/
Текст
и. С. БЕРЕЗИН и Н. П. ЖИДКОВ
МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962
11-5-2
АННОТАЦИЯ
В первом томе книги рассмотрены действия с при-
ближенными числами, теория интерполирования, числен-
ное дифференцирование и интегрирование, равномерные
и среднеквадратичные приближения функций.
Книга предназначена в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических и физико-мате-
матических факультетов, специализирующихся по вы-
числительной математике, и лиц, интересующихся тео-
рией и практикой численных методов.
Иван Семенович Березин и Николай Петрович Жидков.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ, т I.
Редакторы Б. М. Будак и А.Д. Горбунов.
Техн, редактор Н. Я. Мурашова. Корректор А. С. Баку лова.
Печать с матриц Подписано к печати 30/1 1962 г Бум 60 X 9O'/i6 Физ печ л 29.0.
^словн печ. л. 29,0. Уч -изд. л. 31,68. Тираж 25 000 экз Цена книги 1 р 10 к Заказ № 596.
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, Б-71. Ленинский проспект, 15
Типография № 2 нм. Евг Соколовой УПП Ленсовнархо *а
Ленинград. Измайловский цр , 29
------------------------------------------------- у-------------------------------
Отпечатано с матриц типографии № 2 им. Евг. * Соколовой УПП Ленсовнархоза
в типографии им. Котлякова Госфиниздата СССР. Ленинград. Садовая, 21 Заказ 308
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . .......................................... ... 7
Введение..................................................... 9
§ 1. Предмет вычислительной математики...................... . 9
§ 2. Метод вычислительной математики........................ 10
1. Функциональные метрические пространства (10). 2. Функции,
определенные на функциональных пространствах (12). 3. Метод
вычислительной математики (13)
§ 3. Средства вычислений..................................... 16
1. Арифмометр. Клавишные вычислительные машины (17).
2. Счетно аналитические машины (20). 3. Электронный выии-
слитель (27). 4. Универсальные электронные цифровые вычи-
слительные машины (30). 5. Средства вычислении и задачи
вычислительной математики (33).
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики.
Краткое содержание курса................................. 35
Глава 1 Действия с приближенными величинами..................... 38
§ 1. Классификация погрешностей.............................. 38
1. Источники погрешности результатов вычислений (38).
2. Задачи, возникающие при работе с приближенными величи-
нами (39). 3. Правила округления чисел (40). 4. Классифика-
ция погрешностей (41).
§ 2. Неустранимая погрешность........................ . , . 42
1. Абсолютная и относительная погрешности числа (42). 2. Вер-
ные знаки числа (44). 3. Неустранимая погрешности значения
функции для приближенных значений аргументов. Погрешности
результатов арифметических операций (48).
§ 3. Погрешности округления ...... .......... 53
§ 4. Полная погрешность .............. . . ............. 57
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей ... 59
§ 6. Среднеквадратичные погрешности .... .............64
1. Систематические и случайные ошибки (64). 2. Среднеквадра-
тичные погрешности (66). 3. Обработка результатов по методу
наименьших квадратов (68). 4. Среднеквадратичная погреш-
ность функции (72). 5. Среднеквадратичная погрешность равно-
мерно распределенной величины (74).
Упражнения . . . .......................................... 76
Литература................................................... 76
Глава 2. Теория интерполирования и некоторые ее приложения 77
§ 1. Постановка задачи ... . , . . . ................... 77
1 Линейные множества. Линейно независимые системы эле-
ментов (78). 2. Задача интерполирования (78). 3. Построение
интерполирующей функции (79). 4. Системы Чебышева (81).
5. Основные вопросы теории интерполирования (84).
§ 2. Интерполяционны)! многочлен Лагранжа.................... 84
1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа (84).
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих
узлов (87). 3. Интерполяционная схема Эйткена (88).
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа ..... 90
I. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки (90).
2. Выбор узлов интерполирования (92). 3. Неустранимая
погрешность формулы Лагранжа (96р
§ 4. Остаточный член общей, интерполяционной формулы......... 98
§ о. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков 102
1. Разделенные разности и их свойства (102). 2. Вывод фор-
мулы Ньютона для неравных промежутков (106). 3. Остаточ-
ный член формулы Ньютона (109).
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 112
1. Конечные разности и их свойства (113). 2. Вывод интер-
поляционных формул Ньютона (118). 3. Остаточные члены
интерполяционных формул Ньютона (122).
' § 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные раз-
ности ........................................................ 125
1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя и
Эверетта (125). 2. Остаточные члены интерполяционных фор
мул с центральными разностями (136).
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирова-
ния для равны* промежутков...............................142
1. Диаграмма фрезера (142). Понятие об операторном методе
вывода формул интерполирования (145).
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса....................149
$ 10. Интерполирование периодических функций..................152
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочле-
нами ....................................................163
1. Интерполяционный многочлен Эрмита (163). 2. Общий вид
интерполяционного многочлена Эрмита (169). 3. Остаточный
член интерполяционной формулы Эрмита (172). 4. Разделен-
ные разности с повторяющимися значениями аргумента (173).
5. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разде-
ленными разностями (179).
§ 12. Интерполирование функции многих независимых переменных 181
1. Трудности задачи интерполирования функций многих пере-
менных (181). 2. Обобщение интерполяционных формул Нью-
тона на случай функций многих переменных (186). 3. Другие
способы построения интерполяционных многочленов для функ-
ций многих переменных (192).
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного .... 195
§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц .... 196
' § 15. Обратное интерполирование............................202
Упражнения ................................................20 з
Литература 216
Глава 3. Численное дифференцирование и интегрирование . . . 217
§ 1. Задача численного дифференцирования...................217
§ 2. Формулы численного дифференцирования ................220
1. Формулы численного дифференцирования для неравноотстоя-
щих узлов (220). 2. Формулы численного дифференцирования
для равноотстоящих узлов (226). 3. Безразностные формулы
численного дифференцирования (230), 4. Метод неоиределен-
ных коэффициентов (234). 5. Выражение разностей через
производные (235).
§ 3. Задача численного интегрирования........................237
§ 4. Формулы Ньютона — Котеса................................240
1. Вывод формул (240). 2. Остаточные члены формул (243).
3. Формула трапеций и формула Симпсона (249).
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса ...............254
1 Построение формул. Абсциссы формул Гаусса (254). 2. Оста-
точный член формул Гаусса (253) 3 Коэффициенты формул
Гаусса (260). 4. Формула численного интегрирования Эр-
мита (264). 5. Формулы численного интегрирования Мар-
кова (266).
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева..............269
1 Построение формул (269). 2. Остаточный член формул
Чебышева (276).
§ 7. Сходимость квадратурных процессов.................... . 279
§ 8. Формула Эйлера . . ......................... 284
1. Числа и многочлены Бернулли (284). 2. Формула Эйлера и
примеры ее применения (289).
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности
подынтегральной функции.......................................297
1. Формула Грегори (297). 2. Формула Лапласа и другие
формулы (302).
G 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегри-
рования .................................................305
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности численного
интегрирования (306). 2. Замечание о вычислении интегралов
с переменным верхним пределом (308).
§11 . Вычисление несобственных интегралов....................308
1 Метод выделения особенностей (309). 2. Специальные
приемы (313).
§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов...........315
1. Метод повторного применения квадратурных формул (315).
2. Метод замены подынтегральной функции интерполяционным
многочленом. (319). 3. Метод Л. А. Люстерника и В. А, Дит-
кина (322). 4. Замечание о методе Монте-Карло (324).
Упражнения....................................................325
Литература ...................................................330
Глава 4. Равномерные приближения . .............................331
§ .1. На.цддсчшее приближение в линейных нормированных про-
' странствах .... . ...............................-333
1. Линейное нормированное юостргнство (333). 2. Элемент
наилучшего приближения (333). 3. Существование элемента
наилучшего приближения (334). 4. Единственность элемента
н- илучшего приближения (336).
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций
обобщенными многочленами.....................................337
1. Наплучшее поиближение в пространстве С (337). 2. Тео-
рема Хаара (337) 3. Теорема Чебышева (343).
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного прибли-
жения ... ......... ................................347
1. Теорема Вейерштпасса (349). 2. Теоремы о чоэядке при-
ближения с помощью многочленов Бернштейна (352).
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения . . 355
§ 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного при-
ближения непрерывных функций..................................358
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов наи-
дучшего приближения . ............................. 364
1 Предварительные замечания (365). 2. Первый способ при.
ближенного построения многочлена наилучшего приближе-
ния (373). 3. Второй способ приближенного построения много-
члена наилучшего приближения (378).
Упражнения . .............................. .... 38*»
Литература ... ............................. 385
Глава 5. Среднеквадратичные приближения .... ... 38G
§ 1. Гильбертовы пространства .............................. 387
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве.
Ряды Фурье ........................................... 390
§ 3. Приближения в гильбертовом пространстве.................395
1. Построение элемента наилучшего приближения (396).
§ 4. Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими
многочленами ...................... ...... 398
1. Ортогональные системы многочленов (400). 2. Рекуррентные
соотношения для ортогональных многочленов (401). 3 Тожде-
ство Кристофеля—Дарбу (403). 4 Свойства ортогональных
многочленов (404) 5. Дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют ортогональные многочлены (405).
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 406
1. Многочлены Якоби (406). 2. Многочлены Лежандра (411).
3. Многочлены Чебышева первого и второго рода (416).
4. Многочлены Лагерра и Эрмита (419)
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов 423
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометриче-
скими многочленами ...........................................433
§ 8. Приближение функций, заданных таблицей, по методу наи
меньших квадратов............................................ 434
§ 9. Приближения чо методу наименьших квадратов алгебраиче-
скими многочленами . . ..................... 436
1. Система многочленов, ортогональных на множестве равно-
отстоящих точек (437).
§ 10. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания
результатов наблюдения . .................................... 444
§ 11. Применение метода наименьших квадратов к пош роению эм-
пирических формул. Решение систем линейных алгебраических
уравнений по методу наименьших квадратов..................... 446
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометриче-
скими многочленами по методу наименьших квадратов .... 451
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов До, и* , 6* в случае
Л' = 4р . .... .... 455
Упражнения . . ..... .... 463
Литература ................................................ . 464
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой обработанный и расширен-
ный курс лекций, прочитанных для студентов Ш и IV курсов меха-
нико-математического факультета Московского государственного
университета, специализирующихся по вычислительной математике.
Авторы ставили своей задачей, изложить с возможной строгостью
сложившиеся в настоящее время методы численного решения важ-
нейших математических задач. Развитие вычислительной техники за
последние годы наложило свой отпечаток на вычислительную мате-
матику, Авторы старались отразить это в своем курсе. Но тут
встретились большие трудности, вызванные двумя причинами. С одной
стороны, требовалось дать не очень обширное систематическое изло-
жение важнейших численных методов липам, не знакомым со спе-
цификой вычислительной работы С другой стороны, многие напра-
вления современной вычислительной математики еще не сложились
окончательно.
В последние годы в вычислительную математику все глубже и глубже
проникают идеи функционального анализа. Благодаря этому лучше,
выясняется существо каждого отдельного метода, вскрывается глу-
бокая связь между различными на первый взгляд методами. В на-
стоящем курсе делается попытка использовать функциональноанали-
тическую базу при изложении каждого раздела. Так как знание
функционального анализа не предполагается, то в курс введены
посвященные ему параграфы. Эти параграфы вводятся в том месте, где
возникает необходимость использовать соответствующий материал.
Изучение вычислительной математики немыслимо без решения
значительного количества задач. Было бы затруднительно в одной
книге дать разбор большого количества примеров на различные слу-
чаи, с которыми вычислитель может встретиться на практике. По-
этому здесь мы приводим лишь очень простые примеры, иллюстри-
рующие основной материал книги. В конце каждой главы приведены
упражнения, решение которых должно способствовать лучшему
усвоению излагаемого материала. Предполагается, что студенты
параллельно со слушанием курса решают практические задачи под
руководством преподавателя, от которого получают необходимые
указания по практике вычислений.
Необходимо указать, что никакой курс не может дать оконча-
тельных рецептов для решения всех конкретных задач вычислитель-
ной математики. Вычислительная работа, как и всякая научная
работа, требует творческого подхода. Изложенный здесь материал
призван служить лишь подспорьем, позволяющим с большей ско-
ростью и эффективностью находить пути для решения задач практики.
Для более углубленного изучения отдельных разделов авторы
отсылают к соответствующей литературе, указанной в конце каж-
дой главы.
План книги и рукопись обсуждались на кафедре вычислительной
математики Московского университета, В процессе обсуждения было
высказано много ценных замечаний и предложений. Авторы выражают1
глубокую благодарность участникам обсуждения: зав. кафедрой
акад. С. Л. Соболеву, чл.-корр. АН СССР, проф. Л. А. Люстернику.
профессорам А. А. Ляпунову и М. Р. Шуре-Буре, доцентам
А. Д. Горбунову, В. Г. Карманову, В. В. Русанову, Ю. А. Шрей-
деру и ассистент}' Н. С. Бахвалову. Авторы выражают также
глубокую благодарность чл.-корр. АН СССР, проф. А. Н. Тихонову
и доц. Б М Будаку за их труд по рецензированию книги и за ряд
ценных предложений и замечаний.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали
большие трудности при ее. написании. Конечно, эти трудности не
всегда удавалось преодолеть наилучшим образом. Читатели, вероятно,
смогут высказать много замечаний и дать свои предложения по
улучшению книги. Авторы просят присылать им эти предложения
и замечания и заранее благодарят за них читателей.
Книга разбита на два тома; первый из них содержит главы 1—5,
второй — главы 6—10 что соответствует также разделению курса
«Методов вычислений» на первую и вторую части, читаемые для
студентов 3-го и 4-го годов обучения.
И. С. Березин, Н. II. Жидкое
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет вычислительной математики
Современная математика достигла больших успехов. Однако до
последнего времени главные усилия математиков были направлены
на создание строгой логической базы для выработанных ранее мето-
дов, расширение множества объектов, к которым эти методы при-
менимы изучение качественной природы математических объектов.
Гораздо меньше внимания уделялось разработке методов доведения
математических исследований до числового результата, а это зача-
стую является интересной трудной и чрезвычайно важной для прак-
тики задачей.
В самых разнообразных областях современной науки и техники
все чаще приходится встречаться с такими математическими зада-
чами, для которых невозможно получить точного решения класси-
ческими методами или же решение может быть получено в таком
сложном виде, который совершенно неприемлем для практического
использования. Так, например, очень часто приходится встречаться
с необходимостью решения систем линейных алгебраических урав-
нений с десятками и сотнями неизвестных, с задачей отыскания
корней алгебраических уравнений высоких степеней и корней транс-
цендентных уравнений, с необходимостью решения систем диффе-
ренциальных уравнений, которые не интегрируются в элементарных
функциях, и т, д.
Количество задач такого рода особенно сильно возросло в по-
следнее время в связи с бурным развитием науки и техники. От
математиков потребовалось создание новых более мощных вычисли-
тельных методов, были поставлены новые вычислительные задачи,
увеличился объем вычислений. С другой стороны, успехи науки
и техники, в особенности физики и радиотехники, дали в руки ма-
тематиков новые мошные вычислительные средства. В свою очередь
новые вычислительные средства заставляют математиков пересмот-
реть существующие методы с точки зрения рациональности их реа-
лизации на новых машинах, поставили перед математиками ряд
новых своеобразных задач.
По этим причинам в последнее время начала складываться
область математики, которая призвана разрабатывать методы
доведения до числового результата основных задач математического
анализа, алгебры и геометрии и пути использования для этой цели
современных вычислительных средств Эта область математики
и получила название вычислительной математики.
§ 2. Метод вычислительной математики
Круг задач, с которыми приходится сталкиваться в вычисли-
тельной математике, очень широк. Разнообразны и методы, приме-
няемые для решения этих задач. Однако можно заметить одну
общую идею этих методов. Эта идея отчетливее всего выражается
в терминах функционального анализа. Поэтому мы введем предва-
рительно некоторые, важнейшие понятия функционального анализа.
1. Функциональные метрические пространства. Основным
предметом исследования в классическом математическом анализе
является числовая функция. С появлением понятия функции одной
и нескольких переменных, функции точки в евклидовом прострап
стве начался современный этап развития математики. Начиная с ра-
бот Ньютона и Лейбница и до конца XIX века подавляющее боль-
шинство математических исследований так или иначе было связано
с этим понятием. Главным предметом изучения были числовые
функции и их системы, заданные в «-мерной области, т. е, на не-
котором множестве «-мерного евклидова пространства.
Двадцатый век внес много нового в эту картину. Особо важную
роль начинает играть понятие о функциональном множестве, о функ-
циональных I ространствах и о функциональных операторах, т. е.
о функциях, аргументами которых также являются элементы функ-
циональных пространств. Вместо евклидовых пространств рассмат-
риваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь
самую различную природу. Так, например, вводится понятие метри-
ческого пространства R как абстрактного множества, для любых
двух элементов х и у которого определено понятие расстояния
р (х, у) удовлетворяющее следующим условиям:
1. р (х, у)^0, причем р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда
х совпадает с у.
2. р(х, у) = р(у, х).
3. р(х, _у)<С р (х> У) Для любых трех элементов х,
у, z, принадлежащих R (аксиома треугольника).
Евклидовы пространства с обычным определением расстояния
в них удовлетворяют всем Этим условиям. Но могут быть и другие
метрические пространства. Так, рассмотрим множество всевозмож-
ных непрерывных функций, заданных на отрезке [а, 6]. Для любых
двух таких функций х (t) и у (t) определим расстояние р(х, у) ра-
венством
р(х, _у) = шах |х(0 —(1)
Нетрудно проверить, что так определенное расстояние удовлетво-
ряет всем трем поставленным выше условиям. Таким образом, мы
получили функциональное метрическое пространство, которое обычно
называют пространством С.
Другим важным классом функциональных пространств являются
гфостранства L„. (Здесь р — действительное число ^1.) Измеримая,
на [а, 6] функция /(f) принадлежит Lp, если суммируема |/(0|Р ’).
Две функции х (Z) и у (Г), принадлежащие Lp, считаются эквива-
лентными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве
меры нуль. Расстояние р(х, у) в Lp определяется следующим образом:
Р (х, у) =
/ И (0 — \Pdt
(2)
Так определенное расстояние удовлетворяет трем поставленным выше
условиям.
Можно было бы значительно расширить примеры различных функ-
циональных пространств, но мы на этом пока ограничимся.
В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрест-
ности данной точки. Назовем г-окрес тностью точки х некоторого
метрического пространства R. совокупность его точек у, для кото-
рых выполняется неравенство
?(Х,у)
е.
(3)
В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на [а, 6]
функций, лежащих в полосе х(Г)±е (рис. 1). В пространстве Lp
') О мерс множеств, измеримых и суммируемых функциях можно про-
честь, например, з книге И. П. Натансона «Теория функций вещест-
венной переменной».
это будет совокупность всех функций, принадлежащих Z,?, для ко-
торых
ь
f I X (t) —у (О |₽di < ь® (4)
а
При этом в отдельных точках отклонение y(f) от х (/) может быть
очень большим, а зато в других точках будет очень малым (рис. 2).
В вычислительной математике часто приходится заменять одну
функцию x(t) другой функцией, более удобной для вычислительных
целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую
функцию берут в некоторой г-окрестности первой. Если е-окрест-
ность берется в пространстве С, то говорят о равномерном при-
ближении функции х(/). Если е-окрестность берут в простран-
стве Lp, то говорят о приближении в среднем. В частности, при
р = Ч говорят о среднеквадратичном приближении.
2 . Функции, определенные на функциональных простран-
ствах. Точно так же, как в классическом математическом анализе,
можно ввести понятие функции, аргументом и значением которой
будут элементы абстрактных пространств.
Пусть нам даны два абстрактных пространства и R2. Пусть
каждому элементу x^R. поставлен в соответствие элемент у £ R,
Тогда мы будем говорить, что нам задана функция
у = А (х) (5)
с областью определения и областью значений принадлежащей R2.
В частности, если R2 является областью действительных или ком-
плексных чисел, то -4(х) называется функционалом. Простейшим
примером функционала в пространстве С будет являться
ь
/(х) = f x(t)dt. (6)
а
Пространство /?2 может совпадать с пространством Rx и тогда будем
называть Д(х) оператором. Область математики, изучающая свой-
ства функциональных пространств и заданных на них функций, и
носит название функционального анализа.
3 Метод вычислительной математики. Теперь можно охарак-
теризовать метод вычислительной математики.
В вычислительной математике приходится сталкиваться с самыми
различными задачами. Но большинство этих задач может быть за-
писано в виде
у = А(х), (7)
где х и у принадлежат заданным пространствам R} и R? и А(х)—
некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании у по
заданному х, либо в отыскании х по заданному у. В пашем курсе
мы будем иметь дело только с такими задачами Далеко не всегда
с помощью средств современной математики удается точно решить
эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях и при-
бегают к вычислительной математике. Иногда задача и может быть
решена точно, но методы классической математики дают ответ после
громоздких и трудоемких вычислений. Поэтому в задачи вычисли-
тельной математики входит также разработка приемов и методов
наиболее рационального решения конкретных задач. Как это делается
в различных случаях, будет видно из дальнейшего курса. Сейчас же
мы выскажем некоторые общие сообщения.
Основным методом, при помощи которого в вычислительной
математике решают поставленные выше задачи, является замена про-
странств и R2 и функции А некоторыми другими пространствами
и R2 и функцией А, более удобными для вычислительных целей.
Иногда бывает достаточно произвести замену пространств R{ и R2
или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функ-
цию А. Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой
задачи
У = А (х), (8)
x£Ri, у(г&2 — было в каком-то смысле близким к точному решению
исходной задачи (7) и его возможно было бы практически отыскать
с сравнительно небольшими трудностями.
Например, пусть необходимо вычислить интеграл
ь
У = f f(x)dx-
а
где f(x)—непрерывная функция, причем неопределенный интеграл
не берется в элементарных функциях. Чтобы получить достаточно
точное приближенное значение интеграла, можно идти двумя путями.
1. Заменим функцию f (х) алгебраическим многочленом Р (х).
равномерно приближающим функцию f(x) на отрезке [а, Ь] с необ-
ходимой степенью точности. Как будет показано в главе 4, это всегда
ь
сделать можно. Вместо интеграла у — f(x)dx будем находить
а
Ь
интеграл у = j Р (х) dx, вычисление которого не составляет труда.
а
Ъ
Здесь мы, не меняя функционала А (/) = f (х) dx, заменяем про-
а
страпство С, которому принадлежит /(х), пространством многочле-
нов и вместо функции /(х) берем многочлен Р (х) из некоторой ее
s-окрестности.
ъ
2. Из определения интеграла J” f{x)dx следует, что всегда можно
а
п
построить интегральную сумму V/(х5)Дх{, которая будет доста-
i -1
точно близка к значению интеграла Следовательно, вместо вычисле-
ъ
ния интеграла y=J~f(x)dx можно решать другую задачу — задачу
а
вычисления конечной суммы
п
i=l
Ь
Здесь мы уже заменяем функцию A(f)^ j f(x)dx новой функцией
а
п
= fkx^^Xi.
1=1
Для успешного применения указанного выше метода вычисли-
тельной математики необходимо в первую очередь иметь рациональ-
ные способы замены пространства R другим пространством R.
Часто для этой цели в пространстве R отыскивают конечное мно-
жество элементов
<?i. ......
которые бы, с одной стороны, достаточно хорошо аппроксимиро-
вали каждый элемент пространства /?, а с другой стороны, были бы
достаточно удобны для вычислительной работы. При этом в каче-
стве R берут пространство, состоящее из этого конечного числа
элементов, и элементу <р £ R ставят в соответствие ближайший эле-
мент или один из ближайших, если таких элементов несколько.
В дальнейшем мы увидим много примеров того, как это осущест-
вляется.
Такой прием не всегда применим. Для того чтобы им можно-
было воспользоваться, необходимо наложить дополнительные огра-
ничения на метрическое пространство R. Не вдаваясь в подробности,
укажем на те свойства, которыми в этом случае должно обладать
пространство R. Для любого е > 0 должны существовать элементы
срь <р2, . .., <р„ такие, что какой бы элемент мы ни взяли,
найдется такой элемент <р{, для которого
Р (ф. ?i) < -•
В этом случае элементы ср,, ©2. • ••. называют г-сетъю простоан-
ства R. Из наличия s-сети при любом е > 0 будет вытекать ком-
пактность пространства R в себе Это означает, что из любой
последовательности элементов принадлежащих R, можно выде-
лить фундаментальную подпоследовательность, т. е. такую подпо-
следовательность что для любого 6 > 0 найдется целое поло-
жительное N, что при т и п > N имеет место неравенство
р(К’ К)<8-
Из наличия s-сети при любом е > 0 следует также сепарабельность
пространства R, что означает существование счетного всюду плот-
ного в R множества элементов, т. е. такого множества, что в любой
окрестности элемента ср £ R найдется хотя бы один элемент этого
множества.
Однако из предыдущих рассуждений нельзя делать вывода, что
конечные аппроксимирующие группы можно использовать только
Для компактных в себе пространств. Во-первых, нужно заметить,
что современный функциональный анализ не связан каким-либо одним
способом метризуемости. Наоборот, одна и та же функция может'
служить элементом самых различных пространств. Функциональные
пространства могут целиком вкладываться в другие функциональные
пространства с сохранением или потерей понятия близости, расстоя-
ния и других. Иногда возможно рассматривать пространство R как
предельное множество его подпространств Rn, обладающих нужными
нам свойствами.
Можно было бы многое говорить относительно различных при-
менений функционального анализа в вычислительной математике.
Однако удобнее это сделать при изложении конкретного материала
курса.
Резюмируя сказанное выше, мы отметим, что в настоящее время
перед вычислительной математикой стоят следующие основные
задачи.
1, Приближение множеств в функциональных пространствах.
2. Приближение функций, заданных на функциональных про-
странствах.
3. Разработка рациональных алгоритмов и методов решения за-
дач в условиях применения современных вычислительных машин.
§ 3. Средства вычислений
Исследуя методы решения конкретных задач, мы должны, есте-
ственно, учитывать те вычислительные средства, которые имеются
в нашем распоряжении. Поэтому, не ставя своей целью дать техни-
ческое описание различных вычислительных машин и приборов, мы
приведем здесь краткие характеристики наиболее важных из них.
Некоторые из описанных здесь машин еще нс получили у нас до-
статочного распространения в математических расчетах. Однако раз-
витие счетной техники в ближайшие годы должно привести нас
к тому, что ни одно более или менее серьезное научное учрежде-
ние не сможет обойтись без этих средств
Математические машины и приборы делятся на две большие
группы: непрерывного действия и дискретные, или цифровые. Циф-
ровые машины производят математические операции с числами, при-
нимающими дискретные значения и имеющими цифровое предста-
вление в той или иной системе счисления. Результат представляется
в таком же виде. Если машина исправна и оператор не делает оши-
бок, то точность результата зависит от количества разрядов, с кото-
рыми работает машина. В машинах непрерывного действия числа
выражаются посредством физических величин: длин, напряжений,
углов и т. п. Чаше всего они являются машинами-аналогами, моде-
лирующими тем или иным физическим процессом какую-нибудь
математическую задачу. Из приборов непрерывного действия широкое
распространение получила логарифмическая линейка. В Советском
Союзе находят также применение следующие машины и приборы
непрерывного действия; планиметры, интеграфы, гармонические ана-
лизаторы, электро- и гидроинтеграторы различных систем, диффе
ренциальные анализаторы. Точность результата, полученного на
машине непрерывного действия, зависит от многих факторов, точности
устройства, искусства оператора, внешних факторов, характера ответ-
ной шкалы, и вследствие этого обычно бывает не очень велика.
Поэтому машины непрерывного действия не получили широкого рас-
пространения при точных научных расчетах. Кроме того, как пра-
вило, машины непрерывного действия приспособлены для узкого
класса задач и каждый тип машины резко отличен от другого. Мы
здесь их описывать не будем.
1. Арифмометр. Клавишные вычислительные машины. Про-
стейшей цифровой машиной является арифмометр (рис. 3). Исход-
ные данные набираются на арифмометре с помощью установочных
Рис. 3. Арифмометр.
рычагов 1. Чтобы сложить два числа одно из слагаемых набирают
на этих рычагах и поворачивают рукоятку 2 на один оборот в на-
правлении, указанном стрелкой с значками «4-». «X»- Стрелка
нарисована на передней части корпуса арифмометра 3. При этом
в счетчике результатов 4 окажется это слагаемое. В счетчике обо-
ротов 5 будет видна цифра 1. Затем поступаем так же со вторым
слагаемым. Тогда в счетчике результатов 4 получим искомую сумму.
Для вычитания уменьшаемое переводим в счетчик результатов, как
п । ервое слагаемое. После этого набираем на установочных рычагах
вычитаемое и поворачиваем рукоятку на один оборот в направлении,
указанном стрелкой со значками «—», « : ». Результат опять будет
виден в счетчике результатов. С помощью установочных рычагов можно
набрать число, имеющее 9 разрядов. Счетчик результатов имеет
13 разрядов. Ясно, как производить последовательное сложение и
вычитание.
Для производства умножения на арифмометре нужно набрать один
из сомножителей с помощью установочных рычагов. Затем вращаем
рукоятку в том же направлении, что и при сложении, произведя
Рис 4. Клавишная вычислительная машина ВК-2
Рис. 5. Клавишная вычислительная машина сРеип-мелалл».
§ 31
столько оборотов, какова последняя цифра второго множителя. При
этом в счетчике результатов будет стоять первый множитель, умно-
женный на последнюю цифру второго сомножителя, а в счетчике
оборотов будут стоять нули, кроме последней цифры, указывающей
число сделанных нами оборотов. После этого передвигаем каретку
на один разряд вправо при помощи рычага 6 и вращаем рукоятку
в том же направлении на столько оборотов, какова предпоследняя
цифра второго сомножителя Затем снова передвигаем каретку на
один разряд вправо и т. д Этот процесс повторяем до тех пор,
пока не переберем все разряды второго сомножителя. В итоге в счет-
чике результатов получим искомое произведение, а в счетчике обо-
ротов второй множитель,
Для производства деления нужно предварительно передвинуть
каретку вправо на столько разрядов, сколько разрядов желают иметь
в частном. После этого, как и при сложении, переносят делимое
в счетчик результатов. При этом нужно стараться установить стар-
ший разряд делимого на установочных рычагах возможно левее, следя
в то же время за тем, чтобы все делимое полностью перешло в счет-
чик результатов. Затем гасят цифру 1, появившуюся в счетчике обо-
ротов, поворотом соответствующего барашка 7. После этого на
установочных рычагах должно быть поставлено второе число— дели-
тель. Его устанавливают так, чтобы старшие разряды делимого и
делителя стояли друг против друга, если делимое больше делителя,
или старший разряд делителя на один разряд правее старшего оаз-
ряда делимого, если делимое меньше делителя (при этом делимое
и делитель рассматриваются как целые числа с количеством разря-
дов, равным номеру самого левого из использованных установочных
рычагов) Деление осуществляется повторным вычитанием. Повора-
чиваем рукоятку в том же направлении, что и при вычитании, до
тех пор, пока число, установленное на рычагах, не станет больше
числа в счетчике результатов. Если мы сделаем лишний оборот, го
услышим звонок. Тогда нужно сделать один оборот в обратном
направлении. Далее, передвигаем каретку на один разряд влево и
повторяем наш процесс. Поступаем так до тех пор, пока каретка
не займет крайнего левого положения При этом в счетчике оборо-
тов будет находиться частное, а в счетчике результатов — остаток.
При описании характера работы на арифмометре мы не касались
1акого рода вопросов, как определение положения запятой, уско-
ренные приемы счета и т п. Детальный разбор их занял бы слиш-
ком много времени и они достаточно хорошо освещены в литера-
туре. С другой стороны, приведенное здесь краткое описание будет
полезно с той точки зрения, что более совершенные счетные циф-
ровые машины по характеру работы сходны с арифмометром.
Нужно заметить, что уже такая простая вычислительная машина,
как арифмометр, дает большую пользу при счетной работе. Произво-
дится меньше записей, вычисления становятся менее утомительными,
сокращается время каждого вычисления, уменьшается число оши-
бок. За 6 часов работы на арифмометре можно произвести при-
мерно 750 умножений пятизначных чисел на четырехзначные с записью
каждого произведения и примерно 570 делений пятизначных чисел
на четырехзначные с записью каждого частного.
Клавишные вычислительные машины типа ВК-2, Мерседес,
Рейн-металл и другие (см. рис. 4, 5, 6), находящиеся в употре-
блении в Советском Союзе, с точки зрения математика не отли-
чаются значительно от арифмометра. В них рычажный набор заменен
клавишным и ручной привод электромотором. Имеются и другие
Рис. 6. Клавишная вычислительная машина «Мерседес».
незначительные усовершенствования. Однако и это дает много для
ускорения вычислительных работ. Их применение резко увеличивает
производительность. С помощью этих машин можно произвести при-
мерно 1200 умножений пятизначных чисел на четырехзначные
с записью произведений и примерно 1210 делений пятизначных чисел
на четырехзначные с записью частных за 6 часов работы.
Недостатком описанных выше машин является то, что после вы-
полнения каждого действия оператору необходимо установить на
машине новые данные и нажать клавишу, указывающую следующую
арифметическую операцию. Довольно часто приходится записывать
на бумаге промежуточные результаты вычислений.
2. Счетно-аналитические машины. Дальнейшим шагом по
пути усовершенствования вычислительной техники явились авто-
матические вычислительные машины. Обычно они состоят из
12 3 А'“ 4 13/VIII 58 г.
2 4 6 8 10 12 М 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 47 4 8 50 52 54 56 58 6 0 62 64 66 68 И 72 74 76 78 80
OOU3OOOOUDOUD(IODOC()OOOOl)OflO3OCCCOO33aaaaOCOOOOOOOOOCO(iGO!)PO!)OOOO(lOOOllOOOOOlj(l0UUfi
111111111111111111ll 11111111111111111111 111 1111111111111111111111111111111111111
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ЗЗЗзЗзЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЯЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ
д 4 444444 4444444444 44 4 4 4444 444 444444444 44444444444 4 4 4444444444-444444444444444444 4
55 5555&&55Э5&5555 5 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
6 6 6666666666666666366666б66баеб6666Е66666В6666666В66666Б66Б6БЕ666666666666668666
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
888Я888В6888888838Я388838388388883з&8ев85дЙЗв88808ЬЗВВ888888ВР8В888888ЯЯ8Б888888
2 4 6 8 Ю 12 И 16 16 26 Л 24 26 28 30 82 34 36 38 48 42 44 46 48 50 52 54 56 58 ® 62 64 66 68 70 72 74 76 76 8П
93999999 9 9 9 9 9 Э 9 9 9 Э 9 9 8 9 Э 9 9 9 9 9 9 9 3 9 9 9 9 9 9 9S9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 9
Союшашучег» — Москва.
Рис. 7. 80-колонная перфокарта.
целого комплекса машин различного назначения Простейшим из
таких комплексов является комплект счетно-аналитических
машин.
Исходные данные для работы на счетно-аналитических машинах
пробиваются на специальных картонных карточках стандартных раз-
меров— перфокартах (рис. 7). На перфокарте нанесены 45 или
80 колонок цифр от 0 до 9. (Число колонок зависит от системы
Рис 8. Перфоратор П-8Э
счетно-аналитических машин.) При помощи одной из машин ком-
плекта— перфоратора (рис, 8) на перфокарте пробиваются отвер-
стия. В каждой колонке может быть пробито отверстие, располо-
женное либо против одной из цифр, либо в одном из двух рядов
выше цифр. Их называют соответственно 11 и 12-й дополнительной
позицией. Можно также оставить данную колонку непробитой.
Группируя определенным образом колонки перфокарты, мы можем
нанести на нее значительное количество различных данных Опера -
тор может пробить на перфораторе примерно 230 карт в час.
Так как при работе на перфораторе оператором могут быть
допущены ошибки, после пробивки данных необходимо произвести
контроль. Это осуществляется с помощью специальной машины —
контрольника (рис. 9). Для производства контроля на контроль-
нике оператор производит те же операции, что и на перфораторе.
При этом воспринимающее устройство контрольника ощупывает
карты. Если карта пробита правильно, то она беспрепятственно
проходит через воспринимающее устройство. Если произошла
ошибка, то карта остановится, причем ошибочно пробитая колонка
окажется над воспринимающим устройством. В этом случае карту
изымают и пробивают нужные данные повторно на новой карте.
Оператор может проверить примерно 250 карт в час.
Иногда возникает необходимость, прежде чем производить вы-
числения над данными, пробитыми на перфокартах, предварительно
рассортировать их по тем или иным признакам. Это осушествляется
на специальной машине—сортировке (рис. 10). Перфокарты вкла-
дываются в магазин подачи сортировки. После этого с помошью
Рис. 9. Контрольник К-80.
рукоятки устанавливают, по какой колонке следует сортировать
карты, и нажимают пусковую кнопку'. При этом карты будут авто-
матически подаваться под воспринимающее устройство сортировки
и затем складываться в ее карманы. Таких карманов в сортировке 13.
Двенадцать карманов соответствуют возможным вариантам пробивок
в одной колонке и тринадцатый карман предназначен для карт, не
имеющих пробивок в данной колонке. В течение часа на сортировке
можно пропустить примерно 24000 карто-колонок.
Далее карты поступают на табулятор (рис. 11). Табулятор
является счетно записывающей машиной. Он автоматически воспри-
нимает исходные данные, пробитые на перфокартах. В соответствии
с настройкой, осуществляемой при помощи соединений на комму-
тационной доске и установки выключателей, он производит необхо-
димые подсчеты и печатает нужные результаты. Табулятор имеет
несколько счетчиков, которые могут независимо друг от друга сум-
мировать числа, пробитые в определенных колонках Можно также
суммировать одни и те же числа в разных счетчиках. Можно пе-
редавать итоги из одного счетчика в другой как со знаком плюс,
Рис. 10. Сортировка С-80,
Рис 11. Табулятор Т-5.
так и со знаком минус. Можно печатать данные, пробитые на пер-
фокартах, или итоги, полученные в счетчиках.
Приведем некоторые эксплуатационные данные отечественного
табулятора Т-5. Он работает на 80-ко.юнных картах. Имеет восемь
ll-разрядных счетчиков, Механизм печати имеет семь секций. Шесть
секций с первой по шестую содержат по 11 разрядов для записи
цифр и один разряд для записи условных обозначений. Седьмая
секция имеет только 11 цифровых разрядов. Счетчики не связаны
с определенными секциями и соединяются с ними путем коммутации.
На перфокарте наряду с числовыми данными могут быть пробиты
Рис 12. Итоговый перфоратор ИП-80.
признаки, отличающие одни числа от других. Эти признаки также
представляют собой числа. Табулятор Т-5 снабжен контрольным
аппаратом, воспринимающим признаки. Если у нас имеются числа
с различными признаками, то после того, как карты, содержащие
один признак, пройдут через табулятор и поступит' первая карга,
содержащая числа с другими признаками, контрольный аппарат даст
сигнал и будет подведен итог по прошедшей группе карт.
Контроль может осуществляться по 20 колонкам. Табулятор Т-5
снабжен 17 селекторами. Восемь из них имеют по 11 разрядов
и девять вспомогательных по одному разряду. Селекторы могут быть
использованы для управления переменным вводом чисел с перфо-
карт в счетчики, переменным печатанием этих чисел, а также для
выполнения переносов из одних счетчиков в другие и переменного
печатания результатов, полученных в счетчиках.
Для того чтобы произвести печатание итогов по прошедшей
группе карт, перенесение числа из счетчика в счетчик и некоторые
другие действия в соответствии с характером решаемой задачи,
используются промежуточные ходы, во время которых машина ра-
ботает без подачи карт. На табуляторе имеется импульсатор для
посылки импульсов любой цифры во время карточных ходов и про-
межуточных ходов. Имеется также универсальный интервальный
автомат, позволяющий регулировать продвижение бумаги как в ру-
Рис. 13. Перфоратор-репродуктор.
лонах, так и в отдельных листах.
Скорость работы табулятора Т-5
с печатанием данных и итогов при-
мерно 6000 карт в час и с печата-
нием итогов примерно 9000 карт
в час. Очень часто результаты, по-
лученные на табуляторе, должны
быть снова использованы для ра-
боты на нем же В этом случае вы-
годно не только печатать резуль-
таты, но и снова пробивать их па
перфокартах. Это осуществляется
при помощи итогового перфора-
тора (рис. 12). При совместной
работе табулятора с итоговым пер-
форатором последний автоматически
перфорирует признанные данные и
итоги, полученные па счетчиках.
В практике работы на счетно-
аналитических машинах возникает
необходимость перенести пробивки
одного массива перфокарт или части
этих пробивок на другой. Этот род
работы призван осуществлять пер-
форатор-репродуктор (рис. 13).
Используя перфоратор-репродуктор,
мы можем переносить данные с од-
ного массива карт на другой, изме-
няя при этом группировку данных, исключая ненужные нам данные,
добавляя новые пробивки. Скорость работы перфоратора-репродук-
тора примерно 6000 карт в час.
На табуляторе очень затруднительно производить умножение.
Чтобы восполнить этот пробел, создана еще одна машина — умно-
жающий перфоратор (рис. 14). На умножающем перфораторе
можно производить умножение чисел, пробитых на перфокартах
и имеющих до восьми разрядов; можно также производить сложение
и вычитание. Результаты получаются в виде пробивок на перфокар-
тах. Возможно производить одновременно различные действия. При
этом воспринимаются до пяти чисел с перфокарты. Скорость работы
умножающего перфоратора зависит от характера работы. При умно-
жении шестизначных чисел на шестизначные и перфорации резуль-
тата с двенадцатью знаками можно произвести до 1200 действий
в час.
Счетно-аналитические машины работают на электромеханическом
принципе. Эго обусловливает сравнительно небольшую скорость их
Рис. 14. Умножающий перфоратор.
работы. Во всем комплекте нет машин, осуществляющих деление.
Приспособление комплекта для решения сложных математических
задач' сопряжено с большими трудностями.
3. Электронный вычислитель. Дальнейшим шагом по пути
усовершенствования вычислительной техники является электронный
вычислитель (рис. 15). Электронный вычислитель состоит из двух
частей: перфоратора и вычислителя. Перфоратор предназначен
для восприятия данных с перфокарт и пробивки результатов на
перфокарты. Он работает на электромеханическом принципе со
скоростью до 100 карт в минуту. В перфораторе имеется три мага-
зина для закладывания карт; пробивной, средний и правый. Резуль-
таты пробиваются на картах, проходящих через пробивной меха-
низм. Данные, пробитые на перфокартах, поступают в вычислитель.
Вычислитель представляет собой электронную быстродействующую
вычислительную машину. Он состоит из следующих основных блоков:
первичного хронизатора, программного устройства, фиксаторов,
счетчика, устройства сдвига разрядов, схемы умножения, схемы
деления и вспомогательных цепей. Восприятие чисел и их передача.
в вычислитель производятся во время прохождения карт под воспри-
нимающим устройством перфоратора. Вычисления производятся в тот
период, когда очередная карта прошла через воспринимающее
устройство, а следующая еще не поступила. За это время (примерно
ПО миллисекунд) вычислитель успевает сделать 250—280 циклов
сложения или вычитания. Расскажем немного о назначении основных
блоков электронного вычислителя.
Первичный хронпзатор предназначен для синхронизации работы
всех узлов вычислителя. В нем формируются и распределяются
Рис. 15. Электронный вычислитель ЭВ-80.
импульсы напряжений, необходимые при вычислениях. Программное
устройство предназначено для того, чтобы при помощи коммута-
ционной доски управлять последовательностью вычислений в вычи-
слителе. Для решения любой задачи необходимо разбить ее на ряд
простейших операций, следующих друг за другом в определенной
последовательности, и скоммутировать согласно этой программе
коммутационную доску вычислителя. При вычислениях программное
устройство будет последовательно переключать гнезда коммутацион-
ной доски и благодаря соответствующей коммутации управлять не-
обходимой последовательностью операций.
Фиксаторами называются устройства, предназначенные для фик-
сации чисел при восприятии данных с карт, при вычислениях и при
пробивке итогов. В электронном вычислителе имеется три типа
фиксаторов: фиксаторы чисел, общие фиксаторы, фиксатор множи-
теля-частного. Общие фиксаторы могут воспринимать числа с пер-
фокарт, хранить промежуточные результаты при вычислениях
и с них может производиться перфорация итогов. Всего имеется
четыре общих фиксатора: два трехразрядных и два пятиразрядных.
Их можно объединять при помощи коммутации по два, образуя
щестиразрядные или восьмиразрядные фиксаторы. Фиксаторы чисел
отличаются от общих тем. что с них нельзя производить пробивку
итогов. Всего имеется пять фиксаторов чисел: два трехразрядных,
два пятиразрядных и один восьмиразрядный.
Трех- и восьмиразрядные фиксаторы можно объединять попарно.
Фиксатор множителя — частного—восьмиразрядный. Он является
общим фиксатором и, кроме того, используется как фиксатор одного
из множителей при умножении и частного при делении. Электрон-
ный вычислитель работает в двоично-десятичной системе. Это озна-
чает, что каждое число, поступающее в вычислитель, записывается
в десятичной системе, а каждая цифра этого числа — в двоичной.
Для представления двоичного разряда в ЭВ служит триггер-элек-
тронная схема, имеющая два устойчивых положения. Одно из этих
положений принимается за 0 другое за 1 Такая схема, обладая
малой инерционностью, может быть с громадной скоростью пере-
брошена из одного положения в другое. Для представления цифр
от 0 до 9 требуется четыре триггера. В ЭВ имеется один шестнад-
цатиразрядный счетчик.
При сложении и вычитании в счетчик последовательно подаются
слагаемые. При умножении в счетчике получается произведение.
При делении в счетчик передается делимое, а после деления сни-
мается остаток Устройство сдвига разрядов предназначено для пе-
редачи чисел из фиксаторов и счетчика со сдвигом. Числа из фик-
саторов могут передаваться з другие фиксаторы и счетчик со
сдвигом до восьми разрядов влево. Из счетчика числа могут пере-
даваться в фиксаторы со сдвигом до восьми разрядов вправо. Кроме
того, при умножении и делении устройство сдвига автоматически
производит сдвиг чисел. Схемы умножения и деления предназначены
для управления автоматическим выполнением действий умножения
и деления. Вспомогательные устройства еше расширяют возмож-
ности машин. В ЭВ имеется устройство округления, позволяющее
производить округления по любому из девяти младших разрядов
счетчика.
Имеется устройство проверки нуля, Если позволяет время, отве-
денное для вычислений, можно произвести одно и то же вычисление
дважды и один результат вычесть из другого. Устройство проверки
нуля обнаружит, получится ли при этом нуль, т. е. правильно ли
произведены вычисления. Электронный вычислитель позволяет решать
сложные математические задачи. К его недостаткам следует отнести
небольшую емкость фиксаторов, что лимитирует количество дан-
ных, с которыми можно произвести вычисления. Перфоратор же,
в который закладываются все исходные данные, работает медленно
30
введение
сравнительно с вычислителем, С другой стороны, время, отводимое
для вычислений, не очень велико, и поэтому часто бывает затруд-
нительно провести в этот период сложные вычисления над данными,
полученными с одной карты.
4. Универсальные электронные цифровые вычислительные
машины. Указанные выше недостатки устранены в современных
быстродействующих вычислительных машинах с программным
управлением. Существует значительное количество различных типов
таких машин, В настоящее время эта область вычислительной тех-
ники бурно развивается и пока еще преждевременно делать окон-
чательные выводы о наиболее рациональных логических схемах
и элементах таких машин. Однако все они имеют общие черты.
Всякая электронная цифровая машина с программным управлением
Рис. 16. Блок-схема электронной машины.
Процесс решения математической задачи на электронной циф-
ровой машине в общих чертах может быть описан следующим
образом. Математик разрабатывает метод решения. Затем процесс
решения представляется в виде последовательности элементарных
операций, которые может производить машина. Как принято сейчас
говорить, составляется программа. В программе должны быть пре-
дусмотрены все особенности вычислительного процесса. Каждый
последующий шаг должен однозначно определяться предыдущими
и теми числами, которые будут находиться в машине в этот мо-
мент. Программа ьместе с исходными данными для вычислений
с помощью устройства ввода подается в запоминающее устройство
машины. После этого начинается сам счет. В соответствии с про-
граммой машина выбирает необходимые данные из запоминающего
устройства, подает их в арифметический блок, производит там
нужные вычисления и направляет результаты либо снова в запоми-
нающее устройство, либо на вывод машины для печатания. Блок
управления предназначен для согласования работы всех узлов
машины.
В Советском Союзе с 1952 г. работает быстродействующая
электронная цифровая машина Академии наук СССР (БЭСМ)
(рис. 17). Приведем некоторые ее характеристики. Вычисления на
БЭСМ ведутся в двоичной системе. Числа в машине представляются
в виде
х = а-<2р,
где —1 < а < 1 и р—целое (положительное или отрицательное
число). Величину а называют мантиссой числа и р— порядком числа.
Для записи мантиссы отводится 32 двоичных разряда, один разряд
отводится для записи знака числа, пять двоичных разрядов отво-
дится для порядка числа и один для указания знака порядка. Таким
образом, на машине могут быть представлены числа, модули кото-
рых заключены между 2~31 и 2+81. При желании количество знаков
числа может быть удвоено. Этот способ записи чисел характеризует
машины с плавающей запятой в отличие от машин с фиксированной
запятой, в которых числа записываются обычным образом с фикси-
рованным положением запятой, но налагается дополнительное тре-
бование, чтобы исходные данные, промежуточные и окончательные
результаты лежали в определенном интервале, например (—1, 1).
Машины с фиксированной запятой более просты по конструкции,
но менее удобны для программирования
БЭСМ — трехадресная машина. Это значит, что каждая инструк-
ция программы содержит кроме числа, показывающего, какую опе-
рацию должна выполнить машина, еще три числа, два из которых
показывают, откуда должны быть взяты числа, участвующие в дан-
ной операции, и одно показывает, куда должен быть направлен
результат.
В БЭСМ предусмотрена 31 команда. К ним относятся команды
для четырех арифметических операций, команда умножения с выво-
дом удвоенного количества разрядов и деления с выводом остатка.
Имеется несколько вспомогательных и логических команд. Все. опе-
рации выполняются одним арифметическим устройством, сконструи-
рованным на триггерных ячейках. Арифметическое устройство
состоит из приемных регистров и сумматора.
Запоминающих устройств на БЭСМ несколько. Наиболее быстрое
из них использует электронно-лучевые трубки и рассчитано на
1023 числа. Время выборки или записи числа составляет 12 мсек.
Вторым видом памяти является задающее устройство на германие-
вых диодах, рассчитанное на 376 чисел. Из него можно выбирать
числа или команды, но в него нельзя записать результаты. Диод-
ное запоминающее устройстве используется в основном для типовых
подпрограмм, для установки коэффициентов, меняющихся от ва-
рианта к варианту, для ручного управления ходом вычислительного
процесса и т. п. Третий вид памяти БЭСМ более медленный
и использует магнитный барабан с емкостью 5120 чисел. Наконец,
Рис. 17. Быстродействующая электронная счетная машина АН СССР.
четвертый вид использует четыре магнитофона с общей емкостью
около 120 000 чисел.
Ввод чисел и команд в машину производится с перфоленты
со скоростью 20 чисел в секунду. Если вводимые данные получены
в результате счета на машине, то их записываю! на магнитную
ленту и вводят с этой ленты.
Вывод результатов производится путем записи их на магнитную
ленту и последующего печатания на кинопленку. Скорость работы
фотопечатающего устройства составляет 200 чисел в секунду. Кроме
фотопечатающего устройства имеется электромеханическое печатаю-
щее устройство, работающее непосредственно от машины. Скорость
печатания 1,5 числа в секунду.
Средняя скорость работы машины составляет 7000—8000 опера-
ций в секунду.
5. Средства вычислений и задачи вычислительной матема-
тики. Сделаем теперь некоторые выводы относительно влияния со-
временных вычислительных машин на характер вычислительных
работ. Прежде всего нужно иметь в виду, что цифровые машины
способны производить только четыре основных арифметических
действия и иногда еще некоторые операции. Следовательно, разра-
батываемые нами методы решения задач должны, в конце концов,
сводиться к последовательности этих операций. Далее, наличие
счетных машин определяет и объем вычислительной работы, кото-
рую можно практически выполнить. Чем совершеннее у нас техника,
тем крупнее вычислительные работы, которые с ее помощью можно
осуществить. Многие работы, которые ранее считались практически
неосуществимыми, проводятся сейчас сравнительно легко. С другой
стороны, чем совершеннее техника, тем она дороже, дороже обхо-
дится и ее эксплуатация. Поэтому возникает задача о наиболее
рациональном использовании различных вычислительных средств,
умелом сочетании их друг с другом.
При всякой вычислительной работе важно уметь хорошо ее
планировать. Умелый выбор алгоритма для решения задачи, рацио-
нального порядка действий, схемы записи будет способствовать
более быстрому решению задачи, сокращению ошибок и меньшему
утомлению вычислителей. Это становится особенно важным при
применении современных электронных цифровых машин. Современ-
ная быстродействующая автоматическая вычислительная машина,
производяшая в секунду около 800С операций за 8 часов работы,
проделает примерно 200 000 000 операций. Это колоссальная вычисли-
тельная работа должна производиться автоматически без вмеша-
тельства человека. Но человек должен спланировать всю работу
машины. Конечно, это не означает, что он должен знать и держать
в памяти все операции, которые будут произведены. Но он должен
предусмотреть все особенности, которые могут встретиться, и
обеспечить выполнение того алгоритма, который нужен для реше-
ния задачи. Сейчас успешно развивается специальный раздел вы-
числительной математики—теория программирования, который
призван облегчить труд человека по составлению программ. В этом
разделе находят широкое применение теория множеств., математи-
ческая логика, алгебра. Для составления программ используются
и сами машины.
Большое значение при составлении программы для решения
конкретной задачи имеет удачный выбор алгоритма. При этом
возникают самые неожиданные и своеобразные задачи. Казалось бы,
чего проще составить программу для вычисления многочлена.
Однако и здесь можно удачным алгоритмом полнее использовать
возможности машины. Известно, что на производство умножения и
деления затрачивается больше времени, чем на сложение и вычита-
ние. Следовательно, нужно стремиться составить алгоритм так,
чтобы по возможности уменьшить число операций умножения и
деления. Пусть, например, нам требуется подсчитать много раз зна-
чение многочлена:
х4 4-2,2х»4-3,4х4-|-4,2х-|-5.4.
Если действовать непосредственно, то придется каждый раз делать
по шести умножений. Однако этот многочлен можно записать
в виде
[х (х 4-1,1) + 1,9405 — х] [х (х 4 • 1,1) 4 х 4 1,2495] 4- 2,97534525.
При таком представлении нам потребуется всего лишь два умноже-
ния: одно для получения х(х4*1,1) и второе для получения про-
изведения квадратных скобок. Конечно, нельзя всегда считать, что
второе представление лучше первого, но этим примером мы по-
казали, как своеобразно может оказаться представление задачи для
вычислительных целей. Вопросы, связанные с выбором наиболее
рационального алгоритма для решения вычислительной . задачи,
сложны, и в настоящее время еще отсутствует общая теория,
позволяющая указывать, как это делать. И в этом направлении
могут помочь быстродействующие вычислительные машины.
При применении автоматических счетных машин возникает еще.
одна проблема. Часто в процессе вычислений приходится исполь-
зовать те или иные трансцендентные функции. Вводить таблицы
таких функций в машину неудобно, так как это сильно загро-
моздит ее запоминающее устройство. Поэтому сейчас особенно
остро возникает необходимость получить достаточно хорошие пред-
ставления наиболее часто встречающихся трансцендентных функций
рациональными функциями.
При в.сякой вычислительной работе важно вести учет ошибок,
возникающих в связи с производимыми округлениями и с при-
ближенным характером применяемых методов. Но понятно, что
§ 4] методы вычислений КАК раздел вычислительной математики 35
влияние этих факторов будет менее значительным при сравнительно
небольшом объеме вычислительных работ при ручном счете и
будет огромным при грандиозном объеме вычислительных работ
с использованием быстродействующих вычислительных машин. Легко
себе представить, что после того, как будут произведены сотни
миллионов операций, ошибки округления могут совершенно исказить
истинную картину, если даже не учитывать другие источники
ошибок. Поэтому учет всевозможного рода ошибок становится
сейчас совершенно необходимым и здесь предстоит еще большая
работа.
Говоря в предыдущем абзаце об ошибках, мы имели в виду
лишь естественные ошибки, возникающие вследствие округлений,
приближенности методов, приближенности исходных данных и т. п.
Мы не имели при этом в виду тех ошибок, которые могут про-
изойти или вследствие невнимательности вычислителя, или неисправ-
ности машины. Однако и эти ошибки должны учитываться. Вычисли-
тель, естественно, утомляется при длительной работе, а современ-
ная вычислительная машина содержит слишком много различных
Сложных устройств. Ошибки такого рода мы будем называть про-
счетами. Просчеты могут исказить результат в каком угодно
направлении и в каких угодно границах в отличие от ошибок,
о которых шла речь в предыдущем абзаце, влияние которых
скажется лишь в определенных пределах. Чтобы вовремя заметить
произведенный просчет, необходимо всегда так планировать вы-
числения, чтобы обеспечить постоянный тщательный контроль.
§ 4. Методы вычислений хак раздел вычислительной
математики. Краткое содержание курса
В одной книге невозможно изложить или хотя бы кратко
затронуть весь круг вопросов современной вычислительной мате-
матики, поэтому мы ограничились кругом вопросов, относящихся
к одному разделу вычислительной математики — методам вычис-
лений.
Чтобы более ясно охарактеризовать вопросы, относящиеся
к этому разделу вычислительной математики, рассмотрим процесс
решения любой математической задачи, если ее решение необходимо
довести до числового результата, используя наличные вычислитель-
ные средства. Этот процесс можно разбить на два крупных этапа.
Первый этап — выбор численного метода решения задачи или, как
мы говорили ранее, замена задачи у = А(х), где х и у принадле-
жат к некоторым функциональным пространствам Rt и R? и
А(х)— функция, определенная на задачей _у = Л(х), более
удобной для вычислительных целей, но решение которой в
некотором смысле близко к решению исходной задачи. Второй
этап — составление вычислительной схемы (при ручном счете) или
программы решения задачи у=А(х) (при машинном счете) и сам
процесс счета.
Для первого этапа необходимо наличие разработанных методов
численного решения основных математических задач и должен быть
известен сравнительный анализ различных методов решения одной
и той же задачи с точки зрения их точности, границ применимости
и целесообразности их реализации на тех или иных вычислительных
машинах.
Разработка и анализ этих методов и составляют предмет методов
вычислений, а их описание и обоснование составляют содержание
настоящей книги.
В первой главе книги изложены основные правила действий
с приближенными величинами и правила оценки их точности.
В главах 2—5 изложены основные способы приближения функций
(интерполирование, равномерное и среднеквадратичное приближе-
ние функций) и их приложения. В главе 3 изложены численные
методы дифференцирования и интегрирования. В главах 6 и 8
описаны численные методы решения основных задач линейной
алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений,
обращение матриц, вычисление собственных значений и собственных
векторов матриц. В главе 7 изложены способы численною решения
алгебраических уравнений высоких степеней и трансцендентных
уравнений. Наконец, главы 9 и 10 посвящены численным методам
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифферен-
циальных уравнений в частных производных и интегральных урав-
нений Более подробное содержание книги видно из ее оглавления.
В том или ином объеме эти вопросы излагаются во многих
книгах и монографиях, а также в обширной журнальной литературе.
Первым в мировой литературе курсом методов вычислений явилась
книга академика А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычисле-
ниях», изданная в 1911 г. Этот курс не потерял своего значения
и сейчас, но он естественно зс многом устарел и не охватывает
многих важных в настоящее время вопросов. Элементарным курсом
методов вычислений, рассчитанным на инженеров и техников,
является книга Я. Безикозича «Приближенные вычисления», первое
издание которой относится к 1924 г. Неоднократно переиздавалась
монография Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные
методы высшего анализа», в которой описаны приближенные методы
решения задач математической физики.
Из других, сравнительно давно изданных книг следует указать
монографии В. Л. Гончарова «Теория интерполирования и прибли-
жения функций», Н. П. Натансона «Конструктивная теория функ-
ций», русский перевод книги Скарборро «Численные методы мате-
матического анализа». В послевоенные годы издан ряд отечествен-
ных и переводных книг и монографий, относящихся к этой
области: В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры»,
Ш. Е. Микеладзе «Численные методы математического анализа»,
Милн «Численный анализ» и «Численное решение дифференциаль-
ных уравнений», Коллатц «Численные методы решения дифферен-
циальных уравнений», Хаусхолдер «Основы численного анализа»,
В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов «Об устойчивости разност-
ных уравнений», В. И. Крылов «Приближенное вычисление интегра-
лов», Д. К. Фаддеев и В Н. Фаддеева «Вычислительные методы
линейной алгебры», Э. Д. Бут «Численные методы», В. К. Саульев
«Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток»,
Р. Д. Рихтмайер «Разностные методы решения краевых задач»,
К. Ланцош «Практические методы прикладного анализа», Б. П. Де-
мидович и И А. Марон «Основы вычислительной математики»,
Г. Н. Положий и др. «Математический практикум» и другие. Но
ни одна из указанных выше книг не охватывает всех вопросов
методов вычислений и не соответствует программе курса методов
вычислений, читаемого студентам университетов, специализирующимся
по вычислительной математике, и не может быть рекомендована
в качестве основного учебного пособия по этому курсу.
Данная книга представляет попытку создания учебного пособия,
отвечающего действующим университетским программам курса
методов вычислений, и, как уже указывалось в предисловии,
в основу ее легли лекции, читанные авторами па протяжении ряда
лет в Московском университете.
Учитывая широкое использование цифровых вычислительных
машин в практике расчетов в настоящее время, мы делали основной
упор на численные методы решения задач и совсем мало касались
аналитических методов приближенного решения математических
задач. Там, где возможно, мы старались дать достаточно строгое,
обоснование излагаемых методов и хотя бы на простых примерах
привести их иллюстрацию. Вполне естественно мы не могли и не
ставили своей целью изложить все существующие методы решения
даже основных математических задач, но старались подробно изло-
жить наиболее распространенные или с нашей точки зрения перспек-
тивные. Многие очень важны? вопросы, особенно вопросы оценки
точности методов, мы не смогли изложить в книге, так как они
еще не нашли полного решения.
ГЛАВА 1
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
§ 1. Классификация погрешностей
1, Источники погрешности результатов вычислений. Во вве-
дении мы уже говорили о том, насколько важно уметь оценивать
точность полученного результата. Откуда же могут возникнуть
ошибки? Таких причин много. Во-первых, исходные данные для
вычислений часто получаются
мент может дать результат с
из эксперимента, а каждый экспери-
ограниченной точностью. Во-вторых,
в процессе вычислений приходится
использовать иррациональные вели-
чины, такие, например, как tt, е,
]/ 2. Так как при вычислении на
цифровых машинах мы можем ис-
пользовать ограниченное количество
разрядов, то эти числа также будут
представлены лишь приближенно.
В-третьих, во многих случаях су-
ществую.^ >.iuгы решений, задач
могут дать точный ответ лишь после
бесконечного числа шагов. Так как
практически это осуществить нельзя,
то мы будем вынуждены остано-
виться на каком-то конечном шаге
и, следовательно, не достигнем точ-
ного значения, например, при вычи-
слении суммы ряда мы ограничиваемся суммой конечного числа пер-
вых членов. В-че.твертых, уже при таких простейших операциях,
как умножение и деление, у нас может сильно возраг л количество
разрядов и результаты могут не помещаться в счетчиках или других
устройствах машины. В этом случае мы будем вынуждены отбросить
некоторое количество разрядов. Наконец, исходные погрешности
будут последовательно переходить, преобразовываясь, от операции
к операции и порождать новые погрешности.
Влияние описанных выше погрешностей на точность результата
может оказаться значительно большим, чем это обычно предста-
вляют даже при не очень сложных вычислениях. Представим себе,
что нам требуется найти объем шара, касающегося цилиндра
радиуса /? и двух касательных к нему взаимно-перпендикулярных
плоскостей (рис. 18). Легко найти, что радиус шара г будет равен
r=R
а объем
Но
/2 — 1
<2 + 1 '
/2 - 1 \
/2 4-1/
V = 4
О
1)6 = (3 — 2/2 )2 3= 99 — 70/ 2.
Подсчитаем последние три выражения, взяв за приближенные зна-
чения /2 два числа: 4=1,4 и -Д- = 1,4166 .. . Так как
5 12
/ 2 = 1,4142135624 ..., то каждое из выбранных нами значений
довольно близко к точному к второе из них точнее. Результаты
вычислений сведем в таблицу:
/2 (/2-1)’ (3 — 2 / 2)3 99 — 70 / 2
7 5 15« "м5““ Д = 0,00800 1
17 12 9^1 =°-0()5238 2 985 354 4^ = 0,0046296 210 — 4 = —0,1666 ... О
Мы получили значительно отличающиеся друг от друга ответы,
и не видно сразу, какой из них ближе к верному. Из приведенного
примера видно, с какой осторожностью нужно обращаться с при-
ближенными числами.
2. Задачи, возникающие яри работе с приближенными вели-
чинами. При работе с приближенными величинами математику
приходится решать следующие задачи:
1. Давать математические характеристики точности приближен-
ных величин.
2. Оценивать точность результата, когда известна точность
исходных данных.
3. Находить точность исходных данных, обеспечивающую задан-
ную точность результата.
4. Согласовывать точность различных исходных данных с тем,
чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычисле-
нии одних данных, если другие данные слишком грубы.
5. Следить в процессе вычислений за точностью промежуточных
результатов, с тем чтобы, с одной стороны, обеспечить необходи-
мую точность окончательного результата и, с другой стороны, по
возможности упростить вычисления. Последние два пункта имеют
немаловажное значение. Академик А. Н. Крылов указывал, что
ему приходилось рассматривать проекты, в которых 90% работы
затрачивалось впустую на выписывание ненужных и неверных цифр.
И все это из-за незнания правил действия с приближенными вели-
чинами!
3. Правила округления чисел. Прежде чем переходить к изуче-
нию этих правил, условимся относительно некоторой терминологии.
Будем всегда считать, что числа, с которыми нам придется
иметь дело, могут быть записаны с помощью конечного числа раз-
рядов в той или иной системе счисления. Таким образом, если за
основание системы счисления взято натуральное число р и если мы
допускаем числа, имеющие нс более т разрядов, то их можно
записать единственным способом в виде
± + . +e„rtpw-m+1),
где (ц — целые положительные числа, Интересно отме-
тить, что уже здесь мы сталкиваемся с тем приемом, о котором
говорилось во Введении. Вместо всего множества действительных
чисел некоторого отрезка используется его конечное дискретное
подмножество. В процессе вычислений иногда приходится и удается
выходить за пределы этого подмножества, но во всех случаях
количество разрядов остается ограниченным и мы опять будем
иметь дело с конечным множеством чисел.
Может оказаться, что результаты вычислений будут иметь
бесчисленное или очень большое количество разрядов, так что их
невозможно поместить в машину или они оказываются слишком
громоздкими при вычислениях на бумаге. Тогда приходится заменять
результат некоторым числом из нашего основного подмножества.
Естественно брать ближайшее число этого подмножества. Практи-
чески это сводится к следующему. Пусть мы получили в резуль-
тате вычислений число
±(a13n + ^B-1-h +aTOr~M+1 + <Wn“”4 •••).
Тогда, если
-2т +1 Ч- ат -;-2р Ч~ • • • у
то мы заменяем результат на
±(а1₽л + а2^-1Ч- ... 4-araf-’B+1).
Если же
ат 4-1 > ~К ?•
то заменяем результат на
±[^и4-а/_1Ч- ... 4-(am+1)^—+1]-
Остается сомнительным случай
йт + l * Ч~ • • • = "2 Р-
Здесь безразлично, каким из двух данных выше чисел заменить
результат. Тогда применяют различные соглашения, исходя или из
простоты выполнения этой операции, или из удобства последующей
работы над результатом. Так, в некоторых машинах, например
з ЭВ, округление осуществляется путем прибавления к результату
числа yP*_w+l и последующего отбрасывания всех младших раз-
рядов. начиная с разряда, содержащего $п'т. Эго означает, что
в сомнительном случае мы заменяем результат на
±|а16п4-а./₽п-,-|- ... -|_(дот-|-1)р"_’л+1],
При вычислениях на бумаге в обычной десятичной системе счисле-
ния рекомендуется пользоваться в сомнительном случае следующим
правилом. Если ат—четное число, то заменяем результат на
±(at- 10” +-а, • 10п~1-|-... Ц-ат- 10”-’”+1),
если же ат—нечетное число, то заменяем результат на
± Гаг 10” -j-a2 10^-1 -Н • • • Ч-(ат-Ь 1) 10”-’”+1].
Описанный нами процесс называют округлением. Если следовать
последнему из описанных правил, то процесс последовательного-
округления числа 2,804953 будет выглядеть следующим образом:
2,80495: 2,8050; 2,805; 2,80; 2,8; 3.
4. Классификация погрешностей. Производя округления, мы
заменяем данное нам число другим, представляющим его прибли-
женно. Возникающую при этом погрешность будем называть по-
грешностью округления.
Исходные данные, как правило, не будут нам известны точно.
Мы будем знать не сами числа, а некоторые области, в которых
они помещаются. Будем называть их областями неопределенно-
сти. В результате вычислений мы также получим не точнее значе-
ние, а некоторую область, в которой оно помещается, даже если все
последующие вычисления производились точно, без округлений. Гра-
ницы этой области определят пределы погрешности, не зависящей
от способа записи чисел. Ее мы назовем неустранимой погреш-
ностью.
Существует третий вид погрешностей, не зависящий ни от пог-
решностей исходных данных, ни от способа записи чисел, ни от
точности вычислений. Как уже говорилось во Введении, для реше-
ния задачи
мы заменяем пространства и другими пространствами и R,
и функцию А другой функцией А, Поэтому даже при точных ис-
ходных данных и при точных вычислениях с этими данными мы
решим задачу, отличающуюся от той, которая нам дана. Естественно,
и решение будет отличаться от точного решения исходной задачи.
Это отклонение мы будем называть погрешностью метода, В этой
главе мы не будем касаться погрешностей метода, а отнесем изуче-
ние их к соответствующим разделам курса.
§ 2. Неустранимая погрешность
Условимся в дальнейшем обозначать точные значения каких-то
величин латинскими буквами х, у, z, .... а соответствующие им
приближенные значения такими же латинскими буквами, но со звез-
дочкой вверху: х*. у*, z*, ...
Пусть нам требуется вычислить значения функции
У=/С*1. х2, .... х„)
и точные значения аргументов х1# х2......х„ нам не известны,
а даны лишь их области неопределенности. Определить неустранимую
погрешность у это значит найти область неопределенности этой ве-
личины. По существу это задача математического анализа и может
быть решена любым из методов, выработанных, для таких целей
в математическом анализе. При более или менее сложной функции /
применение точных методов математического анализа приводит
к сложным и трудоемким вычислениям. Поэтому целесообразно иметь
в своем распоряжении приемы, позволяющие решить нашу задачу
более элементарно, хотя быть может и более грубо. Последнее
оправдывается еще и тем, что сами области неопределенности х*
обычно бывают известны довольно грубо.
1. Абсолютная и относительная погрешности числа. Прежде
чем перейти к этому вопросу, введем некоторые характеристики
точности чисел.
Рассмотрим разность
X 1 X
между точным значением некоторой величины и ее приближенным
значением, с которым производится вычисление. Эту разность назо-
вем абсолютной погрешностью числа х*. Абсолютная погрешность
и будет одной из характеристик точности чисел. Очевидно, она пред-
ставляет только теоретический интерес, так как точного значения х
мы в большинстве случаев не знаем. Но мы всегда можем указать
границы, в которых изменяется абсолютная погрешность. Эти гра-
ницы определяются тем способом, которым мы получили прибли-
женное число х*. Так, производя измерения обычной ученической
линейкой, мы можем гарантировать, что модуль абсолютней погреш-
ности не будет превышать 0,5 мм. Аналогично при производстве
измерений штангенциркулем или микрометром мы получим соответ-
ственно, что абсолютные погрешности не могут превышать по мо-
дулю 0,1 и 0,01 мм. При замене иррационального числа конечной
дробью величину погрешности также часто удается оценить. В связи
с этим введем еще одно понятие, а именно: наименьшую из верх-
них границ | а.х* которую можно найти исходя из способа получе-
ния числа х*, будем называть предельной абсолютной погреш-
ностью и обозначать А.х*. На практике часто за предельную абсо-
лютную погрешность А®* принимают не наименьшую из верхних
граней |a^«|, а одну из верхних граней, достаточно близкую к наи-
меньшей, В связи с грубостью оценок точности с помощью пре-
дельных абсолютных погрешностей мы не получим при этом заметной
разницы. Таким образом, если А.х* = 0,005, а х* = 2,18, то 2,175
185.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность
еше не характеризуют точность результата, как ее обычно интуи-
тивно понимают, если не указан сам результат. В самом деле, пусть
предельная абсолютная погрешность результата измерения равна 1 см.
Если при этом измерялась длина комнаты, то точность удовлетво-
рительная, Если же измерялось расстояние между двумя пунктами
различных городов, то точность очень велика. Поэтому мы введем
ещу одну характеристику точности — относительную погрешность.
Относительной погрешностью назовем отношение абсолютной по-
к абсолютному значению приближенной величины. Будем
относительную погрешность числа х* через 8^*. Таким
грешности
обозначать
образом.
Точно так
же вводится понятие предельной относительной погреш-
ности, которую мы будем обозначать через Да,*:
л —
Гй*
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает
.размерной величиной, относительная погрешность будет величиной
безразмерной. В дальнейшем предельные абсолютные и относитель-
ные погрешности, если не будет опасности смешения, будем назы-
вать просто абсолютными и относительными погрешностями.
Посмотрим теперь, как изменяется предельная абсолютная по-
грешность при округлении числа. Пусть нам дано число
С* = flip” 1 4~ • • • ОТ+1 Ч-Ят + 1в”
и мы округляем его согласно приведенным в § 1 правилам до т
старших разрядов. Если абсолютная погрешность числа с* равна Ас»,
то
с — Ас* с с* —।— Ас *.
После округления мы получим число
где равно ат или а,д4~1. При этом | с**—с* | будет разно наи-
меньшему из двух чисел;
а„ ,Г“+ат^п'т'1 +-...
**7П4-1г I **?П+2г
ИЛИ
+ • • ).
Таким образом, абсолютная погрешность Ас** числа с** будет равна
наименьшему из двух чисел:
Ас- ”"4-«то+Г”"’1+ • • •
или
При любых условиях Ас** не будет превышать Ас*
Могут быть такие случаи, когда Ас** окажется равной
д , 1 an-m + l
Ас* 4—2 р
2. Верные знаки числа. При записи приближенного числа мы
обязательно должны указывать соответствующую ему область не-
определенности. Наиболее аккуратный способ записи будет иметь
вид: (х*— аъ х*~1~я2), где х*— at и х*4-а2—границы области
неопределенности. Можно также записывать приближенное число
в виде х* ± А^*. Однако если нам нужно записать большую таблицу
приближенных чисел, то оба способа будут неудобны. Поэтому
в вычислительной практике часто прибегают к различным приемам,
позволяющим по записи только самого приближенного числа судить
о его погрешности. Один из наиболее распространенных приемов
состоит в следующем. Выбирают некоторое положительное число ы <21.
В приближенном числе
с’ = аф” + + . .. + ат^~т+1 + ...
цифра ак считается верной, если Ас»-^ ифп-*+1. В противном слу-
чае ак считается сомнительной цифрой. Ясно, что если ак является
верной цифрой, то и все предыдущие цифры верные. Записывая
приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы
все записанные цифры были верны. Так, например, если в десятич-
ной системе будет записано приближенное число 3,14 и не будет
указана его предельная абсолютная погрешность, то это означает,
что она не превышает о 10-2- Чтобы показать, что предельная
абсолютная погрешность числа 314 000 не превышает ш • 1()3, его
следует записать в виде 314 - 103.
Если исходное число имеет несколько сомнительных цифр и мы
хотим использовать наш способ записи, его нужно предварительно
округлить. К округлениям прибегают и в том случае, когда число
разрядов чересчур велико. В связи с этим накладывается ограниче-
ние на наименьшее возможное значение о>. Действительно, как мы
видели, при округлении числа до т. старших разрядов абсолютная
погрешность может возрасти на Таким образом, нельзя
брать от < , так как при этом найдутся числа, у которых послед-
няя цифра будет оставаться сомнительной, сколько бы мы ни округ-
ляли. При любом выборе о» найдутся такие числа, у которых по-
следняя верная цифра после округления уже не станет верной.
Найдем наименьшее ы так, чтобы после округления оставалась вер-
ной, по крайней мере, предпоследняя верная цифра числа. Пусть ат
является последней верной цифрой числа
С = аф I а2? 4- • • • “г^тпР авг + ф Т
Это значит, что
, оп-m /А / + l
(Dp -А-е*
После округления до т — 1 старших разрядов предельная абсолют-
ная погрешность может достигнуть
Нужно, чтобы она не превышала шр”-да+2, т. е. нужно требовать,
чтобы было
» . 1 пн-т + 2 r.n-m + 2
Это неравенство должно быть выполнено и при замене Ае* его наи-
большим возможным значением, т. е. должно быть выполнено не-
равенство
Отсюда
п-т-^2
Наименьшее значение ш будет равно
При (1=10, т. е. в десятичной системе счисления получим:
о з
= 0,555 ., , о«0,56,
При [1 = 2, т. е в двоичной системе счисления, будем иметь:
Если допускать сдвиг последней верной цифры на два разряда влево,
то в десятичной системе можно взять в качестве ш число
«> = -^- = 0,50505 ... as 0,51.
1 —!_
10’
При такой записи приближенных чисел мы будем иметь лишь
грубое представление о истинной их погрешности. Чем больше мы
будем брать <в, тем больше будет таких чисел, для которых истин,
ная погрешность будет завышена. Поэтому, если наши числа
появляются в результате вычислений по формулам с точными зна-
чениями исходных данных (например, при составлении таблиц транс-
цендентных функций), когда мы можем достигнуть практически
любой заданной точности, выгоднее брать <и возможно меньшим. В этих
случаях в десятичной системе выгодно брать ш возможно более
близким к 0,5. Например, можно взять и) = 0,56 или ш = 0,51 и
т. п. Другое дело, если наши приближенные числа получаются
в результате измерений или з результате вычислений с недоста-
точно точными исходными данными, как это часто случается
в технических расчетах. При этом малые значения w будут связаны
с необходимостью производить округления, снижающие точность
результатов, и так недостаточно точных, и поэтому невыгодны.
В этих случаях обычно берут <u= 1.
Условие о записи приближенных чисел, при котором все цифры,
должны быть верными, нужно использовать лишь в тех случаях
когда затруднительно указывать наряду с самими числами их по-
грешности, Отбрасывание сомнительных цифр, сопровождаемое
округлениями, всегда увеличивает область неопределенности прибли-
женного числа. Во всяком случае, если приближенные числа не но-
сят окончательного характера и с ними предполагается производить
еще какие-то вычисления, то следует сохранять одну или две сом-
нительные цифры.
Если мы знаем последнюю верную цифру приближенного числа,
то можем сразу же дать оценку его абсолютной погрешности. По-
лучим теперь формулы, позволяющие оценивать относительные по-
грешности чисел. Пусть дано приближенное число
причем последней верной цифрой является ат и а, =£ 0. Абсолют-
ная погрешность Ас* этого числа будет заключена в пределах
Следовательно,
фр”-™
а^п~\- ^”-4 ... + п ™
А 0>8n“W + 1
---------------------------------------
+ ... +ат^т^ \-а^п~т + •••
Получим отсюда более грубые, но зато и более удобные оценки.
Для этого увеличим правую часть, заменив в ней а2, а3, .... ат, . . .
нулями, и уменьшим левую часть, заменив в ней a,, а3........ат, . ..
нулями и на aj-f-1. Тогда будем иметь:
<0 А
Т'--------- ""С.-------Г
(«14-1)6™-
За грубое значение Дс» можно принять
Наши формулы позволяют также грубо оценить количестве верных
Цифр или верных знаков приближенного числа, т. е. число т, если
известна относительная погрешность, Пусть, например, в результате
вычислений получено число 2,14865. Найдем, сколько оно имеет
верных знаков, если 1 = 0,000023 и <л = 0,5. Нам нужно найти т,
при котором
< 0,000023 < ——
3 10™ ^2 Ю™“1
ИЛИ
1 < 0,000138- 10™ < 15.
Оба неравенства будут выполнены при т = 4 или 5. Значит, мы
можем уверенно сказать, что наш результат имеет четыре верных
знака. Фактически при отыскании числа верных знаков мы должны
отыскивать наименьшее т, при котором выполняется неравенство
(•ч + ПЗ”*
Заметим здесь же, что в вычислительной практике используют также
термин число верных десятичных знаков. Под этим понимают
число верных цифр после десятичной занятой. Так, например, если
в числе
О.СООЗО4
все цифры верны, то говорят, что оно имеет шесть верных деся-
тичных знаков. В то же время это число имеет три верных знака.
При подсчете верных знаков пули, стоящие слева, не считаются.
3. Неустранимая погрешность значения функции для прибли-
женных значений аргументов. Погрешности результатов ариф-
метических операций. Перейдем теперь к отысканию областей
неопределенности функций приближенных аргументов. Как мы уже
говорили ранее, задача по существу сводится к отысканию экстре-
мальных значений функций и может быть решена методами мате-
матического анализа. Здесь мы будем изучать более грубые способы
определения абсолютной и относительной погрешностей функций.
Для их применения нужно наложить некоторые ограничения на изу-
чаемые функции и погрешности аргументов. Мы будем предполагать,
что наши функции непрерывно дифференцируемы в рассматриваемых
областях. Предположим также, что погрешности, с которыми мы
будем иметь дело, определяются с небольшой точностью—один-два
верных знака. Это позволит нам сократить работу по вычислению
самих погрешностей. Далее, будем предполагать, что погрешности
значительно меньше приближенных величин, так что ими можно
пренебрегать в суммах, содержащих одновременно приближенную
величину и ее погрешность. Это условие на практике обычно вы-
полняется. Нам часто придется встречаться с значениями функций
и их производных в некоторых точках области, определяемой
областями неопределенности аргументов. Пользуясь нашими пред-
положениями, мы будем фактически рассматривать их в других
точках, более удобных для наших целей.
Найдем абсолютную и относительную погрешности функции
= /(xlt х2, ..., хп), считая, что погрешности аргументов заданы.
По формуле конечных приращений получим:
И^=/(Х|, х2, .... xn)—f(x*. х*.......($)«
i*4 4 i
где /' (5) — значения производных f' , взятых в некоторой точке
отрезка, соединяющего точки (х1( х2.... х„) и (хр xj......х^).
Используя последнее замечание предыдущего абзаца, заменим /' (;)
на f (х*). При этом получим:
а4* = Дj/д^ - %,»•
Таким образом,
Легко видеть, что при соответствующем выборе а * правая часть
xi
последнего неравенства будет равна Аь*. Отсюда
Теперь нетрудно найти и относительную погрешность. Она будет
равна
Aj_ У__у Ч(ж>) А
или
п
by = Sl <-»’) ’С | Ал,
Если нам нужно выразить относительную погрешность функции
через относительные погрешности гргумеитов, то мы запишем наше
выражение так:
" А ,
Ду- = х. In /(х) _ у - .
i-1 ’ I I
Отсюда
п
i=ii »
Мы получили общие выражения для абсолютной и относительной
погрешностей функции нескольких приближенных аргументов в пред-
положении малости погрешностей аргументов.
Применим теперь наши общие формулы к некоторым частным
случаям. Начнем с простейших арифметических операций. Пусть
нам требуется найти сумму нескольких приближенных величин
X = X, -Н х2 -ь ... ч- х„.
Мы будем отдельно рассматричать разность приближенных величин
и поэтому предполагаем, что все х; > 0 В нашем случае все /' (х )
I
равны 1, а все {1п/(х*)}' = — Отсюда
а X
-- SAj.*’
»-1 i
Таким образом, при сложении приближенных величин их
абсолютные погрешности складываются. Заметим, что это равен-
ство не является грубым и не зависит от тех предположений, кото-
рые мы высказали ранее.
Пусть Л1 и т— соответственно наибольшая и наименьшая из
относительных погрешностей слагаемых, Тогда на основании второго
равенства получим:
*1*1 г *
. . Х1 + х2 + • ’ • + Хп ..
и аналогично
?> т.
т.
Таким образом, при сложении приближенных величин относитель-
ная погрешность суммы будет заключена между наибольшей
и наименьшей относительными погрешностями слагаемых.
При производстве вычислений на автоматических вычислительных
машинах нет смысла производить скругления слагаемых перед про-
изводством сложения, если только они помешаются в машине. Это
не ускорит вычислений, по расширит область неопределенности сла-
гаемых, а следовательно и суммы. Другое дело при производстве
вычислений вручную или на неавтоматической вычислительной ма-
шине. В этом случае большое количество разрядов будет связано
с длительной установкой чисел, длительными вычислениями и гро-
моздкими записями. Поэтому при вычислениях вручную
или на неавтоматических вычислительных машинах
производят предварительное округление слагаемых.
При этом слагаемое, имеющее наименьшее количе-
ство десятичных знаков, оставляют неокруглен-
ным, а в остальных слагаемых оставляют на один
пли два десятичных знака больше.
Обратимся теперь к вычитанию. Рассмотрим разность
х’ = х1— х2,
предполагая, что х* > х’ > 0. Тогда
As* = Ajij /4а?' >
•*"1 -t' *^2 “^2
ДдЛ —
И в этом случае абсолютная погрешность будет равна сумме
абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, по
относительная пог ешность будет уже больше, чем каждая из отно-
сительных погрешностей. Если уменьшаемое значительно бол0ше
вычитаемого, то знаменатель последней дроби близок к х’ и сама
дробь близка к Д„-, В этом случае нужно действовать также, как
и при сложении. Совершенно другая картина получится, когда
уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу. В этом случае
знаменатель дроби очень мал и, следовательно, дробь будет очень
велика. Получается большая потеря верных знаков.
Поэтому там, где это возможно, надо стараться избегать вычитания
близких по абсолютной величине чисел. Этого иногда удается до-
стичь заменой вычитания близких чисел непосредственными измере-
ниями или некоторым преобразованием формул. Так, например,
пусть нам требуется вычислить объем, заключенный между двумя
сферами с общим центром, если дан радиус меньшей сферы г
и разность радиусов сфер равна а. Искомый объем будет равен
ATi(r + fl)3-r3],
о
и если а мало, то вычитание даст большую потерю точности. Вы-
годнее вычислять результат по формуле
4
- п [Зг2а4-Зга24-а3].
О
Заметим, что формулы для вычисления погрешностей суммы и раз-
ности являются абсолютно точными и не используют тех предпо-
ложений, о которых говорилось выше
Рассмотрим теперь произведение приближенных величин. Пусть
Тогда
Таким образом, при умножении приближенных величин отно-
сительные погрешности складываются. Оценим грубо число вер-
ных знаков в произведении т множителей, заданных в десятичной
системе счисления, имеющих одинаковое число k верных знаков,
если т невелико (меньше 10). Обозначим через Ьу, Ь2...Ьт пер-
вые цифры сомножителей, отличные от нуля (их называют первыми
значащими цифрами). Тогда по данной ранее приближенной формуле
Отсюда
Обозначив через b первую значащую цифру произведения будем
иметь:
1
Заменим в правой части Ь на 9 и на 1. Получим:
Так как т не превышает 10, то
<0
10* "8 ’
Таким образом, мы будем иметь по крайней мере k—2 верных
знаков. Наша оценка очень груба, и практически мы будем иметь
k—1 верных знаков, а иногда и k.
При умножении вручную или на неавтоматиче-
ских вычислительных машинах двух сомножителей
с целью экономии времени и сокращения записей
более точный сомножитель скругляют так, чтобы
число его верных знаков было на 1 больше, чем
у менее точного.
В случае частного двух величин
будем иметь:
Таким образом, и в этом случае относительные погрешности
будут складываться и будут действовать те же правила, что и при
умножении.
Рассмотрим еще пример трансцендентной функции. Пусть
X = lgx*.
Тогда
л'*=7йПо=0’434 ••• Дж*‘
Таким образом, абсолютная погрешность десятичного логарифма
примерно равна половине относительной погрешности числа, стоя-
щего под знаком логарифма. Если х* имеет п верных знаков, то
Итак, v’ будет иметь примерно п верных десятичных знаков
Обратно, по /г-значным таблицам логарифмов можно наити само_
число с точностью до п верных знаков. Отсюда вывод Чтобы
не затруднять свою работу, с одной стороны, и не
уменьшать точность, с другой, мы должны брать
таблицы с таким количеством десятичных знаков,
каково число верных знаков в аргументе под зна-
ком логарифма
Полученные нами формулы позволяют решать и обратную задачу
теории погрешностей находить допустимые погрешности одного
из аргументов по запанным погрешностям функции и остальных
аргументов
В заключение еще раз хотим напомнить, что полученные в на-
стоящем параграфе формулы и способы оценок погрешности спра-
ведливы только при тех предположениях, которые были высказаны
выше. Эти предположения сводятся к тому, что при разложении
разности значений функции при точных и приближенных значениях
аргументов в ряд Тейлора по степеням погрешностей аргументов
мы можем ограничиться только первыми членами, содержащими
первые степени погрешностей аргументов. Если первыми степенями
погрешностей ограничиться нельзя, то следует использовать фор-
мулу Тейлора до вторых, третьих и т. д. степеней.
§ 3, Погрешности округления
В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, как погреш-
ности округления влияют на абсолютную погрешность. В этом па-
раграфе мы коснемся некоторых вопросов, связанных с округле-
ниями, производимыми внутри быстродействующей вычислительной
машины. Эги вопросы в настоящее время разработаны еще очень
слабо. Поэтому мы ограничимся лишь самыми предварительными
соображениями.
Влияние округлений внутри машины на результат вычислений
в различных машинах будет различное. Поэтому мы должны усло-
виться, с какой машиной будем иметь дело. Для упрощения после-
дующих рассуждений возьмем самый простой образец автомати-
ческой машины. Будем предполагать, что у нас имеется машина
с фиксированной запятой, в которой зсе числа удовлетворяют усло-
вию |х|< 1- Пусть машина имеет запоминающее устройство, в ко-
тором могут храниться числа, имеющие т разрядов. Предположим,
что машина может производить операции сложения, вычитания
и умножения, результаты которых помещаются в специальном на-
копителе, имеющем 2m разрядов. Если в этом накопителе перед
началом выполнения очередной операции уже имелось какое-то
число, то результат операции либо прибавляется к числу, имеюще-
муся в накопителе, либо вычитается из него. Пусть наша машина
может производить и операцию деления, причем она помещает пер-
вые m разрядов величины (х*/у*) -|-(f)_’”/2) в специальный счетчик.
Последнее наше предположение будет состоять в том, что наша
машина может округлять числа в накопителе путем прибавления
к ним р"т/2 и отбрасывания последних т разрядов.
Для того чтобы можно было произвести на нашей машине дей-
ствия сложения и вычитания, нужно только потребовать, чтобы
|х* + У!<1, |х* —
Округлять при этом не придется, и следовательно, ошибок
округления не возникает.
Если нам нужно перемножить два каких-то числа, находящихся
в каких-то ячейках запоминающего устройства, то модуль резуль-
тата всегда будет меньше 1, а сам результат не может иметь более
‘2т разрядов. Таким образом, и в этом случае округлений не потре-
буется. Но если этот результат придется выводить в какую-то
ячейку запоминающего устройства или выводить из машины, то
придется сделать округление. При этом мы уже не получим точ-
ного произведения. Результат такой операции будем обозначать
х* X у*, отличая его тем самым от точного произведения х"у',
и будем называть псевдопроизведением. Итак,
|х*У — х*ХУ [<s = -
где г введено для упрощения последующих записей.
Точно так же при делении х* на у* мы будем получать не точ-
ное частное х*/У, а псездочастное х* \ у\ причем
Пусть теперь нам нужно образовать сумму произведений При
этом мы можем сначала получить в специальном накопителе точную
сумму произведений и лишь затем произвести округление. Такую
псевдооперацию будем обозначать X х\у\ Таким образом,
| 2 — Не-
интересно отметить, что не все свойства обычных арифмети-
ческих операций сохранятся для псевдоопераций. Так, например,
имеет место с дистрибутивным законом. Выражение (х* +у*) X г*
може т отличаться от (x*-\-y*)z* на е, а х* X Л-у* X X от х*У +
-f-y*z* на 2е, так как в первом случае производится одно псевдо-
умножение, а во втором два. Таким образом,
| (X +У) х х — (х* х х+у X X) I < Зе.
Но числа, разность которых стоит под знаком модуля, могут отли-
чайся друг от друга лишь на величину, кратную 2s (кратную еди-
нице последнего разряда), и следовательно,
I (X + У) XX- (X х У 4- У X X) I < 2е.
Мы получили, что разность величин, стоящих под знаком модуля,
не может превышать единицы последнего разряда. Что такая раз-
ность действительно может возникнуть, подтверждается простым
примером. Предположим, что т = 3, и нам нужно найти
(0,364 + 0,423) • 0,125.
При этом
(0,364 +0,423) X 0,125 = 0,098,
а
(0,364 X 0,125 + 0,423 X 0,125) — 0,099.
Мы как раз получили разницу в единицу последнего знака.
Порядок, в котором производятся операции умножения и деле-
ния, также будет иметь значение. Пусть нам требуется найти вели-
чину x'y*z*. При этом
х’Х(У XX) —х*ух =
= IX X (У X X) - У О* х X)] + |х* (У X X) - х*уХ]
и, следовательно,
| X х (У X X) - Х*ух К (1 + I х’ I) е < 2е.
Аналогично получим:
ЦУ ХУ) хх — x*yX|<(l + |X|)s<2s.
Отсюда
I (X X (У X X) - (У х У) X X I < (2 +1 х* I +1 У [) s < 4г.
Проводя те же рассуждения, что и в предыдущем случае, найдем:
| Z X (У X г*) - (х* X У*) X У I < 2г.
И здесь нетрудно привести пример, когда такая разность дости-
гается. Пусть т = 3 и нам нужно найти произведение
0,964 • 0,836 0,030. При этом
0,964 X 0,836 = 0.806
и
(0,961 X 0,836) X 0,030=0.024.
В то же время
0,836 Х0,030 = 0,024
и
0,964 X (0,836 X 0,030) = 0,023.
Рассмотрим еще один пример. Пусть нам требуется вычислить
выражение
х*
у*г* '
Будем предполагать, что X, у* и г’ положительны и все операции
возможно произвести на нашей машине. При вычислении этого вы-
ражения в различной последовательности получим разные результаты.
Вычислим сначала у* У z* и затем найдем х’ : (у* X г*). При этом
- ,(Z х л х 'х У
Второй член правой части оценивается без труда:
L У_
I у х
- х*: (У х
е.
Оценим первый член, предполагая, что у* X z* мало, т. е. близко
к 4г. Для того чтобы было возможно произвести деление, придется
потребовать, чтобы х* было близко к 2г. Так как
-е<(У2’)-(У Хг*)<г,
то v*2* может быть близким к 4г — г = Зг или 4г-|-г=5г. В пер-
вом случае оцениваемый член будет близок к
-3=1=1.
во втором — к
5s 4s
(4г - 5г] = -
1
Точное частное при х*=2г; уУ‘= Ъг будет % и погрешность со-
ставляет около 25%.
Так как для некоторых значений х*, у*, z* мы получили неудо-
влетворительный результат, то возьмем другую последовательность
операций. Разделим сначала х* на _у* и результат поделим на z*.
Оценим
- K-V* •• У) : -И = z*~x [£ - х* : у] 4- [? - £ - (У : у*) : г*] -
Опять следует рассмотреть только первый член. Результат будет
зависеть от того, что больше: у* или Z*. Лучший результат полу-
чится при 2*>у. Это мы будем предполагать. Так как
/г* > X*
(иначе деление невозможно было бы выполнить на машине), то
Можно считать, что х* > 2s и, следовательно,
Z > /Й.
Отсюда
Этот результат лучше, чем предыдущий. Если y*z* немало, то пер-
вый способ вычислений может оказаться лучше второго.
Приведенные здесь рассуждения относятся к конкретной машине,
данные о которой приведены в начале параграфа, и являются при-
меоными. До тех пор, пока не выработается стандарт в конструк-
ции автоматических машин, необходимо производить аналогичный
анализ для каждой машины в отдельности. Чтобы при этом не за-
трачивать чересчур много времени при разработке каждой частной
программы, целесообразно провести его заранее для типичных вы-
числительных процессов
§ 4. Полная погрешность
Мы уже говорили о том, что при решении математической задачи
мы получаем приближенные результаты в силу различных причин:
заданная нам задача заменяется другой, и в силу этого мы получаем
ошибку — погрешность метода-, числовые данные, с которыми про-
изводятся вычисления, неточны, и в силу этого измененная задача
не может быть решена точно и возникает новая ошибка—неустра-
нимая погрешность, и наконец, приближенные исходные данные
будут подвергаться не тем операциям которые требуются для изме-
ненной задачи, а псевдооперациям, так как мы вынуждены произво-
дить округления, и возникает третья ошибка—погрешность округ-
ления. Рассмотрим теперь, как будет складываться полная погреш-
ность из отдельных погрешностей.
Пусть нам требуется решить задачу
v = .4(x).
Для того чтобы эта задача могла быть численно решена, мы при-
водим ее к виду
У = А (х).
Далее, благодаря неточности исходных данных и процессам округ-
ления мы фактически решим задачу
у—А(х).
Пусть для определенности, нам нужно по х найти у. Тогда
V — У = СУ — У) 4- (у — у).
Первая из скобок справа и даст ошибку метода, вторая скобка опре-
делит влияние неустранимой погрешности и погрешности округления.
Мы ее назовем вычислительной погрешностью. Таким образом,
полная погрешность является суммой погрешности метода и.
вычислительной погрешности.
При анализе погрешности метода мы должны учитывать способ
замены R на R и замены А на А. При анализе вычислительной по-
грешности мы должны глубже учесть структуру функций А и А.
Действительно, как это мы видели в предыдущем параграфе, вели-
чина погрешности округления существенно зависит от последователь-
ности операций, производимых над числами. Поэтому мы будем рас-
сматривать вычислительную погрешность лишь в том случае, когда
над двумя приближенными числами производится одна операция.
