Физика квантовых низкоразмерных структур - Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А.

Автор: Демиховский В.Я. Вугальтер Г.А.

Теги: физика электроника квантовая механика

ISBN: 5-88439-045-9

Год: 2000

Похожие

Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния

Курс теоретической физики. Том 2. Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика

Статистическая структура квантовой теории

Физика для всех. Введение в сущность и структуру физики. Том 2

Текст

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА
«ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997-2000 ГОДЫ»
В.Я.Демиховский, Г.А.Вугальтер
ФИЗИКА КВАНТОВЫХ
НИЗКОРАЗМЕРНЫХ
СТРУКТУР
Москва • «Логос» • 2000

ББК 22.314
ДЗО
Рецензенты:
Профессор В. Т. Долгополое,
канд. физ-мат. наук В.А. Петров
Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А.
ДЗО Физика квантовых низкоразмерных структур. -М.
Логос, 2000. -248 с: ил.
ISBN 5-88439-045-9
Излагается современная теория электронных явлений в низкоразмерных по-
полупроводниковых структурах — квантовых ямах, нитях, точках. Рассматриваются
методы расчета энергетического спектра и волновых функций, оптические свой-
свойства наноструктур, туннельные процессы, в том числе туннелирование в условиях
кулоновской блокады, явления переноса в мезоскопических системах. Приводят-
Приводятся последние экспериментальные результаты, а также физические принципы
работы современных электронных и оптоэлектронных приборов, созданных на
основе низкоразмерных структур.
Для исследователей и инженеров, работающих в области физики конденсиро-
конденсированного состояния и твердотельной электроники. Будет полезна также аспиран-
аспирантам и студентам, обучающимся по физическим и инженерно-физическим специ-
специальностям.
Табл. 4. Ил. 71. Библиогр. 180 назв.
ББК 22.314
Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной
целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего
образования и фундаментальной науки на 1997-2000 гг »
ISBN 5-88439-045-9 © Центр «Интеграция», 2000

Предисловие
За последние два десятилетия в физике низкоразмерных кван-
квантовых структур был сделан ряд крупных открытий. Достаточно на-
назвать главные из них. Предсказаны и детально исследованы эф-
эффекты слабой и сильной локализаций квантовых состояний в при-
присутствии случайного потенциала. В баллистических проводниках,
где рассеяние на примесях и дефектах играет малозаметную роль,
обнаружено квантование кондактанса. Исследованы универсаль-
универсальные флуктуации проводимости в проводниках, размеры которых
не превышают длины сбоя фазы волновой функции. Наблюдалась
кулоновская блокада туннелирования в полупроводниковых на-
наноструктурах. Можно уверенно сказать, что открытие целочис-
целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла в двумерном элек-
электронном газе качественно изменило наши представления как о ха-
характере магнитотранспорта в конденсированных средах, так и о
природе основного и возбужденных состояний двумерной куло-
новской жидкости. Несмотря на то, что все перечисленные явле-
явления наблюдаются в образцах, размеры которых существенно пре-
превышают атомные, они имеют чисто квантовую природу и не могут
быть поняты в рамках классических представлений. В то же время
эти размеры меньше, чем у обычных макроскопических тел, окру-
окружающих нас. Поэтому можно говорить о некоторой промежуточ-
промежуточной области линейных масштабов, в которой уже действуют зако-
законы квантовой механики.
Раздел физики, изучающий подобные явления, получил назва-
название мезоскопика. Свойства мезоскопических объектов во многом
радикально отличаются от свойств как микроскопических, так и
макроскопических тел. Например, для мезоскопических образцов
нельзя ввести понятие удельного сопротивления. Электрическое
сопротивление двух таких проводников, соединенных последова-
последовательно, не равно сумме их сопротивлений. Необычно ведет себя
сопротивление мезоскопических проводников при изменении их
геометрических размеров. Кроме того, оно существенно зависит
от положения каждого рассеивающего центра.
Исследования физических процессов в квантовых структурах
способствовали не только открытиям фундаментального характе-
характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Логика
развития современной полупроводниковой электроники такова,
что интегральные схемы становятся все более сложными и объе-
объединяют все большее число элементов. До сих пор изготовителям
интегральных схем удавалось увеличить плотность размещения
з

излагаются основные представления теории универсальных флук-
флуктуации.
В главе 7 рассматриваются целочисленный и дробный кванто-
квантовые эффекты Холла. Обсуждается природа горизонтальных участ-
участков (плато) на кривых, описывающих зависимость недиагональ-
недиагональной (холловской) компоненты проводимости от напряженности
магнитного поля, а также природа осцилляции продольной про-
проводимости. Приведен расчет холловского сопротивления. Даны
основные представления теории Лафлина, описывающей основ-
основное состояние кулоновской двумерной квантовой жидкости. Об-
Обсуждается природа дробного заряда элементарных возбуждений
этой жидкости.
В работе над книгой принимал участие В.Я.Алешкин. Им на-
написаны разд. 2.1,2.2 и 3.1.
Авторы выражают благодарность А.М.Сатанину, ВАБурдову,
И.А.Карповичу, В.И.Гавриленко за исключительно полезные и
интересные дискуссии, А.Ф.Хохлову и С.В.Гапонову — за интерес
к работе и поддержку, Д.И. Каменеву и Д.Ю. Водолазову — за по-
помощь в оформлении рукописи. Авторы также признательны ре-
рецензентам В.Т. Долгополову и В.А. Петрову за многочисленные
конструктивные замечания, несомненно, способствовавшие улуч-
улучшению книги.

Список основных обозначений
е —заряд электрона (e=4,8010~10CCf5?t)
с — скоростьсвета(с=31010 см/с)
щ — масса свободного электрона (щ =9,8-10~27 г)
т — эффективная масса электрона
h — постоянная Планка A,054-107 эрг с)
h = 2nh
Н — напряженность магнитного поля
Е — напряженность электрического поля
/ — электрический ток
/ — плотность электрического тока
А — векторный потенциал
Ф — магнитный поток
С —емкость
Ед — диэлектрическая проницаемость
Е, е, е„ — энергия
U,V — потенциальная энергия
р — импульс
ns — поверхностная концентрация электронов
N — число частиц
tF — энергия Ферми
кв — постоянная Больцмана
kf — фермиевский волновой вектор
vF =hkF/m — фермиевская скорость
XF = 2n/kF — фермиевская длина волны
р(Е) — электронная плотность состояний
ф0 = ch/e — квант магнитного потока
\iB = еН/Bщс) — магнетон Бора
(ос=еН/(тс)— циклотронная частота
Re =vF/(oc — циклотронный радиус
1Н =(сй/(сЯ))^2 — магнитная длина
No =l/Bnljf) — кратность вырождения уровня Ландау
v = Що/Н — степень заполнения уровня Ландау

\d — скорость дрейфа
тр — время релаксации импульса
хф — время релаксации фазы
D — коэффициент диффузии
/р = vFxp — длина свободного пробега
/ф = (Dzv)l/2 — длина сбоя фазы
lj= (hD/кдТУ2 — тепловая длина
р. = етр /т — подвижность
/(е) — фермиевская функция распределения
D{E) — туннельный коэффициент прозрачности
R(E) — коэффициент отражения

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ НИЗКОРАЗМЕР-
НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУК-
СТРУКТУР. ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ МОДЕЛИ
1.1
Основные типы квантовых структур
1.1.1. Гетероструктуры на основе GaAs-AlGaAs
Простейшая квантовая структура — это дос-
достаточно тонкий слой полупроводника, или полу-
полупроводниковая пленка. Именно на тонких плен-
пленках полуметалла висмута и полупроводника InSb в
60-х годах был обнаружен эффект размерного
квантования. В настоящее время технология изго-
изготовления полупроводниковых наноструктур нахо-
находится на несравненно более высоком уровне и по-
постоянно продолжает совершенствоваться.
Для получения совершенных структур чрезвы-
чрезвычайно важно, чтобы периоды кристаллических ре-
решеток двух соседних слоев, имеющих различный
состав, были почти одинаковыми. Тогда слои точ-
точно повторяют друг друга и в кристаллической ре-
решетке выращенной структуры не будет дефектов.
Наилучшие результаты в изготовлении квантовых
структур достигнуты с помощью метода молеку-
лярно-лучевой эпитаксии. Для того чтобы с помо-
помощью этого метода вырастить ту или иную структу-
структуру, нужно направить поток или одновременно
несколько потоков атомов, на тщательно очищен-
очищенную поверхность полупроводника. Потоки атомов
получают испарением вещества из отдельных на-
нагретых источников. Выращивание структур осу-
осуществляется в глубоком вакууме, химический со-
состав контролируется в процессе роста.
Метод молекулярно-лучевой эпитаксии по-
позволяет выращивать совершенные монокристал-
монокристаллические слои толщиной всего в несколько пе-

риодов решетки. Данным методом можно получить очень резкую
(с точностью до монослоя) границу между двумя полупроводника-
полупроводниками, причем поверхность получается гладкой на атомном уровне.
Квантовые структуры выращиваются из различных материалов,
однако для этой цели наиболее удачной парой является полупро-
полупроводник GaAs — арсенид галлия и твердый раствор AlxGai_xAs, в
котором часть атомов галлия заменена атомами алюминия. Вели-
Величина х — это доля атомов галлия, замещенных атомами алюми-
алюминия; обычно она изменяется от 0,15 до 0,35. Периоды кристалли-
кристаллических решеток в указанных соединениях отличаются не более
чем на десятую долю процента.
В процессе изготовления гетероструктуры очень важно точно
задать положение легирующих примесных атомов. Это можно
сделать, проводя селективное легирование. Идея метода селектив-
селективного легирования чрезвычайно проста. В процессе молекулярно-
лучевого роста примеси — доноры или акцепторы — можно вво-
вводить в строго определенную область гетероперехода. Результат ле-
легирования зависит от того, куда попадут легирующие атомы.
Обычно легируется область AlGaAs (например, атомами Si, кото-
которые являются донорами), a GaAs делается насколько возможно
чистым, но все же обычно остается слабо легированным полупро-
полупроводником р-типа. Доноры в слое AlGaAs располагаются на рассто-
нии в несколько десятков нанометров от границы перехода.
В отсутствие доноров зоны на границе гетероперехода выгля-
выглядели бы так, как показано на рис. 1.1, а. Ширина запрещенной зо-
зоны в арсениде галлия составляет 1,5 эВ, а в твердом растворе
AlxGai_xAs она всегда больше, например при х= 1, т.е. в чистом
AlAs, ширина запрещенной зоны равна 2,2 эВ. Поскольку в слое
AlGaAs ширина запрещенной зоны больше, чем у GaAs, то пер-
первый играет роль диэлектрика, а второй — полупроводника. Отно-
Относительное расположение энергетических зон слева и справа от ге-
гетероперехода определяется атомной структурой полупроводни-
полупроводников. Однако существует простое правило (правило Андерсена),
согласно которому разность энергий дна зоны проводимости по
обе стороны перехода АЕС равна разности значений электронного
сродства % двух полупроводников: &.Ес=%х-%7 (напомним, что
величина % равна разности энергии электрона в вакууме и энер-
энергии дна зоны проводимости) [8]. Для пары GaAs-AlGaAs величи-
величина ДЯ
Ю

а)
б)
2,2 эВ
0,4 эВ
~г
1,5 эВ
GaAs
AlAs
Al8GalxAs
Рис. 1.1. Гетероструктура GaAs-AlGaAs с модулированным легированием
Электроны из легированной области, расположенной на неко-
некотором удалении от перехода, мигрируют и скапливаются по дру-
другую сторону перехода у дна зоны проводимости. Положительный
заряд образовавшихся ионизированных доноров притягивает их к
поверхности. В результате образуется дипольный слой — положи-
положительный заряд в AlGaAs, а отрицательный — в GaAs. Электриче-
Электрическое поле этого слоя приведет к изгибу зон (рис. 1.1,6). Если край
зоны проводимости окажется ниже уровня Ферми, то здесь обра-
образуется инверсионный слой. Движение электронов вдоль слоя будет
свободным, а в поперечном направлении ограниченным, что при
выполнении ряда условий (см. разд. 1.2) приведет к размерному
квантованию. Таким образом, в инверсионном слое будет нахо-
находиться двумерный электронный газ. Главное преимущество такой
системы состоит в том, что электроны в инверсионном слое и
примесные атомы оказываются пространственно разделенными
и, как следствие, процессы рассеяния будут подавлены. Поэтому в
таких гетеропереходах удается получить предельно высокие под-
подвижности и легко выполнить условия квантования.
Самосогласованное решение уравнений Шредингера и Пуас-
Пуассона показывает, что в GaAs вблизи границы электрический по-
потенциал возрастает пропорционально расстоянию от границы, а
при удалении на расстояние, превышающее длину экранирова-
экранирования, становится постоянным. Это значит, что положение низших
уровней пространственного квантования можно определить, pe-
pell

шая уравнение Шредингера для треугольной ямы. Если располо-
расположить последовательно два гетероперехода AlGaAs-GaAs-AlGaAs,
то получится квантовая яма. Если ее ширина много больше длины
экранирования электрического поля, яму можно считать прямо-
прямоугольной. Инверсионные слои, в которых поперечное движение
квантовано, возникают не только в системе AlGaAs-GaAs, но и в
других структурах, например на границе полупроводника Si и ди-
диэлектрика SiO2.
/. 1.2. Инверсионные слои на границе Si — окись кремния
Многие из рассмотренных в настоящей книге явлений (силь-
(сильная и слабая локализации, магнитотранспорт, универсальные
флуктуации проводимости, эффекты Аронова—Бома) были впер-
впервые обнаружены и исследованы в структурах типа металл—оки-
металл—окисел—полупроводник (МОП). Двумерный электронный газ в таких
структурах создается в инверсионном слое на поверхности полу-
полупроводника. Типичная МОП-структура устроена следующим об-
образом (рис. 1.2).
На поверхности полупроводника, например кремния /ьтипа,
создается сравнительно толстый (до 100 нм) диэлектрический
Рис. 1.2. Энергетические зоны в инверсионном слое на границе металл—окисел—по-
металл—окисел—полупроводник (в треугольной яме ниже уровня Ферми находятся два дискретных
уровня):
Ес и ^определяют границы зоны проводимости и валентной зоны; Ет— уровень Ферми;
Vg — напряжение на затворе
12

слой окисла, а затем на диэлектрик наносится металлический
электрод или затвор (соответствующая технология была разрабо-
разработана для изготовления кремниевых полевых транзисторов). На ме-
металлический электрод подается положительный потенциал, кото-
который создает электрическое поле, притягивающее электроны из
объема к поверхности. Движение приповерхностных электронов
ограничено в одном направлении, что при выполнении ряда усло-
условий (см. 1.1.8) приводит к квантованию — соответствующий
спектр становится дискретным, а вдоль поверхности электроны
движутся свободно.
Если уровень Ферми окажется выше края валентной зоны
кремния, то приповерхностные уровни будут заселены, и образу-
образуется инверсионный слой с двумерным электронным газом. В ин-
инверсионном слое, непосредственно вблизи его границы, электро-
электростатический потенциал изменяется линейно с расстоянием, а на
самой границе движение ограничено высоким барьером. Поэтому
можно сказать, что электроны находятся в треугольной потенци-
потенциальной яме. Соответствующий энергетический спектр и элек-
электронные волновые функции будут найдены в 1.2.2. На расстояни-
расстояниях, превышающих длину экранирования, поле уже нельзя считать
постоянным, оно стремится к нулю при удалении от поверхности,
и потенциал изменяется, как показано на рис. 1.2. Концентрацией
двумерных BD) электронов в МОП-структурах можно управлять,
изменяя напряжение на затворе. Типичные значения положитель-
положительного потенциала, подаваемого на металлический электрод в таких
структурах, порядка нескольких вольт, а концентрация поверхно-
поверхностных электронов ns ~ 10й -1012 см'2.
1.1.3. Структуры на основе Ge-Si
В последнее время наметился интерес к изучению структур на
основе германия и кремния — типа GexSii_x/Si и GexSi!_x/Ge.
Методом эпитаксии из молекулярных пучков на таких структурах
созданы приборы с уникальными характеристиками: биполярные
и полевые транзисторы, приемники ИК излучения, источники
света.
Поскольку периоды кристаллических решеток в германии и
кремнии отличаются примерно на 4%, слои в гетероструктурах
получаются напряженными и могут иметь дефекты. Бездислока-
Бездислокационными могут быть только либо очень тонкие слои, либо не-
13

большие островки, в которых запасенная упругая энергия мень-
меньше, чем энергия образования дислокаций.
Германий-кремниевые структуры обладают интересными
электронными свойствами. Гетеропереход в таких структурах от-
относится ко второму роду (см. гл. 2). В отличие от объемных полу-
полупроводников — Ge и Si — в напряженных структурах (сверхрешет-
(сверхрешетках) разрешенными оказываются прямые оптические переходы
зона — зона. Это свойство делает структуры Ge/Si, так же как и
структуры на основе полупроводников А3В5, перспективными
для создания приборов квантовой оптики — приемников и излу-
излучателей.
Интересы физиков и технологов обращены сейчас и к изуче-
изучению квантовых точек в GexSij_x, образующихся из молекулярных
пучков за счет механизма самоорганизации.
1.1.4. Квантовые нити и точки
Выше рассматривались основные типы двумерных структур — ге-
тероструктуры и инверсионные слои на поверхности полупроводни-
полупроводника (МОП-структуры),— в
которых движение ограни-
ограничено в одном направлении.
\/
а)
|100нм
Существует ряд методов,
позволяющих создать
структуры, в которых дви-
движение имеет одно- или
нульмерный характер. Рас-
Рассмотрим один из них — ме-
метод электронной литогра-
литографии. С помощью этого ме-
метода на поверхность 2D
структуры можно нанести
металлические электроды,
которые будут управлять
движением электронов. Та-
Таким образом можно изгото-
изготовить узкие проводящие ка-
каналы (квантовые нити),
квантовые точки, кванто-
квантовые стадионы и другие
структуры.
1ШПШИ1
Рис. 1.3. Последовательность технологических
операций, выполняемых при изготовлении
квантовых структур
14

Типичная последовательность операций, используемых в про-
процессе изготовления полупроводниковых структур, показана на
рис. 1.3. Первоначально на поверхность гетероструктуры, под ко-
которой находится двумерный электронный газ, наносится пленка
органического резиста толщиной порядка 100 нм, чувствите-
чувствительного к облучению потоком электронов. Далее производится об-
облучение поверхности коллимированным электронным пучком
(рис. 1.3, а), затем облученный участок удаляется с помощью тра-
вителя (рис. 1.3, б). Следующая операция — нанесение проводни-
проводника на очищенную поверхность (рис. 1.3, в). Наконец, после удале-
удаления участков, содержащих неэкспонированный резист, на поверх-
поверхности полупроводника остаются металлические электроды (рис.
1.3, г). Подавая на них электрический потенциал, можно управ-
управлять движением электронов на плоскости и формировать различ-
различные низкоразмерные структуры.
Одна из структур, сформированных с помощью описанной
технологии, показана на рис. 1.4. Это проводящий канал, или
квантовый микромостик в 2D электронном газе (область 2D элек-
электронного газа отмечена более темным цветом) Движение электро-
электронов в проводящем канале — одномерное. Именно в таких структу-
структурах впервые наблюдалось квантование кондактанса (см. гл. 6, [4]).
Контакт Затвор
GaAs 2D электронный газ
Рис. 1.4. Квантовый микромостик (микроканал)
Типичные структуры, изготавливаемые с помощью электрон-
электронной литографии, имеют субмикронные размеры. На рис. 1.5 пока-
показана поверхностная решетка, на границе гетероструктуры GaAS -
AlGaAs, где находится двумерный электронный газ [9]. В процес-
процессе роста в полупроводник AlGaAs были введены донорные атомы,
15

Au-Ti-затвор
Рис. 1.5. Система квантовых точек в 2D электронном га-
газе в гетеропереходе AlGaAs-GaAs. 2DEG — двумерный
электронный газ; РММА— фоторезист. Электростати-
Электростатический потенциал металлического затвора управляет по-
поверхностной концентрацией электронов [9]
с которых электро-
электроны уходят в GaAs.
Наименьшее рас-
расстояние между
точками составля-
составляло 80 нм. Металли-
Металлический электрод F
(затвор) позволяет
управлять поверх-
поверхностной концен-
концентрацией электро-
электронов. При уменьше-
уменьшении концентрации
образуются анти-
антиточки, а при увеличении точки. Если волновые функции соседних
точек перекрываются, то электронный спектр приобретает зон-
зонный характер. Поместив такую поверхностную решетку в магнит-
магнитное поле, можно наблюдать интересные эффекты магнитного
квантования блоховских электронов.
Квантовые точки могут образоваться на поверхности полупро-
полупроводника и самопроизвольно — благодаря естественному свойству
материала образовывать отдельные «островки» в процессе роста.
При достижении определенной толщины напыляемый слой рас-
распадается на отдельные квантовые точки. Так образуются, напри-
например, квантовые точки InxGa!_xAs на поверхности GaAs [10].
Форма отдельных точек зависит от концентрации атомов индия в
твердом растворе. Методом туннельной микроскопии удается ус-
установить, что образующиеся точки имеют форму правильной пи-
пирамиды с шириной основания 12 нм и высотой порядка 5 нм. При
х = 1 пирамидальная форма точек InAs наиболее ярко выражена.
При использовании ряда технологических приемов можно до-
добиться того, чтобы отдельные точки проявляли тенденцию к груп-
группировке в двумерную поверхностную решетку с квадратной эле-
элементарной ячейкой. Период такой квазирешетки составляет при-
примерно 20-30 нм [10].
Энергетический спектр электронов, находящихся в квантовых
точках, полностью дискретный. В отдельной точке может нахо-
находиться один или несколько электронов — тогда это аналоги мно-
многоэлектронных атомов. Подобные системы квантовых точек пер-
перспективны в плане создания новых оптических приборов.
16

В физике и технологии низкоразмерных квантовых структур
весьма перспективно использование техники атомной силовой
микроскопии. Эта техника позволяет манипулировать отдельны-
отдельными атомами и создавать на поверхности кристаллов совершенно
новые микроскопические образования. Возможно, в данной об-
области нас ждут принципиально новые открытия.
1.2
Квантовая механика простейших структур
1.2.1. Прямоугольная яма
Ниже рассматриваются простейшие квантовые модели, обыч-
обычно используемые для описания электронных состояний в реаль-
реальных структурах. Приведены решения уравнения Шредингера для
квантовых ям, нитей, точек, двумерных каналов и т.д., а также
найдем волновые функции и спектры в некоторых квантовых
структурах, помещенных в магнитное поле. Уравнение Шредин-
Шредингера рассматривается в простейшем приближении эффективной
массы (см. разд. 2.1), в котором электронный спектр определяется
единственным параметром т.
В квантовой механике известен ряд одномерных потенциалов
U(x), для которых существуют аналитические решения стацио-
стационарного уравнения Шредингера. В качестве первого примера рас-
рассмотрим простейшую модель полупроводниковой структуры —
прямоугольную квантовую яму. Для нее уравнение Шредингера
запишем в виде
^() у=еу, A.1)
ш ах
где потенциальная энергия определяется выражением
ub)J A2)
иКХ)~\ О, |х| > 1/2. {11)
Здесь т — эффективная масса; А — постоянная Планка; е — энер-
энергия. Очевидно, что при е<0 спектр будет дискретным, а при
е>0 — непрерывным и двукратно вырожденным. Поскольку по-
потенциал A.2) симметричен по отношению к замене х -» -х , собст-
собственные функции A.1) будут либо четными, либо нечетными.
17

Из A.1) следует, что при е<0 собственные функции четного и
нечетного состояний внутри ямы имеют вид
\|/„(х)<
cos?nx,
s\nknx,
A.3)
где к„ =
г0-|ел| )/h , а при х->±«> они экспонециально об-
обращаются в нуль:
A.4)
где К„=^2/и|е„|//г2 определяет скорость убывания волновой
функции (знаки «—» и «+» в показателе экспоненты относятся со-
соответственно к областям х>0 и х<0). По мере увеличения энер-
энергии е„ четные и нечетные состояния чередуются, причем основ-
основное состояние всегда четное. Это иллюстрирует рис. 1.6.
Собственные значе-
AlGaAs
GaAs
AlGaAs
Рис. 1.6. Волновые функции и уровни энергии
в прямоугольной квантовой яме
ней в яме (четных и нечетных) определяется условием
ния е„ находятся из
трансцендентного урав-
уравнения, которое следует
из условий непрерыв-
непрерывности волновой функ-
функции и ее производной в
точках x=±L/2. Мож-
Можно показать, что общее
число дискретных уров-
(nm!iX-\)<yl2mU0L2/(itbJ <ятах.
A.5)
Если параметры ямы изменяются, то новый дискретный уро-
уровень с номером ятах +1 появляется при знаке равенства в правой
части A.5).
Приведем аналитические выражения для нормированных вол-
волновых функций и спектра в случае, когда выполнено неравенство
2mU0I?/(л2й2)»1 и яму можно считать бесконечно глубокой, а
также для мелкой ямы, где выполнено обратное неравенство
2mU0L2/(n2fi)«\.
18

В бесконечно глубокой яме при |х) < L/2 имеем
Vn(x) = ,jj-smj-n (п = 1,2,3...), A.6)
а энергия, отсчитываемая от дна ямы, есть
К ft 2
В мелкой яме имеется только одно (четное) решение, отвечаю-
отвечающее дискретному уровню е^, причем его величина оказывается
много меньше глубины ямы:
Соответствующая волновая функция почти постоянна внутри
ямы и экспоненциально убывает вне ее:
I/'схр(±Щх) A.9)
(знаки «—» и «+» относятся соответственно к областям х>0их<0).
Приведем один численный пример: в яме шириной L=КГ6 см,
образованной в структуре AlGaAs-GaAs-AlGaAs, где т = 0,067% ,
энергия нижнего уровня в приближении бесконечно глубокой
ямы A.8) равна 56 мэВ. Поскольку эта величина значительно
меньше 0,3 эВ (см. разд. 2.1), то приближение бесконечно глубо-
глубокой ямы можно считать оправданным.
1.2.2. Треугольная яма
В физике микроструктур также часто рассматривается модель
треугольной ямы. Будем считать, что в области х>0 электрон
движется в однородном электрическом поле, а в начале координат
(х=0) находится бесконечно высокая отражающаяся стенка, т.е.
|М?х, х>0;
где е<0 — заряд электрона; Е — напряженность электрического
поля. Стационарное уравнение Шредингера в поле A.10)
19

A-11)
имеет два независимых решения. Решением, которое удовлетво-
удовлетворяет граничному условию \|/(°°)=0, является функция Эйри
2т\е\Е
П2
'/3/
х-
т\е\Е
A.12)
где С — нормировочная константа. Закон квантования энергии
находится из условия
еЕ
= 0.
A.13)
Корни функции Эйри ак (Л = 1,2,...) определяют дискретные
уровни энергии в треугольной яме
е„ =
Е,
Е,
A.14)
В частности, энергия основного
состояния равна (а) » 2,34)
A.15)
На рис. 1.7 можно видеть собст-
собственные функции, отвечающие пяти
низшим уровням энергии. При
больших п для расчета волновых
функций и спектра можно восполь-
воспользоваться квазиклассическим при-
приближением, которое для уровней
Рис. 17. Квантовые состояния в тре- энергии треугольной ямы дает сле-
следующую асимптотическую формулу:
Пх)
угольной квантовой яме
\'/з
,2/3
A.16)
20

1.2.3. Квантовые состояния в нитях и точках
В квантовой нити движение электрона ограничено в двух на-
направлениях и свободно в третьем направлении. Поэтому волно-
волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Шредингера
2т[дх2 ду2 dz
здесь можно искать в виде
A.18)
Найдем полное решение задачи, предположив, что потенци-
потенциальная энергия имеет цилиндрическую симметрию U = U(p). Она
равна нулю прир<р0 и бесконечности при р>р0. Решением та-
такой задачи является функция [11]
(I)'/2p0
где Jm — функция Бесселя т-го порядка; jmn — ее я-й корень.
Спектр собственных значений энергии в данной цилиндрической
квантовой яме определяется выражением
В квантовой точке движение электронов ограничено в трех на-
направлениях. Это означает, что спектр будет чисто дискретным и,
если потенциал обладает той или иной симметрией, вырожден-
вырожденным. Для описания состояний электронов в квантовых точках ис-
использовались различные модельные потенциалы — от простейше-
простейшего потенциала трехмерной параболической ямы до трехмерной
ямы, имеющей форму пирамиды. В последнем случае для расчета
квантовых состояний необходимо использовать численные мето-
методы [12].
21

/. 2.4. Двойная квантовая яма
Далее уместно рассмотреть квантовые состояния в двух близко
расположенных ямах (рис. 1.8). Эта модель неоднократно обсуж-
обсуждалась как в теоретических, так и в экспериментальных работах.
Высота (U) и ширина барьера, разделяющего ямы, таковы, что
волновые функции могут перекрываться, и, следовательно, между
ямами возможны туннельные переходы.
и
1
Рис. 1.8. Потенциальный профиль двойной квантовой ямы
во внешнем электрическом поле
Обсудим сначала характер энергетического спектра двойной ямы.
При нулевой разности потенциалов, когда обе симметричные ямы
имеют общий электрохимический потенциал, энергетические уров-
уровни, как известно, располагаются парами, причем расстояние между
ними определяется прозрачностью барьера. Положение каждой пары
приблизительно соответствует энергетическим уровням отдельной
ямы. С ростом разности потенциалов между ямами все энергетиче-
энергетические уровни понижаются, что иллюстрирует рис. 1.9 (положение дна
левой ямы считается неизменным).
Как следует из рис. 1.9, скорость понижения уровней немоно-
немонотонно зависит от разности потенциалов еУ: при приближении
уровня Е„+1 к Е„ эти уровни начинают «отталкиваться», причем
скорость понижения ?я+1 уменьшается. Стационарные волновые
функции изменяются при этом следующим образом: с понижени-
понижением уровня число осцилляции функции \|/ в левой яме уменьшает-
уменьшается, а в правой — увеличивается. В частности, когда второй и тре-
третий уровни максимально сближаются, функция основного состоя-
состояния vj/, локализована в основном в правой яме, что видно на
рис. 1.10. Функции \|/2 и \|/3 не имеют нулей в левой яме, осцил-
осциллируют с одинаковым периодом, причем в каждой точке имеют
противоположные знаки (численный анализ показал, что анало-
аналогично ведет себя любая пара функций \|/л и \|/я+] всякий раз, когда
соответствующие уровни сближаются).
22

Е,эВ
ОД v
Рис. 1.9. Энергетический
спектр двойной кванто-
квантовой ямы при различных
значениях разности по-
потенциалов
В [13] было проведено численное моделирование динамики
квантовых состояний двойной ямы. Предполагалось, что между
ямами имеется разность потенциалов, причем напряжение падает
в основном на разделяющем ямы барьере. Обсудим эволюцию на-
начальных состояний в двойной яме. Пусть при f=0 электрон нахо-
находился в левой яме и его волновая функция имела вид
A.21)
а в правой яме была равна нулю (L — ширина ямы). Когда при оп-
определенном значении разности потенциалов второй и третий
уровни совпадут, обе функции \|/2 и у3 в левой яме будут по фор-
форме близки к A.21), а в правой — иметь различные знаки (см. рис.
1.10,6). Если пренебречь всеми остальными состояниями, то ре-
решение нестационарной задачи можно записать, как
y(x,t) = \y2exp(-iE2t /Л)+у3ехр(-1Е^ /h)] • A-22)
Вычисляя плотность вероятности |\|/(х,/)|2, нетрудно убедить-
убедиться, что электрон будет осциллировать, переходя из одной ямы в
другую с частотой, равной (Е^-Е2)/Н. В то же время при произ-
произвольном значении разности потенциалов вклад в разложение
A.22) дают все состояния, и электрон не может полностью перей-
перейти из начального состояния типа A.21) в соседнюю яму.
23

Рис. 1.10. Волновые функции трех квантовых состояний в двойной потенциальной
яме: а — разность потенциалов равна нулю; б — разность потенциалов соответст-
соответствует максимальному сближению уровней Е2 И Еу
Дъийная яма, разделенная пшенциальным барьером, мижеГ
рассматриваться как простейший электронный прибор [14] — ди-
диод. Действительно, при изменении разности потенциалов тун-
туннельный ток в такой структуре будет возрастать всякий раз, когда
заселенные уровни одной ямы располагаются против незаселен-
незаселенных уровней другой ямы. В результате вольт-амперная характери-
характеристика такого диода будет представлять собой ряд пиков, на каж-
каждом из которых находится участок отрицательного дифференци-
дифференциального сопротивления.
1.2.5. Двумерный канал (микросужение)
Рассмотрим движение частицы в узком двумерном канале,
расположенном на плоскости х,у. Пусть этот канал имеет конеч-
конечную ширину по у: на линиях у = ±L(x)/2 находятся жесткие отра-
отражающие стенки. Тогда движение по оси у будет квантовано. Для
собственных функций и спектра в канале постоянной ширины
имеем простые выражения
1_
„2
"*" 2т 2ml} '
A.23)
A.24)
Наша основная задача состоит в том, чтобы найти решение в ка-
канале с переменной шириной. Это удается сделать, если ширина кана-
24

ла Цх) изменяется медленно на масштабе порядка электронной дли-
длины волны и, следовательно, можно воспользоваться так называемым
адиабатическим приближением. Последнее может быть использова-
использовано, если в рассматриваемой квантовой системе удается выделить две
подсистемы — «быструю» и «медленную» (см., например, [11]). Ха-
Характерная частота «быстрой» подсистемы должна быть много больше
характерной частоты «медленной» подсистемы. В нашей задаче в ро-
роли «быстрой» подсистемы выступает движение вдоль оси у, а в роли
«медленной» — движение по оси х.
В уравнении Шредингера, описывающем движение частицы в
канале с плавно изменяющейся шириной, можно провести адиа-
адиабатическое разделение переменных [15]. Решение двумерной гра-
граничной задачи
-—АЧ=Е? A.25)
2/и
с граничными условиями
-— =0 A.26)
L 2 J
представляется в виде
Здесь функция Фх(у) зависит от х как параметра и обеспечивает
выполнение граничных условий A.26):
A.27)
Движение вдоль оси х происходит при эффективном потенциале
?n(x) = nW/[2mL2(x)], A.28)
который характеризует взаимодействие «медленной» подсистемы
с «быстрой». Уравнение для функции у(х) есть
4+
2т dx
В точке х, где канал наиболее узкий, потенциал г„(х) макси-
максимален. Тогда из A.29) следует, что через канал могут пройти толь-
25

ко те электроны, у которых энергия больше ej в самом узком мес-
месте канала (скажем, х=0). Электроны с меньшими энергиями от-
отразятся в обратном направлении. Если в областях, граничащих с
каналом, электроны находятся в состоянии статистического рав-
равновесия и имеют максимальную энергию eF, то можно найти
число мод (волновых функций) с различными п, которые могут
переносить ток через канал. Из уравнения A.29) найдем
A.30)
где [х] означает целую часть х. Ток переносится квантовыми со-
состояниями с л<ятах.
Поскольку мы предположили, что ширина канала плавно из-
изменяется на длине волны (фермиевской длине k~xF), ситуация яв-
является квазиклассической. В этом приближении решение A.29),
описывающее токовое состояние, есть
A.32)
где р„(х)=^2т[Е-г„(х)] — классический импульс. Туннельная
прозрачность барьера в этом случае невелика. Полученные здесь
результаты [15] будут использованы в дальнейшем при рассмотре-
рассмотрении проводимости двумерных микроканалов.
1.2.6. Электронные состояния в структурах с периодически
модулированной поверхностью
Задачу по определению квантовых состояний в структурах со
сложной поверхностью и, следовательно, сложными граничными
условиями иногда удается свести к более простой задаче. Для это-
этого оказывается удобным перейти к новым координатам, в которых
границы являются плоскими, и граничные условия достаточно
простыми, но гамильтониан содержит дополнительные слагае-
слагаемые, зависящие от координат. Если модуляция поверхности не
слишком сильная, то эти слагаемые можно учитывать по теории
возмущений.
Рассмотрим тонкую пленку с периодически модулированной
поверхностью [ 16]. Пусть поверхность пленки, лежащей в плоско-
плоскости х,у, задается уравнениями Z\=i)(x,y) и Z2=a+Z,(x,y), где
26

I nW
хо
т
xo+L
Л/с. 1.11. Пленка переменной толщины с пе-
периодически модулированной поверхностью
(рис. 1.11).
Потенциал внутри пленки
равен нулю, а на ее границе
обращается в бесконеч-
бесконечность. Запишем уравнение
Шредингера для электро-
электронов с изотропным квадра-
квадратичным спектром и будем
считать, что волновая
функция на границе как до
преобразования координат,
так и после обращается в нуль. В этом случае преобразование ко-
координат, выпрямляющее границы, имеет вид
У->У,
а метрический тензор
?,* =
ЧхЯу
Мх My
A.33)
i; л/# = k- Преобразованное уравнение будет иметь вид [16]
й2 1 Э /—. Э\|/ гг,^ч „ .- ...
где 9 =
а условие нормировки сведется к
ij=by. A.35)
В дальнейшем будем предполагать, что поверхность промоду-
лирована только вдоль оси х с периодом L. Поскольку гамильто-
гамильтониан коммутирует с оператором трансляций вдоль оси х, справед-
справедлива теорема Блоха.
Ограничиваясь в A.34) членами не выше первого порядка по
?,/а и ц/о, получим уравнение Шредингера в виде [й2 Д2/я)]Д\у+
+Ир=?"\|/> гДе Роль возмущающего потенциала играет функция
. A.36)
27

При этом волновую функцию можно искать в виде
y(x,z)exp{ikyy}, а полную энергию как сумму: Е' = E+h2k2 /Bm).
Рассчитаем зонную структуру в приближении слабой связи,
рассматривая «потенциал» V как возмущение. Это приближение
справедливо для участка спектра, где энергия велика по сравне-
сравнению с матричными элементами оператора возмущения. Невозму-
Невозмущенные функции для пленки возьмем в виде
?„*, =jjtxp(ikxx)^sm^, A.37)
где / — размеры кристалла в направлении х.
При наличии периодического возмущения снимается вырож-
вырождение состояний, квазиимпульс которых отличается на liOts/L
(s = 0, +1, ±2, ...). Невозмущенный спектр в схеме приведенных
зон изображен штриховыми линиями на рис. 1.12. Точки вырож-
вырождения, соответствующие пересечению штриховых линий, опреде-
определяются квантовыми числами, задающими номер подзон квантова-
квантования я и я', и разностью между импульсами в схеме расширенных
зон s, измеренной в векторах обратной решетки. Величина рас-
расщепления Д^. в указанных точках определяется матричными эле-
элементами оператора возмущения A.36) на функциях A.37)
A.38)
та1
en=n2h2n2/Bma2),
где ^,г|^, |ij — фурье-гармоники соответствующих функций
г\(х), ц(х). Например, для матричного элемента функции ц(х)
имеем
Выражение A.38) при л = я' определяет расщепление на гра-
границе и в центре зоны Бриллюэна. Оно обусловлено слагаемым
-(й2/т)ц.(х)Э2/Эг2 в операторе возмущения и имеет, согласно
A.38), порядок г„Н/а, где Я- амплитуда модуляции толщины. С
28

увеличением номера подзо-
подзоны размерного квантования
величина запрещенной зоны
растет пропорционально и2.
В заключение приведем
некоторые численные оцен-
оценки. Положим m = 0,01ff%,
толщину пленки а = 100 А,
период модуляции L = 1000A
и амплитуду модуляции тол-
толщины Я = 10А. Тогда вели-
величина первой энергетической
щели на границе зоны будет
равна примерно 10~2эВ, а
внутри зоны — около
10эВ.
-nh/L
rii/L
Рис. 1.12. Энергетический спектр электро-
электронов в пленке с периодически модулирован-
модулированной поверхностью
1.2.7. Квантовые структуры в магнитном поле
Прежде всего сосредоточим свое внимание на решении задачи о
движении заряженной частицы в однородном и не изменяющемся во
времени магнитном поле в отсутствие скалярного потенциала. Опе-
Оператор Гамильтона этой задачи, как известно, имеет вид
A.39)
где е — заряд электрона; с — скорость света; А — векторный по-
потенциал.
Будем работать в калибровке Ландау, когда магнитное поле,
направленное по оси z, описывается векторным потенциалом ви-
вида А @, хН, 0). В этом случае двумерное уравнение Шредингера
можно представить в форме
2т
Ру х Мх,у) = Еу(х,у).
A.40)
Поскольку гамильтониан A.39) не зависит от координаты у,
компонента ру является интегралом движения и, следовательно,
решение A.40) можно записать как
29

A-41)
Калибровка Ландау удобна тем, что в ней функция ^„(x-Xq)
удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора и ее мож-
можно записать как
°-421
где А„ = \j ^2пп\4к1н — нормировочная константа; Н„(х) — по-
полином Эрмита; /я =^cti/(eH) — магнитная длина. Заметим, что
магнитная длина, определяющая пространственный масштаб за-
задачи, не зависит от параметров материала. Координата центра
волновой функции пропорциональна проекции импульса ру:
хо=сру/(еН).
Спектр собственных значений двумерного уравнения Шре-
дингера A.40) тот же, что и спектр гармонического осциллятора:
En=h(oc(n+l/2), и=0,1,2... A.43)
причем роль частоты осциллятора играет циклотронная частота
<ас=еН/(тс). Дискретные уровни A.43), очевидно, являются вы-
вырожденными, поскольку энергия не зависит от квантового числа
ру. Подсчитаем кратность вырождения или число электронов,
которые могут разместиться на одном уровне Ландау.
Пусть электроны на плоскости (х,у) занимают прямоуголь-
прямоугольный участок с размерами Lx,Ly. Центр волновой функции должен
лежать в интервале 0<xQ<Lx. Это значит, что ру изменяется в
пределах 0 < ру < LxeH/c. По оси у должны выполняться цикли-
циклические граничные условия, в силу которых ру может принимать
только определенные значения, а именно Bnh/Ly)s, где s — це-
целое число. Учитывая интервал изменения ру, найдем число со-
состояний на уровне Ландау: LxLy/Bnl]f) или в расчете на единицу
площади
N0=\/Bnl2H). A.44)
30

Кратность вырождения магнитного уровня (без учета спинового
вырождения) можно представить и в другом удобном виде:
ЛГ0 = 1см2#/ф0, A.45)
где ф0 = ch/e — квант магнитного потока. Последнее выражение
означает, что кратность вырождения равна числу квантов магнит-
магнитного потока через единицу площади.
В гамильтониане A.39) не было учтено взаимодействие собст-
собственного магнитного момента электрона с внешним магнитным
полем. Поэтому нужно иметь в виду, что состояния, определяе-
определяемые A.42) и A.43), двукратно вырождены по спину. Чтобы учесть
собственный магнитный момент, нужно к гамильтониану A.39)
прибавить выражение
A.46)
(магнитное поле направлено по оси 0г). Здесь \iB — магнетон Бо-
Бора; g — фактор спинового расщепления; az — матрица Паули. В
отсутствие спин-орбитального взаимодействия волновая функция
есть произведение координатной и спиновой частей:
A.47)
ин J ^ 'я у?)
а для спектра имеем выражение
ею =hcac(n+l/2)±g\iBH. (I.48)
Сосредоточим теперь внимание на поведении электронов
вблизи границы образца. Будем считать, что кроме магнитного
поля на электрон действует еще потенциал Щх). Ради простоты,
можно, например, считать, что на линиях x=0,Lx находятся бес-
бесконечно высокие отражающие стенки (рис. 1.13). Разумеется, гра-
граница существенно влияет на квантовое состояние лишь в том слу-
случае, если центр волновой функции удален от нее на расстояние,
не превышающее циклотронный радиус, т.е. Lx -Xq » ^. Решение
уравнения Шредингера для таких поверхностных состояний мож-
можно искать в виде
уп<Ру ocQxp(ipyy/h)gn(x-x0,Lx-x0), A.49)
31

а)
6)
где gn — функция, по-
прежнему имеющая п
узлов и сосредоточен-
сосредоточенная вблизи границы.
При наличии границы
вырождение по ру сни-
снимается и энергия зави-
зависит от двух квантовых
чисел — п и ру. Если
центр волновой функ-
функции лежит далеко от
границы, то уровни
энергии такие же, как в
объеме. При приближе-
приближении Xq к границе энер-
энерРис. 1.13. Уровни энергии 2D электронов в пер-
гия
будет моно-
пендикулярном магнитном поле. Движении по ТОННО увеличиваться И
оси Xq ограничено жесткими стенками. В верх- ПРИ x0=Lx станет рав-
равней части рисунка показаны классические «ска- НОЙ Еп . = tt(Oc Bй+3/2).
чущие» траектории „ ' J
Затем при дальнейшем
увеличении х0 она будет увеличиваться примерно по закону
егН2
(Lx~XnJ т-. Точно так же будет вести себя энергия при при-
2тс
ближении Хо к противоположной границе: jcq =0. Зависимость
энергии электрона от ру или jcq схематически показана на рис.
1.13,6).
Необходимо отметить еще одно важное свойство поверхност-
поверхностных состояний. Зависимость их энергии Е„р от ру говорит о
том, что они переносят ток даже в отсутствие электрического по-
поля. Этот ток, направленный вдоль оси у, можно вычислить по
формуле iy = evy, где
ЪЕ„
Эхо _ с дЕщ
A.50)
дру Эх0 дру еН дх0
На противоположной границе ток будет направлен в другую сто-
сторону.
32

Существует классический аналог квантовых поверхностных
состояний. Это заряженные частицы, движущиеся в магнитном
поле вблизи жесткой стенки. Траектории таких частиц (их назы-
называют скачущими) состоят из дуг окружностей (см. рис. 1.13, а).
Многократно отражаясь от стенок, они перемещаются вдоль гра-
границы, создавая электрический ток, направленный на противопо-
противоположных границах в разные стороны.
Необходимо отметить, что поверхностные состояния играют
важную роль в ряде физических эффектов — они определяют диа-
диамагнетизм, холловскую проводимость и т.д. Впервые рассмотрен-
рассмотренные нами магнитные поверхностные состояния были экспери-
экспериментально обнаружены М.С. Хайкиным [17].
В заключение настоящего раздела рассмотрим еще одну модель —
квантовые точки в магнитном поле. Будем считать, что внутри кван-
квантовой точки имеется двумерный параболический потенциал
^2+y2), A.51)
а движение по оси z ограничено, и частица всегда находится на
основном уровне размерного квантования. Магнитное поле, ори-
ориентированное по оси z, здесь удобно описать, воспользовавшись
симметричной калибровкой векторного потенциала:
А(-Ну/2,Йх/2,0). A.52)
В такой калибровке удобно перейти к цилиндрическим координа-
координатам и записать уравнение Шредингера в следующем виде
ii_pi.+ iiL+^/L+f-«i+^.
рЭр Эр р2 Эю2 ch \ \ 2 %тс2
2т
где 1г — оператор проекции момента. Благодаря коммутативности
оператора Гамильтона и оператора 1г переменные в A.53) разде-
разделяются и решение можно записать в виде
( J- \
A.54)
где п=0,1, 2,...; т=0, ±1, ±2,...; F — гипергеометрическая функ-
функция; а=—D<ао2+юс2)"^4; С — нормировочная константа. Для
т
спектра имеем следующее выражение:
2 Физика квантовых 33
низкоразмерных структур

Рис. 1.14. Электронный спектр Епт квантовой
точки, находящейся в магнитном поле. В сильном
магнитном поле уровни с фиксированным п груп-
группируются вблизи я-х уровней Ландау
?яи=й(оBп+|т|+1)/2+йо)ст/2, A.55)
где (а=(о с
Зависимость уровней Е„
от циклотронной частоты <ос«Я
иллюстрирует рис. 1.14. Видно, что при #-»0 формула A.56) дает
вырожденный спектр двумерного гармонического осциллятора, а
в сильном поле все уровни с фиксированным квантовым числом
п приближаются к уровням Ландау.
1.2.8. Плотность состояний
Проведем теперь расчет плотности электронных состояний в
низкоразмерных структурах. Прежде всего вычислим плотность
состояний 2D электронов, находящихся в одной подзоне размер-
размерного квантования. Сначала определим число состояний, у кото-
которых энергия меньше Е. Будем считать, что собственные функ-
функции — это плоские волны, нормированные на площадь образца S:
34

,У), A-56)
а спектр — изотропный и квадратичный:
Е-Еп = р2/Bт). A.57)
Воспользовавшись циклическими граничными условиями для
функций A.56) y(x,y) = y(x+Lx,y) и y(x,y) = y(x,y+Ly), опреде-
определим разрешенные значения компонент проекций импульса
рх =——щ , ру -—— и2, где щ и п2 — целые числа. Тогда площадь
в пространстве рх,ру, приходящаяся на одно состояние, будет
равна
BnfiJ/LxLy=BnfiJ/S, A.58)
Все состояния с энергией меньше Е лежат внутри круга радиуса
р=т]2т(Е-Е„). Разделив площадь этого круга на площадь, при-
приходящуюся на одно состояние [(см. A.58)], найдем полное число
состояний с энергией меньше Е:
2\
ли2
Здесь мы учли, что каждое состояние двукратно вырождено по
спину. Плотность состояний, определяемую как число состояний
на единичный интервал энергии и на единицу площади, опреде-
определим как
Л^Ш^Еп), A.59)
где функция -QiE-En) равна 1 и 0 соответственно при Е>Е„ и
Е<Е„. Видно, что полученная двумерная плотность состояний
является константой для всех энергий, превышающих Е„. Полная
плотность состояний нескольких подзон — это ступенчатая функ-
функция энергии. Ступени находятся в точках Е=Е„; при больших
энергиях р(Е) стремится к плотности состояний 3D электронов
(рис. 1.15, а), которая, как известно, пропорциональна
2. 35

Определим теперь плотность состояний в квантовой нити, где
электрон свободно движется в одном направлении. Импульсное
пространство здесь тоже одномерно. Полное число состояний с
импульсом, не превышающим \pz\, найдем, разделив 2рг на ин-
интервал в импульсном простран-
пространстве, приходящийся на одно
квантовое состояние:
A.60)
Первый множитель 2 в правой
части учитывает двукратное вы-
вырождение по спину. Выражая рг
в A.60) через энергию в одно-
одномерной подзоне Е„т(рг)=Е„т +
+рЦBт), найдем полное число
состояний с энергией меньше
Е:
Рис. 1.15. Плотность состояний: а —
2D электронов (заполнены состояния
с энергией меньше EF вдвухподзо-
нах размерного квантования, плот-
ность состояний 3D электронов пока-
ззна штриховыми линиями); б - id
электронов; в— 2D электронов в
квантующем магнитном поле
Плотность состояний (на едини-
единицу длины) определим как
.A.6
Из A.61) видно, что одно-
одномерная плотность состояний
имеет особенности на нижних
граница ПОдЗОН Епт И убывает С
м ? f фик 3aBHCHM0CTH
ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ ОДНОМер-
ного движения приведен на рис.
1.15, &
Наконец, обсудим характер
плотности состояний в двумерном электронном газе, находящем-
находящемся в квантующем магнитном поле. Поскольку спектр в этой систе-
системе является полностью дискретным Е„ = й©с(л+1/2), то плотность
36

