/
Текст
Издательство
«СОВЕТСКОЕ
РАДИО»
ALBERT WEISSFLOCH
А. ВАЙСФЛОХ
SCHALTUNGSTHEORIE
UND MESSTECHNIK
DES DEZIMETER—
UND ZENTIMETERWELLENGEBIETES
BIRKHAUSER VERLAG
BASEL UND STUTTGART
2i
2
ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ
И ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЙ
В ДЕЦИМЕТРОВОМ
И САНТИМЕТРОВОМ
ДИАПАЗОНАХ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
М. А. СИЛАЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА 1961
Книга представляет собой монографию, в которой содер-
содержится всестороннее обоснование разработанного' автором
оригинального метода исследования устройств сверхвысоких
частот с помощью короткозамыкающего поршня. В ней рас-
рассматривается также применение этого метода к измерениям
параметров различных радиотехнических устройств и к согла-
согласованию полных сопротивлений.
Книга предназначена для широкого круга радиоспецналн-
стов и студентов радиотехнических вузов.
D
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В области теории сверхвысоких частот в настоящее
время наметились два направления. В основе одного из
них лежат уравнения Максвелла, другое базируется на
теории цепей. Книга известного немецкого специалиста
в области сверхвысоких частот А. Вайсфлоха «Schaltungs-
theorieundMessteehnik des Dezimeter- und Zentimeterwellen-
gebietes» может служить классическим примером работ ло-
. следнего направления. В этой книге излагаются вопросы
теории цепей применительно к линейным пассивным систе-
системам СВЧ.
В течение последних десяти—двенадцати лет в руссом
переводе был издан ряд книг по теории и технике СЬ т.
Однако большинство из них отражало опыт, накопленный
в США, книга же А. Вайсфлоха обобщает результаты
многочисленных исследований, выполненных немецкими
специалистами (и в том числе автором данной книги).
Вследствие этого книга А. Вайсфлоха как с точки зрения
подхода к проблемам, возникающим в диапазоне СВЧ, так
и в отношении методов их решения значительно отличает-
отличается от других работ, вышедших на русском языке.
Наряду с изложением разработанной автором на осно-
основе дробно-линейных преобразований кругогеометричеюкой
теории четырехполюсника в книге дан вывод закона транс-
трансформации для четырехполюсника без потерь, сформулиро-
сформулированного впервые автором, и обобщение этого закона на
более сложные системы. Кроме того, в книге рассматри-
рассматривается ряд других актуальных вопросов теории и техники
СВЧ: согласование (в том числе и широкополосное), при-
применение матриц многополюсников и т. д.
Следует особо отметить, что при достаточно глубоком
и всестороннем рассмотрении вопросов теории книга мо-
может оказаться весьма полезной не только для лиц, инте-
интересующихся теорией СВЧ, но и для специалистов-практи-
5
ков, так как она содержит большое количество конкрет-
конкретных примеров по определению характеристик и регулиро-
регулированию реальных устройств (таких как диэлектрические
вставки, изгибы, направленные ответвители, согласующие
устройства и т. д.). В связи с этим следует напомнить, что
излагаемый в книге метод измерений, основанный на зако-
законе трансформации, обладает высокой точностью и не тре-
требует применения сложной аппаратуры.
Книга не лишена и ряда недостатков. В частности,
отдельные места книги несколько устарели. В книге отсут-
отсутствует описание других методов исследования устройств
СВЧ (например, метода Дешана), ничего не говорится об
исследовании невзаимньй устройств. Предлагаемые авто-
автором методы определения параметров многополюсников
требуют довольно большого числа измерений.
Для устранения, хотя бы частичного, упомянутых вы-
выше пробелов в конце перевода книги приводится перечень
более поздних работ по вопросам, близким к излагаемым
в книге, появившихся, главным образом, после ее издания.
В число их вошли также работы, в которых в той или иной
степени отражено развитие ряда принципов и^идей, содер-
содержащихся в книге, а также отдельные работы общего ха-
характера (например, с изложением основ теории функций
комплексного переменного, теории цепей и т. д). При
составлении списка дополнительной литературы редакцией
было обращено основное внимание на то, чтобы источники,
посвященные одному и тому же вопросу, следовали один
за другим. При этом, однако, по возможности соблюдалась
хронологическая последовательность.
Учитывая ряд упомянутых выше положительных осо-
особенностей книги Вайсфлоха, можно надеяться, что ее пере-
перевод окажется полезным широкому кругу специалистов,
работающих в области сверхвысоких частот.
В переводе книги приняли участие аспирант Брян-
цев С. Ф., канд. техн. наук Петров П. В., переводчики
Сильченко Г. А. и Гвоздев П. В.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Сложные проблемы современной техники только в от-
отдельных случаях могут быть решены либо чисто теорети-
теоретическим путем, либо только экспериментально. Теория для
своего практического применения, как правило, требует
экспериментальной проверки. С другой стороны, величины,
необходимые теоретику, не всегда могут быть измерены.
Поэтому при выборе метода он всегда должен учитывать
экспериментальные возможности. Это касается и области
техники сверхвысоких частот; с этой точки зрения теория
схем и техника измерений неразрывно связаны между со-
собой. Поэтому и в данной книге они рассматриваются в тес-
тесной взаимосвязи: теория основывается на результатах
измерений и наоборот.
Так как работа данного объема всегда сопровождается
довольно существенными ограничениями в отношении
излагаемого материала, техника измерений описана здесь
лишь постольку, поскольку это необходимо для решения
гех или иных вопросов теории цепей. Методы измерения
частоты и конструктивные особенности измерительных
приборов в данной работе не обсуждаются совсем.
Уже при первом беглом просмотре данной книги чита-
читатель убеждается в том, что предлагаемый здесь метод
сильно отличается от других методов, изложенных в кни-
книгах, вышедших в последние годы.
В этом отношении полезно напомнить о сравнении, при-
приведенном в предисловии к «Теоретической физике»
Иооса Г., 'В котором он iceoio книгу называет путеводите-
путеводителем по горной местности. Восхождение на вершину горы
можно осуществить Самыми различными путями и при
этом было бы ошибочным тот или иной путь считать
единственно правильным, особенно если, как это имеет
место и в данном случае, речь идет о вершине горы, иссле-
исследованной в недавнем прошлом. Новый путь открывает но-
7
вые перспективы, которые ранее оставались скрытыми,
поэтому автор надеется, что тот, кто изучал технику сверх-
сверхвысоких частот, черпая знания из различных источников,
найдет для себя много интересного и полезного и в этой
книге.
В последующем изложении уравнения Максвелла не
используются. При решении конкретных задач, как напри-
например определении структуры поля в волноводах, делаются
ссылки на многочисленные известные в настоящее время
труды. Опыт показывает, что при обсуждении очень мно-
многих проблем часто вполне достаточным является правиль-
правильное представление о возбуждении волн в волноводе и
структуре силовых линий поля.
В качестве математического инструмента в первую оче-
очередь используется геометрия дробно-линейных функций,
являющаяся областью математики с очень простыми и
наглядными законами. Поскольку эта область геометрии
до сего времени не получила широкого распространения
в технике, она подчас оказывается не совсем привычной
даже для многих теоретически хорошо подготовленных фи-
физиков и инженеров. Поэтому все необходимые законы
(в предположении лишь небольших знаний у читателя)
выводятся и поясняются непосредственно на основе теории
четырехполюсников.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСОБЕННОСТИ
ДИАПАЗОНА СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Цели и за'дачи, которые ставит перед собой теория це-
цепей в области дециметровых и сантиметровых волн, лучше
всего проиллюстрировать на одном из характерных для
этого диапазона примеров.
Пусть у нас ееть какой-то источник высокочастотных
колебаний, например генераторная лампа или приемная
антенна. 'Возьмем в нашем примере последнюю, поскольку
работа антенны проще поддается теоретическому анализу.
В электрическом отношении приемная антенна может рас-
рассматриваться как генератор, создающий напряжение,
определяемое его электродвижущей силой (э. д. с.) Е
(рис. 0.1,а), у которого внутреннее сопротивление R* равно
полному выходному сопротивлению этой антенны.
Пусть далее, у нас есть высокочастотная нагрузка, на-
например передающая антенна (в случае передатчика), меж-
межэлектродный промежуток приемного диода или запорный
слой детектора (в случае приемника). Нагрузку в электри-
электрическом отношении также можно охарактеризовать ее пол-
полным сопротивлением (рис. O.l.e).
Рассмотрим прежде всего участок, расположенный
между генератором и нагрузкой и простирающийся вплоть
до межэлектродного промежутка лампы (рис. 0.1,6).
Поскольку схема его имеет две входные и две выходные
клеммы, он получил название четырехполюсника. Что ка-
касается требований, которые предъявляются к такого рода
схемам, то они сводятся обычно к тому, что при определен-
определенных условиях (например, на определенных частотах) нуж-
нужно передать в нагрузку максимально возможную активную
мощность. В этом случае говорят о согласовании. При
других же условиях (например, на других частотах) бы-
9
вает необходимо добиться полного разрыва, т. е. получить
максимально возможное рассогласование.
С помощью понятия сопротивления поставленную зада-
задачу можно сформулировать конкретнее.
Если к выходным клеммам четырехполюсника
(рис. 0.1,6) подключено нагрузочное сопротивление R<j,
то на его входных клеммах, к которым подключен генера-
генератор, устанавливается определенное напряжение и опре-
определенный ток. Отношение этого напряжения к току опре-
определяет сопротивление RTp как некоторое оконечное сопро-
сопротивление, полученное в результате трансформаций сопро-
сопротивления Ra и подключенное непосредственно к клеммам
генератора. Как будет показано ниже, в схеме без потерь
вся мощность поступает в нагрузку в том случае, когда
Rtp=Ri, где_ R,- — комплексная величина, сопряженная
с Rf, т. е. Ri=/?t—jXi, если Ri=Ri+jXt. Наоборот, чем
больше RTp отличается от Ri, тем меньшая мощность по-
поступает в нагрузку.
На основе такого простого представления сущности
согласования сопротивлений на практике может быть ре-
решено большое количество задач в том числе и таких, ко-
которые на более длинных волнах обычно рассматриваются
с иной точки зрения. В качестве примера рассмотрим на-
настройку приемника. Это ни что иное, как процесс согласо-
согласования. Приемник настроен на данную частоту, когда он
лучше всего согласован по сопротивлению. Далее следует
упомянуть о связи волномера с передающим трактом, ко-
которая может быть как более, так и менее сильной. Сильная
или слабая связь означает (если рассматривать вопрос
с точки зрения согласования сопротивлений) хорошее
или плохое согласование. Большая острота резонанса по-
показывает, что сопротивление очень сильно зависит от ча-
частоты и хорошее согласование получается только в очень
узком частотном диапазоне.
a) 6) в)
Рис. 0.1. Схематическое изображение источника высокочастот-
высокочастотной энергии (а), четырехполюсника (б) и нагрузки (в).
10
ОСОБЕННОСТИ ДИАПАЗОНА СВЧ
Как стало ясно из примера рис. 0.1, в дальнейшем
придется иметь дело преимущественно с трансформирую-
трансформирующими свойствами четырехполюсников (рис. 0.1,6).
Сущность любой теории состоит в том, что с ее по-
помощью сложные проблемы подразделяются на более про-
простые. В частности, при изучении сложной схемы обычно
предпринимаются попытки к тому, чтобы разделить ее на
более простые элементы. На длинных волнах такое разде-
разделение производится до тех пор, пока не останется не-
несколько активных, индуктивных или емкостных сопротив-
сопротивлений, останется может быть также несколько
простых трансформаторов и в некоторых ред-
редких случаях еще и однородный кабель. Схе-
Схема представляет собой, таким образом, си-
систему, которая состоит из ряда отдельных эле- Рнс- °-2- Вы"
1 е л сокочастот-
ментов, каждый из которых может быть изу- ное ТОНко-
чен в отдельности. слойное со-
Работу любой схемы можно рассмотреть противление,
с помощью законов Ома и Кирхгофа. Таким представляю-
образом, например, можно было бы без осо- ^невысоких
бого труда рассчитать полученное в результа- частотах
те трансформации сопротивление RTp в при- сложный в
мере рис. 0.1. электриче-
Значительно сложнее дело обстоит в диа- ^°м °™°™f
НИН jJlcMcHl.
пазоне дециметровых и сантиметровых волн.
Каждый сантиметр проводника в этом случае
тредставляет собой одновременно индуктивность и емкость
и сложнейшим образом связан с соседними проводниками.
Так, например, на высоких частотах часто применяется
сопротивление в виде тонкого слоя поглощающего мате-
материала, нанесенного на диэлектрик (рис. '0.2). На более
длинных волнах в электрическом отношении оно одно-
однозначно характеризуется величиной сопротивления. Если
к нему приложить какое-то напряжение U, то зная величи-
величину сопротивления, можно определить протекающий тго нему
ток I. На сантиметровых же волнах, длина которых соиз-
соизмерима с размерами самого сопротивления, в электриче-
электрическом отношении оно представляет собой довольно неопре-
неопределенный элемент.
Конфигурация электрических и магнитных линий поля
в окрестности этого сопротивления в значительной степени
определяется расположением соседних проводников. По-
Подобного же рода явление может быть и на длинных вол-
П
нах, но, Так Как там эти силовые линии соответствуют
очень небольшим емкостным и индуктивным сопротивле-
сопротивлениям, это влияние оказывается незначительным. На очень
же высоких частотах емкостные и индуктивные сопротив-
сопротивления (oL и 1/(соС) вследствие очень большого значения
круговой частоты со становятся существенными. Поэтому
электрические свойства сопротивления (рис. 0.2) в значи-
значительной степени зависят от расположения окружающих
его проводников.
Охарактеризовать такое сопротивление в электриче-
электрическом отношении в отдельности так же трудно, как на
длинных волнах трудно охарактеризо-
охарактеризовать какую-то часть катушки или кон-
конденсатора. Электрические свойства этой
части в большинстве случаев вообще не
могут быть определены с помощью! каких-
Рис О.а Высоко либо величин, например сопротивлений,
частотное тонко и поэтому в принципе они не могут быть
измерены. Такого рода разделение не яв-
является уже больше упрощением, а, нао-
наоборот, усложняет задачу. Из этого при-
примера видно, что к разделению схемы при
работе на дециметровых и сантиметровых
волнах следует подходить очень осто-
осторожно.
Наоборот, тонкослойное сопротивле-
сопротивление (рис. 0.2), расположенное в устрой-
устройстве, показанном на рис. 0.3 или рис. 0,4,
может быть определено простыми соот-
соотношениями. На рис. 0.3 это сопротивле-
сопротивление является частью внутреннего проводника короткозам-
кнутой однородной линии. На рис. 0.5 показаны электриче-
электрические (сплошные) и магнитные (пунктирные) силовые ли-
линии в поперечном сечении А, расположенном достаточно
далеко от сопротивления.
Электромагнитное поле в этой плоскости можно одно-
однозначно охарактеризовать с помощью напряжения, прило-
приложенного между внутренним и внешним проводниками, и
тока, протекающего параллельно оси линии. Данное
утверждение останется справедливым, если линию по это-
этому сечению разделить и подсоединить к другой линии того ¦
же поперечного сечения. Поперечное сечение А на санти-
сантиметровых волнах является допустимой поверхностью раз-
раздела. Тонкослойное сопротивление вместе с отрезками ли-
12
слойиое сопротивле-
сопротивление (рис. 0.2), распо-
расположенное в коакси-
коаксиальной линии, Это
сопротивление, от-
отнесенное к плоско-
плоскости поперечного се-
сечения А, на сверх-
сверхвысоких частотах
представляет собой
двухполюсник с лег-
легко определяемыми
свойствами.
Рис. 0.4. Тонкослойное
сопротивление, располо-
расположенное между двумя по-
поперечными сечениями А
и В, являющееся четырех-
четырехполюсником, свойства ко-
которого могут быть пол-
полностью определены.
нии до точки А в электрическом отношении можно одно-
однозначно охарактеризовать величиной сопротивления. Такое
устройство представляет собой двухполюсник.
На рис. 0.4 сопротивление включено в отрезок одно-
однородной линии. Оно представляет собой часть внутреннего
проводника и служит в качестве
связующего элемента. В попереч-
поперечном сечении А, достаточно удален-
удаленном от сопротивления, электромаг-
электромагнитное поле также можно однознач-
однозначно охарактеризовать величиной тока
и напряжения. То же самое отно-
относится и к сечению В. Поэтому всю
схему в электрическом отношении
следует рассматривать как четырех-
четырехполюсник, при этом нельзя расчле-
расчленять ее на двухполюсники.
Как было показано на примере
тонкослойного сопротивления, уст-
устройство дециметровых или сантиметровых волн согласно
теории цепей может быть разделено только тогда, когда
на поверхностях раздела электромагнитное поле можно
однозначно охарактеризовать с помощью тока и напряже-
напряжения или двух других эквивалентные (величин. Схему его
часто нельзя подразделить на отдельные сопротивле-
сопротивления. Она может быть сравнительно сложной.
Однако в ней всегда имеются места, в кото-
которых электромагнитное поле может быть одно-
однозначно охарактеризовано напряжением и то-
током или двумя другими эквивалентными ве-
величинами. В дальнейшем именно такие места
мы и будем иметь в виду, когда будет идти
речь о плоскостях раздела. Если расчленить
схему в этих точках, то получим отдельные
элементы, вполне доступные для изучения.
Эти элементы могут быть двухполюсниками,
чаще четырехполюсниками, а также шести-
и B«)-полюсниками с п>2. Все они могут
быть полностью охарактеризованы в электри-
электрическом отношении и исследованы эксперимен-
экспериментально [1].
На рис. 0.6 приведено несколько примеров
четырех- и шестиполюспиков такого рода.
Пусть плоскости А, В и С на однородных уча-
Рис. 0.5 Сн-
ловые линии
поля в попе-
поперечном сече-
сечении коакси-
коаксиальной линии,
расположен-
расположенном на доста-
достаточном удале-
удалении от источ-
источника отраже-
отражений. Только
такие попе-
поперечные сече-
сечения можно
выбирать в
качестве гра-
граничных.
13
стках линии настолько удалены от источников отражении
чго практически там имеется невозмущенное поле однород-
однородной линии (ipnc. 0.5), а напряжение и ток однозначно, т. е.
независимо от того, в какую схему включен данный эле-
элемент, характеризуют электромагнитное поле. На рис. 0.6,г
диод имеет настолько малые геометрические размеры
электродов (пространственную протяженность), что сило-
силовые линии поля в нем проходят так же, как и на длинных
волнах, а электромагнитное поле в этом случае однозначно
характеризуется напряжением и током. Емкость такого
диода может быть рассчитана или измерена на низкой
частоте.
Если к соответствующим клеммам шести- или B«)-по-
люсника при «>2 подключить постоянные сопротивления,
*)
в
1
— с
-В
Рис. 0.6. Схематическое изображение высокочастотных элементов:
а, в, г — четырехполюсники, ограниченные сечениями А и В. Предполагается, что
геометрические размеры электродов диода (г) настолько малы, что распределение
поля в пространстве между ними "является квазистатическим, благодаря чему
в качестве разделительной плоскости можно взять плоскость В; 6—шестиполюс-
ник (ограничен сечениями А, В и С).
то этим способом можно свести его к четырехполюснику,
лишь незначительно усложнив схему.
На длинных волнах в практике большей частью оказы-
оказывается вполне достаточным пользоваться законами Ома и
Кирхгофа и лишь очень редко приходится прибегать
к теории четырехполюсников. Но на очень коротких вол-
волнах теория четырехполюсников выдвигается па передний
план. Четырехполюсник становится основным элементом
14
схемы и в большинстве случаев не подлежит дальнейшему
разделению.
Задача теории цепей состоит в определении тех или
иных свойств четырехполюсников, необходимых для кон-
конструирования различных устройств. Поскольку часто эта
задача не поддается математическому решению, или реше-
решение ее связано с большими трудностями и в результате
может быть получен лишь приближенный результат, при-
прибегают к эксперименту, т. е. путем различного рода изме-
измерений получают необходимые данные. Это требует
разработки ряда методов измерений.
Наряду с методами измерений очень важно разрабо-
разработать такие методы расчета, которые позволили бы по изме-
измеренным величинам определять поведение четырехполюсни-
четырехполюсника в любой схеме.
На практике выбор типа четырехполюсника произво-
производится с учетом свойств соответствующих элементов схемы
(ослабителей, отрезков различного рода линий, изгибов,
фланцев и т. д.). Эти свойства, как и другие необходимые
характеристики, определяются раз и навсегда из расчета
или путем измерений. В послевоенной литературе можно
найти большое количество сведений о четырехполюсниках
и методах их исследования [2—5]'.
На сверхвысоких частотах очень хорошо показал себя
метод изучения четырехполюсников [6], несколько отлич-
отличный от применяемого обычно на длинных волнах. Особен-
Особенно ценными являются графические методы [6—10], осно-
основанные на круговой геометрии. Здесь, как и в других
областях техники, графические расчеты способствуют бы-
быстрому решению сложных и трудоемких задач. Точность
их обычно бывает достаточной для большинства практиче-
практических случаев, но там, где это необходимо, они могут быть
дополнены несложными расчетами.
В гл. 1 рассматриваются общие положения кругогео-
метрической теории четырехполюсников, которая распро-
распространяется на все практически и теоретически возможные
типы четырехполюсников. Некоторые характерные приме-
примеры применения этих общих положений теории приведены
в § 18. В последующих главах рассматриваются конкрет-
конкретные, наиболее часто встречающиеся на практике элемен-
элементы схем.
1 Результаты исследований четырехполюсников, полученные в Гер-
Германии, были опубликованы в специальном издании Мейнке.
15
ГЛАВА I
ОБЩАЯ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Под четырехполюсником (рис. 1.1) понимают элемент
схемы любой сложности, имеющий некоторую протяжен-
протяженность в пространстве, с двумя входными и двумя выход-
выходными клеммами. При этом в качестве входного и выход-
выходного сечения, как уже отмечалось ранее, могут быть взяты
только такие сечения, в которых электромагнитное поле
однозначно определяется двумя величинами, например на-
напряжением и током, т. е. не зависит от того, в какую схе-
схему включен четырехполюсник.
Условимся с самого начала, что входом четырехполюс-
четырехполюсника будет называться его сторона, подключаемая к гене-
генератору, а выходом — подключаемая к нагрузке. Напряже-
Напряжение и ток на выходе обозначим индексом /, а на входе —
индексом 2. Такое обозначение в отличие от обычно при-
применяемого на длинных волнах является более удобным,
так как в дальнейшем отсчет всегда будет производиться
от сопротивления нагрузки.
Четырехполюсник называется линейным, если между
его напряжениями и 'токами существуют исключительно
линейные зависимости.
Если четырехполюсник на выходе разомкнут, а на вхо-
входе к нему приложено напряжение U2 определенной часто-
частоты, то у линейного четырехполюсника как напряжение U2,
так и ток Ь на входе будут пропорциональны напряже-
напряжению Ui на выходе. То есть существуют зависимости
U,=aUlf I, = 6Ult . A.1
где а и Ь на данной частоте являются постоянными ком-
комплексными числами.
2—52
17
Для четырехполюсника, состоящего из чисто реактив-
реактивного последовательного сопротивления jaL (ipnc. 1.2), со-
соотношения i(l.l) принимают вид
Если четырехполюсник на выходе замкнут накоротко,
то указанные соотношения можно записать та#:
U^cl,. I, = dII. A.2)
Таким образом, в примере, показанном на рис. 1.2,
При этом предполагается, что величина индуктивности на
рис. 1.2 не зависит от амплитуды. В случае катушки с же-
железным сердечником это условие не выполняется и че-
четырехполюсник можно лишь приближенно принять за
линейный.
ч
Рис. 1.1. Схема четырехполюсника
(общий случай). Индексом 1 обозна-
обозначены величины иа выходе четырехпо-
четырехполюсника, индексом 2—величины на его
входе.
и,
Рнс. 1.2. Последовательная
индуктивность, представ-
представляющая собой четырехпо-
четырехполюсник.
Для линейных четырехполюсников справедлив прин-
принцип суперпозиции. Он заключается в том, что-два незави-
независимо существующих электрических состояния можно
наложить друг на друга без какого-либо взаимного влия-
влияния. Это означает, что если в случае холостого хода спра-
справедливы соотношения A.1), а в случае короткого замыка-
замыкания— соотношения A.2), то при наличии одновременно
как напряжения Ub так и тока fi имеют место следующие
соотношения:
Таким образом, в примере рис. 1.2 при любом включении
справедливо
18
Итак, напряжение и ток на входе линейного четырехпо-
четырехполюсника в общем случае являются линейными однородны-
однородными функциями напряжения и тока на выходе.
Если в линейном четырехполюснике отсутствуют как
источники энергии, так и невзаимные элементы, т. е. эле-
элементы, которые ведут себя по-разному при различных на-
направлениях распространения энергии, то такое устройство
называется пассивным линейным четырехполюсником.
Если в последующем изложении особо не подчеркиваются
какие-либо иные свойства четырехполюсника, то имеется
в виду именно этот четырехполюсник. Пусть положитель-
положительное направление напряжения и тока на входе четырех-
четырехполюсника соответствует направлению движения активной
мощности к четырехполюснику, а на выходе — ее движе-
движению по направлению к нагрузке. На рис. 1.1 и 1.2 эти на-
направления указаны стрелками. Так, например, ток будет
считаться положительным в том случае, когда он течет
в направлении указанном стрелкой.
Таким образом, в пассивном линейном четырехполюс-
четырехполюснике любой сложности и длины на данной частоте для на-
напряжений и токов на входе и выходе справедливы следую-
следующие зависимости:
U2 = fl11U1 + a11I,, - A.3)
При этом ац, а\2, а.2\ и a%% являются постоянными ком-
комплексными числами. (Применение двойного индекса позво-
позволяет без особого труда устанавливать положение соответ-
соответствующих постоянных в системе A.3). Первый индекс ука-
указывает строку, второй — столбец.)
Если в четырехполюснике не наблюдается невзаимных
эффектов, т. е. свойства ни одной из его частей не зависят
от направления тока, то с помощью основных уравнений
электромагнитного поля можно показать, что всегда вы-
выполняется соотношение1
а,,а22 —а,2а2, = 1. A.4)
Так, например, в случае, соответствующем рис. 1.2, полу-
получим
1 Соотношение A.4) вытекает нз так называемого принципа
взаимности.
2* 19
Если аа1=И=О, то из A.3) можно получить соотношения
Ia. A-5)
а при а1г
соотношения
A.6)
Соотношения A.3) назовем уравнениями цепи, соотноше-
соотношения A.5)—уравнениями сопротивлений, а соотношения
(il.6)—уравнениями проводимостей четырехполюсника.
Разделив уравнения системы A.3) друг на друга, по-
получим
_
О-7)
Здесь Ri = Ui/Ii=/?i+/Xi — сопротивление нагрузки на
выходе четырехполюсника, R2 = U2/I2=t/?2+/Xi — входное
сопротивление четырехполюсника при оконечной нагруз-
нагрузке R,. Из A.7) с помощью A.4) всегда можно получить
A.3).
Из уравнений A.3) также получим
где Yi = I1/Ui = Gi+/S, является комплексной проводи-
проводимостью нагрузки, a Y2 = I2/U2 = G2+/52— входной проводи-
проводимостью четырехполюсника при оконечной нагрузке Yi.
Свойства четырехполюсника на данной частоте одно-
однозначно определяются таблицей комплексных коэффи-
коэффициентов,
«2
а,
а,
'22
которая называется матрицей четырехполюсника и сокра-
сокращенно записывается а«.
Пусть к четырехполюснику подключена некоторая на-
нагрузка, определяемая в электрическом отношении ее со-
сопротивлением Ri. Если теперь на вход четырехполюсника
подать напряжение U2, то можно рассчитать ток на входе,
20
напряжение и ток на выходе, активную и реактивную мощ-
мощности на входе и выходе.
Для того чтобы определить свойства четырехполюсни-
четырехполюсника, необходимо определить постоянные а,д на данной ча-
частоте, что, как уже говорилось выше, на очень высоких
частотах можно сделать только путем измерений.
Использование четырехполюсника на данной частоте
в какой-то иной схеме в этом случае отличается только
тем, что к нему каждый раз будет подключаться иное со-
сопротивление Ri, или иная проводимость Yi нагрузки. При
этом с помощью выражений A.7) и A.8) в любом случае
можно вычислить входное сопротивление R2 или входную
проводимость Y2. К сожалению, такого рода расчет с ис-
использованием комплексных чисел является довольно тру-
трудоемким и неудобным. Свойства четырехполюсника можно
считать очевидными только в том случае," когда поведение
его в схеме определяется при первом же знакомстве с ней.
Чтобы достичь этого необходимо более глубоко изучить
уравнения (|1.7) и A.8). Они выражают R2 и Y2 как дроб-
дробно-линейные функции от Ri и Yi. Свойства дробно,линей-
ных функций подробно исследованы в математике, причем
получены несложные закономерности, рассматриваемые
ниже.
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Уравнение A.7) выражает R2 как дробно-линейную
функцию Ri. Аналогичным является и уравнение A.8),
где Y2 представляет собой дробно-линейную функцию от
Yi, т. е. на данной частоте значения а^ являются постоян-
постоянными комплексными числами, переменными же величина-
величинами являются только Ri и R2 или Yi и Y2. Для того чтобы
не делать различия между сопротивлением и проводи-
проводимостью, обозначим, как обычно делают в математике, не-
независимую переменную Ri или Yi через г, а зависимую
переменную R2 или Y2 — через т.
Исследуем более подробно функцию
в которой Щк являются некоторыми комплексными по-
постоянными, a z — выбираемой произвольно комплексной
переменной. Для этого необходимо кратко познакомиться
с правилами действия над комплексными числами.
21
Действия над комплексными числами
Как известно, комплексное число а геометрически мож-
можно изобразить в виде точки на плоскости комплексных
чисел. При этом действительная часть а выражения
а = а+/р откладывается на действи-
действительной оси, а мнимая часть — на
перпендикулярной к ней мнимой оси
(рис. 2.1). Полученное таким обра-
образом значение можно изобразить не
только в виде геометрической точки,
но и в виде вектора, проведенного
к этой точке из начала координат.
Длина г вектора а определяет
модуль комплексного числа, угол ср,
который вектор образует с положи-
положительной действительной осью, опре-
определяет его аргумент. Положитель-
Положительное направление отсчета угла ср
против часовой стрелки. В приме-
примерах, показанных «а рис. 2.1, комплексному числу п\ соот-
соответствует аргумент ф1 = 30°, а комплексному числу а2 —
аргумент ф2 =—60 или +300°.
Любое комплексное число может быть также выражено
через его модуль и аргумент
а = г (cos 9 -j- / sin <p).
Поскольку
cos 9 -j- / sin 9 = e/?,
вместо выражения A.10) можно также записать
Рис, 2,1 Геометрическое
изображение комплексных
чисел а, н а2.
B.2)
B-3)
B.4)
В справедливости тождества B.3) легко убедиться, вос-
воспользовавшись выражениями для бесконечных рядов
sin 9 = 9-%-+%-—.
При этом угол ф должен быть выражен в радианах. Если
первый из этих рядов сложить со вторым, умноженным
22
на /, получится третий ряд. Этим доказана справедливость
выражения B.3). Два комплексных числа а\ и а2 склады-
складываются или вычитаются путем геометрического сложения
или вычитания соответствующих им векторов (рис. 2.2).
Произведение двух комплексных чисел at и а2 соглас-
согласно B.4) определяется следующим выражением:
/ф. /ф-
Г Р* • Г Р I
„/(?! +
а частное — выражением
г.е'
;=^е/(?1-<
» г,
B.5)
B.6)
Непосредственно из уравнения B.5) можно видеть, что
для получения произведения двух комплексных чисел до-
достаточно умножить их модули и
сложить аргументы (рис. 2.3).
Частное двух комплексных
чисел получим согласно B.6),
О
9,
Рис. 2.2. Сложение двух комплекс-
комплексных чисел а, и а2.
Рис. 2.3. Умножение двух
комплексных чисел ахаг=аг.
разделив их модули и вычтя аргументы*. Таково краткое
изложение правил действия над комплексными числами.
Согласно преобразования B.1) каждой точке z плоско-
плоскости комплексных чисел взаимно однозначно соответствует
точка ш. Убедиться во взаимной однозначности можно,
если уравнение B.1) решить относительно г, что даст
однозначную обратную функцию
z = -
at,w — а,
B-7)
Поскольку в целях наглядности часто точки г и ш в пло-
плоскости комплексных чисел наносят на два различных листа
бумаги, то говорят также о преобразовании или об ого-
23
бражении плоскости г на плоскость w, осуществляемом
согласно уравнения B.1).
Прежде чем приступить к исследованию дробно-линей-
дробно-линейной функции общего вида и ее отображения, целесообраз-
целесообразно рассмотреть некоторые частные случаи. Однако прежде
всего необходимо пояснить задачу на наглядном примере.
Простейшим отображением, которое известно каждому,
является фотографический снимок. Если сфотографиро-
сфотографировать белую стену бесконечной протяженности, то по сним-
снимку нельзу установить, имеет ли место увеличение или
уменьшение расстояний, сфотографирована ли стена пря-
прямо или под углом. Сравнение между оригиналом и сним-
снимком становится возможным только тогда, когда на стену
нанесены какие-либо фигуры, например в простейшем слу-
случае кривые. Точно так же обстоит дело при отображении,
которое выражается дробно-линейной функцией. И в этом
случае будем рассматривать не совокупность всех точек z
плоскости комплексных чисел, а возьмем на плоскости z
лишь точки какой-нибудь кривой и посмотрим, что полу-
получится из этой кривой при отображении.
Пусть ап = 1, а21 =
B.1) получим
Сдвиг w = z+a
=1. Тогда
и аа
из выражения
B.8)
где а — а\2- Этим соотношением, например, выражаются
трансформирующие свойства четырехполюсника (рис. 1.2),
который состоит только из одного последовательного со-
сопротивления a=jwL.
Согласно равенства B.8) любому значению' z однознач-
однозначно соответствует точка w, которая получается в результате
векторного сложения .величин z и а. На рис. 2.4 это сло-
сложение произведено для нескольких точек zx, z2, z3 и одной
и той же произвольно выбранной комплексной величи-
величины а.
Очевидно, что точки ш можно легко получить простым
перемещением отдельных точек z на расстояние, рав-
равное (\а). Для совокупности всех точек комплексной z пло-
плоскости такое сложение можно наглядно представить себе,
если плоскость z сдвинуть, как сдвигают лист бумаги, на
расстояние а. Поэтому отображение, выражаемое равен-
равенством B.8), называется сдвигом.
24
Для изучения преобразования B.8) рассмотрим, вб-
первых, семейство I всех прямых, параллельных векто-
fy а, и, во-вторых, семейство
I всех прямых, перпендику-
перпендикулярных "к линиям первого
семейства. Пусть точки zuz2,zs
лежат на примой парал-
параллельной вектору а. Их отобра-
отображенные значения wu w2, w3
останутся на той же прямой.
Иными словами, прямые, па-
параллельные вектору а, в ре-
результате преобразования B.8)
отображаются каждая сама
«а себя. Точки z3, Z\, Zs, ле-
лежащие «а прямой, перпенди-
перпендикулярной вектору а, после
отображения также будут ле-
лежать на прямой, перпендику- Рис. 2.4. Геометрическое изобра-
лярной вектору а, но на
жеиие функции сдвига w=z-\-a.
какой-то другой. Таким обра-
образом, прямые перпендикуляр- себя. перпендикулярные к ним
ные вектору а, при отображе- прямые (семейство II) смещаются
нии B.8) переходят в такие и переходят в другие прямые
же прямые, но уже смещенные того же семеис™.
параллельно друг другу на
один и тот же отрезок. Если на плоскости z взять какую-
либо кривую, то ту же самую кривую мы получим в каче-
качестве ее отображения на плоскости w.
Преобразование подобия ш = рг
Рассмотрим второй частный случай дробно-линейной
функции B.1), когда a\2=a2\=0, а22=1 и ап = Р,. где р—
положительное действительное число, т. е. случай
ш = рг. B.9)
(Это уравнение выражает трансформирующие свойства
идеального трансформатора.) Значения для всех точек
комплексной z плоскости в этом случае умножаются на
чисто действительную величину р. Умножение комплексно-
комплексного числа z на действительное число р означает увеличение
модуля вектора z в р .раз. Чтобы изучить отображение,
описываемое выражением B.9), лучше всего рассмотреть
25
ё Плоскости комплексных чйСел совокупность .всех лучей,
исходящих из начала координат, и 'Совокупность всех опи-
описанных вокруг начала координат, концентрических окруж-
окружностей (рис. 2.5). Все точки 2, например zu z2, zs, которые
лежат на одном и том же луче; исходя-
исходящем из начала координат, после преобра-
преобразования переходят в точки Wi, w2, а>з, ле-
лежащие на том же луче. Точки z2, zit 25, г6
концентрической окружности, описанной
вокруг начала координат, после преобра-
преобразования переходят в точки w2, wit a>5, ®>в,
также расположенные на концентриче-
концентрической окружности с центром в начале ко-
координат. Полученный результат может
быть сформулирован следующим обра-
образом. При отображении согласно выраже-
выражения B.9) каждый из лучей, исходящих из
начала координат, переходит сам в себя;
концентрические же окружности, описан-
описанные вокруг начала координат, переходят
также в концентрические окружности, но
уже с другими радиусами. При этом ото-
Рис. 2.5, Геометри-
Геометрическое представле-
представление функции ш=р-г.
Каждый из лучей,
исходящих из нача-
начала координат (семей- бражении имеет место линейное увеличе-
жается сам на° се- ние (если Р>0 или линейное уменьше-
бя, концентрические ние (если р<1) всех расстояний от нача-
окружности (семей- ла координат и поэтому оно называется
ство II) отобража- преобразованием подобия. Все кривые
ц^нтоические™6 Kqk- плоскости 2 отображаются на нло-
ружности того же скость w геометрически подобными кри-
кривыми.
семейства.
Поворот w= e" z
Возьмем теперь вместо а^ — р, как это было сделано
в предыдущем частном случае, а„ = е/!?. Длина, или модуль
любого вектора вида e/<p = cos<p + / sin? (рис. 2.6), равна
единице, и поэтому такие векторы называются единичными.
Угол <р определяет направление, которое единичный вектор
образует с положительным направлением действительной оси,
при этом за положительные принимаются углы, отсчитывае-
отсчитываемые против часовой стрелки.
Любое комплексное число всегда можег быть представ-
представлено в виде
г = re'*.
Откуда
w = е' ¦ 2 = i
B.10)
Это означает, что при отображении B.10) все векторы г
поворачиваются на угол q> против часовой стрелки, оста-
оставаясь неизменными по длине.
Отображение, описываемое урав-
уравнением ('2.10), также удобнее всего
исследовать с помощью семейства
лучей, исходящих из начала коорди-
координат, и семейства концентрических
окружностей, описанных вокруг не- О
го. Каждая из концентрических ок-
окружностей, описанная вокруг нача- рИс. 2.6. Часть единичной
ла координат, переходит сама в се-
себя, а лучи, исходящие из начала ко-
координат, — в другие лучи, также ис-
cosy 1
окружности (т. е. окруж-
окружности с радиусом равным
единице), описанной вокруг
„j^.. , - „f-j j -~, начала координат, на кото-
ходящие из начала координат. При рой лежат комплексные
отображении B.10) имеет место по- числа вида е/<? = cos <р +
ворот комплексной плоскости вокруг + / s'n ip-
начала координат на угол ср в на-
направлении против часовой стрелки. Все кривые на пло-
плоскости z отображаются в этом случае на плоскость w теми
же самыми кривыми.
Обращение w =
1
Рассмотрим теперь частный случай при котором Оц =
= а22=0 и 012 = 021 ='l, т. е. отображение вида
в» = —. B.11)
Для его изучения целесообразно снова использовать пред-
представление комплексного числа в виде г=ге'*. При этом
получим
26
Очевидно, что комплексное число w имеет обратное по
отношению к г значение модуля и аргумент —ф, равный
по величине аргументу z, но противоположный ему по зна-
знаку (рис. 2.7).
Для исследования отображения (Й.11) в комплексной
плоскости также целесообразно рассмотреть семейство
27
/
лучей, исходящих из начала координат, и семейство кон-
концентрических окружностей, описанных вокруг него
(рис. 2.8). Точки zlt z2, z3, которые лежат на одном и том
же луче, исходящем из начала коорди-
координат, и которым, следовательно, соответ-
соответствует одинаковый аргумент 1|з, после
отображения перейдут в точки wu w2, Щ,
лежащие на одном и том же, исходящем
из начала координат луче, которому со-
соответствует отрицательный аргумент —1|з.
Точкам 24, 25, 26, лежащим на одной из
концентрических окружностей, описан-
описанной вокруг начала координат, соответст-
соответствует один и тот же модуль г. После ото-
отображения B.111) 'получаются точки Wt,
а>5, и>б с обратной и также одинаковой ве-
величиной модуля 1/г. Поэтому все эти
точки должны лежать на одной и той же концентрической
окружности, описанной вокруг начала координат. Итак,
при отображении B.11), называемом обращением, лучи,
исходящие из начала координат, переходят в лучи, также
исходящие из начала координат, а концентрические окруж-
1
i
Рис. 2.7. Обратная
величина комплекс-
комплексного числа г.
Плоскость i
Плоскость ш
Рис. 2.8. Геометрическое представление функции w = —
а—комплексная плоскость со значениями z (плоскость
г); б — комплексная плоскость со значениями w (пло-
(плоскость да). Одинаково изображенные линии н площади
соответствуют друг другу.
28
йости, описанные вокруг начала координат, в такие же кон-
концентрические окружности. Для наглядности на рис. 2.8 пло-
плоскости z и w показаны раздельно, а пунктиром и стрелка-
стрелками обозначены соответствующие друг другу кривые и точки.
Действительные значения г при отображении также
дают действительные значения w. Таким образом, дей-
действительная ось отображается сама на себя: положитель-
положительная полуось — на положительную, а отрицательная — на
отрицательную. Точка z= + l дает точку w= + \; 2 =—1
точку w=—.1; точки со значениями z<.\ переходят в точ-
точки со значениями ш>1; точки z>l, — наоборот, в точки
w<\. Отрезок действительной оси, расположенный между
точками 0 и +1, переходит в другой отрезок действитель-
действительной оси, заключенный между оо и +1 и наоборот. То же
самое относится и к отрицательной действительной полу-
полуоси.
Точкам 2, которые лежат на одной из концентрических
окружностей, описанной вокруг начала координат и
проходящей через точку 1, соответствует модуль, равный
единице. Поэтому отображенные точки w должны лежать
на той же окружности. Поскольку эта окружность имеет
единичный радиус, она называется единичной окруж-
окружностью. Таким образом, единичная окружность при отобра-
отображении переходит сама в себя, причем, как это легко мож-
можно увидеть, каждая точка единичной окружности перехо-
переходит в точку, расположенную зеркально по отношению к
действительной оси.
Концентрические окружности, лежащие на плоскости 2
внутри единичного круга (т. е. круга с единичным радиу-
радиусом), отображаются на плоскость w в окружности, лежа-
лежащие вне последнего, а концентрические окружности, рас-
расположенные на плоскости г вне единичного круга, перехо-
переходят в концентрические окружности плоскости w, рас-
расположенные внутри его. Чем меньше радиус концентриче-
концентрической окружности в плоскости z, тем больше радиус соот-
соответствующей ей окружности в плоскости w. Заштрихован-
Заштрихованная площадь на плоскости 2 (рис. 2.8,а) отображается на
заштрихованную площадь плоскости w (рис. 2.8,6), и
дважды заштрихованная площадь на плоскости 2
(рис. 2.8,а) отображается на дважды заштрихованную
площадь плоскости w (рис. 2.8,6).
Будем уменьшать радиус концентрической окружности,
описанной вокруг начала координат в плоскости z, т. е.
устремим к нулю радиус этой окружности, тогда в плоско-
2Э
сти w радиус соответствующей окружности будет стре-
стремиться к бесконечности и наоборот. Внутренняя часть про-
произвольного малого круга с центром в начале координат,
расположенного на плоскости г, при отображении стано-
становится внешней частью некоторого большого круга плоско-
плоскости w с тем же центром. И наоборот, внешняя часть произ-
произвольного большого круга в плоскости z отображается на
внутреннюю часть малого круга плоскости w. Таким обра-
образом, любая кривая на плоскости г, уходящая в бесконеч-
бесконечность, дает на плоскости w кривую, которая стремится к на-
началу координат и наоборот, любая кривая на плоскости г,
проходящая через начало координат, дает на плоскости w
кривую, стремящуюся в бесконечность. В этом случае го-
говорят, что три трансформации, 'выполняемой согласно вы-
выражению B.11), начало координат (плоскости z отобража-
отображается в плоскости w на точку оо, а точка оо плоскости z
отображается на начало координат плоскости w.
Так как отображение любой точки гфО является вза-
взаимно однозначным, в частности взаимная однозначность
существует также и для точек 0 и оо, то для простоты го-
говорят о бесконечно-удаленной точке1.
Как это становится очевидным, при рассмотрении за-
заштрихованных площадок, показанных на рис. 2.8, отобра-
отображение B.11) в общем случае не дает геометрически подоб-
подобного преобразования фигур. При отображении они иска-
искажаются: более короткая, изображенная пунктиром дуга
окружности на заштрихованной площадке плоскости г со-
соответствует более длинной, изображенной пунктиром дуге
окружности на заштрихованной площадке плоскости w.
Однако есть некоторые геометрические свойства, кото-
которые при обращении остаются неизменными. Так, напри-
например, любая окружность на плоскости г отображается так-
также окружностью на плоскости w и, наоборот, поскольку
функция z=l/w является также обращением, каждая
окружность в плоскости w является отображением некото-
некоторой окружности, лежащей в плоскости г. Докажем это.
Как известно из аналитической геометрии, кривая 2=
=x+jy представляет собой окружность, если зависимость
1 Геометрически такой термин будет иметь смысл, если комплекс^
ные числа изображать не точками плоскости, а точками большой
сферической поверхности, которая в окрестности начала координат
может считаться плоской. Если при этом предположить, что начало
координат соответствует северному полюсу, то бесконечно удаленная
точка будет соответствовать южному полюсу и, следовательно, изобра-
изображаться только одной точкой сферической поверхности.
30
между составляющими х и у выражается следующим об-
образом:
= 0, B.12)
Где А, В, С, D — действительные постоянные.
Так как z = ;c-r-/y> получим1
где
— 1-х
И V-
У _,
=и + ]о, B.13)
Если в качестве точек г взять только те точки, для ко-
которых относительно х и у выполняется соотношение B.12)
(т. е. те точки г, которые лежат на одной окружности), то
соответствующие величины и и v будут связаны соотно-
соотношением
D(«2 + w2) + fi« — Си + Л = 0. B.14)
Для его доказательства достаточно подставить выраже-
выражение B.13) в B.14).
В результате получим
что после умножения на х2 + у2 дает соотношение B.12).
Это означает, что если точка z в комплексной плоскости
описывает окружность и, следовательно, ее координаты
связаны между собой соотношением B.12), то точка wтак-
wтакже описывает окружность, поскольку ее координаты и и v
связаны аналогичным соотношением. Это относится также
и к частным случаям А=0 и D — 0. В первом случае все
значения z, а во втором случае все значения w лежат на
прямой, т. е. на окружности с бесконечно большим радиу-
радиусом. Поэтому под окружностью в круговой геометрии по-
понимают, в частности, и прямую линию. Таким образом, со-
согласно приведенным выше соображениям все окружности,
проходящие на плоскости z через начало координат, при
переходе к плоскости w должны стать окружностями, про-
проходящими через бесконечно-удаленную точку, т. е. обыч-
обычными прямыми, а все прямые плоскости z должны на пло-
плоскости w стать 'окружностями, проходящими через начало
координат.
1 Путем умножения числителя и знаменателя на (x—jy).
31
Следующее важное свойство обращения заключается в
том, что две пересекающиеся на плоскости г под опреде-
определенным углом кривые на плоскости w дают кривые, кото-
которые пересекаются под тем же самым углом, причем на-
направление отсчета угла сохраняется. Для доказательства
рассмотрим точку z\ и расположенную вблизи от нее точ-
точку Zi + Az. При обращении точка Z\ переходит в точку
te>i = l/zi, а точка Zi+Az в точку
w -4- Aw =
При достаточно малых Az высокими степенями Л* и Ау
можно пренебречь, и тогда получим
-/У1 + Д* — /АУ _ *i —/У1 +Ах —/Ay
w1-\- Aw = -
X
\ — *'~/g
Таким образом,
B.15)
Рассмотрим теперь вблизи точки Z\ две точки, находящие-
находящиеся от нее на расстоянии Дг,
г е;
Пусть Zi является точкой пересечения двух кривых, a
и Агг указывают направление проходящих через нее двух
кривых, которые образуют друг с другом угол о. Тогда со-
согласно выражения B.15) в качестве отображения трех то-
точек zx, Zi+Azi, Z1+AZ2 получаются три точки
1 I I A ft
1 = ——-j Are14
1 Это соотношение нельзя рассматривать как очевидный резуль-
результат дифференцирования выражения B.11). Поскольку w является
функцией двух переменных х и у, необходимо сначала доказать допу-
допустимость формального дифференцирования.
32
,Таким образом,
Дщ, = ^
Следовательно, направления, соответствующие Awi и Ашг
образуют такой же угол а, как и направления, соответ
ствующие приращениям Azi и Агг. Это означает, что обе
отображенные кривые пересекаются под тем же углом а,
что и исходные кривые в плоскости г, причем и направле-
направление отсчета угла также остается прежним.
Поскольку множитель \[z\ в выражении B.15) является
Постоянной величиной, очевидно, что площадь, ограниченная
малой окружностью с радиусом Дг, описанной вокруг
сточки z,, в плоскости w геометрически подобно отображается
площадью, ограниченной окружностью с радиусом \Ar\z\ .
'1аким образом, достаточно малые элементы плоскости z при
•обращении отображаются геометрически подобными элемен-
элементами плоскости w, при больших же площадях имеет место
"искажение.
Далее, важным свойством обращения является инва-
инвариантность двойного отношения для четырех точек.
Смещение и поворот дают отображения геометрически
совпадающие, другими словами, расстояние между двумя
произвольными точками zx и z2 при отображении их в точ-
ки w\ и w2 в этих случаях остается неизменным. При пре-
преобразовании подобия отображенные фигуры являются в
геометрическом отношении только подобными. Расстояние
между двумя точками zx и z2 в этом случае уже не будет
сохраняться. Если же рассмотреть три произвольные точ-
точки zx, z2 и z3 и соответствующие им точки wx, w2 и паз, то
отношение соответствующих расстояний между ними оста-
остается постоянным, а именно:
г 2 ,
Обращение же этим свойством не обладает. С другой сто-
стороны, если взять какие-либо четыре точки zb z% z%, Z\ и со-
соответствующие им точки W\, a>2, а>з, ®>а, то всегда будет
_ выполняться соотношение
z. — z, z, — ;
3-52
B.16)
33
поскольку
±J\/±±
z, — z,z,— z.
Соотношение B.16), устанавливающее зависимость между
Zi, 22, г3, 24 и Wi, шг, а>з, ш4, называют «двойным отноше-
отношением» для четырех точек (ДО) >и сокращенно записывают
в виде
ДО (wu wa, ш2, wj = ДО (г„ 2а, z,, 24). B.16 а)
После рассмотрения этих частных случаев можно обра-
обратиться к общему случаю дробно-линейного преобразова-
преобразования B.1).
Общий случай дробно-линейного преобразований
Выражение B.1) можно иреобраэовать следующим об-
образом:
w = -
а,.—
« а.
~Г а21г
•21
BЛ7)
Примем
B.18)
где у, ы, t, s, q следует рассматривать последовательно
как зависимые и независимые комплексные переменные.
Таким образом, из преобразования B.1) получен ряд бо-
более простых рассмотренных уже преобразований. Далее
можно рассуждать следующим образом. С помощью по-
поворота i>= е'*г плоскость 2 отображается сначала на пло-
плоскость v (рис. 2.9). После этого плоскость v с помощью
преобразования подобия и= pv отображается на пло-
34
скость и, плоскость и с помощью сдвига t = u + a22 — на
плоскость t, плоскость t в результате обращения s = l/i —
на плоскость s. Плоскость s путем поворота и преобразова-
преобразования подобия q—[аи—(ctua22/a2i)]s отображается на Пло-
Плоскость q и, наконец, плоскость q с помощью сдвига до =
= q+ (ctn/a2i)—на плоскость w. Следовательно, общий
случай преобразования B.1) может рассматриваться как
Плоскость t
Рис. 2.9. Представление общего случая дробно-линейного
преобразования w = (axxz -f- ахг):(агхг -f- а22) рядом последо-
последовательных преобразований:
V = е/?г; и = \
— (axxajaix)\s; w = q + axljatl.
совокупность сдвигов, поворотов, преобразований подобия
и обращения. На основании этого факта и выводятся его
геометрические свойства.
Взяв какую-либо окружность на плоскости z, мы полу-
получим последовательно окружность на плоскостях v, и, t, s,
q, и, наконец, на плоскости w. Таким образом, в самом об-
общем виде доказано утверждение о том, что если точка г
описывает в комплексной плоскости окружность, то полу-
получаемая при дробно-линейном преобразовании B.1) точка
плоскости w также будет описывать окружность. При этом,
как уже отмечалось, прямые линии должны также рас-
рассматриваться, как окружности, которые отличаются от
обычных окружностей лишь тем, что проходят через бес-
бесконечно-удаленную точку. Бесконечно-удаленная точка
плоскости z, как это следует непосредственно из равенства
3* 35
B.17), однозначно отображается в точку w=au/a2i, и, на-
наоборот, однозначным отображением точки z =—022/021 яв-
является точка w = oo.
Две исходящие из точки zQ кривые С, и Сг, которые
в этой точке образуют угол а, дают после каждого из пре-
преобразований B.18) две кривые, исходящие из одной точки
и расположенные по отношению друг к другу под тем же
самым углом а. Таким образом, в плоскости w мы получим
две кривые С, и С2 > исходящие из точки w0 и расположен-
расположенные под углом а относительно друг друга. При этом сохра-
сохраняется также и направление отсчета угла. Это означает, что
если от кривой С1 к С2 угол отсчитывается, например, по
часовой стрелке, то так же он будет отсчитываться и для
соответствующих кривых С[ и С'2 .
Если четыре произвольные точки Z\, z2, z3, z4 плоско-
плоскости z при преобразовании B.1) отображаются через пло-
плоскости v, и, t, s, q в четыре соответствующие точки w\, w2,
w3, Wi плоскости w, то всегда выполняется соотношение.
ОД.— ОД, ОД, — ОД.
2, 2, Z.
W2 — W3 Щ — Щ 22 — Z, 22 — 24
Таким образом, получаются следующие законы, примени-
применимые к дробно-линейной функции общего вида B.1).
Закон 2.1 о сохранении формы окружностями
Пусть точка z описывает окружность в комплексной
плоскости. Тогда при любом дробно-линейном преобразо-
преобразовании точка w также будет описывать окружность. При
этом прямые линии считаются окружностями, проходящи-
проходящими через бесконечно-удаленную точку. Следовательно, пря-
прямые в плоскости z при отображении дают на плоскости w
семейство окружностей, проходящих через точку ац/а21.
Благодаря этому свойству при рассмотрении дробно-
линейных функций говорят о круговых преобразованиях,
круговых отображениях и круговой геометрии.
Закон 2.2 о сохраиеиин углов
Две кривые Ci и Съ исходящие из точки z0 и образую-
образующие в точке zq угол а, после кругового преобразования
дают две кривые С[ и С2, исходящие из точки w0, пере-
пересекающиеся в этой точке под тем же углом а; при этом
направление отсчета угла остается неизменным.
36
Закон 2.3 об инвариантности двойного отношения
при круговых преобразованиях
Если с помощью кругового преобразования четыре про-
произвольные точки Z\, z2, z3, z\ плоскости z отображаются в
четыре соответствующие точки wx, Wi, w3, wit то всегда вы-
выполняется соотношение B.16)
W, — W, W, — W.
г. —г. г.— z.
W. — W, ОД, — ОД-
,-2, Ж, — Z.
Значение кругогеометричеоких законов 2.1 и 2.2 состоит
в том, что при исследовании дробно-линейной функции че-
четырехполюсника (форм. 1.7 или 1.8) значительно сокраща-
сокращаются расчетные работы. Поэтому в дальнейшем часто бу-
будет использоваться тот факт, что при круговых преобра-
преобразованиях окружности переходят в окружности, а углы и
направления их отсчета сохраняются.
Двойное отношение также имеет исключительно важное
значение. Если задан какой-либо четырехполюсник, то прежде
всего необходимо определить его постоянные aik, Это всегда
можно сделать, если не математически, то путем трех изме-
измерений. К выходу четырехполюсника последовательно подклю-
подключаются три сопротивления, которые можно обозначить R* \
R(,2), R(,3) или сокращенно R(,° (где / = 1, 2, 3). Затем с по-
помощью измерений определяется, в какие значения R2'' (i = 1,
2, 3) эти сопротивления трансформируются четырехполюсни-
четырехполюсником. На основании этих измерений можно составить три
уравнения вида
1 Щ Т 2
(/=1, 2, 3), из которых с помощью выражения A.4) могут
быть вычислены постоянные aik. Двойное отношение, записан-
записанное в виде B.16), дает непосредственно уравнение, которое
"В неявном виде выражает Ra как функцию R,, если в B.16)
подставить вместо г,, г2, г3 величины подключенных сопро-
сопротивлений RJ'>, R(,2), R(,3), вместо г4—переменное сопротивле-
сопротивление нагрузки R,, вместо wt, wa, ws — измеренные значения
Щ21\ R22), R23) и вместо ад4 — значение R2. При этом получим
|Ч1. d^ R^ R^ R R^ R^ R^ R
!*? i. • -Л 1==.J L •—! 1 B 191
DB) nC)* DB) p pB) pC) - pB) г, ' \^1-'1
Соотношение B.19) при постоянных заданных значениях R,'
(/—1, 2, 3), и измеренных значениях R^ (i=l, 2, 3), как
легко можно убедиться после- некоторых преобразований,
выполнение которых мы предоставляем читателю, действи-
действительно является дробно-линейной функцией Ra от Rj. Если
в B.19) вместо Ra подставить значение R^0, а вместо Rx—соот-
Rx—соответствующее значение R*'*, то уравнение B.19) удовлетворя-
удовлетворяется. Этим показано, что полученная дробно-линейная функция
действительно обладает вышеуказанными свойствами.
Наконец, из B.16) следует также, что круговое преобра-
преобразование однозначно определяется преобразованием трех то-
точек. Возьмем три произвольные точки Z\, z2, z3 плоскости z
и также совершенно произвольно три точки wu w2, w3. То-
Тогда любой четвертой точке z4 согласно уравнению B.16)
будет однозначно соответствовать точка wt. На основании
этого можно сформулировать следующий закон.
Закон однозначности 2.4
Всегда существует такое круговое преобразование, при
котором три произвольные точки Z\, z2, z3 отображаются в
три другие произвольные точки wu w2, w3. Этим условием
круговое преобразование определяется однозначно.
Если, в частности, взять W\ = z\, w2—z2 и w3 = Z3, то кру-
круговое преобразование должно выражаться тождеством
w=z. При дробно-линейных преобразованиях, которые не
являются тождествами, неизменными могут оставаться са-
самое большее две точки Z\ и z2. Эти точки получили назва-
название «фиксированных точек» кругового отображения. Из
выражения B.1) можно получить уравнение для опреде-
определения значений фиксированных точек
откуда
21z + а22'
Это выражение является квадратным уравнением и всегда
дает две фиксированные точки Z\ и z2, которые при опре-
определенных условиях могут совпадать. Отсюда следует:
Закон 2.5
Круговое преобразование всегда имеет две фиксирован-
фиксированные точки Z\ и 22> которые при определенных условиях мо-
могут совпадать.
38
Очевидно, что сдвиг в качестве фиксированной точки
может иметь только точку оо, преобразование подобия и
поворот — фиксированные точки 0 и оо, а обращение —
фиксированные точки +1 и —1.
Наряду с указанными законами большое значение
имеют также так называемые «групповые законы» круго-
кругового преобразования. Пусть имеется произвольная дробно-
линейная функция
а>= а + а" . B.1)
Сокращенно она может быть представлена в виде
w = A(z).
Уравнение A2.1) можно решить относительно z и получить
в результате этого однозначную функцию
__
которая в сокращенном виде может быть записана как
Показатель степени при А имеет здесь лишь символиче-
символическое значение и свидетельствует о том, что приходится
иметь дело с функцией, обратной функции А (г). Эта
обратная функция, также является дробно-линейной. Она
всегда однозначна.
Очевидно, что
Л-1(и»)=Л[Л(г)] = г, а также A[A~l(w)] = w.
Еще более кратко это можно записать символически;
Л-М = ЛЛ-1 = ?. B.20)
Через Е здесь обозначен «единичный элемент», соот-
соответствующий тождеству w=z.
Поясним это. Соотношение B.20) говорит о том, что
если вначале произвести круговое преобразование А, а за-
затем обратное преобразование А-1, то, по существу, ника-
никакого преобразования не 'будет. Будет иметь место лишь
Равенство w=z (сокращенно выражаемое символом Е).
о же самое получается, если сначала проделать обратное
'преобразование Л, а затем преобразование Л (поскольку
последнее также является обратным преобразованием для
39
Если произвести круговое преобразование общего ВиДа
B.1), а затем еще круговое преобразование
то результат последовательного применения обоих круго-
круговых преобразований
1а12 + b12a21z + bl2a22 __
b21altz
b22a2lz
bl2a22)
(b21an + 6a2aai) 2 + Faia,a + 6aaaaa)
также является круговым преобразованием.
При сокращенной записи w=A(z) и v=B(w) выраже-
выражение для последовательного применения этих преобразова-
преобразований v=B[A(z)\ также определяет дробно-линейное преоб-
преобразование. Другими 'словами, если А и В — круговые пре-
преобразования, то и последовательное применение их
ВА1 (-2.21)
также является круговым преобразованием.
Физическим примером этого может служить последова-
последовательное включение двух четырехполюсников, эквивалент-
эквивалентное одному новому четырехполюснику, трансформирующие
свойства которого могут быть определены с помощью
дробно-линейной функции. Из последнего примера видно,
что в общем случае ВАфАВ. Таким образом, обычно
нельзя менять последовательность круговых преобразова-
преобразований (как и последовательность включения четырехполюс-
четырехполюсников).
Если мы имеем дело с тремя круговыми преобразова-
преобразованиями w=A(z), v = B(w), u = C(v), то справедливо сле-
следующее соотношение:
С{ВА) = (СВ)А = СВА. B.22)
Таким образом, последовательное выполнение трех преоб-
преобразований, осуществляемых, например, путем последова-
последовательного включения трех четырехполюсников, возможно
двумя способами, которые, как это легко установить, дают
одинаковый результат.
1 Заметим, что в соответствии с принципом, положенным в основу
этой сокращенной записи, вначале должна быть выполнена операция,
обозначенная символом, стоящим справа.
40
Первая возможность состоит в том, что сначала обра-
образуют преобразование BA = B[A(z)], исключив на первых
порах из рассмотрения преобразование w (при этом два
расположенных сзади четырехполюсника объединяют в
один новый четырехполюсник и определяют его свойства),
а затем результат подставляют в преобразование u = C(v)
(гг. е. первый четырехполюсник объединяют с получен-
полученным). Вторая возможность заключается в том, что снача-
сначала образуют преобразование u = C[B(w)]=D(w), исключив
из рассмотрения преобразование v (оба передних четы-
четырехполюсника объединяются в один новый четырехполюс-
четырехполюсник), и в полученное выражение подставляют преобразова-
преобразование w=А (г).
Выраженные символически уравнениями B.20), B.21)
и B.22) зависимости представляют собой так называемые
групповые законы круговых преобразований; они являют-
являются тривиальными. Однако их символическое представление,
как мы видим, имеет то преимущество, что благодаря ему
довольно сложные выводы могут быть записаны в простом
и доступном виде.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ
ПРИ РАССМОТРЕНИИ ТРАНСФОРМАЦИИ, ВНОСИМОЙ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАМИ
Преимущества, связанные с применением кругогеомет-
рических законов, можно выяснить, рассмотрев конкрет-
конкретный пример. Пусть при измерениях установлено, что четы-
четырехполюсник трансформирует значение Z\ (сопротивление
или проводимость нагрузки) в wu значение z2 в ш2 и зна-
значение z3 в ш3 (рис. 3.1). Требуется определить трансфор-
трансформирующие свойства этого четырехполюсника в общем виде
В данном примере значения z\, г2, г3, шь w2, о>з сле-
следует взять произвольно, для того, чтобы в общем случае
|йжазать преимущества, связанные с применением круго-
|еометрических законов, и их применимость. При практи-
практических измерениях параметров четырехполюсников значе-
Иия нагрузки выбирают не произвольные, а наиболее вы-
выгодные, благодаря чему приведенные ниже геометрические
построения существенно упрощаются. Несмотря на это дан-
Щлк общий случай следует рассмотреть в качестве упраж-
упражнения.
Искусство решения подобных задач заключается в уме-
умении использовать тот факт, чго при круговых преобразо-
преобразованиях окружности переходят в окружности, а углы, на-
•II
правления их отсчета и двойные отношения остаются не-
неизменными. Учитывая это, проведем через три точки zb z%,
z3 однозначно определяемую окружность К\. Ее центром,
как известно, является точка пересечения перпендикуля-
перпендикуляров к серединам отрезков, соединяющих точки Z\, z2 и Z\,
Z3. Окружность К\ при преобразовании должна дать в пло-
плоскости w также окружность, которая может быть только
окружностью Kt*, проходящей через точки wu w2, w3.
Отыщем теперь отображе-
ния некоторых характерных
точек плоскости г. Начнем с на-
начала координат. Для того что-
Плоскостпй г
W- плоскость
Рис. 3.1. Трансформация, осуществляемая четырехполюсником.
в—плоскость г сопротивлений нагрузки четырехполюсника;^^ — плоскость w
соответствующих входных сопротивлений.'
Если из измерений установлено, что четырехполюсник трансформирует z, в w,,
z, в и>, и г3 в а>„ то»с помощью геометрических построений для любого сопро-
сопротивления нагрузки можно определить величину входного сопротивления. Напри-
Например, можно показать, что короткое замыкание (г=0) дает входное сопротивление
О», холостой ход (г=оо) дает оо*, значения реактивных сопротивлений нагрузки,
располагающиеся на мнимой оси, дают входные сопротивления, лежащие на
окружности К*
бы найти его отображение на плоскость w, проведем на плоско-
плоскости z вспомогательные окружности, например, однозначно опре-
определяемую окружность К2, проходящую через точки гх, гг и
нуль. Последняя при отображении на плоскость w должна
дать окружность К\, которая проходит через точки wx, wt
и точку 0*, являющуюся отображением начала координат.
Окружности /(, и Кг, пересекающиеся в точке г,, образуют
угол а. Этот угол при преобразовании остается неизменным.
Поэтому проведем в плоскости w касательную в точке wx
к окружности К* и отложим угол л в том же направлении,
что и в плоскости z. Направление отсчета угла а определяется
42
1
Йа основании следующих соображений. При перемещении от
точки zx к точке гг по окружности Кх угол в нашем примере
оказывается расположенным справа от этой окружности.
Поэтому в плоскости w при движении от точки хюх к точке w2
угол также должен лежать справа от окружности Кх . Итак,
окружность, получаемая при отображении окружности /(„
должна проходить через точки wx и w2, а прямая Т, прове-
проведенная через точку wx, должна быть ее касательной. Таким
образом, центр искомой окружности лежит как на перпенди-
перпендикуляре к середине отрезка, соединяющего точки wx и w2, так
и на перпендикуляре к прямой Т, восстановленном в точке wx.
Проведем теперь в плоскости z через точки zx, z3 и нуль
Окружность К3. Соответствующую ей окружность К3 , про-
проходящую через точки хюх и о>3, построим аналогично окруж-
окружности К*2. Начало координат плоскости z геометрически одно-
однозначно определяется, как вторая точка пересечения окруж-
окружностей Kt и /С3. Поэтому отображением начала координат
в плоскости w является вторая точка пересечения 0* окруж-
йостей К*2 и /С* • Таким образом, найдена точка 0* — отобра-
отображение начала координат плоскости г. Аналогичным образом
можно получить отображение любой другой точки плоскости г.
В качестве следующей характерной точки плоскости w
рассмотрим точку оо*, отображающую точку оо плоскости г.
Чтобы найти ее в плоскости г, проведем прямую /С4 через
точки z2 и г3. Эта прямая может рассматриваться как одно-
однозначно определяемая окружность, проходящая через точки 22,
23 и оо, подобная любой другой окружности, проведенной
через три точки с конечными значениями. Окружность /С4
отображающая Л'4, может быть построена с учетом величины
угла р аналогично Окружности /С*, отображающей К2. В ка-
качестве второй окружности в плоскости z возьмем проходя-
проходящую через точки гх и г3 прямую /С5» которая в плоскости
ш дает окружность К5 . Поскольку обе окружности /С4 и /Cs
6 плоскости z пересекаются в точке оо, вторая точка пересе-
пересечения окружностей /С* и /С* в плоскости w есть точка оо*.
Из описанного выше построения точки оо* — отображе-
отображения точки оо — видно, что в круговой геометрии она, по
1 Аналогичным образом однозначно можно определять направле-
направления отсчета других углов.
43
существу, не отличается от точек с конечными значения-
значениями. Очень важно, чтобы читатель в этому привык.
После того, как мы нашли точки 0* и оо*, соответствую-
соответствующие точкам 0 и оо, в качестве следующей характерной
окружности плоскости z рассмотрим мнимую ось Кв. Со-
Согласно рис. 3.1 она геометрически однозначно определяет-
определяется тем, что проходит через точки 0 и оо и образует с ок-
окружностью К2 угол у- Исходя из этого, в точке 0* плоско-
плоскости w отложим от окружности Kl в нужном направле-
направлении угол y и с помощью полученной при этом касательной
построим однозначно определяемую окружность /Г*( про-
проходящую через точки 0* и оо*. Последняя является отобра-
отображением мнимой оси; это означает, что, если на выходе че-
четырехполюсника подключить какое-либо чисто реактивное
сопротивление (соответствующее взятому на мнимой оси
значению), то на входе четырехполюсника всегда будет
получаться полное сопротивление (или проводимость),
значение которого лежит на окружности Л •
Так же легко можно получить отображение /С* действи-
действительной оси К1 плоскости 2. Действительная ось геометри-
геометрически однозначно определяется тем, что она проходит через
точки 0 и оо и перпендикулярна мнимой оси. Таким образом,
ее однозначным отображением на плоскости w является
окружность К7, которая про-
проходит через точки 0* и оо* и
пересекает окружность К*6 под
прямым углом.
Итак, найдено отображе-
отображение осей координат плоско-
плоскости z на плоскость w. При
этом стрелками обозначены
положительные направле-
направления.
На рис. 3.2 (где все
вспомогательные построения
для наглядности опущены)
показана отображенная на
плоскость w сетка декарто-
декартовой системы координат пло-
плоскости z. Прямые, парал-
параллельные мнимой оси в пло-
плоскости 2, геометрически опре-
ПлоскостЬш
Рис 3.2. Дополнение к рис. Ъ.\,б.
Отображение декартовых координат
в плоскости г на плоскость w. Из
этой диаграммы для любого значе-
значения нагрузки можно определить
входное сопротивление.
44
деЛякЗтся тем, что они нигде не пересекают Мнимую ось, ух
дят в оо и (перпендикулярны действительной оси. Поэтому
окружности, являющиеся их отображениями на плоско-
плоскости w, должны проходить через точку оо *t не пересекая
окружность, отображающую мнимую ось, и касаясь ее
только в точке оо *. Они должны быть также перпенди-
перпендикулярными окружности, отображающей действительную
ось. Таким образом, каждая из них однозначно опреде-
определяется и может быть «построена, если известна хотя бы
одна из расположенных на ней точек, не лежащая в бес-
бесконечности, например точка пересечения с действительной
осью. Последнюю можно найти одним из уже описанных
способов *.
Прямые, параллельные действительной оси в плоско-
плоскости z, геометрически можно рассматривать как окружности,
которые перпендикулярны мнимой оси и уходят в оо. По-
Поэтому окружности, являющиеся их отображением на пло-
плоскости w, проходят через точку оо* и перпендикулярны
окружности, отображающей мнимую ось. Для того чтобы
построить любую из них, целесообразнее всего в плоско-
плоскости z провести проходящие через нулевую точку биссек-
биссектрисы углов, образованных осями координат, а в плоско-
плоскости w построить их отображения. Поскольку в плоскости г
все точки биссектрис одинаково удалены от действительной
и мнимой осей, точками пересечения их с прямыми, парал-
параллельными мнимой оси, определяется положение соответ-
соответствующих прямых, параллельных действительной оси.
То же самое можно сказать о точках кривых, получаемых
при отображении биссектрис на плоскость w.
После того, как система координат плоскости z отобра-
отображена на плоскость w, для каждой точки z легко можно
найти соответствующую ей точку хв. Таким образом, здесь
круговое преобразование представлено геометрически в на-
наглядной форме [11].
4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
ПРИ ПРОЕКЦИИ
Выше было показано, что двойное отношение для четы-
четырех точек при круговом преобразовании остается постоян-
постоянным. При известных обстоятельствах в геометрии это
1 Установить соответствие между окружностями, отображающи-
отображающими прямые, параллельные мнимой оси, и самими прямыми можно
с помощью построения перспективных осей. -Последнее основано на
инвариантности двойного отношения при проекции, рассматриваемой
в следующем параграфе.
45
играет существенную роль. Если С помощью лучей, про-
проведенных из одной точки Р (рис. 4.1), спроектировать от-
отрезки одной из двух параллельных прямых на другую, то
отношение соответствующих отрезков, как известно, оста-
остается постоянным. Математически проще всего это можно
щО гщ
Рис. 4.1. Проектирование
двух [[параллельных пря-
прямых друг на друга. В этом
случае отношение соответ-
соответствующих расстояний ос-
таетси постоянным.
•h
Рис. 4.2. Проектирование
друг на друга двух произ-
произвольно расположенных
прямых. В этом случае
двойное отношение для
четырех соответствующих
точек остается постоян-
постоянным.
представить, если взять прямые с соответствующим чис-
числовым масштабом, т. е. если на каждой из прямых вы-
выбрать нулевую точку и расстояние от нее до любой дру-
другой точки отсчитывать, пользуясь этим масштабом, имея
справа положительные числа, а слева отрицательные. Если
при проекции точке z\ соответствует точка W\, точке z% —
точка и>2 и точке z$ — точка а>3, то всегда справедливо вы-
выражение
W,—1Юг
2,—2.
Щ — Щ 22 —г, "
Это соотношение не будет выполняться, если прямые g\ и
tg2 непараллельны друг другу (рис. 4.2). В данном случае,
если с помощью любых четырех проекционных лучей, ис-
исходящих из точки Р, найти для точек Z\, z2, z3, z4, распо-
расположенных на прямой gi, соответствующие им четыре точ-
точки wu w2, хюг, о>4 на прямой g2, можно записать соотно-
соотношение
г, —г,
2, —г«
B-16)
Wz — W, Wt — Wt 22 —2, ' 22 —Z4
Сказанное выше можно сформулировать в виде следующе-
следующего закона:
46
Закон 4.1 об инвариантности двойного отношения
при проекции
Если для любых четырех точек zb z2, z3, z4, лежащих
на некоторой прямой, с помощью проекции из произволь-
произвольно выбранной точки Р находятся соответствующие четыре
точки W\, W2, а>з, ^\, лежащие на другой прямой, то двой-
двойное отношение значений четырех точек для каждой из пря-
прямых одно и то же, т. е. выполняется соотношение B.16).
Доказательство его можно провести с помощью рис. 4.2,
рассчитав площадь треугольников Z\z$P и т. д. Последнее
можно делать двумя способами: либо исходя из расстоя-
расстояния h от точки Р до прямой gi, либо используя значения
соответствующих углов с вершиной в точке Р. В обоих слу-
случаях результат получится один и тот же, а именно:
(г, — г4) h = z1PztP sin //г1Рг3 для AzjZ,P,
(г, — zt)h = ?3P-ztPs'm/^z3Pzt для AZjZ,P,
(z, ~z4) A = z,P-z4P sin ^/z,Pz4 для Дг,г4Р,
(za — z4) h = ztP • z^P sin /_ zJ>zA для Дг2г4Р.
При этом все углы, отсчитываемые в одном определен-
определенном, выбранном за положительное, направлении Aв случае
рис. 4.2 — по часовой стрелке), считаются положитель-
положительными.
Из написанных выше равенств следует
г-zjh .(Zi-Z*)h
, — z.)h ' (z2 — zt)h
sin
ИЛИ
' 2гР-24Р Sin Z.22P24
_ sin /_ гхРгх % sin
Аналогичным образом получим
sin
zl ' Sin /_ZtPzt
sin
• • D-1)
ttJ—t», oJ—wt sin /_ wiPwi ' sin ^ w2Pwt '
В соотношениях D.1) и D.2) соответствующие друг другу
углы равны, т. е.
/± zxPzb = /^w1Pwi и т. д.
Таким образом, правые части D.1) и D.2) тождественны,
чем я доказано соотношение B.16).
47
5. ДИАГРАММА ТРАНСФОРМАЦИИ РЕАКТИВНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ
В § 3 было показано, как путем геометрических по-
построений можно определить трансформирующие свойства
четырехполюсника, если известны трансформированные
значения (входные сопротивления или входные проводимо-
проводимости) а>ь w2 и Wz для трех произвольных сопротивлений
нагрузки. Однако для определения трансформирующих
свойств четырехполюсника целесообразно брать не произ-
произвольные значения Z\, z2, z3, а определенные, наиболее удоб-
удобные значения. В диапазоне дециметровых и сантиметро-
сантиметровых волн, как мы увидим позже, наиболее удобно выби-
выбирать чисто реактивные сопротивления. При этом, чтобы из-
избежать влияния погрешностей измерений, следует опреде-
определять трансформированные значения не трех различных со-
сопротивлений нагрузки, а четырех, пяти и большего числа.
У четырехполюсника без потерь в этом случае входное
сопротивление также должно быть чисто реактивным.
Если бы во входном сопротивлении появилась активная
составляющая, то при подаче на четырехполюсник напря-
напряжения он стал бы потреблять активную мощность. Однако,
так как чисто реактивное сопротивление на выходе не мо-
может потреблять активную мощность, последняя должна
была бы поглощаться в самом четырехполюснике. Это
означало бы, что четырехполюсник вопреки нашему пред-
предположению обладает потерями. Поскольку четырехполюс-
четырехполюсник трансформирует чисто реактивные сопротивления так-
также в чисто реактивные сопротивления, то при соответст-
соответствующем круговом преобразовании мнимая ось плоскости
z отображается мнимой осью плоскости w.
На рис. 5.1 эти мнимые оси показаны отдельно в виде
прямых g\ и g2. Пусть согласно измерениям значение Z\
трансформируется четырехполюсником в значение W\, зна-
значение 2г в 1Ю2, z3 в Доз и г4 в ©4. Трансформация, осуществ-
осуществляемая четырехполюсником, соответствует круговому ото-
отображению, на котором двойное отношение ДО для четы-
четырех соответствующих друг другу точек остается постоян-
постоянным. Таким образом, должно выполняться соотношение
ДО (да,, да2, да3, w4) = ДО(г„ z2> z3, z4).
В данном случае точки zlt z% и z$ расположены на одной
прямой, а именно на мнимой оси. Учитывая, что двойное
отношение для соответствующих точек на прямой остает-
остается неизменным также и при проекции, произведем сле-
следующие построения.
4S
¦~ Соединим прямой линией две соответствующие друг
'' другу точки, например z2 и w2. На этой прямой выберем
*две любые точки Pi и Р2 так называемые «перспективные
центры». Соединив прямыми точку Р\, например, с точ-
1 кой z\ и Р2 с соответствующей ей точкой wu найдем точку
пересечения этих прямых Si. Соединив также прямыми Pi
с 23 и Р2 с w3, найдем точку пересечения прямых 53. Теперь
через точки St и S3 проведем прямую так называемую «пер-
«перспективную» ось РА. Прямая g\ 'Проектируется из перспек-
перспективного центра Р\ на ось РА. Аналогично из центра Рг на
ось РА проектируется прямая g2. При этих проекциях
"двойное отношение для четырех соответствующих точек
достается постоянным. Если прямая, соединяющая Pi с г*,
ддересекает перспективную ось в точке S'A, то должно вы-
выполняться следующее равенство:
= ДОE„ Sa,
4-52
Рис. 5.1. Диаграмма трансформации реактивных со-
сопротивлений для четырехполюсника без потерь:
gi — мнимая ось со зиачеииямя 2, g2 — мнимая
ось со значениями w. По трем любым реактивным
сопротивлениям нагрузки 2,, г2, z3 и соответст-
соответствующим им входным реактивным сопротивлениям wv
тг, гтг можно построить диаграмму трансформации
реактивных сопротивлений с перспективным^ цент-
центрами Р, и Рг и перспективной осью РА. После
этого путем простой проекции для любого реактив-
реактивного сопротивления нагрузки г' можно найти соот-
соответствующее ему входное реактивное сопротивле-
сопротивление W'.
E.1)
49
Таким образом, местоположение точки S'4 может быть вычис-
вычислено с помощью уравнения E.1). Проектируя прямую g2 из
центра Р2 на ось РА, получаем прямую, соединяющую Р„ с ау4
и пересекающую РА в точке S'^. Далее, учитывая инвариант-
инвариантность двойного отношения, можно записать
ДО(ю1, »„¦»„ wJ = JXO(Slt St, S,, s;'). E.2)
Поскольку, с другой стороны
ДО(ю„ ю„ а>„ wJ = RO{zlt г„ г„ г4),
то из E.1) и E.2) следует, что
до (slf slf st, s^= до (slf st, s,, s;').
Это означает, что точки S4 и S4 совпадают. Полученный ре-
результат имеет большое значение.
Контроль точности измерений
Точность описанных выше измерений в случае четырех-
четырехполюсника без потерь может контролироваться следующим
образом. На двух раздельно расположенных мнимых осях
отложим: на одной оси значения реактивных нагрузоч-
нагрузочных сопротивлений (или проводимостей), а на другой
оси их трансформированные значения (рис. 5.1). Затея
соединим два произвольных соответствующих друг другу
значения прямой и выберем на ней две произвольные точ-
точки Pi и Р2 (перспективные центры), из которых затем бу-
будем проектировать каждую из мнимых осей. Точки пере-
пересечения соответствующих проекционных лучей должны ле-
лежать на одной и той же прямой, а именно, на перспектив-
перспективной оси РА.
При наличии погрешностей, допущенных при измере-
измерениях, может оказаться, что точки пересечения соответ-
соответствующих лучей не лежат точно на одной прямой. Тогда
перспективную ось РА следует провести так, чтобы она в
среднем одинаково хорошо соответствовала всем найден-
найденным точкам. Поскольку возможно, что две точки, соеди-
соединяемые прямой, на которой выбраны центры Pi и Р2, то-
тоже найдены не совсем точно, может оказаться необходимой
небольшая корректировка положения одного из перспек-
перспективных центров, выполняемая небольшим смещением то-
точек пересечения от соответствующей перспективной оси.
50
Таким способом можно построить Диаграмму, которая луч-
лучше всего соответствует всем измеренным величинам.
Значение этой диаграммы (рис. 5.1) состоит не только
в возможности контроля точности измерений, но также и
в следующем.
Применение диаграммы трансформации реактивных
сопротивлений в случае четырехполюсника без потерь [1]
С помощью диаграммы, (рис. 5.1), состоящей из двух
соответствующих друг другу мнимых осей gi и g2, двух
перспективных центров Pi и Р2 и перспективной оси РА,
на данной частоте однозначно определяются трансформи-
трансформирующие свойства четырехполюсника без потерь. Трансфор-
Трансформированное значение w' любого реактивного сопротивления
$, подключенного на выходе четырехполюсника, получает-
зел с помощью этой диаграммы следующим образом. Про-
Проводится прямая, соединяющая точку г' с Pt, и находится
точка пересечения ее с РА. Последняя соединяется с точ-
точкой Р2, и в результате получается прямая, которая пересе-
пересекает g2 в искомой точке w'. Если, наоборот, необходимо
найти сопротивление нагрузки г', которое трансформирует-
трансформируется четырехполюсником в реактивное сопротивление w', то
прибегают к обратным геометрическим построениям '.
в. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ЛЮБЫХ КОМПЛЕКСНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ РЕАКТИВНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ
В предыдущем параграфе было показано, что с по-
помощью диаграммы трансформации реактивных сопротив-
сопротивлений, построенной по результатам измерений, можно лег-
легко определить, в какое значение трансформируется четы-
четырехполюсником любое реактивное сопротивление. Однако
на практике более важно знать, как трансформируются со-
Шютивления, имеющие также « активную составляющую.
Иными словами, требуется найти сопротивление R2 на вхо-
входе четырехполюсника при комплексном 'сопротивлении
«агрузки R|.
v На рис. 6.1 снова показаны мнимые оси и диаграммы
"Трансформации реактивных сопротивлений. Для нагляд-
1 Рмбнер [10] производит отображение мнимых осей друг на дру-
друга с помощью так называемого закона проективной геометрии Штей-
нера.
4* 51
ностй, чтобы избежать наложения двух правых пблуплб-
скостей, представим себе, что плоскость Ri повернута во-
вокруг мнимой оси gi, т. е. положительные активные состав-
составляющие откладываются
не вправо, а влево. При
этом в отношении отсче-
отсчета по мнимой оси ничего
не изменится.
Следуя выведенному
в § 3 правилу, проведем
через точку Ri две окруж-
окружности К\ и /С2, перпенди-
перпендикулярные мнимой оси g\.
В этом случае Ri одно-
однозначно определяется как
относящаяся к правой
полуплоскости точка пе-
Рис. 6.1. Определение трансформиро-
трансформированного значения произвольно выбран-
выбранного сопротивления R, с помощью диа-
диаграммы трансформации реактивных со-
сопротивлений. Для наглядности правая
полуплоскость z развернута вокруг gt
(мнимой оси плоскости г) и размещена
влево от нее. Через точку R, прово-
проводятся две окружности Ki и Кг,перпен-
Кг,перпендикулярные к gv Из диаграммы транс-
трансформации реактивных сопротивлений
определяются значения до,, гшг, w3, wt,
являющиеся трансформированными зна-
значениями точек пересечения г„ г2, z3,
z4. Точка пересечения найденных при
этом окружностей К1 и ^С2 опреде.
ляет R2 — трансформированное значе-
значение сопротивления R,.
окружностей
ресечения
/Ci и К*
Согласно выбранному
способу построения в
действительности она бу-
будет расположена слева
от мнимой оси gu Упомя-
Упомянутые окружности геоме-
геометрически однозначно оп-
определяются их точками
пересечения Z\, z2, z3, z4
с мнимой осью и тем, что
они перпендикулярны к
последней. При трансфор-
трансформации, осуществляемой
четырехполюсником без
потерь, мнимая ось gi переходит в мнимую ось g2. Таким
образом, /С, и /С2 должны перейти в окружности К] и К&
перпендикулярные мнимой оси g2. Окружности эти легко по-
построить. Они проходят через точки wx, wt, w3 ,ш4, являющиеся
отображением точек z ,, z2, z3, zv Последние легко могут быть
найдены из диаграммы трансформации реактивных сопротив-
сопротивлений с помощью геометрических построений, описанных
выше. Построим окружности /С* и К\. Точка пересечения
этих окружностей, лежащая в правой комплексной полуплос-
полуплоскости, даст значение искомого входного сопротивления R2[l].
52
7. ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ В ВИДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
СЕМЕЙСТВ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
РЕАКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ
Определение трансформированных значений произволь-
произвольных комплексных сопротивлений с помощью диаграммы
трансформации реактивных сопро-
'. тивлений связано с большими не-
неудобствами. Для этой цели приме-
применяются более удобные диаграммы.
Прежде всего познакомимся с диа-
- граммами для некоторых простых
четырехполюсников, а именно для
последовательного и параллельного
°)
Рис. 7.1. Последователь-
реактивных сопротивлений (рис. 7.1) ное реактивное сопротив-
й, наконец, для симметричного Т-об- ление (а), параллельное
" разного звена. реактивное сопротивле-
Поскольку кругогеометрический ние ( '•
способ рассмотрения требует неко-
некоторого навыка, то для того, чтобы успешно применить его
в дальнейшем, рекомендуется сначала освоить его на втих
простых примерах.
Трансформирующие свойства последовательного реак-
реактивного сопротивления \Х определяются уравнением
Трансформированное значение R2 получается из R, параллель-
параллельным смещением на отрезок \Х. Точки R,1', Rf, Rf
(рис. 7.2), расположенные на прямой, параллельной мнимой
оси, после трансформации остаются на ней. В этом случае
говорят, что каждая из прямых, параллельных мнимой оси,
последовательным реактивным сопротивлением отображается
сама в себя, или, другими словами, эти прямые смещаются
сами в себя. Точки R,1', RJ4), R{6), лежащие на прямой,
параллельной действительной оси, после трансформации ока-
оказываются расположенными также на прямой, параллельной
действительной оси. Таким образом прямые, параллельные
действительной оси, отображаются на прямые, тоже парал-
параллельные действительной оси, однако каждая из них ото-
отображается уже не сама на себя, а на другую параллельную
ей прямую.
Таким образом, диаграмма трансформации последова-
последовательного реактивного сопротивления состоит из двух пер-
перпендикулярных друг к другу (ортогональных) семейств
53
бкружностей (рис. 7.2). (Семейство f состоит из всех воз-
возможных прямых, параллельных мнимой оси. Каждая из
этих прямых обладает тем свойством, что при трансформа-
трансформации она отображается сама на себя. Семейство II, ортого-
ортогональное первому, состоит из прямых, параллельных дей-
действительной оси. Семейство II отображается само на себя
таким образом, что каждая прямая согласно одной из про-
простейших закономерностей отображается на другую пря-
Семейатво!
ffl
- м
t
- -н
вв.
5.
-
I
I
мую того же семейства II. В случае
последовательного сопротивления
приведенный выше способ рассмо-
рассмотрения представляется весьма об-
обстоятельным. Однако в дальней-
дальнейшем будет показано, что все другие
диаграммы, которые рассматрива-
рассматриваются ниже, также состоят из двух
ортогональных семейств окружно-
окружностей, построенных по определенно-
определенному закону.
С простейшим применением кру-
гогеометрических законов можно
познакомиться на примере диаграм-
диаграммы трансформации параллельного
реактивного сопротивления. Круго-
Круговая трансформация в случае парал-
параллельного реактивного сопротивления
}Х обозначается равенством R2 =
() или еще более сокращенно символом П. Целесооб-
Целесообразно не отыскивать сразу диаграмму трансформации Я, а
действовать последовательно шаг за шагом. Сначала перей-
перейдем, как обычно, к проводимостям, т. е. выполним круговое
преобразование Yt = l/Ri. Это преобразование является
обращением; обозначим его символом /. Таким образом,
вначале мы отображаем плоскость Ri согласно преобразо-
преобразованию Yi=/(R1) на плоскость Yi (рис. 7.3). Для проводи-
мостей в случае параллельного реактивного сопротивления
справедливо выражение
Рис. 7.2. Диаграмма транс-
трансформации в случае после-
последовательного реактивного
сопротивления, состоящая
из семейства I всех пря-
прямых, параллельных мни-
мнимой осн, и из семейства II
всех прямых, параллель-
параллельных действительной оси.
Круговая трансформация, при которой плоскость Yi
отображается на плоскость Y2, является сдвигом, рассмот-
рассмотренным уже в случае последовательного реактивного со-
сопротивления (рис. 7.2). При повторном обращении
54
R2=l/Y2=/(iY2) плоскость Y2 отображается на пло-
плоскость R2.
Таким образом, согласно написанному выше можно
представить преобразование R2 = #(Ri) в виде
или в виде символов
Круговое преобразование S определяется двумя опи-
описанными выше ортогональными семействами окружностей
(рис. 7.2): семейством I, состоящим из прямых, параллель-
ПлосквстЬИг пткостЬУг Плоскость^
Плоскость А
Рнс.^7.3. Построение диаграммы трансформации дли
параллельного реактивного сопротивления с по-
помощью перехода к проводимостям. Прямым, парал-
параллельным мнимой осн в плоскости проводимости,
соответствуют в плоскости сопротивления окруж-
окружности, которые касаются мнимой осн в нулевой
точке; прямым, параллельным действительной оси
в плоскости проводимости, соответствуют в пло-
плоскости сопротивления окружности, перпендикуляр-
перпендикулярные к окружностям первого семейства.
ных мнимой оси, и семейством II, состоящим из прямых,
параллельных действительной оси. Возникает вопрос, ка-
какие кривые в плоскостях Ri и R2 соответствуют этим двум
семействам.
Переход от плоскости Ri к Y! (рис. 7.3) представляет
собой обращение
1 Сравни с изложенным на стр. 39.
55
При этом действительные значения Ri всегда дают дей-
действительные значения Yi. Точно так же чисто мнимые зна-
значения Ri всегда дают чисто мнимые значения Yi, т. е. дей-
действительная и мнимая оси отображаются сами на себя.
Точка Ri=0 дает Yi = oo, а точка Ri = oo дает Yi=0.
Семейства I и II в плоскостях Yi и Y2 проходят через точ-
точку оо. Следовательно, в плоскости Ri им должны соответ-
соответствовать окружности, проходящие через точку Ri=0.
Окружности семейства I в плоскости Yi, а также, следова-
следовательно, и соответствующие им окружности в плоскости Ri
перпендикулярны к действительной оси, а окружности се-
семейства II — к мнимой. Таким образом, семейство I как
в случае плоскости Ri, так и плоскости R2 (поскольку пе-
переход от плоскости Y2 к плоскости R2 также является обра-
обращением) соответствует окружностям, проходящим через
начало координат и пересекающим под прямым углом дей-
действительную ось (так называемые «реактансные окруж-
окружности»). Семейство же II соответствует ортогональным ок-
окружностям, которые проходят через начало координат и
перпендикулярны к мнимой оси (так называемые «рези-
стансные окружности»).
Если в плоскости Ri взять окружность семейства I (ipe-
актансная окружность), то на плоскость Yi посредством
обращения / она отобразится в соответствующую прямую
семейства I. Преобразование S смещает эту прямую и
отображает ее саму на себя, а при последующем преобра-
преобразовании / она отображается снова на первоначальную
реактансную окружность. Таким образом, при преобразо-
преобразовании n=JSJ каждая из реактансных окружностей, распо-
расположенных в плоскости Ri или R2, отображается сама на
себя. Из аналогичных рассуждений следует, что семей-
семейство II окружностей в плоскости Ri или в плоскости R2
(резистансные окружности) при преобразовании IJ=JSJ
также отображается само на себя, но таким образом, что
каждая отдельная резистансная окружность переходит
в другую окружность того же семейства.
Для того чтобы найти значение сопротивления Ri
трансформированного параллельным реактивным сопро-
сопротивлением }Х, можно поступить следующим образом: через
точку Ri (рис. 7.4) проводим реактансную окружность Ко
(которая перпендикулярна действительной оси и проходит
через начало координат), а также резистансную окруж-
окружность К\, которая перпендикулярна мнимой оси и пересе-
пересекает последнюю вблизи точки jQ. Тогда точка R2, изобра-
56
жающая Трансформированное значение сопротивления fti,
должна, во-первых, лежать на окружности /Со (поскольку
окружность /Со переходит сама в себя), а во-вторых, — на
резистансной окружности Кг, являющейся отображением
окружности К\. Так как при сопротивлении нагрузки jQ
для схемы рис. 7.1,6 имее\.
jQjX __ jQX
HQ + X) Q+x'
Кг является той рези-
резистансной окружностью, ко-
которая проходит через точ-
точку jQXfiQ+X).
Расчета величин
jQX/(Q+X) можно избе-
избежать при объединении
этой диаграммы с диа-
диаграммой трансформации
реактивных (сопротивле-
(сопротивлений, поскольку трансфор-
трансформация /Q в jQX/(Q+Xl
является трансформацией
чисто реактивного сопро-
сопротивления, что и сделано
на рис. 7.4. Элементы диа-
диаграммы трансформации
реактивных сопротивле-
сопротивлений, а именно, перспек-
перспективные центры Pi и Р2 и
перспективная ось РА, мо-
могут быть построены, если
известен результат транс-
трансформации по меньшей ме-
мере трех реактивных сопро-
сопротивлений. В данном слу-
случае целесообразнее всего
взять сопротивление на-
нагрузки, равное нулю (это
значение при трансфор-
трансформации сохраняется), со-
сопротивление нагрузки,
равное —jX, которое, бу-
будучи параллельно соеди-
соединенным с сопротивлением
Рис. 7.4. Диаграмма трансформации
для параллельного реактивного сопро-
сопротивления \Х, состоящая из семейства I
всех окружностей, которые касаются
мнимой оси в начале координат, и
из семейства II всех окружностей, пе-
пересекающих мнимую ось в начале ко-
координат под прямым углом. Каждая
из окружностей семейства I при отобра-
отображении переходит сама в себя, окруж-
окружности семейства II—в другие окруж-
окружности того же семейства.Для определе-
определения входного сопротивления R2, соот-
соответствующего сопротивлению нагрузки
R,, находят две окружности К» и Kit
проходящие через точку R,. Точка R2
будет лежать на окружности Кл и на
окружности Кг, являющейся отображе-
отображением окружности Kv По данным для
точки пересечения jQ окружности Ki
с мнимой осью рассчитывается транс-
трансформированное значение jQX/(Q + X),
которое задает положение окружности
Кг- Последний расчет можно исключить,
если скомбинировать эту диаграмму
с диаграммой трансформации реактив-
реактивных сопротивлений.
57
4-/X, дает входное сопротивление, равное об, й Сб-
противление нагрузки, равное оо, которое дает вход-
входное сопротивление jX. Нанесем эти сопротивления на-
нагрузки, как показано на рис. 7.4, на вспомогательную мни-
мнимую ось gi (ось gi целесообразно ориентировать парал-
параллельно мнимой оси g2)- Положения перспективных центров
Р\ и Рг выберем произвольно на прямой, соединяющей оба
начала координат. Проведем проекционный луч через
центр Р\ и точку —jX, лежащую на оси gi, и проекционный
луч из центра Рг, который пересекает мнимую ось g2 в бес-
бесконечности, т. е. проходит параллельно ей. Проекционные
лучи пересекаются в точке S'. Затем, проведем проекцион-
проекционный луч из центра Pi к точке оонаоси^, т. е. параллельно
прямой gi до точки пересечения с проекционным лучом,
проходящим через центр Рг и точку +jX на оси g2. Соеди-
Соединив эту точку пересечения, обозначенную буквой iS", с точ-
точкой S', получим перспективную ось РА. Таким образом,
диаграмма трансформации реактивных сопротивлений по-
построена. Эта диаграмма (рис. 7.4) может быть использо-
использована при любых значениях параллельного реактивного со-
сопротивления. При этом масштаб следует выбирать так,
чтобы значение реактивного сопротивления, играющего
роль четырехполюсника, соответствовало нанесенной на
диаграмме точке /X
Как ясно из рис. 7.4, отображение, осуществляемое па-
параллельным реактивным сопротивлением, геометрически
представляет собой сопровождаемый искажениями пово-
поворот (в направлении, указанном стрелкой) травой полу-
полуплоскости относительно начала координат, который осу-
осуществляется таким образом, что реактансные окружности
переходят сами в себя, а резистансные окружности —
друг в друга. Чем лучше представит читатель этот «пово-
«поворот», тем понятнее станет диаграмма.
8. КРУГОВОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРАВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
НА ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ [1, 13-15]
Прежде чем перейти к симметричному Т-образному зве-
звену, необходимо более подробно рассмотреть некоторые
положения общей кругогеометрической теории.
Особую важность представляет круговое преобразо-
преобразование
I
= 2
(8.1)
58
где Zo — некоторая положительная действительная по-
постоянная. Это преобразование не соответствует непосред-
непосредственно никакому конкретному четырехполюснику. Оно
обладает свойством отображать бесконечно протяженную
правую половину комплексной плоскости на внутренность
круга с радиусом, равным единице, на так называемый
«единичный круг», т. е. на ограниченную площадь. Этот
факт имеет большое значение,
поскольку на практике при-
приходится иметь дело с сопро-
сопротивлениями и проводимостя-
ми, которые изображаются лю-
любыми точками на бесконечно
протяженной правой полупло-
полуплоскости; внутри же единичного
круга они изображаются точ-
точками, которым соответствуют
конечные значения.
Если в выражение (8.1) под-
подставлять действительные значе-
значения z, то всегда будем получать
действительные значения w. Та-
Таким образом, круговое преобразо-
преобразование К отображает действи-
действительную ось саму на себя.
Взяв точку z = Q, получим
w — — 1, а для точки z = оо
получим w = -\-\. Обозначим
величины, полученные с по-
помощью преобразования (8.1),
добавлением сверху индекса Е. Тогда w = •— 1 = 0?,
w =-|- 1 = ооя и w — какое-то значение, полученное преобразо-
преобразованием величины z, равно zE. Мнимая ось плоскости z гео-
геометрически однозначно определяется как окружность, прохо-
проходящая через точки z = 0 и г=оои перпендикулярная
действительной оси. Таким образом, ее отображением на
плоскости ш должна быть окружность, которая проходит
через точки 0я=— 1 и ооя=-|- 1 и пересекает в этих точках
действительную ось под прямым углом, т. е. так называемая
«единичная окружность» (рис. 8.1). Точка z = Zt дает ш —
= ZE — 0. Отсюда следует, что круговое преобразование zE
обладает свойством отображать правую полуплоскость комп-
комплексных чисел на внутренность единичного круга.
59
Рис. 8.1. Отображение с по-
помощью преобразования zE =
= (г — 20)/(г+20) правой комп-
комплексной полуплоскости на внут-
внутренность единичного круга. Ок-
Окружности получены в результате
отображения сетки декартовой
системы координат правой полу-
полуплоскости.
Из закона сохранения направления отсчета углов сле-
следует* что угол, образуемый действительной осью с верхней
половиной мнимой оси в начале координат плоскости г,
должен иметь такое же направление, как и угол, образуе-
образуемый действительной осью с единичной окружностью в точ-
точке ш=0Е=—1. Это означает, в частности, что верхняя
половина правой полуплоскости соответствует верхней по-
половине единичного круга.
Для того чтобы более наглядно представить себе пре-
преобразование К, посмотрим, в какие кривые на плоскости w
переходит декартова система координат плоскости г. Со-
Согласно законам круговой геометрии прямые, параллельные
мнимой оси в плоскости 2, переходят на плоскость w в се-
семейство окружностей, проходящих через точку ооЕ= +1 и
пересекающих действительную ось под прямым углом.
Прямые, параллельные действительной оси в плоскости г,
переходят на плоскость да в окружности, проходящие через
Е 1 й йй
точку оо
Е=
р р
1, они касаются в этой точке действительной
оси и перпендикулярны окружностям первого семейства
(рис. 8.1). Взаимную связь между действительными значе-
значениями плоскостей гида легко можно установить из выра-
выражения (8.1). Она может быть получена также геометриче-
геометрически с помощью диаграммы, которая полностью аналогична
диаграмме трансформации реактивных сопротивлений
(рис. 5.1), за исключением того, что теперь речь идет
о действительных осях. Перспективные центры и перспек-
перспективная ось РА могут быть построены на основании того,
что имеет место следующее отображение: точки 0 в 0Е=
= — 1, ТОЧКИ Zo В Zq" = О И ТОЧКИ ОО В ООЯ = -J- 1 .
Взаимную связь между чисто мнимыми значениями,
т. е. прямыми, параллельными действительной оси в пло-
плоскости г, и соответствующими окружностями • в плоско-
плоскости до, проще всего можно установить путем отображения
биссектрис углов, образованных осями координат плоско-
плоскости г. (Полученные при этом отображении в плоскости до
кривые являются двумя окружностями, проходящими че-
через точки 0Е= — 1 и ооЕ= + 1, образующими с действи-
действительной осью углы в 45° (рис. 8.1) с центрами в точках
+/=(/Zf) и —/= (—jZ0)E. Окружность, отображающая
прямую, параллельную мнимой оси, проходящую через
действительную точку г,, пересекает отображение бис-
биссектрисы в той же точке, что и окружность, отображающая
прямую, параллельную действительной оси, проходящую
через точку ]z\ или —jz\.
60
На рис. 8.2 показано отображение полярной системы
координат плоскости z на плоскость до согласно преобразо-
преобразованию (8.1). Лучи, проходящие в плоскости z через начало
координат, на плоскость до отображаются окружностями,
проходящими через точки-0Е=
¦=—1 и ооЕ= + 1 и образующи-
образующими согласно закону сохранения
углов в точке 0Е=—1 с дей-
действительной осью такие же уг-
углы, как и соответствующие им
;углы в плоскости z.
Концентрические окружно-
окружности в плоскости z, описанные
вокруг начала координат, ото-
отображаются на плоскость до
окружностями, перпендикуляр-
перпендикулярными к действительной оси и
к единичной окружности (их
центры лежат, таким образом,
на действительной оси). Центр
любой такой окружности мож-
Ыо найти, если в точке пересе-
пересечения ее с единичной окруж-
окружностью построить касательную
к единичной окружности и про-
продолжить ее до пересечения с
действительной осью. Взаимная связь этих окружностей с
концентрическими окружностями плоскости z гможет быть
установлена из соответствия значений для действительной
оси, как это, например, делается в случае, показанном на
рис. 8.1.
Вид обратного преобразования К~1 можно определить
.из уравнения (8.1), если решить последнее относительно z.
При этом получим
Рис. 8.2. Отображение правой
комплексной полуплоскости на
внутренность единичного круга.
Окружности получены в резуль-
результате отображения лучей, исходя-
исходящих из начала координат и эле-
элементов концентрических окруж-
окружностей, описанных вокруг нача-
начала координат, лежащих в правой
комплексной полуплоскости.
If- 1 _
Д =Z ¦
(8.2)
В единичной окружности важными в геометрическом
отношении являются лучи, проходящие через начало ко-
Цйдинат, и концентрические окружности, описанные вокруг
рего (рис. 8.3). Выясним, каким кривым в правой полу-
Шюскости они соответствуют. Луч, исходящий из центра
единичной окружности, геометрически однозначно опреде-
определяется тем, что он образует угол а с частью действитель-
61
ной оси, проходящей в направлении от точки Z^ =0 к точ-
точке 0Е=—.1, исходит из точки Z% =0 и является перпенди-
перпендикулярным к единичной окружности. Поэтому в правой
полуплоскости ему должна однозначно соответствовать
Рнс. 8.3. Система полярных коор-
координат внутри единичного круга.
Рис. 8.4. Семейства ок-
окружностей правой полу-
полуплоскости, соответствую-
соответствующие сетке полярных коор-
координат в единичном круге.
окружность, которая, проходя
через точку Zo, образует угол а
с действительной осью и пере-
пересекает мнимую ось под прямым
углом. Таким образом, лучам
единичной окружности в правой полуплоскости соответст-
соответствует семейство окружностей, проходящих через точку Zo и
перпендикулярных мнимой оси (рис. 8.4).
Концентрические окружности, описанные вокруг центра
единичного округа, ортогональны лучам. В правой полу-
полуплоскости им соответствуют окружности, ортогональные
окружностям первого семейства. Если концентрическая
окружность пересекает действительную ось, например,
в точках — р и + р, то соответствующая окружность
в правой полуплоскости пройдет через точки
где, очевидно, ztz2 = Zo . Таким образом, второе семейство
окружностей обладает тем свойством, что каждая из этих
окружностей пересекает действительную ось под прямым
углом в двух точках г, и z2, для которых выполняется
равенство
62
Отображение (8.1) правой Комплексной полуплоскости
иа единичный круг наряду с теоретическим имеет также
и практическое значение. Часто бывает целесообразнее
вместо сопротивлений или проводимостей в плоскости ком-
комплексных чисел определять значения zE, рассчитанные из
соотношения
_? z-Za ,
где Zo является некоторым действительным числом. В то
время как сопротивления или проводимости z могут быть
представлены любыми значениями на бесконечно протя-
протяженной правой комплексной полуплоскости, все соответ-
соответствующие им точки гЕ, которые называют сопротивления-
сопротивлениями или проводимостями единичного круга (кратко ЕК-со-
противления или ЕК-проводимости), лежат внутри опи-
описанной вокруг начала координат окружности с конечным
радиусом, равным единице. При этом масштаб может
быть взят как угодно большим. Различные геометрические
построения в единичном круге выполняются проще и
являются более наглядными.
9. КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИИ ЗАКОН ОДНОЗНАЧНОСТИ
Известно, что круговое преобразование однозначно
определяется отображением трех точек (закон 2.4). Ниже
будет найден и сформулирован еще один очень важный
закон однозначности. Для этого необходимо рассмотреть
круговые преобразования, которые обладают свойством
отображать внутренность единичного круга опять на еди-
единичный круг (сокращенно Е-круг).
Очевидно, что простейшим отображением такого вида
является поворот ш=е/1рг. При повороте центр единичной
окружности, т. е. начало координат, переходит сам в себя
и, таким образом, является фиксированной точкой отобра-
отображения. Поворот однозначно определяется величиной угла
поворота ф. Геометрически этот угол задается поворотом
вектора, проведенного из центра окружности (рис. 9.1).
Докажем, что поворот является единственно возможным
круговым преобразованием, отображающим единичный
круг сам на себя, при котором центр последнего является
фиксированной точкой. Для этой цели проведем диаметр,
который пересекает единичную окружность в точках Р
и Q. С точки зрения круговой геометрии диаметр единич-
единичного круга — это окружность, проходящая через его центр
63
И перпендикулярная к единичной окружности. Поскольку
при данном круговом отображении единичный круг и его
центр переходят сами в себя, диаметр должен перейти
в окружность, проходящую также через центр единичного
круга и перпендикулярную к единичной окружности. Оче-
Очевидно, что получится опять диаметр, который пересекает
границу E-wpyra, например, в точках Р' и Q'. Таким
образом, при этом отображении точка 0 переходит в О,
точка РвР'и точка Q в Q'. Но круговое отображение со-
Рис. 9.1. Отображение пу-
путем поворота в единичном
круге.
Рнс. 9.2. Отображение
единичного круга самого
на себя. Оно однозначно
определяется отображе-
отображением точки 2, на 22 и на-
направления s, на s2.
гласно закону 2.4 однознач-
однозначно определяется отображе-
отображением трех точек. Это отобра-
отображение осуществляется с по-
помощью поворота ад = е/!р2 и, следовательно, согласно за-
закону однозначности поворот является единственным ото-
отображением такого типа.
Если кроме поворота имеются другие круговые отобра-
отображения, при которых единичный круг переходит сам в себя,
то в этом случае начало координат плоскости г должно
переходить в точку плоскости, ад, отличную от нуля, или,
наоборот, в начало координат плоскости ад должна отобра-
отображаться точка плоскости г, отличная от нуля. Возникает
вопрос, можно ли сделать так, чтобы при круговом отобра-
отображении единичного круга самого на себя любая произволь-
произвольно выбранная точка гь лежащая внутри единичного круга,
отображалась на точку Wi=0 (рис. 9.2). Утвердительный
^ответ и доказательство этого приводятся ниже.
" Проведем через точку Z\ произвольную окружность, ко-
которая перпендикулярна к границе единичного круга. Пусть
это будет, например, диаметр К, пересекающий границу
64
единичного мрута а точках Р и Q. Согласно закону 2.4
всегда имеется такое круговое преобразование, которое
отображает точку Р в точку Р', лежащую в любом месте
на границе единичного круга, точку z\ в точку 0, а точ-
точку Q в точку, диаметрально противоположную Р' и обозна-
обозначенную Q'. Это круговое преобразование обладает тем
свойством, что окружность К, проходящую через точки Р,
Z\ и Q, оно отображает на окружность К', проходящую
через точки Р', О и Q'. Таким образом, единичная окруж-
окружность, перпендикулярная к К в точках Р и Q, должна
перейти в единичную окружность, перпендикулярную к К'
в точках Р' и Q'. Это значит, что граница единичного кру-
круга отображается сама на себя. Так как гх и 0 являются
внутренними точками, получается круговое отображение
единичного круга самого на себя, при котором точка z\
отображается в точку 0.
Точка Р' может быть взята в любом месте на границе
единичного круга, поэтому имеется бесконечно большое
число круговых отображений, которые отвечают сформули-
сформулированному требованию. Если же ставится дополнительное
условие, согласно которому произвольно взятое направле-
направление, определяемое стрелкой su проведенной через точку zu
должно отображаться в произвольное направление s', про-
проведенное через точку 0, то существует только одна воз-
возможность. Направление Si составляет с диаметром, прохо-
проходящим через точку Z\, угол а, величина и направление
отсчета которого при отображении остаются постоянными.
Диаметр, проходящий через точку zu можно рассматри-
рассматривать как однозначно определяемую окружность К, прохо-
проходящую через точку z\ перпендикулярно к границе единич-
единичного круга и образующую угол а с направлением S\. При
отображении он должен дать окружность К.', проходящую
через точку 0, перпендикулярно к границе единичного кру-
круга. Окружность К' с направлением s' образует угол а.
Этим однозначно определяется точка Р', а следовательно,
и все круговое отображение. Таким образом, нами доказано,
что всегда имеется одно, и только одно, круговое отобра-
отображение единичного круга самого на себя, при котором про-
произвольно взятая внутри его точка Z\ отображается на на-
начало координат, а любое направление su проведенное
через точку Z\, — на любое направление s', проведенное
через начало координат.
Обозначим символом А круговое отображение единич-
единичного круга самого на себя, при котором точка zx перехо-
5—52 • 65
дит в точку 0, а направление Si в s'. Пусть при Ётор*ом
круговом отображении единичного круга самого на себя,
обозначенном буквой В, произвольно взятая точка z2 пере-
переходит в точку 0, а направление s2 в s'. Это отображение
однозначно определяется указанными выше условиями.
Если использовать символические обозначения, введенные
нами при изучении групповых законов, то тогда круговое
отображение может быть записано в виде
В-*А, (9.1)
где отображение В-1 является обратным для В. Очевидно,
что оно будет представлять собой круговое отображение
единичного круга самого на себя, при котором точка О
переходит в z2, a s' B *з. Отображение (В~1А) означает
последовательное выполнение отображений А и В~1. При
отображении А точка Z\ переходит в точку 0, при отобра-
отображении В~1 точка 0 отображается в точку z2, следовательно,
при отображении (Б~'/4) точка zx отображается в точ-
точку z2. Точно так же при отображении А направление S\ пе«
реходит в направление s', при В~1 направление s' перехо-
переходит в s2, т. е. при отображении {В~1А) направление si
переходит в s2. Этим доказано, что всегда существует кру-
круговое отображение единичного круга самого на себя, при
котором любая, находящаяся внутри круга точка Z\
отображается в произвольную, находящуюся внутри этого
круга точку z2, а любое направление Si, проходящее через
точку 2Ь — в любое направление s2, проведенное через точ-
точку г2.
Существует только одно круговое отображение с этими
свойствами. Это ясно из следующего.
Пусть С является круговым отображением, также обла-
обладающим указанными свойствами. Тогда отображение ВС
переводит точку Z\ в точку 0, а направление S\ в s'. Таким
образом, это отображение согласно доказанному выше
идентично с отображением А. Итак ВС—А. Из последнего
уравнения следует
Но согласно B.22) и B.20)
Этим доказана идентичность отображений С и (В~1А).
Если обозначить, как обычно, трансформированное зна-
значение через ш, то изложенное выше можно сформулиро-
сформулировать в виде следующего закона:
66
J
Закон однозначности 9.1 для случая отображения единичного круга
самого на себя
Для кругового отображения единичного круга самого
на ^ебя характерно то, что произвольно выбранная, нахо-
находящаяся внутри этого круга точка Z\ с произвольным на-
направлением sz может отображаться в любую другую, нахо-
находящуюся внутри него точку wu с любым направлением sw.
Всегда имеется одно и только одно круговое отображение,
которое отвечает данным конкретным требованиям.
Отсюда нетрудно вывести очень важный для дальней-
дальнейшего закон однозначности кругового отображения правой
комплексной полуплоскости самой на себя, а именно:
Закон однозначности 9.2 для случая отображения
правой полуплоскости самой на себя
Для кругового отображения правой полуплоскости са-
самой на себя характерно то, что произвольно лежащая на
ней точка zx с произвольным направлением sz может
отображаться на другую точку W\ этой полуплоскости
с произвольным направлением sw. Всегда имеется одно и
только одно круговое отображение, которое отвечает дан-
данным конкретным требованиям.
Для доказательства отобразим правую половину плос-
плоскости 2, а также плоскости w на единичный круг с по-
помощью кругового преобразования К- При этом точка гг
перейдет в точку zf , направление sz в sf, wt в wf, sw в
s^ . Согласно закону однозначности 9.1 всегда имеется
такое круговое отображение С единичного круга самого
на себя, при котором точка zf отображается в wf , а направ-
Р Р
ление sz в sw . Тогда круговое отображение
А "-"А \Э'?)
будет переводить правую полуплоскость саму на себя, при
этом точка z\ переходит в точку шь а направление, опреде-
определяемое стрелкой sz, в направлении sw. Таким образом, су-
существование искомого кругового отображения доказано.
Пусть D является вторым круговым отображением, ко-
которое отвечает тем же требованиям. Рассмотрим отобра-
отображение
KDK~l. (9.3)
б» 67
Очевидно, что с помощью К~1 единичный круг отобража-
отображается на правую полуплоскость, при этом точка zf переходит
в 2, и направление sz в sz. При отображении D правая
полуплоскость переходит сама в себя таким образом, что
точка Zj переходит в wlt а направление sz в направление s .
При последующей трансформации правая полуплоскость
снова отображается на единичный круг; при этом точка да,
переходит в cwf, а направление sw в s%, т. е. (9.3) является
таким круговым отображением единичного круга самого на
себя, при котором точка zf переходит в wf, а направление
sf в направление s^. Следовательно, согласно закону одно-
однозначности 9.1
Тогда
Таким образом, отображение D идентично отображению
к-'с к.
10. диаграммы трансформации в виде ортогональных
семейств для симметричных т-образных звеньев
без потерь
Jo
ш
JP
Наряду с ди-аграммами трансформации для последова-
последовательных и параллельных реактивных сопротивлений очень
важное значение имеет диаграмма, рас-
рассматриваемая ниже. Пусть имеется сим-
симметричное Т-образное звено без потерь
(ipnc. 10.1). Для построения отвечающей
ему диаграммы трансформации полных
Рис 101 Симмет- сопротивлений целесообразно прежде
ротное Т-образное всего определить те значения сопротивле-
ввено нз реактив- ния нагруэки Ri или, другими .словами, те
ных сопротивлений, точки г, которые отображаются сами
на себя, т. е. являются фиксирован-
фиксированными точками. Входное сопротивление w, соответствующее
сопротивлению нагрузки г, рассчитывается в случае
рис. 10.1 по формуле
68
Значения для фиксированных точек, обозначенных через Z,
епределяются из уравнения
jZ(P + Q)- 2PQ-1
Z + j(P + Q)
или Z2 = —
т. е.
= d=V—2PQ— Q2.
A0.2)
Таким образом, получаются два значения: Zx и Z2, причем
всегда Zi=—Z2.
Поскольку Р и Q могут быть как положительными, так
и отрицательными, то возможны три случая, когда под-
подкоренное выражение является положительным, отрица-
отрицательным или равным нулю. Соответственно этому значения
фиксированных точек Zx и Z2 будут» либо чисто действи-
действительными, либо чисто мнимыми, либо равными нулю.
В первом случае физически, разумеется, имеет смысл толь-
только положительное действительное значение для фиксиро-
фиксированной точки, которое обозначается через Zo.
Продолжая изучение отображения, определим, в какое
значение Wk (входное сопротивление при коротком замы-
замыкании) трансформируется Т-образным звеном сопротивле-
сопротивление нагрузки z=0 (короткое замыкание на выходе). Из
уравнения A0.1) в этом случае получим
. 2PQ + Q'
1 P + Q
A0.3)
Таким образом, поскольку Р и Q являются действительны-
действительными, входное сопротивление Док при сопротивлении нагруз-
нагрузки 2=0 всегда является чисто мнимой величиной, как и
вообще входное сопротивление при любом подключенном
к Т-образному звену без потерь реактивном сопротивле-
сопротивлении. Рассмотрим подробнее каждый случай в отдельности.
Эллиптический случай (диапазон прозрачности)
Если значения фиксированных точек Z, и Z2 являются
действительными, то, воспользовавшись терминологией, при-
принятой в математике, можно говорить об эллиптическом слу-
случае. Фиксированная точка Z0J= ]/— 2PQ — Q2 в зависимости
от выбора Р и Q принимает любое положительное действи-
действительное значение, лежащее между 0 и со. Сопротивление
wK, соответствующее короткому замыканию на выходе,
независимо от величины Zo может принимать любое значение
69
jA на мнимой оси. Это можно показать, если Zo и А считать
произвольными действительными величинами, и затем дока-
доказать, что всегда существуют действительные значения Р и Q,
которые удовлетворяют условиям
2 О Dt~i t /*~J
— 6ГЧ — у-=:/:0 И р =Л. (Ю.4)
Условия (il0.4) представляют собой уравнения, где Р и Q
неизвестны. Они могут быть решены относительно Р и Q,
при этом получается
A0.5)
Очевидно, что подвдренное выражение в соотношениях
A0.5) всегда положительно, следовательно, Р и Q — дей-
действительные величины. Таким образом, существует по
меньшей мере одно симметричное Т-образное звено с тре-
требуемыми свойствами.
Очевидно, что в том случае, когда четырехполюсник
преобразует чисто мнимые сопротивления .нагрузки в чисто
мнимые входные сопротивления, а одно из положительных
действительных сопротивлений отображается само на
себя, приходится иметь дело с круговым отображением Н
правой полуплоскости самой на себя. Ниже будет показа-
показано, что диаграмма трансформации сопротивлений круго-
геометрически может быть полностью определена на осно-
основании только того факта, что действительное значение
переходит само в себя, а значение 2=0—в чисто мнимое
значение шк, которое определяется выражением A0.3).
Прежде чем перейти к рассмотрению кругового отобра-
отображения Я, рассмотрим отображение
где К изображает трансформацию
при которой правая полуплоскость переходит в единичный
круг и, в частности, точка Zo—в нулевую точку. На вопрос
о том, что представляет собой отображение КНК~\ можно
ответить воспользовавшись следующими рассуждениями.
При отображении К~* единичный круг переходит на правую
полуплоскость, Я отображает последнюю самое на себя,
70
а после отображения К правая Полуплоскость снова пере*
ходит в единичный круг. Таким образом, КНК~1 является
круговым отображением единичного круга самого на себя.
Кроме того, можно установить, что при отображении /С
точка 0 переходит в Zo, при отображении Я точка Zo
остается неизменной и при отображении К точка Zo вновь
переходит в нуль.
Таким образом, при отображении КНК~1 начало ко-
координат, совпадающее с центром единичного круга, остает-
остается неподвижным. Следовательно, на основании изложенно-
изложенного в § 9 можно утверждать, что отображение КНК'1
является обычным поворотом вокруг начала координат.
Преобразование /С отображает точку 0Е=—1 в нуль,
Н отображает точку нуль в W& и, наконец, К— точку шк а
". (Ю.6)
wK
Отображение КНК'1— это поворот единичного круга вокруг
начала координат на такой угол, что точка 0? = — 1 пере-
переходит в точку wEK. Таким образом, установлено следующее:
Закон 10.1
В случае симметричного Т-образного звена (рис. 10.1)
отображение (если оно имеет действительные фиксирован-
фиксированные точки и если правая полуплоскость переходит в еди-
единичный круг, таким образом, что положительная действи-
действительная фиксированная точка Zo становится началом ко-
координат) соответствует повороту единичного круга вокруг
точки 0 на такой угол, что точка 0Е=—1 переходит в точ-
точку w^ t значение которой может быть определено из зна-
значений Р и Q с помощью уравнений A0.3) и A0.6).
После исследования отображения КНК~1 легко уяснить
смысл следующего равенства:
Я = (К- 'К) Я (К- *К) = К-' (КНК-') К.
Как уже указывалось в § 8, лучам, проведенным внутри
единичного круга, соответствуют в правой полуплоскости
окружности, проходящие через точку Zo и перпендикуляр-
перпендикулярные мнимой оси (рис. 8.4). Совокупность их называется
семейством окружностей II. Каждому лучу, проходящему
внутри единичного круга, соответствует именно та окруж-
окружность, которая в точке Zo образует с действительной осью
71
Такой же угол, что и сам луч. Концентрическим окружно-
окружностям соответствуют окружности, ортогональные окружно-
окружностям семейства II. Они объединяются в семейство I.
Окружности правой полуплоскости, которые соответ-
соответствуют концентрическим окружностям, расположенным
внутри единичного округа (семейство I) с учетом их,
свойств, рассмотренных ниже, называются «окружностями
постоянного рассогласования», а ортогональные к ним
окружности (семейство II) — «окружностями постоянной
фазы». Итак, установлено следующее:
Закон 10.2
Диаграмма трансформации для симметричного Т-об-
Т-образного звена в эллиптическом случае, т. е. в случае
лежащей в правой полуплоскости действительной фикси-
фиксированной точки Zo, состоит из двух ортогональных се-
семейств окружностей, обозначаемых цифрами I и II. Семей-
Семейство I (или семейство окружностей постоянного рассогла-
рассогласования) включает в себя окружности, перпендикулярные
действительной оси и пересекающие последнюю в таких
двух точках zx и г2, что Z\Z2—Z\ (на рис. 8.4 показаны
сплошными линиями). Каждая из этих окружностей при
отображении переходит сама в себя.
Семейство II (семейство окружно-
окружностей постоянной фазы) представля-
представляет собой совокупность всех окруж-
окружностей, проходящих через точку Zo
и перпендикулярных окружностям
первого семейства, а также мнимой
оси (на рис. 8.4 показаны пункти-
пунктиром). При отображении имеет место
сопровождающийся искажениями
(неэвклидов) поворот их вокруг
точки Zo на такой угол а, при кото-
котором точка 0 переходит в точку док,
причем каждая из окружностей по-
постоянной фазы переходит в другую
окружность того же семейства.
Угол а может быть вычислен из
величины входного сопротивления
wk Т-образного звена при коротком
замыкании на его выходе. На
рис. 10.2 изображены фиксирован-
фиксированная точка Zo и угол поворота а для
У
м
Рнс. 10.2. Часть диаграм-
диаграммы трансформации эллип-
эллиптического типа и геометри-
геометрические построения, с по-
помощью которых устанавли-
устанавливаются особенности транс-
трансформации в эллиптическом
случае.
72
симметричного Т-образного эвена. Тогда Wk является точ-
точкой тересечения окружности постоянной фазы К с мнимой
осью. В точке Zo окружность К образует с действительной
«сью угол а. Точка М — центр этой окружности, точки Zo
и Wk образуют равнобедренный треугольник с углом а при
Вершине. Вершинами другого равнобедренного треугольни-
треугольника являются точки Wk, Zo и 5—точка пересечения каса-
касательных к окружности постоянной фазы, проведенных через
Zo и wk- Внешний угол при вершине этого треугольника ра-
равен а, так что углы при основании треугольника равны а/2.
Следовательно, угол при вершине Zo прямоугольного тре-
треугольника Zo, 0, Wk также равен а/2. Таким образом, выра-
выражение для входного сопротивления Wk при коротком
замыкании на выходе можно записать следующим об-
образом:
wK= iZ0 tg-|- A0.7)
и далее
Таким образом,
-Zo
Z0(P+Q)
Сопротивление, определяемое фиксированной точкой Zo,
называют волновым сопротивлением Т-образного звена.
Если волновое сопротивление, как например в данном
случае, является действительной величиной, то говорят, что
Т-образное звено является фильтром, работающим в диа-
диапазоне прозрачности. Если на выходе подключено актив-
активное сопротивление Zo, то входное сопротивление четырех-
четырехполюсника также будет активным и равным Zo. В этом
случае при подключении генератора ко входу Т-образного
звена мощность будет передаваться на выход без отра-
отражения.
Гиперболический случай (диапазон непрозрачности)
Согласно уравнению 10.2 фиксированные точки Zx и Z2
Т-образпого звена могут иметь чисто мнимые значения.
Этот случай называется гиперболическим. Обе фиксиро-
фиксированные точки при этом лежат на мнимой оси на одинако-
одинаковом расстоянии от начала координат. Физически эти фикси-
фиксированные точки определяют чисто реактивные сопротивле-
73
ния, одно из которых является индуктивным, а другое —
емкостным. Величина \Z\ для точки Z\ или Z2 в зависимо-
зависимости от величин Р и Q может принимать любое значение,
лежащее между 0 и оо, а входное сопротивление четырех-
четырехполюсника Док, соответствующее короткому замыканию на
выходе, как будет показано в дальнейшем, может изме-
изменяться только в пределах между Z\ и Z2. Это можно пока-
показать, задаваясь снова любыми чисто мнимыми значения-
значениями Z\—\\Z\ и wK=jA и определяя Р и Q из условий
= А.
2PQ + Q2
P + Q
При этом для Р и Q получим
Очевидно, что Р и Q могут иметь действительные значения,
т. е. чисто реактивные сопротивления jQ и jP возможны
только в том случае, если \А\ < \Z\, причем \Z\ может при-
принимать любое значение между 0 и оо.
Обратимся к диаграмме трансформации, представлен-
представленной на рис. 10.3. В семейство I (сплошные линии) в этом
случае входят все окружности, которые проходят через
фиксированные точки Z\ и Z2, лежащие на мнимой оси. Се-
Семейство II (показано пунктирными линиями) включает
в себя окружности, перпендикулярные к окружностям пер-
первого семейства. Рассматриваемая диаграмма становится
внешне сходной с диаграммой для эллиптического случая,
если ее дополнить в левой комплексной полуплоскости
своим зеркальным отражением и повернуть затем на 90°.
При построении окружностей семейства II необходимо
учитывать, что все их центры находятся на мнимой оси,
а значения их точек пересечения 5i и 52 с мнимой осью
удовлетворяют соотношению
|S,|-|S,| = |Z|\ . (Ю-8)
Если одна из этих точек, например Si, взята произвольно,
то вторая точка пересечения 52 определяется из последне-
последнего соотношения, а затем на основании этого находится
74
Центр окружности. Как это делается, здесь нет особой не-
необходимости разъяснять подробно, поскольку выполняе-
выполняемые при этом геометрические построения совершенно ана-
аналогичны построениям для эллиптического случая.
Теперь покажем, что при трансформации осуществляем
мой Т-образным эвеном, каждая из окружностей се-
ОйЫ Ocbw .
Рис. 10.3. Диаграмма трансформации гиперболиче-
гиперболического типа. Она состоит из семейства I всех воз-
возможных окружностей, проходящих через фиксиро-
фиксированные точки Z, и 2„ и семейства II окруж-
окружностей, перпендикулирных к окружностим семей-
семейства I. Дли определения ш,—трансформированного
значении сопротивления нагрузки г, находит окруж-
окружности обоих семейств, проходящие через точку г,.
Точка ш, лежит на той же окружности семейства I
и на окружности Кг, ивляющейси отображением
окружности Ki- Окружности /С, и Кг определиютси
по их точкам пересечении 2, и ш, с
мнимой осью.
Отображение г' в w' может быть найдено с по-
помощью диаграммы трансформации реактивных со-
сопротивлений. Последний строитси по фиксированным
точкам Z, и Za и точке шк, соответствующей ко-
короткому замыканию иа выходе четырехполюсника.
75
мейства I (йа рис. 10.3 изображены сплошными линиями),
проходящих на этот раз через фиксированные точки; ото-
отображается сама на себя.
Рассмотрим, например, какую-то окружность /Со семей-
семейства I. На этой окружности расположены фиксированные
точки Zi и Z2. Каждая из фиксированных точек отобра-
отображается сама на себя. Окружность /Со в фиксированных точ-
точках образует с мнимой осью углы, каждый из которых ра-
равен а. Направление отсчета этих углов определяется тем
фактом, что поворот вектора, ориентированного от точ-
точки Z\ к точке 2=0, на угол а до совмещения его с направ-
направлением касательной к окружности /Со происходит против
часовой стрелки. Так как рассматривается четырехполюс-
четырехполюсник без потерь, то мнимая ось отображается сама на себя.
На основании того, что при отображении окружности пе-
переходят в окружности, а углы остаются постоянными, мож-
можно утверждать, что окружность /Со также должна перейти
в окружность, проходящую через точки Z\ и Z2 и обра-
образующую с мнимой осью углы, равные а. Этим условиям
удовлетворяют либо только сама окружность /Со, либо ее
зеркальное отражение относительно мнимой оси. Но по-
последнее не может являться отображением окружности /Со-
Это вытекает из закона сохранения направления отсчета
угла а и из вышедоказанного факта о том, что точка Док,
представляющая собой отображение точки 2=0, лежит на
мнимой оси между точками Z\ и Z2 так, что направление
от точки Zi к точке шк совпадает с направлением от точ-
точки Z\ к нулю.
Таким образом, доказано, что окружность /Со в данном
случае действительно отображается сама на себя и что
это же самое справедливо для всех окружностей семей-
семейства I. Окружность, перпендикулярная окружностям пер-
первого семейства, после отображения также должна быть
перпендикулярной им. Следовательно, каждая окружность
семейства II после отображения должна оставаться окруж-
окружностью того же семейства II. Поскольку нулевая точка
переходит в точку о>к, действительная ось, в частности,
должна перейти в ту окружность семейства» II, которая
проходит через точку и>к- Таким образом, при отображе-
отображении отдельные точки плоскости перемещаются вдоль окруж-
окружностей семейства I от одной фиксированной точки к другой.
Такое отображение получило название «неевклидова пре-
преобразования подобия».
Для того чтобы увидеть, как отображается отдельная
76
1
бК^ужность семейства И, объединим изображённую М
рис\ '10.3 диаграмму из ортогональных семейств окружно-
окружностей; с диаграммой трансформации реактивных сопротивле-
сопротивлений. Для этого слева от мнимой оси проведем мнимую ось
плоскости 2 и отложим на ней точки 0, Z\ и Z2, а на мни-
мнимой оси, расположенной рядом справа, — соответствующие
им точки а>к, Z( и Z2. Далее согласно описанному выше ме-
методу построим диаграмму трансформации реактивных со-
сопротивлений с перспективной осью и перспективными цен-
центрами. С помощью этой диаграммы для каждой точки мни-
мнимой оси 2 можно однозначно определить точку на мнимой
оси w. Если, например, нужно узнать в какую точку ото-
отображается произвольная точка, соответствующая комплекс-
комплексному сопротивлению Z\, то через нее, во-первых, проводят
соответствующую окружность семейства I, которая одно-
однозначно определяется точками Zi, Z2 и Z\, во-вторых, через
точку 2i проводят соответствующую окружность семей-
семейства II. Для нахождения центра этой окружности в точке Z\
строят касательную к окружности семейства I и продол-
продолжают ее до пересечения с мнимой осью. Полученная таким
образом окружность /Ci семейства II, проходящая через
точку 2i, пересекает мнимую ось в точке г'. Точку г' пере-
переносят на расположенную слева вторую мнимую ось 2 и за-
затем с помощью диаграммы трансформации реактивных со-
сопротивлений находят точку W, являющуюся отображением
точки г'. Окружность Кг семейства II, проходящая через
точку w', пересекает окружность семейства I, проходящую
через точку Z\, в точке W\, являющуюся отображением точ-
точки 2]. Это 'можно сформулировать в ;виде закона:
Закон 10.3
В случае чисто мнимых значений фиксированных точек
(гиперболический случай) симметричному Т-образному
звену соответствует диаграмма трансформации, которая со-
состоит из семейства I всех окружностей, проходящих через
фиксированные точки Zx и Z% с чисто мнимыми значе-
значениями, расположенные симметрично по отношению к нача-
началу координат, и из семейства II всех окружностей, ортого-
ортогональных окружностям семейства I. Точки, соответствую-
соответствующие сопротивлениям, при трансформации перемещаются
вдоль окружностей семейства I так, что окружности се-
семейства II переходят в другие окружности того же семей-
семейства. Для удобства пользования данную диаграмму целе-
целесообразно объединить с диаграммой трансформации реак-
реактивных сопротивлений.
77
В гиперболическом Случае также можно формально
воспользоваться формулой A0.7), получив при этом
или wK = jZ2tg^-
и определив, таким образом, угол а, или а2.
При этом
Так как точкам шк, Z, и Z2 соответствуют чисто мнимые
значения, то значения tg a,/2 и tg а2/2 также должны быть
чисто мнимыми. Таким образом, в данном случае эти углы
не имеют геометрического смысла. Точка w , как указыва-
указывалось выше, может принимать любое значение между Z, и Z2.
Это означает, что значения tga,/2 и tga,/2 могут лежать
между — / и-)-/. Положив а/2 = /р, получим tga/2 = tg/p
Если tg а/2 изменяется от —/ до +/, то th p будет ме-
меняться от —1 до +1. Это означает, что р* изменяется от
—оо до + оо и, следовательно, а/2 изменяется от —/оо до
+/оо.
Кроме рассмотренных случаев, когда фиксированным
точкам диаграммы симметричного Т-образного звена со-
соответствуют чисто действительные или чисто мнимые зна-
значения и оба значения отличны друг от друга, существует
граничный случай, при котором —2PQ—Q2=0. В этом слу-
случае значения фиксированных точек равны друг другу и
в то же время равны нулю. Диаграмма эллиптического или
гиперболического типа, как будет показано несколько поз-
позже, переходит при этом в диаграмму параболического
типа для параллельного реактивного сопротивления
(рис. 7.3 и 7.4).
Если в случае рассматриваемого симметричного Т-об-
Т-образного звена,составленного из реактивных сопротивлений,
изменять частоту, то величины сопротивлений jP и jQ бу-
будут также изменяться. Фиксированные точки при этом
в течение определенного времени будут иметь чисто дей-
действительные значения. В этом случае, как уже говорилось
выше, при оконечной нагрузке, равной по величине значе
нию его фиксированной точки, т. е. волновому сопротив-
сопротивлению, будет передаваться только активная мощность.
При этом говорят, что фильтр работает в диапазоне про-
прозрачности. При волновом сопротивлении, значение которо-
78
го равно нулю или чисто мнимой величине, имеем обрат-
обратный, случай. Тогда говорят, что фильтр работает в диапа-
диапазоне непрозрачности. При этом его работа описывается
диаграммой трансформации гиперболического типа. Гра-
Границе этих двух режимов, т. е. граничной частоте, соответ-
соответствует диаграмма параболического типа для параллель-
параллельного реактивного сопротивления или, если Р = оо, диаграм-
диаграмма параболического типа для последовательного реактив-
реактивного сопротивления.
Трансформация напряжений и токов в случае
симметричного Т-образного звена без потерь
В случае Т-образного звена без потерь, используя
рис. 10.1, можно получить следующие уравнения:
QI
•а— »1-Г- ;p — jP i!—p— •
Подставив второе уравнение в первое, получим
.т ч P + Q
так, что
Q2
A0.9)
jp
Введем в эти уравнения соответствующее одной из фикси-
фиксированных точек значение волнового сопротивления Z и
угол поворота а.
Выше было показано, что
и tg-f=7=pi. (ШЛО)
Эти формулы справедливы независимо от того, какая из
двух фиксированных точек выбрана. Чтобы они остава-
оставались в силе, необходимо лишь взять угол а, соответствую-
соответствующий выбранному значению Z.
Испольэуя выражения
/'
tg2
79
получим
. я
Подставляя эти выражения «в уравнения A0.9), нййдем
выражения, определяющие трансформацию напряжения и
тока в случае симметричного Т-образного звена без потерь
I . Ut . a
A0.11)
Некоторые формулы для четырехполюсников общего вида
Для полноты картины приведем формулы, известные
из теории четырехполюсников для длинных волн. Эти фор-
формулы часто выводятся для случая эквивалентного Т-образ-
Т-образного звена и выражение A0.11) является для них частным.
В случае несимметричного линейного пассивного четы-
четырехполюсника с потерями трансформацию напряжения и
тока, как известно, можно определить, следующим обра-
образом [6]:
и2 =
sh g,
A0.12)
где Ъх и Z2 — соответствующие выходу и входу четырехпо-
четырехполюсника волновые сопротивления, g — волновой коэффи-
коэффициент передачи четырехполюсника. Физический смысл этих
величин вскрывается ниже.
Если сопротивление нагрузки четырехполюсника рав-
равно Ri, то из выражения A0.12) получим
A0.13)
j^~ sh g -f- ch g
*
Если включить четырехполюсник в обратном направлении,
1 Следует отметить, что а здесь цмеет величину вдвое большую,
чем обычно,
SO
то в Выражениях A0.12) и A0.13) достаточно лишь по-
менят\ местами индексы
g,
A0.14)
~2~ sh g + ch g
>
С помощью выражений A0.12), A0.13) и (ilO.H)
сравнительно легко можно выяснить физический смысл ве-
величин Zi, Z2 и g. Если замкнуть накоротко выход четырех-
четырехполюсника, т. е. положить Ri=0, то Из выражения A0.13)
можно получить следующее выражение для входного со-
сопротивления четырехполюсника в случае короткого замы-
замыкания:
Щк з '
a4x
3 ch g
A0.15)
Если теперь разомкнуть четырехполюсник на выходе, т. е.
положить Ri = oo, то выражение для входного сопротивле-
сопротивления четырехполюсника запишется в виде
A0.16)
(Ю-17)
Откуда следует
При включении четырехполюсника в обратном направле-
направлении аналогичным образом получим выражение
A0.18)
в которое входят входное сопротивление при коротком за-
замыкании RiK3 и входное сопротивление холостого xoдaRlXX.
Для шмметрич'ного. четырехполюсника RiK3 = R2K3; Rixx =
= R2x х и, следовательно, также Zi=Z2=Z.
Если четырехполюсник на одном конце нагрузить на
сопротивление, равное соответствующему этому концу вол-
волновому сопротивлению, т. е. взять, например, Ri = Zi, под-
подставив это значение в уравнение A0.13), то сопротивление
6-52 81
четырехполюсника R2, измеренное на другом его конце, бу-
будет равно Z2 — волновому сопротивлению, соответствую-
соответствующему этому концу. Для симметричных четырехполюсников
Zi = Z2 = Z и соответственно значение Z совпадает <to значе-
значением для фиксированных точек четырехполюсник?.
Для случая Ri = Zi из уравнения A0.12) получим
Откуда
где
или
_N2 _p;g__e2& j
= 6 + ja
±
±Л
it
N,
Таким образом, волновой коэффициент передачи равен по-
половине натурального логарифма отношения кажущейся
мощности N2 на входе четырехполюсника к кажущейся
мощности Ni на его выходе.
Используя уравнения A0.17), A0.18), (A0.15) и A0.16),
можно рассчитать Zb Z2 и g из значений RiK3, Rixx, R2K3.
R2X х, которые легко измерить.
В случае симметричного Т-образного звена, последова-
последовательные сопротивления которого равны RS) а параллель-
параллельное Rp,
1кз
Rs+
thg=
R+R
В случае симметричного четырехполюсника без потерь,
для которого
=iQ и Rp=iP,
что совпадает с выражением A0.2), а также
V— 2PQ — Q»
HP + Q)
-1P+Q-
82
Поскольку th g=—/tg/g, используя выражение A0.10), по-
получаем для данного случая g=ja/2.
11. ОСНОВНОЙ КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИИ ЗАКОН
И КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКИИ ЗАКОН ОДНОЗНАЧНОСТИ
ДЛЯ СЛУЧАЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ
Выше было уже установлено, что осуществляемая лю-
любым четырехполюсником без потерь круговая трансформа-
трансформация сопротивлений или проводимостей соответствует ото-
отображению правой полуплоскости самой на себя. Покажем
..теперь, что справедливо и обратное, т. е. любое круговое
отображение правой полуплоскости самой на себя может
быть осуществлено с помощью четырехполюсника без по-
потерь. Ценность этого положения для кругогеометрического
метода изучения четырехполюсников состоит в том, что
оно позволяет распространить на теорию четырехполюсни-
четырехполюсников все известные из математики свойства круговых пре-
преобразований. Поэтому данное положение можно рассмат-
рассматривать как одно из основных положений круговой геомет-
геометрии, сформулировав его в виде следующего закона.
Основной кругогеометрический закон 11.1 для случая
четырехполюсников без потерь
Осуществляемая любым четырехполюсником без потерь
круговая трансформация сопротивлений или проводимо-
проводимостей соответствует отображению правой полуплоскости 'са-
'самой на себя и, наоборот, любое круговое отображение пра-
правой полуплоскости самой на себя может быть осуществле-
осуществлено с помощью четырехполюсника без потерь [16].
Докажем теперь вторую часть этого основного закона.
Для этого возьмем произвольное круговое отображение
правой полуплоскости самой на себя и попытаемся постро-
построить четырехполюсник, который соответствовал бы этому
6* . 83
кругоЁоМу отображению. Если это удастся, то основной за-
закон будет полностью доказан.
Круговое отображение правой полуплоскости самой на
себя согласно закону 9.2 определяется однозначно, если из-
известно, в какую внутреннюю
точку Wi=x2+jy2 (R2) пере-
переходит произвольно выбираемая
внутренняя точка правой полу.
ПЛОСКОСТИ Zi^Xi+jyt (Ri) И В
какое направление, указывае-
указываемое стрелкой «2, проведенной
из точки ©1, переходит направ-
Рис. 11.1. Дробно-линейное ото- ление, определяемое стрелкой
бражение правой полуплоскости sly проведенной ИЗ ТОЧКИ 2?i
р р у
самой на себя (соответствует
трансформации в случае четы-
четырехполюсника без потерь), кото-
которое однозначно определяется
б R
р
(рис. 11.1). Попытаемся по-
построить четырехполюсник без
потерь, который осуществлял
б б
р
R2 и направлении, указанного
стрелкой s, в направление, ука-
указанное стрелкой s2. Как пока-
показано в § 17, угол между
стрелками s, и s2 определяет
изменение фазы тока.
отображением точки R, в точку бы такое отображение.
Построение искомого четы-
четырехполюсника начнем с опре-
определения величины чисто реак-
реактивного сопротивления —\у\
(рис. 11.2). Это последова-
последовательное реактивное сопротив-
сопротивление вызывает простое смещение. При этом комплексное
значение Ri переходит в чисто действительную величинух\,
а направление, обозначенное стрелкой s\% — в параллель-
параллельное ему направление sl , проведенное через точку х\. Пе-
Перед последовательным реактивным сопротивлением —\у\
Рис. 11.2. Четырехполюсник с трансформи-
трансформирующими свойствами, определяемыми рис. 11.1.
включим идеальный трансформатор с действительной "ве-
"величиной коэффициента трансформации по сопротивлению,
равной Xi/x2 ((практическое выполнение такого трансфор-
трансформатора на дециметровых и сантиметровых волнах будет
подробно описано ниже). Трансформатор осуществляет
кругогеометрическое преобразование подобия, при этом
84
точки Х\ переходит в точку х2, а направление, обозначае-
обозначаемое стрелкой s', — в параллельное направление s", прохо-
проходящее через точку х2. Затем включим перед описанным
устройством симметричное Т-образное звено, состоящее из
реактивных сопротивлений jP и /Q.
Последние, как это показано в § 10, можно подобрать
таким образом, что отображение, соответствующее этому
эвену, будет иметь в .качестве фиксированной точки точку х2,
представляя собой неевклидов поворот на такой угол а
(рис. 11.1), при котором Т-образное звено отображает на-
направление, указанное стрелкой s". ib параллельное s2 на-
направление, указанное стрелкой s'". После этого перед всем
устройством включается еще последовательное реактивное
сопротивление \у2. Оно отображает х2 в R2 и s'" в s%. Итак,
построен четырехполюсник без потерь (рис. 11.2), с по-
помощью которого любое сопротивление нагрузки R( можно
трансформировать в любое сопротивление R2 и произволь-
произвольное направление, указанное стрелкой s\, отобразить также
на произвольное^направление, указанное стрелкой s2. Та-
Таким образом, основной закон для случая четырехполюсни-
четырехполюсников без потерь доказан.
Из основного кругогеометрического закона и кругогео-
метрического закона однозначности 9.2 для круговых ото-
отображений правой полуплоскости непосредственно вытекаег
следующий закон.
Закон однозначности 11.2 для четырехполюсников
без потерь
Всегда существует такой четырехполюсник без потерь,
с помощью которого произвольно взятое значение zv (со-
(сопротивления или проводимости), не обязательно являю-
являющееся чисто мнимым, можно трансформировать в другое
произвольно взятое значение wu также не являющееся
чисто мнимым.
Если значение Z\ несколько изменить в каком-либо на-
направлении, например несколько увеличить его активную
составляющую, то можно утверждать, что значение wx то-
тоже должно измениться определенным образом, зависящим
от направления изменения zx. Четырехполюсники без по-
потерь, которые отвечают этим конкретным требованиям,
даже если они выполнены различным образом, по своим
трансформирующим свойствам (на данной частоте) явля-
являются идентичными [16].
Этот закон можно, в частности, истолковать следующим
образом. Если в какой-либо части схемы изменяется вели-
85
чина активного сопротивлений, то это эквивалентно изме-
изменению индуктивного или емкостного сопротивления в дру-
другой части схемы. Таким образом, увеличивая индуктив-_
ное сопротивление в одном месте, можно вызвать увеличе-
увеличение емкостного сопротивления в другом. Согласно этому
закону всегда могут быть реализованы на практике схе-
схемы, обладающие таким свойством.
Приведенное выше доказательство закона однозначно-
однозначности дает дополнительный результат, которым можно вос-
воспользоваться при многих рассуждениях, поэтому его сле-
следует сформулировать в виде самостоятельного закона.
Если считать, что su sr, s", s"', S2 определяют не только на-
направления, а также и расстояния до соответствующих то-
точек, расположенных вблизи друг от друга, то очевидно, что
в случае построенного выше четырехполюсника для малых
значений модулей |si| и т. д. получаются следующие зави-
зависимости:
S, = S'
= — s"
s" =\s"
т. е.
A1.1)
Согласно закону однозначности 11.2 конкретный вид по-
построенного четырехполюсника не оказывает влияния на
конечный результат, выражаемый уравнением 11.1. Поэто-
Поэтому справедливо следующее.
Закон 11.3
Если четырехполюсник без потерь трансформирует
сопротивление Rj = Rt -f- jX1 в сопротивление
R, = /
а, если | AR, | < /?,, a | AR2 ] < Rz, то справедливо следую-
следующее равенство:
iar.i /г,
I ДКа1
(аналогичное соотношение можно записать для прово-
проводи мостей) [16].
Последний закон во многих случаях находит практиче-
практическое применение. Соответствующие примеры приводятся
в§ 18.
86
При круговом преобразовании общего вида коэффи
циенты дробно-линейной функции
являются произвольными комплексными числами. Если
ограничиться только круговыми отображениями правой
полуплоскости самой на себя, что соответствует случаю
четырехполюсника без потерь, то коэффициенты должны
удовлетворять определенным условиям. Так, круговое
отображение правой полуплоскости самой на себя можно
получить, если поставить условие, чтобы три чисто мнимые
точки —/, 0, +/ отображались опять-таки в три чисто мни-
мнимые точки jaf, jb' и ]с'.
При этом некоторое значение, соответствующее точке,
расположенной внутри правой полуплоскости, должно
остаться неизменным. В этом случае формула двойного
отношения для четырех точек B.19) записывается в сле-
следующем виде:
/а' — /с' . /а' — w —/— / . —/—г
jb1 —jc''jb' — w~O — j: 0 — 2 '
откуда
jz (a'b' -f b'C — 2a'c') -f b' (a' — c')
W 2 B6' — a'— c') + / (c' — a1) '
Вводя вместо сложных коэффициентов новые действитель-
действительные числа а, Ь, с, d, получаем
jaz -f- b
w = -———
cz + jd
A1.2)
Если в последнее выражение вместо z подставить ка-
какое-либо чисто мнимое значение, то, как легко видеть,
получится также чисто мнимое значение та, т. е. преоб-
преобразование A1.2) отображает мнимую ось всегда саму на
себя. Для того чтобы установить, что правая полуплоскость
действительно переходит сама в себя, а не в левую полу-
полуплоскость, рассмотрим отображение действительной точ-
точки Дг, которая расположена вблизи начала координат. Ее
трансформированное значение w получим, пренебрегая
высшими степенями Az:
/aAz -f b jahz ¦
id
v id .
b j_ad+bc
-r-
87
что дает положительную действительную составляющую
только в том случае, если ad+bc>0. Таким образом, при-
принимая во внимание уравнение A.4), можно сформулиро-
сформулировать следующий закон.
Закон 11.4
В случае линейного пассивного четырехполюсника без
потерь трансформация сопротивлений или проводимостей
выражается равенством
jaz + Ь
W--
ez + jd '
A1.2)
где коэффициенты а, Ь, с, d — действительные числа,
удовлетворяющие условию ad-\-bc^>0.
В случае четырехполюсника без потерь транс-
трансформация напряжения и тока осуществляется в со-
соответствии со следующими равенствами:
У ad -f be
с
jVad + be
V ad + be
d
Yad + bc
I..
A1.3)
12. ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ В ВИДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
СЕМЕЙСТВ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
БЕЗ ПОТЕРЬ
Пусть имеется диаграмма трансформации реактивных
сопротивлений для четырехполюсника без потерь (|рис.5.1).
Из нее можно получить соответствующую диаграмму транс-
трансформации в виде ортогональных семейств, как это сделано
в случае последовательного и параллельного реактивных
сопротивлений, а также в случае симметрич-ного Т-звена.
Эта диаграмма позволяет непосредственно получить транс-
трансформированное значение R2 любого комплексного сопро-
сопротивления нагрузки Ri [1].
Поступим следующим образом: построим сначала для
произвольно взятого сопротивления нагрузки Ri, имеюще-
имеющего активную составляющую, его трансформированное зна-
значение R2 (рис. 6.1). Построение дает побочный результат,
который можно использовать. Окружность /Ci на рис. 6Л
отображается в окружность /G*. Это означает, что и каса-
касательная s1 к окружности Ki в точке Ri, проведенная в на-
направлении точки Z\, трансформируется четырехполюсником
в касательную s2 к окружности КС, проведенную через
точку R2 в направлении точки wx. При дальнейшем по-
88
Строении будем точки Ri и ft2 и соответствующие направ-
направления касательных sx и s2 наносить не на различные пло-
плоскости комплексных чисел, как на рис. 6.1, а на одну и ту
же плоскость. Это сделано на рис. 12.1, Где изображены Ri,
R2, su s2-
Тем, что четырехполюсник без потерь трансформирует
сопротивление R( в R2 и направление, указанное стрелкой
su в направление, указан-
указанное стрелкой s2, однознач-
однозначно определяется соответ-
соответствующее ему круговое
отображение (см. закон
однозначности 11.2). Что-
Чтобы найти искомую диа-
диаграмму, построим снача-
сначала (рис. 12.1) окруж-
окружность /Со, которая прохо-
проходит через точки Ri и R2 и
образует с направления-
направлениями Si и s2 один и тот же
угол р. Равенство этих
углов следует понимать
таким образом, что при
повороте окружности один
угол должен переходить
Рис. 12.1. Построение диаграммы
трансформации для четырехполюсника
без потерь. Значения R, и R2 и на-
направления, указанные стрелками s, и
s2 (их можно взять, например, из
в другой. Как легко убе- рис. 6.i), наносятся на одну и ту же
диться, имеется только комплексную плоскость. Затем прово-
проводится окружность /Со> которая обра-
образует один и тот же угол |) с направ-
направлениями s, и st.
одна такая окружность Ко-
Находят ее с помощью
следующих геометриче-
геометрических построений: прово-
проводят перпендикуляр т к середине отрезка, соединяю-
соединяющего точки Ri и R2, и продолжают направления, опреде-
определяемые стрелками Si и s2, до пересечения их с таерпендику-
ляром т в точках Р и Q. Если обе стрелки указывают
одновременно или в сторону этих точек пересечения или
от них, то проводят биссектрису угла PR2Q, которая пере-
пересекает прямую т в точке М — центре искомой окружно-
окружности Ко- Если это условие для направления стрелок Sj и $2
не выполняется, то через точку R2 нужно провести биссек-
биссектрису внешнего угла треугольника PR2Q, точка пересече-
пересечения ее с прямой т будет искомым центром. Обосновать та-
такое построение можно следующим образом: так как т
является перпендикуляром к середине отрезка, соединяю-
89
щего точки Ri и R2, треугольники iVfPRi и MPR2 зеркально
отображают друг друга. Следовательно,
Согласно построению i/AfRaP= ,/AiR2Q, а следовательно,
Поэтому три угла, обозначенные на рис. 12.1 буквой у,
равны друг другу. Тогда угол, образованный стрелкой si
и радиусом I^M, очевидно, будет .равен 180°—у, а угол, об-
образованный стрелкой Si и касательной к окружности, равен
180° — у — 90° = 90° — у.
То же самое получается для углов, образованных стрел-
стрелкой s2 и радиусом R2Af или касательной к окружности /Со
в точке R2. Тем самым доказано, что st и s2 образуют
с окружностью /Со один и тот же угол р.
В зависимости от положения окружности /Со возможны
три случая, которым соответствуют различные диаграммы
трансформации. Во-первых, окружность /Со может цели-
целиком лежать в правой полуплоскости; в этом случае полу-
получается диаграмма трансформации эллиптического типа.
Во-вторых, Ко может касаться мнимой оси; это соответст-
соответствует диаграмме параболического типа. Наконец, окруж-
окружность может пересекать мнимую ось в двух точках, при
этом получается диаграмма гиперболического типа.
Эллиптический случай
Пусть окружность /Со целиком лежит в правой полу-
полуплоскости (рис. 12.2). Через центр окружности /Со прове-
проведем прямую, параллельную действительной оси, которая
пересечет окружность /Со в точках Xi+jy0 и х2+}Уо. Из ра-
равенства xQ= + \f Х\Х2 определим точку F=xo+jyo. Диаграм-
Диаграмма трансформации в этом случае будет состоять из семей-
семейства II всех окружностей, перпендикулярных мнимой оси
и проходящих через точку xo+jyo (окружности постоянной
фазы, на рис. 12.2 обозначены пунктиром), и из семейства I
всех ортогональных к ним окружностей (окружности по-
постоянного рассогласования). Таким образом, получается
диаграмма очень похожая на диаграмму для симметрично-
симметричного Т-звена без потерь. Отличие состоит лишь в том, что
точка F, через которую проходят окружности постоянной
90
фазы, как правило, не лежит на действительной оси. Дока-
Докажем, что пользоваться этой диаграммой следует точно так
же, как и диаграммой, упомянутой выше. Трансформация
Рис. 12.2. Диаграмма трансформации
эллиптического типа. Оиа получается из
диаграммы, показанной на рис. 12.1,
в случае, если окружность Ко целиком
лежит в правой полуплоскости. Диа-
Диаграмма состоит из семейства I всех
окружностей, центры которых лежат
иа прямой, параллельной действитель-
действительной оси и проходящей через центр
окружности Ко (окружности семейства
пересекают эту прямую таким обра-
образом, что для каждой из них произве-
произведение расстояний от точек пересечения
до мнимой оси постоянно); и из семей-
семейства II всех окружностей, ортогональ-
ортогональных к первому семейству. Трансформа-
Трансформация представляет собой неевклидов
поворот такой, что трансформированное
значение остается лежать на той же
самой окружности семейства I, а ок-
окружности семейства II .поворачива-
.поворачиваются" вокруг точки их пересечения F
(фиксированной точки трансформации)
на один и тот же угол ос. Если поме-
поменять местами вход и выход четырех-
четырехполюсника, диаграмма не изменяется;
она лишь смещается таким образом,
что прямая, представляющая собой
зеркальное отображение действитель-
действительной оси относительно точки F (пока-
(показана жирным пунктиром), переходит
в действительную ось.
*м
Рис. 12.3. Схема, исполь-
используемая для обоснования диа-
диаграммы, которая изображена
на рис. 12.2.
и в этом случае представ-
представляет собой неевклидов по-
поворот вокруг точки F=
— Xo+.jyo на такой угол а,
что точка Ri переходит в
R2. Окружность /Со, в ча-
частности, является окруж-
окружностью семейства I, ко-
которая переходит сама в
себя '.
Это можно доказать
с помощью закона круго-
геометрической однознач-
однозначности 11.2, построив соот-
соответствующий четырехпо-
четырехполюсник. Для этой цели
возьмем последовательное
реактивное сопротивление
—}у0 (рис. 12.3) и доба-
добавим к нему симметричное
Т-звено без потерь, кото-
которому соответствует дей-
действительная фиксирован-
1 Точка F, которая как точ-
точка пересечения всех окружно-
окружностей, перпендикулярных к ок-
окружности Ко и к мнимой оси,
играет большую роль в круго-
геометрической теории, ниже
будет называться «кругогеомет-
рическим центром» окружно-
окружности Ко.
91
ная точка х0 и угол поворота а, затем подключим
еще .последовательное реактивное сопротивление +jyo.
Построенный таким образом четырехполюсник дей-
действительно обладает перечисленными выше свойства-
свойствами. В самом деле, последовательное реактивное со-
сопротивление— }у0 сдвигает плоскость комплексных чи-
чисел параллельно самой себе так, что .перпендикуляр
к мнимой оси, проходящий через точку F, становится дей-
действительной осью. Точка F, смещенная на величину —}у0,
является для Т-звена фиксированной точкой, и вокруг нее
происходит поворот на угол а. При этом в соответствии с
выбранным положением точки F окружность /Со, сдвину-
сдвинутая на —}у0, переходит сама в себя, точка Ri—jy0 в точ-
точку R2—jyo и направление, определяемое стрелкой si, сдви-
сдвинутой на —jyo, согласно закону сохранения углов — в на-
направление, определяемое стрелкой s2, также сдвинутой иа
—]'у0. Наконец, последовательное реактивное сопротивле-
сопротивление +jyo возвращает действительную ось в ее первона-
первоначальное положение. Но поскольку существует лишь одно
отображение окружности, при котором точка R( перехо-
переходит в точку R2 и направление Si в направление s2 (четырех-
(четырехполюсников с такими свойствами имеется, конечно, бес-
бесконечно большое число), наше утверждение доказано.
[Параболический случай
Пусть окружность /Со касается мнимой оси в точке jX
(рис. 12.4). В этом случае диаграмма трансформации со-
состоит из семейства I всех окружностей, которые касаются
мнимой оси в точке jX (сплошные линии), и семейства II
всех окружностей, которые в точке jX перпендикулярны
мнимой оси (пунктирные линии). Этой диаграммой сле-
следует пользоваться точно так же, как и диаграммой для
параллельного реактивного сопротивления, учитывая лишь,
что точка }Х в общем случае.не совпадает с началом ко-
координат.
Для доказательства этого снова воспользуемся зако-
законом однозначности, построив соответствующий четырехпо-
четырехполюсник. Последний составим из последовательного реак-
реактивного сопротивления —jX, перед которым включим па-
параллельное реактивное сопротивление; как это видно из
пояснений к рис. 7.4, его следует выбирать так, чтобы со-
сопротивление Ri—jX трансформировалось в R2—]Х, нако-
наконец, к полученной схеме подключим последовательное ре-
реактивное сопротивление +jX.
92
Чтобы для какой-либо окружности семейства II легко
|(ожно было найти окружность, являющуюся ее отображе-
отображением и относящуюся к тому же семейству, диаграмму мож-
можно скомбинировать с диаграммой трансформации реактив-
реактивных сопротивлений для четырехполюсника, как это было
гёделано в случае парал-
йельного реактивного со-
сопротивления.
Если окружность /Со
^вырождается в прямую,
шараллельную мнимой
йси. то это озиачает, что
рисружность /Со касается
Цмнимой оси в точке jX=
ft=oo. В этом случае име-
именем дело с трансформи-
трансформирующими свойствами по-
последовательного чисто ре-
реактивного сопротивления
(величиной Rs — Ri.
Гиперболический случай
Пусть окружность /Со
пересекает мнимую ось в
двух точках jF{ и jF2
(рис. 12.5). На этой диа-
диаграмме семейство окруж-
окружностей I состоит из всех
окружностей, проходящих
через точки \FX я jF2
(оплошные линии), а се-
семейство II — из ортого-
Рис. 12.4. Диаграмма трансформации
параболического типа. Получается
в случае, когда окружность Ко, пока-
показанная на рис. 12.1, касается мнимой оси
в точке jX; она аналогична диаграмме
трансформации для параллельного ре-
реактивного сопротивления (рис. 7.4) и от-
отличается от нее лишь тем, что фикси-
фиксированная точка jX в общем случае не
совпадает с нулевой точкой. Если вход
и выход четырехполюсника поменять
местами, то прямая, представляющая
собой зеркальное отображение действи-
действительной оси относительно фиксиро-
фиксированной точки (показана жирным пункти-
пунктиром), станет действительной осью.
яальных к ним окружно-
окружностей (пунктирные линии). Диаграммой (пользуются также,
как и ,в гиперболическом случае для симметричного Т-зве-
Т-звена, только здесь точки jFi и jF2 в общем случае уже не ле-
лежат симметрично относительно действительной оси.
Для доказательства снова используем закон однознач-
однозначности « построение четырехполюсника. В последний войдет
последовательное реактивное сопротивление —j(F\+F2)j2,
к которому подключено соответствующее симметричное
Т-звено. К этой схеме добавляется еще одно последователь-
последовательное реактивное сопротивление +j(Fi+F2)l2. В частном
93
случае роль окружности /Со может играть прямая, пересе-
пересекающая мнимую ось только в одной точке jF\ (рис. 12.6).
В этом случае вторая фиксированная точка jF2 лежит
в бесконечности и трансформация сводится к простому
увеличению всех расстояний, отсчитываемых от точки jF\,
причем лучи, проходящие
через точку//7!,отобража-
~" ются сами на себя. Если
точка jFi совпадает с на-
if,
Ч
Рис. 12.5. Диаграмма трансформации
гиперболического типа. Она получается
в случае, когда окружность Кц, показан-
показанная иа рис. 12.1, пересекает мнимую
ось в двух точках jFI и jFt (фиксиро-
(фиксированные точки). Эта диаграмма анало-
аналогична диаграмме, изображенной на
рис. Ю.З, и отличается от нее лишь
тем, что фиксированные точки распола-
располагаются обычно несимметрично по отно-
отношению к действительной оси.
Рис. 12.6. Прямая, преобразован-
преобразованная из окружности. Если окруж-
окружность Ко, изображенная на
рис. 12.1, вырождается в прямую,
которая пересекает мнимую ось
в точке jFv то трансформация
представляет собой увеличение
в одно и то же, выражаемое
действительной величиной, число
раз всех расстояний от фиксиро-
фиксированной точки.
чалом координат, то очевидно, что имеем дело с диаграм-
диаграммой трансформации идеального трансформатора без рас-
рассеяния и без потерь. Так как диаграмма последнего выра-
выражает увеличение расстояний, то выводы для случая /F(^=0
можно получить из закона однозначности 11.2 при исполь-
использовании вспомогательного четырехполюсника, который
строится аналогично описанному выше с применением
трансформатора.
Итак, все возможные положения окружности Ко рас-
рассмотрены и соответственно исследованы все типы диаграмм
для четырехполюсников без потерь. С помощью этих диа-
диаграмм можно раз и навсегда представить установленные
путем измерений трансформирующие свойства любого че-
94
t
тЫрехполюсника на Данной частоте. Для определения
трансформирующих свойств четырехполюсника нет необ-
необходимости, конечно, каждый раз строить всю "диаграмму,
а достаточно в эллиптическом случае, например, задать
фиксированную точку и угол поворота, а в параболиче-
параболическом и гиперболическом случаях построить фиксированные
. точки и диаграмму трансформации реактивных сопротив-
сопротивлений '.
Тем же способом, что и для полных сопротивлений, диа-
; граммы трансформации можно построить для проводимо-
стей. Однако их можно получить и непосредственно из диа-
диаграмм трансформации полных сопротивлений.
В случае симметричных четырехполюсников значения
фиксированных точек называются «волновыми сопротивле-
сопротивлениями», в случае несимметричных — «сопротивлениями
цепи».
Общие замечания относительно диаграмм трансформации
в виде ортогональных семейств
Рекомендуется всегда иметь под рукой хорошо вычер-
вычерченные диаграммы эллиптического, параболического и ги-
гиперболического типов. При этом для эллиптической диа-
диаграммы расстояние фиксированной точки от мнимой оси,
а для гиперболической диаграммы половину расстояния
между фиксированными точками следует выбирать равны-
равными единице длины (например, одному дециметру). Диа-
Диаграммы будут универсальными, если на них соответствен-
соответственно нанести значения «относительных сопротивлений» или
«относительных проводимостей». Это означает, что если
четырехполюснику соответствует диаграмма эллиптическо-
эллиптического типа, фиксированная точка которой расположена от
мнимой оси на расстоянии А, или если в случае гипербо-
гиперболической диаграммы расстояние между двумя фиксирован-
фиксированными точками составляет 2А, то целесообразно вместо
абсолютных значений сопротивлений R и проводимостей Y
нанести на прозрачной бумаге относительные значения
RA4 и \/А.
Пригодная для всех случаев сетка ортогональных се-
семейств окружностей помещается затем под прозрачную
бумагу, так что повторное вычерчивание этих ортогональ-
ортогональных семейств окружностей становится излишним. Все
остальные построения, например построения соответствую-
1 Заметим, что Рибнер [10], например, получаст фиксированные
точки с помощью закона Штейнера.
95
щих Диаграмм трансформации реактивного сопротивления,
выполняются на этой, наложенной сверху прозрачной бу-
бумаге.
В случае диаграммы трансформации эллиптического
типа с действительной фиксированной точкой, особенно в
случае нормализованной диаграммы, когда значение фик-
фиксированной точки равно единице (рис. 12.7), переход от
полных сопротивлений к проводимостям и обратно очень
прост. Действительно, во-первых, в
результате такого перехода получа-
получается идентичная диаграмма с той
же фиксированной точкой и тем же
углом поворота; во-вторых, для каж-
каждого значения нормированного со-
сопротивления (ИЛИ ПРОВОДИМОСТИ) 2[
из диаграммы легко определяется
значение нормированной проводи-
проводимости (или сопротивления) \JZ\. Со-
Соответствующая точка лежит на той
же окружности лосгоянного рассо-
рассогласования /Со и на той же окруж-
окружности постоянной фазы К\ и лишь
отсчет расстояния от фиксирован-
фиксированной точки до нее производится в об-
обратном направлении.
Это можно объяснить сле-
следующим образом: при обраще-
обращении (переход от нормированных
проводимостей к нормированным
сопротивлениям и наоборот) зна-
значение k переходит в \fk или
l/k переходит в k, т. е. окружность /Со отображается
сама на себя. Но в силу закона сохранения углов
окружность /Ci также переходит сама в себя, и ме-
меняются местами только направления, определяемые стрел-
стрелками, исходящими из точки 1. Если, например, нормиро-
нормированное сопротивление Z\ трансформируется в Wi, то "нор-
"нормированная проводимость \lzi_ трансформируется в \iw\
Для точного определения отображения точки, которая
не расположена ни на одной из кривых сетки окружностей
ортогональных семейств, можно с успехом использовать
закон 11.3 об отображении малых расстояний. Если, на-
например, в случае диаграммы трансформации эллиптическо-
эллиптического типа, представленной на рис. 12.7, нужно найти точ-
96
Рис. 12.7. Переход от со-
сопротивлений к проводимо-
стим и трансформация
малых расстоянии. Если
четырехполюсник без по-
потерь трансформирует две
точки z, и z2, располо-
расположенные близко друг к
другу в точки ш>, и а»,,
то отношение расстояний
между ними равно отноше-
отношению расстояний от этих
точек до мнимой оси.
ку о>2, являющуюся отображением точки 22, то из точки 22
проводится прямая, перпендикулярная к окружности /Со»
до точки пересечения г' с последней. После чего с по-
помощью соотношения
\wf-
¦W,
_Re(a>.)
Re(z,) —
определяется положение точки а/', лежащей на окружно-
окружности Ко-
Проведя перпендикуляр через точку w' на окружности
Л'о и используя соотношение ]о»2—w/\=p\z2—z'\, находим
гочку а»2.
Построение диаграммы по результатам измерений
сопротивлений с активной составляющей
Выше было показано, как на основании измерений чи-
чисто реактивных сопротивлений можно построить диаграм-
диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств. Их
можно построить, конечно, и при
измерении сопротивлений с актив-
активной составляющей. Это бывает, на-
например, необходимым при точном
определении положения фиксиро-
фиксированной точки в случае диаграммы
эллиптического типа, когда изу-
изучается трансформация сопротив-
сопротивлений, значения которых близки Q
к значению этой фиксированной
точки.
В случае четырехполюсника без
потерь достаточно установить закон ^S?
трансформации только для двух результатам измерений
сопротивлений с активной составля- трансформации для двух
ющей. Пусть на основании изме- сопротивлений с активными
рений установлено, что четырехпо- составляющими,
люсник трансформирует сопротив-
сопротивление R^'b R2l ) и сопротивление Rj2* в RB2) (рис. 12.8). Прове-
Проведем через точки R^'h R(,2) окружность Ки перпендикулярную
мнимой оси, через точки R^1' и R^2)— аналогичную окруж-
окружность К\. Направление, определяемое касательной, прозеден-
ной через точку R^1'в сторону точки R(,2), при данной круго-
7—52 . 97
ёой трансформации переходит в Направление, определяемое
касательной, проходящей через точку Ц^К ориентированной в
сторону точки R22). Дальнейшие построения аналогичны по-
построениям, представленным на рис. 12.1.
13. ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
ПРИ ВЗАИМОЗАМЕНЕ ВХОДА И ВЫХОДА
Описанные выше диаграммы характеризуют трансфор-
трансформирующие свойства четырехполюсника только при вклю-
включении его в одном определенном направлении. Однако и
Трансформирующие свойства четырехполюсника при вклю-
включении его в обратном направлении, т. е. при взаимозамене
входа и выхода, также легко определить из этих диа-
диаграмм [1]. При обосновании этого утверждения следует
исходить из того, что электро-
?2 fy магнитное поле на одной из
*" | 1 * 0 поверхностей раздела четырех-
Щ f В f\ \ Uf полюсника. расположенной,
0 1 _J ° например, на входе, однознач-
однозначно определяется электромаг-
Рнс. 13.1. Положительные на- штяым полем на другой ПО-
правления напряжении и токов V-
на входе и выходе четырех.™- веРхн°с™ раздела. Безразлич-
люсника (обозначены стрелками), но, какое электромагнитное по-
Исходи из этих направлений, ле на входе или на выходе счи-
можно показать, что если четы- тать за «сходное. На рис. 13.1
рехполюсник трансформирует со- -
противление if в* соПротивл1 стрелкой указаны принятые
ние R2> то при взаимозамене входа за положительные направле-
н выхода он будет трансформи- ния определяющих электро-
ровать сопротивление —R2 в со- магнитное поле токов и напря-
противление-R,. жешй четырехполюсника. Как
уже указывалось в-§ 1, жела-
желательно, чтобы положительные направления на входе
соответствовали передаче активной мощности по на-
направлению к четырехполюснику, а положительные на-
направления на выходе — передаче активной мощности
в нагрузку. При этом на входе четырехполюсника
стрелка, указывающая положительное направление то-
тока, оказывается ориентированной в сторону1 четырехпо-
четырехполюсника, а на выходе — от него. При взаимозаме-
взаимозамене входа и выхода направления стрелок Ii и 12 сле-
следует изменять на обратные. В плоскости В, которая после
взаимозамены входа и выхода становится выходной, элек-
электромагнитное поле будет таким же, каким оно было бы
98
I
t раньше при подключении сопротивления U2/(l—Ь) =—R2
(так как в этой точке напряжению U2 теперь соответствует
ток 12) что дает на стороне А отношение IV(—1^ =—R1#
Из этого следует закон, имеющий общий характер.
Закон 13.1
Если четырехполюсник трансформирует подключённое
к нему в качестве нагрузки сопротивление Ri в сопротивле-
сопротивление R2, то при взаимозамене входа и выхода он будет
трансформировать сопротивление —R2 в сопротивле~
ние —Ri. -
Переходу от значения zx к отрицательному значению
—Z\ соответствует в комплексной плоскости поворот на
180° вокруг нулевой точки, следовательно, диаграмма
трансформации реактивных сопротивлений для четырех-
четырехполюсника без потерь при включении его в обратном на-
направлении получается из первоначальной диаграммы пу-
путем поворота ее на 180° и соответствующего изменения
обозначений.
Физический смысл имеют только сопротивления с по-
положительной активной составляющей. Однако выражение
для дробно-линейного преобразования общего вида, соот-
соответствующее четырехполюснику, распространяется не
только на правую полуплоскость, .но и на всю плоскость
комплексных чисел.
Вследствие этого, закон 13,1 применим к круговому пре-
преобразованию, соответствующему четырехполюснику и в том
случае, если значения —Ri и —R2 не имеют физического
смысла. Диаграммы, изображенные на рис. 12.2, 12.4, 12.5
и 12.6, также можно распространить на левую комплекс-
комплексную полуплоскость. Если дуги изображенных пунктиром
окружностей семейства II, (всегда перпендикулярных мни-
мнимой оси) продолжить в левую полуплоскость, то очевид-
очевидно, что там получатся диаграммы, являющиеся зеркаль-
зеркальным отражением первоначальных диаграмм относитель-
относительно мнимой оси. Следовательно, в случае четырехполюсни-
четырехполюсника без потерь круговая трансформация, которая в правой
полуплоскости отображает точку Z\ в точку W\, в левой
полуплоскости будет отображать точку —г\ (зеркальное
отражение z{) в точку —гп\ (зеркальное отражение точ-
точки Ш[); при этом z\ и гп\ — значения комплексные сопря-
сопряженные с 2i и W\. Поэтому из закона 13.1 для четырехпо-
четырехполюсников без потерь можно получить следующий за-
закон.
7* 99
Закон 13.2
Если четырехполюсник без потерь трансформирует под-
подключенное к нему сопротивление нагрузки Ri в сопротив-
сопротивление R2, го при взаимозамене входа и выхода он будет
трансформировать сопротивление R2, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное с R& в сопротивление Ri, комплексно-сопряженное
с Rl
Докажем, что в случае диаграммы трансформации в ви-
виде ортогональных семейств при взаимозамене входа и вы-
выхода на исходной диаграмме достаточно только сдвинуть
действительную ось параллельно самой себе таким обра-
образом, чтобы фиксированными точками стали точки, значе-
значения которых являются комплексно-сопряжен'ными со зна-
значениями первоначальных фиксированных точек. Получен-
Полученная таким образом действительная ось на рис. 12.2, 12.4 и
12.5 изображена жирным пунктиром. Все остальное, на-
например величина и направление отсчета угла поворота,
в случае эллиптической диаграммы сохраняется.
Если диаграмма трансформации для четырехполюсника
без потерь имеет в качестве фиксированной точки точ-
точку Zo, то согласно закону 13.2 при включении четырехпо-
четырехполюсника в обратном направлении точка Zo переходит в точ-
точку Zo. Тем самым доказано, что четырехполюсник при
обратном включении имеет комплексно-сопряженные
фиксированные точки.
Для доказательства рассмотрим различные частные
случаи. Пусть точка jQ2 (рис. 13.2) в случае эллиптической
диаграммы является точкой пересечения мнимой оси с пря-
прямой, проходящей через фиксированную точку Zo и парал-
параллельной действительной оси. Пусть также при трансфор-
трансформации точка jQi переходит в точку /Q2 и точка /Q2 в точ-
точку /Q3- Тогда из рис. 13.2 получим следующее равенство:
jQa — /Qi = jQ3 — jQ2 (оно следует из равенства фигур).
При обратном включении четырехполюсника ему будет со-
соответствовать эллиптическая диаграмма трансформации
с фиксированной точкой Zo и, в частности, точка —/Q3 бу-
будет отображаться в точку —/Q2. Из рис. 13.2 видно, что
такое отображение представляет собой поворот на тот же
угол и в том же направлении, что и для четырехполюсника
при прямом включении. Таким образом, при переносе дей-
действительной оси, о котором говорилось выше, первоначаль-
первоначальная диаграмма переходит в диаграмму, соответствующую
100
обратному включению четырехполюсника, с тем же углом
поворота и с тем же направлением отсчета этого угла.
В случае диаграммы параболического типа (рис. 12.4)
особо следует рассмотреть точку jQi, которая отображает-
отображается в бесконечность, и точку /Q2, являющуюся отображе-
отображением бесконечно удаленной точки. Обе эти точки располо-
расположены симметрично, т. е. на одинаковом расстоянии от фик-
фиксированной точки jF=jX. Для диаграммы в случае парал-
Л
М
о
-М
•Jfi
-fa
Рис. 13.2. Отдельные
элементы эллиптиче-
эллиптической диаграммы тран-
трансформации при прямом
и обратном включениях
четырехполюсника.
Рис. 13.3. Отдельные
элементы гиперболиче-
гиперболической диаграммы тран-
трансформации при прямом
и обратном включениях
четырехполюсника.
дельного сопротивления это очевидно, а всякая другая
диаграмма параболического типа отличается от нее только
тем, что фиксированная точка не находится в начале коор-
координат. В остальном доказательство аналогично доказа-
доказательству для случая диаграммы эллиптического типа.
В случае гиперболической диаграммы особо рассмот-
рассмотрим точку /Q2 (рис. 13.3), расположенную на мнимой оси
посередине между фиксированными точками jFi и jF2, ее
отображение /Q3 и точку /Qi, которая отображается в точ-
точку jQi. Покажем, что выражения }Qz—/Q2 и jQz—jQi в этом
случае также равны, после чего можно повторить все при-
приведенное выше доказательство. Равенства этих выражений
докажем с помощью двойного отношения. Так как точ-
точка jFi отображается в точку jFu \F% в jF2, jQi в /Q2 и jQ2
в jQz, то можно записать следующее равенство:
Ft-Ql . Ft — Qt _ F, - дг ш F, - Q3
A3.1)
101
Так как Qa = (Рг -f- Fa)/2 можно записать
Подставив эти равенства в выражение A3.1), получим
Ft-F,
Ft-F,- Ft-Fx—b '
Но последнее соотношение выполняется только, если а = Ь.
Таким образом, действительно /Q3—/Q2 равно /Q2—}Qu
В частном случае параболической диаграммы для по-
последовательного реактивного сопротивления это остается
справедливым и при обратном включении. Для гиперболи-
гиперболической диаграммы в частном случае, характеризуемом
увеличением всех расстояний от фиксированной точки jF\
в р раз, при обратном включении четырехполюсника, оче-
очевидно, получится уменьшение расстояний от точки —jFi
в 1/р раз.
Симметричный четырехполюсник характеризуется тем,
что при включении его в обратном направлении ему соот-
соответствует та же самая диаграмма трансформации. Следо-
Следовательно, в эллиптическом случае четырехполюсник без
потерь симметричен только тогда, когда его фиксированная
точка лежит на действительной оси. В параболическом слу-
случае симметричными четырехполюсниками являются лишь
последовательное и параллельное чисто реактивные сопро-
сопротивления. В гиперболическом случае четырехполюсник яв-
является симметричным, если обе его фиксированные точки
расположены симметрично по отношению к действительной
оси. Как уже говорилось в § 10, в случаях диаграммы эл-
эллиптического типа с действительной фиксированной точкой
и диаграммы гиперболического типа с фиксированными
точками, симметричными относительно действительной оси,
всегда можно построить симметричное Т-звено с соответ-
соответствующими трансформирующими свойствами. Отсюда, в ча-
частности следует, что в случае симметричных четырехполюс-
четырехполюсников этого типа должно выполняться соотношение A0.11).
Если согласно соотношению
w = ¦
A3.2)
102
Четырехполюсник трансформирует сопротивление (или прб-
водимость) г в сопротивление (или проводимость) w, то
при включении четырехполюсника в обратном направлении
имеет место трансформация
w =
аг,г + а,
A3.3)
В самом деле, решив уравнение (il3.3) относительно 2,
получим
A3.4)
Согласно закону A3.1) при включении четырехполюс-
четырехполюсника в обратном направлении сопротивлению (проводимо-
(проводимости) нагрузки (—w) соответствует сопротивление (прово-
(проводимость) на входе четырехполюсника (|—2). То же самое
выражено формулами A3.4). Если сопротивление (или
проводимость) нагрузки обозначить, как обычно, через г,
а сопротивление (или проводимость) на входе четырехпо-
четырехполюсника через w, то получим выражение A3.3).
Из выражений A3.2) и A3.3) следует, что в случае
симметричных четырехполюсников всегда выполняется
равенство аи = а22-
14. ДИАГРАММА ТРАНСФОРМАЦИИ ВНУТРИ ЕДИНИЧНОГО
КРУГА В СЛУЧАЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ
Как уже указывалось в § 8, часто оказывается целесо-
целесообразным вместо сопротивлений или проводимостей 2 опе-
оперировать с так называемыми сопротивлениями или прово-
димостями внутри единичного круга (?/С-сопротивления-
ми или ?/С-проводимостями), определяемыми по формуле
2 ~
(8.1)
где ZQ — действительное число.
Тогда вместо описанных построений в правой полупло-
полуплоскости (|рис. 12.1 и т. д.) следует выполнять соответствую-
соответствующие построения внутри единичного круга. По существу,
это те же самые построения, если учесть, что мнимую ось
в круговой геометрии также можно рассматривать как
окружность.
103
Диаграммы трансформации
На рис. 14.1 показаны диаграммы трансформации в ви-
виде ортогональных семейств внутри единичного круга для
четырехполюсника без потерь. Нетрудно заметить, что за
исключением углового положения системы координат, эти
диаграммы будут полностью аналогичны диаграммам
в виде ортогональных семейств, представленным на
рис. 12.2; 12.4 и 12.5, если в каждой из них одну из окруж-
Рис. 14.1. Диаграммы трансформации внутри единичного круга:
а—общий случай диаграммы эллиптического типа; б — общий случай диаграммы
параболического типа; в —общий случай диаграммы гиперболического типа.
-ностей семейства I взять в качестве границы единичного
круга. Вместе с тем становится ясным, каким образом
строятся диаграммы, изображенные на рисунке 14.1.
. Диаграмма эллиптического типа (рис. 14.1,а) состоит
из семейства II всех окружностей, проходящих через фи-
фиксированную точку F и перпендикулярных границе единич-
единичного круга, и из семейства I всех окружностей, перпенди-
перпендикулярных окружностям семейства II. При построений диа-
диаграммы через точку F проводится диаметр d, а на расстоя-
расстоянии а от границы единичного круга перпендикулярно диа-
диаметру — прямая g.
Учитывая, что эти построения аналогичны построениям,
представленным на рис. 12.2, для определения расстояния а
можно воспользоваться формулой
а(а-\- 2) = (a-\-bf
(число 2 выражает длину диаметра единичного круга).
104
-Таким образом,
2—26
A4.1)
Эта зависимость в виде графика показана на рис. 14.2.
Прямая g является геометрическим местом центров всех
окружностей, проходящих через
точку F и перпендикулярных грани-
границе единичного круга, и, следова-
следовательно, на ней находятся центры
окружностей семейства II. Окруж-
Окружности семейства I вычерчиваются
так же, как на рис. 12.2, поскольку
и в данном случае произведение рас-
расстояний точек пересечения каждой
из окружностей с диаметром d от
прямой g 'равно (а+ЬJ.
Если положение фиксированной
точки еще не определено, а известна
(например, из построения, подобно-
подобного рис. 12.1) только окружность Ко
семейства I, то для того чтобы най-
найти фиксированную точку, через
центр окружности Ко и центр еди-
единичного круга проводят прямую d.
Последняя перпендикулярна пря-
прямой g, расположенной на неизве-
неизвестном пока что расстоянии а от гра-
границы единичного круга. Затем, учитывая.что окружность
Ко пересекает прямую d в двух точках, удаленных от пря-
прямой g на расстояния (а + с) и (а+сг) (с и с' находятся из
чертежа), получают соотношение
Ж
р
П
И
HZ 0,4 Ц6 Qfi ifl
b
Рис. 14.2. График, выража-
ющий зависимость между
расстояниями а и Ь, пока-
заиными на рис. 14.1, а.
а {а + 2) = {a+bf = (а + с) {а + С),
A4.2)
из которого определяются как расстояние а, так и рас-
расстояние Ь от фиксированной точки F до границы единич-
единичного круга. Диаграммой трансформации эллиптического
типа пользуются так же, как диаграммой в правой полу-
полуплоскости. Трансформации соответствует неевклидов пово-
поворот относительно точки F на угол а, который равен углу
поворота в правой полуплоскости.
В случае диаграммы трансформации эллиптического
типа с действительной фиксированной точкой обычно бе-
берут постоянную Zo в выражении (8.1) такой, чтобы фикси-
105
рованная точка стала центром единичной окружности.
Тогда диаграмма будет состоять из семейства концентри-
концентрических окружностей, описанных вокруг центра единичной
окружности, и исходящих из него лучей. При этом транс-
трансформация будет соответствовать обычному повороту.
В случае диаграммы параболического типа (рис. 14.1,6)
в качестве вспомогательной линии используют касатель-
касательную g к единичной окружности в фиксированной точке F.
На ней находятся все центры окружностей семейства II.
Трансформация снова представляет собой сопровождаю-
сопровождающийся искажениями поворот
вокруг точки F.
В гиперболическом слу-
случае (рис. 14.1,в) центры
окружностей семейства II
лежат на хорде g, проведен-
проведенной через фиксированные
точки Fi и Fz. Для точек пе-
пересечения любой окружно-
окружности семейства II с хордой
справедливо соотношение,
аналогичное соотношению
A0.8), найденному для диа-
диаграммы рис. 10.3. Трансфор-
Трансформация представляет собой
такое неевклидово преобра-
преобразование подобия, что все
точки на диаграмме удаляются от одной фиксированной
точки и приближаются к другой.
Диаграммы, представленные на рис. 14.1,6 и 14.1,в, так-
также бывает целесообразным дополнить, построив перспек-
перспективные оси.
Прямая g тоже является окружностью семейства I и
при ^/(-трансформации переходит сама в себя, даже если
соответствующие ей сопротивления или проводимости не
имеют физического смысла. Поэтому трансформированные
друг в друга точки прямой g, как и в случае диаграммы
трансформации реактивных сопротивлений, можно приве-
привести в соответствие друг другу с помощью построения пер-
перспективных осей.
Перспективные оси и перспективные центры можно най-
найти так же, как и на диаграммах рис. 7.4 и 10.3, с помощью
фиксированных точек и отображений этих точек внутри еди-
единичного круга.
106
Рис. 14.3. Построение окружности,
перпендикулярной к границе единич-
единичного круга н проходящей через две
заданные точки z
Для определения трансформированного значения какой-
либо точки через нее проводят как окружность семейства I,
на которой она должна остаться, так и окружность семей-
семейства II. Для точки пересечения последней с прямой g по-
посредством построения перспективных осей находят ее транс-
трансформированное значение, также лежащее на хорде g, что
позволяет построить отображенную окружность семей-
семейства II.
Часто требуется построить внутри единичного круга ок-
окружности, перпендикулярные его краю. Дадим краткое опи-
описание такого построения. Пусть, например, (см. рис. 14.3) нуж-
нужно построить окружность, проходящую через точки z, и
zf, перпендикулярную единичной окружности. Для этого че-
через точки zf и zf проводим диаметры d1 и da. Затем опи-
описанным выше способом вычисляем расстояние а до прямой g,,
перпендикулярной с?,, которая является геометрическим местом
центров всех окружностей, проходящих через точку zf и
перпендикулярных к единичной окружности. Таким же обра-
образом, для точки zf строится прямая ga. Точка пересечения
прямых g, и g2 будет центром искомой окружности.
Можно избежать вычислений и найти прямые gt и g2 гео-
геометрически. Для этого следует выбрать какую-либо точку Q
на границе единичного круга и найти центр М, окружности,
проходящей через точку zf и перпендикулярной к единичной
окружности в точке Q. Прямая g, будет тогда перпендику-
перпендикуляром, опущенным из этого центра на диаметр dt. Анало-
Аналогично находится прямая g2.
Трансформация малых расстояний
Для оценки результатов трансформации малых расстояний
внутри единичного круга также можно использовать за-
закон 11.3, если этот круг или фиксированные точки диаграм-
диаграммы трансформации, а вместе с тем и положение прямой g на
рис. 14.1, известны. Расстояние между двумя соседними точ-
точками zf и zf относится к расстоянию между точками v wl
и a>f, полученному в результате трансформации, как расстоя-
расстояния точек zf и wf от прямой g.
Можно также использовать и следующий закон, кото-
который не предполагает того, что фиксированные точки изве-
известны.
107
Закон 14.1
Если при отображении единичной окружности
самой на себя точка zf = rze'fz отображается в точ-
точку wf = rwe''fw и небольшое смещение kzf от точки zf
в смещение A©f от точки wf, то для модулей этих
малых смещений справедливо соотношение
,А,я, i_^ (ll3)
Покажем, что если при трансформации внутри единичного
круга точка zf = rze/c?z отображается в точку w'E = 0, то для
малых смещений справедливо равенство
A4.4)
Да)
,'Е\
Если это доказать, то тем самым будет доказана и справед-
справедливость соотношения 14.3, поскольку трансформацию любой
точки zf в какую-то другую точку wf всегда можно выпол-
выполнить с помощью отображения через нулевую точку.
Для отображения точки zf на нулевую точку сначала с
помощью поворота вокруг начала координат отобразим точку
zf = гге/с?2в точку гг. При этом длина отрезка Azf не изме-
изменяется. Затем с помощью преобразования подобия внутри
единичного круга с фиксированными точками — 1 и -f- I
точка rz переводится в нулевую точку*. Наконец, в результате
еще одного поворота вокруг нулевой точки, при котором
расстояния также не изменяются, трансформированное зна-
значение Azf совмещается с Да/Я. Построенное таким образом
круговое отображение согласно закону 9.1 является одно-
однозначным, и поэтому однозначно определяются все его свойства.
Итак, изменение отрезка длины Azf действительно зависит
только от расстояния до центра rz и не зависит от угла fz .
Изменение длины этого отрезка происходит только при пре-
преобразовании подобия, переводящем точку гг в нулевую точку.
Оно является круговым отображением, при которой точка —1
1 Это преобразование подобия в правой полуплоскости имеет
в качестве фиксированных точек 0 и оо.
108
отображается в Точку —1, точка -f-1 в -f-1 и г2 в 0. В соот-
соответствии с этим двойное отношение для четырех точек B.19)
дает
—1—0 — 1— wE —l—rz — 1— гЁ
или
откуда
\-rzz*
A4.5)
Дифференцируя это выражение, получаем
dwE l-rzzE+rz(zE-rz) l-r2z
d-s
что при г =rz дает
dii)
1 - г:
2 -
Тем самым равенства A4.4) и A4.3) доказаны.
Переход от сопротивлений к проводимостям
и трансформации при взаимозамене входа и выхода
четырехполюсника
Переход от сопротивлений к проводимостям и наоборот
в случае диаграммы трансформации внутри единичного
круга очень прост. Чтобы осуществить его, следует лишь
повернуть единичный круг на 180° вокруг собственного
центра и изменить значение Zo на lfZQ (или 1/ZO на Zo)
в формулах (8.1) и (8.2) для перехода от правой полупло-
полуплоскости на единичный круг.
Диаграммы трансформации при обратном включении
четырехполюсника получаются тоже весьма просто, а имен-
именно путем поворота единичного круга вокруг его центра,
при котором фиксированные точки (рис. 14.1) переходят
в точки, комплексно-сопряженные с ними.
109
'пет
15. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
С ПОТЕРЯМИ
Граничная окружность или окружность потерь
и эквивалентная схема [16]
Предположим, что к выходным клеммам четырехпо-
четырехполюсника подключаются различные реактивные сопротив-
сопротивления. Очевидно, что в плоскости комплексных чисел все
соответствующие им точки лежат на мнимой оси. Так как
трансформации, осуществляемой четырехполюсником, со-
соответствует круговое отображение, то все трансформиро-
трансформированные ко входу четырехполюсника значения будут лежать
в плоскости комплексных чисел
на окружности /Спот- Окружность
/Спот или совпадает с мнимой
осью, или вся лежит в пра-
правой комплексной полуплоскости
(рис. 15.1) и лишь в крайнем слу-
случае может касаться мнимой оси.
ЕСЛИ бы ОКРУЖНОСТЬ /Спот ВСЯ ИЛИ
частично лежала в левой ком-
комплексной полуплоскости, то
должны были бы существовать
сопротивления Ri с положитель-
положительной активной составляющей,
трансформированные значения
которых имели бы отрицательную
активную составляющую. Но это
противоречит физическим предпо-
предпосылкам, относящимся к рассма-
рассматриваемым здесь четырехполюс-
четырехполюсникам.
Если окружность /Спот не совпадает с мнимой осью, то
четырехполюсник обладает потерями, так как, несмотря
на то, что он нагружен на чисто реактивное сопротивление
и, следовательно, отдачи активной мощности в нагрузку
нет, его входное сопротивление имеет положительную
активную составляющую. Следовательно, четырехполюсник
потребляет активную мощность.
Четырехполюсник без потерь всегда отображает мни-
мнимую ось саму на себя, и наоборот, только тогда можно
сказать, что четырехполюсник обладает потерями, если
он отображает мнимую ось в окружность /Спот, лежащую
полностью в правой полуплоскости и лишь в крайнем слу-
110
Рис. 15.1. Окружность потерь
или граничная окружность
КПОТ для четырехполюсника
с потерями. Оиа проходит
через значения входных сопро-
сопротивлений, которые соответ-
соответствуют чисто реактивным со-
сопротивлениям нагрузки.
чае касающуюся мнимой оси (иногда /Спот может быть
также прямой, параллельной мнимой оси). Если бы че-
четырехполюсник обладал потерями и несмотря на это ото-
отображал мнимую ось саму на себя, другими словами, ото-
отображал саму на себя всю правую полуплоскость, то со-
согласно основному кругогеометрическому закону 11.1 для
четырехполюсника без потерь должен был бы существо-
существовать также четырехполюсник без потерь, обладающий в от-
отношении сопротивлений теми же трансформирующими
свойствами. Но так как трансформацией сопротивлений
в соответствии с формулой A.4) однозначно определяется
также трансформация напряжения и тока, то, если пред-
предположить, что первый четырехполюсник обладает потеря-
потерями, возникает противоречие. Следовательно, сделанное
выше допущение несостоятельно.
