере, формулируется для произвольных чисел,
изображаемых отрезками, на манер арифметических книг
евклидовых «Начал»6). Это общее выражение преобра-
зуется к виду (1) *).
*) Additum ex multiplicationibus; мы сказали бы «сумма про-
изве тений».
2) Леонардо употребляет латинское слово minus в его бук-
вальном смысле («меньше»).
• ) Леонардо употребляет латинское слово plus в его буквальном
смысле («больше»). Для обозначения сложения Леонардо всегда
пользуется союзом «я» (et).
* ) Additum ex erroribus; мы сказали бы «сумма ошибок*.
* ) Cantor, Vorlesungen..., В. II, стр. 28.
•) Аналогично устанавливаются прааила для случаев, когда
обе ошибки получаются по избытку или обе по недостатку. Эти
правила соответствуют формуле
J = J»n2-e2ni . (la)
«I — с» - '
(Леонардо пе пользуется отрицательными числами и потому нужда-
ется в нескольких правилах там, где нам достаточно одной формулы.)
234
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
Можно заметить, что задача о цепе одного ротула слиш-
ком проста для того, чтобы решать ее по методу ложных
положений пли с помощью интерполяции. Но простота
эта, несомненно, нарочитая; она служит для лучшего
уяспепня нового метода. Ценность же метода обнаружи-
вается при решении дальнейших задач. Однако в этих
задачах правило ложных положении применяется только
по аналогии, без обоснования.
Итак, у Леонардо Пизанского правило двойного лож-
ного положения получено из пропорционального расчета.
Возникает вопрос, таково ли его историческое происхож-
дение, и если нет, то как, где и когда оно могло возник-
нуть впервые. Этому вопросу, который странным образом
обходится в известных автору трудах но истории матема-
тики, и посвящена настоящая статья.
§ 2. РОДИНА nPABII.IV
По-впдпмому, первым из сочинений па европейских
языках, где рассматривается правило двух ложных поло-
жений, является рукопись, специально посвященная этому'
правилу L). Она озаглавлена: «Книга увеличения п умень-
шения, называемая исчислением отгадывания из того, что
создали мудрые индийцы, которую Авраам собрал и по
образцу книги, называемой индийской, составил» 2).
Является ли эта рукопись переводом сочинения еврей-
ского автора Авраама бен-Эздра(1093—1168) или перево-
дом с арабского текста, автор которого — египетский араб
Шоджа ибн-Аслам, известный под именем Абу-Камиль
(IX—X вв.), как склонен предполагать Кантор3).—
*) Рукопись опубл и кована в качестве приложения IV к книге:
G. L i Ь г i, Histoire des sciences mathematiques en Italie, Paris,
1838, стр. 301—371.
*) Liber augment! et diminutionis vocatus numeratio divinatio-
nis ex eo quod sapiente< Indi posnerunt quern Abraham compilavit
et secundum librum qui Indorum dictus est coniposuit.
’) Cantor, Vorlesungen ..., В. I. 4-te Auflage, стр. 731. Имя
Авраам (=11брагпм) могло быть, по мнению Кантора, результатом
ошибочного чтения арабского начертания имени Аслам. С этим
трудно согласиться, так как начертания упомянутых имен раз-
личны; кроме того, Астам это ие имя, а отчество арабского автора.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 235
f ,-------- .
этот вопрос для нас не имеет значения. Существенно то,
что мы имеем здесь два свидетельства:
1) что в европейскую литературу правило двойного
ложного положения пришло из арабоязычных источников
непосредственно или через посредство еврейского автора;
2) что арабский источник указывает на индийское
происхождение правила.
Факт заимствования правила европейцами у арабо-
язычиых авторов подтверждается многочисленными дру-
гими свидетельствами. Так, XIII глава «Книги Лбака»,
посвященная правилу двух ложных положений, носит
заголовок «О правиле Эльхатайн (Elchatayn) и как с его
помощью могут быть ретены почти все разнообразные
задачи Абака». Начертание elchatayn передает — с той
точностью, какую позволяет латинская азбука — араб-
ское слово эль-хата'айн; это родительный падеж двой-
ственного числа от слова эль-хата — ошибка, так что
«правило эльхатайн» это «правило двух ошибок».
Что касается свидетельства об индийском происхожде-
нии правила, то оно ле только ничем не подтверждается,
но и само но себе обладает малым правдоподобием. Дело
в том, что правило двух ложных положений не встречается
ни н одном пз известных нам индийских источников ’).
Зато оно излагается во многих математических трудах
старинных китайских авторов, в частности в древнейшем
дошедшем до пас сочинении «Математика в девяти книгах»
Чжань Цаня, составленном около 100 г. до п. э. и полу-
чившем окончательную обработку в редакции Лю Хуэя
в 263 г. н. э.
В настоящее время, когда мы обладаем недавно выпол-
ненным 3. П. Березкиной и прокомментированным ею
переводом этого сочинения2), исследователи, не владеющие
китайским языком, имеют возможность изучить между
) Говоря «нам», мы имеем в виду в частности (и в особенности)
индийских авторов. Так, в фундаментальном труде двух индийских
ученых В. 1) a t t a and A.-N. Singh, History of Hindu Mathe-
Жеииг ’ P’ Lahore, 1935 нет ли слова о правиле двух ложных поло-
«Историко-математические исследования», вып. X, 1957,
стр. 439—584.
236
М. Я. ВЫГОДСКНП
прочим и древнейшую китайскую редакцию правила двух
ложных положений.
То обстоятельство, что в дошедших до пас индийских
источниках пет и упоминания о правиле двух ложных поло-
жений, конечно, логически пе исключает возможности,
что упомянутое правило излагалось в трудах, не сохра-
нившихся до вашего времени. Поэтому указание Авраама
нельзя оставить без всякого внимания. И все же опо пред-
ставляется нам ошибочным, и вот почему.
Арабоязычные авторы много писали о правиле двой-
ного ложного положения. Еще в царствование халифа ал-
Мамуиа (813—833) появляется (не дошедший до нас) трак-
тат «Об увеличении и уменьшении», составленный знаме-
нитым автором «Алгебры» и «Индийского исчисления»
Мухаммедом ал-Хорезмп. Это видно из «Книги перечня»
(Китаб ал Фнхрист) Абулфараджа ап-Падпмн, составлен-
ной около 987 г., где говорится, что Абдаллах аш-Шай-
дананн «написал комментарий к Алгебре Мухаммеда ибн-
Муса ал-Хорезмп и комментарий к его книге об увеличе-
нии и уменьшении»1).
Полностью дошел до нас написанный несколько позд-
нее (около 880 г.) трактат сирийца Косты ибн-Лука «О до-
*) Das Mathematiker-Vorzeichnis in Fihrist... ins Deutsche
iibcrsetzt und mit Aiiruerkungen xersehen von II. Suter, Abli.
z. Gesch. d. Math. II. 6, 1892, стр. 36. В рукописи «Фпхрпста»,
издание которой послужило оригиналом для перевода Зутера, спи-
сок произведении самого ал-Хорезми не содержит «Книги об уве-
личении и уменьшении». Однако в упомянутом списке не содержит-
ся также ни «Алгебра», пн «Индийское исчисление». Отсутствие
этих трактатов, прославивших имя ал-Хорезмп, в списке его работ,
а вместе с тем п отсутствие «Книги об увеличении и уменьшении»
объясняются, одпако, очень просто. Дело в том, что вслед за ал-
Хорезмп в «Фихристе» говорится о другом ученом, работавшем
при дворе ал-Мамуна, Синде беи-Али, и список произведений по-
следнего заканчивается следующими названиями: «Об индийском
псчислеппи», «Об увеличении и уменьшении», «Книга алгебры».
Вряд ли может быть сомнение в том, что здесь мы имеем дело с ошиб-
кой переписчика, который перенес последнюю строку оригинала
из абзаца, посвященного ал-Хорезми, в непосредственно следую-
щий абзац, посвященный Сипду. И совершенно бесспорным является
тот факт, что в середине X в. ал-Хорезми считался автором трак-
тата «Об увеличении и уменьшении». Именно этот факт мы и учиты-
ваем в дальнейшем.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВЬ X ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 237
казательстве правила двух ошибок»1). Дошли до нас и
болов поздние работы: мароканца мбн-Ал банка2) (вто-
рая половина XIII в.), испанского араба ал-Каласадп3)
(умер в 1486 г.) и перса Бехаэддина4) (1547—1622).
Кроме того, ряд трактатов известен нам но их названиям,
полностью сохраненным в сочинениях современников. И ни
в одном из этих источников нет никакого упоминания об
индийском происхождении правила двух ошибок. Таким
образом, версия об индийском источнике основывается
только па одном показании.
С другой стороны, если бы правило двух ложных поло-
жений было заимствовано арабоязычными авторами у ми-
дийцев, то опо должно было бы подвергнуться значитель-
ной переработке. Ведь индийские математики к тому вре-
мени, когда могло произойти это заимствование, т. е. не
ранее конца VIII в., уже вполне владели отрицательными
числами; они обладали единым правилом решения квад-
ратного уравнения, и было бы очень странно, если бы
в правиле ложного положения они придерживались трех
различных форм решения, которые различают и Авраам,
и Леонардо Пизанский, п все известные нам арабоязыч-
ные авторы.
А если «правило увеличения и уменьшения», применяв-
шееся арабами, было результатом переделки индийского
правила, то оно вряд ли могло быть столь близким к ки-
тайской редакции, каким оно является.
Естественно возникает предположение, что мусульман-
ские авторы заимствовали «правило увеличения и умень-
шения» непосредственно у китайцев. Во всяком случае
для этого были налицо все необходимые условия: мусуль-
манская Средняя Азия в VIII — IX вв. имела прочные
торговые и культурные связи с Китаем, и Мухаммед
ал-Хорезми имел возможность хотя бы из бесед со своими
l) Н. Suter, Die XbhandluiigQosta ben Lucas iiber die Rech-
nung mit zwei Fehlern, Bibliotheca Mathematica, Ser. 3, В. VIII.
1907—1908.
2) Cantor, Vorlesungen, В. I, стр. 808—810.
) G. I. о r i ,a, Storia delle niatematice, vol. I, 1929, стр. 346.
) G. JI. F. N e s s e 1 ni a n n. Essenz der Rechenkunst von
lohammed Beha-Eddin, deutsch und arabisch, Berlin, 1843.
238
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
земляками-купцами ознакомиться с теми приемами вычпс-1
лснпй, которые могли практически заинтересовать этих i
купцов. А «правило увеличения и уменьшения» безуслов-
но принадлежало к числу таких приемов.
Таковы те доводы, которые не позволяют нам согласить- I
ся с индийским происхождением правила. Но хотелось
бы понять, как могла возникнуть эта версия хотя бы I
у одного автора. И па этот вопрос можно, как нам кажется,
дать удовлетворительный ответ.
Во-первых, учтем, что Мухаммед ал-Хорезмп прославил I
свое имя сочинением «Об индийском исчислении». Поэтому ,
вполне естественной была бы ошибка, которая связала бы I
с индийцами другое его произведение. Подобная ошибка
могла бы стимулироваться также и языковыми обстоя-
тельствами.
Понятия «китаец» и «китайский» выражаются на араб- I
ском языке словом «сини». Это слово созвучно со словом
«снидй», означающим «сппдийскпй» от слова Синд (назва- I
ине индийской страны, охватывавшей бассейн Пида). А ело- I
во «снидй» в Средние века обозначало не только жителей
Спида в узком смысле, ио и всей Индии1 2 * *).
Таким образом, привычное сочетание имени ал-Хо- I
резмп со словом «индийский» или созвучие слов «сини»—
«синдй» могли совершенно естественно вызвать ошибку
Авраама пли переводчика его труда, особенно если для
лица, совершившего ошибку, арабский язык не был род-
ным s). Достаточно вспомнить, что другому переводчику, не-
сомненно стремившемуся к точности, это стремление не поме-
шало переиначить имя ал-Хорезми па «Алгорптмн». Приме-
ров таких искажений можно привести великое множество. |
*) «Это слово («хииду») явно происходит от «сиидху* — старое,
равно как и современное индийское название Инда. От этого «спнд-
ху» происходят слова «индус» п «Индостан», а также Пид и Индия.
Знаменитый китайский паломник И Цзин, посетивший Индию
в VII в., писал в своих путевых записках, что «северные племена»,
т. е. население Средней Азин, называют Индию «Сии-ту»(Д ж а в а- I
х а р л а л Неру, Открытие Индии, ILI, 1955, стр. 75).
2) Название «сппдийскпй» могло бы иметь свопм источником
также собственное имя Спид, которое носил один из ученых, со- I
временник Мухаммеда ал-Хорезмя (ем. примечание1) на стр. 236). I
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 239
Вышесказанное позволяет паи думать, что задачу
о происхождении правила двойного ложного положения
надо решать на основании китайских источников и в пер-
вую очередь древнейшего из них.
§ 3. ИЗВЫТОК — НЕДОСТАТОК
Так озаглавлена седьмая книга «Математики в девяти
книгах». Она содержит 20 задач, которые, как это видно
даже при беглом просмотре, имеют двоякий характер.
Первые восемь задач совершенно однотипны не только по
своему математическому содержанию, но и по внешнему
оформлению. Вот первые две задачи1).
Задача 1. Сообща покупают вещь. Если каждый
человек внесет ио 8, то избыток 3. Если человек внесет
по 7, то недостаток 4. Спрашиваются количество людей
И СТОИМОСТЬ ВС1ЦП.
О т в е т: 7 человек; стоимость вещи 53.
Задача 2. Сообща покупают курицу. Если человек
внесет по 9, то избыток 11. Если человек внесет по 6, то
недостаток 16. Спрашиваются количество людей и стои-
мость курицы.
Ответ: 9 человек; стоимость курицы 70.
Задача 3 получается из задачи 2 заменой слова «курица»
словом «чжунь» (полудрагоценный камень) и изменением
числовых данных; в задаче 4 покупается буйвол и пайщи-
ком является не человек, а семья. (Пай семьи определяет-
ся так: один раз каждые 7 семей вносят по 190, другой
раз каждые 9 семей вносят по 270. Таким образом, первый
раз пай одной семьи выражается дробным числом.)
Для дальнейшего важно отметить, что во всех восьми
задачах первой группы отсутствуют наименования денеж-
ных единиц.
За задачей 4 идут два правила, которые здесь, как почти
всюду в этом руководстве, не предшествуют, а следуют за
группой однотипных задач. Вот эти правила.
«Избыток, недостаток.
и с *^ст,,Р,,1'°*математические исследования», вып. X, стр. 491
240
М. Я. ВЫГОДСКИЙ

Правило. Расположи избыток [и] недостаток
вместе с нормами, которые вносятся при покупке вещи
сообща1): избыток и недостаток, каждый нз них, помести
вод нормами2). Перемножь 1с ними] нормы, которые вно-
сятся, крест-накрест, сложи; это «ши». Сложи избыток и
недостаток, это «фа». Если имеются дроби, то приведи их
к общему знаменателю. Сопоставь и расположи нормы,
которые вносятся, нз большей вычти меньшую; на остаток
раздели «ши» и «фа». «Шп» дает стоимость вещи, «фа»—
количество людей.
Еще одно правило: сложи избыток и недостаток,
это делимое. Взяв нормы, которые вносятся, нз большей
вычти меньшую, остаток является делителем. Объедини
делимое и делитель3 4), получится (искомое количество)
людей. Умножь иа это нормы, которые вносятся, убавь па
избыток или добавь недостаток, это и будет стоимость
вещи».
Если применить первое правило, скажем, к задаче 2,
получим вычислительную схему1):
«шп» = 6-11-|-9-16 = 210
«фа» = 16 11 = 27
Разность между большей и меньшем нормой есть 9— 6 = 3.
Стоимость курицы есть =70; количество людей есть
«фа» п
“з J’
От задач 1—4 задачи 5 и 6 отличаются только тем, что
суммы собираемых взносов по условию пли обе избыточны
*) То есть вместе с иаями.
2) Здесь, очевидно, описывается вычислительная схема (таб-
лица); см. ниже.
•) Объединить делимое и делитель значит выполнить деление.
4) В китайском тексте направление письма справа налево;
поэтому правый столбец — первый, а левый — второй.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 241
(задача 5) или обе недостаточны (задача б). Правило, поме-
щенное вслед за задачей б, соответствует первому из толь-
ко что приведенных. Наконец, в задачах 7 н 8 рассматри-
ваются случаи, когда один раз получается избыток (в за-
даче 7) или недостаток (в задаче 8), а другой раз собран-
ной суммы как раз хватает. Следует правило, соответ-
ствующее второму из правил, помещенных после задачи 4.
Как мы видим, существует большая близость между
китайским руководством и «Книгой абака». II там н здесь
отдельно рассматриваются случаи двух избытков (недо-
статков) и случаи, когда один раз получается избыток,
а другой раз — недостаток (причем китайское руковод-
ство не упускает и случай «нулевого избытка»). II там
и здесь имеются вычислительные схемы, сходные между
собой. II там п здесь для основного случая даются два
алгоритма, одни основанный на пропорциональном расче-
те, а другой — па «схемах креста». Правда эти схемы не
тождественны в китайском и европейском руководствах.
Но они и по могут быть тождественными, так как в зада-
чах 1—8 китайского текста, хотя в них речь идет об избыт-
ке н недостатке, ни одна из искомых величин не найдена по
правилу двух ложных положений.
Это правило начинает употребляться только во втором
группе задач (№ 9—20), которые столь же разнообразны
н по тематике и по математическому содержанию, как и
задачи в «Книге абака». Дтя примера сопоставим задачи
14 и 18. Вог текст задачи 14.
«Объем 5 больших посудим и 1 малой посудины равеп
3 ху. Объем 1 большой посудины и 5 малых посудин ра-
веп 2 ху. Спрашивается, каков объем большой и малой
посудин в отдельности.
Ответ: объем большой посудины ху, объем малой
посудины ху.
Правило: предположим, что [объем] большой по-
судины 5 доу *), [тогда! малой посудины также 5 доу;
превышение в 10 доу. Пусть теперь [объем] большой
’) Ю доу=1 ху.
Ю Истор.-матем. исслед., вып. XIII
242
М.'Я. ВЫГОДСКИЙ
посудины 5 доу 5 шэнов1), [тогда] малой посудины 2 доу
5 шэнов, не хватит 2 доу».
На этом заканчивается указание, которое названо «пра-
вилом», но по существу представляет только обработку
специфического для даппой задачи матерпала, предше-
ствующую применению правила двух ложных положений.
Такие указания даются к каждой из 12 задач рассматри-
ваемой группы. Само же правило двойного ложного поло-
жения сформулировано, как и всегда, после ряда задач,
где это правило применяется.
Поясним «правило» задачи 14. Предположение, что
большая посудина вмещает 5 доу, в соединении с первым
из условий задачи, согласно которому общая вместимость
5 больших и 1 малой посудил есть 3 ху=30 доу, дает для
малой посудины объем в 30—5-5=5 доу. Тогда 1 большая
и 5 малых посудин вмещают 5-|-5-5=30 доу, что превы-
шает на 10 доу величину 2 ху (=20 доу), данную во вто-
ром условии. Аналогично предположение, что большая
посудина вмещает 5 доу 5 шэнов (=5 у доу), приводит
к недостатку 2 доу.
Теперь надо применить правило двух ложных положе-
ний; оно сформулировано после задачи 18.
«Задача 18. Имеется 9 слитков золота и 11 слитков
серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили
слиток золота и слиток серебра2), золото стало легче па
13 лапов3). Спрашивается, каков вес слитка золота и слит-
ка серебра, каждого в отдельности.
Ответ: вес [слитка] золота 2 цзиня 3 лана 18 чжу,
вес [слитка] серебра 1 цзппь 13 лапов 6 чжу4).
Правило: предположим, что [вес слитка] золо-
та 3 цзиня, тогда серебра 2 цзиня, недостаток 49
*) 1 доу=10 шэнов.
*) С той чашки весов, где находятся 9 слитков золота, один сли-
ток перекладывается на другую чашку, где лежат 11 слитков се-
ребра, а с этой второй чашки один слиток серебра перекладывается
па первую чашку.
3) То есть с.тнтки, оказавшиеся на первой чашке, на 13 лапов
легче, чем слитки, оказавшиеся на второй чашке.
*) 1 нзипь—16 лапов; 1 лан=24 чжу.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 243
в правой строке1 2). Предположим, что 1вес слитка] золота
о цзиня, тогда серебра 1 цзиня. Избыток 15 в левом
строке.
Каждый знаменатель умножь иа количества, содержа-
щиеся в этих строках8).
Избыток и недостаток умножь крест-накрест на пред-
положенные нормы, сложи; это делимое3). Сложи избыток
и недостаток; это делитель4 *). Объедини делимое и дели-
тель6). Получишь вес слитка золота».
Аналогичное полное изложение решения дано для
задачи 19.
Таков документальный материал. Переходим к его
истолкованию.
1) Составляется
вычислительная схема:
2 цзпня
избыток
15
3 цзиня
недостаток
49
49 15
вместо — лапа и— лапа, т. е. опи
1
выражают недостаток и изоыток веса при весовом едиимце в —лапа.
Вычисление протекает, по-видимому, так: из первого условия нахо-
дится вес слитка серебра
. Удвоив разность 3 цзиня —2
Числа 49 и 15 поставлены
2-уу цзпня, соответствующий первому
5 6
п цзиня -п
ложному положению
12 ' 5
цзиня, получаем — цзиня=17 толана. На столько должно «золото»
11 11
стать легче «серебра». По сравнению сданной величиной (13 лапов)
5 49
получается избыток 4 — = — лапа и т. д.
’) Эта неясная фраза, по-видимому, относится к уже пройден-
49 15
ному этапу вычислений, когда недостаток — и избыток — были
заменены пропорциональными им (целыми) числами 49 и 15; таквя
замена всегда допустима.
’) В оригинале термип «ши» (устное сообщение Э. II. Берез-
4) В оригинале термии «фа».
) То есть раздели делимое на делитель.
16*
244
м. я. выгодский
§ 4. АНАЛИЗ ТЕКСТА
Как мы видим, 7-я книга древнекитайского трактата
состоит как бы пз двух разделов. В первом рассматривает-
ся по существу восемь примеров на решение стандартной
задачи о коллективной покупке (в пяти задачах из общего
числа 8 речь идет о покупке животного или птицы). Стан-
дартность задачи подчеркнута совершенной одинаково-
стью текста условия и отсутствием наименования денеж-
ных единиц. Создается впечатление, что здесь решает-
ся задача, часто встречавшаяся на практике и излагается
хорошо отработанное правило, позволяющее каждому,
знающему четыре действия арифметики, решить интере-
сующий его практический вопрос.
Второй раздел составляют задачи самого разпообраз-
ного содержания, решаемые по методу двух ложных
положений.
Возникает вопрос, почему эти две группы задач объеди
иены в одну главу. Этот вопрос не прошел мимо внима-
ния исследователя китайского трактата и переводчика его
Э. И. Березкиной. Она рассматриваетх) задачи первой
группы как «задачи, сводящиеся к частному виду систе-
мы двух линейных уравнений
Ь1 = а1х-у; Ь2 = а2х-у, (2)
а задачи второй группы — как решение уравнения
У = / (х) = ах + b = О
(3)
с помощью правила двух ложных положений». По мнению
Э. II. Березкиной китайские математики объединили эти
две группы задач, во-первых, вследствие того, что и там
и здесь речь идет об избытке и недостатке, и, во-вторых,
вследствие «единства способа конструирования искомых
величии*. А именно, в первом случае составляется таб-
лица
1) «Историко-математические исследования», вып. X, стр. 434
и 559.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ .ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 245
из которой определяются искомые величины a. = A-2.i_; (5) » at—at <4—aj •
во втором случае составляется таблица (х, Т.\ 1 ’ , (6) \3G yj
из которой определяется корень х0 уравнения (3)
х°- У^ • ( )
«Не имея математической символики, которой мы сейчас
пользуемся, древние китайские математики усмотрели сим-
метрию коэффициентов и неизвестных в этих двух видах
задач». Из этпх заключительных слов примечания 1
к книге 7 ’) следует, что, по мнению комментатора, китай-
ские математики решали задачи 7-й книги алгебраически
с помощью уравнений.
Но роль правила двух ложных положений в 7-й кнпге
китайского трактата как раз в том и состоит, чтобы решать
разнообразные задачи, не прибегая к методу уравнений,
который применяется позднее, в 8 и 9 книгах. Аналогичное
явление имеет место в «Книге абака», где XIV глава спе-
циально посвящена уравнениям, а в главе XIII, где речь
идет о правиле двух ложных положений, те же задачи
решаются без уравнений. Трудно поэтому согласиться
с тем, что объединение двух групп задач 7-й книги прои-
зошло вследствие того, что китайский автор решая уравпе-
усмотрел некую симметрию между формулами (5)
К тому же этой симметрии и нет. В самом деле, во
всех задачах второй группы одно из ложных положений
Дает избыток, а другое недостаток; поэтому формула (7)
Для китайского автора имеет вид
х (7а)
0 Уг+У! ' ’
') «Историко-математические исследования», вып. X, стр. 560.
246
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
а формула (5) в соответствующем случае выглядит так:
У-~а,—а\ <°«)
Формулы (7а) и (5а) отличаются не только видом зна-
менателя, но — что не менее существенно — смыслом его
членов: величины у{ и у2 в (7а) это избыток и недостаток,
а величины at и а2 в (5а) это «нормы». Таким образом,
даже в том случае, если бы китайский автор подходил
к вопросу с алгебраической точки зрения, он ие мог бы
усмотреть симметрии между двумя группами задач.
Чтобы разгадать мотивы, побудившие китайского авто-
ра объединить две группы задач 7-й книги, надо прежде
всего отказаться от всякой модернизации, уводящей пашу
мысль в сторону от пути, которому мог следовать китайский
автор. Постараемся же понять ход мысли древнего автора,
опираясь только на те факты, которые засвидетельствова-
ны в источнике.
Правило для решения задач 1—4 первой группы носит
подзаголовок «Избыток, недостаток», повторяющий назва-
ние главы, а «правило» решения задачи 9 (первой из
задач второй группы) начинается словами «ищи по способу
избыток, недостаток»». По точному смыслу этих слов
решение задач второй группы опирается иа способ решения
задачи первой группы.
Правда, автор трактата пе разъясняет более подробно,
каким образом второй тип задач редуцируется к стандарт-
ной задаче о коллективной покупке. По и в других слу-
чаях он столь же скуп иа объяснения, рассчитывая, веро-
ятно, па дополнительные устные указания учителя. Пам
падо поэтому сделать попытку восстановить редакцию
второго типа задач к первому. Анализ текста данного
трактата позволяет однозначно решить эту задачу.
Обратим внимание прежде всего на терминологию ки-
тайского текста.
В первом правиле решенпя задач 1—4 выражение,
из которого находится стоимость вещи (алгебраически
ai^2+a2^i)> называется «ши», а выражение, из которого
находится число людей, называется «фа». В примечании 2
к книге 7 (стр. 560) 3. И. Березкина пишет: «Здесь «пш»
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 247
ужо не означает делимое, как в книге II..., но
точно так же «фа» здесь не делитель..., но Ь2-|-Ь1».
Для такого утверждения текст пе дает, как нам кажет-
ся, никаких оснований. Напротив, если сопоставить прави-
ла задач 4 и 18, то станет ясным, что термины «шн» и
«фа» падо понимать именно как «делимое» и «делитель».
В правиле задачи 4 говорится: «перемножь нормы, кото-
рые вносятся, крест-накрест, сложи; это «шн». Сложи избы-
ток и недостаток; это «фа». В правиле задачи 18: «избы-
ток и недостаток умножь крест-накрест на предположен-
ные нормы, сложп, это «ши»; сложи избыток и недоста-
ток; это «фа».
Очевидно, в обоих отрывках описывается один и тот
же процесс; иритом оба отрывка взяты из одной и той же
главы. Значит, в правиле 4, как в правиле 18, «ши» это
делимое, а «фа»— делитель. Правда, в правиле задачи 18
сказано: «объедини делимое и делитель, получишь вес
золота», а в правиле задачи 4 такой фразы пет. Но зато
объяснив, как вычисляется «шн» и «фа», китайский автор
продолжает: «если имеются дроби, то приведи их к обще-
му знаменателю».
Это предписание было бы совершенно бесцельным, если
бы речь здесь не шла о выполнении деления, т.е. об «объе-
динении делимого и делителя» (в китайской арифметике
при делении дробей последние приводятся к общему зна-
менателю). Кроме того, надо учесть, что в других местах
трактата указание «если имеются дроби, то приведи их
к общему знаменателю» многократно следует за фразой
«объедини делимое и делитель» (см., например, правило
деления дробей на стр. 443).
Значит, в первоначальной редакции китайского трак-
тата фраза «объедини делимое и делитель» содержалась
и в правиле задачи 4.
Почему опа выпала, на этот вопрос с определенностью
ответить трудно, но это и не важно. Существенно, что ре-
зультат «объединения* есть пе что иное, как размер взноса
одного пз пайщиков.
Таким образом, мы приходим к выводу, что в первона-
чальной редакции стандартной задачи о коллективной
покупке требовалось найти не только стоимость вещи
248
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
п количество людей, но также п размер взноса, падающего
на каждого пайщика. Да и вне зависимости от тех или
иных особенностей текста было бы очень странным, если
бы в задачах, аналогичных задачам 1—8, вовсе не ставил-
ся вопрос о величине индивидуального взноса. Ведь с прак
тической точки зрения этот вопрос является едва ли пе
самым существенным. Даже в том случае, если
типа 1—8 возникли не непосредственно в сфере
бы
задачи
практиче-
ской деятельности, а были продуктом выдумки, даже
тогда составители задач вряд ли могли обойти вопрос,
столь естественно возникающий из условия задачи.
Надо заметить, что Э. И. Березкина, хотя она и пе
согласна рассматривать «ши» и «фа» в задаче 4 как дели-
мое и делитель, сама довольно близко подошла к такому
их пониманию. Л именно, в примечании 1 к книге 7 опа
указывает: «задачи 1—8 мог>т быть решены так же, как

задачи 9—20, если определить сначала величину по
формуле
У __ —а2^1
х Ьг—
(8)
а потом величину у или х, учитывая, что Ь,=а1х—у».
Как можно получить формулу (8) из системы (2),
этого автор не говорит.
Мы полагаем, что китайский автор пе только мог нахо-
дить величину по формуле (8),
по
действительно
ее
и
находил, однако пе до, а после того, как он нашел числа,
пропорциональные величинам у (стоимость вещи) и х (ко-
личество людей).
Подведем итоги нашего анализа.
Факты. В задачах первой группы термины «ши» и
«фа» употребляются в том же смысле, что и в задачах вто-
рой группы, т. е. в значении «делимое» и «делитель». Эти
величины соответственно пропорциональны стоимости вещи
и числу покупателей.
Частное есть величина пая.
В
тексте
деление не выполняется, однако если это деление выпол
пить, то окажется, что процесс разыскания неизвестной
величины во всех задачах второй группы в точности еле
дует образцу вычисления величины пая по первому пра
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 249
вплу задачи 4. С другой стороны только в том слу-
чае, если имеется в виду выполнить упомянутое деление,
получает объяснение рекомендация, содержащаяся в за-
даче 9 («ищи по способу „избыток — недостаток”»!.
Гипотеза. В первоначальной редакции задач первой
группы в ппх содержалось требование (единственное или
наряду с другими) разыскать величину пая. Так как эта
величина, очевидно, является частным от деления стои-
мости вещи на число покупателей, то единственная труд-
ность задачи состояла в разыскании делимого («пш») и де-
лителя («фа»). Благодаря этому в позднейшей редакции
задач первой группы сохранились только эти два тре-
бования.
Приняв эту гипотезу, мы легко поймем и композицию
7-й книги. В первой группе задач избыток и недостаток
непосредственно даны в условии, и внимание ученика
сосредоточивается полностью па усвоении алгоритма.
Во второй группе задач применяется тот же алгоритм, но
задача усложняется тем, что избыток и недостаток непо-
средственно пе даны. Пх надо вычислить иа основании
условия.
Таким образом, китайский автор проявил здесь такой
же педагогический такт, какой сказывается и в постенен
пом нарастании трудностей внутри второй группы задач.
§ 5. РЕКОНСТРУКЦИЯ
Теперь мы можем следующим образом ответить на
вопросы, поставленные в конце § 1.
1. Родиной правила двух ложных положений является
Китай. Во всяком случае арабоязычные авторы заимство-
вали правило не из Индии, где правило, по-видимому, и пе
применялось. Дату открытия правила указать не удается;
можно утверждать лишь то, что в I в. до н. э. правило было
уже хорошо разработано н пользовалось широкой изве-
стностью. Оно могло быть создано и до разработки метода
уравнений, п после, ио независимо от этого метода. Скорее
всего оба метода создавались одновременно.
2. Возможность получения правила двух ложных поло-
жений непосредственно из правила линейной Интерпола-
250
М. Я. ВЫГОДСКИЙ
цпи путем преобразования последнего представляется
маловероятной хотя бы потому, что в китайском руко-
водстве линейная интерполяция применяется только в за-
дачах первой группы в качестве второго способа и без
указания на его связь с первым способом. Однако воз-
можно, что открытию правила двух положений предше-
ствовали попытки решения той млн иной задачи с помощью
правила простого ложного положения. Неудача одной
такой попытки могла послужить поводом для повторной
попытки и наряду с использованием стандартной за-
дачи укрепить доверие к правилу двух ложных поло-
жений.
3. Создание правила двух ложных положении исхо-
дило из потребности в едином алгоритме решения ряда
задач, возникавших из практики, алгоритме, который
обладал бы не только возможно большей простотой, но
и элементарностью, что позволило бы каждому, владею-
щему правилами счета после некоторой тренировки
безду мио применить его к решению практической
задачи.
Каждая вновь решенная «типовая» задача могла быть
испробована с целью распространить алгоритм ее решения
на более широкий круг задач. Стандартная задача на кол-
лективную закупку, по-видпмому, оказалась самой под-
ходящей для этой цели. Быть может, в особенностях
хозяйственного уклада древнего Китая и коренится при-
чина того, что именно китайцы создали правило двойного
ложного положения.
4. Как было найдено правило решения стандартной
задачи, излагаемое в правиле задачи 4, об этом мы можем
только догадываться. Конечно, число участников покупки
определяется с помощью весьма простого рассуждения:
если каждый участник вносит по 6 монет вместо 9, то его
взпос уменьшается на 9—6=3 монеты, а собранная сумма,
согласно условию задачи 2, уменьшается на 11 4-16=27 мо-
нет. Значит, число участников х=27 : 3=9, и не требуется
особого усилия, чтобы сформулировать словесно общее
правило для разыскания х. Чтобы прийти к тому общему
правилу для разыскания у (т. е. стоимости вещи), которое
изложено в задаче 4, китайский вычислитель мог бы рас-
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 251
суждать так. В устовип говорится, что если каждый из
участников покупки внесет по 9 монет, то после покуп-
ки одной курицы останется излишек в 11 монет. Пред-
положим теперь, что приобретается не одна, а шесть ку-
риц (соответственно второй части условия, где размер
взноса составляет шесть монет) и что в соответствии с этим
и взнос каждого участника увеличивается в б раз, т. е.
составляет 6-9 = 54 монеты. Тогда и сумма, остающаяся
в излишке, увеличится в 6 раз, т. е. избыток составит
6-11 = 66 монеты.
Пспотьзуя такпм же образом вторую часть условия,
пайдем, что если каждый из участников внесет вместо
6 монет девятикратную сумму, то есть тс же 54 моне-
ты, то для приобретения 9 куриц пе хватит 9-16 = 144
монет
Сумма избытка и недостатка 66 + 144 = 210 составля-
ет, очевидно, стоимость допо шителыю приобретенных трех
(9-6 = 3) кур.
Конечно, это рассуждение по существу личем пе отли-
чается от алгебраического «способа сложения и вычита-
ния», по нет необходимости предполагать, что автор реше-
ния владел этим общим приемом (хотя такую возможность
нельзя и исключать).
5. Существенным является вопрос о том, каким обра-
зом правило двух ложных положений было распростране-
но па «содержательные» задачи вроде задач 9—20. Нам
представляется вероятным, что первые попытки такого
распространения носили эмпирический характер. Не-
удача в применении правила простого ложного положения
естественно приводила бы к оценке избытка или недостат-
ка, и тут напрашивалась бы аналогия с задачей о коллек-
тивной покупке.
В ряде случаев, когда задачу умели решать другими
способами, можно было сравнить результаты и убедиться
в том, что правило двух ложных положений обладает уни-
версальным характером.
Совершенно невероятным представляется нам предполо-
жение, что способ двух ложных положений возник из ре-
шения уравнений вида ах=Ь пли из решения задач,
условия которых китайский вычислитель умел выразить
252
М. Я. ВЫГОДСКИП
уравнением столь простого впда. Тот, кто умеет это сде-
лать, совершенно не нуждается в правиле двух ложных
положений. И не случайно все задачи 9—20 главы All та-
ковы, что для сведения их к уравнению вида ах=Ь надо
обладать уже значительными познаниями по алгебре.
Именно из решения такого рода «замысловатых» за-
дач — полагаем мы — и возникло правило двойного
ложного положения.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
JZ. И. Медовой
Индийская система нумерации и связанная с нею тех-
ника вычислений впервые были описаны па арабском языке
около 830 г. в сочинении по арифметике багдадского уче-
ного Мухаммеда ал-Хорезми. Индийская арифметика до-
вольно быстро была усвоена учеными, но в более широкие
круги писцов, чиновников и купцов стала проникать лишь
через долгий промежуток времени, исчисляемый, вероятно,
двумя-тремя веками. Иначе и не могло быть, поскольку
в странах ислама издавна укоренились другие методы
нумерации и вычислений. Эти методы продолжали суще-
ствовать не менее восьми веков после ал-Хорезми, ибо
излагались в учебных руководствах вплоть до XVII в.
О существовании этих методов историки науки знали
из составленного в конце X или в начале XI в. арифмети-
ческого трактата ал-Кархи (ал-Караджи), который
в 1878—1880 гг. был издан в немецком переводе *).
Трактат ал-Кархп не является, однако, первым по
времени источником для изучения староарабской арифме-
тики. Ему предшествовало руководство «О том, что нужно
знать из арифметики писцам, деловым людям и прочим
лицам». (Китаб фи ма яхтадж илай-xu ал-куттаб ва-ал-
уммал мнп ’илм ал-хпсаб), составленное работавшим
в Багдаде хорасанцем Абу-л-Вафой (940—997). О наличии
Рукописных текстов этого руководства, являющегося, не-
видимому, наиболее ранней из арабоязычных работ ио
, *) A. Hochheim, Kafi fil Hisab des Abu Bekr Muhammed
Alhusein Alkarchi, J—III, Halle, 1878—1880.
254 м. и. медовой
арифметике, дошедших до пас па языке подлинника, было
известно давно, и еще в 1855 г. Ф. Венке, ознакомившись
с рукописью, нашел, что она представляет большой инте-
рес. Однако сам Венке опубликовал только краткие заме-
чания по поводу работы Абу-л-Вафы и французский пере-
вод се оглавления1).
Несколько более обстоятельные сведения о трактате
привел недавно П. Люкей в работе, посвящеппой вычис-
лительной технике у ал-Кашп2). До сих пор, однако,
сочинение Абу-л-Вафы не подвергалось специальному раз-
бору, а вместе с тем совершенно недостаточно изученной
остается староарабская вычислительная техника. Прове-
денное нами исследование трактата показало, что это
руководство заслуживает большого внимания. Оно пе
только даст нам отчетливое представление о староараб-
ской вычислительной технике, по и по новому освещает
ряд общих вопросов, важных для истории математиче-
ской культуры, например вопрос о распространении ми-
дийских цифр па арабском Востоке или о том, почему
многие арифметические трактаты арабоязычпых авторов
написаны без применения цифр.
Мы располагали фотокопиями двух списков арифмети-
ческого руководства Абу-л-Вафы. Первый список, хра-
нящийся в Лейденской библиотеке (рукопись Cod. or.,
103), содержит сейчас ИЗ листов, причем по контексту
видно, что нескольких листов (между листами 88 и 90)
не хватает. Даты составления трактата и копии не ука-
заны. Почерк переписчика более или менее четкий; почти
всюду проставлена огласовка. Второй список (рукопись
№ 8681), хранящийся в Египетской национальной биб-
лиотеке (Каир), содержит 230 листов, занумерованных
восточно-арабскими цифрами от 1 до 230; на листах имеется
еще и другая нумерация, начинающаяся с 50 (по-видимо-
му, это нумерация самого переписчика). Объясняется это
*) См. W. Woepcke, Analyse et extrait d’un recueil de con-
structions geometriques par Aboul-Wafa, Journal asiatique, vol. 5,
1855, стр. 243—256.
2) См. P. L u c k e y. Die Rechenkunst bei GauiSTd b. Mas’rid al-
Ka5I mit Riickblicken auf die altere Geschichte des Reclinens, Wies-
baden, 1951.
Лист 26 об. Л. р., содержащий упражнении в канони-
ческом разложении отношений.
251$
М. И. МЕДОВОЙ
тем, что некоторые листы отсутствуют. К счастью, отсут-
ствующие листы одной рукописи имеются в другой. В ка-
ирской рукописи указана дата составления копии: 487 г.
хиджры (1109 г. и. э.). Почерк переписчика очень четкий,
кое-где проставлена огласовка, однако многие листы нахо-
дятся в плохом состоянии.
Характер ряда искажений текстов обоих списков по-
зволяет думать, что это копии, сделанные мало сведущими
в математике переносчиками. Тексты обеих копни иден-
тичны, если пе считать пропусков. Все числа в обеих
копиях записаны полностью словами1).
Рукопись начинается со славословия шаханшаху ал-
Мансуру. Судя ио содержащимся в «Энциклопедии ислама»
и в других источниках сведениям о лицах, носящих имя
ал-Мапсура, здесь речь идет о Мансуре беи-Нух Абу
Салих, хорасанском эмире пз династии Самапидов.
Годы его правления (961—97G) и определяют время со-
ставления трактата.
За посвящением следует предисловие, из которого сле-
дует, что книга задумана как пособие для писцов, вычис-
лителей, купцов, чиновников. Надо полагать, что трак-
тат предназначался для лиц, уже имевших некоторую
подготовку. Это видно, например, из того, что Абу-л-
Вафа излагает умножение и деление целых чисел, ничего
не говоря об их сложении и вычитании. Доказательства
опускаются автором, «чтобы не удлинить книгу и не за-
труднить ее понимание» (Л. р., л. 1 об.)2). За предисло-
вием следует подробное оглавление семи «ступеней»
сочинения, каждая из которых также разбита на семь
глав; каждая глава состоит пз одного или нескольких
разделов. Первые три ступени составляют первую часть
трактата, остальные — вторую часть. Лейденская копия
содержит лишь первую часть; каирская — главы 2—7 вто-
рой ступени, следующие четыре ступени и главы 3—7 седь-
*) В одном месте лейдепской рукоппсп (лист 41) чиста четы-
ре, восемь и девять записаны восточно-арабскими цифрами; в со-
ответствующем месте каирской рукоппсп эти числа записаны
словами.
2) Ссылаясь па лейденскую или каирскую рукописи, мы будем
их кратко обозначать Л. р. и соответственно К. р.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
257
мои ступени. Первая часть трактата посвящена чисто
математическим вопросам, а вторая часть — приклад-
ным1)- настоящей работе изучается первая, наиболее
интересная часть трактата2).
1
Первая ступень трактата Абу-л-Вафы посвящена от-
ношению.
В главе 1, озаглавленной «О сдшсле отношения и число
видов дробей, а также об объяснении выражении, употреб-
ляемых писцами для шестндесятичного отношения», Абу-л-
Вафа даст классификацию дробей, принятую в практике
писцов, вычислителей, чиновников и т. п., и указывает,
в каких формах они предпочитали выражать через дроби
различные отношения. Начинается опа с определения
отношения.
«Отношение это мера одного из двух чисел по сравне-
нию с другим. Пример: три седьмых; это мера трех по срав-
нению с семью» (Л. р., л. 4 об.).
Далее Абу-л-Вафа подразделяет отношения па три вида:
отношения меньшего к большему, большего к меньшему
и отношение равных, причем говорит, что вопрос об отно-
шении и его видах он рассмотрел подробнее в другом
месте3), а здесь ему понадобится лишь отношение мень-
шего к большему, так как только из него и возникают
дроби: «мсиыиее число относят к большему числу, после
чего нз отношения получаются дроби, например, три пятых
и четыре седьмых; отношение же большего к меньшему
и отношение равных не являются таковыми» (Л. р., л. 5).
’) Вроде начисления платы за работу, строительных расчетов,
обмена п купли различных сортов зерна и т. п.
2) Считаю долгом поблагодарить Б. А. Розенфельда и К. А. Рыб-
никова за содействие в получении лейденской и каирской копий
трактата Абу-л-Вафы. Выражаю также глубокую при шателыюсть
моему научному руководите ю М. Я. Выгодскому. Б. А. Розен-
фельду ц д. ц. Юшкевичу автор обязан ценными советами, а послед-
нему ц многими редакционными исправлениями.
) «Во введении, которое мы сделали к искусству чисел*. Не-
видимому, Абу-л-Вафа имеет в виду свое произведение «Введение
в арифметику».
17 Истор.-матем. всслсд., вып. XIII
258
М. И. МЕДОВОЙ
Писцы и вычислители, согласно Лбу-л-Вафе, разли-
чают четыре вида дробей: главные, составные, соединенные
и невыразимые.
«Главные дроби1) это все дроби, которые мо;мю
выразить отдельно, нс соединяя ее с другой дробью. При-
меры: половина, пятая, десятая2). Составные (дроби]3)
это все дроби, составленные из главных. Примеры: три
четвертых, четыре пятых, пять седьмых4).
’) «руус».
2) В арапском языке для аликвотных дробейи —
о У Ю
существуют специальные числительные, образованные, за исклю-
чением половины, от того же корпя, что и названия соответствую-
щих целых чисел. Так, слово «сулс» (от «саласа»— три) означает
-- , а слово «хумс» (от «хамса»—пять) означает-^-. Эти числительные
о Э
склоняются во всех трех числах (единственном, двойственном и мно-
жественном), так что, например, -=- по-арабски выговаривается
э
«саласа ахмас» («саласа» — три, «ахмас»—родительный падеж мно-
жественного числа от «хумс»). Прочие дроби в эпоху Абу-л-Вафы
е 1
выражались либо через вышеуказанные, например, выговари-
валась как «сулсхумс хумс» (такая конструкция называется в араб-
ской грамматике «идафа»—«присоединение», откуда и название та-
ких дробей: «мудаф»), либо же описательно при помощи слова
3 - , 1
«части», например ру — «три части пз семнадцати частей* («саласа
аджза мпп саб'а ‘агаар аджза»), Этп особенности выговарпваппя дро-
бей в арабском языке энохи Абу-л-Вафы нужно постоянно иметь
в виду для понимания дальнейшего. В настоящее время арабы про-
, т
износят дрооь — как vn частей пз п частей», одпако пользуются
п
и числительными: половина, треть, ..., десятая, две третп и т. д. до
девяти десятых.
s) «мурракаб».
4) Как видно из этого определения, составная дробь может быть
составлена также пз неравных членов; в этом смысле термин «со-
ставная дробь» ппой раз применяется Абу-л-Вафой, но в подавляю-
щем большинстве случаев этому нопятпю придается более узкий
смысл дроби, составленной лишь из одинаковых главных дробей.
Этим и объясняется, что в качестве примеров Абу-л-Вафа приводит
,345
дрооп — , у и у .
ОБ арифметическом трактате абу-л-вафы
259
Соединенные [дроби]1) это все дроби, выражение
которых состоит в соединении главных. Примеры: поло-
вина пятой, треть седьмой.
Невыразимые [дроби]2) это [все] дроби, получе-
ние которых с помощью этих трех видов дробей невоз-
можно. Примеры: две части пз одиннадцати [частей],
три части пз тринадцати, четыре части из семнадцати»
(Л. Р-, л. 5 и 5 об.).
Последнее нуждается в объяснении. Абу-л-Вафа назы-
вает невыразимой дробь, которую нельзя получить адди-
тивно и мультипликативно пз дробей предыдущих видов,
т. е. дробь, знаменатель которой содержит простые дели-
тели, большие семи. Так, отношение 4 : 15 можно выра-
зить как «пятая и треть пятой», избегая слова «части»,
в то время как отношение 4 : 17 без слова «части» выра-
зить нельзя.
Кроме того, в тексте встречаются дроби вида
10, -^- — главная дробь^, которые Абу-л-Вафа
называет «соедипсипо-составпыми». Соединенные и соеди-
ненно-составные дроби мыслятся как «дроби от дроби».
Как видно, существенную роль в этой классификации
дробей играют языковые особенности.
Перечислив виды дробей, Абу-л-Вафа продолжает:
«Если хотим отнести число к числу, то следует это
сделать с помощью главной [дроби] пли двух главных
[дробей], так как это красивее, чем составные и соеди-
ненные [дроби]. Например, [отношение] тридцать шесть
к шестидесяти мы выразим как половпна и десятая, т. е.
через две главные [дроби], и это красивее, чем если бы
выразили его как три пятых, т. е. через составную дробь»
<л- Р-, л. 5 об.).
Во избежание недоразумений оговорим следующее,
“о-первых, из дальнейшего текста видно, что применяется
Разложение дробей в суммы, содержащие пе две, а не-
сколько главных дробей. Во-вторых, слово «следует»
нужно понимать в смысле предпочтительности, а не обя-
*) «мудаф».
) «асамм »— буквально «глухой», избегаемый».
17*
260
М И МЕДОВОЙ
затольпости, например, в таблице IV (см. ниже) можно
111 7
встретить как выражение у н-£ п -g-, так и -g-.
«Если же невозможно выразить число1) через главную
дробь, то следует выразить его с помощью составной или
соединенной [дроби], и это красивее невыразимой [дроби].
Писцы и чиновники считают невыразимые дроби очень
некрасивыми; до такой степени, что если они желают выра-
зить какую-либо невыразимую дробь, опп уменьшают ее
или до главной [дроби], или до составной, или до соеди-
ненной и выражают ее по приближению, и это приближе-
ние для них предпочтительнее точной дроби, т. е. невыра-
зимой. Например, три части из одиннадцати по прибли-
жению будет четверть и пятая девятой, а также пятая
и две трети девятой2). Это у ппх считается красивее, чем
если бы они сказали «три [части] из одиннадцати частей»
(Л. р., л. 5 об.).
Немного далее Лбу-л-Вафа пишет: «Они [т. е. писцы. —
Af. Л/.] не одобряют составление дробей одного рс а,
Например, половина и треть как пятьдесят (отнесенное
к шестидесяти] красивее, чем пять шестых. Другой при
мер: половина и пятая и десятая как сорок восемь [отце
сенное к шестидесяти] красивее, чем если скажешь: четы
ре пятых» (Л. р., л. 5 об.).

*) Здесь Абу-л Вафа называет отношение числом.
*) Указанные приближения Лбу-л-Вафа получил, по всей вероят
пости, следующим образом: 3 : 11= (180 :11): 60 (16+4 : 11): 60«
«=(16 +4: 12): 60 = 4 + 4 4 < 3 4 * * * * * * 11 : И = (180 : И): 60= (16 +
4 о У
А 12 1
+ 4: И): 60 «г (16+ 4: 9): 60 =12: 60+4-1 60 = 4+4 — (по
У Э о J
дробнее см. ниже). Здесь и в дальнейшем, е< и не будет особой
оговорки, знак : в выражениях т: п означает действие деления
при т>п и действие «отнесения» при т<л; для больше* нагляд
пости мы заменяем словесные выражения чисел Абу-л-Вафы цпф
ровыми. Знак + стоит вместо союза «на»—«и»; соединенные п сое
дилепно-составиые дроби мы будем обозначать через — - 4, напри
п к
11 4 1
мер — . —— половина тестон, -=- • —-четыре седьмых девятой
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
261
Итак, писцы и чиновники предпочитали соединенные
дроби дробям соединенно-составным. Однако в дальней-
шем мы убедимся, что Абу-л-Вафа часто пе сокращает па
„ ‘ 2 1 г
2 дробь вида з • 2*, в то время как другие дроби того же
4 16 1
типа, например - 5 лтИТ. и., ои всегда сокращает.
2 - тт
Дробь у занимает осооое положение. Далее, комбинация
из главной дроби и соединенной дроби также предпочн-
2
тачась составной дроои, иаирпмер, _ заменялись
О
1,2 1
у + у Тб’ °Л,1ако такие замены производились пе всегда
(см., например, ниже таблицы III и IV), хотя Абу-л-Вафа
и пишет, что «всякий раз я буду приводить выражения для
отношения, которые у них 1т. е. у писцов.— М. Л/.] счи-
таются красивее» (Л. р., л. 5 об.).
Очередность в употреблении дробей устанавливалась
так:
«Если пмеется много дробей, то красивее на первом
месте ставить наибольшую пз них, а на последнем месте—
наименьшую. Например, [говорят:] «половина и треть и
девятая», но пе говорят: «девятая и половина и треть»
и не говорят: «девятая и треть и половина» (Л.р., л. (>)•
Аналогичное правило соблюдалось в действиях с сое-
диненными дробями.
Резюмируя, можно сказать, что у арабских писцов и
вычислителей «каноническими» дробями являлись главные,
составные и соединенные дроби; любое отношение выража-
лось точно или приближенно в виде суммы «канонических»
Дрооей1). При этом составные дроби писцы предпочитали
выражать через комбппацпю главных и соединенных дро-
<*». так что в упомянутой сумме предпочтение отдавалось
алнквотпым дробям. Анализ примеров, содержащихся в
трактате Абу-л-Вафы, показывает, что в подавляющем
°ольц1ннсТве случаев окончательные результаты дейст-
вии с дробями выражены через сумму главных и соеди-
’) В эту сумму могли входить также соединенно-составные
Дробп.
262
М. И. МЕД О ВОЛ
пенпых дробей, составные же дроби используются в на-
чальных данных примеров и упражнений и в промежу-I
точных выкладках, очевидно, для сокращения записей
и вычислений1). Условимся в дальпейшем называть сумму
различных главных и соединенных дробей «арабским кано-
ническим разложением дробей» в отличие от древнее! н-
петского разложения на сумму долей единицы.
У местно провести параллель между арабскими дробями и
древнеегипетскими. Сходство между шиш состоит в осо-
2
бом положении долей едпппцы и дроби 2). Однако араб-
с.кие дроби весьма существенно отличаются от древне-
египетских а) наличием составных дрооеи —, 1<ш<
п
<п<10; б) отсутствием дробей—, где в состав р входит
хотя бы одпо простое число, большее 7; в) мультиплика-
тивным выражением через главные дроби аликвотных
дробей, меиьших г) отсутствием какой бы то ни было
символической записи.
2
2-я глава трактата носит название «О численности видов
дробей и об их разбиении из шестидесяти». Под «чпелен-
*) В упомянутой выше книге П. Люкея на стр. 30 не вполне
точно утверждается, что в рассматриваемом сочинении Абу-л-Вафы
дроби вида — (n > т> 1) считаются некрасивыми, и поэтому их избе-
п
__ m
га л н. Как мы видели, некрасивыми считаются лишь те дроби — »
которые нельзя выразить в виде комбинации главных дробей.
Дроби же ~, 1 < m < п<: 10, вовсе пе считаются некрасивыми,
и их избегали лишь в окончательных результатах.
Такое же неточное утверждение содержится в примечаниях
А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда в книге: Д ж е м ш и Д
Гияс Э д д и и а л-К а ш и, Ключ арифметики. Трактат об ок-
ружности, М., 1956, стр. 336.
*) О другой общей особенности обоих типов разложений
см. на етп. 271.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
263
постью вида» Абу-л-Вафа понимает число дробей, при-
надлежащих к простейшим типам канонических дробей.
Что такое «разбиение пз шестидесяти» и для чего оно слу-
жит, /Хбу-л-Вафа пе объясняет. Однако из приводимых
нм таблиц видно,что «разбиение пз шестидесяти»—это число,
которое получается, если данную дробь увеличить в СО раз;
_ 2
иаирпмер, «разоиеппо из шестидесяти» дроби есть 24.
О
В последующих главах «разбиения пз шестидесяти»
применяются как некоторые вспомогательные числа.
2-я глава, состоящая в основном из четырех таблиц,
начинается с таблицы девяти главных дробей и их «раз-
биении пз шестидесяти» (Л. р., л. 6 об.).
Таблица I
Главные дроби 1 2 1 "3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10
Их разбиения пз 60 30 20 15 12 10 84 4 СЭ КЗ 6
Далее различаются «однородные» (муттафик) и «раз-
нородные» (мухталиф) составные дроби. Однородные дроби
составлены из одинаковых главных дробен, иаирпмер
«четыре пятых», разнородные же дроби составлены пз
различных главных дробей, например «половина и треть».
Во второй таблице (Л. р., л. 6 об. и 7) Абу-л-Вафа
приводит 22 «однородные» составные дроби от у до
и соответствующие «более красивые выражения».
В третьей таблице даны «разнородные» составные дро-
би, состоящие из двух главных дробей, и их разбиения
из 60 (Л. р., л. 7 об.).
Четвертая таблица (Л. р., л. 8 и 8 об.) содержит 31
соединенную дробь, состоящую из двух главных дробей *).
,, , 1 1 1111 1
Ч Дробь -=- • — заменяется — • ; — • -т- заменяется —
о 4 2 о 4 4
V 1 1 1 11
X — ; заменяется и т. д., так как это «красивее».
ООО о 10
264
М. И. МЕДОВОЙ
Таблица II
Однород- ные *) со- ставные дроби Их разбие- нии из 60 Более кра- сивые вы- ражении £ 3 40 А1) 3 • • ’ > • • * » • • • » «1^ см IfQ • • f • • • » • • • » 7 9 «4 • • • » • • * » • • • » 9 10 < 54 -+-М-1 2'3 ^3 10 • 1
*) «мутаджанис*. Это синоним «муттафик». •) Следует обратить внимание на то, что дли 2 -х ио lipiIEO- <5
дится «более красивое выражение* - 1 2 В 6’*
Таблица III
Составные разнород- ные дроби Пх разбие- ния из 60 44 4 ’ • • t • • » А+1 4 ' 6 25 • • • • • • • » 6^7 18-1 / • “ • 1 • • • » -+1 8 10 13 — U 2
Составные разнород- ные дроби т+т • • • » 44 • • • » 2 i 6 + 8 • ' » 9 МО
Их разбие- ния из 60 см |со СО СО ’ • • » ит • • • • 17 4 • • • » СМ |.-0 см
Как впито, разбиения из 60 выражены чаще всего
через составные дроби.
В 3-п главе «О шестидесятпчном отношении целых
[чисел]» Лбу-л-Вафа формулирует правила канонического
разложения отношений п : 60, где п — целое число меньше 60.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
265
Таблица IV
Соединен- ные дро- би • • • » 1 1 3’8 • • • » 1 1 4 ' 8 • • • • 1 + б’1О • • • » 1 1 7’10
Их разбие- ния из 60 4 1+2+4+Б • • • 1 1 • • 1 6 7
Соединен- ные дро- би -1® • • • » 1 1 + "9 • • ’ » 1 1 7 ’ 7 * • • 1 1 1 8’ 8
Их разбие- ния из 60 4 • • • г 4 • • ' » -Г7^7 7 • ’ 9 Z+l.± 8^2 8
Прежде всего рекомендуется запомнить, что 1:60 =
=44: 2:“° = 44: 3:60 = т4: 4:G0 = 44:
>11 1
5: 60 = y-jv-; 6:60 = у. Далее вводятся четыре «опоры»
, - . ,1112 1.-. 1
(усул), именно дроби: у , у , , у • . «Опора» и ее
разбиение из шестидесяти 15 используются, когда и = 25,
35, 45, 55. Разбивая ,п на два слагаемых, одно из кото-
рых 15, Абу-л-Вафа всегда получает в качестве второго
слагаемого число, отношение которого к 60 выражается
2
главной дробью пли дробью -у. Например (Л. р., л. 8 об.):
О
55:60 = 40:60 + 15:60 = -|- + -^.
«Опора» ц ее разбиение из шестидесяти 12 аналогично
применяются к числам вида 10&+2 и 10А + 7 (/с=1, 2,
3» 4, 5). Например (Л. р., л. 9):
27:60 = 15:60+12:60 = 4- + -|-.
«Опора» — и ее разбиение 6 используются, если 6 < п < 10
266
М. И. МЕДОВОЙ
или если п имеет вид 104’4-1, 104-|-3, 104’4-6, 104’4-8.
Например (Л. р., л. 9):
33:60 = 27:604-6:60 = 4 + 1+-^-.
«Опора» уч ее разбиение 4 приводят к цели, если
п = 104’4-4 или и = 104’4-Э. Например (Л. р., л. 9):
49:60 = 45:60 + 4:60 = 30:604-15:604-4:60 =
2 т 4 3 10 '
В 4-й главе «О [шестидесятичпом] отношении дробей,
являющихся главными и составными» речь идет о кано-
ническом разложении отношений («4-а): 60, где п — целое,
меньшее 60, а—главная или составная дробь, принимаю-
щая значения, содержащиеся в таблицах I и II. Для
каждого а дается правило со ссылками на 3-ю глав}.
Например, правило для а = у состоит в следующем.
Сначала рекомепдуется запомнить, что 4:60 = 4.4-Л.
ООО IV
Далее, если нужно разложить то и-|--у
разбпвается на два слагаемых, одно из которых ’) есть
1 3 5 .. 1
-5-, или —, или —, или Зъ, а второе соответственно п,
ООО о
3 1 1
(и — 1) 4- —, (п — 1) 4- у и п — 3. Дробь у — разбиение из
«а ,1113 „ ,.п , 111.
ЬО дроби -с”-б-’7п; "о-разопенпе пз bU дроои -s-’-d-’tt:.
О о 1V о Z о IV
5 С СП ,111 Q 1
-g—разбиение из Ь0 дроои ту-в- а —раз-
О Z О о о
биенпе из Ъо дроби -т-’4’+4”"5-• Разложения же отпоите-
ним к 60 остатков п и и—3 находятся по правилам,
изложенным в предыд; щей главе, а остатков (п — 1) + у
*) Абу-л-Вафа не говорит, в каких случаях следует «выделить»
ту или иную дробь.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
267
з 13
it (и —1)4--j- —по правилам для а = у»у» предшествую-
щпм в 4-и главе правилу для a = -g-. После правила для
a = i- след>ют правила для «остальных восьмых», т. е.
8
3 5 7
для а = g-, -g- и g-, затем для «девятых» и т. д.
Вот как, к примера, сформулировано правило для
3 .
а- 8 •
«Три восьмых единицы к шестидесяти — это половина
восьмой десятой. Пз того, что прибавлено к единицам1),
выделяют восьмую как шестую восьмой десятой3), чтобы
вернуться к тому, что имеет дробью четверть3), пли же
единицу и половину ji четверть и восьмую как четверть
восьмой* *), чтобы вернуться к тому, что имеет дробью
половину» (Л. р., л. 12).
Казалось бы, зная, как полечить разложенпя отно-
шении п: 60, где и —целое число, достаточно указать,
что отношение a: 60 равно такой-то канонической дроби
, „ / 7 сг. 1 1 .
или сумме таких дробен (например, : Ь0 = jg-t-
11 тог^а разложение (n-|-a):60 получилось
бы как сумма разложений отношений п: 60 и a: 60.
Однако, как мы видели, Лбу-л-Вафа не ограничивается
в своих правилах одним лишь разъяснением, что a : 60
обращается в такхю-то каноническую дробь, но дает еще
дополнительные указания.
Чтобы выяснить пх роль, приведем из второй степени
трактата следующий пример на действия с дробями
*) Имеется в виду выражение п + — .
О
•) То есть выделяют — как разбиение из 60 дроби -= — — .
О DO 10
*) Абу-л-Вафа хочет сказать, что после вычитания останется
О
дробь a = — , правило для которой уже приводилось.
•) См. выше таблицу IV,
268
М. И. МЕДОВОЛ
(Л. р., л. 64 об.). При делении 11 +па 25 Абу-л-
Вафа сначала делит 11 па 24 и получает 4-4-4-. затем
“ о О
1,1 111,111
делит — 4--ТГ на 21 и получает4—=•••=—я-, однако
40 Z О О Z О U
1 , 1 , 1 1 .
окончательны:: результат: 4* 7г4__г“о''
* о У 4 о
Ясно, что одни канонические разложения предпочи-
тались другим: в каноническом разложении сое щиепные
дроби, состоящие из меиыпего числа главных дробен,
считались «красивее» соединенных дробен, состоящих из
большего числа таких же дробей *). Чем «компактнее»
каноническое разложение, тем «красивее» оно с точки
зрения писцов. Эта «экономия» дробей совершенно есте-
ственна, так как разложение получалось более нагляд-
ным, а вычисления упрощались.
В дополнительных у казаппях правил 4-й и 5-й глав
перечисляются канонические дроби, использование кото-
рых отдельно или в сочетании с «единицами» позволяло
найти разложения для (п + а) : 60, состоящие пз меньшего
числа главных дробей, чем разложения, получающиеся,
если придерживаться первого указания каждого правила
п правил, изложенных в 3-й главе.
Эго подтверждается примерами, которые Абу-л-Вафа
предлагает в качестве упражнений в 7-й главе (см. стр. 277);
ответы к этим примерам всегда отличны от разложений,
которые получились бы, если придерживаться первого
указания соответствующего правила.
х 1 2 1 \
Например, для разложения ( 35 4- т 4- ): 60 Абу -л-
х * *5 • у
Г, , 1,1,1 1,1,111,
Вафа дает ответ -3+7+-9. а пе -g--J- — 4--g+
+44.±_35:60 + 4;«> + 44:
60; разложениями для
1«4--|-у^) : 60 и для ^254-у 4-у у : 60 являются
1 , 1 , 1 1 Г 1,1.1 1 1 \
соответственно _-|-_4._._( а „е —+—
*) См. также пример па стр. 294
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
209
1 1 il 1 , 1 , 1 1 ( 1,1,11,
II f + 6'+ 7" 9" UJI" 4 + 9 + 2 ’ 7 V “° 4 + 6 + 7 ’ 10 *
+ т 9 ЮУ
Как найти эти разложения с помощью дополнитель-
ных' указаний Абу-л Вафы, видно из 5-п главы, к рас-
смотрению которой мы переходим. В этой главе «О [шестн-
десягнчпом] отношении соединенных дробей, которые
являются дробями от дробей» даны правила канониче-
ского разложения отношений (п-|-а):бО, где и —опять-
таки целое число, меньшее 60, а а принимает все значе-
м - т 1 1
нпя вида несократимой дроои--г-, причем—главная
п к к
дробь, а ~ — также главная дробь или составная (одно-
родная) дробь (п<А). Как и в 4-й главе, первое указа-
ние каждого пз правил состопт в том, что отношение
а: 60 преобразуется к каноническому виду. Дополнитель-
ные указания этих правил еще более разнообразны, чем
в 4 и главе, а примеры совершенно отсутствует. Так,
2 1
правило для а = гласит (Л. р., л. 14 об.):
«Две трети седьмом единицы к шестидесяти это седь-
мая девятой десятой. Ее (т. е. -у-у - — .V. J/.прибав-
ляют к седьмой [части] единицы, и тогда отношение
[к шестидесяти] будет четверть седьмой девятой; ее так-
же прибавляют к трети, и получается три седьмых,
а также к четырем седьмым, и получается две трети,
а также к шести седьмым, п тогда отношение [к шести-
десяти] будет седьмая девятой, а также к единице
и трети, и тогда отношение |к шестидесяти] будет шестая
седьмой. Когда опа прибавлена к единицам, то выделяют
одну пз этих дробей или выделяют то, дробная часть
чего есть три седьмые, или наоборот» *).
2) Последнее нужно понимать так:
(п+4 • т) :б°= [(п~1)+4]: б°+4: бо=
=[("- 1)4-4 ] 60 + 4 : 60’
270
М. И. МЕДОВОЙ
Возвратимся теперь к приведенным выше примерам
из 7-м главы. Если учесть указание Абу-л-Вафы, что
2 t . 4 2 foe . 1 . 2 1 \
3--у + у = у, то разложение ( 35 + у 4- у • у J : 60
можно получить следующим образом: ^35+у
+ у т): 6О=(35+4 - 4): 60= [а>+(9- 4)+
4-6-0- I :60=—4--=- + « • То же разложение можно полу-
<5 J о / У
чпть с помощью указанного Абу-л Вафоп преобразования
2 1,13
-r---y 4--s-=, а также при помощи последнего из ука-
о / о 7
заипй цитированного правила. Для нахождения второго
разложения можно использовать указание Абу-л-Вафы,
что (1+1+4.4): 60 -1- т •"™“°: (i8+4 4): 60=
-1О:6О + б4;6О + (1+4 + 44):6О = 4+4+14.
Первое разложение в третьем упражнении можно получить,
учитывая указание, что
f 6 , 2 1 \ 11
(л+ з-7;:60=т-9’а вто-
рое — используя указание, что «выделяют одну нз этих дро-
бей»1), т. е. у, у, у, у :
£ 2. 2 А = А
7 + 3'7 7 7 + 3 ‘ 7 ’
или
А+А.1 = 2+ГА.1+АЛ = -4--,
7^3 7 7 V3 1'1) 3^7*
откуда
(25+4+44):60-(15 + б4+44)
: 60 =
-Ал-Ад-А.А
“ 4 9 2 7
2 3 9
а как поступить в случаях а = , известно из предыду-
о •
щих правил.
2) Лбу-л-Вафа под этим понимает разложение на слагаемые,
1 1 4
одно из которых есть -=- , и т. д.
7 о /
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АВУ-Л-ВАФЫ
271
2 2
( в правиле для а = у имеется указание, что 4 у : 60 =
4 . 1 2
_2_.± а в правиле для а=-^- имеется указание, что
2 7’ &
Из всего этого видно, что твердого критерия для пред-
почтения одного разложения другому, содержащему оди-
наковое число главных дробей, пе существовало х).
Следующая, 6-я глава первой ступени «О приведении
[отношения] других чисел к шестидесятичному отношению»
учит, как находить точное или приближенное канониче-
ское разложение отношения к числам, отличным от 60,
с помощью разложения отношении чисел к 60. Один пз
двух приемов точного разложения, изложенных Абу-л-
Вафоп, иллюстрируется им следующими двумя примерами
(Л. р., л. 23):
7:15 = [(7 • 60): 15]: 60 = (420:15): 60 =
= 28:в0_1 + |+^.
17 : 72 : [(17-60): 72]: 60 = (1020: 72): 60 =
= 14^-: 60= 7-^-: 60-f-G-B : 60 = .
О <6 О О У
В общем впде:
P‘.q = (60/7: g): 60 = (п 4-а): 60.
Как поступить дальше, известно пз предыдущих правил2).
*) У древнеегипетских писцов, по-видимому, также пе било
критерия, применение которого позволило бы предпочесть одно
каноническое разложение другому; можно лишь утверждать, что
они стремились получать разложение, вообще говоря, с возможно
меньшим числом членов. Это подтверждается тем, что ня 50 разло-
жении, содержащихся в таблице 2 : п папируса Рапида, 29 состоят
из двух аликвотных дробей, 13— из трех и 8— пз четырех, причем
трехчленные и четыр< хчленпые разложения встречаются в случае
простых п, т. е. когда нахождение канонического разложения было
наиболее трудным. См. М. Я. В ы г о д с к и й, Арпфметпка и алге-
бра в древпем мпре, Л., 1941, стр. 21.
*) Подробнее об этом см. ниже, стр. 274.
272
М. И. МЕДОВОЙ
Второй прием отличается тем, что сначала 60 делится
на q, частное же умножается на р, и отношение результата
к 60 преобразуется к каноническому виду. Например
(Л. р., л. 23):
13:36 = [(60:36)-13]:60 = (1-|-1з):60 =
= 21}:6О_1. + 4.
«При этом выгоднее,— продолжает Абу-л-Вафа,—чтобы
начинающий запомнил результаты деления шестидесяти
на выразимые1) числа, меньшие шестидесяти; здесь я пони-
маю иод выразимым (числом! то, что не является невыра-
зимым в понимании писцов, как тринадцать или семнад-
цать» (Л. р., л. 23).
Далее Абу-л-Вафа приводит таблицу (Л. р., л. 24 и
24 об.), которая дает частные 60 : q, где q принимает все
значения впда 2r-34-5'-7fc<, 120.
!) «мантак». Абу-л-Вафа имеет в виду целые числа, разложение
которых на' множители содерж-пт простые числа, не превосходя-
щие 7.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ трактате абу-л-вафы
273
То, к чему относят, больше шестидесяти.
То, к чему относят 63 ... 81 112
То, что вычитают из него *) 1 1- 3’7 ... «М ОТ чм ’со + СЧ !ОТ ”!г' |«а< + СО 1г~
То, к чему относят 64 84 120
То, что вычитают из него1) 1 1 2 ’ 8 2 7 1 2
*) То есть дополнения к 60 : g до единицы, например: (60 : 63)=
1 1
= 1 —— • . Ср. ниже (стр. 303) сокращенные способы деления.
О •
Абу-л-Вафа рекомендует пользоваться данной таб-
лицей1) следующим образом:
♦ Если хотим отнести число к числу, причем число, к
которому относим, меньше ста двадцати, то ищем число
меньше ста двадцати и записанном нами перечислении;
если что-нибудь совпадаете ним2),то мы умножаем на число,
стоящее вблизи от него, и относим к шестидесяти. Если
че находим его в перечислении, что число невыразимо и
отношение не получается иначе, как приближенно. На-
пример, если хотим отнести шесть к восьми и четырем седь-
мым, ищем посемь и четыре седьмых в перечислении и нахо-
дим их; рядом находим семь, умножаем шесть па семь,
и это сорок два. Относим их к шестидесяти — получается
половина и пятая и это отношение шести к восьми в четы-
рем седьмым» (Л. р., л. 24 об.).
Как мы видим, Абу-л-Вафа пользуется первой частью
таолицы в обоих направлениях; вторая часть таблицы
*) Интересно отметить, что вышеприведенная таблица напоми-
нает вавилонские таблицы обратных значений (см. М. Я. В ы г о д-
с к и ц, цнт. соч., табл, (f) на стр. 77).
а) То есть если искомое число содержится в таблице.
18 Истор.-матем. исслед., вып. XIII
274
М. 11. МЕДОВОЙ
используется аналогичным образом. Заметим также, что
наряду с отношением целых чисел он рассматривает также
отношения дробен.
«Выразимые»отношения р: q{p—целое, <7=2г-3’-5( 7‘),
рассматриваемые Абу-л-Вафой в качестве примеров,
таковы, что для пх канонического разложения достаточно
одного умножения на 60 с последующим отнесением к 60,
причем (>0p:g=n 4-а, гдеа—одна из дробен, рассмотренных
в правилах 4-й и 5-й глав. Такие отношения, по всей вероят-
ности, исчерпывали случаи, встречавшиеся в практике
писцов и чиновников. Как поступить в других случаях,
Абу-л-Вафа не говорит, однако ясно, что тот же прием
можно повторить несколько раз. Например, для раз-
ложения 7 : 675 можно было бы поступить следующим
образом:
7:675 = (420: 675): 60 = (28: 45): 60 =
= [(1680:45): 60]: 60 = (37 : 60 ): 60 =
-(30:(Ю+14:0о):СО-(4 + 4| + 44)4.±_
_ L 1 11 1 11 1 2 —
— 2 ’ С ’ 10+ 6 ’ 1о‘ 1() + 5 ‘ б" 9 ’10
^в правиле для а=-^ рекомендуется «выделять» 1 -^-:60
11 -Л
как у () , если число единиц числа п равно 7 ) .
Сокращение дробей можно было бы осуществить с помо-
щью алгоритма Евклида, изложенного во второй ступени
трактата. Если р и q — дроби, то их отношение можно
было свести к отношению целых чисел приведением к об-
щему знаменателю.
Прием многократного умпожеппя па 60с последующим
отнесением к 60 применяется во втором разделе 6-й главы,
посвященном приближенному каноническому разложению
«невыразимых» дробей. Отношение 3 : 17 Лбу-л-Вафа раз-
лагает так: 3 : 17 = (18О : 17) : 60=(10-|-10 : 17) : 60^
чв 11 : 60 = 4-4-4- • Д, причем поясняет, что 10 : 17 «вос-
и о ю
полпяются» до единицы, «потому что десять больше поло-
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРХКТХТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
275
вины семнадцати». Для лучшего приближения Абу-л-Вафа
рекомендует поступать так: 3 : 17 = (10-|-10 : 17) : 60=
= 110+(600 : 17) : 601 : 60= [10+35 : 60 +(5 : 17) : 60] :
:60 ( Ю + j 4 -* ): 60 = 1 + 1 1 +-1 • 1 причем : 60
отбрасывается, так как «пять меньше половины семнад-
цати».
Абу-л-Вафа продолжает:
,, < 1 . 1 1 I 1 V,
«Если возьмем это отношение ( т. е. тт; + -гг’-ж + дг X
у. 10 2 9 о
X 4’—М- -17.^ в долях семнадцати, получается 1две час-
ти! и пять дангов1) и девять аширов2) и две трети и четверть
laiunpaj. Чтобы дополнить до трех частей, не хватает
половины шестой ашира, т. е. восьмой девятой десятой от
одной (части пз семнадцати частей]» (Л. р., л. 25 и 25 об.).
Иначе говоря, Абу-л-Вафа вычисляет погрешность
1111
прнолижепия в долях семнадцати: = .-q-. —
о J 1' 1 1 I
Для более точного приближения Абу-л-Вафа преоб-
разует отброшенные (5 : 17) : 602:
(5 :17): 6U2 = (300:17): 603 = (17 + 11 : 17):6О3^ 18:603 =
+ _1_ £ Д 1^
— 2 ' 6 '10'10"10 ’
так что
3-17-1 + 1. 1 -11.1-1-1.1.1.11
10т 2 9 6 8'2 С 10 10 10 ’
Погрешность последнего результата опять вычисляется
в долях семнадцати, она равна
111111
•1 ' 9 '1о'10'10'17 ‘
’) Данг — денежная единица, составляющая — диргема. Этот
о
термин применен здесь Абу-л-Вафон в смысле 4 • Такие дроби,
в отличие от отвлеченных, ои далее (см. стр. 297) называет «относи-
тельными* («мансуб*).
2) Ашнр — «относительная* дробь, равная 1 (см. ниже
стр. 297).
