Текст
АКАДЕМИЯ НАуК СССР
С.Н.БЕРНШТЕИН
СОБРАНИЕ
СОЧИНЕНИЙ
т ом
конструктивная
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
[19О5-193О]
И ЗДАТЕ ЛЬСТВО
АКАДЕМИИ НАуК. СССР
ИЗДАНИЕ ПОДГОТОВЛЕНО АВТОРОМ
ПРИ РЕДАКЦИОННОМ УЧАСТИИ
И. АХИЕЗЕРА, В. Л. ГОНЧАРОВА, А. Н. КОЛМОГОРС
С. М. НИКОЛЬСКОГО и И. Г. ПЕТРОВСКОГО
ОТ АВТОРА
Считаю своим долгом выразить глубокую благодарность руководству
Академии Наук СССР и лично покойному президенту Сергею Ивановичу
Вавилову за высокую честь, оказанную мне решением издать собрание
моих сочинений в связи с моим семидесятилетием.
Издание предположено в четырех томах: том I — Конструктивная
теория функций A905 — 1930 гг.); том II — Конструктивная теория
функций A931 —1950 гг.); том III —Дифференциальные уравнения,
вариационное исчисление и геометрия A903—1947 гг.); том IV — Теория
вероятностей и математическая статистика A917—1946 гг.).
Для пояснения заглавия первых двух томов, быть может, уместно
будет напомнить следующие слова из моей обзорной статьи B00*), напеча-
напечатанной в 1938 году: «Конструктивная теория функций вещественной пере-
переменной, возникшая на основе синтеза идей двух великих математиков про-
прошлого столетия—Вейерштрасса и Чебышева, представителей глубоко раз-
различных направлений математической мысли, получила самостоятельное
существование примерно двадцать пять лет тому назад, причем ведущая
роль в этой области анализа принадлежала и принадлежит математикам
нашей страны... Объем конструктивной теории функций принципиально
почти полностью совпадает с общей теорией функций, исключая из
рассмотрения лишь трансфинитные процессы. Таким образом, различие
между обеими теориями преимущественно методологическое: первая
восходит от частного к более общему посредством построений, связанных
с той или иной группой конкретных проблем, вторая идет обратным
путем».
Хочу высказать здесь искреннюю признательность академикам
A. Н. Колмогорову и И. Г. Петровскому и профессорам Н. И. Ахиезеру,
B. Л. Гончарову и С. М. Никольскому за участие в редакционной подго-
подготовке настоящего издания, а также особо отметить помощь, повседневно
оказываемую мне моим молодым учеником кандидатом физико-матема-
физико-математических наук В. С. Виденским.
С. Бернштейи
СОКРАЩЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. При цитировании статей автора, помещенных в данном томе, ссылки на них
делаются указанием номера (например, [10]— «Об одном свойстве многочленов»),
при цитировании же статей, не входящих в этот том, указывается номер со звездочкой
(например, B00*)), соответствующий общему списку, помещенному в конце тома.
Кроме того, введены обозначения: «Э. П.»—часто упоминаемая монография «Об
экстремальных свойствах полиномов» (М.—Л., 1937); «L. S.»—французская монография
«Leqons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d'une variable reelle» professees a la Sorbonne (Париж, 1926); «О»—работа
«Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes
de degre donne», премированная Бельгийской академией в 1911 г. и напечатанная
в ее «Трудах» в 1912 г.
2. При ссылках на комментарии указываются две цифры (например: [25.2]
означает комментарий второй к двадцать пятой статье этого тома).
3. Подстрочные сноски в тексте, как правило, воспроизводят соответствующие
сноски оригиналов. Все новые сноски отмечаются звездочками и подписаны «Ред.»
(редакция) или «Автор».
4. Отклонения от первоначального текста статей, допущенные в виде исклю-
исключения, оговорены в комментариях или сносках.
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ *
Недавно на конгрессе в Гейдельберге Э. Борель поставил вопрос
о сходимости рядов многочленов, получаемых при интерполировании.
Этот вопрос был ранее детально изучен К. Рунге1. Результат этого иссле-
исследования сводился к следующему: приближающие непрерывную функцию
многочлены, определяемые формулой Ньютона, могут, вообще говоря,
не сходиться ни к какому пределу. Это исследование еще раз подтвер-
подтверждает, что] обычно ч возможность разложения функции в те или иные
ряды многочленов на данном отрезке существенно зависит от регуляр-
регулярности функции (предполагаемой аналитической) в некоторой определен-
определенной области, содержащей этот отрезок.
Практик (который не счел бы вычисление формулы Ньютона слишком
кропотливым) мог бы, конечно, возразить, что непосредственный опыт
не воспрещает ему отождествить рассматриваемую им функцию с много-
многочленом и приписать ей, таким образом, желаемую регулярность в ком-
комплексной области. Но как раз отмеченному выше теоретическому обсто-
обстоятельству соответствует практически важный факт, что незаметное
изменение экспериментальных данных ведет к значительному изменению
значений приближающего многочлена в некоторых промежуточных
точках.
В действительности практики предпочитают пользоваться для при-
приближенного представления своих функций ломаными линиями, вер-
вершинами которых служат экспериментально определенные точки. Ясно,
что этот последний метод интерполирования позволяет представить
функцию с той точностью, какую доставляют прямые измерения. Мне
показалось интересным свести вычисление этих ломаных линий к
аналитическому алгорифму. Это легко; мы увидим, что достаточ-
достаточно ввести функцию \х\, которая обозначает, как всегда, абсолютное
значение х.
* Sur Tinterpolation. «Bull. Soc. Math, de France», t. 33 A905), стр. 33—36 (9*).
1 «Ztschr. Math, und Phys.», 1901.
Пусть у = F (х) — однозначная непрерывная функция переменной х,
изменяющейся от 0 до 1. Рассмотрим ломаную линию с вершинами в
точках
Если уравнение этой ломаной линии
Уп = Fn (xO
то очевидно, что ряд
У = У*+ (Уа, ~ У*) +'"+ (Уа-У*? ,) + '••
1 и 1 /с к—1
сходится равномерно на отрезке [0, 1], лишь бы ак бесконечно возра-
возрастало вместе с к. Найдем теперь выражение Fn(x). Ясно, что
Fn(х) = Ао | х | + Л1 | х - -1- | + . . . + Ап | х - 1 |, A)
где
C)
I }F@) + ^(^) (л 1)^A)}
I }F@)
Эти формулы являются непосредственным следствием того свойства
функции \х\, что ее вторые разности равны нулю всюду, кроме точки
х = 0. Мы видим, что применение и доказательство этих формул требуют
лишь совсем элементарных знаний. Если угодно выйти из области
элементарной математики, то легко связать наши формулы с интеграль-
интегральным исчислением. Предположим, что F(x) имеет первую и вторую про-
производные. Очевидно, при п==ос
л* «4*" D) т. B')
2 \п) п
C')
An=±{F(l)+F@)-F(l)}.
Таким образом,
1
'(l)}. (Г)
Равенство A') легко проверить непосредственно.
Интерполирование непрерывных функций многих переменных произ-
производится совершенно аналогично, посредством введения, вместо элемен-
элементарной функции \х\, функций \ху\ или \xyz\ и т. д. Вычисление коэф-
коэффициентов, равно как и прочие действия, не представляет трудности.
Линии, при помощи которых мы искали приближение нашей непрерыв-
непрерывной функции, обладают разрывными производными; геометрически они
наиболее естественны. Но если бы мы захотели приближать разрывными
функциями, то получили бы еще более простые формулы.
Действительно, предположим, что нам заданы значения F @),
F {—),..., F(l); построим разрывную функцию Fn(x), которая от 0
1 / 1 \ „ /т 1 2 ( 2 \ „ / 1 \
до— исключая — равна F@), от — до — исключая — равна F\ — \
и так далее, наконец, Fn(l) = F(l). Если мы введем такую функцию
Х(х), что X (х) = 0 при — сю <^x<iO и \(х) = 1 при 0<^<С°°> т0>
очевидно, будем иметь
п \Jbj — -^o \ / ~T~ -"Li'v- I «^ — j ~T~ • • • i лпл \X — ±)i
где
Все вычисления с этими рядами выполняются в высшей степени
просто. Обобщение на случай многих переменных производится непо-
непосредственно. Легко видеть, что этот процесс интерполирования связан
с формулой
1
F (х) = J F' (z) \{x-z)dz + F @).
О ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ*
1. В мемуаре, только что вышедшем в свет, 1Д. Балле Пуссен1 дока-
доказал следующую теорему:
Если Рп{%)— многочлен степени п, то молено определить число к,
не зависящее от п, так, что неравенство
(D
не может иметь места на всем отрезке [—1, +1].
С другой стороны, в другом мемуаре2, появившемся более двух лет
тому назад, этот выдающийся математик построил многочлены Рп, удов-
удовлетворяющие неравенству
\Рп(х)-\х\\<±. B)
II. Получив другим методом аналогичные результаты, более полные
в некотором отношении, я позволю себе вкратце указать наиболее важ-
важные из них.
Прежде всего, что касается функции \х\, я произвел специальное
исследование, которое позволило мне не только установить невозмож-
невозможность неравенства A), но также и определить такое число к7 для кото-
которого неравенство
\Рп{х) — \х\\< / C)
невозможно ни при каком значении п^> 1.
* Sur l'approximation des fonctions continues par des polynomes. «Gomptes ren-
dus», t. 152 A911), стр. 502—504 Co*).
1 Ch. de la Vallee Poussin. Sur les polynomes d'approximation et la rep-
representation approchee d'un angle. «Bull. Acad. Belgique», 1910.
2 Gh. de la Vallee Poussin. Sur la convergence des formules d'interpolation
entre ordonnees equidistantes. «Bull. Acad. Belgique», 1908.
8
III. Мною получено, кроме того, следующее общее предложение:
Если при всех значениях п существуют многочлены Рп степени п
(или меньшей, чем п), для которых на отрезке АВ имеет место нера-
неравенство
I'•<*>-'<*> к D)
где к и г— положительные числа, не зависящие от п, и р -~ целое поло-
положительное число, тоже не зависящее от п, то функция f (х) обладает
конечной и непрерывной производной порядка р на том же промежут-
промежутке (исключая концы).
В применении к функции \х\, первая производная которой разрывна,
наше общее предложение не позволяет утверждать, что (при р = 1)
неравенство D) никогда не может иметь места; оно доказывает лишь
существование бесконечной последовательности значений п, для которых
это неравенство не выполняется: специальный результат, указанный
раньше, таким образом, является более точным. Он зависит от частных
свойств функции \х\\ но легко построить такие функции без производ-
производных, которые для бесконечной последовательности значений п (не для
всех значений, разумеется) удовлетворяют неравенству D).
IV. Кроме того, классические методы позволяют доказать следующее
предложение1, которое является почти обратным к предыдущему.
Если функция f (x) обладает конечной производной порядка р, имею-
имеющей ограниченное изменение, то можно построить при всех значениях п
многочлены Рп степени не выше п, для которых
где к не зависит от п.
Замечу, что весьма вероятно, что требование ограниченности измене-
изменения рассматриваемой производной не является существенным, а вызы-
вызывается исключительно несовершенством методов доказательства, которые
имеют исходной точкой представление функций определенными инте-
интегралами.
V. Как бы то ни было, из предложений параграфов III и IV сле-
следует, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция
f (х) имела производные всех порядков на отрезке АВ, состоит в том,
что при всех значениях п существуют многочлены Рп степени не выше пу
для которых на всем рассматриваемом отрезке
\f(x)-Pn(x)\<en:
где nvsn стремится к нулю при п стремящемся к бесконечности, каков
бы ни был фиксированный показатель р.
1 Для случая р = 1, это предложение было доказано Ш. Балле Пуссеном в его
последнем мемуаре, цитированном выше.
9
VI. Наконец, исследуя с той же точки зрения аналитические функ-
функции, я доказал следующее предложение:
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция веще-
вещественной переменной f (х) была аналитической (голоморфной) на
отрезке АВ, состоит в том, чтобы при всех значениях п существовали
многочлены Рп степени не выше п, для которых на всем отрезке имеет
место неравенство
\f(x)-Pn(x)\<Mp«,
где р и М — фиксированные числа, не зависящие от п, причем р<с^ 1.
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ
ДАННОЙ СТЕПЕНИ*
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о приближении непрерывных функций посредством многочле-
многочленов или других простых выражений определенного вида, равнозначный
вопросу о разложении функций в соответствующие ряды, является основ-
основным в теории функций вещественной переменной. Я не буду излагать
здесь истории этого вопроса, поучительной во многих отношениях;
напомню лишь важнейшие ее моменты.
Теория разложений функций в ряды обязана своим возникновением
задачам математической физики, которые великие геометры XVIII сто-
столетия пытались решать при помощи бесконечных рядов. Разумеется,
в исследованиях этого времени, когда даже разница между сходящимися
и расходящимися рядами была не ясна, о точности в современном смысле
этого слова не может быть и речи. Только в первой половине XIX сто-
столетия Дирихле и Коши доказали сходимость некоторых разложений
для весьма обширного класса функций и положили таким образом
основу современной строго математической теории функций вещественной
переменной.
Но прошло еще полстолетия, прежде чем Вейерштрасс в 1885 г.
доказал, пользуясь одним интегралом из теории теплоты, что вся-
всякая непрерывная функция может быть разложена в равномерно схо-
сходящийся ряд многочленов, и вместе с тем указал прием, хотя и довольно
сложный, для построения многочленов, сколь угодно мало отличающихся
от данной произвольной непрерывной функции. Открытие этой замеча-
замечательной по своей общности теоремы определило дальнейший ход разви-
развития анализа; с этого момента теория функций комплексной переменной,
достигшая в то же время своего величайшего расцвета, постепенно
* «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13 A912), стр. 49—194 D3*).
11
отходит на задний план, выдвигая вперед изучение функций вещественной
переменной.
После Вейерштрасса многими математиками были предложены более
или менее простые доказательства его аеоремы1, дающие возможность,
при всяком значении s, найти1 для данной на] некотором отрезке АВ
непрерывной функции / (х) приближенные многочлены Рп (х) достаточно
высокой степени п, чтобы уклонение |/ (х) — Рп (х) | оставалось не более
е на данном отрезке.
Сопоставление различных методов естественно выдвинуло задачу:
каково для данной функции / (х) наилучшее приближение, которого
можно достигнуть при помощи многочленов данной степени, или, точнее
говоря, каково наименьшее возможное значение Еп [/ (х)] уклонения г
при данном п?
Эта задача была поставлена П. Л. Чебышевым более пятидесяти лет
тому назад, т. е. задолго еще до открытия Вейерштрасса. Оригинальный
алгебраический метод великого русского математика привел его к весь-
весьма замечательным свойствам многочленов, наименее уклоняющихся от
данной функции f(x), и в некоторых частных случаях позволил ему
дать полное решение задачи. Однако в общем случае мы не находим
у Чебышева никаких указаний относительно величины наименьшего
уклонения En[f(x)], и этим главным образом объясняется, почему в
свое время исследования Чебышева не оказали влияния на развитие
теории функций.
Настоящее сочинение представляет собой попытку приближенного
вычисления наименьшего уклонения Еп [/ (х)~\ и исследования связи ме-
между законом убывания Еп [f (x)] и дифференциальными свойствами рас-
рассматриваемой функции. Чтобы можно было судить о том, насколько
простой и глубокой оказывается эта связь, достаточно будет указать,
например, два предложения2: для того чтобы функция вещественной
переменной / (х) была аналитической на некотором отрезке АВ, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы наименьшее уклонение Еп [/ (х)] на отрезке
АВ убывало с возрастанием п быстрее, чем члены некоторой убывающей
1 См. В orel, Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements
en series de polynomes. 1905.
2 Эти предложения и несколько других были мною указаны в заметке, пред-
представленной Французской Академии наук 28 февраля 1911г. [2]. Из предшествующих
этой заметке работ в том же направлении следует указать важные сочинения
Лебега и Балле Пуссена, на которые в соответствующих местах будут сделаны
ссылки. Более подробные библиографические указания читатель найдет в работе
Д. Джексона (D. Jackson) «Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen
durch ganze rationale Funktionen» (Preisschrift und Inaugural-Dissertation), Гёттин-
ген. Автор этой интересной работы, появившейся в июле 1911 г., получил самосто-
самостоятельно некоторые из результатов моей заметки, которую он цитирует на стр. 12 и 15.
Вместе с тем считаю нужным заметить, что настоящая моя работа, за исключением
двух «Добавлений» к IV и V главам [3.1], представляет, с незначительными редак-
редакционными изменениями, перевод мемуара [3.2] под тем же заглавием, удостоен-
удостоенного премии Бельгийской академии, куда он был направлен мною в июне 1911 i.
12
1 еометрической прогрессии; для того чтобы функция / (х) имела произ-
производные всех порядков, необходимо и достаточно, чтобы при всяком р
имело место равенство lim Еп [/ (х)] п? = 0. Вообще, чем проще диффе-
П->оо
ренциальная природа функции, тем быстрее убывает Еп, и обратно.
Таким образом, рассмотрение наименьшей возможной погрешности
при приближении функции посредством многочленов возрастающих сте-
степеней дает совершенжГобщее основание для [последовательной класси-
классификации и исследования всех j непрерывных функций вещественной
переменной.
Часть первая
О НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ СВОЙСТВАХ РЯДОВ МНОГОЧЛЕНОВ
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МНОГОЧЛЕНАХ
1. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля. В своих знаме-
знаменитых исследованиях о приближенных многочленах Чебышев построил
многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в данном промежутке, а
именно, он доказал, что из всех многочленов вида
где А — данная величина, а остальные коэффициенты произвольны, наи-
наименее уклоняется от нуля в промежутке (— /г, -J- h) многочлен
(i)
Для краткости мы будем в дальнейшем называть выражения вида
сТп (х), где с — постоянная величина, тригонометрическими многочле-
многочленами и выведем некоторые их свойства, аналогичные свойству, откры-
открытому Чебышевым.
2. Теорема. Если многочлен Рп (х) = рохп + Pi^71 + - • • + Рп об-
обладает свойством, что \ Рп (х) ]/1 — х2 \ достигает в промежутке (—1, + 1)
значения М,то \Рп(х)\ не может в этом промежутке оставаться менее
МI п; эта последняя величина не будет превзойдена лишь в случае, когда
Рп {%) — тригонометрический многочлен.
Чебышев допускал без доказательства существование многочленов
данной степени, наименее уклоняющихся от данной функции. Но совре-
современный анализ требует этого доказательства, так как немало есть задач
о минимуме, например'в вариационном исчислении, которые не имеют
решений. Ввиду этого нам необходимо сделать несколько предваритель-
предварительных замечаний, для того чтобы показать, что среди рассматриваемых
многочленов существует действительно один или несколько таких мно-
13
гочленов, для которых максимум ] Рп (х) | достигает наименьшего воз-
возможного значения.
Рассмотрим вообще произведение | Рп (х) ср (х) |, где ср (х) — какая-ни-
какая-нибудь непрерывная функция (голоморфная при всех значениях х данного
промежутка, кроме тех, может быть, где ср (х) = 0). Максимум этого
произведения т(р0, р±, . . . , рп-\) есть непрерывная однородная функ-
функция первой степени коэффициентов pQ, pl9 . . . , pn-i, так как при умно-
умножении их на одно и то же число к, т будет умножено на то же число А.
Значения коэффициентов, удовлетворяющие уравнению т — М, где М—
данная величина, можно разделить на п групп: в первой \pQ | >- \р. |,
во второй \р± | ;> \рг | и т. д. (i = 0, 1, ... , п — 1).
Рассмотрим, например, значения первой группы; в данном случае
уравнение т = М можем написать так:
f ^
Ро Ро
= Х = Х2 и т.
или, полагая — = Х-., — = Х2 и т. д.,
Ро Ро
Таким образом, р0 есть конечная и непрерывная функция переменных
Х1? Х2, . . ., Xn_i, которые по абсолютному значению не превышают еди-
единицы; поэтому максимум | р0 (хп + У^х71-1 + . . . + Xn_i#) + рп \ = | Рп (я)
есть непрерывная функция Х1? Х2, . . . , Xn_i, pn; при этом, очевидно,|
можно ограничиться рассмотрением значений \рп\, не превышающих
некоторого числа Н. Но непрерывная функция п переменных Х1? Х2> • • •
. . ., Xn_i, /?п, принимающих всевозможные значения из некоторой зам-
замкнутой области, достигает своего минимума для определенных значений
переменных в этой области. Аналогичным образом можно доказать
существование многочленов, наименее уклоняющихся от нуля, соответ-
соответствующих каждой из п групп коэффициентов. Выбирая ту из групп,
которая дает наименьшее значение для максимума \Рп(х) |, мы убеждаем-
убеждаемся, наконец, что среди многочленов, для которых т=М, действи-
действительно, есть один или несколько таких, которых максимум | Рп (х) \
равен наименьшему возможному значению.
Итак, пусть Р (х) будет тот из подлежащих сравнению многочленов
степени п, который наименее уклоняется от нуля. Обозначим через
хг, х2, . . • , xjc точки, в которых модуль Р (х) получает наибольшее зна-
значение L, и через С — ту точку, где Рг (х) ср (х) достигает максимума М.
Я говорю, что нельзя найти такого многочлена Fn (x) степени п,
который удовлетворял бы уравнениям
Fn(x1) = P(x1), Fn(xJ = P(z2),..., Fn(xk) = P(xjJ, F;(C)<p(C) = O. B)
В самом деле, если бы равенства B) были осуществлены, то можно
было бы построить многочлен Р — lFn степени не выше п, выбрав
положительное число X следующим образом. Окружим точки хг, х2, . . . , хь
14
промежутками достаточно малыми, чтобы Р (х) и Fn (х) сохраняли в
каждом из них тот же самый знак, и отнимем эти промежутки из отрезка
[—1, +1]; тогда в оставшейся части отрезка будем иметь | Р (х) \
где 8—некоторое определенное положительное число (меньшее, если
хотим, чем L/2); после этого мы выберем положительное ^количество X
настолько малым, чтобы было X | Fn (x) \ <^о. В таком случае оказалось
бы, что многочлен Р — \Fn по абсолютному значению всегда менее (и ни-
никогда не равен) L, так как в отнятых промежутках | Р — XFn \<^\ P \ ^L,
а в оставшейся части отрезка | Р — ).Fn \ <C (L — 8) -f- 8 = L, причем
[Р (С) — XFn (С)] ср (С) = М. Поэтому, обозначая через Мг (Мг > М) макси-
максимум | [Pr (x) — \F'n (x)] <f(x)\, убеждаемся, что многочлен [Р (х) — lFn (x)] -^-
подлежал бы сравнению, уклоняясь от нуля менее, чем Р(х), что про-
противоречило бы нашему допущению, что среди подлежащих сравнению
многочленов нет такого, который уклоняется от нуля менее, чем Р (ос).
Следовательно, система уравнений B) не имеет решения, а потому
либо число уравнений (к + 1) больше числа неизвестных коэффициентов
(п + 1), т. е. к^>п, либо Ц/г и все определители (к + 1)-го порядка
матрицы
Х{
X'
.71-1
. X.
1
uj z*-1 ...xk 1
;n .:. 10
равны нулю (так как, очевидно, ср(С)^О).
В первом случае Р (х) есть тригонометрический многочлен. В самом
деле, так как степень многочлена Р (х) равна п, то во всяком случае
к<^п+1; поэтому при допущении, что к^>п, находим к = п-\-1. Та-
Таким образом, из значений xlf х2, . . . , х^ два равны -f- 1 и — 1, а осталь-
остальные суть п — 1 корней уравнения Рг (х) = 0. Так как, с другой стороны,
все эти значения обращают в нуль Р2 (х) — L2, то все корни Р (х) = О
суть двойные корни уравнения Р2 (х) — L2 = 0, имеющего еще всего два
простых корня + 1 и — !• Отсюда выводим дифференциальное уравне-
уравнение Чебышева
Р2 (х) -L2 = (*2~~ШР'(ж)]2 ^ C)
единственным рациональным решением которого служит L cos n arc cos x.
Следовательно, Р (х) = L cos n arc cos x.
Во втором случае к = п. В самом деле, если бы было к<^п, та
Р (х) + (ах + b)R (х), где Л (х) = (х — хх) (х — х2) . . . (х — я&), был бы
многочленом степени не выше п. Но, полагая i^n (x) = P (x)-\-(ax-\-b)R (x),
мы можем, очевидно, выбрать коэффициенты а и 6 так, чтобы все урав-
уравнения B) были удовлетворены; для этого достаточно удовлетворить
уравнению
Р' (С) + aR (С) + («С + Ъ) R' (С) = 0, B')
15
к которому приводится последнее из уравнений B), между тем как
первые к уравнений удовлетворены тождественно. Уравнение же B')
всегда разрешимо, ибо не может быть одновременно R (С) = 0 и R (С) = 0.
Но так как, по доказанному, уравнения B) несовместимы, следователь-
следовательно к = п.
Однако, как мы увидим, для функций ср (ж), рассматриваемых нами,
второй случай вообще не может представиться. Для этого перейдем к
следствиям, вытекающим из предположения, что к = п.
Прежде всего мы замечаем, полагая Fn(x) = Р (х) + bR (x), что урав-
уравнения B) приводятся к единственному уравнению Р' (С) + bR (С) — 0,
которое будет неразрешимо лишь в случае, когда R (С) = 0. Таким обра-
образом, С есть корень уравнения
R (х) - 0.
Но
рМ _^(*2 — 1) р'(х)
где С — постоянный множитель, C — тот из корней уравнения
(х2 — 1)Р' (я?) = 0,
которого нехватает уравнению R (х) = (х — хг) . . . (х — хк) = 0. Поэтому С
удовлетворяет одновременно уравнениям
d Г(х2 1) Рг (хI d
Легко обнаруживается несовместность этих уравнений, если ср.(ж) =
= 1—х2. Тогда, очевидно, С2 — 1 <с^0, так что второе уравнение обра-
обращается в
вследствие чего первое уравнение приводится к Рг (х) = 0, что невоз-
невозможно, так как | Р' (х) A — х2) \ при х — С, по предположению, достигает
своего наибольшего значения М.
Докажем, что случай к — п также не представляется, если
ср (х) = 1^1 — х2, как это имеет место в условии теоремы. Если мы поло-
положим Р' (х) j/l — х2 = Рг (х), то уравнения D) примут форму
dx L г * —& J ' <**
ИЛИ
откуда
or /J Г)
поэтому С = —. И так как |С|<С1, то> следовательно,
16
С другой стороны, легко убедиться, что Р (х) удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению вида
?Г JLj о / г\\ о • 10)
Действительно, многочлен Р2 — L2 степени 2п имеет двойными кор-
корнями те из значений х17 х2, . . . , хП1 которые отличны от ЧЬ 1 (так как
они обращают в нуль Рг), и простыми корнями те из значений, которые
равны +1. Поэтому Р2 — L2 делится на многочлен Bп — 2)-й степени
(РгJ (х2 1)
v ; v —;, и так как коэффициент первого члена делимого в п2 раз
меньше коэффициента первого члена делителя, то частное имеет форму
+ х + с ^ 0ТКуда вытекает уравнение E).
Я говорю, что корни уравнения
х2 + Ъх + с = О
вещественны, имеют тот же знак, что и C, и больше этого числа по аб_
солютному значению. В самом деле, допустим для определенности, что
C^>0; в таком случае C]>1. Если х, возрастая от единицы, достигает
значения C, где Р' обращается в нуль, Р2 возрастает от U до некото-
некоторого числа L{7 затем Р2 убывает; но так как Р' более не меняет знака,
то Р2, пройдя, при х — ч^$, через значение L2, обращается в нуль,
и после этого возрастает до бесконечности, проходя снова через значе-
значение L2 при ж = 8>7>р. Очевидно, что ^ ж Ь суть корни уравнения
х2 + Ъх + с = 0. Итак уравнение E) можем написать в виде
D2 Г 2 _ (х2~~ 1)(х~ Y) (Ж— 8)
причем y!>P>0 и о>[3>0. (То же самое рассуждение привело бы,
при |3<^0, к неравенствам 7<СР<С0 и о<
Следовательно, для | х \ < 1 имеем
б2 (L2 — Р2) == -
где 0 << 1; поэтому
Таким образом, если бы к было равно п, то, несомненно, наиболь-
м м
шее значение L модуля Р (х) удовлетворяло бы неравенству L ^ —g- ^> — .
Напротив, при А = п + 1 мы нашли, что Р (х) = L cos n arc cos x, откуда
j P' ]/l — х21 = Lft | sin 7г arc cos х |, так что в этом случае L = -—¦. Следо-
Следовательно, только случай, когда Р (х) есть тригонометрический многочлен,
г т М
приводит к наименьшему значению для L, причем L = —, что и тре-
требовалось доказать.
3. Следствия. а) Если на отрезке [—/г, + h] произведение
\ Рп (х) УЬ2 — х21 достигает значения М, то, при предположении, что
2 С. II. Бернштейн, т. I 17
Рп(х) есть многочлен степени п, \Рп(х)\ не может на рассматривае-
рассматриваемом отрезке оставаться менее М/п.
В самом деле, положим х = hxx. В таком случае
п (х) = Рп (hx±) = Qn (xj и Р'п (х) V№ -x* = Q'n (хг) V\ - х\.
Применяя к Qn{x^) только что доказанную теорему, заключаем, чтоу
так как на отрезке [—1, +1] выражение | Qn (х^) V1 — х\ | достигает
значения М, то, следовательно, |(?n(#i)| на том же отрезке [—1, + 1],
а \Рп(х)\ на отрезке [—/г, + h] не может оставаться меньше М/п.
б) Если на отрезке [а, Ь] произведение \ РпУ(а — х) (х — Ь)\ дости-
достигает значения М, то \Рп(х)\ на этом отрезке не остается менее М/п,
Это вытекает из доказанного следствия, если положим хг = х — °—— .
в) Если \ Рп(х)\<^.Ь на отрезке [а, 6], то на том же отрезке
\Р'п{х) /(а - х) (х - Ь) |< пЬ.
В самом деле, если бы | Рп(х) Y(a — х) (х — Ъ) | достигало значения
М = пЬ + е, то \Рп(х)\, в силу предыдущего следствия, получало бы
М Т . г
значение —¦ = L -\ , что противоречит условию.
4. Теорема А. А. Маркова1. Многочлен п-ой степени Рп(х) на от-
отрезке [—1, +1] не остается менее М/п2 по абсолютному значению,
если на том же отрезке \Р'п(х)\ достигает М.
Очевидно, что вся первая часть доказательства теоремы § 2 (до спе-
специализации функции ср (х)) остается в силе. В данном случае мы должны
положить в уравнениях D) ср (х) = 1; таким образом, если многочлен
Р (х), дающий наименьшее отклонение L, — не тригонометрический мно-
многочлен и достигает максимального отклонения только в п точках, то зна-
значение С, при котором }Р'(х)\ достигает максимума М, удовлетворяет
уравнениям
d^{x2 _ 1} {х _ р) + р' [2х {х - р) _ {Х2 _ 1)] = 0; (г» - l)g = 0. D')
Следовательно, либо С = ± 1, тогда kS = С; либо | С \<Z 1, тогда
С2 -
С
+ 1 = 0,
так что | C1^> 1.
В первом случае, полагая для определенности C = С = 1, увидим, что
наибольшее значение \Р (х)\ достигается в п — 1 внутренних точках, где
Р* (х) = 0, и в точке х=—1. Поэтому Р (х) будет удовлетворять диф-
дифференциальному уравнению
Р2 — L2 = A + х)(х~ а)
1 А. Марков. Об одном вопросе Д. И. Менделеева. 1889. Из доказательства
А. А. Маркова вытекает в сущности также и теорема § 2, хотя она и не формули-
формулирована в упомянутой статье.
18
причем а>1, так как, при ж=1, P2<^L2. Следовательно,
2х -{-а — 1
Р = L cos я. arc cos :
а + 1
Во втором случае многочлен /> также должен удовлетворять уравне-
уравнению F) с соблюдением тех же неравенств относительно C, ^. 8. Поэтому
попрежнему
е»(^2-^2) = -A~^)(р/)а> F0
где 6<1.
Наконец, в случае, когда А: = лг + 1, /> (ж) есть тригонометрический
многочлен, удовлетворяющий, как мы видели, уравнению C), которое
можно получить из уравнения F'), полагая в последнем 6 = 1.
Введем новые переменные, определяемые уравнениями
Р = + L cos z;
= cos
(знак + возьмем, если, при х = \, будет Р = L, в противном случае
возьмем знак —); тогда уравнение F') преобразуется в
. 2
sin2 z =
L2 sin2 zfdzY
dt
откуда
—j
=nb. Так как, при х=1, Р =
z = 0 при ? = 0. Следовательно, z = nb^t, где | бх
и 6Х = 1 для уравнения C). Откуда
поэтому
если 6<1, | 6J<1, и
то можно положить
1 для уравнения F')
sm
0л sin
Р'
М
если 6 = 61=1, так как \Р'\, очевидно, принимает наибольшее значе-
значение М, когда в sm в I получает наименьшее значение (которое больше,
чем 1/тг2, в первом случае, и равно 1/тг2 во втором случае). Итак, от-
отклонение L тригонометрического многочлена при том же М было бы
менее отклонения многочлена Р{х), удовлетворяющего уравнению F');
а потому Р (х) не может удовлетворять и уравнению G), ибо в этом
случае было бы
x a ~~
Р (х) — L cos n arc cos •
2ftLsin n arc cos
2х 4- а — 1
(а -f I) sin n arc cos —а 4- 1
откуда получилось бы М <^n2L, так как а>1.
19
Таким образом, \Рп(х)\ остается возможно малым, если Рп{х) — три-
тригонометрический многочлен; но даже в этом случае многочлен Р (х)
достигает абсолютного значения L = —^ , что и требовалось доказать.
5. Следствия, а) Из ссех многочленов степени п, производная кото-
которых достигает данного абсолютного значения на отрезке [—1, +1],
наименее уклоняется от нуля на этом отрезке тригонометрический
многочлен.
б) Если на отрезке [а, Ь] производная многочлена п-й степени
Рп(%) достигает абсолютного значения, М, то \Рп(х)\ на этом отрезке
не остается менее
Ь — a I M
Для-того чтобы в этом убедиться, достаточно сделать линейное пре-
^ Ъ — а Ъ + а
ооразование х = —^— х1 -| — .
в) Если1 на отрезке [а, Ь] многочлен п-й степени Рп(х) не превы-
превышает по абсолютному значению L, то | Рп (х) I на толь же отрезке не
2n*L
превышает j~— .
г) Если на отрезке [a, b] \ Pn (x) \ не превышает L, то
ik Рп (х)
не
( 2 \k
превышает (¦¦ _ ] п2 (п — IJ. . . (п — k + IJ L на том же отрезке2.
Это вытекает из А-кратного повторения предыдущего следствия.
6. Теорема. Из всех многочленов степени п, принимающих в данной
вещественной точке, не лежащей на * отрезке [—1, +1], абсолютное
значение М, наименее уклоняется от нуля на этом отрезке тригоно-
тригонометрический многочлен *.
В самом деле, посредством соображений, совершенно аналогичных
приведенным при доказательстве теоремы § 2, убеждаемся, что среди
многочленов, подлежащих рассмотрению, существует такой Р(х), кото-
который достигает наименьшего отклонения L. Обозначая через хъ х.г, . . . , хп
1 Это есть формулировка теоремы А. А. Маркова, данная им в выше упомянутой
статье; к сожалению, с этой работой, так же, как и с сочинением В. А. Маркова
«О функциях, наименее уклоняющихся от нуля» A892), я познакомился лишь после
то1Ч), как предварительные алгебраические теоремы, составляющие содержание на-
настоящей главы, были мной самостоятельно найдены и доказаны. Несомненно, более
ранее знакомство с идеями этих ученых упростило бы мою задачу, а также, быть
может, и изложение этой главы. Но изменять уже вполне законченные доказатель-
доказательства я не счел нужным ввиду вспомогательной роли упомянутых теорем и так
как мне казалось, кроме того, что применение общего метода В. А. Маркова, могу-
могущего дать даже больше того, что нам здесь нужно, не упростило бы изложения.
Рассуждения же А. А. Маркова, которыми в некоторых случаях, быть может, было
бы целесообразно воспользоваться, в других случаях, повидимому, нуждались бы
в значительных дополнениях.
2 В упомянутой выше работе В. А. Марков, подобно тому как это уже было сде-
сделано для первой производной, дает максимум, которого k-я производная действи-
действительно может достигнуть. Мы же указываем здесь лишь верхнюю границу этого
максимума, вполне, однако, достаточную для тех выводов, которые будут сделаны
в следующей главе.
* См. статью [10]. (Ред.)
20
значения, где \Р (х)\ = L, а через % данное значение, где Р (?) = Л/,
находим, подобно предыдущему, что никакой многочлен Fn(x) степени
п не может удовлетворить уравнениям
Fn (хг) = Р (Xl), Fn (x2) = Р (х2), . . ., Fn (хк) = Р (xk), Fn (Ц = О,
что будет иметь место лишь тогда, когда к ^> п. Следовательно, к = тг -j- 1,
и /* (#) есть тригонометрический многочлен; что и требовалось дока-
доказать.
7. Следствия, а) Если на отрезке [—1, -|-1] многочлен степени п
достигает максимума L, то наибольшее абсолютное значение, какое он
может получить в вещественной точке % {не лежащей на этом отрезке),
есть
(8)
В самом деле, указанное значение М есть абсолютное значение, по-
получаемое в точке S соответствующим тригонометрическим многочленом.
б) Если обозначить через R полусумму осей эллипса, проходящего
через точку % и имеющего фокусами —1, + 1, то имеет место неравен-
неравенство
M<LRn. (9)
В самом деле, положим
? = -у [(еъ -f- е~ь) cos а + г (еь — е~ь) sin а] = cos (а — Ы).
В таком случае, если Ь получает определенное положительное зна-
значение, % находится на .эллипсе, имеющем фокусами —1, +1, а осями
еь + е~ь и еъ — е~ь. С другой стороны,
М = L | cos п(а — Ы) | = у | cos тш (enb + e~nb) + ? sin па (епЬ — е~ пЬ) | =
2 г- .^ь + е-2пь + 2 cos
Следовательно,
(^ e-n5) ^ Л/ < у (enb
Но
есть полусумма осей рассматриваемого эллипса. Откуда
M<CLRn.
Примечание. Легко проверить, что неравенство (9) останется
в силе, если отрезок [—1, +1] заменить любым отрезком [а, [3]; только
R будет тогда обозначать отношение суммы осей эллипса, проходящего
через % и имеющего фокусами а, [3, к фокусному расстоянию.
21
8. Теорема. Если Рп{%) есть многочлен п-й степени, и на отрезке
[—1, +1] существуют значения х, у, для которых
Е(х,у) =
— ^^ A - x2f A - у*)а'г = М,
(х — 2/)а
Г\ ^ ^ Л I П / \ I М
при 0<^а<^1, то \Рп{х)\ не остается менее 1_g на этом отрезке.
В самом деле, подобно предыдущему, убеждаемся в существовании
многочлена Р (х), для которого максимум \ Р (х)\ достигает наименьшего
возможного Значения. Кроме того, если (х, у) суть значения, для кото-
которых Е (х, у) — максимум, и х19 х.1У . . . , х& — значения, где | Р (х) \ — ма-
максимум, то уравнения
Fn (Xl) = P (Xl), . . . , Fn (xk) = P (xk), Fn (x) - Fn (у) - О A0)
несовместимы. Поэтому, если Р не тригонометрический многочлен, то к
равно пу и, полагая
Fn(x) = Р (х) + Ь(х — хх) (х-х2)...(х- хп) = Р(х) + bR(x),
находим, что уравнения A0) приводятся к одному
Р(х)- Р(у) + b[R(x)- R{y)]=0,
которое будет неразрешимо только если
т. е. если
Р'(х)(х* — 1) = Р'{у) (?/
х — р у — р •
Но, с другой стороны, числа х, у удовлетворяют уравнениям, выра-
выражающим, что \Е(х,у)\ — максимум:
A - х*) {Р' (х) (х-у)-а[Р (х) - Р (у)]} -ах (х- у) [Р (х) - Р (у)] = 0,
A - г/2) {р> {у) {у_х)_а[Р (у) _ р {х)]} -ау(у- х) [Р (у) - Р (х)] = 0,
или
Р' (У) A - У*) = * P{x)xZy(y) (I
Таким образом,
что невозможно, так как х^у. Следовательно, Р есть тригонометри
ческий многочлен, Р = L cos n arc cos x.
22
Остается вычислить максимум \Е(х,у)\ для этого многочлена. С этой
целью полагаем
В таком случае
Е (х, y) =
cos /гб — cos
(cos 6 — cos ф)
х (Sin б sin <р)«
а
Г
— cos
sin ^@
Поэтому
/coswG — cos лгф\ , Л ч. , . Л . ч
Е I (cos пЬ — cos лфI"1 (sm 0 sin co)a
\ COS 0 — COS ф / V i / V i /
откуда
что и требовалось доказать.
Примечание. Аналогичным образом получим, что наибольшее
значение
2/2)
2)а
на отрезке [—/г, + h] меньше, чем L-2i-cc(nh)(X'.
9. Теорема. Произведение | Рп (х) j/l — х21, где Рп{х) — многочлен п-й
степени, не может оставаться менее —ц-у на отрезке [—1, +1], если
Id г I г
-т— (Рп(%) V 1 — ос2) \у 1 — х2 достигает значения М на этом отрезке.
dx v v ' ' | ^
В самом деле, подобно предыдущему, убеждаемся в существовании
многочлена Р(х), осуществляющего минимальное отклонение., а также и
в том, что число к точек, где оно имеет место, более или равно п.
Случай к = пу вследствие несовместности уравнений
приводит к невозможности уравнения
где
R (х) = (х — хх) (х — х2)... (х — хк),
откуда следует, что С удовлетворяет уравнению
A1)
23
При этом нужно заметить, что [ Р (х) |/ 1 — х2| достигает максимума
лишь во внутренних точках, обращающих в нуль выражение
— \Р (т\ 1/1 r*\ - -P'OeHI —я2)—*i>(*) Q(x)
т. е. не более чем в п -\- \ точках, удовлетворяющих уравнению
Р1 {х) A - х2) - хР {х) = 0; поэтому
так что уравнение A1) превращается в
d ( Q (х) V\ — х2
dx \ х~/3
Но М, по предположению,—наибольшее значение
[± (Р \[Г^)]/Г^^ = Q {х).
= 0. A1')
поэтому С удовлетворяет также уравнению
Q' (х) = 0.
Следовательно, уравнение AГ) приводится (как в теореме § 2) к виду
и так как (?(С)^0, то р =-=-, откуда | 3 | >• 1.
Замечая далее, что S = РУ^— - %2 достигает п раз наибольшего абсо-
абсолютного значения L, заключаем, что
Я утверждаю [3.3], что корни ^ и о, которые комплекты и сопряжены,
так как S2 — L2 <С 0 при всех вещественных значениях х, имеют веще-
вещественную часть того dice знака, что и (В, гг большую, уем (В, по абсолют-
абсолютной величине.
Предположим для определенности, что р>0; тогда, вследствие ска-
сказанного ранее, C> 1. В таком случае iS (х) = Р (х)]/х2 — 1, обратившись
в 0 в точке х=1, достигнет при возрастании х^>\ единственного
максимума (или минимума) в точке х = (В и, бесконечно возрастая при
х-^оо, обратится сначала еще раз в 0 в точке ж = а^>3 и примет
значение -\-L или —L точке х = \^> а. Следовательно, многочлен $2,
все корни которого вещественны (корни +1, п—1 двойных корней
внутри отрезка (—1, +1) и двойной корень а>C), принимает значение
— L2 в точке X. Через точку X пройдет, таким образом, в плоскости ком-
комплексной переменной х кривая, на которой | ?2 (х) \ = L2, окружающая
по крайней мере один нуль многочлена S2 (х). Двигаясь вдоль этой
24
кривой из X, например в верхней полуплоскости комплексной переменной
х, мы встретим перпендикуляр, восстановленный к вещественной оси из
точки а, в некоторой точке М, в которой аргумент S2 (х) изменится на
угол больший, чем тг, так как все корни S2 (х) лежат слева от а. Сле-
Следовательно, раньше чем мы попадем в точку М, мы встретим точку у
с вещественной частью, большей а^>8, в которой З2 (y) = L2. Этим наше
утверждение доказано.
Поэтому
где 6 < 1. Откуда
М
= \Q(x)\<i(n+\)L, т. е. L
Напротив, если к = тг + 1, то
/г + 1 '
так что
о г • / i >1\ г» ? sin (га + 1) arc cos x
S = L sin (л+ 1) arc cos а: и Р = ^ ,
следовательно, L——тт~7 что и тРебовалось доказать.
10. Применение предыдущего к тригонометрическим суммам. Условим-
Условимся называть тригонометрической суммой п-то порядка выражение вида
Ао + ^i cos t -\- Вх sin ^ + • • • + Ап cos nt -f- ^n sin ^г^;
если все j&i равны нулю, то выражение будет называться (тригонометри-
(тригонометрическою) суммою конусов тг-го порядка; если же все Аг равны нулю,
то это будет сумма синусов того же порядка. Все выше доказанные
теоремы приводят к аналогичным предложениям относительно тригоно_
метрических сумм, если положить х = cos t и заметить, что всегда воз-
возможно, с одной стороны, отожествить выражения
а0 -f ах cos t -f- . . . + ап cosn t и Ао + Ах cos t +...-(- Ап cos nt,
и, с другой стороны, отожествить
sin ? [60 + Ь1 cos t + . . . -f- 6ncosn?] я j&0 sin ^ -f . . . -f- jSnsin (^ + ^)^-
Ограничимся лишь формулировкой предложений, соответствующих
теоремам §§ 2 и 9.
Если абсолютное значение суммы косинусов п-го порядка
w = Ао + Ах cos t -f . . . + Ап cos nt
не превышает L, то абсолютное значение ее производной
— (Аг sin ?+...-(- пАп sin ^^)
не превышает никогда nL; последнее значение достигается только при
40 = Лх =-...= ^4П_! = 0.
25
Действительно, полагая х = cos t, мы превращаем w в многочлен п-й
степени Рп(х); при этом
Таким же точно образом легко вывести из теоремы § 9 предложение:
Если абсолютное значение суммы синусов п-го порядка
Вг sin t -f В2 sin 2t + • • • + Bn sin nt
не превышает L, то абсолютное значение ее производной
Вх cos ?+...+ пВп cos nt
не превышает nL; последнее значение достигается только при В^ =В, = ...
. . . = 5П_! - 0.
Эти два предложения можно обобщить следующим образом [3.4]:
Если абсолютное значение тригонометрической суммы п-го порядка
удовлетворяет неравенству
| f (t) | = | Ao + Ax cos t + B± sin t + . . . -f An cos nt + Bn sin ^г^ |
то производная ее f (t) удовлетворяет неравенству
f (t) | = | — Аг sin t -\- Bx cos ^ + . . . — nAn sin ^г^ + пВп cos nt\
Действительно, пусть
Ly
= \A0JrA1 cos ^
тогда будем иметь также
Но
1
¦j и A + *о)—/ (* - ^о)] =
n cos nt
sin
sin *^°+ Bk Gos ^°^sin kt
k=i
является суммой синусов и, следовательно, вследствие предыдущего
предложения, относящегося к сумме синусов, имеем
п
IV к (— А]с sin Л^о -j- 5^ cos kt0) cos Л^ ^ nL.
Так как это неравенство справедливо при любом ?, то, полагая t = 0,
заключаем, что
п
Ль sinЛ^о + Вк cosЛ^о) | < nL,
|
k=i
т. е.
что и требовалась доказать.
26
11. Производные высших порядков. Из первых двух предложений
§ 10 вытекает, что если L есть наибольшее абсолютное значение суммы
Ao + Ax cos t
Ancos nt lили
k=\
Asin&8\ то наибольшее абсолют-
абсолютное значение ее р-ой производной не превышает n^L {случай равенства
имеет место только при Ао = Ах = . . . = Лп__1 = 0).
Этот результат можно преобразовать, возвращаясь снова к много-
многочленам. Именно, полагая, что | Рп (х) \ = \ а0 + . • . + апХп \ на отрезке
[—1, -f-1] менее L, мы должны заключить, что
d*Pn
(dare c
или
| Pn (X) A - X*) - xP'n (X) | < U*L,
и т. д.
Однако этими неравенствами мы в дальнейшем пользоваться не будем
и заменим их менее точными, но более удобными. С этой целью заме-
замечаем, что
пЬ
\Рп(х) <
но в таком случае Рп — многочлен (п — 1)-й степени, который в проме-
промежутке (— х1У + a?i) менее, чем —, а потому
lDf/,,\l/ n(n — i)L
и, повторяя то же рассуждение, найдем
|/><?>(*)|<
-'*)¦¦¦ A-*?)
Л Л О Л 4 /Vi2
Полагая же 1 — #i = Xi — х2 = . . . = #a_i — х2 — —т—, получим, на-
конец,
< (т~,Тп (п - 1) ... (п - к + 1) L.
A2)
Аналогичным образом можно проверить правильность неравенства
к
2п(п — 1) ... (тг — к + 1
при условиях
27
Глава II [3.5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЗШЕГО ПРЕДЕЛА УКЛОНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ
ФУНКЦИИ ОТ МНОГОЧЛЕНА ДАННОЙ СТЕПЕНИ
12. Теорема. Пусть дан ряд
/ (х) = и1 + . . . + ип + . . . ,
где ип(х)—многочлен степени не выше п. Если этот ряд сходится на
отрезке [—1, -\-1], и притом
еде А — постоянная величина, то f (х) имеет во всякой точке внутри
отрезка [—1, +1] непрерывную и конечную производную k-го порядка,
где к — наибольшее целое число, меньшее, чем р; кроме того, эта про-
изводная удовлетворяет условиям Липшица степеней а сколь угодно
близких к р — к.
В самом деле, полагая
имеем, по условию,
поэтому, в частности,
Следовательно, если обозначим через vm многочлен степени 2т+1 — 1
= Ы2т + М2т+1 + * * * + M2m+( -I»
\v 1 < А 1
то
таким образом, указанной группировкой членов мы превращаем ряд A3)
в абсолютно сходящийся ряд
/ (х) = v0 + vx + • • • + vm + . . .,
каждый член которого есть многочлен степени 2 — 1.
Дифференцируем почленно к раз полученный ряд, замечая, что, вслед-
вследствие неравенств A2) и A4),
у{к) (х) \'( к \kl\<W 2V+'A 2r>+< I k
Следовательно,
2р+1
I Pm 1 =
28
а потому ряд
](x)
равномерно (и абсолютно) сходится во всяком промежутке внутри отрез-
отрезка [—1, +1]. Отсюда вытекают существование конечной А:-и производной
и ее непрерывность.
Вторая часть теоремы получится, если вместо неравенства A2) мы
воспользуемся неравенством A2'). Полагая р^>к-{-ос, находим
f 1
- X
И
B) —
(z — z
i 9P+2
2 J Z ^
1 Zj
f(k) Ы
l)a
ЧТО И
со
< ^
1/(Л'} (
(
р—к—aj
требовалось
2"+2 Л /
2P-A—a i \
доказать.
ft + 1
^ ^2
если
Примечание. Применяя следствие (г) §5, мы таким же образом
убедились бы в конечности к-й производной и в концах отрезка, если
только А<С у.
13. Следствие. Ряд A3) люжет быть дифференцируем почленно к
раз, если к<^р.
В самом деле, из предшествующего доказательства видно, что это
дифференцирование возможно при условии соединения в одну группу
членов u2m-{- ^2т + . . . -f M2m_Lj _{ = vm. Но группировка (необходимая
вообще для абсолютной сходимости) не является необходимой для рав-
равномерной сходимости, ибо легко видеть, что при всяком N < 2т
.,(*)
• • • + Km.
+N
1 X
\m+l
14. Теорема. Если (при прежних обозначениях)
п+{
S = A1 + A.2 + Ai + ...+A2m+... A5)
сходящийся, то, при р целом, функция f (х) имеет конечную и непре-
непрерывную производную р-го порядка во всякой точке внутри отрезка
[—1, +1]; в случае же, когда р = k -f- a, где к — наибольшее целое число,
меньшее, чем р, к-я производная удовлетворяет во всяком проме-
промежутке внутри того же отрезка условию Липшица степени а.
Ограничимся случаем, когда р — целое чртсло, так как вторая часть
теоремы доказывается таким же образом.
Полагая, как в предыдущем параграфе,
1)т = и^т + • • • + Wom-M л у
29
находим, что
m I ^ 9(m-f \)p ' > mp
А потому, пользуясь неравенством A2), заключаем, что
(х) \ < \v(op) (х) | + | v[p) (х) [ + ... + | v{p) (х)\ + ... •
+А2 + Аа + ... + A2m) = (^f V + 1) S.
Что и требовалось доказать.
15. Следствия. В условии только что доказанной теоремы не сделана
никаких предположений относительно чисел Ап, кроме сходимости
ряда A5).
Однако мы можем заметить, что, группируя, если это понадобится,
члены ряда A3), всегда возможно превратить его в ряд того же вида,
но обладающий свойством, что числа Anjnv идут не возрастая с возра-
возрастанием п; другими ело ами, рассматривая конечную сумму и1 ~\- и2 -f . .
. .. + ип как приближенный многочлен степени п функции / (х), мы
можем не вводить (п + 1)-го члена, если он не увеличивает приближен и
А А
тогда un+i = 0 и п-и = —, и ввести затем сразу группу членов,
(п-\-1)р nv
действительно улучшающих приближение.
В таком случае легко убедиться в следующем.
Если есть такое число р, что
Ап+\ ,- Ап
5 = -4Х + Л2 -f- ^.4 "Ь • • • "Ь ^2П "Ь • • • и ^ == ^i ~1~^"
гг.^гг оба сходящиеся, или оба расходящиеся.
Действительно, если р^>1, то
п
(n + 1)р- * + ...+ А2п~1 Bп -
-np-i
и, с другой стороны,
30
Таким образом,
А2п
и, следовательно,
Если /?<Л, то подобным же образом получим
Л Л
Итак, при предположении, что ——— <J ——, условие сходимости
(п + 1)р ^ пр
ряда S в теореме §14 может быть заменено равнозначным ему условием
сходимости ряда
Е = Л1 + ф-+... + ^-+... A5')
Для практического применения теоремы § 14 можем воспользоваться
различными достаточными условиями сходимости. Таким образом, зхло"
вие сходимости ряда A5) или A5') может быть заменено более специаль-
специальными условиями (не равнозначными предыдущим), а именно, например,
условием, чтобы было
1 1
Ап <Г ГГ ИЛИ -An<C ГТ— И Т. Д.,
(logrcI+? logrc(loglogrcI+?
где s — некоторое положительное число.
16. Теорема. Пусть попрежнему
f (x) = и1 + и2 + . . . + ип + • • • ,
где ип — многочлен степени не выше п1 и на отрезке [—1, -j-1]
где числа Ап идут не возрастая', в таком случае, для всякого целого
значения Pi<^p,
/^) (х) = wVl + wPl+i + . . . + wn + . . .,
где wn — многочлен степени не выше п — pif причем
A -^)р,/21W2n + W2n+i +... |< 2;_
и, при 2pi<Cp,
31
В самом деле,
/(р.) (х) = г#1> + . . . +
причем, вследствие неравенства A2),
\Pl/2 22()(?р)
Поэтому, полагая
^n = ^(pi), если п = 2т+1 — 1,
и
те;п = 0, если п S 2Ш+4 — 1,
находим:
где wn — многочлен степени не выше п — pv причем
Точно так же из следствия (г) § 5 заключаем, что
откуда
Примечания, а) Теорема, в частности, применима, если Ап = Л
постоянная величина.
б) Заметим также, что и^-Н + • • • I удовлетворяют тем же неравен-
неравенствам, ЧТО И | W2n + ^2n+l + • • • |> При ВСЯКОМ I ^ 0.
в) Аналогичные неравенства имеют место, если, вместо производных,
брать отношения L^—L—-A-L, при р<С1.
(х — а)
17. Тригонометрические ряды. Принимая во внимание результаты
§ 10, легко видеть, что предыдущие теоремы остаются в силе, если
в ряду
f(x) = u1 + u2 + ...+un+... A3')
функции ип буд>т тригонометрическими суммами п-го порядка. Таким
образом:
Если I un -\- un+i + . . . I <С—- , где р—целое число, и ряд S = Ах-{- Аг-\-
32
+ -44+ • • • + ^2m + • • • сходящийся, то р-я производная \f(v) (#) | §удет не-
непрерывна и | /(р) (ж) | << 2Р Bр + 1) ?. 5 случае, когда все ип содержат
только косинусы или только синусы, j/fa) (ж) | <^ Bр + 1) S•
Эта теорема доказывается совершенно так же, как и теорема § 14;
и подобно ей, mutatis mutandis, получаются и другие эквивалентные
теоремы, если многочлены заменяются тригонометрическими суммами.
18. Теорема. Если внутри отрезка [—1, +1] есть по крайней мере
одна точка, где р-я производная f^(x) некоторой функции f (x) не непре-
непрерывна и наилучшее приближение Еп-\ функции f (x) на этом отрезке
при помощи многочлена степени п — 1 равно —, то ряд Е =А±-\—? + . . .
nv *
Ап
.. .-) Ь . . • расходящийся. Обратно, каковы бы ни были данные
п
положительные числа Ar{J) А'2, . . . , А'п, . . ., удовлетворяющие условию
А X , А
-~^ ———, если ряд Е' = А± + . . . + — + . . . расходящийся, то
nv (п -Ь 1)р п
можно построить функцию f{x), р-я производная которой f^(x) не
непрерывна внутри отрезка, причем для всякого п наилучшее прибли-
жение удовлетворяет неравенству En_i<^—^-. (Аналогичная теорема
для тригонометрических сумм.)
Первая часть теоремы непосредственно вытекает из формулировки,
данной в § 15 теореме § 14, так как, если бы ряд Е сходился, то/<р)(#)
была бы непрерывна и конечна внутри отрезка (—1, + 1).
Ап
Допустим далее, что ряд Е' = А\ + • ¦. Л h • • • расходящийся, и
рассмотрим два случая. Пусть, во-первых, начиная от некоторого п17
все А'п^1. В таком случае можно выбрать (см. § 69) численный коэф-
коэффициент а так, чтобы функция ^>(х) = а\х\'р удовлетворяла требованию
теоремы, а именно:
при
Во втором случае, среди чисел ^Цт-и есть бесчисленное множество
удовлетворяющих условию ^Цт+i <С 1 + г, как бы мал ни был е. Пусть,
для определенности, р будет нечетно; построим функцию
а' а Л
^Уш+^\ ^ 1)y () A7)
Таким образом, тригонометрическая сумма (пг — 1)-го порядка
Пх-1
Vttn(x), при 4т— 2<^п1<^4:т -\- 2, удовлетворяет неравенству
Пг-1
f{x)~ У,ип{х
п=1
¦if ^ п\
Следовательно, тригонометрическое приближение функции f (х)
(от которого мы затем легко перейдем к многочленам) удовлетворяет
3 С. II, Бернштейн, т. I 33
условию, теоремы. Поэтому достаточно будет показать, что р-я. производ-
производная /<р> (х) в некоторой точке, а именно в х = ^ , безгранично возра-
возрастает. В самом деле, заметив, что все коэффициенты в ряде A7) поло-
положительны, дифференцируем его почленно; получим
[( 4^з) sin (Am
m=l L * J
и, полагая # = —¦ , находим бесконечно возрастающую сумму положи-
положительных членов
— ^
т=1
но этого не могло бы быть, если бы в рассматриваемой точке f№(x) была
непрерывна, ибо в таком случае был бы применим способ суммирования
тригонометрических рядов Фейера1, который дал бы /(р)(^-) = оо; сле-
\ ^ J
довательно, при #=—-, f№(x) не непрерывна. Для того чтобы распро-
распространить полученный вывод на многочлены, полагаем z = cos x\ тогда
f(x) = y(z), и приближение Z?n-i функции ср (г) в промежутке (—1, +1)
удовлетворяет условию теоремы. Но ясно, что точке х = ~ соответ-
соответствует z = 0, где срФ)(з) не может также быть непрерывна.
19. Добавление к предшествующей теореме. Метод, которым мы
пользуемся в этой главе, не может дать никаких указаний относительно
верхней границы Еп. Поэтому для полноты картины нам необходимо
упомянуть о некоторых результатах, которые будут доказаны лишь
в третьей части. А именно, если f (х) имеет на отрезке [—1, +1] конеч-
конечную производную р-го порядка, то можно указать такое положитель-
положительное число к, чтобы, при всяком п^>0, имело место неравенство
если же эта р-я производная удовлетворяет условию Липшица степени
а, то, при всяком тг>0,
где ах (а^ <^ а) положительное число, сколь угодно близкое к а.
Отсюда следует, что, если р-я производная непрерывна и, кроме того,
удовлетворяет какому-нибудь условию Липшица, то ряд
сходящийся.
1 Lebesgue. Legons sur les series trigonometriques.
34
Напротив, если р-п производная только непрерывна, то первый из
упомянутых результатов дает только г
к log 2 +
и не дает таким образом права заключать о сходимости ряда I.
20. Пример функции, имеющей непрерывную производную при расхо-
расходящемся ряде Е. Действительно, можно указать пример функции, для
которой ряд Е расходится, хотя производная везде непрерывна. Этим
свойством обладает, например, функция 2
¦л anrosnx
если выбрать соответствующим образом числа аг ^> а2 ^> . . . , причем
lim ап = 0. В самом деле, дифференцируя, получим равномерно сходя-
п->оо
щийся ряд
a sin
ибо можно указать определенную постоянную А так, чтобы, при вся-
всяком п, было
оо
vi sin n
п=пг
Но, с другой стороны,
2an __ any , ^+1 i ^ a2n/ a4n/
/г2 ~~ /г'2 + (// + ^ +
г * ' ' ^ '4л' + 8л' "*" " " * ^ Ы' '
если только o^n^iT"* ОтсюДа можно заключить, как будет доказано
в третьей части, что
Поэтому, если числа ап убывают достаточно медленно, например
\ + l) у то ряд Е будет Расх°ДЯ1Димся-
1 Из работы Джексона, упомянутой в скоске2 на стр. 12 вытекает, что
Еп< *_, т.е. Е< L +. . .+ L +...;
я полагаю, что в случае непрерывности р-ш производной можно даже показать, что
(/г + 1)р '
где /см стремится к нулю; но и этого недостаточно для сходимости ряда S.
2 Подобно предыдущему, от тригонометрического ряда к строке многочленов
можно перейти при помощи подстановки ?
35
Из предыдущего видно, что вообще функции, имеющие непрерывную
производную, допускают лучшее приближение при помощи многочленов
данной степени, чем функции, не имеющие производной; но тем не менее
есть среди функций, имеющих непрерывные производные, особый класс
фхнкций f(x), для которых, при всяком /г, En\f(x)]>En[<f(x)]7 где
ф (х) — некоторая функция, не имеющая непрерывной производной.
21. Применение к функции \х\. Производная функции \х\ имеет точку
разрыва х = 0, Отсюда следует, что ряд
Е = А, + ф + . • • + ^ + • • • = Ео + Ех + . . . + Еп + . . .
расходящийся, обозначая через Еп = ¦—^~г наилучшее приближение | х \
на отрезке [— 1, +1] при помощи многочлена степени п. Никаких
заключений о каждом определенном Еп отсюда нельзя вывести. Един-
Единственное, что можно сказать,—что при всяком е будет бесчисленное
множество значений п. для которых
Еп-\ >
y^ n log n(loglog ny^
Напротив, одного факта, что производная \х\ не непрерывна, недо-
недостаточно для того, чтобы утверждать, что будет бесчисленное множество
1
значений, для которых 2?n_i > ~, , так как мы видели, что есть функ-
функции, не обладающие непрерывной производной, для которых все Еп^\
менее членов любого расходящегося ряда.
22. Теорема. Условие необходимое и достаточное для того, чтобы
функция f (х) на всем отрезке [—1, +1] имела конечные и непрерыв-
непрерывные производные всех порядков, заключается в тому чтобы при всяком р
существовхло число aVy не зависящее от п, обладающее свойством, что
для всех п
В самом деле, условие достаточно, так как из примечания к тео-
теореме § 12 вытекает существование конечной производной А-го порядка
на всем отрезке, если к<^-~-. С другой стороны, условие необходимо
вследствие § 19.
23. Пример функции, для которой Еп убывает неправильно. Из пре-
предыдущего следует, что, если условие Еп<С — соблюдается для всякого щ
то функция имеет производные всех порядков. Нельзя того же сказать,
если неравенство это соблюдено хотя и для бесчисленного множества,
но не для всех значений п.
В самом деле, рассмотрим функцию
Ь\ i;m, - A8)
m=l l
36
Полагая п = 2m! > 2р!, находим:
Е <Г 1 | 1 | W_? 2 _ 2 1 1
^п "^ [ 2<»Н-1)! ^ 2(ш+2>! * ' '] 2(т+1)! ~~ Bт!)т+1 ~~ nmAri nm nv '
Однако легко убедиться, что функция / (х) не имеет производной.
24. Обобщение условий Липшица. Предыдущий пример естественно
наводит на мысль о выяснении дифференциальной природы функций,
которые не для всех, но для бесчисленного множества значений п до-
допускают приближение того же порядка, что и функции, обладающие
производными. Как мы увидим, эти функции обладают свойствами, ана-
аналогичными условиям Липшица.
Пусть / (х) будет некоторая непрерывная на отрезке АВ функция.
Обозначим через 8Х (в) максимум колебания функции f (х) в любом про-
промежутке длины в ва отрезке, или, другими словами, максимум разности
\f(x+h) — f(x)\ при |A|^s. Функция о1(е) будет, очевидно, непрерыв-
непрерывной, неотрицательной и монотонной (неубывающей); при этом ох @) = 0.
Обыкновенное условие Липшица «степени s выражает, что существует
такое определенное число к, что при всяком е
А(е)Ов- A9)
Мы скажем, что функция / (х) удовлетворяет обобщенному условию
Липшица степени s, если существует бесчисленное множество значе-
значений в, для которых неравенство A9) соблюдено.
Точно так же вместо максимума первой разности \f(x-\-h) — f(x)\,
при |А|<1е, можно рассматривать максимумы последовательных раз-
разностей: о2 (е)= max | / (х + 2А) — 2/ (x+h) + / (х) |, §3 (?) = max ] / (х + Щ —
-3/(ж + 2А) + 3/(ж + А)-/(ж)| и т. д. при |А|<е.
Если для бесчисленного множества значений е имеет место неравенство
8|(е)<&е*, A9')
то мы будем говорить, что функция / (х) удовлетворяет на отрезке АВ
обобщенному условию Липшица z'-го вида степени s. Легко убедиться,
что если о^ (в) ^> 0 (для всех в^>0), то s<^z. Заметим, что в случге
существования конечной производной z'-го порядка на отрезке АВ усло-
условие A9') соблюдается для всех е при s = i.
25. Теорема. Если существует бесчисленное множество значений п,
для которых наилучшее приближение г Еп па отрезке [—1, +1] удовле-
удовлетворяет неравенству Еп<^—-, то функция f (х) на всяком отрезке аЬ
внутри отрезка [—1, +1] удовлетворяет обобщенным условиям
Липшица i-го вида степени Si = -Л^-— .
1 При помощи многочленов степени п. Та же теорема (см. § 17) остается в силе
и для тригонометрических сумм.
37
Рассмотрим сначала функцию о1(в). Обозначая через Рп приближен-
приближенный многочлен степени /г, удовлетворяющий неравенству
4> B0)
будем, очевидно, иметь для бесчисленного множества значений п
где М — максимум | / (х) \.
В таком случае на всяком определенном отрезке аЬ внутри
отрезка [— 1, + 1]
\Р'п{х)\<ЯМп9
где R — некоторый численный множитель (§ 3).
Поэтому
\Pn{x1)-Pn{x,)\<RMm,
если \х1 — х2\<^е. Но значения х1 и х2 можно выбрать так, что
\f(xi)~ /Ы| = М?)-
Следовательно,
| / (Xl) - Рп (х.) + Рп (х2) - / (ж,) | > 8Х (е) - RMns.
Сопоставляя это неравенство с неравенством B0), находим
или
Положим в этом неравенстве е — —т—- . Получим
Таким образом, для i — 1, теорема доказана.
Достаточно будет рассмотреть еще случай i = 2, чтобы убедиться,
что тот же прием доказательства применим для всякого i.
На основании § 11 имеем | Р"г (х) \ < R^Mn2, где R± — численный коэф-
коэффициент, зависящий только от отрезка АВ. Поэтому, при ]/г|<;в,
| Рп (х + 2А) - 2Рп (x+h)+ Рп (х)! < г
но, выбирая х соответствующим образом, имеем
откуда
(/(я + 2Л) - Р„(ж + 2А) - 2 [/(ж + Л) - Р(х + h)} + f (х) - Рп(х)\>
38
Следовательно
или
TV
Полагая в неравенстве B2)
1
е = — ,
получим
Таким образом, теорема доказана также для i = 2, и ясно, что то
же рассуждение применимо для всякого i.
26. Приложения предшествующей теоремы. Функция, рассмотренная
нами в § 23, обладала свойством, что при всяком р есть бесчисленное
множество значений п, для которых Еп<^ —. Таким образом, вслед-
rv
ствие только что доказанной теоремы заключаем, что указанная функция
удовлетворяет обобщенному условию Липшица вида i любой степени s<^i.
Не останавливаясь -на более детальном изучении этих своеобразных
функций, применим предыдущую теорему к определению низшего пре-
предела Еп\х\. Для этого заметим, что ни при каком i функция \х\ не
удовлетворяет обобщенному условию Липшица степени выше первой.
В самом деле, при х= — h,
| х + nh | - п ] х + (п — 1) h ] + . . . + (- l)n \x | = (- l)n 2h,
так что S| (s) ^> 2b.
Следовательно, если есть бесчисленное множество значений п, для кото-
которых 2?п[]#|] <—, то показатель р должен обладать свойством, что, при
всяком г,
откуда
9 — ip <\
I + р ^
Таким образом, р не может быть более единицы.
27. Условие Дини и Липшица. Условием Дини и Липшица называют
свойство (которым обладают некоторые непрерывные функции), заклю-
заключающееся в том, что произведение
К (г) log s
стремится к нулю вместе с е. Мы будем говорить, что функция удо-
удовлетворяет обобщенному условию Дини-Липшица, если возможно выбрать
39
бесчисленное множество значений 8 таким образом, чтобы указанное
произведение ^(ejlogs стремилось к нулю вместе с е. Приняв эти опре-
определения, докажем, что функция, для которой Enlogn стремится к нулю
для бесчисленного множества значений п, удовлетворяет обобщенному
условию Дини-Липшица; если Enlogn стремится к нулю при всех зна-
значениях п, то функция удовлетворяет обыкновенному условию Дини-
Липшица.
В самом деле, повторяя рассуждение § 25, приходим немедленно
к обобщению неравенства B1)
Zi(e)<:2En + km, B1')
где к — постоянная (не зависящая от п). Применяя это неравенство
к настоящему случаю, когда Enlogn = 8n стремится к нулю (причем,
не нарушая общности, можно принять, что $п^> °^), положим
е=
п log п '
тогда из BГ) получим
и так как
то, следовательно,
|loge|81(e)<pnD + 2?) B3)
для бесчисленного множества значений п. Таким образом, для соответ-
соответствующего бесчисленного множества значений 8, произведение log s-S1(s)
стремится к нулю. Если же неравенство B3) соблюдается для всякого
целого п, то ясно, что logs-oJL(B) будет всегда стремиться к нулю
вместе с е. Что и требовалось доказать.
28. Теорема Лебега. В своей большой работе г «Sur les integrates
singulieres» Лебег доказывает следующую теорему: Если рассматривается
совокупность всех непрерывных функций f (x)y для которых \f(x)\^M,
то, при всяком п, верхним пределом Еп \f (х)] является М (т. е. среди
функций / (х) есть такие, для которых Еп \f (x)] ^>М — а, как бы мало
ни было а, и, кроме того, для всех функций En(f) ^М). При помощи
неравенства B1') эту теорему чрезвычайно легко доказать. В самом
деле, как бы мало ни было е = -т— , среди рассматриваемых функций
можно выбрать такую, что Ъ1(е)~2М. Поэтому, вследствие нера-
неравенства BГ), для этой функции
что и требовалось доказать (само собой понятно, что для всех функций
рассматриваемой совокупности Еп [/ (х)] <^ М).
Однако теорема Лебега оставляет открытым интересный вопрос-
существу ет ли такой ряд чисел ах, а2, . . . , ап, . . , . имеющих пределом О,
«Ann. de Toulouse», 1909.
40
чтобы для всякой данной непрерывной функции / (х) можно было ука-
указать независимое от п число Rf достаточно большое, чтобы было En<^RfOin?
На основании теоремы Лебега можно лишь утверждать, что если бы
ряд чисел ап существовал, то, для всей совокупности непрерывных
функций f{x), не превышающих М по абсолютному значению, множи-
множитель Rf не имел бы (конечного) верхнего предела. Действительно, легко
убедиться, что теорема Лебега остается справедливой, если совокупность
непрерывных функций заменить одними лишь многочленами; а между
тем, каковы бы ни были числа ап, например ап = —, для всякого опре-
определенного многочлена Р (х) возможно, конечно, указать число Rp так,,
чтобы En<^Rpan.
Неравенство BГ) дает немедленно отрицательный ответ на поставлен-
поставленный вопрос. В самом деле, если для некоторой функции En<[Ran, то
o1(e)<^2RanJr кпе. Полагая ап^>— (что мы вправе сделать, не нарушая
1 / 1 \ к
общности), берем е= —х-; в таком случае 8г [—^ )< 2Ran -| <^BR-\-k)an..
ТЬ ' \ ТЬ J ТЬ
Но такому неравенству при всяком п не может удовлетворить, например,,
ни одна непрерывная функция f(x), которая при х = —^-обращается в j/an,
так как для этой функции ot [~^-\^Van-
29. Теорема. Если для всякого п наилучшее приближение функции f (x)
на отрезке [—1, +1] удовлетворяет неравенству Еп<СМрп, то функ-
функция f(x) голоморфна внутри эллипса, фокусами которого служат
точки —1, +1, а полусумма осей равна — .
В самом деле, обозначая через Рп{х) многочлен степени п, для
которого
можем написать
/ (х) = Л (х) + [Р2 (х)-Р1 (х)] + ... + [Рп(х)- Pn-i (x)] + ...; B4>
при этом
\Pn{z)-Pn-i{z)\<2Mp"-i
на отрезке [—1, +1]- Поэтому во всякой точке Н эллипса, сумма
1 1
полуосей которого равна —-<^— , а фокусы находятся в точках — 1, +1,.
Pi P
имеем (§ 7)
Следовательно, ряд B4) равномерно сходится во всякой области
внутри эллипса, сумма полуосей которого равна 1/р, а потому функция f (х)
голоморфна.
(Обратная теорема будет доказана в третьей части.)
41
Часть вторая
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ,
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ В ДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ
ОТДАННОЙ ФУНКЦИИ
Глава III
ОБЩИЙ МЕТОД
30. Введение. Идея метода приближенного вычисления многочленов,
наименее уклоняющихся от данной функции, которому посвящена эта
глава, состоит в том, чтобы соответствующим образом использовать уже
известные многочлены, наименее уклоняющиеся от некоторых данных
функций. Иногда, вместо других функций, целесообразно будет вводить
аналогичные многочленам выражения, наименее уклоняющиеся от той же
самой функции. И в том и в другом случае непрерывный переход от
известного к неизвестному совершается посредством аналитического про-
продолжения; при этом как для практических применений, так и для тео-
теоретических выводов, весьма важно выбрать исходный пункт таким образом,
чтобы первые же приближения обладали уже значительной точностью.
Напомним сначала классические результаты, вытекающие из иссле-
исследований Чебышева *.
а) Существует один и только один многочлен Рп степени не выше
п, наименее уклоняющийся в промежутке АВ от. данной непрерывной
функции f (х).
б) Из всех многочленов степени не выше п только многочлен Рп(х)
обладает тем свойством, что разность f (х) — Рп (х) достигает не менее
чем п -\- 2 раза своего максимума, с последовательно чередующимися зна-
знаками, в рассматриваемом промежутке.
Из последнего предложения вытекает, что если бы |/ (х) — Рп(%)\
достигало своего максимума более чем п + 2 раза, а именно п -\- 2 + к
раз, то многочлен Рп{х) был бы] в то же время единственным наиме-
наименее уклоняющимся от функции f(x) среди всех многочленов степени
не выше п + к. Таким образом, задача определения многочленов Рп(х)
по существу нисколько не суживается, если ограничимся только теми
значениями п, для которых разность | f {x) ~ Pn(x) | достигает своего
максимума в п + 2 точках.
31. Обобщения. Рассмотрим ряд степеней х*\ х*1, . . . , х*п, где
0 <С а0 <] аг <<...<; ап, и составим суммы AqX*0 + • • • + Апх^а с произ-
произвольными коэффициентами Ао, . . . , Ап. Если сумма
из всех сумм указанного вида наименее уклоняется от функции / (х) в
п
промежутке АВ, то Rn (x) называется суммой вида 2 А\хЧ» наименее
г=0
* Строгое доказательство этих результатов читатель может найти в монографии
ч<Э. П.», глава 1, §§ 4—5. (Ред.)
42
уклоняющейся от функции / (х) в промежутке АВ. Относительно от-
отрезка АВ необходимо ввести ограничение, а именно: на всем отрезке
х^-0. Благодаря этому ограничению числа х*{ будут всегда иметь вполне
определенное арифметическое значение. Рассуждениями, совершенно
подобными тем, которые читатель найдет в книге Боре ля «Legons sur
les fonctions de variables reelles» для случая, когда оц = i, можно дока-
доказать существование суммы Нп(х), наименее уклоняющейся от данной
непрерывной функции f(x), и в общем случае. Для доказательства же
того, что эта с}мма — единственная, нам необходимо доказать предва-
предварительно следующую лемму, являющуюся обобщением теоремы Декарта.
32. Лемма. Число положительных корней уравнения
Q (х) = а0 х*+ ахх*1 + . . . + апх«п= 0, B5)
еде 0 ^ а0 <<^ а-, <^ . . . <С ап, не может превышать числа перемен знаков
ряда а0, а19 . . . , ап.
В случае, когда числа ог целые, высказанное предложение является
прямым следствием из известной теоремы Декарта. Точно так же слу-
случай, когда числа о\ рациональные, посредством подстановки х11? = у
приводится к предшествующему.
Предполагая далее, что числа at какие угодно, будем, однако, счи-
считать, что все положительные корни уравнения B5) различны между
собой. Если бесконечно мало изменить показатели уравнения, то бес-
бесконечно мало изменятся и корни; поэтому каждому положительному
корню данного уравнения будет соответствовать один положительный
корень измененного уравнения и обратно, ибо комплексные корни
вещественного уравнения — всегда попарно сопряженные. Таким образом,
число положительных корней данного уравнения то же. что измененного,
но в этом последнем всегда можно предположить показатели рациональ-
рациональными. Следовательно, число простых положительных корней уравнения
B5) не может превышать числа перемен знаков ряда а0, аг, . . . , ап.
Тем же способом убеждаемся, что число различных положительных
корней нечетной кратности не может превышать числа перемен знаков
ряда а0, аг, . . . , ап. Но нам остается еще показать, что число корней, взятых
с их степенью кратности, также не превышает упомянутого числа. Для
этого составляем уравнение
^ [x*-«'Q(x)]*=0 B5')
и замечаем, что каждый кратный корень уравнения B5) является в то
же время корнем уравнения B5') со степенью кратности на одну еди-
единицу меньшей; кроме этих корней, уравнение B5') имеет еще не менее
различных положительных корней нечетной кратности, чем уравнение
{25). Таким образом, число корней уравнения B5'), взятых с их сте-
степенью кратности, не меньше числа корней уравнения B5), взятых с их
степенью кратности; число же различных корней уравнения B5') нечет-
43,
ной кратности не менее числа всех различных корней нечетной кратно-
кратности уравнения B5), увеличенного на число различных двойных корней
последнего уравнения. Из этого следует, что если мы поступим с урав-
уравнением B5А), как с уравнением B5) и т. д., то придем, наконец, к
уравнению, число различных корней которого нечетной кратности будет
не менее числа корней уравнения B5), взятых с их степенью кратности.
Но это последнее уравнение будет того же вида
<?i (*)= К + ьх^ +¦¦¦+ Ъпх^= О, B5")
что и уравнение B5), причем будем иметь biii ^> 0, так что число пере-
перемен знака в ряде 60, 6.,..., 6П то же, что и в ряде а0, ах, . . . , ап.
Поэтому число различных корней нечетной кратности уравнения B5")
не превышает числа перемен знака в ряде aQ, alt . . . , ап\ тем более и
общее число положительных корней уравнения B5), взятых с их сте-
степенью кратности, не может превышать числа перемен знаков ряда
Следствие. Число положительных корней уравнения B5) не пре-
превышает п.
33. Теорема. Существует только одна сумма степеней
наименее уклоняющаяся в промежутке АВ от функции f (x). При этом
разность f (х) ¦— Rn (х) достигает не менее чем п -\- 2 раз2 своего наиболь-
наибольшего абсолютного значения, последовательно меняя свой знак. Исключение
может представляться лишь в том случае, если это наибольшее значение
равно |/@)|, при ао>0.
В самом деле, обозначая через х19 х2, . . . , х^ возрастающий ряд чисел,
для которых разность/ (х) — Rn (x) достигает последовательно наибольшего
абсолютного значения, меняя знак, находим на основании соображений,
которыми мы пользовались несколько раз в главе I, что уравнения
60ж"Ч • • • + Ъпха^ = f (xx) - Rn (xx) = ±L,
Ьох°'+ . .. + Ъпх> = f (x2) - Rn (x2) -TL, B6)
6о4°+ • • • + bntin - f Ы - Rn (а*) = н= (- 1)* L
должны быть несовместимыми, если Rn (x) представляет собой сумму
указанного вида, наименее уклоняющуюся от f (х) на отрезке АВ. Но
легко убедиться, что уравнения B6) были бы совместимы в еллчае
k <^ n -\- 2, ибо ни один из определителей
X
не может быть равен нулю: это справедливо при р = 0; но если 8p_i^0?
то и Ор^О, так как в уравнении
аох"° + ... + apx"v == о
коэффициент ар = Sp_j Е==Е 0, и потому это уравнение не соблюдено тож-
тождественно; но оно имеет р положительных3 корней х19 . . . , xv, и сле-
следовательно
Таким образом, вторая часть теоремы доказана. Допустим теперь,
что кроме Rn(x) существует еще сумма R'n(x), наименее уклоняющаяся
от данной функции f(x). В таком случае, в силу только что доказан-
доказанного, разность
Q(x) = Rn(x)-Rrn(x)
в точках хг, х2, . . . , ?п+2 будет последовательно менять знак или рав-
равняться нулю.
Поэтому, если Q (х{) 5 0, Q (ач+i) SO,..., Q 0*4-ни-О S 0, то между
щ и Xi+jc+x по крайней мере к + 1 корней; точно так же, если Q (яч+i) =. . .
„ . .— (^ (xi+ъ) — 0, то число корней (взятых с их степенью кратности)
не менее & + 1> так как это число не менее к и, кроме того, разность
между ним и к -)- 1 должна быть четной. Отсюда вытекает, что общее
число положительных корней уравнения
не менее п-\-1, что невозможно на основании леммы § 32. Таким обра-
образом, существует только одна сумма Rn(x), наименее уклоняющаяся от
функции f (х) в данном промежутке.
Примечание. Необходимо помнить, что применение доказанной
теоремы в случае а0 >> 0 и х> 0 законно лишь при условии / @) = 0.
34. Обобщенная теорема Балле Пуссена2. Отклонение \ f (x) —
— Rn (х) | не может в промежутке АВ оставаться постоянно менее
наименьшего из значений \ f (х) — Рп(х) \ в п -\- 2 точках, где f (х)—Рп(%)
последовательно меняет знак, если Рп{х) — сумма того же вида, что
Rn(x).
В самом деле, допустим противное. Тогда в п + 2 точках разность
Q (х) = Рп (х) - Rn (х) = [/ (х) - Rn (х)] - [/ (х) - Рп (х)]
последовательно меняет знак, и, следовательно, уравнение Q (х) — 0
имеет по крайней мере п + 1 положительных корней, что невозможно.
Замечание. Эта теорема была доказана Балле Пуссеном в случае
многочленов, причем промежуток АВ тогда может быть какой угодно;
1 Если хг = 0, то коэффициент а0 = 0, и потому сумма 8 состоящая только
из р слагаемых, не имеет более р — 1 корней.
2Dela Vallee Poussin. Sur les polynomes d'approximation et la represen-
representation approchee d'un angle. «Bull. Acad. Belgique», Decembre 1910.
45
очевидно, что данное здесь доказательство пригодно и для упомянутого
случая.
35. Определения. Точки xlf х2, . . . , г&, где \f(x) — Rn{x) | достигает
наибольшего значения, мы будем называть точками отклонения.
Следует заметить, что расположение точек отклонения на отрезке
АВ может быть четырех родов. А именно: 1-го рода, когда оба конца
А и В являются точками отклонения; 2-го рода, когда только А — точка
отклонения; 3-го рода, когда только В — точка отклонения; 4-го родаг
когда все точки отклонения находятся внутри отрезка АВ. Расположе-
Расположение 1-го рода является вообще наиболее общим случаем. Однако если
а0 ^> 0 и А = 0 (что большей частью будет иметь место в дальнейших
приложениях), то расположения 1-го и 2-го родов будут невозможны, так
как, вследствие примечания к теореме § 33, необходимо, чтобы было
/ @) = 0; в этом случае обыкновенно представляется расположение
3-го рода.
п
36. Основная теорема А*. Если сумма Р(х,\)=^ 2jaiX4, наименее
о
уклоняющаяся на отрезке АВ от голоморфной функции X/ (х) +
+ A — X) ср (х), имеет п + 2 точки отклонения одного и того же рода
при всяком X @<^Х<^1), то коэффициенты суммы Р(х,\) и абсциссы
точек отклонения, так же как и наименьшее отклонение, являктся
голоморфными функциями параметра X при условии, что во внутрен-
внутренних точках отклонения jFVEsE 0, где положено
F (х, X) = X/ (х) + A - X) ? (х) - Р (х, X).
Достаточно будет рассмотреть, например, случай 1-го рода располо-
расположения точек отклонения; другими словами, предположим, что, при
всяком X (O<JX<^1), концы отрезка А и В являются точками отклоне-
отклонения. В таком случае для определения Р (х, X) мы будем иметь 2п -{- 2
уравнения г
Fx' (xi9 X) = >/' (Xi) + A - I) ср' (ач) - Pr (xi9 X) = 0 (,• = !,...,„)
X)]2 = L2,
)]2 = L2, B7)
с 2n + 2 неизвестными: внутренними точками отклонения xlf x,, . . . , хп
(расположенными в возрастающем порядке), коэффициентами а0, а1У . . . , ап
и отклонением L (с чередующимися знаками).
При всяком определенном значении X = Хо, система уравнений B7)
имеет одну вполне определенную систему вещественных решений, со-
соответствующую единственной сумме, наименее уклоняющейся от функции
* Обобщение этой теоремы см. «Э. П.» (стр. 40). {Ред.)
1 Если ocj = i, то промежуток АВ произволен; в общем же случае предпола-
предполагается, что В > А^>0.
46
(x) + A — X) cp (x). Поэтому, если функциональный определитель }рап~
нений B7) относительно неизвестных отличен от нуля, то все неизве-
неизвестные будут аналитическими функциями параметра X. Таким образом,
для доказательства теоремы достаточно будет показать, что вышеупо-
вышеупомянутый функциональный определитель не равен нулю. Но этот опре-
определитель А равен
+ 1 О О ...О А*' Аа\ .,А*п
— 1 0 0 ... О ж?0 х*\. . хУ
(_1)п-и о О ...О Ва° В"\..Вап
О F"x\ О ... О
О О F"X\...Q
О О О ..-.F"xi
\ Е1 9J7 9 77«>ГЛ 1 Л i i д "|
где
•о,
Ва' Ва\ . . Б
+ д„ + •••
ха\ . .
>0
и т. д.
О, а потому
, что и требо-
требоСледовательно, А
валось доказать.
Примечание. Можно заметить, что при доказательстве никажж
роли не играло то обстоятельство, что параметр \ входит в виде
X/ (х) + A -- X) ср (х); все рассуждение остается в силе, если рассматри-
рассматриваемая функция голоморфна относительно X. Это замечание приводит
нас к другой полезной для применений формулировке основной тео-
теоремы.
п
37. Основная теорема В. Если сумма Р (х, X) = 2 aiXH, наименее
г=0
уклоняющаяся на отрезке АВ от функции f(x) + (^ —1)(?0?)> имеет
п + 2 точки отклонения одного и того же рода, при всяком X @ <; X <; 1)у
гг FX2 =/х? -(- (X — 1)<?х2 — ^г^0 в0 всеж внутренних точках откло}/,е-
п
ния, то, полагая, что Q (x) =2j ^ix^1 есть сумма, наименее уклоняю-
щаяся от f (х) на отрезке АВ, коэффициенты Р (х, X) так же, как абсцис-
абсциссы точек отклонения и отклонение, суть голоморфные функции )., причем
Р(х,0) = 0.
38. Применение основных теорем. Теоремой А следует пользоваться.
п
если хотят определить сумму 2j #г#а\ наименее уклоняющуюся от f{xO
47
зная сумму того же вида, наименее уклоняющуюся от другой данной функ-
п
ции ср (х). Теорему В применяют, когда хотят определить сумму 2j #г#а*>
г = 0
п
наименее уклоняющуюся от /(#), зная сумму ^j Ъ^х1, составленную из
%=0
других степеней х, наименее уклоняющуюся от той же функции.
Нетрудно понять общий прием пользования упомянутыми теоремами,
к изложению которого мы сейчас перейдем, обратив особое внимание на
вычисление функции Z,(X), представляющей наименьшее отклонение для
различных значений параметра X.
Если данная функция / (х) неаналитическая, то предварительно надо
будет заменить ее аналитической, достаточно мало отличающейся от
данной в рассматриваемом промежутке. Таким образом, в дальнейшем
мы все время предполагаем данную функцию / (х) аналитической. Для
применения теоремы А выбираем некоторую другую аналитическую
функцию <р(#), для которой наименее уклоняющаяся сумма того же вида
п
Р (х) = Р (х, 0) = 2j bix^ известна и, кроме того, обладающую свойством,
г=0
что функция F (х, X) = )/ (х) + A — X) ср (х) — Р (х, X) удовлетворяет усло-
d2F ^_A
вию, что во всех внутренних точках отклонения gQ? причем род
расположения точек отклонения независим от X.
„ дР д2Р
После этого вычисляем последовательные производные -^г- , ~^т'
и т. д. для X = 0. Многочлен или сумма степеней Р(х,\) разлагается,
таким образом, в строку Тэйлора относительно X, представляющую
голоморфную функцию при всех значениях X (O^X^l), значение кото-
которой Р (х, 1), при Х = 1, равно искомой сумме, наименее уклоняющейся
от функции f (х). Если строка Тэйлора имеет радиус сходимости меньший
-единицы, то для вычисления Р (х, 1) можно во всяком случае применить
способ суммирования Миттаг-Леффлера. Последовательные производные
дР п д*Р п п - „
— = PLJ —р2 и Тш д#> прИ х = 0 представляющие собой суммы
степеней того же вида, что и Р (х), последовательно вычисляются сле-
следующим образом.
Прежде всего замечаем, что в п + 2 точках отклонения х\, соответ-
соответствующих X = 0 и, по предположению, известных, имеем
о dF A dxi A
оатем, так как в этих точках —— = 0 или же --г- = 0, то
ох^ ah
B8)
причем знак левой части равенства B8) для определенного i всехда
тот же, что и в предыдущем равенстве.
48
Таким образом, для определения
dL
и п + 1 коэффициентов суммы
Р} имеем п -f- 2 линейных уравнения с п + 2 неизвестными; при этом
определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений,
-1- *^Л • • • ^п
-1 х?» ... хУ
Si-j-i * *
отличен от нуля, так что для каждого из неизвестных получается всегда
одно вполне определенное значение.
Для определения —у- и Р2 замечаем, что если х\ представляет
собой неподвижный конец отрезка АВ, т. е. совпадает с А или с В,
то
#L a»F(x.,0)
_i_.
B9)
если же точка Xi внутренняя, то
и так' как
следовательно,
(^,о) о a«g (j-it 0) dx{ а*Р(^,о) fdXjW
'X4 dX t/ic «X о'Д"'г
•0)^+^(?0)
дхдХ
F \2
дх д\ )
d2F
= -P9
B90
(замечание относительно знаков то же, что в равенствах B8)).
Уравнения B9) и B9') представляют снова систему п + 2 линейных
уравнений с 7г + 2 неизвестными: коэффициентами многочлена Р2 и
—~2 . При этом определителем этих уравнений служит тот же опреде-
определитель о, отличный от нуля, что и раньше.
Тем же способом можно вычислить и последующие производные;
это вычисление всегда приводится к решению системы п -\- 2 линейных
уравнений с п + 2 неизвестными, у которых коэффициенты при неиз-
неизвестных для производных всех порядков одни и те же.
При применении теоремы В вычисления совершенно аналогичны;
в частности, равенства B9) и B9') остаются без изменений.
39. Вывод двух неравенств. В приложениях, составляющих содержание
следующей главы, мы будем ограничиваться первыми двумя членами
4 С. II. Бернштешг, т. I
49
строки Тэйлора, а именно: за приближенное значение искомого откло-
отклонения L(l) мы будем брать L@) или L@) -j ~-^- . Первым из этих
значений нам придется пользоваться в различных частных случаях
и в соответствующих местах будут указаны его более или менее общие
свойства. Напротив, мы остановимся здесь же на втором значении,
удовлетворяющем во всех случаях неравенству
^ C0)
Очевидно, что неравенство C0) будет доказано, если будет обнару-
обнаружена для всякого X справедливость неравенства
ибо
где 0<Х<1.
Но неравенство C1) вытекает из формул B9) и B9')» имеющих место
при всяком \ @^Х<^1).
В самом деле, знак -f- в вышеупомянутых формулах берется, когда
L = F; знак — берется, когда L=—F. Поэтому если бы неравенство
C1) было неправильно, то во внешних точках отклонения было бы
d2F
-rrg- F <С0; во внутренних же точках отклонения, где
F>0, т. е.
мы имели бы
2F \2
дх~дх)
или
Ж2" ~дх~* ~~~ \ дх дХ )
и тем более
дх2
77 /А д2^ \ Г»
а во внутренних точках отклонения, где t <JJ, т. е. 2 ^> U, такчш
же образом получили бы
d2F \ дх дХ
дХ2 d2F
и поэтому также
d2F us' 0
дХ2 дх- ^
50
Следовательно, во всех точках отклонения имело бы место нера-
неравенство
5~ F<0'
??
Таким образом, сумма степеней -t-j — 2j cix l должна была бы
г=0
иметь по крайней мере по одному корню между Xi и x^i, т. е. имела
бы не менее п -\- 1 положительных корней, что невозможно.
Итак, неравенство C1), а вместе с ним и неравенство C0) доказаны.
Заметим, что неравенство C0) можно получить непосредственно из
теоремы § 34.
В самом деле, заменяя в формуле B8) ср (хг) через Р (xi) ±L@O
находим
± [L @)
- Р (х-) -
Таким образом, приближенная сумма Р (х) + Рг (х), получающаяся,
если в строке Тэйлора сохранить только первые два члена, отклоняется
от f(x) во всех п + 2 точках х\ на ±(L(O)H —^); следовательно,
на основании указанной теоремы можно утверждать, что отклонение
суммы того же вида, наименее уклоняющейся от f(x), не менее чем
Примечание. Согласно терминологии Балле Пуссена (в упомяну-
упомянутой выше статье),
Р(х)+Р1(х)
есть сумма степеней, наименее уклоняющаяся от / (х) в данных п -f- 2
точках х\, причем, следовательно,
есть наименьшее уклонение в этих точках.
Глава IV
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО УКЛОНЕНИЯ | ж |
ОТ МНОГОЧЛЕНА ДАННОЙ СТЕПЕНИ
40. Задача. Определить среди всех многочленов степени п9 у кото-
которых коэффициент при хр@<Ср<^п) равен 1, тот, который наименее
уклоняется от нуля в промежутке @, 1).
п— 1
Если искомый многочлен Рп (х) = хр — R (х), где R (х) = 2 а%х**1» пРи-
г=0
чем oci=i, когда i<Zp, и ^ = i + 1, когда i^>p, то R (х) есть сумма
степеней указанного вида, наименее уклоняющаяся от хр в промежутке
51 4*
@,1). Следовательно, задача будет решена, если многочлен Рп (х) будет
иметь п + 1 точек отклонения (§ 33) на отрезке [0,1.] Но для этого
достаточно взять многочлен
^ t ч nos 2п arc cos Vx
где
cos 2/г arc cos j/я = 22а~' Гж" -- ¦? я" * + ^ ^=^ я" 2
+ Г1У
• • • Г V *¦) 22l i 1\
и ^2р равен коэффициенту при ^;р в многочлене cos 2n arc cos Ух или
коэффициенту при я;2^ в cos 2/г arc cos x, а именно
если р < /г — 1, Л2п_ 2 — - 22^ 2 /г и Л2п = 22)г j.
В самом деле, многочлен Рп(%) имеет коэффициент лри xJ} ранный
единице и, кроме того, он имеет п-\-1 точек отклонения Xi = cos2 -™-, где
i = 0, 1, . . . , п, на отрезке [0, 1].
Это отклонение, таким образом, равно — ; нап])имер, для р = 1
1 о 3
оно равно тг-^ ; для р = Z оно равно 2 2—— и т. д.
41. Задача1. Определить среди всех многочленов степени а, имеющих
коэффициент при xJ' равный единице, где 0 <^р <^п, многочлен, наиме-
наименее уклоняющийся от нуля в промежутке (— 1, +1).
Пусть сначала р будет числом четным. В таком случае, если
х*> + Q (х) удовлетворяет задаче, то тем же свойством обладает и
хр + Q (— х); и тем более многочлен х** + - 2 —— будет также
наименее уклоняющимся от нуля в промежутке (— 1, + 1); но этот послед-
последний многочлен будет составлен из одних только четных степеней. Поэтому,
оставляя в стороне вопрос, будет ли это решение единственным (чита-
(читатель легко убедится, что, хотя это и не вытекает непосредственно из
общей теории, но и в данном случае решение будет только одно), можем
ограничиться допущением, что Q (х) составлен только из четных степеней.
Поэтому, полагая х2 = у. мы можем привести нашу задачу к преды-
предыдущей. Следовательно, искомый многочлен будет
xi' + Q(x) = -g- ,
если п четное число, н
^ + е(л) = со8(и-^агсго8а-,
если п нечетное число, где Вр равен коэффициенту при xv в числите. ie.
1 Эта задача, как я узна.1 шюсгшдстиии, была уже решена при помощи других
рассуждений в упомянутом выше сочинении В. Маркова.
52
Иными словами, наилучшее приближение x'J = х2* при помощи мно-
многочлена степени 2п или 2тг + 1 на отрезке [—1; +1] то же, ч?}(о
наилучшее приближение хк при помоши многочлена степени п на отрезке
[0,1].
Допустим далее, что р нечетное число, p = 2k-\-l. В таком случае,
если многочлен х*> + @(#)дает решение задачи, тотем же свойством обла-
обладает и многочлен xv — Q ( —х), а тем более многочлен хр + ~~~9 '*
будет наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [—1, + 1]- Следо-
Следовательно, можем ограничиться предположением, что искомый многочлен
составлен из одних только нечетных степеней. Задача сводится таким
образом к определению суммы нечетных степеней х, х3, . . ., x2Jc ],
ж21'+3, . ¦ . , хп (или хп~ 4, если п четное число), наименее уклоняющейся
на отрезке [0, 1] от хр — #2Н1; число этих степеней равно —Г)— , если
п —2 "„
п нечетное число, а если п четное число, оно равно—-—. Следова-
Следовательно, задача будет решена, если сумма х9 + Q (х) имеет , а во
втором случае ty точек отклонения на отрезке [0, 1]. Но этим свойством
облагает
xr> + Q(x) = g-, ,
при п нечетном, и
„ . п / \ cos (п— 1) arc cos x
xv + Q (x) = —i ^ ,
и
при п четном, где Вр — коэффициент числителя при х*.
Пусть, например, р = 1. Тогда
п- 1
В, = (- 1) 2 п
(при п нечетном) и
Я,= (-1)"~Мл-1)
(при п четном).
Примечание. Таким образом, сумма х + агх* + . . . + аГ1х2п ^{ в
промежутке @, 1) не может оставаться менее -———г , при этом сумма
эта, действительно, не превышает -—-— , если она равна многочлену
) ' cos Bп + 1) arc cos x.
42. Преобразование задачи вычисления уклонения \х\. Ввиду того,
что функция | х | четная, мы заключаем, как в предыдущем параграфе,
что многочлен, наименее уклоняющийся от \х\ на отрезке [—1, + 1],
можно предположить состоящим только из четных степеней. С ледова •
п
тельно, этот многочлен есть не что иное, как сумма ^j bix2i, наименее
г=0
уклоняющаяся от х в промежутке @, 1); но вместо того, чтобы исследо-
исследовать эту сумму, мы будем рассматривать сумму, ('оставленную только
53
из четных степеней х2, х4, . . . , х2п (без нулевой степени). Другими
словами, мы будем изучать наименее уклоняющийся от \х\ из многочле-
многочленов, равных нулю при х = 0. Если мы обозначим через Е^п наимень-
наименьшее уклонение, соответствующее сумме последнего вида (без постоянного
члена), а через Е^п наименьшее уклонение, соответствующее первоначаль-
первоначальной сумме, то легко убедиться, что
^2п> Е2п > у Е2п- C2)
Первое из этих неравенств очевидно; второе вытекает из того, что
если многочлен Р^п (%) уклоняется на Е^п от \х\, то Р2п(%) — Р2п@)
обращается в нуль при ж = 0 и не уклоняется от \х\ более чем на 2?*2п
(нетрудно было бы убедиться, что знаки равенства в неравенствах C2)
можно отбросить).
Примечание. Если многочлен Р(х) наименее уклоняется от \х\ на
отрезке [— 1, + 1], то hP (-^-Л есть многочлен, наименее уклоняющийся
от \х\ на отрезке [—/г, + h]; следовательно, наименьшее уклонение про-
пропорционально длине промежутка 2/г.
43. Теорема. Наименьшее уклонение L @) на отрезке [0, 1] суммы вида
п
2 #i ян от % больше наименьшего уклонения L A) от х суммы вида
п
2 bix^1, если о^Х^, a2$^p2, ... , an^[3n, причем вообще все pi>l.
i=o
Положим сначала, что
рх < ах < р2 < а^ <...<; рп <; an.
Пусть сумма Q (х) = Вг х"х + . . . -\-Впхап б}^дет наименее уклоняю-
уклоняющейся от х на отрезке [0, 1]. В таком случае несомненно
в.уо, в,<о, #3>о, ...,
ибо уравнение х — Q (х) = 0 должно иметь по крайней мере п положи-
положительных корней.
Для применения теоремы § 37 строим функцию
F (х, X)¦= х + (X - 1) Q{x)~P (x, X),
где Р (х, I) есть сумма вида х 2 М Q-) х^1 > наименее уклоняющаяся от
i=i n
% + (X — 1) Q (х), так что Р (х, 0) ^0, а Р (х, 1) есть 2 ^ь х^1» наименее
г=0
уклоняющаяся от х. Нетрудно убедиться, что в данном случае приме-
применение указанной теоремы законно.
В самом деле, коэффициенты суммы
54
при 0<^<^1> не могут иметь более, чем п, чередований знаков;
поэтому уравнение ¦«— — 0 имеет не более п положительных простых
корней, так что при всяком X (учитывая, что число точек отклонения > п)
конец отрезка 1 будет точкой отклонения и, кроме того, ни в одной из
d*F r
внутренних точек отклонения —^ не будет равно нулю.
Итак, вычисляем производную по параметру \
которая обращается в нуль не менее чем при п положительных значе-
, dF , dL
яиях х (так как в точках отклонения -^г =гЬ~т~ имеет чередующиеся
знаки). Отсюда следует, что число чередований знаков коэффициентов
не менее п, а потому первый коэффициент в — Рх должен быть отрица-
тельным. В таком случае -^г- будет иметь ровно п положительных кор-
корней и, при х ресьма малом, в частности в ближайшей к 0 точке откло-
3F г
нения, —• будет иметь знак своего первого члена, т. е.
ил
Но в этой точке F (х, Х)^>0, следовательно, и
dx ^ и'
откуда заключаем, что отклонение L(k) идет убывая, в то время как
возрастает от 0 до 1. Таким образом,
Из правильности теоремы в только что рассмотренном случае легко
заключить ее справедливость в самом общем случае. Для этого доста-
достаточно составить следующую таблицу показателей:
(n-
«1-
-2) a.
n —
+ (n-
n —
Pi.
1 + Pi
1
-2)P!
1
a2,
8
'?,""..
. , an,
Сравнивая каждый ряд показателей с предыдущим, мы видим, что
они удовлетворяют условиям, только что рассмотренным нами. Поэтому,
беря последовательно суммы степеней, соответствующие каждому ряду,
получим тем более, что и в общем случае наименьшее уклонение х от сум-
п п
мы вида V а-ххн больше наименьшего уклонения от суммы вида V h^1-
55
44. Следствия. Л- Наименьшее уклонение на отрезке [О, 1] многочлена
вида Axx2jr А2х4 + ... + Апх2" от хменьше, чем -—— .
В самом деле, из § 41 мы знаем, что наименьшее уклонение на от-
отрезке [0, \] суммы нечетных степеней ахх3 + • • • + «n#2n+1 от х равно
Б. Наименьшее уклонение от х многочлена вида Вхх* + • • • + Впх2"+2
на отрезке [О, 1] больше, чем -——г .
45. Теорема. Наименьшее уклонение Е2п мносочлена без свободного
члена степени 2п от \х\ на отрезке [—1, +1], при п^>1, .удовлетво-
.удовлетворяет неравенствам г
7_L__ .__!_< е2п < ^ . C3)
И самом деле, Е2а есть в то же время наименьшее отклонение от х
на отрезке [0, 1] многочлена вида Аххг + Аъх^ + • • • + ^nx2n\ следова-
следовательно, второе из неравенств равнозначно следствию А предыдущего
параграфа. Для доказательства первого неравенства рассуждаем следую-
следующим образом.
По предположению
I х - AlX* — Л2.г4 ... - ,1Ля2л | < Е2п C4)
на отрезке [0, 1]. Поэтому при всяком положительном значении \i будем
тем более иметь на том же отрезке
откуда
| A + р) х - - AlX* - . . . | < Е2п A + jiJ;
но, вычитая из этого неравенства неравенство C4), получим неравенство-
вида
(х - Я,.т4- ... - Вп_,л2») i < Е2п [A
и, наконец,
С другой стороны, из следствия Б предыдущего параграфа мы знаем,
что | х — Вгх* — ... — Bn-i х2п \ должно (при п у> 1) становиться более,
чем —— . Следовательно,
2п— 1
1 , w A 4- ^2 + I
каково бы ни было положительное число \ь.
1 Случай п = 1 непосредственно приводится к решению квадратного уравнения,.
из которого получается Е9 = _Г - .
Р - 2 2A+1/2)
56
Но
A + ^2+ 1
достигает минимума при jjl = J^2; таким образом, в частности,
[ г
откуда
2A+^2) 2л —Г
Примечание. На основании неравенств C2) и C3) можем заклю-
заключить, что
46. Применение неравенства C0). Как мы видели в § 43, примене-
применение теоремы § 37 является вполне законным, если
где Q (х) — многочлен вида Вгхг + В хь +.. . + Впх2п+{, наименее уклоняю-
уклоняющийся от х в промежутке @,1), &Р(х,Х) — многочлен вида Агх2-\-
+ А2х* + . . . + Апх2п, наименее уклоняющийся от х + (X—l)Q(x) в том
же промежутке. Мы знаем, что
х — Q (х) = -—~- cos Bп + 1) arc cos x
" ^; ~ 2л +1 '
а первоначальными точками отклонения служат
х. ^ соа 1П A = 0 I п).
Таким образом,
cos t> n'T t — О! cosrr-^Ц ) = L@),
2// 4- 1 v V 2« -fl/
а уравнения, соответствующие уравнениям B8), имеют форму
Q ( cos ^-j) - />, ( cos ~^~Л =
57
dL @)
Складывая каждое из равенств первой группы с соответствующим
уравнением второй группы, получим
niz n / niz \ г /АЧ , dL @)
cos 27Г+Т - РЧ COS 2^ + 1) = L (°) + ~1К -•
Многочлен jPj (я) имеет форму ^я2 -f- -^п^4 +• • •+ ^п#2п- Следователь-
Следовательно, уравнения C5) вполне определяют его коэффициенты, а также
р = Z/ @) -| -тг—. Для удобства решения этих уравнений заметим, что
к ним можно присоединить уравнения
-cos 1йт - РАcos
C5')
Таким образом, многочлен Рг (х) есть многочлен степени не выше
2п+1, который, благодаря равенствам C5) и C5'), должен в 2п + 2
точках xi = cos (i = 0, 1, . . . , 2п + 1) принимать значения #i —
— р(—1)п+% если г О, и -—^ + р (—l)n+S если ?>тг, которые станут
определенными, если р выбрать так, чтобы было Рг @) = 0. Поэтому,
применяя известную формулу для интерполирования, получим
рг(х) = s(х) 2 1~9К~/ - 2 х в* х ' : C6)
|г=0 (Х~~ХО \-xV i=n+l (X~~XO \Xi J
где
S (х) = sin Bп + 1) arc cos x> |/l — х2
— многочлен степени 2/г + 2, имеющий корнями х% (i = 0,1, . . . , 2п + 1).
Условие, что Рг @) == 0, приводит нас к уравнению
из которого определяем р. Для этого замечаем, что
S'(x) = — Bлг + 1) cos Bп + 1) arc cos x — sin Bn + 1) arc cos x,
VI — х2
откуда
У (я*) = — Bп + 1) (— 1)\ если 1 = 1,2,..., 2/г,
и
?' (ач) = — 2 B/г + 1) (— 1)*, если i = 0 или 2/г + 1.
58
Таким образом,
~(~1)П
Zl S' (x.) In + 1 |_ 2 ^ "T" • • " "Г" V ^ J 2 Bn + l"j '
i = 0
Следовательно,
Г n t 2n+i
Li=0 г г г=п+1
ИЛИ
р * + 2—V- S-Лг-
L 1=1 соз^тщ {=„+1 cos ^-^ J
и, наконец,
1 = 1>
Р=- ^— • C7)
Пользуясь неравенством C0), мы получим отсюда нижнюю границу
для L(l) = E<in, а именно,
1 + 22--V
Но
2i»+1 1 du 1 2п+1 , 1 + зш2:
1 log
7С COS U
о
i + 2 6
+ -s- bg( 1 + sm g^
тг 1 / тс У | 1__
+ 2 6 V4/i + 2/ ' * * *J
59
где гп стремится к нулю, когда п возрастает бесконечно, я, при всяком
Следовательно, при не я ком п,
(An
Г К ft +41"
¦f2)[2 + log—^-J
C8)
Неравенство C8), как мы видим, дает значительно менее близкую к
Eon нижнюю границу, чем неравенство C3).
47. Замена приближенного многочлена Рг (х) другим многочленом.
Вместо того чтобы продолжать систематическое применение общего
метода, рассмотрим многочлен R(x) степени 2п, определяемый условиями,
что он равен х ] в точках хк = cos
(А = 0, 1 , . . . , 2п — 1), где
Т (х) = cos 2n arc cos x = 0, и, кроме того, равен нулю при х = 0.
Замечаем, что
2" (я) = -"
2п sin 2л arc cos
Поэтому
Следовательно,
Г («*) = (-J)*
sin
^ + -2-J*
S
х — cos ¦
2n-i (~~ l)A"sin
_ VI
2n
а; — cos
In
По, с другой стороны.
X -=¦
хТ[х)
«-i (—lrsin- '—
2
2п
In 1 (_ 1
2j
) sin
(am
+
1
откуда
1\ 7Г
J
-хТ (х)
1\ тг
2 У 2гс
Л 1 \ 7Г
-f cos ( к + -./) Т~"
C9)
D0)
60
и так как многочлен R (х) представляет собой сумму четных степеней,
то \х\ — R(x) как при положительных, так и при отрицательных зна-
значениях х равняется разности х—R{x), взятой только для положитель-
положительных значений х.
Преобразуем сумму
н(х) = ~2 ып
= — у
yj 2n
1 \ тг Г /' 1 \ тс
* ~~ XI 2^ Г + °0S Г + V 2^
cos(^-
- У) Тп] \
тс
тс Атг г
2а: sin -7— c°s "о— + sin ~t>—
1 \ тг п г Л 1 \ те V
Л-=1, 3,..., л —
полагая для определенности п четным.
Теперь легко убедиться, что для всякого определенного положитель-
положительного значения х
lim хН (х) = \ . D2)
п—>оо -
Действительно,
Дтг -"-
,r2 cos -л --fa; .
lim x/f (х) = lim ^/j ^- ^r—— = ^ \
• cos a + 1
___ — t
\" 2 J ^ж -f- cos a)-
Таким образом,
о / v _ cos 2и arc cos г ?w ^) cos 2// агс cos f
причем zn @) = — 1 и lim sn (x) = 0, если | x \ > 0.
48, Определение нижней границы i?2n- Многочленом Л (х) можно
воспользоваться для определения нижней границы Е^п при помощи обоб-
обобщенной теоремы Балле Пуссена.
Для этого покажем сначала1, что при всяком х^>0,
D4)
1 Мы предполагаем п > 2. Случай, когда /г = 1, не представляет никаких труд-
трудностей, как это уже было замечено ранее.
61
В самом деле,
1, 3,...,п-1 1
1\ тс
ж + cos Л —-пгЬт-
7Г
= sin г—
2га
n ZJ Г /" 1 \ тг 1 Г /" 1 \ тс
1, 3,..., п-1 ж + sin Л— -yhr- hc + sinA: + -nrh5-
L \ ^/^"J L \ л j &n
АЛ Г B/с — 1)ти1Г B/с 4-1) тс]
1,3,..., п-1 [* + ¦ ^ J[a + - ^ J
vn 1
2л 4- 1
1 ZJ Г
1, 3,...,п-1 [^ж •
B/с —1) тг j Г B/с
4T
^1
1
2 Bлг + 1)
1
2/с —1 ]Г 2Л + 1
2д 4-1 тс
2п
4д
Отсюда заключаем без труда, что, при х^ тг-,
п /" 1 1
ш W -^ 2п + 1 \ 3 4д 4- ЗУ J
а потому, как бы мало ни было е, можно взять п достаточно большим,
чтобы иметь
1 — е
хН(х)>--
6
Поэтому разность
в точках
(i = 0,1,..., п-
последовательно меняя знак, становится по абсолютному значению
больше Г" и, наконец, при новой перемене знака, в точке ^— превы-
Г
ОД
шает
Применяя обобщенную теорему Балле Пуссена, заключаем, что
Ьп
1-е'
<6п
ъ
8д
cos 2n arc
1-е'
COS
COS
sin
тс
4
тс
8д
или, полагая гг достаточно большим, находим
D5)
62
Примечание. Легко было бы проверить, что Е2П^>-?г • — для
всякого п\ но это неравенство менее точно, чем неравенство C3), кото-
которое получено было уже выше другим способом (§ 45).
В прилагаемом ниже добавлении* к этой главе речь будет итти о
приближенном вычислении Е^п- Что же касается Е^п, то, пользуясь
более точным вычислением хН(х), для весьма больших значений п
можно получить, пользуясь тем же многочленом Н(х),
w ^ 0,34
Глава V
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ.
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА
49 [58]. Теорема. Если производные (п + 1)-го порядка двух функ-
функций f (х) и ср (х) удовлетворяют в промежутке АВ неравенствам
то наименьшие уклонения En[f(x)] и Еп [ср (х)] рассматриваемых функ-
функций от многочленов степени п на отрезке АВ удовлетворяют неравенству
En\f(x)]<En[9(x)].
В самом деле, составляя функцию
F (х, X) = X/ (x) + (l-l)?(x)-P (x, X),
где Р (х, X) — многочлен степени п, наименее уклоняющийся от л/ (х) +
+ A — \)<?(х) на отрезке АВ, мы видим, что при всяком X расположе-
расположение точек уклонения будет первого рода, и во внутренних точках
уклонения Fx* ^0, так как на всем отрезке
и, следовательно, уравнение Fx = 0 имеет не более п корней.
Таким образом, мы вправе применять теорему § 36, замечая вместе
с тем, что в последней точке уклонения F>0, т. е. F = L. Но урав-
уравнение
имеет п + 1 корней, так как
В настоящем издании это добавление не воспроизводится; см. [3.1]. — (Ред.).
63
лри этом в последней точке отклонении
=
Следовательно,
L(\) = En[f (х)] < L @) = ?п [? (Ж)],
что и требовалось доказать.
50 [59]. Следствия/ А. Если в промежутке АВ
0 < >fl+i) (x)</(n+1) (х) < ?("+1) (х),
то
En[<b(x)]<En\f(x)]<En[?(x)].
Б. Если * в промежутке АВ
wo
?n[/(a:)]<2Jeri[?HJ-
В самом деле,
0 < ?(п+1) (X) ± /("+П (ж) < 2с?("+1) (ж);
поэтому
Я„[? + /]<2Д„[?]; A'n[? /j С2?„
и, следовательно, тем более
В. Если в промежутке АВ, длина которого равна 2h,
В самом деле, на основании следствия А,
а потому, замечая, что
получаем
2ЛТ
* Следствие Б было автором впоследствии уточнено («Э. П.», глава I, § 10), а
именно,вместо неравенства Еп \f(x)\ <С 2Еп [9(х)] Д^но более сильное неравенство
En[f {х)\<^Еп\^ {х)\. Поэтому множитель 2 оказывается лишним и в следст-
следствиях Г и Д. (РеО.).
64
Г. Если в промежутке АВ длины 2h
\fn+1)(x)\<M,
то
n |; [X)i ^ (/i + l)! \2
Это вытекает из следствия Б.
Д. Если с промежутке АВ
то
2En[f{x)]>kEn[f'(x)];
если же
то
En[f(x)}<2kEn[f(x)].
Это вытекает из следствия Б.
Е. Если в промежутке АВ (х^>0)
fn+i){x)>0, /(и+2>
то
В самом деле, полагая
находим
?(п+0 {х) = «У
50bis [59bis]. Примеры. Предыдущие результаты, получаемые при
помощи общего метода, если ограничиваться только первым членом
соответствующей строки Тэйлора, в некоторых случаях дают довольно
тесные границы для наилучшего приближения Еп%
Рассмотрим, например, наилучшее на отрезке [а, Ь] приближение
Еп(ех) функции ех при помощи многочлена степени /2. Применяя след-
следствие В, находим немедленно
В частности, на отрезке [— 1, + 1]
Рассмотрим еще наилучшее приближение функции sin x на отрезке
[—Л, +Л], где h<^~ , при помощи многочленов степени 2т или
2т — 1 (нетрудно видеть, что так как sin x есть нечетная функция,
многочлены, наименее уклоняющиеся от sm# на отрезке [—Л, +/г],
б С. II. Бернштейн, т. I 65
будут также нечетными функциями). На основании того же следствия В,
получим
2 cos Л /Д\2т+1 2 /А\2т+1
Ы < ^ (Sln х) < \)
например, если h = -^ , то
/тс\2т+1
Ы
"^ Bт + 1)! \6
Рассмотрим, наконец, наилучшее приближение Еп[ , • j , где
и а>0, на отрезке [0, 1].
Полагая / (ж) = ( b X и ср (х) = К J , находим
/<«+» (х) « (- 1)"+1 «(« + !)...(« + ») (тУ)^ '
откуда
Поэтому, применяя следствие А, получим
(а + h) . . . (а + h + я) ift у
а . . . (а + Л)
полагая
В частности, если А = 1, то
Упражнение. Показать, при помощи следствия В, что на от-
отрезке [0, 1]
F /Tn+l+/a ^2 (n + l+h). . .A + h) /1 \n+i
если А> 0.
51 [61]. Преобразование строк Тэйлора в ряды тригонометрических
многочленов *. Из тождества
(т — 1) .. . (т — / + 1 ^ / о i\ i 1
т^ — cos (m — 2l)t+...]
* Так как в первоначальном тексте § 52 [60] предшествовал § 51 [61], то в на-
настоящем издании в эти параграфы внесены незначительные редакционные изме-
изменения. (Автор.)
66
выводим, полагая х = cos t и Тп (х) = cos n arc cos x,
х™ = -J-J- [ Гт (х) + теГт_3 (ж) + w(w2~1) Гт_4 (х) +
следовательно.
¦]; D6)
4-3
5-4
24-2!
B/ — 1)... (г -Ь 1)
iфЛ 1-
• Н
2п+з2,
+ •
¦•••]
D7)
Отбрасывая первый член в правой части равенства D6), получаем
многочлен степени m — 2, наименее уклоняющийся от #т на отрезке
[-1, +!]•
Отбрасывая еще один член, получаем многочлен, приближающий хш,
степени m — 4, и т. д. При этом легко оценить соответствующую по-
погрешность, так как
1. Откуда и заключаем, что
Еп (*п+3) = Еп_х
D8)
Еп (xrt+2J:+i) = Eni (хп+^+{) <
k + 2) Г, . ^ . Л: (Л:
L t^H2t
(/г + Л + 2) (n + * + 3)
Полагая
я + 3
«п+З Н
замечаем, что остаток, получаемый, если отбросить в разложении D7)
члены степени выше п, не более, чем
поэтому
n+i\ + \Ап+2\
67
D9)
52 [60]. Применение теоремы Балле Пуссена или неравенства C0).
Мы можем получить нижнюю границу Еп [/ (х)] на отрезке [—1,+ 1],
применяя неравенство C0), т. е. беря первые два члена строки
Тэйлора, представляющей многочлен степени п, наименее уклоняю-
уклоняющийся от X/ (х) + A — X) ср (х), где ср (х) = хп+{.
На основании примечания к § 39 заключаем, что эти первые два члена
строки Тэйлора представляют вместе с тем многочлен Q(x), наименее
уклоняющийся от f (х) в п + 2 точках х\, где разность | ср (х) — Рп (х) \
достигает максимума (через Рп (х) обозначен многочлен степени п,
наименее уклоняющийся от cp(#))t В данном случае у (х) =хп+[,
ПОЭТОМУ Xi = COS "^ .
Пусть
имеет радиус сходимости
Многочлен Q (х) степени п удовлетворяет п + 2 уравнениям
Q(xi)=f(xi) + (-l)ip,
причем |р|, как мы видели, является нижней границей для En[f(x)].
Применяя формулу интерполирования Лагранжа, находим
г—0
где S (х) = ]/1 — х2 sin (п + 1) arc cos x.
Так как степень Q (х) не выше п, то
i=0
П+1 I-II
откуда, вследствие1 равенства V \,г ; = +1, получаем
п+1
,) + ... + (-!)"/(«„) +4 (-1)п+1/(-1)]-
Чтобы преобразовать правую часть последнего равенства, разложим
функцию / (х) в ряд по тригонометрическим многочленам
Принимая во внимание, что
@ при кфО (mod(^+ 1)),
+ (- 1Г+{ 4 cos k^f- = I о при А = 25 (n + 1),
[n + 1 при k=Bs+ \){n + 1),
1 Cm. § 46.
68
получаем
р =
Таким образом, на отрезке [— 1, +1]
En U (х)] > | An+i + Ад (п+1) + . . . |. E0)
В частности, на отрезке [— 1, +1] имеем
Еп [*п+Ч = Яп_, [&
2п+42! E1)
Сопоставление неравенств D8) с неравенствами E1) показывает, что
каково бы ни было определенное целое число к, на отрезке [— 1, +1]
л (го\
2Л + 1) le W";
Из неравенств D9) и E0) получаем окончательно [3.6]
| Ап+1 + А3 (n+i) + Аь (п+1) + . . . |< Еп [/ (х)] < ! Лп+11 + | Ап+2 | + . • т E3)
53. Общие соображения о наилучшем приближении функции, задан-
заданной своим разложением в ряд Тэйлора*. Пусть
/ (х) = ао + ахх + а2х* + . . .
функция, заданная своим разложением в ряд Тэйлора, радиус сходи-
сходимости которого Rt ^> 1. Мы увидим в третьей части, что наилучшее
приближение произвольной функции Еп [/ (х)] больше, чем -г In\f\, гДе
к — постоянная, a In[f(x)] — приближение, которое получается, если
в разложении функции / (х) по тригонометрическим многочленам оста-
остановиться на многочлене тг-й степени1. В данном случае наиболее про-
простой способ получения этого разложения состоит в применении фор-
формулы D6) к последовательным членам разложения f{x), как это было
сделано в § 51. Далее мы увидим также, что если В есть особая точка
функции fix), лежащая на наименьшем из эллипсов с фокусами
в точках — 1 и + 1, то /п[/(#)]> а следовательно также и En[f(x)], будет
удовлетворять при всех достаточно больших п неравенствам вида
каково бы ни было произвольное число R такое, что R^>R, где R —
полусумма осей конфокального эллипса, проходящего через точку В\
* § 53 отсутствовал в диссертации и взят из мемуара «О» (§ 46). {Автор.)
1 См. теорему § 63.
69
кроме того, по теореме § 29, для бесконечного множества значений п
имеют место неравенства Еп [/(#)]>-™, каково бы ни было Rrr^>R.
Если, с другой стороны, мы вспомним, что остаток rn\f (х)], соответству-
соответствующий ряду Тэйлора, удовлетворяет неравенствам вида
где R{^>Н{^>Hi, то для нас станет ясно, что невозможно указать
сколько-нибудь точного общего соотношения между Еп [/ (х)] и гп [/ (х)] или
между En\f(x)] и R±. Чтобы получить более точные результаты, нужно
знать прежде всего положение и, кроме того, характер особой точки В.
Этот случай представится, в частности, если все коэффициенты разло-
разложения f(x) одного знака или попеременно его меняют (к тому же вто-
второй случай сводится к первому), так как тогда точка В будет лежать
на действительной оси, и мы будем иметь R = Ri -{- yR*— I . Мы огра-
ничимся рассмотрением случаев: 1) когда / (х) = ъ , 2) когда fix) —
целая функция.
54 [62]. Следствия. А. Если —^-+—' п+2 — стремится к ну-
лю при п->ос, то на отрезке [—1, +1]
п
Б. На отрезке [—А, + h]
В самом деле, Еп(ех) на отрезке [—А, + k] равно En(ehx) на от-
отрезке [—- 1, + 1]. Но
ehx _-
поэтому
л hn+[ Г, . 1 f h\2 1 / Л\4 . I
Лп+1 = —— — ^1 + -^-j-^ f yj + 12 (/г + 2) /д + 3) [-JJ + ' • J
hn+i
I n+2 I + I п
где sn стремится к нулю при п~>ос, следовательно, J— ' '
Лп+1
также стремится к нулю.
В. На отрезке [— А, + h]
#2,,(sins).22*BA: + l)! JE^j (sina;).22*B* + 1)!
70
Доказательство подобно предыдущемух.
Г. ?Ьш [3.7]
то на отрезке [— 1, +1] wjpm гс достаточно большом
Л
Для простоты письма положим ап = Rn (что соответствует / (х)
= . _ р ). В таком случае
& \ , (« + 4) (л
HJ^^
замечая, что
получаем разложение в ряд по тригонометрическим многочленам для
ТаК0М
2ЛП
1 Назовем функцию Qn(^) асимптотическим выражением многочлена Рп(%) сте-
степени и, наименее уклоняющегося от данной функции /(#), если уклонение 2?^/
Е'f
функции / (х) от Qn (х) удовлетворяет условию, что lim —И_ = 1. Таким образом,
n->oo En f
асимптотическими выражениями многочленов, наименее уклоняющихся от рассма-
рассматриваемых здесь функций, во всех случаях служат многочлены Qn (x) степени п,
получаемые при помощи преобразования, указанного в § 51, т. е. Qn(x) является
п-й частной суммой ряда, полученного при помощи разложения / (%) в ряд по
тригонометрическим многочленам.
71
Следовательно,
2RBn
2j * ~ fr^
*-*-. - - -ЯМ1-Я
2RB"
yYWd + VTW) A - 2?2"+2)
A-— 0
Отсюда, применяя неравенство E3), получаем
Интересно сравнить полученный результат с теоремой § 29.
Не останавливаясь на этом, перейдем к рассмотрению неаналитиче-
неаналитических функций.
55 [63]. Теорема Вейерштрасса» Выведем некоторые следствия из
неравенства *
^, E4)
имеющего место на отрезке [—1, +1] для достаточно больших значе-
значений п.
Хорошо известно, что из того, что
lim Еп [| х |] — О,
п—>оо
вытекает теорема Всйорштрасса, т. е.
lim En[f(x)]=0
n->oo
для какой угодно непрерывной функции1. Я хочу заметить только, что
при помощи формул, указанных мной в 1905 г.2, из неравенства E4)
можно вывести в некоторых случаях довольно точную верхнюю гра-
границу ДЛЯ 2?2п [/(#)]•
Пусть f(x) будет непрерывная на отрезке [0, 1] функция, и пусть
у = fn (x) будет уравнением ломаной линии, имеющей вершинами точки
на линии y — f(x), с абсциссами х^ = -- (х = 0, 1, . . . , п).
Упомянутые мною формулы заключаются в том, что
п-1
fn(x)= ^
* См. [12], § 26, неравенство C6). Вместо неравенства Е2п [\х\] < °j^°®
0 3?
в первоначальном тексте стояло неравенство Е2П [|ж;1 < -?>—-» котоРое было доказа-
доказано в опущенном здесь добавлении к главе IV. (Автор.)
1 Небесполезно обратить внимание на то, что непрерывность функции / (х) есть
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы lim En [/ (х)] =0.
2 См. статью «Об интерполировании» [1].
72
где
А *
п Г
* = т V
к + 1 \
+
А--1
„ , / А- \ 1
- 2' UJJ
Заменяя |ж —жл приближенными многочленами степени р, получаем
приближешшй многочлен /^ р (х) степени р для /„ (х) и заключаем, что,
при /? достаточно большом, ошибка | /п> р (ж) — /n (.x) | и, тем более,
Ep[fn(x)] будет удовлетворять неравенству
Ограничимся только рассмотрением случая, когда функция f (х)
удовлетворяет условию Дини-Липшица, а именно пусть
где 8 (h) стремится к нулю вместе с /г.
В таком случае, очевидно,
и, с другой стороны,
так как | Ак |
v If (х)}
Поэтому, полагая р = п2, находим
(х) - /„, р (х)|< 4,572
E5)
Аналогичное неравенство дал Лебег в цитированной выше работе
из «Annales de Toulouse». Заметим, что в случае существования обобщен-
обобщенного условия Дини-Липшица неравенство E5) соблюдается не для всех,
но для бесчисленного множества значений р. Следовательно, принимая
во внимание результат § 27, находим, что условие необходимое и доста-
достаточное, чтобы функция f (x) удовлетворяла обыкновенному условию
Дини-Липшица, заключается в том, чтобы lim Еп [/ (х)] log n = 0; условие
п->оо
необходимое и достаточное, чтобы функция f (x) удовлетворяла обобщенному
условию Дини-Липшица, заключается в том, чтобы, при бесчисленном
множестве значений п^> nQ, iimEn [f (x)] logn = 0.
73
56 [64]. Первое обобщение теоремы Вейерштрасса. Если дан беско-
бесконечный ря/Э чисел
обладающий тем свойством, что Н < а. < К, где И и К — два независимых
от i положительных числа, то для всякой непрерывной на отрезке [0, 1]
функции jf(x) можно составить сумму 2 М^1 шак, чтобы на всем
i = l
отрезке было
как бы мало ни было число г.
[Указанным свойством обладают, например, числа а{ = 1 — —т
Наша теорема будет, очевидно, доказана, если мы покажем, что она
справедлива для f(x)=xv, где р — произвольное целое число, большее
единицы.
Для этого замечаем сначала, что, на основании рассуждения, совер-
совершенно подобного доказательству теоремы § 43, можно утверждать, что
наилучшее приближение xv на отрезке [0, 1] при помощи суммы вида
п
^jAix011 всегда меньше наилучшего приближения при помощи суммы
п
вида 2 Bixb%, если р > ol >> [3. >> 0.
С другой стороны, полагая в неравенствах D8)х2 = у, выводим из
них, что на отрезке [0, 1]
Bт + к + 1) Bт + А: + 2)
1.
обозначая через 2?^ (д;р) наилучшее приближение #р на отрезке [0, 1] при
п
помощи суммы ^А{Х1, имеем
г=1
р - п - 1
"++2
= In+i + In+2 + • • • +Ipi
где
22P~2 (/7_5)!
74
Поэтому
i + [log(l-!)-log(l+ !)] + ..
. . . + log 1 — log 1 + l — log 1
L \ P J P /J V
Отсюда
" p 2pi<
так как
_ Bp)\
p!) 2-4...
Но, при /?> 1, s>0,
E6)
Действительно, это неравенство равнозначно неравенству
* I
5 1
или, полагая и — — , а = — , — неравенству
/(и)= 2е2 и-е-«<е-а,
справедливость которого нужно, следовательно, доказать при предпо-
ложении, что а ^-^-, 1 ^ и ^ 4а. Но нетрудно видеть, что при рас-
рассматриваемых значениях гг, fn(u)^>0; поэтому наибольшее значение
f(u) будет равно /A) или /Dа), так что достаточно заметить, что, при
/ A) = 2е~1/2 - в" < е~«; f Dа) = 2е8а3~4а - еа < е~а.
Из неравенства E6) заключаем, что
s-1
и потому
s-l s-1
75
Следовательно х, наконец,
оо
^ jj e-*dz. E7)
Таким образом, Е/п(хг>) стремится к нулю, если '_ возрастает беско-
бесконечно. Поэтому, в частности, Е'п(хрп) стремится к нулю, если, при
данном р, п возрастает бесконечно. Но, подагая хп—у, мы видим,
что Е'п(хРп) есть вместе с тем наилучшее приближение функции хр при
п
помощи суммы 2jB\xin на том же отрезке [0,1]. Следовательно, бла-
г = 1
годаря замечанию, сделанному в начале доказательства, приближение хр
п
при помощи суммы вида 2jAixai стремится к нулю вместе с 1//г, так
i = l
как (введя, если понадобится, переменную х1* вместо х) всегда можно
предположить, что 1<С//<Го^, что и требовалось доказать.