Таким образом, окружность /Спот (рис. 15.1) характери-
характеризует потери в четырехполюснике. Поэтому ее называют
«окружностью потерь» четырехполюсника. Подключим к дан-
данному четырехполюснику поочередно три различных реактив-
реактивных сопротивления Rj и путем измерения установим, в ка-
какие значения R^ они трансформируются. Три значения R^
однозначно определят окружность /Спот- На практике изме-
измерения производятся, разумеется, более чем для трех реактив-
реактивных сопротивлений R', . Все трансформированные значения
R!, должны лежать на окружности /Спот. Величина отклоне-
отклонения их положения от окружности указывает на степень точ-
точности измерений.
Если к четырехполюснику подключить какое-либо пол-
полное сопротивление с активной (неотрицательной) состав-
составляющей, то его трансформированное значение будет всегда
изображаться точкой, лежащей внутри окружности /Спот-
Следовательно, не существует таких полных сопротивле-
сопротивлений Ri (с неотрицательной активной составляющей) и нет
таких способов согласования выхода четырехполюсника,
при которых входное сопротивление четырехполюсника
принимало бы значения, лежащие вне окружности /Спот-
Поэтому, наряду с названием «окружность потерь», окруж-
окружность /Спот называют также «граничной окружностью» четы-
четырехполюсника. Покажем, что с помощью рис. 15.1 для че-
четырехполюсника можно составить простую эквивалент-
эквивалентную схему (рис. 15.2,а), которая подразделяется на две
части: одну—представляющую собой четырехполюсник без
Ш
потерь, и другую — определяющую потери четырехполюс-
четырехполюсника. Чисто активные сопротивления Rs и Rp, а также по-
последовательное реактивное сопротивление jY0 непосред-
непосредственно определяются из граничной окружности Каот
(рис. 15.1). Точка Rs+jY0 является той точкой граничной
окружности, которая ближе всего расположена к мнимой
оси, а точка Rs+*RP+jY0 — точкой, которая отстоит от нее
дальше всего. Вместо эквивалентной схемы (|рис. 1б.2,а)
часто бывает целесообразным иметь дело с эквивалентной
схемой, изображенной на рис. 15.2,6 и вытекающей непо-
непосредственно из схемы рис. 15.2,а, если последнюю разде-
разделить в точке Si и ввести в нее последовательно с +/Т0 со-
Л
0
ft
ЧетЬ/ре*
полюс-
ниН без
потерь
JYO
Четырех-
полюс-
полюсник без
потерь
'а) б)
Рис. 15.2. 'Эквивалентные схемы для четырехполюсника с потерями. Зна-
Значения элементов той части эквивалентной схемы, которая определяет по-
потери четырехполюсника, находятся непосредственно из граничной окруж-
окружности К„0Т (рис. 15.1).
противление —jY0. Таким образом, четырехполюсник без
потерь рис. 15.2,6 получается из четырехполюсника
рис. 15.2,а в результате добавления к последнему реак-
реактивного сопротивления +jY0.
Целесообразность введения такой эквивалентной схемы
объясняется тем, что в большинстве случаев ее частью,
определяющей потери, можно первоначально пренебречь и
лишь затем использовать последнюю для введения соот-
соответствующей поправки. Слотен и Рибнер рассмотренные
выше круговые диаграммы для четырехполюсника без по-
потерь применили также и к четырехполюсникам с потерями,
не выделяя при этом части схемы, определяющей потери
[7, 9 и 10].
Кроме того, как будет показано в § 50, с помощью та-
такой эквивалентной схемы можно легко рассчитать отноше-
отношение потерь активной мощности в четырехполюснике Na0T
к общей подводимой к нему активной мощности N06m,.
Разделение эквивалентной схемы на часть, определяю-
определяющую потери, и на четырехполюсник без потерь, показан-
показанное на рис. 15.2, справедливо только для одной частоты,
112
taK как активные сопротивления Rs, t/?P зависят от частоты.
' Эквивалентную схему (рис. 15.2,а) можно обосновать
следующим образом. Рассмотрим сначала круговую транс-
трансформацию А для четырехполюсника I, состоящего из со-
сопротивлений Rs, Rp и /То. Этот четырехполюсник, если
только он нагружен на чисто активное сопротивление, все-
всегда имеет входное сопротивление, значение которого лежит
на прямой, параллельной действительной оси и проходя-
проходящей через точку /То. Следовательно, четырехполюсник ото-
отображает действительную ось на эту прямую. В случае ко-
короткого замыкания на выходных клеммах (сопротивление
нагрузки равно нулю) входное сопротивление равно Rs+
+/Т0, а при холостом ходе равно </?s-b/?p+/T0. Мнимая ось
характеризуется тем, что она проходит через точки 0 и <х>
и перпендикулярна действительной оси в нулевой точке.
Следовательно, при круговом отображении А мнимая ось
должна давать окружность, проходящую через точки Rs+
+]'YQ и Rs+Rp+jY0 и перпендикулярную в точке Rs+jY0
прямой, параллельной действительной оси, т. е. должна
давать граничную окружность /(пот.-
Внутренняя часть правой полуплоскости при отображе-
отображении А должна переходить в область, расположенную вну-
внутри граничной окружности.
Тогда при обратном по отношению к А круговом ото-
отображении А~х граничная окружность исходного четырех-
четырехполюсника перейдет в мнимую ось и внутренность гранич-
граничного круга — в правую полуплоскость.
Обозначим через В круговое отображение для основно-
основного расположенного ближе к нагрузке четырехполюсника.
Рассмотрим свойства кругового отображения, которое по-
получается, если сначала выполнить круговое отображение В,
затем отображение А~1 и, наконец, А, т. е. рассмотрим ото-
отображение, которое символически представляется в сле-
следующем виде:
A (AT1 В).
Согласно равенству B.22) оно равносильно отображению
(АА-Х)В. Но так как АА~1—Е, то (АА-1)В = ЕВ — В. Отсю-
Отсюда вытекает, что написанное выше круговое отображение
идентично отображению В основного четырехполюсника.
Исследуем теперь отображение (А~1В). Как установлено
из измерений, отображение В переводит правую полуплос-
полуплоскость на внутренность граничного круга Кпот- Отображе-
Отображение А-1 снова переводит внутренность граничного круга на
8—52 113
правую полуплоскость. Таким образом, написанное выше
круговое преобразование (А~1В) отображает правую полу-
полуплоскость саму на себя. Но согласно закону 11.1 четы-
четырехполюсник без потерь II всегда дает отображение
(Л-'Б). Поэтому круговое отображение
можно осуществить с помощью последовательной схемы
из этого четырехполюсника без потерь II и четырехполюс-
четырехполюсника I, которому соответствует круговое отображение А.
Этим доказана возможность применения данной эквива-
эквивалентной схемы.
Трансформирующие свойства части схемы, определяющей
потери
Рассмотрим подробнее трансформирующие свойства
части схемы, определяющей потери (рис. 15.2). Чисто
активному параллельному сопротивлению соответствует
диаграмма трансформации, которая
получается из диаграммы параллель-
параллельного реактивного «противления при
повороте ее на 90° (рис. 15.3). Она со-
состоит из семейства I всех окружно-
окружностей, проходящих через нулевую точку
(сплошные линии), которые перпенди-
перпендикулярны мнимой оси (резистансные
окружности), и из семейства II всех
окружностей (показанных пунктиром),
которые в нулевой точке касаются
мнимой оси (реактансные окружно-
окружности). При отображении реактансные
окружности переходят в меньшие
окружности того же семейства и в со-
соответствии с этим отдельные точки,
расположенные на резистансных
окружностях, перемещаются вдоль по-
последних.
Последовательное активное сопротивление только сдви-
сдвигает всю правую полуплоскость вправо параллельно самой
себе.
Если произвести разделение схемы четырехполюсника
так, как это сделано на рис. 15.2,6, то часть схемы, опре-
114
Рис. 15.3. Трансформи-
Трансформирующие свойства парал-
параллельного активного со-
сопротивления.
¦i
Деляющая потери для четырехполюсников с мальШи Поте-
Потерями, т. е. при очень малом Rs и очень большом Rp, вызы-
вызывает лишь небольшое искажение диаграммы трансформации
в области значения трансформированного сопротивле-
сопротивления \/Rs(Rs+Rp) +jY0 (т. е. на значительном удалении от
края). В этом случае четырехполюсник можно рассматри-
рассматривать как неимеющий потерь. Если необходимо получить
большую точность или если потери значительны, то для
измеренных значений входных реактивных сопротивлений
нужно произвести обратное круговое преобразование А-1,
соответствующее части схемы, определяющей потери, с тем
чтобы точно определить входящий в схему четырехполюс-
четырехполюсник без потерь и его диаграмму (А~1В).
Дополнительные замечания относительно граничной
окружности четырехполюсников с малыми потерями
Если четырехполюсник обладает малыми потерями, то
его граничная окружность лишь незначительно смещена
от мнимой оси. При построении этой окружности на осно-
основании результата трех или большего числа измерений спо-
способом, описанным выше, достигаемая точность обычно бы-
бывает недостаточной. Кроме того, оценка точности измере-
измерений путем использования большого числа эксперименталь-
экспериментальных точек становится невозможной. Связанные с этим об-
обстоятельством затруднения можно устранить, отображая
правую полуплоскость на единичный круг и нанося на не-
него вместо измеренных входных сопротивлений R2 сопротив-
сопротивления, соответствующие внутренности единичного круга,
которые определяются по формуле
рЯ"г — 2,д
При этом следует определенным образом выбирать дей-
действительное значение Zo'.
Граничной окружностью в этом случае является окруж-
окружность, лежащая внутри единичного круга (рис. 15.4,а).
Если четырехполюсник обладает малыми потерями, то гра-
1 При измерениях в случае однородной линии (см. гл. Щ в каче-
качестве Zo берется значение волнового сопротивления линии.
8* 115
ничная окружность будет лишь немного отличаться от еди-
единичной окружности. Для повышения точности построений
развернем единичную окружность в прямую линию и в не-
несколько раз увеличим расстояние от нее до граничной
окружности (рис. 15.4,6). Тогда точки граничной окруж-
окружности будут лежать на кривой, похожей «а синусоиду (при
малых расстояниях между граничной и единичной окруж-
окружностями это будет практически синусоида), которой можно
придать удобный для вычерчивания вид путем выбора со-
соответствующего масштаба по оси ординат.
Расстояние
до Края
¦ единичного
круга —
-J
Рис. 15.4. Граничная окружность, расположен-
расположенная внутри единичного круга. В случае четы-
четырехполюсников с малыми потерями целесооб-
целесообразно развернуть единичную окружность
в прямую линию и расстояния от нее до гра-
граничной окружности представить в увеличенном
масштабе.
Наоборот, если для четырехполюсника известны три
или более полученные из измерений точки граничной
окружности, то соответствующая им синусоида- (рис. 15.4,6)
.определяется однозначно. Когда подобные построения де-
делаются часто, целесообразно сделать следующее. Вычер-
Вычерчивается семейство синусоид различной высоты, но с.одним
и тем же периодом, соответствующим длине единичной
окружности. Измеренные точки, через которые должна
пройти искомая синусоида, наносят на прозрачную бума-
бумагу, и под нее подкладывают чертеж с синусоидальными
кривыми. Тогда путем параллельного перемещения можно
так расположить измеренные точки на вычерченном семей-
семействе кривых, что построение искомой синусоиды не пред-
представит труда. Если известны более чем три измеренные,
точки, то по отклонению отдельных точек от соответствую-
116
щей синусоиды можно оценить точность измерений. Наобо-
Наоборот, из синусоиды (рис. 15.4) можно снова получить любую
эквивалентную схему (рис. 15.2) '.
Закон однозначности в случае четырехполюсников
с потерями
Из вышеизложенного, а также из § 11 вытекает сле-
следующий закон.
Закон однозначности 15.1 для четырехполюсников
с потерями
Если дана граничная окружность Knot, целиком распо-
расположенная в правой комплексной полуплоскости, и произ-
произвольное сопротивление или проводимость z\ с произвольным
направлением sb определяемым стрелкой, проведенной из
точки z\, а также проводимость a»t внутри граничной окруж-
окружности и произвольное направление swi, определяемое
стрелкой swu исходящей из wu то всегда имеется четы-
четырехполюсник с этой граничной окружностью, который
трансформирует значение Z\ в w{ и направление sz в на-
направление sw. При этом трансформирующие свойства че-
четырехполюсника на данной частоте определяются одно-
однозначно.
16. ПОСТРОЕНИЕ Т- ИЛИ П-ОБРАЗНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
СХЕМЫ ПО ДИАГРАММЕ ТРАНСФОРМАЦИИ ПОЛНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИИ ИЛИ ПРОВОДИМОСТЕЙ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА БЕЗ ПОТЕРЬ
При теоретических исследованиях на длинных волнах
для отдельных четырехполюсников обычно строится Т- или
П-образная эквивалентная схема (рис. 16.1). При круго-
геометрическом способе рассмотрения четырехполюсников
во многих случаях можно отказаться от таких эквивалент-
эквивалентных схем, так как с их помощью для данной нагрузки сна-
сначала, кроме всего прочего, нужно рассчитать необходимую
трансформацию, в то время как диаграмма трансформации
сопротивлений сразу дает желаемый результат. Однако
1 Если измерения проводятся на однородной линии, то точки отсче-
отсчета входных сопротивлений на ней 'можно выбрать так, чтобы общий
диаметр граничной окружности и единичного круга совпал с действи-
действительной осью (при этом единичный круг соответствующим образом
поворачивается вокруг своего центра). Тогда, реактивные сопротивле-
сопротивления +/То в эквивалентных схемах на рис. 15.2 будут отсутствовать.
117
ё Некоторых случаях все же целесообразно знать Т- или
П-образную эквивалентную схему, соответствующую тому
или иному четырехполюснику. Поэтому следует показать,
I
Рис. 16.1. Эквивалентные Т- и П-образиые
схемы.
Q'
не прибегая к расчету, как можно получать такие эквива-
эквивалентные схемы, исходя из диаграмм трансформации [1].
Построим сначала Т-образную эквивалентную схему.
В эллиптическом случае диаграмма трансформации че-
четырехполюсника определяется ее фиксированной точкой F
и углом поворота а (рис.
16.2). Основным при реше-
решении поставленной задачи
является определение па-
параллельного реактивного со-
сопротивления Т-звена, так
как последовательным ре-
реактивным сопротивлениям в
геометрическом отношении
соответствуют простые па-
параллельные смещения,
вследствие чего их опреде-
определения не вызывают затруд-
затруднений. Трансформация в
случае параллельного реак-
реактивного сопротивления по-
показана на рис. 7.4. Если
Рис. 16.2. Определение элементов ПППППТИИЛРНир Р, тпянггЬпп
Т-образной эквивалентной схемы че- сопротивление Ki трансфор-
тырехполюсника (эллиптический слу- мируется в Кг, то каждое
чай). направление, исходящее из
точки Ri, изменяется на
центральный ^угол, соот-
соответствующий дуге R1R21, и переходит в соответствующее на-
направление, исходящее из точки R2. Таким образом, угол по-
поворота а (рис. 16.2) является исходной величиной, из
1 Дуга R1R2 принадлежит окружности, которая переходит сама
в себя.
118
которой можно определить значение искомого параллельно-
параллельного реактивного сопротивления.
В произвольной точке Р, лежащей на действительной
оси, построим угол поворота а так, чтобы он делился дей-
действительной осью пополам, и проведем вокруг точки Р
окружность /С', проходящую через нулевую точку. Пусть
она пересекает одну из сторон угла а в точке Q'.
Соединим прямой OQ' точку Q' с нулевой точкой, и
обозначим буквой Q точку пересечения ее с прямой, па-
параллельной мнимой оси и проходящей через, точку F. Про-
Проведем через точку Q окружность К, касающуюся мнимой
оси в нулевой точке. Эта окружность является реактансной
окружностью, на которой расположено значение искомого
параллельного реактивного сопротивления. Точка М —
центр окружности — лежит на прямой, параллельной PQ'
и проходящей через точку Q. Так как здесь имеет место
только геометрически подобное уменьшение всех разме-
размеров, угол с вершиной в точке М также оказывается рав-
равным а. Остальное понятно из рис. 16.2. Последовательное
реактивное сопротивление величиной, определяемой отрез-
отрезком QF, отображает точку F в точку Q. Затем парал-
параллельное реактивное сопротивление перемещает точку Q в
Q", изменяя при этом на угол а направление, проведенное
через эту точку. Следующее последовательное реак-
реактивное сопротивление, соответствующее отрезку FQ",
снова возвращает точку Q" в точку F. Для определения
величины параллельного реактивного сопротивления про-
проведем через точку Q или Q" окружности, которые пересе-
пересекают мнимую ось в нулевой точке под прямым углом. Вто-
Вторично они пересекают ее в точках jx и —jx. Следовательно,
параллельное реактивное сопротивление может трансфор-
трансформировать сопротивление +jx и —jx и должно быть равным
-jx/2.
Для случая параболической диаграммы при рассмотре-
рассмотрении рис. 12.4 уже было показано, что последовательные ре-
реактивные сопротивления должны быть равны —jX и +jX.
Параллельное реактивное сопротивление нужно выбирать
так, чтобы оно трансформировало сопротивление Ri—jX в
R2—jX, т. е. точку пересечения резистансной окружности,
проходящей через точку Ri—jX, с мнимой осью отобража-
отображало в соответствующую точку пересечения с мнимой осью
резистансной окружности, проходящей через точку R2—]'Х.
В гиперболическом случае в качестве фиксированной точ-
точки следует выбирать точку, лежащую в бесконечности. Это
119
Рис. 16.3. Определение
элементов Т-образной эк-
эквивалентной схемы (гипер-
(гиперболический случай).
означает, что в данном случае речь идет об изменении рас-
расстояний от некоторой точки, расположенной на мнимой оси.
При этом все стрелки, которыми указываются направле-
направления, перемещаются параллельно самим себе и, следова-
следовательно, а — их угол поворота всегда равен нулю. Значит
в случае параллельного реактивного сопротивления оказы-
оказывается необходимым переход через границу правой полу-
полуплоскости. Для отдельных сопротивлений эквивалентного
Т-образного звена получаются зна-
значения, не имеющие физического
смысла.
Рассмотрим гиперболический че-
четырехполюсник с двумя имеющими
конечные значения фиксированны-
фиксированными точками. Через обе фиксирован-
фиксированные точки F] и F2 проведем произ-
произвольно окружность (рис. 16.3). Бу-
Будем искать на ней сопротивле-
сопротивление Ri, которое трансформируется
в сопротивление R2 таким образом,
что точки Ri и R2 лежат на одина-
одинаковом расстоянии от мнимой оси.
Геометрические построения для на-
нахождения точки Ri являются до-
довольно сложными. Поэтому целесообразнее найтл точку Rj
методом подбора. Точки Qi и Q2, лежащие на мнимой оси
и соответствующие значениям Ri и R2, расположены симмет-
симметрично по отношению к фиксированным точкам и могут
быть легко найдены методом подбора на диаграмме транс-
трансформации реактивных сопротивлений.
Указывающая направление стрелка, проведенная из
точки Ri, и стрелка, проведенная из точки R2, "определяют
угол поворота а, как и в эллиптическом случае, и с по-
помощью тех же построений, что и в эллиптическом случае,
можно найти искомую Т-образную схему.
Таким образом, с помощью диаграммы трансформации
сопротивлений всегда можно построить Т-образную экви-
эквивалентную схему четырехполюсника. Чтобы составить экви-
эквивалентную П-образную схему целесообразнее исходить из
диаграммы трансформации проводимостей. Рассуждения
и построения при этом совершенно аналогичны приведен-
приведенным выше.
120
\
17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНСФОРМАЦИЙ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА
С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММЫ ТРАНСФОРМАЦИИ ПОЛНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ ИЛИ ПРОВОДИМОСТЕЙ
Трансформация напряжения и тока
Если четырехполюсник без потерь трансформирует со-
сопротивление Ri=Ri+jYx в сопротивление R2=^2+y^2
(рис. 17.1), то согласно условию сохранения активной мощ-
мощности должно выполняться соотношение
I Л 1* =
A7Л)
что позволяет сформулировать следующий закон.
Закон 17.1
Квадраты модулей токов на входе и выходе четырех-
четырехполюсника без потерь обратно пропорциональны действи-
действительным частям сопротивлений R2
и R, fl].
Если модуль I] известен, то лег-
легко вычислить модуль Ь и наоборот.
Из значений Ij и Ri или 12 и R2 оп-
определяется напряжение Ui или 1!2.
Отношение квадратов напряжений
|Ui|2/|U2|2 можно также определить
непосредственно с помощью диа-
Рис. 17.1. К преобразова-
преобразованию последовательной схе-
схемы в параллельную.
граммы трансформации сопротивле-
сопротивлений. Для этого необходимо каждое
из сопротивлений Ri и R2 предста-
представить в виде параллельного включения соответствующего
активного сопротивления Rpx или Rp2 и надлежащего ре-
реактивного сопротивления, так как в случае четырехполюс-
четырехполюсника без потерь
^=4^- о7-2)
Геометрически Rpi и Rp2 изображаются точками пересе-
пересечения с действительной осью окружностей, проходящих
через Ri или R2 (реактансные окружности, проведенные
через Ri или R2) и касающихся мнимой оси в нулевой
точке.
Таким же путем, каким с помощью диаграммы транс-
трансформации сопротивлений определяется отношение |Ii|2/|I2|2,
121
отношение |Ui|V|U2|2 можно определить из Диаграммы
трансформации проводимостей. Изложенное выше можно
сформулировать в виде закона.
Закон 17.2
Квадраты модулей напряжений на входе и выходе че-
четырехполюсника без потерь обратно пропорциональны
действительным частям соответствующих проводимостей [1].
Если четырехполюсник обладает потерями, то, как бу-
будет показано в § 50, из положения точки, соответствующей
значению полного входного сопротивления внутри гранич-
граничной окружности, можно определить относительные потери
активной мощности Л^от/#Общ (Л^общ — общая активная
мощность, подводимая к четырехполюснику, #пот — часть
активной мощности, расходуемая в четырехполюснике).
Если ввести обозначения NBOJNo6ni=x, то из равенства
\h\2R2(l — у) = |Ii|2i/?i следуют выражения
VP1
A7.3)
На первый взгляд кажется, что полученные здесь правила
применимы только к сопротивлениям или проводимостям,
имеющим активную составляющую. Однако они примени-
применимы также и к чисто реактивным сопротивлениям, так как
к последним всегда можно добавить очень малые стремя-
стремящиеся к нулю активные составляющие. В качестве при-
примера можно рассмотреть четырехполюсник, обусловливаю-
обусловливающий трансформацию, при которой расстояния от начала
координат всех точек полных сопротивлений увеличивают-
увеличиваются в р раз. Если он трансформирует сопротивление Ri =
=Ri+jXi в сопротивление R2=R2+jX2, то при достаточно
малых значениях Ri и ^справедливо равенство R2= pRx
и, следовательно,
|ТГГа==Ж" = р ИЛИ Ш ~У"*Ш
Приведенный пример является простейшим, в ряде других
случаев предельный переход более сложен К В-таких слу-
случаях следует попытаться найти какой-либо другой более
удобный путь. Можно, например, применить эквивалентные
схемы, использованные в § 12 для обоснования диаграмм,
или же Т- и П-образные эквивалентные схемы. '
1 Еще один пример см. в §' 39.
122
Сдвиг фазы тока
Для определения сдвига фазы тока в четырехполюсни-
четырехполюснике без потерь можно применить эквивалентные схемы, уже
использовавшиеся в § 11 (рис. 11.2). Значения отдельных
элементов выбираются здесь таким образом, что последо-
последовательное реактивное сопротивление —\у\ трансформи-
4 рует сопротивление нагрузки Ri (рис. 11.1) в активное со-
сопротивление R\=x\, а трансформатор преобразует сопро-
сопротивление R\=x\ в сопротивление R2=x2.
Симметричное Т-звено составлено так, что значение Ri
для него является фиксированной точкой, а указывающая
направление, исходящая из точки х2 стрелка s", парал-
параллельная стрелке si, поворачивается на угол а, принимая
направление s"', параллельное стрелке s2, проведенной из
точки R2. Наконец, реактивное сопротивление ]у2 трансфор-
трансформирует значение R2 в значение R2- В этой схеме, таким об-
образом, сдвиг фазы тока происходит только в симметрич-
симметричном Т-звене (возможный сдвиг фазы на 180° в трансфор-
трансформаторе не учитывается). Поэтому для токов V или I на
входе и выходе Т-звена, соответственно, согласно уравне-
уравнению A0.11) можно записать
Г = / -J Sill -j- -f-1 COS -у .
В эквивалентной схеме Z=R2, а Т-звено нагружено на свое
волновое сопротивление. Таким образом,
= 1 и I' =
Из этой формулы видно, что ток на выходе по фазе от-
отстает от тока на входе на угол а/2. В связи с периодич-
периодичностью функции е/а/2 сдвиг фазы этой формулой определяется
С точностью до величины, кратной -а или 180°.
Итак, если указывающая направление стрелка Si до
совпадения со стрелкой s2 должна повернуться по часовой
стрелке на угол а, то это означает, что ток Ii отстает от
тока \2 по фазе на угол <х/2+и- 180° (п = 0, 1, 2...).
В соответствии с рис. 15.2 четырехполюсник с потерями
всегда можно разбить на четырехполюсник без потерь и
на схему, определяющую потери. В схеме, определяющей
потери, на фазу влияет только параллельное активное со-
сопротивление RP. Пусть сопротивление Ri и направление,
определяемое стрелкой sb будучи отнесенными к точке St
переходят, например, в R' и s' (рис. 17.2).
123
Рис. 17.2. К опре-
определению сдвига фаз
токов в четырехпо-
четырехполюсниках с поте-
потерями.
Параллельное сопротивление Rp трансформирует R' и
s' при переходе к точке S2 в R" и s". При этом значения
R' и R" лежат на окружности К, которая перпендикуляр-
перпендикулярна мнимой оси в нулевой точке (рези-
стансная окружность), а определяющая
направление стрелка s' поворачивается
до совпадения с направлением s" по ча-
часовой стрелке на центральный угол р.
С другой стороны, из известной теоремы
планиметрии следует, что угол между
векторами, проведенными из начала ко-
координат в точки R' и R", равен р/2. Так
как величины напряжений U в точках S\
и S2 равны, то, следовательно, ток 1'=
= U/R' в точке 5] отстает от тока V—
= U/R" в точке S2 по фазе на угол р/2.
Следовательно, и здесь поворот, ука-
указывающей направление стрелки s' по ча-
часовой стрелке на угол р до совпадения
с направлением s", означает отставание
тока в точке S{ по фазе на угол р/2. Та-
Таким образом, как для четырехполюсника без потерь, так и
для четырехполюсника с потерями, соответствующего
рис. 15.2, всегда выполняется следующий закон.
Закон 17.3
Если четырехполюсник трансформирует сопротивление
нагрузки Ri в R2 и одновременно переводит направление su
проведенное через точку Ri, в направление s2 путем пово-
поворота по часовой стрелке на угол а, то ток Ii отстает от то-
тока 12 по фазе на угол а/2+п-18(Г (п=0, 1, 2...) [17].
Сдвиг фазы напряжения
Если разность фаз токов Ii и 12 известна, то, используя
значение сопротивлений R! и R2) можно легко вычислить
разность фаз напряжений.
Как уже отмечалось, разность фаз напряжений .можно
определить также и непосредственно из диаграммы гюово-
димостей. Рассуждения, аналогичные приведенным выше,
позволяют сформулировать следующий закон:
Закон 17.4
Если четырехполюсник трансформирует проводимость
нагрузки Y, в проводимость Y2 и одновременно переводит
направление, определяемое стрелкой sit исходящей из точ-
124
км Y,, в направление, опреде-
определяемое стрелкой s2, причем S]
поворачивается по часовой стрелке
на угол а, то напряжение U i отстает
от напряжения LI2 no фазе на угол
а12+п-18(Р, где п=0, 1, 2.. [17].
Угол между S[ и s2 на диаграм-
диаграмме проводимостей можно опреде-
определить и непосредственно из диаграм-,
мы сопротивлений, не прибегая
к построению диаграммы проводи-
' мости. Для этого лишь необходимо
на диаграмме сопротивлений начер-
начертить окружности Ki и Кг, проходя-
проходящие через точки Ri и R2 (рис. 17.3)
и перпендикулярные действительной
оси в нулевой точке. При переходе
от диаграммы трансформации со-
сопротивлений к диаграмме трансфор-
трансформации проводимостей эти окруж-
окружности превращаются в прямые,
параллельные мнимой оси.
Стрелки si и s2 на диаграмме
проводимостей, соответствующие стрелкам s[ и s'2 диаграм-
диаграммы сопротивлений, образуют с этими прямыми, параллель-
параллельными мнимой оси, те же углы а, и а2, что и стрелки s[ и s'2
с окружностями Ki и К2- Следовательно, чтобы повернуть
стрелку s, до совпадения со стрелкой s2, необходимо на
диаграмме проводимостей осуществить поворот на угол
а1-(-а2 (рис. 17.3). В соответствии с этим напряжение l]t
будет отставать от напряжения U2 на угол (а, -f- а2)/2 -f-
4-П-18О0.
Аналогичным способом с помощью диаграммы транс-
трансформации проводимостей можно вычислить угол поворо-
поворота на диаграмме трансформации сопротивлений '.
Рис. 17.3. Соотношение
фаз напряжений на выходе
и входе*четырехполюсиика,
трансформирующего со-
сопротивление R, в сопротив-
сопротивление R2, а направление,
определяемое стрелкой sl
в направление, определя.
емое стрелкой s2. Вы-
Выходное напряжение отстает
от входного на угол (а, +
+ а2)/2 + я-180°, где л =
= 1, 2, 3...
1 Если четырехполюсник (с потерями или без потерь) трансфор-
трансформирует небольшое изменение сопротивления или проводимости ARi или
AYi в AR2 или AY2> то фазовые сдвиги определяются соотношениями
125
Определение трансформации напряжения и тока с помощью
диаграммы трансформации внутри единичного круга
Выше было показано, как можно определить трансфор-
трансформацию напряжения или тока с помощью диаграммы транс-
трансформации сопротивлений или проводимостей в правой ком-
комплексной полуплоскости. Но трансформацию напряжения
и тока легко определить также с помощью диаграммы
трансформации сопротив-
лений или проводимостей
внутри единичного круга.
Если, например, четы-
четырехполюсник трансформи-
трансформирует сопротивление Rf вну-
внутренней области единичного
круга (рис. 17.4) в сопро-
сопротивление Rf и переводит
определяемое
, в направле-
направленаправление,
стрелкой s,
f
ние
sf,
Рис. 17.4. Определение закона транс-
трансформации тока и напряжения из диа-
диаграммы трансформации внутри единич-
единичного круга. Предположим, что четырех-
четырехполюсник трансформирует Rf в R?
и 5[ в s2 . В этом случае ток на
выходе четырехполюсника отстает от
тока на входе на угол (а, -f- а2)/2 -f-
-f- n-180°, а напряжение на выходе от
напряжения на входе на угол (В, +
+ ^12+п-180°.
то через точки
Rf и Rf можно провести
окружности /С, и К2, каса-
касающиеся единичного круга
в точке ооя=-|-1. Эти ок-
окружности получаются при
отображении прямых, па-
параллельных мнимой оси в
декартовой системе коор-
координат. Точками пересече-
пересечения их с действительной
осью определяются рас-
расстояния от точек правой
полуплоскости, соответствующих сопротивлениям R, и R2 до
мнимой оси, а следовательно, согласно изложенному выше и
закон трансформации амплитуд токов.
Стрелка sf образует с окружностью Kt угол а,, а стрел-
стрелка sf с окружностью К2 — угол а2. Очевидно, что поворот
стрелки s, до совпадения со стрелкой s2 в правой полупло-
полуплоскости должен происходить на угол, который в примере, по-
показанном на рис. 17.4, равен сумме углов а, и а,. Таким
образом, мы определили и сдвиг фазы тока.
126
Чтобы определить закон для трансформации напряжения,
через точки Rf и Rf следует провести окружности К\ и
fB, касающиеся единичной окружности в точке 0я = — 1.
Эти окружности получаются при отображении прямых, па-
параллельных мнимой оси на диаграмме проводимости. Они
соответствуют окружностям /(, и Кг (рис. 17.3). Затем по
точкам пересечения окружностей К\ и Хг с действительной
осью определить трансформированные значения модуля на-
напряжения, а из углов pt и р2, образуемых стрелками sf и
sf с окружностями К\ и К'2, определить сдвиг фазы на-
напряжения.
.Можно избежать построения окружностей К.х, К2, К\ и
#2, если имеется готовая координатная сетка, полученная
в результате отображения декартовой системы координат на
внутреннюю область единичного круга (рис. 8.1). В этом
случае значения сопротивлений Rf, Rf, а также направле-
направления sf и sf, удобно наносить на прозрачную бумагу, под
которую подкладывается координатная сетка.
Другая формулировка основных кругогеометрических
законов
В предыдущих параграфах было показано, что ориен-
ориентация указывающих направления стрелок, введенных
в § 9, по соображениям, вытекающим из круговой геомет-
геометрии, тесно связана со сдвигом фазы тока и напряжения.
Полезно еще раз подчеркнуть физический смысл направ-
направлений, указываемых этими стрелками. Для этого сформу-
сформулируем несколько иначе основной кругогеометрический за-
закон 11.2 для четырехполюсников без потерь.
Основной кругогеометрический закон 17.5
для четырехполюсников без потерь
Всегда существует такой четырехполюсник без потерь,
который на данной частоте трансформирует наперед за-
заданное сопротивление в любое другое наперед заданное
сопротивление (причем эти сопротивления в общем случае
не являются чисто реактивными) и, кроме того, сдвигает
фазу тока или напряжения на любой заданный угол. Эти
требования однозначно определяют трансформирующие
127
свойства четырехполюсника без потерь на выбранной чп'
стоте.
Аналогичным образом приведенный в § 15 закон одно-
однозначности для четырехполюсников с потерями можно сфор-
сформулировать несколько иначе, переходя от направлений к
фазовым сдвигам.
Закон однозначности 17.6 дли четырехполюсников
с потерями
Если даны граничная окружность Киот, целиком распо-
расположенная в правой комплексной полуплоскости, и какое
угодно сопротивление (или проводимость) Z\, то можно по-
потребовать, чтобы значение Z\ трансформировалось в любое
значение W\, лежащее внутри граничной окружности и фа-
фаза тока или напряжения вдвигалась на любой заданный
угол. Это требование всегда выполнимо и оно однозначно
определяет трансформирующие свойства четырехполюсника
на данной частоте.
18. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОБЩЕЙ
КРУГОГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Полезно привести некоторые примеры, взятые из ин-
инженерной практики, показывающие целесообразность при-
применения общей кругогеометрической теории четырехполюс-
четырехполюсников.
Оценка частотной зависимости входного сопротивления
антенн
Известно, что входное со-
сопротивление любой антенны
в большей или меньшей степе-
степени зависит от частоты. При
конструировании антенн стре-
стремятся к тому, чтобы эта зави-
зависимость была минимальной.
Пусть установлено, что у одной
антенны входное сопротивле-
сопротивление в диапазоне частот от \\
до /г изменяется в соответ-
соответствии с кривой а, а у другой
антенны —¦ в соответствии с
кривой Ь (изображенных на
Рис. 18.1. Сравнение двух кри-
кривых а и b изменения входных
сопротивлений антенн. Входное
сопротивление аитениы а имеет
ббльшую частотную зависимость,
несмотря на то, что соответствую-
соответствующая ей кривая короче.
128
рис. 18.1). При рассмотрении кривых рис. 18.1 может по-
показаться, что в отношении частотной зависимости первая
антенна, которой соответствует кривая а, лучше, чем вто-
вторая; в действительности же дело обстоит как раз наоборот.
Действительно, пусть, например, при согласовании на
средней частоте входное сопротивление обеих антенн
трансформируется в сопротивление Z. Если пренебречь
частотной зависимостью трансформирующего эвена, то
согласно закону 11.3 для этого нужно, чтобы расстояния
между соседними точками и соответственно длины' кривых,
представляющих собой геометрические места этих точек,
изменялись пропорционально расстояниям этих точек от
мнимой оси. Очевидно, что из кривой а получится более
длинная кривая, чем из кривой Ь.
Рассогласование при подключении к выходу
трансформирующего звена нагрузки, отличающейся
от номинальной
Пусть трансформирующее звено, предназначенное для сог-
согласования антенны с линией, преобразует сопротивление Rt
точно в волновое сопротивление Z линии (рис. 18.2). Однако
может оказаться, что сопротивление антенны равно RJ . Опре-
Определим, в какое значение R^ трансформируется сопротивле-
сопротивление R', [6]. Тот факт, что трансформирующее звено преобра-
преобразует сопротивление R, в Z, еще не определяет однозначно
его свойств, однако можно утверждать, что точка R^ должна
лежать на окружности К.
Проведем через точки R, и Rj окружность /С,, которая
перпендикулярна мнимой оси (центром окружности является
точка пересечения мнимой оси с перпендикуляром к середине
отрезка, соединяющего точки R, и R',).
Направление касательной к окружности Ki в точке Rlf
ориентированной в сторону точки R( , определяется стрел-
стрелкой st. Если при трансформации сопротивление Rx переходит
в сопротивление Z, то направление, определяемое стрелкой slf
может перейти в любое другое направление, соответствующее
стрелке s2, исходящей из точки Z. Если направление s2 из-
известно, или, что согласно закону 17.5 то же самое, известен
сдвиг фазы тока или напряжения, то закон трансформации
определяется однозначно. Наоборот все возможные случаи
трансформации сопротивления Rt в сопротивление Z можно
9—52 129
различать по направлению стрелки s2, исходящей из точки Z.
Круговое преобразование, при котором сопротивление R!
переходит в сопротивление Z и s, — в направление, определяе-
определяемое стрелкой s2, исходящей из точки Z, находится следую-
следующим образом. С помощью неевклидова поворота относи-
относительно фиксированной точки R, окружность Кг отображается
в прямую Л"',, параллельную дей-
действительной оси и проходящую
через точку R,. При этом точка
R', перемещается по окружности
Ко и переходит в точку RJ'. Ок-
Окружность Кв является той окруж-
ностью постоянного рассогласо-
2 вания (с центром на прямой
/С,), которая в точке Rt перпен-
перпендикулярна окружности Kf
Посредством сдвига, при ко-
котором прямая К[ остается пер-
перпендикулярной мнимой оси, эта
прямая отображается в действи-
действительную ось и при последующем
преобразовании подобия с коэф-
Рис. 18.2. Определение входного
сопротивления согласующего зве-
на, которое может трансформи-
ровать сопротивление нагрузки R, рр ф
в Z в случае, когда в качестве л: л ^ in /г» \
аагрузки используется другое со- фициентом подобия р = Z/Re (R,)
противление Rj. Значение вход- точка R, переходит в точку Z,
должно a R, — В точку R2 =p Re (R, ).
Тем самым находится точка
ного сопротивления 2
находиться на окружности К.
Точное положение искомой точ- г," • -.
„» Ro, в которую отображается точ-
точки R2 можно определить, если 2 ,
известно, каким образом направ- ка R,, когда направление, опре-
ление, определяемое стрелкой s,, деляемое стрелкой S,, Совпадает
переходит в направление s., а так- r 2
як/если известен сдвиг фазы с положительным направлением
тока нлн напряжения. действительной ОСИ.
При эллиптической трансфор-
трансформации с фиксированной точкой
Z направление s, может перейти в какое угодно другое
направление s,, а точка R2 располагаться где угодно на прохо-
проходящей через точки R и R'2" — Z*[R окружности К е цент-
центром на действительной оси. Таким образом, найдена окруж-
окружность К и доказано утверждение, сделанное на основании
закайся 11,1 и 11.2. Если, кроме того, что трансформирую-
трансформирующее звено трансформирует R, в Z,, известно также, в какое
130
направление s2 отображается направление s,, или известен сдвиг
фазы тока или напряжения, который определяет направле-
направление s2, то можно точно найти значение R2, получаемое при
трансформации сопротивления R', . Для этого следует лишь
через точку Z провести окружность К2, которая перпендику-
перпендикулярна мнимой оси и имеет касательную, совпадающую по
направлению со стрелкой s2. Соответствующая точка пересе-
пересечения этой окружности с окружностью К определяет значе-
значение R2, полученное в результате трансформации R', .
Построения значительно упрощаются, если^,—R',| <^Re(R,).
В этом случае применим закон 11.3 о трансформации малых
расстояний. При этом практически центром окружности К на
рис. 18.2 можно считать точку Z, а радиусом—произведение
|R, — Rj| - Z/Re(Ri). Во многих случаях нет необходимости в
тщательном построении окружности К, так как часто положе-
положение ее можно с достаточной точностью предсказать.
Оценка степени рассогласования антенны в широкой полосе
частот
Построения, описанные выше, применимы и в других
случаях, например при оценке степени рассогласования
антенны в широкой полосе частот. Пусть снова поставле-
поставлена задача трансформировать входное сопротивление антен-
антенны в волновое сопротивление линии. При изменении часто-
частоты обычно изменяются как входное сопротивление антен-
антенны, так и трансформирующие свойства согласующего звеиа.
Для получения широкополосного согласования стремятся
сконструировать согласующее звено и антенну так, чтобы
частотные изменения по возможности взаимно компенсиро-
компенсировались. Чтобы достигнуть этого, необходимо прежде всего
оба узла исследовать по отдельности, определив зависи-
зависимость входного сопротивления антенны и характеристик
согласующего звена от частоты. Трансформирующее звено
применяется здесь только для вполне определенной цели,
поэтому нет необходимости для каждой частоты строить
полную диаграмму трансформации. Целесообразнее посту-
поступить следующим образом. Так как входное сопротивление
согласующего звена должно быть чисто активным и рав-
9* 131
г
-о—
<7
Рис. 18.3. К опре-
определению частотной
зависимости согла-
согласующих звеньев.
ным Z, к этому звену 'подключают сопротивление Z и,
поменяв местами вход и выход четырехполюсника, устанав-
устанавливают, в какое значение Rj (рис. 18.3) оно трансформи-
трансформируется в этом случае. Если согласующее звено при обрат-
обратном включении трансформирует сопро-
сопротивление Z в Ri, причем Ri является ком-
комплексно сопряженным значением для Ri,
то согласно закону 13.2 при прямом
включении сопротивление Ri трансфор-
трансформируется в Z. Таким путем, в зависи-
зависимости от частоты, можно снять кривую
входного сопротивления Ri, которое
должна иметь антенна, чтобы согласую-
согласующее звено трансформировало его точно
в Z. По величине отклонения фактиче-
фактического сопротивления R', от номинального
значения R, можно способом, описанным в предыдущем раз-
разделе, для каждой частоты построить окружность постоян-
постоянного рассогласования К, на которой лежит значение сопро-
сопротивления R2, получаемого в результате трансформации со-
сопротивления R,. Точное значение R!, можно вычислить спосо-
способом, описанным выше, если воспользоваться результатами,
которые получаются при исследовании согласующего звена,
когда ко входу последнего, кроме сопротивления Z, подклю-
подключается несколько отличное от него сопротивление Z-j-Дг.
Конструирование широкополосной антениы с круговой
поляризацией
Поскольку этот случай представляет собой хороший
пример применения общих кругогеометрических положе-
положений, рассмотрим некоторые вопросы, возникающие при раз-
разработке антенны с круговой поляризацией для диапазона
волн от 50 до 80 см [18].
Простейшая антенна в виде диполя
(рис. 18.4) излучает, как известно, линейно
поляризованное поле и может принимать
только соответствующую составляющую. Если ~
в качестве передающей и приемной антенн
использовать две расположенные друг против
Рис. 18.4. Ди- ДРУга дипольные антенны и если антенны пер-
польнан ан- пендикулярны друг другу, то сигнал приемной
тенна. антенной восприниматься не будет. Если излу-
J32
Эаемое электрическое поле определяется в месте чприема
величиной и положением вектора Е (рис. 18.5), то прием-
приемная антенна, параллельная прямой g, будет воспринимать
только поле, напряженность которого определяется вели-
величиной проекции вектора Е на прямую g. Ничего не изме-
изменятся и в том случае, если стержням антенны придать бо-
более или менее сложную форму. Но по другому будет об-
обстоять дело, если между передающей и приемной антен-
антеннами имеют место отражения, сопровождаемые поворотом
плоскости поляризации, и отраженные волны приходят
к антенне, имея уже некоторую разность фаз, или несколь-
несколько антенн запитываются со сдвигом по фазе.
С другой стороны, если передающая антенна излучает
поле с круговой поляризацией, то величина сигнала, вос-
воспринимаемого приемной антенной, не зависит от располо-
расположения последней в плоскости, перпендикулярной направ-
направлению распространения. В поле с круговой поляризацией
электрический вектор не имеет постоянного направления.
Он вращается в плоскости, перпендикулярной направле-
направлению распространения, так что для любого направления
плоскости поляризации приемной антенны составляющая
напряженности поля одна и та же. Такую волну с круго-
круговой поляризацией можно возбудить с помощью устройства,
схематически изображенного «а рис. 18.6. Оно состоит из
двух пар диполей АВ и CD, которые расположены в од-
одной плоскости перпендикулярно друг другу. Способ воз-
возбуждения этих диполей иллюстрируется рис. 18.6,6. Соглас-
Согласно этому рисунку две одинаковые дипольные антенны
не соединены непосредственно, а включены через четырех-
четырехполюсник. Элементы схемы рассчитаны так, что оба дипо:
ля излучают одинаковую мощность, а напряжение одного
из них сдвинуто по отношению к напряжению другого по
Рис. 18.5. На-
Напряженность
поля, воспри-
воспринимаемого ли-
линейно поляри-
поляризованной ан-
антенной.
D
. (О
Рис. 18.6. Антенна с круговой поляриза-
поляризацией, состоящая из двух идентичных ди-
диполей (изображена схематически).
133
фазе точно на 90°. Если эти два условия выполнены,
то излучается поле с круговой поляризацией (рис. 18.7).
В тот момент, когда в антенне АВ напряжение макси-
максимально, в антенне CD оно равно нулю. Поэтому 'напряжен-
'напряженность электрического поля в направлении антенны АВ ма-
максимальна. Через одну восьмую_ периода напряжение
в антенне АВ уменьшится в 1/1^2 раз A/^2= cos 45°Ь
а в антенне CD возрастет до величины, равной 1/|/2
от максимальной. Таким образом, в этот момент напря-
напряженность поля Е складывается из двух равных составляю-
составляющих (рис. 18.7,6). Еще через одну восьмую периода напря-
напряженность поля в направлении АВ становится равной нулю,
а в направлении CD — максимальной. Через следующую
восьмую часть периода получим 'напряженность электри-
электрического поля, соответствующую рис. 18.7,г и т. д. Конец
вектора электрического поля описывает окружность. Та-
Таким образом, для получения поля круговой поляризации
необходимо, чтобы оба диполя излучали одинаковую мощ-
мощность и разность фаз их колебаний точно соответствовала
четверти периода. В противном случае вместо круговой
будет эллиптическая поляризация.
При конструировании антенны с круговой поляризаци-
поляризацией нужно так выбрать антенны с линейной поляризацией
и включенный между «ими четырехполюсник, чтобы в за-
заданном диапазоне волн (например, в диапазоне от 50 до
80 см) оба эти условия выполнялись как можно лучше.
Включим между диполями АВ и CD четырехполюсник
без потерь, например четырехполюсник с действительной
фиксированной точкой 1/ZO. На рис. 18.8 изображена-диа-
изображена-диаграмма трансформации проводимостей. Если значение
входной проводимости диполя CD равно Yi, то для точки
подключения диполя АВ оно трансформируется в значе-
значение Y2, которое расположено на окружности постоянного
рассогласования К, проходящей через точку Yi.
-С D-
f-0
В
в
t-i
с В-
f-l
В В
S) 6) г)
Рис. 18.7. Поле с круговой поляризацией.
134
Есди оба диполя одинаковы, то, для того чтобы они из-
излучали одинаковую мощность, амплитуды напряжения
в местах подключения антенн АВ и CD должны быть рав-
равными. Согласно закону 17.2 это означает, что точки Yj и Y2
должны лежать на одинаковом расстоянии от мнимой оси.
Кроме того, четырехполюсник должен обеспечивать сдвиг
фаз напряжений точно в 90°. На
диаграмме проводимостей это выра-
выражается тем, что направление, опре-
определяемое стрелкой s\, исходящей из
точки Yi, при трансформации пово-
поворачивается на угол 2-90= 180° и пе- 0
реходит в направление, определяе-
определяемое стрелкой s2, «сходящей из точ-
точки Уг. Следовательно, Yi и Y2 лежат
на одном диаметре окружности
трансформации К, поскольку только
при этом условии направление из-
изменяется на 180°.
Из сказанного выше можно сде-
сделать следующие выводы: если четы-
четырехполюсник, включенный между
диполями АВ и CD, имеет диаграм-
диаграмму трансформации эллиптическо-
эллиптического типа с фиксированной точкой 1/ZO (на диаграмме про-
проводимостей) ,и углом поворота а (рис. 18.8), то этому
четырехполюснику соответствует только одна вполне опреде-
определенная проводимость нагрузки Yb которую он трансфор-
трансформирует в значение Y2 так, что к обоим диполям оказыва-
оказываются приложенными напряжения, одинаковые по величине
и сдвинутые по фазе по отношению друг к другу точно
на 90°.
Проводимость Y! можно найти следующим образом.
В точке 1/Zo строится угол а так, чтобы действительная
ось делила его.пополам. Затем вычерчиваются фазовые
окружности Ki и /B, касательные к которому образуют
угол а. Тогда Y, и Y2 будут точками касания прямой,
перпендикулярной действительной оси с окружностями К\
и /B^ Следовательно, при конструировании антенны с кру-
круговой поляризацией необходимо:
1. Исследуя четырехполюсники, включаемые на практи-
практике между диполями CD и АВ, определить, какую входную
проводимость должны иметь диполи, чтобы в результате
трансформации, осуществляемой тем или иным четырех-
135
Рис. 18.8. Случай опти-
оптимальной трансформации
проводимости аитениы Y,
соединительным четырех-
четырехполюсником, входящим в
антенну с круговой поля-
поляризацией (рис. 18.6).
полюсником, оказались выполненными амплитудное и фа-
фазовое условия.
2. Измерив входные проводимости диполей, определить
их зависимость от частоты.
Исследования четырехполюсников показывают, что
сравнительно просто можно получить четырехполюсник
с фиксированной точкой 1/Zo, значение которой в широких
пределах не зависит от частоты, и с углом поворота, об-
обратно пропорциональным длине волны,
К
причем при выборе коэффициента ko можно изменять его
величину в широких пределах.
Примером такого четырехполюсника является отрезок
однородной линии.
Пусть для фиксированной точки \/Z0 (рис. 18.9) и ko=
= 7200 град-см в диапазоне волн
от 50 до 80 см получена кривая а.
Это- значит, что если бы при длине
волны А,=50 см входная проводи-
проводимость диполя CD была равна YSo,
то условия для получения круговой
поляризации точно выполнялись бы.
При Я,=65 см и том же четырехпо-
четырехполюснике входная проводимость дол-
должна быть равной Y65.
Пусть из измерений входных
проводимостей антенн установле-
установлено, что путем изменения дли-
длины диполей, расстояния их от
рефлектора и так далее, можно по-
получить кривую Ь. Это значит,
что при длине волны в 50 см вход-
входная проводимость антенны равна Y^, и т. д. Как мы ви-
видим, значения Yso и Y50 сравнительно мало отличаются
друг от друга, так что и на частотах, соответствующих
краям кривой Ь, поляризация поля излучения будет лишь
незначительно отличаться от круговой. На практике антен-
антенна, сконструированная с учетом приведенных выше сооб-
соображений, когда требуется только определение 'полных со-
сопротивлений и характеристик четырехполюсника (что воз-
возможно на очень коротких волнах), излучала поле с поляри-
поляризацией, весьма близкой к круговой.
136
Рис. 18.9. Кривая, при ко-
которой выполняются усло-
условия возбуждения круговой
поляризации (а) и получае-
получаемая практически кривая (Ь).
ГЛАВА II
СХЕМЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЛИНИЯМИ И ТЕХНИКА
ИЗМЕРЕНИЙ
19. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На сверхвысоких частотах часто применяется элемент,
называемый однородной линией, образующий совместно
с другими элементами ту или иную цепь.
Условимся под однородными линиями понимать как
двухпроводные линии (линии с обратным проводником),
так и линии без обратного проводника (волноводы).
На сравнительно низких частотах, как правило, приме-
применяются симметричные двухпроводные линии. На более вы-
высоких частотах во избежание потерь на излучение прихо-
приходится применять коаксиальные линии или прибегать к эк-
экранированию симметричных двухпроводных линий
(рис. 19.1,г и 19.1,5). Двухпроводная линия может иметь са-
самые различные профили попер'ечного сечения (рис. 19.1,6).
Наконец, в сантиметровом диапазоне волн находят
широкое применение однородные линии без обратного про-
проводника — волноводы с круглым и прямоугольным попе-
поперечным сечением.
Хотя электромагнитная энергия распространяется по
волноводу иначе, чем по двухпроводной линий, многие
формулы и основные положения круговой геометрии при-
применимы в равной мере в обоих случаях.
Наличие поверхностного эффекта приводит к тому, что
электрический ток на сверхвысоких частотах течет только
по поверхности проводников линии. На дециметровых и
сантиметровых волнах толщина скин-слоя имеет порядок
всего лишь 10~3 мм и передача энергии в основном произ-
производится электромагнитной волной, распространяющейся
в пространстве между проводниками. Таким образом, на
137
внешней поверхности экранированной двухпроводной ли-
линии, коаксиальной линии или волновода токи и связанные
с ними поля излучения отсутствуют.
В диапазоне дециметровых и сантиметровых волн обыч-
обычно применяются короткие отрезки линий, изготовляемые
Рис. 19.1. Распределение силовых линий в поперечных се-
сечениях различных однородных двухпроводных линий (элек-
(электрические силовые линии показаны сплошными линиями,
магнитные — пунктиром).
из материала с хорошей проводимостью. Поэтому актив-
активными потерями в большинстве случаев можно пренебречь,
несмотря на то, что глубина проникновения токов, а следо-
следовательно, и поперечное сечение проводящей части стенк»
линии малы. В связи с этим в дальнейшем рассматривают-
рассматриваются главным образом линии без потерь.
20. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ ДВУХПРОВОДНОЙ
ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ
Электромагнитное поле в плоскости поперечного сечения
Как указывалось во введении, любое устройство сверх-
сверхвысоких частот можно разделить на отдельные элементы,
однако при этом необходимо, чтобы на поверхности разде-
раздела состояние электромагнитного поля для любого режима
можно было однозначно охарактеризовать с помощью двух
13?
величин, например тока и напряжения. В частности, в лю-
любом поперечном сечении однородной двухпроводной линии,
перпендикулярном ее оси симметрии и ' удаленном доста-
достаточно далеко от источников возмущения поля, упомянутые
условия выполняются, как это можно видеть при рассмо-
рассмотрении силовых линий в этих сечениях.
На рис. 19.1 показана картина силовых линий поля
в плоскости поперечного сечения для различных однород-
однородных двухпроводных линий. На очень коротких волнах ча-
часто применяется коаксиальная линия (рис. 19.1,а), элек-
электрические силовые линии которой, имея радиальное на-
направление, соединяют внешний и внутренний проводники
(показаны в виде сплошных линий), а магнитные силовые
линии представляют собой концентрические окружности
(изображены пунктиром). Как электрические, так и маг-
магнитные силовые линии располагаются полностью в плоско-
плоскости поперечного сечения. Напряженность и распределение
электрического поля однозначно определяются напряже-
напряжением U, приложенным между внешним и внутренним про-
проводниками, а напряженность и распределение магнитного
поля — протекающим параллельно оси линии током I, ко-
который на внутреннем и внешнем проводниках имеет одина-
одинаковую величину >и различное направление. Таким образом,
состояние электрического и магнитного полей в плоскости
поперечного сечения можно однозначно охарактеризовать
двумя величинами, а именно, током и напряжением. По-
Поэтому в данном случае любую плоскость поперечного сече-
сечения можно рассматривать как граничную, что уже отмеча-
отмечалось во введении.
Точно так же могут быть определены напряженность и
распределение электрического н магнитного полей для ли-
линии (рис. 19.1,6). В двухпроводной линии (рис. 19.1,в)
электрическое и магнитное поля охватывают, в частности,
области, расположенные сравнительно далеко от провод-
проводников. В этом случае однозначность в распределении поля
существует только при условии, если вблизи линии отсут-
отсутствуют посторонние проводники. Поверхность раздела при
этом можно лишь условно принять за граничную, отожде-
отождествляемую, например, с зажимами четырехполюсника.
На рис. 19.1,г и 19.1,5 показаны сечения двухпроводной
экранированной линии. Здесь возможны два различных
случая распределения поля. Рис. 19.1,г соответствует слу-
случаю, когда оба внутренних проводника находятся под оди-
одинаковым потенциалом относительно экрана. В случае же,
139
изображенном на рис. 19.1Д они имеют противоположные
потенциалы. В первом случае говорят о синфазных, а во
втором о противофазных колебаниях. В каждом из этих
случаев, взятом в отдельности, состояние электромагнит-
электромагнитного поля в плоскостях поперечного сечения также будет
однозначно определяться 'напряжением и током. Вполне
возможно также, что поля, изображенные на рис. 19.1,г и
и 19.1Д имея различную напряженность, будут наклады-
накладываться друг на друга. В этом случае состояние электромаг-
электромагнитного поля уже не может быть определено полностью
только двумя параметрами и плоскость поперечного сече-
сечения не является граничной в том смысле, который ей при-
придавался выше. Ее, например, нельзя уже отождествлять
с выходными зажимами четырехполюсника '.
На рис. 19.1 приведены картины полей для случая, ког-
когда сами передающие линии в направлении оси являются
однородными. По внешнему виду такие поля соответству-
соответствуют статическим потенциальным полям и рассчитываются
так же, как последние. Если в линии имеется 'неоднород-
'неоднородность, то вблизи нее силовые линии статического поля
искажаются; то же самое происходит и с силовыми линия-
линиями высокочастотного поля. Это следует учитывать при вы-
выборе граничных поперечных сечений, которые не должны
лежать слишком близко от таких неоднородностей.
Входное сопротивление в некоторой плоскости
поперечного сечения. Волновое сопротивление
Электромагнитное поле в плоскости поперечного сече-
сечения однородной двухпроводной линии однозначно опреде-
определяется напряжением и током, которые для одной фиксиро-
фиксированной частоты можно выразить векторами U и I. Тогда
отношение U/I = R=i/?+/X будет в свою очередь опреде-
определять комплексное сопротивление, а отношение I/U = Y =
= G+jB—соответствующую комплексную проводимость.
Обе эти величины, как и в любой другой схеме, на данной
фиксированной частоте зависят только от элементов схе-
схемы, расположенных за отсчетной плоскостью.. Таким обра-
образом, R и Y являются отнесенными к этой плоскости сопро-
сопротивлением и проводимостью нагрузки (или как их обычно
называют входными сопротивлением и проводимостью).
1 Этот случай аналогичен случаю Bл)-полюсника с га>2. Сравни
с изложенным в § 41.
140
Эквивалентная схема
двухпроводной лннин.
Если известны |U| и |1| — амплитуды напряжения й то-
тока в плоскости поперечного сечения, то можно определить
активную мощность, проходящую через это сечение:
jV==JL|I|3#=_i-|U|iU B0.1)
Наоборот, если известна схема устройства, подключен-
подключенного в качестве 'нагрузки в расположенной на выходе от-
отсчетной плоскости, и, следовательно, известно отнесенное
к этой плоскости сопротивление R (или проводимость Y)
нагрузки и, кроме того, задана величина активной .мощно-
.мощности, проходящей через поперечное сечение, то, пользуясь
выражением B0.1), можно рассчитать амплитуды 'напря-
'напряжения и тока |U| и |1|, а из
отношений U/I = R или В,^**-. ^~^ ^~-^ ~~~^\Л
I/U = Y определить разность
фаз между ними.
Двухпроводную линию
можно рассматривать как
ряд последовательно вклю-
включенных индуктивностей и
расположенных между ними параллельно включенных ем-
емкостей. На рнс. 20.1 изображена соответствующая эквива-
эквивалентная схема. Не следует забывать, что эта схема являет-
является условной, так как в действительности приходится иметь
дело с распределенными индуктивностями и емкостями.
Используя эту схему, 'Нетрудно показать, что сопротивле-
сопротивление нагрузки, отнесенное, например, к поперечному сеч"е-
нию В, в общем случае будет отличаться от сопротивления,
отнесенного к сечению А. Другими словами, входное со-
сопротивление однородной линии будет зависеть от положе-
положения отсчетной плоскости, в которой оно определяется. Че-
Четырехполюснику, расположенному между сечениями А и
В, как и вообще любому другому четырехполюснику, соот-
соответствует, по крайней мере, одна фиксированная точка, оп-
определяющая в данном случае так называемое «волновое
сопротивление» линии. Так как каждый отрезок линии мож-
можно представить себе состоящим из последовательно вклю-
включенных более коротких отрезков линии, и при этом фикси-
фиксированная точка трансформируется каждым из этих более
коротких отрезков линии сама в себя, то положение
фиксированной точки, а следовательно, и волновое сопро-
сопротивление линии оказываются независящими от длины
последней.
141
Однородный отрезок линии без потерь можно рассма-
рассматривать как симметричный четырехполюсник без потерь.
Такой четырехполюсник согласно § 13 в гиперболическом
случае может иметь только две, причем чисто мнимые,
фиксированные точки с одинаковыми значениями; в пара-
параболическом случае только фиксированные точки 0 и оо и,
наконец, в эллиптическом случае только одну чисто дей-
действительную фиксированную точку.
Можно показать [19], что волновое сопротивление Z лю-
любой однородной двухпроводной линии определяется выра-
выражением
Z = i
B0.2)
где L — индуктивность, С — емкость, R — активное сопро-
сопротивление и G — активная проводимость, отнесенные к еди-
единице длины линии. В случае однородной двухпроводной
линии без потерь /?=0 и G = 0. При этих условиях волно-
волновое сопротивление будет чисто активным и независящим
от частоты:
Z = y-±. B0.3)
Если однородная линия нагружена на свое волновое
сопротивление, то входное сопротивление в любом попе-
поперечном сечении будет одинаковым и равньш по величине
волновому сопротивлению.
Для передающих линий простейших типов всегда мож-
можно рассчитать волновое сопротивление. В частности, для
волнового сопротивления коаксиальной двухпроводной ли-
линии (рис. 19.1,а) с воздушным заполнением можно полу-
получить следующее выражение:
Z=1381g-^-o.«, B0.4)
где Гг — радиус внутреннего проводника, га — внутренний
радиус внешнего проводника.
На рис. 20.2 зависимость B0.4) показана графически.
Для симметричной двухпроводной линии (р'ис. 19.1,а)
с воздушным заполнением имеем
^, B0.5)
где d—диаметр проводов, а—расстояние между их осями.
Зависимость 20.5 графически изображена на рис. 20.3.
142
Для линий со сложным профилем (например, для линии,
представленной на рис. 19.1,6) расчет волнового сопротив-
сопротивления оказывается более затруднительным. В этом случае
7 10 гО 30 5010100 200 Ш 6001000
ж
1
Рнс. 20.2. Волновое сопротивление коаксиаль-
коаксиальной двухпроводной линии, изображенной на
рис. 19.1,а.
его или определяют экспериментально, или рассчитывают,
исходя из величины емкости С, отнесенной к единице дли-
длины линии, по формуле
где с — скорость распространения электромагнитной волны.
34 6 10 Z0 40 60 100 200 W06001000
i
Рис. 20.3. Волновое сопротивление двухпровод-
двухпроводной линии.
143
Определение абсолютной величины волнового сопротив-
сопротивления в большинстве случаев становится излишним, если
(см. § 12) можно воспользоваться нормированными сопро-
сопротивлениями. Этот вопрос более подробно будет обсуждать-
обсуждаться в § 24.
Если пространство между проводниками заполнено ди-
диэлектриком с относительной диэлектрической постоянной
ът и относительной магнитной проницаемостью цг, то вол-
волновое сопротивление ZM двухпроводной линии с таким за-
заполнением выражается через волновое сопротивление ?Возд
линии с воздушным заполнением посредством формулы
z., =
которая получается из выражения 20.3.
Распространение волн вдоль линии
Отрезок однородной двухпроводной линии можно рас-
рассматривать как четырехполюсник с действительным вол-
волновым сопротивлением Z, взятым в качестве фиксирован-
фиксированной точки. Следовательно, трансформацию полного сопро-
сопротивления (или проводимости), осуществляемую этим от-
отрезком, согласно § 12 можно представить с помощью ди-
диаграммы трансформации эллиптического типа (рис. 12.2)
с углом поворота а, откладываемым относительно фикси-
фиксированной точки Z (или точки 1/Z в случае диаграммы про-
проводимости). Соответственно этому трансформация напря-
напряжения и тока отрезком линии (выражение 10.11) будет
определяться следующими равенствами:
U2 = U, cos -
la=j~ sin
sin
B0.6)
cos
|-,
где индекс / соответствует величинам, относящимся к вы-
выходному, обращенному к нагрузке отрезку I линии, а ин-
индекс 2 — величинам для входного отрезка II линии.
Отрезку линии длиной I на диаграмме трансформации
соответствует определенный угол поворота а. Если к на-
нагрузочному концу этого отрезка линии подключить второй
отрезок такой же длины, то потребуется осуществить до-
дополнительный поворот также на угол а, так что общий п»
144
вдрот составит 2а. Угол поворота а, таким образом, про-
пропорционален длине линии /. В соответствии с этим можно
записать
-- где k —' коэффициент пропорциональности.
Из соотношений B0.6) видно, что если
а = dh 4it,
*'т. е. если две точки линии расположены друг от друга на
расстоянии Ая/k, которое обозначим через К, как напряже-
напряжения, так и токи всегда совпадают и никакого преобразо-
• вания полного сопротивления между этими точками не про-
происходит.
Вводя постоянную K=4n/k в уравнения B0.6), получаем
U2 = Ut cos ^+/А sin 'Щ^,
. Ui
cos
B0.7)
Для определения направления, в котором должен от-
откладываться угол поворота а, и, следовательно, знака Я
в выражениях B0.7), рассмотрим очень малый отрезок
линии, короткозамкнутый на выходе. Так как этот отрезок
не может быть эквивалентным емкости, а представляет со-
собой индуктивность, угол поворота а, как это легко можно
установить, используя диаграмму трансформации эллип-
эллиптического типа, следует откладывать по часовой стрелке,
а в выражениях B0.7) для Я брать положительный знак.
Для изучения вопроса о распределении напряжения и
тока вдоль линии в выражения B0.7) введем мгновенные
значения, полагая
U, =1?^'"' = U t (cos го/+ / sin wt)
It = flfJ <ш'+т> = /, [cos И + Ч>) + / sin И + ?)],
где ф — сдвиг по фазе между Ui и Ii. При обычной форме
записи мнимая часть выражения
' = U% (cos wt -f / sin mf).
10-52
145
как известно, определяет мгновенное значение напряже-
напряжения. Из выражения B0.7) в результате несложных преоб-
преобразований получим:
-2
/ (at—2it//X)
или
cos
-i-(С, -
,e*)[cos
^j, B0.8)
+4- ('.="-?)[- (-'- ?¦)+/ * (--¦?¦)]•¦
Выражение для напряжения U2, например, можно разло-
разложить на два слагаемых:
.e*) е> <а'+2""х>=-1 (^ + W) х
^j] B0.8а)
~ М^) х
B0.86)
Множитель sin(oofzt:2it//^) при мнимых частях обоих вы-
выражений для постоянного момента времени f и переменной /
дает синусоидальное распределение вдоль линии с длиной
периода Я, таким образом, напряжение на линии скла-
складывается из двух синусоидальных составляющих. Если в
показателе степени первого слагаемого е'(ш'+ *.') уменьшить /
на величину, равную X, а время t увеличить на 7' = 2ir/u>=:l//,
то величина показателя степени-в целом останется неизмен-
146
ной. Это означает, что за время Г=1// напряжение на линии
переместится как раз на отрезок Я по направлению к нагрузке,
поскольку / в данном случае представляет собой расстояние,
отсчитываемое от нагрузки. Таким образом, первая часть
выражения B0.8) изображает синусоидальную волну, которая
за время Т переместится по направлению к нагрузке как раз
ца длину волны X.
Во второй части выражения B0.8) показатель степени при
'.е ~2lt/' останется неизменным, если / увеличить на Я и од-
одновременно t увеличить на 7" = 2и/ш = 1 //. Таким образом,
вторая составляющая также изображает синусоидальную волну
С пространственным периодом, равным /, которая, однако,
в этом случае за время, равное Т, переместится на отрезок X
в противоположном направлении. Все сказанное выше отно-
относительно напряжения справедливо и для тока.
Если линия нагружена на волновое сопротивление Z, то
Тогда
= 11, и ^-=
В этом случае амплитуда отраженной от' нагрузки вол-
волны равна нулю и в линии существует чисто бегущая вол-
волна, которая распространяется по направлению к нагрузке.
При этом необходимо отметить, что скорость, с которой
Электромагнитная волна распространяется по двухпровод-
двухпроводной линии с воздушным заполнением, равна скорости све-
света с. Благодаря этому длина волны в двухпроводной ли-
линии полностью определяется частотой колебаний
Я ——
Исходя из сказанного выше, можно сделать следующие
выводы. Распространение электромагнитной энергии по
однородной двухпроводной линии с воздушным заполне-
заполнением происходит путем передачи ее синусоидальной, дви-
движущейся со скоростью света по направлению к нагрузке
¦волной, длина которой определяется выражением K=c/f.
При сопротивлении нагрузки, не равном волновому сопро-
сопротивлению линии, часть волны отражается и возвращается
обратно.
Если пространство между проводниками двухпроводной
линии заполнено не воздухом, а какой-то однородной сре-
10* 147
дой с относительной диэлектрической постоянной ег и of*
носительной магнитной проницаемостью ц,г, то скорость
распространения электромагнитной волны будет другой,
а длина этой волны Хм будет отличной от длины волны
( для случая воздушного заполнения, причем
2 возд
Для полноты картины здесь также приводятся уравнения
для линии, обладающей потерями, у которой активное со-
сопротивление R или утечка G, или и то и другое вместе
отличны от нуля.
В этом случае вместо B0.7) следует взять следующие
выражения:
U2 = U, cos ft/ — /ZI, sin ft/ = U, ch y^ + ZI1 sh у/,
и U <20-9>
12 = — / |i sin ft/ -f I, cos ft/ = ? sh T/ + I, ch T/.
При этом волновое сопротивление
становится комплексным, если только не выполняется ра-
равенство R/G = L/C. «Постоянная распространения» у, опре-
определяемая выражением
становится также комплексной.
Выражение B0.9) можно записать в другой.форме:
B0.10)
указывающей «а то, что в линии также распространяются
прямые и обратные волны, которые в этом случае экспо-
экспоненциально затухают.
148
21. ВОЛНОВОДЫ
Общие положения
Передача электромагнитной энергии может осуще-
осуществляться не только с помощью линий, но также путем
излучения последней в пространство.
Промежуточным между «ими является способ передачи
энергии по волноводам или вдоль металлических или ди-
диэлектрических тел (например, вдоль одиночного провода).
Так как по существу передача и в этом случае происходит
путем излучения, то отпадает необходимость в обратном
проводнике. Вследствие того, что на граничной поверх-
поверхности металла или диэлектрика условия распространения
сильно изменяются, электромагнитное поле в этом случае
существенно отличается от поля в свободном пространстве.
При передаче энергии вдоль внешней поверхности провод-
проводников поле охватывает значительное пространство и иска-
искажается при введении в это пространство других проводни-
проводников. Поэтому такого рода устройства следует рассматри-
рассматривать скорее как антенны, которые в данной работе подробно
не описываются. Правда, тот или иной провод можно по-
покрыть надлежащим слоем диэлектрика, так что почти вся
энергия поля окажется сконцентрированной в этом диэлек-
диэлектрике, и лишь ничтожно малая доля ее будет в виде по-
потерь излучаться в окружающее пространство [20]. Такие
передающие линии аналогичны металлическим волноводам
с полным экранированием.
Точный расчет напряженностей электрического и маг-
магнитного полей можно выполнить с помощью уравнений
Максвелла. Ввиду того что здесь этот расчет не приводит-
приводится, читателям, интересующимся теоретической стороной
вопроса, можно предложить обратиться к соответствующей
специальной литературе [21—26] и [2—5].
Для практических работ с волноводами в большинстве
случаев достаточно иметь представление о способе возбуж-
возбуждения волн в волноводе и характере распределения сило-
силовых линий поля; эти вопросы рассматриваются в последую-
последующем изложении. С другой стороны, уравнения, характе-
характеризующие передачу энергии по волноводам, можно запи-
'сать в том же виде, что и в случае двухпроводных линий,
так что с точки зрения теории цепей каких-либо суще-
существенных различий между этими двумя случаями не суще-
существует.
149
Энергия, излучаемая в волновод, передается через него
только при условии, если соответствующая данной частоте
длина волны в двухпроводной линии будет не слишком
большой по сравнению с размерами поперечного сечения
волновода, т. е. существует минимальная зависящая от
поперечного сечения частота, при которой передача энер-
энергии еще возможна. На более высоких частотах в волново-
волноводе может возбуждаться возрастающее с увеличением ча-
частоты число типов волн самых различных конфигураций,
которые можно подразделить на отдельные, вполне опре-
определенные группы (подобно тому, как в экранированной
двухпроводной линии (рис. 19.1,г и 19.1,с?) различаются
синфазные и противофазные волны). Чтобы воспользовать-
воспользоваться основными положениями теории цепей, необходимо обес-
обеспечить возбуждение только одного типа волны.
Волны в волноводе подразделяются «а магнитные (или
волны типа Н), называемые также поперечноэлектрически-
ми (или волнами типа ТЕ), и на электрические (или вол-
волны Е), которые также называют лоперечномагнитными
(или волнами ТМ). В случае волн Н(ТЕ) все электриче-
электрические силовые линии располагаются исключительно в пло-
плоскостях, перпендикулярных к направлению распростране-
распространения. Другими словами, повсюду и в любой момент времени
составляющая напряженности электрического поля Е, на-
направленная по оси волновода, равна нулю. Обычно для
указания места в волноводе применяют систему коорди-
координат, у которой ось z совпадает с направлением оси волно-
волновода. При этом условии составляющая Ег=0.
В случае волн Е(ТМ) все магнитные силовые линии
расположены в плоскостях поперечного сечения, перпенди-
перпендикулярных направлению распространения, т. е.. Нгг=0.
Кроме того, отдельные типы волн различаются посред-
посредством введения двойных численных индексов, значение ко-
которых можно определить, исходя из уравнений силовых
линий поля'.
Прежде чем перейти к описанию важнейших типов
волн, необходимо отметить, что электрические силовые ли-
линии на поверхности проводников, проводимость которых,
пренебрегая потерями, можно считать бесконечно боль-
большой, всегда перпендикулярны последней. Они могут также
быть замкнутыми линиями, если только они не заканчи-
1 К сожалению, в литературе отсутствует единообразие в выборе
значений этих индексов.
150
ваются на металлических проводниках. Магнитные же си-
ловые линии всегда являются замкнутыми и направлены
параллельно поверхности проводников. Если в какой-либо
точке вблизи поверхности проводника напряженность маг-
«итного поля равна И а/см, то в соответствующей точке
поверхности перпендикулярно к Н будет протекать ток
1 = Н. Направление тока определяется известным прави-
правилом Ампера.
Волна//,„ (ТЕ1Л) в волноводе с прямоугольным поперечным
сечением
На рис. 21 Л,а в перспективе изображена линия, состав-
составленная из двух широких проводящих полос, и показан по-
последовательный ряд волн, высота которых выражает мгно-
мгновенное значение напряженности 'электрического поля. Не-
Нетрудно заметить, что Напряженность электрического поля
Рис. 21.1. Волна //_,, в волноводе с прямоугольным
попе"речным сечением.
сильно изменяется в направлении продольной оси, в то
время как в направлении, перпендикулярном этой оси, она
остается постоянной. Очевидно, что в случае, когда ширина
полос достаточно велика, картина поля может быть дру-
другой. Действительно, например, при ширине полос большей
Лд/2 (Лд — длина волны для двухпроводной линии), если
двухпроводную ленточную линию дополнить до прямо-
прямоугольного волновода, подключив по обе стороны металли-
металлические плоскости, мгновенное распределение напряженно-
напряженности электрического поля становится другим и именно
151
таким, 'каким оно в перспективе показано на рис. 21.1,6.
Пространственное изображение, приведенное на
рис. 21.1,6, получается из изображения рис. 21.1,а, если на-
напряженность электрического поля по краям принять равной
нулю. Последнее приводит к образований» пучностей. До-
Дополнительный изгиб поверхности в направлении, перпенди-
перпендикулярном продольной оси, приводит к уменьшению изгиба
в направлении этой оси (действие входящего в уравнения
Максвелла оператора rot можно истолковать именно таким
образом). Поэтому длина волны в волноводе Л, измеряе-
измеряемая в направлении его оси, оказывается для одной и той
же частоты больше соответствующей длины волны Яд
в двухпроводной линии.
Величина Л зависит не только от частоты f и значений
постоянных диэлектрика, заполняющего волновод, но и от
размеров поперечного сечения последнего.
Если ширина а прямоугольного волновода, в частности,
равна Яд/2, то Л становится равной оо. Это нетрудно
пояснить, пользуясь рис. 21.1,а. Предположим, что ширина
проводящих полос очень велика. Тогда, размещая в двух
следующих друг за другом поперечных сечениях с нулевым
значением напряженности электрического поля (на рас-
расстоянии Яд/2 друг от друга, например, в точках А и В)
поперечные металлические стенки, получим расположен-
расположенный поперечно волновод шириной Яд/2. Распределение
поля внутри этого волновода при выбранном расстоянии
между А и В совпадает с изображенным на рис, 21.1,а, для
которого в направлении расположенной теперь уже по-
поперечно оси напряженность электрического поля остается
постоянной. Длина пространственного периода Л, таким
образом, становится в этом случае равной сю. Величина
Яд=2а = ЯКр называется «критической длиной 'волны».
В волноводе с прямоугольным поперечным сечением
шириной а волна с конечной длительностью пространствен-
пространственного периода возможна только при условии, если Яд<2а,
при этом Л определяется выражением
B1.1)
где Лд — длина волны в двухпроводной линии, заполненной
тем же диэлектриком, что и рассматриваемый волновод.
В случае волны Я10 (так называется только что описан-
описанный тип) длина волны в волноводе Л зависит только от
152
его ширины а ((рис. 21.1,6) и не зависит от высоты Ь. При
этом Ь может быть как меньше, так и больше а.
На рис. 21.2,0! и 21.2,6 показано распределение силовых
линий: электрических (Е-линий) и магнитных (Н-линий).
При этом электрические силовые линии изображены
в виде сплошных, а магнитные — пунктирных линий. Элек-
Электрические силовые линии имеют то же направление, что и
в двухпроводной ленточной линии (рис. 21.1,6)—перпен-
21.1,6)—перпендикулярное к взаимно противоположным основным поверх-
поверхностям волновода. Однако их плотность, характеризующая
¦I
• ¦
л
/
4(
»
' .)¦'
rA
Рис. 21.2. Распределение силовых линий поля
волны Я„ в волноводе с прямоугольным по-
поперечным сечением (электрические линии изоб-
изображены сплошными, магнитные — пунктир-
пунктирными линиями).
напряженность поля, на боковых стенках становится рав-
равной нулю. Под основными поверхностями здесь следует
понимать те поверхности, которые в системе координат,
изображенной на рис. 21.2,а, имеют координаты */=0 и
у = Ь. Так как в общем случае 6^ а, то электрические си-
силовые линии также могут быть натравленными перпенди-
перпендикулярно двум другим поверхностям. Этот поляризованный
перпендикулярно к первому тип <волны обозначается
как #01. В случае Ьфа ему соответствует также другая
длина волны в волноводе Л, которая рассчитывается по
формуле (fll.l), если .в последней а заменить на Ъ.
Магнитные силовые линии располагаются так же, как
и в двухпроводной ленточной линии между основными по-
поверхностями параллельно последним. Так как они не могут
охватывать основные поверхности, то должны отгибаться
в направлении оси, в результате чего получаются представ-
представленные на рис. 21.2,6 кривые (показаны пунктиром), па-
параллельные основным поверхностям.
153
По внутренней поверхности волновода течет электриче-
электрический ток. Его направление перпендикулярно направлению
расположенных в непосредственной к нему близости ли-
линий Н, а его плотность и фаза совпадает с соответствую-
соответствующими значениями для Н. На боковых поверх«остях (х—0
и х—а) ток течет перпендикулярно к оси волновода. На
основных поверхностях линии тока проходят от края к се-
середине. Только .посредине этих поверхностей ток протекает
исключительно в направлении оси.
Состояние электромагнитного поля в плоскости по-
поперечного сечения однородной двухпроводной линии мож-
можно однозначно охарактеризовать напряжением U =
=?/е'(<в' + ?) и током I=/e/(erf + w. Исходя из этих величин,
для любой точки поверхности поперечного сечения можно
определить напряженность и направление электрического
и магнитного полей.
Для отдельных волн в волноводе состояние электромаг-
электромагнитного 'поля в любой плоскости поперечного сечения мо-
может быть также охарактеризовано величиной, имеющей
размерность напряжения U = ?/е/(<0' +f), и величиной
с размерностью тока l = /e/(a' + lW\
Используя правую систему прямоугольных координат
(рис. 21.2,а) в любой точке поперечного сечения с коорди-
координатами х, у, z, для волны Ню, составляющие Ех, Е„, Ez
напряженности электрического поля Е и составляющие
Нх, Ну, Hz напряженности магнитного поля Н можно выра-
выразить через упомянутые выше величины U и I:
L
V ab
; н,=о.
U
V ab
я*
B1.2)
где i* = v 1,256- Ю-8
-абсолютная, а ^-отно-
^-относительная проницаемости среды, заполняющей волновод,
1 Более подробное толкование процессе» в волноводах с по-
помощью тока н напряжения с указанием при этом на полную аналогию
с двухпроводными линиями подробно излагалось автором в 1944—45 гг.
В ряде докладов, прочитанных им в высшей технической школе в Бер-
Берлине. Аналогичные вопросы обсуждались также в литературе [4, 27, 28]
154
х — произвольная постоянная, о которой еще будет идти
речь и которую, в частности, можно приравнять единице.
В то время как напряжение U и ток I в двухпроводной
ленточной линии, являясь соответственно напряжением
между проводниками и током, текущим в направлении оси,
имеют физический смысл и на длинных волнах могут быть
непосредственно измерены, U и I в выражении B1.2)
являются чисто отвлеченными, вспомогательными величи-
величинами, которые согласно B1.2) определяются следующим
образом:
u==_^ft Е 1=
lnx/a * K
Вообще, говоря о напряжении применительно к волно-
волноводу, можно иметь в виду различные величины. В случае
волны Ню нередко подразумевают под ним напряжение
между серединами основных поверхностей, значение кото-
которого определяется из выражения B1.2), если положить
*=а/2, т. е.
Это значение является максимальным, можно было бы
также взять меньшее, среднее значение. В отношении тока
справедливо то же самое1.
1 В отношении того, допустимо ли и целесообразно ли при рас-
рассмотрении волноводов оперировать с напряжениями и токами, мне-
мнения расходятся. Противники применения в этом случае напряжений
и токов указывают на то, что в волноводах эти величины определяют-
определяются неоднозначно и поэтому при определении параметров четырехпо-
четырехполюсников следует базироваться на соответствующих составляющих
напряжениостей электрического и магнитного полей. Поскольку в дей-
действительности появляется произвольный коэффициент х, следует рас-
расширить значение первоначально точно, но ограниченно определившихся
понятий. В науке н технике можно привести бесчисленное множество
примеров, когда термины, смысл которых первоначально был узко
ограничен, с течением времени по мере прогресса применялись к но-
новым понятним, соответствующие свойства которых И законы были
схожи со свойствами и законами, относящимися к первоначальным
понятиям. Так, например, говорят о га-мерном пространстве, хЪтя
в действительности существует только трехмерное. Если теорию вол-
волноводов хотнт построить на основе напряжеиностей электрического н
магнитного полей, то нельзя не обратиться к теории Максвелла.
В современной технике между тем с волноводами работает довольно
большое число лиц, которые не имеют времени илн необходимых ма-
тематическях знаний для того, чтобы изучить теорию Максвелла
применительно к волноводам. Для них было бы большим облегчени-
облегчением, если бы более очевидные законы, сформулированные для двухпро-
155
Поэтому о «апряжении или токе в обычном смысле сло-
слова применительно к волноводу говорить нельзя. Несмотря
на это, в выражение B1.2) вводятся U и I, поскольку при
этом в отношении формул сохраняется полная аналогия
с двухпроводной линией. Коэффициенты в выражениях
B1.2) целесообразно подбирать так, чтобы 'выполнялось
также приведенное ниже соотношение B1.3).
Соответственно тем или иным значениям нагрузки вол-
волновода и величине проходящей активной мощности U и I
могут независимо друг от. друга, как и в случае однород-
однородной двухпроводной линии, принимать любые значения.
Следует только учитывать, что комплексное отношение
Ufl = R — R+jX не может иметь отрицательной активной
составляющей. R имеет размерность сопротивления, а его
величина, как и в случае двухпроводной линии, зависит
только от той части схемы, которая включена после отсчет-
ного поперечного сечения. Поэтому R можно рассматри-
рассматривать как отнесенное к этому поперечному сечению сопро-
сопротивление нагрузки волновода. Аналогичные рассуждения
справедливы также для проводимости I/U = Y=G+/B.
Проходящая через поперечное сечение активная мощ-
мощность определяется величинами U и I, входящими
в B1.2), 'как и в случае двухпроводной линии:
B1.3)
Волна Ец(ТМи) в волноводе с прямоугольным поперечным
сечением
Возникновение волны Еп в волноводе с прямоугольным
поперечным сечением можно пояснить с помощью рис. 21.3,
на котором одновременно показано, как можно возбудить
этот тип волны.
водной линии, они могли без изменений применить к волноводам.
Ниже рассматриваются с единой точки зрения двухпроводные линии
и волноводы. Если бы напряжение и ток в случае волноводов не при-
применялись, то пришлось бы каждое положение в отдельности излагать
также в волноводной трактовке и каждый результат формулировать
двояко. При практических расчетах прежде всего представляют инте-
интерес отношения напряжений и токов нли их пронаведення UI, так что
произвольный коэффициент всегда исключается. Для сравнения можно
указать на понятие потенциала, при котором возникает неопределен-
неопределенная аддитивная постоянная, величина которой, однако, несущественна,
так как обычно представляют интерес только разности потенциалов.
156
В отрезке линии с внутренним проводником суще-
существует изображенное на упомянутом рисунке распределе-
распределение поля. На конце внутреннего проводника электрическое
поле имеет составляющую, направленную вдоль оси.
Рис 21.3. Волна ?„ в
волноводе с прямоуголь-
прямоугольным поперечным сечением
и способ ее возбуждения.
Вследствие этого при условии, что частота колебаний до-
достаточно велика, возбуждается волна Ец, которая харак-
характеризуется показанным на рис. 21.3 распределением сило-
силовых линий.
Длина волны в волноводе в этом случае определяется
выражением
'• B1-4)
где Яд — длина волны в двухпроводной линии, заполненной
тем же диэлектриком, что и рассматриваемый волновод.
Зависящие от места и времени составляющие напряжен-
ностей электрического и магнитного полей в плоскости по-
поперечного сечения выражаются через напряжение U = ?/е; ю +*'
и ток I = 1е' (*'+<w следующим образом:
Ucos — sin -г
и
2п
хешаЬ
I Sin
пи
а8ШТ '
т. 2 _ /"
ab
ха
где х — как и ранее, произвольная постоянная,
е = ег. 0,886 • Ю-11 Г ^-j-f-]— абсолютная,
B1.5)
157
a er — относительная диэлектрические постоянные среды,
заполняющей волновод.
Сопротивление U/l = R = R+jX и проводимость I/U =
= \=G+jB зависят только от оконечной нагрузки волно-
волновода.
Величины напряжения И и тока I при этом подбирают-
подбираются таким образом, чтобы проходящая через поперечное
сечение активная мощность N определялась выражением
B1.3)
Высшие типы волн в волноводе с прямоугольным
поперечным сечением
Наряду с описанными выше типами волн .в прямоуголь-
прямоугольном волноводе возможно существование целого ряда дру-
других типов. Конфигурации силовых линий в .поперечном се-
сечении для некоторых из них показаны на рис. 21.4. Струк-
Структуру 'поля таких волн можно получить, если граничн"ые
поверхности (стенки) нескольких волноводов с соответ-
соответствующими простыми типами .волн совместить друг с дру-
другом, а затем эти поверхности удалить. И наоборот, в вол-
волновод со сложным типом волны можно, не вызывая иска-
искажений поля, ввести металлические стенки, расположив их
вдоль поверхностей, на которых напряженность электри-
электрического поля или равна нулю, или направлена перпендику-
перпендикулярно этим поверхностям, а магнитные силовые линии рас-
расположены параллельно им.
Длина волны в волноводе Л в общем случае для волн
типов Нтп или Етп определяется выражением
л/ \-%
У 4
B1.6)
где Яд — как >и раньше, длина волны в двухпроводной ли-
линии, заполненной тем же диэлектриком, что и волновод.
Из последнего выражения становится ясным также смысл
двойного индекса т, п.
Как это следует из выражения B1.6), для высших ти-
типов .волн длина волны .в волноводе только тогда опреде-
158
ляется действительной величиной, т. е. при заданном по-
поперечном сечении вол«овода волна высшего типа может
распространяться только тогда, когда частота является до-
достаточно высокой.
Наибольшее (критическое) значение длины волны ЯКР.
при которой для данного типа волны Л остается еще дей-
ЕэЕЕ
м
1
шш
'Л nOl
2
41
Рис. 21.5. Возбуждение
волны //,„.
ствительной (при этом Л = оо),
имеет место, как это следует
из выражения B1.6), в случае
волны Ню (или #oi при Ь>а)
и затем в случае волн ?ц и
Н\\1. Упомянутые типы волн
находят в настоящее время
наиболее широкое применение
в технике. Величину попереч-
поперечного сечения волновода при
заданной частоте можно подо-
подобрать таким образом, что усло-
условия распространения будут вы-
выполняться только для вол-
волны Hi0 (при а>Ь) или только для волн Ню, #ц и Еп.
Таким образом, путем надлежащего выбора поперечного
сечения линии в целях определенности можно исключить
возможность возникновения других типов волн.
На рис. 21.5 показан один из возможных способов воз-
возбуждения волны Ню в волноводе с соответствующим по-
поперечным сечением.
Так как магнитные силовые линии, имеющие вид кон-
концентрических окружностей, расположенных вокруг воз-
возбуждающего штыря (части внутреннего проводника
коаксиальной линии), частично совпадают по направлению
с магнитными силовыми линиями волны Hi0, то в волново-
Рис. 21.4. Различные типы
волн в волноводе с прямо-
прямоугольным поперечным се-
сечением.
1 Волны типа
существуют.
н Е,о в полиоводе с прямоугольным сечением не
159
E — — — l/
тпх
Н
и ;—i/
"г = }ШцаЬ у
я'о' + nfib»
тпх.
а
b '
any
B1.7)
где
"От
при /я = 0 или п==0
при тфО или п =
On
I» йь jir • 1,258 • 10 ~ *в • сек}а ¦ см является магнитной проницае-
проницаемостью, а х — произвольным коэффициентом пропорциональ-
пропорциональности.
160
це возбуждается волна Ню- Пусть поперечное сечение вол-
волновода, показанного на рис. 21.3, выбрано таким образом,
что на данной возбуждающей частоте только для типов
Ню, Ни а Ец критические длины волн больше длины вол-
волны в двухпроводной линии. Тогда вследствие того, что
устройство является симметричным, а распределение сило-
силовых линий поля волны #ц не соответствует данному спосо-
способу возбуждения, то волноводу будет распространяться
только волна Ец.
Существование того или иного типа волны в волноводе |
зависит не только от способа возбуждения, но также и от
характера нагрузки и неоднородностей, расположенных
в этом волноводе, так как при известных обстоятельствах
в местах их включения могут возникать другие типы волн.
Структуру электромагнитного поля в плоскости попереч-
поперечного сечения можно, как и ранее, определить, исходя из на-
напряжения U = ?/e/(e'+ip) и тока 1 = /е/("+*).
В общем случае для волны Нта справедливы следующие
выражения:
Для волны Етп справедливы выражения:
аЬ
тпх . паи
— sin-/-
F =-2xn у/
* Ъ V
Е=-У
ао ... тпх ппи
ab
sln~
ab
B1.8)
+ m»6« IC0S a S1D b
где x — также произвольная постоянная, а е = ег- 0,886 X
ХЮ'" a-ceKJe-см — диэлектрическая постоянная.
Величины напряжения U и тока I подбираются таким
образом, чтобы проходящая через поперечное сечение
активная мощность JV определялась выражением B1.3)
Волна Нп(ТЕп) в круглом волноводе
Структура силовых линий электромагнитного поля вол-
волны Ни в круглом волноводе (рис. 21.6) аналогична струк-
структуре силовых линий волны Ню в прямоугольном волно-
волноводе.
Возбуждение этого типа волны можно представить себе
как результат деформации прямоугольного волновода
с распространяющейся по нему волной Ню в круглый. Дли-
Длина волны .в волноводе Л определяется выражением
'1/-A,84Хд/2яр)«'
B1.9)
где р — радиус волновода.
Составляющие электромагнитного поля в плоскости попереч-
поперечного сечения при использовании полярной системы коорди-
11-^52 161
нат, изображенной на рис. 21.7, выражаются через напряже-
напряжение U = Ue' (ш'+?) и ток I = 1е'(ш<+ф) следующим образом:
Ег=0,
} B1-10)
. 3,01х
н,=/
где /, (jc) — функция Бесселя первого порядка, /,' (л:) — про-
производная этой функции по аргументу л:, а р — радиус вол-
волновода1.
б)
Рис. 21.6. Волна Нц в круглом
волноводе.
Рис. 21.7. Круглый волновод в по-
лярных координатах.
Как и ранее, U и I подбираются в этом случае так, что
проходящая через поперечное сечение активная мощность
определяется выражением
' JV = -i|I|'/?=4|U|!G. B1.3)
Волна ЕВ1 в круглом волноводе
Распределение силовых линий волны Ео1 в. круглом вол-
волноводе (рис. 21.8) соответствует распределению силовых ли-
1 Функции Бесселя в случае круглого волновода играют ту же
роль, что н тригонометрические функции в случае прямоугольного
волновода. Соответствующие таблицы функции Бесселя можно иайти
в [29].
162
дай волны Еи в прямоугольном волноводе. Длина волны А
в этом случае определяется выражением
А=
1-B,4О5у2«р/
B1.11)
Рис. 21.8. Волна ?„, в круглом волно-
волноводе.
Составляющие электромагнитного поля, расположенные
в плоскости поперечного сечения, связаны с напряжением
\] = Uei(a't+'f) и током I —/е/(ш'+ф) следующими выражени-
выражениями:
. 2,614
I', B.405i),
Ui(M«f).
H
9
Н
кр
0.
B1.12)
Здесь /0 (х) — функция Бесселя нулевого порядка, a /Q (x)—
ее производная по л:. Как и ранее, U и I выбираются таким
образом, что проходящая через поперечное сечение активная
мощность N определяется выражением
?. B1.3)
Высшие типы волн в круглом волноводе
Относительно различия волн Я и ? в круглом волново-
волноводе (рис. 21.9) можно сказать то же самое, что и в случае
прямоугольного волновода. Точно так же в отношении спо-
способов возбуждения и применимости волн Нц и Е01 можно
сказать то же самое, что и в отношении волн #ю и ?ц
11* 163
в прямоугольном волноводе. Для некоторых применений
особую важность представляет то обстоятельство, что поле
волны Eqi в круглом волноводе имеет осевую симметрию.
Рис. 21.9. Различные типы волн в круглом
волноводе.
Длина волны Л в общем случае волны #„,„ определяет-
определяется выражением
А= , -. 1 B1.13)
где }тп — отличное от нуля л-е значение корня первой
производной } /т (х) функции Бесселя т-го порядка. В част-
частности, имеем:
J64
п
1
3
t
hn
3,84
7,02
10,17
hn
1,84
5,33
8,54
hn
3,05
6,71
9,97
Длина волны в волноводе Л для волн Ета определяется вы-
выражением
B1.14)
где / —отличное от нуля л-е значение корня функции Бес-
Бесселя Jm{x) т-го порядка.
В частности, имеем
п
1
3
hn
2,40
5,52
8,65
hn
3,83
7,02
10,17
hn
5,14
8,42
11,62
Структура поля в плоскости поперечного сечения в этом
случае, так же как и ранее, определяется напряжением U =
= Uej {<D<+?) и током I = /е1 @*+ф).
В общем случае для волны Нтп имеем:
pa
COS ГЩ,
— ¦' ^
p >mnj
B1.15)
165
где
В случае волны Етп:
нг=о,
B1.16)
где
Напряжение U и ток I нормируются такими, чтобы про-
проходящая через поперечное сечение активная мощность N
определялась выражением
:~2"| I I R— ~2 j
[I 12/7
B1.3)
Однородные линии с поперечным сечением произвольной
формы и волны волноводного типа в двухпроводных линиях
Волноводные линии передач могут иметь также самые
различные формы поперечного сечения. Если частота
является достаточно высокой, то по ним будут распростра-
распространяться волны. Ось волновода не обязательно должна быть
прямолинейной. Волноводы могут быть заполнены различ-
различными диэлектрическими средами и содержать проводящие
неоднородности. Такие линии можно рассматривать так
же, как однородные, если плоскостями, перпендикулярны-
перпендикулярными оси, удается разделить их на отдельные регулярные
отрезки. Электромагнитное поле в Волноводе произвольно-
166
го поперечного сечения, в общем случае ие поддается рас-
расчету. Однако часто можно получить приближенное пред-
представление о структуре поля путем деформации силовых
линий поля прямоугольного или кругло-
круглого волновода, распределение которых из-
известно. Можно показать также, что в
общем случае однородной линии с произ-
произвольной формой поперечного сечения
электромагнитное поле в плоскости,
перпендикулярной ее оси, при наличии
только одного типа волны так же пол- рИс. 21.10. Простей-
ностью характеризуется напряжением U = шая ВОЛна
,, /(<•<+о) i / /(••<+*) ного типа в коак'
= иеп ^' и током I = / е" ф'
«ильной двухпро-
водной линии.
и что на-
нагрузочное сопротивление линии, отнесенное
к соответствующей плоскости поперечного
сечения, представляет собой полное сопротивление ^ = R=
= R -(- jX или проводимость jj = Y = G -\- \B. U и I также
нормируются таким образом, чтобы проходящая через попе-
поперечное сечение линии активная мощность N определялась
выражением
Ar=4|I|'/?=-i|U|'G. B1.3)
В двухпроводной линии на достаточно высоких часто-
частотах также могут возникать волны, аналогичные волновод-
ным (чтобы отличить их от описанных выше волн в двух-
двухпроводных линиях назовем эти последние волнами Лехе-
ра). Так, например, в коаксиальной двухпроводной линии
при Хд<2с? [30] возможно распространение показанного
на рис. 21.10 типа волны. Волнами волноводного типа
в двухпроводных линиях до настоящего времени интересо-
интересовались лишь потому, что они могут вносить нежелательные
помехи. Ввиду этого они подробнее не рассматриваются.
22. ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ
ЛИНИИ ОБЩЕГО ВИДА БЕЗ ПОТЕРЬ
Общие положения
Если между- плоскостями поперечного сечения I и II
(рис. 22.1) включен какой-либо однородный отрезок линии
без потерь (|волноводная или двухпроводная линия), по
которому распространяется только один определенный тип
волны, то при постоянном значении % электромагнитное
167
поле в поперечном сечении / однозначно определяется на-
напряжением Ui и током Ii, а в поперечном сечении // на-
напряжением 11г и током Ь. Таким образом, обстоятельства
в случаях отрезка волновода и четырехполюсника
складываются одинаково, вследствие чего формально от-
отрезок волновода можно рассматривать как четырех-
четырехполюсник, хотя он и не обладает
четырьмя реально существующими
клеммами.
Бели индексом / обозначить бо-
более удаленную от генератора пло-
плоскость поперечного сечения, то око-
оконечная нагрузка линии, отнесенная
к этой плоскости будет определять-
определяться комплексным сопротивлением
Ui/Ii = Ri = /?i+/A"i, которое на от-
отрезке линии, расположенном меж-
между сечениями / и //, трансформи-
трансформируется в другое, отнесенное к по-
поРис. 22.1. Распределение
тока и напряжение в одно-
однородной линии в диапазоне
прозрачности.
ру дру,
перечному сечению // полное сопротивление U2/b R2
= Ri+jX2. Так как очевидно, что здесь имеем дело
с симметричным четырехполюсником без потерь, то точно
так же, как и в случае однородной двухпроводной линии,
из законов круговой геометрии, рассмотренных в § 13, сле-
следует, что трансформация полного сопротивления должна
изображаться с помощью диаграммы трансформации типа:
а) эллиптического с действительной фиксированной
точкой — волновым сопротивлением Zo (диапазон прозрач-
прозрачности) ,
б) гиперболического с двумя расположенными сим-
симметрично относительно начала координат мнимыми зна-
значениями волнового сопротивления Z\ и Z2 = —Zx (диапазон
непрозрачности),
в) параболического с волновым сопротивлением, имею-
имеющим значение 0 или оо (граница между диапазонами
прозрачности и непрозрачности).
В действительности для обычной однородной линии без
потерь может иметь место каждый из этих трех случаев.
Согласно § 13 оказываются справедливыми соотноше-
соотношения A0.11):
B2.1)
168
R, +iz tg j
B2.2)
Здесь и в последующих формулах Z записывается без
индекса в любом из упомянутых выше трех возможных
случаев. В гиперболическом случае в выражениях (i22.1) и
B2.2), таким образом, вместо Z можно подставить как Zu
так и Z2. Соответственно а также имеет два значения, но
следует брать то из них, которое соответствует выбранно-
выбранному Z. Как и в случае однородной двухпроводной линии,
описанной в § 20, в данном случае можно .установить, что
волновое сопротивление однородной линии не зависит от
ее длины, так как каждый отрезок такой линии может рас-
рассматриваться как последовательное включение аналогич-
аналогичных, но 'более коротких отрезков. Как уже отмечалось, вол-
волновое сопротивление однородной двухпроводной линии без
потерь является действительным и выражается равен-
равенством
Если линия оканчивается сопротивлением, равным вол-
волновому, то вдоль всей этой линии будет выполняться ра-
равенство U/I = Z0, где Zo — постоянная величина. Так как Zo
является действительным, этому случаю соответствует диа-
диаграмма трансформации эллиптического типа.
Для волновода с прямоугольным или круглым попереч-
поперечным сечением, исходя из уравнений Максвелла, можно так-
также вычислить сопротивление нагрузки, при котором отно-
отношение U/I вдоль линии остается постоянным. Как для вол-
волноводов с прямоугольным, так и с круглым поперечным
сечением для всех волн типа Н оказывается справедливым
следующее равенство:
= Ч-.-г-1/-?120« ом,
а для всех волн типа Е — равенство
B2.3)
B2.4)
169
Значения Z являются действительными, если длина
волны в волноводе Л является действительной, что со-
согласно выражений B1.6), B1.13), B1.14) имеет место,
если размеры поперечного сечения волновода достаточно
велики по сравнению с длиной волны Кц для двухпровод-
двухпроводной линии.
Этому случаю соответствует диаграмма трансформации
эллиптического типа.
Для меньших поперечных сечений и волн высших типов
длина волны в волноводе выражается чисто мнимым чис-
числом. (Следует отметить, что формулы, приведенные в § 21,
определяющие длину волны в волноводе и распределение
электромагнитного поля, остаются справедливыми незави-
независимо от величины .поперечного сечения и частоты возбуж-
возбуждаемых колебаний.) При этом выражения B2J3) и B2.4)
соответственно обоим знакам у Z дают по два чисто мни-
мнимых значения волнового сопротивления: Z[ и Z2 = —Z\.
Соответствующие диаграммы трансформации будут диа-
диаграммами гиперболического типа.
В случае критической длины волны ХКр длина волны
в волноводе Л равна оо. При этом для волн типа Н полу-
получим Z=oo, а для волн типа Е Z=0, т. е. имеем параболи-
параболический случай с фиксированной точкой оо или 0.
Эллиптический случай (диапазон прозрачности)
В эллиптическом случае, как и в рассмотренном случае
однородной двухпроводной линии (§ 20), справедливо сле-
следующее положение. Если электромагнитное поле в пло-
плоскости поперечного сечения / определяется какими-то на-
напряжением Ui и током Ii, то полное сопротивлгние, отне-
отнесенное к этой плоскости, выражается в общем случае ком-
комплексной величиной Ui/Ii = Ri=/?i+/^i, отличной от Zq.
Траисфомированное в сечение // значение R2 можно полу-
получить, пользуясь диаграммой трансформации эллиптическо-
эллиптического типа (рис. 22.2) [31]. Для этого сначала найдем прохо-
проходящую через точку Ri (на диаграмме относительных сопро-
сопротивлений через точку ri = Ri/Z0) и точку Zo (точка Zo/Zo=|1)
окружность постоянной фазы /Ci семейства II (изображена
пунктиром) и перпендикулярную к ней окружность по-
сгоянного рассогласования Ко (изображена сплошной ли-
линией), также проходящую через точку Ri или п. В резуль-
результате поворота касательной к окружности Ki относительно
фиксированной точки на угол а, получим фазовую окруж-
!70
¦Щ
ность /С2, точка пересечения которой с Ко дает полученное
в результате трансформации значение R2 (или r2 = R2/Z0).
Как и в § 20, угол а пропорционален расстоянию / между
отсчетными поперечными сечениями / и //. Так как при
/=Л структура электромагнитного поля
в линии повторяется, в данном случае
также справедливо равенство .
а=^. B2.5)
Только в случае диаграммы транс-
трансформации эллиптического типа имеется
периодическое повторение структуры
электромагнитного поля в линии. Следо-
Следовательно, при обнаружении такой перио-
периодичности можно предположить, что речь
идет об эллиптическом случае, т. е. о че-
четырехполюснике с действительным вол-
волновым сопротивлением.
В § 17 было показано, как, зная угол
поворота элемента, указывающего на-
направление, можно определить сдвиг
фазы тока, вносимый четырехполюс-
четырехполюсником. Так как согласно физическим
соображениям ток, текущий в ближай-
ближайшей к генератору отсчетной плоскости //, всегда должен
опережать по фазе ток, текущий в другой, более .удаленной
от него отсчетной плоскости, то при трансформации полно-
полного сопротивления из плоскости / в плоскость // поворот на
угол а для любой линии должен производиться по часовой
стрелке. Наоборот, если четырехполюсник трансформирует
сопротивление Ri в R2 (рис. 22.2), то фаза, соответствую-
соответствующая плоскости /, возрастает на величину, равную полови-
половине расположенного между Ri и R2 угла с вершиной в цен-
центре окружности Ко, положительные значения которого от-
считываются по часовой стрелке. Фазу напряжения можно
определить аналогичным способом, используя диаграмму
проводимости.
Очевидно, что полученные в § 20 выводы относительно
распространения волн вдоль двухпроводной линии спра-
справедливы также для любой однородной линии без потерь
при условии, если рассматривается эллиптический случай.
Следует только в соответствующих формулах заменить
длину волны X в двухпроводной линии на Л или в общем
171
Рис. 22.2. Транс-
Трансформация сопротив-
сопротивлений в диапазоне
прозрачности, изо-
изображаемая ' с по-
помощью диаграммы
трансформации эл-
эллиптического типа
с фиксированной
точкой (волновое со-
сопротивление) и уг-
углом поворота а =
= 4 л//Хл, отсчиты-
отсчитываемым по часовой
стрелке.
случае на соответствующую длину волны <в линии Лл. Учи-
Учитывая это, запишем
а для трансформируемых полных сопротивлений
U./I.^R, и Ua/Ia = Ra
2я/
x + /2. tg ^—
B2.6)
B2.7)
Часто необходимо знать входное сопротивление RK 3 ко-
роткозамкнутого отрезка линии. Пусть короткое замыкание
осуществляется в точке I, т. е. Ri=0. В этом случае из
формулы 'B2.7) для линии длиной / получим
RK3 = /Zotg-|^-. B2.8)
С другой стороны, если Ri = oo, входное сопротивление от-
отрезка линии длиной / будет определяться выражением
R-—- /7 ricr ¦ - 100 Q\
лл
Для линии с потерями также можно получить соответст-
соответствующие формулы, воспользовавшись выражением B0.9).
Наряду с диаграммой трансформации эллиптического
типа IB правой полуплоскости (рис. 22.2) для однородной
линии большое значение имеет также диаграмма, которая
получается при отображении последней на окружность
с единичным радиусом, причем в формулу пересчета (8.1),
в качестве Zq в этом случае следует подставлять значение
волнового сопротивления однородной линии. Трансформа-
Трансформация 'При использовании этой диаграммы сводится к про-
простому повороту на угол а.
Кроме того, f/C-сопротивление, получаемое в этом
случае, имеет простой физический смысл. Согласно выра-
выражению B0.8) напряжение в однородной линии представ-
представляет собой сумму напряжений, определяемых выражения-
выражениями B0.8,а) и B0.8,6) для падающей и отраженной от на-
нагрузки волн.
172
>Ё отсчетнои точке \, которой соответствует полное со-
сопротивление
напряжение падающей волны определяется выражением
а напряжение отраженной волны выражением
отр 2 ^ ' ° l ' \
Отношение
и,
B2.10)
пад
получило название «коэффициента отражения». Очевидно,
что оно идентично с ?/С-сопротивлением.
¦При перемещении отсчетнои плоскости вдоль линии точ-
точка, соответствующая f/C-сопротивлению (коэффициенту
отражения), проходит по окружности с центром в начале
координат. Это означает, что абсолютная величина коэф-
коэффициента отражения остается постоянной. С изменением
положения отсчетнои плоскости на линии изменяется лишь
фазовый угол. Поскольку полученные соотношения очень
просты, коэффициент отражения является величиной, осо-
особенно удобной для описания свойств сопротивления на-
нагрузки линии.
Гиперболический случай (диапазон непрозрачности)
Согласно выражения B1.6) Л может быть мнимой,
в этом случае приходится иметь дело с диаграммой транс-
трансформации гиперболического типа (рис. 22.3) и с получен-
полученными из соотношения B2.3) или B2.4) чисто мнимыми
значениями фиксированных точек.
Отношение Ui/Ii = Ri, как и ранее, определяет входное
сопротивление линии в точке I. При этом Ri может прини-
принимать любое комплексное значение, соответствующее правой
полуплоскости. Для того чтобы определить трансформиро-
трансформированное в отсчетную точку II полное сопротивление R2, че-
через точку Ri и фиксированные точки следует провести
окружность Ко и, кроме того, через точку Ri окружность /G,
173
перпендикулярную как окружности Ко, так и мнимой оси.
В этом случае R2 будет представлять собой точку пересе-
пересечения окружности Ко и окружности трансформации К2, ко-
которая является отображением окружности Ki. Определение
окружности /Сг удобнее все-
всего производить с помощью
л диаграммы трансформации
2 реактивных сопротивлений.
Построение последней про-
производится методом, описан-
описанным в § 10, с учетом того,
что четырехполюсник транс-
трансформирует Zx в Z\, Z2 в Z2
и 0 в определяемую выра-
выражением B2.8) чисто мни-
мнимую величину RK3- Соответ-
Соответствующие построения ана-
аналогичны показанным на
рис. 10.3.
Для того чтобы дать
представление о трансфор-
трансформирующих свойствах вол-
волновода в диапазоне непро-
Рис. 22.3. Трансформация сопротив-
сопротивлений однородной линией в диапа-
диапазоне непрозрачности, изображаемая
с помощью диаграммы гиперболи- зрачности, приведем пример
ческого типа с комплексно сопря- расчетов RK 3-
женными фиксированными точками.
Рассмотрим волновод с
прямоугольным поперечным
сечением шириной а, в котором возбуждается 1волна Ню. Для
упомянутого поперечного сечения критическая длина вол-
волны будет определяться равенством Хкр=2а. Пусть соответ-
соответствующая выбранной частоте длина волны в двухпровод-
двухпроводной линии Хд равна 2,5а. Тогда длина волны в.волноводе-
будет равна ш
д_ 2,5а ^1ол:„
При наличии короткого замыкания в сечении / полное
входное сопротивление в сечении //, удаленном от сече-
сечения / на 1 = а, будет определяться выражением
ю и,, А ,
:/0,95|Z
174
Это означает, что все полные сопротивления в поперечном
сечении /, значения которых лежат в :вёр1шёй правой полу-
полуплоскости, будучи трансформированный* в- сечение //,
расположатся внутри малой полуокружности Kf, с центром
в Z\, проходящей через точку /0,95 \Z\ (рис. 22-3)". Так как
такой же отрезок линии величину —/0,95 \Z\ трансформи-
трансформирует в нуль, при длине линии / = 2а все значения правой
полуплоскости, даже те, которые лежат вне малой полу-
окружиости К", проходящей через точку —/0,95|Z| с цен-
центром в Z2, перейдут внутрь К'-
Параболический случай
Если А,д=ХКр, длина волны в волноводе Л=оо, при этом
согласно выражений B2.3) и B2.4) волновое сопротивле-
сопротивление Z равно оо или 0. В первом случае имеем дело с транс-
трансформирующими свойствами последовательного чисто реак-
реактивного сопротивления. Его величина равна RK3, поскольку
нуль трансформируется в значение RK з- 'При очень боль-
больших Л из формул B2.8) получим
Следовательно, при Л = оо для волн типа Н
2 it/ . 240it2
Для волн типа Е при Хд = Хкр или Л=оо волновое сопротив-
сопротивление Z=0. В этом случае приходится иметь дело с транс-
трансформирующими свойствами параллельного реактивного
сопротивления, величину которого можно рассчитать по
следующей формуле, полученной путем использования
выражения B2.9) для Ri = oo и справедливой при очень
больших значениях Л, а также Л=оо
23. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА ВДОЛЬ
ОДНОРОДНЫХ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ И ИЗМЕРЕНИЕ ПОЛНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИИ
Диапазон прозрачности
Предположим, что в однородную линию без потерь в
плоскости поперечного сечения / (рис. 22.1) включена на-
нагрузка, полное сопротивление которой равно Ri, а норми-
175
рованное полное сопротивление (рис. 22.2) — соответствен-
соответственно Ri/Z0. Тогда, если положение сечения // сделать пере-
переменным, т. е. увеличивать расстояние / от его начального
значения, равного нулю, то точка, соответствующая полно-
полному сопротивлению, отнесенному к поперечному сечению //,
в диапазоне прозрачности будет перемещаться то окруж-
окружности трансформации Ко.
Очевидно, что на линии имеются два рода сечений, где
входное сопротивление будет чисто активным, причем в од-
одном случае оно принимает максимальное /?макс, а в другом
минимальное. /?Мин значения. Точки на диаграмме трансфор-
трансформации, соответствующие этим различным сечениям, оказы-
оказываются смещенными относительно друг друга на угол а =
= 180°, т. е. сами сечения удалены друг от друга на рас-
расстояние Яд/41.
При 1=кц/2 а становится равным 360° и точка, соответ-
соответствующая полному входному сопротивлению, начинает по-
повторное перемещение по окружности трансформации Ко-
Для окружности трансформации Ко диаграммы эллип-
эллиптического типа имеем
D
Ам
B3.1)
Так как активная мощность Af=|I|2/?/2 = |U|2G/2, проходя-
проходящая через любое поперечное сечение линии без потерь,
имеет одно и то же значение, амплитуда напряжния в се-
сечении, где Я2=/?макс, максимальна |и|Макс, а амплитуда
тока в этом сечении минимальна |1|Мин (рис. 22.1). В сече-
сечении, удаленном от этого места на /U/4, т. е. там, где R2 =
= #мин, амплитуда напряжения имеет минимальное значе-
значение |и|мин. а амплитуда тока — максимальное .|1|Макс- Та-
Таким образом,
'макс i-'мин |||^ р I
Ямяк, Я^7 ~11|мННЛГмакс=1
чмакс "¦мин
|2
11макс
Так как
^макг мин> /?„„„ макс И ^макс'^мин—С0 >
чмакс -^мин
то можно записать
1 Или расстояние, кратное Лп/4. (Прим. ред.)
176
1и1макс_[Чмакс ^ />Макс _ -. /'0макс = ^?__
iu|«.« 1И„„„ у rmhh у от zt
|U|Ma
B3.2)
Соотношение между напряжениями и токами для двух лю-
любых других сечений линии можно установить из выражений
B2.6). Это соотношение может быть также определено
с помощью диаграммы трансформации согласно § 17. По-
Полагая отнесенное к сечению / входное полное сопротивле-
сопротивление равным
или
г» = 1Г =',
и аналогичное сопротивление, отнесенное к сечению //, равным
Ra = R* + Д• или га = J- = г2 + jx3,
в соответствии с изложенным в § 17 можно записать
При втом ток Ii опережает по фазе ток 12-на половину рас-
расположенного между Ri и R2 (или между ri и г2) централь-
центрального угла окружности Ко, положительные значения кото-
которого отсчитываются по часовой стрелке. То же самое мож-
можно сказать относительно напряжений Ui и и2 применитель-
применительно к случаю проводимостей. Наоборот, соотношения B3.2)
позволяют по распределению тока «ли напряжения в ли-
линии определять полные сопротивления [31].
В однородной линии проще всего измерить относитель-
относительное распределение напряжения. Для этой цели в коакси-
коаксиальной или волноводной линии делают продольный разрез,
через который внутрь линии вводят короткий зонд, яв-
являющийся по сути дела антенной, связанной с приемни-
приемником, например детектором (рис. 23.1). При этом выпрям-
выпрямленный ток детектора зависит только от величины ради-
радиальной составляющей напряженности электрического поля,
т. е. от амплитуды напряжения |U|.
Продольный разрез не должен вызывать недопустимо
большого искажения электромагнитного поля, поэтому, он
12—52 177
делается так, чтобы не было разрыва линий тока, т. е.
в том месте, где составляющая Hz равна нулю. Для волн
в линии Лехера и волн типа Е это условие выполняется
повсюду на наружной поверхности, для волн же типа Н —
только в определенных местах, которые можно найти, исхо-
исходя из распределения силовых линий поля.
На рис. 23.1 схематично показана конструкция коакси-
коаксиальной измерительной линии. На передвигаемой вдоль ли-
Рис. 23.1. Прин-
Принцип действия
измерительной
линии.
нии каретке установлен настраиваемый в резонанс зонд,
связанный с детектором. Принцип, положенный в основу
такой конструкции, поясняется на приведенном в § 49,
касающемся согласования примере.
Выпрямленный ток детектора, если только он достаточ-
достаточно мал, приблизитель-
но пропорционален
квадрату . амплитуды
напряжения. Для опре-
определения зависимости
выпрямленного тока от
Рис. 23.2. Распределение напряжения и по- напояжения ЛИНИЮ на
казания, снимаемые с короткозамкиутой
измерительной линии при квадратичном
детекторе.
выходе можно закоро-
закоротить, создавая таким
образом^ режим чисто
стоячей волны с сину-
синусоидальным, показанным пунктиром яа рис. 23.2, рас-
распределением напряжения вдоль линии (так как модуль
напряжения полностью определяет выпрямленный ток,
то показаны только модули). Предположим, что най-
найденное экспериментально распределение выпрямленного
178
тока соответствует сплошной кривой (рис. 23.2). Тогда,
используя обе упомянутые кривые, можно определить со-
соотношение между выпрямленным током и приложенным
напряжением (так как ib данном случае представляет ин-
интерес только относительное распределение напряжения,
то максимум синусоидальной линии нормируется произ-
произвольно). Исходя из этого соотношения, нетрудно построить
Рис. 23.4. Геометрические по-
построения при определении пол-
полного сопротивления.
Рис. 23.3. Градуировочная
кривая детектора, определен-
определенная по кривым рис. 23.2.
градуировочную кривую де-
детектора1 (рис. 23.3).
Измерение полных со-
сопротивлений производится
методом, который иллюстрирует рис. 23.1. Для этого с по-
помощью измерительной линии находят положение минимума
напряжения в линии и отношение максимальной амплитуды
напряжения |и|макс к минимальной |11|м„н. Нормированное
входное полное сопротивление R/Zo в месте максимума на-
напряжения определяется равенством
"минIUImhh
Если установлено, например, что минимум удален на
расстояние, равное х от точки I в которой определяется
полное сопротивление, то, пользуясь диаграммой транс-
трансформации, можно определить значение этого сопротивле-
сопротивления R/Zo. Для этой цели необходимо от действительной оси
в направлении против часовой стрелки отложить угол а =
= 4я*Дл, вершина которого расположена в фиксированной
точке (рис. 23.4). Этот угол определяет положение окруж-
окружности /Сг, перпендикулярной мнимой оси и проходящей че-
1 Вблизи пучности напряжения зонд прн определенных условиях
может отбирать из лннни столь значительную долю мощности что ре-
результат измерения становится ошибочным
12* 179
рез фиксированную точку. Точка пересечения ее с окруж-
окружностью трансформации Ко, проходящей через /?Мин/20 и
/?макс/20 (причем /?макс/2о = 2о//?мив), дает искомое значе-
значение R/Z0=r.
При больших значениях отношения /
I^Imhh Z* °мин
^больше, чем 3—5) во избежание значительных погрешно-
погрешностей измеряется расстояние b (рис. 23.1) между точками
линии, расположенными по обе стороны от узла напряже-
напряжения, где амплитуды напряжения |U|&, например, в V 2 раз
(или в У 5 раз) больше амплитуды напряжения |11|Мин. Из
выражения B2.6) можно получить необходимое для этого
случая соотношение
**макс 1 /
Z* V
B3.3)
Эта зависимость для /2 и V 5 кратного увеличения напря-
напряжения приведена на рис. 23.5.
«макс
г
то
500
зоо
гш
т
70
50
30
го
ю
7
5
3
г
1
¦ \
п 6
S
0.0
In
0,0
h
В
¦"¦и
Мм
пп
в»
__
050
0,06 0,10 0,1k 0,18 0,22 0,26 0,30
180
Рис. 23.5. Зависимость RMaKJZ от от-
относительной величины расстояния Ь.
При очень больших значениях отношения |U|макс/lU|мин
.рекомендуется <#Мин трансформировать в другое, легко из-
измеряемое значение k>RWVSB, где k — известный действитель-
действительный коэффициент трансформации. Об этом более подроб-
подробно будет говориться в § 28.
Достигаемая при использовании измерительной линии
точность в первую очередь зависит от того, насколько хо-
хорошо она выполнена механически. В частности, нельзя до-
допускать изменения расстояния, от выступающего в линию
зонда до среднего проводника в случае коаксиальной ли-
«ии или до других проводящих поверхностей при переме-
перемещении зонда вдоль линии. В приборах, выполненных с осо-
особой тщательностью, погрешность, обусловленная неточ-
неточностью изготовления, не превышает 1%.
Продольный разрез в линии вызывает небольшое изме-
изменение волнового сопротивления, связанная с этим погреш-
погрешность при обычных размерах линии может быть сведена
к величине, также не превышающей 1 % ¦ Эту погрешность
можно учесть и ввести соответствующую поправку. На-
Настроенный измерительный зонд представляет собой вклю-
включенное параллельно линии активное сопротивление, кото-
которое велико 'по сравнению с ее волновым сопротивлением.
Величина этого сопротивления зависит от степени связи,
а последняя, в свою очередь, от имеющейся в наличии мощ-
мощности. При измерениях вблизи узла напряжения, а также
при измерениях расстояния b это параллельное сопротив-
сопротивление, очевидно, оказывает меньшее влияние на распре-
распределение напряжения в линии, чем при измерениях вблизи
пучности напряжения. При точном расчете возникающих
|При этом погрешностей и исследовании возможности их
коррекции необходимо также принимать во внимание вход-
входное сопротивление измерительного генератора. Целесооб-
Целесообразнее всего согласовать генератор, т. е. сделать его вход-
входное сопротивление близким по величине к волновому со-
сопротивлению линии.
Диапазон непрозрачности
В гиперболическом или параболическом случаях рас-
распределение напряжения и тока в линии может быть опре-
определено также, или из выражений B2.6), или из диаграмм
трансформации полного сопротивления или полной прово-
проводимости. Рассмотрим последний путь, проиллюстрировав
его на одном из примеров.
181
Пусть 'В волновбДё, в поперечном сечении / (рис. 23.1),
входное нормированное полное сопротивление равно п
(рис. 23.6)!. Если отсчетное поперечное сечение //смещает-
//смещается относительно сечения / по направлению к генератору, то
соответствующее сечению // сопротивление г2 получается
из г, при перемещении изображающей сопротивление точки
вдоль окружности /Со, например, в направлении +/. Нор-
Рис. 23.6. Транс-
Трансформация сопротив-
сопротивлений однородной
линией в диапазоне
непрозрачности.
О 0,1 0,2 0,3 0,4
Ул
Рис. 23.7. Распределение
тока и напряжение в одно-
однородной линии, соответству-
соответствующее рис. 23.6.
мированная же проводимость g2 может быть получена из
gi путем трансформации вдоль окружности К'о в направ-
направлении —у.
Так как квадраты .модулей токов изменяются обратно
пропорционально расстояниям от мнимой оси до точек,
определяющих полные сопротивления, а изменение квад-
квадратов величин напряжения обратно пропорционально изме-
изменению аналогичных расстояний для проводимостей, то для
примера, изображенного на рис. 23.6, следует ожидать по-
показанного на рис. 23.7 распределения напряжения и тока
вдоль линии. При этом / представляет собой расстояние
между отсчетными сечениями / и //. При малых значе-
значениях / напряжение и ток сначала уменьшаются до того
момента, когда г2 или g2 становятся действительными, а за-
затем начинают возрастать (по мере приближения к гене-
генератору). Для определения значений абсцисс точек кривых
1 О том, как на практике может быть использовано то или иное
произвольное полное сопротивление в диапазоне непрозрачности вол-
повода, говорнтси в § 26.
182
г
д>ис. 23.7 целесообразно рассмотреть трансформацию чистг
Длимой величины <7ь расположенной на той же окружно-
окружности трансформации Ки что и г,, не вдаваясь при этом в по-
подробности.
Точка, соответствующая трансформированному значе-
'нию сопротивления гь по мере перемещения вдоль линии,
¦! §/
Рис. 23.8. Транс-
Трансформация полного
сопротивления вол-
волноводом, возбуж-
возбуждаемым на критичес-
критической частоте.
I
Рис. 23.9. Распределение
тока и напряжении в одно-
однородной линии, соответ-
соответствующее рис. 23 8.
в данном случае очень быстро, как
это показано в § 22 на примере
рис. 22.3, приближается к фиксиро-
фиксированной точке +'/, а точка, соответствующая трансформиро-
трансформированному значению gi, — к фиксированной точке —/. Поэто-
* му более или менее длинные отрезки линий всегда имеют
i входное сопротивление такое же, как если бы линия окан-
4 чивалась волновым сопротивлением.
* В этом случае из выражений B2.6) получим
4 U = U еы/1Хл1 B3 4^
Знак плюс при показателях степени экспонент имеет оче-
очевидный физический смысл: напряжение и ток по мере уда-
удаления от генератора экспоненциально уменьшаются, при-
причем скорость уменьшения зависит от величины |ЯЛ|-
Рассуждения, аналогичные приведенным для гипербо-
гиперболического случая, могут быть применены также и в пара-
параболическом случае. Если волновое сопротивление Z=0, то
например, при сопротивлении в отсчетном поперечном се-
чеиии /, равном Ri (рис, 23.8), для распределения тока по-
получим кривую Ci (рис. 23.9), в то время как для распре-
распределения напряжения имеем прямую С2, параллельную го-
горизонтальной оси. При Z = oo для соответствующей прово-
проводимости значения кривых С! и С2 взаимно изменяются.
183
Выводы для однородной линии общего вида без потерь
Как уже неоднократно отмечалось, любая однородная
линия без потерь должна относиться к одному из трех
случаев. Ей соответствует илн эллиптический четырехпо-
четырехполюсник с действительной фиксированной точкой, или ги-
гиперболический четырехполюсник с двумя расположенными
симметрично относительно начала координат чисто мни-
мнимыми фиксированными точками, или параболический че-
четырехполюсник с фиксированной точкой 0 нли оо. При рас-
рассмотрении распределения напряжения нли тока вдоль од-
однородных линий в этих трех случаях не было необходимо-
необходимости учитывать конструкцию линии. Рассмотренные свой-
свойства относятся, таким образом, в равной мере к любым
однородным линиям без потерь.
С другой стороны, если посредством измерений в одно-
однородной линии произвольной формы установлено, что в ней
имеет место периодическое пространственное изменение на-
напряжения, то можно утверждать, что имеется эллиптиче-
эллиптический случай с действительным волновым сопротивлением
Zo (если даже величину последнего не удается рассчитать
непосредственно). Из определяемого экспериментально от-
отношения максимума напряжения к его минимуму можно
получить, как это делалось и ранее, полное нормированное
входное сопротивление rMaa—RMnHfZ0 для сечения, где рас-
расположен узел напряжения. Так как длину волны Кл можно
измерить непосредственно, то для любой отсчетной пло-
плоскости линии легко определить нормированное полное со-
сопротивление r=R/Z0. Принципиально, хотя это и более
сложно, гиперболический случай от параболического можно
отличить также, изучая распределение напряжения или то-
тока вдоль линии. Кроме того, из распределения напряжения
илн тока при выполнении в обратном порядке построений,
показанных на рис. 23.7 или 23.9, можно определить нор-
нормированное полное сопротивление, а также длину волны.
24. ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ
ВОЛНОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ
Рассмотрим, например, схему рис. 24.1. Однородная
двухпроводная линия с волновым сопротивлением Z, дли-
длиной /j оканчивается сопротивлением Ri, перед ней включе-
включена еще одна такого же типа линия с волновым сопротив-
сопротивлением Z2 длиной /2. Входное полное сопротивление этого
устройства можно определить с помощью построений, пред-
184
вставленных на рис. 24.2. Проведем через точки Ri и Z\
окружность постоянной фазы /Сь перпендикулярную мни-
мнимой оси, а затем через точку Ri окружность постоянного
рассогласования /Со. которая в свою очередь перпендику-
перпендикулярна /Ci и действительной оси. Далее, исходя из длины
1\, рассчитаем угол поворота а1=4л/,Дл н, совместив его
вершину с точкой Zu отложим этот угол от /Ci по часовой
стрелке. В результате получим направление касательной
к окружности постоянной фазы /С2', проходящей через точку Z,
н перпендикулярной также мнимой оси. Точка пересечения
последней с /Со соответствует полному входному сопротивлению
-в месте соединения двух линий R2'. Затем через точки R2 и Za
?f Я,
Рис. 24.1. Трансформации
сопротивлений посредст-
посредством двух последовательно
включенных отрезков ли-
линии.
Рис. 24.2. Трансформация
сопротивлений для слу-
случая, показанного на
рис. 24.1.
проведем перпендикулярную
мнимой оси окружность транс-
трансформации К[ и перпендикулярную к ней и к действительной
оси, проходящую через точку R2' окружность трансформа-
трансформации /Со'- Для данной длины /2 рассчитаем угол поворота
а2 = 4и/2/Ял с вершиной в Точке Z2. Этот угол, откладывае-
откладываемый по часовой стрелке от окружности /С,', определяет по-
. ложение окружности трансформации /С2. Соответствующая
точка пересечения последней с /Со' дает искомое полное
входное сопротивление R3 всего устройства.
Если известно взаимное расположение точек R2 н Z2,
можно, например, найти распределение напряжения и то-
тока в линии на входе. Таким путем можно определять
трансформирующие свойства различных линий, если из-
известны величины отдельных волновых сопротивлений,
в этом заключается значение последних.
Для того чтобы определить только распределение на-
напряжения и тока в отдельных линиях, достаточно знать
185
отношение отдельных волновых сопротивлений, в данном
случае Zi/Z2, и нормированное полное сопротивление
Ri/Z). При построении, показанном на рис. 24.2, предпо-
предполагалось, что в местах соединения и перехода одной линии
в другую не .происходит сколько-нибудь заметного иска-
искажения электромагнитного поля. Это условие не выполняет-
выполняется на очень высоких частотах. Так, например, на сантимет-
сантиметровых волнах при переходе от одной линии, с меньшим по-
поперечным сечением, к другой, с большим поперечным сече-
сечением, в местах стыка образуются дополнительные емкости,
которыми нельзя пренебречь. Точно так же, например,
упомянутое во введении сопротивление скин-слоя для двух-
двухполюсника (рис. 0.3) 'принимает значение, в значительной
степени отличающееся от такового на низких частотах.
Еще более сильные искажения возникают при соединении
волноводов с различными по форме поперечными сечения-
сечениями или в местах перехода от двухпроводных линий к вол-
волноводам. Это означает, что построения, показанные на
рис. 24.2, становятся уже непригодными и, следовательно,
абсолютная величина волнового сопротивления также те-
теряет свое значение; теперь уже совершенно безразлично,
известна она или нет. Однако, как и ранее, важными пара-
параметрами являются нормированное сопротивление R/Z и
нормированная 'проводимость YZ, так как с их помощью
определяется положение и величины максимума и мини-
минимума напряжения и тока в линии. Наоборот, как r=R/Z,
так и g = YZ можно найти из определяемого путем изме-
измерений распределения напряжения и тока, в том числе и
для однородных линий общего вида, у которых распреде-
распределение электромагнитного поля не поддается расчету.
Так как на очень высоких частотах только нормирован-
нормированные полные сопротивления или проводимости имеют прак-
практическое значение, то целесообразно выбирать произволь-
произвольную постоянную к в формулах для прямоугольных и круг-
круглых волноводов, таким образом, чтобы величина волнового
сопротивления, определяемого выражениями 22.3 и 22.4,
равнялась единице. Тогда для волн типа Я следует поло-
положить
= 1/ гМ/^-12(к
и для волн типа Е
186
B4.1)
= 1/ ^i/-^-120»r.
В данном случае нормированные сопротивления и про-
проводимости совпадают с абсолютными. Это замечание от-
относится ко всем однородным линиям, включая и те, для
которых распределение электромагнитного поля не может
быть рассчитано.
Приравняв волновое сопротивление единице, целесооб-
целесообразно, как это и делается в дальнейшем, обозначать его
буквой Z (с индексом или без индекса) '.
Выше уже отмечалось, что на сверхвысоких частотах
в местах переходов (нерегулярных участках линии) имеет
место искаженное поле, расчет которого затруднителен.
Такие участки вместе с более или менее длинными
подключаемыми линиями можно рассматривать как четы-
четырехполюсники, а их трансформирующие свойства опреде-
определять экспериментально. Пусть сопротивление нагрузки Ri,
отнесенное к точке I, трансформируется в точку II, распо-
расположенную на входе, в сопротивление R2 в соответствии
с выражением
Если линии на входе и выходе различны и имеют, напри-
например, волновые сопротивления Z\ и Z2, то нормированное
полное сопротивление n = Ri/Zi трансформируется в соот-
соответствующее сопротивление; r2 = R2/Z2, согласно выражению
r =R2_
2 Z
а11Г1+а
12
2
B4.2)
Таким образом, трансформация нормированных полных
сопротивлений также описывается дробно-линейной функ-
функцией. Следовательно, и в случае нормированных полных
сопротивлений можно воспользоваться аналогичными гео-
геометрическими построениями.
Как и ранее, любому четырехполюснику без шотерь бу-
будет соответствовать диаграмма трансформации эллипти-
эллиптического, параболического или гиперболического типа.
Следует отметить, что правила определения сдвигов
фаз токов и напряжений, исходя из трансформации, кото-
которой подвергается элемент, указывающий направление,
1 Нормированные полные сопротивления являются величинами,
которые можно измерить. Использование буквы Z позволяет отличать
их от обычных чисел. Подобно тому, как для какой-либо другой изме-
измеряемой величины, в данном случае целесообразно применение единицы
измерения, роль которой играет Z,
187
также остаются действительными в случае диаграмм нор-
нормированных полных сопротивлений, поскольку переход от
абсолютных к нормированным значениям полного сопро-
сопротивления не связан с вращением элементов, указывающих
направление.
25. ПЕРЕДАЧА МОЩНОСТИ ПО ОДНОРОДНЫМ ЛИНИЯМ
Однородные линии в большинстве случаев применяют
для того, чтобы высокочастотный генератор (например, пе-
передатчик или приемную антенну) соединить с нагрузкой
(передающей антенной или собственно приемником), т. е.
осуществить передачу мощности. В § 20 и § 22 было по-
показано, что эта передача в диапазоне прозрачности осуще-
осуществляется волной, которая полностью поглощается нагру-
нагрузочным сопротивлением, если последнее по величине рав-
равно волновому сопротивлению Zo линии.
Если же нагрузочное сопротивление не равного, то
часть волны отражается. В принципе, однако, и в этом
случае также можно всю мощность передать по однородной
линии, например, от передатчика к антенне. В точку под-
подключения генератора в этом случае сопротивление нагруз-
нагрузки трансформируется в некоторое отличное от Zo комплекс-
комплексное сопротивление Ra. Если генератор имеет отнесенное
к той же точке комплексное внутреннее сопротивление R,,
которое является сопряженным по отношению к Ra, (т. е.
Ri = Ra), то он всю свою мощность отдает в нагрузку (об
этом подробно см. в § 47). Наоборот, генератор с внут-
внутренним сопротивлением Ri=^Z0 отдает только часть макси-
максимально возможной мощности в линию с сопротивлением
нагрузки, равным ее волновому сопротивлению Zo. С вол-
волновой точки зрения это обстоятельство следует понимать
так, что при Ri^=Z0 и Ri = Ra отражения возникают не
только в примыкающей к нагрузке линии, но также и на
стороне, генератора, причем амплитуда колебаний увели-
увеличивается настолько, что, несмотря на отражения от яа-
грузки, генератор отдает в нее максимальную активную
мощность.
Утверждение о том, что генератор с внутренним сопро-
сопротивлением R, отдает в нагрузку с сопротивлением Ra=Ri
максимальную мощность, является общим. Теоретически
также можно передавать максимальную мощность по ли-
линии без потерь в диапазоне непрозрачности. Предположим,
например, что Ra = r2 (рис. 23.6). Для данной длины линии
188
найдем точку п на окружности /Со, соответствующую со-
сопротивлению нагрузки линии, в которое отдается макси-
максимальная мощность. Тогда в случае более длинной линии
точка Г! должна располагаться очень близко к —/, сле-
следует отметить, однако, что всегда имеющиеся на практике
потери обусловливают в этом отношении некоторый предел.
Несмотря на все сказанное выше, в общем случае при
использовании однородных линий сопротивление нагрузки
следует, выбирать, если ето возможно, равным волновому
сопротивлению. В таком 'случае линию называют «согласо-
«согласованной». 'При этом необходимо также и внутреннее сопро-
сопротивление генератора, определяемое на входе линии, транс-
трансформировать в сопротивление, равное волновому. Передача
мощности таким способом, естественно, возможна только
при действительном значении волнового сопротивления Zo
(отсюда обозначения: диапазон прозрачности и диапазон
непрозрачности), так как чисто реактивное сопротивление
никогда не может поглощать активную мощность.
Целесообразность согласования путем приведения со-
сопротивлений к волновому сопротивлению линии подтверж-
подтверждается следующими соображениями. Если сопротивление
нагрузки равно волновому сопротивлению, то длину ли-
линии можно выбирать произвольно и при этом входное со-
сопротивление остается одним и тем же, а следовательно,
не изменяется и характер передачи мощности. Если же
сопротивление нагрузки Ri отличается от Zo, то точка, со-
соответствующая сопротивлению R2, полученному в резуль-
результате трансформации сопротивления Ri линией, будет
перемещаться по окружности постоянного рассогласова-
рассогласования /Со (рис. 22.2). Положение R2 на окружности /Со опре-
определяется величиной угла поворота а = 4я/Дл. Пределы из-
изменения R2, очевидно, зависят от диаметра окружности /Со,
вследствие чего величина последнего, характеризуемая от-
отношением
D
^МЯКГ 1 — 1МЯКГ « /СЪС 1\
BO.I)
=ltJUC=?
является мерой рассогласования. Поэтому k называют «ко-
«коэффициентом рассогласования»'. Таким образом, стано-
становится понятным смысл введенного в § 10 обозначения
«окружность шостоянного рассогласования».
1 В отечественной литературе величину k называют коэффициен-
коэффициентом стоячей полны но напряжению. Этот термин используется в даль-
дальнейшем. (Прим. ред.)
189
Так как угол поворота а определяется длиной волны Хя,
то частотная зависимость входного сопротивления тем
меньше, чем меньше k отличается от 1. Если высокоча-
высокочастотный .сигнал промодулирован, то при наличии отраже-
отражений в линиях значительной длины вследствие возникаю-
возникающих при этом различий во времени распространения мо-
могут появиться искажения. По своей природе это явление
идентично с только что упомянутой частотной зависи-
зависимостью входного сопротивления при рассогласовании.
При больших значениях к в линии вследствие наличия
отраженных волн протекают дополнительные реактивные
токи и возникают максимумы напряжения и тока, обуслов-
обусловливающие дополнительные активные потери. При очень
больших мощностях в местах расположения максимумов
напряжения могут иметь место пробои. По'этим причинам
k стараются по возможности сделать равным единице.
Очевидно также, что при решении вопросов согласова-
согласования в линиях представляют интерес только нормированные
значения полных сопротивлений и проводимостей.
26. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Как уже указывалось в § 23, путем измерения распре-
распределения относительных значений напряжения вдоль одно-
однородных линий, в частности на сантиметровых волнах, мож-
можно сравнительно легко и точно определять величины пол-
полных сопротивлений'. Это обстоятельство позволяет опре-
определение характеристик всех элементов схем производить
¦экспериментально [1,33]. Сказанное выше справедливо как
по отношению к двухполюсникам, так, в частности, и к че-
четырехполюсникам, с общими свойствами которых подробно
знакомились в первом разделе. По вопросу практического
проведения таких измерений в применении к четырехпо-
четырехполюсникам следует сделать ряд замечаний.
Измерения характеристик четырехполюсников, к которым
с обеих сторон подключены однородные линии, работающие
в диапазоне прозрачности
В качестве переменной нагрузки в этом случае целе-
целесообразнее всего применять передвижной короткоза-
мыкающий поршень, расположенный в некоторой точке К
(рис. 26.1). Тогда отнесенное к выходным зажимам четы-
3
It
I
рехполюсника (точка А) сопротивление нагрузки согласно
выражению B2.8) будет равно
где х — расстояние между точкой короткого замыкания К
и отсчетной точкой А '.
Трансформированное входное сопротивление г2 можно
определить из распределения напряжения вдоль" однород-
однородной линии, подключенной ко входным зажимам четырех-
четырехполюсника (точка В), способом, описанным в § 23.
Четырехполюсники, к которым только с одной стороны
подключены однородные линии, работающие в диапазоне
прозрачности
При измерениях в этом случае в качестве входной
(|ближайшей к генератору) лучше всего выбрать сторону
четырехполюсника с подключенной однородной линией.
Входное сопротивление R2 или г2
измеряется способом, описанным вы-
выше. Из трансформирующих свойств
четырехполюсника в одном направ-
направлении можно определить с учетом
сказанного в § 13 его трансформи-
трансформирующие свойства в другом направ-
направлении.
Если нагрузка, подключаемая
к выходу четырехполюсника, пред-
представляет собой, например, небольшой конденсатор
(рис. 0.6,г), то ее величину можно изменить путем вве-
введения прокладок из металла или диэлектрика. При этом
величину сопротивления Ri можно определять или чисто
расчетным путем, исходя из размеров конденсатора, или
экспериментально, измеряя величину емкости на более низ-
низкой частоте.
Рис. 26.1. Устройство для
определения трансформи-
трансформирующих свойств четырех
полюсников.
190
1 О получаемой прн этом точности см. [32].
1 Как уже отмечалось во введении, при измерениях расстояние
от неоднородности, включенной в линию, не должно быть меньше не-
некоторого минимального. Последнее экспериментально можно опреде-
определить, исходя из того факта, что прн отсутствии влияния неоднородно-
неоднородности смещение иа А,л/2 должно приводить к тому же значению входного
полного сопротивления. Некоторыми авторами было предложено в ка-
качестве такого минимального расстояния для коаксиальной линии вы-
выбирать расстояние, равное приблизительно n(D+d)l4, где О —внут-
—внутренний диаметр внешнего проводника, d — диаметр внутреннего про-
проводника (см. [34]).
191
в
Рис. 26.2. Эксперименталь-
Экспериментальное определение транс-
трансформирующих свойств че-
четырехполюсников, в слу-
случае, когда эти свойства
не могут быть найдены
непосредственно.
Четырехполюсники, к которым ни с одной из сторон
не подключены однородные линии, работающие в диапазоне
прозрачности
В этом случае прибегают к переходному устройству V2,
включаемому между входной линией четырехполюсника V\
и однородной линией, работающей в диапазоне прозрачно-
прозрачности, и таким образом получают последовательное включе-
включение двух четырехполюсников (рис. 26.2). Путем измерений
определяют трансформирующие свойства как четырехпо-
четырехполюсника V2, взятого отдельно, так и
всего последовательного соединения
в целом. Если на выходе в точке А
подключить сопротивление Ri и из-
измерить сопротивление R3 на входе
в точке С, то пользуясь результата-
результатами отдельно проведенного исследо-
исследования переходного устройства V2,
можно определить значение сопро-
сопротивления нагрузки R2 четырехпо-
четырехполюсника V2 в точке Б. Следователь-
Следовательно, можно определить значение
входного сопротивления четырехпо-
четырехполюсника Vi, соответствующее данному определяемому
в точке С входному сопротивлению R3. Таким образом, для
каждого подключаемого в точке А сопротивления Ri мож-
можно получить в расположенной на входе четырехполюсни-
четырехполюсника Vx точке В трансформированное сопротивление R2. На
практике может оказаться, что сечение исследуемой одно-
однородной передающей линии и сечение имеющейся в наличии
измерительной линии отличаются друг от друга.
Так как изготовление точной измерительной линии на
нужиое сечение требует значительной затраты труда,
в этом случае также целесообразно применять переходные
четырехполюсники, аналогичные четырехполюснику V2.
Закон электромагнитного подобия 26.1
Если все геометрические размеры устройства без по-
потерь, а также длину волны одновременно^ увеличить или
уменьшить в Р раз, то значения всех полных сопротивле-
сопротивлений и трансформирующие свойства четырехполюсников
остаются неизменными [35\.
Пример. Пусть плоский конденсатор имеет размеры пла-
пластин аХЬ, а расстояние между ними равно d, тогда его
192
реактивное (емкостное) сопротивление для угловой ча-
частоты (о будет определяться выражением
R==
jj>C j<osab '
При одновременном увеличении всех размеров до значе-
значений ра, ре и pd и уменьшении угловой частоты до ш/р
величина сопротивления останется неизменной и равной
R=-
9d
Закон электромагнитного подобия легко можно истолко-
истолковать физически. Представим себе, что все 'электрические
и магнитные силовые линии поля в элементе схемы в ка-
какой-то определенный момент времени вполне определен-
определенным образом располагаются в пространстве. Путем линей-
линейного увеличения или уменьшения проводников можно по-
получить допустимое в электромагнитном отношении подоб-
подобное прежнему распределение силовых линий поля, если
только изменить соответствующим образом длину волны.
Так как при этом плотность электрических и магнитных
силовых линий изменяется одинаково, то отношение Е/Н,
имеющее размерность сопротивления, в каждой точке оста-
остается неизменным и, следовательно, остаются неизменными
все полные сопротивления и проводимости.
Некоторые другие замечания общего характера
Если с одной стороны к четырехполюснику подключена
однородная линия, работающая в диапазоне непрозрачно-
непрозрачности, то ее следует выбирать в качестве выходной линии че-
четырехполюсника и в ней осуществлять короткое замыка-
замыкание. Если с обеих сторон к четырехполюснику подключены
однородные линии, работающие в диапазоне непрозрачно-
непрозрачности, то целесообразно воспользоваться описанным выше
переходным четырехполюсником.
Следует заметить, что не всегда достаточно просто
в диапазоне непрозрачности возбудить строго определен-
определенный тип волны. В случае волны Я10 в волноводе с прямо-
прямоугольным поперечным сечением можно поступить, напри-
например, так, как это показано на рис. 26.3. Сначала волноводу
придают такое поперечное сечение, при котором волна Яш
может распространяться, после чего последнее уменьшают
13—52 193
до тех пор, пока не будет достигнута граница диапазона
непрозрачности.
Если такой переход от одной линии, работающей в диа-
диапазоне прозрачности, к другой, работающей в диапазоне
непрозрачности, исследовать как четырехполюсник, то
можно без особого труда, как это уже отмечалось в § 23,
в диапазоне непрозрачности получить любое необходимое
полное сопротивление. При этом подсоединяемую линию,
работающую в диапазоне прозрачности, следует использо-
использовать в качестве выходной линии четырехполюсника и под-
подключить к ней соответствующее нагрузочное сопротивле-
Диапазои про-
прозрачности
Диапазон непрозрачно'
- сти
Рис. 26.3. Измерение трансформирую-
трансформирующих свойств перехода к линии, рабо-
работающей в диапазоне непрозрачности.
ние, требуемая величина которого определяется с по-
помощью диаграммы трансформации полных сопротивлений.
Путем измерения параметров четырехполюсника в дан-
данном случае возможно также определение структуры элек-
электромагнитных полей в полых системах [5, 36, 37]. В иссле-
исследуемую область соответствующим образом увеличенной мо-
модели такой системы можно поместить небольшой плоский
конденсатор так, чтобы не произошло заметного искаже-
искажения поля. Изменяя диэлектрическое заполнение конденса-
конденсатора, можно варьировать сопротивлением нагрузки, в ре-
результате чего становится возможным измерение характе-
характеристик соответствующего четырехполюсника. Подобным
же образом в принципе можно определять распределение
тока и напряжения в антеннах. Практически это примени-
применимо в тех случаях, когда точность измерения оказывается
достаточной.
27. ЗАКОН ТРАНСФОРМАЦИИ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
БЕЗ ПОТЕРЬ
Метод измерений и закон трансформации
Измерение и определение трансформирующих свойств
производятся наиболее просто в случае четырехполюсника
без потерь, к которому с обеих сторон подключены одно-
однородные линии, работающие в диапазоне прозрачности [33].
194
При этом линии могут отличаться друг от друга по виду.
В данном случае необходимо при постоянной частоте
найти только зависимость положения минимума напряже-
напряжения во входной однородной линии от положения переме-
перемещаемого короткозамыкателя К, расположенного на вы-
выходе.
д
Выберем две произволь- 8 & Tg\i/
асположеы А
fry
0
т, т к
I I
Рис. 27.1. Метод измерений, осно-
основанный на законе трансформации.
но расположенные точки А
и В (рис. 27.1) и будем
определять положение ко-
короткозамыкателя К коорди-
координатой х, а положение мини-
минимума напряжения на вхо-
входе — координатой у (поло-
(положительные значения для у отсчитываются в том же на-
направлении, что и для х).
Обозначим длины волн в линиях, подключенных к вы-
выходу и входу четырехполюсника, через fa и Я,2 соответст-
соответственно. Зависимость у/К2 от x/fa можно изобразить графи-
графически. При этом получаются кривые, обладающие перио-
периодичностью и располагающиеся по отношению к прямой,
наклоненной под углом в 45° к горизонтальной оси так, как
¦это показано на рис. 27.2.
В дальнейшем будет доказа-
доказано, что в аналитически не-
неявном виде эти кривые опи-
описываются следующим выраже-
выражением:
— 'Уо) _
— х„)
B7.1)
•г* ?у *х Из последнего выражения
Т, 1ц Т, следует, что пространствен-
пространственный период ограничивается
Рис. 27.2. Кривая смещения узла точками, координаты которых
напряжения (кривая закона транс- "
формации). Точка перегиба кри- отличаются друг ОТ друга на
вой определяет в подводящих 0,5. Поскольку в дальнейшем
линиях рис. 27.1 положение двух о таких кривых будет часто
отсчетных точек Г, и Ти, харак- идти pe4bi назовем ИХ «крИВЫ-
теризуемых тем, что расположен- ми смещения узла напряже-
иик без потерь можно предала- ния>> или «кривыми закона
вить в виде идеального транс- трансформации». Значения х0,
форматора. г/о и fe определяются непосред-
13* 195
ственно из снятой экспериментально кривой с учетом того,
что jcoAi и уо/Кг являются координатами точки перегиба,
a k — крутизной кривой в этой точке.
Соотношение B7.1) можно записать иначе:
\7
^2
—kZs ;7 to-
(* — хо)
B7.2)
Его можно истолковать следующим образом: если корот-
козамыкатель К находится в точке с координатой х, то
в поперечном сечении Т\, определяемом координатой х0
(рис. 27.1), возникает реактивное сопротивление
d — ; 7 trr 2л (х — х0)
Тогда в сечении Гц, находящемся на входе четырехполюс-
четырехполюсника, положение которого определяется координатой у0,
сопротивление будет определяться выражением
так как короткому замыканию в точке х соответствует узел
напряжения в точке у. Соотношение B7.2) указывает на то,
что между сопротивлением Ri, т. е. отнесенным к сечению
Ti сопротивлением нагрузки, и входным сопротивлением R2
в сечении Тц существует зависимость
2
B7.3)
остающаяся справедливой для любых положений корот-
козамыкателя К, т. е. для любых значений реактивного
сопротивления Ri.
Соотношение, выражающее трансформацию сопротив-
сопротивления между входом и выходом четырехполюсника, в об-
общем случае имеет вид
Это сложное выражение с комплексными в общем слу-
случае коэффициентами а,й уирощается в случае четырехпо-
четырехполюсника со специально выбранными в подключенных к не-
нему однородных линиях сечениями Ti и Тц, переходит
в уравнение B7.3) с действительными коэффициентами
au/a22 — kZ2/Zi. Уравнение B7.2) показывает оправедли-
196
вость этого утверждения прежде всего только для произ-
произвольных реактивных сопротивлений. Но если оно выпол-
выполняется по меньшей мере для трех полных сопротивлений,
то должно быть справедливым для всех остальных полных
сопротивлений.
Из выражения B7.3) следует, что для четырехполюсни-
четырехполюсника, заключенного между выбранными отсчетными сечения-
сечениями Ti и Тц, трансформация напряжения и тока выражает-
выражается следующим образом:
¦.=4'.,
где п =
Для нормированных полных сопротивлений
B7.4)
= |1- И Г2 =
получим
B7.5)
Тем самым установлен важный закон, который будем
называть законом трансформации.
Закон трансформации 27.1
Пусть имеется сложный четырехполюсник без потерь,
ко входу и выходу которого подключены произвольные од-
однородные передающие линии. Тогда в этих линиях можно
выбрать некоторые определенные сечения Ti и Гц так, что
четырехполюсник, заключенный между этими течениями,
будет иметь свойства идеального трансформатора. Это оз-
означает, что уравнения четырехполюсника для такого транс-
трансформирующего устройства1 упрощаются и превращают-
превращаются в равенства U2 = rtUb I2 = Ii/ra, R2 = nzRi, r2=^r, с дей-
действительным коэффициентом трансформации п=\/ kZJZx.
Положение сечений Т\ и Тц, ограничивающих трансформа-
трансформатор, можно определить из экспериментальной кривой сдви-
сдвига узла напряжения, учитывая, что соответствующие им
координаты являются координатами точки перегиба. При-
1 В дальнейшем для краткости он будет называться «линейным
трансформатором». (Прим. ред.)
197
этом коэффициент трансформации равен крутизне кривой
вх точке перегиба [33]'.
Следует отметить, что положения сечений Т\ и Тц,
ограничивающих трансформатор, и коэффициент транс-
трансформации k в общем случае зависят от частоты.
Во избежание недоразумений и путаницы со старыми
обозначениями необходимо еще раз подчеркнуть, что в по-
последующем изложении линейными трансформаторами бу-
будут называться только такие четырехполюсники, которые
подчиняются закону трансформации, т. е. четырехполюс-
четырехполюсники, у которых коэффициент трансформации всегда дей-
действителен и его величина не зависит от сопротивления на-
нагрузки.
Кривая сдвига узла напряжения (рис. 27.2) имеет две
различные точки перегиба 2, координаты которых отличают-
отличаются на ±0,25, т. е. «a Ai/4 или Х2/4. Если в уравнении 27.1
ввести величины xo:=xo±^if4 и j/o=#o±W4, то получим
откуда
А,
B7.6)
Последнее означает, что вместо оконечных зажимов че-
четырехполюсника в сечениях Т} и Тп, положение которых
определяется координатами х0 и у0, можно выбрать зажимы,
удаленные от Тх и Тп на Я,/4 и 2.J4, т. е. точки Т\ и Г[,.
Им соответствует обратный по отношению к k коэффициент
трансформации k'=ljk. Условимся, что в дальнейшем, если
не оговорено обратное, зажимы трансформатора Тх и Ти всегда
будут выбираться соответственно' точке перегиба с наиболь-
наибольшей крутизной, так что &5И. Следовательно, зажимам транс-
трансформатора, расположенным в Тр будет соответствовать мень-
меньшее значение нормированного полного сопротивления г,.
1 Метод измерений и пояснения к нему приведены автором в па-
патенте Р81 781 VIII а/21 а4 от 31 декабря 1940 г.
Факт существования точек 7"г и Тц, характеризуемых тем, что
заключенный между ними четырехполюсник вызывает лишь изменение
модуля полного сопротивления, отмечается также Мейнке [14].
2 Точнее два рода точек перегиба, поскольку эта кривая может
быть продолжена в обе стороны. (Прим. ред.)
198
В случае несимметричного четырехполюсника два воз-
возможных варианта линейного трансформатора, соответст-
соответствующие двум различным точкам перегиба, будут отли-
отличаться друг от друга по своему виду. В случае симметрич-
симметричного четырехполюсника второй вариант можно получить
из первого путем взаимоза-
взаимозамены входа и выхода. В этом
можно убедиться, пользуясь
^рис. 27.3.
Предположим, что зажи-
зажимы трансформатора Гт, рас-
расположенные в линии на вы-
выходе, удалены на расстоя-
расстояние а, а входные зажимы
"Тп— на расстояние b от се-
середины четырехполюсника.
Тогда взаимозамена входа и
Рис. 27.3. Расстояния от зажимов
трансформатора 7"j и Т^ до сере-
середины четырехполюсника без потерь.
Эти расстояния в случае симметрич-
симметричного четырехполюсника отличаются
друг от друга на четверть длины
волиы.
выхода в случае симметрич-
симметричного четырехполюсника сво-
сводится только к взаимной замене расстояний от зажимов
трансформатора до середины четырехполюсника. Таким об-
образом, расстояние на выходе будет равно Ь, а на входе а.
Так как в каждой из подключенных линий имеются только
две возможности размещения зажимов трансформатора, то,
следовательно, длины отрезков а и b должны отличаться
друг от друга как раз на четверть длины волны, т. е.
Закон 27.2
В случае симметричного четырехполюсника расстояние
от зажимов трансформатора Т\ и Тц до середины этого
четырехполюсника отличаются друг от друга точно на чет-
четверть длины волны.
Величину коэффициента трансформации k можно опре-
определить с большей точностью, если исходить не из крутиз-
крутизны кривой в точке 'перегиба, а из расстояния а Aрис. 27.2)
между двумя расположенными под углом в 45° к горизон-
горизонтальной оси касательными к снятой экспериментально кри-
кривой трансформации, используя при этом зависимость
B7.7,
Эта зависимость графически изображена на рис. 27.4.
199
Так как все кривые трансформации подчиняются соот-
соотношению B7.1), целесообразно, используя уравнение
-ft tg
B7.8)
рассчитать и представить графически кривые зависимости
у/к2 от xl%\ для различных значений k как параметра. Та-
Такие кривые приведены на рис. 27.5, при этом сделана
взаимная замена осей положительных и отрицательных
значений г/Д2, поскольку при выполнении измерений, учи-
учитывая симметрию, за у принимают обычно расстояние от
во
60
40
30
го
ю
О 0,0k 0,08 0,12 0J6 0,20 0,24 0,28
а
Рис. 27.4. Зависимость коэффициента транс-
трансформации k от расстояния а между двумя
касательными, расположенными под углом в
45° к горизонтальной оси /рис. 27.2).
200
Рис. 27.5. Семейство кривых трансформации.
узла напряжения до входа четырехполюсника, в результа-
результате чего получается зеркальная кривая. Зависимость «/Дг
от xfXi, установленная экспериментально, наносится в том
же масштабе на прозрачную бумагу, которая затем на-
накладывается на семейство расчетных кривых (рис. 27.5) и
путем параллельных сдвигов совмещается с ним. Так как
для определения трансформирующих свойств пассивного
х
h
Рис. 27.6. Кривая сдвига узлов напряже- Л1
ния при небольших трансформациях. Рис 27 7 кривая сдвига узла
напряжения при очень боль-
четырехполюсника достаточно ^°^ИК°| р1зультатеТРвлияиия
трех измерений, его кривая транс- ВСеГда имеющихся активных
формации однозначно опреде- потерь теоретическая кривая
ляется тремя точками. Поэтому С, превращается в кривую Сг.
с помощью прозрачной бумаги,
используя возможно большее число экспериментальных
точек, можно провести кривую, так что она в среднем бу-
будет одинаково хорошо соответствовать этим точкам, и, та-
таким образом, погрешности измерений практически исклю-
исключаются.
Если коэффициент трансформации k близок к единице,
целесообразно вместо зависимости г/Дг от х/Х\ построить
зависимость («/Дг—*Д0 от xfK\, причем масштаб по оси
ординат следует выбрать достаточно большим для того,
чтобы отклонения кривой трансформации от горизонталь-
горизонтальной прямой были видны отчетливее (рис. 27.6). •
При коэффициенте трансформации, стремящемся к бес-
бесконечности, кривая сдвига узла напряжения должна все
больше приближаться к ступенчатой кривой Сь состав-
составленной из отрезков прямой линии {С\ на рис. 27.7 нанесе-
нанесена пунктиром). Однако в результате того, что в действи-
действительности всегда имеются потери, вместо нее при очень
1 По вопросу точного определения измеряемых величии см. так-
также D4].
201
большом k получается кривая Сг, которая при еще боль-
большем значении k превращается в конце концов в прямую,
параллельную оси абсцисс. Объяснение этому явлению бу-
будет дано в § 31.
Доказательство закона трансформации
Отнесенное к точке А (рис. 27.1) сопротивление корот-
короткого замыкания, осуществляемого в точке с координатой х,
согласно уравнению B2.8) должно определяться выраже-
выражением Ri=/Zi tg2nx/ku а соответствующее, полученное в ре-
результате трансформации, сопротивление, отнесенное к точ-
точке В, — выражением R2=/Z2 tg Bяг/Аг) (поскольку в точ-
точке у находится узел напряжения). Согласно уравнению
A1.2) трансформация, осуществляемая четырехполюсни-
четырехполюсником без потерь, расположенным между точками А и В,
выражается соотношением
/aR, + Ь
2~
R, + /d
где коэффициенты а, Ъ, с, d являются действительными
числами. Подставив в него значения Ri и R2. получим
aZ,tg
К
—ь
+d
B7.9)
Выражение для получаемого в результате трансформации
полного сопротивления, отнесенного к точке у0, используя
известную тригонометрическую формулу, можно преобразо-
преобразовать следующим образом:
B7.10)
Подставив уравнение B7.9) в уравнение B7.10), получим
Z,tg-2^kpi[J_==
л2
1 s X, alltx
202
,-c2
X
tg X,
+aZ,
B7.11)
Из уравнения B7.11) следует, что если для у0 или
tg BmjojX2) выбирать всегда действительные значения, удов-
удовлетворяющие равенству
то можно записать следующее:
to- 2"xo b
6 \
aZ.
aZ1-cZlZ1tgBnyJXi)
k = '
t - cZ,Z
где tg^iu:,,/*,) (а следовательно, и х0), а также и ^ долж-
должны быть действительными. После подстановки в уравнение
B7.11) получим
2тсх
2" (У-У.)
Х2
g
2тс (X —
Следовательно, наше утверждение при дополнительном ус-
условии, что k положительно, доказано. Но необходимо вы-
выяснить, будут ли решения уравнения B7.12) всегда дейст-
действительными для любых действительных значений а, Ь, с, d,
Z, и Z2. Из уравнения B7.12) получим
{acZ\ Z2 - bdZt) (tg
Z\ -
Xtg-
acZ\ Z2 = 0,
b') X
203
т. е.
2(bdZl-acZ2lZt)
Y\
B7.13)
Из уравнения B7.13) видно, что, поскольку под корнем
стоят только положительные значения, всегда имеется два
действительных решения для tg Bяг/о/Яг) (а следователь-
следовательно, и для г/о), которые удовлетворяют уравнению B7.12).
Возможность существования • двух решений можно было
предсказать уже при выводе соотношений B7.6).
От математического доказательства того, что множи-
множитель k всегда положителен, можно воздержаться, так как
это непосредственно следует из чисто физических сообра-
соображений: я противном случае четырехполюсник трансформи-
трансформировал бы положительные активные сопротивления в отри-
отрицательные, что противоречит сделанным выше предпо-
предпосылкам.
Теперь остается лишь доказать справедливость соотно-
соотношения B7.7). Точки соприкосновения кривой (рис. 27.2)
с наклоненными под углом в 45° касательными характе-
характеризуются тем, что в них d(y/K2)/d(x/li) = 1.
Из уравнения B7.1) путем дифференцирования полу-
получим
d -f-
kd
т. е.
k cos-
— u.\ 12
2n(x—Xt)
k
ние
Для точки Ху, где d(y/lt)fd(xlX1)=\, получим выраже-
204
== [cos -*H^J=i^.J* + jfe. |"sin
которое после некоторых преобразований принимает вид
Между (JCx —jco)/Ax и а существует, как это видно из
;рис. 27.2, зависимость
к
Таким образом,
Итак, соотношение B7.7) доказано.
Измерение характеристик четырехполюсника
при подключении к его выходу сопротивления, равного
волновому. Их связь с коэффициентом отражения
Трансформирующие свойства четырехполюсника с под-
подключенными к нему линиями можно также установить,
подключая к выходной линии сопротивление, равное волно-
волновому, и определяя полное сопротивление та входе.
В этом случае на зажимах трансформатора Тц должен,
очевидно, иметь место максимум напряжения и поэтому,
исходя из наблюдаемого здесь полного сопротивления &Z2,
можно непосредственно вычислить коэффициент трансфор-
трансформации k четырехполюсника. Таким образом, посредством
одного измерения устанавливается положение входных за-
зажимов Гц линейного трансформатора, а также его коэффи-
коэффициент трансформации. Если четырехполюсник симметри-
симметричен, то пользуясь законом 27.2, можно также определить
исходное положение зажимов трансформатора Т\.
В случае «есимметричного четырехполюсника для опре-
определения точки Т\ следует производить измерения, исполь-
используя обратную схему включения четырехполюсника.
В случае симметричных элементов этот способ скорее
приводит к цели. Однако для точного определения транс-
трансформирующих свойств при этом требуются очень точные
измерительные приборы. В первую очередь необходимо
иметь очень хорошо согласованное оконечное сопротивле-
сопротивление, реализация которого в достаточно широкой полосе
¦ частот связана со значительными трудностями. На
рис. 27.8,а показан один из вариантов коаксиальной, нагру-
нагруженной на свое волновое сопротивление, однородной линии.
205
*)
Рис. 27.8. Согласованные
нагрузки.
Ma конце линии располагается сопротивление в виде riO-
глощающего слоя, равное по величине ее волновому
сопротивлению, а диаметр конусообразного внешнего
проводника к концу линии уменьшается таким образом,
что по мере удаления от конца линии волновое сопро-
сопротивление возрастает по такому ж€ закону, что и ак-
активное поверхностное сопротивление слоя. Сконструиро-
Сконструированная на основании этих соображений нагрузка в дей-
действительности обычно не обладает достаточно хорошим
согласованием. Требуемую степень согласования можно
тем не менее достигнуть, подбирая экспериментально соот-
соответствующие размеры и форму
элементов этой нагрузки. На
рис. 27.8,6 изображена согласо-
согласованная нагрузка для волновода.
Форму клина и свойства погло-
поглощающего материала обычно при-
приходится определять также экспе-
экспериментально.
К измерительной линии
в этом случае также предъявляются очень высокие требо-
требования. Особенно хорошо должен быть согласован генера-
генератор, что достигается введением поглощающего элемента
между генератором и измерительной линией. Метод, осно-
основанный на измерении положения узлов напряжения согласно
рис. 27.1 хотя и является более сложным, однако предъяв-
предъявляет значительно меньшие требования к точности измери-
измерительных приборов и потому более предпочтителен в тех слу-
случаях, когда соответствующие достаточно точные приборы
отсутствуют. Кроме того, метод, основанный на измерении
положения узлов напряжения, является наиболее точным.
Описанный выше метод измерения позволяет опреде-
определять характеристики четырехполюсника по его входному
сопротивлению при подключенной к выходу согласованной
нагрузке. Используя уравнение B2.10), можно рассчитать
коэффициент отражения или ?/С-сопротивление
Если его отнести к плоскости зажимов трансформатора,
то получится
_=zLL
kZ + Z k+l
B7.14)
206
Если точка Тц удалена от входа четырехполюсника на рас-
расстояние I в направлении к генератору, то коэффициент
отражения непосредственно на входе четырехполюсника
будет определяться выражением
-|e/4""X\ B7.15)
Поэтому, в частности, симметричные четырехполюсники
могут характеризоваться не только характеристиками, вы-
вытекающими из закона трансформации, но и коэффициен-
коэффициентом отражения, измеряемым при подключении к линии
волнового сопротивления. Преимущество последнего спо-
способа заключается в том, что коэффициент трансформации k
и расстояние I от зажимов Гц трансформатора до входа
четырехполюсника входят в одно и то же выражение. По-
Поскольку формулы B7.14) и B7.15) очень просты, то прак-
практически безразлично, производятся ли вычисления
с использованием коэффициента отражения или парамет-
параметров закона трансформации.
28. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
ЗАКОНА ТРАНСФОРМАЦИИ
Особые преимущества закона трансформации
Закон трансформации позволяет очень просто и притом
с единой точки зрения рассматривать все четырехполюсни-
четырехполюсники без потерь с подключенными к ним двухпроводными
или 'волноводными линиями любого вида.
Однородный отрезок линии представляет собой транс-
трансформатор с коэффициентом трансформации k=l. Его за-
зажимы Т\ и Гц можно располагать в линии на расстоянии
лАя/2 друг от друга (где
п=0, 1, 2,...). При незначитель-
незначительном изменении параметров ли-
линии (при внесении неоднород-
неоднородности) k становится несколько
больше единицы, при увеличе-
увеличении этой неоднородности k все
время растет, пока, наконец, Рис. 28.1. Диафрагма в волноводе
при полном разрыве оно не с прямоугольным сечением и вол-
станет равным бесконечности. ной Я10. Между точками Г, и
Поэтому оказывается ВОЗМОЖ- Ти диафрагма представляет собой
ным осуществление трансфор-
линейный трансформатор.
207
п
маторов с любым значением k при заданной частоте. Если
путем измерений установлено, например, что данный
коэффициент трансформации меньше требуемого, то сле-
следует лишь каким-либо из известных способов увеличить
неоднородность в линии. В общем случае величина k яв-
является удобной мерой степени сзязи между двумя любыми
последовательно включенными линиями.
0,05а 0,Ш 0,15а 0,20а 0 0,05а 0,10а 0,15а 0,20а
а) Б)
Рис. 28.2. Характеристики закона трансформации И, /,, /2 (получен-
(полученные экспериментально) для диафрагмы в волноводе рис. 28.1 при
различных частотах:
/,:Хд = 1,73о; А = 3,43 а.; {, : ).д = 1,54 а; Л = 2.43 а;
^:Хд=!.67а; Л = 3,03 а5; fs: Хд = 1,48 а; А = 2,20 а;
f, :Хд=!.60а; Л = 2.69 а,: f,: Хд = 1,42 а; Л = 2,31 а.
На рис. 28.1 изображена волноводная линия с введен-
введенной в нее диафрагмой. Такую неоднородность вместе с со-
соответствующими определяемыми экспериментально отрез-
отрезками линий /i и /2, расположенными между ней и точками
7i и Гц, следует рассматривать как трансформатор.
На рис. 28.2 изображены полученные экспериментально
характеристики закона трансформации при различных ча-
частотах в зависимости от глубины погружения с для волн
типа #ю (|рис. 28.1,а). При глубине погружения с=0, k=i,
при с=а/2, т. е. если волновод перекрыт полностью, k, оче-
очевидно, равно бесконечности1.
Способ оценки степени трансформации, исходя из ха-
характеристик закона трансформации, еще раз можно по-
1 Данные, приведенные на рис. 28.1 и 28.2, взяты из неопублико-
неопубликованной работы автора,
208
яснить с помощью рис. 28.3. Предположим, что зажимы
трансформатора находятся в точках 7*1 и Тп подключаемых
линий, что k равно двум, а в точке А схема нагружена на
сопротивление, нормированное значение которого равно fj
Рис. 28.3. Возможное распределение напря-
напряжения в линиях до трансформатора н после
него.
(рис. 28.4). Тогда согласно уже неоднократно описанному
построению диаграммы эллиптического типа в результате
трансформации, осуществляемой отрезком /, включенным
между точками А и 7i, получим полное сопротивление г,,
отнесенное к точке 7i, которое, будучи умножено на k — 2,
даст значение сопротивления г2 в точ-
точке Тц перед четырехполюсником.
Исходя из значений п и г2, можно,
например, без особого труда установить
также распределение относительных зна-
значений напряжения в линиях на входе и
выходе четырехполюсника (рис. 28.3), т.е.
исходя из распределения напряжения на
входе, можно сделать заключение о рас- рис. 28.4. Трансфер-
пределении напряжения на выходе и мация полного со
наоборот. Таким путем можно, напри- противления устрой-
мер, измерять полные сопротивления
в волноводах, если в распоряжении
имеется только коаксиальная измери-
измерительная линия' и предварительно определены характери-
характеристики закона трансформации для соединительного эле-
элемента.
В случае, соответствующем рис. 28.4, использовались
нормированные полные сопротивления. Это позволило при-
ством, изображен-
изображенным на рис. 28.3.
1 В работе, упомянутой в примечании на стр. 208, измерения про-
производились именно этим способом.
14—52
209
менить одну и ту же диаграмму к участкам линии, распо-
расположенным как перед трансформирующим элементом, так
и после него. Можно было бы также производить расчеты,
пользуясь абсолютными значениями полных сопротивле-
сопротивлений. В случае, когда волновые сопротивления различны,
полное сопротивление R,, отнесенное к точке Ти нужно
было бы умножить не на k, а на коэффициент трансформа-
трансформации n2 = ?Z2/Zi.
Применение закона трансформации к согласованию полных
сопротивлений
Предположим, что в линии с подключенной к ней на-
нагрузкой (например, антенной) коэффициент стоячей волны
по напряжению равен k. Тогда с помощью любого транс-
трансформатора с коэффициентом трансформации k сопротивле-
сопротивление нагрузки может быть преобразовано в волновое сопро-
сопротивление линии. Длину линии между нагрузкой и транс-
трансформатором следует выбирать так, чтобы зажимы транс-
трансформатора ?"i на линии располагались точно в узле напря-
напряжения. В этой точке нормированное сопротивление имеет
величину RmsJZ=\fk, которая после умножения на коэф-
коэффициент трансформации k, 'дает значение сопротивления
на входе трансформатора, равное значению волнового со-
сопротивления линии.
Пример. Пусть в волноводе, подобном изображенному
на рис. 28.1, по которому подводится энергия к нагрузке,.
Рис. 28.5. Сопротивление нагрузки, которое в
волноводе, изображенном на рис. 28.1, дает
КСВН=/Умакс/?/мин=2 и может быть согла-
согласовано с помощью диафрагмы. Глубина погру-
погружения с и расстояние от минимума напряже-
напряжения, в данном случае равные соответственно
О,!25 а и 0.40Л, определяются по графикам
рис. 28.2.
2 ГО
Например к антенне, для длины волны Л2 распределение
напряжения соответствует рис. 28.5. Тогда, будучи
трансформированным в точку А, нормированное полное со-
сопротивление антенны будет равно RMvm/Z = 0,5. Это озна-
означает, что для согласования необходим трансформатор
с & = 2. Из рис. 28.2,а видно, что в качестве такого транс-
трансформатора можно использовать двойную диафрагму с глу-
глубиной погружения с=0,125а. Далее, из рис. 28.2,6 следует,
что значению с=0,125а соответствует длина /i=0,403A2.
На этом расстоянии от точки А в направлении к генерато-
генератору должна быть введена в волновод диафрагма (рис. 28.5),
и тогда антенна на данной частоте будет согласована '.
Параллельные и последовательные реактивные
сопротивления как линейные трансформаторы и мера
реактивности
Если в однородную линию включено параллельное или
последовательное реактивное сопротивление, то его вместе
с соответствующими дополнительными отрезками линии
до точек 7i и Тц можно также рассматривать как линейный
трансформатор. При этом, очевидно, что в зависимости от
величины реактивного сопротивления коэффициент транс-
трансформации может принимать любое значение. На основании
сказанного выше сформулируем следующий закон.
Закон 28.1
Для данной частоты каждый линейный трансформатор
можно заменить параллельным или последовательным ре-
реактивным сопротивлением с соответствующими дополни-
дополнительными отрезками подключаемых однородных линий и
наоборот.
1 Прн этом предполагается, что диафрагма расположена достаточ-
достаточно далеко от следующей неоднородности линии, так что высшие типы
волн практически затухают, ие достигая последней. Вместо симметрич-
симметричных двойных диафрагм для согласования можно было бы применить
также несимметричные односторонние диафрагмы. Однако типы воли
высшего порядка, возникающие иа неоднородности, затухают в этом
случае медленнее. Действительно, при использовании односторонней
диафрагмы возбуждается волна типа Я20, а в случае симметричной
диафрагмы—лишь волна типа Язо. Контроль за затуханием паразитных
волн осуществляется с помощью метода измерения, основанного на
теореме трансформации. При измерении всегда имеется возможность
определить, насколько близко короткозамыкатель можно придвинуть
к неоднородности, не вызывая при этом отклонения снятой эксперимен-
экспериментально кривой смещения узла напряжения от теоретической кривой.
14* 211
Tl
JS
к-г,
Рис. 28.6 Параллельные и [последовательные, реак-
реактивные сопротивления, используемые в качестве ли-
линейных трансформаторов.
Расчет характеристик закона трансформации, а также
коэффициента отражения, обусловленных включением па-
параллельного реактивного сопротивления ]'Р (рис. 28.6,а),
можно произвести следующим
образом.
Представим себе линию, на-
нагруженную на свое волновое со-
сопротивление Z. Точки, опреде-
ляющие входное полное сопро-
сопротивление R такой линии, распо-
расположатся в этом случае в ком-
комплексной плоскости на окруж-
окружности, которая проходит через
точку Z и касается мнимой оси
в начале координат. При отобра-
Рис. 28.7. К разъяснению
термина „мера реактивности'. жении на единичный круг соот.
ветствующие значения RE=f бу-
будут располагаться на окружности К, проходящей через точ-
точки 0 и — (рис. 28.7).
Так как треугольник с вершинами в точках —1, RE и
О прямоугольный, то RE или Г можно выразить через
угол ф следующим образом:
Величину ф называют «мерой реактивности» [38], с ее по-
помощью также можно охарактеризовать четырехполюсник.
Если /2 — расстояние от зажимов Тп трансформатора до
включенного параллельно реактивного сопротивления
(рис. 28.6), то из рис. 28.7 нетрудно установить, что
212
Так как R = Z/P/(Z + /P), то получим
— Z
ZjP
и, следовательно,
| Г | = — cos cp= ¦
г + ZjP Z + 2jP
Z 1
Наконец, определим коэффициент трансформации
1Л
Решив последнее уравнение относительно P/Z, получим
B8.1а)
_Р_
Z
Какой нужно взять знак перед корнем и какой выбрать
квадрант для ф, можно определить, воспользовавшись
рис. 28.7.
В случае включенного последовательно сопротивле-
сопротивления jQ точки, определяющие входное полное сопротивление
линии с согласованной нагрузкой, расположатся на окруж-
окружности /С' (рис. 28.7). Преобразования, аналогичные преды-
предыдущим, дают
4тс/'о
I Г | = COS ф = —
Z _Vk
Q '"" k — I *
B8.16)
213
Полученные зависимости изображены на рис. 28.8 и 28.9.
Из формул и рис. 28.7 видно, что последовательному
jQ = Z2ljP и параллельному jP реактивным сопротивлениям
\
10\
A?
Рис. 28.8. Коэффициент^трансформации k для
параллельного и последовательного реактив-
реактивных сопротивлений jP и jQ, изображенных
на рис. 28.6.
эквивалентен один и тот же трансформатор. Однако зажи-
зажимы трансформатора на подключаемых линиях в одном из
этих случаев сдвинуты на четверть длины волны, так как
коэффициент отражения в одном случае равен отрицатель-
Ф
и
21
9,10
W
16]
ОД
«м-
¦<№
¦OAf
г зч51шв г jtssta'
,Ф 1',/Л
0 Ф
26
26
¦0fi5\OJO
32
ЗГ
J6
Л, 38
г 3kb to*
Ш
Рис. 28.9. Длины дополнительных отрезков
линии для трансформаторов, изображенных на
рис. 28.6.
ному значению коэффициента отражения для другого слу-
случая. Поскольку это обстоятельство часто используется на
сверхвысоких частотах, его следует сформулировать в ви-
виде закона.
214
Закон 28.2
Последовательное реактивное сопротивление JQ, вклю-
включенное в однородную линию, можно заменить парал-
параллельным реактивным сопротивлением jP = Z2/jQ и наобо-
наоборот. При этом за эквивалентным сопротивлением и перед
ним необходимо ввести отрезки линий длиной %14.
Представление четырехполюсника в виде параллельно-
параллельного или последовательного реактивного сопротивления целе-
целесообразно тогда, когда приходится иметь дело с наруше-
нарушениями однородности на малом протяжении в направлении
С1
Рис. 28.10. Диафрагмы в волноводе пря-
прямоугольного сечения с волной типа //,„:
индуктивная (а) н емкостная (б). Совме-
Совмещение диафрагм обоих видов дает диаф-
диафрагму в, которой соответствует параллель-
параллельная схема г.
оси линии, поскольку это представление делает понятной
физическую сущность явлений при нарушении однород-
однородности.
Если, например, из характеристик закона трансформа-
трансформации с помощью кривых, изображенных на рисунках 28.8 и
28.9, для прямоугольного волновода и волны типа Н\о рас-
рассчитать соответствующие реактивные сопротивления, то
для диафрагмы, изображенной на рис. 28.10,а, получим
параллельную индуктивность, а для диафрагмы, изобра-
изображенной на рис. 28.10,6, — параллельную емкость1 (отсюда
и термин «мера реактивности»).
Диафрагме в виде окна (рис. 28.10,в) соответствует схе-
схема параллельного включения индуктивности и емкости
(рис. 28.10,г). Такой параллельный колебательный контур
фактически может настраиваться ка определенную часто-
частоту fo, при которой он не вызывает трансформации. Если
1 В американской литературе приводятся также полученные рас-
расчетным путем формулы для параллельного реактивного сопротивления
бесконечно тонких диафрагм. Эти формулы могут быть использованы
гтри расчетах. В случае диафрагм конечной толщины, если желатель-
желательно получить точные данные, необходимы, как и прежде, измерения.
215
построить гиперболу, проходящую через вершины углов
волноводного окна (рис. 28.10,в), то, как показывает опыт,
длина резонансной волны А,д=/о/с будет равна удвоенному
расстоянию *д между двумя ветвями гиперболы [2].
Скачки волнового сопротивления и изменение поперечного
сечения в однородных линиях
В § 24 на примере рис. 24.2 было показано, как можно
оценить трансформацию, обусловленную местом соедине-
соединения линий с различными волновыми сопротивлениями. Как
уже отмечалось, такой способ допустим, если можно пре-
пренебречь явлением неоднородности поля в месте скачка.
В противном случае следует сначала экспериментально
определить трансформирующие свойства перехода, рас-
рассматривая его, например, как линейный трансформатор.
При этом оценку трансформации можно произвести так,
как это показано в § 28 на рис. 28.4.
Для того чтобы, рассматривая области до скачка и за
ним, не иметь дела с различными диаграммами, целесо-
целесообразно при расчетах использовать нормированные полные
сопротивления. Из рис. 24.2 видно, что можно обойтись
одной диаграммой трансформации, если полное сопротив-
сопротивление, отнесенное к месту скачка, умножить на коэффи-
коэффициент Z\[Z2, так как при таком увеличении вторая фикси-
фиксированная точка Z2 совпадает с первой точкой Z\. Это озна-
означает, что место скачка можно рассматривать как транс-
трансформатор с k = Z\[Z2, обе пары зажимов которого Т\ и Тц
совпадают с местом скачка. В случае, когда Zi<Z2, если
необходимо получить &з*1, полагают ? = Z2/Zi, но тогда
согласно § 27 нужно, чтобы зажимы трансформатора на
обеих линиях были удалены от места скачка на четверть
длины волны.
Если в двухпроводной линии, у которой пространство
между проводниками заполнено однородной средой с ди-
диэлектрической постоянной ei и магнитной проницаемостью
' щ, в плоском поперечном сечении осуществляется скачко-
скачкообразный переход к среде с постоянными е2 и (i*
(рис. 28.11,а), то будет иметь место скачок от волнового
сопротивления Z, = |/jJ-1e1-Z0 к Z2 = y\xtet-Z0, причем в
месте скачка искажения поля не будет. Силовые линии рас-
распределяются в обеих средах вплоть до их границы раздела
точно так же, как если бы ее вообще не было. Это означает,
что и на очень коротких волнах место скачка следует рас-
216
сматривать как трансформатор с коэффициентом трансформа-
трансформации
ft = fs=l/"??i. B8.2)
и что зажимы трансформатора непосредственно совпадают
с границей раздела.
Покажем, что подобное утверждение действительно и
для волноводов. Пусть дан волновод с поперечным сече-
сечением произвольной формы (рис. 28.11,6). Предположим,
что однородная среда /, заполняющая часть волновода,
Рис. 28.11. Скачкообразный переход между участ-
участками линии, заполненными различными диэлектрика-
диэлектриками: а — в однородной двухпроводной линии; б —
в волноводе.
расположенную по одну сторону от плоского поперечного
сечения (ближайшую к нагрузке), характеризуется по-
постоянными ei и (ii, а среда по другую сторону от границы
раздела — постоянными е2 и \i2- Тогда в месте скачко-
скачкообразного изменения среды произойдет преломление элек-
электрических и магнитных силовых линий, при рассмотрении
которого воспользуемся прямоугольной системой коорди-
координат с осью z, являющейся одновременно осью волновода.
Составляющие напряженности электрического и магнитно-
магнитного полей в среде / непосредственно на граничной поверхно-
поверхности обозначим через YL'X, E'y, E'z, H^, Н', Н'г и соответству-
соответствующие составляющие на граничной поверхности в среде 2—
It II „ " „ '/ „ Ч .. Ч т,
через Ъх,Ъу , fcz , п^, пу, Hz. Как известно, на границе
двух сред действительны равенства:
B8.3)
Из § 21 следует, что в волноводе с однородным заполне-
217
нием напряженности полей в плоском поперечном сечений
можно представить в следующем виде:
Е, = h(x, у) U, Hx = ft(x, уI,
Ey = f2(x, y)U, ny = ff(x,y)l,
sEz=/3(x, у) I, pH, =/,(*, у) U,
где U и I — напряжение и ток, а функции f(x, у) для дан-
данного сечения, типа волны и частоты зависят только от ко-
координат х, у точек этого сечения. Такое представле-
представление электромагнитного поля с помощью U и I действи-
действительно для обеих сред вплоть до граничной поверхности,
. так как оно при выполнении равенств \i'=\i" и \'=1", т. е.
в отсутствии скачка напряжения и тока (так же как и
в двухпроводной линии) полностью соответствует усло-
условиям 28.3. Это означает, что применительно к самому гра-
граничному слою также можно говорить о полном сопротив-
сопротивлении U7I'=R/=LI/7'/'=R", не проявляющем нерегулярно-
нерегулярности. Нормированное же значение полного сопротивления
изменяется. Для волн типа Н и среды / оно будет равно
а для среды 2
При этом ЯД1 и Явозд. представляют собой длины волн
в двухпроводной линии, заполненной средой / или возду-
воздухом, соответственно; ег, рг, ег, рг—относительные, а ео,
цо—абсолютные диэлектрические и магнитные постоянные.
Таким образом, происходит увеличение нормированных
сопротивлений в
так как вследствие выполнения равенств U/=U// и Г=Г'
в обоих случаях необходимо ввести одну и ту же постоян-
постоянную. Следовательно, место перехода в случае волн типа Н
218
можно рассматривать как трансформатор с коэффи-
коэффициентом трансформации
* = ^-. B8-4)
зажимы Т\ и Гц которого совпадают с местом перехода.
Для волн типа Е нормированные полные сопротивления
будут определяться выражениями:
_ R
Поэтому место перехода в данном случае можно рассмат-
рассматривать как трансформатор с коэффициентом трансфор-
трансформации
B8.5)'
и зажимами, опять-таки непосредственно совпадающими
с местом скачка.
Компенсация отражений от мест крепления, изгибов
и других неоднородностей в передающих линиях
При конструировании трактов из однородных двухпро-
двухпроводных линий часто оказывается необходимым вводить
элементы крепления. Например, размещать между вну-
внутренним и наружным проводниками коаксиальной линии
диэлектрические шайбы. Последние вызывают изменение
волнового сопротивления и вследствие этого нежелатель-
нежелательную трансформацию, если только не приняты специальные
меры. Изменения волнового сопротивления можно избе-
избежать, если, например, соответствующим образом умень-
уменьшить диаметр внутреннего проводника коаксиальной ли-
линии. Однако в месте скачка от большего к меньшему диа-
диаметру возникает нарушение однородности и, следователь-
следовательно, имеет место трансформация. Ее характер также можно
определить методом передвижного короткозамыкающего
поршня (рис. 27.1). Так как при этом приходится иметь
дело с малыми трансформациями, в большинстве случаев
результат измерения изображается в виде кривой с сильно
219
увеличенным масштабом по оси ординат (рис. 27.6). Упо-
Упомянутое выше нарушение однородности имеет очень малую
протяженность в направлении оси линии и поэтому • его
можно рассматривать как параллельное реактивное сопро-
сопротивление. Тем самым сразу же определяются пути его
устранения. Влияние углов внутреннего проводника в ме-
месте скачка аналогично действию небольшой емкости. Ком-
Компенсация достигается посредством того, что внутренний
проводник в диэлектрической шайбе делают еще более тон-
тонким, чем это необходимо для устранения изменения волно-
волнового сопротивления (рис. 28.12,а), или путем постепенного
уменьшения диаметра внутреннего проводника, располо-
расположенного непосредственно перед диэлектрической шайбой
а) 6) в) г)
Рис. 28.12. Неотражающие опоры и переходные участки линии.
(рис. 28.12,6). После нескольких попыток, предпринимае-
предпринимаемых в этом направлении, и измерения каждый раз кривой
смещения узла напряжения можно добиться того, чтобы
соответствующая кривая, аналогичная изображенной на
рис. 27.6, превратилась в прямую, параллельную оси
абсцисс. Это будет свидетельствовать о том, что достигну-
достигнута полная компенсация1.
Сказанное в отношении крепления внутреннего провод-
проводника справедливо, также, например, для перехода от боль-
большего диаметра линии к меньшему или наоборот при по-
постоянном волновом сопротивлении, т. е. при сохранении
отношения радиуса внешнего проводника к радиусу вну-
внутреннего проводника. Компенсацию в этом случае можно
осуществить так, как это показано на рис. 28.12,в. На
рис. 28.12,г показан другой пример компенсации наруше-
нарушения однородности, возникающего в месте изгиба коакси-
коаксиальной линии. В последнем случае компенсация достигает-
достигается тем, что внутренний проводник в месте изгиба делается
более тонким, чем в прямолинейной части линии. С по-
помощью того же описанного выше метода измерений можно
1 Впервые примеры подобного рода были приведены в работе
Мейнке [45].
220
изучить, а затем произвести компенсацию и других неодно-
родностей в переходах, изгибах и так далее в любых одно-
однородных линиях.
Четвертьволновое трансформирующее звено в качестве
линейного трансформатора
В дециметровом диапазоне одним из наиболее извест-
известных трансформирующих элементов, часто применяемых на
практике (например, для согласования антенн с двухпро-
двухпроводными линиями), является отрезок линии длиной %1А, ко-
коротко называемый «четвертьволновым отрезком» (рис. 28.13),
волновое сопротивление которого Z' отлично от волнового
(
:< в t
h
г
!. /t '. a ,;
i—4—1—4
Рис. 28.13. Четвертьвол-
Четвертьволновый трансформирующий
отрезок в качестве линей-
линейного трансформатора.
Ко
I'
Рис. 28.14. Пояснения
к трансформации в слу-
случае, изображенном на
рис. 28.13.
сопротивления остальной линии. Действие его можно пред-
представить следующим образом. Совместим одно из сечений,
ограничивающих четвертьволновый отрезок А с точкой
минимума напряжения. Входное полное сопротивление Ri
в этой точке линии (рис. 28.14) будет активным.
Четвертьволновый отрезок с характеристическим сопротив-
сопротивлением Z' трансформирует /?! вдоль окружности трансформа-
трансформации /Со в значение R2, соответствующее точке В, причем
Если пренебречь искажением поля в местах перехо-
перехода Л и В, то это соотношение будет справедливым для лю-
любого активного сопротивления Ri, подключенного на конце
четвертьволнового отрезка. Поскольку это соотношение
справедливо, по крайней мере, для трех различных сопро-
сопротивлений, оно должно быть верным и в общем случае. Это
означает, что общее уравнение четырехполюсника
221
в случае четвертьволнового отрезка с характеристическим
сопротивлением Z' упростится и превратится в уравнение
B8.6)
R,
a
R7
с положительным действительным коэффициентом а. Со-
Соотношение это можно, разумеется, применить и к норми-
нормированным сопротивлениям
r^RjZ, и r2 = R2/Z2.
В результате получим
причем величина а' положительна и действительна, так же
как и а она может принимать любые значения располо-
расположенные между Оиоо.
Если в качестве граничного сечения четырехполюсника
взять не сечение, совпадающее с местом скачка В, а неко-
некоторое другое сечение С, расположенное на расстоянии
в четверть волны ближе к генератору (рис. 28.13), то со-
сопротивление R2, будучи отнесенным к этому сечению, выра-
выразится следующим образом:
R, = 4-. т. е. R3 = 4,R,
Это означает, что включенный между точками А и С транс-
трансформирующий отрезок действует как линейный трансфор-
трансформатор с коэффициентом трансформации
Z'
B8.8)
Так как k в выражении B8.8) может, очевидно, принимать
любые значения от 0 до оо, из сказанного выше вытекает
следующее обратное положение.
Закон 28.3
Для каждого четырехполюсника без потерь, заключен-
заключенного между однородными линиями, на подключаемых ли-
линиях имеются точки А и В, характеризуемые тем, что
четырехполюсник, расположенный между ними, обладает
222
для соответствующей частоты трансформирующими свой-
свойствами четвертьволнового отрезка с R2= -р- и г2 = —¦, где
а' и а являются положительными действительными по-
постоянными. Положение точек А и В можно определить по
кривой закона трансформации. Одна из этих точек совпа-
совпадает с соответствующими зажимами линейного трансфор-
трансформатора, а вторая удалена от других зажимов трансформа-
трансформатора на расстояние Хл/4.
Соотношение B8.6) аналогично выражению, применяе-
применяемому при переходе от сопротивления к проводимости. Это
обстоятельство имеет определенное значение. Если, напри-
например, известен закон, по которому изменяется переменное
полное сопротивление, отнесенное к некоторой точке ли-
линии, и при этом нужно получить изменение полного сопро-
сопротивления, аналогичное изменению проводимости в этой
точке, то на линии требуется перейти лишь к точке, кото-
которая удалена от первой на четверть длины волны.
В то время как линейный трансформатор, соответствую-
соответствующий симметричному трансформирующему отрезку, несим-
несимметричен в случае эквивалента четвертьволнового отрезка,
как это следует из законов 27.1 и 28.3, вход и выход рас-
расположены симметрично по отношению к середине транс-
трансформирующего отрезка.
Применение закона трансформации при осуществлении
любых наперед заданных сдвигов узлов напряжения
Предположим, что в однородной линии, работающей в
диапазоне прозрачности и оканчивающейся реактивным со-
сопротивлением (рис. 28.15), узел напряжения находится в точ-
точке А. Пусть при изменении сопротивления нагрузки он пе-
переместится в точку В. Предположим далее, что по какой-
либо причине необходимо, чтобы расстояние АВ стало рав-
равным определенной величине, например Ял/4. Путем
включения соответствующего линейного трансформатора
это требование всегда можно удовлетворить. Для этого,
исходя из расстояний АВ и %JA на рис. 27.5, следует вы-
выбрать по кривым также положения точек А и В на оси
абсцисс таким образом, чтобы смещение узла на длину
отрезка АВ (в области за трансформатором) обеспечивало
бы на входе сдвиг, равный Ял/4.
После этого в линию необходимо включить соответ-
соответствующий схемный элемент с найденным значением коэф-
коэффициента трансформации.
223
Пример. На рис. 28.16 изображен волновод с ответвле-
ответвлением, имеющим поперечное сечение, показанное на
рис. 28.1. Такое устройство следует рассматривать как
шестиполюсник, о котором еще будет говориться ниже.
Однако если в ответвление поместить короткозамыкаю-
щий поршень S, то получается снова четырехполюсник,
трансформирующие свойства которого зависят от положе-
положения короткозамыкателя. Для фиксированной частоты су-
существует, как это показано в § 39, такое положение А ко-
рогкозамыкателя, при котором коэффициент трансформа-
В А
i i
Т
О
ЕЭ
тт
fHc. 28.15. Изменение ве-
величины сдвига узла напря-
напряжения (первоначальный
сдвиг от А до В) путем
включения соответствую-
соответствующим образом выбранного
линейного трансформатора.
Рис. 28.16. Влияния поло-
положения короткозамыкаю-
щего поршня в боковой
линии. Разрыв или пере-
передача без отражении между
линиями Z-, и L2 имеют
место при определенных
положениях А и В корот-
козамыкающего поршня в
боковойи линии.
ции k равен 1, т е. имеет ме-
место полная передача энергии,
а также второе положение В,
удаленное от первого, например, на расстояние А,л/4', кото-
которому соответствует & = оо, т. е. полный разрыв между ли-
линиями L} и L2.