Пусть х и у — те числа, над которыми должна быть произведена
некоторая операция ш. Фактически мы будем производить операцию
не над ними, а над некоторыми приближениями к ним х* и у*.
Кроме того, в действительности вследствие ошибок округления мы
произведем не операцию ш, а другую операцию ш*. Таким образом,
вместо лш_у мы получим х*ш’у*. Но
хыу — х*ш*у* = (хыу — x*wy*) -)- — x*u>* v*).
Первая скобка в правой части в этом случае даст неустранимую
погрешность одного шага программы, а вторая — погрешность окру-
гления. Таким образом, на одном шаге вычислительного процесса
вычислительная, погрешность будет складываться из неустра-
нимой погрешности и погрешности округления.
При составлении программы желательно процесс вести так, чтобы
одни погрешности компенсировали другие. Правда, часто это связано
с большими затратами труда и времени на составление программы.
Однако некоторые программы используются очень часто и следует
хотя бы один раз произвести для них полный анализ погрешностей.
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей
Пользуясь результатами предыдущих параграфов, мы можем по-
лучить оценку максимально возможных погрешностей Однако на
практике они далеко не всегда достигаются, Приведем следующий
пример. Было произведено 440 опытов. В каждом опыте склады-
вались 20 логарифмов, взятых с пятью десятичными знаками. Затем
были найдены абсолютные погрешности каждого суммирования путем
сложения тех же логарифмов с семью десятичными знаками. При
этом оказалось, что эти погрешности распределены следующим
образом:
Погрешности в едини- цах седьмого знака Число случаев в %
От 0 до 100,5 65
» 100,5 » 200,о 28
» 200,5 а 300,5 6
» 300,5 » 400,о 1
» 400,5 » 1000 0
Если оценивать результаты на основании предыдущих результа-
тов, то мы могли бы сказать лишь, что предельная абсолютная по-
грешность не. превышает 1000 единиц седьмого знака. Для того
чтобы было легче понять, в чем здесь дело, представим себе сле-
дующую условную картину. Складываются два числа, предельная
абсолютная погрешность каждого из которых равна 5 каких-то еди-
ниц. Допустим, что абсолютная погрешность каждого из слагаемых
может принимать только одно из следующих значений:
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5.
Предположим, кроме того, что появление каждого из этих значений
одинаково вероятно, т. е. ни одно из них не имеет преимуществ
перед другими. Предельная абсолютная погрешность суммы двух
таких чисел будет равна 10, а абсолютная погрешность ее может
принимать одно из следующих значений:
0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9. ±10.
Абсолютная погрешность суммы, равная 0, получится, когда по-
грешность первого слагаемого принимает одно из написанных выше
значений, а погрешность второго — равное по абсолютцой величине,
но противоположное по знаку значение. Всего таких комбинаций
будет II. Абсолютная погрешность суммы примет значение 1, когда
погрешности первого и второго слагаемых примут следующие зна-
чения: —4 и 5; —3 и 4; —2 и 3; ...; 5 и —4, Всего таких
комбинаций 10. Произведя такие подсчеты для всех возможных слу-
чаев, получим следующую картину:
Погрешность 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число комбинаций 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Для отрицательных погрешностей картина будет симметрична.
Мы видим, что число комбинаций, когда погрешность близка к ма-
ксимальной, очень незначительно. Это будет еще более заметно при
сложении трех и большего числа слагаемых. При этом непосредст-
венный подсчет числа комбинаций будет затруднительным, и мы
произведем его обходным путем.
Будем решать следующую задачу: рассматривается сумма
у — х\ Н--*? + • +*«!
причем каждое слагаемое может независимо от других принимать
все целочисленные значения от —m до т. Сколько возможно
различных комбинаций значений при которых сумма принимает
данное значение fe? Две комбинации значений х,- считаются различ-
ными, если они отличаются хотя бы одним значением х.
Рассмотрим одночлены
где ti (Z—1, 2. ..., п)—какие-то параметры и а, независимо друг
от друга пробегают все целочисленные значения от —т до т.
Сумма всех таких одночленов может быть записана в виде
п
Zi = II + • • • -t-f;. -I- • • . + Z™)-
А=1
Положим в обеих частях равенства tl=t2 — =tn—t. Это
даст
тП , п
2 дА.^ = (гт + /-(т-1)+ ... +/-1+14-/+ ... +/'").
к^-тп
Коэффициент Aj, и будет равен числу искомых комбинаций, так как
он равен числу различных комбинаций я,-, при которых
= ai Ч~ Э- ... -|-ап.
Общее число всех возможных вообще комбинаций получится,
если мы положим t — 1, т. е. оно равно
В = (2m Д- 1)”.
При больших значениях тип это очень большое число. Поэтому
удобно разыскивать не сами Ак, а отношение
можно записать в виде
Выражение
(!-/)"
п
= гтп [1 - nt2M+1 + Z^+2_j_ . . . ] р
Таким образом, нам нужно подсчитывать коэффициенты произведе-
ния многочлена и бесконечного ряда. Так как и здесь будет наблю-
даться симметрия, то фактически придется искать коэффициенты
выражения
im+’i
[1
„„ /тп
до t
Пусть, например, складываются три слагаемых, погрешности ко-
торых могут принимать с одинаковой вероятностью любое целочи
елейное значение от —5 до 4-5. Предыдущее разложение в данном
случае примет вид
((\’£у)Г = |1— З/11 4- 3/22 _ /33] х
х [ 1 + 3/4- 6/2-1- 10/» -ь- —-—-у-”— - 4 ... ] =
= 1 -4-3/4-6/24- 10/34- 15/4-4-21/&-|-28/«4- 36/’4- 45/М- 55/« 4-
-|-66/104-75/1'--|-82/124-87/134-90/11-|-91/154 ...
Таким образом, мы получаем таблицу:
По1 решности Число комбинаций Погрешности Число комбинаций
0 91 8 36
1 90 9 28
2 87 10 21
3 82 11 15
4 75 12 10
5 66 13 6
6 55 14 3
7 45 15 1
Погрешности, которым соответствует большое число комбинаций,
будут чаще наблюдаться на практике.
При больших значениях п даже последний способ подсчета числа
комбинаций очень громоздок. Поэтому приходится прибегать к раз-
личным приближенным формулам. Рассмотрим здесь одну из них.
Прежде всего заметим что коэффициет ак при tk ряда F (/) по сте-
пеням t, сходящегося на границе единичного круга, может быть
определен по формуле
К
ак = ~^ у F (егф) е~гк* d<?,
ибо х оо
/ F(elf}e' 'к' d'f = an I e* (*-*)» dp,
—n n=0 —л
a
/• I 2it при {i = 0,
J e d'? jo при целом p =F 0.
Поэтому величина Pk, о которой говорилось выше, будет равна
ТС
1 F e-(mn+k)<fi [j g(2i»+l) г<р]«
Рк~^ (2т~1)я е»‘)ге —
я —ikv Г <a”t+1> *Т гёт+Х) 1а>-|П
= 1 Ге U 2 -е 2 I _
2л J I Lf\re
1 Г e~ik4>
2 л J (2m-J-l)ft'
—ff
, 2m+1
s r — 2 ” ?
Г1
s'n —?
rr / 2m 4 -1 \n
. c . /sin------=----e \
_ 1 ( cos k'f I 2 T ’
~ S ,/ (2m 4- bn 1
у sin —T /
n / 2m -|-1
/ Sin -------------J— ¥
/ COS to I ------------j----
о у (2m + 1) sin — cp
Можно показать, что при больших значениях п последний интеграл
будет приближенно равен
, л т(т+Ц „
1 J ,-----------е — «г ,
— / cosaipe ь d'f.
о
Вычисление последнего интеграла приводит к формуле
D, _ I ___________.______Lirnlm + i) n
к'~~ 2/а ' т (т 4-1) п
Отсюда отношение числа комбинаций, для которых погрешности
заключены в пределах (—k, А*), к числу всевозможных комбинаций
будет приближенно равно
._______________________________ к
__L__1 ' 6____ \ ~ 2т и .
2 1Л- г т(т-\-\)п
j^-к
Обозначим
2т (т 4 1) п
Тогда последнюю сумму можно рассматривать как интегральную для
A l/"___,
г ‘Лти (т+1) г
/
____»____
г 2т(»г+1)п
F 2W (Ж + 1) П
e~z‘dz = - i е~£‘dz.
V» ./
о
Лля последнего интеграла составлены таблицы, которыми и можно
воспользоваться в практических расчетах.
Применим наши выводы к примеру, приведенному в начале
параграфа, — сложению 20 логарифмов. При этом получим-
Погрешности в единицах седьмого знака Относительное число комбинаций в %
От 0 до 100,5 52,2
» 100,5 » 200,5 32,2
» 200,5 » 300,5 12,2
» 300,5 » 400,5 2,9
» 400,5 » 1000 0,5
Сравнение этой таблицы с таблицей, приведенной на стр. 59,
показывает, что наши выводы близки к практическим результатам.
Таким образом, видна необходимость наряду с оценкой предельных
погрешностей находить возможности достижения отдельных по-
грешностей. Такой подход к оценкам погрешностей называют
статистическим или вероятностным. Мы провели в этом па-
раграфе вероятностную оценку погрешности для суммы п слагае-
мых. В более сложных слутчаях такая оценка потребует широкого
привлечения теории вероятностей, а мы здесь не предполагаем
знакомства с этим разделом математики. Следует подчеркнуть еще,
что хороший анализ погрешностей особенно важен для наиболее
употребительных стандартных программ для электронных машин,
§ 6, Среднеквадратичные погрешности
1. Систематические и случайные ошибки. Мы начнем этот
параграф с классификации ошибок, возникающих при измерении
физических величин.
Когда говорят об измерении некоторой физической величины,
то неявно предполагают, что данная физическая величина имеет
вполне определенное числовое значение. Это предположение должно
быть выполнено во всех тех измерениях, о которых будет идти
речь в настоящем параграфе.
Опыт показывает, что в результате измерения мы получаем
не точное значение измеряемой величины, а лишь приближенное,
включающее некоторую ошибку. Появление ошибки может быть
вызвано самыми различными причинами.
Инструмент, с помощью которого производят измерения, может
быть недостаточно аккуратно выполнен. Например, деления изме-
рительной линейки могут быть нанесены неточно. При этом в резуль-
тате измерения всегда войдет ошибка, которую называют инстру-
ментальной.
Лицо, производящее измерения, имеет определенные навыки
и определенные физические данные. Поэтому обычно при точных
измерениях разные лица даже при одинаковых условиях получают
разные результаты. Каждый результат обладает некоторой ошибкой,
которую называют личной.
При некоторых измерениях мы можем не учесть каких-то физи-
ческих факторов, существенно влияющих на результат измерения,
и тем самым внести в результат ошибку. Такую ошибку мы совер-
шили бы. например, если при определении широты места с помощью
астрономических наблюдений забыли о преломлении луча при про-
хождении через атмосферу Эти ошибки называют теоретическими.
Все указанные выше ошибки называют систематическими.
В нужных случаях мы всегда сможем, хотя бы принципиально,
либо исключить такие ошибки, либо сделать их как угодно малыми.
Неисправный инструмент можно заменить исправным, личная ошибка
может быть довольно точно определена и исключена, неучтенные
физические факторы можно учесть с достаточно большой точностью.
В данном параграфе мы предполагаем, что систематические ошибки
отсутствуют.
Исключив систематические ошибки, мы еще не сделаем резуль-
таты измерения точными. Дело в том, что условия, при которых
должен быть произведен опыт (температура, давление и т. п.),
нельзя считать полностью стабильными и полностью совпадающими
с заданными условиями. Кроме того, при всяком опыте мы отвле-
каемся от ряда физических факторов, влияние которых считаем
ничтожным. Всякое изменение состояния этих факторов изменит
результат на величину, которую мы не учитываем, а часто и не
можем учесть. Так, при измерении широты мы не сможем полно-
стью учесть состояния атмосферы в данный момент и в данном
месте. Всякое изменение в состоянии атмосферы будет влиять на
результат измерения. Все эти отклонения от заданных условий
опыта вызовут появление ошибки в результате измерения. Эту
ошибку называют случайной Такое название оправдывается тем,
что величина случайной ошибки определяется факторами, не упра-
вляемыми экспериментатором, и при разных обстоятельствах может
быть различной.
Дадим теперь математическую характеристику случайной ошибки.
Будем пре гполагать, что при измерении физической величины х
мы можем получить результат, принадлежащий некоторому конечному
или бесконечному множеству возможных результатов измерения.
В дальнейшем для простоты рассуждений будем предполагать это
множество конечным. Обозначим все возможные, результаты изме-
рения величины х через
Х„ х2......х„.
Эти возможные результаты измерения не всегда бывают равно-
ценны в том смысле, что если производить измерения большое количе-
ство раз, то одни результаты будут появляться чаще, другие реже.
В связи с этим мы будем предполагать, что каждому результату х{
/ ” \
можно сопоставить действительное число q, 1;^, q^={)—
вероятность появления этого результата. Вероятность результата
тем больше, чем чаще могут наблюдаться условия, при которых по-
является данный результат. По терминологии теории вероятностей
наши результаты измерения представляют собой случайную величину.
Выражение
п
4i%i
1 — 1
в теории вероятностей называется математическим ожиданием
случайной величины. В дальнейшем мы будем поедполагать, что
выполнено равенство
п
1=1
Эго — математическая запись нашего предположения об отсутствии
систематической ошибки.
2. Среднеквадратичные погрешности. Измерение физической
величины обычно можно произвести различными способами и инстру-
ментами. При этом, вообще говоря, разным способам измерения
будут соответствовать разные совокупности возможных результатов
измерений или же одинаковые совокупности, но с различными
вероятностями поязления отдельных результатов. В связи с этим
очень важно уметь давать количественную характеристику качества
измерения. Для этого введем в рассмотрение величину
п
°2 = S 4i(x — Xi)2.
i=l
Корень квадратный из этой величины носит название среднеквад-
ратичной погрешности измерения. Каждому измерению будем при-
писывать вес р, равный
где К—величина, постоянная для всех способов измерения х. Чем
больше вес, тем измерение считается лучше. В таком подходе
к оценке качества измерения есть большая степень произвола. Но
это и неизбежно в тех случаях, когда нам приходится вводить
какие-то характеристики физических явлений.
До сих пор говорилось о вероятности появления отдельного
значения случайной величины. В дальнейшем мы будем говорить
также о вероятности принадлежности случайной величины к тому
или иному множеству. Следует пояснить, что под этим будет п< -
ниматься. Условимся обозначать случайную величину одной буквой
Символом P(^S) будем обозначать вероятность того что слу-
чайная величина принадлежит множеству' 5. При этом, если
то по определению
Р С £ 5) = qt, — -|- ... qim.
Нам будут полезны следующие две леммы:
Лемма 1. Если случайная величина £ принимает только
неотрицательные значения, часть которых менее некоторой
положительной величины а, то
P(S<a) > 1—
Здесь через М(£) обозначена математическое ожидание случайной
величины Е.
Положим для определенности, что xlt х2, .... хь не превышают
а и х хк__2. ••• хп превышают а. Математическое ожидание
случайной величины £ разобьем на две части:
к п
Л4 (£) = “I Qi^i'
i=l
Так как все то
-М (Е) qk+ixk-^i 4- <h+2xk+2 4- ••• -\-Qnxv >
>O/fc+iЧ~<7лч-2-|- ••• -г<7п)а==П—(914-92-4- 4-<7n)la-
Отсюда
. . , Л<(6)
91 Н~ Яг 4“ • • • Ч~ Як 4 1 ~—
и так как qx -\-q2 +- ••• + Як = (^ &), то утверждение дока-
зано.
Лемма 2. Если а некоторое положительное число, то
Р(|Е-М(0|<а)> l~g.
Для доказатсльтва рассмотрим случайную величину (• — М (?) )2.
На основании предыдущей леммы будем иметь:
Р((5 —Л4(?))2<л2) = Р(|$ —M($)|<«)> 1— ~ (£~2И-)-Г)- =
= 1 —
аз
что и требовалось доказать.
Из последней леммы следует, что чем меньше среднеквадратичная
погрешность, тем меньше рассеяние значений случайной величины
около ее математического ожидания.
Пусть теперь в последнем неравенстве а = ko. Тогда получаем:
Р(15-Л4 0)|<Ь)> 1— -1
к*
В частности, при k = 3 будем иметь:
Р(|^—Л4($)|<3о)> 1 — 1 = 0,888 . . .
Это означает, что примерно в 90% случаев мы будем получать
значения случайной величины, отличающиеся от математического
ожидания не более чем на утроенную среднеквадратичную погреш-
ность.
3. Обработка результатов по методу наименьших квадратов.
Произведя несколько измерений некоторой физической величины х,
мы получим несколько, вообще говоря, различных результатов:
Х<1), Х<3'...........х<-т\
Каждый из этих результатов содержит какую-то случайную ошибку
По этим данным мы не можем найти точное значение измеряемой
величины. Поэтому возникает задача: по х(1>, х<3'....х’т| найти
величину х*, которую бы с наибольшим основанием можно было
принять за приближенное значение х. В такой постановке задача
еще очень неопределенна и решение ее может идти по самым раз-
личным направлениям. Мы коснемся здесь лишь одного подхода,
основанного на минимизации среднеквадратичной погрешности.
Будем предполагать, что произведенные нами измерения были
независимы Это означает, что соответствующая каждому измере-
нию совокупность возможных результатов измерения и вероятностей
их появления не зависят от результатов других измерений.
Величину х* будем искать в виде
х* = Ххх<’> + ХгХ'3» >...-1- Хтх<4
(1)
где. Хь Х2, .... Х,,4--некоторые постоянные, которые нам предстоит
подобрать. Наряду с (1) будем рассматривать величины
.....=м:'+М’ + • • + м:>. (2>
где x^(k =1,2........т) пробегает совокупность возможных резуль-
татов измерения при й-м измерении. Они будут играть роль воз-
можных результатов измерения. Каждой из величин х*^ t при-
пишем вероятность появления, равную q^g^ ...
обозначена вероятность появления х!^ при &-м
определение вероятности появления х* 4 есть
д^, где через д;^'
измерении. Такое
следствие нашего
предположения о независимости измерений.
Постоянные ~Кк будем выбирать так, чтобы
были выполнены
следующие два условия;
1. Случайная величина х*. не должна иметь системати-
*т
ческой ошибки, т. е. ее математическое ожидание должно рав-
няться х.
2. Случайная величина х*. должна иметь наибольший
возможный вес.
Как мы увидим, эти два условия определяют постоянные Хй
однозначно.
Прежде всего потребуем выполнения герного условия. Мы
должны иметь:
X = 2 Я^’ (X,Х^> -+- Х2х<’’ 4- ... 4. ктх'™\ =
»Ь ь...im ’ ’ т
= М 2 2 С ... £ 2 <7‘-‘ 2 2 • • •
г г ’ g т i, h Ъ
2 яТ' -+- • • • 2 • • • 2 ч{г11 2 яТ}хГ‘ =
= (114“ ^2 4~ ••• + !»»)•*•
так как
Отсюда
4 4~ 4 ~Ь • • • 4“ Ч = 1 • 63)
Будем теперь удовлетворять второму условию. Каждой разности
х—(11 4-la*? 4- ••• Ч_1»»*«™)) =
= \ (х — X?) + 12 (х — X?) 4- • • • + Ч (х — х^’)
будет соответствовать вероятность появления
•••
Таким образом,
°г =г. 2 ; • • • я^ {ii (х - х(>') + (х - х(«)) 4- ...
... 4-Xe(x-xWP^i’ 2 ^Я{р ••• <7НХ~О’+-
т i.in i э w
1 а т
+ 4S, <’<" ,2- «'••
»*.4 т '
...^(х-^ча^ 2
»*' ilia... i_ 1
Но
V? 2 *• • ^w)(х — 4fc))(x~=
М3...г ' 2 w4 Vc/X г1'
1 3 т
= V;2^(X — 4ft?)2#'(x — Ч’) П 2^>=0’
Тд. « к i i k, I г. .1
так как
^Я(?}(х — хг-) = х — 2?'ЛМй) = 6, А = 1, 2......т.
ik гк
Далее,
Я 2 . ^(х-х^ =
1.4 „ 4 «'* К
1^3 ... tw
где cj — среднеквадратичная погрешность и рк— вес &-го измерения.
Следовательно,
Таким образом, чтобы удовлетворить втором}' требованию, мы
должны подобрать Afe так, чтобы выполнялось условие (3) и обраща-
лось в минимум выражение
Это—задача на условный экстремум. Пользуясь методом неопре-
деленных множителей Лагранжа, будем разыскивать безусловный
экстремум функции
X? 'Д
/(Хр Х2> • • • • Ат) = „-Ьт Ь • • • 4“ у — а (X] +Х2 {- . . . 4-^т)»
Pl 1’ч Рп>
где а.—некоторая постоянная. Приравнивая нулю частные произ-
водные по Xfc, получим:
Отсюда
df _2).к
дЧс Рк
Xi __ Х2 __ _Хда __ Xt-|- л2 -|- ... ).т ___________1________
Pl Pi Pm Pi + Pt 4" • • • + pw Pi 4 Pi + • • • 4 Pm
H
X _____________Ph_________
Pl 4- Pt + • • + Ph
Таким образом,
x. = Z’l-r'1,-r?2-<a'- + P.^
Pl 4" Р’Л • • • + Pm
Вес этого результата будет равен
Р = \ >---J— ------у =Pi У • • • + Рт-
Л. 3 _ , 2s
Pl Pt. Pm
Итак, постоянные найдены. Выражение (5) можно получить, если
отыскивать значение Е, дающее минимум функции
г&=^Рк(х<к'--р.
к
Поэтому и говорят, что х* находится по х(1>, х<2).х(я*' мето-
дом наименьших квадратов
Чтобы вычислить среднеквадратичную погрешность величины х\
нам нужно еще найти К. Для этого образуем случайную величину
iib - • • гт pi _|_ р^
И ВЫЧИСЛИМ
.....,.)]•
Заметим, что внутреннее суммирование идет по индексу k Исполь-
зуем следующие очевидные равенства;
2 At ( •*•) ~ Gmi 1т Х> ~Рк'< l£lPk(x\) im) = О-
Сначала преобразуем внутреннюю сумму. Ради краткости записи, мы
опускаем индексы у £^...1 . Будем иметь:
%Рк - *)* =%рк - 0 (< - Ж -1 + л) =
= 2 Рк — 0 (х^ — х) — (Е — х) ^рк (х% — Е) =
= 2 At (х^ — х — Е 4- х) (x{V — х) =
= 2 Рк №к — х)2 — (Е — х) ^рк (х^1 — х) =
= ^-Рк (х^ — xf — (Е — х)а ^ph.
к К к
Следовательно,
, s. -')]=
Im L л Л, J
= .. 2. - xf 1 -
гггл... т L к « J
2.
т L к J
Но
и
1я 1т л
ЪЪ... 1 т - & _
=2>. 2 «-••с’«--':>г=Х'’.у7
& г,!., ... im к
Таким образом,
..2. =
ЬЪ ... LA J
Отсюда можно найти Д', если мы знаем все возможные результаты
измерения и вероятности их появления. Практически это обычно
бывает неизвестно. Тогда в качестве приближенного значения для К
берут
^рК(х'к} — X-Y
1:
При этом
^pfr(x</£) —яг')2
а2 --------=-----.
(« —Рл
ь
Если веса измерений будут одинаковы, как, например, при измере-
ниях одним инструментом в примерно одинаковых условиях, то
последняя формула примет вид
2 А
------------гг-.
тут — 1)
В качестве х* в данном случае нужно взять
= х," + -У(3'+---+ х'т}
4. Среднеквадратичная погрешность функции. Проследим
теперь, как преобразуются среднеквадратичные погрешности при
производстве математических операций. Величины, над которыми
производятся операции, будем предполагать независимыми в том
смысле, как это указывалось ранее.
Начнем с операции сложения. Пусть
z = x + y,
где х и у подвержены некоторым случайным ошибкам. Через х* и
у* будем обозначать фактически полученные нами значения х и у,
через х( и у, — возможные результаты, а через q't и q".—вероят-
ности их появления. Тогда
2 [(* ~ + (У - -У;)]2 =
= 1/"2<?Х(*-^У 4-22Х<(х-*Л(У-У,Н2<<(У~-'У)2 .
г Л ) Ь 1
Как и прежде, найдем:
2 «' (* - 2 q't4” - х,) (у - у,) = 0;
2«(?-л)2 = саг
Итак,
Аналогичный результат получится и для п слагаемых. Если
У — х ; + х2 4- ... -1~ хп,
то
В частности, если аЯ1 = аач = ... = са,п = ая. то
ov = axVii.
Таким образом, среднеквадратичная погрешность суммы пропорцио-
нальна не числу слагаемых, как предельная абсолютная погрешность,
а корню квадратному из .числа слагаемых.
Рассмотрим теперь линейную функцию
у = Сх,
где С—точная величина. Тогда
°v = 1/ 2 qfi2 — Xi}2 = | СЬ 2 7iU — *<)2 = IC | o^.
ri 7 i
Из последних двух результатов следует, что среднеквадратичная
погрешность функции
п
у = Е Ci*i
i^l
будет равна
Рассмотрим теперь функцию
z = /(x, у),
причем о f(x, у) бу нем делать те же предположения, что и при
изучении абсолютной и относительной погрешности. Тогда
аг5 = / (х. у)—/ (х*. /) = /;(£, V) 4- /' С, ч) .
В силу малости погрешностей можно положить
= f'x (X*. у*) 4~ (х*, у*) ayi.
Мы получили линейную функцию. Воспользовавшись предыдущим,
получаем:
= V [/а(х*. ?)p^ + [/;(x*,y)f.c^
Аналогично для функции
y = f(xXt х2, .... х„)
будем иметь:
>=/,?, 14 <Х,)К
Применим эту формулу к произведению п величин
у — Ххх2 . . . Х„.
При этом получим:
Обозначим
и будем называть это отношение относительной среднеквадратич-
ной погрешностью. Тогда последняя формула примет вид
В частности, если гх> — еЖз = ... = еЖи = гх, то
гу=-хЛ‘ «
5. Среднеквадратичная погрешность равномерно распределен-
ной величины. Пусть известно, что приближенная величина х" имеет
предельную абсолютную погрешность Аж-. При этом, вообще говоря,
ошибка может принимать любое значение между —Аж* и Ав*.
Мы будем считать все эти значения одинаково возможными. Чтобы
сделать множество возможных значений конечным, будем сначала
предполагать, что ошибка может с одинаковой вероятностью при-
нимать значения
— по, —(п—1)5..—8, 0, о, 28.(п—1)о, по.
где о=—" . Тогда среднеквадратичная погрешность будет равна
Но
&Х* -- 6
п (п Д-1) (2п Ц-1)
б
п
Л=1
и, следовательно,
A* t (п + 1)
Зп
Чтобы точнее отобразить наше предположение о том, что ошибка
может принимать произвольное значение между —и А^, мы
должны увеличивать п. В пределе получим"
А,»
Как следует из результатов предыдущего пункта, среднеквадра-
тичная погрешность суммы п слагаемых, обладающих предельной
абсолютной погрешностью А, будет равна
Иногда уславливаются при сложении п приближенных чисел (п > 3)
с близкими среднеквадратичными погрешностями считать предельную
абсолютную погрешность суммы равной
А' = За.
Некоторым оправданием этого служит лемма 2 настоящего пара-
графа. Для примера суммы 20 слагаемых, приведенного в преды-
дущем параграфе, мы будем иметь:
А'= 390,
что довольно хорошо отражает реальное положение вешей. И в слу-
чае вычисления произвольной функции п переменных с достаточно
большими основаниями можно заменять предельную абсолютную
погрешность утроенной среднеквадратичной погрешностью.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Записать число е с тремя значащими верными цифрами и определить
предельную абсолютную и относительную ошибки числа
2. Сторона квадрата приблизительно 1 м. С какой точностью ее надо
измерить, чтобы погрешность площади была не больше 1 сла?
3. Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым
пользовался Архимед при вычислении п. выражается при г = 1 формулой
р = 961 ^2 — Уч + ^'2 4- У"ч+ /з
Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить я с точ-
ностью до 0,001, то с Какой точностью нужно производить вычисления под-
коренных величин?
4. Корни уравнения Ji’— Чх -1- ig 2 = 0 нужно получить с четырьмя
верными знаками. С каким числом знаков надо взять свободный член урав-
нения?
5. При измерении длины пролета строящегося места на одном берегу
отложена базисная линия, равная 200 ±0.01 м. Измерены углы между бази-
сом и направлением из концов его на точку за рекой. Они оказались 90с±1°
и 60° ± Г’. С какой точностью можно определить по этим данным длину
моста?
6. В пятизначных логарифмических таблицах даны десятичные логарифмы
чисел с точностью до 0,5 • 10~6. Как велика может быть погрешность при
нахождении числа по логарифму, если число заключено между 300 и 400?
7. Тот же вопрос в применении к таблице логарифмов синусов и лога-
рифмов тангенсов, если угол около 45°.
8. Если У (х) = 1-, то итерация
X - х (1 -I
*<+i — xi! * Н - .
сходится к квадратному корню из а. Построить программу, основанную па
этой итерации, для машины с такими данными, как было описано в § 3 этой
главы и проанализировать погрешности
9. По образцу К 5 провести анализ распределения погрешностей при
возведении х в степень п, если х = 10,
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, изд. 6, 1954.
2. Я. С. Бе зико вич. Приближенные вычисления, изд. 6, Гостехиздат,
1949.
3. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ 1956.
4. А. А. Марков, Исчисление вероятностей, Москва, 1924.
5. Н. И. Ид ель сон, Способ наименьших квадратов и теория математи-
ческой обработки наблюдений, Геодезиздат, 1947.
6. D. М. Щиголев, Математическая обработка наблюдений. Физматгиз, 1960.
ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ
ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи
В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функ-
циями у(х), заданными таблицами их значений для некоторого ко-
нечного множества значений х: у (х0), /(xj, /(х2).f (хп).
В процессе же решения задачи необходимо использовать значе-
ния / (х) для промежуточных значений аргумента. В этом случае
строят функцию <р(х), достаточно простую для вычислений, которая
в заданных точках х0, х„ хп принимает значения У(х0),
/(xj, f (хп), а в остальных точках отрезка (й, Ь), принад-
лежащего области определения f (х). приближенно представляет функ-
цию / (х) с той или иной степенью точности, и при решении задачи
вместо функции у(х) оперируют с Функцией ср(х). Задача построения
такой функции ср (х) называется задачей интерполирования. Чаще
всего интерполирующую функцию ср(х) отыскивают в виде алгебраи-
ческого „многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе
гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция /(х)
может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы
некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет
алгебраический многочлен.
К интерполированию приходится иногда прибегать и в том слу-
чае, когда для функции У(х) известно и аналитическое представление,
с помощью которого можно вычислять ее значения для любого зна-
чения х из отрезка |й, £], в котором она определена, но вычисле-
ние каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений.
Если в процессе решения задачи необходимо находить значения функ-
ции /(х) для, очень большого количества значений аргумента, то
прямой способ потребовал бы громадной вычислительной работы.
В этом случае для уменьшения объема вычислений прибегают
к интерполированию, т е. вычисляют несколько значений У(х4)
(i=0, 1, ..., п) и по ним строят простую интерполирующую функ-
цию <р(х), с помощью которой и вычисляют приближенные значе-
ния /(х) в остальных точках.
В настоящей главе и будут рассмотрены способы построения
интерполирующих функций, приведены оценки точности приближения
с их помощью, а также будут изложены некоторые приложения тео-
рии интерполирования.
Прежде чем перейти к изложению этих вопросов, приведем более
точную и общую постановку задачи интерполирования и некоторые
необходимые понятия.
1. Линейные множества. Линейно независимые системы эле-
ментов. Множество М элементов х, у, z, ... называется линейным,
если в нем определены операция сложения, обозначаемая знаком «Д-»,
и умножения на числа (действительные или комплексные), не выво-
дящие за пределы М и удовлетворяющие следующим условиям.
1. Сложение ассоциативно, т. е. (х-\-у) 4~ z = х 4~(у4“ Z).
2. Существует нулевой элемент 0 такой что х4_0 = б4_х = х
при любом хД М.
3. Для всякого х существует элемент, обозначаемый —х, такой,
что х Д-(—х) —5 0.
4. Сложение коммутативно. ху = у-\-х.
5. (a-f [Г) х — ахfJx.
С. а(х4-у) = ах Д-ау.
7. а (рх) = (ар) х.
8. 1 • х = х.
Здесь латинскими буквами обозначены элементы М, а грече-
скими— числа. Из первых трех аксиом вытекает единственность
нулевого элемента, единственность обратного элемента —хи пра-
вило, что если x-]-z=y-\-z или z Д-х = ж Д-у, то х— у. Исполь-
зуя условия 5, 8 и 2, можно доказато, что (—1)х = — х и 0 -х=0
при любом х. Мы не будем это доказывать, предоставив возможность
провести доказательства самому читателю.
В качестве примера возьмем множество R всех действительных
функций, заданных на отрезке <а, £]. Если сложение функций и
умножение их на действительные, числа осуществлять обычным обра-
зом, как это делается в анализе, то R будет линейным множеством
В линейном множестве можно ввести понятие линейной зави-
симости и линейной независимости элементов. Совокупность
элементов хр х2, .... х„ линейного множества Л1 называется ли-
нейно зависимой, если найдется такая система чисел с}, с2, .... се,
не равных одновременно нулю, что
С1Х1 4“ С2Х2 4 ' ••• 4-Сй.Хт1— 0.
Если таких чисел сг подобрать нельзя, то совокупность элементов х;
называется линейно независимой.
2. Задача интерполирования. Выберем в пространстве R дей-
ствительных функций, определенных на [а, Ь], конечную или счетную
совокупность {'^} его элементов, причем будем предполагать, что
любая конечная система этих элементов линейно независима На
практике чаще всего в качестве [<р{} берется последовательность сте-
пеней х : 1, х. х2, х3, последовательность тригонометрических
функций: 1, sin х, cosx, sin 2х, cos2x, ... или последовательность
показательных функций: 1, е^-е, .....где {а{} — некоторая чис-
ловая последовательность. Возьмем первые «4-1 элементов {<рт} и
образуем всевозможные линейные комбинации
а0?0 af'pl 4- • • "Ь апсРп
с действительными коэффициентами й{. Каждая такая линейная ком-
бинация принадлежит .4. Множество всех линейных комбинаций, оче-
видно, само является линейным. Его обозначим через Rn.
Имея R и Rn, мы должны решить, каким образом произвольной
функции из К! ставить в соответствие функцию из Rn. В разных
случаях поступают по-разному. В теории интерполирования это де-
лается так: выбирают некоторую конечную совокупность точек х0,
хг.....хт Xj l=h j), принадлежащих |й, Ь\, и для какой-либо
функции f£R подбирают <f£R так, чтобы в выбранных нами точках
значения f и <р совпадали. Иными словами, находятся постоянные а,: так,
чтобы имели место равенства
f(.Xj)=^a0^(xJ)-ira^l(xj)-\-...-\-a„-fn{xj') (/=-0, 1,2........т),
и в качестве функции ср берут
® (-V) = «оТо (*) + йi<p! (х) 4- ... 4- апуп (х)
с этими значениями а^. Точки х. называют узлами интерполирова-
ния. Если / и ср дифференцируемые функции то иногда, кроме
того, требуют совпадения производных в точках Xj или каких либо
других. При соответствующих условиях молено требовать совпадения
производных высших порядков.
3. Построение интерполирующей функции. Займемся сначала
простейшей задачей. Для определения коэффициентов а, мы имеем
систему уравнений с иД- 1 неизвестными. Матрица системы
имеет вид
ср0(Х0) f, (х0) ... ?„(хп)
?в (Х1) (X,) . . . <р„ (х()
?0 (хт) (Xж) ' • Tw
Если мы хотим, чтобы коэффициенты можно было подобрать
для любой функции /, то нужно потребовать, чтобы ранг этой ма-
трицы был равен В противном случае между значениями /(хр
должна была бы существовать определенная линейная зависимость.
При этом п будет больше или равно т. Далее, чтобы решение этой
задачи было однозначным, надо потребовать, чтобы т=п. Итак,
будем предполагать, что т = п и определитель
Д =
?о(хо) ?1(А) • •• <рп(х0)
(*i) ... ?n(Xi)
'Ро {Хп) 91 (xn) 9n W
отличен от нуля. Тогда при любых /(Ху) система будет иметь реше-
ние и притом единственное. Выражение для аг можно представить
в виде
= (1)
где Д{ получается из Д путем замены i-ro столбца столбцом f(xp.
Итак, функции f£R будет соответствовать функция срf R, имею-
щая вид
<р = -д°ср0(х)-[-^ср1(х)4- •• • ?п (х). (2)
Функцию ср можно записать в другой форме. Для этого разложим
определитель Д4 по элементам Z-ro столбца. Получим:
i. * (ху) Д<у
________ /Qi
Здесь Д(у-—соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя
эти выражения в ср и собирая вместе члены с одинаковыми
будем иметь:
ср (х) = Фо (х) 4 /(Xi) Ф, (х) -1- ... -|-/(хя) Ф„ (х), (4)
Функции Ф<(х) являются линейными комбинациями функций ср^(х).
Они не зависят от функции f и целиком определяются функциями ср4(х)
и узлами интерполирования. Заметим, что при любой функции f (х),
т. е. при любой системе значений /(Ху), должны выполняться
равенства
f (Ху) = f (Хо) Фо (Ху) 4- f (Xj) Ф, (Ху) 4- ... 4-/ (Х„) ф„ (Ху)
(7 = 0, 1, 2, .... п). (5)
Отсюда следует, что функции Ф{(х) удовлетворяют условиям:
( 0, если i 4 /,
Ф, (х.) = { , . . (6)
J (1. если i — J. ' ’
4. Системы Чебышева. Проанализируем теперь вопрос о том,
какие нужно наложить условия на [<рх(х)} для того, чтобы опреде-
литель А не обращался в нуль. Для целей интерполирования важно
использовать одну и ту же систему функций {<pt (x)j при различных
совокупностях точек х0, хх, .х„. Поэтому будем отыскивать
условия того, что А не обращается в нуль ни при какой системе
чисел х0, хх, х2....хп, xt=!=Xj Xjfla, Ь] Линейной незави-
симости функций уже становится недостаточно, хотя это условие и
является необходимым. Так, например, функции 1 и sinx линейно
независимы, но если взять х2 = г. — хх> то определитель
1 sin хх
1 sin х2
равен нулю
Если А равняется нулю для какой-то системы чисел х0, хх....хп,
то это означает, что существуют такие постоянные с0, сх.......сп,
не все равные нулю, для которых
М>п (*) + Q<Fi (х) -Ь ... -+- спсрп (х)
обращается в нуль в точках хс, х,........хп. Таким образом, ням
надо наложить такие ограничения на {?х(х)}, при выполнении кото-
рых мы могли бы быть уверенными, что никакая линейная комби-
нация
СоТо(х) ~Ь С1<Р1 (х) +- ••• -Г"
не может иметь п. + 1 различных корней на [а, £] Системы функций,
обладающие этим свойством, будем называть системами Чебышева.
Наложим на функции <р9(х), <рх (х), ф2(х).tpn(x) следующие
ограничения: 1) -р{(х) дифференцируемы до порядка п-|-1 на
и 2) все вронскианы
W [»9> <Р1. • 'ft! =
?0 (•*) 7п U) 71 (*) .. ’РхОО -• <ft (*) 7k U) (ft=0. 1
<Ро*! <f4ft)(x)
,2, .... п)
отличны от нуля на [а, £]. Докажем следующее обобщение теоремы
Ролля:
Теорема 1. Пусть f(х) есть п-|-1 раз дифференцируемая
функция на [а, и имеет на этом промежутке п —2 корней.
Тогда на [a, 0] найдется такая, точка что
Г Г fl — ’Г Т- /
bn+ll/J— k [ro. ....Тп]
обращается в нуль ? точке $.
Доказательство. Наряду с £п41[/| будем рассматривать
£*+i [<? (х)] (£ = 0, 1, 2, п), определяемые равенствами
[<р]
W тЬ . У1
W'lTo. <fi. • • Tfcl
Здесь <р—произвольная k -|- I раз дифференцируемая на |п, Ь\ функ-
ция. Покажем, что можно найти такие функции bh(x), bY(x), ..., bn(x),
что
1 [’-р] = 7^ “К М — Ьк(Х} (?1-
Действительно, Ll,_l [<р] — линейный дифференциальный оператор
порядка А; —|— 1 с коэффициентом при старшей производной, равным
единице Далее,
^+1(^1 =0 (/ = 0,1,2....к).
Таким образом,, функции ?0(х), <р, (х).®*(х) образуют фунда-
ментальную систему решений уравнения £;;(.,[^] = 0. Оператор
bk(x)Lk[^] =
^[?о. •••. W'l'fo. •••> ?]
1?о. •••. ?fc-il
W'l’fr..%-ъ <Р1 Л W 1<р0, ....
[%. (х) Lk 1<P1
— также линейный дифференциальный оператор порядка fe-{- 1
с коэффициентом при старшей производной, равным единице:
^£И^]-Мх)£й[?Д=0 (/ = 0, 1, 2.....А-1).
Определим Ьк(х) так, чтобы
^М~Ьк{х)Ц Ы^о.
Для этого достаточно положить
Ьк U) =
j~xLk ы
Lk [?&]
Так как Lk [сс*] не обращается в нуль, то bk (х) будет непрерывная
функция. Определив так Ьк (х), мы получим, что система 'i0(x),
<pj(x), .. ., «л(х) будет фундаментальной системой решений для урав-
нения
§ И
это означает, что
1-к м [?1 = 1’1 — Ьк <*) Lk 1?1-
Рассмотрим теперь функцию
X
- I d0 (®) da?
Ф1(х)==/(х)е а
Ее производная имеет вид
Ж , с
- I Ъ-, (а?) аа> I - ( d„ dee
(х) = [/'С*)~ 60(х)/(х)]е ° =L1[f(x)]ea ;
<pj(x), как и /(х), обращается в нуль на [а, Ь] п-\-2 раз. Следо-
вательно, ф'(х), а поэтому и Lj(/(x)] обращается на [а, &] в нуль
по крайней мере п +-1 раз.
Далее, вводим функцию
а>
- J d, (a?) da?
ф2(х) = М/(х)к «
Проводя те же самые рассуждения, получим, что [/] обра-
щается в нуль по крайней мере п раз. Продолжая этот процесс,
получим, в конце концов, что найдется по крайней мере одна точка
££ [а, />], для которой
Сп+11/ (5)1 = 0.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если ?0 (*)> ®i (-4.....(х) (” + 1) раз диффе-
ренцируемы на отрезке [а, £>] и W |ф0, <p1F ..., тД =/• 0 на [а, £]
при всех k = Q, 1, 2, .п, то функции ф0(х), фДх).........<рп(х)
образуют систему Чебышева.
Доказательство, в ледположим, что это не так. Тогда най-
дется такая линейная комбинация
/ (х) = с„<р0 (х) + с^! (х) 4- .. 4- (х)
(с{ —действ., с,4-^+ • 4- °).
которая обращается в нуль по крайней мере ь п 4-1 различных
точках отрезка fa, 1>]. Тогда по только что доказанной теореме Lnff]
обязана обращаться в нуль по крайней мере в одной точке : £ [а, 6].
Но
L [ Л= ЦР'|Уа‘ ЧМ-^1 =с ....Уя1
”171 «И*. 7-....Ря-11 7 У ivc. V1. •• •. fn-d •
Так как
[То. ?i....<FnJ « ^1?о. Ti........’п-d
не обращается в нуль ни в одной точке х С [а, t], то должно быть
сп = 0. Таким образом, найдется n-|- 1 различных точек отрезка \а, £],
в которых
/ — ЗДо 4~ <¥Р14“ • • • H-Gi-i'Pn-i
обращается в нуль. Тогда, снова примерная обобщенную теорему
Ролля, найдем, что Ln_x [/] обращается в нуль по крайней мере
в одной точке 5 (£ [ы, />]. Проводя те же рассуждения, что и раньше,
найдем, что cn„i = 0. Продолжая этот процесс, мы придем, в конце
концов, к выводу, что все коэффициенты с, (t = 0, 1, 2.......«)
равны нулю вопреки нашему предположению.
5. Основные вопросы теории интерполирования. На этом пока
прервем общие рассуждения и перейдем к рассмотрению различных
частных случаев выбора функций {^(х)}. Нас будет интересовать:
1) Вопрос об удобных способах фактического построения интер-
поляционных функций для каждого конкретного выбора функ-
ций
2) Интерполяционные функции будут совпадать с интерполируе-
мой функцией в узлах интерполирования, но, вообще говоря, будут
отличаться от нее в остальных точках промежутка [a, £]. Нужно
найти практически пригодные оценки этого отклонения
3) Возникнет вопрос о том, как выгоднее выбирать узлы интер-
полирования для того, чтобы эти оценки были наиболее выгодными.
4) Значения функции могут оказаться приближенными. Необхо-
димо выяснить влияние этого фактора на погрешность интерполи-
рования.
Мы рассмотрим обобщения поставленной задачи интерполирова-
ния, koi да в узлах будут заданы не только значения функции, но
и ее производных. Рассмотрим кратко задачу об интерполировании
функций многих переменных. Сейчас мы начнем разбор наиболее
важного случая интерполирования при омощи алгебраических мно-
гочленов.
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
Возьмем в качестве {<с£ (x)j последовательность
1, х, х2, .... х", .. .
Функции этой последовательности линейно независимы на любом
отрезке. Действительно, если бы на каком-то отрезке имело место
Со-|-CjX-j-С2^2 + ••• ~|-СП'Г" = 0’
то все С; = 0, так как алгебраический многочлен степени и с отлич-
ными от нуля коэффициентами не может иметь более п корней.
Определитель Д в данном случае примет вид
Это — определитель Вандермонда. Ор: равен
△= II —
»>;
В силу нашцх предположений о х,- определитель отличен от нуля.
Следовательно, при любых f(xA однозначно определится ср(х). Для
определения вида <р(х) будем отыскивать функцци Фг(х). Как было
указано выше, Ф{(х) представляет собой линейную комбинацию
функций <р0(х). ?i(x), Ти(х)> удовлетворяющую условиям
I 0, если IФ j.
Ф, (х,-) => { , . .
1 1 1, если г = J
Итак, для того чтобы отыскать Ф; (х), нам нужно наити многочлен
степени п, обращающийся в нуль в точках х0, X]........... xi-i,
xi+1, х„ и равный 1 в точке xt. Отсюда
Ф{ (х) = А (х — х0) (х — х,) ... (х — x4_i) (х — xi+1) ... (х — х„).
Так как Ф(х,)=1, то
1 = А (х{ — х0) (х,- — х,) . .. (Xi — х{-1) (х4 — xf4 0 • (х,- — xn).
Получаем окончательно:
ф = (х— хо)(х—х}; ... ,х —x,_Ju - х,ч,) . . (х —
f ’ (Xi— Х0) (Xi-X,) ... (XS — Xtf-j) (л, — xi+1)... (х{-x„)
и
z . Z / X (x — X,) ... (X — X„)
Ф (*) — f (XO) (j,o _
. z , (x — x0) fx — xA . I.t — Xn)
u (xt — x0) (xT — X.) ... (x, — x„)
~l~/(xn)
о — cui , - -XI ... (X—Xn-0
(xn - Xo) (X„ — Xf) . . . (xn Xn-f)
(1)
Этот многочлен и решает задачу интерполирования. Будем называть
его интерполяционным многочленом Лагранжа и, чтобы отличать
от других случаев интерполирования, обозначать Ln(x), где п— сте-
пень интерполяционного многочлена. Введем обозначение
“>я (-О = (х — х0) (х — Xj) ... (х — хп>.
(2)
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа может быть записан
в форме:
п
Дп(х) — (х^
i = 0
____"'"п (•*)
(Х-Х{) < (х/
(3)
Рассмотрим некоторые примеры на построение интерполяционных
многочленов Лагранжа.
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа
по следующим данным:
X 0 2 3 5
/(X) 1 3 2 5
В этом случае
I , н — 1 (х—2) (х—3) (х —5) _ х (X— 3) (х —5) .
‘ (_2)( —3)( —5) -г*’ 2(2 —3)(2 — 5)
। ох(х—2) (х —5) -х(х —2) (х —3) _ 3 з _ 13 г2 । 62 г
3(3 —2) (3—5) J 5(5 — 2) (5—3) — 10 6
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа
по следующим данным:
X 0 2 3 5 6
f(x) 1 3 2 5 6
В этом случае
/ 1 (х — 2)(х— 3) (х — 5)(х— 6) х (х — 3) (х — 5) (х — 6)
’ (—2) (—3) (—5)( —б) 2 — 3) (2 — 5) (2—6)
9 х(х— 2) (ж — 5) (ж— 6) - х и — 2) ух - 3) (х - >)
' 3(3—2) (3— 5) (3 — 6) '
х(х—2) (х—3) (х — 5) 11
6(6 — 2) (6 — 3) (6 — 57-12(
5(5 — 2) (5 — 3) (5 — 6)
73
601
413
Мы в обоих примерах располагали многочлены по степеням х.
Если Ln(x) нужно подсчитывать лишь при некоторых значениях х,
то никакой необходимости так располагать его кет.
Как видно из приведенных примеров, образование интерполяцион-
ных многочленов Лагранжа связано с большой вычислительной ра-
ботой. Так же велика вычислительная работа при получении значе-
ния 1.п(х) для какого-то фиксированного значения х. Сравнение
двух приведенных примеров показывает,' что если даже мы имеем
интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям х0,
хь .... хп, то это мало помогает нам при построении интерполя-
ционного многочлена Лагранжа по значениям его в точках х0, хи ...
..., хп, хл+1. Все это заставляет задумываться об усовершенство-
вании формулы Лагранжа с целью упрощения вычислительного про-
цесса. Об этом мы сейчас и будем говорить,
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равниогстоя-
щих узлов. Рассмотрим случай, когда значения х{ являются равно-
отстоящими, т. е.
Х1---х0 = х2 — Х1 =
„ х — х0
При этом, если ввести обозначение —т—- = t, то получим:
Ф- (х) = ~х<|) •• <х ~ х<-1) <х ~хм) ... (х — хп) =
»' ' (х{ — х0) (х,- — хо .. (xi — хг-0 (Х{ — х(+1) ..(Xi — хп)
th А) ••• RA —(Z—1) А| [th — (г+ 1) А] ... (th — nh) _
th (I — I) h ... h ( — h) ... [ — (n — I) h]
t(t-l) ... (t-n) (-1)п~1 __ n-irl 1 t(i — l) ... (t — n)
t—.i i\(n — l}\ ' nt — i nl
Итак,
Ln (x) ~= (xo 4“ ‘•A) =
Здесь и в дальнейшем для сокращения записей мы будем обозна-
чать f (xt) через В последнем выражении коэффициенты, стоя-
щие перед ур
(-1)П-'С
t(t—l)...(t — n)
R-0«!
не зависят ни от функции f (х), ни от h—шага таблицы. Их можно
табулировать и использовать в самых различных случаях. Такие
таблицы составлены и известны под названием таблиц коэффициен-
тов Лагранжа.
3. Интерполяционная схема Эйткена. Если значения х, нерав-
ноотстоящие и требуется найти не общее выражение Ln (х), г лишь
его значения при некоторых х, то удобно пользоваться интерпо-
ляционной схемой Эйткена. По этой схеме значение интерполя-
ционного многочлена для какого-то значения х находится путем
последовательного применения единообразного процесса, Рассмотрим
выражение
Ап (х)
Уо х0 — х
'1 х—х
Это многочлен первой степени относительно х. При х = х0 получим:
^01 (хе) —
Уо О
Ут xt —х0
х,— х0
= У о-
Аналогично при x=xt будем иметь
I уо х0 —х,
, ч _I ут ° i _ ..
^(хо-- (Л12^;Г -У!-
Так как многочлен первой степени, принимающий в точках х, и xt
значения _у0 и ух, единственный, то £01(х) и решает задачу интер-
полирования по двум данным. Точно так же мы сможем образо-
вать £12(х), £23(х) и т. д. Эти выражения легко вычисляются на
малых счетных машинах. В самом деле, вычисление определителя
второго порядка сводится к вычислению разности двух произвепе-
ний, что осуществляется очень легко. При этом на счетчике оборо-
тов, если он оборудован переносом десятков, как это сделано
в машинах Рейнметалл, Мерседес и других, получится разность
Xi—х0, на которую и нужно разделить величину определителя.
Рассмотрим, далее,
Z-012 (х) =
/•от W хс — х
Lw (х) ху — х
X»— хо
Это — многочлен второй степени относительно х. При х = х0
будем иметь:
i , г . ______1 ! Уо ° I _,,
Со» (Хо) — —----— . --Уо
— Л-0 I М2 М — л0 I
При
Х = Xj
получим:
Аи? (Х1) =
при
1
х, —х0
X = х2
А» (X,) = —-—--------
-М--- Xq
У1
У1
А)1 (-*•)
Уз
Хо— Х9
о
х0 — xt
Х2 — Xj
= у2.
а
Следовательно, £е12(х) совпадает с интерполяционным многочленом
Лагранжа, принимающим в точках х0, хр х2 соответственно значе-
ния у0, ylt у2. Вообще,
J 1 . £oi3...(n-i)(x) х0 — х I
До 123 .. . п (X) --- г . ч
Хп — Хо I £123 . .. п (х) хп — х I
будет интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим
в точках х0, *i.....хп соответственно значения у0, у1, , уп.
Очевидно, что порядок и нумерация точек при этом значения не
имеют. Каждый многочлен £012.. t(x) получается из £oia... fc-i (х)
и £iaa... * (*) так же, как и £ш(х) получается из уа и _уг Вычисли-
тельная схема для получения значения интерполяционного многочлена
будет выглядеть следующим образом:
X, yt Xi~ X Li-1, 4 £«-2, i-i, г £<-8, 4-2, 4-1. i i—1» 1
*0 Уз Хо~ X
Xt Ут Х1 — X £oi (X)
*2 Уг Х2 — X £ t4 (x) £-012 (x)
х« Уз Хз — X £,з (x) £123 (*) £0128 (x)
х4 У4. Xi — X £34 (•’) £?34 (x) £ 1284 (X) £01234 (-*)
Хь Уъ А — X £45 (•*) £%s (•») £«45 (X) £12845 (•*)
Так, по данным второго примера этого параграфа получим сле-
дующие значения (здесь взято х= I):
X, Уг xt — x £<-l, 4 £;-?, 4 — 1, 4 £4-8,4-», 4-1, 4 £i-4, 4-8, 4-2, 4-1, 4
0 I —1
2 3 1 2
3 2 2 4 8 3
5 5 4 —1 17 3 49 15
6 6 5 +1 7 ~ 3" 23 3 4
Если подставить в полученный там многочлен значение х=1,
то получим ту же величину £4(1) = 4.
Интересно то, что, применяя последнюю схему, мы можем по-
степенно подключать все новые и новые значения х{ до тех пор,
пока сами вычисления не покажут нам, что точность уже не воз-
растает.
Исследуем теперь различного рода погрешности, получающиеся
при применении интерполяционного многочлена Лагранжа.
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
1. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки. Если
все вычисления произведены точно, то интерполяционный многочлен
Лагранжа совпадает с заданной нам функцией f (х) в узлах интер-
поляции х0, Xj....хп. Однако, вообще говоря, он будет отличен
от нее в остальных точках. Исключение представляет тот случай,
когда сама функция / (х) является многочленом степени не выше п.
В последнем случае /(х) и Ln(х) будут тождественно совпадать.
Так как значения могут оказаться приближенными, то воз-
никнет дополнительная погрешность.
Кроме того, в процессе вычислений будет возникать новая по-
грешность за счет округлений.
Первая погрешность даст нам погрешность метода, вторая —
неустранимую погрешность и третья — погрешность округления.
Начнем с изучения погрешности метода. Здесь мы должны сузить
класс функций R, так как произвольная функция, совпадая с /(х)
в узлах интерполяции, может как угодно отличаться от неа' в осталь-
ных точках. Можно было бы наложить на функции /(х) сравни--
тсльно небольшие ограничения, но это будет связано с громоздкими
выкладками при оценке погрешности. Мы наложим на /(х) жесткие
ограничения, а именно будем считать, что интерполируемая функ-
ция /(х) обладает на [а, Л] непрерывными производными до по-
рядка п и производная f(n)(x) дифференцируема на [а, М. Такие
предположения будут выполнены для большинства случаев, с кото-
рыми приходится сталкиваться на практике. Для оценки погреш-
ности рассмотрим вспомогательную функцию
? (г) =f(x) — Ln (z) — К (z — хс) (z — xj ... (z — x„),
где К—некоторая постоянная Очевидно, . ®(Xq) = ?(х,) = ... =
= ?(-rn) —0. Подберем К так, чтобы <р(х), где х — та точка, для
которой мы производим оценку, также обращалась бы в нуль. Это
возможно, так как тогда
к =________/|Х,. — £ >xi____
(X — Хо) (X — Xi) ... (X —хп) *
а знаменатель этой дроби отличен от нуля, ибо х х,- (г = 0, 1, .... п).
Функция <р(г) обращается в нуль на [а, />] в rt-f-2 точках х, хп,
Xj, .... хп. Следовательно, на основании теоремы Ролля произвол-
§ 3]
ная <р(г) обращается в нуль по крайней мере п4-1 раз на интер-
вале (а, Ь). Пусть эти значения z будут:
е .............е
Применим снова теорему Ролля к функции <р' (z). Получим по край-
ней мере п точек Е'Г1, Е(а, ....таких, что
••• =<p'w-i)=°-
Продолжая этот процесс дальше, найдем, что существует по край-
ней мере одна точка Е на интервале (а, Ь), в которой
?(п+1)(^) = 0,
но
так как производная порядка п4-1 от многочлена Ln(x) степени п
равна нулю, а производная от многочлена о>„(х) степени д-|-1 со
старшим коэффициентом 1 равна («4-1)1. Положив ь последнем
равенстве z — Е, получим:
~ z(»+i)(£)
(п+d:’*
Отсюда
/(» + ’) (J)
/ (-*) ^-п 1 = (п • j- 1)! ^о) хп) (1)
или, полагая Mn+l= sup 1 (х)|, получим:
xf-ia, Ь]
— Ln(x)\ х0)'х — xj .. . (х—xn)|. (2)
Эти два выражения могут служить оценкой отклонения / (х) от Ln (х),
если производная fh,+ (Е) может быть оценена, Приведем примеры
таких оценок.
Пример. Оценить, с какой точностью можно вычислить по
формуле Лагранжа In 100,5, если известны значения
In 100, In 101, In 102. In 103.
В данном случае
Дх)=1пх, п = 3, а = 100, 0=103, /IV(x)=-^. =
| In 100,5 — L(100,5) 0,5-0,5. 1.5. 2,5 = 2,344- 10'9.
Пример. С какой точностью можно вычислить sin5° по фор-
муле Лагранжа, если известны значения
sin 0°, sin 30°, sin 45°, sin 60°.
В данном случае /(x) = sinx,
/И4 — ——.
| sin 5° — L4 (5°) |
п=3. а = 0, b = , /Iv (x)=sinx,
О
/З 1 l/5x nW5" tz \( £ir п\ ( Ъп я'; |
“Л* \180 — иН180— б'/’1Й~7/'Т8б~Т/|
0,0009.
2. Выбор узлов интерполирования. Как мы видели, отклоне-
ние /(х) от Ln(x) определяется величиной /" *\?) и шга(х). Если
о первой величине мы можем иногда сказать, в каких пределах она
заключена, го вторую мы можем в некоторых случаях менять по
нашему желанию, изменяя точки х{. Поставим следующую задачу:
как нужно выбрать узлы xt для того, чтобы ьир|а>п(х)| была наи-
fa, i]
меньшей. Для ответа на этот вопрос нам придется использовать
многочлены Чебышева.
Многочлен Чебышева Тп(х) определяется так:
Гп(х) = cos [к arc cos х], |х|^1.
При п= 1
Т\ (х) = cos (arc cos х) = х.
При п= 2
Т2(х) = cos [2 arc cos х] = 2 cos2 (arc cosx) — 1 = 2x2 — 1.
Далее, из тождества
cos (л 1) 9 = 2 cos 9 cos n6 — cos (n — 1)9,
полагая 9 = arccosx, получим:
7’n+1 (x) = 2xT„ (x) — (x).
Таким образом, Tn(x) действительно являются многочленами, причем
коэффициент при старшей степени х равен 2П-1. Из рекуррентной
формулы последовательно находим:
7"3 (х) = 4 Xs — Зх,
Т4(х) = 8х4— 8х2-4-1,
Тв (х) = 16х5 — 20х3 + 5х,
Тп(х) как многочлен степени п имеет ровно п корней. Из
cos (п arc cos х) — 0 следует
л /г. . (2m +1)я
п arccosx = -2 (2m-*- 1) или x = cos -—-----.
Давая m значения 0, 1, ..., л — 1, получим п различных кор-
ней, причем все они оказываются заключенными между —1 и
—1. Заметим также, что шах|7,п(х)| на отрезке [—1, 1] равен 1
и достшается в я-1-1 точках xm —cos^ (m = 0, 1, .... я). Если
в качестве отрезка интерполирования \а, Ь] взять [—1, 1] и в каче-
стве узлов интерполирования — корни многочлена Чебышева хт, то
«>я(х) = — гп(х} и SUP | G‘« (*) I = Покажем, что какой бы
многочлен Р(х) степени и со старшим коэффициентом 1 мы ни взяли,
sup | Р (X) I
Н]
то разность
1
2”7
— , Действительно, если бы это было не так,
Y Тп (х) — Р (х) представляла бы собой многочлен
степени п —
1, принимающий в и-1-1 точках xm=cos — (m — О,
1, 2, п) попеременно то положительные, то отрицательные зна-
чения, Следовательно, он должен иметь по крайней мере п корней,
что невозможно.
Таким образом, если ограничиться рассмотрением отрезка [—1, 1],
то и)Г1 (х) будет иметь наименьшее возможное значение sup|o>n(x)|
при условии, что в качестве узлов интерполирования взяты корни
многочлена Чебышева, и в этом случае, наша оценка примет вид
Если интерполирование производится па произвольном отрезке [а, д],
то линейной заменой переменного
х = у [(& — a) z -f- ф ф- а)],
г = ^-_(2х-Л-а]
его можно перевести в [—1, 1]. При этом корни многочлена Tn(z)
перейдут в
Хт = у [<& — a) cos-'ч~ к + ф 4- а)],
Оценка для этого случая будет такова'
\f(x) — Ln (х)1<
Ф — g)”+1
(и-|-1)! 22ю+1
(4)
Полученные нами результаты дают наилучшую оценку в целом
по всему отрезку [а, ?>] Мы воспользовались тем свойством много-
членов Тп (х) = —-Тп (х), что для них sup |lfn(x)J имеет наи-
2 +1]
меньшее значение среди всех многочленов степени п с коэффициен-
том при старшей степени, равным единице. Благодаря этому свой-
ству многочлены Тп(х) получили название многочленов, наименее
отклоняющихся от нуля. Можно поставить и другую задачу: при
фиксированных узлах интерполирования изучить, для каких проме-
жутков изменения остаточный член будет принимать большие значе-
ния и для каких меньшие. Для решения этой задачи нам нужно
изучить поведение функции со„(х) при фиксированных х0, xt, .... хп.
Многочлен <оп(х) обращается в нуль в точках х0, xt....хп, меняет
знак, переходя через каждое из этих значений, и где-то в проме-
жутках между ними принимает попеременно то максимальное, то
минимальное значение (рис. 19). Абсолютные значения этих экстре-
мумов будут равны друг другу только в том случае, если х0, xlt ...
.... хп являются корнями многочлена
cos
п arc cos
2х— b — а!
b —a J
В остальных случаях они будут различны. При интерполировании
вблизи больших по абсолютной величине экстремумов можно ожи-
дать большей погрешности, там же, где эти экстремумы будут при-
нимать меньшие значения, следует ожидать меньшей погрешности.
Исследование общего случая «>п(х) при произвольном распределении
узлов интерполяции довольно затруднительно. Поэтому мы ограни-
чимся случаем равноотстоящих узлов, т. е. будем предполагать, что
%! — х0=х2 — х1== ... =х„— xn_i = h.
Опять введем t при помощи соотношения t = —Тогда
U>„(x) = o>n(x04-M) = /z”+1/(Z— l)(f —2) ... (/ —n),
и нам следует изучить поведение функции
?(/) = /(/- !)(/- 2) ... (t-n)
при различных значениях t. Прежде всего заметим, что эта функция
будет четной или нечетной относительно точки , о) в зависимо-
сти от четности п. Действительно, если произвести замену/ — ~ = zr
то получим:
Правая часть этого равенства будет четной функцией z, если п
нечетно, и будет нечетной функцией z, если п четно. Далее, заметим,,
что
?(/+1) = (/4-1)/(/- 1) ... (/ + i-n) = |±lcp(/).
Таким образом, если разбить отрезок [0, п\ на части [0, 1], [1, 2], ...
.... [(и—1), я], то значение функции в отрезке [Z, будет
получаться из соответствующего значения функции в предыдущем
отрезке путем умножения его на Последний множитель всегда
отрицателен при изменении t от 0 до п. Поэтому знаки значений
функции будут чередоваться при переходе от одного интервала
к следующему. Абсолютная величина этого множителя будет меньше 1
[л_______________1 *1
О, —2— • Таким образом, экстремальные значения <р(/)
будут убывать по абсолютной величине до середины отрезка |0, «1
Четное п Нечетное п
Рис. 20.
и затем в силу симметрии снова возрастать. Вне пределов отрезка [0. п]
функция <р(/) быстро возрастает по абсолютной величине. Итак, гра-
фики функции будут следующих двух типов (рис. 20). Какие же
выводы можно сделать о точности интерполирования из приведенного
нами анализа? Во-первых, оценка остаточного члена формулы Ла-
Лл + 1) (fj
гранжа Rn (/) — (х — х0) ... (х — х„) будет особенно велика
для значений х, лежащих вне отрезка |х0, хп]. Поэтому следует
ожидать, что если мы производим вычисления по интерполяционной
формуле для значений х, лежащих вне отрезка |х0, хп], или, как
принято говорить, производим экстраполиросание, то погрешности
будут очень велики. Во-вторых, при интерполировании для значе-
ний х, лежащих не близко к узлам интерполирования, точность будет
больше для средних отрезков [хр х1+1] и меньше для крайних.
3. Неустранимая погрешность формулы Лагранжа. Изучим
теперь неустранимую погрешность формулы Лагранжа, предполагая,
что значения J (ху приближенны, а значения х} точны. Формулу
Лагранжа возьмем в виде
п
l-n(x) = Xf(Xz) Ф, (X).
1=0
Тогда
п
ао = 2фЛх)а/(^). (5)
п
А£ = 2|ФДх)|Л/(Ж). (6)
.=о
Ничего большего о неустранимой погрешности для случая, когда
узлы интерполирования расположены произвольным Собразом, мы
сказать не можем. Обратимся к случаю, когда узлы интерполирования
равноотстоящие. Тогда, как мы видели.
( —1)гаТ (if — 1)
Мх) = Ln(xn 4-th.) = -
(<-«) v
п'
1=0
t—i
где t — x° . Следовательно, в этом
h
случае
t {t — 1) . (t — n)
ё
Пусть все значения функции уг известны с одинаковой точностью
и предельная абсолютная погрешность каждого из них равна Ау = —р.
Тогда предельная абсолютная погрешность AL будет равна
1
Ад = уР
G-n)|V С'п
|i-z, •
1=0
(7)
I
Приведем таблицу значений коэффициента при р в правой части этого
равенства для различных значений п и t:
Коэффициенты при р
п t 1 2 3 4
— 1 1,5 3,5 7,5 15
— 0,9 1,4 3,1 6,4 13
— 0,8 1,3 2,7 5,4 11
— 0,7 1,2 2,4 4,5 8,5
— 0,6 1,1 2,1 3,7 6.7
— 0,5 1,0 1,7 3,0 5,2
— 0,4 0,9 1,5 2,3 3.4
— 0,3 0,8 1,2 1,8 2,8
— 0,2 (17 1,0 1,3 1,9
— 0,1 0,6 0,71 0,86 1,1
0,0 05 0,5 0,5 0,5
0,1 0.5 0 54 0,63 0.78
0,2 0,0 0,58 0,72 0,96
0,3 0.5 0.60 0,78 1,06
0,4 0,5 0,62 0,81 1,10
0,5 0,5 0,62 0,81 1,1
0,0 0,5 0,62 0,79 1.0
0,7 0,5 0,60 0,74 0,92
0,8 0,5 0.58 0,68 0,80
0 9 0,5 0,54 0,59 0,00
1,0 0,5 0,э 0,1 (1,5
1 1 0,6 0,54 0,б4 0,57
1 2 0,7 0,58 0,58 0,62
1,3 0,8 0 60 0,50 0,66
1,4 0,9 0.62 0,62 0,69
1.5 1,0 0 62 0,62 0,70
1,6 1,1 0,62 0,62 0,69
1,7 1,2 0,60 0,60 0,66
1.8 1,3 0.58 0,58 0.62
1.9 1,4 0,54 0,54 0,57
20 1,5 0,50 0,50 0,50
Как видно из этой таблицы, неустранимая погрешность интер-
по (анионной формулы Лагранжа при изменении t на отрезке [0, п]
сравнительно невелика Она незначительно возрастает при увеличе-
нии п. Минимальные погрештости получаются в средних отрезках
U, t-|- 1] при изменении t от 0 до п При экстраполяции опять полу-
чаются значительные погрешности.
Оценок ошибок округления мы здесь производить не будем, так
как они целиком определяются программой вычислений Б дальнейшем
мы изучим ряд формул, являющихся видоизменениями формулы
Лагранжа Эти формулы находят широкое применение в вычислитель-
ной практике. Поэтому целесообразно исследовать все эти формулы
совместно с точки зрения тех ошибок, которые они дают, и с точки
зрения удобства вычислений.
§ 4. Остаточный член общей интерполяционной формулы
В предыдущем параграфе мы нашли остаточный член формулы Лагранжа.
Найдем теперь остаточный член общей интерполяционной формулы. На функ-
ции ср0 (х), ?|(х)...(х) наложим те же ограничения, что и в конце § 1,
т. е. будем предполагать, что они дифференцируемы до порядка п -ф-1
на [д, д] и все вронскианы W [с?0, <рь ..., <f*] (()<;£<«) отличны от нуля
на [a, J].
Рассмотрим функцию двух переменных х и s:
К(X, S) = [?р (s), Cf! (S), ..., Cfn (?)1 X
¥о («) <Ро (^ ? , («) • ¥n(s) <(s) п У сг^ (CD.- ( уЛ
/ j 5г \д / т? \л/-
(S) n (S) - . 1=0
(х)
Как функция х она является линейной комбинацией функций ^i(x) и, следо-
вательно,
£и+1 [К(х, $)] =0,
где
” + 1Ш W Ь, ?!>•••> ?»]
(CM, § 1).
С другой стороны, очевидно,
dlK_(x,_s) I 0 при I < п — 1,
Oxi ^=s — | 1 при / = п.
Функция
п X
у (*) = 2(х) + f s) +(s) ds
г₽0 а
при любых действительных постоянных сц удовлетворяет уравнению
„ Ln+i [у] = Ф (-*)•
В самом деле,
п г х
Ln+i [уJ = У т^ч+1 [<?/] — Ln+1 J К (X, 8) ф (s) ds
i=0 а
Первый член справа, очевидно, равен нулю. Для того чтобы найти значение
второго члена, заметим, что
37 х
/ К(х, s)<Hs)ds = К(Х, Х)ф(х)+ /* дк^х' Ф (s) ds =
ил и J ох
а
х
f дК(х, s)
—dJT~^ ds-
а
Отсюда
X JS
d2 С ... . , . . . дК(х, х) о'-К (X, s) . , . .
a а
x
f&K(x, s) ... .
= J “4ИФ(5)^
a
и, вообще,
I к (x, s) ф (s) ds = д ф (X) + Ф (s) ds =
a a
a
для всех I n. Для I = n + 1 получим;
dnH дпК(х, x) . . . , /‘d”+,/C(x, s) , , _
d^ J K (X' S) * (S) dS = - дхп~ + (X) J ~dxnt— (?) dS =
a a
= ^(x) + f д +д^;£} Ф (S) ds.
a
Таким образом,
x
§ К (x, s) ф (5) ds
a
x -. (n) x
J к (X, s) ф (s) ds + ... 4-«n+1(x) к (X, s) Ф (s) ds =
o J a
x
= Ф (x) + f ^n+1 [К (x. s)] (S) ds = Ф (x).
a
Этим наше утверждение доказано.
Заметим, что если мы вместо функций cpj (т) взяли бы любую другую
систему п 1 линейно независимых решений уравнения
^„+-. Ш = о,
то получили бы ту же самую функцию К(х, s'). Действительно, если функ-
ции Фо (х), (х)....(.г) образуют такую систему, то
фг (х) = (х) (Z = 0, 1, 2, ..., л)
J=a
и определитель
D =
•отличен от нуля. При этом
“uG “о; а а . “он
“10 “п ... “1п
“ПО “п1 • . . “ли
^"’(Фо, Ф1.....Фп] = D-'W-' [?0, ?1,.... <рп],
«а
Фо (S) Фо О) Ф1 (S) Ф1 (О • Фп (5) • Коо Г} То (5) То (s) ?1 («) ft (S) fn (S) • fn (S)
— LJ
ФГП(5) • тГ*’ (S) in
Фо W Ф1 (X) • • ФпОО То (*) ?1 (х) • fn (X)
(S)
При умножении последних выражений получим то же самое, что и раньше.
В частности, функции Ф; (а), введенные в § 1, являются линейными ком-
бинациями функций Они линейно независимы. В самом деле, если бы
существовала линейная зависимость
со^о (•*) + (•*) + • • • + й»фв (х) = 0
и сг при некотором г отлично от нуля, то, полагая в этом тождестве х = х(,
мы получили бы С{ — 0 вопреки предположению. Здесь мы использовали
свойства функций Ф1(х), что
Фг (xj) = by,
где by — символ Кронекера, равный 1 при I — j и равный 0 при I / /.
Таким образом, функцию /<(х, $) можно записать в виде
К (X, S) =
г=О
Но
К (Xj, s) = 2 Gi (s) ф< (Xj) = Gj (s).
г = о
Итак,
К (X, s) = 2 К (xi’ *) ф/
г=0
Функция
п П X
У = V 2 фг U) f Gi (S) Ф (s) ds
г = 0 г=0 х*
удовлетворяет уравнению А„+1 [у] = ф и принимает в точках xt значе-
ния Р/. В частности, функция
п х
h (X) = У Ф,- (х) J Gi (s) ds
1“0 X
г
удовлетворяет условиям
An + JAj=l; й(х4) = 0
(Z = 0, 1,2,..., п).
§ 4]
Функция h (х) не может обращаться в нуль ни в какой другой течке
[а. Ь], так как мы получили бы тогда противоречие с обобщенной теоре-
мой Ролля.
Рассмотрим разность
/?(-*) = /(х) — <р(х} = /(х) — 2/А(*). [« *]:
i=0
R (х) обращается в нуль в точках хд, хх, хп. То же самое можно ска-
зать и про функцию
f (х) — <? (х) — Mh (х),
где М — произвольное постоянное число Пусть нам требуется оценить (х)
для некоторой точки х' € [а, Ь] (х' =/= хг). Подберем М так, чтобы последнее
выражение обратилось в нуль н в точке х' Это возможно, так как
А (х') =у= 0. Тогда
Ln+t [/ (*) — <Р (х) — -ИА (х)) = Ln*t \f (х)] — М
на основании обобщенной теоремы Ролля должно обратиться в нуль ш>
крайней мере в одной точке [а, 6]. Таким образом,
Ai = £n+1|/(!)).
Отсюда
R (х') = /(х') — ? (х') = £,1т1 [ f (5)] h (х').
Это равенство, очевидно, сохранит свою силу и для того случая, когда
х' = ,х{. Итак, прн любом х £ [а, 6]
/? (х) = /(х)-<р(х) = £п+1 (/(?)] *(х). (1)
Это и есть остаточный член общей интерполяционной формулы.
Получим еще одну форму остаточного члена. Любая п ф- 1 раз диффе-
ренцируемая функция f (х) на ]а, 6] удовлетворяет уравнению
Ln + t [у] = ^п+11/ (•*)]•
Слсдовательно,
п п х
f(x) = V у{ф. (Ж) + ф< (jf) f Gi (s) /,n+1 1/(S)| ds =
i=0 i=0 x^
n x
= <P (x) + V ф. (x) j" /((x(, s) A„+t [f ($)] ds. (2)
i=0
x x ’xi
Ho J* = J* — J* ’ н ПОЭТОМУ
ж. a a
v x
R(x)=f(x) — <p(x) = ^ф,(х) Gi{s) Ln+, [/(s)] ds —
i-0 a
n xi
— У^ф{(х) I Gf (s) Z-n+1 [/(s)] rfs =
i = 0 a
x n xi
= J к (X, s) Ln+1 [/(s)] ds — V Ф{ (x) J" Gj (S) An+1 [/(s)] ds,
a i-0 a
Подставляя в полученное выражение b вместо а, будем иметь:
j?(x) = J K(x, s) Ln+l [f{s)]ds — I G.;(s) Ln + 1 |/(s)] ds.
b »=0 b
Полусумма последних двух выражении дает нам:
ь
Я U) = J R ('х’ s) £*+1 ds<
а
где
2R (х, «) = К (х, $) sign (х — s) — 2 ф» (-») G< (s) sign (x{ — s). (4)
:=o
Через sign z здесь, как и обычно, обозначена функция, принимающая зна-
чение 4-1 при положительных z н —1 прп отрицательных г.
Полученное ранее выражение для остаточного члена имело более
простои вид По оно было получено при использовании обобщенной тео-
ремы Ролля, для справедливости которой нужно предполагать, что все
IF [<р0, ifj, .. <ffc] (Л —0, 1, 2,..., л), отличны от нуля на [а, 6]. Последнее
выражение будет верно в том случае, если <р0, <рп могут быть
использованы для целей интерполирования при заданных узлах Xf. и
W[?e, ?!••••’ 0 ПРН Iй’
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных
промежутков
Вернемся снова к интерполированию при помощи алгебраических
многочленов. В этом naparpa.<j>e мы получим формулу Ньютона,
являющуюся видоизменением формулы Лагранжа. Она интересна
сама по себе и послужит нам источником получения ряда новых
формул.
1. Разделенные разности и их свойства. Предварительно
введем новое понятие—разделенные разности. Возьмем некоторую
функцию f^R и систему узлов интерполяции х0, хъ х2, ..., хп,
х{ Xj, при z 4= у, хг£[а, д]. Для этой функции и узлов образуем
всевозможные отношения
/(-И)—/<-Ур)
JCj —
f(x0\ x-J;
У^=/(х1; х2)................= '
Л<2 Л1 ЛП ЛП~1 J
Такие отношения называют разделенными разностями первого
порядка. Получив разделенные разности первого порядка, мы можем
образовать отношения
— х0
J(х?; хр—f (хр, х2) - х., - • х.р ] I >>.-?'» -Уя-!1-...
V- __ V 2» 3/* • • » у- __ у
Хд--- -^1 -Л-П
^=/(хя-2; xn~i'< хп)-
(2)
Эти отношения называют разделенными разностями второго по-
рядка. Вообще, если мы уже определили разделенные разности
Л-го порядка/(хр Xi+p • • xi+id< т0 разделенные разности (&-|- 1)-го
порядка находятся при помоши формулы
Х, + р • • •; y< + fc) t (X/-;, XI, . . Xi^k -j) _ у . х х у (3)
xi+k — xi-t - • l> > » +
Иногда вместо /(х<; х1+1; •••;%+&) Для обозначения разделенных
разностей используют выражение [хр х(+1; xi+k] Условимся
располагать таблицу разделенных разностей следующим образом:
хо Xj Х2 х3 Х4 /(х„) У (fl) /(х2) /(х3) /(xj / (х0; xj) /(Xj; Х2) /(Х2;х3) /(Х3, Х4) /(х0, Xj; х2) / (XT, Х2; х3) /(х2; Х3, х4) /(х0: хр, х2; х;1) /(хр х2; х3; х4)
Так, для f(x) = x3; хо = О; х, = 2; х2=3; х? = 5; х4=6; xb— 1
эта таблица примет следующий вид:
х< /(х«) / v +1) /(хр xi+1; х,+2) f (xf, х^+2; Xj+3)
0 0 4
2 8 19 5 1
3 27 49 10 1
5 125 91 14 1
6 216 43 12
1 1
Нам потребуется использовать некоторые свойства разделенных
разностей.
Прежде всего докажем, что разделенная разность k-го по-
рядка f(xi; xi+1; . .xi+k) равна
j (-'-»! -^i + i! • • •! X£+j) —
(x£ — x,-+t) (x{ — x£+2) ... (x£ — xi+lc)
_______________ /(At+0____________________
x£) (-У»+1 X/+«) • • • (*/+! xi+k)
/(*»+&)
(xi + k xi) (xi+k xi+l) (xi+k — xi+k-d
(4)
Доказательство будем вести по индукции. Для k — 1 это утвержде-
ние справедливо, так как
f / f(xi + \)—f(xi) = f(xi) । /(X£ + t)
M Xi^—Xi (x{— x£+1) (xi+i—'x{)'’
Предположим, что оно справедливо для k = l—1, и докажем его
справедливость для k, = I. В самом деле,
/Ui! •*<+*
*<+»> =
/(x»+i! х£^2;.
xM>—f(xi\ х£+1;.
xi+i — xi
*i+l- t)
1__
xi + l ~xi
____________________ /(x.+-)______________________
(xi + I — xi+t) (-4 + 1 — xi + з) • (•*<+! — Xj + ()
/(x£ + 2)
(-*7 + 5 —-Xf + t) (X; + 5 — X,-+3) ... (Xj + 2 — xi + l)
____________________ (x+i)_________________
(X»+£ xi+i) (xi+i xi + ?) (xi + l xi+l — l)
______________________________________
(x£ — Xi + 1) (Xi — xi+2) ...{Xi — xi+ i-i)
1___________________f ( X»— 1________________ I
(x» + l X[) (x£+1 X£+2) . . . (x£ + | X£+£_j)
(Xf+.—1 -X»)(X<+£—1 Xj+^) ... ^X£ + £ —» X£+£—2)
В полученном выражении /(х{) и f(xi+l) встречаются по одному
разу и притом в виде
f(Xj)
(•Ч______________________________________________________________________• • • (-Уг -^f-1-z)
_____________________________________________________________________________
(-*”i + Z *^i) (xi+ Z x{ +1) • • (-4 +1 Xj +1 — l)
т. e. так, как они должны входить в доказываемое равенство (4),
Все остальные f (хф входят дважды. Объединяя эти члены попарно,
получим:
____1 Г ______________________/(^)___________________________
Xl + l — Xf L (Xj—Х^+,)- • (</ — -Cj-i) (х?- — Х> + 1). . .(х?- — Xj + j)
________________________А-*/)________________________
U7 — Xi) . . . (Xj — Xj-i) (Xj — Xj+ t) . . . (Xj — xi+
_______________________________________________________X/
(Xj — Xi + t) ... (Xj — Xj-i)(Xj — Xj¥1) ... (X.—Xi + i-i)
____1____f____1____
(Xf + I — Xi)) Xj—Xi+1
______________________fw
(Xj — x{) (Xj — x/+1)... (Xj — Xj-i) (xj— Xj+l) . ..(Xj — xi+i) ’
что нам и требуется.
Из доказанного вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Разделенная разность суммы, или разности
функций равна сумме или разности разделенных разностей сла-
гаемых. соответственно уменьшаемого и вычитаемого.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить
за знак разделенной разности.
Следствие 3. Разделенная разность есть симметрическая
функция своих аргументов, т. е.
J 1 Ч> -4+i ’>
xi+k)— f СЧ-н’ xi'< xi И> • • - • xi + k*~~
<+2> -Ч + 1> xi> xi4 j'. • - • xi+k) — • • •
Разделенные разности обладают еще одним свойством, а именно:
разделенные разности fe-ro порядка от х” являются однородными
многочленами относит,елъно своих аргументов степени п — k;
при k = n равны 1 и при k > п равны 0. Докажем это.
Для разностей первого порядка имеем:
„п ____ „п
= - = х?д1, + х";1:’х14- ... д-4-1.
•У< + 1 — xi
Далее, если
для любых I, то
.. х“"
• • •> -*4 + к + 1) / (Xf‘Х{+1;. . .; X/+к)_
•*’/+&+1
___ ' 1*7 -к - " Ч>--------- J । ч7’ Ч-ib • • ' xi-tk) _
Xf + k + l — xi
г + &+1
Xi + k-\ Z
•*7+4 + 1 xi
*4
Ч + к
Зе Д
4-+1
3ot-P + • • •jew—к—1
Таким образом, и это свойство доказано. На основании его и след-
ствий 1 и 2 заключаем, что разделенные разности порядна п
от многочлена п-Я степени постоянны, а разности более высо-
кого порядка равны нулю. Последним замечанием можно пользо-
ваться для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функ-
ций. близких к ним.
1 2. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков.
Перейдем теперь к выводу формулы Ньютона. Пусть х0,
Xi.....хп—узлы интерполирования и Lk(x)—интерполяционный
многочлен Ла1ранжа, построечный для этой функции по узлам х0,
хи .... хк. Тогда
Ln (х) = Lo (х) 4- ILt (х) — Lq (x)] 4- |L2 (x) — Ц (x)] + ...
... +l^n(x)-£n_1(x)]. (5)
Рассмотрим отдельную разность, стоящую в правой части, £л(х) —
— £fc_j(x). Это будет многочлен степени k. Он обращается в нуль
в точках х0, хь хк_г. Поэтому £й(х)—£fc_1(x) = X(x — х0)Х
X (х — xj ... (х — хк_^ (А — постоянная). Для определения вели-
чины А положим х — хк. При этом получим:
J ^-к — 1 (хк) — (.Хк Xq) {Хк Xj) ... (хк — Хк_ j).
Итак,
А =_________________________
(хк~хо)
S(xk хо) • •' (хк~ (хк xj + l)'--(xk xk-l)
з/( - ^о) • • • - V1) (xj - ^-+х) • • (xj " V1)
(Хк - *о) (Хк - • • • (Хк - Хк- 1) “
/(Xj) __
~ 1 (Хо; Х1’ • > хк)-
Отсюда
Ln(x)^f(xl)')-\-(x—х0)/(х0; X.) -|-(х—Ло)(х— xjf(xo-, х., х2)Д- ...
. .. -|-(х—х0)(х —х:) ... (X —Хп-О/Схо; xt; ...; хп). (G)
Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит
название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных
промежутков. Она более удобна для вычислений, чем формула
Лагранжа. Добавление одного или нескольких узлов не приводит
к повторению всей проделанной работы заново, как это было при
вычислениях по формуле Лагранжа Применим эту формулу к тем же
примерам, которые были приведены в § 2.
Разделенные разности
X У 1 2 3
0 2 3 5 1 3 2 5 К>| W 1 >—• >—‘ ct.I ел <х| to clw
(2 \ 3
— у-] + X (X — 2) (х — 3) 1Q
X У Разделенные разности
1 2 3 4
0 1 1 2
2 3 3
10
5 11
О 2 3 6" ' 1 120
2 4
1
1 6
6 6
£4(х)=1-^х- 1+х(х-2)(-|)-|-х(х —2)(х-3)^4-
+- х (X - 2) (х - 3) (х - 5) (- .
Если раскрыть скобки в полученных выражениях и расположить их
по Степеням х, то получим то же самое, что и в § 2.
При помощи интерполяционной формулы Ньютона можно полу-
чить представление разделенных разностей в виде отношения опре-
делителей. Действительно, как мы видели в § 1, коэффициенты
при <рДх) в интерполирующей функции равны , где Д,- полу-
чаются из Д путем замены z-го столбца столбцом В частности,
при ср/ = хг и узлах интерполирования х0, х,, хп коэффициент
при х" будет равен
1 х0 ... хц / (х0)
1 х, ... х«-1 /(XJ
Коэффициент же при хп в интерполяционной формуле Ньютона для
неравных промежутков равен f (х0, хо ...» хп). Таким образога,
1 х0 ... xj 1 / (Х„)
/(х0; Хь .. хп) —- 1 xt ... x"“l f(X^ 1 хп ••• хп~' f(xn) (7)
1 х0 ... х” - х“
1 х, ... х"-1 х\ 1 X ... х"-1 х" <ь ft И
Из этого выражения нетрудно получить все те свойства разделен-
ных разностей, о которых говорилось ранее.
3. Остаточный член формулы Ньютона. Остаточный член фор-
мулы Ньютона точно такой же, как и у формулы Лагранжа. Но его
можно записать и в другой форме. Для этого рассмотрим
/ (х; х0; Хь ...; х„) = .. 7(х - х„) +
,____________/(ха)____________,
(Х0 — X) (Xu — Xj) ... (х„ — х„)
I____________f _______________ zg-j
• (xn —x)(xn —хв) ... (xn —xn_j '
Отсюда
f, Y > _ f(x . (x-*1) (X-Xt) ...(X-Xn)
j (x) — J(x0) -(Xo_Л1) _x<t} _. _ Xn}
f(r X (X—XG)(X —Xi) ... (X—x„_,)
(x« — X;) (xn — Xj) . . . (xn Xn — i)
_|_ (x —x0)(x —xt) ... (x —xn)/(x; xu; x,; ...; xn). (9)
Итак,
f (x) = Ln (x) —|— (x — x0)(x xj ... (x xn) f (x, x0, x,; ...; xn). (10)
Таким образом,
^«(x) = /(x) —Z,n(x) =
= (x —x0)(x —хд(х —x„)/(x; x0; xt; ...; x„). (11)
В частности, если /(x) имеет производную порядка zz —1_ 1, то по-
лучим:
/W+Ч (Р)
/(х; х0; х1; ...; хп) = -~-^--. (12)
Здесь I— некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку,
содержащему все точки х0, .....хп, х.
Разделенная разность /(х; х0; . ..; хп), входящая в выражение
остаточного члена, может быть найдена только в том случае, когда
нам известно /(х). Но тогда нет большого смысла использовать
интерполяционную формулу Ньютона. Однако в некоторых случаях
последнюю форму остаточного члена можно использовать для фак-
тической оценки погрешности, даваемой интерполяционной формулой
Ньютона.
Пусть нам известно из какнх-то дополнительных соображений,
что разделенные разности порядков п -1-1 и л —2 сохраняют по-
стоянные знаки на рассматриваемом отрезке. Тогда используем ра-
венства
/(х) = X — хй) ... (х — х(^/(х0‘, хр, .. .; х;)
i=o
(х — Xq) (х — Xj) ».. (х хп) f (х; xQ; Хр .. •; хп)г
fw = 2 (* — *о) ••• (* —-ч: •••: xi) +
i-0
+ (х — х0) (х — X,) ... (х — xn+1)/(x; х0; xt; ...; хи+1).
Для данного х всегда можно подобрать хп+1 так, что R.n и Rn+l
будут иметь различные знаки. Если /(х, х0; х,; ...; хп) и
/(X; х0; х(; . . .; хп J' имеют одинаковые знаки, то берем хп^,_ > х;
если они имеют разные знаки, то берем хо+й< х. Но тогда, если
взять вместо f (х) значения интерполяционных многочленов с n-j-1
и п -|-2 членами, то получим в одном случае значение, большее f (х),
в другом — меньшее. Следовательно, абсолютная величина ошибки,
которая получается в результате использования первой формулы,
не может превышать абсолютной величины
(х—х0)(х —Xj) ... (х — х„)/(х0; х,; х2; ...; хп+1)
и имеет такой же знак, как и эта величина. В этом случае, если
/(хП11) известно, мы можем фактически оценить
Рассмотрим еще один случай. Пусть на отрезке [о, <>], где бе-
рутся х и узлы интерполирования, функция /(х) имеет производную
у(п4_2) (Х), сохраняющую свой знак. Покажем, что в этом случае
/(х; х0; . . .; хп)— монотонная функция х на [й, £>]. Для этого обра-
зуем
z f(x; Х(>..- хя)—чх хс: ...: х^
X—X
где х и х — некоторые точки отрезка [а, Ь]. В силу симметрии раз-
деленных разностей относительно своих аргументов будем иметь:
z = [х'' Л;’ ''' " u'
х — х
а это есть не что иное, как разделенная разность f (х; х; х0; . . хи)
порядка /г-|-2 функции fix). Но из равенства (12) получим:
2 = /(х; х; х0;
/(П + 2) &
in + '2)\
Следовательно, z сохраняет свой знак на [а, 6]. Если f<-n+2> (х) > О,
то при любых х£[а, />] и х£[а, (х > х) будем иметь:
/(х; х0; х,; .... х*) >/(х; х0; хп).
При /(п+г) (х) < 0 и любых х£|а, xfla, 5J будем иметь-
/ (х; х0; Хр • х„) f (л; х0, х„ ..., хп).
В этих случаях /? может быть оценено, если нам известны f (а)
и f(b)
Как мы видели, для многочленов разделенные разности, начиная
с некоторого порядка, обращаются в нуль. Для функций, не являю-
щихся многочленами, этого не будет. Позже мы покажем, что для
так называемых целых функций разделенные разности стремятся
к нулю. Но эта картина будет нарушаться благодаря тому, что сами
исходные данные обычно бывают приближенными, а в процессе вы-
числения разделенных разностей мы вынуждены делать округления.
Чаще всего наблюдается такая картина: сначала разделенные раз-
ности убывают с повышением порядка, а затем ведут себя непра-
вильно и снова растут.
Так, например, выглядит таблица разделенных разностей для
функции / (х) = sin х:
X,- Sin X; / (х4; х,+0 f Xf+p Xf+2) У(х,-;х,-+1; xz+2:xz+3)
0° 0,0000 0,01731
13° 0,2250 0,01652 — 0,000333 — 0,0000008
24° 0,4067 — 0,000063
0,01501 — 0,0000008
37° 0,6018 — 0.000094
0,01219 — 0,0000006
54° 0,8090 — 0,000120
0,00858 — 0,0000005
67° 0,9205 — 0,000110
0,00509 — 0,0000002
79° 0,9816 0,00167 — 0 000149
90° 1,0000
Разности четвертого порядка будут вести себя неправильно, раз-
ности пятого и более высоких порядков снова начнут возрастать.
Ясно, что нет большого смысла использовать их в вычислениях,
так как они сильно искажены различными погрешностями.
Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому
значению х, окажут большее влияние на интерполяционный много-
член, лежащие дальше—меньшее. Поэтому целесообразно за х0 и хг
взять ближайшие к х узлы интерполирования и произвести сначала
линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привле-
кать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее рас-
полагались относительно х. Полученные при этом поправки будут
обычно незначительны Чтобы проиллюстрировать это, дадим здесь
результаты вычислений по приведенной ниже таблице. При помощи
интерполяционной формулы Ньютона были вычислены значения sin х
для углов 5s, 10°, ... В первом столбце даны аргументы, во вто-
ром — результаты линейной интерполяции, в третьем — поправки
за счет вторых и третьих разностей, в четвертом — окончательные
результаты интерполяции и в пятом — точные значения sin х с че-
тырьмя десятичными знаками:
5° 0,08655 0,00072 0,08727 0,0872
10° 0,17310 0.00066 0,17376 0,1736
15° 0,25804 0,00081 0,25885 0,2588
20° 0,34064 0,00137 0,34201 0,3420
25° 0,42171 0,00088 0,42259 0,4226
30° 0,49076 0,00323 0,49999 0,5000
35° 0,57181 0,00178 0,57359 0,5736
40° 0,63837 0,00487 0,64274 0,6428
45° 0,69932 0,00770 0,70702 0,7071
50° 0,76027 0,00572 0,76599 0,7660
55° 0,81758 0,00155 0,81913 0,8192
60° 0,86048 0.00554 0,86602 0.8660
63° 0,90338 0,00295 0,90533 0,9063
70° 0,93577 0,00386 0,93963 0.9397
75° 0,96122 0,00461 0.96583 0,9659
S09 0,98327 0,00152 0.98479 0.9848
8.5° 0,99162 0,00459 0,99621 0,9962
§ 6, Интерполяционные формулы Ньютона
для равных, промежутков
Естественно ожидать, что если промежутки между последова-
тельными узлами интерполирования равны, т е. хг— x{_t— постоян-
ная величина, то предыдущая формула упростится Так оно и есть
на самом деле. Прежде чем переходить к выводу формул, для этого
-случая введем понятие о конечных разностях.
1. Конечные разности и их свойства. Пусть для значений х;
х0, х04-А, х0 + 2А......х0 + г.А (А—шаг таблицы), нам известны
значения функции /(х): _у0, _уг, . ... у п.
Назовем тогда разности
Л — Уо. Уг~ Л. • • •• Уп — >n-i
конечными разностями первого порядка.
В литературе используются самые различные обозначения ко-
нечных разностей:
У г +1 — У, = Ду;; У г 4-1 -Уг = ?У( + 1»
+ У1 -- Sj'i+V..’ Уг + 1—У, = fi+У,-
(1)
Мы будем пользоваться последним обозначением.
Из разностей первого порядка можно образовать конечные раз-
ности второго порядка:
/»/,--f'\------------/•“/. = /»• • • •> /(2i + l)/2-/(2i-l)/2=/i. • • •
ДУ!— Д>0 = Д2у0, ......ДЛ-Li— ^У1=^2У1. • • •
= v2y,, v>a= V2J/S............V_yf+1—Vj/< = F_y/+1, ...
—S>/9=|2J/2.....^(ii+D/2—&>(2i-.l)/2=&^i. •
Аналогично можно образовать разности третьего порядка, чет-
вертого и так далее. Таблицу разностей обычно располагают сле-
дующим образом:
X / Т1 г- f3
ХО /о
Х1 /1 А f3
х2 Л Л f3 J‘0
х3 /з А J3
Х4 А
Так, например, таблица конечных разностей для функции х3
будет выглядеть следующим образом:
X / /> /3
0 0 1
1 1 7 G 6
2 8 19 12 6
3 27 37 18 6
4 64 61 24
5 125
Практические вычисления требуют наличия контролирующих опе-
раций на всех этапах работы. Это застрахует от грубых просчетов
или по крайней мере сведет их к минимуму. Такие контролирующие
операции чрезвычайно просто получаются при составлении таблицы
разностей.