состояний как функция энергии представляет собой ряд 5-образ-
ных пиков. Учитывая, что кратность вырождения магнитных
уровней определяется формулой A.45), найдем множитель перед
5-функцией в выражении плотности состояний:
^L A.62)
График р(Е) для двумерного электронного газа в квантующем
магнитном поле представлен на рис. 1.15, в.
Приведенные выше выражения для одно-, дву- и нульмерной
электронной плотности состояний получены без учета электрон-
электронного рассеяния. В реальных образцах ступени двумерной плотно-
плотности состояний, особенности одномерной плотности состояний и
5-образные особенности нульмерной плотности состояний будут
частично размыты, а в грязных образцах — полностью подавлены.
Дело в том, что вследствие соотношения неопределенностей для
энергии и времени энергетический уровень электрона, испыты-
испытывающего рассеяние, имеет конечную ширину й/хр , гдетР — время
жизни электрона в одном квантовом состоянии, или время релак-
релаксации импульса. Для того чтобы дискретный характер спектра и
особенности плотности состояний сохранялись, необходимо вы-
выполнить следующее условие:
е„+1-ел>*/тР- A-63)
Другими словами, расстояние между дискретными уровнями
должно превышать уширение, определяемое соотношением неоп-
неопределенностей для энергии и времени. Поскольку рассчитать вре-
время релаксации тр не просто, на практике его можно оценить, вы-
выразив через экспериментально измеренную подвижность ц, свя-
связанную с временем релаксации соотношением \i=eiP/m.
Выполнение условия, подобного A.63), необходимо также и
для того, чтобы особенности плотности состояний в магнитном
поле были наблюдаемыми. В последнем случае это условие запи-
записывается в форме
/ко#>й/тр. A.64)
Заметим, что условие A.64) совпадает по форме с классическим
условием сильного магнитного поля юстр > I, которое означает,
что за время одного оборота в магнитном поле электрон не испы-
испытает рассеяния.
37

Для экспериментального обнаружения различных кинетиче-
кинетических и термодинамических эффектов квантования необходимо
также, чтобы температура была не слишком высока. Это значит,
что тепловой разброс энергий квТ должен быть меньше расстоя-
расстояния между уровнями дискретного спектра:
ей+1-е„>*В7\ A-65)
где кв — постоянная Больцмана. В квантующих магнитных полях
последнее условие имеет вид
П(ос>квТ. A.66)
Литература
1. Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. Oxford Univ. Press, 1997.
2. Daita S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge Univ.
Press, 1995.
3. Physics of Low Dimensional Structures // Edited by P. Butcher,
N.H.March, M.P.Tosi. New York. Plenum Press, 1993.
4. Beenaker С W.J., Houten H. von. Quantum Transport in Semiconductor
Nanostructures. Acad. Press. Inc. Solid State Phys. Vol. 44.1991.
5. Bastard G, Brunt J.A., Ferreira R. Electronic States in Sermiconductorr
Heterostructures. Acad Press, 1991.
6. Weisbush C, Vinter B. Quantum Semiconductor Structures. Acad. Press.
Inc., 1991.
7. Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures.
Les Editions de Physique, 1988.
8. Бехштедт Ф,, Андерлайн P. Поверхности и границы раздела полу-
полупроводников. М.: Мир, 1990.
9. Weiss D. etal. Appl. Phys. Lett. 58,2960,1991.
10. RuvimovS. etal. Phys. Rev. В 51,14778,1995.
11. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой ме-
механике. М.: Наука, 1992.
12. Cusack M.A., Bridoan P.R., Jams M. Phys. Rev. В 54, R2300, 1996;
Ruvimov S., Werner P., Scheerschmidt K. et al. Phys. Rev. В 51,14776,1995.
13. ДемиховскийВ.Я., Савинский С.С. ФТТ. 34,2383,1992.
14. Демиховский В.Я., Тавгер Б.А. Радиотехника и электроника. 11,
1147,1966.
15. ГлазманЛ.И.,ЛесовикГ.В., ХмельницкийД.Е., Шехтпер Р.И. Письма
вЖЭТФ.48,218, 1988.
16. Демиховский В.Я., Потапенко С.Ю., СатанинАМ ФТП. 17,233,1983,
17. Хайкин М.С. ЖЭТФ. 41, 1773, 1961; Хайкин М.С. Магнитные по-
поверхностные уровни // Электроны в металлах / Под ред. М.И.Каганова,
B.C. Эдельмана. М.: Наука, 1985.
38

Глава 2
КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ
2.1
Общие сведения
Основные физические характеристики низ-
низкоразмерных структур в конечном счете опре-
определяются параметрами электронов зоны прово-
проводимости и дырок валентной зоны массивных
полупроводников. В этой главе будут
рассмотрены некоторые свойства электронных
состояний объемных полупроводников, а также
методы расчета спектров и волновых функций в
низкоразмерных структурах. Однако предвари-
предварительно сделаем несколько замечаний общего
характера.
Известно, что полупроводниковые соедине-
соединения типа А3В5, а также Ge и Si имеют алмазопо-
добную кристаллическую решетку, состоящую
из двух кубических гранецентрированных ре-
решеток, сдвинутых относительно друг друга
вдоль объемной диагонали куба на одну четвер-
четвертую ее длины. Первая зона Бриллюэна таких
полупроводников такая же, как у решетки гра-
нецентрированного куба — это четырнадцати-
гранник (кубооктаэдр) с шестью квадратными
и восемью шестиугольными гранями (рис. 2.1).
Симметричные точки и линии зоны Бриллю-
Бриллюэна, некоторые из которых показаны на
рисунке, имеют стандартное обозначение — Г,
X, L, Д,Л. В каждой элементарной ячейке со-
соединения А3В5 находится восемь электронов
(три из которых от атомов сорта А и пять от ато-
атомов сорта В), принадлежащих внешним атом-
атомным оболочкам. Эти электроны формируют
тетраэдрические химические связи между ато-
атомами — каждый атом А связан с четырьмя бли-
39

жайшими соседями атомами В. Энергетические зоны, в которых
находятся внешние электроны, определяют электрические харак-
характеристики полупроводников. Волновые функции всех остальных
электронов локализованы вблизи атомных ядер и формируют глу-
боколежащие энергетические зоны.
В типичном прямозонном полупроводнике типа А3В5, напри-
например GaAs, вершина валентной зоны и минимум зоны проводимо-
проводимости находятся в центре зоны Бриллюэна, т.е. в точке Г (минимум
зоны проводимости может находиться также в точке X, как в AlSb,
или на прямой Д, как в GaP). Волновая функция в минимуме зо-
зоны проводимости прямозонного полупроводника имеет симмет-
симметрию .s-типа, а в максимуме валентной зоны — />-типа. В отсутствие
спин-орбитального взаимодействия электронные состояния в
вершине валентной зоны трехкратно вырождены. При учете спи-
спина и спин-орбитального взаимодействия характер электронных
состояний изменяется следующим образом: состояния .у-типа пре-
превращаются в двукратно вырожденные состояния с полным момен-
моментом / = 1/2, а состояния валентной зоны — в четырехкратно выро-
вырожденные состояния с моментом / = 3/2 и двукратно вырожденные
состояния с / = 1/2. Состояния квадруплета /=3/2 всегда имеют
большую энергию, чем состояния дублета, из них формируются
1010]
Рис. 2.1. Первая зона Бриллюэна кубической гранецен-
трированной решетки
40

зоны легких и тяжелых дырок. Состояния дублета / = 1/2 форми-
формируют отдельную зону дырок (тоже легких), которая отщеплена от
верхнего края валентной зоны за счет спин-орбитального взаимо-
взаимодействия.
Для расчета волновых функций и зонного энергетического
спектра полупроводников и полупроводниковых структур исполь-
используются хорошо известные в физике полупроводников подходы и
прежде всего кр -метод и модель Кейна. Ниже кратко излагаются
основные положения этих подходов. Для детального знакомства
необходимо обратиться к специальной литературе по физике по-
полупроводников.
2.2
Приближение эффективной массы и кр-метод
2.2.1. Общие замечания
Для описания электронных состояний как в объемных полу-
полупроводниках, так и в низкоразмерных полупроводниковых струк-
структурах, часто используются приближение эффективной массы и
модель Кейна. Ниже с помощью этих приближений будут получе-
получены уравнения для огибающей волновой функции и соответствую-
соответствующие граничные условия на гетерогранице.
В отличие от металлов концентрации носителей тока (элек-
(электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне) в полупро-
полупроводниках много меньше концентрации атомов, поэтому они за-
заполняют только небольшую часть состояний в зоне Бриллюэна.
Напомним, что число состояний в зоне Бриллюэна равно удвоен-
удвоенному числу элементарных ячеек в кристалле, а элементарная
ячейка таких полупроводников, как Ge, Si, GaAs, содержит два
атома. Характерная ширина разрешенной зоны в полупроводни-
полупроводниках — порядка 1 эВ, что значительно превосходит тепловую энер-
энергию (при комнатной температуре кдТ* 0,026 эВ, где кв — постоян-
постоянная Больцмана; Т— температура). Поэтому электроны заполняют
в зоне проводимости полупроводника состояния в окрестности
минимума, который называют дном зоны проводимости, а дырки в
валентной зоне — состояние в окрестности максимума (потолка).
Таким образом, для описания носителей тока в полупроводниках
нет необходимости знать зависимость энергии от квазиимпульса во
41

всей зоне Бриллюэна, в достаточно определить ее в окрестности дна
зоны проводимости и потолка валентной зоны. Кроме того, величина
отклонения квазиимпульса носителя тока от квазиимпульса, соответ-
соответствующего экстремуму, может рассматриваться как малый параметр.
Используя его можно найти зависимость энергии носителя тока от
квазиимпульса в окрестности дна зоны проводимости и потолка ва-
валентной зоны по теории возмущений.
2.2.2. Приближение эффективной массы в простой зоне
Рассмотрим вид электронного спектра в окрестности экстре-
экстремума. Для простоты сначала пренебрежем спин-орбитальным
взаимодействием (оно будет учтено позднее). Пусть экстремум
n-й зоны располагается в точке к = ко, где существует только дву-
двукратное вырождение по спину. Такая модель описывает окрест-
окрестность дна зоны проводимости Ge, Si, а также GaAs и других полу-
полупроводников типа А^В5. Для построения теории возмущений ре-
решение уравнения Шредингера с квазиимпульсом к в n-й зоне
?„ (к, г) удобно разложить по следующему полному ортонормиро-
ванному базису функций:
?^у B.1)
J
где
^Ь$М B.2)
Здесь индексы п, j обозначают номер зоны; V — объем кристалла;
Uj (ко, г) — периодическая часть блоховской функции с волновым
вектором, соответствующим экстремуму; к — квазиволновой век-
вектор, связанный с квазиимпульсом р соотношением: р = Ш.
Очевидно, функция B.1) удовлетворяет уравнению Шредингера
к,г) B.3)
с гамильтонианом
^, B.3а)
H^+U(j),
2/Ио
где /«о - масса свободного электрона; р - оператор импульса; U—
потенциальная энергия электрона в кристалле.
42

Заметим, что функцию срДк, г) можно записать в виде
Фу(к,г)=ехр[/(к-ко)г]фу(ко,г), B.4)
причем функция фу (ко, г) является решением уравнения Шредин-
гера:
ко,г). B.5)
Подставив разложение B.1) в уравнение B.3), получим систему,
определяющую коэффициенты Fny(k):
B.6)
ft
Здесь матричный элемент компоненты оператора импульса опре-
определяется выражением
|г)^3г, B.7)
а=х,у, z- Фактически система B.6) есть уравнение Шредингера в
базисе функций B.2).
Условием существования нетривиального решения системы
B.6) является равенство нулю ее детерминанта. Предположим,
что зона в точке ко не вырождена, и найдем спектр энергий с по-
помощью теории возмущений по разности к - ко. Учитывая члены
(к-коJ в первом порядке, а слагаемые, пропорциональные
(к - кцо), во втором порядке, найдем:
где (l/m)a> p называется тензором обратных эффективных масс:
1 "I Э2е 5а„ . 2
43

Из определения B.9) видно, что тензор обратных эффектив-
эффективных масс симметричен относительно перестановки индексов, т.е.
(l/m)ap = (l/m)Pa, и поэтому соответствующим поворотом систе-
системы координат может быть приведен к диагональному виду. В та-
такой системе координат зависимость энергии от квазиимпульса
имеет вид:
. B.10)
Отметим, что все три массы в B.10) положительны, если в точ-
точке ко — минимум энергии, и отрицательны — если максимум. Из
B.10) следует, что поверхности постоянной энергии около экстре-
экстремумов представляют собой эллипсоиды. Изложенный способ оп-
определения спектров получил название кр-метода [2,3].
Как правило, экстремумы энергии не располагаются в произ-
произвольных точках зоны Бриллюэна — они находятся в точках с высо-
высокой симметрией. Например, в Ge дно зоны проводимости нахо-
находится на границе зоны Бриллюэна в точках L, через которые про-
проходят оси третьего и второго порядков, а также плоскости отраже-
отражения (см. рис. 2.1). В Si через минимумы зоны проводимости про-
проходят ось четвертого порядка и плоскости отражения. В GaAs ми-
минимум зоны проводимости расположен в центре зоны Бриллю-
Бриллюэна — точке Г.
Нетрудно показать, что если через экстремум проходят оси сим-
симметрии третьего, четвертого или шестого порядков, то поверхность
постоянной энергии представляет собой эллипсоид вращения. Ось
вращения эллипсоида совпадает с осью симметрии. В этом случае за-
зависимость энергии от квазиимпульса характеризуется двумя элек-
электронными массами — продольной /я/и поперечной mt:
В Ge и Si продольные эффективные массы электрона значи-
значительно превосходят поперечные (в Ge nti= 1,64 щ; т, = 0,082 щ; в
Si /я/= 0,98 щ, т, = 0,19 щ). Если экстремум располагается в цен-
центре зоны Бриллюэна в полупроводнике со структурой алмаза или
цинковой обманки, то закон дисперсии изотропен, т.е. имеется
всего одна эффективная масса. Так устроено дно зоны проводи-
проводимости в GaAs (эффективная масса электрона равна 0,067 щ).
44

Строго говоря, в кристаллах без центра инверсии, например в
GaAs, благодаря спин-орбитальному взаимодействию дно зоны
проводимости слегка смещено из центра зоны Бриллюэна в на-
направлении [111] и отсутствует вырождение по спину. Однако ха-
характерные энергии этих эффектов в GaAs очень малы — порядка
0,1 мэВ, поэтому обычно ими пренебрегают.
Отметим, что, как следует из B.9), значение эффективной
массы определяется в основном вкладом от ближайшей зоны.
Часто в прямозонных полупроводниках ближайшей к дну зоны
проводимости оказывается валентная зона. Поскольку разность
энергий дна зоны проводимости и потолка валентной положи-
положительна, то взаимодействие с валентной зоной уменьшает эффек-
эффективную массу электрона. Кроме того, формула B.9) объясняет
уменьшение эффективной массы электрона в узкозонных полу-
полупроводниках.
Введем теперь понятие огибающей волновой функции. Ис-
Используя B.6) и B.9), запишем с точностью до членов (к - коJ урав-
уравнение для Г„„ (к)
B.12)
Умножив правую и левую части уравнения B.12) на ехр[/(к - ко)г]х,
•JV/BnK после интегрирования по к по первой зоне Бриллюэна по-
получим
Здесь функция
^J3, B.14)
называется огибающей волновой функции, а B.12) и B.13) —
уравнениями для огибающей в к и г-представлениях соответствен-
соответственно. Поскольку квазиволновой вектор к определен с точностью до
вектора обратной решетки, то вектор г определен только в узлах
прямой решетки (в противном случае волновая функция была бы
неоднозначна).
45

Таким образом, огибающая волновой функции определена
только на узлах решетки кристалла [3]. Характерный масштаб из-
изменения Fn (г, ко) в г пространстве — |к - ко Г1 и для состояний в
окрестности к0 много больше постоянной решетки. Поэтому для
таких состояний при работе с огибающими дискретность г можно
не учитывать.
Теперь волновую функцию электрона в и-й зоне с помощью
уравнений B.1), B.2) и B.14) можно представить в виде
где и„ (ко, г) — периодическая часть функции Блоха.
Можно показать (см., например, [3]), что в том случае, когда в
гамильтониане B.3а) кроме периодического потенциала U(r) при-
присутствует некоторое статическое возмущение У(т), уравнение
B.12) удается записать в форме
/и
B.15)
где V(k -к') — фурье-образ возмущения К(г). Полученное уравне-
уравнение по форме напоминает уравнение Шредингера во внешнем по-
потенциальном поле, записанное в импульсном представлении. Пе-
Переходя от B.15) к дифференциальному уравнению, получим
[tn(-ihV)-z)Fn(r)+V(T)Fn(r)=O, B.16)
где символ е„ (-/AV) означает, что в выражении б„ (к) вместо ком-
компоненты ка следует подставить —ihdldra.
Уравнение для огибающей типа B.16) обычно используется
для описания квантовых состояний электронов и дырок в низко-
низкоразмерных квантовых структурах (см. разд. 2.3).
2.2.3. Приближение эффективной массы в сложной зоне
Рассмотрим теперьхитуацию, когда в точке экстремума имеет-
имеется вырождение, связанное с касанием зон. Касание зон осуществ-
осуществляется, например, в точке максимума энергии валентной зоны во
всех полупроводниках со структурой алмаза и цинковой обманки.
46

В этих материалах потолок валентной зоны находится в центре зо-
зоны Бриллюэна и образован трехкратно вырожденными (без учета
спина) состояниями р-типа.
Если учесть спин, то вырождение в точке к=0 станет шести-
шестикратным. Спин-орбитальное взаимодействие расщепляет шести-
шестикратно вырожденное состояние /кгипа на два, одно из которых че-
четырехкратно вырождено, а другое - двукратно. Разность энергий
этих двух мультиплетов называется энергией спин-орбитального
расщепления и обозначается символом А. Полный момент четырех-
четырехкратно вырожденного состояния равен 3/2, а двукратно вырож-
вырожденного — 1/2. Спиновые части волновой функции, соответст-
соответствующие проекциям спина на ось z ± 1/2, будем обозначать симво-
символами Т и 4 соответственно. Спин-орбитальное взаимодействие
удобно рассматривать в базисе, где волновые функции характери-
характеризуются величиной полного момента (верхний индекс) и его про-
проекцией на ось z (нижний индекс). Координатные волновые функ-
функции, преобразующиеся как х, у, z, будем обозначать соответствен-
соответственно |Х>, |К>, \Z>. Тогда волновые функции с полным моментом 3/2
можно выбрать в виде:
^3/2- /Г ' Y-3/2- ^ ' V-II)
I
B.18)
vp_Y;2=-L
ас полным моментом 1/2:
B.19)
Поправки к энергии, квадратичные по к, теперь можно найти1
с помощью теории возмущений для вырожденных состояний. Для
этого, как известно, необходимо решить секулярное уравнение
вида
det(Hr-tbr)=0. B.20)
47

Совершив переход от базиса |ЛТ>, |Jt>, |Zt>, \Xi>, | Yi>, \Zi> в
базис B.17)—B.19), гамильтониан для огибающей волновой функ-
функции можно записать в виде, приведенном в табл. 2.1.
Таблица 2.1
3/2, 3/2
3/2, 1/2
3/2,-1/2
3/2,-3/2
1/2, 1/2
1/2,-1/2
3/2, 3/2
F
Н"
Г
0
-аГ
1Г
3/2,1/2
Н
G
0
Г
-KG-F)
3/2,-1/2
I
0
G
-Н"
-HG-F)
S
3/2,-3/2
0
I
-н
F
/Гл/2
IH-/J2
1/2,1/2
/Я/л/2
HG-F)
ш$г
0
1/2,-1/2
-//л/2
мЩ
KG-F)
0
(F+G) .
2 Л
В ней использованы следующие обозначения:
B.21а)
B.216)
C-j- ^ АСд- X iKy <f
B.21b)
B.21г)
B.21д)
Ev = e@) - положение потолка валентной зоны; А, В, D- безраз-
безразмерные постоянные, выраженные через введенные ниже величи-
величины
4S

#=JL.Y?
щ Г e(O)-ev(O)
Л = (L+2М)/3 , B = (L- M)/3, D = ЛГД/З . B.22)
Спектр электронов в валентной зоне, получающийся из эф-
эффективного гамильтониана, изображен на рис. 2.2. Как видно из
рисунка, потолок валентной зоны образован касающимися в точ-
точке к = 0 двумя зонами. Одна из них, та, у которой энергия быстрее
уменьшается с ростом к, называется зоной легких дырок, а другая —
зоной тяжелых дырок. Третья зона, лежащая ниже этих двух, назы-
называется зоной спин-отщепленных дырок. В точке к = 0 она располага-
располагается ниже потолка валентной зоны на энергию спин-орбитально-
спин-орбитального взаимодействия Д. Состояния в каждой из зон двукратно выро-
вырождены.
Из рис. 2.2 можно заметить, что расстояние между зонами легких
и тяжелых дырок перестает увеличиваться при удалении от потолка
А,сВ
-0,1
0,2
0.4
0,6
0,8
1,0 к/10, см1
Рис.2.2. Зависимость энергии от волнового вектора в ва-
валентной зоне кремния. Волновой вектор направлен вдоль
[001]
49

валентной зоны на энергию, превышающую величину спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия. То есть для таких энергий спектр электро-
электрона в валентной зоне существенно непараболичен [4].
Величина спин-орбитального взаимодействия увеличивается с
ростом атомного номера элементов, образующих полупроводник.
Так, в кремнии Д*0,04эВ, в Ge Д«0,ЗэВ, а в InSb Д~1 эВ. Если
энергия спин-орбитального взаимодействия велика по сравнению
с характерными энергиями дырок в валентной зоне (например,
тепловой энергией), то влиянием спин-отщепленной зоны на зо-
зоны легких и тяжелых дырок можно пренебречь. В этом случае эф-
эффективный гамильтониан представляет собой верхний левый блок
4x4 гамильтониана 6x6. Его можно представить в простой форме:
+f
' -2 r2
; + PyJ у
B.23)
где псевдовектор J — оператор спинового момента 3/2; уь у2, уз —
постоянные Латтиндже-
ра, связанные с А, В, D
следующим образом: »
120 60
yl=-A,y2=-B/2,
Уз=-Д/B>/3). B.24)
Значения постоянных
А, В, D (уь уз, уз) хорошо
известны для большинст-
большинства полупроводников. Яв-
Явный вид оператора J
можно найти в [5]. Га-
Гамильтониан B.23) был
получен Латтинджером и
носит его имя.
Спектр электронов В
зоне легких 8/ И тяжелых
еА дырок, получающийся
из B.23), имеет вид
Рис 2.з. Сечение поверхностей постоянной
энергии в зоне тяжелых дырок (внешняя ли-
ния) и легких ДЫР°К (внутренняя линия)
плоскостьюр,= const в Ge. Направления в
50

ог±.
yj+plpl+plpj)
B.25)
где знак «+» соответствует зоне тяжелых дырок (А<0), а «-» — зо-
зоне легких дырок и С2 = D2 - ЗВ2.
Поверхности постоянной энергии, соответствующие закону
дисперсии B.25), имеют довольно сложный вид. На рис. 2.3 изо-
изображены поверхности постоянной энергии легких и тяжелых ды-
дырок в Ge. Из рисунка хорошо видно присутствие областей с отри-
отрицательной кривизной на изоэнергетической поверхности тяжелых
дырок. Эти области называются областями с отрицательной попе-
поперечной массой.
Уравнения Шредингера с гамильтонианом, приведенным в табл.
2.1 и с гамильтонианом B.23) будут использованы в разд. 2.3 для опи-
описания электронных состояний в валентной зоне квантовых ям.
2.2.4. Модель Кейна
В прямозонных полупроводниках масса электрона на дне зоны
проводимости часто более чем на порядок меньше массы свобод-
свободного электрона. В таких материалах приближение эффективной
массы оказывается слишком грубым для описания движения
электронов в зоне проводимости из-за заметного отклонения за-
закона дисперсии от параболического. Для учета эффектов непара-
боличности закона дисперсии в зоне проводимости часто исполь-
используется модель, которая была впервые использована Кейном в
1957 г. для описания зонной структуры InSb [6]. Модель Кейна
широко применяется для расчета электронных состояний в низ-
низкоразмерных структурах прямозонных полупроводников.
В этой модели взаимодействие зоны проводимости с зонами тя-
тяжелых, легких и спин-отщепленных дырок учитывается точно, а не
по теории возмущений, как в приближении эффективной массы.
Волновая функция электрона в точке Г зоны проводимости имеет
симметрию функции с нулевым орбитальным моментом, т.е. являет-
является функцией s-типа. Поэтому в качестве базиса состояний зоны про-
проводимости можно выбрать функции |5>Т и |5>1, а для состояний в ва-
валентной зоне — функции B.19)—B.19). В таком базисе гамильтониан
Кейна имеет вид, приведенный в табл. 2.2 [5].
В табл. 2.2 через Ес обозначено положение дна зоны проводи-
проводимости и
51

Таблица 2.2
st
S+
3/2,3/2
3/2,1/2
3/2,-1/2
3/2,-3/2
1/2,1/2
1/2,-1/2
St
Ec+
+h2k2/2rn'c
0
Pk
If
Pk+
Те
0
Pkz
iPk+
Ж
Si
0
h2k2/2rn'c
0
-iPk
л/6
-iPk+
л/2
Pk
Ж
-iPkz
3/2,3/2
PK
л/2
0
H
*
0
-iH*
л/2
il'-Jl
3/2,1/2
iPk+
л/6
H
G
0
*
-OG-F)
л/2
3/2,-1/2
Pk
л/6
7
0
G
-H
>»¦?
-i(G-F)
л/2
3/2,-3/2
0
iPk
л/2
0
7
-Я
/¦
//'л/2
iH*
л/2
1/2,1/2
Pkz
Ж
ж
iH
л/2
i(G-F)
л/2
-//л/2
/¦+с
2
0
1/2,-1/2
-iPk
ж~
iPkz
Ж
-//л/2
-I
i(G-F)
-iH
Ж
0
/4G
2

B.26)
p-Jl * __й_ у __л_
Щ Щ Щ
(Отметим, что в [5] допущены опечатки в записи гамильтониана
модели Кейна).
Для описания электронных состояний в зоне проводимости
можно пренебречь квадратичными по к компонентами гамильто-
гамильтониана в валентных подзонах, поскольку закон дисперсии электро-
электронов определяется членами гамильтониана, пропорциональными
кР. Будем также полагать, что кх=ку=0. Тогда компоненты га-
гамильтониана, соответствующие функциям |3/2, ±3/2>, диагональ-
ны и их можно исключить, так как они не взаимодействуют с ос-
остальными. Это означает, что в данном случае зона тяжелых дырок
не взаимодействует с зонами проводимости, легких и спин-отще-
пленных дырок. Исключив из рассмотрения зону тяжелых дырок
и перейдя в новый базис: |5>t, /|2>Т, \X+iY>i/<Jl, |5> I, i\Z>i,
\Х- iY>t/-j2 , гамильтониан Кейна можно записать в виде:
Здесь
-iPk,
О
Нк О
О Нк
iPkz
B.27)
О
П2к2 2Д
3
B.28)
где Ес — край зоны проводимости.
Из B.28) получаем кубическое секулярное уравнения для оп-
определения законов дисперсии электрона в зонах проводимости, а
также легких и спин-отщепленных дырок:
(E'-Ec)(e'-Ev)(e'-Ev+A)-P2k2(E'-Ev+2A/3) = 0, B.29)
где е' = е + й2Ук2/B/и0). Рассматривая окрестность дна зоны прово-
проводимости, где е»Ес + Й2Л2/B/ия), можно из B.29) определить Яче-
53

рез измеряемые величины — эффективную массу в зоне проводи-
проводимости т„, ширину запрещенной зоны Eg=Ec- Ev, Д:
B.30)
Масса электрона в зоне проводимости много меньше массы сво-
свободного электрона, поэтому обычно в диагональных компонентах
B.28) отбрасывают слагаемое п2к2/Bт0).
Выражение B.29) является хорошим приближением для опи-
описания закона дисперсии электронов с учетом эффектов непарабо-
личности для энергий электронов б- Ec<&Eg+2A/3. Взаимодейст-
Взаимодействие s- и ^-состояний приводит не только к непараболичности
спектра электронов в зоне проводимости, но и к его анизотропии.
Например, если в разложении функции s(k) по к ограничиться
членами к4, то закон дисперсии электронов примет вид [7]:
е(к) = Ес +——+аок4 +$й(к1к2 +kjk% +k%k2). B.31)
2.2.5. Влияние деформации на электронный спектр
Часто в гетероструктурах один или несколько слоев деформи-
деформированы. Причиной такой деформации, как правило, является не-
несовпадение периодов решеток полупроводников, образующих ге-
тероструктуру. Примером структур, в которых деформация играет
важную роль, являются гетероструктуры GaAs/InxGai.xAs,
Si/GexSii_x и др. Деформация в гетероструктурах может достигать
величины порядка 10%.
Если постоянная решетки тонкого слоя полупроводника отли-
отличается от постоянной решетки толстой подложки, на которой вы-
выращен этот слой, то в гетероструктуре возникают деформации.
Тонкий слой деформируется так, чтобы расстояния между его ато-
атомами в плоскости роста были равны расстояниям между атомами
подложки. При этом если тонкий слой в плоскости роста растяги-
растягивается, то в перпендикулярном направлении он сжимается так,
чтобы упругая энергия в слое была минимальна. Деформацию та-
такого типа можно представить как суперпозицию деформации все-
всестороннего сжатия (рартяжения) и одноосной деформации вдоль
нормали к тонкому слою.
54

Рассмотренная ситуация типична для одиночных квантовых
ям. В толстых структурах, состоящих из чередующихся тонких
слоев разных материалов, постоянная решетки слоев в плоскости
роста может заметно отличаться от постоянной решетки подлож-
подложки. В этом случае на границе структуры и подложки появляется
сетка дислокаций. Бездислокационную структуру удается вырас-
вырастить лишь тогда, когда постоянные решетки в слое и подложке
совпадают с большой точностью.
Рассмотрим, как влияет деформация полупроводника на энер-
энергетический спектр электронов. При всестороннем сжатии (растя-
(растяжении) симметрия кристалла не изменяется. Поэтому такая де-
деформация не снимает вырождение электронных состояний. Ре-
Результатом ее действия является изменение постоянных, характе-
характеризующих зонный спектр, таких как ширина запрещенной зоны и
эффективные массы электронов. Под действием всестороннего
сжатия (растяжения) изменяются также энергетические зазоры
между различными долинами внутри зоны проводимости и ва-
валентной зоны. Так, при всестороннем сжатии экстремумы зоны
проводимости в точках Г, образованные состояниями s-типа, уда-
удаляются от потолка валентной зоны, а Х(А) — долины, образован-
образованные состояниями />-типа, приближаются к валентной зоне.
В случае деформации общего вида симметрия кристалла пони-
понижается. Это приводит к снятию вырождения зон легких и тяжелых
дырок в точке Г, а также к смещению по энергии относительно
друг друга эквивалентных в недеформированном кристалле долин
(например, L-долин). Отметим, что однородная деформация не
нарушает симметрию по отношению к пространственной инвер-
инверсии. Поэтому спиновое вырождение электронного спектра в од-
однородно деформированных кристаллах сохраняется.
При малых деформациях энергия электрона изменяется пропор-
пропорционально тензору деформации е^-, а не вектору смещения. Это оче-
очевидно, если принять во внимание, что однородная трансляция кри-
кристалла не изменяет энергии электронов. Влияние деформации на
движение электрона учитывается путем добавления в гамильтониан
специального слагаемого, форму которого можно найти, используя
симметрию [5]. Действительно, гамильтониан инвариантен относи-
относительно преобразований симметрии кристалла. В приближении эф-
эффективной массы он пропорционален второй степени квазиимпуль-
квазиимпульса. Но закон преобразования произведения ppjтакой же, как и ег По-
Поэтому деформационное слагаемое в гамильтониане имеет вид, анало-
55

гичный слагаемому, пропорциональному ррг В простой зоне (зоне
проводимости) это слагаемое можно записать в форме
Hd=Zyty, B.32)
где Е у<— симметричный тензор, называемый тензором констант
деформационного потенциала. Он имеет размерность энергии и
симметрию тензора обратных эффективных масс. Например, для
Г-долины отличны от нуля лишь три равные друг другу компонен-
компоненты этого тензора: S^S^S K=S. Для L-, Х-, А -долин также от-
отличны от нуля три компоненты тензора (в системе координат, где
тензор обратных масс диагонален). Однако в этом случае не одна,
а две независимые компоненты и деформационное слагаемое га-
гамильтониана обычно записывают как [8]
#rf=5d(en+e22+e33)+Sue33. B.33)
Здесь так же, как и в B.16), третья ось системы координат сов-
совпадает с осью симметрии высокого порядка.
Аналогично можно построить «деформационное» слагаемое
гамильтониана в валентной зоне [5]. Для этого воспользуемся
табл. 2.1. В ней следует произвести замены:
G=>g=(a-b/2)(exx+zyy)+(.a+b)Ezz\
=-/rf(exz-куг); / =>у=—^(е^-e^)-/*^
и положить Д = 0. Постоянные a, b, d имеют размерность энергии
и называются константами деформационного потенциала. Вели-
Величины компонент тензора 3 у, а также постоянных деформацион-
деформационного потенциала составляют в полупроводниках несколько элек-
электрон-вольт. Более подробно влияние деформации на спектр элек-
электронов в кристаллах рассмотрено, например, в [5] и [8].
56

2.3
Электронный (дырочный) спектр и волновые функции в
квантовых ямах и сверхрешетках
2.3.1. Типы гетеропереходов
Все гетеропереходы принято разбивать на два основных типа.
К первому типу относят те гетеропереходы, в которых запрещен-
запрещенная зона узкозонного полупроводника полностью находится в за-
запрещенной зоне широкозонного. Согласно правилу Андерсона
(см. 1.1.1), величина разрыва зон в гетеропереходе определяется
разностью значений электронного сродства в двух полупроводни-
полупроводниках. Конечно, такое правило не учитывает конкретных микроско-
микроскопических свойств границы, однако весьма часто оно дает резуль-
результаты, подтверждаемые в эксперименте.
а)
б)
Ev2
Evl
Ev2
Рис. 2.4. Зонная схема гетеропереходов первого (а) и второго (б) типов
На рис. 2.4, а показано относительное расположение энерге-
энергетических зон в гетеропереходе первого типа. Большая часть иссле-
исследованных к настоящему времени гетеропереходов относится
именно к этому типу. В качестве примера гетеропереходов перво-
первого типа можно привести структуры AlxGai.xAs/GaAs, InxGai_
xAs/GaAs, InxGa!.xAs/InP, GaAs^Px/GaAs, GaSb/AlSb, ZnS/ZnSe.
Если тонкий слой узкозонного материала с двух сторон окружен
широкозонным полупроводником, то возникает квантовая яма
как для электронов зоны проводимости, так и для дырок в валент-
валентной зоне.
57

В гетеропереходах второго типа запрещенная зона узкозонно-
узкозонного полупроводника перекрывается либо с зоной проводимости,
либо с валентной зоной широкозонного полупроводника. На
рис. 2.4, б показана зонная структура гетероперехода второго типа.
К таким гетеропереходам можно отнести гетеропереходы GexSii_x/
Si (при х>0,4, если гетероструктура в плоскости роста согласована
с решеткой кремния), Ini.xGaxAs/GaSfy.yASy, GaAs/GaP. Если по-
последовательно расположены два гетероперехода второго типа, то
область квантовой ямы для электронов будет одновременно обла-
областью барьера для дырок.
Особым случаем гетероперехода второго рода является гетеро-
гетеропереход InAs/GaSb, в котором запрещенная зона InAs полностью
располагается в валентной зоне GaSb, так что зона проводимости
InAs перекрывается с валентной зоной GaSb. Иногда такие гете-
гетеропереходы называют гетеропереходами третьего типа.
2.3.2. Граничные условия
Ясно, что приближение эффективной массы не работает непо-
непосредственно в области гетерограницы, толщина которой порядка
межатомного расстояния. Однако за пределами узкой окрестности
гетерограницы этим приближением можно пользоваться. Поэто-
Поэтому по обе стороны от гетерограницы движение электрона можно
описать с помощью огибающей волновой функции, а на гетеро-
границе произвести сшивание этих функций. Для этого нужно ус-
установить граничные условия на гетеропереходе. Использование
граничных условий фактически равнозначно введению нового га-
гамильтониана в приближении эффективной массы во всем про-
пространстве, включая и гетерограницу. Если такой гамильтониан
имеется, то граничные условия получаются путем интегрирования
уравнения Шредингера по малой окрестности гетероперехода. Яс-
Ясно, что новый гамильтониан должен быть инвариантен относи-
относительно преобразований симметрии, которые сохраняются в при-
присутствии гетерограницы.
Граничные условия должны обеспечивать сохранение числа час-
частиц при их переходе через гетерограницу. Кроме того, вследствие
трансляционной инвариантности кристалла должна сохраняться
проекция квазиимпульса на плоскость гетерограницы. Компонента
квазиимпульса, перпендикулярная гетерогранице, не сохраняется;
она может изменяться при переходе электрона из одного материала в
другой на величину порядка размеров зоны Бриллюэна. Поэтому на
58

гетерогранице возможно перемешивание состояний различных до-
долин, если в зоне Бриллюэна они сдвинуты друг относительно друга в
направлении, перпендикулярном гетерогранице.
Присутствие в кристалле гетерограницы понижает его симмет-
симметрию, однако некоторые элементы симметрии, такие как оси вра-
вращения и перпендикулярные им плоскости отражения, сохраняют-
сохраняются. Волновая функция электрона при переходе через гетерограни-
цу должна сохранять свойства симметрии, которые гетерограница
не нарушает. Например, если волновая функция электрона слева
от гетерограницы четная относительно отражения в плоскости,
перпендикулярной гетеропереходу, то и справа она должна быть
тоже четной.
Проиллюстрируем сказанное примерами. Рассмотрим сначала
простейший случай граничных условий для волновых функций,
описывающих электроны в долинах, расположенных в одной точ-
точке зоны Бриллюэна. В этом случае, как показано в [9], эффектив-
эффективный гамильтониан можно записать в виде
где Ес — положение дна долины, массу считаем изотропной. Ин-
Интегрируя уравнение Шредингера с гамильтонианом B.34) в окре-
окрестности плоскости гетероперехода z = 0, найдем, что на гетерогра-
гетерогранице должны быть непрерывны огибающая волновой функции и
ее производная, деленная на массу:
^|г=+0±?^|.
т az т az
Рассмотрим теперь граничные условия на гетерогранице, свя-
связывающие состояния разных долин. Примером такого рода может
служить связь состояний /"-долины в GaAs и одной из трех Х-ао-
лин в AlAs на гетерогранице GaAs/AlAs, расположенной в плоско-
плоскости [001] (см. [10,11]). В этом случае на гетерогранице в новый га-
гамильтониан вводится перекрестный член, пропорциональный
дельта-функции 8(z- z<), raez=z3 — плоскость гетерограницы. Но-
Новый гамильтониан принимает вид
B.35)
59

где Яг и Нх — гамильтонианы для состояний Г и Л-долин, сс=
= ±1,55 эВ-А - постоянная взаимодействия Г- и Z-долин на гетеро-
фанице.
При получении граничных условий для многокомпонентной
огибающей волновой функции, удовлетворяющей уравнениям
Шредингера с гамильтонианом, приведенным в табл. 2.2, часто
пользуются следующим правилом. Пусть гетерограница располо-
расположена в плоскости z=Zo- Тогда в квадратичных по рг компонентах
гамильтониана зависящие от z сомножители ставят между двумя
операторами pz, например A(z)pz2->'PzA(z)pz. Компоненты гамиль-
гамильтониана, линейные по pz, заменяют на антикоммутатор:
B(z)pz->(Bpz + pzB)/2={Bpz}/2. Граничные условия, соответствую-
соответствующие полученному таким образом новому гамильтониану, переме-
перемешивают состояния легких и тяжелых дырок на гетерогранице, ес-
если компонента их квазиимпульса вдоль гетерограницы отлична от
нуля. Однако на гетерогранице, расположенной в плоскости [001],
возможно перемешивание и нормально падающих на нее легких и
тяжелых дырок [12].
При наличии перпендикулярной гетерогранице оси второго
порядка могут перемешиваться только состояния с проекциями
на ось z полного момента импульса, равными 3/2 и -1/2, а также
-3/2 и 1/2. Поэтому в соответствующие матричные элементы но-
нового гамильтониана следует включить дополнительные слагае-
слагаемые, пропорциональные 5(г-гь). Если же гетерограница распола-
располагается в плоскости [111], то такое перемешивание отсутствует (его
запрещает наличие нормальной к плоскости перехода оси сим-
симметрии третьего порядка) и дополнительные слагаемые в новом
гамильтониане не появляются [13].
2.3.3. Электронные и дырочные состояния в подзонах размерного
квантования ям и минизонах сверхрешеток
В этом разделе приведены результаты расчетов спектра и вол-
волновых функций электронов и дырок в квантовых ямах и сверхре-
сверхрешетках, выполненные методом матрицы распространения. Дан-
Данный метод рассмотрен в приложении. Прежде, чем переходить к
конкретным примерам, сделаем одно важное замечание.
Как уже отмечалось в 2.2.5, в большинстве полупроводников
масса электронов в /Чдолине много меньше массы свободного
электрона, поэтому энергии уровней размерного квантования ве-
60

лики (они могут достигать величины порядка одной десятой ши-
ширины запрещенной зоны). Для корректного расчета таких состоя-
состояний необходимо учитывать непараболичность закона дисперсии
электронов [14]. Последовательный учет этого эффекта произво-
производится в рамках модели Кейна, рассмотренной в 2.2.3. Обсуждение
деталей использования этой модели для расчета электронных со-
состояний в квантовых ямах и сверхрешетках можно найти в [15].
Отметим, что, как правило, спектр электронов, рассчитанный с
помощью описанных ниже методов, с точностью до 10~3 эВ совпа-
совпадает со спектром, определенным в эксперименте.
На рис. 2.5 показаны
положения уровней раз-
размерного квантования
электронов и дырок в ге-
гетероструктуре Irio,2Gao,8
As/GaAs в зависимости от
ширины квантовой ямы
d. Для электронов и тяже-
тяжелых дырок квантовой
ямой в этой гетерострук-
гетероструктуре является слой
Ino^Gao^As. Поскольку
-1,351 / / ^"^ —И постоянная решетки
Irio^Gao^As больше, чем у
GaAs, в этом слое имеют-
имеются упругие напряжения,
которые приводят к обра-
образованию барьера для лег-
легких дырок.
Дно зоны проводимо-
проводимости в рассматриваемой
гетероструктуре располагается в Г-долине, причем дно электрон-
электронной f-долины в Ino>2Gao,8As располагается ниже, чем в GaAs, а по-
потолок валентной зоны - выше, чем в GaAs. Расчет проводился с
учетом влияния упругой деформации на спектр электронов и ды-
дырок (см. 2.2.5). Описание электронов проводилось в модели Кейна
B.27), а дырок с помощью эффективного гамильтониана B.23).
Величина разрыва зоны проводимости в этой гетероструктуре
(глубина квантовой ямы для электронов) составляет 0,126 эВ, а зо-
зоны тяжелых дырок — 0,078 эВ. Из рисунка хорошо видно, что при
увеличении ширины квантовой ямы увеличивается чи@яо как
61
0 20 40 60 80 100 120 d,A
Рис. 2.5. Уровни размерного квантования элек-
электронов в зоне проводимости и дырок в валент-
валентной зоне при нулевом значении квазиимпульса
в гетероструктуре InojGao.sAs/ GaAs в зависи-
зависимости от ширины квантовой ямы

0,1-
-1,4-
-1,5-
JAlxGai_xAs
GaAs
0 0,5 0,1 0,15 0,2 0,25 x
Рис. 2.6. Зависимость уровней энергии раз-
размерного квантования электронов (Е>0), лег-
легких (штриховые) и тяжелых дырок (сплош-
(сплошные кривые) в гетероструктуре AlxGai_x
As/GaAs/AlxGa[.xAs. от доли атомов алюми-
алюминия х. Толщина слоя GaAs равна 100 Л
Ge
0
50
100
150
Рис. 2.7. Зависимость энергий потолков подзон
размерного квантования от толщины германия
в гетероструктуре Ge/Geo^Sicu, выращенной
на плоскости германия [111]. Сплошные кри-
кривые соответствуют зоне тяжелых дырок,
штриховые — зоне легких дырок; Е^ и Еф обо-
обозначают положение верхних краев зон тяжелых
и легких дырок в барьерах
62
электронных, так и дыроч-
дырочных подзон в ней и в каждой
подзоне уменьшается энер-
энергия размерного квантова-
квантования.
Положение уровней раз-
размерного квантования зави-
зависит не только от толщины
квантовой ямы, но и от хи-
химического состава полупро-
полупроводников, образующих гете-
роструктуру, поскольку этот
параметр определяет глуби-
глубину квантовой ямы.
На рис. 2.6 приведены
зависимости энергий уров-
уровней электронов в зоне про-
проводимости, зонах легких и
тяжелых дырок при к=0 в
гетероструктуре AlxGai_xAs/
GaAs/AlxGai_xAs в зависи-
зависимости от х. В этой гетерост-
гетероструктуре квантовой ямой как
для электронов, так и для
дырок является слой GaAs,
толщина которого полага-
полагалась равной 100 А.
Постоянная решетки
AlxGa!_xAs слабо зависит от
х, и поэтому квантовую яму
в этой структуре можно счи-
считать ненапряженной. Энер-
Энергии электронов вычислялись
в модели Кейна с гамильто-
гамильтонианом B.27) без учета квад-
квадратичных по kz слагаемых, а
дырок в модели Латтинже-
ра — с гамильтонианом
B.23). Из рисунка видно,
что с увеличением х растет
число электронных и дыроч-

ных уровней в квантовой яме. Происходит это потому, что в дан-
данном случае увеличивается глубина потенциальной ямы как для
электронов, так и для дырок.
В гетероструктурах, где присутствует деформация, глубина потен-
потенциальной ямы для легких и тяжелых дырок различна. На рис. 2.7 при-
приведены кривые зависимости границ подзон размерного квантования
(Ы)) дырок валентной зоны от ширины квантовой ямы в гетерост-
руктуре GecgsSioja/Ge/Geo.ggSicn, выращенной на плоскости [111]
германия [16]. В этой гетероструктуре слой германия является кван-
квантовой ямой и для легких, и для тяжелых дырок. Параметры структуры
подобраны так, что слой германия не напряжен, напряжения локали-
локализованы в слое твердого раствора Geo,8gSio,i2-
Из рисунка видно, что при толщинах слоя германия менее 20 А,
первая подзона легких дырок располагается выше подзоны тяжелых
дырок. Это происходит вследствие деформации твердого раствора
Geo,88Sio,i2- В верхней части справа на рис. 2.7 показано положение
границ зон тяжелых и легких дырок в квантовой яме и барьерах.
На рис. 2.8 приведена зависимость энергии электрона от вели-
величины квазиволнового вектора для двух подзон размерного кванто-
квантования в гетероструктуре GaAs/Ino,2 Ga^gAs/GaAs с шириной кван-
квантовой ямы 100 А. Здесь же
Е,эЕ
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
б 0,01 0,02 0,03 0,04 ' 0,05
/fc-юЛсм
Рис. 2.8. Зависимость энергий в двух подзо-
подзонах размерного квантования зоны проводи-
проводимости и их разности от квазиволнового век-
вектора в гетероструктуре GaAs/Ino^GaogAs.
Толщина слоя 1по 2Gao 8As равна 100 А
63
Ег
——
-—
Ег
/
/
Е\
L/
/
/
/
/
приведена разность энер-
энергий этих подзон. Видно,
что по мере роста квази-
волнового век-
волнового вектора из-за увеличения эф-
эффективной массы электро-
электрона расстояние между под-
подзонами уменьшается. Из
рисунка следует, что непа-
раболичность спектра в зо-
зоне проводимости невелика.
Совершенно иная ситуа-
ситуация имеет место в валентной
зоне. На рис. 2.9 [16] и 2.10
изображены зависимости
энергии дырок (они отлича-
отличаются знаком от энергий
электронов в валентной зо-
зоне) от квазиволнового векто-
вектора в квантовых ямах, образо-

Рис. 2.10. Зависимость энергий дырок от
квазиволнового вектора в квантовой яме
гетероструктуры AIq jGa^As/GaAs/Aloj
GagjAs. Толщина слоя GaAs равна 100 А.
Сплошные линии соответствуют подзонам
тяжелых дырок, штриховая линия — под-
подзоне легких дырок. Плоскость роста [001],
волновой вектор направлен вдоль [ 100]
Рис. 2.9. Зависимость энергий дырок от
квазиволнового вектора вдоль слоя гер-
германия в гетероструктуре Ge08gSi0 12/
Ge/Ge0i88Si0ii2 выращенной на плоско-
плоскости [111] германия. Сплошным линиям
соответствует направление волнового
вектора вдоль [112], а штриховым -
вдольшправления, которое получается
из [112] поворотом вокруг [111] на угол
я/6. Толщина слоя Ge равна 100 А
ванных в гетерострукгурах Geo>ggSio,i2/Ge/ Geo,ggSio,i2 и
GaAs/AIcsGao^As. Спектры вычислялись с использованием гамиль-
гамильтониана B.30). Видна сильная непараболичность спектра, которая
обусловлена перемеишванием состояний легких и тяжелых дырок на
гетерограницах. При Ы) это перемешивание отсутствует (для струк-
структуры Alo^GaojAs/GaAs оно не учитывалось). Поэтому обычно подзо-
подзоны, состояния которых при Ы) принадлежат только зоне тяжелых
дырок, называют подзонами тяжелых дырок. Аналогично те подзо-
подзоны, состояния которых при Л=0 соответствуют зоне легких дырок, на-
называются легкими, или подзонами легких дырок. Отметим, что
спектр дырок двукратно вырожден в симметричных ямах. Если кван-
квантовая яма несимметрична, то вырождение остается только в точке к=0
и потолок валентной зоны смещается из этой точки.
Приведем результаты расчета электронного спектра и волно-
волновых функций в сверхрешетке т.е. в периодической последователь-
последовательности квантовых ям, разделенных туннельно-прозрачными барье-
барьерами. Метод расчета описан в приложении.
64

kd
Рис. 2.11. Зависимость энергии электрона
от квазиволнового вектора в двух нижних
минизонах зоны проводимости сверхре-
шеки
М2?
На рис. 2.11 приведена за-
зависимость энергии электрона
от проекции квазиволнового
вектора, параллельной оси
сверхрешетки Al^GajgAs/GaAs,
в двух первых минизонах зоны
проводимости. Волновой век-
вектор изменяется в пределах зоны
Бриллюэна (зависимость энер-
энергии от к — четная). Толщина
слоя AlojGaceAs равна 40 А, а
GaAs — 30 А. Глубина потенци-
потенциальных ям для электронов в
этой сверхрешетке 0,15 эВ. Из
рисунка видно, что ширина
второй минизоны больше, чем
первой, и эффективные массы
электрона в ней по абсолютной
величине меньше.
GaAs
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
О
20
40
60 г, А
Рис. 2.12. Зависимость вероятности нахождения электрона в первой и второй ми-
минизонах сверхрешетки Alo^Ga^gAs /GaAs. Кривые 1 соответствуют значению ква-
зиволнового вектора вдоль оси сверхрешетки к = 0, кривые 2 — k = n/d
3 Физика квантовых
низкоразмерных структур
65