18*
276
М. И. МЕДОВОЙ
Кроме этого способа, Абу-л-Вафа излагает другой:
♦Этот [способ] часто применяется писцами нашего времени.
Когда они хотят приближенно отнести что-нибудь к
невыразимым числам, то их вычисление этим способом со-
стоит в том, что опи прибавляют к каждому из двух чисел
единицу или какую-нибудь дробь, при помощи которой
невыразимое число становится числом, у которого есть
многие дробные части» (Л. р., л. 25 об.). Далее следуют
примеры:
3:17^(3 + 1):(17+1)=А = |.
Так как погрешность большая, то лучше сделать так:
3:17 1/4- = 4 -
Z Z о
«Коли возьмем это в долях семнадцати, получается три
части и две пятых [части], а это опять большой излишек»
(Л. р., л. 26). Поэтому еще лучше поступить так:
О-1/~д7.1/7-6 + 6 ю.
«Однако этот путь утомительный, и нахождение этих дро-
бей трудно, поэтому выгоднее то, что мы изложили выше»
(Л. р., л. 26).
Абу-л-Вафа рекомендует также комбинировать прием
умножения и одновременного деления па 60 с приемом пис-
цов. Например:
3:17-[10+ 35: 60 +(5: 17): 60]: 60^ [10 + 35:60 +
+ (5: 18):60]:60= [10 + ^35 + у + -|):60] :60 =
= 10:60 + ^10:60 +7у: 60 +6-|: 60 + 1 ^-:60):60 =
1 111,111,111,1111
6 "г 4 ' 9'10 + 6 ‘ 8 ’ 10 + 6 ’ 9 ‘ 10 + 4 ‘ 9 ' 9 ‘ 10 •
(Здесь мы применили указания, содержащиеся в пра-
вилах для а = и V’ Абу-л-Вэфв Дает лишь окончатель-
ный результат.)
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
277
Подчеркнем, что в 6-й главе, по-видимому, впервые си-
стематически объясняются некоторые приемы приближен-
ных вычислений.
Наконец, последняя 7-я глава первой ступепн содержит
«Задачи для упражнения учащегося и начинающего в
шестпдесятпчпых отношениях». Упражнения даны в виде
таблицы с ответами и указаниями, помещенными под ними.
Заканчивается первая ступень словами (Л. р., л. 27 об.):
«Это достаточно для того, у кого есть малейшее
понимание в математике; могут быть и другие ответы, кроме
тех, которые мы упомянули»1).
3
Перейдем теперь к основным выводам, которые можно
сделать по ознакомлении с содержанием первой ступени
трактата Абу-л-Вафы.
Ф. Вепке писал: «Первые две книги (т. е. ступени.—
М. М.) составляют полный трактат практической ариф-
метики. Тут мы находим очень развитую теорию дробей,
обращение целых чисел и дробей в шестпдесятнчные
(sexagenes) и шестпдесятерпчиые (sexagesimales) коли-
чества2), умножение целых чисел и дробей».
Эта харктернстика имеет два недостатка. Во-первых,
она чрезвычайно суммарна: из пее пе впдпо, чем отли-
чается данный арифметический трактат от других, также
содержащих развитую теорию дробей и умножение целых
чпсел и дробен. Во-вторых, слова «обращение целых чисел
и дробей в шестпдесятпчпые и шестпдесятерпчиые коли-
чества» могут внушить естественную, но ошибочную мысль,
что в своем трактате Абу-л-Вафа рассматривает задачу
о выражении целых чпсел и обыкновенных дробей в шести-
десятернчной системе счисления. Так, П. Люкей, имев-
ший под рукой лишь первую спупень трактата, вероятно,
*) Этим снова подтверждается, что твердого критерия для вы-
бора самого «красивого* разложения пе существовг о.
2)_ F. W о е р с k е, Sur Г introduction de I’arithmetique indienne
en Occident, Rome, 1859, стр. 53. По-видимому, под «quantites sexa-
qenes* Ф. Вепке понимает дроби co знаменателем CO, а под «quan-
tites sexagesimales* — дроби co знаменателем 60h.
278
м. и. медовой
под влиянием указанной характеристики Венке, считает,
что таблицы 2-й главы использовались для выражения
обыкновенных дробей в шестпдесятеричных. Например,
для перевода дроби в шестндесятеричпую, но Люкею,
2
в таб шце II берется число 2G йотом в той же таб шце
находится число, соответствующее -у, т. е. 40, и таким оора-
4 26 4о.. „
зом получается, что -^= яг+р,,, )• Мы видели, что это ие
так: таблицы 2-й главы используются совершенно иначе.
Вообще Абу-л-Вафа во всем трактате совершенно пе рас-
сматривает систематических шестпдесятеричных дробей.
По-видимому, 11. Люкей пе нзуча i до конца таблиц
н указаний, содержащихся в первой ступени* 2), п потому
не обратил внимания на то существенно повое, что содер-
жится в первой ступени трактата Абу-л-Вафы,— араб-
ское каноническое разложение дробей.
Содержание первой ступени в нескольких словах можно
охарактеризовать так: в ней перечисляются арабские
канонические дроби и указывается своеобразный прием для
точного пли приближенного разложения любого отноше-
ния в виде суммы но возможности меньшего числа наиболее
«красивых» канонических дробей3 * s).
Теперь возникает вопрос: в какой мере оригинален
изложенный Абу-л-Вафой способ разложения отношений?
Если учесть громоздкость изложенных правил, а также
постоянные ссылки Абу-л-Вафы на опыт безымянных пис-
цов и вычислителей, то можно с большой вероятностью
утверждать, что Абу-л-Вафа лишь систематически изложил
разрозненный материал, накопченный устной традицией,
*) См. Р. L иске у, цит. соч., стр. 83.
2) «Я не вхожу в подробности изложенных дальше преобразо-
ваний, как-то: преобразования сумм главных дробен в дроби со
знаменателем 60 и обратные преобразования*. См. Р. Luckey,
цит. соч., стр. 84.
s) Нужно отдать должное П. Люкею, который на 85 стр. цпт.
соч. пишет, что преобразование сумм и произведений главных дро-
бей в дроби со знаменателем 60 является второстепенной задачей
по сравнению с обратной.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ тр\кт\те аву-л-в\фы
279
перешедшей затем в письменную, которую хранили и пере-
давали из поколения в поколение писцы и вычислители.
Это подтверждается тем, что писцам, по свидетельству
нашего автора, был хорошо известей прием умножения па
60 с последующим «отнесением» к 60 (см. ниже, стр. 308).
Вместе с тем мы полагаем, что распространение этого при-
ема на случаи приближенного разложения невыразимого
отношения принадлежит Абу-л-Вафе: ие случайны его
слова о том, что этот способ легче способов писцов (см.
выше, стр. 276).
Заслуживает внимания, что сведение разложения любо-
го отношения к разложению отношения к 60 пе является
случайным. На территории восточно-арабских государств
издревле денежные и весовые единицы подразделялись па
60 более мелких единиц (например, 1 диргем =60 ашпрам),
так что иа практике часто приходилось находить отноше-
ния чпсел именно к 60; в состав 60 входят множители 2, 3, 4,
5, 6, 10, т. е. знаменатели большинства главных дробей,
иа 60 легко умножать и делить, а при разложении «не-
выразимых» отношений быстро получается хорошее при-
ближение.
Перейдем к вопросу об исторической связи между
древнеегипетскими каноническими дробями и араб-
скими.
Уже давно обращалось внимание на особенности араб-
ских дробей1) и после опубликования папируса Рнпда па
известное их сходство с древнеегипетскими основными
дробями. Однако арабским дробям было уделено очень
мало внимания. Из всех особенностей арабских дробей
на первый плап выдвигались преобладание дробей с чис-
лителем единица и различение «выговариваемых» дро-
бей п «певыговариваемых»2), причем смысл этих терминов
часто не выяснялся до конца. Естественно, что при таком
подходе, причину которого следует искать, по-впдпмому,
в ошибочной концепции, согласно которой ученые, писав-
шие на арабском языке, в области математики «все заим-
’) См., например, G. F. X esse I m an n, Beba-e<l<lin’s L'sscnz
<1ег Rechenkunst, Berlin, 1843, стр. 64.
2) В смысле «выразимых» и «невыразимых».
280
M. И. МЕДОВОП
ствовалп» у покоренных арабами народов1), происхождение
арабских канонических дробей объяснялось ссылкой па
древне-египетское влияние через посредство греков.
Так, М. Кантор, указывая особенности арабских дро-
бей, ограничивается следующим замечанием, находящимся
почему-то в главе, посвященной ал-Хорезми и арабским
цифрам:
«Мы вставляем здесь одно замечание об арабских дро-
бях; у нас, правда, пет полной убежденности в том, что
оно имеет силу уже для эпохи Мухаммеда ибн-Мусы,
по мы не имеем никаких оснований для противоположного
утверждения2), так как речь идет о чем-то имеющем отно-
шение скорее к языку, чем к арифметике. Дело в том, что
арабы отличали немые дроби от выговариваемых. Выго-
вариваемыми являются дроби со знаменателями от 2 до 8,
или, иначе говоря, .существуют арабские слова для поло-
вины, трети,..., девятой. Немыми являются дроби со зна-
менателями, которые пе суть 2 и т. д. до 9 или которые не
могут быть мультипликативно составлены из них, как,
например, шестая пятой вместо тридцатой. Так, немой
дробью является, например, —, и она должна быть выра-
жена описательно как одна часть из тринадцати частей»3).
Эта характеристика арабских дробей страдает рядом
существенных недостатков. Во-первых, в арабском языке
для также существует специальное числительное. Во-
вторых, арабские писцы писали пе «шестая пятой», по
«пятая шестой». В-третьих, Кантор обходит такую важную
*) См. критику этой концепции в статье: А. П. Юшкевич,
Математика народов Средпей Алии в IX—XV вв., «Историко-мате-
матические исследования», вып. IV, 1951, стр. 455—462.
*) В геометрической части своей «Алгебры» ал-Хорезми выра-
жает площадь круга через квадрат диаметра, уменьшенный на седь-
мую и половину седьмой своей части. Таким образом, ал-Хорезми
, 3
раскладывает дробь па канонические. Отсюда можно сделать
вывод, что ко времени ал-Хорезми традиция канонического разло-
жения дробей существовала.
s) Si. Cantor, Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik,
В. I, Berlin — Leipzig, 1922, стр. 718.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
281
особенность арабских дробей, как наличие составных дро-
бей — 1<тп<п< 10, и так как из его формулировки пенс-
п
но, к каким дробям следует отнести дроби, подобные «ше-
стой пятой», то создается впечатление, с одной стороны, что
1 1
все дроои, кромо 2-,..., -д-, считались у араоов «невы-
разимыми», а с другой,— что арабы пользовались исклю-
чительно аликвотными дробями. В-четвертых, неудачно
замечание М. Кантора, что особенности арабских дробей
относятся скорее к языку, чем к арифметике, так как оно
наводит на мысль, что речь идет лишь о названиях, пе
имеющих отношения к технике вычислений с дробями.
Между тем классификация дробей по языковым признакам
теснейшим образом связана с каноническим разложением
дробей, о котором у М. Кантора ничего не сказано.
Все это объясняется скорее всего тем, что Каитор опи-
рался на данные об арабских дробях, имеющиеся у Бехаэд-
днна, автора, жившего в XVI—XVII вв., у которого осо-
бенности дробей являются чем-то вроде пережитков
(см. ниже, стр. 287), и совершенно пе использовал материал
тех глав труда ал-Кархп, где идет речь о классифика-
ции дробей и методах канонического разложения отно-
шений.
Что касается происхождения арабских канонических
дробей, то М. Каитор считает в высшей степени остроумными
указания Л. Роде об аналогии между древнеегипетскими
и арабскими дробями, однако воздерживается от определен-
ного суждения по этому поводу, хотя допускает возмож-
ность древнеегипетского влияния и в дальнейшем ссылает-
ся на это влияние1). Многие другие историки математики
также объясняли особенности арабских дробей египет-
ским влиянием.
К. Фогель, исследуя влияние египетских таблиц для
разложений 2 : п па математику более поздних времен и
народов, пишет: «II снова жизнеспособное египетское влия-
ние сказывается па следующем великом народе-поко-
рителе, обосновавшемся в стране фараонов, на арабах,
*) М. Cantor, цит. соч., т. 1, стр. 718 и 813.
282
М. И. МЕДОВОЙ
у которых мы несомненно находим египетские арифмети-
ческие идеи, распространившиеся дальше иа Запад...»1).
II. Тропфке пишет, что «арабы заимствовали исчисле-
ние основных дробей у греков, может быть, дая;е непосред-
ственно у тогдашних египтян», хотя допускает и наличие
самостоятельной традиции2).
Дж. Лорна заявляет, что разложение дробен у араб-
ских авторов выглядело так3):
, Ь с , d ,
rt+₽’ + W + ₽Yft+’"\
причем имеются ввиду «восходящие»дроби а.т-Каласадн4).
Но нашему мнению, пет основании утверждать, что
особенности дробей у арабов возникли под влиянием еги-
петского канонического разложения. Наоборот, все дан-
ные говорят в пользу самостоятельности и самобытности
арабского канонического разложения.
Во-первых, гипотезой об египетском влиянии нельзя
объяснить различия между египетскими и арабскими кано-
ническим дробями, которые, как мы видели, весьма суще-
ственны. Во-вторых, особенности арабского канониче-
ского представления дробей теснейшим образом связаны с
самобытным арабским языком, так что пх нельзя объяс-
нить чужим влиянием. В-третьих, способы по 1\чеппя араб-
ского канонического разложения, в которых основную роль
играет число 60, отличны от способов, которыми могли поль-
зоваться египетские писцы для получения своих разло-
жений'*). В-четвертых, в пользу самобытности арабских
канонических дробей говорит тот факт, что почти у всех
народов, преимущественно на раннем этане развития.мы
встречаем аликвотные и «соединенные» дроби.
Так, тамилы, одна из народностей Индии, выражали
11111 1
все дрооп через у, у. у^, , для этих поел I-
1) К. Vogel, Die Grundlagen der agyptischen Arithmetik,
Mtinchen, 1929, стр. 187.
2) J. T г о p f k e, Geschichte der Elementar-Mathemalik,
Berlin—Leipzig, 1930, В. 1, стр. 155.
’) Gino Loria, Storia delle Matematiche, Milano, 1950,
стр. 190—191.
*) M. Canto г, цпт. соч., т. 1, стр. 813.
s) M. Я. В ы год с к и й, цпт. соч., стр. 20—28.
or. АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АЕУ-Л-ВХФЫ
283
них они имели особые слова и знаки1). В самых древних ин-
дийских сочинениях мы находим аликвотные дроби и
«соединенные» дроби, а также вычисления с ними2).
Cv-мерпнцы до того, как у них окончательно утверди-
лись шестпдесятерпчиые дроби fпричем тогда остались
_ 1 1 2 \
особые знаки для -тг, -х-, -у ),пользовалпсьалпквотпымп
дробями, что засвидетельствовано в хозяйственных тек-
стах князей Лугульаида и Урукагина из Лагаша (3000 г. до
н. э.)3). В договорах времен Селевкпдов, найденных в Уру-
ке, находим выражения: “ + |, | + ^ + (й’;Ю + т +
части дня; в одном пз документов находим выражение
.. 1 3
«половина трехчастеп дня»4), то есть у — Дня.
В задачах 1—1J четвертой книги китайской «Матема-
тики в девяти книгах» (263 г.) определяется длина поля с
единичной площадью по его ширине 1-J-у + ••• +-у
где п — 1, 2, 3, ...,125).
Древнееврейский язык обнаруживает большое сходство
с арабским в отношении способов выражения дробей6).
С аликвотными и «соединенными» дробями мы встре-
чаемся в античном Риме и в древнерусских источниках7).
*) If. Hankel, Geschichte der Mathematik in Altertuin und
Mittelalter, Leipzig, 1874. стр. 63.
2) Cm. a) J.Tropfke, цит. соч., т. I, стр. to9; б) M. С a n-
1 ° г, цит. соч., т. I, стр. 640, 612, 643; в) В. D a t t a and
A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, Part 1, Lahore,
1935, стр. 185.
s) J.Tropfke, цит. соч., т. I, стр. 152.
*) F. Th urea u-D a n g i n, History of the sexagesimal sys-
tem, Osiris, t. 7, 1939, стр. 1O9—110.
4) «Математика в девяти книгах», перевод Э. И. Березкиной,
Историко-математические исследования, вып. X, 1957, стр. 463—168.
_ *) М i s с h n a t h Н а-М m i d d о t h, Abhandlungen zur
Leschichte der Mathematik, Drittes Heft, Leipzig, 1880, примеча-
Ипе 1 на стр. 17 и примечание 2 иа стр. 20. Интересно было бы ис-
следовать с этой точки зрения другие семитические языки.
) И. Г. Б а ш м а к о в а и А. 11. Ю ш к е в и ч, Происхожде
иие систем счисления. Энциклопедия элементарной математики,
М., 1951, стр. 62-65.
284
M. И. МЕДОВОЙ
Объяснить все эти факты одним египетским влиянием
вряд ли возможно. Гораздо естественнее принять наличие
общей закономерности, состоящей в том, что развитие по-
нятия дроби у большинства пародов шло по пути первона-
чального создания той пли иной совокупности узловых
дробей, большей частью аликвотных; одни народы, на-
пример индийцы, китайцы и вавилоняне, райо перешли к
более совершенным системам дробей; у других же, как у
древних египтян и арабов, традиция оказалась настолько
сильной, что по мере расширения вычислений другие дроби
стали выражаться через узловые дроби. Конечно, заим-
ствование одним народом системы дробей у другого в
принципе не исключается, но оно должно быть доказано
фактами.
Отметим еще, что каноническое разложение дробен на-
ложило свой отпечаток па арифметические действия с дро-
бями, о чем подробнее мы скажем далее.
4
Проследим в общих чертах за дальнейшей судьбой
арабского канонического разложения дробей.
Для последующего развития арифметики обыкновенных
дробей каноническое разложение, несомненно, было вред-
ной традицией. Много лишнего труда затрачивалось на
нахождение «более красивого» разложения, а привиле-
гированное положение одних дробей п пренебрежение дру-
гими препятствовало развитию и распространению общего
понятия обыкновенной дроби. Каноническое разложение
мешало распространению среди писцов и вычислителей
индийских способов действий с дробями, основанных
- ' т - _
как раз на оощем понятии дроои — как «г» частей из п
частей»1).
Так, по свидетельству Абу-л-Вафы, писцы считали та-
кие дроби «безобразными» и всячески избегали их. То же
самое говорит ал-Кархп: «Зпатокн советуют применять
эти дроби [идет речь о канонических дробях.—
*) В. Datta and A. N. Singh, цит. соч., стр. 185—186.
ОЕ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
285
н ничего не хотят знать чб обозначении каждой дроби одним
названием, потому что то [т. е. каноническое разложение.—
Д/..V.) нагляднее для понимания»1). Ал-Каши (XV в.)
также свидетельствует о том, что в его время были
вычислители, которые не пользовались обыкновенными
дробями2).
Неудивительно, что и после Абу-л-Вафы появляются
сочинения, в которых излагаются наряду с другими во-
просами приемы вычислений с каноническими дробями.
Поскольку одной из отличительных черт арабских кано-
нических дробей является их запись словами, то подобные
сочинения характеризуются отсутствием цифровых запи-
сей чисел.
Одним из таких сочинений является упомянутая уже
книга ал-Кархи (начало XI в.), с содержанием которой мы
познакомимся подробнее далее. Ф. Вёпке сообщает об
очень сходном по содержанию с сочинением Абу-л-Вафы
трактате «Китаб ат хави» (1333 г.), автор которого ссы-
лается па Абу-л-Вафу и ал-Кархи и также записывает
все числа словами. Он же указывает, что сочипеппя, в кото-
рых числа записываются без применения цифр, встречаются
в XV и XVI вв., причем одна копня такого сочинения дати-
рована 1693 г.8).
О силе традиции канонического разложения дробей
говорит его применение некоторыми авторами, излагаю-
щими «индийские способы» действии с дробями. Так, ан-
Насави (XI в.), знакомя читателя в трактате «Достаточное
об индийской арифметике» с индийским способом обо-
значения дробей и действий с ними, всюду наряду с цифро-
вой записью дает словесную и примерно в половине слу-
чаев окончательный результат действии с дробями пред-
ставляет в каноническом виде, записывая дроби словами4),
чего индийцы не делали.
Интересно также отметить, что в трактате ап-Пасавп
нет ни одного примера па действия с «невыразимыми»
') A. Hochheim, цпт. перевод, стр. 21—24 первого вы-
*) Ал Каши, цпт. соч., стр. 46.
8) F. W о е р с k е, Sur 1’introduclion..., стр. 53—55.
*) Лейденская рукопись трактата ан-Пасави № 556/6.
286
М. И. МЕДОВОП
дробями: начальными данными всех примеров на действия
с дробями являются канонические дроби.
У а.т-Хассара (XII в.) снова появляются канонические
дроби и разложения:
• -L —2_- L—
15 3 5’ 15 5 3 5 ’
11_Ал_АЛ- L = _L±J_
15 — 5 + 5 ‘ 3 ’ 96 — 2 ' 6'8 *
а также говорится о невыразимых дробях и дробях от
дробен *).
В арифметической работе западно-арабского матема-
тика ал-Каласадп (XV в.) мы опять встречаем действие
«отнесения» мепыпего числа к большему:
19:35 = (15 + 4):35 = у+44 .
17: 144 = (74 + 1): + J-, I
19в:ЗИ_196:(5 7.|1)-1 + |.± + 44Д,
причем результаты выражены словами, а затем дается
цифровая запись* 2). Между тем ио существу эти разложения
излишни, так как если можно сказать и записать «пять
частей из одиннадцати», то можно сказать и записать -гг? 11
141
196
385
и т. п.
У Бехаэдднна мы находим следующую классификацию
дробей:
«Далее, дробь является или выразимой (маптак), и это
девять известных дробей, или невыразимой (асамм),
выговаривание которой возможно лишь с помощью час-
тей. Далее, каждая нз них является пли простой, как
треть, часть из одиннадцати, пли многократной, как две
*) II. Suter, Das Rechenbuch des Abu Zakarija el-IIassar,
Bibliotheca Mathematica, 2(3), 1901, стр. 19—20 n 24.
2) F. W о e p c k e, Traduction du Traite d’Arithmetique
d'Aboiil Hawaii Ali ben Muhammed Alcala<,*adi, Atti dell' Academia
Ponlificia de Nuovi I.incei, Rome, 1859,’ стр. 22—23.
or. АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АПУ-Л-ВАФЫ
287
трети, две части из одиннадцати, или соединенной
(мудаф), как половина шестой, часть нз одиннадцати от
части из тринадцати, или сложной, как половина и треть,
часть из одиннадцати н часть нз тринадцати»1).
Как видим, в этой классификации снова появляются
главные, однородно-составные и разнородно-состав-
ные дроби, а также соединенные н невыразимые дроби.
Разница в том, что В \ юдднн, пользующийся индийскими
цифровыми обозначениями, распространяет «составление»
и «соединение» дробей на невыразимые дроби. Бехаэдднн
не дает никаких правил д 1я разложения дробей, однако
в одном месте2) мы встречаем следующее разложение, запи-
санное словами:
4 ‘ 7 2 + 4 ’ 7 •
1ут же говорится, что при умножении дроби у на дрооь
~ произведение ас следует отнести к произведению bd,
т. е. отношение ас : bd следует представить в канониче-
ском виде, как в только что приведенном примере.
На основании изложенного мы приходим к следующему
выводу: в то время как в европейских странах индийские
дроби быстро вытеснили разложения на основные дроби3),
в арабоязычиых странах арабские дроби и разложение
отношений еще долгое время продолжали существовать
наряду с индийскими дробями. Если учесть, что сочинение
Бехаэддипа служило учебным пособием для преподава-
ния математики в школах Пндустапа и Персии еще в пер-
вой четверти прошлого века, то можно сказать, что лишь
в новое время обыкновенные дроби окончательно вытес-
нили традиционные арабские дроби.
Перейдем теперь к изложению н анализу второй сту-
пени трактата Абу-л-Вафы.
*) G.II.F.Nesselmann, цит. соч., стр. 17 арабского текста.
2) Там же, стр. 21.
3) По имеющимся свечениям, после Леонардо Пизанского пра-
вила для ра мощения на основные дроби даются еще в одной руко-
ппсп середины XIV в. См. К. Vogel, цит. соч., стр. 193.
28К
М. И. МЕДОВОЙ
5
В этом параграфе мы рассмотрим обоснование действий
умножения н деления рациональных чисел у Лбу-л-Вафы.
Дело в том, что хотя Лбу-л Вафы в предисловии к книге
пишет, что для краткости опускает доказательства, тем
не мепео на основании многих его замечаний и разъяс-
нений можно реконструировать ход его мыслей при обос-
новании действий умножения и деления дробей.
1-я глава второй ступени, озаглавленная «О смысле
умножения и деления и различения их видов» 1), начинается
с определения умножения. Ссылаясь на 7-ю книгу «Начал»
Евклида и на «Арифметику» Пякомаха из Геразы, Лбу-л-
Вафа определяет умножение как «повторение одного числа
по котпчеству единиц другого числа» (Л. р., л. 29) и тут
же па примере умножения 9 па 7 обращает внимание чи-
тателя на коммутативность умножения. Однако Лбу-л-
Вафа пе ограничивается одним этим определением. Он
пишет:
«Смысл выражения «семью девять» следующий. Если
у одного есть семь, сколько будет у девяти? и если у
одного есть девять, сколько будет у семи? В обоих слу-
чаях — шестьдесят три. По той же причине половина,
помноженная на треть, будет шестая. Действительно, мы
скажем: если у целого есть половина, сколько будет
у трети? Будет шестая. II если у целого есть треть, ско 1ько
будет у половины? Опять будет шестая... Если цепа платья
половина динара, сколько б>дет цена трети платья? Будет
шестая динара... По той же причине единица, помножен-
ная па единицу, будет единица» (Л. р., л. 29 об.).
Этим доводом Лбу-л-Вафа заменяет рассуждения вычис-
лителей, пояснявших равенства вроде 1-1 = 1, 2-2=4,
3-3=9 тем, что при пересечении двух, четырех, шести
липни получается 1, 4, 9 узлов. Такое рассуждение, гово-
рит Лбу-л-Вафа, распространяется на любые целые числа,
но не на дроби (Л. р., л. 29 об.).
*) Под «разлпченпем пх видов» Абу-л-Вафа пмеет в виду j мпо-
жепие и деление «целых па целые», «целых на дрэби», «целых с дро-
бями иа целые» и т. д.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
289
Пам кажется, что, говоря о «причине», по которой
«половина, помноженная на треть, будет шестая», Абу-л-
Вафа скорее всего имеет в виду пропорциональность чисел:
если а н Р — рациональные числа, то под их произволе
пнем он понимает число х, удовлетворяющее пропорции
1 : а=Р : х. Но для сведения умножения дробей к пропор-
ции нужно знать, что следует понимать под отношепием
дробен. Поскольку дроби в ту эпоху мыслились как собра-
- т
ння единиц низшего порядка, то дрооь — выражается
целым числом т, еслц единицу уменьшить в п раз. Две
дроои — и представляются целыми числами mq и рп,
если ввести новую единицу, в nq раз меньшую старой еди-
ницы. Поэтому естествепно было считать отношение дро-
бик дроби у равным отношению mq : рп1). Нрп таком
понимании отпошеппя дробей легко показать, что пропз-
ведение дрооен — и у равно дроои .
Переходя к делению, Абу-л-Вафа пишет (Л. р., л. 30):
«Что касается деления, то ни один из предшественников
не упомянул о нем; самое большее, что они говорили о нем,
это то, что оно обратно умножению»2).
Далее Абу-л-Вафа определяет деление. Деление «это
разделение одного из двух чисел по количеству единиц
другого, т. е. разделение делимого [на части] по количеству
единиц делителя» (Л. р., л. 30).
Пак и в случае умножения, Абу-л-Вафа истолковывает
«смысл деления» так, чтобы его можно было распростра-
нить также на деление дробей (Л. р., л. 30).
*) Характерно с этой точки зрения выражение «сделать дроби
однородными», фигурирующее в правиле для деления дробен.
См. ниже, стр. 299.
2) Учитывая, что немного далее Абу-л-Вафа упоминает имя
ал-Хорезми и что в одном месте арифметического трактата этого по-
следнего говорится: «Деление подобно умножению, но ему обратно;
почему в делении вычитаем, а там складываем»,— можно предполо-
жить, что вторая половина цитированной только что фразы относит-
ся именно к ал-Хорезми. См. В. В oncom pagni, Trattati
o’aritmetica, Borne, 1857, стр. 14.
19 ПСтор.-матем. исслед., вып. XIII
29(1
М. II. МЕДОВО»
«Искомое [в умножении.—Л/.Л/.1 — то, что соот-
ветствует одному из двух [перемножаемых] чисел, а ис-
комое в делении — то, что соответствует единице. Поэтому
нз того, что мы изложили, ясно, что деление обратно умно-
жению. Кто определяет смысл деления так, как мы ука-
зали, тот определяет его также для деления дробей па
дроби и другие»1).
По-впдпмому, Лбу-л-Вафа впервые дает единые опреде-
ления умножения и деления как для целых чисел, так
и для дробных. Дтя Абу-л-Вафы как единица, так п дроби
являются числами, равноправным!* с остальными целыми
(положительными) числами: он пе только проп «водит
над ними арифметические операции (сложение, вычитание,
умножение н деление), но считает нужным обосновывать
атн действия.
Интересно, что Лбу-л-Вафа пе определяет сумму и раз-
ность дробей, а ограничивается лишь правилами их сло-
жения и вычитания путем приведения к наименьшему
общему знаменателю (приведение к общему знаменателю
называлось «сделать дроби из одного рода»). По всей
вероятности, Лбу-л-Вафа считал, что понятие суммы п раз-
ности собраний «однородных» единиц низшего порядка
ясно само по себе.
б
Остальные главы второй ступени посвящены технике
арифметических действий с целыми числами и дробями.
Во 2-й главе идет речь о практических приемах умно-
жения н деления целых чисел. Начинается опа с изло-
жения основ системы счисления в арабском языке2).
Упомянув, что «о началах чисел, их строении п их
разрядах» он подробнее рассказал в своих комментариях
к книге ал-Хорезми об алгебре и алмукабуле, Абу-л-
*) Деление «дробей... па другие» следует понимать в смысле
деления дробей па целые и яа «целые с дробями».
2) Система нумерации в арабском языке — десятичная; узло-
выми числами в ту эпоху являлись один, два, .... десять, сто и тыся-
ча. Миллион назывался тысяча тысяч, миллиард — тысяча тысяч
тысяч и т. д.
ОГ. АРИФМЕТИЧЕСКОМ TP АКТ VTE АВУ-Л-ВАФЫ
29 f
Вафа пишет, что существуют три «разряда» («марйтиб») —
единицы, десятки и сотни, состоящие каждый пз девяти
«узлов» («’акд»)1). «Разряды» чередуются по три, так что
тысячи заменяют единицы, десятки тысяч — десятки
и т. д. до бесконечности. Автор обращает внимание па то,
что тысячи не являются четвертым «разрядом», как думают
многие вычислители2).
Далее Абу-л-Вафа подробно останавливается па умно-
жении и делении «разрядов» друг па друга. Например,
нрн умножении «разряда» сотен на «разряд» десятков тысяч
получается «раиряд» тысяч тысяч: при делении тысяч тысяч
па сотни получаются десятки тысяч, а при делении сотен
на тысячи тысяч получается «разряд», каждая единица
которого есть десятая десятой десятой десятой единицы.
Показав, как умножаются и делятся «один единицы раз-
рядов» друг на друга ^так,(9000-50) = (9 • 5) -(1000-10);
7000 : 300= (7 : 3)-(1000: 100) = 2~ Ю = 23-J-Y Абу-л-
Вафа переходит к умпоженпю многозначных целых чисел.
«Когда разрядов много и нельзя выполнить его (т. е.
умножение.— М.М.) рукой, то имеются два способа для
этого. Один их них применяется писцами в налоговых
ведомостях, по порядок этого способа ускользнул из их
рук» (Л. р., л. 39). Во избежание ошибок Абу-л-Вафа
рекомендует умножение по «способу писцов» осуществлять
в определенном порядке. В чем состоял этот способ,
впдно из примера умножения 7856 на 3495 (Л. р., л. 39 об.
н 40). Сначала 7000 умножается последовательно на 3000,
400, 90 п 5 и результаты записываются в таблице:
21 тысяча тысяч 800 тысяч 30 тысяч 5 тысяч
2 тысячи тысяч 600 тысяч 30 тысяч
1) Леонардо Пизанский в одном месте Liber \baci обозначает
то же самое понятие (единицы разряда) словом nodus, являющимся
переводом слова «’акд». См. М. Cantor, цит. соч., т. II, 1913,
стр. 8.
!) Возможно, что тут мы сталкиваемся с отголоском тетрад
Аполлония. В арабском языке пет специального слова для десяти
тысяч, поэтому классификация «разрядов» Абу-л-Вафы является
более естественной.
292
М. И. МЕДОВОЙ
Затем на те же множители последовательно умножаются
800, 50 и 6 и результаты добавляются к предыдущим,
так что окончательно получается следующая таблица:
21 тысяча тысяч 800 тысяч 30 тысяч 5 тысяч 500 50
2 » » 600 » 30 » 2 » 21)0 io
2 » » 400 » 20 » 4 » 400 300 » 70 » 4 » 500 1 00 » 50 » 8 » 20 » 2 » 10 » 30
Затем все числа складываются поразрядно. Окончательный
результат 27 456 720.
Так как этот способ мало эффективен, то Абу-л-Вафа
предлагает другой,«более быстрый и красивый» (Л. р.,
л. 39 об.): «Второй способ можно применять в астрономи-
ческих действиях, в налоговом деле п в ведомствах, когда
нельзя выполнить умножение рукой и в уме»1).
Приведем следующий пример (К. р., л. 66 об.), заменив
слова цифрами (заметим, что в оригинале порядок записи
столбцов обратный, т. е. высплю разряды пишутся справа,
а низшие слева):
8529
63 784
48 24 56 64 32
30 15 35 40 20
12 6 14 16 8
54 27 63 72 36
Десятки разрядов, прибавляемые к следующему раз-
ряду:
5 6 1U 17 12 10 8 3
Результат умножения:
5 44-137 3 6
>) Последние слова скорее всего относятся к подсчетам на паль-
цах с удержанием промежуточных результатов в уме (известно, что
для осуществления простейших арифметических расчетов арабские
чиновники пользовались пальцами обепх рук).
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
293
Чтобы получить окончите «ьпый результат, «склады-
ваем то, что в каждом разряде этой таблицы, записываем
в этом разряде единицы, а десятки делаем единицами,
сотни—десятками и прибавляем к следующему разряду»
(Л. р., л. 42 об.). Если же «в каком-либо разряде не будет
числа, то сделаем прочерк, как это делают писцы в своих
расчетах, когда место в расчете пусто, чтобы сохранить
разряды и не пропустить пх и пе перепутать» (Л. р.,л. 41).
Абу-л-Вафа формулирует также правило, согласно
которому число разрядов произведения равно сумме
разрядов сомножителей или па единицу меньше.
Заметим, что этот способ умножения является незна-
чительным видоизменением приема, который мы находим
у ал-Хорезми1). Этот способ назывался иа арабском Вос-
токе «знаменитым» в рекомендовался арабскими арифме-
тиками для предупреждения ошибок в вычислениях2).
Раздел, посвященный умножению целых чисел, Абу-л-
Вафа закапчивает так:
«Тот, кто будет соблюдать точность в этом виде умно-
жения. пе будет нуждаться в том, па что опирались ин-
дийцы, и своих астрономических Действиях3), когда нельзя
было пх выполнять рукой и в уме; им было легче поступать
так вследствие употребзепия доски с пылью в стиля; но
не в каждом месте можно найти доску и пыль и ие
каждый человек искусен в этом [способе], а то, что мы
изложили, избавляет от всего этого» (Л. р., л. 43).
Излагая деление «многоразрядных» чпсел друг иа друга,
Абу-л-Вафа опять приводит дна способа: способ писцов и
«быстрый способ». Способ писцов состоял в следующем.
При делении (Л. р., л. 46 и 46 об.) 83 748 на 384 ищут
«разряд», па который нужно умножить 384. Таким «раз-
рядом» является сто, после умножения на которое полу-
чается 38 400. Затем «ищем число такое, что если умножить
иа него, получаем [число] восемьдесят тысяч или близкое
’) F. W о е р с k е, Sur I'introduction..., стр. 22.
2) Н. Юсупов. Очерки по истории развития арифметики
ча Ближнем Востоке, Казань, 1932, стр. 43 и 110.
*) Абу-л-Вафа имеет в виду индийские способы вычислений иа
покрытой пылью пли песком доске, на которой писали заостренной
палочкой — стилем.
29',
М. II. МЕДОВОП
к нему, это два». После умножения 38 400 на 2 н вычитания
нз 83 748 остается 6948. «Умножаем триста восемьдесят
четыре на десять, потому что мы умножили сперва на сто»,
получается 3840; последнее число умножается на 1. потому
что «два раза оно пе входит», и вычитается из 6948; оста-
ток будет 3108 и т. д. Последний остаток 36 Абу-л-Вафа
«относит» к 384, «получается половина шестой и половина
шестой восьмой, и если хотим, скажем: половина восьмой
и четверть восьмой, и это красивее» (Л. р., л. 46 об.).
Окончательно получается 218 иД- • — и 4- - 4- .
- - о 4 о
Поясним «быстрый способ» на примере деления 340 956
на 945. Запись производится так (Л. р., л. 47 об. и 48;
слова заменены цифрами):
3 4—9 5 6
9 4 5
Девять записано иод четырьмя, потому что 9<3. Далее
3409 делится на 945, получается 3; число 3 записывается
под 945 и умножается на него. Получается следующая
запись:
3 4 — 9 5 6 1 3 —то, чго получается
9 4 5 от деления.
3
2 8 3 5 |
После вычитания 2835 из 3409 остаток 57 456 вместе с
делителем снова записывается в двух строках, а число 3
записывается в стороне. Деление продолжается до полу-
чения остатка 756, отношение которого к 945 равно 4- .
Окончательный результат 360 и -у.
Отметим следующие особенности 2-й главы. Во-первых,
Абу-л-Вафа излагает умножение и деление целых чисел, не
рассматривая предварительно их сложения и вычитания1).
Во-вторых, Абу-л-Вафа совершенно не упоминает дей< твпп
*) Так поступали после Лбу-л-Вафы п другие ученые, например
ал-Кархи, Шарафудтип ал-Таиби. См. II. Юсупов, цит. соч.,
стр. 104.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБА-Л-ВАФЫ
293
удвоения и раздвоения1), что вполне естественно, если
учесть его общий подход к умножению и делению. В-треть-
iix. здесь отсутствуют приемы проверки девяткой и т.п.,
часто приводившиеся средневековыми авторами. Объяс-
няется это тем, что Абу-л-Вафа считал (Л. р., л. 43) изло-
женные им способы, особенно «быстрые способы», доста-
точно надежными и легкими.
7
3-я глава второй ступени посвящена нахождению
пап меиыпего общего кратного, а также сложению и
вычитанию дробей.
Предварительно Абу-л-Вафа излагает алгоритм Евкли-
да, заменяя процесс последовательного взаимного вычи-
тания взаимным делением чисел. Затех! автор показывает
па многочисленных примерах, как найти общие делители —
«общие дробные части», как он выражается,— двух п
нескольких чисел, а также наименьшее общее кратное нес-
кольких* чисел, выступающее у пего как «папмепыпее чис-
ло, из которого получаются такие-то дробные числа».
Так. для «нахождения числа, у которого есть все девять
дробных частей» Абу-л-Вафа имеет в виду '
можно поступать следующим образом.
«Мы уже знаем, что половина и четверть входят в
восьмую и что треть входит в девятую, что шестая состав-
лева из половины и трети и что десятая составлена из
половины и пятой: остаются четыре числа, не имеющих
оощих дробных частей: пять, семь, восемь, девять. Если
их перемножить между собой, будет две тысячи пятьсот
двадцать — число, из которого получаются все девять
дробных частей» (Л. р., л. 52 об.).
Теперь ясно, каким образом Абу-л-Вафа складывает
Дроби:
«Если хотим сложить дроби, *берем соответствующие
Дробные части от числа, из которого получаются эти
’) Ал-Хорезмн, ан-lБк-апп п a.i-liamn рассматривают отдельно
>ти действия.
296
М. И. МЕДОВОЙ
дробные части, складываем пх и относим к этому числу»
(Л. р., л. 53).
Подобным же образом вычитаются дроби. Например:
4+4+44-(472+472+4472>72- 1
-97:72-1 + 4 + 44.
2,35 <2 3 4\_9 105 . 688 _
3 + 4 + 8 < •> + 7 Т !» J ~ - 2520 2520
-19.37:2.-,2O-I + ++ 1.+ .±.
Таким образом, Абу-л-Вафа (задолго до Леонардо
Пизанского) при сложении и вычитании дробен система-
тически приводил пх к наименьшему общему знамена-
телю.
Кроме указанного способа сложения и вычитания дро-
бен, Лбу-л-Вафа приводит соответствующие способы пис-
цов, состоящие в 60-кратном увеличении слагаемых и
вычитаемых и в сложении или вычитании полученных
чисел с последующим отнесением результата к 60. На-
прпмер (Л. р., л. 54), при сложении и писцы
складывали 45,37-^-, 26-^-и получали число 109^-, отпо-
2 о о
incline которого к 60 давало
,+4+4+1+4
Способ писцов, как легко видеть, тесно связан с при
емамп канонического разложения дробей. Он напоминает
древнеегипетские способы сложения и вычитания дробей
в том отношении, что «дополнительные множители»,
вообще говоря, не являются целыми числами1). Однако,
в то время как древнеегипетские писцы в качестве «общего
знаменателя» выбирали различные числа, арабские писцы
в качестве такового избирали число 60.
’) М. Я. В ы г о д с к и и, цит. соч., стр. 28—32.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВЛФЫ
297
8
Следующие три главы второй ступени посвящены умно-
жению и делению дробен. 4-я глава интересна тем, чта
наряду е абсолютными дробями («мутлак») появляются
н «относительные» дроби («мансуб»), под которыми Абу-л-
Вафа понимает различные подразделения денежных еди-
ниц (диргема и динара), имевшие хождение в странах Ближ-
него Востока в ту эпоху. Для понимания действий с ними
укажем некоторые соотношения между денежными едини-
цами, приводимые нашим автором в начале 4-й главы.
Во всех странах арабского Востока:
1 дпргем = 6 дангам = 60 аширам1).
В Ираке, районах Ахваза и нахнях2) Персии:
1 диргем=48 хаббам3) = 60 аширам = 06 фулсам.
В Сирии и вахнях Хорасана:
1 диргем = 24 тасуджам = 36 хаббам.
В Хузистане:
1 хабба = \ туманам; 1 диргем=192 туманам.
В Багдаде:
1 диргем= 12 каратам.
В нахнях Сувейда (?) (савад4):
1 динар = 6 дангам = 20 каратам = 72 хаббам (в каирской
рукописи = 60 хаббам).
4 - 5
1 золотая иасрская хаооа = диргема.
1 серебряная иракская хабба — хорасанской хаббы.
иракской хаббы.
1 золотая багдадская хабба = серебряной
багдадской хаббы.
’) Слово «агаир» означает «десятая часть» (1 агппр=-^ дапга).
*) Вахня — административная единица.
3) «Хабба» означает «зерно». По-видимому, говоря о хаббе,
Абу-л-Вафа имеет в виду серебряную хаббу.
4) Ф. Вёпке считает, что речь идет о территориях Басры и Куфы.
298
М. И. МЕДОВОЙ
1 серебряная басрская илп персидская хабба = 1 + у .
золотой басрской хаббы.
1 басрскпй дпргем = 48 серебряным хаббам = 50^-
золотой басрской хаббы.
1 золотая багдадская хабба—1 -f-серебряного баг ад-
ского аншра.
1 золотая басрская хабба = 0+4+4 -4) серебря-
ного басрского аншра.
> динар = 24 золотым басрским, ахвазским и персидским
каратам = 20 золотым багдадским каратам.
1 динар = 60 золотым багдадским хаббам = 72 золотым
басрским хаббам.
1 золотой багдадский карат=3 золотым багдадским хаббам.
1 золотой басрским карат=3 золотым басрским хаббам.
Далее Абу-л-Вафа дает правило для умножения аб-
солютных дробей: «Если хотим умножить дробь па дробь,
умножаем число частей одной стороны па число частей
другой стороны и результат относим к произведению
знаменателя («махрадж») одной дроби на знаменатель
другой» (Л. р., л. 56 об. и 57).
Абу-л-Вафа учит также умножению дробей ио способу
писцов (Л. р.. л. 57 об. и 58):
«Самое выгодное при умножении этих дробей (т..е. аб
солютных.—Л/. Л/.) для опытного в шестпдесятичном отно-
шении — превратить одну их них в ашпры, взять от
этого дробные части, соответствующие второй дроби, и
результат отнести к шестидесяти». Например:
(4+4)(4+4>[<:!0+2<’>(4+4)]:в0”
“(T-50+4-i0);GO=2:i4:(i0“4+4-
Затем Абу-л-Вафа показывает, как следует умножать
«относительные» дроби. Так, при умножении 4 дангов
па 3 серебряные иракские хаббы 4 умножается па 3.
получается 12. «Принимаем каждые шесть за серебряную
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
299
хаббу или каждые сорок восемь за данг, и если хаббы —
иракские, получается две хаббы...» (Л. р., л. 59). Напом-
ним, чтоданг = -4днргема — единицы, а хабба иракская =
= дпргема:
4 3 12 „ 12
-6-48= 6 Хаобы = 48 ДаНга-
Переходя к делению, Лбу-л-Вафа различает случай
«однородных» дробей (с общим знаменателем) и случаи
«неоднородных» дробей. «Однородные» дроби делятся,
«как если бы они были целыми числами» (Л. р., л. 60),
«неоднородные» же дроби сначала превращаются в «одно-
родные». Так (Л. р., л. 60, 60 об. и 61):
—= 8- ° = 4
9'9 ’
(тЧХт+т)“<5-28’:<1,'6>-2+®-
При делении «относительных» дробей последние также пре-
вращаются в «однородные» дроби — в данном случае
в одноименные дроби (Л. р., л. 61 об.): (3 золотых багдад-
ских карата+ 1 золотая багдадская хабба): 2 басрскпх
карата (золотых) = 10 золотых багдадских хабб: 6 басрскпх
хабб = (10 + 4- К)} золотых басрскпх хабб:6 басрскпх
хабб = 2.
«Однако самое выгодное во всем, что мы упомянули
«б умножении и делении Относительных] дробей, это
отнесение к дпргему и умножение 1пли деление], чтобы
Для вычислителя не было такого разнообразия в странах и
чтобы ему было легче» (Л. р., л. 62).
Иначе говоря, Абу-л-Вафа рекомендует относительные
Дроби превратить в абсолютные. Например (Л. р., л. 62):
3 золотых хаббы басрскпх X i золотых хаббы багдад-
с«нх = 72динара X ^динара = 4- • (динар, как
и диргем, считался равным 1).
В 5-й и 6-й главах Абу-л-Вафа рассматривает умноже-
ние и деление целых чисел на дроби и дробей па целые числа.
300
м. и. медовой
а также умножение и деление «видов составных», т. е.
«целых с дробями» на «целые с дробями»1).
В следующих примерах (Л. р., л. 63 и 63 об.,64и 64 об.)
двоеточие означает всюду деление (арабские авторы обычно
называли делением лишь деление большего числа на мень-
шее, деление же меньшего числа на большее называлось
♦отнесением»):
17: (т+т) - <|7Л2>: 7 - 2!,4 А• 6=4: (,3-,;>-я •
(11+4).4-4.11+44-1б4,
(||+4.+ 1):24_11:24 + (4 + 1):24;
.. ... II 1,1
деление 11 на 24 дает — и -g-, а деление -т- + -б- на
о О 4 О
III 111
дает -тг'к""а 11 I затем последние два результата
О о л* О У
складываются2), и окончатстьньш 'результат равен -i-
11111
11 9 П 2 ’ 6 “ 4 ' 8 •
Этот пример интересен тем, что Абу-л-Вафа сначала
разлагает промежуточные результаты на канонические
дроби, затем их складывает п снова разлагает (при этом
он получает «более красивое» разложение). Если бы Абу-л-
Вафа сражу разложил ^11: 24 по правилам пер-
вой ступени, то оп нашел бы результат быстрее. Одиако в
других примерах Абу-л-Вафа сначала производитсложение,
а потом умножение пли деление (Л. р., л. 64 об., 65, 65 об.
и 66 об.):
|3;(2 + 4)=7;Т-91:18 = 5+4-5-’
*) Напомним, что под «дробью» Абу-л-Вафа понимает лишь
правильную дробь.
*) Сложение опускается Абу-л-Вафой, дается лпшь окончатель-
ный результат.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
31)1
-:(3+т)=й:^=15:126=т4+44’
/ О у ОЭ оЭ Z / о /
(23 + 4) (2 + 4) - «66:18-9+1+44.
В заключение отметим следующее. Во-первых, спосо-
бы действий с «относительными» дробями следует отнести
к «способам писцов»1), так как эти приемы тесно связаны
между собой (заметим, что результаты действий с абсо-
лютными дробями по способу писцов Абу-л-Вафа очень
часто выражает не только в абсолютных дробях, но и в
относительных). Во-вторых, способы действий с дробями,
которым Лбу-л-Вафа отдает явное предпочтение, сов-
падают — если отвлечься от традиционного каноничес-
кого разложения окончательных результатов — с индий-
скими методами. Чрезвычайно любопытно, что аи-11асави,
излагающий в своем трактате «индийские способы» дей-
ствий с дробями, не приводит ни одного примера с «невы-
разимыми» дробями, в то время как Лбу-л-Вафа, излагая
какой-нибудь «впд» умножения пли деления, всегда вклю-
чает и такие примеры.
Последняя 7-я глава второй ступени посвящена пра-
вилам сокращенного умножения и деления.
Первое правило таково (JI. р., л. 66 об.):
m(5-10h) = ^-10h’1.
Следующее правило можно записать так: если п=а-10’1,
где а—некоторая дробь, то т-п—(та)-10*. Например
(Л. р., л. 67):
(831+25)-[(831).!].1000-
-[125.(1+4)].100-104161.
’) Ал-Кашн пишет: «Пользующиеся „сийаком", занимающиеся
с; тками и большинство народа обычно применяют эти дроби».
См. А л-К а ш и, цит. соч., стр. 71, а также стр. 73 и 74.
302
М. И. МЕДОВОЙ
Если же п= 10h4-a- 10h,то т-п=(т + а.от)-10*. Например
(Л. р., .т. 67 об.):
[32|+(52|).|]. 100-6750.
«Если хотим у множить любое число на то, что больше
или меньше вышеупомянутых чисел на единицу, то сле-
дуем по указанному пути и вычитаем это число пз полу-
ченного, если оно меньше, и прибавляем его, если оно
больше» (Л. р., л. 67 об.). Иначе говоря: т (и±1)=- тп±т,
где и — число, о котором речь идет в предыдущих прави-
лах. Так (Л. р., л. 67 об.):
24-344 = ^-Зз4- + 24 = Г 24- НЮ + 24 = 824.
о о о у
Далее Абу-л-Вафа излагает следующие правила «со-
кращенного умножения» двух двузначных чисел (Л. р.,
л. 68 и 68 об.):
(10a + b) (10c+d)= [-Jd + ClOa + i)] Юс+М,
(10a + 0 (10a + с) = (lUa -|- Ь + с) Юа + be.
Если »?=Юа—b н n = 10a—с — два двузначных числа
с одинаковым числом десятков, то zwn=(10a—b—с)10а-|-
-|- Ьс. Обобщая это правило па случай однозначных чисел
(а=1), Абу’-л-Вафа вводит отрицательные числа, когда
10<й4-с1).
В последних разделах 7-й главы Абу-л-Вафа излагает
сокращенные действия с дробями п сокращенные способы
деления.
Говоря об умножении дробей, Абу-л-Вафа рекомендует
сначала сокращать дроби. Например (Л. р., л. 69 об.),
прп умножении 4о па у он «оерет» — от 4э и затем умно-
*) Подробнее об этом см. мою статью «Об одном случае приме-
нения отрицательных чисел у Абу-л-Вафы», Историко-математиче-
ские исследования, вып. XI, 1958.
ОВ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБА-Л-ВАФЫ ЗОЛ
Яч-ает 5 на 4. Другой пример (J1. р., л. 70):
ОЧХ'ЧХ1*!)- •0+й)-
Правила сокращенного деления выглядят так. Если
w = a-10ft, то т:п=-^-~. Например (.1. р., л. 70 об.):
. < 2 53000 3 «-ли ! 1 -чл -о-
оЗ UOO : Ь(>-^ = -ттит- • -к- = оЗО + • оЗО = / 9о.
Если и = 10* + //, то т: п = . Например
(.1. р., л. 71):
О
66 3 2
89500:166-=- = 895- 895-4- = 895 - -=--895 = 537.
3 166-А
О
Последнее правило гласит:
(т.10*):п = ~10*.
Иаирпмер (JI. р., л. 71 об.):
4500: 135 =— • 100 = 33.’ .
О •*
10
Почему ;ке Абу-л-Вафа и многие другие арабоязычиые
математики не пользовались в своих арифметических про-
изведениях индийскими цифрами? Выше мы уже говорили
о том, что трактаты, в которых числа записывались сло-
вами, встречаются вплоть до конца XVII в.
Некоторые историки математики считали, что про-
изведения, в которых отсутствовали цифровые записи,
*) Исходное произведение можно записать в виде
1.±.А...12Л+_«Л
2 3 4 9 < ^10)
304
М. И. МЕДОВОЙ
служили главным образом для обучения устным приемам
вычислений. На такой точке зрения стоял Н. Юсупов
а также турецкий ученый Салих Зеки1).
Нельзя отрицать, что некоторые приемы вычислений дей-
ствительно могли служить дтя этой цети, например пра-
вила сокращенного умножения и деления. Однако мы ви-
дели, какие сложные вычисления производит Абу-л-Вафа;
более того, он часто говорит: «запишем» тот или иной резуль-
тат. У ал-Кархи мы также встречаем сложные вычисления,
которые вряд ли могли осуществляться в уме. Поэтому
указанное предполо/кеиие следует признать неудовлет-
ворительным.
М. Кантор выдвинул другую гипотезу о существовании
среди арабских математиков двух соперничавших между
собой школ, из которых одна сознательно придерживалась
преимущественно греческих образцов, другая же — индий-
ских. Приверженцы «греческой школы» пе потьзовались
индийскими цифрами2). На такой же точке зрения стоял
и Г. Цейтеп, противопоставлявший при этом, подобно
Кантору, ап-Насавн и ал-Кархи3). II Кантор и Цейтеп
предполагали, что мы встречаемся здесь с отражением
споров между различными мусульманскими сектами.
Вопрос о применении или пепримеиеппп индийских
цифр, т. е. вопрос о форме, в которой производились вы-
кладки, нельзя решать в отрыве от соответствующих спо-
собов вычислений. Однако ни М. Кантор, ни Г. Цейтен
пе анализируют приемов производства арифметических
действий, изложенных в сочинении ал-Кархи, и не сопо-
ставляют пх с приемами ан-Насави. Более того, Цейтеп
писал, что ал-Кархи не сообщает каких-нибудь механи-
ческих средств для облегчения практического производства
выкладок; между тем ознакомление с трактатом ал-Кархп
убеждает нас в том, что это не так.
На наш взгляд, предложение о враждовавших между
собой двух школах не подкрепляется никакими фактами.
Посмотрим, было ли в самом деле греческое влияние у араб-
>) См. Isis, 1933, .Vs 57, т. XIX (3), стр. 513—514.
4) М. Cantor, цит. соч., т. 1, стр. 755.
• ) Г. Г. Ц е fi т е п, История математики в древности и средние
века, перевод П. С. Юшкевича, М., 1938, стр. 199—200.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
305
скпх математиков, не пользовавшихся индийскими циф-
рами, столь преобладающим и действительно ли мы нахо-
дим у них индийское влияние в «гомеопатических», как
выражается Кантор1), порциях.
Во-первых, начальная ступень трактата Абу-л-Вафы
и соответствующие главы из работы ал-Кархи являются
в этом отношении вполне самобытными и, так сказать,
нейтральными.
Во-вторых, как мы покажем, геометрические части
обоих трактатов действительно обнаруживают преобла-
дающее греческое влияние, за исключением одной фор-
мулы, касающейся нахождения диаметра правильного мно-
гоугольника по его стороне, о которой Абу л-Вафа сооб-
щает, что она индийского происхождения. Все это естест-
венно и пе нуждается для объяснения в предположении
о существовании «двух школ». Математикам арабского
Востока греческие источники были гораздо доступнее,
чем индийские, так как они жили преимущественно в стра-
нах, где некогда процветала греческая культура, к тому
же индийские математические трактаты были нередко
написаны очень неясно и нуждались в комментариях. По-
этому, очевидно, Абу-л-Вафа, говоря о греческих матема-
тиках, называет их по имени и ссылается па. их книги,
в то время как, говоря об индийцах, ои пе называет пи
одного имени и ни одной книги, а пишет: «рассказывают,
что у индийцев...».
В-третьих, во второй ступени трактата, посвященной
главным образом практическим вычислениям, индийское
влияние очень сильно. «Более быстрые» способы умножения
и деления целиком основываются иа позиционном принципе.
Индийским по происхождению является и передвижение де-
лителя номере исчерпывания разрядов делимого2). Индий-
ское влияние сказывается в применении Абу-л-Вафой
некоторых формул «сокращенного» умножения (см. выше
формулу т(п±Л)=тп + п1)3). Под индийским влиянием
Абу-л-Вафа излагает действия с «невыразимыми дробями»,
в не ограничивается лишь действиями с каноническими
* ) М. С а н t о г, цит. соч., т. 1, стр. 763.
* ) В. I) a t t a and A. N. Sing h, цит. соч., ч. 1, стр. 154.
®) В. D a t t a and A. S i n g h, цит. соч., ч. 1, стр. 100.
20 Истор.-матем. исслсд., вип. XIII
308
М. И. МЕДОВОЙ
цым дробям и слова Абу-л-Вафы о том, что «более быстрый»
способ умножения «избавляет от всего этого», т. е. от
«доски, пыли п стиля». Приведем еще одно высказывание
Абу-л-Вафы, свидетельствующее о неприятии арабскими
писцами индийских способов действий с дробями, кото-
рые, как известно, не отлпчалпсь от современных.
«Об их пути: когда опи |т. е. писцы.—М. Л/.] желают
складывать дроби, то, чтобы было легче, они превращают
каждую из них в аширы и относят |их сумму] к шестиде-
сяти. Ибо у них больше навыков в шестидесяти и его час-
тях, когда они соблюдают то, что мы разъяснили в первой
ступени этой книги, чем в других числах, н опи не нуждают-
ся в том, чтобы утруждать себя нахождением числа 1т. е.
общего знаменателя.— М. Л/.], из которого получаются
дробные части» (Л. р., л. ^>3 об.).
При таком положении дел неудивительно, что в пред-
назначенных для деловых людей произведениях, в которых
много места уделялось традиционным «способам писцов»,
все числа записывались словами. Авторы должны были
считаться с традицией1), хотя сами, вне всякого сомнения,
знали индийские цифры и понимали преимущества пози-
ционной системы.
В связи со сказанным может возникнуть следующий
вопрос. Известно, что арабы, подобно грекам, выработали
алфавитную систему обозначения чисел —«хпсаб ал-дя
мал»2), цифры которой писались в обычном для арабов
порядке — справа налево. Чем объяснить тот факт, что,
в отличие от греков, применявших свои цифры в обычных
выкладках, арабы пользовались своими цифрами в астро-
номических расчетах для записи чисел в шестидесяте-
ричной системе?
1) Насколько сильной была традиция записывать числа слова-
ми, показывает тот факт, что вплоть до иедавппх времен купцы в не-
которых странах арабского Востока пользовались специальной циф-
ровой скорописью, называемой «спйак* (изложение). Цифры «спй-
ака» выработались из скорописного начертания арабских числи-
тельных. См. W. S. С 1 a i r-T i s d a I 1, Modern Persian Conversation
Grammar, Heidelberg, 1902, стр. 220 и T. А. Д a p а б а д и. Кал-
лиграфия (па азерб. языке), Баку, 1953, стр. 192—207.
2) А л-К а ш и, цит. соч., стр. 73—74.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ ЛБЬ-Л-ВАФЫ
309
Дело в том, что обычно в выкладках наряду с целыми
числами участвуют и дроби. У греков дроби имели свои
обозначения в алфавитной системе; например, доли единицы
обозначались соответствующим знаком для целого числа,
снабженным штрихом сверху. Казалось бы. что и у ара-
бов также должна была возникнуть естественная мысль
распространить, подобно грекам, своп цифровые обозна-
чения иа доли единицы. Однако, как это ни странно, в
арабской алфавитной нумерации пе было обозначений ни
для обыкновенных дробен, ни для аликвотных. При отсут-
ствии подобных знаков было бы очень неудобно записы-
вать целые числа цифрами, а дроби — словами, поэтому
арабские писцы и записывали словами все числа.
Главным препятствием для выработки арабскими пис-
цами символических обозначений для дробей мы считаем
неравноправное положение «невыразимых» дробей по срав-
нению с каноническими дробями.
Действительно, всякая система символических обо-
значений в математике включает пе только сокращенно
записей, но также — и это самое главное — некоторое
идейное обобщение. Так, древнеегипетская система обо-
значений дробен была бы невозможна без обобщающей мысли
о равноправии всех долей единицы. Традиция же араб-
ских писцов, согласно которой лишь комбинации из девяти
главных дробей считались «красивыми», а «невыразимые»
дроби, выражающиеся только через «части», считались
«некрасивыми», и соответствующая техника вычислений
с Дробями ие только препятствовали возникновению обоб-
щающей мысли о равноправии с математической точки
зрения всех знаменателей, но и ставили преграду па пути
распространения индийских способов обозначения дро-
бей и действии.
С этой точки зрения интересно наблюдать у ап-Насавп
столкновение традиции канонического разложения с индий-
ским способом обозначения дробей. Так1), удваивая дробь
3 0 0
z » он записывает зто как 3 3, но говорит, что удваивает
4 4
половину и четверть; результат раздвоения 3^- он
‘—------------- о
*) Л. р. Л» 556/6, л. 6 об. и 8.
ЗОЙ
M. II. МЕДОВОЙ
дробями, lie исключена также возможность, что и отри-
цательные числа заимствованы у индийцев. Что касается
ал-Кархи, то у пего мы встречаем некоторые сокращенные
способы умножения, подобные вышеупомянутым, про-
верку с помощью 9 и 11, перечисление конечных цифр
квадрата целого числа, тропное правило, а также действия
с невыразимыми дробями. Другие же способы вычисле-
ний, изложенные в арифметических главах обоих тракта-
тов, не обнаруживают пи индийского происхождения, ни
греческого. Таковы самобытные «способы писцов» и при-
емы действий с «относительными» дробями.
Сопоставление трактата ап-Насави и трактатов Абу-л-
Вафы и ал-Кархи также показывает, что нельзя говорить
о диаметральной противоположности между ан-Насавп —
представителем «индийской школы» и ал-Кархи или
Абу-л-Вафой — представителями «греческой школы». Ал-
Кархи и Абу-л-Вафа, как и аи-Насавп, тоже дают в основ-
ном «правила для простейшего выпочиения на практике
выкладок». Если же в трактате ан-Насави отбросить
цифровые записи в выкладках с дробями, то его изложе-
ние очень будет напоминать по стилю Абу-л-Вафу или
ал-Кархи. У того же ан-Насави мы встречаем алгоритм
Евклида, а в предисловии к трактату он пишет, что опу-
скает доказательства, чтобы пе удлинить книгу (как
известно, индийцы не считали нужным что-либо
доказывать)1 2).
Если еще учесть, что ни у ал-Хорезмп, ни у ап-Насави,
ни у ал-Кархи, ни у Абу-л-Вафы нет ни одного явного
высказывания о каком-либо соперничестве, то и вторую
гипотезу следует признать неубедительной.
Вообще «загадкой», как выразился Ф. Кэджорн*),
рассматриваемое явление могло стать лишь потому, что
считалось, будто индийские цифры л индийские приемы
вычислений были в X—XI вв. широко распространены
на арабском Востоке. М. Кантор, например, удивлялся,
что даже в начале XI в. арабы сохранили привычку запп-
1) Тот же аи-Насавп в другом сочинеппп дает новый способ
трисекции угла — типичной греческой задачи.
2) Ф. К эд ж о р и, История элементарной математики, пере-
вод II. Ю. Тимченко, Одесса, 1917, стр. 114.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ А11У-Л-ВАФЫ
307
сыпать числа словами1), а Г. Ганкель па том основании, что
Авиценна обучался индийским методам вычислений у куп-
ца, писал, что индийские цифры, по-видимому, уже рано
были распространены среди арабских писцов, а также везде
положены в основу арифметических трактатов2).
На самом деле индийские цифры и приемы вычислений
очень медленно прокладывали себе путь па арабском
Востоке среди купцов, писцов, чиновников и т. и., на
что обратил внимание еще Ф. Вёпке3). Об этом как раз
и свидетельствуют арифметические трактаты, в которых
числа записывались словами; это подтверждается словами
Абу-л-Вафы о том, что «не каждый человек искусен»
в индийских способах вычислений.
Чем же объяснить, что, несмотря на раннее знакомство
с индийскими цифрами, эти последние не нашли одобрения
среди арабских писцов, купцов и т. д.? Дело в том, что
арабские вычислители издавна выработали самобытные
способы действий как с целыми числами, так и с дробями,
отличительной чертой которых была запись чисел слова-
ми. Эти способы столь сильно отличались от привнесен-
ных позднее индийских и были столь тесно связаны с
особенностями выговаривания числительных в арабском
языке, что механическое соединение их с индийскими
цифрами вряд ли было возможно. С другой стороны, тра-
диционные способы вполне удовлетворяли практичес-
ким потребностям указанной прослойки и, кроме того,
были «своими», так что неудивительна неприязнь, с кото-
рой эта группа лиц относилась к чужим методам, связан-
ным с употреблением «покрытой пылью доски», которую
♦не в каждом месте можно найти», а также цифр с неустой-
чивым начертанием, писавшихся к тому же слева направо,
а не справа налево.
В том, что неприязнь к индийским способам со стороны
арабских писцов была сильной, мы уже имели возможность
убедиться, когда приводили высказывания Абу-л-Вафы,
ал-Кархп и ал-Каши об отношении писцов к обыкповен-
*) М. Cantor, цит. соч., т. 1, стр. 708.
2) Н. II a n k е 1, цит. соч., стр. 254.
. *) F. Woepcke, Propagation deschiffres indiens.-Journal
Asiatique, 1863, 6-я серия, т. I, стр. 529.
20*
310
М. Л. МЕД0В0П
1
записывает как 9 , по говорит, что это единица и половина
16
и половина восьмой. В другом месте окончательный резуль-
3
тат 11 читается им как три и одиннадцатьчастей издвадцати
27
семи частей единицы, по не как три п треть и две трети
девятой.
Процесс уравнивания в правах выразимых и невыра-
зимых дробей, начавшийся, вероятно, после ознакомления
арабов с индийскими дробями, длился продолжительное
время и имел своим результатом выражение всех дробей,
включая канонические, через «части». Так, уже у ал-Кашн
индийская система полностью вытеснила арабскую тради-
цию канонического разложения дробей1). Однако запись
чисел словами сохранилась не только у ал-Каши, ио, как
мы уже говорили, вплоть до недавних времен в системе
«снйака».
И
Третья ступень трактата Абу-л-Вафы посвящена гео-
метрическим вопросам. Она начинается с введения, в кото-
ром разоблачаются порочность и вредность методов,
применявшихся в то время землемерами.
«Я видел, что они все (т. е. землемеры. — Af. М.) да-
леки от истины, пути правды и вещей, которые опираются
па очевидные доказательства и ясные аргументы... Я ви-
дел: когда они хотят измерить треугольник, или пяти-
угольник, или круг, или другой какой-нибудь многоуголь-
ник, то они умножают четверть периметра па себя и утвер-
ждают: то, что получается, есть площадь того поля...
’1то касается измерения всех видов четырехугольников,
то я видел, что они складывают противоположные стороны
’) Абу-л-Вафа ии разу не выражает канонические дроби околь-
ным путем (через «части»), У ан-11асави мы находим в одном месте
выражение «шесть частей нз восьми частей» для канонической дро-
би «шесть восьмых» («саласа асмаи»). Ал-Каши даже половину
(нщф) называет «одной частью из двух». См. «Ключ арифметики»,
стр. 45—46.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
311
и умножают половины их [сумм]. Это опять очевидная
ошибка и явная неправильность и редко соответствует
истине» (Л. р., л. 72 и 73).
Чтобы дать возможность писцам, землемерам и т. п.
ознакомиться с «истиной», Абу-л-Вафа, ссылаясь па древ-
негреческих математиков, излагает без доказательств
большое количество сведений, относящихся к измерению
длин, площадей и объемов различных фигур и тел. При
этом он формулирует немало правил, полученных с по-
мощью алгебры.
Мы изложим наиболее интересные места третьей
ступени.
Сначала Абу-л-Вафа излагает «измерения плоскостных
фигур». Отметив, что фигура может быть ограничена одной,
двумя и т. д. до бесконечности линиями, он дает опреде-
ление круга, диаметра, хорды, стрелы и замечает, что
астрономы называют половину хорды «прямым синусом»
(«джейб муставн»), а стрелу — «обращенным синусом»
(«джейб ма’куш»).
Площадь круга автор находит двумя способами. Пер-
вый, «истинный», состоит в умножении половины диаметра
на половину окружности. Второй, «приближенны#», мож-
но выразить формулой (Л. р., л. 86)
где D — диаметр; иначе говоря, число л принимается
22
равным у.
Каких-либо других значений для л Абу-л-Вафа
ие указывает.
Переходя к «измерению сегментов», Абу-л-Вафа пишет:
«Знай, что невозможно измерять круговые сегменты
без знания дуги, а отрезок дуги нельзя знать иначе, как
приближенно, потому что отношение дуги к хорде ппкопм
образом не получается иначе, как условно1)... Мы выпи-
шем в этой книге таблицу, пз которой узнаем хорду по
*) Эта фраза позволяет предполагать, что Абу-л-Вафа, как
и Птолемей, на которого он дальше ссылается, считал отношение
Дуги к хорде иррациональным.
312
И. И. МЕДОВОЙ
дуге и дугу по хорде; при этом мы по большей части
основываемся на изложенном Птолемеем, так как он был
первым, который предпринял ее усовершенствование
применительно ко всем действиям теоретической и при-
кладной геометрпи. Мы сделали таблицу из четырех коло-
нок: в одной мы записали части дуг от одной до двадцати
двух, во второй колонке —то из (частей] хорд, что соответ-
ствует последовательным частям дуг, в третьей колонке —
дробные части хорд, причем каждую часть хорды мы раз-
делили на шестьдесят частей, которые называем аширамп,
так как писцы и землемеры не знают дробей, кроме шести-
десятпчпых, а в четвертой колонке — дробные части
аширов, чтобы сделать действие вернее и ближе к истине»
(К. р., л. 147 и 147 об.).
См. эту таблицу на стр. 313.
Чтобы понять, какие величины содержатся в таблице,
посмотрим, как эта таблица используется.
♦От круга с диаметром в двадцать одни локоть и окруж-
ностью в шестьдесят шесть локтей отсекается сегмент,
дуга которого — одиннадцать локтей; мы хотим узнать
его хорду. Умножаем половину одиннадцати на двадцать
два, так как дуга меньше половины окружности; получает-
ся сто двадцать одни. Делим это па четверть окружности,
т. е. па шестнадцать с половиной, и получается от деления
семь и треть. Ищем это [число] в колонке дуг и находим
против семи шесть частей и сорок два ainupa н шестую1)
1ашнра]. Так как семь с дробью треть, то умножаем ее па
разность между строками2), т. е. па пятьдесят один аишр
и половину и две трети десятой [апшра], получается
семнадцать аширов и шестая и пятая девятой»3). Послед-
ний результат прибавляется к G |- 42 ашнра 4--g- апшра,
и ♦получается шесть частей м пятьдесят девять аширов
и треть н пятая девятой». Последнее число Лбу-л-Вафа
округляет до 7 частей, ошибочно утверждая, что дробная
часть аширов больше половины ашнра. Затем он
1) В тексте вместо шестой стоит половина.
2) Имеется в виду разность между значением хорды, соответ-
ствующим числу 8, и значением хорды, соответствующим числу 7.
3) Вместо шестой и пятой девятой в тексте другое число.
ОБ \1'НФ51ЕТН ВЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
313
Таблица определения дуг и хорд (К. р., л. 148)
Колон- ка дуг Колонки хорд | Колон ка дуг Колонки хорд
части хорд а тиры дробные части аширов части хорд ашпры дробные части аширов
। 1 2 3 4 5 6 ?*) 8 9») 10 И ныс !!|К»Д Соот сите знач( прим ь 1 2 3 4 6 7 8 9 9 ) Знак в руно полож ветств; тьным 2) В т ние с ерах. 59 59 58 56 53 43 42 33 23 10 54 Я озн ПИСИ U ительн! юшпе зпакоз а б. гиде оответ 3^5Т 10 ГАДАЛ <3^3 10’ У А 2 2 ^10 3^5 1+± 2^3 1 6 з + з’1б 2 + 4 « 2.1 3 10 а чает отсутс анисвны вес jc значении, числа взяты f. значение ствует дани 12 13 14 15 16 17 ! 18 19 20 21 22 твис ч ьма не исход нами корды ым, и 10 11 11 12 12 13 13 13 13 13 14 исла. 1СТКО, П ИЗ X.' 9 СКОО1 яскпж ,41 води 31 12 46 17 44 7 2(5?) 40 51 57 « (екото поэтом IJMIKTCI :и и се eno; j МЫМ Z 1 12 1 2*6"* 310 5Т6Т6 10 3 МО 1 3 1 6 НЮ ню А+1 2 * 10 2 3 « >ыс числптель- у мы даем их >а начертании, [абжены вон|М>- казанное нами Кбу-л-Вафой в
314
М. II. МЕДОВОЙ
продолжает: «...итого получается из таблицы семь частей;
умножаем их на половину диаметра, т. е. па десять с
половиной, получается семьдесят три с половиной, делим
это на четырнадцать, и получается от деления пять с чет-
вертью; удваиваем это, получается десять с половиной,
и это есть хорда дуги в одиннадцать локтей» (К. р.,
л. 149 и 149 об.).
Если же дуга больше полуокружности, то Абу-л-Вафа
находит ее хорду ио дуге, дополняющей данную до целой
окружности.
Пз сказанного видно, что за меру а дугп длиной I при-
нимается число^ , где L — дтипа окружности -радиуса R.
По этому числу в колонках хорд находится число, кото-
рое по умножении па дает длину искомой хорды. Так
как длина окружности считается приблизительно рав-
.. 44 Я .. ,
нои —у—, то можно сделать следующим вывод: в таблице
содержатся длины хорд, соответствующих дугам нолу-
_ п ..
окружности радиуса /, составляющим частей полу-
окружности (п=1, 2, .... 22). Большинство этих длин
дается в переводе на десятичные дроби с двумя точными
180°-5
знаками после запятой. Так, хорда 14 sin ———, соответ-
5 7
ствующая частям полуокружности радиуса 7, равна
4,8916, тогда как в таблице приводится число 4-f-
+®+(1+4У5>-4’8922 -,>-
В таблице Лбу-л-Вафы дуги и хорды измеряются од-
ной и той же мерой: седьмой частью радиуса или сорок
*) Для сравнения с таблицами Птолемея укажем, что при а=3
^т. е. если дуга равна 24°32 хорда окружности радиуса?, вы-
численная по таблицам Птолемея с помощью интерполяции, равна
58 33
2 + вд + -вд- , в то времн как Абу-л-Вафа приводит значение 2+
58 £ .А
60 + 2 ’<50
для а=20( т.
е. если дуга равна 163°38т-г ) хор-
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ ЛБЪ -Л-ВЛФЫ
315
четвертой частью окружности. Поэтому можно предпо-
ложить, что Лбу-л-Вафа пользуется в данной таблице
мерой, по идее близкой к радианной1). Такое устройство
таблиц позволяет при решении обратной задачи — нахо-
ждении дуги по хорде — вычислять длину дуги умноже-
L
пнем ее меры на .
Абу-л-Вафа показывает также, как найти стрелу дуги
с помощью таблиц.
Сначала находится хорда, соответствующая разности
между полуокружностью и данной дугой, потом половина
ее вычитается из радиуса.
Затем Абу-л-Вафа дает правило для вычисления пло-
щади сегмента. Для этого «мы умножаем половину диа-
метра круга на половину дуги сегмента и запоминаем
результат; затем вычитаем стрелу сегмента нз половины
диаметра круга и остаток умножаем на половину хорды.
Если сегмент меньше половины окружности, то результат
[умножения] вычитаем нз того, что запомнили, если
больше половины окружности, прибавляем к тому, что
запомнили. То, что получается после прибавления пли
отнятия, есть площадь этого сегмента» (К. р., л. 152).
После этого сообщаются правила для нахождения
площадей треугольников различных видов.
«Общин способ» нахождения высоты любого треуголь-
ника, «который не приводился никем из предшественни-
ков», таков:
«Если хотим [сделать] это, умножаем две любые сто-
роны треугольника на себя н делим разность па третью
ла, вычисленная по таблицам Птолемея, равна 13 + , в то
время как Лбу л-Вафа приводит значение 13 + ^ + Г V + х
'* * go. Трудно судить, какими соображениями руководствовался
Абу-л-Вафа при вычислении длин хорд.
*) Напомним в связи с этим, что Абу-л-Вафа задолго до европей-
ских математиков полагает радиус тригонометрического круга
равным единице.
См. М. С a n t о г, цит.соч., т. I, стр. 748,
316
М. И. ЛЕДОВОЙ
сторону, т. е. на сторону, на которую опускается высота;
затем берем разность между результатом деления и третьей
стороной н половину от полученного; это будет место
падения камня1).
