Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
физический факультет
учебное пособие по курсу
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Алексей Николаевич РУБЦОВ
Москва
1998
АННОТАЦИЯ
Курс является составной частью цикла спецкурсов по теории
конденсированного состояния, читаемых на кафедре квантовой радиофизики. Курс
ставит своей целью изучение основных типов элементарных возбуждений,
встречающихся в современной физике конденсированного состояния. Однако, из
программы исключены сверхтекучесть и сверхпроводимость, являющиеся предметом
курса "Макроскопические квантовые явления".
В силу обзорного характера курса в большинстве случаев формальные
выкладки сведены к минимуму; часто применяются размерные оценки. Однако, в
некоторых местах (понятие об формализме функций Грина, описание ферми-
жидкости с кулоновским взаимодействием) акцент, напротив, смещен в сторону
математического аппарата. Появление этих разделов связано с активным
использованием соответствующих формальных методов в современной оригинальной
литературе.
Используется материал предыдущих курсов, прежде всего "Квантовая
механика", "Статистическая физика" и "Физика конденсированного состояния".
Настоящий конспект, безусловно, недостаточен для изучения материала курса.
Предполагается, что студенты, во-первых, посещают лекции, и во-вторых, читают
цитированную литературу. При цитировании последней в тексте для удобства
указывается глава или станица книги, содержащая необходимую информацию.
2
ПРОГРАММА КУРСА
КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИЧАСТИЦ. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ - стр. 6
Фононы в одномерной цепочке - Ферми-газ- Вигнеровский кристалл - Уровни Ландау -
Вторичное квантование
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ - стр. 13
Фононы - Вторичное квантование - Теория Дебая - Эффект Мессбауэра
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ - стр. 18
Неидеальный фононный газ - Время жизни фонона - Т-оператор - Определение функции
Грина - Функция Грина идеального Бозе-газа - Функция Грина и энергетический спектр-
Теория возмущений для функции Грина - Теорема Вика - Понятие о диаграммных
техниках.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СВЯЗАННЫМИ
ЗАРЯДАМИ - стр. 26
Фононные поляритоны - Поляроны
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ - стр. 29
Электроны и дырки - Оптическое поглощение вблизи края полосы поглощения -
Структура зоны - Бриллюэна некоторых полупроводников -Экситоны - Экситонные капли
- Экситонные поляритоны - Фоноритоны
ВЫРОЖДЕННАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
- стр. 37
Вырожденный ферми-газ - Квазичастицы во внешнем поле - Нормальная ферми-жидкость -
Взаимодействие квазичастиц - Взаимодействие электронов с фононами
ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ - стр. 42
Метод Хартри-Фока - Плазмоны - приближение случайных фаз - Плазмоны -метод
кинетического уравнения
РЕКОМБИНАЦИЯ И РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА - стр. 46
Релаксационный член в кинетическом уравнении - Принцип детального равновесия -
Упругое рассеяние на дефектах - Модель Друде -Проводимость нормальных в металлов -
Понятие об эффекте Кондо -Рекомбинация в полупроводниках - Излучательная
рекомбинация зона-зона - Рекомбинация через промежуточный уровень
МАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ - стр. 51
Базовые уравнения для движения частиц в магнитном поле - Эффект Холла -
Классический эффект Холла - Целочисленный квантовый эффект Холла - Эффект де Гааза
- ван Альфена - Ферромагнетики и атнтиферромагнетики - Обменное взаимодействие -
Магноны - Магноны в ферромагнетике -Магноны в антиферромагнетике
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННО-
ОГРАНИЧЕННЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМАХ - стр. 60
Мелкие примесные уровни - Таммовские состояния - Поверхностные плазмоны -
Проводимость низкоразмерных структур - Андерсеновская локализация
Асимптотическая формула Лифшица для плотности состояний
КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ - стр. 63
Теория Ландау - Мягкие моды - Флуктуации. Верхняя и нижняя критическая размерность
- Критические индексы
3
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Приведены обозначения наиболее нужных величин - не все встречающиеся в тексте
символы вынесены в этот раздел.
е, h, с - фундаментальные константы
me,mh - массы электрона и дырки. Если это не может вызвать разночтений, индекс
иногда опускается
М - масса атома
L,V,N - параметры объема квантования
Q - объем элементарной ячейки (если это не может вызвать путаницы, символ может
использоваться также для обозначения частоты)
п - концентрация
к - квазиволновой вектор
р - квазиимпульс
о - частота
s - энергия (индекс F у этих величин означает “фермиевский”)
Е,Н - электрическое и магнитное поле
е - диэлектрическая проницаемость
4
АТОМНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Основные константы
единица действия - постоянная Планка Й = 1.055 эрг • с,
единица массы - масса электрона т = 9.11 • 10-28 г,
единица заряда - абсолютная величина заряда электрона е = 4.8О-1О-10
Производные единицы
энергия: ше4/Й2 = 27.21 эВ = 4.36-10-11 эрг = 2 ридберга
длина: Й2 / те2 = 0.529-10-8 см (боровский радиус)
электромагнитное поле: е!ар - 1.71-107 [сгс]
-	масса протона МР « 1836
-	скорость света с = 1 / ос « 137
-	комнатная температура 3-10-2еК « 10-3a.w.
5
КОНЦЕПЦИЯ КВАЗИЧАСТИЦ. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
Не вызывает сомнений, что для "твердотельных" масштабов энергий, размеров
и т.п. законы квантовой механики выполняются с очень высокой точностью. Однако,
решить уравнение Шредингера для многих частиц со взаимодействием мы не можем.
По большому счету, единственный регулярный подход состоит в использовании
теории возмущений (в той или иной форме), но для этого нужно, чтобы
взаимодействие было слабым.
В современной теории твердого тела принято решать эту проблему введением
квазичастиц (или элементарных возбуждении). Эта идеология годится для
описания состояний системы, близких к равновесному (основному). Во многих
случаях состояние системы, близкое к равновесному, может быть описано как газ
некоторых возбуждений, достаточно долгоживущих и взаимодействующих друг с
другом слабо. Эти возмущения и называют квазичастицами или элементарными
возбуждениями. Газ может быть однокомпонентым, а может состоять из частиц
нескольких сортов. Эти сорта называют типами квазичастиц.
Характеристики квазичастиц (заряд, масса, спин и т.п.) вовсе не обязаны
совпадать с характеристиками истинных частиц, из которых состоит система.
То, как именно выглядят элементарные возбуждения в данной системе,
определяет физик на основе экспериментальных данных. Тип статистики (Ферми или
Бозе) при этом тоже выбирается, исходя из физических соображений. Можно
указать как минимум одно общее правило - если элементарное возбуждение имеет
классический аналог, квазичастицы являются бозонами. В частности, классическим
аналогом фононов являются звуковые волны.
В каких случаях этот подход применим? Ясно, что в исходной системе частиц
должно быть много, чтобы при переходе от основного состояния (квазичастиц нет) к
состоянию с небольшим числом квазичастиц система менялась слабо. Впрочем, это
условие необходимо, но не достаточно - можно привести примеры систем с большим
числом частиц, в которых о квазичастицах говорить не имеет смысла - это атом или
атомное ядро; в этих системах уже первое возбужденное состояние отличается от
основного сильно.
Дело, видимо, в том, что речь идет о необходимости рассматривать газ,
состоящий из многих одинаковых (схожих) частиц, для этого и в исходной системе
должно быть много "чего-то одинакового". В частности, твердое тело изначально
составлено из многих одинаковых атомов.
Впрочем, даже для случая бесконечных кристаллов описание на языке
элементарных возмущений возможно не всегда. Существуют системы, в которых при
любом выборе базиса корреляции между модами оказываются сильными (эти
системы так и называют - сильно коррелированные). Более того, можно указать
достаточно общую ситуацию, когда идеология квазичастиц не применима для
описания свойств твердых тел. Речь идет о свойствах систем в окрестности
6
фазового перехода. На словесном уровне, можно говорить о том, что в точке
фазового перехода свойства системы меняются существенным образом, поэтому
вблизи перехода состояние системы нельзя рассматривать как слабое возмущение
какого-либо основного состояния. Реальная ширина области, в которой нельзя
говорить об элементарных возбуждениях (ее называют флуктуационной или
критической областью), определяется параметрами системы.
Тем не менее, в подавляющем большинстве случаев в физике твердого тела
описание на языке квазичастиц полностью себя оправдывает.
Комментарий.
Как и всякое рассуждение философского характера, вышеприведенное кажется вполне
бессмысленным и непонятным, пока не рассмотрено некоторое количество конкретных примеров.
Оно должно было быть помещено в начале курса, чтобы хоть в общих чертах дать понять, о чем
будет идти речь. Полезно, однако, будет перечитать этот текст в конце курса - он должен будет
стать значительно яснее.
Рассмотрим на качественном уровне несколько простых поясняющих примеров.
Фононы в одномерной цепочке
Одна из простейших систем квазичастиц - фононный газ в одномерной цепочке
слабонелинейных осцилляторов (см. курс ФКС) - цепочки "атомов" массы М,
потенциальная энергия взаимодействия которых равна
U (ип ~ ип+1) + (^/)
При Uni = 0 система линейна и решение можно искать в стандартном виде:
UnKei(.kn-^
Получившиеся звуковые волны характеризуются квазиимпульсом и энергией,
которые связаны законом дисперсии ® = y/U / М |sin£|. Если бы мы рассматривали
двухатомную цепочку, спектр распадался бы на 2 ветви - фононную и поляритонную.
Получившиеся элементарные возбуждения можно проквантовать, т. е.
описывать систему как набор фононов - квантовых осцилляторов с заданными
частотами. Спектр системы Е = hy/U/ М |sin/>/Й| (здесь р-квазиимпульс фонона).
Можно было бы поступить и наоборот - проквантовать уравнения движения (перейти
от уравнения Ньютона к уравнению Шредингера), а затем найти собственные
функции системы и ее спектр. Результаты должны быть одинаковыми.
Если нелинейность не равна нулю, полученные квазичастицы удовлетворяют
уравнению Шредингера только приближенно, т.е. имеют конечное время жизни,
зависящее от величины нелинейности и амплитуды возбуждения мод. Пусть
нелинейность имеет вид Uni = а^\ип - wn+1)3, а населенность можно
охарактеризовать среднеквадратиным отклонением атома <w2>. Тогда для оценки
можно считать, что на каждый осциллятор действует случайная сила со
7
среднеквадратичным значением < F2 >~ ос2 < w2 >2. Характерное время изменения
этой силы определяется единственным масштабом временем системы, т ~ л/Л//С7 . За
время Т такая случайная сила сообщит частице массы М скорость,
среднеквадратичное значение которой равно
Время жизни фонона можно оценить, приравняв это выражение
среднеквадратичному значению скорости атома, <и2 >/т2. Получается
^Э/2^1/2
Описание на языке фононов имеет смысл, если Т»т, то есть если
а <и >U «1.
В нашей модели любое (а не только близкое к основному) состояние системы
может быть описано как совокупность фононов, если только нелинейность
достаточно мала. В случае реального кристалла ясно, однако, что число фононов
(фактически, температура) не может быть больше определенной величины (точки
плавления), что фактически и позволяет оценить нелинейность взаимодействия
реальных фононов.
Фононный газ дает пример системы, в которой квазичастицы могут быть
получены применением простой математической процедуры, что связано с тем, что
система (почти) линейна. В других случаях (например, рассматриваемая ниже
электронная жидкость в металлах) такой переход произведен быть не может из за
существенной нелинейности взаимодействия. В этих случаях существование
квазичастиц постулируется, их характеристики определяются исходя из
экспериментальных данных и/или теоретических соображений.
Вид спектра элементарных возбуждений и даже их статистика может
существенным образом зависеть не только от "качественного" устройства системы
(тип частиц, закон взаимодействия между ними), но и от ее количественных
характеристик (температура, плотность и т.п.). Это утверждение можно наглядно
продемонстрировать, рассмотрев поведение электронного газа в двух предельных
случаях - низкой и высокой плотности. Пусть рассматриваемая система
представляет собой газ заряженных электронов плотности п, движущихся на фоне
равномерно распределенного положительного заряда, который в среднем
компенсирует отрицательный заряд электронов (модель желе). Из соображений
размерности для такой системы можно указать два характерных масштаба энергии:
8С = е2пуз - характерная энергия кулоновского отталкивания
и
&Р = n2l3h2 / т - характерная энергия, связанная с квантовомеханическим характером
системы (энергия, связанная с обменным взаимодействием фермионов).
8
Замечание. Формулы выписаны для трехмерного случая. Одно- и двумерные системы отличаются
только степенями П.
Ферми-газ
В случае гс«гР (и»1 в атомных единицах) кулоновским отталкиванием
можно пренебречь. Основное состояние в этом случае представляет собой сферу
радиуса рр в пространстве импульсов, заполненную электронами. Элементарные
возбуждения - электрон с импульсом больше pF либо дырка - вакансия,
образовавшаяся при удалении электрона с импульсом, меньшим pF. Очевидно, эти
элементарные возбуждения подчиняются статистике Ферми.
Вигнеровский кристалл
В противоположном случае гс»гР (и«1) поведение системы определяется
кулоновским взаимодействием. Поскольку мы пренебрегаем квантовомеханическими
(обменными) эффектами, фактически речь идет о классической системе зарядов.
Легко понять, что основной будет конфигурация, при которой заряды расположатся в
узлах некоторой периодической решетки - Вигнеровского кристалла (Wigner crystal).
При этом элементарные возбуждения будут связаны с отклонением этих зарядов от
положений равновесия. Как и в случае фононов в одномерной цепочке, эти
элементарные возбуждения (с некоторой натяжкой их можно назвать плазмонами)
представляют собой плоские волны в периодической структуре и характеризуются
определенным значением квазиимпульса. Поскольку фактически вигнеровский
кристалл - классический объект, элементарные возбуждения в нем являются
бозонами.
Рассмотрим, как происходит переход от Вигнеровского кристалла к Ферми-
газу. Электроны, "запертые" в Вигнеровском кристалле между соседями, совершают
нулевые флуктуации. Для оценки будем считать, что речь идет о гармонических
осцилляторах с гамильтонианом Н = р2 / 2m + Ux2 / 2, при этом их жесткость можно
оценить как вторую производную U
дг2 г
е
—г, где г
г
расстояние между
соседями, равное г ~ п 1/3. Амплитуда нулевых колебаний для такого осциллятора
2	3/2 1/2 х
равна <х >—,------~ г г0 , г0- боровскии радиус.
mU
Таким образом, при увеличении плотности амплитуда этих флуктуаций падает
медленнее, чем расстояние между частицами, и при определенном значении
плотности кристалл разрушается - происходит фазовый переход из диэлектрической в
металлическую фазу. Численные расчеты показывают, что это значение плотности на
самом деле довольно мало - п « 10 г0.
9
В случае электронного газа в реальных металлах реализуется ситуация
«23 г0. При этом, как мы увидим далее, присутствуют две ветви спектра
элементарных возбуждений - электронная и плазмонная.
Уровни Ландау
В рассмотренных выше примерах элементарные возбуждения представляли
собой плоские волны, т.е. одним из квантовых чисел, характеризующих
квазичастицу, служил импульс или квазиимпульс. Возможны, однако, и
элементарные возбуждения, соответствующие другим базисам. В частности, в
присутствии магнитного поля классификация элементарных возбуждений в
электронном газе осуществляется на основании представления об уровнях Ландау, а
вектор квазиимпульса уже не является квантовым числом. Действительно [1,#112],
уравнение Шредингера при наличии электромагнитного поля имеет вид (калибровка
ср = 0):
\|/ = 8\р .
Для направленного вдоль оси Z магнитного поля Н вектор-потенциал можно выбрать
в виде {-Яу,0,0}.
Гамильтониан коммутирует с х и z компонентами оператора импульса, поэтому по
этим координатам решение представляет собой плоскую волну. Поиск волновой
функции в виде	приводит к уравнению для %
т(еН\2,	ч2
-— г-д> % =
2 \ тс )
2т су1
I 2т)

по форме совпадающим с уравнением Шредингера для гармонического осциллятора.
Соответственно, спектр определяется выражением
£ = ^1 + /—Ъ + 1/2).
2т	\тс)
Видно, что из всех компонент импульса энергия зависит только от рр, по рх уровни
вырождены, а ру вообще не является квантовым числом.
Квазиклассическим аналогом этих состояний являются электроны,
движущийся в магнитном поле по Ларморовской орбите (в плоскости XOY) и
совершающие поступательное движение вдоль оси z.