Очевидно,
Л/,+Л/,+ • • =/1—/0+/2—/1+ ••• +/п—fn-l =
т. e. сумма чисел в каждом столбце разностей равна- разности
крайних чисел предыдущего столбца. Поэтому целесообразно внести
в дополнение к таблице еще две строки: строку Е, равную сумме
чисел, стоящих в столбце, и строку’ S, равную разности крайних
чисел столбца, и использовать предыдущие рассуждения. Для пре-
дыдущего примера эти строки будут таковы:
S 125 60 18
3 125 60 18 0
В некоторых интерполяционных формулах используют наряду
с теми значениями и разностей, которые у нас имеются, еще сред-
ние арифметические:
/о +Л______f fi-i-J*_____________t _f
2 'ч' 2 Уз/>........... 2 'i+'i,' •••
A + Л + Л--1,2 + Л' + Vg _ fl
2 /р 2 .• 2' ’ • 2 /,.•••
f't+fl ri /2 + /3 ,a /i + /ut_f2
2 — y2 •/’/, ‘ 2 ’ AfV»’ ‘ ‘ ’
В тех случаях, когда для обозначения разностей употребляют
значок 8, для средних арифметических используют значок р.8. Так,
последний столбец ь этих обозначениях будет выглядеть следующим
образом:
<+’/«> • • • (4}
Разберем теперь некоторые свойства конечных разностей. Прежде
всего найдем выражение разности любого порядка непосредственно
через значения функции. Будем иметь:
7i+i/« Ji + l
ff+4, -f2i=fi+. - Wi+1 + 3/4
Покажем, что общее выражение для будет:
fi fi+k/Ъ —14-Л/2 *"!~ 24-Л/2 ***
• ... +(_1те7._ж+&,а+ ... +(-1?/1А/а. (5)
Для k = 1, 2, 3 эта формула верна, что видно из предыдущих вы-
ражений. Предположим, что она верна для всех k I, и докажем,
что тогда она справедлива и для А = /-|-1. Разность порядка Z —|— 1
/?+t будет равна
^» + 1 = Л\1/, = I/i+i/2+z/2 i-^+112 ‘ ‘ •
... +(-i)mcr/i+./2_jn+//2+ ... +(_i)7i+i/a_j_
... +(-rrcr/i_1/a_„l+J,a+ ...
Но
сг + сг+1
71
т\ (i — яг)!
________________Z!______________
(т 1)! (Z — т — 1)!
Следовательно,
(Z + 1)! __Ст+'
(яг-р !)!(/ — яг)! — г+1 ‘
/г+1 — Л + (; + 1)/3 £' + l — l+(Z + l)/2 ~•••
• ~t~(—1)т^1/,_то+(/+1)/2+ .. -и— 1/ 7f_(z+1)/2’
что и требовалось доказать.
Из полученной формулы, в силу линейной зависимости fk от f ,
выводим:
Сле дствие 1. Конечные разности f* суммы или разности
функций равны сумме или разности конечных разно-
стей функций и g:
(’• =-= ak + К1
J г *1 ог
Следствие 2. При умножении функции на постоянный
множитель конечные разности умножаются на тот же мно-
житель.
Установим еще связь между конечными разностями и разде-
ленными разностями для того случая, когда постоянна.
Будем иметь;
/(хг; xi+l) =
h
/(A'a-i! xl+,) — f{xf, xi+i) — f-l+}
/(хр. х1+2) r1+-~ x- 2h-h — ‘
Вообще,
f (Xfl Xj+1; . . .; Xi+Zi) = . (6)
Доказательство опять будем вести методом индукции. Предполагая
формулу справедливой для k ^/, докажем ее справедливость для
А* I —1.
Действительно,
/ (X;; Х{ + 1,
fl ______ fl fl + 1
+ ___ h+(l + l)/2
(l+\)h-l\hl — (/+ l)!ft,rl ‘
Как следствие этой формулы и результатов, полученных ранее для
разделенных разностей, получаем:
Следствие 3. Конечные разности п-го порядка от много-
члена степени п постоянны, а конечные разности (п —|— 1)-го
порядка равны нулю.
Последнее свойство позволяет дать простой способ составления
таблиц многочленов. Непосредственно вычисляем значения много-
члена для га —|—1 значений аргумента. По этим данным составляем
таблицу разностей. В нее войдут разности до м-го порядка. Далее,
заполняем столбец разностей к-го порядка, пользуясь тем, что они
постоянны, затем заполняем столбец разностей (п—1)-го порядка.
Для их получения складываем соответствующие разности (п—1)-го
порядка с разностями га-го порядка. Затем последовательно запол-
няем столбец разностей (п— 2)-го порядка, (п— 3)-го порядка и
так далее, пока не получим столбец /(Xj). Так, например, получен-
ная нами таблица функции у = хъ будет продолжаться следующим
образом:
X / /’ Р Л
0 0 1
1 1 7 6 6
2 8 19 12 6
3 27 37 18 6
4 64 61 24 6
5 125 91 30 6
6 216 127 36 6
7 343 169 42
8 512
При практическом применении этого приема с целью исключения
грубых просчетов целесообразно время от времени производить вы-
числения многочленов непосредственно. Это обеспечит и от нако-
пления ошибок округления, если мы ведем вычисления не точно,
а с каким-то заданным количеством десятичных знаков.
Интересно проследить распространение ошибки, сделанной при
вычислении f (х) на конечные разности различных порядков.
В приведенной ниже таблице это указано в предположении, что
ошибка величины е сделана при вычислении f,.
X i fi
xi-i fi-i ...
4-% ...
Xi-8 fi-8 'U 1-3 /U ...
Xi— 2 fi-4 4-% /?-2 £
xi-l fi-i 4-'/i + £ /Li+* A?--/s-3e
Xi fi + £ 4+/.,—6 4-2^ 4+7,+ 3e
xi+l /<+1 4+’/, /Ui + * 4+%—* 4+1-4b
xif2 Л+2 4+=/, >i 1-3 fi 1 »+7i 4+9 + e
Xi+S fi + 3 4+»/. J г+3 . •. ...
•*4+4 fi + A ♦ • *
Таким образом, ошибка с коэффициентами С* распространится
на разности порядка k. При этом максимальные по модулю ошибки
будут иметь разности, ближайшие к строке, в которой находится /f.
Этот результат можно так же получить из формулы, связывающей
конечные разности непосредственно со значениями функции.
2. Вывод интерполяционных формул Ньютона. Перейдем теперь
к выводу интерполяционных формул Ньютона. Для этого рассмот-
рим формулу Ньютона для неравных промежутков, взяв в ней в ка-
честве узлов интерполирования х0, х,.....хп точки х0, х0 + й, ...
.., х0 -ф- nh. При этом, заменяя разделенные разности их выраже-
ниями через конечные разности, получим:
I i v\ t । х ха л । (х Xqi (х х-) а ।
'< W — /о Н - J41 Н J , +
(х — х0) (х — Xj) (х — х2) /3 ,
'г 31 л-- *•/. -*-•••
, (X —Хр)(х— у,1 ... IX—Xn-!) fn 7
• • • ~Г г.! г'- '
Обозначим л — t, тогда наша формула примет вил
Ln(Хо + М) = /0 + tf^н-/4 + ...
[г - (л - 1)]
• • г ri' } nri'
Полученную формулу называют интерполяционной формулой Нью-
тона для интерполирования вперед. Использованные в ней раз-
ности расположены по диагонали вниз, начиная с /0:
т X f У1 г- ГЛ н
х0 /. А
Х1 /1 4 у?
/« А Л fl J 2 fb
Х3 /з Л. У» fl J-3
Л f*i, 4
Х-, А
Приведем пример на вычисление по интерполяционной формуле
Ньютона для интерполирования вперед. Пусть нам даны sin 5°, sin 7°,
sin 9°, sin 11°, sin 13°, sin 15° и требуется найти sin 6°. Таблица разно-
стей будет выглядеть так'
X sin X У1 r
5° 7° 9° 11° 13° 15° 0,067156 0,121869 0,156434 0,190809 0,224951 0,258819 34713 34565 34375 34142 3386b —148 —190 —233 —274 —42 —43 —41 —1 -1-2
При написании разностей ради сокращения мы вносили в таблицу
лишь значащие цифры; такой способ записи таблиц конечных раз-
ностей является общепринятым.
Изучая таблицу, обнаруживаем, что третьи разности почти по-
стоянны, а разности четвертого и следующих порядков меняются
неправильно. Эго в значительной мере объясняется тем, что мы
использовали приближенные значения sin х. Ошибка каждого из них
может достигать пяти единиц седьмого десятичного знака Следова-
тельно, абсолютная погрешность первых разностей может достигать
единицы шестого знака, вторых — двух единиц шестого знака,
третьих — четырех, а четвертых — восьми. Погрешность в четвер-
тых разностях может превышать их величину. Поэтому в даль-
нейших вычислениях мы будем использовать только третьи раз-
ности.
За х0 возьмем одно из ближайших значений к х = 6°, а именно
возьмем х0 = 59. Тогда t = -х х‘} = 1/2 и вычисления примут сле-
дующий вид.
/0=Шб° = 0.087156,
5 • 0,034713 = 0,0073565,
f? = l. 0,000148 = 0,0000185,
2 о
(— Д = — ’.0,000042 = —0,0000026,
h 72 In
£в(6°)= 0,104528.*
Точное значение sin 6е с шестью верными десятичными зна-
ками равно 0,104528. Таким образом, все знаки получились вер-
ными.
В процессе вычислений мы сохраняли седьмой десятичный знак.
В окончательном ответе мы его округлили.
Выведем еше одну интерполяционную формулу Ньютона. Опять
будем использовать интерполяционную формулу Ньютона для нерав-
ных промежутков, но теперь за узлы х0, xt.....х„ возьмем точки
х0, х0— /г, ..., х0 — nh. При этом получим:
(•£) ' f (’ОО ~1~ (* X)) / (Хо*, -**< —
4. (х —х0)(х —х„ + й)/(х0; х0— А; хп— 2/?)4 ...
... щ_(х—х0)(х—х0Н-й) ... [х — х04(п — 1)й] X
Х/(Х>; x0 — h; ...; х0 —й/г).
Но в силу симметрии разделенных разностей относительно своих
аргументов будем иметь:
f (-^О’ Х0-• • • > Х0 ~
= f (х0 — ih; х0 — ih-\- h\ ...; х0 — h\ х^,
Снова заменим разделенные разности конечными
fl 1
Цхй — 1К\ xQ—ih-\-h; xQ)=--^-.
Отсюда
I ,.А / I Х~ Х0 « , (х —хэ)(х —х04-Л) ,2 ,
Ln(x> — /о~г / _!/„-(- Ji
, (х — х0) (х — х0-|-Л) ... [х — л0-|- (л — 1) Л] tn ,п,
• • • “Г п! Л” J . п/Г
„ X — Хл .
Заменяя, как и прежде. —— на t, получим:
Ln (ХО -h th) = /0 + + -(^
(ю)
Это есть интерполяционная формула Ньютона для интерполи-
рования назад. В ней используются разности, идущие по диагонали
вверх, как это показано в таблице;
X f /2 f*
Х-4 f-. fX~-4,
Х-з f-3 Л./. At
•^ — 2 ^-ч f-2 f4 J -2
Х-1 ХО f-г fy /-7,
Приведем вычислительный 'пример на использование форму-
лы Ньютона для интерполирования назад. По тем же данным, что
и в предыдущем примере, найдем sin 14°. За х0 в этом случае
14»_ ]
возьмем 15'. Тогда t — —--------= — у и вычисления дадут;
/0=sinl5° = 0,258819,
Г/‘ = — 4-- °-033868 = — 0,016934,
!.± = 1 • 0,000274 = 0,00003425,
г-(г+ !i v = ‘ . 0,000041 = 0,0000025,
L3(t4°) = 0,241922.
Опять ответ получился с шестыб верными десятичными знаками.
Мы получили две новые формулы интерполирования и несколько
позже получим еще ряд таких формул. Но нужно твердо помнить,
что каждая из них является другой формой записи интерполяцион-
ного многочлена Лагранжа. Поэтому, если отвлечься от различия
в обозначениях и в форме записи, все эти формулы тождественны.
При этом, конечно, предполагается, что в них использованы одни
и те же узлы интерполирования. Однако специалисты-вычислители
применяют в различных случаях разные формулы. Дело связано с тем,
что обычно бывает удобнее вести вычисления ели при интерполи-
ровании сначала используются ближайшие к х узлы, а затем посте-
пенно подключаются все более удаленные. При этом первые члены
интерполяционных формул дадут основной вклад в искомую вели-
чину. а остальные будут давать лишь небольшие поправки. В этом
случае легче избежать просчетов, легче установить, на какой раз-
ности следует закончить вычисления. Чаще всего интерполяционные
формулы для равных промежутков применяют для .значений t, не
выходящих за пределы промежутка j—1, ]). Но так как t в раз-
личных интерполяционных формулах имеют различный смысл, то
разные интерполяционные формулы будут использовать разные
участки изменения х в интерполяционной формуле Лагранжа. В § 3
мы видели, что точность интерполирования на разных участках изме-
нения х разная. В этом смысле мы можем сравнивать по точности
различные интеополяционные формулы.
3. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона. Сей-
час мы перейдем к исследованию остаточных членов интерполяцион-
ных формул Ньютона для интерполирования вперед и назад. Для
первой формулы получим:
Я» = (х — х0) (* — х0 — й) ... (х — х0 — nfl(n + 1)i =
\'1 I Ч’
Для второй
/(п+1) (5)
r?n = (X Хо) (X — Xo -I- Й) . . . (X Хо -L- nh) J | =
Ли+1 (₽\
=-----!)..•(/ + #)- (12)
В некоторых случаях, особенно когда значения fi получены из экс-
перимента, бывает очень трудно оценить величину производной
rtn+D (Д. Дадим здесь простой, хотя и очень грубый способ такой
оценки. Как известно из предыдущего параграфа,
/(х0; x0-f-A;
С другой стороны,
/ (-^oi хо Ч~ • •
х0 + (п+1)й) = -^^-.
-П+1
' п + 1
^сЧ-(«4 ПЛ) = —гт, 2 -------.
Йт-+1 (п + 1)!
(13)
(14)
Считая, что на рассматриваемом отрезке производная ftn+l>(x), сле-
довательно и разности /"+1, меняется не сильно, мы можем заменить
производную, входящую в остаточный член, разностью и получить
t(t-1)... (t-n)
(п +1)!
.<«+!)
/w+1 •
2
(15)
Аналогично для второй формулы
(Z 1) ... (С ч- п) .n-f-i
(16)
Нужно еще раз подчеркнуть, что полученные формулы очень грубы
и применять их можно только в случае крайней необходимости.
Если не выполнено условие о том, что производная меняется незна-
чительно, то можно получить совершенно нелепый результат. Так,
например, рассмотрим функцию
f (х) == х -|- k sin т.х,
и пусть в качестве узлов интерполирования использованы целочислен-
ные значения х^=0, ±1, ±2, ... Тогда разности ведут себя
очень хорошо и уже, начиная со второго порядка, точно равны нулю.
Следовательно, на основании грубой оценки мы получили бы, что
/(х)—линейная функция. Однако на самом деле x4-ftsinrx при
больших k будет сильно отличаться от линейной функции. По гру-
бой оценке ошибка интерполяционной формулы равна первому отбро-
шенному члену.
Для того чтобы можно было сравнивать по точности различные
интерполяционные формулы, приведем здесь значения коэффициентов
f(f-l)... (t-n)
(п Н- l)t
для значений t на отрезке [—1, 1], Мы их будем брать по абсо-
лютной величине. Эти абсолютные значения будут пригодны и для
интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования назад
с заменой t на -—t. Поэтому в левом столбце мы дадим значения t
для формулы Ньютона для интерполирования вперед, а ь самом пра-
вом •—для интерполирования назад:
п t 1 2 3 4 п
— 1,0 — 0,9 — 0,8 -0,7 — 0,0 -0,5 — 0,4 - 0.3 — 0,2 — 0,1 0,0 + 0,1 + 0.2 + 0,3 - 0.4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0.8 -09 + 1,0 1,000 0,86 0,72 0,60 0,48 0,38 0,28 0,20 0,12 0,06 0,000 0,045 0,080 0150 0,120 0,125 0.120 0405 0,080 0,045 0,000 1,оод 0,8? 0,67 0,54 0,42 0,31 0.22 0,15 0,09 0,000 0.028 0.048 0,059 0.064 0,062 0050 0.045 0,032 0,016 0.000 1.000 0,81 0.64 0,50 0,37 0,27 0,19 0,12 0,07 0,03 0,000 0.021 0,034 0,041 0.042 0.039 0,034 0,026 0.018 0,009 0,000 1,000 0,79 0,01 0,47 0,34 0,25 0,17 о.и 0,06 0,02 0.000 0,016 0.026 0.030 0.030 0.027 0,023 0,017 0.011 0,005 0.000 + 1,о + 0,9 + 0,8 + 0,7 --0,6 + 0,5 + 0,4 и.З 0,2 -- 0,1 0,0 — 0,1 — 0,2 — 0.3 — 0,4 — 0.5 — 0.6 — 0,7 — 0.8 — 0.9 — 1.0
Как и всегда, погрешности экстраполяции значительно превышают
погрешности интерполяции.
Приведем еще таблицу значений неустранимой погрешности д^я
наших формул, точнее таблицу коэффициентов при р (см. (7) § 3).
Значения взяты из таблицы на стр. 97 с соответствующим видоиз-
менением значений t. Опять левый столбец будет соответствовать
интерполяционной формуле Ньютона для интерполирования вперед,
а правый для интерполирования назад.
п / 1 2 3 4 п
— 1,0 — 0,9 — 0,8 — 0,7 — 0,6 — 0,5 — 0,4 — 0,3 — 0,2 - 0,1 0,0 + 0,1 + 0,2 0,3 1-0,4 -Г 0,5 -1-0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 1,0 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3,5 3,1 2,7 2,4 2,1 1,7 1,5 1,2 1.0 0,71 0,5 О.э4 0,58 0.60 0,62 0,62 0,62 0,60 0,58 0,о4 0,о 7,5 6,4 5,4 45 3,7 з.о 2,3 18 1.3 0,86 0,5 0,63 0,72 0,78 0,81 0,81 0,79 0,74 068 0.59 0,5 15 13 11 8,5 67 5,2 3.4 2,8 1.9 1,1 0,5 0,76 0,96 1,06 1,10 1,1 1.0 0,92 0,80 0,66 0,5 + 1,0 + 0,у -0,8 + 0.7 --0,6 + 0,5 + 0,4 + 0.3 — 0,2 — 0,1 0,0 — 0,1 - 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 - 1,о
На этом мы временно оставим интерполяционные формулы Нью-
тона и перейдем к выводу других формул. Недостатком формул
Ньютона при интерполировании в промежутке изменения от — 1
до 1 является то, что узлы интерполирования расположены несим-
метрично относительно х0. Сейчас мы получим формулы, свободные
от этого недостатка.
§ 7» Интерполяционные формулы, использующие
центральные разности
1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя
и Эверетта- Опять воспользуемся интерполяционной формулой
Ньютона для неравных промежутков ((6) § 5) и возьмем в качестве
УЗЛОВ Хо, Xt....хп, ... точки х0, х0-1-й, хр— h, .... х0-|-пй,
х0 — nh, . ,.
Тогда
/. (х) = f (х0) -4- (х — х0) f (х0; х0 -Ь *) Ч- (х — х0) X
X (х — х0 — й)/(х0; х0-I-Л; х0 — h)-|- .. . -|-(х — х0) (х — xQ — h) X
X (х — х0 —|— й) . ., (х — х0 — nh) (х—х0-|- nh) f (х0; х0-|- й; х0— й; . . .
.. . ', хр —|— nh\ Xg — nh\ Хр —]— (ц —|— 1) й ] —1— ... (1)
Используя симметричность разделенных разностей относительно своих
аргументов и их связь с конечными разностями, получим:
/(х0; х0-|-й; х0 —й; .. .; х0-|-йй; х0 —йй)= (2)
/(х0; *0+й; х0 — h; х0 — (k — 1) Л; x(, + Wi) = ——
\£К 1). it
(3)
Отсюда
t f । X Хр । (Х Хр) (X Xq А) р, I
, (X—xo)(x —xo— Й)(х—Х0 + Л) fg ,
-f- -
(X — Xq) (X — Xq — A) (X — Xq -I- A) . , , (X — Xp -|- (ft — 1 ) ft) ^„_1
4 (2n—l)!ftSre’1 Z,/s
(X—X0) (X—Xp—A) (X—X0 + ft) ..(X—Xc-L(ft -1) ft)( K—Xu- nA) ,in
’ (2л)! h2n n
(4)
Обозначив, как и ранее,
х — х0 ___________________________
h
получим:
L (xo+^)=/0 + //'s4-^^/0^i(-^/?/2+ ...
2») (л-1Я f8n_1 .
’ ’ • -Г (2л—1)! •'г “Г
-(л-1)?)(;-л)
4- (2л)1 А “* • • •
Это — интерполяционная формула Гаусса. В ней используются
следующие разности (подчеркнуты черточкой)’
X / г г F F
х-з А,
Х-2 f-2
f-3l, fs J ->k
Х-1 f2-r f-r
f3 1 -1/,
Хр fy_ A /о
A. f3 7,/3
Х1 /1 A fl
A f3 z7.
х2 ft fl
A
Х3 fa
Если бы мы взяли узлы интерполирования в другом порядке,
а именно: х0, х0-—h, лс0-|-й, ..х0— nh, x0-}-nh, то совершенно
аналогично получили бы вторую формулу Гаусса:
L (х0 “ — /о +" tf-щ 2!— а ------3!— ^-'/5 '
I * (Р - 1) (Р-2*)... <Р-(«-!)*) ,
' • ’ -г (2л— 1)! • J -Ч< “г
^-12, ... (п-1Р)(/ + п)
-I- (2п)! ’•'о “Г •••
Для того чтобы их можно было различить, будем называть пер-
вую из них интерполяционной формулой Гаусса для интерполи-
рования вперед, вторую—для интерполирования назад. Интер-
поляционная формула Гаусса для интерполирования назад использует
следующие разности:
X f Р f*
•Х-В f 3
О-ч,
Х-2 f-2
^-3/3 f-y.
Х-j f\ f-1
х0 /о fl /о
А
Х1 /1 fl ft
А fl fl
ft
Полусумма двух интерполяционных формул Гаусса даст нам:
^С*о+^)—/О“Ь^о + ^|/о+
•••-г- (2л —1)! ' •«
_ ГДР--- 1.°->г-.)Г] f2n
ОУ '•
так как
1 ft (t2— l)(Za — 22) ... [t2 — (и — 1)2](/_П) ,
2 L (2m!
, t (t2 — I2) {t2 — 22) ... [i2 — (n — I)2] (t -i- n) ]_/2 (t2 — I2)... [C2— (n—1 )2]
+ (2n)J J— '• (2n)!
a
Мы получили формулу Стирлинга. В ней”используются разности
четного порядка с индексом 0 и полусуммы разностей нечетного
1 1
порядка с индексами -f-y и — , как это показано в следующей
таблице:
X f с л fa /4
Х-1 хо А /о /1 ft f-y, М ЧА 1 А /•-г ft ft .I'M 2и. 1 с Jo
Приведем пример на вычисление по формуле Стирлинга. Пусть
требуется найти sin 14° по значениям sin 9°, sin 12°, sin 15°, sin 18°,
sin 21°. Таблица разностей будет такова:
X sin X У1 г- /3
9° 0,156434 51478
12° 0,207912 50 907 —571 — 138
15° 0,258819 50 198 —709 —138
18° 0,309017 49 351 —847
21° 0,358368
За д’о 1 3 возьмем ближайшее к x узловое значение, т. е. 15е. Тогда и вычисления дадут. /0 = sin 15“ = 0,258819, r/i = — у • 0,0505525 = — 168508, ~ А о-000709 = -394- ^7^- /о = —• 0,000138 = — 69. Т(14Д= 0,241922.
Все знаки верны.
Получим еще одну важную интерполяционную формулу. Для
этого применим интерполяционную формулу Гаусса для интерполи-
рования назад (6) к точке хг. Тогда
Мх1 + йО = /1+^/а + ^^/П-:^1--/.3/г+ • • •
С(С3-1)... |Г3-(п-1р]
(/п -1)!
гп-1
'/л
Z'(Z'--l) .. |Г3--(п - 1р|(СЧ п)
(2п)!
(В)
В этой Формуле для обозначения параметра мы использовали t'
. X — X, X — Х|) п
вместо t, так как он равен , а не —-—Легко видеть, что
й п
t' — t—1. Сделаем замену t' на t. Тогда получим:
, . - 2-и-сд l)ti_гг_)
’ (2п—1)! 7’Л
+ ,(91
Полусумма этой формулы и формулы Гаусса для интерполирования
вперед (5) даст
L (X,+И)=+ (< - !)/;„ +
• Д- (2п)! 7 1/а I
Z(Z^-l) ... p-(n-l)’]
I______________________________z f^n + l
-T 7V. ’
(10)
так как
1 р(^2— пЭ . i‘(f2— 1)...(^ — (П— 1)2] (£— п+оа— Л) 1
2 L (2п +1)! (2л -г 1)! 1 ~~
t (Г*- 1) . . . [/*- (n- 1)2] (f - n) - 1)
= (-П- ]) '
a
Эта формула носит имя Бесселя. Она особенно удобна для интер-
полирования на середину, т. е. для t = 1. Действительно, в этом
случае все члены, содержащие разности нечетного порядка, обра-
тятся в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:
В качестве примера на применение формулы Бесселя вычислим
sin 16° 30' по данным предыдущего примера. При этом, если в каче-
стве х0 взять снова 15°, то £ = -1. Вычисления дают:
г = -1- [Д -I- Д] = -1(0,258819 + 0.309017) = 0,283918,
—7J)A = -^^+/n = -^^-709 --847) = 972,
£ (16 30') = 0,284015.
Получили тсчпое значение с шестью десятичными знаками.
Из используемых часто формул нам осталось получить еще только
формулу Эверетта. Чтобы вывести ее, исключим разности нечет-
ного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед (5)
при помощи соотношения
у2ге+1 _
При этом у нас появятся члены с разностями /*“, имеющие коэф-
фициент
КГ— 1»)... (/’ — л")
(2« + 1)! ’
и разности f3n с коэффициентом
t(f> — Р) ... [Р —(л—1)3] (/ —л) /(Р — Р) ... [/? — (л — 1)3] ((! — п”-)
(2л)! (2л — 1)! —
t (Р— 1) ... [Р- (л — 1)3] (Z — Л) (л+ 1 — t)
- '
Преобразуем последнее выражение, заменив t на 1 — 5. Получим:
(1-5) (1-5-1) (1-5 + 1). • .(1-5-Л+1) (1-с-сл-1) (1—5—л) (л + 1-1+5)
(2«+1)! " ’ ~
_ 5(53—1!) ... (J3- лз)
(2л+1)!
Окончательно формула Эверетта примет вид
L (х0 + th) = tft + + • • • + + .
c ___12\
• • • +5/o4 Si—~ /ao+ • • • (' = 1 - °- (1 °
В этой формуле используются разности, подчеркнутые в таблице
черточкой:
X f л /3
х-г f-.
Х-1 f-г f-Ч, Ai f3 J -7а
х0 /о /о А
f3
*1 /- Л
А
А 4 fl
*3 А
Формула Эверетта имеет некоторые особенности, отличающие ее
от других выведенных нами формул. Прежде всего она содержит
только разности четного порядка. Эго особенно удобно при печа-
тании таблиц, если в них необходимо поместить также и разности.
Далее, она содержит разности, соответствующие точкам и
При этом количество вычислений не больше, чем по любой другой
интерполяционной формуле, С другой стороны, этой особенностью
можно иногда воспользоваться для сокращения работы при некото-
рых вычислительных процессах. Это, например, имеет место в про-
цессах субтабулирования, т. е. в том случае, когда по данной
таблице нужно составить новую таблицу с более мелким шагом.
Действительно, при этом вторая строка формулы Эверетта перейдет
в первую на слепующем шаге и полученные нами на первом шаге
ее значения могут быть использованы вторично. В качестве иллю-
страции на применение формулы' Эверетта мы и возьмем пример
на субтабулирование. Пусть по заданным значениям sin 9°, sin 12°,
sin 15°, sin 18^, sin 21° требуется найти значения синусов на отрезке
|9°, 21°] с шагом в 30'. При этом t и $ будут принимать значе-
12 3 4 5
ния -g-, -g-, -g-, -g-. Коэффициенты формулы Эверетта будут равны:
t 1 6 2 6 3 6 4_ 6 5 6
6 — 0,007006 — 0,049383 — 0,0625 — 0,061728 — 0,042498
Значения синусов и вторых разностей, возьмем из предыдущих
примеров. Отсутствующие там вторые разности равны
/ва. = —0,000428 и /2!- = —0,000982.
Промежуточные вычисления можно свести в следующую таблицу.
X i tfi 4(Г-1) fi 6 Jl (3) + (4) №
1 2 3 4 5 6
1 6 0,0260723 0,0000115 0,026084 1
3 0,0521446 0,0000119 0,052165 2
9° 1 2 0,0782170 0,0000267 0,078244 3
2, 3 0,1042893 0,0000264 0.104316 4
у 6 0,1303616 0,0000180 0,130380 5
Продолжение
X t tfi 1) л 6 (3) + (4) №
1 2 3 4 5 6
1 6 0,0346520 0,0000150 0,034667 6
1 3 0,0693040 0,0000280 0,069332 7
129 1 2 0,1039560 0,0000360 0,103992 8
2 3 0,1386080 0,0000350 0.138G43 9
5 6' 0,1732600 0,0000240 0,173284 10
1 6 0,0431365 0,0000190 0,043156 11
1 3 0,0862730 0,0000350 0,086308 12
15° 1 2 0,1294095 0,0000440 0,1’29453 13
2_ 3 0,1725460 0,0000440 0,172590 14
5 6 0,2156825 0,0000290 0,215712 15
2 б 0,0515085 0,0000230 0,051526 16
2 3 0,1030056 0,0000410 0,103047 17
18° 1 2 0,1545085 0,0000530 0,154562 18
2 3 0,2060113 0,0000520 0,206063 19
_5 6 0,2575141 0 0000360 0,257550 20
Продолжение
X t 6 (3) + (4) №
1 2 3 4 5 6
1 6 0,0597280 0,0000270 0,059755 21
1 3 0,1194560 0.000U80 0,119504 22
21° 1 2 0,1791840 0 0000610 0,179245 23
2, 3 0,2389120 0,0000600 0,238972 24
5_ 6 0,2986400 <1,0000410 0,298671 25
Получив эту таблицу, последовательно найдем значения синуса
промежуточных аргументов Так, sin 9° 30' равен сумме чисел, стоя-
щих в столбце 5 и строках 5 и 6, sin 10° равен сумме строк 4 и 7,
sin 10° 30'— сумме строк 3 к 8, sin 11°—сумме строк 2 и 9,
sin 11°30'—сумме строк 1 и 10. Далее, sin 12°30' равен сумме
чисел, стоящих в столбце 5 и строках 10 и 11, а затем так же, как
и в предыдущем случае. Окончательно получим таблицу (в последнем
столбце указана разность между полученным и точным значениями
в единицах шестого десятичного знака):
X sin X Разность X sin х Разность
9° 0,156434 0 15° 0.258819 0
9° 30' 0,165047 — 1 15° 30' 0,267288 0
10° 0,173648 0 16е 0,275637 0
10° 30' 0,182236 0 16° 30' 0,284015 0
11° 0,190808 — 1 17е 0,292371 — 1
11° 30' 0,199368 0 17е 30' 0.300706 0
12° 0,207912 0 18° 0.309017 0
12° 30' 0.216440 0 18° 30' 0.317805 0
13° 0,224951 0 19° 0,325567 — 1
13° 30' 0,233445 0 19° 30 0,333807 0
14° 0,241922 0 20° 0,342019 — 1
14° 30' 0,250379 — 1 20° 30' 0,350203 1
Мы уже говорили о том, что при издании таблиц выгодно
печатать только разности четного порядка и тем самым предпола-
гать интерполирование по формуле Эверетта. При этом можно
достичь дальнейших упрощений. Пусть мы хотим использовать фор-
мулу Эверетта до членов с четвертыми разностями:
L (а'о
, /(С-1щ72 - 22)
6 '‘"г 120 71
. , ue2-l*) f 2 , ;g2-1)(;2-22) f 4
о~г~ 6 /о"т- 120 J и-
Последние два члена первой и второй строк можно записать в виде
и
—7й [Л - */{) + " [4 - т] >'
4__/2 4__Е2
где k — некоторая постоянная. Выражения—эд— и эд- , стоящие
в последних квадратных скобках, изменяются незначительно при
изменении t и 5 в промежутке (О, I], в котором обычно используют
формулу Эверетта. Поэтому можно так подобрать к, что множи-
тели при четвертых разностях в последних членах будут очень малы.
Если при этом и сами четвертые разности не очень велики, так что
их произведение с этими множителями не окажет влияния на верные
десятичные знаки Л(х0-[-Тй), то последние члены можно целиком
отбросить. Тогда мы можем печатать в таблице вместо настоящих
вторых разностей /2 модифицированные разности f*—kf* и исполь
зовать формулу Эверетта только до вторых разностей
Выберем k так, чтобы
был равен нулю. Это даст
4 = ^[4-т]=-ет = 0'1833-"
4 z2
На практике используют значение k = 0.184. При этом k —
4__F2
и k = —эд- изменяются в пределах от —0,01b до 0,034. Коэффи-
циенты при /4 меняются от —0,00077 до 0.00053. Следовательно,
даже если четвертые разности достигают 600 единиц последнего
знака, наш прием будет применим.
Сказанное здесь о формуле Эверетта можно частично перенести
и на другие интерполяционные формулы. Так можно использовать
модифицированные разности и с другими формулами. Можно исполь-
зовать симметрию коэффициентов многих интерполяционных формул.
2. Остаточные члены интерполяционных формул с централь-
ными разностями. Перейдем теперь к сравнительному анализу раз-
личных интерполяционных формул с точки зрения их практического
применения. Прежде всего исследуем остаточные члены.
Для формулы Гаусса для интерполирования вгеред узлы брались
в следующем порядке: х0, х0-|-й, х0— h, х04~2й, х0 — 2ft, ...
Поэтому
Ri*. = ~(2л +Т)Г <х — хо) — х0 — й) (х — х0 4- А) .. .
.. (х — х0 — nh) (х — х, -1- nh),
Rin-i (2л)! ~ хо) ^Х Х° 1' (Х Х'^ А) •
[х — х0 — {п — 1) h\ jx — х04-(п — 1) А] (х — х0 — nh)
или
ь2п+1 f!2n+1)
^2«= ^~(етт)Г^/(/2_12)(/2-22)---^-л2)' (12)
ft2nf(2n) (с.
= —(2^|—^Z2- И^-22) ^2-(«- 1Ш-Л). (13)
Если производные заменить разностями, помня, что мы говорили
об этом при выводе остаточных членов формул Ньютона, то получим:
^‘2пЧ-1
Я2« ' (/2 “ (/2 ~ 22) • • • <Г2 -
(14)
у2л
/(/2-12)(/2~22) !W-n)- (15)
Как и для формул Ньютона, ошибка оказывается приблизительно
равной первому отброшенному члену интерполяционной формулы.
Для формулы Гаусса для интерполирования назад узлы брались
в таком порядке: х0, х0 —ft, x04-ft, х0—2ft, х0Д-2й. . Поэтому
у(2и4-1) (-р.
^2« = 77п— ,д(х — х0)(х— х04-й)(х — х0 — й) ...
.. . (х — х0 —|— лй) (х — х0 — nh) —
fean+if(2»+i, (гч
=-----(2л + 1)- г (/2 ~ 12) ~ 22) • • ~ ”2) (16)
и
/С2»1 (Р)
Rin-\ = -y)H)! <х ~ ~х°(х — — ...
. . . [х — Хо-Мл — 1) ЙЦХ — х0 — (л — 1)й] (х — Хп 4- ЛЙ)
12)^-2Д .. . [/2 -(я - 1)21(/4-л). (17)
Грубые оценки примут вид:
г 1
CF-ЩШ2~ -«2Х (18)
IW—22)... (72-(п-1)2] (/ + «). (19)
Производные, входящие в оценку, целиком определяются выбран-
ной функцией / (х). Множители при этих производных зависят от
выбранной формулы интерполирования. Приведем здесь таблицу
абсолютных значений этих множителей при изменении t от —1 до 1.
Индекс п означает степень взятого нами интерполяционного много-
члена. В левом столбце даны значения t к формуле Г аусса для
интерполирования вперед, в правом —для интерполирования назад.
п t 1 2 3 4 п t
— 1,0 1,00 0,000 0,00ц О.0О00 1,0
— 0,9 0,86 0,028 0,020 0,0046 0,9
-0,» 0,72 0,048 0.034 0.0081 0,8
-0,7 0,60 0,060 0,0-40 0.0104 0,7
-0,6 0,48 0,064 0,0-12 0,011b 0.6
-0,5 0.38 0.062 0.039 0,0117 0,5
— 0,4 0,28 0,056 0,034 0 0108 0,4
- 0,3 0,20 0,046 0,026 0.0089 0,3
— 0,2 0,12 0,0.32 0,018 0,0063 0.2
— 0,1 0,06 0,016 0.008 0,0033 0.1
0,0 0,00 0,000 0,000 С.0900 0.0
0,1 0,04-5 0,016 ь.008 0,0033 — 0.1
0,2 0,080 0,032 0,014 0,0063 — 0,2
0,3 0,105 0,046 0,020 0,0089 — 0,3
0,4 0,120 0,056 0,022 0,0108 — 0,4
0,5 0,125 0,062 0,023 0,0117 - 0,5
0,Ь 0,120 0,064 0,022 0,0116 - 0,6
0,7 0,105 0,060 0.020 0.0101 - 0,7
0,8 0,080 0,048 0,014 0,0081 - 0.8
0,9 0,045 0,028 0,008 0,0046 - 0,-.’
-
Сравнивая с соответствующими значениями множителей для интер-
поляционных формул Ньютона, приведенными на стр. 124, мы видим,
что формуле Гаусса нужно отдать предпочтение. Объяснение этому
факту давалось на стр. 94—96.
Мы пользуемся в первом случае крайними частями приведенных
там графиков, в последнем—средними. Это дает нам основание
отдать формулам Гаусса предпочтение Однако ими не всегда удается
воспользоваться Действительно, если значение х, для которого
нужно произвести интерполирование, находится вблизи начала или
конца таблицы, то нам не будут известны разности, необходимые
для использования формул Гаусса В этих случаях мы будем выну-
ждены применять формулы Ньютона. Если х находится вблизи начала
таблицы, используют формулу Ньютона для интерполирования вперед,
если вблизи конца таблицы — для интерполирования назад. В осталь-
ных случаях применяют либо формулы Гаусса, либо формулы, полу-
ченные путем преобразования формул Гаусса.
Формула Эверетта получается путем исключения разностей нечет-
ного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед.
Поэтому и остаточный член ее будет таков же, как и у формулы
Гаусса для того случая, когда последняя использованная там раз-
ность имеет нечетный порядок 2п-1-1, следовательно, остаточный член
ее. будет иметь вид
= —(йт7)Г^/(/г - р) 22) • —«2) а -«- о. (го)
Рассмотрим теперь неустранимые погрешности формул Гаусса.
Для этого выберем из таблицы, приведенной на стр. 97, нужные
нам значения коэффициентов при р, учитывая определение t для
обеих формул (п, как и прежде, будет означать степень интерполя-
ционного многочлена). Левый столбец t будет относиться к формуле
Гаусса для интерполирования вперед, правый—к формуле Гаусса
для интерполирования назад.
п t 1 2 3 4 п t
— 1,о 1,5 0,5 0,5 0,5 1,0
— 0,9 1,4 0,54 0,62 0,57 0,9
— 0,8 1,3 0,58 0,72 0.62 0,8
— 0,7 1,2 060 0,78 0.66 0,7
— 0.6 1,1 0,62 0,81 0,69 0,6
— 0,5 1,0 0,62 0,81 0,70 0,5
— 0,4 0.9 0,62 0,79 0,69 0.4
— 0 < 0,8 0,60 0,74 0,66 о,з
— 0,2 0,7 0,58 0 68 0,6? 0,2
— 0,1 0,6 0,54 0,59 0,57 0,1
0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0
0,1 0,5 0,54 0,54 0,57 — 0,]
0,2 0,5 0,58 0,5b 0,62 — 0,2
0,3 0,5 0,60 0,60 0,66 -0,3
ОД 0,5 0.62 0,62 0,69 — 0,4
0,5 0,5 0,62 0,62 0,70 — 0,5
0,6 0,5 0,62 0,62 0,69 — 0,6
0,7 0,5 0,60 0,60 0.66 — 0,7
0,8 0,5 0,58 0 58 0,62 — 0,8
0.9 0,5 0,54 0.54 0,57 — 0,9
1,0 0,5 0,5 0.5 0.5 — 1,0
Как мы видим и неустранимые погрешности для формул Гаусса
меньше, чем для формул Ньютона.
Перейдем теперь к оценке погрешности интерполяционной фор-
мулы Стирлинга. Она является полусуммой формул Гаусса. Поэтому
и остаточный член ее будет равен полусумме остаточных членов
формул Гаусса. Отсюда
R2n = li2n+lf{2n+'} (6|) + (2n V--1 I2) (Z2—22)... (Z2-n2),
и так как производная /(2п+,) (В) наряду с /(2"'+1)(?1) и /(3п+1) Й?)
принимает все промежуточные значения, а среднее арифметическое
двух чисел всегда заключено между наибольшим и наименьшим из
них, то
/(аи+1)(?1)+/(ая+1) fe) = Лз„+1) ф
И
t3n+l/r(2n+l) /С\
RZn = - 'Я_Цр_ 12)(Z2— 22)-. ..(Z2-л2). (21)
Если последняя из использованных в формуле, Стирлинга разностей
имеет нечетный порядок, то остаточный член будет иметь вид
А2П
, . — 1)'| |/»« «,) « — ») + (У (< + п>| (22)
Получилось более сложное выражение, чем в предыдущем случае,
и его не удастся упростить так, как это было сделано в первый
раз. Однако если предположить, что /(2п) (х) постоянна или хотя бы
что она меняется незначительно на рассматриваемом промежутке, то,
заменяя /(2п) и /(3я) (;2) некоторым значением /(2п) (?), получим:
R2n-i^ \ ,Л)) .. . [Z2-(n- I)2]. (22')
Грубые оценки остаточных членов для формулы Стирлинга будут
иметь вид:
R2n-^r ^/(^-i2)^2 — 22)...(z2—n2), (23)
«2„-1^-^/а(/2-12)(/2—22)... [Z2-(n-l)2]. (24)
Дадим и для этого случая таблицу абсолютных значений коэффи-
циентов при /;*/**>(£) в остаточном члене формулы Стирлинга. Для
того случая, когда берется формула Стирлинга, оканчивающаяся на
разностях нечетного порядка, будем предполагать, что возможны
упрощения, которые мы проделали, (п, как и всегда,—степень интер-
поляционного многочлена.,;
п 1 2 3 4
0,0 0,000 0,000 0,0000 0,0000
0,1 0,005 0,016 9,0004 0,0033
0,2 0,020 0,032 0,0016 О.ОобЗ
0,3 0,045 0045 0,0034 0,0089
0,4 0,080 0,056 0,0056 0,0107
0,5 0,125 0,062 С 0078 0,0117
0,6 0,180 0064 0,0096 0,0116
0,7 0,245 0,059 0,0104 0,0104
0,8 0,320 0.048 0,0096 0,0081
0,9 0,405 0028 0,0067 0,0045
1,0 0,500 0,000 0,0000 0,0000
Для отрицательных t получатся значения, симметричные относи-
тельно t = 0.
Сравнивая приведенные значения с соответствующими значениями
для формул Гаусса, видим, что при четных п значения одинаковы,
а при нечетных п и при t, близких к нулю, значения получились
значительно меньшими. Правда, последнее имеет место при почти
постоянных соответствующих производных. Вообще говоря, фор-
мулу Стирлинга выгодно применять, останавливаясь на разно-
стях нечетного порядка, и при значениях I, близких к нулю.
Иа практике ее применяют для значений
Перейдем к формуле Бесселя Ее мы получили как полусумму
формулы Гаусса для интерполирования вперед и формулы Гаусса
для интерполирования назад, по взятой со сдвигом на один шаг впе-
ред. Для последней формулы остаточный член можно записать
в одной из следующих двух форм:
Яг„ = fi2n+1) ® 1 ~~ Р) ~ •
. .. [Г2 — (П — 1)2|0 —«)(/ —П - 1),
/12п
R2„-i = ® t С2 — 1Ж — 22) . . . [Г2 — (п - J )2] (t - и).
Беря полусумму этих остаточных членов и соответствующих им
остаточных членов формулы Гаусса для интерполирования вперед,
получим остаточные члены формулы Бесселя:
t2n + l ,
«2п = (2^ТТ)! 7 ’/l2n+1) - 1) &)(/ + «)) X
1)(/2 — 2Д . . . [t2 — (п— 1)W — п), (25)
Rin-1 = 4 1 (t2 - 1г) -22)---
... [f2 — (п— 1)2](/ — и). (26)
§ 7]
Предполагая опять, что производная y<a»+»(J| либо постоянна, либо
меняется незначительно в рассматриваемом промежутке, мы можем
упростить первое выражение (25) и записать:
~(2^1)! /(2"+ °®^2 - I2) (/2 - 22). . .
... И2_(„_ (25')
Последнее выражение (26) упрощается, так же как и для формулы
Стирлинга, путем использования свойства среднего арифметического
и свойства производных. Оно может быть записано в виде
Rin-i = 75^/,3и) & ' - W - 22) . • . - (и - I)2] (t — п). (26')
Грубые оценки остаточных членов записываются в виде
f2n+l
/?2п~-(:)п-+1)Т^(^-12)^-22)...
... [fi~ {п — ])2)(Г_П)^_^, (27)
y2rt
Rtn-i ~ - 12>- 22) • • • И2 - (« - 1)21 (/ - «). (28)
Здесь бросается в глаза следующий факт. При t=^- упрошенное
выражение для R2n обращается в нуль. Этого, вообще говоря, не
будет в действительности. Погрешность R2n обратится в нуль при
£ = в том случае, когда /(2"+1>(х) = const. Таким образом, много-
член, представляемый формулой Бесселя, взятой до разностей по-
рядка 2л, будет давать точные значения f (х) при t=~t если
/(х)— произвольный многочлен степени не выше 2п—1. Разница
между точным и упрощенным выражениями R2n будет определяться
производными порядка p2n+2i> {х). Используя выражение остаточного
члена формулы Лагранжа, содержащее разделенные разности, можно
было бы показать, что разность между точным и приближенным
значениями Rln примерно равна T?2n+i-
Приведем теперь абсолютные значения коэффициентов при hkft,c'1 (%)
в выражениях остаточных членов формулы Бесселя (л означает сте-
пень использованного интерполяционного многочлена). Для четных п
использована упрощенная формула.
п t 1 2 3 4
— 1,0 1.00 0,500 0 0000 0.0006
— 0.9 0,86 0,401 0,0207 0,0058
— 0,8 0,72 0,312 0,0336 0,0087
— 0.7 0,60 С 240 0,0402 0,0096
— 0,6 0,48 0,176 00416 0,0091
— 0,5 0.38 0,127 0,0391 0,0078
— 0,4 0,28 0,084 0,0336 0,0060
— 0,3 0,20 0,053 0,0262 0,0040
— 0,2 0,12 0,028 0,0176 0,0025
— 0,1 0,06 0,012 0,0087 0,0010
0,0 0,00 0,000 0,0003 0,0000
0,1 0045 0.006 0,0078 0,0006
0,2 0,080 0.008 0,0144 0,0009
0,3 0,105 0,007 0.0193 0,0(108
0,4 0,120 0,004 0,0224 0.00:14
0,5 0,125 0000 0,0234 0,0000
0,6 0,120 0,004 0,0224 0,0004
0,7 0,105 0,007 0,0193 0,0008
0,8 0 080 0008 0,0144 0,0009
0,9 0,045 0,006 0,0078 0,01106
1,0 0,000 0,000' 0,0000 0,01X10
Как видим из этой таблицы, формула Бесселя имеет преиму-
щества перед формулами Гаусса и Стирлинга при четных п
и особенно при значениях t, близких к . Поэтому ее выгодно
применять, когда сбормула заканчивается на четных разностях
и при значениях t, заключенных в промежутке 1^-, -^-1.
Заметим, что при упрощении остаточных членов формул Бесселя
и Стирлинга мы использовали предположение о почти постоянстве
соответствующих производных. Это предположение имеет под собой
почву в практике интерполирования. Дело в том, что если произ-
водные велики и сильно изменяются, а это обычно выражается
в неправильном поведении соответствующих разностей, то вряд ли
можно ожидать большой точности интерполирования. В этом случае
либо увеличивают порядок используемых разностей, либо умень-
шают шаг интерполирования.
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул
интерполирования для равных промежутков
1. Диаграмма Фрезера. В этом параграфе мы кратко изложим
некоторые другие способы получения формул интерполирования.
Прежде всего дадим способ, предложенный Фрезером. Для сокра-
щения записей введем символ С™, где т—натуральное числе и
t — произвольное действительное число, понимая его как
^>п__— 11 • • • — *я + 1i
4 т! ' ' 7
Из всех свойств, которыми обладает С'", нам понадобится лишь
следующее:
/"»? + l Z'Q+i /Од
—'-'р+1 р •
Оно легко получается из определения Сг . Действительно,
_ гч н _ (р + О Р(Р— И (Р—1) _ Р (/> — I) • (р — ?) _
P+1 р ~ (9 + 1)! (9+1)’ —
Р(Р~ 1) ••• (Р~ 9+1) О>+1— Р+Р) гч
Умножим полученное тождество на равенство
f<l fl____ f<U 1
J Г+1 Jr J r + 4t-
Получим,
C<1 f4 ГЯ fi Г1 + 1 f1 + l r^+i fl1 1
^pJr+l — ^pjr-^p+ljr+Vs / r+V»’ W
ИЛИ
cm++iii/?iv2=ед+t+су <4>
Рассмотрим теперь ромбовидную диаграмму, приведенную наь
рис. 21.
Из последнего равенства следует, что если, исходя из какой-то
величины, помешенной в левой вершине ромба, двигаться по его
верхним сторонам до правой вершины, прибавляя все встречающиеся
по пути величины, то мы г.олучим такой же результат, какой по-
лучится, если, исходя из той же величины, двигаться по нижним
сторонам ромба, прибавляя все встречающиеся по пути величины.
Далее, если мы проведем диагональ ромба, соединяющую левую
и правую вершины, и, продвигаясь по ней, будем брать полусуммы
чисел, стоящих непосредственно над и под ней, то, очевидно,
получим такой же результат. Так, для построенного выше ромба
мы получим па этом диагональном пути следующее выражение:
^pj -+1/! i уфр+'Т'? П’+'А
(5)
Составим теперь из таких элементарных ромбов сетку на пло-
скости. В каждой вершине поместим разность с соответствующим
Рис. 22 Диаграмма Фрезера.
коэффициентом так, чтобы эти разности располагались так же,
как и в таблице разностей. К разности /] возьмем в качестве коэф-
фициентов С.\ и Cf_b Получится ромбическая диаграмма, которую
мы назовем диаграммой Фрезера.
Рассмотрим теперь произвольный путь, идущий слева направо
от /0 по сторонам ромбической диаграммы. Используя последова-
тельно проведенные нами рассуждения для одного ромба, мы
получим следующий результат: любой путь, идущий от /0 направо
по сторонам ромбов или их горизонтальным диагоналям и при-
ходящий в ту же конечную точку, даст такую же сумму, что
и первый
Построим диаграмму Фрезера для некоторого многочлена, хотя бы
многочлена Лагранжа для некоторой функции /(х). Разности,
начиная с некоторого порядка, обращаются в нули. Отсюда следует,
что любые два пути, начинающиеся с /0 и продолженные до столбца
постоянных разностей, дадут одинаковые суммы, так как их всегда
можно свести в одну точку по столбцам с нулевыми разностями.
Более того, учитывая, что имеет место соотношение
Л+Ч=Ан-^-1)Л/г. (Ь)
мы можем использовать любые пути, начинающиеся в ft и заканчи
вающиеся на постоянных разностях, и получать тот же результат,
а отсюда следует, что на любом пути, идущем от произвольного /{
до постоянных разностей, мы получим один и тот же результат.
Путь, идущий от /0 по диагонали вниз, даст нам
+ •••
Эга сумма по формуле Ньютона для интерполирования вперед
равна Ln(xl)th). Таким образом, выбирая произвольным образом
Рис. 23.
начальное значение /{ и путь, заканчивающийся на постоянных
разностях, складывая все встречающиеся на пути величины, мы
также получим Ln(x0 -}-th). Этим способом можно получить гро-
мадное количество самых различных формул.
Формула Гаусса для интерполирования вперед получится, если
взять за начальную точку /0 и избрать зигзагообразный путь,
имеющий вид, приведенный на рис. 23. Мы получим формулу'
Стирлинга, если пойдем от /0 по горизонтали направо; формулу
г- ' 1'
Несселя можно получить, если двигаться вдоль строки с индексом у
2. Понятие об операторном методе вывода формул интерполиро-
вания. Дадим теперь операторные выводы интерполяционных формул.
Рассмотрим линейное множество R всех действительных функций,
заданных на всей действительней прямей. Поставим в соответствие
произвольной функции f(x)fR функцию
f(x-A-h) — f(x),
где h — фиксированное действительное число. Эта функция также
принадлежит R. Следовательно, в соответствии с определением,
данным во Введении, мы ввели некоторый оператор. Обозначим ею
через А. Итак,
А [/(л))=/(х+ *)—/(*). (7 >
В дальнейшем мы часто будем опускать скобки, выделяющие аргу-
менты операторов. Нами будут также использованы операторы V
и о, которые вводятся следующим образом:
VW = /(*'>— /(* — А), (8)
s/(x)=/(x+4)-/(x-4)- (9>
Оператор А, определенный на линейном множестве R, называется
аддитивным, если для произвольных xpR и yPR и любых дей-
ствительных чисел С! и с2 имеет место равенство
А(схх -\-с2у) = CiAx с2Ау. (10)
Нетрудно проверить, что введенные нами операторы А. V и 5
являются аддитивными.
Введем понятие суммы и произведения операторов. Оператор С
называется суммой операторов Л и В, если все эти операторы
определены на одном и том же линейном множестве /х и для
любого х £ R имеет место равенство
Сх = Ах-\-Вх. (11)
Эту связь операторов А, В и С мы будем обозначать так:
С = Д-СВ. (12)
В силу коммутативности сложения в линейном множестве имеет
место
АА-В = В-\-А. (13)
Если оператор В преобразует любой элемент х линейного мно-
жества R в элемент с Ах, где с—действительное число и А—не-
который оператор, то мы будем обозначать его через сА. Далее,
будем называть оператор С произведением операторов А и В,
если для любого элемента х некоторого множества R имеет место
Сх = А'Вх'}. (14)
Очевидно,
(АВ)С= А (ВС).
(15)
Если А? линейное множество, то имеют место также равенства
(Л +- В) С = АС 4- ВС, (16)
С (Л 4- В) --= СЛД- СВ. (17)
Вообще говоря АВ ВА. Будем обозначать через ! оператор, для
которого при любом x£R имеет место 1х= х. Назовем такой
оператор единичным. Теперь мк можем определить А2=АА,
А3=А2А, ... Для степеней оператора имеет место равенство
Лт+п=ЛтеЛп=ЛпЛт. (18)
По определению, положим Л°=/ Теперь мы можем рассматривать
многочлены от операторов
а01 ^а^А-а^А- ... 4-«И”- (19)
Если в линейном пространстве /? каким-то образом введено понятие
предела, то мы можем рассматривать и ряды операторов
н,/4-^ЛЧ~ ••• •••> (20)
понимая под этим такой оператор В, что
Вх = lim У аАЛлх. (21)
п >со к =0
Оператор В может быть вообще не определен или определен
только на части пространства R.
Перейдем теперь к выводу интерполяционных формул. В до-
полнение к введенным ранее операторам Д, V и 8 рассмотрим еше
оператор Г) = Если функция /(х) разлагается в бесконечный
степенной ряд. то
/(х0_|_а)=(1_|_а^-|-^4- ...)/(^) = ^/<х()). (22)
В частности,
/(х0^/4 = е^/(х0) = (/^Д)/(х0). (23)
Итак,
Йй-° — / _|_ д
и
f<x0 + th) = e™>f (х0) = (7 + Д)7 (хо). (24)
В частности, если f (х) = Ln (х), то все наши ряды превращаются
в конечные суммы и произведенные нами операции являются
законными. Раскрывая последнее выражение, мы получим интерпо-
ляционную формулу Ньютона для интерполирования вперед:
Ln (хо + = f (*о) Ч- (*о) + —7. (ХЧ +
Д7(х0)-4-...
Для получения интерполяционной
полирования назад заметим, что
ДV f (х) = Д |/ (х) — f (х — h) ] =
формулы Ньютона для интер-
= /(хЧ-й)-/(х)-/ (х) / (х — h) = bf (х) — V/ (х).
Отсюда
Д7 = Д—V, (25)
Д=7(7—V)"1 (26)
и, кроме того,
/4-Д = (/-7)-1. (27)
Итак,
Ln (х0 4 М) = (/ 4- Д)7 (х0) = (/ - V)"lf (х0), (28)
или
i.n (хи + М) = / (Хц) 4-/V/ (Х^) 4-v2/ (х0) 4-
+ ,У+0(< + 2> (28')
Это—интерполяционная формуля Ньютона для интерполирования
назад, но записанная в других обозначениях.
Связь оператора о с оператором Д значительно сложнее. Мы
имеем:
V<x) = /(x+|)-/p-4)
и
Ч/ (X) = f (X 4- h)—f (X) — f (X) -4 f (x — й) = Д/ (х) — V/ (х)
или
82 = Д —V. (29)
Отсюда
й2 = Д — Д(/4-Д)-1 = Д2(/-4-Д)-1. (30)
т. е. Д является решением квадратного уравнения
Д2 — очД — S3 - 0. (31)
Мы не будем входить з детали дальнейших рассуждений для полу-
чения формул центральных разностей
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса
При практическом использовании интерполирования не всегда
удается произвести оценку остаточных членов. Высшие производные,
входящие в эти остаточные члены, не всегда доступны. Поэтому
уверенность в том, что, выбрав достаточно большое количество
узлов, мы достаточно хорошо приблизимся к интерполируемой
функции, была бы очень полезна в практическом интерполировании.
В связи с этим возникает задача о сходимости интерполяцион-
но со процесса.
Пусть нам задана треугольная матрица
о
х<>,
„0) (2)
(1)
Мп) „(в) Мп)
A-q t Л1 * Л 2 ।
все элементы которой принадлежат отрезку [а, £]. Для некоторой
заданной на отрезке [а, Ь\ функции f (х) строится последователь-
ность интерполяционных полиномов Лагранжа Лп(х), п = 0, 1, 2, . ..,
причем для построения Ln(x) в качестве узлов интерполирования
используются все элементы п-й строки нашей матрицы. Интерполя-
ционный процесс называется сходящимся, если
lim L„(x)^/(x), х£
П -> ОО
(2)
Этот процесс разномерно сходится, если сходимость последнего
выражения разномерная.
На первый взгляд кажется, что если элементы матрицы с по-
вышением номера строки все плотнее и плотнее заполняют отре-
зок \а, £], так что в любой его части, начиная с некоторого п,
находится по крайней мере один узел, то должна быть равномерная
сходимость Ln (х) к f (х) хотя бы для непрерывных функций.
Однако это оказалось не так. Как было показано Фабером, для
любой заданной матрицы узлов вида (1) найдется такая не-
пперывная функция f(x), что построенные для нее интерполя-
ционные многочлены Лагранжа по этим узлам не сходятся
разномерно на [а, Ь\ к f (х). Более того, как было показано
Бернштейном, последовательность интерполяционных многочленов
Лагранжа Ln (х), построенных для функции / (х) = | х | на от-
резке [—1, 1] по равноотстоящим узлам (хо’г) =—1; х”)=1), не
стремится с возрастанием п к f (х) ни в одной точке, отличной
от —1, 0, 1.
Вопрос}’ сходимости интерполяционного процесса посвящена
обширная литература. Для изучения этого вопроса привлекаются
самые современные и тонкие методы математического анализа. Мы
не имеем здесь возможности даже вкратце коснуться всех получен-
ных в этом направлении результатов, не говоря уже о проведении
доказательств. Дадим здесь лишь одну теорему, относящуюся
к целым функциям. Дадим скачала определение целой функции.
Функция f (х) называется целой, если ее можно представить
в виде степенного ряда
f (х) = а0 -4- Uj (х — Хо) 4- д2 (х — х0)2 4- ... 4- а„ (х — х0)п 4- ...,
сходящегося при всех значениях х.
Теорема. Пусть f (х) — целая функция. Тогда последова-
тельность построенных для нее интерполяционных многочленов
Ln{x) по любой треугольной матрице указанного выше вида
с элементами, принадлежащими отрезку [а, £], равномерно на
отрезке [а,/>] сходится к f (х).
Заметим, что на основании известных теорем анализа функция /(х)
имеет производные любого порядка. Следовательно, мы можем
воспользоваться полученной ранее оценкой отклонения / (х) от
своего интерполяционного многочлена:
|/(х) —Ln(x)| <^L.!|u,n(x)|. (3)
Здесь
Л1я+1= пах |/(”+1)(х)| и <»„(х) =
х ( [а, Ь] '
= (х — х'о‘‘)(х — х(1п))...(х — х(п)). (4)
Но очевидно, что
КЮМ-вГ'.
Итак,
|/(х)-Т„(х)|< (5)
Мы покажем, что правая часть этого неравенства стремится к нутю
при п, стремящемся к бесконечности. Производная /Гга+П (х) функ-
ции f (х) может быть записана в виде
/(™+1>(x) = 04-l)!fln+t-4(n-42)(n+l) ...2aw+2(x-xe)+ ...
... 4- (п - <4 (п k — 1) ... kan+k (х — х0) 4- ...
Отсюда
|/(пИ)(х)|<(«+1)!|й„+1|+(п4-2)(п-Ь1)...2|й„ + 2||х-х&1 + -.-
. - . -j- (П -j- .t) (п -ф- k — 1) ... k | an+lt\ x — x0 | -f- . ..,
тем более,
|/(”+1) (х)|<(п + 1)п+1|ап+1|+(/1 + 2Г+1|ап+2||х-х()|+...
... + (n + fe)'*+11 an+k 11 x - x01*"1 + . ..
Из неравенства
<е‘‘: при x>0
следует
Таким образом,
-С I a«+i I ~Н ап+2 I СП х — *0|)4~ ...
• • • “Ы I (е I х — х01) + ...
Умножим обе части последнего неравенства на S”+1, где S— произ-
вольное, но фиксированное положительное число. Тогда получим:
। 1* * * 5"+t +1 I S"+1 (е I х - х01) + . •
• • • 4~ I fln+t I S (й I X — Хо | ) .
Обозначим через /? наибольшее из двух чисел
5 и max (eix—х0|).
Тогда
| /(\+1) (х) I
(л+ 1)”+1
СО
fr-n + 1
Так как последнее равенство имеет место при любом значении
х С 1а, £], то
ОО
—-"О -;S”+I<. V (6)
(„_L 1)П+1 I Л.
v ’ fc-n+l
ОО сю
Ряд | ак J сходится. Следовательно, 2 I аъ I и тем более
—__ стремится к нулю при п —г оо. Далее,
_ в)«+1 = ^£±1-. ‘ (b _ of-1
(л+1)! (и+1)”+1 (п+1)!
Из разложения
е„+1 = 1^(п + 1)+1Д+_д
следует, что
(п -
(" + W
еп^ > ’Я-тТ-1
Поэтому
-Л?1±1_0—а):
(и+1)!
М,
(«+ Dn+1
[е (Ь—а)]
(7)
Принимая S=e(b— а), из неравенства (6) получим нужное предель-
ное соотношение
:ъ-^-а),ий=о-
Требование, чтобы /(х) была целой функцией, является суще-
ственным в условиях теоремы, что показывает приведенный ниже'
пример.
Рассмотрим на отрезке [—1, 1] функцию
/ (х) = •
1
е при х^>-0,
О при х < 0.
Эта функция непрерывна вместе со всеми своими производными
на всей числовой прямой. Если выбирать узлы интерполирования
только на отрезке I—1, 0], то Ln(x) = Q и не стремится к f (х)
пи при каком положительном значении х.
§ 10. Интерполирование периодических функций
В тех случаях, когда интерполируемая функция /(х) обладает
свойством f(a) = f(b), то естественно на базисные функции срп(х),
tft(x), .... <fn(x) накладывать такое же ограничение ср4 (а) = ср, (Ь).
Такие функции можно рассматривать хак периодические с периодом
~. = b—а. Для периодических функций можно также ввести понятие
систем Чебышева на отрезке 1а, Ь]. Совокупность функций <р0, cpj,
ср2...<рп, удовлетворяющих условию (а) = (£) будем называть
периодической системой Чебышева на отрезке [а, Ь\, если любая
линейная комбинация
с0?0 + С1(Р1 Ч- • + си?п>
не все коэффициенты которой нули, имеет на [а, Ь\ не более п
корней при условии, что а и b считаются за один корень. Дока-
жем, что порядок я периодических систем Чебышева должен быть
четным. Для доказательства рассмотрим определитель
Щх) =
¥о(х) То (А) То (At)
Ti U) Т1 (А) • • • Т1 (At)
¥п (х) ?п (А) • • fn (At)
где — некоторые точки отрезка fa, bf, х,-Xj при Не
уменьшая общности, мы можем предполагать, что ни одна из точек х{
не совпадает ни с а, ни с Ь. В противном случае мы воспользова-
лись бы периодичностью функций и сдвинули бы наш отрезок [а, Ь]
на некоторую величину вправо или влево
Если функции ®0, .... -fn составляют систему Чебышева,
то D[x) не может обращаться в нуль ни в одной точке х£[н, Ь\,
за исключением х4, в которых, конечно, он равен нулю. Докажем, что
в этом случае D(x} меняет знак при переходе через каждое из xt.
Предположим, что это не так и хк— та точка, при переходе через
которую D(x) не меняет знака. Тогда рассмотрим определитель О(х),
построенный так же, как и D(x), за исключением (k 4* 1)-го столбца,
в котором фДа) заменены на где х’к— произвольная
точка [а, Ь\. отличная от всех xt-. D(x) также является линейной
комбинацией (х). Она отлична от нуля в точке хк, а в силу непре
рывности функций фг(х) и в некоторой окрестности xfr. Рассмотрим
Функцию
<р (х) = D (х) — \D (х),
где X—некоторое действительное число, имеющее такой знак, что
/Э(х) и ).О(х) в некоторой окрестности хк имеют одинаковые знаки
Обозначим через 2s наименьшее расстояние между точками х(, х2, ...
. .., хк, хп, х'к Выбеоем X настолько малым по абсолютной
величине, что ф(х44-е) и ф(х4— е) имеет такой же знак, как и
D(xk 4-е) и Ь)(хк —г). Тогда ф(х) имеет в точках хк— е, хк и хк-|- е
чередующиеся знаки и, следовательно, имеет по крайней мере два
корня на интервале (xft—е, xft4-e). 1\роме того, ф(х) обращается
в нуль в точках хъ х2, ..., хк_х, хй+1, ..., хп. Таким образом,
эта функция имеет на отрезке (с, Ь\ «4-1 корней. Но она является
линейной комбинацией <р4(х), не равной тождественно нулю. Следо-
вательно, она не может обращаться в нуль на отрезке fa, i>] более
чем в п точках. Мы пришли к противоречию. Таким образом, мы
доказали, что Z)(x) при переходе через каждую из точек х,- меняет
знак.
В силу периодичности ®,(х) D(a)= D(bf. Итак, при возраста-
нии х от а до b определитель D(x) п раз меняет знак и приходит
к прежнему значению. Эго может быть только в том случае, когда
п — четное число.
Простейшей периодической системой Чебышева является система
1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, ...
Период этой системы равен 2»- Мы можем ее использовать и для
интерполирования функций, имеющих другой период Для этого нужно
только предварительно линейной заменой независимого переменного
сделать длину периода равной 2к. В силу предыдущих рассуждений
мы должны рассматривать систему
1, sin х, cosx, sin 2х, cos2x, ..., sin их, cos rax.
Покажем, что такая система функций при любом п образует перио-
дическую систему Чебышева. Для этого рассмотрим произвольный
тригонометрический многочлен
п
Тп (*) = -у 4- 'ск cos Ах + bk sin Ах),
к -1
коэффициенты которого комплексные или действительные числа.
Будем говорить, что этот тригонометрический многочлен имеет по-
рядок п, если по крайней мере один из коэффициентов ап или Ьп
отличен от нуля. Если ап-\-1Ьп4= и ап — ibn4 0, то Г„(х) имеет
ровно 2га корней в полосе О Re х < 2тс. Действительно, производя
замену независимого переменного eix=z, мы получим:
п
тп О) -- 2 ск?к = z-nP2n (ж),
где ск = — ~ — при А > С .. ск = ----’’ при А < 0. Р2п (z) является
алгебраическим многочленом степени 2га относительно z, В силу наших
предположений относительно коэффициентов Тп(х} коэффициенты
при ггп и д° этого многочлена отличны от нуля. Следовательно, он
имеет ровно 2га корней и ни один из корней не равен нулю. Каждому
из этих корней в силу определения z будет соответствовать одно
и только одно значение х, принадлежащее полосе 0 cT Rex<2~. Это
и будут корни Г„(х). Других корней Тп (х) иметь не может. Если
условия, которые мы накладывали на ап и Ьп, не выполнены, то
Тп(х) может иметь в нашей полосе менее 2тг нулей.
Как следствие предыдущих рассуждений получаем' если дна
тригонометрических многочлена совпадают в 2га-|-1 точках х0,
хр .... х2п при xi ф х^ i=faj, Х;^|0. 2к), то они совпадают
тождественно.
Перейдем теперь к фактическому отысканию тригонометрических
интерполяционных многочленов. Пусть нам заданы 2га -|- 1 узлов х0,
........х2п, принадлежащих полуотрезку [0, 2тг). Определитель Д
в нашем случае примет вид
1 COS х() sin х() cos 2х0 sin 2х0 ... cos пхй sin пхй
д___ 1 cos х2 sin Xj cos 2xj sin 2Xj . . COS nXj Sin nxj _
1 cos x2n sin x2n cos 2x2n sin 2x3n .,. cos nx2n sin nx2n
= W [ 1, cosx, sin x, . . ]
Найдем величин}’ этого определителя. Для этого представим каждую
из тригонометрических функций в показательной форме. При этом
получим:
Д =
। ^nix0__
1 2 27 " J 57
£пгх\ | e~mxx _________^-nixl
_ 1 2 57 ‘ ‘ ‘ 5 2i
e'1^ e^n — e~ia!in entXt*+ e~nix^ eniai^—e~n‘x^
1 5 57 ’ ’' 5 57
Преобразуем этот определитель, вынося из столбцов общие множи-
тели Д- или и прибавляя к каждому столбцу с четным номером стол-
бец с нечетным номером, на единицу большим. В результате будем иметь:
Д 2^*
1 2eia,° ________е~^" ... 2егпХи einX:___p~in^o
1 2#**> eix'— е~'х' ... 2егпх' einx' — e~inx
I 2е^вд ... г?”®2" einx^
Вынесем двойки за знак определителя из столбцов с четными номе-
рами и вычтем эти столбцы из столбцов с нечетными номерами,
на единицу большими. В полученном определителе
1 elX:‘ е~'Х:‘ . епгХи е~П1Х°
(—))n j е<а, e~ia>, ... g-ntse,
Л = 2V8 .................................
, — MO-„„ —’inXn
| @ лП @ "п q 2?i
вынесем из каждой строки е 1 / = 0, 1, 2......2п. В резуль-
тате этого найдем.
2п
л (-1)"^
— 2nin
enixQ ei (n + l)O!0 p2ni®0 1
gi (n-1)®, 1
^‘ln+1<‘a-3n /nto2n !
Теперь переставим столбцы так, чтобы получился определитель Ван-
дермонда. При этом придется произвести п (п-1) транспозиций,
а определитель примет вид
2n j gix, e'inix0
-ni X1 x
n(«+ai i ixt А зш»;
A J-l) e ' e k
U -- ОП/П *................ *
1 e^2n ... e2mXin
Как известно, такой определитель равен:
2п
Д =
n(n+ai —
I Г *=°
2"Z»
о
ап
n(n+S) —
(-1) » > о
2”Г'
е
е 3 — е 2
2
а это выражение легко приводится
к
A = 23ni
тригонометрическому виду:
х;. — хг
2
Пусть искомый тригонометрический многочлен имеет вид
п
T’n(x) = а0 + 2 (.ак cos kx 4- Ьк sin kx). (1)
*-t
Условия, налагаемые интерполяцией, можно записать в виде
/ (*о) = ао + 2 («л cos kx0 4- Ьк sin kx0).
*-i
n
f(x]'} = a(y 4-5(flfccos**; 4~fy sinA-xJ. \ (2)
n
f (*2n) = ao 2 (Ofc cos kx2n 4- bk sin nx2n).
fc=l
Будем рассматривать равенства (2) и равенство (1) как систему одно-
родных линейных алгебраических уравнений относительно коэффи-
циентов при 1, cosfex, <in fex, cosA:x0, sin£x0, и при Tn (х), /(х0), . . .
. . /(х2п). Эта система имеет нетривиальное решение (коэффициенты
при Тп(х), f (х$ равны —1). Следовательно, определитель системы
равен нул ю: Тп<х) 1 COS X sin x ... cosnx sin nx
f(x0) 1 cos x0 sin Xq ... cos nxQ sin nx0 = 0.
f(Xl) 1 cos xt sin Xj ... cos пхг sin nxx
/(X2n) 1 cos x4n sin x<jn ... cosnx2n sin nx^n
Раскрывая этот определитель по элементам первого столбца получим'
••• —/(*2п)А2п+1 — 0-
Здесь А; означает определитель А, в котором z-я строка заменена
первой строкой из написанного выше определителя. Так как эти опре-
делители имеют такое же строение, как и определитель А, то мы
получим после очевидных сокращений:
2п
г=0
, X — Ха , X—Xi г X — . X — Xi+1 . X—х2п
sin —sin —± ... sin------1 sin-----г Ш ... sin ——
Ха Ха Ха f С\ \
X,— Xa . Xi—x-t . Ха—Xi-\ . Xi—Xi+l . Xa—x3rt '
sin —i-- sin -^2—1 ... Sin -a—g-1—* Sin ——2~ ~ ... Sin —
Что это действительно тригонометрический многочлен, обнаружи-
вается простыми тригонометрическими преобразованиями. В числителе
каждого слагаемого мы имеем произведение 2п множителей вида
sin Произведение двух таких множителей дает
X — Хк Х — Xj
sin —s— s*n"—j— =
1 Г Xj — Хк Xh + Xj Хк + Xjl
= у cos----g------cosxcos — у------sin х sin ——- >
т. е. тригонометрический многочлен первого порядка. Теперь дока-
жем, что произведение двух тригонометрических многочленов Тт(х)
и 7п(х) соответственно порядков тип даст тригонометрический
многочлен порядка пг-\-п. Действительно, в это произведение войдут
члены вида sin^xsin/x, sinfcxcos/x, cosfexcos/x. Но
sin fex sin lx = у [cos (fe — /) x — cos (A> 4- /) x],
sin kx cos lx = у [sin (k 4-0 x 4- sin (Z? — I) x],
cos kx cos lx = у [cos (k — I) x 4- cos (k 4- /) x].
Если коэффициенты многочлена Tm(x) обозначить через а("4> и ,
а коэффициенты многочлена Тп{х) буквами и bW, то коэффициент
при cos (т-\-п) х в произведении ТтТп будет равен у ►
а коэффициент при sin(m4-n)x —у По крайней
мере один из этих коэффициентов отличен от нуля. Это и доказы-
вает утверждение. Таким образом, каждое слагаемое написанной
интерполяционной формулы является тригонометрическим многочле-
ном порядка п и, следовательно, вся сумма также является три-
гонометрическим многочленом порядка не выше п
Выполнение интерполяционных условий проверяется непосред-
ственно Таким образом, Тп (х) решает поставленную задачу. Можно
было бы не производить выкладок с определителями, а сразу напи-
сать выражение для Тп(х) и проверить, что все условия будут вы-
полнены ,
Приведем пример на применение полученной интерполяционной
формулы,
Построигв тригонометрический многочлен второго порядка, кото-
. - it к Зтс
рый бы в точках 0, - - , -у , к, -у- принимал соответственно значе-
о 2. 2
пия 2, у. О, 2, 0. В этом случае получим:
Числители первой дроби будет разен
, / х - \ . / х л \ . / х п\ . {х Зп\
S \2 К ) —' Т) ;1П( Т — 2/Sln:'2 4~)~
= - — -о cosx-1-т2cos2х-------т— sin2x.
16 о 1 It 16
Знаменатели ее равен
. Л , 7Г , ТЕ 31Е 1
sin — sin — sin -тг sin -, = -Г .
6 4 2 4 4
Итак, первая дроби ра вна
1 . ,1 о f 3 . _
-ф- cos х -f- -j cos 2x-g*- sln 2x.
Числитель второго слагаемого даст
. X . IX те \ . / X те X , / X Зте \ 1 . _
Sin— sin( -- — 4-)sin(j — y)sinl"y-----r) = — "8 sln 2x’
а знаменатель
. те . Я . те . 7те V3
--Sin - Sin -5- Sin — Stn -77 = J—
b e Iz Iz b
а второе слагаемое равно
-Ц— sin 2х
О
Числитель третьего слагаемого равен
V3 , V3 V 3 „ 1 •
~ 4- COSX---------гте- cos 2х — 72 S1I1 2Хк
10 о 1Ь 10
а знаменатель
. л те те Зте V 3
SUI у COS -g COS j cos — =------,
и третье слагаемое равно
— — cos х -I- — cos 2x 4---1— sin 2x
2 2 2 V 3
Складывая найденные выражения для каждого из слагаемых, полу,
чим:
Т2(х) = 1 Ц-cos 2х.
Проверкой убеждаемся, что действительно этот многочлен удовле-
творяет всем условиям.
Если интерполируемая функция четная, то естественно искать
четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных
интерполируемых функций естественно разыскивать нечетный интер-
полирующий многочлен,
Рассмотрим сначала случай четных функций 7(х). Пусть /(х)
задана на отрезке [—it, Ц-тс]. В качестве базисной системы интер-
полирующих функций возьмем
1, cosx, cos2x. ..., cosnx.
Каждая из функций этой системы также четная. Поэтому мы можем
задавать узлы интерполирования на какой-нибудь из половин рас-
сматриваемого отрезка. Выберем полуотрезок [0, к). Пусть на нем
заданы узлы х0, х(, х2.......х„ и _у0, yt. у2.......Уп — соответ-
ствующие им значения функции /(х). Если среди узлов имеется
точка 0, то будем считать, что она соответствует х0. Построим
тригонометрический интерполяционный многочлен порядка п, при-
нимающий в точках х0, Xj........х„,—xlt —х2......—хп соот-
ветственно значения у0, yt.......................уп, yh у2.уп. Мы можем
применить предыдущие рассуждения, так как длина отрезка равна 2к.
При этом получим;
W =
, х—Х\ . x4-Xi . х—Хо . х4-х^ . х—хп . х 4-хп
sin —-—- sin ——ь sin —-—- sin —'.. .sin —-—- sin —ту-—
Xn — X, Xa 4- Xi . Xa — Xn Xa -f- Xa Xa — X„ x/C x„
sin -2-3—- sin ° 1 sin - -—-sin . .sln —"sin -2-4 ”
£ л. 4, £
X—Xa . X—X1 . X 4- Xi X — X{-i . Х-\-Хл.
sin —sin-----r—i sin ' 1... sin-sin ~ г 1
___________________________________________у
Xi — Xa X,-—X . X: 4- X, Xi—Xi_< Xi 4- X{_1 X'
;in---5 sin - —= sin-—i ... sin — sin — 1-J
X-I-Xj . X-X„ . x4-Xn n . X —Xo . X — x,
Sin-V-- sin 22Zsin ’Vl sm^Asin-^
X sin^L±^L...sin2j'V,sin=4=^sin=*t=^X
2 2 2 ? = i 2 2
sin ... sin sin sin 5
X sin “-^=^1- ... sin ~ 1 sin — x<2~-x< sin — Xi ~ -^±1 X
. X — Xn . X 4- Xn
• • • sin-3—Sin —4;- -
\z _________~Z
. - Xi — xn , x4 4- xn •
Sin--b--” sin---—»
Используем формулы
. x — Xk . x4-xft 1 . 4
sin----— Sln--~ — у (cos xh — cos x}
и
.Xi — XL . Xi 4- Xfc 1 ,
sin----Sin — - = у (COS xk — cos x4).
Дробь, стоящая в первом слагаемом, примет вид
(COS X — COS Xj) (COS X — COS Xa) . . . (COS X — COS Xn)
(cos x0 — cos xt) (cos x0 — cos x2) ... (cos x0 — COS Xn)
Объединим члены с одинаковыми 'в первой и второй суммах.
Они будут иметь общий множитель
(СОЗ X — COS Xt) (COS X — COS X2) . . . (cos X — COS X4_!)
(cos Xi—COSj (COS X4 — COS Xj) . . . (COS Xj — COS X4_t)
X
(COS X — COS Xj^,) . . . (COS X — cos xn)
(COS X; — COS xj + 1) ... (COS Xi — cos x„) ‘
Члены, стоящие при этом общем множителе, дадут
, X — X , х+х, , X—Х9 , X — Xj
sin —g—i sin —5 -*• sin —g—i sin ——-
Xs — Xa Xj [- x9
Sin ----- Sin Xj Sin -- g--- Sin Xj
x — x0 / , x 4- Xj . X{ 4- x0 . . x — x. , х. — x0\
sin—g-sin—- sln • ~r~ sin—g sin 2-1
Xi — Xfl . Xj 4- Xq
sin ----sin -s—g—- sin Xj
1 x—ХпГ *—Ло M-f-Jfo • \ ,(x4-x0 \ x—xol
-g sin -y^[cos —g—0 - cos (—— - Xjj + cos (—J-!! -x( j — cos —
: __ - — =
— Sin X (COS Xo — COS Xj)
n , X — Xo X 4- Xn ,
2 sin —sin —— 2 sin Xj
2 2 cos x — cos x0
Sin Xj (COS Xq — COS xj) COS Xj — COS Xq '
Таким образом, 7n(x) в этом случае будет иметь вид
п
?„£*) = 2^
i -0
(COS X — COS Xq) (COS X — COS Xt) . . . (COS X — COS Xj_j)
(COS Xj — COS Xu) (COS Xj — COS Xt) . . . (COS Xj — COS Xj_j)
X
(COSX—COSXj+l) . (cos X— COS x„)
(cos Xj — COS Xj+1) ... (COS Xj — cos x„ j ‘
(4)
Это будет четный многочлен, принимающий при х = х{ (Z=0,
1, ..., п) Xj£[0. тг) значения
Приведем следующий числовой пример.
Построить четный тригонометрический многочлен, который при
х = 0, -j. принимает соответственно значения 2, 1, 0.
В этом случае будем иметь;
Т2(х) = 2
cos x — cos
cos x — cos -g
71
COS —
4
cos 0 — cos —
(cos X — cos
7C
COS X — COS y
П r.
cos ------CCS 0
4
7C 7C
COS -J------cos —
1 4 2
, Г 2cos* 2x — cosx — cos2x 4- cosx] == 1 4-cos2x.
Совершенно аналогично можно построить нечетный многочлен, ко-
торый при х = хъ x2l ...» хп; *i£(0, и) принимает значения
_у2, .... Уп. Для этого будем строить тригонометрический много-
член Т„(х) порядка п, который в течках —хГ1, .... —хь О,
хп .... х„ принимает соответственно значения —уп, —yn_i,
.... —уь 0, уг, .... уп. В этом случае
sln*sln£z^slni+^...eln£z ^siI,£±^l
1 пiX) = * sln sin sln *i+±i... sin sin £» + fwX
sin £+_4 sln £=^±1 sin £2- ... sin £- £» sln £ + £«
x 5in S+£! sin xi-sin £d^... sin +---£” sin £t+.£n ~
П X X— Xi X~^~X, , X — Xy_y , x + xy-t
X > sin -y sin —sir----... sin ---sin — 2
—Xi—X-i ’ —Xy-f-Xi , — Xi— X._, , — X,-t-Xy_, X
4—J Sin—=-5 Sin—4-. Sin---5...Sin--———Sill- ’4г‘ —
»-i 2 2 2 2 2
, X— Xi , X — X1+1 , x+xi+i , X— xn , хД-хп
sin —к—- sln--+-! sln —%— - ... sin-s—2. sln —1—2-
. . £ £ £ £ £
sin sin sin 6)nsin
Как и прежде, обнаружим, что если обьединить члены с одинако-
выми ух, то можно будет вынести общие множители:
Sin (COS X — COS Xt) (COS X — COS X,) ... ( COS X — COS Xy _ у)
Sin — (COS Xy— COS Xy) (COS Xy — COSX,) . • . (COS Xy— cos x4_y)
(cos X — COS Xy+1) . . . (COS X — cos xn)
(COS Xy — cos Xy+1) . . . (COS Xy — cos xn) ’
X
Коэффициентами при этих общих множителях будут
, X + X. , X — Ху о X х<
sin—-—!- sin------2 cos-g-sin
Sln Xy sin Xy Sln Xy
Итак, окончательное выражение для Тп(х} будет иметь вид
п
Tn(x') = ^iyl
Sin X (COS X — COS Xi) .. . i'COS X — COS Xy_j) 4Z
Sln Xy (cos X, — COS Xj) ... (cos Xy — COS X-y)
(cos X — COS X;+l) (cos X — cos хя)
74 (COS Ху---COS X<+1) . . . (COS Xy — cos xn)
(5)
Эго будет нечетный тригонометрический многочлен, принимающий
при x = xt, х2, .... хп, Ху£(0, тс), значения yt, у2...уп. При-
ведем и для этого случая числовой пример.
Построить нечетный тригонометрический многочлен, который
прих = -^-, у принимает значения 1-]-Хр, 1. По общей форме
будем иметь:
Тг(х) =(1
cos X — cos
71
cos X — cos —
COS — — cos
COS ------COS -X-
4 2
2 sin x cos x
2
/2
sin x , cos x
2 )
= sin x -f- sin 2x.
+¥)
Проверкой убеждаемся, что этот многочлен удовлетворяет поставлен-
ным условиям.
Как мы видели, практическое построение тригонометрических
интерполяционных многочленов чрезвычайно громоздко. Естественно
ожидать, что если узлы равноотстоящие, то задача упростится. По-
строение тригонометрических многочленов для случая равноотстоя-
щих узлов составляет задачу гармонического анализа. К этому во-
просу мы еще вернемся в разделе среднеквадратичных приближений.
Так как последние две задачи имеют всегда единственное реше-
ние, то системы функций 1, cosx, cos2x, .... cosnx и sin х,
sin 2х....startx первая на |0. к), а вторая на (0, it) образуют
системы Чебышева.
§ 11. Обшая задача интерполирования алгебраическими
многочленами
1. Интерполяционный многочлен Эрмита. Рассмотрим теперь
более общую задачу, чем та, которую мы решали. Пусть нам задана
базисная система интерполяционных функций ср0(л:), ср, (х),
<р„(х), ... на [а, Ь]. Требуется найти такую их линейную комбина-
цию
?U) = 2 еде*). (1)
1=0
ITO
'?<хо)=Л’ г'(х(1>= у'о......ф(аг~1)(х&) = Уоа«-1).
<р(Х1)=у1, <р'(х1) = Х......<р(“--1)(х,)=у^-1),
\~)
? =л- <*«> =у'п— ?(в"-1) 1) .
где уУ)— заданные числа, а х, £ [a, b} {I = 0 1, 2, ..., п; х4 Xj
при I =/= j). Так как число условий, которые мы накладываем
на ср (.г), равно ... +<*„. то для того, чтобы наша задача
всегда имела единственное решение, требуется, чтобы
т = - са Н- аг • • • + ап 1 (3)
и
фо (Хо) 91 (хв) • • • 9m (Х0)
<(*<>) 9; (Хо) ••• ?т(Хо)
Ф^_1) (Хо) ф^-1) (Хо) ••• Ф^-^Хо) 4 0. (4)
Фо (Хг) 91 (Xi) • • • Фт (Х1)
ф^”"4 (Хп> Ф(Г“"1)(хн) ••• ФтП~1)(Х«)
Мы не будем здесь входить в подробности общего случая, а огра-
ничимся лишь алгебраическими многочленами, т. е. положим
9» (х) = х\
Итак, нам требуется построить алгебраический многочлен сте-
пени не выше т, удовлетворяющий поставленным выше условиям.
Предположим, что такой многочлен существует, и обозначим его
через Нт(х). Наряду с Н,л(х) рассмотрим интерполяционный мно-
гочлен Лагранжа Z.„(x), принимающий в точках х0. хь .... хп зна-
чения _у0, уи ..., уп. Разность Нт(х) — !-п(х) должна быть много-
членом степени не выше т, обращающимся в нуль в точках х0, х1(
х2.....хп. Следовательно,
Нт (х) — £„ (х) = <ч„ (х) Нт_.п (х), (5)
где
(X) = (X — Хо) (X — X.) ... (X — х„). (6)
При любом многочлене Нт_п(х) функция
Нт (х) = Ln (х) 4- ып (х) Нт_ н (х) (7)
принимает в узлах интерполирования значения Подберем теперь
Hm_n(x) так, *чтобы были выполнены и остальные условия. Диф-
ференцируя обе части равенства (7), получим:
Нт (х) — Ln (х) -J- <вте (х) Нт_п (х) -1- и>„ (х) Нт-п (х). (8)
Полагая здесь х = х{, будем иметь;
Н”1 1 xi) — (xi) -|- <°n (Xj) Нт_п (Xi). (0)
Так как о/ (х.) 4 0, то в каждой точке, в которой задано Н' (хг),
мы найдем Нт_п(х$. Дифференцируя еще раз, получим:
I (х) Ln (X) —|— а>п (х) Нп_п (X) —р- 2<1>п (X) h т_п (х) —|-
шп (X) Н-т-п (х).
(Ю)
Полагая снова х = xlt найдем:
п (*-{) = Ln (-^i) -1— ОЧ) ^т—п (•*•») (Xj) Н-т—п С^г)' (10
Из этого равенства мы сумеем найти Hm_r,(Xi) в тех точках, в ко-
торых заданы Нт(х£. Продолжим этот процесс далее. Каждый раз
коэффициентом при старшей производной от Нт_п(х) в точках х{
будет ш' (х{). Таким образом, мы сведем нашу задачу об отыскании
//,д(х) к задаче об отыскании Нт_п(х), удовлетворяющего усло-
виям:
Лщ-п ) “О'
-п (*! ) =
^1П- п (-'•nl %П’
Нт-п (^ — • • •.
Нт—п (-^1) -1......
^-n2)(X0) = ^-2}.
^-п)(Х1) = ?Г1-2).
Hm_n{xn) = zn, ../}(xj = г,п 2>
(12)
где г?'• — известные числа. К Нт_п(х) применим точно такой же
прием. Получим некоторые условия, наложенные на Нт__п(х).
В конце концов, нам потребуется построить интерполяционный мно-
гочлен Лагранжа по данным в некоторых точках х,.
Посмотрим, какова же будет степень полученною таким обра-
зом многочлена Нт(х). Эта степень будет равна числу узлов, в ко-
торых заданы уг, плюс число узлов, в которых заданы jz', плюс
число узлов, в которых заданы jz? и т. д., плюс число узлов, в ко-
торых заданы самые старшие входящие в условия, производные и
минус единица.
Таким образом, эта степень равна
+ Я1 + • • • — ап — 1 — т<
что и требовалось.
Построенный нами многочлен единственный, который удовлетво-
ряет поставленным условиям. Действительно, если бы имелось два
таких многочлена Нт(х) и Нт(х), то их разность
л Нт 6 С)
представляла бы собой многочлен степени не выше т имеющий на
отрезке [а, Ь] тЭ-1 корней (с учетом кратности корней), что не-
возможно. Да и сам процесс построения в силу того, что все
Нт-п (х) определялись единственным образом, дает основания утвер-
ждать единственность построенного многочлена. Приведем примеры
на построение таких многочленов, которые мы в дальнейшем будем
называть интерполяционными многочленами Эрмита.
Пример. Пусть значения f(x) и ее производных в точках
х = 0, 1, 2 заданы таблицей:
X 0 1 2
У 1 2 129
у' 0 7 448
У" 0 1344
Найти интерполяционный многочлен Эрмита.
Интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) ь этом случае
будет равен
L2 (х) = 1 (х~1)<х~2) 2 4.129—(х2 = 63х2 — 62х + 1.
Отсюда
//, (х) = 63х2 — 62х 4- 1 + х (х — 1) (х — 2) Ht (х).
Дифференцируя это выражение, находим:
Я' (х) = 12бх — 62 4- (Зх2 — 6x4-2) Я4 (х) 4- (х2 — Зх2 + 2х) Я' (х).
Подставляя сюда значения х=0, 1, 2, получим-
Я4(0) = 31; Я4(1) = 57; Я4(2)=129.
Вторая производная от Н7(х) имеет вид
Я; (х) = 126 + (6х — 6) Я4 (х) + 2 (Зх2 — 6х + 2) Я; (х) 4-
-+- (х3 — Зх- 4" 2х) Н (х).
Отсюда находим значения Н' (х) в точках 0 и 2:
Я'(0)=15; Н;(2)=111.
Итак, нам надо найти многочлен Я4(х), удовлетворяющий условиям:
Я4(0) = 31; Я4(1) = 57; Я4(2)=129;
Я'(0)=15; И' (2) =111.
Записываем его в виде
Я4 (х) = 31 <х-1НЛ-2> + 57 _|_ ! 29 4.
4-х(х— 1) (х—2)Я4(х) = 23х24-3х4-31 4- (хэ — Зх2 -f- 2х) Н^х).
Дифференцируя, находим:
Н[ (х) = 46х -4- 3 4- (Зх2 — 6х 4- 2) (х) 4- (х3 — Зх2 4- 2х) Я' (х).
Подставляя сюда х = 0 и 2, определяем
Отсюда
и
Н1(0) = 6. /742) = 8.
A/j (х) = х —|—6
Я7(х) = (63х2 — 62x4- 1)Н-х(х — 1)(х — 2) [23х2 4- Зх 4-31 -j-
4-*(х — 1)(х — 2)(х4-6)] = 1 -|-х7.
Рассмотрим еще один пример.
Найти интерполяционный многочлен Эрмита, принимающий в точ-
ках х0, xt, хп значения уа, yt, .... уп и имеющий там произ-
водные, равные у; у'.....у'н. В этом случае
//OT(x) = Z.„(X)4-wn(xi//m_n(x), (13)
где
<*>„ (х) = (х — х0) (х — х,) ... (х — хп).
Дифференцируя, найдем.
Н'т <*) = L'n <*' + < <Х) W + ШП (*) Н'т - „ (*)• (14)
Отсюда y'i = Ln (Xi> + <X«) Нт -П (xi)> (15)
И я (%.) = (— 11m~n х^г/ — f , x •
"„u.)
Итак, .w=у __%Ц>—_ (16)
Пусть
0 "X»
Lni (x). (17)
4-^)% (^)
Гогда интерполяционный многочлен Эрмита можно записать в виде
нт (Х)= У Л£т(*) + У — (X). (18)
Последнюю сумму разобьем на две части:
п
^«-'п(х)
Z=0
z. ~ L'n
ш'п (xi)
Lni ( ’О--
г=0
%<х>
“n (Xi)
п
Lni (х) — «>„ (х)
г=о
Ln (*j)
< (xi)
lii (*•)•
Первое слагаемое в правой части запишем в следующем виде:
уз,;^.
S -.W
п
^ni 00 Уi ^ni (ХЬ
г-0
Второй
п
член подвергнем некоторым преобразованиям:
<“п W
п п t /
Lni (х) = шп (х) V V ьп. (х) =
i-n у=а rt' V
, w 1 1», « - У у, У « -%® «•
ш (хХ *** со.. (хХ
i=0
п
(J
п \
п
J-o г-о
п
Таким образом, искомый многочлен можно записать так:
n ( п L' (х\ 1
нт (х) = V у. !Lni (X) - 2 “и <*) Х~ Lnj (X)J +
i«o I шп \ j) J
n
+ 2 y'i^-xifLlax). (19)
i-0
Рассмотрим теперь выражение, стоящее в скобках под знаком пер-
вой суммы:
Pi (X) = Lni (х) - У o>n (х) Lnj (X). (20)
jT> “n(xy)
Это — многочлен степени 2пЧ-1, При х = xh получим:
(Xj) — LM (Xj;) = (21)
Итак, наш многочлен обращается в нуль при всех хк (&#=/). Рас-
смотрим производную этого многочлена
п L' (хл п 1' ( г \
P'i (х) = L'n. (х) — (х) V}- Lnj(x) — <а„(х) - -г-± (х).
;_о “п(хГ j_o “п(х>)
П.ри х=хк получим:
п
p'i (xt) = L'ni (хк) — ш'п (хк) V
L™ {Xj) L (х 1 -
—r~—~ (хк) —
(1)
— L-ni (Х4)— ^-ni(x4)—О- (22)
Таким образом, P, (x) имеет двукратный корень при всех х = хк,
k4=-l. Следовательно, этот многочлен имеет в качестве множителя
“п (•*)
. Так как степень Pi(x) равна 2л-|- 1. то его можно запи-
сать в виде
(X)
Л (*) и + в & - *<)!•
(23>
Определим коэффициенты Л и В. Полагая в последнем равенстве
х = Х{, получим:
Отсюда
/2
1 = “п (*i) А.
А=^—
“ч (xi)
Дифференцируя равенство (23) и полагая затем х = х,, найдем:
° = (*i) = % (*i) <(*i) A + u)'na (х{) B.
Отсюда
п
(О
Коэффициент P<(x) можно
представить в другом виде:
₽1W=. .
(Х-Х^п (Х{)
(х — х^
= L2m(x) 1
(X — Xi)
Итак,
Окончательно получаем:
(х — Xj)j (x) -I- (x Xj) Lm (x).
' i=0
n J
Ит(х~)=^{у1 1
(X — Xi)
. 2
Xi) Lr.^X)-
(24)
В
2. Общий вид интерполяционного многочлена Эрмита. Найдем
теперь общий вид интерполяционного многочлена Эрмита. Для этого
построим многочлены /7^(х) степени не выше т, удовлетворяющие
следующим условиям'
(*<)=W" “ W=(«,) - «!?'’(*,)=о.