Если желаем [узнать] высоту, вычитаем квадрат его пз
квадрата меньшей из двух сторон, которые умножали на
себя, берем корень из остатка, и это —высота» (Л. р., л.
94 п 94 об.)2).
Заканчивается раздел о треугольниках нахождением
площади любого треугольника «в одни прием».
«Если хотим сделать это, складываем все стороны,
умножаем половину суммы на ее избытки над каждой из
сторон, берем корень нз полученного, и результат есть
площадь треугольника» (Л. р., л. 94 об;)3)-
Абу-л-Вафа иллюстрирует применение формулы Архиме-
да — Герона на традиционном примере треугольника со
сторонами 13, 14 и 15.
В каирской рукописи указано, кроме того, «общее
действие для измерения любых треугольников, которое пе
приводилось никем из предшественников». В современных
обозначениях это «действие» (К. р., л. 1G8 об.) выглядит
так:
Тут же сообщается разновидность этого правила:
S=|]Z[(a+^-c2] [c2-(a-6)2J.
Другой «вид» этого правила, полученный, видимо, с но-
*) «Место падения камня* — это меньшая проекция одной из
двух сторон треугольника па третью. Она вычисляется как
4|~“|-
») Вычисление высоты треугольника по сторонам па конкрет-
ном примере есть у ал-Хорезмп, у которого пе сформулировано,
однако, общее правило. В свою очередь ал-Хорезми опирался па
литературу, родственную сочинениям Геропа.
’) Источник, откуда взято это правило, пе указывается.
or. АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
317
мощью алгебры, следующий (К. р., л. 169 об.):
Все это — разные выражения формулы Архимеда — Те-
рона.
Указав способы нахождения площадей четырехуголь-
ников, Лбу-л-Вафа решает двумя способами задачу нахо-
ждения диагоналей ромба по стороне и площади. Первый
способ состоит в том, что «умножаем сторону на себя,
умножаем половину результата на себя и полученное
запоминаем; затем умножаем половину площади на себя,
вычитаем результат из того, что запомнили, берем корень
из остатка и прибавляем к половине квадрата стороны; из
полученного извлекаем корень и удваиваем его, н это
есть одна нз диагоналей» (Я. р., л. 97 и 97 об.). Иначе
говоря, если обозначить сторону, большую диагональ
и площадь ромба соответственно через a, d и S, то
j 9 । f а* । Г a* S2
d = 2|/ Т"-Г*
Вторая диагональ находится по теореме Пифагора.
Другой способ можно выразить формулой (JI. р.,
л. 97 об.)1):
d = J а2 + 5 + ) а* — Л’.
Таким образом, Лбу-л-Вафа знал числовое соотно-
шение:
+ = + I -
Площадь правпльного многоугольника вычисляется ум-
ножением «половины диаметра вписанного круга иа
половину суммы его сторон» (Л. р., л. 99 об.). Диаметр
вписанной окружности находится с помощью теоремы
Пифагора по стороне н диаметру описанного круга. Для
*) Ясно, что Абу-л-Вафа решает систему х1+у2= 4а1, xy=2S.
318
М. И. МЕДОВОЙ
нахождения же но стороне правильного многоугольника
диаметра описанного круга Абу-л-Вафа пользуется табли-
цей хорд.
Так (Л. р., л. 100 и 100 об.), для нахождения диаметра
круга, вписанного в правильный пятиугольник со стороной
10 локтей, число 44 делится на 5, получается 8 у. Числу
33 /2 2
8 в колонке хорд соответствует хорда 7 + бо+("з'+уХ
X gg ; берется поправка на-|-,н окончательно полу-
чается+ Затем 10 умножает-
ся на 14 и делится па8-|-^ ++ Это дает
для диаметра описанного круга приближенное значение
17 + у • gg. При определении диаметра вппсанпого круга
последнее число возводится в квадрат, получается прибли-
зительно 289 -}- -|- 4-, из этого числа вычитается 100,
из остатка 189 -f—у+-у извлекается корень, и для искомо-
го диаметра получается значение 13-|-gjj + у +gjj •
Для нахождения площади половина этого числа
6 + гй+Г4- + т + ^-,')Д; умножается на 25. Окопча-
\ Z О 1U J t>u
тельный результат равен 172 квадратным локтям. Все
эти выкладки легко выразить па языке современной триго-
нометрии.
Далее Абу-л-Вафа пишет:
«Рассказывают, что у индийцев есть способ нахожде-
ния диаметров кругов, описанных около равносторонних
и равноугольных фигур; этот путь легок н близок к истине.
Одпако истинный |цуть] — это положения, изложенные
Евклидом, Архимедом п Птолемеем в их книгах, истин-
ность которых они обосновали доказательствами. Мы
приведем то, что рассказывают об нпдпйцах по этому
1) Если вычислить хорду 72° в круге радиуса 7, получается
8,2292; значение, приводимое Лбу-л-Вафой, равно 8,2290.
ОГ> АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
319
поводу, чтобы не пропустить отчего нз того, что имеет
отпошеппе к нашему предмету» (Л. р., л. 100 об.).
Приближенная формула для диаметра d круга, опи-
санного около правильного п-уголышка со стороной а,
такова (Л. р., л. 101):
0-1) 1+3] 4-
0,2224, в то время как указанная формула
180э
— «г 0,2113 (прп меньших п приближение
Эта формула равносильна приближенной формуле
. 180° 3
ЫП----- «г - ------.
п | 7^— n-f-6
Вычисления показывают, что прп малых целых п эта
формула действительно дает хорошие для практических
целей приближения. Так, четырехзначные таблицы дают:
. 180°
sin -р-
дает: sin
точнее).
Сама формула получена, по-видимому, исходя из трех
точных значений для d прп п=3, 4 и 6. Найдя сначала
простую формулу, объединяющую эти три случая1),
индийские математики распространили ее на другие зна-
чения п, причем они могли убедиться с помощью таблиц
в том, что найденная формула дает приемлемые приближе-
ния при малых п.
При нахождении стороны правильного многоугольника
по диаметру описанного круга Абу-л-Вафа рекомендует
поступать «в обратном порядке». При этом он замечает,
что если дпаметр круга нзвестеп2), тосторопа вписанного
в него пятиугольника иррациопальпа (асамм). Об этом
’) С современной точки зрения требовалось найти такую про-
2
стую функцию натурального аргумента, чтобы / (3) , / (4) =
__ ) 3
=У2 и f (6) = 2. Если искать эту функцию в виде / (п)=
ап*+Ьп + с, то потучпм как раз ппдшгскую формулу.
*) Абу-л-Вафа имеет в виду рациональный диаметр.
3>0
U. И. МЕДОВОЙ
говорил Евклид в тринадцатой книге своего произведения
«Начала»; она называется «меньшей нз иррациональных
отрезков», о которых он пишет в десятой книге «Начал»
(Л. р., л. 101 об.). Затем Абу-л-Вафа решает ту же задачу
с помощью ииди нс кой формулы.
Стереометрическая часть третьей ступени посвящена
правилам для измерения поверхностей и объемов паралле-
лепипеда, призм, конуса, усеченного конуса, «колонны»,
«усеченной колопиы»1), шара и шарового сектора. Так,
боковая поверхность усеченной «колонны» вычисляется
как произведение полусуммы «наибольшего и наимень-
шего ребер» па длину линии, ограничивающей основание,
объем — как произведение топ же полусуммы на площадь
основания (Л. р., л. 105). Для правильной призмы с чет-
ным числом сторон эти правила верны в случае сечения ее
плоскостью, парраллелыю* стороне основания.
Заканчивается третья ступень измерением расстояний
до недоступных предметов. При этом используется подобие
треугольников.
12
Сопоставим трактат Абу-л-Вафы с арифметическими
трактатами некоторых позднейших авторов и в первую
очередь с трактатом ал-Кархи «Достаточное об арифмети-
ке», так как их сходство сразу бросается в глаза 2). Кратко
это сходство можно охарактеризовать так: то, что изложе-
но у Лбу-л-Вафы, имеется по большей части и у ал-Кархи,
но в менее систематическом — иногда да/ке отрывочном —
виде. Первой ступени сочппепия Абу-л-Вафы у ал-Кархи
соответствуют главы X, Х1\—XXIII, ХХ\ I—XXXII.
В главе X ал-Кархи дает традиционную классификацию
J) «Колонны бывают двух видов: один из них кругтый, другой—
из прямых отрезков, как, например, колонны квадратные, шести-
угольные, восьмиугольные и т. д.» (Л. р., л. 105). Видимо, Абу-л-Ва-
фа под «колоннами* понимал прямые круговые цилиндры и пра-
вильные призмы с четным числом граней. «Усеченные колонны»
(кита’ ал-асатииа), получаются сечением «колонн* плоскостью.
2) На связь между указанными трактатами обратил внимание
П. Люкеп. См. Р. Luckey, цит. соч., стр. 84.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
321
дробей. Глава XIV содержит определение отношения,
аналогичное определению Абу-л-Вафы. В главе XVII
ал-Кархи говорит о том, что в канонических разложениях
красивее на нервом месте ставить большую дробь, а в гла-
ве XXV1 пишет, что при нахождении отношения целых
чисел к целым числам решение должно быть построено так,
чтобы получить по возможности кратчайшее выражение.
Для разложения отношений целых чисел к «выразимым»
числам ал-Кархн в главе XVI указывает прием разложе-
ния отнесенного числа на подходящие слагаемые с после-
дующим сокращением: 1000 : (G-7-8-9-10)= 100 : (G-7-8* *
у 9) = 72:(6-7.8-9)4-28 :(G-7-8-9)=14 + 1.в
главе XVIII он сводит отношение к G0 «целых с дробями»
к отношению целых чисел, получающихся от умножения G0
и «целых с дробями» на общин знаменатель дробей:
( 221 +1-1): GO = 955: (42-G0) = 191 : (12-42) =
= (56 + G3 + 72):2-G.G.7 = l + l + l
(у Абу-л-Вафы есть тот же пример (Л. р., л. 2(> об.), ре-
шенный по-другому)1). В следующей главе отмечается
особая роль шестндесятпчпого отношения:
«Знай, что за образец ддя понятия отношения древние
брали отношение к G0, с тем чтобы сделать попятным
приведение отношения к кратчайшему виду, ибо шесть
„ - .. , 1 1 1 1 1 1 * ,, ,
дрооен (т. е. -=, у, —, у, у.. —.17. Л/.), помножен-
иых па G0, дают целое. Поэтому разделены па G0 частей
курр (мера сыпучих тел. — .1/. Л/.), диргем, динар, гра-
дус и другие величины, применяемые люньмн»2). Затем
рашаются многие примеры на «шестид'сятпчпые отно-
шения».
1) ^22+1-pl у) : 60 = 81:60 -f-7 * : бОЦ-б!
60 =
*) А л-К архи, цит. соч., вып. 1, стр. 18—20.
21 Истор.-матем. псс.чед., вып. XIII
322
М. И. МЕДОВОЙ
Для приближенного разложения отношении к невыра-
зимым числам ал-Кархп дает в главе XXVII прием, сход-
ный с приемом писцов, о котором говорил Абу-л-Вафа
- к —
Ъ 2 \b-\-d'b—d J '
где d подбирается так, чтобы , ° оказались «вы-
b^d
разимыми» отношениями. Кроме того, там же ал-Кархп
указывает н прием многократного умножения п деления на
60, причем «с остатком поступаешь подобным же образом
до тех пор, пока ты придешь к желаемой границе».
Наконец, в главах XXII, XXVI рассматриваются
«задачи иа нахождение отношений» к 60. Так, в главе
XXII приводится пример нахождения отношения ^15-J-
+ у + у ) : 60, причем ал-Кархн отступает от метода, изло-
женного им в главе XVIII, п решает его с помощью прие-
мов, близких к указанным Абу-л-Вафой в 4-й главе
первой ступени. Второй ступени трактата Абу-л-Вафы
соответствуют в сочинении ал-Кархп главы I — IX,
XI—XIII, XXVIII—XXXV.
Ал-Кархн также излагает умножение и деление целых
чисел, пе рассматривая предварительно их сложения
и вычитания. В главе I мы находим определение умноже-
ния целых п дробных чисел, подобное определению Абу-л-
Вафы, а в главе XXXIII — определение деления, которое
Абу-л-Вафа приписывает себе. Практические приемы jmiio-
жеппя и деления целых чисел у ал-Кархп совпадают
с изложенными Абу-л-Вафой «способами писцов». Удвое-
ние и раздвоение ал-Кархп пе рассматривает.
Главы XI, XII и XIII посвящены нахождению наиболь-
шего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Для этого излагается алгоритм Евклида при помощи
«антпфайрезиса». Далее следует приведение дробей к наи-
меньшему общему знаменателю, причем приводится изве-
стный нам пример нахождения наименьшего общего зна-
менателя всех главных дробей. Отдельно сложение п вычи-
тание дробей ал-Кархп пе излагает. Умножение «целых
с дробями» на «целые с дробями» он выполняет либо как
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ
323
умножение многочлена на многочлен, либо предварительно
сложив слагаемые каждого множителя. Тут ал-Кархп
указывает, как следует складывать дроби приведением их
к наименьшему общему знаменателю. Деление дробей
и «целых с дробями» у ал-Кархи такое же, как у Абу-
л-Вафы (приведение к общему знаменателю и деление
числителей). Окончательные результаты всегда представ-
лены в каноническом виде. Отметим, что ал-Кархп ниче-
го не говорит о действиях с дробями по «способу писцов».
Ал-Кархп излагает также действия с «относительны-
ми» дробями (гл. XXIV, XXXV, ХХХ\1П) и «сокращен-
ные способы» действии с числами, аналогичные способам
из сочинения Абу-л-Вафы. В главе VI мы находим и пра-
вило (10д +0 (10д+0=(1Од + Ь + с) Юд + Ьс.
Третий выпуск работы ал-Кархп нам был недоступен,
поэтому подробно с ее геометрическими главами мы ие
смогли ознакомиться. Однако изложение содержания этих
глав, имеющиеся у М. Е. Ващенко-Захарченко *), свиде-
тельствует о большом сходстве их с третьей ступенью трак-
тата Абу-л-Вафы; в частности, ал-Кархп приводит индий-
ское правило для нахождения диаметра правильного
многоугольника по его стороне. В конце трактата ал-Кар-
хп указывает, что вопросы, рассмотренные в нем, заим-
ствованы из сочинений различных писателей; если учесть
изложенное, то у пас есть все основания говорить о значи-
тельном влиянии Абу-л-Вафы на ал-Кархи.
Сравним еще трактат Абу-л-Вафы с написанным шесть
столетий спустя арифметическим трактатом Бехаэддипа.
Во введении Бехаэддин указывает1), что существуют три
разряда: единицы, десятки и сотни — и что остальные раз-
ряды сводятся к этим трем 2). Определение умножения
и деления дается с помощью пропорции. Средн правил
сокращенного умножения мы находим здесь многие
приемы из второй ступени, в том числе н правило допол-
нительного умножения однозначных чисел, больших 5:
ab = (a-\-b — 10). 10 +(10-д)-(10-0,
*) М. Е. В а щ е н к о-З а х а рченко, История математики,
Ьиев, 1883.
*) Бехаэддин, цпт. соч., стр. 3 и 9 арабского текста.
21*
324
М. II. МЕДОВОЙ
причем Вехаэддпн иллюстрирует его на том же примере,
что п Абу-л-Вафа (8-7=56). М. Кантор предполагал, что
ото правило заимствовано Бехаэдднно.м у европейских
математиков * *). Однако ясно, что гораздо более вероятным
является влияние трактата Абу-л-Вафы, тем более, что
сам Вехаэддпн во введении к трактату пишет, что его
работа является «эссенцией» сочинений древних авторов.
В заключение отметим следующие факты, говорящие,
на наш взгляд, о том, что трактат Абу-л-Вафы прямо
нлп косвенно (например, через ал-Кархп) оказал некото-
рое влияние па Леонардо Пизанского2).
Во-первых, в «Книге абака» Леонардо Пизанский при
слохкеинп и вычитании дробен приводит их к наименьшему
общему знаменателю, предварительно объяснив, как на-
ходить по Евклиду наибольший общий делитель чисел
и наименьшее общее кратное; в качестве примера при-
водится сложение дробей со знаменателями от 2 до 10.
Во-вторых, Леонардо ставит п решает задачу о разложе-
ппп любой дроби па алпквотпые дроби, применяя в неко-
торых случаях прием одновременного умноженияп деле-
ния на 60 3).
В-третьих, решая одну задачу, в которой неизвестное
принимает отрицательное значение, Леонардо отмечает,
что если считать долю человека долгом, то задача стано-
вится разрешимой 4).
Дальнейшее изучение арабских рукописей раскроет
с еще большей полнотой выдающееся значение в развитии
математики рассмотренного труда Абу-л-Вафы.
*) М. Cantor, т.1, стр. 784.
*) Укажем еще, что у Иордана Неморария ми находим со ссыл-
с2 18г»
кон на нндппское происхождение формулу г>п =------- для
(п-1)|+3
нахождения стороны 5П правильного л-уголышка, вписанного в
круг радиуса г. См. М С an t от, т. 2, стр. 83.
•) М. С а п t о г, т. 2, стр. 11—13.
4) Та .4 же, стр. 49.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ДЛЯ sin 6 11 cosS
В РАБОТАХ ИНДИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ
XV—XVIII вв.
•>. Н. Балмцтскан
В пашей статье «Бесконечные ряды в работах южно-
индийских математиков XV—XVIII столетий» Р] было
показано, в каком виде и каким образом в трактатах
южпопндпйских математиков «Тантрасапграха» (около
1500 г.), «Каранападдхати» (по-внднмому, XV’—XVI вв.),
«Садратанамала» (XVII—XVIII вв.) и «Юктп-Бхаша»
(около 1039 г.) было получено разложение arctg t в степен-
ной ряд п как с помощью некоторых достаточно общих
приемов производилось преобразование этого ряда в дру-
гие, сходящиеся быстрее.
Названные трактаты показывают неправильность рас-
пространенной до недавнего времени точки зрения, соглас-
но которой в индийской математике после Бхаскары
(XII в.) и до современной эпохи не было создано ничего
сколько-нибудь значительного, оригинального.
Почти ничего неизвестно о тех промежуточных этапах
истории математики в Индии, которые привели южно-
индийских ученых к инфинитезимальным исследованиям,
однако сама проблематика и результаты зтпх исследований
столь значительны и новы, что одно нх наличие позволяет
говорить пе о застое в индийской математике после Бха-
скары, а о перемещении центра ее развития в Кералу, на
крайний юг Индии, не затронутый нашествием завое-
вателей.
326
Э. Я. ЕАХМУТСКАЯ
В настоящей статье мы постараемся подтвердить этот
тезис, показав, насколько это возможно, па основании
имеющихся в пашем распоряжении материалов, как
вводятся в упомянутых выше трактатах разложения в ряд
Маклорепа для sin 0 и cos 0.
Первые три из перечисленных четырех трактатов напи-
саны па санскрите, в традиционной стихотворной форме
и содержат лишь формулировки устанавливаемых пред-
ложений.
Мы будем пользоваться имеющимися в нашем распо-
ряжении формулировками интересующих нас теорем из
трактата «Каранападдхати», однако, по свидетельству
кералпйскпх историков математики Ц. Т. Раджагопала
и А. Венкатарамапа [2], аналогичные предложения име-
ются п в остальных двух санскритских трактатах, которые
до сих пор не изданы и хранятся в Индии в рукописях.
В двенадцатом и тринадцатом стихах из шестой главы
«Каранападдхати» паписано следующее:
«Делп дугу окружности (длину этой дуги) на два, три
н так далее радиуса, потом умножь дугу па первый резуль-
тат, полученное — на второй и далее. Подпиши четные
количества поддетой, а нечетные — под радиусом и вычти
через одпо. Получится бгуйя п котп дуги I2].
Учитывая, что термины «бгуйя» (или «бгуджаджнйя»)
и «котп» (или «котпджпйя») соответствуют величинам
Н sin б п И cos 6 в современных обозначениях (где 6 —
центральный угол), и следуя общему правилу анонимного
автора «Каранападдхати», легко составить сначала две
последовательности:
с 5« . 5»
’ 3! 7?г ’ 5! Н* ’ ’'
п
’ 2’7? ’ 4! R* ’ ‘ ' ’’
а затем записать разложения:
/?sin6 = 5 —..
О РАБОТАХ ИНДИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ XV—XVIII ВВ. 327
В лаконичной формулировке «Карапападдхатп» нет
указания на то, что с возрастанием числа слагаемых ча-
стичные суммы рассматриваемых рядов дают псе более
точные приближения к искомому результату, однако, как
это видно нз комментария автора трактата «Таптрасан-
граха» Нплаканты к «Арпабхаттиам» [* 3], южпопнднй-
скне математики уже в начале XVI в. пользовались подоб-
ными соображениями.
Кроме приведенной формулировки в «Карапападдха-
тп» имеются еще два правила, дающих интересные при-
ближенные формулы:
«Дуга, если она мала, уменьшенная па шестую часть
результата ее умножения дважды па саму себя, деленного
на произведение радиуса па самого себя, дает бгуджад-
жпйя, н часто дуга, если опа мала, равна бгуджаджнйя,
увеличенной па результат умножения бгуджаджнйя два-
жды на саму себя, деленный па взятый шесть раз резуль-
тат умножения радиуса па самого себя» [3].
Первая часть этой формулировки, дающая прпблпжен-
1 S3
пую формулу /?sinO«=A—— ^5, указывает па понимание
того обстоятельства, что для малых дуг достаточно точ-
ный результат получается уже при рассмотрении двух пер-
вых членов ряда. Вторая часть этого предложения, кото-
рую легко записать в виде формулы 5 = 7?0^/?.sin6-|-
1 (Я sin 6)* с . о . 1 , .
-f--g -—jp ' , пли,иначе, 0 sin 0 + -g-(sin 0)3, указывает
на то, что южпоипднпскпм математикам, возможно, был
известен также степенной ряд для арксинуса, первые
два члена которого здесь фигурируют.
Перейдем теперь к пояснениям, которые даны в тракта-
те «Юктн-Бхаша» по поводу того, каким образом могут
оыть получены ряды для В sin 0 и В cos 0. «Юктн-Бхаша»
представляет собою комментарий, написанный на языке
малайялам, к трактату «Тантрасанграха». Это первое ин-
дийское математическое произведение, написанное в про-
зе и содержащее объяснение того, как получены излагае-
мые результаты.
Мы не располагаем в настоящее время подлинным тек-
стом «Юктн-Бхаша», изданным в 1948 г. в Индии только на
328
Э. Я. БАХМУТСКАЯ
языке оригинала. Поэтому наше изложение основано на
тех выдержках из него в том описании, которое дано
в статье I2] Ц. Т. Раджагопалом н Л. Вепкатарамапом.
Отметим прежде всего, что здесь, так же как и при вы-
воде ряда для arctg /, доказательство отчетливо делится на
три основных общих этапа: сначала с помощью геометри-
ческих соображений выводится некоторое выражение для
элементарной части иско-
мой ве hi чипы через дан-
ные величины, потом со-
ставляется выражение для
интегральной суммы эле-
ментарных частей п, пако-
пец, эта интегральная сум-
ма преобразуется в ряд,
удобный для вычисления
искомой величины.'
В данном случае на
первой ступени в «Юкти-
Вхаша>> фигурирует гео-
метрическое соотношение,
устанавливаемое на осно-
вании подобия прямоугольных треугольников, которые
мы обозначим как &Рх()Рг и &ОВР (рис. 1).
Опуская термины, которыми элементы этих двух тре-
угольников названы в «Юктн-Бхаша», запишем получен-
ную там пропорцию в современных обозначениях:
PiPi _ QPj_ _ QPi
OP OB BP ’
□ли
А/ _ г,-Г| _ yt—1/1 . 4
Я у x ’ I
AZ _ Ar _ Ay
R~ у ~ x ' I
Если воспользоваться для малой дугп РхРг приближен-
ной заменой длины элементарной хорды А/ длиной стяги-
ваемой ею дуги A5, заменой, широко применявшейся во
всей индийской математике и астрономии, начиная с
«Арпабхаттнам», то отсюда получается соотношение
О РАБОТАХ ИНДИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ ХА -XVIII ВВ. 329
(разумеется, все это в «Юкти-Бхаша» высказано
словами, без всяких буквенных обозначений и символов).
Как чертеж, так и само приведенное рассуждение уди-
вительно близки к знаменитой лемме Паскаля нз его
«Трактата о синусах четверти окружности» I41, сыгравше-
го впоследствии столь важную роль в открытии Лейбницем
взаимной обратностп операции дифференцирования и инте-
грирования. Существенное
отличие заключается лишь
в том, что у Паскаля
вместо хорды, стягиваю-
щей элементарную дугу,
гипотенузой элементарно-
го характеристического
треугольника служит от-
резок касательной к дуге
окружности в точке Р.
Далее вся дуга Л С делит-
ся па равные части. От-
метим, что при получении
ряда для arctg t делилась
на равные части в «Юкти-
Бхаша» пе дуга, а отрезок
липни тангенсов. Таким
образом, на равные элемен-
тарные части делится всегда та величина, которая слу-
жит аргументом в последующем разложении в степен-
ной ряд.
Соотношение (1) для каждой из элементарных дуг
(рис. 2) дает
Д1
X 1—Х 1 = —Б Ук-
»4-1 к-1 Я **
т2 2
Суммируя такие
равенства, легко получить выражение
х £ — х£ = — у (У1 + Уъ + ••• +Уп-1)’
2 2
плп, считая, что
х ! =& .7-; х0 П; Al AS — — .
я-1 'О’ „
330
Э. Я. БАХМУТСКАЯ
получим:
R cost) —Л = х— R (?/1 + Уа+ “
/г-а:яе 4'(4)(^+^+ ••• +Уп-1>-
Если рассмотреть эквивалент этого результата в со-
временных интегральных обозначениях, то получится
п s
соотношение dx — у ds, что аналогично содержа-
х 0
пню первой теоремы Паскаля пз «Трактата о синусах
четверти окружности», уже упоминавшегося ранее.
Теперь автору «Юктн-Бхаша» нужно получить вы-
ражение для разности между дугой и ее «бгуджаджнйя»,
т. е. для разности s — y.
Этого он достигает, рассматривая разности второго
поря <ка вида
(Уао - Уа) - (Уа - Уа i) = уЮ а- 1) •
Умножая почленно эти равенства, начиная с послед-
него, па 1, 2, 3, ... и складывая, легко получить сле-
дующее:
1 (Уп Уп-i) (Уп-i Уп-г)= jja Уп-i
2 (Уп-i Уп-г) (Уп-s Уп з)= д? Уп-г
(« - 2) (у8 -у2) - (Уз - yj = У2
(«-!) (Уг~У1)-(У1-0)= - ^5 У,
Уп~пУг-= -7^2 [Уп-1 + 2г/п_2+ ... +(«-1)^] =
= ~7^[У1 + (У1 + У2)-.- •••
• + (У1 + Уз+ ••• +Уп-1)1’
о РАБОТАХ ИНДИЙСКИХ МАТЕМАТИКОВ XV—XVIII ВВ. 331
где выражение в квадратных скобках представляет собою
треугольную сумму величин yk, называемую в «Юктн-
Бхаша» специальным термином «вторичная сумма».
Однако уп = у, а пу1<^ n-^ = s, следовательно,
У-5 -1^(т^1уп-1 + 2!/п.г+ ... +(n-l)yi].
Здесь впервые появляются треугольные суммы чисел
общего вида, такие же, какими в своих интегрированиях
широко пользовался Паскаль, которому принадлежит
и самый термин «треугольная сумма».
Отметим, что до этого времени индийские математики,
начиная с Лриабхатты, хороню знали и часто использова-
ли суммы треугольных и многоугольных чисел. Кроме того,
в главе XII произведения Нарайяна «Гаппта-Каумудп»
(1350 г.) рассматривались треугольные, пирамидальные
суммы, а также дальнейшне их обобщения, но только для
чисел специального вида, которые являются членами ариф-
метической прогрессии с заданной разностью I4].
При рассмотрении результатов, полученных Нарайя-
нов, оказывается (см. I4]), что уже этот математик умел
преобразовывать такие фигурные суммы различных поряд-
ков, устанавливать соотношения между ними, в которых
использовались известные индусам с давних пор суммы
квадратов п кубов натуральных чисел. Поэтому мастер-
ство автора «Юктн-Бхаша» в преобразовании одних инте-
гральных сумм в другие, демонстрируемое нм в дальнейшем
изложении, представляется естественным. Гораздо ботее
удивительна сама по себе направленность его рассужде-
ний, приводящих к результатам, эквивалентным некото-
рым простейшим формулам интегрального исчисления.
Для получения окончательного результата автору нуж-
но перейти от приведенных выше формул дтя S—у и 7?—х,
являющихся промежуточными, к разложениям, в кото-
рых простые и треугольные суммы ординат и «бгуджа-
джпйя» были бы выражены через длину дуги.
С этой целью рассматривается интересное вспомога-
тельное предложение о вычислении «первичной» и «вто-
ричной» «капасанкалпта», т. е. «первичной» и «вторичной»
сумм «по отношению к дуге».
332
Э. Я. БАХМУТСКАЯ
Если воспользоваться буквенными обозначениями, то
эти суммы — простую и треугольную — можно записать
в следующим виде:
^(^1 + ^2 + ••• +^п)
и
(4) + № + ^2) + ••• +(Л’1 + Л2+ ••• + •*>’„)]
где 5, есть длина дуги Р0Ри 52 — длина дуги Р0Р2 и т. д.
Преобразуя эти суммы, автор «Юхти-Б.хаша» прихо-
дит к следующим результатам:
(4>+^- +5J=(£)(£+^+...+?).
5 (5+4)” _ Л*
~ п 1-2 2!
^если пренебречь малой величиной .
Точно таким же образом
) R’i + (*^1 + ^2) + • • • + (Л’1 + Л’г + • • • + Sn)] =
f S V n(nJ-0(«+2) _ f S V s GV"*"n )C‘V'^"n' )_ -S’
n ) 6 ’Д"/ 1-2.3 ^3! •
Здесь получены результаты, эквивалентные простен-
s
С 51
шей квадратурной формуле \ SdS = -^ и повторному
о
интегрированию:
Б s
dS Sd5 = ^-.
о о
К сожалению, мы лишены возможности изложить
подробно содержание последующего заключительного
этана доказательства. Дело в том, что мы не располага-
О РАБОТАХ ИНДИПСКИХ МАТЕМАТИКОВ .XV —XVIII ВИ. 333
ем в настоящее время достаточными материалами для
этого, так как Ц. Т. Рад.кагопал и А. Веннатараман
в конце своей статьи резко изменили манеру Лзложеипя,
отказавшись как от цитирования трактата, так и от
подробного изложения его содержания, и показали
лишь современную интерпретацию этого содержания при
помощи повторных интегралов и интегрирований по частям.
Поэтому мы отметим здесь лишь то, что представляется
наиболее достоверным.
При выводе окончательного выражения для разности
5—у вместо треугольной суммы ординат подставляется
соответствующая треугольная сумма длин дуг, что дает
первую приближенную формулу.
Для определения погрешности этой формулы рассма-
тривается разность двух интегральных сумм, одна из кото-
рых содержит треугольную сумму дуг, а другая — тре-
угольную сумму ординат. Пз этой разпости выделяется
слагаемое, которое содержит треугольную сумму тре-
угольных сумм, или, пользуясь терминологией Паскаля,
пирамидальную сумму дуг I®]. Эта пирамидальная сумма,
умноженная на ( — ] , по аналогии с предыдущим может
- л6
оыть представлена приближенно как . Таким образом,
О'
вообще говоря, могло быть получено любое количество
последовательных чтспов степенного ряда. При этом
оценка остатка, разумеется, пе производилась.
Закапчивая изложение, мы хотели бы в заключение
заметить, что историки и санскритологи до сих пор
полемизируют по поводу времени написания руко-
писи «Юктн-Бхаша». Большинство из них (Ц. Т. Раджа-
гонал, А. Веикатарамап, К. М. Джордж) [®] иа основании
исследования языка и стиля этой работы считают, что опа
нс могла быть написана позднее первой половины XVI1 в.
и, возможно, принадлежит даже к более раннему не
рноду.
Представителем другой точки зрения является индий-
ский! историк математики П. Сен-Гупта, который, по новому
истолковав шифрованную хропограмму из текста трактата,
пришел к заключению об его принадлежности к 1750 г. Р].
334
3. Я. БАХМУТСКАЯ
Нам кажется, что данные, основанные на изолирован-
ном исследовании подобных хронограмм, пе могут быть
признаны окончательными в силу наличия большого коли-
чества их разноречивых расшифровок, тогда как выводы,
вытекающие из тщательного изучения языка и стиля рабо-
ты, являются с нашей точки зрения гораздо более авто-
ритетными.
Однако независимо от точной датировки трактата
«Юктн-Бхаша» исторический интерес этого исследования
является несомненным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Э. Я. Б а х м у т с к а я, Бесконечные ряды в работах мате-
матиков Южной Индии в XV—XV III столетиях. Из истории естество-
знания и техники в странах Востока, сборник II, Москва, I960.
2. С. Т. Il a j a g о р а 1 and Л. V е n k a t а г a in a n. The
sine and cosine power series in Hindu mat hematics. Journal of the
Boyal Asiatic Society of Bengal science, vol. XV, № 1, 1949.
3. К. В a 1 a g a n d h a г a n, Appendix (санскритские тексты
и переводы). Journal of Bombay Branch of the Royal Asiatic Society,
vol. 20, Bombay, 1944, стр. 80.
4. A. N. Singh, Ou the use of series in Hindu mathematics,
Osiris, vol. 1, Bruges, 1936.
5. В. P a s с a 1, I n traite de sinus du quart de cercle, Oeuvres
du Blaise Pascal, xol. IX, Paris, llachette, 1914, стр. 60.
6. К. M. Georg e. Note on the style of V ukti Bhasa, Journal
of the Royal Asiatic Society of Bengal science, vol. XV, № 1, 1949.
7. P. C. S e n Gupta, A special note on the meaning of the
Kali Ahargana as to the data of the work V ukti Bhasa, там же.
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО индийского
МАТЕМАТИКА С. РАМА HJ ЖАНА
В. И. .leeu'H
Немногим более 40 лет назад на 33-м году оборвалась
жизнь Рамапужапа — одного нз замечательнейших мате-
матиков современности, который по силе своего таланта
п трагичности своей судьбы может быть поставлен в один
ряд с Эваристом Галуа и Нильсом Генриком Абелем.
Срипиваза Раманужап Айенгар был первым из индий-
ских математиков современности, получивших извест-
ность за пределами своей страны.
Сейчас в республике Индия работает много известных
математиков, быстро восстанавливающих в области точ-
ных наук былую славу древней индийской культуры.
Но в то время, когда Раманужап учился и начинал
свой творческий путь, в угнетенной тяжким колониаль-
ным гнетом Индии не было национальной математической
школы. Ьолес того, в Индии начала XX в. негде было
получить подготовку к научной деятельности на уровне,
соответствующем состоянию тогдашней европейской мате-
матики.
Изучение работ Раманужапа представляет большой
интерес для любого математика в силу редкой самобытно-
сти его результатов и методов и исключительной виртуоз-
ности владения аналитическим аппаратом, значительную
часть которого Раманужапу пришлось изобретать самому.
В свете полученных им результатов особенно поразитель-
ным является тот факт, что до последних лет своей жизни
ой даже не подозревал о существовании теории аналптичс-
336
В. 11. ЛЕВИН
скпх функции с ее мощнейшим аппаратом. Один пз круп-
нейших английских математиков Джоффрей Гарольд Хар-
ди (1877—1947), которому Раманужан обязан, как мы
увидим, весьма многим, писал, что сила Рамапужана как
аналитика особенно ярко проявляется в том, что он рабо-
тал, по зная теоремы Коши и теоремы о вычетах, причем
совершенно пе ощущал необходимости в этих теоремах
при вычислении интегралов и суммировании рядов.
Основная сила Рамапужана состояла в исключитель-
ной глубине аналитической интуиции, умении, граничив-
шем с волшебством, поставить и обобщить математический
эксперимент и совершенно виртуозном владении формаль-
ными выкладками. Рамапужана можно назвать математи-
ческим Паганини с той лишь оговоркой, что Паганини
с детства заставляли до изнеможения упражняться в игре
на скрипке, тогда как никто никогда пе требовал от Рама-
пужана, чтобы он занимался математикой. Болес того,
Раманужан до 27 лет вообще не общался ни с кем, кто мог
бы руководить ого первыми научными исследованиями
и оцепить их значение.
По мнению Харди, Раманужан занял бы одно из самых
первых мест в истории математики, если бы он родился
не в конце XIX в. в .захолустном селении южной Индии,
а па 100—150 лет раньше в одной из развитых европейских
стран.
Это сказано, правда, не совсем удачно. Для расцвета
дарования Рамапужана не обязательно было родиться
в эпоху господства идей и методов формалыю-анали-
тпческого направления Эйлера — Якоби. Его аналити-
ческий гений мог бы ярко раскрыться и в XX в. в освобо-
жденной Индии. Если бы Раманужан получил нормаль-
ное математическое образование, то он и в современных
условиях несомненно обогатил бы науку многими ре-
зультатами высшего класса.
1. Раманужан родился 22 декабря 1887 г. в селении
Эрод на юге Индии. Его родители принадлежали к при-
вилегированной касте браминов, но жили бедно и ничем не
отличались от окружавших их мелких служащих, торгов-
цев в крестьян. Отец Рамапужана был бухгалтером в ма-
ленькой текстильной лавке в городе Кумбакопаме Таиджор-
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНЛ
337
ского района Мадрасской провинции. Имеются сведения
о том, что мать Рамапужана была незаурядной, волевой
женщиной; однако она находилась в плену узких кастовых
С. Раманужан (1887—1920).
и религиозных предрассудков и ее влияние па столь
одаренного сына с точки зрения его научного развития
нельзя призвать благотворным.
Раманужан воспитывался в атмосфере легко понятном
враждебности ко всему европейскому и, в особенности,
английскому, причем в окружавшей его среде протест
22 Цстор.-иатеи. исслед., вып. XIII
338
В. И. ЛЕВИН
против колониального гнета выражался в строгом соблю-
дении национальных обычаев, старого уклада жизни
и в ограничении традиционной браминской системой вос-
питания и образования. Естественно, что в отношении
математического развития это ставило юного Рамапужапа
в очень тяжелые условия, на.тоживпше сильный отпечаток
па всю его научную карьеру. Следует также отметить, что
британская администрация со свой стороны пе прилагала
особых усилий к выявлению народных талантов ни в ка-
кой области науки и искусства. Таким образом, самобыт-
ный гений Рамапужапа в течение большей части его
короткой жизни оставался предоставленным самому себе.
Когда ему шел мятый год, Раманужап, как и все маль-
чики брамины, был отдан в двухлетнюю школу, по оконча-
нии которой он поступил в начальную школу при город-
ской средней школе Кумбакопама, где протекала вся его
дальнейшая школьная жизнь. В 1897 г. он окончил началь-
ную школу и занял первое место по результатам стипен-
диальных экзаменов в районном центре Танджоре, что
дало ему право дальнейшего обучения в средней школе За
половинную плату. Примерно к этому же времени отно-
сятся первые воспоминания о нем его сверстников и стар-
ших товарищей. В этих воспоминаниях он рисуется как
тихий задумчивый мальчик, редко участвующий в играх
и шалостях своих одноклассников.
Воспитанный в мистических традициях брахманизма,
Раманужап уже во втором классе средней школы (что
соответствует примерно пятому классу пашей школы)
задавал старшим товарищам и учителям вопрос о «выс-
шей истине» в математике, так как привык считать, что
в каждой области человеческой деятельности существует
некая мистическая «высшая истина», первоначало вещей,
управляющая дайной областью и содержащая в себе все,
что может быть в ней известно. Говорят, что в ответ он
получал указания па теорему Пифагора, пли па проценты
и учет векселей.
Уже в четвертом классе Раманужап самостоятельно
изучил полный курс тригонометрии по двухтомному
руководству Лони (Loney), которое он одолжил у знакомого
студента Мадрасского университета. Этот студент, как
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНЛ
339
рассказывают, был поражен знаниями школьника по
тригонометрии и часто обращался к Рамапужаиу за по-
мощью в решении задач. В пятом классе Раманужан само-
стоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус
и косинус через показательную функцию мнимого аргумен-
та. ио, узнав, что они уже известны, спрятал своп записи
на чердаке дома. Это было его первое столкновение с запад-
ной математикой, из которого он понял, что учебник Лони
содержит далеко пе все известные математические факты.
Однако бедность кумбаконамской библиотеки и плохое
знание английского языка сильно затрудняли математи-
ческое развитие молодого Рамапужана.
2. Только в 1903 г., когда Раманужан был в шестом
классе, ему удалось при помощи одного знакомого полу-
чить единственную книгу по высшей математике, имевшу-
юся в Кумбакопаме. Это была книга Карра «Сборник
элементарных результатов чистой и прикладной математи-
ки»1), изданная в двух томах в Лондоне в 1880—1886 гг.
Книга Карра содержит G1G5 теорем и формул, большинство
которых приводится без дока штельств и выводов; конс-
пективные доказательства намечены только для неболь-
шого числа важнейших теорем. Благодаря связи с именем
Раманужаиа эта книга, подобная тысячи других книг, была
впоследствии подвергнута тщательнейшему анализу. Шуб-
ридж Карр окончил Кэмбриджскпй университет и подви-
зался в Лондоне в качестве частного преподавателя мате-
матики. Он издал свой сборник в помощь своим учени-
кам— студентам. По отзыву Харди, книга Карра, кото-
рую нельзя назвать выдающейся, все же имела несомнен-
ные достоинства, и прежде всего систематичность подбора
теорем и корректность их формул и ровок. Наряду с глава-
ми, посвященными элементарной алгебре,тригонометрии
и аналитической геометрии, опа содержала также главы
по Дифференциальному и интегральному исчислению,
причем формальная сторона интегрального исчисления —
в соответствии, по-впдимому, с личными вкусами автора —
’) George s li oobridgeCar г, Л synopsis of elementary
esults in pure and applied mathematics, London, vol. I, 1880,
'ol. II, 1886.
.140
В. II. ЛЕВИН
была непропорционально подробно изложена и доведена до
весьма сложных формул. Харди ([*], стр. 2—3, с.м. так-
же |ZJ, стр. 138) писал: «... Раманужан сделал эту книгу
знаменитой, и ист никакого сомнения в том, что опа глу-
боко повлияла па пего и явилась отправным пунктом его
карьеры. Такая книга должна была иметь некоторые досто-
инства; и действительно, книга Карра... не является
просто третьесортным учебником, а представляет собой
книгу, написанную со знанием дела и с любовью к пред-
мету...». Несколькими строками ниже Харди дал следую-
щую заключительную оценку книги Карра: «В целом,
если рассматривать ее как пособие для мальчика с таким
дарованием, книга Карра совсем нс плоха, и восприятие
Раманужано.м материала было изумительным».
В составленном Харди в 1921 г. некрологе [4] (пли Iе]
стр. XX— XXXVI) цитируется следующая выдержка из
письма одного школьного товарища Рамапужана: «Он
(Раманужан) брал книгу Карра пз библиотеки колледжа
и с удовольствием выводил содержащиеся в ней формулы...
Уже тогда он рассказывал товарищам о своих математи-
ческих открытиях... Он обладал исключительной памятью
и с легкостью цитировал полный список санскритских
корней (almanepada и parasmepada); он знал громадное
число знаков в разложениях I 2, л, е и других чисел в деся-
тичные дроби...».
В краткой (и единственной по сей день) биографии
Рамапужана, принадлежащей преподавателю (а впослед-
ствии директору) Кумбакопамского колледжа Сешу Лйару
и высокому правительственному чиновнику Мадрасской
провинции Рамачапдра Рао1), этот важный период жизни
Рамапужана описывается так ([eJ, стр. XII): «Перед Рама-
нужаном открылся новый мир, по которому он бродил
в восхищении. Книга Карра по настоящему пробудила
дремавшие в нем силы. Он с жадностью принялся за вы-
вод приведенных впей формул и доказательства теорем. Так
как ои при этом не мог пользоваться никакими другими
кингами, то каждое найденное им доказательство являлось
*) [•], стр. XI—XIX: Р. V. S е s li а Л i у а г and ВяшасЪ-
and га Rao, Srinivasa Ramanujan (1887—1920).
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМ1НУЖАНА
341
для него самостоятельным исследованием. Сначала он
обратился к методам построения магических квадратов.
Затем его внимание привлекла к себе геометрия; пытаясь
решить задачу о квадратуре круга, он нашел исключитель-
но хорошую приближенную формулу для длины окруж-
ности, ио которой длина земного экватора может быть вычи-
слена с точностью до нескольких футов (1—2 метров)1).
Вскоре он разочаровался в геометрии и, занявшись алгеб-
рой, открыл несколько новых рядов. Раманужаплюбил
говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Иамак-
каль. Интересно отмстить, что он действительно, часто
вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые
формулы, после чего быстро проверял их; впрочем, строгие
доказательства не всегда ему удавались. Все эти резуль-
таты он заносил в записную книжку, которую имел обык-
новение показывать математикам, интересовавшимся его
работой».
Ио поводу этого свидетельства индийских биографов
Рамапужапа Харди (14, стр. 4, а также Р], стр. 139)
писал: «Я умышленно процитировал эти последние фразы,
но не потому, что придаю им большое значение — я так
же мало заинтересован в богине Намаккаль, как и Вы,—
а потому, что мы теперь подходим к тяжелой и трагиче-
ской части карьеры Рамапужапа, и должны, насколько это
нам возможно, попытаться понять его психологию в уяс-
нить себе окружавшую его атмосферу».
3. Сешу Анар и Рамачапдра Рао знали молодого
Рамапужапа лично и располагали многими местными
сведениями от людей, общавшихся с Раманужаном.
Поэтому их рассказ о нем содержит много ценного
фактического материала, но он окрашен их собственными
этико-философскими воззрениями и симпатиями к рели-
гиозным учениям индуизма. С другой стороны, с 1914 по
1919 г. Харди почти ежедневно встречался с Раманужа-
ном и беседовал с ним на всевозможные темы. В первой
главе своих лекций Харди I1] (см. также Р]) кратко касает-
ся основных этапов жизни Рамапужапа и дает свою оцен-
ку Раманужану как человеку. При этом Харди иногда
*) См. ниже (1) в п. О, стр. 382.
312
В. И. ЛЕВИН
резко расходится с Сешу Амаром и Рамачапдрой Рао,
в частности ио вопросу о религиозности Рамапужана.
Харди пе утверждает, что Раманужан был убежденным
атеистом, по цитирует высказывания самого Рамапужана,
свидетельствующие о его равнодушии к вопросам религии;
однако Раманужан соблюдал многочисленные условности
индуистского ритуала, чтобы не огорчить своих религиоз-
ных родных н друзей. В частности, он был всю жизнь
вегетарианцем, и даже в последние 2 года своей жизни,
когда вегетарианская днэта тяжело сказывалась на его
здоровье (он умер от туберкулеза), не отказался от нее.
4. Шесток класс был последним классом средней
школы. В 16 лет Раманужан по окончании школы выдер-
жал приемные испытания в Мадрасский университет
и в январе 1904 г. приступил к занятиям па первом курсе
Кумбакоиамского колледжа, входившего в состав Мад-
расского университета. За своп первые успехи он получил
специальную стипендию, предназначавшуюся для особо
успевающих по английскому языку и математике. Одна-
ко вскоре его учебные дела и колледже пошли все хуже
и хуже, так как оп отдавал все время собственным мате-
матическим исследованиям, результаты которых он регу-
лярно заносил в своп, ставшие впоследствии знаменитыми,
записные книжки (они были полностью изданы в Индии
только в 1957 г.; см. I5]). Оп перестал выполнять задания,
пропускал много занятий п, в конце концов, был остав-
лен на первом курсе. В жизни Раманужапа началась
полоса неудач, длившаяся почти 10 лет. В течение 1905 г.
оп бродил по центральной Индии в районах, лежащих
к северу от его родных мест, затем вернулся в Кумба-
копам, пытался продолжить учебу в колледже, но но
был допущен к занятиям, уехал в Мадрас, поступил там
в 1906 г. в университет, но заболел п вновь вернулся
домой в Кумбаконам. В 1907 г. он сделал попытку сдать
экзамены за первые 2 курса университета экстерном, но
провалился. После этого до 1909 г. он не имел определен-
ных занятий, если не считать того, что все это время он
неустанно занимался математикой, исписывая все новые
н новые страницы своих записных книжек. В 1909 г-
Раманужан женился п начал поиски работы. В 1910 г.
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАН!
343
он обратился по поводу своего устройства к индийскому
математику Рамасвамп Айару, основателю Индийского
математического общества. Рамасвамп Aiiap, просмотров
записные книжки Раманужана, убедился в том, что имеет
дело с человеком необычных способностей, хотя всей силы
таланта Раманужапа ои пиках по подозревал. Он папра-
внл Рамапужана к Сету Айару, который тогда был препо-
давателем Кумбакопамского колледжа и знал Раманужа-
на еще как студента. Сету Анар устроил Раманужапа па
временную работу, но через несколько месяцев Рам шу-
жан вновь остался без работы. Пакопец, в декабре 1910 г.
Раманужану немного улыбнулось счастье: он был пред-
ставлен влиятельному сановнику Рамачандру Рао, кото-
рый сыграл важную роль в жизни Раманужана. Однако
улучшение положения Раманужапа заставило себя ждать
еще 3 года, когда Раманужану был, наконец, подсказан
самый важный шаг в его жизни: письмо к Харди в Кэм-
брндж.
Рамачаидра Рао был математиком только в том смысле,
что имел университетское математическое образование;
его административная деятельность не давала ему воз-
можности творчески заниматься математикой. По он был
первым, кто распознал математический гений Рамапужа-
на и, не задумываясь, употребил все свое влияние для
облегчения 'жизни и обеспечения паучпой карьеры Рама-
нужана. Небезынтересно привести его собственное
описание первой встречи с Раманужано.м (Iе], стр. XIII —
XIV). «Несколько лет тому назад мой племянник, совер-
шенно по знакомый с математикой, обратился ко мне со
словами: «Дядя, у меня был посетитель, говоривший что-
то о математике; я его не понял; может быть, Вы выслу-
шаете его и установите, есть ли какой-нибудь смысл в том,
что он говорит?» И вот, в самодовольном сознании своей
математической мудрости, я разрешил Раманужану’ пред-
стать передо мной. В комнату’ вошел юноша, довольпо
полный, низкого роста, небритый и в несколько растер-
занном виде, держа в руке потрепанную записную книжку;
во всем его облпке замечательными были только глаза —
казалось, что онп светились. Он был невыразимо беден.
Он убежал пз Кумбаконама в Мадрас, чтобы найти досуг
341
В. И. ЛЕВИН
для занятий математикой. Он ничего другого не хотел, не
искал нн признания, ни почестей. Он искал досуга, т. е.
просил, чтобы его обеспечили простейшей пищей без
затраты сил с его стороны, чтобы он мог продолжать
свои мечтания. Он открыл свою записную книжку и на-
чал объяснять некоторые свои открытия. Я сразу же уви-
дел, что имею дело с чем-то необычным; я недостаточно
много знал, чтобы понять его. Я попросил его прийти
еще раз, н он пришел. Во второй раз он понял, что я мало
знаю, и показал мне несколько более простых результа-
тов. Но и эти результаты далеко выходили за пределы
и вестных мне книг, и я уже по сомневался в том, что
он — замечательный математик. Потом, шаг за шагом,
оп рассказал мне про эллиптические интегралы и гпнер-
геометрпческпе ряды и, наконец, посвятил меня в свою тео-
рию расходящихся рядов, которая еще не была объявле-
на миру1). Я был покорен и спросил его, что же оп
хочет от меня. Он ответил, что он просит немного денег,
чтобы существовать и заниматься своими исследованиями».
Рамачандра Рао сначала помогал Раману жану пз лич-
ных средств, а затем, видя, что Рамапужан тяготится та-
ким положением, устроил его па работу в Управление
почт Мадраса с окладом в. 30 рупий в месяц. В почтовом
ведомстве он работал с февраля 1912 г. по май 1913 г.,
когда его судьба, наконец, окончательно определилась
благодаря вмешательству Харди.
5. В 1911 г. в «Журнале Индийского математического
общества2») появились в печати первые задачи Раману >ьа-
иа, сообщенные Сешу Анаром. Первая собственная статья
Раманужана появилась несколько позже в том же году 1* *1.
К 1912 г. установилась репутация Рамапужапа как мате-
матика, во всяком случае па его родине. О нем знали уже
некоторые работавшие в Индии англичане, в частности
профессор Мадрасского высшего технического училища
Гриффитс и директор Мадрасского почтового ведомства
*) Теория расходящихся рядов была уже, конечно, разработана
в Европе, хотя н далеко не в такой степени, как в настоящее время.—
В. Л.
*) Journal of the Indian Mathematical Society, vol. Ill, February
1911.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
345
сэр Фрэнсис Сиринг. Однако при рассмотрении этого
периода жизни Рамапужана все же создается впечатле-
ние, что окружавшие его люди при всем хорошем отно-
шении к нему по-прежнему не имели представления о пра-
вильной подготовке Рамапужана к научной работе в об-
ласти математики и считали, что для него сделано все, на
что он имел право рассчитывать.
К началу 1913 г. близкие к Раманужану математики
настойчиво рекомендовали ему вынести свои результаты
нз записных книжек па более компетентный и строгий
суд: послать их в центр математической мысли британской
империи — Кэмбрнджский университет.
До начала XX в. Кэмбрнджский университет не при-
надлежал к числу крупнейших мировых математических
центров. Но в начале XX в. молодые математики Харди
и Литлвуд подняли уровень математических исследований
и математического образования в Кэмбрпдже. Благодаря
своей энергии и исключительной научной продуктивности
Харди уже в молодые годы стал известным ученым, воз-
главившим крупную математическую школу. Харди
был всего на 10 лет старше Рамапужана, но он имел воз-
можность приобщиться ко всей тысячелетней мировой
математической культуре, тогда как Раманужан имел
в своем распоряжении только пару старых элементарных
, 1 lepiiop^T могучий математический генпй.
uVHe'.nniiioijnncbMo к Харди Раманужан написал 16 января
1913 г. Вот это замечательное письмо (см. Iе], стр. XXIII
пли Iе]):
«Мадрас, 16 января 1913 г.
Дорогой сэр,
разрешите мне сказать о себе, что я — чиновник бухгал-
терии Мадрасского управления почт с окладом всего
лишь в 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около
23 лет. Я пе пмею университетского образования, ио я кон-
чил школу. После окончания школы я все свое свободное
время занимался математикой. Я не следовал регулярной
системе обучения, по которой занимаются в университетах,
а избрал свою дорогу. Особенно усердно я занимался рас-
ходящимися рядами, и результаты, которые я получил,
местные математики называют «поразительными». Так же
346
В. И. ЛЕВИН
как в элементарной математике мы придаем степени ап
при отрицательном и дробном показателе п такое значе-
ние, чтобы оставались в силе все законы, справедливые
при целом положительном и, мои исследования были
устремлены к тому, чтобы придать смысл эйлерову
интегралу второго рода для всех значений п. Мои друзья,
СО
окончившие университет, говорят мне, что xn-1c * dx = Г(н)
о
справедливо только для положительных п. Они утвержда-
ют, что это интегральное соотношение неверно, когда п
отрицательно. Предполагая, что оно верно для положитель-
ных п, а также, что определяющее равенство пГ(п) = Г(и4-1)
справедливо всегда, я придаю смысл этим интег-
ралам и утверждаю, что при этих условиях hhtci рал вереи
и дтя всех отрицательных и дробных значений п. На этом
основаны все мои исследования, и я развил эти рассужде-
ния до такой степени, что местные математики по в состоя-
нии следовать за мной в моих более высоких полетах. Пе
так давно мне встретилась Ваша книга «Порядки беско-
нечности»1), в которой я на стр. 36 нашел утверждение, что
до сих пор еще не найдено определенное выражение для
числа простых чисел, меньших данного числа. Я нашел’
выражение, которое дает очень хорошее Приближение
к истинному результату, так как ошибка пнчт<^жнр"мала.
Я прошу Вас просмотреть прилагаемые материалы. УГ бе-
ден и не могу сам их опубликовать, по если Вы найдете
среди них что-либо ценное, то прошу Вас это опублико-
вать. Я нс сообщаю Вам ни моих выкладок, нн полученных
окончательных выражений, а только намечаю пути, по
которым я шел. Так как я очень неопытен, я буду высоко
ценить любой совет, который Вы мне соблаговолите дать.
С просьбой извинить меня за доставленные хлопоты,
я остаюсь, дорогой сэр, искренне Ваш С. Раманумган
Мой адрес: Бухгалтерия почтового управления, Мадрас,
Индия».
*) G. II. Hard у. Orders of infinity: «Infinitiircalcul» of Paul
du Bois-Reymond, Cambridge. Книга переведена па русский язык.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМ ШУЖАНА
317
Самый текст письма, как видно, весьма наивен как
в стилистическом, так и в математическом отношении,
но «прилагаемые материалы» поразили Харди. По пово-
ду этого первого и дальнейших писем Рамапужапа Хардп
заметал (см. [•], стр. XXII —XXIII или [4]): «...письма
очевидным образом написаны не самим Раманужапом,
а по его просьбе каким-нибудь местным грамотеем, но —
что самое важное — математические формулы в них не-
сомненно принадлежали Раманужану и только ему
одному».
От реакции Харди на первое письмо Рамапужапа
зависела вся дальнейшая судьба последнего. Поэтому
приведем свидетельство самого Харди о том впечатлении,
которое произвели на него первые письма Рама-
нужаиа.
Харди (PJ.CTp. 7 —8 пли [2], стр. 143 —144) выделяет
в качестве наиболее представительных для рапиего
творчества Рамапужапа следующие 15 результатов из
примерно 120, содержавшихся в письмах:
1 “ (l!2!)s Л’2 + (2!4!) ~ ’ =
= 0 + ТП)* + Т2!)5'+ ’ ’ ’ )(* “ ТПр +'(г!)’’— ’ 0 ’
0)
348
В. И. ЛЕВИН
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАН\ ЗзО
Если
и
то
A(l-A) = ) 210 А (А),
Л = (| 2-1)4(2-]/3)гХ
,(/7-] В)4 (8—3/7)2(1 1б-3)4Х
Х(4-|/ 1о)4(| 15 I 1’W-I 35)8’)-
Коэффициент при хп в
(1 - 2z + 2х4 - 2х* +
равен целому числу, ближайшему к
I . —. sh (л I п) \
— | п)----------1
(13)
(14)
Л I п
Число чисел, заключенных между А и х, которые
либо сами являются квадратами, либо представимы в виде
суммы двух квадратов, равно
X
лЛ -4=г + Н(ж), (13)
J I In t
А
где А-=0,764..., a Н (х) очень мало ио сравнению с интег-
ралом.
«Попытайтесь представить себе, пишет Харди (см. 1*1,
стр. 9 или (21, стр. 114) первую реакцию математика-
профессионала, получившего такое письмо от неизвест-
ного индийского клерка. Сначала я спросил себя, нет ли
среди этих формул знакомых мне результатов. Я сам
Доказывал нечто аналогичное формуле (7), и формула (8)
имела более или менее знакомый вид. Фактически форму-
ла (8) оказалась классической; она встречается у Лапла-
са, но впервые ее доказал Якоби; формула (9) также уже
известна из работы Роджерса 1907 г. Далее, я подумал,
что как эксперт в интегральном исчислении смогу без
тРУДа доказать такие формулы, как (5) п (6), и действи-
тельно доказал их, ио с гораздо большим трудом, чем
пл ПОВОДУ некоторых нз этих результатов Рамапужапа см.
:ло
В. II. ЛЕВИН
ожидал. Вообще интегральные формулы оказались все
же наименее импонирующими. Я нашел формулы (1)—(4),
содержащие ряды, значительно более интригующими,
и вскоре мио стало ясно, что в распоряжении Рамапужана
должны были быть какие-то очень общие теоремы, кото-
рые ои от меня скрывает. Формула (2) известна из теории
полиномов Лежандра и принадлежит Бауэру, но осталь-
ные три гораздо глубже, чем они выглядят. Теоремы,
нужные для их доказательства, сейчас уже известны;
они содержатся в книге Бэйли о гпперг-еометрпческпх
функциях. Формулы (10)—(13) представляют собой ре-
зультаты совершенно другого класса, и сразу видно, что
они трудны н чрезвычайно глубоки. Специалист в теории
эллиптических функций сразу обнаружит, что форму-
ла (13) должна как-то выводиться при помощи «комплекс-
ного умножения», ио формулы (10)—(12) поставили меня
полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного.
Достаточно бросить па них одни взгляд, чтобы убедиться
в том. что опи могли быть написаны только математиком
самого высшего класса. Опп должны быть верными, так
как если бы они были неверны, то нн у кого пе хватило бы
воображения их изобрести1). Наконец, я решил для себя
(надо помнить, что я в то время ничего пе знал о Раману-
жане и должен был учитывать все возможности), что автор
этого письма является абсолютно честным человеком,
так как великие математики встречаются все же чаще, чем
жулики или лжеученые, обладающие такой математичес-
кой изобретательностью». Теоретико-числовые утвержде-
ния (14) и (15) Раманужапа оказались неверными. По их
поводу Харди писал ((*1, стр. 9 или Is), стр. 144—145):
«Последние две формулы занимают особое место, потому
что опи неверны; они показывают пределы интуиции Ра-
*) Особенно сильное впечатление произвела на Харди формула
(10). Первая попытка проверить справедливость этой формулы за-
ключается, конечно, в рассмотрении частного случая х=1. Тогда
н=о=-^- () 5—1), и это значение должно удовлетворить уравнению
н4 (l-f-3u-{-4u,+2us4 u4)'=l — 2и — 4и* — 3us-f-u4, что действитель-
но подтверждается. Поповоду этой формулы см., в частности, [23J.
По поводу формул (11), (12) см. р5].
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
351
манужана, но это не метает им быть еще одним свидетель-
ством его исключительном силы. Функция в формуле (14)
является приближенным значением коэффициента, но
совсем ие столь точным, как это представлял себе Раману-
жаи; однако это ошибочное утверждение Рамапужана ока-
залось одним из самых плодотворных его утверждении,
так как оно привело нас в конце концов к нашей совмест-
ной работе над проблемой «part it io mimcronim». Форму-
ла (15), наконец, хотя н не содержит фактической ошибки,
понималась Раманужаном неверно1). Интеграл является
не лучшей аппроксимацией, чем более простая функция
Кх
_^=. ...ъ. В другом месте (Iе), стр. XXV; см. также 1*1)
1 Inz
_ 1
о формуле (15) Харди писал: «Главный член Л'л(1нх) 2
был впервые получен Ландау в 1908 г. Раманужан не
располагал тем мощнейшим аппаратом, который приме-
нялся Ландау. Раманужан никогда не видел ни одной
французской млн немецкой книги, его знания аглпйского
языка были столь незначительны, что он не смог даже
сдать элементарного экзамена. Достаточно удивительным
является уже то, что он вообще мог ставить такие задачи,
для решения которых потребовались усилия лучших мате-
матиков Европы в течение столетия, и которые по сей
день не получили полного разрешения».
6. В завязавшейся между Рамапужапом и Харди пере-
писке перед последним все больше и больше раскрывался
самобытный талант Рамапужана. В одном из последую-
щих писем от 27 февраля 1913 г. Раманужан писал (1®1,
етр. ХХ\11 пли [*!):
♦ В Вас я нашел друга, который с вниманием и понима-
нием относится к моим трудам. Это является стимулом
Для меня продолжить мои исследования... Во многих
местах Вашего письма я нахожу указания на то, что
требуются строгие доказательства, и Вы просите меня
сооощнть мои методы доказате <ьств... Вот что я хочу
Вам сказать: проверьте мои результаты, и если они совпа-
_ *) Раманужан, введенный в заблуждение аналогией с пробле-
мой аппроксимации функции л (х) пз теории простых чпсел, считал,
что интеграл является лучшим приближением, чем A'r(tnr)-1^».
352
В. И. ЛЕВИН
дают с Вашими, то Вы должны по крайней мере согласиться
с тем, что в моих основных рассуждениях имеется какое-то
зерно истины... Чтобы сохранить мой мозг, мне нужна
нища, п это является моей первой заботой. Одного Вашего
письма с по южптелыюй оценкой моей работы будет доста-
точно для назначения мне стипен цш от университета или
от правительства...». В этом же письме мы находим следую-
щее характерное место: «... Я сообщил ему1), что по моей
теории сумма бесконечного числа членов ряда 1-J-24-34-
4-44-... равна — р. Если бы я сообщил этот результат сра-
зу Вам, то Вы указали бы мне на сумасшедший дом как
место, где мне надлежит быть ...».
Хардн подозревал, что Раманужан не хочет сообщить
ему, английскому математику, свои методы и основные
формулы. Поэтому ом написал Раманужану, что тот может
ему все сообщить без опасения, что Харди использует
его методы. В письме от 17 апреля 1913 г. Раманужан в от-
вет пишет ([®], стр. XXIX пли |4]): «... Ваше последнее
письмо причинило мне боль ... Я нисколько пе опасаюсь
того, что мои методы будут использованы другими. Напро-
тив, я работаю моими методами уже 8 лети не нашел никого,
кто бы понимал и оценил их. Как я уже писал в моем
последнем письме, я нашел в Вас внимательного и пони-
мающего друга и готов передать в Ваше полное распоряже-
ние те немногие результаты, которыми я располагаю.
Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже
сейчас сообщить Вам мой путь вывода тех формул, кото-
рые я Вам сообщил в моих предыдущих письмах...».
В результате этой переписки Хардн предпринял энер-
гичные шаги по обеспечению Раманужапа стипендией
и пригласил его приехать в Кэмбридж. Приглашение было
передано Раманужану через секретаря организации индий-
ских студентов в Лондоне, но, хотя все финансовые воп-
росы благополучно разрешались, Раманужан категори-
чески отказался покинуть Индию; основную роль здесь
сыграли кастовые предрассудки; особенно противилась
поездке Раманужана в Европу его мать. Оставалось
*) Ссылка на лицо, фигурировавшее в предыдущем письме.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
353
только хлопотать о стипендии Рамапужапув самой Индии.
Наряду с представлением Харди, к ректору Мадрасского
университета по этому вопросу обратился также генераль-
ный директор индийских обсерваторий Дж. Т. Уокер,
который в своем ходатайстве, между прочим, писал ([“],
стр. XXV): «... Имею честь обратить Ваше внимание па
С. Рамапужапа, клерка Мадрасского управления почт.
Я с ним пе знаком, но вчера мне в присутствии сэра Фрэн-
сиса Спринга показали его работы. Как мне сообщили,
ему 22 года. Его работы произвели на меня сильное впечат-
ление — они вполне сравнимы с работами членов Кэмб-
рпджского университета... Я совершенно убежден в том,
что университет поступит разумно, если предоставит
С. Рамапужапу возможность заниматься математикой, ие
заботясь о заработке, хотя бы в течение нескольких лет...».
В результате Мадрасский университет с 1 мая 1913 г.
предоставил Рамапужапу специальную стипендию в 75 ру-
пий в месяц сроком на 2 года. Как отметил Харди, с этого
дня Раманужап стал математиком-профессионалом.
Переписка не удовлетворяла Харди, и оп продолжал
настойчиво добиваться приезда Рамапужапа в Кэмбридж
как в интересах самого Рамапужапа, за научную деятель-
ность которого он себя чувствовал в известной мере ответ-
ственным, так и в интересах математики. Письменные уве-
щевания Харди оставались безрезультатными, влияние
матери на Рамапужапа, по-впднмому, перевешивало и мне-
ние Харди, и советы многих научных друзей Рамапужапа.
Положение не изменилось до конца 1913 г. Но в самом
начале 1914 г. в Мадрас ио приглашению университета
для чтения лекций прибыл один пз кэмбрпджских доцен-
тов, ученик Харди, Э. Г. Извил (род. в 1889 г., впослед-
ствии профессор университета). Извил имел поручение от
Харди предпринять еще одну попытку вывезти Рамапу-
жапа в Англию. По приезде в Мадрас Извил обратился
и университет с меморандумом, в котором, в частности,
писал ([•], стр. XXVI): «Открытие гения Рамапужапа
обещает стать самым замечательным событием в математи-
ке нашего времени... Нельзя переоценить важности
дальнейшего математического образования Рамапужапа
в одном из центров мировой науки, где он мог бы ознако-
23 Истор.-матем. исслед., вып. XIII
>j4
В. И ЛЕВИН
питься с более тонкими методами современной математики
и работать под руководством ученых, знающих все, что
известно в данной области, и те проблемы, в которых
надо продолжать исследования... Я пе вижу оснований
сомневаться в том, что Раманужан извлечет максималь-
ную пользу из общения с выдающимися западными мате-
матиками. В этом случае1) его имя станет одним из величай-
ших в истории математики, а Мадрасский университет
и город Мадрас будут гордиться тем, что способствова-
ли его переходу от неизвестности к славе...». Вопрос о не-
обходимости поездки Рамапужана в Кэмбрндж широко
и упорпо дебатировался в кругах мадрасской интеллиген-
ции, так что его мать, наконец, сдалась. Однажды утром
она заявила, что во сне богиня приказала ей не проти-
виться более отъезду сына и что опа видела его сидящим
в кругу европейцев в большом зале. Раманужан получил от
университета стипендию в 250 фунтов стерлингов в год па
2 года2), оплату проезда в Англию и обратно, дорожные
расходы и нр. Выделив из своей стипендии 60 рупий
в месяц для матери, Раманужан отбыл в Кэмбрндж 17 мар-
та 1914 г. В апреле он уже был зачислен в колледж Св. Тро-
ицы, где стипендия была увеличена еще иа 60 фунтов
стерлингов.
7. Первые месяцы пребывания Рамапужана в Кэмбрпд-
же были посвящены восполнению основных пробелов в его
математических знаниях. Харди, Лнтлвуд и другие
кэмбриджскпе математики были пзумлепы как глубиной
его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведом-
ленностью в других. Вспоминая начало кэмбрнджский
карьеры Рамапужана, Харди писал (Iе], стр. XXX или
[* *]): «Перед нами был человек, который мог оперировать
с модулярными уравнениями и теоремами комплексного
умножения неслыханно высоких порядков, чье мастер-
ство в области непрерывных дробей, во всяком случае
с формальной сторопы, было непревзойденным, человек,
самостоятельно открывший функциональное уравнение
дзета-функции и главные члены асимптотики многих
*) То есть — если он будет направлен в Кэмбрндж.
*) Стппепдпя была затем продлена еще на 3 года, так что Рама-
пужап получал ее в течение 5 лет, до 1 апреля 1919 г.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАПА
355
важнейших теоретико-числовых функции; в то же время
оп ничего не слышал о двояко-периодпческнх функциях,
не знал о существовании теоремы Коши н, вообще,
имел только самое слабое представление о том, что такое
функция комплексного переменного. Его понимание сущ-
ности математического доказательства было более чем
туманным; оп пришел ко всем своим результатам, как
ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным,
при помощи странной смеси интуитивных догадок, индук-
тивных соображении и логических рассуждений...». Пред-
лагать такому человеку приступить к систематическому
изучению основ математики было невозможно, но в оди-
наковой мере было невозможно, до выражению Харди,
«дать ему шагать по жизни, думая, что все корпи дзета-
фупкции вещественны». В конце концов обучение Рама-
иужана пошло по пути собеседовании и семинаров, где
знания Раманужапа быстро пополнялись в процессе обсу-
ждения нерешенных проблем и творческой работы. Через
некоторое время Раманужан прилично знал теорию функ-
ций и аналитическую теорию чисел. «Правда, ои уже пе
стал,— говорит Харди ([•], стр. XXXI или I43)),— мате-
матиком повой школы, о чем, быть может, и не стоитсожа-
леть, по он научился понимать, когда теорема доказана
и когда опа пе доказана, а поток его оригинальных мате-
матических идей продолжал изливаться без малейших
признаков истощения».
Война, разразившаяся осенью 1914 г., помешала про-
должению образования Раманужана. Лптлвуд, который
вместе с Харди вел основную работу с Раманужаном,
был мобилизован, а как сказал Хардн, одного учителя
Для такого ученика было мало. Научная жизнь в Кэм-
брндже замерла, Hapj шились международные связи.
Только на втором этаже внутреннего корпуса колледжа
Св. Троицы, на стене которого висела под стеклом старая
надпись «Посетителей просят не шуметь, так как это
мешает занятиям достопочтенного сэра Исаака Ньютопа»,
в квартире Харди продолжались ежедневные занятия
с Раманужаном.
Раманужан упорно занимался математикой и только од-
1,011 математиком. Он не проявлял ни малейшего интереса
23*
356
В. Л. ЛЕВИН
ни к каким другим областям, кроме как к анализу н тео-
рии чисел, пи, тем более, к другим точным наукам, полити-
ке, философии, литературе, спорту, которыми интересо-
вался Харди. С камина в кабинете Харди на этих двух
математиков безмолвно смотрели портреты Маркса, Эйнш-
тейна и Хоббса (знаменитый английский игрок в крикет).
В тех редких случаях, когда Хардп удавалось вызвать
Рамапужапа иа разговор на нематематические темы, Хар-
дп находил в нем довольно интересного собеседника. Про
эти немногие минуты Хардп писал (I1!, стр. 5; см. так-
же [®], стр. 140): «... я хочу совершенно определенно
заявить, что когда Раманужап жил в Кзмбрндже в хоро-
ших условиях и был здоров, он, несмотря на некоторые
свои странности, был таким же нормальным и разумным
человеком, как все другие кэмбрнджскпе ученые, собирав-
шиеся за ужином в профессорской столовой. Не следует
воздевать руки к небу и восклицать: «перед памп что то
непонятное, какое-то олпцетворешю извечной мудрости
Востока!». Я пе верю в извечную мудрость Востока, карти-
на, которую я хочу нарисовать перед Вами,— это портрет
человека, который имел свои особенности, как все выдаю-
щиеся люди, ио в обществе которого Вы могли получить
интеллектуальное удовольствие, с которым Вы могли за
чашкой чая беседовать о политике или математике, короче
портрет не восточного чуда или одухотворенного идио-
та..., а портрет умного человека, который, кроме того,
был еще великим математиком».
Основная часть опубликованных работ Рамапужапа бы-
ла написана им в Кзмбрндже самостоятельно или в соав-
торстве с Хардп. Многие из этих работ Хардп писал сам
или подвергал английский текст Рамапужапа редакцион-
ной переработке. Деятельное участие в их совместных
занятиях принял также по возвращении с фронта Лнтлвуд.
8. Весной 1917 г. Раманужап заболел и должен был
лечь в Кэмбриджскпй госпиталь, где его регулярно
посещали Хардп и другие кэмбрнджскпе математики.
Большую часть остального времени пребывания в Англии
ему пришлось провести в больницах Лондона, куда оп был
вскоре переведен. Сначала его болезнь не вызывала осо-
бых опасений, ио постепепно сырой английский клпмат.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАНА
357
условия военного и послевоенного времени, а также недо-
верие Рамапужана к английским врачам и настойчивое со-
блюдение им неподходящей днэты окончательно подорвали
его здоровье. Оп имел от рождения слабые легкие, и его
болезнь перешла в открытую форму туберкулеза. Раману-
жан.у очень хотелось вернуться домой, в Индию, но
отъезд задерживался в течение 2 лет в связи с его болез-
ненным состоянием и трудностями морского сообщения
(во«душного сообщения, конечно, еще не существовало).
Хотя в это время Раманужан уже ие мог так интенсивно
заниматься математикой, как в первые 3 года его пребы-
вания в Англии, он продолжал работать в больницах
и санаториях.
После длительного отдыха осенью 1918 г. в одном из
санаториев Уэллса на юго-западпом побережье Англин его
здоровье, как казалось, несколько улучшилось, и он с но-
вой энергией взялся за работу. 26 ноября 1918 г. он был
избран в члены Английского Королевского общества
(Английская Академия наук) и одновременно профессором
Кэмбриджского университета. Он был первым индийцем,
удостоенным этих почестей.
13 начале 1919 г. здоровье Рамапужана настолько по-
правилось, что лучшие медицинские силы Англии счита-
ли его вне опасности, и он решил, хотя бы на время, вер-
нуться в Мадрас, университет которого также приглашал
огона работу. По-видимому, это была роковая ошибка, так
как возможно, что оставаясь в Европе, оп бы окончатель-
но излечился. Ио желание увидеться с родными и посетить
родину' после долгой разлуки взяло верх. Распрощавшись
с Харди и его кэмбрнджскпмп друзьями, он в январе
1919 г. отправился в Индию. Что он был при этом полон
самых радужных надежд, видно нз письма, которое он
отправил ректору Мадрасского университета незадолго
До своего отъезда ([®], стр. XIX):
«И января 1919 г.
Сэр,
Имею честь подтвердить получение Вашего письма от
J Декабря 1918 г. и выразить благодарность за оказывае-
ю мпе поддержку’ и предложенную честь.
358
В. II. ЛЕВИН
Я считаю, однако, что оклад, установленный мне по
прибытии в Индию, которое, как я надеюсь, произойдет
в самое ближайшее время, слишком велик по моим потреб-
ностям. Я думаю, что после оплаты моих расходов в Анг-
лин н помощи моим родителям в размере 50 фунтов
стерлингов в год останется слишком большая сумма, часть
которой я хотел бы использовать для благотворительных
целей, таких, как снижение школьной платы за обучение
бедных детей и сирот и как приобретение книг для школь-
ных библиотек. Необходимые для этого шаги можно будет,
конечно, предпринять после моего возвращения.
Я сожалею, что вследствие моей болезни я пе мог за
последние два года достаточно много заниматься матема-
тикой. Надеюсь, что скоро я буду в состоянии сделать
больше и тем самым оправдать ту помощь, которую
я получал.
Я остаюсь. Сэр,
Ваш покорный слуга
С. Раманужана.
После отъезда Раманужана Харди с нетерпением ждал
от пего вестей. Однако Раманужан молчал в течение
почти целого года. Наконец, в начале 1920 г. в Кэ.мб-
ридж прпптло последнее письмо Рамапужана ([*].
стр. XXI или |4|):
«Мадрасский университет,
12 января 1920 г.
Я очень прошу меня извинить, что до сих пор пе
написал Вам ни одного письма... Я недавно открыл
очень интересные функции, которые я называю ,,симу-
лирующими” («mock») тета-функциями. В отличие от
“псевдо..-0-фупкцпй (которые частично изучались проф.