Вторичное квантование
Формализм волновых функций для систем многих частиц (и, в том числе,
квазичастиц) оказывается неудобным, так как страдает некоторой избыточностью.
Дело в том, что среди всех функций п переменных в качестве волновых функций
системы п могут выступать только имеющие определенную симметрию по
перестановкам (симметричные для бозонов и антисимметричные для фермионов). В
этой ситуации удобен формализм вторичного квантования (1, #64-65), который
10
автоматически учитывает правильную симметрию волновой функции по
перестановкам частиц.
Введем некоторую систему ортонормированных функций {(рДг)}. Состояние
системы можно охарактеризовать числами заполнения состояний \1>. Это описание в
математическом смысле является, очевидно, менее общим, чем описание посредством
волновой функции, так как теряется информация о том, какая частица в каком
состоянии находится. Однако, если частицы неразличимы, такая потеря общности
несущественна.
Можно определить операторы рождения и уничтожения частицы в состоянии
\i > - а* и а{. Эти операторы действуют не на функции координат (как обычные
операторы), а на числа заполнения п{ состояний \1>.
Для случая бозонов
>=
>= y/ni+l\ni+l>.
Для случая фермионов числа заполнения в каждом состоянии находится не более
одной частицы, и правила действия вторично-квантованных операторов следующие:
ГО, п{ = 0	+	Г|1г- >,п{ = О
‘ ‘	[|0г- >,п( = 1	‘ ‘	[0,п( = 1
Во обоих случаях оператор числа частиц в данной моде имеет вид
п{ = а*а{.
Как уже упоминалось, для аппарата вторичного квантования принципиальна
неразличимость частиц. Поэтому он пригоден для вычисления таких комбинаций
обычных операторов, в которых все частицы данного сорта участвуют "равноправно"
(впрочем, все встречающиеся на практике величины относятся именно к этому
классу). В частности, оператор взаимодействия со внешним полем U(R), который в
"обычных" операторах имеет вид Г7 (г^) (суммирование по всем частицам), для
вторично - квантованных операторов равен
^<i\U\j>a^aj.
Здесь суммирование происходит уже не по частицам, а по состояниям. Матричный
элемент <z|t/|/> вычисляется как в случае одночастичной задачи:
< i\U\j >= Jcp*(r)t7(r)cpy(r)6pr (вычисление матричного элемента "обычного"
оператора ^tZ(r^) потребовало бы N интегрирований по объему!).
Если частицы попарно взаимодействуют потенциалом Г7(гг-,гу-), этому соответствует
вторично-квантованный оператор
< i,i’\U\j,j’ >	.
Вычисление матричного элемента включает интегрирование по двум переменным - гг-
И Гр
11
Соответственно выбранному типу статистики, определяются правила коммутации
операторов:
axi* -а;+а> =8,7 - для бозонов
1 J 1 J lJ
ajaj+ +a(+aj =Ьу - для фермионов.
В принципе, для формулировки аппарата вторичного квантования можно
использовать любой базис. Операторы в двух базисах ос и Р связаны формулой
% =Z<>al'P >aJf> =Zj<P*„(r)4’aJf> 
j	j
Чаще всего используют две системы - набор плоских волн ср^ = е1рг и набор 8 -пиков
Фд =8(r-R). В последнем случае операторы обозначают буквой Т и говорят о них
как о Т -операторах. Формула для связи операторов в различных базисах для
случая Т -операторов имеет вид
W) =	
i
Оператор числа частиц в моде и(г) = Ч/+(г)Ч/(г) в данном случае является оператором
локальной плотности.
12
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
В этой и двух последующих лекциях рассмотрены некоторые элементарные
возбуждения, характерные для диэлектриков, прежде всего фононы. Эту фразу не
следует понимать в том смысле, что в полупроводниках и металлах таких
возбуждений нет - фононная ветвь присутствует в большинстве конденсированных
сред и в этом смысле является наиболее универсальным типом квазичастиц. Имеется
в виду, что присутствие свободных зарядов не является необходимым для
существования этих возбуждений.
Фононы
Фононы - кванты колебаний кристаллической решетки. Их классическим
аналогом являются звуковые волны. Время жизни фононов тем больше, чем меньше
решеточный ангармонизм. Количественно этот вопрос рассмотрен ниже, а пока будем
предполагать взаимодействие атомов точно квадратичным, и, соответственно, время
жизни фононов - бесконечным.
Длинноволновая часть фононного спектра может быть найдена из
макроскопической теории упругости, которая приводит к линейному закону
дисперсии в этой области: Е = Vp (Е - скорость звука в среде). Такой асимптотикой
обладает закон дисперсии фононов в одномерной цепочке. В трехмерном твердом
теле закон дисперсии фононов имеет несколько ветвей. Их количество и общие
свойства могут быть установлены, исходя из симметрии тела.
Уравнение движения для непрерывной среды [9, #22-23]
d^Xj _ dcik
Р dt2 дхк ’
где X - смещение данной точки, тензор напряжений линейно связан с
тензором
деформаций щт = —
l(dXj ! дХт
2 [дхт dxi
®ik = 4klmulm (закон Гука).
Подставляя X в виде плоской волны Xf =	получаем уравнение:
Отсюда видно:
со ~ к (закон дисперсии линеен)
pro2 является собственным значением, а А - собственным вектором матрицы
kikim^k^i- Эта матрица 3x3 имеет в общем случае 3 собственных значения.
Соответственно, существует 3 ветви закона дисперсии.
В случае изотропной среды тензор kikimkkki, имеет только две независимые
компоненты. Например, его можно представить в виде
^iklm^k^l =	+ к2к1кт I к2.
Соответственно, получается 2 ветви закона дисперсии - продольные и
поперечные фононы (вектор смещения, соответственно, параллелен или
13
перпендикулярен волновому вектору). Один из корней характеристического
многочлена, соответствующий поперечным фононам, двукратно вырожден - этому
корню соответствует 2 собственных вектора - две поляризации фонона.
По порядку величины, в атомной системе кМт равна 1 - чтобы сместить
относительно соседей на расстояние порядка постоянной решетки, необходимо
существенно деформировать его электронную структуру, то есть затратить энергию
порядка ридберга. Плотность р содержит большую (в атомных единицах) величину
,,, т,	тл ®
М/т. В результате для скорости звука получаем оценку v = — ~
и периодическими граничными
узлов
Введем куб квантования с ребром L
условиями. В этом случае вектор квазиимпульса лежит на одном из
7 271ЙА
дискретной сетки: р = ------
k L )
фононных мод равно числу степеней свободы 1?п материальных точек
концентрация), т.е. 31?п.
Объем фазового пространства, “занятого” фононами, равен Зи(2лЙ)3. Если в
каждой элементарной ячейке находится один атом, каждая из трех фононных ветвей
занимает одну зону Бриллюэна.
{k,l,m} (к,1,т - целые числа). Суммарное
число
(и
Вторичное квантование
Операторы рождения и уничтожения фонона и ар вводятся обычным
образом. Фононы являются бозонами, так что
+	+	_ С*
ci pd р' араpf о ррг •
Если рассматривать кристалл в качестве непрерывной среды и нормировать функции
базиса условием J||cp||2 d\ - 1, то выражение для Т-операторов имеет вид
ylL3
Если же оперировать с дискретной решеткой атомов, и использовать нормировку
^J|cp(xz)||2 = 1, получается
В обоих случаях Т-операторы ответственны, очевидно, за "уничтожение фонона в
точке х".
Похожим (но не таким же!) способом записывается оператор смещения
расположенного в точке х атома:
й = й£ ^ieieipx'h +
(еу - орт, определяющий направление и фазу смещения в моде j). Вывод этой
формулы содержится, например, в [2 #72]. Впрочем, очевидно, что поскольку речь
идет о сдвиге дискретных атомов, формула должна включать нормировочный
14
множителя N 1/2, а не£3/2. Далее, множитель
возможность обеспечить правильную размерность.
h/M&j
единственная
Теория Дебая
Изложенные выше представления лежат в основе теории Дебая (LL5, #66).
Истинный фононный спектр заменяется модельным Е = Vp (для простоты скорость
звука считается одинаковой для всех ветвей). Спектр обрывается в точке такой,
что число фононных степеней свободы соответствует числу атомов в кристалле:
4	7	3
-ЯД) =и(2лй) .
Величина TD = p^V I к (здесь к - постоянная Больцмана) называется дебаевской
температурой.
Оценка (в атомных единицах):
I	I
Из предыдущей формулы р0~1а.и.; далее, поскольку Иос1/-утИ, имеем F ~ J—F, (Vet -
V м е
масштаб скорости для электронов). Отсюда, беря величину 3 eV в качестве масштаба энергии для
электронов, получаем kTD ~	•10“3 x3cF = O.OleF-100А?.
dp =
получаем
Свободная энергия набора гармонических осцилляторов записывается в виде
.	( т \3 ДО
^ = ^У1п(1-е“й®“мг) = 3 -— 4лАТ f 1п(1-е
( т \3	/ кт\^ Т»1Т
= 3 -— 4пкТ\— f \n(\-e~:)p2dp- 9п1?кТ
(Длй)	J q
Вычисляя энергию Е = F-T— и теплоемкость С-—,
дТ	дТ
С = 3N(D(Td / Г) - D'(Td / Г) td/t),
3	-3d~
где D(x) = —7------функция Дебая.
х3
В асимптотике х —> О D(x) ~1 и при т » TD
j ln(l — е ~)p2dp
О
теплоемкость стремится к
постоянной величине. Физически это означает, что эффективно "работают" все 3N
степеней свободы, энергия каждой из которых пропорциональна температуре.
О
В асимптотике х—>00 Z>(x)~l/x . Соответственно, при т « TD оказывается
о
С'Т . Физически этот результат тоже очевиден - число задействованных степеней
свободы при линейном законе дисперсии (в трехмерной системе) растет
пропорционально кубу температуры.
Нужно отметить, что хотя для реального твердого тела закон дисперсии
фононов и не является линейным во всей зоне Бриллюэна, как это предполагается в
теории Дебая, обе асимптотики дебаевской формулы верны в общем случае. В случае
малых температур "работает" только начальный участок спектра, который всегда
является линейным. С другой стороны, высокотемпературная асимптотика
15
определяется только числом частиц в системе и на форму спектра вообще не
завязана.
Эффект Мессбауэра
Мы рассмотрим еще одно явление, связанное с квантовомеханическим
характером фононов - эффект Мессбауэра. Эффект проявляется в поглощении
(испускании) у-квантов ядрами атомов кристаллической решетки без отдачи. Ядро
одиночного атома из-за отдачи при испускании у -кванта приобретает некоторую
скорость, т.е. уносит энергию, и энергия испущенного у-кванта оказывается меньшей
по сравнению со случаем, когда ядро оставалось бы неподвижным. При поглощении
имеет место обратная ситуация - частота фонона с учетом отдачи должна быть выше.
Если же атом находится в кристаллической решетке, эффект отдачи проявляется в
том, что может быть возбуждена коллективная степень свободы - фонон. Сравним
интенсивность процессов, при которых возбуждается какой-нибудь фонон и не
возбуждается ни одного [12].
Вероятность поглощения у-кванта определяется (фактически, в соответствии с
золотым правилом Ферми) квадратом матричного элементы возмущения для
взаимодействия у -кванта с ядром:
W ос< 0|е'р*/й | К >2
р - импульс у-кванта, х - оператор координаты ядра, < 0| и \К> - исходное и
конечное кристалла. Если система находится при абсолютном нуле, < 0| - основное
состояние.
Вероятность перехода без возбуждения фонона
WQ ос<0|е^/й |0 >2,
с возбуждением -
^ос £< 0|е'р*/й \К >2
Для простоты предположим, что у-квант поглощается атомом, расположенным в
начале координат.
Поскольку
х =	(а}. + at) / jlfadj.MN,
имеем
= 1 + + a+j) +
Единица "отработает" при вычислении Др, второе слагаемое - при вычислении W\.
Получаем оценку:
j
Здесь rij - числа заполнения. При Т <<TD сумму можно грубо оценить как N, в
противоположном случае - как NTITD. Таким образом, эффект Мессбауэра
проявляется при низких (ниже дебаевской) температурах. При повышении
16
температуры числа заполнения возрастают, а вместе с ними - и Ир и сравнительная
вероятность поглощения без отдачи падает.
17
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ДЛЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ
Взаимодействие элементарных возбуждений приводит к конечным временам их
жизни, изменению спектра, а также к появлению новых типов квазичастиц. Как уже
говорилось, основным преимуществом использования языка элементарных
возбуждений является постулируемая "слабость" их взаимодействия. На
операциональном уровне это означает применимость той или иной формы теории
возмущений. Современные методы теории возмущений позволяют как вычислять
поправки конечных порядков, так и суммировать бесконечные суммы поправок.
Неидеальный фононный газ. Время жизни фонона
Рассмотрим трехмерный кристалл со слабым кубическим энгармонизмом
попарного взаимодействия атомов. Число атомов N, объем элементарной ячейки Q,
на одну ячейку приходится 1 атом. Функция Гамильтона имеет вид
2	1
i i,j*Q	i,j^
(Как и ранее, щ - смещение атома i , а хг- - его координата).
Определим время жизни фонона в главном порядке по величине нелинейности.
Введем фононные моды и проквантуем их, как мы делали раньше. Тогда первые два
члена этого выражения дадут гамильтониан идеального фононного газа
н0 = ХаРаРг(^’
Р
где 8(/>) = Й	- закон дисперсии.
V /
Запишем последний - кубический - член в терминах вторичного квантования.
Поскольку
Йг- =йУ (аре^/й
1	р р	р р		\	р
при раскрытии куба в гамильтониане остаются члены четырех сортов - содержащие
три оператора уничтожения, оператор рождения и два уничтожения, два оператора
рождения и один - уничтожения, и три оператора рождения.
Рассмотрим, например, члены с а+аа. Имеем
X ау а+Р] ар1 ар/^ +Р^ (1 _e~iPi)(1 -	)(1 -	) Й3/д/(2 W)38(A)8(ftW3)
гц’^О
Р\ ,Р2 ,РЗ
Здесь Rj = xi+j - xt - не зависящее от /расстояние между узлами /и i+j.
Просуммируем по i и по j. Координата хг- входит только в показатель экспоненты,
поэтому суммирование по i даст 8- символ:
N Е «(-РьР2,Рз)	+ /?2 + Рз) 7(23/)^8(а)8(/?2)8(/?3)
Р\-Р2-Р3
18
(здесь обозначено и(-р\,Р2,Рз,) =	1 |1-е^2^71 |1-е^3^7 )|). Число атомов
j
N появилось из-за суммирования по всем атомам в исходном гамильтониане.
Полученный результат выражает закон сохранения квазиимпульса - при рождении
частицы с квазиимпульсом р\ и уничтожении частиц с квазиимпульсами и р^
должно быть P\=Pz+P3- Закон сохранения квазиимпульса является следствием
пространственной периодичности кристалла, что в нашем случае проявляется в
зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух атомов только от
расстояния между ними.
Рассмотрим начальное состояние системы, в котором возбужден один
длинноволновый акустический фонон с квазиимпульсом р^, и найдем скорость
перехода этого состояния в другие. Согласно золотому правилу Ферми, скорость
перехода под действием возмущения W из состояния А в состояние В в главном
порядке определяется выражением
» = ^|<Ж|В>|28(е^-еЛ).
п
Золотое правило Ферми выражает закон сохранения энергии при переходах.
В нашем случае в качестве возмущения следует рассматривать ангармонический
член в гамильтониане. Легко понять, что при рассматриваемом виде возмущения
законы сохранения энергии и квазиимпульса выполняются, только если в конечном
состоянии будет два фонона, т.е. "сработает" член вида а+а+а.
Для дальнейшего анализа следует конкретизировать закон дисперсии. Вблизи
центра зоны Бриллюэна подкоренное выражение в формуле
s(/?) = /z	может быть разложено по степеням д>2 (нечетные степени
V /
отсутствуют, поскольку Ui=U_i). Соответственно, s(/>) раскладывается по нечетным
степеням. Удержим первые 2 члена:
г{р) = Ур + ^р3
Аналогично, в этой области можно разложить и ос(— Нас будет
интересовать случай (почти) коллинеарных импульсов, для которого мы удержим
главный член в разложении:
а(Д1>Р2>Дз) = alAl IA211Аз1
Предположим, что распад идет на два фонона с квазиимпульсами, близкими к р\!2-.
р2=Р1/2 + р', р3=р!/2-р', р'«рх!2
(учтен закон сохранения квазиимпульса).