Заметим, что энергия электрона в первой минизоне меньше
высоты потенциальных барьеров, разделяющих квантовые ямы.
Энергия во второй минизоне превосходит высоту этих барьеров.
Более высокие минизоны на рисунке не приведены.
Волновая функция электрона в сверхрешетке имеет блохов-
ский вид. На рис. 2.12 приведена зависимость вероятности нахож-
нахождения электрона от координаты в рассмотренной выше сверхре-
сверхрешетке. Состояния, соответствующие к=0, обозначены цифрой 1,
a kd= n — цифрой 2 (d — период сверхрешетки). Сплошные линии
соответствуют первой минизоне, а штриховые - второй. Из ри-
рисунка видно, что электроны первой минизоны в основном нахо-
находятся в потенциальных ямах (слоях GaAs), а электроны второй
минизоны — в потенциальных барьерах (слоях Alo^Gao^As).
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерялитивисткая
теория. М.: Наука, 1989.
2. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967.
3. Ашкрофт #., Мермин Н. Физика твердого тела. М.: Мир, 1979. Т. 1
4. Цидильковский ИМ. Электроны и дырки в полупроводниках. М.:
Наука, 1972.
5. Бир Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в по-
полупроводниках М.: Наука, 1972.
6. Капе Е.О. J. Phys. Chem. Solids. 1.249,1957.
7. Braun M., Rossler U. J. Phys. С 18, 3365,1984.
8. Гантмахер Ф.В., Левинсон И.Б. Рассеяние носителей тока в метал-
металлах и полупроводниках. М.: Наука, 1984.
9. Bastard G. Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures.
New York: Halsted Press, 1988.
10. Liu B.C. Appl. Phys. Lett. 51.1019,1987.
11. Ivchenko EX., Kiselev A.A., Fu Y, Willander. Phys. Rev. В 50, 7747,
1994.
12. Ivchenko EX., KaminskiA. Yu., Rossler U. Phys. Rev. 54,5852, 1996.
13. Malkina I.G., Aleshkin V.Ya., ZvonkovB.N., Saf'anov Yu.N. Phys. Low-
Dim. Struct. 1/2,61,1997.
14. Кроткус А., Добровольские З. Электропроводность узкощелевых
полупроводников. Вильнюс: Москлас, 1988.
15. Bastard G., Brunt J.A., Ferreira & Electronic states in semiconductor
heterostructures // Solid State Physics. Advances in Research and Applications.
Vol. 44. Academic Press.
16. Алешкин В.Я., Бекин Н.А. ФТП. 31,171,1997.
66

Глава 3
ОПТИКА КВАНТОВЫХ СТРУКТУР
3.1
Взаимодействие электромагнитного поля
с электронами. Правила отбора
Оптические свойства квантовых структур вы-
вызывают интерес по двум причинам: во-первых, с
помощью оптических измерений можно выяс-
выяснить детали энергетического спектра носителей
заряда в этих структурах, а во-вторых, квантовые
структуры являются основой оптоэлектронных
приборов, прежде всего лазеров. Оптические эф-
эффекты в структурах с квантовыми ямами, как пра-
правило, проявляются с большей интенсивностью,
чем в объемных полупроводниках. Оптическим
свойствам квантовых структур посвящена обшир-
обширная литература. В настоящей главе рассмотрены
некоторые вопросы оптики полупроводниковых
гетероструктур с квантовыми ямами.
3.1.1. Вероятность перехода в поле электромагнит-
электромагнитной волны
Под действием электромагнитного излучения
электроны в квантовых ямах и сверхрешетках мо-
могут совершать переходы между подзонами раз-
размерного квантования. Для обозначения таких пе-
переходов принято использовать термин «оптиче-
«оптические» или «излучательные» переходы. Правила,
определяющие возможные квантовые переходы
электрона, называются правилами отбора. Пере-
Переходы, вероятность которых равна нулю, называ-
называются запрещенными, а те, вероятность которых от-
отлична от нуля,— разрешенными.
Рассмотрим взаимодействие электрона с
электромагнитным излучением. В присутствии
электромагнитной волны гамильтониан, описы-
67

вающий движение электрона в кристалле, имеет вид
i4, C.1)
#(pA
2щ с
где А(г,Г) - векторный потенциал электромагнитной волны в ка-
калибровке, когда электрический потенциал <p(r,f)=O; U(t)- само-
самосогласованный периодический потенциал; е, щ — заряд и масса
свободного электрона соответственно. Если поле электромагнит-
электромагнитной волны меньше атомного, то слагаемые в гамильтониане, со-
содержащие векторный потенциал, можно рассматривать как возму-
возмущение, причем в линейном приближении по амплитуде волны
слагаемым, пропорциональным А2, можно пренебречь. Исполь-
Используя условие divA =0, которое приводит к коммутативности опера-
операторов р и А, и пренебрегая слагаемыми, пропорциональными
А2, C.1) можно представить в виде
C.2)
где Яо - гамильтониан электрона в кристалле в отсутствие внеш-
внешнего электромагнитного поля. Таким образом, взаимодействие
электрона с электромагнитной волной малой интенсивности опи-
описывается оператором -еАрДс/Иц).
Зависимость векторного потенциала электромагнитной
волны от координаты и времени имеет вид A~exp(-/(»H-/qr),
поэтому /соА = сЕ, где Е=е$Е - вектор электрического поля
электромагнитной волны, е^ — единичный вектор поляриза-
поляризации. Как правило, квазиимпульсы электрона в начальном и ко-
конечном состояниях много больше импульса фотона hq, что не-
нетрудно показать, используя законы сохранения энергии и ква-
квазиимпульса при оптическом переходе [1]. Поэтому, во-первых,
при оптических переходах электрон мало изменяет свой им-
импульс, т.е. оптические переходы на диаграмме энергия — ква-
квазиимпульс вертикальны; во-вторых, при вычислении матрич-
матричных элементов оператора взаимодействия электрона с полем
электромагнитной волны можно пренебречь зависимостью
векторного потенциала от координат.
Вероятность перехода электрона в единицу времени из на-
начального состояния |i> в конечное |f> под действием электромаг-
68

нитного излучения, определяемая по правилу Ферми, пропорцио-
пропорциональна квадрату матричного элемента полного импульса, взятого
между этими состояниями:
w
где 8„ Ef— энергии электрона в начальном и конечном состояни-
состояниях. Знак «-» в аргументе дельта-функции соответствует поглоще-
поглощению фотона, а знак «+» — испусканию.
Напомним, что между матричными элементами полного им-
импульса и координаты существует простая связь
Ру?_ .(?/-?/)
Используя ее, C.3) можно переписать в виде
^22 2 -е, ±йю). C.4)
Для нахождения полного числа переходов в единицу времени
в кристалле необходимо взять сумму от fVy по всем начальным и
конечным состояниям. В частности, полное число переходов \Уъ
единицу времени, сопровождающихся поглощением фотонов,
описывается выражением
^2 C.5)
Здесь предполагается, что начальные состояния электронов пол-
полностью заняты, а конечные — свободны. Зная величину W, можно
найти коэффициент поглощения электромагнитной волны
(см. 3.1.4).
Проанализируем теперь выражение для матричного элемента
оператора квазиимпульса р^. Учитывая, что волновые функции
электрона в начальном и конечном состояниях можно предста-
представить в виде произведения огибающей и быстроосциллирующей
функции (см. 2.1.1), выражение для а-компоненты р,у можно
представить в виде
J;^^L^y? C.6)
69

где /}, Ff— огабающия, а ф„ фу— быстроосциллирующие функции.
Покажем теперь, что для переходов внутри одной зоны основной
вклад в plf дает второе слагаемое, а для переходов между различными
зонами — первое слагаемое. Интеграл в выражении для ру можно
вычислить следующим образом: разбить кристалл на элементарные
ячейки, произвести интегрирование по каждой ячейке, а затем все
просуммировать. При интегрировании по каждой элементарной
ячейке огибающие можно считать постоянными.
Для внутризонных переходов начальная и конечная быстроос-
быстроосциллирующие функции одинаковы, и интеграл по элементарной
ячейке от произведения ф*Эф,/Эха равен нулю (так как <р? — пе-
периодическая функция с периодом решетки). В силу ортонормиро-
ванности быстроосциллирующих функций интеграл от произве-
произведения ф*(р,- по элементарной ячейке равен ее объему, деленному
на объем всего кристалла [см. B.2)]. Заменяя суммирование по
элементарным ячейкам на интегрирование, получаем следующее
выражение для матричного элемента импульса при переходе элек-
электрона между подзонами, принадлежащими одной зоне:
fbA. C.7)
Если начальное и конечное состояния электрона принадлежат
разным зонам, тогда ф,и фу различны, интеграл от произведения
Ф*Фу по элементарной ячейке равен нулю и выражение для р^
можно представить в виде
где ррф) определяется выражением B.7); % — интеграл перекры-
перекрытия.
3.1.2. Правила отбора для внутризонных переходов в квантовых ямах
Начнем рассмотрение правил отбора для внутризонных пере-
переходов с простейшего случая, когда движения электрона вдоль и
поперек квантовой ямы независимы. Волновую функцию элек-
электрона можно представить в виде произведения двух независимых
друг от друга функций, каждая из которых описывает движение
70

электрона в определенном направлении. Такая ситуация реализу-
реализуется, если зависимость энергии от импульса квадратична (парабо-
(параболический закон дисперсии) и одна из главных осей эллипсоида
постоянной энергии перпендикулярна гетерограницам. Типич-
Типичными примерами являются: переходы между состояниями Г-доли-
ны зоны проводимости (например, в GaAs) при не очень большой
разнице энергий начального и конечного состояний электрона,
когда зависимостью его эффективной массы от энергии можно
пренебречь; переходы между состояниями А-долин в структурах,
выращенных на плоскости [001] (например, в Si); переходы между
состояниями L-долины, ось вращения которой нормальна к плос-
плоскости гетероперехода [111] (например, в Ge).
В перечисленных случаях разрешены только оптические пере-
переходы под действием компоненты электрического поля, перпенди-
перпендикулярной плоскости квантовой ямы. Действительно, компоненты
поля, параллельные плоскости квантовой ямы, не могут изменить
движение электрона поперек нее. А состояния электрона разных
подзон размерного квантования отличаются именно характером
поперечного движения. Формально запрет на такие переходы свя-
связан с ортогональностью частей волновых функций разных подзон
размерного квантования, зависящих только от поперечной к
квантовой яме координаты. Эта ортогональность приводит к ра-
равенству нулю соответствующих матричных элементов координаты
г,/вC.4).
В квантовых ямах, потенциальная энергия которых симмет-
симметрична относительно отражения в плоскости, расположенной в ее
середине (будем называть их симметричными), кроме того запре-
запрещены переходы между состояниями подзон с номерами одинако-
одинаковой четности (например, первой и третьей подзон). Другими сло-
словами, в симметричных квантовых ямах оптические переходы воз-
возможны только между состояниями подзон разной четности.
В зоне проводимости из-за непараболичности закона диспер-
дисперсии электронов, т.е. зависимости их эффективной массы от энер-
энергии, продольное и поперечное движения электрона могут переме-
перемешиваться. Как уже отмечалось ранее, этот эффект наиболее ярко
выражен в /Чдолине зоны проводимости. Перемешивание про-
продольного и поперечного движений электрона незначительно в
широкозонных полупроводниках, однако оно может быть сущест-
существенным в узкозонных материалах [2], поскольку с уменьшением
запрещенной зоны е^ возрастает непараболичность закона диспер-
дисперсии электронов в зоне проводимости. Поэтому несмотря на сня-
71

тие запрета на оптические переходы под действием компонент
электрического поля, параллельных плоскости квантовой ямы,
вероятность таких переходов в широкозонных полупроводниках,
где б^« 1эВ, на несколько порядков меньше, чем вероятность пе-
переходов, вызванных нормальной к плоскости квантовой ямы ком-
компонентой электрического поля [2, 3]. В узкозонных полупровод-
полупроводниках (sj < 0,1 эВ) вероятности указанных переходов могут быть
одного порядка.
Вторая возможная причина перемешивания продольного и
поперечного движений электрона в квантовой яме — анизотропия
закона дисперсии электронов. Такое перемешивание происходит,
например, если угол между осью симметрии эллипсоида постоян-
постоянной энергии и нормалью к гетерогранице отличен от я/2. Если от-
отношение полуосей эллипсоида постоянной энергии не зависит от
координаты (т.е. одинаково с обеих сторон гетероперехода), тогда
существует простое соотношение между матричными элементами
координат вдоль и поперек квантовой ямы. Чтобы найти его, вы-
выберем направление оси z по нормали к гетерогранице, а оси х и у
направим так, чтобы элементы тензора эффективных масс
(\/т)ху=(l/m)z y=0. Тогда, совершая масштабное преобразование,
осуществляющее «изотропизацию» закона дисперсии, можно по-
показать справедливость соотношений
Таким образом, в этом случае разрешены оптические перехо-
переходы между подзонами размерного квантования для одной компо-
компоненты электрического поля, параллельной в плоскости квантовой
ямы (х-компоненты), и для нормальной компоненты электриче-
электрического поля.
Сформулируем теперь правила отбора для оптических перехо-
переходов между подзонами размерного квантования в валентной зоне.
Эти правила отбора были получены с помощью теории групп в [4].
Для простоты ограничимся случаем симметричных квантовых ям,
когда для нормально падающих на гетерограницы дырок (т.е. ко-
когда импульс вдоль квантовой ямы равен 0) отсутствует перемеши-
перемешивание легкой и тяжелой зон. Сначала рассмотрим правила отбора
в ситуации, когда квазиимпульс дырки вдоль квантовой ямы ра-
равен нулю. В этом случае они зависят от плоскости, на которой вы-
выращена квантовая яма. Правила отбора для оптических переходов
72

между подзонами размерного квантования в валентной зоне для
симметричных квантовых ям, выращенных на плоскостях [001]
или [Ш], приведены в табл. 3.1, правила отбора для симметрич-
симметричных квантовых ям, выращенных на плоскости [НО] — в табл. 3.2.
Как видно из таблиц, переходы всегда идут с изменением четно-
четности номера подзон [4] (в несимметричных ямах это не так). На-
Направление оси ? выбрано по нормали к плоскости квантовой ямы.
Зона
дырок
На
Hs
На
Z
х,у
La
х,у
x,y,z
Таблица 3.1
Hs
Z
х,у
Ls
х,у
x,y,z
Зона
дырок
На
x,y,z
x,y,z
Lo
x,y,z
x,y,z
Таблица 3.2
Hs
x,y,z
x,y,z
Ls
x,y,z
x,y,z
Примечание. Буква Н обозначает зону тяжелых дырок, L-зоны легких и
спин-отщепленных дырок, нижние индексы s и а обозначают четные и нечетные
номера подзон размерного квантования. В таблице приведены поляризации раз-
разрешенных при к = 0 оптических переходов.
Интересно рассмотреть закон сохранения момента импульса
при оптических переходах в валентной зоне. Как уже отмечалось в
2.3.3, состояния тяжелых дырок с нулевым квазиимпульсом в
квантовых ямах, выращенных на плоскостях [001] и [111], облада-
обладают проекцией полного момента (измеренного в единицах й) на
ось z, равной +3/2, а легких и спин-отщепленных — ±1/2. Любую
нормально падающую на квантовую яму электромагнитную волну
можно рассматривать как суперпозицию двух циркулярно поля-
поляризованных (правой и левой) волн. Проекция момента импульса
циркулярно поляризованного фотона на направление его движе-
движения (спиральность) равна ±1. Поэтому, согласно закону сохране-
сохранения момента импульса, при поглощении или испускании цирку-
циркулярно поляризованного фотона, нормально падающего на кванто-
квантовую яму, проекция момента импульса электрона на нормаль к
квантовой яме должна измениться на ±1. Разность проекций мо-
момента импульса тяжелых дырок на нормаль составляет ±2, и по-
поэтому переходы с х-, .у-поляризацией между состояниями тяжелых
дырок запрещены (см. табл. 3.1).
С увеличением квазиимпульса электрона вдоль квантовой ямы
снимаются все запреты на оптические переходы. Причина этого —
перемешивание состояний легких и тяжелых дырок на гетерограни-
73

ДГ=0.32
*=0,47
^=0,67
400
300
400
200
, мэВ
100
400
300
200
100
L\->H2
Л->?2
0 0,02 0,04 0,06 0,02 0,04 0,06 0,02 0,04 0,06
а) " 6) В)
Рис. 3.1. Кривые зависимости квадрата матричного элемента оператора
импульса от волнового вектора для перехода между дырочными подзона-
подзонами в трех гетероструктурах AlxGai_xAs/GaAs/AlxGaj_x (x=0,32; 0,47; 0,67)
цах. Наиболее сильное перемешивание происходит при значениях
квазиволнового вектора порядка обратной ширины квантовой ямы.
Именно при таких значениях наблюдаются максимальные величины
вероятностей переходов, запрещенных при к=0. Для иллюстрации
сказанного на рис. 3.1 приведены кривые зависимости межподзон-
ных матричных элементов оператора импульса от величины Л,, квази-
квазиволнового вектора дырки в плоскости квантовой ямы, вьиисленные в
[5] для трех гетероструктур AlxGai_xAs/GaAs/AlxGa|.xAs с толщиной
квантовой ямы (GaAs), равной 80 А
3.1.3. Правила отбора для межзонных переходов
Здесь мы ограничимся рассмотрением только прямых межзон-
межзонных оптических переходов, когда начальное и конечное состоя-
состояния электрона находятся в окрестности центра зоны Бриллюэна
(Г-точки). Как правило, именно такие переходы используются в
большинстве оптических полупроводниковых устройств, работа
которых основана на межзонных переходах. Обсуждение правил
отбора для непрямых межзонных оптических переходов в низко-
низкоразмерных структурах можно найти в [6].
74

Переходы между каждой парой подзон размерного квантова-
квантования, одна из которых расположена в валентной зоне, а другая — в
зоне проводимости, возможны, если энергия фотона превышает
некоторую минимальную пороговую величину, т.е. для переходов
существует «край» поглощения. Как правило, на пороге оптиче-
оптические спектры поглощения имеют свои особенности. Правила от-
отбора для таких переходов мы и будем обсуждать.
Как было показано в 2.3.3, в симметричных квантовых ямах
потолок валентной зоны располагается в точке к — 0, а в несим-
несимметричных смещен из этой точки. Поэтому в симметричных ямах
краю соответствуют переходы между Г-точками зоны проводимо-
проводимости и валентной зоны. При отсутствии перемешивания на гетеро-
границах состояний легких и тяжелых дырок с к = 0 огибающие
волновых функций для таких состояний имеют положительную
четность в подзонах с нечетными номерами и отрицательную в
подзонах с четными номерами. Это нетрудно понять, если заме-
заметить, что при кх= ку= О отличные от нуля элементы эффективного
гамильтониана, описывающего движение электрона в валентной
зоне, приведенного в 2.1.4, пропорциональны к\. Благодаря этому
обстоятельству оптические переходы в симметричных квантовых
ямах разрешены между подзонами размерного квантования с но-
номерами одинаковой четности. В бесконечно глубокой яме вид
огибающей не зависит от эффективной массы электрона и из-за
ортогональности огибающих волновых функций переходы разре-
разрешены только между подзонами с одинаковыми номерами [3].
В зоне проводимости быстроосциллирующая часть волновой
функции в Г-точке имеет симметрию s-типа (орбитальный момент
равен нулю). Поскольку отличны от нуля только матричные элемен-
элементы оператора импульса типа < .5" Т \рх\Х Т>, то переходы на пороге по-
поглощения из подзон тяжелых дырок запрещены для поляризации
волны, в которой электрическое поле нормально к плоскости кванто-
квантовой ямы [7]. Этот результат имеет простую физическую интерпрета-
интерпретацию, основанную на законе сохранения момента импульса. Действи-
Действительно, проекция полного момента импульса электрона на нормаль к
квантовой яме в зоне проводимости равна ±1/2, а в зоне тяжелых ды-
дырок ±3/2. Но фотон, электрическое поле которого направлено по нор-
нормали к квантовой яме, обладает нулевой проекцией момента импуль-
импульса на эту нормаль. Поэтому испускание и поглощение такого фотона
при переходах электрона между зонами проводимости и тяжелых ды-
дырок запрещено законом сохранения момента импульса.
75

Что касается правил отбора для оптических переходов из под-
подзон легких дырок, то они наиболее просты, если величина спин-
орбитального расщепления валентной зоны велика по сравнению
с энергией размерного квантования. В этом случае при к = О мат-
матричный элемент оператора импульса для компоненты электриче-
электрического поля, направленной по нормали к плоскости квантовой
ямы, в 2 раза больше, чем для компоненты, лежащей в этой плос-
плоскости. Аналогичные правила отбора имеют место и в объемном
полупроводнике, когда импульс электрона в начальном состоя-
состоянии направлен вдоль оси четвертого порядка [8].
По мере увеличения энергии перехода и отхода от края из-за
перемешивания состояний легких и тяжелых дырок все запреты
снимаются. Характерный масштаб волновых векторов для снятия
запретов по причине, обсуждавшейся в 3.1.1, имеет порядок об-
обратной толщины квантовой ямы. В несимметричных квантовых
ямах краю перехода соответствует к ф О, и поэтому запретов нет да-
даже для переходов на краю.
В заключение отметим, что проекция полного момента им-
импульса электрона на нормаль к квантовой яме в зоне проводимо-
проводимости полностью определяется проекцией спина. Поэтому, погло-
поглощая циркулярно поляризованный свет с энергией фотона, соот-
соответствующей краю фундаментального поглощения, электрон по-
появляется в зоне проводимости с фиксированной ориентацией
спина. Таким образом, с помощью циркулярно поляризованного
света в зоне проводимости можно приготовить электроны, спин
которых имеет строго определенное направление [9].
3.1.4. Коэффициент поглощения при межзонных переходах
Рассмотрим сначала поглощение плоской электромагнитной
волны в объемном полупроводнике при прямых межзонных пере-
переходах. Очевидно, число переходов электронов в единице объема в
единицу времени из валентной зоны в зону проводимости под
действием волны [см. C.5)] равно числу фотонов, поглощенных в
единице объема в единицу времени. Отношение этого числа к
плотности потока фотонов (которая равна плотности потока энер-
энергии волны, деленной на энергию одного фотона йю) называется
коэффициентом поглощения aCD). Он описывает экспоненциаль-
экспоненциальное затухание интенсивности электромагнитной волны по мере
распространения, имеет размерность см и равен [10]
76

пщсгко
(ЗЛО)
где с — скорость света в вакууме; п — показатель преломления;
индексы c,v соответствуют зоне проводимости и валентной зоне;
к — волновой вектор электрона.
В простейшем случае, когда минимум энергии в зоне проводи-
проводимости и максимум энергии в валентной зоне расположены в цен-
центре зоны Бриллюэна и зависимости энергии от квазиимпульса для
электронов и дырок характеризуются скалярными эффективными
массами те,тн, из выражения C.10) для разрешенных переходов
следует [10]
^A C.11)
щеп® Ьг
Здесь |i=memh /(me + mh) — приведенная масса электрона и дырки;
Eg=[ec@)-ev@)] — ширина запрещенной зоны; e)>eg/h.
Заметим, что с точностью до безразмерного коэффициента
1/Bл2) величина Bц/й2K/2(й(о-е^I/2, входящая в коэффициент
поглощения, совпадает с плотностью состояний pCi))(e) для сво-
свободной частицы, масса которой равна ц, а энергия t=h(a-Eg. Та-
Таким образом, вблизи пороговой частоты оптического поглощения
юпор)=ея/й зависимость коэффициента поглощения от частоты
определяется плотностью состояний р(ЗД)(е = йю-е^).
Обсудим теперь поглощение плоской электромагнитной вол-
волны при межзонных переходах в гетероструктуре типа
AlxGa^As/GaAs/AlxGai.xAs с одиночной квантовой ямой. В та-
такой структуре слой GaAs является квантовой ямой одновременно
и для электронов, и для дырок (в структурах, где электроны и дыр-
дырки пространственно разделены, оптическое поглощение слабее,
чем в структуре, рассматриваемой нами). Считаем, что волна рас-
распространяется перпендикулярно границам гетероструктуры
(вдоль оси z) и имеет линейную поляризацию. В отличие от объ-
объемного полупроводника при таком направлении распространения
волны нельзя ввести коэффициент поглощения, характеризую-
характеризующий потери энергии волны на единице длины. Однако можно
ввести безразмерный коэффициент поглощения aBfl), равный от-
77

ношению числа фотонов, поглощенных единицей площади гете-
роструктуры в единицу времени, к плотности потока фотонов. Со-
Согласно [11], при переходах между первыми подзонами размерного
квантования тяжелых дырок и электронов коэффициент поглоще-
поглощения описывается выражением
щсгка п C.12)
-zg-E\e)-E\hh)).
Здесь \ihh = memhh /(me+mhh) — приведенная масса электрона и тя-
тяжелой дырки; me,mhh — соответственно эффективная масса элек-
электрона и тяжелой дырки в первой подзоне размерного квантова-
квантования; Eg— ширина запрещенной зоны в слое, где локализованы
электроны и дырки; Е\е) >0 — отсчитываемая от дна квантовой
ямы в зоне проводимости энергия низшего локализованного со-
состояния электрона в яме; %\e)(z) — волновая функция этого со-
состояния, входящая в виде сомножителя в огибающую полной вол-
волновой функции электрона; E\hh)>0 —отсчитываемая от дна кван-
квантовой ямы в валентной зоне энергия низшего локализованного
состояния тяжелой дырки в яме; %fh)(z) — волновая функция
этого состояния, входящая в огибающую полной волновой функ-
функции тяжелой дырки; Ъ(х) — единичная функция, равная единице
при jc>0 и нулю при х<0. Наличие этой функции в C.12) отра-
отражает тот факт, что поглощение света возможно лишь при
Заметим, что пороговая частота поглощения света о^' в ге-
тероструктуре с квантовой ямой выше, чем пороговая частота в
объемном полупроводнике, на величину (Е[е)+Е\НН))/Ь , которая
зависит от ширины квантовой ямы. Входящий в выражение для
коэффициента поглощения множитель (дАА/й2)в(йа)-ег-
-Е[е) -E[hh)) с точностью до 1/л совпадает с плотностью состоя-
состояний рBД)(е) двумерной частицы, масса которой равна цАА, наи-
наименьшее значение энергии размерного квантования
78

Ех =Е\е) +E\hh), а энергия е=йоо-ев (см. 1.2.8). Вблизи пороговой
частоты оптического поглощения ю^' частотная зависимость
коэффициента поглощения определяется плотностью состояний
p{2D)(e = h(o-Eg) и имеет ступенчатый вид.
Коэффициент поглощения света при переходах между первы-
первыми подзонами размерного квантования легких дырок и электро-
электронов получается из C.12), если заменить величины mhh,E\hK) и вол-
волновую функцию x\hh)(z), характеризующие тяжелые дырки, на ве-
величины тш,Е\1К) и волновую функцию x\lh\z), характеризующие
легкие дырки, и ввести дополнительный множитель 1/3 [11].
Поглощение электромагнитной волны в гетероструктуре с од-
одной квантовой ямой незначительно, поскольку электроны, ответ-
ответственные за поглощение, локализованы в слое, очень узком по
сравнению с областью локализации волны. Поэтому в экспери-
экспериментах необходимо использовать гетероструктуры с большим чис-
числом квантовых ям.
Утверждение о том, что вблизи пороговой частоты оптическо-
оптического поглощения частотная зависимость коэффициента поглощения
a(W) TV-мерной структуры определяется соответствующей плот-
плотностью состояний p{ND)(e=h(u-tg), имеет универсальный харак-
характер. Так, если свет поглощается квантовой точкой сферической
формы, то [12]
Здесь
р(=й{0_ } (ЗЛЗ)
со *
— плотность состояний частицы с массой \i=memh/(me+mh);
me,mh — эффективные массы электрона и дырки; и = 1,2,3,... —
главное квантовое число; /=0,1,2,... — значения момента импуль-
импульса; knl — корни уравнения //+i/2 (?„/#)=0, где Jm/j— функция
Бесселя, R — радиус квантовой точки. Расчет выполнен в модели
квантовой точки с непроницаемыми для электронов и дырок
стенками. Радиус квантовой точки считается малым по сравнению
79

с длиной электромагнитной волны. Согласно C.13) спектр погло-
поглощения квантовой точки — серия дискретных линий, которые по
мере уменьшения радиуса квантовой точки сдвигаются вверх по
частоте.
3.2
Экситонное поглощение
Известно [10], что поглощение света в кристаллах не сводится
к образованию свободных электрона и дырки. Кулоновское при-
притяжение электрона и дырки приводит к корреляции их движения.
В частности, благодаря их взаимному притяжению могут образо-
образовываться водородоподобные связанные состояния, называемые
экситонами. В простейшем случае, когда минимум энергии в зоне
проводимости и максимум энергии в валентной зоне расположе-
расположены в центре зоны Бриллюэна и зависимости энергии от квазиим-
квазиимпульса для электронов и дырок характеризуются скалярными эф-
эффективными массами те, /иА, уровни энергии связанных состоя-
состояний электрона и дырки описываются выражением [10]
Я^-^Ц^т, « = 1,2Д..., C.14)
Щ е я
где Луи 13 эВ, ц=тг/иА/(/ие+тА) — приведенная масса, щ —
масса свободного электрона, ё — диэлектрическая проницае-
проницаемость полупроводника. Среднее расстояние между электроном и
дыркой характеризуется эффективным боровским радиусом
e; = e^4. C.15)
Здесь ав = 0,53 А — радиус Бора для атома водорода.
Благодаря образованию экситонов свет поглощается не только
на частотах а»ег/й, где е^ — ширина запрещенной зоны, но и на
более низких частотах <о„ =(eg+en)/h, я = 1,2,3,..., точнее говоря, в
узких полосах вблизи частот ю„.
Электроны и дырки в квантовых ямах также могут образовы-
образовывать экситоны. Однако энергия и волновая функция таких эксито-
экситонов могут заметно отличаться от энергии и волновой функции
трехмерных экситонов, поскольку согласно C.15) эффективный
80

боровский радиус может достигать величины порядка 100 А, пре-
превышая ширину квантовой ямы. В приближении очень узкой (ши-
(ширина много меньше ав) бесконечно глубокой квантовой ямы уров-
уровни энергии экситона имеют вид [13]
У2д= ц 1 Ry n
щ е2 (л-1/2J '
Отсюда видно, что ?'\D = 4§>'1, т.е. нижний максимум в спектре
поглощения света в квантовой яме больше удален от нижнего края
полосы поглощения, соответствующей образованию не связанных
электрона и дырки, чем в случае трехмерного полупроводника.
Этот качественный вывод сохраняется и для квантовых ям конеч-
конечной глубины [13].
Увеличение энергии связи экситонов в квантовых ямах по
сравнению с трехмерными полупроводниками имеет важное след-
следствие. В полупроводниках А3В5 при комнатной температуре экси-
тон, сталкиваясь с оптическими фононами, распадается, что ведет
к уширению линий экситонного поглощения. Поэтому в трехмер-
трехмерном полупроводнике при комнатной температуре линии экситон-
экситонного поглощения сливаются с полосой, соответствующей перехо-
переходу электрона из валентной зоны в состояние непрерывного спек-
спектра в зоне проводимости. В квантовых ямах даже при комнатной
температуре основная экситонная линия поглощения света оста-
остается вполне разрешимой при измерениях.
Помимо появления экситонных максимумов поглощения, ку-
лоновское взаимодействие электрона и дырки приводит еще к од-
одному эффекту. Волновые функции взаимодействующих электрона
и дырки перекрываются больше, чем в случае, когда электрон и
дырка свободны и характеризуются волновыми функциями в виде
плоских волн. Поэтому матричный элемент, описывающий взаи-
взаимодействие света с электронной системой полупроводника,
увеличивается при учете кулоновского взаимодействия. Это ут-
утверждение справедливо и для трехмерных полупроводников [10],
и в еще большей степени для двумерных структур [13]. В результа
те даже при комнатной температуре наблюдаемый максимум эк-
экситонного поглощения света выражен ярче в двумерной элек-
электронной системе, чем в трехмерном полупроводнике (рис. 3.2).
На положение пиков экситонного поглощения сильно влияет
электрическое поле, перпендикулярное границам квантовой ямы
(квантово-размерный эффект Штарка) [15]. Под действием такого
81

поля пики экситонного поглощения смещаются в длинноволно-
длинноволновую часть спектра. Этот эффект имеет большое практическое зна-
значение, поскольку позволяет достаточно просто управлять краем
оптического поглощения. Впервые предложение модулировать
край оптического поглощения с помощью электрического поля,
направленного по нормали к границам квантовой ямы, было вы-
высказано в [16]. Сдвиг линий экситонного поглощения под дейст-
действием электрического поля при комнатной температуре использу-
используется для создания быстродействующих модуляторов интенсивно-
интенсивности света.
Поглощение
(произвольные единицы)
Рис. 3.2. Спектры оптического поглощения высококачественного объем-
объемного GaAs толщиной 1 мкм (кривая 1) и структуры Al0 3Ga0 7As/GaAs, со-
содержащей SO периодов (кривая 2). Толщина слоев и GaAs, и
Al0 3Ga0 7As/GaAs равна 100 А. Измерения выполнены при комнатной
температуре [14]
Рассмотрим подробнее квазидвумерные экситоны в структу-
структурах AlxGai.xAs/GaAs/AlxGai_xAs. Поскольку в GaAs имеются тяже-
тяжелые и легкие дырки, то существуют квазидвумерные экситоны
двух типов: электрон — тяжелая дырка (тяжелый экситон) и элек-
электрон — легкая дырка (легкий экситон). Если ширина квантовой
ямы а удовлетворяет условию а<2ав, то спектр экситонов выгля-
выглядит следующим образом [15]: под каждой квантово-размерной
подзоной электронов расположены две серии уровней, соответст-
соответствующие тяжелому и легкому экситонам. Край экситонного погло-
82

щения определяется тяжелым экситоном, образованным из элек-
электрона и тяжелой дырки, которые находятся в нижних электрон-
электронной и дырочной подзонах размерного квантования. Энергия ио-
ионизации квазидвумерного экситона, связанного с определенной
подзоной размерного квантования, отсчитывается от дна этой
подзоны, поэтому сдвиг подзон размерного квантования приво-
приводит к сдвигу экситонных уровней, связанных с данной зоной.
Если гетероструктура помещается в электрическое поле Е, то
линии экситонного поглощения смещаются, причем их смещение
зависит от ориентации поля. Если вектор Е параллелен границам
ямы, то, как показывает эксперимент [17], при увеличении напря-
напряженности поля пики поглощения тяжелого и легкого экситонов
сдвигаются в коротковолновую сторону, одновременно уширяясь
(рис. 3.3, а). При напряженности поля Е* 50 кВ/см пики исчеза-
исчезают. Такое поведение спектра экситонного поглощения обусловле-
обусловлено тем, что внешнее электрическое поле способствует разрыву па-
пары «электрон—дырка», уменьшая тем самым энергию ионизации
экситона. Уширение линии связано с тем, что электрон может
оторваться от дырки, протуннелировав через потенциальный
барьер, образованный полем притяжения электрона и дырки и
внешним электрическим полем.
Перпендикулярное к границам квантовой ямы электрическое
поле приводит к значительному сдвигу экситонных линий в длин-
длинноволновую сторону [17]. При этом уширение линий оказывается
меньше, чем в случае параллельного поля той же величины. Экси-
тонные пики сохраняются вплоть до таких значений электриче-
электрического поля, при которых в параллельных полях они исчезают (рис.
3.3, б). Это объясняется тем, что при перпендикулярном поле по-
потенциальные барьеры, образованные стенками квантовых ям,
препятствуют разрыву электронно-дырочной пары. При перпен-
перпендикулярной ориентации электрического поля смещение линий
экситонного поглощения обусловлено двумя конкурирующими
эффектами: во-первых, под действием электрического поля
уменьшается энергия ионизации экситона, что приводит к смеще-
смещению экситонных пиков в коротковолновую сторону; во-вторых, в
электрическом поле изменяется форма и эффективная ширина
квантовых ям, что приводит к сближению нижних подзон размер-
размерного квантования для электронов и дырок и соответственно к сме-
смещению экситонных пиков в длинноволновую сторону. Оказыва-
Оказывается, что второй эффект превалирует над первым, поэтому резуль-
результирующий сдвиг пиков экситонного поглощения происходит в
длинноволновую часть спектра.
83

ее, см
10000
5000
1,43
a)
Лсо.эВ
i
1,48 1,43
6)
1,48
Рис. 3.3. Частотная зависимость коэффициента поглощения многослойной струк-
структуры AIq jjGa,, 68As/GaAs с квантовыми ямами (А, В — тяжелый и легкий эксито-
ны): а — электрическое поле параллельно границам квантовых ям; б— электриче-
электрическое поле перпендикулярно фаницам квантовых ям. (Измерения выполнены при
комнатной температуре; свет распространяется по нормали к слоям структуры
[П])
3.3
Метод люминесценции для исследования энергетического
спектра двумерных электронов
При экспериментальном исследовании целочисленного и
дробного квантового эффекта Холла, а также в экспериментах по
обнаружению кристаллической фазы двумерных электронов в
сильном магнитном поле (так называемая вигнеровская кристал-
кристаллизация) чрезвычайно эффективным для определения энергети-
энергетического спектра электронов оказался метод люминесценции. Опи-
Опишем его кратко, более подробные сведения об этом методе и ре-
результатах, полученных с его помощью, можно найти в [18].
В основе метода лежит излучательная рекомбинация двумерных
электронов с неравновесными дырками, введенными тем или иным
способом в исследуемую систему. При этом энергетический спектр
дырок должен быть досконально известен. Следует заметить, что в ге-
тероструктурах и структурах металл—диэлектрик—полупроводник,
которые являются основными объектами экспериментального иссле-
исследования, электрическое поле, удерживающее двумерные электроны
вблизи интерфейса (т.е. вблизи одной из границ раздела структуры),
84

выталкивает неравновесные дырки от интерфейса в объемную об-
область. Однако благодаря некоторому перекрытию волновых функций
электрона и дырки имеется конечная вероятность излучательной
электронно-дырочной рекомбинации. На этом эффекте основан ме-
метод люминесценции для прямых измерений одночастичной плотно-
плотности состояний двумерных электронов в кремниевых структурах ме-
металл—диэлектрик—полупроводник и в одиночном гетеропереходе
AlxGai_xAs-GaAs. Этот же метод с успехом применялся при изучении
целочисленного квантового эффекта Холла для измерения щелей в
одночастичном электронном спектре в поперечном магнитном поле,
плотности квантовых состояний при вариации их заполнения и т.д.
Однако эффективность метода люминесценции в режиме
дробного квантового эффекта Холла не кажется очевидной. Пре-
Прежде всего неравновесные дырки как заряженные частицы могут
сильно возмущать столь деликатную систему, какой является сис-
система электронов в режиме дробного квантового эффекта Холла.
Далее, не ясно, можно ли в условиях оптического эксперимента в
исследуемых двумерных системах реализовать низкие температу-
температуры, сравнимые с масштабами кулоновских щелей (порядка и
меньше 1К), и будет ли система двумерных электронов в таких ус-
условиях квазиравновесной. Преодолеть отмеченные сложности
удается, выбирая специально приготовленные структуры, в кото-
которых слой двумерных электронов пространственно отделен от об-
области, занятой фотовозбужденными дырками. Эти дырки жела-
желательно локализовать на акцепторных центрах, удаленных на фик-
фиксированное расстояние от интерфейса.
Примером такой структуры является одиночный гетеропере-
гетеропереход AlxGai_xAs-GaAs с тонким слоем акцепторов (получившим
название 5-слоя), который создается на нужном удалении от ин-
интерфейса методом молекулярно-лучевой эпитаксии и модулиро-
модулированного легирования. В таких объектах благодаря нейтральности
акцепторов и их значительной удаленности от интерфейса элек-
электронно-дырочное взаимодействие слабо влияет на кулоновские
корреляции электронов в режиме дробного квантового эффекта
Холла и вигнеровской кристаллизации.
Подчеркнем, что если электроны и дырки пространственно не
разделены (например, в квантовых ямах), то электронно-дыроч-
электронно-дырочное взаимодействие компенсирует кулоновские корреляции в
электронной подсистеме, и, как следствие, в спектрах люминес-
люминесценции эти корреляции не проявляются.
85

3.4
Многофотонное поглощение в квантовых ямах
3.4.1. Общие сведения
Процесс многофотонной ионизации атомов в сильном элек-
электромагнитном поле привлекает к себе внимание в течение многих
лет (см., например, [19—24] и ссылки в этих работах). Для расчета
скорости этого процесса теория возмущений неприменима. Впер-
Впервые задачу о многофотонной ионизации атомов, облучаемых
сильным полем лазера, решил в 1964 г. Л.В.Келдыш [19]. Он пока-
показал, что частотная зависимость скорости ионизации (т.е. вероят-
вероятности многофотонной ионизации в единицу времени) определя-
определяется параметром
у = й>/о>, =сойК/|е?|, C.17)
где (о,Е — угловая частота и амплитуда электрического поля
волны, S — пространственный масштаб, характеризующий
экспоненциальное спадание волновой функции электрона на
больших расстояниях от атомного ядра. Величину щ1 можно
рассматривать как характерное время движения электрона в
классически запрещенной области в присутствии постоянного
электрического поля Е. При низких частотах (у«1) иониза-
ионизация сводится к туннелированию электрона через потенциаль-
потенциальный барьер, медленно изменяющийся во времени. При высо-
высоких частотах (у»1) ионизацию можно интерпретировать как
поглощение большого числа квантов поля. В последнем случае
вероятность поглощения я квантов пропорциональна l/y2" ,
т.е. резко уменьшается с ростом я (предполагается, что я пре-
превышает некоторое пороговое значение).
Подход Келдыша подразумевает, что переменное поле практи-
практически не влияет на основное состояние атома, но существенно
влияет на движение свободного электрона. Это движение описы-
описывается не плоской волной, а волновой функцией, которая являет-
является точным решением уравнения Шредингера для электрона в од-
однородном переменном электрическом поле [19] (иногда ее назы-
называют волновой функцией Волкова).
Чтобы понять сложную природу процесса многофотонной ио-
ионизации, в некоторых работах [20, 23, 24] анализировались одно-
одномерные модели атомов. Интересующие нас квантовые ямы в полу-
86

проводниковых гетероструктурах — естественные объекты, иони-
ионизация которых описывается одномерной моделью. Ниже рассмот-
рассмотрим многофотонную ионизацию квантовой ямы под действием
сильной электромагнитной волны. При этом будем считать часто-
частоту волны со такой, что энергия кванта йсо гораздо меньше глуби-
глубины энергетического уровня электрона в яме. Электрическое поле
волны перпендикулярно границам гетероструктуры и однородно,
т.е. длина электромагнитной волны гораздо больше ширины
квантовой ямы. Исследуем скорость ионизации как функцию ши-
ширины ямы и частоты волны и укажем ситуацию, когда ионизация
подавлена из-за интерференции электронных волн, освободив-
освободившихся из ямы. Этот эффект впервые обсуждался в [25].
Кроме того, рассмотрим ионизацию квантовой ямы перемен-
переменным полем E(t) в присутствии сильного постоянного поля Ео,
параллельного Е@. Это представляет интерес, поскольку, в част-
частности, в фотодетекторах с квантовыми ямами гетероструктура по-
помещается одновременно в постоянное «тянущее» поле и поле вол-
волны [26].
Будем считать температуру гетероструктуры столь низкой, что
выполняются два условия: 1) все электроны находятся в основном
состоянии в квантовой яме, состояния непрерывного спектра сво-
свободны; 2) характерное время между столкновениями электрона с
тепловыми фононами много больше, чем время движения элек-
электрона в классически запрещенной области. Последнее условие
позволяет нам пренебречь электрон-фононным рассеянием и
описывать поведение электронов уравнением Шредингера.
3.4.2. Вероятность ионизации в единицу времени
Рассмотрим одномерное движение электрона в потенциаль-
потенциальной яме в присутствии переменного электрического поля Ecostat,
которое налагается в момент / = 0 и направлено вдоль оси х. Вол-
Волновая функция электрона 44x,t) удовлетворяет уравнению Шре-
Шредингера
C.18)
2т дх2
с начальным условием Ч*(х,0) = Ч>о(х), где т — эффективная масса
электрона; U(x) — потенциальная энергия ямы; ^(х) — волно-
87

вая функция основного состояния электрона в яме. Считаем, что
эффективная масса электрона не зависит от координаты х и что
произведение еЕ положительно. Ограничимся случаем прямо-
прямоугольной ямы глубиной UQ и шириной а, причем положим
Щх\>а/2) = 0. При этом
(Со cos(br), \х\<а/2,
|С0cos(*a/2)exp[-X(|jc|-a/2)], j^>а/2. °Л9)
Здесь
Со =-т=2==, кЛрт{ио-\?о\), *Л^ЪЩ, C.20)
1К/2 Я
^0<0 — энергия основного состояния электрона в яме. Далее
везде в разд. 3.4 полагаем
йсо«|^0|- C.21)
Чтобы найти волновую функцию, удобно свести уравнение
C.18) к интегральному с помощью функции Грина, описывающей
движение электрона в переменном электрическом поле Есоьш в
отсутствие потенциальной ямы (подробно вычисления см. в [20,
25]). Затем стоящую под знаком интеграла волновую функцию за-
заменяют невозмущенной волновой функцией основного состояния
электрона в яме, т.е. функцией *Р0(х)ехр(-/^0//й). Эта прибли-
приближенная процедура, предложенная в [20], подразумевает, что элек-
электрическое поле слабо влияет на основное состояние электрона в
яме (e?o«|f 0 |) и что за время /нашего рассмотрения уход элек-
электронов из ямы незначителен. Соответствующие расчеты для пря-
прямоугольной квантовой ямы выполнены в [25], где показано, что
для больших положительных значений х, t, удовлетворяющих не-
неравенствам C.27) и C.28),
+(|ar0l-nn©)r+^^cos<or+-^-
Здесь
88

р„ =
п-\) (и > v),
v =
hat
2Y2
C.23)
C.24)
*¦*
= х
xexp
йсо
arshy-
C.25)
(-D"
где
/<Y)= 1 +
2Y2
ushy—
2y
C.26)
— функция, впервые полученная Келдышем [19]. Параметр у
описывается уравнением C.17), в котором под X следует пони-
понимать величину, приведенную в C.20). Величина р„ — средний за
период поля импульс электрона, освободившегося из ямы после
поглощения « квантов поля. Параметр v определяет минимальное
число квантов электромагнитного поля, необходимое для иониза-
ионизации. Формула C.22) справедлива, если выполняются условия
х»а/2, еЕ/{т(а2),
xjm /Bйсо) «t« w ',
C.27)
C.28)
где w — интересующая нас вероятность ионизации ямы в едини-
единицу времени (см. ниже). Условия C.27), C.28) не противоречат друг
другу, если, по меньшей мере, справедливо неравенство
w«co. C.29)
Это неравенство вполне естественно, поскольку нас интересует
поведение системы при />1/а>, откуда с учетом условия wt«\
следует, что действительно w « ю.
Формула C.25) приближенная, она получена с помощью мето-
метода перевала. Условия ее применимости зависят от параметра у.
89

Если у>1, то C.25) справедлива при выполнении неравенства
C.21). Если же у «1, то C.25) справедлива при
C.30)
Используя волновую функцию C.22), легко вычислить элек-
электронный поток
2т\ дх дх J
при больших положительных значениях х, t. He зависящая от х
часть этого потока, усредненная по периоду электромагнитного
поля,
<332)
Очевидно, полный поток электронов из ямы равен 2у+. Этот
поток определяет интересующую нас вероятность ионизации w в
единицу времени (называемую также скоростью ионизации), т.е.
w=2j+ . Каждое слагаемое в формуле C.32), умноженное на два,
представляет собой скорость «-фотонной ионизации. Заметим,
что процедура усреднения по периоду электромагнитного поля,
использованная при выводе выражения для j+ , законна, посколь-
поскольку в соответствии с C.29) характерное время ионизации значи-
значительно превышает период переменного поля.
Подставляя C.25) в C.32) и учитывая, что для прямоугольной
квантовой ямы справедливо соотношение
\sui(i*+k)a/2 sin(/K-AQfl/2l2 _ 2h2e*a ,« , ,~, . п ...
представим скорость ионизации в виде
где
90

C.35)
— скорость ионизации б -образной квантовой ямы [20]. Подчерк-
Подчеркнем, что формулы C.34) и C.35) в принципе не могут описывать
скорость однофотонной ионизации в слабом электромагнитном
поле, поскольку при однофотонной ионизации й©^^01> в то
время как C.35) получена в предположении, что й<о «| 1?01.
Формулы C.34) и C.35) применимы для квантовой ямы с од-
одним энергетическим уровнем. При наличии нескольких энергети-
энергетических уровней этими формулами можно пользоваться, если сре-
среди высших уровней нет резонансного, т.е. такого, который отсто-
отстоит от основного на Nhca, где N — целое число.
Как уже отмечалось в 3.4.1, характерное время х между столк-
столкновениями электрона с тепловыми фононами должно быть значи-
значительно больше, чем характерное время Ту движения электрона в
классически запрещенной области. В квазиклассическом прибли-
приближении величину %f можно оценить, решая уравнение Ньютона
для подбарьерного движения:
Входящее сюда время — мнимое, поскольку подбарьерное движе-
движение в классической физике невозможно. При интегрировании
этого уравнения полагаем, что электрон входит под барьер из
квантовой ямы, имея импульс /йК в момент времени hf, а выхо-
выходит из-под барьера с нулевым импульсом в момент /=0. В резуль-
результате получаем
еЕ
ih$ =—sin(/oyc/-),
со J
откуда находим
91

-о» 'lnUl+y2 +Yj.
Следовательно, выражения C.34) и C.35) справедливы при столь
низких температурах, что выполняется условие
ш»1п|
C.36)
Это неравенство сводится к условиям та>,»1 при у«1 и
т<в»1пBу) приу»1.
Проанализируем формулы C.34) и C.35). В высокочастотном
пределе (у»1) члены ряда, входящего в C.35), резко убывают с
ростом номера п. Следовательно, достаточно ограничиться наи-
наибольшим из них, номер которого наиболее близок к v = |f0 |/й<о
(обозначим этот номер nmin). В результате получим
C.37)
В соответствии с определением nmin имеем imin-l<v<nmin,
т.е. nmin -1 < \&0\/Ш < nmin . Ситуация, когда |fo| = nminh<a, соответ-
соответствует порогу «min -квантового поглощения.
Скорость ионизации в высокочастотном пределе имеет осо-
особенности. Зафиксируем глубину ямы, амплитуду и частоту пере-
переменного электрического поля и будем увеличивать ширину ямы.
При этом величина | ^01 возрастает, отношение | g0 |/йсо стре-
стремится к /imin снизу и скорость ионизации становится пропорцио-
пропорциональной (иПип-|?'о1/йа>Г1/2->00 ПРИ четном /imin и
("minH^o |/йа>)^2 ->0 при нечетном «min. Таким образом, если
порог соответствует четному nmin , то скорость ионизации на по-
пороге обращается в бесконечность. Если же порог соответствует не-
нечетному nmin, она стремится к нулю.
Обращение скорости ионизации в бесконечность при четных
Mmin связано с особенностью плотности электронных состояний в
92