Н<>)=1 (1 = 0, 1, 2......п; 7 = 0, ], 2....at — 1).
(2Ь)
Так как Hfj обладает в точках ха, xt.....xt_lt xj+1.....хп нулями
соответственно кратности д0, ......o,-i. ar+i....ап, а в точке х^
нулем кратности j, то
Яу = (х — х0)“” (х — х^*1 ... (х — х,,!/;-! (х — XiY X
X (х — xi+ ,)“>+1 ... (x — x„)an Hl} (x), (26)
где Htj(x) — многочлен степени a{—j— 1, не обращающийся в пуль
при х = х4. Представим его в виде
Н1.(Х) = < + Л<1;(Х-Х1) + r.+^-/-l)(x-xi)^'1. (27)
Для определения коэффициентов воспользуемся тем же приемом,
что и в предыдущем примере. Пусть
У (х) = (х — ха)*” (х — xj* ... (х — xj’». (28)
Тогда
(х-х4) 4- • • • + (х - х.)^-1 =
= ~~аХ(хГ1нУ^ <29>
Подставляя сюда х=х(, получим:
1W г I х‘)в< Н{з(х} ЩПч
A\j = lini I--------------- (30)
» [ 2 (х) (х — Xf)J J ’
Первое отношение непрерывно при х=х,-. Следовательно,
lim
X ->Xi
I (X — 1 _ ' (X—Х;)Д< i
I (x) I La (x> J
Предел второго отношения найдем по правилу Лопиталя:
Итак,
lim
X х^
------------= lira —=— —
(х — xiY J
и1.”) _ 2
Г (x—Xf)^
L ^(x)
(31)
Аналогично находим коэффициенты Ду1:
Лй) 1 d“ [ (* —*<)а< Ну(Х)
Д)/=-гт llm —т-----------------'---
dx* [ 2 (х) (х— х,-р
(32)
Применим правило Лейбница для дифференцирования произведения
dk
dxk
(х—xf)*‘ Ну (x)
2 (x) (x — xj)^
L Q <*)
Hy (*)
(X— XiY
(k-p)
Производные
[a. -»i
(X —XJ »
Q(x) J
непрерывны в точке x = xf.. Поэтому
।im Г (x~]W_ [ <x — xi^ 1
2(4 J I. B(4 J.
Для определения
lim
Г Hy(x)
(x — Xi)3 .
воспользуемся таким же. приемом, как и для отыскания Д<*\ Много-
член Н,}(х) имеет степень не выше т. Он делится на (х—х{)4 Сле-
довательно, его можно записать в виде
Ну (х) = В$ (х - Xi)3 4- (х - х,У+14- ... 4- В^-л (х - х,)т
или
(х - х/) + • • • + и - '
(X — XiY
Отсюда
lim
Ну(х)
(X— XjY
= (k-pYB^~p}.
Но By р\ будучи коэффициентами разложения ^.-(х) по степеням
(х — X,), записываются в виде
д'.к.-Р> —
C-'V —
В нашем случае
(/4- *'-/):
7 4-й — P<J + k </4-“J —/— 1 =a< — 1.
Таким образом, By р) отличны от нуля только при p = k, и
случае
ь этом
Итак,
4^ = — lim
J h\ _ . _
dk
(х — Xj)a< Ht} (X)
k\ dx^
Яу(х) =
Й(х)
(X — Xi)->
А! /I
(X — Xif*
b(x)
(33)
1 У (x)
/! (X —x,)“!
1 ;
uo
(x — Xj)^ W
(x)
(х-х/. (34)
ч
и
1
Используя построенные нами функции Ну(х), нетрудно написать
выражение для Ям(х). Легко видеть, что
П “4"1
или
п
/с—О
, «2 -l(fc)
(X — Xj) <
' a(x)
Й(х)
(X - x<)"«
I
г-0 J-0
/-ТПГ- (35)
3. Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита. Произ-
ведем оценку остаточного члена интерполяционной формулы Эрмита.
При этом мы будем требовать существования производной (т 1)-го
порядка от интерполируемой функции /(х) на отрезке [а, &], на ко-
тором находятся узлы интерполирования и значение х, для которого
производится интерполирование, и существования и непрерывности
всех производных низшего порядка.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Ф (*) =?/(*) — Ит (?) — № (Z), (36)
где К—некоторая постоянная. Эта функция имеет нуль кратности
в точке х0, нуль кратности 04 в точке xt и т. д., наконец, нуль
кратности а„ в точке хп. Подберем К так, чтобы ф (г) обратилась
в нуль в точке х, для которой мы производим интерполирование.
Это возможно, так как тогда
/(х)-Яот(х)
К Щх)
а 2(х)=£0. На основании теоремы Ролля производная ф'(z) обра-
тится в нуль в п -f- 1 точках в интервалах между х, х0, xt..хп
и, кроме того, будет иметь нули кратностей а(.— 1, а, — 1, ...»
ап—1 в точках х0, хь ..., хп, т. е. всего т-^-1 нулей на проме-
жутке [а, #]. Далее, получим, что вторая производная будет иметь
по крайней мере т нулей на этом промежутке., третья т—1 нулей
и т. д. Наконец, производная (т -1- 1)- го порядка будет иметь на
отрезке [а, #] по крайней мере один нуль. Итак, на отрезке [а, Ь]
найдется по крайней мере одна точка $ такая, что
(?) = 0.
Но
(36‘)
фцп+1> (z) = f(m^l>(z) — (rn -ф- 1)!/б,
(37)
так как Нт(г) есть многочлен степени не выше т и, следовательно,
его производная (те 1)-го порядка равна нулю, а 2 (z) есть мно-
гочлен степени те Д-1 со старшим коэффициентом 1 и его произ-
водная порядка те Ц-1 равна (т-{- 1)1. Отсюда
Итак,
/(ст+1)(£)
Л— (те 4-1)! •
(38)
(39)
f(x}-Hm(x) = f^^Q(x).
Относительно практического применения этой формулы можно ска-
зать то же самое, что говорилось ранее для многочлена Лагранжа.
На основании этой формулы, так же как и ранее, можно доказать
равномерную сходимость Нт(х) к /(х) на |а, £), если только
/(х)— целая функция.
В тех случаях, когда интерполяционная формула Эрмита нужна
нам лишь для целей интерполирования, а не для приближенного ана-
литического представления функции, то общая формула, которую
мы получили, неудобна. Когда мы изучали формулу Лагранжа, то
оказалось более выгодным преобразовать ее к форме Ньютона. По-
пробуем и в случае красных узлов поступить аналогичным образом.
Проше всего это сделать, перейдя к пределу в интерполяционной
формуле Ньютона. Это приведет нас к понятию разделенных раз-
ностей с повторяющимися значениями аргумента.
4. Разделенные разности с повторяющимися значениями аргу-
мента. Непосредственное определение разделенных разностей, данное,
ранее, непригодно в случае повторяющихся значений аргумента, так
как при этом обязательно встретятся отношения вида Необхо-
димы дополнительные определения. Положим
/(х0; х0; ...; х0; xt; xt; '.х:; ...; хп; хп; ...; хп) =
' мч — пни ' ' —— - — т- ---
fc0 раз раз раз
__ism . Д1). . г(^о—!). г . у(!).
— IIГП у > • • • > -М) , Xj, , . . . ,
Ai , • • - > » • • • > %п 0}
когда х/* —> xi и все х'/1 различны. Для существования такого пре-
дела нужны некоторые дополнительные условия на функцию /(х).
Так, например, согласно нашем)' определению
/(х0; х0) = lim - -- / (х0),
а, -> аг
и следовательно, мы должны предполагать существование производ-
ной /'(х0). В цальнейшем мы будем предполагать су чествование и
непрерывность всех производных от /(х), которые нам встретятся.
Для изучения разделенных разностей с повторяющимися значе-
ниями аргумента будем пользоваться полученным ранее представле-
нием обычных разделенных разностей в виде отношения определителей
/(х0; xt; х2; .. хп~) =
с -*о • • • хо / (о)
-1 х^...х?-1 /(xt)
хп хп •• • хп ^(хп
1 v V2 vn-l 1 л0 л о 1 1 уТ1 1 • • • Л J Л £ 1 у у.2 уп~^ Yn 1 Лп Лп " п Лп
(41)
Для сокращения записей будем обозначать
в знаменателе через D(x0, хь ..., х„), а
в числителе, через D(x0, х,, ..., хя; /).
Нам нужно найти предел отношения
определитель, стоящий
определитель, стоящий
при х^’ —> Xj Xi'^-x^1. Непосредственная подстановка х0 вместо х.?'
ничего не дает, так как при этом числитель и знаменатель обра-
щаются в нуль. Воспользуемся правилом Лопиталя. После дифферен-
цирования числителя и знаменателя по Хо’ и замены л-.1' на х0 вто-
рая строка числителя будет иметь следующий вид:
О 1 2хс ... (р — 1) Хо а f (Хо).
а вторая строка знаменателя перейдет в
О 1 2х0 ... (р—1)4’" РХо 1-
Здесь через р обозначено выражение &o4~&i + -\~kn—1-
Остальные строки числителя и знаменателя не изменятся Примене-
ние правила Лопиталя будет законно, если знаменатель окажется
отличным от нуля. Проверку этого мы произведем в дальнейшем.
Устремим теперь Хо к х0. Опять придется применять правило
Лопиталя. После однократного дифференцирования числителя и зна-
менателя по хи последующей замены x<j ' на х0 у нас совпадут
вторые и третьи строки. Поэтому будем дифференцировать дважды
и лишь после этого заменим Хой на х0. В результате третья строка
числителя превратится в
О 0 2 3 • 2х0 ... (/> — 2)(р—1) хГ3 f" (%о)-
Третья строка определителя в знаменателе будет такова:
О 0 2 3 • 2х0 ... о — 2)(/>— 1)хГ3 О—1)/>хГ2.
Продолжим этот процесс дальше до тех пор, пока не переберем
все х[}'\ При этом первые kQ строк определителя, стоящего в числи-
теле, будут таковы:
1 х0 хо . . хГ1 /(х0),
О 1 2х0 О— l)xf* /'(х0),
О 0 2 . .О- 1)о-2) хГ3 Г(х0),
О 0 0 ...0-1).. О —^o4-l)xo’fc“ /(fc°"l,(x0),
В знаменателе будет аналогичная картина, только в качестве / (х)
нужно взять хр.
После этого проделаем аналогичные операции с х?. затем с
и так далее, пока не переберем все х,7' Нетрудно представить, во
что перейдут при этом числитель и знаменатель.
Проверим теперь, что ни один из получившихся у нас знамена-
телей не обратится в нуль, Как известно,
°(Х0- *0°.....Ч*”"1’.....ХП- Хп'
— — XV’) (i > k или i — k, J > /)
Выделим отсюда множители, содержащие xj,11 Получим;
ОО.. 4”.......4*--'')=
=«' -У) 4’.....Ч*”-1')-
Таким образом, производная знаменателя по х^ при х£> = х0 будет
равна
- *о) (*Г - *о) • • (4*”" ° - *с) ° (Х0> ХТ-
... Х^п-1)).
Выделяя здесь множители, содержащие х^, получим:
- х0)а (х™ - х^ . .. (х^ ‘) - х^> - ХО) . . .
• - • (4*ю-1) — хо) D (хо- *о3).Ч*’"9)-
Вторая производная по от этого выражения при xj)a> = x(J будет
равна
2! (х<* - х0)’.. . (х(^-> — х0)а D (х, xf.х^.-1)).
Аналогично находим, что третья производная от этого выражения
по х® при х<8) = х0 будет равна
2!3!(х*’-х0)8. .. (х(>"1)-х0)3О(х0, х<4).х^-1)).
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не переберем все хИ,
Окончательно получим:
^!3! ... (A0-l)!(x1-x0)A»-1(x</)-xc)fc»-1.. .
....е^)-
Перейдем теперь к дифференцированию по х<Л. Выделим из послед-
него множителя предыдущего выражения xW;
2.' 3! - 1)! (х, - х0)*°-1 (х(‘) - x0)\xW- х^-1. ..
..-(х^-х^х, х„ х?.............х^)).
Дифференцирование по х*1' и последующая подстановка х( вместо х<х>
дадут:
2!3! ... (й0- 1)!(х, -х^-^х^-х/"-1 ...
оГ1^3’— о...
• (Ч4"0—ОD (*»• хрхГ........хпп~ Ь-
Теперь выделяем из последнего множителя разности х<2) — Xj,
xW — хУ), затем дифференцируем дважды по х[3* и полагаем х<2) — хг
Это даст:
2! 31 ... (S„ - 1)! 2!(»,—х^-‘ (4» - х0)‘--‘.. .
... х,. х®....х<‘”-°).
Процесс продолжаем до тех пор, пока не переберем все В конце
концов, получим:
2! 3! ... (k0 — 1)! 2! 3! ... (k, — 1) (xt - х0)*Л~1 (x2 - x0)ft°~'. . .
...^-x^D(xu, xv xrx?,...,x^.
Теперь будем дифференцировать по х<Л, затем по х^’> и так далее,
заканчивая на х( 1\ В итоге исходный определитель перейдет в
2’3! ... (&0— 1)! 2! 3! .. (kt — 1)! ... 2! 3! .. .
• • • (*п — 1)! 11 (X, — lD(x0, х,..xn)
i > i
или, если вычислить D(x0, хь .x„)i
2! 3! . . (Ао— 1)! 2! 3! - 1)1.. .2! 3’.. (Лп- 1).Ц (х4 — х/^
При наших предположениях о х(;” и хг ни один из полученных таким
образом определителей не обращается в нуль. Таким образом, наше
определение разделенных разностей с повторяющимися значениями
аргументов законно, и эти разности можно вычислять тем способом,
который здесь приведен.
Рассмотрим, в частности, /(х0; ...; х0). Представление этой раз-
к раз
ности в виде отношения определителей будет выглядеть так:
/ (Хп> х0; . k ра • •; х0)= 1 х0 Хо ... х*-а /(Хр) 0 1 2х0... (k — 2)xo-s /'(Хо) 0 0 0 ... (ft-2)! /(ft-a,(x0) 0 0 0 ... 0 /(!_-1)(х0) f(k *’ (x0) (42)
1 Xq Xq . • • Xq Xq 0 1 2x0... (k — 2)4-3 (Й—1)4’2 0 0 0 ... (k — 2)! (A-l)’xo 0 0 0 ... 0 (k—1)1 (* —Ш '
Полученные нами выражения разделенных разностей с повторяю-
щимися значениями аргументов слишком громоздки и не могут слу-
жить для практических вычислений. Перенесем на них способ вычи-
сления обычных разделенных разностей через разности низшего
порядка. Пусть нам требуется вычислить разделенную разность
/г0 раз ki раз kn раз
Предполагаем, что все разделенные разности низшего порядка
уже вычислены. Будем предполагать также, что под знаком разде-
ленной разности имеется по крайней мере два различных аргумента.
Пусть хотя бы х0=£хп. Для случая, когда все аргументы под знаком
разделенной разности совпадают, мы уже получили удобную фор-
мулу. По определению,
А/о'. . . ; х0; х^..; xf, .хп- ..хп) —
fro раз fr, ргз fr раз
= Пт /(х0; х^1>; ..х}*»’1); хх: х'1); . ..
* Я1
Но
/(х0; х*; х^^х-х'1»; х^; х„; х^>
.1 (б . (*.-») (О (Si-1) (О. .
— ...\хй ; XpXj ;...,X! ;...; x„ ; ..xv ” ’)|.
Переходя к пределу в обеих частях равенства при х1,’1 —► х4, получим;
/(х0; х0; ..х0;
k0 раз
Хр Хр . . Хр
раз
-------[/ (х0; • • •; ХО; Хр xt;..хр ..хп: хп;...; х„) —
Xn Xq l ' ,lv
&0-l раз fcj раз kn раз
—f (x0, x0; ..jc0; x,;..xt;
k0 раз ki раз
Xn» • • м Xn)
fr„-I раз
(43)
Отсюда получается простой способ составления таблицы разделенных
разностей (р. р.). В первом столбце выписываем узлы интерполиро-
вания, причем каждый узел повторяем столько раз, какова его крат-
ность. Во втором столбце выписываем соответствующие узлам зна-
чения функции. В третьем столбце помещаем разделенные разности,
если соответствующие аргументы не совпадают, или первые произ-
водные, если аргументы совпадают. В четвертом столбце помещаем
разделенные разности второго порядка, если они вычисляются так же,
как это делалось ранее для обычных разделенных разностей, или же
производные второго порядка, деленные на 2!, если аргументы, на
которые нужно делить, совпадают. Продолжая так же и дальше, мы
сумеем заполнить всю таблицу. Так, для примера, приведенного на
стр. 166, таблица будет выглядеть следующим образом:
X У 1 Р- Р- 2 р. р. 3 Р- Р- 4 р. р. 5 Р- Р- 6 Р. Р 7 р. р.
0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 1 5 4 11
1 2 7 6 57 26 23 6 1
1 2 127 120 201 72 39 8
2 129 448 321 351 150
2 129 448 672
2 129
5, Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разде-
ленными разностями. Перейдем теперь к обобщению интерполя-
ционной формулы Ньютона для неравных промежутков на случай
кратных узлов. Пусть нам поставлены такие же интерполяционные
требования, как в п. 1 (условия (2)), причем уг являются значениями
некоторой функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [а, Л],
в узлах хг. расположенных на этом отрезке вместе со значением х,
а _yU> является значением /-Й производной от f(x) в узле хг\ все
нужные производные предполагаются непрерывными. Будем рассма-
тривать на [а, 6] наряду с узлами х0, хь ..,, хп еще узлы хО’, . . .
..., х^-1’, х(9....х(1а'~1), х^, .... выбранные так что
среди всех узлов х0, xtf), ..., хОс-1), xv х^\ . ..,х0-'-1), ...,хп,
„ (1) (а — 1)
х'п, . .., х'п« нет равных.
/(х)=/(х0)-Цх—хо)/(хэ; х^-Цх-х0)(х—.х<М)/(х0; х^; х^)^.
...Н-(х — х0)(х — х^), .... (х — х'а--О)/(х0; хО); ...; х^-1’; xt) +
-г (*—'S) (* — ;) • ••(*—4*0-м) (*—*i) х
X /(Хо; хО); ...; х^"1', xt; х’1») + ... + (х - х„)(х — х0>) . ..
... (х — х\>~3))/(xft; х^; ...; .<*»" 1>) + (х — хв) (х — х'1’) ...
.. ,(.г—х<‘«-1>)/(х; хв; х<1); ...; х^"-1)). (44)
Перейдем в этом равенстве к пределу при Г1ри этом
получится-
/ (х) = f (x0) -t- (х — х0) f (х0; х0) + (х — х0)2 f (х0; хй; хй) Д- ...
... + (х—xu)"°~7(xu; хй; . . .; х0) + (х—х0)“7(х8; . ,,; ха; xj Д-
а0 раз «о раз
+ (X — Хо)“с (X — Xi) / (Хо; .; хй; хь xt) + ...
... + (х — хй)“" (х — Xi)"1 ... (X — хп)а«”1 х
X / С^оj • • • > •Х'о» ^1» ^1» • • • ’ > Хп> %п* • • * * 4“
«о раз at раз ап раз
-Их — х0Г(х — х/1 . ..
...(х —хпЛ/(х; х0; xoj х0; xt; xt; хп\ хп^,..; хп). (45)
оч, раз а, раз ап раз
Первые /п 1 членов и дадут нам выражение для интерполяцион-
ного многочлена, а последний член будет являться остаточным чле-
ном. Покажем теперь, что полученный интерполяционный многочлен
будет удовлетворять поставленным условиям. В связи с этим мы
его будем обозначать через Нт (х). Действительно, при х = х0
^т(хо) = Уо> •••. ~1’(*о) —Уо“<’_1). чт0 видно из самой записи
многочлена. С другой стороны, до перехода к пределу мы могли бы
взять за начальную точку не х8, а любую другую из х^. При этом
в силу единственности интерполяционного многочлена Лагранжа мы
получили бы тот же самый многочлен, только лишь записанный в дру-
гой -форме. Следовательно, и предел этого многочлена будет тот же
самый. Но в этом случае начальные члены его будут иметь вид:
f(.xi) + (x — xi)f(xi; х4)-|- ... + (х — Xjfj~ 7 (xf; хг, .,,; х,;) -|-
at раз
-j- (X — Xi/if (Xj! Xj, ...; Xi, Xj) + ...
° 4 раз
и следовательно, он удовлетворяет интерполяционным условиям
в точке х{. Так как этот многочлен тождественен с Нт(х), то
и Нт(х) удовлетворяет этим условиям. Итак,
/ (JC) = Нт (х) 4- (х — Хо)"0 (х — xt)“‘ . . . (х — хп)“™ X
Х /(х; х0; . х0, xt; . . ., х,; х,„; . . xw). (46)
а,! раз а, раз раз
Ранее мы получили другое выражение для остаточного члена. Срав-
нение этих видов остаточных членов дает
/ (х. Хр • • • 1 X)i 'i i • • xt> • • •» хп ' • • • > хп) — । (yr • (^ О
а0 раз а( раз «п раз
Применим полученную нами обобщенную формулу Ньютона для
решения примера, указанного на стр. 166. В этом случае
И (х) — 1 -|- х - 0 х20 -|- х3 1 4~ х3 (х — 1) • 4 4- х3 (х — I)2 • 114“
4-х3(х— 1)2(х —2) • 64“х3(х — I)2(х — 2)2 1 =Х‘4- 1.
Как и следовало ожидать, получилось то же самое, что и раньше.
Способ Эйкена в той форме, как он был описан у нас ранее,
также может быть г/рименен для интерполирования с кратными узлами
В заключение этого параграфа получим выражения разделенных
разностей с повторяющимися значениями аргумента в виде линейных
комбинаций значений функции и ее производных. Для этого сравним
коэффициенты при хт в обобщенной формуле Ньютона и интерпо-
ляционной формуле Эрмита. Сравнение дает:
/(х0; х0; , , хп; а0 раз Xi, . . ., Хр ...» Хп' хп, . . ., Хп) — «, раз аи раз п “г1 г «. 4'V1-'’) _ v v vW 1 <5-.^ 8 а(х) г«0 ?=0 i
§ 12. Интерполирование функций многих независимых
переменных
1. Трудности задачи интерполирования функций многих пере-
менных. Интерполирование функций многих переменных значительно
сложнее, чем функций одной переменной. Это вызвано не только
тем, что рассуждения становятся более громоздкими в силу наличия
большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудно-
стей.
В дальнейшем ради краткости мы ограничимся случаем двух
переменных. Пусть на плоскости (х, у} даны «4-1 точек (х0, у0).
(xb Vj), . .., (хя, уп). Будем разыскивать многочлен Р(х, у)
182 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
относительно х и у возможно низшей степени, который бы в этих
точках принимал соответственно значения z0, ......zn. Если иско-
мый многочлен записать в виде
Р (х, у) = aOj 4- а10х 4- о01> — а^х2 -j- аиху -|- о02_у2 + . ,.
• • • ~~~ атЗхт ат»-1, 1-^™ ‘У “Т~ • • Н- а0п1Ут>
то, подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть
соответствующему значению z{, получим систему п-у- 1 линейных
алгебраических уравнений относительно 1 2 4— ... 4-(от-(-1) =
(т 4- 1) (т 4- 2) ц ,
= -—!—!—- неизвестных а^. Вообще говоря, эти уравнения
независимы. Следовательно, если не накладывать на Р(х, у) ни-
каких дополнительных условий, то «4-1 должно быть равно
(т 4- 1) (и+ 2) м
——!~!. Это — первое принципиальное затруднение. Мы уже
не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве
узлов интерполирования.
Далее, рассмотрим определитель полученной системы уравнений.
При п — 2, 5 этот определитель принимает вид
1 1 1 *0 Уо У1 Уг (п = 2), 1 1 1 1 1 1 хо Л х2 хз х4 хь Уо У1 У2 Уз Уь Уь *0 Х1 х2 4 Х1 хоУо ХМ хгУг хзУз Х<У< хьУь Уо У? У2 Уз У1 9 у5 (п = 5).
Первый ИЗ них будет обращаться в нуль, если три точки (хо М>),
(хп jVi)- (х2, у£ лежат на одной прямой. Второй будет обращаться
в нуль, если шесть узлов интерполирования лежат на одной кривой
второгочпорядка. Аналогично, если взять 10 узлов, то определитель
системы обратится в нуль, если все они лежат на одной кривой
третьего порядка. Это порождает второе принципиальное затрудне-
ние: узлы интерполирования не могут быть расположены произвольно.
Проверка того, что определители не обращаются в нуль, чрезвы-
чайно затруднительна
Третье принципиальное затруднение возникает при оценке оста-
точных членов. Теорема Ролля, которой мы пользовались ранее,
для того случая, который мы рассматриваем сейчас, действовать не
будет.
Формулы интерполирования функции двух переменных будут
громоздкими и потребуют большого количества записей. С целью
§ 12] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 183
сокращения этих записей будем использовать векторные обозначения.
Мы будем пользоваться следующими векторами:
Гк = (X — Хк) yk)J,
гы = (х* — *i) i 4- (ук — yz) Z
4 = (л ~л)?— (**-*№
(и
Вектор rt2 получается из вектора гк путем поворота на 90° по
часовой стрелке.
Пусть теперь заданы три узла интерполирования; (х0, у0),
(xi- У1)< (х2> У2) и нам требуется найти многочлен Рх (х, у) первой
степени, принимающий соответственно в этих узлах значения г0, zx, z2.
Будем разыскивать, как и в случае интерполирования функций одной
переменной, многочлен Р, (х, у) в виде
PtCx, y)^z0Pl0(x, y)+zxPix{x, y)~Pz2Pr2(x, у), (2)
где Рц(х, у)—многочлены первой степени, равные единице в точке
(х4, У;.) и обращающиеся в нуль в остальных двух точках. Рассмо-
трим скалярное произведение (г,, г*2). Это—многочлен первой сте-
пени относительно х и у. Он обращается в нуль в точке (хР yt),
так как при этом первый множитель скалярного произведения обра-
щается в нуль. Он обращается в нуль и в точке (х2, у2), так как век-
тор г21 перпендикулярен к г*3. В точке кх0>у0) (4, г*3) будет равно нулю
в том и только в том случае, когда три точки (х0, у0), (xt, у,),
(х2, Уг) лежат на одной прямой. Но это и будет как раз тот случай,
когда определитель обращается в нуль и, вообще говоря, не суще-
ствует многочлена первой степени, принимающего в заданных точках
заданные значения. Исключая этот случай, мы можем принять
за Р10(х, У) выражение
(4 4)
(4. 4) ’
Аналогично
(4 4) (44)
(ris> rao) (''ao' roi)
будут давать Ри(х, у) и Р12(х, у). Итак, искомый многочлен может
быть записан в виде
Л (х. У) =
(3)
I \ и
4^2 7^—
Если раскрыть скалярные произведения, то получим более громозд-
кое выражение:
р ,v .л —, (-У —У») —(У —Уг)(^1 —1
11 °(-«о —-«1)(У1—У?)—(Уо —У1) Ui —-«?)
1_г (* — х,) (у8 — у0) — (у — у,) (х3 — jcq) ,
"Г" 1 Oi — х8) (у2 — у0) — (У1 — у«) (х, — х0)-г
у — *:).Уо—уг; — (у — У„1 (х0 - .г j i
2 (*з — *о) (Уо — У1) — (Уз — Уб) (-«о — *1)
Возьмем теперь шесть точек (х0, _у0), (хр yt), (х2, Уг)> (^з- _Уз)>
(х4, _у4), (х6, j/5), не лежащих на одной кривой второго порядка.
Будем разыскивать многочлен Р2(х, у) второй степени, принимаю-
щий в этих точках соответственно значения z0, zt, z2, zs, z4, z5.
Для этого построим определитель второго порядка:
Этот определитель является многочленом второй степени относи-
тельно х и у. Он обращается в нуль в точках (хр yt), (х2, v2),
(х3, Л)> .УД так как ПРИ этом обращаются в нуль элементы
первого столбца. Он обращается в нуль и в точке (х5, у у, так как
при этом первый и второй столбцы совпадают. Нужно еще убедиться,
что наш определитель не обращается тождественно в нуль. Прежде
всего заметим, что второй столбец в нуль не обращается. Действи-
тельно, если бы он обращался в нуль, то из выбранных нами шести
точек по крайней мере четыре лежали на одной прямой. Но в этом
случае все шесть выбранных нами точек лежали бы на одной кривой
второго порядка, распадающейся на две прямые, одна из которых
проходит через четыре указанные точки, а вторая — через две
остальные. Если бы чаш определитель тождественно обращался
в пуль, то нашлись бы две постоянные а и b (а2£2 0) такие,
что
Это невозможно. Тождественное обращение в нуль этого выражения
будет только в том случае, если четыре точки (хР уД, (х2, у2у
(xs, v3), (х4, _у4) лежат на одной прямой. Поделив наш определи-
тель (5) на
(Г01’ Г1в) 1 Г03’ Г3«) ( Г51> Г1з) (Г53’
(701- '11) ('(В- 'ы) ('51. 'Тз) ('52- 'м)
получим многочлен второй степени относительно х и у, обращаю-
щийся в нуль в точках (Xj, у{) (i= 1. 2, 3, 4, 5) и равный единице
в точке (х0, _у0). Аналогично можно построить многочлены второй
степени, равные единице в каждой из точек (х{, у$ и обращающийся
в нуль в остальных заданных точках. Тогда, так же как и в преды-
дущем случае, строим многочлен Р2(%, у). Он может быть записан
в виде (К КзИ^-Ки) (К. Кз) (К- Ki) (Г51’ Г.3)(Г53’ Г34) (Г51 Г’3)(г52’ 73<) _L
1 2 У) — (Кг 7*а) (703, 7 ,4' (г51. Г1,)(733, 1
(гог г1з) (.г 02' Г24, (г51.7*3)(75а, 7у
(К’ Кз) ( ;4- Ко) (702- ?2з) (Го4’ Г*45)
7' > । W * у '’?] со 11 gj (гоа- Г24) (7оз. г35) 4-
“Г < 1LS’ Г ’з) (Г 14’ Г 45 ( ГО2’ Г2з) (ГЩ’ r4s) I
1/12’ Г2<) (Г13’ Г35> С702’ 72<) (гоз. Т'35)
(К К1) (К Кб) ( Г13-ок) (715’ Оо)
-1 >1 со * О’ 'll (Г 18’ Г35) (Г14’ Г4о)
“Т (''33- Ki) (Ой’ 4) /13’ О1)(г15, Г’.)) 1
$ (Ко 7и)(К1-71о) (г 13' 735)(Г14- г;о)
(К К») (К К1) (724’ К5)(720’ r0l)
-4— Zr, (К г^(г^ К,) (724’ Ко) (Ко’ К1) ।
1 ^3 (г34’ r«)(730.7*J (Г24’ Г4э) (Г20' .Г01) Г
(Г34- Ко) (Ко> Ki) (7 31’ К.) (Ко’ К1)
41 * — 1 е 1/. с * 1 к. к Г35’ Гбо) 1 Г31’ Г1з)
-4- z» 7 й > 1 ф * (Г35’ Г51) (Г30’ гог) 1
I ~4 /— —* \ /— —* /45’ Г5о) । Г41’ Г13 Г35’ Г5о) (Г31’ г 12) т
( /45’ К1)(Ко- 4) (Л35’ Г51) (Г30’ Гоз)
^1 ф ф* * 'Т) W ьР * 40-^ ( г40’ Г01^ ( г42’ Г2з)
-4 z~ iS * с 1u 0; (, Г40’ Гоз) ( Г41‘ Г is)
Т *5 * м 1 ь. ?- IJ- * о I1- 8 15- r40’ roi) (л43, Г23)
(Г50’ Г0з)(Г51’ Г1з) (Г40’ Г0в)(Г41’ Г1з)
(7)
Получилось очень громоздкое выражение. Оно станет еще более
громоздким, если расписать все определители и скалярные произ-
ведения.
Идя по этому пути, можно написать явные выражения интерпо-
ляционных многочленов третьей и более высоких степеней. Мы здесь
этого делать не будем, а рассмотрим один частный случай распо-
ложения узлов.
2. Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай
„ о (л+1) (л 4-2)
функции многих переменных. Возьмем -—!—у—!—- узлов, распо-
ложенных следующим образом:
(х0, у0), (xlt у0)..........(хп_„ у0), (хп, у„),
(х0, yt), (xv yt), ..., (х yt),
(8)
(Мн %г-1). (*о /x{^Xj при i^J,\
(х0, уп) \У;^У} при I )'
Значения х{ и у* могут быть произвольными, так что взаимное рас-
положение узлов может быть довольно общим. Проверим, что чет
кривой л-го порядка, проходящей через все эти узлы. В самом деле,
если бы такая кривая имелась, она содержала бы точки, располо-
женные в первом ряду. Этих точек л 4-1, и все они лежат на одной
прямой. Следовательно, вся прямая также принадлежала бы кривой
порядка л. В этом случае кривая порядка л распадается на прямую
. п (л 4- 1)
и кривую порядка л—1, проходящую через остальные —
точек. Для нее можно было бы провести аналогичные рассуждения
Продолжая этот процесс, мы в конце концов пришли бы к заклю-
чению, что три точки (х0, yn_j), (хР yn_t), (х0, у„) лежат на одной
прямой. Этого нет. Следовательно, выбранные нами узлы не могут
лежать на одной кривой порядка п.
Построим теперь интерполяционный многочлен по нашим узлам.
Обозначим его через Рп(х, у), а Рп(хъ у^) через z^. Если рассмо-
треть только те из выбранных нами узлов, для которых г-4-./’<«.
то на тех же основаниях мы можем построить интерполяционный
многочлен Р„„1(х, у) степени л— 1. принимающий в точках (х{, у?).
I 4-/ < л. значения z^. Образуем разность
Рп (X, у) — Рп-1(х, у).
Она будет являться многочленом степени не выше л, обращающимся
в нуль в точках (х;, yj), i-[-j<Zn. Будем разыскивать ее в виде
Рп У> — Рп-1 (* у) = АпС (х — Хо) (X — X,) ...
... (х—хп_1)4-Д„_1,1(х —О ... (х —х„_2)(у—у0)-Н
4" 2 (X — х0) ... (х — хп_3) (У —Уо) (У ,У1) 4~ • • •
4-AhU—Л) (J—Jn-1)- (9)
§ 12]
Покажем, что действительно можно так подобрать постоянные Дп_<, i,
что этот многочлен, обращающийся в нуль в точках (х{, уЛ,
i + j<n, будет равен Рп (xt, у$) — Pr_t (хг, у^ при i А~ / = п.
В точке (х.г, уп_{) все члены его обратятся в нуль, за исключением
— Хо) (Xj — Xi-l)(yn-i— Уо) (Уп-i— Jn-i-1)-
Таким образом коэффициенты Л», n_i определятся однозначно.
В силу единственности представления интерполяционного многочлена
по выбранным нами узлам это и будет единственным значением раз-
ности. Итак,
Рп (X, у) = Рп_! (X, У) + У An_it г(х—х0) ...
4 = 0
... (X — xn_i_l)(y— у0) ... (у — Л_,). (10)
Поступая так же с Pn_j(X, у), а затем с Рп_г(х, у) и так далее,
получим:
Рп (Х> У)~ Аю 4- Ао(Х — хо) -р Л0] (у —уп) р- Л20 (х — Хо) (х — Xt)-p
Н-ЛП(Х — х0)(у — Уо) + АО2(у — у0)(у— уд + . ..
... -Ь Ап() (х — х0) ... (х — xn_t) + An-t.! (х — х0) (х — х,) ...
... (X — Хп..2)(у — _у0)4- ... — Л) _Лу—уп
(И)
Выразим теперь коэффициенты Ац через значения функции
zk, = f (хк, х;). Подставляя в правую и левую части равенства (х0, _у,),
получим Л0& = /(х0, у0). В точке (х^ _у0) Pn = f(xit у0), а правая
часть равенства (11) равна Л^-РЛ10(х, — х0). Следовательно,
л АхьУо)-Лх^. (12)
10 Xt—х0 v ’
Это отношение является разделенной разностью функции f (х, _у0)
при фиксированном у=у0. Мы будем его обозначать /(х0; xt; yQ).
Аналогично получим Л01 = /(х0; у0; уг). Зафиксируем теперь у, при-
дав ему значение, равное у0. Получим;
Р (х, у0) ~ Ат р Д10 (х — х0) А- • • • + -4та0 (х — х0) ... (X — хп_,).
Это интерполяционный многочлен относительно х, принимающий
в точке (Х|, _у0) значение f (xt, у0). Следовательно,
Ao / (хе; xt; ...; х-у0). (13)
При j/—наш интерполяционный многочлен примет вид
р (х, У1) = Иоо +• А>1 (3'1 — З'о)1 4- Ию + -4ц (У1 — -Уо)1 (X — Хи) +
4“ 1 ^20 4“ ^21 <3>1 _Уо)1 (X Хй) (Х — Х^) 4- • • •
• 4-Ии-1,е4-А1-1,1(Л— 3,о)1(х_ х0) • • • (х — хп_2)4-
4- Ам (X — х0) (х — xt) ... (х — хв_,).
Этот интерполяционный многочлен относительно X должен в точках
(Х{, j/j) (г = 0, 1, 2, ..., п—1) принимать значения f (хг, j^). По-
следний член при этих значениях х{ обращается в нуль. Следова-
тельно, все члены правой части, кроме последнего, дают интерполя-
ционный многочлен Ньютона степени п—1, принимающий в точках
(х;, _у,) (г = 0, 1, 2, .... п— 1) значения f(x.i, yt). Таким образом,
Л-о(л ”/(*(>; Хъ •••: хк> Уд-
Отсюда
л /(х0; X,; хк; у,)— /(х0; ...; хк; у0)
ЛЛ1 —---------------------_-----------------.
Я — Уо
Выражение в правой части имеет вид разделенной разности по у и
будет также называться разделенной разностью. Итак,
Ai = /(Хо; х,; ...; хй; _у0; уд). (14)
Вообще, если мы уже знаем, что
Л<=/(х0. Х„ .... хк; л, yt.......Л)
для всех I < т, то, рассматривая Р(х, ут), получим
У (х, ут) 1,4(,- >4П1 (ут _Уо) —. . . —(Ут З'о) 1 Ут 3'4 • • •
• • (Ут — 34-1)1 4- И10 4-А1 (Ут —Уо) 4- • • •
• -А>.т(ут—Уо)(ут— У1) (34—34-1)] (X—х^ 4.. .
Рассуждая, как и прежде, найдем:
4- А/а (Ут У о) 4- • -+- А/.т (ут у у ... (ут Ут~1) =
= / (Хр- Xj, • . ., Хк. Ут).
Рассматривая это выражение как функцию ут, получим снова
Aki=f(xy, Xt; ...; хй; >0; ...; уд. (15)
Таким образом, мы можем записать окончательно нашу интерполя-
ционную формулу в виде
Рп(х, J)=2 2 (X — х0) ... (х — Xj-JCv — Л) • • •
*=0 <+У=к
• • • (3>— Л-1)/(х0: х1; . . .; Xi- уу уу, ..у}). (16)
Это— обобщение интерполяционной формулы Ньютона для нерав-
ных промежутков на случай интерполирования функций двух
переменных.
Пример. Дана таблица функции двух переменных:
<р
Г ,
/ —- - - =-, я = sin а.
yi—.^sjn2]/
5“ 20° 40° 50е 80°
10° 20° 30° 40° 50° 0,1745 0,3491 0,5233 0,6985 0,8734 0,1746 0,3499 0,5263 0,7043 0,1749 0,3520 0,5334 0,1751 0,3533 0,1754
Найти F (10°, 15°).
Составляем таблицы разделенных разностей Эти разности будут
очень малы, и мы будем давать их в единицах чеавертого десятич-
ного знака:
F («о! а1<' ?) F («1! в»; ?) F (а» я» р) F(^; a^<f)
10Q 20° 30° 40° 0,07 0,53 1,67 3,87 0,15 1,05 3,55 0,2 1,3 0,1
а F(x, <p0;?i) F(^, ft) f («; ?3) f («; ?s; ?4)
5° 20° 40° 50° 174,6 175,3 177,1 178,2 174,7 176,4 178 174,7 181,1 175,9
F (“o! at, <4 r) F (ai; at; as; -j.) f (««; «s; ?)
10° 0,002 0,002 - 0,002
20° 0,015 0,008
30° 0,054
a z7 («; ?o: ?i'- + 7+: Til 4s) T7!®; 4«;js;?4)
5° 0,005 0,000 0,06
20° 0,055 0,25
40° 0,045
F («„; <₽„; <p,) F <«n;<Pi; ft) F a,; ®5; ?a) F (a.. ip„; cp,) F (a,: ft; <p,; <pj F (ft; ft; ft; <pj
0,046 0,114 0,22 0,09 0,25 0,11
Как мы видим, разделенные разности второго порядка малы и
разности более высоких порядков мы учитывать не будем. Наша
формула даст
F (10°, 15°) = 0,1745 0,000007.5 + 0,01746-5 + 0,0000002• 25 +
+ 0,0000005 • 25 + 0,0000046 - 25 = 0,2620,
Точное значение F (10°, 15°) с четырьмя десятичными знаками
равно 0,2619.
В том случае., когда xt— х{_,= const и yj—= const наши
формулы МОЖНО упрОСТИТЬ. Пусть — Xi_{ = h, yj-г- У-f-t — k. По
аналогии с обычными конечными разностями введем двойные конеч-
ные разности:
+)-/(+ л) = М(хр
f(xv yj+i)~f(*v л) = М(х;> Л)’
^)-Дх/(хе л)>
M(xv У,) = Л&(хе У^
= j.), (П)
^f(xi+l’ л) ~ A^-f(xp л)=
y^ = ^yf(xv +)
^vf(xi> yi+i)-^f(xv yj)=^-f(xi> л)-
y^^nxv -4
В этом случае мы можем заменить разделенные разности конечными
по формулам:
f (х0; Хр j0) = 1 А^/ (х0; j-o); f (х0; j0; ji) =
= уА^/(х0, jo).
f (хп'< xi> х2’< Уо^ ~ <->] № 'ХО' Jo)> f (хс< х'< Уо< Ji) =
= -А А^/(х0> j0); /(х0; j0; jr, j2) = - Д|«/(х0, j0),
/4-Л К£ j
1 3 Н18)
/(х0; Хр х2; х3; j0) - ftT Аж=/ (х0, j0); f (х0; xt; х2; j0; Jj) =
= 2ГЖ (Х°’
f (*0; я/, jo; ус< уд = 2Глг д^'Хо> Уо); (х°: у°: -У1’ У2; ~
— ЗГ#^^у1? (х0’ Jo)>
Отсюда наша формула может быть приведена к виду
У Ух, уу = !(х„, + Г = •*’ Д./(х„ Й) + Х=» Д, /(^, Л) +
+ Д1№. л) + Д1, / (х„, л>+
+ 4.f(х„ у.) + -хй14.,л.л> +
И О.
, (X—ХО)(Х— Xi)(y— у0) л3_
+ - ------2ГРй----------1Х°’ -У°'
+ Д^/Ы.. л) +
+ д|а/(хо, л)+...
или, если обозначить t = , и = ——-2-, то
h k
Р (хо Н~ J'o 4“ — f <хо< Jo) t^a>f(xo- Jo) 4“ мАг( /(х0, jn^ 4-
~Ь ^“2|—~ (хо- Jo) 4- f zzA^ f (x0, jo) 4-—(x0, j0) -ф-
+ 'X-O»-2» Д1. /(x,, у J + Д"., f (jCai л) +
+ Ai,./(X., л> + ?>- 4/(x„ ^ + ... (19)
Это — обобщение формулы Ньютона для интерполирования вперед
функций двух переменных. Аналогично можно получить обобще-
ния и других интерполяционных формул.
3. Другие способы построения интерполяционных многочленов
для функций многих переменных. Возможен и другой подход
к интерполированию функций многих переменных при помощи много-
членов. Мы уже не будем требовать, чтобы степень интерполя-
ционного многочлена была наименьшей, и будем рассматривать такие
системы узлов, для которых решение поставленной интерполяцион-
ной задачи будет не единственным. Но сам способ интерполирования
будет выделять из всего множества возможных интерполяционных
многочленов один единственный интерполяционный многочлен.
Пусть, например, нам заданы следующие узлы интерполирования:
(*о- Уо). Ui- Jo). • • • • (*» Jo).
(Х0, yj. (Хь уф....... (х„, Jo,
О о. У»г). Jm). • • •• (-Xi- Jm)- .
и даны значения функции f (х, у) в этих узлах. Возможен следую-
щий способ приближенного определения значения функции f в неко-
торой точке (х, у), не совпадающей с узлами интерполирования. Сна-
чала интерполируем нашу функцию как функцию одного перемен-
ного х при фиксированных значениях у{ (Z = 0, 1, . .., ж). При этом
мы каждый раз используем одну строку заданной таблицы узлов.
Таким образом, мы можем найти приближенные значения /(х,уг)
(i = 0, 1. ..., т). Затем по найденным значениям /(х, у$) путем ин-
терполирования по у находим f (х, у). Посмотрим, как будет выгля-
деть интерполяционная формула при таком способе интерполирования.
Применяя интерполяционную формулу Ньютона для неравных
промежутков, будем иметь:
/(х. у) = f(x, уф 4- (у — Ус) f (х; у0; у.) 4- . .
• • • 4-(у—уо)(у— У1) • • • (у—yw_i)/(x; Уо. Уб • • •;уот)4-
4-(у—ju)(y—уг) .. (у—уто)/(*; у0; Уб • • •; ут; у). (21)
Снова применим интерполяционную формулу Ньютона для неравных
промежутков к f (х; у0; У1; .. .; ул); рассматривая эту разделенную
разность как функцию х, получим:
f(x; у0; Уб •••; Ук) =
Уо’. Уб • • •; Ук) 4- (*— *0) хб у0; Уб • • •; у*) 4- • • •
. .. 4-(х — х0)(х — xj. . ,(х — х„_1)/(хэ;х1; .. .;хп;уэ;ур. . .; yfc) 4~
+ (х — х0) (х — xj. .. (х — х„)/(х0; Хр . . .; х„; х; у0; у,; . . .; уф.
(22)
Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, найдем:
f(x, у) — X 2(х-х’о)(х-х!) ••• (* — х«-1)Су — ?о) Су — л)...
{,5.0 ;=0
• • Су—^i: •••; хйУо>уу> —х0)(х —xj...
...(х-х„) X О-л)(З'-.уО • • -Су-л^Л*; м>; а; • • •; _у0: л; • • •
.-,У) + \У-у<^(у — УгУ-ЛУ— ym)f(x- У- Уо, У1' -\ут>- (23)
Здесь при j —0 и 7 = 0 получатся множители (х — x_J и (у—y_j).
Мы условимся считать их равными единице. Заметим далее, что
/(х; х0; .. .; х„; у)= X (J —Jo) (J ~Ji) • • • (j- J^j) X
X/(x: x0; xi; xn;y0; yi; ..y) + {y — y0)(j — Ji) • . -
• • Су— утШх> xo> -ч; • ••; x*; Jo; л; • ••; jot; у). (24)
Таким образом,
f(x, У) = Х S(* — *o)(* — Xi)...(x — x{_t)(y — y0)(y — Jl)
i-0 7-0
. • • (j — У^)/(х0; Xi: ...; x{; y0; y, . .; y) 4-(x —x0) (x—xj ...
... (x — xn)/(x; x0; хг; .. .; xn\ y) 4-(y — y0) (y —yj ... (у — ym) X
X f (x y0; У11 ...; ym) — (x — x0) (x — xj ... (x — xj (у — y0) X
X (У — Ji) • • (j~JW)/(X x0; . . xn; y; y0; y,; .. .; yj. (25)
Двойная сумма дает интерполяционную формулу, а остальные члены —
остаточный член этой формулы. Остаточный член можно записать
в другой форме. Действительно, рассматривая f(х; х0; ...; хп; у)
как разделенную разность по х{ при фиксированном у. будем иметь:
1 d"+1
/(х; х0; х1: . . .; х„; у) = - f (^, у),
min [х, хJ < Е < max [х, xj.
Аналогично
1 dw+1
f(x-. у; у0; у,; ...; у„) = (гоЧЛТ ~Г(х, ^),
min [у, уз] < < max [у, yj.
Далее, считая х, х0...хп фиксированными, будем иметь:
f(x; х0; хп; у, уу, . . уп) =
I dm+1
= TF+йу —/U; х0; xt; ...; хп;
Снова используя представление резделенной разности через произ-
водную, получим:
/(х; х0; , . .; х„; у; у0; yt; .. .; у„) =
1 1 а"ип+3 ч
-(т+1)! (п+1)! Tl,)
Таким образом, остаточный член может быть записан ь виде
о___ - —-/('f у) I 'а,п — f (х т)_________
К —(п+1)! ах"+1 («+1)! дут+1
<Дк (х) <ат (у) _(26)
(п+1)! (7П+ 1)! дхп+1дут+1 *’ ’ 7
В случае, если разности xf— х<-д иyj— yj_1 постоянны, мы можем,
как и в предыдущем случае, получить формулы с двойными конеч-
ными разностями. Мы здесь их выписывать не будем.
В заключение этого параграфа отметим, что можно получить
формулу, которая будет пригодна при любом расположении узлов.
Опять для сокращения записей используем векторные обозначения.
Наша формула будет иметь вид
p(x,y) = ^Zi
1 = 1
П ______ — _ — _ _ _
(о. Gi) И?. Л-а) (б-1. г,-, (,) (г,+1 r<,f+i) • •• (rn. Fin) .
(ril ri\) (ri3. гй) • • • ri> i-l) (ri< i+1. ri> i+1) • • • (Лп, Ge)
(27)
Проверим, что она удовлетворяет интерполяционным условиям.
Числитель каждого слагаемого представляет собой многочлен сте-
пени п— 1 по х и у. Следовательно, и вся сумма будет являться
многочленом по х и у степени не выше п—1. Если точка (х, у)
совпадает с одним из узлов интерполирования, например с (х;, уу).
то все слагаемые суммы, у которых индекс при z не совпадает
с г, обратятся в нуль, так как в числителе обязательно встретится
скалярное произведение (г^, гф, равное нулю. Если индекс при z
равен у, то дробь соответствующего слагаемого обратится в 1 и
Р(х.у) будет равно Zj.
Из самого вида формулы видно, что построение возможно при
любом расположении узлоь интерполирования. Действительно, зна-
менатели всех дробей отличны от нуля, если среди узлов нет сов-
падающих.
Построенный нами многочлен обладает следующими замечатель-
ными свойствами. Значение многочлена целиком определяется вели-
чинами z в узлах интерполирования, положением узлов на плоскости
и положением точки, для которой проводится интерполирование,
на плоскости. Оно не изменится при любом перемещении осей
координат. Если все узлы интерполирования расположены на одной
прямой, то значения Р(х, у) и значения интерполяционного много-
члена Лагранжа на этой прямой совпадают. Изменение нумерации
узлов интерполирования не меняет Р(х, у). Можно показать, что
Р(х, У), удовлетворяющий этим условиям, будет однозначно опре-
деляться нашей формулой.
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного
Сделаем несколько замечаний относительно интерполирования
функций комплексного переменного с помощью алгебраических
многочленов Очевидно, формула Лагранжа и все ее видоизменения,
приспособленные для различных частных случаев расположения
узлов, будут годны и для функций комплексного переменного.
Но остаточные члены, которые мы ранее получали с помощью
теоремы Ролля, в этом случае будут непригодны.
В этом параграфе мы дадим интегральное представление интер-
поляционного многочлена и остаточного члена для функций ком-
плексного переменного.
Пусть С—простая замкнутая кривая и /(^—аналитическая
на С и внутри С функция. Пусть, далее, узлы интерполирования
с0. Zj....zn также лежат внутри С. Рассмотрим интеграл
р (z) = — / f /г-, j-
2r.! J «QK-г)-’
с
где io (z) = (z — z0) (z — zL) ... (z — zn). Подынтегральная функция
аналитична на С и внутри С, за исключением точек z0, z,...zn.
Следовательно, интеграл будет равен сумме вычетов относительно
каждой из этих точек. Но
lim / (С) (С — a-t) = / (zfc) .
(С) С -г) v 7 “(**)(* —г»
Отсюда
п
f ’ (2) = 2 f (**) — = Z'n
к=0
т. е. Р(z) является интерполяционным многочленом Лагранжа.
Далее, представим Р (г) в виде разности
/'-'«> -.к
4 ’ 2nl J г 1т ,1 S> (С) (< — г)
С о
Первый член в силу интегральной формулы Коши равен J(z).
Следовательно,
f(zy — р (z\ ।__m f
c
Итак, остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа в нашем
случае может быть представлен в виде
К (г)
ч> (г-)
2т1
/(С)
-»('.)(: -г)
dZ
§ 14. Применение интерполирования
для составления таблиц
Теория интерполирования имеет большие приложения при состав-
лении таблиц функций. Получив задание на составление таблиц тех
или иных функций, математик должен решить перед началом вычис-
лений ряд вопросов. Должна быть выбрана формула, по которой
будут производиться вычисления. Эта формула может изменятся от
участка к участку. Обычно Формулы для вычисления значений
функции, использующие способ задания функции, бывают громозд-
кими и поэтому их используют для получения некоторых опорных
значений и затем путем с.убтабулирования сгущают таблицу. Фор-
мула, дающая опорные значения функции, должна обеспечивать нужную
точность таблиц с учетом последующего субтабулирования. Если
предполагается составить таблицы с постоянным шагом, то должен
быть определен шаг таблицы. Шаг таблицы связан с двумя факто-
рами: объемом таблиц и интерполяционной формулой, по которой
будут вычисляться промежуточные значения уже в готовой таблице.
Чем больше будет шаг, тем больше членов интерполяционной
формулы придется использовать при пользовании этой таблицей
на практике. Это создает некоторые неудобства при использовании
таблицы. С другой стороны, чем меньше шаг, тем больше объем
таблиц, что также не очень удобно. Математик должен как-то со-
гласовать действие этих противоположных факторов с учетом средств
вычислений, имеющихся в распоряжении потребителя. Если таблица
должна быть введена в быстродействующую машину, то особенно
важно уменьшить ее объем. При этом можно отказаться от постоян-
ства шага и использовать, например, узлы Чебышева на отдельных
участках, для которых, как мы видели, получается наилучшая
оценка остаточного члена интерполяционной формулы. При опреде-
лении шага таблицы будут иметь значение и такие факторы, как
наличие вычислительных средств и время, отведенное на вычисления.
Мы не можем здесь входить в детали каждого из поставленных
вопросов и остановимся лишь на выборе шага и субтабулировании,
Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была
допустима линейная интерполяция (т. е. интерполяция с использо-
ванием первых двух членов формулы). В этом случае остаточный
член будет иметь вид
Здесь $ принадлежит интервалу между двумя соседними табличными
значениями аргумента, в котором лежит х, a t заключено между
О и 1. Произведение t{t—1) принимает наибольшее по модулю
значение при £ = -^. Это значение равно $-. Следовательно,
Чтобы ошибка интерполирования не превышала по абсолютной
величине а, необходимо выбирать й, удовлетворяющим условию
(1)
Нужно помнить, что наряду с этой ошибкой — ошибкой метода,
при практическом вычислении промежуточных значений будут воз-
никать еще неустранимая погрешность и погрешность округлений.
Как мы видели ранее, неустранимая погрешность при линейной
интерполяции будет равна погрешности табулированных значений
функций. Погрешность округления будет зависеть от вычислитель-
ных средств и от программы вычислений. Поэтому здесь мы ее
касаться не будем.
Совершенно аналогично можно исследовать квадратичную интер-
поляцию и интерполяцию более высоких порядков. Если, например,
используется интерполяционная формула Эверетта, то остаточный
член будет иметь вид
fIV (£1
«2 (*) = h4 (R - 1) (t - 2).
и в этом случае наибольшее значение для — 1)(/— 2)| на |0.1]
1 °
будет достигаться при f = —. Это значение равно . Таким
образом,
и для того чтобы ошибка квадратичной интерполяции не превы-
шала а, нужно, чтобы шаг й удовлетворял условию
(2)
И здесь, кроме этой ошибки метода, возникают неустранимая ошибка
и ошибка округления. Неустранимая ошибка будет такова же, как
и для формулы Гаусса, взятой до третьих разностей. Как видно
из приведенной ранее таблицы, неустранимая погрешность не может
больше чем в 1,4 раза превысить абсолютные погрешности табули-
рованных значений.
Аналогично можно исследозать и другие формулы.
Рассмотрим теперь вопрос о субтабу лирсвании. Как применяется
формула Эверетта для субтабулирования, мы уже знаем. Приведем
здесь еще один способ субтабулирования.
Пусть /0, ... —данные последовательные значения функции,
соответствующие шагу аргумента, равному h, и Д, Д2, . .. — их
разности. Предположим, что нам нужно сгустить таблицу в k раз,
т. е. новый шаг будет . Обозначим новые значения функции
соответственно через/ио, /01, /02........../ю> /и....../1,к-ь
Здесь fio — fi, a fig— последовательные значения функции между
Xi и xi+t. Будем для определенности считать, что разности пятого
порядка исходных значений функции постоянны. Найдем выражения
для разностей значений функции с новым шагом через разности
с прежним шагом Для этого используем операторное исчисление,
примененное нами ранее для вывода интерполяционных формул.
По формуле Ньютона для интерполирования вперед будем иметь:
/oi = /(xo + 4)=/W +— +
+ k^k ..МЛ. J.(х0)-I-ЛИ---ЛЛ—А*—/ д7(Хо) +
_|_ * 1-М2--А*--- 2_ 1 дь; (Хо). (3}
Обозначим через Дг разность с шагом . Тогда
М(*о) = |Wo) + &f(*о) + - Д7(Хо) +
+ (4)
Таким образом, операторы Д и Дх связаны следующим соотноше-
нием:
Д — _Л Д I _!_- Д2 _|_И__JJ 1_дз _|_
— % Т W “ “Г 3!fe3
(1 Л>(1 — 2Л) (1 — ЗЛ) .-лк.-2^(1 — 5Л-) (1 — 4А) Л5
Следовательно, степени их будут связаны таким соотношением:
1 — k
2! а'-
З!*3
(1- *)(1-2*)(1 -Зя) 4
1! k“ 1
(1—fe)(l—2й)(1 —3fe)(l —
5! k'°
<в>
Отсюда последовательно получаем:
Д? = ±Д2 4- J^-дз u_<J—,*><7 —Д4 _1_
№ ’ k‘ ’ 12**
д» _ ± дз I 3(1 -*) (1-^(5^7*}
1 Я3 “Г" 2№ 4*5
^=кд4+-Ц^Д5-
Д1 = ^ГДЭ-
(1-fe) (1-2*)* 6
6*3
После того как получены разности, нетрудно, используя постоянство
разностей пятого порядка, произвести субтабулирование. Сначала
заполняем столбец пятых разностей, затем четвертых и т. д. пока
не придем к значениям функции. Эти формулы, связывающие Д и
можно получить и без операторного исчисления. Рассмотрим, как
это делается на примере. Возьмем те же значения sin х, которые
мы использовали ранее в § 7, и получим таблицу с шагом в 30'.
Таблица исходных значений функции и их разностей выглядит сле-
дующим образом.
X sin х /’ f- f>
9° 0,156434 51478
12° 0,207912 50907 — 571 — 138
15° 0,258819 50'98 — 709 — 138
18° 0,309017 49351 — 847
21° 0,358368
В нашем случае * = 6. Последовательно получаем:
sin 9° = sin 9°,
,,n9"30- = Si„9»+|^_ ^/;+
Sinio’=,i„9-+|4-±/; + A/>.
sin 10= 30' = sin 9° +
sin 11= = sin 9= + 4Д -1 +±f*.
Будем обозначать разности с новым шагом чертой сверху. Первые
разности будут выражаться так через предыдущие разности;
71 Afi______— f2 I /з
'Ч,~ 6 7 У. 72 71 ' 1296 7iV
7iA fi_______L f?_j___/з
Ji;,~ 6 7v. 24-1^ 1296 7“/.'
7’1 _ — f1___J- f* 4------— fa
y“/,—67,л 72 J ' 1296 7 V
71 -- — fi _L fa------1Z_ f3
J’l, 6 71/= 72 71 12967*/.
Вторые разности будут иметь вид:
1= 36^1 216'
Л = 36 216" ^4’
7з____1 f«___3 f3
7з — 36 71 216 7а/»‘
Третьи разности будут равны:
73 — Р
7’/. 2167’/,’
f з . _1— {•'
J4. 216 7 %
Подставляя сюда числовые значения, получим:
Д = А. 0,0514784-^- - 0.000571-------0,000138 = 0,00861346,
— i - 0,0005714-к^- • 0,000138= —0,00001267,
71 36 ' 216
Д = — -’ь 0,000138 = — 0,00000064.
Далее вычисления проводим так же, как в § 6, где мы про-
должали таблицу многочлена. Сначала заполняем столбец третьих
разностей, затем вторых, первых и, наконец, столбец зна-
чений функции. В узловых точках записываем данные нам зна-
чения. Расхождения могут произойти за счет округлений. Таблица
выглядит так’
X sin X Р г*
9° 9° 30' 0,156434 0.165047 8613.46 —12,67 —0,64
10° 0.173648 8600 79 -13,31 —0,64
10° 30' 0,182236 8587,48 —13 95 —0,64
11° 0,190809 8573,53 —14,59 —0,64
11° 30' 0,199368 8558,94 —15,23 —0,64
12° 0,207912 8543,71 —15,87 —0,64
12° 30' 0,216440 8527,84 —16,51 -0,64
13° 0,224951 8511,33 —17.15 —0,64
13° 30' 0,933445 8494,18 —17,79 —0,64
14° 0,241922 8476 39 —18,43 —0,64
14° 30' 0,250380 8457,96 —19,07 —0,64
15° 0,258819 8438,89 —19,71 —0,64
15° 30' 0,267238 8419,18 —20,35 —0,64
16° 0,275637 8398,83 —20,99 —0,64
16° 30' 0 284014 8377.84 —21.63 —0,64
17° 0,292371 8356,21 —22,27 —0,64
17’30' 0.3Л0704 8333,94 —22,91 —0,64
18е 0,309017 8311 03 —23.55 —0,64 1
18° 30' 0,317304 8287.48 —24,19 —0,64
19° 0,325568 8263,29 —24,83 —0,64
19° 30' 0,333806 8238,46 —25,47 —0,64
20" 0,342019 8212.99 —26,11 —0,64
20° 30' 21° 0,350206 0,358368 8186,88 8160,13 -26,75
Расхождения с точными значениями не превышают двух единиц,
шестого знака, да и то в конце таблицы.
§ 15. Обратное интерполирование
Часто на практике возникает задача об отыскании по заданному
значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами
обратного интерполирования.
Если заданная функция монотонна, то обратное интерполирова-
ние проще всего осуществить путем замены функции аргументом и
обратно и последующего интерполирования. Если заданная функция
не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не
меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интер-
поляционную формулу; используя известные значения аргумента и
считая функцию известной, решаем полученное уравнение относи-
тельно аргумента.
Оценка остаточного члена при использовании первого приема
будет такова же. как и при прямом интерполировании, только про-
изводные от прямой функции заменятся производными от обратной
•функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функ-
ция f(x) и Ln(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построен-
ный для этой функции по узлам х0, х1( х2, .... хп, то
/ (х) l.n (х) = j), - (х хп) ... (х хп).
Предположим, что нам надо найти значение х, при котором f(x)=y
(у задано). Будем решать уравнение £п(х) = у. Получим некото-
рое значение х. Подставляя в предыдущее равенство, получим"
f (х) — Ln (х) = f (х) — у = f (х) — f (x) = u>n (А
Применяя формулу Лагранжа (конечных приращений), будем иметь:
(X — X)/ (т.) = • «>„ (X),
где т] находится между х и х. Если [а, £>] — интервал, содержащий х
и х и mm \f' (х) | = тг 4= 0, то из последнего выражения следует;
а£[а, й]
При этом, конечно, предполагается, что уравнение Ln(x)=y мы
решили точно.
Рассмотрим примеры на обратное интерполирование тем и дру-
гим способом.
Пример. По заданным значениям функции:
X 1 2 2,5 3
У — 6 — 1 5,625 16
найти значение х, для которого j>=0
Единственной информацией о функции является данная таблица.
Судя по таблице, функция монотонна. Поэтому применим первый
прием. Получим:
, , (У + 1) (V—.5,625) (у—16) , 0 (у + 6) (у — 16) (у — 5,625) ,
1 (-5) (—11,625) (—22) г 5 (-17) (—' 6,625) “г"
(у+б)(уН- 1)(У~ 5,625) , (У + 6) (У + 1) (У- 16)
‘° 22 • 17 • 10,375 ’ 11,625 - 6,625 (—10,375) ‘
Полагая здесь _у=0, будем иметь:
х = 2,122.
Пример. По заданным значениям функции:
X 0 2
У —5 —4 —1
найти значение х, при котором у будет равен —2
В этом случае функция не монотонна. Поэтому применяем вто-
рой прием. Находим:
z С _____к ~Ь 1) (х______л Л 2)______1
l2(X)— о 1(_2) 4
х(х+ 1)
2-3
= х- — 5.
Полагая L2 (х) = —2,
получим уравнение для определения х:
х2 —3 = 0.
Отсюда х=±уг3.
Если число узлов велико, то применение второго приема при-
ведет к решению алгебраического уравнения высокой степени. Спо-
собами решения таких уравнений мы займемся позже. Здесь же
остановимся только на итерационном способе. Будем рассмат-
ривать только случай равноотстоящих значений аргумента. Используем
хотя бы интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования
вперед:
/(х0 + М} = д=/0 +- tf\ + + t{t- V--Л + • • •
а 2
При обратном интерполировании левая часть равенства известна и
требуется определить t. Для этого разрешим это равенство отно-
сительно t, стоящего при разности первого порядка. Получим;
/3
Л-/о /(/-1)/? /(/-1)^-2) -
/ * 2 /1 6 zi +•••
1 j J у
аз 2
Полученное уравнение относительно t будем решать методом по-
следовательных приближений. За начальное приближение примем
Подставляя /0 в правую часть, получим:
/»
. Л - А _ Ш-1) Л _ Ш4
f\ 2 f\ 6 7f
2 2 2
Затем таким же способом из tx получим /2, а затем /3 и т. д. В зна-
чительном числе случаев этот процесс сходится и дает в пределе
точное решение уравнения. Практически последовательные прибли-
жения заканчивают, когда два соседних приближения не отличаются
друг от друга с той точностью, которая нам нужна. Нет необ-
ходимости каждый раз использовать все члены правой части.
Обычно чем больше сделано приближений тем больше используют
членов.
Обратное интерполирование может быть применено для решения
уравнений. Для этого составляют таблицу значений функции и на-
ходят. при каком значении х функция обращается в нуль. Рас-
смотрим пример как раз такого рода.
Пример. Найти корень уравнения х5—5х4-3 = 0, заключен-
ный между 0 и 1.
Составляем таблицу значений функции у = х6— 5х-]-3 с ша-
гом 0,1:
X t P P P P P
0 3,00000 —49 999
0,1 2,50001 —49 969 30 150
0,2 2.0O032 —49 789 180 390 240 120
0,3 1,50243 570 360
—49 219 1 320 750 480 120
0,4 1,01024
—47 899 1 230 120
0,5 0,53125 —45 349 2550 1830 600 120
0,6 0,07776 4 380 720
—40 969 6 930 2 550 840 120
0,7 —0,33193
- 34 039 10320 3 390 960 120
0,8 —0,67232
—23 719 14 670 4 350 120
0,9 -0,90951
-9049
1.0 —1,00000
Перемена знака функции при переходе от 0,6 к 0,7 показывает,
что J (х) имеет корень в этом интервале. Формула Ньютона в этом
случае, примет вид'-
0 = 0.07776 — t 0,40969 +- 0,06930 -|-
4-о.оззэо + 0,009604-
4-^.^-^^-^--^^-0,00120.
Отсюда
0.07776 tit— 1) 0,06930 t(t— l)(f — 2) 0,03390
1 ~ 0,40969' 2 0,40969 6 0,40969
. t(t — 1)(Z — 2)(,t — 3) 0.00960 . r (e—1) (t — 2) (< — 3) (/—4) 0.00120
“I 24 0,40969 ' 120 0,40969
или
t = 0.18980205 4- t(t— 1)0,08457614 4-
4- t(t — 1)(t— 2) • 0,01379092 4-z(z — 1) (t -2)(t -3) • 0,00009763 4-
4-Z (t — 1) (Z — 2) (t — 3) (t — 4) 0,00000244,
Последовательные приближения дают
/о = 0,19; /1=0,1868; t2 = 0,180752; t3 = 0,18092680;
tt = 0,18091906; ti = 0,18091937; t3 = 0,18091936;
/, = 0,18091936.
Значения /6 и /7 совпадают. Поэтому в качестве х можно взять
х= 0,618091936.
УПРАЖНЕНИЯ
1 . Доказать, что совокупность функций
1 х хп
~R\x)’ ~R(x).....
где R (х) — многочлен, образует систему Чебышева на всяком отрезке, на
котором R (х) не имеет корней.
2 Доказать, что функции
1 —1—,... —L_
e,-^x ’ а„+х
образуют систему Чебышева при х^>0, если (k = 0, 1, .. ),
3. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в заданных
точках заданные значения:
X 1,45 1,36 1,14
У 3,14 4,15 < 5,65
Отв. — 14,2x3+ 28,67х + 91,37
X 0 1 2 5
У 2 3 12 147
Отв. х3 + х х+2.
X 0 1,5 3,4 6,8
У 1,45 3,14 4,65 4,11
Отв. — 0,0205х3 — 0,02х3 4- 2,7-Зх -ф 1,45.
X и 13 14 18 19 21
У 1342 2210 2758 5850 6878 9282
Отв. — 4,1x5 + 337,8x4 — 11283.9х8 + 182940.4х2 — 1460817х + 4593561,7.
4. Используя способ Эйткена найти указанные значения функции для
следующих данных:
X 14 17 31 35 /(27) = ?
у 68,7 64,0 44,0 39,1
Отв 49,46.
X 93,0 96,2 109,0 104.2 108,7
У 11,38 12,80 14,70 17,07 19.91
/(102) = ?
Отв. 15,38.
X 0 2 3 6 7 9
У 658 503 704 969 729 000 804 357 830 584 884 736
/(5) = ?
Отв. 778 687.
5. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, доказать, что
V ______________(-1)*”___________ , у 22р+1
(2р + 1 — 2m) ml (2р -j- 1 — 2т)! V ’ [(2jp+1)!? '
w=0
Указание. Рассмотреть 7(х) = 1 на [—1, 1] и взять в качестве то*
чек деления х^р = — 1 + 9 *тгт (« = О, 1, 2. ..., 2р-|- 1).
“Г 1
6. Доказать, что
V ( 1хт~1 1 <•»+< ___ ,__(т-(-л 2)1
44 ' ° п п+т * 4 (т —1)1 л' *
1=0
Указание. Применить формулу Лагранжа к функции
/(Х) = <л ~ <л ~ 1~ *' ••• (2 —.
Положить х0 = 0, h = 1, х — п т.
7. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следую-
щую формулу:
——=V (т>л).
т — п ' т— k '
к=0
8. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следую-
щую формулу:
п
= У (- 1)*’* (т > п).
т—п т—k т п ' ’
к-й
9- Доказать, что
^оп (*) + (•*) + ••• +- Lnn (х) = 1,
Up — х)к L„n (х) + (xt — х)* Lin (х) + ... + (х„ — х)к Lnn (х) = О,
(k= 1, 2, .... п),
где
(х—Хр) (х —xt) ... (х—Х(-1) (х —Xi+1) ... (х —хп)
1П V (Xi— Хр) (х< — Xj) ... (Х£—Xj-iXXj- -х<+1> ... (Xi— хп) ’
10. Доказать, что
I < — 1 -L Х ~ *0 —L ' Х0> <* —*1) I
in() 1+ Ло_Ж1 + (Xp_x1)(xo-xs) +,,Ф
(х —х0)(х —xt) ... (х —xn-t)
(Хр — Xi) (Хр — X,) ... (Хр — хп_ 0 •
11. Пусть /.п(х)— интерполяционный алгебраический многочлен сте-
пени л, построенный для функции /(х) по узлам х0, Xi..хп. Получить
интерполяционную формулу Лагранжа, разлагая дробь
___________Хг (х) _______
(X — Хр) (X — Xi) . . . (X — х„)
на простейшие.
12. Даны значения функции в т-\- п точках. Доказать, что можно найти
такую рациональную функцию, числитель которой имеет спепснь т— 1,
а знаменатель л, которая совпадает с заданными значениями в заданных
точках
13. Взяты три значения функции f (х): /(л), /(6), /(с), вблизи ее макси-
мума или минимума. Показать, что значение х в максимуме или минимуме
приблизительно равно
(«“> — л’) f {а) 4- (с? — л’) f (Ъ) -|- (д’ — А’) / (с)
2 {(* - с)/ (л) + (с - л)/ (*) (л - *) I (с)} ’
14. Для любых л + 1 чисел с0, clt ..., сп возможно и притом единствен-
ным образом построить многочлен Р (х) степени, меньшей или равной п,
удовлетворяющий условиям
Р (-’•в) = с0> Р (j^l) = • • •• Р' ' = СП‘
Числа х0, Xt, ..., хп произвольны: Доказать это и найти формулу для Р(х).
15. Пусть многочлен
/(х) = Лох™+л^-Ч- ••• +ап-1х + ап
имеет отличные друг от друга нули ху, х2..хп. Тогда
при
при
0 k <' п — 2,
k = п— 1.
16с При тех же предположениях
у kx*~lf' (хД— x^f (х,) 1 0 при 0<&.<2п— 2,
[/ (•*»)]* ] при k = ‘2п — 1.
17. Если, кроме того, хч отличны от 0 и —1, то
\д х’*/( J£71) п
2 f (xj (1 + хД = П [1 - • • • Хп]-
м-1
18. Зная значения sin ж при х = 0, -р-> -j-’ V ’ 'б'> на®ти sin х при
О Я <5 .1
х = -уу . Оценить погрешность.
• ЛО Я Я Я ТС Я
19. Зная cos х при х = 0, -я-, -г > -я-» -г , наити cos х при X = —
6 4 3 2 12
Оненигэ погрешность
20. Дана таблица:
X 340 350 360 370
1g X 2,5314789 2,5440680 2.5563025 2,5682017
Найти 1g 355. Оценить погрешность.
21. Дана таблица:
X 0,176327 0,267949 0,363970 0,466308
arc ig х 10“ 15° 20° 25°
Найти arctg 0,3. Оценить погрешность.
22. Дана таблица.
X 33’40'00" 33° 40' 40" 33е 41' 10" 33° 42' 00" 33° 42' 10"
COS X 0,832277 0,832169 0,832089 0,831954 0,831927
Найти cos 33° 40'10х' и sin 33° 40'10", Оценить погрешность.
23, Дана таблица:
X 18° 20' 00" 183 20' 10" 18° 20' 50" 18° 2Г 00" 18° 21' 40"
COS X 0,314545 0,314591 0,314775 0,314821 0,315005
Найти sin 18° 20'30". Оценить погрешность.
24. Пусть в качестве базисных функций для интерполирования выбраны
ea'x, .... ev,
где af—некоторые действительные числа, a,- ay при I j Найти оста-
точный член соответствующей интерполяционной формулы.
25, Дана таблица значений многочлена третьей степени:
X 0 2 3 5 6 — 1
/(А) — 1 113 .381 1754 3029 — 16
Известно, что допущена одна ошибка. Обнаружить ошибку и исправить ее.
По формуле Ньютона для неравных промежутков вычислить /()), /(4), /(7).
Восстановить исходный многочлен.
От*. 14х*-|- х— 1. Ошибка при х = 3; /(3) — 380.
26. Показать, что л-я разделенная разность многочлена л-й степени
равна коэффициенту при х« независимо от выбора узлов х0« -*i.....хп-
27. Показать, что если /(х) = (х— х0) (х — хц) ... (х— хп), то
/(х0; xf, ...; xjO) = 0 (р<л).
28. Показать, что если аргументы умножить на одну и ту же постоян-
ную с, а значения функции оставить неизменными, то разделенные разности
У(хп: Хп ...; хп) умножатся на с~п.
29. Показать, что разделенные разности не изменятся, если аргументы
увеличить на одну и ту же величину, а значения функции'оставить неиз-
менными.
30. Доказать,-что
f (^-1» ХЪ * • •» хп)-------- ••• | ' (^1-^1 “Ь ?ЪХЪ “Ь • • • 4" ?пхп) М-Ч - - •
где интеграл распространяется на все положительные значения ti, удовле-
творяющие условию
+ ••• +61= !
31. Показать, что если /(х) = ?(х)ф(х), то
f {ао, а£
п
«») = 2 4 («о; «ъ • • •; О I (««+i; «<+з; • • •; ««)•
>-0
32, Обобщить предыдущую Формулу на случай k сомножителей, т. е.
показать, что если f(x) = ? (х) • <р2 (х) ... <р& (х), то
/(ао; а£ •••> йп) —
= 3?1(«0; «р---: ••• а»)>
где сумма распространена на все значения ..., ln+ъ удовлетворяющие
неравенствам
•О
4-1 < п.
33. Конечная разность первого порядка функции f (х) имеет вид
ах8-|-Рх54- /х-|-В. Найти, какой вид имеет /(х).
34. Лана таблица натуральных синусов с шагом в 1°. Какова наиболь-
шая погрешность линейной интерполяции? Тот же вопрос, если шаг ра-
вен 1', 1"?
35. Дана таблица натуральных логарифмов чисел от 1 до 10, Какова
наибольшая погрешность линейной интерполяции, если шаг равен 0,001?
2 /•
36. Таблица интеграла вероятности — / е"'* dz от х = 0 дох = 3 дана
ТС J
о
с шагом 0,001. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции?
37. Таблица й® дана от 0 до 1 с шагом 0,01. Какова наибольшая по-
грешность линейной интерполяции?
38. Лана таблица:
X /(х) * /W
20 0,229314955248 26 0.231422001936
22 0,230016702495 28 0,232125550246
24 0,230719052039 30 0,232829695032
Найти /(21) и /(29).
39. Лана таблица1
X /U) X /(*)
0,51 0,5292437 0,55 0.5633233
0.52 0,5378987 0,56 0,5716157
0.53 0,5464641 0-57 0,5798158
0,54 0,5549392
Найти /(0,5124) и /(0,5716).
40, Дана таблица:
X /(*) X /U)
1500 1501 1502 1 760 912 591 1 763 806 922 1766 699 326 1503 1504 1 769 589 805 1 772 478 361
Сгустить таблицу до шага 0,1.
41. Дана таблица значений полного эллиптического интеграла первого
рода А (а):
а Х(«) а А (а)
75° 2,76806 80“ 3,15339
76“ 2,83267 81° 3,25530
77° 2,90236 82“ 3,36987
78° 2,97857 бЗ° 3,01)042
79° 3,06173 84° 3,65186
Получить таблицу с шагом в 30'.
42. Дана таблица пятизначных логарифмов чисел:
X 300 310 320 330
logx 2,47712 2,49136 2,50515 2,51851
Составить по ней таблицу с шагом 1. Сравнить результаты с табличными.
43. Дана таблица:
X 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60
ch х 1,04534 1,06188 1,08107 1,10297 1,12763 1,15510 1,18547
Сгустить таблицу в пять раз. Сравнить результаты с табличными.
44. Взяты 2г + 1 различных значений /: 0, ± А; ± А; ...; ± tr. Выписать
интерполяционную формулу, использующую узлы
х0 = а, х2г — а — trh, = а -|- trh.
Найти остаточный член этой формулы.
45. При обозначениях предыдущей задачи и при
Р(О = гП^2-ф. Л(0 = 'П(^-ф
к=£г
будут иметь место следующие формулы:
г
f(a-\- th)± f(a -th)=V [f (a + tkh) + f(a - tkk)} + R,
fc-1
где
/? = C2h2r+2^P (t) f(a± th; a; a ± tyh; ..a ± trh)
и
r
f(a + th)-f(a [f(a + tkh) -f(a- tkh)] Ц- R,
Wk)
k^l
где
R = h2r+1P(t) {f(a. + th', a; a ± fh;..a + trh) +
4-/(a — th' a\ a ± Z( Л. .: a ± trh)
46. Доказать, что при тех же обозначениях и при обозначениях
н (л = П (^ - '*)• Я« = П ( ^ ~ Ф
Л—1 Л-1
Л^<
будут иметь место следующие формулы:
г
/(а + /й.) = 1 У [(/ + tk) f(a+tkh)-{t- fk) f{a — tkh}} + R.
2 tktik (tk)
k^l
где
R — hn‘rH (t) f(a -т-th; a ± ^Л; ...; a ± trh)
и
r
f{a - ht} = 1 V ТИ^~ [(f 4- tk).f(a - tkh)-{t-lk)f(a 4- ^Л)] + R.
tkhlk (tk)
k=i
где
P = f (a — th; a ± fh;...; a ± f,h).
47. В прежних обозначениях имеют место следующие формулы:
f(a 4- th) 4- f(a-th} = V +
nk(tk)
A-I
где
R = Ъ.^н (t}\f (a th; a + txh;...; a ± t,h)-\-f (a — th; a±txh;...; a ± trh)
и
/ (a 4- th) - f(a - th) = V ' ° - [f(a 4- tkh) - f{a - ikh)} 4- R,
tknk \fk)
где
R = 2й2г+ ltH (О у (а ± th; а ± txh;...; а ± trh).
48. Вывести формулу
k-i
/(а + th)+f(a- th) = 2f(a) - 2 V JJ _ /2) + R>
k^i • г=о
где
г=о
49. Вывести формулу
0/21-1 /2*
* А ° 1-1
/(« + th) -/(a-th) = ^- t JJ p - /3) + /?,
k-i t-i
где
к-1
50. Вывести формулу
/(^ + "2''F j + J + 2" — th'
xik-i
” У ’ к
_/(«)+/<<.+ 4 + 2^ П[/!-(г?-3П+Л‘
Ь2 ,=•?
где
к-1
51. Вывести формулу
+ "2 4~ th | — у I а + — th | =
у 21-1
= Ч+224^'П['’-(^П+«'
: 1-2 1=2
где
/? = 2
у(2п+1) (
’(2^+1)!’
52. Построить интерполяционный многочлен Эрмита по следующим,
данным:
X 0 1 2
У 1 —1 0
у' 0 0
У" 2
Л 37 . . 65 117 , ...
Отв. — $ Л'5 + x* i--g хл -}- х’ + 1.
53. Построить интерполяционный многочлен Эрмита по следующим
данным:
X —1 0 1
У —1 0 1
у' 0 0 0
Отв. -i- х* (5 — Зх'-’).
54. Пусть интерполяционный многочлен Эрмита ищется методом не-
определенных коэффициентов, т. е. рассматривается многочлен
Р(х) = с04-с1х+ ... +с„,х»>
с неопределенными коэффициентами и с0, сь ..., ст подбираются так, чтобы
P<SH^ = y^’ «=»! + “*+••• Ч-»»-1-
Показать, что получающийся при этом определитель отличен от нуля и
вычислить его.
55. Показтть, что
У (Х|, • • • > Х$, . . •, Хр, . . * , Хр) Л=
Л|
1 I, ’ р-">
= J d4 Ф '/1П- 4 (У) rf^-1.
оо о
216 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 2
где
У = (1 —Од—••• — tp-l) хр-1-\-1р--\Хр,
а
(л -«"•-*...
>_ </=;-bi
ЛИТЕРАТУРА
1. Ш. Е. Микеладзе, Численные методы математического анализа, Гос-
техиздаг, 1953.
2. А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Гостехиздат, 1952.
3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
4. И. II. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949,
5. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956.
6. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951.
7. Э. У и г т е к е р, Г. Робинсон, Математическая обработка результа-
тов наблюдений.
8. И. Ф. Стефен сен, Теория интерполяции, ОНТИ, 1936.
ГЛАВА 3
В данной главе будут рассмотрены численные методы решения
простейших, но очень распространенных задач математического ана-
лиза— дифференцирования и интегрирования функций.
Дифференцирование и интегрирование являются частными слу-
чаями функций, определенных на функциональных пространствах,
о которых говорилось во Введении. При этом каждой функции не-
которого функционального пространства R ставится в соответствие
либо снова функция (при отыскании производной или неопределен-
ного интеграла), либо некоторое число (если ищется производная
в определенной точке или определенный интеграл). Например, понимая
под А* совокупность всех функций, имеющих на отрезке [а, />] не-
прерывную производную, можно рассматривать дифференцирование
как функцию А(/), определенную на R, с помощью которой эле-
менту f(x}£R ставится в соответствие функция <р(х)£С, где
<р(х) —/'(х), т. е. Л(/)—/'(х) или Az=~.
Во многих случаях значения этих функций не могут быть най-
дены точно использованием методов дифференциального и интеграль-
ного исчисления. Тогда прибегают к приближенному решению этих
задач, используя общий метод, описанный во Введении. В этой
главе мы будем рассматривать методы численного дифференцирова-
ния и интегрирования, основанные на замене пространства R другим
пространством R. т. е. будем заменять задачу A (f) = <р f £ R зада-
чей А (/) = ср. / £ R.
В основу замены R на R положим уже рассмотренный метод
приближения — интерполирование.
§ 1. Задача численного дифференцирования
К численному дифференцированию приходится прибегать в том
случае, когда функция /(х), для которой нужно найти производную,
задана таблично или же функциональная зависимость х и /(х) имеет
очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы
дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором
случае их использование вызывает значительные трудности
В этих случаях вместо функции /(х) рассматривают интерполи-
рующую функцию <р(х) и считают производную от /(х) приближенно
равной производной от <р(х). Естественно что при этом производ-
ная от /(х) будет найдена с некоторой погрешностью.
Функцию /(х) можно записать в таком виде:
f(x) — <? (X) 4- R (х),
где ®(х)— интерполирующая функция, a R (х) — остаточный член
интерполяционной формулы. Дифференцируя это тождество k раз
(в предположении, что /(х) и <р(х) имеют производные fe-ro порядка),
получим:
/<*) (х) == (х) н- /?« (х).
Так как за приближенное значение (х) принимается ^(х), то
погрешность есть AJ‘z'(x). При замене/(х) интерполирующей функ-
цией ф(х) предполагается, что остаточный член мал, но из этого
совсем не следует, что мало R'‘‘} (х), ибо производные от малой
функции могут быть весьма велики. И на самом деле, практика пока-
зывает, что при таком способе, вычисления производных
получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычис-
лении производных высших порядков.
Рассмотрим формулы дифференцирования в общем случае, когда интер-
полирующая функция <f (х) строится как линейная комбинация базисных
функций -.р0 (х), <р,(х), ..., (х), образующих систему Чебышева на рас-
сматриваемом отрезке [я, А].
Пользуясь результатами предыдущей главы (см. (2) § 4 гл. 2), запишем
функцию / (х) в виде
п X
/(X) = <f (х) 4-УфДх) X(xf,j)Z.n+1(/(s)]ds. (1)
п
Здесь v (л) = 2 (х)— интерполяционный многочлен, Фу (л) — линей-
ная комбинация базисных функций (х) (k = О, 1, 2,..., п), удовлетворяю
щая условиям
Ф< (,xj) =
Xi — узлы интерполирования,
К (х, з) = IF-1 [<р0 (з),..., (3)1 •
То («) Т1 («) • • • Тп («)
То U) Ti(s) •••T«(s)
^-^(s)' (s)’тГ^)
То (*) Ti (-*) • ?п (х)
А-п+1 [/ (s)l — (то (s)i • • •> Тп (s)> /(s)l (То (s)........Тп Is)!-
(2)
(3)
Дифференцируем обе части равенства. Получим:
п X
f (X) = <Р (X) +- Ф4 <Х) f *) Ln+x[f(S)]ds +
i=o
т у Ф{(х)А(х„ х) А„+1 [/Дх)]
i=0
Но
У ф< (X) к (х<, X) Ая+1 [/ (х)] = £п+11/(х)] У Ф< (х) 2 ф> (Xi) G} (X) «
1 = 0 1«0 J=0
= Ln + 1 [/ (X)’ У Ф,- (x) G; (x) = Z.„ + 1 [/ (x)] Д (X, X) = 0.
1=0
Таким образом,
n x
/'(x) = <f' (x) 4 У ф' (x) A(Xj, s)Z.„+i|/(s)]fl?s, (4)
4 = 0 SCj
При численном дифференцировании за приближенное значение производной
берут <р' (х) Тогда второй член справа будет давать остаточный член.
Дифференцируя последнее равенство еще раз, найдем:
П х
f" (X) = (X) 4- У ф" (X) J А (х<; з) ^П+1[/(s)]ds4-
i=o а>{
+ У < (х) А(X., X) £п+1 [/ (X)]
1 = 0
И в этом случае
п п п
V ф' (X) A (Xj( x)Ln^\f (X)] = £п+1 [/ (X)] 2 < w 2 (Х<) W =
1=0 i»=0 7=0
н
= = =0.
103 = 8
1 = 0
Поэтому
71 X
Л (X) = Y' (X) 4- V ф; (X) J К (X I, s) Ln+И/ (S)] ds. (о)
4=0 Ж,
Опять первый член справа дает приближенное значение производной, а вто~
рой — остаточный член.
Эти рассуждения можно провести для производных любого порядка,
меньшего или равного п.
Из полученных выражений остаточных членов видно, что формулы
численного дифференцировании дают точное значение для производных,
если f (х) является произвольной линейной комбинацией базисных функций
% (х), <Р1(Х),..., <р„(х).
В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные формулы
численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполи-
рование с помощью алгебраических многочленов.
§ 2. Формулы численного дифференцирования
1. Формулы численного дифференцирования для неравно-
отстоящих узлов. Будем исходить из интерполяционной формулы
Ньютона для неравных промежутков:
f(x)=f(Xf) + (x—х0)/(х0; xl)Xr(x — xi)(x — xi)f(x0; xt; х2)Ч-. ..
... Д(х—х0) (х—Xt) ... (х—xn_1)/(x0; хр ...; x„) -I- (x-x0) (x—Xj)...
. . (x— xn)f(x; x0; xp ...; x„). (D
Для сокращения записей обозначим х — х; —а,-. Дифференцируя обе
части равенства (1) один раз будем иметь:
/'(х)=/(х0; хОД-СооЧ-аО/СХо; хр. х2)Д-
Д-(aoai-|-aiia2 “I-аЩг) f (Хц! х,: х2; Xg)4* ...
... Ч- (aoa1...a„..24-3o®i' • .ап_Чл-г^-.-Ч-аЛ• • -ал- i)f (*о> *о •••> хп)~^~
+ %1. _. Хп) + (х) df(x-, х^.. ; Хп) . (2)
За приближенное значение первой производной при численном
лифференциоовании будет приниматься
£л(х)=/(х0; xj-U(oq at)/(x0: хрхДЧ*
Ч-(аоа1' I-аоа2 а1аг)/(хо> х!> хг> х,) Д- ...
• • • Ч- (441 • • - an-2 Ч~ acai • • • an-^n-i Ч- .. . Ч- аЧ4 • • • an-t) Ч
Х/(х0; хр ...; хп). (3)
Остаточный член будет выглядеть так:
R=• •-;*,.) ч- ®я (*)rf/(x: ~LXn) • (4)
Упростим второй член справа. По определению
df(x; х0;...; х„) __ Ит fix': хь. xt;...; хп) —/(х; х0; хр ...; хп) _
rfX о;’-» в х‘ —х
= lim /(х'; х; х0; х.; ...; х„)=/(х; х; х0; хр . ..; х„).
ж' ->л-
Таким образом,
R^х’ хо’ xi; • • •> х«)х> *о'. *i> • • •; хг) (5)
или, если использовать связь разделенных разностей с производными,
Я
_ ^.пИ), ,/|п+а^
dx ки-г-1)! ~г '
(6)
В узлах интерполирования х0, хь ..., хп второй член справа обра-
щается в нуль и выражение остаточного члена будет более простым.
Дифференцируя еще раз, получим:
/"(х) = 2/(х0; Xi, х2)+-2(а0-4-а1н-а?)/(х0; хр, х2; х3) -)- ...
. . . 4~2 (ЯЛ • • • аЛ-3 ~+~ Д021 - • ап-4ап-2 + - • • Ч" а2а3 • • ап-1) X
X/^oTvp, х„)-|. f(x- Хо- Х1- .... %и)н_
+ х<>‘ ** + — (7)
За приближенное значение второй производной при численном диф-
ференцировании будет приниматься
L'r.(x) = 2 |/(х0; хр x2)-J-(a0-|-ai + a2)/(х0; Xf, х2; х8) + ...
... -J-(o^aj . . art_3-)-aua1 . .. an_4a„_2 +- .. . Ч-а^з «n-i) X
Х/(х0: хр, ..., xn)]. (8)
Остаточный член будет иметь вид
/г = f (*; *г.. •.; -и -+-
+ 2^их± d/Uхп, ь (х) *У(л;^...;х„) _ (у>
Второй член справа упрощается так же, как это делалось для пер-
вой производной. Упростим третий член. В силу определения произ-
водной и свойств разделенных разностей будем иметь;
d?
Тх^х>
: х^ = ^^х’ х; х°’
п /(х'; х'; х0; хр ...; хп< —fix; х; х0; хр
Нт
/ (х'; х'; х0; хр ...; х») — / (х'; х; х0; хр
-|- Нт
fix'; х; хс; хр,хп,'.— <(х, х, x0; гр.
= Нт /(х'; х'; х; хс; хр ...; lim f(x'; х; х; х0; хр
<= 2/(х; х; х; х0; хр ...; хп).
Таким образом, остаточный член в этом случае примет следующий
Я = ~;Lхо> xi< < хп> 4-
4- 2 ^-”^-/(х; х; х0; ху ..xn)4-2w„(x)/(x; х; х; х0; ху, ..хп)
(10)
ИЛИ
/1Я+1)(е) , Q^nix)/n+3’(e,) fr/n+3)&) ,.n
К dx$ (n-Н)! 2 dx (n-l-2)! -!-2u>nW (п_|-3)! • ’
Если x принимает одно из значений х0, xt........хп, то последнйй
член справа обратится в нуль и остаточный член упростится. Ана-
логичные рассуждения можно провести и для любого k 4^ п. В общем
случае получим:
_/(') (х) — й! | f (х0; Хр ...; Х/е)-^-(х()-4-л1 1— ... f (х0; ху..х^+0-|-
4- (aoai 4’-3oa2 -j- ... 4-&Л+1) X
X/ (х0’ ху • • •; х4+2) 4- . • • 4-(aoai • • • an-k 4г - • •
• • 4 as+iaft+2 • • • aw-i)/(x0: ху ...; х„)| Ц-
+ ^-xk[^n(x)f(x; х0; ху ...; х„)]. (12)
Для упрощения остаточных членов нам понадобятся выражения
dm
d^f(x'> Х1; • • ’ Х»> (т<п).
Покажем, что
dm
ХО’ хй •: xw) = nt!/(x; х; .. .; х; х0; х,; .. .; х„). (13)
от+1 раз
Как это следует из предыдущего, при га = 1 и 2 эта формула спра-
ведлива. Предположим, что она справедлива при т = г, и докажем
ее справедливость при m = r-|-l. В силу нашего предположения
dr z/
V тг/ \х', хп;
dxr J 0
х„) = г!/(х; х; . .х; х0; Хр ...; хп)
ZJ-1 раз
и
(х; х0; Хр ...; хп) ri£jr/(x3 x; ...г; х0: ху, ...; хп).
г+1 раз
Воспользуемся опять определением производной
.с,- Хп', _
dx +‘
f(x’’, х’\ ...; х’\ х0; х-;...; хп) — / (х; х;...; х; х,,; х,;...; хп)
--------... - - — _ • - I —•
= г! lim
х' -> X
г+1 раз
г + 1 раз
Выражение в числителе последней дроби можно записать в виде
г f 1
2 {f (х'\ х'; ...; х'; х; х; ...; х; хе; ..хп) —
k-i--------------- '-------.------
k раз г+1— k раз
—/(х'; х'; .. х'; х; х; .. х; х0; хх; ..xn)J =
ft—1 раз r+2—k раз
г+1
= (х' — х) У /(х'; х'; .. .; х', х; х; ...; х; х0; хь . ..; хп).
к•-1 ----------------------- '--------'
k раз г+2—k раз
Таким образом,
(х; х„2 хп ..jxj _
dxr+1
г t '
= rl lim 2j f (x'> • • •; x'> x> • • •’> x‘> x0; xn) =
.т' -> .г ----------«---------
к раз r+2—к раз
= (r -J- i).'/(x; x; ...; x; x0; xb- ..xn),
r+2 раз
и формула (13) доказана. В силу доказанной формулы остаточный
член при численном отыскании производной порядка k может быть
представлен в виде
О __ У1 ri fly х • X \ Л ___
К — dx*1 х> ° ' Хп’ dx^-i ~
ft
= <14>
*+1 раз
ИЛИ
k
R = X (У Ч‘-«<х). <15>
г—О
где —некоторые точки, заключенные в интервале между наиболь-
шим и наименьшим из чисел х, х0, xt, .... х„.
Если точка х находится вне отрезка, содержащего точки х0,
xt, ., хп, то остаточный член может быть представлен более
простым выражением. Для этого рассмотрим многочлен
Q(x) = Дп(х)Д-Сф„(х) (С = const).
Он совпадает с функцией /(х) в точках х0, Xj........хп. Подберем
постоянную С так, чтобы в точке х', для которой производится
оценка, имело место равенство
Q(t) (х') = (х') + (х') = /(к) (х').
Это возможно, так как все корни уравнения o>W(х) = 0 лежат
в наименьшем отрезке, содержащем х0, хм .... хп. Рассмотрим
вспомогательную функцию
? (х) = f (X) ~ Ln (х) — Со>„(х).
Эта функция обращается в нуль в точках хэ, хх.......хп. Следова-
тельно. первая производная ее обращается на наименьшем отрезке,
содержащем точки х0, х,, х„, в нуль по крайней мере п раз.
Проводя те же рассуждения дальше, получим, что производная
порядка k обратится на этом отрезке в нуль по крайней мере
п -j- 1 — k раз. Но в силу выбора С она обратится в нуль и в точке х',
лежащей вне этого отрезка. Таким образом, она обращается в нуль
по крайней мере в п-]-2— k точках. Снова будем последовательно
применять теорему Ролля. В конце концов, придем к выводу, что
производная порядка п -|~1 обращается в нуль но крайней мере
в одной точке В. Но
tp(»+i) (jc) = f<n+ о (х) — Са)0»+0 (х) = /("+0 (х) — С (п -|- I)!