Разложим энергии фононов с импульсами д>2 и Ръ п0 малому параметру р' I р± с
точностью до членов /У2.
Тогда интегральная скорость распада фонона равна
Wtotal = АДГ 11<;Д~^1^1Р1 >l|2245(-|^l3 +2sin2e vp’21Рх)р’2 smQdp’dQ
2 п (2лй)	2 2	4
19
(a „ №
(0-угол, отсчитываемый от направления на д, множитель --------у появился при
(2лЙ)
переходе от суммирования к интегрированию, множитель 1/2 учитывает
тождественность рождающихся фононов).
Видно, что распад возможен (у аргумента 8 -функции есть нули) только при
Вычислим интеграл.
Js(-~^’i3 +2sin2 0 vp'2 IPi)p'2 sinQdp'dQ =
dQ
sin2 0
О
Расходимость можно устранить, заметив, что аргумент 8 -функции обращается в О
при р' = ^3£р\ / 8 И sin2 0. Поскольку выписанные формулы работают при р'«р\,
должно быть sin0 » ^рг^/У. Оборвем интегрирование при sin0 = С-^р-^^/У , где
С - численный фактор.
В этом случае интеграл и матричный элемент вычисляются просто и мы получаем
(вновь с точностью до численного множителя)
Скорость распада фонона мала по сравнению с его энергией (малые по постановке
задачи величины ос и р^ стоят в числителе). При удалении от центра зоны
Бриллюэна скорость распада растет как высокая (в рассмотренной модели - пятая)
степень р^.
Величина S, в ответ не вошла. Однако, поскольку распад возможен только при ^>0,
правильно было бы домножить результат на функцию Хевисайда 0(^).
Замечание. Рассмотренный распад фонона имеет близкий нелинейно-оптический аналог -
спонтанное параметрическое рассеяние света в среде с квадратичной нелинейностью.
Диаграммные техники. Т-оператор. Определение функции Грина.
При описании распада фонона мы использовали первый порядок теории
возмущений. Это предполагало малость взаимодействия (энгармонизма решетки).
Если взаимодействие между (квази-)частицами является сильным, оно не может быть
учтено в рамках теории возмущений конечного порядка. В теоретической физике
существуют схемы, позволяющие суммировать поправки теории возмущений
определенного типа во всех порядках-, часть этих схем объединяют под общим
названием диаграммных техник. Диаграммные техники могут также быть полезны
и при вычислении в конечном порядке теории возмущений, поскольку позволяют
легко выписать все необходимые члены и наглядно представить их.
Ниже схематично изложены идеи диаграммной техники для Бозе-систем при
нулевой температуре.
20
G(n,t\,r2,t'i) = ~i <	(r2,to)
Основной объект, с которым оперирует этот формализм, носит название
функции Грина. Для системы бозонов функция Грина	определяется
через Т-операторы в представлении Гейзенберга:
h >h
h<G
В этой формуле Т - оператор временного упорядочения, "расставляющий" следующие
за ним (зависящие от времени) Т-операторы в порядке возрастания временных
аргументов слева направо. Треугольные скобки символизируют усреднение по
основному состоянию.
В однородной в пространстве и времени системе
G(r1,/1,r2,/2) = G(r1 -r2,T -Z2) = G(r,Z).
В этом случае можно ввести фурье-образ функции Грина - функцию Грина в
импульсном представлении G(^,<d).
Замечание. В физике твердого тела и теории поля определение функции Грина отличается от
принятого в математике - обсуждаемая функция является решением неоднородного линейного
уравнения с точечным источником только для случая идеального бозе-газа. Однако, как видно из
определения, сохраняется физический смысл функции Грина как реакции системы (в нашем случае
уже нелинейной) на точечное воздействие.
Функция Грина идеального Бозе-газа
Для газа невзаимодействующих бозонов функция Грина легко вычисляется в явном
виде. При нулевой температуре все числа заполнения равны нулю, поэтому
<4z+(r2,f2)4z(r1,f1) >= 0;
< >=
к
(чтобы получить последнее выражение, нужно представить Т-операторы через
операторы а, уничтожающие частицу в состоянии с определенным импульсом, и
воспользоваться тем, что при нулевой температуре <	>-^>к	Ъ
Фурье-преобразование приводит к выражению:
goCp>®) =----7Z1------
о)-п sp+i0
Замечание. Если в системе есть взаимодействие, основное состояние отлично от основного
состояния идеального бозе-газа, и в общем случае Т|0 >Ф о - существенны обе части
определения G .
Функция Грина и энергетический спектр
На примере последнего выражения видна связь спектра элементарных
возбуждений в системе и ее функции Грина. Именно, "одночастичные" элементарные
возбуждения соответствуют полюсам G(^,<d). Из наглядных соображений можно
21
понять, что это утверждение имеет место и в общем случае - резонансный отклик
системы на внешнее воздействие (то есть, полюс функции Грина) соответствует
возбуждению какой-либо из мод системы.
В общем случае, оказывается, что вблизи полюса G(j9,<d) имеет вид
A	Z-
G(p,&)=	г----—,
(О+(Й 8^-zO)
где фактор Z± - вычет в данной точке. Для идеального бозе-газа Z+ =1, Z_ =0.
Правило обхода полюсов обусловлено, как можно проверить, наличием знака
временного упорядочения в определении функции Грина. В частности, для
идеального бозе-газа первым должен "срабатывать" оператор рождения, поэтому от
всего выражения для функции Грина остается только часть, соответствующая Z+ -
мнимая добавка должна обеспечивать сходимость при t[ <х>, что и соответствует
положительной бесконечно малой добавке к со.
Замечание. Говоря о связи спектра элементарных возбуждений и функции Грина, надо
подчеркнуть, что не всем элементарным возбуждениям соответствуют полюса функции Грина.
Например, двухчастичные элементарные возбуждения таким образом не описываются, они
соответствуют сингулярностям в выражениях, содержащих под знаком усреднения большее
число операторов (в частности, важную роль играет вершинная функция).
Теория возмущений для функции Грина.
Как уже было сказано, идея диаграммных техник состоит в построении схемы,
позволяющей учитывать взаимодействие частиц, суммируя члены теории возмущений
высоких порядков.
Рассмотрим систему взаимодействующих частиц, гамильтониан которой
состоит из 2-х частей - гамильтониана свободного движения Яо и гамильтониана
взаимодействия W:
H = HQ+W.
Для того, чтобы интегралы в получаемых выражениях сходились, следует
рассматривать взаимодействие, адиабатически медленно включаемое при t = -<x> и
выключаемое при г = +оо.
Введем представление взаимодействия, в котором временная зависимость
операторов определяется только оператором Яо; операторы и волновые функции в
этом представлении будем снабжать индексом "О".
Связь между представлением взаимодействия и представлением Гейзенберга
устанавливается некоторым (зависящим от времени) унитарным оператором S(t):
Ф0(О = Ж)Ф
T(o=s_1m(W)-
Гейзенберговские операторы и операторы в представлении взаимодействия,
относящиеся к разным моментам времени, вообще говоря, не коммутируют, даже
если коммутируют соответствующие Шредингеровские операторы.
22
Рассмотрим бесконечно малое приращение времени 5/. Из уравнения Шредингера
д
i—Фо(/) = ^о(0фо(0 следует, что Ф0(/ + 5/) = (1-/5/^(/))Ф0(/), т.е.
dt
SQ (/ + 5/) = (1 - i 8tW0 (t ))SQ (Z).
Разбивая всю ось времени на бесконечно малые интервалы, получаем
S(t) = 7П(1-/(б- -6-l)Wz)) = Texp(-i\wQ(t)dt).
—00
Знак Т расставляет (некоммутирующие!) сомножители в "правильном" порядке.
Обычно вводят зависящий от двух аргументов оператор
Ч
S{h,t2) = T exp(-z J Ио(Об?0.
t\
Теперь функция Грина может быть записана в виде
G(rbri,r2,r2) = ~i <	>=
= -i < TS-\-^(S{tb^(rbtx,t2)S(.-co,t2)) >
(использовано достаточно очевидное свойство 5(^,^2) = <S'(fi,f,)<S'(f',f2), которое легко
вывести из определения S).
Аргументы операторов в больших круглых скобках в последнем выражении
хронологически упорядочены, поэтому его можно переписать в следующем виде:
(	°0	Л
G(rl,tl,r2,t2) = ~i <S(-^,co) lT 4z(r1,r1)4z+(r2,r2)exp(-z fW0(t)dt)
\	-00	J
Действительно, оператор Т выделит из экспоненты "нужные" части и расставит их и
4х - операторы в необходимом порядке.
Оператор 5-1(-оо,оо), действуя на невырожденное основное состояние, может
только изменить его фазу, т.к. 1F(±m) = 0. Поэтому
(	00
<т Ч/(г1Д1)Ч/+(г2Д2)ехр(Ч J^o(O^) >,
\	-да	7
G(r1,r1,r2,r2) = -zS’ 1
- фазовый множитель.
Теперь можно развить теорию возмущений по степеням W, раскладывая
экспоненту в ряд. Так, с точностью до 1-го порядка
(	00
\	-00	7
G(r1,r1,r2,r2) = -zS’ 1
Рассмотрим для простоты точечное взаимодействие квазичастиц. В этом
случае при парном точечном взаимодействии
W = uf dr Т+ (r)4z+ (r)T(r)T(r).
Для рассмотренной ранее среды с кубической нелинейностью оператор
взаимодействия содержит члены вида 4z+4z+4z и Ч/+ЧАР; если это взаимодействие
можно считать точечным, оператор взаимодействия имеет вид
W = ufdr 4z+(r)4z+(r)4z(r) + C7* jdr Т+(r)T(r)T(r)
23
Мы видим, что необходимо усреднять выражения, содержащие
(проинтегрированные по пространственным и временным координатам) произведения
Т - операторов.
Теорема Вика. Понятие о диаграммных техниках.
Теорема Вика гласит, что среднее по основному состоянию от произведения
четного числа Т - операторов для бозонов равно сумме всех возможных средних от
попарных произведений этих операторов.
Например,
< Т2 Ч'з+Ч'д* >=<	Т3+ >< Т2 1Р4+ > + <	>< 4*2 Т3+ >.
Таким образом, каждый член теории возмущений - интеграл произведения
нескольких функций Грина и множителей iU.
Эти члены можно схематически изобразить диаграммами, на которых функция
Грина изображается сплошной стрелкой, a iU - точкой. В каждой точке сходятся
четыре линии в случае парного взаимодействия квазичастиц или три - для
кубической нелинейности.
Например, выписанной выше формуле для первого порядка теории возмущений
можно сопоставить диаграммы
а рассмш^эенн^^распаду фонона на два - диаграмму
От x,t - представления удобно преобразованием Фурье перейти к р,о. В этом
представлении просто формулируются законы сохранения - суммы энергий и
квазиимпульсов для входящих и исходящих линий в каждом узле должны быть
равны.
Оказывается, что коэффициенты при диаграммах в обсуждаемых выражениях
устроены таким образом, что каждому "куску" составной диаграммы соответствует
одно и то же аналитическое выражение, независимо от того, в какую диаграмму он
входит. Это позволяет, находя значение стандартных "блоков", использовать его при
вычислении более сложных диаграмм.
Замечание. Если взаимодействие квазичастиц не является локальным, вместо точки U на
диаграммах появляются линии U(r — г'). В этом случае, например, в первом порядке теории
возмущений появляются диаграммы
О
24
Таким образом, членам ряда теории возмущений для функции Грина оказывается
возможным сопоставить (взаимно-однозначным образом) простые геометрические
фигуры - диаграммы. Функция Грина систем многих частиц важна при описании их
свойств, поскольку полюса функции Грина определяют спектр элементарных
возбужждений в системе. Вид (топология) описывающих тот или иной процесс
диаграмм часто делает физическую картину более наглядной.
Начиная с данной лекции, мы переходим к элементарным возбуждениям, для
которых существенно с участие электронов твердого тела. Такие элементарные
возбуждения существуют в металлах и полупроводниках. Мы начинаем со случая
полупроводников, который в некотором смысле является более простым.
25
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СВЯЗАННЫМИ ЗАРЯДАМИ
Фононные поляритоны
В полярных диэлектриках и полупроводниках, решетка которых состоит из
(как минимум) двух сортов атомов, фононный спектр имеет (как минимум) 2 ветви.
Низколежащая ветвь называется акустической, другая - оптической. Последнее
название связано с тем, что эти моды являются дипольно-активными, т.е.
возбуждение соответсвующего этой ветви фонона даже в центре зоны Бриллюэна
приводит к возникновению поляризации (разумеется, осиллирующей с частотой
фонона).
В этом случае для определения
динамики решетки надо учитывать ее
взаимодействие с электромагнитным
полем. Иными словами, дипольно-
активные фононы взаимодействуют с
фотонами, распространяющимися в
кристалле. В результате возникает
новое элементарное возбуждение,
представляющее собой смесь фотона с
оптическим фононом - фононный
поляритон [10, стр. 248].
Получим вначале формулу для
закона дисперсии диэлектрической
восприимчивости %(к,со). Рассматри-
вая фононную моду с квазиимпульсом
р как гармонический осциллятор с
массой М и собственной частотой
&р, раскачиваемый внешней силой EQpe~l(S>t, где Е - внешнее поле, a -
•—•“• О~3 •"* О"О
w~yC) **30	**30 **ЭО
Вверху: акустический фонон с р = 0 в
одномерной двухатомной цепочке. На
микроскопических масштабах цепочка
смещается как целое, т.е. смещения
атомов не приводят к возникновению
поляризации.
Внизу: то же, но для оптического
фонона. В каждой паре атомов меняется
дипольный момент, что означает наличие
поляризации.
эффективный заряд для данной моды, получаем формулу
X(k,co) = Хоо +
1 Ом
п М(ш2№-ш2)
(произведена нормировка на объем элементарной ячейки Q - в этом случае Qp
по
порядку величины равен элементарному заряду; точное выражение для этой
величины можно найти в [Ю]). В последней формуле Хоо ' вклад высокочастотной
(электронной) части восприимчивости. Будем считать со^ при малых hk не
зависящей от квазиимпульса константой го0 (для оптических фононов со0^0!)
Переходя к е и выражая
Qhk
QM
через значение диэлектрической проницаемости при
со = 0 е0, получаем
26
, (5) - ^)<0р
(а>0-а> )
При малых р дисперсией и (и,
соответственно, е0 и еда) можно пренебречь,
и закон дисперсии поляритонов,
определяемый формулой к-оу[ё/с, имеет
изображенный на рисунке вид:
При больших к (а именно, когда длина
волны поляритона сравнима с периодом
решетки) нижняя ветвь закона дисперсии
отклоняется от горизонтальной асимптоты
из-за дисперсии Q^, (» р и
Поляроны
Поляроны - квазичастицы, появляющиеся в ионных кристаллах за счет
электрон-фононного взаимодействия [4 Гл. 17 # 4]. Рассмотрим электрон,
внедренный в кристаллическую решетку, состоящую из заряженных ионов.
Пренебрежем вначале квантовой неопределенностью координаты электрона и будем
считать его точечным зарядом. Этот заряд вызывает появление поляризации.
Соответственно, возникает потенциальная яма для движения электрона. Поскольку
характерные времена для движения ядер много больше электронных, яму с точки
зрения электрона можно считать неподвижной (фактически, это адиабатическое
приближение).
Оценка Борновского параметра для ямы дает В ~ 1 (внедренный в решетку
единичный заряд действует на ион с силой порядка атомной, и вызывает смещение,
сравнимое с постоянной решетки). Если численные значения описывающих кристалл
констант таковы, что в яме существуют уровни, мы имеем дело с автолокализацией
электрона - электрон оказывается заперт в яме, созданной его же полем.
Замечание. Изложенные соображения справедливы, только если яма получается достаточно
глубокая, чтобы электрон на ее основном уровне можно было считать точечным. В противном
случае следовало бы задаваться некоторым распределением электронной плотности, находить
форму потенциальной ямы, волновую функцию основного состояния в ней и приравнивать
получившееся распределение плотности заряда исходному, т.е. решать самосогласованную задачу.
Различают два вида поляронов - поляроны большого радиуса (multisite) и
малого радиуса (singlesite). В последних электрон локализован на одном атоме и речь
фактически идет о внедренном в решетку ионе. Представление об
автолокализованном электроне соответствует, скорее, полярону большого радиуса.
Обсудим качественно, что происходит при наложении на полярон большого
радиуса внешнего поля U = Eez. Поле за счет туннелирования может "вырвать"
электрон из его ямы (см. рис.),
27
после чего электрон автолокализуется на новом месте. Таким образом, электрон
движется "прыжками". При достаточно большом приложенном поле поляроны
перестают существовать - электрон уходит с нового места до того, как образовалась
новая яма.