Роджерсом в его интересной работе), они входят в мате-
матику так же красиво, как обычные ^-функции. Посы-
лаю вам с этим письмом несколько примеров..
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАПА
359
Симулирующие И-функции
«г (<7) = 1 + т77+ (1+Л(1+Л +
z х 9 i у* ।
(7) = Т-у + (1-7)(1-9з) + (1-9)(1 -?’)(!-7») ~Г--'
Симулирующие. ^-функции 5 го порядка
4 ! 1—1-1- ? .______t._____I__________________1
1+ч • (1-h)(14V) + (1+9)(1+<7!)(‘-t9s) *
Симулирующие ^-функции 7-го порядка
1 1 g | - fl<________4-
4- - • Г1>.
В этом письме Раманужап почти по сообщал о своем
здоровье, п Харди решил, что оно находится в приличном
состоянии. В действительности же он прибыл в Мадрас
2 апреля 11)1!» г. в очень плохом состоянии. По-видимому,
утомительная дорога окончательно подорвала его слабые
силы. Он пасто 1ькоисхудал, что друзья и родные с трудом
узнали его. Он провел три месяца в Мадрасе, а затем отпра-
вился отдыхать в деревню, недалеко от селения Урод, где
он родился. Затем его перевезли в Кумбакопам, где оп про-
вел свою юность и впервые познакомился с математикой.
Его силы быстро угасали, по оп пе хотел лечиться п лихо-
радочно работал над своим последним детищем — симу-
лирующими тета-функциями. В январе 1920 г. под давле-
нием друзей и врачей оп переехал обратно в Мадрас, где
рму оказывалась лучшая в городе медицинская помощь.
Но снасти его было уже нельзя. 26 апреля 1920 г.
Раманужап умер в Чэтпуте — одном из предместии
Мадраса.
К исполнению своих обязанностей профессора Мадрас-
ского университета оп фактически так и не приступил.
9. Весть о смерти Рамапужапа была в Кзмбрндже пол-
1,0,1 неожн laimocTbio. Вскоре под руководством Харди
началась интенсивная работа над научным наследством
330
В. и. ЛЕВИН
Рамапужана, начиная от самых ранних записей в его
записных книжках и кончая симулирующими тета-фупк-
цпямп. Его записные книжки были от руки переписаны
друзьями в Индии н присланы в Кэмбрндж профессору
Дж. II. Уотсону, который взял на себя задачу пх исчер-
пывающего анализа и занимался этим на протяжении
нескольких лет (см. [®]).
Надо заметить, что, несмотря на пятнлетпее общение
с Рамапужапом, Харди так и не успел многого узнать от
Рамапужана относительно его ранних результатов, путей,
по которым он к ним пришел, источника его знаний по
некоторым вопросам, которые не освещены в книге Карра,
и т. д. Конечно, впоследствии Харди-очень сожалел об
этом, но не мог себе поставить этого в вину, поскольку,
как он говорил, было столько новых и животрепещущих
вопросов, требующих неотложного обсуждения с Рама-
пужапом, что возврат к старым задачам все откладывался
и откладывался, (хроме того, Харди надеялся вновь встре-
титься с Рамапужапом, так как никто не мог ожидать
столь быстрой его смерти.
Таким образом, многое в трудах Рамапужана так и
осталось исторической загадкой.
Харди, в частности, предпринял специальное исследо-
вание доступной Рамапужапу в Индии математической
литературы п оценку вероятности знакомства с ней Рама-
иужаиа ([’J, стр. 42—44). Прп этом Харди пришел к за-
ключению, что в отношении теоретико-числовых проблем
Рамапужапу был доступен только старый учебник Мэтьюза,
(М a the w s. Theory of Numbers, 1892), имевшийся
в Мадрасской библиотеке, по что Раманужан его ие видел.
Об этом свидетельствует и сравнение результатов Рамаиу-
жапа из теории чисел с содержанием учебника Мэтьюза
п тот факт (которому Харди был склонен придавать реша-
ющее значение), что Раманужан в своих первых письмах
и впоследствии утверждал самостоятельность открытия нм
всех его теоретико-числовых формул. Надо сказать, что
вопросы приоритета Рамапужана никогда ие интересова-
ли, он искал математические пстипы, он был одержим стра-
стью их познания, но источник этого познания его не
особенно интересовал. У него не было книг, и он сам
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
361
открывал эти истины. В научной честности Раманужана
Харди никогда пе сомневался.
Раманужан обладал недюжинными познаниями в тео-
рии эллиптических функции, правда, только в области
действительного переменного. С этим обстоятельством
связана одна из нерешенных загадок. Сведении по эллип-
тическим функциям в книге Карра нет.
В Мадрасской библиотеке были следующие книги,
содержащие теорию эллиптических функции: Уитте-
кер, Современный анализ (W h i t t a k e r, Modern
Analysis, 1902), Бромвич, Бесконечные ряды
(Brom w i c h. Infinite Series, 1908), Фо pc a ii з, Тео-
рия функций (Forsyth, Theory of Functions) и два
известных старых трактата Кэпли (Cayley) и Грппхплла
(Greenhill) по эллиптическим функциям.
Кинги Уиттекера и Форсайза сразу отпадают как
источник знаний Рамапужана, так как если бы он дер-
жал их в руках, то он не мог бы не зпать теоремы Коши
и элементов теории аналитических функций, о чем он
пе имел представления до самого приезда в Кэмбридж.
Очень мало вероятно, что он читал Бромвича, так как
в этом случае ои должен был бы зпать о существовании
методов суммирования расходящихся рядов, которые он
пытался сам изобрести.
По мнению Лптлвуда, с которым согласен и Харди,
скорее всего Раманужан случайно познакомился с книгой
Грппхплла; об этом можно заключить по характеру его
зпаппй пз теории эллиптических функций, который впол-
не соответствует весьма необычному, по оригинальному
и интересному изложению Грппхплла.
10. Более или менее подробный анализ исех работ
и результатов Рамапужана потребовал бы целой книги.
Даже кнпга Хардн [*] пе исчерпывает всего (по по теоре-
пко-числовым работам Раманужапа в ней содержится
(лекции II—VI) все существенное). В рамках статьи можно
Дать лишь краткий обзор некоторых работ.
Из теоретико-числовых теорем Рамапужана наиболее
характерными и интересными являются следующие.
А. В одном из первых писем к Харди Раманужан сооб-
щил три полученные нм формулы для л (х)-числа простых,
362
В. II. ЛЕВИН
мепыних х:
I (г) = С----------(1п----------dt 1)
и
х г«
„ . V С dt 1 С dt If dt
Л “ J In t 2 3 In t 3 J In I
С С C
где c — 1,45136380 ... Bee эти три формулы были им от-
крыты самостоятельно, но он ошибочно считал, что каж-
дое из этих выражении дает приближение л(э) с боль-
шей точностью, чем это имеет место на самом деле.
Выражение I (х) как асимптотическая формула для
л (j) было впервые дано Рамапужапом. Нечто подобное
G (.г) встречалось в литературе, а именно G(x) является сум-
мой нечетных членов ряда Грама
е (х) = 1 + V______________________
a + (л + 1) г (л 4-1) •
П=1
*) В доподлинных обозначениях Рамапужана это утверждение
читаюсь так: «Число простых, меньших еп,
где
Г ах dx
“ ' ^х,1Г(х-Ь1) ’
о
До приезда в Кэмбрндж Раманужан пе знал, конечно, обозначения
j(x), введенного Риманом.
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАНА
363
/(.t) является, очевидно, континуальным аналогом
Ряд /?(а") был впервые указан Риманом в виде
где
оо
Вследствие известного соотношения V = О значение
m
т= I
нижнего предела интегрирования в определении liar пе
играет роли в асимптотике (нельзя только полагать
этот предел равным 1, а в случае, когда оп меньше 1,
интеграл следует понимать в смысле главного значения
по Коши). Раманужан, по-впдимому, имел в виду под с
корень уравнения Нт—0, х= 1,4513692346... Интересно
отметить, что даже Гаусс, далеко продвинувшийся в иссле-
довании асимптотических свойств л(х), не шел дальше
первого члена liz.
FIjTb, но которому Раманужан пришел к этпм форму-
лам, догнав (и частично перегнав) Гаусса, Римана и других,
был подробно рассмотрен Харди. Построить доказатель-
ства, идя таким путем, оказалось, конечно, невозможно,
так как это приводит к заведомо неверным выводам
относительно порядков остаточных членов. Раманужан
сделал две типичные для него, чрезвычайно глубокие,
ошибки, которых не может избежать никакая интуиция
и вскрыть которые может тотько очень топкий аппарат
аналитических функций и тауберовых теорем. Эти две
ошибки не сказываются на главных членах асимптотики,
чо дают заведомо невозможные остаточные члены.
В. Среди материалов, присланных Раманужаном в пер-
вом письме к Харди, был следующий результат:
.... > 1п2л1вЗл
«число чисе лвпда 2 3 , меньших п, равно ».
г 21п 21пЗ
Эта формула является асимптотической, п притом далеко
364
В. И. ЛЕВИН
не такой простои, как это может показаться с первого
взгляда. До Раманужана она была неизвестна.
Речь идет, очевидно, о числе целочисленных точек
в треугольнике и In 2-j-v In 3 < In n, н>0, t»>0. Глав-
ным членом асимптотики будет, конечно, площадь этого
треугольника, равная
1 Inп inn in1 n
2" 1 n~2 1пЗ = 21п2 1113 '
Формула Рамапужапа дает
1п*п । 1 Г 1 , 1 A i„ „ । 1
2 In 2 In 3 + 2 \ 1п2 + 1пЗ JlnnT 2 ’
т. е. содержит еще один член асимптотического разложе-
ния (аддитивная постоянная -i- не играет роли в асимпто-
тике, так как остаточный член после двух первых растет
с /г). Вывод этой формулы требует исключительно топких
рассуждений, связанных с вопросами диофантовых при-
ближений.
С. К числу важнейших теоретико-числовых результа-
тов Рамапужапа относятся его теоремы и совместные
с Хардп работы, связанные с функцией р(п) из part it io
numerorum.
Нод p(n) понимают число представлений натураль-
ного числа п в виде суммы положительных целых сла-
гаемых. Например, р(5) = 7, так как 5=4+1=3+2=
= 34-14-1=2 + 2 + 1 = 2 + 1+1 + 1 = 1 + 1+1 + 1 + 1
(само число также считается одним пз таких представ-
лений). Производящей функцией для р(п) является
П г-Ч= 2^ р («)хП-
Д1-1 „1
Раман жап открыл совершенно новые факты относи-
тельно арифметической природы р(п), возможность су-
ществования которых даже пе подозревалась до пего.
ЖИЗНЬ и ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
365
Он доказал, например, такие соотношения:
p(5wi + 4)s0 (mod5), p(7z«-|-5)s0 (mod 7),
p (11m 4-6) = 0 (mod 11), p (25m 4- 24) = 0 (niod52),
p (49m - 47) = 0 (mod 72).
Доказательства этих теорем основываются на некото-
ных тождествах, связанных со свойствами эллиптических
функций. В частности, Раманужан открыл следующие
тождества, которые Лптлвуд ([7], стр. 85 или [8]) считает
принадлежащими к числу самых замечательных формул
математики:
P(5) + P(12)«+f(17)z"+ ...
, ДО,.
К1-х)(1-х«)(1-х»)...}« •
Как эти тождества были получены Раманужаном,
неизвестно; впоследствии они были доказаны Дарлин-
гом [н] ц Морделлом [12]. Не менее замечательными
являются следующие тождества:
оо
1 + V _____________________=_______________1____________,
>-' (1 — Х)(1 —Х2)...(1 —Х»>) (1— Х)(1 — Xе)...(1-х*)(1 — *’)...
m=*i
1 . V «""П*1’ — 1
Г —J (1—X)(l-x2)...(l-x'«)_(l_x») (1-X?)...(1-XS) (1-Х«)„.
(в знаменателях правых частей показатели образуют
арифметические прогрессии с разностью 5), которые
имеют интересную историю. Раманужан открыл пх до-
вольно рано, в Индии, по в 1917 г., перелистывая ста-
рые тома Proceedings of the London Mathematical Society,
он натолкнулся на работу Роджерса (L. J. Rogers) 1894 г.,
которая содержала этп тождества с доказательствами.
Работа Роджерса осталась в свое время незамеченной
не только в Англин, но и в других странах, так как
в 1917 г. И. Шур, живший тогда в Германии, не зная,
300
В. И. ЛЕВИН
что эти тождества были открыты Роджерсом и переот-
крыты Раманужаном, также нашел пх ц дал два дока-
зательства. Эти тождества, таким образом, посят имена
Роджерса — Раману капа —Шура. Всего известно 7 дока-
зательств этих замечательных тождеств.
11. Крупнейшим теоретико-числовым достижением
Рамапужана следует считать его совместную работу
с Харди, в которой найдено точное выражение для
р(п) -одной из сложнейших числовых функций. Этот
замечательный результат является единственной в своем
роде жемчужиной аналитической теории чпсел. Он за-
ключается в том, что р (и) является ближайшим целым
числом к
V
(«)•
QtasI
где
2п|1Л<
Лв (п)= X .
V
причем сумма распространяется на все р, взаимно-про-
стые с <7 и меньшие его, сорч — некоторые корпи
степени 24<? из единицы, а
4Г|Ч)
’ }•
Число v определенным образом зависит от п и имеет
порядок п. Можно даже утверж ать больше, а именно,
что
СО
I z
Q=i
так что, поскольку р(п) — целое число, можно oipanii-
чнться частичной суммой этого ряда, отличающейся от
суммы всего ряда меньше чем на , и взять целое число,
ближайшее к значению этой частичной суммы. Таким обра-
зом было вычислено, например, р (200) = 3 972 999 029 388
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С РАМАНУЖАНА
367
(для этого оказалось достаточным взять v = 5, т. е. пер-
вые 5 членов ряда), что совпало с результатом непосред-
ственного подсчета.
Литлвуд по поводу этой теоремы пишет ([7J, стр. 88
или [8J): «Незачем говорить читатели» о том, что эта теорема
поразительна, и легко поверить в то, что методы, которы-
ми она была доказана, базируются на одной принципиаль-
но новой и очень важной идее, оказавшейся весьма плодо-
творной н в применении к другим проблемам. Эта теорема
имеет интересную историю. (Чтобы ее рассказать, я дол-
жен немного нарушить правила, действующие при опу-
бликовании совместных работ. Поэтому я добавлю, что
проф. Харди подтверждает мое изложение имевших место
фактов и дает разрешении на его опубликование.) Одним
из индийских нредполож нпй Раманужана было, что
первый член ряда является очень хорошим приближением
к />(п); это было установлено без большого труда. Па том
1
этапе вместо п — стояло просто п — тогда это разли-
чие было несущественным. С этих позиций началась настоя-
щая атака проблемы. Следующим шагом, не слишком
большим, было рассмотрение ряда
СО
—U- 2 W'WV")
v e=i
как асимптотического разложения, фиксированная ча-
стичная сумма которого (например, первых четырех чле-
нов) дает приближение с ошибкой, имеющей иорядок
первого отброшенного члена. По начиная с этого момента
и до самого конца, Раманужап упорпо утверждал, что
верно гораздо больше, чем пока доказано: «должна
существовать,— говорил он,— формула с ошибкой <?(!)».
Это было его важнейшим вкладом в теорему; этот вклад
оыл исключительно существенным, без пего теорема не
могла бы быть найдена, но гипотеза эта казалась неверо-
ятной по своей необычности. Выла предпринята стро-
жашная числовая проверка, которая обнаружила уди-
вительнейшие факты относительно />(100) п />(200).
'Затем v сделали функцией от п, это было очень большим
368
В. И. ЛЕВИН
шагом вперед и потребовало столь глубоких теоретико-функ-
циональных средств, ч го Раманужан самостоятельно не смог
бы их, конечно, найти. Наконец, выявилась полная теорема.
Но преодоление одной последней трудности было бы, вероят-
но, невозможно без еще одного вклада Рамапужана, на
втот раз исключительно характерного для него. Мало
того, что аналитические подходы к теореме были чрез-
вычайно трудными, она оказалась забаррикадированной
непреодолимыми трудностями чисто формального свойст-
ва. Функция фу (я) представляет собой важнейший эле-
мент формулы; между многими асимптотически эквива-
лентными формами этой функции важно было выбрать
единственно правильную. Если это пе сделано, то окон-
чательный результат вообще не может возникнуть; а для
этого надо было догадаться, что является заслугой Ра-
маиужана, ввести — ~ ^не говоря уже о • Такую
догадку нельзя назвать иначе, как гениальной. Во всем
этом есть чго-то почти сверхъестественное. Если бы мы
только знали, что существует формула с ошибкой О (1),
то, может быть, логика вещей привета бы пас постепен-
но, шаг за шагом, к истинному виду фц. Но почему
Раманужан был так уверен, что такая формула суще-
ствует! Трудно поверить, что это можно объяснить глу-
биной ого проникновения в теоретическую сущность
вопроса. Пе видно также, какие числовые данные могли
его убедить в справедливости столь сильного утвержде-
ния. Да н вообще, пока неизвестна точная форма ф(,
никакие числовые данные ие могут навести па подобную
мысль. Из этой дилеммы нет выхода, мы вынуждены оста-
новиться на предположении, что это была искра гениаль-
ной интуиции. Открытие этой теоремы есть результат
исключительно удачного сотрудничества двух людей
с очень разнородными талантами, сотрудничества, в ко-
торое каждый из них внес все самое лучшее, чем оп
обладал. Гению Раманужана представился достойный
случай показать себя».
12. Представительная выборка теорем и формул Ра-
манужана из анализа была уже приведена выше в п. 5-
Приведем еще некоторые замечательные его результаты.
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО. С. РАМАПЪЖАНА
369
D. Харди отмечал, что Раманужап владел техникой
непрерывных дробей лучше кого бы то пи было. Боль-
шое удовлетворение доставляют следующие его формулы:
Формула (1) дает в частном случае х=1 разложение
4 1 3* 5* 7»
П “ 1+ 2+ 2+ 2+ 24-... ’
которое открыл в XVII в. Браункер.
Из других формул отметим
4 Г , 1 1» 1* 2* 2» 3» 3*
J chx 14-14-14- 14-14- 14- 14-... ’
2 Г, 1__1» 1» 2» 21 3» 3* , ,гвп
J sh х dx 14. 14. 34- 14- 54- 14- 7-1-.. ( 'I Р’ ( )
а также
*) Формулы (2) и (3) были доказаны Филипсом [,3]. Формула
U) была обобщена Бэйли [*•], [1&1. По поводу формулы (1) см. [22].
О /
** Истор.-матем. вослед., вып. XIII
370
В. И. ЛЕВИН
Е. Большов интерес представляют формулы Раману-
жана, содержащие ряды. Например:
In 1 In 3 , In 5
4^-4'^)^-^+^-...). о
где у —эйлерова постоянная (см. (ieJ),
1,12 (2 In 2 In 4 + 31п3 In 6 +4 In 4 In 8 + • • • ^ +
4._1__1_I 1 ---- -L_ ('A
^21n2 31n3'41n4 •••~ln2’
1 + l-3 + 1-3-5 + 1-3-5-7 *"•••
11 1 2 3 4 ./ 1 „
hi+1+1+1+14-... _ F 2 ne-
(3)
Это —формулы преобразовании ряда в ряд или, как осо-
бенно интересная формула (3), — ряда в непрерывную
дробь (см. Journal Indian Math. Soc., VIII, стр. 17 — 20):
1001 ~ 1002s” 1003s 10044 1005s
= ййо —1'0125-1 о- (приблизительно). (4)
Так этот результат был указан Раманужаном. Уотсон
[20] доказал это, найдя асимптотическое разложение
у (n+1)"-1 1 _ 2«-«
J (х + «+1)"*1 X Xs
п=0
Г1_Л + 2§._ Л
< Зх + Зх* ’ ’ • )
и положив в нем £=1000. Раманужан несомпенно эпал
какую-то аналогичную формулу, но сообщил только один
ЖПЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАН УЖАНЛ
311
ее частный случай.
JL ^cth лх + хя cth ^cth 2лх -f-x2cth 2л ^ +
+ с1ЬЗлг-Ьт2 cth I- .. . =
= ^(х4 + 5х2 + 1) (см. [2В]), (5)
2 е-лп*(пп2-|) = |, (6)
П=1
4 13 913 QI3 4
^кт+^г+т^г+---=4 <см- п), ™
<р (z) = е~« 4-^ е-2х + е-^ р 4J- e~4« + ... = 1, (8)
если 0<х<1, но, ср'(1 4-0)=—2 (последнее было до-
казано Сеге [10]).
F. Интегральные теоремы Рамапужана Хардп считал
не самыми сильными его результатами. Однако многие
из них также представляют незаурядный интерес.
Если
cos пх , , ,
----== ах = <р (п),
е2"»*-1 }
то
г sinnx
ПлГ, dx = 4(n)-
о
(1)
/2л^
п*
Раманужап указал следующие зпачеппя <р (п):
1 С л \ 6+1г5 5Г10 Г2л\ 8—3 Г5
,Р(0)=12. <5>—-----------8~. Ч’<Т>)=—16—
т/ л X 1 , . 2—1Г2 , 1
’(Л ) = ^' = —8~ ’ <Р(2л)=1б«
3-1Г2 .г . 13 — 4 ГЗ
ф (4л) = ~sF~ ’ Ч> (6--0 = —й4-
24*
372
В. И. ЛЕВИН
и дал общую формулу для ф(гл), где г —любое
налыюе число ([°], стр. 67).
1
Уг 1
С jncsin^dx_ 1 C^£tgx_d л
J х 2 J х о
о и
СП JO
Г Vх . V С е~хи ,
\ -^.-7. -;—гах — е — \ ;—J? ах.
и
рацио-
(2)
(3)
Последняя формула заслуживает более подробного
рассмотрения. Опа является важным частным случаем
общей формулы суммирования, принадлежащей Раману-
жану:
СЮ
Ф (0) + <р (1) +q (2) + .. . = <р (a) dz +
Сф(0)-ф(1)*+ф (2)
J хрп1 х-рл1}
Раманужап не уточнял условий, которым должна удо-
влетворять функция ф (а) для того, чтобы эта формула
была справедливой. Подробный анализ и доказательство
этой формулы дал Харди Ц1], стр. 195 —198). Он же
дал очень изящное доказательство формулы (3): полагая
}-F^+x)dX = I^
и
будем иметь
со со со
7 (р) = 5 гт 1 (у} dy = $ гДжу 5 у* e~w dy =
о о о
оо
= p~x~l dx =
о
1
Р In Р
ЖИЗНЬ II ТВОРЧЕСТВО С. РАМАНУЖАНА
373
и, следовательно, прп с>1, деформируя путь интегри-
рования в формуле обращения преобразования .Лапласа
в дважды пробегаемую действительную отрицательную
полуось н учитывая полюс I (р) в точке р = 1, найдем,
ч го
dp
Р In Р
о
_ew_i__L ( е*и------________
2ni у х{1п( — z)—in\
—ао
JL С ех»_________dx_______
2л t J х{1п(—х)-|-1Л}
О
г е~хи
у хЦп’х+л2}
о
Лнтлвуд ([’], стр. 85 или [8]) очень высоко оценивал
еще следующую формулу’ Раманужана:
f СО5 ЛХ j _ 1
У {Г(а+х)Г(а-х)}»Й‘Г~ 4Г (2а—1) (Г (а)р
О
(а>т)‘ 0)
G. Приведем, наконец, некоторые разные результаты
Рамапужана, без которых картина его аналитических
интересов и идеи будет неполной. Среди этих формул
есть и весьма сложные, н элементарно простые. По все
они несут па себе печать его гения. Харди отмечал:
«В формулах Раманужапа всегда содержится больше, чем
это кажется на первый взгляд; в этом может убедиться
каждый, кто примется за их доказательства. Некоторые
его формулы вскрывают чрезвычайно глубокие аналити-
ческие зависимости, другие менее глубоки, ио нет ин од-
ной формулы, сообщенной Раманужаном, которая пе бы-
ла бы интересной и поучительной».
Ьолыпппство приведенных ниже результатов было
опубликовано Раманужаном в виде задач в Journal of the
Indian Mathematical Society’ (см. также [®]).
374
В. И. ЛЕВИН
С точностью соответственно до 9 и 8 десятичных
знаков:
_С.З 174-15/5" 1 _ 1103 1
Л~25 7 4-15> 5 ’ 2л/2~ 992 ’ (1)
|/б4-2]<7 + 3|/8 + 4/9+... = 4, (5)
8-Г84-|/8-/84-... = 14-2| З'ь’шЗО0,
_________________(6)
I Г11 - 2| "11 -г 2| П-... = 14-4 sin 10’, (7)
1 23-2J 23 4-2 / 23-... =14-4)л3 sin20\
(8)
1п2 = |4-^—4-^ + __1_4 ... (см [’J), (9)
|Zcos-^-4- ( Cos-^-4-|Zcos-^-= |Z®—^/7 , (10)
,*/ 2л" , */ 4л”, i7" 8л" ,*/з»/9-6 ,|П
F СО Т+ Г cos-9~+ V COS'!T = » 2-- ’ <11'
Если ПОЛОЖИТЬ
Пп
1 4 . n , n3 . , ИП 1 , «
2 е - 1 + и + 2! + • • • + (n— 1)! + n! 6’
« I 1
то для каждого целого n 0 заключено между у и у •
(12)
Последняя задача оказалась весьма трудной. Раману-
жаи ([°], стр. 324) знал, что 0— 1- при п—^оо, и ia-з
О
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАНА
375
разложение
П _ 1 4 8 , 16
3 'г 135n 2833ns "г 85О5п»
но отметил: «трудно доказать, что 0 заключено между
1 п А». Это было доказано Сеге [16], который установил,
2 3
что 0 является монотонно убывающей функцией от п.
13. Величие Рамапужана как математика и значи-
мость его работ были оценены Харди и Лптлвудом вскоре
нос ie его смерти. В исторической перспективе, которой
мы располагаем теперь, оценка Хардн и Лптлвуда остает-
ся в полной силе. Харди писал (Iе], стр. XXXV или
Н, а также [*], стр. 14 или [2], стр. 149): «Его проник-
новение в алгебраические формулы, преобразования
бесконечных рядов и т. п. бы го просто поразительным.
Я не знаю никого, кто мог бы в этом сравниться с ним,
разве только Эйлер пли Якоби. Он использовал, в зна-
чительно большей степени, чем современные математики,
индуктивные и наводящие соображения, отправляющиеся
от численных примеров; все его теоремы о сравнениях
для р(п) были, в частности, получены таким образом.
Хорошая память* 1), терпение и виртуозность вычислите-
ля сочетались в нем с силой обобщения, чувством формы
и способностью мгновенной адаптации гипотез, которые
производили исключительно сильное впечатление, и ста-
вили его в области его собственных исследований выше всех
современных ему математиков».
II Харди и Лптлвуд признавали, что во второй полови-
не XIX в. и в первых десятилетиях XX в. имелосьиемало
более значительных математиков, чем Раманужан, но
. *) Широко известен сообщаемый Харди (Iе], стр. XXXV или
I J) случаи с номером 1729 такси, на котором Харди однажды ехал
навестить Рамапужана в лондонской больнице. На шутливое заме-
чание X арди, что 1729= 7-13-19 представляется ему скучным числом
и что оп не хотел бы видеть в этом дурного предзнаменования,
,41'’51,1У>кап 0>к,,ВП-1СЯ и энергично возразил Харди, что, напротив,
очень интересное число, так как «оно явзяется наименьшим
числом, представимым в виде суммы двух кубов двумя различными
способами»: ls+12s=93+103. Лптлвул по этому поводу заметил, что
каждое натуральное число было личным другом Рамвнужапа».
376
в. И. ЛЕВИН
нельзя не присоединиться к их мнению, что в своей спе-
циальной сфере Раманужан был недосягаем, «он был
чемпионом игры, правила которой оп знал».
Через год после смерти Рамапужана Харди писал
(1’1, стр. XXXVI или I4]): «Можно расходиться во мне-
ниях относительно значимости работ Рамапужана, кри-
териев, с которыми следует подходить к нему как мате-
матику, и влияния, которое оп окажет на развитие мате-
матики. Его работы пе обладают топ простотой и неизбеж-
ностью, которые характеризуют труды самых великих
математиков; его результаты были бы значительней, если
бы они не были столь необычными. Опи отличаются, одна-
ко, одной неоспоримой чертой — глубокой и неуязвимой
оригинальностью. Он стал бы наверно более крупным мате-
матиком, если был бы обуздан в молодости. Он открыл бы,
вероятно, больше новых фактов, и притом большей зна-
чимости. С другой стороны, он был бы тогда в меньшей
степени Раманужаном и в большей степени европейским
профессором, и трудно сказать, явилось бы это при-
обретением пли потерей...». Последние строки были напи-
саны Хардн явно под влиянием свежей утраты друга,
яркая личность которого еще стояла перед его глазами.
Через 16 лет после того, как эти строки были написаны,
Харди вновь вернулся к оценке Раманужана уже с не-
сколько более уравновешенных полиций н, процитировав
приведенные выше своп высказывания, писал: «Все, что
я тогда сказал, я и сейчас готов повторить, за исключе-
нием лишь последней фразы, которая звучит как смешной
сентиментализм. Наука ничего пе выиграла от того, что
Кумбаконамскпп колледж отверг единственного боль-
шого ученого, которого ои имел, и потеря была неизме-
римой. Судьба Раманужапа — худший известный мне
пример вреда, который может быть причинен малоэффек-
тивной и негибкой системой образования. Требовалось так
мало, всего СО фунтов стерлингов в год на протяжении
5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими
настоящие знания и немного воображения, а мир получил
бы еще одного из величайших своих математиков...».
К сказанному Харди следует добавить, что дело было
не только в негибкой и неэффективной системе образова-
ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО С. РАМАПУЖАНА
377
ппя. Сама эта система являлась следствием общего поло-
жения Индии как колониальной страны, положения, при
котором всячески сдерживалось развитие национальной
культуры, и в частности национальных научных кадров.
Л II Т Е Р А Т У J А
Приведенный ниже список литературы содержит всю цитиро-
ванную в статье литературу, но является далеко пе полным, так как
существующая литература о Раманужаие и его работах гораздо
обширнее.
1. G. Н. Hardy, Ramanujan, Twelve lectures on subjects
suggested by bis life and work, Cambridge, 1940.
2. G. H. Hardy, The indian mathematician Ramanujan,
Amer. Math. Monthly, XLI\, As 3, 1937.
3. G. II. Hardy, A chapter from Ramanujan’s notebook, Proc.
Cambridge Philos., Soc., XXI, 1923.
4. G. H. Hardy, Srinivasa Ramanujan (1887—1920), Proc.
Loudon Math. Soc. (2), XIX, 1921.
5. The Notebooks of S. Ramanujan, facs. ed., Bombay, 1957.
6. Collected papers of Srinivasa Ramanujan, ed. G. 11. Hardy,
P. V. Seshu Aiyar and В. M. Wilson, Cambridge, 1927.
7. J. E. Littlewood, A Mathematician’s Miscellany,
London, 1953, 1957.
8. J. F. Littlewood, Collected papers of Srinivasa Ra-
manujan, Math. Gazette, X1L, № 200, 1929.
9. G. N. Watson, Ramanujan’s notebooks. Journal London
Math. Soc., vol. 6, № 22, 1931.
10. G. N. Watson, The final problem: An account of the
mock theta functions, Journal London Math. Soc., vol. 11, № 41,
1936.
И. II. В. C. Darling, Proofs of certain identities and con-
gruences enunciated by S. Ramanujan, Proc. London Math. Soc.
(2), XIX, 1921.
12. L. J. M о r d e 1 1, Note on certain modular relations consi-
dered by Messrs Ramanujan, Darling and Rogers, Proc. London Math.
Soc. (2), XX, 1922.
13. E. G. Phillips, Note on a problem of Ramanujan,
Journal Londoi Math. Soc., vol. 4, As 16, 1929.
14- W. -N. В a i 1 e y, A generalization of an integral due to
Ramanujan, Journal London Math. Soc., vol. 5, № 19, 1930.
15. W. N. Bai lev, A note on an integral due to Ramanujan,
Journal London Math. Soc., vol. 6, № 23. 1931.
16. G. S z e g o, Oeber einige von S. Ramanujan gestellte Aufga-
ben Journal London Math. Soc.. vol. 3, As 11. 1928.
17. С. T. Preece, Theorems stated by Ramanujan (1); Theo-
rems on integrals. Journal London Math. Soc., vol. 3, As 11, 1928.
378
В. И. ЛЕВИН
18. G. N. \V a t s о n, Theorems stated by Ramanujan (II);
Theorems on summation of series, Journal London Math. Soc
vol. 3, № 11, 1928.
19. С. T. Preece, Theorems stated by Ramanujan (111):
Theorems on transformation of series and integrals, Journal London
Math. Soc., vol. 3, № 12, 1928.
20. G. X’. Watson, Theorems stated by Ramanujan (IX):
Theorems on approximate integral ion and summation of series, Journal
London Math. Soc., vol. 3, № 12, 1928.
21. G. N. Watson, Theorems stated by Ramanujan (V):
Approximation connected with ex. Proc. London Math. Soc. (2),
XXIX, 1929.
22. С. T. Preece, Theorems stated by Ramanujan (\ I):
Theorems on continued fractions, Journal London Math. Soc., vol. 4,
№ 13. 1929.
23. G. X. Watson, Theorems stated by Ramanujan (XII):
Theorems on continued fractions, Journal London Math. Soc., vol. 4,
№ 13, 1929.
24. G. X. Watson, Theorems stated by Ramanujan (\ III):
Theorems on divergent series, Journal London Math. Soc., vol. 4,
№ 14, 1929.
25. G. N. Watson, Theorems stated by Ramanujan (IX):
Two continued fractions. Journal London Math. Soc. vol. 4, X» 15,
1929.
26. С. T. Preece, Theorems stated by Ramanujan (X), Journal
London Math. Soc., vol. 6, № 21, 1931.
27. G. X. Watson, Theorems stated by Ramanujan (XI),
Journal London Math. Soc., vol. 6, № 21, 1931.
28. G. X'. Watson, Theorems stated by Ramanujan (XII):
A singular modulus, Journal London Math. Soc., vol. 6, № 21, 1931.
29. С. T. Preece, Theorems stated by Ramanujan (XIII),
Journal London Math. Soc., vol. 6, № 22, 1931.
30. G. X. \\ a t s о n, Theorems stated by Ramanujan (XIV):
A singular modulus, Journal London Math. Soc., vol. 6, X« 22, 1931.
ВАВИЛОНСКИЕ ГЕОМЕТРИИ! ВНЕ РИСУНКИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
J. Л. Вайман
Количество дошедших до нас вавилонских геометриче-
ских рисунков пространственных фигур очень невелико.
Всего нам известно шесть таких рисунков.
Три пз них, несмотря на несоблюдение масштаба, мо-
гут быть охарактеризованы как весьма небрежно выпол-
ненные «чертежные» наброски. Таков рисунок в виде трех
концентрических кругов, пересеченных двумя взаимно-
перпендикулярными диаметрами, что является изображе-
нием окруженного валом и круглого в плане города
(см. клинописную табличку ВМ 85194, Vs 1,37—50)1). Тако-
вы, далее, рисунок в виде треугольника, изображающею
построенную в реке треугольную в плане платформу
(см. клинописную табличку ВМ 85196, задачу ЛЬ I)2) и рису-
нок в виде прямоугольника, разделенного па четыре парал-
лельные полосы, что является изображением квадратного
в плане, вырытого па ступенчатом склоне горы бассейна
(см. эрмитажную клипоппспу ю табличку Л: 15073, зада-
чу ЛЬ 5)3). Все три рисунка могут быть объяснены как
схематические изображения пространственных объектов,
рассматриваемых сверху.
*) О. N е u g е b а и е г, Matliematische Keilsclinfttexte, I, Ber-
lin, 1935, стр. 153, 169.
г. ,2) О. Neugebauer, Matlieniatisclie Keilschrifttexte, If,
Berlin, 1935, стр. 43, 50.
) А. А. Ва и м а и, Шумеро-вавилонская математика (работа
находится в печати).
380
А. А. ВАЙМАН
Остальные три из шести упомянутых выше рисунков
уже ие могут быть истолкованы аналогичным образом.
Так, в эрмитажной таб шчке № 15073 к задаче As G при-
ложен рисунок трапеции с указанием размеров изобра-
жаемого сооружения (рис. 1). Согласно тексту задачи
речь идет о геометри-
ческом рисунке дамбы,
имеющей трапециевид-
ный профиль: длина
дамбы ГО1) GAR2),
1’пс. 2.
Рис. 1.
верхняя ширина 0"10 GAR, нижняя ширина 0"50 GAR
(рис. 2), высота 4 kus и объем 2'0 SAR (рис. 2).
Нельзя считать, что древний геометр пытался изобра-
зить основание дамбы, или набросать вид дамбы спереди
(со стороны длинной грани), пли начертить вид дамбы свер-
ху. В первых двух случаях на табличке был бы изображен
прямоугольник, в третьем же — прямоугольник, в кото-
ром параллельно длинной его стороне проведены две липни,
а ие трапеция. Нельзя также считать, что автор рисунка
хотел показать трапециевидный профиль дамбы, ибо
в этом случае обозначение длины дамбы «ГО» должно
было находиться там, где указана высота «4», а обозна-
чение высоты там, где указана длина.
Совершенно ясно, что рис. 1 пе может быть осмыслен
на основе привычных пам проекционных методов пзобра-
*) Запись «1'0» восстановлена; восстановление бесспорно.
Шестидесятерпчная позиционная запись: 1'0=60, 0'10 =
= , 0*50 = ; в клинописи ГО, 0*1, 1 и т. д. пишутся одииа-
О’ > (50
ково (.так пуль отсутствовал).
») 1 GAR = 12kuS^6 л, 1 SAR = 1 GAR2 1 кп$чИ8 л’.
ВАВИЛОНСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РИСУНКИ
381
женин па плоскости пространственных фигур. Единственно
возможное объяснение этого рисунка заключается, по
нашему мнению, в том, что боковые стороны трапеции
являются символическим изображением передней и зад-
ней граней дамбы. Поскольку грани эти не параллельны,
а наклонены друг к другу,
то и липин, которые их сим-
волизируют, нарисованы под
углом. Что же касается
основании трапеции, то они выражают наименьшее и наи-
большее расстояния между гранями, т. е. верхнюю и ниж-
нюю ширину дамбы. В дальнейшем мы будем называть
подобные геометрические рнсупки пространственных фи-
гур символическими.
В упоминавшемся эрмитажном тексте № 15073 имеется
совершенно аналогичный символический рисунок дамбы,
который приложен к задаче № 7,— па нем мы специально
останавливаться не будем.
Третий символический рисунок помещен в табличке
ВМ 85196 и относится к задаче № 171). Это трапеция,
в которой проведены две параллельные основаниям липни
(рис. 3). Как следует пз текста задачп, речь опять-такн
идет о дамбе, однако более сложной формы, чем рассмот-
ренная нами ранее, ибо две ее трапециевидные боко-
вые стенки имеют пе одинаковые размеры (рис. 4).
Длина дамбы 30 GAR. Ширина дамбы с одной стороны:
*) О. Neugebauer, Mathematische Keilcchrifttexte, II,
Berlin, 1935, стр. 46, 52.
382
Л. Л. ВЛПМАН
сверху 1 GAR, снизу Г'ЗО GAR, с другой стороны: сверху
0"50 GAR, снизу 1 GAR. Высота дамбы 18 kus *).
Рис. 4 мы должны толковать по аналогии с рис. 1.
Ясно прежде всего, что боковые стороны трапеции 30 и
30 символизируют переднюю и заднюю грани дамбы; далее
основания трапеции 1 и Г'ЗО передают наименьшее и наи-
большее расстояние между гранями с одной стороны дамбы,
и, наконец, линии, параллельные основаниям 0"50 и 1,
передают наименьшее и наибольшее расстояния между
гранями с другой стороны дамбы.
Таким образом, три пз шести геометрических рисунков,
о которых мы говорили в начале сообщения, могут быть
истолкованы как проекционные; но эти же рисунки мож-
но при желании понимать и как спмво шческне. Зато
остальные три рисунка могут быть осмыслены только
символически. Видимо, символическое рисование было
у вавилонских математиков единственным средством пере-
дачи на плоскости пространственных геометрических
образов, а проекционное рисование еще пе успело появи-
ться. Правда, материал, на который мы опираемся, весь-
ма ограничен, и в будущем пе исключено опубликование
текстов с несомненными проекционными рисунками. По
и в этом случае мы вправе будем утверждать, что проек-
ционное рисование было в рамках вавилонской геометрии
еще очень мало развито, — во всяком случае, настолько
мало, что пе могло служить преградой символическому’
рисованию.
*) Числовые данные выбраны составителем задачи неудачно.
СТАТЬИ
РАЗЛИЧНОГО
СОДЕРЖАНИЯ
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА «О КОНТИНУУМЕ»
/*. И. Utffioa
Настоящая статья имеет целью ближе познакомить чита-
телей с содержанием неизданного трактата Томаса Брад-
вардипа *0 континууме» (De continue), относящегося
к первой половине XIV в. Трактат известен в двух спис-
ках XIV в. Один из них находится в Торунп1), другой —
в Эрфурте2). Произведение Брадвардииа представляет
большой исторический интерес как с точки зрения форми-
рования наших понятии о бесконечно малом, так и с точ-
ки зрения эволюции вопроса о геометрических аксиомах.
В тексте статьи дано последовательное изложение содержа-
ния трактата, а в приложении помещен оригинальный
латинский текст определений, предположении и заклю-
чений (без их доказательств).
’) Описание рукописного сборника в целом см. уМ. С ur tie,
Ober die Hand«clirift, П. 4 и Probleniatnni Euclidis explicatio der
Kql. Gymnasialbibliothek zu Thorn—Zeitschrift fiir Mathematik und
Physik, Jahrgang XIII (1868), Supplement, стр. 44—104. В настоя-
щее время рукопись принадлежит Городской библиотеке имени
Коперника в Торунн при Торупском научном обществе (Towarzys-
two naukowe w Toruniu). Пользуюсь случаем выразить сердечную
благодарность проф. Б. Суходольскому и проф. Е. Ольшевскому,
содействовавшим получению мною мнкрофпльма Торунского списка.
’) Рукопись второй половины XIV в. № 385. 4°. листы 17 recto—
48 recto. См. ее описание у W.Sch u m, Beschreibendes Verzeichnis
der Amplonianischen Handschriften Samnilung zu Erfurt, Berlin,
1°87, стр. 641—642. Трактат Брадвардпна у Шума описан как
‘Tractatus de proportionibus arilinneticis geometricis, naturalibus»,
и автор no имени не назван. Эрфуртская рукопись содержит также
другой трактат Брадвардпна «О пропорциях скоростей движений*
и некоторые сочинения Николая Орема.
26 Пстор. матем. псслед.. вып. XIII
38о
В П. ЗУГ.ОВ
лч1
nT4,a^re er <i с «-\р^П«'*- г«ч сл .лМ
U ь
Рнс. 1. Начало трактата Брадвардина по Торунской рукописи

1'С
ТРАКТАТ БРЛДВЛРДННА •<> КОНТИНУУМЕ.
387
Г L „А V —-С-^г
V*?’
__ _,^
4 JrT AnefUATu
^ini ♦’•‘^ *♦
-K* A^nt7
,niW -* •нь“са> o-f c
f; Л- 4т? (йГ 2
J i^T а"' (|П1 г»»<1 а+ вц,
J ctfi Т tf?7 еТГ
*л * W
>ПА»3
|Л
Т- СХ (•4.fi. «if fsi
* alUX’s*
ru JvT iviAd /Т"(г;
дЧг-Ь
f»*’* ^/нЬл?" «Зы^ДцпН*
1 ис 2. Начало трактата Брадвардива по Эрфуртской рукописи.
3 88
В. П. ЗУБОВ
Торунский список (рис. 1) полный, без заглавия, зани-
мает страницы 152—192 рукописи и кончается словами:
«И так, следовательно, заканчивается первая книга,
посвящеппая строению континуума в его существенных
чертах. Амипь. Конец трактата Брадвардпна о контину-
уме». Из приведенных слов как будто явствует, что пред-
полагались (или были написаны) еще одна или несколько
других книг, посвященных тому же вопросу.
В Эрфуртской рукописи (рис. 2) текст трактата непол-
ный: оп также без заглавия и обрывается на словах equales
numero punctis... в середине доказательства 133-го заклю-
чения. В Эрфуртском списке много ошибок и несообразно-
стей. Поэтому за основу мы берем Торунский список
и цитируем по нему всюду, где это пе оговорено особо.
Однако в ряде отдельных случаев Эрфуртский список
позволяет исправить Торунский. Все такие исправления
существенного характера дальше оговорены каждый раз,
так же как и наши собственные конъектуры. В приложе-
нии оба списка обозначаются буквами Т и Е, мои конъек-
туры — словом ego.
Чертежи в обеих рукописях отсутствуют и во всех
случаях восстановлены на основании текста памп.
О трактате впервые (1868) сообщил краткие сведения
с некоторыми выдержками М. Куртце1). Позднее (1936) им
занимался Э. Штамм, который подготовил по обеим руко-
писям критическое издание трактата, не увидевшее света2).
Наконец, в самое последнее время нм занялся Джон Мёр-
дах (John Murdoch) в Висконсинском университете, также
подготовивший издание трактата.
Напомним кратко важнейшие биографические сведе-
ния об авторе произведения3). Томас (или Фома) пз
*) М. С и г t z е, цит. статья, стр. 85—91.
*) Е. S t a m m, Tractatus de continue von Thomas Bradwardina.
Eine Handschrift aus dem XIV. Jahrhundert—«Isis», vol. XXXVI (1),
V. 71, December 1936, стр. 13—32. На статье Штамма основывается
С. В. В о у e г. The concepts of the calculus. A critical and historical
discussion of the derivative and the integral, N.-Y., 1939, p. 67.
3) Более подробные данные о жизни и трудах Брадвардпна мо-
жно найти в следующих книгах: G. L е с h I е г. De Thoma Bradwar-
dino commentatio, Lipsiae, 1862 (вошла в переработанном виде
в качестве главы в книгу того же автора: Johann von Wiclef und
ТРАКТАТ БРАДВЛРДИПА «О КОНТИНУУМЕ.
389
Брадвардина, получивший прозвание doctor profundus
(глубокомысленного доктора), родился около 1290 г.
п преподавал в Оксфорде в Мертон-котледже в 20—ЗО-х го-
дах XIX в. С 1335 г. оп жил в Лондоне, а в 1338 г. совер-
шил путешествие во Фландрию и на Ренн. Оп умер во
время эпидемия чумы летом 1349 г.
Помимо трактатов «О континууме» н «О ыроыорцпях»
(известного также под заглавием «О пропорциях скоро-
стей движении») Брадварднн написал «Умозритель-
ную арифметику» п «Умозрительную геометрию». Ла про-
тяжении XIV—XV вв. трактаты эти пользовались боль-
шим распространением и нередко комментировались.
Трактат «О континууме» Брадварднн написал, очевидно,
в период между 1328 и 1335 гг., так как первым из этих
годов датирован трактат «О пропорциях», на который он
несколько раз ссылается в «De continue», а в 1335 г.
Брадварднн был в Лондоне, где другие занятия уже от-
влекли его от математических трудов. Напомним, что
в Мертоп-колледже, где преподавал Брадварднн, вообще
культивировалась математика.
Большинство средневековых философско-математичес-
ких рассуждении о природе континуума было облечено
в форму вопросов к «Физике» Аристотеля пли к «Сентен-
циям» Петра Ломбардского. Строились они по схеме: тези-
сы н их доказательства, возражения нате псы по пунктам
*l*e X' "ge chichte der Reformation, В. I, Leipzig, 1873, стр. 229—
244); К. Werner, Die Scholastik des spiiteren Mittelalters, B. Ill,
Wien, 1883, стр. 234—306; S. II a h n. Thomas Bradwardine nnd
seine Lehre von der menschlichen Willensfreiheit, Minister, 1905;
M. Cantor, Vorlesungen fiber Geichichte der Mathematik, В II,
Leipzig, 1913 (Neudruck der 2. Auflage), стр. 113—120; II. L. С г о -
? “ У» Jr- Thomas of Bradwardin. His Tractatus de proportionibus,
’‘significance for the development of mathematical physics, Madi ion,
1»э5. По этому новейшему изданию трактата «О пропорциях» (из-
вестного также под заглавием «О пропорциях скоростей при движе-
ниях») даются в дальнейшем цитаты; ср. рецензию Е. J. Dykster-
utls.B *Archives internationales d'histoire des sciences», .V 33 (1955,
ctobre — decembre), стр. 390—393; G. L e f f, Bradwardine and the
pelagians, Cambridge Cniversity Press, 1957. В последние годы
m Ьрадвардине в связи с юбилейной датой напомнил J. Е. Hof-
I ifrUR' ^um Gedenken an Thomas Bradwardine, «Centaurus», vol.
* (U51), № 4, CTp 293—308.
3‘JO
В. II. ЗУИОВ
и ответ па эти возражения. Доказательства велись
больше» частью по схеме силлогизма, причем приемы
доказательства, как правило, обнажались и выступали
неприкрыто в постоянных указаниях вроде: «большая
посылка очевидна, а меньшая посылка доказывается так»
п т. и. В отличие от этого сочинение Брадвардпна не толь-
ко имеет форму самостоятельного трактата, но и обнару-
живает в своем построении явную тенденцию следовать
изложению, «принятому у геометров» (more geometrico),
т. е. по образцу «Начал» Евклида: сначала даются опреде-
ления (def in it iones), за ними следуют предположения
(suppositiones) и, наконец, .заключения (concliisiones).
которые соответствуют теоремам. Однако местами Брадвар-
дпну пришлось отступать от своего образца и довольно
искусственно вводить в текст заключении самостоятель-
ные части, как, ианрпмер, классификацию различных
концепций континуума (заключение 31-е) или классифика-
цию паук (заключение 57-е). Особенно заметно это в кон-
це трактата, где то, что обозначено как заключение 141-е.
уже не строится more geometrico, а превращается в рас-
суждение по схеме за и против, pro et contra.
Брадвардпп начинает с 24 определении основных поня-
тий (среди них понятия континуума, тела, поверхности,
линии, точки, неделимого, времени, мгновения, движения,
наложения и слияппя линий, непосредственного и опо-
средствованного примыкания, начала и конца изменения,
бесконечного категорематпческого и сннкатегорематпче-
ского). Оп оставляет эти определения без всяких других
пояснений, за исключением последних двух1).
После определении идут 10 предположении. Нз них
отметим 4-е: «Все науки оказываются истинными в том слу-
чае, когда не предполагают, что континуум составляется
пз неделимых». Приведенное предположение, или посту-
лат (suppositio), разъясняется таким образом: «Автор
говорит это потому, что иногда в других науках он всем
этим пользуется как очевидным, поскольку было бы
слишком долго все это разъяснять. Однако тогда, когда оп
*) Различение категорематического и синкатегорематического
бесконечного приблизительно соответствует более позднему раз-
личению актуальной и потенциальной бесконечности.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ.
391
трактует о составлении континуума нз неделимых, он не
исходит из предположения, что науки эти истинны, во
избежание постулирования основания (petitio principii)».
Такое замечание не совсем отвечает действительности.
Пз дальнейшего будет видно, что Врадвардин все время
имел в виду не тотько евклидову геометрию, по и все другие
науки — теорию музыки, физику, астрономию и т. д. Что
станется с ними — такова его основная мысль — если
предположить, что континуум состоит из неделимых? Они
должны будут рухнуть, как в целом ряде мест подчерки-
вает он с пафосом, который особенно резко выделяется
па общем фоне спокойного изложения geonietrico more.
Самая практика каменщиков и плотников, как говорит
Врадвардин, взывает против представления о неделимых.
С кем же сражался Врадвардин? На первый взгляд
кажется, что (в особенности в первых заключениях) оп
занимается анализом основных понятий геометрии безот-
носительно к реальным противникам, сражается с вымыш-
ленными пли мнимыми противниками, не выходя аа пре-
делы трафаретной схемы схоластического диспута: «ты
возразишь — я отвечу» (objicies — respondeo) и т. п. На
самом деле это не так. Врадвардин имел перед собою вполне
реальных противников: сторонников дискретной геомет-
рии, с одной стороны, а с другой — идеи актуальпо-бес-
коиечпого. Пас завою бы слишком далеко детальное рас-
смотрение подобных споров1). Однако напомнить об этом
следует и здесь: трактат Врадвардипа был напнсап в ат-
мосфере ожесточенных философско-математических споров,
затрагивавших самые коренные принципиальные вопросы
*) Ср. обзор этих споров с большим котнчеством цитат у
Р. Duliem в очерке «Leonard de Vinci et Jes deux infinis» (fitudes sur
Leonard de Vinci, 2-de serie P., 1909, стр. 3—53 и 368—407, note
' Sur les deux infinis). Новые материалы использовала Анна-Лиза
Майер (A. Maier, Die Vorliiufer Galileis im 14. Jahrhundert
Homa, 1949, стр. 155—215: Kontinuum, Minima und aktuell I'nend-
liches). Вопросы о «дискретной геометрии» в Средние века отчасти
освещаются также в моих статьях: «Ломоносов и Славяно-греко-
латинская академия», Труды Института истории естествознания
п техники АН СССР, т. 1, М., 1954, стр. 5—52; «Николай из Отре-
кУра и древнегреческие атомисты», там же, т. 10, М., 1956
стр. 338—383.
392
В. П. ЗУБОВ
геометрии. И как бы пи оценивать позицию Брадвардц-
иа, в одном оп был безусловно прав: та дискретная гео-
метрия, которую защищали его современники — фппити-
сты, пе давала никаких практических преимуществ перед
геометрией Евкзпда: ее разработка была продиктована фи-
лософскими соображениями, чуждыми математике как та-
ковой. Однако сами эти споры имели большое .значение
для математики, так как вплотную подводили к проблеме
обоснования геометрии, к философской критике ее основ,
не говоря уже о том, что в какой-то мере они подготовля-
ли почву для развития исчисления бесконечно малых.
Первые 20 .заключении представляют собою то, что
в тексте самого трактата характеризуется как некая гео-
метрическая преамбула.
В 1-м заключении Брадварднн доказывает, что ин
одно неделимое пе может быть больше другого, так как
это предполагало бы наличие частей в большем н.з них.
Далее, во 2-м заключении он доказывает, что, если два
континуума того же рода состоят нз одинакового числа
неделимых, они равны друг другу. 3-е заключение Брад-
вардпп готов причислить к аксиомам (conclusiones notato-
rie): ин в одном континууме несколько неделимых не мо-
гут занимать одно н то же неделимое положение, ибо ина-
че множество неделимых могло бы сливаться в одно и в ко-
нечном итоге континуум мог бы быть лишен всякой вели-
чины. Делается оговорка, что речь идет о континууме пе
«кривом» и не «изогнутом» (нон curvo пес reflexo).
4-е заключение гласит, что ни на какой прямой нес-
колько точек не могут находиться на одинаковом расстоя-
нии от конца, а отсюда делается вывод, что в любом кон-
тинууме любые два неделимых находятся на неодинаковых
расстояниях от обоих концов. Доказательство ведется от
противного: часть пе может быть равна целому. Если
противник скажет, что точка с (рис. 3) непосредственно
примыкает к Ь, а потому нельзя принимать аЛ>ас, ана-
логичное рассуждение будет применимо и к точкам d, е
и т. д.; иными словами, любую часть липни ab придется
считать равной всей линии. А о том, что несколько точек
пе могут занимать одно положение с Ь, было уже сказано
в 3-м заключении.
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА *О КОНТИНУУМЕ»
393
Отсюда вытекает, что на прямой к одному неделимому
с одной стороны не могут непосредственно примыкать
несколько неделимых и что к точке па прямой с обеих
сторон может непосредственно примыкать не более двух
точек (заключение 5 и следствие к нему). Нельзя из точ-
ки провести к прямой линии ботее двух равных прямых,
Рис. 3.
а, следовательно, прямая не может иметь с окружностью
более чем две общие точки (заключение 6 и следствие
к мему).
Доказательство сводится к тому, что в противном слу-
чае (рис. 4) /_ abc=/ acb=/_ adb, ^_abd=/^_adb, т. е. внеш-
ний угол adb был бы равен с меж- 0
ному с ним углу a de, а при pa- /К
венстве углов adc и abc линии ab /I \
и ad должны быть параллельны. /[ \
Как и в заключении 4-м, в дан- / / \
ном случае также нельзя сказать, / / \
что точки b, d, с непосредственно / / \
примыкают друг к другу, т. е.
что линии ab, ad, ас не образуют
треугольников, ибо и в этом слу- ис’ '
чае можно продолжить рассуж-
дение сколь угодно далеко, в отношении следующих
линий и точек.
Группа заключений с 7-го по 13 е касается вопросов
наложения линий друг на друга. Для правильного понима-
ния этих заключений следует помнить проводимое Брад-
вардином в определениях 15 и 16 (см. приложение) раз-
личие между superponere и imponeie. В первом случае
между линиями нет ничего промежуточного, они остают-
ся двумя линиями, а во втором случае они образуют непре-
рывное целое, т. е. сливаются в одну. Мы переводим
ооа термина соответственно: прикладываться и
ЗУ4
В. П. ЗУБОВ
лого строения пространства,
f---------------д
а------------------------ь
к------------£-----------1
с------------------------d
Л-------------4
Рис. 5.
накладываться, приложения и н а л о-
»К С И II с.
Проводя это различие, Врадвардин, видимо, становился
на точку зрения своих противников, сторонников днскрет-
стремясь дальше поражать
их собственным оружием.
В случае «суперпозиции»
(приложения) между дву-
мя прямыми ничего
нет, они непосредственно
прилегают друг к другу,
оставаясь двумя прямыми,
и между ними нельзя про-
вести никакой другой пря-
мой. Соответственно Врадвардин утверждал, что если
между двумя линиями находится одна или несколько
липни, то линии эти параллельны (заключение 7-е), тог-
да как между «приложенными» друг к другу линиями не
существует никаких промежуточных точек (заключение
8-е). В самом деле, предположим, что имеется одна та-
кая точка е между линиями ab и cd (рис. 5). Если про-
вести через нее линию kel, она лпбо пройдет м е ж д у ab н
cd — тогда между последними двумя линиями есть и дру-
гие промежуточные точки, т. е. линии параллельны и не «на-
ложены» одна на другую,—либо, проходя через е, проведен-
ная линия не будет проходить меж д у ah и cd, а пойдет
частью поверху, по линии fg, частью понизу, ио
липни hi, и тогда частично будет параллельной ab, а час-
тично нет, что невозможно, так как параллельные линии
не встречаются.
Иначе говоря, если между линиями ab и cd есть одна
точка, то везде должны быть и другие, но тогда линии
эти уже не «приложены» друг к другу, а параллельны друг
ДРУгу.
Отсюда следует, что две «приложенные» друг к другу
прямые не могут иметь ни одной общей точки, находя-
щейся между ними (заключение 9 е).
Вслед за этим Врадвардин переходит к «наложению»
прямых. Одна прямая линия не может «накладываться»
на другую частично, т. е. так, чтобы в другой своей части
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ
395
она к ней «прикладывалась» или отклонялась от нее в сто-
рону (заключение 10-е). Брадварднн особенно выделяет
это заключение, указывая, что противоположное ему
утверждение является «последним прибежищем» для
некоторых суемудрое (est ad guosdam falsigraphus siimmum
refugium). Против таких
«суемудрое» он выдвигает
целых пять аргументов J).
Во-первых, если «пря-
мая» dbc частично сливает-
ся, а частично не сливается
с прямой аЬс, то две пря-
мые («прямая» dbc и пря-
мая de) замыкают прост-
ранство (рис. 6). Против-
ник скажет, что линию de
провести нельзя, можно провести только «прямую» dbc.
В ответ на это построим прямоугольник adec, диагональ ко-
торого de делит его пополам, нс проходя через Ь. Следова-
тельно, площадь треугольника adb не равна площади dbee,
ибо Л abd= Л bdf и, следовательно, меньше площади dbee.
Утверждение же, что диагональ не делит прямоугольник
пополам, противоречит «Началам» Евклида. Если, нако-
нец, скажут, что диагональ de проходит через Ь, то с рав-
ным правом можно сказать, что та же диагональ, проведен-
ная от с к d, должна пройти через симметричную точку
па de.
*) Выражение falsigraphus, которое мы переводим «суемудр»,
соответствует аристотелевскому термину ifevfioygicpog (О софи-
стических доказательствах, гл. 11, 171b). «Псевдограф», по
Аристотелю, отличается от эристика («спорщика») в от софиста
тем, что пользуется ложными доказательствами, но пе выходит
за пределы топ или ппой науки и ее принципов (в данном случае
геометрии).
«Псевдографы», с которыми полемизировал Брадварднн, пола-
гали, исходя из финитистских концепции, что возможно частичное
♦приложение» и частичное «наложение» линий. Этим, например,
они пытались объяснить соответствие между точками концентриче-
ских окружностей: два «смежных» радиуса большей окружности
в одной своей части «прикладываются» друг к другу, а в другой
«накладываются», оставаясь прямыми.
396
В. П. ЗУБОВ
Во-вторых, adb есть треугольник, следовательно, про-
должение стороны ab образует угол с db и, следовательно,
dbc — пе прямая.
В-третьих, восставим перпендикуляр bf к ас в точке Ь.
Тогда угол dbf должен быть прямой. Если же он ие пря-
мой, восставим перпендикуляр bg к «прямой» dbc. Он
придется либо между fb и db, и тогда «прямой» угол dbg
е меньше прямого угла abf, либо перпен-
0дикуляр придется по ту сторону fb,
тогда «прямой» угол gbc меньше нрямо-
у го угла fbc. Если провести далее перпен-
дикуляр /Л к ас в точке Ь, тогда «внут-
ренний накрестлежащий» угол dbf равен
прямому углу hbc и вместе с тем состав-
ляет часть прямого угла abf. Наконец.
Рпс 7 поскольку стороны ad и /Л параллель-
ны, нрямойг угол cbh равен углу adb. Но
и угол dot прямой. Выходит, что тре-
угольник имеет два прямых угла, или, иначе говоря,
параллельные липни встречаются.
В-четвертых, у круга оказывается несколько центров.
Ьрадвардмн ие удерживается от восклицания: «Лебедь
ранен в ногу, прекраснейшие перья выпадают из хвоста
павлина и вся геометрия сферы и круга перевернется
вверх дном!» В самом деле, если из центра окружности с
(рис. 7) выходят прямая са и равные ей «прямые» cbd
и cbe, то точка b оказывается вторым центром того же
круга.
Наконец, Брадварднн приводит пятый аргумент, уже
из области «физики» и «перспективы» (т. е. оптики): не-
понятно было бы, почему нечто легкое продолжало бы
свой подъем по одному направлению, а ие по другому,
точно так же непонятно, почему тело, брошенное в гори-
зонтальном направлении, луч света и т. п. сохраняли бы
свое направление.
Согласно 11-му заключению (прямо вытекающему из
примера круга с двумя центрами), если две точки, лежа-
щие на одной прямой, «накладываются» на две точки дру-
гой прямой, то никакая часть первой линии ие может
«прикладываться» ко второй или отклоняться от нее.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ»
397
В 12-м заключении доказывается, что но может одна
часть линии «прикладываться» к другой линии, а другая
часть отклоняться от нее. Рассуждение ведется аналогич-
но случаю, описанному в заключении 10-м.
Подобным же образом доказывается, что если две
точки одной прямой «прикладываются» к двум точкам
другой или если одна точка «накладывается», а другая
f---------------------------b
о------------£--------------b
Рис. 8.
«прикладывается», то часть одной липни не может откло-
няться в сторону от другой (заключение 13-е). Пусть точки b
прямых cb и ab «накладываются», а точки d и е «прило-
жены» друг к другу. Расстояние между d и Ь может быть
делимое или неделимое (рис. 8). В первом случае db
«прикладывается» к eb, а часть cd отклоняется в сторону,
что невозможно (см. заключение 12-е). Во втором случае
это неделимое и точка d, т. е. дне точки, «прикладывают-
ся» к ab, что противоречит первой части 13-го заключения.
Если между dub вовсе нет расстояния, проведем линию
bf между cb и ab. Она пе. может проходить между d и е,
так как эти точки «приложены» друг к другу и между ними
пет промежутка. Стедователыю, bf пройдет через точку d,
т- е- будет «накладываться» на cdb в двух точках, и тогда
(согласно заключению И-му) опа пе может отклоняться
в сторону.
Следующие три заключения посвящепы углам. Сначала
Доказывается, что любая прямая, пересекающая другую
прямую, пересекает ее в какой-либо одной из своих точек
и не более чем в одной (заключение 14-е). Эта точка е
Должна принадлежать обеим линиям аЬ и cd, иначе,
если бы опа принадлежала только линии ab, линия cd не
была бы непрерывной. Вместе с тем (согласно заключению
398
В. П. ЗУБОВ
5-му) к точке на прямой с одной стороны может непосред-
ственно примыкать пе более чем одна точка.
В заключении 15-м как вывод пз ранее сделанных за-
ключений (в частности 11-го) утверждается, что две прямые,
встречающиеся в одной точке, не могут иметь другой об-
щей точки; следовательно, радиусы круга не встречаются
раньше центра, а прямые, проведенные от основания тре-
угольника к противолежащей вершине угла1), не встре-
чаются нигде, кроме этой вершины.
В 16-м заключении доказывается, что прямая, прове-
денная из вершины треугольника, делит угол на два угла,
противолежащую сторону — на два отрезка и весь тре-
угольник — на два треугольника. Интересны в данном
случае указания на возможные возражения «лжемудр-
ствующего» (falsigraphus), а именно: а) между средней
линией cd и сторонами асп сЬ (или одной пз них) заключена
не поверхность, а линия; б) точка d непосредственно при-
мыкает к а ii.hi к Ь; в) d отстоит от а и b только на одну
точку. На это Брадварднн отвечает, что в первом случае
(согласно заключению 7-му) такие линии были бы парал-
лельны, по вместе с тем они встречались бы в вершине с;
во втором — либо не получалось бы угла, либо опять-
таки параллельные линии встречались бы, а в третьем
случае, проведя линию из с в эту промежуточную точку,
рассуждают дальше так же, как и рапьше.
В заключениях 17—20 Брадварднн переходит к гео-
метрии окружности. 17-е заключение аналогично предыду-
щему: угол касания, прямая, противолежащая этому уг-
лу, и треугольник касания делятся на две части посред-
ством окружности большего круга. «Нельзя при этом
воображать, что большая окружность в некоторой споен
части сливается (imponatur) пли накладывается (super-
ponatur) на касательную». Следует ссылка па 11-е заклю-
чение и следствие 6-го заключения, а также на 3-е поло-
жение книги Фемистия «О сфере». Нельзя сказать и от-
носительно большей и меньшей окружностей, что они
совпадают в какой-то своей части.
') В рукописях: ad latus illi oppositnm, что пе дает смысла.
В следующем, 16-м заключении это утверждение понимается именно
так, как памп указано в тексте.
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА «О КОНТИНУУМЕ»
399
18-е заключение, вспомогательное, касается построе-
ния дуги полуокружности, меныпей иа данном отрезке
прямой. 19-е заключение гласит: если одна и та же хорда
стягивает дуги разных окружностей, меньшие полрвины
окружности, то меиыная дуга принадлежит большей,
а большая — меньшей окружности, или, иначе говоря,
большей окружности будет соответствовать меиыная дуга,
меньшей — большая дуга. Отсюда Брадвардин выводит
«удивительное следствие» (porisma admiranduin), относя-
щееся к физике: поверхность жидкости, налитой в сосуд,
становится более выпуклой, когда этот сосуд находится
ближе к Земле (к ее центру), и менее выпуклой, когда
этот сосуд перемещают па высоту х).
В 20-м заключении наиболее важным является след-
ствие: всякую прямую можно разделить
на множество отрезков. Оно непосредственно
вытекает из самого заключения, которое показывает, что
перпендикуляр de (рис. 9), .восставленный в середине
хорды ab, можно разделить посредством дуги aeb круга,
меньшего, чем круг, которому принадлежит дуга agb,
и большего, чем круг с дугою adb. «Суемудрствующий»,
может быть, скажет, что е примыкает непосредственно к с
*) С подобными рассуждениями можно встретиться уже раньше
У а; Хазпнн (ХП и.) и Роджера Бэкона (XIII в.) Ср. Е. Wied е-
® а в п, Inhalt eines Gefa ев in verschiedenen Abstiinden vom
Erdmittelpunkte nach Al Khazini und Roger Baco, — Annalen der
jjiysik und Chemie, Neue Folge, B. 39 (1890), стр. 319. Роджер
И КпП также сворит об этом как о «великом чуде природы».
’Bacon, Opus majus, ed. J. H. Bridges, pars IV, cap. XI, vol.
*• London, 1900, стр. 157—159.
400
В. П. ЗУБОВ
и d (1-й случай) или что между с и е, е и d находится всего
по одной точке, а следовательно, нельзя провести не-
сколько промежуточных дуг (2-й случай). Однако, отве-
чает Врадвардин, в первом случае либо возможно постро-
ить промежуточные дуги afbn agb, и тогда, следовательно,
end не примыкают непосредственно к е, лпбо нельзя
построить, и тогда дуги adb и agb должны накладываться
на дугу aeb или сливаться с нею, т. е. быть ей равными. Во
втором случае несколько дуг должны будут проходить
через одну точку и вместе с тем, так как они находятся на
расстоянии друг от друга, придется различать разные
деления на хорде.
За этими геометрическими вводными заключениями
(prearnbula geometrica) следуют вводные физические за-
ключения (preambula physica) от 21-го до 29-го.
Согласно заключению 21-му, если точка линии или
части липни движутся в одном направлении, то и любая
часть этой линии и любая промежуточная точка движутся
в том же направлении, что и конец линии. Иначе точка
или часть линии отрывались бы от целого. Не может про-
исходить отклонения и на одно неделимое, ибо это противо-
речило бы заключению 10-му, согласно которому невоз-
можно, чтобы две липни в одной части сливались, а в дру-
гой накладывались друг на друга.
Заключение 22-е утверждает, что любой отрезок пря-
мой может описать круг при вращении вокруг неподвиж-
ного своего конца.
В заключении 23-м с отсылкой к трактату Брадвар-
дина «О пропорциях движений»1) и к сочинению «О кривых
поверхностях»2) говорится, что для каждой точки обра-
щающегося радпуса можно в точности определить ее
скорость, а именно: поскольку окружности пропорцио-
нальны диаметрам и радиусам, постольку скорости точек
пропорциональны расстояниям их от неподвижного центра.
*) См. Crosby, цит. соч., cap. 4, pars 2, concl. 2, стр. 130.
*) Имеется в виду комментарий XIII в. к 1-й книге Архимеда
«О шаре и цилиндре», опуб вкованный М. С 1 a g е t t под заглави-
ем «The De curvis superficiebus Archimenidis. A medieval commen-
tary of Johannes de Tinemue on book I of the De sphaera et cylindro
of Archimedes», Osiris, vol. 11 (1954), стр. 295—346.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «о континууме»
401
Заключение 24-е: какое бы равномерное и непрерывное
движение ни было дано, существует другое такое же,
более быстрое или более медленное, стоящее к первому
в конечном отношении. Заключение доказывается (иллю-
стрируется) на том же примере различных точек вращаю-
щегося радиуса. Отсюда сл< дует, что любое конечное
пространство может быть пройдено равномерным п непре-
рывным движением в любое конечное время. В заключении
25-м тот же тезис распространяется на другие виды после-
довательного «движения» (изменения)1).
20-е заключение утверждает, что при непрерывном
пространственном движении движущееся не может зани-
мать несколько положений сразу и находиться в одном
положении на протяжении нескольких мгновений. Дока-
зывается тем, что в противном случае можно было бы
«одновременно находиться в Оксфорде и во всех местах
мира, чего не допускает наука о природе»2). Находиться
в одном положении на протяжении нескольких мгиовшшй
значило бы одновременно двигаться и покоиться. След-
ствие распространяет это положение на другие виды
движения.
Заключения 27—29 посвящены разъяснению понятий
incipit и desinit: когда говорится incipit (начинает) и истол-
ковывается как отрицание прошлого и утверждение на-
стоящего (например, теперь есть, а раньше не
было), то под настоящим понимается ие отрезок времени,
а м г и о в е и и е, тогда как под прошедшим непременно
подразумевается время. Точно то же — при истолко-
вании incipit как отрицания настоящего (теперь,
в настоящее мгновение, нет) и утверждения будущего
(потом, в последующее время, есть). Аналогично, ког-
да говорят desinit (перестает), то утверждают бытие
в данное мгновение и отрицают бытие в последую-
щее время, либо отрицают бытие в настоящее м г н о-
в е н и е и утверждают бытие в предшествующее время.
') «Движения» в широком аристотелевском смысле, охватыва-
ющем как движение в пространстве, так и качественное изменение,
возрастание п убыль.
) В Эрфуртской рукописи указание на Оксфорд отсутствует
положение сформулировано в более общей форме.
2fi
Истор.-матем. исслед., вып. XIII
'rtj2 В. И.*ЗУБОВ
Зтн различении были весьма распространены в Х1\ в.
и породили целую литературу об incipit и desinit. Ц3
приведенных различении вытекало, что когда incipit
истолковывается в смысле утверждения настоящего и от-
рицания прошедшего, то н е т последнего момента
небытия, ио е с т ь первый момент бытия; когда же
incipit истолковывается в смысле отрицания настоящего
и утнер кдения будущего (где опять-таки настоящее есть
мгновение, а будущее — время), то есть после д-
и и н момент небытия, по нет первого .момента
бытия (мы бы сказали, что прп возрастании переменной
величины от нуля нельзя указать первого ее значения,
следующего за нулем). Брадвардин касается этих вопросов
довольно бегло, чтобы вернуться к ним несколько позже,
в заключениях 50—55.
Заключение 30-е открывает новую часть трактата
и гласит: если один континуум (т. е. один вид континуума)
каким-либо образом состоит из конечного или бесконеч-
ного множества неделимых, непосредственно примыкаю-
щих одно к другому, то и любом другой вид состоит
из них1).
Что же касается заключения 31-го, оно является свое-
го рода перефразированием предыдущего (см. прнложе
ние). Здесь же, в 31-м заключении, приведена классифика-
ция различных точек зрения па континуум, которую
Брадвардин положил в основу всего дальнейшего изло-
жения. «Для понимания этого заключения нужно знать,
что относительно строения континуума существует пять
взглядов, распространенных среди древних и нынешних
философов. А именно: один, как Аристотель, Аверроэс
и большинство нынешних, утверждают, что континуум не
слагается пз атомов, а из частей, делимых без конца. Дру-
гне же говорят, что он слагается из неделимых, притом
двояко, ибо Демокрит полагает, что континуум слагает-
ся пз неделимых тел, а другие, что оп слагается из точек.
В свою очередь эти последние разделяются на двое, ибо
Пифагор, глава этого направления, Платон и наш совре-
*) Что это заключение следует понимать именно применительно
к разним видам континуума, следует хотя бы из заключения 43-го.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ»
403
пенник Вальтер полагают, что континуум слагается пз
конечного числа неделимых, а другие — из бесконечного их
числа. Их также две группы, так как одни, как наш совре-
менник Генрих, утверждают, что континуум слагается из
бесконечного числа неделимых, непосредственно связан-
ных друг с другом, а другие, как [Роберт] Линкольнский,
ц.1 бесконечного числа их, связанных друг с другом опо-
средствованным образом».
Соответственно этой классификации в дальнейшем трак-
тат строится так. Воззрения Демокрита вовсе пе подвер-
гаются детальной критике. Сначала критикуются вместе
взгляды как финитистов, так п иифинитпстов (т. е. и Пифа-
гора, и Генриха), в той части, в которой они совпадают,
а именно в утверждении, что неделимые непосредственно
примыкают друг к другх (заключения 32—56). Далее
критикуются финнтпсты—Пифагор и Вальтер (заключе-
ния 57—113), вслед за тем ннфпни исты—Генрих и Роберт
Линкольнский, или Большеголовый (заключения 114—139).
В конце излагается собственное мнение (заключения
140—150).
Кого подразумевал Брадварднн под именами Вальтера
и Генриха (Waltherus inodernus и Hrnricus inodernus)?
X казаипя Брадвардина были впервые правильно расшиф-
рованы Аниой-Лизой Майер1). «Вальтер» — эю Уолтер
Кэнон (Catton, в латинских рукописях чаще: Chatton),
который, согласно утверждению своего прошвннка Адама
Вудхэма, учил, что всякий континуум состоит нз конеч-
ного числа неделимых2). «Генрих»—это Генрих из Харк-
лея (Barclay), канцлер Оксфордского университета (ро-
дился около 1270 г.—умер в 1317 г.), с которым полеми-
зировал Вцльям пз Олышнка (William of Alnvvik)3).
*) A. Maier, Die Vorliiufer Galileis im 14. Jahrhunderl,
Homa, 1949, стр. 161—162.
’) О том же свидетельствовал позднее Григорий из Римини,
♦b'eterminatio Oxoniensis* Кэттона, упоминаемая Вудхэмом, пока
не обнаружена.
_) Вильям был непосредственным преемником Генриха в Оксфор-
? ’ полемика содержится в неопубликованных до настоящего вре-
ни «Determinationes» Вильяма (Воловья, около 1323 г.). См.
Maier, цнт. соч., <тр. 162; F. Prist er, Heinrich von Hark-
26*
405
В. П. ЗУБОВ
Перейдем теперь к более детальному рассмотрению
отдельных частей трактата н остановимся сначала на пер-
вой из них, содержащей критику взгляда, согласно кото-
рому неделимые непосредственно примыкают друг к другу.
Эта часть в свою очередь распадается па два раздела:
доводы геометрические (заключения 32—42) н доводы
физические (заключения 43—5G).
Основной смысл заключения 32-го: пе существует
минимального градуса формы, способной к интенсифика-
ции и ремиссии1). Иначе существовало бы наиболее мед-
ленное движение: ведь минимальный конечный гра; ус
теплоты нагревал бы наиболее медленно н т. п.
Если бы такой минимальный градус существовал, неде-
лимые в континууме непосредственно смыкались бы друг
с другол! (заключение 33-е).