одномерном случае. При нечетных «min сингулярность скорости
ионизации на пороге подавлена. Это можно интерпретировать
следующим образом. Если электрон поглощает квант поля, волно-
волновая функция электрона меняет четность. И основное состояние
электрона в прямоугольной яме, и низшее состояние непрерыв-
непрерывного спектра описываются четными волновыми функциями, по-
поэтому переход между этими двумя состояниями возможен, если
электрон поглощает четное число квантов поля. Переходы, сопро-
сопровождаемые поглощением нечетного числа квантов, запрещены.
Таким образом, при увеличении ширины ямы скорость иониза-
ионизации на порогах поочередно обращается в нуль и бесконечность.
Помимо описанного выше, существует второй тип особенно-
особенностей скорости ионизации как функции ширины ямы. Согласно
C.37) скорость ионизации равна нулю при условии
—11 L—1?
Формально при этом условии матричный элемент, связываю-
связывающий основное состояние электрона в яме и состояние непрерыв-
непрерывного спектра, обращается в нуль. Физическая причина этого эф-
эффекта заключается в следующем. Экспоненциальные функции в
последней строке формулы C.25) можно записать в виде
ехр(+/р„хо/й), где хо=й8//жю. Следовательно, в соответствии с
C.22), C.25) компоненту волновой функции с импульсом р„
можно рассматривать как суперпозицию двух волн, выходящих из
двух различных точек, расстояние между которыми 2х§. Если от-
отношение этого расстояния к длине волны электрона 2nh/pn есть
целое число при нечетных «min и полуцелое число при четных
wmin [эти условия выражаются формулой C.38)], то в результате
интерференции двух парциальных волн амплитуда компоненты
волновой функции, соответствующей импульсу р„, обращается в
нуль. Таким образом, второй тип особенностей скорости иониза-
ионизации связан с интерференцией двух электронных волн, освобож-
освобождающихся из ямы.
Строго говоря, поскольку анализируемые нами формулы при-
применимы при w«oo, мы не можем утверждать, что при некоторых
значениях параметров квантовой ямы и переменного поля ско-
скорость ионизации стремится к бесконечности. Мы не можем также
утверждать, что скорость ионизации C.37) строго равна нулю при
93

некоторых значениях параметров, так как в формуле C.37) не уч-
учтены многофотонные процессы с я > птп. Кроме того, энергети-
энергетические уровни электронов в полупроводниках имеют конечную
ширину из-за столкновений электронов, например с фононами.
Поэтому минимальное значение (wmm-v)^2 следует считать рав-
равным не нулю, а величине порядка (сот)"'/2, где х — характерное
время движения электрона между соударениями. Согласно C.36)
при у »1 произведение сох велико, поэтому особенности скоро-
скорости ионизации должны проявляться при достаточно низких тем-
температурах.
Рассмотрим теперь низкочастотный предел (у«1). Прежде
всего выделим из ряда, входящего в C.35), член с n = nmin, так как
этот член может обращаться в бесконечность. В остальных членах
ряда, пользуясь малостью параметра у, перепишем экспоненци-
экспоненциальную функцию в виде ехр[-2у3(п-v)/3]. Очевидно, что это мед-
медленная функция п при у«1. Напротив, второе слагаемое в фи-
фигурных скобках быстро осциллирует при изменении п, и мы мо-
можем опустить его при вычислении суммы ряда. После этого сум-
суммирование по и от я,™,, +1 до оо можно заменить интегрировани-
интегрированием по переменной ? = 2у3 (л - v)/3. В результате найдем
C.39)
Из этого выражения видно, что скорость ионизации как функ-
функция ширины ямы или частоты поля сингулярна при таких значе-
значениях параметров, при которых v = «min, если «min — четное число.
Эти сингулярности описываются вторым слагаемым в фигурных
скобках. Оно становится существенным, лишь если v очень близ-
близко к лтш, так как у «1. Учтем электрон-фононные столкновения
и заменим для оценок минимальное значение (лтш -vI/2 величи-
величиной (сот)/2 . При этом максимальное значение сингулярного чле-
члена в фигурных скобках будет порядка y3/2(«min-v)/2~(y3coTI/2,
94

что значительно меньше единицы при достаточно малых у. По-
Поэтому в дальнейшем будем пренебрегать вторым слагаемым в фи-
фигурных скобках. В этом приближении скорость ионизации не за-
зависит от частоты.
Заметим, что множитель ехр(-4к | ^01 /(Зе?)+ К а), входящий в
C.39), представляет собой квазиклассическую прозрачность тре-
треугольного барьера, образующегося при наложении постоянного
электрического поля Е на поле квантовой ямы. В силу неравенст-
неравенства C.30) эта прозрачность мала по сравнению с единицей. Другой
множитель,[(ЗеЕ/BпИ\^й\)]1/2, входящий в C.39), определяет
часть периода переменного поля, когда ширина барьера мини-
минимальна и туннелирование происходит наиболее эффективно. Это
утверждение становится очевидным, если сравнить скорость ио-
ионизации в низкочастотном пределе C.39) со скоростью ионизации
в постоянном поле, величина которого равна амплитуде перемен-
переменного поля (см. 3.4.3).
Интересно, что, с одной стороны, формула C.39) описывает тун-
туннелирование электрона из ямы через изменяющийся во времени по-
потенциальный барьер. С другой стороны, C.39) получена из формулы
C.35), в соответствии с которой в низкочастотном пределе ионизация
представляет собой союкупность большого числа многофотонных
процессов, сопровождающихся поглощением либо nmin, либо
л,™,,+1,..., либо «min +Л/у3 фотонов, гдеЛ~1. Оценка коэффициента
А является следствием того, что вклад «-фотонного процесса в ско-
скорость ионизации пропорционален exp[-2v3 (и - v)/3].
Подчеркнем, что выражение C.39) применимо в частотном
диапазоне w«<o«eE/hX. Верхний предел определяется услови-
условием у«1, а нижний предел тем, что число носителей в яме не
должно существенно меняться за период поля.
На рис. 3.4 показана зависимость скорости ионизации от ши-
ширины квантовой ямы в низкочастотном пределе при трех значени-
значениях амплитуды электрического поля [25]. Расчеты выполнены по
формуле C.39) при Uo =0,3 эВ, т = 0,07щ, что приблизительно со-
соответствует гетероструктуре AlxGa!_xAs/GaA$/AlxGa!_xAs я-типа.
Как уже отмечалось выше, в низкочастотном пределе скорость
ионизации не зависит от частоты поля, которая, однако, должна
быть значительно больше скорости ионизации. Из графиков вид-
видно, что скорость ионизации — монотонная функция ширины
ямы. Это обусловлено тем, что глубина уровня энергии и масштаб
95

локализации К ' волновой функции основного состояния элек-
электрона в яме являются монотонными функциями ширины ямы.
Чем уже яма, тем больше скорость ионизации, так как в узкой яме
глубина уровня энергии невелика, соответственно малы высота и
ширина барьера, через который туннелирует электрон при выходе
из ямы.
ю
ЬО 60 вО
Рис. 3.4. Зависимость скорости ионизации от ширины
квантовой ямы в низкочастотном пределе
Рисунок 3.5 [25] иллюстрирует зависимость скорости иониза-
ионизации от ширины ямы в высокочастотном пределе (у »1). Расчеты
выполнены по формуле C.37). В этом случае зависимость w(a)
резко немонотонна. Особенности в точках а » 33 А, а « 52 А соот-
соответствуют порогам. Минимальное число квантов поля, необходи-
необходимое для ионизации, возрастает скачком с 3 до 4 в точке а* 33 А и с
4 до 5 в точке а « 52 А. Если ширина ямы приближается к 33 А сни-
снизу, то минимальное число квантов nmin, необходимое для иониза-
ионизации, равно 3, следовательно, согласно C.37) пороговое значение
скорости ионизации равно нулю. Напротив, на пороге а «52 А
скорость ионизации стремится к бесконечности. Особенность
вблизи точки а «48 А не является пороговой. Значение о «48 А —
корень уравнения C.38) при и,^ =4. Такие особенности мы на-
назвали особенностями второго типа. Они обусловлены интерфе-
интерференцией двух электронных волн, освободившихся из ямы.
Стрелки со значками 0, <» указывают на точки, в которых ско-
скорость ионизации обращается соответственно в нуль и бесконеч-
96

ность и в которых минимальное число квантов, необходимое для
ионизации, изменяется на единицу. Стрелка над кривой указыва-
указывает ширину ямы, при которой скорость ионизации обращается в
нуль из-за интерференции двух электронных волн, освободив-
освободившихся из ямы.
W, С
10'
10'
10"
- о
Я 42 51 а, А
.ft.
Рис. 3.5. Зависимость скорости ионизации от ши-
ширины квантовой ямы в высокочастотном пределе
(Uo = 0,3 эВ; т = 0,07/и,), амплитуда переменно-
переменного поля 70 кВ/см, частота поля <>^Bя) = 14ТГц)
W, С
10
10* -
28 ш/Bя), ТГц
Рис. 3.6. Зависимость скорости ионизации от частоты
электрического поля в высокочастотном пределе. Глубина
ямы 0,3 эВ, ширина 50 А, амплитуда поля 70 кВ/см
4 Физика квантовых
низкоразмерных структур
97

Зависимость скорости ионизации от частоты электрического
поля в высокочастотном пределе (у »1) изображена на рис. 3.6
[25]. Стрелки со значками 0, °° указывают частоты, на которых
скорость ионизации обращается соответственно в нуль и беско-
бесконечность и в которых минимальное число квантов, необходимое
для ионизации, изменяется на единицу. Стрелки над кривой ука-
указывают частоты, на которых скорость ионизации обращается в
нуль из-за интерференции двух электронных волн, освободив-
освободившихся из ямы (особенности второго рода). Стрелки под кривой
(справа налево) соответствуют частотам, на которых минимальное
число квантов поля, необходимое для ионизации ямы, изменяется
скачком с 2 до 3, с 3 до 4 и т.д.
Оценим эффективность многофотонной ионизации Q, под кото-
которой понимается отношение числа электронов, покинувших кванто-
квантовую яму единичной площади в единицу времени, к числу фотонов,
падающих на яму за этот промежуток времени. Согласно рис. 3.6,
при ?/0=0,ЗэВ,т = 0,07то, а«40А, Е=70 кВ/см, w/Bn)= 14ТГц
скорость ионизации составляет w «1010 с, поэтому при концентра-
концентрации электронов в яме % = Ю12 см число частиц, покидающих яму в
единицу времени, nsw=> 1022 с см. Число квантов поля, падаю-
падающих на единицу площади структуры в единицу времени,
где ё — диэлектрическая проницаемость полупроводника. В на-
нашем примере при е«12,5 получаем Af^~2,6-1027 с см. Сле-
Следовательно, эффективность многофотонной ионизации составля-
составляет Q = nsw/Nph ~3,8 10. Если менять лишь амплитуду электри-
электрического поля Е, то зависимость Q(E) будет описываться формулой
Q~3,8-10-6(?/70N,
где Е выражается в кВ/см.
Мы рассмотрели два предельных случая — низкочастотный
(у «1) и высокочастотный (у »1) . Частоту в^р, разделяющую
области низких и высоких частот, можно оценить из условия
у ~ 1, что дает
98

При значениях параметров, использованных при построении гра-
графика на рис. 3.6, находим, что f0 = - 0,21 эВ и оо^ /Bл) -2,8 ТГц.
3.4.3. Ионизация квантовой ямы постоянным и переменным электри-
электрическими полями
Рассмотрим ионизацию квантовой ямы, помещенной одно-
одновременно в постоянное и переменное однородные электрические
поля. Считаем, что поля направлены вдоль оси х, которая в свою
очередь перпендикулярна границам квантовой ямы. Ограничимся
случаем достаточно низких частот, когда время движения элек-
электрона в классически запрещенной области гораздо меньше перио-
периода переменного поля. Прежде всего найдем скорость ионизации в
постоянном поле ?0 . Эта задача численно исследована в [27], ее
аналитическое решение найдено в [25].
Согласно [25], волновая функция электрона, туннелирующего из
прямоугольной квантовой ямы в постоянном поле 2?0 > ПРИ больших
положительных значениях x,t [см. C.42) и C.43)] имеет вид
*4 \ sinf К-А1
i*-k
хе
.П_.Гр,,;2
Здесь подразумевается, что еЕ0 >0. Выражение C.40) справед-
справедливо, если выполняются условия
еЕоа «| Г о |, w(E0)t«1, C.41)
«1,
C.43)
где w(E0) — искомая скорость ионизации в постоянном электри-
электрическом поле. Условия C.41) позволяют пренебречь, во-первых,
4. 99

влиянием поля Ео на основное состояние электрона в яме, во-
вторых, уходом носителей из ямы за время /. Неравенства C.41) и
C.42) не противоречат друг другу, если
C.44)
Подчеркнем, что волновую функцию C.40) нельзя получить из
волновой функции C.22), положив в последней а>=0, так как в
этом случае нарушаются условия применимости C.27) и C.28) вы-
выражения C.22).
Подставляя волновую функцию в C.31), найдем поток элек-
электронов из ямы, который и представляет собой скорость иониза-
ионизации w(E0). Таким образом,
Заметим, что скорость ионизации в переменном поле, найден-
найденная в низкочастотном пределе [см. C.39)], отличается от скорости
ионизации в постоянном поле, величина которого равна амплиту-
амплитуде переменного поля [см. C.45) при Е0=Е], множителем
У13еЕ/2кй\%'()\. Как отмечалось в 3.4.2, этот множитель определя-
определяет часть периода переменного поля, когда барьер минимален и
туннелирование происходит наиболее эффективно.
Пусть теперь на яму действует электрическое поле Ео + Ecosm.
Частоту переменного поля считаем низкой (а&й/(еЕ0)« 1). Для оп-
определенности полагаем Е<Е0 (при этом поток частиц из ямы может
иметь лишь одно направление). Поскольку рассматриваемый нами
процесс является квазистатическим, то скорость ионизации w можно
вьиислить, заменяя в C.38) Ео на Ео + Ecos&t и усредняя получен-
полученное выражение по периоду переменного поля, т.е.
2 л/со
w=~ jw(E0+Ecos(Ot)dt. C.46)
Использование процедуры усреднения подразумевает, что to » w.
Если амплитуда переменного поля достаточно велика, так что
выполняется неравенство
1
Зе(Е0+ЕJ
100
C.47)

то интеграл C.46) можно вычислить методом перевала. В резуль-
результате получим
W~
l + Na/2
'
Если в формуле C.45) заменить Ео на Ео + Е и сопоставить с
выражением C.48), то легко видеть, что в силу неравенства C.47)
скорость ионизации в постоянном и переменном полях гораздо
меньше, чем в постоянном поле величиной Ео+Е. Это обуслов-
обусловлено тем, что лишь незначительную часть периода полное поле
близко к Ео+Е. Именно в течение этого незначительного проме-
промежутка времени туннелирование из ямы происходит наиболее эф-
эффективно и так, как в постоянном поле величиной Ео+Е.
W, С
-1
10
40 60 «0
Рис. 3.7. Зависимость скорости ионизации от шири-
ширины квантовой ямы при трех значениях амплитуды
переменного поля (?/0=0,ЗэВ, m = 0,07m0, посто-
постоянное электрическое поле Ео = 100кВ/см) [25]
Зависимость скорости ионизации от ширины квантовой ямы
при различных значениях амплитуды переменного поля показана
на рис. 3.7. Расчет выполнен непосредственно по формуле C.46)
(как и для рис. 3.8). Как видно из графиков, при фиксированных
значениях E0,E скорость ионизации монотонно уменьшается при
увеличении ширины ямы. Это связано с понижением уровня
энергии основного состояния электрона в яме и, следовательно, с
увеличением эффективной толщины и высоты барьера, который
101

должен быть преодолен электроном, покидающим яму. Скорость
ионизации существенно зависит от амплитуды переменного поля,
причем эта зависимость тем сильнее, чем больше ширина ямы.
На рис. 3.8 представлена зависимость скорости ионизации от ам-
амплитуды переменного поля при различных значениях напряженности
постоянного поля и фиксированной ширине ямы. Эта зависимость
становится менее выраженной при усилении постоянного поля.
10"
109
W, С
т
•
Е§= 70 кВ/см
^
100
^^
¦ 1
—
—
1 1
1
30
so
70
Е, кВ/см
Рис. 3.8. Зависимость скорости ионизации от амплитуды пе-
переменного электрического поля при двух значениях Eq (глу-
(глубина ямы 0,3 эВ, ширина 40 А) [25].
3.5
Лазеры на структурах с квантовыми ямами
Предшественником лазера на структуре, содержащей кванто-
квантовую яму, является инжекционный полупроводниковый лазер с
двойной гетероструктурой, упрощенная схема и энергетическая
диаграмма которого показаны на рис. 3.9 [13]. Двойная гетерост-
руктура содержит п- и />-слои полупроводника с большой шири-
шириной запрещенной зоны, между которыми находится слой прямо-
зонного р-полупроводника с меньшей шириной запрещенной зо-
зоны (этот слой называется активным). Инверсия населенности
уровней достигается при большом прямом токе за счет инжекции
избыточных носителей в активный слой. При рекомбинации
электронов и дырок в этом слое генерируется когерентное излуче-
102

ние, выходящее через полупрозрачные зеркала. Генерация возни-
возникает, если усиление светового излучения при его взаимодействии
с активным слоем превосходит потери энергии, обусловленные
выходом излучения наружу и поглощением его в гетероструктуре.
Усиление света превосходит потери его энергии, если ток через
гетероструктуру превышает некоторое значение, которое называ-
называется пороговым.
р-
р - GaAs
i
п
О О "*
р
\
1 р р
• ••
а) б)
Рис. 3.9. Двойная гетероструктура (а) с полупрозрачными
зеркалами 3 на торцах и ее энергетическая диаграмма (б):
/ — ток через гетероструктуру, Ш с ,& v — края зоны проводимости
и валентной зоны; белые и черные кружки — электроны и дырки.
Подчеркнем, что двойная гетероструктура служит одновре-
одновременно двум целям: во-первых, скачки дна зоны проводимости и
валентной зоны способствуют локализации электронов и дырок в
активном слое, препятствуя их растеканию, поэтому в двойной ге-
гетероструктуре легче добиться инверсной населенности при задан-
заданном токе (по сравнению со случаем, когда /^полупроводник с
большой шириной запрещенной зоны отсутствует); во-вторых,
показатель преломления активного слоя больше показателей пре-
преломления окружающих слоев, что приводит к локализации в нем
световой волны, при этом она более эффективно стимулирует из-
лучательные переходы носителей.
Простейший вариант лазера, в котором используется гетерост-
гетероструктура с квантовой ямой, имеет такой же вид, как лазер с двой-
двойной гетероструктурой (рис. 3.9), но ширина активного слоя столь
мала, что в нем проявляется пространственное квантование спек-
спектра носителей заряда. Однако в такой структуре коэффициент, ха-
характеризующий пространственную локализацию световой волны
в квантовой яме, очень мал (пропорционален квадрату ширины
квантовой ямы [13]) и световое излучение взаимодействует с но-
носителями заряда неэффективно. Чтобы преодолеть этот недоста-
103

ток, в [28, 29] было предложено использовать специальные слои,
окружающие квантовую яму и служащие для локализации свето-
светового излучения вблизи нее. Пример структуры с такими слоями
приведен на рис. 3.10.
V
In Ga As
у 1-y
a) 6)
Рис. 3.10. Гетероструктура с квантовой ямой и специальными
слоями для локализации светового излучения (а) и ее энергети-
энергетическая диаграмма (б):
3 — полупрозрачные зеркала; 1,4 — л-полупроводник и р-полупроводник
с широкой запрещенной зоной; 2 — слои нелегированного полупровод-
полупроводника, служащие для локализации светового излучения; 3 — квантовые
ямы для электронов и дырок в слое полупроводника с малой шириной за-
запрещенной зоны; 5 — уровни энергии локализованных в квантовых ямах
состояний электронов и дырок; W с ,& v — края зоны проводимости и ва-
валентной зоны.
Для локализации световой волны используются слои нелеги-
нелегированного полупроводника, помеченные на рисунке цифрой 2.
Между этими слоями расположен слой полупроводника с малой
шириной запрещенной зоны, в котором образуются квантовые
ямы и для электронов, и для дырок. Благодаря пространственному
квантованию спектра носителей заряда частота генерации лазера
определяется не шириной запрещенной зоны, а расстоянием меж-
между энергетическими уровнями электронов и дырок в квантовых
ямах. Поскольку число состояний, населенность которых необхо-
необходимо инвертировать, в квантовой яме значительно меньше, чем в
двойной гетероструктуре, пороговая плотность тока в лазере на
структуре с квантовой ямой существенно меньше, чем в лазере на
двойной гетероструктуре.
Более подробные сведения о работе лазеров на структурах, со-
содержащих квантовую яму, можно найти в [13].
104

Литература
1. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.:
Наука, 1990.
2. Takada Y. J. Phys. Soc. Japan. 50,1998,1981.
3. ШикА.Я. ФТП. 22,1843, 1988.
4. Алешкин В.Я., Романов Ю.А. ФТП. 27,329,1993.
5. Stoklitsky S.A., HoltzP.O., Monemar В. etal. Appl. Phys. Lett. 65, 1706,
1994.
6. Алешкин В.Я., Бекин Н.А. ФТП. 31, 171, 1997; Aleshkin V.Ya.,
Bekin N.A. J. Phys.: Condens. Matter. 9,4841,1997.
7. Петров В.А. ФТТ. 18,1400,1976.
8. Оптическая ориентация / Под ред. Б.П.Захарчени, Ф.Майера. Л.:
Наука, 1989. Гл. 2.
9. Петров В.А. ФТТ. 19,3101,1977.
10. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука,
1978.
11. Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor
Heterostructures. N.Y.: Halsted Press, 1988.
12. S.Schmitt-Rink S., Miller D.A.B., Chemla D.S. Phys. Rev. B35, 8113,
1987.
13. Weisbuch C, VinterB. Quantum Semiconductor Structures. San Diego:
Academic Press, 1991.
14. Schmitt-Rink S., Chemla D.S., Miller D.A.B. Advances in Physics. 38,
89, 1989.
15. Еаинсон MM., Петров В.А. Микроэлектроника. 16,522,1987.
16. Петров В.А. ФТТ. 14, 2894,1972.
17. Miller D.A.B. et al. Phys. Rev. B32,1043,1985.
18. Кукушкин И.В., Тимофеев В.Б. УФН. 163,1,1993.
19. Келдыш Л.В. ЖЭТФ. 47,1945, 1964.
20. Переломов A.M., Попов B.C., Терентьев М.В. ЖЭТФ. 50,1393, 1966.
21. Reiss H.R. Phys. Rev. A 22, 1786,1980.
22. Mittleman M.S. Phys. Rev. A 40,463,1989.
23. EberfyJ.H., Su Q., Javanainen J. Phys. Rev. Lett. 62,881,1989.
24. Su Q., EberfyJ.H. Phys. Rev. A43,2474,1991.
25. Demikhovskii V.Ya., Vugalter G.A. J. Phys.: Condens. Matter. 8, 2585,
1996.
26. Rosencher E., Vinter В., Levine B. Intersubband Transitions in Quantum
Wells/Ed. B.Levine. N.Y., 1992.
27. Juang C, Kuhn K.J., Darling R.B. Phys. Rev. В 41,12047,1990.
28. Tsang W.T. Appl. Phys. Lett. 39,134,1981.
29. Tsang W. T. Appl. Phys. Lett. 40,217,1982.
105

Глава 4
ТУННЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ
4.1
Двухбарьерные структуры
4.1.1. Общие сведения
Современные технологические методы позво-
позволяют создавать многослойные полупроводнико-
полупроводниковые гетероструктуры с толщиной слоев 1—10 нм.
Этот масштаб может быть сравним с длиной вол-
волны де Бройля электронов или дырок, поэтому в
таких структурах может проявиться волновая
природа носителей заряда, в частности открыва-
открывается возможность наблюдения резонансного тун-
нелирования электронов через систему потенци-
потенциальных ям и барьеров. Впервые использовать эф-
эффект резонансного туннелирования электронов в
слоистых тонкопленочных структурах металл —
диэлектрик для создания электронных интерфе-
интерферометров, тонкопленочных диодов, триодов и
т.п. предложил Л.В.Иогансен [1-3]. Однако его
предложения довольно долго не были реализова-
реализованы из-за отсутствия развитой тонкопленочной
технологии. Лишь в семидесятые годы в результа-
результате развития молекулярной эпитаксии стало воз-
возможным создание гетероструктур, подобных
предложенным Л.В.Иогансеном, но с заменой
слоев металл — диэлектрик эпитаксиальными
слоями различных полупроводниковых материа-
материалов, прежде всего слоями AlxGa]_xAs/GaAs [4].
Впервые [5] были описаны диоды, созданные на
основе гетероструктур, с вольт-амперными ха-
характеристиками, особенности которых можно
было объяснить резонансным туннелированием
электронов. Однако эти особенности наблюда-
наблюдались лишь при низких температурах (Т < 77 К).
Потребовалось почти десять лет, прежде чем уда-
106

лось создать диоды на основе тонкопленочных гетерострукгур, в
которых резонансное туннелирование проявлялось при темпера-
температурах до 200 К [6, 7] и даже при комнатной температуре [8, 9]. Ра-
Работы [6—9] положили начало широкому исследованию резонанс-
резонансного туннелирования электронов в двухбарьерных квантовых
структурах (см. обзоры [10, И] и цитированную в них литературу).
Резонансное туннелирование электронов и вольт-амперная ха-
характеристика (ВАХ) резонансно-туннельного диода обсуждаются
в разд. 4.1,4.2.
Подчеркнем, что интерес к двухбарьерным квантовым струк-
структурам обусловлен малой инерционностью процесса резонансного
туннелирования в них (характерное время туннелирования
порядка 10~13с), а следовательно, перспективами создания высо-
высокочастотных приборов, работающих в терагерцевом диапазоне
частот, и цифровых приборов со временем переключения менее
1 пс.
4.1.2. Коэффициенты отражения и прохождения
Е
и
"г
г
О ш Г
Рис. 4.1. Двухбарьерная квантовая структура
Пусть на двухбарьерную структуру в положительном направ-
направлении оси z падают электроны с энергией Е и соответственно с
импульсом hk=-j2mE (рис. 4.1). Найдем амплитуды отражения
R и прохождения D через структуру, не решая уравнения Шре-
дингера, а рассматривая многократные переотражения волн от
барьеров. Амплитуды отражения Rl2 и прохождения I\ 2 для пер-
первого и второго барьеров соответственно считаем известными.
107

Учитывая, что фазовый набег электронной волны при распростра-
распространении от одного барьера до другого равен kL, и суммируя полу-
получающиеся геометрические прогрессии, можем написать
Л = Л, +D1eikLR2eiklDl +DieikLR2eikLRleikLR2eikLDl +...=
D?R2e2ikL D.1)
X \-R{R2eVkL'
Л
D '
2
\ — R\R2e
D.2)
Обозначим /?! 2 =|i?i>2|e"l>1 >2, тогда коэффициент прохождения мож-
можно представить в виде
Если импульс падающих частиц удовлетворяет условию
к„Ь+(щ+<?2)/2 = пп, л = 0,1,2,..., D.4)
то их коэффициент прохождения
№ D5)
(подчеркнем, что q>1>2 зависят от к , причем, как можно показать,
в интересующем нас случае туннелирования через прямоугольные
барьеры —те < <рх 2 <0). Будем считать барьеры достаточно толсты-
толстыми. В этом случае коэффициенты Д,/^ экспоненциально малы
(пропорциональны е~Ща{,е~**а2, где hXl2=j2rn(Ul2-E)), а ко-
коэффициенты отражения близки по модулю к единице:
D-6)
Подставляя последнее выражение в D.5), получим
(|АГ+№2
108

где Е„ =ПгкЦ{2т). В частности, при \Г\|=|А| (например, барьеры
одинаковы) |Д?„)| =1. Это и есть эффект резонансного туннели-
рования. Поскольку число частиц при рассеянии на барьере сохра-
сохраняется, то \R(Enf =0.
Итак, хотя проницаемости барьеров малы (| Д 212<<0 > ПРИ не-
некоторых значениях энергии частица «не чувствует» барьеров. Ме-
Механизм резонансного туннелирования таков: из-за интерферен-
интерференции электронных волн при их отражении от барьеров снаружи ос-
остаются лишь падающая и прошедшая электронные волны, а об-
обратная (отраженная) волна полностью гасится.
Полезно найти волновую функцию электрона в яме между
барьерами. Она имеет вид
4>(а, < z < L+ax) = Ае1К(г-ч + &r'*<^-fl>>, D.8)
где
A = A +DleikLR2eikLRi +...=
5 = AeftI/?2 + D1eiklR2eikLRieikLR2 +... =
Z), Л2ей
Здесь заложено предположение, что амплитуда падающей волны
равна единице. Из формул D.9) видно, что при к=&„
l-il.lBl М
Полагая |Д|=|/J|, получим, что |ЛН#|»1/|Д|»1. Таким обра-
образом, амплитуда волновой функции внутри ямы значительно боль-
больше, чем вне двухбарьерной структуры. На языке классической ме-
механики можно сказать, что электрон задерживается в яме на боль-
большой промежуток времени и многократно ударяется о барьеры,
вследствие чего многократно возрастает вероятность его туннели-
туннелирования из ямы.
109

4.1.3. Квазистационарные состояния электрона в яме между
барьерами
Чтобы установить физический смысл значений энергии, при
которых происходит резонансное туннелирование электронов,
рассмотрим задачу о стационарных состояниях частицы в яме ме-
между барьерами. Решение уравнения Шредингера
_|_^_* = ?ч>, ax<z<ax+L, D.10)
имеет вид
ТО = C,e'*(z-ai) +C2e-ik{z-l~ai), D.11)
гдеСХ,С2 — произвольные постоянные; k=-j2mE/h. Поскольку
решение представляется в виде двух волн, бегущих навстречу друг
другу, и амплитуды Rx2 отражения волн от барьеров мы считаем
известными, на коэффициенты СХ,С2 можно наложить условия
С, = /?,ewC2, С2 = R2eikLCx. D.12)
Нетривиальное решение этой системы существует при
l-RxR2e2ikL=0. D.13)
Поскольку \RXR2\ < 1, это уравнение не имеет действительных кор-
корней и, следовательно, стационарных состояний в яме нет. Однако
при 1/^1 = 1 корни уравнения D.13) близки к действительным и
можно говорить о квазистационарных состояниях. Последние ха-
характеризуются комплексными значениями энергии
„ +ПтЁ„, 1т?„|«Ке1;, D.14)
или, что эквивалентно, комплексными значениями волнового
числа
к„ =^2тЁ„/h = Кек„ +Итк„, \ткп\«Кек„ . D.15)
Очевидно,
^2, 1тЁ„~—Кек„1ткп. D.16)
m
по

Используя представление R\,2 = Ri^e"*13 и формулы D.15), D.6),
из D.13) получим
^^tefc -я», « = 0,1,2,..., D.17)
tokSL+liHSl+Зй
2 dk
1
~ln,
D.18)
Уравнение D.17) совпадает с D.4), поэтому Rekn =kn, КеЁп=Е„.
Следовательно, резонансное туннелирование осуществляется че-
через квазистационарные уровни энергии электрона в яме.
Далее, согласно D.16) и D.18)
где Ln — величина, стоящая в квадратных скобках в D.18). Она
имеет смысл расстояния между плоскостями эффективного отра-
отражения электронной волны. Рассматривая hRekn/m как скорость
классического движения электрона на уровне Re?n, можно ин-
интерпретировать величину vn=hReicn/(mLn) как частоту ударов о
барьеры. Введем время релаксации х„ квазистационарного со-
состояния с номером п по формуле 1тпЁ„ =-й/т„ (иногда в литера-
литературе определяют время релаксации соотношением
1т?„ =-й/2тя )• Тогда из D.19) следует
Ч4Г+1АГ
<4-20>
Для нижнего уровня в структуре, содержащей слои GaAs и
Aloj3GaO7As, при Ux =U2 =0,2 эВ, /и=0,067/Ио, Z, = 50 А, ах=а2 =
= 70 А оказывается, что т0 ~ 100 с, а при а!=о2=50 Ат«8102с.
До сих пор не учитывалось рассеяние электронов на примесях,
дефектах, фононах и т.д. Процессы рассеяния нарушают коге-
когерентность электронных волн и условия их интерференции, что
ill

приводит к так называемому столкновительному (релаксационно-
(релаксационному) уширению энергетических уровней электрона, т.е. к увеличе-
увеличению \1тЕ,
. Вклад процессов рассеяния в величину Ё„ принято
обозначать -й/тр . Время релаксации тр возрастает с уменьшени-
уменьшением концентрации примесей и дефектов, а также с понижением
температуры. Для чистого GaAs при Г=77 К тр»10~12с, при
Г = 200Кгр~1(Г12сипри Г =
4.1.4. Энергетическая зависимость резонансного коэффициента
прохождения
Рассмотрим выражение D.2) для амплитуды прохождения при
значениях к , близких к Иек„, т.е. при значениях энергии, близ-
близких к Еп. Отличие к от Re?n будем учитывать лишь в резко изме-
изменяющемся знаменателе. Зависимостью |^|,|Лг| от & в малом ин-
интервале вблизи Re?n пренебрежем. Получим
щще
l|J?J?|'l»l(*>+*(*>t2I*J '
где Д,/>2,|/^|,|/?2| взяты при к = К&к„. Входящую в знаменатель
экспоненту можно представить в виде
Mib^2(K)^^]\i+![2L+f^-+^] Лк-к
е X+YL+{dk + dk)k^fK *
Подставим D.22) в D.21), учтем, что комплексные волновые числа
к„ удовлетворяют уравнению D.13), и воспользуемся соотноше-
соотношением D.18). Придем к выражению
Dm ™?? _. D.23)
*^1
й ~ й
Поскольку is-Ref,,*'—Kekn(k-Rekn), Im^^—Reknlmkn,
m m
то окончательно получаем
112

ИЛИ
(|A|2 M ><? /
D.25)
Отсюда видно, что коэффициент прохождения имеет лоренцев-
скую форму зависимости от энергии падающих на двухбарьерную
структуру частиц (при значениях Е, близких к Е„).
Оказывается, если учесть рассеяние электронов (тр*°°), то
даже при (ДJ^/)^2 максимальное значение |Я|2*1, но оно тем
ближе к единице, чем больше отношение тр/тл .
Пространственные флуктуации толщины или состава барьер-
барьерных слоев приводят к тому, что на различных участках двухбарьер-
ной структуры энергии резонансных уровней различны, что в
свою очередь уменьшает полный резонансный ток частиц с задан-
заданной энергией. Поэтому требование высокой степени идентично-
идентичности и однородности барьерных слоев является существенным при
изготовлении резонансных туннельных полупроводниковых гете-
роструктур и приборов на их основе.
4.2
Резонансно-туннельный диод
Резонансно-туннельный диод представляет собой двухбарьер-
двухбарьерную структуру с квантовой ямой (рис. 4.2). Его крайние слои вы-
соколегированы, к ним примыкают омические контакты. Харак-
Характерная ширина барьеров 20—50 А, ширина ямы составляет 30—
100 А В структуре, показанной на рис. 4.2, высота барьеров зави-
зависит от концентрации х алюминия, возрастая приблизительно ли-
линейно от 0,2-0,25 эВ при х=0,3 до 1,355 эВ при х=1 . В качестве
примера заметим, что при х=0,3, 1 = 50 А в квантовой яме суще-
существует одно квазистационарное состояние с энергией Ео = 70—
80 мэВ. Концентрация доноров в высоколегированных областях
из

диода превышает 1017 см, при этом можно считать электронный
газ в /7+GaAs вырожденным и описывать его функцией распреде-
распределения Ферми.
Пусть к диоду приложено напряжение V, которое для просто-
простоты считаем падающим лишь на барьерах (положительный полюс
источника присоединен к правому контакту, рис. 4.2). Найдем ток
/ в отрицательном направлении оси z, вызываемый этим напря-
напряжением. Как ясно из рисунка, пройти через резонансный уровень
могут лишь электроны, падающие из эмиттера, поэтому током
электронов коллектора пренебрегаем. Учитывая, что в единице
объема число электронов внутри сферы Ферми, проекция им-
импульса которых на ось z лежит в интервале от hkz до h(kz +dkz),
равно 2n(pF -h2kl)frdkz/BithK, где pF — импульс Ферми, можем
записать
I=-eS
-h2k2
2n(pF-h2k2z)hdkz
D.26)
Здесь S — площадь сечения структуры, \D(kz)\2 —коэффициент
прохождения электронов через нее.
о~
Рис. 4.2. Энергетическая диа-
диаграмма идеализированного
резонансно-туннельного ди-
диода:
1, 2 — эмиттер и коллектор из
л GaAs; 3, 4 — барьеры из
AlxGaj_xAs; 5 — потенциаль-
потенциальная яма из GaAs с одним квази-
квазистационарным состоянием. По-
Положительное напряжение К пода-
подано на коллектор. Считается, что
оно падает лишь на барьерах. В
отсутствие напряжения энергия
квазистационарного состояния
превышает уровень Ферми
О Z
Перейдем к интегрированию по энергии Е=(Лкг J /Bт). В каче-
качестве |D(E)\2 подставим выражение D.25), в котором под | Д 2 Реле-
114

дует понимать коэффициенты прохождения через барьеры, изменен-
измененные внешним полем, а вместо Е„ писать E$+eVx (Kt —падениена-
—падениенапряжения на левом барьере), так как теперь мы отсчитываем энергию
не от дна квантовой ямы, а от дна зоны проводимости эмиттера. По-
Полагая для простоты Vx = V/2, |Д|=|1>2| [строго говоря, если барьеры
одинаковы в отсутствие напряжения, то при V*0 Dl(E)*D2(E)
из-за разности высот барьеров], получим
eSm "г
) 1п
- J 2*« (E0+eV/2J+(H/%J
При й/тл -»0 это выражение упрощается:
Вольт-амперная характеристика резонансно-туннельного дио-
диода, описываемая формулой D.28), изображена на рис. 4.3. Налицо
падающий участок зависимости тока от напряжения, т.е. имеется
отрицательная дифференциальная проводимость, обращающаяся,
на первый взгляд, в бесконечность. На самом деле максимальное
значение тока /тах=|е|т5ц/B71й2т:я) обращается в нуль при
т„ =оо, поэтому чтобы найти отрицательную дифференциальную
проводимость, необходимо вернуться к выражению D.27). Из не-
него следует, что дифференциальная проводимость
8 dV 4я2й3 \tjiL
?°-|g|K/21 ^^ 1 D 29)
115

Рис. 4.3. Вольт-амперные харак-
характеристики резонансно-туннель-
резонансно-туннельного диода: 1 — идеализирован-
идеализированная (й/тл-*0) ВАХ; 2 — ВАХ
У при конечном значении ь/х„
Отсюда видно, что при й/т„ «ц, К = 2?0/|е| найденная вели-
величина отрицательна, а модуль ее достигает максимального значе-
значения \g\max=e2mSii/Diilh3). Очевидно,
D.30)
\е\т„
Подчеркнем, что в отличие от максимального тока, пропор-
пропорционального 1/тя ,величина | g |max не зависит от ширины резо-
резонансного уровня. Физическая причина этого такова: чем шире ре-
резонансный уровень, тем большее число электронов может пройти
из эмиттера через двухбарьерную структуру и, следовательно, тем
больше ток, но тем менее резко он спадает при изменении напря-
напряжения на диоде.
Поскольку внешнее электрическое поле изменяет форму и вы-
высоту барьеров относительно резонансного уровня, то даже при
идентичности толщин и состава барьерных слоев их проницаемо-
проницаемости по-разному зависят от приложенного к диоду напряжения:
при увеличении напряжения проницаемость выходного барьера
(правый на рис. 4.2) возрастает, проницаемость входного барьера
падает. Это ведет к снижению кривой резонансного туннелирова-
ния и, следовательно, уменьшению отрицательной дифференци-
дифференциальной проводимости, что описывается множителем
4|/IХJ ]2/(|Z)i P+|ZJ12J <1. Для обеспечения одинаковой про-
проницаемости барьеров слои следует делать различными (выходной
пб

барьер должен быть толще, чем входной), причем требуемая сте-
степень неидентичности зависит от напряжения на диоде.
В реальных диодах на резонансный ток накладывается нерезо-
нерезонансный фон, который включает нерезонансное туннелирование
сквозь потенциальные барьеры, надбарьерную температурную
инжекцию электронов из эмиттера в коллектор, термостимулиро-
ванное туннелирование электронов через высшие резонансные
уровни (если они есть) и т.д. Доля нерезонансной составляющей
тока быстро возрастает с увеличением электронной температуры и
рассеяния электронов на неоднородностях гетероструктуры, при-
примесях и т.п. Именно вследствие снижения нерезонансного фона
резонансный пик на ВАХ диода становится более выраженным по
мере понижения рабочей температуры прибора. При этом ток в
резонансном максимуме меняется слабо, зато резко снижается
«фоновый» ток. Тот же эффект достигается при улучшении каче-
качества гетероструктуры, снижении концентрации примесей и повы-
повышении высоты барьеров над резонансным уровнем. Эксперимен-
Экспериментально наблюдались отчетливые резонансные пики с перепадами
тока /max//min - 3 при температуре 300 К и /max//min -10 при 77 К
[9]. Типичные ВАХ резонансно-туннельного диода при различных
температурах показаны на рис. 4.4.
Развитием идеи резонансно-туннельного диода является мно-
многобарьерная структура, содержащая последовательность монотон-
монотонно сужающихся квантовых ям [12]. Их ширины подобраны таким
образом, что при некотором напряжении нижние квазистацио-
квазистационарные состояния всех ям характеризуются одним значением
энергии и позволяют электрону резонансно туннелировать через
структуру. При этом на ВАХ наблюдается очень резкий резонанс-
резонансный пик.
Эффект резонансного туннелирования в двухбарьерной кван-
квантовой структуре используется не только в диодах, но и в транзи-
транзисторах. Существует несколько типов транзисторов с двухбарьер-
двухбарьерной квантовой структурой [11, 13]. Рассмотрим лишь один из
них — биполярный резонансно-туннельный транзистор с согласо-
согласованным эмиттером, предложенный и экспериментально исследо-
исследованный в [14].
Основу этого транзистора составляет гетероструктура типа
п-р-п. Эмиттер изготовлен из AlxGa,_xAs л-типа, база — из GaAs
р-типа, в базу включена нелегированная двухбарьерная квантовая
структура AlAs/GaA^/AlAs. Чтобы обеспечить перенос электронов
через базу в условиях, близких к равновесным, в слой базы толщи-
117

/, мА
1,6
0,8
-0,8
-1,6
-2,4
-1,2 -0,8 • -0,4
0,4
0,8 К В
Рис. 4.4. Типичные вольт-амперные характеристики резо-
резонансно-туннельного диода при 77 К (кривая /) и 300 К
(кривая 2) [8]
ной 53 нм, прилегающий к эмиттеру, включена небольшая доля
алюминия (х = 0,07), а содержание алюминия в эмиттере линейно
возрастает от х=0,07 на границе с базой до х=0,25 на расстоянии
53 нм от границы. Благодаря этому дно зоны проводимости на
входе в двухбарьерную квантовую структуру практически совпада-
совпадает с ее первым резонансным уровнем, вследствие чего возможно
резонансное туннелирование электронов, находящихся в тепло-
тепловом равновесии с решеткой.
Зонная диаграмма, поясняющая формирование зависимости
тока коллектора /к от тока базы /Б, показана на рис. 4.5. Сначала
рост тока базы сопровождается изменением разности потенциа-
потенциалов между базой и эмиттером, высота р-п-перехода между эмитте-
эмиттером и базой уменьшается и растет туннельный ток из эмиттера в
коллектор (даже при постоянном напряжении между эмиттером и
коллектором, рис. 4.5, а). При некотором критическом значении
тока базы /Б кр дно зоны проводимости эмиттера сравнивается с
резонансным уровнем (рис. 4.5, б) и ток коллектора, обусловлен-
обусловленный в основном резонансно-туннельным током через двухбарьер-
118

//
а)
б)
в)
Рис. 4.5. Зонная диа-
диаграмма биполярного ре-
резонансно-туннельного
транзистора с согласо-
ванным эмиттером при
'б>'бч> (•>• На
вставках — соответст-
соответствующие зависимости
коллекторного тока от
тока базы при фиксиро-
фиксированном напряжении ме-
между коллектором и
эмиттером Укэ [ 14]
, мА
16
14
12
10
8
6
4
2
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 З.О
Рис. 4.6. Эксперимен-
Экспериментальная зависимость
тока коллектора от
тока базы биполяр-
биполярного резонансно-тун-
резонансно-туннельного транзистора
с согласованным
эмиттером при на-
напряжении 12 В между
коллектором и эмит-
эмиттером и температуре
300 К [14]
119

ную структуру, достигает максимального значения. При дальней-
дальнейшем увеличении тока базы дно зоны проводимости эмиттера ока-
оказывается выше резонансного уровня (рис. 4.5, в), резонансное
туннелирование прекращается и ток коллектора резко падает до
значения, определяемого нерезонансным фоном. В эксперимен-
экспериментах [14], выполненнных в широком интервале температур (от 100
до 300 К), наблюдался выраженный падающий участок на зависи-
зависимости /к(/б) (рис. 4.6). При 300 К перепад тока /ктах/^ктт был
близок к 3, коэффициент усиления по току A/k/A/b достигал 7.
4.3
Туннелирование электронов из квантовой ямы
в скрещенных электрическом и магнитном полях
4.3.1. Общие сведения
Большой интерес вызывают туннельные эффекты в высокока-
высококачественных гетероструктурах, помещенных в магнитное поле.
Так, в нескольких статьях (см., например, [15-17] и цитирован-
цитированную в них литературу) теоретически было рассмотрено туннели-
туннелирование электронов через прямоугольный барьер между двумя
полупроводниками в присутствии магнитного поля. Туннелиро-
Туннелирование в гетероструктурах, содержащих один барьер, из квантовой
ямы в поверхностные состояния, локализованные вблизи гетеро-
границы (так называемые интерфейсные состояния, они соответст-
соответствуют классическим «скачущим» орбитам электронов) описано в
[18]. Резонансное туннелирование в гетероструктурах с двумя
барьерами в случае, когда магнитное поле параллельно плоско-
плоскостям барьеров, исследовано теоретически в [19, 20] и эксперимен-
экспериментально в [21]. Авторы работы [21] наблюдали туннелирование на
поверхностные уровни Ландау двух типов: одни соответствовали
орбитам, пересекающим промежуток между барьерами, другие —
«скачущим» орбитам. Туннелирование из квантовой ямы в посто-
постоянных скрещенных электрическом и магнитном полях в случае,
когда барьеры отсутствуют и поверхностные уровни Ландау не
играют роли, изучено теоретически в [22].
Ниже мы рассмотрим эту задачу, предполагая, что электриче-
электрическое поле перпендикулярно границам квантовой ямы, а магнит-
магнитное поле перпендикулярно электрическому. Считаем магнитное
поле столь сильным, что вне ямы существуют уровни Ландау. При
120

этом эффективный потенциал, действующий на электрон, может
иметь два минимума (рис. 4.7). В отсутствие рассеяния, если на-
начальное состояние электрона локализовано в квантовой яме, про-
происходят переходы из ямы во второй минимум потенциала и обрат-
обратно, и вероятность обнаружения электрона в яме осциллирует. Од-
Однако рассеяние электронов, которое всегда имеет место в полу-
полупроводниковых гетероструктурах, нарушает эту картину. Если
характерное время х между столкновениями электрона гораздо
меньше обратной скорости w~l электронного туннелирования из
ямы, но много больше характерного времени xf движения элек-
электрона в классически запрещенной области, т.е.
, D.31)
X
Ус
Рис. 4.7. Эффективный одномерный потенциал
котором движется электрон: Eq — уровень энергии ос-
основного квазистационарного состояния в яме; горизон-
горизонтальные линии — уровни Ландау еи [см. D.41) и D.42)]
то в силу правого неравенства D.31) возвращение электрона в яму
не является неизбежным и можно рассматривать туннелирование
из квантовой ямы на уровни Ландау, пренебрегая обратным про-
процессом. Благодаря рассеянию электронов вне ямы образуется дис-
сипативный ток и электроны, освободившиеся из ямы, удаляются
от нее. Заметим, что лишь благодаря рассеянию электронов суще-
существовал и был измерен в работах [18, 21] ток, перпендикулярный
границам ямы. В то же время, учитывая левое неравенство D.31),
можно пренебречь столкновениями электрона при движении в
классически запрещенной области и описывать его поведение
уравнением Шредингера. Левое неравенство D.31) выполняется
для достаточно чистых образцов при низких температурах. Будем
121

считать, что все электроны в яме находятся на нижнем энергети-
энергетическом уровне и описываются функцией распределения Ферми,
что также имеет место лишь при низких температурах.
4.3.2. Квазистационарные состояния электрона
Рассмотрим прямоугольную квантовую яму, сформированную
в гетероструктуре AlxGa^As/GaA^AlxGa^As. Яма расположена
между плоскостями у = ±а/2. На нее наложены постоянное элек-
электрическое Е и магнитное Н поля, направленные соответственно
вдоль осей у, z. Пусть в момент / = 0 электроны находятся в ос-
основном состоянии в яме. Из-за полей Е, Н это состояние может
быть квазистационарным, и наша задача заключается в том, чтобы
выяснить, какое характерное время необходимо, чтобы двумер-
двумерный вырожденный электронный газ покинул яму.
Мы не учитываем спин электрона, поскольку проекция спина
на направление магнитного поля сохраняется при туннелирова-
нии и дополнительная энергия, связанная со спином, одинакова в
яме и вне ее.
Запишем стационарное уравнение Шредингера для электрона
в приближении эффективной массы:
2dP-f A | -eEy+U{y)
D.32)
Здесь е,т — заряд и эффективная масса электрона; А — вектор-
векторный потенциал, описывающий магнитное поле; U(y) — потенци-
потенциальная энергия ямы, причем U(y)--U0 при \у\<а/2 и Lf(y)=O
при \у\>а/2. Зависимостью эффективной массы электрона от
координаты пренебрегаем. Удобно выбрать векторный потенциал
в калибровке Ландау А=(-Я>>,0,0). При этом гамильтониан в
уравнении D.32) не зависит от x,z, и мы можем искать решения
этого уравнения в виде
^^] ф), D.33)
где рх,рг — проекции импульса электрона соответственно на оси
x,z. Подставляя D.33) в D.32), получаем одномерное уравнение
122