Отсюда
(«+1)1
и
/№) (хЭ _ LТ (х') = (X'). (16)
Получили более простое выражение остаточного члена.
Рассмотрим пример на применение формул численного диффе-
ренцирования.
Пример. По таблице
X 10° 14° 16° 20°
мп х 0,173648 0,241922 0,275637 0,342020
используя формулы численного дифференцирования, найти cos 15’
и sin 15°.
Составляем таблицу разделенных разностей:
хг У(х4) /(x;i х1+1) /(X/; xi+i, хг+2) f+ ^i42> ^4з)
10° 0,173648 17068,50
14° 0,241922 16857,50 — 35,17 — 0,84
16° 0,275637 16595,75 — 43,62
20° 0,342020
Отсюда получаем^ учитывая, что в нашем случае а0 = 5, ах — 1,
а-2 = — 1:
cos 1501 = [/ (х0; *i) • («о 4" 21) f (х0; xt; х2) 4"
Н~(аоа1 Н~аоа2 н~а1а2) / (-*-0; *1» xl' Хз)] —-
= [0,0170685 — 0,0002 J1 4-0,00000084] • 57,295779 = 0.965912,
.. !80
Множитель — справа появился за счет того, что у нас х взято
в градусном измерении. Точное значение с шестью верными зна-
ками cos 15°= 0,965926, Используя формулу для второй произ-
водной, получим:
sin 15 = 2 [) (х0; х/, х2) (ао _Fai Ч-аг) f (а-о> х\> хг< хг) 11 —
= 2 |0,00003517 -|-5 • 0,00000084] 3282.8063 = 0,257027.
Точное значение sin 15° с шестью знаками равно 0,258819. Рас-
хождения получились довольно значительными. Это и естественно,
так как функции могут быть и очень близки друг к другу, но иметь
сильно различающиеся производные.
Произведем оценку погрешности. В первом случае остаточный
член будет иметь следующий вид:
При этом
0)3 (х) = (х — 10°) (х — 14°нх — 16°) (х — 20°) ,
<ва(х) = [(%— 14э)(х— 16’) (х — 20^4-
4 (х— 10°)(х— 16°)(х —20°)-Их— 10°)(х — 14°)(х —20°) 4-
-|-(х — 10°) (х — 14°)(х- 16°)] (1У3.
При х= 15° получим-
Ц)3 (15°) = 25-0,000000092, w' (15°) = 0,
Таким образом,
|Я|< 0,000000092 0,000000019 .
Эта величина значительно меньше фактически полученной погреш-
ности. В данном случае вычислительная погрешность значительно
перекрывает погрешность метода.
Во втором случае
и~ w + 2 w + 2 W.
При этом
ш" (15°) = [— 52] — 0,0003 52 = — 0,00156.
Таким образом,
. D, . 0,00156 , 2-25 •0,000000092 r
IЯ I < —2~ ----------720-------0,000065.
И в этом случае вычислительная погрешность очень велика.
2. Формулы численного дифференцирования для равноотстоя-
щих узлов. Если узлы интерполирования расположены через рав-
ные промежутки, то удобнее использовать соответствующие интер-
поляционные формулы. Так,, например, взяв интерполяционную
формулу Ньютона для интерполирования вперед
f (*) = / (хо 4 - Л 4 tf\ + -> f\ + 1 '• 1 f\ 4-
3 2
+ (17>
в результате последовательного дифференцирования получим:
•'' dt _ 1 Г ,i ‘It — 1 fft Зг2 — 6f + 2 ,з
dt dx A ' 2! 3! '«
. a a
«3—18^4-22^ — 6 , Л
4----------.
_ 1 Г /2 । 6/ —6 ,3 , 12t2—36Z-r22
J W Л2 3! I-1 41
L 2
L 2
(18)
В частности, при х = х0 будем иметь:
/ (*о) — h
2
(19)
Если использовать значок А для разностей, то последние формулы
будут иметь следующий, легко запоминающийся операторно-сим-
волический вид:
(ii \п
hTx) Чх0)=1,1п(1+Л)}п/(х0)-
(20)
Здесь предполагается, что формальное разложение 1п(1 -|-А) =
дз , Д-’
= Д— g’-r-jj-— ---• доведенное до постоянных разностей, фор-
мально возводится в степень как многочлен. Дадим операторный
вывод этой формулы. Если оператор обозначить буквой D, то
формула Тейлора
f (х0 -\-h) = f (х0) А/ (х0) + gf / (х0) j- ...
может быть записана так:
/(До + Л) = (14-ЛО 4-*;£>2 +- ...)/(х0)
или
Отсюда
(1 ^Л)/(х0) = ^/(х0).
1 _|_д = ^л
Беря логарифмы от обеих частей равенства, получим:
£> = 1|п(1-ЬА)
или
£>»=-!-(Ind+△)}”.
Получили как раз то выражение, которое было дано выше.
Проверим наши формулы на примере многочлена, для кото-
рого онр должны давать точные значения производных.
Пример. Найти методом численног.о дифференцирования про-
изводные первых трех порядков для многочлена х3—2х—5
в точке х = 1.
Составляем таблицу разностей:
X / Л Р Р
1 — 6 5
2 — 1 17 12 6
3 16 35 18 6
4 51 59 24
5 ПО
По нашим формулам получаем:
А Й=Д^--Д2-+4-Т’ А=!’ /'<0 = 5 — 6 4-2=1,
= (л - Т 4 т)2/=А7- АУ. г (I) = 12 - 6 = 6,
A3S = (a-t+t)S/=as/’ /w(’) = 6-
Если использовать другие формулы интерполирования, то можно
получить другие формулы численного дифференцирования. Возьмем,
например, формулу Стирлинга
/(*1=/<х0 + #/)=/„ -МД+5 д +
. (21)
Последовательные производные будут иметь вид
3/2_______________________ 1 4/3_о/ „
л/(х) Л+ • • •
19/2_9
А2Г(х)=/2 + ^ + Лг^=+
й3Г(х)=/34-^ + ...
В частности, при х = х0
АЛ(х0) =^-4/oS + ^/o5-----
Л2Г(х0)=/0М-^Л+ ....
(22)
(23)
Если взять формулу Бесселя
(24)
/(*) = /2+(* -|) Л 4
2 2
то получится:
hf (X) =f\
2
1 4/3—6/2— 2/+ 2 4 ,
• 41 ‘ ’
2
а-г(х) =л +fa4^ 4+;2г -2 л +...,
2 2 2
(25)
л3/"'(х)=Л + —41—Л + ...
з ч ' з
и при X = х0
hf (Хо) = /\ — 4 4 +14 4 "’"П" ’
2 2^ *2 *2
лг(+) =4-44-1^4+ •••*
2 3 2
/гзг(х0)=4-± л+•••
Мы уже получили выражение оператора дифференцирования D
через операторы А, Аг, А3, ... Найдем теперь выражение этого
оператора через другие разностные операторы. Так как
1 +^
то
Далее,
Г2 ГЗ Г4
/Ю = -1п(1-7) = Т+4 + Л+4+ •••
— — ьп\
Ь=е 2 —е 2 =2sh(^k
АТ? ЛО
е 2 ±е 2 . ;hD\
.---= с+, —)•
Отсюда
rf(AD) Iх ( ^4;
Неудобство этой формулы состоит в том. что производная в точке х
выражается через значения f в точках х + k . Чтобы получить
выражение производной через значения функции в точках х ± kh,
hD ,
заметим, что — = о формально удовлетворяет дифференциальному
уравнению
Так как <и — нечетная функция 8, то можно пытаться искать реше-
ние этого дифференциального уравнения в виде
у = а18-|-а,8' -|~а585-|- ...
Подстановкой в уравнение найдем;
О* О! /I
аб ай ~
Отсюда
5
h^D'=4 J + =
О
По индукции показывается, что
62\4[№*+1О**+1/и| б Aa*+1Ds*+l
1 4 ) йэ 4 “
(4k + 1) h№ Dti:
d\hlt!D'ik\
Таким образом, можно последовательно найти /z3D3. /Л£)4. ..
3. Безразностные формулы численного дифференцирования.
В некоторых случаях выгоднее выражать формулы численного
дифференцирования не через разности, а непосредственно через
значения функции. Для получения таких формул удобно восполь-
зоваться вариантом формулы Лагранжа для случая равных про-
межутков, приведенным в предыдущей главе:
,, ._ ... it--- v (-0*^
/W—• .ч! Лл t — i
г=0
А31"*-1 Г (г — 1) . .. (f —п)/(х; х0; ..х„). (27)
Дифференцируя один раз, получим:
ft /"»(, л
i=0
* (/ — 1) ... (t-h)
t — i
Д-/г«+1/(х; x0: xt: ...: 1) ... (t
-4- Л“+2/(х; x; x0; xt; ...; x„) t (t — 1) ... (t — ri). (28)
В частности, при x = ick будем иметь:
г-0
hn + 1 fM + 1) /сч J
+ ^ТТ)Л5гИ^-1)...(^-п)ик, (29)
Для второй производной будем иметь:
Л ,CLy, rtf—1) ... (г —n) 1
ЛТ w=2 <-])”+’ Д7Г ------------Ьт—J +
-Ьй»+7(х;хо; ...; ... (<-«)] +
4-2Л»+2/(х; х; х0; ..\t(t — 1) ... (< — «)] Д-
_|_ 2й’*+3/(х; х; х; х0; ...; xn) t (t — 1) ... (t — ti) (30)
и при X = хк
+ 2Л"‘'vrl1 ff я « -1)... 0 - (31)
Выпишем готовые выражения для производных первого и второго
порядка при различных значениях я.
п = 2 (три точки):
X=[~3^+4-Vi (Е);
X ₽ i [-V2—л»] — т f"
у' = 13’0 - V1 + Зз-21 + h^f" (В).
п—3 (четыре точки):
X = f-1 + 18-У> - + 2л1 - т /IV) G);
X = ь! 1—2Vo — Зу, -Нбл-Зз!+g-/,V) (В);
X » ['v°— 6-У1 + 3>'2 "И 2-Уз1 — v
X=i [~2-v°+9-Vi -18х +1+ т /(I V) ю-
я=4 (пять точек):
X ~ Т2Л (—29Л "X 48-У* — 38^'2 "X *8Л — 3^4’ "X "5’ ? '
X = f- 3Л -1«л +1 «л - 6л+л1 - й 7(V) £);
X ш — 8>i+8-Уз—л1 /(V) О;
X = 12й —^о + 6Vi — 18уг + 1 ОУз “I- 3j/J Н- ^б" / (Й>
х = 12л[3^ _ 16>’ +36"2 “ 48>’3 х25л1 + ¥/(v> ()-
и—5 (шесть точек):
Х= бк I-137jH-300X-300№+200j/3-753/4 + 12Л]--6' /(VI) (£);
X = боя I-12>’о - 65J-; + 1 20j2 - Wy3 + 20л - 3 v6] + J /°'1’ (5);
X = ббй 13Л - ЗОЛ - 20л + 60л- 15л + 2j-6l - £
X = да 1-2-Уо + 15Л - 6ОЛ + 20л + 30л - 3j-5] + J /(V,) (&
= 60й “ 20>1 + 60^2 - 12°ь+65^ + 12>'б] - ¥ /(V0 (5);
Х= ббй 1-12>’о + 75л-200л4-ЗООл-ЗСЭл+137л1+¥
п = 6 (семь точек):
-Уо=6О^[— 147Л + 360^1-450>2 +
+ 400ь- 225ЛН-72Л- 10уе] + у /Vn’
X ~ 60Л ‘—^'V° — 7,7-V1 X" — Ю0у3Ц-
+ 50у4 - 15Л + 2л] - g /(VII) (0;
Х= ббл 12Vo—24V1—353-о -Н80>-3 — 30j'4 S_V5 — _у6] + X" G)i
X = 60Л1 —-vo + ЭЛ — 45У1 + 45Л — 9Л +Л1 — (О!
Х=вк 1>о-8>'1^-зол-8оы-
+ 35л + 24Л - 2Ув] /V,I> ©;
X = ббл I "Ь15-Vi 50^'2 ~ь
+- 100)'з - 150л 4- 77у6 -и Юл! - g /VII) (0;
X = 6O"7?11 — 72-V1 + 225-у» — 40°л +•
+450л - 360л + 147Л1 + g /(VH)
Сравнивая различные формулы, мы видим, что наиболее простые
выражения получаются при четных п в средних точках. При этом
и коэффициенты при производных в остаточных членах получаются
самыми маленькими. Поэтому на практике, по возможности, сле-
дует применять эти формулы.
Приведем соответствующие выражения для вторых производных.
п = 2 (три точки):
X = дТ 1Уо 231 —_Уа1 — ' (^1) “Н’б’ f ) fe)’>
У1— дг (З'о — 231-f-j’2l — J2-/ (£):
Л, = д»(-Уо 231-1-Л1 1 &) б"/( ' (У-
п=3 (четыре точки):
X=6П [ 12л - 30л -ь 24л - бл] + йft2/(IV) /(V)
У1 = бк [6>’о - 1 + бл1 - A2/(IV> $1) - g /(V) (У;
X=6F -1+ 6л! - A»/(IV) - g /(V) <?2);
X = бк |-6>’o +24л - 30у2+ 12vd 4-gft7(IV) Ct)- g /(V)
п=4 (пять точек):
Л = йда 17°Л - 208». + 228л- 112Л + 22л| -
у" = 24^ [22>'° ~ 4°л + 1+ 8Ь - 2Л1 +
y't = dt+32>< - 60^+32л - 2л1+£ /(Vil
У$ ~ 24/Р' ^У° 8-)’1 1 2У2 — ^Оу# 2^У^ —
-^7(V,(^) + g/lVI)(e2);
у'; = iihi,22^ - 112л + 228>'2 - 208^ + 70л1 +
И в этом случае наиболее выгодные формулы получаются для
четных п и для средних точек.
4. Метод неопределенных коэффициентов. Можно получить
аналогичные формулы и для произвольного расположения узлов.
При этом, чтобы не вычислять громоздкие выражения многочлена
Лагранжа, удобнее использовать метод неопределенных коэф-
фициентов. Для этого записываем искомую формулу в вице.
У4>(хг) = 2 <ду{+ /?(/)
1=0
и подбираем коэффициенты ct из условия /?(/) = О, когда
/= 1, х, хг....хп. Получится следующая система для определе-
ния коэффициентов ср
со 4- Ci -ф- ... 4-с„ = 0,
с0х0 + с 1х! •• ~4~спхп= 'д,
Vo-1+CX-t+ ••• +Vn'1 = 0'
С0Х0 +С1Х1 +••’-+- СпХп =k->
coxo+1+cixi + 1 У ••• +eX+1 = (A+ D’^i.
••• +с„^ = л(«—!)•••(«—
5. Выражение разностей через производные. Иногда возникает
необходимость получить выражения разностей через производные.
Для этого рассмотрим функцию
п
<р(х) = /(х)-2^/№'(0)-Х
л=о
x«+i
(^ТТ)!’
где к — некоторая постоянная Очевидно,
ср (0) — </ (0) = ... — <р(»> (0) = G.
При т и по формуле .Маклорена будем иметь:
?(w) тл2Т)!?(”+1)(е).
С другой стороны, из определения <р(х) следует
<р(п+1) (х) = /(*»+!> (х) — X.
Итак,
4 xn—m+1
Рассмотрим разделенную разность cp(x0; xt; ...; xm) (рассмотренный
уже случай x0 = x1= ... =хто = 0 исключается). Тогда
<р (Ху; хр, ...; хт) — f (х0; Хр ...; хггг)
V /(>) £ 4
к:
В силу свойств разделенных разностей
т ..п+1
Sxi 1 dm
-l---= — — |X"+’l
m]dxK'
Ст r-п—т+1
X
где $ находится между наибольшим и наименьшим из чисел хг. Если
все положительны или отрицательны, то £ Д 0 и можно так подо-
брать X, что <о(х0; Xi, х„) = 0. Отсюда находим К={^).
Следовательно,
f(x0; Xi,
к—т
шт(хг).
1)! 2
(32)
~Го "™(хг)
5. v»+!
" “т (лг)
2 «!
Л V*
г=о ™
Положив х0 = а, Х{ — Xi_i~\-h, получим.
п I.
&mf (а) = (Oj ^t- Н- /(”+1) (?)
А “Ш
Д'"+1й”+1
(п'+ 1)!
(33)
Полагая с=0, ф(х) =/(0-Ux), получим формулу Маркова:
w = s +*** С?-?/ • (з4)
Ki yfl —1 I!
к=т
Здесь Дт0’—так называемые разности нуля. Они являются конеч-
ными разностями хк при х = 0. Приведем таблицу значений этих
разностей:
Д20л
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
1 6
I 14
1 30
1 62
1 126
1 254
6
36
1.50
540
1 306
5 71'6
24
240
1 560
8 400
40824
120
1800
16 800
126 000
720
15 120
191 520
15 040
141 120
40 320
В инженерной практике иногда прибегают к графическому диф-
ференцированию. Этот способ вряд ли может быть рекомендован,
Рис. 24, Интеграф Корали.
так как точность при этом получается незначительная, а объем
работы не меньше, чем по приведенным ками формулам. Используются
также различные моделирующие приборы. Наиболее точными из них
являются интеграфы. На рис. 24 приведен интеграф Коради, исполь-
зующийся в Советском Союзе.
§ 3. Задача численного интегрирования
Если цля функции /(х), определенной на отрезке [a, £], можно
о
найти примитивную F (х), то определенный интеграл j f(x)dx
а
можно вычислить по формуле
ь
[ f(x)dx=F(b)—F(a). (1)
а
Но, как правило, найти примитивную F (х) через элементарные
функции не удается. Поэтому приходится прибегать к приближен-
ному вычислению интеграла.
ь
Хотя из определения интеграла j /(х)<7х и следует, что с по-
а
п
мощью интегральной суммы Sn=^f (х^х{ можно найти интеграл
i—1
с любой степенью точности, но этот прием замены интеграла инте-
гральной суммой практически мало пригоден из за медленной схо-
ь
димости $п к j f(x)dx,
а
Для построения формул приближенного вычисления интегралов
используем замену функции /(х) интерполирующей функцией ср(х).
Изложим общую идею построения таких формул, обобщив несколько
постановку задачи, введя еще весовую функцию.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
ъ
fp(x)f(x)dx. (2)
а
Здесь р (х) — некоторая фиксированная функция, удовлетворяющая
условию р(х)>0 на [а, &]. Ее называют весовой функцией. Пред-
ставляем /(х) в виде
/(х) = ?(х)-Ь/?(х), (3)
где <р(х) — интерполяционный многочлен, a R (х)—остаточный член.
Тогда
ъ ъ ъ
\ p(x)f(x)dx=j’р (х) ср (х) dx J р (х) R (х) dx. (4)
а а «
Первый член справа будет давать формулу численного инте-
грирования, а второй — остаточный член этой формулы. Интерполя-
ционный многочлен <р(х) можно представить в виде
?(*) = /(*о)фо(*) + /(*1)Ф1(Л)+ • • (5)
Будем предполагать, что интегралы
ь
| р (х) Фг (х) dx = Ci (6)
а
мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции / (х). Поэтому
их можно вычислить раз и навсегда и использовать для вычисления
интегралов
ь
J р(х)/(х)</х
а
при произвольных /(х). Сама формула численного интегрирования
будет иметь вид
ь
Jp(x)/(x)i/x ^c0/(x0)-|-c1/(x1)4- ... -f Cnf(xn). (7)
а
При численном интегрировании (а также и при численном диффе-
ренцировании) можно использовать интерполяционные формулы
с кратными узлами. Тогда формула численного интегрирования
примет вид
ь
f p(x)f(x)dx^cof(xo) + c1f(xl)+ ... +cnf(xn) +
а
4- 41’/' Ц? +W + • • • + +
+.....................................+
+ (Хо) + (xt) 4- . . . + с^п-^п »(Хп). (8)
Специальным выбором узлов xt иногда удается добиться того, что
часть коэффициентов ср1 обратится з нуль. Мы не будем пока
входить в подробности этого случая и ограничимся формулами вида
| p(x)f(x)dx='^cif{xi)-+-R[f]- (9)
а 1=0
Остаточный член этой формулы обращается в нуль, если в качестве / (х)
взять любую из функций <р0(х), <pi (х).<Рп(х). Учитывая последнее заме-
чание, мы можем встретиться со случаем когда ок обратится в нуль и для
некоторых других функций fftTi(x), ?„+2 (х).. -т (х), таких, что
W [<р0, tfj.cpml ф 0 на [а, Ь]. Тогда, согласно второй главе (см. (3) § 5
гл. 2), запишем f (х) в виде
т х
/U) =2“/Ma’) + j s) Lm+i[f(s)] ds (т>п). (10)
J-0 а
Умножим обе части равенства на р (х) и проинтегрируем в пределах от а
до Ь, Получим;
Ъ in, b
J p(x)/(x)dx = р (х) <fj (х) dx +
a j=0 а
Ь | S’ )
+ i Р(х)1, / К(х, s) Lm+i[f(s)]ds }dx. (11)
J la )
Но
Ь п
| Р (х) Ifj (х) dx = ед; (Х|) (J = 0, 1, ..т).
a i=0
Поэтому
т Ъ
J} [р U) U) dx
j-0 а
= v ei % a^j и»-)=
t-o j 0
П n ®i
= У, -if Ui) К (x{, s) Lm+11/ (s)] ds.
i—0 0 a
Итак,
b n b | x j
J;>U)/Ul^ = ^Ci/U;)-!- J P(x') { fK(x, s)Lm+Jf (sl]d^ . .’л —
a i=0 a la J
n xi
-У/'i f K(Xi. s) Lm + 1 lf(s))ds. (12)
i—O a
Первый член справа даст приближенное значение интеграла, а остальные —
остаточный член. Остаточный член может также быть записан в виде:
Ь / b
R [/] = — J Р U) । J к. (х, s) ^m+t l/U)] ds ' dx
a I x
n b
+ 2,?i ' ^Ui> S)^m+1 [/(«)] ds. (13)
i—0 Xf
Полусумма двух представлений остаточных членов даст нам
ь
#\Л = f G(s)Lm+1[f(s)]ds. (14)
где
b П
2G (X) = J* р (х) К (х, s) sign (х — s) ds — ctK (х4, s) sign (xt — $). (15)
a i—O
На этом мы закончим изложение общих методов численного инте-
грирования и перейдем к более подробному изучению формул, полу-
чающихся при использовании интерполирования алгебраическими
многочленами.
§ 4. Формулы Ньютока — Котеса
1. Вывод формул. В этом параграфе мы рассмотрим формулы
для приближенного вычисления интегралов
с
которые, получаются путем замены подынтегрального выражения
интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими
промежуток интегрирования на равные части. Эти формулы носят
название формул Ньютона — Котеса.
Пусть узлы интерполирования расположены так:
Xi = а ih (1=1,2...........и). (2)
Здесь а либо совпадает с с, и тогда будем предполагать, что
d = a -j—(n f-1) й, либо а-)-/? = с, и тогда предполагаем, что
a-\-nh = d. В первом случае узлы интерполирования не содержат
точек с и d, а промежуток интегрирования разбивается этим-и узлами
на п1 равных частей. Во втором случае концы промежутка
интегрирования являются узлами интерполирования и промежуток
интегрирования разбивается узлами на п— 1 равных частей. Фор-
мулы численного интегрирования, которые получатся в первом
случае, будем называть формулами открытого типа, а во втором
случае — формулами замкнутого типа. Чтобы не проводить рас-
суждения дважды, положим
с = а-\- (1 — k)h, d = a-\-(n-\-k)h. (3)
Для формул открытого типа й=1, а для формул замкнутого типа
k = 0. Обозначим F (у) = /(а -J- hy). Тогда
а п+&
jf(x)dx = h J F(y)dy. (4)
c l-lc
Интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для функ-
ции f (х) по узлам Xi, при такой замене независимого переменного
перейдет в
я
L (У) = 2
i—1
(у—1) (у-Л ... у — — .j 1,... (у —л)
(/-!)(/-2) )...(, --.7j
ПО-
(5)
Таким образом,
d п + к п + к
f f(,x)dx = h j F(y)dy=h L{y)dy +
c 1—& 1—к
n+k
-t- h. j* O— 1)0 —2)... O — n)F(y; 1; 2; ..ri)dy =
n
i-l l-k
n+k
+ A f 0 — 1)0 —2) . - O— n)F(y; 1; 2; ..n)dy =
i-k
n
= (d-c)^ I^kf(a + ih) +
t-i
n+k
+ л j O— bo — 2) . •• O — n)F(y, 1; 2; n)dy. (6)
l-k
Здесь через i, обозначены выражения
п+к
jw-Г 7)
1-Л
Они не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычи-
слены раз и навсегда. Кроме того, вычисления облегчаются благо-
даря тому, что
Дп) ____ г(П)
' г, к — ‘ п—г+1» к>
(8)
т. е. равноотстоящие от концов коэффициенты формулы Ньютона —
Котеса равны. В самом деле,
.(n) _ (—I)’-1 Г — 1)1.У— 2) ... (у — п)
1п-г+1,к .. J (у —л-4 /—1) у‘
1-к
Заменяя под знаком интеграла у на п — z-f-l, получим:
1-к
(п) ________(—1)'____ Г (ч—г—Д.1)
(п—1-|-2й) (я—/)!(/—1)! J i — г
•г—к
_ ( -Р’ ~________С (^-1) (г-2)., ,(г-п) _ <„)
— (n-14-2ft)(n—i)!(i —1)’ J z—l
1-к
что и требовалось доказать.
С возрастанием п коэффициенты становятся все более и
более громоздкими. Как было показано Р. О. Кузьминым.
' /?" М)
с возрастанием т неограниченно возрастает. Так как, с другой
стороны,
п
г-1
(9)
то среди /Й*н) должны иметься значения различных знаков. При-
ведем числовые значения для различных г, /г и п. Каждый
из коэффициентов 1(”>к является рациональной дробью. Для сокра-
щения таблиц мы будем брать знаменатели этих дробей при фикси-
рованном п одинаковыми и эти общие, знаменатели указывать
в последнем столбце. В предшествующих столбцах будут даны
только числители.
й=0 (формулы замкнутого типа):
п 1 2 3 4 5 6 Знамена- тели
2 1 2
3 1 4 6
4 1 3 8
5 7 32 12 90
6 19 75 50 288
7 41 216 27 272 840
8 751 3 577 1323 2 989 17 280
9 989 5888 — 928 10 496 — 4 540 28 350
10 2 857 15 741 1080 19 344 5 778 89 600
11 16 067 106 300 — 48 525 272 400 - 260 550 427 368 598 752
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k = 1 (формулы открытого типа);
1 2 3 4 5 Знамена- тели
1 2
2 — 1 3
И 1 24
11 — 14 26 20
611 — 453 562 1 440
460 — 954 2 196 — 2 459 945
1787 — 2 803 4 <167 — 1 711 4 480
4 045 — 11690 33 340 — 55 070 67 822 9 072
2 752 441 — 6 603 199 — 15 673 880 — 17 085 616 8 891 258 7 257 600
2. Остаточные члены формул. Исследуем теперь остаточные
члены формул Ньютона — Котеса. Как мы видели, они имеют вид:
п+к
А’„. к (/) = л f (у - I) (у — 2) .. . (у — n) F(y- 1; 2; ; n)dy. (10)
i-л
Преобразуем интеграл, стоящий в правой части. Возьмем сначала
п = 2m — 1 и рассмотрим
2m-
p2m-i= f (у—1) (у —2)... (у —2m 4-1) у
1-к
X F(У, 1; 2; • • , 2m — 1) dy. (11)
Введем вспомогательную функцию
х
у(х)= f (у—1)(у — 2) ... (у-2тУ-Ddy.
1-к
(12)
Очевидно, <р(1—£) = 0. Точно так же и ср (2т—1 -1- k) = 0. В са*
мом деле,
3m—1+й
<р (2m — 1-|-А) = J" (у —4)(у — 2) . .. (у —2m4-l)dy.
1-й
Произведем замену переменных под знаком интеграла, положив
у = 2m —z.
Тогда
1—4
<? (2т—= — j (2т—z—1) (2т—г— 2) ... (—z-^-l)dz =
2т-1+к
2т— 1+к
= (_1)3™т1 р (2— l)(z —2). . .(z-2m + \)dz=
= — ср (2m — 1 + k).
Отсюда и следует утверждение. Покажем далее, что ср (х) нигде не
обращается в нуль на интервале (0, 2т). Для этого исследуем сна-
чала подынтегральную функцию
Ш = СУ—1)(.у-2)... (у — 2/n+l). (13)
На отрезке [0, 2т] она обращается в нуль в точках 1, 2, ... 2т — 1
и только в них. Она меняет знак при переходе через эти точки.
Далее,
<р (2/Tt — у) = (2т —у — 1) (2т —у — 2) ... (2т — у — 2т + 1) =
= (-1)3”"Ч(3') = -Ф(Л (14)
т. е. график этой функции центрально симметричен относительно
точки у = т. Покажем, что абсолютные величины интегралов
»+1
k = J ^(y)dy
i
убывают, когда I возрастает от нуля до т— 1. В самом деле,
<+а
A+i= J *l(y)dy.
»+i
Произведем замену у=г+1. Тогда
1+1 г+1
h+i = f z(z— 1) ... (z — 2m + 2)dz= t
г г
Так как 'р(у) не меняет знака на отрезке [i, z'+H, то
i+1
sr s
/i+1 = e —2m 4-1 J Cv) dy = 5 „ 2m 4-1 7i'
i
где i < $ < i + 1, Ho
|_____________________!___1 <______«______= i
ji — 2/n-t-l. 2m — 1—m-|-l
Итак,
|Л»|— 1Л|—р2ти-г|- '
Отсюда и следует, что с?(х)#= 0 при х£(1 — k. 2т—1-|-£).
Вернемся к исследованию Произведем в (11) интегриро-
вание по частям. Получим:
?^-1 = <?(У)^(У, 1. 2; 2т - 1) ^1+к -
am-1+ft
— J* <р <У> Р (У. 1; 2; 2т — l)dy =
1-й
2 т — 1+к
= — J <t(y)F{y, У, 1; 2; 2т—V)dy.
1-л
Так как <р(1—fe) = <p(2m—l-|-fc) = 0, и
~F(y, 1; 2; .. .; 2т — !) = /’(у, у; 1; 2; 2т — 1).
иу
В силу знакопостоянства <р(_у) можно применить теорему о среднем.
Поэтому
2m —1 + й
ptm_i = -F(5: 5; 1; 2; 2т- 1) f <p(y)dv (15)
1-й
или после замены разделенной разности производной
2т—1+к
„...„Г*® / TW<i,. tie,
1-Й
Рассмотрим теперь случай четного п, п = 2/п. При этом
р2т= f (у—1)(у-2) ... (y — 2m)F(y; 1; 2: ...; 2m)dy. (17)
1-й
Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов:
p2m= f (.У — И • • • (У — 2m)F(y, 1; 2; .. .; 2m)dy +
1-й
2т+к
+ f (У—1) ... (y — 2m)F(y: 1; 2; 2m)dy = S1 + S2. (18)
2т+к—1
Заменим в произведение (_>'—2т) F {у, 1; . . 2т) на равное ему,
в силу определения разделенных разностей, выражение
Fiy; 1; 2;...; 2т — 1)— F(l; 2;...; 2т).
При этом
Si= J СУ— 1) • • • (У— 2m-i-l)F(y; 1; 2; . .2т— l)dy=p2m_1,
1-к
(19)
так как
2т+&—1
J F (.1; 2; ..2w) (у — 1) .. (у — 2т + 1) dy =
1-й
= Г(1; 2; . .2т) if (2т k— 1) = 0.
К 3'2 можно применить теорему о среднем, гак как (у—1).. .(у—2т)
на отрезке \2m-\-k— 1, 2т 4- к] не меняет знака. Следовательно,
2м+Й
S2 = f(£; 1; 2; 2т) 1 (у—1) ... (у — 2m)dy —
'itn + k—l
2т+к
у,2»ч Г
= ~(2^Г J (^ - 1) • • • О' - 2/n) dy. (20)
2/n+A—1
Отсюда для р2т получаем следующее выражение.;
2тп+А
У2т/ (£3 Г
Рг™ ~ ~(2m)j J (З'—1)0—2} • • • (> —2m)dy —
2ТО+А-1
2т+к—1
1-к
Это выражение можно преобразовать так, что оно будет содержать
лишь одну производную Fi2m> (£), что более выгодно при производ-
стве оценок. Покажем, что
2т+к
А, Й= f (у
2т±к—1
2т+к— 1
— 2т) dy и А21 ц = — J <р (_у) dy
1-к
имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая: А=0 и Л=1.
При k=0 имеем:
А,о = | (у— 1)(у — 2) . .. (у — 2m)dy.
2т —1
Подынтегральное выражение при у £ (2m—1, 2m) отрицательно.
Поэтому Ai, о<О. Рассмотрим
2m-1
-4а, d = — J <? (.у) dy.
Здесь
у
'?(>)= J" (2 — 1)(2 — 2) ... (г — 2т 4- 1)с?2.
Мы уже знаем, что на интервале (1, 2m— 1) функция ср(у) не ме-
няет знака. Далее.
<р(г) = (2 — 1) ... (г —2m 4-1)
на интервале (1, 2) положительна. Следовательно, ср (2) > 0, и поэтому
ср(у)>0 при всех _у£(1, 2m—1). Но тогда Д2, о < О, т. е. имеет
такой же знак, что и Д1,о.
Пусть теперь £==1. Тогда
2т 4-1
Д1,1 = J (V — 1) (у — 2) ... (у — 2m) dy.
2т
Так как подынтегральное выражение положительно при v £ (2m, 2m41),
то Ai, i > 0. Теперь
2m
Да,, = — J ф (,у) dy.
о
Функция
ср Су) = | (2 — 1)(Д— 2) ... (2— 2m 4- 1)^2
о
не меняет знака на интервале (0, 2m). Но при z £ (0, 1) подынте-
гральное выражение отрицательно. Следовательно, ср Су) < 0 для всех
_у^(0, 2m). Но тогда i > 0 и опять имеет такой же знак, что
и Д1,1.
Воспользовавшись свойством производной принимать все проме-
жуточные значения и тем, что А, * и й имеют одинаковые знаки,
мы можем записать:
р2т = (А. к + А, к) —(2т^
Г<2лг) (С)
(2т)!
Г 2т + к
f <У~
*-%т+к—1
%т+к—1
1) ... (у — 2т) dy — J* ср (у) dy
l-k
. (22)
Выразим теперь производные от функции /= (у) через производ-
ные от функции f(x). Очевидно,
^/(« + Ay) = V'(x);
jn (23)
+ йу) = h2f" (х)....(a + hy) = h^> (X).
Следовательно,
am
P2m-1 —
h2"lf^ (J)
P2m (2m) I
l-k
2m+к
fyn+k—1
? O') dy
-2m+k—l
l-k
(24)
Окончательно получаем следующие формулы численного интегриро-
вания с остаточными членами: при п = 2т—1
d
2т —I
I f(x)dx -=(d— с') /Й' ч/ (a -i- th) —
С -1 = 1
2ТП+Й—1
д 2m И уг(2т) /•
(2m)!
и при п = 2т
1—к
d — с
2т — 2 2k
(25)
Р 2п
J f (х) dx = (d - с) 2 О (а + 'А) +
с г=1
2тп+А
f 0-1)
2тр-й-1
ft2m+ly(2m>
(2m)i
. . (у — 2т) dy —
2т+к— 1
— f <f(y)dy .
l-k
h— d~c
2m — ] 4- 2k
Приведем значения коэффициентов при производных в выражениях
остаточных членов для различных значений п и k:
п .4 = 0 4 = 1
2 Co w
3 L Д5 90 14 -4bh*
4 ta a в
5
6 __ 12 096
7 1 40С 3 956 14 175 h
8 8:83 518400 h 44 800
9 __236L ди 467 775 80 335 299 376 h
10 394 240
11 673 175 103 459 296 h
Как видно из приведенной таблицы, формулы с нечетным чис-
лом ординат имеют, вообще говоря, преимущество в смысле точ-
ности.
3, Формула трапеций и формула Симпсона. Рассмотрим теперь
подробнее формулы замкнутого типа при п=2 и 3. Ввиду важности
этих формул мы независимо от предыдущего получим коэффициенты
формулы и остаточные члены. При л = 2 интерполяционный много-
член будет иметь первую степень. Таким образом, если перейти на
геометрический язык, мы заменяем кривую у-= f (х) хордой, соеди-
няющей конечные точки кривой (рис. 25).
Интеграл от интерполяционного многочлена даст площадь трапе-
ции ABCD. Поэтому и соотве1ствующая формула численного
Погрешность формулы трапеций
Эту погрешность можно значительно
интегрирования получила название формулы трапеций. Площадь
трапеции ABCD, очевидно, равна
+/(</)].
Таким образом,
а
f f (х) dx = ^=-С [f (с) + f (d)] + R2 (f). (27 )
c
Остаточный член будет иметь вид
а
/?2(/) = j (х — с) (х — J)f (х; с; a)dx =
о <i
= f (X - с) (х - d) dx = - (7i). (28)
ычно бывает очень ьелика.
изить, если применять фор-
мулу трапеций не сразу ко
всему отрезку |с, d\, а раз-
бить его сначала на части
и к каждой части в отдель-
ности применить формулу
трапеций. При этом надо
стремиться разбивать на ча-
сти так, чтобы интеграл от
соответствующей вписанной
ломаной был возможно бо-
лее близким к интегралу от
/(х). В частности, если
разбивать отрезок [с, rf]
на т равных частей длины
h = т и обозначить через уэ, ...........ут последовательные ор-
динаты, то получим:
а
J* f (х) dx — у [.УоН- 2_У1 + 2у2+ —
-^-1Г"(?1) + ГС2)+ ... +Ш,
где х,:-1 <
1
f f(x)dx
< х,. Выражение во второй квадратной скобке равно
;$<(/). Поэтому наша формула может быть записана так:
+ 2-У1 “1" 4" 2?'т-1 4-Ут\ —
Назовем эту формулу обобщенной формулой трапеций. Если
подынтегральная функция вычисляется несложно, то, взяв достаточно
большое т, мы несложными
вычислениями получим доста-
точно точное значение инте-
грала.
Возьмем теперь п = 3.
В этом случае узлами интер-
полирования будут являться
с -4- d , .,
точки с, —, а. Интерпо-
ляционный многочлен будет
иметь вторую степень. Выра-
жаясь геометрически, мы про-
водим параболу через конеч-
ные и среднюю точки кривой (рис. 26). Уравнением этой параболы
будет
(* — (л —
(х — с)(х — d) (с + а\ ।
2 )
Интегрирование дает
а
f Р2 (х) dx = d-=-± [/ (с) + 4/(С-Р) +/ (rf)].
Таким образом.
d
ffw
с
dx=^[f (с) + 4/(Ц^) -Н f (d)] 4- Ъ (J).
(30)
Для отыскания остаточного члена построим интерполяционный много-
член Эрмита, совпадающий с /(х) в точках с, \ - и d и имеющий
с “Ь d trie -4- d\ и z \
в точке —2— производную, равную / I—-—1. Этот многочлен л3(х)
можно записать в виде
Н3 (х) = Р2 (х) К (х — с) (х — Ц’(х — d),
где К — соответствующая постоянная. Тогда
7(x) = Pa(x) + K(x-c)(x-i+*}(x-d)4-
। / \ / с —I- & \$ / <> / / с—F & & ~I- &
+ (Х — сЦх------- (х — d)f[x; с; .
Заметим, что
d
j (х — с)(х — - (х— d)dx = 0.
Поэтому остаточный член нашей формулы численного интегрирова-
ния будет равен
Л
/?»(/)= j (х — с^х—^ \х — d)f(x‘, с\ с-^-,СЛ- d\dx.
Здесь применима теорема о среднем, так как (х—с)| х
не меняет знака на [с, а]. Поэтому
с
2 )
4
к, <з> J\x _ с)(, _ -^х=-
«
Итак,
4
ff<x)dx=l=s
• (31)
Мы получили формулу Симпсона. Формула Симпсона также может
быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям
его. Требования к выбору этих частей таковы же, как и в преды-
дущем случае. Если, в частности, мы разобьем [с, d] на 2т равных
отрезков, то получим;
I
J f (*) dx = -|_ _|_ '2уг + 4у3 + 2_у4 -|- .. .
• • • +4j'2m-l+j2j— ( ~ I
(32)
Это — обобщенная формула Симпсона. Коэффициенты этой фор-
мулы немногим сложнее коэффициентов формулы трапеций, но точ-
ность существенно больше.
Приведем пример на вычисления по полученным нами формулам
численного интегрирования.
Пример. Вычислить
1
1=1 г4^ = 4 = °>7&539816
J 1 + х- 4
о
по обобщенной формуле трапеций по обобщенной формуле Симпсона
и по формуле Ньютона — Котеса, разбив отрезок интегрирования
на 10 частей.
В данном случае
У( = 1, у1 = 0.99009900, уе = 0,96158846. >3 = 0.91743119.
у'= 0,86206896, >а = 0,8, у6 = 0,73529411, >7 = 0.67114093.
>8 = 0,60975609, >9 = 0,55248618, >1о = О,5.
Коэффициенты формулы Котеса при п = 10 равны
/(10 = /1П)0 = 0,026834148, /£» = /ОО = 0,17753594.
/ОО = /ио = _ 0,08104357. /С-0 = /<1» = 0,45494628.
/Ш) = /ОО = — 0,43 515512, /ОО = 0.71376463.
Вычисления по обобщенной формуле трапеций дают:
7«ll>04 2>1+2>2+ ... +2>в + >10]= 0,78498149.
По обобщенной формуле Симпсона получим:
/~эдIjVoH-4>!-f-2>2-|-4>8-|- ... + 4>9 4->10] = 0,.-8539815.
По формуле Ньютона — Котеса будем иметь:
/«/(11)>о + /£П)>1+ ... +/(ii)>iu = 0,78539818.
Вычисления по формуле Ньютона—Котеса и формуле Симпсона дали
примерно одинаковую точность, но работы по последней формуле
было значительно больше.
Оценим остаточные члены каждой из формул. Функция
является производной от > = arctgx. Найдем производные от этой
функции через производные обратней функции, Получим:
x=tg>; у' = t- = cos2>, у" = — 2cos>sin> • >'=—2cos3>sin>.
Запишем эти производные в несколько иней форме:
/ = cos> sin (> + ту) • У — cos? У s;tl 2 (j + у) •
По индукции можно получить:
у”) = (л — 1)! cos"у sin п1 _у -j- у
Отсюда остаточный член обобщенной формулы трапеций будет оце-
ниваться следующим образом:
2 !
Для формулы Симпсона будем иметь:
.п/ol
l vу Л os. 90.54 ’.80-КН
0,0000133.
Для формулы Ньютона — Котеса получим:
I R (/) I < ~ 0,0000004.
Наши оценки, естественно, дали завышенные погрешности.
§ б. Формулы численного интегрирования Гаусса
1. Построение формул. Абсциссы формул Гаусса. В преды-
дущем параграфе мы получили формулы численного интегрирования
путем замены подынтегральной функции алгебраическим интерполя-
ционным многочленом с равноотстоящими узлами интерполирования.
Можно ожидать, что, избавившись от последнего требования, мы
можем получить формулы, обладающие теми кли иными преимуще-
ствами. В этом параграфе мы будем получать формулы, дающие
возможно большую точность. Прежде всего надо условиться, что мы
будем понимать под точностью формулы численного интегрирования.
При замене подынтегральной функции алгебраическим интерполя-
ционным многочленом, построенным по п узлам интерполяции, мы
получим такую формулу численного интегрирования, для которой
остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция
является произвольным многочленом степени не выше п—-1. Как
мы видели, в случае формул Ньютона — Котеса с нечетным числом
ординат остаточный член обращается б нуль, если подынтегральная
функция является произвольным многочленом степени п. Может ока-
заться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень
еще. может быть повышена. При использовании одинакового числа
узлов будем считать ту формулу численного интегрирования более
точной, для которой эта степень будет больше. Это определение
точности формул численного интегрирования несколько условно, так
как могут быть такие случаи, что менее точная в нашем понимании
формула даст более точный результат. Но мы получаем все же
какую-то характеристику точности.
Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид
ъ
f р (х)/(х) dx = СГ7(хЭ +ая’/(х2) C^f{xn) + Я (/). (1)
а
Здесь р(х)>0 — фиксированная весоьая функция С\п> — постоянные
коэффициенты, не зависящие от функции / (х), R(J)—остаточный
член.
Если R (/) обращается в нуль, когда
f (х) — в0 а.х а^Хг ... -t- атхт,
(2)
где коэффициенты at произвольны, то
о ъ ь ь
а0 f Р (х) dx ф- ах f p(x)xdx-\-a2 i р (х) х- dx -ф- aw'[р (X) хт dx =
а а а а
= С1 [ао + а.х, -f-a2Xi-|- .. .-4-tzmx™]-ф-
+ с2 [ао -I- aiХг + агхг ... -ф- атх'" | -ф-
+...............................+
+ с« [о0"Ь аЛ+fl2xn-f- ••• Ч~атхп]‘ (2')
Обозначим
ь
£р(х)х^х=рк. (3)
а
Эти величины целиком определятся выбором весовой функции
и отрезка интегрирования. В силу произвольности аг равен-
ство (2) будет эквивалентно следующим:
гп> 1 /» I , 1
Е1 С-i — . . . —г Сп — Р».
-(»)„ । Ап) । । -tn) ____ I
Cl Xj-f-Cg X2-t- ... Cn X„ —
"l *1 c2 X2 "I • • • H-Cn X„ -------- p.n.
(4)
Получили систему m -f- 1 уравнений для определения 2n неизвестных
величин СгП) и xt. Отсюда следует, что максимальное значение для т
будет т = <2п—1. Правда, остается еще неясным, разрешима ли
будет при этом система, будут ли ее решения действительными
и будут ли все хх принадлежать отрезку [a, frj. Непосредственное
исследование системы слишком громоздко, и мы пойдем по дру-
гому пути.
Будем отыскивать многочлен
%(*) = (* — — . (х— хп), (5)
где xt—искомые абсциссы. Оказывается, юп(х) удовлетворяет до-
вольно несложному необходимому и достаточному условию, которое
позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что
4
| Р W (х) q (X) dx = 0, (6)
а
если q (х)— произвольный многочлен степени не выше п—1. Дей-
ствительно,
/(Х) = в>п (Х)^(Х)
является многочленом степени не выше 2п — 1. Следовательно,
R(f) = Q. Таким образом,
Ь п
I Р (X) (х) q (х) dx = J} ?”’«>„ (x<) q (xt) = 0,
a i=i
так как шп(х;) = 0.
Обратно, если мы найдем такой многочлен юп(х) степени п, что
о
f р (х) (х) q (х) dx = 0,
а
когда q(x)— произвольный многочлен степени не выше п—1,
и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то
в полученной при этом формуле численного интегрирования RCf)
будет обращаться в нуль, когда f является произвольным мн* го-
членом степени не выше 2п—1.
Действительно, пусть f (х) является таким многочленом. Тогда
/(*) = “>„ Wq(x)-\-r(x),
где <у(х) и г (х) — многочлены степени не выше п— 1. Отсюда
ь ъ
J Р (X)f(x) dx = j'p (X) и>„ (X) q (X) dx 4-
« a
b b
+ j p (x) r (x) dx = у p (X) r (x) dx
a a
в силу нашего предположения. Но
ь
। p(x)r(x)dx — c^r (xj Д- c^r (x2) 4- .. . + c^r (xn),
a
так как г (х) как многочлен степени не выше п—1 совпадает со
своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам хл,
х2, .. хп. Кроме того,
f (Xi) = Ui) Q Ui) -I- r (Xi) = r (Xi).
Таким образом,
b n
f p(x)f(x)dx = '^clflf (х{)
a t = l
и ft(f) = Q что и требовалось доказать.
В главе 5 мы покажем способы построения системы ортогональ-
ных многочленов при произвольных р(х). В этой главе мы найдем
общий вид шп(х) при р(х)=1. Обозначив
I U)„(x)dx = cp,(x),
а
х х
vh(x)dx = <f2(x). .... j’?„_1(x)dx = cPn(x), (7)
а а
будем вычислять интеграл
ь
f oin(x)<](x)dx,
а
где q(x) — произвольный многочлен степени не выше п — I, путем
последовательного применения формулы интегрирования по частям.
Будем иметь:
ь
О = f un(x)q(x)dx =
а
= [ср, (х) q (X) — срг (X) / (х)4- ... Н- (— 1)”"’ср„ (х) (х)]®1 а'
При х—а правая часть равна нулю, так как ср4(п) = О, i=l,
2, .... п- Отсюда следует в силу произвольности q(x). что
<Pi (b) = ср2 (Ь) = ... = срп (Ь) = 0. (8)
Итак, срп(х) обладает корнями кратности п при х = а и х = Ь
Следовательно,
ср„(х)=С(х — а)”(х — Ь)п, (9)
где С — какая-то постоянная. Отсюда
dn
шп (X) = Cj^n IU — С)" (X — Й)п].
С подбирается из того условия, что коэффициент при х" в «^(х)
равен 1. Легко видеть, что
С— п'
Qn)'
Окончательно получаем:
„I dn
(х) = W й|(х - а}П (х - ° 0)
Последовательное применение теоремы Ролля показывает, что все
корни уравнения
Ш„(Х) = 0
действительны, различны и заключены е интервале {а, Ь). Таким
образом, их действительно можно использовать в качестве узлов
интерполяции и полученная при этом формула численного интегри-
рования будет удовлетворять поставленным условиям. В главе 5
будет показано, что и при произвольном весе р (х) многочлены
шп(х) будут иметь п действительных различных корней, принадле-
жащих интервалу (а, Ь).
2. Остаточный член формул Гаусса. Исследуем теперь оста-
точный член полученных формул численного интегрирования. Пусть
/(X) — произвольная, достаточное количество раз дифференцируемая
функция. Построим интерполяционный многочлен Эрмита, прини-
мающий в точках Хр х2........... х„ (корнях ып(х) = 0) значения
/(xj, /(xj....... f(xn) и имеющий в этих точках производные,
равные соответственно /' (xt), f' (х2), ..., f (хп). Если обозначить
этот многочлен через Н(х), то
/ (х) = W (х) + (х — xja (х — х2)2 . .
.. (х — хп)гf (х-xt; xt; х2; хг: .. .; х„; х„). (И)
Многочлен /7(х) имеет степень 2zt— 1. Следовательно,
ь ь
I p(x)f(x)dx = | p(x)tf(x)dx-f-
а а
Ъ
-ь J р(х)ы^(х)/(х; Xf, xt;x2;x2;.. ,;х„; xn)rfx =
а
п Ь
= c(”W(х,)4- f Р(Х) ш„(.х)/(х; xt; X.; х2; х2; ...; х„; xn) dx =
г==1 а
п Ь
«= +• | Р(х)ш*п (Х)/(Х; Хр XJ х2; х2; . . .; хп\ хп) dx. (12)
г—1 а
Таким образом, остаточный член будет иметь вид
R(f) = f Р (х) «Д (х) f (х; хь Xlt х2, х2, . ..; Хп; хп) dx. (13)
а
Так как р(х)ы^(х) не меняет знака на [я, Ь], то
ь
R (/) = /С; Хр Хр х2; х2; . . .; х„; хя) ' р (х) ш'„ (х) dx =
а
b
= 17^5Г,‘ P(x)4(x)d«, (£, т]£(а, Ь)).
а
И в этом случае при р (х) = 1 можно упростить выражение для
интеграла, стоящего в правой части. Будем иметь
о ь
С «и (X) шп (х) dx — — j" Vl (х) ч)'„ (х) dx =
а а
b b
= f ^(X)^"(x)dX= ... = (—l)nJ*<p4(x)a>„)(x)dx =
а а
b
= (—l)nn!j pn(x)dx.
а
Далее, снова применяя последовательное интегрирование по частям,
получим:
ь ь
/ <Р„ (X) dx = f (х — а)” (x — b)ndx =
а а
Ъ
п\п f (х-а)”+1(х —i)”~’ ,
= “(ЭД!./ 2--------- „^1 — «''= =
а
Ъ
Г (х —а)2” у-ПУ^-а)2^1
' 7 {2п)\ J (п-t-l). 2л [(2n)'.p(2n + 1)
а
Итак, при р(х)= 1
/?(Л = (-1)”п!(—1)”
(a!)3(i—я)2”+1 /;2n)h) _
[(2л)!р(2л+1) (2л)" —
_ (Ь — а)2”+1 (л!)4
[(2л)! |« (2л + 11
/(а”’(Е). (14)
3. Коэффициенты формул Гаусса. Найдем теперь выражения
для коэффициентов при /(х^, полученных формул численного инте-
грирования, Для этого рассмотрим функцию
К»(*) =
(X)
Х — Хк'
Квадрат этой функции является многочленом степени 2п — 2. Сле-
довательно,
J п
f Р (*> К п (*> dX = S » (х<) " СП п (**)•
а i=i
Отсюда
ь ь
I Р (х) Фл, П (х) dx / р (х) Ф®, П (х) dx
Ф = ~-----₽ ~^к)-----= "------------------ • ° 5)
VA.nWt) о, (хк)
Отметим здесь же, что все положительны.
При р (х) ss 1 можно получить более удобные выражения для с^>.
Для этого применим к числителю правило интегрирования по частям.
Будем иметь:
*
а
Ь 9
Г < (X) dx
(X — х*)2 —
а
Ь р ч
f % (X) ' S СХ) dx w
(х)
X —xft
(*)
X — xft
а — х% Л — хк
и
г-
а
>“„(Х) ,
-------dx.
— хк
Подсчитаем значения и По формуле Лейбница имеем:
Яг1Ы-“>"<х-М"| =
Zr-0
Отсюда
= (£у. п! <а - = <-1 г -Щг ~
и
а)п = -Syt - а>п-
Таким образом.
ШП (<*) < _ (п'у (Ь — а)3п г 1 1|.
<z —хк ~ [(2n)!]2 Lxk — b хк — а
(л!)* (b — а)т+1 _
в <хк — а)(хк — Ь)[(2п)!]5
Функция
% М < (л)
X — хк
является многочленом степени 2га — 2. Поэтому
ь п
2 Гdx _ 2у _ 2С«<<•«>)
J х — хк 44 Х{ — Хк
а i—1
Итак,
ь
С?Ч №) = f к л(х} dx = (~хк~ь) + 2<ч Ч {х*>-
а
Отсюда
__________(л!)Ч& —д)2п+i(!
[(2«)!P(Xfc-a)(&-xA)<” (хА) '
Это и есть искомые выражения для коэффициентов с^>.
Произведем в ?„(х) замену х на Получим:
. , л! Г j ( b — а\з 1"
?nW = Wl/-(-2-) I •
т. е. грп(х) симметрична относительно прямой х— Отсюда
следует, что и корни уравнения лп(х) —0 будут симметричны отно-
Д" “I- Ь ,.
сительно точки х = —. Но тогда, если занумеровать их в по-
рядке возрастания
< • • < хп,
то получим:
(^А О-) Ь) U>n (XjJ — + 1 й) (^"n—А + 1 °-'п ('^n—А + 1)-
Следовательно,
с(и) _ Ап)
к <'П-Ат1’
(17)
т. е. коэффициенты при f (хк) и f(xn_k+1') будут совпадать.
Полученные здесь формулы численного интегрирования были
впервые найдены Гауссом. Поэтому мы будем называть их форму-
лами Гаусса.
Было бы невыгодно каждый раз, как нам нужно использовать
формулу численного интегрирования Гаусса, заново находить шп(х),
вычислять корни уравнения шп(х) = 0 и подсчитывать коэффи-
циенты с^. Для случая р(х} = 1 и отрезка интегрирования [—1, 1]
такие вычисления были произведены для различных п. Произволь-
ный отрезок [й, Ь] может быть приведен к отрезку [—1, 1]
простой заменой переменной интегрирования:
Ь— а
Приведем некоторые значения коэффициентов и абсцисс для
формул численного интегрирования
I"1 11
f ! W dx - Ё
n = 1:
x1 = 0, ^ = 1/"^;
Z О
n= 2:
— x1 = xl = 0,577 350 269 189 6258, 1 cP = cP = 1,
2 2 9
n = 3:
— x„ = x3 = 0.774 596 669 241 4834, x2 = 0.
n = 4:
1 r(3) — 1 — 5 1 — A p — ' zn-
2 1 2 3 18’ 2 2 — 9’ Кз— 15 750-
Xj — x4 = 0,861 136 311 594 0492,
— x2 = x3 = 0,339 981 043 584 8646,
1 ,W _ 1 .W 2 2 = 0,173 927 422 568 7284,
|44,=|44> ^4 = 0,326 072 577 _ 1 /«' .$)• 3 472 875 7 431 2716,
п ~ 5
п = 6:
л = 7
— хх = хъ = С,906 179 845 938 6640
— х2 = = 0,538 469 310 105 6830, х3=0
4ci5>=445)=0.H8 463 442 528 0945
| 4Ь) =Ц ck5) = 0.239 314 335 249 6832
4 45) =1^ = 0,284 444 444 444 4444
р _ 1 с(Ю> 1 2-37 732 650 7 (Е);
— х1 = хс = 0,932 469 514 203 1520
— х2 = х6 = 0.661 209 386 466 2644
— х3 - х4 ~ 0,238 619 186 083 1970
1 с<6) = 1 с‘6) = 0.085 662 246 189 5852
1с<6) = 146) =0,180 380 786 524 0693
14” = 146) = о,2зз 956 967 286 3455
648 984 486 150
— х1=х7—- 0,949 107 912 342 7596
— х2 = х6 — 0,741 531 185 599 3944
— х3 — х5— 0.405 845 151 377 3970, х4 = 0
4 4’1 = 14” =0,064 742 483 084 4348
14” = 14” =0,139 852 695 744 6384
1с'”=1с<”=0,190 915 025 252 5595
1 /’) _r'l — о 2Э8 2 4 1225 U’2U8 979 591 836 7347
. ____________:________f(^)
7— 470050 Р2 111 500 •
Как видно из этой таблицы, коэффициенты с<£> и абсциссы xt
очень громоздки. Поэтому формулы Гаусса следует применять в тех
случаях, когда требуется большая точность и значения функции при
большом числе аргументов получить затруднительно.
4. Формула численного интегрирования Эрмита. Если взять
в качестве р(х) функцию
',<х>=П=и <18)
и в качестве отрезка интегрирования отрезок [—1, 4U то полу-
чим формулу численного интегрирования
п
J dx = £ + R (/)• (19)
Если X,- являются корнями многочлена (х), ортогонального с весом
-р.I 1 произвольному многочлену с(х) степени 4 п—1, то/?(/)
обращается в нуль, когда /(х) является произвольным многочленом
степени 2п—1. Как будет показано в главе 5, в качестве шп(х)
можно взять
^T-17'nW = ^r1c°s(« агссоз х). (20)
т. е. многочлены Чебышева, о которых говорилось а предыдущей
главе. Следовательно,
xt = cos^^ (1=1,2.................и) (21)
+ 1 +1
/'_______'^п_М dx_______ Г______________Т_п_(X)______
J (х —х<) ю^(х4)/1 —х’ (X — Xj) 7г(х() /1 - х2
(22)
Для с<п) можно найти числовые значения. Для этого произведем
пол знаком интеграла замену переменного, положив x = cos6. По-
лучим:
Я
с(п/= I_________cos пб М________
* J (cos 6 — cos Ojj т'п (cos Oj)
Но
Q , п sin п п sin г.в,-
Тп (cos 9j - -у. — - = —-~-
Vt - COS16. Sin e,
a
Eos6—31cos 9 + B2cos29 4- ... -|_fin_1COs(n — 1)6.
C-VzO v к. v_zо
так как левая часть последнего равенства является четной функ-
цией 0 и числитель ее обязан делиться на знаменатель нацело, ибо
Тп(х) делится на х — хк. Отсюда
cos пб
cos й — cos 0,-
db = г.Вь.
Чтобы найти в предпоследнем равенстве, положим там
9 = 9ь 6’ + 24?.....
cos п (б4 4- k „
COs( 6/ 4- k — COS e<
= 0,
и воспользуемся соотношениями
COSJT0_ _ I ___ cos'ле _____ «sinnOj _
cos 0 — cos е; |8=в cos'В |8_8 sin Sj ’
г i
cos jп6( -4- 2йтг ]
/ 2зГ\
cos J 9г -р Л — j — cos 6,-
Получим:
/?0 4-В, cos 0( + В2cos29{ + ... + cos (п - 1) 0г =
Во 4-^ cos (О, -4-^) + Я2со&2(0( +- ...
... 4-Bn-icos<n — i)(9i + Г?) = 0’
2?n 4~ Si cos' ’ь 4- (n — 1)— ' 4- B2 cos 2 0,- 4- {n — 1)—^4~---
. .. 4-B„_iC°s(n—1) 0i4_(n — 1)~ j = 0-
Складывая эти равенства, будем иметь:
D п sin пв/ п sinnB,-
ZZ/jn - j д И »
0 sin 0/ 0 sin 6г
так как
VcosA(0i + / _р) = —2 cos А (б,-4-4^ sin =
1-0 2 sin —
J п J
2 sin -- , =0
= ' - [ sin k 4- ——11^.] — sin k [9j--—11 = 0
о o!„ M L 1 nJ L ‘ n Jj
(k= 1, 2, .... n— 1).
Отсюда
Получили формулу численного интегрирования
+1 П +1 ?
/’ f(x)dx К V! „ . "n^)dx
-1 г = 1 —1
2Z — 1
х,: = соя-^=^. (24)
Остаточный член может быть упрощен, если воспользоваться ре-
зультатами главы 5:
Я (/) =-----— /**»©. (25)
(2л)! 2й”1 ’
Эта формула является частным случаем формул Гаусса и носит на-
звание формулы Эрмита.
6. Формулы численного интегрирования Маркова. Если поль-
зоваться классификацией, приведенной в предыдущем параграфе, то
формулы численного интегрирования Гаусса следует отнести к фор-
мулам открытого типа, так как концы отрезка интегрирования не
принадлежат к числу узлов. А. А. Марков рассмотрел формулы
численного интегрирования, для которых R(f) обращается в нуль,
когда / (х) является произвольным многочленом степени <С. 2п — 2
при дополнительном требовании, что либо х1 = а, либо х„ — Ь, и
формулы численного интегрирования, для которых R(f) обращается
в нуль, когда f(x) является произвольным многочленом сте-
пени 2и — 3 при дополнительном требовании, что и
хп = Ь.
Рассмотрим сначала первый случай. Обозначим через 9П (х) много-
член степени п со старшим коэффициентом 1, корни которого равны
искомым узлам. Рассуждениями, как и при выводе формул Гаусса,
покажем, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы
вп(х) удовлетворял поставленным условиям, будет
ь
I Р (х) 0„ (х) q (х} dx = 0, (2b)
а
где q(x) — произвольный многочлен степени п—2. Отсюда
6 ?
J Р (х) [ 0„ (х) — шп (х)] q (х) dx = Jр (х) 0n (х) q (х) dx —
а а
Ь
— . р (х) (х) д (х) dx = 0.
а
Поэтому 9л(х)— ып(х) может лишь постоянным множителем отли-
чаться от шп_1 (х):
9п (X) — <О„ (X) = _а (X).
Для получения постоянной ап положим в этом равенстве х = а.
Получим:
_ <лп (а)
п
Итак,
9rt (х) = u>„ (х) -I- anu>„_ j (x). (27)
И в этом случае 9„(х) имеет п действительных корней, один из
которых равен а, а остальные расположены между а и Ь. Доказа-
тельство полностью совпадает с тем, которое проводится в главе 5
цля шп(х).
Для отыскания коэффициентов £),п) формулы численного инте-
грирования возьмем в качестве /(х) функцию
__ (*)
х — х'*
где х'— один из корней уравнения 9п(х) = 0. /(х) — многочлен
степени п— 1. Поэтому
Ъ п
[ р (X)/ (X) dx = 2 М”7(4) = Мп) 9; (хО
а 1
~‘х) ч (л) д'х
(х~х\) еп «)
(28)
Остаточный член будет иметь вид:
/?(/) =
/(2п-1>(?)
(2п — 1V
х — а
dx.
(29)
Аналогично можно построить формулу численного интегрирования
° п и 2
f Г W f w = X +(ST? /' W
a г—1 а
где х*—корни уравнения ф„(х) = О;
tPn('l (х) ~Н ?nwn—llx)> Рп
Ъ
р(п)_ f Р (-У) Ф« (X)
1 У
dx.
(30)
(31)
(32)
Наконец, в последнем
случае узлы х"' будут корнями уравнения
!.„(%) = О, где
W =
шп (Х)
“п-1 (*)
“п — 2 (*)
“п (*) “п <6)
“п-1 (в) “п-1 (*)
“п-’(с) “ti-lffl
j “п-1<а)
I “п-2 (Л)
“п-1 (*) I
“п-2 (*) I '
(33)
Коэффициенты Рп| формулы
b п
f р (х)/(х) dx = V F<f>f (х"') Rn {
a i=l
определятся из равенств
&
Р(«)_ С с» (*) р (•*>
* (х-^М
и остаточный член будет иметь вид:
ь
О(П ./(2”-2>(?) Г PU)^(X)
_ (2л -2)! ./ (х— а)(х — Ь)
а
(34)
(35)
(36)
Приведем значения х'" и для некоторых значений л при
р(х)=\ и« =—1, д=1.
п — 3: Xi = —1, х2 = 0, х3= 1,
1 4 1
= ^=3’ F3 = l;
л = 4: Xi ——1, х2 =—0-2- xs = 0,2, х4=1,
F — _L F, = — F f 2. •
Г1 6. ^2 6. л 3 — 6. rt — б ,
к 1 3 „ 3
п = 5: Xi = —1, х2 = — у> х3 = 0, —у, х6=1.
Р _ Л I F — 49 Р—64 р_49 р л 1
Fi 0,1, <ю. Fs — 90, 4_90, , 6 —0,1,
В заключение приведем вычислительный пример на применение фор-
мул Гаусса и Маркова.
Пример. Вычислить по формулам Маркова и Гаусса интеграл
/ =
о
dx
1 4- Л т ’
взяв л = 5.
Преобразуем интеграл к промежутку [—1Получим:
7—2 ---—----
1
В формуле Гаусса:
/(xj = 0,24945107, /(xg) = 0.23735995, /(хз) = 0,2,
/(х4) = 0.15706261, /(хБ) = С,13100114.
Вычисления дают 7 0,78539816. Все знаки верны.
В формуле Маркова:
f(x1) = 0,25, /(х2) = 0,24276181, /(х3) = 0,2,
/(Х4) = 0,14841465, /(xs) = 0,125.
Вычисления дают /?» 0,78539214.
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева
1, Построение формул, В предыдущем параграфе мы получили
как частный случай формул Гаусса формулы численного интегриро-
вания Эрмита. Они характеризуются тем. что все коэффициенты
при /(xj равны. Это оказывается существенным, когда значе-
ния / (xi) подвержены случайным ошибкам (например, получены
из эксперимента). Тогда выражение
Ci f (*i) + с2/ U2) -Ь ... -4- сп / (х J
(сх —с2 —f— - 4-сп фиксировано)
будет иметь наименьшую случайную ошибку прис1 = с! = ... ~сп.
В связи с этим П. Л. Чебышев поставил следующую задачу:
найти абсциссы хр х2....хп и коэффициент К так, чтобы в фор-
муле численного интегрирования
4-1 п
$ p(x)f(x)dx = K'^tf(xi') -\-R(J) (1)
-1 г-1
остаточный член R (f) обращался в нуль, когда fix) является про-
извольным многочленом возможно большей степени. Так как в на-
шем распоряжении находится п -1- 1 величин К, х,, х2,...,хп, то
степень эта не меньше п.
Коэффициент К находится без труда. Полагая /(х) = 1, получим:
+1
J p(x)dx = Ki.
-1
Отсюда
-1
(2)
Как и в предыдущем параграфе, вместо того чтобы отыскивать
сами абсциссы хь х2, .. ., хп, найдем многочлен
“п (х) = (х — Xi) (х — х2) ... (х — хп). (3)
Возьмем в качестве f(x) функцию
= (4)
где z — произвольное число, |z| > 1. Тогда
,/ Z X [_Z— X] Z—- Х^ Z \Z л. j
-1
Последнее выражение можно записать в виде
р (х) dx
(6)
I
Проинтегрируем обе части равенства по z. Получим:
+ 1
I р (х) In I z — х I dx = к in ^^ 4 Г R -) dz.
Здесь С—постоянная интегрирования. Потенцированием находим-
/х К I ? 1 z — x
wn(z)e* J \ '
] р (х) In I с-х | dx
= Се
(7)
Представим показательную функцию, стоящую множителем в левой
части равенства, в виде, ряда по убывающим степеням z. Имеем:
гП-Ь?
(8)
Ряд справа при |х|<^1 и | z | > а > 1 будет равномерно и абсо-
лютно сходиться Далее,
'(4НН+ ...+4г)+'4^+^+-4
В силу нашего предположения первый член справа равен нулю. Но
Таким образом, АЦ------j будет представляться сходящимся рядом
по убывающим степеням z, причем наивысшей степенью будет — (п -ф- 2):
“I । “2
^•П+S “Г г»+9
(Ю)
Поэтому
(11)
Итак,
:-е-Т f R 1 j M(?) | МЦг) , МЦг) ,
— 1-t- -I- ^2! “Г 3! -Г •••> U >
т. е. эта показательная функция представляется рядом
e^fR (i^)cU = 1 _|_. 21_. .1. . ,
1 zn+l “ гп- 2 ' ‘ • •
Произведение
wn(z) е г * ' d
может быть представлено в виде ряда
/ R = <on (г) + 4 4- ~ 4- .
(13)
(14)
так как наивысшая степень z в ®_(z) равна п. Отсюда следует,
чю и
4 | р (я) In (г-ж) dx (15)
е -1
разлагается в такой же ряд и члены с положительными степенями z
дадут <вп(г). Будем называть эти члены правильной частью ряда и
обозначать
+1
4 J" р (х) in I г-д. I dx
Ее -1 (16)
Таким образом, мы показали, что о>п(г) в формулах численного
интегрирования Чебышева определяется из равенства
(г) = СЕ е
-A J j>(a) In I z-x I dx
(17)
Здесь С подбирается так, чтобы коэффициент при zn в шп (г) был
равен 1.
Дадим еще один способ получения (г). В формуле
4-1 П
f p(xy(x)dx = K^if(xi) + R(f) (1)
-i J=i
возьмем
/(х) = а0-|-а1х4-й2^24- ••• ~\-апхп, (18)
где. о0, А1( а2, .... ап—произвольные действительные числа Полу
чим:
+1 +i +1
дп j"p(x)xdx-t- ... 4-an [ p(x)xndx =
= Н- а\К [xj 4- *г 4- • • • 4~ Хп1 4- а2^- X
X [х?4-х*4~ ... 4-4]+ ... + aBK[4 + x? + ... 4- х^|,
так как R(f) в этом случае должен обращаться в нуль. Введем
обозначение
+1
Pi= J p(x)x'dx. (19)
В силу произвольности ai должны иметь место следующие равен-
ства:
а0 =Кп,
Р-i = К [%! 4- х2 4- ... + х„],
jj-2 = А i xi 4- Ха + ••• 4~ 4].
(20)
.у [ п , п । । п\
Р» — .< |xi Д- Ха Д- ... 4“
Первое равенство дает:
K = *>- =
п
т. е. то же, что и раньше. Деля
значая ~ получим систему
остальные равенства на К и обо-
п уравнений для определения xfi
х-+х2->г ... -j-xn=m1,
а , а . , а
Xl -f- х2 -f- ... 4- х„ = т2,
п , п п
Xi Ц-ХаЧ- .. -- хп—тп.
(21)
Опять будем разыскивать многочлен ш„(х), корнями которого
являются xlt х2, . . ., х„, удовлетворяющие этой системе. Пусть
^п(х) — х” ••• Ч~ ^n-ix 4- Ьп. (22)
Нам нужно найти Ьи Ь2, .... Ьп. Имеем:
<23>
г-1
И
ш^(х) = пх”--1Ч-(п—1)6;х”-а-|-(п — 2)Ьгхп~3-\- ... Ч-6П_1. (24)
Далее,
= х”'1 +(61 + х<) х”~а + & +х”’3
• • • Ч- (&п-1 Ч- ^n~2xi + 4~Xi )• (25)
Отсюда и из равенства (23) получаем:
ш^(х) = их”-1 Ч~ (nbi Ч- mi) х"-аЧ_ (п^2 Ч-^jWh 4- т2) хп~' Ч- • • •
... (пЬп_х Ч~ Ьп_гт. Ч- ... 4_^’i/ran-:+ теп-1)- (26)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в равенствах
(24) и (2G), находим.
nbr A-mL= (п — 1) blt
nb2-\-b:m1т2 = (п — 2)Ь2,
п^п-1 Ч- ^п-2т1 Ч- ••• Ч-^1я1п-гЧ-‘‘геч-1 = ^п-1-
Отсюда последовательно можно найти blt b2......bn-i- Для полу-
чения коэффициента Ьп рассмотрим сумму
Ujn (-*-0 -Т шп (л^г) + • • • + шп (хп)-
С одной стороны, эта сумма равна нулю, так как 1ип(хг) = 0. С дру
гой стороны, складывая представления <в„ (х,) в виде многочлена но
возрастающим степеням хг при различных I получим:
/ran + ^lmn-.l + ^2ffln-2+ ••• + 1т1 4“ П^п—(2$)
Отсюда определится Ьп.
Итак, мы показали, что для каждого п можно найти шп (х) та-
кое, что если корни шп(х) = 0 принять за абсциссы формулы чис-
ленного интегрирования, то все коэффициенты этой формулы
будут равны между собой. Очевидно, ып(х), полученное вторым
способом, будет совпадать с ып(х), полученным первым способом.
Рассмотрим теперь частный случай формул Чебышева, когда
р(х)=1. При этом
+1
^=7 /" = ! <29>
-1
а абсциссы хх, х2, .... х„ являются корнями уравнения
Но при z > 1
lu | s-ж I dx
= 0.
(30)
+1
J In | z — x I dx = (z 1) In (z-\- 1) — (z — 1) In (z— 1) — 2 =
= 2lnz+te+l)ln(l +Д)+(1-г)1п(1 -l)-2 =
= 2'пг + ('+1) [7-2^ + ®—.]-(! ~г>Х
Г111 T 999
It + • • •] — 2 = 2 Inz — 2 Зг,2 — 475?—бТ/Т-• • ••
Отсюда
| (31)
Дадим п значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Получим следующие урав-
нения для получения xf.
х = О,
.«=-i = 0.
Xs — у х — О,
*‘->+i = 0’
5 5 з 7 п (32)
л6-_хз + _х = о,
Х6_Х4 + 1Х2-Т±_ = О,
, 7 , , 119 з 149 п
6Х + 360Х 64£0Х —°’
q 3 , ,27 . 57 Ч1 2217 п
Х 2 Х + 40 Х Ь60 + 22 400 Х ~ ° ' J
Можно было бы получить w„(x) и для других значений п, но, как
показал академик С. Н. Бернштейн, при этом уравнение шп(х) = 0
будет иметь комплексные корпи и, следовательно, соответствующая
формула Чебышева не может быть использована. Абсциссы формул
Чебышева при различных значениях п и I даются следующей таб-
лицей:
п = 2 — хх = х2 = 0,577350;
п = 3 — %! = х3 = 0,707107, х2=0;
л = 4 — х1 = х4 = 0,794654, — х2 = х3 = 0.187592;
п = 5 — х4 = х5 = 0,832498, —х2= х4= 0,374541. х3 = 0;
п= 6 — X] = х6 = 0,866247, —х2= хБ = 0,422519, — х3 = х4 = 0,266635;
п = 7 — Xj = х7 = 0,883862, —х2 = х6 = 0,529657; — х3 = хБ = 0,323912, х. =0;
п = 9 — Xt = х9 = 0,911589, — х2 = хр = 0,6010] 9;
— х3 = х, = 0,528762, —х4 = Х(, = 0,167906, х6 = 0.
Рассмотрим пример на вычисление интеграла по формуле Чебы-
шева.
Пример. Вычислить по формуле Чебышева интеграл
1
/ = f . f-, =4 = 0,78539816 ....
./ 1 + х» 4
взяв п = 7.
о
Как и в предыдущем параграфе, преобразуем предварительно
интеграл к отрезку [—1, 1]. Последовательные значения ординат
будут таковы:
/(Х1) = 0,249159, /(х2) = 0,236898, / (х3) = 0,224361,
/(х4) = 0,200000. /(*5)= 0,173831,
/(Xg) = 0,157732, f(x7) = 0,132469.
Вычисления дают
1 = 0,785400.
Ошибка не превышает двух единиц шестого знака.
2. Остаточный член формул Чебышева. Получим теперь остаточные
члены формул численного интегрирования Чебышева. Ограничимся случаем
/>(х)=1. Пусть число ординат, использованных в формуле Чебышева, равной.
Соответствующий остаточный член будем обозначать /?«.(/). Как известно,
Rtl (f) = 0, когда /(х) является произвольным многочленом степени п.
Если л —четное число, то Rn(f) обращается в нуль и дли произвольного
многочлена степени не выше л -j- 1. В самом деле, если
/(х) = а04-«1х-|- ... + anx»-j- un+]x«+t,
то
7?п (/) = ^« 0*0 + + ••• |"an-*'n)4 7?n (апз jXrt+1).
Первый член справа, очевидно, равен нулю, а
г1 п
Pn(an+xxn+i)= j an+1x«+irfx — Я„+1Х"+1-
-1 <-1
По интеграл, стоящий в правой части равен нулю, так как xn+1 является
нечетной функцией х. Точпо так же обращается в нуль и сумма в правой
части, так как корни уравнения ип (х) = 0 симметричны относительно на-
чала координат. Итак, /?п (ап цХп+1) = 0 и Rn(f') — 0. Утверждение дока-
зано.
Пусть теперь /(х) — произвольная функция, обладающая на отрезке
[—1, -|-1] непрерывными производными до порядка лк —|— 1 включительно.
Здесь т равно л, если л — нечетное число, и равно п -1- 1, если л — четное.
По формуле Тейлора имеем:
/(х)=/(-1) + (х 4-1)/'(-1) + ^Ц— Г(-1)+ •••
(х4- 1)т
ml
— s)m ds.
(33)
Отсюда, в силу наших предыдущих рассуждений,
7?» (/) — 7?п
у* f(m+l) (S) Qc — s)mds
или
+ 1 X
Rn (/) = !- j dx I /(“+D (s) (x — S')m ds -
' -1 -1
X-
П л
“ 7 S i J (s) (Xi ~ ds- (34)
i=l -1
Меняя порядок интегрирования в первом члене справа, получим:
-4-1 Xj
+ * 1 * * ш+1 П г
-1 i-1-l
(35)
введем обозначение
-------i (* — s)m при х > s,
(x-s)m = v ’ F (36)
I 0 при x <. s.
Тогда наш остаточный член (35) можно записать
в виде
п
Rn (/) —
(1- s)”»*1 2
m -{-1 л
ds.
(37)
jn
Исследуем функции
n
2 V
<fk <S) F=
(l-s)''*-1
(k = 0, 1, 2.....m)
k I n
к
На отрезке [--1, л^] они положительны, если k нечетно, и отрицательны,
если k четно. Действительно, так как k т, то
(1—S)fc+1
fe I
+i
И _ ST**1 f
= — - j (x — S)Jdx =
-1
(l-s)*+1 , (- nt+i(l+s)fc+I
fe-1 A + l 1 U Л-Н
Отсюда и следует утверждение. Далее,
п
п (s) = — (i — s)4 + Y 2
i = l
или
(s)
-^=-^(5) (* = 1,2, m).
В частности,
(*) = —
п
(!— ») — — S)°
»=о
= l+s.
Правая часть неотрицательна при з>—I и так как ср, (з)[>0 при —1<з-С
<хь то <р± (з) > 0 при з>—1. Но
Та (s)
— = —Т1 (Д) <0 при з> — 1,
и так как (з) < 0 при —1 < з < х1( то <р, (з) < 0 при s > —1. Отсюда
получаем, что <р3 (з) 0 при 3J>—1, и, продолжая также дальше, придем,
в конце концов, к заключению, что <fm (з) >0 при з>—1 (т нечетно!),
В силу доказанного, к выражению для Rn (/) применима теорема о сред-
нем и
—1 1— 1=1
Таким образом,
7?n(/) = Afn/("*W(E), (39)
где постоянная Мп не зависит от вита функции f (х). Для отыскания по-
стоянной Мп проще всего поступить следующим образом. В качестве функ-
ции / (х) возьмем х”**1. Тогда предыдущее равенство даст
"л1 ” W
(m + 1)! Мп = f х™ + 1 dx - | 2 xf*1 =- | ХГ4 ’ •
-1 i=l i=l
Отсюда
(40)
п
При этом нам придется разыскивать суммы V х™+1, где ж + 1 равно или
»=1
п -ф 1 или п -|- 2. Здесь удобны формулы Ньютона:
Sn+i •F*lsn+®isn-i+ ••• + ^n-is2 + ^nsi = 0,
$«+2+ blsn+1 + b^Sn + ••• + ^п-1хз+ — 0,
где
Sk = 2xt
i=l
a bb 62, .bn являются коэффициентами уравнения wn(x)=0:
(x) — Xя -|“ b^Xn~r + ... -ф- ^n~\x •+- = U.
При помощи этих формул sn+1 и $«+2 выражаются через sn, Sn-i» ... По-
следние находятся при помощи равенства:
л1 п
f xkds^^T = 7. Z xi=^Sk (* = 0’2’4'.............
-1 г-1
= 0 (k — 1, 3,..., к <. m).
Приведем готовые выражения остаточных членов для тех значений п,
для которых формулы Чебышева существуют:
«,</)=
#5 (/) 544320 (/) — j 959552000-^ %Щ-42|25/»’«); U) 3969000 ? п200-9-11’^
При выводе остаточного члена для формул Чебышева мы по
существу следовали тому пути, который был указан в § 3.
§ 7. Сходимость квадратурных процессоь
Формулы численного интегрирования, которые мы рассматривали,
имели следующий вид;
ь
j j (X) dx ~ с1/ (J-l) Ч~ (-*-2) 4- >.. -|- cnf (xn).
а
Мы получали их путем замены подынтегрального выражения интер-
поляционным многочленом Лагранжа. Мыслимы и другие способы
замены. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Функционалу
>
। f(x)dx
а
ставится в соответствие последовательность функционалов
1п(Г)=2 4п)/т
i“l
(2)
где с'/1 выбираются из некоторой бесконечной треугольной матрицы:
ч >
(2) (2)
Ci , Сг .
/з) (з) (3)
С1 > с2 » Сз >
(3)
a xi — из другой заданной бесконечной треугольной матрицы:
I
v(2)
х. , х> ,
ДЗ) (3) (3)
Xi , Х2 , Х3 ,
(4)
Предполагается, что все х^' принадлежат отрезку [и, £]. При каких
условиях, наложенных на с,п) и х-41, для любой непрерывной на |о, Ь\
функции fix'} будет иметь место
ъ
lim Ln(f)= f(x)dx? (5)
П->ео
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой:
" ъ
Теорема. Для того чтобы I f(x)dx при п оо
а
для любой непрерывной на (а, Ь\ функции f (х), необходимо и до-
статочно, чтобы эти имело место для любого многочлена и
п
чтобы У | Cfcn) I < № для любого п.
Докажем сначала достаточность этих условий. При этом мы будем
ссылаться на следующую теорему Вейерштрасса:
Для всякой непрерывной на |а, Ь] функции f (х) и для всякого
е > 0 можно найти такой многочлен Р (х), что I f (х) — Р (х) | < е
при любом х£[а, Ь].
Доказательство этой теоремы мы приведем в следующей главе.
Рассмотрим разность
ь ь
f f (х) dx — Ln (f) = j ;/ (x) — P (x)] dx +
a a
Г b "I
-I- J P(x)dx-L.n(P) -Ln(f-P)
-a
(6)
В силу теоремы Вейерштрасса можно найти такой многочлен Р (х), что
|/(х)—Р (х) | < 8 при x£fa, 6].
(7)
Пусть Р(х) в предыдущем равенстве и будет таким многоиленом.
Тогда абсолютная величина первого члена правой части не может
превышать е(Ь—а), В силу первого условия доказываемой теоремы
второе слагаемое в (6) при достаточно большом п может быть сде-
лано меньше е по абсолютной величине. Далее,
I» I/ - Р|=S 4” (/W’) - р «">)].
к=1
Таким образом,
I к 1/ - ЛI < 2: dn) II / (аГ ) - Р (4n))i <
fc=i
Отсюда получаем:
ь
I f(x)dx — Ln(f)
а
(8)
(9)
(10)
s (Ь — а 4- 1 4~ М),
т. е. левая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и
доказывает достаточность условий,
Необходимость первого условия очевидна, так как многочлены
являются непрерывными функциями. Поэтому нужно доказать только
необходимость второго условия. ’Доказательство будем вести от про-
ТИВНОГО. Пусть 2 И>| не ограничены. Для каждого п построим
к- 1
функцию <рп(х), обладающую следующими свойствами:
I. <?п(л4п)) равно -1-1, если Л"1 > 0 и равно —1, если < 0;
2. срп(х) — непрерывная функция,
3- I '?п (•*) I “С 1 •
Очевидно,
5 |4n)|. (in
Л = 1
Обозначим для сокращения записей последнее выражение через Мп.
Возьмем некоторую из построенных нами функций эП1(х). Для
нее должно иметь место
ь
lim £„(<?„,) = / ?лДх)(/х. (12)
п-> СО *'
Но | срп, (х) | 1 Следовательно,
ь
[ 'fn, (х) dx
а
и найдется такое Л\, что при и > будет
|(-п (?»,)!<* (£ — «)
(13)
(14)
(здесь е—основание натуральных логарифмов). Далее, найдется та-
кое что /ИПа>2-2!. Рассмотрим функцию
(15)
Она непрерывна. Следовательно,
I 'Pn.W
L и
Но
ь
{Х) 1 _ С Г 'fn- (xi
21 J — J L и
a
dx.
lim Ln
п-> со
fn, (•<) ]
2i J
dX
< — a) < (e ~ i) (& — a)-
Поэтому найдется такое Л’2> что при п > ,V2 будет
(16)
< е (Ь — а).
(17)
Найдем такое п^Ыг, что > 3 • 3!, и продолжим наше построе-
ние дальше.
Пусть мы уже нашли Nm. Тогда находим л„(41 > Nm такое, что
7ИП(П+1 > (т 4- 1) (/га 4- 1)!. и строим функцию
п -4- 2! +••• (и+1)1 • (-18)
Она непрерывна. Следовательно,
ь
lim Cn(<pm4i)= / L+i(x)dx. (19)
п -> со ”
а
Но
ъ
j tym+i(x)dx
а
^Д1’ 2! " • “’(m+l)!) 4
Xtf—О)<(е— l)(ft — а).
Находим Nm+1 такое, что при п > ^„+1
|7-п(Фт-ч)| < е{Ь — а),
и продолжим построение дальше
Таким образом, мы получим ряд
1! "+ 2» + • • • + -Г---
(20)
(21)
(22)
Этот ряд будет равномерно сходиться, и следовательно, его сумма
-будет непрерывной функцией. Обозначим ее f (х).
, I <Рп, . 'Ч]
п L 1! ' 2! J
' 2! J
Возьмем любое натуральное число k и представим j (х) в виде
/W=2^ + ^-+ 3^. (23)
i-=l
При этом
, ,Л —/ f V Тг’ -I- / I V
Л М J^~L^k\ 2л Л
' 1 = 1 ' \. = Л41 /
(24)
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Так как nft > ^k-i> то
Далее,
(25)
v 'PnjW V 1 =________-_Гн___—4-
Z ~(А-г1)И *4-2
’ г=& + 1 1-Й4-1
+ {k (-2) (*4 3) *" •••]'<(T+lJlI1 + Т4Г2 4-(F+2)» + • • •
1 1 *4-2 *4-1 1
'(*4-1)! 1 —(*4-1)’(*4-1) H*-H)i* — *•*!’
*4-2'
Таким образом,
L
пк
Чп1 U)
fl
k k\ Мпк'
(26)
Функционал от среднего члена будет равен
пИ\ *! /
(27)
— *! ’
Сопоставляя соотношения (24), (25), (26), (27), получим:
Ч(/)>
*!
*-*!
— е (Ь — а).
Но 7ИП.>*>*! и, следовательно,
(28)
а последнее выражение неограниченно возрастает с возрастанием k.
ь
Поэтому Ln (/) не может стремиться к ( f(x)dx. Мы пришли
а
к противоречию. Таким образом, необходимость условий доказана.
При доказательстве теоремы мы считали коэффициенты совер-
шенно произвольными, В рассмотренных ранее случаях эти коэффи-
циенты получались путем интегрирования интерполяционных много-
членов Такой процесс будем называть интерполяционно- квадра-
турным.
Для интерполяционно-квадратурных процессов сходимость навер-
няка имеет место для любого многочлена и первое условие теоремы
можно опустить. Далее, беря /(х)=1, получим:
п
V > dx = Ь — а.
4-1 а
Поэтому, если все положительны, то и второе условие теоремы
будет выполнено. Такой случай как раз имел место в формулах
Гаусса, Поэтому квадратурный процесс по формулам Гаусса все-
гда сходится.
При изучении формул Ньютона—Котеса мы видели, что у них
имеются отрицательные коэффициенты. Можно показать, что для
п
формул Ньютона—Котесаусловие 2 | | < А4 не выполнено,
й—1
О сходимости формул Чебышева при р(х)=1 вопрос ставить
нельзя, так как при п> Ю формул Чебышева не существует.
§ 8. Формула Эйлера
Формула, к выводу которой мы хотим приступить, имеет самые
разнообразные применения; численное интегрирование, суммирование
рядов, разложение функций в ряд и т. д. Ее часто называют фор-
мулой Эйлера — Маклорена, хотя впервые она была получена Эйле-
ром. Формула Эйлера не связана непосредственно с теорией интер-
полирования и потребует некоторых сведений о многочленах и числах
Бернулли.
1. Числа и многочлены Бернулли. Рассмотрим функцию
xetx
ел — 1 ’
Она может быть разложена в ряд по возрастающим степеням х,
равномерно сходящийся при |х|<^а<.2~, так как ближайшей
к началу координат особой точкой этой функции является
х = 2г.1.
Запишем ряд в виде
ОО
<>
п-0
Brt(Z) называются многочленами Бернулли. Что они действительно
являются многочленами, мы обнаружим немного позднее. Многочлены
Бернулли широко используются в теории чисел. При t = 0 получим:
ОО
где через Вп обозначено 5я(0). Числа Вп называются числами Бер-
нулли. Прежде всего убедимся, что Bn(t)—многочлены, и укажем
более удобную, чем (1), формулу для их получения. Умножая обе
части равенства (1) на ех—1 и разлагая ех—1 и xetx в ряды по
степеням х, получим:
ОО СО ОО
V у, у вп(о
л! U п! ' Zj л! •
П=0 п=^1 п=о
Приравнивая коэффициенты при х” в левой части и в правой,
после умножения рядов будем иметь.
in~' _ Вп_Л (0 , (0_ , , Во<0
(л—1)1 11 (л--1)! ' 2!(л —2)! л! 1!
ИЛИ
п
ntn'1 = ^С^Вп_к((). (3)
А-1
Отсюда при n = J получаем Вс (Г) = 1 и, полагая далее п= 2, 3, 4.
будем последовательно получать всеВч(^). При этом непосредственно
видно, что все Bn(t) будут многочленами.
Многочлены Бернулли обладают двумя характеристическими свой-
ствами. Рассмотрим
(t -|- 1, х) — (t, Х}.
С одной стороны, эта разность равна
х^+Р® хе°* , xV , х»г« ,
#•—1 1~xe —xBr 1; 21
с другой,
n = 0
ММЬ Bn(t)
n!
xn.
Приравнивая коэффициенты при xn, имеем:
(4)
Это и есть одно из характеристических свойств Bn(f). Продиффе-
ренцируем теперь (1) по t. Получим:
ОО f
= V уП
1 A nl
п=«0
или
оо ОО f
V xn+i_y B*(t) хп
*4 л! м nl
n=0 n=~0
Приравнивая опять коэффициенты при хп, будем иметь:
(5)
Это — второе характеристическое свойство многочленов Бернулли,
Свойства (4) и (5) в свою очередь определяют В самом деле,
на основании формулы Тейлора
п
nt71-1 = Bn(t + l)- Вп (О = 2 i в'п (О-
к-1
Используя (5), получим:
(О = Л(В-1)... (л-i + l) вп-кю.
Следовательно,
п/”-1 = 5с‘вя_но.
*-i
Снова получили (3), однозначно определяющее Bn(f).
Рассмотрим еще ряды
СО
^+4х=1Ххп’ <б>
п=о
х^Ет = ^Рп(()хП- (7)
п=0
Сравнивая (6), (7) с (1) и (2), видим, что Ьп=^, если п 4 1,
а ^ = 5,4-4 иРп(0 = ^а)л7Д’-.
Изучим свойства Ьп и Pn(t). Заменим в (6) х на —х. Получим:
слева
х 1 _ хех 1
е-®_1 2Х —
и справа
СО
п=0
Следовательно, все Ьп с нечетными индексами равны нулю:
^=0. (8)
Найдем теперь Р'п(0-
Таким образом, для всех и > 2
Р'(/) = Р ,(0 + £ (9)-
При л = 2 получим P'3(t) = B (t). Из (3) следует
2/ = 2Д1(/)+Во(О, В1(/) = /-1.
Итак,
= (10)
Положим в (7) t = 0. Получим:
0=
П-0
Следовательно,
Р„(0) = 0. (И)
Полагая в (7) t—1, будем иметь:
СО
* = ^Рп(1)х”.
п=о
Следовательно,
Рп(1) = 0 при п =#= 1. (12)
Положим еще в (7) t — * , получим:
Заменим здесь х на — х:
1
— — Г ОО
«=0
Вычитая друг из друга последние два равенства, будем иметь:
к=1
Итак,
^-1 у)=0 при й>2. (13)
Покажем теперь, что при k 1 Р2А+1 (0 нигде не обращается в нуль
на отрезке |0, 1] кроме точек / = 0, у, 1, а P2fc(O нигде, не обра-
щается в нуль, кроме / = 0 и 1. Из (10) следует
Р,(О = ^-4 + С.
а из (11) С = 0. Следовательно, для Рг(1) наше утверждение спра-
ведливо. Р3(1) будет многочленом третьей степени и в силу (11),
(12), (13) обращается в нуль при t = 0, у, 1. Других нулей Р3 (О
иметь не может и для него утверждение также справедливо. Допу-
стим теперь, что утверждение справедливо для Положим,
для определенности, что ДО Д 0 при 0 < t < у и P2ft-i (О < 0
при у<Д<1. Тогда в силу (8), (9), (11) и (12):
^’ft<0>0 при
0<f <
р'№ < ° ПР"
1.
д
2
t
2 ’
Ргк (0) = pzk (1) — 0. Следовательно, Р^ (f) имеет максимум при t = у
и этот максимум единственный на [0, 1]. Т’уДО не обращается
в нуль на [0, 1] и имеет знак Р^-Д?), где 5 некоторая точка от-
резка [0, yj. Далее,
Так как Р'л (0 на интервале (0, 1) обращается в нуль только в од-
ной точке, то P2Jpt) -Ь Ьл может обращаться в нуль на отрезке [0, 1]
только в двух точках, а 021+1(0—только в трех точках. Следо-
вательно, £ = О, 4" > 1 являются единственными нулями 021+1(0-
Так как знак P.,k(t) не меняется на отрезке [0, 1]. а знак Р'2к+1 (0
меняется, то Ь2к имеет знак, противоположный знаку P№(f)t
и по абсолютной величине меньше, чем max | Р,к (t) |. Поэтому
нуль 02i + i(0 при t — т простой. Далее, 0а(О) = О. Следова-
тельно, P'ik j(£), а поэтому и Р2к+. (?) при $, близких к нулю,
имеет знак Ь^, противоположный знаку Р2к (0, а следовательно
и знаку Р-яс-гЦ). Таким образом, 02i+i(0 будут иметь чередую-
щиеся по k знаки. Это же будет справедливо и для 6а.
2. Формула Эйлера и примеры ее применения. После этих
предварительных рассуждений перейдем к выводу формулы Эйлера.
Рассмотрим
a+h
J f(x)dx,
а
где / (х)—некоторая, достаточное число раз дифференцируемая
функция. Произведем замену переменных, положив х— a-\-th.
Тогда наш интеграл будет равен
a +h 1 1
J" f(x)dx = h / f (a-\-th) dt = h | v?(t)dt,
a 0 0
где cp(0 =f(a К последнему интегралу применим правило
интегрирования по частям’
1 1 1
У* ср (0 dt = tv? (t> | — J tv?' (0 aZ = (1) — J IZ — A) cp' (0 dt —
0 0 о 0
1
= J U-l)cp'(0dC
о
Первые два члена здесь дают формулу численного интегрирования
трапеций, последний член — поправку к ней. Воспользуемся теперь
формулами (9), (10) и свойствами Pn(t) и Ьп для преобразования
последнего члена. Снова, интегрируя по частям, получим:
i 1
/ — 4) ?' dt = / Р2 ?' di = [р2 —
О о
1 1
- J Р2 (П ?" (О dt = - f\P\ (о - ft,] ср" (О dr =
О о
= ь, [ср' (1) — ср' (0) I — J Р' (0 ср" (0 dt = Ьг [ср' (1) — ?' (0)1 —
О
- рз (О (Olo + J Л (О Ю dt =
о 1
= ь2 [ср' (1) — ср' (0)1 -+- f Р, (0 ср'" (t) dt.
О
В последнем интеграле можно заменить Р3 (0 на Р\ (t) и еще раз
повторить интегрирование по частям. При этом добавится член
МГ(1)-?"'(0)],
а вместо последнего интеграла будем иметь:
/ Р5 (0 <p(V)(o dt.
О
Повторив наши операции г раз, получим:
1
J v(f)dt =1[ср(0) + с?(1)| — ft2 [?'(!) — ср' (0)1 —
— ftjcp"^) —ср'"(О)| — ... — ft2r[?(2'-»(l)— ср^-1)(0)1 + ^2г,
где Rir можно записать в двух видах:
= - f Pir+x (t) 'Г+1) (0 dt = f P2r+2 (0 ср(3'+3> (П dt.
о о
Возвратимся к старым переменным и выразим Ьп через числа Бер-
нулли. Будем иметь'
a-\-h
— ... -
- [Г'1’ (« + h)(«)] +
где
Rzr = - h 'ir+i f P2r+1 (/) /(2'+ч (a 4- th) dt =
(J
= ftSr+* f Рггл t (t)fr+2> (a + th) dt.