Доказательство: допустим, что «максимальный холод»
(имеющий конечную величину) ослабевает иод действием
теплоты, возрастающей до своего высшего (конечного)
градуса Ь, и доходит, наконец, до «минимального граду-
са» холода а. Пусть последнее происходит при град; се
тептоты с. Такой градус теплоты либо непосредственно
примыкает к высшему градусу теплоты Ь, и тогда мы
имеем то, что хотели доказать (один неделимый градус
но посредстве и ио примыкает к другому), либо оп отстоит
от b на некоторое расстояние (или па «широту», по терми-
нологии того времени). В этом втором случае, стало быть,
теплота может продолжать возрастать в пределах cb, по
такое возрастание уже пе сможет сопровождаться даль-
нейшим понижением холода, который, согласно предпо-
ложению, уже достиг своего минимума а. Остается,
следовательно, принять первый член дилеммы: один
градус непосредственно примыкает к другому.
Если допустить существование минимального конеч-
ного градуса, то отсюда далее следует (заключение 34-е),
lay. Kanzler von Oxford und seine Quaestionen, Miscellanea Fr.
Ehrle, vol. I, Пота, 1924, стр. 328—331. «Вопрос» (Quaestio),
иаппсанпын Генрихом, пока не найден.
*) Подробнее об этпх понятиях см. В. П. Зубов, Примеча-
ния к трактату II. Орема «О конфигурации качеств», «Исторпко-
математпческие псследованпя», вып. XI, М., 1958, стр. 722.
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА «О КОНТИНУУМЕ*
405
что «шпрота формы» содержит коночное число градусов,
а континуум — конечное число атомов. Доказывается
от противного: допустим, что между высшим (конечным)
и низшим (конечным) градусом содержится бесконечное
число градусов, н предположим, что интенсивность убыва-
ет, начиная с высшего градуса, вдвое, вчетверо п т. д.
без конца, т.-е. отношешю между высшим г] адусом н эти-
ми новыми меньшими градусами возрастает до бесконеч-
ности. Следовательно, п отношение между высшим граду-
сом и «наименьшим градусом», который должен быть
меньше любого из этих градусов, возрастет до бесконеч-
ности. «Но «iiaiiMOTibiniiti» градус имеет конечную вели-
чину. Если же признать, что nurmnii градус бесконечен,
то это противоречит условию. Следовательно, между выс-
шим н низшим градусами содержится конечное число
градусов.
Другое доказательство. Пусть отношение высшего
градуса к «наименьшему7» градусу b равно конечной вели-
чине с, а интенсивность непрерывно убывает, начиная с а
до полного своего уничтожения (т. е. до нуля) в течение
времени de. Тогда, очевидно, по прошествии меньшего
времени с?/, которое стоит ко времени /е в отношении с,
т. е. в момент/, мы будем иметь некий конечный градус g.
Отношение а к g будет равно с. По и отношение а к «наи-
меньшему» градусу b равно с. Следовательно, g=b. Меж-
ду тем g > Ь (так как убывание продолжается па протя-
жении /е).
Нетрудно видеть, что в этом опровержении Врадвар-
дии молчаливо предполагает бесконечную делимость вре-
мени, т. е. считает, что можно взять другой момент в пре-
делах fe, которому7 будет соответствовать градус мепыний,
чем ?, т. е. что градус g не есть наименьший.
После этих вводных заключений начинается собствен-
но опровержение взглядов Пифагора и Генриха вместе,
т- е. фниитпстов и ипфипитистов, в топ части, в которой
°пп сходятся, а именно в признании, что неделимые непо-
средственно примыкают друг к другу. Иа это прямо ука-
зано в заключении 35-м.
Заключенно гласит, что если в континууме атомы непо-
средственно примыкают друг к другу, то должно сущест-
406
В. П. ЗУБОВ
вовать полное соответствие между точками, непосредствен-
но примыкающими к центру круга, квадрата и любого
тела, с одной стороны, и точками окружности, сторон
квадрата и поверхности тела — с другой. Достаточно
провести соответствующие ли-
нии к центру, чтобы в этом
убедиться. Но тогда (заклю-
ченно 36 е) непосредственно
к центру должно примыкать
бесконечное множество точек,
а отсюда вывод: две точки на
плоской поверхности п недели-
мые в любом континууме пе
могут сочетаться (coniungi) друг
с другом непосредственно.
Пусть мы имеем два радиуса
abd п асе; если представить
себе точки b и с непосредствен-
но примыкающими друг к дру-
гу, то между due должна ведь находиться точка /. Ио
радиус а/ (рис. 10) ио встречается с ad и ае раньше, чем
в а (следствие 15-го заключения). Следовательно, и между
точками b и с доЛ/Кна находиться точка.
Сходным образом рассуждая дальше,
придется признать (заключение 37), что
между двумя неделимыми любого кон-
тинуума должно заключаться бесконеч-
ное множество точек, и «всякий конти-
ниуум имеет бесконечное множество ато-
мов» (следствие к тому же заключению).
Далее: если точки примыкают не-
посредственно друг к другу, то к точке
Рис. И.
в середине поверхности непосредствен-
но примыкает 8 точек (рис. 11), а к точке в середине
тела 26 1) (заключение 38-е н следствие к нему). Придется
допустить (заключение 39-е), что всякая окружность
состоит пе более чем из 8 точек, отрезок прямой — пе бо-
*) В рукописи Т указало 50, а в рукописи Е—10, в обопх слу-
чаях неверно.
ТРАКТАТ БРХДВАРДИНЛ <О КОНТИНУУМЕ»
Wi
чее чем из 3 (заключение 39)1). Пришлось бы также допу-
стить, что прямой угол наименьший из возможных и что
вообще не существует ни тупых, ни острых углов (заклю-
чение 40-е). Л тогда «пн один треугольник, круг и вообще
ни один угол не могут существовать, а пять знаменитых
тел и все вообще геометрическое должно погибнуть с вели-
ким ущербом для геометрии и всей математики в целом»
(заключение 41-е). При том же условии параллельные
линии сходятся, ибо радиусы круга мыслятся «наклады-
ваемыми» друг ма дрхга, т. е. не имеющими промежуточ-
ных точек (заключение 42-е).
Рис. 12.
Брадварднн переходит к «физическим» аргументам
Заключение 43-е. Если неделимые непосредственно
примыкают друг к другу, то при разности скоростей в одно
неделимое разность путей должна также составлять неде-
лимое. Но в этом случае не может происходить никакого
возрастания скоростей. В самом деле: если с одной скоро-
стью проходится отрезок eg (рис. 12), а с другой скоростью,
превышающей первую па один градус (на одно неделимое),
отрезок cd, то разница gd не может быть делимой. Иначе
можно было бы взять меньший отрезок ch, которому долж-
на была бы соответствовать скорость, превосходящая
первую скорость па величину, меньшую неделимого.
Если же «увертливый суемудр» (falsigi'aphus cavillans)
скажет, что пути eg и cd, разнящиеся па одно неделимое,
не отличаются друг от друга и что разницу могут соста-
вить лишь делимые величины, то с тем же правом можно
будет утверждать, что не окажется разницы между cd и ск,
*) Эта вторая часть заключения доказывается ссылкой на то,
что периметр квадрата состоит пз 8 точек, следовательно, на одну
сторону приходится 3.
408
В. П. ЗУБОВ
ск и cl, т. о. но получится разницы н на большом расстоя-
нии. Нельзя сказать также, что только скорости образу-
ют неделимые разности, а пути непрерывны, ибо (со-
гласно заключению 30-му) то, что приложимо к одному
виду континуума, то должно быть приложимо п к
Другим.
Вариациями па ту же тему являются дальнейшие три
заключения (44—4G), не сопровождаемые развернутыми
доказательствами. Они касаются действии «природных
агентов». Если обозначить действующее (ageiis), го, что
воспринимает действие (passum), время и эффект действия
через а, р, t ие, а пх неделимые соответственно через Да,
Др, At п Де, то положения Брадвардпна можно было бы
резюмировать так: а) прп возрастании а ди а-|- Да н посто-
янных р и t эффект возрастает до е-|- Де, а за время Z-}- \t
остается тем же; б) за время t -|-Д t эффект возрастает до
е-(-Ле, а за время t—At снижается до е—Де; в) за то же
время t одни п тот же агент а производит па р —Ар дей-
ствие е-|-Де, а па р-\-Ар действие е—Де.
Из положения о примыкающих друг к другу неделимых
вытекает датее (заключение 47), что все движения (так же
как agentia и passa), разнящиеся па одпо неделимое, раи-
ны друг другу. Если за определенный промежуток време-
ни более быстрое тело проходит одни путь, а менее быст-
рое — другой, разнящийся па одпо неделимое, то за поло-
вину того же промежутка времени должны быть проходи-
мы пути, разнящиеся друг от друга меньше чем на одно
неделимое, т. е. эти пути должны быть равны, а следова-
тельно, и скорости равны. По если половины равны, то
п все пути дэлжпы быть равны и обе скорости должны
быть одинаковы.
Вариант доказательства: а и b движутся одинаково
быстро. За время 2/ точка b пройдет путь, который разнит-
ся от пути, проходимого а за время t, на одпо неделимое.
Выходит, что половины этих путей должны быть равны,
в противном случае сами пути должны были бы разниться
на две неделимых. Но если разница в одпо неделимое не
нарушает равенства между движениями а н Ь, то анало-
гичное рассуждение можно применить к b п с, с н d и т. д.,
т. е. все движения должны быть п равны друг другу,
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ»
/|09
и превосходить одно другое, и быть меньше одно другого
(заключение 49-е).
Из того же предположения о примыкании неделимых
друг к другу вытекает, что неделимое было бы делимым
(заключение 49-е). В самом деле, за определенное время
«более быстрое» проходит путь, превышающий на одно
неделимое путь «более медленного». За половину этого
времени пути должны разниться на половину неделимого.
Если сказать, что между половинами нет разницы, то
и между целыми не будет разницы. Если сказать, что
разница между половинами составляет точку, то из раз-
ниц между четвертями наберется четыре точки и т. д. до
бесконечности. Если, наконец, «суемудр» скажет, что ио
всякую лпппю можно разделить пополам, его можно будет
опровергнуть, но мнению Брадвардииа, взяв два движения,
нз которых одно вдвое медленнее другого. Тогда послед-
пес должно будет разделить пополам линию, состоящую
пз нечетного числа точек, иначе оно не вдвое медленнее
другого. «Да отступит, следовательно, опровергнутый
суемудр».
Далее следуют несообразности, которые Брадвардпп
перечисляет в заключениях 50—55. Он возвращается
к тем понятиям incipit и desinit, которых уже касался
в заключениях 27—29. Как мы уже отмечали, с точки
зрения континуальной теории, если b есть момепт пер-
вого бытия вещи, то пе существует последнего момента
ее небытия, и, наоборот, если момент b рассматривается
как момент небытия, то пе существует первого момента ее
оытня. Обратное имеет место при исчезновении. Иными
словами, в переводе на более современный язык это зна-
чит, что при изменении переменной величины от пуля пе
существует первого ее ненулевого значения н при убыва-
нии ее до пуля — последнего ненулевого значения.
В случае, если допускается существование непосред-
ственно примыкающих друг к другу неделимых, получит-
ся, во-первых, что последний миг небытия вещи и первый
миг ее бытия окажутся смежными (заключение 50-е), или,
как выражается Врадвардин в терминах учения об incipit
11 desinit: ко всему возникающему' и исчезающему будут
приложимы оба термина в обоих значениях сразу (см.
410
В. П. ЗУБОВ
определения 19—22 и приложении). Например, термин
incipit будет одновременно приложим и в смысле утвер-
ждения о настоящем и отрицания о прошедшем (а суще-
ствует в момепт Ь, п его пе было в прошлом), и в смысле
отрицания о настоящем и утверждения о будущем, так
как а пе существует в непосредственно предшествующий
момент с н существует в момент Ь. Между тем с точки
зрения континуальной теории, если b есть момент первого
бытия вещи, то не существует последней точки ее небытия,
и наоборот, если момепт b есть последний момент небытия,
не существует первого момента ее бытия. Обратное имеет
место при исчезновении.
Дальнейшие несообразности, вытекающие отсюда: дол-
жны существовать минимальный градус интенсивности
(заключение 51-е), минимальная степень скорости движе-
ния (заключение 52-е). Континуум должен слагаться из
атомов, т. е. в конечном итоге тело — из точек (заключе-
ние 53-е), субстанции — пз субстанций, качества — пз
неделимых качественностей (заключение 54-е). В резуль-
тате всякий континуум будет состоять как нз конечного,
так и из бесконечного числа неделимых (ср. следствие
заключения 37-го), будет слагаться пз атомов и не сла-
гаться из них (заключение 55-е). Ведь, с одной стороны,
неделимые не могут дать величины, сами не имея вели-
чины, с другом — элементы континуума должны иметь
величину.
После этих антиномии и апорий в заключении 56-м
делается торжественное заявление: «Ни в одном контину-
уме, согласно вышесказанному, атомы не соединяются
непосредственно друг с другом». Особо делаются ссылки
на следствие 36-гои 38-го заключения и на заключение3-е.
«II подобно тому, как тройная веревка1) рвется с трудом,
так и зто заключение, доказываемое трояким образом, не
легко опровергнуть».
Следующий большой раздел трактата (заключения 57—
113), посвященный критике фппптпетов, начинается по-
хвалой математике: «Утверждение, полагающее, что контн-
’) В рукописи Т: firmitas triplex, в рукоппсп Е: triplex funi-
culus.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИИА «О КОНТИНУЪ МК» fj f
hvvm состоит пз конечного числа неделимых, враждебно
всём наукам, всем им противоборствует и потому всеми
ими единодушно отвергается. С ним прежде всего вступает
в бой математика и побеждает. Ибо опа, ио сравне-
нию с прочими своими сестрами, зорче видит, более
метко мечет копье п ограждает себя более падежным
щитом.
Пусть не надеется ппкто, что оп выйдет триумфатором
из физического состязания, если оп не будет пользоваться
ее советом и подкрепляться ее помощью. Ведь она откры-
вает чистую истину п познала всякую сокровенную тай-
ну, имея ключи ко всем тонкостям просвещения. Стало
быть, тот, кто дерзнет философствовать, пренебрегая ею,
должен будет признаться, что никогда не проникнет
в двери истины».
В разделе, о котором идет речь, использованы аргумен-
ты из арифметики, теории музыки, геометрии, оптики,
астрономии, физики, медицины, метафизики, граммати-
ки, логики, риторики и этики. Пак мы увидим, некоторые
из этих аргументов довольно случайны п искусственны
и имеют главной целью произвести впечатление, что все
науки без изъятия ополчаются против фипптизма
♦Пифагора и Вальтера».
Классификация только что перечисленных паук дана
в заключении 57-м. Она исходит из деления наук на тео-
ретические (rationales) п словесные (sermocinales). Пер-
вые, в соответствии с Аристотелем1), подразделяются на
математику, физику и теологию. Порядок математических
дисциплин определяется зависимостью одной от другой:
так, музыка уже предполагает астрономию, астрономия —
арифметику, геометрию и оптику. Словесные науки пере-
числены в ботее правильном порядке, чем тот, который
принят в самом изложении дальше, а именно здесь оп
следует традиционной схеме: грамматика, риторика, диа-
лектика (логика), тогда как дальше риторика поставлена
после диалектики. Этика охарактеризована частью как
созерцательная (contemplative), частью как практиче-
ская наука.
*) Ср. Аристотель. Метафизика, VI, 1, 1025b—1026а.
<12
В. П. ЗУБОВ
Заключение 57-е гласит, что при конечном числе атомов
два континуума должны относиться друг к другу так же,
как число атомов в одном к числу атомов в другом. Если
одни коптин у у м стоит к другому в иррациональ-
ном отношении, то придется сказать, что существует
число, стоящее в иррациональном отношении к другому.
Брадвардин подчеркивает, что говорится это в условной
форме («е ели о д н н к о н т и п у у м...») потому, что
становится это известно не из одной лишь арифметики,
о которой идет здесь речь, а из арифметики и геометрии.
В качестве примера Брадвардин приводит, со ссылкой
на Евклида, «достаточно известное» (satis divulgatuiu)
положение о несоизмеримости диагонали со стороной,
напоминая, что отношение квадрата диагонали к квадрату
стороны равно 4:2 и что никакой квадрат пе может стоять
в том же отношении к другому квадрату, ибо это значило
бы, что 2 есть квадрат. В отличие от этого отношение диа-
гонали прямоугольника к стороне может быть рацио-
нальным.
В следующем заключении (58-м) делается вывод, что
при конечном числе атомов они должны непосредственно
примыкать друг к другу (а следовательно, поднимаются
вновь все уже ранее сделанные возражения). В частности,
вследствнн отмечается, что число атомов не может не
быть бесконечным п что континуум не может слагаться
пз атомов.
Мы лишь коротко остановимся на аргументах, заим-
ствованных нз области музыки (заключения 59—65).
С фпнитпстской точки зрения ступени звхков должны
образовать последовательность, соответствующую нату-
ральному ряду чпсел, начиная с единицы, которая соот-
ветствует минимально слабому звуку (debilissiuius sonus).
Отношения между звуками, следовательно, могут быть
только рациональные. Ссылаясь иа Боэция, Брадвардин
показывает далее, что топ (9:8), как и всякое «супрапар-
тпкулярпое» отношение (тппа , где п > 1), нельзя
в точности «разделить пополам», т. е. представить как
квадрат отношения между двумя целыми числами. При
условии, что ступени звуков образуют ряд, соответствую-
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОИТПНХ > МЕ>
413
щпй натуральному ряду чисел, между вторым звуком,
октавой (2 : 1), и третьим, или дуодецимой (3 : 1), ие окаже-
/_4 . ?» _256Л
3 : 8* — 243 )
\83 : 3 — 2048 )
тся промежуточного звука, иаирпмер ундецимы пли окта-
вы с квартой ^т. е. у • у = Окажется, что созву-
чия между первым, вторым, третьим и четвертым звуками
сведутся к октаве (2 : 1), дуодециме (3 :1), двойной октаве
(4: 1), кварте (4:3) и квинте (3:2) и в пределах двойной
октавы ие окажется такого соотношения, как, например,
тон (9:8). Той нельзя будет разделить на малый и большой
полутона, т. е. интервал между квартой и двумя топами
и интервал между тремя тонами и квартой
, как это принято в музыке. Брадвардпп
закапчивает следствием (заключение 65) опять в несколь-
ко риторическом стиле, выпадающем пз общего стиля:
«Приятное звучание всей музыки оказывается осужденным
на вечное безмолвно, к великому огорчению ее звуков».
Далее (66-е заключение) следует большой раздел,
посвященный геометрическим аргументам. Сначала как
вывод из следствия 20-го заключения (всякую линию
можно разделить на много отрезков) утверждается, что
всякая прямая линия имеет бесконечное число частичных
отрезков (particulares lineas). В следующем, 67-м заклю-
чении утверждается, что всякий угол (как образованный
прямыми линиями, так и угол касания) можно делить
до бесконечности, поскольку уже раньше было доказано,
что его можно разделить на две части. С «едствпямп ра-
нее доказанного (в заключениях 16, 30 н 37) являются
также заключения 68—70 о делении треугольника на
бесконечное число треугольников, о том, что всякая по-
верхность имеет (babel) бесконечное множество поверхно-
стей, линий и точек и что всякий континуум состоит пз
бесконечного множества континуумов того же рода, имея
бесконечное множество атомов.
Следуют доказательства от противного. Если конти-
нуум состоит нз конечного числа неделимых, то сущест-
вует бесконечное число дуг, которые равны прямой.
1ак, если на перпендикуляре cd к хорде ab существует
41 i В. П. 3JE0B
всего 10 точек1), то дуга десятой «окружности» aeb дол-
жна совпадать с прямой adb (заключение 71-е). Отсюда
следовало бы, что существует некий «наибольший» круг,
так как и дуга всякого другого, еще большего круга, так-
же сливалась бы с хордой adb (заключение 72-е).
В 73-м заключении доказывается, что при фипитист-
ских предпосылках конечному числу точек диаметра, на-
пример 10, будут соответствовать 1U перпендикуляров
к этому диаметру н, следовательно, 10 точек на половине
окружности. Выходит, что вся окружность вдвое ботьше
диаметра. Врадвардин приводит здесь же два ответа,
один — Вальтера, другой — Генриха. По Вальтеру, на
конце каждого такого перпендикуляра находится несколь-
ко точек полуокружности, потому что перпендикуляры
пересекают ее не под прямым углом. По Генриху, каждому
перпендикуляру соответствует только одна точка, но
между этими точками полуокружности могут оказаться
одна пли несколько точек не в прямом, а в косом направ-
лении. Первое объяснение противоречит следствию заклю-
чения G-го (липин не может пересекать окружность более,
чем в двух точках), а второе — заключению 8-му (не суще
ствует промежуточных точек между «прикладываемыми»,
т. е. непосредственно примыкающими друг к другу, ли-
ниями).
Брадвардпн, кроме того, ссылается па 3-е предложе-
ние сочинения Архимеда «О квадратуре круга2») н на то,
что опыт каменщиков, плотников и вообще всех мастеров
ручного труда доказывает ложность утверждения, будто
окружность вдвое бо.Тыне диаметра.
Первая часть заключения 74-го, как отмечено у самого
Врадвардииа, есть аргумент Лльгазеля: все окружности
былн бы равны, ибо каждой точке большей окружности
bed соответствует точка меньшей efg. Отсюда вытекает, что
*) В рукописи Т: qualtuor, в рукописи Е: duo. Из общего смы-
сла рассуждения вытекает, что нужно читать: decern. Первая ошиб-
ка (в Т) легко могла получиться при цифровом написании, а вторая
(в Е)— при писании словами.
*) Напомапм, что оно гласит: отношение окружности к диамет-
ру меньше Зу , по больше 3 .
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА »О КОНТИНУУМЕ.
415
н все круги были бы равны. II в данном случае Брадвардин
полемизирует с Вальтером, утверждавшим, что радиусы
окружности bed. встречаются до пересечения с е/» и, та-
ким образом, радиусов в efg меньше, чем в bed, и, следо-
вательно, по его собственным словам, доказательство
хромает. Это утверждение Вальтера опровергается ссылкой
па следствие 15-го заключения (радиусы круга не встре-
чаются раньше центра и т. д.).
Дальнейшие выводы таковы. Заключение 75-е: пекпе
части окружности должны были бы состоять из прямых
линий, образующих углы (т. е. ок- tj
ружность превратилась бы в много- -------—-----------
угольник)1). Существовали бы круги, 'ч
по имеющие центра, а именно в слу- / \
чае, когда диаметры пх состоят из чет- I ।
иого числа неделимых (заключение I J
76-е). Круг, внутри которого иахо- \ /
дплась бы только одна точка, не
имел бы диаметра и площади; угол ~~
касания мог бы быть разделен по- 1>ис'
средством прямой, тан каь, согласно
заключению 67-му, его можно делить до бесконечности
посредством дуг больших окружностей, а следовательно,
получится бесконечное множество точек между ab и Ьс
(рис. 13), непосредственно примыкающих к Ь. К этим
точкам тогда можно было бы провести прямые (заключе-
ние 77-е).
От геометрия окружности Брадвардин переходит к гео-
метрии треугольников. Прп фнпптистскнх представлениях
основания всех треугольников, имеющих одинаковый
угол прп вершине, равпы друг другу: липни, проведен-
ные к вершине е нз всех точек основания ab, должны прой-
ти через столько же точек основания cd (заключение 78-е).
В заключении 79-м Брадвардин показывает, что если
равносторонние треугольники состоят из конечного числа
точек, то эти числа образуют последовательность, полу-
*) Доказательство основано на том, что две смежные точки
образуют прямую, а две прямые пе могут в данном случае распола-
гаться в одном направлении, иначе не получилось бы окружности.
416
В. П. ЗУБОВ
мающуюся при последовательном суммировании чисел
натурального ряда: 14-2=3, 1-|-2-|-3=6, 1 4-24*34-4= 10
и т. д. Брадварднн добавляет: «Многим это следствие ка-
жется странным, а именно, что такие равносторонние
треугольники настолько далеко отстоят друг от друга и
нельзя найти какого-нибудь промежуточного, который
больше одного и меньше другого».
Получается далее (заключение 80-е), что могут суще-
ствовать треугольники без углов (таковы треугольники
из 3 и 6 точек, у которых все точки уходят на стороны)
и треугольник с одним углом (таков треугольник из 10
точек, имеющий только одну внутреннюю точку, которая
и дает е цшствепный его угол: если, например, считать
таковым нижний левый, то справа остается лишь прямая
из четырех точек).
Получится (заключеппе 81-е), что существует треуголь-
ник, каждый угол которого равен прямому, и, следователь-
но, параллельные линии сходятся. Это следует из того, что
при указанных условиях диагональ квадрата должна быть
равна его сторопе, следовательно, опа разделит квадрат
па два равносторонних треугольника.
Если квадрат abed состоит из 4 точек, то треугольник
з
abc будет состоять из 3 точек, т. е. составлять его, тогда
как согласно геометрии Евклида он составляет его полови-
ну (заключение 82-е).
Равносторонний треугольник пз 10 точек не будет отли-
чаться от круга, ибо все линии, проведенные от средней
точкп к любой наружной, состоят из 2 точек, т. е. равны
между собой. То же будет справедливо для треугольника
из 28 точек, где соответствующие линии состоят из 3 то-
чек, и т. д. (заключение 83-е).
В за ключе пи и 84-м Брадварднн переходит к квадратам.
Последовательность квадратов будет соответствовать по-
следовательности квадратных чисел 4, 9, 16 н т. д., и ни-
каких промежуточных квадратов не окажется. Нельзя
будет построить квадрат, равновеликий любому треуголь-
нику, папрпмер равностороннему (заключеппе 85-е).
В заключении 86-м Брадварднн возвращается к тезису,
что диагональ квадрата будет равна стороне, и упоминает
ТРАКТАТ ЕРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ»
417
о мнении Вальтера, который говорил, что лпипи, прове-
денные из точек одной стороны квадрата параллельно
двум противоположным сторонам квадрата и перпенди-
кулярно к другой стороне, пересекают диагональ косо
(oblique) в нескольких точках, а потому то в диагонали
больше точек, чем в стороне. Согласно же Генриху, две
«приложенные» (т. е. примыкающие) друг к другу линии,
параллельные сторонам квадрата, пересекают диагональ
косо, а потому между ними находится промежуточная
точка (пли промежуточные точки). Против соображения
Вальтера Врадвардин отвечает ссылкой па заключение
14-е (прямая может пересекать прямую только в одной
точке), а против соображения Генриха — ссылкой на
заключение 8-е (между «приложенными» друг к другу
линиями не может быть промежуточной точки).
Прп все тех же фниптистских предпосылках квадрат пе
будет отличаться от круча (заключение 87-е). Для примера
берут квадрат пз 9 точек и рассуждение ведется аналогич-
но случаю треугольника. В 88 м заключении делается
вывод, что тогда диагональ квадрата должна быть соизме-
рима со стороной, как и вообще всякая величина с другой.
Квадрат из 4 точек не будет иметь ни внутреннего угла,
ин диагонали, пн площади, а квадрат из 9 точек будет
иметь только одни угол (заключение 89-е). Параллелограм-
мы, имеющие одну и ту же высоту и основание (равные
стороне квадрата), не будут равновелики этому квадрату,
а будут превосходить его в любой, сколь угодно большой
пропорции, когда число точек в них станет превышать
число точек в квадрате, а следовательно, можно будет
сказать, что и треугольники с тем же основанием и высо-
тою (равные половине этих параллелограммов) будут пре-
восходить квадрат в любой, сколь угодно большой про-
порции (заключение 90-е).
Кети так, продолжает Брадварднп (т. е. при тех же
фипитистскпх предпосылках), пирамида н куб не будут
отличаться от сферы (заключение 91-е).
Следуют два аргумента нз области оптики п астрономии
(заключения 92-е и 93-е). Распространение света и цвета,
видение по липни прямой, преломленной и отраженной,
становятся невозможными, потому' что они невозможны
27 Истор.-матем. исслсд., иып. XIII
418
В П. ЗУБОВ
без углов. II если все круги и сферы равны (заключение
74-е) и если все движения одинаково быстры (заключение
'18 е), то все небесные сферы, все их расстояния от Земли
и все скорости их одинаковы.
Мы лишь коротко коснемся аргументов из области
физики (scientianaturalis). В заключении 94-м доказывается,
что континуум ие может иметь конечное число минималь-
ных частей, а должен был бы иметь пх бесконечное мно-
жество. Доказательство основано на молчаливом предпо-
ложении, что время способно возрастать и убывать до
бесконечности: линия может быть проходима с разном
скоростью. Следовательно, если вообще существуют мини-
мальные части, то пх должно быть бесчисленное множест-
во (заключение 94-е). Если субстанция состоит из конечно-
го числа атомов, то становятся непонятны сгущение и раз-
режение, которые нельзя понимать ни как уничтожение
части атомов, ни как пространственное удаление или при-
соединение части атомов (заключения 95—98). В соответ-
ствии с заключением 44-м показывается, что соотношение
скоростей не будет отвечать тому, которое указано в трак-
тате Брадвардпна «Опропорцпяхскоростей в движениях»1).
А именно, если отношение движущего к движимому в од-
ном случае равно 3 :1, а в другом 6 : 2, то пути, проходимые
в равные времена, равны. Но если в том и в другом случае
сила движущего возрастет на одно неделимое, то прохо-
димые пути могут возрасти только ла одно неделимое и,
следовательно, останутся равными, хотя отношения 4: 1
и 7 : 2 пе равны (заключение 99 е).
Физическая субстанция должна будет состоять из
конечного числа неделимых субстанций (заключение 100 е).
Далее (в заключении 101-м) Брадвардин возвращается
к тому, что уже доказывал в заключении 49-м: линию,
состоящую из нечетного числа точек, нельзя разделить
ионолам. Доказательство приводится в несколько ином
варианте: уменьшается вдвое скорость движения, тогда
должна разделиться средняя точка линии, если время
остается тем же. Если время состоит из почетного числа
мгновений и скорость возрастает вдвое, тогда прп про-
*) См. Crosby, цит. соч., cap. 3, стр. 112.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА <О КОНТИНУУМЕ;
419
хождении того же пути должно разделиться мгновение и
т. п. В этой связи приводится ответ Вальтера: не может быть
более быстрого и более медленного движения, чем то, по-
средством которого в одно мгновение приобретается одпо
неделимое пространства. Брадварднн опровергает это ссыл-
кой на заключение 24 и его следствие (скорость, время
и проходимые пути могут изменяться до бесконечности).
Далее доказывается (заключение 102-е), что печто могло
бы сразу оказываться в нескольких точках пространства:
ести траектория состоит из 4 точек, а время — из 4 мгнове-
ний, то при движении в 4 раза более быстром движущееся
в одно и то же мгновение окажется в 4 точках. Более того:
можпо будет сказать, что оно и движется, и покоится
(заключеппе 103-е). Пакопец, все скорости окажутся одина-
ковыми (заключение 104-е), и, вообще говоря, вовсе не
будет движения (заключение 105-е).
Дальнейшие аргументы из области медицины, мета-
физики, грамматики, логики, риторики и этики носят,
с одной стороны, учепо-орнамептальпып характер и как бы
должны подавить читателя разнообразием аргументов,
с другой стороны, весьма показательны для своеобразно-
эмпирической позиции Брадвардпна: самый факт
существования конкретных наук свидетельствует
против фппитистских концепций «неделимых».
Если нет движения, нельзя приобретать и терять здо-
ровья (заключение lOG-е). Все имматериальные субстанции
должны быть друг другу равны по действенности (заклю-
чение 107-е.) Пе будет имматериальных субстанций, обла-
дающих бесконечной действенностью: если градус а бес-
конечен, то смежный с ним с, меньший, получающийся
путем отнятия одного неделимого, также будет бесконеч-
ным, равным образом и следующий, еще меньший, и т. д.,
иначе говоря, они будут все равны. И если к с возможно
прибавить неделимое, то с равным правом его можно прп-
оавить и к а. Наконец, если с конечно, то путем прибавле-
ния к нему одного неделимого не может получиться бес
конечного (заключение 108-е).
Далее идут несколько искусственно притянутыезаклю-
чеппя из других областей, пе прибавляющие ничего прин-
ципиально нового (заключения 109—ИЗ).
27
420
В. П. ЗУБОВ
Затем Врадвардин рассматривает общее в концепциях
иифипитпстов — Генриха и Роберта Линкольнского (за-
ключения 114—137). Оп повторяет в заключении 114-м
утверждение, что если всякий континуум состоит нз беско-
нечного множества неделимых, то отношение между кон-
тинуумами равно отношению между множествами атомов
в них. В заключениях 115-118 без каких-либо новых до-
казательств, с отсылкой к заключениям 9G—98, повторены
мысли о невозможности сгущения и разрежения. Придется
далее допустить, что атомы непосредственно примыкают
друг к другу, если при сближении двух континуумов или
делении на два континуума ничто пе уничтожается и не
возникает (заключение 119-е). Далее утверждается (за-
ключение 120-е), что если говорить о неделимых, то не-
пременно должен оказаться последний минимальный гра-
дус интенсивности и, наоборот, максимальный градус
(заключение 121-е). Физический атом сможет двигать
и двигаться с любой скоростью (заключение 122-е). При
бесконечности неделимых в континууме движение физи-
ческой поверхности, линии, точки невозможно (заключение
123-е). Отсюда следует вывод, что один конечный физиче-
ский агент будет обладать одинаковой действенностью
с другим физическим агентом, другой — действенностью
большей и любой — бесконечно большей. В самом деле,
если мгновенные действия невозможны, то физический
атом должен производить определенное действие в опре-
деленный отрезок времени d, а физическое тело — в дру-
гой отрезок времени /, который может оказаться равным d
или быть меньше, чем d. Если ои в g раз меньше, чем d,
то физическое тело можно уменьшить в g раз, и тогда оио
будет обладать той же самой действенностью, что и физиче-
ский атом. С другой стороны, если физический атом обладает
конечной действенностью, то бесконечное число атомов
должно будет обладать действенностью бесконечной (за-
ключение 124-е).
В 125-м заключении как вывод пз всего предыдущего
Врадвардин заявляет в отрицательной форме, что ни одна
субстанция и ни одно качество не слагается из субстанций
н качеств, а в следующем заключении (12С-м) указывает,
что при инфииитпстской концепции субстанция и качество
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА <O КОНТИНУУМЕ»
421
должны слагаться пз бесконечного множества субстанций
и качеств. Л тогда (заключение 127-е) бесконечные множе-
ства атомов должны стоять в определенном отношении
друг к другу- Но это отношение окажется одновременно
и отношением равенства, п отношением неравенства (за-
ключение 128-е). Пример: совокупность всех точек (omnia
pnncta coniuncta) одного отрезка с, совокупность всех
точек другого, меньшего, отрезка f. Они проходятся
за время, совокупность мгновений которого (omnia instan-
lia collective) h. Тогда каждому мгно-
вению Л должна соответствовать
одна точка вен одна точка в [.
Следовательно, в с столько же то-
чек, сколько в [. Если точки с будут
пройдены опять за то же время h,
а точки f — за большее время, сово-
купность мгновений которого есть к,
то каждой точке [, как и раньше,
соответствует мгновение Л и вместе с
тем соответствует мгновение к. Но А’>Л, следовательно,
в f столько же точек, сколько в с, и вместе с тем больше
точек. Аналогично, говорит Брадвардин, можно доказать,
что таких точек меньше.
Все скорости будут равны (заключение 120-е) *). Не-
сколько точек могли бы занимать одпо и то же положение,
так как в противном случае они находились бы в непо-
средственно примыкающих друг к другу положениях
п конечное число неделимых могло бы образовать конти-
нуум (заключение 130-е). Более того, на том же основании
можно было бы сказать, что континуум способен занимать
одно неделимое положение (заключение 131-е).
Далее: поверхности, составленные из одинакового чис-
ла равных линий, должны быть равны между собой, а если
число линий одинаково, но линии пе равны, то поверхность,
состоящая из более длинных линий, будет больше (за-
ключение 132-е). Половина квадрата будет больше целого
Квадрата (заключение 133-е). В самом деле, число линий,
соединяющих стороны ас и cd (рис. 14) н образующих тре-
*) Аргументация опять-таки основана на том, что одно беско-
ечпое равно другому бесконечному.
422
В. П. ЗУБОВ
угольник acd, половину квадрата aecd, равно числу точек
стороны cd, а это число в свою очередь равно числу вер-
тикальных линий между ab и cd, образующих весь квад-
рат abed. Следовательно, число наклонных линий в полови-
не квадрата равно числу вертикальных липни в целом
квадрате. Вместе с тем наклонные линии длиннее верти-
кальных (Брадварднн ссылается здесь на положение 19-е
первой кнпгп Евклида). Следовательно, треугольник acd
больше всего квадрата abed. Если же «суемудр» вообразит,
будто прямые, проведенные от cd к ас, встречаются, не
доходя до ас, это будет противоречить следствию 15-го
заключения (прямые, проведенные от основания треуголь-
ника к противоположной вершине1), не встречаются по
одну сторону от этой стороны).
Получится далее при тех же предпосылках, что конеч-
ная площадь может в любом конечном отношении пре-
взойти равновеликую ей другую (заключение 134 е). Так,
папрпмер, параллелограмм cghe (рис. 15) равновелик
прямоугольнику afec. Все прямые (omnes recte), проведен-
ные от всех точек се к точкам противоположной стороны
gh, по числу равны всем перпендикулярам прямоуголь-
ника afec, но вместе с тем они длиннее этих перпендикуля-
ров. Следовательно, прямоугольник afec должен бы быть
больше параллелограмма cghe.
Далее (заключение 135-е), четверть круга и половина
кру га были бы равны, точно так же — четверть треуголь-
ника и половина треугольника. Действительно, площади
кругов относятся как квадраты диаметров. Если диаметр
*) В обоих списках: latus (вместо angulum), что ие лает
смысла.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ,
423
круга abc (рис. 16) вдвое больше диаметра круга def, то
площади относятся как 4:1. Между тем, если рассматривать
круги, как слагающиеся из всех своих диаметров, то круг
def слагается из половинок диаметра круга abc, или иначе:
def слагается нз того же числа линий, что и остаток abc,
и линии эти друг другу равны. Следовательно, def и
остаток abc являются половинами круга abc. Опять-таки
и здесь отводится возраже-
ние «суемудра», что радиусы
могут якобы встречаться, не .X
достигая центра. / \
Аналогично ведется дока- / Xх \ \
затсльство и в случае тре- / / \ \
угольника. р| dl____________|/~ I
Далее следовало бы, что IГ 1 1
всякая окружность будет рав- \ \ J /
на другой окружности, сто- \ Х^ J
роиа квадрата — его диагона- /
ли и любая прямая — любой Х^^
другой (заключение 136 е). "
Заключение 137-е подводит 1’ис- 16-
итог всей полемике с воззре-
ниями Роберта Линкольнского и Генриха: «Ии одни кон-
тинуум не может интегрироваться или составляться из
бесконечного множества неделимых».
Совсем кратко в двух заключениях (138 и 139) Брадвар-
дип касается отдельно взгляда Генриха, согласно которому
бесконечное множество неделимых примыкает одно к дру-
гому непосредственно, и взгляда Роберта, который считал,
что они примыкают опосредствованным образом. В первом
случае и конечное множество также сможет образовать
континуум (невозможность чего уже была показана).
Во втором случае в итоге придется допустить, что недели-
мые непосредственно примыкают друг к другу, т. е. этот
случай сведется к первому.
Весь раздел заканчивается риторическим обращением
к читателю: «Подобно тому, стало быть, как алхимик,
после многих испытании огнем, наслаждается золотым
слитком, и победитель, когда кончатся долгие труды,
наслаждается триумфом, так и ты, после стольких ученых
42 i
В. П. ЗУБОВ
разысканий, благосклонно прими вот эту чистую ис-
тину».
Этим обращением предваряется изложение собствен-
ного мнения автора о континууме. Изложение начинается
с тезиса, ие сопровождаемого доказательством: «Ни один
континуум ие интегрируется из атомов» (заключеппе 140 е).
За ним идет следствие: «Всякий континуум составляется
пз бесконечных континуумов того же вида, что и он».
Поскольку дальше затрагиваются важные принципи-
альные положения, относящиеся к основаниям геометрии,
считаем полезным привести сравнительно большой отрывок.
«Так слагается подлинный фундамент, укрепляется
столп математики и становится более прочным здание всей
физики. Ни один континуум не интегри-
руется из атомов, иначе говоря, не слагается из
них как из своих интегрирующих и квантитативных час-
тей. Заключение это вытекает с очевидностью из вышеска-
занного, а именно из 70-го1) и 114-го заключения. Итак
как автор с большим успехом разъясняет, каким образом
континуум пе слагается, здесь, в следствии настоящего
заключения, он показывает, каким образом континуум
слагается, и говорит, что всякий континуум слагается
из бесконечного множества континуумов того же вида,
что н оп, что всякая линия слагается пз бесконечного
множества линпн, а всякая поверхность—из бесконечного
множества поверхностей и т. д.
Следствие это вытекает пз заключения вместе с ранее
приведенными заключениями. Следовательно, все ошибоч-
ные мнения опровергаются отдельно, за исключением мне-
ния Демокрита, утверждающего, что континуум слагается
из неделимых тел; впрочем, это мнение в достаточной мере
опровергается настоящим заключением и его следствием.
Но все-таки кажется неправдоподобным, чтобы такой
велпкпй фплософ предполагал существование какого-то
неделимого тела в смысле, в каком тело было определено
вначале. Возможно, что под неделимыми телами он пони-
мал неделимые части субстанции и хотел сказать, что
’) В рукописи Т ошибочно: 116-го; в рукописи Г эта часть трак-
тата отсутствует.
ТРАКТАТ БРАДВАРДПНА «О КОНТИНУУМЕ»
425
субстанция слагается из неделимых субстанций. Такой
смысл получается из первой книги «О возникновении
н уничтожении»1). Однако этого не допускает разум.
По поводу вышесказанного можно было бы построить
ложное расс}ждение. Аверроэс в комментарии к третьей
части «Физики» Аристотеля2) говорит: «Физик доказывает,
что континуум делим до бесконечности, а геометр этого
не доказывает, но предполагает как доказанное в физике.
Следовательно, можно оспаривать вышеприведенные гео-
метрические доказательства, ссылаясь па то, что гео-
метрия всюду предполагает, что континуум не состоит
пз неделимых, по доказать этого не может. Однако такое
возражение не имеет силы, потому что предполагается
ложное. Ведь среди геометрических доказательств не
содержится доказательства, что континуум пе состоит
пз неделимых, потому что геометр не всегда в таком пред-
положении нуждается; в самом деле, в 5 и книге „Начал4*
Евклид (равно как и геометр в некоторых своих доказа-
тельствах) [пе] предполагает, что континуум пе состоит
из бесконечного множества неделимых, связанных опо-
средствованным образом, ибо и при обратном предположе
нии [что континуум состоит нз бесконечного множества
неделимых, связанных опосредствованным образом] любое
Доказательство удается с таким же успехом. Это ясно ин-
дуктивно для всякого, кто умеет доказывать геометри-
ческие теоремы. П тем пе мепее Евклид в своей геометрии
предполагает, что континуум пе состоит нз конечного3)
множества непосредственно примыкающих друг к другу
атомов, хотя и не делает этого в явной форме, т.е. пе вклю-
чает это в число своих предположений. Пусть суемудр
скажет противное и допустит, что можно образовать линию
из двух точек. Тогда Евклид пе сумеет доказать свое пер-
вое предложение4), ибо на такого рода липли нельзя
। j -Аристотель, De generatione et corruptione,
) Averroes in Phys., Ill, com. 31 (Aristotelis Opera, t. IV,
Veiwtns, 1560, fol. 81).
«» E Рукописи, видимо, ошибочно: «из бесконечного...»,
треугод Э Д3111101"1 ОГР‘|ничейной прямой построить равносторонний
426
В. П. ЗУБОВ
было бы построить равностороннего треугольника, коль
скоро он не имел бы угла, как следует из 16-го заключения1)
и его следствия. Сходным образом, если суемудр сказал бы,
что континуум состоит из атомов, непосредственно при-
мыкающих друг к другу, Евклид не смог бы доказать свои
4-е и 6-е предложения, ибо и то и другое доказываются
путем наложения. Аналогично и в доказательстве 3-го
положения. Ибо эти положения не доказываются
на основе каких-либо предшествующих положений, а
показываются как вытекающие из непосредственно дан-
ных начал. А посредством этих положений доказываются
прочие, и от этих трех зависит почти вся Евклидова гео-
метрия и на ней всякая другая геометрия основывается.
Вот почему геометрия предполагает, что континуум пе
состоит нз конечного2) множества атомов, непосредственно
примыкающих друг к другу. Однако, если аргументация
опущена, это не значит, что ее следует признавать несо-
вершенной. Ведь геометрия способна, как путем прямого
доказательства, так и путем доказательства от противного,
доказать из собственных принципов, что никакой конти-
нуум не состоит из конечного множества неделимых, не-
посредственно примыкающих друг к другу: прямого
доказательства — как видно на примере 66-го3) и 58-го4)
заключения с первой частью его следствия; доказательства
от противного—как видно из 71-го и многих последующих.
А если суемудрый противник скажет, что при доказа-
тельстве некоторых заключений мы пользуемся 15-м
заключением и его следствием, доказываемыми посредством
11-го, причем это 11-е доказывается посредством 10-го,
которое в свою очередь доказывается на основе геометрии
Евклида, если он скажет, что, стало быть, аргументация
нуждается в геометрии Евклида, следует сказать, что
это справедливо в отношении некоторых пз вышеприведен-
ных заключений, но не справедливо относительно всех.
Доказательство: 10-е заключение доказывается без пред-
’) Так (ошибочно)— в рукописи, хотя следовало бы отослать
к 79-му и 80-му заключениям.
*) В рукописи, по-видимому, ошибочно — «бесконечного».
’) В рукописи ошибочно —16-го.
4) В рукописи ошибочно —31-го.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ
427
положения какой-либо теоремы Евклида, как это следует
из 1-го и 3-го доказательств. Если же возразят, что в 3-м
доказательстве сразу же предполагается, что возводят
перпендикуляр, а это делается на основании 11-го предло-
жения первой книги Евклида, а потому и т. д., нужно
сказать, что это 11-е предложение учит приему построения
перпендикуляра, но самый принцип и без того очевиден
для любого интеллекта, а именно, что в любой точке пря-
мой можно восставить перпендикуляр, хотя бы многие
и не умели этого сделать. И такой принцип достаточен
без вышеупомянутого 11-го предложения.
Кроме того, следует заметить, что па основе этого же
принципа может быть доказано 13-е предложенпе первой
книги ,,Начал" Евклида1), а на его основе—15-е заклю-
чение и 10-е, о котором идет речь. Это последнее п утвер-
ждает автор, как видно из его толкования. Вот почему 10-е
заключение и последующие можно с очевидностью дока-
зать, не прибегая к [предложениям И и 13] геометрии Ев-
клида^! в особенности так, как их доказывает сам Евклид)».
Последняя группа заключений (141—150) посвящена
доказательству невозможности существования в конти-
нууме реально отличных друг от друга частей. Здесь Брад-
вардин несколько отступает от способа изложения more
geometrico, которого он придерживался до сих пор. Его
исходным соображением является мысль о невозможности
возникновения и уничтожения «первой материи», «первой
субстанции». Между тем, если мыслить точки, линии,
поверхности как некие вещи, то, например, при слиянии
поверхностей двух тел должны были бы исчезать две по-
верхности и возникать одна новая, или, наоборот, при
Разделении линии на два отрезка возникать две новые
точки взамен прежней. Здесь Брадварднн оперирует аргу-
ментами, сходными с темп, которые встречаются у его
старшего современника Вильяма Оккама и младшего
современника Жана Бурпдана (заключение 141-е). В сле-
дующем заключении (142-м) столь же пространно доказы-
вается, что субстанция не может быть лишена всякой акци-
*) Если прямая, восставленная на примой, образует углы, то
они или оба прямые, или вместе равны двум прямым.
428
В. П. ЗУБОВ
депции. Все это является прелюдией к номиналистическо-
му представлению о точках, линиях и поверхностях как
чисто негативных понятиях, означающих не части, а внеш-
ние границы континуума. Согласно Оккаму и его последо-
вателям, «завершающая точка» есть лишь сокращенное
обозначение того, что линия пе простирается
дальше, а «соединяющая точка» — символ того, что меж-
ду двумя примыкающими частями континуума нет
ничего промежуточного. Следовательно, всякий кон-
тинуум может быть ограничен без всякого неделимого,
которое служило бы связью или границей (заключение
144-е).
В дальпейших заключениях доказывается, что пред-
положение реальных неделимых приводит к уже опро-
вергнутым утверждениям, а именно, что неделимые долж-
ны примыкать друг к другу непосредственно (заключе-
ние 14б-е), что континуум слагается нз атомов (заключе-
ние 147-е) и т. д.
Отсюда последнее заключение (150-е) и его следствие:
«Поверхность, линия, точка вообще не существуют»,
«континуум получает непрерывность и границы ие по-
средством таких вещей, а посредством самого себя».
Это номиналистическое представление о точках, ли-
ниях, поверхностях как чисто мысленных «отрицаниях»
или «границах» резко отличает Врадвардипа от тех на-
правлений мысли, которые гипостазировали представле-
ния о точках, линиях и поверхностях, давая повод к во-
просам, каким образом из суммирования или из движе-
ния пепротяжепных точек может получиться линия пт. д.
Историческое место и значение трактата Брадвардпна
могут быть определены лишь на фоне тех фипитистскпх
течений, которые заметно усилились в первой половине
XIV в. К сожалению, эти течения пзучепы в далеко не
достаточной мере, и пх более детальное рассмотрение не
смогло бы уложиться в рамки настоящего обзора1).
Вместе с тем и теперь уже очевидно, что трактат Брад-
вардина многое дает для изучения истории формиро-
*) Ср. нашу статью: \Х alter Catton, Gerard <Гс)<1оп et
Nicolas Bonet—tPhysis», 1959, fasc. 4, pp. 261—278.
ТРАКТАТ БРАДВАРДИНА «О КОНТИНУУМЕ.
429
вапия понятий об исчислении бесконечно малых, и в позд-
нейшей литературе нетрудно было бы подыскать прямые
параллели к ряду его высказываний (достаточно вспом-
нить споры Кавальери, Кеплера и Гульдена).
Приложение
THOMAS BRADWARDIN'I S
lie confinuo
[Definitiones]
[1] Continuum cst quantum cuius partes adinvicem copu-
lant ur.
[2] Continuum permancns est continuum cuius partes singule
manent simul.
[3] Continuum successivum est continuum cuius paites succedunt
secundum prius et posterius.
[4] Corpus est continuum peimanens longum, latum et pro-
fundum.
|5] Superficies est continuum permaneiis longum, latum sed non
profund um * *).
[6| Linea estcontinuum peimanens longum, non latum nee pro-
fundum.
[7| Indivisible est quod nunquam 2) dividi potest.
|8] Punctus est indivisibilc situation ®).
|9] Tempus est continuum successhum successionem *) men-
su rans.
[10] Instans est terminus atliomus tempoiis.
Ill] Motus est continuum successiMim tempore inensu-
ratum.
[12] Motum esse est indiv isibile instans motus.
[13[ .Materia motus est quod per motum acquiritur.
[14] Gradus motus est illud materie motus suscipientis magis
et minus quod acquiritur per aliquod motum esse.
[15] Lineam linee superponere partialiter vel totaliter est ipsam
lineam secundum longiludinem tot ins vel paitissimpliciter sine medio
adherere alteri.
*) Def initio 5 deest in E.
5) nusquam?
’) indivisible situ E.
*) successhum successive E.
430
БРАДВАРДНН
[16] Lineam linee secundum partem vel secundum totam imponi
est ipsam secundum longitudinem ipsius totius vel partis in aliam
continuari *).
[17] Aliquod post aliud mediate *) esse, fuisse vel fore est ipsum
cum medio inter ilia s) esse, fuisse vel fore.
[18] Aliquod immediate post aliud esse, fuisse vel fore est ipsum
sine medio esse, fuisse vel fore.
[19] Incipere esse per affirmationem de present! et negationem de
preterite est nunc esse et immediate ante hoc non fuisse.
[20] Incipere esse per negationem de presents et affirmationem
de futuro est nunc non esse et immediate post hoc fore.
[21] Desinire esse per affirmationem de present! et negationem de
futuro est nunc esse et immediate post hoc non fore.
[22] Desinire esse per negationem de presenti et affirmationem
de preterito est nunc non esse et immediate ante hoc fuisse 4).
[23] Infinitum cathegorematice et simpliciter est tantum quan-
tum sine fine.
[24] Infinitum sincathegorematice et secundum quid est quantum
finitum et finitum maius isto et finitum maius isto maioriet sic sine
fine ultimo terminante. Et hoc est quantum et non tantum quin maius.
[Suppositiones]
1] Omne maius posse dividi in equale et in differentiam
qua
excedit.
2] Si finitum addatur finite, totum erit finitum.
3] Lbi diversitatis vel dissimilitudinis nulla est causa*) simile
iudicatur.
[4] Otnnes scientias veras esse ubi non supponitur continuum ex
indivisibilibus componi.
[5| Omnia media distare, omnia divisa mediari.
[6| Omne corpus, superficiem atque punctum uniformiter’)
posse moveri.
[7] Omnium duorum motuum localium eodem tempore vel equa-
libus temporibus continuatorum velocitates et spatia illis pertransita
proportionates existere.
[8] Omnium duorum motuum localium super idem spatium vel
equalia continuatorum velocitates et tempora’)proportionates e con-
trario semper esse.
*) Definitiones 15 et 16 secundum E quia in T textus corruptus
est', legimus tamen secundum T in aliam continuari (in quanilibet
continuari E).
2) mediate ego; immediate E; omnino deest in T.
’) ilia E; alia T.
*) Ordo definitionum 21 et 22 secundum E. In T ordo inversus.
•) nulla causa invenitur E.
•) uniformiter et continue E.
’) Spatium vel equalium deductorum velocitates et tempora E;
patium simul equalia deditorum T.
ТРАКТАТ «О КОНТИНУЬ ME.
431
[9] Quacumque velocitate vel tarditate potest unum mobile
moveri vel spatium pertransiri potest quodcumque ’).
[10J Esse vel non esse finitum certo tempore mensural ur.
[Conclusiones]
1. Nullum indivisible maius alio esse.
2. Si duo continue eiusdem speciei ex indivisibilibus equalibus
numero componantur, adinvicem equalia esse.
3. Nullius continui multa indivisibilia in eodem situ indivisibili
situantur.
4. Nullius recto multa puncta ab aliquo eius termino equaliter
posse distare.
Corollarium. Cuiuslibet continui quelibet duo alhoma
a quocumque eius fine habere distantias inequales.
5. In continue multa eius indivisibilia uni eius indivisibili ex
eadem parte immediate esse non posse.
Corollarium. Nullius recte plura puncta quam duo uni
eius puncto ex diversis partibus immediate iunguntur.
6. A nullo puncto ad unam rec tarn plures quam duas rectas equa-
tes adinvicem duci posse.
Corollarium. Nullam rectam in pluribus punctis duobus
langere lineam circularem.
7. Si inter duas lineas una mediet vel plures et tamen finite,
illas equidistare.
8. Inter nullas rectas sibi superpositas puncta aliqua me-
diare.
9. Lineam rectam secundum totum vel partem magnam recte
alteri superponi et habere aliquem punctum intrinsecum commune
cum ista non contingit.
10. Li nee recte unam partem magnam alicui recte imponi et
aliam partem magnam superponi eidem vel ad latus distare ab ilia
impossibile comprobatur.
11. Unius recte duo puncta in alia conlinuari et per partem
eius magnam superponi eidem vel ad latus distare an ilia non
posse.
12. Linee recte uuam partem magnam recte alteri superponi et
aliam ad latus distare ab ista *) est impossibile manifestum.
13. Unius recte duo puncta alteri superponi vel unum imponi,
aliud vero superponi et magnam eius partem ad latus distare ab ista ’)
non posse contingere.
14. Quelibet recta secans rectam secat earn in aliquo sui puncto et
non in pluribus quam in uno.
15. Nulle recte in aliquo puncto concurrentes aliquod punctum
intrinsecum illis habent.
*) vel spatium pertransiri potest quodcumque E; vel unum spatium
quodcumque T.
) ab ista addo ex E.
•) ab ista E; ad ista T.
432
брадварднн
Ро г i s ma. Semidyamelros circuli non concurrere ante centrum
nec rectas ductas a basi trianguli ad angulum ’) iHi oppositum se tan-
gere cilra ilium.
16. Angulum reclilineum assignatum in duos angulos recti-
lineos et datum lalus anguli* 2) recliliiiei in duas rectas el Iriangulum3 * *)
reclilineum totum datum in liiangulos *) rectilineos per rectam
partiri.
17. Angulum contingenlie quemlibet in anguluni conlingentie
et angulum periferie. insuper & *) rectam quoque basim trianguli con-
tingent ie b) opposilam angulo contingenlie hi duas icclas et totum
tiiangulum contingentie in Iriangulum contingenlie minorem et
Iriangulum a portionibus ’) circumferentic et recta 8 *) contentum per
circulum maioiem secare.
18. Super datam rectam finilam quantumcuinque xolueiis cir-
culi seu •) circumferentic quanlaincunique describere portioned cir-
culi seu circumferentie inedietate minorem.
19. Si super eandeni cordam vel cordas equales portiones inequa-
les circulorum vel circuinferenliarum medictate minorum consistent,
minor portio maioris circuli circumferentieque maioris, inaior veto
rninoris.
20. Bectam perpendiculariter exeuntem a puncto medio corde
ad punctum medium arclius porlionis circuli medictate rninoris per10)
circulum in duas medielales dividere et ulrumque angulum poilionis
rninoris et angulum circumferenlie partiri, ipsam insuper portioned
minorem linealemque secare.
Co ro 11 a r i u m. Onmuem rectam11) im multas rectas posse
dividi.
21. Si linee recte12) punctum aliquod vel pais alitiua movcantur
localiter, quamlibel pattern magnain et quodlibcl medium punctum
quod est cum eius uno extreme necessario coinme\eri.
22. Cuiuslibet recte linee finite uno tennino quicscente potest
alius13) eius terminus circulariter uni form iter el continue transferri
tota recta et qualibel parte eius niagna ad terminum eius imniobilem
terminata circulum describente et quolibet eius puncto moto circiim-
ferenliam circuli facienle.
*) angulum ego; lalus T et E.
2) anguli E; trianguli T.
3) et tiiangulum ego; Iriangulum el E; triangulum T.
*) in triangulos ego; inter angulos T; alios angulos E.
*) insuper ego; super T; in E.
•) contingenlie ego; continue T el E.
’) portionibus E; proporlionibus T.
8) recta E; rectam T.
•) seu ego.
10) per addo ex E.
“) rectam E; lineam 7'.
12) lecte oddo ex E.
ls) alius E; reliquus 7".
ТРАКТАТ «о коптит УМЕ.
433
23. Si recta finita super unum eius terniinum quiescentem circula-
riler moveatur, omnes reel as *) tenninatas ad punctum immotum et
alia puncta mota et velocitates istorum punctoium proportionales *)
certissinie scias esse.
2i. Quocumque motu locali signato potest motus local is
uniformis el continuus in omni proportione recle finite ad rectam
finitani velocior et tardior inveniri.
Corollarium. Quodcumque spatium finitum quocumque
tempore finito posse uniformiter el continue peitransiri.
25. Quocumque motu successive signato potest motus successivus
eiusdem speciei in omni proportione recte finite ad rectam finitam
selocior et tardior reperiri.
26. Si quid continue localiter moveatur, in eodem instauti non
acquirere mult'ossitus nec in eodem situ in dixersis instantibus potest
esse * s).
Corollarium. In aliis mot i bus similiter esse constat.
27. Omnis inccptio vel desinitio non mensuratur tempore, sed
instanti.
28. Опте quod non est aliquale et erit tale nunc incipit vel
aliqnando incipiel esse tale.
29. Omne quod est aliquale et non semper *) erit tale nunc desinit
vel aliquando oesinct esse s).
30. Si unum continuum liabet athoma immediate et infinite
sive finita, quodlibet sic habere.
31. Si unum continuum ex indivisibilibus componitur secundum
aliquem modum, et quodlibet sic componi, et si unum non componitur
ex alhomis, nec ullum.
32. Nullius forme suscipientis magis et minus remississimum
graduum esse.
33. Si forme intensibilis el remissibilis esset remississimus gradus
possibilis, indivisibilia 6) in omni continue immediate coniungunlur.
34. Si sic, tota latitude talis forme tantum finilos gradus habere
el oinne continuum solum 7) finita athoma continere.
35. Si athoma in continue immediate ponanlur, immediate puncta
centra circuli et quadrati sive cuiuslibet corporis punctis circumferen-
tie circuli et quadrati lateris atque superficiei corporis extremis
equaliter correspondent.
36. Si sic, cuilibet centre dato.infinita puncta immediate coniungi.
Corollarium. Nulla duo puncta in superficie plana nec
nulla e) indivisibilia in nullo continue sibi sine medio coniungi ”).
*) omnes duas T; omnes duas rectas E.
*) proportionales addo ex E.
*) potest esse ego; posse esse T; esse posse E.
«) semper addo ex E.
s) desinet esse addo ex E.
*) individua T; gradus vel puncta indivisibilia E.
7) Solum addo ex E.
•) nulla addo ex E.
*) sine medio adherere E.
28 Истор.-матем. исслед., вып. XIII
БРАДВАРДИН
37. Si sic, inter quelibet duo indivisibilia continui cuiuscumque
infinita eius indivisibilia mediare.
Corollarium. Oinne continuum habere athoma infinite.
38. Si sic, puncto in medio superficial plane sito octo puncta
immediata esse et non pluia 1).
Corollarium. Puncto in medio corporis situato 26 puncta1)
el non plura immediata esse.
39. bi sic, nullam lineam circularem plura octo puncta habere
nec finitam reclaiu plura Iribus, nec extremam superficiem corporis
alicuius |plura 26].
40. Si sic, angulum rectum esse minimum anguloruni nec angulum
esse acutuni, el omnes obtusos equales esse adinvicem nec aliquem
angulum oblusnm penitus reperiri.
41. Si sic, nullum triangulum nec circulum nec omnino angulum
esse posse et quinque famosa corpora et omnia geometralia non absque
grandi geometric el mathematice totius iniuria deperi re.
42. Si sic, linee equedistantes concurrerinl.
43. Si sic, motus uniformis uno gradu velocior alio in equali
tempore acquirit plus s) illo et per nullum divisibile, sed per indivisi-
hile tantum.
44. Si sic, quodlibet agens naturale indivisibiliter fortius in
equali tempore ageret in eqnale passum plus illo, et in indivisibiliter
minori tempore agerel equeforliler * *).
45. Si sic, quodlibet agens naturale in aliquo tempore aliquod
passum transmutans in tempore indivisibiliter maiori indivisibiliter
plus faciei et in tempore indivisibiliter minori tantum indivisibiliter
minus ageret.
46. Si sic, quodlibet agens naturale equale alteri transmulanti
aliquod passum in aliquo tempore transmulalione siirnata passum
indivisibiliter minus transmutahit in equali tempore tiansmutatione
indivisibiliter maiori, passum indivisibiliter maius transmulalione
indivisibiliter minori, si illud valeat transmutare.
47. Si sic, omnis motus et omnia agentia sive passa indivisibiliter
se tantum superantia adequari.
48. Si sic, omnis motus et omnia agentia alque passa eqnari
adinv icem, excedere et ex edi.
49. Si sic, indivisibile divideretur.
50. Si sic, omne quod incipiet esse aliquale vel desinet esse tale
secundum utramque significationem incipiet vel desinet esso tale.
l) et non plura addo ex E.
*) 50 puncta T; 10 puncta E.
*) In codicobus textus corruplus esf. velocior aut uniformiter
equali sibi intensive acquirit plura T\ velocior alio equali sibi inten-
sive acquirit plus E.
*) Incodicibus textus corruplus est: illo,et div isibiliterminorem in
minori tempore indivisibiliter aqerel T, illo, et indivisibiliterminore,
sed plus indivisibile tantum el in maiorf tempore indivisibiliter aget
equevelociter E.
ТРАКТАТ «О КОНТИНУУМЕ.
435
Corollarium. Cuiuslibet el1) qualiscumque rei lalis
esse primnm intrinsecum et postremum.
51. Si sic, cuiuslibet forme suscipientis magis et minus remississi-
nium gradum dare.
52. Si sic, aliquem tardissimum motum esse.
53. Si sic, continuum ex athomis integrari.
54. Si sic, substantia et qualitas natuialis ex substantiis et quali-
tatibus 2) indivisibilibus componuntur.
55. Si sic, omne continuum componitur ex indivisibilibus infi-
nitis et tamen finitis, et nec ex infinitis nec finitis et componitur ex
athomis, et non componitur ex illis.
56. In nullo continue athoma immediate coniungi secundum pre-
cedent ia.
57. Si continuum ex finitis athomis componitur, sicut numerus
athomorum unius continui ad numerum at homorum alterus, ita illud
continuum ad aliud se habere.
Corollarium. Si aliquod continuum sit incommensurabile
alteri et numerum incommensurabilem nuniero reperiri.
58. Si sic, athoma in continue immediate iunguntur.
Corollarium. Omnia continue habere athoma infinite et ex
athomis non componi.
59. Si sic, debilissimus grad us soni se habel sicut unitas el ceteri
se sine medio consequentes ut sequens series numerorum.
60. Si sic, omnis gradus soni ad omnem gradum soni se habet ad
proportionem in habitudine numerali.
61. Si sic, tonum et omnem proportionem supraparticularem
medial proportio numeralis.
62. Si sic, omnis dyapason ex dyatessaron cum dyapente non
componi [?j3).
63. Si sic, consonanlie musicales certo numero vocum intervallo-
rum el semitonorum non constant nec debitis 4) proportionibus modu-
lantur.
64. Si sic, nullis vel *) paucissimis sonis probatis supposilis
possunt concord iter adaptari alie musicales consonanlie.
65. Si sic, tonus partiri non potest.
Corollarium. Totius musicesonoritatem iocundam non sine
sonorum suorum desolalione inimica perpetuo silenlio condampnari.
66. Omnis recta linea habet parliculares lineas infinitas.
67. Omnem angulum rectilineumsivecontingenlie in tales angulos
dividere infinitos.
68. Omnem Iriangulum reclilineum sive contingenlie in infinitos
triangulos •) posse dividi vel partiri.
*) el addo ex E.
2) qualitatibus E\ qualibus T.
s) omnis dyapason el dyatessaron componitur T\ omnis dyatessa-
ron cum dyapente componi E.
*) debitis E; dictis T.
») vel E; et T.
•) in tales infinitos triangulos E; in infinitos dictos angulos T.
28*
436
БРАДВАРДИН
69. Omnis superficies ha bet superficies et lineas infinites et punc-
ta similiter infinite.
70. Omne continuum componitur ex infinitis continuis eiusdem
specie! et liabet athoma propria infinita.
71. Si sic, dare recte finite equalem portionem circumfeientie
circuli el portionem circumferentie circuli rectam esse i).
72. Si sic, tantum circulum assignare, quo maior esse non
potest.
73. Si sic, periferiam circuli esse duplam diametri.
74. Si sic, omnes circulorum periferie et omnes circuli sunt
equales.
75. Si sic, alique partes circumferentie circularis sunt recte et
angulum rectilineum continentes.
76. Si sic, multi sunt circuli centra non habentes.
77. Si sic, aliquem circulum diametrum et aream non habere.
78. Si sic, omnes bases triangulorum subtense eidem angulo sunt
equales.
Corollarium. Omnes rectas lineas equales esse.
79. Si sic, numeruspunctorum.ordoet proportio triangulorum vel
ysopleurorum est secundum numerum unitatnm, ordinem et proporlio-
nem numerorum productorum ex addilione primi numeri ad individuain
unitatem, et secundi numeri ad primum numerum sic productum, et
lertii numeri ad secundum sic formatnm, et ita semper deinceps.
Corollarium. Primum triangulum ysopleurum ex tribes
punctis componi, secundum 'его ex sex, tertium чего ex decern et ita
de aliis.
80. Si sic, aliquis est tiiangulus nullum angulum habens et
aliquis tantum unum.
81. Si sic, aliquis tiiangulus tres angulos rectos habet et linee
equedistantes concurrunt.
82. Si sic, aliquis triangulus est subsesquitertius ad quadratum
que est ’) subduplus ad idem.
83. Si sic, aliquis trigonus est circularis.
84. Si sic, nuinerus punctorum, ordo et proportio quadratorum
sequitur numerum, ordinem et proportionem talium numerorum.
85. Si sic, non cuilibet trigono dato quadratum equum ’) descri-
be re.
86. Si sic, omnis * *) quadrati diameter suo lateri est equalis.
87. Si sic, aliquod quadratum est circulus.
88. Si sic, dyameter quadrati est commensurabilis eius coste el
quelibet linea cuilibet alteri.
89. Si sic, aliquod quadratum angulo et dyametro et area simul
caret et aliquod quadratum unum angulum tantum habet.
i) Si sic, finite equalem proportionem infinite circuli rectam esse
T; Si sit dare recte finite equalem proportionem peryfiriam rectum E.
*) est addo ex E.
•) equum T; eqnale E.
*) aliquis E; omnis T.
ТРАКТАТ .О КОНТИНУУМЕ»
437
90. Si sic, triangulus et quadrangulus super basim quadrati inter
lineas equedistantes contenti in quaiibet magna proportione super
iilud quadratum excedere.
91. Si sic, pyramidem et cubum speras esse cum aliis lieresibus
geometricis l) infinitis.
92. Si sic, tiullam esse illuminationem vel visioncm rectam,
fractam sive reflexam lucis vel coloris.
93. Si sic, omnes speras celestes et elevationes *) earum a terra
esse quantitatis equalis el equcxelociter circumferri.
94. Опте continuum habere infinitas et minimas partes s) mag-
nitud inis.
95. Si substantia composite ex finitis substantiis athomis
componatur, condensationem materie prime non fieri per athoma
prioribus pauciora.
96. Si sic de substantia, rarefactionem materie prime non fieri
per athoma materie plura primis.
97. Si sic de substantia, condensationem non fieri per pauciora
puncta prioribus nec rarefactionem per plura.
98. Si sic de substantia, condensationem et rarefactionem non
esse possibilem.
99. Si sic de substantia, velocitatem in motibus proportionem
motorum ad sua mota non sequi.
Corollarium. Substantial naturalem compositam ex
finitis athomis non componi.
100. Si sic de continue, substantiam naturalem continuain ex
indivisibilibus substantiis finitis componi.
101. Si sic, impartibile in medietate partiretur.
102. Si sic, aliquod materials *) in locis variis valde distantibus
siruul esse.
103. Si sic, aliquod mobile •) simul quiescere et moveri.
104. Si sic, omnes motus similis speciei in velocitatibus ade-
quari.
105. Si sic, motum non esse omnino.
106. Si sic, sanitatem humanam non servare nec perditam restau-
ra re.
107. Si sic, omnes substantias a materia separates esse equales
adinvicein in virtute.
108. Si sic, nullam substantiam a materia separatam esse infi-
nite virtutis.
Ю9. Si sic, non contingit recte scribere nec recte loqui.
110. Si sic, contradictoria simul esse vera.
111. Si sic, idem est iustum et iniustum.
112. Si sic, non est recte diligere nec odire, delectari congrue
nec tristari.
l) cum aliis lieresibus geonietrice E; cum aliis geometricis T.
*) et Stellas elevationes E\ el elementares T.
) infinite et minimas partes E; infinita minima et partes T.
*) m.iteriale addo ex E, sed nielior lectio esset mobile, sicut in 103.
‘) mobile E; motum T.
438
БРАДВАРДНН
113. Si sic, nullum posse virtuosum fieri nec felicem.
114. Si omne continuum ex indivisibilibus infinilis componitur,
omne continuum eiusdem generis et athoma propria eodem genere ')
proportionalia reperiri.
115. Si substantia naturalis continue ex infinitis indivisibilibus
substantiis componitur, condcnsationem materie prime non fieri per
puncta substantialia materie pauciora prioribus nec rarefacl ionem per
plura.
116. Si sic, condensat ionem et rarefactionem non fieri per
puncta accidenlalia qnantitalis continue pauciora prioribus nec
plura.
117. Si sic, in continuatione seu in discontinuatione liquidorum
nullam materiam primam corrumpi nec generari.
118. Si sic, condensationem et rarefactionem non esse.
119. Si sic, athoma cuiuslibet conlinui immediate*) coniungi.
120. Si sic, cuiuslibet formesuscipientismagis et minus remissis-
simum gradum dare.
121. Si sic, aliqua superficies erit summe alba et similiter sumnie
nigra.
122. Si sic, atbomum naturale posse movere et moveri motu suc-
cessive continuo omni velocitate possibili et similiter omni s * 7) tardi-
tate.
123. Si sic, nullum agens naturale corporeum posse movere suhi-
to superficiem naturalem, lineam, punctum.
124. Si sic, aliquod *) agens naturale corporeum est euuaiis
activitatis cum athomo naturali, et aliquod maioris s) et quoolihet
infinite.
Corollarium. Motum successiorum nullum esse continuum
nec subitum.
125. Nullam substantiam sive qualitatem ex substantiis sivc
qualitatibus integrari.
Corollarium. Omnem substanliam materialem et quali-
tatem similiter esse corpus et nullam esse superficiem compo-
sitam nec aliquam *) lineam radiosam nec punctum aliquod luini-
nosum.
126. Si sic de continuo, substantiam et qualitatem ex infinitis
substantiis et qualitatibus athomis ’) integrari.
127. Si sic, athoma infinita in omni proportione finita 8), sicut
et infinita, ad alia infinita procul dubio se habere.
*) eodem genere T; eadem omnino A’.
*) immediate A; in medietate T.
•) omni addo ex E.
*) aliquod addo ex E.
•) maioris ego; maiori T.
•) aliquam E', aliam T.
7) athomis addo ex E.
8) finita addendum est ex lextu demonstrationist quod in omni
proportione finita.
ТРАКТАТ «О КОНТННУЪ МЕ»
439
Corollarium. Omnia athoma infinite et quelibet alia
athoma infinite proportionari contingit *).
128. Si sic, omnia athoma infinita quibuscumque infinitis atho-
mis adequari, excedere et excedi, omnia continue consimilis generis
equalia esse, excedentia et excessa.
129. Si sic, omnes 'elocitates et tarditates niotuum equales
esse.
130. Si sic, multa puncta in eodem situ indivisibili situari.
131. Si sic, aliquod continuum in eodem situ inciivisibili situari.
132. Si sic, superficies composite ex lineis equalibus numero et 2 * 4)
longiludine sunt equales; si 'его componanlnr ex lineis equalibus
numero et inequalibus in longitudine, qne ex longioribus componilur
excedet s).
133. Si sic, omnis quadrati medietas est maior toto quadrato.
134. Si sic, una supeificies terminate in omni proportions finite
excedit aliam sibi equalem.
135. Si sic, quarta pars *) circuli she trianguli et medietas eius
sunt equales.
136. Si sic, omnis linea circularis est equalis cuilibet linee circu-
lar! et costa quadrati dyametro, et omnis recta omni recte necessario
erit equalis.
137. Nullum continuum ex indivisibilibus infinitis integrari vel
componi.
138. Si continuum componitnr ex infinitis indhisibilibus inime-
diates adinvicem, componilur ex finilis.
Corollarium. Nullum continuum ex indhisibilibus
immediatis componi.
139. Si continuum componilur ex infinitis indhisibilibus media-
tis, componilur ex immediatis.
Corollarium. Nullum continuum ex indivisibilibus me-
dians componilur.
140. Nullum continuum ex athoniis integrari.
Corollarium. Omne continuum ex infinitis continuis
siniilis speciei cum illo componi.
141. In continuatione she discontinuatione corporum liquidorum
nullam materiam primam nec aliquam subslantiam priinam nec
qualitatem piimam 'el sccundam corrumpi. Et de quantitate et
indivisibilibus quantis similiter esse constat.
142. Omnem substantiam esse per se impossibile carere omni
accidente.
143. Omne quod non esl pars nec causa alterius potest corrumpi
altero toto salvo.
144. Potest esse continuum et finitum sine aliquo indivisibili
continuante et finitante.
*) contingit E; continet T.
l) et addo ex E.
•) excedet E\ excedens T.
4) quarta pars ego; quadratum T.
440
ВРАДВАРДИН
145. Si indivisibilia continuorum sint realiter, ut ponuntur,
substantia niaterialis indivisibites substantias ha bet.
146. Si sic, indivisibilia omnis conlinui immediate coniungi.
147. Si sic, continuum ex athomis integrari.
148. Si sic, aliquod accidens subiectum primum non habere.
149. Si sic, potest non improbabiliter apparere omne corpus
esse tenacitatis et resistenlie infinite et dare seu furari esse meiiti et
demerit! infiniti.
150. Superficiem, lineam sive punctuni omnino non esse.
Corollarium, Continuum non conlinuari nec finitari per
talia, scd so ipso.
ПЗ ИСТОРИИ \СИМИТОТИЧЕСКИХ РИДОВ
Л1. В. Чириков
Методы, применяемые в анализе для изучения локаль-
ных свойств функций, в основном сводятся к двум типам.
Методы первого типа основаны на рассмотрении значений
производных изучаемой функции в данной точке как ха-
рактеристик поведения дайной функции в окрестности
этой точки. Методы второго типа основаны на замене изу-
чаемой функции другой функцией, так называемой функ-
цией сравнения. Прп этом функция сравнения выбирается
более простой по своему аналитическому выражению и
такой, чтобы «в пределе» функция сравнения описывала
нужные свойства исследуемой функции с контролируемой
степенью точности. Методы второго тина носят название
ас и мптоти чес ки х.
Осповпыми понятиями асимптотических методов яв-
ляются понятия асимптотического представления и асим-
птотического разложения. Говорят, что функция g (z)
при z—>-z0 (где z0 можетбытьи оо) асимптотически представ-
ляется функцией ф (z), если имеет место предельное со-
отношение
Ф (z) »
vtx—>1 при z—>z0.
Ф (z) 1 0
Иногда удается подобрать для функции <р (z) пе одну
Функцию сравнения, а некоторую последовательность
Функций, имеющих вид
’Ро (2), ф0 (z) 4- ф, (z), ф0 (z) 4- ф1 (z) 4- ф2 (z), ...