Jm
где
2 2
D-з5)
— соответственно циклотронная частота, скорость дрейфа элек-
электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях и коорди-
координата у центра классической ларморовской орбиты электрона.
Если пренебречь влиянием потенциала квантовой ямы на
движение электрона вне ямы, уравнение D.34) дает уровни Ландау
D-36)
%,Рх(У)=%(У-Ус), D.37)
где «=0,1,2,...,
V Г^1/^1 D.38)
— волновые функции стационарных состояний гармонического
осциллятора [23]; Н„ — полиномы Эрмита; lH = (ch/\e\ЯI/2 —
магнитная длина.
Однако уровни энергии D.36) не исчерпывают всех возмож-
возможных уровней в рассматриваемой нами системе. Обозначим энер-
энергию основного состояния в квантовой яме в отсутствие электриче-
электрического и магнитного полей §'0=-й2К2/Bт), где К — масштаб
локализации волновой функции вне ямы. Если в области ямы
изменение потенциала ma>l(y-ycJ/2 на масштабе a+2/N мало по
сравнению с | f 01, т.е.
\Px-mVd \<pF + mVd « 2B*+*M№J D-39)
(pF — импульс Ферми), то можно заменить потенциал гармони-
гармонического осциллятора в D.34) значением этого потенциала при
123

j>=0. В результате становится очевидным, что в яме существует
основное состояние с энергией
Последнее выражение можно представить во вполне естест-
естественном виде
Волновая функция %{у), соответствующая уровню энергии
^о<Рх,р , описывается приближенно таким же выражением, как
волновая функция основного состояния электрона в яме в отсут-
отсутствие электрического и магнитного полей [см. формулы C.19),
C.20), причем в первой из них надо заменить х на у, % на фо 1- В
общем случае волновая функция щ(у) описывает не стационар-
стационарное, а квазистационарное состояние. Скорость туннелирования,
которую мы хотим найти, определяет время жизни электронов в
этом состоянии (усредненное по распределению Ферми).
Ниже вместо энергий D.36), D.40) будем использовать энергии
Энергетические уровни электрона е„,Ео и эффективный од-
одномерный потенциал
4(
действующий на электрон, показаны на рис. 4.7.
4.3.3. Скорость туннелирования
Рассмотрим процесс туннелирования электрона из ямы. Вол-
Волновая функция электрона *Р(г,г) удовлетворяет уравнению Шре-
дингера
Д«/ Г 1 , „ ,
- - ' hp(r,/) D.43)
124

с начальным условием
D'44)
где %(у) — волновая функция основного состояния электрона в
яме (см. 4.3.2). С помощью замены
D.45)
задача сводится к пространственно одномерной. Уравнение для
функции <p(j>,0 имеет вид
тщ
2т+~Т
<У-УсУ+и(у) Ф.
D.46)
Замена функции D.45) позволяет перейти от энергий D.36),
D.40) к энергиям D.41), D.42).
Из рис. 4.7 ясно, что при фиксированных значениях px,pz
электрон может покинуть яму, если энергия начального состоя-
состояния в яме совпадает с одним из уровней Ландау:
D.47)
Выражая отсюда \px-mVd\ и подставляя эту величину в нера-
неравенство D.39), получим, что в случае сравнительно глубокой ямы
(или сравнительно слабых полей) электрон может покинуть яму,
если выполняется условие
D.48)
D.49)
что возможно, если, по меньшей мере,
Условие D.49) необходимое, но может не быть достаточным,
чтобы удовлетворялось неравенство D.48). Если число уровней
Ландау, на которые туннелируют электроны, невелико
(л < | Ш'о |/й(»с), то условие D.48) можно заменить неравенством
125

D.50)
Уравнение D.46) приближенно решается методом, описанным
в разд. 3.4. Соответствующие вычисления приведены в [22], со-
согласно которой при
D.51)
волновая функция имеет вид
l[tt)Jn+\/2)-gn/h]t 1
... я" '" <йс(я+1/2)-ёо/й
a/2 D-52)
X
-a/2
Входящий сюда интеграл можно взять аналитически, если ши-
ширина ямы невелика, а именно:
а<1„, D.53)
па/2«\ус\. D.54)
Принимая во внимание соотношения D.35), D.47), последнее
неравенство можно переписать в виде
п а
D.55)
Если выполнены условия D.53) и D.55), то можно приближенно
заменить функцию ^„(У-Ус) в подынтегральном выражении
D.52) функцией ^„(-ус)схр{усу'/12н). В результате после интегри-
интегрирования получим
D.56)
Выражение в фигурных скобках не что иное, как амплитуда
вероятности перехода электрона из ямы на n-й уровень Ландау в
течение времени / [обозначим эту амплитуду an(t)]. Зная вели-
126

чины an(t), можно вычислить число электронов N(t), покинув-
покинувших яму за время /. Поскольку мы считаем, что при /=0 элек-
электроны в яме описываются функцией распределения Ферми
f(Px>Pz)=Q(PF->lpl+Pl)>T№ в(г) — единичная функция, равная
единице при z > 0 и нулю при г < О, то можно написать
х D.57)
о\/h-(px-mVdJ/Bmh)]2 J '
Здесь 5 — площадь гетероструктуры в плоскости xz ¦ При выводе
D.57) учтено, что для прямоугольной квантовой ямы справедливо
соотношение
ил
sm(H+iyc/l2H)a/2 , sin(*-iye/l}t)a/2
*+iye/l2H
I-
D.58)
Как известно [23], при вычислении определенного интеграла
по а от g(a)sin2(oc/)/(na2) при достаточно больших t функцию
sin2(a/)/(rax2) можно заменить на /6(а), где 5(а) — дельта-
функция, если g(a) мало изменяется в интервале порядка л//
вблизи <х=0. В нашем случае при
127

D.59)
где ef - рр/Bт) — энергия Ферми, можем заменить выражение в
фигурных скобках в D.57) на
Первое неравенство D.59) следует из того, что функция
ч1[(тУа-рхI(т<ьс)]~ехъ[-(тУа-рх)г1(тг(йгс(.2н)] должна мало
меняться на интервале Ърх ~ я/ий/(/-у/2/и[| f 01 +йюс(и+1/2)]) вблизи
точек \px-mVd^= ^2т[\ i1 +txac (n+1/2)]. Второе неравенство
D.59) вытекает из требования Ьрх « рР. После введения дельта-
функции легко выполнить интегрирование по рх. Благодаря
дельта-функции вклад в интефал дадут лишь точки пересечения
параболы e=(pF-mVdJ/Bm) с горизонтальными линиями
E=|fo|+ftQ)c(«+l/2), «=0,1,2,.. (рис. 4.8) (если эти точки пересече-
пересечения попадают в интервал -pF<px<Pf)• Из рисунка видно, что
точки пересечения, дающие вклад в интефал D.57), расположены
в области рх -mVd <0.
Заметим, что число электронов, покинувших яму за время /,
пропорционально /, поэтому можно ввести не зависящий от време-
времени поток электронов из ямы / = N(t)/t и скорость туннелирования
w=J/N0 , где No =SpF/Dnh2)- начальное число электронов в кван-
квантовой яме (напомним, что t« w). Из D.57) и D.38) следует, что
Pf Pf(h
\/(Щ)+2п+1[и0 +faoc(/i+l/2)f
D.60)
|2
J*l l\ 2n+l) (i 2/1+1shfKa d 2я+1|
П2|+ Х2А Г V + N2A П 2 У + К2^2„ '
128

i
1
l\
с
¦|«ol
)x
\
/3
Рис. 4.8. Парабола
e = (px-mVdJ/Bm) при mVd=0
(кривая /) и mVd>pF (кривая 2)
и горизонтальные линии е.=^&й\ +
+й(о(.(я + 1/2), и = 0,1,2,... (кривые
3) на плоскости рхг. Кривая 1
изображена с учетом того, что
-РР О
Здесь итах — целая часть числа
— целая часть числа
D-62)
если ЛГтШ > 1, и ит1п =0, если iVmin < 1. Если число Nmax отрица-
отрицательно, то это означает, что электроны не могут покинуть яму и
скорость туннелирования равна нулю, поскольку электроны в яме
имеют меньшую энергию, чем имели бы вне ямы.
Подчеркнем, что выражение D.60) справедливо, во-первых,
при
что следует из условия w»/ и неравенств D.59), и, во-вторых,
при итах, удовлетворяющем условию D.55). Ограничение на ве-
величину «„их означает, что при фиксированном значении магнит-
магнитного поля выражение D.60) описывает скорость туннелирования в
интервале Е, ограниченном сверху.
Проанализируем формулу D.60). Как уже отмечалось, ско-
скорость туннелирования отлична от нуля, если JV^ > 0, т.е. при
Е> ?„оР ¦—
1
me
\+nme/2)-pF.
D.64)
5 Физика квантовых
низкоразмерных структур
129

Таким образом, при фиксированном магнитном поле туннелиро-
вание из ямы возможно лишь в том случае, если напряженность
электрического поля превышает пороговое значение ?J,op . В со-
соответствии с неравенством D.64) можно также сказать, что при
фиксированном электрическом поле туннелирование из ямы не-
невозможно, если напряженность магнитного поля превышает по-
пороговое значение
Япор= , т Е. D.65)
Зафиксируем напряженность магнитного поля и будем увеличи-
увеличивать напряженность электрического. Когда она превысит значение
, «=0,1,2,... D.66)
(очевидно, Ео = Еаор ), станет возможным переход из ямы на п -й
уровень Ландау (в дополнение к переходам на уровни Ландау с
номерами меньшими п при Е<Е„). При этом из D.60) следует,
что производная скорости туннелирования по электрическому
полю обращается в бесконечность при Е=Еп+0. Аналогично,
когда напряженность электрического поля превышает значение
Е„ = ^Я {^2т[|Г0|+й(ос(«+1/2)] + />Д «=0,1,2,..., D.67)
переход на п -й уровень Ландау становится невозможным и вели-
величина dw/dE стремится к -<» при Е-*Ё„-0. Однако при типич-
типичных значениях параметров гетероструктуры, использованных ни-
ниже при построении графиков, изображенных на рис. 4.9 и 4.10,
поля Ё„ велики и не принадлежат интервалу, в котором справед-
справедлива формула D.60).
Интересно сравнить скорость туннелирования D.60) в скре-
скрещенных электрическом Е и магнитном Н полях со скоростью
туннелирования лишь в постоянном электрическом поле Е
[обозначим эту скорость w(H=0), она приведена в 3.4.3]. Отно-
Отношение двух скоростей туннелирования

D.68)
Зависимость скорости туннелирования от напряженности
электрического поля при различных значениях напряженности
магнитного поля показана на рис. 4.9. Расчеты выполнены по
формуле D.60). Параметрам, использованным при расчетах, соот-
соответствует энергия основного состояния в яме fo=-O,2 эВ. Как
видно из рисунка, чем сильнее электрическое поле, тем больше
скорость туннелирования. Но зависимость w(E) не является глад-
гладкой. Как мы уже отмечали, производная скорости туннелирова-
туннелирования по электрическому полю велика при Е -> Еп +0. В соответст-
соответствии с неравенством D.31) численные результаты, представленные
на рис. 4.9, имеют смысл, если время между столкновениями
электрона х мало по сравнению с 10с при Н=80 кЭ (рис 4.9, а)
и 10~8с при Я = 100 кЭ (рис. 4.9, б). Оба эти условия выполняются
для реальных гетероструктур.
Отношение w/w (Я=0) как функция электрического поля
представлено на рис. 4.10, из которого видно, что эта функция
немонотонна. В целом отношение w/w (Я=0) убывает благодаря
сильной экспоненциальной зависимости величины w (Я=0) от
Е. Но вблизи точек Е=Е„ [см. D.66)], где скорость туннелирова-
туннелирования в присутствии магнитного поля резко возрастает при увели-
увеличении ?, отношение w/w (Я=0) также возрастает.
Рисунок 4.10 показывает, что отношение w/w(H=0) может
значительно превышать единицу. Это объясняется следующим
образом. В отсутствие магнитного поля электрон туннелирует из
5- 131

10»
10*
ю1
н>, с
#=80кЭ
10*
10*
Е, кВ/см
w,c
Я=Ю0кЭ
Е, кВ/см
40
SO
а)
40
50
Рис. 4.9. Зависимость скорости туннелирования от напряженности электриче-
электрического поля при двух значениях напряженности магнитного поля (?/0 = 0,3 эВ;
а = 42,3 А; т = 0,07т0, поверхностная плотность электронов в яме
= 1012cm2)[22]
w/w (H=0)
10Р
n/w(H=0)
Я=80кЭ
Я=100кЭ
36404550ббвОвб7040 60 «
а) б)
Рис. 4.10. Зависимость отношения w/w (H = 0) от напряженности электрического
поля при двух значениях напряженности магнитного поля. (Значения
U0,a,m,N0/S такие же, как для рис. 4.9) [22]
ямы через треугольный барьер, высота которого близка к | %0 \, а
ширина — к величине *l=|F0|/|e|?'. При наличии магнитного
поля электрон туннелирует через барьер, близкий к треугольному,
высота которого приблизительно равна |f 01, а ширина Ь^ опре-
определяется силой т(ь\ \ус\: Ъ^ «|Шо|/(moo^ |ус|). Если электрическое
поле лишь немного превышает пороговое значение ^,ор , воз-
132

можно туннелирование только на самый нижний уровень Ландау.
При этом
1 („Л!№=&*1). D.69)
Отсюда видно, что Ь2<Ь[. Отношение прозрачности треуголь-
треугольного барьера в присутствии магнитного поля к прозрачности
барьера в случае, когда магнитное поле отсутствует, есть экспо-
экспоненциальная функция величины
\е\(Е-Епор)
pF
Эта величина положительна и уменьшается при .увеличении на-
напряженности электрического поля. Следовательно, отношение
прозрачностей барьеров при наличии магнитного поля и в его
отсутствие больше единицы и убывает при усилении электриче-
электрического поля. То же самое можно утверждать и относительно тунне-
туннелирования на уровни Ландау со сравнительно малыми номерами.
Поскольку поведение скорости туннелирования определяется в
основном прозрачностью барьера, через который туннелируют
электроны, то при сравнительно слабых электрических полях от-
отношение w/w(H=0) намного превышает единицу и в целом
уменьшается при усилении электрического поля.
Литература
1. ИогансенЛ.В. ЖЭТФ. 45,207,1963.
2. ИогансенЛ.В. ЖЭТФ. 47, 270,1964.
3. ИогансенЛ.В. УФН. 86,175,1965.
4. Tsu R., EsakiL. Appl. Phys. Lett. 22,562, 1972.
5. ChangL.L., Esaki L, Tsu R. Appl. Phys. Lett. 24, 593,1974.
6. Sollner T.C.L.G., Goodhue W.D., Tannenwald RE. et al. Appl. Phys.
Lett. 43, 588,1983.
7. Sollner T.C.L.G., TannenwaldP.E., Peck D.D. et al. Appl. Phys. Lett. 45,
1393,1984.
8. Shewchuk T.J., Chapin P.C., Coleman P.D. et al. Appl. Phys. Lett. 46,
508,1985.
133

9. Tsuchiya M., Sakaki H., Yoshino J. Jap. Journ. Appl. Phys. 24, L466,
1985.
10. Тагер A.C. Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып.
9D03), 21,1987.
11. Тагер А.С. Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып.
2D06), 17, 1988.
12. Summer C.J., Brannan K.F. Appl. Phys. Lett. 48, 806,1986.
13. Пожела Ю. Физика быстродействующих транзисторов. Вильнюс:
Мокслас, 1989.
14. Capasso К, Sen S, GossardA.C. IEEE Electr. Dev. Lett. EDL-7, 573,
1986.
15. Дьяконов MM, РайхМ.Е. ЖЭТФ. 88,1898,1985.
16. BreyL, Platero G, Tejedor С Phys. Rev. В 38, 9649,1988.
17. Ho T.-L. Phys. Rev. В 50,4524,1994.
18. Snell B.R., Chan K.S., Sheard F.W. et al. Phys. Rev. Lett. 59, 2806,
1987.
19. Platero G, Brey L, Tejedor С Phys. Rev. В 40, 8548,1989.
20. Hung KM., Wu G.Y. Phys. Rev. В 45, 3461,1992.
21. Leadbeater M.L., Alves E.S., Eaves L. et al. Journ. Phys.: Condens.
Matter. 1,4865,1989.
22. Demikhovskii V.Ya., Vugalter G.A. Journ. Phys.: Condens. Matter. 9,
11157,1997.
23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивист-
Нерелятивистская теория. Изд. 4-е. М.: Наука, 1989.

Глава 5
КУЛОНОВСКАЯ БЛОКАДА
ТУННЕЛИРОВАНИЯ
5.1
Постановка задачи. Основные уравнения
5. /. /. Общие сведения
В конце 60-х — начале 70-х годов были выпол-
выполнены эксперименты с туннельными контактами
типа «металл — оксидный слой — металл», при-
причем оксидный слой содержал металлические вкра-
вкрапления — гранулы [1-5]. Оказалось, что при низ-
низких температурах такие контакты обладают свое-
своеобразными вольт-амперными характеристиками.
В частности, наблюдалось подавление тока при
малых напряжениях. В [1] такое подавление
связывается с тем, что туннелирующий электрон,
оказавшись на грануле, изменяет ее заряд на вели-
величину е, повышая энергию гранулы на Еа ~ е2/С,
где С — емкость гранулы. Чтобы новый электрон
мог туннелировать с берега контакта на гранулу,
его энергия должна превышать Еа. При низких
температурах таких электронов мало, что приво-
приводит к подавлению тока. Это явление получило на-
название «кулоновская блокада туннелирования», пре-
преодолеть ее (блокаду) можно при сравнительно вы-
высоких напряжениях V ~ | е | С.
В конце 80-х годов были созданы микрокон-
микроконтакты, в которых туннелирование происходит
преимущественно через одну гранулу [6-8]. Были
также предложены устройства, в которых зарядом
гранулы можно управлять, прикладывая напряже-
напряжение к дополнительному электроду — затвору [9].
Эксперименты [6—9] стимулировали новую волну
интереса к коррелированному дискретному тун-
135

нелированию одиночных электронов. Наша цель — ознакомиться
с основами теории этого явления.
Подчеркнем, что речь пойдет о гранулах (в последние годы
вместо термина «гранула» часто используется термин «точка»),
размеры которых достаточно большие, чтобы можно было не учи-
учитывать пространственное квантование спектра, но достаточно ма-
малые, чтобы был необходим учет дискретности заряда гранулы. То,
что такая ситуация возможна, показывает следующая оценка: ха-
характерная электростатическая энергия гранулы E3n~e2/zr (г—
радиус гранулы, е — диэлектрическая проницаемость среды, ок-
окружающей гранулу); расстояние между энергетическими уровня-
уровнями электронов гранулы 8e~e//JV~eFai/r3 (tp — энергия Фер-
Ферми, N — число электронов на грануле, а — межатомное расстоя-
расстояние), следовательно,
5е
Как известно, в металлах е2/а ~eF,u соотношение E.1) принима-
принимает вид
-fT E.2)
Отсюда видно, что при r»-Jfa Еэп »бе, т.е. учет дискретности
заряда существеннее учета пространственного квантования спек-
спектра электронов гранулы. В то же время для проявления дискретно-
дискретности заряда гранулы необходимо, чтобы выполнялось условие
Е^ »квТ (кв — постоянная Больцмана, Т — температура тун-
туннельного контакта). Это условие можно переписать в виде
g2 1 ef ,,,.
При заданной температуре оно ограничивает размеры гранулы
сверху. В качестве примера отметим, что в экспериментах, опи-
описанных в [6], средний диаметр гранул индия был порядка 1000 А
В работах, посвященных туннельным контактам, часто ис-
используется метод туннельного гамильтониана, предложенный в
[10]. Начнем с краткого описания этого метода.
136

5.1.2. Метод туннельного гамильтониана
В этом методе граница раздела не вводится явно, а туннельный
переход между двумя металлами (или двумя сверхпроводниками,
или между нормальным металлом и сверхпроводником) рассмат-
рассматривается как слабосвязанная система с гамильтонианом:
Я = Я01+#02+#т> E.4)
где Н0ЬН02 — гамильтонианы металлов /, 2 соответственно; #т —
туннельный гамильтониан, он описывает в первом порядке тео-
теории возмущений переходы электронов из металла 1 в металл 2 и
обратно. Если Ора,^— операторы уничтожения электрона с им-
импульсом р и проекцией а спина на ось z соответственно в метал-
металле / и 2\ 0,5,,, b?, — аналогичные операторы рождения электрона;
ц.ьц.2 — электрохимические потенциалы металлов 1, 2; ej,1*, ер2)
— энергии электрона с импульсом р в металлах 7 и 2, то входящие
в правую часть E.4) операторы имеют вид
^^po. E-5)
р,а
^Ю, E.6)
epe). E-7)
Нередко в статьях, посвященных туннельным явлениям, исполь-
используется упрощенная модель, когда амплитуда туннелирования 7^
заменяется действительной константой То, не зависящей от им-
импульсов p,q.
Заметим, что, вводя импульсы p,q, мы переходим от система-
систематики состояний, соответствующих полупространству, к система-
систематике состояний для неограниченного металла.
Оператор N{+N2 полного числа частиц системы, где
^p &V E-8)
Р,о Р,о
— операторы числа частиц в металлах /, 2, коммутирует с гамиль-
гамильтонианом E.4), поэтому полное число частиц сохраняется и ток
137

Ix^2 из металла / в металл 2 определяется в методе туннельного
гамильтониана по скорости изменения числа электронов в одном
из металлов:
/w2=-e<^i>=e<^2>. E-9)
Здесь учтено, что заряд электрона е<0 . Угловые скобки означают
усреднение с помощью матрицы плотности системы.
5.1.3. Вероятность ухода электрона из одного металла в другой
в единицу времени
Обозначим через Рх^г вероятность ухода электрона из металла
1 в металл 2 в единицу времени. Вероятность обратного процесса
обозначим через Р2^ . Эти величины понадобятся нам в дальней-
дальнейшем при написании кинетического уравнения для функции рас-
распределения числа частиц на грануле.
Найдем величины Р^2 > ^2->i в случае, когда между металлами
создана разность потенциалов V (рис. 5.1). Будем считать заведо-
заведомо выполненным условие kBT«zFX,zF2 (e^i>Ef2 —энергииФер-
—энергииФерми металлов /, 2) и пренебрежем отличием электрохимического
потенциала каждого металла от соответствующего уровня Ферми.
Энергию электронов в каждом металле будем отсчитывать от дна
зоны проводимости этого металла. Как видно из рисунка, дно зо-
зоны проводимости металла 2 расположено выше дна зоны прово-
проводимости металла 1 на величину ел -tF1 -eV, поэтому в соответ-
соответствии с «золотым правилом» Ферми для вероятности перехода в
единицу времени из состояния с импульсом р, и z - проекцией
спина о в металле 1 в состояние с импульсом р2 и той же проек-
проекцией спина в металле 2 можно написать выражение
^|Г0|25[е, -е2 -(ел ~гп -eV)], E.10)
гдее!=р| /Bml),t2-pl/Bm2); m^rn^ — эффективные массы элек-
электронов в металлах 1, 2; амплитуда туннелирования % введена в
5.1.2. Вероятность Рх^2 получается из величины E.10), если по-
последнюю умножить на вероятность того, что начальное состояние
занято, затем на вероятность того, что конечное состояние сво-
138

бодно, и просуммировать по всем импульсам рг,р2 и проекциям
спина. Вероятности заполнения состояний в металлах 1, 2 описы-
описываются функциями распределения Ферми
0--
п.
'ШШ
+1*
1
t
\
2
1
-о
Рис. 5.1. Энергетическая диаграмма туннельного контакта
металлов 1 и 2, к которым присоединена батарея 3, создаю-
создающая разность потенциалов К(Ц|,ц2 — электрохимические
потенциалы металлов)
-1
E.11)
Суммирование по проекциям спина электрона дает коэффици-
коэффициент 2. В результате приходим к выражению
. E.12)
Перейдем в E.12) от суммирования по импульсам к интегрирова-
интегрированию по правилу
E.13)
139

где VX,V2 — объемы металлов 1, 2, затем выполним интегрирова-
интегрирование по углам (т.е. по направлениям векторов рьр2), введем плот-
плотности состояний в металлах (с учетом спина)
2Vk 4np2kdpk j2Vkml i , t . /c 1ЛЛ
= Аз 1 frr-V^' k = \,2, E.14)
dek %lh5
и перейдем от интегрирования по р^,^ к интегрированию по
ei,e2 . Тогда формула E.12) примет вид
-е2 -ел
2J +eV)]x E.15)
" о
xvi(e1)v2(e1 -ел +zF2 +eV).
При выводе E.15) использовано соотношение
f2(tl-EFl+zF2+eV)=fl{zl+eV). E.16)
Будем считать, что \eV\«zFl,zF2, тогда вне узкого интервала
энергий | е: - г л |< maxfycBT,\ е V |}« е л либо /, (ej)=0, либо
/i(ei)=l, l-/i(e! +eV)=0. При этом подынтефальное выражение
в E.15) обращается в нуль. Следовательно, вклад в интеграл дает
узкая область энергий ех вблизи уровня Ферми ел. В этой облас-
области плотности состояний, входящие в E.15), можно заменить их
значениями при е\ =ел . В результате получим
E.1
В аргументе функции v2 опущено слагаемое eV, малое по срав-
сравнению с tF2. Интеграл E.17) можно вычислить с помощью замены
переменной у=ехр^ - е л )/(квТ)]. Таким образом, находим
140

it. ,i ev
Обозначим
f(x)= x E 19}
тогда Pj^2
Для нахождения i^_>j нет необходимости заново выполнять
громоздкие вычисления. Легко видеть, что Р2_>} получится из
Р1->2 при замене индексов 1->2,2->1иК->-К.В результате нахо-
находим
2. E.20)
Заметим, что аргумент функции / в выражениях для Рх^2,
равен разности начальной и конечной потенциальной энергии
электронной системы. Отметим, что такая интерпретация не един-
единственна. Однако ниже, основываясь на ней, мы получим кинети-
кинетическое уравнение для функции распределения числа электронов
на грануле, которое совпадает с кинетическим уравнением, полу-
полученным в [11] при последовательном анализе уравнения для мат-
матрицы плотности.
Формулы E.18), E.20) позволяют легко найти сопротивление
туннельного контакта двух металлов. Поскольку ток / через тун-
туннельный контакт в положительном направлении оси z (см.
рис. 5.1) есть не что иное, как заряд, переносимый в этом направ-
направлении в единицу времени, можно написать
I = e(P^2-P2^)~j\Tufvx(tn)v2(zF2)e2V. E.21)
Отсюда следует, что сопротивление контакта R=V/I выражается
формулой
E.22)
Иногда в литературе под Vj, v2 подразумевают плотности со-
состояний без учета спина, тогда в квадратных скобках в правой час-
части E.22) должен стоять дополнительный множитель 4.
141

5. /. 4. Постановка задачи о туннелированш через гранулу
В работах 60-70-х годов (см., например, [11]) изучалось тунне-
лирование электронов между двумя массивными проводниками,
между которыми находится большое число металлических гранул.
Гранулы считались удаленными друг от друга настолько, что их
можно было рассматривать как невзаимодействующие. Туннели-
рование электронов через каждую гранулу происходило независи-
независимо от процессов туннелирования через другие гранулы. Поэтому
при расчетах достаточно было рассмотреть туннелирование через
гранулу, а затем усреднить результат по параметрам и местополо-
местоположению гранул.
Позднее (см., например, [6]) объектом исследования стал тун-
туннельный контакт с одиночной гранулой субмикронных размеров.
Такая структура — гранула 3 между двумя металлическими кон-
контактами / и 2 (рис. 5.2, а) — будет интересовать и нас. Кроме того,
мы будем рассматривать более сложную структуру [12], схематиче-
схематически изображенную на рис. 5.2, б vie, которая, помимо контактов и
гранулы, содержит дополнительный электрод — затвор 4. Потен-
Потенциал последнего влияет на заряд гранулы (впрочем, говорить о за-
затворе как о дополнительном электроде в структуре, показанной на
рис. 5.2, бп в, можно весьма условно, поскольку без затвора не бы-
было бы самого туннельного контакта).
Металлы 1 и 2 (рис. 5.2, а) считаем столь массивными, что для
них эффекты дискретности заряда не играют роли. Прямыми тун-
туннельными переходами 1->2 и 2->1 пренебрегаем, учитывая лишь
туннельные переходы через гранулу. Формально это отражается в
записи туннельного гамильтониана в виде
Ч+Ас>- E.23)
Здесь Тх — амплитуда туннелирования между металлом 1 и грану-
гранулой; Тг — амплитуда туннелирования между металлом 2 и грану-
гранулой; a?lO, bp2a, СрзО — операторы рождения электронов соответст-
соответственно в металлах 7, 2и на грануле; орс,Ь9г<3, cpj0 — аналогичные
операторы уничтожения электронов. Все три металлических тела
характеризуются ферми-распределениями с электрохимическими
потенциалами Ц], ц2 > Из > которые можно считать неизменными
при добавлении электронов, поскольку равновесие в пределах ка-
142

ждого из металлов устанавливается за времена, малые по сравне-
сравнению с характерными временами туннельных переходов между гра-
гранулой и металлами 1, 2, а сами металлические тела, включая гра-
гранулу, являются макроскопическими.
б)
\
в)
Рис. 5.2. Схематическое изображение туннельного
контакта, образованного: а — металлами 1, 2C —
металлическая гранула между ними); 6 — областя-
областями 1, 2 двумерного электронного газа в полупро-
полупроводнике (вид сверху); 3 — проводящая гранула
(точка) под отверстием в металлическом затворе 4,
на который подано отрицательное (относительно
областей /, 2) смешение; под затвором — непрово-
непроводящая обедненная область; в — сечение структуры,
изображенной на б, плоскостью, которая показана
штриховой линией (цифры означают то же, что
на 6)
Единственный эффект, который проявляется при переходах
электронов и учет которого является принципиальным,— это из-
изменение потенциальной (электростатической) энергии гранулы.
Чтобы количественно описать данный эффект, мы должны знать
зависимость потенциальной энергии Е„ гранулы от числа избы-
избыточных электронов и на ней и функцию распределения wn(t), ко-
143

торая показывает вероятность того, что в момент времени t на
грануле находится целое число п избыточных электронов (разу-
(разумеется, число л может быть и отрицательным).
Наша цель — найти туннельный ток при заданных потенциа-
потенциалах Vx, V2 металлов 1, 2 в случае, показанном на рис. 5.2, а, а так-
также, если имеется затвор, при заданном потенциале затвора Vo.
5.1.5. Потенциальная энергия гранулы
Считаем, что металлы 1, 2 (иногда их называют берегами кон-
контакта) и гранула имеют одинаковые работы выхода, тогда в отсут-
отсутствие внешних напряжений электроны не будут перераспреде-
перераспределяться между гранулой и берегами. Случай, когда работы выхода
берегов и гранулы различны, анализируется в статье [11]. (Напом-
(Напомним, что работой выхода называется минимальная энергия, кото-
которую надо сообщить электрону, находящемуся на энергетическом
уровне, совпадающем с электрохимическим потенциалом, чтобы
электрон вышел из металла.)
Рассмотрим эквивалентную электрическую схему туннельного
контакта без затвора (рис. 5.3, а). Обозначим заряды, сосредото-
сосредоточенные на емкостях СХ,С2, соответственно q\ , q2 (см- Рис- 5.3, а),
полный заряд гранулы — Q, тогда можно написать
4i+i2=Q, Яг1Сг-Чх1С,=Ух-У2. E.24)
Решая систему E.24), найдем заряд q2 и, следовательно, по-
потенциал гранулы:
Vr(Q)=V2+^=%+%Vx+^V2, E.25)
где С=С\+С2 — эффективная емкость гранулы. При изменении
заряда гранулы на dQ ее потенциальная энергия E(Q) увеличива-
увеличивается на dE=Vv(Q)dQ . Элементарное интегрирование noQ дает
Выражая заряд гранулы через число избыточных электронов на
ней п и переобозначая E(Q=en)=En , получим окончательно
144

Су
vr
а)
Су
б)
Рис. 5.3. Эквивалентные схемы туннельного контакта: а
— изображенного на рис. 5.2, а; б— с затвором, изобра-
изображенным на рис. S.2, б; С^Щ — емкость и сопротивление
туннельного перехода металл / — гранула; С2,Л2 — со-
соответствующие величины для перехода гранула — ме-
металл 2. К,, Уг — потенциалы берегов контакта; Со — ем-
емкость между гранулой и затвором; Vo — потенциал за-
затвора. В обеих схемах сопротивления показаны без учета
дискретности заряда гранулы
E.26)
В случае, когда туннельный контакт содержит затвор
(рис. 5.2, б), пользуясь эквивалентной схемой на рис. 5.3, б, можно
показать, что
145

В отличие от E.26) здесь C=Ci +С2 +С0. Если емкости между гра-
гранулой и берегами значительно меньше емкости между фанулой и
затвором, т.е. СУ,С2 «Со (такая ситуация встречается в экспери-
экспериментах), то выражение E.27) упрощается:
E.28)
Заметим, что при Vl=V2=0 выражение E.27) принимает вид
Еп =^(епJ + <?«-§-*о • E.29)
Поскольку потенциал затвора отрицателен, легко видеть, что
минимум потенциальной энергии фанулы достигается при л<0,
т.е. не при избытке, а при недостатке электронов на ней.
5.1.6. Кинетическое уравнение для функции распределения wn(t)
Обозначим через Рх^ (я -1 -»я) вероятность перехода электро-
электрона из металла 1 на фанулу в единицу времени с изменением числа
избыточных электронов на фануле от п-\ до п. Вероятность об-
обратного процесса обозначим P^x(n-*n-\). Соответствующие ве-
вероятности переходов электрона между металлом 2 и фанулой обо-
обозначим Р2_>з(п-\->п) и Р$_+2(п-*п-1). Принимая во внимание
все процессы туннелирования, которые уменьшают или увеличи-
увеличивают вероятность wn(t) того, что на фануле находится п избыточ-
избыточных электронов, можно написать следующее выражение для про-
производной по времени от величины wn(t):
+ 1)]+ E.30)
n_,@ [Ч_»з(«-1 -»") + ^-»з(л -l-»«)Jf
n+i @ [Л^1 (« +1 -»]
146

Чтобы установить явный вид величин
Рз^2(п-^п-1) и т-Д-> воспользуемся результатами, приведенными
в 5.1.3. Потенциалы металлов 1 и 2считаем соответственно равны-
равными^ и V2. При переходе электрона из гранулы в металл 1, когда
число электронов на грануле уменьшается от и до л-1, потенци-
потенциальная энергия гранулы изменяется от Еп до Е„_х. Кроме того,
электрон, перешедший в металл 1, приобретает потенциальную
энергию eVx. Следовательно, разность значений начальной и ко-
конечной потенциальной энергии электронной системы
А = Е„-En_i -eVx , и согласно выводам 5.1.3 можно написать
EnA-eVx). E.31)
Коэффициент Хо [см. E.19)] здесь заменен коэффициентом
X1=||7l|2v1(efl)v3(ef3), E.32)
поскольку вместо туннельного гамильтониана, фигурировавшего
в 5.1.3, мы используем теперь туннельный гамильтониан E.23). В
E.32) входит величина v3(eF3) — плотность состояний электро-
электронов гранулы на ее уровне Ферми е^ . Функция / определена в
E.19)..
Повторяя рассуждения, приведшие к формуле E.31), получим
En) E.33)
в_1 +eV2 -Е„),
где
?|| E.34)
Следуя [11], введем обозначение
-[Xxf(En_x+eVx-En)+X2f(En_x+eV2-En)}wn_x, l<
тогда уравнение E.30) примет вид
147

Это и есть интересующее нас кинетическое уравнение. В [11]
оно получено, исходя из приближенного решения уравнения для
матрицы плотности.
Поскольку f(-x) = exp[-x/(kBT)]f(x) , выражение E.35) мож-
можно записать в форме
В качестве примера найдем функцию распределения в случае,
когда туннельный контакт без затвора находится в стационарном
состоянии, причем потенциалы берегов равны (Fj =V2 =V). В ста-
стационарном состоянии функция распределения не зависит от вре-
времени, поэтому согласно E.36) Fn+l = Fn , т.е. Fn — постоянная, не
зависящая от п. Обозначая эту постоянную через А и используя
формулу E.37) при V\=Vi=V , придем к уравнению
Просуммируем это уравнение по большим положительным значе-
ниям п от некоторого щ до -н». Поскольку ?^„=1 (условие
нормировки) и wn >0 , то ряд ^н>„ заведомо сходится. Согласно
E.26)
En-En_x-eV =^[п-^, E.39)
поэтому ряд
л=ль л=я0
также заведомо сходится. Выбирая /^ достаточно большим, мож-
можно добиться, чтобы при пЩ f(En-En_l-eV)~En-En_l-eV =
=е2(и-1/2)/С. При этом сумма от правой части E.38) обращается в
расходящийся ряд
148

а ас
„^ (Л.! + Л.2 )е2 (я -1/2) *
Чтобы правая часть E.38), как левая, давала при суммировании по
и от «о до -и» конечное число, необходимо положить, что кон-
константа А = 0. Тогда придем к уравнению
"„ =wn_le-{E»-E^-eV)'(k'T). E.40)
Будем искать решение этого уравнения в виде wn =В„е~Ея/(квТ).
Тогда из E.40) получим
Отсюда видно, что коэффициенты В„ ведут себя, как члены гео-
геометрической прогрессии, и для них справедливо выражение
Bn=BoeneV'{k°T) . E.41)
Константу Bq принято обозначать 1/Z. При этом функция
распределения записывается в виде
Wn * -(^«W). E.42)
Величина Z находится из условия нормировки. Таким образом,
окончательно находим
Т1
Отсюда следует вполне естественный результат, что при нуле-
нулевой разности потенциалов между берегами контакта наиболее ве-
вероятным является состояние гранулы с нулевым зарядом.
5.1.7. Формула для туннельного тока
При не равной нулю разности потенциалов между берегами
туннельного контакта через него течет ток. Считаем потенциалы
берегов и, следовательно, ток не зависящими от времени, тогда
при вычислении тока достаточно рассмотреть один элемент цепи,
например, туннельный переход «гранула — металл 2». Поскольку
149

ток / в направлении от гранулы к металлу 2 — это заряд, перено-
переносимый в единицу времени в этом направлении, то можно напи-
написать
E.44)
-E^-eV2)-wJ(En+eV2-En+l)].
Удобно разбить выражение E.44) на две суммы и во второй из них
заменить индекс суммирования п на и-1, после чего формула для
тока примет вид
= ёК2 %wnf{En-EnA-eV2)-wnAttEnA +eV2-Е„)}=
E.45)
При выводе последней формулы E.45) мы использовали такое же
преобразование, как при выводе E.37).
В силу соотношения E.40) при VX=V2=V выражение в квад-
квадратных скобках в E.45) обращается в нуль и ток отсутствует, как и
должно быть.
Формула E.45) позволяет найти ток при заданных потенциа-
потенциалах берегов (и затвора, когда он есть), если известно решение ста-
стационарного кинетического уравнения. Однако решить это урав-
уравнение удается лишь в частных случаях при наличии малого пара-
параметра. Проанализируем два из них: 1) случай малых напряжений
на контакте, когда мал параметрv=e(Vl-V2)/(kBT); 2) случай
асимметричного контакта, когда мал параметр A.2/Xi (т.е. сильно
различаются туннельные сопротивления переходов «металл 1 —
гранула» и «гранула — металл 2» без учета дискретности заряда на
грануле).
150

5.2
Кондактанс туннельного контакта с затвором
5.2.1. Решение кинетического уравнения в случае малых напряжений
на контакте
Рассмотрим туннельный контакт с затвором (см. рис. 5.2, б).
Напряжение Vx-V2 считаем столь малым, что выполняется нера-
неравенство
v = e(Vx-V2)/(kBT)«l. E.46)
Решение стационарного кинетического уравнения Fn+X = Fn ищем
в виде ряда по малому параметру v:
wn = wl+vw\+... E.47)
Функция w® описывает вероятность того, что на грануле находится
и избыточных электронов при нулевом напряжении между берегами
контакта, т.е. при VX=V2. Задача о нахождении такой функции в от-
отсутствие затвора решена в 5.1.6. Повторяя приведенные там рассуж-
рассуждения, придем к E.42), в которой вместо V следует писать Vx, а под
Еп понимать величину E.27) при VX=V2. Обозначим
е°„ = Е„|К]=к2 -neVx =^еЧ +nae(V0-V]), a = C0/C, E.48)
тогда vfy можно представить в виде
Из кинетического уравнения следует, что Fn = А , поэтому в
соответствии с E.37) и E.47) имеем
_1-eK1)+ E 50)
EnA -eV2)=A.
Учитывая, что
Еп -ЕпА -eVx =е°П -е^ -vkBTC2/C ,
Е„-Е„_х -eV2 =е°я -е^ +vkBT(l-C2/C),
151

разложим функции
/(Е„-Е„_х-еКи), ехр[-(?„-?„.,-eVl2)/(kBT)]
в ряды по v с точностью до членов первого порядка по v включи-
включительно, подставим полученные выражения в уравнение E.50) и
приведем подобные члены, сохраняя величины не выше первого
порядка по v. Члены нулевого порядка по v взаимно уничтожа-
уничтожаются, и мы приходим к уравнению для w\;
l_wl е-
. ...(
Поскольку нас интересует функция распределения в первом при-
приближении по малому параметру v, мы должны записывать усло-
условие нормировки в виде
= 1. E.52)
Но функция w°n согласно E.49) сама удовлетворяет условию нор-
нормировки, следовательно, искомая функция w\ должна подчинять-
подчиняться требованию
5>'=0. E.53)
Просуммируем уравнение E.51) по большим положительным зна-
значениям п от некоторого щ до +«>. Поскольку ряд E.53) сходится,
то сходится и ряд Xwi • Далее в соответствии с E.48)
п=п0
0 -К,), E.54)
поэтому exp[-(e°-e^_i)/(fcBr)] экспоненциально быстро стремит-
стремится к нулю при л-»+°°. В силу сходимости ряда E.53) w]n ->0 при
, следовательно, члены ряда
152

стремятся к нулю при и-»-н» быстрее, чем ехр[-е2п/(СквТ)], зна-
значит, этот ряд заведомо сходится. Наконец, сходящимся является и
ряд ^м?„ [см. E.49)]. Зато сумма членов, описываемых первым
слагаемым в правой части E.51), представляет собой ряд, расходя-
щийся, как ^1/и. Поэтому мы должны положить А=0. В ре-
л=Ло
зультате E.51) принимает вид
Подстановка wl=Bnw® приводит к уравнению
д _д _"к\С2-Х2{С'-С2)
" "-1" (Х1+12)С '
из которого видно, что коэффициенты В„ ведут себя, как члены
арифметической прогрессии. Очевидно, они описываются выра-
выражением
я1+^2)с +j8i)- E56)
Таким образом, получаем
^=^/^-^(С-С^+,80н>я0. E.57)
Неизвестную константу Во найдем из условия E.53), просуммировав
выражение E.57) по всем я. В результате приходим к формуле
]^ E.58)
где
ii= i«wn° E.59)
/Т=-оо
— среднее число избыточных электронов на фануле при К, = V2.
153

5.2.2. Зависимость кондактанса от температуры и потенциала
затвора
Зная решение кинетического уравнения при малых напряже-
напряжениях на контакте, мы можем перейти к отысканию кондактанса,
равного, по определению, G = I/(V{-V2) при Vx-V2^0. Кондак-
танс — величина, обратная дифференциальному сопротивлению
R туннельного контакта при нулевом напряжении. Чтобы найти
кондактанс, вычислим прежде всего ток, текущий в направлении
от металла 1 к металлу 2. Для этого подставим wn ~ wj + vw\ в фор-
формулу E.45). Входящие в эту формулу функции f(En-En_x-eV2),
exp[-(En-En_l-eV2)/(kBT)] разложим в ряды по v с точностью до
членов первого порядка включительно и после выполнения алгеб-
алгебраических преобразований оставим слагаемые не выше первого
порядка по v. Как и следовало ожидать, члены нулевого порядка
по v взаимно уничтожаются (нулевое напряжение не вызывает
тока), и мы приходим к выражению
E.60)
Подставляя сюда выражения для w\, wj}_, [см. E.58) и E.49)], по-
получим
Сопоставляя формулы E.32) и E.34) дляА,! и А,2с формулой
E.22), легко увидеть, что величины Д =(е2Х^)'1, R2 =(e2X2)~l име-
имеют смысл сопротивлений туннельных переходов «металл 1 — гра-
гранула», «гранула — металл 2» (без учета дискретности заряда грану-
гранулы). Следовательно,
(VTh E62)
где
154

е-г11(квТ) . x
E.63)
Величина g показывает, насколько дифференциальное сопротив-
сопротивление туннельного контакта R=\/G отличается от последователь-
последовательно соединенных сопротивлений Rx, R2. Наша задача — исследо-
исследовать функцию g(V0,T).
Заметим, что в соответствии с выражением E.48) для е° вели-
величина g зависит не от Vo, а от Vo - Vx. Считая, что либо V{ = 0 , либо
потенциал Ко отсчитывается относительно потенциала левого бе-
берега контакта Vx, будем писать Ко вместо Ко -К].
Введем безразмерные параметры
X = e2/BCkBT),% = aCVQ/e E.64)
(поскольку на затвор подается отрицательное смещение, то ^>0).
Подставим в E.63) явное выражение для г°„ E.48). После выделе-
выделения полных квадратов в показателях экспонент получим
L 1 ^Ы,-Ч2J ЦП+ Z.-1
Функция g периодична по % с периодом 1. Действительно, при за-
замене ?-»?+1,л-»л-1,1и-»/я-1 вьфажение E.65) не изменяется.
1. При высоких температурах (Х,«1) суммирование по т,п в
E.65) можно заменить интегрированием по переменным
z=VJC(«+§), С=л/Х(л+^-1/2), при этом dz=jx , <^=VJL. В ре-
результате получим
В интеграле по ^ благодаря функции е~? эффективный интервал
интегрирования определяется неравенством |?|<1. В этом интер-
155

вале vA?/sh(vA?)»1, так как Я,«1. Следовательно, согласно
E.66) g «1. Таким образом, при высоких температурах R"Rl+R2,
т.е. дискретность заряда гранулы не проявляется и сопротивление
туннельного контакта совпадает с последовательным сопротивле-
сопротивлением переходов «металл 1 — гранула», «гранула — металл 2».
Полагая для оценок, что радиус гранулы г=500А, диэлектри-
диэлектрическая проницаемость окружающего гранулу диэлектрика е = 10 и
емкость гранулы С~гг, получим, что температуру туннельного
контакта можно считать высокой, если она удовлетворяет усло-
условию Т»е2/Bггкв)~17К.
2. При низких температурах (К»1) в суммах, входящих в
E.65), существенны слагаемые с т,п, близкими к -%. Несколько
удобнее иметь дело с положительными целыми числами, поэтому
сделаем в E.65) замену т-^-т, п^-п. Получим
E.67)
В первой сумме учтем слагаемые с т=[%] и т=[!;]+1, где [?] — целая
часть числа ^ (при обоих указанных значениях т \ /и-?|< 1). Во вто-
второй сумме учтем лишь одно слагаемое — с л=[?]. Строго говоря, при
^ -[?]-» 0 вклад слагаемого с л=[^]-1 совпадает со вкладом слагае-
слагаемого с л=[?], но, во-первых, такое совпадение имеет место в узкой
области ^—[^] < 1/(ЗХ)«1, во-вторых, в этой области оба слагаемых
экспоненциально малы по X [порядка ехр(-ЗХ/4)«1], поэтому сла-
слагаемое с и=[?]-1 опускаем. Аналогичное замечание можно сделать
относительно вклада слагаемого с «=[^]+1 при ?-[?]-» 1. После не-
несложных преобразований находим
g, ШВ-1/2) E68)
8 Й12ХЩ1/2)' * '
где {?} — дробная часть числа ^. График функции gfe) представ-
представлен на рис. 5.4. Эта функция достигает максимального значения
gmax = l/2 при §=1/2,3/2,... .т.е. при
к =0,1,2,- ¦ E.69)
156

g
0,5-
0 0,5 1,5 2,5 3,5 аС\У0/е\
Рис. 5.4. Отношение кондактанса к его высокотемпературному пределу как функ-
функция потенциала затвора при низкой температуре туннельного контакта
(Т«е2/BСкв))
Период между максимумами составляет AV0 =|e|/(aC). Функ-
Функция g достигает минимального значения gmin«te~x«l при
% = 0,1,2,... , причем чем ниже температура (больше значение па-
параметра X), тем меньше значение gmin. Ширину максимумов 5К0
можно оценить из условия
откуда следует
Щ~квТ/(а\е\). E.70)
При понижении температуры (Г-»0) ширина максимумов стре-
стремится к нулю.
Таким образом, мы видим, что при низких температурах кон-
дактанс имеет значение, сравнимое с его высокотемпературным
пределом, лишь при определенных значениях потенциала затвора
[см. E.69)]. При других значениях потенциала затвора кондактанс
(и вместе с ним ток при заданном напряжении на контакте) бли-
близок к нулю. Это и есть кулоновская блокада туннелирования. Фи-
Физическая интерпретация этого явления будет дана ниже.
Заметим, что если положить ^=0, то результаты, полученные
в настоящем разделе, применимы для описания туннелирования
через гранулу в случае, когда затвор отсутствует. При этом из фор-
формул E.62) и E.68) вытекает, что
R=(RX +R2)/gmin~(Rl +*2)^^exr/^iJ»(/?1 +/?2), E.71)
157

т.е. сопротивление при низких температурах и малых напряжени-
напряжениях сильно возрастает по сравнению с высокотемпературным слу-
случаем, что наблюдалось еще в конце 60 — начале 70-х годов [1-3].
Рассматривая туннельные контакты с затвором (см.
рис. 5.2, б), мы не учитывали, что потенциал затвора влияет не
только на заряд гранулы, но и на положение берегов туннельного
контакта. Не будем останавливаться на этом вопросе, отсылая чи-
читателя к статье [12].
5.2.3. Число избыточных электронов на грануле
При решении кинетического уравнения в 5.2.1 мы уже вводи-
вводили среднее число п избыточных электронов на грануле при рав-
равных потенциалах берегов. Оно описывается формулой E.59). Под-
Подставляя в нее явные выражения для wj), е°„ и вновь используя па-
параметры Х,%, определенные соотношениями E.64), преобразуем
E.59) к виду
й=Г§<Г^>2] %"е-Ц"*J ¦ E-72)
|_/П=-оо J Л=-«о
Как и в предыдущем разделе, рассмотрим случаи высоких и
низких температур.
1. При высоких температурах (Х«1) суммы по т,п заменим
приближенно интегралами по переменным г
л+%) • Получим
E.73)
Отсюда видно, что п — линейная функция потенциала затво-
затвора, причем п <0, так как потенциал затвора относительно берегов
контакта отрицателен.
2. При низких температурах (Х,»1) сделаем в E.72) замену
/и ->-/и, п^-п, после чего в обеих суммах оставим по два слагае-
слагаемых с номерами [?] и [?]+1. В результате найдем
й-fej-jl+e-aft^)I. E.74)
158