28
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Электроны и дырки
В полупроводниках основными типами элементарных возбуждений
электронной подсистемы являются электроны и дырки. Эти квазичастицы являются
носителями заряда (часто говорят просто - носители, carriers). Физически
квазичастица под названием "электрон" в полупроводнике действительно
представляет собой одиночный электрон в зоне проводимости, движущийся в
периодическом потенциале решетки, а "дырка" - вакансию в валентной зоне (в случае
металлов квазичастица "электрон" - более сложное образование). Иными словами,
эти элементарные возбуждения являются в некотором смысле тривиальными -
одночастичными. Такая природа квазичастиц в полупроводниках связана с тем, что с
одной стороны (в отличие от металлов) возбужденные состояния в них отделены от
основного энергетической щелью ~ 0.1 -i-1 эВ, поэтому концентрация носителей мала
по сравнению с концентрацией атомов, а с другой стороны (в отличие от
диэлектриков), эта щель не чрезмерно велика по сравнению с кТ, а волновые
функции соседних атомов существенно перекрываются, что позволяет носителям
свободно "путешествовать" по решетке.
Электрон (дырка) характеризуются квазиимпульсом р и энергией,
определяемой законом дисперсии е(р). Вблизи особых точек зоны Бриллюэна
Зе / др = 0 и е(/9 ® pQ) = е0 + (w-1)^(P - Po)t(P ~ Po)j / 2 (положение особых точек
определяется симметрией системы, как правило, это края центр и края зоны
Бриллюэна). (/п-1/^ - тензор, обратный тензору эффективной массы А-ой ветви
закона дисперсии. Если в данной критической точке закон дисперсии вырожден,
говорят о тяжелых и легких носителях.
Соответственно знакам компонент эффективной массы, в особых точках
реализуется особенность типа "локальный минимум", "локальный максимум" или
"седло". Если нижний минимум валентной зоны и верхний максимум зоны
проводимости имеют место в одной и той же точке зоны Бриллюэна, полупроводник
называют прямозонным (GaAs и другие АшВу), в противном случае
непрямозонным (Si, Ge). Вопрос о прямозонности-непрямозонности полупроводника
существенен для кинетики генерации/релаксации носителей с участием фотонов.
Электроны и дырки являются фермионами, их функция распределения -
ферми-функция. Концентрацию электронов (дырок) можно найти, проинтегрировав
эту функцию по области зоны Бриллюэна вблизи дна зоны проводимости (потолка
зоны Бриллюэна) [4, гл5 #4 - 7]. Рассмотрим для простоты случай изотропного
вблизи дна зоны закона дисперсии
8 = 8е +р2 / 2те.
Тогда
2
пе = J ftp) d3p = 2 (2л7г)-3 J (1 + e(-^+sc+P 12т)1кГу1 d3p
29
Здесь введена функция распределения f, определяющая концентрацию частиц в 6-
мерном пространстве координата-импульс; ц - уровень Ферми, а величину ц-8е-
называют химическим потенциалом для электронов (определение расходится со
статфизическим, где уровень Ферми - химический потенциал при Т = 0).
Переходя к сферическим координатам и делая замену переменных, эту формулу
можно привести к виду
/Л	п 00	Л	\3/2
пе =	ф(т) = ~j=\4x(l + ехр(х - т))-1б/х, Ne = 2 2пте 7
V кТ )	-у/д 0	(2лй) ,
Чтобы получить формулы для концентрации дырок с законом дисперсии
8 = 8Й -р1 Hmh, здесь нужно заменить ц-8е на химический потенциал для дырок
8Й - Ц и те на .
Если закон дисперсии анизотропен, выписанные формулы сохраняют свой вид.
Действительно, тензор 2-го ранга эффективной массы всегда может быть приведен к
главным осям, т.е. существует система координат, в которой s = se + pj I2mt. Делая
теперь замену переменных p'j = pj I Jny , мы выносим все массы за знак интеграла.
После этого, все выкладки проводятся так же, только вместо те в ответе стоит
Z	Д/3
масса плотности состоянии mDOS = (mxmymz)
Если числа заполнения уровней малы (то есть р-гс»кТ', &^-р»кТ),
полупроводник называется невырожденным. В этом случае, как можно проверить,
пепр = NcNve~(Sv~Sc)/kT
то есть произведение концентраций электронов и дырок не зависит от положения
уровня Ферми.
Сами концентрации носителей сильно (экспоненциально) зависят от
положения уровня Ферми. Последнее определяется из условия электронейтральности
полупроводника. Наличие заряженных атомов примеси в допированном
полупроводнике, следовательно, меняет положение уровня Ферми и концентрации
носителей.
Если к полупроводнику приложено внешнее постоянное электрическое поле,
концентрации начинают зависеть от координаты. При этом в не слишком сильных
полях написанные формулы сохраняют силу, только вместо ц надо подставить
электростатический потенциал в данной точке.
Оптическое поглощение вблизи края полосы поглощения
[4, Гл. 18 # 5-9]
Поглощение электромагнитного излучения видимого и ближних ПК и УФ
диапазонов в полупроводниках происходит за счет возбуждения носителей
(образования электронно-дырочных пар). Если пренебречь возбуждением экситонов
и нелинейно-оптическими эффектами, такое поглощение возможно, только если
30
энергия поглощаемого фотона больше ширины запрещенной зоны. Представляет
интерес зависимость поглощения от частоты света при энергиях фотонов, немного
больших ширины зоны.
Рассмотрим сначала прямые переходы, для определенности происходящие в центре
зоны.
Прежде всего, поскольку импульс (волновое число) фотона мал по сравнению с
электронным, можно считать, что переход электрона в валентную зону происходит
без изменения импульса. Далее вычисление производится, исходя из золотого
правила Ферми:
у ~ |б(£(р)-Йсо)|<нр|£|ср >|2d3/9,
где <v|£|c> - матричный элемент для перехода между валентной зоной и зоной
проводимости. Если поле считать однородным, это - матричный элемент дипольного
момента. Если последний не равен нулю для переходов с р = 0, т.е. переход
разрешен в дипольном приближении, получаем
у ~ j5(sg + р1 / 2те + р1 / 2mh - h&^d3 р ~ ^Й« - Eg
Если же симметрия системы такова, что в центре зоны переходы запрещены, надо
учесть зависимость матричного элемента от квазиимпульса. Если такая зависимость
начинается с линейного члена, для прямых запрещенных переходов получается
у ~ j/?25(sg + р1 / 2те + р1 / 2mh - Й<э)йРр ~ ^(Й® - ДД3
Рассмотрим теперь разрешенные непрямые переходы.
При непрямом переходе возбуждается акустический фонон, уносящий квазиимпульс.
Поскольку квазиимульс электрона сохраняться уже не должен, надо интегрировать
по всем начальным и конечным состояниям
у ~ J (||< с,п + 1|£|У,И >||2 5(sg + Ph / 2mh + р2 / 2те + phon - Й®) +
+||< c,n\E\v,n +1 >||2 5(sg + рь !2mh+ре2 !2me-h&phon-h&)d3ped3ph
Первое из подынтегральных слагаемых отвечает процессам с рождением фонона,
второе - с уничтожением. Квазиимпульс (и энергия) фонона определяется из закона
сохранения суммарного квазиимпульса.
Далее, матричные элементы, очевидно, оказываются не равными нулю только
при учете электрон-фононного взаимодействия. Действительно, в противном случае
волновая функция системы распадается на независимые "электронную" и "фононную
части", и получается < с,п\E\v,n + 1 >=< с|E\v >< п\п + 1 >= 0. Как будет показано в
дальнейшем, оператор электрон-фононного взаимодействия содержит малый параметр
адиабатического приближения yjml М. Поскольку в выражении для у стоят
квадраты матричных элементов, у ~ yjml М.
Значения матричных элементов зависят от чисел заполнения, т.е. от
температуры. В простейшем случае Т=0, пренебрегая энергией фонона, находим
у ~ yjm/ М(Й® - 8„)2.
о
31
Таким образом, при Й® - sg«sg поглощение наибольшее в случае прямых
разрешенных переходов, меньше - для прямых запрещенных, и еще меньше - для
непрямых.
Структура зоны Бриллюэна некоторых полупроводников
Кремний (Si):
Непрямозонный полупроводник с решеткой типа алмаза; ширина запрещенной зоны
1.12 эВ (при комнатной температуре).
Эффективные массы:
Электроны
Зона проводимости имеет восемь эквивалентных минимумов в направлениях
(111),(11-1), ...(-1-1-1); вблизи минимума эквипотенциальные поверхности имеют вид
эллипсоидов вращения. Плоский аналог этой структуры показан на рисунке
О
Эффективная масса - тензор, в главных осях имеющий вид
0	0 i
О /?7± О
ч 0	0	т_|_ ?
= 0.19
= 0.91.
Дырки
Потолок валентной зоны - в центре зоны Бриллюэна. В этой точке касаются две
валентные зоны. Соответственно, есть два сорта дырок - тяжелые (mhh = 0.50) и легкие
(mlh =0.17)
Наименьшая энергия прямых переходов 3.4 эВ - в центре зоны Бриллюэна. Однако
плотность состояний вблизи этой точки сравнительно мала, и в оптические свойства
основной вклад дают переходы в Л-точке, также начинающиеся при 3.4 эВ. Ниже
приведены разрезы зоны Бриллюэна и график для показателя преломления в
оптическом диапазоне, заимствованные из [11] (слева - зона Бриллюэна германия,
справа -кремния).
32
MW л-явд Л2гХ1,ии
I'ИЛ 1.1 ?. Вн.1 11:4 ,  г I. г? г 1 WK К HI MltpRHXTlFl U J|<4h*IH
11ШС... .... l| ...................  .|.....pi  i npq..., »».>. .....JR. .1:
ia i ma-7r:-3-:ii lia. i h* i .ипвЫн 11 Fix eiu ibi-ci . iU| ir. । лг чь л л. -J'i
WlJJUabni С в в iipaBriai ib.i.ib|.ib ыгцьв-i-. вгв и 1ва|гиЧР J. ‘l-.HI Гр"Л
n'duai-i  < iij цг^г.—р-|г..--;чг г г г? чг-тп ачгз1:- гГ-: с-.*> □ г.ч и : jhriiwi imi
излучения.
Зависимость показателя преломления
кремния от энергии фотона оптического

Германий (Ge):
Качественно зона схожа с зоной кремния. Основное различие - меньшая ширина
запрещенной зоны (0.67 эВ при комнатной температуре) и энергия прямых переходов
в центре зоны Бриллюэна (около 3 эВ).
Эффективные массы
т± = 0.0815
Отц = 1.59
mhh = 0.30
mlh = 0.044.
Арсенид галлия (GaAs)
Типичный полупроводник семейства АщВу. Решетка типа цинковой обманки
(сфалерита). Эта решетка нецентросимметрична. Прямозонный, ширина зоны 1.43
эВ. Допирование алюминием (AlGaAs) позволяет варьировать ширину зоны в сторону
увеличения (для AlAs она равна 2.2 эВ). При этом, параметры решетки практически
не меняются, что позволяет выращивать эпитаксиальные наноструктуры,
кристаллическая структура которых не испытывает разрыва при переходе между
слоями.
33
Эффективные массы
Электроны
те = 0.067
Дырки
тш = °-5
= 0.12
Сульфид цинка (ZnS)
Представитель семейства АцВуи Основная модификация - решетка типа цинковой
обманки (есть модификация со структурой вьюрцита). Непрямозонный. Ширина зоны
- 3.6 эВ.
Эффективные массы
Электроны
т = 0.35
Дырки
/Иц = 1.4
т± = 0.5
Экситоны
[4 Гл. 17 # 7]
Кулоновское взаимодействие между носителями в полупроводниках приводит к
существованию связанных состояний - экситонов. Это - новый тип квазичастиц.
Экситонный спектр отличается от электронно-дырочного (как правило, лежит в
запрещенной зоне). Экситоны имеют целый спин (0 или 1, в зависимости от
взаимной ориентации спинов электона и дырки), поэтому экситоны являются
бозонами.
Экситон характеризуется квазиимпульсом, который определяется как импульс
центра масс. Различают экситоны малого (сравнимого с периодом решетки) радиуса
(экситоны Френкеля) и большого (экситоны Ванье-Мотта). Время жизни экситона
конечно из-за возможности рекомбинации. Задача о связанном состоянии электрона
и дырки в случае большого радиуса экситона и изотропных эффективных масс
полностью аналогична задаче об атоме водорода. Следует только заменить е2 на
е2/ е, а т0 - на приведенную массу электрона и дырки. Отсюда для экситонов Ванье-
Мотта с нулевым квазиимпульсом энергия связи равна гехс =те^ /2 е2 Й2и2,
радиус
*2 2/	2
гехс ~еп п /те
(п - главное квантовое число).
При характерных для семейства АщВу значениях s ~ 10 и т ~0.1 энергия связи
составляет около 10'2 эВ.
34
Закон дисперсии экситонов определяется законом дисперсии носителей
s^=eg-e^ + Р2 /2(me+mh)
Можно грубо оценить время жизни уединенного экситона Ванье-Мотта.
Согласно золотому правилу Ферми
2 л	Г~3 3
т-1 ~ I < 0|c75(re - гА)|ехс >|2
h	с
Здесь матричный элемент берется между невозбужденным состоянием и состоянием
с наличием экситона. Множитель а\Ъ означает, что для аннигиляции электрон и
дырка должны оказаться в одной элементарной ячейке. Тогда (это можно проверить
по размерности) |<0|<75(ге-гй)|ехс>|2 и получается
1 . me2 Vso3
т	~с^'
что дает т ~ 10“10 сек. Это соответствует экспериментально наблюдаемым временам
жизни экситонов.
Экситоны наблюдаемы, если на расстояниях порядка экситонного радиуса не
происходит экранировки, т.е. если концентрация экситонов много меньше обратного
объема экситона.
Экситоны проявляют себя в оптических явлениях, поскольку (качественно)
при поглощении/излучении фотона носители рождаются/рекомбинируют парами в
одной точке. Соответственно, в спектрах (прямозонных) полупроводников вблизи
края поглощения видны экситонные линии.
Экситонные капли
Если при малой (гелиевой) температуре оптическим образом возбудить в кристалле
экситонный газ достаточно высокой концентрации, в результате Ван-дер-
Ваальсовского межэкситонного притяжения экситоны могут собираться в капли, т.е.
экситонная жидкость может претерпевать фазовый переход. Размер капель может
составлять десятые доли миллиметра.
Экситонные поляритоны
При оценке времени жизни экситона неявно предполагалось, что экситон-
фотонное взаимодействие является слабым. Именно такое предположение позволяет
использовать золотое правило Ферми.
При учете конечности величины экситон-фотонного взаимодействия,
возникают новые квазичастицы, являющиеся "смесью" экситона и фотона. Эти
квазичастицы играют существенную роль в прямозонных полупроводниках, в
частности, при описании распространения света. Вблизи точки пересечения
дисперсионных кривых экситонов и фотонов возникает смешанное состояние,
которое и называется экситонным поляритоном.
35
Закон дисперсии экситонных поляритонов можно получить по аналогии с
законом дисперсии фононных поляритонов. Действительно, в том и в другом случае
речь идет о дипольном взаимодействии фотонов с квазичастицами, которые
подчиняются статистике Бозе. Поэтому и в рассматриваемом случае закон дисперсии
определяется дисперсией диэлектрической проницаемости. Основное различие
состоит в более сильной дисперсии экситонов, чем фононов (сравните формулы для
законов дисперсии - в них входят “электронная” масса для экситонов и масса ядра -
для фононов). При учете этого обстоятельства получается формула
G = G , _______(ео ~ ^>0_________
" ((®0+7?2/2(те+mA))2-со2)'
Разность (ед - ею) теперь определяется квадратом дипольного момента
|<O|t78(re -гй)|ехс>|2 и по порядку величины составляет d$/rexc.
Фоноритоны
Эти квазичастицы возникают аналогично экситонным поляритонам, но в результате
экситон-фононного взаимодействия. Подробнее них можно прочитать в оригинальных
статьях
А.Л. Иванов, Л.В. Келдыш ДАН 264 1363 (1982),
А.Л. Иванов, Л.В. Келдыш ЖЭТФ 84 404 (1983)
36
ВЫРОЖДЕННАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
Под вырожденной Ферми-жидкостью понимается Ферми-жидкость, для
которой sF » кТ. Из реальных систем, удовлетворяющих этому условию, наиболее
известными являются жидкий Не3 и (с некоторыми оговорками) жидкость электронов
в металлах.