о
Если применить последнюю формулу к отрезкам
|«, сг-|—Л], [а-1-й, аН-2й], .... \ар-(п—l)ft, a-\-nh]
и сложить полученные выражения, то и получим формулу Эйлера:
f f(x)dx = h[^f(a)+f(a-bh)-Pf(a±2h) + ... +
4 f (а + (га - 1) ft) 4-1 / (а + гай)] - [/' (а + nh) - f (а)] -
- ~^г I Г (а + nh) - fm (а)] - ... -
“ 7Ж । <а + — /(2г ~ ° (й)1 + < 14>
где
^r=_ft^+3V ур2г+1(0/*+и[а+Л(,+й)И/=
/с=о к
= ft3r+32 /^г+2(0/(2г+2)^ +Л (t + *)]<#. (15)
fe=o о
Остаточный член можно записать в другой форме, если восполь-
зоваться тем, что P2rv2(t) не меняет знака на отрезке [О, JJ. Тогда
Rlr = nh3r+3f{3r+2) (') f Pir +2 (0 dt,
0
где J—некоторая точка промежутка [a, a-\-nh\. Ho no (9)
0 = J P2r+3 (/) dt = f Pir+2 (f) dt -h f b2r+2 dt.
ООО
Следовательно,
I Pir + 2 (t) dt = b2r+2 = — •
Поэтому остаточный член можно записать в форме
/?2г = _/^+8-^^/<*+«ф. (1б)
I *•)1
В некоторых случаях об остаточном члене можно судить по самим
вычислениям по формуле Эйлера. Так, пусть все производные не-
четного порядка функции /(х) имеют одинаковые постоянные знаки
на рассматриваемом отрезке и монотонны там, например монотонно
возрастающие. Тогда на основании второй теоремы о среднем из
первого выражения (15) получим, что знак будет определяться
знаком
ур2г+1(/) Л,
которые будут чередоваться вместе с г. Таким образом, остаточные
члены будут иметь чередующиеся знаки и истинное значение инте-
грала будет заключено между суммой г и г+1 членов формулы
Эйлера.
Для удобства пользования формулой Эйлера приведем значения
чисел Бернулли и выражения многочленов Бернулли для некоторых
значений п
В0(х)=1; В^х) = х—^\ В2(х) = х2 — х +-Ь
В3(х) = х3 — у х2 + х, В4 (х) = х4 — 2х3 + х2 —
В&(х) = х6 — -j х4 + -| х3 — х;
В6 (х) = хб-3хо + |х4_
В,(х) = х7 — Xе +-| Xй— ^-х’ + | х;
В8(х) = х*-4х7 + Ух»-1х4+|х2-1;
в9(х) = х9---^x8 + 6x" — ^х’ +2х3 — ^х;
В10 (х) = х>" — 5х« + .у? хз _ 7хо 5Х4 _ 3 х2 Д .
в«=ч в. = -4; s.-g;
о ___ 1 . о ___ 3 _ п ___ 691 г 7 #
й8— 30’ К1Э — 66’ ~ 2730’ —
о _ _ 3617
510 ’
Рассмотрим, как ведут себя числа Бернулли В2г для больших
значений г. Для этого воспользуемся известным разложением
= j___i_ о У______'___
( 2 ' & -г 4»'^ '
й = 1
Положим
СО
= S ?* •
fc=l
Разложим „ . i-Гт- в ряд по степеням х. Будем иметь:
СО
_______=у (_n^V—Г.
х2 + 4^г.2 jU ' *' \2krJ ’
n=l
Отсюда
ОО
x ____ 1 x | V / <\» + l 21$n 1-2»
>_T —1 —7"1"(~lJ (2^x •
n~l
Таким образом,
n»+l 2О)' с
и!п — 1-----“(Sit)2”" °2”’’
Sln стремится к 1 при п-->эо. Поэтому В2п стремится к бесконеч-
ности с возрастанием п.
Дадим примеры различных приложений формулы Эйлера.
Пример. Вычислить с помощью формулы Эйлера интеграл
In 2 ~
20
10
Здесь
fW = ~> = f"'(x) = -±, fv\x) = ~^, ...
in 2 1 I L_| Li . i J_ i _1_________________(_]_______L_ \
2-10 11 "T 12^ 19~*“2-20 2 \102 202/
b4/J_____L\_ _____L\
4^10 20V 6\10e 206/
Вычисления дают:
0,050 000 000 0
0,090 909 090 9
0,083 333 333 3
0,076 923 076 9
0,071 428 571 4
0,066 666 666 7
0,062 500 000 0
0,058 823 529 4
0,055 555 555 6
0,052 631 578 9
0,025 000 000 0
0,693 771 403 1
— • (0,01 — 0,0025) = — 0,000 625
- • (0,000 1 — 0,000 006 25) =
= 0.000 000 833 — 0,000 000 052 1
-^.0,000 001(1-±) =
= —0,000 000 003 9
^0.000 00001(1 -^)-
= 0,000 000 000 0 . . .
— 0,000 624 222 7
1п 2 = 0,693 147 180 4
Точное значение
1п2 = 0,693 147 1805 ...
Здесь как раз было применимо замечание, сделанное относительно
оценки остаточного члена, когда производные нечетного порядка
функции /(х) знакопостоянны и монотонны,
п
Пример. Вычислить сумму7 k‘‘. где р— целое положитель-
ное число. *-1
Положим в формуле Эйлера а = 0, Л=1, /(х)^#хр. Тогда
п
f xFdx=.~0 ... +(п— —
О
-^P^-'-^Pkp- 1)(р-2)^-3- ...
Здесь ряд обязательно оборвется на каком-то шаге, так как произ-
водные с некоторого порядка бу7дут равны нулю Отсюда
V У-p nV'1 1 I ЗСГ — -1 „p-з ,
р-\Л 2 12- 720 т-
Р(Р—1)(Р—2)(р —3)(р —4) у_5
30420
Так, для р~2, 3, 4, 5 получим следующие выражения;
V . I3 . л(Я-Ц)(2л + Ц
Zj 3 т" 2 6
й=1
п
S, 3___л4 , л3 Зл*____л2 (л -|- 1)’
7 + 2 + 12 — 4
4-1
и
S,, л5 . л4 , 4л3 24л 1 , . „ ,ч
— -g—Ьу ~Ь --- 720— 30 й (П ^п‘ — 1)’
*-1
п
S,. ль . ль 5л» 60л*
k9==ё+ 2 + к! “ -720
к=1
р (2п5 -+- 6л4 -г 5п3 — п).
П р и м ер. Вычислить сумму ряда
С — ' I 1 <___- I I
ЮР 1032 1052 г 1072
В формуле Эйлера положим h — 2,/(х) = аз₽101, п~ оо.
Тогда
1 f^__L 1_________. _Li_J |_ _1_
2 ./ х2' — 2 ' 101* ЮЗ’ т 1о52 т • • • -Г
101
2*В, f 2 1 , 24в4[ 24 -| , 2В/361 7201
2! [IOpJ-*- 41 [1014 ’ бГ[1О17|-1'
Вычисления дают
5 = 0,004 999 833 35.
Пример. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по сте-
пеням х функцию etg 4 •
В формуле Эйлера полагаем /(x) = cosx, а = —, п—1.
Тогда
г, п h h . h
Деля на 2 sm-- и переносяetg-г- в левую сторону, получим:
4с,е4=1<-1>*^г‘а-^т-
Это и есть искомое разложение. Необходимо только исследовать
остаточный член. Для нашего случая
I*'Ы _ _____ /,2г+ 3 +3 /_____1 \Г + 1 (
7 h (2г 4-2)' ' ' , h ‘
2 sin у xi/ 2 sin
Следовательно,
Rtr
о . й
2s>ny
I Л|
Л I
smy
(2r -j- 2)!
Воспользуемся выражением для В2п, полученным ранее
___
2 sln
| h |"Гт2 2 (2г + 2)! .,
<2я)»г+«(2г4-’2)« г’2г+2'
Следовательно,
R?r
2а„4
|Л|
Л
s.n у
h
2?| д2^2'
Таким образом, при | h | < 2к остаточный член стремится к пулю.
В заключение дадим вывод формулы Стирлинга асимптоти-
ческого представления п\. Для этого в формуле Эйлера положим
а — 1, й = 1, /(х) = In х. Тогда
п
1
+ ylnn —
В?Г1 .1 Г 2 21
2! Ln J 4! L л« 1J
_ f (2г-2)! _ (2г- 2)! 1
(2г)! L л»-1 1 J'r ^г-
Отсюда
пцПп_1)+1^|п(п1)-1(пя+С-....
Z £П 1271°
1п(п!)=С + (п+А)1пЧ-Л-Ь-11г+ ....
где С—некоторая постоянная. Для ее определения воспользуемся
формулой Валлиса:
я __ и- 2<п[п’Р
2 — „Г=о 1(2ИЦРШ+ 1) ‘
Логарифмируя ее, получим:
1п-^-= lim {in In 2 4-4 In(n!)— 21n[(2n)l]— !n(2n-|-l)} =
= lim 1 4n In 2 -4-4 Vn +4-) In n—n -1- С I —
n -> co ' L\ / J
— 2[{2n-|-y)ln(2n) —2»-|-C — ln(2n-|-l)} = — 21n2-f-2C.
Следовательно,
C— ln(2ir).
Таким образом, окончательно получаем:
i
rtl = п3 ]/ 2 т: е~п 14
1 1
12л 360п3
Это и есть формула Стирлинга.
§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие
разности подынтегральной функции
1. Формула Грегори. Перейдем теперь к изучению формул
численного интегрирования, содержащих разности подынтегральной
функции. Пусть нам задана функция/(х) в точках fl, a-\-h.fl-|- nh.
Составим таблицу разностей:
Г f f3 f4 f5
*0 4 f'
a + h 4^, ' //2 f3
n+2h 4-J fs/i—— тз/г f 5
a+3h 4 J 5/2---A "'%-- '5/2 — " :f/2
4 ^7/'2 3r/l
a + 5h 4 7' з/г
Представим /(х) на интервале (а, а4-А) при помоши формулы
Ньютона для интерполирования вперед:
/(x) = /(fl + ZA)^f04-^ +
+ /?+•••+ + яя1, (1)
где
Z = + (a<^l<a^hl (2)
Интегрируя обе части равенства по интервалу изменения х от а
до a — h и деля на Л, получим:
a-t-h п 1 1
~ J f (х) dx = f^\f dtfk^ + j- dt (3)
a Zr=10 о
Нам часто будут встречаться интегралы
Г ...
J kl
о
Поэтому для сокращения записей будем обозначать их через Ак.
Положив До — 1, будем иметь;
а+п п 1
4 f }Wdx = £ АкГк/, +- f Rnl dt.
а к-0 О
(4)
Перейдем теперь к интервалу (а Ц-h, а 4- 2й). Если мы возьмем
за начальное значение Д, то уже нельзя будет воспользоваться фор-
мулой Ньютона, если мы хотим дойти до разностей /z-го порядка,
так как отсутствует в нашей таблице. Поэтому мы восполь-
зуемся диаграммой Фрезера и выберем путь, идущий от Д по диа-
гонали вниз до /"„.Дуа и затем по диагонали вверх до /"/2. (В таб-
лице он показан сплошной линией.} Соответствующая формула будет
иметь вид
f W = /(в 4- h 4- /4) — f -j- tfl 4-
X /.J
i /2 । । —1)... (f — n -p 2) fn-i ,
I 2! / 2 j • • • I ^n_ ---— J tn+D/2 -t“
I ^0 1) ... (t — n -p 1) ,<
’ n! Ш'л T 'X»2> (5)
где
,__ x — a — h
h ’
n ____(t +\)t (t — 1)., .(Z — n 4 1) hn+if[n+h (t t
°n2 4" 1)! ” / (’21 (.Q 4— h ,2 "C zz 4- *- 0-
Интегрируя по интервалу изменения х от a -+ h до а —I—2й и деля
на h, получим;
e+a/» n_j 1
1 У /(х)ах^^Ак/^+1А-Ап/”^ J R,l2dt. (G)
a+li А-=-0 о
Для интервала (а-|-2й, а-н-Зй) выбираем путь, начинающийся с /2
и идущий по диагонали вниз до разностей (п — 2)-го порядка и
далее по диагонали вверх. Соответствующая формула после инте-
грирования будет иметь вид
а+ЗД п—а
f(x) dx — yW(*/a)+a-r Ai-i/oi-Aj/a +
4 fn,a / (Z -A-n~2L dt _|_ у RnAt) dt. (7)
о о
Продолжим этот процесс далее. Для последнего интервала
1)й- а-^п/г] получим:
а+(п-1) л
+f?+
О о
+/: J <и + а,. (8)
о о
Сложим теперь все полученные интегралы. В левой части будем
иметь:
а+«Л
1У f(X)dX.
Первые слагаемые справа дадут в с}мме
/оД”/1Ч- ••• -|-/п-1-
Вторые слагаемые дадут
^1 [/*/. + /?» ~Ь • • • + [/« — /о]-
Но А1 = -^. Складывая последнюю сумму и предыдущую, получим:
7/0+/1+ ••• -*-/п-1 + у/п-
При сложении членов с вторыми разностями не будем учитывать
вклада от последнего интеграла, при сложении членов с третьими
разностями не будем учитывать вкладов последних двух интегралов
и т. д. Тогда сумма остальных членов с k- ми разностями даст
/1л [/»!(*-ц/2 — (А = 2, 3.......п).
Соберем теперь оставшиеся члены с й-ми разностями. Они дадут
(/+ 1) t (t-I) .
А!
(/ + 2)(/+iW !)...t<-r3)
(< t- *-2)... (<+1)Ц/-1)
k\
Если обозначить через <p(/) произведение
то последнее выражение можно записать в
t(t— 1)... а—А-+-1),
виде
dt •+ . ..
<Н?4 fe-2)
*1
или если заменить во втором интеграле t -j- ] на t, в третьем 4 —f—2
на t и т. д., то квадратная скобка примет вид
Л-1
в„ = / -з-n.
О
Если k — нечетное число, то в силу показанной ранее симметрии
функции с (/) относительно середины интервала (0, k— 1) это выра-
жение будет равно нулю. Пусть теперь k четное. Тогда Z3fr + 1 = 0. Но
Z(z-i) ... (т-л,
(*+!)'
,(,_]) ... (t-k)
(к-г- 1)1
к
ГС-1) (t~k)
(* + 1)!
dt = Q.
Первый интеграл равен Ак н. Во втором произведем замену
1 =_У 4~ 1.
Тогда он примет вид
А-1
Г (у+Ру(у ... у- -
/ (* + 1)1
о
к-1
— Г у(у-1) ••• (У ~ * +1) 1(У ~ *) + (* +1)]
~J (*4-1)! аУ —
о
к-1 к-1
О о
к-1
- 1 R I /’ у (У — р • (У — *) W,,
— Л+1 + + J ууу----dy.
i
Последний интеграл равен нулю, так как и область интегрирования
я подынтегральная функция симметричны относительно точки t = -^.
Таким образом,
2Ди 1 + В* = D
или
At+i 4- = — Ак+1-
Если теперь использовать найденные нами значения Вк и прибавить
их к соответствующим, ранее найденным иленам, то получим, что
коэффициенты при разностях нечетного порядка нс изменятся,
а члены четного порядка примут следующий вид:
— 4/г+1 [/n-fc/a 4-/£/з].
Это будет иметь место до разностей порядка л — 1 Если л нечет-
ное число, то Bn = Q и последний член пропадает. Если же п чет-
ное, то разности (л— 1)-го порядка будут умножены на (Лп+1 фВ„).
Мы получили формулу Грегори-.
a+nfi
У /(x)dz = -j/0 4~/i -+/2 +~ ••• 4-Л-i 4-
а
Остаточный член /? этой формулы будет такой же, как и у фор-
мулы Ньютона — Котеса замкнутого типа с таким же л. Да и сама
эта формула является преобразованной формулой Ньютона—Котеса,
так как на каждом отрезке мы интегрировали интерполяционный
многочлен, построенный по узлам a, aA-h, .... a-^nh. Конечно,
это верно лишь в том случае, когда при использовании формулы
Грегори мы доходим до разностей порядка п.
Коэффициенты Дк можно определить при помощи интегрирова-
ния. Еще проще их отыскивать, если воспользоваться разложением
(1+?У=1+^+ ... + * ~-*.±-Ч ук 4----Ы<Ь
Интегрируя обе части равенства по t в пределах от 0 до 1, получим:
К(1 + у) У=^А*Ук[у-^ + ^- •••]• <10>
fr=0
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых
Степенях у, будем иметь:
^{-•А^т+Л л = о. л0=1. (И)
Эго рекуррентное соотношение позволяет последовательно находить
все /ф. Первые восемь значений таковы:
, . . 1 . 1 . 1 . 19
А) Ь 1— 2’ ^2— 12. Аз — 24 • А*~ ’720’
д _ J_ А ___863„ А _ 275
6 160 . ^6 - 60480’ •“24192'
Формулу Грегори можно было бы получить из формулы Эйлера,
если заменить входящие туда производные их выражениями через
разности.
Нужно заметить, что работа по составлению таблицы разностей
для использования ее в формуле Грегори не может считаться излиш-
ней, так как она позволяет обнаружить ошибки при вычислении /(х)
в точках a, a-\-h, .... a-\-nh.
2. Формула Лапласа и другие фоэмулы Если нам известны
значения f (х) для х, выходящих за пределы отрезка интегрирова-
ния, то можно получить еще ряд формул. Так, если /(х) задана
в точках a. a-\-h, .... а-\-(пт) h, то для каждой из точек
a, a-\-h, .... а-\-(п—\)h можно написать формулу Ньютона для
интерполирования вперед, доходящую до разностей порядка т.
Интегрируя каждую из них в пределах изменения t от 0 до 1 и
складывая, получим:
а+пй
И f f = ’ ~h/n-i 4“
а
т
+ у/п+ 2 + [/п+(*-1)/2 — ,/(*-1)74+^™> О2)
4-3
где
(Е)
(»г+1)! Ат+1’
(13)
Это — формула Лапласа.
Можно брать и формулы центральных разностей Например, инте-
грирование интерполяционной формулы Бесселя no t в пределах
от 0 до 1 даст
Коэффициентами при разностях нечетного порядка будут интегралы
' Z(i2_l)(^_20) ...
J (2k + 3)! df-
о
Произведем замену переменных, положив t— j—т. Тогда числи-
тель под знаком интеграла примет вид:
а пределы интегрирования перейдут в — и . Таким образом,,
эти интегралы обратятся в нуль. Интегралы, являющиеся коэффи-
циентами при разностях четного порядка, имеют вид
1
Г ц^-1)...
J (2fe + 2)l
о
Обозначим их через D/c. Тогда
У / (•*) dx = f0 -|- /1 -I- D + -4- ... -|- J Rdt.
а О
Сложив такие интегралы, взятые по отрезкам
[a, a-\-h\, \a-\-h, a-\-2h}.....[a-j-(n — 1)Л, a-\-nh].
получим:
a+nh
[ f (X) dx = -J f0-f- /1+ ... ~hfn-l fn -4-
+ ^o(/.\+A\+-- - +/U) +
Но
+fn+.=
=y[^+/sft+/r+/?ft-+- ••• +^+1'^} =
__ J_r fik-1 _ fik-1 I fik-1_ fZk-l,_ file-1 _ fik-1
2 l-'n+'A J‘/t • J n-Ч, J -'h J Jn J a
Отсюда
a-\ nh
~h I f dx = fQ Ч-/1Ч-/2Ч- ••• 4-/n-i 4-“/n 4-
a
+Ц>[Л-4]+Ч[П-Л]+••• +я (14)
Найдем вид R. Остаточный член формулы Бесселя, если последняя
используемая разность имеет нечетный порядок 2т-\-\, выглядит
так:
I _ 1) (п - 22) ... (fJ - mi) (/ - т _ ]) (3то+г) 2m+s
(2m 4-2)! J {Z}
Следовательно, в этом случае
# = пОт/г2т¥2/{2т+2) ($).
Коэффициенты имеют следующие значения:
/-) _____]_ и — Ч £) — _ 491
0 12 ’ 1 720 ' 2 60 480 ’
(15)
_ 2497
3 — 3 628 800 ’
Интегрируя интерполяционную формулу Стирлинга, получим:
h 1 1
Й+Т 2 +7
± / /wdx=/o+/« /|л+/; / ...
h 1 1
а___ __
1 1
2 ~
_ 2. i
а “7
§ 10] НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ФОРМУЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 305
Обозначая
1
2
fc*+‘ ’ J W + W dt'
2
последнее выражение можно записать в виде
1 У + (17)
h i=l
а~2
Складывая п таких выражений, найдем:
h
а + п-
-- / j(x)dx— /0+/1Н- ••• +/n-i +
п J
к
“ 2
к
+ <18)
»-1
Коэффициенты Е; имеют следующие значения:
г,- 1 и 17 р _ 367 р 27 859
С1~ 24 * 2 — 5760 ’ 3 967 680 ’ 4— ’464 486 400’’
И в этом случае нетрудно написать остаточный член. Он будет равен
R = nhi4+iEk+if'3k+3\^. (19)
Все последние формулы используют значения функции для х.
лежащих вне отрезка интегрирования. Их можно использовать как
для интегрирования, так и для суммирования.
Можно было бы значительно расширить набор такого рода
формул численного интегрирования. Некоторые новые формулы
будут получены в главе 9, посвященной численному интегрированию
обыкновенных дифференциальных уравнений. Сам читатель сможет
теперь без труда получать нужные ему для тех или иных целей
формулы
§ 10, Некоторые замечания по поводу формул
численного интегрирования
Мы получили ряд формул численного интегрирования. Возникает
вопрос: какую формулу нужно применять в том или другом случае,
какие формулы более выгодны и какие менее выгодны. На этот
вопрос нельзя ответить однозначно. Все зависит от того, каким спо-
собом задана подынтегральная функция, каковы у нас вычислитель-
ные средства, какова требуемая точность и т. п. В такой обшей
постановке вопроса ответить можно лишь так: та формула лучше,
которая в данном случае дает ответ с нужной нам точностью при
наименьшей затрате труда и времени.
Если вычисления ведутся вручную или с помощью малых вычи-
слительных машин, то имеют значение формулы, содержащие раз-
ности. Меньшее значение имеют формулы Гаусса и Чебышева, так
как вычисления с многозначными коэффициентами и абсциссами в этом
случае затруднительны. Из формул, не содержащих разности, чаще
всего применяется формула Симпсона.
При вычислениях на автоматических счетных машинах наибольшее
значение имеют безразностные формулы. Особенно выгодны наибо-
лее точные формулы Гаусса, так как они требуют наименьшего числа
операций для получения интеграла с нужной точностью.
Здесь необходимо сделать некоторые замечания относительно
более точных и менее точных формул. Эти термины были введены
нами при выводе формул численного интегрирования и в них вкла-
дывался определенный смысл. Нужно ясно себе представлять, что-
боле.е точная в этом смысле формула не всегда дает практически
более, точный результат. В самом деле, возьмем наиболее точную
из формул — формулу Гаусса. Она имеет вид
ь п
У (1)
a
где коэффициенты с, и абсциссы зафиксированы и зависят только
от п и [а, Ь\ Может случиться, что подынтегральная функция обра-
щается в нуль в каждой из течек а абсолютная величина инте-
грала от нее велика. Тогда разность между точным значением инте-
грала и приближенным, полученным по формуле Гаусса, будет также
очень велика. В связи с этим нужно сказать, что при выборе той
Или иной формулы численного интегрирования бывает целесообразно
изучить поведение подынтегральной функции и сравнить его с пове-
дением интерполяционного многочлена, интегрированием которого
получается формула численного интегрирования. Иногда возникает
необходимость разбивать отрезок интегрирования на отдельные,
участки так, чтобы лучше описать поведение функции интерполя-
ционными многочленами.
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности числен-
ного интегрирования, При пользовании любой приближенной фор-
мулой важно иметь представление о ее точности. В этей главе для
каждой из полученных формул мы дали выражения остаточных чле-
нов. Однако эти остаточные члены содержат производные высоких
порядков, которые в большинстве практических случаев или не могут
быть оценены или могут быть оценены очень грубо, так что факти-
ческая погрешность будет значительно меньше, чем полученная ее
оценка. Поэтому на практике часто прибегают к следующему приему
грубой оценки погрешностей формул численного интегрирования,
предложенному Рунге. Остаточный член каждой из формул числен-
ного интегрирования может быть записан в ьиде
= hkM, (2)
где h— длина отрезка интегрирования или какой-то его доли,
k — фиксированное число и М — произведение постоянной на произ-
водную подынтегральной функции порядка k — 1 в какой-то точке
промежутка интегрирования. Если J — точное значение интеграла,
а /— приближенное его значение, то
J = I^-hkM. (3)
Вычислим тот же самый интеграл, по той же формуле численного
интегрирования, но взяв вместо h величину у. При этом, чтобы
получить значение интеграла по всему отрезку, придется применять
формулу численного интегрирования дважды. Обозначим сумму полу-
ченных результатов через Тогда
•/=/1+(4Ул,1+(4УМг- (4)
Последние два члена правой части дают погрешности при каждом
интегрировании. Будем предполагать, что производная, входящая в /И,
меняется не сильно на рассматриваемом промежутке. Тогда мы можем
приближенно считать
/^Д+2(4УЛ1. (5)
Исключая из (3) и (5) точное значение интеграла J, найдем:
R = hkM = . (6)
1------
2fe-‘
Такой процесс часто употребляют для отыскания погрешностей фор-
мул не только при численном интегрировании.
Разработано очень много различных графических способов вычи-
сления интегралов. Нужно сказать, что все они очень грубы и тре-
буют сравнительно большой работы. Поэтому их можно рекомен-
довать лишь в исключительных случаях, когда интегрирование должно
быть произведено в процессе других графических работ. Мы не будем
здесь останавливаться на способах графического интегрирования.
Для приближенного интегрирования можно использовать спе-
циальные приборы: планиметры и интеграфы, На рис. 24 и 27 при-
веден общий вид этих приборов. Приемы работы на этих приборах
достаточно хорошо описаны в прилагаемых к ним инструкциях.
Рис. 27. Планиметр.
2. Замечание о вычислении интегралов с переменным верх-
ним пределом. Вычисление интегралов с переменным верхним пре-
делом можно производить по тем же формулам, что и для опреде-
ленных интегралов. При этом верхнему пределу придают опреде-
ленные значения и последовательно находят нужные инте-
гралы.
В главе 9 будут приведены многочисленные формулы численного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Все
они пригодны для вычисления неопределенных интегралов.
§ 11. Вычисление несобственных интегралов
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, связан-
ными с вычислением несобственных интегралов. Это могут быть
интегралы с бесконечными пределами или интегралы с конечными
пределами, но подынтегральной функцией, обращающейся в беско-
нечность на отрезке, интегрирования.
Несобственный интеграл с бесконечными пределами всегда можно
преобразовать в несобственный интеграл или даже собственный с ко-
нечными пределами. Для этого достаточно произвести подходящую
замену переменного под знаком интеграла или взять интеграл в ко-
нечных, но достаточно больших пределах так, что отбрасываемая
часть интеграла значительно меньше, чем заданная нам точность
вычисления интеграла. В последнем случае часто пользуются асим-
птотическими выражениями подынтегральных функций для оценки
отбрасываемой части интеграла или для учета ее вклада в интеграл.
Мы не будем подробнее останавливаться на этом вопросе, так как
во многом успех при вычислении несобственного интеграла с беско-
нечными пределами зависит от искусства вычислителя.
1. Метод выделения особенностей. При вычислении несобствен-
ных интегралов с конечными пределами интегрирования удобнее всего
использовать метод выделения особенностей. Существует два ме-
тода выделения особенностей: мультипликативный и аддитивный.
Суть мультипликативного способа выделения особенностей со-
стоит в следующем. Пусть нам требуется вычислить интеграл
ь
I— J f(x)dx, (1)
а
где функция /(х) обращается в бесконечность в одной или нескольких
точках отрезка [а, Ь\. Мы представляем эту функцию в виде
/(х) = ?(х)р(х).
(2)
где tp (х)— ограниченная функция на (с, £], обладающая там доста-
точным количеством непрерывных производных, а р(х)> 0 на [а, Ь].
Рассматривают р (х) как весовую функцию и строят соответствую-
щую формулу численного • интегрирования теми приемами, которые
указаны выше. За приближенное значение интеграла (1) принимают
результат применения полученной формулы численного интегриро-
вания к функции <р(х).
Пусть, например, нам нужно вычислить интеграл
/ = / (3)
/i —х<
Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точках ±1.
Представим ее в виде
1_______ 1___________1
“ /Г=х2 /Гф-'х?
(4)
и будем рассматривать функцию
I
У'Г^х’
(5)
как весовую. Тогда будет применима формула численного интегри-
рования Эрмита:
dx
п
Й = 1
/ 2£ —1 \
^==CCS-2T~’t)-
(6)
1
/1+4
При п = 6 получим:
я Г_______2________L _ ____-________t- _____-_______I = 2 221329
J +cos2 15° ' V’l 4-cos2 45° /1 + cos* 75° J
(7)
Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно
/ = 2,221441.
(8)
Addumaeiibiil способ выделения особенностей состоит в следую-
щем. Подынтегральную функцию представляют в виде
/(х) = <?(х) + ф(х),
О)
где <р(х) не имеет особенностей и обладает достаточным числом не-
прерывных производных, а интеграл от ф(х) может быть найден
точными методами интегрального исчисления. Возьмем в качестве
примера следующий интеграл:
Я
2
I — J In sin xdx. (10)
о
Подынте.гральную функцию представим в виде
In sin х = In л -|-ln sl”x . (П)
Тогда
Я я
Т а'
/ =1,+/2=-- j kixdx+j In—(12)
О о
Первый интеграл легко вычисляется:
я
Д = j'In xdx — - (in-------1) =— 0,861451. (13)
о
Подынтегральная функция в /2 не имеет особенностей на отрезке
интегрирования. Вычислим /2 по формуле Симпсона, взяв и = 1.
Получим:
/3 JL [0 — 0,4200356 — 0,1515825] = — 0,228189. (14)
Таким образом,
1^.Ц 4- /2 = — 1.089640.
(15)
Значение интеграла с шестью верными внаками после запятой равно
/=—1,089045.
(16)
Л. В. Канторович, предложивший этот способ, указал также и
на некоторые приемы представления подынтегральной функции
в виде (9).
Пусть /(х) имеет виц
/(х) = (х — с)>(х), (17)
где с £ [а, Ь\, а>—1 и <р(х) может быть представлена на от-
резке [а, 7] формулой Тейлора по степеням (х—с) с остаточным
членом, зависящим от производной порядка т. Тогда /(х) можно
записать в вице
/ (х) = [<р (с) (х — с)“ 4- (х — с)“+1 + Л-Д (х — с)а+2 + ...
(* — c)a+tl+4-с)° [?(*) — ?(<’) —
— (х — с) — (х — с)2 — ... — (X — с)*] (18)
(k < т).
Первая квадратная скобка правой части является степенной функ-
цией и поэтому интегрируется без труда. Вторая квадратная скобка
обращается в нуль при х = с вместе со всеми производными до
порядка k включительно. Следовательно, ее произведение с (х—с)“
не будет иметь никаких особенностей при х = с. Более того, при
х = с это произведение будет обладать непрерывными производными
до порядка fe-|-[a] включительно. Поэтому можно ожидать, что
применение формул численного интегрирования к нему даст хорошие
результаты.
Указанный прием можно применить и в том случае, когда подын-
тегральная функция имеет вид
/ (х) = (х— с)“1п?(х — с)'-р(х). (19)
где р—натуральное число и а, с и ф(х) таковы же, как и ранее,
В этом случае получим разложение
/(x) = lni*(x — с)|'р(с)(х — с)’-Ь-М^-(х — с)“+1+ • • •
... -ь т— (X — с)“+^4-1пг(х — С)(х — с)“ х
х [?(Х) —<р(с)— ’ (X —с)— ... -iLj-l/x — c)) I. (20)
Опять интеграл от первого слагаемого правой части выражается
в конечном виде через элементарные функции, если применить Инте-
грирование по частям. Второе слагаемое правей части будет-глад-
кой функцией.
Прием можно обобщить, взяв несколько особенностей на проме-
жутке интегрирования. Пусть, например,
f (х) = (х — Ci)“‘ (х — (х— сп)ап <Р (х). (21)
где —I, c{4cj (/ =fe J). Cj^ia, b], a <p(x) обладает на |a, b]
непрерывными производными достаточно высокого порядка. При
этом последовательно исключаем особенности в каждой из точек cf.
Сначала, как и при наличии одной особенности, представляем / (х)
в виде
/ (х) = (х — с^1 [а£> 4- а(/) (х — ct) 4~ ... 4- (х — с^' ] 4- Ф1 (х).
(22)
где % (х) —- достаточно гладкая функция в точке cv Затем таким же
образом исключаем особенности в точке с2 У Ф1 (*-)• Б точке сз
У Фг(х), ••• в точке сп у фп_1(л). 3 конце концов, дело сведется
к вычислению суммы интегралов
Ь Ь п b
| /(х) dx = ш (х - cjf4+i dx + f ф„ (х) dx. (23)
a a j—Ii-о а
где (х) уже не имеет особенностей на \а, 0].
И в этом случае можно ввести дополнительные, логарифмиче-
ские множители.
Рассмотрим еще один случай. Пусть
/(х) = ? (х)|, (24)
где ф(х)—гладкая функция, принимающая в точке х = г£|М)
значение, при котором <р имеет особенность. Пре.дставим ф(х) в виде
Ф (х) = {ф (с) 4-'/ (с) (х — с)] 4- [ф (х) — ф (с) — ф (с) (х — с)). (25)
Тогда
fix) = <р1ф(с)4-ф'(с)(х —с)14-{(р[ф(х)]— 1Ф(с) 4- ф'(с)(х —с)]}.
(26)
Предполагаем, что <р [ф (с) 4- ф' (с) (х—с)] можно проинтегрировать
в конечном виде. Интегрирование второго слагаемого можно осу-
ществить по формулам численного интегрирования, так как фигур-
ная скобка не имеет особенности при х=с. Приведенный выше
пример (10) принадлежит как раз к такому типу.
Данные нами методы выделения особенностей можно применять
не только для вычисления несобственных интегралов, айв том слу-
чае, когда подынтегральная функция ограничена, но не обладает
достаточно большим числом ограниченных производных. При этом,
как показывают выражения остаточных членов, формулы численного
интегрирования дадут, вообще говоря, большую погрешность. Метод
выделения особенностей позволит иногда представить подынтеграль-
ное выражение в виде суммы функции, интегрируемой в конечном
виде, и достаточно гладкой функции.
2. Специальные приемы. Если известен характер поведения
подынтегральной функции вблизи особенности, то можно построить
специальные формулы, учитывающие особенность и позволяющие
получить значение интеграла на некотором небольшом отрезке,
содержащем особенность. Интеграл по остальной части отрезка инте-
грирования будет вычисляться по обычным формулам численного
интегрирования. Пусть, например, левый конец отрезка интегриро-
вания есть 0 и функция f (х) вблизи него может быть представлена
в виде j £
f(x) = ax a-J-px2. (27)
Подберем коэффициенты и с2 так, чтобы имело место
2Л
ff(x)dx = h [cj (h) 4- C2f (2ft)] (28)
О
при любых а, (i и h. Из (28) следует
- 2 - f 1 -1
2a(2h)a -|--(2fc)8p = cl| aft3 + 0ft3 j-
3
Отсюда
2/2 = Cl+c2-^(
(30)
или
Итак, в
8 4
Ci = 3- V 2; c2 = — -3 .
нашем случае
2Л
(31)
о
Аналогично находим;
4 1
/(й)-з/(2й)].
(32)
= Л
ax a4-0xa)dx=₽ft-2/3/(ft). (33)
0
ЗЛ
/ (ax’3 + 8x^ 4- 7Л) dx = V'3/ (ft) - f /6/(2ft) + 7 / (3*)]
0
/1 3 \
/ (ax»+^)dx = ft[{|/2/(ft) + ^/(24)], (35)
О
зл / 1 3 \
f W + ₽x»)dx = 4[f/3/(ft) + l/(3A)], (36)
О
З/i ; 3 5
/’ (ах5 + ₽х* + ух1)dx = ft [4 УЗ/(А) +/Ь/(2ft) + g/(3ft)].
-О
(37)
Во всех этих случаях /(х) означает подынтегральную функцию.
Точно таким же способом можно получить формулы для вычисле-
ния интегралов вблизи особенностей другого характера.
В качестве примера используем формулу (32) для вычисления
интеграла
/=/-7^= = -. (36)
J /1 - - х’ 2 V
о
Подынтегральная функция имеет особенность при х = 1 как раз
такого характера, который учитывается этой формулой. Возьмем
h = 0,1 и представим интеграл (38) в виде
(39)
Первый интеграл вычислим по формуле (32), Это даст
1 _
Г dx _ 0 J Г 8 у 2_____1_______4_ 1
J 3 /1 - (0,9)7 з /fZTY6J)s —
-0,8
= 0.1 [8 11.2.294157—4- 1,6666671 =^ 19.287761. (40)
L ’J v J о
Второй интеграл вычислим по формуле Симпсона, взяв ft = 0,1 -и
п = 4. Получим:
о,я
/*_^=о2Г1 +___________1.__________2___<_______4____|_
J /1 — xt 3[ /1—(0.1Г- /1 —(0,2)» УI — (0,3)2
4- 2 . _!_-4 —-у _ 2 I 4 , |
У 1—(0,4)2 у"1 — (0,5)2 V1-- (0,6)2 У1 — (0,7)2 —
4- - -L - 1 = —. 27,823303. (41)
) 1— (0,«)2J 3 4 '
Таким образом,
4,7111064= 1,570369.
О
Точное значение интеграла таково:
/= 1,570796.
(42)
(43)
Приемы и методы вычисления несобственных интегралов, при-
веденные в этом параграфе не могут исчерпать всего многообразия
случаев, которые могут встретиться на практике. Да и невозможно
в одной книге, какая объемистая бы она не была, дать рецепты на
все случаи жизни. Однако высказанные здесь идеи могут помочь
читателю найти подход к решению конкретной задачи, с которой
эн встретится.
§
12. Приближенное вычисление кратных интегралов
1. Метод повторного применения квадратурных формул. Как
известно из анализа, вычисление кратных интегралов может быть
осуществлено путем повторного вычисления однократных интегра-
лов. Поэтому одним из простейших путей получения формул для
приближенного вычисления кратных интегралов является повторное
применение полученных нами формул численного интегрирования одно-
кратных интегралов. Проиллюстрируем это на примере вычисления
двойного интеграла
/ =
I l.f(x,y)dxdy,
G
где область G представляет собой прямоугольник
Интеграл (1) можно записать в виде
b d
I=f I f(x-y)dy.
а с
(1)
{a
(2)
Применим формулу Симпсона для вычисления внешнего интеграла.
Это даст
7 =
Ь — а
~6~
г- d d
f f(a,y)dy+Aj /(Ц*
-С с
(3)
Каждый из интегралов внутри квадратной скобки будем также
вычислять по формулам численного интегрирования. Применим,
например, снова формулу Симпсона. Будем иметь;
д
У /(а. У)Лу= -j-f (а, d) + /?2, (4)
С
d
с
+ + d)]+/?g, (5)
d
ff(b,y)dy = d-=^[f(b, c)^4f(b, c-^£-}+f(b, d)] + /?4 (6>
c
Подставляя (4), (5), (6) в (3), найдем:
/ = — -I?"-— U(a- d)+f&. c)+f(b. d) +
+ 4[/(a, ^) + f[b. Ц£)+/(±+± c) +/(4^ ,)] +
+ i6/(-jr’-' Ц--)}+*• (7>
Остаточный член этой формулы
+ + (8>
равен нулю, если под знаком интеграла стоит произвольный много-
член степени не выше 3.
Для остаточного члена можно получить оценку. Заметим, что-
' d
Rt = f {<У — с)(у
с
d
Яз = / { (у — с)(у
С
d
{Су — с)(у
с
_Ц±у(х_й)Х
d 1
X j /I х; а', °--b-, yjdy'idx. (9)
с J
c4-rf'2 .. ( c-\-d c-^d
' ~ d)- lо; -v: с: “Т-: ~~ : d) \dy<
(10}
Су — d)X
£ / а -4- b с -4- d с -4- d ,\ ) , /1 i \
Xf ; —т>—: (и)
с Ч- d V .. с I, с 4- d з 4- d ,\ 1 ,
- -X-) {у — d)f\b-, у, с: -у-; ; d) J dy.
Таким образом,
(Ц4_[Яг+4Яз + Я4] =
d
ь —а С/ ч/
-ч- J (У — с)\У
С
с 4“ d \2, , .
—тг- Нт — d) х
X [/(а; у, с-, ; Ц* ; d)+ 4/(Ц* ; с Ц* ; d) +
+ f{ b-,y, с; - Н-; ; d)p>. (13)
Но
Ь — а Г .1 су d cyd \ , .Jayb сЧ-а с -4- d Л ,
—6- [/ г; у'с' Л-= -г ' 4+ 44^г с; т- •> ~ г ’ 4+
। с-j-d с -4“ d
+ f\b\ у с\ - —2--; rf)j =
6
= / /(*;?; с<с^а-'> ’АА’ (14)
а
где
6
гч С £ [ а. 4“ b л 4" b l с 4~ d с 4" d ,\ .
/?5 = — J /[X, а. —2—; ; Ь, у, с\ ——; ауу
а
Х(Х— а)(х —(х— t>)dx. (15)
Собирая все необходимые члены, находим:
.4= j (х—а)(х—'2 ^Ь^(х — Ь)Х
а
х j*f(x-,a; 'г'Н' ; ; b\ у^dy !• dx +
С J
d
4- I {(т — с)(т— 7 i\y — d)X
С
ь 1
Xj1 f[x;y; с;С-^; С—^\ d\dx dy —
d а ft
— f ;<T — «)(т — -7 - (> — d} У (x — a^x - I (x — b) X
cl a
Xf[x; a; b-y, c; -y- : —t- ; d\ dx j dy. (16)
Это выражение темп же рассуждениями, что и в главе 2, можно
привести к виду
n (b-a)t(d-c) d*f&. 7)t)
-----26-45 ' dx* 45 о/
_ («* —— *)* <>/(t-. Ifo) ,.
21? 452 dx*dy* ‘ u '
Таким способом можно получить и другие формулы для при-
ближенного вычисления кратных интегралов. При этом можно брать
разные формулы численного интегрирования для вычисления внут-
реннего и внешнего интегралов. Можно также при повторном при-
менении формул численного инте-
грирования для разных интегралов
брать разные формулы.
Если область интегрирования не
является прямоугольником со сто-
ронами. параллельными осями коор-
динат, или если стороны прямоуголь-
ника очень велики, то целесообразно
разбить область интегрирования на
частичные области, одни из кото-
рых являются нужными прямоуголь-
никами, а интегиалами по другим
можно пренебречь. Пример такого
возможного разбиения приведен на рис. 28. Частичные области,
которые нужно отбросить, на рисунке заштрихованы.
В некоторых случаях такой процесс становится невыгодным, так
как приводит к большим вычислениям и большим погрешностям.
Тогда можно разбить область интегрирования на несколько областей
вида
<h(x)<_y<<f>2(x),
(18)
где ^(х) и 'fs(x) — заданные кривые. Интеграл по области (18)
можно записать так:
Ь «2 (Я?)
/ = J* dx f(x,y)dy. (19)
а у, (а?)
К нему можно применить те же рассуждения, что и к интегралу по
прямоугольной области. Обозначим
F(x) = J f(x. y)dy.
(20)
Применяем для вычисления интеграла
ь
/ = j" F (x}dx (21)
а
некоторую формулу численного интегрирования. Получим:
п п
I скР (хк) = 2 / f(xk,y>dy. (22)
&=1 & = 1 «>!
Для вычисления каждого из интегралов
*(^)
4= f f(xk, y)dy (23)
применяем свою формулу численного интегрирования
«л
4=^2^’/(х^Л). (24)
г = 1
В результате будем иметь:
п пк
^2^2^7(хй,Л). (25)
t=i i=i
Варьируя различные формулы численного интегрирования, можно
получить различные формулы типа (25). Аналогичный прием можно
применять и в том случае, когда частичные области записываются
в виде
Ф1 (>) < х < ф2 (у). (26)
Все приведенные выше рассуждения можно перенести на га-крат
ные интегралы при п > 2.
Нужно заметить, что данный нами способ обычно приводит
к таким формулам для приближенного вычисления кратных инте-
гралов, для применения которых требуется вычислить подынтеграль-
ную функцию в значительном числе точек. Так, если область прямо-
угольная и при первом интегрировании используется формула с п
ординатами, а при втором—с т ординатами, то нам придется вы-
числять подынтегральную функцию в тп точках. В связи с этим,
чтобы не уменьшать точность и не увеличивать число точек, для
которых нужно подсчитывать подынтегральную функцию, целесооб-
разно использовать наиболее точные квадратурные формулы, такие,
например, как формулы Гаусса и Чебышева.
2. Метод замены подынтегральной функции интерполя-
ционным многочленом. Другой путь дм получения формул
приближенного вычисления кратных интегралов состоит в замене
подынтегральной функции некоторым интерполяционным много-
членом. В главе 2 мы получили много таких формул. Все они
имеют вид
Z(x, y) = f(xl, yjP^x, j>)-f-/(x2. Уг)Рг (x, у') -4- ...
••• 4-Hxn< уп)Рп(х,у). (27)
Используя (27), получим:
J— f J f(x, y)dxdy^i I j L(x, y)dxdy =
g 'g
n n
= Л)/f pi(x, y)dxdy=4^cif (Xi. yi), (28)
t—-1 G 1 = 1
-где
Ct = f f Pi (x, y) dxdy. (29)
o'
Так как функции Pt (x, у) являются многочленами, то вычисление
коэффициентов для простых областей J не вызывает затруднений.
Рассмотрим снова случай прямоугольной области. Возьмем
какую-то сетку на ней, образованную прямыми:
Xi="-U—{-th, yf^=c~^~Jl
(z = 0, 1, _/=-•(), 1, .... m-, ti = b-—, l = (30)
\ n ’ m ]
В i лаве 2 мы получили следующую интерполяционную формулу,
использующую узлы (хг, ур:
J (х, У) = 2 2 ?(х- --------ТГ —~-----------------
<х - xi) (У - ъ) (х<) (У?)
где
шп (х) = (х — х0) (х — X!) ... (X — х„), 1
(у) = <-У — Уо) (у — Уд (У— Ут). I
Интегрирование ее дает
-а П W л
,=J //<х- я‘‘х,‘у = 2 2г‘х<-
q i=0^=0 а
О'1
(У-Уу)<(Уу)
Р dx dy.
Интегралы
ь а
-------------dx, f------- d,
(X-X.)on(X.) J (у_у.)<Лт{у.}-
dx X
(31)
(32)
(33)
(34)
§ 121
являются коэффициентами формул численного интегрирования для
однократных интегралов. Поэтому применение формулы (31) для
получения формул приближенного вычисления кратных интегралов
эквивалентно повторному интегрированию.
Остаточный член интерполяционной формулы (31) имеет вид
R = (*)/(*'. *о'. ; •*»> У) (?) f(x; у; у0; ут) —
— «>п(х)а>и(_у)/(х; х0; х,; ..хп\ у; у0- . . .; ут). (35)
Интегрируя его, мы получим остаточный член формулы (33). Оценка
последнего может быть произведена использованием тех же рассу-
ждений, которые были применены при выводе формул Ньютона —
Котеса. Мы не будем приводить здесь получающихся при этом фор-
мул, так как читатель без труда сможет получить их сам.
Можно разбивать отрезки [а, Ь\ и [с, d\ не на равные части, как
это у нас сделано, а на произвольные. Если спять обозначить точки
деления через х0, хр .... хп и у0, ух, ..., ут и в качестве узлов
в формуле (31) взять точки пересечения .прямых х — х$ и у ==?,-,
то снова придем к ф »рмуле вида (33). При этом можно пытаться
подбирать узлы так, чтобы по возможности упростить формулу
Упрощение понимается по-разному. Можно считать, что формула
проста, если ее коэффициенты, -абсциссы х< и ординаты yj доста-
точно удобны для вычислений. Гораздо более важно получать фор-
мулы, в которых при заданной точности требуется вычислять значе-
ния подынтегральной функции в возможно меньшем количестве
точек. При практическом использовании формулы, если в нашем
распоряжении имеется хорошая вычислительная техника, вычисление
выражения
2^/(хг, у;) (36)
не встречает затруднений при любых Су, х, и у4. Однако если
функция /(х. у) вычисляется сложно, то экономия даже в одном
таком вычислении имеет существенное значение.
Такой экономии можно достичь, например, если взять в каче-
стве Xi и у} абсциссы соответствующих квадратурных формул Гаусса
для отрезков [а, Л] и [с, rf|. Так, при п = 1 можно получить фор-
мулу
^+^3)+
G
ba h— a d с ,d — с — а с d d — с |
."~2 ПГз’ ~2 ^2 У'З.' 2 г-2уз’ 2 V ЗУ
b — а
2 Уз’’
</ — с \ Л
2 К 3/1
dс
2
+ R. (37)
где
ь а
Я -= f dx J* o>?(j)/(x; _у; >-0; у0\ уу, yt)dy-j-
а с
b \ d I
“Г j | Ш1(х) | f(x; х0; х0; ху, ху, y')dy , dx —
ale I
6 [ d I
— f < Ш1(х) | m?(y)/(x; Xq, x0-, xy, xy, y\ y0; y0; yy, yjdy'dx (38j
a I c J
И
f6 4- a b — a b 4- a . b — a
2 2 у 3 2 2 V 3
„ _ d + c d — c _________ rf c . d— c 'J" !
V°— 2 2 V"3 ’ -У1 —” ^2 УЗ’ .
Ш1(х) = (х — x0)(x — xf), I
<Mj) = (j — Jo) c* — y^- I
Упрощая, как и при выводе формулы Гаусса, найдем:
п _ (d--cY> (b - а) лО . (b — a^{d — c) Wfa. ^и) ______________
243 - 5 ду< 243 - 5 дх*
_ (b - ау> (d - с)з <)8/(S3, т]3)
243.2b дх^ду^ v 7
Получили формулу, д^я использования которой требуется вычислить
значение подынтегральной функции лишь в четырех точках. Оста-
точный член этой формулы даже несколько лучше, чем у формулы
Симпсона, хотя последняя использует девять значений подынтеграль-
ной функции.
В предыдущих рассуждениях мы использовали интерполяционную
формулу (31). С таким же успехом можно использовать и другие
интерполяционные формулы для функций многих переменных, полу-
ченные в предыдущей главе, Мы не будем здесь останавливаться
на этом вопросе, так как получение самих формул не вызывает за-
труднений, а исследование остаточных членов довольно громоздко.
3. Метод Л. А. Люстерника к В. А. Диткина. Рассмотрим
еще один путь получения формул для приближенного вычисления
кратных интегралов. Пусть мы хотим получить формулу вида:
4J
J х-’-’ 'xn)dxidx2...dxn^.^cif(x(1t),x(2t),...,х(п}),
G 1=1
где коэффициенты с{ и точки (х)1', х2 , .... г}’1) не зависят от вы-
бора функции /. Предполагаем, что /(хь х2, .... хп) можно раз-
ложить по формуле /Маклорена во всей области О:
/(*i. Х3....хп) =
ОО
= S я(х-Е,+Ч + • • +*»0........................°>- <«>
т=*0
Последнее выражение можно записать в виде
/(Хр х2......х„) = еа!,Р,+а!аА+ '-+л’Л/(0, 0...0), (44)
где О,, D2, Dn — операторы частного дифференцирования.
Интегрируя (43) по области О, получим некоторое выражение,
зависящее ог частных производных функции / в точке (0, 0, .... 0).
Подставляя в правую часть (42) правые части (43) при соответст-
вующих значениях (х1/\ Ха\.%. х„'), также получим некоторое выра-
жение, зависящее от производных функции f в точке (0, 0...0)
и. кроме того, от (х^, Ха', . Хп) и с,. Потребуем, чтобы коэф-
фициенты при одинаковых производных порядка, меньшего или
равного г, в правой и левой частях совпадали. Это эквивалентно
тому, что формула (42) дает точные значения для интеграла, если
под знаком интеграла стоит произвольный многочлен степени не
выше г. Естественно условиться считать ту формулу более точной,
для которой г больше. Наше требование можно сформулировать
иначе, а именно можно искать такие формулы (42), для которых
разложение
f f . . f е^‘+^+ - +Xn^dX1dX. ...dxn-
G
— S cie^ dl+^ a'+ +a?” *n =
i=l
co
= S c^,... %d?1 d? ... d‘n (45)
+ +«„“ r+1
по степеням параметров dlt d2.....dn должно начинаться с чле-
нов размерности не менее г —|— 1. Последнее следует из представле-
ния (44). Такой прием и был предложен чл.-корр. АН СССР,
проф. Л. А. Люстерником и проф. 3. А. Диткиным.
Условие (45) дает некоторые уравнения, связывающие коэффи-
циенты сг и точки (х</>, х'У, ..., Хп}. Эти уравнения можно было бы
получить и методом неопределенных коэффициентов. Мы не будем
выписывать их здесь для общего случая, а ограничимся рассмотре-
нием одного примера.
Пусть область О будет квадрат со сторонами, равными 2 и па-
раллельными осям координат. Центр квадрата пусть находится
в начале координат. При этом
ех<*. dx । e'>d- dy =
(2л 4 1)!
d;n
2!
(46)
2
Ms
2!
л!
Таким образом, уравнения, связывающие сг-, х{ и yit в пашем
чае будут таковы:
5 5
О = С(Х{ = сгЛ>
?!
(47)
слу-
(48)
5
s
, 44
' • л!
44
4 = Cf.
5
О = с^х^у^,
4^1
Фиксируя $ и подбирая значения с{, xt и yir удовлетворяющие соот-
ветствующей системе, мы будем получать формулы приближенного
интегрирования.
4. Замечание о методе Монте-Карло. С увеличением кратности
интеграла резко возрастает число точек, в которых приходится под-
считывать значения подынтегральной функции, чтобы обеспечить
нужную точность. Если при вычислении однократного интеграла для
обеспечения нужной точности требуется s узлов, то для вычисления
соответствующего л-хратного интеграла придется брать примерно sn
узлов. При больших п эти вычисления могут оказаться практически
невыполнимыми. В связи с этим в последнее время усиленно раз-
рабатывались вероятностные методы вычисления кратных интегралов.
Их называют методом Монте-Карло. Мы не будем входить в по-
дробности этого метода и лишь кратко наметим один из его вариантов.
Пусть нам требуется вычислить «-кратный интеграл
/ = f .. . J /(хь х2...хп) dx{ dx2 .. . dxn, (49)
о
где область G является единичным кубом «-мерного пространства
0<х£< 1 (i=l,2......п) (50)
и функция / удовлетворяет неравенству
0</<1. (51)
Если О и f ограничены, то всегда можно добиться выполнения (50)
и (51).
Предположим, что у нас имеется способ получить с равной воз-
можностью любую комбинаций из п ф- 1 чисел хР х2.......хп< у,
удовлетворяющих условиям (50) и 1. Получив такую группу,
мы вычисляем /(хР х2, . .., хге) и проверяем выполнение неравенства
J</(-Vi, х2, .... хп). (52)
Отношение числа т случаев, в которых условие (52) будет выпол-
нено, к числу М всех произведенных испытаний должно стремиться
к /. При больших значениях М мы получим приближенное значение
для /.
Применение этого метода также сопряжено с большими труд-
ностями. Нужно уметь получать равновозможные последовательности
из « 4 1 чисел. Эти числа не могут полностью заполнить единич-
ный (« ф- 1)-мерный куб. так как каждое отдельное число дается
в дискретной форме с конечным числом разрядов. Это создает
дополнительные погрешности. Трудно оценить полную погрешность.
Несколько слов относительно вычисления несобственных кратных
интегралов. Здесь применимы все те приемы, о которых говорилось
для случая однократных интегралов.
1 3 f dx f dx J 1 -|- X J 1 X , 0 1 ( P:'+?dx, J 1 4 хз 1 /* dx f sin x , 14x3’ J ~dx‘ ) 0
о
о
УПРАЖНЕНИЯ
с точност ью до 10 4 по приближенным формулам трапеций, Симпсона, Че-
бышева, Гаусса.
2. Получить следующие формулы приближение го интегрирования;
, kn
sin2 —
n
+1
J V1 — xV(-t)
-1
1 ______________
0
sin - -
n
Найти остаточные члены.
3. Показать, что формула
+ о° _ _
J е~х f (х) dx - - f (2 - V2 ) + f (2 + /2)
-о
ласт точные значения, если f(x) многочлен степени не выше 3.
4. Показать, что формула
дает точные значения если f(x') многочлен степени не выше 5.
105
. Г dx
5. Вычислить по формуле дилера г -- с точностью до девятого де-
100
сятичного знака.
6. Вычислить с точностью до девятого десятичного знака сумму
______|__:___т_ . _|___1—
20Р Ч 202- ' 2992
7. Вычислить с точностью до десятого десятичного знака сумму
J_+ I +_L+J_.
11я 12» 133^145
8. Показать, что сумма седьмых и пятых степеней первых п натураль-
ных чи<;ел равна удвоенному квадрату суммы их третьих степеней.
9. Вычислить log (791).
10. Показать, что
a+nh
1 У j) + /(e+y)+ ... +
а
+ J [/' (« + nh) ~f (а)] - 2g\f" (а + nh) -f" (a)] +
+ ТЭТ61/V) (a + nh} <«)1 - • • •
11. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по степеням х функ-
цию у ctg ХГ) .
12. Доказать равенство
В„(л) = (-1)»Вп(1-х)
13. Получить из предыдущего равенства, что
^ап~1 j) = B*«-l (1) ~ ^чп-i (9) = 0.
14. Показать, что В2п (х) симметричны относительно х = ^ .
15. Показать, что
х+1
] Вг, (х) dx ~ хп.
X
16. Показать, что
п »+1
= |- Bm{x)dx.
*-1 1
17. Рассмотрим функцию В?п(х), равную (х) на [0,1] и продол-
женную периодически в обе стороны с периодом 1. Показать, что коэффи-
циенты Фурье этой функции при ее разложении в ряд Фурье на отрезке [0,1]
имеют вид
18. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать, что
О2П - 1 п (2r)2 ‘ ft»" '
Zc=l
19.
20.
Определить постоянную Эйлера
С— lim А-|- ——.. 4~—— in «V
п -> СО \ Z О И }
Получить при т > 1 формулу
1 , 1 1 т Bi т(т—1) (т—2) ,
" - 1) а ~ ’ ^+з h
Чгг)! *-'t
21. Вычислить с точностью до 10“7 следующие суммы:
10 000 оо со
V 1 V 1 V 111 ”
п ’ МП3' шЛ п"
71=1 П=1 Л=1
22. Получить формулу
a+nh п п—1
а к=1 к=1
х [/“-« (а + nh) - (дЯ + |/(ЗП) (5) - onTi «*)]’
23. Показать, что коэффициенты Л*
вычислены ио формуле
в формуле Грегори могут быть
2 1 1 1 0 0 0..
У т 1 0 0...
1 1 1
10...
4 3 2
|(&-|- 1) строка].
10S
24. Вычислить по формуле Грегори I
Знака. •'
100
25. Получить следующую формулу:
А+А/»»+/2/7» + • • • -I- А — т (А> -ь А А • • + А) ——j— (/?•+/о) —
w2— 1 щ — 1 (j.<i {т-— 1) (9/и2 — 1)
12m I-''--'/. 71/.J ' 24m vr-1 V 720m^
v- (/3 \ (m2 ——1) z,4
A V r-y, —J <;J "<PT VZm-2 J 2 J
dx
— с точностью до седьмого
где film, f2:w ...—значения f(x) в точках деления интервала (a-\-kh,
«+(*+D h) на т равных частей.
26. Получить следующие формулы численного интегрирования, дающие
точные значения для интеграла, если /(х) — многочлен степени не выше
пятой:
а 4*6
J /(х) (/а + 5/а+1+4ь2 + б/й+3+4+4+5/й+ь+4+6),
а
ьб
f /W^^0,28(4+4i6)+l,62(4+1 + 4+5) +2,24+3,
а
а 4-10
J* /(х) {8(4 + 4+1о) + з5(4+1 + 4+3+4+7 + 4+9)Н-
а
+ <4+2+ 4+4+ 4 + 6 + 4ч в) + *4+*}’
27. Показать, что если пренебречь пятыми разностями, то
а+6п
,/ /«^^0,28(4 + Al+ 6+ 24+»+ ••• + 4+«я) +
а
+ ^62(4н+4ьз+ ') + 0>58(4+з+4+9+
a L6n
/ •/г(х)£Гх!а::!^К4 + 4+»+4+4+ ••• +4+6») + 5(4+1+4+б+"‘
а
’ а+6п —1) (4+3 1 4 :б + +4 нбп — з)].
28, Показать, что
3ph
•Н. / / (х) Уо + 3 (Ут+У> + У*+У*+Ут + Уа + ••-)+Учр4’
oil J
0
- (Уз+ Уб 4* Уо + ••-+Уз₽-з)
и найти остаточный член.
29, Вычислить интеграл
Г dx
J (1 + х) fx
с точностью до ю-7.
30. Вычислить интеграл
1
Г 1л х
J
о
с точностью до 10-7.
31. Используя различные формулы для приближенного вычисления крат-
ных интегралов, вычислить с точностью до 10~7 объем полушара радиуса
единица.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ш. Е Микеладзе, Численные методы математического анализа, Гос-
техиздат, 1953.
2. С. М. Никольский, Квадратурные формулы, Физматгиэ, 1958.
3. И. П. Натансон. Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
4 В. Л. Гончаров, Теория интерполирования, и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
5. Хаусхолдер, Основы численного анализа ИЛ, 1956.
6. М и л н, Численный анализ, ИЛ, 1951.
7. И. Ф. Стефенсен, Теория интерполяции, ОНТИ, 1936
8. В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, 1959.
ГЛАВА 4
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В практике вычислений, особенно при работе на электронных
цифровых вычислительных машинах, часто приходится встречаться
с многократными вычислениями значений заданной функции / (х),
например с вычислениями значений элементарных функций ех, !пх,
sinx, cosx и т. д. Вводить в машину эти функции в виде таблиц
нецелесообразно, так как таблицы загромождаю! намять машины
и на выборку нужных значений тратится сравнительно большое
время. Значительно целесообразней каждый раз вычислять нужное
значение функции с заданной точностью е, используя какой-либо
алгоритм для ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют
рассматриваемую функцию f (х) другой, легко вычислимой функ-
цией <р(х) (например, многочленом), значения которой на всем рас-
сматриваемом отрезке |а. Л] изменения х отличаются от значе-
ний /(х) не больше чем на е, и в процессе вычислений работают
с функцией ср(х).
Рассмотрим пример. Пусть нужно многократно вычислять значе-
ния функции /(x) = sinx при х£ ). с точностью 0,5- 10-1.
Разлагая sin х в степенной ряд и удерживая пять членов, будем
иметь при х £ ^0,
I . / ХЗ Х5 X7 X8 \ I . / 7Г \И 1 8
|зшх— |х -3f4- 6) 7! 111<°’2‘10 •
Следовательно, с заданной точностью вместо значений sin х на £о,
можно брать соответствующие значения многочлена
, . X3 Х= X7 , X9
? (х) — X зГ + 'ЗУ 7Г + ~5Г •
вычисление которых не составляет труда.
Среди многочленов, степень которых не выше девяти, построен-
ный многочлен не является единственным многочленом, дающим
на [0, приближение sin х с заданной точностью. Более того,
нетрудно построить многочлен седьмой степени, приближающий sin х
на ^0, с заданной точностью 0,5 • 10 В самом деле, в § 3
гл. 2 мы видели, что для многочленов Чебышева Тп(х) имеет место не-
равенство
|Т„(х)К1 при х£| — 1, 4-1].
Но
Т9 (х) = 256х9 — 576х7 432х5 — 120х3 4- 9х.
Отсюда при х£ [ — 1, -[-1]
1 । т / м Ьч 9 . 27 , 15 , . 9 1,1
28 Из ’ r) I j х 4 * "Ь ;б х& 32 + 256 Х | 28 '
9 27
Если в многочлене <р(х) заменить х9 многочленом -гХ'1---г- х5 -+-
т v ' 4 16 1
, 15 , 9
-Г-32 х3—‘256 х’ т’ е’ РассмотРе1Ь многочлен
/ \ х3 хв х7 1 / 9 , 15 , 27 . . 9 „\
?1W —х ~зг+~5Г 7!'+9Г\ 236 Х^~32Х~ ~Тб Х )’
то на отрезке [ — 1, 4-11 он будет отличаться от ®(х) не больше
1 1 7
чем на -др-^даО.П- 10~, а это значит, что sinx отличается
от срх (х) на | 0, не больше чем на 0,2 • 10-8 4-0,11 • 10-1 =
= 0,13- 10”’, т. е. удовлетворяет нашим требованиям к точности.
Естественно, что при заданной функции /(х) и заданной точ-
ности в нужно выбирать функцию <р(х), наиболее удобную для
вычислений (в данном примере нужно выбирать многочлен возможно
меньшей степени, так как вычисление его значений потребует наи-
меньшего числа операций и ячеек памяти).
Таким образом, мы приходим к следующим задачам:
1. Даны класс R функций, определенных на отрезке [а, Ь\,
и некоторое подмножество R функций этого класса. Для
заданной функции f(x)£R и заданного числа е>0 требуется
найти такую функцию <р(х)£/?, чтобы имело место неравен-
ство
|/(х) — ср (х) | < е х£[о, г>].
В качестве R обычно рассматривается множество С непоеоывных
функций, а в качестве R —некоторое множество алгебраических или
обобщенных многочленов.
2. Для данной функции f(x)£R найти функцию <р0(х)^/?,
для которой имеет место неравенство
max |/(х) — (х)| = inf_ max |/(х)—
геС[а,й] Ь]
Если такая функция существует, то ее называют функцией наи-
лучшего равномерного приближения к f (х) в классе R,
В связи с этими двумя задачами возникает ряд вопросов, изло-
жению которых и посвящена настоящая глава. Мы изложим их
сначала в общей постановке, а затем подробнее рассмотрим вопросы
равномерного приближения в пространстве С непрерывных функций.
§ 1. Наилучшее приближение в линейных нормированных
прос гранствах
1. Линейное нормированное пространство. Будем говорить, что
множество А! является линейным нормированным пространством,
если это множество линейно и, кроме того, каждому элементу
/£ R поставлено в соответствие действительное число ||/|| —норма f, —
удовлетворяющее условиям:
1) || f\\ 0, причем ||/|| = 0 тогда и только тогда, когда /=0;
2) ||f/ll = I с III/II для ™6<iro с;
3) IIл +ЛШ1ЛН + Ш1-
Линейные нормированные пространства всегда являются метри-
ческими пространствами. Действительно, в качестве расстояния
p(/i> /г) можно взять просто
Р(/1. /2)=|1Л-А||
Без труда проверяется, что все аксиомы метрического пространства
при этом выполнены.
2. Элемент наилучшего приближения. Пусть теперь дано не-
которое линейное нормированное пространство R. Возьмем в нем
п -р 1 линейно независимых элементов ф0, cpj...<рн и образуем
(п-4- 1)-мерное линейное нормированное подпространство R всевоз-
можных линейных комбинаций
ф = <zocpn о.ср!-}- ... (1)
Числовое множество
Д(/,Ф) = II/— Ф|| (элемент f£R фиксирован) (2)
ограничено снизу (нормы—неотрицательные числа).
Поэтому существует точная нижняя грань значений Д(/, Ф):
Д (/) = inf. Д (/, Ф). (3)
Выясним вопрос: существует ли элемент Фр£/?, для которого эта
нижняя грань достигается, т. е. существует ли такой элемент Фо£/?,
для которого имеет место равенство
Д(/)=||/-Фо||? (4)
Каждый из элементов Фо£/?, для которого выполняется равен-
ство (4), будем называть элементом наилучшего приближения
для / в R или проекцией f на R. При замене пространства R про-
странством R элементу f£R мы будем ставить в соответствие его
проекцию на R. Если норма выбрана удачно, то такая замена будет
наиболее выгодна.
3. Существование элемента наилучшего приближения. Тео-
рема Для любого элемента в R существует элемент
ниилучмего приближения. Для произвольных элементов f£R
и Ф £ R введем обозначения:
II/—^11 =
п
г-0
ап),
= h (a0.
(5)
(6)
п
f — У
1-0
= g<fi0.
fli,
• -.
Если зафиксировать f и заставить пробегать Ф все множество R,
то получим две функции g и й, определенные в каждой точке
(п -4- 1)-мерного пространства (о0, с,..йп) Докажем непрерыв-
ность этих функций. Рассмотрим, например, функцию g(a0. aL...cQ.
Зафиксируем некоторую точку iа*®*) рассматриваемого
нами пространства и оценим разность
п
п
•• Чо,)|= 2 «л - £,<4 •
Из свойств нормы, приведенных выше, без труда находим:
ШЛИ — IIAIIIC 11/1—А11-
В самом деле,
11/111 = НА 4-(/1-/2)11 < Н/all + 11/1-/all
(7)
и аналогично
НАН = ||/1 + (/2_Z1)|| < ||Z1|| + цл-лц.
Отсюда
ll/ill - ПАН < НА-АП и H/eII-II/iIICIIA-AII.
а это и есть неравенство (7), которое мы доказываем, только
записанное без знака абсолютной величины.
Из доказанного неравенства следует, что
И(ао- «г---- <) —<
2 a^i — S
г—о i=Q
Если max II 7;|| = N > 0 и 8 = (n N , то при Iа. — о° | < 8 будем
иметь:
| £(«<>• , ап) — g(ato>. а(°).<°> I < е,
т. е. непрерывность g доказана. Аналогично доказывается непрерыв-
ность функции h.
Функция й(а0, av .... а„) неотрицательна. Обозначим точную
нижнюю границу ее значений через т. Докажем, что найдутся такие
значения (а0, alt .... ап), при которых эта точная нижняя граница
достигается. Для этого рассмотрим множество точек («Д- 1)-мерного
евклидова пространства (<i0, at, .... д„), для которых
1^=1.
г=0
т. е. единичную сферу этого пространства. Это ограниченное зам-
кнутое множество. Следовательно, непрерывная положительная функ-
ция g должна достигать на нем своей точной нижней границы р.
Очевидно, р. > 0, так как в противном случае существовала бы точка
а<°>,.. ., ( X /г(">2 = ] |, в которой
п
«(<’. ..«£>) = 3/°ч|=°
п
или У, aj0)®, — О,
i =О
что невозможно в силу линейной независимости элементов cf0, срх, ...
..., фп. Обозначим через г величину
г ГП 1- 1 I- ||/||
и
и разобьем все пространство (о0, о;, а.п) на две части RY и R?,
п
отнеся к Ri все точки, для которых г2, а к /?2 — все осталь-
а-о *
ные точки. Рассмотрим значения функции ах, ап) на мно-
п
жестве R2. Пусть (а0, ап .. ., ап)С/?2. Тогда У а2=Х2>г2 и
г==о
>1к!н— Н/П >ф—11/11 =^4-1-
Таким образом, т есть нижняя грань значений функции h на
множестве /?,. Но это множество ограничено и замкнуто. Следова-
тельно, функция й(а0, .... ап), непрерывная на этом множестве,
обязана достигать в некоторой точке сьоей нижней грани. Если
обозначить эту точку через 0)о, [ф, .. ., р„), то
/п = й (₽0, f — 2
II 1 -О
Итак, в R всегда существует элемент наилучшего прибли-
жения.
4. Единственность элемента наилучшего приближения.
Вообще говоря, такой элемент будет не один Приведем сейчас
достаточное условие, обеспечивающее единственность элемента наи-
лучшего приближения. Назовем нормированное линейное пространство
строго нормированным, если в условии
ll/r+AIKII/dl + IIAII
знак равенства достигается только тогда, когда f2=a.fv а > О,
Теорема Если пространство R строго нормирование, то
элемент наилучшего приближения является единственным.
Предположим обратное, т. е. допустим, что имеются два различных
элемента наилучшего приближения для f£R-
I», — а0сро -р at<f! -ф ... ф-
и
Ф2 — 60% 4- #1?! 4- • • 4- brRn-
Таким образом,
|1/-Ф.Н = 11/- Ф2|| =т.
Очевидно, т 4= 0. так как иначе элементы <р0, ср,, ..., срп оказались
бы линейно зависимыми. Далее,
_ v a<+bi -е.
г=0
/—/— У м<
i==O . г=»1
2 2
у110-Ф|||+|||/-Фг|||=/п.
Так как норма, стоящая в левой части, не может быть меньше /п,
то
+ ^^|| = ||1/-ф1||+|||/-Ф2||
или в силу строгой нормированности пространства R
Здесь а должно равняться 1, так как в противном случае f пред-
ставлялся бы в виде линейной комбинации tfit следовательно, т
равнялось бы нулю. Но при этом
п
— (Ui — bi) = о
i=0
и элементы линейно зависимы или — (1 = 0, 1, 2, .... п).
И тот и другой случай приводят к противоречию с нашими пред-
положениями.
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций
обобщенными многочленами
1. Наилучшее приближение в пространстве С. Возьмем теперь
в качестве линейного множества R совокупность С всех непрерыв-
ных на [а, 6] функций. В качестве нормы f£R примем:
11/11= sup 1/0)1-
f la. Я
Нетрудно проверить, чго все условия, требуемые от нормы, при
этом выполнены. Наша норма определяет метрику пространства С,
о котором говорилось во Введении. Пусть ^0(х), <pj(x)...ср„(х)—
какие-то п ф- 1 линейно независимых функций из С. В качестве R
п
возьмем совокупность линейных комбинаций Ф(х) = 2 G?f(x)
i—О
с действительными коэффициентами.
Элемент Фо, принадлежащий /?. будет являться элементом наи-
лучшего равномерного приближения для f£R, если
sup I/—Фо|
a>g[a, Ь]
принимает наименьшее возможное значение. На основании резуль-
татов предыдущего параграфа можно заключить, что такой элемент
всегда существует. Но полученное нами достаточное условие един-
ственности элемента наилучшего приближения здесь неприменимо.
Действительно, пусть а —О, b = 1, /( == 1, f2=x. Тогда
11/111 = 1- Ц/х|| = 1, +
т. е.
II/1+/2II == ПА11-Н1/г1Ь
хотя функции /t и /з независимы на [0, 1], т. е. наше про-
странство С не является строго нормированным.
2. Теорема Хаара, Для пространства R, которое мы сейчас
рассматриваем, Хааром была доказана следующая теорема;
Для того чтобы для любой заданной функции f£R суще-
ствовал единственный обобщенный многочлен наилучшего при-
ближения, необходимо и достаточно, чтобы функции <р0, ...
..., срл образовывали систему Чебышева, т. е. любой обобщен-
ный многочлен по этой системе функций имел на отрезке |а. Ь]
не более п различных нулей.
Докажем эту теорему. Для доказательства необходимости
покажем, что если существует обобщенный многочлен
Фо (*) = <ЗДо (*) 4- О1?1 (*) 4- Ч- a»?n (*) $ О,
имеющий на [а, ft] больше к нулей, то существует непрерывная
на [а, 5] функция /(х), для которой имеется несколько обобщенных
многочленов наилучшего приближения. Пусть Ф0(х) обращается
в нуль в точках х0, хь .... хп, х\£[а, ft]:
-'ll (.xi) — 'Mo (xt) 4- fll?l (xi) 4“ • 4“ an'?n (xi) — 0
(Z=C. 1, 2..........................................ri).
Так как Фо(х)^ О, то среди чисел а.; по крайней мере одно отлично
от нуля и, следовательно,
То (-*о) То (*1) ¥1 (хо) Ti (А) • - • Тп (-Го) • • • Тп (ч)
То (хп) Ti (*п) • Тп (хп)
= 0.
Это значит, что между строками матрицы имеется линейная зависи-
мость, т. е. существуют такие, не равные одновременно нулю
числа ft0, ftp..., ftn, что при /? —О, 1, 2,..., п
(*о) 4- (Л) 4- - -• 4- bn^k (х„) = о.
Из последнего равенства следует, что для любого обобщенного
многочлена Ф(х) имеет место равенство
V (*о) 4- W -I--------4- (*») = 0. (1>
Пусть X — некоторое положительное число, удовлетворяющее
условию
X sup |Ф9(х)|<1,
Построим непрерывную на [a, ft] функцию g(x) так, чтобы в точке х{
она принимала значение Д-4, если ft, положительно, и —1, если ft,,
отрицательно, а во всех остальных точках отрезка [я, ft] по абсо-
лютной величине не превосходила бы 1. Функция
/W = gW[l- Х|ФС (х)|]
будет обладать теми же свойствами. Покажем, что для f(x) суще-
ствует бесчисленное множество обобщенных многочленов наилучшегО'
приближения. Действительно, для любого обобщенного много-
члена Ф (х) уклонение Д(/, Ф) не меньше 1, т. е.
sup | f (х)— Ф(х)|>1.
«r^Ia. 6]
Если бы для некоторого многочлена Ф:(х) уклонение А(/, Ф^ быль
меньше 1, то в точке х( знак Ф1(х<) совпадал со знаком /(х{) (так^
как /(х0= ±1), т. е. со знаком bit а в этом случае было бы не-
возможно равенство (1). Таким образом, Д(/)5г-1.
С* другой стороны, при любом е, удовлетворяющем условию
|е|-< 1, будем иметь:
| / (х) — еХФ0 (X) К | / (х) | 4- л | г Фо (х) | =
= |g(x)|[! ~ Мфо(х)|1 + лН1фо(*)1<
<1-Х|Фэ(х)|+Х|е|]Ф0(х)|<1.
Итак, для любого многочлена Ф.'х) — еХФ0 (х)
△(/. Фе(х)) = 1.
т, е. Ф, (х) являются многочленами наилучщего приближения при
любом е, | е| С 1.
Теперь докажем достаточность условий Хаара, т. е. докажем, что
если система <f0. fi,<fn удовлетворяет им, тс для любой непрерывной
на [а, А] функции не может существовать двух различных многочленов наи-
лучшего приближения: Для этого предварительно докажем несколько свойств
систем Чебышева.
1 Если существуют точки х*, х{ р xfc для которых
Ш) ММ WG*») •• WGW •- ?k G*i) MW) 40,
Wk) WG**) •• Wk)
то для произвольного натурального числа € < Я < n) можно найти
точки xi+1> хк+2 что
f<(xi) WG*i) •• W*>
M'i+l) ‘P.+iGW •• - ?g(4:+i) 40
Wg) Wg) •• • W«>
Рассмотрим обобщенный многочлен
<?i (.xi) 'Pi+iW •• • Wi) 'Pk+W
'Pi GW WGW • Wi+i) ffc+i^+i)
Ф(х) =
Wk) 'fi+i(xk) •• • Wk) 'fk+i (xk)
fiM ?<+1(х) W>
такие
Так как коэффициент при (х) отличен от нуля, тс Ф (х) ф 0. Поэтому
найдется такая точка xfe+1, в которой $(xt+1)=#0- Таким образом,
Ti (хг) T»(xi+1) ’Pi+l (xi) 'Pi+i(jri3i) ••• Mri) ^(xi+l) ^k+l(xi) 4k+l(xi + l)
'PiW Ti+1 (-^t) 'Pk+l (Xk)
Ti (xAr+l) 'f’i+l (Xk + 1) Чк(Хк+1) 'fk + l (xk+l)
Повторяя эти рассуждения q—k. раз, получим точки xfc+1 , , ., j , суще-
ствование которых утверждалось.
2. Если х0, хр ..., хк (k^n, х^х при /4=7)— произвольные различ-
ные точки отрезка [а, й], то по крайней мере один из определителей (й 4- 1)-го
порядка матрицы
То (*о) <Р1(*о) ••• Тп(*0)
То (-4) <Р1 (-4) • • • <Рп (-4) '
To(xk) •• ?»(**)
отличен от нуля.
Будем доказывать это свойстве методом индукции. Пусть k = 0, т. е
матрица состоит из одной строки
I! То (*о) <Р1 (х0) .. (х0) ||
Допустим, что все элементы этой строки равны нулю. Возьмем любую точку
_у1=4х0, для которой Т1(У1)=А0, и, используя первое свойство, найдем такие
точки у2, №.... уп, что
<Р1 (У1) ••• Т»(У1)
4=0.
Рассмотрим многочлен
Ф(х) =
То W Т1 (*) • • • Тг. (х)
То (У1) Т1(>’1) ••• Тп(У0
То(Уп) Т1 (Уп) Ти(Уи)
Он не равен тождественно нулю, так как коэффициент при <р0 (х) отличен
От нуля. Но Ф (х0) = Ф (уг) — ... = Ф (у„) = 0, т. е. Ф имеет п+ 1 нуль
на [<х, 6], что невозможно, так как по предположению <ро, Т1- "•> Ти удовле-
творяют условиям Хаара, Таким образом, свойство 2 имеет место при k = 0.
Пусть оно имеет место
рушая общности, что
при k = б, 1, 2, ..., т — 1 и предположим, нс на-
T1U1) ... ?m(xt)
4=0.
На основании свойства 1
Т1 (хт) • • • Тт (-*т)
найдутся такие точки уж^1, .... уп, что
Т1 (-4) Т2 (-И)
Т1 Ua) Тг (*2)
Тп (-Г1)
Тп(*>) ^о.
Тт(Уп) Та (Уп) ••• <Ри (Ун)
Но тогда обобщенный многочлен
Ф (X) = ?0 (-0 ?0 (-<1) <fl W • ?! (Jfl) • • <?п W • (Х1)
?0 (>'п> ?1 (Уп) • Чп (Уп)
не обращается в нуль тождественно. Если бы при k = т наше утверждение
было неверно, т. е. все определители исходной матрицы при k — т обра-
щались в нуль, то многочлен Ф (х) имел бы г? —|- 1 нулей х0, Хц ..., уп, что
невовможно. Итак, и второе утверждение доказано.
3. Если уравнение
| / (х) - Ф (х) | = Д (/, Ф). f (X) € /?, ф (х) = 2
i=o
имеет на [а, ft] меньше, чем n-f-l различных корней, то Ф (х) не является
многочленом наилучнтего приближения функции /(х).
Пусть х0, хъ .... хт (т<^п, Xi^Xj при I j) — все корни нашего
уравнения Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
V«(x»)+“i<i№) +- = 1.......т)
относительно неизвестных а0, аг...а„. По второму свойству матрица утой
системы имеет ранг т-\-1, совпадающий < числом уравнений. Следовательно,
система совместна. Пусть — одно из ее решений. Рассмо-
трим обобщенный многочлен
и
Фо (*) = 2 (*)
i-0
и функцию R (х) — f (х) — Ф (х). Для каждой точки xft (k = 0. 1....от)
выберем столь малую окрестность /7%, чтобы имели место неравенства:
А (/ Ф)
П=' inf !/?(-v)i>0, inf |Фп(х)|>—5-----------.
Это возможно, так как | R (хд) | = А (/. Ф) =£ 0 и | Фо (хгг) | — А (/, Ф). Пусть
№ = sup | Фо (х) |, М= sup :Ф0(х)|, L' = sup |Z? (х) |,
xPUic x<XU*
где 17* есть совокупность точек отрезка [a. ft], не принадлежащих окрест-
ностям 170, 171,..., Um. Разность
и. = Д (/, Ф) — Д*
— строго положительное число. Пусть е — положительное число, удовлет*
воряющее условию
е< inf
&=о, 1, т (At AffcJ
п
Положим + ea|0^ (Z = 0, 1,...» л) и Ф1 (х) = 2 Тогда
4=0
|/(х) — Ф1 (х) I = |/(х) — Ф (х) — ефо (х) | = I R (х) — ефо (х)
Если х € Uit (k = О, 1.т), то
|/(r) - Ф, (х)| = I/? (х) | 11 < Д (/. Ф) ( 1 -у) •
Если же х € LT", то
| f (х) - Ф2 (х) | < | R (х) | + е : Фо (х) | < Г + гМ < Д* + р. = Д (/, Ф).
Итак,
Д(У,Ф,)<Д(/,Ф)
и Ф (х) не является многочленом яаилучшего приближения.
Теперь можно показать достаточность условий Хаара. Допустим про-
тивное, т. е. предположим, что для функции / (х) С имеются два многочлена
ваилучшего приближения:
фт (*) = 2 “<?»’ <•*> и W — S ₽i<Pi (-*).
1=0 1=0
т. е.
Д (У, Фд = Д (/, Ф?) = Д (У).
Рассмотрим Многочлен
1-0
Для него имеет место неравенство
1У (х) - Ф, (X) I < 11 у (х) - Ф, (х) I +11 У (х) - Ф2 (X) I < Д (У),
т. е.
Д(У,Ф3)<Д(У).
Но так как
Д(/)= Й1Г_Д(У,Ф),
то
Д(У,Ф3) = Д(У).
Таким образом, Ф3 является многочленом наилучшего приближения
а следовательно, уравнение
!У(х) — Ф8(х)1 = Д (/)
имеет на отрезке [а, 6] по крайней мере п -|- 1 различных корней х0, xlt ..хп.
Но для того, чтобы имело место равенство
IУ (х<) — Ф3 (х<) | = Д (Л,
необходимо наличие равенств
/ (хД — 0! (хД =/(хД — Ф2 (хД = ± Д (У),
Фт (-».) = Ф2 (Z = 0, 1, 2......п).
Отсюда обобщенный многочлен
Т (“i — 3i) <F< (*)
= o’
должен обращаться в нуль в п-|-1 различных точках отрезка [й, 6], что
невозможно так как функции <f>o> ?!>•-•> ?п образуют систему Чебышева.
Доказательство теоремы Хаара закончено.
3. Теорема Чебышева. Докажем еще одну теорему, являющуюся
обобщением теоремы Чебышева. Будем спять предполагать, что
мы рассматриваем линейное нормированное пространство R непре-
рывных на [a, функций f(x) с нормой
||/(х)||= sup |/(х)|
к € (a, bi
и его подпространство R, образованное всевозможными линейными
комбинациями
Ф (X) — а0<р0 (х) 4-(х) -4- ... апуп (х)
функций <рп(х), '-pi(x)..'Рп(х) с действительными постоянными
коэффициентами. Функции <рДх) принадлежат R и образуют систему
Чебышева. Для функций и Фо£»? обозначим
L= sup |/(х) — Ф0(х)|.
г£(а, bi
Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим
образом:
Для того чтобы функция Фо (х) являлась обобщенным мно-
гочленом наилучшего приближения для функции / (х), необходимо
и достаточно, чтобы на [а, Ь\ нашлись по крайней мере п-\-2
точки х() < Xj < ... < xn+i, в которых f (х) — Ф0(х) принимает
поочередно значения -\-L и—L.
Докажем сначала необходимость условий. Пусть Ф0(х) является
многочленом наилучшего приближения для / (х). Докажем, что для
него выполнены сформулированные в теореме услсвия. Предположим
обратное, т. е. что таких точек, о которых говорится в теореме,
q 4-1 <»4~2 (существование по крайней мере одной такой точки
очевидно). Пусть эти точки будут:
а х0 < х.
Выберем на отрезке [а, Л] q точек у,, уг.,1’Q> удовлетворяющих
следующим условиям:
1) а<х0<у/1<х]< ... <>9<xg<f>,
2) в точках уг (/= 1, 2..q) разность /(х)— Ф0(х) не равна
ни L, ни — L;
3) на каждом из отрезков [a.jJ, [_vb у21.1_У<г> разность
/ (х) — Ф0(х) достигает один или несколько раз значений 4"^ или
— L, но не может достигать и того и другого значения.
Тогда найдется такое положительное значение р < 4 • чт0 на
отрезках [a, j/J, [yt, у2], ..., [_yQ, будут поочередно выполняться
неравенства
— —Ф0(х) — £</(х) —Ф0(х) <£—р
и, кроме того,
— <f(yq) — Ф(АУч) < L — F-
На интервале (yQ, х7) можно выбрать точку У так, что при любом
х £ [уУ] также, будет выполнено неравенство
— А + [Х</(х)—Фа(х)< L — р.
На интервале (уч. У) выберем произвольным образом точки
-Уд + 1 Уд+2 ••• ^Уд+Хт*
где. т—максимальное число, для которого
q -4-2 от << п.
Если q -\-2т = п, то получим последовательность точек
V1<J'2< ••• <Уп-
Если же ^ + 2m = n — 1, то, приняв за уп точку Ь, получим
такую же последовательность точек.
По точкам построим обобщенный многочлен
0>! (х) = W [х. yt,
•. Уп] =
?i(*) ••• f»W
fo(yj) <f! (У1) ... <рп(У1)
<Р® <Уп) <Р1 (Уп) • •. <Рп (У»)
Коэффициентами при <рдх) этого многочлена являются миноры
л-го порядка матрицы
То (У1) ?1(У1) ?n(yi)
?о(Уп) ?1(Уг.) ... ?п(Уп)
В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при
доказательстве теоремы Хзарэ, по крайней мере один из них от-
личен от нуля. Следовательно, ®i(x)^O. Наш обобщенный много-
член обращается в нуль в точках ylf у2..........уп и не может
обращаться в нуль ни при каком другом значении х. В частности,
при х С (a, yj
Ф1(х) = 1Г[х.у1, .... yj ¥=0.
Если мы будем изменять значения х, ylt у2, .... уп, сохраняя
соотношения
< >'г< •••
то
[х, У1. У2...уп1
будет сохранять постоянный знак. Таким образом, как бы мы ни
выбирали значения гс, г{, .... zn, лишь бы они удовлетворяли не-
равенствам
« Оо <& < ... < г„ <
определитель
1г0, zlt .... zn]
всегда имеет один и тог же знак. Положим z0 = х, 24 — yit ..., zn—yn-
Тогда
Г[г0. zlt .... zn] = Г[х, yt, v„] = Фк(х)
для значений х£ (a, j/j). Положим теперь zc, = у}, z1 = x,
%п = Уп- При этом
W 120, ZV .... Zn] = W [ylt X. y2...yj =
= — Г [x. yj, y2.....yn] = —Фк (x)
для x£(yi, _Vz). Таким образом, Ф;(х) меняет знак, когда х пере-
ходит из интервала (a, jp) в интервал (j2, _у2). Далее, если поло-
жить z0=ylt zl = y2, z2 = x, z3 = y3, ..., zn=yn, то получим:
W[z0, zt, .... zn] = W{y0, yu x, ys, .... j„] =
= [-*•» Уъ У2..Уп] = ф1 (*)
для x£(y2, y3). Итак, Ф, (x) снова изменила свой знак при пере-
ходе через точку у2. Аналогично показывается, что Ф2(х) меняет
свой знак при переходе через каждую из точек ук.
Рассмотрим теперь многочлен
Ф2 (х) = Фо (х) + еФ1 (х),
где е выбрано так, чтобы
max |еФг(х)|<у
ж С [a, IJ
и на интервале (a, j/J знак еФ,(х) совпадал бы со знаком /(хр) —
— Фс(хо)- R СИЛУ выбора точек и только что доказанного свойства
функции Ф,(х) знак зФДх) будет совпадать со знаком /(хй) — Ф0(хл)
при ук+1] для всех k < q. Вследствие этого и того, что
f ^Ук) — Фп^ь)^ i мы будем иметь на отрезке [a, j/Q]:
|/(х)-Ф2(х)|<£.
Далее, так как на отрезке [_yQ, У] имеет место неравенство
</(•«) —Ф0(х)< L — у.,
а
]еФ1(х)|<у.,
то при x£[yv Y] имеет место неравенстве
|/(х) —Ф2(х)|<£.
На интервале (yv У) мы взяли четное число точек jg+1......yq+tm-
Поэтому знак еФ^х) на полуотрезке [jg+2W> будет такой же,
как и у f(xg) — Фс(-»д). Следовательно, при ^4-2/n = zi и при
94~2/п~и—1 (но х? не равном Ь) и на отрезке 2т, будет выпол-
нено последнее неравенство. Рассмотрим еще случай, когда уп=Ь
и xq = b. При этом последнее неравенство будет выполнено для всех
точек полуоткрытого интервала [а, Ь), но в точке b будем иметь
\/(Ь)-Ф2(Ь)\ = Ь.
Найдем тогда такой обобщенный многочлен Фя (х), который бы
в точке b не обращался в нуль. Такой многочлен всегда существует,
так как <р4(х) образуют систему Чебышева и не могут все одновре-
менно обратиться в нуль (см. доказательство теоремы Хаара). Можно
считать, что
Фз(Ш(£) —$otf)l>O,
так как в противном случае мы умножили бы Ф3(х) на —1. При
достаточно малом 8 > 0 и в последнем случае мы имели бы тогда
|/(х) — Ф2(х) —8Ф3 (х) | < L
для всех х£[а, 6].
Тем самым мы показали, что Ф0(х) не является многочленом
наилучщего приближения, вопреки нашему предположению Получен-
ное противоречие доказывает необходимость условий теоремы Чебы-
шева.
Докажем теперь достаточность. Пусть для Ф0(х) выполнены
условия теоремы, но Ф0(х) не является многочленом наилучшего
приближения. Пусть, далее, Ф;(х) является многочленом наилучше.го
приближения для /(х) на [а, £>]. Рассмотрим разность
Ф, (х) — Фо (х) = [/(х) — Ф0(х) ] — [/ (х) — Фг (х) ].
Первая квадратная скобка справа принимает в некоторых точках
а < xn < Xi < . .. < х„+1 < b
поочередно значения L и — L. Вторая квадратная скобка по абсо-
лютной величине меньше L. Поэтому рассматриваемая нами разность
будет иметь различные знаки при х, и при х<+1 для всех
I (Г=0, 1,2, ..., ri). Следовательно, она обращается в нуль по
крайней мере один раз в каждом из интервалов (х<, х»+1). Всего
таких интервалов я-(-1. Обобщенный многочлен
Ф(х) = Фг(х) —Фдх)
должен обращаться в нуль на [а, <б] по крайней мере п-|-1 раз.
Это невозможно. Тем самым мы доказали и достаточность условий
Чебышева Теорема доказана полностью.
Сделаем теперь несколько замечаний.
1. Пусть Ф(х) — некоторый обобщенный многочлен и на [a, Z>]
существуют такие п — 2 точек
-'-о < < *2
§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 347
что разность
/(х) —Ф(х)
принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если
т—наименьшее по абсолютной величине из этих значений, то
Д(/)>|т|.
Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть
разность между многочленом Ф и многочленом наилучшего прибли-
жения, как это делалось при доказательстве достаточности условий
Чебышева.
Это замечание позволяет дать оценку величины Д(/_). Действи-
тельно, если
М — max |/(х)— Ф(х)|,
t]
ТО
М>Д(/)>|/п|.
2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы
Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором
отрезке [а, />]. Фактически это при доказательствах не использова-
лось. Если проанализировать доказательства, то легко обнаружить,
что теорема Хаара буде.т справедлива, если в качестве области опре-
деления взять произвольное замкнутое ограниченное множество
евклидова пространства любою числа измерений. Обобщенная теорема
Чебышева будет справедлива, если все функции определены на неко-
тором замкнутом множестве, принадлежащем отрезку [<?./>], содержа-
щем не менее точек.
§ 3. Алгебраические многочлены каилучшего
равномерного приближения
Как уже известно из второй главы, функции 1,х, х2. ...,хп
образуют систему Чебышева на любом отрезке [а, />]. Следовательно,
вся полученная нами теория наилучших приближений применима
к этой системе функций. Обозначим через Нп(Р) множество всех
алгебраических многочленов степени не выше п. Если /(х)—неко-
торая непрерывная на [а, Л] функция, а Рп (х) £ Нп (Р), то отклонение
/(х) от Р„(х) на [a.bj, т. е.
max \f(x) — Pn(x)|
а» С [а, 6]
будем обозначать En(j,Pn). Нижнюю грань значений En{f,Pn),
когда Рп(х) пробегает все множество Hn(P)t обозначим через En(f)
и будем называть наименьшим отклонением. На основании резуль-
татов предыдущих параграфов можно утверждать, что существует
единственный многочлен Рп(х)РНп(Р), для которого En(J, Рп) =
= En(f). На отрезке [а, Л] имеется п -4-2 точек
*0 Х1 < • • • хп~1’
в которых разность /(х)— Рп(х) поочередно принимает значе-
ния -\-En(f) и —En(f). Для обнаружения того, что некоторый
многочлен <2л(х)£ Н„(Р) является многочленом наилучшего прибли-
жения для функции f (х) на [а, Л], достаточно проверить, что на ]а, Л]
найдутся такие п-\-2 точек
х0 < Х1 ’ • • "С хп+1'
в которых /(х)— Qn (х) поочередно принимает значения -\-Еп (/, Qr)
и —En(f,Qn). (Здесь мы не требуем, чтобы Еп (f, Qn) было наимень-
шим отклонением.) Этим свойством часто удается воспользоваться
для фактического отыскания многочленов наилучшего приближения.
Так, например, можно утверждать, что для функции y=sin4x на
отрезке [0, Зте] многочленом наилучшего приближения в Н0(Р),
ritiP). будет Р(х)=0. Действительно.
£„(sin 4х, 0)= 1. и = 0,1,2.........
и
sir. 4х— 0
достигает последовательно значений 1 и — 1 в точках
л Зя 5к 7я 9я 11я 13л 15я
Т’ V Т' Т' ~8~’ ~8~' ~8~’
т. е. в восьми точках
Вспомним также многочлены Чебышева, наименее отклоняю-
щиеся от нуля, о которых говорилось во второй главе. Эти много-
члены можно получить здесь, решая следующую задачу.
Найти многочлен C2n_i(x)£ Нп_1(Р), наименее уклоняющийся от
функции у = хп на отрезке [ —1, 1].
Как мы видели ранее,
Тп U) = cos (л arccos х)
является многочленом степени л со старшим коэффициентом, равным
единице. Этот многочлен на отрезке [—1,
1
значения -----Г и
2-.-i
1
----г- и достигает этих
271"1
1] имеет экстремальные
экстремальных значений
поочередно в точках
ХЙ=СО8-—— (& = 0, 1, 2,..., л).
Представляя Тп(х) в виде
мы и найдем Qn_j(x).
xn—Qn-i(x)>
1. Теорема Вейерштрасса. Изучим теперь, как ведет себя En(f)
при п-*оо, Для этого предварительно докажем следующую теорему
Вейерштрасссг.
Если f(x)£C, то для любого е > 0 существует такой много-
член Р(х), что при всех х£[а, Z>] имеет место неравенство
\fW — P(x)\<e.