+ + +Фп (z)
442
м. в. ЧИРИКОВ
и представляющих с ростом п функцию <р (z) в нужном
смысле все «лучше и лучше». Точнее, если составление
функции сравнения доведено до п членов, т. е. до
У (2),
i=0
то разность между <р (z) и этой суммой изменяется так же,
как ближайший следующий член, т. е. имеет место
n—1
Ч (z) - v i|'i (z) — (z) при z -> z0,
1=0
иля
n—I
<F (z) - V (2)
или
4 (2) — L’ 4>i (2) = ° (z)) nP“ Z -> zo,
1=0
т. e. порядок величины ошибки при замене исследуемой
п
функции функцией сравнения \ ф,(г) меньше, чем поря-
i=v
док величины последнего не пользованного члена.
Если можно найти сколь угодно много функций срав-
нения вида 2 "Ф* (2), асимптотически представляющих
1=0
функцию <p(z) в смысле приведенного выше определения,
то говорят, что функция <р (z) имеет при z—>гц асимпто-
тическое разложение
<p(z)~ V
i=i
Важным примером асимптотического разложения яв-
ляются асимптотические ряды, у которых 4|’fl(z) для
z—> со есть функция, вид которой задается параметром п.
Особо интересными являются так называемые асимптоти-
ческие ряды по Пуанкаре, для которых-
4’„(z) = >.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ рядов
443
т. е. ряды вида 2 4^ • Следует подчеркнуть, что в оп-
п-0
ределение асимптотических рядов не входит требование
их сходимости.
Еще древние греки ввели для изучения поведении ги-
перболы на бесконечности ее прямолинейные асимптоты
(«аогрлтсотон» — приближающийся, но не совпадающий).
В эту же эпоху выводятся элементарные асимптотические
представления, в современной записи имеющие вид
sinx . .. tgx .
Inn ---=1, lim = 1.
x-> о x x-> о x
В повое время, в связи с бурным развитием математи-
ческого' анализа, в математическую практику все шире
вводятся различные элементарные асимптотические оцен-
ки вроде сравнения порядков бесконечно малых (пли так
называемого «правила Лоииталя»).
Первые нетривиальные асимптотические задачи воз-
никли при суммировании числовых рядов. Начало систе-
матического изучения задачи о суммировании числовых
рядов восходит к работам итальянского математика
Пьетро Менголи (1625—1686)1). Искусными приемами
Мепголп доказывает расходимость гармонического ряда,
а также рядов вида V, —. . С помощью частичных сумм
гармонического ряда Мепголп исследует свойства лога-
30
рпфмнческой функции. Связь музыкальных рядов \
п=0
*) Pietro Mengoli, Novae quadraturae arithmeticae,
Bologna, 1650; Geometria speciosa, Bologna, 1659.
О нем см.: a) Agostini, Amedeo, Period, math. Teoria
<1. logaritini, da Mengoli ad Eulexo, II, 1922; Teoria dei limit! in P.
Mengoli, V, 1925; Concetto d’integrale definite in P. Mengoli, V,
1925, XX, 1940: Bull, della Unione mat. Italana: Le serie sommate
da Pietro .Mengoli, II, s. 3, 1941.
b)Enestrom, Gustaf. Bib. mat.. Ill, 1912.
с) К a r a m a t о J., P. Mengoli, I.Tnseignement Math.,
П serie, t. V. fasc. 2, 1959.
444
М. В. ЧПРПКОВ
(и гармонического ряда как их частного случая) с логариф-
мической функцией побуждала к подробному исследова-
нию этих рядов. Этими рядами занимался и Ньютон. Он
преобразует частичные суммы рассматриваемого ряда
в другой ряд, дающий очень хорошее приближение, но
так же расходящийся. Предложенный Ньютоном способ
преобразования рядов изложен им в двух письмах к Кол-
линсу за 1669 и 1671 гг.1). Ньютон дает способ оценки
погрешности. Приведем соответствующие письма Нью-
тона (с незначительными пропусками).
«Ньютон к Коллинсу,
Тринити Колледж, Кэмбрпдж,
январь, 19, 1669 г.
Сэр ...
... задачи, которые Вы предложили мне, я просмотрел,
и посылаю теперь иаилучшее решение одной из них, ка-
кое я смог найти. Именно, как вычислить сумму ряда дробей,
у которых один и тот же числитель, а знаменатели обра-
зуют арифметическую прогрессию. Я знаю два способа.
Первый — приведением к общему знаменателю ...
Вторым способом решения этой задачи является при-
ближение.
Предположим, что число членов в предлагаемом ря-
РР — Р -PQ — 9
ду есть р, и положим £-=(/, - - = г, qq = s,
о
бог—г . fas—s 12гя— 5/
—5-----Л' = —7—= Т’
‘> ru — rs
— v = yt -----И т. д.
о
Теперь, если предполагаемый ряд б\дет
а а а а х
~Ъ ’ 6+7 ’ Ь+2с ’ 6+Зс ’ • “С’
‘) S t. Р. R i g а и <1, Correspondence of scientific men., t. 2,
Oxford, 1841, стр. 309. См. также The correspond ens Isaac Xeuton
(1661—1675), Ed. II. W. Turnbull, Cimbr.. 1959.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
415
то искомая ерша будет равна (умноженному) на
Чем больше Вы возьмете членов в последней сумме, тем
более приблизитесь к истинному значению *).
Но лучше ввести b как знаменатель среднего члена
предложенного ряда следующим образом:
а
а а
Ь-|-с ’ Ь-|-2с
а
а
b — с * Ь ’
’) В современных
обозпачспинх
вывод Ньютона может быть
записан в следующем
Va
, , , , каждую дрооь
o-f-Ac
Л=0
разлагаем в геометрическую прогрессию до Z-го члепа (с остаточ-
ным членом):
2
h=0
Первый член правой части перепишется в виде
п I I п
i=0
к=0
<$“’ (л).
<=0
где Л'о! (п) — сумма i-x степеней целых чисел от 0 до п. У Ньютона
выписаны в явном виде формулы для следующих сумм:
k=0
р=5«» (п) = п,
г = Л« = 1п(п4-1)(2н + 1).
h=0
',46
М. В. 411 РИКО В
II, взяв п членов от названного среднего члена в обе
стороны, обозначим пп + п = т, 2п-[-1 = р,
тр Зтг—г , Зттг—5t тгг—2ттг , ,
— = Г, —5— = /, ------т---= ®, ----§---+ / = |
получим искомую сумму в виде ~ , умноженного на
Р + г% + ‘£ + *£+^ + &с-
Л=0
! = .$“> (л) =5} Л»,
*=0
п
и=5“>(л)=У к*,
Со
¥ = 5<»>(n)= V к>, y=Sf’>(n}='£l к1,
2 = 5‘8Чп)=2 к».
fc=0
X, а
Представлении для сумм >,
Л»—п
SW (л) получаются аналогично.
через
Разность между истинным значением суммы
коэффициенты
У -ГТТ~ и 06
-ь-J Ь-}-лс
fc=0
I
приближением -у У ( — 1)‘ (п) равна
1=0
. Л 1
при Ь — 'со последняя сумма стремится к О как ^|41 .
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКПХкРЯДОВ 447
В этой сумме отсутствует каждый нечетный член, и ее
значение гораздо ближе к истинному, чем значение пре-
дыдущей суммы.
Пусть теперь ряд дробей задан. Рассмотрим, как на-
до действовать, чтобы найти значение ряда, отличающее-
ся от истинного не больше, чем на — часть целого1).
, Ъ
Делаем груоую прикидку, во сколько раз — , умножен-
_ _ бае
ное па сеоя, будет сравнимо по величине с , и опу-
стим все те члены суммы, в которых степень больше, чем
число (раз), определенное выше.
„ 10000 , 10000 . 10 000 , 10000 ,
Например, если ряд 100 -|- -г 412 124
, 10000 , 10000 1
-]——-4-—т надо вычислить с точностью до-g- от цело-
JOV lot) С
го, то а = 10000, Ь= 118, с = 6, п = 3, е = 8, — = — , или
пс 18
1 сае 200000 —
около Ьтг , 5кг = —тто— , Щ'Щ около 1/00, для которого
2 2о 118
о 2" ссть квадрат квадрата, или умноженное трижды на
себя, т. е. тогда они приблизительно равны. Таким обра-
зом, взяв только два первых члена из правила: -у на
р + о-^- (Ь будет третьей степени)—и вычислив 2п+
+ 1 (= 7) = р, ”р (= 28) = г, я получу искомую сум-
. ое сс Л 70000 И 068 г
му txQ7 + 28-^J, или П8 на , а ошибка
будет равна приближенно части целого.
*) Здесь, вероятно, впервые ставится задача о том, как по за-
данной ошпбке вычислить номер члена в приближающей сумме та-
ким образом, чтобы, взяв приближающую сумму с указанным чис-
лом членов, получить ошибку того же порядка, что и заданная.
Современный «е, 6»-метод предполагает такую задачу всегда раз-
решимой. Алгоритмический характер творчества Ньютона позволяет
ему в частных примерах вскрывать глубокие и общие закопомер-
вости, ставшие фундаментом современной математики.
418
М. В. ЧИРИКОВ
Однако, если потребуется более точное приближение,
то берутся следующие члены правила, а ошибка может
быть сделана меньше от целого. Так, если сум-
мируемые ряды будут продолжены до 21 го члена, то
10000 - 10000 10000
100 будет первым, а ------средним членом,-------по-
следним, три члена правила дадут значение, отлпчающее-
1
ся от пстппного меньше, чем на — от целого, четыре чле-
1 1
па — меньше, чем па тт? плп часть
1Z io
1_
100
пять членов — иа
часть или даже меньше. Может статься, что задачу бу-
дет удобнее решить дважды, сначала найдя сумму до 11
членов, а затем следующих 9, и, наконец, сложить ос-
тавшийся члеи с двумя полученными суммами. Таким
способом можпо получить ошибку, не превосходящую 60-ю
часть от целого, пользуясь только тремя членами правила.
На примере этих задач можно догадаться, что надо
делать в других, подобных этим, случаях. Нужно только
отметить, что работа ускоряется, если брать логарифмы Ъ
и с, затем находить их разность п умножать ее на 2, 4,
6, 8, ... до тех пор, пока произведение ие станет рав-
« са с® с®
пым логарифмам -р-, так как прямое
вычисление зачастую затруднительно.
Эта задача очень напоминает задачу о квадратуре
гиперболы; однако задача о квадратуре гиперболы
заключается в том, чтобы найти сумму дробей, бесконеч-
ную по чпелу и порядку малости, с одним числителем
и у которых разность знаменателен бесконечно мала.
Таким же образом, как я сводил к среднему члену, так
же можно поступить и в случае гиперболы. Если АС,
АН есть прямоугольные асимптоты, а область BDGE
есть искомая, то рассекпте BD в С надвое, поло-
жите ЛС = а, CF = b, CD плп СВ = х, так что
а^х = DG и — = ВЕ. Согласно Меркатору площадь
области GDCF равна
. Ьхх , Ьх* Ьх* . Ьх* _
аг-----ч — + ч----7 » + тд— ... а с,
2а Заа 4а® 5а*
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
449
а площадь области ВС1Е есть
, Ьхх Ьх* Ьх* Ьх* _
+ 2а + Заа + 4а» + 5а* + ' ’ ' & С’
сумма этих двух областей
BDGE= 2br + — 4
2Ьх*
За* +
где отсутствует каждый
четный член, а величина х
меньше в два раза, чем
она была бы в любом дру-
гом случае *)».
Второе письмо посвящено
представлению того же
дает искомую площадь
имеет асимптотический ха-
ряда через отношение ло-
гарифмов; это представление
рактер * 2).
♦ Ньютон к Коллинсу,
июль, 20, 1671 г.
Сэр...
Так как между нами имел место разговор о некоторых
предметах, имеющих отношение к музыкальной прогрес-
*) Замечание об улучшении приближения совершенно ясно
подчеркивает цель, преследуемую Ньютоном: получить эффектив-
ные вычислительные средства и уметь контролировать ошибку при
применении предлагаемых приемов приближенного вычисления.
2) Второе письмо посвящено суммированию того же ряда при
помощи представления искомой суммы в виде площади гиперболы.
В данном случае искомая сумма представляется в виде
где т = ь— у и п = 6+пс-{- у .
29
Истор.-матем. псслед., вып. XIII
450
М В ЧИРИКОВ
прогрессия
а а
Ъ-Цс ’ Ь4-5с ’ ’ • ’ &С'
спи, и, насколько я помню, Вы выразили желание, чтобы
я сообщил более подробно о том, на что я только намекнул
в то время и что я тогда (и сейчас) еще не осуществил на
практике. Поэтому я хочу сообщить Вам нечто другое,
которое, я думаю, более подходит к данному случаю.
Предложена музыкальная
а а а а
b ' b -|~с ’ b-J-2c ’ b-j-3c ’
.. а
где последний член есть -г;
а
подберем подходящее число е (оно монет быть целым,
дробным пли иррациональным), которое равно отстоит
от следующих чисел: и I ,пп- Положим Ъ—с—
равным т, a d + -у равным п. Тогда следующее отношение
дает приближенное значение искомом суммы, очень блпз-
1 1
8С Я
кое к истинному значению: log---— относится к log — ,
для следующих выкладок
1
е~ 2 С
а
как относится к искомой сумме.
Ъ 1
II Ti 1W>
Пример. Пусть предложена прогрессия -у
100 100 100 100 , с
Т ’ 8~ ’ 9* ’ fu ’ так ЧТ0 а ~ ° = 3’
ш = 4-5, и = 10-5, 2?”,=63, | тп = 6-9,
и ~а
число» равпо отличающееся от следующих
и 6-9. Тогда действия должны
, 1
е+'2С 7-1
----1— = бЛ’ с,° логаРиФм pein'll
£---7Г С
Юо
с= 1, d= 10,
быть
а е = б • 6 ость
пределов: 6-3
следующими:
0.065929, логарифм
Ю °, его логарифм
этого логарифма равен 4.819076;
равен 0.367976, а лога риф г это о логарифма равен 5.565819;
— = его логарифм есть 1.180456 и, следовательно,
8 и-b г *
четвертая пропорциональная его логарифма есть 1.927199.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
451
Это означает, что 84.566 будет искомой суммой. Непосред-
ственным сложением находим, что искомая сумма равна
84 5636. Ботее того, если взять в суммируемой прогрессии
„ , 100 100 100 100 _ .
члены более часто (например, -=j— , — , , <S с),
° /1 ° V /1 '
правило даст более верное значение. Так будет в случае
прогрессии
100 100 100 100 100 100 100
106’ 112’ 118’ 124 ’ Л<?’ или 108’ 116’ 124’ •••’
плп многих других случаях, где разность знаменателей
порождает меньшее отношение к знаменателю первого
члена. Основание для этого правила, я верю, Вы быстро
получите, рассматривая гиперболу в том отношении,
какое ее площадь имеет к музыкальной прогрессии».
Почти одновременно с Ньютоном задачей о суммирова-
нии успешно занимался Дж. Грегори. Грегори подошел
к задаче о суммировании в связи с получением общей при-
ближенной формулы для квадратур разностными метода-
ми. Фактически Грегорн вскрывает и использует глубокую
аналогию между интегрированием и разностным суммиро-
ванием. В письме Грегорн к Коллинсу от 28 ноября
1670 г. *) содержится формула, связывающая интеграл
с суммой последовательных равноотстоящих ординат.
Формула Грегорн может быть получена пз формулы Эйле-
ра — Маклореиа, если производные заменить через соот-
ветствующие разности. Можно предполагать, следуя ука-
заниям Грегори, что формула выведена при помощи интер-
поляции функции ее разностями различных порядков.
В современной заппси формула имеет вид
«4 п
$ /(х)</г=['1/(0) + /(1)+...+/(п-1)-|-4/(п)]-
п
- ~ (А/ (и -1) - А/(0)) -ь ± (А2/ (п - 2) - Д’/ (0)) -
- (А7 (п - 3) - Д7 (0)) + ...
। I,*) ^anies Gregory, Tercentenary memorial \ulume, Ed.
»У И W., Turnbull. London, Bell., 1939.
29*
452
М. В. ЧИРИКОВ
Как видно из письма, Грегори выводит формулу для
функций очень частного вида, именно, на примере много-
члена 3-й степени.
Хотя понятие сходимости было введено Грегори в более
ранпих письмах1), о сходимости полученного здесь ряда
(т. е. ряда, стоящего в правой части формулы Грегори)
в письме ничего не говорится. Для того, чтобы можно было
сделать какие-либо заключения о поведении частичных сумм
этого ряда с ростом их номера и аргумента, необходимо
было изучить его числовые коэффициенты. Первому уда-
лось продвинуться в нх изучении Я. Бернулли.
Бернулли интересовался вопросом представимости
п
функции £(s)= У к' в конечном виде. Для s= — 1, для
fc=0
s>0 и целых, т. е. для гармоппческого ряда и для так
п
называемых сумм Берпуллп У ks, s=l, 2, ..., ему уда-
I о
лось решить этот вопрос. Он доказывает независимо от
Менголн расходимость гармонического ряда, а для сумм
п
У к* выводит знаменитую формулу сх ммпрования, нося-
л-о
щую его имя. Формулы были открыты приблизительно
в 1685 г., но были опубликованы уже после смерти
Я. Бернулли в Ars conjectandi в 1713 г. Здесь приво-
дятся пять отличных от 0 коэффициентов:
Bt — 2 ’ — "g" > В3 = В6 = ... = 0,
В* ~ ~~ 30 ’ ~ 42 ’ ^8 ~ ~~ 30 ' I
Эти числа Муавр в Miscellanea analytica de seriebus,
et quadraturis (1730 г.) и независимо Эйлер (1775 г.)
в Institutiones calculi (1755 г.) предложили называть
«числами Берпуллп». В работе Муавра впервые дается
рекуррентное соотношение между числами Бернулли,
позволяющее предполагать, что существует некоторое
*) Vera Circuli et Hyperbolae Quadrature, Patavii, 1C68.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
453
представление чисел, зависящее от их номера. Такое пред-
ставление было получено Эйлером.
Первым серьезным испытанием для зарождавшихся
асимптотических методов явилась задача создания доста-
точных аналитических средств для представления таких
очень быстро растущих функций, как функции я! или £%•
Такие средства были найдены в теории суммирования чис-
ловых рядов. Развитием этой теории в начале XVIH в.
занимались крупные математики того времени: Стирлинг
и Гольдбах1). Именно Стирлингу принадлежит постановка
задачи о суммировании в общем виде. В работе Methodus
different ialis sive Tractus des ummatione et interpolatione
seriuni iiifinitoruni, вышедшей в 1730 г., Стирлинг ищет
функцию Ф (х), задаваемую следующим функциональным
уравнением:
Ф (х) - Ф (х — 2) = log (х — 2).
Суммируя эти разности, написанные для аргументов х—2,
х—4, х—6, Стирлинг приходит к формуле
Ф(х) — Ф(х — z)= У, log(x —г).
i=2, *, 6,...
Решая последнее функциональное уравнение, Стирлинг
получает знаменитый ряд, дающий представление для
Д log(x— i). Этот ряд носит название ряда Стирлнн-
*«•2,4,6,...
га. Ои является асимптотическим рядом. Постановка задачи
Суммирования, предложенная Стирлингом, имеет почти
современный вид. В настоящее время эта задача формули-
руется следующим образом: дана некоторая функция /(х),
наити в конечном виде, точпо или приближенно, сумму
(п)=/(0) 4-/(1) 4-•••+/ (я) при больших п, если известны
некоторые аналитические свойства функции /(х). Эквнва-
. ) Подробное рассмотрение работ этих математиков можно
а,,т.и в работе: Von Jos. Е. Н ofmann, Vm Eulers erste Reihen-
ud’en, Sonderdruck aus dem Sammelband zu Ehren des 250. Geburts-
lages Leonhard Eulers.
454
м в. ЧИРИКОВ
лентность общей задачи и задачи, данной Стирлингом
легко устанав швается ’).
Так как функция /(х) предполагается аналитической,
то естественно предположить, что вся желательная инфор-
мация об алгоритме, приводящем к суммированию, долж-
на извлекаться методами теории рядов главным образом
при помощи разложения функции ио формуле Тейлора.
С этой точки зрения эта задача и была решена почти
одновременно и независимо друг от друга К. Маклореном
и Л. Эйлером.
Формула суммирования, предложенная Маклореном,
содержится в его работе Treatize of Fluxions, вышедшей
в 1742 г. Маклорен, но распространенному обычаю мате-
матиков того времени, не приводит доказательств своих
теорем, ограничиваясь их формулировкой н решением
задач. Во втором томе, начиная с и. 828, излагаются тео-
ремы и основные момепты выводов формулы суммирова-
ния. Ученик Ньютона Маклореп пользуется прп рас-
смотрении геометрическим языком и дает наглядную ил-
люстрацию вывода на графике (рис. 2). Можно предпо-
ложить, что к формуле Маклорен приходит, отправляясь
от известной ему методики приближения функции пара-
болами различных порядков, используя для этого частич-
ные суммы ряда Тейлора. Приведем перевод параграфов,
в которых вводится формула суммирования.
•) А. О. Гел ьф он л. Исчисление конечных разностей, Гос-
техиздат, 1952, стр. 3<>6—308.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
455
«и. 828. Предположим, что основание A P=z, ордината
рд/ = у, причем основание, которое монотонно изменяется
по предположению, положим равным z. Пусть первая орди-
ната AF равна а, а площадь A BEF = А. Если Л есть пло-
щадь, порождаемая у, то пусть В, С, D, Е, ... представ-
ляют области, порождаемые ординатами у, у, у, у, ...
Так как по Тейлору (п. 752)
. г, . V . С E G -
IF — а — -1 — -2-+ 12 — 720 + 30 240 *" ' ’ ’ &С'
то получаем уравнение для а, а, а ...
л а „
24 120 &е’
(Q)

а = Е — <S с;
и если с помощью последних у равнений мы исключим а,
о, а, а из выражения для а в уравнениях (Q), то най-
дем, что
, В , с Е । г
а — А 2 + 12 720'*'&С‘
Коэффициенты далее вычисляются следующим образом.
Пусть к, I, т, п, обозначают соответствующие
коэффициенты прп а, а, а в уравнении (Q), так что
пусть к = ~, l = m = ^4’n = F0’ пРе^иолон пм
A L^kE - 1= 1, M=kL-lK- m-0,N=k.M-
456
М. В. ЧИРИКОВ
— IL + mh+п= — =2о, где коэффициенты чередую-
щихся площадей уже отсутствуют, т. е. нет D, F, И, &с.
п. 829. Если .1 есть флюента у, тоВ—флюепта у, С—для у,
В —для у, ... Тогда, если площадь, порожденная дви-
жением РМ от AF к ЛЕ, В будет выражена пзлшпком
последней ординаты ВЕ над первой IF, С — разностью
флюксии ординат (все время учитывая знак количеств),
В —для разности пх третьих флюксий, а другие G,
J, ... & с— соответствующие разпостп их флюксий высших
порядков. Таким образом, если а представляет разпость
ординат BE—AF, а, р, 6, £, ...—разности их флюксий
первого, третьего, пятого и т. д. порядков, то
„ _ 4 а , р б , £
а-.1 12 — 720 + 30240-
Используя известную Маклореиу технику, можно следую-
щим образом изложить этот вывод. На единичном интер-
вале рассматривается функция f(x), которая сама, как
и ее производные нужных порядков, предполагаются не
обращающимися в бесконечность. Далее, вводится фупк-
X
ция F (л.) = / (/) dt (а < а) и находится представление
а
разпостп функций А/*’ (г) = F(a: +1) — F (а) в впде ряда
от /(а) и ее производных. Разлагая /'(а;-)-!) в ряд Тей-
лора и подставляя это разложение в разность EF {х),
получаем:
EF(x) = F{.c + i)-F{x) =
= F(x) + ±F' (3) + JrF'(a:) + ...-F(a;) =
Идея дальнейшего вывода заключается в «обращении»
ряда для
af (х) = / (т)+4 г о)+4-г (*)+• • • -
ПЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ 457
т. е. в получении представления функции /(j) через ряд
от разностей Д/’(.т) и их производных Д/;Ч*)(.г), т. е.
/ (.г) = Д(з) + аДР1’ (.г) + Р Д Р” (.г) 4-...
Для этого находятся аналогичные разложения:
ar*’ (z)=/' (j-)+4 г и + 4- г (»)+....
ДРг’(.7)= /'4- ....
ЛР”(х) = Г(х)+.-.,
Затем эти разложения последовательно умножаются
на неопределенные коэффициенты а, р, у, ... и полу-
чившиеся ряды суммируются. Слева получаем ряд для
ДГ(.г) и bF™(x):
\F (т) f aAF’ И + РДР (т) + уД/~ (т) + • • -.
справа / (х) и ее производные, умноженные на некоторые
выражения от а, Р, у, ... Приравнивая последние нулю,
находим значения а, р, у,_из равенств
(4-+а)=0’ (4-+ir+₽)=011 т-д”
откуда
а= — у, ₽ = 4’ Y = ° п т- Д-
Макторен обнаруживает, что все нечетные коэффи-
циенты у, е, ... равны нулю. Подставляя в ряд
/ (Т) = Д/' (л) - А ДР1’ (х) + 1 ДР” (г) - ...
вместо х последовательно х+1, х + 2, х + 3, — дох + и
и суммируя эти ряды, получим слева:
/(^) + /(х+1)+... +/(х + «)=^ /(^ + 0.
<=0
458
М. В. ЧИРИКОВ
а справа, принимая во внимание, что
Л/' (jr) = F (х -Ь1) — F (т) =
Xj1 X х+1
= j(l)dt-^j(t)dt= $ j(t)dl
а а х
И
x+i+t
ДГ (г + г) = / (/) dt,
x+i+I
получим f(t)dt; аналогично для
X
х4-п-Н 1
\F(i)(z)= $ /i>(/)d/ = /<i-,)(T + n + l)-^-,)(.r).
X
Маклорен доводит разложение в ряд до 7-го члена. Далее
приводится рекуррентное соотношение для коэффициен-
тов а, р, 6... Однако Маклорен не исследует поведения
чисел Бернулли с увеличением нх номера и поведения
ряда с ростом аргумента.
Маклорен использует свою формулу для вывода инте-
грального признака сходимости числовых рядов или для
интерполяции функции log (х!) на нецелые значения х.
Такая же формула суммирования была предложена
.'!. Эйлером в 1731 г.1). Так как существует большая лите-
ратура, посвященная как истории вывода формулы Эйле-
ром, так и выяснению приоритета (из последних работ
см. * *) и 2), то здесь ограничимся тем, что отметим только
важнейшие этапы этой истории, имеющие значение для
выяснения асимптотичности получаемого ряда. При этом
будем пользоваться следующей терминологией3): формулу
суммирования называют формулой Эйлера — Маклореиа,
а ряд, получающийся в результате разложения функции
*) Переписка Эйлера со Стирлингом. Публикация Т. А. Кра-
соткпиоп, «Историко-математические исследования», вып. X.
г) J. Е. Hofmann. Znr Entwicklungcge hichte der Euler-
bdien Suinmenformen; см. также *) па стр. 453.
•) Г. Хард и. Расходящиеся ряды, ПЛ, 1951,. стр. 249.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
'<59
по формуле Эйлера —Маклорена, называют рядом
Эйлера — Маклорена.
Интересными представляются следующие моменты
(см. s) и 3) на свтр. 458):
1. Вывод частной формулы суммирования для сумм
,v
•*Да 1
п=-0
исходя из геометрических представлений
об интеграле как площади п о сумме ряда как сумме равно-
отстоящих ординат интегрируемой кривой.
2. Вывод общей формулы суммирования и выявление
того важного обстоятельства, что формула суммирования
имеет место для всех сумм, общий член которых есть функ-
ция, разложимая в ряд Тейлора.
3. Исследование поведения коэффициентов ряда Эйле-
ра — Маклорена, т. е. чисел Бернулли с ростом их но-
мера. Получив аналитическое выражение для Вп, Эй-
лер показывает, что ряд Эйлера — Маклорена рас-
ходится.
4. После того как Эйлер убеждается в общности полу-
ченной пм формулы суммирования, он начинает ее широко
применять. Изучая поведение ряда Эйлера — Маклорена,
Эйлер сталкивается с «парадоксом» асимптотических ря-
дов, т. е. с тем явлением, что эти расходящиеся ряды дают
замечательное приближение некоторых видов функций
с ростом аргумента1)-
Подробный вывод формулы и большое количество
примеров и применений Эйлер опубликовал в работе
Institiiliones calculi differentialis (1755 г.) (есть русский
перевод; «Дифференциальное исчисление», 1949 г.). Эйлер
приходит к формуле, решая задачу э суммировании рядов
в общем виде. Вывод и применение формулы являются
ярким примером конструктивного характера мышления
Эйлера, причем глубину проникновения Эйлером в при-
роду вопроса удается выявить лишь с точки зрения
современной математики. Вывод Эйлера состоит в сле-
дующем.
’) Предисловие G. Faber’n к Е. Е о I < г. Opera omnia, t. 16.
1-я серия, стр. XII.
460
М. В. ЧИРИКОВ
п
Рассматривается частичная сумма S (л) = V j
суммируемого ряда как функция от п. Разность 5 (л) —
— S(n— 1) частичных сумм равна общему члену ряда
/(п). Разлагая формально S(n — 1) в строку Тейлора,
Эйлер получает ряд для / (л) через 5 (л) и ее производные
/ и=4г5' (") - is" w+4 - • • •
и затем находит выражение S (л) через
f(n)dn, /(л), /<1>(л),
а именно:
•5 (n)e / (n)dn + / (п)- (”) + РГ («)+••• »
т. е. «обращает» этот ряд методом неопределенных коэф-
фициентов.
Рассматривая ряд чисел Бернуллп:
0 = ^=-!, ₽=2Вг = 1, -Y = B3 = 0,
б = 12В4=-^, В6 = 0,
Эйлер находит нужным доказать, что только одно нечет-
ное число Бернуллп отлично от пуля. Именно первое,
для которого, как говорит Эйлер, «имеет место исключе-
ние из закона непрерывности». Для доказательства этого
факта Эйлер использует так называемую производящую
функцию для чисел Бернулли, т. е. Эйлер пользуется
тем фактом, что числа Бернуллп появляются в результате
разложения функции в ряд по степеням и:
-у~=й = 1 — «и + Pu2 — уи’ -р би4 — ...;
так как а — — , то это равенство можно переписать
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
461
в виде
(Ч U \
« +е I 4.02 S .
_и_ I—1 + ₽“ + • • •;
е2—е 2/
пз соображений сохранения четности справа и слева
Эйлер заключает, что все нечетные числа Бернулли
у = /?8 = в = Вь = ... = B3ntl = 0.
Далее, он находит разложения для ctgnx в ряды
с коэффициентами, выраженными через числа Бернулли
ОО
и через суммы вида У, —(Л= 1. 2, 3, ...):
n,k
п=0
ctg л.г
ctg лг
1 2гВ2л , 24В4л» з 2вВ«л‘ 5
=---------х Ч--------7Т— х------х
ях 2! 4! 6!
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
Эйлер находит аналитические выражения для чисел
Бернулли
В =( 1? (2fc)l У 1
' 2tk-intk 2-i nth ’
n=t
Образуя отношение двух соседних чисел Бернулли,
Эйлер показывает, что ряд этих чисел расходится быстрее,
чем ряд чисел, составляющих геометрическую прогрес-
сию со знаменателем, большим единицы. Отсюда ясно, что
ряд Эйлера — Маклорена есть расходящийся ряд.
Замечательно, что Эйлер использует формулу только
в тех случаях, когда ряд получается асимптотическим.
Другими словами, Эйлер совершенно сознательно поль-
зуется этим видом расходящихся рядов, используя спе-
циальное их свойство — асимптотичность — для того, что-
бы производить нужные вычисления с недостнгаемой дру-
гими методами точностью и скоростью. Фактически, Эйлер
462
М. В. ЧИРИКОВ
настолько убедительно продемонстрировал возможности
аффективного использования определенного класса рас-
ходящихся рядов, именно асимптотических, что дальней-
шая история расходящихся рядов расщепляется па исто-
рию собственно расходящихся рядов и историю асимпто-
тических рядов.
Х< тя во всех рассмотрениях не вводится остаточный
член, о необходимости которого у Уилера имеются заме-
чания в других случаях, использование рядов Эйлера—
Маклорена происходит так, как будто Эйлер умеет вычис-
лять нужный остаточный член и оценить ошибку1).
Примеры, приведенные Эйлером, по полноте почти ис-
черпывают класс функций, дающих при разложении но
формуле асимптотический ряд2). С другой стороны, эти
примеры показывают, что Эйлер придавал определенное
теоретическое значение своей формуле. Так, оп использует
асимптотический ряд Эйлера — Маклорена в исследова-
ниях, посвященных функциональному уравнению для
£ (s)3). Интересно, что для целого типа функций, так назы-
ваемых «непредставимых функций» но терминологии Эйле-
ра («functiones inexplicabiles»), как единственный аналити-
ческий аппарат Эйлер применяет ряд Эйлера — Маклоре-
на. Этому посвящен весь параграф главы XVI части II
«Дифференциального исчисления» (стр. 509, п. 3G7). На-
сколько глубоко Эйлер чувствовал природу применяемых
рядов, может служить пример 1 пз того же параграфа.
Эйлер ищет производную непредставимой функции
/(’) =1+у+ т+’-’+т-
Для этого оп по формуле суммирования находит асимпто-
тическое представление для этой функции
/(з)^ logx + — 4 ...
*) II. Тимченко, Исторические сведения о развитии поня-
тий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций,
Одесса, 1892; см. также * *) па стр. 459.
*) L. Е u I е г. De Numero Memorabili in suminatione progres-
sionis, Opera «mnia, 1758, I. 15, 1-я серия.
•) См. •) на стр. zi59.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
463
и затем дифференцирует полученное равенстве»
<*/(*) _ 1 1 В, Д4 , Д, ц
dx х 2т* г* х* *" х1 • • • )•
То, что здесь производится Эйлером, найдет свое обо-
снование в работе Л. Пуанкаре от 1886 г. об асимпто-
тических рядах2). В данном случае Эйлер использует
дифференцируемость асимптотических рядов и тот факт,
что производная асимптотического ряда асимптотически
представляет производную первоначальной функции.
Работами Эйлера асимптотические ряды, образуемые
разложением функции по формуле Эйлера — Маклорена,
вводятся в практику математического анализа. Употреб-
ление такого рода рядов требовало обоснования закон-
ности такого употребления. Работа, проведенная над
асимптотическими рядами Лагранжом, Лапласом и Ле
жандром, выявила новые функциональные свойства, ис-
пользуемые при выводе формулы, и необходимость выяс-
нения смысла «представимости» функции такого рода
рядами.
Вывод формулы суммирования, предложенный Лаг-
ранжей в работе Nouvelle espece de calcul relatif a la dif-
ferentiation et I’interpolatioii (1772 г.), основан, ио сло-
вам Лагранжа, «на одной блестящей аналогии между сте-
пенями и показателями порядков производной, данной
Лейбницем». Современная теория операторов®) позволяет
попять, почему становится возможной такого рода ана-
логия. Именно, для кусочно-непрерывных функций суще-
ствует некоторое обобщение формулы Тейлора, связываю-
щее сдвиг функции с конечными разностями высших по-
рядков. Это позволяет отказаться от непрерывности всюду
производных функции, задающей общий член суммируе-
1) См. также Lacroix, Sylvestre Francois, Traite des differen-
ces et des series, faisant suite an traite du calcul differential et du
integral, Paris, Dupart, 1800.
*) II. 1’oincari, Sur les integrale« singulieres des equations
differentielles, Oeuvres, t. 1, Paris, Gauthier-Villars.
•) Э. Хилл, Функциональным анализ и полугруппы, ПЛ,
PJ51, стр. 402. См. также Л. О. Гельфоид, Исчисление конеч-
ных разностей, 1952, стр. 314 и далее Г. X а р д и, Расходящиеся
ряды, 1951, СТр. 413.
464
М. В. ЧИРИКОВ
мого ряда. Для вывода оказывается достаточным суще-
ствование некоторого интегрального среднего от такой
производной1).
Вывод состоит в следующем:
«Если и—и (х), то
—s
Дхи = — 1);
пусть
(е“ — 1)х = со* (1 4- Исо + B(o24-C(os Ь Dm*
логарифмируя, получим:
A, log (е® — 1) — A, log(o=log (1 + - 1<о 4 Вмг 4- Ссо84- Dm* 4-...);
далее, дифференцируя, имеем:
А, / е<Д _ И_ А г2»<о4-ЗС<о1+4Ры!>4-... . ...
__1 «о / — 14-Л(о+ /7<о14-С<1)34-£)ю‘4- ... ’ ' '
тогда, так как
то, подставляя (2) в (1), приведем (1) к виду
Чт-гз+^я---)(1 + л“ + й“*+--->- ]
-(1-^-+Й-ГГ4+---')<л+2«“ + зс“' + -)’
X. ** £•* •О i у
т, е.
т+1(4_гз)“+х(4_А+гг)“!+ 1
+<т-й+4-^)“’+----,+(2в-4>+
или, заменяя со па а степени символа du произвол-
ах
*) См. •) стр. 4G3.
11.3 ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
465
ними соответствующих порядков, получим:
— 1 Ек+1 -4- В d-+- Ех+2
где Л, В, С,... находим из (3). Заменим к па —X; тогда
Д-Хн = и dj*c,~* — а \ и dcx~ll~x+i 4-
х-2
+ 0 Hd^-2rX+2-...
Если теперь Х= —1, то
А *«= \ ы = udjc^ 1 — a“ + P^S — Y £2+• • •»
где
J dx'-
И т. д.».
Работы, посвященные попыткам обоспов пня* употреб-
ления асимптотических рядов в анализе, изложены в ти-
пичном для этого периода математическом стиле. В ппх
ие выявляется дедуктивная структура исследуемой задачи,
не приводятся в явном виде определения и пе даются
какие-либо условия существования строимого понятия.
Однако в рамках свойственной той эпохе строгости эти
работы все же направлены па выяснение вопроса, что зна-
чит, что такие ряды как-то «представляют функцию».
Так, Лаплас, получив асимптотические ряды методом,
отличным от применения формулы Эйлера — Маклорена,
дает некоторое описание-определение рядов такого типа.
Разъяснению этого вопроса посвящен целый период в ра-
оото «Опыт философии теории вероятностен»:
«Мы часто приходим к выражениям, содержащим такое
количество членов и множителей, что числовые подстанов-
ки становятся невыполнимыми. Это имеет место в вопросах
о вероятностях, когда рассматривается большое число
сооытнй. Однако тогда бывает важно получить числовое
значение формулы, чтобы узнать, какова вероятность
30
Нстор.-матгм. игглед.. вып. XIII
i об
И. В. ЧИРИКОВ
результатов, которые события раскрывают во мере увели-
чения их числа. Особенпо важно получить закон, по кото-
рому эта вероятность приближается к достоверности
которой она и достигла бы наконец, если бы число собы-
тий стало бесконечным. С этой целью я обратил внимание
па то, что определенные интегралы дифференциалов, умно-
женных па множители, возведенные в высокие степени,
дают ио интегрированию формулы, состоящие из большого
числа членов и множителей. Это навело меня на мысль пре-
образовать в подобные интегралы сложные выражения
анализа и интегралы разностных уравнений. Я выполнил
это посредством метода, который дает сразу и подынте-
гральную функцию и пределы интегрирования... Затем
оставалось только свести определенный интеграл к схо-
дящемуся ряду. Я достиг этого приемом, который делает
ряд тем быстрее сходящимся, чем сложнее формула, кото-
рая его выражает, так что этот прием тем более точен, чем
более он необходим».
В другой работе Лапласа «Аналитическая теория веро-
ятностей» имеется параграф в конце первой книги под
названием «Общие замечания о сходимости рядов». Здесь
Лаплас дает определение рядов, названных им «иолусхо-
дящнмися рядами». Рассматривая пример разложения
в такой ряд интеграла
и оценивая остаток, Лаплас пишет: «...Эти ряды схо-
дятся быстро для первых членов, но эта сходимость
ухудшается, а затем и кончается, превращаясь в рас-
ходимость. Это пе мешает употреблению этих рядов,
если использовать только первые члены, для которых схо-
димость достаточно быстра. Ибо остаток ряда, которым
пренебрегают, есть некоторая алгебраическая функция
или интеграл, малые по сравнению с предшествующим
113 ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
467
членом... Этот ряд обладает также тем свойством, что он
становится последовательно то больше, то меньше своего
истинного значения, в зависимости от того, останавли-
ваемся мы па положительном или отрицательном члене.
Па основании этого их можно назвать предельными рядами
(series limites)».
В работе Лежандра «Вычисление интегралов» описы-
ваются полусходящиеся ряды на примере ряда
.. _ r _ J, 1 , £ 1________
п (a-J-nx)"* 2 (а-рлх)1 (a-|-nx)s(а-[-пх)ь ••••
полученного им применением формулы Эйлера — Маклорена
1
(а+пх) •
к функции
В отличие от Лапласа Лежандр сосредо-
точивает свое внимание па вычислительных свойствах
асимптотических рядов. Он пишет: «...эти ряды вначале
очень быстро сходятся, и сходимость становится все лучше
н лучше, до определенного члена, с которого начинается
расходимость, и эта расходимость становится все больше
и больше...
Вычисляя последующие члены, получаем, что результат
становится меньше пли больше искомой величины. Так
доходим до членов, где сходимость прекращается.
Однако, если этих двух значений (величины аргумента
п числа членов) недостаточно для должного приближения,
надо провести новое вычисление, взяв х значительно боль-
шим. Но обычно уже средние значения х дают очень хоро-
шую аппроксимацию.
Здесь мы имеем пример вычисления с таким типом ря-
дов, которые можно назвать полусходящимися (suites
dem icon vergents)».
Известно, что после работ Коши, Больцапо и Абеля но
обоснованию анализа расходящиеся ряды были «изгнаны»
нз теоретических рассмотрений математиков. Такое поло-
жение можно объяснить тем, что определение суммы ряда
через понятие сходимости, т. е. как предела последова-
тельности частичных сумм этого ряда, было абсолютизиро-
вано последователями Кошн и некритично считалось един-
ственно возможным. Однако сам Коши не был удовлетво-
рен создавшимся положением. В работах за 1843—1844 гг.
30*
468
М. В. ЧИРИКОВ
он обращается к вопросу об асимптотических рядах1)
Коши рассматривает функции комплексного переменного
методами созданной им теории вычетов и фактически закла-
дывает основы общей теории асимптотических рядов, пря-
мое продолжение которых находится в фундаментальной
работе Пуанкаре по этой теории2). Ковш исследует задачу
о суммировании в классической постановке, т. е. изучает
п
поведение сумм S(n) = ^j(i) при п—»оо. Для /(г) = log z
i=0
(у Коши — комплексные функции) получает ряд Стирлин-
га, для которого проводит подробное исследование оста-
точного члена. Такого рода исследование позволяет ему
доказать, что конечные суммы ряда Стирлинга «пр встав-
ляют» функцию Л'(п) в том смысле, что ошибка стремится
к 0 при п—»оо, но при увеличении числа членов частичных
сумм ошибка стремится к оо.
Вопросом узаконения асимптотических рядов интересо-
вался Лобачевский. В его работах 1834 и 1841 гг. («Спо-
соб уверяться в исчезновении бесконечных строк и при-
ближаться к значению функций от весьма больших чисел»
и «О сходимости бесконечных рядов») проведены некото-
рые рассмотрения асимптотических рядов и дано доказа-
тельство асимптотичности ряда Эйлера — Маклорена для
log z, т. е. дтя ряда Стирлинга.
В работе Лобачевского «Способ уверяться...» приведено
определение предельных рядов (фактически совпадающее
с определением асимптотических рядов). Для этих рядов,
правда в очень нечеткой форме, Лобачевский оговаривает
условия, которые надо наложить на суммируемую функ-
цию, чтобы ряд Эйлера — Маклорена был предельным.
Лобачевский пишет: «...Способ, которому я здесь сле-
довал, приводит, собственно, только к тому заключению,
что всегда можно взять такое большое число, чтобы, оста-
новись на каком-нибудь члене, пренебречь остатком за
*) Cauchy, Augustin-Louis, Sur uti emploi legitime des
series dhengentes и далее, стр. 26, 28, 330, Oeuvres complete*
d'Augustin Cauchy, serie 1,t. 8, 1893. Publ. sous la dir scientifi<lue
de I'Academie des sciences. Paris, Gauthier-Villars.
!) См. !) на стр. 463.
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
469
малостью... Это составляет особый род исчезания в стро-
ках, которые, собственно, растут. Для них можем оста-
вить название предельных (series limites), данное Лапла-
сом (в „Theor. anal, des prob.”), распространяя такое на-
звание и на те строки, знак перед членами которых не ме-
няется, под условием, одиако же, чтобы остаток в
У, иДт = и dx — и&х -f Л/, AtJ — ... *) (♦)
можно было рассматривать разложением функции, кото-
рой значение убывает до бесконечности. С этим ограниче-
нием должно допускать употребление возрастающих строк
(series divergeiites). Подобное замечание делает Лежандр,
пе давая, впрочем, никакого доказательства и предлагая
название полуисчезающие строки (demi convergentes в
„Exercices du calcul integral”)».
Далее Лобачевский говорит об условиях, которые нала-
гаются па производные i) (z)t дЛЯ ТОго, чтобы ряд
Эйлера — Маклорена был предельным. Именно, Лобачев-
ский требует, чтобы эти производные были ограничены,
«не превосходили какого-либо предела», как говорит Лоба-
чевский. Истинное же условие состоит в том, чтобы к-я
производная росла медленнее функции^, т. е. /(к) (х) =
в о(х~*). Одпако, для рассматриваемого Лобачевским част-
ного случая (/ (x) = Iog х) проводится доказательство
асимптотичности получающегося ряда, пмеипо сравнением
с функцией Д.
хл
В работе «Способ уверяться...» Лобачевский выводит
асимптотическое выражение для факториальной функции.
У Лобачевского
х"’ = | 2л х(х+^)е-хХ (х),
*) Лобачевский употребляет следующие обозначения:
. Д vfc
^с=ПЙ". Vk = (-l)**>Blh,
«и
п п
числа Бернулли, \ иДх = V и (х0Ч- /гДт), \ J и dx.
470
N. в. ЧИРИКОВ
где
(х + а)“(х+о) = (а + 1) (а + 2) ... (« + а1)-
Функцию X (л) Лобачевский находит, применяя формулу
Ойлера —Маклорена для logr. Подставив функцию log г
в формулу (♦), получим:
X — I
У, logx = xlogx-x + C-ylogx + ^ + + - -
1
< [огарпфмпруя (♦♦), имеем:
X—i
logx+ У, logx = log j/2n + ^x + y^logx—х+ logA (г),
।
откуда
С = log | 2л
и
log A + -М X3 •• •
В другой работе «Сходимость бесконечных рядов...»
< кюачевский выводит формулу для х"х в виде
х~х=| 2лж(Х+2)е-3‘+’Ях>,
где
ф(*) = 4г+^+---+^ + /’Сг>-
т. е. тогда для log А'(х) получим
<F(x) = logX(r).
Для ряда (р(х) Лобачевский проводит подробное доказа-
тельство методом математической индукции его асимпто-
тичности (или предельности по Лобачевскому).
«...Итак, если бы в этом разложении мы дошли до х
и при этом показали, как это имеет место при п=1, что
сумма остальных членов заключена между определенными
границами, которые сами при возрастании у шныпаются
ИЗ ИСТОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
471
до нуля, то можно показать то же для следующего члена
х ч»* О».
Лобачевский дает следующую оценку для остаточного
члена:
И(*)|<
Р(”)
(х—1)"+’
1
п+1
. 0*14-2 j
1
где Р(п)—ограниченная функция.
Однако Лобачевский ие рассматривает остаточного
члена в случае общего ряда, а метод, примененный при
рассмотрении частного случая, не переносится на общий
случай.
На первых этанах развития математического анализа
была замечена на примерах нахождения квадратур мето-
дами численного суммирования тесная связь между инте-
гралом и рядом, представлявшими данную функцию.
И хотя эти понятия ие были ясно определены, имеет место
как бы исследование содержания одного понятия при
помощи другого понятия. Это приводит к выяснению суще-
ства аналогии между определенным интегралом и сумми-
рованием соответствующих сумм.
Развитие теории суммирования числовых рядов при-
вело к постановке первых задач по изучению асимптотики
частичных сумм рядов. Используя известную аналогию,
Ньютон дает приближенные представления для расходя-
щихся сумм У .
J s— ЬЦ-nc
Применяя методы теорпп сумми-
рования числовых рядов и теории конечных разностей,
Стирлинг получает асимптотическое представление для
таких быстро растущих функций, как log (zil).
Интенсивное развитие аналитических методов теории
суммирования числовых рядов приводит к созданию фун-
даментальной формулы суммирования Эйлера — Макло-
рена. Эта формула позволила создать единый метод изу-
чения поведения частичных сумм па бесконечности для
определенного класса суммируемых функций. Так, Макло-
реп на основе этой формулы приходят к интегральному
признаку сходимости числовых рядов. Эйлер со своей
472
М. В. ЧИРИКОВ
стороны, широко используя формулу, замечает, что для
некоторых функций формула приводит к определенному
виду рядов. Успешное проникновение в природу аналити-
ческих функций позволило Эйлеру вскрыть «парадоксаль-
ный» характер поведения этих рядов: несмотря па то, что
ряды расходятся, они дают очень хорошее числовое при-
ближение. То, что такое приближение улучшается с уве-
личением числа членов суммируемого ряда, позволяет
проводить исследование более просто.
После работ Эйлера асимптотические ряды приобретают
самостоятельное значение, выделяясь пз общей теории
расходящихся рядов. Признавая важность нового вида
рядов, некоторые математики (Лаплас, Лежандр) вводят
для них свою терминологию. Объяснение природы таких
рядов приводило к попыткам дать определение асимптоти-
ческих рядов и объяснить смысл «представимости» функ-
ций такими рядами.
Такого рода работы позволяли выявлять дедуктивную
структуру теории асимптотических рядов. С одной сто-
роны, все более сознавалась необходимость общих опре-
делений и рассмотрений. С другой стороны, изучались
конкретные ряды Эйлера — Маклорена, что приводило
к выработке условий, при которых формула дает асимпто-
тические ряды (например, работы Лобачевского).
Работами Коши закладываются основы общей теории
асимптотических рядов. Однако эти работы не оказывают-
ся достаточно убедительными для современников Коши
и последующих математиков. В течение свыше 40 лет (до
работ Пуанкаре и Стильтьеса в 1886 г.) на асимптотиче-
ские ряды смотрели как на «некий математический курь-
ез», почему-то облегчающий вычисления1).
*) Borel, Emile, Lemons sur Jes series divergentes, 2-e ed.,
Paris, Gauthier-Villars, 1928, стр. 12.
ТЕКСТЫ II ДОКУМЕНТЫ
О ТРАКТАТЕ ПАСПР АД ДIIIIА АТ-ТУСП
О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
/>’. A. Роленфелы) и .1. П. Юшкевич
Из математических сочинений Насир ад-Дина ат-Туси
(1201—1274) до сих пор в русской и западноевропейской
литературе изучались только его «Трактат о полном четы-
рехстороннике», опубликованный вместе с французским
переводом в 1891 г.1) и в русском переводе в 1952 г.2),
и «Изложение Евклида», одна пз редакций которого
(в 13 книгах) была опубликована в 1594 г. в Риме3),
а другая (в 15 книгах) — в 1888 г. в Тегеране4 * * *). В обеих
редакциях «Изложения Евклида» ат-Туси рассматривал
теорию параллельных липий. Доказательство V постулата
Евклида, предложенное ат-Тусп в той редакции, которая
была напечатана в Риме, было опубликовано в латинском
переводе Дж. Валлисом в его работе «О пятом постулате
п пятом определении 6-й книги Евклида»8). По работе
Валлиса с этим доказательством был знаком Дж. Саккерп,
‘INassiruddin el-Toussy, Traite du quadrilatere,
ed. et trad. A. Caratheodory, Constantinople, 1891.
2) Мухаммед Насирэддин Туси, Трактат о пол-
ном четырехстороннике, перевод под ред. Г. Д. Мамедбейли и
Б- А. Розеш} 1ьда, Баку, 1952.
. •) Euclidis Elementorum geometricorum libri tredecim. Ex tra-
ditione doctis imi Nasiridini Tusini nunc primum arabice impressi,
Roina, 1594, pp. 28—33.
4) И а с и p ад-Д и н ат-Т у с и, Тахрр Укли inc фи 'илм ал-
хапдаса, Тегеран, 1888.
*) J. W а 1 1 i s. De postulate quinto et definitione quinta lib. 6
Euclidis, Opera mathematica, t. Il, Oxford. 1693, pp. .669—673.
476
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А П. ЮШКЕВИЧ
подвергший это доказательство критике в своем «Евклиде,
очищенном от всех пятен» (1733). В 1789 г. это доказатель-
ство было опубликовано во французском переводе Ка-
стпльопом ’), русские переводы этого доказательства были
опубликованы в 1949 г.* 2) и в 1959 г.3). Доказательство V
постулата, предложенное ат-Туси в топ редакции, которая
была напечатана в Тегеране, было опубликовано в рус-
ских переводах в 1951 г.4 *) и в 1959 г.6 7) (ср. также®), ')).
В 1935 г. Д. 10. Смит8) обратил внимание на храня-
щуюся в библиотеке тегеранской коллегии Сипах-Салар
рукопись, содержащую комментарии ат-Туси к теории
параллельных линий Омара Хайяма, и привел перевод
начала этой рукописи и факсимиле одного из ее предло-
жений. Сравнение текста, опубликованного Смитом, с тек-
стом публикуемого ниже трактата ат-Туси показывает,
что текст, хранящийся в библиотеке колледжа Сипах-
Салар, по-видимому, является частью публикуемого сочи-
нения. Трактат ат-Туси называется «Трактат, исцеляющий
сомнение по поводу параллельных линий» (Ар-рисала аш-
шафппйа 'апапнпакк фн-л-хутут ал-мутавазиййа). В па-
шем распоряжении имеется фотокопия рукописи этого
трактата, хранящейся в Парижской национальной библио-
теке (АгаЪе 54С»7/5), микрофильм которой был прислан нам
*) G. С a s t i I 1 о n, Second mfmoire sur les paralleles
d’Euclide, Memoires de 1’Academie Royale de sciences et belles-let-
tres, classe math.. Berlin, t. 18, 1788—89, pp. 175—183.
2) В. Ф. Каган, Основания геометрии, ч. I, M.—Л., 1949,
стр. 119—121.
3) Г. Д. Мамед бен л и, Мухаммед Насирэддии Туси о тео-
рии параллельных линий и теории отношений, Баку, 1959,
стр. 22—32.
4) Р. М. Султанов, Насирэхтин Туси о постулате парал-
лельности, Известия АН Азерб. ССР, As 10, 1951, стр. 53—62.
®) Г. Д. Ы амедбей л и, цит. соч., стр. 13—22.
•) Б. А. Р о з е н ф е л ь д, О математических работах Наспр-
эддина Туси, «Историко-математические исследования», вып. IV,
М.—Л., 1951, стр. 489—512, и Известия АН Азерб. ССР, № 4,
1953, стр. 35—50.
7) Б. А. Р о з е н ф е л ь л, Новые исследования по предыстории
неевклидовой геометрии, в книге: В. Ф. К а г а и. Основания гео-
метрии, ч. II, М., 1956, стр. 322—330.
•) D. Е. S m i t h, Euclid, Omar Khayyam and Saccheri, Scripts
matbematica, vol. 3, At 1, 1935, pp. 5—10.
О ТРАКТАТЕ НАСИР АД-ДИНА ЛТ-ТУСИ
477
г-жоп II. Мейер-Шагал при содействии проф. II. С. Зиль-
берштейна, за что мы выражаем им глубокую благодарность.
Помимо парижской рукописи, семь рукописей этого
трактата хранятся в Стамбуле (библиотека Серай,
№ 3342/10 и Л» 3456/1; библиотека Фатих, Л» 3440/2;
библиотека Кёнрюлю, № 931/15; библиотека Айя София,
Л" 2760/1; библиотека Джарулла, А» 1502/1 и библиотека
Атпф, № 1712/13х) и по одной рукописи хранится в Меш-
хеде (Иран) в библиотеке имама Ризы2) и в Рампуре
(Уттар Прадеш, Индия) в библиотеке Раза3). Еще одна
рукопись этого трактата находилась до второй мировой
войны в Государственной прусской библиотеке в Берлине
(Ms. or. fol. 258/8) •), однако, как сообщил нам директор
Восточного отдела этой библиотеки, ныне Государствен-
ной германской библиотеки (ГДР), д-р Гвидо Аустер,
эта рукопись пропала во время войны. В указанных ката-
логах эти рукописи приведены под различными названия-
ми, ио сравнение начала и конца парижской рукописи
с началами и концами рукописей, приведенных в статье
Краузе, каталогах Мешхедской и Берлинской библиотек
н письме библиотекаря библиотеки Раза И. А. Ариш,
показывает, что все рукописи являются списками одного
и того же трактата. В парижской рукописи пе указаны
пи название трактата, пи имя его автора. Однако имя
автора, Насир ал-Милла ва-д-Дпи, и название трактата при-
ведены в переписке автора с 'Алам ад-Дином ал-Ханафп,
помещенной вслед за текстом трактата (перевод отрывков
из этой переписки, относящихся к этому трактату, приве-
ден в виде приложения к переводу трактата).
Геометрический трактат ат-Тусп представляет выдаю-
щийся интерес: помимо теории параллельных линий самого
’) М. Krause, Stambuler llandschrifte islamisclier Mithenia-
• u r’ QueIlen und Studien zur Gescliiclite der Matheinatik,
Abt. B, Bd 3, Heft 4, 1936, S. 496.
2) Фнхрпгт-и KVTyo-n кптабхана-нп мубарака-iin агтан-и кудс- u
1 изавп, Мешхед, 1345 1926, т. 3, раздел XVII, .V» 82.
) FihristKitab ’Arabi, Rampur State Library, Ram-
pur, 1902, t. t, ,V« 417.
i * *1 У)’-. A h 1 w a r d t, X erzeichnis der arabischen Ilandschriften
*tr lichen Bibliotbek zu Berlin, Bd. 5, Berlin, 1893,
325—326.
478
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
ат-Туси, совпадающей (за исключением одного существен-
ного момента) с его теорией в редакции, напечатанной
в Тегеране, здесь дается критика теорий параллельных
линий его предшественников пои ал-Хапсама и Хайяма
уже изучавшихся историками математики, и теории па-
раллельных липий математика IX в. ал-Джаухари, щ
настоящего времени бывшей неизвестной. При этом ат-Туси
приводит обширные выписки пз сочинении Хайяма и
ал-Джаухари, что особенно важно в последнем случае,
так как сочинение ал-Джаухари «Усовершенствование
книги „Начала" до сих пор не обнаружено.
Первым ученым средневекового Востока, рассматри-
вавшим теорию параллельных линий, принято считать
Фадла ап-Найризи, работавшего в X в. в Багдаде. В своих
комментариях к «Началам» Евклида аи-Найризп1) при-
водит со слов греческого ученого \ I в. Симилпкия дока-
зательство V постулата его друга Аганиса, основанное на
определении параллельных прямых как равноотстоящих
и неявно использующее «аксиому Архимеда» и «аксиому
Паша»2). Теперь мы видим, что теорией парал шльных
линий па средневековом Востоке занимались, по крайней
мере, за 100 лет до ап-Найризи.
Сведения об ал-Джаухари весьма скудны. Ал-'Аббас
иби-Са’пд ал-Джаухари был современником и сотрудником
знаменитого Мухаммеда ал-Хорезми. Ал-Джаухари был
уроженцем Фараба (ныне Отрар) прп впадении реки
Арысь в Сыр-Дарью (ныне — в Казахской ССР). Он при-
нимал участие в астрономических наблюдениях в Багдаде
в 829—830 гг. и Дамаске в 832—833 гг., па основе которых
были составлены «Астрономические таблицы ал-Ма’мупа».
Сохранился отрывок пз комментариев ал-Джаухари
к «Началам» Евклида, относящийся к \ книге (библио-
тека Фапзулла (Стамбул), А» 1359/4). Вероятно, это отры-
вок из того же «Усовершенствования книги . Начала"»,
которую цитирует ат-Тусп.
’) Anaritii in decern libros priores Elementorum Euclidis com-
mentarii, ed. M. Curtze, Leipzig, 1899, pp. 65—73.
2) Г. E. Нет рос я п нВ. А. Розенфельд, Доказатель-
ство Аганиса пятого постулата Евклвда, Известия АН Арм. ССР,
серия физ-.матем. наук, т. 13, А» 1, 1960, стр. 153—164.
о ТРАКТАТЕ НАСИР АД-ДИНА АТ-ТУСИ
479
В основе доказательства V постулата, принадлежащего
ал-Джаухари, лежит неявное предположение о том, что
если при пересечении двух прямых третьей пакрестлежа-
щпе углы равны, то же должно иметь место при пересече-
нии тех же двух прямых любой прямой. В процессе дока-
зательства V постулата ал-Джаухарп доказывает теоремы
о том, что средняя липин треугольника равна половши*
его основания, и о том, что через всякую точку внутри
угла можно провести прямую, пересекающую обе его сто-
роны, и выводит V постулат из этих теорем. Этот вывод
представляет собой весьма интересный вклад в теорию
параллельных линий. Утверждение о прямой, пересе-
кающей обе стороны угла, неявно положил в основу
своего доказательства V постулата в 1800 г. А. М. Ле-
жандр.
Из двух трактатов ибн ал-Хайсама, посвященных ком-
ментированию «Начал» Евклида — «Книги комментариев
к введениям книги Евклида „Начала"» и «О разрешении
сомнений в книге Евклида „Начала»", в первом из кото-
рых комментируются определения, аксиомы и постулаты,
а во втором — предложения «Начал», ат-Туси в период
работы над рассматриваемым сочинением располагал
только вторым трактатом. Доказательство V постулата,
предложенное пби ал-Хайсамом в первом из этих тракта-
тов, было опубликовано в 1958 г.1). Это доказательство
явно представляет собой развитие идей доказательства
Аганпса, но в отличие от Агаписа ибн ал-Хансам пе опре-
деляет параллельные прямые как равноотстоящие, по
пытается доказать существование равноотстоящих прямых
при помощи кинематических соображений, а «аксиомой
Архимеда» пользуется явно. Во втором трактате, напи-
санном позже первого, ибн ал-Хайсам указывает, что
Доказал V постулат в первом трактате, но строит теорию
параллельных линий не на основании V постулата, а на
основании утверждения о том, что две пересекающиеся
прямые ие могут быть параллельны одной прямой, кото-
*) Б. А. р о з е н ф е л ь д, Доказательства пятого постулата
аВКпида сРеЛневековых математиков Хасана ибн ал-Хайсама
Льва Герсопнда, «Историко-математические исследования»,
вып- XI, М , 1958> стр. 743-762.
480
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД и Л. Н. ЮШКЕВИЧ
рос впоследствии часто использовалось в теории парал-
лельных линий. Это обстоятельство и является причиной
того, что ат-Туси относит иби ал-Хайсама к тем, кто не
доказывает V постулат, а явно заменяет его другим посту-
латом.
Доказательство V постулата, предложенное Хайямом
было также опубликовано в 1953 г.1). В отличие от ибн ал-
Хайсама, который, вопреки мнению ат-Туси, доказывал
V постулат, Хайям явно заменял \ постулат эквивалент-
ным ему утверждением, приписываемым им Аристотелю,
а затем на основе этого утверждения доказывает V посту-
лат в восьми предложениях. Ат-Туси приводит текст
этих восьми предложений с небольшими, по весьма суще-
ственными пропусками. Особо следует отметить, что
ат-Туси пе приводит утверждения Аристотеля; возможно
что ат-Туси ие располагал потным текстом трактата Хайя-
ма. Ие приводя (или ие зная) утверждения Аристотеля,
ат-Туси не учитывает явных ссылок Хайяма па это утверж-
дение в доказательстве его III предложения и утверждает,
что Хайям делает ошибку в доказательстве своего VI пред-
ложения, принимая, что расстояние между сторонами угла
может превзойти любую данную величину. Это утвержде-
ние, также заимствованное Хайямом у Аристотеля, пе за-
висит от V постулата, и его использование в доказатель-
стве V' постулата вполне допустимо. Отметим, что в своем
доказательстве Хайям отправляется от доказательства
ибн ал-Хайсама в его первом трактате и начинает с кри-
тики его кинематических соображений.
Трактат доказывает явную связь между теориями па-
раллельных линий ат-Туси и его предшественников. Если
до нашего знакомства с этим трактатом мы, сравнивая
доказательства ат-Туси и Хайяма, могли только догады-
ваться об этой связи, то теперь мы располагаем текстом
самого ат-Туси, иа основании которого можно устано-
вить, какие предложения его доказательства заимствованы
у Хайяма и ал-Джаухарп. Ат-Туси доказывает V иосту-
*) О м а р X а й я м, Математические трактаты, перевод
Б. А. Розенфельда, примечания Б. А. Розенфельда и А. II-Юшке-
вича, «Историко-математические исследования*», вын. VI, М.. 19э*з«
стр. И —172; см. стр. 72—84.
о ТРАКТАТЕ НАСИР АД-ДИНА АТ-ТУСИ
481
лат сначала в семи предложениях, а затем заменяет по-
следние два предложения тремя новыми. У Хайяма заим-
ствованы II и IV предложения, III предложение совпа-
дает с 111 предложением Хайяма по формулировке, но
ему дается другое доказательство. У ал-Джаухарп заим-
ствовано VIII предложение, а повое VII предложение сов-
падает с V предложением ал-Джаухарп по формулировке,
но несколько отличается доказательством. Доказатель-
ство V постулата в этом трактате отличается от доказа-
тельства ат-Туси в той редакции «Изложения Евклида»,
которая была напечатана в Тегеране. В трактате ат-Тусн
считает, что ои доказал V постулат без явной замены его
новым постулатом, хотя на самом деле неявно использует
то утверждение, которым оп открыто заменяет V посту-
лат в «Изложении Евклида».
Переписка ат-Туси с ал-Хаяафп, помещенная в па-
рижской и в большинстве других рукошшей вслед за тек-
стом трактата, позволяет установить верхнюю границу
времени, когда был написан этот трактат. ’Алам ад-Дпп
Кайсар ал-Ханафи (1178—1251), уроженец Асфуна (Еги-
пет), работал инженером п астрономом в Сирии и Ираке,
умер в Дамаске; он сконструировал знаменитый небесный
глобус, позже находившийся в коллекции Борджа. Значи-
тельная часть научных трудов ат-Туси была написана пос-
ле того, как он стал придворным астрономом и советником
монгольского хана Хулагу. Монголы покорили Пран, Ме-
сопотамию и Сирию в 1253— 1258 гг., а 1259 г. ат-Туси
возглавил прославившуюся вскоре обсерваторию в сто-
лице Хулагу Марате, куда было свезено со всех концов
страны множество книг по математике и астрономии. Рас-
сматриваемый трактат ат-Туси по теории параллельных
бил, очевидно, закончен задолго до «марагинского» пе-
риода его жизни, ибо ал-Хаиафп умер в 1251 г. Возмож-
но, что этот трактат был написан ат-Тусн, когда он на-
ходился в государстве исмаилптов-ассаспнов, где рабо-
тал непосредственно перед монгольским завоеванием.
♦Изложение Евклида» ат-Туси составил, по-впдпмому, уже
в Марате. На ошибку ат-Туси, неявно использовавшего
Утверждение, эквивалентное V постулату, указали ему,
вероятно, те ученые, с которыми он, как с ал-Ханафи,
31
Пстор.-матем. исслед., шли. XIII
482
Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
находился в научной переписке, или учепые, работавшие
вместе с ним в Марагинской обсерватории.
Ниже следует перевод трактата ат-Туси, выполненный
Б. Л. Розенфельдом при консультации М. А. Салье
В. С. Сегаля и В. С. Фотиевой, без помощи которых
рукопись, написанная весьма неразборчивым почерком
и обладающая большим числом мелких пропусков и иска-
жений, не могла бы быть прочитана и переведена. Упомя-
нутые мелкие пропуски восполнялись по смыслу и путем
сопоставления доказательств V постулата, излагаемых
в этом трактате, с опубликованными ранее текстами дока-
зательств V постулата Хайяма и ат-Тусп.
К переводу приложены два отрывка из переписки ат-
Туси с 'Алам ад-Дином ал-Ханафи, относящиеся к этому
трактату; эта переписка изложена в рукоппсп Arabe
5467/0 Парижской национальной библиотеки, микро-
фильм которой был прислан нам вместе с микрофильмом
рукописи трактата.
ТРАКТАТ, ИСЦЕЛЯЮЩИЙ СОМНЕНИЕ НО ПОВОДУ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИИI1]
Насир ад-Дин ат-Туси J)
73 оо.| Во имя Аллаха .милостивого, милосердного.
Господи, ты облагодетельствовал, так прибавь
Я говорю после хвалы Аллаху, облегчающему все
трудное, восстанавливающему все сломанное, даю-
щему убежище всякому просящему. Благословение
Мухаммеду, предтече и предвестнику, и роду его—
людям всяческого блага.
Знав, что все математические пауки (и особенно
геометрия] I2] по ясности их методов и надежности
их основ не похожи на прочие пауки п искусства,
в особенности в отношении связи между их состав-
ными частями и переплетения необходимых предпо-
сылок большинства их задач. Эти предпосылки —
матери вторичных задач, называющихся вторичными,
так как они — следствия более общих [утверж-
дении].
От зрелого не скрыты некоторые вещи, к которым
мы пришли в большей части науки о познании свойств
параллельных линий и их существенных качеств,
Доказываемых при помощи трудного постулата
Эти доказательства основаны на затруднительной
предпосылке, едва ли убедительной для сердец тех,
кто изучает эту науку, вследствие закрадывающихся
в них сомнении и заставляющей размышлять тех,
*) Перевод с арабского Б. А. Розенфельда.
31*
484
НАСИР ЛД-ДИН АТ-ТУСИ
кто берет на себя трудную задачу разыскания таких
доказательств. Эта предпосылка — та самая, кото-
рую автор книги «Начала» I3] привел в конце введе-
ния, которым он открывал (первую) книгу. Он
считал, что ее место в (этой) книге таково, так как
она доказывается в искусстве, стоящем выше его
искусства. Он сказал, что если прямая линия падает
на две прямые линии и внутренние односторонние
углы (меньше двух прямых, то эти две прямые встре-
тятся при продолжении в сторону этих внутренних
углов. Он считал, что) I4) геометр ве может доказать
это свойство, наиболее существенное для предмета
искусства, оно получается необходимо в высшем
искусстве.
Но если бы эта предпосылка принадлежала к ше-
сти принципам, то почему он ие привел ее вместе с род-
ственными ей утверждениями, как оп говорил:
«вещи, равные одной пещи, равны», «целое больше
части» и так далее (®). Если же она — из того, что
нуждается в доказательстве, то почему о ней ие го-
ворилось раньше вместе с другими сходными с ней
научными задачами в порядке последовательности?
В чем скрытое различие между словами «если на
всякие две прямые падает прямая липин и сумма
внутренних (углов) меньше двух прямых, то они
пересекаются» и «всякие две линии, на которые па-
дает линия и сумма внутренних (углов) пе меньше
двух прямых, не пересекаются», почему одпо из
этих утверждений — нз числа аксиом и пе нуждается
в доказательстве, а другое требует доказательства.
Таким же образом эта предпосылка относится к ут-
н верждеппю, доказываемому | в семнадцатом предложе-
нии первой книги (®), это тоже две смежные задачи,
два противоположных утверждения, в одном пз ко-
торых говорится: «всякие два угла, являющиеся
углами треугольника, меньше двух прямых», а в
другом говорится: «если два угла меньше двух пря-
мых, они являются двумя углами треугольника».
Как может кто-нибудь счесть их принадлежащими
к двум разным наукам или отнести их к двум про-
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
485
тивоиоложным дисциплинам? II это в то время, когда
автор «Начал» заботится о доказательстве того, что
гораздо более ясно, и о разъяснении того, что гораз-
до нагляднее, чем этот постулат. Таковы, например,
его слова: «всякие две стороны треугольника вместе
длиннее третьей» [7], его слова: «хорда, соединяющая
концы дуги окружности круга, находится внутри
его» I8], его слова: «отношения равных величин
к одной величине равны» [•] и тому подобное.
Если кто ппбудь представляет себе две [прямые)
липни, приближающиеся друг к другу по мере уда-
ления от их основания, то даже если то, что они
в копце концов встретятся, сомнительно, он все-таки
считает, что они встретятся. Это суждение основы-
вается на практике, а не на интуиции проницатель-
ного исследователя. [Утверждение о] двух линиях
основано на основах философии, о его правильности
свидетельствуют законы математики [10].
Так как непрерывные величины по своей природе
способны постоянно делиться и дробиться с сохра-
нением своей сущности I11], тот, кто утверждает
такое суждение, обязательно должен допускать такое
приближение двух величин друг к другу, которое
постоянно увеличивается, но между которыми по-
стоянно имеется уменьшающийся промежуток и ко-
торые поэтому не доходят до встречи. Отсюда ясно,
что утверждение о встрече двух приближающихся
линий не является абсолютным. Это доказывается
существованием линий, которые не встречаются при
бесконечном приближении, что имеет место у гипер-
болы и каждой пз двух [прямых] линий, пе пересе-
кающих ее [12].
Многие выдающиеся люди этой науки не смотрели
глазами справедливости в своих попытках доказать
эту [предпосылку]. В том. что я видел, я не нашел
достаточного доказательства. Напротив, каждый из
этих исследователей, придерживавшихся в своем
доказательстве различных путей, ограничивался по-
74 °®- Левиной [доказательства]. | Среди них были те, кто
заменяли ее другим постулатом, более очевидным,
486
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
таков был Абу Али ибн ал Хайсам [13], большой
знаток науки математики. Средн них были те, кто
давали ей ложное доказательство, исходя из пред-
посылки, не предшествующей ей по очевидности
и ясности, таков был ученый мира Абу-л-Фатх
Омар ал-Хайямп [14]. Среди них были и те, кто иска-
жал предпосылку, их рассуждения пе удовлетворяют
проницательного и разумного человека, таков был
достославный ал-Аббас ибн Саид ал-Джаухари Р6].
Я пе пашел слов о тех, кто в этом вопросе дошел до
конца. Поэтому для исцеления от этого недуга я счел
нужным представить полностью все то, что я нашел
в книгах, и указать на те недостатки и нелепости,
которые я обнаружил в них. Я делаю это путеводи-
телем и указателем заблуждений дтя учащихся и
представляю это во всей полноте, достойной ра-
зумных.
Что касается нон ал-Хайсама, да помилует его
Аллах, то он в своей книге, озаглавленной «Разре-
шение сомнений в книге Евклида», пользовался вме-
сто этой предпосылки другой предпосылкой, пота-
гая, что опа более наглядна для чувства п более про-
никает в душу, доказательство же правильности
этого постулата вместе с родственными ему [утверж-
дениями] помещено в другой его книге, озаглавлен-
ной «Комментарии ко введениям» Р®]. Мы не нашли
ни одного экземпляра ее и знакомы с ней только по
этой книге, т. е. «Разрешению сомнений». Судя по
тому, что изложено в этой книге, в его словах прояви-
лась путаница вследствие его неискусности в иссле-
дуемой нм здесь науке — геометрии и недостаточ-
ной последовательности при изучении основ науки.
В своих словах он не уберегся от кругового дока-
зательства: при определении параллельности линий
он допускает движение перпендикуляра, восстав-
ленного к прямой линии, вдоль линии, к которой
восставлен перпендикуляр, причем движением его
другого конца образуется линия, параллельная
первой [и]. Далее он переходит к доказательству
спорной предпосылки, где он заменяет то, что неоо-
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
487
7S
ходнмо, на то, что требуется, т. е. на это утвержде-
ние, | хотя он и говорит, что его доказательство
правильное. Его доказательство основано па исполь-
зовании движения, что при естественном подразде-
лении объектов математики приводит к путанице [18];
это показывает отсутствие его искусности в этих
вещах. В его комментариях я видел, что в доказа-
тельстве некоторых постулатов он довольствуется
восставлением перпендикуляров к каждой линии,
другие же научные задачи он без необходимости сво-
дит к принципам; все это указывает на отсутствие его
искусности в пауке доказательства и основах наук.
Что же касается предпосылки, которая, по его
мнению, ботее наглядна для чувства и более прони-
кает в душу, чем этот постулат, то он пользовался
ей в тех местах, где в Е А
нужно пользоваться ---------------------------
этим постулатом. Она
состоит в том, что
если две прямые ли- С
нии пересекаются, #
они не могут быть рис. р
параллельны одной
прямой линии. Что касается способа, которым он
использовал ее вместо этого постулата, то в двадцать
девятом предложении, являющемся первым предло-
жением, нуждающимся в ней, говорилось: если
линии АВ и CD параллельны и на них падает [линия]
EG, то накрестлежащне углы AEG и EGD равны.
Если не так, то построим в точке G на прямой EG
угол EGH, равный углу AEG, как доказано в двад-
цать третьем [предложении] [1в], и продолжим GH
в обе стороны. Тогда АВ и GH параллельны по дока-
занному в двадцать седьмом [предложении] [201-
Поэтому возможны пересекающиеся линии, необхо-
димо параллельные линии АВ, а это нелепо. Следо-
вательно, накрестлежащне углы AEG и EGD
равны Is1].
По этому примеру [оп поступает] и в других
случаях.
488
НЛСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
Необходимо знать сущность этой предпосылки
так как знание, что прямые параллельны, не мо;кет
предшествовать разделам о необходимых свойствах
и существенных качествах параллельности. [Парал-
лельные линии это такие две прямые линии, которые
ие пересекутся!, если мы предположим, что они
продолжены в обе стороны до бесконечности. Из
этого: расстояния, находящиеся между ними [2г],
равны друг другу. Из этого: перпендикуляр, опу-
щенным на некоторые из них, опущен и на все,
л точно так же линии, пересекающие некоторые из
них, пересекают все. Из них: два иакрестлежащие
угла, образующихся при падении на них линии,
равны, внутренний [угол] равен внешнему [соот-
ветственному], внутренние [углы] вместе раины
И ос. [двум прямым и так далее. Таковы эти свойства
и качества.
После того как автор «Начал» рассмотрел эти
свойства, оп нашел, что надо иметь в уме все эти
свойства, но общепризнанным должно быть самое
известное свойство. Поэтому первое из них, т. е.