Примечание. Отрезок [0,1] может быть заменен произвольным
отрезком АВ на положительной оси; и, кроме того, нетрудно убедиться,
что если отрезок АВ не доходит до 0, то условие, чтобы Н^> 0, К^>0,
может быть отброшено.
57 [65]. Второе обобщение теоремы Вейерштрасса. Если показатели ап
возрастают бесконечно вместе с п, то наилучшее приближение непрерывной
функции f (х) на отрезке [0, 1] при помощи 2 Агхн стремится к нулю,
ос
если ——— стремится к нулю; напротив, наилучшее приближение не
может стремиться к нулю, если есть такое число г, что an^> n (log пJ + г
или ап ;> п (log /гJ (log log /гI+е и т. д.
Займемся сначала доказательством первой части теоремы.
Достаточно будет рассмотреть случай, когда f(x)=xp, где р — про-
произвольное целое положительное число, если брать только те а{, которые
больше р, и, тем более, достаточно будет доказать, что, как бы мало
ни было число 8, возможно на всем отрезке [0, 1] удовлетворить нера-
неравенству
X —
E8)
1 Указанное здесь вычисление аналогично тому, которое я сделал в заметке «Sur
le calcul approche des probabilites par la formule de Laplace» («Сообщ. X. M. О», т. XII,
№ 3), и приводит к следующему результату для теории вероятностей: если веро-
вероятность события равна _ , то, при 2/?(/>>1) испытаниях, вероятность, что
число т появлений события удовлетворяет неравенству \ т — р | <J z0Vp, более, чем
76
ибо, если это неравенство имеет место, то, конечно.
XV —
Пусть
an = еп/г log (w + 1);
в таком случае, по предположению, как бы мало ни было число ^, можно
указать достаточно большое число п0, чтобы: при п^п0, иметь ?П<С7-
На основании теоремы § 43 неравенство E8) может быть осуществлено,
если известно, что
х - 2
h=i
< 8,
где
Положим fih = kh; тогда
х -
ym _ ^ Bhyh
Мы увидим в следующей главе (и это вытекает также из примечания
в) к теореме § 16), что эта разность может быть сделана менее —^ , где
Ь — не зависящая от п и к постоянная. Таким образом,
если
к> a'°+/l // = ^±^> ^ . E9)
Для значений h, которые меньше, чем ?0, и меньше, чем п0 — ?0,
неравенству E9) можно удовлетворить, взяв для к некоторое вполне
определенное число к0; для остальных же значений h неравенство будет
соблюдено, если взять
к = 2у log 2n.
Можно предположить п настолько большим, что 2^\og2ny>k0. Следо-
Следовательно,
А
л ^ Ь
log
— о
4v
п2у log 2n €2у log 2и
поэтому 8 может быть сделано сколь угодно малой, и первая часть
теоремы доказана.
Для доказательства второй части теоремы замечаем, что наилучшее
приближение х на отрезке [0, 1] при помощи суммы
гхн (где а. > 1),
1 Если бы одно из чисел а^ было равно 1, то вместо наилучшего приближения ее
можно было бы рассматривать наилучшее приближение хр, где /?5^.
77
?п удовлетворяет, при всяком положительном значении ц, неравенству
A + [1)ап~{ - 1
Pn>[3n-1
Действительно, из
\х
заключаем, что и
а потому
откуда
A + (Л)"П + 1
F0)
следовательно,
или
A + (!)""
A + I*) " + 1
v««-i
o
Pn-l
Из неравенства F0) получаем немедленно
F1)
где Si — какие угодно положительные числа. Достаточно ^теперь будет
показать, что при соответствующем выборе чисел 84 произведение,
стоящее во второй части неравенства, не стремится к нулю, при п->оо,
если ап ;> п (log nJ+e или an^ w (log ^гJ (log lognI+e и т. д.
Но
1
1
Поэтому рассматриваемое произведение не может стремиться к нулю,
если оба ряда
78
будут сходящимися. Для сходимости первого ряда достаточно взять
2 2
г- , или Ьп = Yj- и т. д.;
n (log л) +? п log n (log log n)
возьмем, например, первое из этих значений. В таком случае и ряд
%п 1
будет сходящимся, если c/4^i (log гJ+?.
В самом деле общий член этого ряда меньше, чем
i (log г) 2-И '
т. е., при i достаточно большом, меньше, чем
1 __ J_ #
e21ogi ~~ г-2 »
а потому ряд V — — сходящийся, и, следовательно, вторая часть
теоремы доказана.
Примечание. Отрезок [0,1] может быть заменен произвольным
отрезком АВ положительной оси.
Добавление к главе V
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В НОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ
58 [66]. Нормальные ряды. Нормальным рядом на отрезке [0,1]
называется ряд вида
р=0 q=0
абсолютно и равномерно сходящийся на этом отрезке. В моем сочинении
«Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными
производными 2-го порядка эллиптического типа» х дано (в главе II)
разложение в нормальный ряд, пригодное для всякой функции, имею-
имеющей непрерывную производную на отрезке [0, 1]. Естественно задать
себе вопрос, может ли совершенно произвольная непрерывная функция
быть разложена в нормальный ряд.
Ответ на этот вопрос, как мы увидим далее, оказывается утверди-
утвердительным. А именно, мы укажем прием для преобразования произволь-
произвольного, равномерно сходящегося ряда многочленов в нормальный ряд.
С этой целю разрешим предварительно следующею алгебраическую задачу.
1 «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 11 A908), стр. 1—96.
79
Задача. Преобразовать многочлен
Р (х) = апхп + ап \хп~{ + . . . + а^г +
в выражение
p+q=m
р=0 q=Q
где т ^ п, так, чтобы максимум суммы
на отрезке [0, 1] был возможно мал.
Ввиду того, что коэффициенты APi q и число их ограничены, задача,
очевидно, имеет решение, т. е. можно выбрать эти коэффициенты так,
чтобы максимум суммы
p+q=m
достигал своего низшего предела; этому минимальному значению макси-
максимума мы для краткости дадим название нормального максимума степени
т данного многочлена на отрезке [0, 1].
Весьма замечательно, что поставленная задача разрешается совершенно
элементарно, причем обнаруживается интересный факт, что нормальный
максиму и степени т любого многочлена Р (х) имеет пределом, при т~>оо,
максимум \Р(х)\ на данном отрезке. Искомое решение вытекает из
простого замечания: допустим, что задача решена, и пусть выражение
есть одно из возможных решений. Я говорю, что если среди членов
aPtqxP(l — x)q есть такие, степень которых р + q = т ~ к, где й:>0,
то решением задачи будет служить и то выражение, которое получится
от замены aPiQxp(l —x)q суммой членов степени т,
= а
р> q
В самом деле,
поэтому сумма модулей преобразованного выражения не может превысить
суммы модулей данного выражения.
Отсюда следует, что среди решений задачи всегда есть одно решение,
в котором сумма показателей р -f- q = пг. Другими словами, задача будет
решена, если представим Р (х) в виде
Р (х) - Атхт +4ш_1жт-1A - х) + ... + Ао A - х)т.
80
Остается вычислить коэффициенты А-% так, чтобы иметь тождественно
Атхт + Ат_ ix™-1 A - х) +... + Ао A - х)т = апхп + ап^хп^ + ... + а0,
откуда находим для определения т + 1 коэффициентов т + 1 уравнений
F2)
где ак = 0, если
Решение уравнений F2) не представляет труда и дает немедленно
ж 2
А*
= «н
hma0,
Л-, +
(m —
2
•- +
i)
с
«0-
* ап
т 0
1 0 F3)
= ат + dm-A + ... + Я0>
где
1-2... А
Итак, поставленная задача решена; нормальный максимум степени т
данного многочлена равен максимуму суммы
* A - з)т-*
д-=о
гЗе коэффициенты А\ определяются формулами F3).
59 [67]. Исследование величины нормального максимума. Формулу,
определяющую А%9 можно преобразовать следующим образом:
0+"^Г 1 + ^Г 2 J
, 1
2 * ~ ft .
— ) а
i-?- v'v A--H1-
mj'"\ m
Из полученной формулы видно, что, при бесконечном возрастании т,
lim -4- = lim P f-) . F4)
6 с. II. Бернштейн, т. I 81
Действительно, если к есть определенное число, то все члены суммы,
состоящей из данного числа п + 1 слагаемых,
+ ••¦,
1—-
кроме а0, стремится к нулю, поэтому
lim —? = а0 = Р @) = lir
mj
Если же к также возрастает бесконечно, то
lim —^- = lim Uo+ ai h a2\j + ••• + #n (—) J = Hm ^ (—) •
Следует прибавить, что разность
равномерно стремится к ну. о при бесконечном возрастании т.
В самом деле,
поэтому
- 1
•¦•+?)•-
к\п K1-TJl1-f)'"{i-n~T'
<//Х\ I J.
\ m / * I А*
где
Итак
где
В = | а21 + 4
(n-1J . В
... + (п — IJ [ ап
F4')
в
-
Следовательно,
т т
2j \ Aic | хк A — я)™-* = 2
в
?=0
в
В
32
обозначая через М максимум многочлена Р (х) на отрезке [0,1]. Таким
образом, обозначая через Мт нормальный максимум степени т много-
многочлена Р (х) на отрезке [0, 1], имеем
Мт < М + - . F5)
Следствие. Если многочлен Р (х) положителен на отрезке [0, 1],
то, при т достаточно большом, все коэффициенты Ак положительны.
60 [68]. Теорема. Всякая непрерывная на отрезке [0, 1] функция
разлагается в нормальный ряд на отрезке.
В самом деле, на основании теоремы Вейерштрасса, всякую непрерыв-
непрерывную функцию / (х) можно представить в виде равномерного сходящегося
ряда многочленов
f{x) = Q0(x) + QL (x) + ... + Qs(x) + ... F6)
Написанный ряд можно будет преобразовать в нормальный ряд
следующим образом: соединяя вместе, если это понадобится, по нескольку
членов, ряд F6) преобразуем в ряд
f{x) = Р0(х) + Рх (х) + ... + Р8(х) + ..., F6')
в котором все многочлены J^s (ж) (при s^>- О) удовлетворяют условию
После этого представим все многочлены Ps (x) в виде
\m—k
Полагая m достаточно большим, чтобы нормальный максимум М^ много-
многочлена Ps не превышал более чем в два раза его обыкновенного макси-
максимума, получим
Делая то же преобразование для всех s, мы, очевидно, преобразуем
ряд f(x) в нормальный ряд; что и требовалось доказать.
Следствие. Для всякой непрерывной функции имеет место
равенство х
k=0
1 Эта формула выведена мною при помощи теории вероятностей в заметке
«Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur le calcul des probabilites»,
помещенной в «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», т. 13, № 1, 1912 [4].
83 6*
В самом деле, если / (х) = Р (х) есть многочлен, то на основании
равенства F4')
в
т
F7)
Если же f (х) есть произвольная функция F6'), то, полагая
имеем
I / — PI <r" — '
F8)
поэтому, применяя к многочлену Р (ж) неравенство F7), заключаем, что
1 , В
/(*>-2/(?)<?** а-
\m-~k
2s
Таким образом, как бы мало ни было число а, выбираем s достаточно
большим, чтобы
2s-l ^ 2 '
после выбора s многочлен Р и коэффициент В будут определены, и,
следовательно, выбирая т достаточно большим, найдем
т. е.
т->оо ;
Т\т—к
что и требовалось доказать.
Часть третья
РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Глава VI
О ПРИБЛИЖЕНИИ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМОМ ПОСРЕДСТВОМ РАЗЛОЖЕНИЯ
ФУНКЦИИ В РЯД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
61 [69]. Средняя квадратичная ошибка. Отыскание многочлена дан-
данной степени, наименее уклоняющегося от некоторой функции f(x), пред-
представляет, как это видно из предшествующих глав, задачу чрезвычайной
трудности. Поэтому интересно выяснить, какую выгоду для решения этой
задачи можно извлечь из решения другой аналогичной, но несравненно
84
более легкой задачи отыскания многочлена Rn (х) степени п по условию
чтобы средняя квадратичная ошибка
\p{x)[f(x)-Rn{x)\*dx
(при данном весе р(х)^О) была возможно малой. Полагая, для опреде-
определенности, а = — 1, 6=1, мы ограничимся рассмотрением сличая \
когда р(х)=у=!=.
Но
+ 1 7Т
Ч = [ Г/ (х) - Rn (x)f у==г = \ [f (cos 6) - Rn (cos 6)]» c*6, F9)
1 ^0
-1
и, замечая (§ 10), что
Rn (cos 0) = Ao + A1 cos 6 + ... + An cos nQ,
находим }хловршг необходимые и достаточные для минимума о:
о о
G0)
тс 2тс
^4р = ~\ f (cos6) cospftdb = ~{f (cos 6)cos p6db.
о о
Формулы G0) дают не что иное, как хорошо известные коэффициенты
Фурье 2 разложения функции ср F) = / (cos 6) в тригонометрический ряд.
Эти же коэффициенты мы находим и для разложения f (х) в ряд три-
тригонометрических многочленов Тп(х) = cos 7г arc cos ж,
f(x) = A0 + A1T1(x)+ ... +АпТп(х) + ...; G1)
а многочлен
Л„ (х) = А0 + А1Т1(х)+ ...+Ап Тп (х), G1')
обращающий в минимум среднюю квадратичную ошибку, получается,
если в разложении G1) отбросить члены степени выше п.
В главе V (§ 51) мы уже рассматривали приближенные многочлены
Rn (x) и видели, что в некоторых редких случаях они дают асимптоти-
1 Обобщение результатов, которые будут получены в этом случае, не представ-
представляет серьезных трудностей. См.: Нааг. Orthogonale Funktionensysteme, «Math.
Ann.», Bd. 69, 1910; В. А. Стек л о в. Sur la theorie de fermeture des systemes
de fonctions orthogonales, «Зап. Акад. Наук», 1911.
2 Коэффициенты при синусах равны нулю.
85
ческие выражения многочленов, наименее уклоняющихся от данной
функции. Во многих случаях, как будет показано дальше,
где к — не зависящая от п постоянная, а 1п [/ (х)} есть максимум раз-
разности | / (х) — Rn (x) | . Но уже один тот факт, что существуют непрерыв-
непрерывные функции, которые не могут быть разложены в сходящийся триго-
тригонометрический ряд, показывает, что неравенство G2) не всегда имеет
место, так как возможно, что Еп [/ (х)] стремится к нулю, между тем
как /п [/(#)] возрастает бесконечно. Исследование условий, каким должна
удовлетворять функция / (х), чтобы неравенство G2) было соблюдено,
является, таким образом, непосредственным продолжением классической
теории разложения функций в тригонометрический ряд.
62 [70]. Некоторые следствия из теоремы Рисса. Прежде чем
перейти к изучению наименьшего уклонения с новой точки зрения,^на
которую мы становимся в этой главе, сделаем несколько замечаний о
минимуме средней квадратичной ошибки, не имеющих прямого отношения
к дальнейшему. Напомню сначала теорему Фридриха Рисса1: для того,
чтобы функция <р @) была квадратично интегрируема (т. е. чтобы
ь
интеграл ^ср2F)б/6, при 0<^а<^6^2тг, существовал в смысле Лебега2),
а
оо
необходимо и достаточно, чтобы ряд V Ар, где через Ар обозначены
р = 0
коэффициенты Фурье G0) функции <э (Ь), был сходящимся', при этом
2т
~\ ?
\
0
Применяя теорему Рисса к функции
_ ?' F) = /' (cos 0) sin 6 = /' (х) /1 — х2,
у которой коэффициенты Фурье равны рАр, находим, что }словие, не-
необходимое и достаточное для того, чтобы интеграл
J [f'(x)Y(l-x*)dx
а
существовал (в смысле Лебега), при — 1<!а<^6<^1, заключается в
1 Fr. Riesz. Untersuchungen iiber Systeme integrierbarer Funktionen, «Math.
Ann.», Bd. 69.
2 Lebesgue. Legons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives.
[Есть русский перевод: А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных
функций. ГТТИ, 1934. (Ред.)]
том, чтобы ряд V Р2А^ был сходящимся (коэффициенты Ар даны фор-
p=i
мулами G0)), т. е. чтобы сумма j3Po = V р2Лр стремилась к нулю
возрастанием р0.
Но
поэтому
Таким образом, полагая ор = —j— , видим, что для существования
ь Р ¦ г
интеграла С [/' (х)]2 A — ж2) йж необходимо, чтобы ер = 8Р (/? -f- 1) стреми-
стремись
оо 2 оо
лосъ к нулю, и достаточно, чтобы ряд V—-^-г- = V (р -\-1) Sp был схо-
p=i p=i
дящимся. Последнее условие соблюдается, если ер<1 \ или
-тг + а
(logpJ
и т. д. Аналогичные результаты можно получить
(logpJ (log log рJ
и для последующих производных; не останавливаясь на этом, заметим
только, что величина минимума средней квадратичной ошибки 8^ также
тесно связана с интегрально-дифференциальными свойствами функции на
всем промежутке, как наименьшее уклонение Еп [/ (х)] связано с диффе-
дифференциальными свойствами функции в каждой отдельной точке (глава II).
Примечание. Из равенств F9) и F9') видно, что Ьп<^Еп [/(#)] 'Уп;
поэтому*
х)] < | An+i | + 1 Ап+21 + . .. E3')
63 [71]. Теорема. Для всякой непрерывной фукции f (x) имеет место
неравенство (при обозначениях § 61)
^ + l), G3)
где кх — не зависящая от п и от функции f (х) постоянная.
Эта теорема вытекает из аналогичной теоремы, доказанной Лебегом
в цитированной уже ранее работе «Sur les integrales singulieres» г, отли-
* В первоначальном тексте в левой части неравенства E3') отсутствовал мно-
множитель |/|. (Автор.)
1 «Ann. de Toulouse», т. I A909 г.) См. также упомянутую выше работу Джек-
Джексона. В работе «Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihe», «Journ. reine
und angew. Math.», Bd. 138, Л. Фейер производит вычисление, из которого вытекает,
что коэффициент кг в формуле G3) имеет пределом 8/ти2 при и->оо.
87
чающейся от нашей теоремы тем, что у него 1п есть максимум разности
/ (х) — V Av cos рх + Bv sin px
, где Ар и Вр — коэффициенты Фурье,
р-=0
а Еп — наилучшее приближение / (х) при помощи тригонометрической
суммы п-то порядка. Таким образом, считая теорему Лебега для триго-
тригонометрических сумм доказанной, мы получим неравенство G3), если, как
в § 61, сделаем подстановку х = cos 6.
64 [72]. Следствия. 1) Лебег выводит из своей теоремы и из того,
что наилучшее приближение Еп функций, удовлетворяющих условию
Дини-Липшица, меньше, чем еп log (n -f 1), где lim sn ~ 0, что эти функ-
П—>со
ции разлагаются в сходящиеся тригонометрические ряды. Мы можем,
следовательно, также утверждать на основании неравенств G3) и E5),
что всякая функция, удовлетворяющая условию Дини-Липшица, разла-
разлагается в сходящийся ряд тригонометрических многочленов. Заметим,
кроме того, что, вследствие замечания, заканчивающего § 55, функция,
удовлетворяющая обобщенному условию Дини-Липшица, разлагается в
ряд тригонометрических многочленов, который можно сделать сходя-
сходящимся простой группировкой членов.
2) Теорема § 63 показывает нам, что, если вообще порядок убывания
Еп не равен /п, тем не менее последний всегда определяет порядок Еп,
с точностью до множителя log (n + 1). Укажем, например, верхнюю и
нижнюю границу для i?2n[|#|] в промежутке (—1, +1). Для этого
разлагаем \х\ в строку тригонометрических многочленов. Применяя
формулы G0), находим
= -|- { | cos G | cos 2&G М =¦- ^ С cos 6 cos 2&G dft =
А ^ [cos Bk + 1) 6 + cos Bk - 1) 6] df> = A ¦ {2k
0
Следовательно,
поэтому
2n
4 M T2 T, T6 1
~VL2 "i"lT3'~^5"i^7~ •'•]'
w + 1) Bw+ 3) * Bw + 3) Bw + 5) ^ *
Таким образом, на основании теоремы § 63
2jl^ р ^2
Bл + 1) log Bл + 1) '^ 2п^тгBл+ 1) *
Первая часть этого неравенства1, разумеется, несравненно менее
1 Она имеется и в упомянутой работе Джексона, который, независимо от меня,
получил ее аналогичным образом.
удовлетворительна, чем результаты, найденные нами ранее; но вторая
г, ^ 0,637
часть неравенства дает довольно точную верхнюю границу Ь2п<С~^,— »
Другими словами, приближение \х\, которое дает столь простое разло-
разложение G4), лишь незначительно хуже наилучшего приближения; а
именно, припоминая неравенство E4) § 55, имеем (по крайней мере для
весьма больших значений п)
2,22<^2пМ <2,36. G6)
65 [73]. Теорема. Ее л и функция f (х) удовлетворяет условию Липшица
степени а<1, то
?»[/(*)] <;*> G7)
где к— не зависящий от п коэффициент; при этом многочлены степени
п, осуществляющие приближение k/п*, получаются посредством приме-
применения способа суммирования Фейера к разложению рассматриваемой
функции в ряд тригонометрических многочленов. (То же самое mutatis
mutandis имеет место и для тригонометрических сумм,)
В самом деле, полагая х = cos 6 и обозначая через
Sn = A0+ А1Т1 (х) + ... + АпТп (х) = Ао + Аг cos в + . . . + ,
сумму п + 1 членов разложения f (х) = / (cos G) = ср F), мы получим при-
приближенную сумму Фейера (п — 1)-го порядка
и при этом остаток Rn равен х
По предположению,
\f(x + h)-f(x)\<Nh«,
где N — данное число, а следовательно, и
| ср (в + 2t) - ср (в) [< NBt)a = Mf.
Поэтому
т
1 L e b e s g u e. Lemons sur les series trigonometriques (стр. 94).
89
Таким образом, при а
где к — не зависящий от п коэффициент, что и требовалось доказать.
Примечание. Из доказательства видно, что вывод не нарушится,
если даже N не постоянная величина, а возрастает бесконечно при
x = A^i. С тем обстоятельством, что одна и та же особенность функ-
функции внутри отрезка и на концах его не одинаково влияет на прибли-
приближение функции при помощи многочленов, мы уже встречались в главе II.
Не останавливаясь на подробном исследовании этого вопроса, укажем
лишь один простой пример, на котором отчетливо видна сущность этой
к
разницы: из доказанной теоремы вытекает, что i?2n]#[a<C' ,гдеа<^1;
Bп)
при этом ясно, что многочлен степени 2п, наименее уклоняющийся
от|#|а, не содержит нечетных степеней х\ поэтому, полагая х2 = у, мы
видим, что наименьшее уклонение Еп (г/а/ ) на отрезке [0, 1] также удо-
удовлетворяет неравенству Е'п (?/а2) = E<in \ х |а< . Другими словами,
Bп)
условие Липшица степени а внутри отрезка имеет существенно то же
значение для наименьшего уклонения, что условие Липшица степени
ос/2 в концах отрезка.
66 [74]. Результаты Джексона 2. Нетрудно заметить, что остаток,
получаемый при применении способа Фейера в случае, когда а=1, не
подчиняется закону, выраженному предшествующей теоремой: в этом
случае можно утверждать только, что
. к log n
п
Джексон, независимо от меня, при помощи другого метода, получил
более законченный результат, а именно, он показал, что при а = 1
Я„ [/(*)]<-?¦• G7')
Кроме того, он доказал еще, что, если f(x) имеет производную
р-то порядка, удовлетворяющую условию Липшица степени а <^1, то [3.8]
4х' G8)
где к — не зависящая от п постоянная.
Следствие. Если функция f (х) удовлетворяет условию Липшица
степени а^ 1, то
/»[/МК^. G9)
1 D. Jackson, tiber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen
durch ganze rationale Funktionen. Этот параграф, разумеется, не мог войти в перво-
первоначальную (французскую) редакцию моего сочинения, как и все ссылки на работу
Джексона.
90
Это вытекает из неравенств G7) и G7') благодаря неравенству G3).
Примечание. Этот результат, для тригонометрических сумм, был
получен непосредственно Лебегом г, который показал также, что верхняя
граница 1п [/ (х)] не может быть понижена, если о функции / (х) ничего
более не известно. Отсюда следует, что и верхняя граница En[f(x)],
найденная Джексоном и мной, также не может быть понижена, если
взять неопределенную функцию, удовлетворяющую данному условию
Липшица. Если принять неравенство G8), то из него точно так же
можно получить, что
^5г" G9')
для функций, имеющих р-ю производную, удовлетворяющую условию
Липшица степени а.
Но я воспроизведу с небольшим упрощением свой первоначальный
вывод неравенства G9'), который представляет, быть может, некоторый
принципиальный интерес.
67 [75], Доказательство неравенства G9'). Заметим прежде всего,
что условие, что —^— удовлетворяют условию Липшица степени а,
dxv
влечет за собой существование условия Липшица степени а для
Рассмотрим сперва четные значения р = 2ц. Пусть
ср F) = / (cos 6) = Ао + Аг cos 6 +. . . + Ап cos лгб +. . . ;
в таком случае,
d-l^} = ±[A1cos^+. . .+п'р Ап cos nb+. . .].
Полагая
Рп = (п + l)X+i cos (п + 1N + (п + 2)vAn+2 cos (п + 2N +. . . ,
мы заключаем из неравенства G9), что
А потому, на основании известной леммы Абеля,
|Rn\ = | An+i cos (n + 1N + Ап+2 cos (n + 2N + . . . | <
[П -f~ 1) П
Для рассмотрения случая, когда /? = 2jx — 1 нечетное число, выве-
выведем предварительно следующее неравенство, справедливое для всякого
значения s>l: если
n^ cos (n + 1N + Ап+2 cos (п + 2N + . . .|<*fe, (80)
1 Lebesgue. Sur la representation trigonometrique approchea des fonctions
gatisfaisant a une condition de Lipschitz. «Bull. Soc. Math, de France», 1910.
91
то
| R'n | = j (n + 1) An+{ sin (n + 1H +
+ (n + 2) An+2sm (n + 2) 6 + . . .| < B_1
В самом деле, из (80) вытекает, что
| An+i cos (n + 1) 6 + . . . + А2п cos 2nd j < ^
а потому, вследствие § 10,
| (п + 1) Лп+1 sin (л + 1) б +. . . + 2пА2п sin 2/гб I <
Следовательно,
2s 4/c log 2 25-1 . 2S+1 A log к
2s -1 ns-1 ' Bs-1-!J ^ Bs-1 -1J^
Само собой понятно, что то же самое неравенство мы получим и в
том случае, когда Rn состоит из синусов.
После этого, берем функцию
е
Ф F) =Л © F) dh,
о
где попрежнему о F) = / (cos 6).
В таком случае остаток Rn тригонометрического разложения функ-
функции ФF), имеющей производную четного порядка р + 1 = 2jx, удовле-
удовлетворяет неравенству
i <
а следовательно, остаток \Rn\ в разложении ср F), вследствие (81), будет
менее, чем
+2 к log n a
таким образом, неравенство G9') справедливо для всякого р.
Следствия, а) Если функция f (х) в промежутке (—1, + 1) имеет
производные всех порядков, то ее разложение в ряд тригонометриче-
тригонометрических многочленов равномерно сходится, так же как и ряды, получае-
получаемые от дифференцирования рассматриваемого разложения какое угодно
число раз.
б) Если функция f (x) имеет производные всех порядков в проме-
(— 1, +1), то
lim n^In \f (x)] = lim riP En [f (x)] = 0,
n->co n—>co
при всяком р (теорема § 22).
92
68 [76]. Теорема1. Если модуль аналитической функции f (х) менее М
внутри эллипса Е, имеющего фокусами точки -1, +1 к полусумму
осей, равную 1/р, то
на отрезке [—¦ 1, + 1].
В самом деле, согласно формулам G0),
2л
Ар= — \ / (cos 6) cospb db,
о
или, полагая z = eie,
Ап =
причем последний интеграл взят по окружности С радиуса, равного
единице. В то время как комплексная переменная х описывает эллипс Е,
комплексная переменная z описывает либо окружность Сх радиуса р,
либо окружность С2 радиуса 1/р, так как
1 f I \
^ = cosG = — [z-\ ).
Ho f (x), по предположению, остается голоморфной внутри эллипса Е\
2z
Следовательно,
поэтому f
также голоморфна между окружностями Сг и С2.
+
22
<
откуда
И, наконец,
|4Р|<2Л/РР.
\An+i \ + \ Ап+2\ +• • •
что и требовалось доказать.
Примечание. В предшествующей теореме, так же, как и в усло-
условиях теорем §§ 22 и 29, наименьшее уклонение Еп может быть заме-
заменено минимумом средней квадратичной ошибки 8П.
69 [77]. Различные следствия и приложения.
А) Если функция f (х) в промежутке (—1, + 1) имеет производную
порядка А, полное изменение которой ограничено, то
где К — не зависящая от п постоянная.
1 См. теорему § 29.
93
В самом деле, согласно формуле G0),
а потому
\Ар\<
h
где /г-не зависящий от р коэффициент; следовательно,
[1 1 ЛЬ*
(rc + l)^1 (w + 2)A+1 J л* '
Б) Если линия г/= / (#) имеет одну или несколько точек излома,
а между точками излома угловой коэффициент касательной удовлетво-
удовлетворяет какому-нибудь условию Липшица, то
где а и Ъ — два независящих от п числа.
В самом деле, пусть х0 и х± будут абсциссы точек излома. В таком
случае,
' — Г I 4- CD Ы
где М и N — постоянные коэффициенты, а ср (х) удовлетворяет условию
Липшица на всем промежутке. Поэтому
n [f (х)] < 1п [/ (х)] < М1п [\х-хо\]+ NIn [| х - хх |] + 1п [ф (х)]
ь
С другой стороны, ясно, что наименьшее уклонение Еп на всем
отрезке не меньше, чем наименьшее уклонение Еп на части его, содер-
содержащей лишь одну точку излома; следовательно,
Еп [/ (х)] > Е'п[/ (х)] > МЕ'п \\х - х0 \]-Еп [Т (x
В) Если
2^PcoSj
р=п
причем
*п+1
22+a }^n
2а —2? иа
В самом деле, применяя лемму Абеля, замечаем, что
cos/Л)
94
В таком случае,
2n—l
р=п
а потому, вследствие § 10,
2п-1
Ар sin рЬ
р=п
откуда
р=п
2а "^ 4а "*""--]^ -
Например, если Xn = log n или Хп=1, то s сколь угодно близко
к нулю для весьма больших значений п, так что из неравенства
Ар cos /?6
вытекает
а из
вытекает
log /г
- 8 log n #
р cos рЬ
Ар sin
Само собой понятно, что косинусы и синусы могут быть взаимно пере-
перемещены. Этот результат заслуживает внимания потому, что вообще из
сходимости ряда косинусов нельзя вывести сходимости ряда синусов и
обратно. Например, сумма
оо
2 sin рх тг х
, но и
возрастает
Р ' р~2/>10^
бесконечно.
Относительно медленно сходящихся рядов при помощи предыдущего
рассуждения нетрудно показать, что если х
1 Для определенности мы рассматриваем все время все значения 6; но анало-
аналогичные неравенства могут быть даны, если вместо всех значений 0 брать в данном
неравенстве —7т<^а<^6<;б<;7т, а в том, которое из него Еытекает, предполагать
95
где числа еп идут не возрастая, то
таким образом, из сходимости ряда косинусов можно вывести сходимость
ряда синусов, когда ряд sn + ?2п + • • • сходится, т. е., например, если
п=1
При помощи тех же рассуждений можно показать, что если ряд
оо
2 Ancosnx не ограничен, то не ограничены также и ряды
оо оо
2 Ап (log пУ+г%\х\пх\ 2 Ап log n (log log wI+esin nx
n=\ n=l
Ш Т. Д.
Отсюда следует, в частности, что ряды
оо оо
2 (bg n)z ^^1 и
п=1
ле могут быть ограничены [3.9].
Глава VII
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ [3.10]
70 [78]. Введение. В настоящее время еще весьма мало изучен
вопрос, какова зависимость между свойствами функции / (х, у), рас-
рассматриваемой как функция двух переменных, и свойствами той же функции,
рассматриваемой как функция одного только х и одного только у. Некото-
Некоторые простые примеры, вроде функции z = 2 ^ 2 , дали повод преуве-
преувеличить трудность этого вопроса. Действительно, функция z вещественной
переменной х голоморфна при всяком определенном значении вещест-
вещественного параметра у, и точно так же функция z голоморфна относи-
относительно у при всяком х, а между тем та же функция z, рассматриваемая
как функция х и у одновременно, при х = у = 0 не только ле голоморф-
голоморфна, но не стремится ни к какому пределу.
Пользуясь соотношениями между приближением функции посредством
многочленов или тригонометрических сумм и ее дифференциальной при-
природой, можно однако указать ряд теорем, которые во многих случаях
позволяют свести исследование функции двух (или п) переменных к ис-
исследованию двух (или п) функций одной переменной.
Рассмотрим сначала периодические функции. Пусть
оо оо
/ (х, у) = 2 2 \.Avq cos px cos qy + Bvq cos px sin qy +
+ Cvq sin px cos qy + Dvq sin px sin qy]
96
разлагается в тригонометрический ряд, абсолютно и равномерно сходя
щийся. Назовем обобщенным модулем функции /(х, у) сумму*
= 2
Приняв это, легко доказать следующую теорему.
71 [79]. Теорема, Если / (х, у) обладает частной производной к-го
порядка по х и частной производной k-го порядка по у и если их обоб-
обобщенные модули удовлетворяют неравенствам
то существуют все частные производные порядка к от f (x, у), кото-
которые будут ограничены и непрерывны, а их обобщенные модули удовле-
удовлетворяют неравенству
дх1дук
, 2 А —1).
Действительно, по предположению,
= 2 2р*Нр
,
р=оа=о
Если ряд
?*¦
7Э !
Bmcoslpx
cos
sin
sin
Dm sin
cos
sin
сходится абсолютно и равномерно, то он представляет, очевидно,
—т—j— . Но, если kL-\- k2 = к, то рк + qk^> p^q^, так как
дх хду *
fj+lt
откуда следует, что
2 /> V2
\ D
vq |
2М,
р=0 д=0
чем доказательство завершается.
* В первоначальном тексте отсутствовало определение обобщенного модуля, ко-
которое приводится здесь по мемуару «О». Формулировка теоремы § 71 перередакти-
перередактирована с учетом этого определения. (Ред.)
7 С. Н. Бернштейн, т. I 97
72 [80]. Теорема. Если периодическая относительно (и, v) функция
ср [и, v) имеет квадратично интегрируемые вторые частные производные
д29 д2<р
оо оо
то она имеет также квадратично интегрируемую частную производ-
производную т~т- у а именно
2и 2и 2тт 2п
\ \ л a dudv= \ \ -н-т-д-т dudv<CM.
J J \dudv I J J ди2 dv2 ^
0 0 0 0
В самом деле, полагая
2тг2тс
Apq = —2-Х \ ср (гг, v) cos pu cos qv du dv,
о о
2тг27Г
Вра~ t\ \ ? (M> ^) cos Vй $m
о о
(82)
о о
и т. д., получаем
/ ^2^ \ 2
\ ди2 )
О О
p=oof qf=oo
<92ср \2 Х^
ч <9i>2 / ' -^J
б О
На основании теоремы Рисса, для того чтобы ——^— была квадра-
квадратично интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы ряд
s = к* 2
р—0, q=0
был сходящимся, и тогда
ди dv
О О
Но
2тг2тг
dudv = S.
О О
73 [81]. Теорема. Если периодическая функция ср (и, v)9 рассматри-
рассматриваемая как функция w, имеет частную производную —^ , удовлетворяю-
93
гиую определенному условию Липшица степени а, и точно так же,
рассматриваемая как функция V, имеет производную —~ , удовлетво-
ряющую условию Липшица степени а, то функция ср (и, v) имеет все
частные производные порядка I, и эти последние также удовлетворя-
удовлетворяют условиям Липшица какой угодно степени ах<^а [относительно обеих
переменных).
Пусть
р=оо, q=oo
<р(гг, v) = 2 Apq cospu cos qv,
где, для сокращения письма, мы записываем только член, составленный
из косинусов.
Припоминая значение коэффициентов Apq (82), находим
Sn = 2 Apq cos рисов qv =
р=0, q=0
О О
+ ср(гг-2г, v + 2Q) + <?(u + 2t, v - 26)+ ср (и — 2t,v - 26)] dtdb,
откуда
T~2"
D , ч о — 1 f Г sin B/i + 1) t sin Bл 4- 1H
0
Но
) \
0 0
X {[cp (гг + 2«, <u + 26) + cp (u — 2t, v + 26) — 2cp (и> i; + 26)] +
+ [cp (u + 2^, i; — 26) + cp (гг — 2t, v — 26) — 2cp (гг, г; — 26)] +
+ 2 [cp (и, v + 26) + ? (и, г; — 26) — 2ф (й, г;)]}^и dv. (83)
оо
ср (и, v + 26) — 2 ар (^ + 26) соври,
оо оо
ср (гг, v — 26) = 2j ap (V — 26) cos pu, ® (и, v)= 2j bp (и) cos /?г^,
р=0 р=0
где
2тт 2тт
ар (z) = —\ ср (й, z) cos pudu, bv (и) = —\ ср (и, v) cos pv dv\
О О
поэтому
оо
рп(гг, ^ + 26)- 2 %(ъ + 2Щ сов ри =
р=п+1
т
= - Ч \ -П (shit1)? f?(a + 2^' ^ + 26) + ?(в-2«, г» + 2в)-2?(», г> + 2в)]Л,
99^ 7
*
о
pn (u, v — 26) = 2 a (v — 26) cos pu =
p=n-f-l
t1^^ + 2'' ^~26) + ?(гг - 2t> -» —26)—2<р(и, г; -
(м' ^ + 28) + ? (м, г» - 26) - 2? (в, г»)] db.
Следовательно, на основании неравенства G9Г),
А потому
sin B/i +
sin t
dt.
Последний интеграл вычислен Фейером х; но нам достаточно заметить,
что
т
1
2n+l
Следовательно (для достаточно больших w),
, n I .. 2ft log2 гг
и при всяком а1<^а можно выбрать кг так, чтобы
Но в таком случае, применяя результаты главы II (§§ 15—17), убеж-
убеждаемся в существовании всех частных производных —,. г _i и в том, что
они удовлетворяют условию Липшица степени ол. Что и требовалось
доказать.
Примечание. В частности, если функция ср (и, v) удовлетворяет
условию Липшица степени а по отношению к каждой переменной в от-
1 См. сноску к § 63.
100
дельности, то она удовлетворяет также условию Липшица степени ах
относительно обеих переменных.
74 [82]. Следствия. А. Если функция f (х, у) (непериодическая),
рассматриваемая как функция одного только х и одного только у, имеет
внутри некоторого контура С производную порядка Z, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию Липшица степени а, то функция f(x, у) имеет все част-
частные производные порядка I, и эти последние во всякой области S внут-
внутри контура С удовлетворяют условиям Липшица любой степени а1<^а.
В самом деле, всю область S можно поместить внутри нескольких
квадратов Clf стороны которых не выходят из контура С. Для опреде-
определенности положим, что прямые, на которых расположены стороны квад-
квадрата Cj, имеют уравнениями: ж = 4:1, у = + 1. В таком случае, пола-
полагая x = cosu, y —
f (x, у) = f (cos u, cos v) = cp (u, v)
есть периодическая функция и, V, которая удовлетворяет условиям
только что доказанной теоремы. А потому частные производные
—/ у7 . существуют и удовлетворяют условиям Липшица степени at.
дигdvl~%
Но
dif дп^
где все коэффициенты Ам суть вполне определенные функции х, у,
которые голоморфны внутри квадрата Сг (на сторонах квадрата они
делаются бесконечными). Следовательно, внутри S все частные произ-
dlf „
водные — , . существуют и удовлетворяют условию Липшица сте-
дхг ду1 ъ
пени а3.
Б. Если функция / (х, у) внутри контура S, не имеющего острых
углов г, рассматриваемая как функция одного только х и одного толь-
только у, имеет ограниченные производные каждого порядка, то она имеет
также внутри области S ограниченные частные производные любого
порядка.
Из предыдущего следствия вытекает непосредственно существование
п ограниченность всех производных внутри всякой области Sv располо-
расположенной внутри S. Чтобы показать, что производные ограничены во вся-
всякой точке М контура S, строим квадрат С-,, не выходящий из S и
имеющий одну из вершин в точке М. Для определенности можно пред-
предположить снова, что квадрат Сх составлен прямыми ж = 4-1, у = 4- 1.
Разлагая функцию f(x, у) в ряд тригонометрических многочленов внут-
внутри С1 и отбрасывая члены степени выше п относительно х или
1 Из доказательства будет видно, что это условие вводится для того, чтобы
внутри S можно было поместить квадрат, имеющий вершину в любой точке кон-
контура S\ но, заменяя прямоугольные координаты косоугольными, можно квадрат
заменить ромбом; таким образом, существенно только, чтобы контур S не имел
точек возврата.
101
относительно у, находим, на основании формул G9') и (83), что для
достаточно больших значений п ошибка
каково бы ни было число р. А потому наше утверждение есть прямое
следствие из теоремы § 22.
75 [83]. Теорема. Пусть f (х, у) будет некоторая функция двух
вещественных переменных (х, у), данная внутри прямоугольника С19
образованного прямыми х = +k, у = + к. Если, при всяком веществен-
вещественном х0 (— h<^xo<^h), функция f(x0, у) голоморфна относительно у и
\ f (хоу У^^М, когда комплексная переменная у находится внутри эллип-
эллипса Е, имеющего фокусы — А, + к и полусумму осей А/р; и, при всяком
вещественном у0 (— к^уо^к), функция f(x, у0) голоморфна относи-
относительно х и \ f (х, уо)\<^М, когда комплексная переменная х находится
внутри эллипса Ег, имеющего фокусы — h, + h и полусумму осей h/plt—
то функция двух переменных f(x, у) голоморфна, и \f(x, y)\<C
<С-Гл гт^ (Х<^1) в то время, как комплексная переменная у находится
внутри эллипса Е, гомофокального с Е и имеющего полусумму осей
kjR, а комплексная переменная х находится внутри эллипса Е\, гомо-
гомофокального с Еу и имеющего полусумму осей h\Rx, причем
.
В самом деле, полагая х = hzosu, y — ko,osv и раскладывая функ-
функцию
0, q=0
в ряд тригонометрических многочленов, мы выводим из формул (82),
при помощи рассуждений § 68, что
А потому, на основании неравенства (9), заключаем, что если у на-
находится внутри эллипса Ет, а х находится внутри эллипса Е{, то
р-о
\f{x,y)\< 2
ар bq
каковы бы ни были положительные числа а и 6.
Полагая
R
Ю2
получим
\f(x,y)\<m 2 >^а =
р=0, q=0
при этом, очевидно,
а __ log Xi?j ш ft log Xi?
a + 6 log pj ' а + & log p '
откуда
log Pl ^ logp
Следствие. Если р = px, mo
logX*
^ logp v *'
что вытекает из формулы (84), в которой полагаем р = р1#
76 [84]. Применение к уравнениям с частными производными.
Результаты предшествующих параграфов находятся в тесной связи с
теорией уравнений с частными производными, и было бы интересно вы-
вывести из них систематически свойства уравнений эллиптического типа.
Я ограничусь только двумя замечаниями.
1) Уравнение эллиптического типа
Ar + 2Bs + Ct = O (AC —
где А, В, С — какие угодно функции х, у, z, р, д, не имеет иных ре-
решений, периодических относительно х, у, обладающих конечными произ-
производными первых двух порядков 1, кроме постоянной величины.
В самом деле, из теоремы § 72 мы знаем, что
\ \ sldxdy = \\ rtdxdy = — V V -^ dxdy,
откуда
dxdy^O,
A
а потому
следовательно, z есть постоянная величина.
2) ?с/ш производные функции z, до порядка к включительно, удовле-
удовлетворяют в некоторой области S какому-нибудь условию Липшица иу про*
ме того, функция z удовлетворяет двум уравнениям
dz dkz\
dz dkz^ (85)
у>Ж| _, ..., —
1 Это вытекает также из обобщенной теоремы Лиувилля, указанной мною в
«Comptes rendus» за 10 октября 1910 г.
103
где j и ср имеют конечные производные всех порядков при конечных зна-
значениях переменных, то функция z имеет также конечные производные
всех порядков во всякой области S± внутри S.
Действительно, из уравнений (85) .выводим непосредственно, что
аггт и —?хг существуют и удовлетворяют условию Липшица. Иоэто-
дх "*" ду ~^1
му, на основании следствия А § 74, тем же свойством обладают все
производные порядка к + 1 во всякой области S{ внутри S. Диффе-
Дифференцируя первое уравнение относительно х, а второе относительно у, мы
можем то же рассуждение применить к производным (к -f- 2)-го порядка;
последовательное дифференцирование, оказывающееся возможным, при-
приводит таким образом к доказательству высказанного утверждения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА,
ОСНОВАННОЕ НА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ *
Мы укажем здесь очень простое доказательство следующей теоремы
Вейерштрасса:
Если F (х) — произвольная непрерывная функция на отрезке [0, 1], то
сколь бы мало ни было е, всегда можно определить многочлен Еп (х) —
= аохп + a1xn~i + . . . + ап достаточно высокой степени п, для которого
имеет место неравенство
\F(x)~En(x)\<e
в каждой точке рассматриваемого отрезка,
В самом деле, рассмотрим событие А, вероятность которого равна х.
Предположим, что произведено п испытаний и что мы условились пла-
платить некоторому игроку сумму F ( — ), если событие А произойдет
т раз. В этом случае математическое ожидание Еп выигрыша для этого
игрока будет иметь значение
п
j? ___ vi р ( H!l\ Стхт A - х)п~~т A\
Из непрерывности функции F (х) следует, что можно выбрать такое
число о, что неравенство
I X "^0
влечет за собой неравенство
так что, если F (х) обозначает максимум и F (х) минимум F (х) на от-
отрезке [х — о, х + о], то мы будем иметь
* Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur la calcul des probabilites.
«Сообш. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13 A912), стр. 1—2 D2*).
105
Пусть, кроме того, ^обозначает вероятность неравенства
х ~
т
п
a L — максимум | F (x) \ на отрезке [0,1]. Тогда получаем
F(x) A - ч) - Ьг1<Еп<Р(х) A - ri) + Ltj. C)
Но, в силу теоремы Бернулли, можно выбрать п достаточно большим,
чтобы было
Неравенство C) можно написать в виде
F(x) + [F_(x)-F(x)]-rl[L + F(x)]<En<
<F(x) + [F(x) - F (x)] + rl[L-F (x)],
и, следовательно,
откуда
(F(x)-?n|<s. E)
Еп, очевидно, является многочленом степени п. Теорема, следова-
следовательно, доказана.
Сделаем еще только два замечания.
Многочлены Еп (х) особенно удобны, мне кажется, когда известны
точно или приближенно значения F (х) при х = — (т = 0, 1 , . . ., п).
Формула A) и неравенство E) показывают, что, какова бы ни была
непрерывная функция F (х), имеет место равенство
F (х) = lim у F (™) С™ хт A - х)п-т.
"-^-f KnJ
СУММИРОВАНИЕ ВЕЗДЕ РАСХОДЯЩИХСЯ
СТРОК ТЭЙЛОРА*
Г 1 1
Задача. Найти функцию F (х),, аналитическую на отрезке —у, + у ,
за исключением, может быть, точки О, и удовлетворяющую бесконечному
тр(п) /г\\
числу условий F @) = Ао, F' @) = Ах, . . . , —п] } = Ап, . . . , где Ап— про-
произвольно данные числа.
Разумеется, если поставленная задача имеет одно решение F (х), то
она должна иметь бесчисленное множество решений: достаточно будет,
например, взять функцию F (x) -\~ ae~'klx\ каковы бы ни были а и к.
Если степенной ряд
Ао + А±х + . . . + Апхп + ... A)
сходится в требуемом промежутке, то функция f(x), представленная им-
является наиболее важным решением задачи, будучи единственным ана-
аналитическим на всем отрезке решением ее. Если ряд A) сходится только
на части отрезка — у, + у , то в некоторых случаях функция, им
представленная, все же оказывается аналитической во всем промежутке
и опять представляет единственное аналитическое решение задачи. Но
возможно также, что она имеет особенности на отрезке —^, ~Ь у »
и тогда аналитического на всем отрезке решения поставленной задачи
не существует.
Тем не менее, как в этом случае, так и в более общем случае, когда
ряд A) везде расходящийся, решение, аналитическое на всем отрезке
за исключением О, существует всегда. Я хочу это доказать и, в част-
частности, построить одно определенное решение задачи, заслуживающее,
может быть, некоторого внимания вследствие простоты своей арифмети-
арифметической природы; но необходимо заметить, что, безусловно, общий способ
суммирования расходящихся рядов, каким является указываемый ниже
способ, страдает и должен страдать существенным недостатком: в случае
* «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13 A912), стр. 195—199 D4*).
107
существования аналитического на всем отрезке решения задачи, наше
решение обыкновенно не будет с ним совпадать.
С этой целью рассмотрим предварительно ряд
оо
на отрезке 0, -- , полагая sv — ~\- \; при этом, для определенности, в
дальнейшем положим ер = 1, если q—О. Нетрудно убедиться, что ряд
B), так же как и все его последовательные производные, будет равно-
равномерно сходящимся на рассматриваемом отрезке, каковы бы ни были
показатели q = / (р).
В самом деле, это очевидно, если q<<^2p, так как в этом случае,
полагая
при п = Зр и
при п 5ёе Зр, мы видим на основании теоремы § 29 моей работы [3]
«О наилучшем приближении непрерывных функций и т. д », что функция
F (х) не только бесконечно дифференцируема, но и голоморфна на отрезке
О, — . Наоборот, если q может получать значения бесконечно большие,
чем р, начало координат О будет обыкновенно особой точкой, а потому
необходимо рассмотреть к-ю производную нашего ряда, т. е.
оо оо
е а Vх V1 —х) \ V h /Q\
?р ? ' — ^—J V * \ )
р=0 р=0
Следовательно,
к
I h I ^ V ^! P- У- x \l — x)
и замечая, что
находим
Далее, по предположению, q^>2p; кроме того, достаточно рассмот-
рассмотреть только значения р^>2к. В таком случае,
5Р
108
Но ряд
(Wp)k.
очевидно, сходящийся, так как отношение (р + 1)-го члена к р-шу чле-
члену, равное
менее единицы, если р^>к.
Поэтому и ряд C) равномерно сходится, и представляет к-ю произ-
производную F^k) (х) функции F(x). Полагая х~у2, видим, что ряд
может быть также бесконечно дифференцируем на отрезке —у, + у -
Следовательно, для вычисления Ф @), Ф'@), . . . , Ф^к) @) достаточно по-
положить в соответственных рядах у==0; другими словами, строка Тэй-
лора функции Ф (у), для у = 0, сходящаяся или нет, может быть
получена простым приведением подобных членов ряда D). Прибавим еще,
[1 1 1
— у , + о '
лежащей вне точки О (это вытекает из упомянутой выше теоремы § 29).
Наконец, замечаем, что функция
F (х) = А0 + А\х + 2 ^р [A - *2)/ы - Ы E)
обладает теми же свойствами, что Ф(у), если / (р) — целое положитель-
положительное число (или нуль), а коэффициент bv удовлетворяет неравенствам
0 <С Ьр <J 1 при ер = -)- 1 и 1^6Р<<2 при ev = — 1, и кроме
того 60 = 6Х = 1, а именно, она голоморфна на всякой части отрезка
— у, + у , не заключающей О, и строка Тэйлора, для х = 0, полу-
получается приведением подобных членов.
Я говорю, что среди функций F (х) всегда есть одна и только одна,
которая удовлетворяет всем условиям поставленной задачи,
В самом деле, для этого необходимо и достаточно, чтобы было
~ Ь2) - ej@) = А2,
в0^°O)]^ F)
tA 1 Ч ,/о N fBp — 2)[fBp — 2) —
A- 62р+2) — e2pf Bр) ?2р_2 }-±-t >-U-±±. 1
109
и
А\ + Sl A - bj = Au
АЯ, F')
- Ър-if Bp - 1) + s2p_! /Bp-3) №-3)-l] + _ _ _
Отсюда, во-первых, получаем
A'o = Ao и А[ •== ^4X,
так как 60 = 6X = 1.
Далее, полагаем ^4„ = an + pn, где an — целое число и 0<;рп<;1,
так что ап и рп суть вполне определенные данные величины. С другой
стороны, вводим на место Ьп неизвестные уп, определенные равенствами
7П= ?п A — Ьп), и замечаем, что условия, которым подчинены 6 , равно-
равнозначны условию О^^п^^-
Таким образом, уравнения F) и F') обратятся в уравнения
G)
E2p-2 2 Г • • • = a2p+2 "г" г2р+2 '
И
G')
f(?n 1\4-е /Bр-3)[/Bр-3)-1] _
~ S2p-1/ (Z^ —1) +S2p-3 = 2 •" 2p+i
в которых целые части и положительные дробные части должны быть
соответственно равны. Поэтому, с одной стороны,
откуда
и, с другой стороны,
(8)
— S2p/ B/?) = — ?2р-2
110
Полученные уравнения имеют одну и только одну систему решений:
/@),/B) и т. д. представляют абсолютные значения вторых частей
равенств, — е07 — е2 и т. д. определяются их знаками, причем этот
знак считается отрицательным, если вторая часть равенства равна
нулю. Аналогичным образом находятся /A),^1,/C) и т. д. Таким обра-
образом, задача решена.
Примечание. Если числа А{ целые, то все Ь\ равны 1, и обратно.
Обобщение*. Достаточно прибавить несколько простых замечаний
для того, чтобы решить более общую задачу об определении функции Fx (х)
вещественной переменной, имеющей данные производные всех порядков
в ряде точек: a\{i = 1, 2, . . . , п) и не имеющей на данном отрезке [а, 6]
иных особых точек, кроме ai(a <^ai<^b). Действительно, чтобы решить
общую задачу, достаточно уметь сконструировать такую функ-
функцию Рг (х), все производные которой обращаются в нуль в точках
av а2, . . . , «i_i, «i+i, . . . , ап и принимают произвольно данные значения
в точке а\. Положим для определенности а^ = 0 и определим, как мы
это делали выше, функцию F (х) условиями, что в точке х = 0 все ее
производные равны производным функции
При этих условиях функция
F (х) е ['~У +-+(^=krJ + (^i+rJ +-+ И* Л
будет иметь в точке х = 0 производные, равные тем производным, кото-
которые должна иметь Fx (х) при х = Я|, и все производные, равные нулю,
в точках а17 а2, . . . , а^_ь ai+i» • • • , ап>
* Настоящее обобщение представляет собой перевод отрывка из заметки автора
E4*)-«Sur les series normales» (стр. 274), являющейся дополнением к т. II книги
R. Ad he та г, «Legons sur les principes d'analyse», 1913 (стр. 259—283). (Ред.)
6
О НОВЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ,
ОТНОСЯЩИХСЯ К НАИЛУЧШЕМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ *
Хорошо известна классическая теорема Вейерштрасса, согласно ко-
которой всякая непрерывная на данном отрезке функция может быть
представлена со сколь угодно большой точностью посредством много-
многочленов достаточно высоких степеней.
С тех пор, как эта теорема была открыта почти одновременно Вейер-
штрассом и Рунге, многие математики предложили различные ее дока-
доказательства и построили разные приближающие многочлены степени п,
Rn(x) такие, что максимум разности
\f{x)-Rn(x)\
стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. Приближение,
доставляемое различными методами для одной и той же функции и для
одной и той же степени и,— не всегда одно и. то же, и естественно
искать приближающий многочлен Рп(х), для которого максимум рас-
рассматриваемой разности стремится к нулю наиболее быстро.
Многочлены Рп(х), обладающие этим свойством, получили название
многочленов, наименее уклоняющихся от данной функции f(x), а макси-
максимум Еп [/ (х)] модуля разности
\f(x)-Pn(x)\
— название наилучшего приближения функции, заданной на рассматри-
рассматриваемом отрезке.
Нет необходимости напоминать, что многочлены, наименее уклоняю-
уклоняющиеся от данной функции, были введены в науку Чебышевым еще
раньше открытия Вейерштрасса; но лишь в последние годы была сде-
сделана попытка подвергнуть систематическому изучению величину
наилучшего приближения Еп [/ (х)] данной функции / (х) для очень
* Sur les recherches recentes relatives a la meilleure approximation des fonctions conti-
continues par des polynomes. Proc. 5 Intern, math, congr., т. I A912), стр. 256—266 E3*); рус-
русский перевод в «Успехах математических наук», т. 5, вып. 4 A950), стр. 121—131 B59*).
112
больших значений п и дополнить таким образом теорему Вейерштрасса,
которая утверждает, что Ига Еп [/ (х)] = 0, какова бы ни была непре-
рывная функция f(x). Основной факт, который выяснился в процессе
этого изучения,— это существование теснейшей связи между дифферен-
дифференциальными свойствами функции / (х) и асимптотическим законом убы-
убывания положительных чисел Еп [/ (х)].
Наиболее существенные результаты, которые были получены на этом
пути, могут быть резюмированы в следующей таблице*. Для того что-
чтобы функция действительной переменной / (х)
Необходимо условие
Автор
Достаточно условие
Автор
1) была аналитиче-
аналитической
2) обладала произ-
производными всех порядков
3) обладала произ-
производной порядка р, удов-
летЕОряющей условию
Липшица степени ос.
(Полагаем р = О, если
сама функция удовле-
удовлетворяет соответству-
соответствующему условию Лип-
Липшица.)
3 bis) обладала не-
непрерывной производ-
производной порядка р
4) удовлетворяла ус-
лозию Дини-Липшица
!/(*+»)-/И 1<|БР1
(где г стремится к нулю
вместе с 8)
lim Еп [/ (х)]
п—>оо
= ОС. Б. [1]
lim Еп [/ (х)] п» = О С. Б. [1]
П->оо
(каково бы
ни было р)
En[f(z))nV+a<k
(к — определенная
константа)
n[f()]<
(где гп -» 0 при
En U (*)] log n < е„
(где гп —> 0 при гс->оо
Д.Дже-
Д.Джексон [8]
lim Я
п->оо
lim En[f(x)}nv,
п—>со
(каково бы
ни было р)
сходится
ОС. Б. [1]
Д.Дже-
Д.Джексон [8]
А.Лебег
[10]
сходится
n[j()]g
(где ?п -> 0 при
:. б.
СБ. [2]
Прежде чем перейти к анализу этой таблицы, я хотел бы сказать
несколько слов о методах, посредством которых были получены эти
результаты. Чтобы установить необходимые условия, пользуются надле-
* Эта таблица отражает, в основном, состояние вопроса в 1912 г. Однако впо-
впоследствии (в 1919 г.) достаточное условие для принадлежности / (х) к классу 3 в
случаз а < 1 было уточнено (см. примечание [3.5]), а именно Балле Пуссен показал,
что (при ос<1) достаточное условие совпадает с необходимым: nV+t En [/(#)] < к г
[В таблице не было упомянуто, что это необходимое условие для р — 0 было найдено
мною ([3], стр. 89) одновременно и независимо от Джексона.] Таким образом, для
класса 3 необходимые и достаточные условия принципиально различны только для
а = 1 (Автор.),
8 С. Н. Бернштейн, т. I
113
жащим образом подобранными многочленами, приближающими рассмат-
рассматриваемую функцию, и констатируют, что если функция принадлежит
к одному из указанных классов, то она действительно допускает соот-
соответствующее приближение. Балле Пуссен [11] первый систематически
исследовал этот путь; указанные выше результаты были .получены
на основе применения и усовершенствования введенного им метода.
Чтобы установить достаточЕхые условия, поступают следующим образом:
если речь идет, например, о классе 3 bis, то показывают, что в случае
сю
сходимости ряда V Еп [/ (х)] /гр-1 рассматриваемая функция может быть
71=1
разложена в ряд многочленов, дифференцируемый р раз, и обладает,
следовательно, непрерывной производной порядка р.
Равномерная сходимость последовательных производных построенного
разложения следует существенным образом из известных алгебраических
теорем, устанавливающих связь между максимумом модуля многочлена
данной степени и максимумами модулей его последовательных произ-
производных на определенном интервале. Эго предварительное алгебраическое
исследование является естественным продолжением чебышевской теории
многочленов, наименее уклоняющихся от нуля, и, следуя по этому
пути, я встретился в нескольких пунктах с А. и В.Марковыми [6], [7],
которые 20 лет тому назад занимались аналогичными вопросами.
Перейдем теперь к анализу результатов. Достаточно бросить беглый
взгляд на таблицу, чтобы отдать себе отчет в точности сказанного мною
выше по поводу тесной связи, существующей между наилучшим прибли-
приближением и дифференциальными свойствами функции. Вы видите прэжде
всего, что с точки зрения вещественной переменной аналитические
функции могут быть определены как функции, наилучшее приближение
которых посредством многочленов убывает наиболее быстро; это функ-
функции, которые среди всех непрерывных функций наименее отличаются
от многочленов. Таким образом, теория функций вещественной перемен-
переменной, при систематическом ее построении, в качестве первой главы по
необходимости должна содержать теорию аналитических функций.
Мы переходим затем ко второму классу функций, именно к классу
функций бесконечно дифференцируемых; этот класс также однозначно
определен природой убывания наилучшего приближения. Результаты,
относящиеся к классам 3 и 3 bis, кажутся, на первый взгляд, менее
удовлетворительными; здесь необходимые и достаточные условия не со-
совпадают (см. сноску на стр. ИЗ). Действительно, совершенно ясно (если
положим для определенности р =1), что в классе 3 bis, с одной стороны,
имеем Епп<^еп или Еп<^ — , а с другой стороны, сходимость ряда
^]Еп — условия, вовсе не равносильные. Можно было бы ожидать, что
дальнейшие исследования позволят получить условия, одновременно
необходимые и достаточные. Но это не так. Действительно, я выяснил,
что существуют функции с непрерывной производной, для которых ^
114
расходится. Наше достаточное условие, таким образом, не является
необходимым; с другой стороны, если задать произвольный расходящийся
ряд с положительными членами 2 ап > то всегда можно построить функ-
функцию / (х) без непрерывной производной такую, что Еп [/ (х)] <^ ап. Сле-
Следовательно, как бы ни была слаба расходимость ряда 2-^п [/(#)], она
способна нарушить непрерывность производной; значит, невозможно
ослабить достаточное условие, которое, как мы только что видели,
не является в то же время необходимым. Итак, вообще говоря, классы
функций 3 (для а = 1) и 3 bis не могут быть полностью характеризо-
характеризованы при помощи наилучшего приближения; существуют предельные
случаи, когда природа непрерывности производной (которая не выра-
выражается никаким условием Липшица) так мало отличается от некоторой
формы разрывности, что посредством одного лишь рассмотрения наилуч-
наилучших приближений En[f (х)] (для всех п) невозможно решить, является ли
эта производная непрерывной или нет. Я полагаю, что изучение этих
критических случаев, когда функции, обладающие одним и тем же
порядком наилучшего приближения, различаются, повидимому, своими
дифференциальными свойствами, могло бы способствовать более глубо-
глубокому уяснению самого понятия непрерывности.
То обстоятельство, что в случаях 3 и 3 bis необходимые и достаточ-
достаточные условия не совпадают, объясняет трудности, с которыми пришлось
встретиться при решении задачи о порядке наилучшего приближения \х\,
поставленной Балле Пуссеном [12]. Балле ^Пуссен установил, что 2?п[|х|]
меньше, чем к/и, где к — постоянная; это следует и из нашей таблицы,
так как | х \ удовлетворяет условию Липшица первого порядка и, сле-
следовательно, принадлежит к классу 3, причем р = 0, а = 1. Но таблица
ни в коей мере не позволяет утверждать, что Еп — необходимо поряд-
порядка 1/п. Единственное, что можно утверждать,— это что ряд 2-^п[|#|]
расходится, иначе \х\ имел бы непрерывную производную. Таким обра-
образом, сам по себе факт разрывности производной ) х \ не исключал бы,
например, возможности неравенства вида Еп[\ х )]<^ —= , но, вообще го-
говоря, должно быть 2?п[|х|]> rjr . Впрочем очевидно, что, несмотря
ra(logra)+a
(g)
на расходимость Z,i?n[|#|]> могло бы существовать бесконечное множество
частных значений п, для которых 2?п[|ж|] убывало бы даже гораздо
быстрее. В самом деле, очень легко привести примеры недифференцируе-
мых функций f(x), наилучшее приближение которых ведет себя для
бесконечного числа значений п, как наилучшее приближение функций
второго класса или даже первого класса *; так, например, для бес-
бесконечного числа надлежащим образом выбранных значений п может
оказаться, что Еп [/ (х)] <^ —— . В самом деле, легко понять, что закон
убывания En[f(x)] может быть настолько неправильным, что малость
бесконечного числа членов ряда ^En[f (х)] не помешает ему расходиться.
* Функции, обладающие этим свойством, под. названием квазианалитических,
были введены и впервые изучены автором в работе [18] в 1914 г. (Ред.)
115 8*
«Тогда возникает следующий вопрос: какова природа этих функций,
не имеющих производной, которые для бесконечного числа значений п
допускают такое же приближение, как бесконечно дифференцируемые
функции или даже аналитические функции? Я сделал только первые
шаги в этом исследовании.
Теорема, которую я получил, как мне кажется, достаточно интересна,
чтобы ее стоило здесь привести. Обозначим через 8Х (г) максимум коле-
колебания | / (х + h) — / (х) | функции / (х) на данном отрезке АВ при | h \
меньшем или равном 8. Функция ох (г), очевидно, неотрицательная и
неубывающая. Условие Липшица порядка а выразится таким образом:
8i(e)<*e«, (I)
каково бы ни было г. Возможно, что рост функции 81(г), соответствую-
соответствующей некоторой функции f(x), будет неправильным и что неравенство (I),
не будучи справедливо для всех значений г, будет выполняться'для
бесконечного числа сколь угодно малых значений г. Если это имеет
место, то мы будем говорить, что функция удовлетворяет обобщенному
условию Липшица первого порядка и степени а.
Рассмотрим также
о, (е) = max |/ (х + 2А) -2f(x+h) + f(x)\,
Ь3 (е) = max [ / (х + ЗА) - 3/ (х + 2А) + 3/ (х + h) - f (x) \
и т. д. при | h ] <; г.
Если для бесконечного числа сколь угодно малых значений г выпол-
выполняется неравенство вида
М
то мы будем говорить, что функция / (х) удовлетворяет обобщенному
условию Липшица порядка i и степени а. Формулируем теперь теорему:
Теорема. Если существует бесконечное число значений п, для
которых
то функция f (x) удовлетворяет обобщенному условию Липшица поряд-
порядка i и степени о^=~^— , каково бы ни было i.
i + р
Таким образом, например, функция /(х), которая может даже и
вовсе не иметь производной, но которая обладает тем свойством, что.
каково бы ни было р, существует бесконечное число значений п, для
которых
En\f{x)]<~
будет удовлетворять обобщенным условиям Липшица всех порядков i и
степени а, сколь угодно близкой к i (будем иметь, следовательно, для
бесконечного множества значений г,
116
где X—сколь угодно малое число и к— определенная постоянная, если
только X зафиксировано).
Эта теорема также непосредственно показывает, что, как бы ни было
мало т], необходимо будет
Еп[\х\\>-^, (II)
начиная с некоторого значения п. Действительно, если бы неравен-
неравенство (II) не выполнялось для бесконечного множества значений п, мы
заключили бы на основании предыдущей теоремы, что | х \ удовлетворяет
условию Липшица произвольного порядка i и степени
а =
* + 1 +
большей, чем 1, при достаточно больших i. Но без труда можно уста-
установить, что функция | х\ не удовлетворяет никакому обобщенному условию
Липшица степени большей, чем 1. Нашей теоремы, однако, недостаточно,
чтобы показать, что для всех значений п
где s — достаточно малое зафиксированное число. Этот результат до сих
пор мог быть получен только при помощи более специальных рассмот-
рассмотрений, о которых речь будет впереди, но я полагаю, что их можно
будет получить также при помощи соображений общего порядка, вводя
такие свойства (аналогичные обобщенным условиям Липшица), которые
оказывали бы еще более заметное влияние на величину наилучшего
приближения [3.5].
Пример задачи о наилучшем приближении |х|, предложенной Балле
Пуссеном, дает еще одно подтверждение того факта, что хорошо постав-
поставленный частный вопрос способен быть отправной точкой для далеко
идущих теорий.
Прежде чем приступить к изложению соображений, которые непо-
непосредственно привели к полному решению проблемы, поставленной выдаю-
выдающимся бельгийским математиком, я хочу сказать несколько слов об
одной весьма замечательной теореме Лебега [10], которая позволила
Д. Джексону [8] и мне [1] показать, независимо друг от друга, что
где к— некоторая постоянная. Вот эта теорема:
Если Rn [/ (х)] — приближение, доставляемое суммой Фурье порядка п,
то наилучшее приближение, которое можно получить при помощи какей-
либо тригонометрической суммы того же порядка, больше, чем. ,
где к — некоторый определенный множитель.
117
Позволю себе напомнить по этому случаю прекрасное применение
этой теоремы, сделанное Лебегом [10]; я имею в виду столь простое
доказательство того факта, что все функции, удовлетворяющие условию
Дини-Лиашица, разлагаются в равномерно сходящийся ряд Фурье.
Математики, которые занимаются приближенным представлением
функций, могли заметить, что свойства приближения периодической
функции посредством тригонометрических сумм существенно эквивалентны
свойствам приближения произвольных функций посредством многочле-
многочленов. Легко видеть [2], в частности, что теорема Лебега применима
к разложению в ряд по тригонометрическим многочленам (cos n arc cos x).
Следовательно, если Rn [f (х)] — максимум остатка
Ар cos р arc cos x
ряда
/ (х) = у\ Ар cos p arc cos x,
то мы имеем
(III)
где к — постоянная Лебега.
Для | х | мы получаем
I
1
4 Г 1 , eos2arccos#
— 7Г [2 H ГЗ
, cos6arccos^r ~i
' 5^7 ' ' ' J
откуда следует
Значит, в силу неравенства (III). имеем
2 2А1
Мы видим, что теорема Лебега во многих случаях доставляет порядок
^ 1
наилучшего приолижения с точностью до множителя — , но во-
вопрос о точном значении порядка наилучшего приближения остается
открытым.
Мы не говорили до сих пор о методе, который представляется наибо-
наиболее естественным, а именно о методе, заключающемся в эффективном опре-
определении многочленов, наименее уклоняющихся от данной функции, и
в непосредственном вычислении наилучшего приближения Еп, получае-
получаемого таким образом. Дело в том, что определение многочленов наилуч-
наилучшего приближения, которое, вообще говоря, может быть сделано лишь
118
при помощи последовательных приближений, становится все более слож-
сложным по мере того, как степень многочлена растет, и казалось исклю-
исключительно трудным извлечь более или менее точные сведения о величине
наилучшего приближения, пользуясь рассмотрениями этого рода. Подойти
к проблеме с этой стороны впервые отважился Балле Пуссен. Выло бы
слишком длинно излагать его общий метод определения многочленов
наилучшего приближения. Я ограничусь указанием следующей теоремы,
применение которой-ведет непосредственно к получению нижних границ
для наилучшего приближения. Пусть Rn(x)—многочлен степени п;
если отрезок АВ разбит на п + 2 промежутка, где разность
f{x)-Rn{x)
последовательно меняет знак и такова, что отклонение
\f(x)-Rn{x)\
превышает в каждом из них некоторую величину М, то наилучшее
приближение Еп [/ (х)] функции / (х) на отрезке АВ многочленом сте-
степени п больше, чем М. Чтобы применить теорему, достаточно выбрать
произвольно п -f- 1 точку х (которые Балле Пуссен называет узлами) и
построить многочлен степени п, Rn(x), который в этих п + 1 точках
совпадает с f(x). Будем иметь, таким образом (кроме исключительных
случаев), п + 2 промежутка, где разность f(x)—Rn(x) меняет знак, и
можно будет пользоваться многочленом Rn(%), чтобы дать нижнюю
границу наилучшего приближения f(x). Балле Пуссен применил свою
теорему к разысканию нижней границы ?п[|ж|]; он получил [13], что
•^п[|#)]>—т] чг 9 результат несколько менее точный, чем ранее упо-
упомянутый.
Очевидно, что нижние границы, которые будут найдены при помощи
этой теоремы, существенно зависят от выбора узлов. В частности,
существует такое специальное расположение узлов, при котором мно-
многочлен Rn(x) будет как раз многочленом наилучшего приближения, и
понятно, что, чем ближе к этому расположению будут выбранные
узлы, тем меньше будет найденная нижняя граница отличаться от
наилучшего приближения. Метод Балле Пуссена не дает указания, как
произвести выбор, и в этом-то пункте он и должен быть дополнен.
К моменту, когда появился мемуар Балле Пуссена, я успел притти
несколько менее простым путем, опираясь на совершенно другой метод,
к теореме, по существу равносильной теореме Балле Пуссена. Идея
метода [2], о котором идет речь, состояла по существу в изучении
многочленов, наименее уклоняющихся от заданной функции, исполь-
используя надлежащим образом уже известные многочлены, наименее укло-
уклоняющиеся от других функций, которые отличаются достаточно мало
от рассматриваемой функции. Преимущество точки зрения, на которую
я стал, заключалось в том, что она давала мне возможность выбрать
узлы, мало отличающиеся от тех, которые соответствуют многочленам,
119
наименее уклоняющимся от данной функции. Поэтому, как я сказал
выше, применение теоремы Балле Пуссена должно было привести меня
к достаточно точной нижней границе наилучшего приближения. Таким
образом, возвращаясь к функции \х\ на отрезке [—1, +1], я пришел
к мысли брать в качестве узлов многочлена i?2n {%) степени In корни
уравнения
х cos 2n arc cos x = О
и получил
Вопрос о порядке наилучшего приближения \х\, таким образом,
решен. Но, следуя по тому же пути, можно пойти гораздо дальше.
Я ограничусь указанием наиболее существенного результата.
Произведение
пЕп[\х\]
стремится к совершенно определенному пределу X при бесконечном
возрастании п. Этот предел X может быть вычислен при помощи после-
последовательных приближений, и мы имеем
Х = 0,282
*с точностью до 0.004. Таким образом, для достаточно больших п
Более точное определение X по методу, который я применял, является
теперь вопросом терпения и счета.
Было бы важно, однако, усовершенствовать этот метод. Желательно
было бы найти более или менее простые выражения для X и, может быть,
связать эту абсолютную постоянную с другими постоянными, которые,
конечно, встретятся, в исследованиях, касающихся асимптотических
значений наилучшего приближения других функций. Без сомнения,
немало трудностей встретится еще в исследованиях этого рода, но я не
думаю, чтобы они превосходили средства современного анализа.
Известны также случаи, когда определение асимптотического значе-
значения наилучшего приближения функции производится гораздо проще, чем
для | х |. Это имеет место, в частности, для большого числа целых функций
ех7 sin^ и т. д. Таким образом, например, мы находим непосредственно
при помощи общих теорем, что
lim -г-. = 1,
где наилучшее приближение относится к отрезку [—/г, + й].
Я дал еще второе доказательство [2] того факта, что 2?п [| ж |] — по-
порядка 1/w. Позволю себе привлечь ваше внимание к теореме, на котс-
120
рой оно основано, но не для того, чтобы применить ее к | х | , а чтобы
указать некоторые следствия, которые, как мне кажется, представляют
общий интерес.
Пусть аг, а2, . . . , ап и рх, (В2, . . . , Вп — две такие возрастающие после-
последовательности, что
Если /с меньше, чем рх, и если
г& —
г=1
на отрезке [0,1] (Alf A2, ... — постоянные), то можно определить
постоянные Blf 52, . . . так, что будем иметь
на отрезке [0, 1].
Если к больше an, то, обратно, можно заключить, что неравенство
вида
с необходимостью влечет за собой возможность неравенства
Можно применить эту теорему к исследованию условий, чтобы?
заданная последовательность степеней х
была полной, т. е. такой, чтобы, какова бы ни была непрерывная функ-
функция f{x), возможно было сделать разность
сколь угодно малой на данном отрезке [0; 1] посредством надлежащего»
выбора коэффициентов Аь и при достаточно большом п.
Вот полученные результаты, которые показывают, как это и можж>
было легко предвидеть, что арифметическая природа показателей степе-
степеней a.i не играет никакой роли, но что все зависит от их роста.
1°. Если числа оц стремятся к конечному пределу, то функции ха*
всегда образуют полную систему. Этот несколько парадоксальный.
121
результат показывает, например, что произвольная непрерывная функция
может быть бесконечно приближена при помощи суммы вида
2°. Если числа ог возрастают неограниченно, то для того, чтобы обра-
образованная при их помощи последовательность степеней х была полной,
достаточно, чтобы п стремилось к 0. Напротив, система степеней хап
не является полной, если можно найти такое число е, что
n (log тгJ+?,
или
Таким образом, если рост ап слишком скорый, то последовательность
функций хап не может быть полной, и, наоборот, такая последователь-
последовательность полна, если этот рост достаточно медленный; остается только
некоторая, относительно слабея неопределенность в вопросе о критиче-
критическом моменте, когда возрастание показателей ап становится достаточно
быстрым, чтобы последовательность перестала быть полной. Было бы
интересно знать, не является ли условие, что ряд V — расходится*,
^ ап
необходимым и достаточным, чтобы последовательность степеней х*п
была полной; впрочем, нет уверенности, что такого рода условие необ-
необходимо должно существовать.
Вы видите, как много самых разнообразных вопросов включается
в круг идей, с которыми я пытался вас познакомить. Теории, о которых
шла речь, еще слишком молоды, чтобы можно было судить о месте,
которое они призваны занять в науке. Было бы интересно знать, нельзя
ли извлечь из них пользу для изучения функций, которые встречаются
в приложениях, например в теории дифференциальных уравнений.
До сих пор этого не пробовали делать. Исследования этого рода мне
кажутся, однако, очень желательными, особенно в случае многих пере-
переменных. Известно, что изучение природы функций, удовлетворяющих
дифференциальному уравнению в частных производных, представляет
значительные трудности. Может быть, эти трудности будут легче пре-
преодолены, если систематически применять понятие наилучшего прибли-
приближения. Правда, исследование приближения функций многих переменных
едва намечено, но некоторые результаты, которые я получил, применяя
соответствующим образом таблицу, приведенную выше, кажутся мне обна-
обнадеживающими в исследованиях этого рода.
В заключение я укажу только одно из этих предложений.
* Как известно, правильность этого предположения впоследствии была доката-
докатала Мгонцем (Schwarz — Festschrift, 1914). {Ред.)
122
Если функция f (x, у) внутри контура С, рассматриваемая только как
функция х, обладает частной производной порядка I, — , удовлетворяю-
удовлетворяюсь аг
щей относительно х условию Липшица степени а равномерно по у,
а рассматриваемая только как функция у обладает также частной про-
производной порядка Z,—j, удовлетворяющей относительно у условию Лип-
Липшица степени а равномерно по х, то функция / (х, у) обладает внутри
некоторого контура S,, лежащего внутри контура С, всеми частными
производными порядка I, —-.—-j-p-, и эти последние, сверх того, удов-
дхгду1' г
летворяют по обеим переменным условиям Липшица порядка а, мень-
меньшего, чем а, и сколь угодно близкого к а [3.10].
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Бернштейн С. Н. Sur l'approximation des fonctions continues par des poly-
nomes. «Comptes rendus», t. 152, 1911 [2].
2. Бернштейн С. II. О наилучшем приближении непрерывных функций посред-
посредством многочленов данной степени. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», 1912 [3].
3. Бернштейн С. Н. Sur l'Qrdre de la meilleure approximation des foncticns
continues par des polynomes de degre donne. «Mem. Acad. Roy. Belgique», 1912.
4. Бернштейн С. Н. Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation
des fonctions analytiques. «Comptes rendus», t. 155, 1912 [7].
5. Бернштейн С. H. Sur la meilleure approximation de | x | par de polynomes de
degres donnes. «Acta Math.», т. 37, 1914 [12].
6. Марков А. А. Об одном вопросе Д. И. Менделеева. «Изв. СПб. Акад. Наук»,
1889.
7. Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Изд. СПб.
ун-та, 1892.
8. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch
ganze rationale Funktionen gegebenon Grades und trigonometrisehe Summen
gegebener Ordnung. Preisschrift und Inaugural-Dissertation. Gottingen, 1911.
3. Jackson D. On the degree of convergence of the development of a continuos
function according to Legendre's polynomials. «Trans. Am. Math. Soc», July,
1912.
10. Lebesgue H. Sur les integrales singulieres. «Ann. de la Faculte des Sci. de
TUniversite de Toulouse», 1909.
11. Vallee Poussin Ch., de la. Sur l'approximation des fonctions d'une variable
гёз11е et de leurs derivees par des polynomes et des suites limitees de Fourier.
«Bull. Acad. Belgique», 1908.
12. Vallee Poussin Ch., de la. Sur la convergence des formules d'interpolation
entre ordonnees equidistantcs. «Bull. Acad. Belgique», 1908.
13. Vallee Poussin Ch., de la. Sur les polynomes d'approximation et ia repre-
representation approchee d'un angle, «Bull. Acad. Belgique», 1910.
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
Я хочу указать некоторые результаты, относящиеся к асимптотиче-
асимптотическому значениюх наилучшего приближения аналитических функций
многочленами.
1. Пусть сперва
/ (х) = а0 + aL х + . .: + ап хп + . . .
есть целая функция. Преобразуем ее в ряд тригонометрических много-
многочленов, Тп(х) = cos ?гarc cos x, как это сделано мною в § 44 моей рабо-
работы «О порядке наилучшего приближения непрерывных функций», опуб-
опубликованной Бельгийской академией (см. также § 51 работы [3]).
Мы имеем
f(x) = A0 + AlTl(x) + ... + AnTn(x)
где
. п +3 . (л + 4) (я + 5)
1
* • -J * A)
Согласно § 61 вышеупомянутой работы, lim |/Лп+1 = 0; ТаКОМ Обра-
Обрата-^ оо
зом, существует бесчисленное множество таких значений п, что вы-
Л I 7, 1^
полняется неравенство
А
п+1
где р — сколь угодно малое
положительное число. Следовательно, разность
/ (х) -Aq-A^^x)-...- АпТп (х) = Ап+1 [Тп+, (х) + еп (х)], B)
* Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonctions ana-
lytiques. «Comptes rendus», Paris, t. 155 A912), стр. 1062—1065 D1*).
1 Мы говорим, что Ап является асимптотическим значением Еп, если
п->оо п
124
где еп стремится к нулю для рассматриваемых значений п, будет иметь
п + 2 экстремума с чередующимися знаками, асимптотически равных
-4п+ь Таким образом, мы будем иметь бесчисленное множество значе-
значений1 п, для которых | Ап+\ | является асимптотическим значением наи-
наилучшего приближения En[f (х)] функции / (х) на отрезке [—1, 1].
2. Пусть теперь
где а — вещественное число, а ср (х) — функция, голоморфная внутри и
на границе эллипса с фокусами—1, +1 и с большою осью 2\а\ (в ча-
частности, это будет иметь место, если радиус сходимости / (х) равен | а \
и функция / (х) имеет среди других особых точек полюс а на своем
круге сходимости). Я утверждаю, что асимптотическое значение наилуч-
наилучшего приближения f (х) на отрезке [—1, +1] таково:
{к — 1)! (а2—1) 2 [\а\ + Va2— l]n
Не ограничивая общности, можно положить а
Алгебраическая задача определения Еп\ ——] немедленно разре-
разрешается при помощи нескольких дополнительных замечаний к результа-
результатам классической работы Чебышева «Вопросы о наименьших величинах,
связанные с приближенным представлением функций» (§§ 29—38).
Таким образом, полагая
Рп(х)= C)
/ п2 \ \ 1*2. ТТ1 Л_ (г V"-г2 1 \П \пг 1 1А//72 1 \ ^2 4 \1
!F J. / ^ <As J. 1 I ^ \ *Л/ г »>С J./ 1Сс-«Л/ X т \LL NIX ' JL I I
жы видим, что многочлен наилучшего приближения степени п для
«функции __ на отрезке [—1, +1] будет
Е
n
1 Аналогичное рассуждение часто можно применить к функциям, не только не
целым, но даже и не аналитическим. Так, например, можно проверить тот любо-
любопытный факт, что для функции Вейерштрасса, не имеющей производной,
/ (Х) = 2 Ът cos {am arc cos х) = ^ Ьт Тат (х) (при a = 2Л + 1)
наилучшее приближение Еп [/ (#)] точно равно , если ат^ п <^ат^л. Таким
•образом, мы имеем первый пример неаналитической функции, для которой известны
в явном виде все многочлены наилучшего приближения.
125
Точное определение величины Еп[ ) для к> 1 представляет зна-
\х aj
чительные трудности, но ее асимптотическое значение можно найти сле-
следующим образом. Пусть сперва к = 2. Определяем постоянную С из.
условия, что
есть многочлен. Это дает
Следовательно, разность
будет иметь и + 2 экстремума с чередующимися знаками, асимптотически
равные
^ZTi -п\х-a) (a._
что и будет асимптотическим значением Еп[ ) *
\х aj
Таким же способом мы последовательно найдем, что асимптотическое
значение Еп( ) равно
п \х—а] г
(/с — 1)!(я2— 1) ^ (а+1Лаа— 1)п
Отсюда мы приходим к требуемому заключению, учитывая, что, в соот-
соответствии с моей вышеупомянутой работой,
где еп стремится к нулю при тг->оо.
8
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ *
1. В моем сочинении «О наилучшем приближении непрерывных функ-.
ций и т. д.» [3] указаны общие принципы для определения порядка
бесконечного убывания наилучшего приближения функции при помощи
многочленов бесконечно возрастающих степеней. Из этого исследования
вытекает, между прочим, что если нам дана аналитическая функция
/(х) = ао+ ахх + ах* + . . . 4- апхп + . . . , A)
которой известен радиус сходимости R, то величина R имеет лишь
малое влияние на закон убывания положительных чисел, которые я
обозначаю через Еп \f (х)] и которые выражают наилучшее приближение
f(x) при помощи многочлена степени п на отрезке [—1, + 1]. Для того
чтобы получить более точные сведения относительно убывания Еп, сле-
следует преобразовать разложение / (х) в строку Тэйлора в ряд тригоно-
тригонометрических многочленов Тп (х) — cos п arc cos x, т. е.
/ (х) = А0+Лг Тх (х) + А, Т2 (Х)+ ...+ АпТп (х) + . . . , B)
где1
i п +3 . (п + 4) (л + 5) , 1
• 2Г пп+3 ' 2^2\ пп+ь ' ' ' * =
+1
у ^ x
Действительно, на основании обобщенной теоремы Лебега** (§ 63),
мы знаем, что . ^j
* «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13 A913), стр. 263—273 E7*).
1 См. § 51 и примечание к § 62 упомянутого сочинения (в нумерации, приня-
принятой в настоящем издании). Если радиус сходимости Л<!1, то ряды, выражающие
коэффициенты Лп_^_^, могут оказаться расходящимися; тогда можно воспользоваться
их выражением в виде интеграла.
** Ссылки на номера параграфов относятся к работе [3], в нумерации, принятой
в настоящем издании (Ред.).
127
тде к — некоторый не зависящий от / (х) и п коэффициент, а
In = max | Ап+1 Тп+1 (х) + Ап+2 Тп+2 (х) + . . . |
есть величина приближения, осуществляемого многочленом
A0 + AlTl(x) + ... + AnTn(x).
Из неравенства C) видно, что порядок Еп почти тот же, что поря-
порядок 1п; кроме того, вследствие теоремы § 68,
-, D)
если на эллипсе s, имеющем фокусами —1, +1 и суммой полуосей 1/р,
внутри которого функция голоморфна, \f(x)\<^M. Обратно, если, при
всяком значении п, неравенство D) соблюдено, то функция голоморфна
¦внутри этого эллипса s (§ 29). Таким образом, порядок Еп и /п зависит
прежде всего от числа р, и вместе с тем не только порядок каждой из
зтих величин, но и асимптотические значения зависят только от осо-
особенностей функции на наименьшем из гомофокальных эллипсов, ибо, на
•основании только что упомянутой теоремы, прибавление к данной функции
другой функции, голоморфной в области, заключающей в себо рассматри-
рассматриваемый эллипс, не повлияет вообще на асимптотическое значение i?n и 1п.
Вследствие изложенного особое значение приобретает решение следую-
следующей задачи:
Найти асимптотическое значение
Этой задачей мы сейчас и займемся, полагая число а вещественным;
к случаю а комплексного я вернусь в ближайшем будущем.
2. Будем исходить из разложения *
а— х
где а будем считать >1. В силу этого разложения
г
п
Благодаря тому, что все коэффициенты в разложении положительны,
имеем
j (J_y=|A ? ==
п \а —х) | da (а + |/ а2 __ !)п [д2 _ 1 + (а _ 1 j у"а2 _ 4]
и вообще
г* 2
а— xj
dak (a-\-Va* — l)n[a2 — I + (a — l)Va2 —
* В первоначальном тексте разложение для выведено из представления
а—х
-его коэффициентов посредством гипергеометрических рядов. В настоящем издании
<юотвзтствующез вычисление произведено в § 54 работы [3] (Ред.).
128
Поэтому
асим. зн. /п
\ / л ! у CL —- .
Мы увидим дальше (и это вытекает также из § 54), что порядок
Еп(——-) тот же, что и порядок 1п[ ) . Полезно заметить, что
V (I ОС j уй -~~ ОС J
и неравенстве C) нижняя граница в большинстве случаев чрезмерно
низка; и для аналитических функций множитель -—-——-может почти
всегда быть упразднен. Действительно, неравенство E3') в § 62 дает для
всякой функции
* Ип+1 + 4+2 + • • .]<Еп [f(x))<In \f(x)]K\An+i 1 + \Ап+2\ + ...
Из доказательства же теоремы § 68 следует, что
\Ап\<2Мрп.
А потому, как бы мало ни было число s, будет бесчисленное мно-
множество значений п (а обыкновенно этому условию удовлетворяют все
достаточно большие п) таких, что, при
<|4n+i|(p + e)*-*. F)
Для всех этих значений п,
У Т
3. Определим многочлен степени п, Rn{%), наименее уклоняющийся от
1
х — а
на отрезке [—1, +1]. Для этого достаточно, чтобы разность
достигала в п -j- 2 точках отрезка своего абсолютного максимума с после-
последовательно меняющимися знаками. Но этому условию удовлетворяет
многочлен Rn (x), если
Рп+1 (X) =
(х—Ух^Л)п [ax—l—V'jx*'—!) {a2—!
2 (а2 — 1) (a + V a*— l)n
ибо можем написать
Р„,1 (Х) C0S (П(? + ^) /-v
« —fl ~~ (а2 — 1) (а + ^й2—1) '
9 с. Н. Бернштейн, т. I 129 ,
где
cos cp = ху sin ср = |/l —.r2,
ах — 1 .о V(a2—i) A — х2)
cos 8 = , sin о = —- — -
х — а х — а
Следовательно,
4. Точное определение Еп[ ) , при А}>1, представляет значитель-
значительна; a J
ные трудности, возрастающие вместе с числом А.
Напротив, асимптотическое значение Еп[———) находится весьма
легко благодаря следующему замечанию.
Дифференцируем равенство G) А — 1 раз по а, что даст нам
8) 1
7J=A)n J
(а2 - 1) (а
Замечаем, что вторая часть, в которой ср не зависит от а, равна
где
А =
обозначая через еп и еп величины, стремящиеся к нулю при бесконечном
возрастании п. Поэтому разность
^1} И
достигает в /г + 2 точках максимального абсолютного значения с про-
противоположными знаками, асимптотически равного
(Л — а)! (а2 — 1) 2 (а+К^
Следовательно, асимптотическое значение
— 1)! (ая —
1)! (а
1 См.: П. Л. Чебышев. Вопросы о наименьших величинах..., §§ 29—38.
(Поли. собр. соч., т. II, М. — JI., 1947); А. А. Марков. Определение некоторой
функции по условию наименее отклоняться от нуля («Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
1884).
130
и асимптотическое значение
(к - 1)! (а2 - 1) 2 (а + Va2 — l)n
ср (х) есть какая-нибудь функция, голоморфная внутри и на гра-
границе эллипса1, проходящего через точку а, имеющего фокусами + 1, —1.
5. Аналогичным образом вычисляется и асимптотическое значение
En[log(a-z)].
Действительно, интегрируем относительно а равенство G) в пределах
от а до Ь, где b — некоторое число, большее, чем а. Находим
ъ ъ
\og(b-x)-\og(a-x) + ^Rn(x)da=^ ^'-I^ • <12>
а а
Обозначая через Sn(x) многочлен степени п относительно х, каким
ь
является ^ Rn(x) da, исследуем разность
[log (а - х) - log (Ъ - х)] -Sn(z)=-
cos (лср + 8) da 1 cos (лф -f .
(a2—!) I
4_
4-S-
b
Но интегрируя вторично по частям, находим, что
da
JL d fcos(n(? + §)\ Ka —1 ,
а
j, 1 f A f n Г A /cos(n9 + S)\ ]
b
где X остается конечным при — 1
1 Заметим, что этот случай, в частности, имеет место, если радиус сходимости
^J (x — ay
равен о, причем f(x), кроме полюса а, имеет какие угодно особенности на границе
круга сходимости.
131 9*
Таким образом, равенство A2) можем заменить следующим:
cos (пер 4- 8) + ?„
log (а - х) - log F -х)- Sn(x) = - _v * , ' q^, A3)
где еп стремится к нулю вместе с ijn. Отсюда, как в предыдущем па-
параграфе, заключаем, что асимптотическое значение
Еп [log (a-,)- log F - *)] - иу_;
и, следовательно, асимптотическое значение
Еп [log (а - х)] = ___4—_=_ , A4)
^ У а2 — 1 (а +У а2 — 1)п
так как log (b — х) есть голоморфная функция внутри эллипса, прохо-
проходящего через а. Интегрируя еще раз, найдем асимптотическое значение
Еп [{а - х) log (а - х)} = ^ (д + у1?=^ '
Примечание. Если бы последняя формула была точрюй, а пе
асимптотической, то из нее, переходом к пределу, немедленно можно
было бы получить и Еп [A — х) log A — х)]. Но в данном случае переход
к пределу требует нового анализа, и из предшествующих вычисле-
вычислений нельзя получить ответа на вопрос, будет ли асимптотическое зна-
значение
En[(i-x)log(l-x))
равно \\пг.
6. Для определения асимптотического значения Еп [/ (х)\ целых транс-
трансцендентных функций в большинстве случаев достаточно рассмотреть раз-
разложение B) функции в ряд тригонометрических многочленов. А именно,
нетрудно видеть, что для бесчисленного множества значений п (которые
имеются у всякой целой функции), удовлетворяющих условию, что
при сколь угодно малом е, имеем
iT^| An+l \<En\f (x)] < I An+l 1 j±-t;
это вытекает из F'), если заметить, что
п
/ (х) - 2 Ai Ti (x) = An+i [Тп+{ (х) + т}],
о
где
так что наша разность в п + 2 точках достигает максимума (или мини-
минимума), равного ±: An+i (I + Ti) • Отсюда заключаем, что имеет место
132
следующее асимптотическое равенство (для бесчисленного множества
значений п):
асим. зн. En\f(x)] = Ап+х (п-^ос).
В моей работе «О наилучшем приближении и т. д.» этот результат,
не формулированный в общем виде, применен к функциям ех, sin x, cos x.
Здесь я хочу указать, что последний способ рассуждения применим
иногда и к функциям не только не целым, но даже не аналитическим;
весьма интересным примером этого служит известная функция Вейер-
ппрасса, не имеющая производной, к исследованию которой мы теперь
и перейдем.
7, Пусть будет
/ (х) = 2 аП cos bnt = 2 аП Тьп (*)>
полагая как и раньше, Т\ (х) = cos i arc cos x. Допустим, что Ь ость i < .
нечетное число. Как известно, если
функция / (х) не имеет производной.
Я говорю, что многочлен
A6)
есть многочлен степени не выше т, наименее уклоняющийся от / (х) на
отрезке [—1, +1], если Ьп <; т < bn+l и
ЯтУ(*)]=Г^-а- A7)
В самом деле, разность
со
/(ж)-Я(ж) = 2 «**>(*)
в точках xi = cos —^ , при / = 0, 1, . . . , 6n+1, получает свои наиболь-
наибольшие абсолютные значения, последовательно равные
1 —а
т. е. не менее чем в т + 2 точках, если 6п^т<^6п+1, а потому R(x)
есть, из многочленов степени не выше 7?г, наименее уклоняющийся от / (х).
Интересно заметить, что многочлен R(x), будучи наименее уклоняю-
уклоняющимися от f(x), обращает также в минимум и квадратичную ошибку
Г [f(x)-R(x)Ydx
Д Vl — х*
133
Такое совпадение является, разумеется, редким исключением.
Так как рассматриваемую нами функцию Веиерштрасса можно считать
классической, то довольно любопытно определить, каким условиям Лип-
Липшица она удовлетворяет, пользуясь общими критериями, изложенными в
моем сочинении «О наилучшем приближении и т. д.» [3] и наглядно
резюмированными в таблице, приложенной к моему докладу «О новых
исследованиях, относящихся к наилучшему приближению...» на Кэмбридж-
ском конгрессе 1912 г. [6].
Положим
п + е = logbm,
где
0<з<1;
в таком случае
„n+1 logbm+l-s \ogamlogba+i~-z
l/v/J 1 — а 1 — а
1 — а
Поэтому можем утверждать*, что / (х) удовлетворяет условию Липшица
степени а = logb — и не может удовлетворять условию Липшица степе-
1 1
ни a>logb— . Например, если 6 = 9 и a = — ,то
удовлетворяет условию Липшица степени 1/2, но не удовлетворяет усло-
условиям Липшица степени более, чем 1/2.
8. Закончу свою статью доказательством следующей общей теоремы **.
Теорема. Если f (x) есть какая угодно функция, голоморфная на
отрезке [—1, +1], то среди асимптотических выражений*** многочленов
степени п, наименее уклоняющихся от нее, есть такие, для которых
точки максимального уклонения [В& удовлетворяют условию
lira [&k — cos— = 0.
Для того чтобы убедиться в правильности высказанной теоремы,
сделаем следующее замечание. Пусть Р (х) будет некоторый многочлен
степени п + $, который, последовательно меняя знак, получает в п + 1
точках р0 > (Зх ^> р2 > . . . > рп максимальные отклонения, равные + А,
и составим разность
R(x) = ATn(x)-P(x).
В таком случае ясно, что в каждом промежутке
/ (к + 1) 7Г /С7Т
COS • , COS ¦
* Здесь учтен результат Балле Пуссена A919 г.) [3.5]. В первоначальной редак-
редакции стояло: «при любом a<logb A ». (Автор.)
** Другое, более развернутое доказательство и обобщение теоремы § 8 имеется в
моей монографии «Э. П.», стр. 88. (Автор.)
*** Согласно определению, введенному мною в другом месте (см. стр. 71). (Автор.)
134
так же как и в каждом промежутке ф&+ь р#) уравнение
R(x) = 0
имеет не менее одного корня. Поэтому, обозначая через ^ последова-
последовательные корни уравнения R (х) = 0, которых не более чем п -\- s на
отрезке [—1, +1], заключаем, что
Следовательно, том более,
cos v —^->^>cosl Л - A8)
С другой стороны, на основании F), для всякой голоморфной функ-
функции / (х) есть бесчисленное множество значений п, для которых
где X — определенное число, большее единицы.
Для указанных значений п выбираем s так, чтобы Xs стремилось
к бесконечности, хотя и sjn стремится к нулю. В таком случае много-
многочлен Рп (х) степени /г, наименее уклоняющийся от многочлена Pn+S (#)
степени п + s, наименее уклоняющегося от / (х), будет, очевидно,
асимптотическим выражением для многочлена Рп (х) степени п, наименее
уклоняющегося от f (х).
Но разность
Рп+8(Х)-Рп(х)
является, таким образом, многочленом степени п -f s, получающим в
п + 1 точках [Вй отклонения, равные, но с обратными знаками, а потому
pt удовлетворяют неравенствам A8), где sjn стремится к нулю, откуда
lim pA — cos— =0.
П
Основная задача определения точек отклонения асимптотических
выражений многочленов, наименее уклоняющихся от данной функции,
приводится, таким образом, к определению бесконечно малых изменений,
каким надо для этого подвергнуть точки отклонения cos — многочлена
Тп(х), наименее уклоняющегося от нуля.
9
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,
ОБЛАДАЮЩИХ ДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ*
1. Из общих теорем моего мемуара «Sur l'ordre dc la meilleure appro-
approximation des fonctions continues» («О»I вытекает, что главный член наи-
наилучшего приближения En\f(x)] аналитической функции f (х) на отрезке
[—1, -j- 1] многочленами степени п зависит, вообще говоря, только от
особых точек функции, расположенных на наименьшем ,из софокусных
эллипсов с фокусами — 1 и + 1. Выражаясь более точно, если
где cpi (х) имеет какую нибудь особенность на эллипсе Сг с большой
осью 2а, между тем как функция <р2 (х) регулярна на эллипсе Сх и
внутри его, то для каждого достаточно большого значения п обяза-
обязательно имеем
где р — фиксированное число, меньшее единицы; и, напротив, существует
бесчисленное множество2 таких целых чисел п, что
* Sur la valeur asymplotique de la meilleure approximation.des fonctions analyti-
ques admettant des singularites donnees. «Bull, de l'Acad. Roy. de Belgique», Glasse
des sciences A913), стр. 76-90 E5*).
1 Опубликовано в «Glasse des sciences de L'Acad. Roy. Belgique», 2 серия,
т. IV; см., в частности, § 46 (см. также диссертацию [3], § 53).
2 Нельзя утверждать, что неравенство C) будет выполняться для всех доста-
достаточно больших значений п, если не обусловить характер особых точек функции
9x(ic). Однако это обстоятельство имеет место в большинстве случаев и, в част-
частности, во всех тех случаях, которые исследуются ниже.
136
где pi^>p. Таким образом, вводя знак ~ для обозначения асимптотиче-
асимптотического равенства, мы будем иметь, вообще говоря,
Общее изучение наилучшего приближения аналитических функций
сводится, таким образом, к соответствующему изучению наилучшего
приближения сингулярных частей этих функций в особых точках, рас-
расположенных на эллипсе Сх.
Наиболее простым случаем, которым мы и начнем это исследование,
является тот, когда функция имеет на эллипсе СА только одну особую
точку — в вершине а.
В работе, представленной в Парижскую Академию наук1, я иссле-
исследовал случай, когда а является полюсом, В частности, я показал при
помощи метода математической индукции, что
ш
(/с — 1)! (а2— 1) 2 (а + Va2 — l)n
где к— произвольное целое положительное число.
Далее можно непосредственно проверить, что формула E) равно-
равносильна формуле
Именно в этой форме я затем доказал 2 непосредственно формулу E'),.
показав в то же время, что символ Еп перестановочен ,также и со зна-
знаком интегрирования по параметру а, повторенному произвольное число
раз. Так, например, интегрируя дважды формулу
мы получим асимптотическую формулу
-x)]~4 + ^i)n, G)
справедливую при а ^> 1.
Я хочу указать здесь третий способ для вывода этих формул, пре-
преимущество которого состоит в том, что его можно применять в более
общих случаях и, в частности, когда к не является целым числом.
2. Начнем с вывода формулы F), которая вытекает из рассмотрения
многочлена 3
1 «Comptes rendus», т. 155 B6 ноября 1912 г.) [7].
2 «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», т. XIII [8].
3 Этот многочлен представляет частный случай многочленов, рассмотренных
Чебышевым в его фундаментальной работе «Вопросы о наименьших величинах,
связанные с приближенным представлением функций». (П. Л. Чебышев, Полн*
собр. соч., т. II, 1947, стр. 152—235.)
137
+ (x - yV - l)n (аж - 1 - ]/(а2-1)(ж2- 1))], (8)
играющего в дальнейшем важную роль.
Легко видеть, что
|^ = cos И + 8), (9)
если мы положим
coscp = xt sincp = |/l — x2,
cos 6 = ¦
Можно, например, принять, что при изменении х от — 1 до +1,
<р убывает от ^ до 0 и 8 убывает от 0 до —тг; так что щ + 8 убывает
от тг до —тг и, следовательно, дробь
АР(х)
достигает п + 2 раза на отрезке [—1, +1] своего максимального модуля
Л с чередующимися знаками.
Но мы имеем тождество
АР {х) = А[Р(х)~Р(а)) АР (а)
х—а х — а х — а
Следовательно, полагая
А =
Р(а) (a» —l)(a+Vaa —l)w
я замечая, что
дм А[Р(х)~Р(а)]
v ' х — а
является многочленом степени п, мы сразу находим, что разность
— Я (х)
х — a v ;
достигает п + 2 раза своего максимального модуля А с чередующимися
знаками. Это доказывает, что R (х) есть многочлен степени п, наименее
уклоняющийся от функции , и что действительно справедлива
х —~ &
-формула F)
3. Установив это, вспомним формулу, которой в аналогичном вопросе
пользовался Балле Пуссенх.
1 Sur les polynomes d'approximation et la representation арргоспёз d'un angle
«Bull. Acad. Roy. Belgique», 1910. См. также Runge. Ueber empirische Funktionen...,
«Ztschr. Math, und Phys.», 1901.
138
Если / (х) — аналитическая функция, регулярная на отрезке [—1, +1],
a R (х) — многочлен степени п, совпадающий с / (х) в п + 1 точках
отрезка, причем точки эти являются корнями многочлена Р (х) степени
/г + 1, то
/ (г) R (х) - Р(<х) [ f {z) dz (\0\
!(х)~И (х) - -^r- j (z_x)p(z) , A0)
с
где интеграл взят по контуру С, охватывающему отрезок [—1, +1] и
не содержащему внутри ни одной особенности функции f(x).
В дальнейшем Р (х) будет всегда означать многочлен, данный фор-
формулой (8); таким образом, многочлен R(x) полностью определяется
функцией f(x).
В частности, для случая /(#)= получим
х"— а
_JЯ(т)= Р{х) { dz = Р{х)
=
(z—a)(z — x)P(z) P (а) (х — а) '
С
если контур С заменить маленькой окружностью С", обходящей точку а
в обратном направлении. Таким образом, мы снова приходим к фор-
формуле F).
Положим далее
где к — положительное целое число; мы получим
dz
(х~ а)к 2тг? J (z — а)к (z—x) P (z)
С
Р(х) k{
(z~x)P(z)J z~a
Можно также непосредственно проверить асимптотические равенства
Р (Z) ~ A (Z + /ZT~i)» (az - 1+ ^(a« - 1) (z2 - 1)),
P' (z) ~ 91/-" (z + /z^l)" (az - 1 + /(a*_l)(z«-I)),
IV z -1 ^ A2)
=^)П (az-i
справедливые при любом заданном числе z, действительная часть кото-
которого больше 1.
Отсюда
1 1
fe-l \{z~x)P(z)i
*?— . A3)
(z2— 1) 2 B + Г^2— l)n (flz — 1 + /(a2 — 1) B2 — 1))
139
Следовательно, имеет место
—L^- - Д (*) ~ (- 1)* ?& ^ -— A4)
Принимая во внимание формулу (9), мы получаем, таким образом,
приведенную вначале формулу E)
Еп
(Л: — 1)! (а2 — 1) 2 (а + V~a2—l)n
4. Положим теперь
где 5 — произвольное вещественное не целое число, которое сперва
удовлетворяет неравенству
Интеграл формулы A0), в котором функция f (z) не однозначна,
можно преобразовать в интеграл, взятый по контуру, который состоит
из малой окружности, описанной вокруг точки а в обратном направле-
направлении, продолжен далее по положительной оси от а до бесконечности,
затем по окружности бесконечно большого радиуса и, наконец, возвра-
возвращается по положительной оси от бесконечности до а. Легко видеть, что
части интеграла, относящиеся к обеим окружностям, равны нулю, так
как 5<]1, а п становится очень большим. Итак,
1 Г dz sin izs С dz
2т ) (а — z)s (z — х) Р (z) *Г~ ) B__«)«B_
С
2т ) (а — z)s (z — х) Р (z)
С а
Заменяя Р (z) его асимптотическим выражением, мы должны вычислить
асимптотическое значение
оо
Г
(z-a)s(z-x)P(z)
A5)
)(*l))(z + VJ=l)n'
а
Этот последний интеграл можно написать в виде
где ср (z) достигает максимального значения ср (а) ^> 0 для z = а и ср' (а) <^ 0.
Асимптотическое значение интеграла для очень больших значений п
можно получить, пользуясь классическим методом1.
1 См.также Hamy. Sur rapproximation des fonctions des grands nombres, «Journ.
Math.», t. IV (серия 6), стр. 203—287.
140
В самом деле, мы имеем
оо а-\-г оо
J cp» (z) F (z) dz = j ср" (г) F (z) dz + J cpn (z) F (z) dz, A6)
a a a+s
где е стремится к нулю так, что
lim ?>г = оо, lim е2лг = 0.
п->оо п -> со
Но, допуская, что функция ср" (г) остается конечной в окрестности точки а,
получаем
еде Л остается ограниченным при z — a <^ e; следовательно,
'(*) N ' 9 И ' '
где 7j стремится к нулю вместе с — при z — а<^е.
Отсюда
П ( \ XI I \ Ф (^) Y1 /¦i 7\
Таким образом, первый интеграл в правой части формулы A6) асимпто-
асимптотически равен
в» (о) J е " *(аТ F{z)dz,
а
или, полагая z = а -\ и учитывая условие lim en = оо, находим, что
П П->со
он также асимптотически равен
Но, с другой стороны, легко видеть, чго второе слагаемое правой
части формулы A6) бесконечно мало по сравнению с первым, так что
ф'(д)
если только интеграл
а
141
имеет смысл при n^h, где h — некоторое данное число, и если, кроме
того, можно фиксировать такое число Х<С-тт~> что произведение
Ф'(а)
A9)
неограниченно возрастает вместе с п.
Положим далее, что
если z^>а ~\- е. Таким образом [учитывая A7)], можно взять п доста-
достаточно большим для того, чтобы
е (п-Л)
и, следовательно,
<2е
а+е
B0)
где Л — фиксированное число. Здесь можно положить
е =
где Хх — какое-нибудь определенное число, удовлетворяющее условию
1
Тогда неравенство B0) можно написать в виде
со
V <?n{z)F(z)dz
а+г
<САе
Ф(О)
B1)
Таким образом, равенство A8) будет справедливо, если выполняется
условие A9), поскольку легко видеть, что в этом случае
ф(а)
бесконечно мало по сравнению с
Ф'(а)
U
5. Применим теперь равенство A8) к интересующему нас случаю.
Нужно вычислить асимптотическое значение A5')
оо
f
J (z— a)s (z — X){az-l
142
Легко видеть, что условия для того, чтобы равенство A8) могло быть
применено, выполнены и, следовательно;
2
"~ nu + r^Wx
оо и
\ n){_ n V \ n n2
оо и
\k\ e V^Zri и sdu =
(а2 — 1)(а — х) (а + Va2 )
О
(а — х){а2 — 1) 2 (а
Пользуясь тождеством
выводим, наконец, из A5), A5') и B2), что
_[ ^Zl _
2ттг J (a —2)s(z —ж)Р(г) ?±1 'а—ж*
С ГE)(а2-1) 2 (а+ Ка2—1)п
Равенство B3) получено посредством вышеприведенных рассуждений
только для случая s<l. Однако, заметив, что Г (s + 1) = $Г E), пере-
переходим немедленно к случаю s > 1 при помощи соотношения
J(fl_j8)-+l(z-_as)P(r) sV^=~i J (а-^B~Ж)Р(,) ' l
которое легко проверить, интегрируя по частям и применяя формулы A1)
(как мы это делали для целого s).
Таким образом, из равенства A0) мы выводим, что, каково бы ни было
не целое 5,
(a — xf UW s+1 a - ж '
Г (s) (a2 — 1) 2 (a + Va2 — l)n
пользуясь (9), получаем, наконец,
gr ZZ~- B5)
Г(в) (a2 —1) 2 {a + Va 2—l)n
Эта формула является обобщением формулы E) на случай произволь-
произвольного s.
( 1 V
6. Интересно сравнить асимптотическое значение Еп (-_-), которое
мы только что нашли, с приближением, получаемым из разложения
функции
{a—x)s
143
вряд по тригонометрическим многочленам (Тп(х) = cos/г arc cos x), до
члена степени п включительно. Асимптотическое вычисление коэффициен-
коэффициентов и остатка не представляет затрудненийх, поэтому я ограничусь
здесь только приведением результатов.
Обозначив через 1п [/ (х)] максимум модуля остатка разложения функ-
функции / (х) по тригонометрическим многочленам до многочлена Тп (х) степени
п (включительно), находим
In (^rj ¦ т 2И'~* • B6)
Сравнивая равенство B5) с равенством B6), находим следующий
интересный результат, который получается при любом s:
Более того, ясно, что равенство B7) будет сохранять силу, если мы возь-
А
мем конечную сумму членов вида и прибавим к ней какую угодно
(a—x)s
функцию, голоморфную внутри эллипса Сг с фокусами —1 и +1, про-
проходящего через а.
Существенно отметить, что во всех наших предыдущих рассуждениях
мы предполагали а ^> 1; поэтому было бы незаконно применять равен-
равенство B7) к предельному случаю а=1. Непосредственным вычислением2
можно проверить, что равенство B7) будет в этом случае неверным,
Исследование случая а = 1 представляет особые трудности.
7. Применим теперь тот же метод к случаю логарифмических особен-
особенностей. Для упрощения ограничимся случаем
f(x) = (a-x)mlog(a-x),
1 В цитированном мемуаре «О» (§ 47) я выразил коэффициенты А^' при по-
помощи гипергеометрического ряда:
~ Ba)n+i
не отметив, что гипергеометрическая функция является здесь алгебраической, так
что А^ имеет простое значение
(См. также работу [8J.)
2 Если бы предельная формула была точной, то мы получили бы
р/ 1 V _1_7 /_JL
n[l — xj ~ 2 n[l~x
откуда
что противоречит результатам вычислений в моей работе, напечатанной в «Acta
Math.», 1913 [12].
144
где т — целое неотрицательное число. Мы имеем
I С (a —z)m log (a —z)dz
С
(a — z)mdz
/ XI/ ч о/ \
(а - x)«4og(a -x)-R(x) =
j v- — х) г\^)
Принимая во внимание асимптотическое значение Р (z) и применяй
формулу A8), получаем
{a-z)mdz
С {a-
J (Z~- X
(a-z)mdz
)P(z) ,)(z-x)(az-\
а
l))(a + "Ка2 — l)n
откуда
(а — х)т log (а -- х) — R (х) -
Следовательно, для а \^> 1
+! (a + Kaa — l)n
m-i
B8)
где m — целое неотрицательное число.
В частности, полагая т=1, получаем снова формулу G).
Нужно было бы еще исследовать случай, когда а — существенная
особая точка.
Другой задачей аналогичного рода является исследование случая
а комплексного. Легко можно показать, что порядок Еп не зависит
от положения особой точки рассмотренного выше характера на эллипсе
Сх с фокусами —1 и +1; но определение асимптотического значения
Еп требует новых исследований.
Наконец, нужно будет еще исследовать асимптотическое значение
наилучшего приближения в случае нескольких особых точек той же
природы на эллипсе Сх.
10 С. II. Бернштейн, т. I
10
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ *
В статье «О наилучшем приближении непрерывных функций посред-
посредством многочленов данной степени» \ установлено следующее неравен-
неравенство [формула (9)]: если L — наибольшее по абсолютной величине значе-
значение многочлена степени п с вещественными коэффициентами на отрезке
[—1, +i], a M — его модуль в некоторой точке ?, лежагцей вне этого
отрезка, то
M<LRn, (9)
где R—полусумма осей эллипса, проходящего через точку % и имеющего
фокусами точки —1 и + 1.
Доказательство** опиралось на теорему2, которая доказана только дли
вещественных \ и должна быть видоизменена в случае произвольною
комплексного ?. Поэтому вернемся к доказательству этого неравенства.
Обозначим через Р (х) многочлен степени п с вещественными коэффи-
коэффициентами, модуль которого в точке % равен М, наименее уклоняющийся
от нуля на отрезке [—1, +1]; пусть L—это отклонение.
Я утверждаю, что число точек х1У х^, ...,&&, в которых максималь-
максимальное отклонение L достигается с чередующимися знаками, не меньше
чем п. Действительно, если бы было к<^п, то можно было бы построить
многочлен степени п
Q(x) = P (x) + l(x- SJ (х - Е) (Х-У1)...(х- ук^)ё
где 1Х — точка, сопряженная с ?, a ylt . . . , yk__i — произвольные точки,
разделяющие точки xlf х:, . . . , %\. В таком случае, выбирая \ достаточно
* Sur une propriete des pjlynomes. «Сообщ. Харьк. матом, об-ва», серия 2,
т. 14 A913), стр. 1-6 E8*).
1 См. настоящий том, [3], стр. 21; «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», т. 13 A912),
стр. 62; мемуар «О», стр. 15.
** Простое доказательство неравенства (9), данное Монтелем (без предположения
о вещественности коэффициентов) в статье Sur les polynomes cTapproximatiori,.
«Bull. Soc. Math. France», 1919, воспроизведено в монографии «Э. П.», гл. IT, § 1„
стр. 74. (Ред.)
2 § 6 [3].
146
малым и с подходящим знаком, видим, что на рассматриваемом отрезке
Q (х) отклоняется от нуля менее, чем Р(х), а с другой стороны,
В таком случае, повторяя соответствующую часть доказательства
теоремы § 2 упомянутой работы (см. сноску х), находим, что Р (х) дол-
должно удовлетворять дифференциальному уравнению вида
Т2 _ 7J __ A-*2)(Y —*)(8-.r') 2
где вещественные числа р, ^> ^ удовлетворяют одному из двух неравенств:
l^p^f^^ или же — 1^?^>7>°> если только /> (ж) не является
тригонометрическим многочленом, в каковом случае J3 =-f = о.
Предположим сперва, что точка I не лежит внутри круга С, построен-
построенного на отрезке [— 1, + 1] как на диаметре; в этом случае Р (х) необхо-
необходимо является тригонометрическим многочленом ЬТп (х). В самом деле,
предположим противное, и пусть Q (х) — многочлен с вещественными
коэффициентами и с тем же модулем М в точке ?, который на отрезке
[—1, +1] остается по абсолютному значению меньше, чем L. В таком
случае многочлены LTn (x) — Q (х) и LTn (x) + Q (х) будут иметь знак
Тп (х) во всех точках, где Тп (х) достигает своего максимального откло-
отклонения. Таким образом, если обозначим через al9 ou, . . . , ап корни
LTn (x) -Q(x)=0 и через р1? р2, . . . , рп корни LTn (х) + Q (х) - 0, то
будем иметь
- 1 <ai<t'os^-7r<a2<. • -<cos -- <Cyn<J
B)
- К Pi < cos ^=-L тг < p2 <• • •< cos I < pn < 1.
С другой стороны, из того факта, что LTn(?) и Q (I) имеют одинаковый
модуль М = \LTn (g) |, следует, что векторы LTn(%) + Q (Е) и Lrn (E) - (? (g)
образуют между собой прямой угол. Остается показать, что это невоз-
невозможно при расположении корней, выраженном неравенствами B). Дей-
Действительно, угол между этими векторами по необходимости меньше, чем
тот, который получится, если сместить, насколько это возможно, корни
одного из многочленов направо, а корпи другого многочлена — налево,
Следовательно, аргумент
LTn (I) + Q (г)
LTn E) - Q (Л)
был бы меньше, чем аргумент |—- , т. е. меньше прямого угла, так
как \ не лежит внутри С.
Итак, при наложенном выше ограничении на ? теорема § 6 [3] дока-
доказана, откуда следует неравенство (9).
Остается, следовательно, рассмотреть случай, кохда \ .нежит внутри
круга С. Пусть, для определенности, 1 <С Р <Сл ^^ и положим
Р — Lcos z\ x = cos t.
147 10*
Уравнение A) получит вид
г9 • о (У — х) (8 — х) г9 . о (dz\2
L2sm-z = -—гтт, -т— L2sm-z ^т-
или
Й — r S — cos t
= П ==z =71
dt ]Л(у — x) (й-~jc) У (у —cost) {6— cost) '
и тан как можно положить z = 0 при t = 0, то
.) V (у — cos г) F. — cos
о
C)
Если ч находится па эллипсе Е с фокусами — 1 и -f 1 и полусуммой
осей Я = еъ^>1 F>0), то
? = cos (а — 6i) = — [(еь +- е~ь) cos а + г (еь -- е~ъ) sin а].
Итак, задача сводится к определению верхней границы модуля М
функции
Р E) = L cos С = --?¦ (в« + е-^),
где
a—bi
(Р — COS t) dt
V~(y — cos t) (8 — cos t)
о
Обозначая через р абсолютную величину мнимой части С, очевидно,
получаем [10.1]
Но, чтобы вычислить мнимую часть ?, мы можем взять интеграл от О
до а, а затем от а до а — 6г, замечая при этом, что первый интеграл
не содержит мнимой части. Таким образом,
а -Ы
. С п (В — cos i) dt //v
о — -4-мним, часть \ v -— - D)
~~ J K(y — cos*) (8 — cosf)
a
Но (учитывая, что jSj<;l) модуль
p — cos г p — *
—cost) (8 - cosf) V^d — x) (8—x7)
148
остается меньше 1 на всем пути интегрирования, и подавно его веще-
вещественная часть меньше i. Следовательно,
и, наконец,
что и требовалось доказать,
Замечание. Из предыдущего следует, что многочлен степени п,
для которого | Р (Е) | = М и который наименее уклоняется от нуля на
отрезке [— 1, + 1], имеет асимптотическим выражением (согласно опре-
определению, введенному мною в другом месте *) тригонометрический много-
многочлен при фиксированном ? и бесконечно растущем п. Сверх того, имеет
место асимптотическое соотношение
М ~ ~ Rn.
Итак, неравенство (9) [3] есть точное неравенство, доказанное без вся-
всяких ограничений. Но теорема § 6 [3], точная при |?|^1, верна только
асимптотически, если |$|<1.
Добавим еще следующее соображение.
Легко показать, что если ввести в рассмотрение многочлены с ком-
комплексными коэффициентами, многочлен, который наименее уклоняется от
нуля, будет достигать своего максимального значения по модулю по
меньшей мере в п -\- 1 точке отрезка [— 1, + 1]. И так как многочлен
степени п (не являющийся постоянной) не может достигать своего макси-
максимального значения по модулю больше, чем в п + 1 точках отрезка, то
многочлен с комплексными коэффициентами, который реализует минимум,
будет, следовательно, иметь обязательно п + 1 точек максимального от-
отклонения. Однако, как легко видеть, это вовсе не значит, что рассматри-
рассматриваемый многочлен должен быть тригонометрическим многочленом. Так,
среди многочленов не выше первой степени с вещественными коэффициен-
коэффициентами, имеющих в точке ? = Ы модуль, равный 6, наименее уклоняется
от нуля на отрезке [— 1, +1] многочлен Р (х) = х или постоянная Ь, если
. Но, каково бы ни было вещественное s, комплексные многочлены
х + s (х — Ы)
первой степени будут все иметь две точки (хг = — 1, х2 = + 1), где
достигается максимальное значение модуля
sJ + е262.
Среди всех этих многочленов содержится многочлен, соответствующий
1
е = — ^ у Для которого этот максимум модуля, равный
л =
V 1
См. стр. 71. (Ред.)
119
является наименьшим. Из этого примера мы видим, что если рассмат-
рассматривать также многочлены с комплексными коэффициентами,' то минимум
реализует многочлен
ту / \ х — Ы Ъ2х 4- Ы
Не останавливаясь на общем изучении этих многочленов, которые
заменяют тригонометрические многочлены, если рассматривать комплекс-
комплексные коэффициенты, ограничимся указанием следующего неравенства,
которое легко доказать*:
Если L и \ являются соответственно максимумами модулей вещест-
вещественного многочлена Р (х) и комплексного многочлена R (х) степени /г,
наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1] среди принимаю-
принимающих значение М в одной и той же точке % то
\ <X<L. E)
* Мы опускаем здесь имевшееся в первоначальном тексте доказательство не-
неравенств E). {Ред.)
11
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ К НЕРАВЕНСТВУ
ВЛАДИМИРА МАРКОВА*
1. В статье «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля»1 В. Мар-
Марков доказал следующее неравенство:
Если многочлен Р (х) степени п на отрезке [а, Ь] не превышает L
по абсолютной величине, то
\р(х) <)][ 2
1^ (Х) ^ 1.3... B*-Т)
каково бы ни было х на этом отрезке.
Сверх того, действительно имеем
(\ \ (\ = М,
если2
п , , Т 2х — а — b
р (я) = L cos n arc cos —=
v ' b — a
* Remarques sur Finegalite de Wladimir Markoff. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
т. 14 A913), стр. 81—87 E9*).
1 Издано С.-Петербургским университетом в 1892 г. Было бы полезно переиздать
ату важную работу, так как ее трудно достать (см. примечание на стр. 48 моего
мемуара «О»). Для к = 1 неравенство A) было доказано в статье А. А. Маркова
«Об одном вопросе Д. И. Менделеева», представленной 24 октября 1889 г. в СПб.
Академию Наук (см. стр. 11 моего цитированного выше мемуара).
[Указанная статья В. А. Маркова была впоследствии переведена на немецкий язык
Е. Я. Гройсманом под моей редакцией и помещена в «Math. Ann.» в 1916 г. (Автор.)]
2 Чтобы проверить это, достаточно рассмотреть случай, когда в качестве отрез-
отрезка [а, Ь] выбран отрезок [— 1, -\-1]. Так как Тп (х) = L cos n arc cos x удовлетворяет
уравнению
то, дифференцируя последовательно и полагая х = 1, имеем
Т'п A) = п*Тп A), ЪТ"п A) = (и2 - 1) Т'п A), . . .
..., B* — 1) Г<*>A) = [я» — (А — 1)«] rj,*-1) A),
откуда
2BГ Г2(Л1J]
1-3. ..BА-
151
Доказательство, представляющее действительный интерес, длинно
и сложно и, повидимому, нелегко его значительно упростить [11.1]. Вот
почему, я думаю, будет небесполезно заметить, что очень просто можно
получить следующее неравенство, которое является асимптотическим по
отношению к неравенству В. Маркова:
\<M(l + en), Т)
где вп стремится к нулю, как 1/яЛ
Прежде всего непосредственно получаем, что
| Р{к) (а) |< 71/, |/>('°F)|<Л/. B)
Действительно, достаточно заметить, что среди многочленов, для кото-
которых Р^ F) = М, ни один не может оставаться меньше L в интервале
(а, 6), если
Л/ = —тг L cos я arc cos — = —~ т-{ у-, п #; ^^
Дж* V 6 — а /*=ь 1 -3 . . . B/с — J) \b~aj
т{у,
1 -3 . . . B/с
так как в противном случае уравнение
Р (х) — L cos n arc cos —: = О
имело бы все свои п корней внутри интервала (а, 6), в то время как
его производная &-го порядка обращалась бы в нуль в конце 6, что
явно невозможно.
Таким образом, применяя неравенство B) к отрезку [а, х], где
а<^х<^Ь, имеем
или, заменяя для: определенности отрезок [а, Ь] отрезком [— 1, +1],
Чтобы извлечь отсюда (можно предполагать х^>0) желаемое заклю-
заключение, нам остается только сравнить это неравенство с неравенством^
которое я получил при помощи столь же элементарных рассмотрений
в первой главе моего мемуара «Sur l'ordre de la meilleure approxima-
approximation etc.» x:
») i < (ct)*'2 »(»-!)•.. [» - (A - 1)] ?• E)
Так как функция, стоящая в правой части неравенства E), возрастающая,
в то время как функция, стоящая е правой части неравенства D), убывающая
при 0<х<< 1, получим общую верхнюю границу для | Р(<к)(х) |, придавая х
1 См. также работу [3], § 11.
152
значение, при котором обе эти функции равны, т. е. определяя х из
уравнения
2 у ( к
ИЛИ
Итак,
1-3... B* —1)
1 — х ~ к L 1-3. .. BЛ—1) J *
1-3... B*-1)
Подставляя это значение
где
в неравенство D), получаем окортчательно
1-3. ,. B^ —
так что, при фиксированном А, вп стремится к нулю, как 1/п2, что и
требовалось доказать.
2. В. А. Марков исследовал также точный максимум, которого может
достигнуть производная Р^ (х) в некоторой определенной внутренней
точке х отрезка. Не решая вопроса, который вообще приводит к алгебраи-
алгебраическому уравнению, элементарно не разрешимому, он произвел углубленное
его исследование, которое имело главной целью доказательство неравен-
неравенства A). Но так как В. А. Марков не извлек из этого исследования
неравенства, аналогичного неравенству E), он не обнаружил существен-
существенной разницы между порядком возрастания максимума производной во
внутренней точке и на конце отрезка — разницы, которая видна из срав-
сравнения неравенств A) и E); между тем важные следствия из E), полу-
полученные во второй главе моего цитированного мемуара, не могли бы быть
выведены из неравенства A).
Я хочу теперь уточнить неравенство E) для очень больших п и дать
асимптотическое значение максимума М (х) производной Р ^ (х) в данной
точке ху лежащей внутри отрезка [—1, + 1].
Установим следующее асимптотическое равенство:
к которому, впрочем, можно было бы также прийти, воспользовавшись
результатами В. А. Маркова.
Действительно, применяя хорошо известное рассуждение, устанавли-
устанавливаем, что многочлен Р (х), который осуществляет максимум Р^ (х) в рас-
рассматриваемой точке, должен достигать своего максимального отклонения
на отрезке [— 1,+ 1] не менее п раз с чередующимися знаками. Следо-
Следовательно, если мы построим все многочлены вида
Р (х) =
G)
153
которые наименее уклоняются от нуля на нашем отрезке при заданных
параметрах с и а, то только среди этих последних и нужно будет вы-
выбрать тот, который осуществляет максимум. Е. И. Золотарев1 привел опре-
определение многочлена G) к эллиптическим функциям, но мы не будем
употреблять эти формулы, которые очень сложны [11.2]. Мы поступим
иначе: вмсч'то того, чтобы разыскивать многочлен
степени п — 2, наименее уклоняющийся от функции схп 4- axn~'ir
построим многочлен R± (x), наименее уклоняющийся от функции вида
ф (х) = схп + ахп~[ -[ ~— ,
4 v ' х — а
где А будет подчинено условию стремиться к 0 вместе с \\п бесконеч-
бесконечно быстрее, чем наименьшее отклонение функции ср (х), причем а — про-
произвольное действительное число такое, что |а|^>1.
Определение многочлена R1 (x), который, естественно, будет асимпто-
асимптотическим выражением для R (х), производится без труда. В самом деле,
рассмотрим функцию
—1)(аа—1)) 1 Q (х)
Ф ах — 1 Q (х)
где coscp = .x, cos 8= ; легко видеть, что ¦ достигает п раз
X CL X — CL
своего максимального уклонения +Х на отрезке [— 1, + 1]. Ас другой
стороны, имеем
-?М = схп + GXn-l + _А R (Х)
> х — а ' ' х — а IV/'
где
с - Jп~{ (а - у^Г—i)f а = Х2П~1 [а2 - 1 - а У а2 - Г],
А = 1 (а2 - 1) (а — /а2 — 1)п,
?x (х) — многочлен степени п — 2. Итак,
откуда
} = a + V a* + c2
2П"'1
(а будет положительно, если —<С0, и отрицательно для —^>0; в чи-
С С
слителе X радикал имеет знак а).
1 «Bull. Acad. St. Petersbourg», 1877.
154
Итак, Rl{x) является многочленом, наименее уклоняющимся от ср (х),
и, сворх того, наилучшее приближение L функции схп -\- ахп~] удовле-
удовлетворяет неравенствам
I я 1 — 1 '
ИЛИ
еуП—
L \c\n+i(Vai-^ci — \c\\ J
| or i + У a2 + c*
Предположим сперва, что отношение а/с не стремится к 0. Тогда
и Лх (х) является асимптотическим выражением R (х) в соответствии
с определением, которое я принял в моих предыдущих работах. Мы
можем также сказать, что многочлен
у (х) = сх« + ах»-' - R, (х) =
-- = L cos
- 8) - ^ G)
является асимптотическим для соответствующего многочлена Золотарева
Р (х) = схп + ах11 — Д (ж),
который мы рассмотрели здесь для всех значений с и а, удовлетворяю-
удовлетворяющих равенству (8).
В этом случае, дифференцируя последовательно Рг (х), имеем
/1 {х) ~
nL sin
- 8)
— 8)
где слагаемые е, г, . . . являются, соответственно, бесконечно малыми
по отношению к первым членам, когда х — произвольная фиксированная
точка внутри отрезка. Отсюда заключаем, что в соответствии с тем,
является ли к четным или нечетным, нужно определить 8 по условию,
чтобы cos (пф —- 8) или sin (ny — 8) равнялся + 1 в рассматриваемой точ-
точке. Таким образом, максимум \ Р\' (х)\ в точке х асимптотически равен
A —я2)*'2 *
Следовательно, эта величина будет также асимптотической для маьти
мума \Pw(x)\.
Чтобы закончить доказательство, остается рассмотреть только слу-
случай, когда з/с стремится к 0. Однако в этом предположении многочлены
155
Золотарева Р (х) имеют, очевидно, своим асимптотическим выражением
многочлен Чебышева ni cos n arc cos х, так как наилучшее приближе-
приближение ах71 является бесконечно малым по отношению к наилучшему
йриближению схп и равенство (8) остается в силе. Следовательно, асим-
асимптотическое значение максимума | Р^к) (х) I не сможет и в этом случае
превысить число ^- . Итак,
nkL
служит асимптотическим значением максимума \ Р (х) \ в фиксирован-
фиксированной внутренней точке отрезка [—1, + 1], если на всем этом отрезке
Р (x)\^L, a P (х) есть произвольный многочлен степени п.