Начнем с доказательства следующих тождества
2 Ckxk(\ — *)”-* = 1, (1)
й=0
22 (k — пх)*Скхк (1 — х)*-* = пх (1 — х). (2)
А-О
Первое тождество следует из биноминальной формулы
п
%С*акЬп-к = (а+ЬГ,
к = о
если в ней положить а = х, Ь=1—х. Для доказательства второго
представим левую часть его как сумму трех членив:
— пх? Скпх': (1 — x)”“k = X klCnX{\ — х)п~к —
fe-o д=о
— 2пх 2 ^СпХк (1 — х)п-к +пгх2 У Скхк (1 — х)'
к»0 & = 0
Последняя сумма в правой части в силу тождества (1) равна еди-
нице' Для второй суммы имеем, используя снова тождество (1):
п п
£ kCknxk (1 - х)п-к = х*° - ”* =
к=о к= 1
** 1 (Л - 1)- 7/1
x'+1 (1 (I~х> =
= пх V C-’n-jX-'O —X)” Х~3=.ПХ.
Для первой суммы имеем:
V k2Ckxk (1 - х)п~к = V & -^(п^ , хк (1 - х)п~к =
к=о к=1
J-0
=пх -1—j)?xJо — *) ’ -
>=0
= nx' + Vcux^d -хг’-11=
Ь’-О J-0 J
= пх {(п — 1)хД- 1) = п2х2-—пх2-^-пх.
Таким образом,
J (А —пх)2С£х*(1 — х)"-л =
* о
= п2х2 — пх2 -|- пх — Чп2х2 -[ п2х2 = пх (1 — X),
и тождество (2) доказано.
Из тождества (2) следует, что при 0^х<^1 имеет место
неравенство
п
0<2(*-nx)aC*x*(l-x)"-*<-J, (3)
л-0
ибо при O^x^l справедливо неравенство 0<^х(1—х) г.
Пусть теперь задано некоторое положительное число В. Рассмо-
трим те значения А, для которых имеет место неравенство
(4)
где х — фиксированное число, 0^х<^1. Тогда справедливо нера-
венство
(5)
где 2 означает суммирование по тем значениям k, для которых
справедливо (4). В самом деле, для этих значений
(А — лх)* .
§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 351
а следовательно, используя неравенство (3), имеем:
У ^лл(1-х)я"й<У =
=w S' -пх? с*х* - х>п~* <
п
1 V IU fc,. ,n-fc / 1 Л 1
^>n28s2dv/f ПЛ 'п Х) Л282 J— ИпМ •
к=о
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Без ограничения общности можно считать, что отрезок [a, Z>] совпа-
дает с отрезком [0. 1], так как этого всегда можно достичь линей-
ным преобразованием переменного X.
Рассмотрим многочлен
Вп(х) = У/(4)с*х4(!-х)пЛ (6)
к=0
который принято называть многочленом Бернштейна, и покажем,
что при достаточно большом п он удовлетворяет требованиям тео-
ремы.
В силу первого тождества
/(*) = S/WC»x*(l—х)“-\
fc=o
откуда
п
13п (х) - f (х) = У [/ (-£ ) - /(х)] С*х* (1 -х)’"*. (7)
ьо
Для опенки этой разности заметим, что в силу равномерной непре-
рывности функции /(х) на отрезке [0, 1] найдется такое S > 0, что
для любых х', x"£JO, 1] имеет место неравенство
|/(х')-/(хЭ|<|,
как только | х' — х" | < 8.
Пусть х — любая фиксированная точка отрезка [0, 1]. Разобьем
сумму, стоящую в правой части равенства (7), на две суммы:
=S'(8)
где 2/ означает суммирование по тем k, для которых | —х
и
St - У [/ (|) - f (X)] С„хк (1 - X)’
(9)
где 5^ означает суммирование по остальным значениям k. Оиеним
каждую сумму в отдельности. Для S, получим, обозначая, как
обычно, М= sup |/(х)| и применяя неравенство (5):
|5' । < S ।/(4)- ><х) 1 с’х‘ ° -x>n~h <-
«SMS'cJx’d-xr* = (10)
Для S2 будем иметь:
| s21 < V'' |/ _ f (х) i Скхк (1 - х)п~к <
<|V -Х)п-к = ^, (И)
л=о
ибо I- — х|<в, а 2бУ(1-^4 = 1.
I л । й=0
Выберем теперь п настолько большим, чтобы выполнялось нера-
венство Тогда из неравенств (10) и (11) получится
^„(^-/WKlSd + I^K^ + ^e,
а это и следовало доказать.
2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов
Бернштейна. Из теоремы Вейерштрасса следует, что En(f) стремится
к нулю при л—>оо. Некоторое представление о погчдке стремления
к нулю En(f) дадут приведенные ниже теоремы для многочленов
Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже.
Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [0, ]]
условию Липшица с константой L, если для любых х', х''£[0, .1]
имеет место неравенство
|/(Х')-/(х")|<£|х'.-х"|.
Докажем теорему:
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию
Липшица с константой L, то
|Дп(х)-/(х)| <-£=-.
2 у л
Заметим, что
п
|в„(х)-/(х),<2 И.
л -о 1
и в силу условия Липшица
п
|Д-х|с£хк(1
4=0
По неравенству Буняковского
В силу тождества (1) и неравенства (3) правая часть не превосхо-
дит — 1/ — =—7=. Следовательно, при всех х^[0, 1| имеет
п ' 4 2 V п
место неравенстве
2у п
а отсюда следует:
<12)
Показано, что порядок этой оценки улучшить нельзя.
Естественно ожидать, что чем больше требований мы наложим
на функцию f(x), тем быстрее будет стремиться к нулю отклонение
Д(/, Вп), Однако это не совсем так.
Приведем без доказательства следующую теорему;
Если функция f(x)£C ичеет в точке х конечную производ-
ную второго порядки f" (х), то
В„(х)-/(х)= -^-х(1-х) + ^-. (13)
где р„ стремится к нулю при возрастании п.
Из этой теоремы следует, что во всех случаях, за исключением
случая, когда /(х) — линейная функция, порядок стремления к нулю
уклонения Д(/. вп) не может быть больше ± .
Интересно отметить, что при некоторых дополнительных усло-
виях на функцию f (х) будет иметь место не только равномерная
сходимость многочленов Бернштейна к функции /(х), но и сходи-
мость их производных к соответствующим производным функции.
Так имеет место следующая теорема:
Теорема. Если функция /(х) всюду на [0, 1| имеет непре-
рывную производную f'(x), то В'п(х) равномерно сходится к{\х).
В самом деле,
В'п(х)=^/^)с^хк-\1-х)п-к-
ы
-S44)c»fn-fe)
k~o
-2 /(^C^n-k^V-xf^-1.
k=O
Ho
(fe+ l)C£+1 = (n —/0Cn = »C*,i.
Отсюда
n — 1
В» (х) = п V р ) | С*_,хк (1 - х)п-к-\
fc=0
По формуле Лагранжа о конечных приращениях
поэтому
Bn (х) = V / (4")) ct !Хк (1 — х)п~ к
к^о
или
/3„(х) = £ Г(^)с*_1Х*(1-х)’,"*’,-|-
к=0
п — 1
+ S [ЛЧ"’) - /' (г)]с'п-^к(1 -х^к~'
»=0
В правой части последнего равенства первая сумма представляет
из себя многочлен Бернштейна (я— 1)-го порядка для производ-
ной f (х) и будет равномерно сходиться к /' (х) на отрезке [0, 1].
Далее, так как
k k
п п — 1
п
п
то
|чя)
k
п--1
2
*п
В силу равномерной непрерывности f (х} для любого заданного е> О
для всех п, начиная с некоторого я0, будет иметь место неравенство
при всех k. В силу этого неравенства и тождества (1) вторая сумма
при будет меньше в, а это означает, что вторая сумма равно-
мерно на [0, 1] сходится к нулю, а следовательно, В.„ (х) равно-
мерно сходится к /'(х).
Справедлива и более общая теорема:
Если f (х) имеет на [О 1J непрерывную производную k-ro по-
рядка /<*>(х), то В|й)(х) равномерно на [0, 1] сходится к /(/£> (х).
Как следует из теоремы Вейерштрасса, Е„(/)-^0 при п-»оо.
Порядок этого стремления будет зависеть от структурных свойств
функции и сам в свою очередь определяет эти свойства. Мы позже
посвятим этому отдельный параграф.
§ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения
Из второй главы пам известно, что тригонометрические функции
1, sin х, cosx, sin 2х, cos2x, .... sinnx, cos их
также образуют систему Чебышева на полуотрезке |0, 2тг). Поэтому
и к ним применима общая теория, изложенная в § 2. Ив этом
случае En(j. Тп)— отклонение функции f (х) от тригонометрического
многочлена наилучшего приближения—будет стремиться к нулю, что
подтверждается следующей теоремой, носящей название второй тео-
ремы Вейерштрасса'.
Если /(х) непрерывная периодическая функция с периодом 2к,
то для любого е > 0 существует такой тригонометрический
многочлен Т(х), что при всех х£(—со,-]-00) имеет, место
неравенство
|/(х)-Т(х)|<в. (1)
Доказательство. Докажем сначала лемму.
Если ср (х) — непрерывная на [0, л] функция, тс для всякого
в > 0 существует четный тригонометрический многочлен Т(х),
удовлетворяющий неравенству
I ? — Т (х) I < е
х-Д к).
В самом деле, сделаем замену независимого переменного
х = arccosy. Тогда функция Ф(у) = ср(arccosу) будет непрерывна
на отрезке [—1, Д-1], и по первой теореме Вейерштрасса найдется
и
такой алгебраический многочлен Рп (у) = суу*. что для всех
>1 = 0
у (- [ — 1, -ф-1] будет иметь место неравенство
| ср larccos jz — Рп (_у)| <е.
Возвращаясь к старому переменному, будем иметь:
Но
п
<р (X) — 2 ск COS* X
к =0
для всех х(£ [0, к].
8
п п
Т{х)= ск cos* х = а0Ц- J^&kcosfex
fr=0 fc=l
есть четный тригонометрический многочлен, ибо
к
z=o
к к
= i S Ск cos — *) Х i 2 Ск s!n (2Z “ Х'
I-0 (-0
В последнем равенстве вторая сумма равна нулю, так как члены,
равноотстоящие от концов, имеют противоположные знаки и взаимно
уничтожаются. Следовательно,
к
cos* х = \ с‘к cos (2/ — k) х.
I =о
n
Заменяя в 2 сксозкх степени cosx и приводя подобные члены,
получим:
п
Т (х) = а0 2 ahcos kx,
и лемма доказана.
Для доказательства самой теоремы рассмотрим функции
/U)-t- f(~x) и [/(х) —/(—x)]sinx.
Это — четные, периодические функции с периодом 2к, непрерывные
для всех х. В соответствии с леммой при заданном е > 0 можно
найти такие четные тригонометрические многочлены 7\(х) и Т2{х),
что при всех xf [0, к] будут иметь место неравенства:
|/(х)4-/(-х)-Т1 (х)|<|,
![/(*) —/(—-Hlsinx— ^(х)^ у.
В силу четности всех функций, входящих в эти неравенства, они
останутся справедливыми и для х£[—л, 0], а по периодичности и
для всех х£(—оо, -f-oo). Таким образом,
/М4/(- х) = Т.(х)4-а(х),
[/ U) — f(— *)I sin * = Тг (х) 4- р (х),
где | а (х) |, |р(х)| <-^ для всех х.
Умножая первое из этих равенств на sin2x, а второе на sinx
и беря их полусумму, получим:
/(х)5т2х=7'г(х)4-у(х), (2>
где
Т3 (х) = -1 [ Г, (х) sin2 х -4- 7’2 (х) sin х],
| y (х) | = ± | а (х) sin2 х + {3 (х) sin х | < - (— оо < х < 4- оо).
Рассмотрим теперь функцию /( у—Эта функция снова при-
надлежит к С2,с. Следовательно, имеется тригонометрический много-
член Т4(у), для которого справедливо аналогичное равенство:
f (-v — т)311,2 у = т* +8 ’
где 18 (у) | < при всех у£(—со, 4"со).
Заменим здесь у-----на х. Получим:
/(х) sina^x--|-= f (х) cos2x =
= Т4(х + -£) + 8(х-^)=Т6(х)4Л(Л. (3)
где 13, (х) | < для всех х. Складывая почленно равенства (2) и (3),
получим:
/ (х) = [ Г, (х) 4- Т6 (X)] 4- (х) 4- 8, (х).
Так как | у (х)-|-81 (х) | < е при всех х, то, вводя обозначение
7'W = 7’3W + 7’6(x),
будем иметь: |/(х)-Т(х)| <е
для всех х, что требовалось доказать.
Вторая теорема Вейерштрасса может быть сформулирована и
следующим образом:
Непрерывная периодическая функция f(x) с периодом
может быть представлена как предел равномерно сходящейся
последовательности тригонометрических многочленов. Из нее
также следует высказанное в начале параграфа утверждение.
§ 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного
приближения непрерывных функций
Пусть /(х)— непрерывная периодическая функция с периодом 2л,
а Г.п (/) — наилучшее равномерное приближение f (х) в совокупности триго-
п
нометрических многочленов Нп (Т) вида д 4- 2 cos kx + sin kx), где
к= 1
п — фиксированное целое число. Из второй теоремы Вейерштрасса следует,
что lim En(f}=0. Возникает зопрос: как быстро ~En(J) стремится к нулю
п->оо
при п->оо? Оказывается, что скорость сходимости к нулю En(f) зависит
от свойств функции /(х), и чем более гладка функция /(х), тем быстрей
Еп (/) стремится к нулю. Мы здесь рассмотрим две теоремы Джексона,
дающие оценку скорости убывания Еп (/) в зависимости от гладкости функ-
ции f(x).
Теорема 1. Если f(x) — непрерывная, периооинеская функция
с периодом 2л, удовлетворяющая условию Липшица
|/(Х1)—/(-Гз) К Щ Х1—Хз1 &ЛЯ любых Xj и Х2,
то
Еп(Г)<
СМ
п ’
где С—абсолютная константа.
Доказа гельство. Рассмотрим функцию
' п (.%) —
Л(< —X) "
sin
, пЦ — х) -
sr---2---
и покажем, что эта функция является тригонометрическим многочленом по-
рядка 2п — 2. В самом деле,
•>
. пи
IL
sin -J
nui "12
e ‘ -e '
ui иг
У — 2
L e — e
= g-i”-1) “* [ft""1) м{ | g<”-2) ui
U2 =
' nui
2n—a 2n—2 n— 1
akelk^= V ak^ (»+i-n) « =
k=0
где а% = a2n-k-i = k + 1 при —1. Но так как при O^Z<^n— 1
cLn+i—i = an-i-i= п h г0
Г пи ~Р
Sin—- п-1 п-1
----- = п -j- V (п — Z) (е‘1и-1- е~{!и) = п 4- 2 V1 (п— Z) cos Zu,
_sinyJ z-i
т. е.
пи "р
SHl-y
, и
ып-
есть тригонометрический
многочлен порядка п — 1. Возводя
его в квадрат и преобразуя квадраты и произведения косинусов в косинусы
кратных узлов, а затем приводя подобные члены, получим:
2п —2
sln- х
V cfc cos k (t — x).
A=0
Далее,
n(t— x) "I*
2
2n—2
V cft cos k (t — x) at —
2n-2
(ак cos kx + bk sin kx),
&=o
где
+ л 4-rc
= ck J" f(t) c°s Md(, b^ = ck | /(Z) sin £Z <ZZ.
—тс —те
Итак, Un(x) есть тригонометрический многочлен порядка 2п — 2. Заме-
тим для дальнейшего, что постоянный член в Un(x) равен J / (Z) dt.
—те
Рассмотрим теперь разность
n(t — X)
-.4
dt
Un (x)—f(x) =
s!p —
n (t — X)
dt
S,n —
K+3S
f [/(П-Г(х)1
— К+Л-
—я+я:
Сделав здесь замену - — т), получим:
I (-*) — /(*)! =
f [f(x + 2^-f(x)]
»/ I 'I J
или, учитывая, что функция /(х) удовлетворяет условию Липшица, будем
иметь:
/(x)|<2Af
ТС
2 л
= -----------
Так как sin т] < q при т] > 0. то
где с.
Далее,
так как при имеет место неравен-
. _ 2т]
ство sin т то
71
тл .
Положив С = —- для всех лих, будем иметь неравенство
с2
СМ
ИЛ (*)-/(*) К ;
откуда следует, что
< 2п
И
— / /-ч , z- СМ . СМ — . . —• . ,ч . СМ
Счп—1 (/) -2 (/) 2л—-Т * (/) ~2/^
или, вообще,
Теорема 2. Если непрерывная периодическая функция f(x) с пе-
риодом 2л имеет производную р-го порядка, удовлетворяющую условию
Липшица
1/(р) {xl)-f^>(xi)\^M\x1-x^ |,
то имеет место неравенство
— СрлЛМ
где С — та же константа, что и в теореме 1.
Доказательство. Из теоремы 1 следует неравенство
т. е. существуют многочлены (х) порядка л, не содержащие постоянных
членов, для которых
|/^(х)-7^>(х)|<^.
Обозначим через (х) тригонометрический многочлен порядка п. являю-
щийся интегралом от (х), не содержащим постоянного члена. Тогда
СМ
п
т е. Функция — С/^-7'(х), имея ограниченную производную, на-
„ , СМ
верняка удовлетворяет условию Липшица с константой ——. по тогда ио
теореме 1
т. е. существует такой многочлен (л) степени nt не имеющий постоян-
ного члена, что
|/(р ~Ч W - (X) - (х) I
СШ
Полагая
Z75 *
и^-1’ W + vn -ч W W.
можно записать последнее неравенство в таком виде:
С2 м
п2 ‘
= ,, СМ
Еп (/)<—.
Повторяя р раз проведенные рассуждения, г.ридем наконец, к неравенству
|/(х)-Т„(х)|<^
np+L
которое означает, что
СР+1М
пр+1
En(f)<
Используя теоремы 1 и 2, легко дать оценку наилучшего приближения
En{f) в случае, когда Moi функцию /(х), непрерывную на [а, й], прибли-
жаем на отрезке [а. 6| с помощью алгебраических многочленов
Заметим прежде всего, что не ограничивая общности, можно считать,
а = —1, А = + 1
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке [—1, 1] и удовлетво^
ряет условию Липшица
то
l/Ui)— /(Xa)K^lXi —Xal (X1> x3g[—1, +1]),
Еп (/)<—,
где С — абсолютная константа.
Доказательство. Сделаем замену независимого переменного
X = cost Функция ф ОД s= f (cos t) на отрезке [—я, я] удовлетворяет усло-
вию Липшица с гой же константой, так как
1ф (Л) — Ф Од) I = 1/(006/г) —/(cosZ2) |<Л4 | cos— cos Г, |< Mjij— Z,|
(Л> [—u> +”])
По теореме 1 для функции Ф ОД можно подобрать такой тригонометриче-
ский многочлен Т ОД порядка п, что
СМ
1Ф(0-ТОД|<^.
Так как |ОД—четная периодическая функция с периодом 2л, то можно
считать, что Т (t) не содержит синусов Поэтому обратная подстановка дает
СМ
\f(x)—T (arccos х) j <
Но Т (arccos х) есть алгебраический многочлен степени л, следовательно
En(f)
С.М
п
Теорема. Если f(x) непрерывна на отрезке [—1. -j-1] и имеет
непрерывную производную /(₽| (х), удовлетворяющую условию Липшица
l/(i',(x1)-/w(x!!)|<iu;xl-x3| (хг, х,е[— 1. +1]).
то
СрА4 /
£п (/) < ^p+t ( ср =
(7+1 (р -j- l)^+r
(Р+1)!
Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что
т. е. существуют многочлены Р^р‘(х) степени п— р такие, что
|/й»(л)_рй=)(х)1<-^-_
I [ (х) - Р*"-1’ (х)]' | < ,
т. е. функция /^-1)(х)— Рп-1'(х) удовлетворяет условию Липшица с кон-
стантой СМ/(п — »). В таком случае
Е . ( f<-р~ 4 р(Р-Ь) ____С-^Л_____
Еп-р+1Ч -(ц—р)(п—р+1)
и, следовательно,
г.-„, (/>-')<,
Продолжая рассуждения, придем, наконец, к неравенству
£ СР+1^ ___________________.
П(Л " (п-р)(п-р + 1) ... П
~ ^11 t р+ 1 — k
Так как при справедливо неравенство п—k —п, то
C*+1Af(p+l)’+J срМ
Еп(/}< ~ пр+1''
Из этих оценок мы видим, что если функция /(х) достаточно гладкая
то Еп (/) стремится к нулю очень быстро. Ранее же мы видели, что Л (/. Яп)
стремится к нулю не быстрей Т при любой гладкости /(х), лишь бы / (х>
не была линейной функцией. Поэтому для приближения функции /(х) имеет
прямой смысл строить многочлены каилучшего равномерного приближения.
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов
наилучшего приближения
Как уже указывалось во Введении, в вычислительной практике
часто приходится приближать трудно вычислимые, функции более
простыми, например алгебраическими многочленами. При этом часта
требуется приблизить функцию /(х) на отрезке [а, Ь] алгебраиче-
ским многочленом Р(х) так, чтобы его отклонение от функции f (х)
по абсолютной величине не превосходило заданного числа е на всем
отрезке [а, ft], т. е.
птах |/(х)— P(x)|^e.
®€Ja, Ь|
Из теоремы Вейерштрасса, доказанной в этой главе, следует, что
для функции /(х), непрерывной на [a, ft] при любом е > 0, такой
многочлен построить можно. Но для практики важно, чтобы такой
многочлен имел возможно меньшую степень. Таким многочленом
будет многочлен наилучшего равномерного приближения к функ-
ции /(х) на отрезке [a. ft| в совокупности Нп(Р) многочленов сте-
пени не выше п при таком п, для которого имеет место неравен-
ство
(/)•
К сожалению, способов построения многочленов наилучшего при-
ближения к данной функции f(x) нет, поэтому большое значение
приобретают способы приближенного построения таких многочленов.
Хотя разработанные до сих пор методы приближенного построения
многочленов наилучшего равномерного приближения недостаточно
эффективны, так как требуют выполнения большой вычислительной
работы, мы изложим два способа, сравнительно простых по идее и
их осуществлению.
1, Предварительные замечания. Сделаем несколько общих за-
мечаний и докажем несколько существенных для дальнейшего изло-
жения утверждений.
1. В § 2 этой главы мы отмечали, что вся теория наилучшего
равномерного приближения функций /(х), непрерывных на отрезке
[а. А] с помощью многочленов (в том числе и алгебраических)
остается в силе, если мы будем рассматривать вместо отрезка |а, А]
любое замкнутое множество G, лишь бы оно состояло не меньше
чем из (га-}-2)-х точек. В частности, справедлива теорема:
Для того чтобы многочлен Рп(х)£ Нп(Р) был многочленом
наилучшего приближения к функции f (х) на замкнутом множе-
стве G, содержащем не менее n-j-2 точек, необходимо и доста-
точно существование таких ге-|-2 точек
Xt<X2< ... <ХЯт2 (Xt£G), (1)
что
f (.Xi) — рп (Xi) = а (- • 1)‘L
(Z=l, 2, .... л-р2; а = -|-1 или —1), (2)
где L=max|/(x)— Р„(х)|, При этом L = En(f, G) — наилучшее
л(-О
приближение функции f(x) на G в Нп(Р),
Точки (1), для которых выполняется условие (2), будем называть
чебышевским альтернансом.
Справедлива также и следующая теорема (Валле — Пуссен)-.
Если Р (х)£Нп(Р) и точки х, < х2 < ... < хп+г та-
ковы, что
sign If (xj — Р (XJ] = — sign [/ (Xg) — P (Xjs)] =
= sign If (xs) — P (xjj = 1)”+ sign [f (x„+2)—P (x„+2)], (3)
mo
En(f,G)>v= {1/(*«) —I }• (4)
i—1, г, ...,n+?
При фиксированных f (x) и P(x) величина p зависит от выбора
комбинации xL < x2 < ... < xw+2, удовлетворяющей условию (3).
Верхнюю границу для р при выборе всевозможных таких комбина-
ций обозначим через .4. Если О = [а, А], то А можно найти сле-
дующим образом. Рассматриваем разность Д(х)=/(х)— Р(х). Пусть
L= max ' / (х) — Р (х) [. Возьмем число R (0 < R < L) и обозначим
о)
через F и 5 два замкнутых множества точек, отрезка [а, о], на
которых выполняются соответственно неравенства Д(х)>-Р и
Д(х)<1— Дополнением суммы этих множеств до наименьшего
отрезка [с, а], содержащего эту сумму, будет открытое множество,
состоящее из конечного или счетного множества интервалов. Те
интервалы, которые одновременно граничат с F и 5, обозначим
через /1; /2, (рис, 29). Если их число больше п, то наверняка
имеет место неравенство R, так как в этом случае на [а,
найдутся п-|-2 точек х( < х2 < . . . < хп+2, для которых будет
иметь .место (3) и
\^(xi-)\ = \f(xi)-P(xi)\^-R (Z = |. 2.....пД-2).
Если одно значение р. известно, то, полагая /? = р, мы получим
случай, когда число интервалов /1( /2, ... не меньше п-[-1. Дальше
увеличиваем R до тех пор, пока число их все еще остается не
меньше пД-1. Это предельное значение R и будет .4. Его можно
определить, практически исследуя на экстремум функцию
Д(х)=/(х) — Р(х).
Заметим без доказательства, что если i Р (х) 2М, где
М= шах |/(х)’|,
[°’
то для длин интервалов Д, /2, ... существует положительная ниж-
няя граница l(R), зависящая только от R (а не от Р(х)), причем
l(R)-> 0 только при
2. Найдем выражение En(J, G) через значения функции f (х)
п
в точках чебышевского альтернанса. Пусть Рп (х) = 1 акхк — много-
к—
член наилучшего приближения к /(х) на множестве G в Нп(Р),
a Xi < х2 < ... < хп+2— чебышевский альтернанс для него, т. е.
/(xs) - Рп (Xi) = а(— l)*En (f, О), (5)
(i=l, 2, ... п 4-2; а = 4-1 или —1).
Рассмотрим определители
Dn, i — Dn> i (Xj, Xl X8 X2, . . ., x! X8 — 1» Xi ... x« +1* ..., xn+2) —
1 1
— 1 1 Xf-1 Xi + l xLi 4 xl+l ... xt, • •• •**+! (1= 1, 2, .. . , n 4“ 2). (6>
1 лпч-2 4 •'n-t-a xn ••• -*n+?
Все определители Dn, < положительны, так как х, < х2 < . •.
... <xn+2. Далее, при fe = 0, 1, 2, ... , n
Xi Z)n, i — x8 Dn, a -| x*Dn, з — • • +(- 1 X, 1 Xa 14n+I 4 -1) Xn+2 2 X, ... x3 x2 Dn, П+2 —
= Xl x| X? X? = 0. (7}
Умножая (5) на (—Г/ Dn Xn+Z Xn4-2 i и суммируя xa +n+2 ••• no 1 ОТ 1 x" ЛПЧ 2 ДО п 4-2. будем
иметь:
n+2^ г п j п+2
2 (—I)4 Dn, I 2 <Wi = 2 К—1)7(X/) 4-аЕ„ (/, О)] Dn, t .
i=»l ( &= о J i =1
Меняя слева порядок суммирования и учитывая (7), убеждаемся'
в равенстве нулю левой части, т, е.
п+2 п+2
а£»(/. О) JiDn>i= S(-l)i-7(Xi)7)n, i = Dn,
i«l г=1
где
/(Xl) 1 Xl x! • • X?
/(X,) 1 X2 X2 X?
Dn = Dn (х,> x2, . •. x„+2, /) = . . . • (8)
/(Xn+2) 1 X„+2 л^4-2 ’ x” • лп+2
Таким
образом,
а£„(/, 0) =
£п(/. О) =
/ (X,-) Dn, г
п±2
2 Dn,i
(9)
(Ю)
г., г
Из (5)
Если
(9) следует, что
sign [/ (xj — Рп (xj] = — sign Dn.
в (9) числитель и знаменатель разделить на
11 № —х,-)
(11)
« ввести <
^П, I ==
обозначение
(*< — Xj) (х< — х,) ... (xt — х,-1) (х,+1 — х<).. - (х„+5 — Xi) ’
(12)
то получим;
"£(-!)«-!/(Xj)rf7t i
D*
а
и
1
£„(/. О) =
П + 2
(13)
В частности, если /(xj, /(х2). . .,/(х„+г) имеют чередующиеся
знаки, то
I/ (^-<) I
£п(/. G)=-^^----------- (141
i- ^п, I
!-
И
«<£„(/> 0)<Л4, .
где
т= min {|/(xi)|h м= max {|/(х<)|}-
3. Пусть уг, . .., уп+2—произвольные точки множества G,
расположенные в порядке возрастания j'j < у2 < ... < уи+г.
Положим
= --------, (15)
2L ^п, i У^ • • •» У»—1» • • • > Уп+2)
Эта величина обладает тем свойством, что
1)
РСИ1. Уг..Уп-ггХ^п(/< G):
(16)
2) существует система точек хх< х2< ... < хп+2 (х{£ G), для
которой
p(*i, хг.....xn+^ = En(f, О). (17)
Эта система точек образует чебышевский альтернанс и, следова-
тельно,
sign [/(Xj) — Рп (xj] = — sign Dn (x„ x2..........x„+2, /), (18)
где Pn (x)—многочлен наилучшето приближения к f (х) на О.
Arfa доказательства этих утверждений обозначим через S множе-
ство, состоящее из (л -|- 2)-х указанных точек уь у2, • • . Уп+г* через
Р (х) и Q„(x) — многочлены наплучшего приближения к функции/(х)
соответственно на множествах G и 5 в Нп(Р), а через En(f, G) и
En(J, 5)—соответствующие каилучшие приближения.
Пусть Xi<x2< ... < Хя|2 — чебышевский альтернанс для /(х)
на G. По доказанному ранее (см. (10))
Р (хр х2, ..., xn+2) = Еп (J, О).
Так как множество S состоит только из (п-|-2)-х точек уь у2, . ..
.... уп+г> то они образуют чебышевский альтернанс f(x) по отно-
шению к S, а следовательно,
Р(.У1. Уг.....Уп+1’) = En(f’ S).
Далее,
Еп (/• 5) = max I/(х) — Qn (х) К шах;/ (х) — Р„ (х) | <
аз£8 aj£S
< max | / (х) — Рп (х) | = Е„ (/, О).
а?£<?
Отсюда
Р (.Vv Уг> • • • • Уп+г) = 5) <£„(/. G),
и неравенство (16) доказано.
Если хг < х2 < ... < хл4_2 есть чебышевский альтернанс функ-
ции /(х) на G, то р(Хр х2, .... хПт2) = £„ (/, G), а так как
в силу теоремы существования многочлена наилучшего приближения
и теоремы Чебышева он всегда существует в О, то р(_ур у2, ...
..., Уп+г) достигает своей верхней границы на любом из этих
альтернансов.
Пусть теперь 3 есть множество точек хг < х2 < .,. < хп+2,
для которых
р(хь х2, .... хп+2) = Еп(/, G), (*)
а Рп(х) и Qn(x)— многочлены наилучшего Приближения к f (х)
в Нп(Р) соответственно на множествах G и 5. Из равенства (*)
следует, что
p(xlt х2, xn^2)=En(f, S) = En(f, G).
Но G. Следовательно,
£»(/. G) = max| J(x) —Pn(x)|>max|/(x) — Pn(x)|>
JltQ x£S
>max|/ (x)—Qn(x)l = En(f, 5).
Ио так как
£„(/. S) = £„(/, О),
то
шах | f (x) — Pr (x) | = max 1 f (x) — Qn (x) |.
x£S
Это означает, что Pn(X) есть многочлен наилучшего приближения
к f (х) на S и в силу единственности многочлена наилучшего при-
ближения
Pn(x) = Qn(x) (xgS).
Но так как 5 состоит из (га 2)-х различных точек, то
Pn(x) = Qn(x).
Это и доказывает, что множество 5= (х; < х2 < х3 < ... < хп±2}
есть альтернанс к / (х) на G, а поэтому имеет место и равенство (18)
(см. (11)).
4. Предыдущие рассуждения позволяют с помощью конечного
числа шагов построить многочлен наилучшего приближения к f (х)
в Нп(Р) на множестве G. состоящем из конечного числа точек
т (т'^-п -4 2).
Рассмотрим сначала случай т = д + 2,
Располагая точки этого множества в порядке возрастания х, <
< х2 < ... < х„+2, вычисляем р(хр х2/..., хп+2), используя ра-
венства И5), (6) (8). Значение р = En(f, S). Зная знак определи-
теля Dn (xlt х2, .... х„+2,/), определяем знак разности f (xt)— Рп(хд
с помощью равенства (18).
Далее, пишем систему равенств
/ (х;) - Рп (х,-) = а(—l)lEn(f, S) (Г=1, 2.....«4-2). (19)
где а = 1, если Г)п > 0, и а=—1. если Dn < 0.
Из этой системы равенств находим значения искомого много-
члена Рп(х) в точках ху.
Pn(.xi) = f(xi)-a(—\yEn(f.S) (2=1,2............«4-2). (20)
Этими значениями многочлен полностью определяется. Найти его
можно, строя интерполяционный многочлен по любым п 1 значе-
ниям. Лишнее значение можно использовать для контроля, так как
полученный интерполяционный многочлен должен принимать заранее
вычисленное значение в неиспользованном узле.
Если множество О состоит из т точек _у3<_у2< • <Lym
(/и > я-|-2), то рассматриваем всевозможные комбинации из
(л-|-2)-х точек этого множества у/»,, _уг3..... У1п+а • где Л <
< h < • • • < А»+а> и Для каждой из них вычисляем р(уг- , _у1а, ...
•••’ У1п Р- конечного числа значений р выбираем наибольшее.
Система точек .............3%+2' для которой р имеет максималь-
ное значение, будет давать альтернате для / (х) на G, и построение
многочлена наилучшего приближения к f (х) на Q сводится к по-
строению многочлена наилучшего приближения к f (х) на множе-
стве из этих (л-|-2)-х точек. Построение этого многочлена
мы уже описали. .Основная трудность заключается в том, что при-
ходится вычислять значения р для всевозможных комбинации у^,
Уг.....^а„+8 (Л <4 < •. • < Zn+?)> число которых равно С”43,
т. е. при большом т может быть очень большим.
5. Для дальнейшего имеет важное значение следующая
Теорема. Если f(х) — непрерывная ни [а, Ь] функция,
а (Рп к(*)}*-!, а,... —последовательность многочленов из Нп(Р),
для которых имеет место неравенство
Д(/. P„vk)= шах |/(х) —Р ft(x)|<A’n(/)4-eft, (21)
где ек-»-0 при то последовательность {Рп лДх))*.^ а,
равномерно на |п, Ь\ сходится к многочлену наилучшего прибли-
жения Рп(х) функции / (х) на [а, /г} в Нп(Р).
Доказательство этой теоремы существенно опирается на лемму:
Ия всякой последовательности многочленов {Qn ^(•*)}*-!, а, ...
(Qn :;(Х)С Нп(Р)), ограниченных на [а, Ь\ одной и той же кон-
стантой М, можно выбрать подпоследовательность, равномерно
сходящуюся на [а, Ь\ к многочлену Qn (х) £ Нп (Р).
Для доказательства леммы прежде всего докажем, что если
п п
= Nk = 2 ИЛ;1 и Mk = max |<?„>)t(x)|.
J-0 3 /-0 3
то существуют такие постоянные А и В, не зависящие от k, что
(22)
Мк < В\\. (23)
В самом деле, если положить В = max |х’|, то при х£[а. Ь]
Ь]
1, 2, ...» п
I Qn, к w I < i ] а«> 11 х/ к в i I I = BN^-
Отсюда
max
х t [ a, b |
и неравенство (23) доказано. Для доказательства неравенства (22)
возьмем на [а, Ь] некоторые точки х0, хп .... хп (х< =Р Xj при I =k j).
Тогда по интерполяционной формуле Лагранжа
Qn, к (*) = Зп, к (-^») ^я, i (,х)>
г-0
где Ln i(х)— многочлен степени п, обладающий свойством
, , ч_/°
Ч «<<>)-( j (. = д
Пусть L„ ,(х) = 2 Тогда
=о
г=0
Отсюда
п п п п п
/•о 1 1~0 i-О i-o i”
п п
Полагая А =S 21?!°1 И не зависит от k), получим неравен-
{• О i-0
ство (22).
Теперь перейдем к непосредственному доказательству леммы.
Многочлен Qn.*(х) вполне определяется его коэффициентами а<*>
а'^.....Поэтому вместо последовательности многочленов
{Qn, к (-’Qj/c-i.я. ... рассмотрим последовательность точек
.... (п1)-мерного евклидова пространства. Так как
|Qn,(х£[а, b\, k — 1, 2, .. . ), то по неравенству (22)
п
2 | | < МА, т. е. — ограниченная последовательность точек,
а следовательно, из нее можно выбрать некоторую подпоследова-
тельность }, сходящуюся к некоторой точке # = (ас, at, .... ап).
п
Рассмотрим многочлен Q(x) = ^ a^xi, коэффициентами которого
э=о
являются координаты точки R. Из неравенства (23) следует, что
max | Qn, к, (х) — Q (х) |< В 2 | |.
' J=C 3
Правая часть стремится к нулю при k{—> ое, а это и означает, что
{Qn,ki (•*)}&; равномерно на [a, ft] сходится к Q (х) £ Нп (Р).
Используя эту лемму, докажем сформулированную выше теорему.
Из неравенства (21) и условия, что гк—► О при k —»оо, следует
существование такой постоянной К, что
(х£[а. />). *=1,2,...),
ибо
\Рп,к(X) | =- \Рп,к(Х) — /(Х)-1-/(Х)К|Р„,)с(Х) — /(х)|-|-|/(х)К
Д (/, Рп, к) + шах । f (х) | < fn(/) -h е + М,
х£ [а, Ь]
где е — верхняя грань (е4}, а М = шах | f (х) |. Поэтому за К можно
взять En(f) —|—е —|— М. Так как последовательность (Pn, t (x)]a-i, а,...
ограничена одним и тем же числом К, то по лемме из нее можно
выбрать подпоследовательность {Рп (х)]ki, равномерно сходящуюся
к некоторому многочлену Qn (х) £ Нп (Р). Для этой подпоследова-
тельности имеем:
Л(/, Рп, к.)= max |/(х)—Р„, А (х)| <£„(/)-|-ej
* ®€[а. 6] {
Переходя к пределу при *4 —> оо, получим:
А(/. Qn)=-- max |/(x) — Q„(x)|< £„(/).
tc с [а, i>]
но так как En(f)= Inf Д(/, Q), то
max |/(x) — Qw(x) | = £„(/)
trf [a. b'
и, следовательно, Qn(x) есть многочлен наилучшего приближения
к f (х) на [а, Л] ь Нп (Р). В силу единственности многочлена наи-
лучшего приближения Qn (х) = Рп (х).
Таким образом подпоследовательность {Pn> jif (х))а; равномерно
на [а, сходится к Р„(х).
Из единственности многочлена наилучшего приближения следует,
что и вся последовательность {Р„, a(x))a=i, а,.. будет равномерно
сходиться к Р„(х). Если бы это было не так, то из нее можно
было бы-выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся
к некоторому другому многочлену Р„ (х) £ (Р). Этот многочлен
должен был бы быть многочленом наилучшего приближения в/У„(Р)
к /(х), но это противоречит единственности многочлена наилучшего
приближения.
2. Первый способ приближенного построения многочлена
наилучшего приближения. Пусть для функции / (х), непрерыв-
ной на отрезке [я, *J, требуется построить многочлен, близкий
к многочлену наилучшего приближения Рп(х) в Нп(Р). Для построения
такого многочлена возьмем на отрезке [а, Ь\ /пЧ- 1 точек (т > п-|-1)
= (/=0, 1, 2, т). (24)
Обозначим это множество через О. Методом, описанным ранее,
строим многочлен наилучшего приближения к / (х) на G ь Нп{Р),
Этот многочлен обозначим через Рте,т+1(х). Докажем, что при
т —> оо последовательность многочленов {Рп, Я1+1(x)jm=n(.li.. равно-
мерно на [а, А] сходится к Рп(х).
Обозначим через 2L колебание функции f (х) на [а, Ь]. Без
ограничения общности можно считать, что
max f(x)= — min fix). т. e, —L</(x)<L.
x~[abi
Очевидно,
\Pn, m+i (xf | <( L -\-En( f) (J = 0, 1, 2......m). (25)
Пусть |Pn, meiWl достигает на [a, А] максимума Л4т+1 в точке х*.
Среди точек Xj (j — Q, 1, 2, ...» т) найдется точка, удаленная от х’
не больше чем на Пусть это точка хк. Тогда
Рп, m+l (X ) Рп, m+l(Xj) — (X Xh) I Рп, дг+1 (х)1 , (26)
где t. лежит между х* и хк.
Воспользуемся неравенством Маркова, утверждающим, что если
Р (х) — многочлен степени п, а М = max IP (х) I, то при х С [a, Al
аг£[а,Ъ]
|Р' (Х)|<
(6 — а) ’
(27)
Используя это неравенство, получим:
dPn, \Х)
dx
2п?Мт+1
b — а
(28)
Из (25), (26) и (28) имеем:
Мщ+1 Рп, т + 1 (х*) — Рп, m+i (xfr)
^,2д2.-Мто+1 ь—ап2,,
(29)
Таким образом,
Чп+1(1-£)<£ + £„(/).
Если т > л2, то
М < б 4- £п (/)
^2 • (30)
м
Пусть теперь х—произвольная фиксированная точка отрезка [а, Ь],
а х —ближайшая к ней точка из рассматриваемой системы х0, хх,
Х2> • • • > хт-
Снова, применяя неравенство Маркова (27) и оценку (30) для
Мт+и имеем:
| Рп, т + 1 (X) - Рп, т + х (X;) I = I X - Ху| I -W,-”x±1(£) I <
С — а.'2п-Мт+1
2и b — а
(£-|-£„>/))
т , ____rfl
т
= [£+£„(/)]
(31)
rfi
т — rfl ‘
Далее, на [й, Ь] найдется точка х, в которой имеет место равен-
ство
Д (/ Рп, т + 1) = П1ах | / (X) Рп т+1 (X) | | f (X) — Рп, т+1 (X) I.
ж [в, 4|
Пусть Xj—ближайшая к ней из рассматриваемых точек (24). Тогда
Д (/ • Рп, т+1) = | / (X) Рп, ai 1 (X) / (Xj) Рп, т+1 (Xj) | -f-
")" | / (•*) — / (xj) | 4“ I Рп, т+1 (xj) — Рп, т i-l (X) |
<Е.(Л+«.(^)+П-ье.</)|^. (32)
где через <о (о) обозначен модуль непрерывности функции / (х) на
отрезке \а, />] *). Обозначая сумму последних двух членов в правой
части неравенства (32) через ет:
Ет=ш(-,./г ,' + [7--Н- : (/)] • 03)
будем иметь:
Д (/ 7 m-1) “С (J) Ет- 04)
Очевидно, что гт ->0 при т—>ог, следовательно, применима тео-
рема п. 5, из которой следует, что {Рп, m+i (х))от_„+1, равномерно
сходится к Рп(Х).
Этим доказана сходимость нашего процесса приближенного по-
строения многочленов наилучшего приближения.
Для оценки близости Pn,m+i(x) к многочлену наилучшего при-
ближения, т. е. величины
Д(/> Рп. т + 1) —
х) Модулем непрерывности функции /(х), непрерывной на отрезке [а, 6],
называют вели чину .с 0) = sup l/(xv) — f(x')\ (х', х^^а, 6]). При
। аз'-аз" |< в
& -> 0, очевидно, <о (6) -> 0.
можно пользоваться таким приемом. Находим
Л1»г+1= тах I / (л) — Рп m+i (х) |
•rg[a, 6!
и En(f, О), где О—множество точек хс, хи .... хт. Тогда
д (/. Рп. m+i) -£„(/)< - Е„ (/. G). (35)
Пример. Для функции f (х) = | х | в Н2(Р) найти многочлен
наилучшего приближения на отрезке [—1,
Рассмотрим сначала множество G нз четырех точек:
и найдем многочлен Р3-4 (х) наилучшего приближения к / (х) на
множестве G:
/(x0)=I; /(xj^l; f(x2)~-3; /(х3)=1.
Отсюда
Следовательно, £2 (/,(})= О,
Далее, составляем систему уравнений для определения значений
многочлена Р2,4(х):
/ (х0) — Ра, 4 (х0) — 0, /(Xj) — Рз, J (Xj) = 0;
/(xj—-Ра,4(х2) = 0; f (х3)— Р3>4(х3)= 0.
Отсюда
Рз. 4 (хп) = 1; Рз, 4 (xj = Ра, 4 (х2) = у, Рз, 4 (хД = 1.
Следовательно,
t (х) = Р3> 4 (х0) £ - + Рз, 4 (xj
\-*0 — Х^) — Х<>)
+р8л(Х2)Дг-^-^=1.
' (Х2"Х0)(Х? —X,)
2
3
3
(X — Х0) (X - Ха)
(Xj— Хо) (х,— Ха)
•>Ч).
I V* "Г Ч -
¥ 2
з ’ з
3
4
1
4 ’
max |/(х) —Ра,4(х)| = у;
</. о)=о.
Таким образом,
Д(/, -Рм)—£2 (/)<!•
Приближение недостаточно хорошее.
Рассматриваем теперь множество G, из пяти точек:
х0 =—1; х1 = —0,5; х2 = 0; ха=0,5; х4=1.
Всего возможных комбинаций из четырех точек, расположенных
в порядке возрастания, будет 5 Для каждой из них нужно вычислить
величину р. Вычисления сведем в таблицу:
Возможные комбинации Хв Х1 х2 х3 х4 D, Р
Х( —1.0 — 0,5 0 0,5 1.0
/(х<) 1.0 0,5 0 0,5 1.0
П'А i , Х0, х(, х«, Х3 0,25 0,75 0,75 0,25 — —0,25 0.125
Рэ, 1 Хо, Ж1, х?, х4 0,75 2 1.5 — 0,25 — 0.5 1 9
В % i х0, х1( х8, х4 0,75 1.5 — 1.5 0,75 0 0
i х0, х„ xj, х4 0,25 — 1,5 2 0,75 —0,5 1 9'
Da, t хъ х2, х3, х4 — 0,25 0,75 0,75 0,25 0,25 0,125
шахр = 0,125 = Е2 (f, Gt) достигается для первой и последней ком-
бинаций. Возьмем первую комбинацию. Система для отыскания
значений Р2,5(х) в точках этой комбинации имеет виа:
I — P»,s(x0)=—0,125,
0,5 —Р3,5(х1) = 0,125,
0 — Рэ, 5 (Хг) = —0,125,
0,5 —Ра,5(Хз)= 0,125.
Отсюда
Р1>5(—1)= 1,125; Р4>5 (—0,5) = 0,375;
Рм(0)= 0,125; Ра, 5 (0,5) = 0,375
и
Р,, (у» 1 j о к (х 0,51 х__!_ о 475 х (х 1)
а,з(х)_1,125 -j-0,375 ,_f,5, (05) 4-
0,125 = х2 4- 0,125.
1 • и,о '
Для контроля вычислим Pit5(Хэ):
Р2, 5 (0.5) = 0.52 Д-0,125 = 0,375;
/И. = max | / (х) — Р2, ь U) | = 0,125;
+0
Д(/, Рз,5) — £2(/Х 0,125 —0,125 = 0.
Таким образом,
Д(/. /\5) = Д2(/).
Следовательно, многочлен Р2,ь(х) совпадает с многочленом наи-
лучшего приближения Р2(х) функции / (х) = | х | для от резка
1—1. Ч-Ц» т- е-
Р2(х) = х24-0,125.
3. Второй способ приближенного построения многочлена
наилучшего приближения. Этот способ состоит в следующем. За
начальное приближение многочлена наилучшего приближения к не-
прерывной функции /(х) па отрезке [а, Ь\ в Нп(Р) берется не-
который многочлен Рп, о (х) f Нп(Р), такой, что на отрезке [а, Ь}
должна существовать система из (п-(-2)-х точек xt < х2 < ...
... < хп+2, в которых разность Д0(х<)=/(х1)— Рп,о(хг) имеет
чередующиеся знаки. Исследуя на экстремум функцию Д0(х),
находим такую комбинацию точек
х<°) < х<С) <-
х'°)
Ап+а ’
(3G)
на которой ДцхР') имеет чередующиеся знаки при возрастании i от 1
доп 2, а наибольшее и наименьшее значения Д0(х*Р/) соответственно
равны £0 и До, где Lo= max | До (х) [, а %—наийучшая нижняя
а? €!«, Ь]
граница для которую можно получить из исследования
Д0(х) = /(х) — Рп,о(х), как говорилось в начале этого параграфа.
Многочлен Рп< 0(х) целесообразно строить как многочлен наи-
лучшего приближения к функции f (х) на множестве точек < уг < ...
• • • <Уп+2. где
<'= 2..."+2)- <37>
(Это — точки, соответствующие точкам экстремума многочлена
Чебышева Tn+l(t) на отрезке [—1, -|-1], если с помощью пре-
, й —а Ь -У a I.,,, «
образования у =-----/-|---— отрезок |—1, — 1] преобразовать
в отрезок [а,/»].) Далее, ищется поправка М0(х) к этому многочлену
как многочлен наилучшего приближения в Нп(Р) к функции Д0(х) =
= /(х) — Рп,о(.х) на множестве точек Go (36). Значения много-
члена Р0(х) в точках определяются из системы
До (4о)) - т=- ро m - (чо))]=[△« (4°') - ад=•••
...=(-т'[Д0«а)-Рэ(х^а)] = ар('х№ Х(О).Х^2)=аро,
(38)
где
а = sign До (х<°>); р0
(39)
Найдя Ро(х), получим первое приближение многочлена наилучшего
приближения:
Рп, 1 (х) = Рп, о (х) -+- Рэ (х). (40)
Исследуя на экстремум функцию
Д1U) = /(х) — Рп, к (х) = До (х) - Ро (х), (41)
находим множество точек 0^
х‘4 < х^ < х<0 < ... <xW2>
в которых Д1 (х’м) имеет чередующиеся знаки, а наибольшее и
наименьшее значения среди Д1 (х*/1) равны соответственно L, и
(Ll и Аг имеют такой же смысл для At(x), что и £0 и 40 для Д0(х)).
Затем строим многочлен наилучшего приближения РА <х) к функции
^(х) на множестве Ot, используя (38) и (39) с заменой х(0) на х(1\
Многочлен РЯ12(х) = Рп,1(х)-1-Р1(х) = Рп>о(х)-|-Ро(х)-|-PJx) бу-
дет следующим приближением. Сценку точности приближения можно
проводить так же, как и в первом способе, т. е. вычислив
max |/(х) —Р„1Пг(х)|
[а, 6|
для разности Д(/, Р„,т) — характеризующей точность прибли-
жения. будем иметь неравенство
0 Д (/> Рп, т) Еп (/) *С Л4т — Рт- (42)
Сходимость этого процесса получается из следующих соображе-
ний. Прежде всего имеет место следующее неравенство:
Xf <p( = p(x(i’), х^. .... х^з) < Аг+1. (43)
В самом деле, Д,+1(х) принимает по очереди значения p(signAt(xW)
и —ргsignДДх<г') в (п-|-2)-х точках х^'-Схб1 < ... < х^_3.
Следовательно,
mln 1 Д. ,(х('Л ==?,-.
j=i.a,...,n+2 л
Но за Ai+1 мы по определению принимаем наибольшую из нижних
границ {| Д<+1 [ .=1 2 п+а для всевозможных комбинаций точек
*1 < *2 < • • • < АГп+2. ДЛЯ которых
sign A|+i (*i) = — sign А.+1 (хг) =
= signli+1(x3) = . .. = (— 1)”+1 sign Ai+1 (хи+2),
г. е.
^4+1 Pi>
а так как
п+2
--------• (44)
М
j-i
то pt заключено между наименьшим и наибольшим из значений
|Д1(4’)1 (/=1. 2, .... п + 2), т. е.
А ?« <
Следовательно, неравенство (43) справедливо. Последовательные
точки в системе х^ < Хз' < ... < Хп\.з не могут находиться друг
от друга на расстоянии меньшем, чем минимум длин интервалов /<0(
/21), ..., о которых мы говорили в начале параграфа при определе-
нии величины А(. По, как мы отмечали, минимум длин этих интер-
валов при фиксированных n, f (х) и [а. 0] зависит лишь от R,
которое в данном случае равно Л,-, и может стремиться к нулю
только при R —*0. Но так как в нашем случае при переходе
к каждому следующему приближению величина Л,- не убывает,
то эта нижняя граница длин интервалов для всех i может быть
выбрана одна, пусть она будет /0 > 0. Отсюда следует, что
/о<х^ — х^’-О — а (/ >k;J, *=1,2............п + 2; / = 0, 1, ...).
Отсюда следует, что и d^j ограничены снизу и сверху положитель-
ными числами оГо и О0. Учитывая способ выбора точек х(Д можно
заключить, что имеется такое фиксированное число 6 (0 < 9 < 1), что
р1-Л1>(1-9)(£{-Л<). [45)
Тем более, будет иметь место неравенство
Л+1-^>(1 —9)[^и(/)-А|1- [46)
Из неравенства (46) следует, что
(/) - »4+i < 9 [$„(/) - ^], 47)
из которого получаем, что
(/) A + l ei+1lEn(f)-Ac], (48)
t. e. lim (49)
Далее i->oo Li-En(f)<Li-Ai< Ft- Aj _ En(f} — Aj " 1—6 1—6 (50)
Отсюда lim Li = En{f), (51)
т. e. i-^oo Li = Ert(/) + ^ —> 0 при i —> oo), (52)
а это означает (по теореме п. 5), что последовательность многочле-
нов {Рп, i(x)}i=0 t равномерно на [а, />] сходится к многочлену
наилучшего приближения Рп(х) для функции /(х) на |й, £| в Нп(Р).
Пример. Для функции /(х) — [—l^x^l] найти при-
ближенно многочлен Р3(х) наилучшего приближения в Н3(Р) так,
чтобы отклонение Д(/, Р3(х)) отличалось от E3(f) не больше чем
на 0,0001.
За начальное приближение Р31С(х) возьмем многочлен наилучшего
приближения к данной функции /(х) на множестве G точек экстре-
мума многочлена Чебышева Т4(х) на отрезке [—1, —1). Это будут
точки:
х- 1- х- х-0- х--/2‘ х-1
М — — 1, л2 —---g > лз — л4 — 2 ’ « — 1 ’
19 9 1
f(xL)=j; /(х2) = -±; /(r3)=l; /(xj^-f; /(хь)=у.
Находим наилучшее приближение E3(f, О):
5
E3(f. G)
Zt fl3> ‘
Отсюда
I —-1 — —«2+1-2—— 2 • 11
F (f ГА —12 + 2 I _ 1
СзО.и?— 1 _|-2 2-1-2 — 1 ' 24’
Система для определения значений Р3,c(xj имеет вид:
9 Рз, о (-Т() — 24 » з -^з, ° v^i) 24 ’ 1 ° 24 ’
2 11,1
"j ^з, о С*1 24 ’ 2 ^6^ 24 '
Отсюда
/\о(—1) = Л>,о(1) = ^-;
р ( V^\-p 17. Р НА 23 •
^3.0\-—) — ^,о\—24 ’ / з.о(°)=24;
А/\ {/А П/Х 1 I *5 23
До Гх) = /(%) —ра, о (х) =---Ч-—— —.
Эта функция на [—1, 4-1J достигает экстремальных значений
в точках:
х^= -1; 40)= -К/2—П 40) = 0; х!0) = 1.
Значения Д0(х) в этих точках следующие:
4о(хЯ = 1о«">) = а.Ы"’)=^;
д,«»)=д,(хП
_ 24 /2 — 35
24
Эти значения имеют чередующиеся знаки.
Находим поправку Р0(х) к Р3,0(х) как многочлену наилучшего
приближения к Д0(х) на множестве точек О0 = {xi°\ х^, х , х&\ х^}’
7 (°) = ri(0) _____________J__________________g + VT
3’1 * 3' ° (1 — V /I—Т ) • 1 • (1 + V /Г—1 .) • 2 4
л(°)_ = л(°) =________________1_____________________3/2Ч-4
3,3 31 (1— V /2—1)/ V2—1 • 2/ /2— 1 (1+1/ /2— 1) 4
1 • V /2 — 1 • V 1^2 — 1 • 1
= /2 + 1.
Ро — 1/• +) —
2+/2 1 ,о 35-24/2 3 /2 4 4 , аЛГ| n 1
1--Й-1-2- ~+Г 2Z+ ~ HV 4 U24
2.2+/?+2 314+4
4 4
3—2/2
4
0.04289.
Система для определения значений многочлена Рп(х) в х*"’ имеет
4-Р.М«) = 4^; «4=3s_poW">) = -3=/^;
А._р0(хП = ^=^-
Отсюда
Следовательно,
Ро (X) = -~4—~, Рз ! (X) = Рз, о (X) + Ро (х) = - 4 + 21
Д1(х) = /(х)-Р3,1(х) = т-1^ + 4-2/24+1-.
Точки экстремума Д^х) на [—1, +1] будут:
v(i) = _l; XW=_/V2-1, х^ = 0, х^ = К/2-1; х.4=1;
Д1(х?)=^2; 41(Д')) = 2П^. ^( = 2=^;
л,М>) = 2У|=2; iiW«)=tz|e..
Эго означает, что
Рз,! (х) == Р3 (х); Е3 (/) = = 0,04289,
т. е. мы нашли точное выражение многочлена наилучшего прибли-
жения Р3(х) и наилучшее приближение E3(f).
Замечание. При построении многочлена наилучшего прибли-
жения в Нп(Р) на множестве S из и 4-2 точек ино!да бывает проще
вместо того, чтобы находить En(f, S) по общей формуле (15),
а затем по значениям Рп(х;). определяемым из системы (19), строить
интерполяционный многочлен по любым п -|- 1 значениям, рассматри-
вать систему (19) как систему с п-*-2 неизвестными: а„, ах..ап
(коэффициенты искомого многочлена) и I — aEn(f,S), и решать ее
непосредственно.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Среди многочленов вида Ax-j-B найти многочлен наилучшего при-
ближения для функции f (х) = |Л1 4- Xs на отрезке [0, 1]. Используя его,
показать, что если а и Ь — катеты прямоугольного треугольника (а^Ь),
то с точностью до 4,5% величины и гипотенуза треугольника с равна
0,955а ф 0.414А
2. Среди всех многочленов вида
П-1
Ахм+ ^акхк,
к-0
где А — заданное число, не равное нулю, найти многочлен, наименее укло-
няющийся от нуля па отрезке [а, 6].
3. Среди всех тригонометрических многочленов вида
я—1
A cos пх 4- В sin пх — V (a* cos kx 4- рд sln kx),
fc-=o
где А и В — заданные числа (А?-\-В" ^=0), найти тот, который наименее
уклоняется от нуля на отрезке [— л, 4“ ’']•
4. Показать, что
Рп (X) = —— — (X) («>!),
где
Р (r\- (x4-/x^-l)w[gx-14-V(x?-l)(g2-l)] '
П J 2(х-г)(а2-1)(«4-Г2^=ПТ
(х — /х* — 0" [ах—1 — У(л* — 1) (да — 1)]
+ 2(х—<?)(аа —1)(а-1-Т'Т5—П|)п
есть многочлен степени не выше п, являющийся многочленом наилучшего
приближения к функции f (х) =------на отрезке |—1, 1]. Найти величину
наилучшего приближения Еп (f ).
5. Среди всех многочленов Рп (х) степени п, принимающих в точке 4,
лежащей вне отрезка [—1, +1], значение найти многочлен, наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [—1, 4-1].
Отв Рп (х) =-q.
б. Найта многочлены Бернштейна Вп (х) для функции f (х) = ех на от-
резке [- О, L].
7. В Я8(Р) найти многочлен наилучшего приближения к функции
у(х) = |х| на множестве точек: х = ~ 0,5; —0,25; 0; 0,25; 0,5; 0,75.
8. В Н2(Р} найти приближенно многочлен наилучшего приближения
к функции f(x) = |х | на отрезке [—1; 0,5] так, чтобы
Д<7, -Г 0,0001.
на отрезке [—1, +1] так. чтобы Д (/, Ps)
9. В (Р) найти приближенно многочлен наилучшего приближения
к функции /(х) =
< />(/) + 0,0001.
10. Показать,
что среди многочленов степени не выше л многочлен
дает паилучшее приближение к функции fix) = на отрезке [—М, +Л1],
где Л*<1, а а= -^2- 1.
Указание. Воспользоваться упражнением 4 и соотношением
Тп U) = у Кх + Vх« - 1)” + (х - /х*^Т)п].
ЛИТЕРАТУРА
1 И. П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
2. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимаций, Гостехиздат, 1947.
3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций,
Гостехиздат, 1954.
4. Е. Я. Ремез, Общие вычислительные методы чебышевского приближения,
Изд. АН УССР, 1957.
5. С. Н. Бернштейн, Экстремальные свсйс’ва полиномов, ОНТИ, 1937.
ГЛАВА 5
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В данной главе, так же как и в гл. 2 и 4, будут рассмотрены
вопросы приближения функций /(х), принадлежащих к некоторому
классу /?, функциями <р (х) из более узкого класса R, но за меру
близости будет приниматься величина
J PW[f(x)~ <₽(x)]*dx
а
ИЛИ
8=1/ 2 Р (А) 1Ж) — ?(^)12 ’
’ 1=1
где р(х)— заданная неотрицательная функция, называемая весом.
Такое понятие близости имеет смысл по следующим причинам
1. Во многих случаях нет никакой необходимости требовать бли-
зости /(х) и ?(х) в каждой точке х0с, &], т. е. требовать равно-
мерного приближения а достаточно лишь «интегральной» близости
функций.
2. Очень часто приближаемая функция /(х) задана лишь табли-
цей ее значений, причем последние получены из эксперимента, т, яе.
имеют случайные погрешности. Если в процессе, решения задачи
требуется находить значения /(х) для промежуточных значений или
иметь аналитическое представление функции f (х). то нецелесообразно
прибегать к интерполированию, так как совсем не естественно тре-
бовать точного совпадения приближающей и приближаемой функций
в некоторых точках, так как значения самой приближаемой функции
неточны. Практика показывает, что приближающие функции, построен-
ные по методу среднеквадратичного приближения, значительно лучше
представляют реальную функцию /(х), чем интерполяционные много-
члены
3. Так определенная мера близости позволяет расширить класс R
приближаемых функций. При рассмотрении равномерного прибли-
жения мы ограничивались классом С непрерывных функций, и это
было существенное требование, если ставить задачу равномерного
приближения функции/(х) многочленами с любсй заданной точностью.
Здесь же требование непрерывности излишне. Нужно лишь требовать
ь
сущест вования < р (х) Р(х) dx, г. е. можно рассматривать прибли-
а
жение функций из класса Ц(р) функций, интегрируемых с квадра-
том с весом р(х).
Для упрощения изложения начнем его с обшей задачи приближе-
ния в гильбертовом пространстве, а затем уже рассмотрим и кон-
кретные. вопросы среднеквадратичного приближения и их приложения.
§ 1. Гильбертовы пространства
Введем еще одно очень важное понятие функционального анализа
Пусть R — некоторое линейное множество. Будем говорить, что
в нем определено скалярное произведение, если каждой паре его
элементов и /2, взятых в определо.нном порядке, поставлено в со-
ответствие комплексное число (f,, f2), называемое скалярным про-
изведением этих элементов, удовлетворяющее следующим условиям:
1) скалярные произведения (/t,/2) и (Д, /О являются комплексно-
сопряженными числами
(А. А) = (ТТЛ); (1)
2) для любых элементов /]( /2, и любых комплексных
чисел ах и аг имеет место равенство
(«i/i I а?/г. /s) = «i(/i> /з) «г (/г, /з)1 (2)
3) скалярное произведение элемента f на самого себя есть неот-
рицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда/= О,
т. е.
(/, /)^>0 и (/> /) = 0 только при /=0. (3)
Из этих свойств скалярного произведения следует, что
(/i« «i/г Н_«г/з) = «1(/1» /2)+«г (/о /з)- (4)
В самом деле,
(/i> «i/t Ч~«г/з) — («iA + ^/s» /1) = «1(/г> /1)Н-«2(/з> /1) =
= «1(/г> /1) + «г(/з> /Р = а1(/п Z^+otiC/i' /з)-
Далее, для любых элементов /. g£ R имеет место неравенство
К/. g)' (5)
называемое неравенством Буняковского.
Действительно, если (/, g) = 0, то доказываемое неравенство
очевидно Пусть теперь (/, g) =« =#= 0. Скалярный квадрат
элемента $f-Xg. где X — произвольное действительное число, а (3 —
= 1 по свойству 3 скалярною произведения есть не-
отрицательное число, т. е.
F/+k) = №(/./)+№/)+?х(/. ^)+>2(g,^ =
= (/. /) + 2Х|(/, £)| + Хг(£, g).
Так как это неравенство справедливо для любого действительного
числа X, то дискриминант квадратного трехчлена относительно X,
стоящего в правой части неравенства, отрицателен, т. е.
1(/. £))* — (/. D(g. g)<o.
Заметим, что знак равенства достигается здесь тогда и только тогда,
если при некотором X =
Если в линейном множестве /? определено скалярное произведе-
ние, то его можно нормировать, определив норму элемента ff_R
следующим образом:
II/11=/(О. (6)
При этом все свойства нормы будут выполнены. В самом деле,
11/11 =/(Л /)>° и 11/11 = ° только при /=0:
IR/II =/(?/“/) /Г=Н11/11'.
ll/4-gll2 = (/+.£. /+*) = (/. f)+(g> /) + (/. g) ±(g. g) =
=11/11*+ 2/?е(/, ^)+Н||2,
но по неравенству Буняковского
я₽(/. £)<|(/. g)l<VTTTx-g) = 11/11 IkII-
Il/+£ll2 < ll/ll2 + 2 п/н • k II + Ikll* = (ll/ll + k ID2.
Il/+£ll<ll/ll+kll-
Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда
я*(/. £)=1(/. £)!=/(/. №я) = 11/11 -Ikll-
Следовательно, в этом случае,
(/. g) = /(Г7) • •
Как мы заметили при доказательстве неравенства Буняковского,
тогда найдутся р =/= 0 и действительное X такие, что
1/+к=о.
f=,s. а=-т.
Отсюда
Подставляя это выражение для f в предыдущее равенство, получим
«(g. g) — vTTTT) • V(g. g>>
или
a
=j»>e.
T (g, g)
если только f =t 0, g =£ 0. Таким образом, наше множество строго
нормировано (см. § 1 гл. 4).
Итак, линейное множество, в котором определено скалярное
произведение, становится линейным нормированным пространством,
а следовательно и метрическим пространством. Поэтому в нем можно
ввести все те понятия, о которых говорилось во Введении и в чет-
вертой главе.
Линейное пространство R, в котором введено понятие скаляр-
ного произведения, называется гильбертовым пространством, если
оно сепарабельно, т. е. в нем существует счетное всюду плотное
множество элементов.
В линейном множестве с определенным в нем скалярным произ-
ведением легко установить линейную зависимость или независимость
системы элементов f2, . ., fn. Для этого введем понятие опре-
делителя Грамма системы.
Определителем Грамма системы элементов Д, /2........
назовем определитель
О(Л. А- ••• /„) =
(/1, Л) (Л. Л) • • • (/1. /п)
(Л. Л) (Л. Л) • • • (Л. fn)
(7)
(Лг> А) (Al' А) (Ли fn)
Имеет место теорема:
Для того чтобы система элементов ft, f2, .... fn множе-
ства R была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы
определитель Грамма этой системы обращался е нуль.
Докажем сначала необходимость, т. е, покажем, что если си-
стема Л, /2, ..., /п линейно зависима, то 0(4, /2, /»)=('•
Если Л, /2..../п—линейно зависимая система элементов R, то
существует такая система чисел alt а2ап, среди которых
имеются отличные от нуля, что
/1 “г/1 + °Л./п — О'
Умножая скалярно это равенство слева последовательно на Д, Д, ...
.... fn, получим:
ai(/i> A)“F • •• 4~an(A. fn)~o>
al (A. /1) 4“ $2 (Д, fl) 4“ • • • 4" an (fl’ fn) ~ 0’
®1 (f П’ fl) “Ь ®2 (fn’ /2) 4" • • • 4- an (f П’ fn) = 0.
Рассматривая полученные равенства как систему уравнений с неиз-
вестными а1э а2.....ап, мы видим, что она имеет нетривиальное
решение. Следовательно, ее определитель, являющийся определите-
лем Грамма системы элементов Д, f2, .,, fn, равен нулю.
Докажем теперь достаточность, т. е. предположим, что О (Д, Д, ...
• ••• fn)~ 0> и покажем, чго система flt Д.......fn линейно зави-
сима. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно Д, ...
....
Р1(/ь /1) + Рг(/1. /2)+ + Pn(/i. fn)—0.
Pi (fi< /1) +Pt (Л’ fi) 4- ••• 4~Pn(A> fn)~0-
Pi(А. А) Ч-P2 <7™. Д) 4- ... +Pn(/n> fn) = 0-
Так как определитель этой системы G (Д, Д....../п) = 0, то она
имеет нетривиальное решение. Пусть это решение будет alt a2. .... an„
Обозначим через / элемент множества R, равный a,/i + аг/24- ......
... 4" On/n. Тогда из системы уравнений имеем:
(А./) = о. (А. .0 = 0.......(/„,/) = о.
Отсюда
<“1А Д-^АЧ- 4~«nA> j) — (f, J) — 0,
а это означает, что /= 0, т. е.
aif 14- azf2 4- ••• 4-nn/n = 0,
а так как среди чисел а;, о2, ап имеется хотя бы одно, отлич-
ное от нуля, то это означает, что система Д, Д......fn линейно
зависима.
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве
Ряды Фурье
Два элемента fug гильбертова пространства называются орто-
гональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е.
(/, g) — 0. Элемент f называется нормированным, если его норма
равна единице.
Конечную или бесконечную систему элементов мы назовем орто-
гональной системой, если любые два ее элемента ортогональны.
Система называется ортонормированной, если она ортогональна и
элементы ее нормированы.
Ортонормированная система всегда линейно независима, так как
определитель Грамма ее равен единице.
Докажем следующую теорему.
Если cpt, ср2, .... — система линейно независимых элемен-
тов гильбертова пространства, то можно построить такую
ортонор мированную систему g., g2.....gn, что элементы ее
будут линейными комбинациями элементов системы <рь <р2, • • •<
и наоборот. Так как <р., ср2, ..., оп—система линейно независимых
элементов, то среди них нет нулевого элемента. Поэтом}' ||^|| —
= ]/(й~ ср,) > 0 (/=1, 2, .... п). Будем строить ортонормирован-
ную систему последовательно. Положим g{
^’-.Очевидно ||^||=1.
Рассмотрим далее элемент ф2 = <с2 -4- agl и подберем а так, чтобы
(ф2, £1)=0. Получим:
0 = (ф2. ^i) = (?2. £1)~ЬЯ(£1. £1). а= —(cf>2, g}).
Очев-идно, П'ЬИ’А 0, так как в противном случае было бы <р2-|- а^=а
= <р2-|—jp^-ц <р, = 0, что невозможно в силу линейной независимости
и -ft. Положим теперь £2 = -jj^p Тогда Ц&Ц = 1 и (gL, £2) = 0.
Пусть уже построены элементы glt g2......gk такие, что Ц^Ц =
= ••• = НЫ=Ь (go g-y)=O при l^j и элемент й
является линейной комбинацией элементов cpj, <р2, .... Построим
элемент
Ф(с-г1 — % Н Н" я1§1 -1“ ••• -^T^kSk
и подберем числа с^, а2..так, чтобы (|'ft+1, gi) — 0 (/ = 1, 2, ...
.... k). Получим:
0=(Ф*+1> gi) = (?fc+i. gd+-*i(gi’ gi) = (?k+1.
т. е.
°Ч = — gd (1=1. 2................k).
Элемент ipfc+1 есть линейная комбинация срь о2, .... <рк, ^к+1. Он не
может быть нулевым элементом, так как <pfrJ , входит в ipft+1 с коэф-
фициентом 1 (в »,, g2, .... gk элемент <pfc+1 не входит) и <рр <р2, • • •
• ••> % fft + i п0 условию линейно независимы. Поэтом}' ||ф*. i|| > 0.
Положим теперь gkMl = --l-C2—. Очевидно, что ||g-ft+1|| = l и
Юл+хН
(gk+i< gi) = ® (/=1. 2.....k). Кроме того, gk+1 есть линейная
комбинация элементов <рр -р2.....%+!• Таким образом, по индук-
ции можно заключить, что существует система элементов glt g2, .... gn,
являющаяся ортонормированной системой, каждый элемент которой
есть линейная комбинация элементов исходной системы. Так как
%+i= Ilfe+iUk+i—ад— — 'ч.-ёк,
то и обратно, элементы срь ф2, •••> ?и являются линейными комби-
нациями элементов системы glt g2.gn.
Назовем оргонормированную систему полной, если не существует
никакого другого элемента, отличного от нулевого, который орто-
гонален ко всем элементам системы. Другими словами, полнота
системы означает, что ее нельзя расширить присоединением новых
элементов до более широкой ортонормированной системы.
Докажем теорему;
В гильбертовом пространстве любая ортонор мированная
система не более чем счетна.
Так как гильбертово пространство сепарабельно, то существует
счетное всюду плотное, в нем множество элементов {ср*}. Пусть —
некоторая ортонормированная система элементов пространства R.
Пусть g—некоторый элемент этой системы. Для него можно найти
тЛТ
такой элемент <рА, что ||<р% — g\ < — Покажем, что не может
существовать другого элемента из системы {g), для которого имело бы
место такое же неравенство. Пусть такой элемент g' существует,
У‘2
т. е. ||<pft— g'|| Тогда, с одной стороны,
Ik—Л = II (£—Л11<к—%11 + ll?fc—Л < /2’
а с другой стороны,
Ik—s’ 11 = V (g—g'~g—?)=V (g> 77)=/2,
что невозможно, а это уже означает, что множество {gj не более
чем счетно.
Докажем следующую теорему:
Во всяком гильбертовом пространстве существует не более
чем .счетная полная ортонор мированная система элементов.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве счетное всюду плотное
множество элементов {. Опустим в нем нулевой элемент, если он
имеется, а также все элементы, линейно зависящие от предыдущих.
Оставшуюся систему элементов ортогонализируем и нормируем так,
как это было показано ранее. Получим не более чем счетную орто-
нормированную систему элементов Докажем, что эта система
полна. В самом деле, пусть / является элементом гильбертова про-
странства, ортогональным ко всем элементам системы {gk}, т. е.
(/, gk) = ® при всех Дак как каждый элемент ф; системы
есть линейная комбинация элементов gu g2.gi- т0 (/> <?л) = 0
при всех k. При любом е > 0, в силу' плотности множества в /?►
§ 2] ОРТОНОРМПРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 393
можно найти такой элемент что ||/ — ф/||< г Тогда, используя
неравенство Буняковского и равенство (ay f) = 0, получим:
||/||2 = (/./)=(/./)-(^./) = (/-<Pj./)<||/-^|| • ||/|| < sl|/||-
Следовательно, |(/|| < е, а так как s — произвольное число, то ||/|[ =0.
Это означает, что /=0, т, е. система {gj есть полная ортонорми-
рованная система элементов,
Пусть теперь glt g2, .... gn, ...—какая-то ораонормированная
система элементов гильбертова пространства /?. Скалярные произве-
дения я{=(/, gj) назовем коэффициентами Фурье элемента / по
ортонормированной системе (gjj. Элементу f можно поставить
в соответствие ряд (или конечную сумму, если ортонормированная
система конечна)
/~a1?1+a2g2 + ... .... (1)
называемый рядом Фурое элемента f по ортонормированной си-
стеме g1( g2....gn, ...
Для коэффициентов Фурье имеет место важное неравенство, на-
зываемое неравенством Бесселя. Рассмотрим квадрат нормы разности
/ и где $.п— п-я частичная сумма ряда Фурье. Получим:
II/— 5-п112 = (/ — f~sn) = («и. /) — (/> S„) + (Sfc.
п п п п
= ||/||2 — 2 f) — S ял(/.§л)+2 2ял^(£л- &) =
А=1 /с-1 у-1
п _ п __ п п
= ||/||2 — 2зд-+2 II/II2 —2 Ы2>о.
Л-1 Л-1 Л=1 Л-1
Отсюда
п
2|ял|2<11/112- (2)
Так как это неравенство справедливо при всех п, го ряд | а.к |2
Л-1
сходится и
оо
2 Ы2<11/||2- (3)
л-1
Это и есть неравенство Бесселя.
Докажем теорему;
Если гильбертово пространство R полно, то ряд Фурье эле-
мента f по ортонор мированной системе {gfc} сходится.
Пусть
ai£i + <*2&4- ••• +я«^п+ •••
является рядом Фурье элемента /, т. е. «{ = (/. gi). Оценим величину
К—М2=|| 2 чёк •
II к~т+1 I
Так как система {gk} ортонормирована, то
п
К-М2= 1 ы*.
к=т+1
ОО п
Б силу сходимости ряда S | ось;2 сумма 2 |ал12 стремится к нулю
к=1 к^т+1
при неограниченно возрастающих п и т, т. е. последовательность
частных сумм sn есть последовательность фундаментальная, а в силу
полноты пространства /? должен существовать элемент з, являю-
щийся пределом этой последовательности, т. е.
lim sn = з.
Н-> ЛО
Докажем, что разность / — з ортогональна ко всем элементам
ортонормированной системы Действительно,
(/ — s. Ял)^(/- Ял) —(«. Ял) = (Л Ял) —(« —Ял) —(«». Ял)-
Пусть п > k, тогда
(/ —Ял)= ял — 0 — 5п> Ял) — ял = — (5 — sn, g,i),
откуда по неравенству Буняковского
я^1<11*-М11ял11 = 1к-М-
Правая часть стремится к нулю при неограниченном возрастании п,
а левая часть от п не зависит. Следовательно,
(/— з, gi) = 0 при всех k.
Если ортонормированпая система {gk} полная, то из этих равенств
следует, что f—з=0, т. е. /= з, и мы доказали теорему:
В полном гильбертовом пространстве R. ряд Фурье любого
элемента по полной ортонормированной системе элементов
сходится к этому элементу.
В этом случае, так как
ll/-M2-ll/H2-S |ал!2. (4)
Zc=l
то, переходя к пределу, получим:
с»
Н/Н2=2Ч|2. (5)
т. е. вместо неравенства Бесселя имеем равенство, называемое ра-
венством Парсееаля.
§ 3. Приближения в гильбертовом пространстве
Пусть Н есть линейное подпространство гильбертова простран-
ства R, а /—некоторый элемент из R. Можно поставить такую
задачу: в подпространстве Н найти элемент h0, дающий наилучшее
приближение элемента /, т. е. элемент, для которого
||/-й0|| = inf II/-АII. (1)
Докажем теорему
Если в Н существует элемент й0, дающий наилучшее при-
ближение к элементу f, то разность / — h0 ортогональна ко
всем элементам подпространства Н.
Допустим противное, т. е. предположим, что существует эле-
мент h^H, для которого (/ — Аэ, /г1) = а=£О. Можно считать, что
норма равна 1, так как в противном случае вместо можно
быЛО бы В )ЯТЬ
норму /—Л2:
. Рассмотрим элемент Л2 = Л0-|-аЛ1 и оценим
\\f — h2\\2 = (f—h2, f— h2) = (\f — й01— айр [/ — Ao| — a/z,) =
= (/ —йп, f— hQ)~ a (ht, f—h^ — a(f — h0, Л^Ч-аа^, ЬЛ) =
— II/ —M2—аа— аа4-ая= ||/ — й0||2 — | а |2.
Отсюда
11/-М2<И/-М2.
что невозможно, так как Л.о— по условию элемент наилучшего при-
ближения.
Из доказанной теоремы следует, что и Н не может существо-
вать двух элементов наилучшего приближения. В самом деле,
допустим, что для элемента R существуют два элемента наилуч-
шего приближения: Ло и h0£H. Тогда
(f — h0, h') = Q для всех h £ Н,
(/ — Ло, Л) = О для всех h£H.
В частности,
(/ — й0. й0 — ho) — 0 и (/ — /zp, Ао — />о) = 0.
Но
1;лп — Ло||а=(Ао — Йо. Йо—Ло) = ((До—/)+(/ —Йо), Ло — й£) =
— (йо—/. й0—Ло' -Ь(/ — йо, Ло — Ло) = 0,
а это означает, что Ло=Ло.
Если Н=Нп образовано всевозможными линейными комбинациями
некоторых п линейно независимых элементов R: hit h-г. .... hn, то
на основании результатов предыдущей главы элемент наилучшего
приближения всегда существует. Этот элемент будет единственным
на основании только что проведенных рассуждений. Для конечно-
мерного случая единственность будет также следовать из строгой
нормированное™ гильбертова пространства.
1, Построение элемента наилучшего приближения. Рассмотрим
теперь вопрос о построении элемента наилучшего приближения.
Пусть подпространство Нп порождено элементами hlt h2, .... hn,
a й0— элемент наилучшего приближения к f£R в Ич.й0 как эле-
мент Нп может быть представлен в виде
й0 = а1й1- -Ojftg-p- ... -i-an/zn. (2)
Следовательно, задача построения элемента наилучшего приближения
сводится к отысканию коэффициентов a2, .... йп. Мы видели, что
(/ — й0, h) = 0 для всех л £ Нп (3)
и только для этого элемента имеет место это свойство. Но это
требование равносильно п условиям:
(/ —й0. Й<) = 0 (2=1,2,...,»). (4)
Из этих условий для отыскания аь .... ап получим систему
линейных алгебраических уравнений:
«1(^1, Л1) + аг(/г2> AO-h ••• + % (А„. й,) = (/, й,), j
ai (й[. й^)-j-a2 (й2. й^)-J- ••• + (йп. й2) = (/, Л2), I
йп)-|-я2(й2, hn)-[- ... 4-а„(й„, = J
Определитель этой системы есть G (hit h2.......hn), а так как hly
h2.....hn линейно независимы, то он не равен нулю и система
имеет единственное решение. Решая ее, мы найдем Яр сь-.......an,
п
а следовательно и а4йр Найдем теперь наилучщее прибли-
i — 1
жение элемента f в Нп, т. е. величину В = ||/— й0||. Имеем:
8* = ||/- Ао||2 = (/ - h„, f- hQ) = (/ - й0, /) - (/- й0, Ар) =
= (/- Ао. /) = (/. /) - (Йо. /). (6)
Отсюда
32=(/,/)-а1(й1,/)-а2(й2./)- ... -а„(й„,/).
Исключая отсюда и из системы для определения а,- все ai( получим:
(Й1, Й[) ( Й2, й.) ... (й„, й0 (/, ftj)
(*!, Й,) (Й2, й,) ... (й„, й,) (/. h^)
= 0.
(й], йч) (й2> hn) ... (hn, йп) (/, йп)
(йр/) (ftj,/) ... (йя, /) 82 -(/,/)
Итак,
*2 В tftl. Л?» • • » У) /у\
~ G(ftb А,,..., М •
Заметим, что при n=l G(h1) = (h-, ftj > 0. При л=2 и h2 —f
тогда будем иметь:
= т. е. O(ftpft2)>0.
По индукции легко показать, что вообще определитель Грамма
системы линейно независимых элементов положителен.
Построение элемента наилучшего приближения особенно просто,
если hlt h2, .... h„ — ортснормирсванная система элементов, так
как в этом случае система уравнений (5) примет вид
«1 =(/. Ai).
я2=(/< Aj), (g>
• • ♦ * •
аи = (/.А„), .
т. е. Др а2......ап являются коэффициентами Фурье элемента J
по системе Ар й2, .... hn, и элементом наилучшего приближения
будет
/г0 = а1й1Н-а2й2 + ... Ч-япйп.
Величина отклонения 3 может быть также, легко вычислена:
82 = (J. f) — «1 (Лр /) — «г (Аг. /) — • • • ~ я„ (А„, f) =
= Н/1!2 —а1Я1 — Я2’2— ••• А.
т. е.
Наконец, рассмотрим в R полную ортснормировапную систему
элементов ftp ft2...hn, ... и предположим, что R—полное гиль-
бертово пространство. Рассмотрим последовательность подпро-
странств /7р Н2, ...,Ип, .., где Нп порождено элементами ftp
й2.....hn. Для fCR будем последовательно находить элементы
наилучшего приближения в Н2, .... Нп, ... При этом элемен-
том наилучшего приближения й.-' для f в Нк будет являться А-я
частичная сумма ряда Фурье для f по ортонормированной системе
функций {ftn}. Величина наилучшего приближения
/ *
йк=1/ 11/11г-£ I*il2 (Ю)
' i—1
стремится к нулю при k -г- оо, а последовательность {ft®} сходится
к элементу /.
§ 4. Среднеквадратичные приближения функций
алгебраическими многочленами
Возьмем в качестве А? множество функций, интегрируемых
с квадратом на [а, /»]. Можно показать, что это множество линейно.
Ограничимся случаем действительных функций и будем рассматривать
линейные комбинации с действительными коэффициентами. Опреде-
лим скалярное произведение функций f£R и g £ R следующим
образом:
ь
(/. g}= f f{x)g(x)dx.
а
(1)
Нетрудно проверить, что все свойства скалярного произведения
имеют место, если считать функции, отличающиеся Друг от друга
не более чем на множестве меры нуль, равными. Норма функции f£R
будет равна
ь
!l/ll2= J/2(x)dx. (2)
а
Будем также рассматривать и более общие множества Rt. Возьмем
некоторую фиксированную функцию р(х)^-0 на [я, />] и обращаю-
щуюся там в нуль не более чем на множестве меры нуль. Будем
считать, что f(x)^Ry, если существует
ь
f p(x)f2(x)dx.
а
В качестве, скалярного
произведения возьмем
ь
(J, g) = f p(x)f(x)g{x)dx.
а
(3)
Мы получили два гильбертовых пространства. Будем первое из
них обозначать Ь2, а второе L2{p). Сходимость в первом простран-
стве есть хорошо известная из анализа сходимость в среднем,
а сходимость во втором — сходимость в среднем с весом р (х).
Функции 1, х, . .хп, .. . линейно независимы на [а, и при-
надлежат как к Ьг, так и к Л2(Р)- Совокупность многочленов с дей-
ствительными коэффициентами степени не выше п Нп(Р) можно
рассматривать как линейное множество, построенное на функциях 1,
X, х2, .... х”. Поэтому на основании общей теории § 3 в Нп(р)
найдется один и только один многочлен
Рп(х)=а04-а1х + ••• ±апхп,
(4)
§ 4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 39$
который дает наилучшее приближение функции /(х)£Л2(р) в смысле
метрики пространства L2(p), т. е. такой, для которого
6
Sn = II/ (X) - Рп (х) ||2 = fp (X) [/ (X) - Рп (х)|2 dx =
а
Ь
~ ini р (х) ff (х) — Р (x)]2dx, Р£Нп(р). (5)
р J
а
(Мы не будем здесь отдельно писать выражения для Ь2, так как L2
можно рассматривать как частный случай Lt(p) при р(х)=1.)
Если ввести обозначения
о ь
si— fp (х)х‘ dx, = j р (x)f (х) xl dx, (6)
a a
то коэффициенты многочлена наилучшего приолижения могут быть
найдены как решение системы
noso + aisi + ••• 4“an5n =то< 1
aoAi 4* а1А'г + ••• 4" ansn+i= mi’ (7)
°05п4~а1$п+1 4“ ••• 4- Uns2n = mn> J
которая всегда имеет единственное решение, так как определитель
этой системы как определитель Грамма линейно независимых на [а, />]
функций 1, х, х2.....хп всегда положителен.
Величина £„ наилучшего приближения определится равенством
— 5о 8] «2 ... зп тй S1 S<] 8g ... Sft+1 ml Sn Sn+1 Sn+2 ••• mn ma ... mn (f,f) <RT
Sg Sj 5$ ... Sn Si S$ S$ ... Sn+1 sn Sn+1 5n+2 ••• 52n
Изложенный способ получения многочлена наилучшего приближения
имеет тот недостаток, что для отыскания коэффициентов приходится
решать систему алгебраических уравнений, что при больших ге сопря-
жено с большой вычислительной работой. Мы видели ранее, что
система значительно упростится, если в Нп (р) выбрать ортогональ-
ный в смысле Ьг(р) базис.
1. Ортогональные системы многочленов. Метод ортогонализа-
ции, изложенный в § 2, позволяет построить ортогональную в Ь2(р)
систему многочленов
Qo(x). QiM........Q„(x). ... (9)
(Qk(x)— в точности многочлен А-й степени) последовательно воз-
растающих степеней, т. е. многочленов, для которых имеют место
соотношения
ь
f p(x)Qk(x)Q1(x)dx=0 (&#=/). (10)
а
Покажем, что с точностью до постоянны х множите лей эти
система единственна. В самом деле, пусть
' QoU). Q1(X).....Qn(x), ... И /?0(х), /?Дх)..../?„(х), ... (11)
— две ортогональные в L2(p) системы многочленов последовательно
возрастающих степеней. Докажем, что
/?k(x) = akQfc(x) (А=0, 1, 2, ...), (12)
Сначала покажем, что многочлены различных степеней и разных
систем ортогональны, т. е.
ь
j Р (х) Qk (х) R, (х) dx =• 0 (£#=/). (13)
а
Не ограничивая общности, можно считать, что k > I. Многочлен /?,(х)
можно единственным образом представить в виде
i
Ri(x)= afif(x). (14)
Отсюда, учитывая (13),
Ь I ь
f Р (X) Qk (х) Ri (х) dx = У] ау Jp (х) Qk (х) Qj (х) dx = 0,
а >—0 а
так как Докажем, что в представлении RT (х) через много-
члены Qj(x) все коэффициенты при /</ равны нулю. Для этого
рассмотрим интеграл
д
/ Р (X) Qi (х) R; (х) dx,
§ 4] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 401
где /</. С одной стороны, по доказанному, этот интеграл равен
нулю, а с другой стороны,
b I ь
J р (х) Qi (х) .R; (х) dx = \ f р (х) Qi (х) Q} (х) dx =
a j—o а
Ь
— сц । p(x')Qi(x)dx.
а
Так как интеграл в правой части отличен от нуля, то оц = 0, Итак,
7-1 = 0 при всех I I, т. е.
/?г (х) — azQz (х), (15)
1то и требовалось доказать.
Если ввести еще какие-лпбо дополнительные условия на орто-
гональные многочлены, например потребовав, чтобы коэффициент
при старшей степени всегда равнялся единице или чтобы коэффи-
циент при старшей степени был положителен, а норма многочлена
равнялась единице, то система ортогональных многочленов на дан-
ном отрезке |а, 6] при заданном весе р (х) будет единственна в пол-
ном смысле этого слова.
Вполне естественно, что с изменением веса р (х), а также от-
резка [а, />] мы будем получать разные системы ортогональных
многочленов.
Когда ортогональная система многочленов (9)
Q0(x), Qj(x), ..., Q.rt(x), . ..
будет построена, то многочлен наилучшего приближения Рп (х)£ Нп (р)
запишется в виде
Рп (х) = c0Q0 (х) 4- c1Ql (х) -j- ... +cnQn(x), (16)
где коэффициенты с4 (на основании общей теории) запишутся в виде
j р (х)/(х) Qk (х) dx
ск = . (17)
f Р<х) <21 (х) dx
а
Величина наилучшего приближения определится по формуле
= j pix)f ' (x)dx—V.-; | p (x) Qk (x) dx. (18)
a k—0 a
2. Рекуррентные соотношения для ортогональных многочле-
нов. Построение системы ортогональных многочленов по общим
правилам, указанным в § 2, практически неудобно. Сейчас мы
покажем, что ортогональные многочлены удовлетворяют простым
рекуррентным соотношениям, которые и дадут возможность их
быстро находить.
Многочлен xQn(x) имеет степень п-\- 1. Следовательно, его
можно представить в виде
xQn (•*) ~ (х) Н-а-А (х) + + an+iQn+i (х>> (19)
умножим обе части равенства нар(х)5{(х) (/= 0, 1, 2, п—2)
и проинтегрируем в пределах от а до Ь. Получим:
Ь п+1 b
/р (х) (2„ (х) [хс^ (х)| dx = V х, J р (X) Q, (х) Q3 (х) ах.
a j=C а
Интеграл в левой части всегда равен нулю, так как xQi (х) является
многочленом степени не вышел— 1 и, следовательно, представляется
в виде линейной комбинации Q0(x), (у, (х)....Qn-i(x)- В правой
части отличен ог нуля только один интеграл при j = i. Итак,
6
0 = at f р (х) Q, (х) dx
а
и сг==0. Таким образом,
°n + lQn + l (*) 'I' (аП Х'] Qn (х) 4“ an- lQn — t (Х) = 9. (20)
Коэффициенты an_lt an, an+1 в (20) можно найти, если проделать
те же операции при i = п—1, л, л4-1. При этом получим:
о ь
[ Р (х) xQn_x (х) Qn (х) dx fp (х) xQ* (х) dx
__а а
' ь * an — ь ’
f P<x)Q3n_l(x)dx J p(x)Ql(x)dx
a a
b (2D
С p (X) xQr, (X) Qn+I (x) dx
------a
% Ы____ j •
J P (x) Q^+1 (x) dx
a
Если Q,(x) нормированы, т. e.
ь
' p(.x)Q^,{x)dx=\ (г = 0, 1, 2, ...), (22)
то выражения (21) для этих коэффициентов упростятся:
*
“n-i= j’p(x)xQn_1(x)Q„(x)dx,
CL b Xrl = j'p(x) xQn (x) dx, (23)
b anrl= i p(x)xQn(x)Qlt+l(x)dx. a
Обозначим в этом случае
ь
аг<к = j Р (-0 xQz (х) Qk (х) dx. (24)
а
Рекуррентная формула для нормированных многочленов примет вид
а», n+iQn+i (х) + («„, „ — х) Qn (х) + u„_;>nQn_1 (х) = 0. (25)
Она имеет смысл при п^>1, но если положить Q..1(x)^0, то она
будет иметь смысл и при п = 0.
3. Тождество Кристофеля — Дарбу. Из этой формулы можно
получить важное для исследования сходимости тождество Крис.то-
феля — Дарбу. Для этого умножаем (25) на Qn(t) и записываем
в виде
xQn (х) Qn (I) = ап, n+lQn+l (х) Qn (0
- annQn (х) Qu (0 ~\~an-t, nQn-г (,x)Qn (0>
Поменяем ролями хи/. Получим:
(Qn (7) Qn (х) = an,nl xQn+1 (/) Qn (х) 4-
-4- annQn(t) Qn (.x) 4- nQn-i (t) Qn (x).
Вычитаем из последнего равенства предыдущее Будем иметь:
х) Qn{t) Qn(х) = ап, n+1 [Qw+i (/) Qn (x) — Qn+i (*•) Qn (01
— an-l, n [Qn (0 Qn-i (x) — Qn (x) Qn_j (/)].
Складывая соответствующие равенства при n = 0, 1, 2..........k,
получим:
(t — x) 2 Qn (0 Qn (-0 = ак, Й+1 IQ*+I (0 Qfr W — Qn+1 (x) Qk (01
Пз=0
или
k
v Qn (x) Qn (t) = ak ft4.] Qw (0 Qktxy^Q^ (x) OHO . (26)
n=0
Это и есть тождество Кристофеля— Дарбу для нормированных
ортогональных многочленов.
4. Свойства корней ортогональных многочленов. Покажем,
что Q„ (х) имеет на отрезке [а. Ь] ровно п различных нулей.
Предположим обратное. Тогда Q„(x) можно представить ь виде
Qn (х) = (х — Mi) (х — «г). • .(х — а4) R„_A (х) = Pk (х) Rn_k (х) (k < ri),
где через а4 обозначены все корни нечетной кратности многочлена Qn(X),
расположенные на [а, 6]. При этом /?п_*(х) не меняет знака на [a, t>[.
Интеграл
ь
fp(x)Q„(x)/\(x)dx
а
должен обращаться в нуль, так как степень /\(х) равна к < п.
С другой стороны, этот интеграл можно записать в виде
ь ь
f р (х) Qn (х) Рк (х) dx = J р (х) Рк (х) Rn_k (х) dx.
а а
Так как подынтегральное выражение не меняет знака, то интеграл
в нуль обращаться не Может. Получили противоречие. Таким обра-
зом, к = п. Утверждение доказано.
Докажем, что если х<х '"< х/ ’' < . - .<хчп- —нули Qn_x(x),
„ ,.(«) Рп> чип,, Л inn v'n> м -.4."'^'
а х 1 хз _ лjrли '^л то х 1 х । -^2
< Х2П-1)< .. - < х^Г/' < х%\ Прежде всего заметим, что два после-
довательных многочлена ортогональной системы не могут одновре-
менно обращаться в нуль. Действительно, если Qn+, (х) и Qn(x)
обращаются в нуль в некоторой точке £, то в силу рекуррентной
формулы (25) Qn_x (5) = 0. Но тогда в силу той же рекуррентной
формулы и Qn_2($) = 0. Продолжая эти рассуждения, мы придем
к выводу, что Qo(f) = 0. Но Qo (х) = consi=A0, и это приводит
к противоречию.
Если условиться брать Qn(x) нормированными и с положитель-
ными коэффициентами при старших членах, то ап n+i> 0. В самом
деле,
ъ
а». n+i = Jp(x)Qn+1(x) [xQ„(x)]dx =
а
b b
= fp(x)Qn+i (х) [an+1Qn+1 (х) + ... ] dx = а„4 f р (х) Q„+1 (х) dx,
а а
где ап+1 и интеграл — положительные величины.
При этом, если в некоторой точке £ Qn(ty = 0, то <2n_i(£) и
Q„+i(B) имеют различные знаки. Действительно, применяя рекуррент-
ную формулу (25), получим:
ап, п+iQa+1 (В) + ^п-1 nQn-i (В) = о,
а это может быть при положительных ая> п+1 и an-i, п только в том
случае, когда Qn+1 (?) и Qn_j (!) имеют различные знаки.
Разделение нулей Qo (х) и Qt (х) тривиально. Пусть нули Qn-1 (х)
и Qn(x) также разделены:
х(п) < х(п-1) < х(") < ... < Х<"), < х'"-’) < х<”).
Тогда в силу того, что Qt(b)^>0, будем иметь;
sign Qn_i (х'"’) = sign (— l)”-i
и, следовательно,
sign Qn+i = sign (—1)”"1+1.