В этой лекции мы рассмотрим свойства вырожденной Ферми-жидкости, не
связанные с дальнодействующим кулоновским взаимодействием электронов.
Связанные с кулоновским взаимодействием эффекты рассмотрены в следующей
лекции.
Вырожденный ферми-газ.
Вначале рассмотрим простейший случай, когда взаимодействие отсутствует вовсе.
Вырожденный невзаимодействующий Ферми-газ - основа теории Зоммерфельда,
простейшей теории металла.
Параболический закон дисперсии
Пусть вначале частицы движутся в свободном пространстве. В этом случае
каждое состояние характеризуется импульсом. При Т = 0 все состояния с импульсом
меньше импульса Ферми рр = д/Зрл2Й3 заняты, а остальные - свободны.
При ненулевой температуре внутри ферми-сферы образуются незанятые состояния, а
вне ее - дополнительные частицы. Суммарное количество частиц в системе
постоянно.
Возможно два эквивалентных способа описания элементарных возбуждений в такой
системе. При первом способе квазичастицы совпадают с истинными частицами, а
гамильтониан системы имеет вид
2
и X Pj +
Я1 = L — ai ai >
Im
где суммирование проводится по всем состояниям. Основное состояние системы
соответствует полностью заполненной Ферми-сфере.
Этот способ удобен своей простотой, но не очень хорошо вписывается в идеологию
элементарных возбуждений - основное состояние имеет конечную энергию, в нем
существует большое число квазичастиц.
При втором способе описания вводится 2 типа квазичастиц - заполненное
состояние вне ферми-сферы (условно назовем его "частица") и вакансия под Ферми-
сферой ("дырка"). Гамильтониан, записанный в терминах этих элементарных
возбуждений, имеет вид
н2 = Sai+ai(A2 - Pf) /2т+ Hai+ai(PF - A2)/2w-
partides	holes
В основном состоянии квазичастиц нет, его энергия равна нулю. При отклонении от
основного состояния квазичастицы рождаются парами.
37
Анизотропный ферми-газ
Для электронов проводимости металлов реальных металлов из-за влияния
решетки ферми-жидкость анизотропна [6 #2.3].
Ферми-поверхность не является сферой. Скорость электрона можно
определить как групповую скорость волнового пакета v = <Эе/ <Эр. В частности,
скорость электрона вблизи поверхности Ферми зависит от координаты на Ферми-
поверхности. При этом, поскольку скорость является градиентом энергии, вектор vF
всегда перпендикулярен поверхности Ферми в данной точке.
Ферми-поверхности некоторых металлов:
Na, К:
Решетка кубическая объемоцентрированная. На один атом приходится один
электрон.
Ферми-поверхности близки к сфере.
Au, Си, Ag:
Решетка кубическая гранецентрированная. На один атом приходится один электрон.
Гранецентрированная решетка - более плотная упаковка, чем
объемоцентрированноая, поэтому при примерно той же постоянной решетки
концентрация электронов и радиус ферми-сферы оказываются несколько больше, чем
для щелочных металлов.
В результате в восьми направлениях [111],[11-1] ... [-1-1-1], где поверхность Ферми
наиболее близка к границе зоны Бриллюэна, поверхность Ферми сильно искажена и
терпит разрыв. Этот случай хорошо описывается приближением слабой связи вблизи
границы зоны [6].
Остальная часть поверхности Ферми близка к сфере.
А1, РЬ:
В этих металлах на один атом приходится несколько электронов. Концентрация
электронов еще больше, чем в предыдущем случае, и частично заполненными
оказываются две зоны. Поверхность Ферми сильно деформирована.
Квазичастицы во внешнем поле
Классическое уравнение движения квазичастицы под действием внешней силы:
Р = F(f)
Кинетическое уравнение для функции распределения f(r,p,t^) в отсутствие
столкновений может быть получено как уравнение непрерывности в 6-мерном
фазовом пространстве.
df df df	n
dt dt dr Эр
38
Важно отметить, что это уравнение сохраняет силу и в анизотропном случае, надо
только использовать правильное выражение для зависимости скорости от
квазиимпульса v = <Эе(р) / Эр.
Нормальная ферми-жидкость
(LL9, #1, А. Абрикосов, #2.1)
Нормальной ферми-жидкостью называется такая жидкость, образованная
фермионами, для которой классификация возбуждений совпадает с классификацией в
ферми-газе, то есть квазичастицы представляют собой возбуждения двух видов -
элементарные возбуждения с импульсом больше фермиевского и "дырки" с
квазиимпульсом меньше pF.
Следует подчеркнуть, что взаимодействие между частицами предполагается
сильным в том смысле, что Ферми-жидкость не может быть получена из Ферми-газа
как результат расчета в каком-либо конечном порядке теории возмущений. При этом,
взаимодействие между частицами приводит к тому, что элементарными
возмущениями являются уже не отдельные частицы, а более сложные образования
(скажем, в металле - электроны, окруженные "облаком" других электронов,
экранирующих заряд данного)
Сравнение свойств изотропной ферми-жидкости и ферми-газа:
Сходство:
•	В ферми-жидкости частицы по-прежнему характеризуются квазиимпульсом р.
•	Можно доказать, что значение pF определяется той же формулой, что и в случае
Ферми-газа: pF = д/Зрл2Й3 .
•	Энергия вблизи поверхности Ферми £,(/>) = (р — pp)vp, Vp - скорость на
поверхности Ферми. В ферми-жидкости даже в изотропном случае Vp не равна
Рр / т. Можно ввести эффективную массу те$- = р$ / V.
•	Квазичастицы в ферми-жидкости по-прежнему характеризуются спином, равным
1/2 [3, #2-3], и магнитным моментом.
•	Равновесная функция распределения квазичастиц - фермиевская ступенька:
/(у?) = 1 / (1 + exp[v(y? - т?0) / кТ])
•	Гамильтониан (в пренебрежении взаимодействием квазичастиц)
н = X ai+ai (Pi -Pf)vp + S ai+ai (PF - Pi )vh
particles	holes
Различие:
•	Квазичастицы взаимодействуют друг с другом. Это приводит к конечным
временам их жизни, спариванию и т.д.
•	Скорость Vp сама зависит, вообще говоря, от функции распределения f (р) (и, в
частности, от температуры). В металлах этот эффект мал, но в других случаях
оказывается важным.
39
•	Квазичастиц должно быть немного (температура не слишком велика), иначе
концепция элементарных возбуждений теряет смысл.
Взаимодействие квазичастиц
Введем взаимодействие квазичастиц друг с другом. Ясно, что в главном порядке это -
парное взаимодействие.
В представлении вторичного квантования любой оператор парного взаимодействия
записывается в виде
V S ^k'j'kjak'aj'akaj '
(К - объем системы).
При этом отличны от нуля только те матричные элементы	которые
соответствуют процессам с сохранением интегралов движения (энергия, суммарный
импульс, суммарный момент)
Коэффициент ^k'j'kj связан фурье-преобразованием с потенциалом
межчастичного взаимодействия V(R}. Действительно, часть гамильтониана,
описывающая взаимодействие, равна
JJd3rd3r’ Ч/+(г)Ч/+(г')И7(г - r,)T(r')T(r) =
= Е’2 ^ak'aj'ajak^d3rd3r'W(r-r')exp{i(kr + jr' - j'r' -k'r} =
k,j,j',k'
=	Yak'a+j'ajak\d3R lF(R)exp{z(£- j + j' - k'}R}
k+j=j'+k'
Если взаимодействие является точечным, Wkykj = W = const.
Следует отметить, что в случае фермионов, который мы рассматриваем, точечное
взаимодействие имеет смысл рассматривать только для случая взаимодействия
частиц с противоположными спинами. Действительно, в противоположном случае
комбинация ферми-операторов Ч/(г')Ч/(г) с г = г' при действии на любое исходное
состояние даст ноль.
Взаимодействие электронов с фононами
(Ильинский, Келдыш #14)
Рассмотрим теперь взаимодействие электронов с фононами. Характерный масштаб,
определяющий радиус взаимодействия - период решетки (других в нет), поэтому на
масштабах, много больших постоянной решетки, взаимодействие можно считать
локальным:
И7 = — |Д3гр(г)й(г)
Ро
Здесь й(г) - оператор электронной плотности в данной точке, р(г) - оператор
изменения плотности решетки в данной точке (3 #25); р0 - средняя плотность
кристалла, Wq - постоянная. Если изменение плотности решетки сравнимо с самой
40
плотностью, вклад в энергию должен быть (в атомных единицах) порядка 1, поэтому
и Wq тоже имеет порядок энергии ферми.
Что касается оператора р(г), он может быть получен из оператора смещения й(г),
введенного при обсуждении вторичного квантования для фононов:
p(r) = Ww = й£ iMyjl / 2M(0 (ак	- (екк)а+ке-^-®ке>).
Этот оператор будет использован далее для определения фононной релаксации
электронов.
Важно, что электрон-фононное взаимодействие является слабым, поскольку, как уже
упоминалось, оператор взаимодействия содержит малость порядка л/т / М - малый
параметр адиабатического приближения. Чтобы обосновать это утверждение,
достаточно проследить степени М в формулах для W: pg ~ М, со ~ М~хп. Именно
эта малость и определяет хорошую обусловленность электронов и фононов в металле
как отдельных квазичастиц.
41
ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Отличие жидкости электронов в металлах от модели Ферми-жидкости,
рассмотренной на предыдущей лекции, состоит в том, что электроны в металле
взаимодействуют кулоновскими силами.
Характерной особенностью кулоновского взаимодействия является
дальнодействующий характер сил. Как мы увидим ниже, это обстоятельство приводит
фактически к неприменимости теории возмущений конечных порядков для описания
спектра элементарных возбуждений в системе. Система с кулоновским
взаимодействием качественно отличается от ферми-газа; именно, появляется
дополнительная - плазмонная - ветвь спектра.
Метод Хартри-Фока
[5, стр. 100]
Рассмотрим систему многих частиц, взаимодействующих друг с другом кулоновскими
силами и находящихся во внешнем потенциале С7(г). Гамильтониан системы:
2	2
i 2т	j
Волновая функция системы многих частиц в общем случае сложным образом зависит
от координат всех частиц: Ф = Ф(Г],Г2... Г„). В методах Хартри и Хартри-Фока
постулируется конкретный вид этой функции: в методе Хартри волновая функция
имеет вид произведения "одночастичных" функций
Ф = ф1(г1)ф2(г2)...ф„(г„),
а в методе Хартри-Фока - детерминанта Слэтера:
ф = ф+ф
Ф1,±(г1) Ф1,±(г2)
Ф1,±(ги)
Ф± = det[cpz- ±(г.)] / д/йТ = —J=det<
Ф2>± (г1) Ф2,±(г2)
Фи,±01)
Фи,±01)
Индекс ± обозначает ориентацию спина. В обоих случаях под {фг} понимается набор
ортонормированных функций, подлежащих определению.
В методе Хартри-Фока (в отличие от метода Хартри) правильным образом
учитывается симметрия волновой функции системы фермионов - Ф(ГЬГ2--- г«)
антисимметрична по перестановкам частиц. Более того, точная волновая функция
идеального ферми-газа может иметь вид детерминанта Слэтера.
Нетрудно заметить, что излагаемый подход родственен идеологии
элементарных возбуждений - мы ищем волновую функцию, которая, с одной стороны,
в некотором смысле близка бы близка к волновой функции реальной системы, а с
другой - является волновой функцией системы некоторых (воображаемых)
невзаимодействующих частиц.
42
В качестве меры "близости" к истинной волновой функции рассматриваемой
системы потребуем минимальности энергии системы:
< Ф|77]Ф >= min.
Подставляя явный вид Ф, можно получить уравнения для {фД. Для волновой
функции в форме Хартри получается
“	J Ф Иг) —щ- ф г (r)dr +1Ф* W(НфI (г) dr + e2Z JJф*(г)ф}(г'),--ф /(г')фг- (г)dr dr' = min,
2m dr1	i*j J |r-r'\ J
а для волновой функции в форме Хартри-Фока:
“X- f Ф/(г) Д-ф/ (г) dr + (ф*(г)С7(г)ф - (г) dr + е2У [[ф*(г)ф*(г')-—Ц-ф ,(г')фг- (г) dr dr' -
2mJ dr	J	lr-r I
-£?2	[[ф/(Нф}(Н—^Ф/(НфДН^47г' = тт
..	7 r-r
ppms	1	1
Для краткости спиновые индексы опущены. Однако, вторая сумма вычисляется
только по тем состояниям J, спины которых сонаправлены со спином i .
В методе Хартри первые три слагаемых в левой части получаются такими же,
а последнее отсутствует.
Записанное выражение для энергии имеет простой физический смысл. Первые
три слагаемых - это энергия частицы во внешнем поле и усредненном потенциале,
созданном остальными частицами. Последнее слагаемое отражает запрет Паули -
если в точке г находится частица, в близких точках частиц с параллельными
спинами быть не может. Действительно, в области г ~г' второе слагаемое
"устраняет" вклад в усредненный потенциал частиц с параллельными спинами.
Символически последнюю формулу можно записать в виде
< i\H'\i >= min,
где Н' - одночастичный эффективный гамильтониан. Из линейной алгебры известно,
что условие такое условие экстремума достигается, если \i > - собственная функция
Н'. Таким образом, в методе Харти-Фока получается следующее уравнение для
вычисления одночастичных волновых функций:
“Д-ТУФА^+^Х [фу(Н—Цфу(Нфг 0’М'-е2 У [ф*(г')—Ц-ф (г)фг(г')^' =егфг(г)
2mdr	r-r J	« J r-r J
1Ф]	1	1	IppOTS	1	1
i*j
Величины как легко проверить, имеют смысл энергий одночастичных состояний.
В трансляционно-инвариантной системе, как легко проверить, собственные
функции являются плоскими волнами, ф^ = U^~eipr. При этом
Рк уу 4лй2е2
2т ^\р-р'^

(второе слагаемое - это, фактически, фурье-образ кулоновского потенциала).
Суммирование ведется по всем состояниям с одинаковой проекцией спина
внутри ферми-сферы.
43
Для трансляционно-инвариантной системы результат расчета по методу
Хартри-Фока совпадает с результатом расчета в первом порядке теории возмущений,
если в качестве возмущения рассматривать взаимодействие электронов, а в качестве
невозмущенной системы - ферми-газ.
Однако, попытки уточнить результат расчета, перейдя ко второму порядку
теории возмущений, приводят к появлению расходимостей. Действительно, формула
для поправки второго порядка к энергии в случае кулоновского взаимодействия дает
(волновые функции - плоские волны, поэтому в матричный элемент - это вновь
фурье-образ потенциала).
Видно, что после перехода от суммирования к интегрированию интеграл содержит
особенность р~^ сРр, то есть расходится при |д- ~Pj\—> 0.
Эта расходимость возникает вследствие дальнодействующего характера
кулоновских сил.
Кулоновское взаимодействие приводит к существованию квазичастиц, которые
не могут быть описаны в конечном порядке теории возмущений (как результат
поглощения-рождения конечного числа истинных частиц). Эти квазичастицы
представляют собой плазмоны.
Плазмоны - приближение случайных фаз
Ниже рассмотрены два подхода, позволяющие описать плазмонную ветвь
спектра. Первый из них - приближение случайных фаз (общеупотребительной
является аббревиатура RPA, Random Phase Approximation) [5, стр. 134].
Запишем уравнение движения для оператора плотности (это НЕ вторично-
квантованные операторы!):
Рл —Рл — ^"[[Рл’^1^1’
р* =
Вычисление коммутаторов дает
?	(кр, hk2 _ikr 4ле2 .	2 4л/?е2
P‘ +rapP‘=-X v+^d е '-Х^тчкр4-Л;щ = —
В пренебрежении правой частью получается уравнение, описывающее колебания в
моде к с частотой со.
Рассмотрим, почему правую часть действительно можно не учитывать. Первый
член мал при малых к; он определяет дисперсию плазмонов. Второй представляет
собой сумму осциллирующих слагаемых. Если считать, что их фазы случайны
(отсюда происходит название приближения), среднее значение суммы равно нулю и
ее можно не учитывать.
44
Таким образом, в кулоновской плазме существуют длинноволновые
элементарные возбуждения с законом дисперсии со = const. Это и есть плазмоны.