Поскольку л < 0, число |и| имеет смысл числа недостающих электро-
электронов на грануле. Зависимость |й| от ^ показана на рис. 5.5, а, из кото-
которого видно, что Щ увеличивается почти на единицу в узких областях
вблизи точек %=¦ 1/2,3/2,5/2,... , т.е. при тех же значениях потен-
потенциала затвора, при которых кондактанс туннельного контакта имеет
максимумы (см. рис. 5.4). Нетрудно убедиться, что ширину областей
быстрого роста |л| можно оценить по формуле E.70), в соответствии с
которой эта ширина пропорциональна температуре. При Г-»0 кри-
кривая на 5.5, а превращается в последовательность ступенек со скачка-
скачками, равными единице, в точках 4 = 1/2,3/2,5/2,... .
Интересно найти среднеквадратичную флуктуацию числа избы-
избыточных (или, что тоже самое, недостающих) электронов на грануле
E.75)
где
^=[ge-X(m+^| XnVX("+^. E.76)
Вычисления, полностью аналогичные тем, которые приводят к
формуле E.74), показывают, что при низких температурах (Х,»1)
8и = BсЬМЙ}-1/2))-1. E.77)
График функции 5я(^) изображен на рис. 5.5, б. Из него видно,
что при низких температурах флуктуации числа частиц на грануле
подавлены при всех значениях потенциала затвора, кроме узких об-
областей вблизи значений потенциала, описываемых формулой E.69).
Иными словами, достаточно эффективное туннелирование через гра-
гранулу и заметные флуктуации ее избыточного заряда возможны лишь
при одних и тех же значениях потенциала затвора.
159

а)
О 0,5
5л
1,5
2,5
3,5
б)
0,5
0 0,5 1,5 2,5 3,5 Щ
Рис. 5.5. Среднее число недостающих электронов на грануле (а) и
среднеквадратичная флуктуация числа этих электронов (б) как функ-
функции потенциала затвора при низкой температуре контакта
(Т«е2/BСкв))
5.2.4. Физический механизм кулоновской блокады туннелирования
В нулевом приближении по напряжению на туннельном кон-
контакте функция распределения числа избыточных электронов на
грануле w°n описывается формулой E.49), которую можно интер-
интерпретировать как гиббсовское распределение с эффективной по-
потенциальной энергией е°„. Представим выражение E.48) для этой
энергии в виде
E.78)
Графическое изображение зависимости энергии е° от числа п —
это набор точек, лежащих на параболе E.78) и имеющих целочислен-
целочисленные абсциссы, причем абсцисса вершины параболы равна -?
160

(рис. 5.6). При низких температурах (Г « е2/BСкв)) в соответствии с
распределением Гиббса система может находиться практически лишь
в одном энергетическом состоянии — состоянии с наименьшей энер-
энергией. Если ^ — полуцелое число (? = к +1/2 ,к = 0,1,2,...) , то бли-
ближайшие к вершине параболы точки имеют абсциссы п=-к и
и=-к -1 и соответствуют одной и той же энергии (рис. 5.6, а). Следо-
Следовательно, низшее энергетическое состояние гранулы двукратно вы-
вырождено по числу избыточных электронов. Это число может менять-
меняться на единицу, не требуя затрат энергии.
Из сказанного ясно, что среднее число избыточных электро-
электронов на грануле п=-к-1/2, а отклонение числа избыточных элек-
электронов от среднего значения равно по модулю 1/2 . Оба эти вывода
согласуются с результатами предыдущего раздела. Туннелирова-
ние через гранулу, сопровождающееся изменением числа элек-
электронов на грануле на единицу (например, сначала увеличением
этого числа, затем его уменьшением или наоборот), не требует за-
затрат энергии и может протекать эффективно.
а)
Рис. 5.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии гранулы (показана
точками) от числа избыточных электронов на ней при полуцелом (а) и неполуце-
лом (б) значении параметра % = aCV0/e
Если же параметр % отличен от полуцелого числа, низшее
энергетическое состояние гранулы не вырождено и соответствует
одному значению п (рис. 5.6, б). И флуктуации числа электронов
на грануле, и туннелирование электронов через нее, также сопро-
6 Физика квантовых
низкоразмерных структур
161

вождающееся изменением числа п, требуют конечной энергии,
т.е. имеют активационный характер. Эти процессы могут быть
осуществлены лишь электронами с достаточно большой энергией,
а таких электронов при низких температурах практически нет.
Поэтому, когда ^ не полуцелое число, флуктуации числа электро-
электронов на грануле и туннелирование через нее невозможны. Этот вы-
вывод согласуется с результатами, полученными в 5.2.2 и 5.2.3.
5.3
Вольт-амперная характеристика асимметричного
туннельного контакта без затвора
5.3.1. Расчет вольт-амперной характеристики
Рассмотрим второй случай, когда система характеризуется ма-
малым параметром и удается аналитически решить стационарное
кинетическое уравнение,— случай асимметричного контакта. В
роли малого параметра выступает отношение A^Ai (или обратное
отношение),/Будем для определенности считать, что выполняется
условие
е=Л.2/Х.1«1. E.79)
Поскольку сопротивления R], R2 туннельных переходе* «металл
1 — гранула» и «гранула — металл 2» обратно пропорциональны
соответственно величинам Х[, Х2, то условие E.79) означает, что
Rl«R2.
Как уже отмечалось, стационарное кинетическое уравнение
сводится к уравнению Fn = А = const, которое мы запишем, явно
выделив малый параметр е:
E.80)
Решение этого уравнения можно искать в виде ряда
wn=w®+ewln+... В дальнейшем нам понадобится лишь первый
член этого ряда. Он удовлетворяет уравнению E.80) при е=0,
следовательно,
162

О 0 -(Ег-Е„_х-еУ,I(квТ)
А
Напомним, что входящая сюда потенциальная энергия грану-
гранулы Е„ определяется выражением E.26). Если заменить
Хх -»Xj + Х2, У\ ->V , то уравнение E.81) совпадет с E.38), реше-
решение которого известно и имеет вид E.42). Следовательно, мы мо-
можем написать
, Z =
E.82)
Функцию распределения E.82) можно интерпретировать как рас-
распределение Гиббса с эффективной энергией
E.83)
которая зависит не отдельно от потенциалов Vx, V2,a лишь от их
разности Vx-V2, которую мы обозначим V.
Подставим найденную функцию распределения нулевого при-
приближения по е в формулу для тока E.45) и воспользуемся выра-
выражением для Е„. Получим
V shv
ftl——oo
[X(n+r\-\/2)-v]
-1
E.84)
где введены обозначения
X = e2/BCkBT), Т1 = С2
E.85)
Параметры A.,tj,v не являются независимыми. Легко видеть, что
v = b]C/C2. E.86)
Выражение E.84) связывает ток и напряжение на контакте, т.е.
описывает его ВАХ. При изменении знака приложенного к кон-
контакту напряжения V величины r|,v также меняют знак, однако с
помощью замены m-^-m, л-»-и+1 можно показать, что при
6. 163

этом меняется лишь знак тока, модуль же его остается неизмен-
неизменным. Следовательно, НУ) — нечетная функция. В дальнейшем
для определенности будем считать V>0. При V-^О из E.84) по-
получается такое же отношение I/V, какое получается из E.62) и
E.65) при Л, «R2 в отсутствие затвора (формально при нулевом
потенциале последнего).
Заметим, что если использовать формулу для тока, получен-
полученную при рассмотрении туннельного перехода «металл / — грану-
гранула», то функции wj) будет недостаточно для вычисления тока. Эта
функция обратила бы выражение для тока в нуль и нам потребова-
потребовалось бы учесть поправку первого приближения tw\.
1. При высоких температурах (к «1) можно перейти от сумми-
суммирования по т,п в E.84) к интегрированию по переменным
z = л[к(т+т|), С,=Vx(я+г|-1/2). В результате получим
E.87)
В интеграле по С, эффективный интервал интегрирования —
|?| <, 1. В этом интервале -АС «1 > и эту величину можно опустить,
после чего интегрирование легко выполняется и дает
l/K-1/Дг. E.88)
Следовательно, при высоких температурах дискретность заря-
заряда гранулы не проявляется и сопротивление туннельного контакта
определяется участком с большим сопротивлением (в нашем слу-
случае туннельным переходом «гранула — металл 2»).
2. При низких температурах (Я.»1) в выражении E.84) суще-
существенны слагаемые с т,п, близкими к -л. Сделаем замену
т = -т', п = -п' и оставим слагаемые с т' = [ту], т' = [г|]+1, п' = [л],
п' = [я]+1, п' = [п]-1, где [г|] — целая часть числа л [см. пояснения
после формулы E.67)], тогда E.84) примет вид
1.- 1 shv У
V R ^
, с
sh(v-X{n}+3V2) sh{v-\{t)}-X/2)j
164

Здесь {л} — дробная часть числа г\. В силу E.86) v> Хт^Х^}, сле-
следовательно, v-A.{r|}+A/2>A/2»l и потому можно положить
sh(v-\{r\}+l\/2)~]-exp(v-l{r\)+3X/2).
Подставляя эти выражения в E.89), можно убедиться, что отно-
отношение второго слагаемого в больших круглых скобках к первому
порядка ехр(-ЗЯ.+2Л,{г|})«1 при любых т^. Поэтому второе слагае-
слагаемое, соответствующее п' - [т\]+1, можно опустить. Получим
L „ l Shv
V R2 v
Рассмотрим зависимость отношения I/V от напряжения. При
очень малых напряжениях (|е|К/BА:д7')«1) параметр t| мал, так
как согласно E.86) ti = v(C2/C)A/A,)<vA/A,)«1. При этом можно
пренебречь величиной {n}=ri по сравнению с 1/2 . Кроме того, в
силу малости напряжения можно положить shv=v и пренебречь
величиной v по сравнению с А/2. В результате найдем
2Xe«±, E.91)
к2 к2
т.е. сопротивление контакта велико и туннелирование подавлено.
При сравнительно больших напряжениях, когда г|>1, из E.86)
следует, что v>A,(C/C2)>X.»l. Более того,
А/2 »1, поэтому в E.90) можно положить
e, sh(v
После несложных алгебраических преобразований получим
7 Физика квантовых
низкоразмерных структур

Отсюда находим зависимость тока от напряжения
В точках, где ц принимает целочисленные значения, функция
{г|} терпит разрыв, но функцию 1(г\) можно считать непрерывной
[ее скачки обусловлены отличием th(A,/2) от единицы и экспонен-
экспоненциально малы по X ]. Благодаря последнему слагаемому в больших
круглых скобках E.93) ток резко меняется в точках т| = 3/2,
5/2,7/2,..., т.е. при напряжениях
E.94)
Характерную ширину 5 V интервала резкого изменения тока мож-
можно оценить по формуле
8V~2kBTC/(\e\C2). E.95)
При Г-»0 5К-»0, т.е. быстрые изменения тока превращаются в
скачки величиной | е |/(/?2О •
Вольт-амперная характеристика контакта показана на рис. 5.7.
Интересно, что значения тока при целых и полуцелых значениях
г\ лежат на одной прямой
которая изображена на рисунке штриховой линией. Область про-
промежуточных напряжений BквТ/\е\<V<\e\/C2)не показана.
В области промежуточных напряжений \2kBT/\e\<V <\е\/С2)
оценим лишь значение I/V при т| = 1/2. Учитывая, что при этом
v=XC/BC2)»l, v-Xfa}-X/2 = X(Cl -C2)/BC2), получим из E.90)
7 l fl+ Л:^ i E-97)
V 2R2\ C|l-exp(-MC1-C2)/C2)J_
При очень близких значениях СХ,С2 [Х(СХ-С2IСХ«\] отсюда
следует, что //К = A/2/г2)[1+С2/(\С)]=1/BЛ2). Если же С{»С2,
166

то 1/V = [1/'R2](C\/C)<=1/R2 . Таким образом, и при близких, и при
сильно различающихся емкостях переходов «металл / — гранула»,
«гранула — металл 2» значение тока при напряжении, соответст-
соответствующем rj = 1/2, порядка V/R2 =\e\/BR2C2).
Вольт-амперная характеристика туннельного контакта в виде
лестницы (см. рис. 5.7) наблюдалась в работе [8]. Из рис. 5.7 ясно,
что дифференциальное сопротивление контакта dV/dl как функ-
функция напряжения будет представлять собой чередующуюся после-
последовательность максимумов и минимумов с периодом \^/С2 , опре-
определяемым емкостью перехода с большим сопротивлением. Такое
поведение дифференциального сопротивления было получено в
экспериментальной работе [6]. Кроме того, в этой работе наблю-
наблюдалась характерная особенность прямой E.96) — то, что она не
проходит через начало координат на плоскости (К,/).
0,5
1,5
2,5
3,5
Рис. 5.7. Вольт-амперная характеристика контакта при С2 = С/2
5.3.2. Физический механизм образования ступеней на ВАХ
асимметричного туннельного контакта
Будем для определенности считать, что потенциал левого бе-
берега туннельного контакта выше потенциала правого берега, т.е.
V=Vx -V2 >0 , причем напряжение достаточно велико, так что вы-
выполняется условие
167

V>\e\/C2. E.98)
Температуру считаем низкой:
Т«е2/BСкв). E.99)
Легко видеть, что в силу неравенств E.98), E.99)
V»kBT/\e\. E.100)
Если бы не надо было учитывать потенциальную энергию гра-
гранулы, последнее условие означало бы, что уровень Ферми в метал-
металле 2значительно выше уровня Ферми в фануле, ток через переход
«фанула — металл 2» определяется в основном потоком электро-
электронов из металла 2 в фанулу и пропорционален разности уровней
Ферми, т.е. величине | е \ V. При этом ток был бы пропорционален
напряжению V.
При туннелировании электрона эффективная потенциальная
энергия фанулы E.83) изменяется вблизи своего минимального
значения на величину <е2/С. Согласно E.98) это изменение
меньше \e\V, поэтому и при учете дискретности заряда фанулы
ток определяется в основном потоком электронов из металла 2 в
фанулу, растет с увеличением напряжения, но теперь не прямо
пропорционально последнему. Причина этого заключается в сле-
следующем. При низкой температуре в соответствии с гиббсовским
распределением E.82) фанула может находиться практически
лишь в состоянии с наименьшей потенциальной энергией (зави-
(зависимость эффективной потенциальной энергии ej, фанулы от чис-
числа избыточных электронов на ней изображается фафиками на
рис. 5.6, если заменить е^ на ej, и ?, на г)=С2К/|е|). При
?-1/2<г|<Л;+1/2,где к — целое положительное число, фанула бу-
будет находиться в состоянии с п = -к и при туннелировании элек-
электрона из металла 2 будет переходить в состояние с п=-к +1. Энер-
Энергия этого состояния г[к+1 > el_k, поэтому не все электроны, кото-
которые могли бы туннелировать при ej, = 0, сумеют преодолеть по-
потенциальный барьер (е]_к+\ -zx_k)~e1 /С. Следовательно, ток будет
пропорционален не | е\ V, а меньшей величине \е\ V-(e[k+i -г[к).
При ti = A:+1/2 фанула с равной вероятностью находится в со-
состояниях с п = -к ,п = -к-\, обладающих одинаковыми потенци-
168

альными энергиями. При туннелировании электронов из металла
2 будут происходить переходы гранулы из состояния с п = -к в со-
состояния с и = -к+1, при этом электроны должны будут преодолеть
потенциальный барьер. Кроме того, будут происходить переходы
из состояния с п=-к-\ в состояние с п = -к , которые не требуют
от электронов преодоления потенциального барьера и, следова-
следовательно, совершаются всеми электронами, которые могли бы тун-
нелировать при ej, =0. В результате вблизи значений напряжения,
соответствующих т\ = к + \/2 , ток довольно резко возрастает бла-
благодаря тому, что открывается второй канал туннелирования, не
требующий преодоления электронами потенциального барьера.
5.4
Кулоновская блокада туннелирования через две гранулы
Рассмотрим кулоновскую блокаду при туннелировании электро-
электронов последовательно через две гранулы (через две точки, по термино-
терминологии, принятой в статьях последних лет). Оказывается, этот случай
существенно отличается от кулоновской блокады при туннелирова-
туннелировании через одну гранулу. Мы остановимся лишь на общей картине яв-
явления. Более подробное изложение вопроса можно найти в [13].
Рассмотрим туннельный контакт, содержащий затвор и две
гранулы. Выясним, как ведет себя линейный кондактанс G сис-
системы (или ее сопротивление R = G~l) как функция потенциала за-
затвора Vo и температуры Т. Начнем с электростатической энер-
энергии гранул. В экспериментах с полупроводниковыми микрострук-
микроструктурами электростатическим взаимодействием гранул нередко
можно пренебречь, тогда электростатическая энергия Е„х „2 сис-
системы гранул сводится к сумме электростатических энергий от-
отдельных гранул ?1И1,?2,Я2:
Е„1<П2=ЕЩ+Егп2, E.101)
где согласно E.27) при равных потенциалах V\ = V2 берегов кон-
контакта
E.102)
-d)
169

ъь ^ 2[Vx +a2(K0 -К,)]. E.103)
Здесь щ,п2 — числа избыточных электронов на первой и второй
гранулах; СA),СB) — их эффективные емкости; а! =Со1)/СA) ,
а2 =Со2>Лч2) '¦> С^(/= 1,2) — емкость между /-й гранулой и затво-
затвором. Далее для простоты будем считать потенциалы берегов рав-
равными нулю (Fj = V2 =0), хотя это не принципиально: от слагаемых
enxVx,en2V2 в E.102) и E.103) можно избавиться путем перехода от
энергий ElA,E2<ri2 к энергиям
=EUl -enxVx =-l^(enlJ+enlal(V0-Vi), E.104)
^2V,) E.105)
[ср. с E.48)], а вместо V0-Vx можно писать Ко, если понимать
под Ко напряжение между затвором и берегами контакта.
Подчеркнем, что использование выражений E.101)—E.103)
для потенциальной энергии, которая зависит лишь от зарядов гра-
гранул ещ ,еп2, оправдано при изучении протекания тока через гра-
гранулы, если время релаксации к равновесию на каждой грануле
много меньше времени жизни туннелирующего электрона на этой
грануле.
Пусть емкости гранул сильно различаются, например
СA)«СB).
тогда на температурной шкале можно выделить три
ласть высоких
промежуточных
и низких
Т»е2/BСA)кв),
е2/BСB)кв)<Т«е2/BСп)кв)
Т«е2/BСB)кв)
E.106)
области: об-
E.107)
E.108)
E.109)
170

температур. Как показано в 5.2.2, в первой из этих областей дис-
дискретность заряда гранул не имеет значения. При этом полное со-
сопротивление контакта складывается из трех сопротивлений:
R = /?) + Л2 + ^з > гДе ^i ~~ туннельное сопротивление перехода
«берег / — гранула 7»; R2 — туннельное сопротивление перехода
«гранула 1 — гранула 2»; Л3 ~ туннельное сопротивление перехо-
перехода «гранула 2 — берег 2». Соответственно кондактанс системы
В интервале температур E.108) дискретность заряда гранулы 2
не важна, эта гранула ведет себя, как массивный проводник, но
туннелирование через гранулу 1 происходит эффективно лишь то-
тогда, когда потенциал затвора попадает в полосу шириной
квТ/(\е\а\) вблизи значения
^1+l)' kl = °'1J'- EЛ10)
[см. E.69), E.70)]. Очевидно, в этом случае полное сопротивление
складывается из 7?3 и сопротивления туннельного контакта «берег
1 — гранула 1 — гранула 2» (последняя выступает в качестве мас-
массивного берега). Выполняя необходимые переобозначения в фор-
формулах E.62),E.68), можно написать
т
где fei} — дробная часть числа ?i =aiCA)|F0/e|. Отсюда следует,
что полное сопротивление как функция напряжения на затворе
имеет периодически повторяющиеся узкие минимумы, а кондак-
кондактанс — периодически повторяющиеся узкие максимумы, причем
период повторения определяется меньшей емкостью.
Наконец, в случае низких температур, когда выполняется ус-
условие E.109), необходимо учитывать дискретность заряда обеих
гранул. При этом поведение кондактанса при изменении потен-
потенциала затвора зависит не только от емкостей СA),СB), но и от ко-
коэффициентов а!,а2. Если емкости С,A),С^ между первой грану-
гранулой и каждым из берегов туннельного контакта малы по сравне-
сравнению с емкостью Cq1) между этой гранулой и затвором, то коэффи-
171

циент а^С^Дс^+С^+С^) близок к единице. То же самое
можно сказать про вторую гранулу и коэффициент <х2. В дальней-
дальнейшем будем считать щ = а2 «1. Тогда туннелирование через грану-
гранулу 1 возможно, если потенциал затвора попадает в полосу шири-
шириной квТ/Ц вблизи значений
квТ>е2/BСB))
квТ/\е\
квТ«е2/BСB))
а)
к„Т/\е\
Г
б)
45.112)
Рис. 5.8. Значения по-
потенциала затвора, при
которых возможно тун-
туннелирование через пер-
первую A) и вторую B) гра-
гранулы. Заштрихованные
полосы показывают об-
области Vo, в которых
возможно туннелирова-
туннелирование через обе гранулы;
незаштрихованная по-
полоса показывает об-
область, где туннелирова-
туннелирование через обе гранулы
невозможно (подавлен-
(подавленный максимум кондак-
танса)
Аналогично туннелирование через гранулу 2 возможно, если потен-
потенциал затвора попадает в полосу шириной квТ/\^ вблизи значений
B)
2/
172
=0,1,2,...
E.113)

а)
10
б)
20
I 11 I I
10
20
173

Ясно, что последовательное туннелирование через обе гранулы
возможно тогда, когда значения Fo, определяемые соотношения-
соотношениями E.112), E.113), различаются не более, чем на квТ/\е\. Очевид-
Очевидно, это условие удовлетворяется не при любых значениях к\ (см.
рис. 5.8), поэтому при низких температурах максимумы кондак-
танса становятся редкими по сравнению со случаем промежуточ-
промежуточных температур.
В [13] выполнено численное моделирование поведения кон-
дактанса контакта с двумя гранулами. Обнаружено, что при
^ =а2 =1 поведение максимумов кондактанса, описанное выше и
основанное на предположении, что С^)«С}2), сохраняется в уди-
удивительно большом интервале значений СA)/СB) (вплоть до
СA)/СB) =0,4). Некоторые результаты расчетов при СA)/СB) =0,36
приведены на рис. 5.9. Единицы G произвольные, но одинаковые
на всех рисунках. Налицо переход от стохастических осцилляции
кондактанса к периодическим по мере повышения температуры.
Заметим, что приСA)/СB) =0,36 условия E.112), E.113) одновре-
одновременно выполняются при кх=А,к2=\2 и кх =22,к2 =62. Стрелками
на рис. 5.9 показаны максимумы, соответствующие значениям
?] =4 и кх=22. Как и следовало ожидать, при понижении темпе-
температуры эти максимумы довольно хорошо сохраняются.
Литература
1. ZellerH.R., Giaeverl. Phys. Rev. 181, 789,1969.
2. Янсон И.К., ВласенкоАА. Письма в ЖЭТФ. 9,657,1969.
3. Янсон И.К., ВласенкоАА. Письма в ЖЭТФ. 13,415,1971.
4. Галкин А.А., Игнатьев О.М. УФЖ. 15,438,1970.
5. LambeJ., JaclevicR.C. Phys. Rev. Lett. 22,1371,1969.
6. Кузьмин Л. С, Лихарев К.К. Письма в ЖЭТФ. 45,389,1987.
7. Bentum P.J.M. van, Smokers ft T.M., Kampen H. van. Phys. Rev. Lett. 60,
2543, 1988.
8. WilkinsR., Ben-JacobE., JaclevicKC. Phys. Rev. Lett. 63, 801,1989.
9. Fulton T.A., Dolan G.J. Phys. Rev. Lett. 59,109,1987.
10. Cohen M.H., FalicovLM, Phillips J.C. Phys. Rev. Lett. 8,316,1962.
11. Кулик И. О., Шехтер P.M. ЖЭТФ. 68,623,1975.
12. Glamanl.L, ShekhterR.1. J. Phys.: Cond. Matter. 1, 5811,1989.
13. Ruzin I.M., Chandrasekhar V., Levin E.I., Glazman L.I. Phys. Rev.
В 45,13469, 1992.
174

Глава 6
ТРАНСПОРТ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
6.1
Общие сведения
В начале 80-х годов было обнаружено, что про-
проводники, чьи линейные размеры существенно
превышают атомный масштаб, но все же меньше,
чем размеры обыкновенных макроскопических
тел, при низких температурах проявляют необыч-
необычные физические свойства. Сформировалась целая
область физики, изучающая свойства таких объек-
объектов,— мезоскопика. Основная особенность мезо-
скопических проводников состоит в том, что по-
поведение электронов в них описывается законами
квантовой механики. В частности, если на всей
длине проводника сохраняется фазовая когерент-
когерентность волновой функции, то интерференция волн,
идущих от различных рассеивателей, существенно
уменьшает проводимость, а также может изменить
другие транспортные характеристики. Рассмотре-
Рассмотрению квантовых мезоскопических явлений посвя-
посвящена настоящая глава.
Транспотрные характеристики мезоскопиче-
мезоскопических образцов — электропроводность, теплопро-
теплопроводность и др.— зависят от следующих парамет-
параметров, характеризующих движение заряженных час-
частиц: фермиевской длины волны XF, длины сво-
свободного пробега при упругом рассеянии /Р (или
времени релаксации импульса хр), а также от дли-
длины фазовой когерентности /,,,. В зависимости от
значений этих параметров могут реализоваться
различные транспортные режимы. В частности,
если длина свободного пробега и длина фазовой
когерентности больше длины проводника, то име-
имеет место так называемый баллистический транс-
175

портный режим. Мы увидим, что в этом режиме проводник уже
нельзя характеризовать удельной проводимостью или теплопро-
теплопроводностью. В разд. 6.2 рассматривается наиболее интересная осо-
особенность баллистического транспорта, а именно квантование
кондактанса. Здесь же дается вывод формулы Ландауэра, описы-
описывающей проводимость мезоскопических проводников и обсужда-
обсуждаются ее следствия.
Далее рассматриваются эффекты слабой локализации. Пока-
Показано, что интерференция волн, рассеянных от различных центров,
приводит к уменьшению проводимости по сравнению с классиче-
классической. Этот эффект особенно велик в проводниках с низкой раз-
размерностью — одно- и двумерных. Обсуждается критерий сильной
и слабой локализации. Для расчета поправок к проводимости
здесь используется в основном фейнмановская интерпретация
квантовой механики с ее концепцией интегралов по траекториям.
Рассмотрено подавление слабой локализации при конечных тем-
температурах и во внешнем магнитном поле, а также эффект отрица-
отрицательного магнитосопротивления.
Проводники, имеющие макроскопические размеры, как из-
известно, не чувствительны к конкретному случайному распределе-
распределению примесей внутри них. Достаточно провести эксперимент на
одном образце, чтобы сделать вывод о значениях тех или иных
транспортных параметров — проводимости, магнитосопротивле-
магнитосопротивления, теплопроводности и т.д. Флуктуации этих величин при пере-
переходе от образца к образцу ничтожно малы. Поэтому можно ска-
сказать, что в макроскопических образцах транспортные параметры
являются самоусредняющимися величинами. Такая точка зрения
на поведение транспортных характеристик существовала до не-
недавнего времени, пока в низкотемпературных экспериментах с об-
образцами малых размеров не были обнаружены очень сильные и
воспроизводимые флуктуации проводимости. Эти флуктуации
были названы универсальными, поскольку независимо от хими-
химического состава и размеров образца флуктуации полной проводи-
проводимости всегда определяются мировыми константами и имеют по-
порядок e2/h. Природа универсальных флуктуации, особенности их
проявления при конечных температурах, а также способы экспе-
экспериментального обнаружения обсуждаются в разд. 6.6.
Как уже было сказано, все перечисленные выше эффекты —
сильная и слабая локализация, квантование кондактанса в балли-
баллистическом режиме, универсальные флуктуации — имеют кванто-
квантовую природу. Теория этих эффектов, как правило, требует исполь-
176

зования довольно сложной диаграммной техники, с помощью ко-
которой рассчитываются квантовые функции Грина. К сожалению,
уровень настоящей книги не предполагает использование этой
сложной техники. Однако заинтересованный читатель найдет
здесь ссылки на оригинальные работы, а также на ряд обзоров, по-
посвященных изложению современной теории мезоскопических яв-
явлений.
6.2
Кондактанс баллистического проводника.
Формула Ландауэра
Полная проводимость двумерного проводника (или кондак-
кондактанс) пропорциональна удельной проводимости а, а также шири-
ширине проводника w и обратно пропорциональна его длине L:
G = oj. F.1)
Очевидно, что удельная проводимость о здесь является характери-
характеристикой материала проводника и не зависит от его геометрических
размеров. Возникает вопрос: при сколь малых размерах проводника
выражение F.1) еще остается в силе? Ответ на него был получен в 80-
х годах, когда были созданы проводники с линейными размерами
меньше длины свободного пробега. Электрон пролетает через такой
проводник не испытывая рассеяния, в то время как движение через
обычный проводник носит диффузионный характер.
На рис. 6.1 показаны типичные электронные траектории в
диффузионном режиме, когда /р « w,L, а также в квазибаллисти-
квазибаллистическом w</p<L и баллистическом lp»w,L режимах. Здесь счи-
считается, что размеры естественных неоднородностей на границах
канала меньше фермиевской длины волны XF и, следовательно,
рассеяние на границах является зеркальным. Ниже будут получе-
получены аналитические выражения для кондактанса двумерного про-
проводника в квантовом баллистическом режиме, когда сопротивле-
сопротивление связано исключительно с границами между широкой двумер-
двумерной областью и узким проводником — каналом. Кроме этого бу-
будет определен вклад в сопротивление канала от рассеивателей
(примесей), находящихся внутри него. Выражение, которое будет
получено,— формула Ландауэра — имеет чрезвычайно широкие
177

приложения в физике низкоразмерных мезоскопических структур
[1,2].
У
<^ J><r \У * \W Puc- 6.1. Электронные траек-
^ J ~\ тории в транспортных режи-
I мах: а — диффузионном
(/р « L,w) ; 6 — квазибалли-
стическом (ик/р<?); в —
баллистическом (/р »>v,JL)
^ [6]
Впервые баллистический транспорт был исследован еще в ра-
работе Шарвина [3]. Он изучал проводимость точечного контакта
между тонкой платиновой проволочкой и массивным металлом.
По оценкам диаметр проволочки в месте контакта составлял доли
микрона, в то время как длина свободного пробега была порядка
одного миллиметра. В то же время фермиевская длина волны была
много меньше размеров канала, так что движение электронов
можно было рассматривать чисто классически. Из измерений, вы-
выполненных Шарвиным, следовало, что сопротивление баллисти-
баллистического канала нельзя оценить по стандартной формуле, в кото-
которой используется понятие удельного сопротивления. Исходя из
простых чисто классических представлений о характере движения
электрона в канале, Шарвин получил простое выражение для кон-
дактанса, который обусловлен упругим рассеянием на геометри-
геометрическом сужении проводника [3]:
где S — площадь сечения канала; kF — фермиевский волновой
вектор.
Кондактанс проводящих каналов в квантовом баллистическом
режиме впервые экспериментально изучался в работах двух
групп — голландской [4] и британской [5], опубликовавших свои
178

результаты практически одновременно в 1988 г. Проводящий ка-
канал (микромостик) был сформирован в двумерном электронном
газе на границе гетероструктуры GaAs-AlGaAs с помощью двух
затворов, на которые подавался отрицательный потенциал Vg (см.
рис. 1.4). При увеличении потенциала на затворе одновременно
увеличивалась эффективная ширина канала. Измерения кондак-
танса проводились при температуре 0,5 К в нулевом магнитном
поле. Ток, протекающий через контакты, был фиксирован, а из-
измерялось напряжение. Сила тока была невелика, поэтому тепло-
тепловой разогрев исключен.
Зависимость кондактанса от напряжения на затворе, получен-
полученная в [4], показана на рис. 6.2. Видно, что при монотонном увели-
увеличении потенциала Vg кондактанс увеличивается скачкообразно.
Области резкого возрастания кондактанса разделяют плато, где
кондактанс G практически не изменяется. Величина скачков
(ступеней) кондактанса приблизительно, с точностью не превы-
превышающей 1%, равна 2е2/Л = 1/12906 Ом. Всего на графике видно
10 ступеней. При напряжении Kg=-2,2B проводимость обраща-
обращалась в нуль. По мере увеличения температуры в области плато
функция G(Vg) приобретает конечный наклон и превращается в
прямую.
GBe2/h)
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
Рис. 6.2. Кондактанс точечного контакта (в единицах 2е /Л) как
функция напряжения на затворе. Эффективная ширина канала уве-
увеличивается вместе с напряжением на затворе (по данным [4])
179

Рассчитаем силу тока в баллистическом проводящем канале.
Предположим, что слева и справа от канала электронный газ на-
находится в состоянии термодинамического равновесия. Эти облас-
области играют роль контактов. Если в канале отсутствуют примеси и
граничные дефекты, а значит, нет рассеяния, то состояния с поло-
положительными рх будут заселены электронами, вышедшими из ле-
левого контакта, а состояния с рх < О — электронами из правого
конгтакта. Ток возникает в том случае, если уровни Ферми слева и
справа от проводника имеют различное значение, и, следователь-
следовательно, состояния с рх > О и рх < О заселены неодинаково. Величину
тока, который переносится состояниями, принадлежащими од-
одной п -й поперечной моде с рх >0, найдем, вычислив интеграл
|Я?^Г<г), F.3)
где zn(px)— энергия состояний и-ой моды; vn(px)— скорость
вдоль оси х; /+(е) — фермиевская функция распределения элек-
электронов с положительной проекцией рх. Переходя в F.3) к интег-
интегрированию по энергии, найдем
F.4)
Аналогично F.4) вычисляется ток в противоположном направле-
направлении /~. Если рассматривать случай нулевой температуры, когда
функция распределения равна единице в интервале е„@) < е <eF и
нулю вне этого интервала, то полный ток окажется равным
/+_/-=/=—ЛГвд~?™ , F.5)
h e
где гп , eFR — значения уровня Ферми в области контактов слева
и справа от проводящего канала соответственно. Кроме того, в
формуле F.5) учтено, что полное число поперечных мод в канале
в интервале eFL<e<eFR равно N. Поскольку разность потенциа-
потенциалов, определяемая по показаниям вольтметра, V = {tFL-zFR)le, то
кондактанс баллистического канала
С=Ц-М, F.6)
180

а его сопротивление есть G ] = h/Be2N) = 12,906/ N кОм.
Полученное выражение F.6) позволяет оценить электриче-
электрическое сопротивление баллистических каналов, если известно пол-
полное число мод с энергией, не превышающей энергию Ферми.
Число мод легко найдем, если известна ширина канала и ферми-
евская длина волны
к \'
где [х] — целая часть х. Так, если сопротивление одномодового
канала равно 12,906 кОм, то сопротивление канала, имеющего
ширину 10 мкм, при условии, что фермиевская длина волны равна
40 нм, составляет приблизительно 25 Ом.
До сих пор для простоты предполагали, что температура элек-
электронного газа равна нулю. Не представляет труда обобщить наши
результаты и на случай 7V0. Для этого необходимо повторить все
вычисления, предшествующие формуле F.6), и записать кондак-
танс в виде:
]\F-eF). F.7)
0 ОЕ " л=1
Поскольку при конечной температуре функция распределения
Ферми размыта вблизи е^ на величину порядка 2квТ , то соглас-
согласно F.7) ступени кондактанса также будут размыты либо вообще
исчезнут. Для того чтобы ступенчатый характер функции G(Vg)
сохранился, температура должна удовлетворять неравенству
2квТ<д?п, где Дея=е„+1-е„ есть расстояние между соседними
подзонами размерного квантования.
При выводе формул F.6) и F.7) мы исходили из моделей
длинного и узкого идеального каналов, что привело к появлению
резких ступеней в зависимости кондактанса G(kFw) от ширины
канала w. Обсудим теперь отклонение от F.6) в более реалисти-
реалистических моделях двумерного баллистического канала. Прежде все-
всего следует корректно учесть дифракцию на входе и выходе канала.
При этом следует различать два предельных случая — плавный
(адиабатический) и резкий переходы от широкой двумерной об-
области к узкому каналу. Коэффициент прохождения через канал с
плавно изменяющейся шириной рассматривается в [7, 8]. Здесь
181

учтены эффекты туннелирования и надбарьерного отражения мод
с n<N и n>N ,а также переходы между модами с различными и.
Показано, что в адиабатическом режиме скачки кондактанса при
изменении толщины остаются резкими, если выполнено неравен-
неравенство K2j2R/wmin >1, где R — радиус кривизны границ канала;
wmm ~ минимальная ширина канал.
Квантование кондактанса в двумерном канале, который имеет
вид длинного волновода с резкими границами на входе и выходе, ис-
исследовано в [9, 10]. В таком канале необходимо учитывать дифрак-
дифракцию волн, отраженных от входа и выхода, расположенных на рас-
расстоянии L. Вследствие дифракции проводимость уже не будет сту-
ступенчатой функцией ширины канала или электронной длины юлны.
В самом начале ступеньки, т. е. на пороге нового канала, возникают
осцилляции, связанные с резонансным отражением электронных
волн. Резонансы возникают, когда на длине канала укладывается це-
целое число полуволн Я.„и/2 = L, где Х„ = 2яйД/2/п(г/г-е„); п — целое
число; е„ — энергия размерного квантования в поперечном направ-
направлении. Экспериментально осцилляции кондактанса на границах сту-
ступеней наблюдались в [ 11 ].
Учтем теперь рассеяние внутри канала. Пусть вероятность
пройти канал без рассеяния (коэффициент прохождения) есть
/)(е), а ток переносится электронами, энергия которых лежит в
узком энергетическом интервале tFR<t<zFL. Тогда ток электро-
электронов, падающих слева на рассеиватель, находящийся внутри кана-
канала, в соответствии с F.6) будет
I=^-NV, F.8)
п
где V = (EfL~eFR)/e. Ток электронов, прошедших через область
рассеяния, 1% = I\D, а ток отраженных электронов в области сле-
слева от рассеивателя I~L = (l—Х>)/^ . Токи слева и справа от рассеива-
теля, конечно, должны быть равны друг другу, поэтому имеем
I = I+L-Ii=n=^-NDV. F.9)
Таким образом, кондактанс канала, в котором распространя-
распространяются N электронных мод и имеются рассеиватели,
182

2е2
G=—ND. F.10)
h
Выражение F.10), или формула Ландауэра, ясно демонстриру-
демонстрирует роль рассеивателей, ограничивающих полную проводимость
канала. Заметим, что при D=l, когда рассеивателей нет, выраже-
выражение F.10) переходит в формулу F.6), определяющую кондактанс
идеального канала.
Сделаем несколько замечаний, касающихся физического со-
содержания формулы Ландауэра. Согласно F.10) сопротивление ка-
канала с рассеивателями можно представить в виде двух последова-
последовательно соединенных сопротивлений:
<?-'=—^--=g;x+g;\ F.П)
2e2N D c s
где
G;l=h/Be2N) F.11a)
— сопротивление идеального канала, равномерно распределен-
распределенное между левой и правой границами, а
*!? F.116)
* 2e2N D
— сопротивление, связанное с рассеивателями, находящимися в
канале.
Таким образом, полное сопротивление, определяемое форму-
формулой Ландауэра F.10), состоит из двух слагаемых, имеющих раз-
различную область локализации. Если первое слагаемое в правой
части F.11) — это сопротивление идеального канала, то второе
слагаемое можно рассматривать как сопротивление, связанное с
рассеивателями, находящимися в канале.
Постараемся также ответить на вопрос, где диссипируется
энергия eV, приобретаемая электроном при движении по прово-
проводящему каналу. Так как рассеяние внутри контакта является упру-
упругим или вообще отсутствует, диссипативные процессы, приводя-
приводящие электрон в состояние термодинамического равновесия, и
прежде всего неупругое рассеяние на фононах, происходят не в
области контакта, а далеко за его пределами. Поэтому область, где
выделяется джоулево тепло, и область, где возникает сопротивле-
сопротивление в баллистическом режиме, пространственно разделены.
183

6.3
Длина локализации в одно- и многомодовом режимах
В этом и последующих разделах настоящей главы будут рас-
рассмотрены явления, связанные с интерференцией электронных
волн, рассеянных в различных точках проводника. Будет показа-
показано, что при выполнении ряда условий такая интерференция вно-
вносит существенный вклад в сопротивление.
Сначала покажем, что в том случае, когда можно пренебречь
квантовыми эффектами при рассеянии, т.е. интерференцией
волн, рассеянных от различных центров, сопротивление провод-
проводника оказывается пропорциональным его длине. Пусть имеется
всего два рассеивающих центра. Будем рассматривать электрон
как чисто классическую частицу и пренебрежем когерентностью
волн, рассеянных от различных центров. Тогда вероятность про-
прохождения через два рассеивателя можно определить, просуммиро-
просуммировав вероятности прохождения с различным числом внутренних
отражений:
RxR1). F.14)
Это соотношение можно записать также в следующей форме
\-Dl2/Dl2=Rl/Dl+R2/D2.
Аналогично для М последовательно расположенных рассеивате-
лей получим
l-D(M)_ R
ДМ) " D
или
D(M) = D/(MR+D). F.15)
Выразим теперь полное число рассеивателей М через линей-
линейную плотность т и длину образца L:M=mL. Тогда вместо F.15)
прозрачность всего образа можно записать, как
D(L) = l/(L+l), F.16)
где l = D/[m(l-D)] имеет смысл эффективной длины свободного
пробега. Подставляя полученное выражение F.16) в формулу
F.116), которая определяет сопротивление рассеивателей в кана-
канале, найдем
184

f-згН- <617)
Таким образом, мы показали, что в отсутствие квантовых эф-
эффектов в рассеянии^сопротивление пропорционально длине об-
образца.
Учтем теперь интерференцию волн, рассеянных от различных
центров, и покажем, что она приводит к квантовой локализации.
Расчет сопротивления в квантовом режиме более сложный, чем в
классическом. Дело в том, что здесь результат зависит от положе-
положения каждого рассеивающего центра. Поэтому имеет смысл опре-
определить квантовое сопротивление, как среднее по ансамблю про-
проводников, имеющих одинаковое количество случайно распреде-
распределенных примесей.
Снова предположим, что в проводящем канале находятся два
рассеивателя, причем канал одномодовый. Полный коэффициент
прозрачности найдем, учитывая многократные отражения между
барьерами, как это делалось при выводе F.14), а также то обстоя-
обстоятельство, что набег фазы при распространении волны от одного
рассеивателя к другому и обратно
в=2к/0+ф1+ф2,
где к— волновой вектор; /0 — расстояние между рассеивателями;
Ф!, Ф2 — изменения фаз при отражениях. В результате найдем
0=ОД/A-2^ОД cose+ВД), F.18)
где Dj и Л, — соответственно коэффициент прозрачности и отра-
отражения для /-го рассеивателя. Определим сопротивление двух рас-
сеивателей согласно F.116):
A /1-Z)
9
Здесь скобки { ) означают усреднение по ансамблю случайно рас-
расположенных рассеивателей. Будем считать, что все коэффициен-
коэффициенты /),, а также Д одинаковы по величине, а их фазы распределе-
распределены случайным образом, так что (cosG) равен нулю. Тогда после
усреднения согласно F.18) будем иметь
Физика квантовых 185
низкоразмерных структур

Pl2'
_\+RxR1-DyD1
F.19)
Учитывая, что сопротивления от отдельных рассеивателей про-
пропорциональны (l-Dj)/Dj, получим следующее выражение:
Pl2=Pl+P2+2PlP2
2е2
F.20)
Для того чтобы определить зависимость сопротивления канала от
его длины, разобьем канал на два участка длиной Ц и Lq соответст-
соответственно. Согласно F.20) сопротивление канала p^ + Lj) связанно с
сопротивлениями p(I1),p(Z2) этих участков соотношением
Длины участков можно изменять независимо друг от друга (при
этом изменяется и длина канала). Вычислим частные производ-
производные p(Z1+Z2) по Ц,Ц.:
F.21)
Очевидно, Эр(//] +Ь]IдЦ =др(Ц +L))lbLi, и поэтому можно при-
приравнять правые части выражений F.21). В результате получим
-1
Ф(А) =
В силу произвольности Д.Хг это равенство возможно только в
том случае, если и левая и правая части равны некоторой постоян-
постоянной С. Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
для рA):
186

dL
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию р@)=0,
имеет вид
= ^j(e * -1). F.22)
Согласно F.22) при L -»О p(L) ~ CL. С другой стороны, как было
h 1
показано ранее [см. F.17)], при малой длине канала рA)=—^—.
Следовательно, C=h/Be2l), и F.22) принимает вид
p0L)=J_expBL//)-l F23)
Этот результат, впервые полученный Ландауэром [12], пред-
представляется весьма неожиданным: согласно F.23) при увеличении
длины одномодового образца L его сопротивление растет не ли-
линейно, как это предсказывает классическая теория, а по экспо-
экспоненциальному закону. Такое поведение сопротивления свиде-
свидетельствует о локализации квантовых состояний. Фактически это
означает, что огибающие волновых функций локализованы в слу-
случайном потенциале, причем роль длины локализации играет ве-
величина /.
Вывод о локализации квантовых состояний и об экспоненци-
экспоненциальном возрастании сопротивления сделан нами в предположе-
предположении, что в проводнике может распространяться только одна элек-
электронная мода. Как показал Таулес [13], локализация возникает не
только в одномодовом канале, но и в многомодовом проводящем
канале. Роль длины локализации играет величина 4ОК = N1, где
N — число различных мод в канале.
Вернемся снова к формуле F.23). Если длина образца больше
длины локализации, то сопротивление возрастает экспоненциаль-
экспоненциально с увеличением L и превышает 12,9 кОм. В такой ситуации го-
говорят о сильной локализации. Если же L/l«l, то с помощью
F.22) можно найти малую поправку к классической проводимо-
проводимости (в этом случае говорят о слабой локализации). Разлагая экспо-
экспоненту в ряд Тейлора, получим
о. 187

Л 1
где f\u, =—y~, классическое сопротивление.
6.4
Слабая локализация
Как уже было отмечено, в физике низкоразмерных структур
многие интересные эффекты связаны с проявлением кванто-
квантовой интерференции. К таким эффектам относится слабая лока-
локализация, приводящая к уменьшению проводимости, универ-
универсальные флуктуации кондактанса, незатухающие токи в коль-
кольцах и многие другие. Однако электронная интерференция бу-
будет эффективна только в том случае, если взаимодействие
электронов с окружающей средой (термостатом) не подавляет
ее. Характеристикой такого взаимодействия является время
сбоя фазы электронной волны г,,. Поскольку эта величина ас-
ассоциируется с неупругими процессами (электрон-фононным и
электрон-электронным рассеянием), то при понижении темпе-
температуры время сбоя фазы увеличивается и может стать много
больше времени упругого рассеяния.
Определим также пространственный масштаб /,,,, на котором
происходит сбой фазы. Если время сбоя фазы меньше или того же
порядка, что и время релаксации импульса тр (это условие вы-
выполняется в проводниках с высокой подвижностью), то представ-
представляется естественным следующее определение: /ф=у^х,р, где vF —
скорость Ферми. В проводниках, содержащих большое количест-
количество примесей или дефектов, может реализоваться иная ситуация,
когда хч,»1р. В этом случае за время х^, электрон испытывает
много соударений и его движение носит диффузионный характер.
Значит за время х^ электрон пройдет расстояние /ф=«/Лф .
В строгой теории слабой локализации [18, 19} используется
технически сложная диаграммная техника, результаты которой не
поддаются наглядной физической интерпретации. К сожалению,
уровень изложения в настоящей книге не предполагает использо-
188

вание этого аппарата. Здесь мы рассмотрим явление слабой лока-
локализации, опираясь на простой подход, развитый в [20,21].
Предположим, что электрон распространяется в проводнике,
испытывая многократные акты рассеяния на примесях и дефек-
дефектах. Известно, что вероятность перейти из точки г в точку г' бу-
будет определяться фейнмановским интефалом (суммой) по всем
классическим траекториям вида
Pir,r',t) =
F-24)
i*j
где Aj — комплексная амплитуда вероятности /-и траектории.
Первое слагаемое в правой части F.24) есть сумма вероятностей
переходов по отдельным траекториям, а второе описывает интер-
интерференцию вкладов от отдельных траекторий. Как всегда в кванто-
квантовой механике, в соответствии с принципом суперпозиции склады-
складываются не вероятности, а амплитуды. Если электронная длина
свободного пробега много больше фермиевской длины волны
(kFl»1), то электрон можно рассматривать как классическую
частицу. Тогда первый член в правой части F.24) описывает клас-
классическую диффузию, а второй — интерференцию вкладов от раз-
различных траекторий. В классическом пределе второй член можно
считать равным нулю, так как все слагаемые в нем взаимно унич-
уничтожаются. С помощью выражения F.24) можно показать, что при
движении электронов в среде со случайными дефектами за счет
интерференции возрастает вероятность рассеяния в обратном на-
направлении и, как следствие, возникает слабая локализация элек-
электронных состояний. В классическом пределе, разумеется, этот эф-
эффект отсутствует.
Обратимся к рис. 6.3, а, на котором показаны две электронные
траектории, соединяющие различные точки гиг'. Таких траек-
траекторий бесконечно много и их комплексные амплитуды вероятно-
вероятности имеют различные фазы. Поэтому при суммировании во вто-
втором слагаемом правой части F.24) произойдет взаимное сокраще-
сокращение всех членов. Иной результат получается в том случае, когда
точки гиг' совпадают. За счет инвариантности системы по от-
отношению к замене знака времени (t -»-/) амплитуды вероятности
для траекторий с противоположным направлением обхода (см.
рис. 6.3, б) АХ=А1-А. Как следствие, вероятность траектории,
возвращающейся в исходную точку, т.е. вероятность рассеяния
189

назад, будет вдвое больше вероятности в отсутствие интерферен-
интерференции:
F.25)
В результате такого увеличения
вероятности рассеяния назад
проводимость будет меньше
классической. Так возникает
слабая локализация.
Оценим теперь, следуя [20]
(см. также [21]), величину ин-
интерференционной добавки к
друдевской проводимости.
Предположим, что эта добавка
мала и что движение электронов
в основном имеет диффузион-
диффузионный характер. Нас интересует
частота появления самопересе-
самопересекающихся траекторий, с кото-
которыми связано возрастание веро-
вероятности обратного рассеяния.
Если считать, что электрон дви-
движется в плоскости со скоростью
г = г
Рис. 6.3. Амплитуды вероятности двух
траекторий А{ и А^ : а — соединяю-
соединяющих точки гиг' (имеют различные
фазы); 6 —начинающиеся и заканчива-
заканчивающиеся в одной точке г (имеют оди-
одинаковые фазы)
vf и ширина его траектории имеет порядок минимальной длины
волны XF, то за время dt траектория покроет площадь vpkFdt
(см. рис. 6.3). С другой стороны, при диффузионном движении на
плоскости электрон за время t может оказаться в любой точке об-
области с площадью (x2\ = Dt, где D — коэффициент диффузии. Ве-
Вероятность самопересечения за время t, очевидно, равна отноше-
отношению соответствующих площадей.
Будем считать, что отношение интерференционной добавки
Да к классической проводимости а определяется интегралом по
времени вида
F.26)
Определим верхний и нижний пределы интегрирования в F.26).
Как уже отмечалось, при временах, превышающих время сбоя
фазы, когерентность квантовых состояний разрушается, и поэто-
190