5. Дифференциальные уравнения, которым удовлетво-
ряют ортогональные многочлены. Будем теперь предполагать,
что вес р(х) удовлетворяет следующему дифференциальному урав-
нению:
Р' (х) _ а + Ьх
р(х) c + dx + ejfl1 }
причем р (х) (с + dx |- ех2) обращается в нуль на концах отрезка а
и Ь.. Мы наложили сильное, ограничение на вес, но веса с таким
свойством как раз и порождают наиболее важные ортогональные
многочлены.
Пусть Рт (х) — произвольный многочлен степени т <'п. Рас-
смотрим интеграл
ь
J рт (х) ~а‘р + dx + ех*>р (х)] dx' (28)
а
Производя два раза интегрирование по частям и пользуясь тем, что
р (х) (с -|- dx + ее2) = 0, получим:
ь
1= J Qn(x)-^ + dx + ex2) р (х)Р'т (х)] dx. (29)
а
Воспользовавшись тем, что (с dx-r- ех2)р'(х) = р(х)(а -4 Ьх), найдем:
[(с + dx 4- ex2)/? (х) Р'гл (х)] = ф 4- 2ех)р (х) Р'т (х) 4-
4- (а + Ьх)р(х) Р'т (х) 4- (с 4- dx + ех*)р (х) Р’т (х) =
(х) [(d 4-2ех) Р'т (х) 4- (а-Pbx) Р'т (х) 4-(с 4- dx 4~ ех2) Р'^ (х)].
Выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части, является
многочленом степени не выше т. Поэтому
ь
1 " fp Qn (х) +
-4- (а Ьх) Р'т (х)+ (с -I- dx н- ex2) Р'^ (х)] dx = 0. (30)
Подынтегральное выражение исходного интеграла (28) можно пре-
образовать так:
[(с 4- dx 4- ех2)р (х) Qn (x)j = (d 4- 2ех)р (х) Q'n (х) 4-
4 - (а 4- Ьх)Р (х) Q'n (х) 4- (с 4- dx -f- ех2)р (х) Q* (х) =
= Р W [<4 4- 2?4f) Q'n (х) (а 4- bx) Q'n (х) -f- (с -t- dx 4- ex2) (х)|.
Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках справа, через
А'п(х). Это многочлен степени не выше п. В силу того, что / = 0,
Мы получим:
Ь
[ Р (*) Rn (*) Рт (х) dx = 0
а
для любого многочлена степени не выше п— 1. Следовательно, Rn(x)
принадлежит ортогональной системе многочленов с весом р (х). Как
мы видели ранее, многочлены одинаковых степеней двух ортого-
нальных систем при одном и том же весе могут отличаться друг
от друга лишь постоянным множителем. Таким образом,
Rn (*) — «Д
Отсюда
(с 4- dx 4- ex2) (х) 4- [(а 4- d) 4- (р 4- 2е) х] Q’n (х)— (х)=0. (31)
Итак, мы показали, что при наших предположениях о весе р(х)
многочлены ортогональной системы {Qr, (х)) удовлетворяют линей-
ному дифференциальному уравнению, написанному выше. На этом
мы ограничимся в рассмотрении общих свойств ортогональных много-
членов и перейдем к изучению некоторых частных случаев.
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных
систем мкогсчлепов
1. Многочлены Якоби. Так называют многочлены вида
Л ”(*) = <1 — х)"1 (14- *)~₽Х
X d^rl(1-x)a+n(14-x/+n] («.₽>-!). (1)
Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если вос-
пользоваться формулой Лейбница для производной от произведения
двух функций. Покажем, что многочлены Якоби ортогональны на
отрезке [—1, -ф I] с весом
р(х) = (1-х)и(Ц-хД
(2)
Для этого рассмотрим интеграл
+1
/= f (1 — x)a(l+x)eP^w(x)P^P)(x)z/x =
4-1
/_л\п+т [* о
= ^2 г,- / (1-х)-а(1-Ьх)-?Х
2W +тп\т\ J
-1
х [(1 - *)“+т (1 + [(1 - х)‘+п (1 + х/ +п 1 dx.
Будем предполагать, что гп<^п. Для сокращения записей обозначим
У-т (*) = (1 - х)-а (1 +х)-₽ [(1 - х)л+т (1+ х/+т],
(х) = (1-х)в+”(1 + х/+".
Очевидно, $ (х) обращаются в нуль при х — ± 1 для всех k < п.
Выполним т раз интегрирование по частям в интеграле
+i
Л = f ymW$p(x)dx.
-1
Получим;
+ i
/1 = (_[)« Г у<^(х)^-т>(х} dx.
Если m < л, то, интегрируя по частям, еще один раз получим:
Л = (-1)та+1
f yt^+1>(x)^-m~1)(x)dx.
Так как ут (х) является многочленом степени т, то = 0, При т — п
будем иметь:
/1 = (— 1)” J у») (х) <?п (х) dx.
Если обозначить старший коэффициент уп(х) через ап, то
+i
Л = (—1)” апп\ J <р„ (х) dx.
-
Вычислим интеграл, стоящий з правой части:
+i +J
f 5p„(x)dx = f (1—x)a+"(l4x)p+’l</x.
-i -i
Для этого произведем замену переменных, положив х = 2/—1
При этом
У <?n(xWx = 2*+*+'in+i [ {\-t)a+nt*+ndt =
-1 о
__9®+₽<-3n +-1 о О . 1 [ _ 9a+p+2n+l Г (а + Л+1) Г([4л+1)
- «-^1, аН-Л+1)_2 ' T(a + ₽+2«+2) *
Подсчитаем теперь ап. Полагаем х > 1. Тогда
(х — 1/ +п (X 4 1)Р+Л|=ха+₽+’”^1 — Лу ”(1 ^у+” =
= ха+^+2л4(8 — а) х’+^ап-14 ...
Отсюда
-£((*-D‘+e(l W+n] = (M-₽4-2/0(a4-j3 4 2/t-l)...
... (a 4 R Ч-п-ь 1) xa+^» ч-(^ — a) (a + р + 2« — 1) х
X (a4-p4-2w —2) ... (a-f-p4n)xa+^J-n~14- ... =
= Inxa+P+" + +n~‘ + • • •
Поэтому
_У„(Х) = (—1)ПХ-“-8 (1 — U(l+y) ’x
x 44 [<* - I)14-” (X 4 1)”+я] = (- 1Г (1 + 4 4 - •) X
x(l —- .. .)(7nx“+₽+’‘4Va+P+n-‘4- ...)x-°-v =
= (-l)nlnx« 4 (-1)” |8„ 4aTn - pIn] Xя -14 ...
Таким образом,
an — ( In — ( 1) (а4 p 4-2/i) (a 4? 4" —1) ...
..(»+?+»+v=(-ir 'г
Теперь мы можем подсчитать и норму Рх$'(х). Собирая нужные
нам выражения, находим:
+i
-1
___ 1 Г (« + 3 + rin -- 1) _a+g+an+i ,
~ 2*»(л!)» Г(=4-р-л-i-1) А
4Z Г(4 + Л-Н)Г(3 + «+1) _ 2“+Р +‘Г (а + л + 1) Г № + л + 1)
Х Г(аН + 2л+2) п!(а-|-р-|-2л-|-1)Г(а-|-₽ + л+1) •
Найдем теперь коэффициенты рекуррентной формулы для многочленов
Якоби. Мы не будем вычислять выписанные ранее интегралы, опре-
деляющие эти коэффициенты, а найдем их другим способом. Рекур-
рентную формулу (20) § 4 запишем в виде
хР% » (х) = ая+1Р(паЛ) (х) -г- апР^’ * (х) + (х). (4)
Для определения ап+1 приравняем коэффициенты при старших сте-
пенях х в правой и левой частях равенства. В левой части этот
коэффициент будет равен старшему коэффициенту Р^’^(х), т. е.
1 Г(« + {? + 2л+1)
2” л! Г(а-|-Р + л+1) '
В правой части он будет равен старшему коэффициенту (х),
умноженному на ап+1, т. е.
а 1 Г(»-|-? + 2л + 3)
n+1 2п+1(л-Н)! Г(а + ₽4-л + 2)
Отсюда находим:
2(л+1)(а + 34-л+ 1)
“п+1- (а + ₽ + 2л+1)(а + ₽ + 2л + 2) ’
Для отыскания ап сравним коэффициенты при х” левой и правой
частей. При этом придется использовать выражения для вторых по
старшинству коэффициентов многочлена Якоби. Такие выражения
нами также были найдены. Применяя те же обозначения, что н ранее,
получим:
'’П Ч~ а7п З'|'п _ ^Я + 1 + gfn+t РЪ+1 I . 'I»
2”. л! n + 1 2п+1(л+1)’ ” 2” • л! '
Отсюда
„ __ — ?) Zn __„ ?n-rl ~r ~ 3) 7n+l
7n “«+» 2(л + 1)л„ '
410
среднеквадратичные приближения
(гл. 5
Подставлял сюда известные выражения для Sn, 8п+1, 7п+г, ап+1
и производя несложные алгебраические преобразования, найдем:
а’
а«- (а + Р + 2п)(а+Р + 2п+ 2) '
Перепишем нашу формулу в виде
||4Л||
-а”+1 1Л^||
“га"-1 П^!1' И-Ml'
Таким образом, a„.n+i. введенное в предыдущем параграфе, имеет
. 2 (л + 1) (a + р + л + 1) ||Р(^||
ап,п+1 «п+1 ||Р(<())|| (а + б+2л4-1)(а + Ь + 2Л + 2) '
Коэффициент an-i, п получится отсюда простой заменой п на п— 1.
Следовательно,
114^’1 _ 2л(а + ? + л)
«п.п-1 й| (в + ? + 2л-1)(а + Р + 2л)
Отсюда
= _______2п(а + Е+п)||Р^>[|3____=
(а + Р+2л-1)(а+^Н-2л)||Р^||3
— 2”(« I р }я)2<+Р+1Г(а л 1)1'0 : л_+1)_
л! (а (1 4- 2л — 1) (а 4- Р 4- 2л) Г (а 4- р Ц- л -j- 1)
У _(Т — 1)1Г(»4-Р4-и)(я 4 ^4-2л — 1) _ 2(а4-_лН₽4-л)____
Л2а+3'+1Г(а 4-«)Г(₽4-л) (а 4-р 4-2л 4-1) (а4-₽4-2л) (а 4. ₽ 2л-|-1)‘
Итак, формула (4) после освобождения от знаменателей примет
вид
<а +. + 2n) (а + 4- 2л 4- 1) (а 4- ? + 2л 4- 2) хР^(х) =
= 2 (л 4“ 1) 4“ ? Ч~ п + 1) (я 4- 3 4~ 2л) 4~
4-Ф2 — «г)(«4~?4-2л4- 1)Р£’Р)(х)4-2(а4-л) X
X (Р + Л) (а 4- 0 4- 2л 4- 2) P(n'-l (X). (5)
Весовая функция р(х) —(1—x)a(14~x)|i удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
Р'(х) = (Р — д)— Q4-f)*
е (х) 1 — х«
Следовательно, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциаль-
ному уравнению
(1 - х2) [Рп' W (Л)Г + [? - в - (а+ ? -4- 2) х] X
X [Р(п’W (х)]' + ЬпР%₽) М = 0.
Для определения kn приравняем нулю коэффициент при хп в левой
части. Получим:
— п(п — 1) — (в + “ + 2)/г-^п = 0.
Отсюда
= + 1].
Таким образом, многочлены Якоби удовлетворяют дифференциаль-
ному уравнению
(1 - х2) [/*'(Х)Г + Ф - в - (а + 2) х] [ЛГ>S) (х)]' +
-(- й (а р n r 1) Р„ '1 (х) = 0. (6)
2. Многочлены Лежандра- Многочлены Лежандра являются част-
ным случаем многочленов Якоби, когда а = 0, {1 = 0. При этом
р(х)=1. Для них имеет место формула Родрига
1 dn
/-»(Л) = ЭТ (7)
Они обладают свойством
+1 । 0 при т ± п,
I Ln(x)Ln(x)dx = \2Г(лД 1)Г_(л+1)______2 (8)
-1 I л!(2л + 1)Г(л+1) ~ 2л-|-1 ри т—п-
Из формулы Родрига видно, что многочлены Лежандра четной сте-
пени содержат лишь четные степени переменного х, а многочлены
нечетной степени содержат лишь нечетные степени х.
Рекуррентная формула для многочленов Лежандра примет вид
(п -4- 1) Ln+X (х) — (2/г -4- 1) xL„ (х) 4- пЬп_х (х) = 0. (9)
Преобразовывая формулу Родрига по формуле Лейбница для диф-
ференцирования произведения, получим:
гы 1 V С4 rf""s - 1>п
к-п
Отсюда следует
An(l)=l, Ln(—1> = (—1)”. (10)
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра примет вид
^[a-x^^j-t-^n+iu^o. (П)
Докажем, что для многочленов Лежандра имеет место следующая
формула Лапласа-.
тс'
А„(х) = -^У (х — Ух2— 1 cos 9)’‘rf0. (12)
о
Действительно, при п— 0 и 1 получим:
Lo (х) = 1; Z-i (х) = х.
Проверим, что для L„(x), определяемого равенством (12), справед-
лива рекуррентная формула (9), которая имеет место для многочле-
нов Лежандра. Обозначим
Z = х Д- /х» — 1 cos 0
и запишем:
(rt Д- 1) Ln+\ — @П Д- 1) х^п Д’ л^-п-1
в виде
ТС
£ j wzn- 1
с
Здесь
W = (п 4-1) [х2-4- 2х ]/х2 — 1 cos9 Д-(х2 — 1) cos2 0] —
— (2л _|_ 1) х | х -4- ]/ х2 — 1 cos 0] + п = — пх2 -4- х Кх2 — 1 cos Э +
-4- (л 1) (х2 — 1) cos2 9 Д- п = — л (х2 — 1) (1 — cos20) Д-
-4-х У х2— 1 cos 0 )- (х2 — 1) cos2 0 = —л (х2 — 1) sin2 0 д_
Д-|х Д-]/х2— 1 COS 0] У хг---1 COS0.
Обозначая
U ——л (х2 — 1) sin2 0, 17 = [х _|- ]Лх2— 1 cos0]/x2— 1 cos0.
получим:
ТС ТС Тс
У WZn'xM^ J UZn~xM-\-$ VZ"-1 6/0.
ООО
Но
J VZn-1d0 — Ух2 — 1 j Zncos0 6/& = /x2— 1 х
о о
X < sin 6
Д- I sin GflZ” ’ Ух2 — 1 sin 0 </0 j =
о 0 J
= л(х2—1) Zn-t sin20d0 = — J1 U'Zn~'dfJ.
о о
Таким образом,
f WZn-1 J0=O.
о
Раз Lq(x) и Ьг(х) совпадают с нулевым и первым многочленами
Лежандра и так как выполнена рекуррентная формула, то будет
совпадение при всех п, и формула Лапласа доказана,
С помощью формулы Лапласа нетрудно произвести оценки вели-
чины многочленов Лежандра на отрезке [—1, -4-1] Прежде всего
заметим, что
|х -н-1 У1 — x2cos 0 — ]/х2 -j- (1 — х2) cos2 0 =
= У хг sin20-i-cos2 0 1, х£[—1, 4-1].
Отсюда
ТС тс
/ |*-H/’rZ=*2cos0|nd9<-i [ d0 = 1. (13)
о о
Для внутренних точек отрезка [—1, -|-1) имеет место более
точная оценка:
1Ln (х) | < -.=ХЛ=-—. (14)
7' V 2п (1 — х2) 7
В самом деле,
| х -j- г]/ 1 — х2 cos 01 = У х2 -4- (1 — х2) cos2 0У1 — (1 — х2) .sin2 9.
Таким образом,
п
(1 — х2) sin2 9j 2 db =
It
2 тс
Г - 1 /* -
/ [1 _(1 —x2)sin2 6p d9_|_± f [1 _(1 _ x2) sin2 91 - JO.
0 Л
2
Сделав во втором интеграле замену 6 на к—9, получим:
ТС
т п
f [I— (1 — x2)sin20p JO.
0
Так как при 0^9^-^ имеет место неравенство
неотрицательных а неравенство 1—то
— 9 sin 6, а при
п
[1 —(1 — х2) sin2 9]2 d9
Полагая здесь 9 = — —'---------1, получим:
у 2л (1 — х2)
I (-*') I
ОО
2 71 /* е~р dt =____—_______*_______________
тс /2л(1 —х2) «/ /2л (1— х2) 2 /2л(1-х2)'
что и требовалось доказать.
С помощью многочленов Лежандра легко для заданной функ-
ции /(х)££2 построить в Нп(Р) многочлен наилучшего среднеква-
дратичного приближения на отрезке [—1,
Если такой многочлен искать в виде
п
Рп(х)=2 ckL1c(x), (15)
го коэффициенты ск найдутся по формуле
+1
^=-'’5—, f(x)Lk(x)dx, (16)
-1
а наилучшее приближение
S»— f f2(x)dx рЧ-
-1 к=о
(17)
Пример, Найти наилучшее среднеквадратичное приближение
функции slnx на отрезке [—х, к] в совокупности многочленов
степени не выше третьей и вычислить величину наилучшегб при-
ближения.
Сделаем линейную замену переменного, переводящую отре-
зок [ — к, л] в отрезок [—1, -4—1]. Для этого положим x = v:t.
Тогда / (/) = sin tzt,
+1 +1
Cq = ~ J* sin nt dt = 0, = ~ J* t sin izt dt = ,
-i -i
4-1
c2 = у j (3t2 — 1) sin id dt = 0,
-i
4-1
7 /’ 1 .... . , ,, 7 105
c, = -r / - (5C — 3/1 sin nt dt =----------5-.
° 1 J 1 7t V
-1
Отсюда
n //4 3 ..... / 7 105\ , 15/21 _\, . 35/. 15\..
Многочлен наилучшего приближения к функции sinx па от-
резке [—л -|-к] будет:
Р, (х) = Д (Д — 1) х -I- Д (1 — Д| х3 = 0,8570х — 0.09339Х3.
Далее,
8»= f sin^tdf— 4 — -Й’ 7-^0,0088,
J it* о л*5 \ /
Для сравнения приведем таблицу значений sin х и Р3(х) в неко-
торых точках отрезка и величину их отклонений:
X sln X Pg (х) — sin х
0 0,0000 0,0000 0,0000
ТС 7 0,7071 0,6278 — 0.0793
л 1,0000 0,9842 — 0,0158
Зя 0,7071 0,7976 0,0905
0,0000 — 0,2033 — 0,2033
Многочлены Лежандра находят широкое применение и в ряде
других вопросов; в частности, они участвуют в образовании сфери-
ческих функций, в которых решаются ряд задач математической
физики.
3. Многочлены Чебышева первого и второго рода. Возьмем
теперь в качестве веса
'-«=7Т=Г- <18’
Нетрудно проверить, что многочлены Чебышева
Тп (х) = cos (п arc cos х), | х | 1, (19)
о которых мы уже говорили ранее, будут ортогональны на от-
резке [ — 1, 4-11 с этим весом. Действительно, производя в инте-
грале
J п Iх) ? m (•*)
ТС
г
1т п=. cos nt cos mt dt —
J
замену
x = cosT,
получим:
к при m~ n~Q,
у при т — п О,
О при т в.
(20)
Рекуррентную формул}' для многочленов Чебышева (будем их
называть многочленами Чебышева первого рода) мы уже получили
ранее.
Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева первого
рода будет иметь вид
(1 - х2) г" (х) — хТ'г. (х) 4- и2Т„(х) = 0. (21)
Если для функции /(х)££г(р), где р (х) = 1, искать наи-
yl — х3
лучшее среднеквадратичное приближение с весом р (х) на от-
резке [—1, 4-1] в виде
Рп(х) — cQ 4- Л (х) -I- сгТ 2 (х) 4- спТп (х), (22)
то коэффициенты ск будут находиться по формулам;
«f : j -1 т 0 я ' /(cos 6) (/9,
*ы ТС — /(cos6) cosrffl тс «/ 0 (23)
а отклонение—по формуле
dx
/2 (х) dx
/1 —х’
(24)
Пример. Для функции f (х) = arc cosx найти на отрезке
[— 1, 4-1] наилучшее среднеквадратичное приближение с весом f =
в совокупности многочленов степени не выше седьмой.
Будем искать этот многочлен в виде
(х) = с0 + (*) 4 сйТг (х) -+- . .. + спТ. (х).
Коэффициенты многочлена будут иметь вид
arc cos х ,
_____=_ dx =
V 1 — х«
Я
7’
i <11 v vvzO .Ли WzO v*. V -A- .
4 = — / --------—---------dx —
® J /1 — x«
Я
= - ftcos^dr= -4|(—14 —I].
Я J XK
0
Таким образом,
я 4 n 4
c0 —у. 4 — 4 — °> 4— — 97.
A 4 A 4
4 —°- 4> —— 557. 4 — 0. 4 — 4?)-
И
— я 4 4 4 4
Рц (x)= 2” 4 T4х) 94 — 25^ ‘ 497 Л (*) =
я 4 Г 76 24S . 288 . 64 , I
— 4 ТВОЙ* 315 х 175Х 49 х'г
Ниже приведена таблица значений arc cosx и Р7(х), показываю-
щая точность приближения, которой мы при этом достигаем:
X arc cosx P7(x) P7 (x) — arc cos x
— 1,0 3,14159 3,06242 — 0,07917
— 0.5 2,09440 2,10440 0,01000
0,0 1,57080 1,57080 0,00000
0,6 1,04720 1,03720 — 0,01000
1.0 0,00000 0,07918 0,07918
На том же. отрезке [—1, -4—1] при весе р (х) — У 1—х2 будут
ортогональны функции
^п(х) = ?1!!1^-+ (п = о,1,2,...), (25)
называемые ортогональными многочленами Чебышева второго
рода,
В самом деле,
+ i
/ Uk (х) Ui (х) У1 — х2 dx —
-1
+ 1
Г sin |(& +-1) arc cos х] sin [(/ + 1) arc cos x] .
-J Vr-^r- ’
и, сделав замену x = cosf, получим:
i Uh(x)Ui(x)Y 1 — x2dx —
; ( 0
= J sin (A 4-1)/Sin (z = { n
0 ( T
при k =jfe z,
при k = i
(2G)
Для того чтобы показать, что Ц,, (х) действительно являются
многочленами степени п, вычислим производную от многочлена
Чебышева первого рода Гта+1(х):
ЛцдС*) = [cos(«-4— 1) arccosx] =
— (n 1) sin [(zz —1) arc cos x]
Следовательно,
7T=,=<«+
а так как Т^,х(х) есть многочлен степени п -4-1, то Т' (х) есть
многочлен степени п.
Рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода
примет вид
C'„+i (х) = 2х ип (х) — *4- i (*)• (28)
Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева второго
рода выглядит так:
(1 — х2) Un (х) — 3xL'„ (х) (я2 _ 4л) Un (х) = 0. (29)
Если на отрезке [—1, ф-1] нужно найти наилучшее средне-
квадратичное приближение функции /(х) £ L, (р), где р (х) === ]/1 — х2,
в совокупности многочленов степени не выше л, то ищем его
в виде
Р ъ (х) = со -1 (х) --с2(/2 (х) - - ... cnU п (х), (30)
где коэффициенты с-к находятся по формулам:
-1
Ск - I f f (х) Uk (х) V l=^dx =
-1
=-^ j* f (cos 9) sin 6 sin (k 1) 9 df). (31)
— it
Величина же наилучшего приближения найдется из равенства
4'1 п
а2 = f р (х) V r=^dx — 4 i (32)
-1 к = 0
Приближение, получаемое с помощью многочленов [t/ft(x)). в боль-
шей степени учитывает значения приближаемой функции в середине
отрезка [—1, -4-1].
4. Многочлены Лагерра и Эрмита. Возьмем теперь в качестве
интервала (а, Ь) полупрямую [0. оо) и в качестве веса
р (х) = х*е~х, (33)
где а>—1. Многочленами Лагерра называют выражения
4“’ (х) = (- 1)”х-“^^ (х-пе-). (34)
Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если при-
менить формулу Лейбница для дифференцирования к
Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1.
Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом хле~х
на полупрямой [0, сю). Для этого рассмотрим интеграл
/ = J x“e~xL^(x)Ly(x)dx==(—l)n f L’% (х) (х) dx,
о о
где через <р„ (х) обозначено
<рп (х) — ха+пе~х.
Пусть т^п. Интегрируем т раз по частям Получим:
4-00
/ = (_ 1)»+*» f IZ£> (x)J(«> (х) dx.
о
Если т < п, го, интегрируя еще один раз по частям, получим под
знаком интеграла в качестве множителя |/4“’(х)]'м+'\ и так как
(х) — многочлен степени т, то /=0. При т — п будем иметь:
/ = f l/-(n(x)](n><pn(x)dx = nl J <?n(x)dx,
О о
так как старший коэффициент L'n (х) равен 1. Итак,
|[Ln||2 = f [Ln’(x)]2xae-rdx = п\ j x°+ne-a:dx = zz!I’(a—[— n 1).
о о (35)
Если f(x) разлагается в ряд по многочленам Лагерра. то
/(х)-~ 2 С;До,(х), (36)
ь-о
где со
Ск = klY (а + ^+ 1) J /(X) L’fc’(X)dx. (37)
а
Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет
х [L'n (х))" -4- (а -4- 1 — х) [Ln (х)| -I- nL„1 (х) = 0. (38)
Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так:
Ln+i(x)—(x — а—2« — 1) Ln (х) Д-/г(а -I- п) L„-i (х) = 0. (39)
Иногда многочленами Лагерра называют частный случай рас-
смотренных нами многочленов при р(х) = е~х.
Если весовая функция р (х) = е-Я!> и мы рассматриваем прибли-
жения /(x)£Z,2(/?) на всей действительной оси, то ортогональную
систему образуют многочлены Эрмита
dn
= ч40)
которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид
Н0(х) = 1,
(х) — 2х,
Н2 (х) — 4х2 — 2.
Яэ(х) = 8х3— 12г,
Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем:
4-ос 4-оо
f e-^Hm{xyHn(x')dx = (-1)” J Hm(x)^n-dx.
Интегрируя по частям, получим;
4-00 4-оо
У е-^Н,п(х) Нп (х) dx = (-1)” f Нт (х) dx =
— СО —ОО
4-00
Г }+СО /’ г г/’г~1Р~ж’
= (-1)«|нт(х)^7Г-|_от-(-1)” у wm(x)^Ar-dx =
—СО
+гхз 4-оо
f* / z/W —1^—Ж2 /»
= (-1/‘+1 У //,„(х)^п4г-^= ••=(-1)г" У H^^e-^dx.
— со —со
Если п > т. то Нт (х) = О и
4-оо
f е-1;‘Нт(х', Hr(x)dx = O
Так как т и п равноправны., то это имеет место при всех т /= п.
При т — п Н1^ = 2пп\ и
4-ео 4- со
J* е~х‘Н^ (х) dx = 2”«1 J" е~х' dx = 2n •
-СО —со
Отсюда
/• f о
(Нт, Hv)= j e-al‘Hn(x)Hm(x)dx = {
— СО I • Г
при т^п, (4])
при т = п.
Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение
Ип+Лх> — 2хНп(х)4-2/гНч_1(х) = 0 («=1, 2, ...), (42)
которое нетрудно проверить непосредственно.
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
Нп (X) — 2хН'п (х) + 2л Нп (х) = 0. (43)
Коэффициенты многочлена наплучшего квадратичного приближе-
ния с весом р (х) = e~x'J к функции /(х)££г(р) среди многочленов
степени не выше п, если его записать в виде
Рп (*) = с0 4- с1Н1 (х) 4- с2Нг (х) ч- ... 4- спНп (х). (44)
вычисляются по формулам:
4-00
—со
4-сю
f <45)
Лкк\ у тг
—сю
При этом лучше всего учитываются значения /(х) в окрестности
точки х—0, так как вес в этой окрестности имеет максимальное
значение.
д?а
Пример. Приблизить функцию /(х) = хе'4с помощью много-
члена степени не выше 5-й, наилучшим образом учитывающего зна-
чения функции вблизи начала координат.
Будем искать этот многочлен в виде
Р5(х) = с0 4- cjlf (х) 4- с2Нг (х) 4- с3Н3 (х) 4- с4Н4 (х) 4 с5//6 (х).
Коэффициенты его вычисляем по указанным выше формулам (45).
Будем иметь:
1 Z -- 1 Г° -- 4
с0= = / хе 4 dx = Q, с,=— — I хе 4 -2xdx =——;
/л -/ 2 /к 4 3 /з
— СЮ —сю
i хе 4 (4х2—l)dx—0;
— СЮ
1
16-24 /л
+°°
j хе 4 (8х3— 12x)rfx = - ;
За?
4 (16х4 — 48х2 4- 12)4х = 0;
/•
еь = ---—— I хе”-г(32хь— 160x34- 120x)dx =--------=
32 -120 FЧ J ’ 8-27/3
Таким образом,
{х} = elYTf(32х"~160x3 +120х)+W*(8х3 -12х) +
4 1
-I---? = х =-----[4хь -|- 4x3-j-51xL
3 у 3 27 /3
х*
Ниже для сравнения приведена таблица значений хе 4 и Ps (х)
в некоторых точках:
X Ж3 хе 4 лм X* л (х) — хе1
0 0,0000 0,0000 0,0и00
0,1 0,1002 0,1091 0,0089
0,2 0,2020 0,2188 0,0168
0,4 0,4163 0,4419 0.0256
0,6 0,6566 0,6794 0,0229
0.8 0,9388 0,9443 0,0055
1,0 1,2840 1,2616 0,0224
2,0 5,4365 5,6024 — 0,1659
3,0 28,4631 26,3657 — 2,0974
Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех
Xs
первых членов степенного ряда для функции хе*, то для значе-
ний х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение
к заданной функции, но при х — 2 она будет отличаться от точного
значения уже на —0,4365, а при х = 3 на —11,1198. т. е. при х — 3
приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже при-
ближения с помошью нашего многочлена.
§ 6. Сходимость рядоз по ортогональным системам
многочленов
Как мы видели, для сходимости ряда Фурье для некоторого
элемента гильбертова пространства к этому элементу в смысле нормы
пространства требуются полнота пространства и полнота ортого-
нальной системы, по которой строится ряд Фурье.
Для доказательства того, что это имеет место в рассматриваемом
нами случае, нам будут нужны некоторые сведения из теории функ-
ций действительного переменного.
Приведем пока две теоремы:
Теорема Леви. Если на [а, Ь\ дан ряд неотрицательных
измеримых функций
U) U2 (•*) +•••+ U п (х) •
и если
Of fj
v у Uk(x)dx <4-00,
к-1 а
СО
то почти везде на [а, А| сходится ряд 2 ик(х). (Почти везде
к-'.
на [а, Ь\ означает, что всюду за исключением, быть может, множе-
ства меры нуль.)
Теорема Фату. Если (х), <р2(х), ... — последовательность
неотрицательных измеримых функций, заданных на [а, 0], почти
везде сходящаяся к функции ф(х), .и если при всех k
ь
У (х) dx < А,
а
то и
ь
J" '!f(x)dx < А.
а
Доказательств этих теорем здесь приводить не будем и отсы-
лаем читателя к любому более или менее полному курсу теории
функций действительного переменного.
Относительно веса р (х) будем предполагать, чтор(х)>0 почти
всюду на [а, Ь\ и суммируем на этом промежутке.
Докажем следующую теорему, показывающую полноту про-
странства L2(p):
Если последовательность {/п(х)| (Д (х) £ А, (р)) сходится
в себе, то она имеет предел, также принадлежащий L2(p).
Пусть последовательность функций {/„ (х)}, fn £ L2 (р) сходится
в себе в пространстве Аг(/>). Тогда можно найти такую после-
довательность натуральных чисел
что
\\flW— /т(Х)|| <-Д
1/7
при любых I и т, больших пи. Здесь ||/(х)|! — I/ | р (x)j2 (х) dx.
а
В частности,
[fnk+lSX’’ ~ AfcWlK й
и ряд
**+! ~^пк
будет сходиться. Применим неравенство Буняковского к функциям
l/nfe+iW —и !• Получим:
ь
[р(*)1 fnie+1 (*) — /nfc (*) | dx <
а
Р W I fnk^ (*) — fnh М I2 dx =
p(x'>dx \\/Пк Jx) — /„й(х)||.
Следовательно, сходится ряд
со b
3 J Р (Х) IAfcxi — fnk W I *Х.
к=1 а
По теореме Леви почти везде сходится ряд
^Р(х)\/„к+1[х) — /Пк(х)\,
а следовательно, и ряд
ОО
AW + X U„k+lM-fnk(x)}.
Таким образом, последовательность {/nfc(x)} имеет предел почти
всюду на [а, Ь\. Обозначим его через /(х).
Покажем, что /(х) принадлежит к Z_2 (р) и чт0 она чвляется
пределом последовательности fn(x) в смысле метрики Z.2(p).
Для заданного е > 0 найдем такое k, что при п > пк будет:
е.
Последнее неравенство будет выполнено, если мы закрепим п и
будем произвольным образом увеличивать к.
Применим теорему Фату, взяв в качестве <р*(х) функции
Р(х) [/„(X)—/„ft(x)P
и в качестве функции ф (х) — функции
Р(х) [/„(х) —/(Х)|2.
Тогда получим: ь f Р (х) |/„ (х) — / (х)]2 dx < е2. а
Следовательно, функция fn(x)—f(х), а поэтому и /(х) принад-
лежат к L2 (р). Более того, мы доказали, что последователь-
ность {/„(х)} сходится в среднем с весом р (х) к /(х).
Докажем теперь теорему:
Множество М всех измеримых ограниченных функций,
на [ц, £], множество С непрерывных на [а, 6] функций и мно-
жество Н(Р) всех многочленов всюду плотные множества
в Ьг(р).
Пусть f£L2(p). На основании свойств интеграла Лебега для произ-
вольного е > 0 можно подобрать такое 8 > 0, что как только мера
произвольного множества е £ (а, Ь\ будет меньше 3, то
J"р (х) /2 (х) dx < е2
в
(это свойство называют абсолютной непрерывностью).
Функция / (х) почти всюду конечна. Поэтому можно указать
такое п, что мера множества, на котором f (х) > п, будет меньше 8.
Закрепив это п, положим
( /(х) при |/(х)|<га,
" (0 при |/(х)|>«.
Очевидно, g^ М и
ь
\\f-g\^=fp(f-^dx= f p(f-gyax= f pf*dx<J.
a (ftg'i
Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства второй части теоремы находим g(x)£AI
такую, что ЦУ — g|| < . Пусть |.?|<САЛ. Н. Н. Лузиным была
доказана теорема, утверждающая, что для любого 8 > 0 существует
такая непрерывная функция ?(х), которая отличается от g(x)
лишь на множестве меры, не превышающей 8, и удовлетворяющая
.неравенству | <р (х) | К. При этом получим:
||g —?11г= f /»(x)[g(x) —
ф (х)|2 dx 4№ | р (х) dx.
(9 У Т)
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последний
si
интеграл может быть сделан меньше чем . Таким образом.
Перейдем к третьей части. Найдем непрерывную Функцию <р(х),
удовлетворяющую условию ||/ — <р||< у. 3 силу теоремы Вейер-
штрасса можно найти такой многочлен Р(х), что
)Р(х)-?(х)|<3.
Тогда
||/-Р||<11/-<р|Ц-||?-^1Ку + 81/ JpWdx,
и если 31/ f p(x)dx <-у, то ||/ — Р|[<е. Теорема доказана
’ а
ПОЛНОСТЬЮ.
Из теоремы следует, что в L2(p) многочлены с рациональ-
ными коэффициентами также образуют всюду плотное множество.
Это множество счетно. Следовательно, Lt (р) — сепарабельное
пространство. Кроме того, отсюда следует, что построенные на
степенях х: 1, х, х2, . ., х", ..., ортогональные многочлены
образуют полную систему.
В результате наших рассуждений мы можем утверждать, что
образованные нами ряды по ортогональным многочленам будут
сходиться к разлагаемой в ряд функции в смысле метрики Lt(p),
т. е. если S„(x)— частичная сумма соответствующего ряда, то
ь
lim fp(x)[/(x) — Ф'и(х)(2 </х = 0.
п > CXJ J
а
Во многих случаях, встречающихся на практике, полученная
нами сходимость в среднем бывает недостаточна. Нужна либо обыч-
ная сходимость, либо даже равномерная сходимость.
Пусть {Q„(x)}—ортонормнрованная на [а, £] система много-
членов с весом р(х). Тогда функции /(x)£L2(p) будет соответ-
ствовать ряд Фурье по этой ортонормированной системе
СО
/(х)~ V ckQk (х),
где
ь
Ск= I p(t)f(t)Qk(f)dt.
а
Следовательно,
н п Ь
(X) = V ckQk (X) = 2 Qk (х) f p (t) f (0 Qk (I) dt =
4=0 4=0 a
b n
= f p(t)f(t)^>Qk(x)Qk(t)dt.
a
Обозначим
п
к=и
На основании тождества Кристофеля — Дарбу
1.Х, t) — Оп, и+1
Qn+1 Ю Qn (х) Qtl+l Qn (Q
t — x
Таким ооразом,
о z \ Qn+t (Q Qn(x) ^it+i MQn V)
Sn(x) = j p(t)f(f)an.n+l- ----------------------------dt.
a
В частности, если /(x)s=l, то при любом п
Sn (X)=f(x)
и, следовательно,
1 СпН\л Qn+l^)Qn<X) Qn+i Qn (•*) ,,
1 = J P(t)un, n+i----------1—f-------------dt-
a
Умножая обе части последнего равенства на / (х) и пользуясь тем,
что интегрирование ведется по t, мы можем записать:
ь
f. j Г4х/{,г\ Qn+i 0«(х) Оп+1 <*) Qn (О ,,
/(x)£=an,„+1 I p(t)f(х)———-~t---------------------dt.
а
Отсюд а
Зп (х) — / (х) =
ь
= аа.п + 1 J"Р (t) ' IQn+l (О Q» (*•) — On + 1 (•*) Qn (0] dt.
a
Оценим величину
ft
n+1 — I P(x) xQn+i(x) Qn (x) dx.
a
Если предполагать что коэффициенты при старших членах Q„(x)
положительны, то а,г, „+1 > 0- Далее,
»
G-71, п +1 с р (х) I Qn+1 (х) Qn (х) I dx,
а
где через С обозначено наибольшее из чисел | а | и | £ |. По не-
равенству Буняковского
dn, п+1
Ь ! Ь
I Р (x)Qn+i(x)dx -Л/ \ р (x)Q2n(x) dx = С.
а ’ а
Обозначим
й-п, П+1--
При этом 0 < 9га < 1 и получаем:
Sn(x)~f(x) =
ь
— / Р (I) ~ j_* ~ 1Ф»+1 (О Qn(х) — Qn+i (х) Qn (£)j dt
a
Пусть функция
принадлежит La (p). Обозначим коэффициенты Фурье этой функ-
ции по ортогональной системе Qk(x) через dk. Очевидно, dh. ->0
при fe —> оо, Поэтому если Qk\x) равномерно ограничены в точке х, то
lim |S„(x)—/(х)] = lim OnC(Q„(x)dB+l — = 0
П -> СО п -> ОО
И
f(.x)=y.ckQk(x).
-о
Если многочлены Qn (х) равномерно ограничены на всем от-
резке |а, Ь\, то наше утверждение будет справедливо для любой
точки х£[а, при меньших предположениях о <р(А), а именно
достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл
ь
/ Р (О <? (О dt.
а
Выражение
ь
J Р (О I кп (х. п i dt = L„ (х)
а
называют функцией Лебега ортонормированной системы |Q„(x)j.
Справедлива теорема:
Если f{x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию
lim L„(x)£„(/) = 0,
п -> СО
то ее ряд Фурье по ортогональной системе Qn(x) сходится
в точке х.
Действительно, если Рп(х) является многочленом наилучшего
равномерного приближения для f(x), то
Следовательно,
\Pl(x)— f(x)\^LEn (/).
iP,(x)-S„(x)| =
Ln(x')En(f).
ь
fp(t) [Ри(0— f) dt
а
Но тогда
\f (х) — 3,г (х) К | f (x) — Pn (x) | H- j Pn (x) — Sn (x) |
рц (f) 4“ Pn W Р» (f)
и правая часть стремится к нулю при п —>оо. Будем называть
Ln= sup Lra(x) числами Лебега, Если
а?£[а, 6]
lim £пДп(/) = 0,
п->оо
то, как следует из последней оценки, ряд Фурье функции /(х) по
ортогональной системе {Qn(x)[ будет равномерно сходиться к /(х).
При различных весах р (х) мы получим различные условия,
которые нужно наложить на функцию /(х) для того, чтобы ее ряд
Фурье по соответствующей ортогональной системе сходился к /(х).
Но при любом весе свсйствс непрерывности f (х) не обеспечивает
такой сходимости в каждой точке отрезка [а, />]. Это было показано
В. Ф. Николаевым. Исследование сходимости рядов по ортогональ-
ным многсчленам очень сложно, и мы не имеем возможности из-
лагать здесь все тонкости вопроса. Ограничимся перечислением
некоторых фактов, связанных с теми ортогональными системами,
которые были приведены ранее.
•Для многочленов Якоби справедлива следующая теорема:
Если f (х) имеет- на [a. £| непрерывную производную порядка р,
где р — наименьшее целое число, большее или равное 2 max (a, p)-L 2,
a' max (а, 3) то ее ряд Фурье по многочленом Якоби
равномерно сходится к f (х).
В частности, для многочленов Лежандра р = 2. Для многочленов
Чебышева первого рода р=1. Можно показать, что равномерная
сходимость в этом случае будет иметь место, если потребовать
лишь ограниченность первой производной. Для многочленов Чебышева
второго рода р = 3. Здесь также возможно уточнение теоремы,
а именно достаточно потребовать выполнения для функции f(x)
условия Дини — Липшица:
lim <о (8) In £ = 0
о -> О
(со (8) — модуль непрерывности/(х)), т. е. со (8) = sup |/(х)—
ix-y|<«
для того чтсбы обеспечить сходимость ряда по многочленам Чебы-
шева второго рода на отрезке |—1, —1] и равномерную сходи-
мость на всяком отрезке [—1 —|—Л, 1—/г], 1 > h > 0.
Для сходимости рядов по многочленам Лагерра достаточно
потребовать, чтобы функция f(x) была кусочно-гладкой на [0, оо),
и сходимости интеграла
00 X а 1
j е 2 х2 4 |/(х) | dx.
о
При этом в точках непрерывности f (х) ряд сходится к /(х),
а в точках разрыва к у [/(х Д-0) Ч-/(х—0)].
Аналогичные условия достаточны для сходимости рядов по
многочленам Эрмита. Первое требование здесь сохраняется, а вместо
предыдущего интеграла требуется ограниченность
чсо
J | х I е- ж2/2(х) dx.
— ОО
Равномерная сходимость рядов по ортогональным многочленам
к заданной функции имеет практический интерес, так как если нам
необходимо достаточно хорошее равномерное приближение функ
ции с помощью многочленов, то в случае равномерной сходимости
ряда за приближающий многочлен можно принять частную сумму
ряда, построение которого во многих случаях достаточно просто.
Пример, Построить многочлен, равномерно приближающий
функцию
на отрезке [ — 1, —I—11 с точностью 0,0005.
Функция f (х) непрерывна вместе с производной f (х) на
отрезке [—1, -4-1]. Следовательно, ряд Фурье этой функции по
многочленам Чебышева первого рода сходится к ней равномерно.
Поэтому будем искать многочлен, равномерно приближающий
функцию /(х), как частную сумму ряда Фурье по многочленам
Чебышева. Разложение /(х) по многочленам Чебышева легко по-
лучить следующим образом. Известно разложение
СО
In (1 — 2а cos 0 Д-а2) = — 2 cos
п “1
(I a I < 1).
Положив здесь cos6 = x и а = —, получим:
ОО ОО
— т) = — 2 2 W cos (п arccos х) “ 2S т«п т» (х)
п~1 1
(—1 <х< 1).
Если за приближение функции будем принимать сумму первых п
членов этого разложения, то погрешность не будет превосходить
величины
ОО со
к—п+l к—n+1
2 V 1 2
< п + 1 4* ~ 3(п + 1)4” •
Л = п+1
Нам необходимо взять п таким, чтобы
I рп WI < 0,0005, |х|<1.
Для этого достаточно потребовать, чтобы имело место неравенство
9
Т(п +1)4”' < °>0005-
Наименьшее целое значение п, удовлетворяющее этому условию,
будет п = 5. Таким образом, за многочлен, приближающий J\x)
с точностью до 0,0005, можно взять
-\>(Л)= — +7 А(Х) — T’aW — 5I2 Г*(х) ~
1 ~ . 31 241 7 , 13 , х*
2560 512 512Х 64 Х 384 л 64 160 '
Используя то же самое разложение по многочленам Чебышева,
можно получить многочлен пятой степени, дающий на отрезке
[—1, 4-1] приближение функции /(х) с точностью до 0,0001.
Для этого нужно поступить следующим образом. За приближающий
многочлен возьмем Зв (х). Многочлен Se(x) уклоняется от f(x) на
отрезке [—1, +1] не более чем на
---0.00002.
3-7 46
В Se(x) многочлен Тв(х) войдет с коэффициентом
с коэффициентом
32-2
b • 4е
Из теории наилучших
2
6 4е
, а хв —
приближений
мы знаем, что на отрезке [—1, 4"Н наименее уклоняется от нуля
многочлен
2б Tt (х) = х * — у + Тс х2 ~ 32 ’
причем величина этого уклонения равна J--. Таким образом, если
мы заменим хв многочленом
Р Ах) = у ** ~ Тб ** + 32 ’
являющимся многочленом наилучшего приближения к Xs на от-
резке [—1, 4~Н D совокупности многочленов степени не выше
пятой, то мы совершим погрешность не более Заменяя в Se (х)
2хв (х)
член —ь 4И многочленом-------мы совершим погрешность
не более чем
0,00008.
б • 46 *>
После подстановки и приведения подобных членов получим много-
член пятой степени, уклоняющийся от f (х) на отрезке [—1, 4-1]
не более чем на
0,00002 -|- 0,00008 = 0,0001,
т. е. мы получим в пять раз лучшую точность приближения с по-
мощью многочлена той же пятой степени.
Аналогично можно показать, что многочлен S5(x), уклонение
которого от fix) на отрезке [—1, -1-1 ] меньше 0.0005, можно
тем же приемом преобразовать в многочлен четвертой степени,
уклонение которого от f (х) также не превосходит 0,0005.
На этом пути часто удается построить многочлены, дающие
очень хорошие приближения к заданной функции fix).
§ 7. Среднеквадратичные приближения функпий
тригонометрическими многочленами
Если исследуемая функция /(х) является периодической, то
естественно приближать ее также периодическими функциями. При
этом если вес p(x)sl, то мы приходим к хорошо известной
теории тригонометрических рядов Фурье. Так как теория тригоно-
метрических рядов Фурье достаточно широко излагается в курсах
математического анализа, мы не будем ее излагать здесь. Отметим
лишь, что тригонометрический ряд Фурье функции /(х)4 7.2 всегда
сходится в среднем к этой функции. При некоторых ограничениях
на /(X) имеет место и равномерная сходимость, что позволяет
строить достаточно точные равномерные приближения функций
тригонометрическими многочленами.
§ 8. Приближение функций, заданных таблицей,
по методу наименьших квадратов
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в каждой
точке некоторого отрезка [а, /»]. Пусть теперь нам задана функ-
ция f(x), известная своими значениями в конечном числе точек
отрезка [а. £]: х0, ..., хп. Для тех или иных целей бывает
необходимо найти удобное и точное в каком-то смысле аналити-
ческое представление этой функции на всем отрезке [а. Р|. Один
из таких способов представления мы уже рассмотрели в главе
об интерполировании. Но интерполяционный способ нельзя считать
наиболее удобным по двум причинам. Во-первых, если число узлов
велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяцион-
ных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции
подвержены каким-то случайным ошибкам, например ошибкам изме-
рения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен
и тем самым исказят истинную картину поведения функции.
В этом параграфе мы введем другие принципы построения
аналитических выражений для табличных функций. Пусть снова
<р0(х), .....—какая-то система линейно независимых
функций на [а, /т], т<^п. Будем разыскивать обобщенный много-
член, составленный из этих функций, так, чтоб-ы
п
2 (1)
г-О
имело наименьшее возможное значение. В тех случаях, когда из-
вестно что значения /(*,) имеют неодинаковую точность, можно
ц
вводить веса > 0, 2р»~ 1- и минимизирован, сумму
г=о
п
2 7М/(*,) — Ф(хг)]2. (2)
г-0
Теорию построения таких обобщенных многочленов можно ввести
в рамки той общей теории, которая развита в начале этой главы.
Для этого рассматриваем в качестве множества R всевозможные
функции, заданные на [а, Ь\_. Функции f(x)£R и R счи-
таются тождественными, если /(xf) = g(xt) (z = 0, 1, 2, . .., n).
Нулевым элементом будем считать любую функцию, обращающуюся
в нуль в точках х0, хг......ха. Операции сложения элементов и
умножения их на числа вводятся естественным образом.
В этом множестве вводим скалярное произведение
п
(/ g)= 2 PifVcJgtxJ, (3)
i=0
где pi — заданные положительные числа. Очевидно, все
скалярного произведения выполнены. Норма элемента
обычным образом:
свойства
вводится
(4)
Il/Н =
1=0
Всевозможные линейные комбинации функций ср0(х), <fi (X), ,,
..., <?т(х) образуют линейное (т-4-1)-мерное подмножество R.
Следовательно, на основании обшей теории в этом подмножестве
найдется элемент наилучшего приближения для f£R в смысле той
метрики, которую мы ввели. Этот элемент будет единствен. Но
нужно помнить, что за этим элементом будет скрываться целое
множество функций нашего подмножества, принимающих в точках
хг заданные значения.
Будем теперь предполагать, что функции сс0(х), (х), , . Фте(х)
образуют систему Чебышева. Тогда обобщенный многочлен, при-
нимающий в точках Х^ заданные значения, будет единствен. Дей-
ствительно, если бы имелась два таких многочлена, (х) и Ф2(х),
го их разность ФДх) — Ф2(х) обращалась бы в нуль в
точках х}. Но мы предположили, что т п. Следовательно.
ФДх) = Ф2(х). При т — п единственное решение поставленной
задачи даст интерполяционный многочлен. Если т < п, то мы будем
говорить, что нами получено приближение по методу наименьших
квадратов.
Практическое отыскание многочлена наилучшего приближения
по методу наименьших квадратов также не выходит за рамки общей
теории. Если
Ф (х) = с0?0 (х) + (х) -|- ... + стут (х) (5)
является многочленом панлучшего приближения для R, то
должно быть
т
2 cj (<f>;, %) = (/, %) (* = 0,1,2.......m). (6)
з-о
или, вводя обозначения
Syk = 2 Pi'fj (Xi) % (Xi); г, = 2 Рг/u,) <fk (хг). (7)
1=0 1=0
найдем, что ск удовлетворяют следующей системе линейных урав-
нений:
с05ооД~с15ю+ — г0>
fosoi — cisll + • • • +c«nsmi = ri- (8)
—I- • • • CmSmm rm.
Определитель этой системы как определитель Грамма системы
линейно независимых элементов ft, 'ft, положителен и
с0. ct, .,., ст найдутся единственным образом,
Можно было бы даже не изменять обозначений предыдущей
части этой главы, если бы мы там взели скалярное произведение как
ь
(/, g) = J f <х) g(x)do(x),
а
где а(х)— некоторая фиксированная функция ограниченной вариа-
ции, а интеграл берется в смысле Лебега — Стильтьеса. При этом
мы пришли бы к результатам этого параграфа, если взяли бы
в качестве а (х) некоторую функцию, имеющую п -Ь 1 точек
роста х0, Xj....хп.
§ 9. Приближения по методу наименьших квадратов
алгебраическими многочленами
Функции 1, х.......хт образуют систему Чебышева на любом
отрезке. Поэтому вся теория предыдущего параграфа будет при-
менима. Приведем пример на применение этой теории.
Пример. Для функции sin тех на отрезке [—1, -j-Ц найти
среди многочленов степени не выше трех многочлен, дающий
наилучшее приближение но методу наименьших квадратов, если
используются значения функции в точках
х0 — —1; Xj —— 0,5; х2 = 0; х3 = 0,5; х4= 1.
Для отыскания коэффициентов са, сг, с2, с3 многочлена
РЛх) — со cix ~i~c2x2 Ч- сзх"
имеем систему.
С0$00 4“ С 1$10 c2s2O Ч- сЗ$ЗО — Д’
С0$01 4~Д$11 4~ С2$2| Ц-^З^ЗГ ~ Г1-
с0$02 “Т- С1$12-С2$22 С3$3? = Д,
С0$03 Ч~ Ч$!3 4~ С2$23 4“ Д$33 — гз>
где
$оо — 1 ~Ь 1 4~ 1 4~ I 4~ I — 5,
s01 — До = — 1 — 0-5 — 0 д- 0,5 -4- 0 — 0,
$02== $п $20 I 4- о -* 0 0.25 —1 = 2,5.
$оз = $12$21 $зо — - — 0,125 —I— 0 —г— 0,125 4- * 6,
$04 Дя $22 $зг $40 1 —0,0625 -j— 0 —0,0625 12,125,
= s23 = 5за — = %. = — I — 0,03125 + 0 4-
4-0,3125+ 1=0,
Soe= sji — s24 — ^зз= s,2= Ssi — 5eo — 1 + 0,015625 + 0 +
+ 0,015625+ 1 = 2,03125
r0 = 0-1+04-1+0 = 0,
rj = 0 + 0,5 + 0 + 0,5 + 0 = 1,
r.,= 0 — 0,25 + 0 + 0,25 + 0 = 0,
л3=0,125 + 0,125=0,25,
t. e.
5ro + 2,5c2 = O, 2,5Ci+2,125c3= 1,
2,5co+2,l25cti=O, 2.125CJ +2,03125c3 = 0,25.
Отсюда
n 8 8
Cq — c2 — 0, Cj — , c2 — g
и
О
PZ(X) = —(X — X3).
о
Изложенный здесь метод имеет два существенных недостатка:
1) для отыскания коэффициентов этого многочлена приходится
решать систему из /п+1 уравнений, что при больших т затруд-
нительно;
2) если мы выбрали т и построили многочлен наилучшего при
б.тиженич и оказалось, что точность приближения недостаточна, то,
увеличив т, нам придется заново повторять все вычисления.
1. Система многочленов, ортогональных на множестве равно-
отстоящих точек. Мы освободимся от этих недостатков, если
найдем систему ортогональных многочленов в смысле того скаляр-
ного произведения, которое нами введено. Естественно, что система
ортогональных многочленов будет зависеть от расположения узлов
и от весов Pi. Мы ограничимся простейшим случаем, когда веса
//{=1, а узлы равноотстоящие. Пусть нам дано п+1 узлов х0,
х,....хп, Xi—Xi,1 = h. Если предварительно выполнить замену
, X — Хп
х =—то точки х0, Хр .... хп перейдут соответственно
в 0, 1, 2...п. Будем считать, что эта замена уже выполнена,
и вместо х' снова писать х.
Будем теперь строить многочлены Рк,п(х) (£ = 0. 1, 2, . ..
..., т + п) последовательно возрастающих степеней (Р>:,п(х)—
многочлен в точности степени k), обладающие свойством
п
2Я/,»(СЛ,»(0 = 0 (ИИ. (1)
i^0
Так же как и в том случае, когда рассматривались значения много-
членов во всех точках отрезка (а, д], можно доказать, что наши
многочлены определятся однозначно, с точностью до постоянного
множителя. Чтобы определить их совсем однозначно, потребуем,
чтобы при х = 0 они равнялись единице.
Прежде чем переходить к построению многочленов Рь, п(х),
рассмотрим некоторые свойства факториальных многочленов. Фак-
ториальным многочленом порядка п называют многочлен
степени п с коэффициентом при старшей степени, равным единице,
обращающийся в нуль в точках 0, 1.......п— 1, т. е.
x<»> =х(х—!) ... (х —«4-1). (2)
Очевидно, что любой многочлен степени п можно представить как
линейную комбинацию факториальных многочленов степеней, не
превосходящих п.
Имеют место следующие тождества;
(х +!)<•>- х» = |3)
2(х+Л'« = ^+А+^^1. (4)
у=о
Первое из них легко проверяется;
(х+])<п’-х(я) =
= х(х — 1) ... (х — п + 2)[(х-j- 1) — (х — n-j- 1)] = nxf”-1).
Для доказательства второго выпишем последовательность первых
тождеств, взяв п равным &4~1, сдвигая каждый раз аргумент на
единицу:
(х+ 1)(*+1) — х(*+1) = (й-Н 1)х«,
(х 4- 2)(*+1> — (х 4- 1)№+1) = (k + 1) (х 4- l)(t),
(X + п + 1)(*+1) — {X + = (А 4- 1) (X + nf'.
Складывая эти тождества почленно, получим:
(X + п 4- 1 )(*+1) - х(*+1) = (А 4- 1) 2 (X
Отсюда и следует утверждение.
Искомый многочлен будем искать в виде
^m,n(x)= »4-М(1)4-М(2,4- ••• (5)
и потребуем его ортогональности к
(x4-^)w = (x-i-^)(x4-A:—1) ... (х4-1)
при всех k = Q, 1......т— 1, т. е.
2(f + A)wPn,„(O = O (* = 0, 1, 2, . ... т — 1). (6)
г—О
Имеем:
(х + k)w Рт, п (х) = (х + А)(&) + (X Ч- k)(k} х(1) 4-
+ Ь2 (х 4- k)w х<2) — ... + Ьт (х 4 k)m х(т} =
= (X + A)(i) + М* + *У*+1) + • • 4 bm (X 4 k)M.
Отсюда, используя второе тождестзо, получим:
2 (( 4- kf} Рт, „(0 = 2 (< 4- Л)(л> + ti 2 0 4- &У**1’ + • • •
г—О г—0 г—О
• •• + + =
i =0
(k f- n 4 l)(/c+1> — *(A+1> , U4n41)(t+3)-^'t3)
Hl *42
(k 4 n 4 i)i*+”+1> — a4+ot+1)
H« + l ~
1-. rib J n®b2 n^btll
Hl
k 4 m 4 11 ‘
Таким образом, для отыскания коэффициентов Ьк (k = 1. 2, .. т)
получаем систему из т уравнений:
1 I nbi , п'а42 , п^Ьт
А:4 1 /г 42 “Г" ^.гд“Г “г
(fe = 0, 1..т— 1) (8)
или, полагая n^ibi = ai, систему
_ I | Д1 I ач I ।____aVi ___ . ।
4:i 442^^43^ • “г /?4 и4 1
(А==0, 1, ., ., т— 1). (9)
Для решения этой системы применим следующий прием. Рассмотрим
функцию
1__। Д1 । Дг_____ I___avi___
Х41"^Х42^Х43 х д- т. д- 1
___________<?(х)_______________4?(х)
(х41)(х42)... (х4m4 1) (X4m41/mxl)
(Ю)
Здесь Q(x) есть многочлен степени не выше т. В силу наших
уравнений Q(x) обращается в нуль в точках х = 0, 1,2......т— 1.
Следовательно,
Q(x} = Cxw.
Для отыскания постоянной С умножим последнее равенство на
х -4 1 и положим х — — 1. Получим:
1 - = с(-1>ТОзд! _ с (-1 )-
т. е. С — (—l)”1, и
Q(X) =(—!)”* x(ffl). Ш)
Таким образом,
1 . _£i_ . ат = (—Г)тх(т>____ (12
X 4” 1 X 4” 2 X |- /И -j” 1 (х "4’ .77 4~
Освобождаясь от знаменателей и полагая х ——(/е —1), получим:
ак(т — k)(m — k -1) . .. 1 (—1)(—2) .. . (— k) =
= (—!)’»(—*— 1)(— k— 2) ... (— k — т)
или
_ (_ 1)Л(й+1)(А: 4-2) ... 4- т) .л гк (|Ч|
к-------------—(—О ^т^т+к, (Id)
Я / -I \к /~>к f>k
ьк=-------~(к)-----• (14)
Подставляя эти значения в равенство (12), получим:
Ртп(х} = ^---------(15)
fc-o п
Так как произвочьный многочлен степени j < т можно пред-
ставить как линейную комбинацию (х-1- k' при & = 0. 1.........j,
то Pin, п(х) будет ортогонален к любому многочлену степени j <т.
В частности,
S Рк, п (D Рт. п (0 = 0 (k т). (16)
1-0
Вычислим теперь
п
1—0
Для этого представим Рт п(х) в виде
т
Рт, п (%) = 2 ^к (х Ч- (17)
/М
Тогда
2 р"п, п (о = 2 рт. п (о 2 вк а+*)№)=
i-0 i=0 .=0
= 2 в *! 2 (г+a)w рп, п (0! = в«2 рт.. а) а 4- «)(м)=
л-о Ь-о 1 1=0
='’.<»+”+»'"+‘’[^г+4^+ +£М <18>
или используя равенство (12) при х=т, получим:
п
2 Р*», п (0 = вт (т + п + 1)<яг+1)
i-0
(—1)’" тМ
(2m 4- l)fm+1) ’
(2т№}
Наконец, учитывая, что Вт = Ьп = -- —--, найдем:
/и! п'т>
УрЗ /А (™ + НГ+'
(19)
Ортогональные многочлены Рт.п(х) связаны следующим рекур-
рентным соотношением:
' /гТ ' С71+ *1 ~т>
т, п (X) -J- - 2 (2да
т (л 4- т-\- 1)
Рт + 1, п(Х) 4
2 (2m 4-1)
В самом деле, многочлен хРт п
виде:
хРщ, п (х)
Л»-1,я(*) = 0 (т>1). (20)
(х) можно записать в следующем
— асРт + 1. и (-V) %\Рт, п (-*-) ~Ь агРт-1, п 4 • 4 йт + 1 P<i> п (-*)•
Для отыскания коэффициентов а3, а4....wmu умножим обе части
равенства на Рк< „(х) (k т — 2), заменим х на i и просуммируем
по I от 0 до п. Тогда будем иметь слева:
п
2 ^к. п (0 Рщ, п (0»
г=0
что равно нулю, так как многочлен xPk,n(x) имеет степень-
меньше zn, а следовательно ортогонален Ртг п(х). Справа, в силу
ортогональности многочленов, останется только один член:
п
fc+1 Рк, п (0*
i=0
Таким образом,
т. е.
п
«я»-*+»2^,п(0 = 0 при k^.m — 2,
г=0
a3 = a4= .. =am+J —0, и мы будем иметь:
хРщ, п (•* • = a(/>n»+l, п (X) 4“ ЯцРт, п(-*0 —Ь З-цРт-1, п (•*)•
Для отыскания коэффициентов cq, а2 нужно составить три урав-
нения Эти уравнения мы получим, приравнивая коэффициенты при
хт+1 в обеих частях нашего равенства, а также полагая в обеих
частях х = 0 и х=1.
Заметим, чго
Л»,п(0) = 1; = i+z>t.
а коэффициент при старшей степени хт в Рт,п(х) равен
_ (—l)TO(2m)w
Из сравнения коэффициентов при х™ + 1 получим:
(_-1)™(2/п)да1 =а j ж+1 (2m 4 2)<™+1>
m'.n"'1' ' (т4-1)!«(’“+1> ’
или
°- 2(zm4-i)
Далее, при х = 0 получаем:
0 = ao + al + a2.
а при х= 1
, m(m-J-l)_______Г, (m-f-l)(m + 2) ]
1 п -°Ч п----------------------------J +
+ Ж1 [1 _ + a2 [ 1 - т ]
или, учитывая, что а0 а2 = 0, вместо последнего уравнения
получаем уравнение
и(т+1) (т 4-1) (m -f-2) m(m4~l) (m—1) т
1 -- GCq Gt i -—д
n n u n 1 n z
Подставляя найденное значение для получим следующие урав-
нения:
„ ।_____(т 4-1) (л — т)
«1+«2—- 2(2^ —]> ’
щ(/п4- l)ai4-(ra— l)/na2 = m(/n4- 1) — л ~r ---+ '
откуда
„ _Д. г _ те?-у-у 4-и
1 2’ 2 2(2«4-1)
или
хР (х\— (от+ 1) У.-т\ р
лгт, п \л) — 2 (2г | Л) Гяг+1> п у'л' ~т"
—|- ~2 Рт, п (-V) —
уто и требовалось доказать.
Так как
т (п -j- т + 1) р
~2(2w+"l)
Ро, п(х)=1; Р,. „(л)=1
2х
п
то из рекуррентного соотношения при т = 1 имеем:
п
2
или
, 2
1---------х
п
Pi. п (х) = 1
Полагая гп = 2, получим:
/ п \ г, 6л . 6л2
бх бх*
п — 1 “г п (п — 1)
П — 1 ' п(п — 1)
л (п 1: р („\ I
—2 75— п W Н~
2(п4~3) /
2-5 V
ИЛИ
/\п(*) = 1
2(6^ —3«+2)
30
л (л- 1) (л -2) -г(л—1)<л —2)
______20л з
п (п — 1) (л — 2)'
2
п
и т. д.
Имея ортогональные многочлены Рк< п(х) при всех k < п, легко
построить в Нт(,р) многочлен, дающий наилучшее приближение
к элементу ffR в смысле метрики этого пространства, Этот мно-
гочлен ищем в виде
Р т(.х) = С(>Р;. п(х) C{Pl.n (х) ••• -Р Стрт, п(х). (21)
В соответствии с обшей теорией для отыскания коэффициентов
получаем следующую систему:
Ci(Pi,n, Pi,n} = {f. pt,n) (1 = 0, 1, 2......т).
Отсюда
п
S/wpirnw
*-о
С« — „
(2Z +1)
п
^f(k)P1>n(k). (22)
к=О
(Z + « + l)(i+1)
Величина наилучшего приближения й?га находится из равенства
п п т
л=о
-pm(kw
Л-о
(гй-гП/г^ с*‘
А=0 ' '
(23)
Пример. Построение многочлена наилучшего приближения
в смысле метода наименьших квадратов для примера предыдущего
параграфа будет выглядеть следующим образом.
Учитывая, что
= Ц = Р^(у) = 1-2у±^,
D Z \ 1 43 I С 2 5>8
= 1—v^-r5j2------f-,
для коэффициентов многочлена
Р3 (У) = С(А, 4 (у) + 4 О') + C2ft. 4 (у) + С3р3, 4 (у)
имеем:
с0==_|. [0 — 1 4-0-4- 1 +01 = 0,
с'=4+°-1 -14+00+1 •(-1)+° • <- »1--4-
А = т+[0 1-1.(-1) + 0,.(-П+1.(-1) + 0.1] = 0,
с-=«+Й[°’ •<—2ГЧ-0-« -4-! 2-Ь 0 (—')] = у. .
Следовательно,
psW=_4(i_z)+4(1_«,v+5^_jF).
Делая замену у = 2х~^-2, получим многочлен наилучшего прибли-
жения к функции /(x) = sinzx на отрезке |—-1, +1] в совокуп-
ности многочленов степени не выше третьей:
___ о
= -.-(х — х3).
о
Для практического использования многочленов, ортогональных
на множестве точек 0, 1, 2, ..., п, составлены таблицы этих мно-
гочленов (см., например, Милк, Численный анализ).
§ 10. Применение метода наименьших квадратов
для сглаживания результатов наблюдения
Пусть в результате наблюдений получена таблица значений функ-
ции f (х) для значений аргумента jc0, х,.....х^. Будем предпо-
лагать, что значения аргумента х0, х;........ х\ найдены точно
или во всяком случае значительно точнее, чем значения функции
/(х}). Будем предполагать, что систематические погрешности,
а также грубые ошибки в значениях f (xt) исключены. С целью
уменьшения случайных ошибок и получения более плавного течения
функции /(х) применяют процесс сглаживания, состоящий в том,
что наблюденные значения /(х4) заменяют значениями / (xf), полу-
ченными в процессе вычислений, зависящих от выбранного способа
сглаживания.
Мы изложим способ сглаживания, основанный на методе наи-
меньших квадратов, предполагая, что значения х0, xv ...,
равноотстоящие, а все значения /(х4) имеют одинаковую точность.
Этот способ заключается в следующем. Предполагается, что функ-
ция /(х) на некотором участке, охватывающем я 4-1 значений
аргумента х, может быть достаточно хорошо приближена много-
членом степени т (т п). Для того чтобы найти сглаженное значе-
ние /(х<) в точке Х{, выбирают п -|-1 значений аргумента (из
заданных Xj) так, чтобы х« по возможности находилось посредине.
По наблюденным значениям функции в этих точках методом наи-
меньших квадратов строят многочлен степени т, приближающий
функцию /(х), и за значение f (xf) принимают значение этого много-
члена в точке хг-. Полученные при этом значения f (хг) обычно бы-
вают довольно близки к истинным.
Для практического использования можно заранее найти выра-
жение /(Xj) через наблюденные значения f (хг) при заданных т и п.
Часто выбирают п четным числом, а т нечетным. В этом случае
точка X} будет являться средней из точек, по которым строится
приближающий многочлен.
Ниже приводится несколько таких выражений. Для краткости
вместо f(x{) мы записываем fi.
т = 1
п — 2: /(-И)—у I/«-i *ЬА4~/г+д!;
п = 4: f (Х{) — — Ifi-2 4_/t-14~/<4_/i+i + А+г1;
О
п = 6- J (Xj) = — [f ,;_3 - fi 2 -\-fi + i Ч~/»+2 -f'fi , 3].
m = 3
n' = 4; 7(х<)= 35- f—3/j_2 12/j_1 4~ 17fi -I- 12/,-+1 — 3/p2];
« = 6: f (X{) — ( ~fi-i, 4- 3/,_2 -p o/f-i 4- i f t 4~
4~ ЙЛ+] - 3/i+2 — 2/f; 3];
n=8; <4-i) = £ЗГ - -'A'-*4“ 14/»-з + S9/f_2-j-54/^_,
+ 59/f 4 54/i+14- 39/i+2 4- 14Л r3 - 2]/i+4].
т = 5
п = 6: f (хг) = -гур- [5Д_3 — 30/, _2 131/i +
-f- 75/i+] — 30/, j.a-!- 5/i+3];
n = 8: /(Xj) =-yjg [15/i-4—55/г~з+ 30/, _2— 135/,-j -t-
+ 179/, 4- 135/i+1 4-30/{+2 - 55/i+34- 15/,+4|;
л = 10: /(x,) = ^ [ 18/г_ь - 45/,_4 ~ 10/,_s 4- 60/,_2 4- 120/,_, +
+ 143/, + 120/j+j + 60/,., - 10/,+s - 45/,+4 + 18/,+5).
Иногда сглаживание приходится производить несколько раз, но
при этом нужно иметь в виду, что многократное сглаживание мо-
жет сильно исказить истинную картину.
§ 11. Применение метода наименьших квадратов
к построению эмпирических формул. Решение систем линейных
алгебраических уравнений по методу наименьших квадратов
Пусть две переменные х и у связаны известной функциональной
зависимостью
у = /(х; ах, а2...атУ (1)
содержащей т параметров а,, а2, .... ат. Пусть при х = хь
х2, ..., х„(п> т) известны с некоторой точностью значения
У\- Уг- • Уп- Требуется найти значения параметров а{, а2, .... ат.
С такой задачей приходится встречаться при построении эмпи-
рических формул, выражающих в аналитической форме законо-
мерность изменения одной величины в зависимости от изменения
другой, если в результате наблюдений получена таблица значений
величины у при соответствующих значениях х.
Вид функциональной зависимости / и число параметров т
в некоторых случаях известны из каких-либо дополнительных со-
ображений. в других случаях вид функциональной зависимости усма-
тривается из графика, построенного по наблюденным значениям у,,
а число параметров и их значения подбираются так, чтобы эмпири-
ческая формула наилучшим образом отображала результаты на-
блюдений и была достаточно проста. В некоторых случаях, когда
не удается построить достаточно простую эмпирическую формулу,
выражающую достаточно просто зависимость у от х на всем диа-
пазоне изменения аргумента х, прибегают к построению ряда эмпи-
рических формул, выражающих эту зависимость в опреде шнных
более узких пределах изменения х.
Вернемся к поставленной задаче. Если бы значения у{ при х = Х{
были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто.
Нужно было бы из системы
У1 = at, а2, .... ат),
У2 — f (-Х" 2» ^1* • • •>
Уп~~~/^Хп°. @2’ ^т)
взять т уравнений и найти из них значения параметров ai (пред-
полагается, что эта система имеет единственное решение). При этих
значениях параметров были бы в точности удовлетворены все осталь-
ные уравнения системы. Если же yt, как и бывает практически,
являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо т
уравнений значения параметров а,. а2, .... ат, мы столкнемся с тем
фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять осталь-
ным уравнениям, причем оазность между правой и левой частями
для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система
чаще всего будет несовместна. Возникает задача так определить
значения параметров, чтобы в некотором смысле все уравнения
системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е.
найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая
формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений.
Одним из способов отыскания этих значений параметров
а{. ву, .... ат является следующий. Отыскиваются приближенные
значения параметров а”. а';...а'1, например решая систему, со-
ставленную из каких-либо т у равнений системы. Далее, ищутся
поправки к этим значениям
Oi=a“+-ai (/=1,2...........т.}. (3)
Предполагая, что поправки а{ достаточно малы, а функция /—до-
статочно гладкая функция, разлагают правые части уравнений си-
стемы в ряд Тейлора в окрестности точки (cj, Д3, ... д'/,,), удер-
живая лишь члены первого порядка относительно поправок, т. е.
f (хк; а15 а2..ат) =
т
= Кхк- al al .... al)^ 24 а», .......^)«4. (4)
i-i *
Вводя для сокращения записи обозначения:
f'a.(xk> а1 4 4») = 4< (А= 1, 2..........п; 1= 1,2, ...,т),
Ук-/(хк, al а°, .. ., «-;) = lk (k= 1, 2....n),
Вернемся к поставленной задаче. Если бы значения у,- при х = Х{
были известны точно, то задача принципиально решалась бы просто.
Нужно было бы из системы
Л =7 (*11 й2....................ат),
Уз --- Г (Д"2» й1» й2’ • • >
Уп~ f (хп< ^3’ > йт)
(2)
взять т уравнений и найти из них значения параметров а± (пред-
полагается, что эта система имеет единственное решение). При этих
значениях параметров были бы в точности удовлетворены все осталь-
ные уравнения системы. Если же у4, как и бывает практически,
являются приближенными значениями, то, найдя из каких-либо т
уравнений значения параметров а,, а2, ... ат, мы столкнемся с тем
фактом, что эти значения параметров не будут удовлетворять осталь-
ным уравнениям, причем оаэность между правой и левой частями
для некоторых уравнений может быть значительной. Наша система
чаще всего будет несовместна. Возникает задача так определить
значения параметров, чтобы в некотором смысле все уравнения
системы были удовлетворены с наименьшей погрешностью, т. е.
найти те значения параметров, при которых искомая эмпирическая
формула наилучшим образом согласуется с результатами наблюдений.
Одним из способов отыскания этих значений параметров
иу, а?, .... ат является следующий. Отыскиваются приближенные
значения параметров д”. al .... д„, например решая систему, со-
ставленную из каких-либо т у равнений системы. Далее, ищутся
поправки к этим значениям
д{=д?-|-а{ (г=1, 2, .... т).
(3)
Предполагая, что поправки а{ достаточно малы, а функция f — до-
статочно гладкая функция, разлагают правые части уравнений си-
стемы в ряд Тейлора в окрестности точки (д", д3, ... д^), удер-
живая лишь члены первого порядка относительно поправок, т. е.
f(xk-, д15 д2...ап1) =
т
= f(xk; al &.......д"г) + £/' (xft; «?• 4...................(4)
i=i *
Вводя для сокращения записи обозначения:
f'a.(xk‘> а1 .......am) = 4i (* = 1.2,..............n: i=12, ...,т),
Ук - f (*ft; <4 . С) = ik (л = i, 2..........п),
Решая систему нормальных уравнений одним из известных спо-
собов (подробнее об этом будет рассказываться в следующей главе),
найдем значения неизвестных ах, а.2. ... ат, которые для нашей
исходной задачи являются поправками к началвиым значениям па-
раметров, а суммы можно принять за искомые значения
параметров аг в эмпирической формуле.
Предыдущий способ дает удовлетворительные результаты только
в том случае, когда результаты измерений ур _у2, .... уп имеют
одинаковую точность, т. е. их среднеквадратичные погрешности
примерно одинаковы (см. гл. 1). Если этого нет, то целесообразно
сначала все условные уравнения привести к «одинаковому весу*.
Это делается следующим способом. Пусть среднеквадратичные ошибки
величин
Л- У2.....Уп
суть
Hl. •••• Рп-
Вычисляем величину
р,— р/^"Ь***'^ ••• +
и находим веса ।
Utt tt
= = •••’ Рп = ^'
Затем каждое условное уравнение умножаем на соответствующее
Очевидно, получим систему, эквивалентную исходной, в которой
правыми частями будут величины
имеющие одну и ту же среднюю ошибку р..
Это равносильно составлению нормальных уравнений из условия
минимума
п Г т Т2
$р = У, Рк 'к — X •
А=1 L » = 1 J
Заметим, что для упрощения вычислений вместо среднеквадратич-
ных ошибок можно брать величины, им пропорциональные, так как
это не меняет нормальной системы.
Наконец, отметим, что на задачу приближения функций, задан-
ной таблицей значений, с помощью алгебраического многочлена сте-
пени т по методу наименьших квадратов можно смотреть как на задачу
построения эмпирической формулы в виде многочлена степени ,п.
Роль параметров в этом случае играют коэффициенты многочлена,
причем система условных уравнений будет иметь вид
/{х{)= U=l. 2. «).
а коэффициенты многочлена наилучшего приближения в смысле
метода наименьших квадратов будут находиться как решение системы
нормальных уравнений.
Пример. Известно, что некоторая величина J зависит от
времени t следующим образом:
J = ae~st.
Измерения величины J, произведенные с одинаковой точностью,
дали следующую таблицу зависимости J от t:
t 0 1 2 з
J 2,010 1,210 0,740 0,450
Найти значение параметров а и р в этой функциональной зависи-
мости.
Исходные уравнения будут иметь вид
2,010 = а,
1,210 = ае-Р,
0,740 = ае-а?
0,450 = ав“3*’.
Решая приближенно первые два уравнения, найдем:
Яо=2,010, ^о = О,51О.
Ищем поправки-
0 = а —а0, q = p— р0.
Так как
— = e~pi, =— ate~pt,
со др
то
/’и=1. />21 = в"0-51 = 0,600, 631 = в-1-оз = 0.361,
= е-153 = 0,216,
*it=0, = — 2.01в-°-51 = — 1,206,
*32 = —4,О2е-1-оа = — 1,451, bi2 = — б.ОЗв-1-53 -- — 1,302,
/1 = 2,010 — 2,01в-°-51-0 = 0.
4 = 1.210 —2.01b-0-51-1 =0,004.
/3= 0,740— 2,01в-с-51-а =0,014,
/4 = 0,450 - 2,01b-1-53 =0,016.
Система условных уравнений запишется так:
₽ = 0.
0.6003— 1,206g =0,004,
0,3610— 1,4519 = 0,014,
0,2168 — 1,3029 = 0,016.
Система нормальных уравнений принимает вид:
[12 + 0,6002 4- 0,3612 + 0,216218 — 11,206 • 0,600 4-1,451 0,361 4-
4- 1,302 • 0,216]7 = 0,004 • 0.600 4-0.014 • 0,361 4-0,016 • 0,216,
— {0,600 • 1.206 4-0,361 1,451 4-0,216 • 1,302)34-
4-[1,2062 4- 1.4512 4- 1.3022] q =
= — [0,004 • 1,2064-0,014 • 1.451 4- 0,016 1,302],
или 1,5378 — 1,529g =0,011, — 1,529р 4- 5,255g = — 0,046,
откуда £ = — 0.004, д = —0,009,
а а=2,006, р = 0,501, J=2,0C6e-°5O1/.
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей,
тригонометрическими многочленами по методу
наименьших квадратов
В § 8 мы рассмотрели общий случай приближения табличной
функции по методу наименьших квадратов с помощью функций
некоторой системы Чебышева. Пусть теперь узлы расположены на
отрезке (0, 2к]
0 < х1 < х2 < ... < х„ <12тг,
и в качестве системы Чебышева возьмем тригонометрические
функции:
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .... cos rax, sin rax. (1)
Будем предполагать, что /V^2ra-|-1. Б этом случае согласно об-
щей теории будет оанозначко определяться тригонометрический
многочлен
п
Тп (х) = й0 4- X (а* cos kx ~Н sin kx) (2)
t=i
наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов
для произвольной функции, заданной в точках xf. Коэффициенты
этого тригонометрического многочлена будут удовлетворять системе
уравнений
п г Л А' . JV
ЛЧ4~ 2 \ак 2 coskxj-^-bk V ьшйх/ = 2 f(xi)>
Л=1 I Z = 1 Z=1 J ft==l |
N n / JV
«0 2cos ixi + 21 ak 2cos &xiccs lxi +
1=1 k^l ( M
Л \ N
bk 2 sin kxl cos 1хг I = 2 / <xi)cos
!-l J l-i
X n f N
aQ 2 s*n lxi 4-2 Мл 2cos kxt s*n ixi 4-
l-i k—1 I l-i
N I N
-h &k2 sin Axzsin/xJ = 2/(*f)sln ixt (Z=l, 2..............n). |
l-l J 1=1 )
(3)
Решив эту систему, мы сумеем найти приближающий многочлен.
Как мы знаем, система упростится, если функции системы Че-
бышева ортогональны в смысле той метрики, которая нами вво-
дится при изучении табличных функций Для тригонометрических
многочленов оказывается, что не нужно производить никакой орто-
гонализации, если р^=1 и узлы равноотстоящие.
Пусть
2тс
Xi = a, х2 = 2а; ..., хЛ. = No., а = . (4)
Тогда справедливы следующие равенства:
N N
2 cos kxt = 2 sin kxt = 0 (k Ф Np, p — целое число),
l-i i-i
Л N
2 COS kXiCOS rXi = 2 s-n S’n rxl = 0»
l-l " 1=1
(5)
если £-[-г и k — г не являются кратными N и k r.
N
2 cos^x? sin rx? = 0 при всех fe, r;
i=i
N. N \
2 cos2 fexz — 2 sin2 &xi — ~2 (2й =P- Np).
§ 12] ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ-ТАБЛИЦЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. МНОГОЧЛ. 453
Таким образом, в этом случае сами функции тригонометрической
системы ортогональны.
Чтобы доказать написанные ками равенства, рассмотрим
N
ikx.
2/ — 1
при k Np.
Отделяя здесь действительную и мнимую части, получим пер-
вое равенство. Цалее,
N N N
V COS kXi COS гхг = - ^ COS (fe 4- г) -f- у 2 cos (k ~ r) Xl'
1=1 1=1 1=1
N N N
V sin fix, sin rxt = ± cosffe — c) 2 COS (ft 4- <) X[.
1=1 l-l 1=1
Суммы, стоящие в правых частях, равны нулю, если fc-f-r и k — г
не являются кратными ЛГ Аналогично
N N N
V cosAxj sinrx; = У V sin (k ф-r) хг — % sin(k — r)xt = Q
i-i i=i i=i
при всех k и г.
Наконец,
х и
cos2 kxt — -1 V [ 1 4- cos 2fcx,J = ,
«_! J-l
N
sin2 kx; = A 2 (1 — cos 2^1 = -y- •
t=i i=i
если 2k не кратно iV. Если же 2k кратно V, то
2 cos2 kxt — N, a 2 sin2 = P
В силу полученных нами равенств система для определения
коэффициентов упростится и примет
л
Л''ао=2/(хг)’
N
(Xj) COS lxt,
вид
(7)
пли
N
sin/x.
(г=1, 2....п)
л
l-l
N
ai = ~i)''Eif<Xi> WSlXt,
l-l
N
b\ = ’N / (xi> sin ixi
(/=1,2..п).
(8J
Последние формулы носят название формул Бесселя. Заметим,
что
формулы Бесселя можно получить из формул для коэффициентов
Фурье функции /(х):
2тс
“0=2^7
О
2тс
4 =
cos kx dx,
(9)
о
О
если вычислять входящие в них интегралы приближенно, используя
формулу трапециЗ, полагая f (0) = / (2w).
Укажем также на связь коэффициентов, полученных по форму-
лам Бесселя, и коэффициентов ряда Фурье функции f (х), если эта
функция разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье:
СО
/ (х) = а0 2 (ал cos kx + sin kx).
Учитывая наши равенства и беря N='2p, будем иметь:
N ip г
во = у (Xl) = S “о + X(а*ccskxi 4- sinkX1-}
z=i z=i l *=1
co ( ip ip \
4~y, У (=A У cos kxt 4- £ sin kxt:
4-11 Z = 1 1 = 1 I
N
a> = у X №)cos rxi = 7 X
J=1 Z = l
a; 4- У (at cos kxt 4- sin kxt)
к=1 -1
2p oo | ip
x COS rxt = -° V cos гхг 4- у 2 «fc X cos kXl cos rXl 4- X
Z-l 4-1 1 z-l
®p
X У Sln ^Xl C0S rXl } = ar 4-a2p+r 4“a4p-r ~ha4p+r 4~ • • •>
z-l
N ‘^P Г “* °°
br = У f (xi) sin rxi = у X «о 4- X (a* cos kXl + 8in kxi)
z-=l 1=1 k=l
2p co f ip
X Sin rx( = У sin rxz 4—| 2 : 4 S COS kXl Sln rX1 +
!-l k-l\ 1-1
2p
4- Рк У sin kxt sin rxt
Z = 1
Таким образом,
o-о = a« 4- 4- «ip 4" asp 4- • • • >
ar — ar 4- a2p-r 4- a2p+r 4- ^4p-r 4~a4p+ r 4- • • •.
— .‘r $2p — r 4- ?2p+r ^4p-r 4 ^ip+r • • •
(10)
Если коэффициенты a4, В,, быстро убывают, то основное значение
имеют первые члены этих рядов. При небольших г аг и hr будут
близки к ar и рг, а при больших г расхождение будет, вообще
говоря, больше.
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов а0- Ьк
в случае ^= 4/?
Значения coszx; и sin/xz, входящие в формулы Бесселя, будут
совпадать или различаться лишь знаком даже при различных зна-
чениях i. Этим часто пользуются, чтобы создать различные удоб-
ные вычислительные схемы. Одну из таких схем мы и рассмотрим
в этом параграфе. Как уже указано в заголовке, берем N = 4р.
В этом случае —1. Будем разыскивать .многочлен в виде
Т (х) = а0-\-а1 cos х Д- а2 cos 2х -|- ... -I- о2р_1 cos (2р — 1) х -|-
-|-<z2pcos '2рх-Ь~ bL sin х -4~Ьг sin 2х -4- ... -Jrb2]-^1 sin (2р—1)х. (1)
Для коэффициентов ак, Ьк многочлена наилучшего приближения мы
имеем следующие формулы;
4р 4_р
а° = i S (Х(); а*р i S (” (Хг):
г-i р z-i
4р 4р (О')
1 V1 1 V5 'z'
as=Ър 2лf coskxi' bk=2p 2л f(X/)sinkXi
г-i r г=1
= 1, 2, .... 2p — 1).
Выражения для a2p мы не имели. Получим его. Для отыскания и,р
мы имеем уравнение
4р 4р
а2р Ju cos2 2pxl = 2.f(xi) cos 2рхг.
г о г-i
Так как xt — al
то cos 2рхг = cos nl = (—1)!. Следовательно,
cos2 2рхг = 4р:
4р 4р
Ju f (xt) со s 2pxi = 2 (— 1)! f (xi)
Z=1 /-1
4p
a2p = vS(—
F г-i
Займемся упрощением сумм, входящих в выражения для коэф-
фициентов. Для этого заметим, что
, k (4р — Г) я birr
COS КХ.„_, =*СО8 —- -------- - = COS : - =COS kXi,
*p 1 2p 2p 1
. , . k(4p—l)v . kin . , (4>
sirx/г n_i = sin ——-— = — sin-pr- = — sin дх;.
? 1 2p 2p 1 )
Следовательно, в суммах можно объединить члены, равноудален-
ные от концов. Вводя обозначения:
5о = /(^р): sip = f(x2p}' 1
si ~ f (xi) f (Х4Р-i)' di = f (Xj) f (x4p-i) (I= 1, 2, .... 2p —1), J
можно выражения для коэффициентов переписать следующим обра-
зом.
2p
2р
1=0
2p
^=2L,7 ^Sze0S^A'f.
# i-o
Ьк = X dl Sin kX1 <* = 1 • 2..................2P —
(6)
Далее, для четных значений
, n . (Чр — Z) я
cos kx2p_i = cos 2J -^-7-----
• l . n . (2p — Z) я
sm kx2p_, = sin 2/ ---
k (й=2/) имеем:
2у7я
= cos -4— =
2p
2Дя
= — sin —
2P
cos 2_/Xj = cos кхг,
sin 2/x; = — sin kxt, I
(7)
а для нечетных значений k lk=4j— 1):
, (2p— Z) Я (2/—1) It.
COS&X2o-J = €08(2/— 1) —I— =— COS v 7— = — COS&Xp
zp zp
sin кх2р_г = sin (2j — 1) = -f-sin = sin kxt.
(8)
Таким образом, можно снова объединить члены, равноотстоящие
от концов. Если ввести обозначения
°р — SP’
al = si+ S2p-1,
I = Sl --S2p-l
</ =
p p
a' — dl -|- d2p_i,
^i = ^i — d2p_l
то Формулы можно записать
p
flo = ^ \
1=0
1 p
а23=—р^
1=0
p-1
b2j= \ ^Sin2jxz,
l-l
(Z= 0, 1.......p— 1),
(/=1. 2..........p-1),
в таком виде:
p
a^ = 4p ^г<31-
I-a
1 P1
at, -1 = cos (2/ — 1) Xl
1-0
1 P
b2j-l = 2^ h Sin XZ
P i-:
(10)
Вычисления сумм и разностей удобно располагать следующим образом;
/<р /1 Лр-i /г ftp- /з •• -2 Лр- 3 • • • fip-t • Cp+i ftp
Суммы • s0 $1 s2 S3 • $2p -1 S2p
Разности . * • d2p-i
«0 «1 $8 «3 $p-i SP
$2р §2р —1 $2p- -2 S2p~3 • • • sp+i
Суммы . . «о «I «2 a3 • ap-i °p
Разности . . Во 51 82 53 • •• sp-i
d> ^2 • • ^p-i dp
dip-i $2p -2 <^2p-3 dp+i
Cyi «мы . . f • а1 °a a' ... a' 3 p-
Разности . . В' 8' 8' ...
А Случай /2 ординат.
В этом случае будем иметь:
А /г /з ft ft,
fл fit fio fs fn ft
Суммы . « • io Si S2 $3 S„ s5 se
Разности • • di d2 d$ d^ d^
«0 «1 s2 S3 d\
se S5 dr, d4
Суммы . . . an «1 <52 c3 Суммы . < as
Разности . . 80 8i Разности . . 8'1 «2
Дальнейшие вычисления удобно производить по схеме:
sin 30° = 0,500 sin 60° = 0.8G6 sin 90° = 1,000 sin 90c = 1,000 °0 °i °? 4 Bo Bi — ’2 °o ai — °3 so 62
Суммы I 11 1 11 1 II I II
Суммы l-у II Разности / — Il 12a2 12af. 6a5 6a2 6a4 6aa
Продолжение
sin 30° = 0,500 sin 60° = 0,866 sin 9U° = 1,000 ®1 f J3 °2 *>2 / °3
Суммы I II I II I II
Суммы I _f_ 1 ( Разности I — II 66, db\ 66ч 664’ 668
При вычислениях по этой схеме нужно выполнить умножение
величин, стоящих в столбцах, на синусы углов, стоящих в соот-
ветствующих строках, и найти суммы произведений по столбцам.
Далее, составляя суммы 1Д-11 и разности I —11, найдем коэффи-
циент ай и Ьк, умноженные на указанные в таблице множители.
Б. Случай 24 ординат.
Л /г /з А /б /( fi fs /ъ fio fn /12
/24 Аз /22 /21 /20 /14 /1В /ч / 6 /15 /и /13
СуММЫ . . . Sy Si S2 S3 S, S$ Sg S^ Sg Sg Вщ S44 Sj2
Разности . . dt d2 d3 dt db dt d^ d* de d10
$1 ^2 $з *0
$12 S11 $10 $9 $R $7
Суммы . . . O0 Oj s2 °3 °4 °6 °6
Разности . , So 8j 82 83 B5
d^ d2 d3 dt d,, d а
^11 ^10 A A A
Суммы . . . aj a; c' 0' a' o'
Разности . . 8' 8' 6' 8' 8'
1 «3 3 4 5
Дальнейшие вычисления можно расположить по схеме, приве-
денной на следующей странице. Порядок вычислений по этой схеме
такой же, как и в случае 12 ординат.
Имеется ряд других схем для вычисления коэффициентов
по формулам Бесселя. Широкое применение находят наборы шаб-
лонов, например шаблоны Лопшица. Разработаны и разнообразные
графические методы гармонического анализа кривых, а также суще-
ствуют разнообразные конструкции особых приборов — гармони-
ческих анализаторов.
Подробно о методах гармонического анализа можно прочесть
в монографии М. Г. Серебрянникова «Гармонический анализ».
соу 0° a0 + + + a4 + a6 31 "I" a3 + + ®5 So °o— °e 8# — S4 °o + ae — ’3 80 $o — a4—
cos 15° / »1 85
cos 30° So »1~ ®5 -83
cos 45° 83 8] 83— -A — 83
cos 60° 81 —34 —aa—’4 ’1 + s5 84
cos 75° 86
Суммы I II I II I 11 I 11 1 II 1 II 1 II
I Ч- II 24tzn 12a, 12a? I2as 12a4 12a5 12a6
1 —II 24a„ 12a9 12a8 12a7
sin 15° / ’1 / J5
sin 30° / ’2 8l+85 / a2
sin 45° ^+’3— f / — C3
/
460 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
sin 60е f °4 $2+ 84 <-б' 82“84 t — 1
sin 75° а5 / а1
sin 90° / ’6 83 / / а2 а8 / ао 8з
Суммы 1 11 1 11 I 11 1 11 1 1 11 1 11
1 + П 12*j 12*» 12*, 12*4 12*5 12*6
1 — 11 126п 12*ю 12*9 12Z-8 12*,
Пример, Найти коэффициенты тригонометрического многочлена, наилучшим образом приближающего функ-
цию / (х), заданную таблицей:
X» 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
л 2,611 3,102 2,912 2,105 0,612 — 1,321 — 1,906 — 2,412 — 2,802 — 2,703 — 1,610 1,500
§ 13] СХЕМА РУНГЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
1,500 2,611 — 1,610 3,102 — 2,703 2,912 — 2,802 2,105 — 2,412 0,612 — 1,906 — 1,321
Суммы S Разности d 1,500 1,001 4,221 0,399 5,805 0,110 5,714 — 0,307 4,517 — 1,294 2,518 — 1,321
Продолжение примера
1 1,500 -1,321 1,и01 — 1 294 0,399 —0,307 0,110 4.221 2.518 5,805 4,517 5,714
Суммы а Разности в 0,179 2,821 — 0,293 2,295 0.092 0,706 0,110 Суммы а' Разности о' 6,739 1,703 10,322 1,288 5,714
sin 30° = 0,500 sin 60° = 0 8б6 sin 9о° = 1,000 sin 90° = 1,000 0,179 0,092 — 0,293 0 110 0,706 2,821 2,295 — 0,092 0,179 — 0,293 -0,110 2,821 0,706
Суммы 0,271 — 0,183 3,174 1,987 0,133 — 0,256 2,821 0,706
Суммы 1 | П Разности 1 —11 12«0 = 0,088 12 «в — 0,454 6«j = 5,161 6«5= 1,187 Ь«3 = -0,123 6«4 = 0.389 6«3 = 2,115
sin 30" = 0,500 sin 60" = 0.866 sin 90" = 1,000 6,739 5,714 10,322 1,703 1,288 6,739 5,714
Суммы 9,084 8,939 1,475 1,115 5,739 5,714
Суммы I + 11 Разности I — П 6*! = 18,023 65s = 0,145 653 = 2,590 654 = 0,360 656 = 1,025
л0 = 0,007; at = 0,860, «а = —0,020; о, =0.352; «* = 0,065, а6 = 0,198;
462 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
«в = 0.038; Л( = 3 004 = 0,432;
6а
СП
Ь3 = 0,171. = 0,060, 5t = 0,024.
УПРАЖНЕНИЯ
1, Разложить на отрезке |—1, -|- 1] функцию f (х) = | х| по многочле-
нам Лежандра
ОО
□ „ lyi....! | У г. п»-М (2я — 2)! (4zt-ф 1)
и—1
2. Разложить при х>0 по многочленам Лагерра функцию / (х) = е -а&
3. Используя разложение по многочленам Чебышева, найти многочлен
наименьшей степени, равномерно приближающий на отрезке [—-1, -ф1]
функцию/(х) = с точностью 10-5
У Казани е. Воспользоваться разложением
и
ОО
1 — a cos t V* j. ,. , ,
----------—,—- = > ап cos nt (. а < 1)
1 — 2а COS / + a3 ляЛ '1 1 ’
П—О
4. Найти но методу наименьших квадратов приближенное представле-
ние функции /(х) = т—т— по ее значениям в точках х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
1 j х
7, 8 многочленом четвертой степени.
5. Аппроксимировать следующие данные многочленом второй степени:
X 0 1 2 3 4 5 5 7 8 9 10
У 3 87 156 210 238 252 239 211 158 90 —5
6. В результате эксперимента получены следующие значения функ
Нии f (х) с периодом 2х:
Х1 15° 30° 45" 60" 75’ 90° 105° 120е 135° 150° 165° 180°
h 1.31 1.84 2,33 2,51 2,54 2,39 2,12 2,08 2,48 3,44 3,81 3,63
*1 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285е 300° 315° 330° 345° 360°
fl 3,19 2,01 0,92 — 0,64 —1.73 —1.98 —1,76 —1,68- -1,57- -1,32 -0,32 —0,62
Найти представление этой функции тригонометрическим многочленом
7. По методу наименьших квадратов решить систему уравнений
х -|- у = 3,0, х + Зу = 7,0,
2х — у = 0,2, Зл -|- у = 5,0,
ЛИТЕРАТУРА
1. И П Натансон Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949,
2 Н И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, 1947.
3. М, Г. Серебрянников, Гармонический анализ, Гостехиздат, 1948.
4, Б М Щиголев. Математическая обработка наблюдений, Физматгиз, i960.
5. К. Л а и ц о ш, Практические методы прикладного анализа, Физматтнз, I9GI.