12
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ |ж| ПОСРЕДСТВОМ
МНОГОЧЛЕНОВ ДАННОЙ СТЕПЕНИ *
Во второй части мемуара «О порядке наилучшего приближения непре-
непрерывных функций при помощи многочленов данной степени»г я изложил
общий метод нахождения многочленов, наименее уклоняющихся от
произвольной непрерывной функции. Этот метод существенно опирается
на введение переменного параметра и на разложение приближающего
многочлена в ряд Тэйлора по степеням этого параметра. Я применил,
в частности, этот метод к наилучшему приближению | х | на отрезке
[—1, +1]; быть может, полезно напомнить это тем, кто захочет при-
приступить к рассмотрению подобных вопросов; хотя применение именно
этого метода привело меня к полному решению этой проблемы, но я
скоро заметил, что для более быстрого достижения цели выгодно отсту-
отступить от общего пути, руководствуясь особенностями рассматриваемого
вопроса.
Излагая теперь совокупность результатов, относящихся к наилучшему
приближению | х | , которые получены мною до сих пор и которые зна-
значительно превосходят результаты, находящиеся в упомянутом мемуаре,
я смогу избежать ссылок на общую теорию, которые заставили бы чита-
читателя обращаться к этому мемуару.
Настоящее мое исследование делится на две части: элементарную и
трансцендентную. В первой части при помощи чисто алгебраических
методов доказано, что наилучшее приближение Е2п функции \х\ на от-
отрезке [—1, +1] при помощи многочленов степени 2п удовлетворяет
неравенствам
1 f ~ [ 4
- ^^- 4A + 1/2) 2л-1
каково бы ни было тг">0.
* Sur la meilleure approximation de ! x \ par des polvnomes des degres donnos.
«Acta math.», t. 37 A914), стр. 1—57 F0*).
1 Memoires publies par l'Academie Royale de Belgique, 1912 («О»); см. также дис-
диссертацию [3].
157
Во второй части разыскивается асимптотическое значение 2?2п. Глав-
Главным результатом этого исследования является то, что произведение
2пЕ2п стремится к определенному пределу л, когда п неограниченно
возрастает.
Доказательство этой теоремы и приближенное вычисление числа X,
которое с ошибкой менее 0,004 оказывается равным 0,282, естественно,
выходит за рамки алгебры.
Ч а с т ь первая
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ | х | ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ
ДАННОЙ СТЕПЕНИ
1. Определение. Мы говорим, что многочлен
Р (х) =Аоха° + Af_xa* +. . . + Апх°п A)
есть многочлен-осциллятор на отрезке [0, 1], соответствующий последо-
последовательности неотрицательных показателей ^0<^а] <С . . . <^аПу если он
достигает своего наибольшего абсолютного значения в п + 1 точке отрезка.
Число п есть порядок многочлена-осциллятора.
Мы можем здесь допустить, для простоты, что числа с^ целые.
2. Рассмотрение двух частных случаев. Рассмотрим два случая, когда
многочлены-осцилляторы определяются без труда.
1-й с л у ч а й:" о% = 21 + 1.
Многочлен Чебышева (тригонометрический многочлен)
Pinyi (х) = Lcos Bп + 1) arc cos x =
= -2" [(х + УЖ=ЛJп+1 +(х- V^^lfn+% B)
очевидно, является многочленом-осциллятором, соответствующим после-
последовательности показателей 1, 3, . . . ,2п-\- 1, так как он достигает своего
наибольшего абсолютною значения L в п + 1 точке отрезка [0, 1]:
1, cos t? 7I' ¦, ..., cos2 nT^ . Явное вычисление коэффициентов этих
многочленов не представляет труда: достаточно составить дифференциаль-
дифференциальное уравнение
A _ Х2) Рт (х) - ХРт (х) + Ш2Рт (х) = 0, C)
которому удовлетворяет многочлен
рт (х) = L cos m arc cos x\
158
выражение B) непосредственно дает коэффициент 2т L при хт, а
остальные коэффициенты определяются один за другим из тождественного
равенства C). Таким образом, получаем
Рт(х) = Lcosmarc cos х =
¦ / ^1>п(*п -I ¦—.-Л)(т--21 + 1) 2*1-21 xm-2l . 1 /^ч
2-й случай1: ог = i. Многочлен
P2n{V x) — L cos 2n arc cos у' х =
.л2п{2п / — 1) B/г — / — 2). . . Bя — 2/ + 1) O2n-2f n-1 , 1
• • • i \ 4 ^j z x ' " * ' J
будет также многочленом-осциллятором для последовательности показа-
показателей 0, 1, 2, . . . , п, так как он достигает своего наибольшего абсолют-
(т:
ного значения L в п -\- \ точках cos2 -^— =
3. Теорема Декарта. Число положительных корней у равнения
Р (х) - Аоха° + Axxai + . . . + Ляап - О
не может превосходить числа перемен знака его коэффициентов. В част-
частности, уравнение Р (х) — 0 никозда не имеет более п положительных
корней; при этом уравнение Р (х) = 0 может иметь п положительных
корней только тогда, когда знаки его коэффициентов чередуются.
4. Лемма. Коэффициенты многочлена-осциллятора имеют чередую-
чередующиеся знакщ последовательные экстремумы многочлена-осциллятора
имеют противоположные знаки.
Действительно, п\сть сначала с0 = 0. Тогда произвольное уравнение
Р' (х) =¦- агА,ха1~] + . . . + <хпАпхап J = 0
будет иметь по крайней мере п—1 положительных корней: именно,
таковыми будут те значения х внутри отрезка [0, 1], где | Р (х) \ дости
гает своего наибольшего значения. Кроме того, так как уравнение
р (х) = 0 не может иметь других положительных корней, то \Р(х)\
будет достигать своего наибольшего значения еще на двух концах отрезка:
0 и 1, и не будет иметь относительных экстремумов между дв}мя абсо-
абсолютными экстремумами; поэтому, все п -(- 1 экстремумов обязательно
1 Я не знаю никаких многочленов-осцилляторов, показатели которых не обра-
образовывали бы арифметической прогрессии. Интересно было бы явно построить мно-
многочлены-осцилляторы с пным законом показателей.
159
будут иметь чередующиеся знаки. Следовательно, уравнение Р (х) = О
будет иметь п положительных корней; таким образом, его коэффициенты
будут иметь чередующиеся знаки.
Если схо^>О, то многочлен Р (х) обращается в нуль при х = 0. По-
Поэтому наибольшее значение его модуля достигается в этом случае внутри
отрезка [0, 1] по крайней мере в п точках, которые являются корнями'
уравнения
Р' (х) = *оАоха'-1 + o.yAxxa^ +. . .+ апАпХ^-1 - 0.
Следовательно, коэффициенты Ао, Ах, . . . , Ап имеют чередующиеся знаки;
кроме того, так как уравнение Рг (х) = 0 не может иметь других поло-
положительных корней, то последовательные экстремумы многочлена будут
также иметь чередующиеся знаки, что и требовалось доказать.
п
5. Теорема. Если Р (х) = V^^* есть многочлен-осциллятор, а
г=0
п
Q (х) = *S\BiXai есть другой многочлен с теми же степенями х и с од-
ним общим коэффициентом Bio~ Aio (причем счо\>О), то наибольшее
значение [ Q (х) \ превосходит наибольшее значение \Р (х)\ на отрезке
[0, 1].
Действительно, если абсолютное значение Q (х) не превосходит наи-
наибольшего абсолютного значения Р (х), то в п + 1 последовательной точке
хк (к = 0, 1, . . . , /?), где | Р (х) | достигает своего наибольшего значения,
будем иметь
{-lf[P(Xk)-Q(xk)]>0
(или как раз противоположное неравенство во всех п + 1 точках).
Следовательно, уравнение
P{x) — Q (x) = 0
будет иметь по крайней мере п положительных корней; но это невоз-
невозможно, так как оно содержит только п членов (в силу условия jB^q =^4io).
Итак, теорема доказана.
Обратно: Если наибольшее абсолютное значение многочлена Р (х) =
п
= ^^AiXa% меньше наибольшего абсолютного значения любого многочлена
г=0
п
Q (х) = VjB$#ai, содержащего те же степени х и такого, что Bi9=Ai%,
то многочлен Р (х) является многочленом-осциллятором.
Действительно, допустим, что Р (х) не является многочленом-осцил-
многочленом-осциллятором, так что число h точек ##, где он достигает своего наибольшего
абсолютного значения L, меньше, чем п -\-1. В этом случае можно было
бы построить многочлен
R (х) = Соха'+. . . + Cio_ 4*вь- * +
160
такой, что R (х/с) = Р(х%), так как при сх0 у> 0 ни одно из значений хк
не может быть нулем, и потому определитель
Д =
хТ хТ . . . хТ
отличен от нуля в силу теоремы Декарта. Заключим затем точки хк в ма-
малые интервалы, в которых R (х) и /> (#) сохраняют свои знаки, и заметим,
г, где е — определенное положитель-
положительчто вне этих интервалов | Р (х)
ное число. Следовательно, наибольшее абсолютное значение многочлена
Н(х)=Р (х) - )Я (х) = (Ао - 1С0) х«°+...+ Aioxai* +: . . + (Ап - 1Сп) х««
было бы меньше наибольшего абсолютного значения многочлена Р{х),
если только взять положительное число X настолько малым, чтобы на
всем отрезке [0, 1] иметь
>.|Д(ж)|<е.
Из полученного противоречия следует, что Р (х) является многочле-
многочленом-осциллятором .
6. Следствия, а) Произвольный многочлен
Р (х) = А0
. . . + Апхп
степени п не мсжет на отрезке [0, 1] оставаться по абсолютному
значению меньше наибольшего из чисел
IАо| , . . . ,
22n~21w Bи — I — 1) Bл — I — 2).. .Bл — 21 + 1)
Обратно, если L есть наибольшее абсолютное значение многочлена
Р (х) на отрезке [0, 1], то обязательно должно быть
22n~2ln Bn—l — l)Bn — l— 2)...Bп -\
1)
Это следствие получается путем применения предыдущей теоремы к
случаю, когда о^ = г, для которого мы построили в § 2 многочлен-осцил-
многочлен-осциллятор
Pin (Vх) — ^ cos 2w arc cos}/ж.
Примечание. Заметим, что утверждение относительно Ао, очевидно
вытекающее из того, что Р @) = А0У но следует из предыдущей теоремы,
б) Многочлен вида г
р (х) = Аох + Ахх* +. . .
1 См. также статью В. А. Маркова «О функциях, наименее уклоняющихся от
нуля в данном промежутке», СПб, 1892.
11с. II. Бернштейн, т. I
161
на отрезке [О, 1] не может оставаться по абсолютному значению
меньше наибольшего из чисел
Л,-1"
22n~2iBre + i)B« —20- • • Bw — .
22п
обратно, если L есть наибольшее абсолютное значение многочлена Р (хO
то необходимо \А0\<^Bп -\- I)L и т. д.
Это выводится тем же способом посредством рассмотрения многочлена-
осциллятора, соответствующего последовательности показателей 1, 3, ...
..., 2л+1.
7. Теорема. На отрезке [О, 1] существует один многочлен-осцилля-
многочлен-осциллятор, соответствующий заданной последовательности показателей и
имеющий один произвольно заданный коэффициент.
Действительно, достаточно доказать, что среди многочленов вида
Q (Х) = Вох«° + . . .+ 5io_! я%-1+ Ло ***• + ^i0+i хн'+{ + . • •+ Д^п,
с заданными показателями а и коэффициентом Aio, существует такой,
наибольшее абсолютное значение которого на отрезке [0, 1] минимально.
Но наибольшее абсолютное значение каждого многочлена есть непрорыв-
непрорывная функция его коэффициентов. Нижняя грань этого наибольшего мо-
модуля, отличная от нуля благодаря следствию а) § 6, не превосходит
очевидно |-4io|; поэтому, в силу того же следствия, надо рассматривать
только такие коэффициенты Biy которые удовлетворяют неравенствам
, D , ^ 22aia??(an-b ai-l)(an+ai-2).-.B«i + l) , . ,
1 г'^ К)!
Значения переменных Вх образуют замкнутое множество, поэтому суще-
существует по крайней мере одна система значений 5|, которая реализует
минимум наибольшего абсолютного значения рассматриваемых много-
многочленов.
В силу теоремы § 5 многочлен-осциллятор будет единственным, если
только а$о^>О. Поэтому вообще все многочлены-осцилляторы, соответ-
соответствующие заданной последовательности показателей, могут различаться
только постоянным множителем. Следовательно, если задается произ-
произвольно коэффициент Ао, то множитель пропорциональности в этом случае
находится однозначно. Таким образом, теорема доказана.
8. Теорема. Если имеется два многочлена-осциллятора
Р(х) = xa°+ALxai + . . .+ Апх"п и Q(x) = ха° + В1х^+. . .+ Впх\
где 0 << ог0 << (Зх < at <^ j32 < . . . << Bn << an, то наибольшее абсолютное зна-
значение многочлена Р (х) на отрезке [0, 1] будет больше наибольшего абсо-
абсолютного значения многочлена Q(x).
1*62
Действительно, мы знаем (лемма § 4), что коэффициенты многочлена
Р (х) имеют чередующиеся знаки; следовательно, коэффициенты много-
многочлена
Q(r) — P (х) = В^1— Агх*х + 52/2— . . . + ?п/п— Апх"п
не могут давать более п перемен знака.
Уравнение
Q(x)-P(x)=0 F)
будет поэтому иметь не более п положительных корней. Если бы
наибольшее абсолютное значение Q (х) было больше или равно наиболь-
наибольшему абсолютному значению Р (х), то разность Q (хк) — Р (хк) имела бы
тот же знак, что и Q (х&) (или была бы равна нулю) во всех точках x^,
где |@(#)| принимает наибольшее значение. Следовательно, уравнение F)
имело бы непременно п положительных корней |х, |2, . . . , ?п, удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам
Отсюда вытекает, что в интервале @, %г) разность Q (х) — Р (х) имела бы
тот же знак, что и Вг, т. е. знак минус, и вообще в интервале (?$, ?|+i)
разность Q(x) — P(x) имела бы знак (— l)l+1. Кроме того, поскольку
число точек х\ больше числа точек ?j, нашлась бы по крайней мере одна
такая точка х%, что %г_\ <^xi <C?i. если условиться считать в этом нера-
неравенстве ?0 = 0 и ?w+i = оо. В этой точке х\ было бы
-*)*> О,
и, следовательно,
<?(*г)(-1)'>0.
Но Q (Xj) ^> 0 (так как для малых положительных значений х многочлен
Q(х) имеет знак своего первого члена), значит Q(x2)<^0 и вообще
Q(Xi) (—1)%<^0. Мы пришли, таким образом, к противоречию.
Итак, теорема доказана.
9. Теорема. Если имеется двх многочлена-осциллятора
Р (х) = Аоха° + . . . + Аг-1х"* -1 + хт
и
Q (х) = Вох*> + ... + В, ^-1 + хт
и если 0 < а0 < р0 < . . . < at_i < ^ _i < т < pi+i < ai+1 < . . . < pn < аП)
то наибольшее абсолютное значение многочлена Р (х) превосходит нал-.
большее абсолютное значение многочлена Q(x).
Действительно, коэффициенты уравнения
P(x) — Q (х) =
p - ... - Впх^ + Апх"п = О
дают не более п перемен знака. Поэтому число положительных корней
уравнения
P(x)-Q{x) = 0 F')
163 11*
ие превосходит п. Если бы наибольшее абсолютное значение Р (х) не
превосходило наибольшего абсолютного значения Q(x), то мы имели бы
во всех точках хг, х.2, . . . , #л+ь гДе ! (? (#) | достигает наибольшего зна-
значения; но заметим, что Q (х^ имеет тот же знак, что и Ао, т. е. ( — II,
и, значргг, вообще Q (х/с) имеет знак ( —lI""**; поэтому мы имели бы
-\)i+4>0. G)
Обозначая через ?х, ?2, • • • (положительные) корни уравнения F'),
заключаем отсюда, что
С другой стороны, разность Р (х) — Q (х) при малых положительных
значениях х будет иметь знак своего первого члена Ао. Отсюда следует,
что в интервале (О, ?Х) будет
и вообще в интервале (^_ь h) будет [Р (х) — Q(x)] (—l)t+c~l
Таким образом, найдется хоть одна точка х&, где
что противоречит неравенству G).
Итак, теорема доказана.
10. Следствие. Многочлен-осциллятор
Р(х) = х + агх2 + агх^ + . . . + апх2п
на отрезке [0, 1] остается по абсолютному значению меньше, чем
^——г- ; напротив, наибольшее абсолютное значение многочлена
рг (х) = х+ Ъгх* + . . . + Ьпх2п+2
должно быть больше, чем Т>——= .
Действительно,
^~{ cos B/г + 1) arc cos х = х + В±х3 + . . . + Впх2п+*
есть многочлен-осциллятор, соответствующий последовательности показа-
показателей 1,3,..., 2/г -J- 1; так как его наибольшее абсолютное значение равно
2 . , то наибольшее абсолютное значение Р (х) должно быть меньше,
а наибольшее абсолютное значение Рг (х) — больше, чем (в силу
теоремы 8).
11. Теорема. Наибольшее абсолютное значение Е^п многочлена-осцил-
многочлена-осциллятора
Р (х) = х + агх2 + а2х* + . . . + 2
164
удовлетворяет неравенствам
1 ^ w ^ 1 1
если п>1. В том же случае, когда п=1, мы получаем
Е — 1 __ 1 1
2 ~ 2 A + У) ~~ 2 (l + K) 2w — 1 *
Последняя часть утверждения проверяется, если заметим, что при
п = 1 многочлен-осциллятор сводится к
его наибольшее абсолютное значение —— = —. ¦—• достигается
V2 2 2A+ V 2)
при я = 1 и при х = ^ ,
F ^ 1+K2
Рассмотрим теперь случай я^>1; неравенство
следует из предыдущего параграфа. С другой стороны, по условию, на
отрезке [0,1] будет
(9)
Тем более, для всех положительных значений jjl будет также
X
или же
Сопоставляя это последнее неравенство с неравенством (9), мы при-
приходим к неравенству
| (i (ж + В1Я* +... + Bn_tz2n) | < Е'2п [A + !хJ + 1],
или же
Но в силу предыдущего следствия абсолютное значение многочлена
А
х-\- Вхх* + . . . + Вп—\х2п должно превзойти 9 в [0, 1]. Следовательно,
или
1
2п — 1 A + [лJ + 1 '
135
Полагая, наконец, jjl = j/2, чтобы придать второму члену неравенства
возможно большее значение, мы получим
Е "> 1 • 1
2П>2A +V) ' 2n—l'
что и требовалось доказать.
12. Лемма. Наибольшее абсолютное значение Е%п мкогочлена-осцилля-
тора вида
Р (гЛ — А I гр \ А ^2 I А >ук i I А /у»2п
удовлетворяет неравенству
каково бы ни было п^>0.
Действительно, неравенство ^п <С^2п есть следствие теоремы 5. С дру-
другой стороны, многочлен
Р(х) — А0 = х + Агх2 + Л & + . . . + Лпх2п
не может быть многочленом-осциллятором. Следовательно, его наиболь-
наибольшее абсолютное значение, которое не превосходит E2n zt Ао ^ 21?2п, будет
(согласно той же теореме) больше, чем Ечп- Отсюда следует, что
f
или же
что и требовалось доказать.
Следствие. Наибольшее абсолютное значение Е^п многочлена-осцил-
многочлена-осциллятора вида
Т> (г\ А ХгЛ-4т2-1./1т4Д. Л- А <г2п
удовлетворяет неравенствам
каковэ бы ни было п^>0.
13, Теорема. Наилучшее приближение \х\ на отрезке [— /г, + h]
посредством многочленов степени 2п, обращающихся в нуль в начале,
равно hEin\ наилучшее приближение \х\ на отрезке [— h, + h) посред-
посредством произвольных многочленов степени 2п равно ЬЕчп„
Действительно, пусть сначала /г = 1. Если бы существовал такой
многочлен
R (х) = Аох + А,х2 + . . . + ^2n~i х2п>
который обращается в нуль в начале и для которого, при —1^\г<С1,
\\x\-R(x)\<E'2n, A1)
а значит, и
\\x\-R{-x)\<tf2n,
156
то отсюда следовало бы, при 0<^<;17 что
R(x) + R(—x)
\ X —
2
Но это неравенство невозможно, так как многочлен
R(X) 4- R (— х)
/v>
не может оставаться по абсолютному значению меньше наибольшего абсо-
абсолютного значения соответствующего многочлена-осциллятора.
Напротив, можно осуществить неравенство
при —1^#<J1, если за х—R (х) взять многочлен-осциллятор.
При осуществлении неравенства A2) мы будем также иметь
или же
х\- hR[%-
JiE2n
A2')
на отрезке [— h, -f- h]; напротив, нельзя на всем отрезке [— /г, + h]
осуществить неравенство
\\x\-R1(x)\<hEr2nt
так как это повлекло бы за собой неравенство
на отрезке [—1, ~\-1], что равносильно неравенству A1), которое невозможно.
Вторая часг1Ь теоремы доказывается аналогично.
14. Примечание. Применяя теорему 9, мы, подобно предыдущему,
докажем аналогичные неравенства для наилучших приближений функ-
функций х\х\, х21 х| и т. д. посредством многочленов степени т\ можно
проверить, что эти приближения будут иметь соответственно поря-
порядок —т, —3- и т. д.
Однако не представляется возможным получить этим элементарным
методом более точные результаты. Проблема явного определения много-
многочленов-осцилляторов представляет повидимому, вообще весьма значи-
значительные трудности и может быть решена только надлежащим примене-
применением последовательных приближений, которые будут приводить в каж-
каждом частном случае к более или менее приближенному решению проблемы.
По мере того как число членов многочлена увеличивается, проблема
усложняется; и нам придется указать специальный метод, имея в виду
тот случай, когда число членов очень велико. Этот последний случай
будет главным объектом дальнейшего исследования. Докажем еще
две элементарные теоремы, из которых первая, хотя и не применяется
F7
непосредственно в дальнейшем, содержит одну из главных направляющих
идей всего исследования, тогда как вторая, являющаяся обобщением
основной теоремы Балле Пуссена, будет служить необходимым средством
проверки.
15. Теорема. Внутренние точки наибольшего уклонения 6Х, 6>, . . ,,
ftn_i многочлена-осциллятора Q(x), соответствующего последовательно-
emu показателей О, а1? а:, . . ., ап, и внутренние точки наибольшего укло-
уклонения рх, C,, . . ., рп многочлена-осциллятора Р(х), соответствующего
последовательности показателей к, О, ах, а2, . . ., а„ (где As«i), переме-
перемежаются, т. е. удовлетворяют неравенствам
Действительно, путем введения надлежащего множителя мы можем
уравнять наибольшие значения многочленов-осцилляторов
п п
р (х) = х* + 2 ^i^ai. ^ и = S
так? чтобы многочлен
R(x) = P(x) — Q (x)
обращался в нуль в начале, а многочлен
обращался в н>ль при х—1. Кроме этих очевидных коргтей, каждое из
уравнений будет иметь самое большее п положительных корней.
Для определенности, предположим п четным и Р @) = Q @) ^> 0.
Тогда будем иметь
Rx @) > 0, R, фх) < 0, Rx (р.) > 0,..., R1 (р„) > 0, R A) = 0,
если на минуту исключим возможность равенств вида ^ = biC.
Следовательно, R (х) имеет по одному корню в каждом из интерва-
интервалов (р|, Pi^i) и ((Зп, 1), a R1 (x) имеет по одному коррш в каждом из интер-
интервалов @, (Bjl) и фг, C|-и)- Отсюда следует, что интервал (pi, $i+i) Re
может содержать одновременно точек Ь^ и fe^fi- Действительно, поскольку
/?(х) обращается в нуль только один раз между pi и pi^i, последова-
последовательность четырех чисел
i), R(bk),
должна была бы при этом давать только одну перемену знака; но
ЛFА)ЛF^,)<0, следовательно, R (fa) R (Ь *) > о\ R {Ък+{) R CiM) > 0.
Однако очевидно, что, при любом к, R (bk) R{ (Ь^)^0, откуда i?x (fa) R± (fc^)<<0
и i?! (b/cjri)R1 (pi|_i)<;0; следовательно, уравнение RX (x) = 0 имело бы по
меньшей мере один корень в каждом из интервалов ф|, fc&), (fe^,
)> т- е- ТРИ корня между Pi и рг-|-ь что невозможно.
J68
Мы имеем также
Я@) = 0, П(
Следовательно, R (х) = 0 имеет один корень между &? и 6$ _i
(i = 1, 2, . . . , п — 2) и один корень между 6n_i и 1; недостает еще
только одного корня, который должен находиться между 0 и 6Г Мы
видим также, что Rx (х) = 0 имеет по одному корню в каждом из этих
интервалов. Отсюда мы заключаем, как и раньше, что ни один из
интервалов (fc$, feifi) не может содержать одновременно двух значений
$к и рЛ+1.
Следовательно, мы имеем
Но еще надо доказать невозможность равенства вида р$ = Ък. Прежде
всего ясно, что если такое обстоятельство имело бы место, то значение
^ = Ьк было бы двойным корнем, например уравнения R (х) = 0, и тогда
его надо было бы рассматривать как принадлежащее одновременно
интервалам ф4_ь р4), фь fr и) FА_Ь 6А), FА, 6Afl); в каждом из двух пер-
первых интервалов и по крайней мере в одном из двух последних уравне-
уравнение R (х) = 0 не имело бы других корней.
Но если бы R (р|) = R FА) = 0, то отсюда следовало бы
и, значит,
Р (^ и) <? F.tf,) > О, Р ф4_4) ^ F*_ i) > 0.
Мы имели бы, следовательно, неравенства
Д (pi н) Д F*+i) < 0, Д (pi_i) Д F.4_i) < 0,
которые противоречат замечанию, что по крайней мере в трех интерва-
интервалах из числа ф4_ь р4), ф4> ^ihl), FА_Ь 6Л), FА, 6Л+1) уравнение Д (ж) = 0
не имеет других корней, кроме р$ = 6А.
Итак, теорема доказана.
п
Следствие. .Бслгг Р (ж) = ха + 2 ^г ^2i ^<"^ь многочлен-осциллятор,
соответствующий последовательности показателей а, 0, 2, 4, . . . , 2тг: г^е
а=^=2г, /?го его внутренние точки наибольшего уклонения рг, 32, . . . , j3n
удовлетворяют неравенствам
0<p1<8in ^-<р3< sin ~g-< ...<?„ , < sin ^=i^ < pn< 1.
15 bis. Лемма. .Ео/ш Р (х) есть многочлен-осциллятор, соответствую-
соответствующий последовательности показателей 0, а0, ai, . . . , an, то между двумя
его точками уклонения ^ и $%±i не может находиться более одной
точки уклонения Ьк многочлена-осциллятора Q{x)y соответствующего
169
последовательности показателей а0, ах, . . . , ап, где j
. ..<Сап<Сап; кроме того, если bk = $iy то по крайней мере один из
интервалов ф$: pi+.]) гглгг фг-ь Pi) we будет содержать других точек
уклонения .многочлена Q (х).
Действительно, построим, как и раньше, многочлены
R(x) = P (х) - Q (х), Rk (x) = P(x) + Q (x),
предполагая, что Р A) = Q A) > 0 и, значит, /?A)=0. Пусть снова,
для определенности, п четное. Мы будем иметь
Д@)<0,
и
/M0)<о, /р р x)
Каждое из уравнений i? (а;) = 0 и Ri (х) = 0 имеет самое большее
/г + 2 положительных корня и к тому же разность между числом кор-
корней R (х) ж-Й1(х) является нечетной.
Но второе уравнение имеет один единственный корень в каждом
интервале, что составляет п -\- 1 корней, а первое уравнение, которое
имеет там не менее п + 1 корней, будет иметь п -f 2 корней, притом
последний между рп и 1. Отсюда заключаем, как и раньше, что каждый
интервал содержит самое большее одно значение Ь^.
Предположим теперь, что р$ = Ь% и что, например,
Прежде всего ясно, что не может быть р$ << &v+i <'^k-\-% <рг{-ь* но пРеД
полагая, что Pi<^+i<pi+-b мы будем иметь: R (bk±i) R ф{-м) <0; и
следовательно, один корень R (х) будет лежать в интервала F^+ь Pifi).
Таким же образом, если бы было pi>^-i>pi_i, то это дало бы нам
второй корень в фг-ь ^--l), и в целом это дало бы уже п + 3 корней
уравнения R (х) = 0, что невозможно.
Следствие. Точки уклонения многочлена-осциллятора
п
Р (х) = х« + 2 A ?2i
г-0
удовлетворяют неравенствам
sin —-
In
' — -FT J ТГ
In \r»^Wi" 2л+1 '
только первая точка уклонения $х удовлетворяет неравенству
1
Г ТС
170
Это вытекает из сравнения многочлена Р (х) с многочленом-осцил-
многочленом-осциллятором Q (х) = cos Bп + 1) arc cos x7 который соответствует последова-
последовательности показателей 1, 3, . . . , 2п + 1; нижние же границы даны пре-
предыдущим следствием.
Примечание Из вычислений второй части будет следовать,
что при а=1 для достаточно больших п будет: j^^sin-т—; но
элементарное доказательство этого факта в настоящее время мне не
удается.
16. Обобщенная теорема Валле Пуссена1. Если существует
такой многочлен Р (х) = j^AhX**1, что в п-\-2 последовательных
h=0
точках отрезка [О, 1]: х^х.^..., хп 2 разность f(х) — Р(х) при-
принимает значения чередующихся знаков, то невозможно построить мно-
п
гочлен Q{x) = 2 Bhxafl такой, чтобы абсолютное значение разности
/ (х) — Q (х) было во в°ех этих точках меньше наименьшего значения
\f{xh)-P(xh)\.
Действительно, если бы при любом h было
то отсюда следовало бы, что значение
/ (xh) - Р (xh) - / (xh) + Q (xh) = Q (xh) - P (xh)
имеет тот же знак, что и f(xh) — Р{х^). Следовательно, уравнение
2 (Bh - Ah) x*h = 0
имело бы n -f- 1 положительных кореней, что невозможно.
Валле Пуссен рассматривает, в частности, такие многочлены Р (х),
для которых во всех рассматриваемых точках разности f(xh) — Р (х^
имеют равные абсолютные значения. Из доказанной теоремы следует,
что для всякого другого многочлена Q(x) того же вида по крайней мере
одна из разностей / (хь) — Q (xjx) будет иметь большее абсолютное значе-
значение, чем общее абсолютное значение всех разностей f (хп) — Р{х^). По
этой причине многочлен Р (х) называется многочленом, наименее укло-
уклоняющимся от f{x) на рассматриваемом множестве точек х17 х±, . . . , хп±2-
1DelaVallee Poussin, Sur les polynomes d'approximation et la represen-
representation approchee de Tangle,«Bull. Acad. de Belgique», 1910. Валле Пуссен рассматри-
рассматривает только тот случай, когда cth~h; в этом случае отрезок [0,1] может быть
заменен произвольным отрезком посредством преобразования у = ах + Ъ.
171
Ча с т ь вторая
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ \х] [12.1]
17. Построение многочлена R (ас), приближенно представляющего | х |.
Мы определим многочлен R (х) по следующим условиям: многочлен R (#)
степени 2?г должен обращаться в нуль при х = О и становиться рав-
A)
ным j х | в точках хк — cos ——-^— (к = 0, 1, . . . , 2и — 1), которые яв-
являются корнями многочлена
71 (#) = cos 2n arc cos ж.
Определяя многочлен ——~ , степени 2лг — 1, по формуле Лагранжа
и замечая, что
Г {Хк) = 2*Sin2*ai>CCOS^ = (_ 1L .. 2П
получим
'п 1
1\ тс
С другой стороны, путем подобных же вычислений мы получим,
очевидно,
2ге ¦¦ - ¦•¦+¦*¦
_
откуда
2п-1
жГ (ж) х-1
х- R (х) =
= —^ 2
2л
77- 1
Но R (х) может содержать только четные степени х. Следовательно,
считая х во второй части равенства положительным, мы имеем
\x\-R{x) = T{x)^-, A3)
где, ради сокращения, положено
172
18. Теорема. Имеет место формула
A5)
1
где гп(х) стремится к пулю вместе с — , при х'^0, и sn@) = — 1.
Последнее утверждение очевидно. Чтобы убедиться в том, что ъп(х)
стремится к нулю при условии х^О, заметим, что если, для опреде-
определенности, предположить п четным, то
Bп- 1) тс
Н(х)=\
Зтт 7тс
kn 4n
х cos а 4- 1 7 f х cos а -{- 1
(х 4- cos a)
kn
5л
In
cos аJ
da + . . . +
Bп- 3) тс
An
х cos а 4 1
(х 4- cos аJ
ибо
So: cos a 4 1 ,
i—; zrda =
(x 4- cos aJ
. sin
sin a
x 4- cos 6 ж 4- cos a '
Но функция -т—
x cos a 4- 1
возрастает вместе ca
^J, и поэтому
4n
x cos a 4- 1
(ж 4- cos aJ
тс тт
Т ~ 4^
? cos а
(ж + cos a)
da<2H(x)
тс
4п
ж cos а 4- 1
(ж 4- cos а)'
da
х cos а -|- 1
(ж 4- cos аJ
da.
Следовательно, согласно формуле A6),
sin-
и тем более
Итак,
71
An
1
2х
1 —.-
32/г2
1 +
X 4- COS ;
j^ +^ч
A7)
Anx
где еп(х) стремится к нулю при неограниченном возрастании пх. Отсюда
и следует доказываемая формула.
19. Определение нижней границы i?2n|^|. Опираясь на теорему § 16,
мы рассмотрим п + 1 интервалов отрезка [0, 1], где разность
173
последовательно меняет знак; и если в каждом из этих интервалов
абсолютное значение этой разности становится больше фиксированного
числа А, то мы заключим отсюда, что Е^п^> А.
Но хН (х) сохраняет свой знак, а Т (х) последовательно меняет знак в
точках sniy-, sin-7— , . . . , sin-—7—-— , которые определяют, таким
образом, па отрезке [0, 1] искомые п + 1 интервалов.
Во всех этих интервалах, кроме первого @, sin-тр-), рассмотрим точки
sin -^~, . . . , sin у- , где ] Т (х) \ — 1. Применяя неравенство A7), мы
найдем, что во всех этих точках
и, следовательно,
В первом интервале мы возьмем точку sin-т^- и заметим, что
т^
Т (sin 75-) = ±-77- • Но легко видеть (сохраняя только два последних
у оП J L
члена в сумме Н(х)),что
cos
-7—
yin
+ sm
T
+ sm
7U о . ТС . ТС
sm ~ \-2х sm 77— sin -7—
In In An
7 . 7Г \ / , . 3:r\
ж + sm 7- ж + sin 7-
4у V 4/гу
ж + sm -y— he + sm -—-
4/i / V 4/i
, • ж \ f . • 3tc
c+sm -7— ж + sm —
4/i / V 4/i
если предположить п\
Поэтому
TU jj I . ТС
sm -77— И sm -гГ-
8л V 8/г У ^ 2^+1
_8л
/ . тс . тс \ /' . тс , . Зтт
sm — + sin — sm _- + sin -7—
тг
"8/Г
8л
Следовательно, при a: = sin-75--, мы имеем
1
4/г
4 1^2
Таким образом, iE1^ I х ( превосходит меньшее из чисел 2 B/г+ п и
Л 2 \
• Отсюда, окончательно,
174
Это неравенство более точно, чем полученное выше неравенство (8), если
только п ^-4.
20. Теорема. Если Р (х) есть многочлен степени 2п (/г^>4), наименее
уклоняющийся от \х\ на отрезке [—1, +1], то уравнение
P{x)-R (х) = 0
имеет один и только один корень в каждом из 2п интервалов, содер-
содержащихся между sin-^ и sin -—2 (к — — (п — 1), ..., 0, 1,...,л—1).
Действительно, для каждого значения тг мы имеем на всем отрезке
неравенство г
а с другой стороны, принимая во внимание неравенство A7), мы видим,
что в точках х = sin -тр имеют место неравенства
ж
4лг sin ——
2я
каково бы ни было |&|}>0, причем (| х ]— R (х)) ( —1L> 0 (предполагая,
для определенности, тг четным).
При тг ^ 4 имеем
чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что
2лг И 32лг2 У ^ п Bп + 1) V1 "Г
4"
или
1 Это неравенство, которое можно будет при помощи получаемых далее резуль-
результатов заменить более точным, вытекает из разложения | х | в ряд по многочленам
Чебышева (тригонометрическим многочленам) Тп (х) = cos n arc cos x. Именно,
4 Г1 Г2И ЗГ.И , Г. (*) 1
(см. мою статью [3], § 64) . Останавливаясь на членах степени 2/г, получаем много-
многочлен степени 2п, который дает приближение, равное
ти L Bn -f 1) Bя + 3) Bя + 3) Bя + 5) ^ ' ' "J тг Bя + 1) "
175
Следовательно, многочлен
P{x)-R (х) = (Р (х) - j х |) + A х | - Д (*))
имеет во всех рассматриваемых точках тот же знак, что и
\x\-R(x).
Таким образом, в точках х = sin-^— (igO),
С другой стороны, при ? = А; = 0, будет: R(x) = 0 и />(^)>0, и, зна-
значит, неравенство A9) также имеет место.
Следовательно, в каждом интервале fsin-^, sin -—2п ) имеется
нечетное число корней уравнения Р (х) — R (х) = 0; значит, в нем имеется
один и только один корень, что и требовалось доказать.
Следствие. Произвольный многочлен Q (х) степени не выше 2/г,
1—-
который дает приближение \ х \ меньшее, чем ~
32п2
1
/,
\П S1I1 т—
, обла-
дает тем свойством, что уравнение
Q{x)~R (x) = 0
имеет один и только один корень в каждом из интервалов
sin —, sin - 9 ; , если только <?@)>0.
21. Асимптотическое выражение для | <я | — И(х). Мы }же получили
очень простое асимптотическое выражение для \x\—R(x) в §18. Но это
выражение было определено только для бесконечно возрастающих пх.
Необходимо теперь освободиться ст этого ограничения. Поскольку речь
идет об очень больших значениях п, мы можем предположить, для опре-
определенности, что п четное (то же всегда будем делать и в дальнейшем),
при этом
Т (х) = cos 2/г arc cos x = cos 2/г arc sin x.
Заметим сначала, что, вследствие A4), справедливо тождество
2х sm -у— cos -тг h sin -тг—
An 2n 2n
3 -1
* - т)
176
o . 7Г . Л-7Г . ТГ
2 2х sin —— sm — \- sm —--
\п In In
/fc=if 3,..., n-1
По лож им дал ее
Я, (х) = -^ 2j г Т^ ^ 7 т-т :т . B0)
йь*'~ [ D) ?][ ( )?]
Отсюда мы непосредственно заключаем, что
х), B1)
где
B2)
Разность хН{х) — хНг(х) стремится, следовательно, равномерно к 0,
когда п неограниченно возрастает.
Рассмотрим, наконец, функцию
хН(х)^ 2 *г-> B3)
которая играет в дальнейшем основную роль. Ее существенным свойством
Y * 2пх
является то, что она есть функция только величины о = -— и, после
введения этой новой переменной, может быть записана в виде
2 ^
1,3,... со (Ь + кJ — -j-
B4)
Я утверждаю, что разность хН(х) — хН2(х) также стремится равно-
равномерно к 0.
Чтобы в этом убедиться, возьмем фиксированное сколь угодно боль-
большое положительное число А и разобьем значения х на два класса:
в первом классе пусть ж^^о^у/j т. е. о^Л, а во втором х^> т0,
т. е. bj>A.
Пусть сначала х^>х0. В силу неравенства A7) имеем
1 | ~~ ^2
С другой стороны,
со оо
bdz , ^л Ь ^ 1 С bdz
< ^ \
1 г bdz , ^л Ь ^ 1 С
\ г <. ZJ "*" Г" ^ Т \
?(b + z)*-± if3|...ooF + *)«-^- - j
12 С. Н. Бернштейн, т. I 177
или
ъ Ь + \ ь b + T
Abg i-<F F) <-flog f-
или еще
так как
26 + 1 B6
1 V
Следовательно,
32яа 1^1
'LA
Итак, окончательно, при х^>х0 (Ь^>Л), мы имеем
B5)
22. Пусть теперь ж^д:0. Обозначим через 1к общий член хН1(х)
и через Ik — общий член хН2(х). Таким образом,
х2 sin — Ь х
21
пЬ2 . /сти
—— sin ——F-
In In
U + ¦—. sin ft -- — — Ш> + ¦ sin НтгЬг
L тт \ 2 у 2/г J L ти \ 2 у 2/г J
Разлагая синусы в ряд, получаем
b(l + 0xo)
h =
где 6, 61? 62 суть положительные числа, меньшие 1.
178
Предполагая сначала к + -тг <С ~ Ухо > мы будем иметь
r
где 6Л1? 6^, 6Л — также положительные числа, меньшие 1. Таким образом,
о
С другой стороны, если к + у ^> —¦ j/^q, to мы имеем
/ ъ A + бо;0) _
(так как sin-^->A при 0<</г<<1).
Следовательно, обозначая через к0 наименьшее целое число, удовле-
о
творяющее условию А + у^> — У х0, получаем
п—1 п—1
*> /ои 3
/'<<—. Следовательно, при ж^^, мы имеем
п
— — < хН± (х) —хН2 (х) <
и, в силу B1),
А < ^Я И ^Я (*) < B + 4) ^о3-
Положим, наконец, х0 = —^ . При этом условии, тем более, нера-
п б
венство B6) дает
| хН (х) - хНг (х)! < J-, B6')
/г 6
а неравенство B5), которое имеет место при х^>х0, приводится к такому:
?Га + ?ш. B5')
179 12
*
Итак, доказано, что для всех положительных значений х
где
1Р»(*)К—VT-, <27>
т. е.
B8)
Это асимптотическое соотношение будет существенно использовано
в дальнейшем.
23. Различные выражения функции F(b). Мы определили функ-
функцию F (Ь) посредством тождества
F(b)= S * Г" <24>
1.3....0О F+ *)*-!
Легко видеть, что эта функция тесно связана с функцией Г. Действи-
Действительно, мы имеем непосредственно
[2FTi2Tb 2bT52FT7 ] <29>
Но известно, что
, , ч dlogT(a)
где ^ есть постоянная Эйлера. Следовательно,
C0)
Укажем другое выражение1 для F (Ь), которое выводится из B9)
при помощи преобразования Эйлера; именно, мы получим
Г \ ' ~~ 1Ь + 1 L "*" 2Ъ + 3 + B6 + 3) B6 + 5) + B6+3)B6+5) B6+7) ~1"' ' J
C1)
1 «Encyclopadie der mathematischen Wissenschaften», Bd. II (Teil I2). Brunei,
Bestimmte Integrale, § 12.
180
Заметим, что здесь мы имеем гипергеометрический ряд; таким обра-
образом, в обычных обозначениях, мы приходим к результату
Выражение C1) непосредственно приводит к равенству, которое было
получено уже раньше,
но оно позволяет также еще доказать, что
C2)
Действительно,
<
l[i
¦2/O-
L2-3
* 2b + 1 L ^ 2b + 3 ^ B6 + 3) B6 + 5) r " B6 + 3) B6 +5) B6 + 7)J '
поэтому достаточно проверить, что
26 [2.1-2.3+1 -2 B6+7) + B6 +5) B6 +7) + B6 + 3) B6 +5) B6+7)] <
< B6 + 1) B6 + 3) B6 + 5) B6 + 7),
или
0<Ю5 + 206 + 462.
Функция F (Ь) может быть также представлена в виде определенного
интеграла
F(b) =
2 + 1
dz.
C3)
Заметим, наконец, что F F) удовлетворяет функциональному урав-
уравнению
F(b) F(b + j) __ 1
Ь + 6 + 1 ~~ * , 1 *
t
0
о,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
05
1
15
2
25
3
35
4
24. Таблицы значений
Р(РУ
0,000
0,070
0,127
0,173
0,212
0,244
0,271
0,294
0,314
F(b) <
Ь
0,45
0,5
0,55
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
3 ТОЧНОСТЬЮ Д(
0,332
0,347
0,360
0,371
0,391
0,406
0,419
0,429
0,438
ь
1,2
1,3
1,4
1,5"
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
) 0,00055
F(fi)
0,445
0,451
0,456
0,460
0,464
0,467
0,470
0,473
0,475
функций
ь
2,
2,
2,
2,
2,
3
4
5
6
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
6
0
0
F(b)
1
F(b)
,477
,478
,480
,481
,483
,488
,493
,495
,497
и F' (b)
F' (Ъ)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ъ
,3
,32
,34
,36
,38
,4
,42
,44
с точностью до 0,001
*"(ь)
1,571
0,502
0,471
0,443
0,417
0,393
0,371
0,350
0,331
ь
0,46
0,48
0,5
0,52
0,54
0,56
0,58
0,6
1
F'(b)
0,314
0,297
0,282
0,268
0,254
0,241
0,230
0,219
0,093
181
25. Определение верхней границы Е2п Для очень больших значений п.
Ниже мы увидим целесообразность рассмотрения многочленов вида
Q{x) = R(x) + 7^1\b + -^T2 + ^\2 +...], C4)
М \В 4- -^-9 + _^Ц + . . .1
п I ' б2 —6f^ tf — bY Г
где 61<^6J<^... суть последовательные корни уравнения
{х) = Т(^\= cos 2/гarc sin^- = 0.
Ограничимся тремя первыми корнями 61? b2, bs* Я утверждаю, что
если гг неограниченно возрастает, то приближение | ж | посредством мно-
многочлена Q(x) имеет своим асимптотическим значением приближение \х\
посредством функции
Это значит, что если \in есть приближение, даваемое Q (x)f a \i\ есть
приближение, даваемое Qx (x), то
hm —г = -1-
гг->оо \1п
Действительно, в силу B8),
F)_ В
W
4 Ъ* 4 b2 4J
Следовательно, при Ь^>А, где Л достаточно велико, наибольшее значе-
значение 11 а: | — Q(x)\, так же как и наибольшее значение \\х\ — Q{ (x) \,
будет иметь вид
где сип — сколь угодно малая величина.
С другой стороны,
Т (х) — cos 2n arc sin ^— = cos 2n\^—\- Ь (к-) =
cos (
у43
где 0<^6<^1. Следовательно, когда —^ стремится к 0, tocostt6 — Т (х)>
cos izb T (х) А
а также каждая из разностей вида —^ также стремится к 0.
4
Поэтому либо щьп и щ'п стремятся к у — В (это будет в том случае, если
наибольшее уклонение \х\ — Q (х) достигается при 6>Л), либо же, не
182
стремясь непременно к определенному пределу, числа n\i и п\ь будут
превосходить -^ В и иметь разность, стремящуюся к 0. В обоих случаях
Мы условимся говорить также, что вообще Q± (х) есть асимптоти-
асимптотическое выражение для Q(x), если приближение, даваемое Q1{x)J является
асимптотическим (в точном смысле, который только что указан) для
приближения, даваемого Q(x).
Наша задача состоит в определении чисел В, аг, а.2, а3 таким обра-
образом, чтобы функция
5 F) = Ф F) cos «6,
где
b2 r
4
наименее уклонялась от нуля при всех положительных значениях Ь.
Я отмечаю этот вопрос, но не буду его рассматривать в общем виде.
Заметим только, что если допустить1, что 0<^В <Су и аг^>0, а.2
а3>0, то этот вопрос будет равносилен следующему: определить функ-
функцию S (Ь), наименее уклоняющуюся от нуля при 0^Ь<^.~ и при Ь=оо.
Действительно, мы имеем
если Ь^>~: поэтому бесполезно рассматривать значения 6^> —.
Я решил указанную задачу с приближением того же порядка, что
и при вычислении таблиц § 24 функций F (Ь) и Fr (b); но меня несколь-
несколько затрудняет систематическое изложение последовательных прибли*
жений, которые мне пришлось проделать. Поэтому я ограничусь тем,
что сообщу найденные значения коэффициентов и произведу прямой
подсчет верхней границы приближения, даваемого соответствующим
многочленом.
26. Коэффициенты В, аг, а.у, аг должны во всех случаях удовлетво-
удовлетворять равенству
|Ф@)| = |Ф(оо)|,
или
^-B = B-ia1-^a.1-^-:,.i. C5)
Положим
5-0,357, ^ = 0,0401, а,-0,0255, а3 = 0,0245.
1 См. следствие леммы § 15 bis.
183
Равенство C5) удовлетворяется; действительно,
|Ф@)| = |Ф(оо) ( = 0,143.
Очевидно, что S @) = Ф @)< 0 и что S (Ь) возрастает вначале.
Я утверждаю, что в интервале (о, -Л %шщдя S {Ь) будет одетъ не
2 ,
более чем три экстремума. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить,
что функция S(b), которая имеет непрерывную производную, должна
иметь не более г экстремумов, чем функция п [\ х \ — Q {х)\, которая
стремится равномерно к S F) при Ь <J у .
Но х — Q (х) допускает по меньшей мере п — 2 экстремума при
#^>sin7— , а общее число экстремумов не может превышать п ~\- 2. По-
Поэтому, если исключить также экстремум в начале, то останется только
три возможных экстремума для 0<6< у. Заметим, что <S"@)>0,
Следовательно, в каждом из интервалов @, 1), A, 2), B, 3) будет
только один экстремум,
В первом интервале мы берем 6 = 0,4 и находим2
S @,4) = cos 72° Г0,314-0,357 + ^ + ?5™ + ^Щ
L Т"~25 Т~25 T~~25J
= cos 72°. 0,4586 < cos 72°. 0,4598 < 0,1421.
Надо убедиться в том, что экстремум на интервале @, 1) меньше,
1 Быть может, полезно подчеркнуть это утверждение, которое вытекает из сле-
следующего факта: если имеется последовательность функций Fn(b), равномерно стре-
стремящихся к функции F (Ь) на отрезке [0, а], если, кроме того, функции F (Ь) и Fn (b)
имеют непрерывные производные и если, наконец, F'(b0) = А @< Ьо < а), то мож-
можно определить b и достаточно большое число п таким образом, что \Fn(b) — Л|<е
при \b — bo\<C.h, где е и h сколь угодно малы. Действительно, мы имеем:
F (b0 -f- а) — F (Ьо) = а (А + 7]); предположим, что а меньше h и настолько
мало, что 17] | < — . Но при достаточно больших п мы имеем: | Fn (b) — F (b) |< — f
каково бы ни было Ь в рассматриваемом интервале. Следовательно,
причем s/ < s. Поэтому при некоторых значениях b (Ьо < b <С Ьо + а) будем иметь
F' (b) = А 4- г -J- ?
ИЛИ
\F'n(b)-A\<s,
что и требовалось доказать.
2 Эти равенства приближенные; они заменяются в конце каждого вычисления
точными неравенствами, которые получаются путем сложения всех ошибок.
184
чем 0,143. Для этого подсчитаем, при 6 = 0,4, логарифмическую произ-
S' (Ъ) тт
водную ^ттт • Имеем
г @ п , 2-0,4-0,0401 2-0,4-0,0765 2-0,4-0,1225
И__4\2 + ($__~^Y~ + /25_4\2
S' @,4) \4 25/ U 25/ U 257 _ t , 7?° =
»У @,4) "" 0,4586 тс # /z —
= 9,481-9,669^-0,188;
отсюда следует, что
S' @,4)== --0,142- 0,188= -0,0267.
Таким образом,
0> S' @,4) > — 0,03.
Итак, если S (Ь) может достичь значения 0,143, то это произойдет
при 6<0,4, причем
^ —6>-?Г7^- =0,03.
Чтобы быть уверенным, что максимум не достигает 0,143, достаточ-
достаточно, следовательно, заметить, что S @,375) <CS @,4).
Но
'.Г0,304-0,
L
?@,375;=со8б7°30'.Г0,304-0,357+ ~
Т"4 Т4 I"4
Далее ищем максимум |?F)| в интервале A, 2). Вычисляем S (Ь) для
Ъ = 1,2. Имеем
с/*о\ о«оГа//с: л ост 0,0401 , 0,0765 ,
-5A,2)= cos36 0,445-0,357- g—^ + ^_^ +
0,
L
25 4 4 25 4 25
- cos 36° [0,088-0,03370 + 0,09444 + 0,02547] =
= cos 36°. 0,17421 <cos 36°- 0,175 < 0,1416.
Вычислим еще
-Д"A, 2) = cos 36° [0,065 + 0,0680 +0,2788 + 0,0127] —те sin36° -0,17421<
<cos36°.0,427-тгsin36°.0,1736 <0,34546-0,32056 <0,025.
С другой стороны, ?'A,
Следовательно, абсолютное значение S (Ь) может достичь 0,143, т. е.
увеличиться на 0,0014, только в том случае, если Ъ увеличится более,
0,0014 n nc/2 тт
чем на 0 = 0,056. Но
9г;\ /гоГл//о поп 0,0401 0,0765 , 0,1225
,2о) = cos 45 |0,448-0,357- ^—J + ^—- + —^
16 4 4 16 4 16
- cos 45° [0,091 + 0,11126 + 0,02613-0,03055] =
= cos 45°.0,19784 < 0,707-0,19784 < 0,1399.
185
Значит, | ?F) | проходит свой максимум до значения 6=1,25; этот
максимум поэтому меньше 0,143.
Остается еще рассмотреть интервал B, 3). Вычислим 5B,2). Имеем
<? to o\ Q«o["n/7Q лоп 0,0401 0,0765 , 0,1225 1 ^
S B,2) = cos 36 [0,4/8-0,357- щ^щ- 4,84-2,25+ 6,25-4,84^
<cos36°.0,17<0,1377.
Вместе с
0>УB,2)>-0,04.
Максимум S (Ь) мог бы, следовательно, превзойти 0,143 только, если бы
он достигался при 6<^2,1. Но можно проверить, что *S" B, !)>().
Таким образом, все максимумы |*УFI меньше или равны 0,143. Отсю-
Отсюда следует, что при указанном выборе коэффициентов мы построили
многочлен Q (х) степени 2п такой, что при достаточно большом п
где еп стремится к 0; тем более
Е2п[\х\]<0^- C6)
для достаточно большого /г.
Если мы хотим еще понизить верхнюю границу, то надо взять боль-
большее число членов в Q(x), причем уместно заметить, что уже найденные
коэффициенты будут подвергаться при этом только очень слабым изме-
изменениям. Но прежде чем предпринимать это новое исследование, надо
было бы составить более точную таблицу значений функций F (Ь) и F'(Ь).
27. Определение нижней границы JE2n [|ас|]« Для определения нижней
границы Еъп можно поступить следующим образом.
Возьмем на отрезке [— 1, + 1] точки 0, + р,, ±р2>---> ±рго>
-bsin — , 4- sin ~t ' п , ... , -4-sin ^- и определим многочлен1 степени
— zn — 2л An
не выше 2/г + 1, который во всех этих точках принимает последовательно
значения |#|rbP* Относительно точек (^ мы затем предположим, что
2n
Положим
S (х) = |/1 — х2 sin 2/г arc cos x
2лД 2n) \ In J
1 По терминологии § 16 это будет многочлен наименьшего отклонения от | х \ на
рассматриваемой последовательности точек.
186
Применяя классическую интерполяционную формулу Лагранжа, запи-
запишем искомый многочлен в виде
S
-
^Г+ Zl
C7)
Условие, что степень многочлена / (х) должна быть меньше, чем
2п + 2, приводит к следующему уравнению для определения р:
tti
Отсюда
sm7
sin~
2re
,
Ho
C8)
( sin2 - sin2 -—}...( sin2 ^r—-
\ 2n In J \ 2n
sma
при i<Cn] и, далее,
A _ PJ)... A _
Следовательно, полагая
R: =
где \i будут фиксированы, а п будет неограниченно возрастать (iQ будет
также фиксированным числом), мы получим
л, тг (А?
lim nSi (ЗЛ - -V^
? — X?) ... (X? — X?
)
JJ
187
Поэтому числитель в формуле C8) имеет тот же предел, что и сумма
^L (Xf — I) . . . [Xf— («0 — !)¦!
?) Sin V
in ( . in . тс \ / . ^ in . (in — i
sm -r— sm2 - sm- ^— . . . sm- sm2 ——^—
2n \ 2n 2n J \ 2/г 2/г
„(sin2
Q.? \ I oin2 D^
в которой вторая часть может быть представлена в форме
2(-i)*-
i=io
/ . 9 гтт . _ (г0— 1) 7т
• • • (,sm п -sm2 тг
\ 2/г
Но для достаточно больших п0,
\ 9» ^iy \ 2/г ^г<>
/? sin ^- (sin2 ^ sin2 -^—) . . . (sin2 г^ sin2 - o ^ n
An An I \ An An
...|sm. ^__sin,^__
/г2 sma
2/г HW " - "
так как члены этого знакочередующегося ряда убывают по абсолютному
значению.
С другой стороны, после того как п0 зафиксировано, мы видим, что
сумма
2л \~~1)
. in / . in п \ (in (г0 — 1) п
п sm — sm2 sm2 -^— . . . sm2 ^ sm2 ^—^—-—
2п \ 2п 2п ) \ 2п 2п
стремится к
no~l
2
(-l)if (,•»-!).. . [fi-(,-0-i)i
(r2 — Xj) . . . (B — \J
когда гг неограниченно возрастает.
Следовательно, числитель в формуле C8) имеет своим пределом
188
C9)
где
D0)
28. Знаменатель выражения C8) будет иметь тот же предел, что и
V--4 )
L7U (/ 1) тг
air»22 . сип22 1 I cir»2 . cir|2 - —
sin 2n ~sm 2п)' " Vsin 2n~sm 2n
" г~Ч (* 21- __ в2^ / , . ; ^ Ч7
\S] 2/г 1у' * ' \ 2/г 4
Беря лг0 достаточно большим, можно сделать сумму
In 7Г Л / 1ТГ
sin2 -7Г-- — sin2 ;т-г . . . sin2 ^Г — sin2
сколь угодно малой.
Поэтому
. ^sin2 _sin2 ушт sin2___sin2.
J ™ т S —:—-—-—¦
°° » = *о («in2 l7Z- —
Следовательно, знаменатель в C8) имеет своим пределом
1 /l-2...(fo-l)V
*2 I X,...X-
2 *• /X? -
i V А (^г-1). ¦¦ И'-(I,-
if*1 ' <1*?)<«
¦¦i/.P-i)!. D1)
где
189
Таким образом
у (>? —D---t>g —('о—D'
lim 2лр = ^^ Ц i — . D3)
29. Следует еще сделать некоторые преобразования. Как известно,
\
J 9X V
sin тсХ X » " Zi X2 — m2 "
Поэтому
m=l
m=l 0
согласно формулам C3) и D0). С другой стороны, полагая ),j = i — 1 + е{,
мы будем иметь
sin Xi7r + тг/2( ^ (i — 1 + e.) sin
1 — cos tu?| 2 ? 2
тс (i - 1 + ?iJ ^ (j - 1 + e.) sin тиг{ tu(?— 1 + ^J ^ i — 1 + e4
Положим, наконец,
T(a;) = (a*-l)...[a?-(»o-l)«],
ф(х)^(х2-Х?)...(х2-4). D4)
Тогда получим
lim 2ггр = ~ J9io. D5)
n—>oo *L Ф (Х|) Г 2 тсе$ 1
По теореме § 16 мы имеем
значит,
lim 2тг2?2п ^ ^г„- D6)
п—>оо
30. Наша задача будет состоять в определении таких значений постоян-
постоянных X-i, при которых величина Bio принимает наибольшее значение г. Этот
1 Мы увидим далее, что Х^ стремится к i—1 и что разность Х^ — (/ — 1) =
стремится к 0, как 1/i.
190
максимум, который, очевидно, существует для каждого значения i0
и возрастает вместе с г0, стремится к определенному пределу при i0->oo.
Мы докажем далее, что этот предел равен пределу, к которому стре-
стремится 2пЕ2п- Другими словами,
lim Max Bio = lim ЪпЕчп-
i0—>oo n—>co
Но максимум Bio и его предел при i0 -> оо могут быть вычислены
при помощи последовательных приближений, которые очень быстро
сходятся.
Положим сначала го = 1. Будем иметь
ВЛ = ~
2
При Хх = 0,4 находим:
- А- 0,419
9 °>628 _ о 9709
3,1416
0 727
Таким образом,
где С7П стремится*к 0.
Возьмем, далее, i0 = 2. Будем иметь
где Х2 = 1 -f- е2-
Сохраним Хх = 0,4 и положим Х2 = 1,14. Мы будем иметь
О Я9Я 4- °>2996 Г 1 2 П Afi^l
0,628 + -^р [^т— - ^^ .Q,465j Q?6
^р [^т ^^ j Q?628 + 0?Q442
2 0,2996 [0,6366 , 0,216] 2,316+0,0958
гб1* + [ + \
Общая ошибка не превосходит 0,0005. Итак,
В2> 0,278.
Значит,
2пЕ2п> 0,278.
Окончательно мы имеем, при достаточно больших тг,
0,278 <2#i?2n< 0,286. D7)
191
Перейдем теперь к доказательству теорем, которые показывают, что
каждый из только что указанных методов позволяет вычислить 2я2?2п
с неограниченным приближением.
31. Теорема. Многочлен, наименее уклоняющийся от \х\ па отрезке
[—1, -j- 1], допускает в качестве асимптотического выражения
G{x) = R (х) + (-|- - Е2п) Т (х) + ^ , D8)
где~[п(х) стремится к О, когда пх неограниченно возрастает.
Доказательство является довольно длинным и опирается на сообра-
соображения различного рода. Уместно заметить, что наша теорема была
бы установлена, если бы можно было непосредственно доказать, что
один из применяемых нами методов для приближенного вычисления Е%п
способен доставить неограниченное приближение для 2пЕ2П. Но на этот
раз мне придется итти иным путем.
Я здесь ограничусь формулировкой одной леммы, за доказательством
которой отсылаю к § 2 статьи [3].
Лемма. Если многочлен Р (х) степени п остается по абсолютному
значению меньше М на отрезке [—1, + 1], то его производная остается
по абсолютному значению меньше —^ в интервале [—/г, + /г].
32. Вспомним формулу A5), которую можно записать в виде
2n[\x\-R(x)- -^-J = sn (х) Т (х). A5')
Ясно, что наилучшее приближение 2пЕ2П для 2га | а; | при помощи мно-
многочлена степени 2п то же, что и для еп(х)Т (х), и между многочленом
Р(х), наименее уклоняющимся от \х\, и многочленом Q, (х), наименее
уклоняющимся от еп(х)Т(х), имеется зависимость
± + U(x)). D9)
Мы хотим найти асимптотическое выражение для многочлена Q. (х). Для
этого возьмем сколь угодно большое число А и определим новую непре-
непрерывную функцию оп (х) условиями:
К {х) = en (x) T (х) при | ж |< --
и
оп (х) = о при j х | ;> — .
п
Таким образом, предполагая ап сколь угодно малым, будем иметь
\К(х)~еп(х)Т(х)\<ап.
Очевидно, что если flx (x) есть многочлен, наименее уклоняющийся
от Sn(,x), то он будет служить асимптотическим выражением для ?} (х).
Действительно, если кп есть наибольшее уклонение Q.1(x) от оп(х), то
мы имеем соотношение
| кп — 2пЕ2п 1
192
и, следовательно,
lim —^- = 1. E0)
n->oo ZnE2n '
Многочлен
пг (х) = со + схх2 + ... + спх2п E1)
как раз и является тем многочленом, который мы собираемся исследовать.
Уравнение ?}х (х) — Ьп (х) = 0, так же как и уравнение Ох (х) —
— гп (х) Т (х) = 0, непременно имеет по меньшей мере один корень между
двумя точками отклонения (т. е. между двумя точками, где достигается
максимум | ?}х (х) — on (x) \). Но уравнение
= 0, E2)
имеющее форму
Ао + Агх + А2х* + А^ + ... + Ап+1х2п - 0,
не может иметь более п + 1 положительных корней. Следовательно
всего точек отклонения будет п + 2 и одна из них будет в начале.
Таким образом, мы имеем
Qj @) = - 1 + кп. E3)
33. Докажем теперь, что Ql (x) имеет только положительные макси-
максимумы М и отрицательные минимумы т, удовлетворяющие неравенствам
0,5 >!/"> 0,09 и —0,73 О < —0,09. E4)
Прежде всего мы видим, что при х^>^—
lim | sn (x) T(x)\ = \ [2F F) - 1] cos тгб | < 0,18;
значит, при х^>~,
- 0,18 - кп < П± (х) < 0,18 + кп,
и между двумя корнями уравнения E2) Ох (х) допускает один максимум М
или одип минимум т, которые непременно удовлетворяют неравенствам
0,5>Лп + 0,18>М>Л„-0,18>0,09,
- 0,09 > - кп + 0,18 > т > - кп - 0,18 > - 0,6, ( '
так как 0,3^>кп^>0,27.
Надо рассмотреть два предположения. Допустим сначала, что fii@) есть
минимум. В этом случае для всех х будет х
1 Невозможность в интервале ( 0, -т— I абсолютного минимума, отличного от
Пх@), станет очевидной из рассуждений, посредством которых будет доказана
невозможность второго предположения.
13 С. И. Бернштейн, т. I 193
и так как, с другой стороны,
еп(х)Т(х)<:0,
если х<^-т-, то отсюда следует, что
на всем отрезке [—1, + 1].
Следовательно, на всем этом отрезке
| &х (х) + 0,41 - кп | < 0,59. E6)
Поэтому, в силу формулированной выше леммы, в интервале
— Т7Г > ТГ) Для Д°статочио больших п будем иметь
^ < 1,18 п. E7)
dx
Если внутри интервала @, ~^-\ содержится не больше, чем одна точка
отклонения ?1± (х) — гп (х) Т (х), то найдется п точек, где | ?}х (x) | достигает
своего максимума, удовлетворяющего неравенствам E5); все эти макси-
максимумы и минимумы ?2Х (х) удовлетворяют, следовательно, неравенствам E4).
Остается теперь убедиться, что число точек отклонения | ?1г (х) — еп (х) Т (х) \
в интервале (О,^-) меньше, чем 2.
Действительно, пусть х0 = -т~- есть первая точка отклонения. Тогда
непременно будет
[2F (Ьо) - 1] cos тг60 = гп (х0) Т(хо)>-1 + 2кп > - 0,444.
Но функция
[2F {Ь) — 1] cos тгб
возрастает в интервале ш, ~\ и с похмощью таблицы B4) находим, что ее
значение при Ь = 0,21 равно — 0,446 (с точностью до 0,001). Следователь-
но> Ьо >0,21, или х0 ^> -V~" • ^ Другой стороны, если хг есть вторая точка
отклонения, то
«1 (*i) - Qi (*o) > Ып > 0,556,
и так как
то, следовательно,
0,556 0,47
Xl " х° > ТЖ > ~
откуда, наконец,
Замечание. При помощи подобных рассуждений можно убедиться
и в том, что наименьший корень уравнения О,г (х) = 0 больше, чем -?-.
194
Это вытекает из неравенства 0,27 + [1 — 2F (b)] cos ъЬ^> 1,18 [~ — -^-1 т
которое имеет место при 0 <С b <^ —, как это легко проверить при помощи
табл. 24.
Рассмотрим второе предположение: ?1г @) есть отрицательный макси-
максимум. В этом случае уравнение iia (х) — 0 не могло бы иметь более п — \
положительных корней.
Если бы наименьший корень а± уравнения Q2 (х) = 0 был больше г
чем —, то, по предыдущему, между двумя наибольшими отклонениями
| О,± (х) — еп (х) Т (х) | существовал бы по крайней мере один корень урав-
уравнения Qx (х) = 0; только п — 1 точек наибольшего отклонения нахо-
находились бы справа от а1? следовательно, шмелись бы две точки отклонения
слева от ах (не считая 0) и слева от -?-. Точно так же, если ах<~г
то не может существовать более одной точки отклонения между двумя
последовательными корнями уравнения Ох (х) = 0. Следовательно, во всех
случаях должны существовать две точки отклонения при х<С~2—> x^at
(не считая начала). Таким образом, во второй точке отклонения х± ш>1.
будем иметь снова О,г (х^ <С 0, откуда
Следовательно,
Пусть, с другой стороны,
m — — 1 -\- kn — h
есть наименьшее значение О2 вблизи 0. Полное изменение Q,v когда х
изменяется от 0 до х19 проходя через точку минимума ?21? а затем чере;^
первую точку отклонения х0, превосходит
/г + 2Ап>/г + 0,55.
Но, как и раньше, вблизи начала будет
^.|<A,18 + Л)«, E8)
так как
Таким образом, хг удовлетворяет неравенству
ятх A,18 + /г)/г>/г + 0?55,
и, значит,
откуда
h < 0,15. E9)
13
*
Следовательно, в первой точке укдовення х0 мы имели бы
е„ (х0) Т (х0) > - 1 + 2*„ - А > - 1 + 0,55 - 0,15 = - 0,6,
^
откуда ?о>^ и a^ —аго<-^- — ^-= ^ ¦ Но это противоречит не-
0 55
равенству ^х — х0 >>, !' , которое вытекает из E8) и E9). Следовательно,
предположение, что Ох имеет отрицательный максимум, должно быть
отброшено.
Итак, неравенства E4) доказаны.
Другими словами, многочлен Их (х) имеет 2п-\-1 максимумов и мини-
минимумов на отрезке [—1, +1], и кроме того, если выполняется условие
\ пх\^> А, то эти максимумы и минимумы по абсолютной величине
равны кп, в то время как остальные по абсолютной величине меньше, чем
,, и больше, чем
34. Уравиопия
ЗА-,,, и больше, чем -j kn.
Q?(z)-*li = 0 ¦ F0)
(^>-1)==0 F1)
(у второго из плх все корни ве1цественны) будут иметь общие корни,
именно все те корни, которые по абсолютному значению превосходят Aj?i.
Пусть, с другой стороны, 0 <^ рх <^ J^2 <C • • • *С Ра суть все положитель-
положительные корни уравнения О,х (х) = 0, меньшие или равные А/п. Уравнение
F0) будет иметь по крайней мере два положительных (различных или
совпадающих) корня между (^ и §i+* в том случае, если максимум (или
минимум) Q1? содержащийся между ^ и Рн-ь 1ТО абсолютному значению
больше или равен ки.
В том 71.0 случае, когда соответствующий максимум или минимум
меньше кп, уравнение F0) не будет иметь вещественных корней в рас-
рассматриваемом интервале, но можно доказать, что если построить тра-
трапецию $i$i+iCD с основанием $i$i+i и высотой k\n так, чтобы ее боко-
боковые стороны $iD и pi+iC составляли с основанием углы, равные Зт:/4, то
внутри этой трапеции будет лежать по крайней мере один корень
уравнения F0).
Действительно, на любой прямой, параллельной основанию pipi+i,
найдется по крайней мере одна точка, в которой мнимая часть Их (z)
равна нулю, так как при прохождении этой параллели справа налево
от стороны pi+iC ДО стороны $iD аргумент многочлена ?1 ,t [х-{-iy) =
= А(х,у) + iB{x,y) изменяется на величину, превосходящую тг, вслед-
вследствие того, что аргумент z — р$, так же как аргумент z — pi+i, увели-
увеличивается более чем на т:/2 каждый. Следовательно, кривая S, опреде-
определяемая уравнением В (.г, у) = 0, которая проходит через точку у- — корень
уравнения -—- =г0, лежащий между pt и pi+i,— будет встречать внутри
трапеции каждую прямую, параллельную основанию; но так как все
196
корни уравнения ——- = 0 вещественны, кривая S не будет иметь крат-
кратных точек внутри трапеции, так что действительная часть Re<QL(z) =
= А (х, у) будет изменяться в одном и том же направлении при измене-
изменении z по кривой S от 7| до первой точки Н пересечения S с CD. Чтобы
убедиться в том, что уравнение F0) имеет корень внутри Pifk+i CD, до-
достаточно, следовательно, доказать, что
*»¦ F2)
Для этой цели возьмем многочлен
Т (х) = cos 2n arc sin x
и обозначим через ср его аргумент при х = Н\ пусть, для определенно-
определенности, O^cp^Cv* Проведем через точку Н прямую, параллельную [i-LD,
которая встретит вещественную ось в точке Е\ пусть х0 — наибольший
корень уравнения Т (х) = 0 такой, что хо<^Е] проведем далее прямую
х0Н и перпендикулярную к ней прямую НЕ', с точкой Е', также лежа-
лежащей на вещественной оси; тогда можно будет между Е' п xQ указать
такую точку г/0, чтобы аргумент дроби
был равен—-ср, тогда как модуль этой дроби, очевидно, будет больше,
1
чем —-г,.
V2
В таком случае произведение
^ cos 2n arc sin H
х
И — х0
будет вещественным.
Но, по условию,
н =
П II
где О<^0<^1. Отсюда, с точностью до бесконечно малых,
cos 2n arc sin Я — cos B(U + Si) = ^ [{e8+ e~s) cos 20^4 + i (e"8—e8) sin 20^4].
Значит,
cos 2n arc sin Я | = ~
Следовательно, уравнение с вещественными коэффициентами
Qi (ж) = l^i5?Zi?o) Cos 2;г arc sin x, F3)
где
Я —
г Н — у0 cos 2n are sin H <^8 — 1
будет иметь комплексный корень, равный Н.
197
Но отсюда следует, как я и утверждал,, что
«I - Ох (Н) > кп.
Действительно,, в противном случае, неравенство Q,1(H)^kn повлекло
бы за собой неравенство
п„ 2VT. К
и в этом случае, как легко показать, все корни уравнения F3) должны
бы были быть вещественными, так что Н не было бы корнем этого
уравнения.
В самом деле, из тождества
-—— cos 2п arc sin x = cos 2п arc sin x + ——— cos 2п arc sin x
X X X X
2Л
видно, что при
cos 2n arc sin x
2n (z0 _ Уо)< 1 + 2n
I 4 V2 1
^ + f
~n 2n .
{с точностью до бесконечно малых), так как Е ~хо
На остально
этому тем более
На остальной части отрезка [—1, ~\-1] мы имеем — <С2; по-
X Xq
X
—° cos 2n arc sin;
21.
Следовательно, если бы было \ъ" <^ т-^т , то многочлен
'4-21
Qi (х) — [i" х~~Уо cos 2n arc sin x
имел бы тот же знак, что и Qx (x), во всех точках, где О,х (х) достигает
максимума или минимума; значит, вес корни этого многочлена были бы
вещественными.
Таким образом, уравнение F0) имеет корень внутри трапеции
pijVj-i CD. Следует заметить, что ветки Si и д^+ь на которых В (х, у) = 0,
соответственно пересекающие вещественную ось в разных точках ^
и ^ . г не могут встретиться (так как иначе гармоническая функция
В(х,у) обращалась бы в нуль на замкнутом контуре). Поэтому, не-
несмотря на то, что рассматриваемые две соседние трапеции имеют общую
часть, корни уравнения F0), лежащие в каждой из них, будут раз-
различными.
Построив трапецию -Pi^i+t CrD\ симметричную трапеции $i$i+iCD
относительно основания р^ Р*-нi > приходим к выводу, что уравнение
198
F0) имеет по крайней мере два вещественных или комплексных кор-
корня внутри фигуры $iD'C C{+i CD. Присоединяя к найденным корням
еще корень уравнения F0), содержащийся между 0 и ^, и замечая, что
уравнение F0) является четным, мы видим, что оно не имеет других
корней, кроме только что найденных, а также равных им по абсолютной
величине, но противоположных по знаку,
35. Из предыдущего вытекает, что должно быть
(х) - к*] =
V - 1) Y (х),
F4)
где
причем
Следовательно,
Y(x) =
- (Pi + ?)iJ] [*2 ~ (Pi 4- У]2
* Jc—-\ ^2t—2' Hjfc i
где | e{ | << 1, когда
Итак,
2A.
F5)
где
2k.
X
2 2
F6)
и ср стремится к нулю вместе с h.
Но когда х изменяется от [3$ до Pi+i, fix (x) проходит через макси-
максимум (или минимум), который по абсолютному значению превосходит
у&п, так что полное изменение многочлена tir (x) в этом интервале пре-
превосходит —-An;>0,13. Следовательно, согласно неравенству E7), кото-
которое справедливо для достаточно малых А/п, будем иметь
10n
199
Отсюда заключаем, что
|Ч|<
Поэтому
336.4 , 504Л» , 604» ,„-
Следовательно, можно написать
[? У F8)
где 4 предполагается фиксированным и 111 остается ограниченным (па-
пример, меньше 500), когда /г# неограниченно возрастает.
Но из уравнения F4) получаем
dx
где I остается ограниченным, как и t.
Отсюда
1
С1 ix} P dx Г / у4^ у4^ \П
стГО COS \ 7 —~ ыТЬ \ , I JL — С I о—о ~т~ ~я т*' I I ———
X
1 1
= 2лагссова + р[Т 2f^—j + ^ -,
L J /ггс2 VI — re2 J /г
ж х
i
= 2/г arc cos x +
где р остается ограниченным, когда пх неограниченно возрастает (пред-
(предполагая п четным, мы должны перед кп брать знак минус). Итак,
— О,± (х) = кп cos Bn arc cos x + sn), G0)
где sn стремится к нулю, как 1/пх, а число ^4 является заранее данным
сколь угодно большим.
Следовательно, наименее уклоняющийся от \х\ многочлен Р (х) имеет
асимптотическое выражение
G (x) =R (х) + — [cos 2n arc cos x — кп cos Bn arc cos x + зп)] =
= R (х) + (j^ ~ ^ cos 2/г arc cos ж + -I2*M =
= Л (а) + (Х-. j^y (з) + ISLM , D8')
где Чп{х) стремится к 0 вместе с —, что и требовалось доказать.
пх
200
Замечание. ФорлуЛЙЩ ШШНкЪ Ш& \ШЖ ^Ж М1Щ 1Ц
если только положить в них Т (х) = cos 2п arc sin x.
36. Теорема. В обозначениях § 30, имеем
lim ЪгЕъа = МахБда == const.
п—>оо
В самом деле, если С — достаточно большое число, то в точках наи-
п ^ С
большего отклонения ?н<; — ив точках
ТЬ
ТЬ
sin -—Р>— мы будем иметь
где гп сколь угодно мало, если п неограниченно возрастает.
Следовательно, если мы построим многочлен, наименее уклоняющийся
от | гс | на этой последовательности точек, согласно § 27, то мы найдем,
выбирая i0 достаточно большим, что наилучшее приближение в этих,
точках
причем
0 < s < Мах | е„).
Поэтому тем более
lim 2пЕчп = Мах В^ = const,
что и требовалось доказать.
37. Теорема. Обозначая через Ъ{ наибольшее абсолютное значение-
выражения
которое наименее уклоняется от 0, если Ь^О, мы будем иметь
2 lim 8|
i->oo
Действительно, согласно § 25,
2 lim 8i = lim 2nE%n.
i->oo n->oo
ф?=1, G1).
где jin есть наилучшее приближение {rr | при помощи многочлена сте-
степени 2тг вида
причем здесь, как и раньше, мы положили b = -^- и обозначили череа
bl9 62, . . . последовательные корни уравнения
7 (_-) = cos 2n arc sin -тг- = 0.
zn
201
Произведение
Z(z) = .
¦+-..+¦
b2-i
представляет произвольный четный многочлен степени 2п, имеющий
2п — 2i корней, равных 4:sin( i + h — -jj^n 7 ПРИ ^ = 1, 2, . . . , л — i.
Возьмем i очень большим по сравнению с числом А, от которого
зависит многочлен
Qj_ (х) ~ — кп cos Bn arc sin x + sn),
где sn стремится к 0, как — ; определим затем коэффициенты много-
члена Z (х) по условию, что 21 наименьших корней уравнения Q1 (х) = О
являются корнями уравнения Z (х) = 0 и, кроме того, 1 — 2В = кп.
22 (х)
Последнее условие означает, что при очень больших х отношение ^ ( '
стремится к 1, т. е что коэффициенты при х2п в числителе и знаме
на теле равны. Следовательно, мы имеем
2Z(x)
G2)
где а? есть величина порядка 1/к (вследствие G0)).
Я утверждаю, что это отношение, при х = sin —«—w, будет сколь
угодно мало отличаться от 1, если только г достаточно велико, а п не-
неограниченно возрастает, при предположении, что h либо отличается от
целого неотрицательного числа меньше, чем на Р <С т > либо является
произвольным отрицательным числом. Для определенности полошим h = 0,
так как легко видеть, что не придется делать никаких существенных
изменений в вычислениях для других рассматриваемых значений h.
Мы получим в таком случае
Г ire .,/.,1 \ л 1 Г i
[sin* -^ -sm^+ - +a. j-J ... |^sin2
ire
—
1
n- -j
sin2 -7гг — sin2 U 4- "тг 4- а- Ьгг
1 +
\ 7Г
2
Sin2 -77— — J
7Г
"n-i /ЪГ
202
Достаточно поэтому доказать, что сумма
1 . . . . . _. . a .__
n~V2w
стремится к нулю. Но она будет стремиться к нулю одновременно
с суммой
/ 1 \ ТС / 1 \ ТС
/'1, U . / 1 \ 7Г
1 \ тг f7T t
У + aife sin 2Г - sm [п ~ Т
а значит, одновременно с суммой
Но, как мы заметили, можно зафиксировать такое число D, что
<^-г . Поэтому достаточно доказать, что ряд
^ +D +
или ряд
* "^ 3 (? + 1) "*" 5 (? + 2) "Г" • • •
имеет сколь угодно малую сумму, если i взято достаточно большим.
Но это очевидно, так как
^ J Bя
0
I __ Io
0 i "" 2i
( + 1) (я + 0 i "" 2i — 1
0
Из того, что при /г<СО ; ; бесконечно мало отличается от 1,
^ ^! (Ж)
можно заключить, что
стремится к 0, если |#|<^siriy—, так что для этих значений х отноше-
отношение максимума | Q (х) — \ х \ | к максимуму | G (х) — | х \ |, равное
1 +
п Мах \G(x)~\x\\ '
будет стремиться к 1.
С другой стороны, как только пх станет достаточно большим,
2п (G (х) — | х |) будет бесконечно мало отличаться от О,х (х), и его макси-
максимум будет достигаться в точках sin -^- , где Ь бесконечно ^мало отли-
отличается от некоторого целого положительного числа. В этих точках будем
иметь, с точностью до бесконечно малых,
203
а если х удаляется от этих точек, так что Ь изменяется в конечных
пределах, например, больше, чем на х/4, то можно будет указать такое
определенное число 6<^1, что (с точностью до бесконечно малых)
Отсюда можно заключить, что 12Z (х) | имеет также максимум, рав-
равный кп для значений Ь, бесконечно близких к целым положительным
числам. Так как между двумя корнями многочлена Z (х) существует
только один максимум |Z(#)|, то максимум 2|Z(#)| в этих интервалах
будет равен кп\ другими словами, в этих интервалах отношение макси-
максимума | Q (х) — | х 11 к максимуму ] G (х) — | х 11 стремится к 1. Поэтому
п ^>
и, принимая во внимание G1), получаем окончательно
2 lim 8| = lim kn = lim
п—>оо
Две последние теоремы доказывают соответственно, что методы, кото-
которые мы применяли как для определения верхней границы 2пЕ2п (§§ 25—26)г
так и для определения ее нижней границы (§§ 27—30), позволяют
вычислить lim 2пЕ%п с любой степенью точности и по недостатку и по
п->оо
избытку.
38. Обобщения. Я хотел бы, в заключение, обратить внимание на
то, что исследование наилучшего приближения, относящееся к частному
примеру функции \х\, проведенное в настоящей статье, допускает важ-
важные обобщения г.
Обращаясь к теореме § 15, мы видим прежде всего, что наши методы
без существенных изменений могут быть применены для изучения наи-
наилучшего приближения Ечп [#а] функции ха при помощи четных много-
многочленов степени 2п на отрезке [0, 1]. В частности, без сомнения, можно
будет доказать, что произведение Bn)ai?2n [#a] ппремится к вполне опре-
определенному пределу Х(а), когда п неограниченно возрастает.
Но можно обобщить теорему § 15 различными способами.
Многочлен
Р (х) =А0 + ALx«i + . . . + Аьх** + • • • + Ак+пхаЫ*
@ <^ cli <C ai+i) мы будем называть многочленом-осциллятором порядка
k + п и рода А, если он обладает п + 1 равными экстремумами с чере-
чередующимися знаками на отрезке [0, 1].
1 Было бы очень интересно исследовать, является ли предел величины
новым трансцендентным числом, или же он выражается через известные трансцен-
трансцендентные числа. Не решая этого вопроса, я отмечу, в качестве любопытного совпа-
совпадения, что также •.— =0,282 (с точностью до 0,0005).
2 г тс
204
После этого мы получаем теорему, доказательство которой аналогично
доказательству теоремы § 15:
Если Q (х) = BQ + В^1 + . . . + Вк+пЯ*^*1 есть многочлен-осцилля-
многочлен-осциллятор порядка k -\- n и рода О, то многочлен Р (х) того же порядка и
рода7 отличного от 0, не может иметь более одной точки bi наиболь-
наибольшего отклонения между двумя точками Ci и Ci+i наибольшего отклонения
многочлена Q (х); кроме того, если одна из точек отклонения много-
многочлена Р (х) совпадает сточкой отклонения ^ многочлена Q(r), то у мно-
многочлена Р (х) не будет больше точек отклонения в интервалах фг« Pi+i) u
(Pi-i. &)¦ ¦ k
Отсюда непосредственно следует, что если отношение ——-г- рода мно-
многочлена-осциллятора к его порядку стремится к нулю, то
lim (^ - Ъг) = 0.
П->ОО
Таким образом, в частном случае, когда %\ = z\ мы получаем
г'тг
1 — cos —
lim bi = lim _—n— . G3)
Отсюда мы можем вывести следующее заключение:
Если функция / (х) обладает тем свойством, что бесконечному мно-
множеству значений п можно поставить в соответствие такие числа к,
к Еп+к I/ (*)]
что отношения— и , (- стремятся к нулю, то многочлены этих
степеней п, наименее уклоняющиеся от f (x), будут иметь асимптотиче-
асимптотические выраорсения, точки уклонения bi которых удовлетворяют условию
1 — cos -^-
lim bi = lim .
n-^oo n—>oo ^
В частности, все аналитические функции (регулярные на отрезке [0, 1]),
обладают этим свойством г.
Действительно, пусть icn+^ есть многочлен степени п -\- к, наименее
уклоняющийся от функции /(#), и пусть тс^ есть многочлен степени п,
наименее уклоняющийся от irn+^; мы видим, что
| / (х) - < (х) | < Еп \f (х)} + 2Еп+к [/ (х)];
следовательно, условие, что п^~к стремится к 0, означает, что ъ'п(х)
является асимптотическим выражением для многочлена степени п, наи-
наименее уклоняющегося от f{x). Но
1 См. мою заметку в «Gomptesrendus» от 26 ноября 1912 r. «Sur la valeur asyrapto-
tique de la meilleure approximation des i'onctions analytiques» [7]; см. также «Э. II.»
(стр. 88—90).
205
будет многочленом-осциллятором порядка п + к и рода А, точки откло-
отклонения которого обладают указанным свойством, так как к/п стре-
стремится к 0.
Чтобы убедиться в том, что все аналитические функции удовлетворяют
условию теоремы, заметим, что для каждой аналитической функции
можно указать такое число р<1> что
lim
пЧ>со
Поэтому будет существовать бесконечное множество значений п таких>
что, как бы мало ни было е, будет выполняться неравенство
так что это отношение будет стремиться к 0 одновременно с к/п, что
и требовалось доказать.
Аналитические функции не являются впрочем единственными функ-
функциями, для которых асимптотическое распределение точек отклонения
многочленов наилучшего приближения удовлетворяет условию G3).
13
О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
МНОГОЧЛЕНОВ *
I. Многие проблемы анализа приводят к вопросу о нахождении
минимальной амплитуды колебания многочлена данной степени на данном
отрезке, в предположении, что этот многочлен удовлетворяет некоторым
определенным условиям. Наиболее простые из этих вопросов были изу-
изучены П. Л. Чебышевым и его учениками Е. И. Золотаревым и А. А. и
В. А. Марковыми; и в случаях, когда можно было получить решение
в явном виде, оно обычно выражалось при посредстве многочлена
Чебышева cos n arc cos x. Взятая во всей общности задача представляет
очень большие трудности; но, к счастью, случай, наиболее интересный
для теории функций, когда степень многочлена п возрастает неограни-
неограниченно, может быть легко исследован. Достаточно построить асимптоти-
асимптотические выражения для многочленов-осцилятдров г рода выше нуля, зави-
зависящих от нескольких произвольных параметров. С этой целью решим
сперва следующую задачу:
Определить асимптотическое выражение многочлена2 Н (х) степени п.
(при п—>ос), наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [—1, +1]»
и асимптотическое значение Е его максимального отклонения, если
H(x) = S(x)R(x), где
Н(х) = хЬ + Ь1а*-* + ... + Ьн,
S (х) = x"-h + Plxn-h-* + . . . + pn^h,
причем R (x) — произвольно заданный многочлен (с вещественными коэф-
коэффициентами), не обращающийся в нуль на отрезке [—1, +1].
* Sur quelques proprietes asymptotiques des polynomes. «Gomptes rendus»,
t. 157 A913), стр. 1055—1057 E6*). Доказательство опубликованных здесь результатов
дано в главе I, § 5 монографии «L. S.». (Ред.)
1 См. мой мемуар из «Acta math.», т. 37 [12].
S (х)
2 Эта задача аналогична задаче об определении дроби Н (х) = ^ , > , которая
наименее уклоняется от нуля, решенной Чебышевым (Поли. собр. соч., т. II,
«Вопросы о наименьших величинах...»).
207
Обозначая через ах, я2, ..., ah корни многочлена Л(х), находим
a* I) ...(a.+Val-1)
где cos cp = х, cos Ь^ — — , так что
^ "
оп-1
(знак перед радикалом всегда выбираем так, чтобы | а^ + |/"а?'—
II. Можно воспользоваться неопределеннестью h + 1 параметров в
lH (х) для решения различных вопросов. Таким образом, можно вычислить
асимптотическое значение Е наименьшего отклонения на отрезке [—1, +1]
многочлена Р (х), подчиненного условиям Р (аг) = А9, Рг (а,{) = А'г, ...,
р(к) (сц) = А^ в произвольных точках ai, лежащих вне отрезка [—1, +1].
Во избежание сложных формул рассмотрим только несколько простых
примеров.
1) Пусть Р(а1) = 1, Р (а2) = 0, где aty> I, а2>1; получим
Е
2) Пусть Р (а) = 1, Р' (а) = О, Р" (а) - 0; получим
III. Эта же идея может быть применена, если дано несколько коэф-
коэффициентов многочлена Р(х). Ограничимся решением следующей задачи:
Найти асимптотическое значение Е наименьшего отклонения на
отрезке [—1, + 1] многочлена степени п {при п—> ос)
Р {х) = хп + а^*-1 + а3ж"-2 + • • • + зкхп~к + р^'^ + . . . + рп-ь,
где а1? а2, ..., а# — данные постоянные коэффициенты.
Если к четно, то
р п
если к нечетно, то
к—\
/ 1 /~ 9\ *~9
„ (l^l + Vl+af)»2
2 у
Существенно отметить, что выражение ? не будет тем же самым,
если коэффициенты gi неограниченно возрастают вместе с п\ можно
будет дать, вообще говоря, выражения для Е, соответствующие каждому
определенному закону возрастания а*.
14
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ *
(Речь, произнесенная при публичной защите доктсрской диссертации
19 мая 1913 г.)
Работа, которую я имел честь представить в прошлом году физико-
математическому факультету Харьковского университета на соискание
степени доктора чистой математики, носит название <Ю наилучшем при-
приближении непрерывных функций при помощи многочленов данной степени».
Термин «наилучшее приближение» понять не трудно. Как в чистой
математике, так и во всевозможных ее приложениях постоянно прихо-
приходится заменять сложные функции приближенными выражениями опреде-
определенного вида, например многочленами данной степени; при этом требуется,
чтобы ни для одного из рассматриваемых значений переменной ошибка
не превышала некоторого данного числа е. Важно подобрать коэффици-
коэффициенты многочлена так, чтобы ошибка е была возможно мала; эта наи-
наименьшая возможная ошибка и есть наилучшее приближение при помощи
многочленов данной степени в рассматриваемой области.
Понятие наилучшего приближения введено в науку знаменитым рус-
русские математиком П. Л. Чебышевым, который посвятил этому вопросу
ряд глубоких исследований, открыл важнейшие общие свойства многочле-
многочленов, дающих наилучшее приближение, и вычислил их в некоторых
важных частных случаях. Вопросы, выдвинутые Чебышевым, привлекли
к себе впоследствии внимание многих выдающихся математиков, но никто
из них не внес в эту область столько новых и оригинальных идей,
как сам ее гениальный основатель. Однако ни в одной из работ Чебы-
шева о наилучшем приближении или его приложениях мы не находим
указаний на то, чтобы великий русский математик интересовался основ-
основным вопросом, возможно ли для всякой непрерывной функции сделать
ошибку сколь угодно малой, если достаточно увеличить степень при-
приближенных многочленов.
* * «Зап. Харьк, ун-та», кн. 4 A913); «Летопись Харьк. лн-та», стр. 1—8 F4*
14 с, И. Бернштейн, т. I 209
Честь ответа, оказавшегося утвердительным, на этот глубоко важный
вопрос, принадлежит другому знаменитому математику — Вейерштрассу.
Открытие Вейерщтрасса, давшее прочную основу теории функций веще-
вещественной переменной, нацравило по новому пути исследования о прибли-
приближении функции.
Если направление, непосредственно .созданное Чебышевьш, можно
охарактеризовать довольно точно названием алгебраического, то направ-
направление, возникшее под влиянием Вейерштрасса, правильно было бы на-
назвать аналитическим.
Для Чебышева и его учеников вопрос о наилучшем приближении
носит характер по преимуществу алгебраический, они предпочитают
сузить задачу, лишь бы только получить ее решение в определенной
конечной форме. Впрочем, как и многие другие основатели научных
и философских систем, Чебышев сам является менее ортодоксальным
последователем собственной школы, чем его ближайшие ученики, и не
вполне чужд направления, которое мы назвали аналитическим. Дело
в том, что увлечение теорией механизмов заставило Чебышева ставить
себе задачи, алгебраически явно неразрешимые, и ему принадлежит
первая попытка более или менее общего метода для приближенного
вычисления наилучшего приближения. Но, как истинный классик,
Чебышев ограничивается рассмотрением функций, разлагающихся в строку
Тэйлора, предполагая вдобавок члены этой строки быстро убывающими,
что, конечно, может иметь место только в том случае, когда радиус
сходимости строки весьма велик по сравнению с промежутком, где рас-
рассматривается функция.
Кроме того, преследуя определенные практические цели, Чебышев
останавливает все свое внимание на многочленах малых степеяей.
Неудивительно поэтому, что от него ускользнул подробно исследованный
мною общий закон убывания наилучшего приближения аналитических
функций, который не находится в простой зависимости от рассматривае-
рассматриваемых Чебышевым коэффициентов строки Тэйлора, но непосредственно
связан с расположением комплексных особенностей функции, причем
сумма полуосей некоторого эллипса играет здесь ту же роль, что и
радиус сходимости для строки Тэйлора.
Однако упомянутая попытка Чебышева, приближающая его к анали-
аналитическому направлению, стоит одиноко и никем из его учеников возоб-
возобновлена не была; наиболее выдающиеся из них, Е. Золотарев и братья
А. А. и В. А. Марковы, развили алгебраические идеи великого учителя и
получили еще несколько важных алгебраических теорем. Но со смертью
Чебышева прекратились и исследования его учеников, в излюбленной
им области, и за последние двадцать лет не появилось ни одной значи-
значительной работы алгебраического направления.
Чем же это объяснить? Причину этого исторического факта нельзя
видеть в каких-нибудь случайных внешних условиях, так как целый
ряд задач, завещанных Чебышевым в других областях, был удачно
разрешен его учениками. Причина, следовательно, лежит глубже, в
210
самом существе поставленных проблем; ее нужно искать в естественном
процессе развития математических идей, который, в первом приближении
можно выразить краткой формулой: от конечного к бесконечному, от
равенств к неравенствам, от алгебры к анализу.
Мне незачем далеко ходить за примерами для подтверждения этой
формулы; они у всех перед глазами: такова схема развития основных
понятий числа и функции, такова формула великой математической
революции XVII столетия, создавшей и выдвинувшей на первое место
анализ бесконечно малых. Но одним из примеров, наиболее ярких,
является^ важнейшая область современного анализа — теория дифферен-
дифференциальных уравнений. Долгое время математики ограничивались конечным
или алгебраическим интегрированием дифференциальных уравнений, но
после разрешения многих интересных задач уравнения, разрешимые
этим способом, были фактически исчерпаны, и нужно было либо отказать-
отказаться от дальнейшего прогресса, либо отрешиться от формальной точки
зрения и стать на новый аналитический путь. Аналитическое направление
в теории дифференциальных уравнений утвердилось недавно; и еще семь
лет тому назад покойный проф. А. Н. Коркин в беседе со мной пре-
пренебрежительно отзывался о «декадентских» исследованиях А. Пуанкаре,
Но ввиду блестящих ежедневных успехов новых идей, плодотворность
и жизненность их не подлежит уже никакому сомнению, и теперь никто
не станет серьезно возражать против того, что теория конечного интегри-
интегрирования потеряла самостоятельное значение и является только частью
быстро разрастающейся общей или аналитической теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
В таком же положении, как дифференциальные уравнения, находится,
повидимому, и теория наилучшего приближения функций. Достаточно
указать, что сравнительно элементарная задача, которую поставил себе
Золотарев, приводит к уравнению, алгебраически разрешимому лишь
в частных случаях, или заметить, что простой вопрос о построении
прямой линии, наименее уклоняющейся в данном промежутке, например
от синусоиды, приводит к трансцендентному уравнению. Алгебраический
метод, разрешив несколько основных вопросов, и здесь, очевидно,
исчерпал важнейшие доступные ему задачи и уперся в тупик, из кото-
которого нет другого выхода, как новая постановка проблем в духе общей
теории функций.
И действительно, в то время как алгебраическое направление факти-
фактически перестает подавать признаки жизни, аналитическое направление,
о котором я упомянул вначале, делает быстрые успехи. Основной вопрос,
поставленный им, есть вопрос о законе убывания наилучшего приближе-
приближения функции при возрастании степени приближенного многочлена.
Исследования Лебега, Балле Пуссена, Джексона и мои в существенных
чертах вполне разрешили этот вопрос. Эти работы показали, что наилуч-
наилучшее приближение весьма тесно й просто связано с основными дифферен-
дифференциальными свойствами функции, так что, Например, если в некотором
промежутке функция не имеет производной, то мы никогда не выразим
211 14*
ее при помощи многочлена данной, достаточно высокой степени с такой
точностью, как если производная существует [3.5]. Если существуют
все производные, то возможно будет еще гораздо лучшее приближение.
Но наилучшее приближение при возрастании степени лишь тогда будет
уменьшаться быстрее, чем члены некоторой убывающей геометрической
прогрессии, когда функция будет аналитической, т. е. разлагаемой в строку
Тэйлора.
Таким образом, чисто практический вопрос о возможности более или
менее точного приближения функции оказывается глубоко связанным с
ее математической природой, и эта совершенно новая точка зрения опять
выдвигает вперед аналитическую функцию, но не как функцию комплекс-
комплексной переменной, а как функцию, обладающую важными вещественными
свойствами.
Не останавливаясь на том, что именно сделано каждым из упомяну-
упомянутых авторов, так как это отняло бы у меня слишком много времени,
замечу только, что более подробные сведения обо всем этом имеются в
моей речи, произнесенной в прошлом году на Международном конгрессе
математиков в Кэмбридже [6]. В этой же речи, которая может служить,
введением в аналитическою теорию наилучшего приближения, вы найдете,
между прочим, что исследование наилучшего приближения заставило
меня обратить внимание на некоторые новые дифференциальные свойства
функций, которые я назвал обобщенными условиями Липшица.
Указанные общие результаты не только представляют несомненный
теоретический интерес, но имеют и большое практическое значение, так
как в большинстве случаев они обнаруживают, что приближенные мно-
многочлены, полученные некоторыми общими простыми способами, дают
приближение того же порядка, что и наилучшее возможное приближе-
приближение, и поэтому нет никакой надобности производить новые, более слож-
сложные вычисления. Например, нетрудно построить многочлен 10-й степени,
который представил бы log E—Зх) на отрезке [—1, + Ц с точностью
до НОлла , между тем как наилучшее возможное приближение но менее
1 -,
¦ ааалап' 1 разница так невелика, что практик вполне мог бы удовлетво-
удовлетвориться найденным многочленом. При этом следует заметить, что, как и
в других подобных случаях, строка Тэйлора далеко не дает такой
точности, а именно: многочлен 10-й степени, который мы получили бы
из нее, представит нашу функцию только с точностью до А .
Как это наблюдается во всех областях математики, общие теории
и методы почти всегда создаются и развиваются под влиянием и с целью
разрешения какой-нибудь определенной конкретной задачи. В интересу-
интересующей нас области такую роль в последние годы сыграла задача об
определении порядка убывания наилучшего приближения | х | при помо-
помощи многочленов возрастающих степеней. Эта задача важна, во-первых,
потому, что всякая ломаная линия выражается в конечном виде при
помощи \х\ и всякая вообще (гладкая) кривая линия, имеющая несколь-
212
ко точек излома, допускает наилучшее приближение того же порядка,
что \х\; другими словами, исследование этой функции есть в тоже вре-
время исследование широкого класса функций, имеющих определенную
особенность. С другой стороны,—и это, быть может, еще более суще-
существенно — указанный вопрос является простым и ярким примером задачи,
к которой безусловно неприменимы старые методы Чебышева и его шко-
школы, и поэтому следовало ожидать, как оно и оказалось в действитель-
действительности, что новые методы, которые приведут к ее решению, будут обла-
обладать достаточной гибкостью, чтобы разрешить и другие подобные задачи.
Вот почему, когда Балле Пуссен в 1908 г. формулировал вопрос о по-
порядке наилучшего приближения \х\7- этот вопрос привлек к себе внима-
внимание всех математиков, работавших в этой области.
Еще ранее Лебег, пользуясь многочленами, приближающими \х\,
которые были указаны, между прочим, и Бертраном, показал, что при
помощи многочленов степени п можно получить приближение порядка
1(\/п. Балле Пуссен дал в 1908 г. многочлены, выражающие эту
функцию с точностью до \\п и поставил упомянутый выше вопрос-
возможно ли получить еще лучшее приближение? Ответ на этот вопрос
был тем труднее, что в то время не было известно ни одного метода
для нахождения нижней границы наилучшею приближения. Но уже в
1909 г. Лебег дал одну важную теорему, которую в следующем году он
применил к доказательству существования функций, удовлетворяющих
обыкновенному условию Липшица, для которых нельзя найти прибли-
приближения высшего порядка, чем \jn. Возможность построения таких
функций, не давая еще ответа на вопрос Балле Пуссена, указывала
только, что этот ответ может быть отрицателен. В конце 1910 г. сам
Балле Пуссен посвящает специальную работу определению нижней гра-
границы наилучшего приближения \х\ и определяет ее с точностью до
бесконечно возрастающего множителя (log ?гK.
Еще один шаг вперед (множитель (log nK заменен множителем log n)
сделан в моей заметке, представленной Парижской академии в феврале
1911 г. [2], и тот же результат (независимо от меня) немного позднее
получен Джексоном в работе, премированной Геттингеиским университе-
университетом, который поставил на конкурс упомянутую задачу. Наконец, в
том же году в сочинении, посланном в Бельгийскую академию, я дал
окончательный ответ на вопрос1.
В моей русской работе имеются еще существенно новые результаты,
относящиеся к | х |, но я не буду более утомлять внимание почтенного
собрания новыми деталями и возвращусь к общему ходу идей, которые
развивались, тесно переплетаясь с упомянутой задачей, служившей все
время пробным камнем для выяснения мощности применявшихся методов.
1 Я позволил себе несколько подробнез остановиться на истории этого вопроса,
около которого в последние годы сконцентрировались усилия математиков, рабо-
работавших в этой области, потому что некоторые критики хотят видеть в нем только
упражнение из учебника Бертрана.
213
Дальнейшее углубление вопроса о законе убывания наилучшего при-
приближения привело меня к новой проблеме — определить асимптотическое
значение наилучшего приближения данной функции при бесконечном
возрастании степени приближенного многочлена. Эта задача представля-
представляет некоторое сходство с основной проблемой алгебраического направле-
направления. Но вместо того, чтобы искать точное алгебраическое выражение
для наилучшего приближения при помощи многочленов данной степени,
что вообще, как мы видели, не осуществимо, я ищу выражение, явля-
являющееся вполне точным только для бесконечных степеней; для конечных
же значений степени оно тем точнее, чем степень выше* Эту асимпто-
асимптотическую задачу мне удалось разрешить во многих случаях; при этом
должен заметить, что значительная часть результатов получена мною
уже после напечатания диссертации и составляет содержание отдель-
отдельных статей; кроме того, я не сомневаюсь, что поставленная мною про-
проблема, эквивалентная Еопросу о разложении функции в возможно быстро
сходящиеся ряды многочленов, приведет еще к новым интересным резуль-
результатам г.
Таким образом, мы видим здесь одно из наиболее парадоксальных
подтверждений значения для математики перехода от конечного к беско-
бесконечному. Между тем как современная алгебра бессильна разрашить
основную алгебраическую задачу о наилучшем приближении, приводя-
приводящую к конечному числу уравнений с конечным числом неизвестных,
достаточно было новой постановкой вопроса бесконечно усложнить алге-
алгебраическую форму задачи, увеличив до бесконечности число уравнений
и неизвестных, чтобы задача неожиданно упростилась и стала доступ-
доступной для методов анализа.
Такова в общих чертах, от Чебышева до наших дней, картина разви-
развития теории наилучшего приближения функций при помощи многочленов.
Что касается будущего, то я считаю довольно вероятным, что упомя-
упомянутая только что общая асимптотическая проблема, представляющая
видоизменение прежней алгебраической задачи в духе современной тео-
теории функций, займет центральное место в дальнейшем развитии теории
наилучшего приближения.
1 Отмечу также результаты, полученные моею ученицею Ф. II. Тарнаридер в
заметке в «Comptes rendus», t. 156 A913) [12.1].
15
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ КОМПЛЕКСНЫЕ
ОСОБЕННОСТИ *
I.B сообщении, сделанном Парижской Академии26 ноября 1912г. [7], я
определил асимптотическое значение наилучшего приближения аналитиче-
аналитической функции на отрезке [— 1, + 1] в случае, когда функция имеет только
одну особую вещественную точку на своем эллипсе сходимости (особые
точки функции, лежащие вне этого эллипса, не влияют на асимптотическое
значение наилучшего приближения).
Теперь я хочу рассмотреть случай, который можно считать типич-
типичным, а именно когда функция имеет две сопряженные особые точки на
эллипсе сходимости.
Пусть сперва
б
где Л — положительное число, а и а — сопряженные комплексные числа,
которые мы представим в виде
a = -?r
a H (x) — функция, голоморфная внутри эллипса сходимости, имеющего
фокусами — 1, 1 и полусуммой осей R'^>R.
Обозначив через En[f (x)] асимптотическое значение наилучшего при-
приближения / (х) на отрезке [—1, +1] многочленами степени п, получим
[/ (х)] ^ \С + Г^ЩГ\ , A)
* Sur la meilleure approximation des fonctions analytiques possedant des singula-
rites complexes. «Comptes rendus», t. 158 A914), стр. 467—469 F5*). Доказательство
опубликованных здесь результатов имеется в «L. S.», гл. III, § 20, стр. 129—137, и в
«Э. П.», гл. II, § 7, стр. 102—109. (Ред.)
215
где
. 1
R2 cos (n + 2ф — 0) + -дг" cos (n — 2ф — 6) — 2 cos (лср — 0)
Л2 + -^- —2соэ2ф
(корень арифметический).
II. Небольшое исследование формулы A) показывает, что необходи-
необходимо различать три случая:
1° Для ср, не соизмеримого с тг, произведение RnEn[f(х)] неограни-
неограниченно приближается ко всем значениям, заключенным между пределами
2° Для ср, соизмеримого с тг, произведение RnEn[f (х)] принимает
(асимптотически) периодически несколько определенных зависящих от 6
значений, которые заключены между этими пределами.
3° Для ср — 0 произведение RnEn [/ (x)] (в соответствии с формулой E)
моей вышеупомянутой заметки) есть величина постоянная.
Так, например, если ср = ~ , то при условии, что р, q — произволь-
произвольные вещественные числа,
A + V2)nEn D^f) ~ т О Р I + VWTf] (для п четного),
" B)
A + yi)nEn№+± )_| [\д{ + VW+J2] (Для п нечетного).
III. Применяя один из двух методов1, предложенных мною для слу-
случая, когда особая точка вещественна, переходим к случаю, когда точки
а и а — полюсы произвольного порядка Л. Таким образом, находим
следующий результат: если функция / (х) имеет на эллипсе сходимости
два сопряженных полюса ana порядка Л, причем члены наивысшего
порядка равны
в*9 в-*9
+
(х—а)к
ТО
1 \ 2
• — 1)! R" ( Л2 + R2" — 2cos 2? )
L+l/L+7 iV >
L r (R-R J
где
1
/с—1ф — 0) + ^cos(^ — 2ф + /с — 1ф—0)—2со8(дф+Ус-1ф— 6)
причем угол Ф определяется соотношением
1 «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», т. 13 [8], и «Bull. Acad. Belgique», 1913 [9].
16
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ *
1. Как известно, сходимость тригонометрического ряда Фурье
f (х) = а0 + ах cos х + bL sin x + . . . + ап cos пх + 6n sin nx + • • • A)
для всех значений переменной а; отнюдь не влечет за собой абсолютную
сходимость ряда, или, что то же самое, не является достаточной для
сходимости ряда
S = | а0 | + \аг | + | Ъ, | + . . . + ! ап\ + | Ъп \ + . . . B)
Однако абсолютная сходимость (т. е. сходимость ряда S) имеет место
для широкого класса функций. А именно, мы докажем такую теорему:
Если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица
I
степени а^>—, то ее разложение в тригонометрический ряд сходится
абсолютно; напротив, еслиа<^-^-7 сходимость тригонометрического ря-
ряда может не быть абсолютной [16.1].
Для доказательства первой части теоремы напомним, во-первых, ре-
результат, доказанный впервые Лебегом, что для функции / (х), удовле
творяющей условию Липшица степени а, можно указать не зависящий
от т коэффициент X такой, что остаток ее строки Фурье
ап cos nx + bn sin nx
C)
Кроме того, нам понадобится следующая лемма:
Пусть тригонометрическая сумма:
Рп (х) = Аг cos кхх + А2 cos к2х + . . . + An cos khx
+ Ah+i sin^+iX + • • • + Ansinknx,
* Статья F8*) и небольшое добавление к ней G2*), напечатанные в «Сообщ.
Харьк. матем. об-ва» (серия 2, т. 14 A914), стр. 139 — 144 и 200—201) здесь соеди-
непы. (Ред.)
217
состоящая из п членов, где klf к%,.,.,кп—какие угодно целые числа,
остается по численному значению менее 1, т. е. \Рп(х)\<Ц; в таком
случае
/^ D)
В самом деле,
2тт
Но если А\ + А\ + • • • + An = М, то
\ + \ А21 + .
гает своего наибольшего значения, когда А± = А2 = . .
превышает п у — = УМп. Поэтому в данном Случае
. + | Ап | дости-
дости= Ап, т. е. не
Соединяя эти два результата, получим первую часть нашей теоремы.
Для этого группируем члены нашего ряда Фурье таким образом:
2т
f (х) — 2пп cos пх
п=0
4m
пх ~^
cos пх
пх
+ V ап cos пх + bn sin пх + . . . ,
n=2m-|-l »
где т—произвольное целое число (например, т = 2). Тогда, вследствие
неравенства C),
2т
#n cos пх + bn sin пх
п=т-\-1
V ап cos па; + ^п sin гея
ап cos /га; + ^п sin пх
ап cos пх
п=2т-М
sin /га;
2Х log m
. 2X log 2m
' Bm)a
Поэтому, на основании доказанной леммы,
2т .^ , 4т
2 К1 + 1*»к
откуда
4Xlog
п=2т+1
И Т. Д.
4Х log 2m
~2
и т. д.,
-j- log m
Bm)
log 4m
\ о " /
»т_.
218
Таким образом, первая часть теоремы доказана.
2. Для доказательства второй части нашего утверждения, очевидно,
достаточно построить функции / (хO удовлетворяющие условию Липшица
1 * 1
степени а <^ -к-, сколь угодно близкой к — , для которых, однако, ряд
Фурье абсолютно не сходится.
С этой целью, для всякого простого числа р ^> 2, строим тригономе-
тригонометрическую сумму порядка р — 1
h (х) = у ао + ai cos х + bi sin х + • • •
. . . + Яр-i cos (р — l)x + 6p_i sin (p — 1)х, E)
определяемую условиями, что /р( j = (— J, /р( ) = ^» при/с=0, 1,...
...,/>— 1, где f —) есть символ Лежандра, равный + 1 или — 1 в за-
зависимости от того, является ли число к квадратичным вычетом р или
нет (при к — 0 символ I—j=Oj. Эту сумму мы получим, воспользо-
воспользовавшись формулой Джексона
. 2Г1 / 2Лтс
р—1 /о7 , sm2 \~Frp\x
)[2 {SJ
?=0
—)
= у а0 + ах cos ж + 6Х sin а;+ . . . +ap_i cos (/> — l)x + bp_isin (/> — 1)^, F)
где
г p2 Zjj\p
Джексон1 приходит к этой весьма интересной формуле F), исходя
из рассмотрения интеграла Фейера, и замечает, что, при к = 0, 1, . . .
. . . , р — 1, F (—- j = / (—— ). Но эти р равенств были бы недостаточны
для определения 2р — 1 коэффициентов а^ Ъ\, если бы функция F (х) но
обладала еще важным свойством, которое нетрудно проверить, а именно:
F' (—- ) = 0 (при к = 0, 1, ...,/? — 1); это доставляет еще р — 1 усло-
условий, которые связывают ах и Ъх равенствами Ых — (р — I) ар1 = 0,
/6г + (^-/Nр_г = 0.
Таким образом, формула Джексона есть не что иное, как точная
интерполяционная формула для определения тригонометрической суммы
F (х) порядка р - 1 по условиям F (—) = / fij-Y F' (^f) = 0. Суще-
1 Jackson, A formula of trigonometric interpolation. «Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo», 1914.
219
ственное свойство формулы F), указанное Джексоном и вытекающее из
тождества
Ъ 1 • 2 Г1 ( 2А7ТМ
Р-1 sm2 -— р [х —
заключается в том, что, при всяком х,
где М — наибольшее из значений F (—— j при к = 0, 1, ...,/? — 1. При-
Применяя все это к интересующему нас случаю, находим, что функция fp(x),
определенная вышеуказанными условиями, равна
( — )(p — l) cos lx (при р = 4jjl -f 1) (?)
р-1 ,
(х) = —i— у — (р — 1) sin /х
р h jLJ \pj
В самом деле, на основании известных из теории квадратичных выче-
вычетов свойств сумм Гаусса, *
2кЫ 2 (р — I) f 1\ , А
cos = 3/—- — , Ь1 = О,
если р = 4jjl -f- 1, и
а =0, 67 = 2—- у — sin = -
pj p '/. \p
если p = 4jjl + 3. Итак, в обоих случаях
Сопоставляя этот результат с доказанной выше леммой, заключаем,
что если р есть число простое вида 4[х + 1, то наибольшее возможное
р-1
значение S суммы модулей коэффициентов в Р (х)= у akcoskx удовлетво-
ряет неравенству1
?=J-<S^V2(p-l), (8)
1 Весьма вероятно, что асимптотически S ~ • г— — VР\ однако доказатель-
V р
ство представляет некоторые трудности, которых я еще не преодолел вполне (см.
мою заметку F6*) в «Comptes rendus», t. 158, июнь 1914 [17.1]).
220
при условии, что \ Р (х) | ^ 1; если же /? = 4р. + 3, то соответствующее
утверждение относится к выражению Р (х) = ^bksinkx.
Выбрав указанным выше образом fv(x), строим тригонометрический
ряд
где /?17 р2, • • • , /?п> • • • суть какие-нибудь простые числа, удовлетворяю-
щие неравенствам Зрп<С р. 1 <С6/?П — 2, возможность которых вытекает
из постулата Бертрана, доказанного Чебышсвым.
cos 2p х
Замечая, что сумма модулей коэффициентов к / fVn (x) равна
* Рп
/? —1
? убеждаемся, во-первых, что сумма абсолютных значений коэф-
Рп
фициентов тригонометрического ряда F (х) бесконечно возрастает. Между
тем
°° cos 2Pnx
2л ЛГ1Г Jv*y
Следовательно, функция F (x) допускает приближение, равное
1 ' 1 ^
—= • - , при помощи тригонометрической суммы любого порядка
УЗ—1 УрПп
т не выше 3/?п +1 — 2<^18рп —8; а потому, на основании теоремы § 12
{и § 17) моей книги «О наилучшем приближении непрорывных функций
и т. д.» [3], можем утверждать, что F (х) удовлетворяет условию Липшица
1 \
степени a<Cy [16.1], сколь угодно близкой к у, что и требовалось
доказать.
3. Закончу свою статью новым доказательством теоремы, что условие
абсолютной сходимости тригонометрического ряда A)
J [X) = V ап C°S п% ~Г "п Sin ПХ
для всех значений х равнозначно1 условию сходимости ряда B)
77-0
Очевидно, во-первых, что из абсолютной сходимости ряда A) при
со
х = 0 вытекает абсолютная сходимость V \ап\; таким образом, нужно
п-0
1 Эта теорема впервые доказана в работе Фату «Series trigonometriques et series
de Taylor» («Acta math.» т. 30, 1906); затем она была обобщена Н. Н. Лузиным
в статьз «К абсолютной сходимости тригонометрических рядов» («Матем. сборн.»,
т. 28).
221
только доказать, что из сходимости ряда y\\bnsinnx\ для всякого х
вытекает сходимость ряда V|6n|. Для этого прежде всего
докажем теорему:
Если
при к = 1, 2, . . . , 2/?г,
2т
S
п=1
bnsin 7
2-к.пк
2т+ 1
<М
2т
при предположении, что 2т + 1 ес7ш> число простое.
В самом.деле, складывая неравенства, соответствующие всем значе-
значениям к, получим
9ш 9™
2ппк
22
Ьп sin ;
но
2m
Sln
2ппк
2т
2izk
{2т+\
Sill 7
Следовательно х,
2m-f 1
2j |^п|
т. e.
2m
n=i
sm л—
2m M sin ?
cos
= 2mM tg .—4-9
6 Am -|- 2
Таким образом, полагая т бесконечно возрастающим, находим что
со
неравенство V 16nsin nx \ <^М, выполняющееся при всяком х, влечет
п=1
оо
неравенство V | Ьп \ ^ у М. Весьма вероятно, что численный коэффициент
71=1
у не может быть уменьшен.
Нам остается доказать* существование верхней границы М (если ряд
оо
^ \bns\nnx\ сходится). Доказательство, как сейчас увидим, не представ-
п=1
ляет труда. В самом деле, из формулы
sin (х + %i) = sin х cos x± + cos x sin хг
1 Нетрудно видеть, что знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда \bi | = |&2| = . . . = \Ъ2т |.
* Доказательству существования верхней границы М и посвящено добавление
G2*). На необходимость этого доказательства, которое в основной статье F8*)
отсутствовало, внимание автора обратил академик А. А. Марков. (Автор.)
222
следует, что
V I bn sin п(х + хг) | <; V | bn sin пх | + 2 I ^n s*n ^i I'
поэтому, если есть хотя бы одна точка х0, где
2т
^ | Ьп sin пх0 | = М\
то общая длина всех промежутков (внутри [О, тс]), где
2т М
> О ЯШ ПХ <^ • (О г
/1 I п I ^ 2 J
n-l
не может превышать тс/2, ибо, если неравенство C') справедливо для
некоторого значения х, то оно невозможно для х0 — х и для тс + ?0 — х~
Но, с другой стороны, ряд
со
N j Un Sin АХЯ? I
n=l
сходится для всех точек отрезка [0, тс], поэтому все точки этого отрезка
принадлежат одной из совокупностей st, s2, . . . , sk, . . . , определяя точки
совокупности sk условием, что
оо
к — 1 <; V \bn sin пх | << к;
п=1
при этом, обозначая через Х& нижний предел суммы1 промежутков, в
которые возможно вместить точки sk, мы должны признать, что
Следовательно, существует определенное значение А;, для которого
или, иными словами, если к выбрать достаточно большим, то совокуп-
совокупность точек, где
со
V | 6nsin nx\ <к,
п=-1
we может вместиться в промежутки, общая длина которых не превы-
превышает тс/2, между тем, вследствие предыдущего, это было бы возможно,
если бы для т достаточно большого мы имели бы -^-^>А; а потому
мы и заключаем, что, для всякого т, М <^2к, что и требовалось
доказать.
1 По терминологии Лебега, Хл есть внешняя мера совокупности sk.
223
17
О НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ,
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ*
Изучая условия абсолютной сходимости тригонометрических рядов1,
я установил основной для этого исследования результат:
Если
N
"V ancosnx + bnsinnx
то максимум М суммы
N
2 К! + ]бп|
__ n==1
будет порядка ]/N.
Доказательство этой теоремы существенно основано на рассмотре-
рассмотрении функций
2 Р~*( п \
fpи = -з~ S G) (p~^sin^ ^ДЛЯ ^= 4^ +3) о
2 1 Ч '
/р (ж) = 4" S (j) (Р - п) cos ™ (Для р = 4fx + 1), (II)
где ( ~ I — символ Лежандра.
Я хочу здесь доказать несколько замечательных свойств этих функ-
функций в предположении, что р — простое число.
Пусть сначала р = 4fi + 3. Докажем следующую теорему:
Теорема. Среди всех функций вида
р-1
/ (х) = ^
п=1
* Sur certaines fonctions periodiques qui s'ecartent le moins possible de zero.
«Сообщ. Харьк. матем. об-ва», сер. 2, т. 14 A914), стр. 145—152 F9*).
1 «Comptes rendus», т. 158, июнь 1914 г. F6*) и [16]. См. [17.1].
224
которые удовлетворяют условию
р-1
2
2
п=1
наименее уклоняется cm нуля функция
pZZ\ fv (х) = p(p-l) 2 (" ] {P ~ П) Sm J
услсвие A) заменить на
~2~ f
V |an + ap_n[ = 1, (f)
n=l
то наименее уклоняющейся от. нуля будет функция
У— 2 Р~{ i п\
——г /р (х + тс) = —т—Z~jT 2 ^— ^П ' —) ^ — п} S^n wa;'
n=l
Для доказательства установим сначала лемл1у:
Для всех функций
2
ср (х) = ^ an sin nx,
удовлетворяющих условию
справедливо неравенство
р-1
причем знак равенства имеет место, если &п= у^" — (/> — простое
V р \pJ
число вида 4jjl + 3).
Действительно,
Р-1
Следовательно,
15 Бернштейн, т. I
J2hn\
\ Р J
Р-1
2
п=1
р-1
= V а2
71=1
р-1
/1 = 1
2
225
пкк
Р
Р
Р-1
2
Таким образом,
п=1
достигает своего максимума, если
/— )
p
откуда
р-1
С другой стороны, мы видим, что если положить ап = -т=-(— ь то
2_ (п
Р
n=l
2hrz\
где /? — простое число вида 4\i + 3, что и требовалось доказать.
Установив это, рассмотрим произвольную функцию
Легко видеть, что
Следовательно,
Р-1
f (х) = ^ Яп-sinwa.
Лп = V / Sin .
р Zjj \p J р
Р-1
2 ^л ,(izh\ ( . Tcnh . тс (р—п) h
ап = ап- ар_п = у % f [у) (sin — - sin p
Л1
Но тогда функция
4
Р
р-1
2
/1=1
/(
У. Р /
Р-1
sin -
р
= 2 a^sin nx>
где ап дается формулой C), очевидно, удовлетворяет уравнениям
Следовательно, если
р-1
2
226
B)
C)
A)
то, в силу только что доказанной леммы, по крайней мере для одного
значения h
Таким образом, тем более ни одна из функций / (х), которая удовлетворяет
условию A), не может постоянно оставаться меньше _^ . Но функция
2 *
УР , , , 2 *ъ (п\( , .
которая также удовлетворяет условию A), обладает свойством
р—1'
причем знак равенства имеет место для
х- * [h-\, 2,..., ?_}.
Следовательно, функция —-~j fp (x) наименее уклоняется от нуля для
всех значений х, и минимальное отклонение от нуля функций, удовле-
удовлетворяющих условию A), точно равно ——^- .
Для получения результата в случае, когда условие A) заменяется
условием (Iх), достаточно заметить, что если f (x) удовлетворяет усло-
условию A), то /(# + ти) будет удовлетворять условию (Г); значит, если
—^-т/р(х) дает решение для первого случая, то ?-7/р(^ + '1Г) дает его
Р — 1 р — 1
для второго.
Таким образом, наша теорема полностью доказана.
Следствие. Если * а^атар^^ар_т ^ 0 и
V | аЛ | = М,
то абсолютное значение функции
f (х) = V ап sin пх (р = 4[х + 3 — простое число)
mVp *
не может оставаться меньшим, чем ^ , причем это значение не бу-
будет превзойдено лишь в том случае, когда
* Т. е. если для всех А- знаки а7{; и ар_7{. одинаковы или же, наоборот, если для
всех к знаки ак и %__& противоположны, так как в первом случае | ак + ор_^. |=
= |^| + | ар__к |, а во втором | ак — ар_к | = | ак f + | ар_к | . (Автор.)
227 15^
Докажем теперь аналогичное свойство функции /р (х) для случая,
когда р = 4{х -|- 1.
Теорема. Из всех функции вида
p-i
f(z)= ^ an^osnx (р = 4р. + 1),
которые удовлетворяют условиям f @) = а0 ]/р и
n=l
наименее уклоняется от нуля функция
1/ о f
__ /р (х) = , _ - V ( —] (т? — /г) cos ;
Заметим сначала, что наша функция удовлетворяет условиям тео-
теоремы, поскольку /р @) = а0 = 0.
Докажем далее следующую лемму:
Если функция
2«п
cos
удовлетворяет условиям ср @) = а0 }/"/? гг
CD Bkn
1 A = l, 2, ...,
р-1
p-i
2
п=1
Р-1
У~р
Л 2 />
причем знак равенства имеет место, если а0 = 0, ап=-г=г( —
= 4[х + 1 — чггсдо простое).
Действительно,
п=1
и так как ср @) = а0 ]Ар, то
p-i p-i
2 о \ 2
2 2 I Znn\ p у-у ?
п=1 " п==1
Следовательно, мы имеем, как и выше,
p-i
2
п=1
>—1
V р
228
причем знак равенства достигается только в том случае, когда одно-
одновременно
и «,=...=
но это обстоятельство имеет место, если ап= -— (—), так как функция
У р \р J
1
(х) =у= 2 (j
п=1
cos ля
удовлетворяет всем условиям нашей леммы.
Установив это, рассмотрим функцию
cos w:r#
Мы имеем
} 2/(тЬ8(?
/1=1
p-1
p-1
2 •
Следовательно,
Построим теперь функцию
определяемую из условий
2
/2
/1=1
R-1
2
in cos ?г#,
n=0
получим тогда
h=l
Ш
^ tr\\ i ^
«n = — <p @) H—
p p
D)
1 1
Но условие a0 = —r/@) дает ao=—=rcp(O) и, с другой стороны,
к р У р
2 2
2 Iйп I= 2 Ia/i + a?>
n=l h=l
229
Следовательно, .в силу нашей леммы, мы будем иметь по крайней мере
-=-!-), для ко
z J
одно значение h [h = 1, . . . , ^—^—), для которого
V & J
.если
• р-1
2
/1=1
следовательно, функция _ fv (%), модуль которой не меньше —zfr»
является функцией, наименее уклоняющейся от нуля. Тем более, мы
можем утверждать следующее:
Теорема. Среди всех функций
J \х) == 2л п \Р = ^V- ~т ¦*¦;,
для которых f @) = 0 и
наименее уклоняется от нуля функция ¦ J^. fp{x), и это наименьшее
отклонение равно __Л .
Аналогичный результат и такое же минимальное отклонение можно
получить, заменяя /@) через / (тг) и(ап + #р-п| через \ап — av__n\.
Я не знаю, можно ли в предыдущих формулировках для р = 4[х + 1
отбросить условие /@)=0 (или /(тс) = 0). Во всяком случае это огра-
ограничение необходимо (как я проверил, для р = 5), если мы хотим рас1
смотреть всю совокупность функций, для которых
вместо части этой совокупности,, удовлетворяющей условиям
2
2|Ял + Яр_п|<1, 2 1а* — аР
п=1 п-=1
рассмотрением которых мы ограничились здесь.
• 18
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ И СВОЙСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ *
§ 1. Свойства последовательных производных и разностей
вещественных аналитических функций
1. В различного рода приложениях анализа нередко приходится
встречаться с аналитическими функциями вещественных перемен-
переменных, для изучения доторых классические методы теории функций
комплексного переменного, прибегающие к рассмотрению мнимых
особенностей функции, повидимому, недостаточны. Поэтому представ-
представляется необходимым непосредственное исследование вещественных
свойств аналитических функций. На этом пути первый общий
результат был получен Прингсгеймом1, который доказал следующую
теорему:
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция f (х)
вещественной переменной х была аналитической {голоморфной) на
трезке АВ, заключается е существовании двух таких чисел R и М,
что на всем отрезке выполняются неравенства
\fn){x)\<MRnn\. A)
2. Я укажу здесь иные предложения подобного же рода и начну
€о следующего:
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция f (х)
разлагалась в ряд Тэйлора радиуса R по степеням х—а, заключается
в том, чтобы ее можно было представить в виде разности двух, функ-
функций, положительных в промежутке (а, а + R) вместе с их производ-
производными всех порядков.
* Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques d'une variable
xeelle, «Math. Ann.», Bd. 75 A914), стр. 449—468 F7*).
1 «Math. Ann.», Bd. 45.
231
Условие, в самом деле, необходимо, так как если функция разлагается
в ряд Тэйлора, то
/(*)= %Ал(х-а)*= ^\Ак\(х-а)*- |j(|4*| - Ak) (х - а)* =
к=0
где ср (х) и ф (ж) обладают указанными свойствами. Обратно, пусть ср(а;) —
функция, все производные которой положительны в рассматриваемом
промежутке. Пусть Мп — наименьшее значение ср(п) (х) в промежутке
(а + А, а + Л), так что il/n = ср(п) (а + Л), в предположении, что
Отсюда следует, что при 0^
*-=^-Mn, B)
и наконец
ср (Я ) > — Мп.
Полагая теперь ср (R!) = М, мы получаем
и, значит,
это доказывает, если принять во внимание разложение Тэйлора с оош*
точным членом Лагранжа
ср (х) = т (а) + ср- (Д) (х - а) +¦ ¦ ¦+ ^-(х - а)" + ^п'+^Т^ («-"У*1.
что функция ср (ж) разлагается в ряд Тэйлора с радиусом Д. Поскольку
тот же результат имеет место также для функции ф, наша теорема до-
доказана.
3. Следствие. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
функция вещественной переменной была аналитической и притом целой,
заключается в том, чтобы ее можно было представить в сколь угодно
большом промежутке вещественной оси в виде разности двух положи-
положительных функций, обладающих положительными последовательными
производными.
Этими предложениями можно воспользоваться, чтобы доказать, почти
без вычислений, аналитичность некоторых функций.
Вот пример из курса по дифференциальным уравнениям, читанного
мною на Харьковских высших женских курсах. Пусть дана система
дифференциальных уравнений
232
где /.—голоморфные функции переменных х, yv . . * . уп и параметра а
в окрестности точки # = xQ, у1 = j/J, . , . , уп = у^ а = aQ. Нужно дока-
доказать, что функции г/j, при х = xQ принимающие значения г/9, голоморфньх
относительно а. Предположим, что существование решений у^ каким-
либо способом доказано. Давая а приращение 8а, построим уравнения,
которым удовлетворяют вариации Ъу/, легко доказывается существование
дУг г „ ~
производных — = у{, которые являются решениями линейной системы
обращающимися в нуль при х = х0. Существование последовательных
производных доказывается дальше посредством индукции: чтобы опре-
определить —^ = у^\ приходится решить линейную систему вида
где As>i — многочлен, получающийся посредством сложения и умножения
различных частных производных от /., порядка не выше, чем s, и
от у&\ при h <^ s и к^п.
В таком случае, если все частные производные от /. положительны,
то все производные —- также положительны, и, следовательно, по тео-
d<xs
реме п. 2, функции у{ — аналитические относительно а. Если же частные
производные от /. не все положительны, то, как в классическом спо-
способе Коши, можно заменить функции Д какими-либо мажорирующими
функциями; нужно затем обратить внимание на то, что если в систе-
системе C) все коэффициенты заменить положительными и большими, то
соответствующие решения y{s) также станут положительными и боль-
большими. Отсюда следует, что раз измененная система имеет решения,
аналитические относительно а, то тем более то же справедливо относи-
относительно данной системы. Итак, утверждение доказано во всех случаях.
4. Интересно заметить, что для того, чтобы утверждать аналитич-
аналитичность некоторой функции, нет надобности предполагать, что она диффе,-
ренцируема. В формулировке B) можно вместо последовательных произ-
производных ввести последовательные конечные разности. Что касается необхо-
необходимости получаемого таким образом условия, то она вполне очевидна.
Но более существенно показать, что такое условие вместе с тем и
достаточно. Чтобы в этом убедиться, установим следующее:
Функция / (х) должна быть аналитической и разлагаться в ряд Тэй-
лора с радиусом R, если, каково бы ни было о>>0, все разности
Д|в) = /(ж + 8)-/(ж), д2° = /(.т + 28) -2f(x + o) + f(x) и т. д.
положительны в промежутке OR.