Заметим, что по сути проделанный вывод является классическим
вычислялось уравнение движения величины, имеющей классический аналог. Уже это
указывает на то, что полученные элементарные возбуждения тоже имеют
классический аналог, т.е. являются коллективными (многочастичными).
Плазмоны- метод кинетического уравнения
Получим закон дисперсии плазмонов еще одним способом, а именно - исходя из
кинетического уравнения:
df df м n
— + v— + eE— = 0.
dt dr dp
Введем в рассмотрение поле внешних источников, имеющее вид плоской волны
. Мы ограничимся приближением электростатики. В этом случае rotE = 0,
или Е||к. Полное поле в системе включает также поле, созданное зарядами самой
рассматриваемой системы:
div(£' - E$elkr) = 4ле—г [ f (p)d3p - 4лро,
(2л/г)3 J
Ро - фоновая плотность положительного заряда.
Пусть функция распределения слабо отличается от невозмущенной:
f = f^(p) + y(l)(j9)ez(£r-(B0
Учитывая, что E||k, а невозмущенная функция распределения в точности
компенсирует положительный фон, в линейном по	приближении из
кинетического уравнения получаем:
/4) = -4ле2(со - AvcosQ)"1 А:"1 cosQ )3 J	~ е^о(м - AvcosO)-1-^^—cos0>
где 0 - угол между р и к.
Производя интегрирование обоих частей по (ftp, получаем уравнение:
1 8л2е2	2 г sinOcosO df(G} 2,,	,u3 , э гГ sinOcosO df(®> 2,7
1 + —j------у -----i---77^5— P dpdQ	p' = -2neE --------— p-dpdQ
к (2nhy J ю -^c°s0 dp JJ v	Jco-bcosO dp
Если множитель при J f^fp)d^p вблизи какой-то частоты стремится к нулю,
величина индуцированной внешним полем плотности заряда = е \f^(p'}d^p'
резонансно возрастает, что означает наличие в системе собственных мод - плазмонов.
Разлагая знаменатель подынтегрального выражения в ряд по А: и подставляя (для
случая изотропного закона дисперсии и кТ = 0)	= Q(Pf - р), (здесь 0(рд — р) -
функция Хевисайда), и выражая импульс Ферми через плотность, получаем величину
резонансной частоты при малых к
? 47we2VF
р Pf
45
Для ферми-газа р = ту, и мы получаем уже известную нам формулу. В
случае Ферми-жидкости это соотношение, однако, не выполняется. Дело в том, что в
кинетическое уравнение включен закон дисперсии, уже частично учитывающий
взаимодействие частиц (например, часть кулоновского взаимодействия,
описывающую взаимодействие частиц на расстояниях, сравнимых с длиной волны де-
Бройля для электронов). RPA этими эффектами пренебрегает.
Из выписанного уравнения для J f^ip^cflp аналогичным образом можно
также получить спектральный профиль диэлектрической проницаемости. Учитывая
формулу divЕ = 4лр(1) и определение 8 согласно формуле У.Е = Eq, при малых к
получаем
8((0) = 1 — СОр / СО2
46
РЕКОМБИНАЦИЯ И РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
Релаксационный член в кинетическом уравнении
Если квазичастицы испытывают рассеяние, в уравнение непрерывности
(кинетическое уравнение) для эволюции их функции распределения в фазовом
пространстве должны быть добавлены источники, определяющие прибыль/убыль
частиц в заданной точке фазового пространства. Кинетическое уравнение
приобретает вид
где FCf} - некоторый функционал, определяющий рассеяние.
Рассмотрим изотропную систему, в которой частицы испытывают рассеяние на
дефектах решетки [4 Гл. 13, #3]. Скорость рассеяния из канала р' в канал р должна
быть пропорциональна концентрации частиц в канале р' (то есть /(/>')) и
концентрации вакансий в канале р (то есть 1-/(/>)). Обозначая коэффициент
пропорциональности за Р(р',р), получаем
(2ля) J
Здесь первое слагаемое описывает переходы из р' в р, а второе - наоборот, из р в
Р' 
Если же речь идет о парном рассеянии частиц друг на друге, можно записать
аналогичную формулу
= /о	f d3Pl diP2 diА'{ЛР{’Pl >Р’Р1)/(P{)f(Pl ) [1 - f(P)] [1 - f<J>2)1 -
(2ля) J
- P(P, P2, p{ ^2 )/(P)/(A ) [1" f(Pl )1 [1 - f(P>2 )!}
Записанный в таком виде релаксационный член в кинетическом уравнении называют
интегралом столкновений.
Принцип детального равновесия
Можно установить соотношение между Р(р',р) и Р(р,р'\ определяемое
принципом детального равновесия. В стационарном состоянии должно быть
f = f„ = 1/(1 + ехр[(£(Р)-и)/Щ)
и, соответственно,
< = о.
dt
Принцип детального равновесия утверждает, что нулю равен не только интеграл
столкновений в целом, но подынтегральные выражения в каждой точке. Это условие
выполняется, если
Л/А/?)	£(/Г)-£(/?)
— схр
Р(р,р')	F kT
и
47
Р(Р1,Р2,Р,Р2) . r„n Е(р{) + E(pl>) - Е(р) - Е(р^)
— схр
Р(Р,Р2’Р1’Р1)	кТ
Упругое рассеяние на дефектах
Рассмотрим систему с изотропным законом дисперсии, в которой происходит
рассеяние на дефектах с сохранением энергии, ЕДр') = ЕДр). Если закон дисперсии
монотонен, это соответствует функции Р(р',р) вида
Р{р',р) = 8(\p'\-\p\)S(p',p).
Из симметрийных соображений S(p',р) зависит при заданном значении \р\ только
от угла между векторами р и р’; 8(р',р) = S(E(p),COS0).
Если функция распределения также изотропна (то есть зависит только от £’(/>)), по
углам можно проинтегрировать, после чего кинетическое уравнение записывается в
простом виде
# _/~/о
dt ДЕ)
где fo - равновесная функция распределения, а т(£) - время релаксации.
Модель Друде
Модель Друде - это простейшая (и потому наиболее распространенная) модель для
релаксационных процессов, в рамках которой принимается
ДЕ) = const.
Спектральные профили восприимчивостей при этом имеют привычный вид
(l-z(ro -го0)т)-1.
Впрочем, во многих случаях модель Друде является слишком грубой. Например, в
СВЧ диапазоне кинетика релаксации в полупроводниках описывается обобщенной
моделью Друде для спектральных профилей (1 — г(со — со о)т)—; где Р - фрактальная
размерность восприимчивости [см, например, PRL 78 1106 (1997)].
Проводимость нормальных в металлов
[6 Гл. 4]
Получим скейлинговые законы для поведения проводимости металлов в
зависимости от температуры. Если считать, что после столкновения электрон
полностью "забывает" свое направление движения, легко показать, что средняя
скорость направленного движения электронов под действием заданного поля (а
значит, и проводимость) пропорциональна времени т пробега между столкновениями.
Разумеется, средний модуль скорости - это, по-прежнему, vF, поскольку функция
распределения считается возмущенной слабо.
Сразу следует оговориться, что для полупроводников приведенные ниже
результаты не верны, поскольку в них функция распределения сильно зависит от
температуры.
48
В случае рассеяния на примесях т(Т) = соnst, то есть <у(Т) = const--------
ni PFSeff
(здесь Seff - эффективное сечение рассеяния электрона на примеси, щ
концентрация примеси).
При электрон-электронных столкновениях рассеиваются только электроны в
слое ~ кТ вблизи поверхности Ферми, поскольку выше по энергии электроны
электроны отсутствуют, а нижележащие не могут рассеяться из-за того, что все
состояния при этих энергиях заняты. По причинам, рассмотренным при выводе
интеграла столкновений, вероятность рассеяния пропорциональна произведению
числа имеющих возможность рассеяться на число рассеивателей, то есть т ~(АТ)-2.
Отсюда кТ~^.
Рассмотрим, наконец, рассеяние электронов на фононах [10 стр.290], [3].
Получим оценки для случая больших и малых температур по сравнению с дебаевской
TD-
Исходной является оценка для величины электрон-фононного взаимодействия
W~ y[pM~v^ (см. формулу из Лекции 6).
В формулу для мнимой части энергии электрона, связанной с рассеянием на
фононах, войдет W2. Таким образом, для процессов с испусканием фонона можно
использовать оценку
8Е ~ M~V2 ((и + 1)рб(р±г^-|р|и)б/3р
(п - число фононов в моде). Дельта-функция учитывает сохранение суммарной
энергии в процессе, Р+ - компонента квазиимпульса, перпендикулярная Ферми-
поверхности. Интегрирование ведется по всем значениям квазиимпульса,
передаваемого фонону, при которых электрон оказывается в "не занятой" другими
электронами области Ферми-поверхности.
Оценка для процессов с поглощением фонона отличается множителем п вместо п + 1.
Оценка интеграла дает
8Е ~ М~1/2р3(п + 1),
где р - характерное значение квазиимпульса. При T»TD в процессах рассеяния
участвуют фононы практически со всеми возможными значениями квазиимпульса, и
температурная зависимость определяется зависимостью от температуры чисел
заполнения. Соответственно,
ст ~т ~5.Е-1 ~n~TD/Т
Рассмотрим теперь случай Т <<TD.
Процессы с поглощением фононов отсутствуют, а с излучением фононов могут
рассеяться только электроны в слое толщиной ~ кТ вблизи поверхности Ферми. В
качестве характерного значения импульса для них следует взять
(Р ~ Pf)v lu~(p-Pf)Jm.
Таким образом, для этих электронов получаем
49
5Е ~ M~V2 (p-pF)3 M3/2f( V(j> PfA ~(p-pF)3 Mf( V(j> PfA .
\ kT J	\ kT J
(электрон рассеивается тем интенсивнее, чем он дальше от уровня Ферми). Фактор
F описывает то, насколько заполнены состояния, на которые электрон рассеивается
Число электронов, которые могут быть рассеяны, пропорционально kT; v(p- pF) ~ кТ.
Наконец, заменяя для оценок F функцией
О, х < О
F(x) =
х, О
1, X
>1
< х < 1,
получаем <з~Т 5.
Понятие об эффекте Кондо
В некоторых металлах при низких температурах сопротивление при
уменьшении температуры растет. Это связано со взаимодействием электронов с
примесями, атомы которых имеют ненулевой спин.
При этом оказывается, что взаимодействие электрона с примесью зависит (во
втором Борновском приближении) от состояния всей электронной жидкости, а не
только данного электрона (подробности см. А.А. Абрикосов, #4.6). Расчет приводит
к зависимости ст~ 1п(ц/кТ)).
Рекомбинация в полупроводниках
[4 Гл. 9]
Излучательная рекомбинация зона-зона
Дополнительным механизмом релаксации в полупроводниках является
рекомбинация (взаимоуничтожение) электронов и дырок. Прямым аналогом
рекомбинации в физике элементарных частиц является аннигиляция. Различают
излучательную и безизлучательную рекомбинацию носителей. В первом случае в
процессе рождается один или несколько фотонов, во втором вся энергия уносится
фононами или другими носителями.
По аналогии с кинетикой рассеяния, дифференциальная (на элементарный
объем в пространстве квазиимпульса) скорость излучательной рекомбинации
пропорциональна fefp - fe^fp^  Если полупроводник не вырожден и распределения
электронов и дырок в зона успели срелаксировать к Фермиевскому, то и интегрально
7? = а(пр-поро).
Скорость рекомбинации, в соответствии с принципом детального равновесия, связана
со скоростью генерации пар внешним излучением, т.е. с коэффициентом поглощения
света полупроводником у(со). Соответствующая формула (при единичном квантовом
выходе) имеет вид [4 Гл. 9, #3]
а = (ДоДоГ1 з j	; у (w) = у(Йсо / кТ).
50
Значения а очень сильно (на много порядков) различаются для прямозонных и
непрямозонных полупроводников.
Рекомбинация через промежуточный уровень
В непрямозонных полупроводниках с широкой запрещенной зоной скорость
рекомбинации зона-зона мала (например, для недопированного кремния при
комнатной температуре характерное время составляет часы), и существенными
становятся механизмы, связанные с неидеальностью кристалла, в частности, с
наличием примесей.
Рассмотрим локализованное состояние в запрещенной зоне. Поскольку
локализованное состояние не характеризуется определенным квазиимпульсом, закон
сохранения квазиимпульса при переходах не должен выполняться в точности. Это
дает возможность осуществить "каскадную" рекомбинацию электрона и дырки с
различными квазиимпульсами. При этом, чем глубже расположен уровень, тем лучше
состояние локализовано в пространстве, тем хуже у него определен квазиимпульс и
тем рассматриваемый механизм эффективнее.
Скорость перехода электронов на локализованный уровень (в невырожденном
случае)
R\ne(\-n)
(здесь п - число заполнения для локализованного состояния, R\ - коэффициент)
Аналогично, скорость перехода дырок
Rinnh
Если число носителей много больше числа локализованных состояний, можно
говорить об установившейся скорости рекомбинации. В этом случае скорости
перехода электронов и дырок равны,
Rxne{\-ri) = R2nnh.
Исключая п, получаем формулу для скорости рекомбинации
R\"e R2nh
Rxne + R2nh
51
МАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ
Накладывая внешнее поле на твердое тело, мы, очевидно, меняем его
свойства. Постоянное магнитное поле в несверхпроводящих веществах (1) не
экранируется свободными носителями заряда, т. е. проникает в объем образца и (2)
не является источником энергии, т.е. система остается стационарной. Таким образом,
в присутствии магнитного поля мы имеем дело с измененным веществом, в котором
меняются свойства квазичастиц.
Вначале мы рассмотрим поведение систем, для которых отсутствует
спонтанное магнитное упорядочение (то есть дна- или парамагнетиков). В этом
случае мы пренебрежем разницей между магнитной индукцией и магнитным полем.
Магнитное поле на практике является слабым (что это означает
количественно, пояснено ниже). Поэтому в качестве исходной точки можно
рассмотреть движение квазичастиц "немагнитного" вещества - электронов и дырок - в
магнитном поле.
Базовые уравнения для движения частиц в магнитном поле
Классическая картина:
Уравнение движения частицы в магнитном поле Н (во избежание путаницы в
этой и следующий лекциях над гамильтонианом всегда будет ставиться шляпка)
р = -е/ с v х Н
Следует отметить, что при любом (не только параболическом) законе
дисперсии действующая со стороны магнитного поля сила перпендикулярна скорости
частицы. Поскольку скорость определяется формулой ds/Эр, видно, что магнитное
поле не меняет энергии электрона.
Кинетическое уравнение (без столкновительных членов):
df df . df n
— + v—-etc vxH—= 0
dt dr	<Эр
Проекция
траектории "классического" электрона с
изотропным
параболическим законом дисперсии на перпендикулярную магнитному полю
плоскость представляет собой круг (Ларморовскую орбиту) [4 Гл. 4 #3]. Движение
вдоль силовых линий является поступательным.
Не
Частота обращения по Ларморовской орбите о)с =— называется частотой
тс
циклотронного резонанса. Циклотронный резонанс - это резонанс поглощения СВЧ
поля на частоте (Ос образцом, на который наложено постоянное магнитное поле. Это
поглощение появляется из-за того, что резонансное поле "разгоняет" движущийся по
орбите электрон, при этом энергия у поля отнимается. Если эффективная масса
является анизотропной, вместо т в формулу для (Ос следует подставить
циклотронную эффективную массу тс, зависящую от направления магнитного
поля [4 Гл. 4 #3].
52
В случае металлов с существенно непараболическим законом дисперсии
траектория электрона в пространстве квазиимпульса представляет собой сечение
поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитному полю.
Соответственно, Ларморовская орбита уже не является кругом. Исследование
поглощения СВЧ поля в зависимости от направления и напряженности магнитного
поля - один из способов определения формы Ферми-поверхности металлов.
Очевидны условия наблюдения циклотронного резонанса - с одной стороны,
поле должно быть достаточно большим, чтобы радиус орбиты был много меньше
длины свободного пробега; с другой стороны, при слишком больших полях радиус
орбиты сравним с периодом решетки и описание в рамках метода эффективной массы
неприменимо.
Последнее условие можно использовать в качестве определения "слабого"
магнитного поля. Рассмотрим электрон, движущийся со скоростью V порядка
10’2-1(У3 атомной (значение, характерное для полупроводников). Радиус его
Ларморовской орбиты будет сравним с периодом решетки при v/®c~10a0, то есть
при Н~ 10"1 4-\0Г2а.и ~ 20 4- 200 Тл. На практике, достижимы значения магнитного
поля порядка единиц тесла, то есть в указанном смысле магнитное поле всегда
является слабым.