невозможность встречи в предположении их про-
должения до бесконечности, оп сделал во введении
своей книги определением их названия р3], а для
других свойств, в которых ои нуждался при дока-
зательстве научных задач, оп привел в своих книгах
предложения. Что касается того свойства, которое,
как мы видели, принято комментатором за определе-
ние названия [параллельных], то автор «Начал»
доказал его в тридцать первом предложении [''*],
после изложения всех остальных существенных
свойств и качеств, чтобы завершить нм изложение
всего этого. Таким образом, под параллельностью
линий в этом искусстве понимается невозможность
их встречи при продолжении. Это ясно и из его слов:
«две параллельные липни не параллельны другой
липни, а обязательно будут пересекать ее». [Ибн ал-
Хайсам же в своем доказательстве] сомнительного
постулата для большей наглядности предполагает,
что все расстояния [между линиями] равны, чем он
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
489
вводит в заблуждение относительно смысла назва-
ния «параллельный» и допускает произвол. Это было
еще не очевидно и доказано в книге «Начал» [только]
после знакомства с тридцать третьим предложе-
нием I25]. Поэтому, нуждаясь в указанной аксиоме,
оп нуждается в изменении определения параллель-
ных и в применении движущегося перпендикуляра,
восставленного па линии и постоянно сохраняющего
перпендикулярность к ней. Это — не определение
параллельности, хотя автор «Начал» и указывал, что
две линии, не пересекающиеся с третьей, не пересе-
каются и между собой и находятся па равных
расстояниях от этой линии и, если бы одпа нз них на-
ходилась не па равных расстояниях от нее, они пере-
секались бы с какой-либо стороны. Поэтому оп [стал
применять как определение] это утверждение о трех
76 | параллельных, присоединяя к двум прямым третью.
Это определение он считал более общепризнанным,
чем тот постулат, о котором идет речь.
Что касается ал-Хайями, да по шлует его Аллах,
то ои в первой книге трактата, озаглавленного
«Комментарии к трудностям во введениях книги
Евклида» [вв], привел доказательство требуемого
постулата в восьми предложениях и указал, что он
поместил это в книгу «Начал» после двадцать вось-
мого предложения I27]. Мы докажем это его словами,
а затем я укажу места изъянов, имеющихся у ис-
следователя, если этого захочет всевышний Ал-
лах [28].
Он сказал: I и р е д л о ж е и и е, т. е. XXIX
[предложение! I книги «Начал». Дана [прямая!
линия АВ. Проведем [линию] АС перпендикулярно
АВ и построим [линию] BD, перпендикулярную
АВ и равную линии АС. Они параллельны, как
показал Евклпд в XXVIII предложении [2в]. Со-
единим CD. Я утверждаю, что угол ACD равен углу
BDIC].
Доказательство. Соединим СВ и AD.
Тогда, так как линпя АС равна BD, АВ общая,
а углы А и В прямые, основания AD и СВ равны
490
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
и другие углы равны другим углам. Поэтому углы
ЕАВ и ЕВА равны, линии АЕ и ЕВ равны и остав-
равны и (угол] АСВ равен [углу]
ADB, поэтому углы ACD и CBD
равны. Это и есть то, что мы хоте-
ли доказать.
II предложение, т. е.
XXX «Начал». Вернемся к фи-
гуре ABCD, разделим АВ попо-
лам в Е и восставим перпенди-
куляр EG к АВ. Я утверждаю,
что CG равна GD и EG перпенди-
кулярна к CD.
Доказател ьство. Со-
единим DE и ЕС. Так как линия
шиеся СЕ и ED
общая и два угла
Рис. 3.
АС равна BD, АЕ равна ЕВ и углы А и В прямые, то
основанияСТ) и ED равны и углы АЕС и BED равны.
Поэтому и оставшиеся [углы] DEG и GE [С] равны.
Так как линия СЕ равна ED, EG
равны, треугольник [CEG равен
треугольнику GED] и соответст-
венные остальные углы и стороны
равны. Поэтому CG равна GD и
угол CGE равен углу DGE, сле-
довательно, они прямые. Это и
есть то, что мы хотели доказать.
III предложение, т. е.
XXXI «Начал». Вернемся к фи-
гуре ABCD. Я утверждаю, что
углы ACD и BDC прямые.
Доказательство. Разделим АВ пополам
76 об.
в Е и восставим перпендикуляр EG, продолжим его
в его направлении и отложим GK, равную GE,
и проведем HKF перпендикулярно к EK. I Продол-
жим АС и BD, тогда они пересекут HKF в Н и /Д30!-
Соедипим СК и DK. Так как линия CG равна GD,
a GK общая и является перпендикуляром, то основа-
ния СК и KD равны и углы GCK и GDK равны.
Поэтому оставшийся угол ИСК равен углу KDF
и углы CKG и GKD равны. Так как линия СК равна
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
491
KD, то СН равна DF, НК равна KF и углы СНК
и DFK. равны.
Теперь мы утверждаем, что углы ACD и BDC
прямые. [Если это так,] это истинно поневоле.
Если же онн пе прямые, каждый нз них меньше
прямого или больше его.
Пусть сначала опи меньше прямого. Если мы на-
ложим плоскую фигуру FC на плоскую фигуру СВ,
то GK наложится на
GE, линия HF — на
АВ, причем линия
HF равна линии NS,
так как угол HCG
больше угла ACGit
линия HF больше
АВ. Точно так же,
если эти две линии
1СН и DF] продол-
жать до бесконечно-
сти, каждая из сое-
диняющих их линий
в порядке последо-
вательности боль-
ше, чем другая. По-
этому линии АС и
BD расходятся. Точ-
но так же, если
продолжать АС п BD в их
направлении в другую сторону, они также бу-
дут расходиться, [что доказывается] подобно
этому доказательству, так как положения по обе
стороны совпадают. Поэтому две прямые липни
преесекают прямую линию под прямыми углами,
а затем расстояние между ними по обе стороны
от этой линии увеличивается. Но это в силу
аксиомы]31] нелепо, если представить себе прями-
зну. Поэтому между этими линиями имеется [опре-
деленное] расстояние. Это — пз того, что рассма-
тривалось философом.
Если же каждый из этих углов больше прямого,
то при наложении линия HF равна LM, которая
492
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
меньше АВ, так как все соединяющие линии в поряд-
ке последовательности [меньше друг друга! и эти
две линии сходятся. При продолжении в другую
сторону они также сходятся в силу совпадения поло-
жений по обе стороны при наложении. Зто — из
того, что ты можешь попять, если немного подумаешь.
Но это в силу того, что мы указали, опять нелепо.
Следовательно, эти дне прямые [ЛВ и F1I] не
могут превосходить друг друга и, значит, они равны.
Так как они равны, два угла равны и, следовательно,
они прямые.
Затем после пространной речи, которую он доба-
вил к комментариям [321, оп сказал следующее:
л расстояние между всякими двумя
I I линиями это линия, соединяющая
I_________I их таким образом, что ннутрен-
/ 1 пне углы равны. Например, если
| I даны две прямые липни АВ и CD
I I на | плоскости и предположим па
I_________I АВ точку Е, то расстояние между
Ч I Е и линией CD — линия EG и
/ I угол Е равен углу [G], Что ка-
I I сается того, как провести нз точ-
ки Е к [липни] CD такую линию,
Рис. 5. чтобы внутренние углы были рав-
ны, то это дело геометра, а не
философа, занимающегося доказательством прин-
ципов геометрии; что же касается того, можно ли
провести [линию таким образом, это дело автора
принципов [33]. Разъясним это следующим образом:
можно провести] [34] пз Е к CD бесконечно много
линий с бесконечно многими углами с обеих сторон
этих двух линии, отличающимися тем, что [одни]
меньше, [а другие] больше [угла Е). То, что здесь
затрудняет, а именно различие с обеих сторон между
меньшими и большими, вместе с тем, что величины
делимы [33], приводит к тому, что необходимо воз-
можно и то, что имеют место и равные углы, как
показано па первом чертеже. Отложим равные ЕН
и GF и соединим HF. Тогда угол [//] равен [углу! F
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
493
и линия HF есть расстояние. Поэтому, если НЕ
больше линии EG, две линии расходятся. Отложим
равные НК и FL и соединим KL. Это — расстояние.
Поэтому, если KL меньше HF, две линии сходятся,
но раньше они расходились, а это нелепо в силу
аксиомы I3®). То же необходимо будет и если они
равны. Если же HF меньше EG, две линии АЕ и CG
сходятся. В силу доказанного нами KL будет меньше
HF, так как иначе будет нелепость в силу аксиомы,
ибо было доказано, что если две прямые линии на
плоскости сходятся в одном направлении, они не
могут расходиться в этом направлении, и то же имеет
место, если опи расходятся, но это доказательство
не геометрическое, а философское!37). Этот пример—
для того, чтобы доказательство было более нагляд-
ным для того, кто не обладает острой интуи-
цией.
Некоторые говорят, что расстояние между точ-
кой на линии и другой линией — перпендикуляр,
опущенный из этой точки на линию. Это неправильно,
так как возможно, что перпендикуляр, опущенный
из места падения первого перпендикуляра па пер-
вую линию, не равен первому перпендикуляру и рас-
стояние от точки до ее соответственной пе совпадает
с расстоянием от соответственной точки до первой
линии, а зто нелепо. Если же внутренние углы равны,
т. е. наклон обеих липин к соединительной липин
одни и тот же, опа действительно является рас-
стоянием между ними, пе иначе. Таково мое мнение:
не иначе. Я думаю, что древние геометры поэтому
поместили во введении утверждение, требующее
доказательства.
77 оо. Так как доказано, что если дана | прямая линия,
в обоих концах которой восставлены равные перпен-
дикуляры, и если на них отложены какие-нибудь
равные липни, то расстояние между этими линиями
перпендикулярно к ним и эти расстояния равны, так
чтоэти две линии не сходятся и ие расходятся. Будем
называть два таких перпендикуляра эквидистант-
ными.
494
Насир ад-дин ат-тусй
Рис. 6.
IV предложепие, т. е. XXXII «Начал».
(Дана] прямоугольная плоская фигура ABCD
Я утверждаю, что АВ равна CD, а А С рав
на BD.
Доказательство. Если АВ не равна CD,
то одна пз ппх больше. Пусть CD — большая пз них.'
Отложим DE, равную АВ, и
соединим АЕ. Тогда угол ВАЕ
будет равен углу ОЕЫ]. По
(угол] ВАЕ меньше прямого,
а (угол] DEA больше прямо-
го, так как он—внешний угол
треугольника ЛЕС и больше
прямого угла С. Но это не-
лепо. Поэтому линия АВ рав-
на CD, а это и есть то, что мы
хотели доказать.
V предложение, т. е. XXXIII «Начал».
Линии АВ и CD эквидистантны. Я утверждаю, что
всякая линия, перпендикулярная к одном из пих,
перпендикулярна к другой.
Доказательство. Опу-
стим пз точки Е перпендикуляр
на CD, это будет EG. Я ут-
верждаю, что угол Е прямом.
Доказательство. Ли-
нии АВ и CD необходимо обла-
дают перпендикуляром к ним
обеим, как мы показали, это
BD. Если линия ВЕ равна DG,
то угол Е прямой. Если же
одна из этих линий больше дру-
гой, отложим на большей рав-
ную меныпей. (Пусть] это ВН,
которую мы отложили на ВЕ. Тогда прямой угол
Н равен углу HGD, но он меньше прямого, что ме-
лепо. Поэтому линия ВЕ равна DG и угол Е пря-
мой. Это и есть то, что мы хоте и доказать.
VI п р е д л о ж е н и е, т. е. XXXIV «Начал»-
Всякие две линии, параллельные по определе
Рис. 7.
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
495
78
нию Евклида, т. е. ие пересекающиеся, без всякого
другого условия, эквидистантны.
Пример. [Линии] АВ и CD параллельны.
Тогда они эквидистантны.
Доказательство. Отметим точку Е [на
и проведем [линию] EG, перпендикулярную
к CG. Если угол Е прямой,
эти две липин эквидистантны. с
Если же он не прямом, проведем
[линию] НЕ перпендикулярно
к EG, тогда HEF и CGD будут
эквидистантны. Линии ВЕА и G
FEH пересекаются, и рассто-
яние между ЕН и ЕА увеличи-
вается до бесконечности, в то
время как расстояние между j)
ЕН и CD одно и то же до бес-
конечности, т. е. ни увеличи-
вается и ни уменьшается. По-
fl
Рис. 8.
этому несомненно, что расстояние между ЕА и ЕН
станет больше EG, т. е. расстояния двух эквиди-
стантных прямых. Следовательно, линия ЕА пере-
Рис. 9.
женпе I книги. Если
сечет CD, но, так как
мы предполагали, что
они параллельны, это
нелепо. Поэтому угол |
AEG ие больше прямого
и пе меньше его и, сле-
довательно, он прямой,
и липин АВ и CD экви-
дистантны. Это и есть то,
что мы хотели доказать.
VII п р е д л о ж е-
н и е, т. е. XXXV «На-
чал». Это предложение
заменяет XXIX предло-
прямая линия падает на две
параллельные линии, то накрестлежащие углы равны,
внешппй угол равен [соответственному] внутренне-
му, а [внутренние] углы [вместе равны] двум прямым.
496
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
Пример. Липпи Л В и CD параллельны, на них
падает линия EGEL. Я утверждаю, что два пакрест-
лежащих угла KGD и AEL равны, два внутренних
угла AEG и CGE [вместе] равны двум прямым,
а внешний угол CGK равен внутреннему углу
AEG.
Доказательство. Опустим из точки Е
перпендикуляр EF на CD. Он перпендикулярен
и к АВ, так как эти липни эквидистантны. Опустим
из G перпендикуляр иа АВ, это будет GH. Поэтому
плоская фигура EFGH прямоугольная и ее противо-
положные стороны равны. Поэтому угол IIEG равен
[углу] EGF, а они иакрестлежащпе. [Угол] EGF
равен [углу] CGK, [поэтому угол CGK\ равен [углу]
AEG, внутренний—внешнему. [Угол] EGF вместе
с [углом] EGC равен двум прямым, поэтому угол
AEG вместе с [углом] EGC [равны] двум прямым.
Это п есть то, что мы хотели доказать.
Мы доказали утверждения о параллельных, не
нуждаясь в той требующей доказательства предпо-
сылке, которую Евклид поме-
стил во введении. Вот ее дока-
зательство:
VIII предложен и е,
т. е. XXXVI «Начал». Линия
EG прямая, от нее проведены
две линии ЕА п GC [так, что]
углы AEG и CGE [вместе] мень-
ше двух прямых. Я утверждаю,
что они пересекутся со сторо-
ны А.
Доказательство. Про-
должим этп две липни в их
направлении. [Пусть] угол AEG мепыне [угла]
EGD. Построим угол HEG, равный [углу] EGD.
[Тогда две липин HEF и CGD\ параллельны, как
доказал Евклид в XXVII предложении I кппгп.
Линия ЕА пересекает [линию] HF, следовательно,
она пересечет лпппю CD. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
497
Бот истинное доказательство утверждений о па-
раллельных в соответствии с его смыслом и целью.
Следует добавить зтп предложения в книгу «Начал»
в порядке, указанном здесь. Мы привели слова
ал-Хапямп.
Я говорю: пе скрыто от проницательного и вду-
мывающегося в эти слова, что все, что оп говорит до
конца пятого предложения, правильно и несомненно,
за исключением его слов в третьем предложении:
«Продолжим АС и BD, тогда опи пересекут HKF
в II и F»: это не доказано в том, что он изложил I38].
Кроме того, в конце третьего предложения он при-
78on. водит | для большей ясности слова, доказывающие
возможность проведения из точки одной из двух
данных линий к другой такой линии, чтобы внутрен-
ние углы были равны, способом философа, а не гео-
метра. По его словам, если можно провести из Е
к CD бесконечно много линии с бесконечно многими
углами с обеих сторон этих двух липни, то необхо-
димо возможно и равенство. Но что известно ему
о существовании непрерывных углов между не рав-
ными не с философской, а с геометрической точки
зрения? Если допустить, что известно существова-
ние некоторых углов, мепыпих, н некоторых углов,
больших угла прп точке Е, с геометрической точки
зрения, то откуда известно, что между этими двумя
углами, мепыпим и большим, существует равенство?
Предположение о таком угле должно быть доказано.
На других чертежах такое утверждение доказывает-
ся посредством доказательства необходимости суще-
ствования некоторого угла. Так происходит, если
проводить неравные линии из одной точки окружно-
сти круга к другим точкам той же окружности,
тогда круг делится каждой пз этих линий па два сег-
мента. Углы, ограниченные дугой окружности и эти-
ми прямыми линиями, меньше прямого, когда сег-
менты меньше полукруга, и больше прямого, когда
сегменты больше полукруга, а между этими больши-
ми и меньшими имеются равные, когда [угол]
прямой, как доказано в тридцатом предложения
32 Истор.-матем. псслсд., вып. XIII
498
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
третьей книги «Начал» [3BJ. Точно так же и здесь
между [большими и] меньшими имеются равные
(углы]. Полученное доказательство необходимости
(существования! относится к некоторым прямоли-
нейным углам, но не годится для некоторых углов,
ограниченных прямыми и круглыми линиями I40].
Как получи.I это утверждение автор принципов?
Оп сказал: «Некоторые говорят, что расстояние
между точкой нА линии и другой линией — перпен-
дикуляр, опущенный из точки на линию». Я утвер-
78 ждаю, что в этом вопросе | действительная нелепость.
Это хорошо известно людям этого искусства. Дей-
ствительно нелепо (определять! расстояние от точки
до линии иначе. Я утверждаю, что расстояние от
линии до линии — кратчайшая линия, проведенная
от одной к другой, т. е. указанный перпендикуляр.
Что же касается хорошо известного противоречия,
то перпендикуляр определяет расстояние между опре-
деленной точкой п определенной линией. Именно
так указал автор «Начал» во введении к третьей кни-
ге, определяя расстояние хорды от центра и называя
расстоянием этот перпендикуляр, а также определяя
различно расстояний через различие перпендику-
ляров!*1]. сказал: «возможно, что перпендикуляр,
опущенный пз места падения первого перпендикуляра
на первую лппию, не равен первому перпендикуля-
ру». Далее он сказал: «и расстояние от точки до се
соответственной не совпадает с расстоянием от соот-
ветственной точки до первой точки», т. е. он сказал,
что расстояние от точки до липни нс совпадает с рас-
стоянием другой точки другой липни (от первой
линии] и что нс следует смешивать расстояние от
линии до липни и расстояние от точки до линии:
расстояние от всякой линии до линии — не перпен-
дикуляр, опущенный из одном на другую, а расстоя-
ние от всякой точки до липни, по его словам, пер-
пендикуляр, [опущенный! из точки на нес. Далее
в [моем! доказательстве я применю расстояние от
точки до второй точки, расстояние от второй до треть-
ей точки, причем увеличение расстояний придет
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
499
в противоречие с уменьшенном расстоянии и полу-
чится то, что мы хотели доказать Р2].
В шестом предложении оп применил предпосылку
о том, что если две линии пересекаются, расстояние
между пересекающимися линиями увеличивается
до бесконечности, и, так как расстояние между
дв5мя эквидистантными [линиями] одно и то же,
расстояние между пересекающимися линиями станет
больше этого одного расстояния, и линия, пересекаю-
щая одну из двух эквидистантных линий, пересе-
кает обе эти линии. От разумного не скрыто, что это
та самая предпосылка, которую ибн ал-Хапсам по-
ставил вместо сомнительного постулата; теперь мы
78о(1_ знаем | ее сущность. Если бы он привел что-нибудь
подобное в начале доказательства постулата, дело
было бы для него гораздо легче и оп пе нуждался бы
в многословии [43].
В этом трактате я опровергну всех, кто хочет
доказать этот постулат прп помощи доказательства
такого рода, добавив следующие разъяснения. Я го-
ворю: известно, что всякая конечная величина, если
неограниченно увеличивать ее, может превзойти
любой предел, который можно предположить [сколь
угодно большим] до бесконечности. Если бы справед-
ливость этого утверждения была бы абсолютной, то,
что утверждал ал-Хайями, было бы несомненно и
сомнительный постулат был бы уже доказан без
необходимости в дальнейшем доказательстве. Однако
здесь требуется более подробное исследование, так
как это утверждение справедливо в одних случаях,
а в других — не справедливо. Так же обстоит дело
с большинством утверждений, по яв ляющихся истин-
ными предпосылками. Что же касается рубежа между
этими двумя случаями, т. е. правильностью п не-
правильностью, то такая граница [определится],
если принять во внимание размеры увеличений.
Если размеры увеличений равны, как у последова-
тельных целых чисел или у последовательных не-
четных чисел, то при таком увеличении можно ска-
зать, что утверждение о том, что увеличивающаяся
32*
500
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
величина может превзойти любой возможный предел
до бесконечности, справедливо и в нем нет сомнения.
Это утверждение следует включить в число аксиом
вследствие его крайней очевидности. Автор «Начал»
считал его тем, благодаря чему’ возможно отношение
между однородными величинами и включил его во
введение к пятой книге, где он сказал: «величины
называются имеющими отношение, если пх кратные
могут превосходить друг друга» [44]. Он использовал
его в доказательстве первого предложения десятой
книги [451, хотя оно ие включено им в число ирипцп-
С Е D в$
Рис. It.
пов или постулатов. Что же касается случая, когда
увеличение происходит па уменьшающиеся величи-
ны, то здесь увеличивающаяся величина может уве-
личиваться только до некоторого предела. Напри-
мер, если нам дана величина АВ, то предположим,
что АВ, неограниченно увеличиваясь, доходит до С
таким образом: в первый раз увеличивающаяся ве-
личина увеличивается па BD, доходя до D — сере-
80 дины ВС, | какова бы она ин была, и после первого
увеличения становится величиной AD, во второй раз
она увеличивается па DE, доходя до Е — середины
DC, в третий раз опа увеличивается до середины ЕС
и так далее. Несомненно, что размеры этих увеличе-
ний уменьшаются, так как промежуток между7 этими
пределами уменьшается. Хотя увеличения произво-
дятся бесконечно много раз, опп никогда не достиг-
нут предела, не говоря уже о том, чтобы превзойти
его. Таким образом, абсолютное распространение
указанного утверждения неправильно. Поэтому яспо,
что утверждение о том, что расстояние между пере-
секающимися [линиями] станет больше расстояния
между эквидистантными [линиями], будет доказало
только, если будут приняты во внимание размеры
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
50t
увеличении, необходимые для того, чтобы они прев-
зошли друг друга, по этот путь длинен так же, как
и первый путь. Тем самым положение с шестым
из предложений ясно.
Седьмое предложение показывает, что утвержде-
ния о параллельных линиях ие нуждаются в пред-
посылке, помещающейся во введении [к «Началам»!.
В восьмом предложении эта предпосылка доказыва-
лась. Это доказательство опирается па (другую]
предпосылку, сущность которой мы теперь знаем [4в].
Что касается ал-Джаухарп, да помилует его
Аллах, то ему принадлежит «Усовершенствование
книги „Начала"» [47], где он внес исправления во все
предпосылки и предложения книги. В его словах по
этому вопросу имелся принцип: если для всяких двух
различных линий от более длинной отнимать поло-
вину [короткой], затем отнимать половину половины
много раз, то число раз может быть таким, что от
половины более длинной останется [линия] короче
более короткой линии!48]. Первое из его шести пред-
ложений — двадцать восьмое [предложение I книги
«Начал»]. В первом пз предложений он изложил то,
что автор «Начал» изложил в двадцать седьмом
[предложении], и добавил к этому [еще одно утверж-
дение], последнее из этих предложений — тридцать
третье. Другое добавленное им предложение — двад-
80 ос. цать третье предложение «Начал», | где указывается,
что если из всякой точки провести в разные стороны
три прямые линии, то три полученных угла вместе
равны четырем прямым. Шесть упомянутых предло-
жений добавляются к «Началам» после двадцать седь-
мого предложения
Он сказал: XXVIII предложение «На-
чал» в его экземпляре, содержащем шесть упомяну-
тых предложений. Если прямая линия падает на
Две прямые липни, например линия ИГ падает на
линии АВ и CD, и при этом образуются равные углы
AHF и HFD, то линии АВ и CD параллельны, а если
они параллельны, то расстояние каждой точки линии
АВ от соответственной точки линии CD одно и то же,
502
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
т..е. расстояние от первой точки липин /1В до первой
точки линии CD— как расстояние [от второй точки
линии АВ до} второй точки линии CD, и таковы же
расстояния от третьей точки до третьей и от четвертой
точки до четвертой.
Указанные углы — накрестлежащне углы ли-
ний ЯВ и CD. Если продолжить их в обе стороны,
опн пе пересекутся, так как если они пересекутся
в точке К, то угол AHF, внешний угол треугольника
HFK, равен внутреннему углу HFK, а это нелепо,
как доказано в XVI предложении [4В]. Точно так же
доказывается, что они пе пересекаются и с другой
стороны. Поэтому линии АВ и CD параллельны.
Я утверждаю, что расстояние от каждой точки
липни АВ до соответствующей точки линии CD — од-
но и то же расстояние.
Доказательство. Углы AHF и FHB
[вместе! равны двум прямым, как доказано в XIII
предложении I50}. Углы CFH и IIFD также [вместе!
равны двум прямым. Угол AHF по предположению
равен [углу Н\ FD. Поэтому угол FHB равен }гту
CF1I Отложим равные [линии] FQ и 110 и проведем
линии QH и OF. Тогда липин ОН и HF равны ли-
ниям QF и FH и угол FHO но предположению равен
углу QFH. Поэтому основание FO равно основанию
HQ и всякий угол равен соответствующему, как
доказано в 1\ предложении I51]. Поэтому угол
HFO равен углу FHQ. Отложим [равные линии!
HL и FX и проведем линии ХО л LQ. Тогда линии
LH и HQ равны линиям XF и FO, а мы доказали, что
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
503
угол LHQ равен углу XFO. Поэтому основание LQ
равно основанию ХО. Так как ОН откладывалась
равной FQ, a HL— равной XF, то OL равна XQ.
Поэтому расстояние от точки L до соответствующей
точки | Q — такое ясе, как от точки О до соответ-
ствующей ей точки X. По этому образцу доказывается,
что расстояние от каждой точки до соответствующей
81
ей точки — такое же, как от другой точки до
ветствующей ей точки. Это и есть
то, что мы хотели доказать!52].
XXIX предложение.
Если в каждом треугольнике две
из его сторон разделены пополам
н [середины] соединены линией,
то сторона треугольника равна
двум этим линиям.
Пример. В треугольнике
АВС каждая из сторон АВ и АС
разделена пополам в точках Е и G
и проведена линия EG. Я утвер-
ждаю, что ВС равна двум EG.
Доказательство. Построим в точке
соот-
1’ис. 13.
С
при липни АС угол, равный углу Л, как доказано
в XXIII предложении, это угол ACF. Тогда линии АВ
и С [F] параллельны, как доказано в XXVIII пред-
ложении. Продолжим линию [E]G в ее направлении
до точки D. Тогда углы AGE и DGC — вертикаль-
ные прп пересечении линий АС и ED, поэтому
они равны, как доказано в XV предложении [53],
угол ACF, как известно, равен углуЛ.н полученная
прп делении пополам сторона AG равна стороне GC.
Поэтому треугольники АСЕ и IGICD равны и EG
равна GD, CD равна ЕА, а угол AEG равен углу
GDC, как доказано в XXVI предложении I54].
Так как GE отложена на ED, ED равна двум EG. Угол
AEG был равен углу GDC', так как эти углы накрест-
леясащне, расстояния от точек линии ЕВ до [соот-
ветственных] точек липни CD равны, как мы дока-
зали в предыдущем предложении. Поэтому ED
равна ВС. Но ED была равна двум EG, поэтому и
504
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
ВС равна двум EG. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
XXX предложение. В каждом угле мож-
но провести бесконечно много оснований.
П р 11 м е р. Дан произвольный угол ЛВС.
Я утверждаю, что у угла АВС имеется бесконечно
много оснований.
Доказательство. Продолжим линию АВ
в ее направлении до точки Е. Тогда углы АВС и
СВЕ [вместе] равны двум прямым углам, как дока-
зано в XIII предложении. Поэтому угол АВС меньше
двух прямых на угол СВЕ. Опишем из центра В
па расстоянии BD полукруг GDK. Точки G и D—
на дуге, поэтому линия, соединяющая GD, —основа-
ние угла АВС. Опишем также из центра В па рас-
стоянии ВХ полукруг ЕХН. Точки Е и X — на дуге,
поэтому линия, соединяющая ЕХ.— основание jr.ia
ЛВС- По этому образцу проводится бесконечно много
оснований угла ЛВС. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
XXXI н р е д л о ж е и и е. Разделим произ-
вольный угол па две части линией и проведем
произвольное основание, так что образуется тре-
угольник.
Отложим на каждой из сторон данного угла
линию, равную стороне полученного треугольника,
। об. и соединим | концы этих линий. Тогда эта линяя
TP4KTVT о параллельных линиях
505
Рис. 15.
отсекает от линии, делящей данный угол, две линии,
равные линии, проведенной из данного угла к осно-
ванию треугольника.
П р и м е р. Дан произвольный угол, разделен-
ный на две части линией BD. Проведем произвольное
основание EG; проведение его возможно, как мы
доказали и предыдущем предложении. Отложпм ЕН,
равную EG, и GF, равную
BG, и проведем линию HTF.
fl утверждаю, что ВХ рав-
на XT.
Доказательство.
Если она не равна ей, то она
короче или длиннее ее. Пусть
сначала XT длиннее ВХ. От-
ложим ХК, равную ХВ, и
проведем линии НК н KF.
Так как ВЕН равна двум
ЕВ, а ВХ равна ХК, НК
равна двум ЕХ, как дока-
зано в [XXIX предложении].
Точно так же доказывается,
что KF равна двум XG. По-
этому линии НК и KF вместе
равпы двум линиям EG. Так как
a GF равна GB, линия HTF равна удвоенной липни
EG. Следовательно, сторона HTF треугольника НКТ
равна двум сторонам НК н KF вместе, а это нелепо
в силу доказанного в XX предложении]65]. Точно
так же, [если XT короче ВХ и мы отложпм XL,
равную ХВ, н проведем линии HL и LF], сторона
HTF треугольника HLF равна двум сторонам HL
и LF вместе, а это также нелепо. Поэтому линия
HTF отсекает ВТ, равную (двум] ВХ, а это и есть
то. что мы хотели доказать.
XXXII предложение. [Разделим] про-
извольный угол линией и отметим па этой лппнн
произвольную точку, тогда [можно] провести через
эту точку в обе стороны линию, являющуюся основа-
нием данного угла [5в].
ЕН равна
ЕВ,
506
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
Пример. Дай произвольный угол АВС. Раз-
делим его линией BD и отметим на линии BD про-
извольную точку Е. Я утверждаю, что через точку Е
Iможно! провести основание данного угла АВС.
Доказательство. Продолжим линию АВ
в ее направлении в сторону настолько, сколько
нужно, опишем из центра В па расстоянии ВЕ
полукруг FKL. Тогда линия FL — диаметр круга,
а точки F и К — на дуге. Проведем линию FK—осно-
вание данного угла АВС. |Это основание отсекает
от линии, делящей угол, линию ВО.J Если мы хотим
увеличить ВО, следует взять [линию], кратную ей.
Отложим на FA [линию], равную FB, а на КС—
[линию], равную КВ, и соединим [концы этих] ли-
ний. Эта линия добавляет на BD к ВО [линию!,
равную ВО, как доказано в предыдущем предложе-
нии, а [добавляя! равное, [получим] удвоенное.
Линии ВЕ и ВО различны, поэтому если разделять
ВЕ пополам, половину пополам и таким образом
много раз по этому образцу, [можно получить]
ТРАКТАТ о параллельных линиях
507
$2 более короткую (линию], чем ВО, |как мы указы-
вали во введении к этим словам. Пусть ВХ короче
ВО и пусть это четверть BE, построим в X по обе
стороны от липни ВО (углы], равные углам FOB
и ВОК, как доказано в XXIII предложении, это
углы QXB (и BXN\. Ио углы FOB и ВОК (вместе]
равны двум прямым, как доказано в XIII предло-
жении, поэтому углы QXB (п BXN\, каждый пз
которых, как известно, равен своему соответствен-
ному, (вместе] равны двум прямым. Поэтому линии
Л ¥ и QX — в одном направлении, как доказано
в XIV предложении I57]. Углы BXN и QXH — вер-
тикальные при пересечении линий BE и Q V, поэтому
они равны, как доказано в XV (предложении].
Угол BXN, как известно, равен углу ВОК, поэтому
углы QXO и ВОК равны. Поэтому липин QN и FK
параллельны, как доказано в ХХ\П1 предложении.
Поэтому липни QN и FK не пересекаются, и, если
продолжить линии QX и XN в их направлении из
треугольников BFO и ВОК, они пересекут линии АВ
и ВС I68]. Отложим QH, равную QB, и NP, равную
BN, и проведем линию ВНР. Тогда ХН равна ХВ,
как доказано в предыдущем предложении. По НВ—
половина ЕВ. Отложим НА, равную ВВ, и РТ,
равную РВ, и проведем линию АЕТ. Тогда ЕТ равна
двум HP. Основание АТ проходит через данную точ-
ку Е. Это и есть то, что мы хотели доказать.
XXXIII предложение. Если продолжить
две липин от липин в сторону углов, меньших двух
прямых, то они пересекутся с этой стороны.
Пример. Линии А В и CD проведены от линнн
BD в сторону углов ABD и CDB, меньших двух
прямых. Я утверждаю, что если продолжить их в их
направлении, они пересекутся.
[Доказательство.] Продолжим линию
BD в ее направлении до точек Е и II и отложим BF,
равную BD, как доказано в III предложении I58].
я-об. Углы | ABD и CDB по предположению (вместе]
меньше двух прямых, а углы ABD и АВЕ [вместе
равны двум прямым. Поэтому угол АВЕ больше
508
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
угла CDB. Построим в В иа линии В А угол АВК
равный углу CDB. Тогда >глы ABD и АВК вместе
меньше двух прямых], это угол KBL. Проведем пз
точки F линию KL — основание угла KBL, как дока-
зано в XXXII предложении. Тогда угол KFB, внеш-
ний угол треугольника FBL, больше внутреннего
угла FBL, как доказано в XVI предложении. Поэто-
му построим в Л1 па линии BF угол BFO, равный углу
FBL. Угол КВА, как известно, равен углу CD В.
Поэтому углы BFO и OBF равны углам ABD и CDB,
каждый соответственному, a BF отложена равной
BD. Наложим BD на BF, равную ей, тогда угол
CDB наложится на угол OBF, равный ему, а угол
ABD наложится па угол BFO, равный ему. Поэтому
прямые ВА и DC, если продолжить их в их направ-
лении, наложатся на линии ВО и FO, пересекающие- ч
ся в точке О. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Это конец того, что сказал ал-Джаухарн по этому
вопросу.
Я говорю: он не доказал бы своих предложений,
если бы не применял рассматриваемую предпосылку.
При доказательстве первого утверждения в первом
нз этих предложений было получено, что если линия
падает на две липни и при этом образуются равные
накрестлежащне [углы], эти две линии параллельны.
По нз этого утверждения не следует, что и все
остальные линии, падающие на них, обладают, кяк
первая линия, равенством пакрестлежащнх углов.
Во втором утверждении, присоединенном к первому
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
50Я
утверждению, доказывается, что если предполо-
жить четыре точки на двух параллельных линиях,
на которые надает еще одна прямая, причем расстоя-
ния от двух точек до места падения на одной линии
равны расстояниям от двух точек до места падения
на другой липни, то расстояние между двумя точ-
ками равно расстоянию между другими двумя точ-
ками, а расстояние каждой точки от места падения
на ее линии равно расстоянию соответственной точки
от другого места падения. Например, если па липин
АВ и CD падает линия EG указанным образом и ты
предположишь четыре точки Н, F, Г, К по обе
стороны от EG, причем расстояние от Н до Е — как
расстояние от К до G, а расстояние от F до Е — как
расстояние от 1 до G, то расстояние от II до G —
как расстояние от А' до Е, расстояние от А до G —
как расстояние от I до Е, а расстояние от II до I—
з как расстояние от F | до К. Однако не необходимо,
чтобы расстояния от данных точек на одной нз линий
до соответствующих [им точек на другой линии]
были бы равны, например, чтобы расстояние от И
до I было бы равно расстоянию от А до соответствую-
щей ей точки и расстоянию от одной нз двух любых
соответственных точек до другой, и вообще не необ-
ходимо, чтобы расстояния между точками были бы
равны в соответствии с указанным свойством, так
как доказательство не содержит общей истины для
остальных точек, а пз равенств расстояний ука-
занных точек пе следует с необходимостью равенство
расстояний [всех] точек, обладающих указанным
свойством, хотя такое равенство и возможно. Точно
так же нз равенства двух хорд в круге, находящихся
510
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
на равных расстояниях от центра, не следует с
необходимостью равенство двух других хорд в этом
круге. Далее, во втором предложении требуется
доказать равенство линий ED и ВС, одна из кото-
рых — основание одного пз (треугольников], а дру-
гая — удвоенная сторона Iвторого!. Это равенство
основано па упомянутом доказательстве предыдуще-
го предлоясепня, и оно не выполняется, если то«ки
Е, В, С, D пе обладают свой-
ством, указанным в доказа-
тельстве, так как линия, па-
дающая па липпн АВ и FC
таким образом, что пакрест-
лежащне углы равны, может
быть и линией ED, и тогда
Е и D—две соответственные
точки, а может быть линией
ВС, и тогда С п В — две
соответственные точки. Равен-
ство расстояний меясду этими точками не следует
из этого доказательства с необходимостью, так как
равенство расстояний от каждой точки до соответ-
ствующей ей пе доказано, рассуждение не явтяется
общим, не распространяется па все точки и пе спра-
ведливо для любых двух точек. Эту ошибку рассма-
тривал автор «Логики» [в0] в своей кпиге, озаглав-
ленной «Софистика» Iе1!, в главе о принятии во вни-
мание обстоятельств, где излагаются причины оши-
бок из-за непринятия во внимание условий. Поэтому
взоо. второе утверждение неверно. | Неверно и утвержде-
ние четвертого предложения и то, что следует за ним,
так как все это опирается на него.
Что же касается предпосылки, па которой осно-
вано пятое предложение, в которой утверждается
необходимость того, что мепыпая из двух соотно-
сящихся величин одного рода превзойдет половины
большей, то это — та предпосылка, которую он
включил во введение к первой книге для увеличения
ясности и усиления доказательности; речь об этом
уже была.
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
511
Это — то, что я хотел предпослать (моему дока-
зательству!. Впоследствии я намерен прибавить к
этому слова других [ученых!, и, если поможет все-
вышний Аллах, в будущем я напишу более полный
трактат, исчерпывающий вопрос о параллельных
линиях и исцелении сомнений, возникающих по их
поводу. Это изложение будет памяткой для меня
и всех тех, кто после меня пойдет моим путем, кто
ищет прямого пути, стремясь к истине. Аллах —луч-
ший помощник, содействую-
щий в доказательство тре- д
буемого. /
Что касается путей, ко- /
торыми я исследовал это /
после изучения слов этих ------L------------
ученых, то мы изложим нашу В £ в с
речь в семи предложениях, Рис. 20.
два пз которых взяты из
предложений ал-Хайями — это второе п четвертое
из этих предложений, являющиеся первым и чет-
вертым из его предложений. Пусть начало книги
«Начала» — двадцать восемь предложений первой
книги, в которых нет сомнительного постулата,
остаются без изменения, а затем добавим эти пред-
ложения Iе2!.
I предложение. Кратчайшая из линий,
проведенных нз точки ко всякой линии, концы кото-
рой не ограничены, называемая расстоянием от
этой точки до этой липин, есть перпендикуляр, опу-
щенный нз точки на линию.
П р и м е р. Линия АВ — перпендикуляр, опу-
щенный нз точки А на линию CD. Я утверждаю, что
она — кратчайшая пз линий, которые можно прове-
сти из точки к линии.
Доказательство. Проведем линию АЕ
из точки к линии. Получится треугольник АЕВ.
Угол В в этом треугольнике прямой, поэтому угол Е
меньше прямого, так как два угла треугольника
меньше двух прямых, как доказано в Х\11 пред-
ложении. Поэтому АВ, стягивающая меньший угол
512
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
ЛЕВ, короче, чем АЕ, стягивающая больший угол
как доказано в XIX предложении I83J. Это относится
84 ко всем линиям, которые можно провести нз точки Д
к.ниши СЕ |. Поэтому АВ — кратчайшая нз липни,
проведенных из точки к данной линии. Она назы-
вается расстоянием между ними в соответствии
с тем, что говорил автор «Начал» во введении к третьей
книге. Это и есть то, что мы хотели доказать.
II предложение. Если восставить два
равных перпендикуляра к прямой липни и [соеди-
р А нить] их концы прямой линией,
то образуемые ими углы равны.
П р и м е р. Равные пер-
пендикуляры АВ и CD восстав-
лены к линии BD, их концы
соединены линией АС, при этом
образуются углы ВАС и DCA.
В Я утверждаю, что они равны.
Доказательство.
Проведем липин AD и ВС, они
пересекутся в точке Е. Тогда
стороны АВ и BD треугольника ABD равны сторо-
нам CD и DB треугольника CDB. Поэтому эти два
треугольника равны, так как они прямоугольные
треугольники. Следовательно, основания AD и СВ
равны и углы BAD и DCB и углы ADB и CBD также
равны в силу IV предложения. Поэтому боковые
стороны ВЕ и DE [равнобедренного треугольника
BED\ равны в силу [VI предложения [м|. Поэтому
равны и стороны АЕ п СЕ и углы САЕ и ЕСА рав-
нобедренного треугольника АЕС в силу] V пред-
ложения Iе5]. Поэтому весь угол ВАС равен всему
углу DCA. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Очевидным следствием XXV7! II предложения яв-
ляется то, что эти два перпендикуляра параллельны.
III предложение. Если восставить два
равных перпендикуляра и [соединить] их концы
прямой линией, то образуемые ими углы прямые.
При м е р. Равные перпендикуляры АВ и CD
восставлены к линии BD, их концы соединены
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
513
линией АС. Я утверждаю, что равные углы ВАС
и DCA прямые.
Доказательство. Если они не прямые,
то они тупые или острые. Предположим сначала,
что они тупые, и восставим на первом чертеже в точке
А перпендикуляр АЕ к липни АС, как доказано
в XI предложении IoeJ. Он необходимо попадет
между линиями АВ и CD, и угол AED, внешний
угол прямоугольного треугольника АВЕ, больше
внутреннего прямого угла, как доказано в XVI
предложении. IIobtomj он также тупой. Далее вос-
ставим в точке Е перпендикуляр EG к линии BD.
Он попадет между линиями АЕ и CD, и угол EGC,
внешний угол треугольника EAG, больпк угла А —
внутреннего прямого угла. Поэтому он также тупой.
Далее восставим в точке G перпендикуляр G1I снова
84 об. к липин АС и в этом же порядке | будем восставлять
перпендикуляры и далее без конца. Тогда перпенди-
куляры, проведенные из точек, расположенных на
липни АС под прямым углом к линии BD,— пер-
пендикуляры АВ, GE, ЕН последовательно увеличи-
ваются по длине, и самый короткий из них — пер-
пендикуляр АВ, стягивающий острый угол АЕВ
в треугольнике АВЕ, поэтому он короче АЕ, стяги-
вающей прямой угол АВЕ, как доказано в XIX пред-
ложении. АЕ, стягивающая острый угол AGE
в треугольнике AEG, короче GE, стягивающей пря-
мой угол EAG. Поэтому ЛЯ также короче GE. Таким
же образом доказывается, что GE короче и F1I, a FII—
33 Истор.-матем. псслсд., вып. XIII
514
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
того, что следует за ней. Таким образом, те из этих
перпендикуляров, которые ближе к АВ, будут короче
и расстояния между точками, являющимися основа-
ниями перпендикуляров, опущенных нз точек линии
АС на линию BJD, последовательно увеличиваются
в сторону С, и, следовательно, линии АС и BD
расходятся в сторону С и сходятся в сторону Л.
Но угол DC А тоже тупой, так какой равен углу ВАС
в силу предыдущего предложения. Поэтому так же,
как раньше, доказывается, что линии СА н DB
расходятся в сторону А и сходятся в сторону С.
[Но это нелепо. Следовательно, углы ВАС и DCA
не тупые.
Если же эти углы острые, опустим на втором чер-
теже нз точки В перпендикуляр BE к линии] ЛС,
как доказано в XII предложении |*7]. Он необхо-
димо попадет между линиями АВ и CD, так как
угол А острый и невозможно, чтобы он попал вне
этих липни. В прямоугольном треугольнике [ЛЕВ
угол АВЕ острый, поэтому угол EBD, составляющий
вместе с углом АВЕ прямой угол ABD, также острый.
Далее опустим из точки Е перпендикуляр EG к ли-
нии BD. Он попадет между линиями АВ и CD, н
угол СЕС острый. Далее опустим из точки G перпен-
дикуляр СИ снова к липни АС и в этом же порядке
будем опускать перпендикуляры и далее без конца.
Тогда перпендикуляры, проведенные из точек, рас-
положенных на липни АС иод прямым углом к ли-
нии BD,— перпендикуляры АВ, EG, НЕ последова-
тельно уменьшаются по длине, и самый длинный
пз них — перпендикуляр АВ. Таким образом] дока-
зывается, что линии АС и BD сходятся в сторону С
и расходятся в сторону А. [Но угол DC А тоже ост-
рый, так как ои равен углу ВАС в силу предыдущего
предложения. Поэтому] так же, как раньше, дока-
зывается, что линии СА и DB сходятся в сторону Я
и расходятся в сторону С. Но это нелепо. Следова-
тельно, углы ВАС и DCA не острые, а так как они
и не тупые, они прямые. Это и есть то, что мы хотели
доказать [*8].
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ линиях
515
IV предложен и е. Всякие две противо-
положные стороны прямоугольного четырехугольни-
ка равны.
II р и м е р. Плоская фигура ABCD прямоуголь-
ная. Я утверждаю, что стороны АВ и CD равны,
так же как стороны АС и BD.
Доказательство. Если АВ ие равна CD,
то пусть CD более длинная из ппх. Отложим па ней
DE по величине АВ, как до-
казано в III предложении,
и проведем АЕ. Тогда два
равных перпендикуляра АВ
и ED восставлены из концов
линии BD, а их концы со-
единены линией АЕ. Поэтому
углы ВАЕ и DEA прямые.
Но угол ВАС был прямым.
Поэтому углы ВАЕ и ВАС,
больший н меньший, рав-
D{-------------------->5
Рис. 23.
85
пы, а это нелепо. Или: уюл AED —внешний |
[угол] треугольника ЛЕС — и внутренний угол АСЕ
[этого треугольника! равны, а это также нелепо
в силу доказанного в Х\ I предложении. Следова-
тельно, сторона АВ равна стороне CD. Точно так же
доказывается и что сторона ЛС равна стороне BD.
Зто и есть то, что мы хотели доказать.
V предложение. Если прямая линия
падает на два перпендикуляра, восставленные к
другой прямой липин произвольным образом, то
накрестлежащне углы равны, внешний угол равен
[соответственному] внутреннему, а внутренние одно-
сторонние углы равны двум прямым.
II р и м е р. Линия АВ падает на два перпенди-
куляра CD п EG произвольным образом. Я утвер-
ждаю, что накрестлежащне углы DUE и EFH равны,
так же как внутренний и внешний углы А НС и
AFH, а [внутренние! углы CHF и EFH со стороны С
и Е равны двум прямым.
Доказательство. Если линия FG равна
линииHD, все углы, образующиеся при пересечении
33*
516
Н АСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
[перпендикуляров линией] HF, прямые и указан-
ные углы равны. В другом случае, когда это пе
так, пусть ИО — большая нз них. Отложим па
пей расстояние GF, т. е. [линию] DK, п соеди-
ним KF. Тогда углы DKF и GFK прямые, как
доказало в третьем из этих предложений. Отложим
на EF расстояние ПК, т. е. линию FL, и соединим
HL. Тогда углы KHL и FLU тоже прямые. Стороны
НК и KF, заключающие прямой угол HKF, равны
сторонам FL и LH, заклю-
чающим прямой угол FLH.
Поэтому угол KHF равен
углу HFL, как доказано в
XXVI предложении, а это
накрестлежащпе (углы].
Также угол АНС равен
углу KHF, т. е. вертикаль-
ному, как доказано в XV
предложении, который ра-
вен углу AFE. Поэтому
угол АНС равен j глу AFE,
Рис. 24. а это внутренний п внеш-
ний [углы]. Также углы
АНС и CHF вместе равны двум прямым в силу Х1П
предложения, по угол АНС равен углу AFE, поэтому
углы FHC и AFE, являющиеся внутренними одно-
сторонними углами, вместе равны двум прямым.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда вытекает, что если линия падает на два
перпендикуляра и перпендикулярна к одному из
них, она перпендикулярна и к другому.
VI предложение. Если две прямые ли-
нии, концы которых не ограничены, пересекаются
не под прямым углом, и к одной из них восставлен
перпендикуляр, то, если продолжить его в одну из
85ов. сторон, он пересечет другую лилию со стороны |
угла между перпендикуляром и линией, пересекаю-
щей перпендикуляр.
Пример. Линин АВ и CD пересекаются в точ-
ке Е ие под прямым углом. К линии CD восставлен
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
517
перпендикуляр IIG. Я утверждаю, что, если продол-
жить его в одну из сторон, оп пересечет линию АВ.
Доказательство. Угол ЛЕВ — из двух
различных углов ЛЕС и СЕВ, вместе равных двум
прямым в силу XIII предложения. Пз данной про-
извольной точки F линии ЛЕВ можно опустить
перпендикуляр FK на линию CD, как доказано в
XII предложении. Точка К или попадет между Е
Рис. 25.
и G, или на точку G, пли вне 1отрезка EG) со сторо-
ны Е или С. Если опа попадет между Е и G, предпо-
ложим прямую линию, равную ЕК, это линия QZ,
продолжим ее в сторону Z и отложим ZS, равную
ей, как это доказано в III предложении, несколько
раз до тех пор, пока сумма этих повторений липни QZ
не превзойдет линию EG. Это (>Г, пусть эти повторе-
ния — отрезки QZ, ZS, ST, TV; каждый из них ра-
вен липни ЕК. Затем отложпм на линии АЕ такое
же число линий EF, FX, ХО, ОР в порядке последо-
вательности по величине FE. Далее опустим из точек
X, О и Р перпендикуляры XL, ОМ п PN па линию
518
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
CD, как доказано в XII предложении. Опустим из
точки /’ перпендикуляр FI на линию XL. Тогда
в треугольниках EFK и [/’)/Х углы EFK и EXI,
внутренний и внешний, равны в силу предыдущего
предложения, так как перпендикуляры FK и XL
восстав 1епы к прямой [Е]Л' и на них надает прямая
ХЕ, углы EKF и FIX прямые, а стороны EF и FX
равны. Стедовательпо, треугольники XIF и |Е]/’Л'
равны, как доказано в XXVI предложении. Поэтому
сторона IF равна стороне ЕК. По четырехугольник
1FLK прямоугольный, так как каждая [линия,
иерпендикулярпая к одному пз] перпендикуляров,
перпендикулярна [и к остальным], как доказано
в предыдущем предложении. Поэтому противополож-
ные стороны IF и LK равны, как доказано в чет-
вертом из этих предложений. Поэтому линии ЕК
и KL равны. Точно так же доказывается, что лпнпп
\KL и LM, а] также LM и MX равны и, таким обра-
зом, все шипи ЕК, KL, LM и MN равны. Поэтому
86 сумма этих линий равна сумме отрезков QZ, ZS, |
ST и TV, т. е. линии так как все эти линии равны
н каждая пз них равпа липни ЕК. Но линия QV
длиннее липни EG, поэтому и ЕХ также длиннее ее.
Поэтому точка X необходимо находится вне лпнпп
EG со стороны С и перпеидикхляр GII находится
внутри треугольника Р IE. Поэтому если продол-
жить перпендикуляр параллельно перпендикуляру
РХ до выхода из треугольника РХЕ, он необходимо
пересечет сторону АВ. Если точка К попадет па
точку G, перпендикуляры совпадут, и, если про-
должить GII, получится высота GHF треугольника
FKE. В этом случае утверждение очевидно. Зто и
есть то, что мы хотели доказать. Было доказано, что
встреча произойдет со стороны острого угла, т. е.
угла AEG. В этом предложении использовалось
утверждение о том, что если взять кратной более
короткую из двух линии с ограниченными концами,
то опа превзойдет более длинную из них,— это
утверждение мы упоминали, его использовал автор
«Начал» в первом предложении десятой книги.
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
519
->' |>Г>.
XII п ре дл оженис, содержащее доказатель-
ство постулата: если прямая линия падает на две
прямые липни и образуются внутренние односторон-
ние углы, меньшие двух прямых, то эти две прямые,
если продолжить их в эту сторону, пересекутся.
Приме р. Линия АВ падает на липни CD и EG
и образует углы СНЬ и EFH, меньшие двух прямых.
Я утверждаю, что лпппп CD н EG, если продолжить
их в сторону С, пересекутся.
Доказательство. Если один пз углов
( HF и EFH прямой, то другой необходимо острый.
Поэтому одна из линии
CDw ЕЕ пересекает ли-
нию АВ под углом, пе
являющимся прямым,
а другая перпендику-
лярна к пей, поэтому,
если продолжить их,
опи пересекутся со сто-
роны острого [угла|,
как доказано в преды-
дущем предложеппп.
Если один из углов
тупой, пусть это угол
СНВ, восставим в точке Н перпендикуляр Hi к линии
CD, как доказало в XI предложении, а пз точки F
опустим на нее перпендикуляр FK, как доказано в
XII предложении. Тогда мы утверждаем, что так-
как углы СНЕ и ЕЕН вместе меньше двух прямых,
а угол CHI прямой, то углы /HF и HFI вместе меньше
одного прямого. Но углы IH1' и HP К как накрестле-
жащие, образующиеся при падении шипи АВ на
два перпендикуляра. 1Н и FK, равны, как доказано
в пятом из этих предложений. Следовательно, весь
угол KFI меньше одного прямого, т. е. он острый.
Поэтому линии KF и EF пересекаются не под прямым
углом, а линия НК перпендикулярна к одной пз
них, а именно к линии KF. Поэтому линии СК и EF,
если продолжить их также в сторону С, Е, пересе-
кутся, как доказано (в предыдущем предложеппп.
520
НАСИР ЛД-ДПН АТ-ТУСИ
Если оба угла острые, восставим в точке F пер-
пендикуляр FA'к линии Z7C, как доказано] в XI пред-
ложении, и опустим из точки Н перпендикуляр ///
па нее, как доказано в XII предложении. Тогда
угол EFK прямой, а углы KFH и FH (71 как накрест-
лежащие, образующиеся при падении линии АВ
на два перпендикуляра HI и KF, равны, как дока-
зано в пятом из этих предложении. Следовательно,
углы FH17] и HFI вместе равны одному прямому,
а так как углы EFH и CHF по предположению мень-
ше двух прямых, угол IIIC меньше прямого, т. е.
он острый. Поэтому линии IH и СИ пересекаются
по под прямым углом, a EI перпендикулярна к одной
пз пих, а именно 1к 1Н\. Поэтому [липин! CD и EG
пересекутся, если продолжить их в сторону С, Е,
как доказано в предыдущем предложении. Это и
есть то, что требовалось доказать.
Если угодно, [получим] требуемое путем, кото-
рым шел ал-Джаухари, да помилует его Аллах. Рас-
смотрим вместо шестого и седьмого из этих пред-
ложений два предложения, а после рассмотрения их
добавим доказательство требуемого в шестом предло-
жении ал-Джаухари, которым он завершал свои
слова, это будет восьмым предложением. Вот эти
два предложеппя:
Вместо VI предложения. Во всяком
остром прямолинейном угле, если отложить па одной
нз его сторон равные липни и опустить из точек
деления перпендикуляры на другую сторону, то
линии, отсекаемые основаниями перпендикуляров
на этой стороне, также равны.
П р и мер. В остром угле ВАС па АВ отклады-
ваются равные линии .47), DE и EG и пз их [концов]
опускаются перпендикуляры DH, EF и GI на ли-
нию АС. Я утверждаю, что линии АН, HF и FI,
отсекаемые основаниями перпендикуляров, также
равны.
Доказательство. Построим прп точке D
па линии ED угол EDK, равный углу А, как пока-
зано в XXIII предложении. Тогда в треуголыш-
ТРАКТАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
521
ках AMD и DKE углы А и D равны, углы D н Е,
внешним н внутренний, образованные при падении
липни АЕ на два перпендикуляра DH и EF, равны,
как доказано в пятом из этих предложений, и сторо-
ны AD и DE равны. Следовательно, эти два тре-
87
угольника равны и
сторона Л И равна
стороне DK, а пря-
мой угол Н равен
углу К, как доказано
в XXVI предложе-
нии. Поэтому плос-
кая фигура DHFK | —
прямоугольный че-
тырехугольник п ее
проти во пол ож и ые
стороны DK и HF —
равны, как доказано
в четвертом пз этих
предложений. Поэтому липпя АН, равная DK, равна
н HF. Таким же образом доказывается, что HF равна
FI. Это п есть то, что мы хотели доказать.
В м е с т о VII предложения. Если в пря-
молинейном угле предположить точку между его
сторонами, то их можно соединить прямой линией,
проходящей через эту точку.
Пример. В прямолинейном угле АВС между
сторонами АВ и ВС предположена точка D. Я утвер-
ждаю, что стороны АВ и ВС можно соединить пря-
мой линией, проходящей через точку D.
Доказательство. Проведем из центра В
па расстоянии BD дугу EDG, проходящую через
точку D. Проведем хорду EG и разделим пополам
угол [E1BG линией [BJZ, как доказано в IX предло-
жении [**]. Тогда треугольники ЕВИ и GBH равны,
так как стороны ЕВ и ВН равны сторонам GB п ВН,
а углы В равны. Поэтому равны и стороны ЕН и HG
и углы Н, как доказано в IV предложении. Поэтому
ЕН перпендикулярна к ВН. Продолжим ВН до
пересечения с дугой EDG в точке F. Повторим
522
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
линию ВН до тех пор, пока сумма этих линий не
превзойдет линию BF, пусть эта сумма — линия ОХ.
Отложпм на ВА. линии, каждая пз которых равна
линии BE, в том же числе, что и число, во сколько ОХ
кратно \ВН\, это BE, ЕК. Опустим пз концов этих
линпй перпендикуляры на линию ВН, это перпен-
дикуляры ЕН, KL. Эти перпендикуляры отсекут
на линии ВН равные линии ВН, HL, как доказано
в предыдущем предложении. Но их сумма, равная
О X
Рис. 28.
линии ОХ, длиннее линии BF. Поэтому конец пер-
пендикуляра KL па линии BI, т. е. точка L, находит-
ся вне линии BF. Далее отложпм на ВС [линию]/МГ,
равную ВК, и соединим ML. Тогда треугольни-
ки BKL и BML равны, так как у них общая сторо-
на BL, равные стороны ВК [и 7?Л/[ и углы В, как
доказано в IV предложении. Поэтому угол МЫ
равен прямому углу KLB и прямые KL и LM сведи
пяются в своем направлении в одну линию в силу
XIV предложения. Далее соединим BD, продолжим
ее до X и построим при точке D на линии DX угол
PDN, равный углу DNL, как доказано в XXIII
предложении. Тогда лппии PD и ХМ параллельны,
как раныпе, в силу равенства накрестлежащпх
[углов), т. е. углов PDN п DNM, как доказано
в XXVI предложении. Продолжим PD до тех пор,
трактат о параллельных линиях
523
87 оо. | пока она пе выйдет из треугольника ВКМ в точках
Р п Z. Линия PZ соединяет стороны АВ и ВС и
проходит через данную точку D. Это и есть то, что
мы хотели доказать.
Эти предложения заключаются восьмым предло-
жением — последним из предложений ал-Джаухарп
без изменений. Это — то, что принадлежит мне
в этом вопросе. Слава Аллаху, отверзающему врата
и облегчающему трудности, дарующему разум и
внушающему истину. Да благословит Аллах Мухам-
меда и его чистый род, и да приветствует.
[Приложение] [70]
‘ Алам ад-Дин Кайсар ибн Аби-л-Касим ал-Хана-
фи I71] из Сирии написал автору этого трактата,
нашему господину, султану мудрецов, ученых и
исследователей Насир ал-Милла ва-д Дину, доказа-
тельству ислама и мусульман, достославнейшему пз
древних и последующих, да охладит Аллах его смерт-
ное ложе, в письме, в котором говорится: в числе
того, что представлено высоким взорам, находится
то, что мне попалось в изложении Симпликия [72]
в его комментариях ко введениям книги «Начал»
о предпосылках известного утверждения: «если пря-
мая линия падает на две прямые линии, причем обра-
зуются внутренние односторонние углы, меньшие
двух прямых, то эти две липин встретятся при про-
должении с этой стороны». Оп сказал: «В угле
может находиться бесконечно много хорд, одни из
которых больше других»! 73].
Автор этого трактата, да помилует его Аллах,
написал, отвечая па письмо к нему: Что касается
утверждения, изложенного Спмпликпем в коммента-
риях к трудностям во введениях книги «Начала»,
то оно не попадалось мне раньше, когда я искал
[доказательства] этого постулата, когда же я нашел
его, | то я нашел его пе в книгах, а на счастливом
пути, изложенном мной в трактате, который я назвал
«Трактатом, исцеляющим сомнение по поводу
52 i
НАСИР АД-ДИН АТ-ТУСИ
параллельных липни». Я послал господину экзем-
пляр его, ожидая, что он удостоит его внимания и
исправит его погрешности, если их можно испра-
вить, а также, если захочет всевышний Аллах, вы-
скажет свое высокое мнение. Этот трактат содержит
доказательство утверждения, упомянутого Снмплп-
кпем; здесь излагать это бесполезно, так как это
крайне затянуло бы речь.
‘ Алам ад Дин Кансар в ответ паппсал простран-
ное письмо, где говорится: Наш господин почтил
своего раба своим |«Трактатом,1 исцеляющим
сомнение по поводу параллельных линий». Раб
внимательно прочел его и тщательно ознакомился
с тем, что изложено нашим господином, а также со
словами ученых, приведенными в главе о сомнениях,
и с комментариями, составленными нашим господи-
ном. Раб полностью уяснил все то, что оп почерпнул
пз слов нашего господина. В наших странах по этому
поводу приходилось размышлять многим ученым.
Рабу известен, например, трактат Сабита ибн Кур-
ры (7,1 «Трактат о параллельных линиях» об этом
самом утверждении, и другой трактат ибн ал-Ханса-
ма, озаглавленный «Комментарии ко введениям кни-
ги Евклида», и трактат Юханны ал-Касса I76], но то,
что излагает наш господин в этом трактате, гораздо
лучше всего того, что они говорили по поводу этого
утверждения, это совершенно неуязвимо.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ НАСИР АД-ДИН А
АТ-ТУСИ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
/»’. А. 1*оаенфе.1ыУ и Л. Л. Юшкеспгч
1. О рукописи, с которой переведен трактат, и о других руко-
писях этого трактата см. пашу статью *0 трактате Насир ад-Дппа
ат-Tyiu о параллельных линиях» (стр. 476—477 этого издания).
2. Слова в квадратных скобках отсутствуют в парижской руко-
ппсп, восполнены по началу бывшей берлинской рукописи, приве-
денному в каталоге В. Альвардта (см. XV. A h 1 w а г d t, X erzeich-
nis der arabischen Handschriflen..., Bd. 5, Berlin, 1893, S. 325) и no
началу рампурской рукописи, приведенному в письме библиотекаря
библиотеки Раза И. А. Арши.
3. Имеются в виду «Начала» Евклида; в дальнейшем цитируются
по переводу Д. Д. Мордухай-Болтовского: Начала Евклида, т. I—
III, М,—Л„ 1848—1950.
4. Эта предпосылка — V постулат Евклида (см. «Начала»,
т. I, стр. 15). «Его искусство* — геометрия, «искусство, стоящее вы-
ше его искусства» — философия. Согласно Аристотелю начала каж-
дой науки исследуются пе в этой науке, а в философии (см. С. А.
Яновская, Нз истории аксиоматики, «Историко-математиче-
ские исследовании», вып. Х1,М., 1959, стр. 72 и сл.). Пропуск в па-
рижской рукописи восполнен по смыслу.
5. Шесть принципов — общие понятия (аксиомы) Евклида,
см. «Начала», т. I, стр. 15; вероятнее всего, что имеются в виду ак-
сиомы 1, 2, 3, 7, 8 и 9 русского перевода; аксиомы, приведенные ат-
Тусп,— аксиомы 1 п 8.
6. 17-е предложение I кпнги «Начал» (т. I, стр. 30): сумма вся-
ких двух углов треугольника меньше двух прямых.
7. 20-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 32).
8. 2-е предложение III книги «Начал» (т. I, стр. 82).
9. Первая часть 7-го предложения V книги «Начал» (т. I,
стр. 151).
10. Утверждение, что две лежащие в одной плоскости и прибли •
жающиеся друг к другу прямые липпп пересекаются, равносильно
постулату Евклида. В геометрии Лобачевского параллельные
526
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. II. ЮШКЕВИЧ
прямые асимптотически приближаются друг к другу и не пересе-
каются.
11. Утверждение о неограниченной делпмостп непрерывных
величии — известная установка Аристотеля (см. Аристо-
тель, Физика, перевод В. II. Карпова, М.—Л., 1937, стр. 128)
и вслед за ним — Омара Хайяма, именующего это утверждение
первым принципом, заимствованным у философа (Омар Хайям,
Математические трактаты, «Историко-математические исследования»,
выи. VI, М., 1953, стр. 75).
12. То есть асимптот гиперболы.
13. О доказательстве V постулата Абу'Али ал-Хасана пби ал-
Хайсама (965—1039) см. в публикации Б. А Розенфельда «Дока-
зательства пятого постулата Евклида средневековых математиков
Хасана ибн ал-Хайсама и Льва Герсонида», «Историко-математиче-
ские исследования», вып. XI, М., 1958, стр. 733—739, 743—762,
777—780.
14. О доказательстве Абу-л-Фатха 'Омара ал-Хайями или Хай-
яма (1048—1131) см. Омар X а й и м, Математические трактаты,
«Историко-математические исследования», вып. \ I, стр. 67—84
и примечания Б. А. Розенфельда и А. И. Юшкевича, там же,
стр. 143—152.
15. Об ‘Аббасе ибн Са' иде ал-Джаухари см. на стр. 478 этого
издании статью.
16. Сочинения ибн ал-Хайсама «Книга комментариев к введе-
ниям книги Евклида „Начала1'» и «О разрешении сомнений в кни-
ге Евклида „Начала"»сохранились в виде рукописей (см. «Историко-
математические исследования», вып. XI, стр. 733—735). Доказа-
тельство \ постулата ибн-ал-Хайсама приведено в первом сочине-
нии. Во втором сочинении пби ал-Хайсам, приведи \ постулат, гово-
рит, что «мы доказали эту предпосылку в нашей книге комментариев
ко вве leiniflM» (лейденская рукопись, Cod. or. 516, л. 93). Несколько
ниже пби ал-Хансам пишет: «Утверждение, что две пересекающиеся
липин не параллельны одной линии, сводится к утверждению, ука-
ванному Евклидом; его правильность доказала в комментариях
ко введениям и, таким образом, оно справедливо. Но это утверждение
более наглядно для чувства и более проникает в душу, чем то»
(там же, л. 94). Далее ибн ал-Хайсам пользуется этим утверждением
как постулатом (см. прим. 21). Ат-Тусн, располагавший только
вторым сочинением, причислял пби-ал-Хайсама к тем, кто заменял
V постулат другим постулатом.
17. В комментариях ко введениям «Начал* пбн ал-Хайсам
определяет параллельные линии при помощи «простого движе-
ния», т. е. равномерного прямолинейного движения перпендикуля-
ра вдоль данной прямой (см. «Историко-математические исследова-
ния», вып. XI, стр. 743—748).
18. Утверждение, что движение не должно применяться к ма-
тематическим паукам, за исключением астрономии,— известная
установка Аристотели (см. Аристотель, Метафизика, перевод
В. А. Кубпцкого, М.—Л., 1934, стр. 38). Это утверждение поддер-
живалось Хайямом (см. Хайям, цит. соч., стр. 70).
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ НАСИР АД-ДИНА АТ-ТУСИ 527
19. 23-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 35): построение
на данной прямой при дайной ее точке угла, равного данному.
20. 27-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр.39): если при
пересечении двух прямых третьей прямой накрестлежащне углы
равны, две прямые параллельны.
21. Приводимое ат-Туси доказательство ибп ал-Хайсама изло-
жено на лл. 147 об.— 148 лейденской рукописи Cod. ог. 516.
22. Под расстоянием между двумя точками древние и средневе-
ковые математики понимали ие число, как современные математики,
а прямолинейный отрезок, соединяющий зти точки; под расстоянием
между параллельными прямыми понимался обнщй перпендикуляр
этих прямых.
23. Евклид определяет параллельные линии в 23-м определе-
нии I книги «Начал» (т. I, стр. 14) как прямые лппин, лежащие
в одной плоскости и ие пересекающиеся при продолжении.
24. 31-е предложение I киши «Начал» (т. I, стр. 43) — задача
о проведении через данную точку прямом, параллельной данной.
Ат-Туси рассматривает это предложение как теорему о том, что
через точку вне прямой можно провести в их плоскости пе более
одной прямой, ие пересекающейся с дайной прямой, — такая теорема
действительно близка к «постулату мбн ал-Хайсама». Утверждение
это нередко принималось взамен V постулата, в частности,
в «Основаниях геометрии» Д. Гильберта (см. перевод
И. С. Градштенпа, М.—Л.. 1948, стр. 86).
25. 33-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 44): прямо-
линейные отре ки, соединяющие концы двух равных и параллель-
ных прямолинейных отрезков с одной стороны, сами равны и парал-
лельны.
26. См. примечание 14.
27. Почти дословно цитируемые далее ат-Туси 8 предложений
Хайяма см. па стр. 76—84 перевода трактата Хайяма (отличие на-
стоящего перевода от прежнего перевода текста Хайяма объясняется
либо пропусками в изложении ат-Туси, либо некоторым уточнением
прежнего перевода). Ат-Туси пе указывает здесь, что доказательство
Хайяма существенно опирается на четвертый из пяти «принципов,
заимствованных у философа» (Хайям имел в виду Аристотеля):
«две сходящиеся линии пересекаются и невозможно, чтобы две
сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения*
(ср. далее прим. 30 и 36). Четвертый принцип состоит из двух утвер-
ждений, каждое из которых равносильно V постулату Евклида.
Первое из этих утверждений в несколько другой формулировке
ат-Туси упоминал выше (см. прим. 10).
28. По сообщению Д. К». Смита (D. Е. Smith, Euclid,
Omar Khayyam and Saccheri, Scripta mathemalica, t. 3, № 1, 1935,
стр. 5—10) в библиотеке коллегии Сипах-Салар в Тегеране хранится
рукопись комментариев ат-Туси к геометрическому трактату Хайя-
ма. Смит приводит начало этой рукописи и факсимиле II предложе
пня Хайяма. Начало этих комментариев почти в точности совпадает
с абзацем настоящего трактата, к которому относится это приме-
чание. Отметим также, что чертеж ко II предложению, приведен-
528
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
ный Смитом, совпадает с чертежом ко II предложению Хайяма
в настоящем трактате и оба эти чертежа перевернуты по отношению
к чертежу ко II предложению в лейденской рукоппсп трактата Хайя-
ма (см. Хайя м, цит. соч., стр. 77). По-видимому, рукопись, ука-
зываемая Смитом, представляет собой часть настоящего трактата
относящуюся к доказательству Хайяма и его критике со стороны
ат-Туси.
29. 28 е предложение I книги «Начал* (т. I, стр. 40): если при
пересечении двух прямых третьей прямой внешний угол равен соот-
ветственному внутреннему или сумма внутренних односторонних
углов равна двум прямым, первые две прямые параллельны.
30. Здесь у ат-Туси пропущено в изложении Хайяма доказа-
тельство того, что Л С и BD пересекут HKF (см. Хайя м, цит. соч.,
стр. 77). Далее ат-Туси критикует Хайяма за этот пропуск и следует
думать, что пропуск имелся и в имевшемся у ат-Туси тексте трак-
тата Хайяма.
31. Аксиома — это четвертый «принцип, ваимстаоваиный у
философа» (см. прим. 27). Если опустить в начало рассуждений
Хайяма этот принцип, то они лишаются всякого основания. Непо-
нятно, как ат-Тусп мог допустить такой пробел илп же пе заме-
тить его в имевшемся тексте Хайяма. Ср. прим. 37.
32. Здесь пропущен текст Хайяма от слов «Ты поймешь это
при небольшом размышлении* (X а и я м, цит. соч., стр. 78) до слов
«поэтому это — аксиома» (там же, стр. 80). Опущенный текст содер-
жит пояснение и развитие третьего пз «принципов, заимствованных
у философа»: «всякие две пересекающиеся прямые липни раскры-
ваются и расходится по мере удаления от (вершины] угла пересе-
чения* (там же, стр. 75). Ср. прим. 43.
33. «Автор принципов» — Арпстотель.
34. Пропуск восполнен по трактату Хайяма (X а й я м, цит.
соч., стр. 80).
35. Здесь Хайям пользуется первым «принципом, запм<тво-
ваппым у философа* как аксиомой непрерывности. Фактически
неограниченная делимость величин, устанавливаемая этим принци-
пом, не обеспечивает непрерывности величин.
36. То есть опять-таки четвертого «принципа, заимствованного
у философа*.
37. Здесь приводится формулировка четвертого «принципа,
запмствовашюго у философа*.
38. Этот упрек неоснователен; см. прим. 30.
39. 30-е предложение III книги «Начал» (т. I, стр. ПО): деле-
ние окружности пополам.
40. Ханям доказывает существование равных углов, опираясь
на то, что непрерывная величина принимает все значения, промежу-
точные между двумя какими-либо большим и меньшим ее значения-
ми. Это свойство вытекает, по его мнению, из «первого принципа фи-
лософа». Ат-Туси вслед за некоторыми античными авторами имеет
в виду не разрешенные в то время трудности, связанные с углами
между кривыми и прямыми линиями, в частности с углом касания.
Было пеяспо, обладают ли такие углы свойствами непрерывных
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ НАСИР АД-ДИНА АТ-ТУСИ 529
величии. Однако Хайям имеет здесь дело только с прямолинейными
углами.
Что упоминаемое свойство непрерывности пе вытекает пз «пер-
вого принципа» Хайяма, не знали нн Хайям, пн ат-Туси, нн много
позднее.
41. Имеются в виду 4-е и 5-е определения III книги «Начал»
(т. I, стр. 80), согласно которым хорды в круге рашюотстоят от
центра, если равны опущенные на них перпендикуляры и пз двух
хорд отстоит от центра больше та, па которую падает больший нер-
вен ткуляр.
42. См. в данном трактате III предложение ат-Туси.
43. Здесь ат-Тусн критикует применение Хайямом в его
\ I предложении только что упомянутой «предпосылки». Важно заме-
тить, что Хайям пытался в пропущенном ат-Туси тексте доказать
зту предпосылку, но в действительности доказал лишь, что расстоя-
ние между пересекающимися прямыми монотонно возрастает.
Именно по поводу этого ат-Тусн указывает, что ие всякая увеличи-
вающаяся величина, которую можно представить как сумму беско-
нечного количества слагаемых, может превзойти любой предположен-
ный предел ^ат-Туси приводит пример с геометрической прогрес-
сией со знаменателем -1 . Однако ат-Туси иеосповательпи ставит
знак равенства между этой «предпосылкой* и «постулатом ибн ал-
Хайсама», ибо на самом деле «предпосылку» можно доказать и не
прибегая к V постулату или какому-либо равносильному ему утвер-
ждению (см. В. <1>. Kara и, Основания геометрии, т. I, М.—Л.,
1949, стр. 117).
44. Имеется в виду 4-е определение \ книги «Начал» (т. I,
стр. 142). Хайям формулирует это утверждение в виде пятого «прин-
ципа, заимствованного у философа» (ср. Аристотель, Физика,
стр. 64): «пз даух неравных ограниченных величии меньшую можно
взять с такой кратностью, что опа превзондет большую» (X а й я м,
цит. соч., стр. 75).
45. 1-е предложение X книги «Начал» (т. 11, стр. 102): если от
большей из двух заданных неравных величин отнять больше ее
половины, от остатка отнять больше его половины и повторить этот
процесс, то после некоторого конечного числа шагов остаток станет
меньше меньшей из заданных величии.
46. Как видно, вся критика ат-Туси теории параллельных
Хайяма по существу не достигает цели. .Замечания ат-Туси отно-
сятся либо к пропущенным нм разъяснениям Хайяма, либо к рас
суждениям, которые можно без труда с (елать вполне корректными.
47. Сочинение ал-Джаухарп «Усовершенствование книги „На-
чала"» (Нелах лп-китаб ал-Усул) пока пе обнаружено. Ср. стр. 488
этого издания.
48. Этот прпнцни содержится в 1-м предложении X книги
«Начал» (см. прим. 45), которое можно принять за аксиому, заме-
няющую «аксиому Архимеда».
4 Пстор.-матем. псс.тед., вып. XIII
530
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
49. 16 предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 29): внеш-
ний угол треугольника больше каждого из внутренних, с ним ие
смежных.
50. 13-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 26): два смеж-
ных угла в сумме равны двум ирямым углам.
51. 4-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 18): два тре-
угольника, имеющие соответственно равные две стороны и углы
заключенные между этими сторонами, конгруэнтны.
52. Во второй части своего первого предложения ал-Джаухари
хочет доказать, что из равенства иакрестлежащпх углов, образую-
щихся нрн пересечении двух прямых третьей, вытекает, что указан-
ные две прямые — равноотстоящие. Фактически ал-Джаухари дока-
зывает, что указанные две прямые симметричны относительно сере-
дины отрезка третьей прямой, заключенного между ними. На чер-
теже в рукописи проведены не отрезки OF и HQ, а отрезки А7/
и FL; чертеж исправлен в соответствии с текстом.
53. 15-е предложение I книги «Начал* (т. I. стр. 28): верти-
кальные углы равны.