Посредством установки короткозамыкающего поршня
в одно из этих двух положений можно, следовательно, осу-
осуществлять соединение или разрыв между линиями L\ и L2.
Такое перемещение поршня не всегда легко выполнить прак-
практически, особенно, если оно должно производиться очень
быстро. Легче производить небольшие смещения узла на-
напряжения в ответвлении, например, путем введения шты-
штырей или диафрагм. Предположим, что в устройстве, изо-
изображенном на рис. 28.17, узел напряжения удается пере-
перемещать между точками А и В, удаленными друг от друга
на расстояние а.
Тогда отрезок аДл следует отложить на оси абсцисс
семейства кривых трансформации (рис. 27.5) и посред-
1 Это расстояние иногда не равно А.д/4.
ством подбора найти такое его положение, при которол1
согласно кривой закона трансформации значению а/Хл бу-
будет соответствовать отрезок длиной 0,25, т. е. А,л/4. Пусть
коэффициент трансформации, определенный этой кривой,
будет k0, тогда с помощью любого линейного трансформа- •
тора с k = k0 смещение а можно преобразовать в Хл/4.
Исходя из выбранного положения отрезка а, на оси абс-
абсцисс (рис. 27.5) можно определить расстояние от линейно-
линейного трансформатора до точек А и В (рис. 28.17). Узлам
напряжения в точках А и В будут соответствовать в обла-
А-
В-
А1-
В'-
-ч-
Рис 28.17. Устройство, в
котором небольшое сме-
смещение узла а с помощью
соответствующего линей-
линейного трансформатора мо-
может быть увеличено так,
Рис. 28.18. Измерение дли-
длины волны путем определе-
определения расстояния от узла до
короткозамкнутого кодца
линии. Точность измерений
тем выше, чем больше
длина линии.
224
сти перед трансформатором узлы
напряжения, расположенные в
что оно вызовет в главной точках А' и В', удаленные друг
линии разрывши передачу от друга на требуемое расстоя-
без отражения. Г ы уз у
ние А,л/4.
Далее следует лишь правиль-
правильно выбрать длину линии до точки разветвления, чтобы по-
получить полную передачу или полный разрыв.
Другим примером является описанный автором пре-
прецизионный волномер {39]. Принцип действия его заклю-
заключается в следующем: короткозамкнутую на конце одно-
однородную линию, работающую в диапазоне прозрачности
(рис. 28.18), можно использовать в качестве волномера,
определяя с помощью зонда расстояние а от узла напря-
напряжения до точки короткого замыкания и учитывая, что
Хл = 2а/п, где п — целое число. Если длина волны изменит-
изменится на величину АХ, то узел напряжения сместится на дли-
длину отрезка Aa=nf2- AK. Это означает, что небольшое изме-
изменение длины волны можно измерить тем точнее, чем боль-
больше п, т. е. чем длиннее линия. То же самое можно полу-
получить с помощью соответствующего линейного трансформа-
трансформатора способом, который поясняется рис. 28.19.
15—52 225
Предположим, что в точке, где находится узел напря-
напряжения короткозамкнутой на конце линии, расположены
зажимы линейного трансформатора Т\ с большим k. При
этом условии зажимы трансформатора Тц также будут
расположены в узле. При небольшом изменении частоты
узел будет перемещаться на величину Да от зажимов
трансформатора Т\, что со стороны зажимов Тц вызовет
примерно в k раз большее смещение узла (k может быть
равно, например, 50), т. е. вызовет практически смещение,
равное kAa, так как при малом из-
изменении частоты k изменится лишь
немного.
С другой стороны, смещение ме-
места короткого замыкания со сторо-
стороны зажимов Тц трансформатора
с большим k слабо отразится на
положении узла в области зажи-
зажимов Т\. Таким образом, оказывается
возможным, например, осуществляя
большие механические смещения,
1
]
Т1
Рис. 28.19. Увеличение
малых, соответствующих
небольшим изменениям ча-
частоты, сдвигов узлов в
волномере, изображенном
щ,
на рис. 28.18, посредст- производить точную подстройку.
В°М В™|™ЙНОГ° Э б
р
Э™ обстоятельство используется
в § 49, рис. 49.4. Устройство,
изображенное на этом рисунке,
можно применять при весьма точных измерениях вме-
вместо обычного короткозамыкающего поршня. В нем перед
собственно короткозамыкателем К располагается транс-
трансформатор, например, металлическое кольцо, помещенное
в коаксиальную линию, не касающееся ни внешнего, ни
внутреннего проводников. Расстояние между этим "кольцом
и местом короткого замыкания можно выбрать так, что не-
небольшое смещение короткозамыкателя К по своему дей-
действию будет эквивалентным в k раз меньшему смещению,
осуществляемому в области перед кольцом (I& — коэффи-
коэффициент трансформации кольца). Устройство, изображенное
на рис. 49.4, выполняется либо так, чтобы кольцо и ко-
роткозамыкатель К передвигались независимо, либо таким
образом, чтобы они были связаны друг с другом, например,
изолирующими опорами (на рис. 49.4 эти опоры заштрихо-
заштрихованы) и передвигались одновременно. В последнем случае
небольшие нарушения контакта (изменения сопротивле-
сопротивления), которые неизбежны в точке короткого замыкания К,
перед кольцом практически не будут наблюдаться. В пер-
первом случае с помощью обоих элементов (кольца и собствен-
226
но короткозамьжателя К) можно сначала получить корот-
короткое замыкание примерно в желаемой точке, а затем по-
посредством перемещения только собственно короткозамыка-
короткозамыкателя произвести точную его установку. Если коэффициент
трансформации кольца предварительно измерить, то таким
путем можно с большой точностью осуществить весьма ма-
малые изменения реактивного сопротивления.
2». ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ТЕХНИКИ
ИЗМЕРЕНИИ В ДИАПАЗОНЕ ДЕЦИМЕТРОВЫХ
И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН
На дециметровых и сантиметровых волнах можно отно-
относительно просто и точно измерять полные сопротивления.
Это дает возможность пассивные элементы схем рассмат-
рассматривать в электрическом отношении с единой точки зрения,
исходя при этом из трансформации полных сопротивлений,
обусловливаемой тем или иным элементом. Трансформа-
Трансформацией полных сопротивлений определяется трансформация
напряжений и токов, а именно их величин и фаз.
Используя закон сохранения энергии принципиально на
самых коротких волнах, можно осуществить измерение
зктивной мощности. Этот вопрос будет рассмотрен в § 30.
При этом, если точное определение ее абсолютного значе-
значения иногда может оказаться затруднительным, относитель-
относительные измерения мощности всегда можно выполнить весьма
точно, а этого в большинстве случаев достаточно.
Если известно полное сопротивление R—R+jX или про-
проводимость l/R = Y=G+/5 и активная мощность N в каком-
либо поперечном сечении, то можно вычислить и другие
электрические величины. При этом эффективное напряже-
напряжение |иЭфф| определяется соотношением
B9.1)
B9.2)
B9.3)
227
i '"эфф i у Q
эффективный ток—соотношением
1эфф1 = 1/-'
а реактивная мощность—выражением
N
Vrg '
15*
Если на более длинных волнах в качестве основных ве-
величин используются напряжение и ток, исходя из которых
вычисляются другие величины, то на дециметровых и сан-
сантиметровых волнах, за небольшим исключением, целесо-
целесообразней иметь дело с активной мощностью или полным
сопротивлением, или с тем и другим вместе. Каждый от-
отдельно взятый элемент схемы обусловливает трансформа-
трансформацию напряжения и тока. Получение любых значений на-
напряжения или тока не представляет затруднений. При этом
только активные потери в элементах схемы при данной
активной мощности определяют их предел.
Даже выпрямленный ток, протекающий через выпрями-
выпрямительную лампу или детектор, часто целесообразнее выра-
выражать в виде зависимости его от подведенной высокочастот-
высокочастотной активной мощности, чем от напряжения [40].
Первая зависимость определяется без особого труда,
например, с помощью измерителя проходящей мощности,
вторая может быть установлена только тогда, когда изве-
известно напряжение на самом детектирующем участке; изме-
измерение же этого напряжения на сверхвысоких частотах
весьма затруднительно. Качество приемника также лучше
всего можно охарактеризовать с помощью активной мощ-
мощности. На очень высоких частотах входное сопротивление
приемника обычно является активным, поскольку путем
соответствующего согласования всегда стремятся к тому,
чтобы вся имеющаяся в наличии мощность поступила в это
сопротивление. На нем автоматически устанавливается ма-
максимальное напряжение.
Хотя значения напряжения и тока на очень высоких
частотах представляют меньший интерес, все же есть слу-
случаи, когда их желательно знать. Это относится, например,
к участкам электродов в лампах или к местам, где при
высоких напряжениях возможны пробои, а при больших
токах—перегорания. Как уже отмечалось, напряжение и
ток можно рассчитать, исходя из измеряемой активной
мощности и полного сопротивления. Если точка, где тре-
требуется определить полное сопротивление, недоступна для
непосредственных измерений, то при соответствующем по-
построении схемы это сопротивление можно представить
в виде нагрузки четырехполюсника. Полное сопротивление
на другом конце его можно измерить. Затем с помощью
характеристик трансформации этого четырехполюсника
определить полное сопротивление в интересующей точке
и, наконец, с учетом найденной путем измерений активной
228
мощности рассчитать искомое напряжение или ток. Из ха-
характеристик трансформации полного сопротивления можно
определить также разность фаз между различными точ-
точками.
30. ИЗМЕРЕНИЕ МОЩНОСТИ
Оконечный измеритель мощности
Активную мощность на сверхвысоких частотах можно
измерить, преобразуя ее в тепло и определяя количество
последнего. В качестве основных элементов таких измери-
измерителей мощности, представляющих собой оконечные нагруз-
нагрузки линий передачи, могут использоваться, например, боло-
болометры — тонкие проводники, в частности, проводники
в лампочках накаливания или полупроводниковые элемен-
элементы (термисторы), электриче-
электрическое сопротивление которых
изменяется в результате нагре-
нагрева их преобразованной в
тепло сверхвысокочастотной
активной мощностью [41].
На рис. 30.1 изображено
одно из устройств подобного
рода. Подлежащая измере-
измерению активная мощность разо-
разогревает тонкую нить лам-
лампочки. Путем использования
мостовой схемы или просто
с помощью постоянного тока
измеряется электрическое сопротивление нити и его изме-
изменение, вызванное нагревом. Цепь постоянного тока отде-
отделена от сверхвысокочастотной цепи соответствующей
емкостью, которая на сверхвысоких частотах представляет
собой короткое замыкание. Изменение сопротивления нити
является мерой поглощаемой ею сверхвысокочастотной
активной мощности. Градуировку можно произвести, пода-
подавая в отсутствие мощности сверхвысоких частот на нить
или полупроводник такую мощность постоянного тока, при
которой изменение сопротивления будет таким же, как и
при подаче измеряемой мощности сверхвысоких частот.
При этом можно считать, что мощность постоянного тока,
которую легко измерить, равна искомой сверхвысокоча-
сверхвысокочастотной активной мощности.
При измерении очень малых мощностей, в частности,
можно поступать следующим образом: термочувствитель-
229
I
Рис. 30.1. Принципиальная схема
оконечного измерителя мощно-
мощности.
ный элемент, на который подается мощность сверхвысоких
частот, включается по постоянному току в мостовую схему
(рис. 30.1), причем последняя балансируется путем изме-
изменения сопротивления R2. В этом случае на термочувстви-
термочувствительный элемент поступает как измеряемая сверхвысоко-
сверхвысокочастотная мощность N
свч>
так и мощность постоянного
тока (/=/2J/?2, причем величина постоянного тока /= изме-
измеряется с помощью прибора, изображенного на рис. 30.1.
Затем подачу высокочастотной мощности прекращают и
путем изменения сопротивления 5 увеличивают постоян-
постоянный ток до такого значения /'=, при котором мост, разба-
лансировавшийся ранее, окажется снова сбалансиро-
сбалансированным.
При этом можно записать
/' 2
СВЧ
и, следовательно,
N
свч
=-г (С-'!>*,.
Что касается измерителя мощности с нитью, которая
нагревается до свечения, то в этом случае мощность мож-
можно, в частности, измерять путем сравнения яркости этой
нити с яркостью нити другой лампочки, накал которой осу-
осуществляется постоянным током. Имеется ряд вариантов
этого метода. На больших мощностях можно воспользо-
воспользоваться также калориметрическим методом.
При измерении мощности предполагается, что распре-
распределение тепла по всему термочувствительному элементу
примерно такое же, каким оно является при подаче по-
постоянного тока во время градуировки, следовательно, точ-
точность измерителя мощности зависит от того, насколько
строго выполняется это предположение. При измерении
мощности с помощью лампочки накаливания погрешности
возникают и вследствие того, что на сверхвысоких часто-
частотах в противоположность постоянному току нагревается
также и стекло. Кроме того, лишь при оченй короткой по
сравнению с длиной волны нити ток высокой частоты по
ее длине будет постоянным.
С помощью описанных выше оконечных измерителей
мощности можно, например, определять максимальную
мощность, отдаваемую передатчиком, для чего измеритель-
измерительный прибор подключается через соответствующие транс-
230
формирующие устройства, отрегулированные таким обра-
образом, чтобы в этот прибор поступала как раз максимальная
мощность.
Высокочастотное входное полное сопротивление изме-
измерителя мощности часто трансформируется в сопротивле-
сопротивление, равное волновому сопротивлению подключаемой ли-
линии. В таком выполнении прибор применяется в качестве
«эквивалента антенны». Он предназначается для определе-
определения мощности, отдаваемой передатчиком в антенну, вход-
входное сопротивление которой согласовано с волновым сопро-
сопротивлением линии.
Измеритель проходящей мощности и напряжения
Оконечные измерители мощности могут применяться
для градуировки измерителей проходящей мощности и на-
напряжения. В качестве последних можно, например, исполь-
использовать измерительную линию.
Если к выходу этой линии подключить измеритель мощ-
мощности, то устройство можно отградуировать и использовать
в качестве абсолютного вольтметра. Для узла или пучно-
пучности напряжения будет выполняться равенство
IUI
IUI
R,,,
C0.1)
где N'— передаваемая по линии активная мощность, вели-
величина которой определяется посредством оконечного изме-
измерителя мощности. Значения /?Макс и /?Мин определяются
с помощью измерительной линии. Используя полученные
данные и выражение C0.1), можно рассчитать эффектив-
эффективное напряжение в пучности |и|Макс и в узле |и|Мин. Если
йатем вместо измерителя выходной мощности подключить
к выходу линии какую-то другую нагрузку, то можно изме-
;;рить /?манс и /?Мин и на основании градуировки определить
Г;абсолютиые значения напряжений |U|MaKc и |Ujмин, по ко-
которым в дальнейшем можно рассчитывать активную мощ-
мощность, поступающую в нагрузку.
Поскольку величина напряжения, снимаемого с зонда
измерительной линии, в большей или меньшей степени за-
зависит от частоты, то необходима градуировка на различ-
различных частотах.
Определять таким образом проходящую мощность и
рассчитывать се из распределения напряжения довольно
231
сложно. Применение фиксированного зонда, расположен-
расположенного в какой-либо точке линии, с непосредственным отсче-
отсчетом величины мощности было бы значительно удобнее.
Такой способ измерений можно осуществить в действитель-
действительности при условии, если линия нагружена на свое волновое
сопротивление Z, так как в этом случае напряжение |U|
вдоль линии остается постоянным. После соответствую-
соответствующей градуировки зонда оказывается возможным непосред-
непосредственный отсчет мощности N'=\\J\2/Z.
Если же нагрузка обусловливает отражения, характе-
характеризуемые коэффициентом отражения Г, то напряжение
в максимуме будет равно ?/падA + |Л)> а в минимуме
^падA—\Г\). Так как входное сопротивление в точке ма-
максимума напряжения равно Z(l + |r|)/(l—|Г|), то мощ-
мощность, передаваемая по линии, будет определяться выраже-
выражением
U2 A л- I Г IW1 — \ Г 0 V2
»Г пад \ г I I/ \ I I/ пад ,,
В то же время, если зонд расположен в максимуме, показа-
показания будут N' = U2naA(l -\-\r\YfZ, а при его размещении в ми-
минимуме W = ?/ A — | Г \Y]Z. Таким образом, возможна сле-
следующая ошибка
*_ \±\Г\
N'
N
Ниже в § 40 исследуются свойства важных элементов схем,
так называемых направленных ответвителей, применение
которых позволяет сделать показания зависящими только
от амплитуды падающей волны ?/пад. Направленный ответ-
витель с успехом может быть использован в качестве
одного из основных элементов измерителя проходящей
мощности. Показания такого измерителя мощности вне
зависимости от его положения будут N"=U^JZ, и ошибка
составит только N"/N='lf(l—|Г|2). Например, при коэф-
коэффициенте отражения Г=0,2, соответствующем коэффи-
коэффициенту стоячей волны k=\\,b, максимальная ошибка в слу-
случае применения направленного ответвителя составляет 4%,
в то время как при использовании обычного зонда она до-
достигает 40%.
232
31. ДОПОЛНЕНИЯ К ИЗМЕРЕНИЮ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ
Измерение очень малых или очень больших сопротивлеяий
с помощью линейного трансформатора
Если измеряемое полное сопротивление по сравнению
с волновым сопротивлением измерительной линии очень
мало или очень велико, то отношение |и|макс/|и|мин весьма
трудно измерить, и расстояние между двумя положениями
зонда, соответствующими, например, двойной величине на-
напряжения в минимуме, тоже очень мало. В этом случае
подлежащее измерению полное сопротивление можно пре-
преобразовать с помощью соответствующего линейного транс-
Рис 31.1. а—способ измерении очень малых и очень
больших значений полного сопротивления с исполь-
использованием линейного трансформатора. Зажимы транс-
трансформатора Г] должны совпадать с плоскостью А
минимума напряжения. При этом условии коэффици-
коэффициент стоячей волны, соответствующий неизвестному
полному сопротивлению, уменьшится в k раз (k —
коэффициент трансформации линейного трансформа-
трансформатора); б—диаграмма трансформации.
форматора в другое сопротивление такой величины, кото-
которую легче измерить [42, 46]. Допустим, что в точке А линии
(рис. 31.1,а) находится минимум напряжения, причем
интересующее нас входное сопротивление гМИн=^мин/2
в этой точке очень мало. Тогда можно подключить линей-
линейный трансформатор с известным коэффициентом трансфор-
трансформации k, зажимы которого Т\ точно совладают с точкой А.
На противоположных зажимах Тц трансформатора будет
иметь место нормированное полное сопротивление &гмин,
которому при достаточно большом значении k соответ-
соответствует значительно меньшее и поэтому легче измеряемое
отношение |и|Макс/|и|мин- Таким способом принципиально
возможно измерение как самых больших, так и самых
малых значений полного сопротивления. Коэффициент
трансформации k целесообразно выбирать не слишком
большим, так чтобы ?гМин было меньше единицы.
233
Весьма важно, чтобы зажимы Т\ точно совпадали с точ-
точкой А минимума напряжения, что вытекает из рис. 31.1,6.
Если это условие выполняется, то сопротивление Лгмт,
измеряемое на зажимах трансформатора Гц, будет
чисто активным, ему будет соответствовать определен-
определенное значение коэффициента стоячей волны. Если это
условие выполняется не совсем точно, то в сечении Т\ бу-
будет наблюдаться отличное от гмин полное сопротивление г,
которое после преобразования в Тц даст значение kr. Со-
Сопротивление kr является комплексным, а его действитель-
действительная часть приблизительно равна
&гМИн. Следует отметить, что соглас-
согласно рис. 31.1,6 сопротивлению kr со-
соответствует большее значение коэф-
коэффициента стоячей волны, чем со-
сопротивлению &Гмин- В случае несов-
несовпадения сечений А и Т\ измерения
/"мяи приводят к меньшим его значе-
значениям. Если расстояние между А и
7"i будет больше некоторого значе-
значения, то величина коэффициента
стоячей волны, соответствующая kr,
может быть даже больше, чем для
значения гМИн-
Соответствующий kr минимум
напряжения уже не будет рас-
располагаться в сечении Гц. При
очень небольших различиях меж-
между г и Гмин он смещается от точки Тц на расстояние
в k раз большее, чем расстояние между точками А
и Т\, так что по положению минимума напряжения,
наблюдаемому со стороны Тц, можно определить правиль-
правильно ли установлен линейный трансформатор. Ошибку, кото-
которая возникает, если минимум напряжения смещается от
плоскости Тц на отрезок а, можно определить, пользуясь
приближенной кривой, изображенной на рис. 31.2. Здесь
по оси абсцисс отложены значения а/%л, а по оси ординат
коэффициент р, указывающий во сколько раз уменьшается
сопротивление &гМин при том или ином несколько отличаю-
отличающемся от нуля значении а. Принципиально безразлично
такой тип линейного трансформатора применяется при
данном способе измерений. В статье, где подробно описы-
описывается этот способ, в качестве линейного трансформатора
для коаксиальной линии используется четвертьволновый
234
Рис. 31.2. Зависимость по-
поправочного коэффициента
р, учитывающего отклоне-
отклонения измеряемого значения
krMnH от действительного,
от расстояния а между
точками 7*j и А.
Рис. 31.3. Устройство, к которому
применим способ измерений, иллю-
иллюстрируемый рис. 31.1.
бтрезок с уменьшенным волновым сопротивлением. При
то.чной оценке погрешности измерений в этом случае необ-
необходимо учитывать и активные потери в трансформирую-
трансформирующем отрезке. Линейным трансформатором, не вызываю-
вызывающим дополнительных активных потерь, является, напри-
например в случае коаксиальной линии, отрезок, лишенный
среднего проводника. При этом посредством изменения
длины такого отрезка можно очень легко варьировать
коэффициентом трансформации.
Если, например, необходимо измерить очень малое пол-
полное сопротивление в волноводе (рис. 31.3) и если имеется
в наличии коаксиальная измерительная линия, то в каче-
качестве трансформатора можно использовать переход от
коаксиальной линии к вол-
волноводу. Чем слабее выби-
выбирается связь, тем больше
будет значение коэффициен-
коэффициента трансформации к.
Рис. 31.3 иллюстрирует
такую возможность в случае
цилиндрического волновода
с волной типа ?Оь Глуби-
Глубина погружения внутренне-
внутреннего проводника коаксиальной линии в волновод определяет
величину коэффициента трансформации k.
Выполнение требования точного совпадения узла на-
напряжения А и зажимов трансформатора Т\ связано с не-
некоторыми трудностями.
Поясним это, обратившись снова к устройству, изобра-
изображенному на рис. 31.3. Зададимся, например, целью изме-
измерить затухание, обусловленное активными потерями, или
постоянную потерь диэлектрической вставки, размещенной
в волноводе. Из-за этих потерь в узле напряжения на вхо-
входе волновода будет иметь место небольшое сопротивле-
сопротивление /-мин.
Как уже отмечалось, минимум напряжения при этом
должен точно совпадать с зажимами трансформатора Tj.
В данном случае это достигается тем, что волновод снаб-
снабжается подвижным короткозамыкающим поршнем, пере-
перемещая который, можно установить узел напряжения
в требуемое положение. Используя тот же короткозамы-
кающий поршень, предварительно следует измерить па-
параметры линейного трансформатора. При очень малых зна-
значениях сопротивления потерь переходное сопротивление
235
в скользящем контакте обусловливает слишком большие
погрешности. Во избежание этого короткозамыкающий
поршень необходимо или очень точно подогнать под разме-
размеры волновода, или запаять. Тогда требуемого положения
узла напряжения можно добиться уже не механическим
смещением, а небольшим изменением частоты. При изме-
изменении частоты приблизительно на 1 % коэффициент транс-
трансформации k, соответствующий определенной связи, прак-
практически остается постоянным, а узел напряжения несколь-
Рис. 31.4. Совмещение точек
Г] и Л рис. 31.1 путем не-
небольшого изменения частоты.
Кривая С1 отражает измене-
изменение сопротивления гтр) а кри-
кривая Сг — минимума на входе
линейного трансформатора в
зависимости от частоты.
Рис. 31.5. Построе-
Построения, позволяющие
установить вид кри-
кривой смещения узла
напряжения С, иа
рис. 27.7.
ко смещается. При этом тре-
требуемая частота определяется,
исходя из того факта, что
ей соответствует наименьшая
величина коэффициента стоячей волны. Определив с по-
помощью измерительной линии сопротивление гт'р в миниму-
минимуме напряжения, в зависимости от частоты получим кри-
кривую С\, изображенную на рис. 31.4. При этом узел напря-
напряжения будет перемещаться соответственно кривой С2.
Кривая С\ по внешнему виду похожа на резонансную
кривую; и, действительно, иапользуя кривые С\ и С2, мож-
можно построить резонансную кривую объемного резонатора.
К этому вопросу мы еще вернемся в § 49.
В дополнение к описанному способу измерения очень
малых значений полного сопротивления следует сделать
пояснения, почему для очень большого коэффициента
трансформации k при использовании метода измерений,
основанного на законе трансформации, получается не сту-
236
пенчатая кривая (рис. 27.7), предопределяемая этим зако-
законом, а кривая С2, которая при дальнейшем увеличении k
постепенно превращается в прямую, параллельную оси
абсцисс.
Причина заключается в наличии всегда имеющихся ак-
активных потерь. Вследствие этого в минимуме напряжения,
расположенном со стороны зажимов трансформатора Т\
(рис. 27.1), полное сопротивление никогда точно не равно
нулю, а имеет конечное значение (гМин будет при этом чи-
чисто активным). Поэтому при смещении короткозамыкающе-
го поршня К точка, соответствующая входному сопротивле-
сопротивлению, отнесенному к сеченшэ Ti, будет перемещаться не
вдоль мнимой оси, а по окружности постоянного рассогла-
рассогласования /Ci (рис. 31.5), проходящей очень близко от мни-
мнимой оси. Очевидно, что при достаточно большом коэффи-
коэффициенте трансформации &гМин может стать S*l, т. е.
Окружность /Сг, получаемая в результате преобразова-
преобразования окружности /Сь при переходе >к зажимам Тц в этом
случае окажется настолько удаленной от начала коорди-
координат, что уже не будет заключать в себе фиксированную
точку однородной линии.
При смещении короткозамыкающего поршня Л'
(рис. 27.1) ' точка, соответствующая сопротивлению kr, от-
отнесенному к сечению Тц, пройдет снизу вверх по части
окружности /Сг (рис. 31.5), которую вследствие больших
размеров последней практически можно рассматривать как
прямую, параллельную мнимой оси. С етомощью окружно-
окружностей постоянной фазы, проходящих через фиксированную
точку /, можно проследить за изменением положения ми-
минимума напряжения во входной линии. При перемещении
по окружности /Сг снизу вверх минимум напряжения сна-
сначала смещается в том же направлении, что и в случае без
потерь, до места, где окружность постоянной фазы К' ка-
касается окружности Кг- После этого начинается обратное
движение минимума напряжения (падающий участок кри-
кривой Сг рис. 27.7) вплоть до точки касания с окружностью
постоянной фазы /С". Как видно из рис. 31.5, в области па-
падающей части кривой С2 (рис. 27.7) напряжение в мини-
минимуме несколько увеличивается. В некоторых случаях
окружность /Сг Орис. 31.5) может проходить через фикси-
фиксированную точку, при этом в линии имеет место чисто бе-
бегущая волна.
В направлении возрастающих значений х.
237
Мостовые Измерений
На сверхвысоких частотах для измерения полных со-
сопротивлений применяются также мостовые схемы [37, 41].
Этот способ удобен прежде всего в том случае, когда
необходимо осуществить сравнение двух полных сопротив-
сопротивлений, т. е. измерить небольшую разность между ними,
а также при контроле согласования в линии. В качестве
мостовых соединений преимущественно применяются на-
направленные ответвители, которые подробнее рассматри-
рассматриваются в § 40. На рис. 40.1 дан пример мостового соеди-
соединения, составленного из отрезков прямоугольного волно-
волновода, по которым могут распространяться только волны
типа #ю. Если линии Lx и L2 нагрузить на одинаковые
полные сопротивления, а через линию Li подать сигнал от
генератора, то вследствие симметрии, о чем подробно го-
говорится в § 40, волна в линии L3 распространяться не бу-
будет. Если в последнюю включить детектор, то он не пока-
покажет наличия высокочастотной мощности в течение всего
времени, пока нагрузочные сопротивления линий Lx и L2
будут равны друг другу. При различных же их значениях
симметрия нарушается и на детектор поступает мощность.
Такое устройство можно использовать, например, при со-
согласовании полных сопротивлений, если к линии L\ или L2
подключить согласованную нагрузку. Согласуемый эле-
элемент следует подключить к противоположной линии и его
полное сопротивление изменять до тех пор, пока не исчез-
исчезнет выпрямленный ток детектора, включенного в линию L^
ГЛАВА III
СЛОЖНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СХЕМ, Bя)-ПОЛЮСНИКИ
ся>2 И ЗАВИСИМОСТЬ ТРАНСФОРМИРУЮЩИХ
СВОЙСТВ ОТ ЧАСТОТЫ
32. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СОВМЕСТНОМ ВКЛЮЧЕНИИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
1 На дециметровых и сантиметровых волнах четырехпо-
четырехполюсники, на которые можно расчленить большинство схем,
включаются преимущественно последовательно (каскадное
включение). Два последовательно включенных четырехпо-
четырехполюсника (рис. 32.1) образуют новый четырехполюсник.
Если известны трансформирующие свойства четырехполюс-
четырехполюсника I, включенного между точками А и В, и четырехпо-
четырехполюсника II, включенного между точками В и С, то без осо-
особого труда можно установить свойства общего четырехпо-
четырехполюсника III, расположенного между точками А и С. Под-
Подключив в точке А некоторое полное сопротивление Ri и
зная свойства четырехполюсника I, можно определить по-
полученное в результате трансформации значение полного
сопротивления R2 в точке 5, а на основании известных
свойств четырехполюсника II—соответствующее значение
R3 в точке С. Такой пересчет, выполненный для трех про-
произвольных оконечных полных сопротивлений Rt', R,", R,'", дает
три значения R3', R3", R3" входного полного сопротивления,
Рис 32.1. Последовательное включение двух
четырехполюсников.
1
опрэделяемого в точке С: Из сказанного ранее следует, что
полученных при этом данных достаточно для построения диа-
диаграммы трансформации схемы из двух последовательно вклю-
включенных четырехполюсников.
Если речь идет о четырехполюсниках без потерь с вы-
выводами в виде линий, то графически, используя кривые за-
закона трансформации отдельных четырехполюсников, мож-
можно найти кривую закона трансформации их последователь-
последовательного соединения. Для произвольного положения «ороткоза-
мыкающего поршня х\, включенного после четырехполюс-
четырехполюсника I, пользуясь кривой этого четырехполюсника, можно
определить положение узла напряжения у\. Для второго
четырехполюсника это эквивалентно короткому замыканию
в точке х2. Пользуясь кривой этого второго четырехполюс-
четырехполюсника, нетрудно установить положение минимума напряже-
напряжения на его входе, определяемое координатой у2. Таким об-
образом, задаваясь тремя положениями короткозамыкающе-
го поршня, расположенного за четырехполюсником I, и
определяя положение соответствующих узлов напряжения
перед четырехполюсником II, можно получить кривую за-
закона трансформации для последовательного включения
двух четырехполюсников.
Во многих случаях из диаграмм трансформации типа
ортогональных семейств отдельных четырехполюсников
можно также непосредственно путем соответствующих гео-
геометрических построений [1] и [9] определить диаграмму
трансформации последовательного включения двух четы-
четырехполюсников.
Такие геометрические построения для одного из про-
простейших случаев показаны на рис. 32.2. При этом оба че-
четырехполюсника относятся к эллиптическому типу. Четы-
Четырехполюснику, расположенному ближе к нагрузке, соот-
соответствует фиксированная точка F\ и угол поворота.cti, дру-
другому четырехполюснику — фиксированная точка F2 и угол
поворота а2. Сначала предположим, что F\ и F2 распола-
располагаются на одной и той же прямой, параллельной действи-
действительной оси.
На рис, 32.2 углы а: и а2 построены таким образом, что
прямой линией, перпендикулярной мнимой оси и проходя-
проходящей через точки F{ и F2, они делятся пополам, а в каче-
качестве сторон этих услов используются окружности постоян-
постоянной фазы, также перпендикулярные мнимой оси.
Из данного построения можно установить следующее:
четырехполюсником, ближайшим к нагрузке, оконечное полное
240
"Сопротивление F3 трансформируется в F3 (/•", и F3 являются
точками пересечения дуг, образующих углы). Они располо-
расположены симметрично относительно прямой Л^г. т- е- на одной
и той же окружности постоянного рассогласования. Четырех-
Четырехполюсник же, расположенный ближе к генератору, трансфор-
трансформирует F3' снова в F3. Отсюда видно, что F3 является фик-
фиксированной точкой результирующего сложного четырехполюс-
т
Рис. 32.3. Элементы диаграммы
трансформации для последова-
тельного включения двух четы-
рехполюсииков. Случай более
общий, чем тот, который показан
на рис 32.2.
Рис. 32.2. Элементы диаграммы
трансформации для последова-
последовательного включения двух четы-
четырехполюсников с фиксированны-
фиксированными точками f, и F2 и углами
предстаТвдяетИсобо^°таСкж^Ичетые- ника- Далее из рисунка вид-
рехполюсник с фиксированной но, каким образом, используя
точкой F3 и углом поворота а3. изображенные на нем дуги,
можно определить угол пово-
поворота а3 сложного четырехполюсника. При повороте относи-
относительно фиксированной точки /•", направление, определяемое
стрелкой st; исходящей из точки F3, изменяется и характе-
характеризуется уже стрелкой s2, исходящей из точки F'3. При транс-
трансформации, обусловленной вторым четырехполюсником, имеет
место переход от направления, определяемого стрелкой s2,
•к направлению, соответствующему стрелке s3, приведенной
из точки F3, так что общий поворот происходит на угол а,
от st к s3, причем величина угла а, равна удвоенной вели-
величине угла, образованного St и дугой FSF2.
На рис. 32.3 показаны геометрические построения для
, двух четырехполюсников эллиптического типа, фиксиро-
фиксированные точки которых уже не лежат больше на одной и
той же прямой, параллельной действительной оси. Вместо
изображенной на рис. 32.2 прямой, проходящей через точ-
16—52 - 241
ки F\ и F2 на рис. 32.3, через эти точки проведена окруж-
окружность К, перпендикулярная мнимой оси. Углы сц и а2 по-
построены таким образом, что окружностью К они делятся
пополам. В результате построений можно получить фикси-
фиксированную точку F3 сложного четырехполюсника. Угол по-
поворота а3, как и ранее, задается стрелками Si и s2, при-
причем аз, как и на рис. 32.3, делится пополам дугой, прохо-
проходящей через точки F2 и Fa- Это утверждение можно дока-
доказать следующим образом. Произведем круговое отображе-
отображение правой полуплоскости самой на себя, при котором,на-
котором,например, положения начала координат и показанной на
рис. 32.3 точки пересечения окружности К с мнимой осью
остаются неизменными, в то время как вторая точка пере-
пересечения окружности К с мнимой осью сдвигается в оо. При
этом, очевидно, произойдет переход от диаграммы рис. 32.3
к диаграмме рис. 32.2.
Если трансформирующие свойства первого четырехпо-
четырехполюсника в общем виде в соответствии с A0.12) выразить
уравнениями:
U2 = U,
ch g' + I,
sh g',
C2.1)
где Zi — волновое сопротивление линии, подключенной на
выходе, Z2 — волновое сопротивление входной линии, g' —
постоянная передачи, а трансформирующие свойства вто-
второго четырехполюсника, включенного перед первым, — ана-
аналогичными уравнениями:
и, =u2
ch g» +12 y%z3 sh g",
C2.2)
то для последовательного включения двух четырехполюс-
четырехполюсников получим:
Это нетрудно проверить подстановкой C2.2) в C2.1).
Если, в частности, речь идет о двух симметричных четы-
четырехполюсниках без потерь с одинаковыми волновыми со-
сопротивлениями Z и постоянными передачи /ai/2 и /а2/2, то
для последовательного включения этих двух четырехпо-
четырехполюсников получим выражения, аналогичные выражениям
в случае однородной передающей линии:
, cos (^+%) + ]Z\ sin (?+?
U3 =
Наряду с последовательным или каскадным включением
четырехполюсников, разумеется, возможны также другие
виды включения, например параллельное, последовательно-
параллельное и т. д.
В этих случаях методы круговой геометрии, которые
применяются в настоящей книге, не дают больших преиму-
преимуществ, и соответствующие задачи целесообразнее решать
или расчетным путем, или путем перехода к Т- или П-об-
разным схемам замещения, используя способы, хорошо из-
известные из других источников. Относительно же мест раз-
разветвлений будет еще идти речь при рассмотрении Bл)-
полюсников с п>2.
33. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
ТРАНСФОРМАТОРОВ
На рис. 33.1 показаны два последовательно включенных
четырехполюсника без потерь V, и V2, к которым приме-
Г.кг
'ж 'ж
i f
j L
I
Рис. 33.1. Последовательное включение двух линей-
линейных трансформаторов (четырехполюсников без по-
потерь с выводами в виде линий) с зажимами Т[1^ ,
Т$ и Tf\ JTJj' и коэффициентами трансформации
kv k2, образующее новый линейный трансформатор
с зажимами 7"j и Гц и коэффициентом трансформа-
трансформации К.
16*
243
ним закон трансформации и которым соответствуют коэф-
коэффициенты трансформации kt^l и ?а>1. Четырехполюсники
изображены так, что зажимы трансформаторов Уп" и Т^
(с ббльшими значениями нормированных сопротивлений) об-
обращены друг к другу, что можно установить в частности,
из приведенных на рис. 33.1 выражений для коэффициентов
трансформации. Зажимы трансформаторов расположены на
расстояниях Xq\ y'^ и jc@2), y^ от четырехполюсников
V, и V3 соответственно. Расстояние между зажимами Т^
и Т1^ равно а. Произвольно выбранное, подключенное в точ-
точке с координатой х^ нормированное полное сопротивление
•'i=Ri/.Z1 в точке с координатой у1^ представляет как бы
полное сопротивление 6r1 = R2/Za, а любое нормированное
полное сопротивление г'2 = Rg /Za, включенное в точке с ко-
координатой у™, трансформируется в точку ;с@2) в сопротивле-
ние r^/zfej^Rj/Zj.
К последовательному включению четырехполюсников
Vi и V2, очевидно, также применим закон трансформации.
Поэтому координата Хо (или, другими словами, положение
зажимов Ti, характеризуемое расстоянием хо), а также
координата уо выбираются таким образом, чтобы четырех-
четырехполюсник, рааположен'ный между точками, определяемыми
этими координатами, обладал свойствами идеального
трансформатора, т. е. чтобы любое нормированное полное
сопротивление r=R/Zi, подключенное в точке с координа-
координатой х0, в точке с координатой у0 принимало значение Кг —
= RTp./Z3.
Длины отрезков линий х0 и ув, а также коэффициент
трансформации К можно рассчитать, если известны вели-
величины x(q\ xf\ klt kz и расстояние а между обоими линей-
линейными трансформаторами [43].
Если а = 0, любое нормированное полное сопротивле-
сопротивление г, подключенное в х^\ в точку у^^у™ трансформи-
трансформируется в сопротивление ktr, а последнее—в точке xf пред-
представляется в виде сопротивления кхг\кг. Если, в частности,
k1 = k2 = k, то будет иметь место равенство ktrjk2=^r. Это
означает, что при последовательном включении двух линей-
линейных трансформаторов в этом случае образуется новый линей-
244
ный трансформатор, расположенный между точками х^ и
х(*> с коэффициентом трансформации /С=1.
Пример. Трансформирующее действие включенной в ли-
линию неоднородности, которую следует рассматривать как
линейный трансформатор, на определенной частоте можно
всегда скомпенсировать, включая в линию после этой не-
неоднородности вторую точно такую же неоднородность (или
Рис. 33.3. Пример
взаимной компенса-
компенсации отражений от
двух одинаковых не-
однородностей в од-
однородной линии.
Рис. 33.2 Неотражающее
соединение двух одинако-
одинаковых уголков, расположен-
расположенных друг от друга на со-
соответствующем расстоянии
(длина отрезка а рис. 33.1
равна нулю).
какую-либо другую неодно-
неоднородность с тем же самым
значением коэффициента
трансформации), и именно
таким образом, чтобы дли-
длина отрезка а, обозначен-
обозначенного на рис. 33.1, была
равна нулю или величине, кратной Ял/2 [43]. Соответ-
Соответствующий пример приводится на рис. 33.2. Вместо одного
изгиба под углом 90° в случае, показанном на этом ри-
рисунке, используются два уголковых соединения в 45° каж-
каждое. Эти соединения всегда можно разместить на таком рас-
расстоянии друг от друга, что на какой-то одной произволь-
произвольно выбранной частоте они не будут обусловливать транс-
трансформации, другими словами, при включении после этих
уголков согласованной нагрузки в линии, расположенной
перед ними, имеет место режим бегущей волны '. Другой
пример приведен на рис. 33.3, где в волновод, в котором
может существовать только один тип волны, встраивается
отрезок линии с меньшим поперечным сечением, при этом
предполагается, что волновод с меньшим поперечным сече-
сечением также не является запредельным. Относительно одно-
1 Смотри [43]. Имеется возможность создания неотражающих вол-
новодных уголковых соединений такого вида [2]. Так как высшие типы
еолн в этом случае затухают медленнее, то точное расстояние между
уголками следует определять путем измерений.
245
родных Двухпроводных линий известно, что отрезок иного
поперечного сечения, т. е. имеющий иное волновое сопро-
сопротивление, только тогда не обусловливает трансформации,
Когда его длина равна Ал/2.
В местах изменения поперечных сечений волноводов
обычно имеет место настолько сильное искажение поля,
что и при длине Ал/2 наблюдается трансформация. Однако
приведенные выше рассуждения дают основание утверж-
утверждать, что для волновода с более узким поперечным сече-
сечением все-таки можно найти такую длину, при которой на
данной произвольно выбранной частоте трансформации не
будет.
Можно также рассмотреть случай последовательного
включения двух линейных трансформаторов (четырехпо-
(четырехполюсников), когда расстояние между этими линейными
трансформаторами (рис. 33.1) определяется равенством
а = Я,л/4. При этом важно отметить, что вместо зажимов
линейного трансформатора V2, определяемых координатами
jc@2), yf, можно выбрать зажимы, удаленные от первоначаль-
первоначальных на Я /4. Правда, в этом случае зажимы трансформа-
трансформатора Tf\ соответствующие меньшему значению нормирован-
нормированного полного сопротивления, будут лежать после четырех-
четырехполюсника, а зажимы трансформатора Tf* с большим значе-
значением нормированного сопротивления — перед ним, т. е. пол-
полное сопротивление, измеряемое в точке у^\ при переходе к
точке, удаленной от х*02) на Яд/4, трансформируется в сопро-
сопротивление k2r'. Нормированное полное сопротивление г, под-
подключенное в точке Xq\ для точки у^ дает значение ktv, и,
следовательно, в точке Ти, расположенной перед четырех-
четырехполюсником V2 и удаленной от 7\B) на Ял/4, нормированное
полное сопротивление окажется равным kjkxr. Таким образом,
имеем K=k1ki. Зажимы трансформатора 7^ совпадают с за-
зажимами Tf\ а Тп удалены от Т® на XJ4.
Следовательно, варьируя расстоянием а (рис. 33.1),
можно изменять коэффициент трансформации К в преде-
пределах ОТ k\[k2 ДО &1&2-
Для любого расстояния а, используя закон трансфор-
трансформации, также можно рассчитать характеристики последо-
последовательного включения двух линейных трансформаторов.
Ограничимся лишь тем, что приведем результаты, полу-
246
ченные для частного случая ki=k2=k. Если длины от-
отрезков линии бис определяют положения зажимов Ти и 7*i
трансформатора, соответствующего последовательному
включению, относительно зажимов Tf* и Т^\ как это показа-
показано на рис. 33.1, то
0J7
0,33
0,23
0,25
0,21'
йЛ\
0,13
2k
tgBr.a/X2)tgBn6A3) •
f
1
V/
&
\
А
\ /
7
\
/
_-^
i
—
.с
Oft
0,08
Oflh
О
•0.0k
-0Р8
О 0,10 0,Z0 ЦЗп OfiO 0,50
-од
C3.1)
C3.2)
Рис. 33.4. Кривые для определения пОло-
жеиия зажимов трансформатора, образую-
образующегося при последовательном включении
двух лииейиых трансформаторов (рис. 33.1)
при kx = k2 = k.
Соотношения C3.1) и C3.2) (последнее в виде зависимо-
зависимости Kfk2 от аДл) изображены графически на рис. 33.4 и
33.5 с коэффициентом трансформации К в качестве пара-
параметра. Под Ял подразумевается длина волны в том или
ином выбранном отрезке линии. Следует заметить,, что при
Сч. [43].
347
значениях аДл<0 или а/Ял>0,5 кривые, изображенные 'на
рис. 33.5, периодически повторяются; кривые, изображен-
изображенные на рис 33.4, .продолжаясь в обе стороны, также повто-
повторяются периодически. При к—к» кривая K/k2 совпадает
с графиком, изображающим квадрат синуса.
0,10 0,20 0,30 й/Ш 0,50
Рис. 33.5. Коэффициент трансформации К
последовательного включения двух линей-
линейных трансформаторов (рис. 33.1) ^при
^^ k
При интерполяции, т. е. определении значений, не ле-
лежащих на графиках, следует учитывать, что для а/Ал = 0
и адл=0,5 значения ординат точек кривых, изображенных
на рис. 33.5, равны \/k2, и что соответствующие значения
величины d, указанной на рис. 33.4, можно взять из
рис. 33.6'. Кроме того, следует также иметь в виду, что
семейство кривых, изображенное на рис. 33.4, геометри-
геометрически подобно семейству кривых закона трансформации
(рис. 27.5), при этом, однако, одному и тому же значе-
значению k соответствуют различные кривые.
Ниже при рассмотрении фильтров (§ 45) отмечается,
что соотношения C3.1) и C3.2) представляют особый ин-
1 Необходимую для построения кривой рис. 33.6 зависимость
2k [ ° g \ 4 а 2 /J
получим из выражения B7.7) посредством сравнения C3.1) и B7.8).
248
герес, в частности, при значениях а/Ял < 0,125. В этом слу-
случае можно сделать замену tg (йяаДг) = 2яа/Я2 и, кроме
того,
7
5
k
3
г
ю
7
5
4
3
г
/
н
-^-—
У
0 0,05 OJ0 0.15
0,15 0,30
d
Рис. 33.6. Вспомогательная кривая для
определения промежуточных значений k
на рис. 33.4.
Далее можно записать tgBn6/A,3) = 1+е, где е —малая ве-
величина, стремящаяся к нулю при а, стремящемся к нулю.
После подстановки в C3.2), получим
ir
откуда, пренебрегая малыми величинами высшего поряд-
порядка, можно получить
Применение графиков, изображенных на рис. 33.4 и ЗЗ.о,
подробнее поясняется на конкретном примере, приведен-
приведенном в следующем разделе.
249
Рис. 34.1. Диэлектрическая
вставка, представляющая
собой устройство из двух
последовательно включен-
включенных линейных трансформа-
трансформаторов. Ее трансформирую-
трансформирующие свойства легко опре-
определить с помощью кривых
рис. 33.4 и 33.5.
U. ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ПЛОСКИХ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВСТАВОК И ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ
С ОТЛИЧАЮЩИМСЯ ВОЛНОВЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Плоские диэлектрические вставки (рис. 34.1) и отрезки
линии с волновым сопротивлением, отличным от волнового
сопротивления остальной линии (рис. 34.2), в однородных
двухпроводных или волноводных
линиях (в диапазоне прозрачности)
можно рассматривать как последо-
последовательное включение двух четырех-
четырехполюсников, обсуждавшееся в пре-
предыдущем параграфе. Места перехо-
перехода, ограничивающие с обеих сторон
такие устройства, являются отдель-
отдельными четырехполюсниками с одина-
одинаковыми коэффициентами трансфор-
трансформации.
В случае диэлектрических вста-
вставок в двухпроводных линиях и вол-
волноводах и при сравнительно неболь-
небольших скачкообразных изменениях поперечного сечения
в двухпроводных линиях характеристики трансформации
отдельного перехода можно определить расчетным путем
так, как это изложено в § 28. При более же сильных изме-
изменениях поперечного сечения и, в частности, в случае волно-
волноводов, характеристики отдельного
перехода можно измерить по мето-
методу, основанному на законе транс-
трансформации, а затем, пользуясь полу-
полученными результатами, определить
свойства последовательного вклю-
включения двух линейных трансформа-
трансформаторов.
Пусть волновое сопротивление
исходной однородной линии рав-
равно Zo, а волновое сопротивление ли-
линии, заполненной другим диэлектри-
диэлектриком или обладающей другим попе-
поперечным сечением Z\. В рассматриваемых случаях, напри-
например в случае плоской однородной вставки, место перехода
будет являться линейным трансформатором с коэффициен-
коэффициентом трансформации k = ZofZi, зажимы которого будут рас-
располагаться непосредственно в месте скачка волнового со-
сопротивления. В случае однородной двухпроводной линии,
250
7-Q I-
Z,
Рис. 34.2. Отрезок линии
с волновым сопротивлени-
сопротивлением, отличающимся от вол-
волнового сопротивления ос-
остальной линии. Это устрой-
устройство эквивалентно схеме,
показанной на рнс. 33.1.
в которую встроена плоская диэлектрическая вставка, вол-
волновое сопротивление для участка с диэлектриком Zx=
=Zofver> гДе ?г — относительная диэлектрическая постоян-
постоянная. Толщина вставки а является ничем иным как рас-
расстоянием а (рис. 33.1) между линейными трансформатора-
трансформаторами. Если, например, в однородную двухпроводную линию
встроена тролитуловая вставка (ic er=2,5) толщиной а =
= 1 см, то коэффициент трансформации отдельного пере-
перехода ?=1/2,5=1,58. Поэтому на рис. 33.4 и 33.5 не-
необходимо отыскать кривые с параметром ? = 1,58. Пусть
длина волны в двухпроводной линии с воздушным запол-
заполнением равна 12 см. Тогда длина волны в линии, заклю-
заключающей троли-туловую вставку, окажется равной Я,/Уе=
=7,6 'см. Таким образом, значение абсциссы на рис. 33.4
и 33.5 следует выбрать равным 1/7,6=0,132. Этому значе-
значению согласно рис. 33.5 соответствует величина /С/?2=0,80,
т. е. /(=0,8 • ?2 = 2,0. Таким образом, тролитуловая вставка
представляет собой линейный трансформатор с коэффи-
коэффициентом трансформации /С=2,0. Положение входных и вы-
выходных зажимов этого трансформатора определяется по
кривым рис. 33.4, согласно которым с/А=—0,055 и Ь/К=
=0,195. Это означает, что зажимы трансформатора Ti
с меньшим значением нормированного полного сопротив-
сопротивления удалены от тролитуловой вставки на расстояние
0,055А=0,65 см, а зажимы Гц трансформатора с большим
значением полного сопротивления удалены от другого
края этой втулки на расстояние @,50—0,195) К=3,65 см. 1
В качестве второго примера рассмотрим тролитуловую
вставку толщиной d= 1 см, расположенную в круглом вол-
волноводе с радиусом 4,2 см, по которому распространяется
волна типа Е0\ на частоте, соответствующей Я=10 см.2
Прежде всего найдем длину волны в волноводе, заполнен-
заполненном воздухом
л —
возд
ю
2,405-1
.=24,5 см
1 Так как зажимы трансформатора не могут лежать в пределах
тролнтуловой вставки, то отсчетиую точку необходимо сместить иа Х/2.
2 Как и ранее, К — длина волиы в двухпроводной линии с воздуш-
воздушным заполнением.
251
и длину волны в тролитуловой вставке
6,34
трол
2,405-6,34
2п-4,2
= 7,75 см.
Затем, определим коэффициент трансформации перехода
«воздух — тролитул»
k = Zl=s Авмд =ТМ-
В данном случае получается значение k меньше 1. Эго
означает, что вблизи от пограничного слоя «тролитул —
воздух» на этот раз относительная величина сопротивле-
сопротивления нагрузки для линии с воздухом больше, чем для ли-
линии с^тролитулом, так как предполагается, что диэлектри-
диэлектрической вставке соответствует большее волновое сопротив-
сопротивление. Для того чтобы и в этом случае можно было вос-
воспользоваться кривыми рис. 33.4 и 33.5, предположим, что
зажимы трансформаторов располагаются не непосредст-
непосредственно на границе, разделяющей диэлектрики, а в местах,
удаленных от нее на Ял/4, чему соответствует ?=1,26. Рас-
Расстояние а (рис. 33.1) между соответствующими зажимами
трансформаторов Т^ и Т™ будет равно a — d — 2дтрол/4. Так
как добавление отрезка длиной XJ2 не влияет на характер
трансформации, в качестве значения абсциссы искомой точки
на рис. 33.4 и 33.5 можно выбрать
Кривая, соответствующая значению 6 = 1,26 на рис. 33.5,
пересекает ось ординат в точке /С/?2='1/1,262=0,63. Полу-
Полученный результат позволяет без особого труда осуществить
интерполяцию.
Используя полученную при интерполяции кривую и зна-
значение абсциссы а/Ял = 0,129, найдем ^ — 0,88, откуда К —
= 0,88 ¦ 1,26а = 1,40. Тролитуловая вставка, таким образом,
представляет собой линейный трансформатор с коэффициен-
коэффициентом трансформации /С= 1,40.
Чтобы определить положения зажимов трансформато-
трансформатора, пользуясь рис. 33.4, найдем 6/ЛВОзд=0,191 и ?/ЛВозД--=
= —0,059. Принимая во внимание, что в данном случае
252
зажимы трансформаторов, соответствующих отдельно
взятым переходам «воздух—тролитул», необходимо выби-
выбирать удаленными от мест разрыва на ЛВОзд/4, определим
расстояние от зажимов Ti трансформатора с меньшим зна-
значением приведенного полного сопротивления до края тро-
литуловой вставки
@,25 +0,059) Лвозд= 7,55 см.
Расстояние от зажимов Тц до другого края этой вставки
будет равно
7,55 —Л /4 = 1,45 см.
' возд' '
В рассмотренном случае волновое сопротивление отрез-
отрезка линии, содержавшего тролитул, было больше, чем у ли-
линии, заполненной воздухом. Нетрудно заметить, что при
повышении частоты для одного и того же волновода раз-
разница в волновых сопротивлениях отрезка линии, заполнен-
заполненного тролитулом, и отрезка линии с воздушным заполне-
заполнением уменьшается, а затем соотношение изменяется на
обратное. На определенной частоте вообще не имеется ни-
никакого различия в волновых сопротивлениях, и тролитуло-
вая вставка не вызывает никакой трансформации.
В качестве третьего примера рассмотрим коаксиаль-
коаксиальную линию, внутренний проводник которой на длине, рав-
равной 4 см, несколько утолщен. Предположим, что исходная
линия имеет отношение радиусов проводников rjri = 3,5 и,
следовательно, волновое сопротивление Zo=75 ом. Пусть
в области, где внутренний проводник утолщен, отношение
радиусов будет ra/ri = 1,5 и, следовательно, волновое сопро-
сопротивление Zi = 24,3 ома. Коэффициент трансформации от-
отдельного перехода, являющийся параметром для кривых
рис. 33.4 и 33.5, таким образом, окажется равным k =
=Z0/Zi=3,l. Предположим, что в этом случае длина вол-
волны Я=30 см. В качестве значения абсциссы искомых то-
точек кривых на рис. 33.4 и 33.5, следовательно, необходимо
взять 4/30=0,133, чему соответствует /С/&2=0,63 и с/Х=
= —0,038. Итак, отрезок линии с утолщенным внутренним
проводником представляет собой трансформатор с коэф-
коэффициентом трансформации /С=6,0. Зажимы Т\ этого транс-
трансформатора находятся на расстоянии, равном 0,038-Я=
= 1,14 см, а зажимы Гц с большим значением нормирован-
нормированного полного сопротивления—на расстоянии @,25 +
+0,038)^=8,64 см от соответствующих мест скачка диа-
диаметра внутреннего проводника.
253
Из рис. 33.5 можно установить следующее. При возра-
возрастании длины отрезка линии с отличающимся волновым
сопротивлением коэффициент трансформации К увеличи-
увеличивается (от 1 до K=k2= (Zo/ZiJ при длине, равной Ял/4).
При дальнейшем увеличении длины этого отрезка К умень-
уменьшается снова до тех пор, пока при длине, равной Ял/2, он
не станет опять равным 1. В случае более длинных отрез-
отрезков линии, из которых можно изъять отрезки, кратные
Ал/2, наблюдается та же периодичность. Таким же обра-
образом, как и возрастание длины линии трансформирующего
участка при неизменной длине последнего, сказывается
уменьшение длины волны.
35. ПРИМЕНЕНИЕ ПЛОСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВСТАВОК
ИЛИ ОТРЕЗКОВ ЛИНИИ С РАЗЛИЧНЫМ ВОЛНОВЫМ
СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Применение диэлектрических вставок в качестве
трансформаторов
С помощью кривых, приведенных на рис. 33.4 и 33.5 не-
нетрудно рассчитать, а затем и создать трансформирующие
элементы, которые могут быть использованы для целей
согласования и компенсации
нежелательных трансформа-
трансформаций в линии. Для этого, напри-
например, можно рекомендовать тро-
литуловые вставки, учитывая,
что их изготовление несложно.
Кроме того, во время регули-
регулировки их можно без труда пе-
перемещать вдоль линии. При
определении правильного по-
положения тролитуловых вста-
вставок большую помощь может
оказать семейство кривых, изо-
енное на рис. 33.5.
В качестве примера рас-
рассмотрим линию '1, в которой
вследствие несовершенного согласования или из-за нали-
наличия нежелательных трансформаций имеет место коэффи-
коэффициент стоячей волны по напряжению k=2. В этом случае
посредством применения тролитуловой вставки (ег=2,5)
Рис. 35.1. Расчет диэлектрической
постоянной материала вставки с
помощью кривых рис. 33.4 и 33.5.
254
1 Двухпроводная линия (см. первый пример, приведенный в § 34).
'толщиной 0,132 ХТрол в линий легко обеспечить режим бе'
|»гущей волны. Если вставка в линии установлена не совсем
[правильно (это может быть, например, тогда, когда истин-
'ное положение ее трудно определить), то в линии устано-
установится режим, характеризуемый коэффициентом стоячей
волны по напряжению, равным, например, 6=1,2. Предпо-
Предположим, что толщина вставки выбрана правильно, тогда
с помощью кривых рис. 33.5 можно определить величину
сдвига этой вставки относительно положения, соответствую-
соответствующего полному согласованию. Данное устройство рассма-
рассматривается как последовательное включение двух линей-
линейных трансформаторов с k = 2 (ггак как коэффициент стоя-
стоячей волны k = 2 может быть обусловлен каждым из этих
линейных трансформаторов). Коэффициент трансформа-
трансформации К всего устройства в этом случае можно определить
по кривой с параметром k = 2, изображенной на рис. 33.5.
Предположим, что в результате измерения получено
значение коэффициента стоячей волны, равное 1,2, что со-
соответствует К, также равному 1,2. В этом случае по оси
ординат рис. 33.5 следует отложить величину K/k2 =
=1,2/22=0,3 (что для параметра k = 2 дает значение
абсциссы, равное 0,02). Таким образом, ошибка в располо-
расположении вставки составляет 0,02Я. В какую сторону необхо-
необходимо произвести смещение, чтобы получить полное согла-
согласование, легко определить' экспериментально. Если рас-
рассогласование наблюдается при смещении вставки в обеих
направлениях, необходимо уточнить толщину вставки, так
как при ее определении могла вкрасться ошибка, вызван-
вызванная, например, небольшим отклонением величины диэлек-
диэлектрической постоянной от номинальной.
[Применение диэлектрических вставок при измерении
диэлектрической постоянной или магнитной проницаемости'
С помощью метода измерений, основанного на законе
трансформации, и кривых рис. 33.4 и 33.5 можно также
достаточно точно определить диэлектрическую постоянную
или магнитную проницаемость материала, используя для
этой цели плоскую вставку, расположенную в однородной
двухпроводной или волноводной линии.
1 Вопрос измерения диэлектрической постоянной и магнитной про-
проницаемости материала здесь рассматривается очень кратко. Подробно
ои изложен в [47 и 41].
255-
Пусть на частоте, соответствующей А=10 см, для ди-
диэлектрической вставки толщиной 1 см в двухпроводной ли-
линии1, измерен коэффициент трансформации /С=1,20. Исхо-
Исходя из приведенных данных, найдем диэлектрическую
постоянную материала. Ее действительное значение можно
получить путем подбора по графикам, изображенным на
рис. 33.5. Предположим сначала, что ег=1,52. В этом слу-
случае длина волны в линии, заполненной диэлектриком,
Ял = 10/1,5 = 6,67 см, а толщина вставки, т. е. значение
абсциссы точки, определяемой из рис. 33.5, составляет
1/6,67=0,15 Ал. Исходя из этого, для значения параметра
?=1,5, пользуясь рис. 33.5, найдем значение /(Д2=0,86,
откуда получим /С=1,94. Очевидно, что данное значение ег
слишком велико. Произведем вторую попытку, полагая
теперь, что ег= 1,22. Способом, аналогичным описанному
выше, используя рис. 33.5, найдем величину K/k2. Она ока-
оказывается равной 0,895, откуда /С= 1,29. Используя оба
найденные опытным путем значения ег и соответствующие
им К и учитывая, что при ег=1/С также равно 1, построим
соответствующую кривую, изображенную на рис. 35.1.
С помощью этой кривой нетрудно установить, что получен-
полученному ранее путем измерений значению /С=1,2 соответ-
соответствует значение ег= 1,3.
Аналогичные измерения можно произвести, используя
вместо двухпроводной линии волновод, по которому рас-
распространяется волна типа Е или Н. При этом отпадает
необходимость высверливания вставки, что обычно являет-
является неудобным. Таким же способом, как и при определении
диэлектрической постоянной, можно измерить магнитную
проницаемость. Если диэлектрическая постоянная и маг-
магнитная проницаемость отличны от единицы, то изме-
измерения несколько усложняются. Однако, учитывая различия
в свойствах волн типов Е и Я в волноводах и используя
в данном случае дополнительно кривые рис. 33.4, можно
измерить обе упомянутые выше величины.
36. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О Bл )-ПОЛЮСНИКАХ с Л >2
Если четырехполюсники соединяются не последователь-
последовательно, а как-то по-другому, появляются разветвления. Вблизи
их будет наблюдаться искажение электромагнитного поля,
пренебречь которым на сверхвысоких частотах уже нельзя.
1 Величина ^С при этом берется произвольно, так как в данном
случае речь идет только о том, чтобы изложить принцип.
256
Это обстоятельство требует специального Исследования са-
самого разветвления, которое, по сути дела, можно рассмат-
рассматривать как шести- или восьмиполюсник или Bл)-полюсник
с еще большим значением п. Рассмотрим сначала некото-
некоторые общие свойства таких схем.
Если через Ub U?, U3... обозначить напряжения, а через
Ii, I2, I3 — —токи на входных зажимах линий I, II, III ..., то,
исходя из общих законов электромагнетизма, можно пока-
показать, что для линейных пассивных Bл)-полюсников всегда
выполняются соотношения следующего вида:
U, = w11l1 -f w12\2
Wnnln-
C6.1)
Для постоянной частоты коэффициенты, входящие в эти
выражения, являются постоянными комплексными числа-
числами. Так как в схеме Bя)-полюсника с л>2 трудно уста-
установить, какие из его зажимов являются входными и какие
выходными, обычно, с учетом симметрии токи и напряже-
напряжения нормируются таким образом, что положительная дей-
действительная часть произведения UtIi определяет приток
активной мощности.
Подключая нагрузки с постоянными значениями пол-
полных сопротивлений ко всем входным зажимам (|2я)-полюе-
ника, кроме двух, всегда можно привести этот Bл)-полюс-
ник к четырехполюснику. Если, в частности, к входным
зажимам линий III, IV... подключить нагрузки, сопротив-
сопротивления которых равны оо, то в этом случае 1з = 14=». =
= 1п=0 и из выражений C6.1) для образовавшегося при
этом четырехполюсника получим
Ц1 = ш1111 + »1111, C6<2)
Коэффициенты, входящие в выражения C6.2), можно рас-
рассчитать, если известны коэффициенты в выражениях A.3).
Принимая во внимание, что в соотношениях A.3) по
сравнению с C6.2) нормировка, например, Ii должна быть
обратной, получаем:
— Oi.a«i . ... «и
17—52
257
Так как согласно (ii.4) аипц—a\2a2i = \, то всегда выпол-
выполняется равенство Wi2=w2i- В данном случае в качестве
входных линий вновь образовавшегося четырехполюсника
выбраны линии I и II Bл)-полюсника. Если бы вместо них
были вы'браны i-я и k-я линии, то подобным образом мож-
можно было бы установить, что Wik = Wki-
Как и четырехполюсники без потерь Bл)-полюсники
без потерь на сверхвысоких частотах играют важную роль.
Из соотношения A1.3) для четырехполюсника без потерь
и из соотношения C6.2) следует
. d .\ad-\-bc. __ . a
Коэффициенты в этом случае являются чисто мнимыми
числами. Таким образом установлен следующий закон.
Закон 36.1
Совокупность коэффициентов в выражениях C6.1), на-
называемая матрицей сопротивления, в случае линейного пас-
пассивного Bп)-полюсника является всегда симметричной.
Для Bп)-полюсника без потерь коэффициенты матрицы
являются чисто мнимыми числами.
Если детерминант матрицы сопротивлений, получаемой
из C6.1) отличен от нуля, уравнения можно решить отно-
относительно токов, при этом получим:
C6.3)
Коэффициенты этих уравнений образуют матрицу прово-
проводимости Bл)-полюсника. В этом случае справедлив сле-
следующий закон.
Закон 36.2
Матрица проводимости линейного пассивного Bп)-по-
люсника симметрична и для Bп)-полюсника без потерь все
ее коэффициенты являются чисто мнимыми числами.
Кроме матриц сопротивления и проводимости, соответ-
соответствующих выражениям C6.1) и (86.3), большое значение
при описании свойств Bл)-полюсников имеют матрицы
рассеяния [2], особенно в том случае, когда входные и вы-
выходные линии являются однородными. Пусть Z,— волновое
258
сопротивление i-й входной линии, а иПад—-амплитуда на-
напряжения волны, распространяющейся по ней в направле-
направлении к Bл) -полюснику. Тогда через А=Упад/1/2(- можно
обозначить амплитудный коэффициент, который нормиро-
нормирован так, что |A|2 = /V представляет собой активную мощ-
мощность, поступающую в Bл)-'полюсник через эту входную
линию. Через В = U0Tp/l^Z,- подобным же образом можно
обозначить амплитудный коэффициент для отраженной
волны. В этом случае из соотношений для токов и напря-
напряжений, выражаемых уравнениями C6.1) и C6.3), можно
получить соотношения вида:
В, = s^A, + s12A2 +. . . + sinAn,
В2 = 521 А, + 52аА2
C6.4)
И /Ij ' П-2 2 1 * I fifi fi
При этом имеет место приводимый ниже закон.
Закон 36.3
Матрица рассеяния Bп)-полюсника симметрична, а от-
отсутствие потерь в нем приводит к тому, что для всех сумм
типа п2 справедливо следующее равенство:
V^ ^ "^ „ ~7. loT i i о ~~„ I ОЛЯ I =• к
2
l 0 для
C6.5)
(Горизонтальная черта указывает на то, что соответствую-
соответствующая величина является комплексно сопряженной).
Доказательство симметрии матрицы рассеяния здесь не
приводится. Справедливость же соотношения C6.5) можно
показать следующим образом. Отсутствие потерь
чтобы выполнялось равенство
C6.6)
Пусть энергия в Bл)-полюсник поступает через 1-ю линию,
а все другие линии оканчиваются согласованными нагруз-
нагрузками. Это означает, что A<^tO и А?=0 при р '
В этом случае
17»
259
и, следовательно, согласно равенству C6.6)
то
+ ---+*«Л,= 1- C6.7)
Если же k-я линия нагружена на отражающую нагрузку,
A^0
и
в |a = Y|s .А. + «АГ=У(«.А4«Л)Х
1 J^ ' pi I ' рЯ Я I ^J v pi I 1 рЯ Я' 'N
P=I P=I p=l
p=i
л
В этом случае из C6.6) и C6.7) следует, что
Для произвольных значений А. и Ak это возможно только
тогда, когда
р=1
Таким образом, соотношение C6.5) доказано. Матрицы коэффи-
коэффициентов выражений C6.1), C6.3) и C6.4) принципиально можно
определить, производя измерения темных сопротивлений.
Выше было показано, каким образом Bи) -полюсник мож-
можно привести к четырехполюснику. Путем образования над-
надлежащих четырехполюсников и измерения их трансформи-
трансформирующих свойств оказывается возможным определение всех
представляющих интерес величин.
При проведении экспериментальных исследований целе-
целесообразно вновь в качестве выходных нагрузок выбрать
чисто реактивные сопротивления или такие сопротивления,
которые используются в реальном приборе, например, со-
сопротивления, равные по величине волновым сопротивле-
сопротивлениям подключаемых линий.
260
Рис. 36.1.'Определе-
36.1.'Определение трансформирую-
трансформирующих свойств схемы
между двумя труд-
труднодоступными точ-
точками Л и С.
Иногда также переходят к шестиполюсникам, и именно
тогда, когда необходимо исследовать трансформирующие
свойства между двумя труднодоступными точками А и С
схемы. На рис. 36.1 упрощенно изобра-
изображен такой случай. Пусть в какой-либо
сложной схеме, соответствующей, напри-
например, лампе, имеются такие точки А и С
(на рис. 36.1 они показаны в виде не-
небольших конденсаторов), а высокоча-
высокочастотный сигнал подается по однородной
линии В. Следует определить соотноше-
соотношение между напряжениями (|включая раз-
разность фаз) в точках А и С. На этот во-
вопрос также можно ответить, используя
методы исследования четырехполюсников, если схему меж-
между Л, В и С рассматривать как шестиполюсник, а емкости
А и С изменять, например, путем изменения наполняющих
их диэлектрических сред.
37. ЗАПИРАЮЩИЕ СВОЙСТВА ШЕСТИПОЛЮСНИКОВ
БЕЗ ПОТЕРЬ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ШЕСТИПОЛЮСНИКА
Для шестиполюсников без потерь очень важным являет-
является следующий закон.
Закон 37.1
Для каждой из входных линий шестиполюсника без
потерь существует такое значение реактивного, включаемо-
включаемого в эту линию, сопротивления, при котором возникает пол-
полный разрыв между двумя другими входными линиями.
Представим себе, например, что к зажимам III подклю-
подключено такое оконечное рактивное сопротивление ja, что
Чз/Ь=—/я. Тогда из уравнений C6.1) следует:
аи1,
0 = /als
Из третьего равенства найдем
I — дч 1 _
а) 1г.
C7.1)
ait
I,
Подставив это выражение в первое и второе равенства, по-
получим
261
Здесь а может быть любой действительной величиной, ле-
лежащей в пределах от —оо до-|-оо и, в частности, такой,
при которой выполняется равенство
амагг
из которого находим
C7.2)
При таком значении а соотношения C7.1) упрощаются и
приобретают вид
В этом случае между U2 и 12, с одной стороны, и Ui и Ii,
с другой, отсутствует какая-либо зависимость, а это озна-
означает, что при подключении к входной линии III рассчитан-
рассчитанного по формуле C7.2)
реактивного сопротивле-
сопротивления ja связь между вход-
входными линиями I и II бу-
будет отсутствовать. Анало-
Аналогичным образом можно
рассчитать соответствую-
соответствующие реактивные сопро-
сопротивления для входных ли-
линий I и II. Этим исчерпы-
исчерпывается доказательство
приведенного выше поло-
положения.
Определение свойств
шестиполюсника без по-
потерь (рис. 37.1) с подклю-
подключенными к нему однород-
однородными двухпроводными или волноводными линиями, работаю-
работающими в диапазоне пропускания, можно произвести следую-
следующим образом. В линии Д и L3. подключенные в точках Л и С,
введем короткозамыкающие поршни, а затем в линии L2,
подключенной в точке В, экспериментальным путем най-
найдем положение узла напряжения. Положения короткоза-
мыкающих поршней и узла напряжения будем определять
координатами х', у', t'. Если изменить расстояния х' и z',
262
Рис. 37.1. Исследование шестиполюсни-
шестиполюсника с подключенными к нему линиями с
помощью короткозамыкающих поршней,
помещенных в двух выходных линиях.
То Координата у\ определяющая положение узла Напряже-
Напряжения, также изменится. Если сначала расстояние z' поддер-
поддерживать постоянным и изменять только х', то получим за-
зависимость у'/К2=у от x'/fa=x, изображаемую типичной
кривой закона трансформации (рис. 27.5), которую, учи-
учитывая, что z' остается постоянным, можно обозначить как
кривую закона трансформации (х, у). При постоянном зна-
значении г'', по существу, имеем дело с четырехполюсником
0,25
,5 I i*io-0,2S гг г, ig г
t-io-0.35)
Рис. 37.2 Семейство кривых закона трансформации, соответствующих
различным значениям г' (г = z'/\3) — координаты точки короткого
замыкания в линии L3 шестиполюсника без потерь. Семейство можно
получить путем измерений, выполняемых согласно рис. 37.1.
без потерь. Другому значению z' будет соответствовать
другой четырехполюсник, а следовательно, и другая кри-
кривая закона трансформации (х, у). Таким образом, изменяя
значение z', можно получить семейство кривых закона
трансформации (рис. 37.2), в которых величина z'fkz=z
играет роль параметра.
В прямоугольной системе координат значения z можно
откладывать по третьей оси. Зависимость координаты узла
напряжения у' от положений х' и г' или зависимость у от
х и z в этой системе координат можно изобразить в виде
поверхности, которую в дальнейшем будем называть
«характеристической поверхностью шестиполюоника»
(рис. 37.3).
Каждая перпендикулярная оси z плоскость, точки кото-
которой соответствуют постоянному значению г, рассекает ха-
263
рактеристйческую поверхность шестийолюсника по кривой
закона трансформации (х, у).
Можно также оставлять неизменным положение корот-
козамыкающего поршня, размещенного в линии L\, т. е.
поддерживать постоянным значение хг и смещать только
поршень, расположенный в линии L3. В этом случае зави-
Рнс. 37.3. Пространственное изображение кривых
рис. 37.2, представлиющее собой так называемую .ха-
.характеристическую поверхность" четырехполюсника
без потерь. Любая плоскость, перпендикулярная
одной из осей, рассекает поверхность шестиполюс-
ника по одной из крнвых закона трансформации,
включай, в частности, прямоугольные ступенчатые
кривые, определяющие положение точек разрыва
' 2, = 2q/X,) ше-
стиполюсиика.
симость у от z также дает кривую закона трансформации.
Таким образом, каждая плоскость, перпендикулярная
оси х, рассекает поверхность шестиполюсника по кривой
(у, г) закона трансформации. Наконец, короткозамыкаю-
щий поршень можно поместить в линию L2 и определить
зависимость положения г1 узла напряжения в линии L3
(по которой в этом случае подается мощность в шести-
полюсиик) от х1. При этом можно найти кривую закона
трансформации (\х, г) для любого постоянного у. Поверх-
Поверхность шестиполюсника, таким образом, рассекается любой
264
плоскостью, перпендикулярной оси у по одной из (х,
г) -овых кривых закона трансформации.
Так как путем короткого замыкания, осуществляемого
в соответствующем сечении линии, можно получить любое
реактивное сопротивление, величина которого лежит в преде-
пределах между —/оо и -{-/оо, из закона 37.1 следует, что
в линии L}, например, должно существовать положение
поршня z'Q, при котором имеет место полный разрыв между
линиями Lt и Lt. Если поршень лишь незначительно смещен
от положения z'Q, то между линиями Lt и Lt будет иметь
место очень сильная трансформация, характеризуемая кривой
закона трансформации (jc, у), форма которой приближается
к ступенчатой (рис. 27.5); при z'jXt = z'Q /Xt = zQ она стано-
становится таковой (рис. 37.3).
В этом случае при смещении точки короткого замыка-
замыкания в линии L| (изменении координаты х) узел напряже-
напряжения в линии L2 остается в одном и том же положении,
определяемом координатой Уо'=У<&2- Вследствие периодич-
периодичности кривых закона трансформации оказывается невоз-
невозможным экспериментальным путем обнаружить «ступень-
«ступеньку» кривой, высота которой, выраженная в относительных
единицах, равна 0,5.
Это означает, что линия пересечения поверхности
шестиполюсника плоскостью ?3, перпендикулярной оси z
(рис. 37.3), является ступенчатой кривой. 'Вследствие пе-
периодичности для всех параллельных плоскостей, располо-
расположенных друг от друга на расстоянии 0,5, величина скачка
равна 0,5.
Точно также имеются семейства плоскостей, перпенди-
перпендикулярные осям х и у, которые рассекают поверхность
шестиполюсника по ступенчатым кривым. Как это следует
из рассмотрения 37.3, положение одной ступенчатой кривой
непосредственно определяет положение всех других. Уча-
Участок ступенчатой кривой (х, у), параллельный оси у, оче-
очевидно, одновременно будет принадлежать ступенчатой
кривой (у, z), а участок, параллельный оси х, — ступенча-
ступенчатой кривой (х, г). Это обстоятельство позволяет без осо-
особого труда определять положение точек разрыва в других
линиях, если оно известно для одной из них. Если поршень
расположен, например, в точке с известной координа-
координатой г'о, как видно из рис. 37.3, узел напряжения в линии La
(рис. 37.1) будет находиться в точке y'Q, соответствующей
разрыву между линиями L3 и L,. Таким образом, оказы-
оказывается найденной координата г/0. Если поршень в линии Ц
находится в точке разрыва х'й , то точно также г/ = */0 при
любом z. Поэтому, удовлетворяя требованию г = г0 и изме-
изменяя положение поршня в линии L, до тех пор, пока узел
напряжения вновь не окажется в у'о , можно найти также х0
Из расположения прямоугольных ступенчатых кривых
на характеристической поверхности шестиполюсника сле-
следует, что при плоском способе изображения с помощью
семейства кривых (\х, у) с координатой z в качестве пара-
параметра (рис. 37.2) все эти кривые должны соприкасаться
в точках (хо+/г0,5), (г/о+/пО,5). Это становится очевидным,
если учесть, что плоское изображение является, по сути
дела, проекцией поверхности шестиполюсника на плос-
плоскость, перпендикулярную оси г. При этом прямолинейные
участки поверхности, расположенные между г0 и (го+0,5),
с координатами (х0, г/о) переходят в точку (х0, г/о)- Через
последнюю проходят все кривые закона трансформации
О*. У), Для которых значения параметра z лежат между Zo
и (го+О,5) и т. д. Кривые в точке (х0, у0) не могут пере-
пересекаться, а должны лишь соприкасаться, так как в против-
противном случае (у, г)-овые или (х, z) -овые кривые закона
трансформации имели бы максимумы или минимумы.
Поскольку построение пространственной характеристи-
характеристической поверхности шестиполюсника связано с большими
трудностями, эта поверхность имеет лишь чисто теоретиче-
теоретическое значение; на практике же обычно пользуются плос-
плоской формой изображения1 (рис. 37.2). При этом не обя-
обязательно на отдельных кривых (х, у) надписывать значе-
значения параметра z, удобнее рядом с основным семейством
кривых, как это сделано на рис. 37.2, построить, например,
кривую закона трансформации (г/, z) с х=хо+0,25 в ка-
качестве параметра. Тогда значение параметра z, соответ-
соответствующее той или иной кривой (х, у), можно получить,
определяя с помощью последней величину у, соответствую-
соответствующую Хо+0,25, перенося затем ее на кривую (у, z) и нахо-
находя по ней z.
38. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ШЕСТИПОЛЮСНИКА БЕЗ ПОТЕРЬ
Шестиполюсник без потерь, лишенный подводящих ли-
линий, путем добавления отрезков линий длиной "к без изме-
1 Для краткости елоская формг изображения (рис. 37.2) в пос-
последующем изложении также называется поверхностью щестиполюсиика.
нения его трансформирующих свойств может быть превра-
превращен в шестиполюсник с подводящими линиями (рис. 37.1).
Поэтому все нижеприведенные соображения применимы
для всех шестиполюсников без потерь.
Покажем, что в линиях Ц, L2, Lz, которые могут быть
двухпроводными линиями или волноводами, для любой ча-
частоты можно выбрать такие точ-
точки I, II, III, что расположенному
между ними шестиполюснику бу-
будет соответствовать простейшая
эквивалентная схема рис. 38.1 '.
Вместо эквивалентной схемы
(|рис. 38.1) можно также взять
любую из эквивалентных схем,
изображенных на рис. 38.2, при
этом отсчетные плоскости и в ли-
линиях будут другими.
Докажем сначала примени-
применимость эквивалентной схемы, изо-
изображенной на рис. 38.1. Это
можно было бы сделать чисто
математическим путем. Но, так
как параметры схемы обычно
определяются путем измерений,
свяжем доказательство с ана-
анализом кривых, получаемых экс-
экспериментально. Эквивалентная
схема состоит из идеального разветвления с неискаженным
полем, к которому через идеальные трансформаторы Т\ и
Т2 присоединяются линии Z., и L2, и линии L3, шунтируе-
шунтируемой в месте ее включения реактивным сопротивлением }Р.
Предполагая сначала, что применение такой эквива-
эквивалентной схемы является обоснованным, можно установить
следующее. Если разомкнуть трансформатор Т\ со сторо-
стороны зажимов, к которым подключается линия L\, или, что
то же самое, закоротить линию L\ на расстоянии A,i/4 от
Рис. 38.1. Простейшая эквива-
эквивалентная схема устройства с
тремя подключаемыми линия-
линиями, состоящая из двух иде-
идеальных трансформаторов, от-
ответвления с неискаженным
полем и параллельного реак-
реактивного сопротивления. В под-
подключаемых линиях любого
шестиполюсника без потерь
можно так выбрать отсчетиые
плоскости I, II, III, что для
него будет справедлива эта
схема.
1 Эта эквивалентная схема была предложена автором на конфе-
конференции по волиоводиой технике в июле 1944 г. Относительно других
эквивалентных схем (рнс. 38.2) см. статьи автора в Electronics, а так-
также [2].
Гоубау в качестве эквивалеитиой схемы предлагает трансформатор
с тремя обмотками без потерь и без полей рассеяния. Однако в этом
случае речь идет не об идеальном трансформаторе, как в приводимых
здесь эквивалентных схемах, а о трансформаторе с конечной взаимной
индуктивностью [38J.
267
сечения I, то линии L% и L3 окажутся полностью изолиро-
изолированными друг от друга. С другой стороны, очевидно, что
искомую плоскость I в линии L\ следует расположить на
расстоянии, равном W4, от определяемой эксперименталь-
экспериментальным путем точки разрыва *о'. Аналогично этому пло-
плоскость II в линии L2 расположится на расстоянии Л2/4 от
точки разрыва у'о. Таким образом, положение плоскостей I
Рис. 38.2. Эквивалентные схемы для шести-
полюсника без потерь (положение отсчетных
плоскостей следует выбирать соответственно
данному типу эквивалентной схемы).
и II, определяемое координатами x'Ai=?=*o±0,25 и
у'/&2=у=Уо±О,25, уже найдено.
Если в рассматриваемой эквивалентной схеме линию L%
закоротить в месте ее подключения III, то получим после-
последовательное включение двух трансформаторов Т\ и Т2, ко-
которое можно заменить одним трансформатором Т\2 с опре-
определенными ранее зажимами I и II в линиях L\ и L2. В слу-
случае четырехполюсника, который образуется из шестипо-
люсиика в результате короткого замыкания, в сечении III,
короткому замыканию в сечении I, определяемому коорди-
координатой х, соответствует расположенный в сечеиии II узел
268
напряжения с координатой у. Следовательно этому четы-
четырехполюснику соответствует кривая закона трансформа-
трансформации, проходящая через точку (х, у). Это кривая Сх, изо-
изображенная на рис. 37.2. Если эквивалентная схема по-
построена правильно, то значение параметра г кривой Cj
должно совпадать с искомым значением координаты
г=г'Д3 сечения III. В случае, изображенном на рис. 37.2,
z=z0—0,35.
Кривая С\ действительно имеет точку перегиба, совпа-
совпадающую с точкой (х, у), и соответствует эквивалентной
схеме в том смысле, что непосредственное последователь-
последовательное включение трансформаторов Т\ и Т2 должно иметь
свои зажимы как раз в сечениях I и II.
То, что точка перегиба кривой С\ действительно нахо-
находится в указанном месте, легко установить, используя
рис. 27.5, согласно которому координаты двух точек одной
и той же кривой закона трансформации (абсциссы и орди-
ординаты) только тогда могут отличаться друг от друга на ве-
величину, равную четверти длины волны, если обе эти точки
являются точками перегиба. Из кривой С\ для последова-
последовательного включения Т\2 трансформаторов Т\ и Уг
(рис. 37.2) найдем коэффициент трансформации fe|2=-l,6.
В рассматриваемом примере в сечении I расположены за-
зажимы трансформатора, соответствующие меньшему значе-
значению нормированного полного сопротивления.
Относительно шестиполюсника известно, что разрыв
между линиями L\ и L2 наступает тогда, когда линия L3
закорочена в точке Zo'. Возвращаясь к эквивалентной схе-
схеме (рис. 38.1), можно установить, что параллельно пока еще
неизвестному реактивному сопротивлению jP этой схемы
включено сопротивление /Z3tg2jti(zo—z), где Z3 — волно-
волновое сопротивление линии L3. Далее очевидно, что в случае,
когда линии Ly и L2 изолированы друг от друга, парал-
параллельное соединение из двух упомянутых выше сопротивле-
сопротивлений должно иметь величину, равную <х>.
Таким образом,
и соответственно для примера рис. 37.2
/ J- = — tg {2% ¦ 0,35) = 1,37,
Таким образом, найдены координаты х', у', I', определяю-
определяющие положения зажимов I, II и III шестиполюсника, ре-
269
активное сопротивление }Р и коэффициент трансформа-
трансформации k\2 непосредственного последовательного соединения
трансформаторов Т\ и Т2 (пока все еще только в предпо-
предположении, что эквивалентная схема, показанная на
рис. 38.1, правильно отображает свойства шестиполюс-
ника).
Предположим далее, что линия L\ замкнута накоротко
в точке х'. В этом случае получим эквивалентную схему
в виде четырехполюсника, представляющего собой парал-
параллельное соединение реактивного сопротивления \Р и транс-
трансформатора Т2. Полученному при этом линейному транс-
трансформатору соответствует изображенная на рис. 37.2 спра-
справа кривая С2(у, г) с :г=хо+О,25 в качестве параметра.
В примере, изображенном на рис. 37.2, этот трансформатор
имеет коэффициент трансформации &' = 2,5 и-его зажимы,
соответствующие большему значению нормированного пол-
полного сопротивления, расположены на линии L2 в точке
с координатой
Исходя из данных, характеризующих этот линейный
трансформатор, для значения параметра, равного х, и уже
известной величины jP, можно рассчитать теоретическим
путем или определить графически коэффициент трансфор-
трансформации Т2. Воспользуемся последним способом. Предполо-
Предположим, что линия L3 нагружена на свое волновое сопротив-
сопротивление. На диаграмме нормированных проводимостей
(рис. 38.3) этому значению нагрузки соответствует точка 1.
Параллельное включение нормированной проводимости
Z-i/jP (в случае, соот-
соответствующем рис. 37.2
Z3(jP- — /0,73) дает на
рис. 38.3 точку g. Дей-
Действие трансформатора
Т2 сводится к преобра-
преобразованию проводимо-
проводимости g, отнесенной к се-
сечению II, в какую-то
другую пока еще не
известную проводи-
проводимость.
Линейный трансфор-
_ включенный
матор, включенный
Рнс. 38.3. Диаграмма нормированных пол-
й
н. 3.3. Дагра рмированных пол _ включенн
ных проводимостей, используемая для до- матор, включенн
казательства эквивалентной схемы рис. 38.1. между ЛИНИЯМИ L2 И
270
при коротком замыкании в точке I имеет, как мы уже уста-
установили, пользуясь кривой С2 (рис. 37.2), коэффи-
коэффициент трансформации k'='2,5. Это означает, что если
линия Z-з оканчивается сопротивлением, равным ее вол-
волновому сопротивлению, то в линии L2 в этом случае
имеет место коэффициент стоячей волны, равный 2,5. Та-
Таким образом, определяемая в линии L2 проводимость, из-
изменяясь в зависимости от выбранного положения отсчет-
ной плоскости, проходит окружность постоянного рассогла-
рассогласования /Со (рис. 38.3). Поэтому значение g, будучи отне-
отнесенным к плоскости II, может быть преобразовано транс-
трансформатором Т2 только в величину, соответствующую точ-
точке gi или g2. Построения, приведенные на рис. 38.3, пока-
показывают, что трансформатор Т2 должен иметь коэффициент
трансформации k'2 = g/g, или k'2' = g2/g (для рассматривае-
рассматриваемого частного случая k'2~2,\, а k'2' = l,4).
Соответственно, значения проводимости равны g\ или
g2. Пользуясь рис. 38.3, можно определить положение
узла и пучности напряжения в линии L2 (при условии, что
линия L3 нагружена на свое волновое сопротивление и
в сечении I имеет место короткое замыкание). Для значе-
значения gi минимальная величина проводимости в линии L2
(т. е. пучность напряжения) должна иметь место в точке
с координатой (j7'+aA,2/4n) и для g2 в точке с координатой
(^'+рА,г/4я); здесь аир являются углами поворота, пока-
показанными на диаграмме трансформации рис. 38.3. В данном
частном примере а = 48° и р = 135°.
о
Таким образом, г/ —(— — = г/0 —[— 0,32 и г/-|~ ~- = г/0-|-0,44.
Положения узла и пучности напряжения можно также
установить, используя кривую С2 (рис. 37.2). Если ли-
линия L3 нагружена на свое волновое сопротивление, то
в линии Z-2 входное полное сопротивление, имеющее наи-
наибольшую величину, и при том чисто активное, наблюдает-
наблюдается в плоскости зажимов трансформатора с координатой у'.
Там же должна находиться и пучность напряжения. Так
как !/ = !/о+О,32, полученное значение совпадает со значе-
значением, найденным из рис. 38.3 для проводимости gi. Итак,
трансформатор Т2 имеет коэффициент трансформации k2'=
= 2,1. При этом большее значение нормированного полного
сопротивления соответствует зажимам, к которым подклю-
подключена линия L2. Так как коэффициент трансформации k\2
271
последовательного включения трансформаторов Т\ и Гг из-
известен, можно рассчитать также k\—коэффициент транс-
трансформации трансформатора Т\. В рассматриваемом приме-
примере k\ =2,1/1,6= 1,3, причем большее значение нормирован-
нормированного полного сопротивления соответствует зажимам, к ко-
которым подключена линия L\. Таким образом, все пара-
параметры эквивалентной схемы» (рис. 38.1) определены.
Очевидно, что эквивалентная схема является достовер-
достоверной только при условии, если положение зажимов транс-
трансформатора в линии L2, найденное по кривой С2 (рис. 37.2),
соответствует одному из положений, определяемых углами
аир (рис. Зв.З). Для того чтобы это проверить, следует
еще раз подробно рассмотреть кривую Сг(г/, z) с х, взятым
в качестве параметра (рис. 37.2).
Эта кривая проходит через две точки (у0, z0) и (у, z)
и соответствует коэффициенту трансформации k'2. Пред-
Представим себе, что эти две точки изображены на прозрачной
бумаге, которая наложена на семейство кривых рис. 27.5.
Путем смещения семейства кривых можно удостовериться,
что для кривой с определенным заданным коэффициентом
трансформации k2 в данном случае имеются только два
возможных случая, лри которых она проходит через обе
эти точки. Для соответствующих рис. 37.2 возможных слу-
случаев кривые изображены на рис. 38.4.
Как это_видно из рис. 38.3, существуют две возможно-
возможности выбора коэффициента трансформации
трансформатора Т2. Пользуясь рис. 38.1, мож-
можно сконструировать две схемы, соответствую-
соответствующие этим двум вариантам трансформатора Т2,
полученным согласно рис. 38.3, если только не
заботиться о том, чтобы обе они отвечали
реальному шеститюлюснику.
Находящиеся в соответствии
с упомянутыми выше по-
построениями характеристиче-
характеристические поверхности шестипо-
шестиполюсника включают в себя
уголки, образованные от-
отрезками хо, Уо, Zo. Этим по-
поверхностям должны принад-
принадлежать также кривая зако-
Рис. 38.4. Кривые, используемые при тпяшчЬппмяиии С, гппт
доказательстве эквивалентной схемы на трансформации Сь СООТ-
рис. 38./, ветствующая параметру z
272
(рис. 37.2), и кривая закона трансформации (\у, г) с коэф-
коэффициентом трансформации &2 = 2,5, соответствующая па-
параметру х. Последняя в обоих случаях должна про-
проходить через точки (х0, zQ) и (j/, z). Однако, соглас-
согласно рис. 38.4, имеются только две кривые, удовлетво-
удовлетворяющие этому требованию, так что кривая закона транс-
трансформации (у, z) одного из двух построенных шестиполюс-
ников должна совпасть с кривой С2 (рис. 37.2).
Эквивалентная схема, изображенная на рис. 38Л, ха-
характеризуется шестью параметрами, а именно: координата-
координатами х', у', г' точек I, II, III, расположенных на линиях Ц,
1*2, Lz, коэффициентами трансформации обоих трансформа-
трансформаторов fi и Т2 и реактивным сопротивлением JP. При опре-
определении этих параметров, исходя из характеристической
поверхности шестиполюсника, следует воспользоваться
тем, что положение уголков х0, у0, z0, кривая закона транс-
трансформации (х, у), проходящая через точку (хо+О,25;
г/о+0,25), и кривая закона трансформации (у, z) для па-
параметра т=!(лсо+0,2б) задаются этой поверхностью. И, на-
наоборот, каждый построенный эквивалентный шестиполюс-
ник однозначно определяет упомянутые элементы характе-
характеристической поверхности шестиполюотика. Покажем теперь,
что эти элементы полностью характеризуют всю по-
поверхность шестиполюсника. Тем самым докажем, что
построенная эквивалентная схема (рис. 38.1) в отношении
всех своих свойств соответствует заданному шестиполюс-
нику.
Пусть из всей поверхности шестиполюсника известны
только уголки Хо, уо, Zo, кривая закона трансформации
(х, у), проходящая через точку (хо+О,25; уо+0,25), изо-
изображенная кривой Ci на рис. 37.2, и (у, г)-овая кривая
закона трансформации, проходящая через ту же точку и
изображенная кривой Сг. По этим данным можно одно-
однозначно построить полную поверхность шестиполюсника,
если для каждого значения параметра z—z* начертить
соответствующую кривую закона трансформации (\х, у).
Сорокупность этих кривых дает поверхность шестиполюс-
шестиполюсника.
Воспользовавшись заданной (у, г)-овой кривой закона
трансформации, соответствующей параметру хо+0,25, (кри-
(кривая С2) для выбранного г*, найдем значение у*. Кривая
(х, у) с параметром г* должна пройти через точку (хо+)
4-0,25; у*) и коснуться заданной кривой Ci в точке (х0, у0
или в точке, сдвинутой от 'последней на 0,5. Требованием,
18-52 273
заключающемся в том, что искомая кривая закона транс-
трансформации должна проходить через уже определенную точ-
точку Р (рис. 37.2) и касаться другой кривой закона транс-
трансформации С\ в известной точке Q, она определяется одно-
однозначно. Последнее утверждение мож^о доказать, если напе-
наперед заданную кривую закона трансформации, проходящую
через точку касания Q и точку Р, нанести на прозрачную
бумагу, а затем наложить ее на семейство кривых закона
трансформации (рис. 27.5) и последнее смещать параллель-
параллельно осям координат до тех пор, пока не будет найдена кри-
кривая семейства, проходящая через Р и Q. Используя этот
прием, легко можно убедиться, что в действительности су-
существует только одна такая кривая. Таким образом, для
любого произвольного значения параметра г* мож'но одно-
однозначно построить соответствующую кривую закона транс-
трансформации (х, у), а следовательно, и всю поверхность
шестиполюсника.
Наряду с эквивалентной схемой рис. 38.1 для шестипо-
шестиполюсника без потерь можно выбрать любую из схем, изо-
изображенных на рис. 38.2. Правда, в каждом отдельном слу-
случае приходится выбирать иные положения отсчетных пло-
плоскостей в подключаемых к шестиполюснику линиях, зада-
задаваться другими коэффициентами трансформации и други-
другими величинами реактивного сопротивления. При определе-
определении параметров этих схем поступают точно так же, как это
было описано в случае схемы рис. 38.1.
39. ДОПОЛНЕНИЯ И ВЫВОДЫ, СЛЕДУЮЩИЕ
ИЗ РАССМОТРЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ
ШЕСТИПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ
Дополнения относительно техники измерений
Для точного и быстрого определения эквивалентной
схемы шестиполюсника без потерь можно с успехом вос-
воспользоваться нижеприведенным способом измерений.
К линии L2 (рис. 37.1) подключают генератор и измери-
измерительную линию, а в линиях L\ и L3 размещают короткоза-
мыкающие поршни Si и S3. При неизменном положении
поршня 53 смещают поршень Si и наблюдают перемещение
узла напряжения 'В линии L2. При этом нет необходимости
снимать всю кривую закона трансформации. Достаточно
лишь этим способом определить (а это можно сделать от-
относительно быстро) такое положение короткозамыкающего
274
поршня S3, при котором для схемы, расположенной между
линиями Li и L2, получается кривая закона трансформации,
соответствующая большому коэффициенту трансформации.
В этом случае поршень Si можно смещать в относительно
большом диапазоне, не вызывая сколь-нибудь значитель-
значительного изменения положения узла напряжения в линии L2,
и лишь только смещение в некотором небольшом диапа-
диапазоне поршня в линии Li вызывает значительное перемеще-
перемещение узла напряжения в линии L2. После того как уже обес-
обеспечена сильная трансформация между линиями Li и L2
зонд измерительной линии, подключенной к L2, помещают
приблизительно в то место, где положение узла напряже-
напряжения для большого диапазона перемещений короткозамы-
короткозамыкающего поршня в линии Li остается почти постоянным.
В непосредственной близости от этого места, как можно
установить при рассмотрении характеристической поверх-
поверхности шестиполюсника (рис. 37.2), должна находиться
точка с координатой у'о, определяющей положение уголка
характеристической поверхности шестиполюсника. Если
при неизменном положении измерительной линии сместить
короткозамыкающий поршень Si, выпрямленный ток зонда
в большом диапазоне изменения Si изменится лишь незна-
незначительно, и только в некотором небольшом диапазоне бу-
будет отмечаться быстрое увеличение этого тока.
Определенное уже ранее положение короткозамыкающего
поршня S3, что также следует из рассмотрения характери-
характеристической поверхности шестиполюсника (рис. 37.2), лишь
незначительно удалено от точки разрыва z'o . Несколько из-
изменяя положение поршня S, и одновременно смещая 5,
в пределах приблизительно половины длины волны, находим
точку разрыва 2^ , определяющую положение S,, при кото-
котором уже больше не наблюдается изменения выпрямленного
тока. Точное измерение координаты узла напряжения La
одновременно дает также координату у0.