233
Действительно, положим
ш пусть
тогда, если R1 — h кратно о, то
8
Mn(Hl-h)(R.-h-8)...(Rl-h-n-U)
Отсюда, полагая еще / (R^ = М, получим, что
Мп = Д <?> / (/г) < ШПп' =- . D)
Напишем теперь интерполяционную формулу Ньютона с остаточным
членом в форме, аналогичной форме Лагранжа х:
(*) = /@) + -f
где
X (Х Ъ). . Лх П 18) К(ВЛ ± tr\ '1- ^ Г ОТ
— —-~ц ^-ДУ7A) A<max [ж; пЦ,
п\ 6|
1 Форма остаточного члена, которой мы здесь пользуемся, несколько отли-
отличается от формы Лагранжа, но получается на основе такого же рассуждения; сле-
следует лишь, вместо теоремы Ролля, сослаться на следующую лемму: если непре-
непрерывная функция f (х) имеет п + 1 корней на отрезке [а, Ь], то уравнение
= / (* + пВ) -nf(x+ тГ=Т8) +• • •+ (- 1)п / (ж) = 0
имеет по крайней мере один корень внутри этого отрезка при условии, что 8 до-
достаточно мало.
Вот доказательство этой леммы: исключив тривиальный случай, когда / (х)
тождественно обращается в нуль, можно допустить, не ограничивая общности, что
функция / (х) меняет знак п + 1 раз, так как при s достаточно малом во всяком
случае одна из функций / (х) + е или / (х) — е будет обладать этим свойством
[18.1], Подразделяя затем отрезок [а, Ъ] на равные между собою достаточно малые
промежутки 8, убедимся, что в точках деления знаки функции / (х) будут ме-
меняться по крайней мере п + 1 раз; в таком случае знаки Д^/ (х) будут меняться
по крайней мере п раз и так далее; наконец, знак функции Д^ V (х) изменится по
крайней мере один раз, и, следовательно, сама эта функция непременно обра-
обратится в нуль, что и нужно было доказать.
Заметим, между прочим, что указанная форма для остаточного члена формулы
Ньютона позволяет следующим образом видоизменить условие Прингсгейма A):
необходимым и достаточным условием аналитичности вещественной функции f (x)
является выполнение неравенств
при всех 8, достаточно малых.
234
Итак,
х (х — 8) . . . (х—п—1 8) М
|Д„(*)|<
Отсюда следует, что при достаточно малых значениях х остаточный
член стремится к нулю как рп, где р<1. В силу теоремы, доказанной
мною в другом месте- и к которой мы еще вернемся дальше (§ 2), можно
утверждать, что функция / (х) — аналитическая и, тем более, дифферен-
дифференцируемая; таким образом, из неравенства D) заключаем, что
I'
откуда и следует, наконец, справедливость теоремы.
Вот еще одно предложение подобного рода (в котором также можно
производные заменить разностями).
5. Если функция f \х) вещественной переменной х такова, что
каждую точку промежутки А В можно окружить маленьким проме-
промежутком, в котором хоть одна из производных
не обращается в нуль [причем к—данное .число, а п — произвольно),
то функция f (х) голоморфна в промежутке АВ.
Чтобы доказать эту теорему, замечу, что, на основании одного из
результатов моего мемуара «О»,1 абсолютное значение функции f (х) в, неко-
некоторой точке промежутка длины 2/г непременно превосходит величину
если во всех точках этого промежутка
\fs){x)\>Ms.
Принимая это во внимание, наметим слева и справа от точки Н
отрезки длины е, обладающие, согласно предположению, тем свойством, что
одна из производных /(s+1> (x) из указанной выше последовательности
не обращается на этих отрезках в нуль. Тогда fs\x) изменяется в одном
и том же направлении при возрастании х от Н — г до Я + ?i и мы
получим во всех точках одного из отрезков [Н — е, Н] и [Н, Н + е]
неравенство
а во всех точках другого — обратное неравенство.
Следовательно, допуская, что \f(x)\^M9 мы получим во всех точках
хотя бы одного из названных отрезков неравенство
2 1 /(s) (x) 1
1 Sur l'ordre de la meilleure approximation d'une fonction continue par des poly-
nomes. «Mem. Acad. Sci. Bruxelles», § 42, стр. 65 (см. также [3], § 49).
235
или
Если бы такое неравенство имело место при всех значениях s, то
заключение вытекало бы отсюда непосредственно; допустим, однако,
что s — некоторое число из ряда п, п + 1, . . . , кп. Напишем ряд
Тэйлора в точке Н и сгруппируем его члены таким образом, чтобы
каждая группа начиналась с номера s, обладающего рассматриваемым
свойством; тогда получится ряд многочленов Рп степеней п (будем пола-
полагать Рп = 0, если n^s — i)
Ряд будет сходящимся и, кроме того, при всех значениях п мы будем
иметь в промежутке (Н — 8, Н) или (Н, Н + о) неравенство
f(x)-%Pm(x)
1
итак (§ 2), функция / (х) голоморфна в соответствующем промежутке.
Это и надо было доказать.
6. Замечание. Если в формулировке последней теоремы не пред-
предполагать к фиксированным, то уже нельзя будет утверждать, что функ-
функция / (х) — непременно аналитическая; но, повторяя приведенное рас-
рассуждение, мы убеждаемся, что функция будет иметь бесконечное мно-
множество производных, удовлетворяющих условию
Как мы увидим дальше, такие функции принадлежат к более обшир-
обширному классу функций, из которых каждая, с точки зрения общей тео-
теории вещественных функций, должна быть рассматриваема как аналити-
аналитический индивидуум, вполне определенный в области своего существова-
существования теми значениями, которые она принимает в сколь угодно малом
промежутке. Эти квазианалитические функции, роль которых в анализе,
конечно, не сравнима с ролью аналитических функций, естественно
возникают при попытке дать единую классификацию всех вещественных
функций, построенную на основе приближения алгебраическими много-
многочленами.
§ 2. Аналитическое и квазианалитическое продолжение
вещественных функций
7. В мемуаре* «Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions
continues» (стр. 36 и 94) я показал, что необходимым и достаточным
условием для того, чтобы функция f(x) вещественной переменной х
была аналитической (голоморфной) на данном отрезке АВ, является
* См. также [3] (стр. 41). (Ред.)
236
возможность представить ее приближенно многочленом любой степени п
таким образом, чтобы приближение' Еп [/(#)] убывало быстрее, чем члены
некоторой геометрической прогрессии Мрп. Поэтому, оставаясь в области
вещественного переменного и рассматривая целые степени х или много-
многочлены как естественные элементы построения теории функций, можно
принять указанное свойство в качестве определения аналитической функ-
функции х. Мы говорим, что функция вещественной переменной / (х) — анали-
аналитическая (или голоморфная) на отрезке АВ, если, каково бы ни было п, она
допускает приближение порядка рп (р<1) посредством многочленов сте-
степени п.
Это определение, очевидно, эквивалентно следующему: функция / (х) —
аналитическая на отрезке АВ, если она допускает разложение в ряд
многочленов
f{x) = Ро (х) + Рх(х)+.. .+ Рп(х) +. . ., E)
где Рп (х) — многочлен степени не выше, чем п, удовлетворяющий на
отрезке АВ требованию
\Рп(х)\<М9".
Непосредственно из этого определения легко получить понятие анали-
аналитического продолжения, если воспользоваться основным свойством много-
многочленов (которое формулируется здесь только для вещественной области):
Если многочлен Рп(х) степени п на отрезке АВ по абсолютному
значению остается меньше, чем L, то он остается меньше2, чем LRn,
на продолжении BBL отрезка АВ, где Д>>1 стремится к 1, когда Вг
стремится к В.
Следовательно, если ряд E) сходится на АВ, как геометрическая
прогрессия, то он сходится, как геометрическая прогрессия, также и на
некотором отрезке AxBlf немного большем, чем АВ, и определяет таким
образом продолжение функции f(x). Больше того, если две функции
указанного рода равны между собою на некоторой части отрезка АВ,
то они совпадают тождественно, другими словами, функция f (х), удовле-
1 Чтобы построить полную теорию аналитических функций с вещественными
особенностями, пришлось бы включить в рассмотрение, кроме целых положитель-
положительных степеней х — а, также отрицательные и дробные.
2 Полагая АВ = 2а, ВВ1 = h, имеем
д-1+ h
откуда видно, например, что для того, чтобы иметь #< 1 + е (е<1), достаточно
положить h ^ -г-) .
См. П. Л. Чебышев, «О функциях, мало уклоняющихся от нуля для некото-
некоторых значений переменной» (Полное собр. соч., т. II) и мой уже названный ме-
муар «О» (глава I), а также заметку «Об одном свойстве многочленов» («Сообщ.
Харьк. матем. об-ва», т. 14) [10].
237
творяющая условию Еп [/ (х)] < Мрп на АВ, тождественно равна нулю
на АВ, если она равна нулю на некоторой части АВ,
В самом деле, пусть
\f(x)-Qn(x)\<M9»;
если, в частности, на некоторой части CD отрезка АВ мы имеем / (х) = О,
т. е. \Qn(%)\<i Мрп на CD, то можно указать отрезок С^ъ несколько
больший, чем CD, и такой, что на нем
\Qn(x)\<M9»,
где р<<р1<1. Но тогда мы будем иметь на C1Dl
а это показывает, что f(x)=O на этом отрезке; повторяя рассуждение
конечное число раз, убедимся, что / (х) = О на всем отрезке АВ.
8. Для того чтобы показать, что условие Еп [/ (х)] < Мрп выражает,
что функция / (х) голоморфна на рассматриваемом отрезке, я прибег
в цитированном мемуаре к переходу в комплексную область. Но можно
показать и не выходя за пределы вещественной области, что / (х)
в каждой точке отрезка АВ разлагается в ряд Тэйлора, сходящийся
в окрестности этой точки. С этой целью я замечу прежде всего, что
ряд вида E), при условии
наверное бесконечно дифференцируем A. с. § 23). Следовательно, для
того чтобы получить значение
достаточно составить сумму —f^P'^n (я) или же разложить каждый
член Рп(х) по степеням х — а и взять сумму коэффициентов при (х—а)х.
Но, обращаясь к § 34 цитированного мемуара, мы видим, что, если
в промежутке (а — /г, а + h)} то интересующий нас коэффи-
коэффициент *, или, другими словами, —рР^(а), должен быть по абсолютной
величине меньше г, чем
п + у.— 2
(Х + 1)— 2 2х L
(предполагая для определенности, что п и х — одной четности).
Но в силу сделанного выше замечания можно указать такое число А,
что, каково бы ни было а на отрезке АВГ при условии а — h<^x<^
<^а + h мы будем иметь
\Рп{х)\<М9'п (Р<р'<1).
1 Этот результат в 1892 г. был получен Владимиром Марковым в мемуаре
«О функциях, наименее уклоняющихся от нуля».
* См. «Э. П.». стр. 57. {Ред.)
238
Отсюда заключаем, что
так что / (х) в каждой точке отрезка АВ разлагается в ряд Тэйлора с
h A — р')
радиусом не меньшим, чем о *
С другой стороны, можно считать известным, что условие
En[f (х)]<1Мрп (при любом п) есть необходимое следствие того, что
функция во всякой точке разлагается в сходящийся ряд Тэйлора.
Впрочем, мы получим далее этот результат в качестве следствия иа
одного более общего свойства (п. 10).
9. Естественно задаться вопросом: возможно ли, исходя из при-
принятой нами точки зрения, распространить способ «продоложения» на
классы функций более обширные, чем функции, разлагаемые в ряд
Тэйлора? Иными словами: пусть f{x) — функция не аналитическая, но в-
данном промежутке обладающая свойством
En[f(x)]<an; F)
возможен ли такой выбор невозрастающих чисел ап, чтобы условие F)
было достаточным для полного определения функции / (х) во всем
промежутке по заданным ее значениям в некоторой части промежутка?
Ответ оказывается утвердительным. Действительно, допустим, что
среди чисел
ах, а , . . . , ап, .. .
имеется бесчисленное множество удовлетворяющих неравенству
где р — данное число, меньшее единицы; и вместе с тем существует так-
также бесчисленное множество таких чисел ап, что
каково бы ни было данное рх, меньшее единицы. Подобного рода после-
последовательность получается, например, в том случае, если положим
ап = — при п = 22S
при условии
Именно,
239
если п — вида 22 —1, и
п
lim |Лхп =
2
если п — вида 22S. Отсюда видно, что можно построить функции, удов-
удовлетворяющие условию Еп [/ (х)] << ап, которые не будут аналитическими.
И однако, возвращаясь к нашим прежним соображениям, мы уста-
установим, что если две функции f (x) и f1(x) указанного рода совпадают в
некоторой частя промежутка, то они равны тождественно. В са-
самом деле, полагая
мы видим, что существуют многочлены Qn (x) степени п, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенствам
\v(x)-Qn(x)\<2an.
На той части отрезка, где ср (х) = 0, будем иметь, следовательно,
\Qn(x)\<2an',
ограничиваясь теми же значениями п, для которых an<Jpn, убедимся,
что Qn(x) будет стремиться к нулю и вне рассматриваемой части отрез-
отрезка; значит, повторяя рассуждение, получим, что ср (х) тождественно
равняется нулю во всем промежутке, где Еп [ср (х)] <^2ап.
Функции f(x), в известном смысле напоминающие, как мы видим;
аналитические функции, можно назвать квазианалитическими 2 относи-
относительно последовательности чисел п19 п2) . . . , п?с, . . . , представляю-
представляющих собою степени тех многочленов, которые приближаются к функ-
функции f (x) так, как если бы функция была аналитической»
10. Теорема. Если функция является квазианалитической 2 на ка-
каждом из двух отрезков ABC и BCD с общей частью ВС, то она должна
быть квазианалитической на всем отрезке ABCD.
Достаточно показать, что если
| /(х) — Рп(ж) |<Мрп на отрезке ABC
и G)
\f{x)-Qn{x)\<Mp» » » BCD
(где Рп{х) и Qn{%) — многочлены степени п), то можно построить такой
многочлен R2n (х) степени 2п, что | / (х) — Я2п (х) \<^М1р*п на отрез-
отрезке ABCD.
Не ограничивая общности, можно свести отрезки ABC и BCD к отрезкам
[—1, h] и [— h, 1] (причем /г<<1). Таким образом, весь отрезок све-
сведется к отрезку [—1, +1].
1 Было бы интересно исследовать, нет ли какой-нибудь связи между этими
функциями и обобщениями, полученными Э. Борелем.
2 Относительно одной и той же последовательности чисел.
240
Рассмотрим разложение Лебега
Если \x\^>h, то это разложение дифференцируемо, так что
(знак левой части совпадает со знаком х). Притом остаточный член
"V 1-3...Bк-3) ,, _ ~х_,
по абсолютному значению (при |х\^> hy меньше, чем
Следовательно, многочлен степени 2х0 — 1
представляет 0 на отрезке [—• 1, —- k] и 1 на отрезке [k, 1] с погреш-
погрешностью, меньшею, чем
С другой стороны, при | а: | <С А, имеем
|#(aOI<(l
После этого, условившись полагать в дальнейшем Н^9 (х) = #2xe-i(^)?
построим многочлен степени не выше 2га
Д2п (х) = Рп (ж) Яп (х) + Qn (х) [1 - Нп (х)].
Так как на отрезке [— А, + h] удовлетворяются оба неравенства G),
то, умножая их соответственно на Нп{х) и на 1 —//п(ж) и складывая,
получим на том же отрезке
\f(x)-R2n(x)\<Mn9n. (8)
Вместе с тем, положив Ьг = L + Мрп, где L — максимум |/(#)|, в силу
свойства многочленов, указанного в начале этого параграфа, получим на
отрезке [—1, — Щ
, \Qn(x)\<L,
16 С. н. Бернштейн, т. I 241
и на отрезке [/г, 1]
Поэтому на отрезке [— /г, — 1]
тг г, 12
Достаточно, значит, взять /г = -^г-, чтооы иметь
и точно так же, на отрезке [/г, 1],
Таким образом, на отрезке [/г, 1] получим
\R2n(x)-Pn(x)\<k(l)n,
и на отрезке [— h, — 1]
(где А — постоянная).
В итоге, сопоставляя эти неравенства с неравенствами G) и прини-
принимая во внимание (8), придем на всем отрезке к неравенству вида
Повторяя эту же операцию достаточное число раз, получим теорему во*
всей ее общности.
11. Мы указали прием для составления приближенных многочленов
на отрезке ABCD по приближенным многочленам на отрезках ABC и
BCD в отдельности. Этот прием можно заменить другим, который ис-
использует приближенные многочлены, соответствующие лишь одному иа
промежутков, и весьма напоминает аналитическое продолжение.
Предположим, что в некотором промежутке, примыкающем слева к
точке а, задана квазианалитическая функция / (х), для которой прибли-
приближающие многочлены Рп(%) содержат лишь четные степени х~а. Если
построим ряд
f(x) = Р, (х) + [Р2 (х) - Р1 (х)] + ... + [Рп(х)- />„_, (*)] + ...,
то он будет сходящимся также и справа от а и определит квазианали-
квазианалитическую функцию, являющуюся, по изложенному, единственным про-
продолжением / (х).
То же самое будет, если многочлены Рп (х) содержат лишь нечетные*
степени х — а. Вообще, если, представляя данные многочлены Рп (х) в виде-
242
гдеРп(х) и Рп^ {%) содержат соответственно только четные и только
нечетные степени х~а, мы убедимся, что многочлены Р'Р (х) и Р(п\х)
будут соответственно определять две квазианалитические функции /2 (х)
и /2 (х) (относительно одной и той же последовательности чисел), то
мы получим
/W=/iW + /:D
и продолжение / (х) (по предыдущему, однозначно определенное) будет
изображаться этой же суммой.
Докажем, что отмеченное обстоятельство представится неизбежно,
если только квазианалитическое продолжение функции / (х), заданной
слева от а, возможно.
Действительно, пусть / (х) — квазианалитическая функция, заданная
слева и справа от точки а в промежутке (— о + а, а + й).
Пусть б}7дет
\f(x)-Pn(x)\< М9-
в этом промежутке. Заметим, что функция
/г \х) — ~у
— четная, а функция
2
— нечетная по отношению к х — а и что обе они — квазианалитические.
Значит, пашу функцию /(ж), раз она опре;{елсна по обе стороны от точ-
точки а, можно представить в указанной выше форме
Итак, мы получаем следующее правило для того,' чтобы узнавать,
может ли квазианалитическая функция, заданная в промежутке ab, быть
продолжена за пределы этого промежутка, и чтобы осуществить это
продолжение, если оно возможно (не ограничивая общности, допустим,
что а = 0):
Если / (х) — квазианалитическая функция, заданная в промежутке
(—6, 0), нужно установить, существуют ли среди многочленов Рп{%),
удовлетворяющих неравенстваль
\Pn{x)-f{x)\<^Mo-
в промежутке (—о, 0), где о<^6, такие, что, приведя их к виду
Рп(х)= РУ(х*) + хР{*}(х*),
мы сможем получить функции Д (х), /2 (х), удовлетворяющие неравен-
неравенствам
в том же промежутке (—о, 0).
243 16*
Если такие функции fx (х) и /2 (х) существуют, то они не зависят
от выбора многочленов Рп{%), и тогда квазианалитическая функция
однозначно продолжаема и может быть представлена в промежутке
(—8, +8) с приближением порядка Мрп всеми многочленами Рп{х),
обладающими указанным свойством. В противном случае рассматривае-
рассматриваемая функция не сможет быть продолжена квазианалитически вправо
от точки 0.
12. В частности, квазианалитическая функция / (х) получается в том
случае, если на всем данном отрезке выполняется условие Прингсгейма
\fn){x)\<:MRnn\ A)
не для всех значений п, а только для бесчисленного множества
таких значений. В таком случае квазианалитическую функцию можно
получить из степенных (тэйлоровых) разложений, которые становятся
сходящимися в конечных промежутках после надлежащей группировки
членов.
Рассмотрим, например, ряд
s=0 s=0
который превращается в степенной после того, как каждый член будет
расположен по степеням х. Этот степенной ряд — наверное расходящийся
при всех, сколь угодно малых, значениях х, действительно, мы видим, что
при замене х через сумма членов, содержащихся в Rs{x), стано-
становится равной
т. е. возрастает неограниченно вместе с s. Тем не менее на веществен-
г 1 ,11
ном отрезке ^-, + -о" рассматриваемый ряд сходится и представляет
некоторую квазианалитическую функцию (которая, впрочем, является
аналитической на всем этом отрезке, кроме точки s = 0). В самом деле,
обозначая степень многочлена
через ns, мы получаем
rcs^22S-fl-1 + 22S<22S
и, следовательно, полагая
S
Pt(x)= 2 Rm(x).
244
^ г 1,11
будем иметь на отрезке у -\——
\f(x)-P,(x)\<2(±.
Нетрудно проверить, что функция f(x) голоморфна в круге С с цен-
центром ж=1 и радиусом 1; сама окружность С оказывается естественной
границей этой функции. Мы получили, таким образом, пример квазиана-
квазианалитического продолжения за пределы естественной границы аналитической
функции.
Рассмотренная только что квазианалитическая функция является
регулярно-аналитической за исключением единственной (действительной)
особой точки. Но легко также построить примеры квазианалитических
функций, которые не являются ни в одной точке аналитическими и даже
не дифференцируемы.
Обратимся прежде всего к функции
/ \ XI cos n\ arc cos х , . .,
9(*) 2(«>!)
и ограничимся отрезком [— 1, + 1].
Совершенно ясно, что
1
Еп [ср (х)] = -^-г + a
при условии, что (п + 1)! ^> тп ^> п\. Таким образом, существует бесчи-
бесчисленное множество значений т, для которых
и существует также бесчисленное множество таких значений, для кото-
которых неравенство Ет<Срт не оправдывается (при всяком определенном р,
меньшем единицы). Не будучи аналитической, функция ср (х) тем не менее
бесконечно дифференцируема. Но вот пример другой квазианалитической
функции, которая не является дифференцируемой г. Она имеет вид:
cos F (n) arc cos x
причем F (п) определяется из условий
Согласно изложенному, функции ср (х) и ф (х) однозначно определяются
на всем отрезке [—1, + 1], если заданы их значения в какой-нибудь
1 Все квазианалитические функции, конечно, удовлетворяют обобщенным усло-
условиям Липшица, степень которых как угодно мало отличается от их порядка (см.
мой доклад на Международном конгрессе математиков в Кембридже «О новых иссле-
исследованиях, относящихся к наилучшему приближению...», 1912 [6]).
245
части этого отрезка — при дополнительно налагаемом условии квазиана-
квазианалитичности.
Мы видим, что квазианалитические функции могут быть представлены
простыми формулами; но такие функции, для которых наилучшее при-
приближение Еп убывает весьма неправильно, до настоящего времени не
находили себе применений и потому представляют чисто теоретический
интерес [18.2]
§ 3, Условия, необходимые для однозначной продолжаемости
вещественных функций
13, Как мы убедились, достаточно, чтобы неравенство Еп [/ (х)] < рп
(где р<С1) удовлетворялось для бесчисленного множества значений п,
если требуется, чтобы функцию / (х) можно было считать аналитическим
элементом, определенным всюду, где удовлетворяется указанное нера-
неравенство, раз только значения / (х) заданы в некотором сколь угодно
малом промежутке.
Это свойство связано с неравенством Еп [/ (х)] <С рп существенным
образом, так как можно показать, что если вместо него будет введено
более слабое неравенство вида
?«[/(*)] <Рп'~г (С>0), (9)
то продолжение функции выполнимо уже бесконечным числом способов,
и потому функция f{x) перестает быть аналитическим индивидуумом,
определенным названным свойством, хотя бы она и обладала производ-
производными всех порядков (что, очевидно, имеет место, если неравенство удов-
удовлетворяется при всех п).
Очевидно, достаточно установить, что функция f(x), удовлетворяющая
неравенству (9) в промежутке АВ, может равняться нулю в некотором
частичном промежутке, не обращаясь в нуль тождественно. Наше утвер-
утверждение будет доказано, если мы построим фупкцию
со
f(x) = f (cos 0) = с? F) = ^ Ап cos пЬ,
равную нулю на некоторой части промежутка (—1, +1), где будем
иметь
так как в таком случае при достаточно больших значениях п будет
удовлетворяться неравенство
причем рх будет постоянным числом (p
246
Итак, построим в промежутке @, тс) функцию ср (б), удовлетворяющую
неравенствам
I COS i
Л-г
A0)
и обращающуюся в нуль на некотором отрезке, не будучи однако то-
тождественно равной нулю. Из предыдущего вытекает, что это было бы
невозможно, если бы мы взяли е = 0. Но если мы выберем функцию
ср F) бесконечно дифференцируемой и асимптотически равной нулю при
0 = 0 и при G = тс, то убедимся, что тогда
I cos nb d()
причем Ж* ij> | срОО (в) | в промежутке @, тт).
Функция ср F) будет, следовательно, удовлетворять неравенствам A0).
если только для надлежащих значений х мы будем иметь
Но эти последние неравенства выполняются (при определенном значении
р<1), например, в том случае, если последовательные производные функ-
функции ср F) подчинены условиям
у.
(при е = 0 эти неравенства приводятся к неравенствам Прингсгейма).
В самом деле, нужно лишь определить р таким образом, чтобы было
или же
или, наконец, полагая к =
по *
Итак, придавая к определенное значение, большее, чем R, получим для р
постоянное значение, меньшее, чем 1.
Легко видеть, с другой стороны, что если срг F) и ср2 F) удовлетво-
удовлетворяют условиям A1), то их произведение
? (в) = ?i (в) ср j (в)
также удовлетворяет такого рода условиям, так как
i=0
247
Окончательно, принимая во внимание это замечание, мы построим
функцию f{x), равную нулю на некоторой части отрезка и, однако, не
обращающуюся на нем в нуль тождественно, притом удовлетворяющую
требованию Еп [/ (#)] < pnl~s, если нам удастся подобрать функцию срF),
асимптотически равную нулю в точке 6 = 0, подчиненную условиям
I ?(х) F) К (*#)~е
в некотором промежутке, окружающем начало 6 = 0, и равную нулю
лишь с одной стороны от него.
14. Чтобы построить функцию ср F), асимптотически равную нулю
в начало и подчиненную условиям A1), воспользуемся уравнениями в
частных производных с кратными характеристиками. При этом огра-
1
ничимся случаем, когда е ^ - - .
В общем случае, когда е ;> , нужно было бы прибегнуть к
уравнению
а*, _ а*-**
дх* ду*~*
и построить его решение г, которое обращалось бы в нуль на некоторой
dz d*~2z „
части оси х вместе с производными —,..., ^ . При данном значе-
ду дуж *
нии х это решение, рассматриваемое как функция у, представило бы
собою как раз такую функцию, которую мы желаем построить.
Итак, рассмотрим внимательнее случай х = 2.
Решение уравнения A2)
2 = 2 е~п*у {Ап cos nx + Вп sin nx),
которое при у = 0 приводится к произвольной функции
2 {An cos nx + Вп sin nx),
равной нулю на отрезке АВ, включающем начало, при х = 0 дает нам
функцию переменной у
* = 9{у) = 1±Апе-"%У9 A3)
асимптотически равную нулю в начале. Чтобы доказать, что последова-
последовательные производные ср {у) удовлетворяют неравенствам вида
|ср<*>(у)|<(хДJ* (И')
при дополнительном предположении ср {у) = 0 для у < 0, я должен буду
напомнить один результат, относящийся к уравнениям в частных произ-
производных параболического типа, который был установлен мною несколько
лет тому назад г в более общей форме: внутри прямоугольника, стороны
1 «Comptes rendus», t. 140, январь 1905 F*). Результаты этой заметки были полу-
получены вторично и дополнены другими авторами, в частности Гольмгреном (Holmgren)
и Блоком (Block) в ряде статей, помещенных в «Arkiv for Matematik», 1910—1912.
248
которого параллельны осям, существует одно и только одно решение
d2z dz Л л
уравнения -к-* = "я~~ » принимающее наперед заданные значения на ниж-
нижней и двух боковых сторонах прямоугольника.
Отсюда следует: если мы построим решение zl9 совпадающее с ъ при
х = + h, | у | = тс (конечно, заменив z нулем в полуплоскости у << О,
предполагая, что промежуток (— h, + /г) попадает внутрь отрезка АВ)
п при у =— тс, то внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
х = ^zh, у = НЬтс, получим тождество zx = 2. Но в таком случае z можно
представить в виде суммы ряда, сходящегося внутри этого прямоуголь-
прямоугольника:
z = 2 e^^fcn cos m/ + cfn sin m/) + e^^ (с„ cos ny + dn sin ny) +
. „»,. . n (x — h)
+ ane~n у sin v u J 7Г,
причем не все коэффициенты сп, cfn, cn, cfn равны нулю. Вследствие схо-
сходимости внутри рассматриваемого прямоугольника, мы получаем
где Д/ — одна и та же постоянная. Итак, нашу функцию <р(у), получаю-
получающуюся при подстановке х = 0, можно представить в виде
z = 2 Япе-П'у + (с„ + Cn) cos лу + (dn + dn) sin ny {\an\ = \an\). A4>
Сумма 2 йпГп4у есть аналитическая функция, с радиусом сходимости
(при у^О) не меньшим, чем тс; следовательно, она удовлетворяет не
только условиям (И')> но даже условиям Прингсгейма. Что касается
суммы
и = 2 (сп + с'„) cos 7гг/ + (dn + dn) sin /гу,
то ясно, что
on
\ и(х) (У) \<4М ^ n*e~hV*'.
71= f
Но эта последняя сумма — того же самого,порядка, что и интеграл
со оо
2 Bх + 1)!
Принимая во внимание формулу Стирлинга, заключаем отсюда, что функ-
функция ср (у), заданная формулой A4) или A3), удовлетворяет неравенствам
AГ) и, следовательно,— всем предъявленным к ней требованиям.
Предшествующие соображения имеют целью показать, что аналити-
аналитические функции занимают совсем особое место среди всех вещественных
функций: это — единственные функции, Способные быть продолжаемы..
249
так сказать, органически (если не считать квазианалитических). Харак-
Характеристическое свойство аналитических функций можно выразить еще
следующим образом: Если функция f(x), заданная в промежутке АВ>
обладает тем свойством, что при каком бы то ни было изменении зна-
значений f (x) только на некоторой части АВ порядок наилучшего прибли-
приближения Еп [/ (#)] увеличивается для всех достаточно больших значений п,
то такая функция—аналитическая; и обратно, если f{x) — какая бы то
ни была аналитическая функция, то при п достаточно больших она
реализует минимум En[f(x)], т. е. изменение значений f(x) в какой
угодно части промежутка повлечет за собой увеличение порядка Еп [f{x)]
для всех достаточно больших п [18.3].
Замечу, наконец, что аналитическое продолжение можно рассматри-
рассматривать как единственное естественное продолжение вещественных функций
совсем с иной точки зрения. Я имею в виду принцип, высказанный
мною в заметке «Sur la deformation des surfaces» x, который был доказан
для многих случаев и ни в одном не был опровергнут: Если веществен-
вещественная функция f (xv x2,..., хп), дифференцируемая некоторое число раз,
удовлетворяющая аналитическому уравнению в частных производных,
допускает при помощи этого уравнения однозначное продолжение отно-
относительно одной из переменных, то это продолжение — аналитическое.
1 «Math; Ann.», 1905 A0*). Русский перевод: «Успехи матем. наук», т. 5,
вып. 4 A950), стр. 132—133 B60*).
19
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ *
В моей заметке «О нормальных рядах», помещенной в конце второго
тома «Principes d'analyse» d'Adhemar'a1, мною, в частности, была постав-
поставлена одна задача о минимуме, которая привела меня к преобразованию
произвольного многочлена
к виду
где
Р (х) = а0
\1П—1
x \X) —- -Д-0 \ 1 »^y "i ^.^X у 1 ^Cy -\~ • • • !~ **-vnP^ •>
п. Сопоставление этих выражений дает
та0,
ak
Лт —
(при к^>п положено ак = 0), и мною было показано, что
B)
C)
* Sur 1а representation des polynomes positifs. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 14A915), стр. 227—228 G3*).
1 См. также докторскую диссертацию <<О наилучшем приближении непрерыв-
непрерывных функций», §§ 58—60 [3].
251
Отсюда, между прочим, вытекает такое следствие:
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы многочлен Р(х)
не имел корней в промежутке @,1), состоит в том, что Р(х), при
достаточно большом т, может быть представлен в виде суммы
2 А^ A - х)т-{
с членами одного и того же знака.
Из этого предложения легко получить следующую теорему Лагерра1.
Если многочлен Р(х) положителен (и не обращается в нуль ) при х^-0,
то его можно представить в виде дроби Р (х) = -j\» где f(x) и ср (х) —
многочлены с положительными коэффициентами.
Мы можем даже придать этой теореме более точную форму: в ука-
указанном выше представлении можно всегда положить <р (х) — A -f x)a,
при условии, что а взято достаточно большим. Иными словами, если
многочлен Р (х) остается положительным при х ^ 0, то всегда можно
выбрать настолько большое а, чтобы все коэффициенты многочлена
f (х) = Р (х) A + х)а были положительными.
• Действительно, положим
х== У
1 — у'
Тогда
р (х) - RM
где Д(г/)>0 при 0<;г/<;1. Следовательно,
т
R(y) = 2 ^i*/* A ~~ ^)тг >
где все А положительны при достаточно большом т.
Однако
__ х , __ 1
^ 1 И- яр * У ~~ 1 -{- х '
значит,
что и требовалось доказать.
1 См. Е. Meissner, Ueber positiveDarstellungenvonPolynomen, «Math. Ann.)>»
Bd. 70. Доказательства самого Лагерра, повидимому, не было опубликовано.
20
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ *
1. Рунге1 доказал следующую фундаментальную теорему:
Если f(x) — аналитическая функция, регулярная на отрезке АВ
вещественной оси, то многочлен Лагранжа Рп{х) степени п, который
совпадает с f(x) в п+1 точках (узлах), делящих отрезок АВ на п
равных частей,— обязательно стремится при п->оо к функции f(x) на
некоторой внутренней части А1В1 отрезка АВ; однако, вообще говоря,
вблизи концов А и В он не стремится ни к какому пределу.
Щ Метод Рунге, повидимому, неприменим к неаналитическим функциям,
однако он делает правдоподобным предположение, что, вообще говоря,
в этом случае многочлены Лагранжа (Ньютона) не будут стремиться к
функции ни в какой части отрезка АВ. Это заключение не является
совершенно точным, и обсуждение этого вопроса даст нам пример при-
применения принципов, указанных в моей работе2 «Об определении и свой-
свойствах аналитических функций вещественной переменной».
Прежде всего установим следующее предложение:
Пусть Pno-i {x), Pni~i {х), . . ., Pnk-i (х), . . . — многочлены Лагранжа
для функции f(x) на отрезке АВ, соответствующие ло<Си1<С • • • "С
<Сла<С--. равноотстоящим узлам; пусть, кроме того, РпЛх> а)>
РП1(х, а), . . ., РПк(х, а), ... —многочлены Лагранжа, которые мы полу-
получим, добавляя к равноотстоящим узлам еще один произвольный узел а
отрезка АВ; если все многочлены РП/!с_{ (х) и Pnjf (x, а) остаются огра-
ограниченными на отрезке АВ, то функция f(x) является аналитической
внутри АВ, когда отношение -^- ограничено, и квазианалитической*,
пк
когда отношение k+i не ограничено.
* Quelques remarques sur Interpolation. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2,
т. 15 A916), стр. 49-61 G8*) [20.1].
1 «Ztschr. Math. u. Phys.», Bd. 46, 1902.
2 «Math. Ann.», Bd. 75, 1914 [18].
3 Определение квазианалитических функций можно найти в вышеупомянутой
работе [18].
253
Действительно, для определенности приведем отрезок АВ к [0, 1]. Тогда
РПк (х, а) - Рп&_1 (х) = 7&-Ь1)...(*-Ьп—) ^~~ ?
где bi = —^—т; так как, по условию, эта разность ограничена и имеет,
например, абсолютную величину <1 на отрезке АВ, то
!/(a)-/4-i(a)l<
Г 1
[2(яЛ —
-3)
2(nk — i) 2(пЛ —1)
и, следовательно, предполагая щ достаточно большим и
a-i
(пЛ —1) 2 '
где X — целое число, завргсящее от щ и одной четности с пк, будем иметь
3.5...(Ла-Х-1).1.3...(пл + Х-1)
|/(а) - Рп,-1 (а) |< ьзB^-3) =
#3 . . . (пт — X — 3) ( пъ — X
J
/ | 2с \ ^
где р — (^ о~ "Cpi^l- Для того, чтобы закончить доказательство,
достаточно вспомнить определения упомянутой выше работы1.
2. Теперь будет вполне естественным задаться вопросом: действительно
ли является существенным введение многочленов Pnjc (ж, а) в формули-
формулировку теоремы. Чтобы ответить на этот вопрос, установим предва-
предварительно лемму2:
Если f (х) —функция, непрерывная на [0, 1] и аналитическая на части
(- — с, - - + с) этого отрезка, то интерполяционные многочлены Рп (х)?
соответствующие п^ + 1 равноотстоящим узлам, дают в фиксированнбму
достаточно малом интервале 1^~Ь, -\-Ь) приближение, равное
оп\ где р<1.
Легко показать, что существуют такие многочлены Rnk{^) степени пь>
что на всем отрезке [0,1] выполняется неравенство \f(x) — Rnjc(x) |<?nyfc>
где еП7 стремится к 0 вместе с — , и, кроме того, в интервале
/с nh
1 См. теорему § 29 моей работы «О наилучшем приближении непрерывных функ-
функций и т. д.» [3].
2 Аналогичное предложение мы имеем также (с соответствующими изменениями)
и для квазианалитических функций.
254
2" — с', у + сМ, где с'О, выполняется неравенство \f(x) — Rnj? (x) | <"
<р?* при рг< 1.
Следовательно, если />ПЛ (х) есть рассматриваемый интерполяционный
многочлен, то
Pnk(x)-Bn&(x)=S(x)
i=0 ж —
где
,,_J _±\
{х)-х\х nJ.
и, кроме того, \Аг\<
Л, если
2 в,
<V. Теперь положим, что
(причем яй — X целое нечетное число); в таком случае
S(x)
пк) \п,
<1-3'-^
.—X
2 /я*~
,^2-j Г
если
\ i_
— =— . Следовательно, при ~
A+
и при всех значениях г"
Далее возьмем 8 настолько малым, чтобы
Pl [A + 28I+28 A - 28I-28]7'
28I+28A-2SI-28 I'/' ,
-« / 1 1
Следовательно, в интервале (-=— 8, -^ +
| РПк (х) -f(x)\< (п\ + пк) р "* + рГ^ < р"*,
что и требовалось доказать.
Из рассмотренной леммы вытекает, что если мы построим фуйкцию
f(x), для которой многочлены Лагранжа Рп(х) стремятся к f(x), не
255
давая приближения порядка рп (р<^1) вблизи середины отрезка, то
функция f(x) не будет аналитической (квазианалитической) в середине
-отрезка. Такую функцию нетрудно построить. Для этого положим
.-2-1
/W = ftW + ftW + ^8W + - A)
Ясно, что многочлены
представляют интерполяционные многочлены Лагранжа, функции /(х),
осответствующие последовательному подразделению отрезка [0,1] на
4,8,16 и т. д. равных частей. Достаточно показать, что ряд A) сходится
на всем отрезке [0,1], не удовлетворяя условию леммы. Но
1 1
| Sn(х) | < 2кпе~п [хх A - х){-х]пх2 A - х)"*",
откуда
Замечаем далее, что х 2 A — х) 2 достигает своего максимума при
х = t-, так как, полагая 2х ~ 1 = у, имеем
log [хх + "A - xj* ~X] =(i+ y2) logA + У) + (l - |) log A - У) -
-2iog2=-21og2--f-^-...- ^Г^С -...,
& & 6 15 п B/г — 1)
откуда видно, что максимум достигается при у = 0.
Q
Следовательно, | ^п (ж) | <С—г и РЯД A) абсолютно и равномерно схо-
сходится на всем отрезке [0,1].
С другой стороны, при х = Т—(- 9 мы имеем
[Qn(x) + Qin (x) + Q,n(x) + ...\ = \Qn{x) I >-^г,
где к — положительное число, которое не стремится к нулю. Таким
образом для х = — функция / (х) не является аналитической.
Итак, мы видим, что ограничение, которое мы ввели в формулировку
теоремы § 1, действительно существенно.
Было бы интересно исследовать эти функции, которые можно было бы
назвать ньютоновыми, вследствие сходимости интерполяционного процесса
при равноотстоящих узлах, сближающей их с аналитическими (или Ыэйло-
ровыми) функциями.
256
3. Не задерживаясь более на условиях сходимости интерполяционной
формулы между равноотстоящими узлами, ограничимся рассмотрением
совсем элементарного примера расходимости во всяком интервале рассмат-
рассматриваемого отрезка. Это случай функции | ж | на отрезке [—/г, + й].
Возьмем, например, отрезок [ —1, + 1] и построим многочлен Нью-
Ньютона Р2п (ж) степени 2га. Мы получим, очевидно,
где An+i — разность порядка п-\-i функции \х\ для х = —1, причем
конечные приращения равны l/п. Поэтому, по известной формуле для
вычисления последовательных разностей,
Л - ' '' - i (л 4- Л 4- '" ~ 2 (" + ')(«+ '-1) _
после простых преобразований получаем
¦ Следовательно,
__ __ , oV A)у / / j_\ /
Благодаря симметрии | х | мы можем ограничиться рассмотрением
отрицательных значений х\ при этом мы замечаем, что все члены суммы
имеют одинаковый знак. Таким образом, для того, чтобы показать, что
| Pin (^) | безгранично растет во всяком интервале, достаточно будет обна-
обнаружить, что один член
_
2лBл — 1)л!(л —1)!
тт XI
неограниченно возрастает вместе с п. Но, полагая х — —2~,
находим
-1) (я!
(и!J
-^ 8п (п\)
ПЛИ
что является доказательством нашего утверждения.
17 С. Н. Бершптейн, т. I 257
4. Рунге принадлежит также следующее важное замечание: если
сгустить соответствующим образом узлы вблизи концов отрезка, то
интерполяционный процесс сходится на всем отрезке для всех аналити-
аналитических функций.
Для произвольных функций задачу сходимости можно трактовать
следующим образом: пусть / (х)—заданная функция, а Рп{%)— ее много-
многочлен наилучшего приближения степени п на рассматриваемом отрезке,
так что
Я„ = Мах !/(*)-/>„(*)}.
Если Rn (х) — многочлен Лаграюка, соответствующий узлам а0, alt
и Ап+1 (х) = (х — ао)...(х — ап), то
ап%
Rn (х) = An+l
Следовательно,
+ Рп (х).
i=0
En.
Теперь нужно определить многочлен An+i {x), для которого
п
2
будет по возможности мало для , всех значений х ьа рассматриваемом
отрезке. Не разрешая заданного, вопроса, заметим, что этот минимум
будет порядка log яг и что, в частности, рассматриваемая сумма будет
порядка log п при Ап+\ {х) — cos (n -f- J)arc cos ж.
Таким образом,
\f(x)-Rn(x)\<kEn\ognr
где к — фиксированная постоянная, если -4n+i {ос) — cos {п -\- 1) arc cos x.
Для доказательства можно воспользоваться стр. 57—60 моей работы [3]*
Заме!им, таким образом, что можно так распределить узлы, чтобы
интерполяционный процесс сходился для всех функций, удовлетворяющих
условию Дини-Липшица, но нельзя дать такого распределения их, кото-
которое годилось бы для совокупности всех непрерывных функций *.
5. Рассмотрим еще вопрос о сходимости многочленов Лагранжа вне
отрезка интерполяции, другими словами, вопрос экстраполяции.
Всегда возможно продолжить функцию / {х) за пределы отрезка
[—1, +1] и предположить, что / {х) — Рп{х) — еп{х) еще стремится к
нулю на некоторой части, внешней по отношению к этому отрезку.
Для возможности экстраполяции, т. е., при обозначениях предыдущего
параграфа, для. того чтобы разность / (х)—Rn(%) стремилась к нулю
вне отрезка [—1, -f-1], необходимо и достаточно, чтобы функция
* См. статью A51*), которая будет помещена во 11 томе. (Ред.).
258
стремилась к нулю вне отрезка. Чтобы получить наиболее благоприят-
благоприятные условия для экстраполяции, необходимо определить многочлен
^U+i (х) из следующего условия: нужно подобрать корни а0, av . . ., ап
многочлена -4п-и (х) таким образом, чтобы среди всех многочленов Нп(х),
-для которых \Нп (а{) | <; 1, максимальное значение М, которого они мо-
могут достигнуть во внешней точке х, было возможно малым. Легко ви-
видеть, что нужно взять ^4п-н (х) — = ]/1— х2 sin n arc cos x.
Действительно, если заданы точки а-и то мы видим, что многочлен
Нп(х), который во внешней точке х достигает максимального значения
М, дается выражением
Ъ(х^-^(оу C)
Следовательно, если -4п-м (х) = j/l — х2 sin n arc cos x, то
Нп (х) = cos n arc cos х,
и в точках ai отрезка [—1, +1], отличных от корней уравнения
]/1 — х2 sin n arc cos x — О,
I -#n (#i) | остается меньше единицы, так что многочлен C), соответствую-
соответствующий этим точкам а,-, привел бы в точке х к значению, большему, чем М'.
Выбрав таким образом узлы, мы получим
' | Вп (х) К -^ [(х + \fx* - 1)- + (х- \fx2 - 1)«],
если | / (л:) — Рп (х) |< ?п на [—1, +1].
Таким образом, для того \тобы можно было экстраполировать
функцию f (х) вне стрезка [—1, +1] при любом п, достаточно, чтобы
она была аналитической; для того, чтобы ее можно было экстраполи-
экстраполировать для бесконечного мпожествл значений п, достаточно, чтобы она
была квазианалитической. Ясно, что экстраполировать эти функции
можно и с другими узлами г и при этом (в случае сходимости) мы всегда
придем к той же самой функции вследствие единственности аналити-
аналитического и квазианалитического продолжения2.
6. Интересно исследовать, существуют ли еще другие экстраполируе-
экстраполируемые функции, кроме аналитических и квазпаналнтических* Для этой
цели докажем сначала следующее предложение:
Если интерполяционные многочлены Лагранжа Rno(x), Rni(x), . . .,
Rnic(v) для функции f(x), относящиеся соответственно к узлам
{al,a\,...,al), (ej, a\, . . ., а*,), . . .
1 Указанные здесь узлы (совпадающие с точками отклонения cos 1_ многочлена
Чебышева) обладают только тем преимуществом, что они дают возможность экстра-
экстраполировать в максимально удаленных точках вещественной оси.
2 См. мою работу «Об определении и свойствах аналитических функций веще-
вещественной переменной» [18].
259 17*
отрезка [—1, +1], остгются ограниченными на некоторой части, внеш-
внешней по отношению к этому отрезку, и если то же самое можно
сказать и о многочленах Rni,(x,a), которые мы получаем, добавляя
произвольный узел а отрезка [—1, +1], то функция f (x) может быть
продолжена аналитически или квазианалитически в эту внешнюю часть
в зависимости от того, остъет^я ли —— ограниченным или нет.
Действительно,
Rnk (x,a)- Rns (x) = [f (а) - Rnji (а)] -""
ао на — А1
Следовательно, предполагая для определенности, что х^>1, имеем
если ";>^ри -^n^CPi таким образом, мы видим, что функция /(а) —
X —~~ 1 X ~j~ 1
аналитическая в окрестности # —1.
Здесь, так же, как в случае интерполяции с равноотстоящими узлами,
необходимо ввести многочлены Нщ(х,а), если мы хотим опять прийти к
аналитическим функциям. Отбрасывая добавочные многочлены Дп>(#, а),
мы приходим к вопросу о том, какозы функции f(x), допускающие не-
неограниченное приближение на отрезке ABC многочленами Рп(х) степени
/г, которые совпадают с, функцией f (х) в п + 1 точках отрезка АВ,
представляющего часть отрезка ABC.
Аналитические функции, как мы видели, обладают этим свойством
(если только часть ВС не слишком велика); более того, это свойство
вообще исчезает, если функция неаналитическая (или если она обладает
особенностью в точке В). Тем не менее не подлежит сомнению, что это
свойство встречается и у некоторых неаналитических функций, образую-
образующих особый класс функций, которые можно назвать экстраполируемыми.
Приведем пример. Пусть дан ряд, сходящийся при — 1 <; #<; 1,
„ п
о / \ sin 2 arc cos x . t \ ^ vn л о / \
где ?>п(х)= 7= (Ап—постоянные). Сумма у AS:(x) пред-
V 1 — х2 *-*
о
ставляет многочлен степени 2П—1, совпадающий с / (х) в 2п точках
(к + 1)п (к + 2П — 1)ти
cos-^hft-' • • •' cos—^п
которые путем подходящего выбора к могут быть всегда расположены
в произвольной части длины }/ отрезка [— 1, +!]• В качестве при-
примера экстраполируемых функций мы могли бы указать также функцию
Вейерштрасса г, не имеющую производных. Однако, вообще говоря, не-
невозможно заставить стремиться к нулю ту часть отрезка, где распо-
расположены все заданные узлы.
1 См. § 7 моей статьи «Об асимптотическом значении наилучшего приближе-
приближения аналитических функций». «Сообщ. Харьк. матем, об-ва», т. 13 [8].
260
Действительно, если бы многочлен Лагранжа заданной степени стремил-
стремился в этом случае к предельному многочлену, то это обязательно был
бы многочлен Тэйлора и функция была бы аналитическойх (если степени
многочленов п^ таковы, что —l-L— ограничено), или, по крайней мере,
бесконечно дифференцируемой и разложимой в ряд Тэйлора, который
можно суммировать, группируя члены если —1J— не ограничено 1.
7. Рассмотрим, наконец, вопрос, связанный с предыдущим, а именно
вопрос о приближенном вычислении определенных интегралов, Матема-
Математики, которые занимались этим вопросом, считали обычно подинтеграль-
ную функцию аналитической', исходя из этого предположения и вводя
последовательные производные, они получали верхние границы для
совершаемых погрешностей. Однако, пользуясь методом Гаусса и его
различными обобщениями, можно отбросить это ограничение и получить
простым способом верхнюю границу погрешностей, которая даже для
аналитических функций будет более точной, чем граница, к которой
приводит рассмотрение последовательных производных.
Действительно, пусть
ь
/ = 5 / (ж) dx
а
— интеграл, который нужно вычислить, где f (х)— непрерывная функция,
и пусть Еп/ (х) — наилучшее приближение / (х) многочленами степени п на
отрезке [а, Ь]. Напишем / (х) = P2n+i(x) + [f(x) — Pin+i (я)], где P2n+i (ж)—
многочлен наилучшего приближения степени 2п + 1 функции f(x). Поло-
Положив это, воспользуемся для вычисления интеграла / методом Гаусса,
обозначив через 1п+\ приближенное значение
i=0
где ах — корни многочлена Лежандра степени тг+1, А% — коэффициенты
Гаусса, обладающие следующим основным свойством:
+T- (еслп
Таким образом,
П+1 Ъ
2 АгР2п+1 (fli) = J ^2^+1 (X) dx,
i=»0 a
1 Это вытекает из следующего предложения, являющегося непосредственным
результатом моих упомянутых выше исследований вещественных аналитических
функций: Если ряд f (х) = ^ хПРп (ЖЬ г^е ^п (х) — многочлен степени, не превышаю-
превышающей кп, причем к фиксировано, сходится в некотором промежутке, то функция
f (x) аналитична в точке 0.
261
следовательно,
/ - In+i = \ f (X) dx - |] ^/ (Oi) =
a i=0
= I (/ (*) - ^2n+l (Ж)] ^ - ^ Ai [f (Oi) - />2n+l (а4)].
a i = 0
Отсюда
I / - /n+11< 2 (b - a) E2n+i f (x), D)
так как
i=0
Полученное неравенство D) показывает, что метод Гаусса применим ко
всем непрерывны ль функциям. Теперь применим неравенство D) к ана-
аналитической функции. Возьмем, например, интеграл
1
/ = \ -о = log 2.
-1
Из формулы F) моей статьи «Об асимптотическом значении наилуч-
наилучшего приближения и т. д.» [9] следует
Поэтому здесь
Хорошо известное вычисление погрешностей по способу А. Маркова1
дает
/_/.,- 2*П+3 I 1-2-..(^ + 1) \2 [log C -
1 in+i - Bл + 3)! \(п+2) . . . B/1+2)/ L bV
где |х|<<1. Мы получили бы, следовательно,
\^ 2
Т—
i
f
2) B/г + 3) ((я +2) . . . B/1+2)
откуда мы сразу видим, что правая часть E) значительно меньше, чем
правая часть F). Неравенство E) показывает, в частности, что для
получения погрешности, меньшей, чем —, достаточно взять в формуле
/ 2 \
Гаусса п = 5 (неравенство F) даст при тех же условиях j^\ .
Мы приходим к эквивалентному неравенству для метода Эрмита —
Чебышева, относящемуся к случаю интеграла
1
1 См., например, Encyklop. math. Wissensch., II A2, стр.125.
262
По формуле Эрмита для приближенного значения Н,
и из рассуждений, аналогичных предыдущим, получаем
_1 г=1
откуда
[Я-ЯпКгти^.^/^)]. G)
8. Менее удовлетворительны результаты, относящиеся к вычислению
интегралов методом Котеса. Действительно, пусть
Cn+l = AJ @) + AJ f|U ... + Avf A)
— приближенное значение интеграла
1
C=\f(x) dx,
о
где Ai — коэффициенты Котеса. Благодаря свойствам этих коэффициентов
получаем Cn_j_i = С, если / (х) — многочлен степени, не превышающей п-
Следовательно,
С - Сп+1 - J [/ (ж) - Р, (re)] dx-j^Ai [f (аг) - Рп (<ц)],
0 г==1
откуда
IC-Cn+iK^nf/И] I 2|^i| + ll. (8)
Если ^г не очень велико, то Ai^>0 и тогда V|^i[ = l. В этом случае
не следует пренебрегать формулой Котеса, так как ею легко пользоваться,
и мы получаем (при п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9):
\C — Cn+i\<2En[f(x)\. -(8')
Таким образом, подставляя /г = 9 для вычисления интеграла
1 1
С dx
\
-1 0
получаем погрешность, меньшую, чем
4
8 [3 + 2 ^2]9 2 C + 2 К)9 10? '
Но если /г неограниченно возрастает, то вероятно, что д У|М*/ оудет
возрастать неограниченно; таким образом, могут существовать функции,
для которых формула Котеса неприменима для очень больших п. Этот
вопрос, связанный с вопросом о сходимости многочленов Ньютона, было
бы интересно изучить более подробно.
21
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ БЕСКОНЕЧНО
РАСТУЩИХ СТЕПЕНЕЙ*
В моих прежних исследованиях об асимптотическом значении наи-
наилучшего приближения аналитических функций* я ограничился вычисле-
вычислением первого члена асимптотического разложения. Укажу здесь неко-
некоторые результаты, касающиеся вычисления последовательных членов
этого разложения.
Л В
Остановимся подробнее на функции / (х) = +
(х — аJ г (х — а) (а2 —1) '
где а>1. Из формулы
D / \ 1 cos (ткр 4-&) / г, ах —1\ /<ч
R (Х) = ¦ г ^__ггТ- COS<S = ?, COSO = , A)
где Rn (x) — многочлен, наименее уклоняющийся от , выводим
f(x)-AR'n(x)- ^? =
. 2Аа — В \
_ А УЛ—xl Sin (лэ + 8) 1. B)
п х — a J
Следовательно, полагая
A Vl — х*
. п х — а
* Печатаемый здесь текст в значительной части является переводом § 19 фран-
французской монографии «L. S.», представляющим несколько расширенное изложениь
заметки «Surledeveloppement asymptotique de la meilleure approximation par des po-
lynomes de degres infiniment croissants des fonctions rationnelles»; «Gomptes rendus»,
t. 175, 1922, стр. 804—806 (89*).
1 «Bull. Acad. Belgique», 1913 [9]; «Gomptes rendus», t. 158, 1914, стр. 467 [15].
264
можем правую часть равенства B) представить в виде
-.у
nVa* — 1 / и2 (х — а)* , ... .
-————=— '— cos (n? + о + г).
Таким образом, при любом п справедливы неравенства
У
Е / ()
2Аа — В
откуда, наконец, получаем
л . 2Ла —
где 0<^8<^1, для достаточно больших значений п. Посредством анало-
аналогичного вычисления мы получили бы вообще
—1)!(а2__!)
2
2)(*-1П
5^П
Отметим, что присутствие в этом асимптотическом выражении членов,,
содержащих А2//г, является главной причиной трудностей, которые воз-
возникают при определении наилучшего приближения функций, обладающих
существенной особенностью. С другой стороны, присутствие множителя
|/^а2 — 1, всегда сопровождающего п, является причиной прерывности
соотношения B7) статьи [9], когда a—>1.
Возвращаясь снова к нашей функции f(x), вычислим третий член
асимптотического выражения для En\f(x)]. Исходя из равенства B), мы
сводим отыскание многочлена, наименее уклоняющегося от f(x), к на-
нахождению многочлена, наименее уклоняющегося от
F (х, X) = \А + ^ __ j cos (w? + о) - АХ х_а sin (wcp + 8), F>
при X = — ; при этом мы знаем, что многочлен, наименее уклоняющийся
от F(x,O), равен нулю, и наименьшее уклонение
достигается с противоположными знаками в точках х&, где cos
Как известно1, для всякого определенного значения п коэффициенты-
многочлена Р(х,Х), наименее уклоняющегося от F (х, X), так же как
точки отклонения х& и наилучшее приближение L (X) = Еп [F (х, X)], раз-
разлагаются по степеням X для достаточно малых значений X. Ввиду того,,
что в данном случае нас интересует лишь формальное разложение по
1 «О наилучшем приближении непрерывных функций и т. д.», § 36 [3].
265
степеням 1/тг, нет надобности заниматься исследованием вопроса о тем
является ли разложение L (X) сходящимся при \ = у, а достаточно
только вычислить его последовательные коэффициенты. Полагая
имеем
±Ь(Ц = Ф{хк, I),
в последовательных точках максимального отклонения х;с. Следовательно,
dL(k) ЗФ (**»*)
— dX д\ '
дФ (хк1 X)
"гак как —т—— = О, если |^|<[1; поэтому, вследствие того, что
4F (хк% 0)
——— = 0, заключаем, что имеет место равенство
dL@) _ др (^ 0) _ 0
так как многочлен —— степени п не лтожет иметь противоположных
-знаков в п -f- 2 точках. Таким образом, как мы знаем уже на основании
A \ 1
.неравенства C), Li —) с точностью до -^ равно
гт * т б/2Ь (X)
Чтобы определитьх — \ , заметим, что
С1А
_. d2L (\) __ д2Ф (± 1, X)
— dX2 ^X2" ?
и во внутренних точках отклонения2
— d\2 Оа2 За дх d\ дх2
откуда, принимая во внимание соотношение
аФ (^, X) У^ __
"~ дх2 dX ~~ *
следующее из тождества ~ = 0, получаем
(хк, а)
д2Ф (хк, X)
d2L
1 Известно, что-^z-2 ]> 0 (см. цит. место).
2 Знак + означает, что нужно брать последовательно противоположные знаки
шри переходе от индекса к к индексу к -f~ 1.
266
Следовательно, при X = О
d*L@)
Таким образом, для определения многочлена ^ ' степени п и [ •
мы имеем п -\- 2 уравнения вида
которые должны выполняться во всех точках х%, где cos (/гср —J— в) == —|— 1
(включая точки Чг 1); здесь для краткости положено: р = —чг4- (> 0). Заме-
Замечая затем, что рассматриваемые точки х1с являются корнями многочлена
S (х) = sin (по + 8) /1 - х2 (я - а)
степени п -f- 2, мы получаем, применяя интерполяционную формулу
Лагранжа,.что
/12 /4 Г2,
n+i [A+ 2AaJZ±
02Р (X, 0) _ ^ , ^ V д^д2„1
тт <92^ (^, 0)
Но учитывая, что степень многочлена — ' 7 равна д, для определения р
нужно приравнять нулю коэффициент при хп+1 в правой части, что при-
приводит к уравнению
n+i Г ^42 и __ Х2> 1
так как
^S" (л.*) = ± [л (ж^ - а) - /а2- 1].
Таким образом,
2;
П+1 /IM1 г2)
Р= — П-^
-яJ [п
267
Следовательног,
f sin2 ф б/ф
J (cos ф — a
jLAn{xk — af J (совф- „,
ljmp = hm —p =A— = 2(a'-l)-
?1->ОЭ П->ОО ' ^ ^ ^ I" -V
cos ф — a
0
Итак, пренебрегая более высокими степенями, чем 1/тг2, получаем,
наконец,
Т ( { \ — 4 О- 2Лд-^ ! Л
\nj ^ п^а2—1 4/г2(а2 —1)
Следовательно,
А , в
2Аа — В А
/Н5СГ1 + 4/г(«2-1) J-
Можно было бы применить тот же метод для определения следующих
членов, но вычисления становятся сложными [21.1].
1 Мы предполагаем, что В не возрастает бесконечно вместе с /г.
22
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ*
1. Пусть
f(x) = A0 + A1x+...+ Anxn + ...
— целая функция, обладающая тем свойством, что
n
lim Y\ /(n)(°)! = ит V^\ \ А„ \ < p. A)
?i->co n->co
Я утверждаю, что если мы имеем для всех вещественных х значений х
неравенство
\f(x)\<M, B)
то мы будем также иметь для всех вещественных значений х неравенство
C)
При этом граница, даваемая выражением C), достигается для функ
ции М sin px.
Доказательство основывается на следующих соображениях. Будем
говорить для краткости, что функция, удовлетяоряющая условию A),
имеет степень, не большую р [22.1]. Ясно, что степень не зависит от
выбора начала. Таким образом, мы приходим к задаче: доказать,
что — sinpa; есть функция степени, не превышающей р, которая наименее
уклоняется от нуля на вещественной оси среди всех функций этого
класса, удовлетворяющих условию /' @) = 1. Но, чтобы доказать это,
достаточно установить, что не существует нечетной функции ср (х) сте-
степени ^р, ограниченной на вещественной оси, для которой ср' @) = 0 к
которая в точках, где cospx = 0, принимает значения с чередующимися
знаками.
* Sur une propriete des fonctions entieres. «Comptes rendus», t. 176 A923),
стр. 1603—1605 (92*).
1 Вместо вещественной оси, очевидно, можно было бы взять любую другую
фиксированную прямую.
269
2, Из формулированной теоремы легко вывести следующее предло
жение:
Пусть все оц положительны и f (х) = Ао + Ах cos т.хх -\- Вх sin а±х + ...
. . . + Ап cos апх + Вп sin апх, причем ап > ах для ?г > г. Ес/ш | / (ж) j <
<? (—оо<ж<оо), mo |/'(z)|<otnL (— оо<><оо).
Действительно, это вытекает из того, что f (х) имеет степень <^а„.
Это предложение представляет обобщение теоремы, которую я устано-
установил раньше для случая, когда «j — целые числа1.
Укажем еще второе следствие нашей теоремы:
Если
с
/(*) = 2тг*п> где lim Уы = л,
О п-->оо
то функция f (x) не может оставаться ограниченной ни на какой пря-
мой, проходящей через начало, если —^ не ограничено.
Rn
3. Наконец, очевидно, что изучение приближения непрерывных функ-
функций при помощи функций конечной степени на вещественной оси приво-
приводит (благодаря теореме § 1) к результатам, аналогичным тем, которые
я установил в упомянутом выше мемуаре относительно периодических
функций, обладающих производными данного порядка.
Пусть, например, | / (х) — /n (x) | <С^п на всей вещественной оси, где
/ (х) — функция степени рп. Если можно построить последовательность
оо
функций fn{x) возрастающих степеней рп так, что ряд 2 snPn+i схо~
№=1
дится, то функция f (х) имеет на всей вещественной оси непрерывные
производные до порядка р включительно. Это будет иметь место, в част-
частности, еслрг окажется возможным подобрать числа р таким образом,
чтобы 1 -< а <Г п4~1 << 6, причем соответствующее этим числам прибли-
жение
<
где о>0.
С другой стороны, если / (х) допускает неограниченное приближение
на всей вещественной оси при помощи функций /п(я) ограниченных сте-
степеней, то сама функция f (х) будет обязательно целой и притом конеч-
конечной степени. (Наоборот, из одной теоремы, выведенной мною в упомяну-
упомянутом выше мемуаре, следует, что произвольная непрерывная функция,
которая стремится на бесконечности к определенному пределу, может
быть на вещественной полуоси приближена с любой степенью точности
посредством целых функций ограниченных степеней.)
1 См. [3] (стр. 25—26).
23
ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОГОЧЛЕНОВ
И ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ *
1. Теорема. Пусть R(x) — заданная целая функция рода нуль или4
многочлен с вещественными коэффициентами, имеющая только комплексные
со
корни oi;e^zi$T?, где [К^>0, причем ряд 2j ~q~ сходится; пусть, с другой
стороны, Р (х) — какой-нибудь многочлен или любая функция рода нуль*.
В таком случае, если для всех вещественных значений х
Р{х)
то обязательно
\Р'@)\<
Чтобы доказать это, предположим сначала, что R (х) — заданный мпа
гочлен степени 2п, для которого Д@) = 1, и что
Р (х) = а0 + х + alX* + . . .
— произвольный многочлен, подчиненный условию Рг @) = 1, к которому
присоединяем временно условие Р@)=а0. Лег-ко доказать, что для тогог
чтобы - наименее уклонялось от нуля на вещественной оси, доста-
V R(x)
точно, чтобы многочлен Р (х) степени, не превышающей п, удовлетворяю-
удовлетворяющий двум требуемым условиям, достигал своего максимального значения?
с чередующимися знаками по крайней мере в п точках.
Но, полагая
' ^) М- ^-^-),
' (х) - it (х) = A - —^ 1... И
* Sur les proprietes extremales des polynomes et des fonctions entieres sur l'axe
rc'el. «Comptes rendus», t. 176 A923), стр. 1782—1785 (93*).
271
так что
мы видим, что каковы бы ни были А и В,
,, , _ As (x) + Вг (х)
— Vr ( )
достигает максимального уклонения |Л42 + В2 в п точках вещественной
оси с чередующимися знаками. Следовательно, достаточно определить
А и В из двух условий
As @) -f Bt @) - а0, Asr @) + Bt' @) = U
а так как первое условие не существенно, сохраняем только второе усло-
условие, добавляя, что А2 -\- В2 должно быть минимально. Таким образом,
минимальное уклонение L будет
г i / л о ', тЧо~ 1
(и утверждение теоремы доказано для случая многочленов.
В случае, когда R(x) — целая функция* рода 0, а Р (х)—многочлен
или целая функция рода нуль, ф)нкция / (х) также осуществляет экстре-
экстремум. Чтобы доказать это, построим функцию
удовлетворяющую тождеству
Таким образом, точки наибольшего уклонения / (х) являются корнями
функции fi(x), которые мы обозначим через Yi» Тг» • • • Следовательно,
достаточно показать, что функция вида
"(где Ajt ограничены и положительны, а функция Q (х) — рода нуль) не
может обратиться в нуль в начале вместе со своей первой производной,
оставаясь ограниченной для всех вещественных значений х.
Из теоремы 1 можно сделать интересный вывод.
2. Теорема. Если Р (х) и
* Мы можем и теперь положить R @) = 1 (Автор,)
272
где рп>0 м ряд 2~гГ~ сходится, суть две целые функции рода нуль и
если для всех вещественных значений х
то для всех вещественных значений х
| Р (х) |<L| s' (х) + it' (х) |, | Р" (х) \<CL\s"(x) + it"{x) j, ... A)
Это обстоятельство позволяет уточнить известные результаты Вимана
о росте функций рода нуль и порядка р <^~— в произвольном направле-
направлении. В самом деле, пусть
1ОО ОО
П D + if) + П (l - У =! + <** + ...+ **» + ...;
71 — 1 72—• 1 J
если для функции рода нуль
p (x) = a0 -j- aLx -\- ... -J- dnXn +.. ., где lim n2 y\ an\ = 0,
и отношение —— не ограничено, то функция
Р(х)
/Si '
1/ ПГ'И-1*1"
К 11 i+T2
ке может оставаться ограниченной ни в каком направлении] в то же
время существуют функции Р (х), для которых отношение
ограничено в некоторых направлениях*.
3. Принимая определение степени целой функции, которое я дал в моем
предыдущем сообщении [22] (см. [23.1]), можно обобщить теорему 2 следую-
следующим образом.
Теорема. Пусть Р (х)—целая функция степени р; при этом
s (x) + it (x) имеет то же значение, что и выше. Если для всех веществен-
вещественных значений х
то для всех вещественных значений х
| Р' (ж) |< L | [sr (х) + it' (*)] + гр [s (x) + it (x)]
| Р" (я) |< L | \s" (х) + it" (x)] + 2ф [8' (х) + it' (х)] - Р2 [* (х) + it (x)]\, B)
* См. «L. S.», стр. 93—95. (Автор.)
18 С. Н. Бернштейя, т. I
24
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ,
ОБЛАДАЮЩИХ СУЩЕСТВЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ*
1. Пусть
оо
/ (Х) = У h
есть функция, обладающая единственной существенной особой точкой а>1
Каково асимптотическое значение ее наилучшего приближения Еп [/ (х)]
при помощи многочлена степени п на отрезке [— 1, -f 1]? Мною пол-
полностью исследован случай, когда Ah^>>0 [24.1].
Полученный общий результат, вывод которого слишком длинен, чтобы
приводить его здесь, таков:
где
dah \а + У а2 — 1 /
Формулу (!) можно привести к более удобному виду, если сделать
конкретные предположения относительно порядка убывания коэффициен-
коэффициентов Ah.
h
Так, например, в случае, когда lim h Y^n = О,
(а2 _ 1) {а + yjT-iy Еп у {х)] _ J- _^__
B)
h— 1
J h
и в случае, когда lim /г2
fa->oo
(а- - 1) (а +1^=1)" ^„ [/ (,)] ~ | %± [F^T + ^^ C)
* Sur la meilleure approximation des i'onctions possedant un point singulier
essentiel. «Gomptes rendus», t. 177 A923), стр. 99—101 (94*).
274
Можно было бы привести аналогичные формулы для случая, когда
h
lim /г1/р YAh = О,
где р — заданное положительное число.
Применяя указанные формулы, находим, например:
a* — l)n ?n(cos
з
с
.у п
Г 4 J-V-1
rZTI[ 2(a2-l)
(а + /в. _ ,)«*„ [*-,) „ ' 2К-(а1_1)./.д./<- • (Е)
В общем случае можно утверждать, что если У Ah будет порядка h~ ,
произведение (а + 1/"я2 — ^)п Еп [/ (ж)] [асимптотически равно
/ -!
ехр \А/г1+р/, где к — положительная функция от п, ограниченная сверху
н снизу.
Из формулы A) следует также, что соотношение
En [f {х)] --^Enlf (х)} ~ уф= Еп [/ (х)}, D)
которое я вывел для случая алгебраических особенностей, действительно
также и для случая существенно особой точки, если только коэффи-
коэффициенты Ah ^ 0.
2. Случай, когда коэффициенты Ah — любых знаков, представляет
значительно большие затруднения, которые мне удалось преодолеть
только при условии, что коэффициенты Ah достаточно быстро убывают,
не говоря, конечно, о случае, когда f (х) — fi(x)—/2 (х), причем f1{x),
/2 (х) — функции такого же рода, что и раньше, и обладающие асимпто-
асимптотически неравными значениями наилучших приближений; в этом случае
мы имеем просто [24.1]
En[f{x)]~\En[fl{x)\-En[h{x)}\.
Когда знаки Ah произвольны, мы обычно замечаем значительную
неправильность убывания наилучшего приближения, представляющую не-
некоторую аналогию с законом убывания коэффициентов разложения Тэй-
лора, если на окружности сходимости имеется существенная особая точка.
Чтобы приближенно исследовать закон убывания величины наилучшего
приближения, можно воспользоваться разложением рассматриваемой функ-
функции по тригонометрическим многочленам, однако асимптотическое значе-
значение этим способом вообще нельзя получить [24.2].
Посредством довольно тонких рассуждений мне удалось показать, что
соотношение B) справедливо для бесконечного множества значений п (ноу
275 18*
вообще говоря, не для всех значений п, если знаки Ah произвольны),
h
при условии, что Л2 ]/~| Ah \ ограничено [24.2].
Так, например, если Ah
? то
^~I)nЕп [f (x)] ~\
cos
при всех таких значениях п, для которых F (ri)^ F {пх) при п^>пх.
В общем случае можно утверждать только, что имеется бесконечное
множество значений п, для которых Еп [/ (ж)] будет порядка
1 у Ah\Ph
25
ЗАДАЧА ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ*
В лекциях «L. S.», читанных мною в прошлом году (май 1923 г.) в
Сорбонне, я занимался между прочим вопросом приближения непрерывных
функций многочленами на всей вещественной оси. Эта задача, которая до
сих пор не была систематически исследована, может иметь многочислен-
многочисленные приложения, из которых я укажу задачу Адамара относительно усло-
условий, достаточных для того, чтобы функция была полностью определена
совокупностью значений всех ее производных в одной точке. В первой
главе настоящей статьи я напомню и дополню те результаты, изложен-
изложенные в моих лекциях, которые мне понадобятся в дальнейшем для иссле-
исследования проблемы моментов и решения задачи Адамара, рассматриваемых
во второй главе.
1. Пусть ср (х) — данная положительная функция, a f (х) — произволь-
произвольная непрерывная функция. Обозначим через Е% (х) [/ (х)] наилучшее при-
приближение функции / (х) многочленами степени п на всей вещественной
оси при весе —г- . Другими словами, если мы рассматриваем совокуп-
совокупность наибольших отклонений от нуля выражений
f{x)-Pn{x)
ФИ
(для — оо < х<С оо), где Рп (х) — произвольные многочлены степени и,
то ?ф(х) [/ (х)] есть нижняя грань этой совокупности. Мы будем говорить,
что функция / (х) допускает приближение многочленами при весе 1
Ф (х) 9
если
* Le probleme de l'approximation des fonctions continues sur tout Гахе reel et
Tune de ses applications. «Bull. Soc. math. France», t. 52 A924), стр. 399—410 A02*).
277
Весьма важно решить следующий вопрос: определить порядок роста
ср(#), при котором Е^х) [f(x)]=Q. В моих лекциях я доказал сле-
следующую теорему:
/' X2 \ ( X2 \
Теорема I. Пусть ср (х) = A + —<г).. . 1 Н—у ... Если ряд
1
V — ф?С>0) расходится, то
x)] = 0 для любой непрерывной функции
f(x), удовлетворяющей условию lim ' х\ = 0; наоборот, если ряд У —
х ->со Ф \Х) ^ ?п
сходится, то равенство Др(Х) [/ (х)] = 0 требует, чтобы f (x) была целой
функцией, порядок которой не превышает порядка функции о (х) [25.1].
Так как в дальнейшем мы не воспользуемся второй частью этой тео-
теоремы, я ограничусь здесь указанием основных пунктов доказательства ее
первой части.
2. В основу доказательства положим следующую лемму [25.2]:
Лемма 1. Пусть R (х) = s2 (х) + t2 (z) — многочлен степени 2п, все
корни которого с^ + фл: комплексные и попарно сопряженные D3&>О).
Пусть, с другой стороны, Р (х) = р0 + х + Р\%2 + . .. — многочлен про-
произвольной степени. Если Л@) —1, то выражение
\Р(*)\
VR{x)
не может оставаться меньшим,, чем
A)
на всей вещественной оси, и можно выбрать многочлен Р (х) таким об-
образом, чтобы рассматриваемое выражение не превысило значения М.
Принимая эту лемму, рассмотрим в частности случай, когда много-
многочлен R(x) — четный. Тогда ясно, что многочлен Р(х), осуществляющий
минимальное отклонение М, будет нечетным.
Таким образом, мы можем сказать, что минимальное отклонение выра-
выражения вида
»/„л _ * + /V3 + Р**ь4- . . .
VR{x)
будет в этом случае равно
п
s-
1
1
+
«f+pf
где первая сумма в знаменателе распространена на чисто мнимые корни,
а вторая сумма относится ко всем прочим корням, вещественная часть
которых Ч-azSO*
Заметим, что в выражении В (х), осуществляющем минимальное отклоне-
отклонение М, степень числителя равна п—1; кроме того, это отклонение дости-
278
гается с чередующимися знаками для. п/2 положптелытых значении х
(для определенности берем п четным).
Точно так же, если мы предполагаем, что выражение
х + дгх* + Ч^ + • • • + Яп/2 хП
VR (х)
наименее уклоняется от нуля среди всех выражений этого вида на поло-
положительной оси, то отклонение N функции А (х) будет достигаться с че-
чередующимися знаками в п/2 точках тт па бесконечности. Я утверждаю,
что
E^[\x\] = N<M. B)
Действительно, допустим, в противоречие с нашим утверждением,
что N^>M\ тогда в точках, где А (х) имеет экстремум, А(х) — В (х)
будет иметь тот же знак, что и А (х), и будет поэтому обладать по
крайней мере п/2 положительными корнями. Но так как коэффициенты
А(х) имеют чередующиеся знаки, то коэффициенты А (х) — В (х) имели
бы п — 1 перемен знака, и число корней А (х) — В (х) не могло бы быть
больше 2 — 1. Аналогичным путем можно доказать невозможность ра-
равенства N = М, но я не останавливаюсь здесь на этом, поскольку на
дальнейшее не повлияет замена неравенства B) неравенством N<^M.
Отсюда мы заключаем, что
и, заметив, что увеличение степени числителя не может улучшить при-
приближение, получим
Я1Гпщ[\*\]<М. C)
Пользуясь приемом, который я уже применял в аналогичном случае,
можно установить нижнюю границу для E,r-^jzч [| х |], которая представ-
представляет собою величину того же порядка (см. упомянутые выше лекции
«L. S.»).
3. Если степень многочлена R (х) неограниченно возрастает, причем
его разложение в произведение сгруппированных попарно сопряженных
множителей сходится, то произведение R (х) стремится, возрастая,
к предельной функции ср (х), которая является целой функцией рода
О или 1, если только мы допустим, что ал<^^ при достаточно больших к
(в теореме I, формулированной вначале, мы предположили даже, что
а* = 0 [25.3]).
Следовательно
и I х I допускает приближение многочленами при весе , и тем бо*
V с?(х)
лее при весе , если целая функция ср (х) будет рода 1 (это было бы
279
невозможно, если бы ср (х) была рода 0). Теперь легко доказать вы-
lim —-у = 0
допускает приближение многочленами при весе —г- , какова бы ни была
целая четная функция ср (#) рода 1 (при аЛ<;C&) [25.3].
Действительно, пусть 8 — произвольно малое число; возьмем какое-
нибудь число /, достаточно большое для того, чтобы \f{x)\<C§v(x)t
если | х | ^> /.
Установив это, положим
/i И = / (х) для |
h(x)=f{l) для а>/, E)
/1 (х\ — / ( Z) для х ^С /•
Построим ломаную линию Sx (x) так, чтобы
\Ji\x) ~ °i\x) \<^°г \х) Длн 1Ж1\^» /лч
О / \ ^ / \ 1^7 (Ь)
Ч I ^у 1 Т I *У I ТТ ТТ Я" 'У J> /
1 V / — /l V / /j,tii/i t*/ ^?' t» •
SL (x) можно представить в виде
о j^ V1^/ — 0 ~Т~ / 1 jC^-k \ **s ^U j
где |<2д:|<^/. Тогда, при сколь угодно малом г, можно в силу пре-
предыдущего построить многочлены Ри{х) достаточно большой степени для
того, чтобы иметь на всей вещественной оси
\х - аи | - Рк(х) |<е<р \^—~"J<s [ср (х) + ср (/)],
поскольку ср (х) растет вместе с абсолютным значением х. Таким обра-
образом, накладывая на г условие г^ j Аи \ 9 @ <С 8 ^ Scp (x), мы получим путем
сложения многочлен Р (х), для которого
так что, в силу F),
Итак, окончательно
\/(х)-Р(х)\<Щ(х) для
и
что и требовалось доказать.
/ X2 \
4. Так, например, полагая ср (х) = (J + %2) • • • A Ч—^ )••••» находим,
что всякая непрерывная функция допускает приближение при весе е~\х\
но не допускает приближения при весе е~~'х 9 если а<^1.
280
Лемма 2. Положим вообще
?).. = e^x) = ePM. G)
Если \ и (х) dx неограниченно возрастает вместе с х, то ср (х) есть функ-
функция рода 1; в противном случае ср (х) есть функция рода 0 [25.4].
Действительно, обозначая через п(х) функцию, обратную |3П, и по-
/ ч 2п(х)
лагая if (х) = —у-^, имеем
п х х
с?л _ Г л' (х) dx __ 1 Р , , , _1_ , *
следовательно, [^(x)dx будет неограниченно возрастать (при х—>оо)
в зависимости от того, будет ли функция ср (х) рода 1 или рода 0 (так
как оба слагаемых в правой части положительны, причем второе слагае-
слагаемое не может бесконечно расти, когда первое стремится к конечному
пределу). Но
^П 1 , ЛГ1 1
где первая сумма правой части будет порядка 7—р- ==¦ — f (ж), в то вре-
время как вторая имеет порядок
п (х)
Отсюда, умножая на 2х и интегрируя, непосредственно находим, что
х2и (х) = log ср (х) будет порядка
X со
С хч (х) dx + х2 С IM сг^;,
и легко видеть, что \ ^ (х) dx и [и (х) dx одновременно либо сходятся 9
либо расходятся. Действительно,
J j5
0 0 Ox
x oo
Например, полагая 8n = — —= , имеем
r r r n log л log log n '
и (x) =
x log ж log log x
при ограниченном Х.
281
Таким образом, в случае, когда ср (х) молено выразить в форме про-
произведения G), условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
-^ф(х) [/ (%)] = 0, где lim J~—^== О, состоит в расходимости интеграла
со
[ и (х) dx.
со Однако, если дана возрастающая функция р (х) = х2и (х), где
{ и (х) dx расходится, то нельзя утверждать, что можно найти такое
со
произведение ср (х), для которого log ср (х) <^ р (х) при бесконечном f у (х) dx.
X ОО
В частности, это будет иметь место, если \ dx и х2 \ р J dx
J х J х
О х
будут такого же порядка, как и р (х) Ч
Однако, мне кажется вероятным, что ограничение б отношении спе-
специального разложения ср (х), которое предполагает определенную регу-
регулярность возрастания р(х), несущественно, так что расходимость инте-
со
грала j и (х) dx должна была бы быть единственным условием для того.
чтобы E9M[f(x)] -0 [25.5].
II
5. Задача, которую мы только что рассмотрели, находит применение
во многих случаях, где нужно ограничить класс рассматриваемых функ-
функций для того, чтобы бесконечное множество условий некоторого рода од-
однозначно определяло функцию.
Так, например, на основании предыдущего легко установить широкий
класс функций, для которых уравнения
со
\ f{x)xndx = 0 (и = 0,1,..-) (8)
—со
допускают только одно решение / (х) = 0.
Действительно, из (8) следует, что при любом многочлене Р (х)
со
\ f(x)P(x)dx = 0.
—со
Таким образом, если
1 Было бы достаточно, чтобы существовало такое число X, при котором
X СО
Г ГГ р (х) dx 1
1 X
р (х)
или даже если бы р (х) было порядка —— , так как тогда можно было бы отож-
отождествить у (х) с и (х) с точностью до постоянного множителя.
282
то, при сколь угодно малом s>0,
со
2(x)dx<e ] \f(x)z>(x)\dx.
Отсюда следует, в частности, что проблема моментов не может иметь
более одного непрерывного решения f(x), для которого интеграл
имеет смысл, если интеграл \ и (х) dx бесконечен (при ограничении отно-
относительно и (х), приведенном па предыдущей странице).
Задачу Адамара можно исследовать аналогичным образом.
6. Пусть функция f (х) бесконечно дифференцируема на отрезке
[—1, +1]. Составим ее разложение в ряд по тригонометрическим много-
многочленам Тп (х)
СО О"
f (х) = f (cos t) = 2 #n cos nt = 2 an Tn (x).
о о
Сначала мы можем доказать такую лемму:
со
Лемма 3. Если молено построить функцию о (х) = JJj 1 + -^г)
рода 1 так, чтобы ряд 2|ап|?(^) сходился, то функция / (х) будет
тождественно равна нулю, если в некоторой точке х0 (— 1 ~-<т0 <^ 1) она
обращается в нуль вместе со всеми своими производными.
Действительно, пусть #0 = cos?0; тогда, по предположению,
^У Т^) tf* Ь ft /~* /~\ d T'J "f" ¦m^™^ ^w ~w/\ ?л h ™ j— 1 /Tf ^J "I 1^| T'l "§~ —_— I I
Следовательно, если Р (п) я Q (n) соответственно любые четные и не-
нечетные многочлены, то
2 Р {п) ап cos nt0 = 2 Q (n) an sin nt0 = 0.
Теперь мы можем (бесчисленным множеством способов) построить
непрерывную четную функцию F (х), ограниченную на вещественной оси
и удовлетворяющую для всех целых значений п условиям
F (± п) = ап cos nt0.
Но на основании предыдущего мы знаем, что при сколь угодно малом
г^>0 существует четный многочлен Р (х), для которого на всей вещест-
вещественной оси
Следовательно,
со
2 ^n cos2 nt0 = 2 [F {п) — Р (п)] ап cos nt0 <^ s 2 ' #n | ? (^),
о
28-4
откуда 2 апcos2 nio ^ О и поэтому ancosft?0 = 0 при любом п. Построив
таким же способом нечетную функцию Е (х) так, чтобы Е (п) = ап sin nt0
для всех целых значений п,- найдем, что anslnnt0 — 0; следовательно,
ап = 0 при любом п, что и требовалось доказать.
7. Из этой леммы вытекает следующая теорема*:
Теорема II. Если наилучшее приближение En[f(x)] на отрезке АВ
удовлетворяет при любом п неравенству
где ср (х) = Yl{ 1 + -~2~) — функция рода 1, то функция /(х) однозначно
1 Рп-^
определена на всем отрезке значениями, которые она принимает вместе
со всеми своими производными в произвольной точке отрезка АВ.
Действительно, мы знаем, что
En\f{x
Следовательно, ряд
обязательно сходится для всякой функции, имеющей ограниченные про-
производные по крайней мере трех первых порядков; следовательно, наша
лемма применима и дает формулированное выше заключение.
* Теорема II при более общих предположениях доказана была мною тем же
способом в статье [26]. Нетрудно видеть, что, применяя тот же способ, можно полу-
получить еще более общий результат:
Если
где Ф (х)—четная возрастающая функция, и всякая непрерывная функция / (х)у удов-
удовлетворяющая условию lim щ~? = 0, приближаема многочленами при весе ¦
>±
оси, то функция F (х) квазианалитична (т. е. условие F (х0) = FW (х0) = 0 в одной
точке х0 влечет за собой F (х) =* 0 тождественно) (см. [26.6]).
Последний § 8, который в основном покрывается упомянутой статьей [26]
(стр. 301—308), мы опускаем. (Автор.)
26
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ,
ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ПУТИ ОБОБЩЕНИЙ*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 285
Глава I. Аналитические функции и функции квазианалитические (Р) . . . 286
§ 1. Определение и первые следствия 286
§ 2. Область существования аналитической и квазианалитической функции. 288
§ 3. Дифференциальные свойства аналитических функций 292
§ 4. Дифференциальные свойства и примеры квазианалитических функций 293
Глава II. Функции квазианалитические (D) в смысле Данжуа 298
§ 5. Общая проблема продолжения вещественной функции с точки зрения
приближения многочленами 298
§ 6. Проблема Адамара и теорема Данжуа и Карлемана 301
§ 7. Преобразование условия (D) 302
§ 8. Связь между проблемой Адамара и проблемой приближения функции
на всей вещественной оси 305
Глава III. Экстраполируемые функции 308
§ 9. Общая проблема экстраполяции многочленами 308
§ 10. Экстраполяции устойчивая и неустойчивая 310
Глава IV. Функции с абсолютно ограниченным полным изменением .... 313
§ 11 Абсолютно монотонные функции 313
§ 12. Функции с абсолютно ограниченным полным изменением 316
§ 13. Обобщения 319
ВВЕДЕНИЕ1 [26.1]
Теория функций подразделяется на две существенно различные
области: теория функций комплексной переменной и общая теория функ-
функций вещественной переменной. Функции / (х) первого класса (рассматри-
(рассматриваемые в действительной области) обладают тем свойством, что их можно
представить равномерно сходящимся рядом многочленов не только на
данном вещественном отрезке, но еще и в некоторой области, располо-
расположенной вокруг этого отрезка. Со времени Коши изучение этих функций
(аналитических), характеризующихся также тем, что во всякой точке,
расположенной внутри области их существования, они разлагаются в
ряд Тэйлора с ненулевым радиусом сходимости, относят к теории функций
* Generation et generalisation des fonctions analytiques d'une variable reelle.
Первое добавление к монографии «L. S.».
1 Здесь рассматривается исключительно случай одной независимой переменной,
но изложенные соображения, естественно, распространяются и на случай нескольких.
285
комплексной переменной, что же касается общей теории функций
вещественной переменной, которая не может прибегать к понятию ком-
комплексной переменной, то она должна была строиться на совсем иных основа-
основаниях. Конечно, само по себе понятие комплексной переменной не пред-
представляет в наши дни ничего таинственного; было бы бессмысленно ста-
стараться от него избавиться и тем самым лишать себя мощных средств иссле-
исследования, им предоставляемых. Но, с другой- стороны, аналитическим
функциям вещественной переменной присущи некоторые особые свойства,
для изучения которых было бы полезно иметь общие методы, не связан-
связанные с комплексной областью. С этой точки зрения кажется естественным
классифицировать все непрерывные вещественные функции в зависимости
от порядка убывания их наилучшего приближения многочленами данных
степеней и при гтом определять аналитические функции, как допускающие
наиболее быстро убывающее приближение многочленами. Мы это и поста-
постараемся сделать на следующих далее страницах, привлекая внимание
в особенности к тем разнообразным обобщениям аналитического про-
продолжения, которые связаны с этим определением; при этом мы отметим
также несколько теоретических проблем, полное решение которых потре-
потребовало бы еще новых изысканий о сходимости рядов многочленов в веще-
вещественной области.
Мы увидим, что неограниченная дифференцируемость аналитических
функций вытекает как следствие из специального органического харак-
характера этих функций: их нельзя «склеивать», не уничтожая свойства наилуч-
наилучшего приближения или экстраполяции посредством многочленов наимень-
наименьшей степени. Внимательно просматривая таблицы аналитических функций,
нельзя не поразиться правильности в изменениях числовых данных;
с целью по возможности лучше подчеркнуть органический характер
такого рода правильной изменяемости, я поместил в конце этой заметки
параграф, в котором, отправляясь от несколько иной исходной точки зре-
зрения (впрочем, имеющей отношение к прежней), показываю, что аналити-
аналитические функции также естественно возникают как некоторая разновидность
функций с ограниченным полным изменением1.
Глава I
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ (Р)
§ 1. Определение и первые следствия. Функция f (x) называется
аналитической на замкнутом отрезке [а, 6], если ее наилучшее прибли-
приближение En[f (x)] па этом отрезке многочленами степени п при всех зна-
значениях п удовлетворяет неравенству
En[f(x)]<M9n, A)
где М и р <^ 1 не зависят от п.
1 Некоторые идеи, получившие развитие в настоящей заметке, были изложены
в моих прежних статьях: Sur la definition et les proprietes des fonctions analyti-
ques d'une variable reelle, «Math. Ann.», Bd. 75 A914), стр. 449—468 [18]; Quel-
ques remarques sur Interpolation, «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 15
A916), стр. 49—61 [20].
286
Мы будем говорить, что функция f (х) — квазианалитическая (Р) на
замкнутом отрезке [а, Ь], если соотношение A) имеет место для беско-
бесконечно большого числа значений п. Последовательность значений п1,
п2, . . . , пк,. . . , для которых выполняется соотношение A), будем называть
последовательностью (Р) рассматриваемой функции, квазианалитической
(Р). Две функции (Р) принадлежат одному и тому же классу, когда
можно указать такое постоянное число I, что если пк — какое-нибудь
число последовательности (Р) одной из этих функций, то существует
число п'к в последовательности (Р) другой функции, удовлетворяющее
неравенствам
Итак, аналитическую функцию можно рассматривать как квазианали-
квазианалитическую, для которой последовательность (Р) состоит из всех целых
чисел.
Теорема. Если функция f (х) — квазианалитическая (Р), одного и
того же класса1 на двух отрезках ас и bd, с общею частью be, то
функция f (x) — квазианалитическая, того же класса, также на всем
отрезке ad.
Доказательство основывается на следующем замечании: можно по-
построить2 такие многочлены \т{х), степени т, что
\1т(х) — 1 |<?т на ~ab,
| ^т (х) | < tm на Vd, B)
| ^т (х) | <Г т на be,
причем t (t <^ 1) не зависит от т (но, конечно, зависит от длин отрезков
ab, be, cd).
По предположению, мы имеем неравенства
| / (х) - Рп (х) | < Мрп на ~а~с,
\f(x)-Qn(x)\<:M9n на bd,
где Рп (х) н Qn (х) — многочлены степени п. Тогда можно ([3], неравенство (9))
найти такое постоянное число Н, что на всем отрезке ad будем иметь
\Рп(х)\^Нп, \Qn(x)\<Hn.
Имея это в виду, построим многочлен степени пх = п + т
Ля. (х) = ~кт (х) Р„ (х) + [1 - Хт (х)] Qn (x);
очевидно, получим
| / (х) - ДЯ1 (х) | = | / (х) - Рп (х) + [1 - Хт (х)] [Рп (х) - Qn (х)} | <
<CM?n + 2Hntm на ab;
1 В частности, может быть, — аналитическая.
2 Процесс построения таких многочленов указан в цитированной выше статье [18].
287
I / (x) - Rni (x)\ = \f (x) - Qn (x) - \m (x) [Pn (x) - Qn (x)}
<M9n + 2Hntm на 7d;
f (x) -Rni (x)\<\ lm(x) \\f(x)-Pn(x)\ + \[l- lm(x)) \\f(x)~ Qn(x)\<
<2M/npn на be.
Мы можем фиксировать число к = — таким образом, чтобы Hth <p;
полагая затем 1>>р1>р1+Лтот, получггм на всем отрезке ad
\f(x)~Rni(x)\<MlPni',
где Мг и рг<^1 — постоянные числа.
Итак, теорема доказана.
Теорема. Функция f (х), квазианалитическая (Р) на отрезке ^ab
относительно последовательности показателей пг, п2, . . ., пА, . . . (тем более
аналитическая), определяется на всем этом отрезке однозначно теми
значениями, которые она принимает на любом отрезке, составляющем
часть ab.
Достаточно убедиться, что если / (х) = 0 на некоторой части аЗ
отрезка аЪ, то непременно / (х) = 0 на всем отрезке. Но пусть Рп(х) —
многочлен степени п, дающий функции / (х) приближение порядка рп (р < 1),
в соответствии с определением A) квазианалитических функций; тогда
на отрезке ос[В имеем
\Рп(х)\<М9п.
Поэтому при увеличении п многочлен Рп(х) стремится к нулю внутри
всякого отрезка а^, содержащего а[В симметрически и такого, что*
но в таком случае f(x) = O внутри ol1^1. Повторяя это рассуждение, если
нужно, несколько раз, убеждаемся, что f(x) = 0 на всем отрезке ab.
Таким образом, можно сделать заключение: аналитическое продолже-
продолжение функции определяется однозначно свойством сохранения характери-
характеристического неравенства A) для всех значений п; и точно так же про-
продолжение, квазианалитическое (Р), определяется однозначно сохранением
неравенства A) для некоторой определенной последовательности, (Р)
значений п.
§ 2. Область существования аналитической и квазианалитической
функции. Если функция — аналитическая на отрезке аC, ее, очевидно,
можно представить в виде
f(x) = Q1(x) + ...+Qn(x) + ..., D)
где | Qn (x) | << 2Мрп~~1 на а^. Отсюда мы заключаем (как и выше), что
разложение D) будет сходиться как геометрическая прогрессия на всяком
отрезке и$г, меньшем, чем
288
значит, функция / (х)—необходимо аналитическая также на а^. Мы
видим, таким образом, что действительная область, в которой выполняется
при всех значениях п неравенство вида A) (такую область условимся
называть областью аналитической регулярности соответствующей анали-
аналитической функции), никогда не может быть замкнутой; вместе с тем
будет существовать определенный отрезок аЬ (не исключаются и случаи
а= — сю и Ь= + сю), обладающий тем свойством, что /(х) будет анали-
аналитической на всяком отрезке, внутреннем по отношению к аЬ, но не
будет аналитической на отрезке, у которого по крайней мере один из
концов будет а или 6. Тогда по крайней мере один из концов откры-
открытого промежутка аЬ будет особой точкой функции f(x).
Напротив, что касается области квазианалитической регулярности
квазианалитической функции (т. е. такой области, где неравенство A)
осуществляется для бесконечного числа значений п), то она может быть
замкнутой, и в этом случае возникают своеобразные обстоятельства, на
которые стоит обратить внимание.
Пусть функция / (х) — квазианалитическая (Р) на отрезке ар по
отношению к последовательности показателей пх, п2, . . . (которые, как
всегда, считаются определенными с точностью до ограниченного множи-
множителя). Если РПк(х)— многочлены соответственно степеней п%, дающие на
ар приближение порядка р А (р<4), то условие, необходимое и доста-
достаточное для того, чтобы функцию f (х) можно было однозначно продол-
продолжать квазианалитически далее точки р, заключается в том, чтобы все
многочлены РП7с (х) сходились равномерно к одной и той же функции,
причем соответствующее приближение в некоторой окрестности точки р
было порядка pik (pi<Cl)-
Действительно, достаточность этого условия получается непосредственно
из определения; с другой стороны, если продолжение возможно, то суще-
существуют многочлены Qnk(x), которые в некотором промежутке, содержа-
содержащем р внутри, дают приближение порядка pik. В таком случае на некоторой
части ахр отрезка армногочлен РПк(%) — Qnk{%) будет по абсолютному зна-
п п
чению меньше, чем сумма чисел р * и pi*, и, значит, выбирая достаточно
малый внешний отрезок рр1? мы на нем равным образом получим
а отсюда легко заключить, что Рщ (х) стремится к тому же пределу, что и
Qnjc{x), и дает приближение порядка р2к.
Теоретически представляется возможным, что последовательность
многочленов РП1с (х) распадается на несколько последовательностей (с раз-
различными степенями), стремящихся к различным пределам в окрестности
точки р; при таком положении вещей каждая последовательность сте-
степеней будет порождать особое квазианалитическое продолжение, и эти
продолжения аналогичны различным ветвям многозначной функции. Не
19 С. Н. Бернштейн, т. I 289
углубляясь в более детальное рассмотрение этого вопроса, ограничимся
следующим замечанием (см. также пример 7 § 4). Предположим, чт*о
/х (х) и /2 (х) — две квазианалитические функции на отрезке cub, относя-
относящиеся к двум различным классам Рг и Р2; если они совпадают на некоторой
части ар отрезка аб, то на ар они представляют собою одну и ту же
функцию / (х), также квазианалитическую, но класса Р, содержащегося
в Рг л в Ро] в частности, не исключено, что Р будет классом аналити-
аналитических функций (внутри ар). Эта функция / (х) может иметь квазиана-
квазианалитические продолжения относительно других последовательностей Рк,
но совокупность всех ветвей функции f (х) (напоминающая совокупность
ветвей дерева с самыми разнообразными ветвлениями) полностью опре-
определяется какой-нибудь одной ветвью, например Рг, которая была бы задана
хотя бы и вне ар (на рб).
Таким образом, квазианалитическая функция, рассматриваемая во
всей ее общности, без фиксации класса, представляет собою органическое
целое — неоднозначную, вообще говоря, функцию, которая определяется
своими значениями на некотором отрезке в той же степени, что а
общая (неоднозначная) функция комплексной переменной [26.2].
Было бы интересно рассмотреть, каковы могут быть типы квазиана-
квазианалитической неоднозначности. Едва ли нужно говорить, что эта неодно-
неоднозначность, для которой исходной была идея приближения многочленами,
существенно отлична от неоднозначности функций комплексной перемен-
переменной; заметим, что неоднозначность функций комплексной переменной нам
не удалось бы обнаружить естественным образом, не выходя за пределы
теории функций одной вещественной переменной1.
В предыдущем изложении мы предполагали, что последовательность
многочленов Pnjc (x) сходится вне ар квазианалитически, т. е. удовле-
удовлетворяя ряду неравенств A). Но легко понять, что для пригодности при-
приведенного выше рассуждения достаточна любая равномерная сходимость
за пределами ар многочленов РПк(х) к некоторой функции /х (х), чтобы
утверждать, что какие угодно многочлены Qnk(x) (относящиеся к той же
последовательности показателей), представляющие / (х) квазианалити-
квазианалитически на части ахр отрезка ар, должны будут стремиться к той же
функции /х (х) вблизи р вне ар.
В этом случае /х (х) будет представлять собою вполне определенное
продолжение функции f{x), которое может и не быть квазианалитиче-
квазианалитическим; условимся говорить, что fi(x) есть псево>оаналитическое продол-
продолжение к в аз и аналитической функции f(x). Конечно, все, что было ска-
1 Условиться в том, чтобы рассматривать функции фх (х), ф2 (х), . . . , удовле-
удовлетворяющие одному и тому же неприводимому уравнению / (х, у) = 0, как ветви
одной и той же аналитической функции, стало бы возможным лишь после того,
как была бы определена (как раньше, неравенствами, аналогичными A)) аналити-
аналитическая функция f (х, у) двух вещественных переменных; да и ввести целесообразно
понятие неприводимого уравнения представит немалыз трудности. Не останавли-
останавливаясь далее на этом вопрос^, позволю гэбэ обратить ка него внимание читателя.
290
задо по поводу возможной неоднозначности квазианалитического про-
продолжения (зависящей от выбора последовательности показателей),
остается в силе и для случая псевдоаналитического продолжения1.
На основании изложенного выше, если мы занимаемся вопросом
об аналитическом, квазианалитическом или псевдоаналитическом продол-
продолжении функции / (х), аналитической или квазианалитической (Р), то,
чтобы выяснить, возможно ли продолжение или невозможно, нам до-
достаточно рассмотреть какой-нибудь ассортимент таких многочленов Рп{х)у
что доставляемые ими на данном отрезке приближения 1п [/(#)] удовле-
удовлетворяют неравенствам вида
для всех тех значений п, для которых
В частности, достаточно знать разложение функции / (х) в ряд три-
тригонометрических многочленов, относящихся к данному отрезку.
Если ряд тригонометрических многочленов, относящихся к отрезку
ab, сходится, как геометрическая прогрессия, то он представляет ана-
аналитическую функцию, допускающую аналитическое продолжение посред-
посредством того же ряда внутри некоторого определенного отрезка a1b1, за-
заключающего симметрически данный отрезок ab. Построим затем ряд
тригонометрических многочленов, относящихся к отрезку aibl и так
далее до тех пор, пока не придем к предельному отрезку сф, в котором
соответствующий ряд уже не будет сходиться как геометрическая про-
прогрессия (без пропусков): это будет означать, что по крайней мере одна
из точек а или $ является особой точкой аналитической функции f{x).
Затем возьмем какую-нибудь точку с внутри отрезка аC и построим
разложения, соответствующие отрезкам ас и сC; из них по крайней
мере одно (например, относящееся к сC) не будет сходиться как гео-
геометрическая прогрессия (а если другое сходится как прогрессия, то
точка а не будет особой, ц, чтобы получить продолжение за эту точку,
применим прежнее построение к отрезку ас); тогда точка C будет осо-
особой. Если разложение в ряд тригонометрических многочленов, относя-
относящихся к отрезку cJ3, будет содержать бесконечное число частных сумм
1 Как мы видели, псевдоаналитическое продолжение (относительно данной по-
последовательности показателей) квазианалитической функции определяется однозначно;
но не вполне ясно, справедливо ли обратное утверждение. Поэтому, чтобы про-
продвинуть вперед исследование исевдоаналитических продолжений, нужно было бы
ответить положительно или отрицательно на вопрос: может ли квазианалитическая
функция иметь пс ев до аналитическое продолжение, тождественно равное нулю?
Другими словами, возможно ли, чтобы ряд многочленов, равномерно сходящийся
на отрезке ab, имел квазианалитическую сходимость на части ас отрезка ab, а на
части cb стремился к нулю?
291 19*
Snjc{x), дающих приближение порядка рп* (р<<1), то функция будет
квазианалитической на замкнутом отрезке с$ (выбор с роли не играет);
в противном случае функция не будет квазианалитической на ср.
Если ни одна из последовательностей Snjc (х) не сходится за C, то
функция / (х) не допускает никакого продолжения — ни квази-, ни псев-
псевдоаналитического. Если все частные суммы Sn (х) стремятся в окрест-
окрестности C к одному и тому же пределу, то этот предел есть единственное
продолжение — квазианалитическое или псевдоаналитическое, смотря по
характеру сходимости; если бы частные суммы стремились к нескольким
различным предельным функциям, то, построив их, мы получили бы
все возможные продолжения, квази- или псевдоаналитические. Если
квазианалитическое продолжение по другую сторону точки C вообще
возможно, то станем повторять тот же процесс, пока не наткнемся на гра-
границу В области квазианалитической регулярности нашей функции1/(х).
§ 3. Дифференциальные свойства аналитических функций. Всем
предшествующим изложением я хотел, показать, что и теоретически и
даже практически проблему аналитического продолжения можно рассмат-
рассматривать независимо от ряда Тэйлора. Тем не менее, существование про-
производных всех порядков и сходимость ряда Тэйлора в случае аналити-
аналитических функций (причем определение аналитичности дается условием A))
представляют собою, без сомнения самое замечательное свойство этих
функций. Мы должны теперь показать, как это свойство вытекает из
нашего определения.
Как уже было отмечено выше, функция /(#), аналитическая на
отрезке аЪ, благодаря условию A) допускает разложение в ряд много-
многочленов Qn(x), степени п,
f(x) = Q1(x) + ...+Qn(x) + ..., D)
с выполнением на отрезке аЬ неравенств
\Qn(x) |<iVpn, E)
где N и р<1— постоянные числа.
1 Нужно заметить, что будет столько же областей регулярности, сколько раз-
различных продолжений; и всякий раз сама точка В будет или принадлежать, иди
не принадлежать соответствующей области. Так или иначе, указанный метод позво-
позволит узнать, существует ли псевдоаналитическое продолжение за пределы области
квази аналитической регулярности, и вычислить таковое, если оно существует.
Заслуживает внимания то обстоятельство, что проблема продолжения, сводя-
сводящаяся к разыеканжю сходящихся при х>>1 частных сумм разложения вида
квазианалитического на отрезке [—1, +1], существенно эквивалентна проблеме
оо
продолжения (посредством группировки членов) аналитической функции ^ anzn за
1
пределы круга сходимости, являющегося для нее естественной границей, так как
\х—Ух2—1 | <1 при ж>1.
292
Из этого последнего обстоятельства следует ([3], неравенство A2)),
что разложение D) можно неограниченно дифференцировать почленно ца
отрезке ab; итак, в любой точке с внутри ab мы получаем
Выбирая число h достаточно малым, мы получим ([3], неравенство
(9)) на отрезке [а — h, b + Щ, заключающем [а, Ь], ряд неравенств
I Qn(%) I <С Л^рГ (р <с^ Pi <С !)•
Но в таком случае, при п и к одной и той же четности, будем
иметь 1
2 )'
и потому (например, при к четных)
I h"
2kN у Г+Т)! 2п /2Pl\* N
2п
2.
Из этого результата следует, что разложение Тэйлора в произвольной
точке отрезка ab будет сходящимся в окрестности рассматриваемой точки
и будет представлять данную функцию.
Итак, аналитическая функция во всей ее вещественной области суще-
существования полностью определяется значениями, которые она принимает
вместе со всеми ее производными в произвольной точке области, и ее
продолжение можно получить классическими методами Веиерштрасса.
§ 4. Дифференциальные свойств^ и примеры квазианалитических
функций. Свойства квазианалитической функции существенно за-
зависят от быстроты возрастания последовательности (Р) индексов
пх,. . . , njc, . . . , определяющей класс рассматриваемой квазианалитической
функции. Нужно во всяком случае допустить, что быстрота эта такова,
что отношение k4~l- не оказывается ограниченным: иначе функция
пк
просто была бы аналитической. Равным образом, легко проверить, что
если отношение — стремится к нулю, то квазиавйШитические функ-
функции соответствующего класса являются бесконечно дифференцируемыми]
в противном случае, если
то функция (Р) обладает, вообще говоря *, лишь конечным числом про-
производных и даже может быть вовсе недифференцируемой.
1 Аналогичное неравенство имеет место и для случая разной четности.
п п
* А именно, если lim У En[f (х)] = р>0. В случае, когда ИтУ En[f(x)] = О,
функция может быть бесконечно дифференцируемой и при R ^> 0. (Автор.)
293
Есть, однако, дифференциальное свойство, принадлежащее всем квази-
квазианалитическим функциям; я ограничусь тем, что дам его формулировку1-
Для бесконечного множества значений h, стремящихся к нулю, конеч-
конечные разности Др/ (х), произвольного порядка р функции f(x), квазиапа-
литической на отрезке ab, удовлетворяют неравенству вида
I Др/ (х) | = I / (х + ph) -pf (x + i=lh) + • • -±/ (х) | < (Rph log У
F)
(где R — некоторое постоянное число), лишь бы х и х-\-ph находились
на отрезке ab'', внутреннем по отношению к ab.
Было бы интересно установить, нельзя ли в неравенстве F) изба-
1
виться от множителя log — для некоторой бесконечной последовательно-
последовательности значений р, так как сомнительно, чтобы была справедливой теорема,
обратная по отношению к только что приведенной (в данной ее форме).
При помощи метода, который мы изложим в конце этой заметки,»будет
установлено только следующее:
Если неравенство
G)
выполнено для бесконечного множества значений р и для бесконечного
множества значений h, стремящихся к нулю, то функция f (x) — квази-
квазианалитическая (по отношению к рассматриваемой последовательности
значений р). Сопоставляя эти два результата, мы во всяком случае при-
приходим к следующему любопытному заключению: выполнение неравенства
G) для бесконечного множества значений р влечет за собой выполнение
неравенства F) для всех значений р.
Рассмотрим теперь несколько примеров.
1°. Пусть дана функция
оо
/ \ V cos «! arc cos # /оч
? («) Z(8)
где а^>1. Легко проверить, что ср (х) — квазианалитическая на отрезке
[—1, +1] по отношению к последовательности показателей п\ Эту функ-
функцию нельзя продолжить за пределы указанного отрезка ни аналитически^
ни квазианалитически (ни псевдоаналитически), так как никакие частные
суммы ряда (8) не сходятся вне этого отрезка. Функция ср (х) — беско-
бесконечно дифференцируемая.
2°. Функция
•но = 2
cos F (n) arc cos x
1 Доказательство аналогично доказательству теоремы § 25 моей диссертации ([3],
стр. 37). В неравенстве F) h и р должны быть связаны соотношением Ь? = AgRjc,
где пк — числа из последовательности (Р) и А — произвольное ограниченное
число.
294
где F (п) определяется условиями
также квазиганалитическая, но не обладает производными на отрезке
-[—1, +1]; это последнее обстоятельство нисколько не мешает тому, что
функцию Ф (х) можно считать вполне определенной ее значениями в
любой части отрезка [—1, + 1]х.
3°. Рассмотрим функцию
(т)Ух\, (9)
где а ^> 2 и
о
Числа hjc можно взять достаточно большими но отношению к числам щ,
чтобы при условии | х | ^ 2 иметь
где а& сколь угодно быстро стремятся к нулю вместе с -г • Если, кро-
кроме того, мы допустим, что тг#_1_1—(hfc -f- 1) щ неограниченно возрастает,
то разложение (9) будет рядом Тэйлора, имеющим окружность своего
круга сходимости, с радиусом 1, естественной границей2; однако группи-
группировка членов, указываемая формулой (9), обеспечивает функции / (х)
квазианалитическое продолжение на отрезок [1,2].
4°. Функция
где
— квазианалитическая на замкнутом отрезке [—1, +1]; она также имеет
окружность радиуса i естественной границей, но не может быть продол-
продолжена квазианалитически за пределы этой окружности.
5°. Положим
где VI Cni | — сходящийся ряд, причем lim]/[cn. = 1.
1 Интеграл от квазианалитической функции, конечно — также квазианалитиче-
квазианалитическая функция; напротив, производная от функции, квазианалитической (Р), может
существовать, но не быть в свою очередь квазианалитической функцией (Р). По-
Поэтому свойство «быть производной функции, квазианалитической (Р)», равным
образом достаточно для однозначного определения продолжения функции.
2 Что радиус сходимости равен 1, видно из того, что по абсолютному значению
2 11
коэффициент при хпк равен — .
295
Относительно многочленов Pni(x), степени щ, допустим неравенства
\Pn.(x)\<Pni на аЬ,
A1)
п (х)
Рч (х)
<Ср~-{ на be,
<CL на cd,
где
_
При этих условиях функция f(x), аналитическая на отрезке ab, будет
квазиаиалитической на всем отрезке abc. Кроме того, так как ряд A0)
остается сходящимся и на cd, то он даст в этом промежутке псевдоана-
псевдоаналитическое продолжение функции f(x). Чтобы построить многочлены Рп. (я),
удовлетворяющие условиям A1), можно будет поступить следующим
образом. Рассмотрим разложение
f + IS Ь
- а»)*];
легко видеть, что, останавливаясь на члене степени 2к — 1 этого разло-
разложения, мы получаем многочлен Qvc—\ (х), который на отрезке —«-, — k\
имеет величину порядка A — к2)к+{, на отрезке [— h, I — h] удовлетво-
удовлетворяет неравенству
а на отрезке 1 — А, — — неравенству
если число h достаточно мало. Положим теперь
так что степень п многочлена Рп (х) будет равна (приблизительно)
з
числу BкJ , и выберем для ряда A0) те из многочленов, степени кото-
которых П{ связаны между собой соотношениями пг, { = п?\ тогда получим
\Рч(х)\<Ь^ на [-4-, -А],
РЩ(Х)
3
Ун
на [—А, 1 — А],
6°. Пусть
/ (х) =
A2)
296
причем — >оо. Ряд A2) неограниченно дифференцируем на отрезке
[—1, +1] и представляет функцию, квазианалитическую на всем этом
отрезке; его можно рассматривать как разложение Тэйлора около начала
с нулевым радиусом сходимости, сделанное сходящимся посредством
надлежащей группировки членов. Функция/(я), кроме того, оказывается
аналитической внутри каждой из двух петель лемнискаты с фокусами
— 1 и +1; однако с точки зрения классической теории функций ком-
комплексного переменного мы не имеем права рассматривать четную функ-
функцию / (х) как одну аналитическую функцию, так как обе области регу-
регулярности / (х) разделены между собой лемнискатой — замкнутой особой
линией.
7°. Укажем, наконец, пример квазианалитической неоднозначной
функции. Пусть sn — последовательность положительных чисел, возра-
возрастающих настолько быстро, чтобы можно было удовлетворить следую-
следующему условию:
С— при 0<#<1,
1
(*> - -Ь
-— при 1 <: х *
2Sn
где Psn+l {%) — многочлены степеней sn+i — sn-
При этих предположениях построим функцию
мы получим
где j вп | •< 1, | b'n I, < 1. Положив
мы видим, что / (х) — квазианалитическая функция на [0, 1) (за исключением
конца 1) относительно последовательности всех индексов sn, тогда как
на отрезке [1,2) (за исключением конца 2) ряд / (х) сходится к двум раз-
различным пределам, смотря по четности п, так как
297
Таким образом, получается две различные квазианалитические ветви
f[x) -
М) }
[
продолжающие f (x) за пределы [0, 1), и притом мы получаем
/ (Х) = /, (х) + 1 на отрезке [1,2). A3)
Интересно отметить, что, в то время как каждая из ветвей является
квазианалитической на всем отрезке [0,2) только по отношению к числам sn
с индексами одной и той же четности, они становятся снова квазиана-
квазианалитическими по отношению ко всем sn по ту сторону точки ветвления 1
(что ясно из равенства A3)). Поэтому, выполняя продолжение в одну
и в другую сторону, меняя при этом последовательно четность инде-
индексов п, мы получаем бесчисленное множество различных ветвей / (х),
аналогичных функции logx в том отношении, что все они охватываются
формулой
f(x)+N,
где N — произвольное целое число.
Глава IT
ФУНКЦИИ, КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ (Z>) В СМЫСЛЕ ДАНЖУА
§ 5. Общая проблема продолжения вещественной функции с точки
зрения приближения многочленами. Мы установили, что вещественная
функция f(x), заданная на отрезке ab, может быть однозначно продол-
продолжена на соседний отрезок be, если наилучшее приближение на отрез-
отрезке abc удовлетворяет, для данной бесконечной последовательности зна-
значений п, условию
Необходимо ли это условие? Мы увидим, что ответ следует * дать
отрицательный, если речь идет о всех значениях п, и, напротив, —
положительный, если требуется лишь чтобы неравенство вида A4)
удовлетворялось д~ш бесчисленного множества значений п. Допуская
сначала, что имеется в виду эта последняя постановка вопроса, мы
получаем, в самом деле, следующую теорему:
Теорема. Если дана последовательность положительных убываю-
п
щих чисел ап, подчиненных единственному условию1, что lim j/an — 1, то
1 Можно, например, взять an = в 1о»п или е log log п и т. п.
298
можно построить функцию f (x), обращающуюся тождественно в нуль на
отрезке ab, но отличную от нуля на отрезке be, притом такую, что для
бесчисленного множества значений п будем иметь на всем отрезке аЬс
неравенство
п
По предыдущему это было бы невозможно, если бы lim j/an = p<M.
Доказательство основывается на следующей лемме:
Лемма. Каковх бы ни была функция <р(я), непрерывная на отрез-
отрезке [О, 1] и обращающаяся в нуль в точке О, ее можно неограниченно при-
приблизить на [0,1} посредством многочленов Qn{%) степени пу удовлетво-
удовлетворяющих при всех значениях п неравенству1
\Qn(x)\<an A4")
П
на отрезке [—1,0], лишь бы только lim |/"аэт = 1.
Обращаясь к доказательству леммы, допустим сначала, что ср (х) = х
на [0,1]; построим приближающий многочлен Р^п (#), степени 2п, исходя
из разложения
1 г 1 . 1 И
I /у. , I /у»
^ L р р \\
- т s ^F2' [• - (- IJJ*.
причем заставим р бесконечно расти вместе с п. Многочлен Р2п (ж), полу-
получающийся из разложения A5), если остановимся на члене степени 2п,
будет стремиться к х на [0,1]; с другой стороны, на [—1,0] мы получим
4
п г
каковы бы ни были положительные числа лп, подчиненные условию
п
lim Y^n = 1 /достаточно взять р2 <^ ——
V 1о2
1 Из этого утверждения следует также, что, если неравенство вида A4') удов-
удовлетворяется на ab для всех значений п, то все же продолжение / (х) на be остается
соьершенно произвольным (значит, невозможно обобщение псевдоаналитического
продолжения). В частности, квазианалитичность (D) функций / (х) на ab, которую
мы дальше определим, подчиняя все an определенному условию, не дает одно-
однозначного продолжения за пределы ab, если мы сохраним вне ab лишь требование
существования бесконечной последовательности значений п, для которых
п
|/ (х) — Рп (х) | < an (предполагая, разумеется, что lim ]/an = 1).
299
Пусть, далее, ср (х) — какая угодно функция, непрерывная на [0, 1] и
обращающаяся в нуль в точке 0, и пусть xRi (x) — многочлен степени
/ + 1, приближающий функцию ср (х) на [0, 1]; этот многочлен, пользуясь
разложением A5'), можно будет неограниченно приблизить посредством
многочленов
Q2n+i(x) = P2n(x)Ri(x),
где
|<?2n+i(?)|<-4zXn<a2n+i на [—1, 0],
обозначая через Аг сумму модулей коэффициентов многочлена Ri (x).
Установив, таким образом, лемму, возьмем произвольную функцию ср (х),
непрерывную на [0, 1] и обращающуюся в нуль в точке 0. Мы сможем
построить многочлен РпЛх)> достаточно высокой степени nv обращаю-
обращающийся в нуль в точке 0 и удовлетворяющий условиям
?(х)-РП1(х)\<^аПо на [0,1],
|^И|<Ч на [-1,0].
Повторяя это же построение по отношению к РПх (х), мы построим
новый многочлен Рп% (х), обращающийся в нуль в точке 0, еще более
высокой степени п2 и такой, что
I Ль (*)-•?*,(*) К т<4 на [0,1],
|ЛгЛ*)|Оп, на [-1,0].
Продолжая таким же образом строить последовательно многочлены
РПк (х), рассмотрим затем функцию
/ (X) = Рщ (х) + [РП2 (х) - РП{ (X)] +...+ [Рпк (X) - Л,*., (X)] + ...,
которая будет равна нулю на [—1,0], так как | РПк (х) \ << a.njc на [—1,0],
и, кроме того, мы будем иметь на [0, 1]
| / (х) - Рп& (я) |< | РПк+1 (х) -РПк(х)\+...<± (а„к + ащ+1 + .
в предположении, что аП1 <;'— ofn>fc. Итак, на всем отрезке [—1,-fl] мы
получим
\f(z)-Pnk(z)\<ank,
И наша теорема доказана.
Последняя часть доказательства обнаруживает, что числа п&, для
которых удовлетворяется неравенство A4'), должны расти по некоторому
закону, зависящему от закона убывания чисел ап; поэтому нельзя,
вообще говоря, требовать, чтобы условие A4') было выполнено при всех
значениях п.
300
§ 6. Проблема Адамара и теорема Данжуа и Карлемана1. Стано-
Становясь на иную точку зрения, Адамар (в сообщении Французскому мате-
математическому обществу от 28 февраля 1912 г.) поставил следующий
вопрос: пусть Мп = Мах V | /(n) (x) | на отрезке [—1, +1]; какие условия
достаточно наложить на последовательность чисел Мт чтобы функция
/ (х) была однозначно определена на этом отрезке значениями, которые
она сама и все ее последовательные производные принимают в данной
точке отрезка? Как и рассмотренный нами выше вопрос, проблема Ада-
Адамара допускает различные решения в зависимости от того, подвергаются
ли ограничениям все числа Мп или только некоторое их бесчисленное
множество.
Делая сначала это последнее предположение, мы можем легко уста-
установить, что если для бесконечного числа2 значений п выполняется
неравенство
Mn<Rn, A6)
где R — постоянное число, то функция / (х) полностью определяется
в смысле Адамара. Действительно, при помощи условия A6), взяв над-
надлежащее количество членов ряда Тэйлора, мы найдем, что остаточный
член Лагранжа меньше, чем рп (р<М), в окрестности рассматриваемой
точки; таким образом, функция / (х) была бы квазйаналитической (Р)
и, значит, обращалась бы в нуль тождественно, если бы все коэффи-
коэффициенты Тэйлора равнялись нулю. Представляется правдоподобным, что,
напротив, заменив условие A6) менее стеснительным условием*
Mn<Rnn, A7)
где числа Rn растут неограниченно по какому-нибудь данному закону,
можно будет построить функцию / (х), удовлетворяющую этому условию
для бесчисленного множества значений п, отличную от нуля и, однако,
такую, что в некоторой точке она вместе со всеми последовательными
производными обращается в нуль. Такую функцию, как известно, уда-
удалось построить Гольмгрену3 только при допущении Rn^> nz (? > 0), и
даже с условием, что неравенство A7) удовлетворяется при всех значе-
значениях п. Однако несомненным является то, что невозможно подчинись
функцию / (х) неравенствам вида A7) при всех значениях п, не вводя
ограничения на рост Rn подобно тому, как это пришлось сделать Гольм-
Гольмгрену. Это вытекает из следующей замечательной теоремы, доказанной
Данжуа и Карлеманом (мы дадим ниже новое ее доказательство).
1 См., например, сообщение Т. Карлемана «Sur les fonctions quasi analytiques»
на V Конгрессе скандинавских математиков (Хельсинки, 1922).
2 Если бы неравенство A6) выполнялось для всех значений п, то, очевидно,
функция была бы аналитической.
* Это предположение действительно подтвердилось благодаря теореме Карле-
Карлемана, о которой речь будет в комментарии [26.4]. (Автор.)
3 См. также мой мемуар «Sur les proprietes etc.». «Math. Ann.», 1914 [18].
301
Теорема D. Если функция / (х) обращается в нуль вместе со всеми
производными в некоторой данной точке отрезка [—1, + 1], то она
об ращается в нуль тождественно на этом отрезке при условии, что ряд
= Y -Г
[Уровне (D)]
расходящийся.
Мы условимся функцию, удовлетворяющую условию (D), называть
функцией, квазианалитической (D). Таким образом, функция этого
класса определяется однозначно совокупностью значений, которые она
вместе со всеми производными принимает в данной точке, и тем более —
значениями, которые она принимает в данном промежутке.
Нетрудно отдать себе отчет в том, что функция может быть кв:.зи-
аналитической (D), не будучи квазианалитической (Р), и обратно. Мы
лучше уясним себе различие этих двух классов функций, когда преоб-
преобразуем условие (D), введя вместо чисел Мп числа En[f(x)]: мы увидим
тогда, что условие (D) связано с совокупностью всех чисел En[f (#)], тогда
как условие (Р) — с некоторым их бесконечным множеством.
§ 7. Преобразование условия (D). Положим
Щ K
Ясно, что рп^\*п', кроме того, числа рп монотонно возрастают, так как
n
при данном р выражение рУ Ev\f (x)] увеличивается вместе с п (если
^i). Отсюда нетрудно заключить, что ряды
°° А °° ,
л\ = у, — и s, = у —
п1 ?г1
сходятся и расходятся одновременно.
Действительно, рп = [in всякий раз, как рп^>/г; но в случае сходимо-
сходимости ряда Si существует лишь конечное число значений рп<^п; поэтому
этот ряд отличается от ряда S.2 лишь конечным числом членов, и по-
последний также сходится; в случае же расходимости ряда Sx расхоДи-
мость ряда S2 ^ Sx тем более будет иметь место.
Напомним далее классическое неравенство Джексона, на основании
которого
En \f (х)] < — ,
где М= max \f(x)\, а а — некоторая постоянная. Отсюда последова-
~1<х<1
тельным интегрирогаиием находим, что
302
где а — та же постоянная, a М/с = max \y'' (х) |. Действительно, согласно
неравенству Джексона, имеем
аМкк
аМк
где Рп(х) — многочлен степени гаи | ер (я) К , отауда
ср (ж) tfz = i>n+1 (ж) + Лп+1 (х) + ?1 (ж),
где ] ерг (х) j -< —^—тгтт • Повторяя то же рассуждение « —¦ 1 раз, полу-
чаем (А) при любом к.
Итак, при р = п -}- к — 1, р^>>к, имеем
к
Если к <^ р <; 2А, то
если /?^ 2А, то
Следовательно, при всех значениях
Мк>ЬЬс, A8)
где постоянная 6 = —^ [26.3].
С другой стороны, дифференцируя разложение в ряд по многочленам
где можно принять, что
\Qn(x)\<2En-l\f(x)],
получаем *
оо оо
iPWKSi^'WK^ 2 »kJsn\f(x)],
п=^ус п—к—1
причем R можно считать постоянным числом, если х находится на опре-
определенном отрезке аЪ внутри промежутка [—1, + 1]. Но
оо
2 п*Еп [/ (х)]
п=':— 1
См. «Э. П.», неравенство F1), стр. 57. (Ред.)
303
Следовательно, обозначая через М'к максимум ]/|fW(x)\ на ab, мы
получаем х 2
2
к
Из неравенства A8) заключаем, что расходимость ряда S2 = У\ —
(и также S^ = V—) вытекает из расходимости ряда У\ -^-; и напротив,
л |
из неравенства A9) видно, что расходимость2 ряда V — (а также^—)
1 1
влечет за собой расходимость ряда V—? (и тем более — рядаУ]^).
Мк &
Иными словами:
То о рем a Dr. Условие (Df), заключающееся в том, что ряд
расходится на замкнутом интервале, является, благодаря A8), следствием
условия (D) /ia mo.M о/се замкнутом интервале] обратно, вследствие A9),
условие (D') на замкнутом интервале влечет за собой условие (D), но толь-
только на открытом интервале *.
Итак, условие (D'), в основном эквивалентное условию (D), является
немного более широким. Но легко убедиться, что и оно также достаточно
для того, чтобы можно было утверждать {основываясь на теореме Кар-
лемана), что удовлетворяющая ему функция равна нулю тождественно,
если она обращается в нуль вместе со всеми своими производными в некото-
некоторой точке (заслуживает особого рассмотрения лишь тот случай, когда
данная точка лежит на конце отрезка). Имея в виду доказать это, при-
приведем для определенности к [0,1] тот отрезок, на котором функция f(x)
удовлетворяет условию (D'); в таком случае ясно, что f(x2) удовлетворяет
(D') на отрезке [ — 1, +1], так как
и значит, в ряде ^2 знаменатели всех членов удваиваются. Следовательно,
/ (х2) есть функция квазианалитическая (D) на открытом отрезке
[—1, +1] и> в частности, в точке 0. (Итак, может случиться, что f(x2)
является функцией (D) в этой точке, тогда как f(x) таковой не являетоя.)
Легко, наконец, проверить, что условие (D') для функции f(x) на зам-
1 Если бы, вместо произвольной функции, мы рассматривали периодическую
функцию, заменяя вместе с тем приближение многочленами тригонометрическим
приближением, то не было бы надобности вводить Мк вместо МА\ в этом случае
условия (D) и (D7) были б*ы вполне эквивалентными [26.3; 4].
2 Ряды 2 — и 2 ~ '
очевидно, сходятся и расходятся одновременно,
1
так как, если pf^1 ^> 2, то — -^
* Эта теорема впервые была формулирована в статье [25] (в § 8, который здесь
не воспроизведен). (Автор.)
304
кнутом отрезке [—1, +1] в точности эквивалентно1 условию (D) для
функции / (cos t).
Заметим, что ни условие (D), ни условие (D') (которым естественно
заменить условие (D)) не может быть рассматриваемо как необходимое
для того, чтобы функция / (х) была определена совокупностью значений,
принимаемых в данной точке ею самою и ее производными (или, тем
более, значениями самой функции в некотором промежутке)
Было бы интересно выяснить, не обладают ли условия (D) или (D')
свойством, аналогичным свойству условия (Р), о котором было сказано
в начале этой главы. Таким образом, возникает вопрос: существует ли
последовательность чисел Rn такая, что НтД„=оо и расходимости ряда
2 — достаточно, чтобы / (х) = 0, если /(*) (а) = 0 в некоторой точке а для
всех к^О .(или по крайней мере если /(ж)=0 на части отрезка)? [26.4].
§ 8, Связь между проблемой Адамара и проблемой приближения
функции на всей вещественной оси 2. Укажем теперь новый метод
подхода к проблеме Адамара, который приведет нас к новому доказа-
доказательству теоремы Карлемана, связанный с задачами, рассмотренными
во второй главе книги «L. S.»*.
Пусть / (х) — функция, неограниченно дифференцируемая на отрезке
[—1, +1]; разложим ее в ряд тригонометрических многочленов
оо оо
f(x) = /(cos 0 =^ancosnt = ^anTn(x).
о о
Докажем прежде всего следующее предложение.
Лемма. Если существует четная целая функция F (х) рода >- 1, с
положительными коэффициентами и такая, что ряд
— сходящийся3, то функция f (x) тождественно равна нулю при усло-
условии^ что в некоторой точке х0 (— 1 <^#0^1)
/(*„)=/'(xo) = ...=/(«>(zo) = ...=O.
В самом деле, положим x0 = cost0', тогда, по предположению,
^и^ancosл*0 == 2л2^1^sinл*0 = 0 (к = О, 1, . . .).
Отсюда следует, что мы будем иметь также
2 Р (и) ап cos nt0 — 2 Q (n) an sin nt0 = О,
где Р (п) — произвольный четный, а Q (п) — нечетный многочлен.
1 Напротив, сама функция / (х) может не удовлетворять условию (D) на концах
отрезка [26.4; 5].
2 См. мою заметку в «Gomptes rendus» от 20 октября 1924 г.A01*) и статью в «Bull.
Soc. math, de France», t. 52: «Le probleme de l'approximation des fonctions etc.» [25].
* См. также главу III «Э. П.». (Ред.)
3 Это условие можно было бы заменить требованием сходимости ряда
такие два условия в сущности эквивалентны.
20 С. Н. Бернштейн, т. I 305
Построим теперь какую-нибудь непрерывную функцию <р (х), четную
и ограниченную для всех вещественных значений х, удовлетворяющую
условиям
ср (п) = an cos nt0,
и аналогично другую функцию ф (х), нечетную, удовлетворяющую условиям
ф (п) = ansinnt0,
при всех целых п.
Но известно [26.1], что если F (х) — целая четная функция рода ;>!,
с неотрицательными коэффициентами (F@)^>0), то можно, как бы мало
ни было s, подобрать многочлен Р (х) таким образом, чтобы на всей оси
соблюдалось неравенство
| ср (ж) — P(x)\<eF(z).
Отсюда можно заключить, что
ОО ' ОО ОО
V а^ cos2 nt0 = V [ср (п) — Р (п)] an cos nt0 <^ в ^ F (п) | ап |.
оо о
Принимая во внимание сходимость ряда y\F (п)\ап\ , мы видим, что
имеет место тождество
и точно так же
В таком случае an = 0 при любом п.
Легко получить теперь такое общее предложение:
Теорема В. Если наилучшее приближение Еп [/ (х)] удовлетворяет
неравенству
ЩШ]>Р{п)' B0)
причем F (п) — целая четная функция рода^-1, с неотрицательными
коэффициентами, то функция f (x) тождественно равна нулю, если
только оНа обращается в нуль вместе со всеми производными в некото-
некоторой точке рассматриваемого отрезка [26.6].
В самом деле, так как ([3], глава VI, § 62G0), неравенство E3'))
Еп [/ (х)]
то ряд
4+2+-)
306
— обязательно сходящийся для всякой функции, имеющей ограниченные
производные трех первых порядков. Следовательно, если Еп [/ (х)] удов-
удовлетворяет неравенству B0), то можно построить такую четную функцию
Fx (n) рода 1 с неотрицательными коэффициентами, что рйд
будет сходящимся1. Таким образом, теорема доказана2.