му верхний предел интегрирования определим как i^. С другой
стороны, диффузионный характер устанавливается только при
временах, больших времени упругих столкновений тр, которое
определяет нижний предел. Чтобы учесть все это, технически
удобно ввести под знак интегрирования экспоненциальные мно-
множители, обрезающие интегрирование как на верхнем, так и на
нижнем пределе. В результате получим относительную величину
локализационной поправки к проводимости в двумерном провод-
проводнике:
- я; —
Да<2> , 7,n.vih_exp(_t/ )]ехр__?_]л,
*2 -1пЫ.
F.27)
2п2й ^Тр
Определим теперь величину локализационной поправки к
проводимости в узком проводящем канале, образованном в дву-
двумерной области. Если ширина канала w превышает фазовую дли-
длину когерентности, определяемую как /ф =^/)гф , то стенки канала
не ограничивают движение электрона, и ситуация — чисто дву-
двумерная. Однако если канал настолько узкий, что выполнено нера-
неравенство w«/(p, диффузионное движение в канале будет практи-
практически одномерным, и площадь области, где может оказаться элек-
электрон к моменту t, будет равной w-fDt. Относительную поправку
к классической проводимости теперь запишем в виде интеграла:
,A)
о
..г .
^- = -v^f fw-'^/^ll-expH/Xp^exp №
-1/21 ' F-28>
Оценим с помощью полученных выражений порядок величи-
величины локализационной добавки к проводимости. Из F.27) следует,
что отношение Далок/ст имеет порядок l/(kFlp). Простые оценки
показывают, что в двумерных структурах GaAs- AlGaAs это отно-
отношение составляет доли процента, а в типичных металлах оно еще
191

меньше. В узких каналах, где справедливо неравенство w«/<p, как
следует из F.28), отношение Далок/а значительно больше. Оно
равно — .
Теперь несколько слов о том, как можно наблюдать эффекты
слабой локализации. Классическое сопротивление, как известно,
убывает при понижении температуры, что связано с уменьшением
интенсивности электрон-фононного рассеяния. При очень низ-
низких температурах, когда остается эффективным только рассеяние
на статических примесях и дефектах кристаллической решетки,
сопротивлние выходит на константу. Однако в ID и особенно в
2D проводниках ниже некоторой температуры должен снова на-
наблюдаться рост сопротивления. Такой эффект был обнаружен в
[22], где измерялась температурная зависимость проводящих ка-
каналов различной ширины в двумерном электронном газе. Резуль-
Результаты для трех образцов представлены на рис. 6.4. Видно, что уве-
увеличение сопротивления значительное только для проводника с
минимальной шириной, в котором ситуация ближе к одномерной
и локализация выражена более ярко.
Rw/L,кОм
Рис. 6.4. Зависимость от температуры сопротивления про-
проводящего канала, образованного в двумерном электрон-
электронном газе в структуре GaAs-AlGaAs:
1 — ширина канала w = 0,5 мкм; 2 — ширина канала w = 1,5 мкм;
3 — широкий канал. Длина канала составляла 10 мкм [22]
192

Воздействовать на электронные интерференционные процес-
процессы можно не только путем изменения температуры. В разд. 6.5 бу-
будет показано, что рассеяние в обратном направлении, приводящее
к слабой локализации, можно подавить внешним магнитным по-
полем.
В заключение необходимо обратить внимание на существова-
существование еще одного механизма, порождающего квантовые поправки к
проводимости. Речь идет об электрон-электронном взаимодейст-
взаимодействии в средах со случайным потенциалом. Существенно то, что по-
поправки, связанные с этим механизмом, в случае 2D электронного
газа имеют такую же температурную зависимость, как и поправки,
обусловленные слабой локализацией. В результате их не всегда
легко разделить в эксперименте.
Расчет поправок к проводимости, связанных с электронным
кулоновским взаимодействием, проводится с помощью сложной
диаграммной [23, 24] техники. Воспроизвести его здесь нет воз-
возможности, поэтому лишь отметим, что электрон-электронные
корреляции возникают как бы вследствие дифракции одного
электрона в осциллирующем потенциале, созданном другими
электронами. Такая дифракция будет иметь место только при ус-
условии, что разность энергий взаимодействующих электронов ма-
мала. В том случае, когда температура конечна, характерная разность
энергий имеет порядок квТ и время эффективного взаимодейст-
взаимодействия iT =kBT/h . Если при этом в условиях эксперимента выполне-
выполнено неравенство хт < хф, то обрезание взаимодействия происходит
на временах хт. Соответствующая диффузионная длина опреде-
определится, как lT =(DzT)V2. Если 1Т меньше ширины w проводящего
канала, то реализуется двумерный диффузионный режим, если же
lT>w, то диффузия имеет квазиодномерный характер. Выраже-
Выражения для поправок к классической проводимости, связанных с ме-
межэлектронным взаимодействием, в том и другом случае имеют
следующий вид:
дст0> = _* к., w«iT; F.29а)
ft IV
?> 8 \вХ ,lT«w. F.296)
193

Как показано в [23, 24], константы gx и g2 сложным образом за-
зависят от отношения длины экранирования к фермиевской длине
волны; в типичных условиях эксперимента они положительны и
по порядку величины равны единице.
6.5
Подавление слабой локализации в магнитном поле
Рассмотренный эффект локализации обладает уникально вы-
высокой чувствительностью к магнитному полю. Обсудим механизм
этого явления. В предыдущем разделе было показано, что интер-
интерференция амплитуд двух путей, которые частица проходит в про-
противоположных направлениях, приводит к увеличению вероятно-
вероятности рассеяния назад. В результате возрастает электрическое со-
сопротивление. Покажем теперь, что слабое магнитное поле, нару-
нарушающее симметрию системы по отношению к замене знака вре-
времени, может уменьшить или вообще подавить этот эффект [25].
В отсутствие магнитного поля набег фазы амплитуды вероят-
вероятности АР при движении по траектории Р определяется интегра-
интегралом (см., например, [26])
A<p=-Jp<*. F.30)
Как следствие инвариантности системы по отношению к заме-
замене знака времени, при замене /-»-/ изменяется направление об-
обхода замкнутой траектории При этом импульс р изменяется на
-р, а элемент интегрирования dr на -dr.
Если система находится во внешнем магнитном поле, то инва-
инвариантность к замене знака времени нарушена. Роль кинематиче-
кинематического импульса в этом случае играет величина р—А. Поэтому
с
амплитуда вероятности приобретает дополнительный фазовый
множитель [26]:
где интеграл берется вдоль траектории. Для замкнутого пути до-
дополнительный фазовый множитель можно выразить через маг-
магнитный поток
194

§Adr . F.31)
hc )
Для замкнутой траектории, которая проходится в обратном
направлении, набег фазы изменяет знак. Тогда для двух траекто-
траекторий, которые проходятся в противоположных направлениях, раз-
разность фаз
Афя=—|Adr=— \rot\dS=^- = 4n-^-. F.32)
chJ chJ Ijj ф0
Здесь S — площадь, охватываемая замкнутой траекторией; 1Н —
магнитная длина; ф — магнитный поток через эту площадь;
ф0 = ch/e — квант магнитного потока. Появление разности фаз
двух путей, которые проходятся в противоположных направлени-
направлениях, приводит к разрушению интерференции и, как следствие, к
уменьшению сопротивления.
Замкнутые траектории, для которых разность фаз Д<ря поряд-
порядка единицы или больше, не вносят вклад в слабую локализацию.
Введем характерное время движения по такой траектории %н . Для
этого определим характерную площадь петли, как ЕКН, прирав-
приравняем ее к ijf и найдем тя =/#//). Магнитное поле, которое суще-
существенно изменяет величину слабой локализации, можно оценить,
приравняв время хн к введенному ранее времени сбоя фазы тф. В
результате получим
„ ch ch
нс=-
Полагая /ф = 1 мкм, найдем Нс =60 Э. Для грубой оценки влияния
магнитного поля на эффект слабой локализации достаточно в вы-
выражении F.27) заменить время г^ на хн .
Ниже приведено строгое выражение для изменения классиче-
классического кондактанса в магнитном поле, которое было получено с ис-
использованием диаграммной техники в [25, 26]. Для двух измере-
измерений, когда ширина канала удовлетворяет условию w»/,,,, имеем
5G(#)-6G@) = -^-4-
195

где Ч* — диаграмма-функция. Нетрудно убедиться, воспользовав-
воспользовавшись асимптотическим выражением для Ч'(х) при х »1, что при
Н -»0 выражение F.33) переходит в F.27).
Локализационные поправки к проводимости в узком, квазиод-
квазиодномерном канале, где w«lv, впервые были рассчитаны Альтшу-
лером и Ароновым в [28]. Они рассмотрели случай, когда упругая
длина свободного пробега меньше, чем ширина канала, так что
рассеяние на стенках несущественно и движение носит характер
диффузии (приближение грязного проводника). Поскольку замк-
замкнутые траектории, которые ответственны за локализацию, как бы
зажаты внутри канала, а длина локализации больше ширины ка-
канала, эффективная площадь S = w(Dx4,L2. Из условия S^ljf, ко-
которое согласно F.32) обеспечивает сдвиг фазы на единицу, най-
найдем характерное время xH'=l]I/Dv^ и магнитное по-
поле Hc~ti/($wly), которые характеризуют эффект подавления сла-
слабой локализации в одномерном канале. Отсылая читателя к ори-
оригинальной работе [28], приведем здесь без вывода аналитическое
выражение для поправки к одномерной проводимости в магнит-
магнитном поле:
Напомним, что формула F.34) справедлива при выполнении
условий 1^,1 н » w » /р.
На рис. 6.5, а, б представлены результаты измерений магнито-
сопротивления в широком и узком проводящих каналах, образо-
образованных в двумерном электронном газе на гетерогранице GaAs-
AlGaAs [29]. По вертикальной оси отложена величина
AR/R = [R@)-R(H)]/R@). Тот факт, что Д/?>0, свидетельствует
об уменьшении сопротивления в магнитном поле, т.е. о подавле-
подавлении слабой локализации. Кривые на рис. 6.5 построены с помо-
помощью аналитических выражений F.33) и F.34), в которых парамет-
параметры w и /<р подбирались так, чтобы достичь наилучшего согласия
теории и эксперимента. Видно, что с понижением температуры
эффект усиливается, что связано с возрастанием длины сбоя фазы
/ф. Наибольшее изменение сопротивления в широком канале не
196

превышало 6%. При полной проводимости образца 7-КИОм
это составляло около 40 мкОм, что приблизительно равно e2/h.
Следует подчеркнуть, что измерения проводились в очень сла-
слабых магнитных полях — не более 140 Гс, так что условия магнит-
магнитного квантования A.59) и A.60) не были выполнены.
ДЛ/Л, %
140 Я, кЭ
Рис. 6.5. Отрицательное магнитосопротивление,
связанное с подавлением слабой локализации: а —
в широком двумерном канале; б — в узком одно-
одномерном канале. Поверхностная концентрация
электронов
1,6-10" см;
подвижность
= 27000cmV(Bc) [29]
Масштаб магнитных полей, на которых происходит умень-
уменьшение сопротивления в ID проводнике, несколько больше,
чем в 2D проводнике. Это естественно, так как величина Нс в
одномерной ситуации превосходит Нс в двумерной ситуации в
/ф /w раз. При /ф = 10^* см и w = 40 нм значение характерного по-
поля #с=й/(|е)м>/ф) =
197

Отрицательное магнитосопротивление наблюдалось не только
в структурах GaAs-AlGaAs. В [30, 31] подавление слабой локализа-
локализации магнитным полем было обнаружено также в тонких слоях
кремния.
В режиме чистого металла, когда длина свободного пробега
превышает ширину канала (и>«/р), при расчетах магнитосопро-
тивления необходимо учитывать рассеяние на границах. Впервые
это было сделано в [32], где рассматривалось магнитосопротивле-
магнитосопротивление тонкой пленки в магнитном поле, параллельном ее поверхно-
поверхности.
В заключение еще раз подчеркнем, что хотя эффект подавле-
подавления слабой локализации не слишком велик, он интересен тем, что
в отличие от многих других транспортных явлений не связан с
временем релаксации импульса, а определяется временем (или
длиной) релаксации фазы.
6.6
Универсальные флуктуации кондактанса
6.6.1. Флуктуации при Т=0
В мезоскопике с квантовой природой электронов связана не
только слабая локализация, следствием которой является умень-
уменьшение кондактанса. Не менее интересный квантовый эффект со-
состоит в том, что кондактанс проводников, имеющих размеры ме-
зоскопического масштаба, существенно зависит от положения ка-
каждого рассеивающего центра. При перемещении любого примес-
примесного атома на расстояние порядка электронной длины волны фа-
фазовые соотношения для интерферирующих волн, а с ними и кон-
кондактанс изменяются случайным образом. Покажем, что амплитуда
флуктуации кондактанса не зависит от размеров образца и кон-
концентрации примесей и величина ее всегда порядка 2el/h. Конеч-
Конечно, непосредственно наблюдать такие универсальные флуктуации
кондактанса невозможно, поскольку экспериментаторы еще не
научились фиксировать положение каждого примесного атома
или дефекта. Однако их можно видеть в одном образце, изменяя
внешнее магнитное поле или концентрацию электронов. В том и
другом случае нарушаются фазовые соотношения для волн, рас-
рассеивающихся на дефектах, что эквивалентно изменению коорди-
координат рассеивающих центров.
198

Теория универсальных флуктуации кондактанса в мезоскопи-
ческих структурах была построена в работах Альтшулера [33], а
также Ли и Стоуна [34]. В этой теории используется сложная диа-
диаграммная техника, которую рассмотреть здесь подробно нет воз-
возможности (для предварительного знакомства с этой теорией мож-
можно рекомендовать [2]). Вместо этого основные результаты теории
универсальных флуктуации можно получить из простых, но не
очень строгих соображений, высказанных в [35].
Запишем формулу Ландауэра F.10) в виде
2е2 2е2
G = =^-D = =^-(N-R). F.35)
п п
Здесь N — число поперечных мод или одномерных подзон с
энергией меньше фермиевской; D — полная прозрачность; R —
полный коэффициент отражения. Величины D и R можно пред-
представить в виде сумм по всем модам, распространяющимся в про-
проводящем канале:
. F.36)
Индексы аир нумеруют различные моды.
Главная задача теории универсальных флуктуации состоит в
вычислении средней квадратичной флуктуации или дисперсии
кондактанса J\&G2\ для образцов с различной конфигурацией
рассеивающих центров, где
) (JF.37)
Здесь скобки ( ) означают усреднение по различным конфигура-
конфигурациям примесных атомов. В дальнейшем нам будет удобно рас-
рассматривать безразмерный кондактанс
Записав безразмерный средний и среднеквадратичный кон-
дактансы как (g) = N-(R) и (g2} = N2 -2N(R)+(r2\ , с помощью
определения F.37) найдем /8^2\=/б
199

Теперь нам предстоит вычислить флуктуации полного коэф-
коэффициента отражения R, который согласно F.36) есть сумма N2
слагаемых. Предположив, что все слагаемые R^ в F.36) не корре-
лированы, можем записать
R2) = N2(bRlp). <6-39>
Представим вероятность отражения из моды а в моду ($ как
2
^АР .В этой формуле суммирование идет по всем путям
р
Р, стартующим с моды а и оканчивающимся на моде Р, т.е.
можно сказать, что данный феймановский интеграл записан в мо-
довом представлении. Предположив, что фазы различных ампли-
амплитуд случайны, имеем
рр
для средней амплитуды и
>2
Ар Ар> Ар* Ар*
рр-р-р-
для среднеквадратичной. В результате для среднеквадратичной
флуктуации коэффициента отражения получим
F.40)
Оценим теперь средний коэффициент отражения {R,^) ¦ Для
этого воспользуемся классическим определением кондактанса
проводящего канала, имеющего длину L и ширину w:
g=IT~!2L=T1ln ' F>41)
где правая часть выражена через число поперечных мод
N=kFw/%. Сопоставляя далее F.41) с формулой Ландауэра, най-
найдем (Dap}=Klp/BNL). И, наконец, учитывая связь ^Dap = N-
<хр
~Х^°Ф ' "ОЛУ41™ следующую оценку.
ар
200

где С — безразмерный коэффициент порядка единицы. Подстав-
Подставляя полученный результат в F.40) и комбинируя F.39) и F.38),
получим окончательно для дисперсии безразмерного кондактан-
са:
1. F.42)
Возвращаясь к размерным величинам, находим, что независимо
от размеров образца и его химического состава флуктуации кон-
дактанса G имеют универсальное значение, равное по порядку
величины 2e2/h.
В случае приближенного рассмотрения при записи F.39) мы
предположили, что коэффициенты отражения ^ для различных
пар входящих и выходящих каналов а,р не коррелированы. В то
же время можно показать, что, предположив отсутствие корреля-
корреляции между коэффициентами прохождения Da^, мы получим ре-
результат, отличающийся от F.42). Возникает вопрос: какое из этих
предположений более оправдано? Для ответа на него необходимо
учесть, что пути, по которым электроны проходят через весь обра-
образец, более длинные, чем пути, по которым движутся отражающие-
отражающиеся электроны. Поэтому электроны, проходящие через весь обра-
образец, испытывают большее число актов рассеяния, чем отражен-
отраженные. Резонно предположить, что поскольку отражение назад свя-
связано с небольшим числом рассеяний, вероятности отражения для
различных пар входящих и выходящих каналов R^ не коррелиро-
коррелированы. Строгий расчет, основанный на диаграммной технике, под-
подтверждает это предположение.
6.6.2. Конечные температуры
До сих пор мы предполагали, что температура равна нулю и
фазовая когерентность сохраняется на всей длине образца. Ясно,
что при Т*0, когда длина фазовой когерентности /<p=(i)t<pI/2
имеет конечное значение, флуктуации должны быть меньше
2e2/h. Подробная теория флуктуации кондактанса при конечных
температурах была развита в работах [36,37]. Здесь мы ограничим-
201

ся изложением простых качественных соображений, которые по-
позволяют, однако, получить правильную по порядку величины
оценку 5 G(T).
Будем считать, что длина образца L во много раз превосходит
фазовую длину когерентности, а его ширина w меньше, чем /ф,
т.е. реализуется одномерный режим. Разделим мысленно такой
образец на N = L/l^ последовательно соединенных участков дли-
длиной /ф. Напомним, что величина флуктуации безразмерного кон-
кондактанса отдельного участка согласно F.42) имеет порядок едини-
единицы. Обозначим сопротивление одного участка как R=1/g, а флук-
флуктуацию сопротивления запишем как
8R=8(l/g)=8g/g2 . F.43)
Сопротивление всего образца будет в N раз больше: RN = NR, а
флуктуация сопротивления в 4~N раз больше флуктуации одного
участка:
8RN=yfN^. F.44)
Представив аналогично F.43) флуктуацию полного безразмер-
безразмерного кондактанса в виде 8gN = gjf8RN и воспользовавшись F.44),
найдем
8gN=8g/N3/2. F.45)
Соответственно для размерного кондактанса получим
Найденная зависимость говорит о том, что с ростом температуры, ко-
когда длина когерентности /,,, уменьшается, флуктуации кондактанса
длинного квазиодномерного образца должны резко ослабевать.
При 7V0 существует еще один механизм ослабления универ-
универсальных флуктуации кондактанса. Поясним его кратко. Два ин-
интерферирующих фейнмановских пути с энергиями, различающи-
различающимися на 8Е, должны рассматриваться как некоррелирующие, ес-
если разность фаз, приобретенная за время х\, превышает единицу:
F.47)
202

За это время диффундирующий электрон пройдет расстояние
Ll=(Dzlf2 =(hD/8E)lf2. Поскольку при конечных температурах
ток переносится электронами из энергетического интервала квТ
вблизи энергии Ферми, то соответствующая тепловая длина
Предположим, что длина фазовой когерентности /,,, превыша-
превышает 1Т. Тогда мы можем считать, что существует несколько энерге-
энергетических интервалов шириной h/x^ , между которыми корреляция
отсутствует. Всего в интервале квТ существует N = kBTJ{hfx^) =
= 1Ц 1т таких независимых каналов. Как следствие, флуктуации
кондактанса, определяемые F.46), должны уменьшиться в Nl/2
раз. Окончательное выражение, справедливое при выполнении
условий /,,,»lTw, имеет вид
2е2 /г/1/2
F-48)
Строгая теория, построенная в [38], дает результат, отличающийся
от F.48) на численный множитель порядка единицы.
Флуктуации кондактанса в проводниках, имеющих мезоско-
пические размеры, можно исследовать экспериментально. Для
этого необязательно изменять относительное расположение рас-
рассеивающих центров. Согласно «эргодической гипотезе», выска-
высказанной и подтверждаемой с помощью численного моделирования
в [39], флуктуации Л(? не зависят от того, изменяется ли располо-
расположение примесей, внешнее магнитное поле или фермиевская дли-
длина волны. Дело в том, что если величина е^ или амплитуда маг-
магнитного поля изменяются мало, то физические параметры образ-
образца остаются прежними, а изменяются только фазовые соотноше-
соотношения для различных фейнмановских траекторий.
Результаты эксперимента [40], при котором наблюдались
флуктуации сопротивления инверсионного слоя Si в изменяю-
изменяющемся магнитном поле, представлены на рис. 6.6. Мы видим, что
в слабых магнитных полях сопротивление резко падает (отрица-
(отрицательное магнитосопротивление). Это связано с подавлением сла-
слабой локализации. Затем по мере увеличения магнитного поля
кондактанс меняется случайным образом. Как установлено в [40],
отрицательное магнитосопротивление наблюдается только в
203

длинных образцах L»Iv,b них амплитуда флуктуации, невелика.
В коротких образцах, напротив, флуктуации кондактанса возрас-
возрастают, что соответствует формуле F.46).
49 кОм-.
85 кОм—Й.
303 кОм— V
V
\ »
112кОм
^^Vi/A. I
|129кОм
Т144кОм
T
#"*
1
= 0,14К
II
ш
0 10 20
Рис.6.6. Универсальные флуктуации сопротивления, воз-
возникающие при изменении магнитного поля в инверсион-
инверсионном слое на поверхности Si и при различных напряжени-
напряжениях на затворе: кривая /— 797 В; II— 600 В; III— 303 В [40J
Отметим здесь также работы [41, 42], в которых флуктуации
кондактанса наблюдались в тонких проводящих каналах в 2D
электронном газе на гетропереходе GaAs- AlGaAs.
Как правило, мезоскопические эффекты наблюдаются в образцах
с размерами, не превышающими несколько микрон при температу-
температурах не выше 0,1 К. Однако они представляют интерес не только с точ-
точки зрения фундаментальной физики. Эти эффекты накладывают ес-
естественные ограничения на пределы миниатюризации электронных
приборов. Как было показано, характер мезоскопических флуктуа-
флуктуации кондактанса таков, что становится невозможным рассчитать и
производить элементы с заданными свойствами.
Литература
1. LandauerR. IBM J. Res. Dev. 32, 306,1988.
2. LandauerR. Physica Scripta. T42,110, 1992.
3. Шарвин Ю.В. ЖЭТФ. 48,984,1965.
4. Wees B.J. van, Houten H. van, Beenaker С W.J. et al. Phys. Rev. Lett. 60,
848, 1988.
204

5. Wharam D.A., Thornton T.J., NewburyR. etal. J. Phys. 21, L209,1988.
6. Houten van. In book Physics and Technology of Submicron Structures.
Springer —Verlag, 1988.
7. Глазман Л.И., Лесовик Г.Б., Хмельницкий Д.Е., Шехтер Р.И. Письма
вЖЭТФ.48,218, 1988.
8. YacobyA., Imry Y. Phys. Rev. В 41, 5341,1990.
9. Левтсон КБ. Письма в ЖЭТФ. 48, 273,1988.
10. SzaferA., Stone A.D. Phys. Rev. Lett. 62,300,1989.
11. Wees B.J. van et al. Phys. Rev. В 40, 2793,1989.
12. LandauerR. Phil. Mag. 21, 863,1970.
13. TaulessDJ. Phys. Rev. Lett. 39,1167,1977.
14. ButtikerM. IBM J. Res. Dev. 32,317,1988.
15. ButtikerM. IBM J. Res. Dev.
16. Wees B.J. van etal. Phys. Rev. В 43,1243,1991.
17. Anderson P.W. Phys. Rev. 109,1992,1958.
18. Горькое Л.П., ЛаркинА.И., Хмельницкий Д.Е. Письма в ЖЭТФ. 30,
248,1989.
19. Anderson P.W., Abrahams К, Ramakrishnan T.V. Phys. Rev. Lett. 43,
718,1979.
20. ЛаркинАЖ, Хмельницкий Д.Е. УФН. 136, 536,1982.
21. Chakravarty S., SchmidA. Phys. Rep. 140,193,1986.
22. Houten H. van etal. Appl. Phys. Lett. 49,1781,1986.
23. AltshulerB.L, AronovA.G., LeeP.A. Phys. Rev. Lett. 44,1288, 1980.
24. Fukuyama H. J. Phys. Soc. Jap. 48,2169,1980.
25. AltshulerB.L, Khmelnitsky D.E., Larkin A.I., Lee PA. Phys. Rev. В 20,
5142,1980.
26. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физи-
физике. М.: Мир, 1967.
27. HikamiS., Larkin A.I., Nugaoka Y. Prog. Teor. Phys. 63,707,1980.
28. Альтшулер Б.Л., Аронов А.Г. Письма в ЖЭТФ. 3,515,1980.
29. ChoiK.K. etal. Phys. Rev. В 36,775, 1987.
30. Dean C.C., PepperM. J. Phys. С15, LI287,1982.
31. WheelerR.G. etal. Phys. Rev. Lett. 49,1674, 1982.
32. ДугаевВ.К., Хмельницкий Д.Е. ЖЭТФ. 86,1784,1984.
33. Альтшулер Б.Л. Письма в ЖЭТФ. 41, 530,1985.
34. Lee PA., Stone A.D. Phys. Rev. Lett. 55,1622,1985.
35. Lee PA. Physica. 140A, 169,1986.
36. Альтшулер Б.А., Хмельницкий Д.Е. Письма в ЖЭТФ. 42, 291,1985.
37. Lee P.A., Stone A.D., Fukuyama H. Phys. Rev. В 35,1039,1987.
38. Beenaker С. W.J., Houten H. van. Phys. Rev. В 37,6544, 1988.
39. Lee P.A., Stone D., Fukuyama H. Phys. Rev. В 35,1039,1987.
40. LiciniJ.C. etal. Phys. Rev. Lett. 55,2987,1985.
41. Thornton T.J. etal. Phys. Rev.В 36,4514,1987.
42. Houten H. van et al. Superlatticts and Microstructures. 3,497,1987.
205

ГЛАВА7
КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
7.1
Общие сведения
Экспериментальное открытие в 80-х годах
квантового эффекта Холла стало одним из наибо-
наиболее ярких событий в физике за последние два де-
десятилетия. Это открытие стимулировало появле-
появление ряда теоретических работ, существенно изме-
изменивших наши представления об электронных
процессах в конденсированных средах. В работе
фон Клитцинга, Пеппера и Дорды [1], опублико-
опубликованной в 1980 г., было доказано, что холловская
(недиагональная) проводимость двумерного элек-
электронного газа не зависит от параметров материа-
материала, геометрии образца и температуры и всегда
кратна комбинации мировых констант, имею-
имеющей размерность обратного сопротивления
e2/h. G.1)
Здесь е — заряд электрона, А — постоянная
Планка. В то же время в условиях наблюдения
квантового эффекта Холла диссипативная прово-
проводимость обращается в нуль. Точность, с которой
выполняется закон квантования G.1), оказалась
необычно высокой.
Еще более удивительным стало открытие в
1982 г. дробного квантового эффекта Холла. Цуи,
Штермер и Госсард [2] установили, что в гетерост-
руктурах с очень высокой подвижностью носите-
носителей холловская проводимость может быть равна
дробному значению кванта проводимости e2/h.
Точнее, в [2] была обнаружена аномалия проводи-
проводимости в точке е2/ЗН, соответствующей магнитно-
магнитному полю, при котором нижний уровень Ландау за-
заполнен на одну треть. Позднее особенности не-
206

диагональной проводимости наблюдались при различных дроб-
дробных значениях фактора заполнения основного уровня Ландау
v = p/q, где р и q — целые числа, причем знаменатель дроби q
является нечетным числом.
Несмотря на то, что целочисленный квантовый эффект Холла
и дробный эффект Холла по своим внешним проявлениям очень
похожи друг на друга, их физическая природа совершенно различ-
различна. Если целочисленный эффект Холла можно объяснить в рамках
приближения невзаимодействующих электронов, то дробное
квантование, как мы увидим,— многоэлектронное явление. Здесь
определяющую роль играет кулоновское отталкивание — электро-
электроны на частично заполненном уровне Ландау находятся в состоя-
состоянии сильнокоррелированной жидкости. Элементарные возбужде-
возбуждения этой жидкости несут дробный заряд [3] и обладают необыч-
необычной статистикой, отличающейся как от статистики Ферми—Дира-
Ферми—Дирака, так и от статистики Бозе—Эйнштейна [4].
7.2
Гальваномагнитные явления в слабом магнитном поле
В начале рассмотрим простой метод расчета магнитосопротив-
ления двумерной системы в слабых (неквантующих) магнитных
полях. Действуя в рамках элементарной теории Друде, приравня-
приравняем силу Лоренца, действующую на электрон, к скорости измене-
изменения импульса за счет упругих соударений:
G.2)
где \d — дрейфовая скорость электрона с компонентами vx и v,,;
тр — время релаксации импульса; Е — вектор напряженности
электрического поля, лежащий в плоскости х,у; Н — вектор на-
напряженности магнитного поля, направленный по оси z ¦ В декар-
декартовых координатах это уравнение можно записать так:
Г/и/(егр) -Н/с
[ Н/с т/(етр)
Вводя плотность тока j = ens\d, где ns — поверхностная плот-
плотность электронов, и друдевскую проводимость a = nse2xp/m, пе-
перепишем G.3) в следующей форме
207
G.3)

Г a -H/(nsec)
{H/(nsec) а-1
и тем самым определим компоненты двумерного тензора сопро-
сопротивления, связывающего компоненты тока и электрического по-
поля: Е( = pikjk. Согласно G.4), для компонент этого тензора имеем
выражения
Рхх=Руу=<*~1 > Pxy=-Pyx = H/nsec . G.5)
Одновременно запишем компоненты тензора удельной проводи-
проводимости, обратного тензору сопротивления:
Рхх+Рху Рхх+Рху
Из G.5) мы видим, что в рассматриваемой элементарной модели
продольное сопротивление не зависит от магнитного поля, а выраже-
выражение для холловской компоненты не содержит электронного времени
релаксации. Эксперименты, в которых измеряются компоненеты
тензора сопротивления в присутствии магнитного поля, широко рас-
распространены в физике полупроводников. Дело в том, что они позво-
позволяют определить сразу две важные характеристики материала — элек-
электронную концентрацию «у и подвижность ц=етр//й.
В холловских экспериментах обычно используются длинные
образцы прямоугольной формы (холловские мостики) (рис. 7.1).
Геометрические размеры исследуемого образца показаны на ри-
рисунке. Магнитное поле перпендикулярно поверхности проводни-
проводника. Постоянный ток течет вдоль оси образца между истоком (ле-
(левым контактом) и стоком (правым контактом). В эксперименте
величина тока обычно фиксируется. Контакты для измерения на-
напряжения расположены по краям образца. Холловское напряже-
напряжение VH измеряется между контактами, находящимися на проти-
противоположных гранях, а продольное напряжение — между потенци-
потенциальными контактами, расположенными на одной границе образ-
образца. Холловское сопротивление RH и одновременно недиагональ-
недиагональная компонента р^, определяются как отношение холловского
напряжения к холловскому току RH=Vff/I = Ewf(jw) = pxy. Зная
продольное напряжение VL, можно определить продольное со-
сопротивление RL и компоненту р^: RL=VLIJ=pxxLlw.
208

Рис. 7.1. Электрическая схема для измерения холловского VH и продольного VL
напряжений
Следовательно, величина RL зависит от геометрических раз-
размеров образца. Заметим, что в случае двух измерений, который бу-
будет рассматриваться в дальнейшем, полное сопротивление и
удельное сопротивление имеют одинаковые размерности.
7.3
Условия эксперимента
Обсудим условия, в которых обычно проводится эксперимент.
Квантовый эффект Холла наблюдается в 2D электрорнном газе,
находящемся в инверсионном слое около границы «полупровод-
«полупроводник—диэлектрик» либо вблизи границы гетероперехода. Как пра-
правило, бывает заполнена только первая подзона размерного кван-
квантования. Квантующее магнитное поле всегда направлено перпен-
перпендикулярно к плоскости, в которой находится двумерный элек-
электронный газ. Наилучшие результаты достигнуты в системе GaAs-
AlGaAs с высокой подвижностью (см., например, [9]). Если цело-
целочисленный квантовый эффект Холла наблюдается при температу-
температурах порядка 1 К, то для наблюдения дробного квантового эффекта
Холла необходимы температуры, лежащие в области милликель-
винов.
В холловских экспериментах наблюдаются два различных по
природе явления — осцилляции продольного сопротивления и
появление широких плато (или ступеней) на кривых, описываю-
209

-200
100 -
50-
Н 10~4 Э
5 Ю 15
Рис. 7.2. Зависимость холловского напряжения VH (кривая а) и продольного на-
напряжения VL (кривая в) от магнитного поля для гетероструктуры GaAs-AlGaAs
[10] Ток в цепи исток—сток/ = 10 мкА, температура Т= 1,6 К
щих зависимость недиагональной компоненты тензора сопротив-
сопротивления от величины магнитного поля. Это иллюстрирует рис 7.2,
где представлена зависимость непосредственно измеряемых на-
напряжений VH и VL от напряженности магнитного поля. Поле
здесь играет роль параметра, определяющего степень заполнения
уровней Ландау. Видно, что в слабых полях напряжение на хол-
ловских контактах, а с ним и холловское сопротивление растут, в
соответствии с G.5), пропорционально Н . Продольное напряже-
напряжение в этой области постоянно, а продольное сопротивление такое
же, как и в нулевом магнитном поле. В области квантующих маг-
магнитных полей картина качественно изменяется. На кривой
VH(H) появляется ряд горизонтальных участков или плато, где
значение холловского сопротивления
1 кОм.
G.7)
Здесь / — число полностью заполненных уровней Ландау, при-
причем речь идет об уровнях, не вырожденных по спину. В области
210

магнитных полей, соответствующих плато, продольное сопротив-
сопротивление сильно уменьшается. По порядку величины диагональная
компонента рта в этой области значительно меньше удельного со-
сопротивления любого несверхпроводящего материала. На рис. 7.2
видны также максимумы продольного сопротивления, которые
расположены в переходной области от одного плато к другому.
Как уже отмечалось выше, квантовый эффект Холла наблю-
наблюдался в различных структурах с двумерным электронным газом. В
оригинальной работе фон Клитцинга и др. [1] эффект был обнару-
обнаружен в инверсионном слое на поверхности кремния (см. также
[10]). Позже квантовый эффект Холла наблюдался в гетерострук-
турах GaAs-AlGaAs [10—12], в двойной гетероструктуре GaSb-
InAs-GaSb [13], в гетероструктуре GaAs-AlGaAs с носителями р-
типа [14] и др. В серии работ [15,16] квантовый эффект Холла на-
наблюдался в структурах Ge/Si. Достаточно полные обзоры экспери-
экспериментальных исследований целочисленного и дробного квантовых
эффектов Холла даны в статьях Кэйджа и Чэнга [5].
Осцилляции продольного сопротивления, а также плато
функции RH(H) нельзя объяснить, оставаясь в рамках класси-
классической теории гальваномагнитных явлений, поскольку они
имеют квантовую природу. Происхождение осцилляции про-
продольного сопротивления понять нетрудно. Это известные ос-
осцилляции Шубникова—де Гааза, связанные с изменением чис-
числа заполненных уровней Ландау. Величину и период таких ос-
осцилляции можно рассчитать с помощью простой теории возму-
возмущений [17]. Не вдаваясь в детали расчета, обсудим здесь только
механизм этого явления.
Осцилляции Шубникова—де Гааза связаны с влиянием маг-
магнитного поля на величину электронного времени релаксации. Ес-
Если рассматривать модель, в которой рассеяние электронов проис-
происходит на короткодействующем потенциале, то уже простое бор-
новское приближение даст следующее выражение для частоты
электронных столкновений или обратного времени релаксации:
т-^рСЕ^ад, G.8)
п
где p(EF) — электронная плотность состояний на уровне Ферми,
N, — концентрация рассеивателей, Ко — амплитуда рассеиваю-
рассеивающего потенциала. Тогда продольное сопротивление также окажет-
окажется пропорциональным плотности состояний:
211

V G-9)
nsel
Как было показано в 1.2.8 [см. A.63)], плотность состояний
двумерного электронного газа в магнитном поле представляет со-
собой последовательность 8 -образных пиков, расстояние между ко-
которыми равно йюс. Поэтому всякий раз, когда при изменении
магнитного поля магнитный уровень совпадает с уровнем Ферми,
вероятность рассеяния, а с ней и сопротивление будут максималь-
максимальными. В том случае, когда уровень Ферми лежит между уровнями
Ландау, продольное сопротивление минимальное. Нетрудно убе-
убедиться, что эти осцилляции периодичны по обратному магнитно-
магнитному полю Н~1, причем период осцилляции Д — = —, где g —
[Н) h ns
кратность долинного вырождения. Механизм образования хол-
ловских ступенек более сложный. Мы посвятим следующий раз-
раздел выяснению их природы и расчету величины холловского со-
сопротивления Яц(Н) на плато, а сейчас обсудим некоторые метро-
метрологические аспекты открытия целочисленного эффекта Холла.
Как уже отмечалось выше, холловское сопротивление с пора-
поразительно высокой точностью (до 10~7) было одинаковым в раз-
различных образцах. Это обстоятельство произвело революцию в из-
измерении электрических величин. Оказалось, что измерение кван-
кванта холловского сопротивления на плато позволяет создать эталон
ома [18]. В то же время, если задан эталон ома, абсолютное изме-
измерение отношения e2/h позволяет определить другую фундамен-
фундаментальную константу — постоянную тонкой структуры а=е2/(йс),
поскольку скорость света с известна с очень высокой точностью.
Постоянная тонкой структуры а определяет интенсивность элек-
электромагнитного взаимодействия, в том числе многочисленные тон-
тонкие эффекты квантовой электродинамики. Точно определенное
значение постоянной тонкой структуры, с одной стороны, позво-
позволит проверить многие теоретические предсказания квантовой
электродинамики, а с другой — повысить точность определения
ряда других фундаментальных констант.
В гл. 6 было отмечено, что квант проводимости e2/h фигури-
фигурирует и в теории других эффектов, например через эту величину
выражается проводимость двумерных каналов или величина уни-
универсальных фуктуаций кондактанса. Однако из-за процессов ре-
212

лаксации электронного импульса точность определения кванта
e2jh из проводимости баллистических каналов не превышает не-
нескольких процентов. По-видимому, только квантовый эффект
Холла прозволяет измерить значение этой величины с большой
точностью, которая не связана с использованием очень чистых об-
образцов, обладающих совершенной кристаллической структурой.
Причина столь высокой точности — в самой природе эффекта.
7.4
Вычисление холловского тока
В настоящем разделе будет произведен расчет холловского со-
сопротивления в скрещенных электрическом и магнитном полях в
проводнике, содержащем рассеивающий потенциал. Сначала бу-
будет показано, что в идеальном проводнике холловское сопротив-
сопротивление электронного газа на полностью заполненном уровне Лан-
Ландау строго равно h/e2. Затем мы учтем влияние дефектов, кото-
которые, во-первых, создают примесные состояния, а, во-вторых, из-
изменяют ток, переносимый делокализованными состояниями. Ло-
Локализованные состояния, очевидно, не могут переносить ток, но
несмотря на это в их присутствии ток остается таким же, как в
идеальном проводнике. Дело в том, что ток оставшихся делокали-
зованных состояний в присутствии примесей возрастает так, что
это полностью компенсирует уменьшение тока, связанное с обра-
образованием локализованных состояний.
Таким образом, будет показано, что изолированные дефекты не
нарушают закон квантования холловского сопротивления, тогда как
в отсутствии магнитного поля такие дефекты вызвали бы двумерную
локализацию. В результате в неидеальном проводнике, как и в иде-
идеальном, холловское сопротивление оказывается точно кратным
h/e2. Этот результат и был впервые установлен экспериментально
фон Клитцингом и др. [1]. При проведении расчетов будем следовать
в основном работам Пренджа [19,20].
Сделаем следующие предположения о характере рассеивающего
потенциала: будем считать,что он не является столь слабым, что час-
частота столкновений меньше сос и уровни Ландау хорошо определены,
но существуют области, где этот потенциал строго равен нулю. Разме-
Размеры таких областей должны быть больше, чем магнитная длина /я. За-
Запишем гамильтониан двумерных электронов в следующем виде:
213

2 [ - еНх
Рх+\Ру-—Г
- eEx+Un
G.10)
В гамильтониане G.10) учтено не только магнитное поле, направ-
направленное по оси z, но и электрическое поле, ориентированное по
оси х, а также рассеивающий потенциал.
Кроме того, гамильтониан G.10), зависит от компоненты век-
векторного потенциала Ау, не связанной с постоянным магнитным
полем Н понадобится нам при вычислении тока. Мы увидим, что
изменение Ау приводит к сдвигу центров волновых функций, а
также к изменению энергии делокализованных состояний. В от-
отсутствие рассеяния (Up =0) собственные функции G.10) выглядят
следующим образом:
py +-Ay
%(х-х0). G.11)
Здесь, как и в отсутствие электрического поля, ^„(x-Xq) — собст-
собственная функция гармонического осциллятора, однако положение
центра осцилляции зависит теперь и от напряженности электри-
электрического поля Е и задается
еру пгс2Е.
G.12)
величина ?>, определяет размер по у. Собственные значения энер-
энергии, отсчитанные от значения
2 Н
, могут быть записаны как
<Ч='
где и=0,1,2,..., или
G.13)
G.13а)
Из G.13) следует, что электрическое поле снимает вырожде-
вырождение по квантовому числу ру, которое имеет место в магнитном
214

поле, и уровни Ландау превращаются в зоны, в которых энергия
пробегает все значения в интервалах
<г„Ру <h<s>c(n + \l2) + eExf™, G.14)
где Xq11" и хЦР™ — минимальное и максимальное значение коор-
координаты х.
Потребуем, чтобы волновая функция G.11) удовлетворяла
циклическим граничным условиям по оси у: у(х,у)=у(х,у+Ьу),
а центр осцилляции находился в интервале 0<x<Lx, где LX —
размер образца по оси jc . Тогда проекция импульса ру будет при-
принимать следующие значения:
py=——s—Ay, G.15)
ьу с
где 5 — целое число. Согласно G.15), каждому значению s соот-
соответствует значение импульса ру, определяющее положение цен-
центра осцилляции. Значит, числа s естественным образом нумеруют
состояния в соответствии с их положением по х.
Известно, что при градиентном преобразовании Ay = Ay+Vf,
где / — скалярная функция, волновая функция преобразуется по
закону
При градиентном преобразовании А'у = Ау+ААу имеем
2nAAvy
= ехр
где ф0 — квант магнитного потока. Тогда из G.16) и G.15) следует,
что при изменении векторного потенциала на величину
ААу = фо/iLy центры осцилляции х0 квантовых состояний с фик-
фиксированным * смещаются так, что состояние с номером 5 пре-
превращается в состояние с номером s+1.
Для определения тока воспользуемся известным выражением
- дН
Jy=c
ЪАу
215

Среднее значение производной по параметру эрмитовского опе-
оператора Я в состоянии \ра вычислим, приравняв ее к производной
от собственного значения этого оператора (теорема Гелл-Мана—
Фейнмана)
<уа|эЯ/Ц,|\|/а> = деа/дАу . G.17)
Теперь без особого труда можно вьиислить ток в отсутствие рас-
рассеяния. Для этого, воспользовавшись соотношением G.15), уста-
устанавливающим связь между ру, Ау и выражением G.13а), выпол-
выполним дифференцирование в правой части G.17) по Ау и с помо-
помощью G.16) найдем ток в одноэлектронном состоянии G.11):
jT=~^=evd. G.18)
Полученный результат имеет простой физический смысл — в
скрещенных электрическом и магнитном полях все электроны
движутся с одинаковой скоростью дрейфа vd =-cE/H вдоль оси
у. Ток электронов одного полностью заполненного уровня Лан-
Ландау найдем, умножив G.18) на кратность вырождения одного
уровня Ландау, определяемую формулой A.45):
Этот результат определяет значение холловской проводимости
электронов одного не вырожденного по спину уровня Ландау и
находится в полном соответствии с G.1).
Приступим теперь к вычислению тока в неидеальном провод-
проводнике, т.е. в присутствии рассеивающего потенциала. Предвари-
Предварительно необходимо сделать следующие важные замечания о харак-
характере рассеяния электронов в скрещенных электрическом и маг-
магнитном полях. Пусть из состояний \fnp , определяемых G.11),
приготовлен волновой пакет, который локализован в направле-
направлении электрического поля х и вытянут вдоль у. Такой пакет будет
двигаться в направлении оси у с групповой скоростью
vd =-cE/H без дисперсии. Убедимся, что рассеяние пакета воз-
возможно только вперед.
Действительно, пакет, налетающий с одной стороны на рас-
сеиватель, находящийся далеко от границы проводника, по исте-
216

а)
б)
чении достаточно большого
времени окажется далеко по
другую сторону от него. Он бу-
будет двигаться в том же направ-
направлении и с той же скоростью
vd. Энергия рассеянного па-
пакета не изменяется (рассеяние
упругое), и, следовательно, его
центр будет иметь ту же коор-
координату xq , что и до рассеяния.
Причина в том, что не сущест-
существует состояний с той же энер-
энергией, но локализованных в
другой точке *о (все уровни не
вырождены). Таким образом,
рассеяние происходит только
вперед (рис. 7.3).
Заметим, что в скрещен-
скрещенных полях подавляется и рас-
рассеяние назад, которое благо-
благодаря инвариантности системы
по отношению к замене / -»-t
существует даже в одномерных системах. В скрещенных полях та-
такая симметрия, а также цилиндрическая симметрия отсутствуют.
Все сказанное относится не только к волновым пакетам, но и к
делокализованным состояниям \fnp . Если рассеяние такой волны
происходит на некотором центре, то волна, прошедшая в области,
где рассеивающий потенциал равен нулю, может отличаться от
падающей волны только фазовым множителем. Короче, если при
у -»0 волновая функция, отвечающая энергии еа, имела вид
Рис. 7.3. Рассеяние волновых пакетов 2D
электронов в скрещенных электрическом
и магнитном полях: а — при Н = 0, б —
при Н * 0. Электрическое поле направле-
направлено по оси х
е
с
G-20)
и рассеиватель находился далеко от границ y=0,Ly , то при y->Ly
она должна приобрести только дополнительный фазовый множи-
множитель. Соответствующая асимптотика этой функции имеет вид
9 Физика квантовых
низкоразмерных структур
217

i\py+-A
Фя(дс-хь)ехрЯ(ев), G.21)
где 8(еа) — добавочная приобретенная фаза.
Циклические граничные условия, накладываемые на функ-
функцию, определяемую G.20) и G.21), приводят к следующему урав-
уравнению:
-+8(ea)=2iua,
G.22)
где sa — целое число, нумерующее состояние электрона в присут-
присутствии рассеивателей. Очевидно, в отсутствие рассеяния число де-
делокализованных состояний N0=\/Bntjf), т.е. равно кратности
вырождения уровня Ландау. Рассеивающий потенциал переводит
часть состояний в локализованные. Если линия Хо(^) не пересе-
пересекает рассеивающий центр, то добавочная фаза Ъ(ру) равна нулю, а
при прохождении линии хо(ру) через центр рассеяния фаза изме-
изменяется. Это изменение может быть больше, чем 2я. Тогда сдвиг
фазы можно изменить так, чтобы результирующий сдвиг не пре-
превышал 2л. После нескольких таких процедур полное число реше-
решений уравнения G.22) изменится на величину Nb, которая и опре-
определит число локализованных состояний, а число состояний, ос-
оставшихся делокализованными, становится равным N0-Nb. В от-
отличие от делокализованных состояний энергия локализованных
состояний при калибровочных преобразованиях не изменяется.
Они приводят лишь к умножению каждой локализованной функ-
функции на фазовый множитель exp[ieAAyy/(hc)].
Вычислим теперь холловский ток в присутствии рассеивающе-
рассеивающего потенциала. Для этого в соотношении G.17) заменим произ-
производную отношением конечных разностей:
,Аеа
ДА
G.23)
218

Поскольку изменение векторного потенциала на величину
ААу =$o/Ly сдвигает индекс состояния sa на единицу, ток в со-
состоянии \|/а, определяемый G.23), оказывается равным
,о _ еа+1-еа _ 0Г 5(ea+i)-8(ea)
J ЬА ~Jy[V+ 2л
Для локализованных состояний производная G.23) равна ну-
нулю. Дело в том, что при изменении векторного потенциала волно-
волновая функция локализованного состояния лишь умножается на фа-
фазовый множитель, а изменения энергии и ток, очевидно, равны
нулю.
Полный ток всех делокализованных состояний, относящихся
к одному уровню Ландау, есть
Jy =
где 8j и 52 — значения фаз на противоположных границах образ-
образца. Первое слагаемое в правой части G.25) есть ток, уменьшенный
за счет образования локализованных состояний. Второе слагае-
слагаемое — это добавка к току делокализованных состояний, образо-
образованных на примесном потенциале.
Убедимся в том, что ток, определяемый G.25), равен току в
идеальном образце. Для этого запишем уравнение G.17) для зна-
значений р1у и р2у, соответствующих границам образца:
(/>} -P2y)Ly/h+bx -82 =-2n(N0 -Nb). G.26)
Учитывая, что, как и в отсутствие примесей, (py-p$)Ly/h =
= -2nNQ, найдем 51-82=2niVi. Наконец, с помощью G.26) и
G.25) убедимся, что полный ток в проводнике, содержащем при-
примеси, будет таким же, как и в идеальном образце, т.е.
G27)
Этот результат объясняет нечувствительность величины
холловского сопротивления к наличию примесей и дефектов в
9« 219