После того как найдены координаты у0 и г0 необходимо
определить координату х0 в линии L,. Для этого зонд из-
измерительной линии устанавливается в точке с координа-
координатой у'о , а короткозамыкающий поршень S3 сдвигается
от точки z'Q . В результате в линии La произойдет смеще-
смещение узла напряжения из у0. После этого следует переме-
перемещать поршень S, до тех пор, пока узел напряжения вновь
18* 275
не вернется в положение у0 . Это положение поршня $t
даст искомое значение координаты х'о .
После того как определены координаты *о, Уо, z0 по-,
верхности шестиполюсника остается только снять кривую
закона трансформации (х, у), проходящую через точку
(хо+0,25; г/о+0,25), и кривую закона трансформации (\у,г)
для параметра (х0+0,25). Для выполнения поставленной
задачи поршень Si устанавливается в положение^ +W4);
после чего непосредственно между линиями L2 и L3 сни-
снимается кривая трансформации (у, г). С помощью этой
кривой для (г/о+0,25) устанавливается значение г, опреде-
определяющее положение отсчетной плоскости III эквивалентной
схемы (рис. 38.1), расположенной в линии L3. Затем пор-
поршень S3 устанавливается в положение III и между ли-
линиями L| и L2 снимается кривая закона трансформации
(х, у), проходящая через точку с координатами (хо+О,25;
г/о+0,25). В результате оказываются определенными все
данные, необходимые для построения эквивалентной схемы.
Симметричные шестнполюсники
Нередко приходится иметь дело с шестиполюсниками,
симметричными относительно одной из трех линий. Про-
Простейшим устройством этого рода является, например, от-
ответвление коаксиальной линии. В таких случаях следует
выбирать эквивалентные схемы, которыми эта симметрия
учитывается, т. е. схемы, подобные изображенным на
рис. 38.1 или 38.2,а, где ответвляемая линия обозначена
через L3. Вследствие симметрии трансформаторы Т\ и Г2,
изображенные на рис. 38.1, и точно также трансформато-
трансформаторы Тх и 7^ на рис. 38.2,а должны иметь взаимно обратные
величины коэффициентов трансформации. Эквивалентная
схема, приведенная на рис. 38.1, >в данном случае может
быть заменена равноценной эквивалентной схемой, изо-
изображенной на рис. 39.1,а. Эту замену можно осуществить
следующим образом. Представим себе, что в точке III под-
подключено какое-то сопротивление Кз, которое вместе с па-
параллельным реактивным сопротивлением jP дает сопротивле-
сопротивление R3 (рис. 39.2). Включим в точке I сопротивление Rx.
Трансформатором 7\ сопротивление R, преобразуется в соп-
сопротивление feR,, причем k может быть как меньше, так и
276
больше единицы. Последовательное включение его с R3 даст
тогда сопротивление &RX -(- R3 . Обратное преобразование,
осуществляемое трансформатором Тг, даст значение
То же самое значение сопротивления, очевидно, получает-
получается также при использовании эквивалентной схемы, изобра-
изображенной на рис. 39.1,а, при условии, что трансформатор Тъ
этой схемы имеет коэффициент трансформации, равный k,
так что сопротивление R3 трансформируется им в R3 /k.
Аналогичные рассуждения с ис-
использованием проводимостей вме-
вместо сопротивлений показывают, что
эквивалентная схема, изображенная
Рис. 39.1. Эквивалентные
схемы для симметричного
шестиполюсника без по-
потерь.
Рис. 39.2. Геометрические пост-
построения, показывающие примени-
применимость эквивалентной схемы, изоб-
изображенной на рис. 39.1,а.
на рис. 38.2,а, в случае симметричного шестиполюсника
с успехом может быть заменена также эквивалентной схе-
схемой рис. 39.1,6.
При рассмотрении эквивалентной схемы симметричного
шестиполюсника становится очевидным, что кривая закона
трансформации Ci характеристической поверхности шести-
шестиполюсника (рис. 37.2) в данном случае превращается в
прямую, а это означает, что в линии L3 всегда можно под-
подключить такое реактивное сопротивление, при котором бу-
будет иметь место полная передача энергии между линиями
277
L\ и L2, т. e. трансформация будет отсутствовать. Тогда
чисто бегущая волна в линии L\, будет обусловливать
в линии L2 также чисто бегущую волну, а определенное
рассогласование в линии L\ — точно такое же рассогласо-
рассогласование в линии L2. Далее следует лишь сделать замечание
относительно расстояний: например, расстояние от миниму-
минимума напряжения в линии L\ до минимума напряжения в ли-
линии L2 не обязательно должно быть кратным половине
длины волны, так как геометрическое расстояние от зажи-
зажимов I до зажимов II шестиполюсника, как правило, не яв-
является кратным половине длины волны.
h h
Рис. 39.3. Простейший фильтр, Рис. 39.4. Ответвление коаксиаль-
как пример устройства, описывае- ной линии,
мого эквивалентными схемами
рис. 39.1.
Изложенные здесь обстоятельства, касающиеся симмет-
симметричного шестиполюсника, могут быть использованы, на-
например, при конструировании фильтров. На рис. 39.3 по-
показан в качестве примера фильтр для коаксиальной ли-
линии. Согласно общим эквивалентным схемам (рис. 39.1)
всегда можно найти такое положение для короткозамыка-
теля К, при котором между линиями L\ и L2 на данной
частоте /0 осуществляется полная передача. Но, так как
параметры эквивалентных схем шестиполюсника и, в част-
частности, положения его зажимов I, II, III зависят от частоты,
полная передача имеет место только на одной частоте /о,
в то время как на других частотах наблюдается трансфор-
трансформация. Таким образом, рассмотренное нами устройство
является фильтром с частотой пропускания fa.
Очевидно, что трансформация на двух определенных ча-
частотах, расположенных по обе стороны от /о, будет тем
сильнее, чем больше нарушена однородность линии, т. е.,
чем длиннее, например, разрыв внутреннего проводника в
устройстве, изображенном на рис. 39.3. Этот вопрос будет
еще рассматриваться позднее в § 45.
278
Для ответвления коаксиальной линии (рис. 39.4) из
двух возможных эквивалентных схем (рис. 39.1) следует
отдать предпочтение эквивалентной схеме рис. 39.1,6, так
как, в частности, на длинных волнах ответвляемая линия
включена как раз параллельно, причем соответствующие
эквивалентной схеме зажимы шестиполюсника Г, II', III'
совпадают непосредственно с местом ответвления. Что же
касается более коротких волн, то искажение поля в месте
ответвления вносит лишь небольшую коррекцию в положе-
положение этих зажимов, так что и в этом случае приближенно
можно говорить о параллельном включении.
I
- 4.
Рис. 39.5. Ответвления коаксиальной линии со слабой связью
Тот факт, что можно выбрать как эквивалентную схему
рис. 39.1,а, так и рис. 39.1,6, соответствует закону 28.2. За-
Заметим, что отсчетные плоскости Г и II' следует распола-
располагать на расстоянии в четверть длины волны от плоскостей
I и II.
Еще более важным устройством, представляющим со-
собой симметричный шестиполюсник, является разветвление
с очень слабо связанной боковой коаксиальной линией
(|рис. 39.5,а), внутренний проводник которой лишь незна-
незначительно погружен в главную линию. Другим аналогич-
аналогичным примером является устройство со слабой связью,
осуществляемой посредством небольшой петли (рис. 39.5,6).
Если размеры последней являются малыми по сравнению
с длиной волны, то можно и в этом случае говорить о сим-
симметричном шестиполюснике. Частным случаем устройства,
изображенного на рис. 39.5, является измерительная ли-
линия, в которой зонд представляет собой ответвление со
слабой связью. В этом случае целесообразно применить
параллельную эквивалентную схему рис. 39.1,6. Зажимы
щестиполюсника V и II" при очень слабой связи с ответ-
279
Рис. 39.6. Эквивалентная схе-
схема ответвления коаксиальной
линии со слабой связью.
влением практически совпадают с местом включения. Сла-
Слабая связь обусловливает большой коэффициент трансфор-
трансформации трансформатора Т'3. Последнее обстоятельство при-
приводит к тому, что в этом случае уже нельзя пренебрегать
потерями в шестиполюснике и поэтому, используя измери-
измерительную линию и смещая короткозамыкатель в боковой
линии, содержащей зонд, нельзя добиться такого состоя-
состояния, яри котором мощность не .передавалась было главной
линии. Для учета потерь в ту
часть эквивалентной схемы, ко-
которая соответствует четырехпо-
четырехполюснику, расположенному между
линий L3 и местом ответвления,
можно ввести элементы с потеря-
потерями (рис. 15.2), как это показано
на рис. 39.6. Согласно схеме, изо-
изображенной на этом рисунке в
предсказываемом теорией случае,
когда из-за влияния линии L3
должен иметь место разрыв меж-
между линиями Lx и L2, в главной ли-
линии оказывается параллельно
включенным активное сопротив-
сопротивление, величина которого при очень слабой связи может во
много раз превосходить волновое сопротивление главной
линии.
Ответвления коаксиальных линий при очень слабой
связи (например, зонд измерительной линии) в большин-
большинстве встречающихся на практике случаев настраиваются с
помощью реактивного сопротивления или передвижного
короткозамыкателя в резонанс. Эта настройка- идентична
установке короткозамыкателя в боковой линии в положе-
положение, соответствующее разрыву, так как в данном случае,
как это следует из рис. 39.1,6, сопротивление, включенное
параллельно главной линии, становится минимальным ,{RP
практически шунтируется коротким замыканием) и поэто-
поэтому на нем рассеивается наибольшая мощность.
Трансформация в случае, когда известны сопротивления
нагрузок линий шестиполюсника и распределение мощности
между ними
Очень часто шестиполюсник применяется, будучи на-
нагруженным на сопротивления определенной величины, на-
например, равные волновым сопротивлениям подключаемых
линий, вследствие чего становится излишним определение
полной эквивалентной схемы. Предположим, что линия L\
(рис. 39.7) оканчивается полным сопротивлением Ri, а ли-
линия La—сопротивлением Ra; при этом Ri и R3 в большин-
большинстве случаев равны волновым сопротивлениям Z\ и Ъг со-
соответствующих линий. Обычно требуется знать входное со-
сопротивление или вид трансформации, необходимой для
преобразования входного сопротивления шестиполюсиика
в волновое сопротивление линии L2. Представляет также
интерес распределение подведенной активной мощности
между нагрузочными сопротивлениями Ri и R3.
Если имеются соответствующие измерители мощности
и другие необходимые измерительные приборы достаточ-
достаточной точности, то, разумеется, целесообразнее всего при-
прибегнуть к непосредственным измерениям. Однако, как уже
отмечалось в § 27, эти условия не всегда выполняются на
практике, вследствие чего приобретают большое значение
описанные ниже методы, позволяющие осуществлять изме-
измерения простейшими средствами даже без использования
измерителей мощности.
В частности, существует метод, который следует изло-
изложить вкратце. Он состоит в том, что, например, « выходу
Рис. 39.7. Метод измерения входного сопротивления шестиполюсиика без
потерь, обе входные линии L, н i, которого нагружены на свои волновые
сопротивления. Короткозамыкатели /fi и К.г устанавливаются в поперечных
сечениях .одинаковой фазы" и определяется положение узла напряжения
во входной линии. На основании такого рода измерений для различных
положений поперечных сечений одинаковой фазы строится кривая закона
трансформации, по которой определяетси входное полное сопротивление.
Небольшой сдвиг Д*, короткозамыкателя в линии Lt требует сдвига иа Дх,
короткозамыкателя в линий I, для того, чтобы не вызвать смещения узла
напряжения в линии I». Если при этом исходные положения короткозамы-
кателейсовпадают с положениями поперечных сечеиий .одинаковой фазы",
то отношение мощностей Nt и N, в выходных линиях, нагруженных иа
собственные волновые сопротивления, определяются выражением #,/#,=
(Д/Х)/(Д/Х)
281
Линии i3 подключают сопротивление R3, а в линии L\ раз-
размещают короткозамыкающий поршень и затем измеряют
входное сопротивление линии L2 при различных положе-
положениях короткозамыкающего поршня в линии L\. В резуль-
результате получают описанную в § 15 граничную окружность,
исходя из которой согласно § 50 можно рассчитать рас-
распределение мощности между выходными линиями.
Более подробно следует описать другой метод, при ко-
котором в линиях Li и L3 располагаются короткозамыкающие
поршни Ki и Кз, а в линии L2 определяется положение
узла напряжения.
Короткое замыкание, осуществляемое в точке а\ ли-
линии Li и в точке а3 линии L3, дает во входной линии L2
узел напряжения, расположенный в точке a%. Данному
электромагнитному состоянию А соответствует распределе-
распределение напряжения, которое согласно выражению B0.8) мож-
можно записать в следующем виде:
при этом значения х, отсчитываемые от точки а в направ-
направлении к генератору, принимаются за положительные. Дру-
Другим положениям короткозамыкающих поршней в точ-
точках Ь\ и Ьг (рис. 39.7) отвечает узел в точке Ь2 линии L2-
Соответствующее электромагнитное состояние В в линии
будет описываться выражением
U'e
9+2«(л;-дго)/Х]
— U'e'[mt
где х0 — координата точки 6, а ф — произвольный фазовый
сдвиг, одинаковый для обоих членов, так как в обоих слу-
случаях начало отсчета времени одно и то же.
Если в схеме возможны два различных электромагнит-
электромагнитных состояния, то согласно закону суперпозиции можно
произвести наложение этих состояний. Напряжение в ли-
линии тогда будет определяться выражением
C9.1)
представляющим собой сумму двух членов, определяющих
прямую и обратную волны, причем амплитуды этих воли
(модули выражений, стоящих в прямоугольных скобках)
в общем случае отличаются друг от друга. Это означает,
что получается такое электромагнитное состояние, кото-
282
рое соответствует уже не чисто реактивному сопротивле-
сопротивлению нагрузки, а сопротивлению нагрузки с активной со-
составляющей. В зависимости от величин U/U' и ф получа-
получаются самые различные значения полного сопротивления.
При U=—V и ф = —2яхоА имеем случай, когда соответ-
соответствующая линия, например L3, нагружена на свое волно-
волновое сопротивление. Для линии же Ы при этом получим
какое-то другое значение сопротивления нагрузки Rj ; точно
так же получим иную величину сопротивления нагрузки R'2
для входной линии. Получаю-
Получающиеся при наложении полные
сопротивления, разумеется, за-
зависят также от выбора поло-
положений короткозамыкающих
поршней в линиях Lt и L,.
Возникает вопрос, как
выбирать положения точек
короткого замыкания а\, аз
и &ь &з, чтобы получае-
получаемое в результате наложе-
наложения «состояние соответство-
соответствовало заданным значениям
сопротивлений нагрузки Ri
и R3. Представим себе
сначала, что линия L\ разорвана и в разрыв включен
трансформатор Т\, преобразующий сопротивление Ri в вол-
волновое сопротивление Z\ этой линии. За ним подключен от-
отрезок линии L, , равный длине волны А., и, наконец, еще
один трансформатор Т\, включенный обратно первому
(рис. 39.8). То же самое можно проделать в линиях L2 и
L3, в результате чего линия, включенная на входе шести-
полюсника, окажется нагруженной на сопротивление, так-
также равное волновому сопротивлению. Очевидно, что после
включения упомянутых выше промежуточных элементов
свойства шестиполюсника как элемента схемы не изме-
изменяется.
После этого в промежуточные линии L{ и L'3 необходимо
поместить короткозамыкающие поршни Kt и К3, и в проме-
промежуточной линии L'2 измерять координату узла напряжения.
При этом задача заключается в том, чтобы найти такие по-
положения короткозамыкающих поршней а\ и а'.6, а также
Ь\ и Ь'ъ , для которых наложение волн во всех трех линиях
283
Рис. 39.8. Обобщение метода изме-
измерений рис. 39.7 для случая, когда
линии ?, н L3 нагружены на сопро-
сопротивления, отличающиеся от их вол-
волновых сопротивлений.
дает бегущие волны. Данное требование удовлетворяется,
как уже отмечалось выше, если выполняется равенство
т— \ к к •
Это означает, что положения поршней выбраны правильно
тогда, когда существует линейная зависимость между пе-
перемещением поршней Ki и Кз на выходе и перемещением
узла напряжения на входе. Если, в частности, поршни Ki
и Кз сдвинуть по направлению к генератору на расстоя-
расстояние, равное половине длины волны, то узел напряжения
на входе должен приблизиться к генератору также на
расстояние в половину длины волны.
Положения а[ и а3 короткозамыкающих поршней и
положение а2 отвечающего им узла напряжения, соответ-
соответствуют определенной точке характеристической поверхно-
поверхности шестиполюсника (рис. 37.3), которая при смещении
поршней проходит по линии, расположенной на этой по-
поверхности. Если каждый из поршней Ki и Кз сдвинуть на
расстояние, равное половине длины волны, то, как это
видно из рис. 37.3, узел напряжения на входе также сме-
сместится, причем вообще говоря, это смещение может быть
равно даже длине волны. Исключением является только
случай, когда смещение осуществляется так, что со-
соответствующая линия на поверхности шестиполюсника
проходит через угол последней, и предсказываемый тео-
теорией соответствующий вершине угла скачок узла напря-
напряжения на половину длины волны не удается наблюдать
экспериментально (поскольку расстояния между узлами
напряжения составляют половину длины волны).
Тем самым найден исходный пункт для определения по-
положений F короткозамыкающих поршней Ki и Кг- Прежде
всего необходимо найти экспериментальным путем точки
разрыва S, и S, в линиях LJ и L3. После чего поршни А",
и Ks следует установить в эти точки, а затем равномерно
смещать их, например, по направлению к генератору. Узел
напряжения на входе шестиполюсника в линии L2 также
равномерно будет приближаться к генератору. Смещения
обоих короткозамыкающих поршней Kt и Ks будут пропорцио-
пропорциональны смещению узла напряжения в линии b'2 .
Взаимное расположение узлов напряжения в линиях L2
и L'2 определяется кривой закона трансформации, соот-
284
ветствующей характеристикам согласующего трансформа-
трансформатора Т2- Если изобразить зависимость положения узла на-
напряжения в линии L2 от положения короткозамыкающего
поршня К\ или Кз, то получается кривая закона транс-
трансформации, из которой можно определить характеристики
согласующего трансформатора 7V' Таким образом, для
случая Ri = Zi и R3 = Z3 (т. е. когда трансформаторы Т\ и Тг
в выходных линиях являются излишними) найден простой
метод измерения с использованием короткозамыкающих
поршней, который позволяет определять характеристики
трансформатора, согласующего вход шестиполюсника с ли-
линией.
Если нагрузочные сопротивления R, и Rs отличны от Zx
и Zs, то целесообразно иметь две вспомогательные кривые,
которые соответствуют трансформаторам 7\ и 71, и опреде-
определяют взаимное расположение узлов напряжения в линиях L,
и L\ или L3 и Lj . Используя эти кривые и определяя тео-
теоретически точки в линиях L, и L3, в которые следовало
бы поместить короткозамыкающие поршни, можно найти
действительные положения короткозамыкающих поршней
в линиях L, и L3.
Для того чтобы рассчитать распределение мощности между
нагрузочными сопротивлениями R, и Rs, достаточно знать
отношение амплитуд токов, текущих по короткозамыкателям
Кх и Кц установленным во взаимно согласованных (соответ-
(соответственно изложенному выше) точках а\ и а3. При наложе-
наложении, которое дает бегущую волну, это отношение токов
сохраняется.
Положениям короткозамыкателей в точках а\ и а3 соот-
соответствует положение узла напряжения в точке ал входной
линии. Сместим поршень Кх на небольшое расстояние Да;,
а поршень К3 на Axit последний, таким образом, чтобы
узел напряжения остался в точке а2. При этом условии
в точке аг можно было бы осуществить короткое замыка-
замыкание, а это означает, что мы имеем дело с четырехполюсни-
четырехполюсником, включенным между линиями L\ и L3. Приведенный вы-
выше случай можно истолковать так, что этот четырехполюс-
четырехполюсник трансформирует отнесенное к а\ нулевое сопротивление
также в нулевое сопротивление, определяемое в точке а'г.
1 Подробное изложение данного вопроса см. в [48].
285
Очевидно также, что этот четырехполюсник преобразует
малое реактивное сопротивление
в сопротивление /Z32nAx3/A.3. Так как в результате круго-
круговой трансформации, соответствующей четырехполюснику,
при рассмотрении небольшой области на комплексной пло-
плоскости получается геометрически подобное отображение.
Этот четырехполюсник будет трансформировать некоторое
очень малое активное сопротивление р,, отнесенное к точке
л,, в другое, также активное сопротивление
пересчитанное в точку а3 .
Таким образом, для модулей |/,| и |/, | токов, протекаю-
протекающих в точках а[ и а3, согласно закону 17.1 можно записать
IА Г р. = IЛ Iя р,-
В результате для отношения мощностей Nt и N$ (в слу-
случае, когда сопротивления нагрузок линий L\ и L'3 равны их
волновым сопротивлениям) получается очень простое выра-
выражение
Если Ri=/=Zi и И.з?=2з, то с помощью упомянутых выше
вспомогательных кривых, смещения вблизи точек щ и аз,
измеренные при неподвижном, расположенном -в точке а2,
узле напряжения следует пересчитать в соответствующие
смещения около точек я, и а3.
Применение полученных результатов при рассмотрении
дроссельного соединения двух линий
Интересным является применение приведенных выше
сведений о шестиполюсниках к соединению двух линий
(рис. 39.9). Обычно бывает необходимо, чтобы это соедине-
соединение было в электрическом отношении достаточно надежным.
Практически же очень трудно в местах соединения по
всей поверхности получить хороший контакт. Кроме того,
286
часто необходимо, чтобы та или иная линия, например
линия, по которой подается энергия к вращающейся ан-
антенне, сама вращалась вокруг общей оси системы. На
рис. 39.9 показано соединение, применяемое в этих случаях
как в двухпроводных линиях, так и волноводах. Потери
и трансформация в этом соединении практически отсут-
отсутствуют даже тогда, когда в месте стыка остается сравни-
Рис. 39.9. Неотражающее соединение линий без
непосредственного контакта. Устройство, заклю-
заключающееся между поперечным сечением В и ци-
цилиндрическими поверхностями А а С можно рас-
рассматривать как шестиполюсиик без потерь. Сле-
Следовательно, при некотором положении попереч-
поперечного сечеиия В, определяющего положение места
короткого замыкания (дно кольцевой канавки),
будет наблюдаться разрыв между Л и С и, таким
образом, устранится возможность излучения энер-
энергии наружу. Так как устройство, ограниченное
цилиндрической поверхностью А и включающее
главную линию, представляет собой симметрич-
симметричный шестиполюсник путем выбора надлежащего
расстояния от кольцевой канавки до оси линии
данное соединение можно сделать неотражающим.
тельно большой воздушный зазор, а электрический контакт
.отсутствует. Работу такого соединения можно пояснить
следующим образом.
Устройство, ограниченное поверхностями вращения А
и С, представляет собой шестиполюсник. Следовательно,
существует такое положение плоскости В (соответствую-
(соответствующее глубине кольцевой канавки, равной приблизительно
А./4), при котором произведенное в этой плоскости корот-
короткое замыкание .вызовет полный разрыв между А и С.
Главную линию с примыкающим к ней воздушным за-
зазором вплоть до поверхности А также можно рассматри-
рассматривать как симметричный шестиполюоник. Следовательно,
существует такое реактивное сопротивление в сечении А,
287
или, другими словами, такое расстояние между кольцевой
канавкой и осью главной линии, когда в последней не будет
возникать трансформации. Точные размеры канавки и рас-
расстояние ее от оси главной линии можно определить экспе-
экспериментально.
40. ЧЕТЫРЕХПЛЕЧНЫЕ РАЗВЕТВЛЕНИЯ И НАПРАВЛЕННЫЕ
ОТВЕТВИТЕЛИ
Направленные ответвители [2]
При изложении мостовых методов измерений уже упо-
упоминалось о волноводном разветвлении рис. 40.1, получив-
получившем название «двойной тройник». Поперечное сечение волно-
волноводов этого устройства выбрано таким образом, что по ним
может распространяться только волна типа #ю. Если ли-
линии L\ и Z.2 имеют одинаковые нагрузки, в частности, рав-
равные их волновому сопротивлению, а генератор подключен
к линии L4, то силовые линии электрического поля в двой-
двойном тройиике должны будут, очевидно, обладать зеркаль-
зеркальной симметрией относительно плоскости
симметрии Е. Так как в линии Z-з в слу-
случае волны типа Ню они должны быть на-
направлены или слева направо, или справа
налево, а никакой из этих случаев не от-
отвечает требованиям симметрии относи-
относительно плоскости Е, то очевидно, что
в линии L3 вообще не может возникнуть
электромагнитное поле.
Приведенный пример показывает, что
существуют такие четырехплечные раз-
разветвления без потерь (рис. 40,2), у которых по линии L3
энергия не распространяется, если линии Li. и L2 нагруже-
нагружены на их волновое сопротивление, а подача энергии осу-
осуществляется через линию L4.
Для более подробного исследования таких устройств
целесообразно применить матрицу рассеяния C6.4). Если
подача энергии осуществляется через линию L4, то ^Ф0.
Предположим, что все другие линии нагружены на свои
волновые сопротивления, тогда А1=А2=Аз=0. Так как на
выходе линии L3 энергия отсутствует, т. е. Вз=0, то в матри-
матрице рассеяния s34=0. Из симметрии матрицы рассеяния
следует, что «43 = 0. Последнее означает, что при питании
схемы через линию L3 энергия на выходе линии L4 также
должна отсутствовать.
288
Рис. 40.1. Двойной
тройник.
При шдаче энергии через линию Z-з и согласованных
нагрузках во всех других линиях в линии Z-з можно изме-
измерить некоторое полное сопротивление. Посредством вклю-
включения надлежащего трансформатора ^з, например диа-
диафрагмы, это сопротивление может быть трансформировано
в волновое сопротивление линии Z-з- Аналогичным обра-
образом в линию Li можно ввести такой трансформатор Tit при
-f-Ьл
Рис. 40.2. Четырехплеч-
ное разветвление.
Рис. 40.3. Направленный
ответвитель.
котором измеряемое со стороны линии L4 входное сопро-
сопротивление двойного тройника будет равно волновому сопро-
сопротивление этой линии (рис. 40.3). Какая-либо связь между
этими трансформаторами отсутствует, так как линии Z-з и
Li не связаны между собой. При этом в матрице рассеяния
видоизмененной схемы s33=s44=0, так как согласование
двойного тройника со стороны линий L3 и L4 означает, что
В3 = В4 = 0.
Матрица рассеяния построенной схемы примет, таким
образом, следующий вид:
D0.1)
_Применяя к ней соотношения C6.5) и учитывая, что
SikSlh ~ I S/*l*' П0ЛУчаем:
=1
Сравнивая сумму первых двух строк с суммой двух по-
последующих, можно получить
su sis
Sl» S77
sit stz
Sl* St4
sl»
0
0
*»4
0
0
19—52
289
Поскольку слагаемые всегда положительны, Должно выпол-
выполняться равенство sI1==sia = saa = 0. Таким образом, из ма-
матрицы рассеяния вида D0.1) следует непосредственно ма-
матрица вида
0 0
0 0
«I.
«2,
0
0
«14
«24
0
0
Последнее означает, что если линии L3 и L4 схемы, изо-
изображенной «а рис. 40.3, нагрузить «а волновые сопротив-
сопротивления, а энергию подводить по линии L\, то в линию /,2
энергия уже не будет поступать и, наоборот, если питание
осуществить через линию L%, то энергия не поступит в ли-
линию L\. Четырехплечное разветвление со свойствами
схемы рис. 40.3 получило название «направленного ответ-
ответвителя».
Предположим, что энергия к согласованному относи-
относительно всех своих выходных зажимов направленному от-
ветвителю подается через линию L\. Тогда для любой пло-
плоскости поперечного сечения А линии L\ в линии L3 имеется
отсчетная плоскость С, которой соответствует то же самое
значение фазы. Это означает, что относительно данных
отсчетных плоскостей Si3=a будет положительным дейст-
действительным числом. Одновременно в линии L± можно вы-
выбрать плоскость поперечного сечения D так, что фазы волн
в сечениях А и D будут отличаться друг от друга на 90°, и,
таким образом, Su становится чисто мнимым числом, рав-
равным —/р. Предположим далее, что к генератору подклю-
подключена линия L2 направленного ответвителя. Очевидно, что
всегда можно выбрать поперечное сечение В, в котором
волна будет иметь ту же фазу, что и волна в сечении D,
так что Su также становится некоторым действительным и
положительным числом у. Из равенства
следует тогда, что а=у» а из соотношения
что |sM| =
Наконец, учитывая, что sl3- Sh+s23
сать s2s=—/p.
290
= 0, можно запи-
запиТаким образом, относительно специально выбранных
отчетных плоскостей А, В, С и D матрица рассеяния на-
направленного ответвителя принимает вид
0 0а — /р
0 0 —/р а
а —/р 0 0
—/р а 0 0
При этом коэффициенты а2 и р2, называемые «коэффи-
«коэффициентами связи», характеризуют отношение, в котором под-
подведенная по линии Z-i мощность распределяется между ли-
линиями L3 и LA. Например, в двойном тройнике, где вслед-
вследствие симметрии мощность делится пополам, а2={$2=У2-
Равенство нулю диагональных членов матрицы рассеяния
направленного ответвителя означает, что последний яв-
является согласованным со стороны любой из подсоединен-
подсоединенных к нему линий при подключении к выходным зажимам
всех остальных линий согласованных нагрузок. Таким обра-
образом, направленный ответвитель является полностью согла-
согласованным устройством.
Закон 40.1
Направленный ответвитель является полностью согла-
согласованным устройством, и, наоборот, любое полностью согла-
согласованное четырехплечное разветвление является направ-
направленным ответвителем.
Доказательство обратного положения основано на со-
соотношениях C6.5). Подробно этот вопрос здесь не рассма-
рассматривается.
Четырехплечное разветвление общего вида
Для четырехплечного разветвления общего вида без
потерь справедлив следующий закон.
Закон 40.2
Четырехплечное разветвление без потерь можно или
превратить в направленный ответвитель путем включения
соответствующих трансформаторов в три подключенные
к нему линии, или представить в виде последовательного
соединения двух шестиполюсников без потерь (рис. 40.4) [2].
Предположим, что энергия в четырехплечное развет-
разветвление (рис. 40.2) поступает через линию Lu а в линиях
L3 и Ц размещены короткозамыкающие поршни. При не-
19* 291
J±
-Сд
Рис. 40.4. Последовательное
включение двух шестиполюс-
ников.
изменном положении а3 короткозамыкающего поршня ли-
линии L3 схема является шестиполюсником. Поэтому в ли-
линии L4 имеется такое положение а4 короткозамыкающего
поршня, которое обусловливает разрыв между линиями
L\ и L2. При этом узел напряжения в линии Lx будет рас-
располагаться в некоторой точке щ. Аналогичным образом
для некоторого второго положения Ъ3 короткозамыкающе-
короткозамыкающего поршня в линии L3 можно найти соответствующие точки
Ь\ и 64 в линиях L\ и L4.
Так как в обоих случаях линия L2 является изолирован-
изолированной, короткое замыкание, осуществляемое в любой ее точ-
точке, не окажет влияния на положение точек а и Ь. В этом
случае схема представляет со-
собой шестиполюсник, поэтому
данные, касающиеся точек а
и Ь, можно получить с помощью
характеристической поверхно-
поверхности шестиполюсника (рис. 37.3).
При этом видно, что смещение
короткоза мыкающих поршней
или узлов напряжения в двух
линиях в направлении к раз-
разветвлению в третьей линии
должно вызвать, наоборот, удаление от разветвления узла
или места короткого за'мыкания. Не ограничивая общности
рассуждений, можно предположить, что в качестве послед-
последней выбрана линия L\ и, что, таким образом, точки &з и 64
(рис. 40.2) лежат ближе к разветвлению, а точка Ь\ удале-
удалена от него на большее расстояние.
Двум случаям, соответствующим размещению коротко-
замыкающих поршней (узлов напряжения) в точках а или
в точках Ь, отвечают два электромагнитных • состояния Л
и В, которые можно наложить друг на друга согласно вы-
выражению 39.1.
В результате получим новое электромагнитное состоя-
состояние, которое соответствует оконечным нагрузкам R3 и R4
линий L3 и Li, не являющимся уже чисто реактивными.
Измерение сопротивления во входной линии дает также
комплексное полное сопротивление Ri. Возможно, в част-
частности, наложение, при котором R3 равно волновому сопро-
сопротивлению Z3 линии L3. При этом в линию L4 можно вклю-
включить соответствующий трансформатор так, что и эта линия
будет нагружена на сопротивление R4, равное волновому
сопротивлению Z4 линии L4. Это видоизмененное четырех-
292
плечное разветвление можно затем, как уже отмечалось
выше, с помощью двух других трансформаторов, включае-
включаемых в линии L\ и L2, превратить в направленный ответ-
витель.
В приведенных выше рассуждениях предполагалось,
что точки а и Ь ни в одной из линий не совпадают. Если
оказывается, однако, что они совпадают, например, в ли-
линии L\, то х0 в выражении 39.1 для этой линии становится
равным нулю и при наложении состояний Л и В в линии
Li всегда имеет место чисто стоячая волна с фиксирован-
фиксированным положением узла напряжения. При этом будем иметь
тот же случай, что и представленный на рис. 40.4, где пу-
путем короткого замыкания в некоторой точке е4 линии Li
можно прекратить подачу мощности в линию L2. В зависи-
зависимости от выбора значений U/U' и ф выражение 39.1 будет
описывать передачу мощности из линии L\ в линию L3
или из L3 в Li.
Если в уравнении 39.1 для линии L4 положим, в част-
частности, U=—U' и ф=0, то в линии L4, вообще, будет от-
отсутствовать электромагнитное поле. Равенство ф=0 озна-
означает, кроме того, что в линиях L\ и L3 имеют место
стоячие волны. Следовательно, в линии L3 (это справедли-
справедливо также для случая рис. 40.4) короткое замыкание можно
осуществить в такой точке с3, что прекратится подача мощ-
мощности из линии L\ как в линию L2, так и в L4. Аналогич-
Аналогичным образом короткое замыкание, осуществляемое в над-
надлежащем сечении с\ линии Lt, вызывает изоляцию линии
L3 как от линии L2, так и от Z.4.
Наконец, в устройство (рис. 40.2) можно подать энер-
энергию через линию L2. 'При этом, если короткое замыкание
в точке с4 линии L4 приводит к прекращению передачи
мощности из линии L] или L3 в линию L2, то и, наоборот,
оно также должно воспрепятствовать передаче мощности,
поступающей из линии L2, вследствие чего в линии L^ узел
«апряжения будет находиться в определенной точке сг.
В результате короткого замыкания в произвольном сече-
сечении линии L3 разветвление становится шестиполюсником.
Если короткое замыкание в точке с4 линии L4 прерывает
передачу мощности из линии L2 в линию /.,, то и, наобо-
наоборот, короткое замыкание в точке с2 линии L2 обусловли-
обусловливает также разрыв между линиями L4 и Li. Аналогичные
рассуждения показывают, что короткое замыкание в точке
с2 линии L2 одновременно вызывает разрыв между линия-
линиями Lt ,и L3. Таким образом, четырехплечное разветвление
293
в отношении всех своих свойств совпадает со схемой
рис. 40.4. Может оказаться также, что та или иная под-
подключаемая линия, вообще, не связана с другими линиями.
Метод измерений, основанный иа применении
короткозамыкающих поршней
Предположим, что для случая, когда ни в одной из ли-
линий (рис. 40.2) положения а и Ъ поршней или узлов при
наложении двух электромагнитных состояний не совпада-
совпадают, получены значения оконечных полных сопротивлений»
Кз и R4, при подключении которых передача мощности из;
линии Lx в линию L2 прекращается. Короткое замыкание,,
осуществляемое при этом в любом сечении линии Z-2 и*,
превращающее устройство в шестиполюсник, не вызовет,
никаких изменений электромагнитного состояния. Поэтому
при определении характеристик согласующих трансформа-
трансформаторов здесь можно воспользоваться данными, приведенны-
приведенными в § 39.
Как уже говорилось, вначале можно произвольно вы-
выбрать линию, в которую не будет включаться трансформа-
трансформатор (например, линию L3). Координату поршня или узла
напряжения в этой линии следует затем откладывать по
оси абсцисс, а по оси ординат откладывать соответствую-
соответствующие координаты поршней или узлов напряжения в двух
других линиях, при которых происходит прекращение пе-
передачи мощности в линию Z-2- В результате получаются
две кривые, которые согласно изложенному в § 39 явля-
являются кривыми закона трансформации, так как определен-
определенные положения поршня соответствуют вполне определен-
определенным значениям полных сопротивлений, получаемых при
надлежащем наложении, соответствующем • выражению
C9.1). Таким способом определяются параметры транс-
трансформаторов, включаемых в линии Lx и L4.
Осуществляя подачу энергии в четырехплечное развет-
разветвление через линию L2, можно аналогичным способом опре-
определить параметры трансформатора, включаемого в ли-
линию Z-2-
Так же, как это описано в § 39, можно посредством из-
измерения положений короткозамыкающего поршня опреде-
определить, в каком отношении мощность, поступающая в линию
L\, делится между линиями L3 и L4, т. е. найти коэффици-
коэффициенты связи а2 и р2. Для этой цели короткозамыкающий
поршень помещают в произвольную точку изолированной
294
-Линии L2, в то время как в линиях L3 и Ц короткозамы-
кающие поршни размещают в обусловливающих разрыв
; положениях а3 и а4. Затем определяют координату узла на-
напряжения at в линии Li. Небольшое смещение Ах3 поршня
' в линии Ц делает необходимым сдвиг на Дх4 точки коротко-
го замыкания в линии L4 при условии, что узел напряжения
остается в точке аь Если в линиях L3 и L4 еще не включе-
включены согласующие трансформаторы, следует, используя упо-
упомянутые выше кривые закона трансформации, пересчитать
Д.*, и Axt в соответствующие согласованию смещения Длг3'
и Дл;4. Обозначим активную мощность, передаваемую из ли-
линии L, в линию L,, через N3, а мощность, поступающую
в линию Lv через Nt. Тогда можно записать
Некоторые типы направленных ответвителей
Рис. 40.5 поясняет общий принцип, положенный в ос-
основу направленных ответвителей. Волна, входящая в ли-
линию Ц, может поступать в линию L2 двумя различными
путями. Если последние отличаются друг от друга на по-
половину длины волны, то в соответствующих нагрузках,
Рис. 40.5. Схема, иллюст-
иллюстрирующая общий принцип,
положенный в основу на-
направленных ответвнтелей.
Рис. 40.6. Направленный ответвителЬ
из двух расположенных параллельно
волноводов. Расстояние между отвер-
отверстиями связи равно Л/4.
подключаемых к линиям, произойдет полное взаимное по-
погашение составляющих исходной волны. Очевидно, что рас-
рассматриваемое устройство всегда можно превратить в на-
направленный ответвитель.
Электрические длины отрезков 1Х и Ц на рис. 40.5 в от-
отдельных случаях могут быть равны нулю. Это имеет место,
например, в часто применяемом направленном ответвите-
ле, изображенном на рис. 40.6, где два волновода связаны
295
Между собой через бтверстйя связи, расположеннУе Друг
от друга на расстоянии, равном четверти длины волны.
Так как пути от линии Lx через различные отверстия связи
к линии L2 отличаются друг от друга на 'половину длины
волны» энергия входящей в Lx волны, при идеальном согла-
согласований оконечных нагрузок всех линий, в линию L2 посту-
поступать не будет, часть же ее энергии, зависящая от разме-
размеров отверстий связи, пройдет в линию L4. Такого рода
устройство применяется, например, для измерения прохо-
проходящей мощности. Для этого в линию Li помещают детек-
детектор, а к линии L2 подключают согласованную нагрузку,
например одну из изображенных на рис. 27.8,6.
. Другим типом направлен-
2 ного ответвителя является
Рис. 40.7. Направленный ответ- Рис. 40.8. Принцип действия от-
витель Бете. ветвнтеля Бете.
так называемый ответвитель Бете (рис. 40.7). В этом случае
два волновода, по которым распространяются волны ти-
типа #,о, связаны только через одно отверстие, расположен-
расположенное посредине их широких стенок (рис. 40.8). При этом
возникает связь как электрическая, посредством электри-
электрических (сплошных) линий, так и магнитная, посредством
магнитных силовых линий или токов (изображены пунк-
пунктиром). Линии тока, прерываемые отверстием, изгибаются
и проникают в смежный волновод, вызывая там по одну
сторону от отверстия приток, а по другую—утечку заря-
зарядов. Вследствие этого возникают новые силовые линии
электрического поля (показаны штриховыми линиями),
которые в примере, представленном на рис. 40.8 (направ-
(направления стрелок соответствуют волне, бегущей по волноводу
слева направо), вызывают усиление электрического поля
слева От отверстия связи и ослабление поля справа от не-
него. Более точные исследования показывают, что магнитная
связь посредством токов является более сильной. Повора-
Поворачивая один из волноводов вокруг оси отверстия, связь мож-
можно ослабить и установить такой, что электрическое поле
справа от отверстия полностью исчезнет.
296
Волна, поступающая в линию Lu в этом случае в верх-
верхнем волноводе возбуждает волну, распространяющуюся
в направлении L4. При наличии согласованной оконечной
нагрузки между линиями L\ и L2, а также между Lz и Li%
имеет место разрыв.
41. ВОЗБУЖДЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН ''
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
За редким исключением в волноводе стремятся осуще-
осуществить передачу только на одном типе волны. Этого легче
всего достигнуть выбором размеров волновода, при кото-
которых на определенной частоте возбуждается только один
тип волны. Применение волновода с поперечным сечением
прямоугольной формы (рис. 21.2) обусловливается именно
этой причиной. В диапазоне длин волн
по такому волноводу может распространяться, не затухая,
только волна типа Ню.
Следующим по важности является тип волны ?«, воз-
возникающей в круглом волноводе (рис. 21.8). Значение это-
этого типа определяется осевой симметрией его поля. Пере-
Передающие линии с таким типом волны применяются, напри-
например, для подачи энергии к вращающимся антеннам, при-
причем два отрезка круглого волновода соединяются друг
с другом таким образом, что во время ра'боты один из них
остается неподвижным, в то время как другой вращается
вокруг их общей оси (трудности в получении надежного
контакта между ними можно устранить, если использовать
соединение, подобное изображенному на рис. 39.9).
В данном случае вращение не оказывает какого-либо
влияния на волну. Распространение волны этого типа без
затухания возможно при условии, если А,<2яр/2,40. До тех
пор, пока .выполняется неравенство А,>2яр/3,0, в волново-
волноводе одновременно с волной типа Ет может распространять-
распространяться только волна типа #ц. Чтобы предотвратить возбужде-
возбуждение последней, необходимо предпринять надлежащие меры.
Для того чтобы возбудить определенный тип волны, не-
необходимо в области элемента связи получить такую кон-
конфигурацию поля, при которой имелись бы общие состав-
составляющие с полем возбуждаемого типа волны.
В случае, изображенном на рис. 21.5, за счет штыря,
выступающего из наружного проводника коаксиальной ли-
397
нии, создается электрическое поле, силовые линии которо-
которого заканчиваются на нижней поверхности волновода и,
следовательно, частично проходят параллельно .силовым
линиям волны типа Н10. Кроме того, ток на выступающем
отрезке штыря создает магнитные силовые линии, направ-
направление которых частично совпадает с направлением магнит-
магнитных силовых линий волны типа Н10.
Штырь связи, расположенный в круглом волноводе сбо-
сбоку (рис. 21.6), подобным образом, возбуждает волну типа
#ц. Устройство, обладающее симметрией вращения
Рис. 41.1. Переход от волновода с прямоугольным
поперечным сечением н типа волны //,„ к круг-
круглому волноводу, по которому распространяется
волна ?¦„,. При условии, если степень связи коакси-
коаксиальной линии с обоими волноводами одинакова (оди-
(одинаковые коэффициенты трансформации k) и надле-
надлежащей длине коаксиальной линии (расстояние а на
рис. 33.1 должно быть равным нулю) переход на
заданной частоте не будет вносить отражений.
(рис. 21.3), в круглом волноводе может возбуждать только
волну типа Ет, также обладающую симметрией вращения1.
До тех пор, пока связь не вносит какой-либо асимметрии,
исключается возможность возбуждения несимметричного
типа волны #ц. Правда, последний может возбудиться
благодаря наличию несимметричных неоднородностей
в линии или асимметрии оконечной нагрузки.
Важной проблемой является преобразование одного ти-
типа волны в другой, например, в случае 'перехода от прямо-
прямоугольного волновода с типом волны Hi0 к круглому волно-
волноводу с волной Е01. На рис. 41.1 показан один из способов
решения этой проблемы. Оба волновода в этом случае так
связаны между собой через отрезок коаксиальной линии,
что при соответствующих размерах поперечного сечения
в круглом волноводе может возбуждаться только вол-
волна Ет.
шим.
296
1 При условии, что диаметр волновода является ие слишком боль-
Пр'й* одэднакояьгж коэффициентах трансформации, соот-
ветствующих. каждому из двух переходов от коаксиальной
линии к волноводу, и надлежащей длине отрезка коакси-
коаксиальной линии устройство в целом, используя данные § 33
без особого труда, можно сделать неотражающим на од-
одной частоте.
Вполне возможен также непосредственный переход от
прямоугольного волновода к круглому (как это показано
Рис. 41.2. Непосредственный переход от
прямоугольного волновода к круглому.
Рис. 41.3. Ц Концентрические
кольцевые проводники в круг-
круглом волноводе, применяемые
для подавления волны типа
на рис. 41.2). Если при
данном диаметре круг-
круглого волновода воз-
возможно распространение
волны Еои то в этом
случае, как правило, возникает также волна #ц. Для по-
подавления этого типа волны рекомендуется применять специ-
специальные проволочные решетки. Проводники, расположенные
в виде колец, показанных на рис. 41.3, оказывают неболь-
небольшое влияние на силовые линии поля волны Ет, в то время
как волна Нп наводит в них сильные токи и поэтому по-
подавляется. Вместо нескольких проводящих колец в 'боль-
'большинстве случаев применяют одно широкое кольцо соответ-
соответствующих размеров.
На рис. 41.4 показан переход, который в последние го-
годы войны применялся в американском радиолокаторе Ъ-см
диапазона. Подавление волны Нп в этом случае достига-
достигалось вследствие надлежащей установки короткозамыкаю-
щего поршня вблизи точки С линии. Так как линия вблизи
точки С уже, чем около точки А, существует такой диапа-
диапазон частот, внутри которого около точки А могут возникать
как волна Ет, так и волна Я1Ь в то время как вблизи точ-
точки С возможна только волна типа #ц. В этом случае устрой-
устройство соответствует четырехплечному разветвлению, так как
299
I
¦можно мысленно представить се'бе, что каждый ИЗ Двух
типов волн, существование которых вблизи точки А воз-
возможно, распространяется вдоль своей собственной линии.
В § 40 было показано, что четырехплечное разветвле-
разветвление, если оно не может быть 'преобразовано в направлен-
направленный ответвитель, распадается на два последовательно
включенных шестиполюсника (рис. 40.4). Это означает, что
короткое замыкание, осуществленное в надлежащем месте
одной из линий, может вызвать изоляцию другой. Действи-
Действительно, опыт показывает, что короткое замыкание линии,
осуществляемое в определен-
определенном месте около точки С, при-
приводит к подавлению волны ти-
типа Нц вблизи точки А. Прав-
Правда, на частоте, используемой в
упомянутом радиолокаторе,
вблизи точки С в волноводе
может распространяться также
волна ?оь однако указанное
обстоятельство и в этом случае
А сохраняет свою силу. Посколь-
Поскольку вблизи точки С могут воз-
возникать волны двух типов, су-
существует еще другое положе-
положение короткозамыкающего пор-
поршня, при котором подавляется
волна ?oi, в результате чего в
линии вблизи точки А остает-
остается только волна Нц.
Экспериментально опреде-
определить положение короткозамы-
короткозамыкающего поршня вблизи се-
сечения С, при котором имеет место разрыв, можно .на-
.например, следующим образом. Прямоугольнцй волно-
волновод, расположенный около точки В, через измеритель-
измерительную линию подключается к генератору, а вблизи то-
точек Л и С размещаются короткозамыкающие порш-
поршни. При неизменном положении короткозамыкающего
поршня около точки С устройство, заключенное между точ-
точками А и В, представляет собой шестиполюоник, так как
вблизи точки А существуют волны двух типов. Далее при
постоянной частоте определяется зависимость координаты
узла напряжения, расположенного вблизи точки В, от по-
положения короткозамыкающего поршня вблизи точки А.
300
Рис. 41.4. Переход от волно-
волновода с прямоугольным попереч-
поперечным сечением и типом волны //,,
к волноводу с круглым попереч-
поперечным сечением и типом волны ?,,.
В зависимости от выбора места
короткого замыкания около
точки С в волноводе вблизи
точки А можно подавить тип
волиы //,
или
При этом в общем случае кривая закона трансформации
не получается, так как смещение короткозамыкающего
поршня вблизи точки А в схеме эквивалентного шестипо-
шестиполюсника (рис. 37.1) эквивалентно изменению положения
короткозамыкающего .поршня как в линии L\, так одно-
одновременно и в линии Z-з. Поэтому узел напряжения вблизи
точки В перемещается быстрее, чем это соответствовало
бы кривой закона трансформации. Однако, если располо-
расположенный вблизи точки С (рис. 41.4) короткозамыкатель
установить в точке, соответствующей подавлению, напри-
например волны Нц, то около точки А возникает только волна
Еоь Для схемы рис. 37.1 это означает, что в линию L3
(предположим, что ей соответствует подавляемый тип вол-
волны) энергия «е поступает, так что перемещение короткого
замыкания в .ней не оказывает никакого влияния на ре-
режим других линий. Схема, заключенная между точками А
и В (рис. 41.4), при этом представляет собой четырехпо-
четырехполюсник и для «ее можно снять кривую закона трансфор-
трансформации. Наоборот, из рассмотрения кривой закона транс-
трансформации можно установить, что вблизи точки А имеет
место действительно волна только одного типа, который
можно определить, исходя из соответствующей ему длины
волны в волноводе, т, е. из длины наблюдаемого вблизи
точки А пространственного периода.
Для того чтобы определить положение короткозамыкаю-
короткозамыкающего поршня вблиаи сечения С, соответствующее разры-
разрыву, необходимо для различных положений этого поршня
снять кривые смещения узла напряжения для части схе-
схемы, расположенной между сечениями А и В, по ходу ко-
которых можно затем установить момент приближения порш-
поршня к искомому положению. Эти кривые имеют такой же
вид, как и кривая, изображенная на рис. 41.5. По своему
виду, если не учитывать внезапных скачков в половину
длины волны вблизи сечения В, последняя приблизительно
соответствует кривой закона трансформации. Приближе-
Приближение к точке разрыва означает, что в эквивалентной схеме
(рис. 37.1) между линиями L2 и L3 имеет место сильная
трансформация. Смещение места короткого замыкания
в линии Ц, осуществляемое в широких пределах, не оказы-
оказывает почти «икакого влияния на положение узла напряже-
напряжения в линии L2 и лишь только в небольшой части диапазо-
диапазона перемещений внезапно приводит к быстрому смещению
узла напряжения, расположенного вблизи точки В. При
дальнейшем приближении к точке разрыва наблюдаемые
301
•на кривой (рис. 41.5) скачки становятся все более резки-
резкими и, наконец, вследствие влияния всегда имеющихся по-
потерь превращаются в небольшие выпуклости («а рис. 41.5
'показаны пунктиром), которые при размещении коротко-
замыкающего поршня в точке разрыва вблизи точки С
исчезают совсем.
Рнс. 41.5. Метод измерений, используемый
для определения соответствующих разрыву
положений короткозамыкающего поршня
вблизи точки С (рнс. 41.4). Вблизи точки А
лнннн помещается короткозамыкающий пор-
поршень н определяется зависимость коорди-
координаты у узла напряжения во входной линии
от координаты этого поршня х.
Если короткозамыкающий поршень, рас-
расположенный вблизи точки С, находится в
соответствующем разрыву положении, по-
получается кривая закона трансформации.
В противном случае координата у изменяется
значительно сильнее. Прн приближении к
точке разрыва лишь в отдельных небольших
областях Q имеет место отклонение от кри-
кривой закона трансформации.
42. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧАСТОТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ТРАНСФОРМИРУЮЩИХ СВОЙСТВ Bя)-ПОЛЮСНИКА
И ШИРОКОПОЛОСНЫЕ ПОЛНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Трансформирующие свойства B/г)-полюсника в общем
случае зависят от частоты. Поэтому диаграммы или экви-
эквивалентные схемы справедливы, строго говоря, только на
той частоте, для которой они построены. Для большинства
схем диапазона дециметровых и сантиметровых волн мож-
можно лишь с большим трудом, или вовсе нельзя, рассчитать
частотную зависимость. Поэтому в диапазоне, представляю-
представляющем интерес, приходится производить измерения для не-
нескольких длин волн. Изображая полученные результаты
в виде кривых, устанавливающих зависимость от частоты
тех или иных переменных, (например, перемещения фикси-
фиксированной точки, величины угла поворота в случае четырех-
четырехполюсника эллиптического типа или параметров транс-
трансформации рис. 28.2), можно определить из этих кривых
трансформирующие свойства для любой длины волны, ле-
лежащей в данном диапазоне.
Часто также является важным следующее. Предполо-
Предположим, что известна диаграмма трансформации четырехпо-
302
люсника для частоты /i. Для другой частоты fa представ-
представляет интерес не столько полная диаграмма, сколько изме-
изменение значения входного сопротивления четырехполюсни-
четырехполюсника, полученного в результате трансформаций на частоте /i
при переходе от /f к fa (в случае неизменного сопротивле-
сопротивления, подключенного к выходу четырехполюсника). Эта за-
задача может быть решена с помощью построения, которое
называют «дифференциальной диаграммой трансформа-
трансформации» [1].
Пусть на частоте /i четырехполюснику соответствует
круговое отображение А, а на частоте fa— несколько отли-
отличающееся круговое отображение В. Тогда согласно теории
групп должно существовать однозначное круговое отобра-
отображение (ВА~1). Последнее обладает тем свойством, что
(ВА~1)А = В. Это означает, что вместо того, чтобы
непосредственно выполнять круговое отображение В, мож-
можно произвести сначала отображение А и затем (ВА~1).
Отображение {ВА~1) является как раз упомянутой выше
дифференциальной трансформацией. В случае четырехпо-
четырехполюсника без потерь А~1 обеспечивает отображение правой
полуплоскости самой на себя, отображение В обладает
тем же свойством, а следовательно, и (ВЛ~') также обес-
обеспечивает круговое отображение правой полуплоскости са-
самой на себя. Соответственно преобразование (ВА~*) для
четырехполюсника без потерь всегда может быть представ-
представлено диаграммами типа рис. 12.2, 12.4, 12.5.
Диаграмму типа (ВА-1) можно найти с помощью гео-
геометрического построения из диаграмм, соответствующих
отображениям В и Л, способом, применявшимся при по-
построении общей диаграммы последовательно включенных
четырехполюсников. В качестве примера рассмотрим слу-
случай, представленный на рис. 42.1. Пусть диаграмма А опре-
определяется фиксированной точкой F\ и углом поворота аь
а диаграмма В — фиксированной точкой F2 и углом а2.
Диаграмма А~1 отличается от диаграммы А только на-
направлением, в котором отсчитывается угол поворота. Гео-
Геометрические построения, аналогичные изображенным на
рис. 32.2, дают возможность определить точки Q, F3 и угол
поворота аз. Полное сопротивление нагрузки, очевидно,
будет трансформироваться четырехполюсником как на ча-
частоте /i, так и на частоте fa в сопротивление F3. Таким об-
образом, ^з является фиксированной точкой, а аз — углом
поворота, соответствующими дифференциальной трансфор-
трансформации (ВА~1). Вместо того чтобы сразу выполнить круго-
303
вое отображение В с фиксированной точкой F2 и углом по-
поворота (Z2, сначала можно произвести отображение А с F\
и «i, а затем круговое отобра-
r fl жение с F3 и а3.
Итак можно сформулиро-
сформулировать следующий закон.
Закон 42.1
Для двух произвольно вы-
выбранных частот /i и /2 всегда
можно подобрать такое сопро-
сопротивление нагрузки четырехпо-
четырехполюсника Q, которое на каж-
каждой из этих частот трансфор-
трансформируется в одно и то же вход-
входное полное сопротивление F3.
Если частоты /, и /2 мало от-
отличаются друг от друга, то
очевидно, что Q является тем
сопротивлением нагрузки че-
четырехполюсника, которое он,
по крайней мере, в первом при-
приближении трансформирует не-
независимо от частоты.
Если речь идет о четырех-
четырехполюснике с сильной частотной
зависимостью, то часто целе-
целесообразно при создании широ-
широкополосных схем в качестве
сопротивления нагрузки четы-
четырехполюсника, если это воз-
возможно, выбирать сопротивле-
сопротивление Q. Поэтому Q получило на-
название «широкополосного со-
соРнс. 42.1. Дифференциальная
диаграмма трансформации. Четы-
Четырехполюсник, которому на часто-
частоте f, соответствует фиксирован-
фиксированная точка Ft н угол поворота о,,
а на частоте ft— фиксированная
точка рг и угол поворота о2, на
обоих частотах трансформирует
полное сопротивление нагрузки Q
во входное полное сопротивление
F,. Если fi л ft являются смеж-
смежными частотами, то Q является
.широкополосным полным сопро-
сопротивлением нагрузки", a F,—.ши-
F,—.широкополосным входным полным
сопротивлением" четырехполюс-
четырехполюсника. Трансформация на частоте
ft может быть осуществлена по-
последовательным выполнением
трансформации с фиксированной
точкой Ft и углом поворота о,
н дифференциальной трансфор-
трансформацией с фиксированной точкой
F, н углом поворота о,.
противления нагрузки» четы-
четырехполюсника для частотного диапазона от /i до /г, а соот-
соответствующее ему входное сопротивление — «широкополос-
«широкополосного входного сопротивления» [1]'.
' Конечно, может оказаться, что частотная зависимость будет
настолько большой, что соответствующие частотам fi н ft широкопо-
широкополосные сопротивления будут постоянными только в узком частотном
диапазоне. Выражение «шнрокополосный> следует тогда понимать от-
относительно, т. е! в сравнении с другими сопротивлениями, трансформи-
трансформированные значения которых с частотой изменяются еще быстрее.
304,
В случае четырехполюсника с потерями обычно в узком
диапазоне частот можно 'пренебречь изменением активной
составляющей полного сопротивления и оперировать, как
это и делается в дальнейшем, только с реактивной состав-
составляющей.
Дифференциальная диаграмма трансформации четы-
четырехполюсника для двух близких друг к другу длин волн
может быть только эллиптического или параболического
типа. Увеличению частоты на диаграмме соответствует
вращение по часовой стрелке. Это следует из общего за-
закона, согласно которому с возрастанием частоты точка, со-
соответствующая реактивному сопротивлению, может пере-
перемещаться вдоль мнимой оси только вверх. Если бы можно
было построить дифференциальную диаграмму гиперболи-
гиперболического типа, то, очевидно, что из этого правила необходи-
необходимо было бы сделать исключения.
43. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
К СОГЛАСОВАНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ КАБЕЛЕЙ
В качестве .примера 'применения сведений о широкопо-
широкополосном сопротивлении, упомянутом в .предыдущем пара-
параграфе, рассмотрим определение оптимального, т. е. согла-
согласованного, сопротивления нагрузки технического кабеля
[49]. Такого рода кабель на сантиметровых волнах часто
нельзя рассматривать как совершенно однородный '. Кро-
Кроме того, известны трудности, связанные с необходимостью
соединения кабеля с жесткой однородной линией: обычно
трудно разработать такой соединитель, который не давал
бы отражений, т. е. не вызывал бы трансформации. Так,
например, даже тролитуловая вставка толщиной всего
в 6 мм, применяемая для крепления внутреннего провод-
проводника, на волне 14 см дает трансформацию сопротивлений
с коэффициентом 1,5. С другой стороны, нельзя измерить
характеристики самого кабеля без соединителя, необходи-
необходимого для подключения кабеля к связанным с ним линиям.
В связи с этим возникает вопрос, как Же, вообще, мож-
можно определить оптимальную величину сопротивления, при-
присоединяемого к кабелю в качестве нагрузки.
Чтобы ответить на этот вопрос, следует обратиться
снова к § 25, где обосновывается целесообразность согла-
согласования нагрузки с однородной линией. Прежде всего не-
1 В частности это относится к кабелю, частично заполненному
диэлектриком.
20—52 305
обходимо избегать слишком большой зависимости входно-
входного сопротивления от частоты. Последнее достигается под-
подключением к однородной линии «агрузки с сопротивле-
сопротивлением, равным ее волновому сопротивлению.
На низких частотах, когда технический кабель, вклю-
включая соединители, можно рассматривать как однородную
линию, дело обстоит просто. Волновое сопротивление ка-
кабеля можно определить, например, путем измерения вход-
входных сопротивлений RK3 и Rxx при короткозамкнутом и ра-
разомкнутом выходах, из которых волновое сопротивлениеZ
Рнс. 43,1. Диаграмма трансформации входного со-
сопротивления кабеля, нагруженного на несогласован-
несогласованную нагрузку. Если однородный кабель с волновым
сопротивлением Z нагружен на сопротивление, от-
отличное от Z, то точка, соответствующая его вход-
входному полному сопротивлению R2 при изменении
частоты будет перемещаться по окружности К, для
которой точка Z является кругогеометрнческнм
центром.
рассчитывается по формуле Z = l/^RK3Rxx. На сантиметровых
волнах такого рода измерения даже при относительно малой
частотной зависимости приводят к совершенно неправильному
результату.
Оптимальной оконечной нагрузкой кабеля является вве-
введенное в § 42 широкополосное сопротивление нагрузки.
Его можно определить, используя метод, описанный в пре-
предыдущем параграфе. Однако в данном частном случае
этот метод можно упростить. Для совершенно однородного
кабеля широкополосное сопротивление нагрузки должно
равняться его волновому сопротивлению Z. Если же к ка-
кабелю присоединить какое-нибудь другое сопротивление Ri.
то его входное полное сопротивление V^2.?=Z (если прене-
пренебречь частотной зависимостью сопротивления нагрузки Rr)
будет изображаться точкой, которая с возрастанием часто-
частоты проходит вдоль окружности, заключающей точку Z,
в направлении по часовой стрелке (рис. 43.1). Характер-
Характерно, что, если пренебречь потерями, влияние которых в дан-
данном случае незначительно, Z будет представлять собой
точку пересечения всех окружностей, которые перпенди-
перпендикулярны как к упомянутой выше окружности К, так и
к мнимой оси. Таким образом, точка Z является кругогео-
метрическим центром окружности К (см. примечание к § 12).
#
Как видно на примере диаграммы эллиптического типа
в виде семейства ортогональных окружностей (рис. 43.2),
любой окружности К правой полуплоскости однозначно со-
соответствует кругогеометрический центр 5. Для него спра-
справедливо соотношение ab = c2, где величины а, Ь и с опреде-
определяются рисунком 43.2. Если диаметр окружности К мал
по сравнению с расстоянием от этой окружности до мни-
мнимой оси, то точка 5 лишь незначительно смещена от ее
центра.
Точка R2 описывает 'полную окружность К (рис. 43.1),
когда частота изменяется так, что на кабеле укладывается
число полуволн на единицу большее, чем раньше.
Если, например, длина кабеля 30 м, частота 2- 109 гц
и если к тому же для 'простоты диэлектрическую постоян-
постоянную кабеля принять за единицу, то Я=15 см. В этом слу-
случае достаточно уже изменения длины волны «а 25%, для
того чтобы точка R2 описала .полную окружность. Из экс-
экспериментально снимаемой кривой, описываемой точкой R?,
т. е. из окружности К, точка Z может быть определена как
ее юругогеометрический центр.
Предположим далее, что однородный кабель снабжен
временными соединителями, трансформирующие свойства
которых неизвестны, и что на выходе подключено постоян-
постоянное полное сопротивление Ri, частотной зависимостью ко-
которого в выбранном диапазоне можно пренебречь.
За счет ближайшего к выходу соединителя сопротивле-
сопротивление Ri непосредственно на конце кабеля трансформирует-
трансформируется в сопротивление R,. Поскольку всегда можно прене-
пренебречь частотной зависимостью соединителей по сравнению
с частотной зависимостью самого кабеля, имеющего зна-
значительно большую длину (это, в частности, видно из при-
приведенного выше примера), то R[ в узком диапазоне также
можно считать независящим от частоты.
Если сопротивление R, , как это обычно бывает, отли-
отличается от волнового сопротивления кабеля Z, то его транс-
трансформированное значение R2, определяемое на входе ка-
кабеля при изменении частоты (рис. 43.1), опишет окруж-
окружность, кругогеометрическим центром которой является точ-
точка Z. Включенный на входе соединитель обусловливает
круговое отображение правой комплексной полуплоскости
самой из себя. Поэтому окружность, описанная точкой
Rj , снова будет трансформироваться в окружность
20* 307
(рис. 43.Й), Kotopyto можно -построить, например, йсполь-
зуя данные, полученные при помощи измерительной линии.
Точка Z является кругогеометрическим центром «Rj-окруж-
«Rj-окружности». Геометрически она однозначно определяется как
точка пересечения окружностей, расположенных под
прямым углом как к «R2 -окружности», так и к мни-
мнимой оси. Поэтому при трансформации, обусловленной
включенным на входе кабельным соединителем, точка Z
снова должна превращаться ъ кругогеометрический центр,
Рнс. 43.2. Диаграмма трансформации вход-
входного сопротивления кабеля, нагруженного на
несогласованную нагрузку при несогласованных
соединителях. Если однородный кабель имеет
несогласованные соединители, то для входа
получают смещенную по сравнению с
рис. 43.1 окружность К- Ее кругогеометрн-
ческнн центр S изображает широкополосное
входное сопротивление кабеля. Оптимальной
нагрузкой этого кабеля является некоторое
полное сопротивление, которому соответству-
соответствует входное сопротивление, равное S.
но уже «Ra -окружности». Тем самым оказывается найден-
найденным широкополосное входное сопротивление кабеля с под-
подключенными к нему соединителями.
Рассмотрим далее технический не совсем однородный
кабель с необходимыми для измерения подключенными
временно соединителями. В § 42 было показано, что широ-
широкополосные сопротивления определяются фиксированной
точкой дифференциальной трансформации для двух близких
друг к другу частот. В случае однородной линии они сов-
совпадают с волновым сопротивлением или с сопротивления-
сопротивлениями, которые получаются из него в результате трансформа-
трансформации, вносимой соединителями. Таким образом, дифферен-
дифференциальная трансформация представляет собой преобразова-
преобразование эллиптического типа, а соответствующий ей угол по-
поворота оказывается пропорциональным рааности частот.
Если технический кабель не слишком сильно отличает-
отличается от однородного, можно ожидать, что и в этом случае
дифференциальная трансформация для близких друг
к другу частот будет практически 'представлять собой пре-
308
образование эллиптического типа ,и Только положение Со-
Соответствующей ей фиксированной точки в большей или
меньшей степени будет изменяться с частотой. Заданный
частотный диапазон может быть разделен на столь малые
интервалы, что в пределах каждого из них положение
фиксированной точки дифференциальной трансформации,
а следовательно, и широкополосные сопротивления могут
рассматриваться как независящие от частоты. Таким обра-
образом, описываемая точкой R2 кривая для какого-либо по-
постоянного сопротивления нагрузки R, может быть разбита
на отдельные элементарные дуги. Кругогеометрические
центры, соответствующие этим дугам, изображают широко-
широкополосные входные сопротивления, относящиеся к данному
интервалу. По виду «Ц.2-хртая», соответствующая широ-
широкому диапазону частот, в зависимости от степени однород-
однородности кабеля будет более или менее отличаться от окруж-
окружности. Последнее означает, что широкополосное сопротив-
сопротивление уже зависит от частоты. Если эта зависимость не
слишком велика, то при практическом применении кабеля
можно воспользоваться средним значением сопротивления.
Правда, частотная зависимость может быть настолько боль-
большой, что кабель будет совершенно непригодным для ис-
использования в рассматриваемом диапазоне.
Определив таким образом широкополосное входное со-
сопротивление для кабеля с временными соединителями,
можно так переконструировать входной 'соединитель, что
широкополосное входное сопротивление будет иметь стан-
стандартную величину, например, равную 70 ом.
Остается только получить широкополосное нагрузочное
сопротивление на выходе кабеля. Для этой цели между
активным нагрузочным сопротивлением, мало зависящим
от частоты, и выходом кабеля подключается переменное
трансформирующее звено, рассматриваемое «иже в § 54,
которое регулируется таким образом, чтобы получить за-
заданное значение широкополосного входного сопротивления.
О том, как это делается, говорится в § 55.
44. ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Общие положения
Рассмотрим устройство без потерь (рис. 44.1), все вы-
выходные линии которого замкнуты накоротко. Если на его
вход подать мощность, то во входной линии в некоторой
309
точке Л окажется расположенным узел напряжения, ffptf
непрерывном 'повышении частоты узел напряжений будет
перемещаться вдоль линии в направлении к двухполюсни-
двухполюснику и, в конце концов, на определенной частоте /i займет
положение, соответствующее произвольно .взятой точке В.
В этом случае входное сопротивление R в точке В
устройства будет равно нулю. Это означает, что относи-
относительно точки В имеется 'последовательный резонанс. Если
и дальше повышать частоту, можно получить такое ее зна-
значение /г, при котором узел напряжения окажется удален-
удаленным от точки В на расстояние, равное
g ^г ц. V4. В точке В в этом случае R=oo, т. е.
имеет место параллельный резонанс.
При дальнейшем повышении частоты
можно получить новый узел напряже-
напряжения и т. д. Таким образом, данная
схема имеет относительно точки В бес-
бесконечное число последовательных и
с подключенной к „ему параллельных резонансов, которые че-
лииней. Все выходные редуются друг с другом,
лнннн резонатора зам- Если взять другую отсчетную точку,
кнуты накоротко. То очевидно, что для той же схемы
можно получить другие резонансные ча-
частоты. Поэтому, если на сверхвысоких частотах говорят
о резонансе схемы, то при этом, в .первую очередь, на под-
подключенной линии указывают положение отсчетной точки.
Если схема соединена с линией, например, через неболь-
небольшое отверстие связи (диафрагму), то в общем случае не-
необходимо выбирать положение последней. Схема, очень
слабо связанная с подключенной к ней линией, называется
резонатором.
Если двухполюсник составлен из некоторого числа со-
сосредоточенных индуктивностей и емкостей, то можно при-
применить известный закон Фостера, согласно которому пол-
полное сопротивление этого двухполюсника Z(«) всегда мож-
можно представить в следующем виде:
71 \ ,. л
Z(<n)=mv
' ~ "?) («' ~ 4 ¦ ¦ ¦ ("' - <4п-0
где ©1, из,..., oJn-i — круговые частоты, соответствующие
всем нулевым точкам, а «2, ом, •••. «2п-2 — всем тачкам, бес-
бесконечно удаленным от Z. При этом v = co, если полное со-
сопротивление для низкой частоты является индуктивным,
и v= 1/ю, если оно является емкостным.
310
Из соотношения D4.1) следует, что общий характер
изменения полного сопротивления определяется однозиач-
но в том случае, когда известны все резонансные частоты
и полное сопротивление для одной нерезонансной частоты
(если последнее условие не выполняется, должен задавать-
задаваться коэффициент А).
Рис. 44.2. Эквивалентные схемы двухполюсника об-
общего вида без потерь.
На основе выражения D4.1) всегда можно 'построить
эквивалентную схему (рис. 44.2,а или 44.2,6).
Упомянутый закон Фостера справедлив также и для
полых резонаторов. Бесконечно большое число резонансоз
дадут в этом случае в выражении D4.1) бесконечное мно-
множество сомножителей. Поскольку в данном произведении,
состоящем из бесконечного числа сомножителей, резонанс-
резонансные частоты непрерывно возрастают, для каждого значе-
значения со можно подобрать такое г, что будет выполняться
неравенство сог>о).
Тогда получим
при р = 0, 1, 2...
Кроме того, следует учесть, что эти дроби стремятся
к единице, поэтому бесконечный ряд сомножителей, начи-
начиная с г-го, может быть опущен. Таким образом, полное
сопротивление резонатора в ограниченном диапазоне ча-
частот может быть выражено произведением вида D4.1)
с конечным числом сомножителей и соответственно стано-
становится справедливой эквивалентная схема (рис. 44.2.а или
44.2,6) также с конечным числом индуктивностей и емко-
емкостей. Число резонансных частот, которые необходимо
учесть в выражении D4.1) или эквивалентной схеме, опре-
определяется шириной выбранного диапазона частот. Если рас-
рассматривать лишь область, находящуюся в непосредствен-
непосредственной близости от резонансной частоты а>я, то все сомножи-
311
тели («о2 — о»*) при чфа можно заменить постоянными вели-
величинами, объединив их с Л, и в эквивалентной схеме оста-
останется только одни последовательный или параллельный ко-
колебательный контур.
Как в случае обычного колебательного контура, так и
в случае объемного резонатора активные потери вблизи
Рис. 44.3. Эквивалентные схемы резонатора
вблизи резонанса.
резонанса являются значительными, их можно учесть с по-
помощью последовательного Rs или параллельного Rp сопро-
сопротивления (рис. 44.3).
Потери могут быть также выражены через затухание d
или добротность Q. Для последовательного и параллель-
параллельного колебательных контуров справедливы соответственно
следующие равенства:
~~~Q~7^L И Q~~R~7~
D4.2)
При этом
Здесь PRS и U2/RP выражают энергию, рассеиваемую
за секунду, a I2L и 1РС, как обычно, электромагнитную
энергию, накопленную в колебательном контуре.
Таким образом
рассеиваемая за секунду энергия
<!> • накопленная энергия
D4.3)
Последнее выражение имеет важное значение в теории
полых резонаторов, так как, исходя из «его, можно рассчи-
рассчитать d и Q, если только электромагнитное поле в полом
резонаторе удается определить теоретически. В случае
312
обычных колебательных контуров значения Q не
шают нескольких сотен, а в случае полых резонаторов до-
достигают нескольких тысяч и "более. Так как потери в резо-
резонаторах возникают за счет поверхностных токов, то Q будет
тем больше, чем больше отношение объема резонатора
к его внутренней поверхности.
Значения d и Q можно определить экспериментально
с помощью устройства, изображенного на рис. 44.4. От ге-
генератора с внутренним сопротивлением Ri, много большим
чем Rp (это достигается использованием слабой связи),
в колебательный контур поступает 'постоянный по ампли-
амплитуде ток. С помощью вольтметра, сопротивление которого
также должно быть очень большим по сравнению с Rp (что
также получается при слабой связи) измеряется напряже-
напряжение. Исходя из полученных данных, рассчитывается зави-
зависимость мощности, поглощаемой контуром, от частоты.
Тогда из ширины полосы, соответствующей уменьшению
мощности вдвое, получим
Если резонатор используется, например, в качестве
фильтра (§ 45), то Ri и Ra будут малыми по сравнению
с Rp, поскольку только в этом случае, как видно из
рис. 44.4, в диапазоне прозрачности 'потери в фильтре будут
минимальными. В этом случае, используя результаты изме-
измерения ширины полосы резонатора, получим
где значение добротности QH значительно меньше того зна-
значения, которое получается из формулы D4.2). QH получило
название «нагруженного Q», в то время как Q=Qo, опре-
определяемое из соотношения D4.2), называется «ненагружен-
ным». Когда ранее говорилось о 'полных сопротивлениях
применительно к резонатору, то всегда имелись в виду
некоторая вполне определенная точка на 'подключаемой ли-
линии и определенная связь. Только в этом случае можно
придать численные значения полным сопротивлениям или
элементам эквивалентной схемы. В качестве простого при-
примера более подробно рассмотрим короткозамкнутыи волно-
волновод прямоугольного сечения с волной типа #ю (рис. 44.5).
Пусть на частоте /i узел напряжения расположен в некото-
некоторой отсчетной точке В. Если повышать частоту, то на неко-
313
¦Горой частоте /г узел Напряжения сместится из точки Ь
в точку, удаленную от нее на расстояние, равное Я/4. В этом
случае относительно точки В имеет место параллельный
резонанс. Предположим далее, что иа частоте /3 узел на-
напряжения снова окажется в точке В и, следовательно, от-
относительно этой точки будем иметь последовательный
резонанс и т. д.
Поместим теперь в точку В линии диафрагму так, что
образовавшийся при этом резонатор будет лишь через не-
небольшое отверстие связан с подключенной к нему линией.
И в этом случае на частотах fu /3,... относительно точки В
В
Рнс. 44.4. Резонатор с подклю-
подключенными к нему генератором н
нагрузкой.
Рнс. 44.5. Коротко-
замкнутый волно-
волновод.
будет иметь место последовательный резонанс. Значения
же, соответствующие бесконечно удаленным точкам, силь-
сильно изменятся. Диафрагму, как это показано в § 28, можно
рассматривать как параллельное реактивное сопротивле-
сопротивление jX, величина которого тем меньше, чем меньше отвер-
отверстие связи. Бесконечно удаленная точка будет теперь соот-
соответствовать той частоте у, на которой лри отсутствии
диафрагмы в точке В наблюдалось бы сопротивление —jX.
Если X значительно меньше Z (очень слабая связь), то /г'
лишь незначительно отличается от /f. При этом /$' может
быть больше или меньше /i, смотря то тому, является ли
сопротивление jX емкостным или индуктивным.
Если обратиться снова к выражению полного сопротив-
сопротивления D4.1), можно увидеть, что в данном случае самим
резонатором определяются только частоты последователь-
последовательного резонанса, в то время как частоты параллельного ре-
резонанса зависят от вида связи и при очень слабой связи их
значения лишь незначительно отличаются от соответствую-
соответствующих значений для последовательного резонанса. При дру-
других видах связи значения частот параллельного резонанса
остаются 'постоянными, а значения частот последователь-
последовательного резонанса изменяются в зависимости от степени
связи.
314
Диафрагму, размещенную в точке В волновода
(рис. 44.5), можно лредставить также в виде соответствую-
соответствующего трансформатора с коэффициентом трансформации к.
В этом случае можно воспользоваться эквивалентной схе-
схемой рис. 44.6. Если одновременно имеется связь на выходе,
то пользуются эквивалентной схемой рис. 44.7, которую
чисто расчетным путем всегда можно преобразовать в схе-
схему рис. 44.4.
Вернувшись к примеру (рис. 44.5), можно установить
изменение полного сопротивления от частоты, исходя из
Рнс. 44.6. Резонатор
с элементом связи.
Рнс. 44.7. Резонатор про-
проходного типа.
Рнс. 44.8. Смещение узла напряжения в под-
подключенной к резонатору линии при изменении
частоты вблизи резонанса:
а — очень сильная связь с подключенной линией;
Ь — более слабая связь; с—еще более слабая связь.
Переходную форму кривой между бис дает
связь, для которой при резонансе в подключенной
линии имеется чисто бегущая волна.
перемещения узла
напряжения на под-
подключенной линии.
При отсутствии диафрагмы в точке В получается почти
линейная зависимость координаты узла напряжения от ча-
частоты (пунктирная линия, рис. 44.8). При введении диа-
диафрагмы наклонная 'прямая превращается в линию, которая
по виду напоминает кривую закона трансформации. Так
как при слабой связи частоты последовательных и парал-
параллельных резонансов приближаются друг к другу, то в не-
некотором узком диапазоне частот внезапно происходит очень
сильное смещение узла напряжения. При последовательном
резонансе узел напряжения 'располагается точно в точке В,
при параллельном же резонансе он смещается на расстоя*
ние, равное четверти длины волны. Поскольку коэффициент
трансформации k в узком диапазоне частот можно считать
постоянным, то ту же самую кривую смещения узла на-
напряжения можно получить, поддерживая частоту вблизи
резонанса 'постоянной, 'перемещая вместо этого коротко-
315
замыкающий поршень, расположенный в волноводе, и от-
откладывая сдвиг «ороткозамыкающего поршня в надлежа-
надлежащем масштабе (рис. 44.8), вместо частоты по оси абсцисс.
При изменении степени связи коэффициент трансформа-
трансформации может изменяться в пределах от k=A (в отсутствии
диафрагмы) до ?=оо (полный разрыв). Соответственно
будет изменяться вид кривой Ь, изображенной на рис. 44.8,
от прямой до ступенчатой. Всегда имеющиеся потери 1 при-
приводят к тому, что в минимуме напряжения, расположенном
в волноводе на небольшом расстоянии позади диафрагмы,
существует некоторое остаточное напряжение, соответ-
соответствующее небольшому активному сопротивлению Rs. По-
Последнее диафрагмой с коэффициентом трансформации k
трансформируется в сопротивление kRs. При ?/?g<Z, т. е.
когда k достаточно мало, входное сопротивление Rs соот-
соответствует минимуму напряжения 'перед диафрагмой. Всегда
можно выбрать такой коэффициент трансформации k, при
котором kRs=Z. Это означает, что при вполне определен-
определенной степени связи во входной линии на некоторой частоте
(на которой узел напряжения, расположенный позади диа-
диафрагмы, как раз совпадает с зажимами 7Y трансформатора
и которую можно наавать просто резонансной частотой
резонатора) получим бегущую волну. При еще большем
значении k минимум напряжения скачком переходит в ма-
максимум. Кривая Ъ (рис. 44.8) подобно кривой Сг, изобра-
изображенной на рис. 27.7, превращается в кривую с (рис. 44.8).
Если связь делать все более и 'более слабой, горбы кри-
кривой с будут уменьшаться до тех пор, пока полностью не
исчезнут.
То, что здесь показано применительно к простому резо-
резонатору, изображенному на рис. 44.5, справедливо также
для любого другого резонатора ,я для любого другого вида
связи. На практике всегда получается кривая смещения
узла напряжения, подобная одной из кривых рис. 44.8 и,
в частности, всегда можно подобрать такую связь, при
которой на резонансной частоте во входной линии уста-
устанавливается бегущая волна. Для экспериментального опре-
определения этой связи большую помощь может оказать
рассмотрение кривых рис. 44.8. Кривая Ь соответствует
чрезмерно сильной связи, а кривая с — слишком слабой.
Резонансная частота (при этом волна наиболее близка
1 Или какая-либо соответствующим образом подключенная на-
нагрузка,
316
X
к бегущей) соответствует середине подъема или спада нуж-
нужной кривой.
Острый резонанс и значительное смещение узла напря-
напряжения во входной линии в очень узком частотном диапазо-
диапазоне соответствуют, как отмечалось выше, очень сильной
трансформации полного сопротивления, а также тока и
напряжения. Применение полых резонаторов в гене-
генераторных лампах на сверхвысоких частотах оказывается
возможным благодаря этому свойству. Относительно элек-
электродов, между которыми движутся электроны, возбуждаю-
возбуждающие высокочастотные колебания, схема должна иметь очень
большое сопротивление, которое должно быть больше, чем
так называемое отрицательное сопротивление межэлек-
межэлектродного промежутка.
Некоторые простейшие резонаторы, рассматриваемые
в качестве примеров
Если в короткозамкнутом прямоугольном волноводе
возбудить волну типа #ю и в месте расположения первого
узла напряжения .поместить перегородку, то получится уже
рассмотренный выше, в качестве примера, полый резонатор
(рис. 44.5). Возбуждаемый при этом тип колебаний носит
название #mi или TEiOl. Повысим далее частоту так, что
в месте расположения перегородки будет находиться уже
второй узел напряжения, в полом резонаторе 'при этом
будет иметь место колебание типа #ш2. Можно также пред-
предположить, что в волноводе возбуждается волна общего
типа Нтп, а перегородка при этом находится в месте рас-
расположения &-го узла напряжения. В этом случае говорят
о колебаниях типа Hmnh.
Аналогичным образом, имея дело с волной типа Етп
и помещая перегородку в месте расположения &-го узла
напряжения, можно получить колебания типа Етпъ. или
TMmnh- Для прямоугольного резонатора шириной а, высо-
высотой Ь и длиной с, 'подставляя Л=2с/& в формулу B1.6)
в случае колебаний типа Hmnh и Emnh, можно получить
следующее выражение для резонансной длины волны:
*.=
где Яп — длина волны в двухпроводной линии.
317
Замыкая круглый волновод с двух сторон плоскими пере-
перегородками, можно также .получить полые резонаторы, воз-
возможные типы колебаний для которых соответствуют ранее
рассмотренным волнам в круглом волноводе и обозначают-
обозначаются буквами Е (или ТМ) «ли Я (или ТЕ) с тремя индек-
индексами. Под колебаниями типа Нтпи, например, следует
понимать колебание, картина силовых линий которого
соответствует таковой для волны типа Нтп. При этом
передняя перегородка находится в месте расположения
k-то узла напряжения и, таким образом, длина волны
в волноводе оказывается равной 2c/k (где с — длина ци-
цилиндрического резонатора). Если через Р обозначить ра-
радиус цилиндрического резонатора, то из формулы B1.13)
для 'колебаний типа Нтпк можно получить выражение дли-
длины волны при резонансе
я =
д
а из формулы B1.14) аналогичное выражение для типа Е
mnk
где jmn — п-й корень первой производной функции Бесселя
/га-го порядка, обозначаемой через fm{x), ]тп — й-й корень
функции Бесселя Jm(x) /га-го порядка. Некоторые из значе-
значений этих корней приведены в § 21.
В цилиндрическом резонаторе могут существовать,
в частности, колебания типа Етпо. Они соответствуют бес-
бесконечно длинным волнам в волноводе. Поскольку в этом
случае все линии Е 'проходят параллельно оси резонатора,
в любом месте перпендикулярно этой оси можно поме-
поместить перегородку, не нарушив лри этом общей структуры
силовых линий. Таким образом, резонансная частота ока-
оказывается независящей от длины цилиндра. Существование
же колебаний типа #mno невозможно.
Как уже упоминалось ранее (выражение 44.3), затуха-
затухание d равно отношению энергии потерь к энергии электро-
электромагнитных колебаний, запасенной в системе. При его рас-
расчете из соотношений B1.7), B1.8), B1.15), B1.16) и B2.6)
318
Для fti = 6 можно получить распределение поля в волнбвбД-
яом резонаторе, откуда затем путем интегрирования опре-
определить значения энергии 1 обоих видов.
45. ФИЛЬТРЫ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ
При конструировании фильтров сверхвысоких частот
возникает проблема реализации фильтрующих схем, при-
применяемых обычно на низких частотах « 'рассчитываемых по
правилам общей теории фильтров [3, 38, 51] в области
сверхвысоких частот. На более длинных волнах дециметро-
дециметрового диапазона в качестве индуктивностей могут 'приме-
'применяться небольшие катушки. Плоские конденсаторы также
остаются пригодными до довольно высоких частот.
Особого внимания заслуживают короткозамкнутые и
разомкнутые отрезки линий. Короткозамкнутый отрезок
линии с волновым сопротивлением Z имеет входное сопро-
сопротивление
где с — скорость света.
В случае, когда со//с<я/4, справедливо следующее прибли-
приближенное равенство:
Этот отрезок соответствует, таким образом, индуктивности
D5.1)
Разомкнутый отрезок линии имеет входное сопротивление
—jZ/tg (oal/c), которое лри <о//с<я/4 является емкостным
и равным приблизительно —jZc/cdl. Таким образом, этот
отрезок 'соответствует емкости
Г— 1
D5.2)
В определенном диапазоне частот короткозамкнутый чет-
четвертьволновый отрезок линии имеет практически такую же
кривую зависимости входного сопротивления от частоты,
как и параллельный колебательный контур, составленный
1 Подробное изложение вопросов, касающихся упомянутых выше
волноводных резонаторов, см. {30, 50].
319
из L и С. Его резонансная частота определяется равен*
ством шо = ся/2/, а входное сопротивление вблизи р.езонан*
са — выражением
При параллельном включении емкости С и индуктивности
Ь= 1/шд С вблизи резонансной частоты получим
=—/
_ЛЛ 'К + До)'С-
Таким образом, четвертьволновый отрезок линии соответ-
соответствует параллельному колебательному контуру с
/ .. , 8ZI
S1 ,
2cZ
и L =
D5.3)
Полуволновая короткозамкнутая линия эквивалентна 'по-
'последовательному резонансному контуру, сопротивление ко-
которого вблизи резонанса определяется выражением
Поскольку для последовательного колебательного контура,
составленного из L и С при С=Л/юо2Ь,
то для соответствующего полуволнового отрезка линии
можно шолучить 'следующие формулы пересчета:
= -2Г и С =
2l
D5.4)
Короткий отрезок линии (Кк/8) соответствует Х-образиой
эквивалентной схеме (рис. 45.1), при этом действительны
формулы пересчета
L=-g- и С = 2^-. D5.5)
Из сказанного выше следует, что целый ряд схем низкоча-
низкочастотных фильтров без труда может быть реализован и на
320
дециметровых волнах. Такая возможность иллюстрируется
рис. 45.2 применительно к полосовому фильтру, рис. 45.3—
к простой Т-образной схеме и рис. 45.4—к фильтру с.Х-
образным звеном. Правда, соответствие между длииновол-
¦ **%ПКЯНЬ . с
Рис. 45.1. Х-образная
схема
Рис. 45.2. Фильтр из отрезков линии и его
длинноволновая эквивалентная схема.
новой схемой и ее сверхвысокоча'стотным аналогом, как это
следует из приведенных выше формул пересчета, суще-
существует только в ограниченном частотном диапазоне, по-
поскольку входное сопротивление отрезка линии в отличие от
сопротивления индуктивности или емкости является перио-
Рнс. 45.3. Фильтр из отрезков линии и его
длинноволновая Т-образная эквивалентная
схема.
дической функцией частоты. Так, налример, полосовой
фильтр, изображенный на рис. 45.2, пропускает без ослаб-
ослабления, кроме основной, также 3, 5, 7 и так далее кратные
частоты. К счастью, диапазоны длин волн устройств, при-
применяемых в области сверхвысоких частот, в большинстве
Рис. 45.4. Фильтр'из отрезков линии и его длинно-
длинноволновая Х-образная эквивалентная схема.
21—52
321
1
1
1
г$
случаев являются настолько узкими, что эта периодичность
не оказывает большого влияния на их работу.
Беглое знакомство с кривой, изображенной на рис. 20.2,
показывает, что «а практике реализуемые значения волно-
волновых сопротивлений ограничены некоторыми пределами и,
следовательно, существуют предельные значения для L
и С соответствующих длинноволновых
схем. В частности, это становится оче:
видным при 'конструировании очень уз-
узкополосных с четко ограниченной по-
полосой пропускания полосовых филь-
фильтров. Рассмотрим теперь в качестве
примера полый резонатор (рис. 45.5).
Две одинаковые диафрагмы располо-
расположены на таком рассгоянии друг от дру-
друга, что отражения от них взаимно компенсируются (как об
этом говорилось в § 33). ВинтS служат для точной настрой-
настройки на требуемую частоту. Данное устройство соответствует
длинноволновой эквивалентной схеме рис. 44.4. Если отвер-
отверстия связи диафрагм очень малы, то последние могут рас-
рассматриваться как небольшие параллельные реактивные со-
сопротивления и расстояние между ними, как это следует из
рис. 28.9, должно быть равно 'приблизительно половине
длины волны или величине, кратной ей.
Полосу пропускания фильтра можно рассчитать сле-
следующим образом. Коэффициент трансформации К двух по-
последовательно включенных диафрагм в соответствии с ра-
равенством C3.4) определяется выражением
Рис. 45.5. Фильтр в
виде настраиваемого
резонатора.
где а — отклонение расстояния между диафрагмами от ве-
величины, необходимой для компенсации. Если фильтр на-
нагружен на линию с волновым сопротивлением Z, то на его
входе в максимуме напряжения получим значение входного
сопротивления, равяое KZ. Величина поступающей на вы-
выход мощности, которая представляет ,собой часть мощности,
выдаваемой генератором с внутренним сопротивлением Z,
в этом случае, как показано в § 47, будет определяться
кривой, изображенной на рис. 47.5 внизу. Из этой кривой
видно, что при /С=5,8 мощность уменьшается в 2 раза.
Таким образом, при соответствующем значении а будем
находиться как раз на границе полосы пропускания. Более
подробно это можно пояснить, 'предположив, например, что
322
ширина полосы пропускания фильтра (рис. 45.5) состав-
составляет 1 % от средней частоты. Длина волны в волноводе Ло
изменится тогда при переходе от середины полосы до ее
границы приблизительно на 0,5%.
Если расстояние между обеими диафрагмами состав-
составляет Ло/2, то а/Ял= 1/4001 и тогда получим
откуда для одиночной диафрагмы получается ?=305. Со-
Согласно рис. 28.8 и выражению (рис. 28.1) диафрагма в этом
случае соответствует параллельному реактивному сопро-
сопротивлению величиной ±/ 0.058Z. Как видно из примера, тео-
теоретически при сравнительно высоком коэффициенте транс-
трансформации k для одиночных диафрагм могут быть получены
очень узкополосные фильтры. Предел в отношении узкопо-
лосности создают всегда имеющиеся потери, наличие ко-
которых на рис. 44.4 учитывается с помощью параллельного
сопротивления Rp. Они могут быть определены также через
добротность ненагруженного объемного резонатора Q»
Если для резонатора, предполагая сначала, что потери
в нем отсутствуют, рассчитать величину //A/=Q', то при
учете потерь получим
Ц ^а~~ Q' + Q. "
Справедливость этого соотношения легко можно проверить
с помощью рис. 44.4. Если сопротивление, получаемое при
параллельном соединении внутреннего сопротивления гене-
генератора и нагрузки, обозначить через /?', то
Q'=-^r. о —Rp
R'R,
X-
Q'Q,
Q' + Q,
1 Здесь ие учитывается, что Л изменяется быстрее, чем Я,д«
21* 323
На более длинных волнах рассматриваются преимуще-
преимущественно фильтры в виде резонаторов с боковой связью.
Один из таких фильтров был показан выше (рис. 39.3,1.
На рис. 45.6 изображено аналогичное устройство, но для
еще 'более длинных волн. Как это отмечалось в § 39, всегда
можно подобрать такую частоту, на которой устройство не
1
1
e
l I
S otf
1 I
Рнс. 45.6. Полосовой
фильтр, построенный по
принципу симметричного
шестнполюсника.
Рис. 45.7. Полые резона-
резонаторы с непосредственной
связью.
вносит трансформации. Такого рода фильтры изображают-
изображаются с 'помощью эквивалентных схем в виде шестиполюсни-
ков, представленных на рис. 39.1.
На рис. 45.7 показан в качестве примера фильтр в ви-
виде двух связанных полых резонаторов. Для такого устрой-
устройства можно снять кривые пропускания, как это делается
обычно в случае двух связанных колебательных контуров
Рис. 45.8. Полосовой фильтр:
а —длинноволновая схема; б — схема, в которой последовательные
колебательные контуры заменены? параллельными колебательными
контурами с дополнительными отрезками линии длиной Л/4; это
целесообразно делать на сверхвысоких частотах.
на длинных волнах. При этом в зависимости от степени
связи кривая имеет один или два горба. Следует отметить,
что на практике точная настройка связанных полых резо-
резонаторов, особенно если приходится иметь дело более чем
с двумя резонаторами, является довольно сложным делом.
Согласно закону 28.2 параллельное реактивное сопро-
сопротивление в однородной линии можно преобразовать в по-
последовательное реактивное сопротивление, подключив кне-
324
му отрезок линии длиной Х/4. Это обстоятельство очень
часто используют при конструировании фильтров сверхвы-
сверхвысоких частот. Таким способом схему рис. 45.8,а, например,
можно преобразовать в схему рис. 45.8,6, при этом элемен-
элементы схемы, включенные последовательно, преобразуются
в элементы, включенные параллельно, так как в соответ-
соответствии с законом 28.2 последовательные колебательные кон-
контуры должны превращаться в параллельные контуры с об-
обратными значениями сопротивлений.
На рис. 45.9 показан пример 'применения описанного
способа, когда несколько резонаторов типа рис. 45.5 вклю-
включены последовательно на расстоянии К/4 друг от друга.
1
i
1
1
|
1
I
1
oS
1
1
1
OS
1
1
Рнс. 45.9 Полосовые фильтры из
трех резонаторов, расположенных
на расстоянии Х/4 друг от друга.
Рнс. 45.10. Типичная кривая
пропускания фильтра, изобра-
изображенного на рнс. 45.9.
Поскольку при согласованной оконечной нагрузке фильтра
на связывающих участках длиной К/4 в полосе пропускания
предполагается наличие бегущей волны, размеры этих уча-
участков линии не являются очень критичными. Каждый оди-
одиночный резонатор можно настроить в отдельности, а затем
без особого труда собрать все устройство. При слабой
взаимной расстройке отдельных резонаторов можно полу-
получить кривые полосовых фильтров (рис. 45.10), известные из
теории каскадного включения контуров на длинных волнах.
Из закона трансформации вытекает следующий общий
принцип, применяемый при построении фильтров [43, 52].
Путем последовательного включения двух линейных транс-
трансформаторов с одинаковыми коэффициентами трансформа-
трансформации можно создать фильтр, обладающий 'прозрачностью
на частоте /i (такой фильтр изображен на рис. 45.5). Пред-
Предположим, что, кроме того, имеется фильтр с частотами
пропускания /ь /г,.., fn- Очевидно, что на этих частотах он
соответствует линейному трансформатору с коэффициентом
трансформации k—<\. При выбранных зажимах трансфор-
трансформаторов Т\ и Тц на любой другой частоте fn+i коэффициент
325
трансформации k = k'=^l. Если теперь два таких фильтра
включить последовательно таким образом, чтобы зажимы
Ti у обоих совпадали, то тогда устройство, кроме частот от
fi до fn, будет пропускать еще частоту /n+i с произвольно
выбираемым значением п.
Приведенные в настоящем параграфе соображения по
созданию фильтров с определенной полосой пропускания
с успехом также могут 'быть использованы при рассмотре-
рассмотрении заграждающих фильтров.
ГЛАВА IV
СОГЛАСОВАНИЕ
46. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Как уже говорилось во введении, основной проблемой
в технике GB4 является выбор соответствующей связи
между высокочастотным генератором и его'нагрузкой. (Под
генератором можно подразумевать часть схемы, начиная
уже от межэлектродного промежутка, в котором возбуж-
возбуждаются колебания). Задача сводится к тому, чтобы боль-
большую или меньшую часть выдаваемой генератором высоко-
высокочастотной мощности подать в нагрузку. При этом «гене-
«генератором» может являться как межэлектродный промежуток
генераторной лампы, где возбуждаются электромагнитные
колебания, так и приемная антенна, нагрузкой—как пере-
передающая антенна, так и детектор приемника.
Обычно требуется, чтобы на определенных частотах
к нагрузке подводилась вся отдаваемая генератором мощ-
мощность, а на других частотах между нагрузкой и генера-
генератором обеспечивался лолный разрыв.
После исследования свойств отдельных узлов рассмот-
рассмотрим сложную схему и выясним, при каких условиях проис-
происходит передача мощности и какова величина передаваемой
мощности.
Разорвем схему (рис. 46.1) в какой-нибудь точке А,
расположенной между генератором и нагрузкой. Сопротив-
Сопротивление нагрузки, отнесенное к точке А, будет представлять
собой комплексное сопротивление, в большей или меньшей
степени зависящее от частоты.