Полагая Еп [/ (х)] = е~Хп, мы без труда проверим, в частности, что
функцию F (п), требуемую теоремой, можно построить, если только при
всех значениях п
или
n ^ log n ^ log n log log n
(случай \п = ап, где а^>0, соответствовал бы аналитическим функциям).
Но из доказанной теоремы легко вывести указанную выше (в форме D')
общую теорему Данжуа-Карлемана (D) [26.5].
1
В самом деле, нам достаточно установить, что, предполагая ряд V —
расходящимся, можно построить такую целую четную функцию F (х)
рода 1 с неотрицательными коэффициентами, что
Мы видим, что, поскольку числа убывающие, ряд
так же как и ряд
оба расходящиеся.
Отсюда следует, что целая функция 3
, \2к
1 Достаточно было бы просто заметить, что ряд Ti\ ап\У ^ {п) сходящийся.
2 По теореме, ранее доказанной, если бы условие B0) удовлетворялось лишь
для бесчисленного множества достаточно редких значений п, то было бы необхо-
необходимо прибавить условие lim )Л^(/г) > 1 (что соответствует функциям, квазианалити-
квазианалитическим (Р)).
3 Это вытекает из теоремы, доказанной во второй заметке книги «L. S.»
[см. также B7)]. Достаточность условия (D) для периодических функций выте-
вытекает также непосредственно из установленной леммы, если положить F (х) =
(
» так как коэффициенты ап ряда Фурье удовлетворяют неравенству
(п) ^ 2 ~~2 СХ°ДИТСЯ в то время как
20
функция F
\l\i, и, следовательно,
(х) — рода 1.
ряд ^
1
307
где ряд ^ V I С2к 1 — расходящийся, будет рода большего, чем 0; но
V —
22k*
так как (по определению
Глава III
ЭКСТРАПОЛИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 9. Общая проблема экстраполяции многочленами. Согласно сооб-
ркжениям, изложенным в главе I, если функцию /(ж), заданную экспе-
экспериментально, можно в данном промежутке приближенно представить
многочленами невысоких степеней п, так что погрешность будет быстро
убывать с увеличением п, то при помощи таких многочленов мы получим
приближенно некоторое определенное продолжение этой функции за пре-
пределами промежутка; при этом не подлежит сомнению, что всякая иная
последовательность многочленов, представляющая в данном промежутке
функцию / (х) с приближением того же порядка, дает за пределами про-
промежутка почти то же самое приближенное продолжение.
Так, например, если функцию f (х) можно на отрезке [—1, +1]
представить многочленом второй степени
Р (х) = Ах2 + Вх + С
с погрешностью меньшей, чем 0,001, то всякий другой многочлен
представляющий функцию / (х) на отрезке [—1, +1] с тою же точностью,
будет обладать тем свойством, что | Р (х) — Р1 (х) | << 0,002 на отрезке
[—1, +1] и, значит, мы получим \Р (х) — Рг (х) | <<0,00425 на отрезке
]
Тем не менее, утверждать строго, что продолжение будет существовать
в некоторой области, заключающей [—1, +1], можно будет не иначе,
как в том случае, когда известно, что приближение / (х) быстро улуч-
улучшается при увеличении степени многочлена, или же, более точно, если
известно, что / (х) есть или аналитическая функция, или функция
квазианалитическая (Р).
В частности, осуществлять продолжение функции можно, исходя из
значений / (х) в некоторой системе узлов, число которых неограни-
неограниченно возрастает, если воспользоваться соответствующими интерполя-
интерполяционными многочленами Лагранжа. Условимся, вообще, называть функ-
функцию / (х) экстраполируемой, если узлы можно выбрать так, чтобы
многочлены Лагранжа определяли по крайней мере одну функцию
вблизи данного промежутка. Первый вопрос, который по этому поводу
308
можно поставить, заключается в следующем: какие узлы (располо-
(расположенные всюду плотно на данном отрезке) обеспечивают сходящуюся
экстраполяцию для возможно более обширных классов функций?
Допустим для определенности, что данный отрезок есть [—1, +1].
Рассмотрим произвольное непрерывное продолжение на отрезок [1, Ь]
(б>1) функции f(x), заданной на отрезке [—1, +1]; пусть Рп(х) будут
многочлены степени п, деющие наилучшее приближение En[f(x)] продол-
продолженной таким сбразом функции / (х) на всем отрезке [—1, Ь]. Интерполя-
Интерполяционный многочлен Лагранжа, определяемый узлами а0, ..., ап на отрезке
[—1, +1]>-шшш° будет представить в виде
Rn(x)=Pn(x)+Hn(x), B1)
где
Нп (х) = An±i (х) V ,г , | еп (аг) \ < Еп [f(x)],
И
An+i (x) = (х — а0)... (х — ап).
Вопрос заключается в том,чтобы выбрать -4n-fi {x) так, чтобы многочлен
Нп (х) стремился к нулю в возможно более общем случае. Следовательно,
многочлен Ап±г (х) определится требованием обращения в минимум вы-
выражения
1
(х
B2)
(при произвольном данном значении х=
Заслуживает внимания то, что мы приходим к той же самой задаче,
если хотим выбрать многочлен Аплгг(х) по условию, чтобы ошибки, сде-
сделанные при экспериментальном определении значений f (x) в данных уз-
узлах, вели к наименьшей ошибке при экстраполяции.
Докажем, что искомый наивыгоднейший многочлен Ап^\ (х) есть
Sn (х) = У1 — х2 sin n arc cos x, B3)
так что
ак = cos (k = 0, 1, ..., п).
В самом деле, для любого данного Ап^ (х) значение B2) достигается
многочленом, принимающим в последовательных узлах поочередно зна-
значения 4^1; в случае, если -4n+i (x) =Sn(x), таким многочленом является
многочлен Чебышева
Тп (х) = ± cos n arc cos x = ± у [(х + Ух2 — 1)п + (х — Ух2 — l)n]. B4)
Но так как |Гп(а4)|<1, если узлы
кп
ajc 55 COS ,
то, следовательно, значение B4) (при х=Ь^>\) меньше того, которое полу-
309
чит многочлен, принимающий поочередно значения 4^1 в узлах ai, отлич-
отличных от корней многочлена Sn (х). Мы приходим, таким образом, к сле-
следующему заключению.
Выбор узлов, определяемый многочленом B3), наиболее благоприятен
с точки зрения экстраполяции1; при этом выборе экстраполяция всегда
возможна для функций аналитических и квазианалитических (Р) (лишь
бы эти последние допускали квазианалитическое или псевдоаналитиче-
псевдоаналитическое продолжение); продолжение получается в столь же широких пре-
пределах, как и при использовании разложения по тригонометрическим
многочленам Чебышева, соответствующим отрезку [—1, +1].
Замечание! Мы предполагали, что узлы распределены по всему
отрезку. Нетрудно, однако, заметить следующее: если бы мы допустили,
что только правый конец 1 отрезка фиксирован и отрезок [— 1, +1]
можно заменить каким угодно другим отрезком [а, 1], где —1<^а<^1,
то наилучшая экстраполяция в правую сторону получилась бы при усло-
условии, что а стремится к 1.
Действительно, круг сходимости функции f{x) в точке 1 должен
иметь две вещественные точки пересечения с эллипсом сходимости для
отрезка [а, 1], и потому правая вершина этого эллипса не может быть
удалена более, чем точка пересечения z>l круга С с вещественной
осью; к этой точке z вершина эллипса будет стремиться, если а стре-
стремится к 1.
§ 10. Экстраполяции устойчивая и неустойчивая. Поставим теперь
своей задачей исследовать, возможны ли еще иные экстраполируемые
функции. Ответ окажется утвердительным; однако придется установить
существенное различие между двумя типами возможных экстраполяции.
Мы скажем, что экстраполяция устойчива, если введение дополни-
дополнительного узла внутри отрезка, в окрестности его конца (за которым
выполняется экстраполяция), не уничтожает сходимости экстраполяции;
напротив, экстраполяция неустойчива, если она уничтожается посред-
посредством введения такого узла, сколь угодно близкого к концу отрезка.
Единственными функциями, допускающими устойчивую экстраполя-
экстраполяцию2, являются функции аналитические и квазианалитические (Р).
Обозначим через Rn{%) интерполяционный многочлен Лагранжа,
соответствующий узлам а17 ... , ап±\, и через Rn+\ (х, а) — интерполяцион-
интерполяционный многочлен для той же функции, получающийся при добавлении
узла а. Предполагая, что отрезок приведен к [—1, +1], мы, очевидно,
получим
X (х) = Rn+1 (х,а)- Д„ (х) = [/ (а) - Rn (а)] j*^
1 Как я указал в статье [20], интерполяционные многочлены с узлами Чебышева
сходятся и дают для всякой функции внутри отрезка [—1, +1] приближение того
же порядка, что и разложение Фурье в ряд многочленов Тп(х) = cos n arscos#.
2 Аналогичное утверждение справедливо и для случая интерполяции. См. мою
статью [20].
310
и значит,
(а — аг) . . . (а —ап_
где р <С у , р<С—г-^- при ж^>1. Поэтому, если X (х) ограничено
ОС X X —{— 1
при 1<<ж^^0, то функция /(а;) — аналитическая (или квазианалити-
квазианалитическая (Р)) в промежутке (а0, 1), где а0 = 2 — #0, и тогда, вследствие
общих результатов главы I, устойчивая экстраполяция ведет к соответ-
соответствующему . аналитическому, квазианалитическому или псевдоаналитиче-
псевдоаналитическому продолжению данной функции / (х). Возможен, однако, и такой
случай, что функция / (х) будет аналитической не на всем отрезке
[—1, +1], например если она «составлена» из двух аналитических фун-
функций: устойчивая экстраполяция могла бы оказаться (как исключение)
сходящейся, и в этом случае она, очевидно, давала бы продолжение
аналитической функции вблизи конца промежутка.
Класс функций, допускающих неустойчивую экстраполяцию, более
обширен, но практически не является столь важным. Укажем один
общий прием построения таких функций. Пусть дано разложение
со
f(x) = %KTVn(x) B5)
1
функции f(x) в ряд тригонометрических многочленов на отрезке [—1, +1].
Допустим, что существует бесчисленное множество индексов п, удовле-
удовлетворяющих двум условиям: во-первых,
п+2
и, во-вторых,
где h—постоянная. В таком случае разность
в точках cos —— , где к = 0, 1, ...,/? ,,, будет иметь чередующиеся
знаки. Но тогда приближающие многочлены
совпадают с / (х) по крайней мере в рп + 1 точках во всяком проме-
промежутке
Г
к*
cos , cos
P
311
тем же свойством подавно будет обладать всякий промежуток
cos a, cos [а + т)\
при достаточно больших п из рассматриваемой последовательности.
Итак, выбирая надлежащим образом узлы в промежутке
cos a, cos(a+ ~-)\ , можно будет при помощи формулы Лагранжа вос-
восстановить функцию f (х) на всем отрезке [—1, +1]-
Так, например, функция Вейерштрасса, не имеющая производной, есть
частный случай функций вида B5) и, значит, принадлежит к числу
экстраполируемых функций.
Легко проверить, что, например, следующая функция Вейерштрассах
обладает интересным свойством: для бесчисленного множества * значе-
значений п она на всем отрезке [—1, +1] дает то же самое наилучшее при-
приближение Еп [/ (х)], что и в любом отрезке cos a, cos fa + ~ + el при
s, стремящемся к нулю вместе с 1/тг. Все функции, которые для бес-
бесчисленного множества значений п на некоторой части отрезка дают
то же самое наилучшее приближение, что и на всем отрезке, очевидно,
являются (неустойчиво) экстраполируемыми. Таким образом, получается
впечатление, что известного рода равномерность в нарушении свойств-
регулярности иногда сообщает функции почти такое же органическое
единство, как и сама аналитическая регулярность: в том и другом
случае невозможно подвергнуть функцию частичному изменению без того,
чтобы наилучшее приближение многочленами Еп не увеличилось для
бесчисленного множества значений п.
Замечание. Предыдущее изложение не исключает возможности
(хотя она и кажется мне невероятной), чтобы экстраполяция, произ-
произведенная при помощи неустойчивых узлов, привела в случае аналити-
аналитической функции к продолжению, которое не было бы аналитическим»
Это никак не может произойти, если интерполяционные многочлены
дают на данном отрезке приближение порядка рп (р<< 1), или если новые
узлы последовательно добавляются к прежним, так что интерполяция
имеет вид
1
причем каждый многочлен Qn{x) делится на все предыдущие. Но если
не делать никаких предположений относительно распределения узлов, то
вопрос остается открытым, за исключением еще одного, очень частного
1 См. мою заметку в «Gomptes rendus» от 25 ноября 1912 г. [7].
* См. также [47]. (Ред.)
312
случая, когда круг сходимости на конце отрезка, противоположном
тому, в окрестности которого производится экстраполяция, заключает
внутри себя весь отрезок целиком. Это показывает, в соответствии
с ранее сделанным замечанием, что если мы хотим быть уверены в том,
что при произвольных узлах экстраполяция сходится и дает аналитиче-
аналитическое продолжение данной функции, то достаточно для этого соответствую-
соответствующим образом уменьшить отрезок, на котором производится интерполяция.
Глава IV
ФУНКЦИИ С АБСОЛЮТНО ОГРАНИЧЕННЫМ ПОЛНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
§ 11. Абсолютно монотонные функции. Пусть функция / (х) опре-
определена на отрезке OR; мы скажем, что она абсолютно монотонна на
этом отрезке, если выполнены неравенства
B6)
п / (х) = f (х + nh) - nf (х + п - 1 h) + . . . ± / (х) > О,
каково бы ни было целое число п и каково бы ни было приращение h,
лишь бы все значения переменных в выражениях B6) принадлежали
отрезку OR. Мы установим следующую теорему:
Теорема. Функция, абсолютно монотонная на отрезке OR, является
аналитической на этом отрезке; она разлагается в ряд Тэйлора по
степеням х, с радиусом сходимости R1 ^ R.
Прежде всего докажем такую лемму:
Если на отрезке OR функция f (x) обладает тем свойством, что,
k^> 2 ее последовательных разностей неотрицательны [лишь бы значе-
значения переменных в разностях не выходили за пределы OR), то функция
f (x) непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка к — 2
включительно; кроме того, она в каждой точке имеет правую и левую
производные порядка к—1.
Предположим сначала, что к = 2. В таком случае, полагая, каково
бы ни было п,
хп — х = nh ^> О,
мы получаем
) - / (»i) <•••</ (*») - / (sn-i). B7>
Поэтому
где А — постоянная, не зависящая от х, если только
313
Отсюда следует, что f(x) непрерывна и удовлетворяет некоторому опре-
определенному условию Липшица на всяком отрезке 06, внутреннем к OR.
Пусть, с другой стороны, х-% — х = ух — у = ih и х <iy, тогда
f(x.)-f{x)^f{y.)-f{y). B8)
В самом деле, B8) следует немедленно из B7), если у ~ х = Ih, где
I — целое число, т. е. если у — х соизмеримо с х\ — х — yi — у; но так
как, по доказанному, / (х) непрерывна, то неравенство B8) справедливо
во всех случаях.
Вследствие B7) мы имеем, при условии — ->1,
и, значит, при любых 6
Неравенству B9) можно
f(x
/(* +
/(*4
>1 и
/(«¦4
/(*¦
• mh) —
-nh) —
а>0
-0а) —
4-а)-
придать вид
+ 0а)-
-f(x) .
f(x) m
f(x)^nJ
, получается
f (x) -> fi
B9)
0а
итак, если /г стремится к нулю, пробегая положительные значения, то
f(x + h) — f(x)
выражение ——!—^—~}-J стремится к определенному пределу
f (*)>0;
другими словами, f(x) имеет правую производную. Подобным же рас-,
суждением устанавливается существование левой производной /' (х).
Кроме того, из неравенства B8), очевидно, следует при х<^у неравенство
?{х)<}{х)<1'{у). C0)
Установив справедливость леммы при к = 2, перейдем к случаю
к = 3. Помимо неравенств B7), мы имеем теперь еще следующие:
/(*,) - 2f{xx) + /(*)</(*,) - 2f(x2)+f(x1) < . . .,
откуда заключаем, посредством сложений, что
[/ (*i+i) - / К)] - [/ (*i) - / (х)] < \f (уН1) - / (yt)] - [/ Ы - / (у)], C1)
если только
уг — у = хг — х = ih и у — х= Ik,
где i и Z — целые положительные; но, благодаря непрерывности /(#),
убеждаемся, что неравенство C1) оправдывается при всех значениях
у>х.
314
Считая х, xv у, у. постоянными, разделим C1) на /г, и эту послед-
последнюю величину затем заставим стремиться к нулю. Имея в виду дока-
доказанное выше существование правой производной, мы, таким образом,
получим
}y.)-}(y), C2)
при yi — у = х.% — х и у^>х. В частности, при у = я\ неравенство C2)
принимает вид
Д2/»>0. C3)
Следовательно, функция /' (х) [и точно так же /' (х)] удовлетворяет
условиям леммы при к = 2; значит, она непрерывна и, в силу C0),
кроме того, /' (х) имеет как правую, так и левую производные. Заме-
Заметим еще, что из предыдущего вытекает результат
lim —— т~~~^~~ = /" (х) (ПРИ h^>tyi
и затем, применяя правило Лопиталя, получаем
f(x + 2h)-f'(x+h) _
h->0 ri~ h->0 h
= lim / [x + 2h)-f (x) _ Ит / (x + h)-f (x) = Jn ^^
Теперь нетрудно перейти, пользуясь математической индукцией, к
случаю произвольного к. Именно, из неравенства
мы заключаем, что
и затем, складывая, получаем
Дй_2/ (х.) - Ak_J(x) < Д,_2/ (у.) - Ak_2f(y), C4)
если хг — х — уг — у и у^>х. Деля C4) на /г&~2 и заставляя потом Л,
стремиться к нулю, мы получаем (раз допущена справедливость леммы
для к — 1)
)С*-2) (Xf) _ ^-2, (х) < ^-2) ад _ Jew, (у)>
Полагая у = xi, будем иметь
315
Следовательно, функция f{Ic 2\х) непрерывна, и потому
вместе с тем функция /( ~ (х) имеет правую и левую производные, что
и требовалось доказать.
Из доказанной леммы следует, таким образом, что абсолютно моно-
монотонная функция неограниченно дифференцируема и все ее производные
неотрицательны.
Имея все это в виДу,. допустим, что нам известны значения функции
/ (х) и всех ее производных до порядка к включительно в точке 0, и
предположим, кроме того, что f (R) — М\ предположим, наконец, что на
отрезке OR fc+1) (x) > 0 и/(*+2) (я) >0 (и только). Тогда, полагая
Рк (х) = / @) + я/' @) + ... + ** f^P- ,
можно утверждать, что
0 < / (х) - Рс (х) < (^-J+i \f (R) - Pk (R)]. C5)
В самом деле,
l
/ (x) - Pk (x) = -^ ^ /(J+i) (их) A - uf du,
/ (R) - Pk {R)=^- \ f{k+l) (вД)A - uf du,
0
и из неравенства fk+ ) (x) ^ 0 ясно видно, что первый из интегралов не
превышает второго.
Из неравенства C5), которое в случае абсолютно монотонной функ-
функции имеет место при всех /с, мы немедленно заключаем, что функция
/ (х) разлагается в ряд Тэйлора по степеням х, с радиусом сходимости
не меньшим, чем R.
§ 12. Функции с абсолютно ограниченным полным изменением. Мы
будем называть функцией с абсолютно {или функционально) ограничен-
ограниченным изменением внутри отрезка аЬ всякую функцию / (х), которая ца
данном отрезке аЬ может быть представлена в виде разности двух абсо-
абсолютно монотонных функций ср (х) и ф (х).
Вполне очевидно, что функция /(#), допускающая разложение в ряд
Тэйлора по степеням х — а, может быть представлена как разность двух
абсолютно монотонных функций на отрезке [а, а + Щ, где R — радиус
сходимости: достаточно сгруппировать вместе члены одинакового знака*.
Таким образом, в качестве следствия доказанной выше теоремы можно
утверждать: необходимое и достаточное условие для того, чтобы /(х)была
* При этом не исключена возможность расходимости ряда для/(ж) при х—а=
= jR: в таком случае по крайней мере одна из функций <р(#), ф(#) стремится к бес-
бесконечности при х—a->R. (Автор.)
316
функцией с абсолютно ограниченным полным изменением на отрезке
ab, заключается в том, чтобы она была аналитической и разлага-
разлагалась в ряд Тэйлора по степеням х — а, с радиусом сходимости не мень-
меньшим, чем Ь — а.
Итак, радиус сходимости ряда Тэйлора в точке а может быть опре-
определен как максимальный отрезок ab, внутри которого рассматриваемая
функция обладает абсолютно ограниченным полным изменением.
В частности, целая функция обладает абсолютно ограниченным пол-
полным изменением на любом конечном отрезке вещественной оси, и обратно.
Продолжение функции с абсолютно ограниченным полным изменени-
изменением на отрезке ab на основе требования сохранения этого свойства на
некотором соседнем отрезке, имеющем общую часть с ab, в точности рав-
равносильно аналитическому продолжению.
Предыдущие рассмотрения ведут сейчас же к такому предложению:
Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная на отрезке ab] если
f (x) обладает тем свойством, что на всем отрезке
\Akf(x)\^AkF(x), C6)
каково бы ни было к и каково бы ни было конечное приращение h [лишь
бы значения переменной не вышли за пределы ab), то функция f (x)—
аналитическая и разлагается в ряд Тэйлора с радиусом не меньшим, чем
Ъ-а.
Чтобы в этом убедиться, достаточно написать
f(x) = F(x)-[F(x)~f(x)].
Отсюда получается, в частности, что функция f (x) — аналитическая,
если существует такое постоянное число р, что на отрезке ab выпол-
выполнены неравенства
|ДП/И|<п!рп/Л C7)
где h обозначает конечное приращение х (стремящееся к нулю). Это
следует из того, что абсолютно монотонная функция
удовлетворяет неравенствам
Обратная теорема очевидна.
Как уже было отмечено в § 4, последний результат можно обобщить
следующим образом:
Если неравенство C7) выполняется для бесчисленного множества
значений п, то функция f (х) — квпзианалитическая (Р) на рассматри-
рассматриваемом отрезке,
317
Чтобы это доказать, придется предварительно обобщить надлежащим
образом теорему Ролля: если непрерывная функция f (х) имеет п + 1
корней на отрезке ab, то уравнение
по) -nf(x + /Г^Тй) +..,+(_ 1O(х) = О
имеет по крайней мере один корень внутри этого отрезка при условии,
что о достаточно мало.
Вот доказательство этой леммы. Исключив тривиальный случай,,
когда / (х) тождественно обращается в нуль, можно допустить, не огра-
ограничивая общности, что функция f (х) меняет знак п + 1 раз, так как,
при s достаточно малом, во всяком случае одна из функций / (х) + s или:
/ (х) — s будет обладать этим свойством [18.1]. Подразделяя затем отре-
отрезок аЬ на равные между собою достаточно малые промежутки 8, убедим-
убедимся, что в точках деления знаки функции / (х) будут меняться по край-
крайней мере п + 1 раз; в таком случае знаки A[8)f(x) будут меняться па
крайней мере п раз и так далее; наконец, знак функции Дп8)/ (х) изме-
изменится по крайней мере один раз, и, следовательно, сама эта функция
непременно обратится в нуль, при каком-то промежуточном значении хг
что и нужно было доказать.
Возьмем теперь интерполяционную формулу Ньютона
f(x) = f(a)+
и положим
(х — а) • • • (х — а — п — lh)
Определяя число Н по условию, чтобы уравнение C8) удовлетворя-
удовлетворялось при некотором данном значении х, мы убеждаемся, что это урав-
уравнение будет иметь п + 1 корней в промежутке ab. Основываясь на этом?
утверждаем, что уравнение
получающееся после того, как возьмем п-ю разность от обеих частей
уравнения C8) (при произвольном приращении hv удовлетворяющем не-
неравенству /г!<^8, где 8 достаточно мало), будет иметь хоть один корень
в промежутке аЬ\ такил* образом, получим выражениех для остаточ-
остаточного члена формулы Ньютона C8) в виде
Rn= п Ц-^ (а<1<Ь). C9)
1 Значепие 8 зависит, вообще говоря, от х и от h\ но значение hlf стоящего в
формуле C9), можно выбрать из любой, заранее заданной последовательности
чисел, имеющих пределом нуль.
318
Возвращаясь к доказательству высказанного выше предложения, мы
видим, что, если неравенство C7) выполняется при некотором значении п
и при произвольных значениях hv взятых из некоторой последователь-
последовательности, стремящейся к нулю, то, предполагая, что
1-1 I 'Л 7 , / 1
х — а \ < — и \ х — а — п — 1 /г <Г — (где ол "> о),
мы будем иметь
а это показывает, что функция / (х) — квазианалитическая (Р) в окрест-
окрестности любой точки а нашего отрезка, а значит, и на всем отрезке.
§ 13., Обобщения. Мы убедились, что абсолютная монотонность функ-
функции обусловливает ее аналитичность. Но существуют и иные общие
типы функциональной монотонности, обладающие тем же свойством.
Пусть, например, функция f(x) такова, что все ее конечные разности
&kf(%) сохраняют один и тот же знак (зависящий от к) в данном проме-
промежутке: мы будем говорить тогда, что функция регулярно монотонна
в этом промежутке *.
Легко проверить, что рассуждение, приводящее к лемме начала
этой главы, остается в силе, и, следовательно, всякая регулярно моно-
монотонная функция непременно неограниченно дифференцируема, причем
каждая из производных /(*) (х) сохраняет один и тот же знак в пре-
пределах рассматриваемого промежутка.
Мы можем теперь показать, что функция / (х) должна быть аналити-
аналитической] но только приведенное выше рассуждение неприменимо, так как
радиус сходимости не равен на этот раз длине отрезка.
С этой целью заметим, что если
| /(п) (х) | > Nn на отрезке OR,
то неизбежно (см. [3], стр. 64)
^)", D0)
где через М обозначен максимум | / (х) | на OR.
Допуская, что в качестве отрезка, на котором функция / (х) регу-
регулярно монотонна, взят отрезок [— R, -f R], мы видим, что если
/(*) @) = N, то на одном из отрезков [— R, 0] или [0, R] будем иметь
\Pn4x)\>\N\=Nn,
и, значит, вследствие D0),
* См. статьи [32] и [45]. (Ред.)
319
Отсюда следует, что функция / (х) — аналитическая, и ее радиус
R
сходимости в середине отрезка не меньше, чем ~г ; и точно так же во
всякой точке отрезка радиус сходимости ряда Тэйлора не меньше, чем
четверть расстояния от этой точки до ближайшего конца отрезка.
Подобное же рассуждение показывает, что если бы функция / (х)
имела лишь бесчисленное множество производных, сохраняющих знак на
данном отрезке, то неравенство D1) выполнялось бы для бесчисленного
множества значений п и функция тогда была бы квазианалитической (Р)
(или аналитической, если бы отношение последовательных порядков
производных с неизменным знаком было ограниченным). Однако предло-
предложение, обратное по отношению к высказанным выше, было бы, очевидно,
неверно. Не входя в рассмотрение дальнейших подробностей, ограничусь
указанием следующего предложения [26.7].
Пусть Sn<^i? есть максимальное расстояние между двумя соседними
корнями /(п) (х) на данном отрезке OR; функция f (x) ни в одной части
отрезка OR не может быть аналитической,, если *
lim nVKh--- 8n-i = 0 D2)
n->oo
(в частности, если Нттг8п = 0).
П->оо
Действительно, если бы / (х) была аналитической функцией, то суще-
существовало бы такое R^> О, что мы имели бы Мп = max Y\fn^{x)! <^nR при
всех /г ^> 0. Следовательно,
n
2 V\ / (*) | < Мп VX-i К-2. .. % < nR V%o,. .. Sn_x.
Но учитывая, что найдутся сколь угодно большие п, для которых
л ]/80 8Х. . . Sn_x < — , заключаем, что | / (х) \ <^ —) , т. е. было бы тож-
дественно / (х) = 0.
При помощи аналогичного рассуждения убеждаемся, что Нттгоп = 0
невозможно не только при аналитичности f(x), но несовместимо и с суще-
существованием неравенства; Мп <^ nR для какой-нибудь бесконечной после-
последовательности значений п.
* Стоявшее вместо D2) в первоначальном тексте условие lim n$n = 0 было ис-
исправлено в сноске к § 3 моей заметки A29*). (Автор.)
27
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РОДА О*
Как известно, существуют исключительные случаи, когда сумма двух
функций рода 0 является функцией рода 1. Так, например, сумма1
где
есть целая функция рода 1, хотя Д (я) — функция рода 0, если >>
В этом частном случае коэффициенты четных степеней функции fx (%)
рода 0 будут такими же, как и у функции ~F(x) рода 1. Следова-
Следовательно, как заметил Линделёф в указанном мемуаре, нельзя вообще
утверждать, что функция у F (#)> имеющая мажоранту / (х) рода 0, сама
также будет нулевого рода.
Полагая вообще
/ (я) = с0 + cLx + ... + cnz п + . . . , B)
можно легко проверить, что для функций рода 0 и истинного норядка,
меньшего 1, ряд
C)
1
сходится. Но в случае, когда истинный порядок функции / (х) рода О
равен 1, как это имеет место в примере A), сходимость ряда C)
* Sur une propriete des fonctions entieres de genre 0. «Наук. зап. н.-д. матем.
катедр Украши» A926), стр. 1—9 A10*). Эта статья воспроизводит с незначитель-
незначительными изменениями второе добавление к монографии «L. S.», стр. 198—204.
1 Ernst Li nd el of, Memoire sur la theorie des fonctions entieres, «Acta Soc. Sci.
Fennicae», t. 31 A902).
21 С. Н. Бернштейн, т. I 321
сомнительна. Действительно, Линделёф показал, что в его примере для бес-
бесконечного множества значений п (при положительном произвольно малом е)
г. D)
Предполагая, что неравенство D) справедливо для всех достаточно больших
значений п, он говорит: «Допуская это заключение1, в правильности кото-
которого можно не сомневаться, но для которого нелегко найти прямое
доказательство, мы видим, что, несмотря на то, что заданная функция
будет рода 0, ряд 2V^lcnj все-таки расходится».
В дальнейшем я покажу, что неравенство D) для функции Линделёфа
действительно имеет место для всех значений п, так что упомянутое
заключение, сделанное этим выдающимся ученым, оказалось совершенно
правильным.
Тем более интересно привести следующее предложение, которое пока-
показывает, что для четных функций исключение, найденное Линделёфом,
невозможно.
Если
f(x) = С0 + С2.Г2 + . . . + С2пХ2п + . . . E)
четная функция рода О, то ряд
00 2п
всегда сходится.
В частности, из нашей теоремы вытекает, что всякий раз, когда, как
в примере Линделёфа, ряд C), соответствующий функции B), расходится,
сумма /(т)+/(— х) будет рода 1.
Перейдем теперь к доказательству формулированной нами теоремы.
По предположению мы имеем (причем для простоты, положим с0 = 1),
оо
f(x) =Д A + Л-) = 1 + С0* + . . . + С2**2" + . • • , G)
п=1 ч Р" J
где
сходится.
Ясно, что при заданных |рп) коэффициенты с^п будут иметь наиболь-
наибольшие модули, если все |3П положительны и вещественны. Поэтому мы
можем ограничиться рассмотрением этого случая, как наиболее неблаго-
неблагоприятного для сходимости ряда F). Итак, предположим, что |Зп^>0,
и рассмотрим многочлен
In (х) - Д A + ^ = 1 + AlX* + ...+ ANx^. (9)
n=l ^n ''
1 Справедливость неравенства D) для всех значений п.
322
Мы имеем
причем индекс к при знаке суммы обозначает, что мы берем сумму
всех произведений к множителей —^—% 2"» П0ЛУченных ПРИ все^
возможных комбинациях N чисел —о-.
в2
Покажем сначала, что при всяком целом т
2_{, A0)
если только мы положим Ао = 1 и Ат = О, когда т<^0 или
и заменим знак <^ знаком равенства, если т^О или т^>N + 1.
Наше утверждение очевидно для N = 1. Таким образом, достаточно
показать, что если неравенства (Ю) справедливы для N = iV0, то они
также будут справедливы для N = No + I. •
Но, обозначив через Хш соответствующие коэффициенты многочлена
/jv+i (%) степени 2(N + 1), который мы получаем, вводя в (9) новый
множитель l-\-k2x2> где h2 = —^ >0, находим после умножения
- 1 + А[ х2 + ... +Атх2т+ ...
Где
Л'т=/г2^т^ + ^т. A1)
Итак, достаточно проверить, что
(к*Ат_1 + Ат) (/гМт_3 + Ат-г) < (АМт_2 4- ^m-iJ, A2)
причем числа Ат удовлетворяют, по предположению, неравенству A0).
Но неравенство A2) является следствием трех неравенств
- l^m-2> A3)
из которых последнее получается перемножением двух первых. Заметив,
кроме того, что неравенство A2) справедливо, даже если два из нера-
неравенств A3) заменить равенствами, и что оно приводится к равенству
только тогда, когда все три неравенства A3) будут заменены соответ-
соответствующими равенствами, мы видим, что
XiX>-2<(Xi-iJ A4)
при 0<^m^N + 2, причем неравенство A4) приводится к равенству для
всех других? значений т. Последовательно повторяя это рассуждение,
мы установим, что неравенства A0) справедливы при всяком N.
В частности, из нашего рассуждения вытекает, что, при заданном
, разность
A2m^i — АтАт~2 > 0
323 21*
возрастает вместе с N; таким образом, тем более мы будем иметь
всех т ^> О
су
Возвратимся теперь к нашему многочлену frt(x), определяемому фор-
формулой (9), при фиксированном N. Благодаря A0) Лт^>0для 0 <Сга <J/V.
Следовательно, полагая
^т Рт
мы видим, что —> 0 при N^m^O и — = 0 для т = N; кроме того,
* т * т
члены суммы
A7)
+ + ... +
благодаря A0), убывают.
Пусть, с другой стороны,
Найдем верхний предел приращения Sy при введении в fj$ (x), как
это было сделано выше, нового множителя 1 + h2x2, благодаря которому
сумма aN получает приращение и становится равной
В силу равенства (И) каждый член — заменяется на
Рт
i
так что сумма Sn переходит в
—= ~
\ / 1 -f- h p
если только положить /?__х = 0 и заметить, что последний член, —
Р
который в /lSV был равен нулю, преобразуется в
1 / ^J^H = | / й_
У AN+h2Ax-i У i+h2p2 #
Л —1
Установив это, разложим *У,у+1 на три части (может случиться,
что первая или последняя часть не содержат ни одного члена):
? 1 / Р2 д., + Л
>, /„ о- I/ m"+1
m=0 г 1 + Ртп
;^ /т; BD
324
где т0 — наименьший индекс, для которого
/*2B/>mo + JPmo+1)/Wi>l, B2)
так что для всех значений т <; т0
№Bрт^+Рт)Рт ,<:;!. B3)
Каждый член первой части может быть представлен в виде
-i/^ft^=-L1/1+
1/
} <24>
При этом
Pm—Pm-i __ ( , Prn + Prn-i
B5)
B6)
Цо, умножая на рт — рт_х оба члена неравенства B3), справедливого, по
предположению, для всех значений т, которые мы теперь рассматриваем,
мы имеем
L т I "хп* т— 1 ¦* т— 1J • m ^^^ * т * т— V
ИЛИ
A + k*p?J (рт + рт_,) < 2рт A + h*pl_ t). B7)
Следовательно, учитывая B6) и B7), мы получаем из B5)
„2 „2
так что, в силу B4),
dz
и, наконец,
т=0 т=0 т о т=0
так как, благодаря B3), hpmo-^l.
325
С другой стороны, последняя часть
Л* N-i
Л Ni
2 7">< S T-» <29>
m=mo-f2
так как
Таким образом, из B8) и B9) мы заключаем, что приращение
причем /?т и pm+i должны удовлетворить неравенству B2); но, благо-
благодаря указанному неравенству, мы имеем
{
Следовательно, при любом положительном h
SN+i~SN<h [ j/3~+ -J-]. C1)
Отсюда следует, что во всех случаях, независимо от значения ЛГ,
так как для N = 1 мы имеем «S^ = ах.
Отсюда следует, что, если Л^ неограниченно возрастает, сумма
при любом w. Таким образом,
¦S-Y i/.J^l <« VT+4 C3)
Требуемый вывод вытекает непосредственно из C3) благодаря следую-
следующей теореме Карлемана1. Если ряд
S = гг3 + гг2 + • • • + ип + • • •
1 Т. Garleman. Les fonctions quasi analytiques, Paris, 1926 (стр. 112—115).
326
с положительными членами сходится, то ряд
тоже будет сходиться, и
Применяя эту теорему Карлемана к нашему ряду S, мы заключаем
из C3), что ряд
S = 2 VW< е [V3"+ х] ° C4)
сходится, что и требовалось доказать.
Следует заметить, что, благодаря сделанному в начале нашего дока-
доказательства замечанию, сходимость ряда Б обеспечена при любых числах [Зп;
наоборот, ряд S не всегда сходится, если числа (Зп не вещественны (ясно,
что изменения одной только величины рп, обращающего в нуль один из
коэффициентов счт, будет достаточно, чтобы нарушить сходимость).
Замечание. В общем случае теорема, обратная нашей, неверна, так
как, каков бы ни был род целой функции, заданной рядом E), для сходи-
сходимости ряда F) достаточно, чтобы последовательность коэффициентов этого
ряда содержала достаточно большие пропуски. Однако, если мы огра-
ограничимся случаем, когда числа рп вещественны, то, как мы видели, коэф-
коэффициенты ряда E) удовлетворяют неравенству A5), благодаря которому
создается определенная равномерность убывания, и тогда обратная тео-
теорема будет верна. Другими словами: для рп>0 расходимость ряда (8)
(означающая, что функция G) рода ^> 1) влечет расходимость ряда F)<
Действительно, достаточно доказать расходимость ряда
поскольку из убывания членов этого ряда, по A5), вытекает, что его
расходимость обязательно влечет за собой расходимость ряда F), члены
которого превосходят соответствующие члены ряда C5). Для этого мы
покажем, что введение нового множителя 1 -(- h2x2 в произведение (9),
который соответствует увеличению на h суммы оу, данной формулой A8),
влечет увеличение суммы Sy на величину, большую, чем Ah, где
А — положительное фиксированное число. Отсюда следз^ет, что если ап,
по предположению, неограниченно возрастает, то и Sy будет возрастать
неограниченно.
Определим число т0 ^ 0 из условия, что
А/?т>1 для т>т0, hpm < 1 для т<т0. C6)
327
Мы можем сделать два различных предположения:
1) Пусть сперва hpmo^2; в таком случае, пользуясь B4), мы про-
проверяем, что
так как j/—у- z"^^ возрастает вместе с х = hpmo (для
Учитывая, что все члены суммы ?Y получают положительное при-
приращение, мы видим, что'при данном предположении приращение суммы
SN будет больше, чем -т-.
2) Пусть теперь hpm<!<^2\ тогда для всех значений m<Cw?0 мы
имеем
1 Г 2Pm — Pm-i 1 L , й2 Рт~^т-1 1
Таким образом, приращение /т будет больше, чем
h2(Pm — Pm-i) ^J^ Г ^д
и сумма всех этих приращений, благодаря C6), превосходит
"Pvn 1
Д2 С dz ^ h С dz Лтг
"Т" J 1 + А222 ^ Т J 1-f ^2 ==Тб' "
О О
Следовательно, и в этом втором предположении приращение суммы S^
будет больше Ah, где А = -jg-, что и требовалось доказать.
Я закончу настоящую заметку доказательством неравенства Линде-
лёфа D) относительно функции A). Для этого заметим, что для получе-
получения последовательных коэффициентов разложения
A + ад A + ад . .. A + Ьпх) ... = 1 + с±х + ... + стх™ + ...
можно воспользоваться следующим методом. Обозначим через cW коэф-
коэффициент при хк бесконечного произведения, полученного отбрасыванием
h первых множителей (в частности, с^ = ск). Очевидно, будем иметь
Л+1 h+l /i+l
Для функции A)
328
Следовательно,
' > С dx
со °°
= у ¦ ' > С
(+)(g+2Ja-1 1-2-(a —I)8 (logA+3Ja-2 '
вообще
так что
Таким образом, пользуясь формулой Стирлинга, мы получаем, при
сколь угодно малом г, для всех достаточно больших значений п
П (a — ^«(log^+T)" (а —1) гс (log НИ)"-1 '
п
Следовательно, ряд 2l^6V? расходится, если а<^2.
28
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫП1ЕВА*
Мы будем говорить, что Рп{х) есть многочлен наилучшего прибли-
приближения в среднем функции f (х) на отрезке [^-1, + 1], если для него
среди всех многочленов Rn (x) данной степени интеграл
+1
J \f{x)~Rn{x)\dx A)
—1
достигает своего минимума.
Этот минимум
+1
Мп= \ \f(x)-Pn{x)\dx
— 1
будем называть наилучшим интегральным (средним) приближением функ-
функции f(x) на [—1, +1] посредством многочленов степени п.
Очевидно, что многочлен Рп(х), реализующий минимум интеграла A),
существует, какова бы ни была непрерывная функция /(х)\ мы ограни-
ограничимся рассмотрением случая \ когда /(П+О (х) > 0 в рассматриваемом
отрезке; многочлен наилучшего приближения в среднем может быть
тогда определен весьма изящным и простым образом. В самом деле, имеет
место следующая
Теорема**. Для того чтобы многочлен Рп(х) был многочленом наи-
наилучшего приближения в среднем для f(x), где /(п"И)(;г) >> 0 на отрезке
[—1, +1], необходимо и достаточно, чтобы Рп{х) был интерполяцион-
интерполяционным многочленом Лаграпжа для f(x), совпадающим с f (х) в п + 1 точ-
точках cos -—г, {h = 1, 2, . . ., п + 1).
* Sur une propriete des polynomes de Tchebycheff. «Докл. АН СССР», 1927,
стр. 405—407 A17*).
1 Впрочем, все заключения имеют, очевидно, место при общем предположении,
что уравнение / (х) = Rn{xI где Rn (x) есть многочлен степени п, обладает не более,
чем п -f 1, корнями на отрезке [—1, +1].
** Эта теорема представляет собой обобщение одного результата Е. И. Золота-
Золотарева и А. И. Коркина, которые рассмотрели случай / (х) = хп+х (Е. И.Золота-
И.Золотарев. Поли. собр. соч., т. I, стр. 138—153). (Ред.)
330
В самом деле, пусть а1У а2, ..., а# — точки, где разность / (х) —Rn(%)
последовательно меняет знак. Тогда вариации о^1р коэффициента при хр
в Rn (x) соответствует вариация интеграла
8 \ I / (х) — Rn (ж) | dx = оАр \ xv dx — [ х'р dx + ...=.
= j^jbAv [2a?+1 - lot' +...- 2 (-1)*а?+1 + (-1)* + (-1)PJ.
Следовательно, для экстремума необходимо, чтобы выражение в скобках
обращалось в нуль.
Так как р должно принимать все значения от 0 до п включительно,
то для того, чтобы можно было удовлетворить п -\- 1 уравнениям
2 2 (-l)h«E+1 = (-1)* + (-1)Р. B)
необходимо (как легко показать) выполнение неравенства к^>п.
Эти уравнения фактически удовлетворяются, при к = п -f- 1, если
положить
a/i___cos^-2, C)
так как
) 0
когда р — h четное число, и
п-1
'—IV" ( cos —
— в противном случае.
Более того, не может быть &^>/г + 1> так как уравнение
имеет, вследствие условия
/("+*) (х)
ее более, чем п + 1 корней.
Таким образом, значения C) — единственные, совместимые с экстре-
экстремумом интеграла A). Но поскольку интеграл достигает минимума, эти
значения соответствуют именно ему.
Вместо интеграла A) можно также рассматривать полную вариацию
погрешности, равную
J \f{x)-Rn{x)\dx,
— 1
и обращать ее в минимум при приближении / (х) многочленом Rn (x)
степени п.
331
Чтобы получить многочлен Qn (x), который удовлетворяет этой про-
проблеме минимума, достаточно после того, что было сказано (предполагая
всегда /(гг+1) (гг) ^> 0), построить многочлен Рп{х) степени п — 1, который
совпадает с /' (х) в п точках cos-~^-- , где h = 1, 2, ...,«. Отсюда
Qn (х) - Рп И + С=\Р'п(х) dx, D)
где С — произвольная постоянная, представляет общее решение проблемы.
Можно затем фиксировать постоянную С посредством дополнительного
условия, выбирая, например, тот многочлен D), для которого положи-
положительное и отрицательное максимальные уклонения / (х) — Qn (x) равны и
для которого, иначе говоря, достигается минимум максимума
\f(x)-Qn(x)\.
Пусть, в частности, требуется построить многочлен
Ап (х) ^хп + />^п"!+ •••+ Рп
так, чтобы его полная вариация на отрезке [—1, +1] была минимальна,
A priori можно было бы думать, что эта полная вариация достигает
минимума, если Ап(х) — монотонная функция; но из предыдущего сле-
следует, что
An (х) = п (х — ах). ..(х — an_i),
где
hn
a/i — — COS .
Таким образом, Ап (х) совпадает с точностью до постоянного множителя
с Тп(х), где
Тп (х) = cos n arc cos x
есть многочлен Чебышева.
Следовательно,
Ап (х) = -n_1 cos n arc cos x + С E)
есть искомый многочлен минимальной полной вариации.
Эта минимальная вариация Vn равна, таким образом,
Напротив, вариация монотонного многочлена не может оставаться ниже,
чем
Г 1-2---А
2 2n~2
согласно известной формуле Чебышева.
21)
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОТНОСИТЕЛЬНО
АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ *
Если даны к ~\- 1 положительных значений Л/о, М v ... , Ми, то
всегда возможно, полагая Ъ ^> 0 достаточно малым, построить бесчислен-
бесчисленное множество функций / (х), абсолютно монотонных на отрезке [—6,0],
так, чтобы
Мк. A)
Я поставил себе задачу найти такое значение L, что функция /(.г),
удовлетворяющая условиям A), существует, если Ъ L, и не существует,
если b^> L.
Решение этой задачи в основном вытекает из двух следующих теорем-
Теорема А. Пусть
? (х) = [Ах + В1(х + Ь)] (х + Ь)РЧ-. ..+ [Ап + Вп (х + Ь)] (х + 6)р«, B)
где Ai^O, Bj^O, pt^->рг_{ + 1, причем, показатели pi — целые неотри-
неотрицательные числа. Если существует функция f (х), абсолютно монотонная
на [—Ь,0], которая удовлетворяет условиям A), то существует также
одна и только одна функция вида B), удовлетворяю!цая тем же началь-
начальным условиям A) при предположении, что к + 1 = 2п — четное число;
точно так же для к = Ъг существование абсолютно монотонной функ-
функции f(x), удовлетворяющей условию A), вычет зх собой существование
единственной функции
п
?1 (х) = Ао + ^ [Ai + Вг (х + b)] (x + bf\ B')
удовлетворяющей тем же условиям A).
Было бы слишком долго приводить здесь фактическое вычисление
функций ср (х) или oL(x); я замечу только, что, после того как мы
зафиксировали целые показатели р., мы получаем для определения
* Sur une probleme relatif aux fonctions absolument monotones. «Gomptes ren-
dus», t. 185 A927), стр. 495—496 (J14*).
333
коэффициентов Ai и Bi столько же линейных уравнений, сколько неизвест-
неизвестных, так что конечное число проб будет достаточным для вычисления
многочленов ср (х) или срх (х), коэффициенты которых можно рационально
выразить через значения Mi и Ь.
Теорема В. Какова бы ни была абсолютно монотонная функция
/ (х), удовлетворяющая тем -лее начальным условиям A), что и у (х) и
срх (х), имеют место неравенства
для
ср (х)
срх (х) для
— Ь.
Не останавливаясь на деталях, отмечу лишь одно очевидное след-
следствие этих теорем:
Если ^ (х) = ^х(х), то это есть единственная абсолютно монотонная
на [—L, 0] функция, удовлетворяющая к + 1 условиям A). Если в этом
случае степень ср (х) больше к, то не существует функции, абсолютно
монотонной на отрезке [— Ь, 0] при b ^> L, удовлетворяющей тем же
начальным1 условиям A).
Если Ъ неограниченно возрастает, то экстремальная функция B)
имеет пределом выражение вида
которое, на основании предыдущего, является наименьшей функцией,
абсолютно монотонной на всей вещественной оси, удовлетворяющей усло-
условиям A). Исследование этого предельного случая (тесно связанного с
проблемой моментов, которая может быть, таким образом, трактована без
применения непрерывных дробей) немедленно приводит нас к следующим
к—1 условиям, необходимым и достаточным для того, чтобы L — оо:
/" Г
г г г
/" 4т -fTV
/ /
> о,...
Так, например, ех есть наименьшая функция, абсолютно монотонная на
всей вещественной оси, которая при х = 0 равна 1 так же, как и ее пер-
первая производная, и является единственной функцией, вторая производ-
производная которой также равна 1 при х — 0.
Функция, которая является абсолютно монотонной только для х^> — Ь,
может быть еще меньшей, и минимальная величина для каждого значе-
значения х ^> — b достигается для функции
т (х) = (р +1 - b) f 1 + XF)P + (b-P)(i + ff+i,
где р = [b] —целая часть й, имеющей пределом ех при 6—>оо.
30
НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА,
ОТНОСЯЩЕГОСЯ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ
ПОЛИНОМАМ *
Я имею в виду дать новое доказательство следующей теоремы:
J. Если тригонометрическая сумма
Sn (в) = ао + аг cos 6 -f bx sin б + . .. + an cos 6 + bn sin /гб
при всех вещественных значениях 0 удовлетворяет неравенству
|5nF)|<L, A)
то при всех вещественных значениях 6 имеем также
Для этой цели я воспользуюсь общей теоремой, доказанной во второй
главе моей книги** «L. S.» (стр. 56):
П. Пусть s (x) + it (x) — многочлен, все корни которого находятся
по одну сторону от вещественной оси 1; тогда из условия, что многочлен
Р (ро) при всех вещественных значениях х удовлетворяет неравенству
вытекают неравенства
Р (я) |<L| s' (x) + it'(x)\,...,\ P{h) (x) \<L\s(h) (x) + it{h\x) j
при всех вещественных значениях х, каково бы ни было h.
В частности, положив s (х) + it (х) = A + i%Jn, непосредственно из II
выводим:
III. Если при всех вещественных значениях х справедливо неравенство
* Demonstration nouvelle d'une inegalite relative aux polynomes trigonometriques.
«Rendiconti Accad. Lincei», Roma, ser. 6, v. 5 A927), стр. 558—561 A15*).
** См. также «Э. П.», стр. 138—139. (Ред.)
1 Это свойство эквивалентно условию, что все корни уравнений s (г) = 0
и t (х) = 0 вещественные и взаимно разделяют друг друга.
335
то будем, равным образом, иметь
2п—\
2п-2
Именно из следствия III мы и выведем теорему I.
Действительно, положив х = tg — , получим
где Р (х)—многочлен степени 2п; тогда из A) следует
и т. д.
B)
C)
при любых вещественных значениях х.
Значит, вследствие III, будем иметь
2п~1
+ *2) 2 .
Но из B) посредством дифференцирования выводим тождество
Р' (х) = 2 A + х*)п-*Я'г, F) + 2нх{1+х*)п -' 5П @),
так что, вследствие D), получается неравенство
S'n F) + ят^п F)
которому равнозначно неравенство
¦< nL,
. 6
Sn @) cos — + nSn @) sin — < «L,
E)
являющееся, таким образом, необходимым следствием неравенства A).
Но, каким бы ни был угол а, из неравенства A) вытекает, что
I Sn@ + а) | <;/,; A')
следовательно, те же рассуждения, примененные к Зп F -f- а), приводят
к более общему неравенству
Sn @ -f- a) cos — -f- nSn F -f- a) sin — <^ nL] (o')
в нем мы можем, в частности, положить 6 = 0, что дазт для всех
значений а неравенство
наше утверждение, таким образом, доказано [30.1].
Кроме того, неравенство E') может быть преобразовано следующим
образом. Положим п tg — = С, где С — любая вещественная постоянная,
и разделим E') на cos--= ; тогда получим неравенство
А V п -\- G
336
которое будет справедливо для всех вещественных значений угла (какой
бы ни была постоянная С), если только выполняется неравенство A).
Неравенство ,F) аналогично неравенству A), и потому можно положить
I п = on -f-
мы получим неравенство
где D — новая произвольная постоянная.
Повторяя последовательно те же рассуждения, мы увидим, что, каковы
бы ни были вещественные постоянные С19 С2, ... , Ch, в качестве следствия
неравенства A) получается неравенство
(сг + с2
c
х... chsn
+ с\) (п2 + clO77{n2 + cl).
Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
IV. Пусть / (z) = zh + a^ + ... + ah — многочлен степени /г, все
корни которого вещественные] тогда из неравенства A) вытекает
неравенство
| S™ + а^~{) + ... + anSn \<L\f (ni) | -
Знак равенства в G) будет иметь место только при
Sn = Lcos n F — а).
i) f (- ni). G)
Общий случай, когда не все корни многочлена / (z) вещественные, пред-
представляется более сложным. Однако теорема IV остается справедливой при
некоторых условиях даже тогда, когда / (z) имеет комплексные корни.
Ограничимся случаем, когда /г = 2. Вследствие III мы будем иметь
| Р" (х) | < 2п Bи - 1) L
Но, в силу B),
Р(х) = Ах (п - 1) (Sn + nxSn) (I + х2)п~2 + 4 (Sn + nxSn) A + x2)n~2 +
так что
2 [s"n + Bп - 1) xSn + п (п - 1) x2Sn] + nSn (I + /)< п Bп - 1) A + х2) L
или же
n cos2 4- + Bя - 1) S'n cos A sin ± 4.
n(n-
Tl S
). G')
22 С. И. Бернштейн, т. I
337
Это неравенство должно иметь место, как и E'), при любых значениях
углов 6 и а, входящих в выражение Sn.
Непосредственно проверяется, что в соотношении G')
п\п -]==
— /г2 cos2 — + in Bn — 1) cos — sin — -f-
-1) sin2-? + -?-
а между тем многочлен
f(z) - z2 cos2-у + B/i - \)z cos-^ Sin 4 + [n (n - I)sin2-|- + \
имеет мнимые корни, когда Sn cos2 — — sin2 6 ^> 0. В частности, если
= —, то
имеет мнимые корни и неравенство G ) сводится к
| S"n+ B/г - l)S'n+ w25nl <L/i Bлг - 1).
Между прочим, легко убедиться, что для справедливости теоремы IV
в случае, когда / (х) — четная (или нечетная) функция, достаточно, чтобы
ее коэффициенты имели чередующиеся знаки.
31
О КРАТНО МОНОТОННЫХ МНОГОЧЛЕНАХ*
Будем говорить, что многочлен Р (z) на данном отрезке — кратно моно-
монотонный, порядка h + 1 > 1, если все его производные первых h + 1
порядков на этом отрезке неотрицательны.
Мы решим здесь следующие две задачи 1.
1-я задача. Определить минимальное колебание на отрезке [—1, + 1]
многочлена Рп(х) = хп + рххп-1 + • • • + Рп, кратно монотонного порядка
h + 1 на этом отрезке.
2-я задача. Определить минимальное колебание на отрезке [—1, + 1]
многочлена Рп(х), степени не большей /?, кратно монотонного порядка
/г+1, если его первая производная принимает в некоторой точке этого
отрезка значение \.
1. Начнем с решения первой задачи. Я утверждаю, что многочлен
Рп(х), который можно без ограничения общности предполагать неотри-
неотрицательным на отрезке [—1, + 1], обязательно должен иметь вид
х
Рп(х)= S (x-z)hv(z)dz, A)
-1
причем ср (z) ^ 0 на этом отрезке.
Действительно, если бы мы имели Р^ (—1) >0 при некотором значении
k^ih, то многочлен
/?A)(ж 41)
Qn (X) = Рп (X) - - П ;,; < Рп (X)
на отрезке [—1, + 1] также имел бы неотрицательные производные первых
/г + 1 порядков, так как Q{n (х) = Р^п (х) при г>4и, следовательно, (ffi (x),
* Sur les polynomes multiplement monotones. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 4, т. 1 A927), стр. 1—11 A18*).
1 В случае h = 0 первая задача была решена П. Л. Чебышевым в статье
«О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной».
П. Л. Чебышев. Полн. собр. соч., т. Ill, M. —¦ Л., 1948, а вторая задача была
решена мною, см. «L. S.», стр. 47.
339 22*
будучи возрастающей функцией, должен быть положительным при х^> — 1;
значит, поскольку ^^("l) ^ 0, то и Q^^ (х) также положительно при
х ^> — 1 и так далее.
Предположим, для определенности, что п — h —1 = 2m, четное. Тогда
о (z) = и2 (z) есть многочлен степени 2т.
Действительно, если бы мы имели
c?(z) = s(z)q(z),
где q (z) — многочлен, все корни которого были бы расположены вне
отрезка [— 1, + 1], то можно было бы уменьшить значение интеграла
+1
S
-1
ГА
заменив q (z) также положительной функцией q (z) — X, где X < q (z)
в нашем промежутке. Но s(z), будучи четной степени, имеет вид
s\z) — a\z — a{) \z — а2) . . . \z ~ оу ц — z ;, ^
или
причем постоянная А должна быть положительной. Форма B) невозможна
вследствие условия, что коэффициент при старшей степени z должен
быть положительным, так что форма C) является, таким образом,
единственно допустимой.
Если бы п — h было четным числом, то для s (z) мы нашли бы форму
Итак, мы пришли к задаче об определении минимума L интеграла
+1
) A - zf и2 (z) dz
—i
при условии, что коэффициент при zm многочлена и (z), степени т, равен
V h\ •
Следовательно, и (х), с точностью до постоянного множителя, есть
многочлен Якоби, степени т,
Таким образом,
n{n-l)... (n-h) (
340
и так как
^ V* ~/ *т,пП-- 2m + h + 1 '
-1
то искомое минимальное колебание дается формулой
22m(m!J лг (лг — 1). . . (/г—Л)
[^„1}. ,.(Л_т)]2# Д|
!(m-f Л)!]2
2
(п — 1)\ Bт)\ h\ ' V';
При /г = О формула G) сводится к известной формуле Чебышева.
В случае, когда отрезок [—1, + 1] заменен отрезком произвольной
длины Z, мы получим, очевидно,
@ -A\Пт ]* [ml{m + k)\]* /w
Исследуем формулы G) и (8) для очень больших /г; сделаем после-
последовательно три предположения: 1) > 1; 2) > а, где 0 < а <^ 1;
3)—->0.
Заметим прежде всего, что
= ,
следовательно, при ?^>l,Lm,/i возрастает вместе с п, если m остается
постоянным. Кроме того, если, при т фиксированном, h неограниченно
возрастает, начиная от нуля, то Lm ъ. возрастает от значения Iй ,Дт\|ч2 Д°
7n (m!J \\*т)')
асимптотического значения I /t> ;. .
Bт)\
В дальнейшем мы предполагаем, что т неограниченно возрастает.
1) >1. Применяя формулу Стирлинга, находим
h+ ~ 2m+h+ \
2 B + А) 2
Bт + А)
следовательно,
logLm> h~ (A + 1) Iog2 +Л log(l + xj - Bw
+ i-logтгт = (A + 1) Iog2+ m - -g- + ... - (m - щ^ + •••)-
341
Предположим, что в правой части мы возьмем лишь те члены, которые
не стремятся к нулю; тогда, допуская, например, что -р-->0, будем
иметь асимптотическое выражение
и во всех случаях
__т2
где s стремится к нулю вместо с mjn. Точно так же
~ "^A+e) j/row. (Ю')
Таким образом, при Z^>1, L^h неограниченно возрастает, когда
— ->1. Наоборот, при Z^l, Lm,h стремится к нулю,
2) Пусть —1— = а, где 0<я<<1. Положим
h 2m -f- Л
Тогда (9) принимает вид
следовательно,
Таким образом, положив
А-<±±4?1 A4)
и замечая, что 4 возрастает от 1 до 4, когда а возрастает от 0 до 1, получаем,
что Lji, п стремится к нулю, если
*<?. A5)
Наоборот, L\nth возрастает неограниченно, если 1^>-~л\ в частности,
,4 г 2 , / 7гга
1 ^1 Л f pq
Итак, максимальная длина I отрезка, на котором колебание может
стремиться к нулю, возрастает от 1 до 4, когда а убывает от 1 до 0.
Нам остается исследовать последний случай.
3) >0. Предполагая сначала, что /г->оо, мы можем применить (9).
342
Тогда
logL,,,, л~ (А + у) log ~ + Bm.+ 2A + 1) log^l + JL) -
_ Bm + h + 1) log ^2 + A) + (Л + 1) log 2 + ~ log™ -
Б таком случае
A6)
где г стремится к нулю, как hjn. Отсюда
™- A6')
Таким образом, Lm, и стремится к нулю, когда l<i. Обратное имеет
место, разумеется, при Z^>4.
Если h остается конечным, высказанное утверждение качественно
сохраняется, но формула A6) должна быть заменена следующей:
(т +
h+i
2.A)" ^=2,A)"^=^. A7)
И потому
Перед тем как перейти ко второй задаче, заметим, что выражение B)
соответствует случаю, когда коэффициент при zn был бы равен не +1?
я —1. В этом случае аналогичные вычисления дали бы для минималь-
минимального колебания llm% h на отрезке [—1, +1] Ф°РмУлУ
Т' _ on ml (m—1I (m + k)\ (m-f Л + 1)! __ т + h + 1 Т Ио\
^rn,h-^ {n-l)\Bm)\h\ ~~ m ^m'h' [i }
Как и можно было предвидеть, Lmj и и Lmt и заметно отличаются лишь
б том случае, если h велико по сравнению с т.
2. Переходим теперь к решению второй задачи.
Докажем сначала, что наименее уклоняющийся многочлен Рп (х)
обязательно имеет все тот же вид A)
Рп(х) = ) (x-z)hv(z)dz,
343
причем ®(z)^>0 на отрезке [—1, +1]. Действительно, очевидно, что точ-
точкой ?, где Рп(х) достигает значения 1, должна быть точка с, = 1, так как
именно в этой точке Рп(х) достигает- максимума, поскольку Р!п(х)^0.
С другой стороны, если Q (х) — другой кратно монотонный многочлен
порядка h + 1 степени не большей, чем п, то мы должны иметь
Q(l)=P'n(i)Q(i)>Pn(l)Q'(l) A9)
(так как мы можем принять Рп(—1) = Q ( — 1) = 0).
Но, если бы не все первые h производных искомого многочлена Рп(х)
равнялись нулю в точке х = — 1, то можно было бы построить многочлен
R (x) = —7 Pn A),
^(i)Q'd)
где ? (я) = (я + 1) Pn( - 1) + • • • + -^^ НЮ (-1), который также
имел бы неотрицательные производные, причем было бы R A) = Рп A).
Но вследствие A9) мы должны иметь
Таким образом, Рп(ж) имеет вид A).
Я утверждаю, что ср (z) = гг2 (г) или ср (г) = гг2 B) (z + 1) в зависимости
от четности или нечетности степени п — h — 1.
Действительно, нам нужно определить минимум интеграла
+1
\ A - z)h ф (z) dz
-i
при условии, что
Р'п A) = h \ A - zf-i ? (z) ^=1. B0)
—1
Пусть
B1)
- 1
где 5B) — произведение всех множителей многочлена y(z), которые со-
соответствуют таким корням а функции ср (г), что —1<^а<<1. Тогда будем
иметь | 6 К 1. Положив далее ср (z) = 5 B) # B), можно выбрать некоторую
постоянную а^>0, достаточно малую для того, чтобы на отрезке [—1, +1]
было
gi(z) = q(z)+l(z-b)>0. B2)
344
Если д (z) не сводится к постоянной, то степень д{ (z) будет не больше
степени q (z) и, следовательно, многочлен
х
—1
степени не больше, чем п, будет удовлетворять, вследствие B1), условию
4-1
Q' A) = h \ A - z)*-i s (z) дг (z) dz = К A).
Но
— 1
+ 1
—i
= РПA)-Х{ S Z2(l - Z)h-*S (Z) dz - 6 J Z(l -2)^5B)^)<РПA)
в силу соотношения
Sr f ** 1
z2 A — z)h~{ s (z) dz J A — zI1-1 s{z)dzy>\ \ z A — z)'1 5 (z) dz \ .
Итак, ^ (z) — постоянная, и наше утверждение доказано.
Для определенности остановимся далее на предположении, что
п — h — 1 = 2т — четное.
Итак, мы должны обратить в минимум интеграл
+1
\ A - z)h и2 (z) dz
при условии, что
4-1
A — zf-i и2 (z) dz = ^-, B0')
где гг («) — многочлен степени т:
u(z) = A0 + AlZ+... + Amz™.
Таким образом, при надлежащем вйборе постоянной X мы должны
иметь
4-1
5 A - zf-i (z - I) и (z) z*dz = 0 (к = 0, 1, . . . , m).
—i
Следовательно, нужно, чтобы многочлен
(z - X) и (z) = Pm+i, л_1 B) B3)
345
был (с точностью до постоянного множителя) многочленом Якоби степени
т + 1, который как раз удовлетворяет условиям
+1
J (l-z)h-iPm+i,h-i(z)z*dz = O (А = О, I,.-., го). B4)
*
Тогда
+1
\ A - z)h и2 (z) dz= J A - z) (I - г)*-1 и2 (z) tfz =
-1 —i
= A - X) § A - zO1-1 гг2 B) fl?z = -Ц^ . B5)
Таким образом, искомый минимум Ln' будет достигнут, если взять),
равным наибольшему корню X^+J* многочлена Якоби Pmjrith_i(z),
Следовательно, искомое минимальное колебание выражается формулой
Zff}= '~?)+1 • B6)
В частности, если /г = 1, то многочлен Pm+i, л—i B) сводится к много-
многочлену Лежандра степени m-\-i, ив этом случае
L(n1) = Ln=l-Xm+1, B7)
где Xm+i наибольший корень многочлена Лежандра.
Рассмотрим этот последний случай. Уравнение Лежандра решается
элементарно лишь при т <^4 (т. е. при тг^СЮ). Таким образом, мы
получаем
L2 = 1, L4 = l-^«0,423, Le = l-j/| «0,225,
, =. . : = B8)
/ /
-|/A + 1]/|- «0,138, L10 = l-|/4 + ||/f ^0,094.
Чтобы найти асимптотическое значение Ln, положим X = 1 — у; урав-
уравнение Лежандра принимает тогда гипергеометрическую форму
^ (те + 2, - (m + 1), 1, \) = 1 - (т + 1) (лг + 2) \ + . . .
4- (ш 4- * 4- 1)! / у_\* , q
Наименьший корень уш этого уравнения1 будет, таким образом,
искомым значением Ln, где п = 2т -\- 2.
1 Можно проверить, что наименьший корень ут удовлетворяет неравенствам
2 < < 4
(m + l)(m + 2) ^m (m + l)(m + 2)'
346
Следовательно, при очень больших п
где lim am = a — наименьший корень уравнения Бесселя
/e(V^) = i-^- + 4-(-f)i+... + G}?(--fL...==o. C0)
Мы находим
а «2,89, C1)
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,01.
Вернемся к общему случаю. Та же замена переменных переводит
многочлен Якоби в гипергеометрическую форму
Если у — наименьший корень этого уравнения, то мы имеем
L(^=f. C3)
В частности, при т = 0, т. е. при 7г = Л -(- 1, мы получаем очевидное
значение
При т = 1 (п = h -f 3), мы находим
/¦("-3)^0 (п — 1) (п—2) -Г2|н-1) (и— 2)
п л (л — 1)(л — 3)
п — 2 1
Вообще, если /?г фиксировано, а /г неограниченно возрастает, то предель-
предельной формой гипергеометрического уравнения будет
Следовательно, в этом случае опять
п п~ ' №'
Предположим, напротив, что h конечно, и заставим гп стремиться к
бесконечности. Тогда, полагая
¦у (т + 1) (т + h + 1) у = и, C6)
347
мы видим, что и, при т->оо, стремится к наименьшему корню уравне-
уравнения Бесселя
который при h =
равен
при h =
равен
Следовательно,
при h =
lim тЧ^г> =
при h =
lim m2L^> =
1
1,444
11
52,9
1
2,89
11
9,56
2
3,671
12
60,8
2
3,67
12
10,13
3
6,591
13
69,7
3
4,39
13
10,72
4
10,176
14
79,2
4
5,09
14
11,31
14,38
15
89,3
5
5,75
15
11,9
6
19,28
16
100
6
6,43
16
12,5
7
24,9
17
111
7
7,1
17
13,06
8
30,8
18
123
8
7,7
18
13,67
9
37,4
19
139
9
8,31
19
14,21
10
44,9
—
10
8,98
Заметим, что \\mmnl}n = ос, если тик оба неограниченно воз-
возрастают. Это вытекает из того, что если положить u — th, то предель-
предельной формой при h-> оо уравнения Jh—i B \^th) = 0 будет уравнение е~~х = 0.
Таким образом, произведение (т -{- 1) п Ln\ которое при т = 0 равно 2,
неограниченно возрастает вместе с т. Если h возрастает от нуля до
бесконечности, то это произведение также неограниченно возрастает, на-
начиная от значения г 4.
Представляется вероятным, что во всех случаях для очень больших п
справедливы неравенства
2<-S?-<8- C7)
будет, порядка — , если h — порядка п.
Следовательно,
Я ограничусь
Положим ~~ = а. Рассмотрим интеграл
4-1
М= J(l-s)«?l
—1
где срх (z) —многочлен степени 2т + 1, неотрицательный и возрастающий.
Из одного известного результата 2 вытекает, что во всем промежутке
~ /-ч / 1 (т + ос + 1)!(т + а+2)!
доказательством этого последнего утверждения.
C8)
*iw^2a+i * a!(a + l)!w!(m + l)!
Но мы можем представить многочлен Рп{х) в виде
М.
Рп(х)= \ (x-z)*-i
C9)
(Г)
где ср3 (z) — неотрицательный и возрастающий многочлен. Таким образом,
есть минимум интеграла
4-1
1 См. «L. S.», стр. 50.
2 Полна и Сеге. «Задачи и теоремы из анализа», т. II, стр. 104.
348
при условии, что
-hi
yL (z) dz = h__i = M.
—l
Но из C8) мы выводим, заменив а на h — 2, неравенство
— -г-г—— М ~
Значит,
Из этого следует, что
A - zf-2 Tl (z) rfz < "^(^ , D0)
откуда
i-s
где s стремится к нулю вместе с 1//г, если
т. е. при условии
Зафиксировав о, заметим, что
1-S 1-3
-l -l
Таким образом,
Ln ~> i^=i ^ ~г) > i^" (X^^
при h и т очень больших. С другой стороны, очевидно, что Ьп<С-т- ,
и потому Ln имеет точно порядок \\h (или 1/w), если h и п одною по-
порядка. Кроме того, из неравенства D2) вытекает, что вообще
1~{>~2-> D3)
если только hum бесконечно возрастают каким бы то ни было образом.
Неравенство D3), которое мы только что доказали, немного слабее, чем
первое из неравенств C7), для доказательства которого потребовалось бы
более глубокое изучение значения наименьшего корня гипергеометри-
гипергеометрического уравнения C2).
32
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ
РЕГУЛЯРНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ*
§ 1
Я называю функцию f (х) регулярно монотонной в промежутке [О, 6],
если f(x), а также ни одна из ее производных не меняет знака в этом
промежутке х.
Частным и весьма важным классом таких функций являются функ-
функции абсолютно монотонные, все производные которых имеют одинаковый
знак; к этому же классу заменой х на Ь — х приводятся и те функции,
последовательные производные которых имеют противоположные знаки.
Я посвятил абсолютно монотонным функциям обширную статью [35], поме-
помещенную в «Acta Mathematical т. 52. Настоящая статья имеет целью
установить несколько основных свойств, присущих всем регулярно моно-
монотонным функциям.
Каждая регулярно монотонная функция характеризуется рядом целых
чисел Х1? Ха, . . . , Хп, . . . , который будем называть типом функции
и определим следующим образом. Ввиду возможности замены х через
Ъ — х можем допустить, для определенности, что f(x)f (x) >0; тогда
первое типовое число 1г обладает тем свойством, что
при
Мы будем говорить, что /(я), / (ж), . . . , f^\x) образуют пермананс
порядка лх.
«Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 4, т. 2 A928), стр. 1—И A23*).
1 «L. S.», первое добавление, стр. 196. См. также [26], стр. 319.
стр. 196. См. также [26], стр. 319.
350
Второе типовое число Х2 должно обладать тем свойством, что
/(i~1} (ж) /(i) (х) < 0 при 1г < г < 1Х + л2 - 62,
/(Ь2)(х)/Fг+1)(^)>0. B)
Производные /Xl) (ж), /(?1+1) (х), . . . , /Fг) (ж) образуют алътернанс
порядка Х2.
Аналогичным образом определяются последовательные типовые числа
л3, . . . , ^п> • • • » которые не могут, очевидно, быть равны 0. Только
для абсолютно монотонных функций и их интегралов конечного порядка
число типовых чисел будет ограничено и последнее из них Хп = оо.
Из выше сказанного следует, что типовым числам )ч, Х3, . . . ,
^2ъ—ь • • • соответствуют перманансы, а числам )^ ^4» • . . , ^2ь • • •
соответствуют алътернансы тех же порядков.
Если порядок i производной /^ (,r) удовлетворяет неравенству
где 6?1 = \г + Х2 + • • • + ^п, то / (%) является внутренним членом аль-
альтерната порядка Хгъ-ь если
то /г) (х) является внутренним членом пермананса порядка ^24-1-
Если i=b2^—\, то j (х) является последним членом пермананса
и в то же время первым членом альтернанса; если же i = Ъ^., то fl\x)
будет первым членом пермананса и последним членом альтерната.
Лемма 1. Все члены пермананса, за исключением последнего, возра-
возрастают, по абсолютному значению, а все члены альтерната, за исключе-
исключением последнего, убывают в промежутке [0, 6].
Принимая во внимание, что замена переменной х на Ь — х превращает
пермананс в альтернанс и обратно, достаточно заметить, что в случае
пермананса каждая из производных, к нему принадлежащая, за исклю-
исключением последней, имеет тот же знак, что и следующая за ней, а потому
должна возрастать по абсолютному значению.
Предположим теперь, что /?) (х) > 0 есть внутренний или первый
член пермананса порядка Хгн-ь так что
i = Ьг:+\ — р,
где 0- р^А2;«+ь В таком случае, по доказанной лемме, f(b2:+0 (x)
убывает с возрастанием х. Поэтому
/(i) и > ъЫ Vх -zr'/((>2i+1) (z) dz > ^w I(x -z)"dz =
= |L/(b2i+i)(ar). C)
351
Очевидно, такое же рассуждение применимо к / (#), если члены
пермананса /(г) (х) отрицательны; следовательно, во всяком случае
^l)(*)l D)
для всех членов рассматриваемого пермананса, и в частности
|/(Ь2*)/
Принимая во внимание, что замена ж через Ь — х превращает альтер-
нанс в пермананс, заключаем, что, при i = Ь^.— р,
для всех членов альтернанса порядка л2ь и в частности,
Полагая
так что
6n - Ai + X2 +. . .+ К = Рп + Qn,
получаем из неравенств E) и F)
отбрасывая знак равенства, так как в C) знак равенства имеет место
лишь тогда, когда правые части постоянны.
Неравенство G) может быть написано и в таком виде:
Полагая, в частности, # = — , находим
!Х2!...Х„! ТГ/m. (9)
Неравенство (9) дает верхнюю границу для модулей лишь тех произ-
производных, которые являются пограничными членами, связывающими сосед-
соседние между собой альтернанс и пермананс. Единственный случай, когда
производные всех порядков обладают этим свойством, представляется,
когда все Х|=1. Этим функциям, которые я называю циклически моно-
монотонными, замечательным во многих отношениях и представляющим
в некотором смысле противоположность классу абсолютно монотонных
352
функций, я посвящу особую статью. Пока обратим внимание лишь на то,
что в рассматриваемом случае верхняя граница для производной по-
порядка Ьп, даваемая правой частью неравенства (9), получает наименьшее
значение, а именно для любого значения т ,
A0)
Отсюда следует, что циклически монотонная функция f (x) должна
2
быть целой, не выше 1-го рода и конечной степени г не выше — .
В общем же случае, когда имеются Хп>>1, необходимо еще вывести
неравенство, аналогичное (8), для производных, являющихся внутрен-
внутренними членами пермананса или альтернанса.
Итак, пусть т = Ьп + А, где 0<<А:<<Хп+1. В силу сделанных выше
замечаний, можем ограничиться предположением, что f (х) ^> 0 принад
лежит перманансу. В таком случае для всякого у^>х имеем
Гп>(у)>^
откуда
{у — х)
и, принимая во внимание неравенство (8), получаем
(И)
Таким образом, вообще,
у n(b-y)Qn(y-x)
"F-2/Г"(У-*)
A2)
где у можно придавать любое значение >> х или << х в промежутке (О, Ь)
в зависимости от того, принадлежит ли f (х) перманансу или аль-
альте рнансу.
Из неравенства A2) заключаем, что
ml
ml
A3)
Р О к
для больших значений т, где а=—, р= — , ^= —•, так что а + Р + Т — !•
Из A3), благодаря замечанию, что при х = -^- можем положить
У — х db х ' П0ЛУчаем Для любого т
V
т!
4
6 '
откуда вытекает
1 См. [22] и [22.1].
23 С. Н. Бернштейн, т.
353
Теорема 1. Если типовые числа удовлетворяют условию, что
V4TV = О- A4)
то f (x) есть целая функция.
Можно показать, что, если, напротив, это условие для некоторого
типа регулярно монотонных функций не соблюдено, то к нему при-
принадлежат также и не целые функции.
Следствие. Если
Ига -^ = 0, A5)
п~>оо "п
то функция f (x) целая.
Действительно, из A3) выводим, что существует такое число N, что
hm
A6)
В силу A5), можем взять т достаточно большим, чтобы, при заданном
произвольно малом е, иметь
к
— = со <г е:
т 4 ^
поэтому
т
М
. . . 6°
Аналогичным образом нетрудно показать, что функция / (х) должна
быть конечного рода, если при возрастании п
К
где /?>1 данное независимое от п число.
Если /?>2, то функция / (х) должна быть первого рода.
В частности, из A6) видно сразу, что / (х) будет, кроме того, и
конечной степени, если числа Хп ограничены.
Таким образом, по доказанной теореме, регулярно монотонная функ-
функция лишь в том случае может оказаться не целой, т. е. иметь особен-
особенности на конечном расстоянии, если тип ее таков, что
§2
Займемся теперь исследованием случая, когда рассматриваемая нами
функция / (х) не целая. Как известно, в таком случае радиус сходи-
354
мости R (х) в какой-нибудь точке х отрезка [О, Ь] определяется равен-
равенством
im J/
lim
п\
1
A7)
Будем называть характеристической последовательностью производ-
производных функции / (х) в точке х всякую последовательность производных
порядков kv k2, .. . , kn, . . . , обладающую тем свойством, что
Докажем следующее предложение:
Лемма 2. На отрезке монотонности [О, Ь] не может быть более
одной точки, для которой к характеристической последовательности
принадлежало бы как бесконечное множество производных, входящих
в альтернант, так и бесконечное множество производных, входящих
в перманансы.
Точку, обладающую указанным свойством, мы назовем нейтральной.
Пусть х — точка, обладающая тем свойством, что к ее характеристиче-
характеристической последовательности принадлежит бесконечное множество производ-
производных, являющихся либо первыми, либо внутренними членами перма-
нанса: / * (х), f 2 (х), . . . , / п) (х), . . . ; пусть у^>х; тогда, вслед-
вследствие леммы 1, имеем
поэтому
откуда
(jfi)
I'm i
ml
R(x)'
1
1
т. е.
Я (у) ^R(x)'
A8)
Аналогичным образом убеждаемся, что, если в точке у к характеристи-
характеристической последовательности принадлежит бесконечное множество внутрен-
внутренних или первых членов альтернансов, то должно иметь место неравенство
R(z)<CR(y). A8')
Таким образом, необходимо, чтобы
R(x)=R(y)=R.
355
23*
Кроме того, так как A8) остается в силе, если вместо R(y)
взять R(%), где Е^> х, а A8') остается в силе, если заменить х<
через S <С у, то мы должны иметь также
R (Е) = R, A9)
при всяком !• в промежутке (ж, ?/).
Покажем, что соблюдение равенства A9) в целом промежутке (х, у)}
длина которого 2/г^>0, невозможно.
Действительно, известнох, что наилучшее приближение Еп [/ (ж)] при
помощи многочленов степени п на отрезке длины 2/г удовлетворяет не-
неравенствам
(n+i)\\2
если на этом отрезке
поэтому
п+1 гг+1 п+1
Из правого неравенства B0), принимая во внимание A7) и A9),
находим
п+1
Но, кроме того, если /(п+1)(ж) есть производная характеристической
последовательности в точке ж, являющаяся внутренним или первым
членом пермананса, то
п+1
7Т— , /
N
так как для этих значений п имеем: N =
Следовательно, также
п+1
а потому
п+1
V А B1)
n\f{x]\= А.
Но, с другой стороны, известно2, что
п+1
Й^1/?п[/И]=^ B2)
где р — полусумма осей эллипса, имеющего фокусами концы отрезка
(х,у), внутри которого функция / (х) голоморфна и на котором она имеет
1 «L. S.», стр. 10; см. также [3J, стр. 64.
2 «L. S.», стр. ИЗ; см. также [3], стр. 41 и 93.
356
по крайней мере одну особую точку. Поэтому нетрудно видеть, что в
данном случае мы должны были бы иметь р = Д -j- ]/Д2 + h2. Действи-
Действительно, функция / (х), у которой радиус сходимости на всем отрезке
равен Д, имеет особыми значениями все точки z = ? + ?/?, где x^l^y;
кроме того, если замкнуть составленные таким образом два особых от-
отрезка полукругами радиуса Д с центрами в точках х и у, то внутри
полученного замкнутого контура / (х) не имеет особенности; отсюда ясно,
что рассматриваемый нами эллипс проходит через точки х у + Дг, так
что малая полуось равна Д, а большая полуось равна ]/Д2 + №.
Таким образом, формула B2) противоречит формуле B1), которая
требует, чтобы р = 2Д.
Следовательно, если в точке х к характеристической последователь-
последовательности принадлежат производные, являющиеся внутренними членами пер-
манансов, то в точке у^>х к характеристической последовательности не
принадлежат ни внутренние, ни первые члены альтернансов. (Остается
показать, что и последние члены альтернанса также не могут входить
в характеристическую последовательность производных в точке у.
Действительно, из неравенства
получаем
b2k Ь2к Ъ2к
следовательно,
lim]
l / i / c (v) I ^ i • л / \ i (v) I
а потому, раз f^b'lk l) (у) не принадлежит к характеристической последо-
последовательности, то fib'2^ (у) также не входит в нее.
Лемма 3. Если в характеристическую последовательность точки х
входит лишь бесконечное множество членов перманансов ^пЦх), где
n=b2jc-\-h (О <С h <C^2A-+l)> которые можем считать полосжителъпыми,
то
(х)
/oq\
B3)
причем 0Ln стремится к нулю с возрастанием п.
Действительно, допущение, что /W (х) входит в характеристическую
последовательность, означает, что
/(п)(*) _
п\ ~ R
357
где R = R(x) радиус сходимости в точке х, а гп стремятся к 0 с воз-
возрастанием п.
Пусть у = х + о < Ъ и fn~h) (у) член того же пермананса, что и /М (у),
В таком случае
/<"-*>(* +8) >-^<<>(а;). B5)
В частности, пусть п — h = &2&- Тогда, по только что доказанному,
f<n-h){y) не войдет, при Ь1к достаточно большом, в характеристическую
последовательность, а потому можем положить
f{blk\y)< 1>W' b2J , B6)
причем
/>-6>Д(у) + рД,
где р>0 определенное достаточно малое число. С другой стороны,
Д-3, B7)
поэтому
/>>ЛA + Р). B8)
Из B6) и B5) получаем, благодаря B4),
(я —А)! ^ п! 8й 1
(Р _ §)"-" ' hi [R A + en)f '
т. е.
(n-h)lh\ г р
1 "Л/
Отсюда, беря о достаточн малым, видим (благодаря B8)), что h не
может оставаться конечным при возрастании b2k:=n — h. Поэтому, при-
применяя формулу Стирлинга, получаем при п достаточно большом
как бы мало ни было заданное число е^>0. Неравенство B9) должно
иметь место при всяком 8<^6 — х; поэтому необходимо иметь
^<-п> C0)
чтобы не прийти в противоречие с неравенством B8), так как при
-р. = — неравенство B9) обращается в R(l ~±- г)^> Р.
Замечая, что неравенство C0) должно быть соблюдено при всяком
определенном значении Р, удовлетворяющем B8), где р>е, мы приходим
к неравенству B3).
358
Следствие 1. Радиус сходимости R в точке х} в которой харак-
характеристическая последовательность не содержит, членов альтернатов, не
может быть менее Ь — х; радиус сходимости R в точке, в которой
характеристическая последовательность не содержит членов перманансов,
не менее х.
Действительно, левая часть неравенства B3) не может быть ме-
менее 1.
Следствие 2. Всякая регулярно монотонная на отрезке [О, Ь] функ-
функция f (х) голоморфна внутри круга, построенного на [О, Ь] как на диа-
диаметре. Если х = -jr- не является нейтральной точкой, то f (x) голоморфна
по крайней мере в одном конце отрезка монотонности, а именно в
том конце, к которому нейтральная точка а ближе] радиус сходимо-
сходимости в точке а не менее ее расстояния до наиболее удаленного от нее
конца.
Следствие 3. Точка b не можрж быть особой, если
^ = в<1; C1)
точка 0 не может быть особой, если
C1')
Радиус сходимости в нейтральной точке а не меньше наибольшего из
Ъ — а а
чисел —s— и -к,.
0 6
Следствие 4. Если 6 = 0 и Ьг > 0, то функция f (x) не имеет
нейтральной точки внутри отрезка.
Теорема 2. Если характеристическая последовательность в точке
х содержит члены перманансов, то круг сходимости этой точки про-
проходит через вещественную особую точку z^>b функции f (х); если харак-
характеристическая последовательность содержит члены альтернатов, то
круг сходимости проходит через вещественную особую точку zr<^0.
В самом деле, пусть R (у) — радиус сходимости в точке у = х + о.
Попрежнему, не нарушая общности, можем ограничиться случаем, когда
в точке х характеристическая последовательность состоит из членов пер'-
манансов. В таком случае для доказательства теоремы достаточно пока-
показать, что
R-<>. C2)
Полагая п — jjl достаточно большим, имеем, при г > 0 произвольно
малом,
(jp_8)n-,t '
Где Р-8 = A—з)Д(у).
359
Поэтому, если fn~^(x) входит в тот же * пермананс, что и /<п) (х), то
находим, подобно предыдущему,
,2 ,
Но благодаря B3), можем удовлетворить равенству
JX _ ^
п ~~~ Р '
взяв, например, 8 = —^— • В таком случае из B9') заключаем, что
откуда
но так как е может быть взято произвольно малым, то
и, вследствие B7), получаем C2). Что и требовалось доказать.
Следствие 1. Регулярно монотонная на отрезке [0,6] функция
есть целая функция, если у нее нет вещественных особенностей.
Следствие 2. Если ряд Тэйлора f (х) = ао+ #i# + . . . + апхп+ . ..,
имеющий радиус сходимости R, не имеет особенностей ни в одной из
точек ^zR, то совокупность нулей всех последовательных производных
функции f (х) всюду плотна на отрезке [— Ъ, + 6], при достаточно малом Ь.
Для доказательства этого следствия обозначим через |S| = R + d^>R
расстояние от центра до ближайшей вещественной особенности. В таком
случае, если наше утверждение неверно, то можно будет указать число N
и отрезок [а, [3] внутри [— 6, +6], на котором ни одна из производных /(п) (х)
при n^-N не меняет знака, т. е. fN\x) явится на (а, C) регулярно моно-
монотонной функцией. Следовательно, согласно теореме 2, радиус сходимости R(x)
функции /(х) в точке х при a^x-^fi не меньше |S| — \x\^R-\-d — br
между тем как, с другой стороны, R (x) <^R + | х \ <; R + Ъ. Таким образем,
полагая Ь^--, мы придем к противоречию*.
* В первоначальной редакции настоящего следствия стояло неточное утвержде-
утверждение Ъ = R, которое верно лишь при некоторых дополнительных ограничениях и, в
частности, как видно из данного выше доказательства, справедливо в случае d > 2R.
Из этого доказательства (как и непосредственно из предыдущего следствия) выте-
вытекает также, что если радиус сходимости R <С °° и f (х) регулярна на всей веще-
вещественной оси (d = оо), то совокупность нулей рп^ (х) плотна на всей оси (т. е.
Ъ произвольно велико). {Автор.)
33
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ В. Л. ГОНЧАРОВА*
В недавно появившейся заметке («Comptes rendus», 27 декабря
1927 г.) В. Л. Гончаров установил между прочим следующую теорему:
Функция
9 (х) =
однозначно определяется на вещественной оси следующими свойствами:
1) она бесконечно дифференцируема, 2) все последовательные произ-
производные ср(п) (х) имеют корнями числа пк или (А + -^-)тг (h — всевозможные
целые), смотря по тому, является ли п четным или нечетным, и не
имеют других корней, 3) ср/(О) = 1.
Так как некоторые из указанных свойств оказываются следствиями
остальных, то я постараюсь этому важному предложению придать та-
такую форму, чтобы излишние условия отсутствовали.
Теорема. Функция
9 {х) = sin х
однозначно определяется на вещественной оси следующими свойствами:
1) она бесконечно дифференцируема, 2) каждую точку вещественной
оси можно окружать промежутком настолько малым, что существует
бесконечное множество производных ^пЦх), не обращающихся в нем
в нуль, 3) на отрезке 0, ~ производные четного порядка ср<2п) (х) обра-
обращаются в нуль только в точке О, нечетного — только в точке -^,
4) ср'(о) = 1.
Займемся сначала исключительно отрезком 0, ~ I и рассмотрим бес-
бесконечно дифференцируемую на нем функцию / (х), обладающую свойствами
/ @) = /2*> @) = 0,
* Sur une thcoreme de M. Gontcharoff. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 4?
т. 2 A928), стр. 73—74 A24*).
361
С помощью соотношений
f(-x) = -f(x), f(x)=f(«-x)
f(x) распространяется, как периодическая функция с периодом 2тг, на всю
вещественную ось и имеет на ней непрерывные производные всех по-
порядков, а следовательно, разлагается в неограниченно дифференцируе-
дифференцируемый почленно ряд Фурье
/ (х) = 2 Ар s^n Px-
р=-1, 3, ...
С другой стороны, при всяком целом h ^> 1 мы имеем в промежутке
О < х < тг
. sin hx ~
sm х Ч ;— "> 0.
~ а
В таком случае выражение
(- 1)* ] fV'\x)(sinx±s^)dx= -J (Л±h^Ah)
6
при всех значениях h > 1 должно сохранять один и тот же знак. Зна-
Значит, ^ = О при всех значениях /г^>1, так как h ~ неограниченно
возрастает вместе с А. Итак, принимая также во внимание условие 4),
будем иметь
/ (х) = At sin x = sin x.
Таким образом, условия 1), 3) и 4) однозначно определяют функ-
функцию ср (х) = sin х на отрезке 0, у .
Условие же 2) влечет за собой то, что функция ср (х) является квази-
квазианалитической (Р) на всей вещественной оси1, и так как2 квазианали-
квазианалитическое (Р) продолжение совпадает с аналитическим продолжением
в вещественной области (если таковое возможно), то отсюда мы заклю-
заключаем, что ср (х) = sin х на всей вещественной оси/
Следствие. Если некоторая функция, квазианалитическая (Р) и
притом бесконечно дифференцируемая, обладает тем свойством, что
существует точка а, в которой обращаются в нуль все производные
четных порядков, и существует точка Ь, в которой обращаются в нуль
все производные нечетных порядков, то эта функция — периодическая,
с периодом 4 (Ь — а).
Аналогично можно показать, что условие 3) в предыдущей формули-
формулировке теоремы можно заменить следующим, относящимся к производ-
производным только одной и той (нее четности: достаточно, например, потребо-
потребовать, чтобы было
ср @) = ?B*) @) = 0; ср (тг) = срB*) (тс) = 0
и чтобы эти производные не имели других корней в промежутке @, тс).
1 См. стр. 197 книги «L. S.» ([26], стр. 319—320; см. также [18], стр. 236).
2 См. там же, стр. 165—170 ([26], стр. 288—293; см. также [18], стр. 236—238).
34
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ
ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ*
В настоящей заметке я хочу доказать очень простую теорему, отно-
относящуюся к показательной функции, имея в виду в ближайшее время
перейти к ее обобщениям. Элементарная теорема, о которой идет речь,
может быть формулирована следующим образом: если функция веще-
вещественной переменной f (x) абсолютно монотоннаг на всей вещественной
оси и если /@) = /' @) = 1, то для всех значений х
Показательную функцию ех можно, таким образом, определить, как*
абсолютно монотонную функцию, которая при х = 0 вместе со своей
производной принимает значение, равное 1, и которая при х = 1 равна е.
Кроме того, не существует функций указанного рода, которые при
х = 1 были бы меньше е.
Наиболее короткое доказательство, которое мы приведем ниже, пред-
предполагает известной аналитичность всякой абсолютно монотонной функ-
функции. Я начну с другого доказательства, хотя и более длинного, но
в некотором отношении более поучительного, которое основывается на
следующей лемме:
Лемма. Пустых.^ а2, .... ап, (Зх, {32, . . . , [Зп, а, Ъ — произвольные за-
заданные числа, а Х-,, . . . , кп—заданные положительные числа; если р%—
неотрицательные параметры, удовлегпворяющие единственному условию
M = llPl+... + lnPn, A)
где М — фиксированное число, то совокупность <? точек плоскости
с координатами
+ + Ь + 3 + . . . + $71рп B)
* Sur une propriete de la fonction exponentielle. «HayKOBi зап. н.-д. матем.
катедр Украши», т. 3 A928), стр. 65—71 A25*).
1 Функция / (х) называется абсолютно монотонной, если все ее последователь-
последовательные разности неотрицательны.
363
представляет собой наименьший выпуклый многоугольник, содержащий
все точки Pi с координатами
Xi = a + *±M, уг = Ь + ^М (i = l, 2,.... га). C)
Для того чтобы доказать эту лемму, заметим сначала, что совокуп-
М
ность ? ограничена, так как /?i^-r— в силу A). Более того, <§ огра-
ограничено выпуклым контуром С, ибо, если (х0, у0) и (х1У уг) принадлежат
совокупности (§, то этим же свойством обладает и точка ($, т}), для
которой
% = рХ0+A— р) Х1У 7] = ру0 + A - р) у19
где 0<р<1.
Для краткости будем говорить, что Р является вершиной выпуклого
контура С, если всякая прямая, проходящая через Р, имеет, по край-
крайней мере по одну сторону от Р, точки, внешние по отношению к С,
сколь угодно близко расположенные от Р. (Таким образом, все точки
выпуклого контура, не имеющего прямолинейных отрезков, будут вер-
вершинами.) Установив это определение, мы видим, что наше утвержде-
утверждение будет доказано, если мы покажем, что единственные точки, которые
могут быть вершинами С, находятся среди точек Pif координаты кото-
которых даны формулой C).
Для этого положим —jrj- = дг\ формулы B) примут тогда вид
* = «+?,?, + ... + ?„?„, У = 6 + /^,+ ...+/„?„, B')
где
в то время как A) сводится к
при условии, что дг^0- Пусть теперь i — такой индекс, что не суще-
существует никакого другого индекса Agf, для которого срЛ = cpi? fh = Д; при
этих условиях точка (х0, у0), для которой дг^>0, не может быть вер-
вершиной, если в то же время и gh^>0, так как, не изменяя других пара-
параметров и беря дг + е и qh — z вместо q.% и qh соответственно, получаем
новую точку (xv y±) множества $, для которой
х{ = х0 + г (?. - ?л), У1=у0 + в (/. - /Л). D)
Таким образом, все точки прямой D), достаточно близко расположенные
от (х0, у0), являются внутренними по отношению к контуру С, так что
эта точка не является вершиной. Предположим далее, что ср4 = ср2 = . ..
. . . = срА, fi = /2 == . . . = /Л, но что для всех других индексов h мы не
имеем одновременно срЛ = ср1 и fh = f{. В этом случае все точки (ж0, у0),
364
для которых q{ + . . . + qk = Q, где Q — фиксированное число, тождест-
тождественны, если значения других параметров одинаковы. Итак, пользуясь
таким же рассуждением, мы перейдем к общему заключению, что все
возможные вершины будут получены, если мы возьмем последовательно
q{ = 1, q2 = 1, . . . , qn =¦ f; координаты этих точек (которые могут не
все быть различными) определяются из C), что и требовалось доказать.
Замечание. Ясно, что доказанная лемма остается в силе, если п
неограниченно возрастает, и может быть в этом случае формулирована
следующим образом:
Если р (х) >- 0 и
то при любых функциях f (x) и ср (х) совокупность <? точек с координа-
координатами
оо оо
*= \f{t)p{t)di, y= \ *(i)p{t)dt
—оо —оо
будет ограничена наименьшим выпуклым контуром, содержащим все
точки кривой
X = f(x), Y = o(x).
Докажем теперь вторую лемму, вытекающую из предыдущих рас-
рассуждений.
Лемма. Если / (а) и последов ипельные разности
Д1/(а)=/(а + 1)-/(а), AJ(а) = f (а + 2) - 2/(а + 1) + /(«),
Д3/(а), ..., Anf(a)
неотрицательны, то
^ [(а + л-1)—1-/(а + п)]. E)
Действительно, полагая для краткости а = 0, имеем
^и F)
М = / (в) = / @) + пА1 + . . . + ИДП_! + Д„.
Следовательно, если М фиксировано, то точка (х, у), определяемая
формулами F), находится, согласно предыдущей лемме, внутри наи-
наименьшего выпуклого многоугольника, вершинами которого являются
точки
Рг(М, М), P
71
л (л — 1)
365
Легко видеть, что все эти точки, имеющие равноотстоящие абсциссы,
находятся на параболе
^(пх~М); G)
следовательно, искомый многоугольник будет иметь вершинами все рас-
рассматриваемые точки и, кроме очевидного соотношения у^х, которое
соответствует верхней стороне (Рп+iPq) нашего многоугольника, мы бу-
будем иметь, учитывая уравнения нижних сторон многоугольника \
т/ > 2х — 71/ для М п~~ <; х <; М,
У ^ г 2х М для М <J х <С. М ,
^ л — 3 Го п — 2 Л/ГЛ л/г п — 3 . ^ Л, п — 2 (Я)
у > т- 2х М для М < х < М , 1°;
п у ^ п J п П
Таким образом, тем более, имеем: My ^ _^ (пх — М), т. е.
/ (») / (и - 2) > 5^il=li> Г/ (и - 1) - ^l, (9)
что эквивалентно E). Что и требовалось доказать.
Положим теперь а + п — 1 = Ъ и предположим, что конечные раз-
разности всех порядков функции f(x) неотрицательны на всей веществен-
вещественной оси. Тогда при любых Ь и п имеем
Следовательно, если b фиксировано при неограниченном возрастании п,
мы находим, что
A0)
Таким образом, полагая 6=1 и / @) = 1, / A) = t J> I, имеем / B) ^ г2;
далее, полагая 6 = 2 и подставляя в A0) значения / A) = t, fB) = t2,
имеем также / C) ^ ?3; повторяя то же рассуждение, находим для всех
целых положительных значений п
/(п)>/A)/(п-1)>Л -(Л)
Пользуясь этим же методом в обратном порядке, мы видим, что не-
неравенство
f(n)>tn A1')
справедливо также для целых отрицательных значений /г.
1 Легко проверить, благодаря известному свойству парабол, что хорды (8)
параболы G) являются касательными к параболе My = (х — — ) , так что все
стороны нашего многоугольника заключены между двумя рассматриваемыми парабо-
М
лами, вертикальное расстояние между которыми равно -— — .
366
Пусть h — произвольное число; предполагая попрежнему, что /@) = 1,
мы имеем, в силу A1), для x=nh,
при допущении, что последовательные разности функции /(#\ соответ-
соответствующие конечному приращению Л, неотрицательны.
Пусть h стремится к 0; учитывая, что
видам, что, полагая /' @) = 1, мы имеем при любых х
что и требовалось доказать.
Этот результат можно получить более коротким способом, пользуясь
следующей теоремойг: если функция / (х) абсолютно монотонна на от-
отрезке ab (a<^b), то ее можно разложить в ряд Тэйлора по степеням
х — а, сходящийся на всем отрезке аЪ.
Теперь легко проверить следующее утверждение: если функция / (х)
абсолютно монотонна на части (—оо, Ь] вещественной оси, то для всех
значений х<^.Ь имеет место неравенство
f(x)f'(x)-f2(x)>0. A3)
Действительно, если —п отрицательное число, то мы имеем разло-
разложения с положительными коэффициентами
/ (х) = а0 + ах (х + п) + . . . + я* (я + п)к + . . . ,
/' (х) = ах + 2а2 (х + п) + . . . + как{х + п)к~ { + . . . ,
f"(x) = 2а2 + . . . + к (к - \)акх*-* + . . . ,
сходящиеся для — п < х <^ Ь. Отсюда
(х + п) f (х) = а, (х + п) + 2а2 (х + пJ + . . . + как (х + п)к + . . . ,
(х + n)f (х) +(х+ гаJ/" (я) = а1(х + п) + 4а2 (х + пJ + . . .
. . . + к2ак (х + и)* + . . .
Следовательно, полагая . At = ак (х + п)к ^0 и учитывая тождества
[Ао + А1 + . . . + Ак -Ь . . .] [А1 + Ы1 + ... + к2Ак + ...]-
- [А, + 24, + . . . + АА% + . . .]2 = 2 АгАь (* - О2 > 0,
мы видим, что
[/' (х) + (х + п) /" (х)} >(х + п) Г (х),
1 Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques d'une variable reellc
«Math. Ann.», 1914 [18].
367
или, другими словами,
Таким образом, фиксируя х и неограниченно увеличивая п, мы полу-
получаем
f(x)f"(x)>P(x). A3')
Неравенство A3) эквивалентно неравенству
[log/(*)]"= ///2/ >0.
Следовательно, полагая log/ (о:) = ср (^:), мы находим, что кривая
^/ = ср (л:) будет выпуклой; таким образом, если ср @) = 0, ср' @) = т-?7г>
— к, то для всех значений х<^Ь будет: у(х)~^>кх, откуда f(x)~^>ekx.
Покажем также, что функцию екх можно определить следующим об-
образом: эта функция является единственной абсолютно монотонной на
всей вещественной оси функцией, удовлетворяющей равенствам
/ @) = 1, /'@) = *, /"(О) = ДЛ
Действительно, если в какой-нибудь точке мы имеем / (х) /" (х) —
— f* ^ _ о, то это равенство удовлетворяется тождественно. Чтобы
показать это, заметим, прилагая A3) к fn~^ (х), что при любых х и
п у> 0 имеем
С другой стороны, в силу того, что F (х) = / (х) /" (х) — /'2 (х) никогда
не становится отрицательным, в точке, где F (х) = 0, обязательно будет
F'(x) — 0; но тогда
F (х) = / (х) Г (х) - /' (х) /" (х) = /' (х) [f{pQX) - /" И] = 0,
т. е.
повторяя то же рассуждение, последовательно находим, что в рассматри-
рассматриваемой точке для всех значений п будет
Таким образом, для х = 0 имеем
/'(*) = f"(*) = Г И = = /(n+1) (g) А
/ (х) f (х) г (х) ' ' ' fw (х)
Следовательно, из сделанного выше предположения относительно / (х)
вытекает, что
к2 кп
368
Заметим, наконец, что если функция, абсолютно монотонная для
%<СЬ, удовлетворяет при трех значениях х0, хг, х2, меньших Ъ, ра-
равенствам
f (х0) - Ае**о, f (хг) = Ае**, f (х2) = Ае***,
где Auk — заданные постоянные, то мы имеем тождественно / (х) =
= Аекх.
Действительно, из предыдущего следует, что кривая y=logf(x)
будет выпуклой; следовательно, если она проходит через три точки,
лежащие на одной прямой, то она сводится к прямой между этими точ-
точками, и так как она является аналитической функцией, то ее продол-
продолжением в обе стороны также является прямая.
24 С. Н, Бернштейн т. 1
35
АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 371
Глава I. Нахождение функций, абсолютно монотонных на отрицательной
полуоси 371
§ 1. Необходимые условия абсолютной монотонности функции на ко-
конечном отрезке 371
§ 2. Необходимые условия абсолютной монотонности функции вплоть
до —оо 375
§ 3. Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы функция,
абсолютно монотонная на отрицательной полуоси, была полностью
определена конечным числом значений /@), . . . , /п^ @) .... 377
§ 4. Условия, достаточные для существования функции / (х), абсолют-
абсолютно монотонной на отрицательной полуоси и принимающей в нача-
начале вместе со всеми своими производными заданные значения
/@), /'@), . .., /(п)@), 378
§ 5. Экстремальные свойства экспоненциальных полиномов 381
§ 6. Интерполяция и экстраполяция абсолютно монотонных функций 384
§ 7. Условия, необходимые и достаточные для единственности абсо-
абсолютно монотонной функции 388
Глава П. Нахождение функций, абсолютно монотонных на конечном
отрезке 393
§ 8. Главвыз многочлены 393
§ 9. Существование главных многочленов, присоединенных к функции
F (х), абсолютно монотонной на отрезке [0, 1] 395
§ 10. Приложение к функциям, абсолютно монотонным вплоть до —оо. * 402
§11. Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы существо-
существовала функция F (х), абсолютно монотонная на конечном отрезке
[— с, 0] и принимающая вместе со своими первыми т производ-
производными, соответственно, значения F (Q), . . . , F(m)@) 404
§ 12. Нахождение верхнего предела L длины отрезка [—с,0], на кото-
котором функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям,
может быть абсолютно монотонной 411
§ 13. Потенциально монотонные функции 415
Глава III. Приложения к проблеме моментов 416
§ 14. Проблема моментов Стильтьеса и абсолютно монотонные функции 416
§ 15. Общая проблема моментов и экспоненциально выпуклые функции 420
* Sur les fonctions absolument monotones. «Actamath.», t. 52 A928), стр. 1—66 A31*).
370
ВВЕДЕНИЕ
Абсолютно монотонные функции играют в теории аналитических
функций вещественной переменной такую же основную роль, какую
функции просто монотонные играют в классе функций ограниченного
изменения1. Поэтому нам представляется, что систематическое изучение
свойств абсолютно монотонных функций необходимо для глубокого про-
проникновения в природу вещественных аналитических функций. Такое изу-
изучение и является целью настоящей статьи.
Устанавливая общие неравенства, которым удовлетворяют функции,
абсолютно монотонные на конечном или бесконечном интервале, мы в пер-
первую очередь исследуем вопрос о наибольшем интервале, на котором может
быть абсолютно монотонной функция, если она принимает вместе с конеч-
конечным или бесконечным числом своих последовательных производных в не-
некоторой точке этого интервала заданные значения, и, с другой стороны, в
каких случаях этих данных достаточно для полного определения функции.
Содержание настоящей работы естественным образом связано с тео-
теорией расходящихся рядов. В частности, мы получаем новый метод ре-
решения общей проблемы моментов, не зависящий от непрерывных дробей2.
Глава I
НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИЙ, АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ
НА ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПОЛУОСИ
§ 1. Необходимые условия абсолютной монотонности функции на
конечном отрезке. Если функция / (х) абсолютно монотонна для х ^ О, то
/ (х) = Ао + А1 х + ... + Лп хп + ... , A)
где все коэффициенты Ап неотрицательны. Когда х возрастает, функция
/(х) не может перестать быть абсолютно монотонной, и радиус сходимо-
сходимости R степенного ряда ограничивает справа интервал, в котором функ-
функция / (х) абсолютно монотонна; за этим правым концом функция стано-
становится бесконечной3 (не исключено, что / (R) или производные в этой
1 «L. S.», первое добавление, стр. 190—197 ([26], стр. 313—320; см. также [18]).
2 Напомним, что классическая теория моментов Чебышева и Стильтьеса была'
недавно завершена в работах Гамбургера и Карлемана: Н. Hamburger, Stieltjessches
Momentcnproblpm. «Math. Ann.», Bd. 81, стр. 235—319, Bd. 82, стр. 120—164; Т. Gar-
1 e m a n. Sur les equations integrales singulieres a noyau reel et symetrique. Укажем также
на работы Хаусдорфа: F. H a u s d о г f f. Summationsmethodpn und Momentfolgen, «Math.
Ztschr., Bd. 9, и Мomentproblem fur endliches Intervall (которые мне стали изве-
известны во время редактирования настоящей статьи). Метод, которым Хаусдорф
трактует проблему моментов, имеет некоторое сходство с нашими методами.
3 Мы стоим здесь на точке зрения 'вещественной переменной; для нас поэтому
не представляют интереса то или те значения, которые следует приписать функ-
функции / (х) для х^> R в результате ее продолжения через комплексную область.
Только в последней глаге мы должны будем рассматривать наши функцип для
комплексных значений переменной z — x-\-iy, всегда предполагая при этом, что
вещественная часть x^R.
371 24*
точке, начиная с некоторого порядка, также бесконечны). Левым концом
этого интервала является обязательно 0, если один из коэффициентов
разложения равен нулю; но обратное неверно, как показывает пример
функции
2п
-2П-Н
производные которой достаточно высокого порядка 2п становятся отри-
отрицательными для значений х<^0, сколь угодно близких к 0, так как
A + х) — п (е~х - ех).
Мы будем в первую очередь искать условия, которые необходимы для
того, чтобы абсолютная монотонность / (х) могла быть продолжена на
значения х <С 0 до некоторого отрицательного значения — с. Этот вопрос
может быть также поставлен и в том случае, когда радиус сходимости R
ряда A) равен нулю, В этом случае 0 будет правым концом интервала
монотонности.
Прежде, чем приступить к формулировке теорем, представляется
удобным ввести, для сокращения записи, символическое обозначение
C)
api-2h
для симметричных определителей, в которых все элементы, располо-
расположенные на одной и той же параллели к побочной диагонали, равны меж-
между собой. Далее, нам придется рассматривать последовательные произ-
производные по \п(х + с), и мы будем писать
D)
... + BJU (x + c)n~l /(n-°(«) + (x + c)nfn) (x),
где положительные постоянные ВпА имеют следующие значения:
^* " (х-1)! 1А ~~" "х~1 v" "" х^ ^
в этом легко убедиться, если заметить, что
d\n хп
372
В этих обозначениях имеет место следующее предложение:
Теорема I. Если f @), /' @), . . . , /(п) @) суть значения производных
функции, абсолютно монотонной на интервале [—с, 0], то
каково бы ни было h.
Действительно, по условию, мы имеем следующее разложение с не-
неотрицательными коэффициеЕ1тами:
f(x) = ao+al(x + c) + ... + ах (х + с)* + ..., G)
которое сходится при х = 0 вместе со своими производными соответствен-
но к /@), /'@),..., /<п>@).
Каждый определитель вида
может быть, таким образом, разложен в ряд по степеням х -\- с, который
абсолютно сходится для —2с<^х <<^.0. Покажем, кроме того, что 6Х ^ 0.
С этой целью заметим, что
d In (x 4- c)n
(9)
следовательно, если Xo, Xiy . . . , )^ — произвольные положительные целые
числа, не равные друг другу и удовлетворяющие соотношению
и [х1У [х2, . . . , р.Л — произвольные положительные целые числа, не равные
друг другу и удовлетворяющие соотношению
то мы получим член ЬЛ (х + с)х, если в рассматриваемом определителе
возьмем в каждом столбце члены, содержащие соответственно степени
Хо, Хх, .. . , Хь, или же в первом столбце возьмем свободный член, а в дру-
других столбцах — степени ц1} jx2, . . . , ph. Таким образом, 6х состоит из
слагаемых вида
+ 1 + . .. + 1 Хо + Хх + ... + Хл ... Х{} +... + >*
xl
373
и вида
Отсюда следует утверждение теоремы, так как аналогичное рассуж-
рассуждение применимо и к /'(#).
Кроме того, так как определители (8) абсолютно монотонны на интер-
интервале [—с, 0], то, если один из них обращается в нуль при каком-либо
значении х^>— с, он должен быть тождественно равен нулю. Мы имеем
поэтому также следующую теорему:
Теорема II. Если для функции, абсолютно монотонной на интер-
интервале [— с, 0], имеет место равенство
@) <**>+-*/@)
то имеет место тождество
^2h (х)
Из соотношений A0) и A0') мы заключаем, что определитель (8) ра-
равен нулю в том и только в том случае, когда функция fix), по предпо-
предположению абсолютно монотонная, является многочленом, содержащим не
более чем h + 1 членов. Мы можем, таким образом, формулировать сле-
следующее предложение:
Теорема III. Если для абсолютно монотонной функции имеет место
равенство
'"d\nc2hj
то при любых х ^ h и д ~> О
dlncq
Точно так же, если
(О)
@) d*f(Q)\ =
)
С
то при любых а ^>> h и
и, кроме того,
(/(О),...,
374
§ 2. Необходимые условия абсолютной монотонности функции
вплоть до —оо. Предположим теперь, что с неограниченно возрастает.
Тогда, по D), при фиксированных х и п
lim J_ dUf(x)— = fW/x\
С->оо СП
Таким образом, непосредственным переходом к пределу в теореме 1
мы получаем следующую теорему:
Теорема Ibis. Если функция f (х) абсолютно монотонна на отри-
отрицательной полуоси, то
(/ @), . . . , /B") @)) > 0, (/(р) @), . . . , /(р+2"> @)) > 0, A4)
каковы бы ни были р и h.
Для того чтобы получить предложение, аналогичное теореме II, сле-
следует заметить, что при фиксированных п, х и h
откуда следует, что определители
абсолютно монотонны на отрицательной полуоси. Таким образом, спра-
справедлива
Теорема II bis. Если имеет место равенство
(/<*•> @), . .. ,/(Р+») @)) = 0, A5)
//го, при условии, что функция f (x) абсолютно монотонна на отрица-
отрицательной полуоси, имеет место тождество
(/(р)(ж),...,/(р+2/1)(ж)) = о. A6')
Но общим интегралом дифференциального уравнения
(/(*),..., р»(Ж)) = 0 A6)
является
f(x)=Aie^+... + Ahe*»x, A7)
где Ai и а^ суть 2/г произвольных постоянных. Очевидно, что эта функ-
функция абсолютно монотонна, если все параметры вещественны и неотри-
неотрицательны. Имеет место и обратное предложение: для того чтобы f (x)
была абсолютно монотонной, необходимо, чтобы все параметры Ai и о^
были вещественными и неотрицательными.
В самом деле, предположим, как мы имеем право это сделать, что
/ (х) не удовлетворяет никакому дифференциальному уравнению того же
типа, но низшего порядка. Это означает, с одной стороны, что ни один
из коэффициентов Ai не равен нулю и, с другой стороны, что
(/ @), . . . , /<2*> @)) > 0, (/(р> @), . . . , /(р+20 @)) > 0,
375
каковы бы ни были х, /?, /, подчиненные условиям х<^А, pJr2l<2h.
Следовательно, квадратичная форма
2 fl+m) @) YxYm = 22 A«!
от /г вещественных переменных Го, . . . , Уь_1 или от /г переменных
должна быть определенной. Таким образом, невозможно, чтобы некото-
некоторые из показателей сц были комплексными, ибо тогда, в силу веще-
вещественности Y{, две из линейных форм Z\ были бы комплексно сопряжен-
сопряженными, так же как и соответствующие им коэффициенты А-г; пусть эти
формы суть x^hiy, а коэффициенты суть a + ib. Вводя, вместо этих
форм, вещественные линейные формы х и у, мы получили бы два члена
а (х2 — у2) + 2Ьху,
которые не могут входить в определенную квадратичную форму. Этим
доказано, что все а-г вещественны и все ^>>0. Но так как аналогичное
рассуждение применимо и к
/' (х) = Агаг е">* + . . . + АЛ еа*х,
то мы должны заключить, что все ос|>>0.
В случае, когда / (х) удовлетворяет уравнению A6'), вместо A6), мы
имеем
h
f(x) = A0 + 2iAie«ix, A7)
i
так как степени х, которые могут возникнуть при интегрировании урав-
уравнения A6'), должны исчезнуть в силу абсолютной монотонности функции
вплоть до — оо. Мы можем, таким образом, сформулировать следующую
теорему:
Теорема III bis. Если f (x) абсолютно монотонна на отрицатель-
отрицательной полуоси и
то, каковы бы ни были л ^> h и
точно так же, если
то для любых *^>> h и д^>0 мы имеем
ао @)) = 0, (/ @), . . ., /С2*+2> @)) = 0.
376
Ясно, что если каким-либо образом непосредственно доказаны теоремы
I bis, II bis, III bis, то мы можем сразу вывести из них теоремы I, II, III
простой заменой переменной х = In (у + с). Однако следует заметить, что,,
тогда как функция от у, абсолютно монотонная для у^> — с, переводится
этой заменой в функцию от х, абсолютно монотонную для х^>—оо,.
обратное неверно. В силу изложенного мы можем, в частности, форму-
формулировать следующую теорему:
Теорема А. Каковы бы ни были значения /@), /' @), . . . , /(п) @),
удовлетворяющие /2+1 неравенствам
(/@),...,/B;)@))>0, (/'@),...,/B>'+О@))>0, A8)
где 2к <^ п, 2кг + 1 <^ /г, всегда существуют функции, абсолютно монотон-
монотонные вплоть до — оо, которые при х = 0 принимают вместе со своими
первыми п производными, соответственно, значения /@), ... ,/(пЦ0).
Такой функцией / (х) будет; например, соответствующее решение диф-
дифференциального уравнения
(/(*),..., /("+*> (?)) = 0, A6)
если мы для определенности предположим, что п нечетно, или же ре-
решение уравнения
с произвольным дополнительным начальным значением /(п+1)@), подчи-
подчиненным лишь условию
(/@),...,/<»+»> @))>0.
Но, как нетрудно видеть, неравенства F) (с исключенным знаком
равенства) уже недостаточны для того, чтобы можно было утверждать
существование функции, абсолютно монотонной на интервале [—с, 0], так
как конечная сумма показательных функций, которая разрешает вопрос
в случае полуоси, преобразуется, вообще говоря, в сумму нецелых сте-
степеней, которая не является абсолютно монотонной функцией. Именно в
силу этого обстоятельства задача нахождения функций, абсолютно моно-
монотонных на конечном отрезке, представляет некоторые специальные
трудности арифметического характера. Поэтому удобнее сначала рас-
рассмотреть задачу нахождения функций, абсолютная монотонность которых
простирается до —оо.
§ 3. Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы функ-
функция, абсолютно монотонная на отрицательной полуоси, была пол-
полностью определена конечным числом значений /@),..., /(п)@). Из
теорем Ibis, II bis, III bis и А непосредственно вытекает следующее важное
следствие:
Теорема В. Для того чтобы существовала только одна функция
f(x), абсолютно монотонная на отрицательной полуоси и принимающая
377
'вместе со своими первыми п производными в точке ? = 0 значения /@), ...
.. , /(п) @), необходимо и достаточно, чтобы
(/ @),.... /W @)) > 0, (/' @) /B%'+о @)) > О
Bй<и'<п, 2А' + 1 <п'), {
0
функция f (х) представляет при этом сумму показательных функций
/»-(*) = 2 V;A'
^г зависит от п ^ п параметров.
Действительно, в силу теоремы А, условия A9) достаточны для того,
чтобы существовала по крайней мере одна абсолютно монотонная функ-
функция / (х), принимающая вместе со своими первыми п' — 1 производными
в начале заданные значения /@), /' @), . . . , /О'-1) @); но, в силу теорем
II bis и III bis, эта функция единственная и существует на самом деле, если
.значения /(п') @), . . . , /(п) @) также удовлетворяют условиям A9). Наоборот,
если условия A9) не удовлетворяются, то не существует абсолютно моно-
монотонной функции, отвечающей заданным начальным условиям; это следует
из теоремы I bis, если но крайней мере один из определителей отрицате-
отрицателен. Если же ни один из определителей не равен нулю, то в силу тео-
теоремы А функция / (х) не единственна.
Так, например, функцию ех можно определить как единственную
функцию, абсолютно монотонную на всей отрицательной полуоси, кото-
которая вместе со своими первыми двумя производными принимает в начале
значение 1 -
§ 4. Условия, достаточные для существования функции f (х),
абсолютно монотонной на отрицательной полуоси и принимающей в
начале вместе со всеми своими производными заданные значения
/@), f @),. .. ,/(п) @), .... Теперь нетрудно видеть, что справедливо
предложение, обратное теореме Ibis. Точнее, теорема В может быть допол-
дополнена следующим утверждением:
Теорема С. Всегда существует по крайней мере одна функция
f (x), абсолютно монотонная на отрицательной полуоси, которая вместе
со всеми своими производными принимает в точке х = 0 соответственно
значения f @), f @), . . . , /(n) @), . .., если только эти значения удовлетво-
удовлетворяют бесконечной системе неравенств
(/@) /Bh>@))>0, (/'@),...,/B"-н>@))>0 A8)
для всех целых значений h.
Существование доказывается эффективным построением искомой функ-
функции, которое может быть произведено следующим образом. Пусть
/2 (х) = А\ /'х; ...; Ни (х) = А^ е'Р *+... + 4*> е'Р * B0)
— последовательные суммы показательных функций, определенные на-
начальными значениями /@), ..., f(.2h~{) @). Можно утверждать, что, если
378
h неограниченно возрастает, эти абсолютно монотонные суммы стремятся
при х<^0 к некоторой функции f(x), которая сама абсолютно монотонна
и удовлетворяет всем требуемым начальным условиям.
Для доказательства этого утверждения заметим, что число веществен-
вещественных корней (с учетом их кратности) уравнения вида
а^х + а2е^х + . . . + апеХпХ = О,
где \х <С^2 <С • • • <^п, не превосходит числа перемен знака в последо-
последовательности коэффициентов аг, . . . , ап. Отсюда мы заключаем, что если
абсолютно монотонная функция
Sn(x) = Cie^ + ...+Cne*»x B1)
удовлетворяет тем же начальным условиям, что и jih {%), то
Sn(x)>fa(x), B2)
причем знак равенства хотя бы для одного значения х^О влечет за
собой тождество Sn {%) ^fin (#).
Действительно, коэффициенты разности
P(x) = Sn(x)-f2h(x)
не могут дать более 2/г перемен знака, так что, за исключением корня О
кратности 2/г, функция Р (х) не может обратиться в нуль ни для какого
другого вещественного значения, не будучи тождественным нулем. Да-
Далее, для того чтобы число перемен знака коэффициентов могло достичь
2/г, очевидно необходимо, чтобь1 наибольший показатель в Р (х) был
тот же, что в Sn(%)- Это влечет за собой положительность Р (х) для
достаточно больших положительных х, а из этого следует неравенство
B2) для всех х Е2= 0, так как Р (х) не меняет знака даже при переходе
через начало.
Следовательно, для всех х^О мы имеем
а для х <^0 к этому можно добавить еще неравенство /2/г(^) <./@)-
Таким образом, для каждого значения х <^ 0, f2h{%) стремится при
к определенному пределу / (х). Далее, так как все конечные разности
неотрицательны :
то функция / (х) абсолютно монотонна] кроме того, при фиксированном о
/ И \ з < ъ + -у- </ @) + -у- ,
откуда мы заключаем, что /'(#)<[/'@), так как при неограниченно воз-
возрастающем Л, lim -у- = 0. Можно также показать, что f^ (х
379
Теперь покажем, что lim/^ (х) = /(п) (х). Достаточно предположить, что
n = i, так как рассуждение повторяется шаг за шагом. Заметим, что
существует достаточно малое о, не зависящее от h, для которого
2h (х + Ю — fzh (х) ,, .
Ъ
но при достаточно большом h имеет место неравенство
/ (х + S) — / (х) hh (х + S) — /2fi (ж)
^ 3 "
Таким образом, для такого значения h
Поэтому, в частности, последовательные производные / (х) прини-
принимают в начале требуемые значения /' @), . . . , /(п) @), .. . , что и требова-
требовалось доказать.
Заметим 3/десь же, что другая функция о (х) (которая может и совпасть
с / (х)), удовлетворяющая тем же условиям, может быть построена как
предел последовательности функций
Л И = / @), /з (х) = Во + В\ е3» ж , ...,
/2М-. (х) = В^ + S? V^ х+... + вР е^ х, B0')
получающейся при определении /гь-ьi (x) из дифференциального уравнения
) = о
с начальными значениями /@), /'(О), ..., fBh) @).
Действительно, легко проверить с помощью уже применявшегося рас-
рассуждения, что для х^>0
Sn(x)>f2h+i(x), B3)
а для х <^0
B3')
(так как в этом случае разность Sn{x) — fzh+i(%) меняет знак б начале),
причем равенство хотя бы в одной точке х^0 влечет за собой тожде-
тождественное равенство. Таким образом, для х^>0 функции /2/1+1 (#) переме-
перемежаются с функциями четного порядка
Л (*) < /.: («) < • • • < /а, (ж) < /2*+1 (ж) < /2ft+2 (ж) < ¦ • • ; B4)
для х <^ 0 мы имеем неравенства
Л И >/з («)>•• • >/2А+1 И > • • • >Ь (Ж) > . . • >/2 (X). B5)
Следовательно, функции с нечетными индексами стремятся, убывая,
к некоторой абсолютно монотонной при х<^0 функции ср (х), которая
удовлетворяет тем же начальным условиям, что и функция f (х), найден-
найденная выше. Кроме того, на всей отрицательной полуоси мы имеем
/(*).<<?(*). B6)
380
При х^>0, в силу соотношений B4), мы должны иметь / (я) = ср (я),
если только обе функции не растут бесконечно, т. е. не перестают су-
существовать. Как и можно было предвидеть, если абсолютно монотонная
функция / (х) существует для х ^> 0, что имеет место в том и только
в том случае, когда радиус сходимости R ряда
отличен от нуля, т. е. когда lim — |//<п) @) = — < ос, она полностью
определяется совокупностью значений, которые она и все ее производные
принимают в начале.
!
Таким образом, в том случае, когда lim. — yf^n\O) <^ oo, мы имеем
/(*) = ?(*) B7)
и для х<^0, и эта функция является единственной абсолютно монотон-
монотонной функцией, принимающей вместе со своими производными предписан-
предписанные начальные значения.
§ 5. Экстремальные свойства экспоненциальных полиномов. Нера-
Неравенства B2), B3) и B3') характеризуют в классе экспоненциальных полино-
полиномов, удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям, полиномы наи-
наинизшего порядка. Ниже мы покажем, что это экстремальное свойство экспо-
экспоненциальных полиномов сохраняется и в классе всех абсолютно монотон-
монотонных функций. Представляет интерес убедиться в этом непосредственным
сравнением дифференциальных уравнений A6) и A6'), которым удовле-
удовлетворяют экспоненциальные полиномы с соответствующими неравенствами.
Вот, например, простое рассуждение, посредством которого устанавли-
устанавливается, что *
<р(ж)>е* (х SO),
если ср (х) — функция, отличная от ех и абсолютно монотонная вплоть до
— оо, удовлетворяющая условиям: ср @) = ср' @) = 1. Мы исходим из нера-
неравенства ср"ср — ср'2>>0, которое означает, что кривая у = In ср (х) выпукла;
следовательно, так как у = 0 и у = 1 при х = 0, эта кривая располо-
расположена над прямой у = х, откуда <р(х)^>ех,- Таким же образом доказы-
доказывается, что если ср @) = 1, ср A) = С, то cp(^)<CDC в интервале @,1) и
ф(х)^>Сх вне этого интервала.
Следствие. Функция, абсолютно монотонная на всей вещественной
оси, не может быть степени нуль (и, тем более, нулевого рода).
Действительно, если а — произвольно малое положительное число, то
для функции ср (z) степени 0 имеет место неравенство
при всех достаточно больших
z \.
См. также [34]. (Ред.)
381
Неравенства B2) и B3) могут быть распространены на произвольные
абсолютно монотонные функции аналогичным рассуждением, но распро-
распространение неравенства B3') требует дополнительного анализа, который
будет проведен в следующем параграфе. Сначала мы докажем следую-
следующую теорему.
Теорема D. Если
— две различные функции, абсолютно монотонные вплоть до —оо и
удовлетворяющие условиям
то
каково бы ни было п^О.
Для п = О это очевидно, так как <pBh) @) и f2h)@) удовлетворяют соот-
соответственно неравенству
ср'2/г) @). (/ @), /" @), . . . , /.2Ь-2) @)) + (/ @), /" @), . . . , Я*-2> @), 0) > 0
и равенству
pv @). (/ @), г @),..., / 2»-2> /о)) + (/ @), г @),..., /(^-2> @), 0) = о.
Переходя к произвольному п, заметим, что при фиксированных
/@), . . . ,/B/1~2>@) и возрастающем рн~{Ц0)у величина /B/г+п)@) такжо
возрастает, каково бы ни было п ^ 0. Действительно, мы имеем систему
уравнений вида
— а л, А л. -\- At = М
/9Ь j\ /Л 2^)- 1 9h -Ij /OQ\
/ @) = ai -4i + • • • + ^ -4^ = il/2/1+п»
в которой первые 2/г уравнений служат для определения параметров оц
и ^4j, а последнее дает затем значение /^2h+n^@). Таким образом, для
вычисления ^+п мы имеем систему дифференциальных уравнений'
dAx + rf^42 + . . . -j- dAh = 0,
сс^Аг -\- A.doL-f, 4- ... = 0,
af-{dAx + Bh — 1) af'^
af+77^1 + BA + n) af+n~1
из которой мы находим, что
dM2h+n Dn
382
где
о
1
1
a>
B9)
2/i+x
ai
2/i+x-i
a
n -j- y^
2h+>c-l
каково бы ни было х J> — 1.
Ясно, что /)х не может обратиться в нуль, так как это повлекло бы
за собой возможность составления уравнения
B0+B±z + ... + B2h-2Z2h-2 + B2h+xz*h+« = О
(содержащего 2k членов), которое имело бы h двойных корней olv a2?..., ah^
Следовательно
dM
2h+n ^
dM.
2h~i
(так как М/1+n—^ °о при
После этого замечания образуем последовательно экспоненциальные
полиномы fi (x), содержащие h членов и определяемые следующими 2h
условиями:
/?> @) = fi @),
@) =
@),.. . ,
@) = ср
так, что fo(x) = f (x) и, с другой стороны, для последней рассматривае-
рассматриваемой нами экспоненциальной суммы /п+1 (х) имеем /(д+2/г) @) = ср(п+2/г> @).
По замечанию, сделанному в начале доказательства,
@),
@),
f\l+2h-l)@) =
так что по предыдущему для всех значений п ;> I должно быть
Следовательно, A"+2h)@)</(n^"i2h)@), т. е.
Kn+2h)(Q\ <-" v(n+2h) (()). C0)
Доказанная теорема может быть, очевидно, распространена с помощью
интегрирования на тот случай, когда экспоненциальный полином содержит
свободный член, причем число заданных в начале производных становится
четным.
Следствие 1. Если f (x) — экспоненциальны/!, полином, содержа-
содержащий п + 1 отличных от нуля параметров, и ср (х) — отличная от него
функция, абсолютно монотонная вплоть до —ос и удовлетворяющая
условиям / @) = ср @), . . . , f(n) @) = ср(п) @), то для всех х~^>0
Это следует из того, что все производные f (х) порядка выше п меньше
соответствующих производных ср (х) в точке х = 0.
383
Неравенство C1) содержит как частные случаи неравенства B2) и
B3).
Следствие 2. При тех же условиях все показатели оц удовлетворяют
неравенству
v
а4<Нт"|Лр<Р>@). C2)
Действительно, по теореме D имеем при любом р^>п
откуда следует, что
причем знак равенства должен быть отброшен, так как при возрастаю-
возрастающем п наивысший показатель а^ экспоненциального полинома должен
возрастать.
Далее, замечая, что для экспоненциального полинома достаточно
высокого порядка мы имеем
(Аг + А, + .. . + Ah) *l = ? @) *Ъ > ?(р) @),
заключаем1, что
v
limaA= lim jAp<p) @). C2')
h-^oo
§ 6. Интерполяция и экстраполяция абсолютно монотонных функций.
Пусть F (х) абсолютно монотонна для всех значений х <J 0. (Дальнейшие
результаты остаются, с очевидными изменениями, в силе и в том слу-
случае, когда F @) = ©о, но мы для определенности предположим, что F @)
конечно.) Поставим перед собой задачу построить экспоненциальный
полином
/а (*) = 2 AieHX или /аи-i (*) = \ + 2 А6"'*'
1 1
который совпадает с F (х) в точках 0, — о, . . ., — по, причем первый вид
соответствует случаю нечетного п = 2/г—1, второй — случаю четного
/г = 2/г, а о — произвольная положительная величина. Заметим в первую
очередь, что, каково бы ни было х, мы должны иметь
(F @), F (- 28), ..., F (- 2/8)) > 0, (F(-t),...,F (- Bх + 1M)) > 0. C3)
Эти неравенства могут быть установлены, как неравенства A4), пере-
переходом к пределу в соответствующих неравенствах для функций, абсолютно
монотонных на конечном отрезке [—с, 0]. Действительно, пусть
F (х) = ао + а1(х + с) + ... + ап (х + с)п + ...;
1 Наименьший показатель а1} который убывает при возрастании порядка 2h по-
полинома, стремится к некоторому пределу а>-0, причем, каково бы ни было г>0,
lim / (х) c-(a-s> х = 0 и lim / (ж) е-(а+0* = оо.
зс->—оо х-т>—оо
384
(a Ъ\ (a S\2 (a S
заменим последовательно ж + с на с, с .1 , с A , ..., с 1
ч сJ ч с/ ч с/
полагая для краткости 1 — — = р <^ 1, легко проверить посредством рас-
рассуждения, аналогичного приведенному в § 1, что
Но при фиксированных о и х и возрастающем с мы имеем для i ^ 2х
lim (ср* — с) = — го
с-»оо
и неравенства C3') в лределе переходят в неравенства C3).