образцах. Таким образом, выполненный нами модельный рас-
расчет показал, что изолированные примеси, хотя и создают свя-
связанные состояния, тем не менее не влияют на величину хол-
ловской проводимости, поскольку остальные (делокализован-
ные) состояния переносят дополнительный ток, полностью
компенсирующий потери.
7.5
Аргументы Лафлина
Нечувствительность полученных в разд. 7.4 результатов к кон-
концентрации и типу примесей, а также их высокая точность говорят
о том, что эффект квантования холловской проводимости, по-ви-
по-видимому, имеет фундаментальный характер. Подобная догадка
подтверждается соображениями, принадлежащими Лафлину [21].
Несколько позже выводы Лафлина были развиты в работе Гальпе-
Гальперина [22]. Они доказали, что природа постоянства холловского со-
сопротивления связана с жесткостью функции у, т.е. наличием
дальнего порядка, а также с существованием щели подвижно-
подвижности — области энергий, где расположены только уровни дискрет-
дискретных состояний. Фактически рассуждения Лафлина показали, что
из самого существования квантового эффекта Холла следует, что в
2D электронном газе, находящемся в случайном потенциале, все-
всегда имеются делокализованные состояния. Такой вывод нетри-
нетривиален. Как известно, в отсутствие магнитного поля все электрон-
электронные состояния в двумерном случайном потенциале локализованы
(см., например, [23]). Однако в магнитном поле, когда нарушается
инвариантность уравнения Шредингера по отношению к замене
t -»-t, характер состояний меняется — локализация становится
неполной. Это явствует и из самого существования квантого эф-
эффекта Холла.
Следуя [22], предположим, что проводящий образец свернут в
кольцо, а магнитное поле перпендикулярно его поверхности, как
показано на рис. 7.4 (геометрия Корбино). Предположим также,
что в отверстии кольца находится соленоид, магнитное поле внут-
внутри которого создает поток Ф. В области, где есть электроны, маг-
магнитное поле соленоида, очевидно, равно нулю. Тогда можно вы-
выбрать калибровку, в которой векторный потенциал имеет одну
азимутальную компоненту, а ее величина зависит только от рас-
расстояния до центра кольца:
220

\ = Нг/2+Ф/Bкг).
В рассматриваемой цилиндрической геометрии электронные вол-
волновые функции вдали от границ образца имеют вид [22]
где я>0 и т — целые числа; фи(г-гт) — осцилляторная функ-
функция с центром осцилляции гт, определяемым выражением
яфо-Ф. G.28а)
Эффективный размер волно-
волновой функции по г имеет по-
порядок циклотронного радиуса
/??.; вне области |r-rm|«/^.
электронная плотность быст-
быстро убывает. Энергия в состоя-
состоянии G.28) зависит только от
квантового числа л и опреде-
определяется формулой Ландау
е„=йа>с(л+1/2).
Следует иметь в виду, что
выражение G.28) справедливо
лишь вдали от границ образца.
Вблизи внешней и внутренней
границ кольца характер элек-
электронных состояний изменяет-
изменяется. Вырождение по т снима-
снимается, и энергия увеличивается при rm -»Rl2, как и в случае при-
приграничных состояний (см. 1.2.7).
Мы рассмотрели электронные состояния в идеальном образце.
Далее, следуя Гальперину [22], будем считать, что проводящее
кольцо состоит из трех концентрических областей. Заштрихован-
Заштрихованная внутренняя область содержит рассеивающий потенциал (см.
рис. 7.4). Незаштрихованные внешняя и внутренняя области сво-
свободны от дефектов. На внешней и на внутренней границах кольца
находятся потенциальные стенки.
На рис. 7.5 представлена качественная картина энергетическо-
энергетического спектра нашей системы. В областях, где нет рассеивающего по-
потенциала, спектр состоит из дискретных эквидистантных уровней.
Вблизи границ кольца эти уровни поднимаются круто вверх
221
Рис. 7.4. Структура Гальперина — прово-
проводящее кольцо с соленоидом внутри. За-
Заштрихованная область содержит случай-
случайный рассеивающий потенциал. Магнит-
Магнитное поле сосредоточено внутри соленои-
соленоида и направлено перпендикулярно к по-
поверхности кольца

Рис. 7.5. Энергетический спектр 2D электронов в кольце, показан-
показанном на рис 7.4. В областях Щ < г < гх и г2 < г < R2 , где находится иде-
идеальный проводник, существуют вырожденные уровни Ландау, кото-
которые вблизи внешних границ кольца переходят в уровни краевых со-
состояний. В области г, < г < гг, где находится рассеивающий потен-
потенциал, уровни расщепляются в магнитные зоны
(см. 1.2.7). Во внутренней области, где случайный потенциал сни-
снимает вырождение, магнитные уровни превращаются в зоны. Если
амплитуда потенциала меньше h<ac, то можно ожидать, что обра-
образовавшиеся зоны не перекрываются, т.е. существует интервал
энергий, где плотность состояний мала и подвижность носителей
тока равна нулю. Далее будем считать, что уровень Ферми лежит в
таком интервале. В противном случае возникает диссипативный
электрический ток, направленный вдоль электрического поля, и
соотношение G.1) не выполняется. Подчеркнем, что закрепление
уровня Ферми между уровнями Ландау может иметь место только
благодаря существованию дискретных уровней энергии.
Представим теперь, что магнитный поток Ф в соленоиде
адиабатически изменяется, и покажем, что при изменении потока
на величину, равную одному кванту ф0 = ch/e, система отобража-
отображается сама на себя. Другими словами, все физические свойства на-
нашей двухсвязной системы периодичны по Ф с периодом ф0 (тео-
(теорема Байерса—Янга). Действительно, согласно общему правилу
222

при градиентном преобразовании векторного потенциала
А'=А+ДА, где AA=V/, многочастичная волновая функция из-
изменяется по закону
где Tj — координаты электронов. Отсюда следует, что при одно-
однократном обходе по любому замкнутому контуру вокруг кольца
имеем <Су/</1 = |дА*/1 = Ф и изменение фазы волновой функции
равно 2яФ/Фо. Мы видим, что потоки Фи Ф+иф0 будут неразли-
неразличимы, что и доказывает теорему Байерса—Янга.
Произвольное изменение потока через двухсвязную область,
вообще говоря, изменяет фазу функции ц> так, что она перестает
удовлетворять граничным условиям. Однако, как мы только что
убедились, при добавлении кванта ф0 фаза изменяется на 2л, так
что граничные условия выполняются, но при этом происходят
сдвиг состояний и перенос заряда (такой механизм был рассмот-
рассмотрен ранее). Если считать, что между внешней и внутренней грани-
границами кольца разность потенциалов равна нулю, то, как нетрудно
убедиться, при изменении потока работа не совершается (точнее,
работа пропорциональна г). При макроскопических размерах
системы этой работой можно пренебречь.
Что же происходит в идеально проводящих областях и в неиде-
неидеальной области, показанных на рис 7.4. Там, где нет случайного
потенциала, после изменения потока на один квант состояние
G.28) с номером т перейдет в состояние с номером т±\. Так как
целое число квантов потока можно убрать путем калибровочного
преобразования, у системы с дополнительным квантом ф0 будут
те же волновые функции и тот же спектр, что и у исходной. Но
при этом через идеальную область пройдет один электрон. После
быстрой термализации в точке r=R2 появится одно незаполнен-
незаполненное состояние под уровнем Ферми, а в точке r = Ri возникнет но-
новое заполненное состояние над уровнем Ферми. Эти изменения
макроскопической системы не требуют энергетических затрат.
Главная задача состоит в том, чтобы понять, как переносится
заряд через неупорядоченную область. Предположим, что все со-
состояния в этой области, лежащие под уровнем Ферми, локализо-
локализованы, и убедимся, что в данном случае перенос заряда через ука-
223

занную область невозможен. Это связано с тем, что при измене-
изменении потока волновая функция локализованных состояний прак-
практически не изменяется — она приобретает лишь дополнительный
фазовый множитель. Поскольку волновые функции локализован-
локализованных состояний в любом случае удовлетворяют граничному усло-
условию v|/(°o) = 0, никакого сдвига состояний не происходит. Следо-
Следовательно, при увеличении магнитного потока заполнение локали-
локализованных состояний остается прежним.
Таким образом, мы приходим к выводу, что для переноса элек-
электронного заряда через неупорядоченную область, содержащую
только локализованные состояния, необходимо затратить допол-
дополнительную энергию, которая по порядку величины должна быть
равна йюс. Поскольку в стационарном режиме такого источника
энергии нет, квантовый эффект Холла можно наблюдать лишь в
том случае, если в разупорядоченном 2D проводнике, находящем-
находящемся в магнитном поле, присутствуют делокализованные состояния.
Мы не будем касаться здесь вопросов о числе делокализованных
состояний, о зависимости их от концентрации и типа рассеивате-
лей. Заинтересованный читатель найдет ответы на них в [19,20].
Теперь, следуя Лафлину и не прибегая к каким-либо модель-
модельным представлениям, вычислим величину холловского сопротив-
сопротивления. Пусть между внешней и внутренней границами кольца, по-
показанного на рис. 7.4, существует постоянная разность потенциа-
потенциалов VH и электрическое поле направлено по радиусу. В этом слу-
случае в кольце появится азимутальная составляющая тока / . При-
Приравняем работу по переносу единичного заряда между внутренней
и внешней границами кольца, т.е. eVH, к работе по изменению
магнитного потока через кольцо на величину ф0. Последняя со-
согласно закону Фарадея есть
ftf/i^/Au/A, G.29)
1 с dt с е
и в результате холловская проводимость
ефо=е2/И. G.30)
Заметим, что этот результат получен без привлечения каких-
либо модельных представлений о механизме протекания тока че-
через разупорядоченную область и находится в полном соответствии
с законом квантования холловской проводимости G.1).
224

Эксперимент, предложен-
предложенный Лафлином, (вариант Галь-
Гальперина) фактически был реа-
реализован в работах Долгополо-
ва, фон Клитцинга и др. [24,
25], где квантовый эффект
Холла изучался в геометрии
Корбино. Правда, кольцо, че-
через которое переносился заряд
и в котором измерялась хол-
ловская проводимость, нахо-
находилось в однородном магнит-
магнитном поле, направленном пер-
перпендикулярно к его поверхно-
поверхности. При изменении величины
магнитного поля возникало
вихревое азимутальное элек-
электрическое поле, вызывающее
перенос заряда между внутрен-
внутренней и внешней границами
кольца.
Рис. 7.6 Схема эксперимента по наблюде-
наблюдению квантового эффекта Холла в геомет-
геометрии Корбино [24, 25]
Схема эксперимента показана на рис. 7.6.Его особенность со-
состояла в том, что на поверхность образца был нанесен кольцевой
затвор, с помощью которого можно изменять концентрацию но-
носителей в средней части кольца. Во внешнем и внутреннем коль-
кольцах концентрация не менялась.
Перенесенный через кольцо заряд Q измерялся электромет-
электрометром, параллельно которому была включена большая емкость Со.
В полях, при которых продольная проводимость а^ обращалась в
нуль, обратным током можно было пренебречь. Поскольку пере-
перенесенный заряд Q(H) был пропорционален холловской проводи-
проводимости:
Q(H) = C0V = -^ДФ,
с
величина а™ определялась по наклону кривой Q(H). С усилени-
усилением (или ослаблением) магнитного поля изменялось число запол-
заполненных уровней Ландау, в результате измеренная проводимость
оказывалась равной а^ =ve2/h (v = 1,2,3,4). При изменении отри-
225

цательного напряжениях на затворе на кривой Q(H) можно было
выделить участки с различным наклоном и тем самым установить
интервалы магнитных полей, в которых перенос заряда контроли-
контролируется областью внутреннего или внешних колец.
7.6
Ток краевых состояний
Как было установлено в 1.2.7, в магнитном поле, перпендику-
перпендикулярном плоскости 2D проводника, вблизи его границы существу-
существуют так называемые краевые (приграничные) состояния. Волновые
функции этих состояний, определяемые формулой A.50), локали-
локализованы возле границы проводника на длине порядка циклотрон-
циклотронного радиуса. В образцах прямоугольной формы энергия краевых
состояний зависит как от дискретного квантового числа п — но-
номера уровня Ландау, так и от компоненты импульса ру или коор-
координаты центра осцилляции xq , как это показано на рис. 1.8. На-
Напомним, что классический аналог данных состояний — электро-
электроны, скачущие по циклотронным траекториям вблизи потенциаль-
потенциальной стенки. В результате электроны краевых состояний переносят
электрический ток, который на противоположных границах на-
направлен в разные стороны.
Убедимся в том, что краевые состояния играют важную роль в
переносе холловского тока и что холловская проводимость кван-
квантуется точно так же, как и в случае внутренних состояний. Впер-
Впервые это было показано Гальпериным в работе [22], который вы-
/Г)
-i I-
Рис. 7.7. Протекание холловского тока по границам проводника. Ли-
Линии вдоль границ образца соответствуют модам краевых состояний
226

числил ток краевых состояний в образце, имеющем форму кольца,
а также в последующих работах [26-28]. Предположим, что про-
проводник имеет прямоугольную форму и соединен с двумя контак-
контактами — резервуарами электронов, как показано на рис. 7.7. Если
уровень Ферми в левом контакте е? выше, чем уровень Ферми в
правом контакте е*, то через проводник пойдет электрический
ток. Число электронов, вошедших в проводник из левого контакта
и движущихся по верхней границе, будет больше числа электро-
электронов, вышедших из правого контакта и движущихся по нижней
границе. Результирующий ток вьиислить несложно. Для этого ток
состояния ру,п , равный evp „, проинтегрируем по всем ру и про-
просуммируем по и, отвечающим заполненным состояниям:
др,
G.31)
Здесь N — число заполненных краевых состояний, равное числу
заполненных уровней Ландау внутри образца; е(п,ру) = г(п,х^) —
функция, определяемая выражением Де^ =е? -е?, т.е. разностью
уровней Ферми. Определенные интегралы в G.31) вычисляются
элементарно. Из G.31) следует, что холловская проводимость,
связанная с краевыми состояниями, квантуется так же, как и в
случае, когда ток переносится внутренними состояниями.
В общем случае разность потенциалов, измеряемая вольтмет-
вольтметром на противоположных границах образца, является суммой
электростатического потенциала eVe/, связанного с электриче-
электрическим полем внутри образца, и разностью уровней Ферми, которая
в свою очередь определяется различием концентраций электро-
электронов на противоположных границах образца. Если электрическое
поле в проводнике, а с ним Vel равны нулю, то ток определяется
исключительно краевыми состояниями. Записав разность уров-
уровней Ферми как Ае^ = еА, где Д — величина, измеряемая вольтмет-
вольтметром на холловских контактах, можно представить G.31) в виде
Ц-А. G.32)
А
227

Таким образом, в том случае, когда ток переносится краевыми
состояниями, холловская проводимость квантуется так же, как и
для объемных состояний. В реальных экспериментах измеряемое
холловское напряжение VH является суммой электростатического
потенциала и величины bnFje. Поэтому ток распространяется
как внутри образца, так и по его границам.
Здесь необходимо сделать одно важное замечание. Выше при
рассмотрении краевых состояний мы пренебрегли электрон-элек-
электрон-электронным взаимодействием и считали, что их энергия г(п,ру) =
= е(«,х0) полностью определяется формой граничного потенциа-
потенциала V(x). Однако, как было показано в [29, 30], кулоновское взаи-
взаимодействие может радикально изменить зависимость энергии от
координаты центра осцилляции х$. Для определения этой зави-
зависимости необходимо самосогласованно решить уравнения Пуас-
Пуассона и Шредингера для двумерных электронов в присутствии по-
потенциала V(x) и перпендикулярного магнитного поля.
Решение, проведенное в [29, 30], показало, что вследствие ку-
лоновского взаимодействия вблизи границы двумерной области
на кривых e(«,JCo) появляются плоские участки (плато), число ко-
которых зависит от количества полностью заполненных уровней
Ландау в объеме. Вдали от границы эти функции так же, как и в
отсутствии взаимодействия, выходят на значения, определяемые
правилом квантования Ландау. Самосогласованный потенциал, в
котором движутся электроны, становится плавной функцией на
масштабах порядка магнитной длины. При каждом фиксирован-
фиксированном и один из плоских участков кривой е(я,лсо) совпадает с уров-
уровнем Ферми, и соответствующий магнитный уровень здесь запол-
заполнен не полностью. Если вдали от границы заполнено несколько
уровней Ландау, то плоские участки различных кривых простран-
пространственно разделены. Вне плато функций e(w,jco) под уровнем Фер-
Ферми находится целое число уровней Ландау. Таким образом, при
учете кулоновского взаимодействия вблизи границы двумерной
электронной системы образуется система каналов, в каждом из
которых фактор заполнения равен либо целому числу, либо отли-
отличается от целого. В условиях квантового эффекта Холла по этим
каналам течет значительная часть тока.
Система краевых каналов определяет не только статическую
проводимость, но всю электродинамику двумерного электронного
газа. В частности, структура каналов влияет на параметры краевых
228

магнитных плазмонов — коллективных низкочастотных слабоза-
слабозатухающих электромагнитных возбуждений, распространяющихся
в узкой полосе вдоль границы 2D электронного газа. Основные
характеристики краевых магнитных плазмонов были рассчитаны в
[31], где, в частности, было показано, что скорость краевых плаз-
плазмонов пропорциональна холловской проводимости. Основные
результаты работы [31] подтверждаются экспериментами, прове-
проведенными в [32], где в режиме квантового эффекта Холла изучалась
временная эволюция зарядов и токов, индуцированных в 2D элек-
электронном газе с помощью металлических электродов. Время расте-
растекания заряда в этой системе определяется скоростью распростра-
распространения пакетов краевых плазмонов вдоль границы образца. Прове-
Проведенные измерения позволили определить дисперсионное соотно-
соотношение краевых плазмонов и ширину каналов, по которым они
распространяются.
7.7
Дробный квантовый эффект Холла
Дробный квантовый эффект Холла, как и целочисленный, был
открыт экспериментально [2]. В 1982 г. авторы этого открытия —
Цуи, Штёрмер и Госсард — обнаружили, что в совершенных гете-
роструктурах, помещенных в очень сильное магнитное поле
(Я «150 кГс), при температурах Тй 1К холловские плато и участ-
участки глубокого минимума продольного сопротивления наблюдают-
наблюдаются не только при условии полного заполнения уровней Ландау, но
и при дробном заполнении основного уровня v = ЛГфо/Aсм2 •#),
где N — концентрация электронов [ср. A.46)]. Результаты этих
измерений, а также геометрия холловского мостика представлены
на рис. 7.8. Здесь видны особенности продольной и поперечной
проводимостей при целых значениях фактора заполнения v. В
ультраквантовом пределе, когда при увеличении магнитного поля
остается заполненным лишь низшее спиновое состояние основ-
основного уровня Ландау, наблюдаются особенности проводимости при
дробных v, или дробный квантовый эффект Холла. При v = 2/3
особенности проводимости выражены не столь ярко, как при
v = 1/3 (рис. 7.8). В последующих работах были обнаружены хол-
холловские аномалии при многочисленных дробных значениях фак-
фактора заполнения: 2/5;3/5;4/5;4/3;5/9;9/7 и т.д. (см., например, [33,
229

34]). Во всех случаях на холловских плато сопротивление оказыва-
оказывалось равным
G.34)
где f = pjq — дробь с нечетным знаменателем.
432
50 100 150 200 В.кГс
Рис. 7.8. Дробный квантовый эффект Холла в гетероструктуре GaAs-AIGaAs. В
верхней части рисунка приведены значения фактора заполнения v.
я5 = 1,231011см, ц = 9104см2/(В-с), / = 1мкА[2]
С одной стороны, дробный квантовый эффект Холла проявля-
проявляется так же, как и целочисленный,— в двумерном электронном га-
газе квантуется недиагональная проводимость и наблюдаются глу-
глубокие минимумы продольной проводимости. С другой стороны,
оказалось, что физическая природа этих явлений совершенно раз-
различная. Если целочисленный эффект Холла можно объяснить в
рамках модели невзаимодействующих электронов, то дробный
квантовый эффект Холла возникает вследствие кулоновского
взаимодействия (отталкивания) 2D электронов. Электронный газ
230

переходит в совершенно необычное состояние — квантовую жид-
жидкость, у которой элементарные возбуждения отделены от основ-
основного состояния энергетической щелью и обладают дробным заря-
зарядом [3]. Кроме того, эти возбуждения обладают необычной стати-
статистикой, отличающейся как от статистики Бозе—Эйнштейна, так и
от статистики Ферми—Дирака [4]; они относятся к классу частиц
с произвольной статистикой — «энионов».
Такие необычные свойства основного состояния и элементар-
элементарных „возбуждений можно объяснить, только считая, что между
электронами существует кулоновское отталкивание. Поскольку в
случае частично заполненного основного уровня Ландау речь идет
об электронном газе сравнительно низкой плотности, можно бы-
было бы предположить, что основное состояние 2D электронного га-
газа в условиях квантового эффекта Холла — это вигнеровский кри-
кристалл. В таком состоянии электроны на фоне положительного
компенсирующего заряда, стремясь удалиться друг от друга, рас-
располагаются так, что их плотность периодически изменяется в про-
пространстве. В результате энергия оказывается меньше, чем у равно-
равномерно распределенных электронов. Однако в состоянии вигне-
ровского кристалла электроны оказываются «запинингованными»
на дефектах, которые всегда присутствуют в реальных проводни-
проводниках. В таком «запинингованном» кристалле проводимость в сла-
слабом электрическом поле должна обратиться в нуль, что не соот-
соответствует эксперименту.
Другой тип основного коррелированного состояния — кванто-
квантовая жидкость. Структура двумерной электронной квантовой жид-
жидкости в сильном магнитном поле впервые была описана Лафли-
ном [35]. Он рассмотрел ситуацию, когда основной уровень Лан-
Ландау заполнен на одну треть, и установил структуру волновой
функции основного состояния. Лафлин описал также свойства
элементарных возбуждений на фоне основного состояния. Ниже
будут кратко рассмотрены результаты теории Лафлина, которая
описывает основные проявления дробного квантового эффекта
Холла.
Пусть 2D электроны движутся в плоскости х,у в присутствии
магнитного поля, ориентированного по оси z. В симметричной
калибровке векторного потенциала А = [Нг]/2 собственные
функции одночастичного гамильтониана задаются двумя кванто-
квантовыми числами: номером уровня Ландау и = 0,1,2,... и т , опреде-
определяющим собственное значение момента. Следуя Лафлину, будем
интересоваться только состояниями нулевого уровня, считая при-
231

месь других уровней малой. Для одночастичных собственных
функций нулевого (и=0) уровня в указанной калибровке вектор-
векторного потенциала имеем выражение (см., например, [36])
\2 /Dl2H)l G.35)
где z = x+iy — комплексная координата; 1Н — магнитная длина;
т>0. Легко показать, что в этом состоянии средний квадрат ра-
радиуса г2 = 2(/и+\)l]j, так что число состояний, которые можно раз-
разместить на круге радиуса R, определяется выражением
мя ¦ 1 _п2 //т_/2 \ /т о^\
"*тах +1 = Ял /у/.Ш/f) . у/.эО)
Как нетрудно убедиться, собственное значение проекции момента
на ось z в состоянии G.35) lz=ftm.
Для того чтобы учесть электрон-электронное взаимодействие,
Лафлин записал многочастичную волновую функцию электронов,
находящихся на основном уровне Ландау, в следующем виде:
1 ^' ' ' G.37)
где аналитическая функция /(<:,•-г,) обращается в нуль при
Zi ->Zj и тем самым уменьшает вероятность близкого нахождения
электронов друг к другу.
Как установил Лафлин, функция f(z) почти полностью опре-
определяется требованиями симметрии основного состояния. Посколь-
Поскольку функция \fL описывает фермионы, она должна быть антисим-
антисимметричной по отношению к перестановке каждой пары частиц, а
функция / удовлетворять условию f(z) = -f(-z) ¦ Кроме того, по-
поскольку вся система обладает цилиндрической симметрией, функ-
функция G.37) должна быть собственной функцией оператора полного
Э
момента L.=-hY—. Последнее условие будет выполнено, если
i ЭФ,
произведение Yl_f(Zi-Zj) выбрано в виде однородного полинома
степени М по Z\-..Zn>t№ М — полный момент. Всем перечислен-
перечисленным требованиям удовлетворяет простая функция вида
232

G.38)
Можно убедиться, что в состоянии yL полный момент элек-
электронного газа
ШЬЖм, ,7.3,)
где N(N-1)/2 — число пар, N — число частиц. Необходимо за-
заметить, что при характерных параметрах GaAs /и = О,О7/Ио,Ед = 13
и в типичных полях Я=60 кГс характерная энергия кулоновского
взаимодействия е2/(го1н) оказывается меньше, чем расстояние
между уровнями Ландау. По этой причине можно пренебречь
примесью состояний с и = 1,2,3... в разложении G.37).
Волновая функция Лафлина, определенная соотношениями
G.37) и G.38), мало отличается от точной волновой функции,
описывающей небольшое число электронов. Лафлин установил
это, численно рассчитав волновую функцию трех и четырех элек-
электронов, взаимодействующих по различному закону, в том числе и
по закону Кулона. Он показал, что проекция точной (рассчитан-
(рассчитанной) трех- и четырехчастичной волновой функции на yL отлича-
отличается от единицы всего на несколько процентов и этот результат не
чувствителен к закону межчастичного взаимодействия.
Теперь, когда форма многочастичной электронной функции
определена условиями симметрии, роль единственного вариаци-
вариационного параметра, который обеспечивает минимум потенциаль-
потенциальной энергии, может играть только показатель степени т, опреде-
определяющий поведение функции f(z) при ta-zJ-»O. Очевидно, что
значение т в свою очередь связано со степенью заполнения ос-
основного уровня. Для того чтобы определить показатель т, Лаф-
Лафлин представил квадрат функции \\>L в виде классической функ-
функции распределения вероятности
|Vi(«i-^)|2=e"pK<ll™**), G-40)
где V(z\—Zn) играет роль потенциальной энергии классической
двумерной плазмы:
-2m2^z, -фу1|*/|2 • G.41)
к] l /=1
233

Несущественный множитель (J в G.40), который определяет
«температуру», можно приравнять к /и. Первое слагаемое в пра-
правой части G.41) есть электростатическая энергия зарядов, имею-
имеющих величину т и взаимодействующих друг с другом по логариф-
логарифмическому закону (естественному для двумерной электростати-
электростатики). Число взаимодействующих пар равно N(N-1)/2, где N —
число частиц в плазме, равное числу электронов. Второе слагае-
слагаемое в G.41) описывает электростатическое взаимодействие заря-
зарядов, величина которых равна т , с однородным положительным
фоном с плотностью заряда р+ = 1/Bя/#).
Расчеты, выполненные ранее по методу Монте-Карло [37], по-
показали, что классическая однокомпонентная двумерная плазма
при /и<70 находится в однородном жидком состоянии, а при
/и>70 представляет собой гексагональный кристалл. Поэтому
можно быть уверенным, что в тех случаях, которые представляют
для нас интерес: т=3,5,7..., распределение электронной плотно-
плотности будет однородным.
Очевидно, что потенциальная энергия классической плазмы
будет минимальной в том случае, когда плазма электронейтраль-
электронейтральна, т.е. плотность р+ равна плотности отрицательного «заряда»
частиц вспомогательной плазмы. В этом случае электронная плот-
плотность квантового состояния, описываемого функцией Лафлина
yL(m), должна быть в т раз меньше, чем плотность эквивалент-
эквивалентной плазмы, т.е. рт = 1/Bп1дт). Отсюда следует, что при v = 1/3
показатель т = 3.
Расчеты, проведенные Лафлином, показали, что энергия в
состояниях с нечетными т действительно минимальна (в част-
частности, она меньше, чем энергия вигнеровского кристалла при
соответствующем заполнении уровня v = l//n), и такие состоя-
состояния обладают определенной стабильностью. При изменении
магнитного поля имеет место следующая картина последова-
последовательных переходов в электронной жидкости. Основное состоя-
состояние фиксируется нри определенных степенях заполнения уров-
уровня Ландау. В процессе увеличения магнитного поля, вызываю-
вызывающего уменьшение р+ , происходят фазовые переходы и параметр
т увеличивается. Если при некотором значении поля основной
уровень был заполнен полностью и электронная система описы-
описывалась функцией G.37) с т = 1, то при увеличении поля это со-
234

стояние некоторое время остается устойчивым, а затем происхо-
происходит переход в состояния, описываемые функциями Лафлина с
/и=3,затемс т=5 и т.д.
Чтобы найти дробную холловскую проводимость, необходимо
определить элементарные возбуждения на фоне основного со-
состояния. Для этого Лафлин предположил, что в систему электро-
электронов, находящуюся в основном состоянии, введен бесконечно тон-
тонкий соленоид, магнитный поток внутри которого может изме-
изменяться. При адиабатическом увеличении потока волновая функ-
функция будет оставаться собственной функцией изменяющегося га-
гамильтониана. В тот момент, когда поток изменится ровно на ве-
величину одного кванта ф0 = ch/e, можно с помощью калибровочно-
калибровочного преобразования вернуться к исходному гамильтониану и гра-
граничным условиям и тем самым устранить соленоид. Волновая
функция после такого калибровочного преобразования перейдет в
собственную функцию исходного гамильтониана, но это будет
уже другая функция, описывающая возбужденное состояние мно-
многочастичной системы.
Определим теперь заряд квазичастицы. Как было установлено
в разд. 7.5, одночастичные волновые функции на кольце типа
G.28) — щт(р,у) при адиабатическом изменении потока на ±ф0
эволюционируют в \|/o^i+i или Vo^-i. При этом проекция момента
изменяется ровно на й. Поскольку наша многочастичная функ-
функция G.37) построена из одночастичных функций, изменение по-
потока на ±ф0 приводит к переносу электрона из круга, окружающе-
окружающего соленоид, (или в круг) в среднем на одно квантовое состояние.
Если основной уровень Ландау заполнен на 1/3 > один электрон
переносится при изменении потока на Зф0.
Лафлин привел аналитические выражения для волновых
функций элементарных возбуждений — квазичастиц и квазиды-
квазидырок с дробным зарядом, и показал, что их энергетические уровни
отделены от основного состояния энергетической щелью. Значе-
Значение щели равно 0,073ег/(г01н) для квазичастиц и 0,026e2/(eDlH)
для квазидырок. Появление щели объясняет, в частности, поведе-
поведение проводимости при понижении температуры (см. рис. 7.8).
Повторив снова все рассуждения, предшествовавшие опреде-
определению холловской проводимости в кольцевой геометрии (см.
разд. 7.5), мы убедимся, что для квазичастиц с зарядом е/3 она
равна е2/ЗА. При изменении магнитного поля и соответственно
235

степени заполнения уровня Ландау основное состояние остается
устойчивым в некотором интервале полей и заряд квазичастиц не
изменяется. Так возникает плато на графике с^Н).
Заметим, что в оригинальной работе [2] особенности холлов-
ской и продольной проводимостей наблюдались как при v = 1/3,
так и при v = 2/3. Согласно Лафлину, последнюю особенность
можно интерпретировать, вводя представление о дырках на не
полностью заполненном основном уровне Ландау. Заметим, что
интерпретация особенностей проводимости, наблюдаемых при
v = 2/5;3/7;7/9 и т.д., не столь очевидна, как при v = 1/3 и v = 2/3.
Наконец, обсудим кратко современные представления о так
называемых композитных фермионах. Выше уже отмечалось,
что особености как холловской, так и продольной проводимости
наблюдаются только при дробных факторах заполнения с нечет-
нечетными знаменателями. Такие состояния описываются теорией
Лафлина. При v = 1/2, v = 1/4 и других факторах заполнения с
четными знаменателями особенности проводимости электрон-
электронной системы, находящейся на основном уровне Ландау, отсутст-
отсутствуют. Данное обстоятельство говорит в том, что физические
свойства 2D электронного газа при факторах заполнения с не-
нечетными и четными знаменателями p/q существенно различа-
различаются. Состояния двумерной электронной системы с фактором
заполнения v = 1/2 , были исследованы в работе Гальперина, Ли
и Рида [38]. Основную идею этой работы можно пояснить сле-
следующим образом. С помощью калибровочного преобразования
систему обычных взаимодействующих 2D электронов удается
свести к математически эквивалентной системе квазичастиц,
взаимодействующих с фиктивным калибровочным полем Чер-
Черна—Саймонса. Такое взаимодействие эквивалентно добавлению
к каждому электрону магнитной трубки с целым числом квантов
потока калибровочного поля. Если число квантов потока нечет-
нечетное, то статистика новых квазичастиц будет бозевской, если чет-
четное — фермиевской.
Если положить, что число квантов потока в каждой трубке
равно 2 и внешнее магнитное поле выбрано так, что v = 1/2 (сле-
(следовательно, на каждый электрон приходится два кванта потока
магнитного поля), то среднее калибровочное поле, связанное с
трубками, точно компенсируется внешним магнитным полем. Та-
Таким образом, если пренебречь флуктуациями калибровочного по-
поля, придем к очень простой модели — системе бесспиновых фер-
236

мионов в нулевом магнитном поле. Такие частицы получили на-
название композитных фермионов. Последние во многих отношениях
ведут себя подобно обычным электронам. Так, фермиевский вол-
волновой вектор этих квазичастиц kF =DялеI/'2, где пе — поверхно-
поверхностная концентрация электронов. Следовательно, композитные
фермионы должны вести себя, как электроны в обычном металле
при нулевом магнитном поле, и в этой системе будут наблюдаться
физические эффекты, в которых частицы ведут себя аналогично
квазиклассическим объектам.
В частности, в магнитных полях, несколько отличающихся от
величины Ну2, при которой основной уровень заполнен на поло-
половину (v = l/2), композитные фермионы участвуют в циклотрон-
циклотронном движении, причем их циклотронный радиус определяется
эффективным магнитным полем АН = Н-Нщ'. Rc=vf/(uc =
= pFc/(eAH). Если кроме магнитного поля на систему наложено
еще периодическое поле (статическое или постоянное), то при ус-
условии, что R,. соизмерим с периодом этого поля, должны наблю-
наблюдаться размерные резонансы. Такие резонансы в магнитном поле,
близком к значению Нщ, были обнаружены в эксперименталь-
экспериментальных работах [39,40]. В [39] наблюдались геометрические резонан-
резонансы при взаимодействии поверхностной акустической волны с 2D
электронной системой. Как известно, геометрический резонанс
наступает, когда на циклотронном диаметре орбиты укладывается
нечетное число полуволн:
2Rcq = (л+1/2), G.42)
точнее резонанс наступает при условии, что функция Бесселя
J\(qRc), где q — волновой вектор акустической волны, имеет мак-
максимум. Такая соизмеримость размера циклотронной орбиты и
длины звуковой волны приводит к усилению их взаимодействия и
осцилляциям поглощения и скорости звука при изменении маг-
магнитного поля. На рис. 7.9 показаны одновременно наблюдавшие-
наблюдавшиеся в [39] осцилляции скорости поверхностной звуковой волны,
взаимодействующей с электронами двумерной структуры (геомет-
(геометрические резонансы), и осцилляции продольного сопротивления
во внешнем магнитном поле. Резонансы проявляются как неболь-
небольшие осцилляции скорости звука в области глубокого минимума
вблизи v = 1/2.
237

р^кОм/см
30
40 SO «9 70 Н,кГс
Рис. 7.9. Осцилляции скорости звука Av/v , взаимодействующего
с двумерным электронным газом, находящимся в магнитном по-
поле. Температура Т - 400 мК, частота звука а/2я = 5,4 ГГц
(сплошная линия) и 2,4 ГГц (штриховая линия). В нижней части
рисунка представлены осцилляции продольной проводимости
На рис. 7.9 мы видим только по одному такому минимуму —
слева и справа от Я1/2 - С увеличением частоты звука и волнового
вектора q = (o/vs fv^ ~ скорость звука) можно наблюдать боль-
большее число геометрических резонансов. Фермиевский волновой
вектор композитных фермионов, определенный по положению
геометрических резонансов, совпал с предсказанным в [38] значе-
значением k/г = DппеУ!2.
О существовании поверхности ферми-композитных фермио-
фермионов свидетельствуют также результаты работы [40], в которой изу-
изучался транспорт (продольная проводимость) в 2D электронной
структуре со сверхрешеткой из антиточек. Размерные резонансы
238

имели место в магнитных полях, близких к Нщ, при которых
циклотронная орбита охватывала целое число антиточек. При
этом рассеяние на периодической структуре было минимальным,
электрон оказывался запинингованным периодическим потен-
потенциалом, и транспорт в образце подавлен. Для фермиевского им-
импульса в [39,40] получены идентичные значения.
Эти результаты однозначно свидетельствуют о существовании
ферми-поверхности композитных фермионов. Удивительно, что
сложное кулоновское взаимодействие в присутствии магнитного
поля может быть описано с помощью простой модели невзаимо-
невзаимодействующих квазичастиц, поведение которых можно интерпре-
интерпретировать в рамках квазиклассических представлений.
Литература
1*. KlitzingK. von, Dorda G, PepperM. Phys. Rev. Lett. 45,494,1980.
2. TsuiD.C, StormerH.L, GossardA.C. Phys. Rev. Lett. 48,1559,1982.
3*. Laughlin R.B. Phys. Rev. Lett. 50,1395,1983.
4. Halperin B.I. Phys. Rev. Lett. 52,1583,1984.
5. Квантовый эффект Холла. Пер. с англ. / Под ред. Р. Пренджа,
С.Гирвина. М.: Мир, 1989.
6. Квантовый эффект Холла. Сер. «Новости физики твердого тела»:
Пер. с англ. М.: Мир, 1986. Вып. 12.
7. Пудалов В.М., Семенчинский СВ. Поверхность. 4, 5,1984.
8. Рашба Э.И., Тимофеев В.Б. ФТП. 20,972,1986.
9*. Ebert G, KlitzingK. von, Probst С, PloogK. Solid State Com. 44, № 2,
95,1982.
10. KlitzingK. von. Europhysics News. 13, 3,1982.
11*. TsuiD.C, GossardA.C Appl. Phys. Lett. 38, 550,1981.
12*. Paalanen M.A., TsuiD.C, GossardA.C. Phys. Rev. В 25, 5566,1982.
13*. MendesE.E. etal. Surf. Sci. 142, 215, 1984.
14*. StormerH.L. etal. Phys. Rev. Lett. 51,126, 1983.
15. ОрловЛ.К, Кузнецов О.А.идр. ПисьмавЖЭТФ. 54, 351,1991.
16. Арапов ЮГ., Горшков Н.А., Кузнецов ОА. и др. ФТП. 27,1165,1993.
17. Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных
систем. М.: Мир, 1985.
18.* KlitzingK. von. Festkorperproblem. XXI, p. 1,1981.
19. Прэндж Р.Е. Влияние дефектов и беспорядка // Квантовый эф-
эффект Холла/ Под ред. Р. Пренджа, С. Гирвина. М.: Мир, 1989.
20. Prange R.E. Phys. Rev. В 26,991,1982.
* Имеется русский перевод в сборнике [6].
239

21. Laughlin R.B. Phys. Rev., В 23, 5632, 1981.
22. Halperin B.I. Phys. Rev., В 25,2185, 1982.
23. Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. Oxford Univ. Press, 1997.
24. Dolgopolov V.T., ShashkinAA., Kravchenko G.V. etal. Phys. Rev. В48,
8480, 1993.
25. Dolgopolov V.T., Shashkin A.A., Zhitenev N.B. etal. Phys. Rev. В 46,
12560,1992.
26. MacDonaldAH., StredaP. Phys. Rev. B29,1616,1984.
27. Streda P., KuseiraJ., MacDonald A.H. Phys. Rev. Lett. 59,1973,1987.
28. Jain J.K., Kivelson S.A. Phys. Rev. B37,4276,1988.
29. Chklovskii D.B., Shklovskii В.1., Glasman L.I. Phys. Rev. В 46, 4026,
1992.
30. DempseyJ., GelfandB.Y., Halperin B.I. Phys. Rev. Lett. 70, 3639, 1993;
Brey L., Palacios J.J., Tejedor C. Phys. Rev. B. 47,13884,1993.
31. Zhitenev N.B., Hang R.J., Klitzing K. von et al. Phys. Rev. B49, 7809,
1994.
32. Volkov V.A., Mikhailov S.A. ЖЭТФ. 94(8), 217,1998.
33. StormerH.L. etal. Phys. Rev. Lett. 50,1953,1983.
34. Du R. etal. Phys. Rev. Lett. 70,2944,1993.
35. Laughlin R.B. Phys. Rev. B27, 3383, 1983; Phys. Rev. Lett. 52, 1395,
1983; Phys. Rev. В 27,3883,1983.
36. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой ме-
механике М.: Наука, 1992.
37. CaillolJ.L etal.J. Stat. Phys. 28,325,1982.
38. Halperin B.I., Lee P.A., Read N. Phys. Rev. В 47,7312,1993.
39. WilletR.L., RuelR.R., WestK.W. etal. Phys. Rev. Lett. 71,3846,1993.
40. Kang W., StormerH.L, PfeifferL.N. etal. Phys. Rev. В47, 3850, 1993.

Приложение
РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ЭЛЕКТРОНОВ
В КВАНТОВЫХ ЯМАХ И СВЕРХРЕШЕТКАХ
С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Чтобы найти спектр электронов и дырок в квантовых ямах и
сверхрешетках, можно воспользоваться методом матрицы распро-
распространения (трансфер-матрицы). Проиллюстрируем этот метод на
примере простой изотропной зоны. Пусть свойства полупровод-
полупроводника изменяются только в направлении оси z- Тогда волновую
функцию можно искать в виде Т(г) = expiikjc+ikyj?) ЧЧг). Уравне-
Уравнение Шредингера в приближении эффективной массы является
дифференциальным уравнением второго порядка для ?(г). Его ре-
решение однозначно определяется значением волновой функции и
ее производной в какой-либо точке z. Поскольку на гетерогранице
непрерывна не Ч"(г), а Ч"(z)/m(z) (m(z) — эффективная масса элек-
электрона, принимающая различные значения в разных слоях гетеро-
структуры), то удобно представлять решение столбцом
U dz
который остается непрерывным на гетерогранице. Но это не
единственный способ однозначно задать волновую функцию Ч'(г).
Например, в каждой точке она может быть представлена как су-
суперпозиция двух волн, одна из которых распространяется вдоль z,
другая — в противоположном направлении:
(П.2)
C2(z)=a2txp(-ikz(z)z).
Здесь k^iz) - значение z-компоненты волнового вектора в точке z.
Решение уравнение Шредингера во всем пространстве задает-
задается значениями C\(z) и C2(z) в какой-либо точке, так как ?(z) и
4"(z) можно выразить через Q(z) и C2(z). Поэтому решение может
быть полностью охарактеризовано также столбцом
241

Столбцы С(г)и 4?(z) связаны матрицами
nz)=M(z)C(z), C(z)=M-l(z)V(z).
Здесь M(z) =
'
, M'\z) =
1 -im
2 Щд
J_ im
2 2k Az)
(П.З)
(П.4)
(П.5)
Поскольку уравнение Шредингера линейно, между столбцами
C(z\) и C{zi) существует линейная связь:
C(z2) = T(z2 ,Z\ )C(Z\), (П.6)
где T(z2,Z\) — матрица 2x2, которая называется матрицей распро-
распространения или трансфер-матрицей.
Матрицу распространения просто найти для системы прямо-
прямоугольных ям. Рассмотрим, например, одиночную прямоугольную
квантовую яму, изображенную на рис. П.1. При переходе через гете-
рограницу функция Ф(г) остается непрерывной, поэтому на гетеро-
границе z=0 справедливо следующее соотношение:
С(+0)=М'1
(П.7)
О d
Рис.П.1
Связь значений C(z) на краях z\, z2 области с постоянной потен-
потенциальной энергией осуществляется матрицей N:
242

где kz — значение волнового вектора электрона в этой области.
Если между гетерограницами потенциальная энергия электрона
изменяется, то матрицу N можно найти с помощью численного
решения уравнения Шредингера. В этом случае она является
функцией двух аргументов z\ и zi, а не разности z% - Z\.
Используя (П.7) и (П.8), находим матрицу распространения
для квантовой ямы, изображенной на рис. П. 1:
T(d+0,-0)=М~х(rf+0)M(rf-O)iV(d-0,+0)М(+0)М(-0), (П.9)
Аналогичным образом можно найти матрицу распространения
для структуры с любым числом квантовых ям или барьеров.
Покажем теперь, как найти энергию электрона в квантовых
ямах и сверхрешетках, используя матрицу распространения. Рас-
Рассмотрим сначала квантовую яму. Для связанных состояний энер-
энергия электрона меньше энергии дна зоны проводимости в барье-
барьерах, поэтому кгъ барьерах — чисто мнимая величина. В этом слу-
случае C^{z) соответствует решению, неограниченно растущему при
z -»+°°, a Ci(z) — при z -»-°° • Поэтому для связанных состояний
электрона
(П.П)
Для выполнения этих условиий необходимо, чтобы
Г22=0. (П. 12)
Это и есть уравнение для нахождения энергии состояний, локализо-
локализованных в яме. Очевидно, условие (П. 12) можно использовать для
определения спектра локализованных состояний в системе, состоя-
243

щей из любого числа квантовых ям любой формы. Однако для этого
необходимо соответствующим образом модифицировать (П.9).
Найдем теперь уравнение для определения спектра электрона
в сверхрешетке с периодом d. Матрица распространения T(z+d,z)
осуществляет связь между C(z+d) и C(z):
C(z+'d)=nz+d,z)C(z). (П.13)
Однако согласно теореме Блоха C(z+d) и C(z) отличаются
друг от друга лишь фазовым множителем:
C(z+d) = exp(ikzd)IC(z), (П. 14)
где kz — квазиимпульс вдоль оси сверхрешетки; / — единичная
матрица. Используя (П.13), (П. 14), приходим к уравнению
[T{z+d,Z)-txv(iKzd)I] ОД=0. (П.15)
Его нетривиальное решение существует при условии
det[T(z+d,z)-exp(iKzd)I}=0. (П.16)
Отсюда и находится спектр электрона в сверхрешетке.
Нетрудно обобщить метод матрицы распространения на со-
состояния электрона в валентной зоне. Матрица распространения,
описывающая состояния легких, тяжелых и спин-отщепленных
дырок, в общем случае имеет размерность 12x12.

Оглавление
Предисловие 3
Список основных обозначений 7
Глава 1. Основные типы низкоразмерных полупроводниковых
структур. Простые квантовые модели 9
1.1. Основные типы квантовых структур 9
1.1.1. Гетероструктуры на основе GaAs-AlGaAs 9
1.1.2. Инверсионные слои на границе Si — окись кремния 12
1.1.3. Структуры на основе Ge-Si 13
1.1.4. Квантовые нити и точки 14
1.2. Квантовая механика простейших структур 17
1.2.1. Прямоугольная яма 17
1.2.2. Треугольная яма 19
1.2.3. Квантовые состояния в нитях и точках 21
1.2.4. Двойная квантовая яма 22
1.2.5. Двумерный канал (микросужение) 24
1.2.6. Электронные состояния в структурах с периодически
модулированной поверхностью 26
1.2.7. Квантовые структуры в магнитном поле 29
1.2.8.Плотность состояний 34
Литература 38
Глава 2. Квантовые состояния в гетероструктурах 39
2.1. Общие сведения 39
2.2. Приближение эффективной массы и кр-метод 41
2.2.1. Общие замечания 41
2.2.2. Приближение эффективной массы в простой зоне 42
2.2.3. Приближение эффективной массы в сложной зоне 46
2.2.4. Модель Кейна 51
2.2.5. Влияние деформации на электронный спектр 54
2.3. Электронный (дырочный) спектр и волновые функции
в квантовых ямах и сверхрешетках 57
2.3.1. Типы гетеропереходов 57
2.3.2. Граничные условия 58
2.3.3. Электронные и дырочные состояния в подзонах размерного
квантования ям и минизонах сверхрешеток 60
Литература 66
Глава 3. Оптика квантовых структур 67
3.1. Взаимодействие электромагнитного поля с электронами.
Правила отбора 67
3.1.1. Вероятность перехода в поле электромагнитной волны 67
245

3.1.2. Правила отбора для внутризонных переходов
в квантовых ямах 70
3.1.3. Правила отбора для межзонных переходов 74
3.1.4. Коэффициент поглощения при межзонных переходах 76
3.2. Экситонное поглощение 80
3.3. Метод люминесценции для исследования энергетического
спектра двумерных электронов 84
3.4. Многофотонное поглощение в квантовых ямах 86
3.4.1. Общие сведения 86
3.4.2. Вероятность ионизации в единицу времени 87
3.4.3. Ионизация квантовой ямы постоянным и переменным
электрическими полями 99
3.5. Лазеры на структурах с квантовыми ямами 102
Литература 105
Глава 4. Туннельные эффекты 106
4.1. Двухбарьерные структуры 106
4.1.1. Общие сведения 106
4.1.2. Коэффициенты отражения и прохождения 107
4.1.3. Квазистационарные состояния электрона в яме
между барьерами ПО
4.1.4. Энергетическая зависимость резонансного
коэффициента прохождения 112
4.2. Резонансно-туннельный диод 113
4.3. Туннелирование электронов из квантовой ямы
в скрещенных электрическом и магнитном полях 120
4.3.1. Общие сведения 120
4.3.2. Квазистационарные состояния электрона 122
4.3.3. Скорость туннелирования 124
Литература 133
Глава 5. Кулоновская блокада туннелирования 135
5.1. Постановка задачи. Основные уравнения 135
.1. Общие сведения 135
.2. Метод туннельного гамильтониана 137
.3. Вероятность ухода электрона из одного металла
в другой в единицу времени 138
.4. Постановка задачи о туннелировании через гранулу 142
.5. Потенциальная энергия гранулы 144
.6. Кинетическое уравнение для функции
распределения сол(О 146
5.1.7. Формула для туннельного тока 149
5.2. Кондактанс туннельного контакта с затвором 151
5.2.1. Решение кинетического уравнения в случае малых напряжений
на контакте 151
246

5.2.2. Зависимость кондактанса от температуры
и потенциала затвора 154
5.2.3. Число избыточных электронов на грануле 158
5.2.4. Физический механизм кулоновской блокады
туннелирования 160
5.3. Вольт-амперная характеристика асимметричного
туннельного контакта без затвора 162
5.3.1. Расчет вольт-амперной характеристики 162
5.3.2. Физический механизм образования ступеней на ВАХ
асимметричного туннельного контакта 167
5.4. Кулоновская блокада туннелирования через две гранулы 169
Литература 174
Глава 6. Транспорт в мезоскопических системах 175
6.1. Общие сведения 175
6.2. Кондактанс баллистического проводника.
Формула Ландауэра 177
6.3. Длина локализации в одно- и многомодовом режимах 184
6.4. Слабая локализация 188
6.5. Подавление слабой локализации в магнитном поле 194
6.6. Универсальные флуктуации кондактанса 198
6.6.1. Флуктуации при Т- 0 198
6.6.2. Конечные температуры 201
Литература 204
Глава 7. Квантовый эффект Холла 206
7.1. Общие сведения 206
7.2. Гальваномагнитные явления в слабом магнитном поле 207
7.3. Условия эксперимента 209
7.4. Вычисление холловского тока 213
7.5. Аргументы Лафлина 220
7.6. Ток краевых состояний 226
7.7. Дробный квантовый эффект Холла 229
Литература 239
Приложение. Расчет спектров электронов в квантовых ямах
и сверхрешетках с помощью матрицы
распространения 241

Научное издание
Демиховский Валерий Яковлевич,
Вугальтер Григорий Абрамович
ФИЗИКА КВАНТОВЫХ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ
СТРУКТУР
Редактор Е.В. Комарова
Оформление М.Ю. Молчанова, С.С. Носова
Компьютерная верстка П.Ю. Аборина
ЛР№ 071045 от 09.06.99
Подписано в печать 15.12.99. Гарнитура Newton
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная
Печ. л. 15,5. Усл. печ. л. 15,5
Тираж 1000 экз. Заказ № 125
Издательская корпорация «Логос»
105318, Москва, Измайловское ш., 4
Отпечатано в ГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432601, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
85884«390454