54. 26-е предложение I книги «Начал* (т. I, стр. 37): два тре-
угольника, имеющие соответственно равные два угла и сторону,
заключенную между пими, или стягивающую один ил равных углов,
конгруэнтны.
55. 20-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 32): сумма двух
сторон треугольника больше третьей.
56. Утверждение, что через точку внутри угла всегда можно
провести прямую, пересекающую обе стороны угла («основание
угла» по терминологии ал-Джаухари), равносильно \ постулату
Евклида. На неявном допущении этого утверждения основано из-
вестное доказательство V постулата, предложенное в 1800 г.
Адрианом Мари Лежандром (1752—1833) (см. Каган, Основании
геометрии, ч. I, стр. 134 и сл.).
57. 14-е предложение I книги «Начал* (т. I, стр. 27): если два
угла с общей вершиной и стороной в сумме составляют два прямых
угла, то другие стороны углов расположены на одной прямой.
58. Утверждение, что если прямая, не проходящая через вер-
шппы треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает
еще одну сторону этого треугольника, считалось древними и сред-
невековыми математиками очевидным. Мориц Наш (1843—1913)
предложил считать это утверждение одной ил аксиом порядка.
«Аксиомой Наша* пользовались в своих доказательствах \ посту-
лата пои ал-Хайсам (см. «Историко-математические исследовании»,
вып. XI, стр. 754) и многие другие геометры.
59. 3-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 17): задача об
отложении меньшего нз двух данных прямолинейных отрезков ив
большем.
60. «Логика* (Мантик) — арабское название «Оргапопа» Ари-
стотеля.
61. «Софистика», в рукописи фистика, по-видимому,— «Софи-
стические доказательства» (см. De Sophisticis Elenchis, traiisl.
\\. A. Pickard, The Works of Aristotle, ed. \\. D. Boss, т. I,
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ НАСИР АД-ДННА АТ-ТУСИ 531
Oxford, 1928, стр. 161а—183). Вероятнее всего, что ат-Туси имеет
в виду XXXI главу этой книги (стр. 181а).
62. Приводимое здесь доказательство X постулата воспроизве-
дено в редакции «Изложения Евклида» (Тахрир Уклидис), напе-
чатанной в Тегеране (см. нашу статью, стр. 483).
В «Наложении Евк ища» приведены те же предложения I—X II
и предложении «вместо X I»,«вместо X II» и X'НI, что п в данном трак-
тате, однако в отлпчпе от этого трактата в «Изложения Евклида»
после формулировки V постулата сказано: «Я утверждаю, что послед-
нее утверждение не нвлнется аксиомой и может быть доказало только
в геометрической пауке. Об этом лучше говорить не во введении,
и я докажу его в надлежащем месте. Вместо него я ставлю другое
утверждение: если прямые лнинп, лежащие в одной плоскости, рас-
ходятся в одном нанравлеппи, они пе могут в этом направлении схо-
диться, если только они не пересекаются» (Тахрир Уклидис, Теге-
ран, 1888, стр. 4). Добавление этого постулата, являющегося моди-
фикацией второго утверждения принципа, который применял Хайям,
показывает, что за время между написанием этого трактата и состав-
лением «Изложения Гвклнда» ат-Туси существенно пересмотрел
свои взгляды па доказательство X постулата и, в частности, на дока-
зательство Хайяма. По-видпмому. это произошло в результате обме
на мнениями относительно настоящего трактата, который, как видно
нз переписки ат-Туси с ал-Хапафн (см. приложение к трактату),
был разослан нескольким ученым.
Следует отметить, что в «Изложении Евклида» пе упомянуты
ни Хайям, ни ал-Джаухари, доказательства которых оказали силь-
ное влияние па доказательство ат-Тусп. II и IX предложения ат-
Туан непосредственно заимствованы у Хайяма, тесно связаны с до-
казательством Хайяма и III и V предложения ат-Тусп. XIII пред-
ложение ат-Тусп заимствовано у ал-Джаухарп без всяких измене-
ний, сильное влинпие ал-Джаухарн чувствуется и в предшестпую-
щих атому предложению предложениях «вместо X I» н «вместо X II».
Следует отметить также близость XI п XII предложений ат-Туси
к доказательству X постулата, прелложеиному ибн ал-Хайсамом
(см. «Историко-математические исследования», вып. XI, стр. 752—
762). Как видно из этого трактата во время работы над ппм ат-Туси
не располагал комментариями ибн ал-Хайсама ко введениям «На-
чал», где изложено доказательство иби ал-Хайсама, ио идеи этого
доказательства могли быть известны ат-Тусп в устной передаче.
63. 19-е предложение I книги «Начал* (т.1, стр. 31): во венком
треугольнике больший угол стягивается большей стороной.
61. 6-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 2U): треугольник
с двумя равными углами — равнобедренный. Пропуск в рукописи
восполнен по «Изложению Евклида» (см. Г. Д. М а м е д б е й з и.
Иаспрэддпп Туси о теорпп параллельных линий, Г»аку, 1959,
стр. 14).
65. 5-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 19): углы при
основании равнобедренного треугольника равны.
66. 11-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 21): .задача
о проведении перпендикуляра к прямой нз ее точкп.
31*
532
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКГ.ПИЧ
67. 12-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 25): задача
о проведении перпендикуляра к прямой из точки вне псе.
68. В III предложении ат-Туси, представляющем собой даль-
нейшее развитие III предложения Хайяма, докалывается, что в слу-
чае гипотезы острого угла две прямые, обладающие общим перпен-
дикуляром, расходится по обе стороны от него, а в случае гипотезы
тупого угла две прямые сходятся по обе стороны от их общего пер-
пендикуляра. Здесь гипотезы острого и тупого углов опровергаются
ссылкой па то, что подобные положения нелепы, по в «Нв южеинп
Евклида», как мы видели в прим. 62, добавлен специальный постулат,
запрещающий подобные по южеппя. Пропуски в рукописи воспол-
нены по «Изложению Евклида» (см. М а м е д б е п л и, цит. соч.,
стр. 15).
69. 9-е предложение I книги «Начал» (т. I, стр. 23): задача о де-
лении угла пополам.
70. Переписка автора трактата с ал-Хапафи приведена н па-
рижской рукописи па л. 87 об.— 89 непосредственно после трактата.
Как видно пз статьи Краузе и каталогов Мешхедской и Берлинской
библиотек, указанных иа стр. 477, тот же текст следует за текстом
трактата в пяти стамбульских рукописях (библиотека Серай,
As 3456 2, библиотека Фатих, As 3440,3, библиотека Кснрюлю,
As 931,16, библиотека Айя София, As 2760,2, библиотека Джарулла,
As 1502/2), мешхедской рукописи и бывшей берлинской рукописи
(Ms. or. fol. 258 9).
71. Об‘Алам ад-Дине Кайсаре пбн-Абп-л-Каеиме ал-Хапафи
см. пашу статью, стр. 481.
72. Спмплпкии (у ал-Хаиафп Сапбпликйус) — греческий фило-
соф и математик X I в., комментатор Аристотеля и Евклида, работал
сначала в Афинах, а после изгнания языческих философов нз Афин
императором Юстинианом переехал в Персию. Комментарии Снм-
плпкпя к Евклиду сохранились в виде большого количества цитат
в комментариях к «Началам» Евклида математика X в. Абу-л-Аббаса
ал-Фадла ап-Найрнзп.
73. Утвержд чте Симплпкия о «хордах» в угле (т. е. о прямых,
соединяющих сторопы угла) по существу совпадает с третьим
предложением ал-Джаухари об «основаниях* угла.
74. Абу-л-Хасап Сабит нои Курра ас-Саби (836—901) — ма-
тематик, механик и астроном, уроженец Харрана (Сирия), работал
в Багдаде. Теории параллельных линий посвящен трактат
ибн Курры, рукописи которого хранятся в Париже-
75. Юханна нбп Юсуф ал-Касс (X в.) — астроном н математик,
христианский священник (ал-Касс, его имя означает Ноапи сын
Иосифа), переводчик многих математических сочинений с греческого
на арабский язык. В Париже хранится рукопись сочинения Юханны
о рациональных и иррациональных величинах.
О ТРАКТАТЕ КАЗП-ЗАДЕ АР-РУМИ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА
Б. Д. Роленфелы) и J. П. Юшкевич
Среди многочисленных трудов Джемшпда Гияс ад-
Днна ал-Кашн (ум. по одним данным в 1429 г., по дру-
гим — в 1436 г.) особое место занимает «Трактат о хорде
и синусе», в котором оп изложил свой замечательный
способ решения кубического уравнения трисекции угла
и вычислил синус 1° по синусу 3°. Об этом трактате ал-
Кашп упоминает в перечне своих сочинений в начале его
«Ключа арифметики» (1427). Здесь ал-Кашн указывает,
что этот трактат посвящен определению хорды и синуса
«для трети дуги, хорда и сипус которой известны», и что
задача, решенная нм в этом трактате, представляла «труд-
ность для предшественников» 1). «Трактат о хорде и сину-
се» до сих пор пе обнаружен, и итерационный способ
ал-Кашн был известен но изложению работавшего в
Турции астропома и математика Марпама Челеби (ум.
около 1525 г.), внука ближайшего сотрудника ал- Каши
по обсерватории Улугбека в Самарканде Кази-заде ар-Ру-
мн. Отрывок из «Правил действий и исправления таблиц»
Челеби, являющихся комментариями к «Новым Гура-
ганскпм астрономическим таблицам» Улугбека, содержа-
ЧДжемшидГиясэддин а л-К а ш и, Ключ арифме-
тики. Трактат об окружности, перевод Б. А. Розенфельда, ред.
В. С. Сегали и А. II. Юшкевича, комм. А. II. Юшкевича и
Б. А. Розенфельда, М., 1956, стр. 9 (в дальнейшем цитируется:
«ал-Кашн»)-
534
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
щий изложение способа ал-Каши по ар-Руми, опублико-
вал во французском переводе Л. Седпйо1) (русский пере-
вод этого отрывка опубликован в виде приложения
к изданию «Ключа арифметики» и «Трактата об окруж-
ности» ал-Канш2 *). Метод ал-Каши был изложен также
Т. Н. Кары-Пиязовым по трактату Кази-заде ар-Руми,
озаглавленному, согласно Кары-Ниязову, «Трактат о си-
нусе»8). Более подробное описание этого сочинения
ар-Руми было дано в 1959 г. Г. Д. Джалаловым, который
указывает полное название этого трактата в форме
«О выводе (значения) сппуса 1° прп действиях, основанных
иа правилах алгебры и геометрии» и приводит русский пере-
вод первого абзаца этого трактата4 *). II Кары-Пиязон и
Джалалов заимствуют свои сведения об этом трактате
пз книги Салиха Заки «Сохранившиеся памятники»6 *).
Б своем каталоге восточных и латинских рукописей
и фотокопий, хранящихся в Институте истории медици-
ны и естествознания в Берлине, Ю. Рушка и В. Гартнер
указывали на то, что в коллекции этого института имеет-
ся фотокопия анонимной рукописи, хранящейся в Капре,
озаглавленной «Трактат об определении сппуса одного
градуса» (Рисала фи пстпхрадж джайб дараджа ва.хпда),
причем автором ее Рушка и Гартнер считали самого
ал-Каши ®). Директор Института истории медицины н
естествознания Г. Крюгер (G. Kriiger) любезно предоста-
вил нам фотокопию этой фотокопии. Ниже приводится
*) L. S ё d i 1 I о t. De 1’algebre chez les Arabes, Journal asiati-
que, 5 ser., vol. 2, 1853, стр. 333—350.
*) А л-К а ш и, стр. 311 —319; комм.—стр. 372—380.
•) T. II. Кар ы-II и я з о в, Астрономическая школа Улуг-
бека, М.—Л., 1950, стр. 91, 152—154.
4) Г. Д. Д жа л а л о в, Гияс ад-Дип Джемшпд Чусти (Каши)—
крупнейший астроном и математик XV века. Ученые записки Таш-
кентского педагогического института, вып. VII (физ.-матем.), 1959,
стр. 141 —158; см. стр. 151.
*) Сал их Заки, Асар бакиййа, т. I, Стамбул, 1329 (1911);
см. стр. 133.
•) J. Ruska und W. Н а г t п е г, Katalog der orientalischen
und lateinischen Originalhandschriften, Abschriften und Photokopien
des Instituts fiir Geschichte der Medizin und Naturwissenschaften
in Berlin. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik,
Astronomie und Physik, Abt. B, Bd VII, стр. 166.
О ТРАКТАТЕ КАЗИ-ЗАДЕ АР-РУМИ
535
перевод этой рукописи, выполненный Б. А. Розенфель-
дом при консультации М. Л. Салье и В. С. Сегаля под
редакцией А. П. Юшкевича с вашими совместными ком-
ментариями.
Сравнение начала этой рукописи с началом трактата
ар-Руми, приведенным Г. Д. Джалаловым по С. Заки,
не оставляет сомнений в том, что эта рукопись является
одним пз списков трактата ар-Румн. Название трактата,
переведенное Джалаловым указанным выше образом,
несомненно совпадает со словами «Трактат об определе-
нии синуса одного градуса с помощью действий, опираю-
щихся на геометрические и арифметические основания»,
находящимися в начале трактата. Ал-Капш, действитель-
но названный в строке 6 стр. 2 рукописи, па которую
ссылались Рушка и Гартнер, упоминается там не в каче-
стве автора трактата, а в качестве автора излагаемого
метода; далее ал-Капш постоянно упоминается в третьем
лице; автор трактата называет его своим «дражайшим
собратом». Поэтому в заголовке трактата мы ставим от-
сутствующее в рассматриваемой нами рукописи имя Кази-
заде ар-Руми.
Трактат весьма интересен, так как его автор основы-
вался непосредственно па сообщениях самого ал-Каши,
что видно из слов ар-Руми: «Я изложу это наиболее
близко к его словам, придерживаясь его порядка изло-
жения и стремясь к разъяснению всего того, что он желал»
(стр. 540). Трактат подробно знакомит с методом ал-Кашн,
а также содержит указание на одну’ ошибку ал-Каши
(о которой у Челеби не говорится); здесь излагаются
также соответствующие исправления ар-Руми. Написан
трактат после смерти ал-Каши.
Автор трактата Кази-заде ар-Руми родился около
1360 г. в Бруссе в Малой Азии (имя ар-Руми происходит
от арабского названия Малой Азии — Рум, означавшего
также Византийскую (Восточно-Римскую) империю, имя
Кази-заде означает «сын судьи»). Он учился в Самарканде
У придворного астронома Тимура мауланы Ахмада, а
впоследствии работал вместе с ал-Каши в обсерватории
Улугбека в Самарканде- Ар-Руми умер вскоре после
ал-Каши.
536
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД И А. П. ЮШКЕВИЧ
Дадим краткую характеристику содержания трактата1).
С самого начала ар-Руми замечает, что вычисление
синуса 1° опирается на геометрические н арифметические
основания. Для вывода уравнения трисекции угла исполь-
зуются две предпосылки:
а) Теорема Птолемея: во вписанном в окружность
четырехугольнике сумма прямоугольников на парах про-
тивоположи! х сторон равна прямоугольнику на диаго-
налях. Доказательство в рукописи то же, что в «Алмаге-
сте» Птолемея (гл. 10, кн. I).
б) Теорема о связи между хордой какой-либо ду-
ги <р, диаметром d и хордой дополнения удвоенной дуги
до 180°:
rf—хрд(180—2<р) _ хрд <р
ХРД <Р —
2
Поскольку хрд<р=2 Sin^, где Sin есть линия синуса в круге
диаметра d, эта теорема может быть записана в виде
, 2Sin-^-
d—2 Cos <f> _ 2
2sinT 4
т. e. содержит формулу синуса половинной дуги. Теорема
имеется в гл. 10 кн. I «Алмагеста». Доказательство в руко-
писи иное, чем в «Алмагесте».
В качестве арифметических оснований ар-Румн пере-
числяет простейшие правила алгебры. Любопытно, что
прп упоминании 19 канонических видов кубических урав-
нений автор ссылается па пх исследование ал-Мас'уди
(XII—XIII вв.), не говоря ничего об Омаре Хайяме
(XI — XII вв.). Так же поступал ал-Каши2). По-видимо-
му, алгебраический трактат Хайяма был забыт в Средней
Азии XV в.
Упрощение ар-Руми состоит в том, что он сначала
вычисляет не синус 1°, а равную удвоенному синусу 1°
*) Несколько замечаний о рукописи сделал С. S с h о у, Bei-
trage zur arabi^clicn Trigonometric, Isis, vol. V, 1923, стр. 386 и сл.
*) Лл-Кашп, стр. 192.
О ТРАКТ \ТЕ К АЗП-ЗЛДЕ АР-РУМИ
537
хорду 2°. Уравнение для хорды 2°, принятой за неиз-
вестную, выводится следующим образом. В круге ди-
аметра 120 от конца А диаметра АО откладываются
равные хорды AB=BC=CD=x, причем АВ—2°. По тео-
реме Птолемея
xi-\-AD-x = ACi,
а по второй теореме
120--g- = ОС
н (возводя в квадрат и вычитая пз квадрата диаметра)
Далее АС3 исключается, a 4Z2-602, т. е. (хрд 6°)-602,
берется с точностью до секст, т. е. до 60 е:
300х = 61649, 7 59 8 56 29 40 4-а:’.
Коэффициенты пишутся здесь в шестидесятерпчиой си-
стеме целых н дробен и в пен же затем проводятся все
вычисления.
Вывода уравнения для хорды 2° у Челебн нет. Он выво-
дит уравнение для сппуса 1° на основе теоремы Птолемея
п теоремы Евклида о прямоугольниках, построенных па
отрезках хорд, проходящих через данную точку внутри
круга.
Далее ар-Руми излагает итерационный прием ал-Капш
для уравнения вида
рх = q 4- Xs,
называя его, как позднее Челебн, «введением куба в де-
ление». Челебн пояснял метод сразу на числовом приме-
ре: в данной рукоппсп он предварительно формулирует-
ся в общем виде.
«Сначала некоторые [цифры] числа делятся па число
вещей. Образуется куб частного и присоединяется к остат-
ку от чпсла. Затем [их] сумма делится еще раз. Образует-
ся куб суммы двух частных, п его избыток над кубом,
полученным в первый раз, присоединяется к остатку'
от суммы. Далее [их] вторая сумма делится еще раз.
Образуется куб суммы [трех] частных, и его избыток над
538
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
кубом суммы двух частных присоединяется к остатку от
второй суммы. Далее третья сумма делится еще раз
и поступают так же, как раньше. Действие закапчивается
тогда, когда доходят до того, что пе принимается в рас-
чет» (стр. 547).
В заключение ар-Руми излагает вывод уравнения си-
нуса 1° и его решение, следуя ал-Каши. Здесь утвер-
ждается, что вывод уравнения неверен и что ал-Каши
полагал, будто «если хорда дуги является синусом трех
градусов, то хорда трети дуги является синусом од-
ного градуса». Вместе с тем ар Руми пытается объяс-
нить, почему результаты вычислений совпадают с его
собственными. Упреки ар-Руми по адресу ал-Кашн неос-
новательны. Сам ар-Руми признавал, что не смог пол-
ностью разобраться в «запутанных словах» своего колле-
ги (стр. 549). В действительности описанный ар Руми
вывод уравнения синуса 1° у ал Каши по существу вполне
корректен. Возможно, что ар-Руми был введен в заблуж-
дение чертежом ал-Каши, о котором говорится на стр. 547
и в котором ал-паши принимал хорду AD га синус 3°
и т. д. В безупречности вывода ал-Капш легко убедить-
ся, если обратиться к чертежу, приводимому Челеби, где
xoj ы в полукруге с диаметром 60 являются вместе с тем
полу хордами, т. е. линиями снпуса, в другом, объемлю-
щем его полукруге с диаметром 120 *). По-впдпмому, ар-
Руми не учел, что на его чертеже диаметр полукруга
равен 120, а на чертеже ал-Каши этот диаметр равен 60,
так что хорды последнего полукруга равны лпппям сину-
са первого полукруга: тогда из равенства хрд AZ>=Sin 3°
действительно вытекает, что хрд —=Sm 1 .
В примечаниях к трактату мы приводим табтину вы-
числений ал-Кашн, восстановленную студенткой Коло-
менского педагогического института Л. А. Карповой.
*) Ал-Каши, стр. 318—319.
ТРАКТАТ 01» ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО
Г РАДУСА
[Кази-мде ч1)(1]
| Во имя Аллаха милостивого, милосердного.
Я прославляю его за его великие благодеяния,
за его прекрасное благородство и молюсь >а его
рабов, следующих его внушениям и указаниям,
и за тех, кто при его великодушной помощи ищет
правильный путь.
Далее. Это — трактат об определении синуса
одного градуса с помощью действий, опирающихся
иа геометрические и арифметические основания,
которые внушил [мне] дражайший собрат, единст-
венный в свое время Джемшнд ибп-Мас’уд, врач
по прозванию Гпяс |ад-Дии] ал-Каши, да будет
Аллах милосерден к нему.
Выдающиеся люди этого искусства, занимавшиеся
этим вопросом, несмотря иа обилие методов и боль-
шое внимание к решению задач, подобных этой, до
нашего времени пе завершили этого исследования,
а продолжали применять грубо приближенные методы
и пх уточнения. Некоторые из них говорили, что
к определению хорды трети дуги с известной хордой
нет пути с помощью линий [®]. Однако это их сужде-
ние переходило границы неизвестного и произволь-
ного, закрывало путь к пониманию и приводило
к необходимости направления на правильный путь.
*) Перевод с арабского Б. А. Розенфельда.
540
КАЗИ-ЗАДЕ А Р-РУ МП
Я должен, идя путем собратьев, упростить ука-
занное, открыть | закрытое, развязать запутанное,
сделать странное обычным, разъяснить пропзнолыюе
I
»JcJ,
V’-’S *-***Х? *—>
Да^/УЛ-» li—AJyZJ
-"аЗ •>’(•'*'
>>a
•?* -«jj-uj
а»у Jik ***-<'> ‘-^u.1
й1_-эХг. ui'Jvj» . ►ju
Титульный лист и начало трактата Кази-заде ар-Руми.
и доказать это с помощью предпосылок для [обеспе-
чения] пошчаиия п получения пользы. Я произведу
это способом, помимо которого пет пути для опре-
деления синуса одного градуса, методом, который
я считаю первичным и правильным. Я изложу это
наиболее близко к его словам, придерживаясь его
порядка изложения и стремясь к разъяснению
всего того, что он желал, чтобы были объяснены все
трудности и было доказано все то, к чему оп стремил-
ся. Далее я приведу его слова в его собственных
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА
541
выражениях, а также рассмотрю то, что осталось,
согласно его указаниям. Аллах паш помощник, на
пего мы уповаем.
Мы предпошлем тому, что мы хотим, две геометри-
ческие предпосылки и несколько алгебраических
терминов и правил, по-
скольку они понадобятся —'''\
в этом трактате. //I
[Первая предпосылка! j \ л
это утверждение второго /к f V
предположения первой / \ / \
[книги] «Алмагеста»[3[. I X. \ I I
Приведем ее с ее доказа- I X. \ / I
тельством. Сказано: вся- \ \ / /
кип четырехугольник в \ / /
круге таков, что сумма пря- X.
моуголышкон |4[ из ироти- ________
воположпых сторон рав-
на прямоугольнику из од-
ной диагонали па другую.
Пусть четырехугольник ABCD — в круге. Я утверж-
даю, что сумма прямоугольника пзЯС’па/Ю и [пря-
моугольника) пзЛЛ [па CD\ равна прямоугольнику
* из BD на АС. | Построим угол АВЕ, равный углу
CBD. [Тем самым] мы построим общий угол EBD.
Тогда в треугольниках СВЕ и ABD углы СВЕ и
ABD равны, так же как углы АСВ и ВОЛ, опираю-
щиеся па дугу ВЛ. Поэтому они подобны и ВС отно-
сится к СЕ как BD к DA и, следовательно, прямо-
угольник из ВС па DA равен прямоугольнику из
BD на СЕ. П точно так же, так как в треугольни-
ках АВЕ и BCD углы АВЕ и CBD [равны], так же
как углы ВАЕ и BDC, опирающиеся на дугу ВС,
они подобны и ВЛ относится к АЕ как BD к DC,
вследствие чего прямоугольник пз АВ на CD равен
прямоугольнику пз DB па АЕ. Поэтому прямо-
угольники нз ВС па AD x\ABua.DC равны прямо-
угольникам из BD на СЕ и BD па АЕ, т. е.
BD на СА, а это и есть то, что мы хотели
[доказать].
ч
ел
to

ilULj.U.ijl/jJ.f^<Л^ихУ;/к-и
Геометрические предпосылки.
КА.ЗП-ЗАДЕ AP-РУЛИ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА 543

ее
AB, AD, ВС н хор-
6
Для всякой дуги избы-
дополнения до половины
Знай, что если этот чертеж совпадет с тем, что
последует далее, в нем не строят угла для получе-
ния подобных треугольников, так как цель дости-
гается без этого построения, | что пе скрыто от
размышляющего.
[Вторая предпосылка!,
ток диаметра над хордой
[круга]относится к хор-
де ее половины, [ как эта
хорда] к половине диа-
метра. Это известно из
установленного в чет-
вертом [предложении!
тон же первой книги [8].
Я напомню здесь ее до-
казательство. доступное
[даже! слабой голове.
Пусть круг A BCD
описан из центра Е и
[даны] его диаметр BED
и дуга АВ. Отложим
[дугу] ЕС, равную ее
половине, и проведем хорды
ду АС, пересекающую диаметр в G. Тогда угол
ВЕС I — той же величины, что угол ADB,
а угол] DAC — топ же величины, что половина угла
CED. Поэтому [угол DAC\ равен углу AGD [и AID
равна DG, a BG — избыток диаметра над ней. Соеди-
ним ЕС. Тогда в треугольниках ВЕС и BCG централь-
ный угол Е и вписанный угол С равны, а угол В
общин. Поэтому они подобны и GB относится к ВС,
как ВС к СЕ. Это и есть то, что мы хотели [доказать].
[Алгебраические правила]. |Если] нечто умно-
жается на себя, | то в данном случае оно называет-
ся вещью, а произведение называется квадратом.
Произведение вещи на квадрат называется кубом,
а на куб — квадрато-квадратом: то же — произве-
дение квадрата на квадрат.
Если речь идет о вычитании, то уменьшаемое назы-
вается прибавляемым, а вычитаемое — отнимаемым.
>44
КАЗИ-ЗАДЕ АР-РУМИ
Если умножается то, в чем имеется вычитание,
то правило получения произведения состоит в том,
чтобы умножить прибавляемое па прибавляемое
и отнимаемое на отнимаемое и сложить произве-
дения, затем умножить прибавляемое па вычитаемое
и вычитаемое на прибавляемое и также сложить
произведения, а затем из первой суммы вычесть
вторую сумму, тогда получится требуемое. Если
желательно вычесть отнимаемое — это то же, что
прибавить к уменьшаемому равное вычитаемому.
Если желательно определить неизвестное но
методу алгебры и алмукабалы, то необходимо, чтобы
о нем каким-нибудь способом что-то было известно.
Если оно находится в каком-нибудь отношении
к квадрату, его считают квадратом; если оно нахо-
дится в каком-нибудь отпов1епнп к кубу, его считают
кубом: если же его отношение к какому-нибудь из
этих родов неизвестно, его называют вещью. Далее
действуют путем ухищрений, руководствуясь светом
догадок и сиянием проницаемости, пока не получится
род, равный какому-нибудь из этих родов, как,
например, вещи, равные числу пли квадратам,
т [или число, равное квадратам,] или квадраты и вещи,
равные [числу, или квадрат и число, равные вещам,
или вещи и число, равные] квадратам. Три послед-
ние [вида уравнении] называются сложными. Это —
шесть задач, которыми ограничивались древние п
по»днепп1пе [ученые], которые выяснили, каким
образом определять неизвестные, когда уравнение
сводится к одной пз этих задач Iе]. Прп этом они
не прибегали к другим уравнениям вследствие их
трудности и того, что задачи, приводящие к ним,
редки. Некоторые позднейшие ученые, однако, обра-
щались к [отдельным] задачам, близким к niecTii
задачам, до тех пор, пока учитель Шараф ад-Дин
Мухаммад ибн Мас'уд ал-Мас’уди не разъяснил
метод определения вещи в других девятнадцати
задачах [7].
Если какая-нибудь редкая задача не сводилась
к шести задачам, некоторым искусникам, обладав»-
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУС* ОДНОГО ГРАДУСА
545
Рис. 3.
8
S
щим большим опытом в различных разделах арифме-
тики, при Правильных догадках и проницательном
уме иногда удавалось достигнуть желаемого в немно-
гих схемах и видах.
К важным правилам [относится] также: если
пз одного из приравнивающихся вычесть что пибудь
и равное вычитаемому
прибавить к другому,
это — восполнение Iе].
Если имеются дроби
родов,| то они дополня-
ются [до целых], п дру-
гие роды увеличивают-
ся в том же отношеноп.
Это называется дополне-
нием [»]. Все это произ-
водится для уменьшения
и упрощения [уравне-
ния] по мере надобности.
Такие роды, как чис-
ло, вещь, квадрат и так далее, пропорциональны,
т. е. единица относится к вещи, как вещь к квад-
рату, квадрат к кубу, куб к квадрато-квадрату п
так далее.
После этой подготовки наступило время напра-
виться к цели.
Пусть дуга AD — шесть градусов — разделена
на равные части в точках В, С. Проведем хорды АВ,
AC, AD, ВС, BD, CD. [Хорда] AD известна, это
6 16 49 7 59 8 56 29 4() октав]10]. Требуется опреде-
лить ]Л7?1, т. е. хорду двух градусов. Примем ее
за вещь. Ясно, что произведение ее па CD — квад-
рат, так как они равны, произведение ]ее на] | ВС
[такое же|, так как они также равны. [Прямоуголь-
ник пз ВС] иа AD — 6 16 49 7 59 8 56 29 40 вещей,
и сумма этих двух произведений равна квадрату ДС,
т. е. прямоугольнику пз этого на BD в силу первом
предпосылки. Во второй предпосылке было доказа-
но, что избыток диаметра над хордой дополнения
дуги АС относится к хорде АВ, как АВ к полудпа-
*/« 35 Истор.-матем. исслед.. вып. ХШ
546
КАЗИ-ЗАДЕ AP-P5M1I
метру, т. е. к шестидесяти. Поэтому, если мы разде-
лим квадрат АВ, т. е. квадрат, на шестьдесят, полу-
чится одна шестидесятая квадрата, это избыток диа-
метра над хордой дополнения АС. Если мы вычтем
частное пз диаметра, т. е. ста двадцати, останется:
сто двадцать без одном шестидесятом квадрата, это
хорда дополнения АС. Если мы умножим этот оста-
ток на себя в соответствии с правилами алгебры,
получится квадрат этого — 14400 и одна трехтысяч-
шестнсотая |квадрато-| квадрата без четырех квад-
10 ратов, т. е. 4 0 0 градусов!11] и доля | указанного
без четырех квадратов, это квадрат хорды дополне-
ния А С. Если мы вычтем этот квадрат пз квадрата
диаметра, т. е. 4 О О, останутся четыре квадрата без
одной трехтысячшестнсотон квадрато-квадрата, это
квадрат хорды АС, так как диаметр равен в квадра-
тах хорде дуги п хорде ее дополнения, и, если вычесть
из его квадрата квадрат хорды дополнения дуги,
останется квадрат ее хорды]12]. По квадрат хорды АС
равен прямоугольнику из АВ на CD, т. е. квадрату,
и прямоугольнику из ВС на AD, т. е. 6 16 49 7 59 8
56 29 40 вещам. Поэтому четыре квадрата без одной
трехтысячшестнсотон квадрато-квадрата равны квад-
рату и 6 16 49 7 59 8 56 29 40 вещам. После Iвоспол-
нения] одной трехтысячшестисотой квадрато-квадра-
та и противопоставления остается: три квадрата
равны 6 16 49 7 59 8 56 29 40 вещам и одной трех-
тысячшестнсотоп квадрато-квадрата, т. е.]13] 3 00
11 квадратов | равны 6 16 49 7 59 8 56 29 40 секстам
вещей п квадрато-квадрату. Но так как все роды
находятся в одном отношении, можно все их опустить
на одну степень]14]. Если мы поступим так, получит-
ся: 3 0 0 вещем равны этому числу, т. е. 6 16 49 7 59
8 56 29 40 секстам и кубу]1®].
После этих действии все сводится к задаче: вещи
равны кубу и числу. Этого пет средн известных задач.
Однако это перестанет быть скрытым, если делить
число и куб на число вещем: в частном получится
вещь. Он, да помилует его Аллах, применил изящное
ухищрение, состоящее во введении куба в деление ]1в].
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА
547
Сначала некоторые [цифры! числа делятся па число
вещей. Образуется куб частного и присоединяется
к остатку от числа. Затем [их| сумма делится еще
раз. Образуется куб суммы двух частных, и его избы-
ток над кубом, полученным в первый раз, присоеди-
няется к остатку суммы. Далее 1нх] вторая сумма
12 делится еще раз. Образуется | куб суммы [трех!
частных, н его избыток над кубом суммы двух част-
ных присоединяется к остатку второй суммы. Далее
третья сумма делится еще раз и поступают так же,
как panbuie. Действие заканчивается тогда, когда
доходят до того, что не принимается в расчет. Необ-
ходимо вводить в деление куб вещи, получающейся
каждый раз в частном, с увеличивающейся точностью,
так чтобы одно н то же не делилось два раза. Следуя
атому- методу, мы получили при делении
2 5 39 26 22 29 28 32 52 33 нон. Это и есть искомая
вещь — хорда АВ, т. е. хорда двух градусов!1"].
Ее половина — 1 2 49 43 11 14 44 16 26 17 — синус
одного градуса. Вот схема действия!1®].
Мы делали не так, как делал он, да помилует
его Аллах, чтобы не исказить чертеж без необ-
ходимости.
Кто хочет для упрощения отбросить в написан-
ном оставшиеся цифры, может зто сделать.
|з Он сделал | это по-другому, чем мы изложили.
Поэтому мы хотим изложить это вторично. Я гово-
рю, что он, да помилует его Аллах, чертил тот же
чертеж, что чертили мы, по принимал AD за синус
трех градусов. Тогда он говорил: АВ на CD, т. е.
квадрат, и ВС на AD, т. е. 3 8 24 133] 59 34 10 28 44 25
вещей в сумме (равны] квадрату АС]16]. Далее
он говорил также: если разделить квадрат АВ, т. е.
квадрат, на тридцать, получится одна тридцатая
квадрата. Вычтем это нз шестидесяти, останется
П1естьдесят без одной тридцатой квадрата, это хорда
дополнения АС!20]. Квадрат этого— 100 и одна
девятисотая [квадрато-] квадрата без четырех квад-
ратов. Вычтем это из квадрата полуднаметра,
т. е. 10 0. Останется: четыре квадрата без одной
35*
548
КАЗИ-ЗАДЕ АР-РУМИ
девятисото» квадрато-квадрата равны квадрату и
3 8 24 33 59 34 10 28 44 25 вещам I21].
Я говорю: ты знаешь, что принцип определения
хорды дополнения АС состоит в том, что ты делишь
квадрат АВ на шестьдесят и вычитаешь частное нз
и ста | двадцати. Мы придем к цели, определив хорду
дополнения АС и квадрат хорды J С, вычитая квадрат
хорды дополнения из квадрата диаметра, так что
(«станется квадрат хорды 1С. Между произведением
ста двадцати на одну шестидесятую и произведением
шестидесяти на одну тридцатую нет разницы, однако
есть разница между (разностями! с произведениями
ста двадцати на себя и с произведением шестидесяти
на себя, так как в нервом случае уменьшаемое есть
квадрат диаметра, а во втором — квадрат полу диа-
метра. Разве ты не видишь, что по второму принципу
по квадрату хорды АС при обоих подсчетах полу-
чаются четыре квадрата н неточность и ошибка про-
исходят за счет разницы между произведением одной
шестидесятой на себя и произведением одной трид-
цатой на себя? Ошибка в этом случае не мала: если
довести действие до конца, получится 1 2 48 34,
это .меньше того, что мы получили на секунду и
•5 девять | терций.
От изучающего пе скрыто, что действия ио этой
схеме приводят к тому, что искомым частным яв-
ляется величина АВ. Он считает, что это синус одного
градуса, полагая, что если хорда дуги является
синусом трех градусов, то хорда трети этой дуги
является синусом одного градуса 1221. Но это ие так,
напротив, эта величина меньше синуса одного граду-
са на величину, с которой приходится считаться.
Хороший конец объясняется, по-видимому, тем, что
ом вычислял хорду двух градусов так же, как мы
вычисляли ее, а затем пытался вычислить синус од-
ного градуса без посредства этой хорды, действуя
с половинами того, чем мы пользовались прп вычи-
слении этой хорды, чтобы получить ее половину.
Поэтому синус одного градуса, полученный по наше-
му методу и по его методу, оказались равными одной
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА
549
п топ же величине, разница же между обоими сину-
сами в октавах и дальше произошла ие в результате
16 действий, а вследствие разницы между хордой |
шести градусов, которую мы вычислили но правилам
ученых, и удвоенным синусом трех градусов, который
он определил по тем же правилам, а на это можно
не обращать внимания. При этом следует согласить-
ся с его словами о том, что здесь получается хорда
дополнения . 1 С, а также согласиться с тем, что
эти действия не соответствуют тому, что [изображено]
на чертеже, хотя очевидно, что приводя доказатель-
ство, он прибегал к помощи этого чертежа.
Если мы хотим произвести действие только для
градуса, т. е. определить синус одного градуса на
основе доказанного, то надо сказать: умножим синус
трех градусов на девятьсот и разделим произведение
вместе с кубом частного на 45 поднятых один раз
тем способом, который уже указывался нами, в
результате получится сннус одного градуса!23].
Вообще говоря, его слова об этом весьма запутаны
п мне не удалось изложить их так, чтобы все было
гладко.
Оставим это и упомянем то, что осталось из его
слов. После восполнения и противопоставления
17 | получается, что это равно 47 6 8 29 53 37 3 37 15
септим]24). Я утверждаю, что, применив восполне-
ние п противопоставление, а также дополнение, мы
установим такую схему действия]25]. В строке част-
ного будет записан тот сннус одного градуса, который
мы определим и наличие которого пока только воз-
можно. Разделим 47 поднятых один раз на 45, также
поднятые один раз. Получится 1 градус и остаток
от делимого 2. К этому [прибавим] куб 1, также
[равный 11 градусу. [Записывая это] под его родом
вместе с остатком, получим 2 (>. Далее делим сумму,
получатся 2 минуты и остаток 36 8. Образуется
куб 1 2, это 16 12 8, и записывается по разрядам.
Избыток этого над первым кубом записывается мод
его родами вместе с остатком, это 37 14 42 1. Далее
делится эта сумма, получится 49 секунд. Куб 1 2 49
36 Истор.-матем. исслед.. вып. XIII
и
•> ’Lh J ->Х. ui.' 11 >-* &

«л^’й *'tj*'^fc
J* J ^'.jto.'JjV'jr-^
<->sj д* 'v*J U U
-!». *»У:—£<}-»>
Изложение метода ал-Каши.
КАЗИ-ЗАДЕ AP-P1MII
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СИНУСА ОДНОГО ГРАДУСА
551
есть 1 8 о1 10 23 46 49, Возьмем избыток этого над
1 6 12 8, это 0 2 39 2 23 46 49. Это записываете» под
is его родами, а затем складывается 1с остатком]. |
Получится 0 17 21 4 0 50’26. Раньше от градусов
оставалось 15 минут, которые делятся вместе с этим,
в сумме получается 0 32 21 [4 0 50 26]. В частном
получатся 43 терции. От 21 секунды остается 6 се-
кунд и т. д. В силу принципов этот остаток склады-
вается с разностью куба 1 2 49 23 и куба 1 2 49,
т. е. с 2 21 25 22 13 55 8 7 ионами. Если прибавить
к этой разности 21 и т. д., получится 23 25 26 12 40
10 8 7, а если вычесть из 23 секупд 15 секунд, оста-
нется 8 секунд. Далее разделим это, в частном полу-
чатся 11 кварт. От 25 терций останется 10 терцин.
Складывая и поступая, как было указано д <я секунд,
получим 11 2 23 и т. д. сколько угодно. Далее эта
строка сокращается путем отбрасывания того, что
за нонами и вместо этого записывается [сокращен-
ная строка] ]2в] Иа дальнейшем чертеже надо преж-
де всего записать эту строку во избежание повторе-
ния схемы, а также записать то, что в третьей стро-
ю ке, и | 33 6 12 6 14, находящиеся под соответствую-
щим им в начале таблицы [гт]. Не скрыто и то, что
осталось из этих действий, как это было упомянуто.
Пз того, что осталось, следует указать па семь октав,
отбрасывавшихся пз куба 1 2 49 43. Он учел их
и вычел их из куба после этого, записав там 45 нон,
в то время как раньше там было 52. В строке иод
этим надо записать сумму 7 и 45 после суммы8п 23128].
По в связи с тем, что он намеревался прекратить
действие раньше, чем будет произведено деление
октав, оп не интересовался этим.
Он определял также три синуса одного градуса,
приравнивая пх синусу трех градусов н произведению
куба синуса на четыре секунды, по другой схеме [28 ].
В этой другой схеме уравнение между избытком трех
синусов дуги над синусом трех таких дуг и произве-
дением куба синуса на четыре секунды решается
с помощью последовательного подбора I30]. Он сказал,
да помилует его Аллах: нз того, что мы упомянули,
36*
552
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬ I и Л. II. ЮШКЕВИЧ
го известно, | что синус каждой дуги мепыпе трех
синусов трети этой дуги на произведение куба трети
па четыре секунды]31]. Я утверждаю, что если изве-
стен синус дуги и требуется узнать синус трех таких
дуг, умножь куб этого синуса на четыре секунды
и вычти произведение пз трех таких [синусов].
Остаток и есть искомый синус.
Па этом и закончим пашу речь, восхваляя учите-
ля и молясь за пророка, его чистое потомство
и всех его друзей.
Конец.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ КАЗИ-ЗАДЕ А Р-РУ МП
Б. A. Pojeiiffif.iu) и А. II. Юшкевич
1. О рукописи, с которой переведен трактат, и о ее авторе см.
нашу статью «О трактате Калп-ладе ар-Румн об определении синуса
одного градуса» (стр. 534 535 этого издания).
2. Автор имеет в виду замечание Птолемея в гл. 10 кн. I «Алма-
геста»: «Если, например, дана хорда дуги в полтора градуса, то
хорду, стягивающую треть этой дуги, нельзя никоим образом найти
на пути линейного представления» (Claudius Р t о 1 е m а н s,
Ilandbuch der Astronomie, Obers. К. Manitius, Bd. I,Leipzig, 1912,
стр. 32). На это замечание Птолемея ссылается и ал Каши в «Ключе
арифметики», когда он упоминает свой «Трактат о хорде и синусе»
(см. ал-Каши, стр. 9).
Пералрешнмость в общем случае задачи трисекции угла и соот-
ветствующего кубического уравнения при помощи кругов н прямых
линий была строго доказана лишь II. Вапцетем в 1837 г.
3. Это предложение (так называемая «теорема Пто гемея»,
бывшая, по-внднмому, известной еще Архимеду) содержится в той
же гл. 10, кп. I «Алмагеста». Доказательства в обоих случаях оди
накопи.
4. Словом «прямоугольник* переведено арабское слово сашх,
термин, буквально обозначающий поверхность, но большей частью
в научной литературе обозначавший именно прямоугольник. Оборот
«прямоугольник из ВС на А£>* отражает особенность терминологии
текста, где отрезки ВС и A D соединены предлогом «фи», применяю-
щимся п для обозначения умножения двух чисел.
5. Это предложение дает ответ на задачу, содержащуюся в той
же гл. 10, кп. I «Алмагеста», об отыскании по хорде данной дуги
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТА КАЗИ-ЗАДЕ АР-РАМИ
553
хорды половинной дуги. В переводе иа язык современной тригоно-
метрии его можно записать в виде
. . Ф 1—cos ф
8Ш — = 2
Доказательства в настоящем трактате и в «Алмагесте» различные.
6. Шесть задач — шесть канонических видов уравнений 1-й
и 2-й степени с положительными коэффициентами, правила решения
которых излагались еще в алгебраическом трактате ал-Хорезми
(около 830 г.). Три «простых» вида: ах—Ь, ах2=Ьх, ах2=с, п три
«сложных» вида: ах2-^Ьх=с, ах2-\-с = Ьх, ах2=Ьх-}-с.
7. Шараф ад-Дин ал-Мас’уди — математик, работавший в XII—
XIII во. в г. Тусе (Хорасан), учитель Насир ад-Дина ат-Туси.
Девятнадцать задач — 19 канонических видов кубических уравне-
ний с положительными коэффициентами по обе стороны равенства.
Классификация этих уравнений, способы их решения с помощью пере-
сечения комических сечений и рассмотрение случаев невозможности
и нескольких корней были подробно рассмотрены еще в алгебраи-
ческом трактате Омара Хайяма, написанном в конце XI в. (см.
Омар Хайя м, Математические трактаты, перевод Б. А. Ро-
зенфельда, примечания Б. А. Розенфельда и А. II. Юшкевича, «Исто-
рико-математические исследования», вып. VI, 1953).
Автор настоящего трактата, как и ал-Каши (см. ал-Кашц,
стр. 192), очевидно, не знал работы Хайяма о кубических уравне-
ниях. Впрочем, ал-Каши, по-видимому, не располагал трудами
ал-Мас’уди, так как, говоря о нем, ссылается на сведения, сообщае-
мые иракским ученым XIII—Х1\ в. Камал ад-Дином Хасаном ал-
Фарсн.
8. Восполнение (ал-джабр) — алгебраическая операция, состоя-
щая в том, что если в одной из двух частей равенства имеется вычи-
таемый член, эта часть «восполняется» на вычитаемый член п равный
ему член прибавляется к другой части. Автор не упоминает здесь
операции противопоставления (ал-мукабала), состоящей в сокраще-
нии равных членов в обепх частях равенства.
9. Дополнение (ат-такмпл) — алгебраическая операция, со-
стоящая в умножении всех членов равенства па величину, обратную
коэффициенту при старшем члене, если этот коэффициент меньше
единицы, так что старший коэффициент «дополняется» до полной
степени «вещи». Автор не упоминает здесь аналогичной операции
в случае, когда коэффициент при старшем члене больше 1.
10. Здесь и далее автор пользуется шестидесятеричными дро-
бями; числа от 1 до 59 пишутся в алфавитной нумерации. Едпиицы
именуются градусами, 60-е части градусов — минутами, далее идут
секунды, терции и т. д.
Значение хорды 6° вычислялось вслед за Птолемеем так:
хорда 72° известна как сторона правильного вписанного пятиуголь-
ника, хорда 60° равна радиусу круга, хорда 12° находится как хорда
разности дуг с известными хордами, хорда 6° — как хорда полови-
ны дуги с известной хордой. Диаметр принимается равным 12п.
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. II. ЮШКЕВИЧ
11. 400 градус в — шестпдесятерпчная запись числа 14400=
=4-60a-i-0-60-f-0. Прп этом 60 градусов назывались «поднятыми»,
60 поднятых — «дважды поднятыми».
12. Выражение «диаметр равен в квадратах хорде дуги и хорде
ее дополнения» аналогично греческому выражению loog fivvipei
(«равным в квадрате»).
13. Все члены полученного уравнения умножаются па 602.
14. «Опустпть па одну степень» — разделить все чдепы урав-
нения на неизвестное. Математики средневекового Востока не
рассматривали корней уравнений, равных 0.
15. Окончательное уравнение дтя х, равного хорде 2 , имеет вид:
3-602х=хорда 6"-60’-|-rs.
16. «Введеипе куба в деление* — метод ал-Каши решения урав-
нения вида pr=x*+g, описанный в рукописи далее.
17. Найденное здесь приближенное значение корня уравне-
ния 2, 5 39 26 22 29 28 32 52 33. В «Трактате об окружности»
ал-Каши находит другим способом значение 2,5 39 26 22 29 28 32 25
(см. ал-Каши, стр. 308).
18. В рукописи оставлено место для табтпцы действия. В [25|
мы восстанавливаем аналогичную таблицу денствия для уравне-
ния, решением которого является не 2 Sin I3, а сам Sin 1 .
19. Так как хорда а равна удвоенной линии синуса , значе-
ния АН, AC, AD, НС, HD, CD п диаметр здесь вдвое меньше, чем
значения тех же величии прп выводе первого уравнения; соотноше-
ние, связывающее эти величины, здесь то же, что и получающееся
из теоремы Птолемея для прежних величин; это соотношение можно
записать в виде Sin 33-r+x2=Sin2 2°.
20. То есть 60—gj=Cos 2°. См. [»].
21. Исключая пз двух приведенных соотношении Sin2 2°,
автор получает уравнение 4га — 3TT-r = ra+Sin 3° х.
•л
22. Возражеппс ар-Р}мп было бы верным, еслп бы ал-Каши
рассматривал хорды и л пн пи синусов в одном круге (например,
прп радиусе круга, равном 1, хрд 60°=Sin 90°= 1, но
хр.д 20°#=Sin 30°=-^-^. Однак оал-Каши, как виднопз изложения
его метода Марпамом Челебн, рассматривал хорды в круге с диа-
метром 120, а лннпп синуса—в круге с диаметром 60 (см. стр. 538
нашей статьи).
23. 900-3=45-69=45 поднятым; ср. [12J. Уравнение
4х2—9QQ=r2-|-Sin 3° х прпводптся к виду 45-60г2=г‘-|-900 Sin 3°х
900 sin 3° + х»
и затем к виду х=-------------.
4э-60
24. 900 Sin 3°=15 0-3, 8 24 33 59 34 28 14 29 47 6, 8 29 53
37 3 37 15.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ КАЗИ-ЗАДЕ АР-РУМИ
555
1 2 49 43 11 14 44 16
47 6 8 29 53 37 3 37 15
45
2 7
1 30
6 12 8
37 14 42 1
36 45
29 42 1
2 39 2 23 46 49
32 21 4 0 50 26
32 15
6 4 0 50 26
2 21 25 22 13 ;>5 8 7
8 25 26 12 40 10 8 7
8 15
10 26 12 40 10 8 7
36 11 5 26 23 45 44 31 И
11 2 23 45 3G 31 52 44 31 И
10 30
.32 23 45 36 31 52 44 31 11
46 3 12 30 55 11 40 51 54 33 44
33 9 48 49 2 47 56 12 2 54 33 44
33
9 48 49 2 47 56 12 2 54 33 44
2 24 44 22 12 1 41 46 11 17 18 58 51 44
12 13 33 24 59 57 53 49 5 51 2 58 51 44
12
13 33 24 59 57 53 49 5 51 2 58 51 44
556
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД и А. П. ЮШКЕВИЧ
25. В рукописи оставлено место для таблицы действия. При-
водим реконструкцию этой таблицы (вычисления произведены
Л. А. Карповой); таблица приведена на стр. 555.
Верхняя строка этой таблицы, в которой записывается резуль-
тат вычислении, называется «строкой частного».
26. Для всех вычислений ал-Кашн характерно внимание к тому,
чтобы не вводить излишние цифры, ие влияющие па требуемую
точность результата (см. ал-Капш, стр. 273).
27. «Дальнейшим чертежом», но-впднмому, является продол-
жение таблицы, пе уместившейся у автора на одной странице.
Цифры здесь искажены.
28. Здесь, по-вндимому, имеется в впду 22-я строка нашей таб-
лицы.
«рЗ
29. Уравнение (см. (21J) можно записать в виде Зг=——-|-Sin3°;
дробь в шестпдесятеричных дробях записывается в виде 0, 0 4
(«4 секунды»).
30. Последовательный подбор (нстпкра) — прием, применяе-
мый при извлечении корней. Извлечение корпей подробно описы-
валось ал-Каши в его «Ключе арифметики» (ал-Кашн, стр. 34—40);
этот метод, в настоящее время известный под названием метода
Руффини—Горнера, применим также для приближенного решения
алгебраических уравнений. Впервые этот метод был разработай
в Китае.
31. Уравнение 3r=0,0 4z*-(-S'm 3° является частным случаем
оавепства 3 Sin —0,0 4 Sin* -^~= Sin а.
ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ
«1ICTOP11 КОМ АТЕМ ATI IЧ ECKIIX 1 ICC. IЕ, Ц)ВА ИНН»
В реферативном журнале «Математика» (Л; 2 за I960 г.) поме-
щен реферат (As 1171) моего перевода трактата Николая Орема.
Перевод вместе с моей статьей и примечаниями напечатав в выпуске
XI «Историко-математических исследований». Референт (II. Н. Весе-
ловский) называет «ошибками» перевода то, что па самом деле
нельзя называть ошибками.
1. Пз двух чтении, даваемых рукописями, а именно «дели-
мость» (divisilitas) п «разница» (diversitas) мои референт выбирает
второе чтение и заявляет: «если бы переводчик... взял другой
вариант (di versitas), то фраза получила бы смысл». Выбранное
мною чтение (стр. 687) подтверждается параллельными местами
самого трактата (стр. 685, начало 5-Й главы: «Делимости плп по-
следовательности», а также начало гл. 1-й, стр. 678). Предлагаемое
же II. II. Веселовским чтение ничем не подтверждено, кроме туман-
ной ссылки на литературу XVI века. Можно ли назвать выбор
разночтения, ие понравившегося р<ференту, ошибкой перевода?
2. Па стр. 669 референту не нравится моя конъюнктура eius
quinta («пятого положения той же книги»), хотя речь идет именно
о пятом положении. Он предлагает переводить буквально: eius
quinto (в пятой книге), хотя в пятой книге Евклида ничего похо-
жего па то, что говорит Орем, пет, и в других местах трактата
нигде пе встречается ссылок только па книгу, без указания
положений. В данном случае, следовательно, дело также не в
ошибке перевода, а в выборе разночтения.
3. Па топ же стр. 669 и на стр. 670 я счел нужным передать
дословно proportionalis словом «пропорциональный» (н соответст-
венно пользоваться выражением «непропорциональный»). Разу-
меется, это словоупотребление, как и многие другие, отличается
у Орема от общепринятого (евклидова), что очевидно из контекста.
Слово «непропорциональный» действительно, как говорит И. Н. Ве-
селовский, означает у Орема «не стоящий пи в каком отношении
к другой величине*. Но если переводить так, как предлагает рефе-
рент, получились бы вместо оремовых пояснении тавтологии: на-
пример (на той же стр. 669), пришлось бы писать: «угол bad не
стоит нн в каком отношении к углу Ьас, не превосходя его в каком-
558
ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ
ппбудь отношении» и т. п. 1 дппствепная моя ошибка может заклю-
чаться лишь в том, что я не дал соответствующего примечания.
4. Совершенно непонятно и неверно замечание, будто на
стр. 663 переводчик «прибавил еще четыре вида простой дпфформ-
ноп дпфформностн, забывая, что эти виды уже входят в число соче-
тании пз шести элементов по одному». Прибавил их не переводчик,
а сам Орем (см. стр. 663), и прибавил правильно, в чем можно
убедиться при более виим тельном чтении текста н обращении
к чертежам 1 4 рисунка 21, которые отнюдь пе соответствуют
видам «простой дпфформностн», как утверждает референт.
5. Наконец, я продолжаю настаивать, что «экстенсивность»
для Орема пропорциональна, а не равна длине дуги. Орем нигде
пе приравнивает интенсивности п экстенсивности к отрезкам, пло-
щадям и т. д., а говорит о равенстве отношений между интенсив
костями п отношений между отрезками и т. и. Ср., например,
па стр. 721: «Отношение качеств таково, каково отношение пло-
скостей».
Кроче того, реф<рент заявляет о моей статье, что «пе со всеми
выводами автора можно согласиться», и сам предлагает вз 1меи
♦гораздо более простое», по его словам, толковапие происхождения
термина «шпрота», отвергнутое уже в 1914 г. Вплептнером, причем
предлагает его без всяких новых пли старых аргументов: а именно,
он выводит понятие «шпроты формы» пл географического понятия
шпроты. Референт забыл, очевидно, что в дооремовскоп «теории
пптепспвпостп качеств и форм» (в частности в оксфордской школе)
фигурировало одно лишь понятие «шпроты», и притом в совершенно
специфическом значении, которое, как я пытался показать, близко
к терминологии Галена (ни Галей, пн оксфордцы не говорили
о «долготе качеств» пли «долготе форм»).
С глубоким уважением /?. П. Зубов
27.IX.60 г.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель Н. Г. 51, 55. 56. 72, 335. 467
Абу-л-Вафа 8. 253—324
Аверроэс 402, 425
Авилова Л. А. 48
Авиценна 307
Аганис 478. 479
Адамар 74
Адамов А. А. 73
Адкок 175
Айар Р. 343
Айар С. 340—344
Акимова Н. Н. 103
Аладов И. С. 15, 99, 106
пбн-Албапнн 237
Альвардт В. 477, 525
Альгазель 414
Андреев К. \. 29
Аполлоний 291
Аппель П. 71
Ариабхатта 331
Аристотель 389, 395, 402, 411, 425,
480, 525—530, 532
Арнольд II. В. 188
Архимед 316—318, 414, 478, 479,
529, 552
Арши И. А. 477, 525
Аустер Г. 477
Афанасьева-Эрсифест Т. А. 47
Ахмад 535
Баклуш О. А. 13, 15, 40, 103, 108
Барлоу П. 180. 196
Бауэр 350
Ьахмутская 3. Я. 334
Баше де Мезнриак ill, 112, 127,
141, 142. 145, 149, 185
Башмакова И. Г. 283
Беглеп Н. 202. 210, 211
Безу Э. 72
Бейтмен П. 75
Белозеров С. Е. 44
Белопольский А. А. 40
Бергер Н. М 39
Бере кина Э. И. 219, 235. 243. 244,
246, 248. 283
Бернулли Д. 136
Бернуллп II. 47
Бернулли Я. 452, 458 — 461, 469
Бернштейн С. Н. 90
Беспамятных Н. Д. 100
Бестужев-Рюмин К. Н. 13
Бехл ддин 237. 281, 286. 287, 323.
324
Бехтерев В М. 67
Бианки Л. 87
Билибин Н. И. 104
де-Билли Ж. Ill, 124, 125, 127,
131, 166
Биллинг 99
Бобылев Д. К. 14, 15, 24. 29, 30,
32, 83 85, 88
Богомолов 4 7
Ьогусловскпй А. 11. 102
Больцано 467
Больцман Л. 39
Бонкомпаньи В. 289
Боргман 47
Борджа (коллекция) 481
Борель Э. 472
Борисов Е. В. 35, 92
Борткевич Е О. 103
Боэций 141, 412
Брадварднн Т. 8, 385—429
Браункер 369
Брпсс Ш. 75
Брокар 97
Бромвич 361
Бронникова А. Д. 104
Вронская М. Л. 103
Брукнер 150
Бугаев Н В. 29
Будаев Н. С. 88
Булгаков Н. А. 77, 106
Буияковскпй В. Я. 72, 75. 135
Бур 24
Буридаи Ж. 427
Бурхгард 104
Бхаскара 325
Бычков Ф. Ф. 83
Бэйли В. 350. 369, 377
Бэкон Р. 399
Бэр 84
Ваймап А. А. 379
Валле-Пуссен Ж. 74
Валлис Дж. 111, 141. 150, 475
Вальтер 403, 4Ц, 414, 415, 417,
419
560
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Ван-дер-Вардеи Б. Л. 227, 2Z8
Ван Фань 228
Вапцель П. 552
Варинг Э. 175, 188
Васильев 47
Васильев А. В. 208. 209
Вашенко-Захарчепко М. Е. 323
Вебер 66
Вебер Г. 215
Вейерштрасс К. 17, 98
Вейль 99
Вейнберг Б. П. 41
Псйраух 66
Вепь-атараман А. 326, 328, 333.
334
Венков Б. А. 193
Вернер К. 389
Вертгейм 196
Веселовский II. Н. 227, 557
Вёпис Ф. 254, 277, 278, 285, 286.
293, 307, 354
Видеман Е. 399
Вилсйтнер Г. 558
Вильсон 188
Вильнм на Ольнвпка 403
Витковскнй В. В. 13. 106
Власов А. К. 81
Вороной Г. Ф. 76, 90, 99
Вудхэм А. 403
Выгодский М. Я. 257, 271, 273,
282, 296
Гадолпп А. В. 19, 82
Гален 558
Галуа 3. 335
Гамильтон 84
Ганкель Г. 283, 3G7
Гартнер В. 534, 535
Гартц В. Ф. 80, 106
Гаусс К. 36, 60, 61. 69, 70, 81, 92,
112, 192. 209, 215, 363
Гсльброи 216
Гсльмлинг 66
Гельфонд А. О. 100, 454, 463
Генрих из Харклея 403—405, 414,
417, 420, 423
Г ;петь 66
Герасимова В. М. 68
ГерН Б. А. 86
Гернет Н. Н. 47, 104
Герои 316. 317
Геронпмус Я. Л. 29. 69
Герсонид Л. 479, 526
Гершун А. 90
Гесс 86
Гильберт Д. 40, 104, 527
Гильден 70
Гипсикл Александрийский 141
Глазеиап С. П. 33, 34
Головин М. Е. 139
Гольдбах X. 107, 111, 136, 137,
142, 144 — 146, 149, 150, 158—
160, 185, 190, 191, 196, 453
Гордан 42, 43
Гордун Г. Г. 39
Горвер 556
Горячев Д. Н. 45
Граве Д. А. 7, 13, 15, 23, 77—81,
91, 96, 97
Градштейн И. С. 527
Грам 362
Грацианская Л. Н. 104
Грегори Дж. 451, 452
Грен Петр 12
Греффе 102
Григорий из Римини 403
Грин 51
Гринхилл 361
Гриффитс 344
Грош В. 75
Грубе Д. 215
Гук 63
Гульдберг 81
Гульден 429
Гуссов В. В. 44
Гюнтер Н. М. 102, 103 (п)
Давидов 51
Даламбср 70, 104
Дарабади Т. А 308
Дарлинг 365. 377
Дедекинд 74
Декарт Р 18. 60, 111, 141
Делоне Н. Б. 15, 24, 27, 61—63
Делинов 41
Демокрит 402, 403, 424
Дсрвиз В Д. 19
Джалалов Г. Д. 534, 535
ал-Джаухарп 478—481, 486, 501,
520, 523, 526, 529—532
Джордж К. М. 333
Дпгбн 193
Диксон Л. 127, 141, 194
Дикштейн С. Р. 36
Диофант 107—186, 191, 193, 194.
197
Дирихле 59, 74
Дмитриев А. Д. 105
Домогаров А. С. 32, 75
Дюгэм П. 391
Евклид 187, 288, 295, 318, 320, 324,
390, 392, 395, 412, 416, 422. 425—
427, 475, 476, 478, 479, 481. 486.
489, 496, 524—527, 530—532, 537
Ефремов Д. Д. 106
Жданов А. М. 14, 106
Шилова М. В. 103
Жирар А. 193, 194
Жордан 47, 66
Забудский Н. А. 13, 82
Заки С. 304, 534, 535
Запольская Л. Н. 103—105
Засулич Вера 67
Захарьин 53
Зеллинг 35
Зельгоф 60
Зильбер штейн II. С. 477
Золотарев Е. II. 31. 35, 52, 57, 74,
89
Зубов В. П. 404
Зутер Г. 236, 237, 285. 286
УКАЗАТЕЛЬ 1IUE1I
561
Иванов И. И. 14, 15, 23, 72, 73 (п)—
77, 92, 99, 1иО
Пмшепецкий В. Г. 13, 14, 29 (п),
30, 44, 71, 72, 104
Интельмап И. Д. 12
Кавальери 429
Кавун И. Н. 34
Каган В. Ф 42, 102, 476, 529, 530
Надин П. X. 65, 66
ал-Каласади 237, 282, 286
Кант 69
Кантор М. 211, 231, 232—234, 237,
280—283, 291, 304—307, 315,
324, 389
ал-Караджи, см. ал-Кархи
Кардано 141
Каркави 194
Кармихаэль 194
Карпов В. Н. 526
Карпова Л. А. 538, 556
Карр 339, 340, 360, 361
ал-Кархн 253, 281, 284, 294, 304—
307, 320—323
Кары-Ипнзов Т. II. 534
ал-Касс 524, 532
Кастнльоп 476
Кауелер 188
ал-Каши 8, 254, 262, 285, 295, 301,
307, 308, 310, 533—539, 552—554,
556
Кейли 361
Келлер 106
Кенигсбергер Л. 55, 67
Кеплер 429
Киселев А. А. 13, 20, 99
Клейбер И. А. 14, 81, 82
Клейн Ф. 12, 46, 104
Кнезер А. 11, 83
Ковалевская С. В. 15, 62, 63, 104,
105
Ковалевский М. М. 67
Коллинс 180, 444, 449, 451
Колосов Г. В. 15, 32, 83 (п) — вб
Кондорсэ 104
Константинов Н. А. 104
Корвнн-Круковский Ф. В. 105
Коркин А. II. 14, 29, 35, 52, 88
Коста нбн-Лука 236
Кочев В. А. 29
Коши 48, 51, 85, 112, 144, 336, 355,
361, 363, 467. 468, 472
Коялович Б. М. 15, 17, 45—47,
86 (п), 87, 90
Краевич К. Д. 72
Красоткпиа Т. А. 458
Краузе М. 477, 532
Крафт Л. Ю. 139
Кревер Р М. 106
Крелль 92
Кропотов А. 11. 44
Крупская Н. К. 104
Крылов А. Н. 87, 102
Крюгер Г. 534
Кубппкпй В. А. 526
Кузьмин Р. О. 87
Куллен 216
Куммер 51
Кунпипгем 216
Куртне М. 385, 386, 478
Кутюра Л. 86
Каджори Ф. 306
Кзттон У. 403
Лагранж 29, 31, 47. 112, 149, 150
153, 188, 200, 202, 463
Ландау 351
Лаплас 104, 349, 373, 463, 465-
467, 469, 472
Латышев В. А. 72
Лебедева В. Е. 105
Леверье 82
Левицкий Г. В. 65
Лежандр 40, 350, 463, 467, 469,
472, 479, 530
Лейбниц 111, 131, 153, 463
Лексель А. И. 139
Легши В. II. 67
Леонардо да Винчи 69
Леонардо Пизанский 110, 232—
234, 237, 287, 291, 296, 324
Ли Янь 210. 221. 228
Липин Н. В. 54
Литвинова Е. Ф. 103, 104
Литлвуд 345, 354, 355, 361, 365,
367, 373, 375, 377
Лиувплль 29. 56, 57, 65
Лобачевский II. II. 17, 18,67, 68,
101, 102, 104, 468—472, 525
Ломоносов М. В. 391
Лони 338
Лоппталь 443
Лорна Дж. 282
Лугульапд 283
Луначарский А. В. 67
Лурье С. Я. 227
Львова А. Д. 103
Лю Хуэй 7, 219, 226, 228, 229
Лю Ци 228
Люка Э. 60
Люкей II. 254, 262, 277, 278, 320
Люпггреи 98
Ляпунов А. М. 31, 32
Маиевский Н. В. 82
Майер Анна-Лиза 391, 403
Маклорен К. 56, 334, 451, 454,
456—459, 461—463, 465, 468—472
Максимова Е. А. 103
Мамедбейли Г. Д. 475, 476, 531, 532
ал-Мамуна 236, 478
ал-Мансур 256
Маракуев А. В. 220
Марков А. А. 7, 12, 13, 15, 17, 29,
30, 35, 41, 42, 64, 65, 74, 87—89,
91
Марков В. А. 7, 12, 15, 17, 24, 51,
76, 87, 88 (п) — 96
Маркс К. 356
Маркушевич А. И. 35, 36
Мартин 175
ал-Мас'удн 536, 539, 544, 553
Маткевнч Л. Ю. 106
Мейер 68
562
указатель имен
Мейер II. 209, 216
Мейер-Шагал II. 4 77
Меликов К В. 32
Мельников И Г. 192
Мснголи П. 443, 444
Менделеев Д. И. 41, С7, 89
Меркатор 448
Мерсенн 111, 193, 194, 197
Мертенс 74
Мечин Д. 97
Мещерский 11. В. 7, 14, 15, 32,
69—72, 104
Мёрдах Дж. 386
Митта г-Леффлер Г 15. 19, 22
Михайлов Г К= 109, 1 33, 137, 159
Михельсон Н. С. 16
Модзалсвский Б. Л. 108
Молин 66
Мопассан 54
Морделл 99, 365, 377
Морду хай-Гх>лто некий Д Д. 525
Морочник С. Б. 481
Мулвр 452
Муромцев А. В 106
Мусхелишвили Н. И. 32, 85. 86
Матьюа 36и
Мюллер Ф 36
Павье 31
Нагеля 99
ан-Нади мн 236
ан-Найрили 478, 532
Нарайяна 331
Нарышкина 4 7
ан-Насавп 285, 286, 295, 301, 304,
306, 3U9, 310
Насир ва-д-Дин ем. ат-Тусн
Нейгебяуяр О 187, 227, 379, 381
Нейман М 5а
Некрасов П. А= 29, 71, 72, 101, 102
Неморарий И. 324
Неру Джавахарлал 238
Нетер 66
Николаи Е. Л. 32
Николай на Отрекура 391
Ни ним ах Герааский 141, 288
Ннлаканти 327
Новиков П М. 101. Ю6
Ньютон И. 69, 70, 355, 444, 445.
447, 449, 451. 454, 471
Навил Э. Г 353
Образцов М. 3. 105
Образцов II. П. 84
Обреимов В. И. 19
Оаанам Ж. 127, 129, 153, 163
Окатов М. Ф 31
Оккам В. 427, 428
Ольтрамар 19, 50
Ольшевский Е. 385
Орем II. 385. 404, 557, 558
Остроградский М. В 16
Павленков 69
Парсе вал ь 49, 51
Паскаль 69, III, 193, 329—331,
333, 334
Паш М. 478. 530
Нелль ПО, 112, 115, 116, 131, 136,
139, 141, 143, 149, 150, 151
Первушин И М. 60
Петр Ломбардский 389
Петрович С. Г. 37
Петросян Г. Б. 478
Петрушевский Ф. Ф. 30
Пиотровский 47
Пирогов В. И. 44
Пирогов Н. И. 44
Пирогов Н. Н 17, 38, 39
Пирожков В М. 91
Питиск 231
Пиума 56
Пифагор ИЗ. 317,338, 402. 403, 405,
411
Платон 402
Плеханов Г В67
Полна Г. 76
Полосухина 47
Иопружемко 47
НоссеЕ А 7, 14, 15, 29, 30, 40 fn)—
44, 46, 47, 52, 55, 72, 88, 90, 91
Преображенский В В 102
Прим 66
Нташинкий II. Л. 13, 15, 24, 34,
52. 53(П) — 58, 88
Птолемей 231, 311, 314, 315, 318,
536, 537, 552—554
Пуанкаре А. 100, 442, 463, 468, 472
Нуансо 31
Пуассон 31, 51
IIутята А. Д. 106
Пшеборский А. П. 89
Раджа гопал Ц. К. 326, 328, 333,
334
Раманужан С. 8, 335—378 (п 337)
Рао Р. 340—344
Региомонтан ПО
Ренсольд 40
Ригер Г. 209
Рийке 104
Риман Б. 66, 74, 362, 363
Ринд 279
Роберваль 189
Роберт Линкольнский (Больше-
головый) 403, 420, 423
Роде Л. 281
Роджерс 349, 358, 365, 366
Розенфельд Б. А 257, 262, 475,
476, 478—483, 526, 533, 535, 539,
552
Ролль 49, 51, 76. 77
Ростовцева О С. 103
Роте Р. 59
Рошин П. Е. 13
Рудно Ф 108, 133
ар-Руми Кази-заде 8, 533—554
Руффини 556
Рушка Ю= 534, 535
Рыбников К. А. 257
Рнго Г. 83, 84
Сабит ибп-Курра 524, 532
Савич С. Е. 17, 18, 54, 75
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
563
Саккери Дж. 475
Салмон 48
Салье М. А. 452, 535
Саундерсов 167
Сегаль В. С. 482, 535
Сеге Г. 76, 371, 375
СеднПо Л. 534
Селезнев П. С. 106
Селиванов Д. Ф. 13—15, 17, 16, 23,
58(11) — 61, 65, 88, 104
Сен-Гупта П. 333, 334
Сен-Мартен 153
Сильвестер 64
Симпликий 478, 523, 524, 532
Синг А. Н. 235, 283, 284, 305, 334
Спид бен-Али 236, 2 8
Слешпнскпй II. В. 86
Смирнов В. II. 31, 85, 103, 100
Смит Д. Ю. 8, 476, 527, 528, 532
Соболев С. Л. 103
Сомов II. II. 30, 32
Сонин Н. Я 7, 15, 24, 44—47, 87,
108
Сохоцкий Ю. В. 7, 13 — 15, 18. 19,
23, 33—38, 52, 59, 88, 90, 96
Спасений Б. II. 39
Спринг Ф. 345, 353
Станевич В. II. 14, 2.”. 99—lol
Стебницкан A. II. ВН
Стевии С. 193
Сгеклов В. А. 40, 67, 87
Стёрмер К. 80, 96—99
Стильтьсс 472
Стирлинг 453, 454, 458, 471
tтрупе В. Я. 104
Суворин А. С. 15
Султанов Р. М. 476
Сунь-цзы 7, 219—230
Суслов Г. К. 32
Суходольский В. 385
Сушкевич А. К. 59
ал-Таиби 294
Танненберг В. Н. 15
Тейлор 454, 455, 459, 460, 463
Теплякова В. ГТ. 103
Тимур 535
Тимченко И. Ю. 306, 462
Толстой Л. Н. 101
Трачевский А. С. 67
Тропфке II. 282, 283
Трост 3. 197, 209
ат-Туси 8, 475—532, 553
Уатт 24, 25
Угукагин 283
Уиттекер 361
5 лугбек 535
Уокер Дж. Т. 353
Уотсон Дж. Н. 360, 370
Успенский Я. В. 77
ал-Фарси 553
Федоров Е. С. 15, 52
Фемнстий 398
ФермЛ II 111. ИЗ, 120, 121, 127
131, 136, 137. 141, 142, 150, 153,
166, 179, 182, 188—190, 192—
195, 200, 201
Филиппов М. М. 15, 67(п) — 69
Филлипс 369, 377
Фогель К. 281, 282, 287
Форсайз 360
Фотиева В. С. 482
Фохт К. В. 46, 47, 104
Франель Ж. 75
Френикль де Бесси 111, 153, 193,
194
Фридман А. А. 32
Фрилендорф Ф. 3. 17, 32
Фробениус 66
Фруляин 51
Фукс В. 75
Фурье 51
Фус Н. И. 139, 156, 157, 202,
211
Фус П. Н. 107, 118
Фу >тер 197, 216
Фютер Р. 138
ал-Хазиии 399
ал-Хайсам 478—481, 486, 488, 499,
524, 526, 527, 529, 580, 531
Хайям Омар 4 76, 478, 480—482,
486, 489, 497, 449, 511, 526—529,
531, 532, 536, 553
ал-Хайямн (Омар Хайям) 482, 486,
489, 499, 511
ал-Ханафи 477, 481, 482, 523, 524,
532
Харди Г. 336. 339—347, 349—361,
363, 364, 366, 367, 369, 371—373,
375—377
ал-Хассар 286
Хилл Э. 463
Хоббс 356
ал Хорезми 236—238, 253, 280, 289,
291, 293. 2.5, 316, 478, 553
Хулагу 481
Пай Юн 228
Цсйтен Г. 304
Цзин II. 238
Цнпгер В. Я. 101, 102
Цингер Н. Я. 14
Цянь Бао-цзуп 226
Чаплыгин С. А 41
Чебышев П. .1. 7, 12, 15—20, 22,
23, 25—28, 33—35, 4и. 46 — 48.
52. 55—57, 60, 73, 74, 77, 81. 88,
101, 105, 135
Челеби М. 533Г"535. 537, 554
Чехов А. ГГ. 48, 53
Чжань Цапь 235
Чигорин М. И. 87
Човля 216
аш-Шайдапапи Абдаллах 236
Шапошников II. А. 87
Ш неман 102
Шёнфлисс 104
Шифф В. II. 13. 15, 24. 47 (п). 48
103, 104
56 i
УКАЗАТЕЛЬ имен
ШиффП. А. 13—16, 19, 47—49 (п)—
52, 65, 76, 92
Шодл а ибн-Аслам 234
ШпаЛзер А. 133
П1ротер 108
III амм 3. 386
Штпфель 141
HIjm В. 385
Шур 105
Шур И. 365, 366
Щиглева В. В. 101
бсн-Элдра Авраам 234, 236, 237
Эйзенштейн 90, 92
Эйлер И. А. 139
Эйлер Л. 7, 59, 60, 74, 75, 104, 107—
216, 336, 338,375, 451—454, 458—
463. 465, 468 — 472
Эйнштейн А. 356
Эльхатайн 235
Эпест) м Г. 108, 109, 114, 132, 133,
137, 159, 190, 443
Эннепер А. 36
Эратосфен 187
Эрмит 36, 45, 57, 58, 80
Юсупов Н. 293, 294. 304
Юшкевич А. И. 107, 222, 257, 262,
280, 283, 480, 526, 533, 535, 553
Якоби 41, 58, 59, 71, 75, 336, 349,
375
Яновская С. А. 525
Agostini А. 443
Воуе г С. В. 386
Catton М. 428
Clagett М. 400
Clalr-Tisdall W. S. 308
Crosby Н. L. 389, 400, 418
Batla В. 235, 283, 284, 305
Hijksterliuts Е. J. 389
Eisenlolir 79
Faber G. 459
George К. M. 334
Halin S. 389
Hofmann J. E. 389, 453, 458
Hoclilieiin A. 253, 285
Karaniato J. 443
Lacroix S.-F. 463
Lechler G. 386
left G. 389
IlbrI G. 234
I orey W. 11
Loria G. 237
Malinke D. 164
Manltlus K. 552
Needham J. 219, 220
Nes elm an n G. H. F. 237, 279
287
Pelster F. 403
Pickard XV. A. 530
Preece C. 377, 378
RIgand S. P. 444
Sclioy C. 535
Slngli A.-N. 235, 283, 284, 305
334
Szego G. 377
TIiurean-Hangin F. 283
XXatson G. N. 377. 378