Существует два типа генераторов. К первому типу от-
относятся генераторы, на частоту которых сопротивление
нагрузки не влияет и для которых величина отдаваемой
мощности определяется постоянным внутренним сопро-
сопротивлением Rj и постоянной э. д. с. (начальным напряже-
327
Рис. 46.1. Схема соеди-
соединения генератора с на-
нагрузкой.
ннем) U (рис. 47.1). Примером этого является приемная
антенна. Внутреннее сопротивление ее, как генератора,
равно сопротивлению излучения, отнесенному к точке А
(рис. 46.1), а э. д. с. определяется
напряженностью воспринимаемого
электромагнитного поля.
С другой стороны, наряду с ге-
генераторами, соответствующими эк-
эквивалентной схеме рис. 47.1, имеют-
имеются и такие, у которых все обстоит
значительно сложнее и для которых
нельзя составить простую эквива-
эквивалентную схему. К ним прежде всего относятся генераторы
дециметровых и сантиметровых волн с самовозбуждением.
47. ОТДАЧА АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ ГЕНЕРАТОРОМ
С ПОСТОЯННЫМ ВНУТРЕННИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
И ПОСТОЯННОЙ Э. Д. С.
Пусть имеется генератор с постоянным комшлексным
внутренним сопротивлением R, и электродвижущей силой U,
а также внешнее сопротивление Rj. Включим между ними
четырехполюсник без потерь (рис. 47.1). Сопротивле-
Сопротивление R] трансформируется в точку Л в сопротивление R2, ко-
которое согласно выражению A1.2) можно определить сле-
следующим образом:
D7.1)
где действительные числа а, Ь, с, d специально нормируют-
нормируются так, чтобы сумма ad+bc равнялась единице.
Тогда модуль тока, протекающего в плоскости попе-
поперечного сечения А, будет определяться равенством
| П,- -Г П2 I
а выражение для 'поступающей в нагрузку активной мощ-
мощности запишется в виде
*2деГ.ств.ч
2(R, + Rd(R, + R,) ' ( 7'2)
поскольку модуль комплексного числа а —ае/? равен к аа=
= |/а2, а действительная часть а равна (а + а)/2. При этом
328
черточками обозначены комплексно-сопряженные величины.
Подставив R2 из 47.1 в выражение 47.2, получим
Это выражение можно преобразовать и записать в разверну-
развернутом виде
м _ I U I2 t/ocR.Ri — /acRJR, + bcRt + bcRi+adR^adR^jbd—jbd] _
2 [CR,R. + /dR(. + /aR, + b] [CRiR1 - /dR; - /aR, + b\
1
" 2 [R, (cRt + ja) + (jdRi + b)\ [R, Щ - ja) + (- }й% + Щ]
или
lu
X
X
-ja
R.+
D7.3)
Из сравнения выражений D7.3) и D7.2) видно, что выра-
выражением D7.3) также определяется величина отдаваемой
А\
Рнс 17.1. Схема соединения генера-
генератора, имеющего постоянное внутреннее
сопротивление R(- и постоянную э. д с
(U), с нагрузкой через четырехполюс-
четырехполюсник.
Рис. 47.2. Экви-
Эквивалентная схема
¦устройства, изобра-
изображенного на рис. 47.1,
которая отнесена
к точке В.
активной мощности в эквивалентной схеме (рис. 47.2),
состоящей из генератора с внутренним сопротивлением
, _ id*, + ь
;~~ cR, + /a
329
и э. д. с.
i^w D7-4)
и непосредственно подключенного к нему внешнего сопро-
сопротивления Rj. Однако, как это следует из выражений D7.1),
A3.2) и A3.3), r|. равно значению R., пересчитанному
в точку В (рис. 47.1), где подключено сопротивление на-
нагрузки Rj. Напряжения U' и U обычно отличаются друг от
друга. Однако если R(. является, фиксированной точкой для
четырехполюсника, включенного между сечениями А я В,
т. е. Ri = Ri, то и |U'| = |U[. Это можно доказать следую-
следующим простым расчетом. Учитывая, что R^Rj, запишем ра-
равенство
откуда получим
— 2ad — Abe).
Из условия (ad-j~bc=l) имеем Dbc = 4— 4ad). Вводя это
выражение под знак радикала, получаем
J
Так как а и d действительные числа, то R(. не является
чисто мнимым только тогда, когда 4 ]> (a -f- dJ, и значение
R; с положительной действительной составляющей полу-
получается только тогда, когда выбран знак минус перед корнем,
т. е.
Подставив эту величину в выражение D7.4), получим
Знаменатель здесь равен
330
Следовательно,
После приведенных рассуждений можно предложить иро-
стой способ расчета величины активной мощности, отда-
отдаваемой генератором с комплексным
внутренним сопротивлением Ri =
=Ri+jXi в любое комплексное со-
сопротивление нагрузки Ro; 'При этом
Ri и Ra следует относить к одной и
той же точке А схемы (рис. 47.1).
Особенно просто рассчитывается от-
отдаваемая мощность для сопротивле-
сопротивления нагрузки вида
.= *в-Д,
Рис. 47.3 Геи.)id.) с по-
постоянным внутренним со-
сопротивлением R;, отдаю-
отдающий максимальную мощ-
мощность в комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное сопротивление R(-,
называемое „сопротивлени-
„сопротивлением согласования*.
с мнимой частью —jXit т. е. для всех
полных сопротивлений, значения ко-
которых расположены на линии парал-
параллельной действительной оси и
проходящей через точку —Дг-
(рис. 47.3). Для них будет справедливо следующее равен-
равенство:
I Ra-ixt + Rt + ixp *«• (Ra+ RtY ¦
Согласно этого выражения N при Ra = Ri достигает макси-
максимума, определяемого равенством NonT=\ii\2/4Ri. Зависи-
Зависимость отношения N/NonT от величины RJRi изображена на
рис. 47.5 внизу в виде кривой
N
R,
D7.5)
При Ra > Ri выражение D7.5) упрощается и превращается
в следующее:
_? 4Л D7.5а)
в случае же когда Ra < R. получается
_N 4^
Л^ппт ~ R, "
D7.56)
331
Отношение N/N0UT определяет степень согласования и на-
называется «коэффициентом согласования» [53]. Так как ге-
генератор отдает наибольшую мощность в нагрузку, когда
Ra равно Ли то сопротивление R, = /?j— jXt назовем «со-
«сопротивлением согласования».
Расчет величины активной мощности, поступающей
в комплексное сопротивление нагрузки Ra, можно упро-
упростить, используя схему, представленную на рис. 47.4, б. Эта
схема получается из схемы рис. 47.4, а путем включения
в нее четырехполюсника, состоящего из последовательного
\А
Рис. 47. 4. Эквивалентная схема, используе-
используемая при расчете коэффициента согласования
N/NonT (N — активная мощность, отдаваемая
в сопротивление нагрузки, Л^опт— максималь-
максимальная отдаваемая активная мощность).
реактивного сопротивления +]Х{, однородной линии с вол-
волновым сопротивлением R,- и последовательного реактивного
сопротивления — jX{. Последнее выбирается так, чтобы
внутреннее сопротивление генератора, отнесенное к точке
Аи было равно Ri независимо от длины однородной линии.
Это означает, что в отношении отдачи активной мощности
в любое нагрузочное сопротивление Ra схема, 'изображен-
'изображенная на рис. 47.4,6, не отличается от схемы рис. 47.4,а при
любой длине однородной линии.
• Трансформация сопротивлений четырехполюсником,
включенным между точками А\ и Л2, изображается диа-
диаграммой трансформации эллиптического типа с фиксиро-
фиксированной точкой Ri = Ri — jX^ Угол поворота а, равен 4я/Д,
где / — длина однородной линии. Поэтому точка, опреде-
определяющая трансформированное значение Ra в сечении А2,
при изменении длины линии будет проходить по окруж-
окружности постоянного рассогласования, проведенной через
точку Ra (рис. 47.5). Тем самым доказало, что генератор
с внутренним сопротивлением R»- отдает одинаковую ак-
332
тивную мощность во все нагрузочные сопротивления, зна-
значения которых расположены на одной и той же окруж-
окружности постоянного рассогласования диаграммы трансфор-
трансформации эллиптического типа с фиксированной точкой R,
(рис. 47.5). Следовательно, окружности, изображенные на
рис. 47.5, соответствующие семейству кривых трансформа-
Рис. 47.5. Кривые постоянного коэффициента согласования NINonT для
генератора с постоянной электродвижущей силой U и постоянным внут-
внутренним сопротивлением R(.. Генератор отдает в любую нагрузку, значе-
значение которой расположено на окружности, проходящей чзрез точку Ra>
такую же активную мощность, как и в сопротивлении Ra. Коэффициент
согласования N,'М0ПТ можно определить, проектируя точку пересечения
окружности с прямой, параллельной к действительной оси, проходящей
через — jXt, на кривую, изображенную внизу.
ции указанной диаграммы с фиксированной точкой
Ri = Ri—jXi, являются кривыми постоянного коэффициента
согласования N/NonT для генератора с постоянным внут-
внутренним сопротивлением Ri = R,+jXi. Это означает, что во
все сопротивления, значения которых расположены на
одной и той же окружности, от генератора с постоянной
э. д. с. поступает одинаковая активная мощность. Чтобы
для какого-либо сопротивления нагрузки Ra рассчитать
коэффициент согласования или величину отдаваемой ак-
активной мощности, через точку Rn проводят окружность
постоянного коэффициента согласования. После чего на-
ззз
ходят точку пересечения .прямой R'a—jX{, касательной
к этой окружности, с прямой, параллельной действитель-
действительной оси, проходящей через Rt-. Тогда, используя кривую,
показанную на рис. 47.5 внизу, можно легко определить
искомое значение N/N0Ui-
Семейство кривых (рис. 47.5) достаточно начертить
только один раз, после чего его можно (применять для лю-
любого генератора с постоянным внутренним сопротивлени-
сопротивлением. При этом следует выбирать масштаб, отвечающий ве-
величине действительной части внутреннего сопротивления
генератора. Соответственно значению мнимой части этого
сопротивления выбирается положение действительной оси.
48. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К РАСЧЕТУ
КОЭФФИЦИЕНТА СОГЛАСОВАНИЯ
В связи с тем, что генератор и нагрузка на сверхвысо-
сверхвысоких частотах часто соединяются однородной линией без
потерь, работающей в диапазоне 'прозрачности (рис. 48.1),
в отношении расчета коэффициента согласования необхо-
необходимо сделать 'несколько допол-
дополнительных замечаний. Отсчет-
Рис. 48.1. Нагрузка и генератор,
соединенные однородной линией
с волновым сопротивлением, рав-
равным Z.
Рис. 48.2. К расчету коэффи-
коэффициента согласования для
схемы, приведенной
на рис. 48.1.
ную точку А на однородной линии можно выбрать
где угодно. Тогда в точке А генератор будет иметь лосто-
янное внутреннее сопротивление R,- (рис. 48.2), которому
соответствует сопротивление согласования Rt- (комплексно-
сопряженное с R,). Пусть сопротивление нагрузки, пересчи-
пересчитанное в эту точку, будет равно Ra. а .волновое сопротив-
сопротивление линии равно Z. Если на линии взять другую отсчет-
ную точку В, то в пей для сопротивлений R,, R,- и R,,
334
получим другие значения, а именно: Rt, Rt' и R*e. Точки,
соответствующие этим значениям, расположены на тех же
окружностях постоянного рассогласования. Точку В можно,
очевидно, выбрать так, чтобы сопротивление генератора
было чисто активным. При расчете коэффициента согла>-
сования в большинстве случаев отдается предпочтение
именно этой отсчетной точке В.
Расстояние I между точками А и В выбирается так,
чтобы выполнялось равенство 1 = ак/4я, где а — угол, обра-
образованный окружностью постоянной фазы, проходящей че-
через точку R,-, и действительной осью. В случае, показан-
показанном на рис. 48.2, / отсчитывается от точки А в направле-
направлении к генератору. Тогда значение сопротивления нагрузки
в точке В можно получить из RO; поворачивая окружность
постоянной фазы, соответствующую этому сопротивлению,
на угол а (в данном примере по часовой стрелке) и полу-
получая новую окружность постоянной фазы, проходящую
через Ra-
Так как неэвклидово вращение фазовых окружностей
при изображении полных сопротивлений в правой полу-
полуплоскости сопряжено с большими трудностями, целесооб-
целесообразно воспользоваться способом изображения внутри еди-
единичного круга (рис. 48,3).
В этом случае производится
лишь простой поворот диа-
диаграммы.
Для упрощения расчетов
на рис. 48.3 внизу нанесена
кривая, аналогичная нижней
кривой рис. 47.5, полученная
с помощью выражения D7.5)
для действительных сопротив-
сопротивлений R^ единичного круга,
частного значения R.== Z, т. е.
Rf—ZE=O. Эта кривая
представляет собой параболу.
Покажем ход расчета на
примере. Сопротивление гене-
генератора, отнесенное к точке А
(рис. 48.1), представляет собой
Рис. 48.3. Расчет коэффициента со-
согласования при использовании спо-
способа изображения внутри единич-
единичного круга.
335
1
сопротивление согласования в единичном круге Rf (рис. 48.3),
а сопротивление нагрузки в этой точке равно R^ . В резуль-
результате поворота Rf переходит в R'f и Rf — в R'f. Эти две
точки соответствуют действительным значениям /?(' и R^
правой комплексной полуплоскости (рис. 48.2). Чтобы ис-
использовать кривую, изображенную на рис. 48.3 внизу, для
определения коэффициента согласования в случае генератора
с внутренним сопротивлением, равным Z, необходимо лишь
увеличить значения, представленные на рис. 48.2, умножая
их на коэффициент Z/R't (который в данном случае равен
1/0,6=1,67). Такое увеличение, выполненное в единичном
круге, переводит внутреннее сопротивление генератора в
центр круга и точку R^ в R^' . Оно осуществляется с по-
помощью диаграммы рис. 8.2, отображающей сетку полярных
координат на единичный круг. При этом точка R'f переме-
перемещается вдоль окружности, проведенной через точки — 1 и
-f- 1, в данном примере до пересечения с проходящей через
точку EZ)? окружностью, которая получается при отобра-
отображении некоторой окружности сетки полярных координат,
описанной вокруг нулевой точки. Найденному таким обра-
образом значению R'^E соответствует тот же коэффициент со-
согласования, что и точке пересечения концентрической окруж-
окружности, проходящей через R'^E, с действительной осью, для
которой из кривой, изображенной на рис. 48.3 внизу, полу-
получается значение N]NOm= 0,45.
Если имеются конкретные генератор и нагрузка, то час-
часто важно знать, как изменяется величина отдаваемой в на-
нагрузку мощности при изменении длины соединительной
линии. В этом случае значение внутреннего сопротивления
генератора или сопротивления согласования, отнесенные
к точке А (рис. 48.1), расположенной на фиксированном,
расстоянии от генератора, остаются неизменными, а точка,
соответствующая внешнему сопротивлению R, перемещает-
перемещается по окружности постоянного рассогласования Л'о
(рис. 48.4). Если в качестве отсчетнон выбрана точка В,
где генератор имеет активное внутреннее сопротивле-
сопротивление R., то очевидно, что поступающая в нагрузку мощ-
мощность получает экстремальные значения, если сопротив-
сопротивление нагрузки также является активным и равно Rt
или R2. В случае, когда оно равно R\, в нагрузку посту-
336
пает максимальная мощность, в случае же /?2 — минималь-
минимальная. Для оточетной точки А, где внутреннее сопротивление
генератора является комплексным, максимальная мощ-
мощность поступает в нагрузку в том случае, если сопротив-
сопротивление последней равно R',, и минимальная, — если это
сопротивление равно R2, причем R, и R2 расположены
Рис. 48.4. К расчету коэффици-
коэффициента согласования для схемы,
изображенной на рис. 48.1, с пе-
переменной длиной линии /.
Рис. 48.5. К расче-
расчету коэффициента
согласования при
взаимной замене со-
сопротивления нагруз-
нагрузки и внутреннего
сопротивления гене-
генератора.
на той же окружности постоянной фазы, что и сопротив-
сопротивление согласования R* генератора. Это 'становится очевид-
очевидным, если учесть, что соответствующая окружность по-
постоянной фазы «ри .переходе к точке В превращается
в действительную ось.
В некоторых случаях расчет коэффициента согласова-
согласования можно упростить, воспользовавшись следующим за-
законом.
Закон 48.1
Если имеется генератор с постоянной э. д. с. и постоян-
постоянным внутренним сопротивлением R, и к этому генератору
подключено сопротивление нагрузки R2 (рис. 48.5), то при
отдаче мощности в это сопротивление получается такой
же коэффициент согласования, как если бы генератор имел
внутреннее сопротивление R2, а сопротивление нагрузки —
значение R,.'
1 Этот закон соответствует известному принципу обратимости
Кирхгофа.
22—52 337
Доказать это нетрудно. Генератор с э. д. с, равной U,
и внутренним сопротивлением Ri отдает во внешнее со-
сопротивление нагрузки R2 мощность N, рав'ную
Ее максимальное значение будет
N =—&
Используя выражение для коэффициента согласования, по-
получаем
Если переставить в этом выражении индексы 1 и 2, зна-
значение его не изменится. Таким образом, для генератора
с внутренним сопротивлением R2 и сопротивлением нагруз-
нагрузки Ri получается такое же значение коэффициента согла-
согласования.
49. РЕЗОНАНСНЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИИ
Общие положения
Зависимость активной мощности, поступающей в сопро-
сопротивление нагрузки от величины последнего, можно исполь-
использовать для определения полных сопротивлений.
Для резонатора, подключенного к источнику колебаний
через линию, если связь его с линией <не является слишком
слабой, в области резонансной частоты /0 отмечается, как
уже говорилось в § 44, значительное перемещение узла
напряжения. В качестве /0 можно выбрать такое значение,
при котором в соответствующей отсчетной точке В возни-
возникает узел напряжения. Тогда относительно этой точки
объемный резонатор представится в виде последователь-
последовательного колебательного контура (рис. 49.1), при этом всегда
имеющиеся потери можно учесть с помощью небольшого
последовательно включенного сопротивления Rs. В области
частоты /о значение входного сопротивления будет переме-
перемещаться по линии, параллельной мнимой оси и проходящей
через точку Rs (рис. 49.2). В отношении измерения затуха-
затухания для резонатора справедливы те же положения, что
и для последовательного колебательного контура длинно-
338
волнового диапазона. При этом можно, например, экспе-
экспериментальным путем определять зависимость модуля
тока |1| от частоты при постоянном входном напряже-
напряжении U. Можно также определять аналогичную зависимость
для поступающей в нагрузку активной .мощности \12\RS-
Важно, чтобы напряжение U оставалось неизменным.
Этого можно достичь, применяя генератор, у которого
внутреннее сопротивление Ri <^ Rs- В данном случае это
требование можно выполнить, например, создавая в точ-
Рнс. 49.1. По-
следователь-
следовательный резонанс-
резонансный контур.
Рис. 49.2. Изменение пол-
полного сопротивления после-
последовательного резонансного
контура.
ке В (или в точке, удаленной от нее на к/2) с помощью
параллельного реактивного сопротивления режим, близ-
близкий к короткому замыканию, или, другими словами, уста-
устанавливая чрезвычайно слабую связь генератора с резона-
резонатором.
Как уже говорилось в § 44, слабая связь характери-
характеризуется очень высоким коэффициентом трансформации k.
Условие Ri<4Rs означает, что сопротивление нагрузки Rs
не оказывает обратного действия «а генератор. При доста-
достаточно большом коэффициенте трансформации k резонатор,
как это показано в § 44, практически не влияет на режим
в подключаемой линии. Следовательно, имеется возмож-
возможность проверить, является ли связь достаточно слабой. На
основе результатов § 47 рассмотрим вопрос отдачи актив-
активной мощности в резонатор, не прибегая к токам и напря-
напряжениям, так как на сверхвысоких частотах измерение по-
последних весьма затруднительно.
22* 339
Как уже упоминалось, очень слабая связь для соответ-
соответствующей отсчетной точки В эквивалентна включени-ю ге-
генератора с очень малым внутренним сопротивлением Ri.
Можно считать, что Ri равно нулю, тогда кривыми постоян-
постоянного коэффициента согласования N/Noni: будут являться
окружности, касающиеся мнимой оси в нулевой точке,
и для действительных значений сопротивления нагрузки R
будет справедливо соотношение
N
const
Следовательно, в сопротивлении Ri и R2 (рис. 49.2) на
частотах /i и /2, соответственно, будет поступать половина
активной мощности, отдаваемой в сопротивление нагрузки
/?., на резонансной частоте /0.
В зависимости от величины подводимой активной мощ-
мощности в области, расположенной внутри резонатора, изме-
изменяются напряженности электрического и магнитного полей.
Так как при небольшом изменении частоты распределение
силовых линий толя остается 'практически неизменным, то
очевидно, что в каждой точке внутри резонатора напря-
напряженности электрического и магнитного полей будут про-
пропорциональны квадратному корню из подводимой актив-
активной мощности. Поэтому с любой точкой можно связать
детектор, выпрямленный ток которого будет определяться
напряженностью электрического (или магнитного) поля,
и с его помощью наблюдать резонансную кривую. Связь
должна быть очень слабой, чтобы в объемный контур прак-
практически не вносились дополнительные потери. Экспери-
Экспериментально это устанавливается из того, что 'при еще более
слабой связи уже не удается определить изменения в ши-
ширине резонансной кривой. Градуировку детектора можно
произвести, например, так, как это описано в § 23 и по-
показано «а рис. 23.2 и 23.3.
Ширина резонансной кривой равна разности частот ft
и f2, при которых величина активной мощности, поглощае-
поглощаемой резонатором, уменьшается в два раза. В этих точках
мнимая часть полного сопротивления равна его действи-
действительной части (рис. 49.2).
В § 31 отмечалось, что описанный там способ измерения
родственен резонансному методу. В этом можно легко
убедиться, сравнив рисунки 49.2 и 31.5. На рис. 31.6 с из-
изменением частоты точка, изображающая полное сопротив-
340
ление, проходит по кривой К\, которая соответствует кри-
кривой рис. 49.2.
Резонансным способом можно производить многие из-
измерения, которые также можно произвести и с помощью
измерительной линии. Ниже это будет показано на не-
- скольких примерах, число которых может быть как угодно
велико.
Измерение трансформирующих свойств четырехполюсников
без потерь
В § 26 и 27 был описан способ измерения характери-
характеристик четырехполюсников без потерь с помощью измери-
измерительной линии. Аналогичные измерения могут также про-
производиться резонансным методом без измерительной ли-
линии. Поясним это на примере рис. 49.3 сначала для
четырехполюсника без потерь. Здесь четырехполюсник так-
также нагружен на переменное реактивное сопротивление.
Если он оканчивается однородной линией, то в .последнюю
помещается короткозамы-
кающий поршень К\.
Предположим, что на
входе четырехполюсника
также подключена одно-
однородная линия. Тогда эту
схему можно превратить
в резонатор, снабжая од-
Рис. 49.3. Схема для измерения транс-
трансформирующих свойств четырехполюс-
четырехполюсников резонансным методом.
нородную линию, под-
подключенную на входе, пе-
перемещающимся коротко-
замыкаюшим поршнем /С2
и присоединяя генератор к устройству, например, с по-
помощью зонда, обеспечивающего очень слабую связь. Одно-
Одновременно где-нибудь в другом месте (используя также
очень слабую связь) подключают детектор Д. Его можно
включить как во входную или выходную линии, так и в лю-
любое другое 1место. В схеме, очевидно, возникает резонанс,
если сопротивление нагрузки (в данном случае короткоза-
мыкающий поршень К\) расположить так, чтобы на соот-
соответствующей частоте в точке Кг устанавливался минимум
напряжения. В этот момент схема поглощает максималь-
максимальную мощность, что можно обнаружить, используя детек-
детектор Д. Если сопротивление нагрузки изменить, то настрой-
настройка в резонанс нарушится и при постоянной частоте восста-
восстановится снова лишь тогда, когда поршень Кг переместится
341
к
Рис. 49.4. Короткоза-
мыкающий поршень с
точной установкой.
снова в точку входной линии, соответствующую минимуму
напряжения. Таким образом, поддерживая частоту постоян-
постоянной, можно определить зависимость положения узла на-
напряжения на входе линии от величины сопротивления
нагрузки. Очевидно, что в этом случае возможны такие же
виды измерений для четырехполюсников без потерь, на
входе которых подключена однородная линия, что и ори
использовании измерительной линии. Обработка результа-
результатов производится так, как это описано в § 26.
Таким путем можно производить очень точные измере-
измерения, необходимые, например, в случае четырехполюсника,
обусловливающего очень сильную трансформацию, или
п случае, когда сопротивление нагрузки четырехполюсника
можно изменять лишь в очень неболь-
небольших пределах. Примерам этого может
служить генераторная или приемно-
усилительная лампа, которую между
парой расположенных внутри электро-
электродов и выведенной наружу линией мож-
можно рассматривать как четырехполюс-
четырехполюсник. Сопротивление нагрузки четырех-
четырехполюсника, как об этом уже говорилось
в § 26, можно в этом случае наменять лишь в небольших
пределах. При этом, как правило, в линии, подключенной
ко входу четырехполюсника, полное сопротивление изме-
изменяется незначительно. В схеме с острым резонансом такое
изменение легко обнаружить. Если вместо простого корот-
козамыкающего поршня /С2 использовать устройство
(рис. 49.4), которое рассматривалось в конце § 28, то та-
такое изменение реактивного сопротивления можно точно
измерить.
При очень малом сдвиге узла напряжения ,во входной
линии можно поступить иначе. Вместо того, чтобы переме-
перемещать короткозамыкающий поршень Ki, можно изменять
частоту и определять ее значение при резонансе в зависи-
зависимости от величины реактивного сопротивления нагрузки.
Пусть некоторому измененному сопротивлению нагрузки
R, соответствует изменение резонансной частоты, рав-
равное А/'. Для пересчета при постоянном сопротивлении на-
нагрузки и для одного очень точно измеренного сдвига Д/о
короткозамыкающего поршня К следует определить изме-
изменение Д/о резонансной частоты. При малом значении Д/о
можно .предположить, что оно пропорционально сдвигу «о-
роткозамыкающего поршня Ki- Отсюда следует, что изме-
342
нение резонансной частоты Д/' при сопротивлении нагрузки
Rt эквивалентно смещению
I
короткозамыкающего поршня Кг при постоянной частоте.
Измерение комплексных сопротивлений
Резонансный метод дает возможность особенно просто
измерять сопротивления с активной составляющей, если
соответствующие элементы схемы подключены к однород-
однородным линиям. В качестве примера рассмотрим измерение
сопротивления приемного детектора (рис. 49.5), подклю-
подключенного на конце однородной линии (двухпроводной или
волноводной). В этом случае при измерениях передатчик
подключают к противоположному концу линии, используя
очень слабую связь. Этого, в частности,vможно добиться,
подключив на вход ли-
линии антенну с очень ма- а
лым сопротивлением I" *
излучения, так что пе-
передатчик представится
практически в виде ге-
генератора с внутренним рис 49.5. Схема для измерения полного
сопротивлением Ri = 0. сопротивления детектора, включенного в
Так, например, волно- линию,
водную линию можно
ограничить на входе стенкой с узкой щелью и разместить
перед ней передающую антенну. При измерениях изменяют
длину линии между детектором и щелью и измеряют вы-
выпрямленный ток детектора. При этом в пространстве между
передатчиком и приемной антенной (щелью) ничего не
должно изменяться. В этом случае можно считать, что
в некотором сечении А линии, удаленном на определенное
расстояние от приемной антенны, включен генератор
с внутренним сопротивлением Ri=0. При изменении дли-
длины / между сечением А и детектором точка, соответствую-
соответствующая сопротивлению детектора Ид, отнесенному к сече-
сечению А, проходит по окружности постоянного рассогласо-
рассогласования Ко (рис. 49.6). На детектор поступает максимальная
мощность, если трансформированное сопротивление Rfl
принимает чисто активное значение /?мш. Мощность падает
вдвое если R'n=Ri или R'=R2. При этом значения Ri
343
и R2 расположены на окружности К', проходящей через
точки 2/?мин и нуль (окружность постоянного 'коэффициента
согласования для генератора с внутренним сопротивле-
сопротивлением, равным нулю). Изменение полного сопротивления
детектора в пределах между значениями Ri и R2 соответ-
соответствует изменению длины линии / на величину А1—аК/4я.
Если детектор имеет квадратичную характеристику, то вы-
выпрямленный ток пропорционален потребляемой им мощ-
мощности и поэтому в точках Ri и R2 величина тока умень-
уменьшается на половину от
своего максимального
значения.
Измерения в этом слу-
случае производят следую-
следующим образом. Для схемы,
изображенной на рис. 49,5,
определяют длину /0, при
которой выпрямленный
ток детектора максима-
максимален. Тогда детектор в от-
счетной точке А, в кото-
которой генератор имеет внут-
внутреннее сопротивление, рав-
равное нулю, будет представ-
представлять собой чисто актив-
активное сопротивление RMau-
Затем определяют длины U и /2, при которых выпрямлен-
выпрямленный ток уменьшается на половину (абсолютные значения
разностей U—/0 и 12—10 должны быть одинаковы). Из вы-
4|/ /|
Рис. 49.6.
Геометрические
к рис. 49.5.
ражения а=
4я|/, —
=—'-——
вычисляют угол поворота а и на диа-
диаграмме трансформации эллиптического типа находят соот-
соответствующие углу а окружности постоянной фазы Кг и Д",
(рис. 49.6), на которых расположены значения R, и R2.
Путем подбора находят вписанную окружность К' и ее
центр — точку /?мнн. Очень малым углам а соответствуют
окружности Ко с большим значением коэффициента стоячей
волны k = Z\Raaa, участки которых, расположенные в об-
области /?нии, можно рассматривать как прямые, параллельные
мнимой оси. Для этого случая можно считать1, что /?мин=
= мнимой части от R, = мнимой части от R2 = Z tg ~
1 См. выражение B2.8).
344
и, следовательно, /?ыии вычисляется очень просто. При много-
многократных измерениях целесообразно изображать зависимость
величины k = Z/RMm от угла а в виде кривой, по которой
для каждого найденного путем измерений значения а без
особого труда определяется соответствующая окружность
постоянного рассогласования Ка, причем при построении этой
кривой, исходя из значения k, геометрическим или аналити-
аналитическим способом находят соответствующий угол а.
Далее для значения Rmm находят окружность постоян-
постоянного рассогласования Ко, на которой расположено значе-
значение сопротивления детектора 1?д. Чтобы определить
точно положение точки Ид на окружности Ко, необ-
необходимо знать, где на линии расположена точка А, в кото-
которой приемная антенна может
быть представлена в виде ге-
генератора с внутренним со- f^
противлением, равным нулю. ' | j
В случае, который показан "
на рис. 49,5, это сечение Рис 497 устройство для оп-
практически совпадает СО ределения на линии отсчетной
щелью, расположенной на вхо- точки А, определяющей положе-
де волновода, поскольку волно- ние генеРатора (рис 49.5).
вод будет настроен в резонанс
тогда, когда расстояние от щели до точки короткого за-
замыкания равно половине длины волны. Это означает, что
в нагрузку с очень малым сопротивлением будет поступать
наибольшая мощность тогда, когда эта нагрузка находится
точно в месте короткого замыкания.
В других случаях необходимо производить вспомога-
вспомогательное измерение, сущность которого поясняет рис. 49.7.
Здесь роль антенны выполняет очень небольшой выступ
внутреннего проводника коаксиальной линии. Необходимо
вьнясниръ, к какой точке линии следует отнести антенну,
чтобы ее можно было представить в виде генератора
с внутренним сопротивлением, равным нулю. Для этого
в линию вводится короткозамыкающий поршень К и по-
посредством очень слабой связи к ней подключается вспо-
вспомогательный детектор Д. Выпрямленный ток его максима-
максимален тогда, когда короткозамыкающий поршень К находит-
находится в искомой точке А или на расстоянии, кратном половине
длины волны от нее.
После того, как сечение А найдено, можно найти так-
также положение точки полного сопротивления детектора Rд
345
на окружности постоянного рассогласования /Со (рис. 49.6).
Для этого определяют положение детектора, при котором
его выпрямленный ток максимален, и затем находят рас-
расстояние /0 от детектора до точки А. Исходя из /0, вычис-
вычисляют угол ад=4я/0/Я и откладывают его относительно
фиксированной точки диаграммы трансформации от дей-
действительной оси в 'направлении против часовой стрелки.
В результате находится окружность постоянной фазы Кд,
которая пересекает окружность Ко в точке 1?д.
Так же, как и сопротивление детектора, можно изме-
измерить сопротивление любой другой нагрузки. Чтобы опре-
определить, какая мощность поступает в нагрузку и как она
изменяется в зависимости от длины линии, вблизи сопро-
сопротивления нагрузки можно подключить детектор, очень сла-
слабо связанный с линией. Если, например, в сопротивление
нагрузки поступает удвоенная активная мощность, то она
же поступит и на детектор.
Определение сопротивления детектора только что опи-
описанным способом имеет известные преимущества по срав-
сравнению с определением его с помощью измерительной ли-
линии, когда детектор подключается к выходному фланцу
линии. Прежде всего при этом не требуется измерительной
линии. Кроме того, при измерении с помощью линии к де-
детектору нужмо подводить такую мощность, чтобы его вы-
выпрямленный ток был достаточно большим и можно было
бы определить распределение напряжения вдоль линии.
Это значит, что величина подаваемой на детектор активной
мощности не должна быть меньше некоторой относительно
высокой минимальной величины. Но сопротивление детек-
детектора зависит также от величины поступающей на него ак-
активной мощности (или, другими словами, от величины вы-
выпрямленного тока). При конструировагош приёмников пря-
прямого усиления в большинстве случаев 'необходимо знать
сопротивление детектора, соответствующее чрезвычайно
малым 'выпрямленным токам. Измерения же таких значе-
значений можно производить только с помощью схемы, изобра-
изображенной на рис. 49.5, а не с помощью измерительной линии.
Если характеристика детектора не являемся квадратич-
квадратичной или в отношении этого имеются сомнения, то оценка
результатов с помощью диаграммы, изображенной на
рис. 49.6, становится затруднительной. Пригодный для это-
этого случая способ, при котором к детектору требуется под-
подводить также очень малую активную мощность, иллю-
иллюстрирует рис. 49.8 [54]. Здесь детектор встроен в связанную
346
с зондом детекторную 'камеру измерительной линии. Детек-
Детекторная камера состоит из раздвижной однородной линии,
на конце которой находится исследуемый детектор. Эта
линия соответствует устройству, изображенному на
рис. 49.5. Часть зонда, расположенная в основной линии,
заменяет антенну, с помощью которой осуществляется
требуемая очень слабая связь с генератором. На выходе
й
измерительная линия за-
замыкается накоротко, так
что в ней существует чи-
чисто синусоидальное рас-
распределение напряжения.
Измерение сопротивления
детектора может произво-
производиться весьма точно сле-
следующим способом.
Установив зонд вблизи
минимума напряжения
путем настройки детек-
детекторной камеры в резо-
резонанс, добиваются макси-
максимального значения вы-
выпрямленного тока. Так
как закон распределения
напряжения в измеритель-
измерительной линии известен, то
зонд можно установить
в таком ее сечении, где
напряжение увеличивается в J/2 раз. Это означает,
что э. д. с. генератора с внутренним сопротивлением, прак-
практически равным нулю, увеличивается в у 2 раз. Тогда на
детектор камеры, настроенной в резонанс, будет поступать
вдвое большая активная мощность. После этого длина /
связанной с зондом раздвижной линии изменяется так,
чтобы ток детектора стал таким же, как и при первона-
первоначальной установке зонда в измерительной линии. Другими
словами, сопротивление детектора, трансформированное
в точку, где внутреннее сопротивление генератора равно
нулю, изменяется так, что, несмотря на увеличение э. д. с.
в V2 раз, отбираемая детектором активная мощность ос-
остается такой же, как и при резонансе. Следовательно1, точ-
точке А, для которой внутреннее сопротивление генератора
равно нулю, будут соответствовать сопротивления Ri и R2
(рис. 49.6). Зная изменение длины Д/, связанной с зондом
347
пи,
Рис. 49.8. Измерение сопротивления
детектора при очень малом постоянном
значении выпрямленного тока.
раздвижной линии, можно вычислить сопротивление детек-
детектора (рис. 49.5 и 49.6) '. Для этого, используя равенство
а = 4яА//А, находят окружность постоянного рассогласова-
рассогласования #о, на которой лежит точка, определяющая сопротив-
сопротивление детектора. Положение отсчетной точки А, где внут-
внутреннее сопротивление генератора равно нулю, находят
путем вспомогательных измерений, используя устройство,
представленное на рис. 49.7. Это устройство представляет
собой связанную с зондом камеру, снабженную сзади по-
подвижным короткозамыкающим поршнем, в которую вклю-
включен слабо связанный с ней вспомогательный детектор.
Для того чтобы выпрямленный ток вспомогательного де-
детектора бьил достаточно
F А большим, его зонд сле-
• L н дует установить в точку
максимума напряжения
на измерительной линии.
Преимущество данного
способа заключается в
том, что в процессе изме-
измерений выпрямленный ток
детектора остается по-
постоянным и поэтому нет необходимости находить зависи-
зависимость этого тока от поступающей на детектор активной
мощности. При неизменном значении выпрямленного тока
детектор во время измерения имеет, разумеется, неизмен-
неизменное сопротивление.
Таким образом, используя закороченную на конце из-
измерительную линию, можно создать генератор с внутрен-
внутренним сопротивлением, равным нулю, и регулируемой э. д. с.
В качестве другого примера рассмотрим измерение со-
сопротивления излучения рупорной антенны (рис. 49.9).
В данном случае детектор должен иметь очень слабую
связь с волноводной линией, замкнутой накоротко на про-
противоположном от рупора конце. Антенну здесь следует
рассматривать как генератор с неизвестным внутренним
сопротивлением, а детектор — как его нагрузку. Сопротив-
Сопротивление детектора, пересчитанное в точку короткого замы-
замыкания, представляет собой очень малое по„ сравнению
с волновым сопротивлением линии активное сопротивление.
При измерениях изменяется длина линии между антенной
Рис. 49.9 Устройство для измерения
сопротивления излучения рупорной ан-
антенны.
1 Так как в этой линии имеет место скачок волнового сопротив-
сопротивления, то сначала рассчитывают сопротивление детектора, трансфор-
трансформированное в точку В раздвижной линии (рис. ?9.8),
348
и короткозамыкателем, в то время как расстояние между
точкой подключения детектора и короткозамыкателем под-
поддерживается постоянным.
Как показано ib § 48 на примере рис. 48.5, при расчете
отдаваемой мощности иногда удобно менять местами со-
сопротивления генератора и нагрузки,что целесообразно сде-
сделать и в описываемом случае. Тогда по мере изменения
длины линии активная мощность, поступающая на детек-
детектор, будет изменяться так же, как подводимая к антенне
мощность, есл'и бы детектор являлся не
нагрузкой, а генераторам. При этом точ-
точка, соответствующая еще неизвестному
значению сопротивления излучения ан-
антенны, отнесенному к плоскости коротко-
короткого замыкания, проходит по какой-то пока
еще неизвестной окружности постоянного
рассогласования Ко (рис. 49.10).
Внутреннее сопротивление детектора,
рассматриваемого в качестве генератора,
будучи трансформированным в точку
короткого замыкания, имеет значение
очень близкое к нулю. Иа этого следует,
что активная мощность, в действитель-
действительности поступающая на детектор, изме-
изменяется так же, как и сопротивление антенньк Выпрямлен-
Выпрямленный ток детектора имеет максимальное значение <^кс, ког-
когда сопротивление антенны в точке Л короткого замыкания
равно сопротивлению /?ь Ток будет иметь минимальное зна-
значение при сопротивлении антенны, равном сопротивле-
сопротивлению /?2- Таким образом, изменение потребляемой детекто-
детектором активной (мощности определяется отношением Ri/R2,
т. е. NliaKJNimH=R,/R2. Если детектор имеет квадратичную
характеристику, то одновременно выполняется равенство
/Гакс/Син=^макс/^ми„. 0ТКУДа МОЖН0 НЗЙТИ И ОТНОШенИе /?,//?,.
Далее, поскольку для окружности постоянного рассогласо-
рассогласования RlR2 = Z2 (где Z — волновое сопротивление линии),
получим
Рис. 49.10. Геомет-
Геометрические построения,
разъясняющие сущ-
сущность метода наме-
намерений,
ного на рис.
макс ^i Rt 1/ гмин
'мин 2 * (макс
Таким образом найдена окружность постоянного рассогла-
рассогласования Ко, на которой лежит точка, соответствующая
трансформированному полному сопротивлению антенны.
Зная длину линии 10 между входной точкой антенны F
349
д
1+
и короткозамыкателем для случая, когда выпрямленный
ток максимален, можно точно рассчитать полное сопро-
сопротивление антенны. Для этого, исходя из значения 10, вы-
вычисляем угол ao=4jt/oA. Откладывая его относительно фик-
фиксированной точки диаграммы против часовой стрелки от
действительной оси, получаем окружность постоянной фа-
фазы К', пересечение которой с окружностью Ко дает иско-
искомое значение сопротивления антенны Ra.
В качестве еще одного примера рассмотрим случай ге-
генераторной или приемно-усилительной лампы (см. преды-
предыдущий раздел). Определим, например, соответствующее
резонансу сопротивление антенны или какой-либо другой
нагрузки, отнесенное к межэлектрод-
межэлектродной области генераторной лампы. Из-
| | г-LTJ—| мерения в этом случае можно произво-
^г г J. дить так> как эт0 схематично показано
-п I— _'Т на рис. 49.11. К модели, соответствую-
' ' I I щей реальному устройству, в каком-
нибудь месте путем слабой связи под-
подключается детектор Д. Кроме того,
обеспечивается возможность измене-
изменения эквивалента межэлектродной ем-
емкости Е в определенных пределах.
В других случаях измерительный
генератор подключается к схеме непо-
непосредственно и так, чтобы тоже обеспе-
обеспечивалась очень слабая связь. Детектор Д дает максималь-
максимальный выпрямленный ток на частоте /о, при которой схема
генератора настроена в резонанс и возможно самовозбуж-
самовозбуждение (это справедливо, если пренебречь влиянием про-
пространственного заряда, существующего между электрода-
электродами, во время генерации и т. д.).
Затем изменением межэлектродной емкости выпрям-
выпрямленный ток уменьшается на половину (при условии квад-
квадратичной характеристики детектора). По величине этого
изменения можно вычислить резонансное сопротивление,
отнесенное к межэлектродному участку. При резонансе все
устройство эквивалентно измеряемой активной проводи-
проводимости Gpe3 (рис. 49.12). Изменяя межэлектродную емкость,
можно изменить величину подключенной к ней параллель-
параллельно реактивной проводимости jY0, причем выпрямленный
ток при квадратичной характеристике детектора умень-
уменьшается как раз на половину, если Yo=Gpe3.
В тех случаях, когда постепенное изменение емкости
350
Рис. 49.11. Способ из-
измерения, соответствую-
соответствующий резонансу сопро-
сопротивления для недоступ-
недоступной точки схемы, напри-
например, лежащей между
электродами лампы.
JY0
0
(грез
Рис. 49.12. Вспомо-
Вспомогательные построе-
построения к рис. 49.11.
затруднительно, поступают так, как это описано в преды-
предыдущем разделе. Емкость изменяется только один раз на
точно известную величину АС0, а затем определяется по-
получаемая в результате этого резонансная
частота /о+А/о. Вместо уменьшения вы-
выпрямленного тока путем плавного узе-
личения емкости изменяется частота из-
измерительного генератора и определяются
два значения частоты fo+Af и /о—Л/',
при которых выпрямленный ток умень-
уменьшается наполовину. Как было показано
в предыдущем разделе, изменение часто-
частоты на Д/' эквивалентно изменению емко-
емкости на величину ДС= (ACo/Afo)Af при
постоянной частоте. Величина АС опре-
определяет необходимое изменение реактивной проводимости
Yo, которое равно искомой проводимости при резонан-
резонансе Срез.
Об остроте резонансной настройки волномера
На рис. 49.13 схематически изображен волномер, ра-
работающий по щринципу поглощения. По существу он ничем
не отличается от описанного выше (рис. 49.8) зонда с де-
детекторной камерой и состоит из регулируемой по длине од-
однородной линии, к одному из концов которой подключен
детектор Д.
Обычно желательно, чтобы волномер имел возможно
более острую настройку или, другими словами, чтобы за-
зависимость выпрямленного тока от частоты была достаточно
сильной. Кроме того, требуется, чтобы при возможио более
слабой связи волномера с основной линией выпрямленный
ток был достаточен для отсчета, т. е. чтобы к детектору
подводилась достаточная активная мощность. Последнее
требование относится также и к зонду измерительной ли-
линии, т. е. в обоих случаях требования, ,по сути дела, сов-
совпадают. Поэтому настоящие рассуждения справедливы как
по отношению к волномеру, так и по отношению к измери-
измерительной линии. Причем этот случай следует рассматривать
как один из случаев согласования. Источник колебаний
СВЧ, очень слабо связанный с волномером или измери-
измерительным зондом в определенной точке А (рис. 49.13), мож-
можно рассматривать как генератор с внутренним сопротив-
сопротивление, равным нулю, и определенным значением э. д. с. U.
Настройка в резонанс имеет место тогда, когда сопротив-
сопротивление детектора, пересчитанное точку А, представляет со-
351
бой минимальное активное сопротивление R\. Им погло-
поглощается мощность, равная |U|2//?i. Выпрямленный ток Г
детектора будет тем больше, чем меньше R\. Если ток i~
при резонансе недостаточно велик, то необходимо соответ-
о
л
Рис. 49.13. Резонансный волномер с острой ре-
резонансной настройкой.
ственно уменьшить величину Ru что можно сделать с по-
помощью линейного трансформатора. Последний можно вы-
выполнить, например, в виде перемычки Q, соединяющей
внешний и внутренний проводники (иа рис. 49.13 показана
пунктиром), размещаемой таким образом, чтобы зажимы
трансформатора Тц с большим значением сопротивления
(ср. §§ 27, 28) совпадали с точкой отсче-
отсчета R\. Тогда R\ преобразуется в R2 = RJk,
при этом k тем больше, чем сильнее связь,
обусловливаемая перемычкой. Следова-
Следовательно, таким путем можно увеличить
в k раз поступающую на детектор мощ-
мощность, а вместе с тем соответственно и
выпрямленный ток. Практически верх-
верхнюю границу значений выпрямленного
тока определяют активные потери в схе-
схеме, поскольку они при трансформации
тоже увеличиваются.
Использование перемычки, применяе-
применяемой в качестве линейного трансформато-
трансформатора, в данном случае желательно еще и
потому, что через нее легко отвести выпрямленный ток
детектора. К выводу детектора, соединенному по постоян-
постоянному току с внутренним проводником, прикладывается по-
потенциал внешнего проводника, а другой вывод детектора,
как это видно из рис. 49.13, изолирован от внешнего про-
проводника по постоянному току емкостью С. При изменении
длины внутренней полости волномера точка, соответствую-
соответствующая сопротивлению генератора в отсчетном сечении А, пе-
352
—I
Рис. 49.14. Вспо-
Вспомогательные по-
построения к
рис. 49.13.
ремещаётся по окружности постоянного рассогласования К\
(или К2) (рис. 49.14) в сторону от /?i (или R2). Чем силь-
сильнее рассогласование, тем меньше /?i (или R2). Незначи-
Незначительного изменения длины линии достаточно для того, что-
чтобы уменьшить вдвое поступающую в детектор мощность.
Аналогично изменению длины линии влияет и изменение
тастоты. Таким образом, чем меньше /?i или R2, тем боль-
больше при настройке выпрямленный ток детектора и одно-
одновременно острее резонансная кривая волномера или каме-
камеры измерительной линии.
Как уже говорилось в § 44, большое значение коэффи-
коэффициента трансформации k соответствует слабой связи. Сле-
Следовательно, рассматриваемый случай является частным
случаем согласования сопротивлений, когда повышения
остроты резонансной настройки добиваются посредством
осуществления слабой связи <с детектором, вносящим
в контур определенное затухание.
50. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПОТЕРИ АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ
В ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКЕ С ПОТЕРЯМИ
Любой четырехполюсник, включенный между нагруз-
нагрузкой и генератором, вносит большие или меньшие потери.
Некоторая часть iVn0T общей поступающей на вход четы-
четырехполюсника активной мощности МОбщ расходуется в нем.
При этом «относительные потери активной мощности»
Л^пот/Л^общ зависят не только от свойств четырехполюсника,
но и от сопротивления нагрузки или, что то же самое, от
его значения, трансформированного на вход четырехпо-
четырехполюсника. Характеристики генератора практически не влия-
влияют на величину отношения NnoT/NO5m. l .
То, что здесь говорилось о четырехполюсниках с поте-
потерями, равным образом справедливо и для четырехполюсни-
четырехполюсников, которые включают в себя сопротивления, являющие-
являющиеся полезной нагрузкой, или, например, для шестиполюсни-
ков, у которых .к одной паре клемм подключена постоян-
постоянная полезная нагрузка (например, антенна).
Четырехполюсник с потерями, как уже говорилось вы-
выше (рис. 15.1), характеризуется граничной окружностью
или окружностью потерь. Это та самая окружность /Спот
в плоскости комплексных сопротивлений (рис. 50.1), на
которой расположены значения входного сопротивления че-
1 Если связь между генератором и линией достаточно слабая.
(Прим. ред.)
23—52 353
тырехполюсника, нагруженного на чисто реактивную на-
нагрузку. Используя граничную окружность, можно постро-
построить простую эквивалентную схему (рис. 15.2), которая де-
делится на схему с потерями и схему без потерь.
Относительные потери активной мощности можно весь-
весьма просто определить с помощью граничной окружности
Рис. 50.1. Кривые постоянных значений относительных потерь активной
мощности Лгпот/Лгобщ четырехполюсника: No6ux— общая активная мощ-
мощность, поступающая на вход четырехполюсника; NnoT — потерн активной
мощности в четырехполюснике; КПОТ — „граничная окружность четырехпо-
четырехполюсника". Для всех входных сопротивлений, значения которых располо-
расположены на одной и той же окружности семейства, отношение NnoTjNo6.,
постоянно.
или эквивалентной схемы (рис. 15.2) [16]. Очевидно, что
отношение Nnor/NO5m для всех входных сопротивлений, зна-
значения которых расположены на граничной окружности
Лают, равно единице, поскольку в этом случае- сопротивле-
сопротивление нагрузки является чисто реактивным и им вообще не
поглощается мощность, так что вся подводимая мощность
Цнпб/рех-ГТУ.
Вез Id
nomepb _jj
С
Рис. 50.2. Схема, используемая для доказатель-
доказательства закона о кривых постоянных относительных
потерь активной мощности.
354
расходуется в самом четырехполюснике. Ниже будет
показано, что для всех входных сопротивлений, значения
которых расположены на одной и той же окружности се-
семейства рис. 50.1, относительные потери активной мощности
одинаковы. При этом данное семейство окружностей имеет
такой же вид, как и семейство окружностей диаграммы
трансформации эллиптического типа. Роль фиксированной
точки' в этом случае играет точка VRs(Rs-{-Rp)-{~ i^o-
Очень просто рассчитываются относительные потери ак-
активной мощности для тех сопротивлений нагрузки четырех-
четырехполюсника, которым соответствуют входные сопротивле-
сопротивления, расположенные на прямой, параллельной действитель-
действительной оси, проходящей через центр граничной окружности,
т. е. прямой вида R+jY0. В этом случае в точке А эквива-
эквивалентной схемы (рис. 50.2) входное сопротивление R будет
чисто активным. Это означает, что определяемое в точке В
сопротивление нагрузки Rx будет также чисто активным.
Его величину можно рассчитать, используя равенство
*+% +*,= К- <50Л)
Из выражения E0.1) следует:
_RsRp-*Rp _(R-RS)RP
Если в точке А на входе четырехполюсника протекает ток I,
то поступающая в этот четырехполюсник активная мощность
составит No6u = \l\2R.
Мощность потерь четырехполюсника равна
Поэтому
(R - RS)*RP
"общ «
s' _JL
(R-RS)RPV'
J
ПОТ '*_ I > :
._ 1
R
. E0.2)
23*
355
Выражение E0.2) на рис. 50.3 представлено графически
в полулогарифмическом масштабе. Отношение RP/RS, ко-
которое зависит только от величины сопротивлений учитыва-
T.0
h
0,8
V
\ч
1
^ i
3
fi-
J
/ ,
»_
•
4 56789101
j
T
/1
A
•
? 5 4 5
_.i
?' Rs
J
/
6789Ш2 2
1
Г
7
/?„
t%
7 " ' '
J 4 5
1
I
}
I
-|
6 78.910
%
V
0,3
ox
%
1
Is
Рис. 50.3. Семейство кривых, используемое для расчета относительных
потерь активной мощности. Параметр Rp/Rs находят с помощью гранич-
граничной окружности четырехполюсника (рис. 50.1). Значение R определяется
точкой пересечения окружности семейства рис. 50.1, проходящей через
измеренное значение входного полного сопротивления, с линией параллель-
параллельной действительной оси, проведенной через центр граничной окружности.
ющих потери в четырехполюснике, выбрано в качестве
параметра семейства кривых. По оси абсцисс отложены
значения отношения R/Rs, а по оси ординат — относитель-
относительные потери активной мощности Л^Пот/Л^Общ- Последние ми-
минимальны, если
R =yrRs (Rs-t-Rp) при Rs < Rp, они составляют
Следовательно, если, что еще следует доказать, окруж-
окружности, представленные на рис. 50.1, являются кривыми
постоянных относительных потерь активной мощности, то
для любого значения входного сопротивления четырехпо-
четырехполюсника R2, можно сразу же определить относительные
потери активной мощности. Для этого найдем окружность
семейства, проходящую через точку R2, а также
одну из точек пересечений этой окружности с линией,
параллельной действительной оси, проходящей через
центр граничной окружности (точку R+jYQ). Из граничной
356
окружности получим значения Rs и RPt а отсюда и пара-
параметр" RplRs кривой, выбираемой на рис. 50.3, а также
значение абсциссы R/Rs, по которому определяется
искомое значение ординаты Nn0T/N0^.
Применение полулогарифмического масштаба на
рис., 50.3 позволяет легко производить интерполяцию и на-
находить ненанесенные на график кривые, соответствующие
промежуточным значениям RPIRS, поскольку эти кривые
при выбранном способе изображения становятся симмет-
симметричными. Для упрощения интерполяции на рисунке на-
нанесена пунктирная линия,, на которой расположены все
минимумы.
Теперь следует доказать утверждение о том, что окруж-
окружности, изображенные на рис. 60.1, представляют собой
кривые_постоянных относительных потерь активной мощ-
мощности Л^пот/Л^общ- Для упрощения предположим, что отно-
отношение Л^дот/Л^общ определяется значением трансформирован-
трансформированного сопротивления нагрузки и совсем не зависит от ха-
характеристик генератора, подключенного к четырехполюс-
четырехполюснику. Это дает возможность отказаться от каких-либо
ограничений в выборе -генератора. Используем это и пред-
предположим, что генератор имеет постояиную э. д. с. и по-
постоянное внутреннее сопротивление, равное
что соответствует схеме, изображенной на рис. 50.2.
Для такого генератора окружности, представленные на
рис. 50.1, являются кривыми постоянного коэффициента
согласования. Это означает, что при всех значениях вход-
входного сопротивления, расположенных на одной и той же
окружности семейства, от генератора в четырехполюсник
поступает одна и та же активная мощность Л^общ-
Разорвем в точке В схему, изображенную на рис. 50.2.
При этом можно считать, что к правой части схемы под-
подключен генератор с постоянным внутренним сопротивле-
сопротивлением, равным
1
357
Отнесенные к точке В кривые постоянного коэффициен-
коэффициента согласования для этого генератора, включающего в се-
себя также элементы с потерями четырехполюсника, пред-
представляют собой такие окружности (обозначим их через К*),
которые пересекают действительную ось под прямым углом
в двух точках R\ и R2, вследствие чего всегда будет спра-
справедлива следующая зависимость:
*./?. =
R2PRS
E0.3)
Это означает, что если на .выходе четырехполюсника под-
подключать различные сопротивления, значения которых, бу-
будучи отнесенными к точке В, располагаются «а одной
и той же окружности упомянутого семейства кривых К*, то
генератор в точке В, а следовательно, и в точке С будет
отдавать постоянную активную мощность Л^отд.
Покажем, что окружности К* при переходе к точке Л'
преобразуются в окружности, изображенные на рис. 50.1.
Значения сопротивлений /?i и R2, расположенные на неко-
некоторой окружности семейства К*, трансформируются четы-
четырехполюсником, заключенным между точками В и А'
(рис. 50.2), в значения
Поскольку окружности семейства К* перпендикулярны дей-
действительной оси, то полученные при их трансформации ок-
окружности будут пересекать под прямым углом прямую,
параллельную действительной оси и проходящую через
точку /То (так как при трансформации действительная ось
переходит в прямую, ей параллельную и проходящую че-
через точку jY0).
Теперь остается только доказать, что R[ R'2 = Rs (Rs-\- Rp).
Из предыдущего следует, что
2 2
(RS+'RPJ + (R,
RP) RSRP+ R2SR2P
358
Подставив сюда выражение E0.3), получим
, , Rs (Rs+ RP) [R2P (Rs+ RP) + R
1 2 ~ R\ (R+ R) + R (R+
(Rs+Rp)-
т. e.
Итак, можно сказать, что если к выходу четырехполюс-
четырехполюсника подключать сопротивления, знамения которых, будучи
пересчитанными в точ'ку В (рис. 50.2), располагаются на
одной и той же окружности семейства К*, то от четырех-
четырехполюсника в случае схемы, изображенной на рис. 50.2, бу-
будет поступать во все эти сопротивления постоянная актив-
активная мощность Л^отд. Все пересчитанные в точку А' значе-
значения подключаемых сопротивлений располагаются на одной
и той же окружности семейства, изображенного 'на рис. 50.1.
Поэтому при подключении любого из этих сопротивлений
генератор отдает в четырехполюсник одну и ту же актив-
активную мощность Л^общ- Следовательно, для этих сопротивле-
сопротивлений отношение
'¦^общ отд //¦'"общ == ¦*" пот/^общ
остается постоянным. Так как отношение МПОт/^о5щ не за-
зависит от свойств генератора, высказанное выше утверж-
утверждение о том, что окружности 50.1 являются окружностями
постоянных относительных шотерь активной мощности,
можно считать доказанным.
51. НАГРУЗОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЕНЕРАТОРА
С САМОВОЗБУЖДЕНИЕМ
Свойства генератора с самовозбуждением нельзя вы-
выразить с помощью простых эквивалентных схем, показан-
показанных на рис. 47.1. Это следует уже из того, что при изме-
изменении сопротивления нагрузки, как правило, изменяется
также и частота выдаваемых генератором колебаний. Кро-
Кроме того, эквивалентная схема, составленная из сосредото-
сосредоточенных индуктивностей и емкостей, на очень высоких ча-
частотах редко отражает правильно свойства генератора.
Если требуется установить, как ведет себя генератор
в той или иной схеме, то можно воспользоваться его на-
грузочщыми характеристиками (рис. 51.1), с помощью
которых для каждого комплексного сопротивления нагруз-
нагрузки можно определить частоту, «а которой работает гене-
359
ратор, и величину отдаваемой им активной мощности. На
практике часто бывает достаточно иметь часть этих харак-
характеристик или же полные, но приближенные характери-
характеристики. С другой стороны, в литературе для некоторых
генераторов, например магнетронных, привод'ятся точные
нагрузочные характеристики, причем изображаются О'ни
обычно на круговой диаграмме. На рис. 51.2 в качестве
примера изображены типовые нагрузочные характеристи-
характеристики магнетрона.
В тех случаях, когда нагрузочные характеристики не
удается рассчитать, их можно определить эксперименталь-
экспериментально с помощью измерительного
устройства, схематически изобра-
изображенного на рис. 51.3. К генератору
G через измерительную линию с
волномером М и регулируемый
трансформатор без потерь Т под-
подключается оконечный измеритель
мощности L. В зависимости от на-
настройки трансформатора генератор
оказывается нагруженным на то или
иное комплексное сопротивление Ra,
величина которого определяется с
помощью измерительной линии. При
данном сопротивлении нагрузки ча-
частота генерируемых колебаний соот-
соответствует собственной частоте всей
схемы. При этом генератор от-
отдает определенную активную мощ-
мощность, величина которой опреде-
определяется с помощью измерителя мощности. Таким же
способом во всем исследуемом диапазоне можно, изме-
изменяя подключенное к генератору в качестве нагруз-
нагрузки сопротивление, определять частоту и мощность.
Нагрузочные характеристики генератора получаются, с од-
одной стороны, в результате соединения кривыми всех зна-
значений полного сопротивления в комплексной числовой
плоскости, при которых генератор работает с постоянной
частотой, и, с другой стороны, тех значений полного сопро-
сопротивления, при которых он отдает постоянную активную
мощность. С помощью нагрузочных характеристик одно-
однозначно определяются электричеакие параметры генератора,
Теперь можно сделать 'несколько общих выводов. Если
к генератору подключать только чисто реактивные сопро-
360
Рис. 51.1. Нагрузочные
характеристики генератора
с самовозбуждением. По
характеристикам для каж-
каждого значения сопротивле-
сопротивления нагрузки можно опре-
определить ч стоту и величину
отдаваемой мощности.
тивления, то отдачи активной мощности происходить не
будет. Таким образом, мнимая ось представляет собой
кривую постоянной отдаваемой активной мощности NOTJl = 0.
Поэтому и другие кривые постоянной отдаваемой активной
мощности будут приблизительно параллельны м'нимой оси.
С другой стороны, в результате подключения различных
реактивных сопротивлений частота генератора будет ме-
меняться, при этом небольшие дополнительные активные по-
потери не будут оказывать значительного влияния. Отсюда
следует, что кривые постоянной частоты будут приблизи-
i
—
L
Рис. 51.2. Нагрузочные характе-
характеристики магнетрона.
Рис. 51.3. Блок-схема устройства
для экспериментального опреде-
определения нагрузочных характеристик
генератора.
тельно перпендикулярны
мнимой оси.
Очевидно, что нагрузоч-
нагрузочные характеристики генера-
генератора изменятся, если взять
другую отсчетную точку. Ес-
Если трансформирующие свой-
свойства четырехполюсника, включенного между двумя от-
счетными точками, известны и для одной из них из-
известны нагрузочные характеристики, то можно постро-
построить характеристики для другой точки. Наиболее це-
целесообразно выбирать отсчетную точку там, где чаще всего
в схеме производится подключение генератора и где легче
всего производить измерения сопротивлений. В большинст-
большинстве случаев на подключаемой однородной линии имеется
хотя бы одна такая точка.
Если генератор имеет только два высокочастотных
электрода, как это имеет место в различных клистронах,
то нагрузочную характеристику можно определить, напри-
например, на модели 'четырехполюсника, включенного между
электродами и точкой, доступной для подключения сопро-
сопротивления нагрузки.
Как правило, величина подключаемого сопротивления
нагрузки Ra зависит от частоты и эта зависимость в плос-
плоскости комплексных сопротивлений выражается некоторой
361
кривой С (рис. 51.4). Чтобы определить в этом случае ча-
частоту колебаний, выдаваемых генератором, кривую С на-
наносят на его нагрузочные характеристики (на рис. 51.4 они
изображены пунктиром). Генератор мо-
может выдавать только частоту /' (на
рис. 51.4 /'=/4)- Соответствующая
этой частоте точка частотной характери-
характеристики генератора совпадает с точкой Ra
кривой С. Иногда, используя кривые ча-
частотной зависимости сопротивления на-
нагрузки и нагрузочные характеристики
генератора, можно получить два и боль-
больше значений частоты генерации. В таких
Рис. 51.4. Расчет случаях генератор будет работать на тех
частоты колебаний, частотах, при которых условия возбуж-
выдаваемых генера- дения выполняются легче. Он может так-
также продолжительное время работать в
тором в случае, ког-
на'грузкиТвиТо? режиме "перескока" с одной частоты иа
частоты. другую.
ЧЩ,
52. ДВА ЧАСТНЫХ ВОПРОСА, КАСАЮЩИХСЯ РАБОТЫ
ГЕНЕРАТОРОВ И РАССМАТРИВАЕМЫХ В КАЧЕСТВЕ
ПРИМЕРОВ ПРИМЕНЕНИЯ НАГРУЗОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Стабильность частоты генераторов с самовозбуждением
и влияние на нее сопротивления нагрузки
В результате небольшого изменения расстояния между
электродами ламп или из-за небольших колебаний напря-
напряжений источников питания в генера-
генераторах с самовозбуждением происхо-
происходит изменение частоты, величина ко-
которого зависит от вида схемы. На
сверхвысоких частотах нередко ра-
работают с частотной модуляцией,
осуществляемой посредством изме-
изменения соответствующего напряже- Рпс 52.1. Нагрузочные ха-
НИЯ. Происходящее при ЭТОМ изме- рактеристики генератора с
ненне частоты также зависит от тормозящим полем
вида схемы, влияние которой часто (ПРИ *=14 сж)-
бывает настолько сильным, что при-
приводит даже к скачкообразным изменениям частоты. Пове-
Поведение генератора в этих случаях лучше всего исследовать
с помощью нагрузочных характеристик. В большинстве
случаев достаточно иметь только часть их, соответ-
362
ствующую выбранным рабочим значениям частоты или
мощности. Для исследования изменения частоты генерато-
генератора, например, необходимы только кривые постоянной
частоты. На рис. 52.1 приводится соответствующий пример.
В качестве отсчетной точки линии, которой отвечают по-
показанные на этом рисунке характеристики, выбрана точ-
точка А, где подключается антенна, полностью согласованная
с основной линией. При указанных на рис. 52.1 значениях
полных сопротивлений были измерены отклонения частоты
от случая, когда входное сопротивление антенны равно
волновому сопротивлению Z линии '.
Используя соответствующие этим значениям точки,
можно с достаточной точностью построить кривые постоян-
постоянной частоты, показанные на рисунке пунктиром. Очевидно,
что при изменении сопротивления нагрузки в направлении
стрелки s получается наибольшее увеличение частоты А/.
Изменение частоты вблизи точки Z, например в направле-
направлении стрелки s, можно считать пропорциональным измене-
изменению сопротивления. Поэтому можно записать равенство
м. E2.1)
, Ю" 3,33-Ю"
причем ?гг = ш== ^
Здесь индекс s означает, что изменение сопротивления про-
происходит в направлении стрелки s. Если сопротивление на-
нагрузки изменяется в каком-то другом направлении Ь, то
для него изменение частоты будет, очевидно, равно
A/ = ?rcos(s,&)|ARa|, E2.2)
где
(s, b) —угол между направлениями s и Ь. Значение коэф-
коэффициента kv зависит только от параметров генератора, иа
что и указывает индекс «г».
Пусть сопротивление нагрузки Ra, подключенное к ге-
генератору, зависит от частоты. Если частота изменяется на
небольшую величину А/, то сопротивление Ra также изме-
изменится мало, причем величину его изменения (ARa) можно
считать пропорциональной А/, т. е.
ка
Значение коэффициента kRa зависит от свойств сопротив-
сопротивления нагрузки, на что указывает индекс Ra.
1 Измерения производились на генераторе с тормозящим полем
при длине волны в 14 см E5].
363
Предположим, что по какой-либо причине, например
в результате изменения напряжения, частота генератора
(при подключении независящего от частоты сопротивления
нагрузки Z) должна возрасти на небольшую величину А/ь
В действительности вследствие зависимости сопротивления
нагрузки от частоты получим несколько отличное измене-
изменение частоты A/]f а именно такое, которое получится, если
к изменению частоты в результате изменения напряжения
прибавить еще сдвиг частоты А/", вызванный изменением
сопротивления нагрузки. Изменением частоты на величи-
величину A/j приведет к изменению сопротивления нагрузки на
величину
AR,
А/,
В комплексной плоскости в зависимости от вида схемы это
изменение может происходить в любом направлении, на-
например в направлении Ь_ Но, как видно из нагрузочной ха-
характеристики генератора, изменение сопротивления на ве-
величину ARa в направлении b вызывает изменение частоты,
равное
bj"=krcos(s,b)k Д/',,
ка
которое, складываясь с первоначальным изменением, дает
Д/| = АД + А/" = АД + kTk cos (s, b) Af[
или
д/;=-
1—krko cos (s,b)
E2.4)
В зависимости от величины угла (s, b) знаменатель это-
этого выражения будет больше или меньше единицы. Это зна-
значит, что действительное изменение частоты вследствие
противоположного действия сопротивления нагрузки либо
уменьшится, либо, наоборот, увеличится. В первом случае
схема стабилизирует частоту, во втором, наоборот, увели-
увеличивает ее изменение. При большом значении коэффициен-
коэффициента kT или &Ra> т. е. при сильной зависимости сопротивле-
сопротивления нагрузки от частоты знаменатель в выражении E2.4)
может приближаться к нулю. Если величина А/| стремит-
стремится к бесконечности, то это означает, что наступают пере-
перескоки частоты, т. е. генератор работает нестабильно.
364
Сказанное можно пояснить йа примере (рис. 62.2).
Предположим, что к генератору через кабель длиной / шод-
ключена антенна с коэффициентом стоячей волны ло на-
напряжению, равным 1,3. Если длина кабеля очень велика
по сравнению с длиной волны к, то частотной зависимостью
сопротивления антенны по сравнению с частотной зави-
зависимостью, вызываемой кабелем, можно пренебречь. Значе-
Значение сопротивления нагрузки, пересчитанное в отсчетную
Антенна
К
Рис. 52.3. Окружность,
по которой перемещается
точка, соответствующая
входному сопротивлению
кабеля, в случае малого
изменения частоты (КСВН
нагрузки равен 1,3).
Рис. 52.2. Кабель, включенный
между антенной и генератором.
Если длина кабеля значительна,
то его включение сказывается на
работе генератора. При выбран-
выбранном значении КСВН антенны из
нагрузочных характеристик ге-
генератора можно рассчитать мак-
максимально допустимую длину ка-
кабеля, при которой генератор точ-ку линии А, для которой
работает еще стабильно. можно построить нагрузоч-
нагрузочные характеристики гене-
генератора, с повышением частоты перемещается по часо-
часовой стрелке вдоль окружности К, соответствующей
КСВН-1,3 (рис. 52.3). Оно обойдет окружность К точ-
точно один раз, если частота увеличится на величину
А/=с/2/ (здесь с — скорость распространения волны в ка-
кабеле, которая для простоты приравнивается к скорости све-
света). Если при первоначальной частоте f в кабеле укладыва-
укладывалось —=— f — n длин волн, то при частоте f-\-bf будет
укладываться — (/ -\- А/) = п -\- 0,5 длин волн.
При таком изменении частоты значение сопротивления
нагрузки в комплексной плоскости изменяется на величину,
которая соответствует длине окружности (рис. 52.3). Та-
Таким образом,
2tcO,3Z 1,2n/Z
с
ж
ом/гц.
365
Подставляя эту величину, а также значение k =
3 33 Г
= -^— 10е гц/ом, взятое из нагрузочной характеристики
генератора (рис. 52.1), в выражение E2.4), получаем
л*' A/i _ а/,
3,33-10" \.2nlZ
1 — ^ * —-—cos
1—1,26.10' — cos(s,6)
При /=10 м, например, в зависимости от выбранного на-
направления Ъ, т. е. от положения . точки сопротивления
нагрузки на окружности постоянного рассогласования К,
значение Ц\ будет изменяться в пределах от
._ А/, _
До
1— 1,26-10'.0,33-10-'~1—,0,42"
^
1.7ДД
+ 0^42
Если АД .представляет собой изменение частоты при со-
согласованной нагрузке, то в данном примере (при неболь-
небольшом изменении длины линии или частоты (при этом
сопротивление нагрузки, отнесенное к точке А, может со-
соответствовать любой точке окружности на рис. 52.3) оно
будет изменяться в пределах от IJAfi до 0,7Д/].
При длине линии /, равной 23,7 м или более, и коэф-
коэффициенте стоячей волны по напряжению, равном 1,3, ста-
стабильный режим генератора (Невозможен.
Влияние сопротивления нагрузки на частоту колебаний,
выдаваемых генератором, можно использовать для стаби-
стабилизации, подключая к генератору сопротивление с боль-
большой частотной зависимостью 1.
Потери в схеме генератора и диапазон частот генератора
с самовозбуждением
Особое значение имеет определение диапазона частот,
в котором генератор с самовозбуждением можно настроить
изменением сопротивления нагрузки. Рассмотрим кратко
1 Так автор в работе [55] описывает случай значительного повы-
повышения стабильности частоты, когда изменение напряжения на одни
вольт давало только одну восьмую часть первоначального изменения
частоты.
366
данный вопрос. При этом ограничимся генераторами, у ко-
которых напряжение высокой частоты приложено только
к одной паре электродов (к «им относятся, например, кли-
клистроны). В этом случае часть схемы, заключенная между
электродами Е и точкой А (рис. 62.4), в которую пересчи-
тывается изменяемое сопротивление нагрузки, представ-
представляет собой четырехполюсник.
Генератор возбуждается только на резонансной часто-
частоте всей схемы, т. е. на частоте, при которой сопротивление
нагрузки трансформируется этим четырехполюсником
в пространство дрейфа электронов в чисто активное сопро-
4-
О
Рис. 52.5. Граничная ок-
окружность генератора.
• Рис. 52.4. Схема гене-
генератора с двумя высоко-
высокочастотными электро-
электродами.
тивление. Последнее не
должно быть меньше неко-
некоторого минимального сопро-
сопротивления, так как колебания в генераторе возможны толь-
только при условии, что это обусловливающее затухание со-
сопротивление по своей величине больше, чем так называе-
называемое отрицательное сопротивление пространства дрейфа
электронов. Четырехполюсник, включенный между про-
пространством дрейфа и отсчетной точкой, всегда будет вно-
вносить более или менее значительные потери. Поэтому при
любой частоте можно воспользоваться граничной окруж-
окружностью Кпот (рис. 50.1).
Любое сопротивление нагрузки, подключаемое к гене-
генератору, будучи отнесенным к пространству дрейфа, транс-
трансформируется в сопротивление, значение которого лежит
внутри окружности /Спот. На рис. 52.5 такая граничная ок-
окружность Knot изображена в плоскости полных лроводи-
мостей. Пусть G_ будет предполагаемой величиной отри-
отрицательной проводимости пространства дрейфа электронов.
Следовательно, генератор возбуждается только при такой
нагрузке, трансформированная проводимость которой GTH,
как установлено выше, является активной и меньшей,
чем G-, т. е. ее значение находится на отрезке действитель-
367
нои оси Между расположенной на граничной окружности
точкой GK и точкой G-.
Если положение точки GTH внутри граничной- окруж-
окружности известно, можно рассчитать, какая часть отдавае-
отдаваемой генератором активной мощности теряется в четырех-
четырехполюснике, включенном между пространством дрейфа
и точкой подключения сопротивления нагрузки. Поск*. :ь-
ку, как правило, величины G_ и GTH очень малы по срав-
сравнению со значением, определяемым второй точкой пересе-
пересечения граничной окружности с действительной осью, то
потери будут примерно такими же, как если бы четырех-
четырехполюсник в качестве граничной окружности имел линию,
параллельную мнимой оси, проходящую через точку GK.
В этом случае часть схемы четырехполюсника, учитываю-
учитывающую потери, можно заменить одной активной параллельно
включенной проводимостью GK и для относительных по-
потерь активной мощности записать следующее приближен-
приближенное выражение:
N
общ "тн
Из последнего равенства следует, в частности, что от-
относительные потери активной мощности в случае генера-
генераторов с малой отрицательной проводимостью значительны.
Итак, положение граничной окружности имеет существен-
существенное значение.
Возможны также случаи, когда значение отрицательной
проводимости генератора G_ расположено вне граничной
окружности. Тогда генерации на соответствующей частоте
вообще не будет. Таким образом, теперь можно объяснить,
почему генераторы с самовозбуждением настраиваются
извне в ограниченном диапазоне частот; только в преде-
пределах этого диапазона край граничной окружности располо-
расположен настолько близко к мнимой оси, что значение проводи-
проводимости GK меньше, чем G_. Теперь становится ясным, что
можно производить экспериментальные исследования схе-
схемы генератора на модели, лишенной катода и не требую-
требующей вакуума, которую, следовательно, легко,изменять. Эти
исследования заключаются в том, что на нескольких ча-
частотах заданного -диапазона определяют параметры четы-
четырехполюсника, включенного между 'Пространством дрейфа
электронов и точкой подключения сопротивления нагруз-
нагрузки (точка А), помещая между электродами различные ди-
диэлектрики и измеряя сопротивление, трансформированное
368
в точку А. Таким путем можно заранее определить величи-
величину ожидаемых в схеме генератора потерь и при необходи-
необходимости изменить его конструкцию.
53. ТРАНСФОРМАЦИИ ПРИ СОГЛАСОВАНИИ,
ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ УСТРОЙСТВАМИ С ФИКСИРОВАННОЙ
•V0 НАСТРОЙКОЙ
Задача получения от генератора максимальной актив-
активной мощности или требуемой частоты, в случае генератора
с самовозбуждением, как это видно из вышеизложенного,
может быть решена путем трансформации сопротивления
нагрузки в сопротивление с определенным значением,
включенное на входе генератора. Эти процессы можно рас-
рассматривать как согласование. Почти все вопросы, касаю-
касающиеся цепей, относятся к области согласования.
Существует бесконечно большое количество способов
трансформации сопротивления нагрузки в сопротивление
с требуемым значением. Поэтому остановимся здесь только
на некоторых из них, рассмотрев несколько конкретных
примеров '.
Расчет согласования возможен, если, с одной стороны,
известна величина сопротивления Ri, подлежащего согла-
согласованию, и, с другой стороны, — внутреннее сопротивление
генератора или его комплексно-сопряженное значение R2
(или сопротивление согласования, получаемое из нагру-
нагрузочных характеристик генератора). Задача состоит в том,
чтобы сопротивление Ri преобразовать к зажимам генера-
генератора в сопротивление R2.
Первый пример. Свойства трансформирующего звена,
необходимого для. согласования в случае, показанном на
рис. 53.1, можно определить, построив окружность К, про-
проходящую через точки R] и R2, с центром в точке М на
действительной оси.
Точка М получается в результате пересечения действи-
действительной оси перпендикуляром, восстановленным из сере-
середины отрезка, соединяющего точки Ri и R2. Окружность К,
которая в случае, показанном на рис. 53.1, вся располо-
расположена в правой полуплоскости, пересекает действительную
ось в двух точках R' и R", исходя из которых, рассчиты-
рассчитывается значение волнового сопротивления Z=VR'R". С по-
помощью отрезка однородной линии с волновым сопротив-
1 Соответственно этому невозможно перечислить все работы по
данному вопросу. Укажем только, что рассмотрение некоторых при-
примеров можно найти в статье [56].
24—52 369
леиием Z и длиной 1—ак/4я сопротивление Ri трансфор-
трансформируется в сопротивление Яг (здесь а — угол поворота на
диаграмме трансформации однородной линии).
Описанная трансформация возможна только тогда,
когда, во-лервых, окружность К, проходящая через точки
Ri и Яг, вся расположена в правой полуплоскости, и, во-
вторых, когда волновое сопротивление Z имеет значение,
Рис. 53.1. Трансформация
сопротивления R, в сопро-
сопротивление R,, осуществляе-
осуществляемая с помощью отрезка
однородной линии.
которое можно получить на прак-
практике.
Рис. 53.2. Трансформа-
Трансформация сопротивлении R,
в сопротивление Rt,
осуществляемая с по-
помощью двух соответ-
соответб
Второй пример. На рис. 53.2 ствующим образом вы-
показан другой способ согла- бт™*™Гж^°№°'
сования. Им можно воспользо- ^
ваться в том случае, когда со-
соотношение сопротивлений Ri и R2 менее благоприят-
благоприятно, чем в случае, представленном на рис. 53.1. Построения
в данном случае выполняются следующим образом. Через
точку Ri проводится произвольная окружность К\ с цент-
центром на действительной оси, пересекающая последнюю
в точке R', причем значение R' должно быть меньше зна-
значения действительной части сопротивления R2. Затем через
точки R' и R2 проводится вторая окружность /Сг, -центр
которой также расположен на действительной оси. Из
рис. 53.2 видно, что с помощью отрезка однородной линии
с волновым сопротивлением Z( =YR' R", соответствующим
окружности трансформации К\, сопротивление Ri можно
преобразовать в сопротивление R', а с помощью другого
отрезка однородной линии с волновым сопротивлением Z2,
соответствующим окружности Кг, сопротивление R' пре-
преобразовать в сопротивление R2.
370
Экспериментируя, можно легко убедиться в том, что
¦необходимые значения волновых сопротивлений Zt и Z2
всегда получаются на практике, если только сопротивле-
сопротивление R' выбрано достаточно малым. Следовательно, такой
вид трансформации всегда выполним.
Третий пример. На рис. 53.3 показан еще один способ
согласования. Окружность К\, проходящая через точку Rb
с центром на действительной оси проводится здесь так,
чтобы она проходила также через точку, изображающую
Рис. 53.3. Трансформации со-
сопротивления R, в сопротив-
сопротивление R2, осуществляемая
посредством отрезка однород-
однородной линии и последовательно
включенной емкости.
Рис. 53.4. Трансформация
сопротивления R, в сопро-
сопротивление R,, осуществли-
емая посредством отрезка
однородной линии и па-
параллельно включенной
емкости.
сопротивление, равное действительной части сопротивле-
сопротивления R2. Таким образом, с помощью отрезка линии с вол-
волновым сопротивлением Z, соответствующим окружности
трансформации К\, сопротивление Ri может быть транс-
трансформировано в R', и затем сопротивление R' с помощью
последовательной емкости величиной —jX2, равной мнимой
части сопротивления R2, — в сопротивление R2. В двухпро-
двухпроводных линиях последовательную емкость легко получить,
разрывая один из проводников.
Четвертый пример. В случае, изображенном на рис. 53.4,
через точку R, проводится окружность Ки которая касает-
касается мнимой оси в начале координат. С помощью соответ-
соответствующей 'параллельно включенной емкости сопротивле-
сопротивление Ri трансформируется в сопротивление R'. Затем прово-
проводится окружность трансформации однородной линии, про-
проходящая через точки R' и R2, и сопротивление R' отрез-
отрезком этой линии трансформируется в сопротивление R2.
Уже из четырех рассмотренных выше примеров видно,
24* 371
что существует бесчисленное количество способов согла-
согласования. Выбор способа необходимо производить так, что-
чтобы обеспечивались:
1) простота согласующего устройства,
2) возможно меньшая зависимость трансформации со-
согласования от частоты,
3) минимальные потери активной мощности в транс-
трансформирующих звеньях.
Для выполнения второго и третьего из перечисленных
выше пунктов нужно стремиться к тому, чтобы, во-первых,
по возможности сократить общую длину трансформирую-
трансформирующих звеньев и, во-вторых, избежать резкого увеличения
токов и напряжений, так как потери в активных сопротив-
сопротивлениях, включенных в линию, пропорциональны квадрату
тока, а потери в диэлектриках —квадрату напряжения.
Возрастание токов и напряжений приводит к большим по-
потерям активной мощности. Кроме того, увеличение тока
и напряжения указывает на наличие резонансов, при ко-
которых имеет место большая частотная зависимость.
Такие пики тока и напряжения легко обнаружить с по-
помощью диаграммы трансформации, учитывая, что переда-
передаваемая активная мощность N выражается равенством
где R и Y означают соответственно сопротивление и про-
проводимость в выбранной отсчетной точке. Если проследить
за изменением действительной части сопротивления R
вдоль всего трансформирующего звена, то можно устано-
установить место возрастания тока. То же самое относится к на-
напряжению и проводимости. В самом деле, в тех точках,
где действительные части R и Y особенно малы, токи и на-
напряжения резко увеличиваются. Если, например, в случае
рис. 53.2 R' очень мало, то это указывает на возрастание
тока и, следовательно, применение трансформации такого
рода нецелесообразно.
Идеальной в отношении потерь и частотной зависимос-
зависимости, как правило, является такая трансформация, при кото-
которой сопротивление Ri кратчайшим путем переводится в со-
сопротивление R2, а соответствующая сопротивлению точка
диаграммы при перемещении вдоль трансформирующего
звена нигде не подходит близко к мнимой оси.
Нередко между генератором и нагрузкой включается
однородная линия значительной длины. В этом случае во
372
избежание слишком большой частотной зависимости и по-
потерь активной мощности сопротивление нагрузки Ri в точ-
точке подключения трансформируется в волновое сопротивле-
сопротивление Z этой линии и только в начале линии сопротивление Z
трансформируется ъ сопротивление R2. Согласование с пе-
переходом к сопротивлению Z, как это видно из рис. 53.2,
можно произвести с помощью соответствующего отрезка
линии с волновым сопротивлением Z\. Можно также со-
сопротивление Ri непосредственно подключить к линии с вол-
Рис. 53.5. Трансформация сопротивле- Рис. 53.6. Трансформация, осу-
ния R,, которому соответствует КСВН, ществляемая четвертьволновым
равный к, в волновое сопротивление отрезком линии.
этой линии. Такую трансформацию
можно осуществить посредством ли-
иейного трансформатора с коэффициен- новым сопротивлением Z.
том трансформации, равным к. Если при этом сопро.
тивление Ri обусловли-
обусловливает в линии коэффициент стоячей волны по напря-
напряжению k |(рис. 53.5), то согласование, как об этом уже
говорилось в § 27, можно осуществить посредством любо-
любого линейного трансформатора с коэффициентом трансфор-
трансформации, равным k.
Часто для осуществления такой трансформации в од-
однородных двухпроводных линиях с волновым сопротивле-
сопротивлением Z применяются четвертьволновые отрезки линии
с меньшим волновым сопротивлением Z\. Такое звено, как
показывает расчет, представляет собой линейный транс-
трансформатор с коэффициентом трансформации k=(ZfZiJ.
Зажимы Т, трансформатора, соответствующие мень-
меньшему значению напряжения, расположены непосредствен-
непосредственно в месте скачка волнового сопротивления, так что при
согласовании отрезок линии с меньшим волновым сопро-
сопротивлением нужно включать так, чтобы его край, обращен-
обращенный к нагрузке, совпадал с узлом напряжения (рис. 53.6).
Используя семейство кривых (рис. 33.4 и 33.5), всегда
можно осуществить согласование и с помощью любых дру-
других, нечетвертьволновых линий.
25—52 373
54. РЕГУЛИРУЕМЫЕ ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Часто бывает необходимым изменять величину полного
сопротивления. Это относится, например, к случаю гене-
генератора с самовозбуждением, когда от значения сопротив-
сопротивления нагрузки, отнесенного к точке подключения генера-
генератора, зависит не только величина отдаваемой мощности,
но и частота. Следовательно, для того чтобы такой гене-
генератор настроить на заданную частоту, необходимо иметь
переменное трансформирующее устройство, позволяющее
получать значения сопротивления нагрузки, соответствую-
соответствующие определенным точкам нагрузочной характеристики.
Применяя на практике трансформирующие устройства
с фиксированной настройкой, обычно не удается осуще-
осуществить хорошее согласование полных сопротивлений. Для
получения качественного согласования и в этом случае
при-ходится прибегать к регулируемым трансформирую-
трансформирующим устройствам.
Для измерительных целей и при выполнении ряда ис-
исследований, например определении упомянутых выше на-
нагрузочных характеристик генератора, также требуются ре-
регулируемые трансформирующие устройства. При этом
может возникнуть необходимость трансформировать любое
комплексное сопротивление Ri в любое комплексное сопро-
сопротивление R2 (иногда даже при выполнении других условий,
например фазовых). Следует отметить, что к трансформи-
трансформирующему звену не предъявляется очень высоких требова-
требований в отношении точности изготовления.
Последовательные и параллельные реактивные сопро-
сопротивления. Принципиально для осуществления любой транс-
трансформации требуются, по крайней мере, два элемента ре-
регулировки, но и этого не всегда бывает достаточно. Так,
например, с помощью переменного включенного параллель-
параллельно реактивного сопротивления сопротивление нагрузки Ri
(рис. 54.1) можно трансформировать только в такие сопро-
сопротивления, значения которых 'расположены на окружнос-
окружности /Ci, проходящей через точку Ri и касающейся мнимой
оси в начале координат. В общем случае при использова-
использовании только одного элемента регулировки точка, соответ-
соответствующая трансформированному значению, будет переме-
перемещаться лишь по одной вполне определенной кривой и толь-
только чисто случайно может оказаться, что именно на ней
расположено то значение, которое необходимо получить
в результате трансформации.
374
Иначе обстоит дело при одновременном использовании
двух регулируемых реактивных сопротивлений, одно из
которых включено параллельно, а другое последователь-
последовательно (рис. 54.2).
С помощью этого устройства комплексное сопротивле-
сопротивление Ri (рис. 54.1) можно трансформировать в любое дру-
другое сопротивление R2, значение которого находится вне
окружности /Со. Окружность /Со характеризуется тем, что
Рис. 54.1. Трансформация,
осуществляемая посредством
реактивных сопротивлений
(рис. 54.2), одно из которых
включено последовательно, а
другое параллельно. Сопро-
Сопротивление R, может трансфор-
трансформироваться только в такие
сопротивления, значения ко-
которых находятся вне окруж-
окружности Ко-
Рис. 54.2. Трансфор-
Трансформирующее звено из
двух переменных
реактивных сопро-
сопротивлений, одно из
которых включено
последовательно, а
другое парал-
параллельно.
она проходит через точку,
определяющую действи-
действительную часть сопротив-
сопротивления Ri, и касается мни-
мнимой оси в начале коорди-
координат. Чтобы показать, что
посредством устройства
рис. 54.2 сопротивление Ri действительно можно преобра-
преобразовать в сопротивление R2, построим окружность /С2, прохо-
проходящую через точку R2 и касающуюся мнимой оси в нача-
начале координат. Тогда окружность /С2 (поскольку она прохо-
проходит вне окружности /Со) пересечет проходящую через точку
R, прямую в двух точках R' и R". Регулируемое в любых
пределах переменное последовательно включенное реак-
реактивное сопротивление S можно выбрать так, что оно будет
трансформировать сопротивление R, в R' или R", и взять
такое включенное параллельно реактивное сопротивление,
что сопротивление R' или R" будет трансформироваться
в R2. Таким образом, существуют две возможности для
согласования. Очевидно, что посредством устройства, изо-
изображенного на рис. 54.2, сопротивление R, нельзя преобра-
25* 375
п
п
зовать в сопротивление, которое изображается точкой,
расположенной внутри окружности Ко-
Переменные параллельные реактивные сопротивления,
регулируемые в произвольных пределах (т. е. от —/оо до
+/оо), в дециметровом и сантиметровом диапазонах волн
проще всего осуществить в виде шлейфов с перемещаемы-
перемещаемыми короткозамьикателями. На рис. 54.3 показаны такие
шлейфы для коаксиальной линии. Шлейф нулевой длины
представляет собой нулевое параллельно включенное ре-
реактивное сопротивление. При уве-
увеличении длины шлейфа его сопро-
сопротивление становится сначала индук-
индуктивным и, достигнув при i = X/4 ве-
величины +/оо, изменяет знак, после
чего оно растет от —/оо до нуля при
при I = kf2. Из-за наличия паразит-
паразитных полей в точке разветвления
реальные шлейфы несколько отли-
отличаются то длине от тех, которые
входят в эквивалентную схемураз-
ветвления в виде шестиполюсника
(рис. 39.1,6). Сказанное выше отно-
относится и к волноводам.
Двухшлейфовый трансформатор.
Создание регулируемого в любых
пределах последовательного реак-
реактивного сопротивления на первый
взгляд кажется затруднительным.
Однако в действительности, используя закон 28.2, можно
создать такое сопротивление в виде параллельного шлей-
шлейфа, дополненного четвертьволновым отрезком. При этом
четырехполюсник, заключенный между точками В и С
(рис. 64.3), будет соответствовать регулируемому в каких
угодно пределах последовательно включенному реактивно-
реактивному сопротивлению, а устройство в целом—схеме, пред-
представленной на рис. 54.2.
Пусть подключенное к этому устройству сопротивление
нагрузки при переходе к точке А трансформируется в со-
сопротивление Ri (рис. 54.4). При перемещении короткоза-
мыкателя Si точка, соответствующая входному сопротив-
сопротивлению в сечении А, опишет окружность Кь касающуюся
мнимой оси в начале координат. Четвертьволновый отре-
отрезок линии, расположенный между точками А и В (рис. 54.3),
обусловливает трансформацию, описываемую дробно-ли-
376
В
Рис. 54.3. Линия с двумя
параллельно включенными
шлейфами. Четырехпо-
Четырехполюсник, расположенный
между точками В и С, для
точки В эквивалентен по-
последовательно включенно-
включенному реактивному сопротив-
сопротивлению. Данное устройство
соответствует схеме, пред-
представленной на рис. 54.2.
нейной функцией. Если значение сопротивления нагрузки
четырехполюсника, изменяясь, проходит по окружности, то
значение входного его.сопротивления также будет прохо-
проходить по окружности. Соеротивление нагрузки, имеющее
в точке А нулевое значение, в точку В трансформируется
в бесконечно большую величину. Это означает, что окруж-
окружность К (рис. 54.4) при переходе к точке В шреобразуется
в окружность, которая касается мнимой оси в бесконеч-
бесконечности, т. е. фактически в прямую, параллельную мнимой
оси. Если в точке А сопротивление нагрузки равно Ri, то
отрезком линии с волновым сопротивлением Z в точку В
Рис. 54.4. Трансформация, осуществляемая
устройством, изображенным на рис. 54.3. Зна-
Значение сопротивления нагрузки R,, определяе-
определяемое в точке А, при перемещении короткоза-
мыкателя S, (рис. 54.3) проходит по окруж-
окружности Ki- При переходе к точке В, удален-
удаленной на четверть длины волны, окружность Kt
преобразуется в прямую, параллельную мни-
мнимой оси. Поэтому линия со шлейфом, подклю-
подключенным в точке А, действует как переменное
последовательно включенное реактивное
сопротивление.
оно трансформируется в сопротивление Z2/Ri и при пере-
перемещении поршня Si значение полного сопротивления в точ-
точке В линии будет перемещаться по прямой Р, параллель-
параллельной мнимой оси, проходящей через точку диаграммы Z2/Ri.
Если расстояние между шлейфами сделать не равным
четверти длины волны, то, по существу, ничего не изме-
изменится. В этом случае нулевое сопротивление короткого
замыкания, осуществляемого в точке А, будучи отнесенным
к точке В, преобразуется не в с», а в какое-то другое со-
сопротивление, определяемое точкой jQ мнимой оси
(рис. 54.5). При этом окружность /Сь проходящая через
значение сопротивления нагрузки Ri, превратится в окруж-
окружность /С', которая касается мнимой оси в точке jQ и про-
проходит через точку ft, f изображающую трансформирован-
трансформированное значение сопротивления Ri. И в этом случае с по-
помощью линии с двумя шлейфами сопротивление Rb
отнесенное к точке А (соответствующее сопротивлению R,
в точке В), можно преобразовать, например, в сопротивле-
сопротивление R2 (рис. 54.5). Окружность /С2, проходящая через точ-
точку R2 и касающаяся мнимой оси в начале координат,
пересекает окружность К' в двух точках R' и R". Очевидно,
377
что шлейфом, включенным в точке А, сопротивление R\
можно преобразовать в сопротивление R' или R" и с по-
помощью шлейфа, подключенного в точке В, сопротивление
R' или R" — в требуемое сопротивление R2. И в этом слу-
случае имеется окружность /Со, внутри которой значение со-
сопротивления R2 не может находиться. Окружность /Со
характеризуется тем, что она касается как окружности К\,
так и мнимой оси, причем последней—в начале координат.
Таким образом, характерной особенностью устройств,
представленных на рис. 54.2 и 54.3, является то, что хотя
с их помощью в большинстве случаев и можно осуществить
согласование, однако в комплексной плоскости всегда
А"
Рис. 54.5. Трансформация сопротивлений
посредством устройства, взображеиного
на рис. 54.3, при условии, что расстоя-
расстояние между точками А я В отличается
от Х/4. В этом случае линия Р (рис. 54.4),
параллельная мнимой оси, преобразуется
в окружность, которая касается мнимой
оси в точке с конечным значением JQ.
В остальном этот случай не отличается
от случая, показанного на рнс. 54.1.
имеется окружность д0, ограничивающая такие значения
полных сопротивлений, которые нельзя получить в резуль-
результате трансформации этими устройствами данного сопро-
сопротивления нагрузки, т. е. этими устройствами невозможно
осуществить любую трансформацию.
На рис. 54.6 в самом общем виде изображено перемен-
переменное трансформирующее звено. Здесь последовательно
включены два сложных устройства без потерь, каждое из
которых эквивалентно реактивному сопротивлению В\ или
В2, изменяющемуся в пределах от —/оо до +/оо. Эквива-
Эквивалентная схема этого звена изображена на рис. 54.7. Если
не учитывать идеальные трансформаторы, действие которых
сводится только к изменению сопротивлений в определен-
определенное число раз, можно сказать, что эта схема аналогична
устройству с двумя шлейфами при произвольно выбран-
выбранном расстоянии между ними. Таким образом; невозможно
создать устройство, соответствующее рис. 54.6, с помощью
которого можно было бы осуществить согласование в лю-
любом случае.
Регулируемое Т-звено. Устройство, с помощью которо-
которого можно осуществить любую трансформацию, необходи-
378
мую для согласования, получается из устройства рис. 54.2
путем подключения дополнительного последовательного
реактивного сопротивления так, как это показано на
рис. 54.8. На дециметровых и сантиметровых волнах та-
такую схему можно осуществить в виде «трехшлейфового
трансформатора» (рис. 54.9), т. е. в виде трех ответвлен-
ответвленных линий, расположенных вдоль главной линии передачи
Рис. 54.6. Обобщенная эквива-
эквивалентная схема трансформирую-
трансформирующего звена с двумя переменны-
переменными реактивными сопротивлениями.
Всегда имеется окружность Ко
(рис. 54.5), внутрь которой зна-
значение сопротивления нагрузки с
помощью данного звена не может
быть трансформировано.
Рис. 54.8 Т-звено, состав-
составленное из переменных ре-
реактивных сопротивлений.
зо
п
п
Рис. 54.7. Эквивалентная схема
устройства, представленного
на рис. 54.6.
Рнс. 54.9. Трехшлейфовый транс-
трансформатор. Для точки В это уст-
устройство соответствует схеме,
представленной на рис. 54.8.
на расстоянии, равном К/А, одна от другой [43]. Входные
сопротивления шлейфов А и С, пересчитанные в точку В,
представляют собой переменные последовательно включен-
включенные реактивные сопротивления.
С помощью устройства, изображенного на рис. 54.8,
любое комплексное сопротивление Rt (рис. 54.10) можно
трансформировать в любое другое комплексное сопротив-
сопротивление R2 плоскости полных сопротивлений и тем самым
обеспечить любую трансформацию, необходимую при со-
согласовании.
Чтобы осуществить трансформацию сопротивления R(
в сопротивление R2, можно, например, с помощью последа*
вательно включенного реактивного сопротивления Si или,
379
что то же самое, соответствующей длины шлейфа, подклю-
подключенного в точке А (рис. 54.9), 'перевести значение сопро-
сопротивления R; в R' (рис. 54.10), с помощью параллельного реак-
реактивного сопротивления 'перевести его в значение R" и за-
затем иосредством второго последовательно включенного
реактивного сопротивления S3 перевести значение R" в R2.