Квантовая картина:
Уравнение Шредингера для частицы в магнитном поле (в приближении эффективной
массы) имеет следующий вид:

,
где оператор импульса включает член, содержащий вектор-потенциал А.
д е
р =	+ -А
or с
Второе слагаемое в гамильтониане учитывает взаимодействие спина с магнитным
ch
полем; 0 =-----, гиромагнитное отношение g - фактор, равный единице для
2т^с
свободного электрона. Для носителей в твердых телах g отличается от 1 из-за спин-
орбитального взаимодействия).
Волновая функция разбивается на произведение двух частей, одна из которых
зависит только от спиновой переменной, другая - от координат. Для координатной
части, определяющей пространственное движение частицы, решение - уровни
Ландау, уже рассматривавшиеся во вводной лекции. .
Напомним, что для вектор-потенцила {-/Ту,0,0} (магнитное поле направлено
вдоль OZ), поиск волновой функции в виде е^РхХ+Рг2^^х(.У) приводит к уравнению
Для %
53
т( еН'} (
+— — У
2\mcJ v
\2
7 =
еН Z
s- —
2т

2т ду2
по форме совпадающим с уравнением Шредингера для гармонического осциллятора.
Собственная частота этого осциллятора - о)е.
Соответственно, спектр определяется выражением
е = £?+/—К+ 1/2).
2т \тс)
Из всех компонент импульса энергия зависит только от р.\ по рх уровни вырождены,
а ру вообще не является квантовым числом.
В "квантовой" картине циклотронный резонанс описывается как результат
резонансных переходов между уровнями Ландау с разными п.
Определим кратность вырождения уровней Ландау. Введем куб квантования с
ребром L. Тогда число возможных значений рх равно —— Ерх. Диапазон изменения
рх Арх определяется тем, что координата дна гармонического осциллятора —-
еН
должна лежать диапазоне -L/2...L/2. Отсюда кратность вырождения составляет
eHl} /2лйс = Hl} /ф0. Величину ф0 = 2тс7гс / е называют квантом магнитного
потока.
Эффект Холла
Эффект Холла состоит в изменении сопротивления образца в приложенном
магнитном поле. При этом в тензоре проводимости появляются недиагональные
компоненты, то есть приложенное вдоль ОХ электрическое поле приводит к
появлению //-компоненты тока (для магнитного поля, направленного вдоль OZ).
Соответствующая компонента носит название Холловской проводимости
(недиагональная компонента обратного тензора - соответственно, Холловского
сопротивления)
Классический эффект Холла
В установившемся режиме движения “классического” носителя заряда в
статическом электрическом и магнитном полях действующая на частицу сила со
стороны полей должна быть в среднем равна силе трения:
f Z7 V тй	WV
е\ Е--хН =-------
V	с )	т
(справа - столкновительный член, записанный в модели Друде).
Поскольку j = — еп\!, это уравнение можно переписать в виде
Е = -Д хН + 4-
с хе
Если H||(9Z, E±OZ, по определению сопротивления р pj = Е,
54
_	_ т	н
Рхх ~ Руу ~	’ Рху ~ ~Рух ~
пе т	пес
Комментарий:
1. Холловское сопротивление рлг, зависит от знака заряда носителей (это обстоятельство
позволяет определять знак носителей экспериментально).
2. В модели Друде Холловское сопротивление не зависит от Т.
Целочисленный квантовый эффект Холла
В сильных полях и при низких температурах элементарными возбуждениями
являются уровни Ландау. Рассмотрим двумерный электронный газ, перпендикулярно
которому приложено магнитное поле (такой двумерный газ может быть создан на
границе раздела GaAs/AlGaAs приложением разности потенциалов). В двумерной
системе движения по z нет и спектр полностью дискретен. Рассуждая в духе зонной
теории, можно заключить, что если фактор заполнения 'lithcn / еВ равен целому
числу, мы имеем дело с "изолятором", иначе - с "металлом". Соответственно,
зависимость рхх в этой области представляет собой ряд узких пиков при значениях
магнитного поля, соответствующих заполнению целого числа зон.
В эксперименте при определенных условиях наблюдаются, однако, и пики при
числе заполненных зон, равном рациональным дробям (дробный квантовый эффект
Холла). Этот феномен связан со взаимодействием электронов друг с другом.
Изложение механизмов этого явления, как и более подробная теория целочисленного
эффекта, будет дано в курсе "мезоскопика".
Эффект де Гааза - ван Альфена
[2 #60], [3 #63], [6 #10.5]
В трехмерных системах у электрона имеется возможность поступательного
движения вдоль силовых линий, поэтому каждый из уровней Ландау дает начало
энергетической подзоне. Как и в двумерном случае, существует ряд эффектов,
связанных с пересечением началами этих подзон уровня ферми. Ниже дается
понятие об эффекте де Гааза - ван Альфена.
Эффект состоит в осцилляторном характере зависимости магнитной
восприимчивости М / Н от приложенного поля при низких температурах и в сильных
полях (кТ « еТгВ / 2тс « ц).
Рассмотрим изотропный ферми-газ при Г = 0. С одной стороны, его энергия s
по сравнению с состоянием в отсутствие магнитного поля равна работе поля против
намагниченности
8 ос J MdH, т.е. М ос 6 s / дН
С другой стороны, с точки зрения микроскопики, энергия системы равна
55
s = 2X = E	——/ф2[ц-у^-(и + 1/2)еЯ/тс]-—cc
ц-(и+1/2)еЯ/тс>0	2/77	ф0
ОС £	[|д-(и + 1/2>Я/тс]3/2Я
ц-(и+1/2)еЯ/»гс>0
Если теперь взять производную по Я, а затем перейти от суммирования к
интегрированию (то есть пренебречь квантованием Ландау), получится классический
результат - М!Н= const. Однако, из-за дискретности уровней Ландау, на
зависимости М(Н) имеется мелкомасштабная структура.
Пусть очередной уровень рождается при поле Нп. При поле Я, несколько
превышающем Нп,
то есть
Л/(Я)-М(Я„)«(Я-Я„)1/2
Таким образом, зависимость М/ Н от Я представляет собой горизонтальную линию,
иззубренную корневыми особенностями:
м/на
н
Особенности расположены эквидистантно в координатах 1/Я, MIH. При
конечных температурах кривая становится гладкой, но по-прежнему имеет
осцилляторный характер.
Важно, что рассмотренные осцилляции связаны с электронами вблизи Ферми-
поверхности, т.е. эффект качественно сохраняется и при переходе от Ферми-газа к
Ферми-жидкости. Период осцилляций по 1/Я в этом случае равен 2ne/chSex где Sex -
экстремум сечения поверхности Ферми в направлении, перпендикулярном полю.
Ферромагнетики и антиферромагнетики.
Если в твердом теле возникает спонтанное упорядоченное расположение
магнитных моментов атомов, мы имеем дело с магнитным кристаллом (магнетиком).
Если в основном состоянии все магнитные моменты параллельны, перед нами
ферромагнетик. Твердое тело, в котором имеются две магнитные подрешетки,
намагниченности которых компенсируют друг друга, называется
антиферромагнетиком; если полной компенсации не происходит - ферритом.
56
Обменное взаимодействие
Спонтанное упорядочение возникает в веществах, атомы которых имеют
электроны с нескомпенсированными моментами на внутренних оболочках.
Упорядочение является следствием обменного взаимодействия этих электронов [1].
Рассмотрим в систему из двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона
t/(r) = l/r. Будем использовать приближение сильной связи, то есть будем
комбинировать полную волновую функцию из одночастичных <pj и <р2 (как в методе
Хартри-Фока). Кулоновское взаимодействие будем рассматривать в качестве
возмущения. Полная волновая функция системы фермионов антисимметрична по
перестановкам частиц. Поэтому, если спиновая часть симметрична по перестановкам
(спины сонаправлены), координатная должна быть антисимметрична. Наоборот, для
противонаправленных спинов координатная часть волновой функции должна быть
симметрична. Требуемыми свойствами симметрии обладают комбинации
Ф1(Т)Ф2(Г2)±(Р1(Г2)Ф2(Г1)
(знак "плюс" соответствует противонаправленным спинам).
Поправка первого порядка теории возмущений <t/(r)> различается для двух
рассматриваемых случаев; она равна
<t/(r) >= А + J,
где J =	ф](Г|)Ф2(,'2)Ф2*(г1 )Ф1*(Г2) ' обменный интеграл (сравните с Фоковской
поправкой!).
Соответственно, энергия системы фермионов зависит от взаимной конфигурации их
спинов. Эту зависимость можно описать как результат зависящего от спинов парного
взаимодействия, которое и называют обменным.
Хотя механизм возникновения обменного взаимодействие не связан с
магнитными эффектами, оно приводит к тому, что атомам энергетически выгодно
определенным образом сориентировать свои магнитные моменты (каким именно -
зависит от знака обменного интеграла).
Магноны
Обменное взаимодействие стремится упорядочить магнитные моменты атомов.
С другой стороны, энтропия такого состояния, очевидно, меньше энтропии состояния
с разупорядоченными моментами. Поэтому повышение температуры приводит к
разрушению спонтанного упорядочения. Соответствующий фазовый переход
происходит при ~ 103 К и является фазовым переходом второго рода.
Во всех типах магнитных кристаллов имеется специфическая ветвь
элементарных возбуждений электронной подсистемы, называемая магнонной [3, гл.
VII]. Магноны являются бозонами и имеют классический аналог - спиновые волны.
Вид магнонного спектра зависит от конкретного устройства магнетика,
симметрии его решетки и различен для ферромагнетиков, ферритов и
антиферромагнетиков. Можно, однако, указать одно общее соображение. Для
57
магнетиков, магнитные свойства которых изотропны, направление спонтанной
поляризации может быть произвольным (на языке теории фазовых переходов речь
идет о системах с вырожденным параметром порядка). Такие системы находятся в
положении равновесия, безразличном к изменению намагниченности в направлении,
перпендикулярном спонтанной намагниченности; магноны являются именно такими
квазичастицами. Конкретный закон дисперсии определяется симметрией системы, но
всегда для этих возбуждений о(к = 0) = 0.
Магноны в ферромагнетике
Рассмотрим случай изотропного ферромагнетика. Запишем гамильтониан,
учитывающий только обменное взаимодействие:
H = JXs^j
Здесь S - оператор спина, суммирование для каждого атома z ведется по ближайшим
соседям, число которых равно с, j = 1...О. Для ферромагнетиков J <0. Характерное
значение J составляет порядка 0.1 эВ. Тот же порядок имеет и характерная
температура для ферромагнетиков - точка Кюри, температура, при которой
ферромагнетизм разрушается и вещество переходит в парамагнитное состояние.
Оператор полного спина коммутирует с гамильтонианом и поэтому имеет
определенное значение в основном состоянии. Именно, в основном состоянии
ферромагнетика все спины сонаправлены, а <	> достигает максимального по
модулю значения.
Необходимо от операторов спина перейти к операторам, отвечающим
рождению-уничтожению магнонов. Операторы S заведомо не являются таковыми,
поскольку различные компоненты спина не независимы, SXSX + SySy + SZSZ = S(S +1).
Такой переход можно проделать явно [7]. Однако, мы этого делать не будем, а
воспользуемся следующими соображениями.
Поскольку исходный гамильтониан включает только парное взаимодействие, и
гамильтониан, записанный в терминах Т-операторов, должен в главном порядке
включать только диагональную часть и взаимодействие с ближайшими соседями:
Постоянная при диагональной части выбрана равной J, чтобы обеспечить правильное
значение средней энергии. Постоянная А будет определена из условия о)(£ = 0) = 0.
Кроме выписанных, гамильтониан также может включать комбинации из
четырех и более Т-операторов, но если мы рассматриваем состояния, достаточно
близкие к основному, вклад этих членов мал.
Переходя обычным образом от Т-операторов к операторам, отвечающим
рождению-уничтожению магнонов с определенным импульсом, мы приходим к
результату
J
58
Где lj - векторы прямой решетки, указывающие на соседние атомы.
Выражение в скобках - закон дисперсии. Требуя ю(£ = 0) = 0, получаем A = J!<3 и
закон дисперсии приобретает вид
J
Легко убедиться, что это выражение квадратично по к при к —> 0.
Магноны в антиферромагнетике
Магнитные моменты атомов в антиферромагнетике полностью компенсируют друг
друга. Можно говорить о наличии двух подрешеток с противонаправленными
намагниченостями. Соответственно, гамильтониан можно записать следующим
образом:
н = jyszsr_z+/.
I I --------1 I J
(J>0, нештрихованными индексами мы будем обозначать атомы одной из
подрешеток, штрихованными - другой)
Случай антиферромагнентика имеет несколько существенных отличий от
случая ферромагнетика. Первое из них состоит в том, что в основном состоянии
намагниченности подрешеток не достигают своих максимальных значений.
Действительно, оператор намагниченности каждой подрешетки по отдельности не
коммутирует с гамильтонианом, поэтому намагниченность не имеет определенного
значения, а совершает нулевые флуктуации.
Вновь перейдем к вторично-квантованным операторам. Гамильтониан
запишется в виде
// = ./£' г V!',+	“ Е + X ) •
Из-за того, что соседние атомы теперь имеют противоположные магнитные моменты,
в скобках вместо комбинации T4-1? появились ЧкИ и Ч/+Ч/+. После перехода к
плоским волнам в гамильтониане вновь остаются комбинации двух операторов
рождения или двух операторов уничтожения:
Н = J\ У ata + У а~кап + —У elljPanan +—У е ll’pciat |
I	Р Р	Р Р (у 4-^	Р Р (у 4-^	Р Р \
Истинным квазичастицам, однако, должен отвечать гамильтониан с
диагональной квадратичной частью, не содержащий членов вида аа или а+а+.
Переход к искомым квазичастицам дает преобразование Боголюбова
аР = upbp~Vpbp
«р = upbp-vpb+p
где и и v - коэффициенты, зависящие от р. Если коеффициенты и и v
удовлетворяют соотношению
2	2	1
U -V =1,
то операторы b удовлетворяют коммутационным соотношениям для Бозе-операторов.
59
Выражения для а,а следует подставить в гамильтониан, выписанный выше.
Теперь, выбирая up,vp из требования равенства нулю недиагональных членов в
гамильтониане, получаем уравнение
2>№=1^Л‘(«2 -Л).
G j
Вместе с соотношением w2-v2 =1 оно позволяет найти up,vp.
2 2	1
Up,Vp=^
Подставляя эти значения в гамильтониан, получаем
"=(ьрьр + bpbp > •
V J
Мы видим, что по-прежнему т(к = 0) = 0. При малых к разложение в ряд Тейлора
приводит к закону дисперсии (£>(к^О)~к, то есть в отличие от случая
ферромагнетиков закон дисперсии при к —> 0 линеен.
60
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННО-
ОГРАНИЧЕННЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМАХ.
Рассмотренные до настоящего времени элементарные возбуждения
существуют в объеме однородных сред. Пространственная неограниченность либо
неоднородность среды приводит к появлению новых типов элементарных
возбуждений. Некоторые из них рассмотрены в этой лекции.
Мелкие примесные уровни
Рассмотрим заряженный атом примеси в полупроводнике; около такого атома
есть локализованное состояние электрона (дырки). Соответствующий уровень
энергии называется примесным. Если энергия связи много меньше ширины
запрещенной зоны, работает приближение эффективной массы и задача аналогична
задаче экситоне. Различие состоит в замене приведенной массы электрона и дырки
на эффективную массу носителя.
Если концентрация примеси настолько велика, что нужно учитывать
взаимодействие электронов на соседних примесных атомах, примесный уровень
размывается в примесную зону. [4 гл. IV #7]
Таммовские состояния.
Обрыв периодического потенциала на границе кристалла может приводить к
появлению состояний, локализованных на границе, что легко показать на примере
одномерной цепочки, (см. курс ФКС) Эти состояния называются поверхностными или
Таммовскими уровнями [4 гл. X].
Наиболее существенные явления в полупровниках, связанные с наличием
Таммовсих состояний - поверхностный заряд, и поверхностная рекомбинация.
Поверхностный заряд - заряд носителей, находящихся на поверхностных
состояниях. Его наличие приводит к появлению начального изгиба зон. Экранировка
поля поверхностного заряда происходит в соответствии с уравнением Пуассона:
д1
—Y = -4т1еп((р) / 8.
dz1
В случае, когда экранировка происходит за счет примесных атомов и(ср) = Hq = const.
Тогда вблизи поверхности E~z, cp~z2+(pF.