Далее, предполагая, например, что гг = 2/г — 1 нечетно, мы имеем для
определения экспоненциальной суммы f2h (х) систему 2/г уравнений
C4)
nlf1'1 = F(- B/г - 1) 8),
где положено e~a*s = Хх,... , e~afl8 = Х^.
Мы видим, что система C4) имеет ту же структуру, что и система,
которую мы (так сказать, механически) решили выше, заметив, что
общим интегралом дифференциального уравнения A6) является экспонен-
экспоненциальный полином (§ 2). Единственным отличием системы C4) является
то, что в ее правых частях стоят величины F (—Щ вместо .№>(()); эти
величины, однако, удовлетворяют тем же неравенствам.
Вследствие того, что правые части уравнений C4) удовлетворяют
неравенствам C3), мы можем утверждать, что все параметры Ai ж Х| экс-
экспоненциального полинома
принимающего вместе со своими первыми 2/г — 1 производными в начале,
соответственно, значения F @), F(—о), .. . , F (—B/г—1)о), положи.
тельны1. Кроме того, для х<^0 мы имеем F(x)<^F(O), откуда, по
следствию 2 (§ 5), заключаем, что Х$<1, т. е. что оц;>0.
Предположим, в частности, что 8 = ~^~. Тогда, в силу непрерывности,
F (х) и монотонности f2h(x)^ ПРИ неограниченно возрастающем h полином
f2h{x) будет равномерно стремиться к F (х) для 0^>х^>—1. По тем же
причинам экспоненциальный полином f2h-i(x)i который с F (х) имеет те
же общие точки, кроме —-— , тоже стремится к F (х) на отрезке [—1,0].
С другой стороны, в силу одного из основных свойств экспоненциальных
полиномов, которое мы уже имели случай использовать (в § 3),
fm (ж) > /2/г—1 И для х > ° и hh И </2/1-1 (х) для ^ < — !• Следовательно,
1 Все параметры А$, Х^ будут положительны если предположить что знаки
равенства в C3) не достигаются. Но в противном случае функция F (х) сама была
бы экспоненциальным полиномом.
25 с. Н. Бернштейн. т, I 385
выбирая подходящую последовательность целых чисел h19 h2,... , hn
(можно, например, положить hn+i = 2hn; тогда вне отрезка [—1,0] не-
несомненно f2h (ж)<С/2Л (#))> мы видим, что f2h (x) стремится для каждого
х<С—1 к некоторой предельной функции F0(x), которая является аб-
абсолютно монотонной вплоть до —оо (§3). В то же время (при /zn+t = 2hn)
полиномы с нечетным индексом, убывая (для х<^—1),, стремятся к
некоторой абсолютно монотонной функции F± (x). Но эти две функции
не могут, очевидно, отличаться от F (х), с которой они совпадают на
отрезке [—1, 0], так как две различные абсолютно монотонные функции
не могут, будучи аналитическими, совпадать на целом интервале.
Мы можем, таким образом, формулировать следующее предложение:
Теорема Е. Всякая функция F (х), абсолютно монотонная на от-
отрицательной полуоси, является пределом экспоненциальных полиномов,
которые равномерно стремятся к этой функции для всех значений х^О
(причем, если F @) бесконечно, должен быть исключен интервал, содержа-
содержащий начало).
Благодаря этой теореме мы в состоянии утверждать, что всякое экс-
экстремальное свойство, которым обладает некоторый экспоненциальный
полином среди всех экспоненциальных полиномов (как, например, неравен-
неравенство B3')), сохраняется и при рассмотрении общего класса функций, абсо-
абсолютно монотонных вплоть до —оо.
Действительно, пусть fm (х) — экспоненциальный полином с т поло-
положительными параметрами, который совпадает с F (х) в т точках:
ат < am_i < •.. <С #i <! 0. Тогда, если числа аг, ... , ат соизмеримы, мы
можем рассматривать F (х) как предел экспоненциальных полиномов
Sn(x), проходящих через все эти точки. В этих условиях мы имеем:
Sn{x)>fm{x) для ж>ах; Sn(x) <ifm(x) для ax>a;>a2 и т. д, и,
наконец, (— l)m [Sn(x)—/т(ж)]>0 для х<^ат. Таким образом, переходя
к пределу lim Sn(x) = F (х), мы имеем
п->оо
F (х) — /т (х) > 0 для х > а19
(—l)l[F(x)-fm(x))>0 для а«>ж>а*+1, C5)
(-1)т [F (x)—fm(х)] >0 для х<ат,
причем возможность равенства исключается потому, что для х^>цг мы
всегда имеем F (x)^>Sn(x), для х<Сат имеем (—l)m [F (х)—Sn(x)] ^>0,
а для любого значения х, лежащего внутри интервалов (а$, ai+i), имеется
бесконечно много Sn{%), приближающихся к F (х) как сверху, так и
снизу. Тот случай, когда а\ несоизмеримы, требует лишь дополнитель-
дополнительного перехода к пределу; здесь к пределу, соответствующему предель-
предельным значениям а$, стремится ®т(х), и мы должны сначала рассмотреть
возможность того, что неравенства C5) в пределе могут свестись при
некоторых значениях $ к равенствам; но тогда, если имеются I таких
значений, которые являются корнями четной кратности уравнения
F (х) — ®т(х) = 0, эти же значения являются корнями нечетной крат-
кратности уравнения F' (х) — ср'т (х) = 0, которое имеет еще по крайней мере
386
m + I — 1 простых корней; левая часть этого последнего уравнения имела
бы тогда не менее т + 2/— l^m+1 перемен знака, а это невозможно.
Случай, когда некоторые из значений а^ стремятся к общему пределу,
рассматривается аналогично. Нам достаточно рассмотреть наиболее инте-
интересный случай, когда все значения щ стремятся к нулю. Мы можем,
например, предположить, что а^= — (i— 1)8, и устремить 8 к нулю.
По предыдущему, функции fm (х) существуют для каждой функции F (х)
при любом значении 8. Когда 8 стремится к 0, эти функции стремятся к
экспоненциальному полиному, который в начале совпадает с F @) и
производные которого вплоть до порядка т — 1 включительно принимают
в начале соответственно конечные значения F' @), .. . ,F~ @). В ре-
результате этого предельного перехода пропадают неравенства C5), относя-
относящиеся к внутренним точкам; неравенства, относящиеся к внешним точкам,
сохраняются,'но a priori могут свестись к равенствам в некоторых изо-
изолированных точках ?; однако эта последняя возможность должна быть
исключена, так как она означает, что разность F'(х) — срт (ж), кроме кор-
корня кратности т — 1 в начале и одного простого корня, меньшего чем
| \ |, должна иметь еще по крайней мере один корень нечетного порядка
(где она еще раз меняет знак), что невозможно.
Замечание. Возвращаясь к общей задаче интерполяции с равно-
равноотстоящими ординатами в том случае, когда 8 фиксировано (так что при
неограниченно возрастающем h значения B/г — 1) о неограниченно возра-
возрастают), мы видим, что экспоненциальные полиномы f2h (x) при возра-
возрастающем h изменяются в каждом из отрезков [— ?о, — (i — 1) о] в одина-
одинаковом направлении. Следовательно,
lim f2h (x) = f (х) для х < 0,
причем функция / (х) хотя и является абсолютно монотонной, может
иметь разрыв в начале (так как производная от f2h (x) может быть огра-
ограничена сверху выражением * ~~— только для х < — а <^ 0, где
а <; 8). Таким образом, вообще говоря, lim / (— а) = А <^ F @), и функция
/ (х), абсолютно монотонная на всей отрицательной полуоси (включая
начало), которая принимает в соответствующих точках значения F (— о),
F(—28) и т. д., в начале принимает значение А вместо .F @). Она яв-
является, кроме того, единственной функцией, принимающей значения
F (—о), F (—28) и т. д. в соответствующих точках.
Действительно, экспоненциальные полиномы 9^—1 (ж)' 0ПРеДеленные
значениями F (— 8), . .., F (— B/г —1)8) и зависящие от 2/г — I положи-
положительных параметров, при возрастании /г изменяются в каждом интервале
в направлении, обратном направлению изменения f2h (x)\ в частности, в про-
промежутке (— 8, 0) разность
которая убывает вместе с /г, является возрастающей функцией от х, так
как P'h(x)^>0 в этом промежутке; последнее следует из того, что разность
387 25*
/^(^"^k-iW' коэффициенты которой имеют не более 2/г — 2 перемен
знака, имеет корень в каждом из отрезков [—8, —28], [—28, — 38], ...
. . . , [— B/г — 2) 8, — B/г — 1)8]. Следовательно,
lim ®2h-i (х) = ? (ж) для х ^ ^'
если мы условимся положить ср @) = limcp(x); ср(ж) является функцией,
х->0
абсолютно монотонной на всей отрицательной полуоси и принимающей
в соответствующих точках значения F(—о), F(—28),...; кроме того,
любая функция Ф (х), принимающая те же значения, должна удовле-
удовлетворять в промежутке (— 8, 0) при любом h неравенствам
где f*2h (x) обозначает экспоненциальный полином, определенный значе-
значениями <р@), F(—8), F(—28),...,F(—Bй-1)8). Но /^ (х) - ^2h_, (х)
стремится к нулю, когда /г->оо и х->0; следовательно, на отрезке
[-8,0]
о (х) = lim ?2h_t (ж) = lim/^ (ж) = Ф (х)
h->co h->oo
и, ввиду аналитичности ср (х) и Ф (х), мы заключаем, что ср(ж) = Ф(ж).
Таким образом, абсолютно монотонная функция полностью определяется
значениями, которые она принимает в бесконечном множестве равно-
равноотстоящих точек хк << 0, и мы имеем следующее предложение:
Пусть F @), F (— 8), F (— 28) , ... — ограниченные в совокупности зна-
значения, удовлетворяющие при любом х ^ 0 неравенств хм
C6)
7 @) кв может быть уменьшено без нарушения хотя бы одного
из неравенств C6). wo существует, одна и только одна функция F (х),
абсолютно монотонная на отрицательной полуоси и принимающая
указанные значения. Таким образом, значение F @), которое принимается
в начале абсолютно монотонной функцией, определенной своими значе-
значениями F (— 8), F (— 28), . . . , равно наименьшему значению А, которое
удовлетворяет всем неравенствам [A, F (—28), ..., F (— 2x8)) ^> 0. Если эти
неравенства не могут быть удовлетворены, то функция F (х) не может
быть продолжена до начала.
§ 7. Условия, необходимые и достаточные для единственности абсо-
абсолютно монотонной функции. Из предыдущего параграфа вытекает,
в частности, следующее -предложение:
Теорема F. Если функция F (х) абсолютно монотонна вплоть до
— оо и fm(x) — экспоненциальный полином с т положительными пара-
параметрами и если, кроме того, уравнение F (х) = fm (x) имеет более т
корней (с учетом их кратности), то F {x)=fm{x)\ в случае, когда
число корней равно т, имеют место неравенства C5), из которых еле-
388
дует сохранить только соответствующие непулевым интервалам (между
различными корнями), причем в нумерации пулевые интервалы должны
учитываться так, что корню кратности л соответствует % — 1 нулевых
интервалов.
Так как /а @) = /2ft+1 @) = F @), Щ @) = /$+1 @) = FW @), если только
i<^2h, и, кроме того, f^l(O) = F^(O), то для ж<^0 мы имеем неравен-
неравенства /2Л (х) <С F (х) <C/2h+1 (#)• Поэтому, полагая
f (х) = lim /2ft (х), <р (ж) = lim /2 (ж), C7)
мы получаем (§ 3) основные неравенства
/(s)<FC)<cp(z). C8)
Заметим, что мы, кроме того, имеем неравенство f2h+i (х) <C Fr (х) >
следовательно (для ?<Г0),
Это означает, что разность о (х) — F (х) (в том случае, когда она не равна
тождественно нулю) убывает, а так как она равна нулю при х = 0, то
она всегда положительна.
Отсюда следует
Теорема G. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы функция, абсолютно монотонная на отрицательной полуоси, одно-
однозначно определялась бесконечным множеством значений F@), Fr @), . . .
.... F^n) @), ... , является существование по крайней мере одного значения
я<<0 {оно может быть равно и —оо), при котором функции f (x) и ср (х),
определенные соотношениями C7), совпадают.
Мы будем говорить, что система значений F @), Fr @), ... , F^ @), ...
вполне регулярна \ если, каково бы ни было п, не существует более
одной абсолютно монотонной функции Fn (x), удовлетворяющей начальным
условиям
Fn @) = F{n) @), Frn @) = F{n+1) @), ..., F(y @) - F(n+h) @),... C9)
Ясно, что если функция Fn (x) единственна при некотором значении п,
то, тем более, функция -Fn-i (ж), удовлетворяющая соответствующим усло-
условиям, будет также единственной, ибо если бы мы имели две такие
функции Fn_i (x) и Фп_1 (х)и то в качестве Fn(x) мы могли бы взять
F'n-.i{z), или Фп-1 (#). Таким образом, в том случае, когда система
значений F @), ... , F @),... определяет единственную абсолютно
1 Едва ли нужно указывать, что для этого было бы достаточно, например,
чтобы производные F^ @) удовлетворяли условию квазианалитичности Карлемана,
состоящему в расходимости ряда
v \
/\ п '
J/Vn) @)
так как F^ @) является максимумом F^(x).
389
монотонную функцию, эта система будет или вполне регулярной, или
регулярной порядка /?^>0, что означает, что функция Fn(x)> удовле-
удовлетворяющая условиям C9), будет полностью определена лишь при п<^р\
в случае регулярности порядка р мы можем заключить, что
Fn(x) = F™ (х)
только для значений п^р.
Мы можем теперь доказать следующую теорему.
Теорема Н. Если система значений F @), F' @),.. ., F{n) @)у. ..
вполне регулярна, то система значений .F(n+1)@), .F(n+2)@),... полностью
определяет значения всех производных порядка, не превышающего п, как
велико бы ни было п.
Для доказательства заметим, что если FL (х) определена условиями
C9) при /г = 1, то, по предположению, единственной функцией, которая
удовлетворяет тем же условиям с той лишь [разницей, что она сама в
начале принимает значение F' @) + С, является
Fx (x) + С,
так как ее производная должна быть тождественна с F" (х) = F'{(x).
Но для того чтобы значение F' @) + С было допустимым, нужно,
чтобы
Л(-сх))+С = 0>
без чего мы имели бы F @) = оо. Следовательно, при заданных значе-
значениях F" @), Frn @), ... не может существовать более одного допустимого
значения для F' @). То же рассуждение применимо, очевидно, ко всем
производным.
Нетрудно, далее, указать теоретический способ определения F^ @)
как функции от данных F^n+i^@), ... (которые мы предполагаем регу-
регулярными).
Действительно, образуем определители
Ah>n (X) = (X, F№) @),..., Я^) @)) =
= X (№+2) @), . . . , F^2h) @)) + @, /^+2) @), . . . , F(n+2h) @));
допустимыми значениями F^ @) = X являются только те, для которых
при любом h. Замечая к тому же, что из Дл,п (Xh) = 0 следует Ahin(X) ^0
(соответственно) при 1^4 и что, с другой стороны, если Дл>п (Xh) =
= 0, то Дл+1>пAл)<0, мы заключаем, что
Следовательно, возрастающая последовательность чисел
v @, F{n+2) @), . . . , .
2)@), . . . , ^
390
стремится к пределу М(П), который в точности равен Р(пЦО), так как
j?(n) @) не может быть меньше М(П) без того, чтобы F^n) (х) перестала
быть абсолютно монотонной, а с другой стороны, из равенства F^ @) =
= М(п) + а, где а > 0, вытекало бы, что функция FW (х) — у абсолютно
монотонна, из чего следовало бы невозможное соотношение F(*)(— оо)^>0.
Допустим, что мы имеем теперь тот случай, когда начальные данные
F @), F' @), ... соответствуют бесконечно многим различным абсолютно
монотонным функциям. По предыдущему этот случай характеризуется
соотношением
<р(_оо)-/(-оо)>0,
где ср (х) и / (х) являются, соответственно, наибольшей и наименьшей
функциями, удовлетворяющими этим начальным условиям.
Мы можем утверждать, что если заменить первое начальное значение
F @) значением
и сохранить без изменения значения F^@) производных всех порядков,
то будет существовать одна и только одна функция, абсолютно моно-
монотонная вплоть до —оо и удовлетворяющая этим начальным условиям,
а именно ср (х)— ср (— сю).
Действительно, функция ср (х) — ср (—оо) абсолютно монотонна и удовле-
удовлетворяет всем начальным условиям; с другой стороны, если Fx (x)~функция,
отличная от ср' (х) и удовлетворяющая условиям Fx @) == Ff @), ...
. . . , F(in) @) = JF(n+1) @), .. ., то F1(x)^> ср' (х); поэтому невозможно, чтобы
существовала другая функция
•Л,
ф (х) = \ Рг (х) dx + С,
о
где С > 0, такая, что Ф 0 = Мо = J ср' (х) dx.
—со
Если же мы возьмем вместо Мо какое-либо другое значение
Ф @) = М > Мо, то функция Ф (х) уже не будет единственной (по пред-
предположению, она не являлась единственной в случае М = F @)).
Применяя приведенное выше рассуждение, легко установить, что Мо
является пределом возрастающей последовательности чисел
Действительно, Мо является тогда наименьшим значением X, для
которого все определители Ahfo (X) = (X, F" @), . .. , F2h) @)) положи-
положительны.
Если, следовательно, существует хотя бы одно значение М^>М0,
для которого системе значений М, Fr @), ..., F^@), ... также соответ-
соответствует единственная абсолютно монотонная функция, то это будет иметь
место и для всех F @)^>М0, причем общим видом абсолютно монотонных
391
функций, определенных системой значений X > Мо, Fr @), ..., F(n) @),
. .., будет F (х) + С.
Итак, необходимым и достаточным условием для того, чтобы система
значений1 F@),..., jFM(O), ... была регулярной по крайней мере пер-
первого порядка, является равенство F' @) = М\ где Мг есть нижний пре-
предел значений X, для которых
Ahti(X)>0.
В самом деле, если F' @) = М\ система значений F' @), ... , F^> @),. ..
однозначно определяет некоторую функцию F'(х). Если же F' @)>Мг,
то либо эта система не соответствует единственной функции, либо, если
она определяет однозначно некоторую функцию, то эта функция должна
иметь вид F' (х) + С, где С>0, и тогда интеграл от нее, взятый в пре-
пределах от — оо до 0, был бы равен бесконечности.
Отсюда выводим
Следствие ,1. Если система начальных значений F @), F' @), ...
. . . , F^@), . .. удовлетворяет неравенствам
(F @), F" @),..., FW @)) > 0, (F @), ..., FW+D @)) > 0, A8')
то всегда существует одно и только одно число б<;1, для которого
система F @), QF' @),..., F^ @), ... является регулярной по крайней
мере первого порядка2.
Применяя это рассуждение к высшим производным, мы получим
следующее предложение, которое содержит теорему Н как частный
случай:
Теорема Н'. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы система начальных значений F @), F'@), ..., F^n)@), ... была
регулярной по крайней мере порядка р^>0, является равенство
р(р) @) = М&\ где М&> есть нижняя граница (конечная в силу условий
A8)) чисел X, для которых
Ah> v (X) = (X, F№) @), ..., F(v+W @)) > 0. D0)
Другими словами, при сколь угодно малом г>0 мы должны иметь
для достаточно больших h
- г, №+2) @), . .., F(v+2h) @)) < 0. D0')
1 Мы предполагаем, как всегда, что условия A8) выполнены, так что обеспече-
обеспечено существование по крайней мере одной абсолютно монотонной функции.
2 Таким образом, условия A8) (или условия абсолютной монотонности) являются
условиями квазианалитичности (в общем смысле) совершенно другого типа, чем
условия Карлемана, так как до того момента, пока в результате соответствующего
изменения F' @) (или F @)) функция F (х) не становится полностью определенной
своими начальными значениями, эти условия не налагают никакого ограничения
на рост последовательных производных.
392
Отсюда вытекает
Следствие 2. Для того чтобы система начальных значений
F @), F' @), ..., F(n)@), ... была регулярна по крайней мере порядка
необходимо и достаточно, чтобы отношение
(F{v) @), F(v+2) @), . . . , F{r)+2h) @))
монотонно убывающее вместе с -,-, стремилось к 0.
Таким образом, всегда возможно, при выполнении условий A8)?
изменить значения первых р производных так, чтобы полученная система
начальных значений была регулярна по крайней мере порядка
Глава II
НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИЙ, АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ
НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ
§ 8. Главные многочлены. Для упрощения записи мы будем в даль-
дальнейшем считать, если противное не оговорено, что рассматривается от-
отрезок [0, 1]. В случае произвольного отрезка соответствующие изме-
изменения в формулировках теорем могут быть произведены без труда.
Пусть
/2п (х) = (Аг + Вхх) xVl + (А, + В2х) xv* + . . . + (Ап + Впх) xv- D1)
— многочлен с неотрицательными коэффициентами, в котором целочис-
целочисленные показатели также неотрицательны и удовлетворяют неравенствам
pi+i — pi^>l\ предположим, далее, что ни один двучлен в скобках не
равен тождественно нулю. Любой многочлен с положительными коэффи-
коэффициентами может быть представлен в виде D1) или в виде
/2n+i (х) - Ао + (А[ + В\ х) xv\ + (Ar2 + Br2x)xv2 + ...
х
... + (Arn + B'nx) xv'n = A0 + \ /2n (x) dx, D1')
о
где p'i^>0, p'i+i — pi^>l, 40>0и где ни один из двучленов не равен
тождественно нулю.
Так как многочлены видов D1) и DГ) играют в дальнейшем важную
роль, представляется удобным назвать их главными многочленами чет-
четного порядка 2п или нечетного порядка 2п -\- 1, в зависимости от тогог
могут ли они быть представлены в виде D1) или DГ)г.
Для определения порядка многочлена нужно, начиная с высшей сте-
степени, группировать его члены по два- Так, например, 1 + х — многочлен
второго порядка, а 1 -f- x* — третьего порядка.
1 Порядок многочлена, предетавимого в обоих видах, будем считать равным
наименьшему из двух получающихся чисел.
393
В том случае, когда один из двучленов (или свободный член) в /2n+i (я)
исчезает, мы будем говорить, что соответствующий главный многочлен
(порядок которого при этом понижается) вырождается.
Сделаем несколько очевидных замечаний.
1. Многочлен с неотрицательными коэффициентами без свободного
члена имеет всегда четный порядок.
2. Если многочлен с положительными коэффициентами не имеет про-
пропусков (причем отсутствие свободного члена тоже должно рассматривать
как пропуск), то он остается абсолютно монотонным в некотором интер-
интервале слева от начала; этим свойством обладают только многочлены
указанного типа.
3. В том случае, когда многочлен не имеет пропусков, его порядок
на единицу превышает его степень; таким образом, для того, чтобы
многочлен мог оставаться абсолютно монотонным слева от начала, необхо-
необходимо, чтобы его порядок превышал его степень.
4. Число отличных от нуля членов главного многочлена не может
превосходить его порядок и не может быть меньше половины этого
числа.
Главные многочлены обладают следующим свойством.
Теорема F'. Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная при
Ь^>х^>0, и fm(x) — некоторый главный многочлен порядка т.
Если уравнение
P(x)-fm(x) = 0 D2)
имеет боле1 т положительных корней, то F (x)^ fm(x). Если число
корней а1 ^> а2 ^> . . . ^> ас ^> 0, взятое с учетом их кратности, равно т,
то
для аг>х>аш: (- ф [F (х) - fm(x)} >0, \ D3)
для ак > х > 0: (- 1)" [F (х) - fm (х)] > 0, J
где Xi обозначает сумму кратностей корней !> а^
По предположению, для достаточно малых х^>0 мы имеем разложе-
разложение с неотрицательными коэффициентами
Т+ //У1\ П - I /> 'У1 I I р rpTi I
х \**-'/ ^0 \~ \ I • • • —| t- Yl Ж ~\ • • •
Покажем, что коэффициенты в разложении
P{x) = F{x)-fm(x)
дают не более m перемен знака. Действительно, отрицательными могут
быть только те коэффициенты, которые происходят от членов, содержа-
содержащихся в fm(x). Ясно, что число перемен знака не может уменьшаться,
если мы допустим, что каждая пара членов вида
394
отделена от предыдущей и от последующей такой пары существенно по-
положительными членами. Таким образом, каковы бы ни были знаки
коэффициентов п{ и bi, каждая пара не может дать более двух перемен
знака; что касается свободного члена, то он не может дать более одной
перемены знака, так как ему не предшествует ни один член.
Таким образом, ни в одном случае число перемен знака не может
превысить порядка т, и для того, чтобы это значение достигалось, не-
необходимо, чтобы степень F (х) была не меньше степени fm(x), а в том
случае, когда эти степени совпадают, чтобы старший коэффициент F (х)
превышал старший коэффициент fm(x).
По теореме Декарта, уравнение Р (х) = F (х) — fm (x) = 0 не может,
следовательно, иметь более т положительных корней без того, чтобы
Р (х) не было тождественным нулем. Более того, если число корней
равно т, то Р (х) сохраняет знак для х^>а±, причем этот знак, по
сделанному выше замечанию, для достаточно больших х положителен.
Таким образом, все неравенства D3) доказаны.
Следствие 1. Если F (х) также является главным многочленом
порядка, не превышающего т, то уравнение D2) имеет не более т — 1
положительных корней.
В дальнейшем мы будем изучать только наиболее важный случай,
в котором все точки а^ совпадают, но тот же метод вполне применим
к другим случаям я, в частности, основная теорема существования главных
многочленов (следующий параграф) остается в силе и доказывается ана-
аналогично.
Для большей ясности представляется, таким образом, важным фор-
формулировать следующее непосредственное следствие доказанной теоремы
в случае совпадения корней:
Следствие 2. Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная на
интервале [0,1]. Если главный многочлен fm{x), порядка не выше т,
принимает вместе со своими первыми т — 1 производными в точке х = 1
те же значения F A), ..., jF(m-1) A), что и F (х), то
для х > 1: /то (х) < /m+l (x) < F (х), D4)
а для 0 < х < 1: /2, (х) < F (я) < f2h+i (x), D4')
каковы бы ни были т и h. Все неравенства превращаются в тождества,
если знак равенства имеет место хотя бы для одного значения х.
Мы будем называть главные многочлены, фигурирующие в формули-
формулировке этого следствия, главными многочленами, присоединенными к функ-
функции F (х).
§ 9. Существование главных многочленов, присоединенных к функ-
функции F(x), абсолютно монотонной на отрезке [0,1]. Если мы имеем
многочлен с положительными коэффициентами, нам достаточно определить
его порядок для того, чтобы указать бесконечное множество экстремальных
задач, решением которых он является. Так, среди всех функций, абсо-
абсолютно монотонных при х^>0, функция /2 (х) = х + х2 является для всех
395
значений х>0 наименьшей функцией, которая принимает в точке x = i
со своей производной соответственно значения 2 и 3; эта же функция
г- / Л
является наибольшей в интервале ь, 1 и наименьшей вне этого
интервала среди всех функций, которые принимают на концах этого
интервала значения -^ и 2. Эта функция является, далее, единственной
абсолютно монотонной (для х ^> 0) функцией, которая удовлетворяет сразу
всем трем условиям, так как из теоремы F' мы можем, очевидно, заклю-
заключить, что каждый главный многочлен порядка т может быть определен
как единственная абсолютно монотонная функция, удовлетворяющая
т -\- 1 условиям, которые выполняются этим многочленом.
Мы можем утверждать, что имеет место следующий общий факт: вся-
всякий раз, когда существует абсолютно монотонная функция, которая
удовлетворяет указанным условиям, существует также некоторый
главный многочлен, удовлетворяющий тем же условиям, порядка, не пре-
превышающего числа этих условий', если же порядок меньше числа условий,
то этот главный многочлен является единственной абсолютно монотон-
монотонной функцией, удовлетворяющей данным условиям.
Для определенности ограничимся доказательством следующего пред-
предложения:
Основная теорема. Если F (х) — функция, абсолютно монотонная
в интервале [0, 1] и обладающая в точке х = 1 конечными производными
до порядка т — 1 включительно^ то всегда существует единственный глав-
главный многочлен fm(x) порядка, не превышающего т, присоединенный к F (х).
(Согласно определению, /то A) = F A), .. . , №~1} A) = F(m-{) A).)
Начнем с того, что покажем, как можно всегда построить многочлен
Ф (х) = Ъ^ + .. . + bmxQrn
с неотрицательными коэффициентами, содержащий не более т членов^
для которого
ф A) = F A)? ..., Ф(™~1} A) - F^m~{) A). D5>
Если функция F (х) сама имеет не более т членов, то она и является
решением задачи. Итак, допустим, что
F{x) = co + c1x+ ...+ ckxs + ...
содержит более т членов. Мы можем из первых, отличных от нуля т
членов образовать многочлен Ф1 (х) и положить
Заметим, что функция R (х) и ее первые т — 1 производных имеют
конечные значения в точке х = 1. Мы можем, таким образом, получить т
положительных коэффициентов в Фх (х) из т линейных уравнений
Ф!A) = ^A)-ДA), <Di(l) = F'(l)-#(l),...
..., Ф(Г-« A) = F(m-1> A) - R(m-* A). { >
396
Если мы затем заменим R (х) на R{kx), где Х<1, то R(kx) будет
иметь не только т~1, но и все свои производные ограниченными. Сле-
Следовательно, при X, достаточно близком к единице, система
ФЛ A) = F A) - R (X), Ф'х A) = F' A) - Хй' (X),.. .
. . . , ф^) A) = /г(™-0 A) _ >^-1 д(^-1) (X)
также дает т положительных значений для коэффициентов функции
Фл(^). Задача будет разрешена, если при убывании X к нулю мы
никогда не получим для коэффициентов значения нуль. [Фо (х) удовле-
удовлетворит тогда требованиям D5).]
Допустим, напротив, что при X = Хх <^ 1 некоторые из коэффициентов
обращаются в нуль. Перенесем тогда в ФЛ1 (х) столько членов из RQ^x),
сколько окажется необходимым для того, чтобы восстановить в ФЛ1 (х)
т отличных от нуля членов (если F A) = оо, мы добавим в левую часть
одним членом больше). Изменив таким образом ФЛ (х) и RQ.x), мы можем
написать, не вводя новых обозначений, т уравнений
фЛхA) = F A) - R (Хх), . .., Ф^-1} A) = F(m~l) A) - ХГ1 Д(те-1} (Хх),
к которым мы добавим, если F(m) A) = -j- оо, уравнение
Итак, т (или т + 1) положительных коэффициентов могут рассмат-
рассматриваться как решения этой новой системы т (или т -\- 1) линейных
уравнений. Затем мы вновь уменьшаем X, если это возможно, до нуля,
а в противном случае до значения Х2, которое приводит к нулевому зна-
значению для некоторых коэффициентов в Фл(^). В первом случае рассуж-
рассуждение закончено, во втором оно продолжается аналогичным образом. Таким
образом, мы либо придем через конечное число шагов к многочлену,
содержащему т (или т + 1) членов, удовлетворяющему уравнениям D5),
либо наше построение не будет иметь конца. (В том случае, когда мы
получим многочлен сгл + 1 членом, можно будет к нему применить рассуж-
рассуждение, соответствующее функциям с конечной производной порядка т и
таким образом освободиться одним преобразованием от излишнего члена.^
Но если наше построение не приведет к цели после конечного числа
шагов, соответствующих убывающей последовательности чисел Хх, Х2, ...,
то мы будем иметь для Х$ с достаточно большим индексом
| Фч A) - F A) |<е, | Ф^ A) - F(x)(l) |<е для
как бы ни было мало заданное г, и, кроме того, Ф^ (I) <^МУ где М во
всех случаях является конечным числом, не зависящим от X.
Так как функции Ф^ (х) абсолютно монотонны и имеют на отрезке [0, 1]
ограниченные производные первых т порядков, то из них можно выбрать
бесконечную последовательность, которая будет вместе со своими т — 1
397
первыми производными равномерно сходиться к некоторой абсолютно
монотонной функции Ф (х) и ее производным, причем мы будем иметь
ф A) = F A),. .., Ф(т-1} A) = F{m~X) A). D5)
Остается установить, что Ф (х) не может содержать больше членов.,
чем Фхг(х), т. е. т (или т+ 1).
Для этого заметим, что разность
Ф (х) -Фч(х) = а0 + ... + а*х* + . ..
является рядом Тэйлора, сходящимся для ж^ 1, коэффициенты которого
дают не более 2т (или 2т + 2) перемен знака. Поэтому можно указать
такое числог jak ^> 0, что в интервале [0, 1] существуют значения х, для
которых
| Ф (х) - Фх. (х) | > цхах.
Следовательно, если существует бесконечное множество индексов lir
для которых ФХ{ (х) не содержит члена хх, то мы получим при любом г
РхЯх < ?> D6)
где ах обозначает коэффициент при х* в Ф (х), который таким образом
оказывается равным нулю. Поэтому Ф (х) фактически содержит только те
степени хх, которые для достаточно больших i встречаются во всех функ-
функциях Фх|(х), и их число, следовательно, не может превосходить т (или
т + 1).
Итак, общая задача построения главного многочлена порядка т, при-
присоединенного к произвольной абсолютно монотонной функции, сводится
к случаю, когда эта последняя представляет собой многочлен F (х), содержа-
содержащий не более т положительных членов.
Допустим сначала, что т четно, т = 2п. Пусть
F (х) = [З^1 + . . . + C2п^2п,
где 0 < qx < q2 < . . . < q2n и р4 > 0 для i < 2/г, р2п > 0, причем число
коэффициентов, отличных от нуля, больше п. Кроме того, так как, по
условию, порядок F (х) больше т, то <72п ^> 2/г.
1 См. по этому поводу мою книгу «L. S.», стр. 36 (или «Э. П.», стр. 63). По
теореме, которая там доказана,
и аналогичные рассуждения позволяют указать нижнюю границу для ^к, при лю-
любом х, которая оказывается порядка —^Г •
398
Условия при х = 1 приводятся теперь к следующим 2п уравнениям:
Pi + h + ¦ • • + Pa» = F A),
D7)
gt fo, - 1). . . (?1 - 2n + 2) p, + . . .
• • • + ?2n (?2„ -!)••• (?2n - 2« + 2) P2n =
Полагая, согласно формулам D),
A).
Лп—\
In x)
2n~l
x=l
получим следующую эквивалентную систему линейных уравнении:
Pi + ... + hn = NQ9
D8)
/2n-1
i "Г • • • "Г Ч2п Г2п
—10 —
2n-l'
которая при данных qi однозначно определяет решения ^ ^> 0, где ^2п > О,
и еще по крайней мере п — 1 значений ^ с низшими индексами тоже
отличны от нуля.
Оставляя неизменными правые части и все показатели q{ кроме q2nT
будем этот последний непрерывно уменьшать. Тогда переменные (^ будут
непрерывно изменяться, и для определения производных
новую линейную «систему
дЯ2п + • • ' + дд2п - U'
получаем
П
Г1
+ • • • +
Ш =
Покажем, что при условии fan > 0 мы имеем
В самом деле, положим
I 1 1
.1
Чп
*2п—1
399
qln-X
i-i
n~i n2n-i
так что Д7{ (qj = Д и Дд,. (gx) = 0 для i ^ х.
Кроме того,
1 .... О 1 .
(g)
dq
/f-1 . . . B/г - l)gr2n-
В этих обозначениях мы имеем
D9)
Но для i<^2n наибощ>ший корень уравнения AQi (g) = 0 равен q2n;
^
совпадает со знаком
следовательно, знак производной
когда #
отрицателен для нечетного г, т. е., как мы и утверждали
2п' этот знак' таким образом, положителен для четною i и
E0)
Следовательно, если q2n возрастает, p2n-i» так же как и все ДРУгие
нечетные коэффициенты, возрастает, тогда как коэффициенты с четными
индексами (меньшими 2п) убывают] если q2n убывает, мы имеем обрат-
обратное положение. Так как мы хотим избегнуть отрицательных коэффициен-
коэффициентов, то при возрастании q2n следует остановиться в тот момент, когда
один из четных коэффициентов обратится в нуль, а при убывании q9n —
в тот момент, когда один из нечетных коэффициентов станет нулем. Что
касается фактически отсутствующих членов, которые соответствуют нуле-
нулевым коэффициентам, то их можно по желанию причислять как к четным,
так и к нечетным. Таким образом, уменьшение q2n окажется действи-
действительно невозможным только при следующих условиях: если отсутствует
не более одного члена, причем показатели, соответствующие ненулевым
коэффициентам, группируются в пары (p19pi + 1), (р2> Р* + !)»•• •»
(Pn-v Pn-i ~^ ^)' или если отсутствуют два члена и тогда одна из при-
приведенных выше пар заменяется изолированным членом, и т. д. Следова-
1 Аналогичные неравенства имеют место для частных производных
-?~ (—1)*+г<0, если х>/, и, наоборот, ^—( — 1)х+г>0, если х<г.
400
тельно, функция F (х) является тогда сама главным многочленом порядка
2п. Допустим теперь, что указанное обстоятельство не имеет места, и
будем уменьшать д2п до того момента, когда один из нечетных коэффи-
коэффициентов обратится в нуль, что несомненно наступит раньше, чем обра-
обратится в нуль коэффициент р2п, так как если р2п — 0 для некоторого значе-
значения q2n, то он должен был бы быть нулем с самого начала, как это сле-
следует из уравнений D8) (из системы D8) следует также, что если q2n стре-
стремится к д2п_1, то | Р2п_11 неограниченно возрастает). В этот момент заменим
показатель, соответствующий фиктивному члену, наибольшим целым чис-
числом р<Ся2П1 которое должно быть отделено от q2n нечетным числом
показателей, так чтобы его коэффициент при новом уменьшении q2n стано-
становился положительным. Полагая, что этот перенос возможен, мы продолжим
ту же операцию до тех пор, пока после конечного числа шагов не придем
к определенному значению q2n = а, при Котором указанная замена пока-
показателей невозможна: это произойдет как раз тогда, когда наши показатели
образуют п — 1 групп, рассмотренных выше. Если при этом а окажется
целым числом, то главный многочлен порядка 2п построен.
В противном случае (когда, очевидно, а^>2/г—1) обозначим через о
наибольшее целое число, меньшее а, и так как недостает по крайней
мере одного члена, положим q2n_x = Р и Ч^п = а# Тогда все наши пока-
показатели расположатся в п парах {pv р{ + 1),..., (/V-r Рп—\ + ^)> (Р» °0>
где коэффициенты, соответствующие р.-\- 1, всегда отличны от нуля.
Поэтому, если мы теперь вместо уменьшения д2п = а, что невозможно
(так как коэффициент при хр или по крайней мере при одной из степе-
степеней xVi есть нуль), будем его увеличивать, все коэффициенты станут
положительными; если мы таким образом сможем увеличивать q2n до
значения р + 1, то задача будет решена; в противном случае, один из
членов xVi + i пропадет до этого. В атом случае следует заменить р^+ 1
на рг — 1, а если р. — 1 = рг_Л + 1, то нужно рг + 1 заменить на
рг_2— 1> и т. д.; единственным случаем, когда такое снижение Пока-
Показателей оказалось бы невозможным, является тот, когда /?х = 2х — 2 при
любом х <С i. Остается показать, что функция ср(ж) такого рода7 а именно
с? (х) = А{ + А2х + ... + A2i-ix2i-2 + A2
не может встретиться.
Действительно, рассмотрим разность F (х) — ср (х) и вычислим наиболь-
наибольшее число перемен знака, которое могут дать ее коэффициенты. Это число
не уменьшится от того, что мы в этой разности вставим положительные
члены между степенями 2i — 2 и Рг+11 между рг, { -f- 1 и pi+2 и т. д.
вплоть до члена между степенями рп_1 + 1 и р и одного последнего,
превосходящего по степени ах. Тогда число перемен знака до первого из
вставленных членов не превосходит 21 — 1, а число перемен между
двумя какими-либо соседними из вставленных членов не превосходит 2.
26 С. И. Бернштейн, т. I 401
Но число этих вставленных членов равно п — i + 1? так что число
интервалов равно п — i, и максимальное число возможных перемен равно
в противоречие с предположением, что уравнение F (х) — ср (х) = 0 имеет
корень х = 1 кратности 2п. Таким образом, после конечного числа
переносов а достигнет значения р —[— 1, и главный многочлен будет по-
построен.
Таким образом, теорема доказана для того случая, когда т = 2п
четно. В случае нечетного т = 2п + 1 построим указанным выше спо-
способом главный многочлен ср2п (х) порядка 2/г, присоединенный к функ-
функции F' (х). Тогда многочлен
х
(?2п{Х)С1Х
о
имеет производные первых 2п порядков, которые в точке х = 1 равны
значениям соответствующих производных функции F (х). Кроме того,
значение
о
1
меньше, чем ^ Fr (x) dx — F A) — F @), в силу того, что с?2п (х) <С^' (#)•
Р
Следовательно, главным многочленом порядка 2п + 1 будет
2п+1 \Х) — Л0
о
где Ло = F {!) — ^4>i^@) ^-0, что и требовалось доказать.
§ 10. Приложение к функциям, абсолютно монотонным вплоть
до —оо. Пусть F (х) — функция, абсолютно монотонная на отрезке
[— с, 0] и .F(O), FT @),..., F{n) @),...— значения, которые она и ее про-
производные принимают в начале. По доказанной теореме существуют
главные многочлены любого порядка
/».,<*>-sh+*r«+?)](•+т)-.
'-',.' ' ' ., E1)
/ (х) — А 4- "У,
i = l
присоединенные к ней. Если мы предположим, что F (х) не является
многочленом (т. е. что F^ @) ^> 0 для всех тг), то эти многочлены отличны
от F (х), и на рассматриваемом отрезке мы имеем неравенства
402
Следовательно, при неограниченном возрастании /г, f2h c (х), возрастая,
стремится к некоторой абсолютно монотонной функции fc(x), a /2^41 c{x)t
убывая, также стремится к некоторой функции срс (х), абсолютно монотон-
монотонной нак отрезке [— с, 0]. Эти две функции /с (х) и срс (х) принимают в
начале вместе со всеми их производными те же значения, что F (х) и ее
производные, и мы имеем на отрезке [— с, 0]
/c(*)<F(a0<<pc(a0. E3)
Кроме того, принимая во внимание построение главных многочленов
нечетного порядка, мы имеем неравенство
*¦»>?»• E3')
Таким образом, имеет место
Теорема G'. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
функция F (х) была единственной абсолютно монотонной на конечном
отрезке [— с, 0] функцией, принимающей вместе со всеми своими произ-
производными в начале соответственно значения F @), F' @), .. ., FW @), ,..,
является равенство
/с(-с) = ?с(-<0. E4)
Необходимость этого условия не нуждается в доказательстве, а его
достаточность следует из замечания, что fc (х) ^ ее/ (х)9 поэтому из E4)
можно заключить, что /с (х) ^> срс (х), откуда, благодаря E3), следует, что
fe(x) = <fe(x) = F(x).
Бесконечно увеличивая с, мы получим новым путем теорему G (§ 7),
так же как и все основные результаты предыдущей главы.
Действительно, допустим, что функция F (х) абсолютно монотонна на
всей отрицательной полуоси, а стало быть, и на любом отрезке [— су 0].
Пусть h — фиксированное число и сг^> с; на отрезке [—с, 0] мы имеем,
очевидно,
1ш, с И < U с (*) </ач-i, с, И < hn и. «(*)•
Следовательно, когда с—>оо, /„А с(х) стремится, возрастая, к некото-
некоторой вполне определенной функции на любом конечном отрезке отрица-
отрицательной полуоси. Таким образом, — -, так же как и А% + В%, должны
с
стремиться к некоторым конечным пределам, и мы имеем
lim/ („.)=/ (я) =: %aie«ix
) = fl0+ 2*i *"*'*. E6)
Из неравенств E2) и E5) мы заключаем, переходя к пределу, что
/^.2 (х) < /2, (х) < /? (х) < /2Л_, (х) < /2Л+1 (ж). E7)
403 26*
Бесконечно увеличивая h; мы вновь находим две предельные функции
/ (х) и ср (х) [C7), глава I] и получаем неравенства
/(*)</? (*)<<? (ж). C8)
Далее, из E5) следует, что
и, стало быть, /с (х) (возрастая) и срс (х) (убывая) стремятся к предельным
функциям, которые должны совпадать соответственно с / (х) и ср (х):
f (х) = lim fc (х), ср (х) = lim ? (ж). E8)
С
С->оо
Как мы уже заметили (§ 3), все эти предельные равенства распро-
распространяются и на производные всех порядков; в частности, неравенство
E3') сводится к неравенству C8), из которого в сочетании с C8) сле-
следует теорема G.
§ 11* Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы суще-
существовала функция F(x), абсолютно монотонная на конечном отрезке
[— 0, 0] и принимающая вместе со своими первыми пг производными
соответственно значения F@), .. *, 2^m)@). Из § 8 и 9 следует
Теорема К. Для того чтобы существовала по крайней мере одна
функция F(x), абсолютно монотонная на отрезке [— с, 0] и принимаю-
принимающая вместе со своими производными первых т — 1 порядков в начале
соответственно значения F (б), Fr @), . .. , F(m~4)@), необходимо и доста-
достаточно, чтобы: если т — 2h -\- 1 нечетно, система т у равнений с 3/г -J- 1
неизвестными
A0 + AL+ вх + ...+ Ah+ Bh = F@),
PiA+ (j*i+1)^ + ...+ phAh+ (ph + l)Bh = cF'@), E9)
9m (Pi) \ + 9m CPl+ !) Bl+ • • ¦ +9m (Ph) \+ ?m\ph+ 1) ^ = C^ Л—D @),
а если m = 2h четно, система т у равнений с 3/г неизвестными
= cFf @), F0)
г®е 9п (Р) = Р (Р ~~ 1) • • • (Р — п + ^)' имела решения /?. > О, А% > О, 5. > О,
причем рг^>0 — целые числа (если система решений существует, то она
единственная).
Как было доказано, определенные таким образом главные многочлены
h
с) = Ао + 2
г=1
404
или
EГ)
удовлетворяющие данным начальным условиям, обладают тем свойством,
что для всех функций F (х), отвечающих тем же начальным условиям,
на отрезке [— с, 0] выполняются неравенства
F (х) < f2h+i (х) и F (х) > f2h (х). E2')
Ниже мы даем общий способ, позволяющий в каждом частном случае
установить, имеют ли системы E9) или F0) решение, и эффективно его
найти. В настоящий момент заметим только, что если решение существует
для некоторого значения сх, то оно существует и для каждого значения
с <^ cv Таким образом, мы имеем одно достаточное условие для суще-
существования решения при любом значении с>0: это — существование
решения при с = ос. Но если с—>оо, то, например, система F0) перехо-
переходит в пределе в систему т = 2h уравнений с 2/г неизвестными
p.
где ai = lim (A{ -{- Вг) и оц = ]im — , и достаточным условием для сущ°-
С->оо С->оо
ствования решения этой системы являются (по теореме А) неравенства
A8')
(F @), F" @), ..., FM @)) > 0, (F' @),..., FW @)) > 0
для любого четного значения *<^2h — 1 и любого нечетного значения
/ <; 2/г — 1 (если один из этих определителей, в котором высшая произ-
производная есть F(n)@), равен нулю, то все определители, содержащие эту
производную, будут также равны нулю).
Но, вообще говоря, существует некоторое Lm>0, обладающее тем
свойством, что система E9) (или F0)) имеет решение для с <^Ьт и не имеет
решения для c^>Lm.
Из неравенств E2') и теоремы К мы выводим
Следствие. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
функция F (х) существовала и была единственной, удовлетворяющей т
данным начальным условиям, является то, чтобы главный многочлен1
fm(x) вырождался в многочлен низшего порядка, т, е. чтобы в решении
системы E9) для нечетного т, мы имели или Ао = 0, или Аг -f- Bi = 0,
или Bi = 0 при рг = 21 — 1 для одного хотя бы значения i, а для четного
т в решении системы F0) мы имели бы рг = 0 и В^ = 0 при рг = 21 — 2
1 Которому и будет равна эта единственная функция Fix).
405
или Ai + Bi = 0 хотя бы для одного значения i. Другими словами, если
те = 2/г + 1, то система т уравнений с 3/г неизвестными
А, + Bt + ... + Ah + Bh = F@),
РхАх + ... + (Ph + l)Bh= cF' @), F1)
Pm {pl)Al +'.'..'+ Pm (ph + 1) Bh = c^ FM @)
должна иметь решение с i{ > 0, 5|>-0 при целых /^>-0; если же
т = 2h, то система m уравнений с 3/г — 2 неизвестными
А, + В, + ... +Л-1+ #/._! = F (%
PlAL + ... + (Р11_{ + 1) Bh_x = CjF' @), F2)
должна иметь приемлемое решение.
Лемма. Если система F1) или F2) не вырождается, то всегда суще-
существует такая функция Ф (х), абсолютно монотонная на [— с, О]4, что
Ф@) = F@), ФС*> @) = F^) @) /гри i<Cm — 1 и ф(т-п @) = Р, г<9е
/>^>^(т-1)@) задано произвольно] напротив, при Р << F(m~4) @) такой
функции Ф (ж) не может быть.
Действительно, пусть, например, т = 2h; по предположению, система
F2) имеет неотрицательные решения и такие, что, кроме того, ^40>>0,
Ai -j- Bi ^> 0 для всех i<^h, причем, асли А — наименьший индекс, для
которого Вк = 0, то рк > 2к ~ 1; ничто не мешает нам предположить,
что Ai ^> 0, так как, если имеется отличный от нуля изолированный
член, его можно с одинаковым успехом рассматривать или как первый или
как второй член некоторой пары; точно так же, при наличии группы,
содержащей нечетное число членов, можно считать, что нулю равен вто-
второй член последней пары. Таким образом, вводя фиктивный член, соот-
соответствующий наименьшему нечетному показателю, не встречающемуся
в нашем главном многочлене, мы вводим новый неизвестный коэффициент
X, который вместе с 2А — 1 величинами AQ, Av Bl9 ... , Bh^i представляет
систему решений 2h линейных уравнений F2). Если оставить неизмен-
неизменными правые части первых 2h — 1 уравнений и непрерывно увеличивать
iA2h-i)(Q), T0 изменения неизвестных будут происходить следующим обра-
образом: коэффициенты В, начальные значения которых могут быть равны
нулю, и X, занимающие четные места, будут возрастать, тогда как Ао,
все Ai и те из В%, индексы которых меньше к, будут убывать; кроме
того, по крайней мере сначала все неизвестные положительны. В некото-
некоторый момент одно или несколько неизвестных, занимающих нечетные
места, могут обратиться в нуль; тогда тот или те прелые показатели,
которые соответствуют исчезнувшим членам, должньг быть передвину-
передвинуты вправо на ближайшие четные места (что можно всегда сделать
единственным образом); так поступая, можно неограниченно продолжать
406
увеличение правой части последнего уравнения системы. Расположение
показателей позволяет нам утверждать, что мы при этом все время будем
иметь невырожденный главный многочлен порядка т. Остается только
показать, что принятая нами операция перемещения исчезающих членов
приведет нас к любому заданному значению P^>F^2h~^@).
Для этой цели вспомним, что, по предыдущему, имеется по крайней
мере одно значение Мо^> F^h~{) @), при котором все 2/г неизвестных
системы принимают положительное значения; следовательно, при доста-
достаточно малом положительном г система, получающаяся из данной изме-
изменением правых частей меньше, чем на е, также будет иметь положи-
положительные решения. Выберем, далее, настолько большое целое положительное
число q, что
е(?_2А + 2)>(Р-Л/о)с2л-«,
и определим коэффициент Е соотношением
тогда мы будем, очевидно, иметь для всех х<^2/г — т
Таким образом, существует абсолютно монотонный многочлен, содер-
содержащий т -f 1 член и удовлетворяющий данным т условиям. Пусть Q (х)
будет его главный многочлен порядка т, степени qo^q] допустим,
с другой стороны, что, продолжая описанный выше процесс, мы придем
к главному многочлену Q1 (x), степени q1^>q^q0. По следствию 1 (§8),
разность Q1{x) — Q (х), имеющая в начале корень кратности т — 1,
не имеет положительных корней; мы имеем поэтому неравенство
*?i (x) ~ Q (х) ^> 0 Для всех положительных значений х, которое показы-
показывает, что @i2h~1) @) > ф'2*1* @) = Р. Следовательно, значение Р должно
было быть достигнуто при помощи нашего процесса еще до того, как
последовательные перемещения показателей привели бы нас к многочлену
степени qx ^> q0.
В том случае, когда т = 2/г + 1, причем система F1) не вырождается,
мы имеем либо /?i^>0, либо, если рг = 0, свободный член принадлежит
к группе, содержащей четное число членов (без пропусков), так что
первый отсутствующий показатель является всегда числом четным (или
нулем), и именно его нужно вначале ввести, когда F(m~1)@) начинает
расти; дальше все происходит, как в приведенном выше рассуждении,
причем исчезающие члены должны быть перемещены вправо на ближай-
ближайшие нечетные места.
Напротив, не может с}ществовать функции Ф (х), абсолютно монотон-
монотонной на отрезке [— с, 0], такой, что Ф(ш-1)@)<;^т~1)@), так как в силу
того, что F (х) является главным многочленом порядка т — 1 для Ф(:г),
мы должны иметь Ф (х) ^> F (х) для х ^> 0.
407
Эта лемма приводит нас, между прочим, к следующему практическому
правилу для решения в каждом частном случае, путем последователь-
последовательного построения соответствующих главных многочленов, вопроса о том,
существует ли функция Ф (х), абсолютно монотонная на отрезке [— с, 0]
и отвечающая начальным условиям F @), Fr @), . .., /7(т-*)@).
Правило. Если значения F @), F' @), ..., F^ @) допустимы, по-
построим невырожденный главный многочлен fnu\(x); найдем fn±\ * @); если
^(О), то значение F(n^4)@) недопустимо; если ^п^1}@) =
то /n-i-i (x) является единственной функцией, отвечающей
условиям F @), .. ., JF(n+1) @), так что производные высших порядков
должны совпадать с соответствующими производными от /п_|_4 (х); если
dF(n+1)(O)>/jT-f"i1)(O), то это значение допустимо, и при помощи описан-
описанного выше построения мы получим невырожденный главный многочлен
fn±2 (#)» который ему соответствует.
Таким образом, эффективное вычисление главных многочленов (при
данном с) сводится к арифметическому алгорифму, по которому все
коэффициенты рационально выражаются через начальные данные. Однако
вследствие этого обстоятельства значительно затрудняется формулировка
необходимых и достаточных условий, аналогичных условиям A8) (кото-
(которые соответствуют с = оо). Мы ясно выявим арифметическую природу этой
последней задачи при рассмотрении случаев т <; 4, когда она может быть
легко решена.
При т = 2 задача всегда разрешима. При т = 3, согласно указан-
указанному правилу, наименьшее допустимое значение F" @) = М получается
из условия, что система
Аг + В, = F @), PxAx + (Pl -И) Вг - cF' @),
Pi (Pi — 1) А + Pi (Pi + 1) ^i = с2М F3)
дает для Аг и Вх неотрицательные значения, причем рг — соответствен-
соответственным образом подобранное целое неотрицательное число. Из первых двух
уравнений мы сразу находим, что
_ cFf @) _ Вг _ Гс7Г'@I
Pl ~~ F @) Аг + Вх "~ [. F @) J '
где [х] обозначает наибольшее целое число, содержащееся в х, и
В, = cF' @) -PlF @); Аг = {1 + Pl) F @) - cF' @);
следовательно, подставляя эти значения в последнее из уравнений F3),
мы легко находим соотношение
F@)M = (F* @) - P^l) (F' @) - A~p;/(Q)) , F4)
где
_ cFr @) \cFf @)
408
P F@)
Для упрощения записи допустим, например, что F @) = F' @) = 1.
При этих данных функция, абсолютно монотонная на [—с, 0], не может
ни для одного значения х > — с стать меньше, чем
где рг — [с]; в данном случае
( iVi^l. F5)
Таким образом, если F" @)^.1, то всегда существует (по A8')) функ-
функция, абсолютно монотонная на всей отрицательной полуоси; но если
F'(O)<1, то функция F (х) не может оставаться абсолютно монотонной
левее некоторой точки -— с, которую можно определить из неравен-
неравенства F5).
Для того чтобы привести соотношение F5) между М и с к более
удобному виду, положим
9=^A-р), где 0<б<1;
тогда Be = pL A — р) = рх A — с + Pi), откуда
_ Pi + 1 _ , 1 — 6 _ 1 — 6
f ~ Pl ТГГё" - *i + />i 77Тё~ - Pl + c ТГТТ ;
следовательно,
и (в силу соотношения F5))
1 с
где
8 =
Следовательно,
и между а и р мы имеем соотношение
Pi (pi + ») V />i + P / ?
которое получается в результате исключения 6 из уравнений
_ 1~~е а — 1 ~^02
Заметим еще, что
409
В случае произвольных F @) и F' @) все формулы остаются в силе,
F' @) ,, MF @)
*если с заменить на с у ' и I-на а к' ; так, например, вместо
F6), мы имеем в общем случае
Г?ЦГ1 Г F>*@) 1 F8)
IF(O) J |_F'2@) — MF@)\' v ;
Следовательно, при фиксированном с и произвольном F
можно всегда построить соответствующую абсолютно монотонную функ-
функцию и, в частности, главный многочлен третьего порядка, определенный
соотношениями
Ао + А, + В, = F @), PlAx + (px + i)B1 = cF @),
Pi (Pi ~ 1) Л + Pi (Pi + 1) #i = c2F" @); F9)
построив этот многочлен, мы можем определить наименьшее значение
F" @) = N из соотношения
Pi (Pi ~ 1) (Pi -2)A1 + (p1 + i) Pl (Pl - 1) Вг = c*N.
Таким образом, е случае т = 4, кроме условия F" @) >> M (где 71/
определено соотношением F4)), мы имеем также следующее необходи-
необходимое и достаточное условие:
F" <°> > N = V(OJ (^ (°) - ^) (^ (°) - 1+=Ц^) , G0)
cF" @) YcF" @) „ r
где рх = ; — . Если оба эти условия удовлетворены, то
всегда можно построить главный многочлен четвертого порядка, прини-
принимающий со своими производными в начале, соответственно, значения
F@), F@), F'@), Fr"@). Пусть, например, F @) = F' @) = F" @) = 1,
з
F'" @) = — . В силу предыдущего такая функция может быть абсолютно
монотонна на любом конечном интервале. Будем искать ее наименьшее
значение в точке х = — у , если она абсолютно монотонна только до
— с = — 2. Мы должны для этого построить главный многочлен чет-
четвертого порядка. Наименьшим допустимым значением Fm @) является
N = —, и оно соответствует главному многочлену третьего порядка
1 2 /' х \3 1
у (#)== — -^ _. М -j- _- . Стало быть, для F"T @) немного большего, чем -^ ,
главный многочлен имеет показатели рг =: 0, рг = 3. Когда же F'" @)
достигает значения 1, эти показатели должны быть заменены на р1=19
Р2 = 4.
При этих показателях коэффициенты остаются положительными, пока
F" @) не достигнет значения -г ', в этот момент коэффициент при четвер-
четвертой степени обратится в нуль, и мы будем иметь многочлен
410
Таким образом, мы должны сделать новое перемещение вправо члена,
обратившегося в нуль; новые показатели р± = 1, р% = 5 остаются в силе,
3 3 i
пока ,Fw@) <;-?-. В частности, для Fm @) = ^- главный многочлен будет
1
для х = — -г;- мы имеем
/4 — тг ) = лп + оо
3,9, 723 24537
2 у "~ 10 ^ 32 ~ 40960 40960 *
тт , / 1 \ 59 v
Принимая во внимание, что /3 о" = "от"» мы ВИДИМ> что все ФУНК~
ции F (х), удовлетворяющие четырем данным начальным условиям, в
точке х = — -- принимают значения, заключенные между этими двумя.
После того, как многочлен /4 (х) известен, вычисляя Д4) @) == ~ ,
находим наименьшее возможное значение F^ ^ @) = -г- ; таким образом,
мы можем, например, положить J^D)@) = 3; образуя многочлен /5 (х) с
показателями p1 = lt р2 = 6 (и, конечно, свободным членом), мы полу-
получим
и т. д.
§ 12. Нахождение верхнего предела L длины отрезка [— с, 0], на
котором функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям,
может быть абсолютно монотонной. Ограничимся попрежнему случаем,
когда в начале заданы т значений: F @), ..., р^т~~1) @), которые мы
предполагаем существенно положительными 1. Рассмотрим сначала пред-
предположение, что с = L является некоторым положительным числом, обла-
обладающим тем свойством, что существуют функции, абсолютно монотонные
на [— L, 0] и удовлетворяющие начальным условиям, но что ни одна
из этих функций не остается абсолютно монотонной для x<^-—L.
Условие того, что L обладает этим свойством, сразу получается из
предыдущих рассмотрений: достаточно, чтобы главный многочлен поряд-
порядка т, относящийся к отрезку [—L, 0], вырождался в многочлен низшего
порядка. Действительно, тогда этот многочлен представляет единствен-
единственную функцию, абсолютно монотонную на этом интервале; далее, степень
главного многочлена, порядка, не превосходящего т — 1 (к которому
1 Очевидно, что если только последняя из этих производных обращается в
нуль, то многочлен
хт-2
Р (х) = F @) + . . . + (m_2)! F(m-2>@)
является единственной функцией, абсолютно монотонной для ж<0, и L равно
абсолютной Ееличине наименьшего по модулю из отрицательных корней уравнений
Р (х) =0, Р1 {х) = 0, . . . , р(т) (х) = 0.
411
сводится эта единственная функция), по предположению, ^ т — 1 и,
стало быть, его разложение по степеням х + L имеет по крайней мере
один нулевой коэффициент, т. е. существует некоторая производная, кс-
торая меняет знак при переход? через точку — L.
Мы покажем, что это условие также необходимо и что, следователь-
следовательно, имеет место
Теорема L. Если существуют функции, удовлетворяющие З2данным
начальным условиям и абсолютно монотонные для х^ — L, то необхо-
необходимым и достаточным условием для того, чтобы ни одна из этих функ-
функций не была абсолютно монотонной для х -{- L <^0, является вырожде-
вырождение соответствующего главного многочлена fm (x) порядка т в многочлен
низшего порядка1', другими словхми, это условие означает, что fm (х) =
= /m-i ix) должно быть единственной функцией, абсолютно монотонной
hi отрезке [—L, 0].
Таким образом, нам остается только доказать, что если fm (х) яв-
является (невырожденным) главным многочленом на отрезке [— с, 0], при-
принимающим в начале вместе со своими первыми т — 1 производными
значения F @), ... , F{m~{) @), то можно также построить главный мно-
многочлен соответствующего порядка и для отрезка [— с — е, 0], где е доста-
достаточно мало.
С этой целью сделаем, в первую очередь, следующее замечание.
Коэффициенты главного многочлена являются непрерывными функциями
от с (для с<^Ь) при условии постоянства показателей; когда один из
коэффициентов обращается в нуль, соответствующий показатель должен
быть, вообще говоря, изменен; это изменение определяется исходя из
того, что при положительности одного из коэффициентов каждой пары
членов его показатель должен оставаться неизменным, так что исчеза-
исчезающий член должен появиться с другой стороны той группы, к которой
он принадлежал.
Примем теперь, что наше предложение справедливо для т— 1; его
справедливость для главных многочленов второго порядка, которые
никогда не вырождаются, очевидна, и L в этом случае бесконечно.
Отбросим на момент последнее условие, относящеэся к Р^т~~{\0), и по-
построим на отрезке [-L, 0] главный многочлен порядка т — 1, который
заведомо не вырождается. Следовательно, в силу нашего предположения^
т — 1 оставшихся условий могут удовлетворяться функциями, абсолютно
монотонными на несколько большем отрезке [—L — а, 0], и главный
многочлен и его коэффициенты непрерывно зависят от а. Таким образом,
значение в начале производной (т — 1)-го порядка от многочлена /m-i,a(#)r
соответствующего отрезку [—L, —а], для достаточно малых а будет
1 В том случае, когда начальными условиями являются т произвольных зна-
значений функции в заданных точках интервала [—L, 0], следует добавить, что этот
вырожденный главный многочлен должен иметь пропуски, так как в этом случае
мы уже не сможем утверждать, что степень многочлена должна быть по меньшей
мере равна иг — 1 (как это имеет место в том случае, когда р^т~{) @)>0).
412
отличаться как угодно мало от f^S^Hfy и> кроме того, многочлен
/т— \,ЛХ) не может вырождаться /для а<^а. Следовательно, главный
многочлен порядка т для интервала [— L — а, 0] также существует,
если
что заведомо имеет место для достаточно малых а, так как по предпо-
предположению
Что и требовалось доказать.
Может случиться, однако, что предел — L, слева от которого все
функции перестают быть абсолютно монотонными, не достигается ни для
одной абсолютно монотонной функции.
Может существовипъ бесконечно много функций, абсолютно моно-
монотонных на интервале [— L + з, 0] при любом сколь угодно малом е,
ни одна из которых не будет абсолютно монотонной на всем отрезке
[—L, 0]. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно,
чтобы главный многочлен /m_i (х), порядка т — 1 относительно интер-
интервала [—L, 0], вырождался и чтобы выполнялось неравенство /?(т-1) @) >
Д1)
Действительно, в этих условиях единственной функцией, принимаю-
принимающей в начале вместе со своими т — 2 производными значения F @), . ..
..., _F(-m~2)@), будет /m__i (х) = /т_2 (х)\ следовательно, ее производная
порядка т — 1 должна быть равна /\^Г^@), и мы не сможем удовле-
удовлетворить всем т начальным условиям, взяв функцию, абсолютно монотон-
монотонную на отрезке [—L, 0]. Но если c<^L и достаточно близко к L, то
многочлен (т — 1)-го порядка /m-i,c(^), который (в силу предыдущей
теоремы) не вырождается, имеет (т — 1)-ю производную, сколь угодно
близкую к /^"^(О); следовательно, по лемме § И, всегда существует
функция, удовлетворяющая всем т условиям, если только выполняется
неравенство Р{т"{) @) > /^!) @).
Для того чтобы в каждом случае практически найти L при данных
F @), . .. , F(m-1)@), надо-найти последовательно значения L3, L4, . . . , Lm,
для которых главные многочлены fs(x),...,fm (x) вырождаются. Если эти
значения существуют, то они необходимо удовлетворяют неравенствам
Во всяком случае, если Lm существует, то L = Lm, и это значение
определяет наибольший отрезок [—L, 0], на котором существует абсо-
абсолютно монотонная функция.
Но может случиться, что после многочлена Д (х), который выро-
вырождается для некоторого значения L\, многочлен /^ (х) не вырождается
ни для какого значения с ^Li; таким образом, он не существует для с = L\
(так же как не существует и значение L^-m); ho тогда главный многочлен
fi+2 ix) тем более не достигает предела Li и, следовательно, по предыду-
предыдущему, он должен вырождаться для некоторого значения
413
можем, таким образом, заключить, что по крайней мере одно из значе-
значений Lm_i или Lm всегда существует; если Lm не существует, то L =
= Lm—u но этот предел не достигается ни одной абсолютно монотон-
монотонно^ функцией, среди которых, однако, имеются такие, которые оста-
остаются абсолютно монотонными на любом отрезке [— L + s, 0], как мало
бы ни было е>0.
Пусть, в частности, т — 4. В этом случае, принимая во внимание
результаты предыдущего параграфа, мы легко приходим к следующему
заключению.
L равно меньшему из двух чисел {которые предполагаются положи-
положительными)
где
И __ F" @) __ „ , « гг __ F@)
Fr*@) — F@)F"@) —Р~т~°> ¦" 1 ~
"a @) — F' @)Ff"
P — vn\i Pi — [ni\i ° — у н у °i — у jf— i
существует ли функция, абсолютйо монотонная на всем отрезке [—L, -О],
или нет, зависит от того, будет ли с^>сг или с<^сг) в том случае,
когда одна из величин Н или Нх отрицательна, нет необходимости
рассматривать соответствующее значение с или сг, и L равно тому из
чисел с или с19 которое положительно.
В частности, L = оо в том случае, когда Н и Нх отрицательны
или бесконечны, по, если Н = оо и Н1<^0, то не существует функции7
абсолютно монотонной на всей отрицательной полуоси (хотя могут суще-
существовать функции, абсолютно монотонные на сколь угодно большом
конечном отрезке).
Так, пусть, например, F @) = F @) = F" @) = 1, Fm @) = i- ; тогда
с — оо, сг = 2. Следовательно, L = 2 и существует единственная функ-
функция
которая абсолютно монотонна на отрезке [— 2, 0].
Пусть, напротив, F @) = у , F @) = F"@) = F"r @) — 1. Тогда мы
имеем L = l, но не существует функции, абсолютно монотонной на от-
отрезке [— 1, 0], так как единственная функция
/(*) A+*J
которая удовлетворяет первым трем начальным условиям, не удовлетво-
удовлетворяет последнему. Но на любом отрезке [— 1 -\~ а, 0] многочлен
414
который не вырождается для а ^> О, имеет в начале равную нулю третью
производную и, следовательно, можно построить функцию, абсолютно
монотонную на отрезке [—1 + а, 0] при любом F" @)^-0. Применяя
указанный выше общий прием построения, мы найдем [35.1], например,
на отрезке — -т- , 0
§ 13. Потенциально монотонные функции. Мы будем говорить, что
функция / (х) потенциально монотонна на отрезке [— с, 0], если / (еу — с);
абсолютно монотонна на всей отрицательной полуоси. Следовательно,
по теореме Е, такая функция может рассматриваться как предел сумм
вида
/ (х) - lim у. Аг (х + с)\ А{ > 0, tti > 0.
n->oo
Связь, существующая между функциями, потенциально монотонными
на интервале [—с, 0], и функциями, абсолютно монотонными на отрица-
отрицательной полуоси, позволяет рассматривать задачи, относящиеся к этим
двум категориям функций, как эквивалентные.
Так, например, условия (8) достаточны для существования потенци-
потенциальной суммы с 2/г неотрицательными параметрами
но они, очевидно, недостаточны для существования главного многочлена
порядка 2/г, удовлетворяющего тем же 2Л условиям. Рассмотрение соот-
соответствующей задачи для потенциально монотонных функций хотя и не
достаточно, но все же может быть полезным для изучения вопросов
относящихся к абсолютно монотонным функциям, которыми мы занима-
занимались в предыдущих параграфах.
Мы можем, например, формулировать следующее необходимое усло-
условие для существования абсолютно монотонной функции, удовлетворяющей
т данным начальным условиям: необходимо, чтобы между двумя лкбы-
ми показателями о^, встречающимися в срт (х), можно было вставить-
целое число.
Действительно, если F (х) — функция, абсолютно монотонная на отрез-
отрезке [—су 0], которая удовлетворяет тем же т условиям, то
P(x) = F(x)-<fm(x)
должно иметь т перемен знака; но это, очевидно, возможно только в
том случае, когда все члены суммы срт (х) отделены друг от друга по
крайней мере одним членом из F (х), а в эту функцию входят только-
целые показатели.
415
Но это условие еще далеко от достаточного.
Здесь уместно заметить, что когда с возрастает, начиная с нуля,
определители F) принимают положительные значения. Наименьшее зна-
значение X, при котором хотя бы один из этих определителей меняет
знак, дает верхнюю грань для значения L, рассмотренного в предыду-
предыдущем параграфе. Когда число т начальных данных неограниченно возра-
возрастает, разность X — L стремится к нулю (по крайней мере в том случае,
когда потенциально монотонная функция единственна). Могут встретиться
другие изолированные значения с = \i > I, при которых определители F)
станут вновь положительными; но в то время как отрезок [— X, 0]
является всегда интервалом абсолютной монотонности, отрезок [— jj., 0]
не может быть более чем интервалом потенциальной монотонности. Так,
у^ i х
например, функция —-, где 0 <С ^ <С 1, абсолютно монотонна на
отрезке [0, Ь] и потенциально монотонна на отрезке [—1, Ь]. Вообще,
в том случае, когда функция F (х), потенциально монотонная на отрезке
[~ с, 0], однозначно определяется бесконечным множеством значе-
значений F @), . . . , F^ @), . . . , удовлетворяющих условиям F), необходимым
и достаточным условием для того, чтобы она была абсолютно моногТюп-
ной, является сохранение неравенств F) при замене с на некоторое
данное число1 ^такое, что с^>^^>~ . Действительно, функция F (х) будет
тогда регулярной для х = — с. По той же причине бесконечное множе-
множество неравенств F) достаточно для абсолютной монотонности F {xj на
отрезке [— с, 0] ив том случае, когда известно, что она аналитична
в начале и ее радиус сходимости превосходит с.
Заметим, наконец, что в том случае, когда число начальных данных
т = 4, \ равно меньшему из чисел
F' @) F @) F" @) F* @)
F'2 @) — F @) F" @) F @) — F' @) Fm @) '
принимая во внимание формулы G1), мы имеем таким образом
> __ Т = Я (Я+1N A-6) F@) Pi (Pi+ 1H1A-6!) F'@)
(p + 6) (p + 02) F' @) ^ И (Pl + 6J (Pl + V) F" @) '
т - F' @) /'
так что к — L<^ р„ (так как в случае конечных к и L мы имеем
F @) F' @) \
F'@) ^F"(O)JU
Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМЕ МОМЕНТОВ
§ 14. Проблема моментов Стильтьеса и абсолютно монотонные функ-
функции. Предшествующее исследование, в особенности в той его части, которая
составляет предмет первой главы, тесно связано с классической проблемой
1 Тогда следует, что неравенства F) будут также выполняться для любого
значения уг < с.
416
моментовг. Однако я не хотел объединять эти два вопроса, желая пока-
показать, что теория абсолютно монотонных функций, изложенная независимо
от теории непрерывных дробей и моментов Стильтьеса, весьма просто при-
приводит к основным результатам теории Стильтьеса. Перейдем теперь к крат-
краткому изложению связи между этими двумя теориями.
Прежде всего, как читатель уже несомненно давно заметил, экспо-
экспоненциальные полиномы вида
1 1
которые определены 2/г (или 2/г + 1) начальными значениями F @), -F'(O), . . .
.. . , FB'l~1) @) (и FW @)), соответствуют подходящим дробям четного и
нечетного порядков непрерывной дроби Стильтьеса, связанной с разло-
разложением (вообще говоря, расходящимся)
причем Ai являются вычетами, а си\ — полюсами этих подходящих
дробей.
Теорема Е (§ 6) означает, что, применяя понятие интеграла Стилъ-
тъеса, можно представЬть любую функцию F (х), абсолютно монотон-
монотонную на отрицательной полуоси, в виде
e'*d'H*), G2)
о
где ф (t) — неубывающая функция.
Действительно, пусть
1
— экспоненциальные полиномы, которые, по условию, при х ^0 равно-
равномерно стремятся к F (х); положим
<М*) = 0 для г<ах,
6ь (t) = Al + А2 + . . . + у М для t = о.г,
tyh(t) = А± + А2 + . . . + Ai для оц < / < ai+1.
1 Задачи, рассмотренные в главе II, соответствуют случаю, когда функция
распределения ф (t) в формуле G2) имеет равноотстоящие точки разрыва, между
которыми она постоянна. Таким образом, применяя терминологию теории вероятно-
вероятностей и обозначая через а^ математическое ожидание хг (т. е. момент порядка I
для х), мы можем вывести из F8) и G0) необходимые и достаточные условия, кото-
которым должны удовлетворять alf д2, а3:
2
й2 #2 Г Й2 ]
«2>«1 -Ь РA — Р); «з> —+ aiPi(l — Pi), гДе P = «i —Ы. Pi = — — L^TJ'
если предполагается, что х принимает целые положительные значения.
27 С. Н. Бернштейн, т. I 417
Как известно, можно выбрать такую бесконечную возрастающую
последовательность индексов h, что фЛ (t) будут сходиться к некоторой
функции ф (t), также неубывающей, во всех точках непрерывности послед-
последней. В этих условиях
равномерно сходится для х^О к f etxdty(t), откуда следует равенство G2).
о
Для #<0 мы имеем право дифференцировать G2), что приводит к
формуле
оо
Fin\x)= J tnetxd<b(t). G3)
Кроме того, при условии, что все производные F^ @) функции F (х)
остаются конечными в начале, мы имеем также
оо
ndb{t), G4)
так что интеграл в правой части равенства G4) должен иметь смысл
для всех п. Достаточно рассмотреть случай п = 1, так как для других
значений п рассуждение может быть почти дословно повторено.
Итак, по предположению, когда х стремится к нулю, пробегая отри-
отрицательные значения, мы все время имеем соотношения
оо
= F' (х) < \ е%~1-Ц {t)<Ff @),
о о
и, тем более,
AT
Jx л
" @),
каково бы ни было заданное N^>0- Так как /jv (#) возрастает вместе
с х << 0, мы можем утверждать существование предела
lim IN (x) = [ td^ (t) < F' @),
а следовательно, и предела \ tdty (t) <; F' @). Отсюда следует равенство
о
G4) при лг = 1.
Нетрудно, далее, убедиться (независимо, впрочем, от нашего преды-
предыдущего заключения) в том, что функция ф (t) в выражении G2) полностью
418
определена (в точках непрерывности) функцией F (х). Для этой цели
можно использовать результат Стильтьеса, что формула
где Ф (z) задана на отрицательной полуоси, однозначно определяет функ-
функцию <]>(?)• Достаточно заметить, что
оо со оо оо
{ F (xz) е-* dx = [ С е*<«*-0 dy (t) dx = [ -^^ = Ф (z). G6)
О 0 0 0
Можно рассуждать и иначе, не применяя формулы G5) Стильтьеса.
Для этой цели заметим, что формула G2) дает аналитическое выра-
выражение для функции F (z) в области х ^ 0 комплексной плоскости
z = х + iy. Хотя это нам в настоящий момент и не понадобится, доба-
добавим, что в силу равномерной сходимости интеграла G3) для х^0т
функция F (z) (регулярная, вообще говоря, для х<С0) имеет, при условии*
что моменты G4) конечны, производные всех порядков на мнимой оси.
Но если tx ^> t0 ^ 0 — две точки непрерывности монотонной функции
Ф (t), то мы имеем
0
\
0 -оо
в силу известного свойства интеграла Дирихле. Следовательно, полагая
оо
Л (У) = у [F (yi) +F(- yi)] = \ cos ty Ц (t), G7)
где функция А (у) вещественной переменной у полностью определена,
мы имеем
О - Ф Со) = \ I Л (у) Sin^~sin^ dy. G8)
—оо
Таким образом, найденные в главе I условия, необходимые и доста-
достаточные для того, чтобы существовала функция, абсолютно монотонная
на отрицательной полуоси и принимающая вместе со своими производ-
производными всех порядков значения F @), F' @), . .. , F(n) @), . .. , и для
того, чтобы эта функция была единственной, эквивалентны, соответствен-
соответственно, условиям разрешимости проблемы моментов G4) и условиям един-
единственности этого решения.
Заметим, что функция Стильтьеса Ф(^), по отношению к которой
функция F (z) является ассоциированной по Борелю, также абсолютно мо-
монотонна на отрицательной полуоси. Очевидно, однако, что любая абсо-
абсолютно монотонная функция не обязана быть представимой в виде G5)у
так как для этого как раз необходимо и достаточно, чтобы функция,
419 27*
ассоциированная с ней, была также абсолютно монотонна на отрицатель-
отрицательной полуоси. Принимая формулу G8), мы можем, кроме того, определить
функцию фх (t) такую, что
оо
Ф(*) = $в" <%(*)> G9)
О
если Ф (z) задается формулой G5). В этом случае формула G7) прини-
принимает вид
откуда
<M'i)~
О —оо
С другой стороны, можно построить абсолютно монотонную функцию
Ф1^)> которая имеет в качестве ассоциированной функцию Ф (z) и по-
последовательные производные которой принимают в начале значения
F^n) @) (ft!J; такой функцией будет
оо оо оо
? (#z) е~х ах =~ х х Y w
0 0
Применяя это же построение к функции Фх(г) и т. д., мы получим
абсолютно монотонные функции Фр (z), производные которых в начале
принимают значения Fw @) (nl)p+i.
§ 15. Общая проблема моментов и экспоненциально выпуклые
функции. Мы будем говорить, что функция F (х) экспоненциально выпук-
выпукла в интервале [—6, а], где 6 !> 0, а ^ 0, если она удовлетворяет усло-
условиям C3) § 6, каковы бы ни были 8^0 и целое число х, если только
точки 2хо, Bх-|-1)8 не выходят за пределы рассматриваемого интервала.
Предполагая, что F @)>0, можно без труда вывести, что
A2F @) = F B8) - 2F (8) + F @) > 0
и вообще (81)
д2к F @) = F Bx8) - 2xF (Bх - 1) 8) + ... + F @) > 0.
Чтобы это показать, достаточно убедиться в том, что, вследствие C3),
квадратичная форма
1=0 m=0
положительна, каковы бы ни были значения вещественных переменных
х0У #!,..., av, но, полагаяхо= 1ухг = — х,..., хх = (— 1IС1КУ . . . , хк =( —1)х,
ч замечая, что
У,
420
каково бы ни было п <; 2х, мы видим, что квадратичная форма Р полу-
получает значение A2*F@). Те же неравенства будут, очевидно, иметь место
и для A2*F (Л8), вместо A2*F @), где h — произвольное целое число (при
условии, что мы не выйдем из интервала [— Ь, а])] отсюда мы заключаем гг
что функция F (х) неограниченно дифференцируема и даже регулярна
внутри рассматриваемого интервала, причем во всех его точках
FBx) (х) > 0. (82)
После того как существование производных установлено, из нера-
неравенств C3) можно сразу вывести, устремляя 8 к нулю, что если F (х) экс-
экспоненциально выпукла в интервале [—Ь, а], где Ь>0, а^>0, то мы
должны иметь
F"@), ... , FB*> @)) > 0, (83)
каково бы ни было х.
В том случае, когда одно из чисел b или а равно нулю, функция
F (х) может не иметь конечных производных в начале, но если они
существуют, то они должны, очевидно, удовлетворять неравенствам (83) 2.
Здесь уместно указать на то, что экспоненциально выпуклые функции
принадлежат, по предыдущему, к более широкому классу функций,
четные производные которых неотрицательны в данном интервале; такие
функции можно поэтому также называть абсолютно выпуклыми функ-
функциями. Но нам нет необходимости заниматься более общим классом
абсолютно выпуклых функций. Возвращаясь к экспоненциально выпук
лым функциям, докажем следующую теорему.
Теорема М. Всякая функция F (х), экспоненциально выпуклая на
отрезке [0, с], является пределом экспоненциальных полиномов
h
Ы (х) = S AiW*
i=l
(где Ai^>0 и аг — вещественные числа), которые равномерно сходятся к
F (х) для всех тех вещественных значений х, для которых F (х) регу-
регулярна (включая концы этого отрезка, если F (х) в них конечна).
Доказательство основывается на том же процессе интерполяции, ко->
торый мы применяли при доказательстве теоремы Е первой главы.
Действительно, построим экспоненциальный полином
h
/глИ= 2 Агеч*,
г=1
тл / \ А С BА 1) С
который совпадает с г (х) в точках 0, —, .. . , *— .
1 См. [26], глава IV.
2 Легко проверить, что если знак равенства имеет место для какого-нибудь
значения х, то он будет иметь место и для всех больших значений, причем F (х)
сведется к экспоненциальному полиному.
421
Полагая e 2h = X{, мы должны решить систему
А^А^ + ... + Ah^F @),
¦*А1'ч ч • • • ч ^^п'^п — ¦» i 2д
Как и в указанном месте, замечаем, что эта система однозначно опре-
определяет значения -4|>0, Х^^> 0. Мы лишь не можем, конечно, применить
теперь следствие 2 § 5 для нахождения верхнего предела Х$; поэтому оц
могут, вообще говоря, принимать любые вещественные значения. Функция
f2h (%)> будучи также экспоненциально выпуклой, имеет не более одного
минимума в промежутке [0, с] и стремится здесь равномерно к F {х).
Таким образом, по соображениям, приведенным в начале настоящей
главы, F (х) можно представить в интервале [0, с] в виде
F(x)= J е*Щ (t), (85)
—оо
где ф (t) — некоторая неубывающая функция, — ос <^ t <^ оо. Другими
словами,
F(x)=f(x)+fl(-x),
где (86)
причем первая из этих функций абсолютно монотонна от — оо до неко-
некоторого с ^> 0, а вторая от — оо по крайней мере до 0. Предположим для
определенности, что ^о^О и F (х) регулярна на отрезке [х0, 0]. Тогда
f(x) также регулярна в этом интервале, и то же самое можно утверждать
относительно
следовательно, так как абсолютно монотонная функция fi(x), по предыду-
предыдущему, однозначно представима в виде G2), соответствующий интеграл,
представляющий /1(х), имеет смысл вплоть до х =— х0. Применяя то же
рассуждение для хо^>с, мы заключаем, что представления (86) и (85) спра-
справедливы во всем интервале аналитичности F(x), что и требовалось до-
доказать Ч
Следствие. Если функция F (х) экспоненциально выпукла в сколь
угодно малом интервале, то она экспоненциально выпукла и во всяком
интервале вещественной оси, в котором она регулярна; кроме того, F(z)
регулярна во всей полосе комплексной плоскости, заключенной между
1 Можно прийти к тому же заключению, применяя рассуждения, приведенные
на стр. 385—386.
422
перпендикулярами, восставленными в концах этого последнего интер-
интервала.
Это следствие может быть дополнено следующим образом: если радиус
сходимости разложения
F(x)=F@) + F' @)х+ ... + F(n)@) -^ + ... (87)
равен R и если для любого х имеем
(F@), F"@), ... , i?Bx)@))>0, (83)
то функция F (х) экспоненциально выпукла внутри интервала^ одним
концом которого является +Л, а другим ни 6, где b ^ R ^> 0.
Для краткости мы не останавливаемся на прямом доказательстве этого
предложения, которое вытекает из следующей более общей теоремы:
Теорема N. Если F @), F' @), .. . , F^n) @),... удовлетворяют не-
неравенствам (83) при любом х, то существует по крайней мере одна
функция F (z), отвечающая этим начальным данным, которая имеет
конечные производные всех порядков на мнимой оси.
Действительно, система
Ax + A2+... + Ah = F @),
имеет решения, где А* > 0 и ах — вещественные числа. Следовательно,
экспоненциальный полином
х=1
удовлетворяет 2/г начальным условиям f2h /0) = F @), . . ., /^-1) @) =
== F(-2h~i\0)\ кроме того, на мнимой оси для z = yi> мы имеем
h h
fih (yi) = 2 -4* cos а*У + г<Е^ sin а*У = ры (У) + iQzh (y), (88)
где ?2h (у) и Q2h (у) удовлетворяют для всех вещественных значений у
следующим неравенствам:
\Qzb(y)\<F@),
Следовательно1, выбирая возрастающую последовательность индексов h
1 Для ж^0 мы имеем f2h(х) ¦< /2^+2(х)» следовательно, /^ (ж) неограниченно
возрастает при ж = #0 или же стремится к функции, экспоненциально выпуклой на
всем отрезке [0, х0]. Радиус сходимости R ряда (87), таким образом, определен
тем свойством, что, если | х0 \ < R, мы всегда можем найти такое число L, что
(± x0) <CL и что это невозможно, если | х0 \ > R.
423
так, чтобы выполнялись соотношения
lim P2h (у) = Р (у), lim Р® (у) = Р'п) (у),
Hm Q2h (у) = Q (у), lim Q$> (у) = <?(n) (у), ( )
h—>oo /i—>oo
мы построим функцию F (z), которая для любого значения z = yi будет
равна
F(yi) = P(y) + iQ(y) (91)
и будет удовлетворять данным начальным условиям. Что и требовалось
доказать.
Принимая во внимание, что (для четного п)
\F{n)(y)\<F{n)@),
можно, между прочим, утверждать, что функция F (z), существование ко-
которой было доказано, единственна не только в том случае, когда ряд (87)
имеет радиус сходимости R >> 0 и представляет, следовательно, экспо-
экспоненциально выпуклую функцию вещественной переменной х, но и в том
когда выполняется условие квазианалитичности Карлемана
ОС.
Применяя интеграл Стильтьеса, мы можем во всех случаях предста-
представить Р (у) и Q (у) в виде
Р (у) = \ cos ty d^ (t), Q{y) — \ sin
—CO
и мы имеем представление
F(z)= \ е*Щ (t), (92)
которое пригодно во всяком случае для z^=yi.
Как в § 14, можно проверить, что если функция F (z) задана на мнимой
оси, то тем самым неубывающая функция <Ь (t) однозначно определяется
во всех точках непрерывности). В самом деле, пусть tL^>tQ—две
точки непрерывности; тогда
М оо
— _L С С
(93)
cos ty (sin tty - sin toy) + sin ty (cos toy — cos tty)
-L —оо
424
каковы бы ни были M^>t^ и — L<^tQ. При стремлении L и М к бес-
бесконечности интеграл сохраняет смысл, потому что имеет смысл интеграл
оо со со
JL [ [ cos ty(sin tlV - sin toy) d, , v ^ J_ С -P (У) (sin hy — sin toy) ,
— CO —CO —CO
который равен
ИЛИ
в зависимости от того, положительно ли ?0 или отрицательно. Анало-
Аналогично заключаем, что интеграл
J__ С [ sin ty(cos toy - cos tiy) ^ . v ^ J_ f Q (yXcostpy — cos^y) ,
—со —со —со
также им&ет смысл. Следовательно,
со
<b (О — Ф (О = — ^ р (у) (sin ?1У ~ sin г°У] + <?(У) (cos ?о^ —cos *1У) dy. (94)
—со
со
Итак, замечая, что по предыдущему F{n) @) = j ^nrf'!> (^), мы получаем
—со
следующий важный результат Карлемана:
Общая проблема моментов имеет единственное решение, если
Отсюда, по Карлеману, легко вывести следующее предложение^
относящееся к проблеме моментов Стильтьеса:
Для того, чтобы проблема моментов Стильтьеса имела единствен-
единственное решение, достаточно, чтобы ряд 2 2п расходился. Это пред-
У>(п)@)
ложение эквивалентно следующему:
Пусть /@), ... ,/(п) @), ... удовлетворяют неравенствам A8); тогда
расходимость ряда ^j%^ достаточна для того, чтобы существо-
вала единственная функция f (x), абсолютно монотонная на отрицатель-
отрицательной полуоси и отвечающая этим начальным условиям. (Система на-
начальных значений в этом случае вполне регулярна.)
36
О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ*
1. Пусть р (х) — некоторая непрерывная функция на отрезке [—1, +1],
удовлетворяющая условию
\<p(x)<L, A)
где X и L — положительные постоянные. Обозначим через Ер асимптотиче-
асимптотическое значение (при п -> оо) наименьшего уклонения произведения вида
р (х) (хп + с, x«-i + ... + сп) B)
на отрезке [—1, +!]•
Обозначим через Щ полусумму осей эллипса с фокусами +1, прохо-
проходящего через точку ai(i' = 1, 2, . . ., h), являющуюся корнем многочлена
ph (х) степени /г, стремящегося к р (х) при k->oo. Применяя метод,
указанный в § 6 моей книги «L. S.», находим**, что
C)
Lt
где
F(p)= limPffl Д'"'Дл •
отсюда нетрудно вывести общее соотношение
F (рд) = F (p) F (д), D)
если только q (x) также удовлетворяет условию вида A). Таким образом,
например, F(p) = l, если р (—х) = —г-у , как мною это было показано
в цитированном месте в частном случае, когда р (х) = е%эс.
2. Пусть вообще Ер [/ (х)] есть асимптотическое значение наименьшего
уклонения
p(x)\f(x)-Pn(x)\
* Sur quelques proprietes asymptotiques de la meilleure approximation. «Gomp-
tes rendus», t. 186 A928), стр. 840—842 A27)*.
** В основе формулы C), которая была исходным пунктом всего этого исследо-
исследования, лежит формула A) заметки [13], появившейся в 1913 г. (Автор.)
426
на отрезке [—1, + 1], где Рп(х) — соответствующий многочлен степени п.
Пусть
EP[f(x)] = F(p,f)E\f(x)], E)
где E[f(x)] есть значение Ep[f(x)], когда р(х) = 1.
Комбинируя указанный выше метод с методом § 18 цитированной
книги, находим в случае, когда / (х) есть аналитическая функция, имею-
имеющая единственный вещественный полюс Ъ на своем эллипсе сходимости, что
•»-^ щт^ >@Ь где"' -
" - к+
к
(at имеет здесь то же значение, что и выше). F)
Таким образом, мы получаем такое же функциональное соотношение,
как и выше:
F(pqJ) = F(p,f)F(g,f). G)
Несомненно, это соотношение сохраняется для значительно более широких
классов функций (хотя и не для всех). Так, например, легко показать, что
F(p, (l-x)*) = p(i)
при всяком а ^> 0, так что соотношение G) остается в силе для функции
/(*) = (i-*)«'.
3. Применяя аналогичные соображения при отыскании минимума Aq
интеграла
+1
\R2n(x)q(x)dv, (8)
-1
где q (х) ^ 0 и Rn (х) = хп + с1 хп-{ + .. . + сп — произвольный многочлен
степени п, получаем следующую общую теорему:
Если / ч _ Р2П rqv
причем р(х) удовлетворяет условию A), то многочлен Rn (x)f обращающий в
минимум интеграл (8), дает также асимптотический минимум Ер
произведения B).
Таким образом, многочлены Rn{x), удовлетворяющие условиям орто-
ортогональности
J У 1 X2
1
имеют (с точностью до постоянного множителя) асимптотические выраже-
выражения вида
cos (дгф + ф)
Л*) '
где ср (х) = arc cos х, а ф (х) — некоторая функция, зависящая от p(x)t
причем ф (—1) = ф (+1).
Отсюда можно заключить также, что
где q (х) и р (х) связаны соотношением (9), причем р (х) удовлетворяет
условию A) [36.1].
427
37
О МНОГОЧЛЕНАХ ЯКОБИ * [36.1]
1. Из моей предыдущей заметки следует, что асимптотическое зна-
значение Ер наименьшего уклонения от нуля произведения
/ (х) = р (х) [х" + сг xn-i + .. . + сп], B')
где р (х) = A—шх)9 A + ж)Р1, не может превосходить _1 , так как тожде-
тождество D) упомянутой заметки применимо в случае р (х) = (а — xf (a + х)р\
где а^>1. Однако отсюда нельзя заключить, что
i (И)
при a=i, так как известно, что в некоторых аналогичных задачах
подобный переход к пределу незаконен г. Но в данном случае формула
(И) действительно имеет место,
В самом деле, построим многочлен Якоби
Р <*) = < 1)П 1A Х)~* A + Х)~*В A
A2)
где постоянный множитель выбран так, чтобы коэффициент при хп был
равен 1, и положим а = 2р — — , р = 2рг .
Я утверждаю, что многочлен Якоби A2), будучи подставлен в уравне-
уравнение B'), осуществляет наименьшее уклонение от нуля для больших значе-
значений п, при условии, что
0<Р<|, 0<Р1<1 A3)
Чтобы доказать это, положим и (х) = /2 (х) + ^ [/' (х) ]/1 — х2]2, где
= A - *2) (" + Р + PiJ - х (Pl — р) A — 2р — 2Pl) + р A — 2р) + Pl (I - 2Pl) #
* Sur les polynomes de Jacobi. «Comptes rendus», t. 186 A928;, стр. 1090—1092
A28*).
1 Пример такого рода можно найти на стр. 124 моей книги «L. S.».
428
Можно заметить, что экстремумы /2 (х), которые равны соответствующим
значениям и (х), идут, убывая, от середины отрезка к его концам (при-
(принимая во всяком внутреннем фиксированном промежутке одинаковое
асимптотическое значение).
Покажем, что ни один многочлен, взятый вместо A2), не дает асим-
асимптотически меньшего уклонения. Для определенности рассмотрим случай
р = рг = — , что соответствует многочленам Лежандра. Тогда Мо == 2^
есть уклонение от нуля этого многочлена (совпадающее с асимптотиче-
асимптотическими значениями внутренних экстремумов). Предыдущие формулы при-
приводят теперь к неравенству
где + Мi — величина экстремума / (х) в точке хг. Если допустить, что
другой многочлен, степени л, дает выражению B') абсолютное уклонение
Мо A — а), где а ^> 0 фиксировано, то должен был бы существовать
такой многочлен R(x) степени п — 1, что функция
обладала бы следующим свойством:
если 1 — х\^> ?2> гДе ? — фиксированное произвольно малое число, и,
кроме того,
\<Ъ(х)\<2М0
на всем отрезке [—1, +1]. Но условие, что степень многочлена R (х)
меньше п, влечет за собой равенство
2 '*«"*' -2
что невозможно, так как часть этой суммы, соответствующая точкам х%,
для которых 1— ж2>е2, больше, чем а/4, в то время как каждый из
оставшихся членов, в силу A4), по абсолютному значению меньше
и число этих членов не превышает е/т, где h — произвольно фиксиро-
фиксированное число, не зависящее от п.
В том случае, когда не выполняется по крайней мере одно из условий
A3), многочлены Якоби уже не дают наименьшего уклонения соответ-
соответствующему произведению /(.т), так как ею экстремумы, которые асимпто-
асимптотически равны значению, даваемому формулой (И) во всяком внутреннем
429
интервале, превышают это значение вблизи хотя бы одного из концов.
Можно доказать, что и в этом случае наименьшее уклонение определяется
формулой A1) и существуют многочлены, для которых оно асимптоти-
чески достигается.
2. Рассмотрение выражения (И) сразу показывает, что функциональ-
функциональное соотношение D) моей предыдущей заметки справедливо, если р (х)
и q (х) имеют форму A — х)р A + х)рк Можно показать, что это соотноше-
соотношение также справедливо, если р (х) = t(x) A — х)р A + #)% где t (x) удов-
удовлетворяет условию A) вышеупомянутой заметки,
Формула A0) моей последней заметки допускает значительные обоб-
обобщения. Так, например, полагая
+1
min [ Р (х) их = Bv*, A6)
где f(x) имеет вид B'), получаем
ВР. = ^Е1. A7)
38
О ВОЗРАСТАНИИ МНОГОЧЛЕНОВ*
1. Пусть f(x)—многочлен степени п, монотонный на отрезке [0,1] к
такой, что /@) = 0, f(l) = l; тогда, при а<1, наименьшее возможное
значение / (<xl) асимптотически равно
Отсюда следует, что наибольшее возможное значение / (at) асимптоти-
асимптотически равно
Так, например, при а = — получаются асимптотические неравенства
8/171^2" ^ ±( 1
2. В указанных асимптотических формулах а предполагается постоян-
ным; однако формула A) сохраняется, если допустим, что 1—а=—^ , причем
А будет неограниченно возрастать^ по какому бы то ни было закону
(но с условием, разумеется, что А\п стремится к нулю); тогда полу-
получается новая асимптотическая формула
та = 8пАе~~2А. C)
Формула C) приводит, в частности, к следующему заключению:
Пусть / (х) — многочлен очень высокой степени п такой, что /(—1) =
= /A) = 0, и обладающий единственным максимумом вначале: /@) = 1;
в таком случае асимптотическое значение наименьшего возможного значе-
ния /ф), где C=—, равно 4пВе~~в; отсюда видно, что оно может стре-
* Sur la croissance des polynomes. «Comptes rendus», t. 187 A928), стр. 558—559
A30*).
431
миться к нулю лишь в случае, когда В неограниченно возрастает. Если
бы мы отбросили условие, что максимум в начале — единственный, то
асимптотическое значение минимума наибольшего отклонения при
.— <^ | х | <^ 1 было бы несколько меньшим, а именно 2е~в. Напротив,
ту
многочлен A — х2O1 стремится к нулю лишь при условии | х \ ^> -=?=? .
3. Если многочлен / (z) степени п (/ @)=0) от комплексной переменной z
подчинен требованию max | / (leiQ) | = 1, то функция F (а) = max | f(aleid) \
обладает свойством монотонности и, кроме того, при 0<ja<l удовлетворяет,
как очень легко убедиться, неравенствам
здесь получаются значительно более тесные границы, чем те, которые
даются формулами A) и B) в случае вещественных монотонных много-
многочленов. Это не должно казаться удивительным, так как в первом при-
приближении F (а) сравнима с абсолютно монотонной функцией. При этом
функция
2тт
абсолютно монотонна в точном смысле. В таком случае к ней можно
применять результаты второй главы моего мемуара «Об абсолютно
монотонных функциях» [35]. Так, в частности, если / (z) — произвольная
функция, регулярная в круге |;г|<^.Д, и нам известны значения
<р (р{), . . . , ср (рп), причем R > р4 >>. . . > рп, то всегда существует много-
многочлен Р (z) порядка! п, который определит однозначно некоторый много-
многочлен ср^ (р) при помощи условий срп (рЛ = ? (р^) (г = 1, 2, . .. , /г); кроме
того, мы будем иметь ?п(р)<? (р) при р>р4, <рп(р)>?(р) при р!>р>р2
и т. д., если только сама функция / (z) не есть многочлен порядка
не выше п, в каковом случае имеет место тождество yn(z) = ? (z).
1 Определение порядка (который не следует смешивать со степенью) содержится
в том же мемуаре, стр. 393.
39
О КРАТНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЯХ*
§ 1. Мы называем функцию / (х) кратно монотонной, порядка h + 1
на отрезке [я, Ь], если она имеет на нем производные первых h^>0 по-
порядков и если эти производные и направление изменения производной
порядка h имеют тот же знак, что и / (х).
Для определенности преобразуем отрезок [а, Ь] в [0, 1] и предположим,
что /(i)(x)>0 при 0<г<й.
Допустим, что /A) = 1, /@) = 0, и будем искать максимум М^ про-
производной f® (х) во внутренней точке а промежутка @, 1), предполагая,
что k<^h.
Функцию / (х) можно записать в виде
h X
f (х) = xf@) + ...+ ^ /<"> @) + 1 jj (x - zfdt? (z), A)
hi
о
где /' @) ;> 0, . . . , fh) @) ;> 0 и 6 (я) — произвольная монотонно возрастаю-
возрастающая функция.
Кроме того,
1
/ A) = 1 = /' @) + . . . + ^ fh) @) + 1$ A - г)^-Ь B). B)
о
Итак, нужно определить максимум выражения
/<*> @) + а/4+») @) + . . . + ^^ /W @) + ~-^ J (а - I)""* «/ф (-)
/с») (а) = : _о .
/' @) + /" @) + . . . + у fh) @) + A. j A - г)"# (г)
о
* Sur les fonctions multiplement monotones, «Зап. физ.-мат. В1дд., ВУАН»,
т. 3, вып. 2 A928), стр. 40—47 A26*).
28 с. Н. Бернштейн, т. I 433
Для этого в первую очередь требуется, чтобы
1
J A - z)h ФЬ (z) = О,
ос
т. е. чтобы 6 (z) оставалась постоянной в промежутке (я, 1).
Таким образом, в случае, когда к = h, для того чтобы получить мак-
максимум Mh производной /(/1) (а), нужно взять /' @) = /" @) =. . . = }{П~{\0)=0.
Следовательно, в этом случае
/(Л) @) + \ rf* (=)
о
а это выражение достигнет максимума, если р ' (а) = 0 и ФЪ (z) = 0 при
A-«O1'
Итак, мы получаем
Аналогичные соображения позволяют определить Мк и при к<^/г.
Мы имеем всегда ф (z) = ф (а) ПРИ 2 > а и> кроме того, /' @) = ...
...= /(Л:~1) @) = 0. Таким образом, нужно определить максимум отношения
(a) = : ^ . D)
Так как параметры /(г)@), . . . , /h)@), rf^ B) неотрицательны, то мак-
максимум Мь будет достигаться, если обратим все их в нуль, за исключе-
исключением того, для которого отношение его коэффициента в числителе к коэф-
коэффициенту в знаменателе — наибольшее.
Следовательно, Мк равно наибольшему из чисел
2! -»•••> (h — k)\ ' (Л —Л)!
где т — максимум отношения
в промежутке @, а). Этот последний максимум достигается при
z = 1 - -* A -
434
так что мы получаем
\h-~k
m = -ь -^— == x —^ . E)
В конечном счете
T) d-«)*
Л/* (a) = А! при 0 < a < T4-r ,
ЛГ* (a) = (A + 1)! о при -г^— < a < _=-
F)
Таким образом, если, например, 4=1 и а = —^~—щ , где р — целое
число, а О<0<1, то значение Мг (а) будет дано последним из выра-
выражений F)
; г 4 о
пока
;«. (8)
Это значение il/, будет, таким образом, уменьшаться при возрастании
h от 1 до /? + 1, и при А = /? + 1 будем иметь
Но? при k = p -{- 2, значение Л/г, продолжая убывать, будет однако
оставаться больше, чем соответствующее значение G), и будет определяться t
предпоследним из выражений F)
(Р (9)
Это последнее значение сохранится равным образом и при h > p -f 2,
так как нужно пользоваться тем из выражений F), в котором X— р\
следовательно, при дальнейшем увеличении порядка монотонности /г, Мг
перестает уменьшаться.
§ 2. Пусть теперь Рп (х) — многочлен степени п, кратно монотонный
порядка /г + 1 на [0,1], такой, что Рп A) — Рп @) = 1. Будем искать
435 28*
максимум Nk производной Р^ (х) в точке а. Без ограничения общности
предположим еще, что Рп(\)=1, Рп@) = 0. Тогда
h °i
Рп (х) =хР'п@) + ...+ -^-Р(п} @) + -1- J (ж - z)\? (z) dz,
о
где ср (jz) — неотрицательный многочлен степени п — h — 1, а параметры
Р'п@), . . . , Pffl @) неотрицательны.
Нужно, таким образом, определить максимум Nk выражения
Р @) + • • ¦ + <?=щ рР @) + (AzrjjT $ <а - г)"~* ф <г>dz
j-» . A0)
i i»W @) + . . . + 1 i>(f> @) + ^ j A - z)\ (z) dz
0
Следовательно, если
где k-\-l<Ch, то, учитывая F), немедленно получаем
. «\ A2)
так как очевидно, что iV^ <J M^, а в случае, когда выполняется нера-
неравенство A1), максимум Мк, даваемый формулами F), реализуется много-
многочленом степени к.
Формула A2) непригодна, таким образом, лишь в том случае, когда
а>^А; A3)
тогда Рп (х) принимает вид
h X
h
Рп (х) = ^ Pf> @) + i \ (х - zf ср (z) dz.
о
Следовательно, Nk в этом последнем случае равно наибольшему из
двух чисел
Ы h-Jc h\
а и т
{h - к)\ а и (h -k)\ т*>
где Ш'с — максимум отношения
a
J (*-z)h
J A-5)
0
причем ср (z) — многочлен степени п — h — 1 = /, не отрицательный на [0, 1].
436
Если степень I многочлена ср (z) неограниченно возрастает, можно
сделать ср (z) сколь угодно близким к 1 в окрестности точки z = 1 —
Y A — &) и сколь угодно близким к нулю на остальной части отрезка
[0,1]. Следовательно, пределом т^ будет значение т, получающееся из
формулы E). Таким образом, для очень больших п последнее из выра-
выражений F) служит также пределом для 7V&:
Кроме того, положив cp(z) = l, заметим, что
h + 1 Ji-k+t
так что (каково бы ни было п)
как только будет
тк
— k
следовательно, при выполнении этого последнего условия, получается
Определение т^ при произвольном п — довольно сложная алгебраиче-
алгебраическая задача, но, применяя метод моей работы [31], можно было бы
найти асимптотическое значение разности
k\h~k f
при неограниченном возрастании п.
§ 3. Рассмотрим еще следующую задачу, относящуюся к тому-же кругу
идей: чему равно наименьшее отклонение L = f (i) кратно монотонной
функции f (х) порядка h + 1 на отрезке [0,1], производные f (x) и f\x)
которой принимают данные значения f A) = Мг, /" A) = М2 (в предпо-
предположении, что h > 1)?
Мы имеем, как и раньше, равенства
/A) =/'@) + • • • + ^- + J
), A5)
о
(h)
437
Предположим, что дано /"A) = Л/2, и определим область S плоско-
плоскости (х, у), где должна находиться точка, имеющая координатами
Применяя метод моей статьи [34] и положив М2 = 1, мы увидим,
что область S ограничена наименьшим выпуклым контуром, содержащим
точки с координатами
гдо
_ 1 __ ]
xi — 'i(i-i) ' У% — 7="!'
где i <^ih — целое положительное число.
Таким образом, область S ограничена дугою параболы
_ h~\ 2
h У у
при 0 <; у <; , и хордами гиперболы
х = у-1 + у—,
соединяющими точки с абсциссами
h{h_{) ~ (h_i)W__2y (h__ 1} (h__2)
и Th—7nlh—ол ИТ*Д- (первая из этих хорд является также касательной
\1г — Z) \п — ,3)
к параболе).
Следовательно, при у — Мх ^ -т—г , мы имеем
х^Ь = ^=^-М\, A6)
и функция, реализующая минимум, принимает вид
где
Пусть, напротив, у = Мг >> __ . Хорда, соединяющая точки
пметь У
2у 1
Х=-4- — —г—
I til —
Поэтому, если у = -— ^, где 0<^.6<<;1, мы получим
^ i (/ -1) (I -1 - в) у U + %у т 1 + у A + 6)J •
438
Таким образом, когда
1 J ^ Мх ~ l J а'
где i^>l — целое число и 0<^6<^1, будем иметь
и тогда функция, реализующая минимум, равна
Bzi~i, A9
где
Мл Л/? A — 6)
I 1
— 1 I + tt^l#
В случае, когда h неограниченно возрастает, т. е. если мы требуем,
чтобы функция была абсолютно монотонной, ответом на вопрос служит
функция, данная формулой A9), каким бы ни было Mlf а формула A8)
всегда дает значение L.
Если, вместо М., = 1, взято любое М2, то формула A6) принимает вид
а формула A8) дает
М2 [" е1 — е
2 + bM1+ Л/2 + A Ч- в)
где B1) соответствует случаю
^2> /г 1
а в формуле B2) предполагается, что
Обратно, если L и Мг даны, то наименьшее значение М2 для /" A)
дается формулой
м ^— 1 1 /oq\
ir/ о 7 —j— \^*-^/
при -=Д ^ /г, и формулой х
Af, = j- (Мг - oL) [Af х - A - р) Ц B4)
при
как легко убедиться, применяя тот же метод.
[35], стр. 409.
40
ОБ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ
1* Я хотел бы здесь дополнить в некоторых отношениях результа-
результаты моих двух предыдущих заметок г [36. 1].
В соответствии с идеями, изложенными в первой из упомянутых заме-
заметок, будем рассматривать многочлены Rn(x), ортогональные относительно
произвольно данного веса
q(x) = t(x)(l~x)«(l + x)Z A)
(где t (х) — непрерывная функция, для которой 0<^\<^t (x)<^L и
t@) = l), как пределы многочленов F$ (x), ортогональных относительно
веса
gt (х) = tx (х) A - *)« A + х)»,
где
1 -
1
X
а,
— некоторые многочлены, равномерно стремящиеся к функции t (x) на
рассматриваемом отрезке [— 1, •+¦ 1].
Можно проверить, что многочлены Rn (x) определяются с точностью
до постоянного множителя формулой
Рп (а,)
Рп+1 (а
...Рп (о,)
... Рп+1 (at)
п+1-1 (ах) ... Рп+1-\
РП(Й1) .../>„ (о,) Рп(х)
Pn+l (aj)... Pn+i fa) Pn+f (x)
Pn+i (ax)... Pn+l (a,) Pn+i (x)
B)
где Pn(z) — многочлен Якоби степени п, соответствующий t\(x) = \.
Наиболее простым является случай, когда а ~ р = — ~ и, следова-
следовательно, многочлены Рп(%) Якоби обращаются в тригонометрические мно-
* Sur les polynomes orthogonaux. «Gomptes rendus», t. 188 A929), стр. 361—364
A36*).
1 Sur quelques proprietes asymptotiques de la meilleure approximation [36]
(«Gomptes rendus», t. 186 A928), стр. 840) и Sur les polynomes de Jacobi [37] (там
же, стр. 1090).
440
гочлены Чебышева cos n arccos х. Тогда нетрудно получить асимптотическое
выражение для нормированного ортогонального многочлена R^ (х), спра-
справедливое во всей плоскости:
D@, ч /*~~2~ , * v
¦К-п \х) ~ 1 / —г~\ cos (w? — °i — °' — • • • — °0»
где
cos ср = х, cos 8Л =
Бесконечно увеличивая Z, мы получаем далее на замкнутом отрезке
Rn (х) •—* 1/ —-7-т cos {щ -f- ф)» C)
где
п* 1
Для существования этого предела достаточно, чтобы модуль непре-
непрерывности ш (8) функции t (x) удовлетворял условию вида
со (о) | log 8 |1+? < к (е > 0, к > 0). E)
Для всякой замкнутой области S, внешней по отношению к отрезку
[—1, +1], мы имеем асимптотическое выражение
+1
У~х*-1 С log t B) dz
причем эта последняя формула справедлива даже в том случае, когда
функция t (x) не непрерывна, а только ограничена и интегрируема на
отрезке [— 1, +1].
Положим, например, t(x) = ekx%; тогда формула C) примет вид
Y
%х
—e ~2
2. Применяя асимптотические выражения для многочленов Якоби при
произвольных а и C, находим асимптотическую формулу
^ (
__ 2а+ 1 _ 2C 4-1
P"" Л ' Pi "~ Z
Pi) ® + Ф — РТС1
где ф также дается формулой D). Неудобство выражения G), так же
как и соответствующих асимптотических выражений многочленов Якоби,
состоит в том, что оно в общем случае справедливо только в открытом
промежутке (— 1, + 1). Формула, аналогичная формуле F), справедлива в
441
той же области S, что и формула F). Однако весьма существенно найти
выражения, справедливые на всем отрезке [—1, +1]; ограничиваясь слу-
4
чаем, когда а = р = 0, положим zn = Pn j/l — х2, где Рп — нормирован-
нормированный многочлен Лежандра степени п, и
1-х2
У
тогда
Rn (х) VI - х2 ~ |/ у^у- [zn cos ф — jxz; sin 6] - (8)
Формула (8) (и аналогичные ей формулы для произвольных а и C)
позволяет обобщить экстремальные свойства многочленов Якобн, уста-
установленные во второй из цитированных заметок. Так, в частности, для
1 1
| а | <; у , | 8 | <Су нормированные ортогональные многочлены Rn (x) сте-
степени п удовлетворяют неравенству
Яп (х) | A - х)' A + х)» < \/-щ? A + г„), (9)
где гп равномерно стремится к нулю на всем отрезке [— 1, + 1].
3. Пусть функция / (х) непрерывна на отрезке [— 1, + 1] и
где
Arc= ] f(x)Rk(x)q(x)dx.
В силу (9)
УЦх)Щ dz д О (log ,), A0)
откуда вытекает следующее обобщение теоремы Лебега:
Если существуют многочлены срп (х) степени п, для которых на
отрезке [— 1, + 1] выполняется неравенство
r\f (х) - ^п(х)\<:еш (И)
то
A _ ху A + х)* | / {х) _ /п (ж) | = 0 (?n log л)> A2)
е<?лм только функция I (х) удовлетворяет условию E).
Следовательно, если, f (х) удовлетворяет условию Дини — Липшица,
то ее разложение по многочленам Rn{x) относительно веса A) после
умножения на A — х)р A + x)Pl становится равномерно сходящимся на от
резке [— 1, + 1] к функции / (х) A — х)9 A + x)Ql.
41
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ,
СТРЕМЯЩИХСЯ К НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ,
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НА ДАННОМ ОТРЕЗКЕ *
Пусть th (х) — многочлен степени k, положительный на отрезке
[-1, -И],
Uh I
A)
корни которого, таким образом, либо вещественные, либо комплексные
сопряженные.
Составим для каждого корня ак выражение
где знак перед радикалом взят так, чтобы выполнялось условие [ р | > 1;
тогда
9k
1 +
B)
представляет отношение полусуммы осей эллипса с фокусами в — 1 и + 1,
проходящего через точку ак, к диаметру, соответствующему той же точке.
Если положить
Ми — О^з . . . Oh,
ТО
при условии, что
< Lh для — 1 < х < 1;
C)
D)
E)
* Sur la distribution des zeros des polynomes tendant vers une fonction continue
positive sur un segment donne, «Journ. Math.», t. 8 A929), стр. 327—337 A37*).
Русский перевод опубликован в приложении к книге «О многочленах, ортогональ-
ортогональных в конечном интервале». Харьков, 1937.
1 «Gomptes rendus», t. 186, стр. 840 [36].
443
кроме того, каковы бы ни были многочлены th (x), равномерно стремя-
стремящиеся на [—1, + 1] к непрерывной положительной функции t(x),
подчиненной условию
l<t(x)<L на [-1, +1], F)
Mh стремится к одному и тому же пределу М, удовлетворяющему нера-
неравенствам
t@)
- t @) '
G)
Мы получим из этого несколько теорем, относящихся к распределе-
распределению нулей многочленов th (x)\ эти теоремы будут, в сущности, основываться
на следующем замечании.
Пусть
ak=Rkeie*, (8)
где мы предположим Д& постоянным; если аргумент 6# возрастает от 0
до 7г/2, то величина | р^. | (представляющая полусумму осей софокусных
эллипсов) тоже увеличивается, и, следовательно, 8# также возрастает.
Таким образом, если th (х) остается ограниченным сверху и снизу при
бесконечном возрастании /г, то, вообще говоря, найдутся корни, для кото-
которых о^ как >> так и <^1; следовательно, только для исключительных
классов функций приближающие многочлены могут иметь все корни
с аргументами, мало отличающимися только от 0 и тс или от ±^-« Вот
точная формулировка первой теоремы, к которой мы приходим.
Теорема А. Если корни ак = Ще±гЬк многочленов th(x), стремя-
стремящихся к непрерывной положительной функции t(x), обладают свойством
7Г
т
(9)
то t (x) является целой функцией порядка не выше 3 и рода не выше 4.
Действительно, исходя из сделанного выше замечания, видим, что
условие (9) влечет за собой неравенство
1 + -, / 1 + '
A0)
и так как
где
то
1],
-1],
A1)
444
Следовательно, сумма V —^ ограничена. Таким образом, сумма
h 1 K i к
ограничена во всякой конечной области Q плоскости х.
( X \ ( X \
Так как, с другой стороны, 1пA— j . . . f I— ) остается ограни-
ограниченным на отрезке [—1, +1], то многочлены третьей степени
где
з ~
остаются ограниченными на этом отрезке. Но это требует, чтобы коэф-
коэффициенты Л\к\ А^\ А^ были тоже ограничены. Следовательно, можно
выбрать многочлены th {%) так, чтобы суммы A[h\ A^, А^ стремились
соответственно к определенным пределам Av A2, А3.
Тогда соответствующие произведения
3a?
будут равномерно стремиться на отрезке [—1, -(-1] к функции
<f(x) = t (X) еАг*+А
A3)
Кроме того, так как функции ср^ (х) остаются ограниченными во всякой
конечной части плоскости, они стремятся, по теореме Стильтьеса, во всей
плоскости к целой функции ср (х), и эта предельная фуйкция не может
иметь корней, отличных от предельных точек для а^. Следовательно, по-
порядок ср (х) не превосходит 3.
Покажем еще, что род ее не превосходит 4, т. е. что экспоненциаль-
экспоненциальный множитель е^ (х\ входящий в каноническое произведение Вейер-
штрасса, не может иметь показателем многочлен ^ (х) степени выше 4.
С этой целью заметим, что произведение
=е
но модулю
I-
меньше, чем е" 2 , если
I
меныпе, чем е
:\ + \4
< е 3 , если ] z \ > -•;
445
поэтому можно подобрать так число к, что ср (г) будет возрастать не быст-
быстрее чем е*!*4!. Следовательно,
t (х) = CD (х) е-АхХ-Аах'-АзХ3
есть тоже целая функция, рода не выше 4 и порядка не выше 3.
Примечание. Как показывает пример функции
\h
е*'= lim
h->OD
которая удовлетворяет условиям теоремы, род 4 действительно может
представиться.
Дополнение к теореме А. Если корни а^ обладают тем свой-
свойством, что их аргументы Ьк удовлетворяют неравенствам
4 '
то функция t(x) будет целой, порядка не выше 1 и рода не выше 2.
Действительно, в*этом случае
1 +
+
/—
cos2<o
r%Z Г "
V щ
Следовательно, как и ранее, мы констатируем, что
стремится к целом функции
A3')
1
порядок которой не выше 1, так как сумма ^—о~ ограничена. Для до-
казательства того, что род t (х) и ср (х) не больше 2, достаточно заме-
заметить, что | A — z) е11 <^ е4'2*! во всей плоскости.
Аналогичным образом доказывается также, что если все корни аи
вещественны1, то функция t(x) будет целой, порядка не выше 1 и рода
не выше 2.
Между тем нельзя дать теорем, аналогичных предыдущим, если вер-
вертикальные углы, имеющие биссектрисой мнимую ось, будут заменены
углами, имеющими биссектрисой вещественную ось. Это связано с тем
1 Для случая, когда равномерная сходимость имеет место внутри круга (т. е.
при требовании аналитичности t (.т)), это предложение было дано Полна (Uber
Annaherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln. «Rend, del Circolo Mat.
di Palermo», 1913).
446
фактом, что если R^ = | а% | достаточно мало, то о&^>-1, как бы ни был
мал аргумент. Следовательно, для получения соответствующих предложении
нужно тем или иным образом ввести условие относительно Д*. При-
Придется, как мы сейчас увидим, заменить углы ветвями гипербол. Дей-
Действительно, имеем вообще
i Г 2 cos 26л
{ll/ 1^
/Г cos267.
/ 7. / 2 cos 26
2[<l/ '
Таким образом, если мы предположим, что
т. е. что корни пк нахо/дятся внутри вертикальных углов величины 2со,
имеющих вещественную ось биссектрисой, то
A6)
Следовательно, если можно указать такое положительное число а, что
то будем иметь
Условие A7) выражает тот факт, что корни а?с = х + iy находятся
внутри одной из ветвей гиперболы
у* = , A + а), A9)
или еще, что вещественные части квадратов а| всех корней больше
чем A+а). Следовательно, из рассуждений, подобных предшествую-
предшествующим, получается
Теорема В. Если корпи многочленов tfl(x), стремящихся к непре-
непрерывной положительной функции t (x), находятся внутри гиперболы
х2~У2=1A+а) (а>0), A9)
то функция t(x) будет целой, порядка не выше 3 и рода не выше 4 [41.1].
Дополнение к теореме В. Если корни а/с находятся внутри
гиперболы
A __ а) х*-A + а) у* = i- (а > 0), B0)
то t(x) есть целая функция, порядка не выше 1 и рода не выше 2.
447
Действительно, указанное условие эквивалентно такому:
2Rl cos 2co > 1 + 2аД|,
что влечет за собой, в силу A6),
откуда получаем наше предложение.
Примечание. Во всех предыдущих рассуждениях мы не делали
никаких предположений относительно знака вещественных частей кор-
корней ajc. В случае введения подобного ограничения до.статочно исследовать
(а х \ (л х \ 'е-
произведение A— )...A I , чтобы прийти к аналогичным резуль-
результатам. Так, например, если предположить, что вещественные части всех
ak положительны, то
J-V..fi + _L
h i
так что сумма 4} —^j ограничена, откуда следуетх, что функция t (x)
1
не может быть выше первого порядка и выше второго рода.
Перейдем теперь к несколько иному вопросу. Ранее мы все время
пользовались тем фактом, что если существуют два положительных числа
р и М9 (не зависящих от К) таких, что
то t (x) есть целая функция конечного рода.
Казалось бы естественным сделать предположение, что если корни
многочленов tu (x) имеют только конечное число предельных точек внутри
любого определенного круга, то t (x) является целой функцией. При
условии, что t (x) есть аналитическая функция
t (X) = Со + С±Х + . . . + ChXh + СЛ+1ЖЛ+1 + . . .
и
*h (z) = Co + CLX+ . . . + ChXh,
это предположение действительно оправдывается, так как среднее гео-
геометрическое 1/ — корней многочлена th (x) не может иметь конечную
f ch
нижнюю границу и следовательно,
h __
lim tfch - 0.
1 Е. Lindwart und G. Pol у a. Uber einen Zusammenhang zwischen der Kon-
wergenz von Polynomfolgen und der Verteilung ihrer Wurzeln. «Rend, del Circ. Mat.
di Palermo», 1914.
448
Однако без соответствующих ограничений это предположение является
неправильным, так как, какова бы ни была непрерывная положительная
функция t\x), всегда можно построить многочлены th(x), равномерно
стремящиеся к t (х) на [—1, +1] и такие, что th(x) для достаточно
большого h не имеют ни одного корня, меньшего по модулю, чем сколь
угодно большое число R.
Действительно, построим многочлены Рп{х) степени п, стремящиеся
к lnt(x) на отрезке [—1, +1]; пусть
\Рп(х)\<Ь для — 1 <^
F но зависит от п).
Можно взять дп настолько большим, чтобы
1
B1)
... +
\Р (x)]
qn.
qn
B2)
где h = пдп, были многочленами степени Л, стремящимися равномерно
к t (x) на том же отрезке.
С другой стороны, каково бы ни было данное положительное число М,
многочлен
„2 г,кМ
2!
не может равняться нулю для \z\^M9 так как тогда
Таким образом, взяв
мы можем быть уверены, что
если th(a,b) — 0.
Но по известной теореме, из B1) следует, что
М
откуда
или
Поэтому для того, чтобы иметь
М = Ь [R -
29 С. Н. Бернштейн, т. I 449
1п
1/п1
( Ь \1/п1
> R, достаточно положить
If,
и желаемым свойством будут обладать все многочлены th(x) степени
h ;> ibn (R + ]/Д2 + 1)п. Следовательно, всегда можно удалить как угодно
корни приближающих многочленов; но, вообще говоря, это достигается
за счет быстрого возрастания степеней этих многочленов.
Точно так те, какова бы ни была природа функции t (х), всегда
можно сделать корни а/с сколь угодно близкими к отрезку [— 1, -fj],
так как достаточно заметить, что t (х) = 1 имеет приближающие много-
многочлены
а их корни при неограниченном возрастании h стремятся к точкам
отрезка [—1, +1].
Распределение корней приближающих многочленов становится менее
произвольным, если потребовать, чтобы эти многочлены давали при-
приближение Mh того же порядка, что и наилучшее приближение Eh\t(x)]
(т.е. Eh [t (x)] = M[^h, где е^ стремится к нулю с возрастанием А). В та-
таком случае легко доказывается следующая
Теорема. Многочлены th(x), дающие на отрезке [—1, +1] при-
ближение к t (х) порядка Eh [t(x)], имеют ограниченное число корней
внутри эллипса Е с фокусами в точках [—1, +1]> если функция t(x)
(предполагаемая аналитической) регулярна внутри эллипса Е и на его
границе.
Действительно, имеем на [—-1, +1]
где /?! — полусумма осей эллипса Е\ следовательно, ряд
равномерно сходится внутри и на границе эллипса Е, так что предель-
предельные точки корней многочленов th (x) будут также корнями функции t(x).
Обратное предложение, без сомнения, справедливо, но доказать его
не так легко:
Если многочлены th(x), дающие на [—1, +1] приближение к t (x)
наилучшего порядка, имеют ограниченное число корней внутри эллипса Е,
то функция t (x) является аналитической и регулярной внутри этого
эллипса.
Для краткости мы ограничимся доказательством этого предложе-
предложения при условии, что многочлены th (x) минимизируют интеграл
[t (x) - th (x)f g (x) A - x)« A + xf dx,
450
где д (х) — какая-нибудь непрерывная и положительная на [—1, +1]
функция, а а и C — вещественные числа.
В самом деле, пусть Rh(%)— многочлены, ортогональные относительно
веса д (х) A — х)* A + яH-
Тогда
th (х) = Л0 + A,R± (х) + ...+ AhRh (х), B3)
где
+ 1
Ah= \ t (х) Rh (х) д (х) A — х)« A + sK dx.
-1
Принимая во внимание асимптотическую величину коэффициента при
xh в Rh(x), равную С2 2 , где С — постоянная (зависящая от д (х)),
мы видим, что произведение корней многочлена th (x) равно
h (°)
аха2 . . . ah ~ л=
Таким образом,
h
2
? . . . ah
V\An\
для бесконечно возрастающего h. Отсюда следует, в силу B), C) и D),
что также и
/iPiP.-.-Pj-ir1— • B4)
V\An\
Следовательно, обозначая через R полусумму осей эллипса Е, мы за-
заключаем, что как бы ни бь*ло мало е, для достаточно большого h
R<±^-, B5)
так как, по предположению, имеется только конечное число таких рд, что
\pk\<^R. Отсюда следует, что суммы B3) ограничены внутри эллипса Е
и, значит, t (x) является аналитической функцией внутри этого эллипса.
29*
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ*
§ 1
Общая теория ортогональных многочленов привела меня к следующей
асимптотической формуле г:
Rn И ~ у -^j-t^v cos (nb + V) = 5n (ж), A)
которая справедлива равномерно па всем отрезке [—1, + 1], если только
тригонометрический вес t (x) удовлетворяет условиям
X < t (ж)< U \t(x + h) — t (х) | < ^р , B)
где X, L, к, о — произвольные положительные постоянные, а х = cos б и
О
*
Теперь естественно возникает следующий вопрос: при каких условиях
асимптотическое выражение ?п (х) само является многочленом степени п
для всех достаточно больших п? Исчерпывающий ответ на этот вопрос
дан в моей цитированной выше работе, где я одновременно отметдл, что
всякий раз, когда это имеет место, Sn(x) представляет собою многочлен
минимального уклонения относительно множителя ]/t(x).
Останавливаясь здесь более подробно на этом вопросе, я покажу также,
что при указанных условиях, т. е. если ~х есть многочлен, неотри-
I [X)
* Sur une classe de polynomes ortogonaux. «Зап. Харк. матем. тов.», серия 4,
т. 4 A930), стр. 79—93 A40*).
1 Sur les polynomes ortogonaux (premiere partie). «Journ. Math, pures et appl.»,
t. 9, 1930 A49*) [есть русский перевод: «О многочленах, ортогональных в ко-
конечном интервале» A89*), Харьков, 1937]. См. также мою заметку A45*) в «Comptes
rendus», t. 190 A930), стр. 237 [42.1]
452
цательный на отрезке [—1, + 1], функции Sn(x) будут ортогональными х
относительно тригонометрического веса t(x).
Заметим сперва, что Sn (х) удовлетворяет уравнению в конечных
разностях
Sn+i (х) + Jn-i И = 2xSn (x). D)
Допустим, что iSi_i (%) и $1 (%) — два заданных многочлена степени 1—1
и / соответственно. Ясно, что при этих условиях можно последовательно
определить Si+\ (х), . . . , Sn(x),. . . , и Sn(x) непременно будет многочленом
степени п, причем член степени п этого многочлена будет равен
А0-2п~1хп, если Аох1 — член наивысшей степени многочлена Si(x). При-
Притом общее решение уравнения D) можно представить в следующем виде:
Sn(x) = A(x + V^^i)n + B(x-V^^l)n, E)
а для определения значений А и В по начальным условиям имеем
Ji-i {х) = А (х + Ух2 — 1I~{ + В (х — у'х2 — 1I~\
St (x).= A(x + Vx^~lI +B(x- У^^1)\
откуда
А Г Sj (х) — 3CS} а (х) Л , г Ч7 .
A(x)=\\sx , (х) + ' }у—^Щ^х - V** ~ I)', F)
B{x)=\\Sx^(x) - '^__!Г^ ;] (х + Ух* - I/.
Следовательно,
j[U ^\ j^, G)
где Qi (x) = Si (x) — xSi—i (x) — многочлен степени, не превышающей /.
Следовательно, из E) и G), учитывая, что А и В сопряжены
при — 1 < х < 1, получаем
Sn(x) /"~А / \п /ТГ / • \п
Уав У в га
где
2гф А
т. е.
Ф = arctff 1 — (I — 1N. (9)
1 S z ego. Uber die Entwicklung einer willkurlichen Function nach den Polynomen
eines Ortogonalsystems. «Math. Ztschr.», Bd. 12.
453
Таким образом, для того, чтобы функция Sn(x) была многочленом
степени п при n^-1 — i, необходимо, чтобы тригонометрический вес
t (x) имел вид
л ~2 А /
' № = А (х)В(х) = 4 j2_t (х) A _ ж2) + Q2 {х) = 17W ' A0)
где tL(x) — неотрицательный на [—1, +1] многочлен степени не выше 21
[42.1].
§2
Легко показать, что это условие является достаточным. Действи-
Действительно, предположим сначала, что
t}(x) = (l-x*)tQ(x), (И)
где to(x)^>O многочлен степени, не превышающей 2Z — 2, не имеющий
корней на отрезке [—1, + 1].
При этих условиях, пользуясь теоремой Люкача \ можно представить
t0 (x) в виде
г0 (х) = М* (х) + A - х*) iV2 (x), A2)
где М (х) — многочлен степени / — 1, а N (х) — многочлен степени 1 — 2.
Для большей ясности приведем необходимое нам в дальнейшем
подробное доказательство этой изящной теоремы.
Пусть
f(x) = a + 2bx + ex2
— многочлен второй или первой степени, положительный на отрезке
[—1, + 1]; можно найти вещественные постоянные а, [3, у» последняя из
которых будет положительной, так, что
/(*) = (а + И2 + A-*2)Т- A3)
Для этого выразим, что
(а - т) + 2Ьх + (с + т) х2 = (а + Щ2 A4)
является точным квадратом. Следовательно, у должно удовлетворять
уравнению
Т2 + (с - а) т + б2 - ас = 0. A5)
Если f (х) обладает комплексными корнями, то Ъ2 — ас<^0; в этом
случае уравнение A5) будет иметь один положительный, а другой отри-
отрицательный корень и первый из них дает искомое значение у- Если f (х)
имеет вещественные корни и с ^> 0, то корень функции / (х) будет
1 Полна и Сегё. Задачи и теоремы из анализа, ч. II, отд. VI, зад. 46.
454
внешним по отношению к отрезку [—1, + 1], следовательно \Ь\ >с; так
как, с другой стороны, /A) >0, /(—1) >0, то при любом знаке с
а + с>2Ь, а+с>-26; A6)
таким образом, уравнение A5) имеет вещественные корни и
а>\Ь\>с.