С помощью параллельно включенного реактивного сопро-
сопротивления можно также трансформировать сопротивление
R' в сопротивление R" и последнее, используя последова-
\
V
\
R, ^
Rt,
R"'
)
\
Рис. 54.10. Трансформа-
Трансформация, осуществляемая уст-
устройством рис. 54.9. Су-
Существует целый ряд
способов преобразования
произвольно выбранного
комплексного сопротивле-
сопротивления R, в другое сопро-
сопротивление. Поэтому можно
поставить дополнительное
условие, например потре-
потребовать, чтобы фазовый
сдвиг имел определенное
значение.
Рис. 54.11. Трансформа-
Трансформация, осуществляемая ли-
линией с тремя шлейфами
в случае, когда расстояния
между последними не
равны Х/4.
тельно включенное реактивное
сопротивление 53, — в сопро-
сопротивление R2-
Очевидно, что Значение R',
расположенное на линии па-
параллельной мнимой оси, про-
проходящей через точку Ri, можно выбирать каким угодно.
Поэтому имеется бесконечное число возможностей транс-
трансформации сопротивления R! и R2.
Если расстояния между шлейфами не равны точно Я/4,
то получим несколько отличающийся случай. Линии, па-
параллельные мнимой оси и проходящие через точки Ri и R2
рис. 54.10, превращаются в окружности двух различных
семейств, которые касаются мнимой оси в точках jQi и /Q2
(рис. 54.11).
Из рис. 54.10 и 54.11 видно, что путем изменения вто-
380
рого последовательно включенного реактивного сопротив-
сопротивления, т. е. с помощью третьего шлейфа можно получить
значения сопротивлений, расположенные внутри окруж-
окружности /Со, и фактически выполнить любую трансформацию,
необходимую при согласовании. Так как и здесь суще-
существует бесконечное число возможностей, то в случае необ-
необходимости можно поставить дополнительное условие. На-
Например, можно потребовать, чтобы потери активной мощ-
мощности в трансформирующем звене, были минимальными
или чтобы сдвиг фазы тока или напряжения лежал в опре-
определенных пределах. Можно также потребовать, чтобы и
на другой частоте при неизменном 'положении регулирую-
регулирующих элементов согласование оставалось бы достаточно
хорошим.
Потери активной мощности в трансформирующем звене
можно сделать минимальными, если устранить возмож-
возможность резкого увеличения токов и напряжений. Это озна-
означает, что длина каждого из шлейфов, показанных на
рис. 54.9, должна значительно отличаться от нуля и Я/2,
так как при этих значениях входное сопротивление шлей-
шлейфа очень мало и протекающий на его входе ток становит-
становится очень большим. Увеличение длины шлейфа до. значений,
больших Я/2, при трансформации не требуется и приводит
только к дополнительным потерям активной мощности.
Сдвиг фазы тока, который на диаграмме трансформа-
трансформации полных сопротивлений (рис. 54.10) можно определить,
исходя из угла поворота указывающей направление стрел-
стрелки, в случае схемы, представленной на рис. 54.8, зависит
только от величины параллельно включенного реактивного
сопротивления. Сдвиг фазы равен половине центрального
угла y> соответствующего части окружности трансформа-
трансформации, заключенной между точками R' и R". Если точку R',
например, при положении точек Ri и R2, показанном на
рис. 54.10, выбрать так, чтобы диаметр окружности транс-
трансформации уменьшился, тогда и сдвиг фазы также умень-
уменьшится и наоборот. Следовательно, путем подбора с по-
помощью геометрических построений можно дополнительно
добиться заданного значения сдвига фазы.
Настроить схему так, чтобы она обладала определен-
определенной частотной зависимостью довольно трудно. Один из спо-
способов такой настройки будет описан ниже.
Другой тап регулируемого трансформирующего звена
можно получить из двух- или трехшлепфового трансформа-
трансформатора, заменив шлейфы на штыри, погружаемые на ту или
381
иную глубину в линию (рис. 54.12). Последние также
представляют собой переменные параллельно включенные
реактивные сопротивления, 'Пределы изменения которых,
однако, ограничены.
Петли и штыри связи в двухпроводных линиях. В ка-
качестве трансформирующего звена часто применяется
устройство с двумя петлями связи, расстояние между ко-
которыми изменяется (рис. 54.13). Так как в этом случае су-
существует только одна возможность регулировки, то транс-
трансформированное сопротивление может изменяться только
в соответствии с одной определенной кривой и полное со-
-50
If
54.12. Регулируемые шты-
штыри, расположенные на рас-
расстоянии Л/4 друг от дру-
друга. Устройство соответ-
соответствует схеме рис. 54.2 во
всех отношениях, кроме
того, что величина изме-
изменения реактивных сопро-
сопротивлений здесь ограничена.
Рис. 54.13. Уст-
Устройство для осу-
осуществления пере-
переменной связи, по-
посредством двух пе-
петель, к одной из
которых параллель-
параллельно подключен кон-
конденсатор.
гласование возможно лишь в редких случаях. Петли связи
вместе с подключенными к ним отрезками линии можно
рассматривать как линейный трансформатор, коэффици-
коэффициент трансформации k 'которого изменяется при изменении
расстояния между петлями. Очень слабая связь между пет-
петлями соответствует очень большому значению k. При силь-
сильной связи значение коэффициента трансформации стремит-
стремится к единице. Таким образом, на сверхвысоких частотах
несколько отвлеченные представления сильной и слабой
связи можно конкретизировать, оценивая степень связи
с помощью коэффициента трансформации линейного
трансформатора. Это относится, конечно, не только к пет-
петлям связи, но и к любому другому виду связи.
Другую возможность регулировки можно 'получить, под-
подключив параллельно одной из петель связи переменную
емкость С. Однако и с 'помощью такого устройства не
всегда можно обеспечить полное согласование. Поясним
это, полагая для простоты, что параллельная емкость под-
подключена как раз к зажимам Т{ трансформатора, соответ-
382
ствующим малому значению относительного сопротивле-
сопротивления. Сопротивление Ri (рис. 54.14) с помощью этой емкос-
емкости можно трансформировать в сопротивления, значения
которых расположены на дуге К, а последние посредством
линейного трансформатора (т. е. петли связи с подключен-
подключенными к ним отрезками линии) — в значения заштрихован-
заштрихованной на рис. 54.14 области. Следовательно, сопротивление
Ri с помощью данного устройства нельзя преобразовать
в сопротивление R2, значение которого расположено вне
заштрихованного участка. В случае, показанном на
рис. 54Л4, для упрощения предполагается, что зажимы Т,
трансформатора при силь-
сильной и слабой связи остаются
Т
Рис. 54.14. Транс-
Трансформация, осущест-
осуществляемая устройст-
устройством, изображенным
рис. 54.13.
Рис. 54.15. Штырь
связи, используемый
в качестве линейно-
линейного трансформатора.
в одном и том же положении, что, вообще говоря, непра-
неправильно; кроме того, вряд ли возможна и такая сильная
связь, чтобы коэффициент трансформации уменьшился
до 1. Таким образом, в действительности заштрихованная
область должна иметь несколько иные очертания.
Вместо петель связи часто применяются штыри связи
(рис. 54.15). Их вместе с соответствующими отрезками ли-
линии также можно рассматривать как линейные трансфор-
трансформаторы. Для них справедливо все, что было сказано ранее
о петлях связи.
При использовании петель и штырей связи в большин-
большинстве случаев получаются большие значения коэффициен-
коэффициентов трансформации. При этом, как говорилось выше, мо-
могут резко возрастать токи, и напряжения. Учитывая это,
петли связи располагают ,по возможности ближе к пуч-
пучностям тока, а штыри связи — к пучностям напряжения.
При наличии пиков тока и напряжения наблюдаются зна-
значительные потери активной мощности. Поэтому петли
и штыри связи применяют обычно тогда, когда необходи-
383
ма .сильная трансформация, а величина потерь не является
существенной.
Раздвижные однородные линии. На рис. 54.16 и 54.17
изображены регулируемые устройства, которые могут при-
применяться во многих случаях. Здесь показаны коаксиальные
варианты, однако, аналогичные устройства осуществимы
также и в случае других однородных линий.
Шлейф В можно рассматривать как переменное па-
параллельное реактивное сопротивление, которое совместно
с соответствующими отрезками линии, представляет собой
линейный трансформатор с коэффициентом трансформа-
трансформации, изменяющимся в пределах от k=\ до ? = оо. Длина
В
. . /\
Рис. 54.16. Шлейф и раз-
раздвижная линия.
Рис. 54.17. Шлейф, помещаемый
вдоль однородной линии.
линии А должна изменяться по крайней мере в пределах
половины длины волны. С помощью такого устройства лю-
любое комплексное сопротивление нагрузки Ri можно транс-
трансформировать в волновое сопротивление Z однородной ли-
линии. Так, например, если сопротивление Ri обусловливает
в линии А КСВН, равный k, то длина шлейфа В выбирает-
выбирается так, чтобы он представлял собой линейный трансформа-
трансформатор с коэффициентом трансформации k, а длина линии А
регулируется таким образом, чтобы минимум напряжения
совпал с соответствующими меньшему значению относи-
относительного сопротивления зажимами Т\ трансформатора.
Процесс согласования можно истолковать иначе, исполь-
используя рис. 54.18. Очевидно, что посредством параллельно
включенного реактивного сопротивления, вносимого шлей-
шлейфом, любое сопротивление, значение которого расположено
на окружности Кг, может трансформироваться в волновое
сопротивление Z. Значение любого сопротивления нагруз-
нагрузки Ri при перемещении вдоль линии с волновым сопротив-
сопротивлением Z проходит тю окружности трансформации К\, ко-
которая пересекает окружность Кг в двух точках R' и R"
и R".
t
При определенной длине линии А входное сопротивление
R' (или R") 'будет находиться как раз в месте включения
параллельного реактивного сопротивления, которое транс-
трансформирует его в сопротивление Z.
Очевидно, что для трансформации, при которой обеспе-
обеспечивается полное согласование, достаточно, чтобы величина
параллельного реактивного сопротивления изменялась
в пределах от нуля до ¦—/оо.
Таким образом, с помощью устройства, изображенного
на рис. 54.16, любое сопротивление Ri может быть транс-
Рис. 54.18. Диаграмма
трансформации, осущест-
осуществляемой устройством, по-
показанным на рис. 54.16.
Рис. 54.19. Область сопро-
сопротивлений, в которую можно
трансформировать сопро-
сопротивление R, с помощью
устройства рис. 54.16.
формировано в любое другое сопротивление, значение ко-
которого лежит в пределах заштрихованной области
(рис. 54.19). Трансформация в любое другое комплексное
сопротивление R2, расположенное вне этой области, воз-
возможна, если устройству придать, например, вторую раз-
раздвижную линию.
Раздвижная линия (рис. 54.16) вследствие неизбежного
изменения поперечного сечения имеет волновое сопротив-
сопротивление, несколько отличающееся от волнового сопротивле-
сопротивления основной линии. На практике при согласовании это
в большинстве случаев не имеет значения и требует толь-
только некоторой коррекции положения элементов. Если, одна-
однако, это нежелательно, то можно сконструировать коаксиль-
ную раздвижную линию с постоянным волновым сопротив-
сопротивлением так, как это показано на рис. 54.20'.
На рис. 54.21 изображено регулируемое трансформиру-
трансформирующее устройство, которое по принципу действия аналогич-
Такая конструкция была предложена автором.
385
но устройству, показанному на рис. 54.17. Оно состоит из
штыря глубина погружения которого в однородную линию
может изменяться, при этом сам штырь может одновре-
одновременно перемещаться вдоль
линии. Изменением глуби-
глубины погружения штыря
можно регулировать ве-
величину параллельно вклю-
включенного сопротивления, а
его перемещением вдоль
линии добиваться того же
j ......
Рис. 54.20. Раздвижная коаксиальная
линия с постоянным волновым сопро-
сопротивлением.
эффекта, что и изменени-
изменением длины линии в случае,
показанном на рис. 54.16.
Трансформирующие звенья, перемещаемые вдоль ли-
линии. На рис. 54.22 показано трансформирующее устройст-
устройство для очень коротких волн. Это устройство выполнено
в виде двух одинаковых трансформирующих звеньев Т, (пе-
(перемещаемых вдоль однородной линии по шлицу [43]. Каж-
-т
Рис. 54.21. Регули-
Регулируемый трансформи-
трансформирующий штырь, пе-
перемещаемый вдоль
линии.
дое из этих звеньев
вместе с соответствую-
соответствующими отрезками ли-
линии представляет со-
собой линейный транс-
Рнс. 54.22. Устройство с двумя транс-
трансформирующими звеньями перемещае-
перемещаемыми вдоль линии. Изменением рас-
расстояния между ними можно установить
любой коэффициент трансформации в
пределах от К= 1 до К= k2 (k —коэф-
—коэффициент трансформации каждого из
звеньев). Любое сопротивление, при
котором КСВН меньше №, с помощью
этого устройства может быть преобра-
преобразовано в волнозое сопротивление
линии.
форматор с коэффи-
коэффициентом трансформации k. Устройство в целом эквива-
эквивалентно линейному трансформатору, коэффициент транс-
трансформации которого К в зависимости от расстояния между
звеньями может изменяться 'в пределах от /С=1 до K=k2.
Согласование комплексного сопротивления нагрузки с вол-
волновым сопротивлением основной линии (оно возможно при
386
I
t
коэффициенте стоячей волны по напряжению k'<k2) мож-
можно производить следующим образом. Сначала путем изме-
изменения расстояния между обоими трансформирующими
звеньями устанавливается коэффициент трансформации
K=k'. Затем трансформирующие звенья, удерживаемые
стержнем С 'на этом расстоянии друг от друга, перемеща-
перемещаются совместно и устанавливаются так, чтобы зажимы
трансформатора Т{ с малым значением относительного
сопротивления оказались в минимуме напряжения.
С помощью этого устройства любое комплексное сопро-
сопротивление, значение которого лежит внутри проходящей
через точки Z/k2 и k2Z окружности постоянного рассогласо-
рассогласования может трансформироваться в сопротивление Z.
Основным достоинством такой конструкции является то,
что при ее использовании удается избежать всякого рода
контактов, которые часто обусловливают активные потери.
Трансформирующие звенья можно полностью изолировать
от основной линии, используя керамические штифты 5. Ес-
Если необходимо осуществлять малые трансформации, то
трансформирующие звенья можно выполнить из диэлек-
диэлектрика, например, из полистирола. Такое устройство осо-
особенно удобно использовать для устранения небольших рас-
рассогласований, вызванных неточностью изготовления. В этих
случаях трансформации обычно настолько малы, что, осу-
осуществляя необходимые перемещения, можно почти всегда
получить хорошее согласование. При этом получаются ма-
малые потери активной мощности и небольшая частотная
зависимость.
Выше было 'приведено лишь несколько примеров. Од-
Однако на основе этого нетрудно будет понять принцип дей-
действия и любого другого трансформирующего устройства.
55. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ТРАНСФОРМАЦИИ
ПРИ СОГЛАСОВАНИИ
Трансформации при согласовании только в редких слу-.
чаях поддаются точному расчету. Обычно приходится при-
прибегать к эксперименту, ,при этом целесообразно исходить
из принципа действия трансформирующих звеньев так, как
это делалось в предыдущем параграфе.
Пусть, например, необходимо согласовать антенну
с передатчиком. В этом случае поступают следующим об-
образом. Между передатчиком и антенной включают пере-
переменное трансформирующее устройство, а в раскрыве ан-
антенны располагают небольшую приемную антенну с детек-
387
м
к 4
Рис. 55.1. Схема устройства, при-
применяемого при согласовании антенны
с линией.
тором. Оперируя попеременно отдельными элементами
согласующего устройства, добиваются того, чтобы выпрям-
выпрямленный ток детектора стал максимальным. После чего
можно считать, что требуемая трансформация получена,
а 'следовательно, найдено травильное положение элементов
регулировки.
В других случаях требуется измерять значение полу-
получаемого в результате трансформации сопротивления. Это
необходимо, например, при согласовании входного сопро-
сопротивления антенны с волновым сопротивлением однородной
линии. На рис. 55.1 схемати-
схематически изображено устрой-
устройство, пригодное для этой це-
цели. Для определения величи-
величины трансформированного со-
сопротивления в этом случае
применяют измерительную
линию М, включая между
последней и антенной А
переменное трансформирующее звено Т, которое имеет
по крайней мере^ цва элемента регулировки (на рис. 55.1
они условно показаны стрелками V{ и V2). При изме-
изменении положения хотя бы одного элемента регулиров-
регулировки изменяется как 'положение минимума напряжения в из-
измерительной линии, так и величина КСВН. Поэтому прак-
практически очень трудно следить за процессом согласования.
Вследствие этого часто применяют автоматическую измери-
измерительную линию, которая позволяет наблюдать на экране
осциллографа 'Кривую распределения напряжения.
Рис. 55.2 поясняет принцип действия такого устройст-
устройства'. Однородная линия имеет форму кольца, а зонд укреп-
укреплен на роторе, ось которого совладает с центром кольца.
Ротор приводится.в движение мотором, и синхронно с его
вращением на электронно-лучевой трубке в виде кривой
записывается распределение 'напряжения, снимаемого зон-
зондом с линии. Так как влияние любого изменения в транс-
трансформирующем звене тотчас же фиксируется, то удается
очень быстро осуществлять любую необходимую трансфор-
трансформацию.
Если автоматически действующей измерительной ли-
линии нет, то при некотором навыке согласование можно про-
производить достаточно быстро с помощью простого устрой-
1 Измерительная длина такого типа была изготовлена фирмой
«Телефункен» и описана Виттингом, Мейике и Шрайерсом.
388
I
1
ства, которое монтируется на обычной измерительной ли-
линии {49] (рис. 56.3). Около измерительной линии парал-
параллельно ее продольной оси монтируется четырех- или ше-
шестигранный стержень С, способный поворачиваться вокруг
своей оси. По нему передвигается каретка К, на обоих
концах которой имеются перпендикулярные к этой оси вы-
выступы А и В. Каретка снабжена винтом Е, предназначен-
предназначенным для закрепления ее в любой точке стержня С. Рас-
Расстояние между выступами А и В выбирается малым по
сравнению с длиной волны (меньше чем Я/4). На каретке
измерительной линии укрепляется ориентированный пер-
Рис. 55.2. Принцип действия из-
измерительной линии с автоматиче-
автоматической индикацией.
Рис. 55.3. Измерительная линии
с устройством, позволиющим
быстро осуществлять согласова-
согласование трансформации.
пендикулярно стержню С штырь F, который при опреде-
определенном положении стержня упирается в выступы-Л и В
и препятствует продольному движению зонда. После пово-
поворота стержня С вокруг своей оси выступы А и В освобож-
освобождают зонд и зают возможность перемещать его в любом
направлении.
Согласование сопротивления нагрузки с волновым со-
сопротивлением линии производится следующим образом.
1. Трансформирующее устройство регулируется так,
чтобы оно оказывало минимальное трансформирующее
действие или вообще не вносило трансформации. Для
устройства, изображенного на рис. 54.3, это означает, что
элементы должны иметь электрическую длину, равную Я/4,
а для устройства, изображенного на рис. 54.22 — что
трансформирующие звенья должны находиться на таком
расстоянии друг от друга, при котором имеет место вза-
взаимная компенсация отражений. При правильном выборе
этого расстояния одновременное перемещение трансформи-
трансформирующих звеньев вдоль линии не изменяет распределение
напряжения на входе линии.
389
2. Затем определяется распределение напряжения
вдоль измерительной линии и зонд устанавливается в точ-
точку минимума напряжения.
3. Каретка К передвигается .вдоль стержня С и уста-
устанавливается в положение, при котором штырь F, связан-
связанный с зондом, находится как раз посредине между высту-
выступами А и В. В данном положении каретка К с помощью
винта Е закрепляется на стержне С. После поворота это-
этого стержня зонд может перемещаться только между вы-
выступами А и В, причем в обе стороны от минимума напря-
напряжения на одно и то же расстояние, так что обоим крайним
положениям соответствует одинаковый выпрямленный ток
детектора. Следовательно, по тому, равны или не равны
значения выпрямленного тока, соответствующим двум
крайним положениям зоада, можно очень быстро опреде-
определить положение минимума напряжения.
4. Изменяется положение одного из регулирующих эле-
элементов. Зонд перемещается между выступами А и В,
и определяется положение минимума напряжения, кото-
который при этом обычно смещается.
5. Используя другой элемент регулировки, добиваются
того, чтобы точка минимума напряжения снова оказалась
посредине между выступами. Это означает, что сопротив-
сопротивление изменилось так, что соответствующая ему точка пере-
переместилась по окружности постоянной фазы, проходящей
через значение волнового сопротивления Z.
6. Соответствующим поворотом стержня С зонд осво-
освобождается, и получает возможность -перемещаться вдоль
всей линии, после чего определяется коэффициент стоячей
волны. Если он окажется большим, чем до регулировки
трансформирующего звена, то это означает, что точка, со-
ответспвующа'Я сопротивлению нагрузки, перемещаясь по
упомянутой фазовой окружности, удалилась от точки Z.
Теперь, используя полученный результат, нетрудно произ-
произвести подстройку,, вследствие которой величина коэффи-
коэффициента стоячей волны уменьшится.
7. После измерения коэффициента стоячей волны зонд
снова помещается между выступами и опять, изменяется
положение первого элемента регулировки трансформирую-
трансформирующего устройства. С помощью второго элемента регулиров-
регулировки минимум напряжения, как и ранее, возвращается в ис-
исходную точку. Процесс регулировки продолжают до тех
пор, пока не будет получена с достаточной степенью точ-
точности требуемая трансформация.
390
При работе с устройствами рис. 54.16 или 54.17, где
первоначальная регулировка осуществляется изменением
длины шлейфа, или с трансформирующим устройством,
изображенным на рис. 54.22, где первоначальная регули-
регулировка производится изменением расстояния между транс-
трансформирующими звеньями, три некотором навыке необхо-
необходимая трансформация получается достаточно быстро.
С помощью приспособления к измерительной линии,
описанного выше, можно также производить трансформа-
трансформацию сопротивления и в любое другое наперед заданное
сопротивление, если только это позволяет используемое
трансформирующее устройство. В данном случае зонд ус-
устанавливают в ту точку измерительной линии, в которой
должен 'быть минимум напряжения при подключении за-
заданного сопротивления, а выступы А и В размещают, как
и ранее, с обеих сторон от него. Регулировку производят
до тех пор, пока минимум напряжения ие попадет в эту
точку. Затем для получения требуемой величины коэффи-
коэффициента стоячей волиы производятся описанные выше опе-
операции. Рекомендуется хорошо уяснить себе принцип дей-
действия отдельных регулирующих элементов — это помогает
быстрее достигать цели.
56. ШИРОКОПОЛОСНОЕ СОГЛАСОВАНИЕ
Общие положения
Комплексные сопротивления, например входные сопро-
сопротивления антенн, изменяются в зависимости от частоты.
Опыт показывает, что с увеличением частоты точки, со-
соответствующие этим сопротивлениям, перемещаются
в плоскости комплексных сопротивлений по кривым преи-
преимущественно в направлении движения часовой стрелки
(рис. 56.1). Здесь стрелкой показано направление, в кото-
котором увеличивается частота. Только в пределах небольших
диапазонов в виде исключения возможно движение в об-
обратном направлении. Эти шолученные экспериментально
результаты можно подтвердить строгими теоретическими
выводами, что, однако, вышло бы за рамки настоящей ра-
работы.
Свойства трансформирующих звеньев также зависят от
частоты. Как было показано в § 42, в общем случае су-
существует только одно значение сопротивления нагрузки,
которое на двух заданных частотах трансформируется
з одну и ту же величину. Вследствие частотной зависимос-
391
о
Рис. 56.1. Кривая
изменении полного
сопротивления в
функции частоты. С
увеличением часто-
частоты точка, соответ-
соответствующая полному
сопротивлению, как
правило, перемеща-
перемещается по соответ-
соответствующей кривой в
направлении движе-
движения часовой стрелки.
ти сопротивлений и самих трансформирующих звеньев
полное согласование возможно только для одной длины
волны. Довольно трудно (Получить согласование в широком
диапазоне (широкополосное согласова-
согласование). Для согласования в широкой поло-
полосе необходимо, чтобы подлежащее согла-
согласованию сопротивление нагрузки незна-
незначительно изменялось в зависимости от
частоты, т. е. чтобы оно все время оста-
оставалось внутри возможно меньшей окруж-
окружности, описанной на комплексной плоско-
плоскости около номинального значения. Поэто-
Поэтому в первую очередь стремятся, напри-
например, путем создания особой конструкции
антенны обеспечить малую зависимость
входного сопротивления от частоты. С по-
помощью специальных устройств можно
добиться уменьшения упомянутой ок-
окружности и свести к минимуму частот-
частотную зависимость. Если необходимо
трансформировать сопротивление на-
нагрузки, мало зависящее от частоты, при-
применяют «широкополосные трансформи-
трансформирующие звенья». Так как в качестве более или менее длин-
длинных соединительные элементов всегда используются одно-
однородные линии, то согласование производится по их волно-
волновому сопротивлению, поскольку оно трансформируется ли-
линией одинаково на всех частотах.
Устранение частотной зависимости
На более длинных волнах устранение частотной зави-
зависимости достигается посредством включения в линию ком-
компенсирующих последовательных или параллельных коле-
колебательных контуров из индуктивностей и емкостей. Пред-
Предположим, что сопротивление нагрузки имеет в комплексной
плоскости частотную зависимость, изображенную на
рис. 56.2 в виде кривой а.
Пусть требуется, чтобы изменение этого сопротивления
в диапазоне частот от /' до /" было минимальным. В этом
случае можно поступить следующим образом. К сопротив-
сопротивлению нагрузки подключается отрезок линии определенной
длины, с помощью которого кривая а, заключенная между
точками /' и /", трансформируется в кривую, близкую к Ь.
Затем к схеме подключается последовательный резонанс-
3 92
ный контур (рис. 56.3), параметры L и С которого выора-
ны так, что они удовлетворяют равенствам
Тогда на частоте f последовательный контур будет пред-
представлять собой реактивное сопротивление —jYu после сло-
сложения которого с первоначальным сопротивлением R+jY,
получается сопротивление R. Аналогичным образом на ча-
частоте/" получается такое же сопротивление У?. Таким обра-
образом, в результате компенсации
получаем, изображенную на
рис. 56.4, кривую полного со-
сопротивления с, -часть которой,
L С
Рис. 56.2. Устранение ча-
частотной зависимости по-
посредством включения в
линию последовательного
колебательного контура
(рис. 56.3).
Рис. 56.3. Схема, с по-
помощью которой устраняет-
устраняется частотная зависимость
в случае, показанном на
рис. 56.2.
ограниченная точками /' и /", представляет собой петлю.
Эта петля, как правило, располагается в меньшей окруж-
окружности, чем окружность, соответствующая исходной кривой.
Если из исходной кривой частотной зависимости вместо
кривой Ь, изображенной на рнс. 56.2, легче получить кривую
b рис. 56.5, для которой сопротивление на более высокой
частоте /" является индуктивным, а на более низкой часто-
" те f емкостным, то компенсацию следует производить
с помощью параллельного колебательного контура. Пара-
Параметры последнего L и С можно выбрать так, что сопро-
сопротивления на частотах /' и /" будут равны R'.
Расчет параметров L и С производится так же, как
и в случае последовательного контура, если только вместо
сопротивлений взять проводимости. После компенсации
получается кривая, имеющая приблизительно вид кривой с
рис. '56.5.
26-52 393
Наконец, можно последовательно применить оба опи-
описанные выше способа и таким путем увеличить диапазон
частот, в котором осуществляется компенсация. Например,
в случае кривой с рис. 66.4, подключая дополнительный па-
параллельный колебательный контур, можно аналогично то-
тому, как это показано на рис. 56.5, добиться совпадения со-
сопротивлений, соответствующих частотам / и / в одной
точке R'. При этом получается кривая, подобная кривой d
рис. 66.4 '.
Рис. 56.4. Кривые, полученные
на первом и втором этапах уст-
устранения частотной зависимости.
Рис. 56.5. Устранение ча-
частотной зависимости по-
посредством включения в
схему параллельного ко-
колебательного контура.
О возможности осуществления последовательных и па-
параллельных колебательных контуров на сверхвысоких ча-
частотах говорится в § 45.
В основе других методов устранения частотной зави-
зависимости и соответствующих расчетов на более коротких
волнах лежит закон трансформации {43, 58], причем ранее
описанные методы по отношению к методу, основанному
на этом законе, являются частными случаями. Принципи-
Принципиально здесь возможно применение всех видов полосовых
фильтров. Если частотную зависимость необходимо устра-
устранить в диапазоне от f до f", то можно сначала на частоте
f преобразовать сопротивление нагрузки в волновое со-
сопротивление подключенной линии (рис. 56.6). Тогда на этой
линии будет находиться исходная отсчетная точка, в ко-
которой на частоте /" сопротивление нагрузки будет чисто
активным, а изменение этого сопротивления будет проис-
происходить согласно кривой, подобной кривой а.
1 Об устранении частотной зависимости с помощью колебательных
контуров и о ее осуществлении на дециметровых волнах см. [57].
394
Если после этого к устройству подключить линейный
трансформатор, который имеет коэффициент трансформа-
трансформации k'=\ на частоте /' и k"=R/Z на частоте /", со сопро-
сопротивление нагрузки как на частоте /', так и на частоте /"
будет трансформироваться в одно и то же сопротивление Z.
В результате изменение сопротивления нагрузки в комп-
комплексной плоскости будет выражаться кривой, аналогич-
аналогичной кривой Ь. В качестве линейного трансформатора
с требуемыми параметрами можно использовать любой по-
полосовой фильтр с полной передачей на частоте /', т. е.
с k'—\. Если на частоте /' фильтр не обеспечивает полной
передачи, то это означает, что в данном случае он пред-
представляет собой линейный
трансформатор с коэффициен-
коэффициентом трансформациик"Ф\. Мо-
Может оказаться, например, что
полученное значение k" не- О
сколько меньше требуемого. В
этом случае необходимо лишь
обеспечить более крутой подъ-
подъем кривой затухания на грани- Рис. 56.6. Устранение частотной
це области прозрачности филь- зависимости с помощью линей-
тра. Так, на частоте /" практи- ного трансформатора,
чески можно получить необхо-
необходимое значение коэффициента k" для любого полосового
фильтра. 'Поясним это на примере.
Предположим, что в определенном диапазоне частот
требуется согласовать антенну с волноводом прямоуголь-
прямоугольного сечения (рис. 28.1). Будем считать, что в линии воз-
возбуждается волна #[0. Чтобы принципиально могла полу-
получиться кривая, аналогичная кривой b рис. 56.6, необходимо
на двух частотах /' и /" добиться полного согласования.
Пусть /' совпадает с частотой f6, a f" — с" частотой f4
(рис. 28.2). Как уже говорилось выше, сначала с помощью
соответствующей диафрагмы можно произвести полное
согласование на частоте /6. Затем на другой частоте f4 для
волновода можно определить степень рассогласования,на-
рассогласования,например, снимая экспериментальным путем распределение
напряжения так, как это показано на рис. 56.7, для кото-
которого KGBH=A"=il,75. Чтобы получить полное согласова-
согласование также и на частоте f4, необходимо включить линейный
трансформатор, коэффициент трансформации которого на
частоте /б равен к'=Л, а на частоте f4 k"= 1,75.
Такой линейный трансформатор можно получить,
26* 395
в частности, путем последовательного включенич двух сим-
симметричных диафрагм, используя три его расчете характе-
характеристики закона трансформации (рис. 28.2) и кривые, по-
показанные на рис. 33.4, и 33,6. Кривые рис. 28.2, как уже
было сказано, получены экспериментальным путем.
Попытаемся осуществить компенсацию, используя сим-
симметричные диафрагмы с проводящими 'пластинами шири-
шириной е=0,Ш1.
Для того чтобы эти последовательно включенные диа-
диафрагмы на частоте /е, представляли собой линейный транс-
11/1
Рис. 56.7. Пример устранения частотной зависимости с помощью линей-
линейного трансформатора. Посредством первой диаграммы (крайней справа)
производится согласование на частоте /,. Затем с помощью фильтра с
частотбй пропускания /, производится согласование иа второй частоте.
(Расстояние между этим фильтром и антенной иа практике следует
выбирать минимальным).
форматор с коэффициентом трансформации k=\, их, со-
согласно рис. 28.2,6 необходимо расположить на расстоя-
расстоянии 2 • 0,139 -Л6 = 0,557 d друг от друга. Тогда на часто-
частоте /4 взаимной компенсации отражений уже не будет, так
как в этом случае согласно рис. 28.2,6 потребовалось бы
расположить их на расстоянии 2 • 0,142 Л4 = 0,690 d. Таким
образом, обращенные друг к другу зажимы обоих транс-
трансформаторов (согласно 'рис. 33,1) на частоте /4 оказывают-
оказываются расположенными на дасстоянии, равном —0,133 d друг
от друга, что в соответствии с рис. 33,5 дает значение абс-
абсциссы 0,5—0,133 d/Ai=0,445. Согласно рис. 28.2,а коэффи-
коэффициент трансформации каждого трансформатора, взятого
в отдельности, на частоте /4 имеет значение А =1,45. Это
значение на рис. 33.5 выбирается в качестве параметра. По
значению абсциссы, равному 0,445, используя рис. 33.5,
определим коэффициент трансформации сложного линей-
линейного трансформатора /С==0,61 • ^2= 1,29. Но так как для
1 Чтобы избежать путаницы в обозначениях на рис. 33.!, 33.4 и
33.5, в дальнейшем в отличие от рис. 28.1 и 28.2, ширина волновода
будет обозначаться через d и ширина каждой пластины — через е.
396
1.0
компенсации частотной зависимости необходим коэффи-
коэффициент трансформации А"=1,76, то, очевидно, полученное
значение слишком мало. Поэтому сделаем попытку осу-
осуществить компенсацию с помощью двойных диафрагм
с .большей шириной 'пластин e = 0,15rf. Для обеспечения
полной компенсации на частоте /6 (согласно рис. 28.2,6)
расстояние между ними должно быть выбрано равным
2-0 153Ле=0,615с?. Тогда для частоты U способом, ана-
аналогичным описанному выше, можно найти, что линейный
трансформатор имеет коэффициент трансформации К-2,01.
Это значение слишком велико. Чтобы найти необходимую
ширину пластин, построим кривую зависимости коэффи-
коэффициента трансформации К схемы при
последовательном включении двух
диафрагм для частоты /4 в зависи- 2,0
мости от ширины пластины е. Так
как при е=0 коэффициент транс- ^
форматора К=\, то имеются три
точки (|рис. 56.8), через которые и
проводится искомая кривая. ,
С помощью ее можно устано- О 0Щ 0,Ш 0,Ш
вить, что для требуемого значения Рис 568 Вспомогатель-
/<С=1,75 ширина проводящих пла- ная кривая для расчета
стин должна быть e=0,14d. компенсирующего устрой-
nn n *¦ ства, изображенного иа
Согласно рис. 28,2,6 для взаим- риси 567
ной компенсации отражений на ча-
частоте U необходимо, чтобы расстоя-
ние между диафрагмами было равно 2 • 0,15Лб=О,ЬОа. па
частоте /4 устройство фактически состоит из двух отдельных
линейных трансформаторов, расстояние между внутренни-
внутренними зажимами которых равно — 0.14&/. В соответствии
с этим, воспользовавшись рис. 33.4, 33.5, найдем значение
абсциссы. Оно равно 0,440. Так как каждый отдельный
трансформатор при ширине пластин е=0,14 d и частоте \.\
согласно рис. 28,2,а имеет коэффициент трансформации
А=2,05, то, используя рис. 33.4 и 33.5, следует выбирать
значение параметра k=2,05. Соответственно из рис. 33.4 по-
получим с/Ял-с/Л4=0,088 или с=О,О88 Л4. Это то расстояние,
на которое (ом. рис. 33.4) сдвинуты зажимы Ti трансфор-
трансформатора для схемы последовательного включения двух че-
четырехполюсников по отношению к зажимам Тх трансфор-
трансформатора отдельно взятого четырехполюсника. Зажимы Т\ на-
находятся на расстоянии @,405—0,088) Л4 = 0,77 d от наибо-
наиболее удаленной от антенны диафрагмы. Чтобы устранить
397
частотную зависимость, нужно ближайшую к антенне сим-
симметричную диафрагму схемы "последовательного включе-
включения расположить на расстоянии, равном 0,77 с? от миниму-
минимума напряжения, отсчитывая это расстояние в направлении
к антенне '.
Таким образом, на основе результатов измерений
(рис. 28.2) и кривых, представленных на рис. 33.4 и 33.5,
рассчитано устройство, которое обеспечивает на частотах/'
и /" полное согласование антенны с волноводом.
Вместо последовательного включения двух линейных
трансформаторов в данном случае можно применить одну
соответствующим образом выбранную резонансную диа-
диафрагму (рис. 28.10,8).
Как говорилось выше, для каждого значения с\ можно
выбрать такое значение Сг, что на данной частоте /' диа-
диафрагма будет давать коэффициент трансформации k=\.
Тогда на частоте /" коэффициент k 'будет отличным от
единицы. Причем для очень малых значений глубин .погру-
.погружения с\ значение с2 будут небольшими. С увеличением
глубины погружения значение коэффициента k возрастает
таким образом, что имеется совокупность значений с\ и сг,
которая на частоте /'дает линейный трансформатор ck=\,
а на частоте /" обеспечивает нужное значение k = k".
Компенсация частотной зависимости с помощью -резо-
-резонансной диафрагмы по сравнению с компенсацией посред-
посредством двух последовательно включенных симметричных
диафрагм предпочтительней по той причине, что это
устройство более компактно и, следовательно, как это мож-
можно предположить, обладает более хорошими характери-
характеристиками. Напротив, устранение частотной зависимости
посредством схемы из двух последовательно включенных
четырехполюсников имеет то преимущество, что в этом
случае, используя результаты простых измерений и кри-
кривые (рис. 33.4 и 33.5), можно заранее рассчитать схему и,
следовательно, быстрее осуществить компенсацию.
Часто применяется и другой метод компенсации, осно-
основанный на использовании отрезков линии длиной Яо/2, вол-
волновое сопротивление которых отличается от волнового со-
сопротивления основной линии. Отрезок линии длиной Ло/2
на частоте /о не вызывает трансформации, т. е. является
1 При этих расчетах предполагается, что в точке, где размещает-
размещается ближайшая диафрагма, отсутствуют высшие типы волн. В против-
противном случае необходимы небольшие поправки, которые можно ввести,
используя экспериментальные данные.
398
фильтром, который на данной частоте обеспечивает пол-
полную передачу. Его работу можно представить так же, как
это сделано выше. Но возможно и другое объяснение его
работы, которое приводит к несколько отличному резуль-
результату. Опишем его, так как оно позволяет любой фильтр
с частотой пропускания /0 использовать вместо отрезка ли-
линии длиной Яо/2.
Предположим, что сопротивление .нагрузки, подключае-
подключаемой к линии, на средней частоте /0 заданного диапазона
трансформируется как раз в волновое сопротивление этой
линии. Тогда кривая изменения полного сопротивления,
отнесенная к определенной точке линии, будет иметь вид
кривой а, представленной на рис. 56.9, причем значение
сопротивлений R" и R' для
крайних частот /о+А/ и /о—А/
диапазона будут расположе-
расположены приблизительно симметрич-
симметрично относительно действитель-
действительной оси. Пусть отношение
А///о=0,05. Тогда, разорвав ли-
линию в отсчетной точке и
включив в этот разрыв отрезок
длиной Ло/2 с волновым со-
сопротивлением Z', можно преоб-
преобразовать исходную кривую в
петлеобразную кривую Ь.
На частоте /0 отрезок линии
с волновым сопротивлени-
сопротивлением Z' имеет как раз длину 1/2, и поэтому точка, соответ-
соответствующая трансформированному сопротивлению нагрузки,
проходит полную окружность по диаграмме полных со-
сопротивлений однородной линии и возвращается в точку Z.
На частоте /о+А/ отрезок линии на 5% длиннее половины
длины волны. Поэтому значение сопротивления R" прой-
пройдет дополнительную дугу в 18° и станет равным Ro- На
частоте /0—А/, когда этот отрезок линии на 5% меньше
половины длины волны, дуга в 18° не прибавляется к пол-
полной окружности, а наоборот, вычитается и, следовательно,
сопротивление R' трансформируется в сопротивление Ro
которое совпадает с Ro'.
На рис. 56.9 показан случай, когда волновое сопротив-
сопротивление 7J меньше Z. Однако компенсация возможна н при
Z'>Z. Соответствующие данные можно получить из
399
Рис. 56.9. Устранение частотной
зависимости посредством приме-
применения отрезка линии длиной Х/2.
рис. 56.9, если сопротивления заменить проводимостями.
Результат компенсации, шредставленный иа рис. 66.9,
отличается от приведенного ранее тем, что там приходи-
приходилось иметь дело с сопротивлениями, значения которых
равны волновому, а в случае рис. '56.9 они отличны от
него. Но если в последнем случае отсчетную точку на
линии немного сдвинуть, то вместо кривой а можно по-
получить изображенную пунктиром кривую полного сопро-
сопротивления с, при этом, как и ранее, при компенсации каждое
из двух полных сопротивлений можно преобразовать в вол-
волновое сопротивление.
Рис. 56.10. Устранение
частотной зависимости с
помощью линейных транс-
трансформаторов (второй этап).
Рис. 56.11. Результат неправиль-
неправильно проведенных операций по
устранению частотной зави-
зависимости.
Если точки кривой частотной зависимости уже совпа-
совпадают для двух частот f и f" (рис. 56.10), то с помощью
полосового фильтра, обеспечивающего полную передачу
на частотах f и f", можно получить полное согласование
на любой третьей частоте \'". Полосовой фильтр вместе
с соответствующими отрезками линии следует рассматри-
рассматривать как трансформатор, который на частотах /''и /" имеет
коэффициент трансформации к=\, а на частоте ]'" — коэф-
коэффициент трансформации k"', величина которого опреде-
определяется крутизной подъема кривой затухания. Эту крутиз-
крутизну, а следовательно, и k можно изменить и тем самым по-
получить нужное значение k'", которое должно быть точно
равным по величине КСВН нагрузки на частоте f".
После того как получено полное согласование на ча-
частотах р, /" и Y" с .помощью еще одного полосового фильт-
фильтра с теми же частотами пропускания и определенным ко-
коэффициентом трансформации, соответствующим какой-то
четвертой частоте ]"", можно получить полное согласова-
согласование и на этой частоте. Из § 45 следует, что такой полосо-
полосовой фильтр сконструировать можно. Напрашивается вы-
400
вод, что как будто бы такой способ можно применять
неограниченное число раз и, таким образом, получить пол-
полное согласование для любого числа заданных частот'.
К сожалению, не каждую частотную зависимость можно
достаточно сильно ослабить. Обратимся, 'например,
к рис. 56.10. Точки кривой полного сопротивления здесь
совладают для двух частот /' и /". Если значение полного
сопротивления на частоте \'" также привести в общую точ-
точку, то тогда увеличатся размеры петли, ограниченной ча-
частотами р и /", и при каждой последующей аналогичной
операции они будут увеличиваться все больше.
Следовательно, если нужно свести частотную зависи-
зависимость к минимуму, что обычно делают, добиваясь совпа-
совпадения значений сопротивлений для большого числа частот,
то, чтобы избежать слишком большой петли, различия
между отдельными частотами нужно сделать настолько ма-
малыми, чтобы компенсация производилась лишь в неболь-
небольших диапазонах. Не имеет смысла сводить в одну точку
сопротивления для двух удаленных друг от друга частот /'
и /", а затем образовавшуюся при этом петлю (рис. 56.11)
пытаться уменьшить, производя согласование сопротивле-
сопротивления на частоте /о, расположенной между /' и f". В этом
случае петля не всегда уменьшается. Иногда получаются
две петли, которые нередко бывают еще больше первона-
первоначальной. Целесообразнее всего так выбирать частоты, на
которых последовательно осуществляется согласование,
чтобы диапазон расширялся постепенно. Полная компенса-
компенсация в сколь угодно широком диапазоне, как это можно
доказать теоретически, принципиально вообще невозмож-
невозможна [59, 60].2
Широкополосные трансформирующие звенья
При выполнении широкополосной трансформации часто
необходимо трансформировать активное сопротивление
с малой частотной зависимостью в другое сопротивление
так, чтобы не возникало большей частотной зависимости.
В метровом диапазоне и длинноволновой части децимет-
дециметрового диапазона это можно сделать с помощью /.С-фильт-
1 Петер с помощью коэффициентов отражения рассчитал некото-
некоторые фильтры, предназначенные для согласования, см. [52].
2 Таким образом, вывод, сделанный автором при доказательстве
возможности согласования на любом количестве частот [43] о том, что
будто бы принципиально возможна компенсация любом частотной за-
зависимости, противоречит действительности.
401
ров. Особенно пригодны для этой цели трансформирующие
цепи, состоящие из Х-образных схем [61].
На очень коротких волнах трансформацию при перехо-
переходе от коаксиальной линии с волновым сопротивлением Ri
к линии с 'волновым сопротивлением R2 можно осущест-
осуществить посредством плавного изменения размеров линии.
Однако для того чтобы этот переход был широкополосным,
необходимо выбрать его длину рав-
равной нескольким длинам волн ', что
в большинстве случаев является не-
нежелательным.
Для трансформации чисто актив-
активного сопротивления /?, в другое ак-
активное сопротивление R2 (рис. 56.12)
часто применяется отрезок однород-
однородной линии длиной Я0/4 с волновым
сопротивлением Z = \/RtR2. Придли-
Рис. 56.12. Трансформа- не волны Яо точка, соответствующая
ция сопротивлений с по чисто активному сопротивлению Rlt
„поворачивается" относительно точки
мощью четвертьволнового
отрезка линии. При изме-
измеполному сопротивлению,
перемещается между зна-
значениями Ц'о и R2'.
нении частоты на' +10% волнового сопротивления Z на 180°
точка, соответствующая и переходит в точку R2. При уве-
личении на 10°/„ длины Я длина
отрезкд ^ состашмет лишь О9.Я/4.
Это 03Начает, что теперь перемеще-
перемещение точки Rt при ее движении
вокруг Z до совпадения с точкой R2 соответствует углу
только в 0,9-180°= 162°. Аналогичным образом изменяется Rt
при увеличении частоты на Ю°/о. Сопротивление Rt преобра-
преобразуется в этом случае в R2'. Итак, частотная зависимость
трансформирующего звена проявляется в том, что при изме-
изменении частоты на ±10°/0 трансформированное значение со-
сопротивления в плоскости комплексных чисел перемещается по
кривой полных сопротивлений, расположенной между точка-
точками R2- и R'2. и проходящей через точку Rv Таким образом,
отрезок длиной Яо/4 обладает довольно сильной частотной
зависимостью. То же самое можно сказать и о других типах
трансформирующих звеньев, кроме специально сконструирован-
сконструированных.
1 В настоящее время разработан ряд типов широкополосных пере-
переходов малой длины (лучшими характеристиками обладают так назы-
называемые чебышевскпе ступенчатые и плавные переходы. См. дополни-
дополнительную литературу [49]) (Прим. ред.)
402
Частотную зависимость можно значительно ослабить, при-
применив два отрезка линии длиной Я0/4 так, чтобы первый отре.
зок линии длиной в Я0/4 трансформировал сопротивление R
в сопротивление /?' = V RtR2 (рис. 56.13), а второй отрезок
сопротивление R' = y/RtR2 в R2. При этом отрезки линии
длиной Яо/4 должны иметь волновые сопротивления Zt =
iR2 и Z2=yR2VR1R2 соответственно. При дли-
J-Z.
Рис. 56.14. Широкополосное трансфор-
трансформирующее устройство из трех отрез-
отрезков линии длиной Х/4 каждый.
Рис. 56.13. Широкополосная . D
трансформация сопротивлений с не ВОЛНЫ Л.о сопротивление /<,
помощью.двух четвертьволновых отрезком С ВОЛНОВЫМ СОПроТИВ-
отрезков линии. лением, равным Z,, трансформи-
трансформируется в сопротивление R'=
= [^RiR2, а последнее с помощью отрезка линии с волно-
волновым сопротивлением Z, — в сопротивление R2. При умень-
уменьшении частоты на 10°/0 сопротивление Rt трансформируется
отрезком линии с волновым сопротивлением Zt в R и сопро-
сопротивление R вторым отрезком линии с Z2 — в сопротивле-
сопротивление R2. На частоте, возросшей на 100/0, сопротивление Rl
трансформируется в R2', проходя через промежуточное зна-
значение Rf. Кривая, ограниченная значениями R2' и R2 и про-
проходящая через R2, по которой теперь перемещается точка,
соответствующая трансформированному значению сопротивле-
сопротивления /?,, при изменении частоты на =Ь10°/0, как видно из
рис. 56.13, значительно меньше, чем при одном отрезке Я0/4.
Очевидно, что, применяя более двух отрезков Я0/4, частот-
частотную зависимость можно еще более уменьшить. Для опреде-
определения соответствующих волновых сопротивлений отрезков ли-
линии длиной Я0/4 (рис. 56.14) рекомендуется [62] правую ком-
комплексную полуплоскость в соответствии с выражением
E6.1)
403
отобразить на единичный круг. Это означает, что вместо зна-
значений комплексных ^сопротивлений R целесообразнее восполь-
воспользоваться нанесенными на комплексную плоскость значениями R?,
определяемыми равенством 56.1.
R? = Zf =0. При R — R, полу
Если R = Z2 =
получим
!R2, то
fE_VRt-VRl
и при R = R2
Итак, значения сопротивлений /?f и R%, которые с помощью
трансформирующих звеньев должны быть преобразованы друг
в друга, расположены в единичном круге симметрично по от-
отношению к нулевой точке. Очевидно, что вследствие этого
Рис. 56.15. Диаграмма для определения волно-
волновых сопротивлений отрезков линий, входящих
в устройство, изображенное на рис. 56.14.
изображение в единичном круге, получаемом с помощью вы-
выражения E6.1), является более предпочтительным, поскольку
теперь легче определить волновые сопротивления отрезков
линий длиной Я0/4. Так, например, в случае рис. 56.15 точ-
точки /?f и /?f = — /?f при изображении внутри единичного
круга должны переходить друг в друга. Учитывая симметрию,
404
можно предположить, что средний отрезок Я0/4 будет иметь
волновое сопротивление Zi=\^R1Ra, которому в единичном
круге соответствует точка Zf = O. Значения волновых сопро-
сопротивлений Zf и Zf двух других отрезков Я0/4 расположены
также симметрично относительно нулевой точки и, следова-
следовательно, zf = — zf.
При значении волнового сопротивления Z , отличном от
нуля, диаграмма трансформации однородной линии имеет такой
же вид, как и диаграмма в правой комплексной полуплоскости
(рис. 14.1,а). Она состоит из окружностей, которые прохо-
проходят через точку ZE и расположены перпендикулярно краю
единичного круга. Все их центры находятся на прямой g или
g' (рис. 56.15). Второе семейство диаграммы состоит из ок-
окружностей, ортогональных к окружностям первого семейства.
На рис. 14.1,а показано, как пользоваться такой диаграм-
диаграммой. При Z^ = 0 и любых значениях Z
= — Z
на
средней волне Яо сопротивление Rf посредством трех отрез-
отрезков длиной Яо/4 всегда трансформируется в сопротивление R^
Первый отрезок Я0/4 поворачивает точку Rf на 180°,
совмещая ее с точкой —р, второй отрезок трансформирует
(—р) в (-f-p). и третий преобразует значение -f-P в /?2?. При
длине волны Я=0,9Я0 точка Rf поворачивается на угол
180°+18° = 180° + а и переходит в точку а. Значение Zf
на рис. 56.15 выбрано специально так (и это основа наших
рассуждений), что вектор, идущий из нулевой точки в точку
со значением а, образует с отрицательной частью действитель-
действительной оси угол, равный как раз а/2. Тогда значение а вторым
отрезком Яо/4 будет трансформироваться посредством пово-
поворота на 180°-|-а в значение а, причем о и а расположены
зеркально по отношению к мнимой оси. Третий отрезок Яо/4
переводит а точно в точку R^.
Таким же образом сопротивление R} трансформируется
в сопротивление R% и при длине волны Я = 1,1Я0. Следова-
Следовательно, можно добиться того, чтобы трансформирующее звено
на трех волнах, например: на средней Яо, Я, = 0,9Я0 и Я2 =
= 1,1 Яо — преобразовывало сопротивление Rt в сопротивле-
сопротивление R2. Частотная зависимость внутри этого диапазона на-
405
столько мала, что при геометрическом построении, показан-
показанном на рис. 56.15, она не выявляется.
Расчет значения сопротивления Z^ для трех мало отли-
отличающихся друг от друга частот производится следующим,
образом: при малом угле а дугу окружности, проходящую
через точку Zf, можно рассматривать как прямую. Тогда
фигура, образованная точками Zf, а и 0 (т. е. Z^), будет
представлять собой треугольник с двумя небольшими углами а
и а/2 у основания, откуда следует, что
E6.2)
Из диаграммы трансформации (.поворота" вокруг точки
для первого отрезка Яо/4 следует (см. 14.2):
E6.3)
где а — расстояние от прямой g до единичного круга. Вели-
Величину а можно вычислить, используя выражение E6.3):
E6.4)
(i+zft»
a = =— .
— 2zf
Наконец, из выражений E5.2), E5.3) и E6.4) следует:
D?_2(Zf)-4Zf
Таким образом, активное сопротивление Rt с помощью уст-
устройства из трех последовательно включенных отрезков линии
длиной Яо/4 (рис. 56.14) можно трансформировать в другое ак-
активное сопротивление /?2 с сохранением коэффициента транс-
трансформации в широком диапазоне частот (рис. 56.14) При этом
для среднего отрезка Яо/4 следует выбирать волновое сопро-
сопротивление Z.-=YRXR% и для отрезка Яо/4, подключенного
непосредственно к сопротивлению Rt — волновое сопротив-
сопротивление Zt, которое можно рассчитывать из соотношения
2(Zf)»-4Zf
406
где
2, — \rRlR-,
Наконец, последний отрезок длиной Яо/4 должен иметь вол-
волновое сопротивление Z,, определяемое выражением для Z, ,
уЕ = УЩг-г3 1
1 Уял + z,
Принципиально частотную зависимость можно осла-
ослабить еще больше, применяя четыре, пять и т. д. соответ-
соответствующих отрезков длиной Яо/4. Необходимые волновые
сопротивления 'можно также найти или с помощью геомет-
геометрических построений в единичном круге или посредством
расчета [63]. Следует, однако, иметь в виду, что на санти-
сантиметровых волнах наличие емкостей,
обусловленных скачкообразным из-
изменением поперечных размеров ли-
линии, делает необходимым некото-
некоторую коррекцию длин отдельных от-
отрезков Яо/4.
На рис. 56.13 полученная в ре-
результате компенсации кривая имеет
пик в точке R2. Если волновые со-
сопротивления Z\ и Z<i несколько из-
изменить, например Z2 взять несколь-
несколько меньшим, то этот пик пре-
превращается в петлю (рис. 56.16). Ес-
Если требуется осуществить трансфор-
трансформацию в широкой полосе частот, то лучше использовать уст-
устройство, позволяющее получить петлю, так как в этом случае
отклонения от номинальных значений можно сделать не-
небольшими. Для каждого данного значения коэффициента
трансформации и данной полосы частот имеется свой оп-
оптимальный вид петли, при которой рассогласование во всем
диапазоне частот остается минимальным. В этом можно
убедиться, производя соответствующие геометрические по-
построения. То же самое справедливо и тогда, когда приме-
применяется три и более отрезков линии длиной Яо/4. Возмож-
Возможность находить с помощью геометрических построений
петлю оптимального вида делает этот способ более пред-
предпочтительным по сравнению с чисто расчетным способом,
Рис. 56.16. Кривая значе-
значений полных сопротивле-
сопротивлений, полученная для уст-
устройства из двух отрезков
линии длиной Х/4 при ши-
широкополосной трансформа-
трансформации.
1 Эти выражения лучше всего представить графически.
407
так как последний позволяет определить волновые сопро-
сопротивления только для очень узких диапазонов частот.
Построения, представленные на рис. 56.12 и 66.13, спра-
справедливы не только для устройств с отрезками линий дли-
длиной Я0/4, но и для других четырехполюсников с действи-
-Р
J-, -Л,
Рис. 56.17. Х-звено с по-
постоянным волновым
сопротивлением.
Рис. 56.18. Широкополосное
трансформирующее устрой-
устройство.
тельными волновыми сопротивлениями, не зависящими от
частоты. В качестве примера можно указать на Х-звено,
изображенное на рис. 56.17, которое на дециметровых вол-
волнах можно использовать в симметричных двухпроводных
линиях. Такому Х-звену также соответствует диаграмма
трансформации эллиптического типа с действительной
фиксированной точкой, отвечающим ей волновьш сопротив-
сопротивлением Z=\VL/C и углом поворота
а = 4 arctgw YTJC . E6.5)
Если требуется трансформировать сопротивление Rx
в R2, то необходимые значения волновых сопротивлений
Х-звеньев можно определять, используя рис. 56.12, 56.13
и 56.15. Так как на средней частоте угол а должен быть
равен 180°, то для каждого Х-звена получается два усло-
условия, из которых вычисляются значения параметров L и С.
Такие устройства имеют меньшую частотную зависимость,
чем соответствующие отрезки длиной ко/4, так как для по-
последних угол поворота а пропорционален частоте, а для
Х-звена согласно выражению 56.5 зависит от частоты
в меньшей степени.
На рис. 56.18 показан другой вариант трансформирую-
трансформирующего устройства для коаксиальной линии', которое в ши-
широкой полосе частот трансформирует активное сопротив-
сопротивление Ri в другое активное сопротивление R2. Это устрой-
устройство состоит из отрезка линии длиной ко/4 с волновым со-
1 О расчете и конструировании широкополосных трансформаторов
см. в работе E7].
408
•HI
ч
If/
X
r
>
R
\
противлением Z/=YRiR2, частотная характеристика кото-
которого улучшается с помощью параллельного шлейфа Р,
разомкнутого на конце отрезка линии длиной ко/4, вклю-
включенного в точке 5 последовательно с внутренним проводни-
проводником линии. Принцип действия устройства поясняется диа-
диаграммой рис. 56.19. При к—ко длина параллельного шлей-
шлейфа равна как раз четверти длины волны и поэтому пред-
представляет собой не вызывающее отражений бесконечно
большое сопротивление. Ра-
Разомкнутый на конце отрезок
линии, введенный во внутрен-
внутренний проводник в точке S на
глубину, равную ко/4, в этой
точке оказывается замкнутым
накоротко. Следовательно, при
^ = ^о схема действует так,
как будто бы имеется только
трансформирующий отрезок
длиной ко/4 с волновым сопро-
сопротивлением Z', преобразую-
преобразующий сопротивление Ri в R2
(рис. 56.19). При k = ki>ko
отрезку ко/4 с волновым сопротивлением Z' соответствует
угол поворота а<180°. Параллельный шлейф в этом слу-
случае играет роль параллельно включенной индуктивности.
Его волновое сопротивление можно выбрать так, чтобы со-
сопротивление Ri трансформировалось им в сопротивление R'.
Отрезок линии длиной Л0/4 с волновым сопротивлением Z'
трансформирует сопротивление R' в сопротивление R".
Разомкнутый на конце отрезок длиной Хо/4, подключенный
в точке S, на волне кг представляет собой последователь-
последовательно включенную емкость. При соответствующем значении
волнового сопротивления этот отрезок будет трансформи-
трансформировать сопротивление R" в сопротивление R2.
При длине волны к2<к0, которой соответствует угол по-
попорота C60°—а), параллельный шлейф эквивалентен ем-
Рис. 56.19. Диаграмма, поясняю-
поясняющая принцип действия
устройства (рис. 56.18).
кости. Последняя трансформирует сопротивлением Ri в R',
а отрезок линий длиной ко/4 с волновым сопротивлением Z'
лреобразует сопротивление R' в R". Затем включенная в
этом случае в точке 5 последовательная индуктивность, об-
образуемая разомкнутым отрезком линии, трансформирует со-
сопротивление R" в R2- Таким образом, с помощью данного
устройства можно на трех частотах трансформировать ак-
27—52 409
тивние сопротивление Ri в другое активное сопротивле-
сопротивление /?2, причем так, что в диапазоне, содержащем эти ча-
частоты, получается очень слабая частотная зависимость.
При не очень жестких требованиях от параллельного
шлейфа или от отрезка линии ко/4, вводимого во внутрен-
внутренний проводник в точке S (рис. 56.18), .можно отказаться.
Тогда волновое сопротивление оставшегося компенсирую-
компенсирующего элемента 'следует несколько изменить так, чтобы
вблизи волньр ^о для трансформированных значений сопро-
сопротивления R2 получилась не петля, а точка, как это пока-
показано на рис. 56.13.
Дополнения к вопросу о широкополосном согласовании
Как уже указывалось, принципиально в общем случае
нельзя полностью скомпенсировать зависимость сопротив-
сопротивления нагрузки от частоты, не допуская при этом значи-
значительных потерь активной мощности [59, 60]. Применяя эле-
элементы с потерями, можно обычно получать хорошую ком-
компенсацию [64—66], но в большинстве 'случаев при согласо-
согласовании желательно избегать потерь активной мощности.
Число способов компенсации так велико, что описать все
эти способы просто невозможно. Поэтому здесь остановим-
остановимся еще только на общем способе решения задач согласо-
согласования.
До сих пор при широкополосном согласовании предпо-
предполагалось, что частотная характеристика сопротивления на-
нагрузки известна и вопрос заключается в том, как можно
ослабить существующую частотную зависимость. При бо-
более фундаментальных исследованиях целесообразнее по-
поставить обратный вопрос: до какой степени вообще воз-
возможно улучшение частотной характеристики. В этом слу-
случае можно рассмотреть соответствующие варианты и вы-
выбрать оптимальные.
При этом следует поступать так, как это уже указыва-
указывалось в § 18, т. е. взять однородную линию, подключить
к ней со стороны генератора сопротивление, равное ее
волновому сопротивлению, и определять в какие значе-
значения Ri оно, будучи отнесенным к точке подключения на-
нагрузки, преобразуется согласующим трансформатором,
включенным между линией и нагрузкой. В результате по-
получим некоторую кривую а (рис. 56.20), устанавливающую
зависимость Ri от частоты '.
\
1 Результаты
в [43, 58].
410
расчета нескольких таких кривых приведены
Согласно закону 13.2 это означает, что трансфор-
трансформирующее звено должно согласовывать с однородной ли-
линией в широкой полосе частот нагрузку, значение которой
в зависимости от частоты изменяется согласно кривой Ъ,
получающейся из кривой а путем замены точек последней
точками с комплексно сопряженными значениями. Это зна-
Рис. 56.20. Геометрическое место точек входного ¦
полного сопротивления (кривая а) и комплексно-со-
комплексно-сопряженного сопротивления (кривая Ь). Устройство,
которое в зависимости от частоты преобразует со-
сопротивление R в то или иное сопротивление кри-
кривой а, при обратном включении преобразует
сопротивление, изменяющееся согласно комплексно-
сопряженной с а кривой b в значение R. Следова-
Следовательно, с помощью этого устройства можно полно-
полностью устранить частотную зависимость, выражаемую
кривой Ь.
чит, что на каждой частоте сопротивлению Ri должно со-
соответствовать комплексно сопряженное сопротивление Ri
кривой а. Как уже говорилось, для всех кривых, выража-
выражающих частотные зависимости, увеличению частоты соответ-
соответствует движение точки полного сопротивления в направ-
направлении по часовой стрелке. Это справедливо также и для
кривой а (рис. 56.20). Поэтому для кривой b с комплексно
Рис. 56.21. При определении вида компенси-
компенсирующей схемы для сопротивления, изобража-
изображаемого кривой а, последнюю можно прибли-
приближенно представить в виде кривой Ь для
сопротивления нагрузки, согласованного с по-
помощью уже известного трансформирующего
звена. Степень приближения всегда можно
оценить, воспользовавшись пояснениями к
рис. 18.2. Из сравнения с рис. 56.13 видно,
что кривая Ь, соответствует трансформирую-
трансформирующему устройству, состоящему из двух
отрезков \/4.
сопряженными значениями полных сопротивлений увеличе-
увеличению частоты соответствует движение против часовой стрел-
стрелки. Это означает, что частотные зависимости реальных со-
сопротивлений нагрузки никогда нельзя точно выразить
кривой Ь, а можно сделать это лишь приближенно.
Если имеются частотная характеристика сопротивле-
сопротивления нагрузки и кривая Ъ (рис. 56.20), то оценку рассогла-
рассогласования можно произвести гак, как это описамо в § 18.
Кривую а изменения сопротивления нагрузки
(рис. 56.21) можно приближенно заменить, например, кри-
27* 411
вой Ь. Кривую Ь, как это видно из рис. 56.13, получить
сравнительно просто. Следовательно, описанное выше
трансформирующее устройство, состоящее из двух отрез-
отрезков линии длиной W4, применявшееся для широкополос-
широкополосной трансформации активного сопротивления R\ в актив-
активное сопротивление R2, при соответствующем расчете можно
использовать также для устранения зависимости сопротив-
сопротивлений от частоты.
В некоторых случаях кривые частотной зависимости
.можно заменить кривыми b с несколькими петлями'.
1 Изложение вопросов широкополосного согласования содержится
также в {3, 60, 67, 68, 69].
ЛИТЕРАТУРА
(Основная)
I. Weissfloch A. Kreisgeometrische Vierpoltheorie und ihre
Bedeutung fur Messtechnik und Schaltungstheorie des Dezimeter- und
Zentimeterwellengebietes, Hochfreq. Elektroak., 1943, 61, S. 100.
2. Montgomery С G., Dicke R. H. und Pur cell E. M.
Principles of Microwave Circuits, 1948.
См. на русск. яз. «Теория линий передачи сверхвысоких частот", ч. I
и II, пер. с англ. под ред. Шпунтова, «Советское радио", 1951.
3. Ragan G. L. Microwave Transmission Circuits, 1948.
См. на русск. яз. „Линии передачи сантиметровых волн', ч. I и II,
пер. с англ. под ред. Ремеза. „Советское радио", 1951.
4. Marcuvitz N. Waveguide Handbook, 1951.
См. на русск. яз. „Справочник по волноводам", пер. с англ. под ред.
Фельда. „Советское радио", 1952.
5. О о u b a u und Z е п п е с k. Der Fiat Reviews of German Scien-
Science, 1939—1946 (см. также Naturforschung und Medizin in Deutschland,
1939—1946, 16).
6. Feldtkeller R. Einfuhrung in die Vierpoltheorie (Hirzel,
Leipzig, 1944).
7. S loot en. J. De Transformatoreigenschappen van een Vierpol,
Tijdschr. Nederl. Radiogenootschap, 1941, 9, S. 217.
8. S с h u 1 z H. Ober die Abbildungen linearer Komplexer Funktio-
tien unter Benutzung ihrer Fixpunkte, Telegr.-Techn., 1943, 32, S. 218.
9. S 1 о о t e n. J. Meetkundige Beschouwingen in Verband met de
Theorie der Elektrische Vierpolen (W. D. Meinema, Delft 1946).
10. RybnerJ. Cirkeldiagrammer Firpoltheorien (Jul Gjellerup,
Kopenhagen, 1947).
II. Kafka H. Die Ermittlung von orthogonalen Kreisscharnetzen
fur die Darstellung vektorieller Zusammenhange, Arch. El. 1936, 39,
S. 712.
12. Rybner J. Circle diagrams of Impedance or Admittance for
Fourterminal Networks, Inst. Electr. Eng. 1948, 95, p. 243.
13. Smith P. H. Transmission Line Calculator, Electronics, 1939,
12, p. 29.
14. Meinke H. Ein Kreisdiagramm zur. Berechnung der Vorgan-
ge auf Leitungen, Hochfreq. Elektroak.,. 1941, 57, S. 17.
413
ZWB-Forschungsber, 1944, Feb-
(Akademische
15. Smith P. H. An Improved Transmission Line Calculator, Elect-
Electronics, 1944, 17, p. 130.
16 Weissf 1 oc h A. Die WirkleistungsVerluste in linearen Vier-
polen in Abhangigkeit vom Wert des transformierten Scheinwiederstan-
des, ENT, 1943, 19, S. 259.
17. Weissfloch A. Bestimmung des Phasenunterschiedes der
Spannung bzw. des Stromes "zwischen Vierpoleingang und-ausgang aus
der Impedanztransformation, Hochfreq. Elektroak. 1943, 62, S. 149.
18. Weissfloch A. Entwicklung einer Drehfeldantenne fur den
Wellenlangenbereich von 50 bis 80 cm,
ruar, № 1914.
19. VilbigF. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik
Verlagsbuchhandlung, Leipzig, 1939).
20. Goubau G. Surface waves and their application to transmis-
transmission lines, J. appl. Phys., 1950, 21, p. 1119.
21. R i ed i nger A. Elektromagnetische Wellen in metallischen
Hohlzylindern, Fortschr. Hochfrequenztechnik (Vilbig-Zenneck, Leipzig,
1 У4 1 \m
22. В u с h h о 1 z H. Die Fortpflanzung elektromagnetischer Wellen
in Hohlleiterkabeln, Europ. Fernsprechdienst. 1941, 58, S. 189.
23. Honerjager R. Fiat Reviws of German Science 1939—1946
(см. также Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939— 1946,
16).
24. G und la с h F. W. Hochstfrequenztechnik, Springer-Verlag,
25. S 1 a t e r J. С Microwave Transmission (McGraw-Hill, New
York, 1942).
См. на русск. яз. „Передача ультракоротких радиоволн" пер. с англ.
под ред. Гвоздева. Гостехиздат, 1947.
26. S chel kun of f S. A. Electromagnetic Waves (D. Van Nost-
rand, New York, 1943).
27. D a 11 e n b а с h W. Darf man vom Wellenwiederstand einer ebe-
nen Welle oder einer Hohlrohrleitung sprechen?, Hochfreq. Elektroak.,
1943, 61, S. 167.
28. Borgnis F. Ober die Bedeutung der Leitungsgleichungen
und des Wellenwiederstands fur beliebige Wellentypen auf zylindri-
schen Leitungen, Arch, elektr. Obertr. 1951, 5, S. 181.
29. Jahnke-Emde. Funktionentafeln (Teubner, Leipzig, 1948).
30. Borgni s F. Hochfreq. Elektroak., 1940, 56, S. 47.
31. Schmidt O. Das Paralleldrahtsystem als Messinstrument in
der Kurzwellentechnik, Hochfreq. Elektroak. 1933, 41, S. 2.
32. Meinke H. Ober die Grenzen der absoluten Messgenauigkeit
fur Widerstandsmessungen bei hohen Frequenze , Arch, elektr. Ober-
trag. 1947, 1, S. 101.
33. W e i s sf 1 oc h A. Ein Transformationssatz uber verlustlose
Vierpole und seine Anwendung auf die experimentelle Ontersuchung
von Dezimeter- und Zentimeterwellenschaltungen. Hochfren. Elektroak.
1942, 60, S. 67. s .„-,. — -.
34. Whinnery J. R., J a m i e son II. W., R о b i n s Т. Е. Proc.
Inst. Radio Eng. 1944, 32, p. 695.
35. Konig H. W. Hochfreq. Elektroak. 1942, 60, S. 50.
36. Goubau G. Hochfreq. Electroak. 1943, 6>, S. 73.
37. S t e n z e 1 A. Electronics der Fiat Reviews of German Science
1939—1946.
38. Goubau G., Honerjager R., M й 11 e r R. und Schmel-
414
zer. Elektromagnetische Wellenleiter und Hohlraumresonatoren, ihre
Theorie und Messtechnik (Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, Stutt-
Stuttgart).
39. W e i s s f 1 о с h A. Ein Prazisionswellenmesser und Frequenz-
hubmessgerat fur den Wellenbereich um Л =14 cm., Z. techn. Physik,
1943, 24, S. 22.
40. Weissfloch A. Detektoruntersuchungen, ZWB-Forschungsber.
A944) und Ober die Wirkungsweise von Mischstufen im Dezimeter-und
Zentimeterwellengebiet, Reichsber. Physik (Anfang, 1944).
41. Montgomery С G. Technique of Microwave Measurements,
M.I.T.-Series (McGraw-Hill, New York, 1947).
См. на русск. яз. «Техника измерений на сантиметровых волнах", пер.
с англ. под ред. Ремеза. .Советское радио", 1949.
42. Weissfloch A. Ein Verfahren zur Messung sehr kleiner
bzw. sehr grosser Scheinwiderstande im Dezimeter- und Zentimeterwel-
Zentimeterwellengebiet, ETZ, 1943, 64, S. 377.
43. Weissfloch A. Anwendung des Transformatorsatzes uber
verlustlose Vierpole auf die Hintereinanderschaltung von Vierpolen,
Hochfreq. Elektroak., 1943, 61, S. 19.
44. Marcuvitz N. Proc. Inst. Radio Eng., 1948, 36, p. 728.
45. Meinke H. Stossfreie Bauelemente Konzentrischer Leitungen
bei hohen Frequenzen, Hochfreq. Elektroak, 1943, 61. S. 145.
46. Briick L. Widerstandsmessungen bei Dezimeterwellen, Tele-
funken-Rohre, 1943, Heft 27/28, S. 60.
47. Schmelzer. Fiat Reviews of German Science 1939—1946 (см.
также Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939—1946, 16).
48. Weissfloch A. Otilisation des pistons de court-circuit pour
l'etude des derivations et des conpleurs directifs, Annales des Tele-
Telecommunications, 1954, 9, S. 81.
49. Wei ssfloch A. Ober die Kabelkonstanten und ihre Messung
bei Dezimeter- und Zentimeterwellen, ZWB. Techn. Ber., 1943, № 10.
50. Borgnis F. Hochfreq. Elektroak., 1939, 54, S. 121; 1942, 60,
S. 151.
51. Feldtkeller R. Siebschaltungstheorie (Verlag Hirzel, Stutt-
Stuttgart).
52. Peter R. Breitbandrichtstrahlantennen mit Anpassvierpolen
fur Ultrakurzwellen, Mitt. Inst. Hochfreq. ETH Zurich, 1949, № 10.
53. We i ss f 1 oc h A. Die Wirkleistungsabgabe eines Generators
mit konstantem Innenwiderstand und konstanter EMK an beliebige
Komplexe Aussenimpedanzen, Hochfreq. Elektroak., 1942, 60, S. 10.
54. Weissfloch A. Detektoruntersuchungen, ZWB-Forschungsbe-
richt A944).
55. Weissfloch A. Zur Frage der Frequenzstabilitat und Frequ-
enzstabilisation selbsterregter Sender im Dezimeter- und Zentimeter-
Zentimeterwellengebiet, ZWB.-Forschungsbericht (Sommer 1943).
56 Meinke H. Das Bolometer als Leistungsmesser bei sehr
kurzen Wellen, ENT., 1942, 19, S. 27.
57. Zinke O. Vortrage uber ausgewahlte Fragen uber Theorie
und Technik von Antennen, ZWB-Forschungsbericht (Marz, 1943).
58. Weissfloch A. Ein neues Verfahren zur Breitbandanpassung,
ZWB-Forschungbericht 1943.
59. Franz K. Eine Verallgemeinerung des Fosterschen Reaktanz-
theorems auf beliebige Fmpedanzen, ENTl; 1943, 20, S. 89.
60. Fa no R. M. Theoretical Limitations on the Broaband Matching
of Arbitrary Impedances, J. F. I., 1950, Jan—Febr., p. 57—139.
415
61. Ruhrmann A. Transformierende Kettenleiter, Dissertation
(Stuttgart 1946).
62. Weissfloch A. Ein Transformationsglied fur Dezimeter- und
Zentimeterwellen mit geringer FrequenzabhSngigkeit, ENT., 1943, 20,
63. DallenbachW. Transformationsstiick mit von der Wellen-
lange unabhangigem Gbersetzungsverhaltnis, Hochfreq. Elektroak., 1943,
62, S. 33.
64. Cauer W. Frequenzweichen konstanten BetriebswiderstandeS'
ENT, 1939, 16, S. 96.
65. L i p p e r t W. Zur Frage der idealen Kompensation des Schein-
widerstandes oder Leitwertes von Zweipolschaltungen und eine Anwen-
dung auf ein elektrisches Weichenproblem, Hochfreq. Elektroak., 1942,
60, S. 11.
66. Pi lot у Н. Konjugierte Impedanzen und Weichenfilter, Telegr-
Techn., 1942, 31, S. 255.
67. MasonW.P. und S у к e s R. A. The use of coaxial and balanced
transmission lines in filters and wide-band transformers for high radio
frequencies, Bell Syst. Techn., y. 1937, 16, p. 275.
68. Bennett F. D., С о 1 e m a n n P. D. und Meier A. S. The de-
sign of broad-band aircraft antenna systems, Proc. I.R.E., 1945, 33,
p. 671.
69. F e 11 e r s R. G. und W e i d n e r R. T. Broad-band waveguide
admittance matching by usa of ireses, Proc. I.R E., 1947, 35, p. 1080.
Дополнительная литература, рекомендуемая редакцией
1. Watson W. The physical principles of waveguide transmission
and antenna systems, Clarendon Press, Oxford, 1947.
2. Meinke H. Theorie der Hochfrequenzschaltungen, Verlag von
R. Oldenburg, Miinchen, 1951.
3. Barlow H. M. and С u 11 e n A. L. Microwave Measurements.
См. на русск. яз. «Измерения на сверхвысоких частотах", пер. с англ.
под ред. Штейншлейгера В. Б. .Советское радно", 1952.
4. Н е й м а и М. С. Обобщение теории цепей на волновые процессы,
Госэнергоиздат, 1955.
5. G i п z t о п Е. Microwave Measurements. New York-Toronto,
London, McGraw-Hill Book Company Inc., 1957.
См. на русск. яз. „Измерения на сантиметровых волнах", пер. с
англ. под ред. Ремеза. Изд-во ииостр. лит., 1960.
6. Tischer E. J. Mikrowellenmesstechnik, Springer-Verlag, 1958.
7. Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Гос.
изд. тех.-теорет. лит., 1950.
8. Zurmuhl R. Matrizen, Springer-Verlag, Berlin, 1950.
9. 3 e л я х Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем.
Изд. АН СССР, 1951.
10. Гаитмахер Ф. Р. Теория матриц. Гостехиздат, 1954.
11. СигорскийВ. И. Общая теория четырехполюсников. Киев,
Изд. АН УССР, 1955.
12. С и г о р с к и й В. И. Методы анализа электрических схем с многопо-
люснымн элементами. Киев, Изд. Акад. иаук УССР, 1958.
13. А та бе ков Г. И. Теория линейных электрических цепей, .Со-
.Советское радио", 1960.
14. Привалов И И. Введение в теорию функций комплексного
переменного, изд. 9-е. I остехиздат, 1954.
15. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного, изд. 2-е перераб. Физмятгиз, 1958.
416
16 GundlachF. W. Zur Anwendung der Vierpoltheone aui Hohl-
leitersysteme, Arch. Electr. Obertrag., 1950, 4, № 9, S. 342—348.
17. Deschamps G. A new chart for the solution of transmis-
transmission line and polarization problems,- IRE Trans, on Microwave Theory
and Techn., 1953, MTT-1, March.
18. Дешан Ж. Определение коэффициента отражения и вноси-
вносимых потерь волноводного соединения. «Вопросы радиолокационной
техники», 1954, № 4B2), стр. 101—108.
19. С т о р е р Д ж. Простой графический анализ волноводногп
соединения с двумя выводами. «Вопросы радиолокационной техники»,
1954, № 4 B2), стр. 108—A25.
20. В 1 а с k b а п d W. Т. A graphical approach to the study of ir-
irregularities in transmission lines, Proc. IEE, Part C, 104, № 5,
p. 433—438.
21. Buhr J. Die geometrische Darstellungsweise kombim'erter, li-
nearer Vierpole, Arch. Elektr. Obertrag., 1955, 9, № 10, S. 5611—570.
22. Д р у г о в В. М. Графическое определение входных сопротив-
сопротивлений четырехполюсников. «Электросвязь», |1958, III, № 3, стр. 49—53.
23. М п 11 е г К. Ein graphisches Verfahren zur Beschreibung des
transformationsverhaltens verlustbehafteter Leitungen, Hochfr. Techn.
und Elektroak., 1959, 68, № 2, S. 61—63.
24. Фельдштейн А. Л. О минимальном числе параметров, опре-
определяющих пассивный четырехполюсник. «Радиотехника н электроника»,
1959, т. IV, вып. 5., стр. 754—764.
25. L и е g Н. Ober die Transformationseigenchaften verlustloser
Vienpol zwischen homogenen Leitungen und ein kreisgeometrischer Be-
weis des Weissflochschen Transform a torsatzes, Arch. Elektr. Obertrag.,
1953, 7, № 10, S. 478—484.
26. L u e g <H. Eine Verallgemeinerung des Weissflochschen Trans-
formatorsatzes. Arch Elektr. Obertrag., 1954, 8, № 3, s. 131—141.
27. T i s с h e r F. J. Zur Fortleitungs und Anpassungstheorie homo-
homogenen gefuhrter Wellen, Arch. Elektr. Obertrag., 1954, 8, № 1, S. 8—14,
№ 2, S. 75—84.
28. Konigsberg. Frequency respanse in four-terminal networks,
Electronics, 1954, 27, № 2, p. 220—228.
29. Geramel F. Eine Beschreibung verlustbehafteter Vierpoll des
Mikrowellengebietes durch Spannungsknotenverschiebungen, Arch. Elektr.
Obertrag., 1958, 12, № 2, S. 76—80.
30. Gem m el F. Eine Analyse verlustbehafteter symrnetrischer
Vierpole des Dezimeter-und Zentimeterwellengebietes aus Spannungskno-
Spannungsknotenverschiebungen, Arch. Elektr. Obertrag., 1958, 12, № 4, S. 169—172.
31. Pannenborg A. E. On the scattering matrix of symmetrical
waveguide junctions, РШ. Res. Rep, 1952, № 2, p. 131—157; № 3,
p. 169—188; № 4, p. 270—302.
32. Seymour P. A. method of analysing the performance of tan-
tandem-connected four-terminaL networks, Journ. of Brit. IRE, 1956, 16,
№ 9, p. 555^562.
33 Bauer F. Die Betriebs-Kettemnatrix von Vierpolen, Arch.
Elektr.' Obertrag., 1955, 9, № 12, S. 559—560.
34. С о 11 i n R. iE. Theory and design of wide band multisection
quarter-wave transformers, Proc. IRE, 1955, 43, № 2, p. 179—185.
35. Doetsch G. Die Matrix eines Kettenleiters aus gleichen Vier-
Vierpolen (Darstellung der beliebigen Potenz einer Matrix). Arch. Elektr.
Obertrag., i960, 14, № 8.
36. F о r t e S. S. A modified syntesis procedure for two-terminal
pair networks, The Marconi Rev., 1960, 23, № 137, p. 59—64.
417
37. L u e g H. Ober die Transformationseigenschaften werlustloser
Sechspole zwischen homogenen Leitungen, ihre Charakterisierung durch
die Sechspolflache und deren Bedeutung fur die Messtechnik., Arch.
Elektr. Obertrag., 1964, 8, S. 331--Э40.
38. S t e i n S. Graphical analysis of measurements on multi-Port
waveguide junctions. Proc. IRE, 1954, 42, № 3, p. 599.
39. L u e g H. Die Mehrfach-Kurzschlufischieber Messmethode zur
Bestimmung der Transformationseigenschaften verlustloser 2n-Pole
zwischen homogenen Leitungen, Teil I, Arch. Elektr. Obertrag, 1954,
S., № 10, S. 457—466.
40. M a 11 e w s. The use of scattering matrices in microwave cir-
circuits, IRE Trans, on Microwave Theory and Techn., 1955 MTT-3, № 3,
p. 21—26.
41. Carlin H. The scattering matix in network theory, IRE Trans,
on Circuit theory, 1956, CT-3, p. 88—97.
42. Armstrong H. A matrix representation of the geometrically
tapered chain of four-terminal networks, IRE Trans, on Circuit Theory,
1956, CT-3, № 2, p. 136—137.
43. Я в и ч Л. Р. Волновые матрицы четырехполюсника. «Радио-
«Радиотехника и электроника», 1957, т. II, № 7, стр. 870—882.
44. Compute r. Matrixes 3-relations between network Matrixes,
Electronic and Rad. Eng., 1958, 35, № 4, p. 138—140.
45. Силин Р. А. Свойства волновых матриц 2(р+1)-полюсника.
«Радиотехника и электроника», 1959, т. IV, вып. 10, стр. 1628—1631.
46. Я в и ч Л. Р. Структура матриц и свойства четырехполюсни-
четырехполюсников из реактивных элементов. «Радиотехника и электроника», 1959,
т. IV, вып. 11, стр. 1796—1800.
47. Я в и ч Л. Р. Применение волновых матриц для расчета четы-
четырехполюсников с поперечной симметрией. «Радиотехника и электро-
электроника», .1959, т. IV, вып. 2, стр. 341—344.
48. Фе л ь дште й н А. Л. и Я в и ч Л. Р. К сравнению ступен-
ступенчатых и плавных переходов. «Радиотехника и электроника», 11959,
т. IV, вып. 3, стр. 527—529.
49. Фе л ь д штей н А. Л. и Явнч Л. Р. Инженерный расчет
чебышевских ступенчатых переходов. «Радиотехника», 1960, т. 15, № 1,
стр. 3—15.
50. Фельдштейн А. Л. Обобщенная матричная теория неод-
неоднородных линий. «Радиотехника», 1960, т. 15, № 6, стр. 10 — 17.
51. Dreinkorn M., Stockinger F. Mehrfache Produkte von
Matrizen allgemeiner Form, Arch. Elektr. Obertrag., 1960, 14, № 2,
S. 54—56.
52. Abel e T. A. Ober die Streumatrix allgemein zusammenge-
schalteter Mehrpole. Arch. Electr. Obertrag., 1960, 14, № 6, S. 262—568.
53. П и р ш е. Применение эллиптически поляризованного излуче-
излучения в технике СВЧ и радиолокации. «Вопросы радиолокационной тех-
техники», 1955, 6C0), стр. 3-25.
54. К е 11 е г G. S. Ferrites as microwave circuit elements. Proc.
IRE, 1956, 44, № 10, p. 1386—1393.
55. T r e u h a f t M. A. Network properties of circulators based on
the Scattering Concept, Proc. IRE, 1956, 44, № 10, p. 1394—1402.
56. P i v i t E. und Stosser W. Mikrowellenzirkulator Frequenz,
1960, 14, № 3, S. 77—84.
57. К a h n W. Scattering equivalent circuits for common symmetri-
symmetrical junctions, Trans. IRE on Circ. Theory, 1956, CT-3, № 2, p. 121 — 126.
418
58. К e r n s D. Analysis of symmetrical waveguiUe junctions. Journ.
Res. NBS, 1951, 6, № 4. p. 267—282.
59. Reed J. and Wheeler G. A method of analysis of symmet-
symmetrical. Four-port networks, IRE Trans, on Microwave Theory and Techn ,
1956, MTT-4, № 4, p. 246—252.
60. Cohen. Analytical asymmetry parameters for symmetrical wa-
vequide junctions, IRE Trans, on Microwave Theory and Techn., 1959,
MTT-7, № 4, p. 430—441.
61. Beatty R. W. and Macpherson A. C. Mismatch errors
microwave power measurements, Proc. IRE, 1953, 41, № 9,
1112—1119.
62. H u n t о n J. K. Analysis of microwave measurement techniques
, means of signal flow graphs, Trans. IRE, 1960, MTT-8, № 2,
p. 206-212.
63. A 11 s с h u 1 e r H. Maximum efficiency of four-terminal networks,
Proc. IRE, 1955, 43, № 8, p. 1016.
64. В о 1 i n d e r E. Maximum efficiency of four-terminal networks.
Proc. IRE, 1956, 44, № 7, p. 941.
65. В о 1 i n d e r E. Graphical metod of determining the efficiency
of two-port networks, Proc. IRE, 1957, 45, № 3, p. 361.
66. Рибле. Общий синтез четвертьволновых трансформаторов
полных сопротивлений. «Вопросы радиолокационной техники», 1957,
№ 4D0), стр. 3—'14.
67. Ф е л ь д ш те й н А. Л. и Я в и ч Л. Р. Вопросы широкополос-
широкополосного согласования некоторых типов комплексных сопротивлений на
СВЧ. «Радиотехника и электроника», 1959, т. IV, вып. 12.
in
Р-
by
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Из предисловия автора ... 7
Постановка задачи и особенности диапазона сверхвысоких частот 9
Постановка задачи - 9
Особенности диапазона СВЧ 11
Глава I. Общая кругогеометрическая теория четырехпо-
четырехполюсников . . . 17
1. Основные уравнения четырехполюсника 17
2. Основные свойства дробно-линейных функций 21
Действия над комплексными числами 22
Сдвиг w = 2 + а 24
Преобразование подобия ш=рг 25
Поворот w = e/9z 26
1
Обращение w = — 27
Общий случай дробно-линейного преобразования ..... 34
3. Применение кругогеоыетрических законов при рассмотрении
трансформации, вносимой четырехполюсниками 41
4. Инвариантность двойного отношения при проекции 45
5. Диаграмма трансформации реактивных сопротивлений для
четырехполюсников без потерь 48
6. Определение трансформированных значений любых комп-
комплексных сопротивлений с помощью диаграммы трансформа-
трансформации реактивных сопротивлений .• 5)
7. Диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств
для последовательных и параллельных реактивных сопротив-
сопротивлений 53
8. Круговое отображение правой полуплоскости на единичный
круг [1, 13— 15] 58
9. Кругогеометрический закон однозначности 63
10. Диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств
для симметричных Т-образных звеньев без потерь . ... 68
Эллиптический случай (диапазон прозрачности) 69
Гиперболический случай (диапазон непрозрачности) 73
Трансформация напряжений и токов в случае симметричного
Т-образного звена без потерь 79
Некоторые формулы для четырехполюсников общего вида 80
11. Основной кругогеометрический закон и кругогеометрический
закон однозначности для случая четырехполюсников без
потерь 83
420
12. Диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств
для любых четырехполюсников без потерь 88
Эллиптический случай 90
Параболический случай 92
Гиперболический случай 93
Общие замечания относительно диаграмм трансформации
в виде ортогональных семейств 95
Построение диаграммы по результатам измерений сопротивле-
сопротивлений с активной составляющей 97
13. Трансформирующие свойства четырехполюсника при взаимо-
взаимозамене входа и выхода 98
14. Диаграммы трансформации внутри единичного круга в слу-
случае четырехполюсников без потерь 103
Диаграммы трансформации 104
Трансформация малых расстояний 107
Переход от сопротивлений к проводимостям и трансформа-
трансформации при взаимозамене входа и выхода четырехполюсника 109
15. Эквивалентные схемы для четырехполюсника с потерями ПО
Граничная окружность илн окружность потерь и эквивалент-
эквивалентная схема [16] ПО
Трансформирующие свойства части схемы, определяющей
потери 114
Дополнительные замечания относительно граничной окруж-
окружности четырехполюсников с малыми потерями 115
Закон однозначности в случае четырехполюсников с потерями 117
16. Построение Т-или П-образной эквивалентной схемы по два-
грамме трансформации полных сопротивлений или проводи-
мостей четырехполюсника без потерь 117
17. Определение трансформаций напряжения и тока с помощью
диаграммы трансформации полных сопротивлений или про-
водимостей 121
Трансформация напряжения и тока 121
Сдвиг фазы тока 123
Сдвиг фазы напряжения 124
Определение трансформации напряжения и тока с помощью
диаграммы трансформации внутри единичного круга .... 126
Другая формулировка основных кругогеометрических законов 127
18. Некоторые примеры применения общей кругогеометрической
теории четырехполюсников 128
Оценка частотной зависимости входного сопротивления антенн 128
Рассогласование при подключении к выходу трансформирую-
трансформирующего звена нагрузки, отличающейся от номинальной .... 129
Оценка степени рассогласования антенны в широкой полосе
частот 131
Конструирование широкополосной антенны с круговой поля-
поляризацией 132
Глава II. Схемы с однородными линиями и техника изме-
измерений 137
19. Общие положения 137
20. Особые свойства однородной двухпроводной линии без по-
потерь .- 138
Электромагнитное поле в плоскости поперечного сечения ... 138
Входное сопротивление в некоторой плоскости поперечного
сечения. Волновое сопротивление 140
Распространение волн вдоль линии 144
421
21. Волноводы 149
Общие положения .....' 149
Волна Я10 {ТЕ10) в волноводе с прямоугольным поперечным
сечением 151
Волна Ец (ТМц) в волноводе с прямоугольным поперечным
сечением 156
Высшие типы воли в волноводе с прямоугольным поперечным
сечением 158
Волна Я,, (ТЕц) в круглом волноводе 161
Волна ЕЛ1 в круглом волноводе 162
Высшие типы воли в круглом волноводе .... 163
Однородные линии с поперечным сечением произвольной формы
и волны волноводного типа в двухпроводных линиях .... 166
22. Трансформирующие свойства однородной линии общего вида
без потерь 167
Общие положения 167
Эллиптический случай (диапазон прозрачности) 170
Гиперболический случай (диапазон непрозрачности) 173
Параболическиий слу«й 175
23. Распределение напряжения и тока вдоль однородных линий
без потерь и измерение полных сопротивлений 175
Диапазон прозрачности 175
Диапазон непрозрачности 181
Выводы для однородной линии общего вида без потерь .... 184
24. Принципиальные замечания, касающиеся волновых сопротив-
сопротивлений 184
25. Передача мощности по однородным линиям 188
26. Общие замечания, касающиеся измерения характеристик четы-
четырехполюсников 190
Измерения характеристик четырехполюсников, к которым
с обеих сторон подключены однородные линии, работающие
в диапазоне прозрачности 190
Четырехполюсники, к которым только с одной стороны подклю-
подключены однородные линии, работающие в диапазоне прозрач-
прозрачности 191
Четырехполюсники, к которым ни с одной из сторон не подклю-
подключены однородные линии, работающие в диапазоне прозрач-
прозрачности ' 192
Некоторые другие замечания общего характера 193
27. Закон трансформации для четырехполюсников без потерь . . 194
Метод измерений и закон трансформации 194
Доказательство закона трансформации 202
Измерение характеристик четырехполюсника при подключении
к его выходу сопротивления, равного волновому. Их связь
с коэффициентом отражения 205
28. Некоторые примеры практического применения закона транс-
трансформации 207
Особые преимущества закона трансформации 207
Применение закона трансформации к согласованию полных со-
сопротивлений 210
Параллельные и последовательные реактивные сопротивления
как линейные трансформаторы и мера реактивности . . . . 211
422
Скачки волнового сопротивления н изменение поперечного се-
сечения в однородных линиях ... 216
Компенсация отражений от мест крепления, изгибов других не-
одиородностей в передающих линиях 219
Четвертьволновое трансформирующее звено в качестве линей-
линейного трансформатора ..... 221
Применение закона трансформации прн осуществлении любых
наперед заданных сдвигов узлов напряжения 223
29. Принципиальные замечания, касающиеся техники измерений
в диапазоне дециметровых и сантиметровых воли 227
30. Измерение мощности 229
Оконечный измеритель мощности 229
Измеритель проходящей мощности и напряжения 231
31. Дополнения к измерению полных сопротивлений 233
Измерение очень малых или очень больших сопротивлений
с помощью линейного трансформатора 233
Мостовые измерения 238
Глава III. Сложные элементы схем, Bл)-полюсники с л>2
и зависимость трансформирующих свойств от час-
тоты 239
32. Общие сведения о совместном включении четырехполюсников 239
33. Последовательное включение двух линейных трансформаторов 243
34. Трансформирующие свойства плоских диэлектрических вста-
вставок и отрезков линий с отличающимся волновым сопротив-
сопротивлением 250
35. Применение плоских диэлектрических вставок или отрезков
линии с различным волновым сопротивлением 254
Применение диэлектрических вставок в качестве трансформато-
трансформаторов 254
Применение диэлектрических вставок при измерении диэлектри-
диэлектрической постоянной или магнитной проницаемости 255
36. Общие сведения о Bл)-полюсниках с и> 2 256
37. Запирающие свойства шестиполюсииков без потерь и харак-
характеристическая поверхность шестиполюсника 261
38. Эквивалентные схемы шестиполюсиика без потерь 266
39. Дополнения и выводы, следующие из рассмотрения эквива-
эквивалентных схем шестиполюсников без/ютерь ...-.-.• 274
Дополнения относительно техники измерений 274
Симметричные шестиполюсиики 276
Трансформация в случае, когда известны сопротивления нагру-
нагрузок линий шестиполюсиика и распределение мощности между
ними 280
Применение полученных результатов прн рассмотрении дрос-
дроссельного соединения двух линий 286
40. Четырехплечиые разветвления и направленные ответвители 288
Направленные ответвители [2] 288
Четырехплечиое разветвление общего вида 291
Метод измерений, основанный на применении короткозамыкаю-
щих поршней 294
Некоторые типы направленных ответвителей 295
41. Возбуждение и преобразование волн различных типов . . . 297
42. Общие сведения о частотной зависимости трансформирующих
свойств B/г)-полюсника и широкополосные полные сопротив-
сопротивления четырехполюсника 302
423
43. Применение полученных результатов к согласованию техни-
технических кабелей 305
44. Полые резонаторы . 309
Общие положения 309
Некоторые простейшие резонаторы, рассматриваемые в качестве
примеров 317^
45. Фильтры сверхвысоких частот 319^
Глава IV. Согласование 327
40. Общие положения 32^;
47. Отдача активной мощности генератором с постоянным внут- «
ренним сопротивлением и постоянной э.д.с 32(|j
48. Дополнительные замечания к расчету коэффициента согласо- :J.:
вания ЗЩ
49. Резонансный метод измерений . 338
Общие положения 3S»
Измерение трансформирующих свойств четырехполюсников без '
потерь 341
Измерение комплексных сопротивлений 343
Об остроте резонансной настройки волномера 351
50. Относительные потерн активной мощности в четырехполюс-
четырехполюснике с потерями 353
51. Нагрузочные характеристики генератора с самовозбуждением 359
52. Два частных вопроса, касающихся работы генераторов и рас-
рассматриваемых в качестве примеров применения нагрузочных
характеристик 362
Стабильность частоты генераторов с самовозбуждением и влия-
влияние на нее сопротивления нагрузки 362
Потери в схеме генератора н диапазон частот генератора с са-
самовозбуждением 366
53. Трансформации при согласовании, осуществляемые устрой-
устройствами с фиксированной настройкой 369
54. Регулируемые трансформирующие устройства 374
55. Практическое выполнение трансформаций прн согласовании 387
66. Широкополосное согласование 391
Общие положения 391
Устранение частотной зависимости 392
Широкополосные трансформирующие звенья 401
Дополнения к вопросу о широкополосном согласовании .... 410
Литература 413
АЛЬБЕРТ ВАЙСФЛОХ
ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ И ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЙ
В ДЕЦИМЕТРОВОМ И САНТИМЕТРОВОМ ДИАПАЗОНАХ
Редактор Л- В. Голованова Техн. редактор А. А. Свешников
Обложка худож. В. Т Сидоренко
Сдано в набор 25.1.1961 Подписано к печати 23.VI.196I,
Формат 84X108/32 Объем 21,73 ' Уч. изд. л. 22,&1
Г-77256 Тираж 10 000 экз. Цена в переплете № 5—1 р 66 к., № 7—1 р. 71 к. Заказ К
Типография Госэнергонздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.