Скорость поверхностной рекомбинации 5 определяется формулой
R = фг-«0],
где п - концентрация в носителей вблизи поверхности, но в точке, где зоны уже не
искривлены, По - равновесная концентрация в объеме полупроводника, R - темп
рекомбинации на единицу площади поверхности.
61
Асимптотическая формула Лифшица для плотности состояний
Рассмотрим [8] двухкомпонентный сплав замещения, то есть кристалл, в
узлах решетки которого случайно расположены атомы двух сортов. Пусть для
кристаллов, составленных только из атомов сорта А, дно зоны равно 8z1, и оно ниже
дна зоны кристалла из атомов В.
В смешанном кристалле энергии уровней будут расположены выше
Установим асимптотику плотности состояний вблизи Пусть случайно область
размером п атомов оказалась вся состоящей из атомов А (вероятность такого
з
события рп , где р - концентрация атомов А). Тогда, если эта область достаточно
велика, она может быть рассмотрена как потенциальная яма размером п, энергия
основного состояния в которой отличается от на величину порядка
й2
2 2
та п
где а -
постоянная решетки, т - эффективная масса вблизи дна зона кристалла А.
Таким образом, плотность состояний вблизи дна зоны оказывается порядка
Г	7	7 -8/7	1
expU(e-Sj)ma /ft ] ' 1пр>,
то есть экспоненциально уменьшается при приближении к
62
СИСТЕМЫ С БЕСПОРЯДКОМ. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
"Устройство" систем с беспорядком, очевидно, отличается от случая
регулярных систем. "Слабый" беспорядок (по крайней мере, в трехмерных системах)
не приводит к качественному изменению свойств системы, то есть может быть
описан в рамках теории возмущений, построенной на основе картины элементарных
возбуждений для регулярной системы. При некотором критическом уровне
беспорядка, однако, свойства системы могут меняться качественно. В этом случае
говорят о фазовом переходе.
Источники беспорядка
Можно качественно выделить, как минимум, три источника беспорядка в физических
системах:
•	"структурный" беспорядок - отличие структуры кристалла от периодической,
например, из-за наличия примесей;
•	"температурный" беспорядок, связанный с температурными флуктуациями в
веществе;
•	нулевые квантовые флуктуации.
Хотя исторически понятие фазового перехода ассоциируется прежде всего с
термодинамикой, в действительности фазовые переходы могут быть связаны с
действием любой из трех указанных причин либо комбинацией нескольких.
Пример фазового перехода, связанного со структурным беспорядком, дан
ниже. Примеры систем, в которых появление перехода связано с нулевыми
квантовыми флуктуациями, можно найти в курсе "мезоскопика" (например,
Моттовский переход в модели Хаббарда).
Андерсоновская локализация
Важный класс фазовых переходов составляют переходы "металл-диэлектрик".
В рамках зонной теории все вещества с частично заполненными зонами являются
металлами. При появлении беспорядка (в частности, структурного) в системе
появляются локализованные уровни. Увеличение "степени беспорядка" в системе
приводит к тому, что при достижении критической "величины беспорядка"
локализованными оказываются все уровни. В этом случае вещество становится
диэлектриком. Понять, как это происходит, можно на примере следующей модели [8].
Рассмотрим кристалл, составленный из атомов, энергии уровня на каждом из
которых - случайные числа, распределенные в интервале	Пусть каждый атом
взаимодействует с ближайшими соседями, число которых равно ст, матричный
элемент взаимодействия - W. Будем использовать модель сильной связи, то есть в
нулевом приближении считать, что взаимодействие отсутствует, а электроны
локализованы на атомах. Представим себе ряд теории возмущений по степеням W
63
для какого-либо уровня sz. Если этот ряд сходится, это означает, что уровень
остается локализованным, просто из-за взаимодействия меняется его энергия.
Расходимость ряда означает делокализацию уровня.
Каждый следующий член ряда теории возмущений отличается от предыдущего
•	дополнительным множителем W в числителе
•	дополнительным множителем Sj-sk в знаменателе
•	тем, что число слагаемых в нем в ст раз больше.
Последнее обстоятельство является следствием того, что мы учитываем только
взаимодействие с ближайшими соседями.
Поскольку вещество является диэлектриком, если все уровни локализованы,
необходимым условием исчезновения проводимости является требование
(треугольные скобки обозначают статистическое усреднение).
В этом случае, даже если все слагаемые складываются конструктивно, ряд "в
среднем по ансамблю" представляет собой сумму членов сходящейся геометрической
прогрессии, то есть сходится.
Выполнение усреднения приводит к критерию локализации Андерсона: при
увеличении вр, являющейся мерой беспорядка в данной модели, переход диэлектрик-
металл происходит вблизи точки
8р « eoW
(здесь е - основание натуральных логарифмов).
Приведенные выше рассуждения, относятся, строго говоря, только к
трехмерным системам. В одномерных, и, по-видимому, также в двумерных системах
все состояния являются локализованными при сколь угодно малом беспорядке.
Зависимость качественных свойств фазового перехода от размерности системы мы
проиллюстрируем на следующей системе:
64
Модель Изинга в случайном поле
Рассмотрим ансамбль переменных xz, каждая из которых может принимать значения
+1, а индекс / нумерует узлы бесконечной D-мерной решетки. Введем энергию
системы, равную
i,j	i
Здесь (lzy обращается в 1 для ближайших соседей и равен нулю в остальных случаях;
fj - случайное 5-коррелированное внешнее поле, < fa >=0, <	>= f\
Поставим задачу об определении среднего значения xz в основном состоянии, в
зависимости от f. Ясно, что при fa = 0 <Х>=1. С другой стороны, при f »1 при
каждом / значение лу полностью определяется знаком f, то есть <х>=0. С
математической точки зрения, возможно два сценария - либо при каком-то конечном
значении f величина <х> обращается в 0 (происходит фазовый переход), либо
уже сколь угодно малое поле полностью разрушает порядок в системе. Какой именно
из двух сценариев реализуется, определяется размерностью системы.
Предположим, что в среднем порядок не нарушен, но на фоне "моря" х одного
знака, имеются "островки", знак которых с противоположен. Их появление связано с
тем, что в некоторых областях f оказалась "в основном" такого знака, что стремится
изменить знак х на противоположный. Обозначим характерный размер островков L.
Тогда средний модуль вклада от случайного поля в энергию островка можно оценить
как yjiP  Далее, на создание "островка" надо затратить энергию, связанную с
появлением границы между областями с разнонаправленными лу; эту энергию можно
оценить как LP~^. Если с ростом L энергия границы опережает вклад случайного
поля, островки остаются конечными (так происходит при D>2). В
противоположном же случае (это реализуется при D < 2) островки бесконечно
растут, то есть порядок в системе разрушается, при сколь угодно малом f. система
с D = 2 является пограничным; более аккуратный анализ показывает, что сколь
угодно слабое поле разрушает порядок и в этом случае.
Определение. Размерность, ниже которой сколь угодно слабый беспорядок
разрушает изначально присущую системе упорядоченность, называется нижней
критической размерностью.
Для модели Изинга в случайном поле нижняя критическая размерность равна 2.
Особенности спектра элементарных возбуждений вблизи точки фазового
перехода второго рода
Как упоминалось во введении к курсу, наличие фазового перехода в системе
существенным образом влияет на свойства элементарных возбуждений в ней. Более
того, сама картина газа слабовзаимодействующих элементарных возбуждений, как
мы увидим, оказывается в этом случае, вообще говоря, неверной. Качественно, это
связано с тем, что вблизи точки перехода свободные энергии двух качественно
65
различных состояний системы близки; из-за этого система подвержена сильным
флуктуациям между этими состояниями.
Однако, мы начнем с простейшей теории фазового перехода (теории Ландау),
в рамках которой фактически предполагается, что система может быть описана на
языке элементарных возбуждений вплоть до точки перехода. Как мы увидим, даже в
рамках этой упрощенной картины спектр элементарных возбуждений вблизи точки
перехода обладает существенными особенностями.
Хотя речь будет идти о системах с фазовым переходом, обусловленным
изменением температуры, приведенные ниже представления могут быть перенесены
и на другие типы беспорядка.
Некоторые определения
Фазовым переходом в термодинамике называют особенность в зависимости
термодинамических потенциалов системы (например, свободной энергии) от
параметров (например, температуры). Если в точке перехода значения потенциалов
испытывают скачок, речь идет о фазовом переходе первого рода, если потенциалы
остаются непрерывными - о фазовом переходе второго рода. Фазовые переходы,
связанные с изменением симметрии системы, называют структурными переходами.
Ниже для определенности рассматриваются структурные фазовые переходы
второго рода. Для таких переходов при температуре, близкой к точке фазового
перехода второго рода, симметрия системы в некотором смысле "слабо нарушена",
т.е. состояние системы близко к симметричному.
Теория Ландау (2 Гл. XIV)
Вблизи точки фазового перехода второго рода, согласно Ландау, вещество
может быть описано некоторым параметром ц(Г) {параметром порядка), равным
нулю в одной фазе (как правило, выше точки перехода), и отличным от нуля в
другой. Параметр порядка характеризует симметрию вещества; эта симметрия
изменяется в точке перехода. Примеры параметров порядка - волновая функция
конденсата в сверхтекучей жидкости, спонтанная намагниченность в ферромагнетике
и спонтанный электродипольный момент в ферроэлектрике. В каждом конкретном
случае параметр порядка выбирается из физических соображений; из приведенных
примеров видно, что он может быть не только скаляром, но и вектором (а в общем
случае - и тензором более высокого ранга). В этих случаях говорят о
многокомпонентном параметре порядка.
Теория Ландау постулирует следующую форму зависимости свободной энергии
от г] вблизи точки перехода (в предположении, что система инвариантна к замене
г] на -г|):
F = Fo +
J d3r а(Т - Т0)т|2 + J-Z>T)4 + c(Vr|)2
J	z
(1)
Здесь a, b , с - коэффициенты. Выписанная формула - простейший вид четного по г]
функционала при условии (а) разложимости F в ряд в окресности точки перехода и
66
(б) обращения в 0 главного члена разложения в этой точке. Второе условие - просто
запись того факта, что в Tq действительно происходит переход. Условие (а) -
основное слабое место теории Ландау, поскольку Tq - особая точка, и
термодинамические величины в ней, вообще говоря, не разлагаются в ряд.
В однородной системе последний член под интегралом равен нулю, и
термодинамическое равновесие, определяемое минимизацией F по ц, реализуется
при
л = о,	t>Tq
П = 7а(ТЬ-Л/^ T<Tq
Мягкие моды
Рассмотрим малые отклонения системы от положения равновесия
(элементарные возбуждения), имеющие вид плоских волн г] = t]q +	Поправка
к свободной энергии (и, соответственно, закон дисперсии) определяется второй
производной F в минимуме и членом (1), содержащим градиент. Имеем
2z, ч ~	- Л) + ck 2, Т > То
го (к)
^2а(Т0 - Т) + ск 2, Т < То
Отсюда видно, что в точке перехода частота моды, соответствующая
отклонению параметра порядка от положения равновесия, обращается в нуль. Такие
моды с малой частотой называют мягкими.
Системы с непрерывным вырождением
Отдельно следует рассмотреть случай, когда параметр порядка инвариантен
относительно какого-либо непрерывного преобразования. Например, во многих
ферромагнетиках направление спонтанной поляризации может быть произвольным.
Такие системы находятся в положении равновесия, безразличном к
соответствующему изменению параметра порядка (например, в ферромагнетиках - к
изменению намагниченности в направлении, перпендикулярном спонтанной
намагниченности; магноны являются именно такими квазичастицами). Этим
отклонениям отвечают элементарные возбуждения, закон дисперсии которых
определяется последним членом в (1). Конкретный закон дисперсии определяется
симметрией системы, но всегда для этих возбуждений о(к = 0) = 0. При температуре
выше критической параметр порядка равен нулю, рассматриваемые моды
оказываются диссипативными и, значит, не являются квазичастицами.
(REM - на лекции этого пункта не было, поэтому на зачете не будет тоже)
Флуктуации вблизи точки перехода
По смыслу теории Ландау температура должна быть близка к критической:
т-т0 <<х
Т.
67
Однако, можно указать неравенство, ограничивающее
с противоположной
стороны. Это ограничение связано с аномальным возрастанием флуктуаций вблизи
перехода.
Значение параметра порядка в каждой точке флуктуирует вокруг среднего значения
из-за конечности температуры. Оценим величину этих флуктуаций. Будем считать,
что теория Ландау работает, и элементарные возбуждения имеют вид плоских волн с
выписанным выше законом дисперсии. Для определенности рассмотрим температуру
ниже критической; выше точки перехода рассмотрение проводится аналогично.
Поскольку в главном порядке моды системы не взаимодействуют, средняя энергия
каждой из них равна Т. Соответственно,
/ 2	Т
< Г|, >=------------Г-
*	2а(Т0-Т) + ск3
Уже из этой формулы видно, что вблизи критической температуры флуктуации
длинноволновых мод (к —> 0) аномально велики. Более того, при размерности D<2
средний квадрат флуктуаций < тр >= J< х\^ > dDk в точке перехода оказывается
бесконечно большим, что указывает на внутреннюю противоречивость теории
Ландау.
2
Знаменатель выписанной формулы для < тц > содержит полюса при
+iyj2a(T0 -Т) / с. Как легко понять, положение этих полюсов определяет
характерный масштаб, на котором флуктуации коррелируют в пространстве:
Jc
—
2а(Т0-Т)
В качесве характерной величины флуктуаций можно взять (в трехмерном случае)
П2 -1'<ц2 >У3£~- НГ°~Г)
1	с\ с
Условием применимости теории Ландау является малость флуктуаций по сравнению
со средним значении параметра порядка, г|2 «т|. Отсюда следует требование
etc3 То
Стоящая в левой части формулы безразмерная величина называется параметром
Гинзбурга Gi. Если Gi«1, теория Ландау работает в широком диапазоне
температур. Например, для сверхпроводников Gi~10“14. Если Gi — 1 (как, например, в
модели Изинга), область применимости теории Ландау отсутствует.
Критические индексы
Область, в которой теория Ландау неприменима, называется флуктуационной.
Поведение величин во флуктуационной области отличается от предсказываемой
теорией Ландау. Современные теории критических явлений предсказывают, что в
главном порядке поведение характеризующих систему величин вблизи То явлется
68
степенным. Показатели степеней называются критическими индексами. Основными
являются три критических индекса а,Р, v, определенные согласно:
Поведение других величин выражается через комбинации oc,P,v.
В теории Ландау ос = 0, г| = 1 /2, v = l/2. В действительности, эти значения
критических индексов реализуется только для систем, размерность которых
превышает определенную величину, называемую верхней критической
размерностью. При более низкой размерности значения критических индексов
оказываются другими (а при размерности ниже нижней критической флуктуации
приводят к тому, что фазовый переход оказывается невозможным).
Верхняя и нижняя критическая размерность, а также значения критических
индексов приданной размерности определяются общими {универсальными)
свойствами системы - числом компонент параметра порядка, группой симметрии
системы и характером взаимодействия в системе (близко- или дальнодействие).
Например, для систем с короткодействием и однокомпонентным параметром
порядка (в частности, модели Изинга), верхняя критическая размерность равна 4,
нижняя - 1. В трехмерном случае ос « 0.11, Р « 0.32, v « 0.63.
69
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ
1.	Л.Д Ландау, Е.М. Лифшиц - Квантовая механика - М: Наука, 1989
2.	Л.Д Ландау, Е.М. Лифшиц - Статистическая физика I - М: Наука, 1995
3.	Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Статистическая физика II - М: Наука, 1978
4.	В.Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников - Физика полупроводников - М: Наука, 1977
5.	Д. Пайне - "Элементарные возбуждения в твердых телах" - М.: Наука, 1965
6.	А.А. Абрикосов - Основы теории металлов - М.: Наука, 1987
7.	Ч. Киттель - Квантовая теория твердых тел - М.: Наука, 1976
8.	Дж. Займан - Модели беспорядка - М.: Наука, 1982
9.	Л.Д Ландау, Е.М. Лифшиц - Теория упругости - М: Наука, 1987
10.	Ю.А. Ильинский, Л.В. Келдыш - Взаимодействие электромагнитного излучения с
веществом - М: Изд. МГУ, 1989
11.	В.И. Гавриленко, А.М. Грехов, Д.В. Корбутяк, В.Г. Литовченко - Оптические
свойства полупроводников - Киев: Наукова думка, 1987
12.	В.Вишер, в сборнике "Эффект Мессбауэра", М. 1962
70