Отсюда мы видим, что оба корня уравнения A5) положительны, и вели-
величину ^ можно выбирать по желанию из этих двух значений. В этом
последнем случаемы выберем для ^ значение большего корня; я утверждаю,
что
с + 7>|6|; A7)
действительно, если ни один из двух корней уравнения A5) не удовле-
удовлетворяет неравенству A7), то
2с -{- а — с = с -{- а^\2
что противоречит неравенствам A6).
Следовательно, в силу A4),
если мы хотим, чтобы (В ^> 0.
Кроме того, при таком выборе величин ^, ос, [3 мы имеем, благодаря A7),
A8)
Следовательно,
arc tg
убывает от тс до 0 при возрастании х от — 1 до + 1.
Установив это, заметим, что, произвольно группируя попарно веще-
вещественные корни многочлена t0 (x) и осуществляя указанное преобразование
для каждого множителя, можно представить t0 (x) в следующей форме.
где Л/ (ж) — многочлен степени l — l, a N (х) — многочлен степени 1 — 2,
если мы положим
М (х) + N (х) Ух2 - 1 = [а{ + $хх + V^i Vх2 — 1] • • •
... [Vi + h-ix + Vb^i V^1^] • A9)
Таким образом, теорема Люкача доказана, но, кроме того, мы пока-
показали еще, что
L N (x)Vl — ж2
arc tg
М (х)
455
изменяется от (I — 1) тс до О, когда х изменяется от — 1 до + 1 (т. е.
все корни многочленов М (х) и N (х) находятся в промежутке (—1,+1)
и взаимно разделены, и старшие коэффициенты — одного знака).
Следовательно, подставляя выражение A2) для to(x) в A1), можно
написать
/ (Т\ — 1 _ = 1
*W— ,о(ж) — М2(х) + A— x2)N2{x) А{х)В{х)'
где
л ^ —
(
— , лГ п .чтит' ^ W — П1/- ? „м
(x + Vx2— \у L (х2 — У х2 — 1)L
Поэтому
Fn (х) = ]/-^ (х + У^Л)П + |/ 4 (ж - V^\)n = 2cos (пв+ф), B1)
где
^==arctg^(a;>f*-a!'-(Z-l)e = arccoa-^l-(^-lN B2)
принимает значение 0 для х = — 1 и снова проходит через это значение
при изменении х от — 1 до + 1.
Следовательно,
п (х) = Fn (х) УАВ = А(х+ Ух^~\)п + В(х-
= [М (х) + N {х) Ytf^A] {х
{х + Ух^^\)п1+{ +
+ [М (х) - N (х) Yx^^l] (х - -/^=1)п~г+1 B3)
является многочленом степени п для п ;> I — 1 и1
Sn (х) Уф) = 2 cos (nb + ф) B4)
является произведением, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке
[—1, +1] среди произведений вида Pn(x)Yt(x), где Рп(х) — произвольный
многочлен степени п, имеющий тот же коэффициент при члене степени п,
что и Sn (x).
§з
Заметим, что значение ф, данное формулой B2), единственно, так как
существует только один многочлен наименьшего уклонения, соответ-
соответствующий to(x); следовательно, при любой группировке корней t0 (x),
сделанной с соблюдением условий, чтобы ^ > 0 и ^\ > 0, для получения
представления A2'), многочлены М (х) и N (х) определяются полностью.
Величина ф, в соответствии с общей теорией, рассмотренной в моей
цитированной выше работе, не может отличаться от величины, которая
получается из формулы C), где мы заменяем t(x) через —т-т-. Чтобы
t0 {х)
в этом убедиться, достаточно проверить случай 1=2.
1 Для того чтобы привести B4) к совпадению с A), достаточно разделить
Sn(x) на J/27U.
456
В этом случае, по уравнению B2),
. V y(i — жа) . Vi — х2
<1> = arc tg — , Q — arc tg
=arc tg ^1^[»(/т_-Р)-] =arc tg ^-> ¦ . B5)
Но ПОЛОЖИМ pt=z xt + Yx\ ~ 1> P2 — X2 + 1^1 ~~ ^' ГДе Xl И X2 ~~ КОРНИ
уравнения
t0 (x) = a ~\~ 2bx + ex2 = с (x — xj (x—x^) = 0,
a | рх I > 1, I p2 I > 1, и заметим, что в силу A3)
t0 (х) = [а + $х + /т^2-!)] [« + № ~ Ул № ~ 1)] • B6)
Следовательно, полагая
откуда
получим
B7)
Поскольку один из этих множителей второй степени имеет корни,
обратные по отношению к корням другого, второй множитель будет
иметь корнями рг и р2 в силу A8) и
Л >1.
Следовательно,
PlP2 = ^|, Р1 + Р2 = ^. B8)
Подставляя B8) в B5), находим:
VI —
71 Г/ ,=arctgr± " + arc tg r-^=^-, B9)
(Pi + P2)^ + PlP2 — I 6 Pi — Х & р2 — Х ' К '
ф= arctg^
чем доказывается наше утверждение, которое остается справедливым
и для р2 = х2 = оо, как мы можем убедиться, если заставим ]/ -\ стре-
стремиться к р в B5) и заметим, что тогда р± = — —.
Точно так же мы можем неаосредственно найти значение коэффици-
коэффициента хп в Sn(x), не пользуясь общими формулами D5) и D6) из моей
цитированной выше работы.
Действительно, в силу B3),
Si (х) = 2хМ (х) + 2{x2-l)N (х) = Аох1 +... ;
457
-следовательно, Ао будет также коэффициентом члена высшей степени в
2 [М (х) + Уа*^1 N (х)];
таким образом, в силу A9),
Ао =2 [(Pi + Уъ) (Р2 + Уъ)- • • (^-i + Уъ^)]- (з°)
Полагая
Г2г—1 — х2г-1 ¦" г X2i-1 1' ' 2г ~" 2г "Г" г ^2i х»
где #2i-i и X2i "~ КОРНИ г"Г0 множителя в A2Г), находим, согласно B8),
Ti = рмРй., (^ - /т7) = V P2ip2i_1 (Pf - т4) •
Следовательно,
^0 = 2"KPi---P2l-2C0»
где с0, в силу A2'), является коэффициентом наивысшей степени в to(x).
Отсюда, учитывая, что ?0 @) = с0х{х2 . . -х21_2, получаем
<¦ <°> -2' i/fe> • ¦ (-
Таким образом, вследствие сделанного вначале замечания, коэффициент
при хп в Sn(x) равен
/ ~
Так как при этом коэффициенте уклонение Sn(z) равно 2, следовательно,
обозначая через
минимальное уклонение
где Рп (х) — произвольный многочлен степени п с коэффициентом при хп,
равным 1, a t0 (x) — заданный многочлен
степени, не превышающей 21—2, положительный на отрезке [—1,+1],
мы получим в соответствии с нашей общей теорией формулу*
2"-1 |/ \ Pi J { Р2;-2
для л ;> /> 0.
Заметим, что для случая, когда t0 (ж) — точный квадрат,
C2)
* Эта формула была впервые выведена А. А. Марковым (А. А. Марков.
Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля. «Избранные труды по
теории непрерывных дробей...», стр. 244—291. М.—Л., 1948). (Автор.)
458
формула C2) имеется у Чебышева х и сводится к
Формула C2) не имеет места для п<^1\ однако для п — I — 1, Sn(x)
еще является многочленом степени /г — /— 1, причем
s^ i (х) = гм (х)
М (х) Yt {х) = cos (Z — 1 6 + ф)
осуществляет минимальное уклонение произведения, соответствующего
степени I — 1. Но в этом случае коэффициент Во его наивысшей степени
будет
Следовательно,
Для п <С I — 1 выражение B4) сохраняет свой колебательный характер,
но вообще степень Sn(x) будет больше п: Si—h будет степени I + к — 2.
§4
Теперь мы можем показать, что многочлены Sn (х) для п ;> / — 1 орто-
ортогональны относительно тригонометрического веса
т. е. что
Int*= \f ;^_1 = 0 (ft<«). C5)
Действительно, полагая
_ I ( , 1
Х~ 2
1 П. JI. Чебышев. Вопросы о наименьших величинах, связанные с прибли-
жзнным представлением функций. Полн. собр. соч., т. II A947), стр. 151—235.
Синтетический вывод этого результата можно найти в моей книге «L. S.»,
стр. 11 — 13. На стр. 14 этой книги показано изменение C4), которое нужно внести
в формулу C3) при п = I — 1.
459
и замечая, что
M(x)—N (x) V~x* — 1 M (х)
[(Pi - ^Yi) 2~~2 + 2a,*-1 + (px +
мы видим, что In,к можно разложить на две части, из которых первая
образуется членами вида
где контуром интегрирования является окружность С радиуса 1, причем
многочлен / (z) не обращается в нуль внутри С, а вторая ча[сть /П) # при-
примет этот вид, если ]иы положим z = — .
Формула (в соответствии с обозначениями, принятыми в моей цити-
цитированной выше работе)
^{УШ <36>
является прямым следствием формулы B4).
Заметим, что тождество C5) также справедливо и для п <^1 — 1. Отсюда
следует, что ортогональные многочлены Un(x) степени п~1 — к, где
&>1, соответствующие тому же весу, выражаются всегда линейной ком-
комбинацией вида
k 2 (x) + bk-iSi^k (x).
Но мы не станем здесь останавливаться на вычислении этих коэффи-
коэффициентов.
§5
Случай, когда t0 (x) имеет корни внутри отрезка [—1, +1] (обяза-
(обязательно четной кратности), непосредственно сводится к предыдущему слу-
случаю. Достаточно рассмотреть случай только одного двойного корня х0.
Тогда
М (х0) = N (х0) = А (х0) = В (х0) = 0.
Таким образом, формулы B0) и B1) остаются справедливыми и для
данного случая, и из B3) мы видим, что Sn (х) содержит х — х0 в каче-
качестве множителя, так что формула B4) и все ее следствия также справед-
460
ливы, если заменить <Ь через ф— 6. В частности, применяя C2), мы
получаем
A ) () для 1жо|<1| C7)
лГ--— ) = ?n-i (тг=
х — х0 | У t0 (х) 1 \ У t0 (х)
что легко проверить непосредственно.
Случай, когда tx (х) не обращается в нуль в обеих точках х = +1
или только в одной, можно рассматривать аналогичным способом.
Предположим для определенности, что t± (x), степени не выше 2/, не
обращается в нуль ни в одной из этих точек 1. Тогда, применяя к tL (x)
то же преобразование, что и к t0 (x), и полагая, согласно A0),
, v _ 1 — х2 _ 1
(Х)~ h(x) ~ А(х)В(х)>
где
М (х) М (х)
а (х) =
у 1
V4^
(х — У х2 —
мы получим ту же формулу B1) для Fn(x), но только, вместо формулы
B2), ф дается формулой
th = - arctg M(f2 - (/ - 1) б = - arc sin M^L - (/ - 1) 6. C9)
Yl *N{x)Vl — x2 V ; *^i(*)
Напомним, что здесь М (х) и N (х) имеют соответственно степени / и / — 1.
Таким образом, при изменении 6 от 0 до тг изменяется также ^г от
— до Т и' слеД°вательно'
Fn (х) = Sn (x) Yt (х) = 2 cos И + ф2),
- (М (х) - N (х)
Итак, Fn(x) достигает своего экстремума вп+1 внутренних точках.
Отсюда вытекает, что функция Sn(x), являющаяся многочленом сте-
степени п, при п ;> / — 1 представляет многочлен минимального уклонения
относительно множителя
Таким же способом можно проверить, что эти многочлены будут удо-
удовлетворять условиям ортогональности.
Кроме того, если мы отождествим нашу теперешнюю функцию t± (x)
€ функцией t0 (x) (которая будет степени 21) из формулы A1), то функции,
обозначенные через М (х) и N (х), будут одинаковыми в обоих случаях
и, следовательно, сравнивая B2) и C9), причем в первой надо заменить
/ — 1 на /, — мы выводим, что
1 См. мою цитированную заметку A45*).
461
так как
. М (х) . М (х)
arc sin—="+ arc cos ,.. '
Следовательно, подставляя Фп (х) вместо Fn (x) в формулу {2\) ш Rn{x)
вместо Sn(x) в формулу B4), мы получим
Ф„(а)= *^1 =2соз(яе + ф),
где
ф = arc cos ¦ — Z6.
Таким образом, мы имеем тождественно
R\ (х) + A — я2) J2_j (я) = 4^ (ж) = 4 [Ж2 (ж) + A — ?2) N2 (ж)], D2)
и
Дг (ж) = 271/ (ж), 5i_i (х) = 2N (х).
Из формулы D1) можно вывести также, что
Rn (х) + Ух* - 1 ?п_! (х) = (х + ytf~=l)n-l[Rx (x)+y&=lSi-i(x)]. D3)
Кроме того, из D2), благодаря тому, что коэффициенты при старшем члене
в многочленах Rn{x) и Sn—\ (х) одинаковы для п^> I, получаем, в согла-
согласии с общей теорией,
. т
Для п = I—1 эти равенства уже несправедливы и, определяя коэф-
коэффициент члена степени / — 1 в TV (x), легко проверить, что
(\ /Ч — Х*\
-< [У Mifj =
Применяя тот же метод, при помощи которого во введении к моей
цитированной выше работе A49*; 189*) я доказал справедливость асимп-
асимптотического тождества
г( f +i
1 Ц (t (х))
при любых /)>2 во всех случаях, когда оно справедливо для р = 2,—
мы можем доказать, что это равенство в действительности справедливо
462
при любом р^-2, так что
1 \ Г V 2
для п^1, если ?х (ж} — многочлен степени 2/, неотрицательный на отрезке
[-1, +1].
§7
Приведем теперь несколько замечаний, которые вытекают из всего
предыдущего.
Пусть В-х (х) и Si—\ (х) — два произвольных многочлена степени / и
1 — 1 соответственно, имеющие только вещественные и перемежающиеся
корни в промежутке [—1, +1], и пусть коэффициенты членов наивысших
степеней этих многочленов положительны. Тогда Ri (х) и Si—\ (x) опреде-
определяют два дополнительных семейства ортогональных многочленов, из ко-
1
торых первое соответствует тригонометрическому весу - . , а второе —
1 \х'
1-х2
тригонометрическому весу —т-г-, где
1г (х) = Д? (х) + A - ж») SU (х). D8)
Общий вид многочленов Rn (x) и Sn (x) вытекает из формулы
Rn (х) + Vtf=TSn-i (x) = (х + Ух^ЛO1-1 [Rt (x) + Yx^lS^ (x)}. D3)
Точно так же, если мы хотим, чтобы многочлены R\-\ (x), Ri (x) при-
принадлежали к одному и тому же семейству, то должно быть
и, в зависимости от того, будут ли справедливы равенства i?^_i (l)=i?j(l),
./?г 1 A) = —R\ (—1) или нет, мы получим тот или иной из четырех
классов ортогональных многочленов, указанных выше.
Если произвольно задан некоторый многочлен R21 (х) степени 2/, все
корни которого находятся на отрезке [.— 1, + 1], то возникает также
вопрос, принадлежит ли он некоторому семейству ортогональных много-
членов при тригонометрическом весе вида —р—г- , где ^i(^)^>0
t± [X)
— 1<^?<;J) — многочлен степени не выше 21; иными словами, нужно
определить t^ (x) (с точностью до постоянного множителя) из 21 уравнений
хсR ,7 (x) dx
— 1
464
не только асимптотически, но и точно, поскольку, как показано выше,,
для р — 2 оно справедливо.
Для этого заметим сначала, что
\\
cos (nb + ф) |
так как
v c?6 = \ I cos б )pd6 =
о
cos &(?г6 + ф) db = О
D5)
при любом четном &.
С другой стороны, для
T \ t (r\ t (r\
2 : _M*) 'iWJ
D6>
при любом многочлене Рп (х) степени п, который имеет такой же стар-
старший член, как Rn(x): это вытекает из неравенства
— z
mz
m-l (у _.
справедливого, как легко проверить, при любых
Но
^ (х) р-2
, z>0,
cos
= | cos (^гО + ф) |р~2 :
ф) + . . . + ah COS \
где а0 > 0, и при любом р <^ 2п
nh-1
-2nh
dz
2— лпп
72nh
так как первый член ре обращается в бесконечность внутри окружности
(С, а второй — вне ее, если h ^-2.
Таким образом, правая часть формулы D6) положительна, а это доказы-
доказывает, что многочлен Rn(x), ортогональный относительно тригонометри-
1
ческого веса t . , осуществляет также минимум интеграла
V
Рп(х)
Vtx (х)
dx
V'l — х2
463
Это будет возможно* в том и только в том случае, когда Rn(x) удовле-
удовлетворяет для п = 21 D3) при соответствующем выборе Ri{x) и Si—x(x),
т. е. если
R2l (x) = coslB-Ri(x) — s\niesinB.Si^(x)9 E1)
где Ri (х) и Si-i(x) — многочлены соответственно степеней / и / — 1, все
корни которых находятся в промежутке (— 1, + 1) и взаимно разделяются.
Из уравнения E1) многочлен Rt (x) определяется своими 1+1 значе-
значениями
(-1)*;Цсо8-^) (к = 0,1,.-.,/), E2)
a Si-i (x) определяется / значениями
D (
21 C0S
?,_, cosi^LJ тс = (-1)*- V2A_7 L (A = 1, ....Z). E3)
Затем ^ (х) определяется при помощи формулы D8) [42.2]. Функция
tx (x), найденная таким образом, удовлетворяет, кроме уравнений E0),
условию
) dx
= 1.
В заключение, в качестве приложения, ограничимся указанием сле-
следующего предложения.
Пусть
— произвольный многочлен степени п\. если
Rx (х) = axl+ д{х*-*+ ... + gt, Ji-i (х) = Ьх^
— два многочлена, все корни которых перемежаются в промежутке
(—1, + I), и если згданы только коэффициенты а>0, 6>0, то мини-
минимальное уклонение на отрезке [-— 1, +1] функции
1 1
равно г—. при п^>1 и — при п = 1.
Действительно, это минимальное уклонение осуществляется при
Рп (^) = CRп (х), где С — постоянная, которая выбирается таким образом,
чтобы старший член был равен хп [42.3].
* Если степень многочлена tx{x)^>0 не ограничивается, то, как замечено было
в работе A49*), стр. 177 [см. также A89*), стр. 51], поставленная задача допускает
бесчисленное множество решений. {Автор.)
30 С. Н. Бернштейн, т. I 465
ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ
«ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ»*
В § 6 моей статьи «Об одном классе ортогональных* многочленов» я
доказал, что многочлен Рп{х), ортогональный относительно тригономет-
тригонометрического веса
—т-т
осуществляет минимум интеграла
-1
Vtl (x)
dx
Vl — x*
при любом р ^> 2, среди всех многочленов, имеющих тот же старший
член степени п, что и Рп(х), причем п^-l, если tx (x) —многочлен степени 21
(неотрицательный на отрезке [—1, + !])•
Я хочу дополнить этот результат замечанием, что он остается в силе
для р ^>> 1 и что, вообще, тот же многочлен Рп (х) осуществляет
минимум интеграла
+i . _ . .
dx
V"h{x)
V'l — х*
какова бы ни была функция ср (z), возрастающая и выпуклая при
Действительно, очевидно существует многочлен
Рп (х) = х" + a^-i + ... + ап,
для которого достигается минимум /ф, так как можно указать некоторое
значение L, которого |.Рп(ж)| не должен превысить. Более того, если
мы предполагаем функцию ср (z) выпуклой в строгом смысле слова, то
этот многочлен является единственным, ибо, если бы существовал второй
многочлен Qn(%), дающий такое же значение для /ф, то многочлен
р() + Q()
Дал
этому интегралу еще меньшее значение.
Следовательно, при допущении, что ср {%) — четный многочлен cps (z)
степени 2s, минимум /ф осуществляется многочленом Рп{%), который
удовлетворяет уравнениям
+1
С х*ч'
sgn Pn (x) dx
К A -*»)«! Ф
= 0 (А = 0, 1,...,п-1);
но вследствие результатов, упомянутых вначале, этим уравнениям удов-
удовлетворяет ортогональный многочлен Рп(х).
С другой стороны, при любой непрерывной функции cp(z) можно построить
такой четный многочлен cps (z), чтобы для 0 ^ z <C L было | cpf(z) -— cps (z) \ << s,
где s сколь угодно мало; мы можем даже взять cps (z) возрастающим и
выпуклым в строгом смысле, если ср (z) — возрастающая и выпуклая функ-
функция. Это очевидно, если ср (z) имеет непрерывную вторую производную cp"(z).
* Complement a l'article «Sur une classe de polynomes orthogonaux», «Зап. Харк.
матем. тов.», т. 5 A932), стр. 59—60 A60*).
466
Но любую функцию ср (z) можно сколь угодно хорошо аппроксимировать
при помощи выпуклого многоугольника, а выпуклый многоугольник
допускает приближение при помощи вписанной кривой, имеющей всюду
конечную кривизну, причем эта последняя обращается в нуль в точках
^касания с соответствующей стороной многоугольника. Достаточно, на-
например, взять вблизи каждой вершины многочлен пятой степени / (#),
определяемый в точках касания а, р значениями ср (а), ср ф), ср'(а), ср' ф),
ср" (а) = ср" ф) = 0. Этот многочлен имеет вид
[(xW5(xW(xa) + l0(z№(xa)\
fS [(Ж ~ «M - 5 (ж - а)* (х - р) + Ю (ж-а)» (ж - р)«]
?' (а) [(х - р)« (х - а) - 4 (х - рK (ж - а)«] +
р' (р) [(х - а)* (Я - р) - 4 (х - а)» (ж - р)«]} ,
откуда
- 9' (р) Eя - За - 2р)}> 0
при условии, что
а это условие можно всегда осуществить, выбирая точки касания сколь
угодно близко к вершине (к тому же, это условие снижает степень / (х))•
30*
43
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ
О МНОГОЧЛЕНАХ НАИМЕНЬШЕГО УКЛОНЕНИЯ
С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ *
1. Задача определения многочлена степени п (нетождественного нулю)
с целыми коэффициентами, наименее уклоняющегося от 0 в данном про-
промежутке, разрешается для любого п просто лишь в некоторых частных
случаях. К числу таковых относится, например, как легко проверить,
случай, когда промежуток есть (— 2, + 2). Действительно, тогда много-
многочлен Чебышева
Тп (х) = 2 cos n arcos -|- = хп — пхп-2 +
„(„-3) 4 (—l^nC/i —Z —1) . . . (я —2Z + 1) тП^1 ,
Н
имеет целые коэффициенты и, следовательно, дает решение задачи.
В большинстве случаев задача усложняется тем, что старший коэф-
коэффициент многочленов, дающих решение задачи, может не быть равным 1.
Введение этого условия, напротив, делает во многих случаях решение
почти очевидным.
/1 1 \
Например, очевидно, что в промежутке f — — , -| J, где д — це-
целое число, многочлен вида
Рп (х) = хп + Plxn-i + ... + Рп,
1
где pi — числа целые, не может оставаться меньше, чем —^ , и указанное
уклонение, в частности, осуществляется, если
Рп(х) = хп .
Аналогичным образом и задача об определении многочлена Рп (х)
степени п с целыми коэффициентами, наименее уклоняющегося от данной
функции / (#), существенным образом зависит о^ арифметической природы
* «Докл. АН СССР» A930), стр. 411—415 A42*).
468
рассматриваемого промежутка и от арифметических свойств данной функ-
функции.
Как известно из общей теории наилучшего приближения, аналити-
аналитические функции f(x) характеризуются свойством, что они в любом
промежутке могут быть приближены посредством многочленов достаточно
высокой степени п так, что
|/(«)-/>„ (ж) |< р», A)
где
Р<1.
Это свойство, конечно, вообще нарушается, если требовать,, чтобы
коэффициенты многочленов Р'п(х) были целыми числами.
В частности, как бы мал ни был промежуток, если он включает
точку 0,. то указанное неравенство A), из которого вытекает равномер-
равномерная сходимость всех производных, влечет за собой, что разложение f(x)
по степеням х должно иметь целые коэффициенты, а потому такого рода
неравенство невозможно для функции, имеющей радиус сходимости,
больший 1 (если только /(.г) не есть многочлен).
2. Вопрос об определении класса функций, которые в данном про-
промежутке допускают сколь угодно малое наилучшее приближение посред-
посредством многочлена степени п, тесно связан с вопросом об определении много-
многочлена степени п также с целыми коэффициентами, наименее уклоняюще-
уклоняющегося от нуля в этом промежутке.
Действительно, если существует функция, для которой приближение
с целыми коэффициентами равно ?п [/ (ж)], то наименьшее уклонение
Ln многочлена степени п в этом промежутке удовлетворяет неравенству
С другой стороны, можно построить функции, для которых, при:
длине промежутка с?<^4 и при всяком п,
<?„_! [/ И] < Ьп + Ьп+Ч + . . . < Ln + en,
как бы мало ни было sn.
Таким образом, если длина промежутка d<4, то-
„! „! . B)
Если наложить на приближенные многочлены дополнительные огра-
ограничения, что старший коэффициент равен 1, то указанное свойство
сохраняется.
Например, в силу сделанного выше замечания, функция
469
имеет наилучшее приближение посредством многочленов степени п с
целыми коэффициентами и с старшим коэффициентом 1 на промежутке
(-
2 ' ^
2
и это наилучшее приближение осуществляется соответствующим усече-
усечением степенного ряда.
3. При рассмотрении вопроса о том, в какой мере требование, чтобы
коэффициенты приближающих многочленов были целыми, может испортить
наилучшее приближение, мы можем ограничиться предположением, что
промежуток не включает целых значений х0, так как в противном случае,
очевидно, достаточно, чтобы / (х0) не было целым числом, чтобы безгра-
безграничное приближение было невозможно.
тт /4 — 81 + 8
Итак, допустим, что наш промежуток есть
Впрочем, сначала мы можем предположить, что 8 = 1, что потребует
от нас ограничительного условия относительно приближаемой функции
/(ж), что
которое здесь, очевидно, равноценно условию, чтобы /@) и /A) были
целыми числами.
Нетрудно доказать, что если многочлен
C)
о
дает приближение
\f(x)-Qn(x)\<en,
где еп монотонно убывает с увеличением п, то можно построить такой
многочлен Рп (х) степени не выше п с целыми коэффициентами, что
|/(з)-/>„(*) К *[».]+?• D)
Действительно, пусть п — число простое; тогда, при 0<^т<^п,
будет С™= пЪт, где Ът — целое число. С другой стороны, можем поло- -
шить
(т s
где ат — целое число и | ат ] ^ ¦— . Следовательно,
¦
Qn (х) = Рп (х) + 1 ^ amOm(l - xf
i
где
п-1
Рп (X) = ^ п™ЬтХ
1
470
есть многочлен с целыми коэффициентами степени п.
Но
2 «.«о1" A - *ri *
i
откуда видим, что
\Qn(x)-Pn(x)\<-^, E)
а потому, при п простом,
±+еп. F)
Но, как известно, каково бы ни было число nv всегда существует
простое число тг, удовлетворяющее условию, что п<^п1<^2п) поэтому
неравенство F) для любого п можем записать в виде D) [43.1].
4. Если вместо промежутка @,1) мы . положим о>0 в промежутке
у —2— > —о—/ ' то можно п°лучить более удовлетворительный результат.
Здесь существенную роль играет решение такой задачи: Полагая а
произвольно данным (не целым) числом, определить многочлен Рп (х)
степени п с целыми коэффициентами так, чтобы максимум
\Рп(х)-а\[
был возможно мал в данном промежуткр.
Решение этой задачи представляет значительные арифметические
трудности. Я ограничусь здесь лишь некоторыми элементарными сообра-
соображениями. Можно показать, что для всякого целого числа q существует
л * /1 — 8 1 + 8 \
такое значение Aq, чтобы, при всяком п, в промежутке (—^—» —о—/
возможно было неравенство
\Pn(x)-*\<Aq9», G)
где р <С 1 зависит только от 8, какова бы ни была дробь
я
Весьма интересно было бы установить, существует ли для Aq не
зависящий от q верхний предел [43.2].
44
О ПРИЛОЖЕНИИ МЕТОДА ЧЕБЫШЕВА
К ОДНОМУ КЛАССУ ЗАДАЧ Л. ФЕЙЕРА*
§ 1. Л. Фейер1 доказал замечательную теорему, согласно которой
всякая неотрицательная тригонометрическая сумма
Sn @) = а0 + ах cos 6 + Ъг sin 6 + . . . + Ьп sin nb
может быть отождествлена с квадратом модуля некоторого многочлена
Qn (z) = а0 + aLz + . . . + anzn
при z = eie.
В цитированной работе он применил свою теорему к решению неко-
некоторых экстремальных задач, а по открытому им пути с успехом следо-
следовали другие авторы, в частности Сас2 и Егервари?. Этот изящный об-
общий метод без сомнения принесет еще много пользы. Тем более инте-
интересно сравнить его с другим методом, методом Чебышева, относящимся
к монотонным многочленам, который я применял к аналогичным вопросам.
Алгебраические трудности обоих методов одинаковы по своей природе,
и большая часть задач, доступных одному из них, может быть решена
также другим. Более элементарный метод Чебышева, который я имею
в виду приложить здесь к задачам, относящимся к неотрицательным
тригонометрическим суммам, дает, быть может, менее просто, самую
общую форму решения, но зато он непосредственно показывает, что всегда
существует по крайней мере одно решение, для которого все корни
многочлена Qn(z) равны по модулю единице, и эффективное нахождение
* Sur Papplication de la methode de Tchebycheff a une classe de problemes de
M. Fejer. «ИАН, ОФМН», № 5, 1930, стр. 381—398 A43*).
1 Fejer. Uber trigonometrische Polynome. «Journ. Math.», Bd. 146.
2 Szasz. Uber harmonische Funktionen und L-Formen. «Math. Ztschr.», Bd. 1;
Elementare Extremalprobleme uber nicht negative trigonometrische Polynome. «Sitz.
Ber. d. Bayer. Akad. Wissensch.», 1927, стр. 185—196.
3 Egervary u. Szasz. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometri-
schen Polynome, «Math. Ztschr.», Bd. 27.
472
этого решения требует, таким образом, решения некоторого алгебраиче-
алгебраического уравнения, степень которого в два раза меньше, чем при приме-
применении метода Фейера. Далее, мы обобщаем указанную проблему.
Начнем с проблемы Л. Фейера:
Дана произвольная неотрицательная тригонометрическая сумма
Sn(Q) = 1 + axcos0 -j- ^sinO + . . . + ancos nb + 6nsin тгб; A)
определить максимум L (или минимум) линейной формы
G = %(Akak + Bkbk), B)
1
где Ajc и Вк — заданные вещественные постоянные.
Очевидно, что этот максимум всегда будет положительным (минимум
будет отрицательным и задача о минимуме сводится к задаче о макси-
максимуме изменением знака всех А и В). Таким образом, задача полностью
эквивалентна следующей:
Предполагая, что
G = l, C)
определить минимум у- коэффициента а0 неотрицательной триеономе-
JLj
трической суммы
Sn @) = a0 + a1 cos 0 + . . . + bn sin пб. D)
Я покажу, что среди сумм Sn(Q), реализующих решение, обязательно
существует одна, имеющая лишь вещественные корни, порядок крат-
кратности которых, следовательно, четный.
Действительно, соотношение C) эквивалентно такому:
ти
б
где
п
F @) = ^ (Ак cos kb + Bk sin А6) E)
1
и
о
Итак, допустим, что Sn F) имеет комплексные корни, так что
Sn(b)=P^(b)q(b), G)
где q @) ^ X > 0 для всех вещественных значений 0. Пусть
Яте
32 F) F F) db = С, —
2тг
о
473
cpF) = и + г; cos 6, (8)
где и ш v — постоянные, которые подчинены условию
иС + vCx = 0. (9)
С другой стороны, будем иметь
т^- ( Р2 F) ср F) db = uD + vDv A0)
о
так что, если только постоянные D и Dx не удовлетворяют соотношению
С2I-С1Д = 0, (И)
можно будет выбрать и и г> так, чтобы было
о
каким бы ни было заданное число jx > 0. Таким образом, мы имели бы
4- [ р2 (°) 1Я (е) — ? (е)]*й6 = ао — Iх < аы A3)
о
и, предполагая jx достаточно малым, мы уменьшили бы значение а0,
если бы заменили G) суммой Р2 F) [д F) — ср F)], которая также удовле-
удовлетворяет поставленным условиям, так что экстремум не был бы осуще-
осуществлен. Таким образом, остается лишь рассмотреть случай, когда имеет
место соотношение (И). Тогда функция ср F) определяется с точностью
до постоянного множителя условием jx = 0, и функция
Р2 F) [д F) — гср F)], A4)
когда | г | достаточно мало, дает то же экстремальное значение для а0.
Но, непрерывно увеличивая | г |, мы обязательно достигнем такого зна-
значения s0, что д F) — госр F) обратится в нуль для некоторого веществен-
вещественного значения 6.
Таким образом, всегда существует некоторая функция Sn F), реали-
реализующая экстремум, имеющая вид
где Р(Ь) имеет только вещественные корни.
Если заметить, что общее число корней тригонометрической суммы
порядка п есть 2тг, то будем иметь
Sn F) = IA sin Ц^- • • • sin—^ I , A5)
474
где А — некоторая постоянная, а 6Х, , . . , бп п вещественных двойных
корней суммы *УПF). Следовательно, если п = 2т четно, будем иметь
Szm F) = [#о + #1 °os б + ух sin 6 + . . . + #m cos mb + jrm sin mG]2, A6)
а если тг = 2m + 1 нечетно, будем иметь
[А А
^о c°s у + Уо sin у + . . .
. . . + sm cos (иг + у) 6 + ут sin (т + у) б]2. A7)
Таким образом, в обоих случаях коэффициенты искомого решения *УПF)
будут квадратичными формами параметров х0, xv . . . , ут, общее число
которых равно п + 1, тогда как в представлении Л. Фейера, которое
имеет то преимущество, что приложимо к произвольному неотрицатель-
неотрицательному тригонометрическому полиному, число параметров в два раза
больше Bп -\- 2). В случае, когда данный тригонометрический полином
является суммой только косинусов, очевидно, что все ук или все хк
равны нулю.
Запишем явно представление коэффициентов, вытекающее из фор-
формул A6) и A7).
1-й случай: п = 2т,
л т
% = *1 + 4 2 К? + уЬ>
1
2-й случай: w =
«a = 2 (Vi+ ^j^i) + т 2 tey»! - y^i). A9)
x—i—k i+j=i—1
6i = 2 Цг/i - *{У,-) + 2 *#1-
i—j=k i+j=k—i
Эти два случая мало отличаются друг от друга, так что будет до-
достаточно, для краткости, ограничиться рассмотрением только одного
из них.
§ 2. Рассмотрим сначала несколько частных задач, решенных цити-
цитированными выше авторами, преобразуя их каждый раз так же, как мы
это сделали для общей проблемы.
475
Первая задача1. Определить минимум
n(O)db, F)
о
если значение суммы задано в некоторой фиксированной точке 6 = а:
Sn (а) = М2. B0)
Вследствие периодичности Sn F) можно предположить, что а = 0.
Итак,
х 4- х + . 4-х = М
и нужно обратить в минимум
m
йо~У Ц^Н УЬ (если тг = 2т + 1)
о
или
ао = ^о + Y 2 ^* +'^i) (если п = 2яг).
1
Тогда уг=0 и я{ = —ц—г, если w = 2лтг + 1, откуда
п° = 2m + 2 = л+ 1 #
Если же п = 2т, имеем: у. = 0и 2яо = х\ = т-, откуда
М* 2тМ2 М2
0 Bт + IJ ^ Bт + IJ ~~ п + 1 "
Вторая задача2. Определить минимальное значение а0, предпо-
предполагая, что задано
S'M = N. B1)
Можно снова без ограничения общности считать а = 0.
Итак, имеем для п = 2т + 1
, + • • • + Bт + 1) ут] [х0 + Х{ + . . . + xm]=
а для п = 2т
[2у± + . . . + 2тут] [хо + ... + хт] = N.
Рассматривая, для определенности, случай п = 2т, имеем
2х0 = хг = I [уг + 2у2 + . . . + тут],
У% = ьЦх0 + хг+ ...+ хт],
1 F e j e г, loc. cit.
2 Egervary, loc. cit.
476
откуда
fi + 22/г + • • • +тут).
Уг + 2у2 + ... + mym = X2 v ^ (ft + • • •
Следовательно,
) 2 __
^
m(m-fl) Bm +1J'
где X будет иметь знак TV. Таким образом1,
= Ж
Зд о, | N I. B3)
После аналогичных вычислений снова находим ту же формулу для
п== 2т + 1.
Что касается минимизирующей функции ?пF), то она может быть
представлена в виде (п = 2т)
12\N\ L/V* (n f 2) Г 1 . а , .
{К Ч^ [ + cos 6 + + cos
L4/V* (n -f 2) Г 1 . а ,
{К -Ч^ [у + cos 6 + . . .
и, после аналогичных вычислений, для п = 2т-\-\, получаем
121 iV | \t
| \t/~n (n + 2) Г 8 . .
d + 2) (К ^Т1- [cos у +• • • + co
4
|) в]}'.
т
Легко решить также следующие задачи, решение которых еще не
было дано.
Третья задача. Определить минимум значения а0 если задана
вторая производная в точке а
STn{a) = N. B4)
Можно снова без ограничения общности предположить, что а = 0.
Тогда очевидно, что если Sn(fi) удовлетворяет требованию B4) (при
сс = О), то этим же свойством будет обладать и Sn (—6) и, следовательно,
функция —~ ¦—¦ также дает решение. Поэтому, не занимаясь
вопросом о единствешюсти, мы вправе предполагать функцию Sn(b)
четной.
1 Радикал в формуле B3) имеет знак N.
477
Пусть, для определенности, п = 2т. Условие B4) перепишется так:
V 1
т ^2
VivA -2
и нужно обратить в минимум
Имеем
откуда, положив
Л = 2
получим
В
],
1)Bт+1)„ m (то + 1) Bm + 1) Cm2 + 3m — 1)
15
и, предполагая 2/.=gO,
О
За исключением случая, когда .Л = i? = 0, \ должно удовлетворять урав-
уравнению
з
т(т + 1) Bт + 1) (Зт2 + Зт — 1)
15
N
— Bт + 1)
т (т + 1) Bт + 1)
= 0, B5)
а минимум а0 .равен —, где Х должно иметь знак, обратный знаку N'.
А
Отсюда
Bт + 1) у
(Зт2 + Зт=Т)
^ =
= Bm
+
Таким образом, ес^гг 7V
Л
4
,,¦*/ п(п-\-2)\1/ п
12 ] iV |
|iVi
(w +2)
3
f / Зл2 + 6га
К 5
-41
J
478
в этом случае все г/. = 0.
Наоборот, если N^>0, следует положить А = В = 0. Тогда, соответ-
соответственно предыдущему, имеем
3N 6N
(л+2) '
B6)
В этом последнем случае
откуда
-п(в) = 187V[
*1(т + 1)Bю-И) V 2 '
sin 0 + 2 sin 20 -f . . . -\- rn sin mO
m(m + l)Bm + l)
Таким образом, порядок роста а0 один и тот же в обоих случаях, но
минимум а0 больше, когда 7V>0.
Четвертая задача. Определить минимум а0, если
S'n{*) = N. B7)
Можно попрежнему предположить, что а=0. Пусть еще п=2т. Положив
mm m m
i=0
имеем
1=1
2P @) Pw @) +.6P' @) P" @)
Далее, приходим к равенствам
2кх0 = В19 1х. = Вг — 3i2B, ly. =
A±B = N.
откуда
т + y
IB = — 4а4
где
Таким образом, Х определяется из биквадратного уравнения
X 0 За2 ~(w+ 2
О X - 9а4 За2
4а4 — 4а2 X О
- 4а6 4а4 О X
= 0,
или
B8)
_ 2 [Bт + 1) а6 + 30а2а4] X» + 72 (а2ав - of) [Bm + 1) а4 - 2аЦ = 0.
479
Принимая во внимание формулы
__ т{т + 1) Bт + 1) _ т (т + 1) Bт +1) (Sm2 + Ът — 1)
а2 g , а4 go '
m (m + 1) Bт + 1) (Зт4 + 6т3 — Зт +1)
аб_ __
И ПОЛОЖИВ
X2 = Bт + IJ m (т + 1) z, B9)
приходим к уравнению
2 24т4 + 48т3 + 14т2 — Ют + 1 ,
Z 21 * +
(т—1)т(т + 1)(т + 2)Bт —1JBт + 3J п
1 2625
Больший корень этого уравнения, подставленный в формулу B9), дает
решение задачи, согласно формуле а0 = — .
Когда порядок заданной производной растет, задача сводится к ре-
решению некоторого алгебраического уравнения, степень которого растет1.
Я покажу, как можно найти асимптотическое значение минимума а0,
когда порядок производной 2/?, который я предполагаю для определенности
четным, бесконечно возрастает. Если допустить, что п = 2т конечно,
то решение получается немедленно. Действительно, асимптотическое зна-
значение производной порядка 2р равно
так что для нахождения минимума а0 нужно обратить в нуль все
остальные параметры. Следовательно2,
42р) (О)
2 """
Предположим теперь, что т также бесконечно возрастает, и пусть
lim-?- = <*>0. C0)
т ^ v '
Вследствие A8) имеем
+/Jр+(* - /Jр] = ^
Так как S^p\0) уменьшалось бы, если бы было XjXi<iOt минимум а0
будет достигнут^ когда все х\ одного знака, который можно предпола-
предполагать положительным. Кроме того, имеем
1 Для производных порядка 2р или 2р + 1 полное решение зависит от некото-
некоторого уравнения, степень которого равна меньшему из чисел р -\-1 и m -}- 1.
2 Этот результат сохраняет силу и при (—l)p*S^2p) @)<0, с заменой хт на ут.
То же замечание относится и к следующему рассуждению, так что формула C1)
лмеет место во всех случаях.
480
пока величина п — i — / остается конечной, и вообще
Следовательно,
Мы пришли, таким образом, к задаче обращения в минимум а0 в пред-
предположении, что задано
т
а = ^ ^ч
где
Имеем
откуда
r. __ piaL
_ e(n+2) a
2la0 = A, \A = 2je2ia ~ 2 _
следовательно,
a° "" 2X
Л Л2(^2а— 1)
C1)
§ 3» Обобщим теперь следующим образом теорему § 1:
Теорема. Если
Sn (в) = a0 + fli cos G + • • • + ^n cos nb + bn sin nb > 0 C2)
удовлетворяет условиям
2тг 2тт
J ^п F) J1! (в) rfG = Al9 \ Sn F) F2 F) М = Ла, C3)
6 6
#го абсолютный минимум интеграла
2тт
S^nF)?F)rfe C4)
о
всегда может быть осуществлен тригонометрической суммой, которая
имеет лишь вещественные корни (двойные). Здесь F1(^) и F2(fy — любые
заданные интегрируемые функции, Ах и А2 — заданные постоянные такие,
что условия C3) совместны, а ср F) ^> р ^> 0 — также любая заданная
интегрируемая функция1.
1 Было бы достаточно предположить, что ср @) > р > 0 для конечной части
(а, р) интервала @, 2п) и фF)^0 на остальной части интервала; следовало бы
только заметить, что модули коэффициентов суммы «5*п @) могут быть ограничены
сверху, когда существует верхний предел интеграла
a
31 С. Н. Бернштейн, т. I 481
Действительно, пусть ап F) ;> 0 некоторая тригонометрическая сумма
порядка п, удовлетворяющая условиям C3). Если
2тт
L = \ ап F) ср F) d6, C5)
о
то можно рассматривать лишь такие суммы, для которых
2тт
о
и тем более лишь такие, для которых
2тт
Следовательно, достаточно рассмотреть замкнутое множество значений
а0, ау, . .. , Ьп, удовлетворяющих условиям
О < а0 < А , I <ц! < —, I Ъг ! < — ,
откуда следует, что должна существовать функция Sn(b), осуществляю-
осуществляющая минимум М интеграла C4).
Пусть эта функция определяется равенством
где д F) ^> X > 0 для всех вещественных значений G. Мы должны показать,
что если функция д F) отлична от постоянного числа, всегда будет воз-
возможно, не увеличивая значения интеграла C4), заменить ее полным
квадратом, обладающим лишь вещественными корнями.
С этой целью положим
t (в) = и + v cos G + w sin 6, C6)
где
2тт 2тс
\ Р2 (в) t (G) Fx F) tf 6 = ^ Р2 F) * F) F2 F) db = О,
о о
так что
Сои + Сг^ + C2w = О,
л и + D,v + D,w = О,
2тт 2тт
J Р2 F) fx (в) rfe = с0, S Р2 F) ^2 F) rfe = zH,
о о
482
2тт
2тт
(в) F± (G) cos 6 tfG = Cv J i52 (в) F2 (в) cos G dG = D19
о
2тс
(G) Fj (G) sin G dti = C2, \ P2 (G) F2 (G) sin G db = Z>2.
о о
С другой стороны,
2тт
J P2 F) t (в) ср (в) dG = ?огг + ?lV + E2w,
где -Eo, Fx, ?2 — постоянные.
Если определитель
Г С С
^о ui ^2
А, А А
отличен от нуля, можно выбрать и, v, w так, что будет
2тс
Р2 (G) ^ (9) ср (G) rfG = fi,
C7)
каково бы ни было
малым, чтобы было
стороны,
. Следовательно, предполагая [л настолько
| + |^J<;X, мы имели бы, с одной
и, с другой стороны, функция Sn(Q)> удовлетворяя условиям C3), да-
давала бы интегралу C4) значение М — ц, что невозможно, так как, по
предположению, Sn F) реализует минимум М. Таким образом, обяза-
обязательно должно быть
Д = 0.
Положив [jl = 0, получаем, с точностью до постоянного множителя,
функцию t (G) такую, что при достаточно малом | е
удовлетворяет условиям C3) и дает то же самое значение М для инте-
интеграла C4).
Так как минимум функции д (G) — st (G) непрерывно изменяется вместе
с е, найдется по крайней мере одно значение г = е0, для которого этот
минимум равен нулю, следовательно, функция д (G) — eot (G) будет иметь
вещественный двойной корень. Таким образом, можно постепенно заме-
заменить G(9) полкцм квадратом, что и требовалось доказать.
Технические трудности, возникающие при приложении этой теоремы,
будут, естественно, большими, чем в случае, изученном выше, однако
будет еще много интересных задач, допускающих простые решения.
Я ограничусь рассмотрением следующей задачи [44.1].
483
31
2тг
Определить минимум
предполагая, что функция Sn(b) задана в двух точках а и
Мы можем без ограничения общности предположить, что
Положив
[3 = 0.
имеем тогда равенства (п = 2т)
#0 + Ж1 + • • • + хт = А,
C0S
i sin
Обращая в минимум aQ = xg + -y2 (ж? + ^)»
нах°Дим
2х0 = X
jjl cos ia,
= ^ sin ia.
Следовательно,
= Г 2"
Отсюда
так что
а0 А В
A n + 1 l+22cosia
В 1 + 2 2 cos ia я + 1
(Л2 + Л2) (/г + 1) — 2АВ [1+2
. л +1
sm —у- а
± 2
VSn (°) Sn (a)
sin у
/. л+1 \2
sin —2— a \
V sin j- /
C8)
C9)
причем последний член числителя всегда должен быть отрицательным.
Кроме того,
Xsm—о—6 [л sin
—V
sm -
. U —a
sm ——
D0)
484
где
а п + 1
(п + 1) A sin -7f — Л sin —к— а
-у г» • ОС <? Z
А = 2 sin • —j
(п 4 IJ sin2 у — sin2 ^-fj— а
D1)
а п + 1
(л + 1) #sin -15- — Л sin —7г- а
2. ОС Z Z
sm .
(л 4- IJ sin2 тр — sin2 » а
В частности, если положить ?п(а) = 0, то необходимое и достаточное
условие для того, чтобы получилось значение
a -
(что соответствует первой задаче § 2, когда задано только Sn @)), состоит
в том, что а должна быть корнем уравнения
sin —т,— а
= 0, D2)
а
sin y
т. е.
где А = 1, 2, . . . , ^г.
Если предположить, что *Sn@) = *Уп(а), имеем
. л 4-1
sm —?j— а
а
sin тг
где второй член знаменателя должен быть положительным. Таким образом,.
всегда будет а0 ^ п и наиболее неблагоприятный случай будет тогда,,
когда удовлетворяется уравнение D2). В этом случае
^п @)
а
Устремляя а к нулю в формуле C9) и воспользовавшись правилом
Лопиталя, получим
2 (п 4- 1) 55' — 2ЛЯ' A 4- 2 > cos i'a) 4 4Л# > i sin га
а0 = lim ^= ——= —
4A + 2 2j cos i'a) 2j г' s^n г%а
= 42«-«(» + D ;
485
следовательно, заметив, что Sn@)=^2AAr, получим минимум для а0
п @)
¦W. D3)
заданы Sn@) и Sn@).
Можно, очивидно, найти формулу D3) и непосредственно, применяя
наш общий метод. Из D3) выводится результат Фейера, если положить
и результат Егервари B3), если положить
и (я+ 2) •
45
О РЕГУЛЯРНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЯХ*
1. С практической точки зрения, наиболее важным качественным
свойством вещественной функции в окрестности данной точки представ-
представляется направление ее изменения при достаточно малом изменении неза-
независимой переменной.
Средствами современного анализа, правда, легко строятся функции ср (х),
которые ни в каком промежутке, как бы мал он ни был, не являются
ни возрастающими, ни убывающими.
Но нужно иметь в виду, что, вообще говоря, наблюдаем мы не сами
значения ср (х) (предположим для определенности, что они положительны),
а некоторые средние из этих значений, получающиеся из очень большого
числа близких значений х. Так, например, допуская закон ошибок Гаусса
с параметром а, определяющим степень точности, мы, вместо функции ср (ж),
имеем дело с доступной наблюдению функцией
/(х)= -1= \ о{у)е ** dy = -^r \ "?(У)е 2а! °' аУ'
— сю — со
очевидно, аналитической: она представляется в виде произведения экспо-
экспоненциальной функции Гаусса на абсолютно выпуклую функцию, т. е.
такую, у которой все производные четных порядков положительны.
С другой стороны, многие из часто встречающихся функций, в част-
частности многочлены, лежащие в основе всей теории функций, обладают тем
свойством, что всю вещественную ось можно разбить на промежутки, в
которых каждая из производных монотонна.
Высказанные соображения объясняют в общих чертах, почему особен-
особенного внимания заслуживает систематическое исследование свойств ве-
вещественной функции, у которой конечные разности порядка h + 1 сохра-
сохраняют неизменный знак в пределах данного промежутка. Легко убедиться,
что такая функция имеет непрерывные производные до порядка h — 1
* Sur les fonctions regulierment monotones. «Atti Gongresso Internazionale dei
Matematici», Bologna, t. 2 A930), стр. 267—275 A44*).
487
включительно, а также монотонные правую и левую производные поряд-
порядка Л. В своих «Legons sur les proprietes extremales etc.» я показал, что
при h бесконечном функция является аналитической внутри рассматри-
рассматриваемого промежутка; функции такого рода я назвал регулярно монотон-
монотонными. Напомню, что там же установлено следующее. Если функция имеет
бесконечное множество монотонных производных, порядки которых растут
не быстрее, чем члены некоторой арифметической прогрессии, то и в этом
случае она — аналитическая, и более того: каково бы ни было возраста-
возрастание названных порядков, функция все равно принадлежит к классу
функций, квазианалитических (Р), представляющих, как известно, заме-
замечательные аналогии с аналитическими функциями.
2. На этот раз я не собираюсь заниматься этими функциями более
общего типа и ограничусь кратким указанием существенных моментов
теории регулярно монотонных функций.
Алгебраическая основа этой теории заключается в исследовании
экстремальных свойств многочленов, для которых известное число после-
последовательных производных сохраняет в определенном промежутке данные
знаки. Затем следует аналитическая часть, в которой рассматриваются
проблемы сходимости, аналитическое представление, характер особен-
особенностей и т. п. В качестве одного из важных применений этой теории
я укажу еще проблему суммирования рядов Тэйлора с нулевым радиусом
сходимости на основе условия, чтобы функция была регулярно монотон-
монотонной в окрестности рассматриваемой точки.
Хотя регулярно монотонные функции обладают рядом общих свойств,
однако они существенно различаются между собой в зависимости от типа,
к которому принадлежат.
3. Наиболее важным во многих отношениях оказывается случай абсо-
абсолютно монотонных функций, когда все производные — одного и того же
знака; при помощи замены х на — х к этому приводится и тот случай,
когда знаки производных чередуются.
Этот тип — единственный, для которого свойство регулярной монотон-
монотонности может распространяться на бесконечный промежуток. Почти оче-
очевидно, что правый конец b отрезка аЪ абсолютной монотонности функции
f(x) есть непременно особая точка функции / (х) и что радиус сходи-
сходимости в точке а равен длине всего отрезка ab. Таким образом, если
отрезок абсолютной монотонности простирается вплоть до + оо, то функ-
функция— целая; если же лишь левый конец а совпадает с — оо, то функ-
функция / (х) голоморфна в полуплоскости, расположенной влево от перпенди-
перпендикуляра, восставленного к вещественной оси из точки Ъ. Это единствен-
единственный случай, когда алгебраические многочлены не могут нам быть полезны.
Не углубляясь в детали (те из вас, которые ими заинтересуются, могут
обратиться к моему мемуару в «Acta Mathematica», т. 52 [35]), я отмечу,
что фундаментальную роль здесь играют экспоненциальные полиномы с по-
положительными показателями и коэффициентами: шменно такие полиномы
оказываются решениями всех экстремальных проблем, относящихся к
функциям, абсолютно монотонным на отрицательной полуоси.
488
Так, например, если задано, допустим, четное число 2k положительных
значений /@), /'@), . .. , /^-^(О), то условие, необходимое и достаточное
для существования функции, абсолютно монотонной до — ос, отвечающей
этим начальным данным, заключается в том, чтобы определители
Вронского
@)=
/@) .../(*) @)
РУ @)
/'@) ... /(*+!) @)
тг/щ <?сеж к <^h и если Ап = О, я? о чтобы было гНакже Ап>= О иргг пг ^> п.
Эти условия как раз означают, что дифференциальное уравнение
A2h(%) = 0» общим интегралом которого является экспоненциальный поли-
полином, имеет в качестве частного интеграла, определенного заданными началь-
начальными условиями, экспоненциальный полином cp2h (x) с положительными
показателями и коэффициентами. Этот полином cp2h (x) обладает тем
замечательным свойством, что при всех значениях х^0 он имеет наи-
наименьшее значение среди всех функций, абсолютно монотонных вплоть
до — ос и удовлетворяющих тем же начальным условиям. И это — един-
единственная абсолютно монотонная функция, если Azk—i = 0, т. е. если
замена /'@) на f @) — ? уничтожает неравенства A), кап бы мало ни
было г>>0.
Данное утверждение остается в силе и при h—>oo.
Легко убедиться, что, каковы бы ни были начальные данные, удов-
удовлетворяющие бесконечному числу неравенств A), абсолютно монотон-
монотонная функция, имеющая заданные производные, существует. Кроме того,
если условимся выбирать / @) таким образом, чтобы /' @) — ? уже не
удовлетворяло этим неравенствам, как бы мало ни было е, то совокуп-
совокупность начальных данных определяет абсолютно монотонную функцию
однозначно, хотя последовательные производные /(п)@) могут при этом
возрастать сколь угодно быстро.
4. Если значения /@), . . . , /(п) @), ... не удовлетворяют указанным
неравенствам, то всегда возможно (и притом бесконечным числом спосо-
способов) выбрать значения F^@) и F^ @) таким образом, чтобы они удо-
удовлетворяли соответственно условиям абсолютной монотонности вплоть
до — сх) и чтобы имели место равенства
Поэтому, так как рассмотренные выше экспоненциальные полиномы
имеют пределом интегралы Стильтьеса вида
489
где ф (z) — монотонная функция, то ряду Тэйлора, с конечным или ну-
нулевым радиусом, всегда соответствует интеграл такого же вида, где
Ф (z) — функция с ограниченным изменением. Чтобы проблема стала опре-
определенной, можно поставить себе целью минимизировать сумму вида
п
2 akF\k\0), где положительные коэффициенты ак, например, больше,
чем —^к ; если соответствующий минимум, так же как и 2ай/^@)>
к.
стремится к пределу при неограниченном возрастании п, то получается
таким образом совершенно определенная функция F1(x) — F2(x), не за-
зависящая от значений ак.
5. Не останавливаясь на связи упомянутых проблем с проблемой
моментов и с другими вопросами анализа, я хотел бы сказать еще не-
несколько слов по поводу функций, абсолютно монотонных на конечном
отрезке. Заменяя х через log (xx + с), мы из неравенств A) немедленно
выведем условия, необходимые и достаточные для того, чтобы заданные
значения производных в начале могли соответствовать многочлену вида
^jAi(x + c)H, где Аг^0 и оц^О; но для того, чтобы полученная функ-
функция была абсолютно монотонной на отрезке [—с, 0], необходимо и доста-
достаточно, чтобы, сверх того, числа а^ были целыми. Таким образом, обнару-
обнаруживается арифметическая природа данного вопроса.
В названном выше мемуаре я дал алгорифм, позволяющий в каждом
данном случае при помощи одних лишь арифметических операций узна-
узнавать, возможно ли введение каждой следующей производной, и вместе
с тем одновременно находить многочлен, являющийся решением соответ-
соответствующей экстремальной задачи. Там указан также метод определения
наибольшего отрезка, на котором функция может быть абсолютно моно-
монотонной. Интересно сделать следующее замечание: в случае, если с = оо,
полное определение коэффициентов и показателей экспоненциальных по-
полиномов, о которых было сказано выше, приводит к алгебраическим
уравнениям возрастающих степеней; напротив, при с конечном нужно ре-
решать некоторые системы линейных уравнений, которые могут быть исполь-
использованы для приближенного решения алгебраических уравнений высших
степеней, соответствующих с = оо.
6. Упомяну также о некоторых алгебраических проблемах, примыка-
примыкающих к тому же кругу идей: именно, о проблемах, касающихся экстремаль-
экстремальных свойств многочленов, кратно монотонных, порядка Л -{-1, т. е.
таких, что их производные первых h + 1 порядков положительны.
Представлялось, например, не лишенным интереса построить много-
многочлены вида
кратно монотонные порядка h -J- 1, которые наименее уклоняются от
нуля на данном отрезке. Решив эту проблему и исследовав ее решение
(в случае h = 0 она была решена Чебышевым), я установил связь ме-
между максимумом М самого многочлена и максимумом N его производ-
490
N ( n2 \
ной1; в частности, выяснилось, что -^ = 01 -г)- При изучении этих
вопросов существенную роль играют многочлены Якоби. Мои ученики
Бржечка и Геронимус с успехом приложили мои методы к решению дру-
других проблем подобного рода2.
7. В общем случае тип регулярной монотонности функции / (х) на
отрезке ab характеризуется последовательностью чисел Х1? Х2, . . . , Хп, . . . ,
обладающих тем свойством, что
/<*-*> (х) рЦх) > 0 при 1<)ч,
/(*-*) (х) /<«> (х) < 0 при l± < i < лх + Х2 = а2,
и так далее. Такую часть последовательности, для которой последова-
последовательные производные — одного и того же знака, мы называем перма-
нансом, а такую, для которой знаки производных чередуются, — аль-
альтернатом. В перманансе, при прохождении его слева направо,
производные по абсолютному значению возрастают; в альтернансе, на-
напротив, убывают.
Положив
так что при любом т
можно доказать, при помощи элементарных рассуждений, что
l/'-'WK Xi1p'"-Xm!QwI/W1- B)
(ж— а) т (b—x)Qm
Эти неравенства относятся только к производным порядка ат, зани-
занимающим первое место в перманансе или альтернансе. Для производных
остальных порядков справедливы аналогичные неравенства: если
п = <зт+% где 0<A<Xm+l, то
I /^ (а) | < №..ЛШ
(y-fl)PmF-y)QTOB/-^)
причем у может быть выбрано произвольно в промежутке (а, х) или
(х, 6), смотря по тому, принадлежит ли fn^(x) альтернансу или перма-
нансу. Отсюда следует, что функция, регулярно монотонная на от-
отрезке ab, —-не только аналитическая на этом отрезке, но даже целая,
если только возрастание чисел Хт не слишком быстро; в частности,
для этого достаточно выполнения условия3 — ->0.
1 «Gomptes rendus», t. 185, стр. 247 (ИЗ*); t. 186, стр. 1187 [31].
2 «Math. Ztschr.», Bd. 30, стр. 357.
3 «Gomptes rendus», t. 186, стр. 1266 A29*). «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 4,
т. 2 [32].
491
8. Рассмотрение неравенства B) позволяет предвидеть, что тип моно-
монотонности, в наибольшей степени ограничивающий возрастание последо-
последовательных производных функции, соответствует случаю, когда все Х| = 1.
В этом случае, когда последовательность знаков производных — та жет
что для функции sin# в промежутке Г0» у)> дополнительные нера-
неравенства B') становятся излишними. В дальнейшем мы возвратимся к
несколько более подробному рассмотрению функций этого класса, кото-
которые я называю циклически монотонными: будучи в некотором смысле анти-
антиподами абсолютно монотонных функций, такие функции — непременно
целые, рода не выше 1 и конечной степени. Но предварительно я хотел
бы указать кое-какие общие результаты, относящиеся к расположению
особенностей произвольной регулярно монотонной функции. Прежде
всего, функция, регулярно монотонная на отрезке аЪ, каков бы ни был
ее тип, голоморфна внутри круга с диаметром аЬ.
Это утверждение вытекает из более общей теоремы, в формулировку
которой входит одно понятие, являющееся фундаментальным в теории
рядов Тэйлора, которое я сперва напомню.
Согласно классической теореме Ж. Адамара, радиус сходимости р (х)
функции / (х) в точке х дается формулой
9{х) '
Говорят, что производные pVn'(х) образуют характеристическую по-
последовательность, если
lim
n->co
Рп
Приняв это во внимание, воспользуемся одновременно формулой,,
аналогичной формуле Адамара, но относящейся к теории наилучшего
приближения:
где р есть сумма осей эллипса с фокусами а и 6, проходящего через
ближайшую особую точку f (х), и неравенствами г
у
(где 0<^iV<^/(n+1) (x)<^M на ab), указывающими границы для наилуч-
наилучшего приближения функции посредством многочленов степени п; тогда
без труда получаем следующую теорему:
Теорема. Если можно в точке х построить характеристическую
последовательность из производных, принадлежащих к перманансам, то
1 См. [3], § 50, а также «Э. П.», стр. 46—49.
492
круг сходимости в этой точке содержит вещественную особую точку
z^>b функции f (х); если молено построить характеристическую после-
последовательность из производных, принадлежащих к альтернансам, то
круг сходимости в точке х проходит через вещественную особенность
Итак, во всех случаях, когда функция, регулярно монотонная на не-
некотором отрезке, не является целой, она имеет по крайней мере одну
вещественную особенность. Тогда на отрезке аЬ наверное существует
такая точка Е, что круги сходимости, соответствующие всем другим точ-
точкам отрезка ab, находятся внутри круга сходимости с центром в точке ?.
Если ? — внутренняя точка, то функция имеет непременно две веществен-
вещественные особенности.
Очевидно, кроме того, что регулярная монотонность функции / (х)
может не измениться при добавлении какой бы то ни было особенности,
находящейся вне только что определенного максимального круга сходи-
сходимости С; поэтому не представляется возможным делать заключение по
поводу особенностей, расположенных вне этого круга. Замечу еще, что
правый конец Ъ отрезка монотонности может быть особой точкой не
иначе, как при условии, что перманансы настолько длинны, что
= l; C)
а2Ъ+1
и точно так же точка а может быть особой лишь при условии
Ш^ 1. C')
Мы видим, таким образом, что за исключением случая абсолютно
монотонных функций (который был рассмотрен вначале), типы регуляр-
регулярной монотонности, возможные в окрестности особой точки, весьма огра-
ограничены] притом, если допустим для определенности, что особой точкой
является Ь, то знаки последовательных производных должны подчиняться
закону C), для того чтобы проблема суммирования соответствующего
расходящегося ряда Тэйлора при помощи регулярно монотонной функции
могла иметь решение. В этом случае «почти абсолютной» монотонности
суммирование ряда (если оно возможно) выполняется простой группиров
кой его членов: достаточно члены ряда Тэйлора, относящегося к точке 6,
сгруппировать таким образом, чтобы каждая группа начиналась с члена
некоторого альтернанса. При этом мы видим, пользуясь остаточным членом
R (х) в форме Лагранжа, что если только существует функция, регулярно
монотонная на аЬ, то после группировки получается
An) /а + '
' V 2
тогда остаточный член стремится к нулю в промежутке —^— <^x<Cj>, и
ряд сходится в этом промежутке, как и все ряды, получающиеся при
493
повторном дифференцировании. Очевидно, в этом случае не может суще-
существовать более одной регулярно монотонной функции, имеющей в точке b
заданные значения производных; заслуживает внимания, что функция
является квазианалитической (Р) на всем отрезке аЬ, включая его концы.
9. В заключение я хотел бы остановиться еще на нескольких типи
ческих экстремальных проблемах, стоящих в связи с изложенной тео-
теорией *.
Рассмотрим сначала следующие две алгебраические проблемы про-
противоположного характера, допускающие в качестве решения одни и те же
многочлены, аналогичные многочленам Бернулли и Эйлера и имеющие
пределом тригонометрические функции.
1) Определить многочлен
Рп (х) = -J + ft*"-1 + ... + Рп, D)
наиболее уклоняющийся от нуля на отрезке [О, 1], если известно, что
он сам и каждая из его производных до порядка п — 1 включительно
обращается в нуль хоть раз на этом отрезке.
2) Определить многочлен вида D), циклически монотонный на отрез-
отрезке [О, 1], таким образом, чтобы на этом отрезке он был наименее
уклоняющимся от нуля.
Нетрудно убедиться, что многочлены, являющиеся решениями этих
двух задач, между собою тождественны, так как оба они определяются
тем свойством, что их последовательные производные обращаются в нуль
поочередно в концах отрезка 0 и 1; итак, решением первой задачи
является также циклически монотонный многочлен.
Таким образом, искомые многочлены имеют вид
и вообще
X X
n-i (x) dx, P2i+i (x) = J Р2ъ (х) ах.
1 О
Отсюда легко заключаем, что
где Еп — числа Эйлера, обращающиеся в нуль при нечетных п, так что
Рп всегда представляет собою или четную или нечетную функцию.
При п четном, п = 2к, искомое максимальное отклонение есть
\п+1
B*)!
* См. также мою статью: О некоторых свойствах циклически монотонных
функций, «Изв. АН СССР, серия матем.», 1950 B57*). (Автор.)
494
Найденные многочлены просто связаны с многочленами Эйлера:
в самом деле, они удовлетворяют уравнению
±[Pn(X + i) + Pn(X-i)i = ^,
и, следовательно, многочлены Эйлера даются формулой
Еп(х) = j^Pn Bх-1).
При п = 2к + 1 мы получаем
_ 1 (л
'— Bк + 1)! 1
Bк + 1)! 1 * ] ~ BЛ)Г + 3!B*-2)! +
[»()]()
10. При помощи многочленов Рп{%) можно теперь решить еще неко-
некоторые задачи на экстремум, относящиеся уже не к многочленам, а к про-
произвольным функциям.
Так, можно доказать следующие теоремы: Если функция f(x), как
и все ее производные, обращается хоть один раз в нуль на отрезке
[О, 1], причем f(x) достигает на этом отрезке значения 1, то ее производ-
производная любого данного порядка т непременно асимптотически достигает
значения ( -- ) и не превосходит этого значения при всех т^>0только
\ * J
в случае функций sin -^x и cos -—x [45.1].
С другой стороны, если циклически монотонная функция не превосхо-
превосходит 1 на этом отрезке, то ее производные любого нечетного (ради
определенности) порядка т не превосходят значения ^ ——, и это зна-
чениё (асимптотически равное -тг(-у-) )> действительно достигается,
если f(x) = Рт+\(х). [Для функции sin yx это значение равно лишь
2) 2 \2.
Итак, мы видим как нельзя более явственно, что из всех типов ре-
регулярной монотонности циклическая монотонность налагает наиболь-
наибольшие ограничения на рост модулей последовательных производных]
отсюда, в частности, вытекает, что всякая функция, циклически моно-
монотонная на отрезке длины 1, является целой функцией степени /?^7г/2.
Вместе с тем не представляет труда убедиться, что любая целая
функция степени р может быть представлена как разность двух цикли-
циклически монотонных функций на всяком отрезке, меньшем, чем 2/?/тс,
и не может быть представлена таким образом на большем отрезке.
495
В заключение я еще замечу, что введенное выше понятие типа монотон-
монотонности в данной точке играет существенную роль также в том случае,
когда не существует фиксированного промежутка регулярной монотон-
монотонности и рассматриваемая точка оказывается предельной точкой для мно-
множества нулей всех последовательных производных. Степень сгущенности
нулей, из которых составляется это множество, увеличивается вместе
с возрастанием максимумов модулей последовательных производных*, но
зависит также от знаков производных, уменьшаясь, если типовые числа
Хп возрастают [26.7].
* Начало систематическому исследованию аналогичных вопросов в комплекс-
комплексной плоскости положено известной работой В. Л. Гончарова «Recherches sur les
derivees successives des fonctions analytiques» (Ann. Ec. Norm., 1930). (Автор.)
46
ОБ ОЦЕНКАХ ПРОИЗВОДНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ*
1. Пусть Рп(%) = Aо%п + • • • + #п любой многочлен, и пусть
Ht (z) = bozi + ...+bt
многочлен степени I <C п, не имеющий корней вне окружности С ра-
радиуса 1; если на С
|/>n(z)|<|#,(z)|, A)
то, каково бы ни было &,
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай п — 1, А = 1.
Полагая z = z0 \ ^ , где z0 — некоторая точка окружности С, будем
иметь
р ^ - А{х) Я М - В{х) П\
где все корни многочлена .В(;г) находятся в верхнер! полуплоскости;
тогда неравенство A) примет вид
| Л (ж) |< | В (ж) |
для всех вещественных значений х. Следовательно, в силу известного
предложения, мы имеем также
на всей вещественной оси. Таким образом, пользуясь равенствами C),
мы получаем, после некоторых простых выкладок, что
zP'n (z) — inxPn (z) I < I zHn (z) — inxHn (z)
откуда, при х = 0, следует
* Sur la limitation des derivees des polynomes. «Comptes rendus», t. 190 A930),
€тр. 338—341 A46*).
32 С* Н. Бернштейн, т. I 497
2. Применяя неравенство B) к тригонометрическим суммам, полу-
получаем следующую теорему: если тригонометрическая сумма Sn(ft) порядки
п^1 удовлетворяет неравенству
|5„(в)|<!Я,(в»в)| D)
для всех вещественных значений 8, то
| S'n F) |< | (п - I) Нг (eie) + eieH[ (eie) | E)
и вообще
\S™@)\<C\[ei(n-l)eHi(eie)]W\. F)
Из D) мы можем вывести соответствующее неравенство для много-
многочленов на отрезке [—1, +1].* если на этом отрезке
| Рп (х) | < /М2 (х) + A - х2) N2 (x), G )
где М (х) и N (х) — два вещественных многочлена, степени которых соот-
соответственно равны I и I — 1, такие, что М (х) > 0 и N (х) ^> 0 при х > 1,
причем все корни этих многочленсв на отрезке [—1, +1] перемежаются,
то для этого отрезка будет справедливо неравенство
(8)
) + xN (x) + (x2 — l)N'(x)]2 + (l~x2)[(n—l)N(x) + M' (x)]
(которое при 1 = 0 сводится к известному неравенству) [46.1].
Отсюда следует, что если t(x)^>0 — непрерывная функция, то из не-
неравенства
\Pn{x)\<t (х) (9)
на отрезке [—1, +1] вытекает
Рп (х) Yl-x2 | < nt (x) A + гп), A0)
где еп равномерно стремится к нулю вместе с \\п на отрезке
[-1. +i].
Кроме того, можно показать, что неравенство (9) влечет неравенство
| пРп (х) + iP'n (х) У1-х2 | < nt (x) A + еп); (И)
в частности, если t (x) — постоянная величина, то мы имеем тождественно
Вп = 0.
3. Определение максимального модуля последовательных производных
на концах ЧЬ'1, если неравенство G) справедливо на всем отрезке
498
[—1, +1], является прямым следствием результатов, полученных в моей
последней заметке* A45*).
Мы получаем
| Р'п A) |< (п - /J М A) + М' A) + 2 (п - I) N A) A2)
и в общем случае, каково бы ни было к,
N
где Гп (^) = cos n arc cos ж.
Следовательно, предполагая, что выполняется неравенство (9), где
t (х) > 0 — некоторая заданная непрерывная функция, получим
г^е е стремится к нулю вместе с к/п.
Легко показать, что большее из двух значений правой части A4)
является также асимптотическим верхним пределом М для | Рп (ж) [
яа <??е.м отрезке [—1, + 1], если только k2jn стремится к нулю.
На первый взгляд тот факт, что значение М зависит только от t (Hh 1),
может показаться удивительным; однако в этом нет ничего неожиданно-
неожиданного, если учесть, что порядок максимального возрастания (относительно п)
производных многочлена в фиксированных точках внутри отрезка меньше,
чем на концах.
* См. также [42]. Следует учесть, что наибольшие значения производных при-
х = + 1 достигаются для многочлена, наименее уклоняющегося от нуля при весе-
1
V М2 (х) + A — ос2) N2(x)
(Автор.)
32*
47
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРОБЛЕМЫ
ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО
ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ *
Задача приближенного представления функции выражениями данной
формы, в частности рациональными многочленами, имеет важное значе-
значение для математического анализа и его различных приложений.
Я не буду здесь останавливаться на практической стороне задачи,
но совершенно ясно, что интересующее практиков решение задачи о раз-
разложении данной функции в ряд, сходящийся по возможности быстро,
вытекает из решения задачи о нахождении многочлена, наименее укло-
уклоняющегося от этой функции. Всякий теоретический прогресс в этой
области рано или поздно найдет приложение в промышленности и ста-
статистике.
Мы здесь становимся на точку зрения теории функций и даже более
узко — функций вещественного переменного, где методы теории наилуч-
наилучшего приближения обнаружили свою особую плодотворность, дав глубокую
алгебраическую базу для изучения и общей классификации непрерывных
вещественных функций.
Рассмотрение многочленов наименьшего уклонения в комплексной
области, конечно, также приводит к прекрасным результатам, которыми
мы обязаны главным образом работам Фабера, Сегё, Фекете и Дйюлиа.
Я прошу извинения за то, что, связанный недостатком времени, не смогу
осветить важные исследования этих авторов.
Напомню сначала классическое определение многочленов наименьшего
уклонения. Говорят, что многочлен Рп (х) степени п есть многочлен,
наименее уклоняющийся от данной непрерывной функции / (х) на дан-
данном интервале, если для него
x\f (х) - Рп(х)\ = En[f (х)]
* Труды первого всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930 ). ОНТИ,
i\L —Л., 1936, стр. 78—96 A76*).
500
меньше, чем для других многочленов той же степени. Величину Еп [/ (х)]
называют наилучшим приближением рассматриваемой функции.
Как известно, теория многочленов наилучшего приближения была
создана Чебышевым приблизительно 70 лет тому назад. Однако ни сам
Чебышев, ни его знаменитые ученики Золотарев и Марков, повидимому,
не имели в виду связывать свои исследования с теорией функций, и, когда
в начале моей научной деятельности я сообщил академику Маркову
некоторые из своих идей по этому вопросу, он ответил мне, что эти
обобщения не представляют интереса.
Таким образом, только в наше время, главным образом благодаря
популяризации идей Чебышева в одной из монографий Бореля, теория
многочленов наилучшего приближения получила новый толчок для
развития; после Бореля многие другие авторы углубляли и расширяли
методы великого русского математика, осуществляя их синтез с идеями
Вейерштрасса. Ведь именно теорема Вейерштрасса, утверждающая воз-
возможность неограниченного приближения многочленами всякой непрерыв-
непрерывной функции, показывает фундаментальное значение понятия наилучшего
приближения.
Первые доказательства теоремы Вейерштрасса основывались на ин-
интегральном исчислении или, после Лебега, на разложении в ряд ]/—х2,
Я вспоминаю, что одним из моих первых научных опытов была попытка
доказать эту теорему, исходя из формулы Лагранжа. Но, как мы теперь
знаем, эта попытка не могла увенчаться успехом, потому что ряд Ла-
Лагранжа, вообще говоря, расходится. В случае равноотстоящих абсцисс
(формула Ньютона) это было установлено еще в 1901 г. Рунге, который
показал в то же время, что надлежащим сгущением абсцисс у концов
рассматриваемого отрезка можно обеспечить сходимость интерполяцион-
интерполяционных многочленов для любой аналитической функции. В действительно-
действительности это сгущение, которое, в частности, осуществляется, если в ка-
качестве абсцисс (или узлов) интерполяции принять корни многочленов
Чебышева, обеспечивает сходимость даже в случае функции, удовлетво-
удовлетворяющей весьма общим условиям Дини-Липшица. Но для всякого Ап(х)
степени п, имеющего все корни а-% на отрезке [— 1, + 1]. максимум
n
выражения Ап (х) V
на [— 1, + 1] по меньшей мере по-
О
рядка log n; следовательно, каковы бы ни были узлы, возможно по-
построить такую непрерывную функцию, для которой многочлены Лагранжа
расходятся.
Только изменяя формулу Лагранжа введением дополнительных усло-
условий, которые повышают степень многочлена, можно достигнуть сходимости
во всех случаях, что доказывает теорему Вейерштрасса; можно, например,
потребовать, чтобы производные многочленов обращались в нуль в вы-
выбранных надлежащим образом точках интерполяции. Фейер, который
недавно вернулся к этому вопросу, показал, что производным в рассмат-
рассматриваемых точках достаточно приписать какие угодно значения, лишь
501
бы только их порядок не превосходил -=- . Было бы интересна
log п VI — х2
исследовать, нельзя ли понизить степень т интерполирующего много-
многочлена, соответствующего п узлам, настолько *, чтобы было
Чтобы теснее связать теорему Вейерштрасса с кругом идей Чебышева,
можно дать ей алгебраическое доказательство.
Действительно, пусть [0, 1] — рассматриваемый отрезок; достаточна
показать, что если для какого-нибудь значения L
\f(x)-Pn,(x)\<4L,
где РПо (х) — многочлен степени тг0, то всегда можно построить многочлен
Рп(х) настолько высокой степени п, чтобы было
\f(x)-Pn(x)\<:3L.
Но это вытекает из следующей алгебраической теоремы: если L — дан-
данное положительное число, то всегда возможно построить многочлен Qn(x)
настолько высокой степени, чтобы на всем отрезке было | Qn (x) | <^ 2L
и, кроме того, чтобы Qn (x) имел заранее данные знаки на несмежных
интервалах 81? 82, . . . , 8#, удовлетворяя на этих интервалах неравенству
! Qn {%) I ^> L. Для эффективного построения Qn (x) можно, например, по-
положить
Qn (х) = 2L 2 SmOm A - xf~m,
1
где
sm = 0, 1 или —1.
Таким образом, теорема Вейерштрасса эквивалентна указанной алгеб-
алгебраической теореме. Вообще все свойства всякой непрерывной функции
аналитически содержатся в свойствах множества многочленов, которые
равномерно сходятся к этой функции. Достаточно любого частного мно-
множества многочленов, бесконечно приближающихся к данной функции,
чтобы определить эту функцию; но среди всех таких множеств много-
многочленов есть одно особенно важное — это множество наименее уклоняю-
уклоняющихся от данной функции многочленов Чебышева, которые быстрее всего
сходятся к рассматриваемой функции. Так, например, распределение
нулей этих приближающих многочленов имеет очень интересную связь
с природой самой функции. Чтобы не возвращаться к этому еще мало
изученному вопросу, я представляю здесь вниманию молодых исследова-
исследователей один из недавно полученных мною результатов: какова бы ни была
функция, корни соответствующих приближающих многочленов можно
по желанию приближать или удалять от рассматриваемого отрезка, но
между модулями и аргументами существуют инвариантные соотношения,
характеризующие это распределение корней. При этом, если хотим иметь
приближение наилучшего порядка, то рассматриваемые корни асимптоти-
См. [ 48]. {Ре)
502
чески стремятся к вполне определенным местам, которые в случае не-
неаналитической функции сгущаются у самого рассматриваемого отрезка,
а для функций аналитических стремятся к эллипсу сходимости функций,
т. е. к тому из гомофокальных эллипсов, имеющих фокусы в концах
отрезка, который проходит через ближайшую особую точку функции *.
Известно, что множество многочленов, наименее уклоняющихся от данной
функции, построить нелегко. Отсюда — фундаментальная проблема, кото-
которая была поставлена около двадцати лет тому назад, это — определить
порядок величины наилучшего приближения данной непрерывной функ-
функции, чтобы, в частности, знать, насколько нас могут удовлетворить много-
многочлены, построенные различными методами. Такова, в частности, знаменитая
задача Балле Пуссена относительно функции \х\. Лебег первый показал,
что наилучшее приближение периодической функции тригонометрической
к!
суммой порядка п не может быть меньше, чем ^—— , где к — постоянная,
не зависящая от п и от функции, а /п — приближение суммой, соответ-
соответствующей разложению Фурье. Заменяя тригонометрические суммы мно-
многочленами и тригонометрические ряды Фурье соответствующими рядами
многочленов Чебышева cos n arc cos x, было очень легко распространить
этот результат на любые функции, непрерывные на отрезке [—1, +1].
Таким образом, конечные суммы Фурье, построение которых нетрудно,
дающие минимум интегральной квадратической ошибки
осуществляют приближение почти столь же хорошее, как наилучшее
приближение. Я замечу здесь, что множитель -, обращающийся
\ 1 — х2
в бесконечность на концах, играет существенную роль для обеспечения
хорошего приближения на концах, так что разложение в ряд по много-
многочленам Лежандра, которое получается, если отбросить этот множитель,
не дает уже, вообще говоря, столь хорошего приближения, и в противо-
противоположность тому, что имеет место для многочленов Чебышева, оно
может расходиться для функции, удовлетворяющей условиям Липшица
достаточно низкой степени.
Как бы то ни было, теорема Лебега еще недостаточна для того, чтобы
точно определить порядок наилучшего приближения.
Решение вопросов этого рода связано существенно с изучением не-
некоторых экстремальных свойств многочленов; например, зависит от
значения максимума М (!¦) модуля многочлена Рп (х) степени п в какой-
нибудь точке, лежащей вне рассматриваемого отрезка (который мы для
большей определенности сведем к [—1, + 1]) при условии, что на этом
отрезке модуль многочлена не превосходит данной величины L, или от
значения при тех же условиях максимума модуля его производной в
какой-нибудь внутренней точке.
* См. [41]. (Ред.)
503
Из того факта, что
M®<LRn, A)
где R — сумма полуосей эллипса, имеющего —1, + 1 фокусами и про-
проходящего через точку ?, легко было вывести порядок наилучшего прибли-
приближения аналитической функции, имеющей данные особенности. Точно
так же применение неравенства
позволило получить точные сведения относительно наилучшего прибли-
приближения неаналитических функций. Но я не думаю, чтобы здесь нужно
было останавливаться на замечательных соотношениях, которые суще-
существуют между порядком наилучшего приближения функции и ее диф-
дифференциальными свойствами, сводку которых я дал в 1912 г. на
Кэмбриджском конгрессе и которые превосходно изложены Балле
Пуссеном в лекциях, опубликованных в серии Бореля. Неравенство B),
которое для тригонометрической суммы порядка п
п
?п F) - 2(Лп cos п% + Вп sin n^ C)
О
принимает особенно простой вид
Wnm\<nL, D)
оказалось полезным и в других случаях. Этим объясняется, что многие
авторы после меня дали различные доказательства неравенства B) или D),
из которых наиболее простое принадлежит М. Рису. Это же доказатель-
доказательство, найденное, независимо от Риса, Балле Пуссеном, воспроизведено в
его цитированных лекциях и в недавно появившейся монографии Джэк-
Джэксона, где последний дает интересные приложения неравенства B), касаю-
касающиеся порядка приближения функции f (х) многочленами степени пг
обращающими в минимум интеграл
\ \f(x)-Pn(x)\mdx,
1
где т — данное число.
В частности, он показал, что
\f(x)-Pn(x)\<CBni/mEn[f(x)], E)
где В — постоянная.
Замечу, что последнее неравенство позволяет проще всего доказать
результат Джэксона и Полна о том, что многочлены Рп(х) стремятся к
многочлену, наименее уклоняющемуся от рассматриваемой функции, ког-
когда т бесконечно возрастает.
Известно, что А. А. Марков установил еще в 1889 г. неравенство
Р'п (х) | < n*L, F)
504
которое его брат В. А. Марков распространил в 1892 г. на производные лю-
любого порядка. Формула F) А. А. Маркова отличается от моей формулы B)
тем, что она, относясь ко всему отрезку, включая и его концы, застав-
заставляет нас удвоить порядок роста производной. Все дальнейшие исследо-
исследования, обобщающие эти неравенства, вполне освещают существенное
отличие экстремальных свойств внутренних точек и концов рассматри-
рассматриваемого отрезка. В этом заключается действительная причина того, что
классические асимптотические выражения для многочленов Лежандра и
Якоби не годны для концов. Отсюда же проистекает необходимость
сгущать узлы в интерполяционной формуле Лагранжа, чтобы обеспечить
сходимость в возможно большем числе случаев, о чем мы говорили выше.
Сегё принадлежит замечательное обобщение этих результатов на ком-
комплексную область. Легко видеть, что неравенство D) эквивалентно сле-
следующему неравенству для круга: если многочлен степени п остается
там меньше L, то его производная меньше, чем nL. Я замечу, что из
интеграла Коши непосредственно следует, что если любая функция, и в
частности многочлен, остается на замкнутом контуре меньше L, то ее
производная во внутренней точке, минимум расстояния которой до кон-
контура равен р, не превосходит Ljp. Для случая, когда контур составлен
из нескольких дуг аналитических кривых, Сегё, воспользовавшись кон-
конформным отображением внешности круга на внешность рассматриваемой
области, установил, что на аналитических дугах контура
An < max | P'n (z) \ < Вп, G)
где А и В — постоянные. Точно так же для точек соединения дуг
max
где атг — внешний угол между касательными.
Случай Маркова соответствует а = 2; таким образом, случай веще-
вещественного отрезка является предельным для случая комплексной области,
изучение которой, благодаря конформному отображению, эквивалентно
изучению случая круговой области.
Другое замечательное обобщение неравенства C) недавно получено
Сегё: если
есть ряд, сопряженный с <рпF), то
1?;(в)+«
Следовательно, тем более,
I ^ * {Ak cos Ы + Вк sin A6 ) | < nL. (9)
Также для всех целых значений р
v (Ал cos А6 + Вк sin Щ | < nvL. A0)
505
Этот результат по существу эквивалентен следующему: если гармо-
гармонический многочлен степени п на окружности радиуса единица не превос-
превосходит L, то приращение, которое он получит при радиальном переме-
перемещении от какой-нибудь точки этой окружности до точки окружности
i?>l, не может превзойти L(Rn — 1). Несомненно, что в такой форме
этот результат Сегё распространяется на гармонические многочлены любого
числа переменных. С другой стороны, интересно исследовать по возмож-
возможности полнее, каким условиям должна удовлетворять возрастающая
функция /(/г), чтобы из неравенства I cpnF)|<;Z/ следовало
cos кЬ + Bk sin
Согласно A0) для этого достаточно, чтобы / (п) была абсолютно моно-
монотонной функцией.
Вот еще несколько новых обобщений иного характера, которые я хочу
формулировать для случая многочленов. Если t (х) > 0 есть какая-
нибудь непрерывная функция, то неравенство Рп (х) <С t (x) на отрезке
[—1, +1] влечет за собой
Рп (х) Vl-x* | < nt (x) A + е„),
где гп равномерно стремится к нулю на [—1, + 1]. Таким образом,
асимптотическое значение максимума производной для очень большого п
существенно зависит только от величины многочлена в непосредственной
близости от рассматриваемой точки*. Для концов имеется еще неравен-
неравенство, аналогичное неравенству Маркова,
Все эти результаты, распространяющиеся на последующие производ-
производные, получаются естественнее всего из тех свойств многочленов, которые
относятся ко всей вещественной оси. Я позволю себе здесь напомнить
относящиеся сюда наиболее важные неравенства, доказанные в моих
лекциях, читанных в Сорбонне и опубликованных в коллекции Бореля
(«L. S.»): если для всех вещественных значений х
\Pn(x)\^\s (X) + it (X) ! ,
где многочлен 5 (х) + it (x) не имеет вещественных корней в верхней
полуплоскости, то также для всех вещественных значений х
независимо от порядка к производной. Неравенство B) соответствует
случаю, когда 5 (х) + it (х) = (х + i)n. Кроме того, я даю в этих лекциях
следующее обобщение этих формул. Если предположить, что s (x)-\-it(x)
есть целая функция рода нуль, все корни которой находятся ниже веще-
вещественной оси, и F (х) есть какая-нибудь целая функция нулевого рода
* См. [46]. (Ред.)
506
или первого рода и степени р [говорят, что F (х) есть целая функция сте-
п
пени/?, если lim V \ F(n) @) | - р], то
Я доказал эти неравенства только при дополнительном предполо-
предположении, что вещественные части корней s (x) + it (x) ограничены, но я
не считаю это ограничение существенным. Формула D) есть весьма
частный случай формулы A1), соответствующий предположению s(x) =
= t(x)=l. Тогда A1) сводится к
и среди функций степени р на вещественной оси, по модулю меньших
единицы, только у функции cosр (х — ос) + i sin/? (x — а) к-я производная
достигает значения рк.
Этот результат позволяет аналогично изучать вопросы приближения
на всей вещественной оси целыми функциями первого рода, например
функциями Бесселя, аналогично тому, как это было сделано для три-
тригонометрических рядов при помощи неравенства D).
Другой близко лежащий к этому вопрос — это очень важный в раз-
различных приложениях и, в частности, в статистике вопрос о том, можно
ли равномерно приблизить на вещественной оси какую-нибудь непре-
непрерывную, стремящуюся к нулю на бесконечности функцию / (х) произве-
произведением многочленов Рп(х) и данной функции у {х) так, чтобы
\im\f(x)-Pn(x)o(x)\=0.
п->оо
Из этого исследования получается следующий результат: чтобы это
приближение было возможно, достаточно, чтобы существовала такая
четная целая функция F± {x) первого рода с неотрицательными коэффи-
коэффициентами, чтобы произведение ср (х) F\ (х) оставалось ограниченным.
Напротив, это будет невозможно, если ср (х) F\ (х) не будет ограничено
для некоторой целой функции Fo (x) нулевого рода. Так, например, если
z> (х) = е~\х\сс, где а^>1, то неограниченное приближение возможно, но
оно невозможно, если а<^1.
Я не буду распространяться об обобщениях неравенства A) для
максимального значения многочлена данной степени во внешних точках;
но важно заметить, что именно оно позволило дать новый, не зависящий
от понятия о комплексном переменном фундамент для теории аналити-
аналитических функций. Именно из этого неравенства следует, что только для
аналитических функций приближение многочленами степени п убывает
вместе с 1/тг в геометрической прогрессии и что аналитическое продол-
продолжение может быть определено как единственное продолжение, для
которого сохраняется это свойство. Это же свойство единственности
продолжения распространяется на функции, которые я назвал квази-
квазианалитическими класса (Р) и для которых возможно приближение тако-
такого же порядка, как и для аналитических функций, для бесконечного
507
множества п17 п2, . . . , щ, . . . значений п, но не для всех значе-
значений п. Эти функции, представляющие некоторые замечательные анало-
аналогии с аналитическими функциями, которые являются их частными слу-
случаями (например, с точки зрения сходимости формул экстраполяции),
в то же время обладают совершенно отличными дифференциальными
свойствами и могут даже не иметь производных. Эти дифференциальные
свойства существенно зависят от закона роста бесконечной последова-
последовательности степеней щ, о которых уже говорилось. В моих цитирован-
цитированных уже выше лекциях я дал много примеров и поставил несколько
проблем, которые я предлагаю вниманию молодых математиков, не
повторяя их здесь вновь.
Квазианалитические функции (Р), как и аналитические функции,
становятся вполне определенными индивидуумами, как только они
заданы на любом сколь угодно малом интервале.
Если дана произвольная непрерывная функция, то естественно поста-
поставить такой вопрос: продолжить ее так, чтобы для бесконечной после-
последовательности значений п, например для ns = 2s, порядок величины
наилучшего приближения многочленами соответствующих степеней был
наименьшим. Это дало бы некоторые основания предпочесть это про-
продолжение всем другим. Но, если функция не квазианалитическая (Р)г
то это условие не определяет продолжения единственным образом.
Однако есть еще функции, которые обладают следующим свойством:
если мы попытаемся частично их изменить так, чтобы порядок наилуч-
наилучшего приближения не увеличился для некоторой бесконечной последо-
последовательности значений п, то существует такая другая бесконечная по-
последовательность значений п, для которой величина наилучшего прибли-
приближения обязательно возрастает. Этот более широкий класс функций
содержит, кроме аналитических функций и квазианалитических фун-
функций (Р), еще квазианалитические функции (D) Данжуа и Карлемана,
которые открыли их, исходя из других соображений. Таким образом?
этот новый частный класс функций квазианалитических (D), которые,
согласно определению названных авторов, полностью определяются
множеством всех их производных в одной точке, может быть с нашей точки
зрения также определен как класс функций, для которых порядок величи-
величины наилучшего приближения многочленами всех степеней возможно мал.
Наилучшее приближение Еп [/ (х)] этих функций (D) характеризуется
для всех значений п неравенством
где F (п) есть четная целая функция первого рода с неотрицательными
коэффициентами, и, следовательно, класс этих функций не совпадает
с классом функций квазианалитических (Р), которые обладают тем
свойством, что только для некоторой бесконечной последовательности
значений п имеет место более ограничительное неравенство
508
Если, вместо того чтобы предполагать тот отрезок, на котором
задана функция, произвольно малым, предположить фиксированной его
величину, то можно было бы еще расширить класс функций, допускаю-
допускающих единственное продолжение по условиию, чтобы наилучшее приближе-
приближение было минимально. Для большей отчетливости я поставлю задачу в
несколько менее общей форме.
Вообще, если отрезок, на котором желают приблизить функцию
многочленами степени п, возрастает, то значение Еп [/ (х)] наилучшего
приближения, естественно, увеличивается, и легко показать, что не
существует такой непрерывной функции, для которой значение Еп [/ (х)]
оставалось бы при любом *» одинаковым на части отрезка и на всем
отрезке. Действительно усть
\F{x)-Pn{x)\^Ln и \F{x)~Pn+1{x)\^Ln+i.
Многочлен Рп (х) — Рп+\ (я) имеет все свои корни на части [0, а] отрезка
[0,1], где первая разность достигает п + 2 раза своего максимума,
потому что в точках, где достигается 4z Ln, Рп (х) — Pn+i (#) имеет про-
противоположные знаки. Таким образом, на конце а
| Рп (х) - Pn+i (x) \>Ln- Ln+i.
С другой стороны, на остатке отрезка (в частности, для х = i)
| Рп (х) — Pn+i (x) |<Ln + Ln+u
поэтому
ап+] [Ln + Ln+i) >Ln- Ln+i,
откуда
Ln+i >Ln~^r >Ln(l- a»+'J,
м, следовательно,
lim Ln>L0(l - aI"* > 0.
n->oo
Но это может произойти для некоторой бесконечной последовательности
значений п, и тогда продолжение функции, заданной на этой части отрезка,
на весь остаток вполне определяется требованием иметь такое же наи-
наилучшее приближение для бесконечной последовательности значений п.
Этот случай произойдет, если функция / (х) имеет форму
оо
/| х) = 2-Aicos Ji^iiig . . . m^arc cos x, A2)
l
где mx, m2, ..., nti—целые числа, и в частности для классической
функции Вейерштрасса, не имеющей производной. Было бы интересно
знать, все ли функции, обладающие этим свойством, имеют такую
форму.
509
Функции вида A2) обладают еще другим замечательным свойством.
Пусть ср (и) — какая-нибудь положительная и выпуклая функция,
например, \и\1, где Z^-l. Тогда, если искать многочлен степени п,
который дает минимум интегралу
+1
-1
то обнаружится, что этот многочлен не зависит от функции ср и есть,
не что иное, как сумма
к-\
Рп (х) = 2j Ai cos тхтг.. . т\ arc cos x,
i
где
Отсюда легко вывести, что Рп(х) равен многочлену степени не выше пг
наименее уклоняющемуся от функции / (х).
Эти функции являются почти единственными функциями, для кото—
рых известны в явной форме наименее уклоняющиеся многочлены; не
останавливаясь здесь на алгебраических основаниях этого факта, я хочу
только поставить следующую задачу: найти по возможности широкий
класс функций, для которых коэффициенты их многочленов наилучшего
приближения выражаются рационально через коэффициенты многочленов
Qn(x), дающих минимум интегралу
+1
V г./ / \ т~ъ / \-1<) CL ОС
т. е. через коэффициенты его разложения в ряд многочленов Чебышева..
Другая интересная задача, относящаяся к этой же области, состоит
в следующем: дана монотонная последовательность чисел ап, стремящих-
стремящихся к нулю; узнать, существуют ли такие функции f(x), что Еп [/ (х)] = апг
или по крайней мере такие, что Еп [f (x)] ~ ап, и в случае, если такие
функции существуют, определить их совокупность и дать общий прием
для их построения *.
Вообще, по крайней мере в данный момент, надо отказаться от пол-
полного отыскания многочленов, наименее уклоняющихся от данной функ-
функции. Я должен, однако, сообщить об интересных теоретических исследо-
исследованиях в этом направлении Н. И. Ахиезера, обобщившего одну задачу,
которой занимался 50 лет тому назад Золотарев. Этот последний, обобщая
классическую задачу Чебышева, свел к решению алгебраического урав-
* См. Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approximation des.
fonctions continues, «Comptes rendus», t. 206 A938), стр. 1520—1523 B01*). (Ред.)
510
нения, зависящего от эллиптических функций, задачу нахождения наи-
наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [—1, +1] многочлена вида
где а —данная постоянная. Н. И. Ахиезер исследовал более трудную задачу,
где р2 также дано, и пришел к трем алгебраическим уравнениям, со-
содержащим автоморфные функции Шоттки, и их решение позволило опре-
определить наименьшее уклонение. К сожалению эти уравнения настолько
сложны, что мне кажется довольно трудным получить из них простые
и достаточно точные неравенства. Сам Золотарев в его сравнительно
более легком случае ограничился тем, что дал для приближений
довольно грубое неравенство
Когда в 1913 г. я поставил перед собою ту же задачу, я скоро от-
отдал себе отчет в ее алгебраических трудностях, которые быстро возра-
возрастают вместе со степенью п многочлена, и мне пришла мысль заменить
эту задачу задачей асимптотической. Таким образом, для случая Золо-
Золотарева я нашел, что при очень большом п
I q I
и для любого п
| а | +
оП—1
+ W + 1 \л , 1 + V*2 -Ы
оП-1
l«l + VWi)n
В моих лекциях (прошу мне простить, что я их так часто цитирую)
я даю асимптотическое решение в общем случае, когда дано заранее
конечное число коэффициентов, предполагая только, что эти коэффи-
коэффициенты не зависят от степени п. По моему совету Н. И. Ахиезер применил
мой метод к своей задаче, и ему удалось получить в некоторых слу-
случаях асимптотические формулы без ограничений порядка величины коэф*
фициентов.
Таким образом, современное состояние теории наилучшего прибли-
приближения характеризуется синтезом алгебраических методов с аналитиче-
аналитическими методами, и дело в том, чтобы, с одной стороны, выделить те
случаи, когда возможно простое формальное решение, и, с другой
стороны, усовершенствовать приближенные аналитические методы, кото-
которые приводят к общему решению, как, например, методы Полна и
Джэксона, о которых уже говорилось раньше. Среди общих методов,
до сих пор наибольшие услуги оказывал параметрический метод или
метод непрерывного изменения, который я предложил в свое время»
511
особенно в тех алгебраически наиболее трудных случаях, когда степень
приближающих многочленов становится очень большой. Действительно,
ключ всей теории в том, что, несмотря на большое разнообразие и слож-
сложность многочленов, наименее уклоняющихся от данной функции, распре-
распределение точек наибольшего уклонения и узлов (т. е. точек Xi., где
наименее уклоняющийся многочлен Рп(%к) равен f (хк)) обладает вообще
при больших п замечательной устойчивостью; с этим связано то сгущение
узлов интерполяции у концов, которое, как мы видели раньше, необхо-
необходимо, чтобы обеспечить хорошую сходимость интерполяционных фор-
формул. Не углубляясь в рассмотрение вопроса, я замечу, что не только
функции, имеющие одни и те же особенности, приводят к одному и
тому же асимптотическому распределению узлов, но часто это распре-
распределение зависит только от положения этих особенностей, а не от их
природы.
Именно благодаря этому в настоящее время можно считать принци-
принципиально решенным вопрос об асимптотическом нахождении наилучшего
приближения и наименее уклоняющихся многочленов для аналитических
функций, имеющих данные особенности.
Желая указать конкретный пример, я ограничусь следующим: пусть
/ (х) = AQ + Агх + ... + Апх™ + ...
— функция, разложимая в ряд Тэйлора радиуса а; ее комплексные или
вещественные особенности могут быть любыми, лишь бы только точка
а>1 на вещественной оси была такой особой точкой, что
litn f(x)(x — a)s = 1
И
lim f(x)(x + a)s=0,
где s — данное вещественное число. Тогда при любом п узлы наименее
уклоняющихся многочленов асимптотически совпадают с корнями урав-
уравнения
cos (nb -f- 8) = О,
где
с. ах — 1 ^
х — cos G, = cos о,
' х — а '
и асимптотическая величина наилучшего приближения Еп [/ (х)] дается
формулой
Еп [/ (х)] ~ ^ . A3)
Г (s) (а2 - 1) 2 (а + У а* — 1)п
Я дал аналогичные формулы в явном виде для других случаев, из
которых самым трудным был тот случай, когда а — существенно особая
точка. Не останавливаясь на подробностях, замечу только, что Н. И. Ахие-
зер, усовершенствовав мой метод, недавно получил некоторые новые
512
интересные формулы. Следует еще заметить относительно формулы A3),
что она приводит к простому асимптотическому соотношению
En \f (х)] ~ 1 In\f(x)] [l + |/ ?=±] A4)
между наилучшим приближением и соответствующим приближением,
даваемым разложением Фурье в ряд тригонометрических многочленов
Чебышева; это соотношение в случае аналитических функций уточняет,
таким образом, теорему Лебега, которую мы уже приводили выше.
Когда а изменяется от оо до 1, отношение Еп\1п изменяется от 1 до
г/2; было бы соблазнительно распространить по непрерывности формулу
A4) на случай а = 1. Отсюда я надеялся вывести асимптотическое зна-
значение наилучшего приближения
Но глубокое изучение этого вопроса показало мне, что этот переход
к пределу незаконен, и я должен был употребить другой метод для ре-
решения асимптотической задачи о наилучшем приближении \х\. Этот
метод дал мне
Еп\\ГГ=~х] Е2п[\х\]
= 0,44,
с точностью до 0,01.
Распространение последнего метода на аналогичные проблемы, в част-
частности на задачу о приближении | х \х при любом X ^> 0, — вопрос, который
я также предлагаю вниманию молодых исследователей*.
Перейдем теперь к новому обобщению теории наилучшего приближе-
приближения. Вместо того чтобы стараться уменьшить ошибку
f(x)-Pn(x),
часто бывает необходимо свести к минимуму эту ошибку, умноженную
на вес t(x)^O, т. е. свести к минимуму максимум выражения
t(x)\f(x)-Pn(x)\,
который мы обозначим через EUt t (X) [/(#)]•
Если предположить t (x) непрерывной и положительной на отрезке
[—1, +1], то существуют интересные асимптотические соотношения между
En, t (х) U (х)] и En[f(x)]. Так, в случае рассмотренной выше особенности
вида
lim {х — a)s f (х) = 1
* См. «О наилучшем приближении | х |^ при помощи многочленов весьма вы-
еокой степени». «Изв. АН СССР, серия физ.-матем.» A938), № 2, стр. 169—190
A95*); см. также [12.1]. (Ред.)
33 с. Н. Бернштейн, т. I 513
существует соотношение
Также, например, минимум ошибки
aa —1 С log t (z)dz
71 J (a-z) V~\—z2
A5)
\1—РпУа — х
асимптотически равен
7
-Рп(х)
— X
2Уа*-1 Е Г 1 ]
\Гп*ъ2(а? — 1) (Va — :
Делая замену переменной z
= у —
можно получить многочлен
степени 2/1+1, который одновременно имеет наименьшее возможное
отклонение от —- 1 на отрезке [—1, — е] и от +1 на [в, +1]; это мини-
минимальное уклонение равно
Д _ eyi 1 __ е
1 +
(п—>оо).
A6)
Замечу, что, согласно данной выше формуле, наилучшее приближе-
приближение Е многочленами степени 2п для | х \ в этих двух интервалах асим-
асимптотически связано с 8 формулой
1— г'
Асимптотическое равенство A6) может служить для определения
порядка одновременного наилучшего приближения одним и тем же
многочленом двух различных функций на двух несмежных интервалах.
Таким образом находим, что если функции в отдельности допускают
приближение, порядок которого меньше 8, что может быть только тогда,
когда они аналитические или квазианалитические (Р), то одновременное
приближение на достаточно малых интервалах будет порядка 8. В про-
противном случае порядок этого наилучшего приближения будет по суще-
существу таким же, как и порядок приближения той из двух функций, ко-
которая допускает худшее приближение.
Формула A5), которую я привел выше, является одним из следствий
недавно сделанного мною обобщения теории Чебышева на произведения
t (x) [f(x) — Рп (х)], где t (х) — данная положительная функция. Фунда-
Фундаментальной здесь является проблема построения таких многочленов Рп{х),
чтобы число точек, где произведение t (x) Рп (х) достигает асимптотически
наибольшего уклонения от нуля с противоположными знаками, было
равно /г-fl. На основании простого обобщения теоремы Чебышева, эти
осциллирующие произведения дают наименьшее уклонение соответствующих
514
произведений при различных предположениях, в частности когда коэф-
коэффициент при хп у Рп (х) равен единице. Если для определенности мы
ограничимся последней проблемой, мы получим ее общее решение, раз-
развивая метод, который я наметил в моих лекциях. Как показано в моем
мемуаре, выходящем в «Journal de Matbematiques» A49*, 154*, 189*),
если t (x) удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Дини-Липшица,
то для t (x) Рп (х) найдем следующее асимптотическое выражение, справед-
справедливое на всем отрезке [—1, +1]:
м
^соз(лв + ф), A7)
где
= cose, M = lim -
эс_>00
а19 а.2, • . • , ап — корни многочленов tn {x), равнОхмерно стремящихся к t (x)
на отрезке [—1, +1], р19 р2, ••-, рп — полуоси гомофокальных эллипсов,
проходящих соответственно через точки а\, и
+1
Самый вид этой формулы показывает, что наименьшее уклонение
Ln (t (x)) рассматриваемого произведения равно
М
потому что A7) обладает свойством, требуемым теоремой Чебышева.
Как только найдено общее асимптотическое выражение, естественно
возникает следующий вопрос: каковы необходимые и достаточные усло-
условия, которым должна удовлетворять функция t(x), чтобы асимптоти-
асимптотическая формула A7) стала точной для всех конечных значений п^>> I?
Уже Чебышев показал, что этот случай представляется, если t (x) есть
обратная величина какого-нибудь положительного на отрезке [ — 1, +1|
многочлена. Я установил, что условие Чебышева только достаточно, то-
тогда как необходимое и достаточное условие состоит в том, что / есть
г \х)
квадратный корень из неотрицательного на [—1, + 1] многочлена.
Не останавливаясь на приложениях этого, укажу только одно за-
замечательное свойство, которое характеризует эти многочлены наимень-
наименьшего уклонения: они дают также минимум Hn^(t(x)) интегралу
+ i
при любом / ^ 1.
515 33*
Отсюда, пользуясь теоремой Вейерштрасса, легко вывести, что эти
*же многочлены дают минимум интегралу
+ 1
какова бы ни была выпуклая неубывающая функция <х>(я). В статье,
которая только что появилась, я установил этот результат при I ^ 2,
но, замечая, что коэффициенты многочленов Рп{%), обеспечивающие
минимум, суть аналитические функции от I при Z>1 и что они посто-
постоянны при I ^ 2, можно заключить, что они сохраняют одно и то же
значение также и при 1 = 1] например, минимум H^(t(x)) интеграла
dx JM[
ре
С
\
dx JM[
t (х) Рп (х) | - =- равен п_2 , где М имеет то же значение, что
гу X Z
и прежде, т. е. равен двойному наименьшему уклонению выражения
\t(x)Pn(x)\.
Свойство, о котором мы только что говорили, существует асимпто-
асимптотически для любой интегрируемой в смысле Римана функции t(x), и,
следовательно, во всех этих случаях
г A) г (Ltl)
HV (t (x)) W/ 'i J Lln (t (x)). A8)
Случай, когда показатель I = 2, особенно важен потому> что он при-
приводит к ортогональным относительно соответствующих весов многочле-
многочленам, служившим предметом предшествующих исследований, среди кото-
которых надо в первую очередь отметить исследования Сегё. Таким образом,
по предыдущему, при t (x) ^> 0 многочлены, ортогональные относительно
- л, г (х)
характеристической функции •, асимптотически совпадают с мно-
V 1 — х2
гочленами, дающими минимальное уклонение произведению t (х) Рп(х),
и это свойство осуществляется строго в указанном выше случае.
Случай, когда t (x) может обращаться в нуль на отрезке [—1, +1],
представляет некоторые специальные трудности, и я не предполагаю
докладывать подробно о результатах, которые здесь становятся более
сложными. Я замечу только, что асимптотическое равенство A8) остается
в силе, если t (x) имеет ограниченное число нулей или полюсов, в част-
частности, если t (x) имеет вид
где го)
Для определенности положим to(x)=l. Тогда многочлены, которые
дают минимум интегралу
S Р2П(Х) A-X)«
-1
516
с параметрами а = 2р — -^ , {} = 2рх — -~ , суть классические многочле-
многочлены Якоби, и асимптотическая формула A7) уже неприменима равномерно
для всего отрезка [—1, +1}; не все п + 1 максимумов соответствующих
произведений будут асимптотически теми же. Замечательно, что, тем не
11 11
менее, в случае 0 < р < у , 0 < рх < у , т. е. для | а |< у , | Р |< у ,
многочлены Якоби все же дают асимптотически то же наименьшее )/кло-
нение; таким образом, например, многочлены Лежандра обладают тем
свойством, что среди многочленов с одним и тем же коэффициентом при
хп они дают асимптотически минимум произведения
этот результат позволяет между прочим точно определить постоянную
л 1-3 . . . Bл —1) п
Лп = —-г-7—-—g в одном неравенстве Стильтьеса:
I/ •
|Л,(а.)|<__2»
A™ v пи
Теория наименее уклоняющихся многочленов развивалась в послед-
последние годы еще в двух новых направлениях. Первое направление подчи-
подчиняло рассматриваемые многочлены еще дополнительным неравенствам;
второе направление подчиняло эти многочлены разрывным условиям и,
в частности, рассматривало приближение многочленами с целыми коэф-
коэффициентами.
Я не буду останавливаться на первом из этих направлений, которое
касается главным образом экстремальных свойств монотонных и кратно
монотонных многочленов. Здесь мои асимптотические методы, внушенные
мне идеями Чебышева и находящиеся в тесной связи с -общей теорией
ортогональных многочленов, о которой мы только что говорили, были
также с успехом применены к различным проблемам моими учениками
В. Ф. Бржечка, Я. Л. Геронимусом и Б. А. Рымаренко. Об этом будет
речь в специальном докладе, который сделает во второй секции Съезда
Я. Л. Геронимус, получивший ряд интересных результатов.
Я замечу только, что эти проблемы аналогичны проблемам, касаю-'
щимся положительных тригонометрических сумм, которые Фейер и его
ученики, в частности Сас и Егервари, разрешили, используя важную
теорему Фейера и Риса, по которой всякая положительная тригономе-
тригонометрическая сумма может быть отождествлена с квадратом модуля неко-
некоторого многочлена с комплексными коэффициентами; наш метод также
приводит к решению всех этих задач.
Я предпочитаю остановиться на проблемах приближения многочле-
многочленами с целыми коэффициентами, ставших недавно предметом важных
исследований, из которых в первую очередь следует назвать исследования
Фекете и Окада. Основной вопрос состоит в следующем: возможно ли
517
любую непрерывную функцию на некотором отрезке неограниченно
приблизить многочленами с целыми коэффициентами? Ясно, что ответ
отрицательный, если длина отрезка достигает четырех, потому что
члены разложения в ряд по многочленам, имеющим коэффициенты, не-
неменьшие единицы, по теореме Чебышева не могут стремиться к нулю
на всем отрезке. Если отрезок не содержит целых чисел, то легко ви-
видеть, что неограниченное приближение всегда возможно. Но Окада мы
обязаны следующей теоремой, полное доказательство которой принадле-
принадлежит Фекете: если длина отрезка равна 4 — ос, где а>07 то всякая не-
непрерывная функция может быть приближена многочленами, которые
имеют только ограниченное число нецелых коэффициентов] число неце-
нецелых коэффициентов зависит лишь от а и бесконечно растет, когда а
стремится к нулю. Все коэффициенты могут быть целыми только в том
случае, когда рассматриваемая функция обладает некоторыми арифмети-
арифметическими свойствами и, в частности, если она обращается в нуль в ко-
конечном числе точек, которые можно заранее фиксировать.
Другая относящаяся сюда проблема состоит в отыскании многочленов
Qn (я) = аохп + аххп-1 + . . . + ап,
не тождественно равных нулю и с целыми коэффициентами, которые
наименее уклоняются от нуля на данном отрезке. Часто бывает выгод-
выгоднее не предполагать а0 = 1, чтобы уменьшить максимум Qn{%), а это
значительно усложняет задачу, которая еще далека от своего полного
разрешения. Весьма замечательное исследование ее было сделано Фе-
Фекете. Я хочу резюмировать исследование Фекете, и это заставит меня
сделать маленький экскурс в комплексную область, чтобы не умалить
важность его метода. Пусть Е есть замкнутое и ограниченное бесконеч-
бесконечное множество точек, которые могут быть вещественными или симмет-
симметричными относительно вещественной оси. Мы скажем, что
есть многочлен Чебышева с любыми коэффициентами, связанный с этим
множеством, если он в этой области наименее уклоняется от нуля среди
многочленов того же вида. Пусть Мп — его максимум в области Е.
Тогда теорема Фекете, доказательство которой существенно зависит от
арифметической теории диофантовых приближений, утверждает, что воз-
возможно построить такой многочлен Qn (x) степени п с целыми коэффи-
коэффициентами, что в этой же области
\Qn(x)\<nVMn (l+8n),
. п
где sn стремится к нулю вместе с —. Обозначив через d = lim У Мп
п п-Ч>оо
величину, которую Фекете называет трансфинитным диаметром области Е,
получим
где
518
Например, для отрезка длины единица
Несомненно, что теорема Фекете может быть уточнена по крайней
мере для вещественных областей; так, в случае отрезка [0, 1] легко осво-
освободиться от множителя п. Что касается задачи определения величи-
величины Мп или, что менее трудно, трансфинитного диаметра d, который,
например, для отрезка по Чебышеву равен его четверти, а для круга —
его радиусу, то ее можно считать решенной методом конформного
отображения, который еще ранее применялся Фабером в случае, когда
область ограничена простым контуром. Но общая задача, которой зани-
занимались Сегё и Полна, для любых областей еще требует новых иссле-
исследований и даже в случае двух каких-нибудь отрезков или раздельных
кругов она еще не полностью решена.
Возвращаясь к проблеме приближения многочленами с целыми
коэффициентами, надо отметить, что еще остается нерешенным ряд
таких важных вопросов, как вопрос о порядке величины наилучшего
приближения при этом ограничении. Я не знаю других результатов
в этом направлении, кроме результата Окада, согласно которому для
всякой непрерывной функции, удовлетворяющей условиям Липшица и
для которой это приближение стремится к нулю, величина наилучшего
приближения — по крайней мере порядка •— Посредством совсем
е У 1о? п
элементарных рассуждений я смог усовершенствовать этот результат по
крайней мере для случая, когда отрезок не содержит целых чисел: это
приближение того же порядка Ijn, как и в случае, когда совершенно
не ограничивается природа коэффициентов. Несомненно, что вообще
дело обстоит не так, и, чем функции аналитически проще, тем большее
влияние оказывает ограничение, накладываемое на коэффициенты тре-
требованием быть целыми [43].
В связи с этим, заканчивая мой затянувшийся доклад, я ограничусь
только постановкой перед моими молодыми товарищами последней за-
задачи: определить порядок величины наилучшего приближения многочле-
многочленами степени п с целыми коэффициентами на отрезке АВ, целиком ле-
лежащем внутри [0, 1], произвольно данного иррационального числа X.
Если бы это приближение Ап (X) было* порядка рп, то отсюда следо-
следовало бы, что все аналитические функции также допускают на от-
отрезке АВ приближение, убывающее в геометрической прогрессии, а
асимптотическое значение наилучшего приближения неаналитических
(и не квазианалитических Р) функций не будет ухудшаться требова-
требованием, чтобы все коэффициенты приближающих многочленов были целыми
числами* [43.2].
1 Р. О. Кузьмин сообщил мне после заседания, на котором был сделан этот
доклад, что он имеет доказательство того, что Ап (X) = О (рп), где р<1.
* См. также статью Л. В. Канторовича, И АН, серия физ.-матем. A931) f
стр. 1163—1168 [43.2]. {Ред.)
519
48
ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ *
Известно, что, каково бы ни была расположение узлов интерполиро-
интерполирования на отрезке [—1, +1]? классическая формула интерполирования
Лагранжа, вообще говоря, не сходится к данной непрерывной функции,
когда число узлов неограниченно возрастает.
Мы предложим здесь изменение формулы Лагранжа, дающее возмож-
возможность построить многочлены степени М = п— 1, которые совпадают с
данной функцией f(х) в N = п — \~\ точках, где 21 — данное целое
четное число, равномерно стремящиеся к f (х) при дг->оо на всякой час-
части отрезка [—1, +1], на которой f (x) непрерывна, если только она
ограничена па всем отрезке [—1, +1]. Следовательно, отношение -^
степени наших интерполяционных многочленов к числу узлов может
быть сколь угодно близко к 1, причем сходимость имеет место во всех
случаях.
Действительно, построим многочлены Qn—i (x) степени п— 1, которые
совпадают с функцией f (х) во всех точках Xk = ^os(k—-)--, где ^ не
является целым числом. Чтобы полностью определить эти многочлены^
достаточно присоединить условие
A)
7
когда — = t — целое число.
Тогда по формуле Лагранжа получим
Qn-i (x) = cos n arc cos x ^
п\х-х.)
i=i г
где Ai = Qn-\ (#i). Следовательно, погрешность будет
9п = Qn-i (я) - f{x) = cos n arc cos x ^ п(х-х.)
i=l
* Sur une formule d'interpolation. «Comptes rendus», t. 191 A930), стр. 635—637
A47*).
520
Положим рп = рп + р^, где рп соответствует той части суммы, для которой
#*>#, а р'п — той части, для которой x\<ix\ достаточно рассмотреть
первую (х\ > х). Вообще имеем
cos n arccos x
¦Vi-*?
п (х— х{)
Следовательно, полагая
о'п =
St,
где St содержит h узлов, соседних с точкой х, a S2 — все остальные,
объединенные в группы по 21 слагаемых, получаем
D)
где о) (о) означает максимальное колебание функции / (х) на промежутке
длины о, так как | А\ — / (х)
тг) для — нецелых и ] А\ —/ (x) \ <С
21
<C B1 — 1) о) ( 7г), когда тп = t — целое число.
^v ' \ п ) 21
Заметим, с другой стороны, что
U( \==VAEZ
и W ~~ | х — z |
убывает, когда z удаляется от х\ таким образом, если ?, /, А, т,
образуют убывающую последовательность индексов, то получаем
«о [и 0*4) ~ гг (xj)] + ах [и (хк) — и (хт)] + . . . |<аи (хг),
E)
где \ао\<^а, \a1\<ia9 ... Но каждая группа по 21 слагаемых из S2
может быть представлена в следующем виде:
1 Z~1
-- cos n arc cos х ^{[f (a2»-2P-t) — / И] [и (х2и-2р) — и (х2ц-2Р-\)] +
Следовательно, полагая
-2p-l) — f (X2lt-2p)] [U (Х2ц) — U (Х2п-2р)]}-
на всем отрезке, получаем
\st
2ZZ
* п
F)
где xio — узел из S2, ближайший к х, так как
1
sm
— l
n
~h '
Пусть s произвольно мало; мы можем выбрать п достаточно большим^
чтобы иметь
2AIL
521
тогда, полагая h = — , получим, благодаря D) и F),
Применяя те же рассуждения к р^, получаем окончательно
\f(x)-Qn^(x)\<2e.
Отметим в качестве простого следствия, вытекающего из предыдущего,
что мы получим многочлены Рп-\ (х) степени п — 1, которые будут схо-
сходиться равномерно к данной функции, если положим
(т ч _ 3/ К) -f- / (а,) р , . _
При помощи аналогичных рассмотрений доказывается следующее
предложение. Выбирая подходящим образом m = \n точек отрезка
[—1, +1], где Х>1 — произвольно заданное число, можно утверждать,
что все многочлены Рп (х) степени п, модуль которых меньше 1 в этих
точках, остаются ограниченными на всем отрезке при п->оо. Если
X->1, то
49
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ СУММИРОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ *
Пусть
m
Sm (х) = а0 + ^ <Н cos kx + Ък sin kx A)
— конечная сумма Фурье, соответствующая функции / (х), где |/(x)|<L
интегрируема в интервале @, 2тг). Пусть х — точка непрерывности f (х).
Я утверждаю, что
B)
Учитывая непрерывность и хорошо известные свойства тригонометриче
ских полиномов, легко получить отсюда результат более общий 1:
/ (х) = lim 1 Ьт (х + ат) + Sm(x + am+ 2"A + '"
т->оо ^ V \ ^^ -f- 1
где
Нт ат = lim sm lg т = О,
ш->оо т->оо
Чтобы доказать B), достаточно заметить, что
, ч . 2т+1 1
(а —ж) sin ^ {<х—х)
da. D)
. 0С~Х т (OL—X 71
sin—^—- sin —к л :
* Sur un procede de sommation des series trigonoraetriques. «Comptes rendus»
t, 191 A930), стр. 976—979 A48*).
1 См. W. Rogosinski. Uber die Abschnitte trigonometrischer Reihen. «Math
Ann.», Bd. 95 A925), стр. 110—134.
523
Из
2тг
= с
2т + 1
sin-
2
2m 4-1
1 2
S1I1 7"
2тт
2m+l
sin-
2m
2m
sin
2m-fl
2m+l
2тт
2m +
2m 4-1
sm"
. 2m 4-1
sin-
2
2тт
2m +
f
/ • 2m+ 1
4 sin —^ 6
sm-
2m 4- 1
2 sin «j
/ 0 ттг
sin\2"+ 2/гг Ч- 1 /J
следует, что
lim/TO =
для m ^> 0. Следовательно,
1
2
Sm(x)+Sm[x
E)
F)
G)
Неравенство F) приводит, в случае когда / (х) непрерывна на [0, 27и]
и / @) = / Bт:), к результату, аналогичному классической теореме Лебега.
Пусть в самом деле Рт (х) есть наименее уклоняющийся от / (х) три-
тригонометрический полином порядка m, a Em [f (x)] — ее наилучшее
приближение.
Положим затем
Rm If (х)] =
(^)]\ (8)
Применяя D) к / (х) — Pm (ж) и учитывая G), непосредственно видим, что
4" I \Sm (X) + Sjx + 5=rh-)l - \Рт W + Р™(х+ О^ХТ)! <
524
откуда
Rm [f (X)] < (? + l)Em[f (X)] <~Em[f (X)].
3
Таким образом, из (9) следует, что*
где о (о) обозначает максимум колебания / (х) в интервале величины о.
Заметим, что неравенство (9) доставляет новый способ для установ-
установления точного порядка наилучшего приближения \х\, так как мы имеем
i 2
cos x = max —
1 7Г
сю
S (
=п + 1
-1)*
cos 2kx -]
- cos 2k
4/с2-
- 1
Ы \
+ i)
1 (* 1
2пп j
4-
L
Вообще, для того чтобы приближение Im[f(x)], осуществляемое при
помощи сумм Фурье Sm(x), было того же порядка, что и наилучшее
приближение Em[f(x)], достаточно, чтобы (при любом т) существовала
2п
хоть одна пара точек хт, ут, отстоящих друг от друга на расстояние т ,
для которых
где К — фиксированное положительное число, так как при этих услови-
ях Im\f{z)] = O{Rm\f{x)]}.
Заметим еще, что, согласно G), если
М = max ?m (х), М = min Sm (x),
мы имеем для всякой ограниченной и интегрируемой функции
Поэтому, если ряд Фурье не ограничен, то М •—' — М, и эти асимптоти-
асимптотические значения одновременно достигаются в парах точек, находящихся
на расстояниях, асимптотически равных тг/яг.
* Из неравенства A0) видно, что погрешность при этом методе приближения
оказывается порядка наилучшего приближения Ет [/ (#)] всякий раз, как
(Автор.)
АВТОРСКИЕ КОММЕНТАРИИ
3. О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ ДАННОЙ СТЕПЕНИ
3.1. (К Введению.) Здесь печатается только второе из упомянутых добавлений,
так как первое покрывается мемуаром из «Acta Math.» 1912 г., который печатается
в этом же томе [12]. В связи с этим, начиная с главы V, нумерация формул и
параграфов соответствующим образом изменена. После нового номера параграфа в
квадратных скобках стоит его прежний номер.
3.2. (К Введению.) Приведем здесь перевод Введения к французскому мемуару
«Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes
de degre donne» (Extrait des Momoires publies par la Glasse des sciences de PAcademie
royale de Belgique. Collection in 4°, Deuxieme serie, tome IV, 1912).
«Главная цель этой работы заключается в том, чтобы решить следующий вопрос,
поставленный Ш. Балле Пуссеном г: возможно ли представить ординату некоторой
ломаной линии посредством многочлена степени п с приближением лучшим, чем
порядка 1/п? Что указанный порядок приближения в самом деле может быть
достигнут, установлено Ш. Балле Пуссеном в цитированном мемуаре.
Первый шаг в направлении решения проблемы недавно был сделан самим
Ш. Балле Пуссеном в мемуаре2, вышедшем в свет в то время,'когданастоящая рабо-
работа редактировалась. В этом последнем мемуаре уважаемый лувэнский профессор
излагает общий метод нахождения приближающих многочленов и, в частности,
устанавливает, что наилучшее приближение ломаной линии многочленом степенип
имеет нижнюю границу порядка — .
п (log /гK
Настоящий мемуар дает полный ответ на поставленный вопрос:
Наилучшее приближение функции \х\ в промежутке (—1, -f 1) посредством мно-
у i 2
гочлена степени 2п^>0 заключено между и . • .
4 B/г — 1) тгB/г + 1)
Поиски решения проблемы Ш. Балле Пуссена естественно привели меня к поста-
постановке ряда других аналогичных вопросов и к общему исследованию зависимости
между наилучшим приближением функции и ее дифференциальными свойствами.
В настоящем мемуаре 3 изложена совокупность результатов, полученных мною в
1 Sur la convergence des formules d'interpolation entre ordonnees equidistantes.
«Bull. Acad. sci. Belgique», 1908, стр.403.
2 Sur les polynomes d'approximation et la representation approchee d'un angle.
Там же, 1910, стр. 808.
3 Необходимо также назвать мемуар Д. Джексона, появившийся уже после
посылки этой работы Бельгийской академии наук: D. Jackson. Uberdie Genauig-
keit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen. Gottin-
gen, Preisschrift und Innaugural-Dissertation,' 1911. Он касается тех же вопросов и
содержит также многочисленные библиографические указания.
526
этом направлении (некоторые из них, без доказательств, приведены мною в
заметке «Sur rapproximation des fonctions continues par des polynomes», «Gomptes
rendus», t. 152, 27. II. 1911 [2])».
3.3. (K § 9.) В первоначальной редакции вместо отрывка, воспроизводящего
соответствующее место из монографии «L. S.» (стр. 42), начинающегося словами:
«Я утверждаю. . .» и кончающегося «в которой S2 G) = L2. Этим наше утверждение
доказано», стояло кратко: «подобно предыдущему находим, что lil^lP]» |8| >> |Р|
и *$ > 0, 8C > 0» (причем в последних неравенствах уР > О и 8р > 0, вместо у и S,
должны были стоять их вещественные части, как это сделано в нынешней редакции).
3.4. (К § 10.) Вместо неравенства | f'n (t) | <; nL в первоначальной редакции в
общем случае было установлено лишь, что |/n (t) \ < 2nL. Приведенный здесь вывод,
показывающий, что общее неравенство является элементарным следствием того же
неравенства, доказанного для суммы синусов, сообщенный мне Э. Ландау вскоре
после появления диссертации [3], впервые был опубликован в «L. S.», стр. 39.
3.5. (К главе II.) Применяя аналогичный прием, основанный на теореме § 6,
Балле Пуссен («Legons sur rapproximation des fonctions d'une variable reelle», 1919)
несколько усилил некоторые результаты главы II. Принципиальное значение имеет
данное им уточнение теоремы § 12 для случая р нецелого; а именно, если (для
всех п ^> 0)
Еп У (*)] <ф, <*>
где к <!/?<[ к + 1 (к— целое число), то / (х) не только имеет производную А--го
порядка, удовлетворяющую внутри промежутка (—1, +1) условию Липшица
любого порядка а<р—&=&<1 (согласно утверждению теоремы § 12), но удов-
удовлетворяет также условию Липшица порядка и. = р — /с = 6<1
|/*) {Хш) _ /(*) {х±) j = о (\х2 - х±\ь) (- 1 <х± < х2 <1). (II)
В § 65 [73] настоящей работы установлено, что из условия Липшица порядка Ъ
I / (*«) - / (*i) ; = О (\х2 - хх\ъ) (Ъ < 1) (II')
вытекает
?п[/И]<-^> (I')
и одновременно Джексоном, независимо от меня, был получен общий результат,
что (II) всегда влечет за собой (I). Таким образом, упомянутое выше уточнение
теоремы § 12 означает, что в случае Ъ < 1 свойства (I) и (II) (которые при к = 0
обращаются в (Г) и (IF) эквивалентны*.
Этот важный факт в то время не был обнаружен мною, так как меня интере-
интересовал главным образом случай целого р, для которого, как я показал (§§ 18—20),
такой эквивалентности не существует.
В связи с основной задачей, которая была исходным пунктом исследования,
меня особенно интересовал вопрос о том, существует ли однозначная зависимость
между скоростью убывания Еп [/ (х)] и непрерывностью производной /' (х) (подобно
тому как непрерывность самой функции / (х) равнозначна условию Еп [/ (#)]^>0).
Несмотря на тесную связь (§ 18), ответ на этом вопрос оказался отрицательным и
формулирован в конце § 20. На это обстоятельство особое внимание обращено также
в докладе [6]: «существуют предельные случаи, когда природа непрерывности
производной (которая не выражается никаким условием Липшица) так мало отли-
отличается от некоторой формы разрывности, что посредством рассмотрения наилучших
* См. примечания на стр. 29 и 90. Постоянная в условиях Липшица (II) и AГ)
при приближении точек хг и х2 к концам отрезка [—1, +1] неограниченно возра-
возрастает, согласно неравенствам § 12. При этом, как видно из §§ 17 и 65, соответствую-
соответствующая оговорка является излишней при рассмотрении наилучшего приближения
Еп [/ (х)] периодической функции / (х) при помощи тригонометрических сумм.
527
приближений Еп [f (x)] (для всех п) невозможно решить, является ли эта произ-
производная непрерывной или нет. Я полагаю, что изучение этих критических случаев. . .
могло бы способствовать более глубокому уяснению самого понятия непрерывности».
В недавней работе Зигмунда («Duke Math. Journ.», 12, 1945), после которой по-
появились мои заметки B45*) и B50*), дополняющие результаты Зигмунда, идея, наме-
намеченная в приведенных словах доклада, в соединении с понятием обобщенных
условий Липшица, введенным в § 24 работы [3], получила глубоко плодотворное
развитие. Следует также отметить, что С. Б. Стечкин в своей кандидатской дис-
диссертации (см. «Докл. АН СССР», т. 65, стр. 135 —137) весьма остроумно развил
идеи §§ 24—26 в другом направлении, благодаря чему ему удалось существенно об-
обобщить теорему § 25 и получить посредством рассмотрений, аналогичных проведен-
проведенным в § 26, принципиально новое доказательство существования постоянных Сх и С2,
для которых при всех п соблюдается неравенство
3.6. (К § 52 [60].) В первоначальном тексте (как диссертации, так и мемуара «О»)
в левой части неравенства E3) вследствие погрешности в вычислениях, которую
отметил и исправил в своей книге Балле Пуссен, стояло |^4n_j_i!. Вместо приме-
примененного в настоящем издании способа определения левой части неравенства
р = + у. ——х— в основу вычислений была положена формула
%l f(*i) 1 г /<*)
где С — контур, окружающий отрезок [—1, + 1].
Однако, нахождение нижней грани Еп [/(ж)], если известно только значе-
значение Лп_^_1, не лишено интереса. Нетрудно показать (при помощи других соображе-
соображений), что всегда имеет место неравенство
Для этого замечаем, что Еп [/ (х)] есть наименьшее возможное значение максимума
оо
\f (х)\ при —1<^#<^1, если в разложении / (х) = У^ АкТк (х) по многочленам
2 f
Тк (х) дан лишь один определенный коэффициент Лп,^ = — V / (cos 0) cos (n + 1H d®-
о
Как показано на стр. 30 монографии «Э. П.», наименьшее значение max |/(^)| со-
1<<1
ответствует разрывной функции
yfw +¦¦¦]
= ^4nj_i — sign [cos (n 4- 1) arccos x],
для которой max \f(x) = ~т~ Mn_i_il- Отсюда видно, что неравенство
справедливо и не может быть улучшено.
528
3.7. (К § 54 [62].) В первоначальном тексте в формулировке следствия Г стояло
En[f (х)] <
2 2
+lF (IL + 1, Л J.
(l — R)
так как, во-первых, не была использована формула (см. сноску на стр. 128).
Л + А
< Rn+l F (IL + 1, Л J. —, п+27 R2) ,
2n(l — R) \2 2 2
+ 2, R*)=
2 2 2 У
а, во-вторых, в левой части неравенства E3) стояло Ап^_[ вместо ^| А(ок_^_^ гп-иу
3.8. (К § 66 [74].) Общее неравенство G8) легко получается из G7) и G7')
!1) интегрированием. Согласно G7) и G7'), если
|/' (x + h) — /' (х)\ < Л/га @ < а < 1),
то
f(x) = Sn(x)+9'(x),
к/1
где | q>' (ж) | <С —^ и /5*п (х) — тригонометрическая сумма /г-го порядка. Но в этом
случае Ahh
и, следовательно,
где ^ [/ (ж)] означает наилучшее приближение при помощи тригонометрических
сумм п-го порядка. Повторяя то же рассуждение, можно получить неравенство G8),
если условию Липшица удовлетворяет производная любого данного порядка fv\x).
В дальнейшем нам еще придется вернуться к вопросу о нижней грани значе-
значения постоянных в неравенствах Джексона. Сейчас отметим только, что в случае
тс
а = 1 в неравенстве G7') можно положить* к = -ту , т. е.
когда
|/(я + А)-/(я)|<ЛА, (II)
причем, как бы мало ни было ?^>0, неравенство G7') может оказаться неверным
для n^-n(z), если положить в нем к = — г; для периодических функций
неравенство Е*п [/(#)] -< 217Г+ТТ' также веРное ПРИ условии (II), не может быть
улучшено ни при каком п (см'. Н. И. Ахиезер. Лекции по теории аппроксп-
мации, § 87, ОГИЗ, М. — Л., 1947).
При помощи проведенного выше рассуждения мы получаем, таким образом,
общие неравенства
En+l[f{x)]<~~)En[f (х)-]; я; [/(я.)]<21-П_я; (/(*)], (Ш)
первое из которых верно для любой функции, а второе — для периодической функции.
* С. М. Никольский, «Докл. АН СССР», т. 52 A946).
34 с. Н. Бернштейн, т. I 529
3.9. (К § 69 [77].) Во французской редакции «О» содержится также формули-
формулировка следующего предложения:
Если вещественная часть функции, голоморфной внутри круга С, удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица степени а на окруоюности С, то мнимая часть удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица любой степени а2 < а на этой окружности.
При этом отмечается, что остаток в разложении в ряд Фурье мнимой части
оо
?п (в) = 2 ^Р cos/^—- Ap sinpd, так же как и остаток вещественной части
со
Rn F) = 2 Av cos p® "^ ^v s*n p^> УД°влетвоРяет неравенству вида
3.10. (К главе VII.) Метод исследования связи между свойствами различных
частных производных функций нескольких переменных, примененный в этой главе,
значительно усовершенствован в моей заметке B50*), опубликованной в 1948 г.
(«Докл. АН СССР» т. 59, № 8).
10. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ
10.1. Это неравенство ilf <7>р, вытекающее из написанного выше равенства
где ^ = с 4h гр, может быть заменено вытекающим отсюда же более сильным нера-
неравенством
Поэтому, не изменяя ничего в дальнейшем рассуждении, вследствие которого бы-
было получено р </г6, находим вместо (9) более сильное неравенство
(9')
(вместо этого неравенства имеем равенство только в случае тригонометрического
многочлена, когда р = у = 8, т. е. p = nb). Неравенство (9') вытекает также из
соответствующего неравенства, относящегося к целым функциям конечной степени
(Duff in a. Schaeffer. «Bull. Am. Math. Soc», 1938).
И. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ К НЕРАВЕНСТВУ ВЛАДИМИРА МАРКОВА
11.1. В 1938 г. мною дано простое доказательство неравенства В. А. Маркова.
€м. статью «О теореме В. А. Маркова» («Труды Лнгр. индустр. ин-та», № 5, разд.
физ.-матем. наук, вып. 1, стр. 8—13 A99*), которая войдет во второй том настоя-
настоящего собрания сочинений.
В том же году A. S. Schaeffer и R. J. Duffin («Bull. Am. Math. Soc», v. 44,
1938, стр. 289—297) дали другое доказательство неравенства В. А. Маркова при
помощи следующего интересного обобщения теоремы § 2 моей диссертации [3].
Если многочлен Рп{х) степени <! п удовлетворяет на отрезке [—1, 4-1] неравен-
неравенству \Рп(х) |<1, то
530
где Тп(х) == cos n arccos x; Sn(x) = sin n arccos ж, причем равенство достигается только
' ' п
для многочлена Рп (х)=уТп (х), \ у |=1 (при к—1 имеем: | Тп (x)+iSn (#) [= ==).
11.2. Как видно из установленных ниже неравенств (А), асимптотическое ре-
решение задачи Золотарева, которое дается формулой (8), имеет относительную
сп-1 [с + \ГС2 + С2]
погрешность рп , убывающую в геометрической прогрессии (рп< лГ 2"^—),
откуда нетрудно заключить, что формула (8) остается в силе и тогда, когда с/е
зависит от п произвольным образом.
12. О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ | ос \ ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ
ДАННОЙ СТЕПЕНИ
12.1. Вторая часть настоящей работы не отличается от первого добавления
(которое не воспроизведено в этом издании) к диссертации [3] ни методом, ни
своим основным содержанием.
Главной целью здесь, как и там, было доказательство основной теоремы о су-
существовании предела \l = lim 2п Е2п [ | # |] и указание непосредственно связанного
П^оо
с этим доказательством приема приближенного вычисления у. со сколь угодно
большой точностью.
Однако в упомянутом «Добавлении» оба приема вычисления (по недостатку и
по избытку) не были явно изложены в общем виде (как это сделано в настоящей
работе) и применение их было продвинуто лишь настолько, насколько это было
необходимо для проведения доказательства основной теоремы.
Таким образом, в «Добавлении», вместо неравенства D7), было дано лишь ме-
менее точное неравенство
0,27 <{х< 0,32 E9)
под номером E9). Для получения неравенства E9) необходимо было иметь таблицу
значений функций F (Ъ) и F' (Ь) положительной переменной Ъ в соответствующих
промежутках. Таблица, составленная мною для «Добавления» к диссертации и напе-
напечатанная впервые в конце последней, оказалась достаточной и для сравнительно
более точных вычислений, которые привели к неравенству D7) настоящей работы,
а потому без изменений была воспроизведена и в ней (§ 24).
Одной из причин, побудивших меня тогда предпринять более точное вычисление
значения \i, послужило следующее обстоятельство. Почти одновременно с настоя-
настоящей работой я опубликовал статью [9], в которой выведены асимптотические зна-
значения Еп [ (а — x)s] (для /г-> оо) при любом действительном s^0nfl>l и, в част-
частности, установлена формула (стр. 144)
где 1п [/ (х)] означает приближение / (х) посредством многочлена степени п, полу-
получаемого из разложения функции / (х) вряд Фурье по многочленам Чебышева Tk (x).
Ya __ 1 4- Vet + 1
Можно было предполагать, что, при$>0, множитель 0s (а) = у- в
формуле B7), который не зависит от s и непрерывно возрастает вместе с а при
я>1, непрерывен также при а = 1, так что 0^A)=^. Но, делая замену перемен-
переменной 1 — у = 2х2 (см., например, «Э. П.», стр. 97), замечаем, что
En[(l-y)s] = 2sE2n\ | х |2Ч; 1п [A - у)*) = 2*/2п [ | х ^].
531 34*
Поэтому, если бы точка а = 1 была также точкой непрерывности для 0j (а), т,
2
1
формула B7) была бы верна при а = 1, s = «г, то отсюда следовало бы, что
так как известно [3, § 64], что /2п [ | х \ ] = —г-—-—гг. Следовательно, мы должны
были бы иметь
у = lim пЕ\ [ | х | ] = - = 0,3183. (I)
Предположение непрерывности 01 (а) с вытекающим из него равенством A) могло
еще казаться допустимым, пока известна была лишь грубая оценка E9), получен-
полученная в «Добавлении» к диссертации, но оно оказалось в противоречии с более точ-
точным неравенством D7). Из приближенного равенства D7) ^л = 0,282 + 0,004 выте-
вытекает, что 0^ A) = 0,44 + 0,001, откуда мы должны заключить, что 0j (а) имеет раз-
разрыв при а =1.
Моя ученица Ф. И. Тарнаридер применила методы настоящей работы [12] к
исследованию наилучшего приближения Еп [ \х \ х&] при любом целом к. В заметках
«Comptes rendus» C марта 1913 г., т. 156, и 27 июля 1914 г., т. 159) она опубли-
опубликовала полученные ею весьма интересные результаты. В первой из этих заметок,
пользуясь теми же интерполяционными узлами, что и я: 0 и cos ( к -f- —) —, она стро-
V 2 Jп
ит интерполяционный многочлен Rv s (х) степени 2п для | х [2s -\-1 (s^>0 — любое
целое число) и при помощи искусных переходов к пределу получает аналог моей
формулы B8) в виде
Bn)^+1 L \ *
где <х.п (х) равномерно стремится к нулю при п _> оо, и
В этой же заметке Ф. И. Тарнаридер при помощи тех же методов получает,
в частности, неравенства
0,54 < Bп)» Е2п [ | х [3] < 0,65, (Т2)
верные для всех достаточно больших п. Во второй заметке указаны необходимые
изменения формул, если, вместо \х\25+^ рассматривать \х\х ~~*, и затем для
обоих случаев утверждается общая для всех целых к теорема существования
lim n Еп \_\x\ ж*~~*] и намечаются основные этапы ее доказательства. К сожале-
п—>оо
нию, исследования Ф. И. Тарнаридер были не изложены в законченной форме.
В течение последующих двадцати лет не появилось ни одной работы в этой
области. Поэтому, считая, что вопрос о существовании lim прЕп [ \ х \р] при лю-
п—>оо
бых р >• 0 представляет принципиальный интерес, я посвятил этому вопросу спе-
специальный параграф (стр. 96—102) моей монографии «Э. П.», изданной в 1937 г.
Метод, примененный на этот раз, примыкает к упомянутой выше работе [9] (см. также
532
стр. 90—96 монографии «Э. П.») и состоит в построении многочлена, наименее
уклоняющегося от A — х)р, как предела многочленов, наименее уклоняющихся от
(а — х)р при а-»1. Хотя асимптотические формулы, полученные этим методом, по
внешнему виду отличаются от формул настоящей работы [12], но по существу они
совпадают, так как интерполяционные многочлены в обоих методах фактически
тождественны. А именно, как отмечено на стр. 102 «Э. П.», функция
4 sin 7ts Г и23 du
рассматриваемая в «Э. П.» при всех s>0. в случае s = — тождественно равна
2 ь=0 \t \ + [к + y)k
аналогично функции Нs (t) (которые, как показано там, удовлетворяют рекуррент-
рекуррентному соотношению
для всех 5>0) должны быть связаны с функциями Тарнаридер Fs(b) (определен-
(определенными приведенной выше формулой (Тх)) для всех s = к -j——- , где А\> 0 — целое
число.
Возвратившись через четверть века к старой теме, я не только изменил техни-
технический аппарат исследования (что не имело существенного значения), но в работе
«О наилучшем приближении | х \р при помощи многочленов весьма высокой степени»
A95*), опубликованной вслед за монографией «Э. П.» в 1938 г. (ИАН, стр. 169—180), я
установил существование у. (р) = lim прЕп[\х\р] при всех />>0 принципиально
П->ОО
новым методом, который явился исходным пунктом большинства моих работ послед-
последнего периода. Речь об этом будет во втором томе; но сейчас уместно будет отметить
следующие неравенства, полученные в A95*):
Г(Р) (Р>2), (II)
1 • ТС Т) if \ \ / 1
— sm-L Г (р) [ 1 —} < \i (р) <— sin-
тс 2 \ р—1/ тс
и обратить внимание на вытекающее из правой части неравенства (II) следствие,
что *
6^ A)<-7)- (р — целое нечетное число)
2
(т. е. 6р/2 (а) имеет разрыв в точке а = 1 при любых целых />>0), так как
lim npl\\ x\p] = —
П-»со п
sm
Но учитывая, что отношение левой части неравенства (II) к его правой части,
Р — 2
равное — м , стремится к единице при возрастании />, заключаем, что скачок раз-
разрывной функции 0р/2 (а) (при я = 1) стремится к нулю при р-> оо. (Было бы инте-
интересно проверить, что убывание скачка монотонно для целых р.)
* Левая часть неравенства (II) бесполезна при р <[ 2, а при /> = 3 она дает
худшую оценку, чем левая часть неравенства (Т2); однако из (Т2) невозможно заклю-
заключить о прерывности 08/ («), так как правая часть (Т2) дает верхнюю границу 0,65,
вместо — =0,637, соответствующей (II).
533
В заключение замечу, что различные методы вычисления у-(р), вытекающие
из теории, изложенной в A95*), еще не были использованы для практического вы-
вычисления (х(/>), так что для случая р = у методы настоящей работы [12], теоре-
теоретически обоснованные теоремами §§ 36 и 37, остаются до сих пор наиболее эффек-
эффективными.
16. ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
16.1. Применяя результат Балле Пуссена [3.5], заключаем, что построенная
нами функция F (х) (стр. 221) удовлетворяет также условию Липшица степени
1
а = -тг . Следовательно, условие теоремы, высказанной вначале, могло быть уси-
усилено утверждением, что сходимость тригонометрического ряда функции / (х) может
не быть абсолютной и тогда, когда / (х) удовлетворяет условию Липшица сте-
1
пени -7f. В заметке автора в С. R., 1934, t. 199 A70*) при помощи аналогичных рас-
рассуждений и построений получены еще более тонкие результаты, из которых следует,
в частности, что тригонометрический ряд / (х) абсолютно сходится, если
и, наоборот, сходимость может не быть абсолютной, если
./(* + А)-/(*)| = [i-Щ^
17. О НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ,
НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ
17.1. Заметка F6*) из С. R., t. 158, не воспроизводится, так как она содержит
в основном резюме результатов, полученных в [16] и [17]. Однако в ней доказано
одно предложение, не включенное в статьи [16] и [17], которое я считаю полезным
привести:
Функция (I) в случае простого р = 4[l -j- 3 является наименее уклоняющейся от
v-t
нуля среди функций вида \. c^sin&r, если
а в случае р — 4{X -f* 1 наименее уг*лоняюгцейся среди функций ^J c^ cos kx, удовле-
творяющих условию (III), является функция (II).
Действительно, если бы существовала функция соответствующего вида, удо-
удовлетворяющая условию (III) с еще меньшим уклонением, то (например, в случае
/) = 4{х + 1), вычитая ее из функции (II), мы получили бы функцию
Ур И = 2 bk C0S kx>
удовлетворяющую условию
534
2i7u
и, кроме того, во всех точках , где функция
р-1
U (ж) = —Г 2 '• —) (Р — п) cos лх
р
достигает своего наибольшего абсолютного значения (единицы) со знаком (""""),
мы имели бы также
(V)
Но эти два требования несовместимы, так как, складывая неравенства (V),
соответствующие всем г, получим [в силу свойства символа Лежандра, что
т\ fi\fk\
, если m — ik (mod/?)]
р—i т>-1 т>—i p-l
2 2Н^^=2^Ш-?-
что противоречит (IV).
18. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ И СВОЙСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
18.1. Высказанное здесь утверждение непосредственно доказывается указанным
способом как для случая, когда / (х) имеет п + 1 изолированных корней (х1<^х2<^...
•"<^xn+l) ВНУТРИ [Qy Щу так и в случае, когда х1 — а и жп_^_1 <^6. Действительно,
пусть I — число корней, где / (х) меняет знак, Р — число корней, вблизи которых
/(#)>0, N — число корней, вблизи которых /(#)<0. Таким образом, если хх > а
и яп+1 <6, то ra + l = ? + iV+ JP, а числа корней / (х) -f ? и f (х) — г, в которых
эти функции меняют знак, равны соответственно
и' + 1 = I + 2N, п" + 1 = I + 2Р
и, следовательно, верно по крайней мере одно из неравенств п'^>п или тг">/г. -
Если же хг = а и ^n_f_j <С &> причем вблизи хх (для ж > а), например, / (д:) ]> 0 (что
не нарушает общности, так как вместо / (х) можно было бы рассматривать —/(#)),
то / (х) имеет п — I + N + Р внутренних корней, а / (х) + г и / (х) — г имеют соот-
соответственно пг + 1 = I + 2iV и тг" + 1 = J 4- 2Р + 1 внутренних корней с переменой
знака; следовательно, замечая из этих равенств, что числа пт и пп не могут быть
равны, а пг + пп + 1 = 2гс, заключаем, что либо /г' > /г, либо л" > /г. При предпо-
предположении, что правый конец 6 также является корнем: #п_^ = Ъ, можно взять любое
непрерывное продолжение / (х) так, чтобы / (х — а) / (х -f- а) < 0; тогда А^ V (ж) =
= А^ (/ (х) J- s) = / (х + &) — / (ж) будет иметь нужную тг-ю перемену знака при
х<СЪ (так же как и тогда, когда #п+1 < Ь), и все дальнейшее рассуждение остается
в силе.
535
18.2. Можно было бы охарактеризовать регулярную аналитическую функцию
на отрезке [а, Ь] (почти всюду) также тем свойством, что
^71mi
min J [/ (х) - Рп (x)Y dx | 2 =
a
удовлетворяют условию
n
lim
n->oo
Нетрудно убедиться, что условие (I) эквивалентно (в указанном выше смысле)
условию
п
lim l/".
П—>оо
В самом деле (для определенности положим а = — 1, 6 = 1), неравенство
?^ [/ (ж)] <#п [/(«)] очевидно. С другой стороны, если многочлен Рп(я) осущест-
осуществляет Е^\f (х)], то из (I) следует, что при любом рх > р и /г достаточно большом
4
-1 -1
= 2{ [?}?>/ (^)]2 + [?(n2}i / (я)]2} < 2Pf.
Таким образом, многочлен 2?2n-f з ^ степени 2л 4- 3 удовлетворяет неравенству
и по теореме А. А. Маркова
следовательно, ряд
оо
п=1
равномерно сходится и
Еп [F (х)] < шах | F (х) - Рп (иг) \ < Ср\ (Ра > Pl),
п
где р2 сколь угодно близко к р1, так что lim "\/'Еп [F(x)\ = рг и
П->оо
+1
Характер убывания Е^ [f (х)] для произвольных функций / (х), в общем сход-
сходный с характером убывания En[f(x)], существенно отличается от последнего тем,
что свойство E^[f(z)]->0 (при /г->оо) имеет место не только для непрерывных
функций, но является необходимым и достаточным для того, чтобы функция / (х}
была квадратично суммируема (т. е. f(x)^L2). В связи с этим можно ввести рас-
расширенный класс квазианалитических функций / (х) ? L2 (включающий класс квази-
536
аналитических функций, введенных в нашей статье), который определяется тем
свойством, что
Этому расширенному классу квазианалитических функций могут принадлежать и
разрывные функции. То обстоятельство, что функция / (х), удовлетворяющая
условию (V) на отрезке [а, Ъ], должна быть равна нулю почти всюду на отрезке
[а, Ь], если она обращается в нуль почти всюду на некоторой его части [а', Ъг]
(a^.ar -^b' <!?>), доказывается так же, как в тексте данной статти [18]; для этого
надо лишь заметить, что если многочлен Рп (х) степени п удовлетворяет неравен-
неравенству
х Ъ'
P2n(x)dx<M (а'<х*?Ь')9
а'
а'
где при всяком р можно взять Л^>0 достаточно малым, чтобы R (?,) <— , если
V
18.3. Вторая половина этого утверждения вытекает из того, что только для
регулярных на [а, Ь] аналитических функций существуют такие многочлены Pn(x)t
что
Ш Е„ [/(*)] = !Ш у\ f (х) - Рп (х) |< р < 1 (а<*<Ь),
п—>оо гг-^оо
причем, если ф (х) = / (х) при a^.x^b'<^b, то <р (х) нельзя выбрать так, чтобы
она была аналитична или квазианалитична на [а, Ъ\, не совпадая с / (х) на всем
п
отрезке [а, Ь], так что lim \/~Еп [<р (х)] = 1, если ф (х) ф f (x) на отрезке [Ь, Ь'].
П->оо
Первая половина высказанного утверждения полностью доказывается только
при помощи теоремы, опубликованной автором позднее в первом добавлении [26]
к монографии «L. S.»: Какова бы ни была последовательность убывающих чисел <хп
п
таких, что lim l/a =1, возможно построить функцию ф (#), для которой на
71->ООГ
всем отрезке [а, Ь]
для бесчисленного множества значений п, причем ф (х) — 0 для а ^_х <1 6' <СЬ, хотя
ф (х) для V <С,х<^Ъ отлична от нуля. Таким образом, если / (х) не является регу-
регулярной аналитической функцией на [а, Ь], так что существует бесконечная после-
последовательность значений п, для которых
limyran=l),
п->оо г /
то, заменяя / (х) на <р (х) = f (x) -f- 8ф (ж), т. е. изменив значения /(ж) только на^
[Ь, Ь'], мы получаем функцию, которая для указанных значений п удовлетворяет
условию
при любом 8>0.
537
Следует особо подчеркнуть, что содержащаяся в данном утверждении характе-
характеристика аналитических функций выделяет их среди функций всех квазианалитиче-
квазианалитических классов.
20. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ
20.1. Статья под тем же заглавием и почти буквально совпадающая с настоя-
настоящей статьей была напечатана в 1918 г. в «Math. Ann.» (Bd. 79) со следующим при-
примечанием редакции в конце ее: «Печатаемая здесь работа получена была редакцией
в июле 1914 г.; запоздание ее появления объясняется следующим: рукопись содер-
содержала многочисленные описки и неточности, и казалось, что одна из этих ошибок
ставит под вопрос значительную часть результатов. Поэтому печатание работы было
отложено, так как, вследствие войны, автор был недосягаем. Однако новый про-
просмотр рукописи показал, что указанный пробел легко восполнить.»
По этому поводу нужно обратить внимание на то, что после того как в июне
(по ст. ст.) 1914 г. я отправил в редакцию «Math. Ann.» свою рукопись,
лишь в 1916 г. я счел нужным, ввиду затянувшейся войны, поместить ту же работу
в «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», где она и была напечатана в том же году. Мне
неизвестно, на какие ошибки в рукописи, послужившие якобы причиной задержки
печатания моей статьи, намекает в своем примечании редакция «Math. Ann.»; кроме
того, нужно добавить, что хотя статья в «Math. Ann.» была напечатана без автор-
авторской корректуры, и о сомнениях редакции, как было сказано выше, мне ничего
не было известно, текст статьи, напечатанной в «Math. Ann.» через два года после
статьи [20] и через четыре года после представления рукописи, почти бук-
буквально совпадает со статьей [20]. Об истинных мотивах, побудивших редакцию
«Math. Ann.» задержать публикацию этой статьи, можно лишь делать догадки.
21. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ МНОГОЧЛЕНОВ
БЕСКОНЕЧНО РАСТУЩИХ СТЕПЕНЕЙ
21.1. Изложенные здесь результаты были впоследствии существенно дополнены
и улучшены Н. И. Ахиезером в статье * «Об асимптотическом значении наилучшего
приближения некоторых рациональных функций посредством полиномов» («Зап.
X. М. О.», серия 4, т. V, 1932). Метод Н. И. Ахиезера примыкает по своей идее
к моему приему нахождения асимптотического значения наименьшего уклонения
многочлена степени п (при /г->оо) вида
Рп (х) = хп + a*» + Plxn~2+ ...+ />„_,
для произвольно данного а [11], который по моему совету был применен Н. И. Ахие-
Ахиезером в 1930 г. («Зап. X. М. О.», серия 4, т. IV) к нахождению асимптотического
разложения наименьшего уклонения многочлена вида
Рп (х) = хп + а*" + р*"-2 + Plxn-3 +... + Рп_2
при данных аир.
Наиболее интересный результат, полученный Н. И. в упомянутой работе 1932 г.,
относится к функции
^ ^ = (х~аJ + (а2 — 1)(х — а) '
для которой он нашел все члены асимптотического разложения по степеням —
в изящной форме
Еп [/ (*)] ~Нп || п + а | + у\п + а)* + -±-^ = L,
* См. также монографию Н. И. Ахиезера, указанную в [3.8].
538
где
А 2Аа — В
причем погрешность
I En [f (х)) -L\<
если только п > 2 -\
22. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
22.1. В первоначальной редакции этой заметки, а также в монографии «L. S.»,
я называл степенью целой функции j(x) величину
Во всех работах, начиная с русской монографии «Э. П.». я называю степенью
функции / (х) величину
р = lim /л!|Лп1 = lim V\f{n\O) |= lim
П—>оо n->oo n->oo
при произвольно фиксированном х.
Доказательства всех предложений этой заметки были изложены в курсе лекций,
прочитанных мною в Сорбонне весной 1923 г., и впервые были опубликованы
во французской монографии «L. S.» в 1926 г. Те же доказательства без существенных
изменений воспроизведены в русской монографии «Э. П.» в 1937 г. После этого
появилось большое число работ, содержащих новые доказательства неравенства C).
23. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОГОЧЛЕНОВ
И ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
23.1. Термин «степень» имеет здесь то же значение, что в заметке 22 (см. [22.1]).
Доказательства формулированных теорем были устно изложены в упомянутых выше
лекциях для алгебраического случая. Полное доказательство теоремы 1 и (выте-
(вытекающей из нее) теоремы 2 опубликовано впервые в монографии «L. S.» при
несколько более общем предположении, что Р (х) — степени нуль (а не только рода
нуль), но и при более сильном ограничении относительно R (х): требуется, чтобы
действительные части ctk всех корней были ограничены (учитывая, что R (х) — ну-
°° 1
левого рода, при этом тем более выполнено требование сходимости ^j а")- Доказа-
k=i к
тельство теоремы 3, которая соответствует случаю, когда Р (х) — любой конечной
степени />, не отличается по существу от случая р = 0 и было лишь намечено в
«L. S.». Эти доказательства воспроизведены в «Э. П.» в несколько более разверну-
от 1
том виде. Кроме того (без ограничительного предположения сходимости ^ д-) ,
доказательство проведено там также для случая, когда R (х) — четная функция
нулевого рода. Справедливость неравенств B) без всяких ограничений относительно
функций нулевого рода R (х) доказана Н. И. Ахиезером (ИАН, 1946), который в
той* же работе впервые установил существование неравенств, аналогичных B), в
некоторых случаях, когда функция R (х) — конечной степени (первого рода).
539
О дальнейших обобщениях результатов Н. И. Ахиезера речь будет во втором томе
в связи с моими работами последних лет.
24. О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ,
ОБЛАДАЮЩИХ СУЩЕСТВЕННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ
24.1. Доказательство теоремы, выраженной общей формулой A), при любых
Ah^0, как и прочих результатов этого параграфа, впервые было опубликовано
во французской монографии «L. S.» (стр. 137—150) и воспроизведено без существен-
существенных изменений в русской монографии «Э. П.» (стр. 111—131). Сущность этих доказа-
доказательств состоит в том, чтобы обнаружить, что при Ah^0 значение Еп [/ (х)] (как
и в случае полюса а) достигается асимптотически в точках, где cos(/i0+ 8) = +1,
и с теми же знаками. Благодаря этому (в силу теоремы Балле Пуссена) справед-
справедливо также сделанное в начале второго параграфа утверждение, что в случае
00 А °° В
f (*) = А (*) — /. (*), где Д (*) = Y , *~Х, U (*) = У, 1 ^ЧГ ' Ah>°>
имеем
Еп [/ (*)] ~ | Еп [/, (*)] - Еп
Например, воспроизводя вывод асимптотического равенства (Е) и обозначая через F (п)
его правую часть, убеждаемся, что
1 1
1 1
(а + у а* —1)пЕп (е*~* — е*-*) «= F (л),
ПОЭТОМУ ПрИ ЛЮ6ОМ С g: 1
^ ^ 1-е
24.2. В монографии «Э. П.» вопрос о связи Еп [/ (х)] с коэффициентами ряда
Фурье cn[f (х)] функции / (х), имеющей существенную особую точку, рассмотрен
более подробно, и, в частности, теорема 1 («Э. П.», стр. 122) дает достаточное
условие для того, чтобы соотношение Еп [/ (х)] ~ у- сп [/ (х)] (которое всегда
имеет место, если все Ah^>0) было применимо и при Ah разных знаков. Там же,
как и в монографии «L. S.», доказано последнее утверждение настоящей
заметки [24]. Что же касается утверждения о применимости (для беско-
бесконечного множества значений п) асимптотической формулы B) независимо от
h
знаков Ah, лишь бы h2V\Ah\ оставалось ограниченным, то доказательство, данное
в «L. S.», подчиняет А^ несколько большему ограничению, что для некоторого г >0
h
]\тк2~*~гУ~\Ан\ =0 (которое соблюдено в данном здесь примере). Сравнительно про-
h->oo
стое доказательство в «Э. П.» вводит еще более ограничительное требование, чтобы
h
limk4r\Ah\ = 0. Но, с другой стороны, там также показано, что даже расширен-
л->°° h
ное условие lim ^ ^Мд! = 0 достаточно для применимости формулы B) при всех
h->oo
00 Л
п-> оо, если функция j^ 7TZIJ)\Z не имеет корней внутри данного сколь угодно
малого острого угла 20, имеющего положительную полуось своей биссектрисой.
540
25. ЗАДАЧА ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
25.1. Теорема I является частным случаем теоремы, вошедшей во французскую
монографию «L. S.», а также в «Э. П.» (стр. 164), где специальное предположение
относительно целой функции ф (х) рода выше нуля (что все ее корни чисто
мнимые) заменяется единственным требованием, чтобы все коэффициенты целой
оо
функции ф (х) — ^ akxk были неотрицательны (ф @) >0). При доказательстве тео-
?=0
ремы мы отметим те небольшие дополнения, которые достаточно сделать для этого
обобщения (см. [25.3]).
Заметим, кроме того, что вторая часть теоремы I в сущности равнозначна
утверждению из «L. S.» (см. [26.1], что равенство.
невозможно при произвольной непрерывной функции / (х) (удовлетворяющей усло-
/ (х)
вию lim —г-г=0), если
rt= I
— любая целая функция нулевого рода. Действительно, полагая Р^ = |а^
видим, что (I) влечет за собой
*ф(х) [/(*)]= 0,
П/ X" \
1 + — > |ф0 (х)\ при всех х (— оо < х<С оо).
25.2. Доказательство этой важной леммы (см. следствие 1 на стр. 544), опублико-
опубликованное в монографиях «L. S.» и «Э. П.», не вошло ни в одну из печатаемых здесь
работ; поэтому мы воспроизводим с некоторыми пропусками соответствующий
отрывок из § 1 главы III «Э. П.».
«§ 1. Алгебраические дроби, наименее уклоняющиеся от нуля
на всей вещественной оси
Для построения функций, наименее уклоняющихся от нуля на бесконечной
вещественной оси, будем исходить из произвольного многочлена R (х) степени 2п
с вещественными коэффициентами, не имеющего вещественных корней. Вследствие
основной теоремы алгебры, можем положить
Д (ж) = Д@) [•»(*) + «*(*)], A),
где
имеет корнями все корни многочлена R (х), лежащие в нижней полуплоскости
). В таком случае
5(х) s (х) cos Ф
VR(x) \rR@)[s^(x)+t^(x)] V~R@) '
t(x) tjx)sind>
VR{x) ~ ГД @) [s* (a)
где
ф2 + • • • + Фп, D)
541
— аргумент множителя 1 — , так как из B) получаем
ал ~ Фл
4" У s2 (х) + г2 (х) [е1 (Ф1+Ф1+-+Фп> + е~г (Ф1+ф«+-+Фп)] ,
Г, (») + *(*) (*1Ф- «"**).
Из определения фЛ следует, кроме того, что
?* — h ~ arccos ./• :=^ = — arcsin
где
^^ .
S, = arccos , = arcsm
V4 I К
Следовательно, когда х изменяется от — оо до + оо, фд убывает от Bk до 8^ — тг;
п п
поэтому Ф убывает от 2^& д0 2^~~~Л7Т' ^ТСК)Да заключаем, что при любых
А и В функция
/ (я) = JFJ т~ = ]/Л2 + j52 cos (Ф — X), F)
где
cos X = ,- — , sin X =
f Л2 4- ?2
при изменении х от — оо до + °° достигает максимального значения
последовательно чередующимися знаками не менее л раз.
Из формулы F) и получающейся аналогично формулы
г) At (х) __—— .
заключаем, что все корни многочлена As (x) -\~ Bt (x) вещественны и разделяются
друг от друга корнями уравнения Bs (х) — At (х) = 0.
Обратно, если даны два уравнения s± (х) = 0 и tx (х) = 0 с разделяющимися
корнями, имеющие лишь вещественные корни, то все корни уравнения
si (х) + *"*i (х) — 0 комплексны, и мнимая часть у всех его корней имеет один и
тот же знак. Действительно, обозначим через ак корни уравнения sx (x) = 0 и через
Ък — корни уравнения tx (х) = 0 и положим аг <[ Ъг <[ . . . < «п <С ^п -^ °° (так что
степень s1(x) равна п, a tx(x) может быть также и степени п — 1); тогда аргумент
многочлена s± (х) -f itx (х) при переходе х от аг до Ъп изменяется на [п — "O1» и
так как аргумент каждого из линейных множителей s± (x) + it± (x) изменяется при
этом менее, чем на 7т, то число множителей, аргумент которых изменяется в оди-
542
наковом направлении, т. е. лежащих в одной и той же полуплоскости, должно
быть более п— 1. Поэтому все п корней многочлена s1{x) -\- иг{х) лежат в одной
и той же полуплоскости.
Лемма I. Если корни многочлена s (x) -f- it (x) леокат в ниокней полуплоско-
полуплоскости, то корни производной sr (x) + it' (x) также лежат в ниокней полуплоскости,
а следовательно, тем же свойством обладают и корни производной s^ (x) -f- it^(x)
любого порядка к.
Ле мм а И. Ни один из коэффициентов ср многочлена s (х)-}-it (х) не может
S+1
быть равен нулю, а отношение не может быть вещественным {если
cv
Действительно,
1<р)@) +
а потому мнимая часть дроби
<+1> (+1> @)
*<*» @)+ ?«<*» @)
отрицательна.
Теорема I. Среди всех выражений вида
Р(х) Р(х)
7
Vs*(x) + p(x) ~уйщ v"w-^> v
где s2 (x) -f- t2 (x) =; R (x) — данный многочлен степени 2п, не имеющий веществен-
вещественных корней, а Р (х) — любой многочлен с двумя заданными коэффициентами А и
^р-М пРи %V u xV^~ (Q^P*^77) состветственно, наименее уклоняющимся cm нуля
на всей вещественной оси является выражение
I и\ - А*(ж) + т {х)
> у«2 (*) + г2 (*)'
в котором постоянные А и В определяются из условия, чтобы коэффициенты
при хр и хр^~ были соответственно равны А и А ,^.
Замечаем, прежде всего, что для требуемого отожествления коэффициентов
при хр и #р+1 нужно лишь удовлетворить уравнениям
АЪ +Ву'р =Ар,
полагая s (х) = ^у^к, t (х) — ^у^, так что yk-\- iyk = ck, где ск — коэффи-
& = 0 Л:=0
циент при хк многочлена s (х) + it (x).
Вследствие леммы II определитель уравнений (8)
а потому постоянные А и В из них всегда определяются однозначно. Но функ-
функция / (х), вполне таким образом определенная, достигает на основании F) сюего
абсолютного максимума
VА2
543
п раз с последовательно чередующимися знаками. Поэтому, принимая во внимание,
что дробь G) могла бы бесконечно возрастать, если бы степень числителя Р (х)
была выше п, заключаем, что не может быть многочлена Р (х)9 который позволял
бы функции / (х) оставаться постоянно меньшей по абсолютному значению, чем
указанное значение \ А2 + В2.
Действительно, для этого необходимо было бы, чтобы разность
D {х) = As {х) + Bt (х) — Р {х),
являющаяся многочленом степени не выше л, в которой отсутствуют смежные
члены степеней р и р-\- 1, получала бы противоположные знаки в п точках, т. е.
имела бы не менее п — 1 вещественных корней, что невозможно.
Отсюда вытекает
Теорема II. Если в числителе Р (х) дроби G) задан только коэффициент А
при хр, где р^Сп, то максимум М ее модуля на всей вещественной оси не менее,
А
, т. е.
(9)
еде с = у + iy —коэффициент при х^ многочлена s (x) -f- it (x), и не превышает
этого значения, если Р (х) = As (x) + Bt (x), где
А =
Ы2'
Ы2
Действительно, согласно предшествующей теореме, выражение G) будет наиме-
наименее уклоняющимся от нуля на вещественной оси, если Р (х) = As (x) -f- Bt (x), при
условии, что постоянные А и В, удовлетворяя равенству
обращают в минимум \А2 + В2.
Следовательно,
А В
р
А2 Л- В*
откуда следует, что наименьшее уклонение дроби G) равно
у
Следствие I. Если R (х) — многочлен с вещественными коэффициентами,
имеющий только комплексные корни а^ + ф^, то наименьшее уклонение от нуля
выражения
Ро + х + PiX2 + • • •
на всей оси
М = ¦
VR(x)
1
R @)
Достаточно применить предыдущую теорему при А = р = it заметив, что
A0)
544
Следствие II. Если алгебраическая дробь G) не превышает М на всей
вещественной оси, то модуль j АР коэффициента при хр числителя не превы-
превышает М | с |, т. е.
\ар\<м\ср\> <9'Э
причем знак равенства имеет место, если Р (х) — As (z) -f- Bt (x), где
Y У
в = м.—п .
Примечание. Неравенства (9) и (9') остаются в силе и тогда, когда коэф-
коэффициенты Ар могут быть комплексными.
Теорема III. Если на всей вещественной оси многочлен Р (х) удовлетворяет
неравенству
\P(x)\.CM\s(x) + it(x)\, A1)
где многочлен s (x) -}- it (x) имеет все корни в нижней полуплоскости, то на всей
вещественной оси соблюдаются также неравенства
A2)
|<Ж | s(k~>(x)
при всех целых положительных к.
Действительно, положим
F (х) =
Р (х0 + х)
где х0 — произвольное постоянное вещественное число.
В таком случае, применяя к F (я) следствие II, замечаем, что коэффициент Ак
(
при х в числителе равен
/с!
^ ft
, между тем как коэффициент при х у много-
члена s (x0 -f х) + it (x0 -f- х) равен
. Следовательно, из неравен-
неравенства A1), означающего, что при всех вещественных х
\F(x)\4?M,
вытекает, благодаря (9f), что
•<*> (х0
к\
И
т. е.
М,
м
на всей вещественной оси.
Знак равенства, очевидно, осуществляется, если
Р{х) =As(x) -f Bt(x),
где А = М cos ос, В = М sin а при любом постоянном угле а.»
25.3. Это утверждение и последующее неравенство D) остаются в силе и в том
случае, когда
35 С. Ы. Бернштейн, т. I
545
и R (х) — 2ал Таким образом, принимая во внимание, что Мп -*• 0 (при п-> оо),
если ф (х) — рода ;> 1, имеем и в этом случае Еу [| х |] = 0; но так как в даль-
дальнейшем доказательство утверждения теоремы, что
*К*« "<*>] = о
для всякой функции /(#), когда <р (х) — первого рода, не зависит от специального
вида ф (х), то первая часть теоремы также остается в силе при вышеуказанном
более общем предположении [25.1]. Что касается второй части теоремы (когда
Ф (х) — нулевого рода), доказательство которой отсутствует в этой статье,
то ее доказательство, опубликованное впервые в «L. S.» (стр. 73—74), воспроизво-
воспроизводится в «Э. П.» (стр. 163—165) с некоторым обобщением: именно, устанавливается,
что вторая часть теоремы I справедлива не только тогда, когда ф (х) — нулевого
рода, но и в случае четной функции ф (х) первого рода, если тол1 ко
ряд
00 I Й I
сходится (при этом, очевидно, отпадает условие ак !> 0, которое противоречило
бы первой части теоремы).
В 1949 г. мною B54*) и независимо от меня Б. Я. Левиным («Докл. АН СССР»,
т. 65, вып. 5, 1949) была установлена теорема, из которой следует, что усло-
условие S — оо вообще (т. е. не только в случае четной функции) необходимо для
того, чтобы всякая функция /(#), удовлетворяющая условию lim ' ^ ' = 0, была
я-^оо ф (х)
приближаема при весе -*—т—гт , если <р (х) — рода 1. Однако это обобщенное усло-
условие явно недостаточно, как это видно из примера функции <р (х) = ех -j- 1 (корни
/ (х)
которой равны km при всех целых нечетных /с), так как требогание—т^у ~> 0 соблюдает-
соблюдается для всякой функции / (х) ->0 при х-> + °°> а между тем если Е^м [/ (%)] — О,
то приближающие многочлены Рп(х) при #<[0 для всех /г, превышающих доста-
достаточно большое п0, удовлетворяют условию
как бы мало ни было данное г; поэтому можно фиксировать некоторое число М
так, что
и, следовательно, / (х), как и Рп(х), должна быть постоянной, так что f(x)^Q
(-ОО_< *<«,).
25.4. Некоторое обобщение этой леммы дано в моей монографиии «Э. П.».
Дальнейшее исчерпывающее, в некотором смысле, обобщение, данное Н. И. Ахие-
зером («Докл. АН СССР», т. 63, вып. 5,. 1948), гласит: Если <р (х) = ех%и^ — целая
функция не выше первого рода, то
[и (х) -j- и (— х)] dx < + оо
1
°° I Pa I
тогда и только тогда, когда S = V ——:—- <; + °°-
546
25.5. При необходимом ограничении, чтобы ф (х) была четной, это предполо-
предположение еще не доказано и не опровергнуто. В «Э. П.» доказано, что расходимости:
со
\ и (х) dx достаточно для ^^(Х\ [/ (%)] = 0, если <р (х) — целая четная функция с неот-
неотрицательными коэффициентами. Из [26.6] следует, что высказанное предположение
справедливо при условии нормальной монотонности <р (х) [см. мою заметку в»
«Докл. АН СССР», т. 77, вып. 4, 1951) B61*)].
26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ,
ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ПУТИ ОБОБЩЕНИЙ
26.1. Ниже мы приводим перевод предисловия французской монографии «L. S.»r
добавлением к которой является настоящая статья [26]. Это предисловие дает крат-
краткое резюме задач и результатов монографии «L. S.», которые автор считал наибо-
наиболее важными.
Предисловие к монографии «Lemons sur les proprietes extremales et la meilleure*
approximation des fonctions analytiques d'une variable reelle»
Co времени известных работ Пуанкаре, Адамара и Боре ля изучение возрастания
или экстремальных свойств различных функций в комплексной области стало наи-
наиболее важным предметом общей теории аналитических функций. Но методы,,
которые применяются в этих исследованиях, в основном идущие от Коши и Вейер-
штрасса, повидимому, непригодны для действительной области. Отсюда вытекает
необходимость создания нового инструмента исследования: приходится прибегнуть
к переработанным надлежащим образом методам Чебышева.
Итак, главная цель предлагаемой небольшой книжки, воспроизводящей (если
не считать кое-каких добавлений) лекции, прочитанные мною в Сорбонне в мае
1923 г., заключается в том, чтобы показать на примере нескольких точно постав-
поставленных задач аналитического характера, какую пользу может извлечь теория
функций из идей Чебышева.
Прежде всего я излагаю, в возможно более общей форме, основные теоремы
теории наилучшего приближения функций. Это позволяет нам в первой главе,
пользуясь одним и тем же приемом, получить большое число (известных или
новых) экстремальных на данном отрезке свойств многочленов и рациональных функ-
функций, подчиненных одному или нескольким условиям. В этой главе содержится
алгебраическая база всей теории; но здесь встречаются уже трансцендентные про-
блемы. Так, в § 6 я рассматриваю вопрос о наименьшем уклонении (от нуля)
произведения
Pn(x)f(x),
где / (х) — некоторая данная положительная функция, а Рп(х)— многочлен степе-
степени /г, подчиненный тем или иным ограничениям. Например, полагая f(x) = e~h*x2 y
мы видим, что наименьшее уклонение L на отрезке [—1, + 1] выражения
(хп -j- р^71 + . . . + Рп) е~ х ' ПРИ возрастании я, асимптотически равно
Вторая часть главы посвящена изучению соотношений между максимумом мно-
многочлена и максимумами его последовательных производных на данном отрезке;.
* Из этого параграфа выросла в следующие годы моя теория ортогональных
многочленов, изложенная в монографии «О многочленах, ортогональных в конеч-
конечном интервале». ДНТВУ, Харьков, 1937. (См. также [36], [42] и A49*).)
547 35*
наконец, в последнем параграфе специально рассматривается случай монотонных
многочленов.
Следующая глава посвящена изучению экстремальных свойств алгебраических
дробей и целых трансцендентных функций нулевого и первого рода на всей
вещественной оси. В результате получаются важные следствия относительно схо-
сходящихся на всей оси рядов многочленов, рациональных дробей и целых функ-
функций.
Несмотря на существенное различие между свойствами рядов этих трех типов,
изучение их основывается на одних и тех же принципах и ведет к замечательным
-сопоставлениям, которые мы здесь укажем.
Ясно, что ряд многочленов не может сходиться равномерно на всей веществен-
вещественной оси. Чтобы устранить это затруднение, можно ввести «функцию сравнения»
Ф (х), непрерывную и положительную, и тогда стараться обратить в минимум
максимум (на всей оси) разности
/ (х) - Рп (х)
где / (#)— исследуемая функция, а Рп(х) — произвольный многочлен степени п
Допуская, далее, что lim ' ^ ' = 0, мы получаем следующее общее предложение:
л:~>+ооф (х)
если существует такая четная целая функция фх (х) рода^-1 с положитель-
положительными коэффициентами (фх@)}>0), что <р (х) ^> фг (х) при всех значениях х, то
можно заставить гп стремиться к нулю равномерно на всей оси, какова бы ни была
функция /(#). Напротив, если гп равномерно стремится к нулю, и ф(#)<!фо(я),
где фо(#) — целая функция рода 0, то функция / (х)—сама целая функция нулевого
(или, в виде исключения,—первого) рода. Ту же теорему можно сформулировать ина-
иначе, в виде, более удобном для применений: пусть F (х) — непрерывная функция,
стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании | х |; тогда, как бы мало ни
было положительное число г, всегда возможно найти такой многочлен Рп(х), чтобы
на всей действительной оси было
при единственном условии, что ф(#)^>Ф1(#), где фх (х)— четная целая функция
рода^>1 с неотрицательными коэффициентами.
Аналогичное утверждение справедливо и в случае равномерного приближения
функций, непрерывных на всей оси, посредством рациональных дробей.
Всякую непрерывную функцию / (х) вещественной переменной х, удовлетво-
удовлетворяющую требованию lim / (х) = А, можно равномерно приблизить на всей оси
при помощи рациональных дробей, имеющих данныз полюсы ап + /рп, лишь бы
только ряд
был расходящимся. И напротив, если функция / (х) обладает тем свойством, что
возможно, как бы мало ни было е > 0, построить такую рациональную функцию
Р (х\
-^-А—1 , чтобы на всей оси выполнялось неравенство
е. (I)
причем суммы
S-
548
составленные при помощи всех корней ап + фп многочлена Q (х), были ограничены,
то функция / (х) мероморфна и не имеет иных полюсов, кроме an ± фп (при предпо-
предположении*, что множество корней не имеет предельной точки на конечном рас-
расстоянии).
Я не буду здесь останавливаться на различных приложениях этих предложе-
предложений и ограничусь замечанием, что первое из них позволит нам доказать (в главе II
первого «Добавления» [26]) основную теорему Карлемана и Данжуа относительно
функций, которые эти авторы называют квазианалитическими.
Во второй части главы II речь идет главным образом об отношениях между
модуль-максимумами целых функций на некоторой прямой (в частности, вещест-
вещественной оси) и модуль-максимумами их последовательных производных.
Одна из существенных проблем, родственных этому вопросу, заключается в
определении наименьшего уклонения (от нуля) L целой функции f(x)= /\апхП
на всей вещественной оси при условии, что задан один из коэффициентов ак ряда
Тэйлора. Чтобы уточнить эту проблему, нужно ввести понятие степени р целой функ-
функции (степень определяется равенством р = lim V \ ап\п\): мы находим, что L=k\ \ ак \ рк
П->оо
(см. [22.1]). Указанный результат обобщает и углубляет основное свойство тригономе-
тригонометрических полиномов, выведенное мною в мемуаре «Sur l'ordre de la meilleure approxi-
approximation des fonctions continues» A912), и позволяет строить общую теорию рядов целых
функций конечной степени, аналогичную теории сходимости тригонометрических
рядов, которая вытекает из упомянутой много частной теоремы. Так, например,,
какая угодно непрерывная функция, имеющая прямолинейные асимптоты, может
быть разложена в (равномерно сходящийся на всей оси) ряд надлежащим образом
подобранных целых функций неограниченно растущих степеней; с другой стороны.»
если функция разлагается в ряд целых функций (равномерно сходящийся на всей
оси), причем степени целых функций ограничены, то сама эта функция — целая,
конечной степени.
Третья глава посвящена изучению наилучшего приближения аналитических
функций, обладающих заданными особенностями. Тем же самым занимался Балле
Пуссен в последней части своих превосходных «Lecons sur 1'approximation des
fonctions continues», также читанных в Сорбонне (в 1918 г.); я же останавливаюсь
преимущественно на вопросах, не затронутых бельгийским математиком, например,
на вычислении последовательных членов асимптотического разложения для наи-
наилучшего приближения и, в особенности, на трудной проблеме наилучшего при-
приближения функции, имеющей существенную особенную точку.
Программа, намеченная мною в начале курса, не исчерпывается перечисленным
выше: именно, я обещал своим слушателям, что последняя часть курса будет по-
посвящена вопросам, связанным с аналитическим продолжением и его обобщениями,
рассматриваемым в свете теории наилучшего приближения. Но так как недостаток
времени не позволил мне тогда осуществить это намерение, мне показалось полез-
полезным прибавить в конце книги обширное «Добавление», относящееся к этому
интересному вопросу, и второе «Добавление» (см. [27]), содержащее всего несколько
страниц, где доказывалась одна теорема о четных целых функциях рода нуль,
которая, в частности, находит применение в первом «Добавлении».
26.2. А. И. Маркушевич («Докл. АН СССР», т. 54, 1944) доказал следующую
интересную теорему: Всякая непрерывная на отрезке be функция ср (х) может быть
представлена в виде
9 (*) = /х (*)-/«(*), (I)
* В монографии «Э. П.» (стр. 162) отмечена необходимость этого предположе-
предположения для того, чтобы / (х) была мероморфна. Но во всяком случае, неограничен-
неограниченность 8пнеобходима (и достаточна) для того, чтобы (I) было осуществимо для всякой
функции / (х).
549
¦где fi(x) и f2(x) — квазианалитические функции (Р) на be, определенные двумя
различными последовательностями показателей, соответственно !пЛ и {т^} -
Из этой теоремы легко получается такое следствие: любая непрерывная на be
функция ф (х) при условии ф (Ь) = О может быть разностью между двумя квази-
квазианалитическими ветвями, продолжающими на be функцию /(#), квазианалитиче-
квазианалитическую и однозначную на ab относительно показателей п^ и т^. Действительно,
пусть функция ф (х), равная нулю на ab, непрерывна на аЪс\ по теореме Маркуше-
вича она допускает представление (I) на abc, причем /х (х) — /2 (х) = f (x) на ab.
Ввиду принципиальной важности теоремы Маркушевича для теории квази-
квазианалитических функций (Р), я считаю не лишним привести здесь ее простое и
вполне элементарное доказательство.
Пусть
оо
* и = 2 ип (*>
71=0
— любая функция, непрерывная на be, разложенная в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд многочленов ип(х) степени О. Пусть р < 1 — данное поло-
положительное число и пусть 0=т0 < пг <^т1
сел, обладающих тем свойством, что
оо
2 кик*;
п=пх-И
— последовательность чи-
чи2 1
(И)
2 I«»
Положим
? вообще,
n=0
= 2 BnD
2
n=n14-l
И= 2 BnW.
так что Рп (х) и Р_ (ж) — многочлены степени
пк тк
полагая
соответственно. Тогда,
/2 (^) = 2 1РпЛ
7с (*I = 2 Un W = Ф (*)>
П=0
причем /х (х) и /2 (ж) будут соответственно квазианалитическими функциями отно-
относительно показателей {rc^j и {тк}. Действительно, вследствие (II), имеем
2 pn4w
2 177 (Т\\
оо
550
26.3. В первоначальном тексте было дано равноценное A8) неравенство
а—1* * Вывод этого неравенства исходил из ошибочной оценки ( Вп | < ~~к~М^
коэффициентов разложения Фурье по многочленам Чебышева, которая верна для
периодической функции / (х) = V Вп cos nx -\- Bn sin nx. Таким образом, для перио-
периодического случая вывод был правилен. Но в случае многочленов Чебышева при
помощи правильного применения приема, данного в первоначальном тексте, находим
\Вп\<(п + к — 1)(я + /с — 3) . . . {п — /с + 1) (п>к — 1),
откуда также можно было бы получить соответствующее A8) неравенство
с постоянной С, не зависящей от к.
26.4. Условие D (как и D') не позволяет утверждать, что две функции / (х)
f1(x), удовлетворяющие ему, обязательно тождественны, если / (х0) = f1 (x0)
и /^(ж0) = /р^ (х0) для всех &>0 в некоторой точке xQ, так как из того, что
условие D выполнено для обеих функций / (х) и fx (х), не вытекает обязательно,
что разность f (х) — /х (х) удовлетворяет тому же условию *. Для этого нужно еще,
чтобы эти функции принадлежали одному и тому же «классу квазианалитичности».
Построение таких классов дано в известной монографии Карлемана «Les fonctions
quasi analytiques», появившейся в 1926 г., где он, кроме того, дополнил достаточ-
достаточное условие квазианалитичности (D) так, что последнее стало в некотором смысле
необходимым. Пусть {Ап}—любая данная последовательность положительных
чисел. Карлеман рассматривает класс всех функций f (%) ?СА, определяемых усло-
условием, что
Мп<кАп (Я = 1, 2, ...) (I)
для некоторого конечного к. Очевидно, что если f(x)?CA, f1{x)?CA, то и
f (х) — /г (х) ? СА; поэтому требование Адамара, чтобы функция / (х) этого класса
была вполне определена своими значениями / (х0), f (х0), . . . , f^ (x0), ... в ка-
какой-нибудь точке xQ, равнозначно требованию, чтобы среди / (х) ? СА не было
функции f (х) ^0, для которой /(п> (х0) ~0 при всех дг>0. Теорема (С), доказан-
доказанная Карлеманом, гласит:
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы класс СА был квазианали-
тичен, состоит в том, чтобы ряд
где** Ап~ min An, , был расходящимся.
0<р<оо ~*~Р
* Как показал С. Мандельбройт («Acta Math.», т. 72), любая бесконечно диф-
дифференцируемая функция F (х) может быть представлена в виде разности
F (х) = fx (х) — /2 (х), где Д (х) и /2 (х) — квазианалитические (D) функции. Заме-
Заметим, что из приведенного ранее [26.2] доказательства теоремы А. И. Маркуше-
вича видно, что з данном случае функция F (х) представима также в виде раз-
разности F (х) = ft (х) — /2 (х), где /х (х) и /2 (х) — бесконечно дифференцируемые
квазианалитические (Р) функции.
** Не нарушая общности, можно во всяком случае ограничиться предположе-
предположением, что lim Ап = оо , так как в противном случае класс СА содержал бы только
П->оо
аналитические (целые) функции. Поэтому А — ^4П4-т) для некоторого конечного/? ,
551
Замечу, между прочим, что формулировка этой важной теоремы Карлемана
несколько усложнена, так как в ней не учтено, что верхние грани величины Мп
не произвольны. Между тем, если, например, класс / (х) ? СА относится ко всей
вещественной оси, то, на основании известной теоремы Колмогорова, последо-
последовательность чисел {Л^п} асимптотически возрастающая, так что в этом случае
имеет смысл рассматривать лишь такие последовательности {^4П}, для которых
Ап
^Ш AT ~ ^' Таким образом, в этом случае можно ограничиться (возрастающими)
последовательностями, для которых Ап — Ап.
Из теоремы (С) вытекает, что функции f(x), у которых некоторая определен-
определенная бесконечная последовательность производных f^(x) удовлетворяет условию A6)
Mnk<Rnk (Ла = яа)>
образуют * квазианалитический класс СА. Действительно, каковы бы ни были зна-
значения Ап при пк <С п <С я?+1> ^n^nk+lf пРичем АПг — пк* Следовательно, ряд
°° 1
монотонно убывающих членов Jv —/- расходится.
п = 1 п
Аналогичным образом из доказанной ниже теоремы (С) можно заключить, что
любая бесконечная последовательность условий
определяет квазианалитический класс С'в.
Формулируя теорему (С), аналогичную указанной выше теореме (С) Карлемана,
где вместо Мп мы рассматриваем рп (как в условии D'), можно при всех обстоя-
обстоятельствах ограничиться лишь монотонно возрастающими последовательностя-
последовательностями {Вп}, если мы хотим определить класс всех функций f(x)?CB условиями
?п<кВп (я=1, 2, . . .) (II)
(так как последовательность |рп} для всякой функции — возрастающая).
Теорема С. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы класс Св
был квазианалитическим, заключается в том, чтобы ряд
был расходящимся.
Достаточность вытекает из того, что ряд
п=1 п=1
расходится, а потому из теоремы (D') следует, что функция / (х) должна быть
квазианалитической.
Для доказательства необходимости, в том же смысле, что и в теореме (С) Карле-
Карлемана, берем какую-нибудь возрастающую последовательность {#п], такую, что
ряд 2 -чт~ сходится. Тогда из теоремы (С) Карлемана, в которой мы пола-
гаем Ап — Вп, так что Ап~ Ап — Вп, заключаем, что существует функция / (х) ф^О,
* На стр. 301 и еще раньше в статье [18] мы показали, что эти функции
являются квазианалитическими (Р).
552
обращающаяся в нуль в некоторой точке х0 вместе со всеми своими производными,
причем
Мп<кВп-
А потому, соответствующая этой функции последовательность |^п], в силу A8),
удовлетворяет неравенству
00 1
При этом, по доказанному, невозможно, чтобы ряд S2 = V. расходился. Но,
°° 1
как было замечено (стр. 302), если ряд S2 сходится, то сходится и ^= /1 ~~"»
п = 1
причем только конечное число значений рп может отличаться от \in (так что
рп = у.п при п^>п ). Следовательно, имеем также
Рп<к'Вп (п>п0).
26.5. Укажем здесь пример квазианалитической функции, удовлетворяющей
условию (D'), но не удовлетворяющей условию (D), воспользовавшись для этого
функцией
°° 2е~еГ
рассмотренной Карлеманом (стр. 76 его цитированной монографии), которая при-
принадлежит квазианалитическому классу
Mn<Cnlogn.
Полагая у — х2, видим, что функция
F (у) =
должна была бы быть отнесена к неквазианалитическому классу
Мп < Сп log2 n
на любом замкнутом отрезке 0<[i/<IL2 (в то время как на отрезке, не включаю-
включающем 0, функцгя F (у) аналитична), но тем не менее она удовлетворяет, как и / (х),
условию (D') (pn<Crn\ogn) на том же отрезке 0<i/<;L2.
26.6. В § 8 мы показали, что теорема (D') (как и теорема (D) Данжуа-Карлемана)
является следствием теоремы (В). Покажем, что и обратно, из теоремы (D') вытекает
теорема (В), так что обе эти теоремы эквивалентны *. Для этого заметим сначала,^
что если Fo (x) и F1 (x) — целые четные функции с неотрицательными коэффициен-
коэффициентами, то при данном целом р0 > 0 для всех целых р^>р0 невозможны неравенства
F»(p)>Fx(p), (I)
если F0{p) — нулевого рода, F±(p) — выше нулевого рода. В самом деле, учитывая
возрастание обеих функций вместе с | х |, заключаем, что из неравенств (I) следо-
следовало бы Fo (х + 1) >^i (х) для всех х > р0 — 1; но в таком случае мы имели бы
также при всех \ х | > р0 — 1
F* (х) = F0(x+ 1) Fo (x - 1) > I<\ (*),
где F* (x) — четная функция нулевого рода, что невозможно, так как, по теореме
1 См. мои заметки в «Докл. АН СССР», т. 77, вып. 4 и 5, 1951 B61* и 262*).
553
из [26.1J, существуют функции, приближаемые многочленами на всей оси при весе
^ , v , но не приближаемые при весе ^» , . .
**! \Х) . t \Х)
Напомню далее, что, как установлено в моей заметке из «Comptes rend us»
A938 г., т. 206) «Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approxima-
approximation» B01*), какова бы ни была монотонно убывающая к нулю последовательность {$А
неотрицательных чисел, существуют непрерывные функции f(x), удовлетворяющие
условиям
Всевозможные последовательности {(Зп}, а вместе с ними и все непрерывные функ-
функции / (х), разбиваются на две совокупности: 1) совокупность (В), которая характе-
оо
ризуется существованием таких четных целых функций F1(x)= ^ akx*C выше
нулевого рода с неотрицательными коэффициентами, что
h<J^p) (/> = !. 2, -..), (И1)
и 2) совокупность (В), для которой осуществление неравенства (III) для всех
невозможно. Согласно вышесказанному, если C = „ , ч , где F0(p) — четная функ-
р г о \Р)
ция нулевого рода, то {C \ ?(В).
Итак, нам нужно лишь доказать, что если {C }?(В), то всякая функция f(x),
соответствующая этой последовательности, характеризуется тем, что ее ряд
А
Sx = ^ должен быть расходящимся *.
Для этого заметим, что сходимость ряда *S*0, указанного в сноске, имеет
оо п
место одновременно со сходимостью ряда Sq = ^ Х^, где Х^ = min \EL (если
р — целые числа), так как при любых #>1 (/> = [х]) имеем
п
Но если
* Из того факта, что расходимость ряда ^"l^^j является характеристикой по-
последовательности {Pn} ^ (В), между прочим, вытекает
оо
Следствие. Если F (х) = ^ ак есть целая функция (а0 > 0, ак >. 0
), wo сходимость ряда So= 2j Хт., г<9е Xn = min ±—L, является уело-
*±{ 1<зс<о° ж
вием, необходимым и достаточным для того, чтобы F (х) была нулевого рода.
Это следствие было мною высказано предположительно в заметке «Sur les
fonctions quasianalytiques de M. Carleman» («Comptes rendus», t. 179, 20 окт. 1924,
A01*)), где были резюмированы результаты настоящей статьи [26], относящиеся
к квазианалитическим функциям Карлемана. Сходимость, ряда So также необходима
оо
и достаточна для того, чтобы \ —° 9 dx имел смысл [см. B61*)].
J х*
1
554
го рп = max pV^Ev [f (ж)], откуда следует, что
v > о
.i . VFJp)
mm —;— = mm —-^- = X
Л
. .
Таким образом*, ряды Sx = *S"q тождественны, и сходимость их имеет место одно-
одновременно со сходимостью So.
Итак, допустим, что, вопреки нашему утверждению, существует функция
выше нулевого рода, для которой ^^п^00- Легко проверить, что (вследствие
•ак > 0) функция
d log /\ (x) _ ^i (a?)
о? log х Fx (x)
является монотонно возрастающей, так как
К (*) Fi (*) + * [< (х) ^х (ж) --^Г (*)] > 0 (х > 0).
Поэтому уравнение
**¦; («)
п
при любом данном п = п0 > 0 имеет одно решение ж = х (п0) > 0, которое соответ-
соответствует минимуму
min tlM = xn . (V)
Но, с другой стороны, из доказанной нами [26.4] теоремы (С) следовало бы, что
•среди функций, удовлетворяющих условиям
найдется функция / (х), отличная от нуля, для которой / (х0) = f^(x0) = 0в некото-
некоторой точке х0 при всех г > 0.
1
Пусть Ер [/ (х)] = (Зр = ф / . , так что соответствующие этой функции / (х)
значения рп = рп равны (п > 0)
Рп = max p
>0
следовательно, если ¦— = q любое данное число, то для соответствующего ему зна-
/с
чения п0 имеем
* Заметим, что значение п при опрэделении рп = р (п), как и при определении
~кп = X (п), не обязано быть целым, поэтому, в силу монотонности этих функций,
условие сходимости рядов So и *5\ эквивалентно ограниченности интегралов
оо оо
г Г dn
\ X (п) dn и \ —т^г- .
555
откуда, тем более,
т. е. для всех цэлых р мы имели бы
1
Ev [f (*)] <
что противоречит теореме (В).
Замечая, что в нашем доказательстве мы использовали только единственность
решения уравнения (IV), заключаем, что вообще справедливо
хфг (х)
Следствие. Если Ф (х) > 0 есть четная монотонная функция и ф , у-
таксисе монотонно возрастает до бесконечности, то соответствующий Ф (х) ряд
Хп, где Xn = min 1_А, расходится всякий раз, как неравенства Е [f (#)
1
ф(т
, имеющие место при некотором фиксированном к для всех целых
лишают функцию f (х) 2^0 возможности удовлетворять условиям f (х0) = f (х0) = О
(для всех i).
Функцию Ф(х), для которой уравнение (IV) имеет * одно решение (х j> 0) при
всяком ny>N0, будем называть нормально монотонной.
Отсюда получим важную общую характеристику четных нормально монотонных
весовых функций** Ф (х) (мы будем называть Ф (х) весовой функцией, если любая
непрерывная функция / (х) приближаема многочленом на всей оси при весе
ф , v ? полагая, что lim ф ix\ = 0)-
Теорема. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы четная (нор-
(нормально монотонная) функция Ф (х) была весовс-й функцией, заключается в том,
чтобы ряд
on П
был расходящимся ***, т. е. чтобы {ф~Г~\ \ (г (В).
Достаточность вытекает из следующего факта. Если Ф (х) четная функция, для
оо
которой ряд So расходится, то существует такая целая функция F (х) = ^акх2<с
(ак^>0) выше нулевого рода, что F (х) < ф (х), так как на основании теоремы,
* При этом возможно, что левая часть уравнения (IV) имеет изолированные точки
разрыва; тогда одно и то же значение х обращает в минимум (V) при всех значениях
хФ'(х — 0) хФг(х^-0)
п ("oOOi), соответствующих скачку щ~: = п0, ф-^ = л,
в точке х.
** См. мои заметки B61*) и B62*).
*** Очевидно, что если Ф (х) — весовая функция, то этим же свойством
х
556
обладает Ф \ ,
указанной в [26.1] (стр. 549; см. также «Э. П.», стр. 164), мы знаем, что
F (х)— весовая функция. Требуемая функция F (х) выше нулевого рода получается
прежним способом:
оо оо
F (х) == У. JL (>.„.. хJк < У. JL ф (х) < Ф(х)
вследствие расходимости So.
Для доказательства необходимости восстанавливаем ход доказательства теоре-
теоремы (В) (стр. 306—307; см, также [25], стр. 284), из которого видно, что неравенства B0)
-обеспечат квазианалитичность, утверждаемую этой теоремой, при единственном
условии, чтобы F (п) была любой четной монотонной весовой функцией. Отсюда,
но доказанному выше (в случае нормальной монотонности Ф (п)), следует рас-
расходимость ряда Sx = SQ.
Таким образом, условие, необходимое и достаточное для того, чтобы нормаль-
нормально монотонная четная функция Ф (х) была весовой функцией, заключается в том,
оо
чтобы существовала такая целая функция F (х) = 2лак выше нулевого рода
{ак>0, ао>0), что
Ф (х) > F (х) (— оо < х < оо).
Достаточность последнего условия (даже без предположения нормальной моно-
монотонности) была доказана мною в 1926 г. (см. [26.1] и «Э. П.», стр. 164).
26.7. Здесь уместно будет воспроизвести примыкающий к концу статьи [26] § 3
заметки Sur les fonctions regulierement monotones (Comptes. rendus, t. 186) A29*), ко-
которая не вошла в настоящее издание, так как первые два ее параграфа покрываются
помещенными далее статьями [32] и [45]; однако результаты § 3 выходят за пределы
названных статей. Заметим, что неравенства B) и C) из § 1 заметки A29*), которые
упоминаются ниже, соответственно совпадают с неравенствами B) и B') статьи [45].
«§ 3. Изменяя значения а, Ъ (а<0<6), можно применить неравенства B) и C)
к случаю, когда производные fW (х) не меняют знака в точке х = 0 при всех п, без
того чтобы функция / (х) была регулярно монотонна на каком-нибудь фиксирован-
фиксированном отрезке.
Пусть Ъ^ >0 являются такими наибольшими невоз растающими числами, что произ-
производная /^ (х) сохраняет постоянный знак при — Ъ^^х^Ъ^. Тип функции / (х) в точ-
точке 0 определяется точно так же последовательностью чисел Х1? Х2, . . . , Хп, . . . В таком
случае, при помощи неравенств, аналогичных B) и C), получаем теорему: функция
j (х) должна быть аналитической (регулярной вблизи 0), если
кроме того, функция / (х) должна быть целой, если
VV ¦•>¦«'
В частности, когда все Хп ограничены Aп<^М), функция f (x) будет целой вся-
всякий раз, как nbn->oo', при том же условии, для того чтобы функция f (x) была
аналитической, достаточно, чтобы Нт пЪп > 0 (если lim nbn^>0 , то f{x) должна
п—>оо
-быть квазианалитической). Таким образом, циклическое чередование знаков последо-
последовательных производных разрешает им наибольшее сгущение нулей, совмест-
совместное с аналитичностью функции. Действительно, пусть /^ (х) обращается в нуль
557
по крайней мере один раз при | х \ <; р{; если Пт п$п = 0, то функция / (х) (отличная от
п—>оо
многочлена) не может быть аналитической х в точке х = 0. Но, если /^ @M0, мы мо-
можем положить Ьп = т\п ?^; поэтому условие lim nbn = 0 также исключает возможность-
%<^п п->оо
для / (х) быть аналитической при х — 0. Точно так же нетрудно показать, что / (х}
не может быть целой функцией, если lim пЪп =с<;оо».
30. НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА,
ОТНОСЯЩЕГОСЯ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ПОЛИНОМАМ
30.1. Из неравенства E') непосредственно вытекает неравенство, которое при-
принято называть неравенством Сегё.
В самом деле, так как неравенство E') справедливо для любой пары значений
биф = 6 + а, то при любом <р, выбирая 0 так, чтобы его левая часть была макси-
максимальной, находим, что и
Заметим еще, что, применяя к неравенству E') ту же операцию, на основании кото-
которой оно было получено из неравенства A), найдем, что, при любых а, 9, в, из A}
следует также, что
| S"n (a) cos 0 cos 9 + nSrn (а) sin @ + ф) + п2 Sn (а) sin 0 sin 9 i < n2L.
Легко, впрочем, проверить, что последнее неравенство (как и все, получаемые
последовательным применением той же операции) приводит к функции / (z), имею-
имеющей действительные корни, т. е. является частным случаем неравенства G) при
условии теоремы IV.
35. АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
35.1. В формуле для /4 (х) Н. И. Ахиезером по моей просьбе исправлена
ошибка, вкравшаяся в первоначальный текст статьи, где первые два члена в
4
скобках правой части были 334 + 303 A + — х . Приведу полностью соответствую-
V ° J
щее место из письма Н. И., которое иллюстрирует на данном конкретном примере
изложенный в статье общий метод.
«Окончательное выражение для /4 (х). имеет вид
Таким образом, мы имеем здесь просто типографскую ошибку, так как все
коэффициенты C34, 303, 1, 2) правильны. Что эта функция удовлетворяет всем,
условиям задачи
F (°) = Y ; /"(°) ^ /"(°) = F'"^ = lj
проверяется немедленно.
1 Одну формулировку, приведенную на стр. 197монографии «L. S.», нужно уточнить
следующим образом: функция / (х) не может быть аналитической ни в каком промежут-
промежутке, если ее производные fin^ (x) обращаются в нуль в каждом интервале длины 8п и
lim n V^&i 62 ... ^п = 0 (в частности, если lim п$п = 0).
558
Однако для получения /4 (х) мне пришлось проделать все вычисления, кото-
которые предусмотрены Вашей теорией. На всякий случай привожу все этапы «пере-
«переноса».
Условие:
4а
И. /4(*) = Л+ 5
Ах\ ( 4аЛ* / 4#\3 / 4#\4 /4 16
III. /4W = ( TJ (tJ^ + tJ(
4х\5 A6 20
IV. Л(*) = ( 3J (
Ах у ( Аху ( АхУ B0
)+С{1 ) +D(l+ ) (
36. О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
36.1. Эта заметка представляет собой первый эскиз результатов первой части *
теории ортогональных многочленов, изложенной затем в большом мемуаре
«Polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini», напечатанном в «Journ. Math.»
(первая часть в т. IX, 1930, вторая часть — в т. X, 1931), русский перевод кото-
которого издан в 1937 г. под редакцией Н. И. Ахиезера отдельной книгой под заглавием
«Ортогональные многочлены в конечном интервале». Следующая заметка [37] со-
содержит набросок результатов первой половины второй части этого мемуара. Замет-
Заметка [401 резюмирует результаты второй половины второй части.
41. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ,
СТРЕМЯЩИХСЯ К НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ,
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НА ДАННОМ ОТРЕЗКЕ
41.1. Н. И. Ахиезер обратил мое внимание на то, что теоремы А и В вместе с
дополнениями к этим теоремам можно получить также при помощи теоремы По-
лиа-Линдварта, если сделать конформное отображение я-плоскости, разрезанной
вдоль отрезка [—1, 4-1], на область вне единичного круга z-плоскости
Более общие предложения, в которых, вместо отрезка [—1, -И], фигурирует
удовлетворяющее некоторым ограничениям произвольное точечное множество и от-
отбрасывается предположение о положительности (и даже вещественности) предель-
предельной функции, можно получить, как это заметил Б. Я. Левин, при помощи сле-
следующей теоремы, содержащейся в работе Полиа-Линдварта, упомянутой в тексте
статьи:
За исключением формул E), F), G), которые относятся ко второй части.
559
Если многочлены
удовлетворяют неравенствам
\аПф\<М (р=1, 2,
2
где х •—корни многочлена Фп(з), то Фп (z образуют нормальное семейство во
всей плоскости.
Чтобы сформулировать предложения Б. Я. Левина, условимся вместе с ним
называть множество чисел и (вообще говоря, комплексных) плотным в точке а,
если множество вещественных чисел v = In (и — а), при некотором значении N,
относительно плотно на луче x^.N. При этом множество Ш вещественных чисел
называется относительно плотным на луче x^.N, если существует такое />0,
что в каждом интервале длины I полуоси х <^ N содержится по крайней мере одна
точка множества Ш.
Результаты Б. Я. Левина, которые, с его разрешения, впервые публикуются
здесь, гласят:
I. Пусть последовательность многочленов Pn(z), не имеющих корней в полу-
полуплоскости 1тз<0, равномерно сходится на некотором множестве точек, располо-
расположенном в полуплоскости Ini2<;0 и плотном в некоторой точке а, к функции F(z),
отличной от нуля в точке а. Тогда последовательность |Pn (z)j сходится равно-
равномерно в любой конечной области.
При этом предельная функция F (z) имеет вид
F(z)=ce-^+°zY\
i
где у^>0, Ima.^>0, с — постоянная.
Если же корни многочленов Рп (z) лежат в угле
[ arg z [< v < ~ ,
II. Пусть все корни многочленов Pn(z) лежат в замкнутой области О.
(Q) pkcoskQ^a, (а >• 0, к — натуральное число).
Пусть, далее, последовательность {Pn(z)} сходится равномерно на некотором мно-
множестве (и), плотном в точке а и лежащем вне замкнутой области Q, а также на
всех множествах, получающихся из (и) поворотами на кратности угла -т- .
Пусть, наконец, пределы последовательности |РП B)} в точках а, соа, со2а, . . .
. . . , си/^а (где со — первообразный корень уравнения со^ — 1 =0) отличны от
нуля. Тогда последовательность {Pn(z)} сходится равномерно в каждой конеч-
конечной части плоскости, и предельная функция равна
где у>0.
560
42. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
42.1. Здесь следует иметь в виду (как это более четко разобрано в моих цити-
цитированных работах 145*, 149*, 189*) четыре возможных случая:
*) <?i(l) = <?|(— 1) =0, 2)
В настоящей статье все выкладки подробно проведены для первого случая
(§§ 2—4); в указанных параграфах обозначение Sn (х) применяется для этого слу-
случая, соответствующего равенству A1). В § 5 рассматривается второй случай (как
дополнительный к первому), когда тригонометрический вес Vt (х) = г заме-
У h (х)
Г { Х2
няется через у % ,, , и обозначение ^п (х) в дальнейшем сохраняется за вторым
случаем, между тем как для первого случая вводится обозначение Rn (x) [при
этом Rn(x) и Sn_i(x) связаны формулами D2)]. В силу того, что случаи третий
и четвертый (которые также взаимно дополнительны) в этой статье вовсе не рас-
рассмотрены, приведем относящееся сюда место (стр. 238—239) заметки A45*), цити-
цитированной на стр. 452.
«Пусть tx (х) == A — х) t0 (ос), где t0 (х) есть многочлен степени 21 + 1 или
2Z, положительный на отрезке [—1, -fl]. Так как t0 (ос) > 0 на [—1, +1], то его
можно представить в виде
Ч П = М* (х)A + х) + N* (х)(\ - х),
где М (х) и N (х)—многочлены степени I с взаимно перемежающимися корнями.
Значение ф0, определенное формулой
. . N (х)
ф0 = arc tg —±-L
М (х) У 1 -f- х
изменяется от 0 до ( I -f- "^"Jtt, когда х убывает от 1 до —-1. В таком случае, если
Y Ж2 1 -\- сг
Sn (х) соответствует t (х) = . , = , , и Лп (х) — (дополнительный) многочлел,
[ г
соответствующий t (х)— . > , то, полагая ф = ф0 — Ztc, при всех п^ I
10 [X)
имеем
s (ив + ф), Rn (х) = Y^x Sin
где Тп__1 (х) —многочлен Чебышева степени п — Z, а Тп_л (х) — его производная.»
42.2. В первоначальном тексте настоящей статьи стояло явно ошибочное утвер-
утверждение, что расположение всех корней R^(x) на отрезке [—1, + 4] обеспечивает
разделение корней многочленов R^(x) и S^ ^ (х)} определенных равенствами E2) и
E3) (которое необходимо и достаточно для существования многочлена tx (х) > О
степени 21). Н. И. Ахиезер, внимание которого я обратил на мою ошибку, предло-
предложил следующую изящную форму условия существования многочлена tx (x) >• 0, вы-
вытекающую из изложенной выше теории: Условие, необходимое и достаточное для
тО'Ю, чтобы существовал такой многочлен t1(x)^>0 (—1^С#<^1) степени не выше
21, что
+1
" {x)dx (ы\
— и ^л. — и, 1, . . . , zt i)f \ '
t1(x)Vl~
36 С. Н. Бернштепн, т. I 561
где
21
R2l (x) = 2 АЬ Tk <*) ^ } [P2l (*) + P2l
— произвольно данный многочлен степени 21, состоит в том, чтобы корни много-
многочлена
21
находились все внутри н[,у?а z\^[\ при соблюдении этого условия имеем
tx (х) = Р21 (х + Vx~Z-=~l) P2l (x - Vx*- I).
В самом деле, согласно §§ 2, 3, 6, если многочлен t± (x) > 0 степени 21 существует,
то он представим и виде произведения
h И =
где многочлены
(S) = [Л, (*) + J,_, (х) У*=1]г1
имеют все свои корни, соответственно, внутри и вне круга j z ' = I. По по форму-
формуле D3), где мы полагаем /* = 21, получаем
R2l (х) + S2l 1 (x) Vtf^l = ^^ [Дг (Х) + St_{ (x) Vx*
откуда
Из § 4 следует, что при указанных условиях соблюдается равенство E0).
42.3. В упомянутой заметке A45*) указано следующее приложение результатов
настоящей статьи: «Если Рп (z) = zn + р^п ^ + ¦ • . + Рп многочлен степени п,
а Н{{z) = zl + c±zl { + • • • + с\ многочлен степени /<>, не имеющий корней вне
круга С радиуса 1, то на окружности Сесть точки, где [ Re Рп (z)\ >¦ | II {(z) |».
(Единственным многочленом, для которого знак ]> невозможен ни в одной точке,
яв.тяется Рп (z) = zn~lHx (z).)
43. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МНОГОЧЛЕНАХ
НАИМЕНЬШЕГО УКЛОНЕНИЯ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
43.1. Если вместо многочлена C) взять многочлен Rn(x), наименее уклоняю-
уклоняющийся от / (х) на [0, 1] среди многочленов степени п и обращающихся в нуль при
х = 0, х = 1 (так же как и / (я1)), то
\f(x)-RnH\<2En[f(x)],
где /?п [/ (х)] — наилучшее приближение f (х) на [0, 1] при помощи любых много-
многочленов степени п. Лоэтому, выделяя из Rn(x) многочлен Рп(х) с целыми коэффи-
коэффициентами, как эго сделано и тексте, удовлетворяющий неравенству E), получим при
п простом
| / (х) - Рп (яг) |< ~п+2Еп [/('И.
562
а следовательно, при любом п неравенство D) может быть усилено:
\f(x)-Pn (х)\<1 +2Е п] [/(*)].
Отсюда следует, что при условии Липшица порядок $n[f(x)] равен порядку En[f{x)].
Соответствующее уточнение* было получено в первоначальном тексте моей статьи
только для промежутка I , 7~ ) ПРИ 0 < S < 1.
43.2. Положительный ответ на этот вопрос вытекает из рассмотрении много-
многочлена C) при / (х) = ос. Действительно, в данном случае
где Ат = [аС™] или ^т= 1 + [а^™] , являются многочленами степени и с целыми
коэффициентами. Таким образом, получим из C') в промежутке ' i -г
2
а-Рп(Ж)| =
n
т=0
1 n
4 У, ^т (I - х)п
-m-*- - max xn X1 ' 1-*V»
X Л. \ ¦ VJ \ X 1
m=0 -p- < x < - - m—О Ч
Следовательно, при п достаточно большом и фиксированном S @<S<1),
2
Этот результат примерно тем же способом был получен в статье Л. В. Канторовича
(ИАН, серия матем., 1931, стр. 1163—1168) и сообщен устно Р. О. Кузьминым на
нервом Всесоюзном съезде математиков. Окончание настоящей статьи [43], которое
покрывается приведенным выше результатом Л. В. Канторовича и Р. О. Кузьмина,
здесь не воспроизводится. Однако вопрос о наилучшем приближении тех или иных
определенных чисел а остается открытым; этот вопрос тесно связан с определением
многочлена с целыми коэффициентами, наименее уклоняющегося от нуля в данном
промежутке ' *" '
44. О ПРИЛОЖЕНИИ МЕТОДА ЧЕБЫШЕВА К ОДНОМУ КЛАССУ
ЗАДАЧ Л. ФЕЙЕРА
44.1. Другие аналогичные задачи были решены тем же методом преподаватель-
преподавательницей Ленинградского индустриального института А. Г. Нырковой* в статьях:
1) О положительных тригонометрических суммах («Труды Лснингр. индустр.
ин-та», 1939, разд. физ.-мат., вып. 1, стр. 5—10).
2) Задача Саса (там же, 1941, стр. 50—59).
* Александра Григорьевна Ныркова была убита вражеским снарядом в сентяб-
сентябре 1941 г. во время оборонных земляных работ на подступах к Ленинграду.
563 36*
В первой из этих статей, в частности, решается задача обращения в минимум
1 г
значения а0 = -^ \ Sn @) db в случае заданных значений самой суммы Sn @) = А2
0
и ее второй производной ST'n @) = N при 0 = 0.
п2 _|_ 2п + 2
В случае N > — ^ Л2,
+ 1
W2 + 2п + 2
в случае N < — ^^ Л2 получается другая, немного более сложная фор-
формула. Там же полностью,' решена задача при любых данных $п @) и Sn @).
Во второй статье тем же методом решается и обобщается задача, решенная
Сасом (Szasz) в статье Elementare Extremalprobkme iiber nicM negative trigonomet-
rische Polynome. «Sitz. Ber. Bayer. Akad. Wissensch.», 1927, стр. 185—196.
45. О РЕГУЛЯРНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЯХ
45.1. В первоначальном тексте было опущено слово «асимптотически». Эта
поправка необходима, как видно из примера функции j (х) — х sin — х, все произ-
производные которой
/Bп) («) = (-!)"[( 2" j xsm^x-ln^-j) cos ^ И,
\2П+1 ГС / П \2П 7Г
) B l)^ j sin у
имеют корень на отрезке [0, 1], а между тем 0<^/г (х) = sin j- x + ~<у х cos ¦
где постоянная с<;0,91. См. также мою статью «О некоторых свойствах цикли-
циклически монотонных функций» B57*), теорема 5. В этой статье показано (стр. 401),
что для любого (конечного) т справедливо несколько менее сильное неравенство
1 7Г/
Max '/<m>(*)l>T~T 2
которое не может быть улучшено (если | f^ (х) \ ;> 0 хоть для одного значения п).
46. ОБ ОЦЕНКАХ ПРОИЗВОДНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
46.1. В 1949 г. В. С. Виденский («Докл. АН СССР», т. 67, № 5) распространил
неравенство (8) на производные высших порядков (подобно тому, как это сделали
Шеффер и Даффин в случае Н (х) = 1; см [11.1]), а именно: если многочлен Рп(х)
степени -^п удовлетворяет неравенству G), то
| Р<*> (х) \ < | {Мп (х) + i VT^tf Nn^ (*)}<*> | (- 1< x < 1; A- = 1 n),
где Мп{х) и Nn_^(x)—многочлены степени п и п — 1, связанные с многочленами
М1 (%) и ^—1(ж), фигурирующими в G), соотношением
fn_l ()) C1\ (х)
п — С 1
СПИСОК ТРУДОВ* АКАДЕМИКА С. Н. БЕРНШТЕЙНА
1903
1. Sur la nature aualytique des solutions de certaines equations aux derivces partiellos
du second ordrc. «Comptes rendus», Paris, t. 137, стр. 778—781.
1904
2. Sur certaines equations differentielles ordinaires du second ordre. «Comptes rendus»,
Paris, t. 138, стр. 950-951.
3. Sur certaines equations aux derivees partielles du second ordre. «Comptes rendus»,
Paris, t. 139, стр. 627—628.
4. Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles du se-
second ordrc. Leipzig, Tenbner, 61 стр. These fac. sci., Paris.
5. Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles du se-
second ordre. «Math. Ann.», Bd. 59, стр. 20—76. [To же, что № 4.]
1905
6. Sur les equations du type parabolique. «Comptes rendus», Paris, t. 140, стр. 137—
139.
7. Sur les equations aux derivees partielles du type elliptique. «Comptes rendus»,
Paris, t. 140, стр. 1440—1442.
8. Sur les surface minima. «Comptes rendus», Paris, t. 141, стр. 558—559.
9. Sur Interpolation. «Bull. Soc. math. France», t. 33, стр. 33—36.
10. Sui la deformation des surfaces. «Math. Ann.», Bd. 60, стр. 434—436.
1906
11. Sur les singularites des solutions des equations aux derivees partielles du type
elliptique. «Comptes rendus», Paris, t. 142, стр. 564-565.
12. Sur la generalisation du probleme de Dirichlet. Premiere partie. «Math. Ann.»,
Bd. 62, стр. 253—271.
1907
13. Methode generale pour la resolution du probleme de Dirichlet. «Comptes rendus»,
Paris, t. 144, стр. 1025—1027.
* Настоящий список воспроизводит списки, напечатанные в «Изв. АН СССР»,
сер. мат., т. 4 A940) (№№—1—207 и в «Изв. АН СССР», сер. мат., т. 14 A950),
а также в «Успехах матем. наук», т. V A950) (№№ 208—256). Позднейшие статьи
указаны в хронологическом порядке. Для статей, указанных в прежних спис-
списках, сохранена старая нумерация, причем пропущенные в этих списках статьи
помечены номерами с буквой (например, 14а). Исключена ошибочно включенная
статья № 141. (Ред.)
565
1908
14. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными произ-
производными второго порядка эллиптического типа. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 11, стр. 1 — 96.
14а. Вебер. Энциклопедия элементарной математики. Том первый. Алгебра и
анализ. «Педагогич. сборник», март, стр. 356—364 (рецензия).
15. Проект учебного плана по математике для мужских гимназий, предлагаемый Ки-
Киевским физико-математическим обществом «Педагогич. сборник», сентябрь,
стр. 241—248 (рецензия).
1909
16. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными про-
производными второго порядка эллиптического типа. «Сообти. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 11, стр. 97—164, окончание. То же, отд. отт. Харьков, 1908, стр. 164.
17. Sur le principe do Dirichlol ot le developpement des fonctions harmoniques en
series de polynomes. «Comptes rendus», Paris, t. 148, стр. 1306—1308.
13. Начатки математики. Соч. Лэзана. Перев с франц «Педагогич. сборник^, октябрь,
стр. 323—325 (рецензия).
Ю. К вопросу об изменении программы по математике в средней школе. «Педагогич.
сборник», ноябрь, стр. 371-388 (рецензия).
19а. Щербина К. М. Математика в русской средней школе. Киев, 1908. «Педа-
«Педагогич. сборник», декабрь, стр. 512—515 (рецензия).
1910
20. Conditions necossaires et suffisantes pour la possibilite du probleme de Dirichlet.
«Comptes rendus», Paris, t. 150, стр. 514—515.
21. Sur les equations de la mecanique et du calcul des variations. «Comptes rendus»,
Paris, t. 151, стр. 48—50.
22. Sur les equations du calcul des variations. «Comptes rcndus>:, Paris, t. 151, стр. 195—
198.
23. Sur une generalisation dos tbeoremes de Liouvillc ot do M. Picard. «Comptes ren-
dib», Paris, t. 151. стр. 636—639.
24. Sur les surfaces definies au moyen de leur courbure moyenne on totale. «Ann. sci.
Ecole normale», t. 27, стр. 233—256.
25. Snr la generalisation du probleme de Diricblet. Deuxieine partie. «Math. Ann.»,
Bd. 69, стр. 82—136.
26. Тригонометрия. Эмиль Борель. Перев. под ред. Н. Салтыкова, изд. Сытина. «Пе-
«Педагогич. сборник», октябрь, стр. 355—357 (рецензия).
27. Прямолинейная тригонометрия. Вера Шифф. Изд. 2-е М. Вольфа. «Педагогич.
сборник», октябрь, стр. 357 (рецензия).
28. Курс прямолинейной тригонометрии. В. Шидловский. СПб. «Педагогич. сбор-
сборник», октябрь, стр. 358 (рецензия).
29. К» Б. Пенионжкевич. Основания анализа бесконечно малых. Курс 7 кл. реалыт.
уч. Белая церковь. «Педагогич. сборник», декабрь, стр. 622 (рецензия).
30. И. Гсйберг. Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о
некоторых теоремах механики. Перев. Матезис. «Педагогич. сборник», декабрь,
стр. 619—620 (рецензия).
31. Физико-математическое приложение к циркуляр}7 по управлению Кавказским
учебным округом, 1909, № 1. «Педагогич. сборник», декабрь, стр. 622 (рецензия).
1911
32. Sur le calcul approche des probabilites par la formule de Laplace. «Сообщ. Харьк.
матем. об-ва», серия 2, т. 12, стр. 106—110.
33. Sur l'approximation des fonctions continues par des polynomes. «Comptes rendus»,
Paris, t. 152, стр. 502—504.
566
34. Теория вероятностей. Харьков, 254 стр., литограф.
35. Weber und Wellstein. Энциклопедия элементарной геометрии. Том второй, кн. Т.
Перев. иод ред. В. Кагана, Матезие. «Педагогич. сборник», февраль, стр.
,478—380 (рецензия).
36. Ф. Кэджори. История элементарной математики. Перев. под ред. И. Тимченко,
Матезис. «Педагогич. сборник», март, стр. 393—394 (рецензия).
37. Август Адлер. Теория геометрических построений. Перев. под ред. С. Шатунов-
ского, Матезис. «Педагогич. сборник», август, стр. 174—176 (рецензия).
38. А. Марков. Исчисление конечных разностей. Изд. 2-е, \[атезис. «Педагогич. сбор-
сборник», октябрь, стр. 388 (рецензия).
39. Эмиль Борель. Арифметика. Перев. под ред. Д. Болконского, ттзд. Сытина. «Педа-
«Педагогич. сборник», октябрь, стр. 388—389 (рецензия).
1912
40. Sur la valour asymptotique tie la nieilleiirc approximation do | x\. «Comptes rendus»,
Paris, t. 154, стр. 184—186.
41. Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonctions analytiques.
«Gomptes rendus», Paris, t. 155, стр. 1062—1065.
42. Demonstration du theoreme de Weicrslrass fond ее sur le calcul des probabilites.
«Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13, стр. 1—2.
43. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов дан-
данной степени. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 13, стр. 49—194.
44. Суммирование везде расходящихся строк Тэйлора. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 13, стр. 195—199.
45. Исторический обзор развития понятия о функции. «Вести, он. физ. и элем, мая.»,
№ 559, сем. 47, стр. 177—184.
46. Sur l'ordre de la meilleurc approximation des fonctions continues par des polynomes
de degre donne. «Memoires publies par la classe des sc. Acad. dc Belgique» B),
t. 4, стр. 1—103.
47. Sur les equations du calcul des variations. «Ann. sci. Ecol^ normale», t. 29, стр. 431 —
485.
48. Русская математическая библиография. Под ред. проф. Д. М. Синцова. Вып. 1--2
за 1908—1909 гг., Одесса, Матезис, J91C--19J2. «Педагогич. сборник», май,
стр. 623—624 (рецензия).
49. Проф. Г. Ковалевский. Введение в исчисление бесконечно малых. Перев. под ред.
С. Шатуновского, Матезис. «Педагогич. сборник», февраль, стр. 301—302 (ре-
(рецензия).
49а. Н. Извольский. Геометрия на плоскости. Москва, 1911. «Педагогич. сбор-
сборник», июнь, стр. 70't (рецензия).
50. Б. Больцано. Парадоксы бесконечного. Перев. под ред. И. Слешипского, Мате»
зис. «Педагогич. сборник», июнь, стр. 705 (рецензия).
51. К. Б. Пенионжкешгт. Основания аналитической геометрии. Курс дополн. кл.
реальн. уч. Изд. Думнова. «Педагогич. сборник», июль, стр. 69—70 (рецензия;.
52. Борель Штеккель. Элементарная математика. Часть J. Арифметика и алгебра.
Перев. иод ред. В. Кагала, Матезис. «Педагогич. сборник», сентябрь, стр. 326—
327 (рецензия).
1913
53. Snr les recherches recentes relatives a la meilleure approximation des fonctions
rontinner par des polynomes. «Proc. 5 Intern, math, congr.», t. I, стр. 256—266.
54. Sur les series normales. Приложение к книге D'Adhemar. Lcqonssurles principos
de l'analyse, t. 2, Paris, стр. 259—283.
55. Sur la valeur asymptotique dela meillcure approximation des fonctions analytiqirs,
admettanl des singularites donnees, aBuII. sci. Acad. Belgique», № 2, стр. 76—90.
567
56. Sur quelques proprietes asjonptoliques des polynomes. «Comples rondus , Paris,
t. 157, етр. 1055—1057.
57. Об асимптотическом значении наилучшего приближения аналитических функ-
функций. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серит 2, т. 13, стр. 263—273.
58. Sur ime propriete des polynomes. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 14,
стр. 1- 6.
59. Remarques sur l'inegalite de Wladimir Markoff. <<Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 14, ст. 81—87.
60. Sur la meilleure approximation dc \x\ par des polynomes de degres donnes. «Acta
math.», t. 37, стр. 1—57.
61. Феликс Клейн. Вопросы элементарной и высшей математики. Перевод под ред.
В. Кагана. «Педагогич. сборник», ноябрь, стр. 465—469 (рецензия).
62. Исчисление конечных разностей. Курс, чит. в 1913 г., Харьков, 89 стр., литограф.
63. Дж. В. А. Юнг. Как преподавать математику? ГТерев. А. Кулишера, изд. «Обще-
«Общественная польза». «Педагогич. сборник», март, стр. 384—387 (рецензия).
64. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов.
Речь, произнесенная при публичной защите докторской диссертации
19 мая 1913 г. «Зап. Харьк. ун-та», кн. 4; «Летопись Харьк. ун-та»,
стр. 1—8.
1914
65. Sur la meilleure approximation des fonctions analytiques possedant des singularity
complexes. «Comptes rendus», Paris, t. 158, стр. 467—469.
66. Sur la convergence absolue des series trigonometriques. «Comptes rendus>\ Paris,
t. 158, стр. 1661—1663.
67. Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques d'ime variable reelle.
«Math. Ann.», Bd. 75, стр. 449—468.
68. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов. «Сообщ. Харьк. матем.
об-ва», серия 2, т. 14, стр. 139—144.
69. Sur certaines fonctions periodiques qui s'ecartent le moins possible de zero. «Сообщ.
Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 14, стр. 145—152.
70. Понятие функции в средней школе. Сообщение, прочитанное на 2-м съезде препо-
преподавателей математики 30 декабря 1913 г. «Матем. образование», т. 3, стр. 169—
175.
70а. Борель-Штеккель. Элементарная математика. Часть П. Геометрия. Перев.
под ред. В. Кагана. Матезис. «Педагогич. сборник», март, стр. 358—360
(рецензия).
71. Л. Кутюра. Философские принципы математики. Перек. под ред. П. Юшкевича,
изд. Карбасникова. «Педагогич. сборник», октябрь, стр. 306—307 (рецензия).
1915
72. Добавление к статье «Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов».
«Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 14, стр. 200—201.
73. Sur la representation des polynomes positifs. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва»,
серия 2, т. 14, стр. 227—228.
74. Sur un theoreme de geometrie et son application aux equations aux derivees parti-
elles du type elliptique. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 15, стр. 38—
45.
75. Заметка по поводу статьи М. Малиева «Задача о четырех красках \ помещенной
в № 621 «Вестника». «Вестн. оп. физ. и элем, мат.», № 625, серия 2, сем 3, стр. 18.
76. Задача о четырех и пяти красках. «Вестн. оп. физ. и элем, мат.», № 628/629, се-
серия 2, сем. 3, стр. 107—111.
77. Н. Каменыциков. Таблицы логарифмов с четырьмя десятичными знаками. Изд
«Просвещение». Пгр., 1914. «Вестн. оп. физ. и элем, мат.», № 628/629, серия 2,
сем. 3, стр. 115 (рецензия).
568
1916
78. Quelques remarques sur ['interpolation. «Сообщ. Харьк. матем об-ва>>, серия 2,
т. 15, стр. 49—61.
79. Жюль Таннери. Основные понятия математики. Пгр. 1914. «Педагогич. сбор-
сборник», январь, стр. 110—112 (рецензия)
80. Н. Г. Лексин. Лабораторный метод изучения геометрии, Казань, 1914. «Педа-
«Педагогич. сборник», февраль, стр. 257—258 (рецензия).
81. А. Р. Кулишер. Учебник геометрии, часть I, СПб., 1914. «Педагогич. сборник»,
апрель, стр. 656 (рецензия).
82. Д. Синцов. Сборник программ и инструкций по преподаванию математики б За-
Западной Европе. Вып. 1, М., 1914. «Педагогич. сборник», май, стр. 736—737 (ре-
(рецензия).
1917
83. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей. «Сообщ. Харьк, матеу.
сб-ва», серия 2, т. 15, стр. 209—274.
1918
84. О законе больших чисел. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 2, т. 16, стр. 82 —
87.
85. Quelques remarques sur l'interpolation. «Math. Ann.», Bd. 79, стр. 1—12. [To же,
что № 78.]
1921
86. О взаимоотношении между балловой оценкой и фактическим весом урожая по
Харьковской губернии за 1913—1918 гг. «Статист, бюлл. ЦСУ Укр.», № 4,
стр. 2—5.
1922
87. О приложении математики к биологии. «Наука на Украине», т. I,
Стр. 14—19.
88. Sur le theoreme limite du calcul des probabilites. «Math. Ann.», Bd. 85, стр. 237—
241.
89. Sur le developpement asymptotique de la meilleure approximation par des poly-
nomes de degres infiniment croissants des fonctions rationnelles. «Comptes
rendus», Paris, t. 175, стр. 804—806.
90. Журнал чистого и прикладного знания. «Наука на Украине», № 4, стр. 407—408
(рецензия).
91. Festschrift fur David Hilbert, Berlin, 1922. «Наука на Украине», Л° 4, стр. 408—
409 (рецензия).
1923
92. Sur une propriete des fonctions entieres. «Comptes rendus», Paris, t. 176, стр. 1603—
1605.
93. Sur les proprietes extremales des polynomes et des fonctions entieres sur Гахе
reel. «Comptes rendus», Paris, t. 176, стр. 1782—1785.
94. Sur la meilleure approximation des fonctions possedant un point singulier essentiel.
«Comptes rendus», Paris, t. 177, стр. 99—101.
95. Demonstration mathematique de la loi d'heredite de Mendel. «Comptes rendus»,
Paris, t. 177, стр. 528—531.
96. Principe de stationarite et generalisations de la loi de Mendel. «Comptes rendus»,
Paris, t. 177, стр. 581—584.
97. Sur les fonctions quasianalytiques. «Comptes rendus», Paris, t. 177, стр. 937—939.
С Н. Бернштейн, т. Т. 569
1924
98. Об одном видоизменении неравенства Чебышева и о погрешности формулы Лап-
Лапласа. «Уч. зап. н.-и. кафедр Украины», Отд. матем., вып. 1, стр. 38—49.
99. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности.
«Уч. зап. н.-и. кафедр Украины», Отд. матем., вып. 1, стр. 83—115.
100. Извлечение из отчета о заграничной командировке проф. С. Н. Бернштейна,
сделанного Научному комитету. «Уч. зап. н.-и. кафедр Украины», Отд. матем.,
вып. 1, стр. 147—148.
101. Sur les fonctions quasianalytiques de M. Carleman. «Comptes rendus», Paris, t. 179,
стр. 743—745.
102. Le probleme de l'approximation des fonctions continues sur tout Гахе reel et l'une
de ses applications. «Bull. Soc. math, de France», t. 52, стр. 399—410.
103. Введение к кн.: Теоретические основания выборочного метода. Выдержки из
4-го англ. изд. «Elements of statistics», A. Bowley, под ред. С. Н. Бернштейна
(«ЦСУ УССР», Харьков, стр. 5—9).
1925
104. Sur les courbes de distribution des probabilites. «Math. Ztschr.», Bd. 24, стр. 199—
211.
104a. Об экономическом барометре Конъюнктурного института. «Хозяйство Укра-
Украины», апрель, № 4, стр. 12—22.
1926
105. Sur l'integration des equations aux derivees partielles du type elliptique, I note.
Reponse a une critique. «Math. Ann.», Bd. 95, стр. 585—594.
106. Sur la nature analytique des solutions des equations differentielles aux derivees
partielles du type elliptique. «Math. Ztschr.», Bd. 25, стр. 505—513.
107. Sur les sommes de quantites dependantes. «Изв. АН СССР», т. 20, стр. 1459—1478.
108. Legons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d'une variable reelle. Paris, Gauthier-Villars, X, 207 стр. Collec-
Collection de monographies sur la theorie des fonctions, publ. par E. Borel.
109. О применении одного геометрического принципа к теории корреляций. «Сборник
памяти Лобачевского», Казань, т. 2, стр. 137—150.
110. Sur une propriete des fonctions entieres de genre 0. «Наук. зап. н.-д. мат. катедр
Украши», в 2, стр. 1—9.
111. Sur l'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quan-
quantites dependantes. «Math. Ann.», Bd. 97, стр. 1—59.
1927
112. Sur l'integration des equations aux derivees partielles du type elliptique, II note.
«Math. Ann.», Bd. 96, стр. 633—647.
113. Sur les polynomes multiplement monotones, qui s'ecartent le moms de zero. «Comp-
«Comptes rendus», Paris, t. 185, стр. 247—249.
114. Sur un probleme relatif aux fonctions absolument monotones. «Comptes rendus»,
Paris, t. 185, стр. 495—496.
115. Demonstration nouvelle d'une inegalite relative aux polynomes trigonometri-
ques. «Rendiconti Accad. d. Lincei Roma» F), vol. 5, стр. 558—561.
116. Uber ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differen*
tialgleichungen vom elliptischen Typus. «Math. Ztschr.», Bd. 26, стр. 551—558.
[Перевод статьи № 74.]
117. Sur une propriete des polynomes de Tchebycheff. «Докл. АН СССР», А, стр. 405—
407.
118. Sur les polynomes multiplement monotones. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия
4, т. I, стр. 1 —11.
570
119. Fondements geometriques dc la theorie des correlations. «Metron», t. 7, № 2,
стр. 3—27.
120. Теория вероятностей. М.—Л., VIII -f 363 стр.
1928
121. Addition a l'article «Sur lcs sommesde quantites dependantes». «Докл. АН СССР»,
А, стр. 55—60.
122. Современное сотояние теории вероятностей и ее приложений. «Тр. Всеросс. съезда
матем. в Москве 27 аир.— 4 мая 1927 г.», М.—Л., стр. 50—63.
123. О некоторых свойствах регулярно монотонных функций. «Сообщ. Харьк. матем.
об-ва», серия 4, т. 2, стр. 1—11.
124. Sur im theoreme de M. Gontcharoff. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», серия 4, т. 2,
стр. 73—74.
125. Sur une propriete de la fonction exponentielle. «Наук. зап. н.-д. мат. катедр Украь
ни», т. 3, стр. 65—71.
126. Sur les fonctions multiplement monotones. «Зап. физ.-мат. вщдшу ВУАН», т. 3,
вып. 2, стр. 40—47.
127. Sur quelques proprietes asymptotiques de la meilleure approximation. «Comptes
rendus», Paris, t. 186, стр. 840—842.
128. Sur les polynomes de Jacobi. «Comptes rendus», Paris, t. 186, стр. 1090—1092;
1456.
129. Sur les fonctions regulierement monotones. «Comptes rendus». Paris, t. 186,
стр. 1266—1269.
130. Sur la croissance des polynomes. «Comptes rendus», Paris, t. 187, стр. 558—569.
131. Sur les fonctions absolument monotones. «Acta math.», t. 52, стр. 1—66.
132. Demonstration du theoreme de M. Hilbert sur la nature analytique des solutions
des equations du type elliptique sans l'emploi des series normales. «Math. Ztschr.»,
Bd. 28, стр. 330—348.
133. Поняття кореляцп mi ж статистичними величинами. «BicTH. статистики Украши»,
т. I, стр. 111 — 113.
1929
134. Про монотонш функцп. «Зап. Харк. мат. тов.», серия 4, т. 3, стр. 11—18.
135. Sur la variation minimale du polynome Pn (x) monotone dans l'intervalle [—1, +1]
dont les derivees P'n A) = a2 = a, P'^ A) = b sont donnees. Про найменшу
варшящю монотонного полшома Рп{х) в штервал1 [—1, +1], псшдш якого
Р'п A) = а2 = а, Р'п A) = Ъ. «Зап. Харк. мат. тов.», серия 4, т. 3, стр. 19—23.
Совместно с В. Бржечка и Б. Рымаренко.
136. Sur les polynomes orthogonaux. «Comptes rendus», Paris, t. 188, стр. 361—364.
137. Sur la distribution des zeros des polynomes tendant vers une fonction continue
positive sur un segment donne. «Journ. math, pures et appl.», t. 8, стр. 327—337.
138. Zusatz zum vorangehenden Artikel der Herren W. Bfecka und J. Geronimus uber
monotone polynome minimaler Abweichung. «Math. Ann.», Bd. 102, стр. 517—519.
139. Григорш Олексшович Грузинцев (некролог). Григорий Алексеевич Грузинцев.
«Зап. Харк. мат. тов.», серия 4, т. 3, стр. 5—10.
1930
140. Sur une classe de polynomes orthogonaux. «Зап. Харк. мат. тов.», серия 4, т. 4,
стр. 79—93.
142. Несколько замечаний о полиномах наименьшего уклонения с целыми коэффи-
коэффициентами. «Докл. АН СССР», А, стр. 411—418.
143. Sur I'application de la methode de Tchebycheff a une classe de problemes de
M. Fejer. «Изв. АН СССР», ОФМН, № 5, стр. 381—398.
571
144. Sur les fonctions regulierement monotones. «Atti Congresso. Int. Mat.», Bologna,
t. 2, стр. 267—275.
145. Sur une classe de polynomes d'ecart minimum. «Comptes rendus», Paris, t. 190,
стр. 237—240.
146. Sur la limitation des derivees des polynomes. «Comptes rendus», Paris, t. 190,
стр. 338—341.
147. Sur une formule d'interpolation. «Comptes rendus», Paris, t. 191, стр. 635—637.
148. Sur un procede de sommation des series trigonometriques. «Comptes rendus», Paris,
t. 191, стр. 976—979.
149. Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini, I. «Journ. math, pures
et appl.», t. 9, стр. ill—ill.
1931
150. Exemple d'une fonction continue pour laquelle la formule d'interpolation trigono
metrique de Lagrange diverge. «Докл. АН СССР», А, стр. 365—366.
151. Sur la limitation des valeurs d'un polynome Pn (x) de degre n sur tout un segment
par ses valeurs en n + 1 points du segment. «Изв. АН СССР», ОМЕН, № 8,
стр. 1025—1050.
152. Sur une classe de formules d'interpolation. «Изв. АН СССР», ОМЕН, № 9,
стр. 1151—1161.
153. Sur le maximum absolu d'une somme trigonometrique. «Comptes rendus», Paris,
t. 193, стр. 433—436,
154. Sur les polynomes orthogonaux relatifs a un segment fini, II. «Journ. math, pures
et appl.»,Y 10, стр. 219—286.
1932
155. Sur les liaisons entre les grandeurs aleatoires. «Verhandlungen math. Kongr.»,
Zurich, 1932, т. I, стр. 288—309.
156. Complement a 1'article de E. Voronovskaya«Determination de la forme asympto-
tique de I'approximation des fonctions par les polynomes de M. Bernstein».
«Докл. АН СССР», А, № 4, стр. 86—92.
157. О формуле приближенного интегрирования Чебышева. «Изв. АН СССР», ОМЕН,
№ 9, стр. 1219—1227.
158. Сучасний стан та проблеми теори найкращого наближення функцп дшсне?
змшно1 через щотноми. «Зап. Харк. мат. тов.», т. 5, стр. 21—35.
159. Sur une modification de la formule d'interpolation de Lagrange. «Зап. Харк. матсм.
тов.», т. 5, стр. 49—57.
160. Complement a I'article «Sur une classe de polynomes orthogonaux». «Зап. Харк.
матем. тов.», т. 5, стр. 59—60.
161. Sur une formule d'interpolation de M. de la Vallec Poussin. «Зап. Харк. матем.
тов.», т. 5, стр. 61—64.
162. Sur une propriete elementaire du coefficient de correlation. «Зап. Харк. матсм.
тов.», т. 5, стр. 65—66.
1933
163. Sur I'equation differentielle de Fokker-Planck. «Comptes rendus», Paris, t. 196,
стр. 1062—1064.
164. Remarque a propos d'une note de M. R. Salem. «Comptes rendus», Paris, t. 197,
стр. 213—214.
165. О зависимостях между случайными величинами. «Труды ноябрьск. юбил. сессии
АН СССР», 1932, Л., стр. 38—62. [Перевод статьи № 155.]
165а. Современное состояние теории вероятностей М.—Л., ГТТИ. [Соединение
№№ 122 и 165.]
572
1934
166. О линейных квазинепрерывных цепях Маркова, I. «Докл. АН СССР», т. I.
стр. 1—9. То же, II (там же, стр. 361—365).
167. О рассеянии с поглощением. «Докл. АН СССР», т. I, стр. 230—234.
1438. О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов.
«Докл. АН СССР», т. 4, стр. 1—8.
169. Principes de la theorie des equations differentielles stochastiques. I-re partie.
«Труды Физ.-мат. ин-та им. Стеклова», Отд. матем., т. 5, стр. 95—124.
170. Sur la convergence absolue des series trigonometriques. «Comptes rendus», Paris,
t. 199, стр. 397—400.
171. Теория вероятностей. Изд. 2 и 3-е доп., М.—Л., ГТТР1, 412 стр.
1935
172. О математических работах П. Л. Чебышева A821—1894). «Природа», № 2,
стр. 1—6.
173. Sur quelques proprietes exlremales des integrates successives. «Comptes rendus»,
Paris, t. 200, стр. 1900—1902.
174. Sur un theoreme de M. Szego. «Prace mat.-fiz.», t. 44, стр. 9—14.
175. О математическом ожидании простоя рабочих единиц при сложном производствен-
производственном процессе. «Уголь», № 117, стр. 109—111, Харьков.
1936
176. Etat actuel et problemes de la theorie des polynomes d'approximation des fonctions
d'une variable reelle. Современное состояние и проблемы теории приближения
функций действительного переменного посредством полиномов. «Труды I Всес.
съезда математиков» (Харьков, 1930 г.). М.—Л., 1936, стр. 58—96. [Тоже,
что № 158.]
177. Determination d'une limite inferieure de la dispersion des sommes de grandeurs
liees en chaine singuliere. «Матем. сборник», т. 1 D3): 1, стр. 29—37.
178. О периодических функциях, для которых наилучше сходящимся рядом является
ряд Фурье. «Труды Ленингр. индустр. ин-та», № 10, разд. физ.-матем. наук,
вып. 3, стр. 1—8.
т
179. Sur le domaine de convergence des polynomes BJ (a?) =-2 /(— ) Cmxm (\—x)n~~m .
о \nJ n
«Comptes rendus», Paris, t. 202, стр. 1356—1358.
180. Sur quelques proprietes extremales des integrates successives (Correction). «Comptes
rendus», Paris, t. 203, стр.47.
181. Sur la formule de quadrature approchee de Tchebycheff. «Comptes rendus», Paris,
t. 203, стр. 1305—1306.
182. Sur la convergence de certaines suites de polynomes. "Journ. math, pures et appl.»,
t. 15, стр. 345—358.
1937
183. О формулах квадратур Котеса и Чебышева. «Докл. АН СССР», т. 14, стр. 323—327.
184. О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева. «Докл. АН СССР», т. 17,
стр. 275—277.
185. О формулах квадратур с положительными коэффициентами. «Изв. АН СССР»,
серия мат., № 4, стр. 479—503.
186. Примеры формул квадратур с положительными коэффициентами и рациональ-
рациональными абсциссами. «Труды Ленингр. индустр. ин-та», № 4, разд. физ.-матем
наук, вып. 2, стр. 19—21.
187. Постановка преподавания математики во втузах. «Высшая школа», № 2, стр. 69—
73.
573
188. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных
функций одной вещественной переменной, ч. I. Л.-—М., 203 стр.
189. О многочленах, ортогональных в конечном интервале. Харьков, 128 стр., Харьк.
матем. б-ка, кн. 2. [Перевод статей №№ 149, 154 и 137.]
190. Sur les formules de quadrature a coefficients non negatifs et abscisses equidistantes,
«Comptes rendus», Paris, t. 204, стр. 1294—1296.
191. Modifications de la formule de quadrature de Tchebycheff. «Comptes rendus», Paris,
t. 204, стр. 1526—1529.
192. Sur la meilleure approximation des fonctions non regulieres. «Comptes rendus»,
Paris, t. 205, стр. 825—827.
1938
193. О наилучшем приближении | х — с |р. «Докл. АН СССР», т. 18, стр. 379—384.
194. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений пара-
параболического типа. «Докл. АН СССР», т. 18, стр. 385—388.
195. О наилучшем приближении | х |р при помощи многочленов весьма высокой степени.
«Изв. АН СССР», серия матем., № 2, стр. 169—190.
196. О базе системы Чебышева. «Изв. АН СССР», серия матем., № 5—6, стр. 499—504.
197. Деяш застосування параметричного методу до вивчення квадратурних формул.
Quelques applications de la methode parametrique а Г etude des formules de qua-
quadrature. «Зап. н.-д. шст. матем. й мех.», серия 4, т. 15, вип. 1, стр. 1—29.
198. Примеры формул квадратур, аналогичных формуле Чебышева. «Труды Ленингр.
индустр. ин-та», № 5, раздел физ.-матем. наук, вып. 1, стр. 3—7.
199. О теореме В. А. Маркова. «Труды Ленингр.индустр. ин-та», № 5, раздел физ.-матем.
наук, вып. 1, стр. 8—13.
200. Конструктивная теория функций вещественной переменной. «Математика и есте-
естествознание в СССР», М.—Л., изд. АН СССР, стр. 36—41.
201. Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approximation des fonctions
continues. «Comptes rendus», Paris, t. 206, стр. 1520—1523,
202. Sur un systeme d'equations indeterminees. «Journ. math, pures et appl.», t. 17,
CTp. 179—186.
203. Equations dtfferentielles stochastiques. Paris, Hermann, 31 p. «Act. Sci ind.», 738.
Confer, internat. Sci. math. Univ. Geneve. Theorie des probabilites, V. Les
fonctions aleatoires.
1939
204. Определение ряда функций по экстремумам его последовательных остатков.
«Докл. АН СССР», т. 22, стр. 3—6.
205. Несколько замечаний по поводу предельной теоремы Ляпунова. «Докл. АН СССР»,
т. 24, стр. 3—7.
206. Исправление одного доказательства. «Докл. АН СССР», т. 25, стр. 705—707.
207. Петербургская школа теории вероятностей. «Природа», № 8, стр. 17—22.
1940
208. К вопросу о локальном наилучшем приближении функций. «Докл. АН СССР»,
т. 26, стр. 839—842.
209. Первая заметка о линейных дифференциальных операторах. «Докл. АН СССР»,
т. 29, стр. 532—535.
210. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. «Изв.
АН СССР», серия матем., т. 4, стр. 17—26.
211. Новые приложения почти независимых величин. «Изв. АН СССР», серия матем.,
т. 4, стр. 137—150.
212. Задача об урне с добавляемыми шарами. «Докл. АН СССР», т. 28, стр. 5—7.
574
1941
213. Петербургская школа теории вероятностей. «Утт. зап. ЛГУ», № 55, стр. 3—11.
[То же, что № 207.]
214. О приближении непрерывной функции линейным дифференциальным операто-
оператором от многочлена. «Изв. АН СССР», серия матем., т. 5, стр. 15—42.
215. О суммах зависимых величин, имеющих взаимно почти нулевую регрессию.
«Докл. АН СССР», т. 32, стр. 303—307.
216. О «доверительных» вероятностях Фишера. «Изв. АН СССР», серия матем., т. 5,
стр. 85—94.
217. Об одном свойстве, характеризующем закон Гаусса. «Труды Ленинградск. поли-
политехи, ин-та», № 3. стр. 3—20.
218. О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа
и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям. «Успехи матем,
наук», т. VIII, стр. 8—26 (совм. с И. Г. Петровским).
219. Доказательство теоремы Гильберта об аналитическом характере решений эллип-
эллиптических уравнений без использования нормальных рядов. «Успехи матем. наук*,
т. VIII, стр. 82—99. [Перевод статьи № 132.]
220. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных про-
производных эллиптического типа. «Успехи матем. наук», т. VIII, стр. 75—81.
[Перевод статьи № 74.]
221 Об уравнениях вариационного исчисления. «Успехи матем. наук», т. VIII,
стр. 32—74. [Перевод статьи № 47.]
1942
222. Усиление теоремы о поверхностях отрицательной кривизны. «Изв. АН СССР»,
серия матем., т. 6, стр. 285—290.
1943
223. Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа. «Изв. АН СССР»,
серия матем., т. 7, стр. 3—16.
п
224. О сходимости многочленов 2j Сп /( — ) хт A—х)п~т в комплексной области.
0 ^П'
«Изв. АН СССР», серия матем., т. 7, стр. 49—88.
225. Дополнение к моей статье «Усиление теоремы о поверхностях отрицательной кри-
кривизны». «Изв. АН СССР», серия матем., т. 7, стр. 297—298.
1944
226. Новые обобщения теоремы Лиувилля и ее распространение на уравнения пара-
параболического типа. «Докл. АН СССР», т. 42, стр. 107—112.
227. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых
величин. «Успехи матем. наук», т. X, стр. 65—114. [Перевод статьи № 111.]
1945
228. Конструктивная теория функций как развитие идей Чебышева. «Изв. АН СССР»,
серия матем., т. 9, стр. 145—158.
229. Академик П. Л. Чебышев. «Природа», № 3, стр. 78—86.
230. О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей. «Научное наследие П. Л. Че-
Чебышева». Изд. АН СССР, стр. 43—67.
575
1946
oo
231. О наилучшем приближении функцийJ | у |s dty (s) на отрезке [—1, +1]. «Изв.
О
АН СССР», серия матем., т. 10, стр. 185—196.
232. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при
помощи целых функций данной степени. I. «Докл. АН СССР», т. 51, стр. 327—
330.
233. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при
помощи целых функций данной степени. II. «Докл. АН СССР», т. 51, стр. 485—
488.
234. О наилучшем приближении функций на всей вещественной оси при помощи
целых функций конечной степени. III. «Докл. АН СССР», т. 52, стр. 565—568.
235. О верхней границе максимума модуля производной монотонной функции
конечной степени. «Докл. АН СССР», т. 51, стр. 567—568.
236. Обобщение одного результата С. М. Никольского. «Докл. АН СССР», т. 53„
стр. 587—590.
237. О наилучшем приближении на всей вещественной оси при помощи целых
функций конечной степени. IV. «Докл. АН СССР», т. 54, стр. 103—108.
238. Добавление к работе И. И. Ибрагимова «Об асимптотическом значении наилуч-
наилучшего приближения функции, имеющей вещественную особую точку». «Изв. АН
СССР», серия матем., т. 10, стр. 461—462.
239. О приближении функций на всей вещественной оси при помощи целых функций
данной степени. V. «Докл. АН СССР», т. 54, стр. 479—482.
240. Новый вывод и обобщение некоторых формул наилучшего приближения. «Докл.
АН СССР», т. 54, стр. 667—668.
241. О предельной теореме теории вероятностей. «Изв. НИИ мат. и мех. при Томсколк
гос. ун-те», стр. 174—189.
242. Теория вероятностей. М.— Л., изд. 4-е доп., 556 стр.
1947
243. О наилучшем приближении аналитических функций при помощи целых функций
конечной степени. «Докл. АН СССР», т. 56, стр. 891—894.
244. О предельных зависимостях между константами теории наилучшего приближения.
«Докл. АН СССР», т. 57, стр. 3—5.
245. О свойствах однородных функциональных классов. «Докл. АН СССР», т. 57Г
стр. 111—114.
246. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе. «Юбил.
сборн., поев. 30-летию Великой Октябрьской социалистической револтеции»,
стр. 114—133.
247. Предельные законы теории наилучших приближений. «Докл. АН СССР», т. 58.
стр. 525—528.
248. Чебышев, его влияние на развитие математики. «Уч. зап. Моск. гос. ун-та», т. 91,,
стр. 35—45.
1948
248а. Усиление теоремы о поверхностях отрицательной кривизны. «Уч. зап. Ленингр.
гос. университета», серия матем., вып. 15, стр. 75—81. [То же, что
№ 222.]
249. О некоторых элементарных экстремальных свойствах многочленов нескольких
переменных. «Докл. АН СССР», т. 59, стр. 833—836.
250.. Вторая заметка об однородных функциональных классах. «Докл. АН СССР»,,
т. 59, стр. 1379—1384.
576
251. О целых функциях конечной степени многих вещественных переменных. «Докл.
АН СССР», т. 60, стр. 949—952.
252. Распространение неравенства С. Б. Стечкина на целые функции конечной степени.
«Докл. АН СССР», т. 60, стр. 1487—1490.
253. Перенесение свойств тригонометрических полиномов на целые функции конечной
степени. «Изв. АН СССР», серия матем., т. 12, стр. 421—444.
253а. Примечание к моей работе «Перенесение свойств тригонометрических полино-
полиномов на целые функции конечной степени». «Изв. АН СССР», серия матем.>
т. 12, стр. 571-573.
1949
254. О майорантах конечного или квазиконечного роста. «Докл. АН СССР , т. 65>
стр. 117—120.
255. Об аддитивных майорантах конечного роста. «Докл. АН СССР», т. 66, стр. 545—
548.
256. Функции конечной степени и функции конечной полустепени. «Изв. АН СССР»,.
серия матем., т. 13, стр. 111—124.
1950
257. О некоторых свойствах циклически монотонных функций. «Изв. АН СССР», сери»
матем., т. 14, стр. 381—404.
258. О некоторых новых достижениях теории приближения функций действительной
переменной. «Acta Scientiarum Mathematicarum», t. XII, стр. 161—169.
259. О новых исследованиях, относящихся к наилучшему приближению непрерывных
функций многочленами. «Успехи матем. наук», т. V, вып. 4, стр. 121—131.
[Перевод статьи № 53.]
260. Об изгибании поверхностей. «Успехи матем. наук», т. V, вып. 4, стр. 132—133.
[Перевод статьи № 10.]
1951
261. О весовых функциях. «Докл. АН СССР», т. 77, стр. 549—552.
262. О связи квазианалитических функций с весовыми функциями. «Докл. АН СССР»,
т. 77, стр. 773—776.
263. Определение и основные свойства квазиалгеброидных и алгебройдных функций.
«Докл. АН СССР», т. 79, стр. 377—380.
264. О наилучшем приближении функций нескольких переменных посредством
многочленов или тригонометрических сумм. «Труды Матем. Института
им. В. А. Стеклова», т. 38, стр. 24—29.
1952
265. Примечания к теории регулярно монотонных функций. «Изв. АН СССР»,
серия матем., т. 16, стр. 3—16.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От автора 3
Сокращенные обозначения 4
1. Об интерполировании 5
2. О приближении непрерывных функций многочленами 8
о. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов
данной степени И
Введение И
Часть первая. О некоторых общих свойствах рядов многочленов .... 13
Глава I. Предварительные теоремы о многочленах 13
Глава II. Определение низшего предела уклонения непрерывной функ-
функции от многочлена данной степени 28
Часть вторая. Приближенное вычисление многочленов, наименее уклоняю-
уклоняющихся в данном промежутке от данной функции 42
Глава III. Общий метод 42
Глава IV. Приближенное вычисление наименьшего уклонения l x I от
многочлена данной степени 51
Глава V. Различные приложения основных теорем. Обобщения теоремы
Вейерштрасса 63
Добавление к главе V. Разложение произвольных функций в нормаль-
нормальные ряды 79
Часть третья. Разложение непрерывных функций в ряды тригонометриче-
тригонометрических многочленов 84
Глава VI. О приближении, осуществляемом посредством разложения
функции в ряд тригонометрических многочленов , 84
Глава VII. О некоторых свойствах функций двух переменных 96
4. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей 105
5. Суммирование везде расходящихся строк Тэйлора 107
6 О новых исследованиях, относящихся к наилучшему приближению непре-
непрерывных функций многочленами 112
7. Об асимптотическом значении наилучшего приближения аналитических
функций 124
•8. Об асимптотическом значении наилучшего приближения аналитических функ-
функций 127
9. Об асимптотическом значении наилучшего приближения аналитических функ-
функций, обладающих данными особенностями 136
10. Об одном свойстве многочленов 146
11. Несколько замечаний к неравенству Владимира Маркова 151
12. О наилучшем приближении | х I посредством многочленов данной степени . . 157
Часть первая. Алгебраическое исследование наилучшего приближения | х
посредством многочленов данной степени 158
579
Часть вторая. Асимптотические свойства наилучшего приближения | х \ . 172
13. О некоторых асимптотических свойствах многочленов 207
14. О наилучшем приближении непрерывных фупкций посредством многочленов 209
15. О наилучшем приближении аналитических функций, имеющих комплексные
особенности 215
16. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов 217
17 О некоторых периодических функциях, наименее уклоняющихся от нуля 224
18. Об определении и свойствах аналитических функций вещественной пере-
переменной 231
19. О представлении положительных многочленов 251
20. Несколько замечаний об интерполировании 253
21. Об асимптотическом разложении наилучшего. приближения рациональных
функпий посредством многочленов бесконечно растущих степеней 264
22. Об одном свойстве целых функций 269
23. Об экстремальных свойствах многочленов и целых функций на вещественной
оси 271
24. О наилучшем приближении функций, обладающих существенной особой точ-
точкой 274
25. Задача приближения непрерывных функций на всей вещественной оси . . . 277
26. Аналитические функции вещественной переменной, их возникновение и пути
обобщений 285
Введение 285
Глава I. Аналитические функции и функции квазианалитические (Р) . 286
Глава II. Функции квазианалитические (D) в смысле Данжуа .... 298
Глава III. Экстраполируемые функции ЗОЕ
Глава IV. Функции с абсолютно ограниченным полным изменением . . 313
27. Об одном свойстве целых функций рода 0 321
28. Об одном свойстве многочленов Чебышева 330
29. Об одной задаче относительно абсолютно монотонных функций 333
30. Новое доказательство одного неравенства, относящегося к тригонометри
ческим полиномам , 335
31. О кратно монотонных многочленах 339
32. О некоторых свойствах регулярно монотонных функций 350
33. Об одной теореме В. Л. Гончарова 361
34. Об одном свойстве показательной функции 363
35. Абсолютно монотонные функции 370
Глава I. Нахождение функций, абсолютно монотонных на отрицательной
полуоси 371
Глава II. Нахождение функций, абсолютно монотонных на конечном отрезке 393
Глава III. Приложения к проблеме моментов 416
36. О некоторых асимптотических свойствах наилучшего приближения .... 426
37. О многочленах Якоби 428
38. О возрастании многочленов 431
39. О кратно монотонных функциях 433
40. Об ортогональных многочленах 440
41. О распределении нулей многочленов, стремящихся к непрерывной функции,
положительной на данном отрезке 443
42. Об одном классе ортогональных многочленов 452
Дополнение к статье «Об одном классе ортогональных многочленов» , . . 466
43. Несколько замечаний о многочленах наименьшего уклонения с целыми
коэффициентами 468
44. О приложениии метода Чебышева к одному классу задач Л. Фейера . . . 472
45. О регулярно монотонных функциях 487
46. Об оценках производных многочленов 497
580
47. Современное состояние и проблемы теории приближения функций веществен-
вещественного переменного посредством многочленов 500
48. Об одной формуле интерполирования 520
49. Об одном методе суммирования тригонометрических рядов 523
Авторские комментарии 526
3. О паилучшем приближении непрерывных функций посредством много-
многочленов данной степени (стр. 526). 10. Об одном свойстве многочленов
(стр. 530). И. Несколько замечаний к неравенству Владимира Маркова
(стр. 530). 12. О наилучшем приближении | х | посредством многочленов
данной степени (стр. 531). 16. Об абсолютной сходимости тригономе-
тригонометрических рядов (стр. 534). 17. О некоторых периодических функ-
функциях, наименее уклоняющихся от нуля (стр. 534). 18. Об онределе-
нии и свойствах аналитических функций вещественной переменной
(стр. 535). 20. Несколько замечаний об интерполировании (стр. 538).
21. Об асимптотическом разложении наилучшего приближения рациональ-
рациональных функций посредством многочленов бесконечно растущих степеней
(стр. 538). 22. Об одном свойстве целых функций (стр. 539). 23. Об экстре-
экстремальных свойствах многочленов и целых функций на вещественной оси
(стр. 539). 24. О наилучшем приближении функций, обладающих суще-
существенной особой точкой (стр. 540). 25. Задача приближения непрерывных
функций на всей вещественной оси (стр. 541). 26. Аналитические функции
вещественной переменной, их возникновение и пути обобщений (стр. 547).
30. Новое доказательство одного неравенства, относящегося к тригоно-
тригонометрическим полиномам (стр. 558). 35. Абсолютно монотонные функции
(стр. 558). 36. О некоторых асимптотических свойствах наилучшего при-
приближения (стр. 559). 41. О распределении нулей многочленов, стремящихся
к непрерывной функции, положительной на данном отрезке (стр. 559).
42. Об одном классе ортогональных многочленов (стр. 561). 43. Несколько
замечаний о многочленах наименьшего уклонения с целыми коэффи-
коэффициентами (стр. 562). 44. О приложении метода Чебышева к одному классу
задач Л. Фейера (стр. 563). 45. О регулярно монотонных функциях
(стр. 564). 46. Об оценках производных многочленов (стр. 564).
Список трудов академика С. Н. Бернштейна 585
Печатается по постановлению
Редапционно-издательского совета
Академии Наук СССР
Редактор издательства Д. А. Райков
Технический редактор Я. П. Аузан
Корректоры II. Н. Певцова и Я. Я. Шкиратова
Переплет и титул художника Я. А. Седелъникова
ГИСО АН СССР №4520. Т-03025. Издат. № 3098.
Тип. заказ № 1653. Подп. к печ. 9/IV 1952 г.
Форм. бум. 70x108 Vie- Печ. л. 50+1 вклейка
Бум. л. 18,25. Уч.-издат. л. 42 Тираж 3000.
Цена по прейскуранту 1952 г. 31 р. 50 к.
2-я тип. Издательства Академии Наук СССР
Москва, Шубинский пер., д. 10
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Стр.
38
ИЗ
121
132
140
159
371
391
412
420
527
532
533
533
Строка
2 сн.
5 сн.
И и 17 св.
9 св.
12 сн.
6 св.
9 сн.
14 сн.
6 сн.
2 св.
18 сн.
6 сн.
7 св.
1 сн.
Напечатано
о
а
1
(т—1—. . .1)
Intervall
Ф 0
[-L-oc]
Принимая
и (IT)
были не
(еп + О
4
Должно быть
-Р»(*+А)]
яР + а
Г
(т-^-1)...
Intervall, ibid. Bd. 16.
Ф@)
[_L_«, 0]
Применяя
и (П'))
не были
(ви + e~v)
2
С. Н. Бернштейн. Собрание сочинений, т. I.